On the Derived Length of Lie Solvable Group Algebras

ÖSSZEGZÉS 89
Bizonyítottuk még a következő tételeket, melyek bizonyos esetben
hasznosak lehetnek a Lie-feloldható hossz meghatározására.
Tétel. Ha G-nek van olyan H kettő indexű részcsoportja, melynek
kommutátor-részcsoportja véges 2-csoport, valamint az F test karakterisztikája
kettő, akkor
dlL(F G) ≤ ⌈log 2 t(H ′ )⌉ + 3.
Tétel. Legyen a G olyan csoport, melynek kommutátor-részcsoportja
2n rendű ciklikus csoport, Gβ = {g ∈ G | xg = x5i valamely i ∈ Z-re}
és legyen az F egy kettő karakterisztikájú test. Ekkor Gβ legfeljebb
kettő indexű részcsoportja G-nek és ha a G ′ β rendje 2r , akkor
r + 1 ≤ dlL(F G) ≤ r + 3.
A fejezet eredményeinek alkalmazásával végül meghatározzuk a
2 m rendű 2 m−2 exponensű csoportok kettő karaktrisztikájú test feletti
csoportalgebráinak Lie-feloldható hosszát. A szóban forgó csoportok
leírása megtalálható a [20] dolgozatban, csoportalgebráikat már több
szerző is vizsgálta, pl. V. Bódi [9]. A [20] jelölését használva ered-
ményünk a következő:
⎧
⎪⎨ 2, ha i ∈ {2, 3} és m = 4, vagy i ∈ {1, 4, 5, 9, 10};
dlL(F Gi) = 4,
⎪⎩
3,
ha i ∈ {15, 16, 18, 20, 24, 25}
egyébként.
és m > 5;
A csoportalgebra Lie-nilpotencia indexe
A hatodik fejezetben egy másik Lie-tulajdonság vizsgálatára térünk
át. Legyen (F G) [1] = F G, és ha n > 1, akkor (F G) [n] az F G n-ed
rendű Lie-kommutátorai által generált ideál, melyet a csoportalgebra
n-edik alsó Lie-hatványának nevezzük. Az F G n-edik felső Lie-hatványát
indukcióval definiáljuk: legyen (F G) (1) = F G és F G (n) az [x, y]
Lie-kommutátorokkal generált ideál, ahol x ∈ (F G) (n−1) és y ∈ F G.
Azt mondjuk, hogy F G (alsó) Lie-nilpotens, ha van olyan n természetes
szám, melyre (F G) [n] = 0. A legkisebb ilyen számot F G