On the Derived Length of Lie Solvable Group Algebras

Recommendations

Info

84 szorzás helyett az [x, y] műveletet tekintjük, akkor F G Lie-algebra az F test felett, melyet az F G asszociált Lie-algebrájának mondunk. Ha X, Y ⊆ F G, akkor [X, Y ] az [x, y] Lie-kommutátorok által generált additív részcsoportot jelenti, ahol x ∈ X és y ∈ Y . Az F G tetszőleges (xi) sorozatára indukció segítségével értelmezzük az n-ed rendű Liekommutátorokat, úgymint [x1, x2, . . . , xn] = [x1, x2, . . . , xn−1], xn . A csoportalgebra Lie-feloldható hossza Legyen δ [0] (F G) = δ (0) (F G) = F G és ha n ≥ 0, akkor legyen δ [n+1] (F G) = δ [n] (F G), δ [n] (F G) , δ (n+1) (F G) = δ (n) (F G), δ (n) (F G) F G. A δ [n] (F G) sorozatot az F G Lie-derivált sorozatának, míg a δ (n) (F G) sorozatot F G erős Lie-derivált sorozatának nevezzük. Azt mondjuk, hogy F G Lie-feloldható, ha létezik olyan m természetes szám, hogy δ [m] (F G) = 0, és ekkor a dlL(F G) = min{m ∈ N : δ [m] (F G) = 0} számot az F G Lie-feloldható hosszának nevezzük. Hasonlóan, ha δ (m) (F G) = 0 de δ (m−1) (F G) = 0, akkor F G erősen Lie-feloldható, melynek erős Lie-feloldható hossza dl L (F G) = m. Világos, hogy δ [n] (F G) ⊆ δ (n) (F G) bármely n esetén, ezért minden erősen Lie-feloldható csoportlagebra Lie-feloldható is és dlL(F G) ≤ dl L (F G). A kérdés, hogy mikor teljesül az egyenlőség néhány speciális esettől eltekintve nyitott. M. Sahai [24] megmutatta, hogy minden pozitív n-re (∗) I(G ′ ) 2n −1 ⊆ δ (n) (F G) ⊆ I(G ′ ) 2 n−1 teljesül. Ebből következik, hogy az F G csoportalgebra akkor és csak akkor erősen Lie-feloldható, ha vagy G Abel-csoport vagy I(G ′ ) nilpotens ideál, azaz G ′ véges p-csoport és char(F ) = p. A Lie-feloldható
ÖSSZEGZÉS 85 csoportalgebrák leírása I.B.S. Passi, D.S. Passman és S.K. Sehgal [22] nevéhez fűződik: F G pontosan akkor Lie-feloldható, ha a következő állítások egyike teljesül: (i) G Abel-csoport; (ii) G ′ véges p-csoport és char(F ) = p; (iii) G-nek van olyan kettő indexű részcsoportja, melynek kommutátor-részcsoportja véges 2-csoport és char(F ) = 2. Általában nagyon kevés eredmény ismert a csoportalgebrák Liefeloldható hosszáról. A bevezető eredmények A. Shalev [27] és [29] dolgozataiban találhatók. Legyen a továbbiakban F G erősen Lie-feloldható csoportalgebra. A (∗) tartalmazás következménye, hogy és így ⌈log 2(tN(G ′ ) + 1)⌉ ≤ dl L (F G) ≤ ⌈log 2(2tN(G ′ ))⌉ dlL(F G) ≤ ⌈log 2(2tN(G ′ ))⌉. A. Shalev [27] dolgozatában szereplő 2.2. lemma bizonyításának módszerét követve kapjuk, hogy ha G nilpotens másodosztályú csoport, akkor dlL(F G) ≤ dl L (F G) = ⌈log 2(tN(G ′ ) + 1)⌉. Sőt, ha p páratlan prím és a G olyan p-csoport, amely egy Abel-csoport ciklikus csoporttal való bővítése, akkor dlL(F G) = ⌈log 2(tN(G ′ ) + 1)⌉. A második fejezetben megmutatjuk, hogy a fenti állítások a csoportalgebrák egy bővebb osztályára is érvényesek: G nilpotencia osztálya nem kell, hogy szügségképpen kettő legyen, elég ha a γ3(G) ⊆ (G ′ ) p tartalmazás teljesül. Eredményünk a következő: Tétel. Legyen G nilpotens csoport, melynek kommutátor-részcsoportja véges p-csoport, és legyen F egy p karakterisztikájú test. Tegyük fel, hogy γ3(G) ⊆ (G ′ ) p . Ekkor dlL(F G) ≤ dl L (F G) = ⌈log 2(tN(G ′ ) + 1)⌉, és speciálisan, ha p páratlan prím és a G olyan p-csoport, amely egy Abel-csoport ciklikus csoporttal való bővítése, akkor dlL(F G) = dl L (F G) = ⌈log 2 tN(G ′ ) + 1⌉.
Page 1:
On the Derived Length of Lie Solvab
Page 5:
Acknowledgements I would like to ex
Page 8 and 9:
VIII CONTENTS 6 Lie nilpotency indi
Page 10 and 11:
2 CHAPTER 1 of simple groups, as sp
Page 12 and 13:
4 CHAPTER 1 is the so-called augmen
Page 14 and 15:
6 CHAPTER 1 and for units a, b that
Page 16 and 17:
8 CHAPTER 1 1.2.2 Lie derived lengt
Page 18 and 19:
10 CHAPTER 1 1.2.3 Lie nilpotency i
Page 20 and 21:
12 CHAPTER 2 (ii) p = 2 and G ′ i
Page 22 and 23:
14 CHAPTER 2 Theorem 2.2.2. Let G b
Page 24 and 25:
16 CHAPTER 2 According to Lemma 2.2
Page 26 and 27:
18 CHAPTER 2
Page 28 and 29:
20 CHAPTER 3 this bound is always a
Page 30 and 31:
22 CHAPTER 3 and if k is even then
Page 32 and 33:
24 CHAPTER 3 since γ3(G) ⊆ (G
Page 34 and 35:
26 CHAPTER 3 Proof. Evidently, x =
Page 36 and 37:
28 CHAPTER 3 and s > 0 the set gω
Page 38 and 39:
30 CHAPTER 3 apply Lemma 3.2.4 to c
Page 40 and 41:
32 CHAPTER 3 hypothesis and (3.11),
Page 42 and 43: 34 CHAPTER 3 and wl+1 ≡ t (l) w t
Page 44 and 45: 36 CHAPTER 3 3.2.3. Finally, let m
Page 46 and 47: 38 CHAPTER 3 and char(F ) = 19. Sin
Page 48 and 49: 40 CHAPTER 4 for suitable odd l. Th
Page 50 and 51: 42 CHAPTER 4 Lemma 4.1.4. Let G be
Page 52 and 53: 44 CHAPTER 4 Similarly, we can obta
Page 54 and 55: 46 CHAPTER 4 The following question
Page 56 and 57: 48 CHAPTER 4
Page 58 and 59: 50 CHAPTER 5 2-group, then dlL(F G)
Page 60 and 61: 52 CHAPTER 5 Lemma 5.1.4. Let G be
Page 62 and 63: 54 CHAPTER 5 Case 2: G/C = 〈dC〉
Page 64 and 65: 56 CHAPTER 5 • m ≥ 5 G6 = 〈a,
Page 68 and 69: 60 CHAPTER 6 (see Theorem 2.8 of [2
Page 70 and 71: 62 CHAPTER 6 Proposition 6.1.5 (A.A
Page 72 and 73: 64 CHAPTER 6 d(q+1) = 0, then q ≤
Page 74 and 75: 66 CHAPTER 6 Next we consider separ
Page 76 and 77: 68 CHAPTER 6 which is not possible
Page 80 and 81: 72 Basic facts and notations Let G
Page 82 and 83: 74 significant results on this topi
Page 84 and 85: 76 As a consequence, we get a neces
Page 86 and 87: 78 Lie nilpotency indices of group
Page 89 and 90: Összegzés Bevezetés A múlt szá
Page 91: ÖSSZEGZÉS 83 Alapfogalmak és jel
Page 95 and 96: ÖSSZEGZÉS 87 A negyedik fejezetbe
Page 97 and 98: ÖSSZEGZÉS 89 Bizonyítottuk még
Page 99 and 100: Bibliography [1] Bagiński, C. A no
Page 101 and 102: BIBLIOGRAPHY 93 [21] Passi, I. B. S
Page 103 and 104: APPENDIX 95 List of papers of the a
Page 105: On the Derived Length of Lie Solvab
show all

On the Derived Length of Lie Solvable Group Algebras

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?