Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
Introduction
Modèles de séries temporelles
Nous présentons dans cette sous-section les modèles de séries temporelles les plus classiques
utilisées dans la littérature des cycles de marché pour affirmer ou infirmer une conjecture. L’objet
des séries temporelles est l’étude des processus stochastiques en temps discret (Xt)t∈N. Le
modèle de base est le modèle autorégressif d’ordre p. Pour un processus faiblement stationnaire
(Xt) (c’est à dire espérance constante et fonction d’autocovariance dépendant seulement
de l’écart de temps), (Xt)t est dit autorégressif d’ordre p s’il existe des coefficient a1, . . . , ap
et un processus bruit blanc (Et) tels que
p
Xt = aiXt−i + Et.
i=1
Pour le cas particulier p = 1, on retrouve une marche aléatoire, tandis que pour p = 2, (Xt)
peut être périodique si a2 < 0 et a2 1 + 4a2 < 0 avec une période
a1
P = 2π arccos
2 √ −a2
Malgré sa simplicité et le caractère très fort des hypothèses, les modèles autoregressifs ont été
appliqués dans beaucoup d’articles de cycles de marché, par exemple Cummins et Outreville
(1987). Cummins et Outreville (1987) cherchent à montrer l’hypothèse de tarification actuarielle
avec Xt le résultat de souscription de l’année t. Les périodes de cycles oscillent entre 6
et 10 ans suivant les pays.
Une hypothèse centrale des modèles autorégressifs est la stationnarité du processus. Elle
peut par exemple être testée par le test de racine unitaire de Dickey-Fuller (voir, par exemple,
Gourieroux et Monfort (1997)). En pratique, l’hypothèse de stationnarité est rarement vérifiée.
Pour compenser cela, Fields et Venezian (1989) et Gron (1994a) vont introduire des variables
explicatives pour obtenir une régression temporelle du type
.
Xt = a1Xt−1 + b0Yt + c0Zt + Et,
où Yt, Zt sont des indicateurs temporels indépendants et a0, b0, c0 = 0. Une modélisation plus
intéressante est proposée par Haley (1993) en utilisant les modèles de cointégration.
Les modèles cointégrés ont été proposés par Granger et Engle (1987) ∗ , voir aussi Committee
(2003). Deux processus (Xt)t et (Yt)t sont cointégrés s’il existe une combinaison linéaire
de ces deux processus qui est stationnaire, c’est à dire (αXt + βYt)t est stationnaire pour un
couple (α, β) non nul. Cette notion de cointégration est cruciale car elle permet de modéliser
des tendances long-terme entre les deux séries (Xt)t et (Yt)t.
Prenons l’exemple de Hamilton (1994) avec
Xt = Xt−1 + Et et Yt = 2Xt + Et.
où Et, Et sont deux bruits blancs. Il est facile de voir que (Yt − 2Xt) est un processus stationnaire.
Néanmoins, les trajectoires des processus (Xt)t et (Yt)t sont fortement corrélées,
comme l’illustre la figure 1a. Sur la figure 1, on a aussi tracé l’évolution de la prime moyenne
marché et l’inverse du ratio sinistre sur prime (S/P) marché pour le marché auto français. Le
graphique 1b montre à quel point ces deux grandeurs sont liées et valide le fait que la prime
marché est inversement proportionnelle au ratio S/P.
∗. Clive W.J. Granger et Robert F. Engle ont reçu le prix Nobel d’économie pour leurs travaux sur les
séries temporelles macroéconomiques et financières le 10 décembre 2003.
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