Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
joue-t-on sur une ou plusieurs périodes ; la fonction objective dépend-elle d’un phénomène aléatoire
? Nous ne présenterons dans cette introduction que les jeux simultanés non-coopératifs
déterministes à information parfaite.
Jeux statiques
Nous supposons que l’information est parfaite, c’est à dire chaque joueur i connait les
fonctions objectives/coûts Oj des autres joueurs j = i. Les joueurs choisissent leur action
simultanément : personne ne peut tirer profit en jouant après les autres. De plus, chaque joueur
cherche son propre bien-être et ne peut coopérer, c’est à dire on exclut les jeux coopératifs.
Jeux finis
Considérons le cas où l’ensemble des actions possibles est fini, c’est à dire les ensembles
Xi sont discrets. L’ensemble des actions possibles est donc fini et contient Card(X1) × · · · ×
Card(XI) éléments. Pour toutes ces possibilités, on peut calculer la valeur des fonctions objectives
pour chacun des joueurs. Ainsi, la fonction objective de chaque joueur peut être décrite
dans un tableau multidimensionnel. Par simplification, on se restreint aux jeux à deux joueurs,
I = 2.
Commençons par un exemple, le dilemne du prisonnier. Deux suspects (complices d’un
délit) sont retenus dans des cellules séparées, dans lesquelles ils ne peuvent pas communiquer.
Les enquêteurs leurs proposent de passer aux aveux pour réduire leur éventuelle peine de
prison. Si un et seulement un des deux prisonniers dénonce l’autre, il est remis en liberté alors
que le second écopera de la peine maximale (par exemple 10 ans). Si les deux se dénoncent
entre eux, ils seront condamnés à une peine plus légère (par exemple 5 ans). Enfin si les deux
refusent de se dénoncer, la peine sera minimale (par exemple 6 mois), faute d’éléments au
dossier.
Les coûts des joueurs sont représentés par la double matrices suivantes, où le joueur 1 joue
sur les lignes et le joueur 2 sur les colonnes.
J1 | J2 se tait dénonce
se tait (-1/2, -1/2) (-10, 0)
dénonce (0, -10) (-5, -5)
S’ils coopéraient, les deux joueurs écoperaient seulement de 6 mois de prison. Mais comme ils
ne peuvent coopérer, chacun va chercher à minimiser sa peine potentielle, c’est à dire le joueur
1 cherche le minimum des maximum des lignes, tandis que le joueur 2 cherche le minimum des
maximum des colonnes. Par conséquent, chaque joueur va choisir de dénoncer l’autre joueur.
Les jeux finis à deux joueurs sont appelés les jeux bimatrices. En effet, les coûts des deux
joueurs sont représentés par deux matrices A et B de taille Card(X1) × Card(X2). Dans
cette configuration aij et bij représentent le coût des joueurs lorsque pour un profil d’action
(i, j) où i (respectivement j) désigne le i ème (j ème ) élément de l’ensemble fini X1 (X2). Nous
introduisons maintenant l’équilibre de Nash.
Définition. Une paire de stratégies (i ⋆ , j ⋆ ) constitue un équilibre de Nash au jeu bimatrice
A, B si les inégalités suivantes sont vérifiées
pour tout i = 1, . . . , Card(X1) et j = 1, . . . , Card(X2).
ai ⋆ j ⋆ ≤ aij ⋆ et bi ⋆ j ⋆ ≤ bi ⋆ j (2)
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