On the Derived Length of Lie Solvable Group Algebras

84
szorzás helyett az [x, y] műveletet tekintjük, akkor F G Lie-algebra az
F test felett, melyet az F G asszociált Lie-algebrájának mondunk. Ha
X, Y ⊆ F G, akkor [X, Y ] az [x, y] Lie-kommutátorok által generált
additív részcsoportot jelenti, ahol x ∈ X és y ∈ Y . Az F G tetszőleges
(xi) sorozatára indukció segítségével értelmezzük az n-ed rendű Liekommutátorokat,
úgymint
[x1, x2, . . . , xn] =
[x1, x2, . . . , xn−1], xn .
A csoportalgebra Lie-feloldható hossza
Legyen δ [0] (F G) = δ (0) (F G) = F G és ha n ≥ 0, akkor legyen
δ [n+1] (F G) = δ [n] (F G), δ [n] (F G) ,
δ (n+1) (F G) = δ (n) (F G), δ (n) (F G) F G.
A δ [n] (F G) sorozatot az F G Lie-derivált sorozatának, míg a δ (n) (F G)
sorozatot F G erős Lie-derivált sorozatának nevezzük. Azt mondjuk,
hogy F G Lie-feloldható, ha létezik olyan m természetes szám, hogy
δ [m] (F G) = 0, és ekkor a
dlL(F G) = min{m ∈ N : δ [m] (F G) = 0}
számot az F G Lie-feloldható hosszának nevezzük. Hasonlóan, ha
δ (m) (F G) = 0 de δ (m−1) (F G) = 0, akkor F G erősen Lie-feloldható,
melynek erős Lie-feloldható hossza dl L (F G) = m.
Világos, hogy δ [n] (F G) ⊆ δ (n) (F G) bármely n esetén, ezért minden
erősen Lie-feloldható csoportlagebra Lie-feloldható is és dlL(F G) ≤
dl L (F G). A kérdés, hogy mikor teljesül az egyenlőség néhány speciális
esettől eltekintve nyitott.
M. Sahai [24] megmutatta, hogy minden pozitív n-re
(∗) I(G ′ ) 2n −1 ⊆ δ (n) (F G) ⊆ I(G ′ ) 2 n−1
teljesül. Ebből következik, hogy az F G csoportalgebra akkor és csak
akkor erősen Lie-feloldható, ha vagy G Abel-csoport vagy I(G ′ ) nilpotens
ideál, azaz G ′ véges p-csoport és char(F ) = p. A Lie-feloldható