Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
Si A représente les gains plutôt que les coûts, il suffit d’inverser les inégalités. Un équilibre
de Nash s’interprète comme un point où aucun des joueurs n’a d’intérêt à changer d’actions
tant que son opposant ne change pas.
Une question légitime qui peut se poser maintenant est l’existence d’équilibre de Nash pour
toutes matrices A, B. Malheureusement, il existe des matrices pour lesquelles aucun équilibre
n’existe. Par exemple, pour
A =
1 0
2 −1
et B =
3 2
.
0 1
La raison de l’inexistence d’équilibre de Nash est la discontinuité des actions i = 1, . . . , Card(X1)
et j = 1, . . . , Card(X2).
Un cas particulier des jeux finis à deux joueurs est le cas où les objectifs des deux joueurs
sont antagonistes, c’est à dire B = −A. Ces sont les jeux à somme nulle. L’équation (2) de
l’équilibre de Nash se réduit à la double inégalité suivante
ai⋆j ≤ ai⋆j⋆ ≤ aij⋆. L’équilibre de Nash (i ⋆ , j ⋆ ) est appelé point col. Définissons le minimax et le maximin par
V (A) = maxj mini aij et V (A) = mini maxj aij. Si V (A) = V (A) alors il existe un équilibre
de Nash. Pour les jeux à somme non nulle, on a vu que ce n’était pas aussi simple.
L’astuce proposée par Nash lui-même pour garantir l’existence est de considérer des stratégies
mixtes, où les joueurs choisissent leur action en fonction d’un événement aléatoire. Par
exemple, dans l’exemple précédent, le joueur 1 peut choisir 2 fois sur 3 de jouer la première
action et 1 fois sur 3 la deuxième. Une telle stratégie est notée (2/3, 1/3). Les stratégies mixtes
du joueur i sont par définition une loi de probabilité parmi les actions de l’ensemble Xi. Pour
ne pas confondre, les stratégies non mixtes sont appelées stratégies pures et sont des cas particuliers
des stratégies mixtes où la loi de probabilité est dégénérée, par exemple (1,0) dans
l’exemple précédent.
Définition. Une paire de stratégies (x ⋆ , y ⋆ ) constitue un équilibre de Nash au jeu bimatrice
(A, B) en stratégie mixte si pour tous vecteurs de probabilité x, y, on a
x ⋆T Ay ⋆ ≤ x T Ay ⋆ et x ⋆T By ⋆ ≤ x ⋆T By.
On peut maintenant énoncer un théorème d’existence.
Théorème. Tous les jeux bimatrices admettent un équilibre de Nash en stratégie mixte.
La démonstration est basée sur le théorème de point de fixe de Brouwer, qui suit.
Théorème (Brouwer (1912)). Soient B n la boule unité d’un espace euclidien de dimension n
et T : B n ↦→ B n une application. Si T est continue, alors T admet au moins un point fixe.
L’ensemble B n peut être remplacé par n’importe quel ensemble compact, convexe, non
vide. Dans notre cas, on considèrera le simplexe de dimension 2 ou supérieure. Il est assez
facile de comprendre pourquoi l’équilibre de Nash en stratégies pures n’existe pas forcément :
l’ensemble X1 × X2 n’est pas convexe.
Le calcul d’équilibre en stratégie mixte est assez complexe. Néanmoins, on peut le reformuler
au problème d’optimisation bilinéaire
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x,y,p,q xT Ay + x T By + p + q,