Optimal Control of Partial Differential Equations

Contents
1 Examples of control problems 7
1.1 What is a control problem ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Control of elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Optimal control of current in a cathodic protection system . . . . . . . 7
1.2.2 Optimal control problem in radiation and scattering . . . . . . . . . . . 8
1.3 Control of parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Identification of a source of pollution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Cooling process in metallurgy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Control of hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Objectives of these lectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Control of elliptic equations 13
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Neumann boundary control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Computation of optimal controls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Dirichlet boundary control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Problems with control constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Other functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.1 Observation in H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.2 Pointwise observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Control of semilinear elliptic equations 27
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Linear elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Semilinear elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Control problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.2 Optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Pointwise observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Evolution equations 41
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Weak solutions in L p (0, T ; Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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