Etude des marchés d'assurance non-vie à l'aide d'équilibres de ...

tel-00703797, version 2 - 7 Jun 2012
modélisé, ainsi la variable de décision des clients n’aura plus deux modalités. Ainsi, il nous faut
un modèle de choix (entre chaque assureur) pour modéliser une variable Yi ∈ {0, . . . , c − 1}.
L’étude des modèles de choix est un thème bien connu en économétrie. Le livre de Manski
et McFadden (1981) constitue un ouvrage de référence dans ce domaine. McFadden (1981) ∗
présente en profondeur les modèles de choix dans le chapitre 5 de ce livre. C’est une extension
probabiliste du modèle de l’homo economicus de l’économie classique.
Les modèles de choix reposent sur deux composantes : (i) un système de probabilité de
choix et (ii) un cadre de maximisation d’utilité aléatoire. Soit P la probabilité de choix pour
un individu. P est une fonction de l’ensemble I × B × S dans l’intervalle [0,1], où I désigne
l’ensemble des alternatives, B ⊂ I l’ensemble des choix possibles offerts à l’individu et s une
caractéristique mesurée de l’individu.
P (i| B, s) désigne la probabilité de choisir l’alternative i parmi la sélection B pour un
individu de caractéristique s. De plus, nous rajoutons une fonction d’attribut observé ξ : I ↦→
Z, telle que ξ(i) représente les attributs observés. Le système de probabilité de choix est donc
le vecteur (I, Z, ξ, B, S, P ). Sur ce système, deux hypothèses sont faites : (i) la sommation
∀B ∈ B, P (B|B, s) = 1, (ii) la caractérisation totale ∀B = {i1, . . . , in}, ∀ ˜ B = {ĩ1, . . . , ĩn},
ξ(ik) = ξ(ĩk) entraîne P (ik|B, s) = P (ĩk|B, s).
Outre le système de probabilité de choix, McFadden (1981) se place dans un cadre de
maximisation d’utilité aléatoire. En effet, comme l’utilité d’un individu n’est pas quelque
chose de très facilement mesurable, il est cohérent de considérer son caractère aléatoire d’un
point de vue de l’observateur.
La deuxième composante des modèles de choix, une hypothèse de maximisation d’utilité
aléatoire, est définie par un vecteur (I, Z, ξ, S, µ) où (I, Z, ξ, S) vient du système de probabilité
et µ est la mesure de probabilité sur l’espace des fonctions d’utilités définies sur I,
dépendant s ∈ S. µ(., s) représente donc la loi de probabilité des “goûts” pour la population
de caractéristique s. Ainsi, la probabilité P (ik|B, s) de choisir l’alternative ik s’écrit
µ({U ∈ R I |∀j = 1, . . . , n, U(ik) ≥ U(ij)}, s).
Des hypothèses additionnelles complètent la composante (I, Z, ξ, S, µ) pour que l’équation
précédente soit toujours définie.
Deux modèles paramétriques sont très utilisés dans ce cadre d’étude : les modèles de Luce
(1959) et de Thurstone (1927). Luce (1959) considère la forme paramétrique suivante pour la
probabilité de choisir l’alternative i parmi B
P (i|zB, β) =
eβT zi
j∈B eβT zj
où zB = (z1, . . . , zm) correspond au vecteur d’attributs observés pour les alternatives dans B
et β un vecteur de paramètres. Cette forme paramétrique présuppose l’indépendance des alternatives
non pertinentes, c’est à dire, pour tout i ∈ A ⊂ B, P (i|zB, β) = P (i|zA, β)P (A|zB, β).
Très souvent, une catégorie i0 de référence est considérée pour laquelle zi0 = 0 entrainant l’apparition
de 1 dans la fraction ci-dessus. Le modèle logistique est un cas particulier de ce modèle
avec deux alternatives.
∗. Daniel L. McFadden a reçu le prix Nobel d’économie pour ces travaux sur les choix discrets le 10 décembre
2000.
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