⼀一⽅方, 関⼿手 F,F’:C→D <strong>と</strong> G,G’:D→E があ<strong>る</strong><strong>と</strong>き, ⾃自然変換α:F→F’<strong>と</strong>β:G →G’<strong>に</strong>ついて, その2つの水平合成 (horizontal composite)
コラム <strong>圏</strong><strong>論</strong>の歴史 <strong>圏</strong><strong>論</strong>が歴史的<strong>に</strong>どの<strong>よ</strong>うな発展を遂げてきたか<strong>に</strong>ついて少し話し たい<strong>と</strong>思います. <strong>圏</strong><strong>論</strong>が数学<strong>に</strong>初めて導⼊入されたのは 1940 年代のこ<strong>と</strong>で, サミュエ ル・アイレンベルグ (Samuel Eilenberg, 1913-1998) <strong>と</strong>ソーンダー ス・マックレーン (Saunders Mac Lane, 1909-2005) <strong>に</strong><strong>よ</strong>って, 代数 的位相幾何学<strong>と</strong>いう分野での研究の⼀一部<strong>と</strong>して始まりました. その後, ホモロジー代数<strong>と</strong>いう分野<strong>に</strong>も役⽴立つこ<strong>と</strong>が知られ<strong>る</strong><strong>よ</strong>う <strong>に</strong>なりました. この分野<strong>に</strong>はアーベル<strong>圏</strong>や導来<strong>圏</strong>などの話題が出てき ます. また, 代数的幾何学<strong>と</strong>いう分野<strong>に</strong>も有⽤用であ<strong>る</strong>こ<strong>と</strong>がわかりま した. さら<strong>に</strong>は普遍代数の拡張<strong>に</strong>もつながり, ⾼高階<strong>論</strong><strong>理</strong>の表現など<strong>に</strong> 役⽴立っています. 数学だけでなく, 数学の外の科学の分野でも<strong>圏</strong><strong>論</strong>は使われていま す. た<strong>と</strong>えば物<strong>理</strong>学<strong>に</strong>おいて, 数<strong>理</strong>物<strong>理</strong>学者のジョン・バエズ (John C. Baez, 1961-) が素粒⼦子のふ<strong>る</strong>まいを記述す<strong>る</strong>図であ<strong>る</strong>ファインマ ン・ダイアグラム<strong>と</strong>モノイダル閉<strong>圏</strong>の関係を⽰示しました. また, ブレ イドつきモノイダル<strong>圏</strong>も場の量⼦子<strong>論</strong>やひも<strong>理</strong><strong>論</strong>で応⽤用されています. 計算機科学<strong>に</strong>おいても, 単純型付きラムダ計算<strong>と</strong>いう計算体系がデ カルト閉<strong>圏</strong><strong>と</strong>いう<strong>圏</strong><strong>に</strong><strong>よ</strong>って説明でき<strong>る</strong>こ<strong>と</strong>などがわかっており, 計 算をモデル化す<strong>る</strong>の<strong>に</strong><strong>圏</strong><strong>論</strong>が⼤大い<strong>に</strong>役⽴立っています. クライスリ<strong>圏</strong>, いわゆ<strong>る</strong>モナドがプログラムの形式化<strong>に</strong>役だってい<strong>る</strong>, ……<strong>と</strong>いう話 は, まさしくこの記事の主題です. また, <strong>圏</strong><strong>論</strong><strong>に</strong>おいてはモノイダル<strong>圏</strong>や三⾓角<strong>圏</strong>や⾼高次の<strong>圏</strong>などのバリ エーションも⽣生まれています. ⾼高次の<strong>圏</strong>は, 対象が 0 次元, 射が 1 次 元<strong>と</strong>いえ<strong>る</strong>の<strong>に</strong>対し, <strong>よ</strong>り⾼高次元なものを扱うための道具です. 実<strong>に</strong><strong>圏</strong><strong>論</strong>は, さまざまな応⽤用, 拡張がなされてきた分野なのです. 214
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mapL :: (a -> b) -> List a -> List
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conatToInt はアナモーフィズ
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添え字は適宜省略します.
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para-FUSION:
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join f g (Left x) = f x join f g (R
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なっているものとします.
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・副作⽤用のある計算(≒S
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るはずです:
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・ ⊨
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論理式
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(CE)
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⼀一般的に, 論理式
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ベルト流証明論と⾃自然
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での論理においては次の
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ものでもなく, それだけで
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ろ, 命題や論理式と型の (p
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Γ ⊢
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文献紹介 ここでは, 記事
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第 7 章 [18] Eugenio Moggi『An A
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第2章 ラムダ計算 Γ, … コ
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第2章 ラムダ計算 Γ, … コ
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