Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
sous contrainte
Ay ≥ −p1, B T x ≥ −q1, x ≥ 0, y ≥ 0, x T 1 = 1, y T 1 = 1,
p, q ∈ R sont des variables auxiliaires telles que si (x ⋆ , y ⋆ , p ⋆ , q ⋆ ) sont solutions du problème
précédent alors p ⋆ = x ⋆T Ay ⋆ et q ⋆ = x ⋆T By ⋆ , voir la section 3.6 de Basar et Olsder (1999).
Une autre approche basée sur l’itération des stratégies à l’aide de pivots est l’algorithme de
Lemke-Howson.
Les jeux finis à deux joueurs peuvent être généralisés à des jeux à I joueurs. Les matrices
se transforment en tableaux à I dimensions et les deux inégalités définissant un équilibre
deviennent I inégalités. Nous renvoyons le lecteur intéressé vers les ouvrages de référence
précédemment listés.
Jeux continus
Traitons maintenant le cas des jeux continus où les ensembles de stratégies Xi sont continus
et non plus discrets. On omet volontairement le cas des jeux où l’espace Xi est dénombrable
et infini, où N, car il ne représente d’utilité dans le cadre de cette thèse. On peut par exemple
penser à un intervalle de prix, un intervalle de quantités, etc. . . Les ensembles Xi sont généralement
supposés compact, convexe et non vide. L’équilibre de Nash se définit de la manière
suivante.
Définition. Pour un jeu à deux joueurs où O1, O2 désignent le coût des joueurs, un couple de
stratégie (x ⋆ 1 , x⋆ 2 ) ∈ X1 × X2 est un équilibre de Nash si les inégalités suivantes sont respectées
pour tout (x1, x2) ∈ X1 × X2.
O1(x ⋆ 1, x ⋆ 2) ≤ O1(x1, x ⋆ 2) et O1(x ⋆ 1, x ⋆ 2) ≤ O1(x ⋆ 1, x2), (3)
Lorsqu’on travaille avec des fonctions de gains O1, O2 plutôt que des fonctions de coûts, il
suffit de renverser les inégalités. Si le jeu est à somme nulle, c’est à dire O2 = −O1, alors un
équilibre de Nash (équation (3)) est un point col
O1(x ⋆ 1, x2) ≤ O1(x ⋆ 1, x ⋆ 2) ≤ O1(x1, x ⋆ 2).
Pour un jeu à I joueurs, on introduit les notations suivantes. Soit i ∈ E un joueur : xi
désigne l’action du joueur i, tandis que x−i = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xI) les actions des autres
joueurs. L’équilibre de Nash se définit comme suit.
Définition. Pour un jeu à I joueurs où Oi, i ∈ E désignent le coût du joueur i, un vecteur
de stratégie (x⋆ 1 , . . . , x⋆ I ) ∈ X est un équilibre de Nash si pour tout i ∈ E, on a
Oi(x ⋆ i , x ⋆ −i) ≤ Oi(xi, x ⋆ −i), pour tout xi ∈ Xi. (4)
Pour mieux comprendre les théorèmes d’existence qui suivent, il faut comprendre que
l’équation (4) est en fait un problème d’optimisation. Un équilibre de Nash x ⋆ vérifie les I
sous-problèmes d’optimisation suivant
x ⋆ i ∈ arg min
xi∈Xi
Oi(xi, x ⋆ −i).
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