On the Derived Length of Lie Solvable Group Algebras

ÖSSZEGZÉS 83
Alapfogalmak és jelölések
Legyen G egy csoport és F egy test. Jelölje F G az összes
g∈G αgg
alakú formális összegek halmazát, ahol csak véges sok αg ∈ F együttható
nem nulla. A formális összegek skalárszorosát, összegét és szorza-
tát a következő képletek adják meg:
• β · g∈G αgg
= g∈G αgg
•
g∈G αgg +
g∈G βgg =
g∈G (αg + βg)g;
•
g∈G αgg
·
g∈G βgg
· β =
g∈G (βαg)g ahol β ∈ F ;
=
g∈G h∈G αhβ
h−1g g.
Ezekkel a műveletekkel F G algebra az F test felett, melyet a G csoport
F test feletti csoportalgebrájának nevezünk. Abban az esetben, ha az
F test karakterisztikája char(F ) = p és G tartalmaz p-rendű elemet,
moduláris csoportalgebráról beszélünk.
Jelölje ω(F G) mindazon elemeit F G-nek, melyek
g∈G αgg alakú
felírásában az αg együtthatók összege nulla. Világos, hogy ω(F G)
ideálja F G-nek, melyet a csoportalgebra fundamentális ideáljának nevezünk.
Mint az jól ismert, ω(F G) pontosan akkor nilpotens, ha G
véges p-csoport és az F test karakterisztikája p; ekkor a nilpotencia
indexét tN(G)-vel fogjuk jelölni. Például, ha G = 〈a1〉 × · · · × 〈an〉 és
ai rendje pmi , akkor tN(G) = 1 + n i=1 (pmi − 1).
Legyen H normális részcsoportja a G-nek. Ekkor a
{(h − 1)x | h ∈ H, x ∈ F G}
halmaz ideálja F G-nek, melyet I(H)-val fogunk jelölni. Világos, hogy
I(H) = ω(F H)F G.
A következő csoportelméleti jelöléseket használjuk: γn(G) a G alsó
centrálláncának n-edik tagja; G ′ = γ2(G) a kommutátor-részcsoportja;
CG(H) pedig a G csoport H részhalmazának centralizátora G-ben; Cn
az n-ed rendű ciklikus csoport. Jelölje továbbá ⌈r⌉ az r valós szám
felső egészrészét.
Az [x, y] = xy − yx elemet, ahol x, y ∈ F G, az x és y Liekommutátorának
nevezzük. Könnyen belátható, hogy ha F G-ben a