Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Y t
0 5 10
Exemples modèles cointégrés
1
Yt 2
Yt 0 10 20 30 40 50
Temps t
(a) Exemple de modèles cointégrés
Indices marché
0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25
Figure 1 – Séries temporelles
Marché français auto
Accrois. prime défl.
Inverse S/P
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Année
(b) Marché auto français
Si on désigne l’opérateur différence par ∆, le système d’équations ci-dessus peut se réécrire
∆Xt = Et et ∆Yt = 2Xt − Yt + 2Et + Et.
L’exemple précédent est en fait un cas particulier du théorème de réprésentation de Granger.
Pour deux séries Xt, Yt cointégrées d’ordre 1, il existe α1, α2 non tous nul et β = 0, telle que
soit ∆Xt − α1(Yt−1 − βXt−1) soit ∆Yt − α2(Yt−1 − βXt−1) sont stationnaires.
Plus généralement, les modèles autorégressifs vectoriels avec cointégration d’ordre p admettent
la représentation suivante :
∆Xt = AB T Xt−1 +
p
Γj∆Xt−j + Et,
où Xt est un processus de dimension n, AB T une matrice n×n produit de matrices n×r, Γj des
matrices n×n et Et un bruit blanc corrélé de dimension n. Ces modèles sont largement utilisés
en économétrie. Dans le cadre des modèles de cycles de marché, ils sont aussi abondamment
utilisés (voir, par exemple, Haley (1993); Grace et Hotchkiss (1995); Doherty et Garven (1995);
Blondeau (2001)). Typiquement, nous modélisons la prime moyenne marché en fonction des
ratios sinistres sur primes, de l’inflation et d’autres indicateurs macroéconomiques comme les
taux d’intérêts court et long termes.
Problèmes de cette approche
Pour prendre des actions pertinentes, l’assureur doit savoir se positionner par rapport
au marché. L’utilisation de modèles cointégrés apparaît nécessaire, car les modèles de séries
chronologiques auto-régressifs sont rarement adaptés pour modéliser la prime marché ou le
ratio marché sinistre sur prime. Une fois après avoir calibré un modèle de séries chronologiques
j=1
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