Lectures on Representations of Quivers by William Crawley-Boevey ...

DEFINITION. The Auslander-Reiten translate of a left A-module X is
1 - 1 1
X = DExt (X,A). We also define X = Ext (DX,A) Ext (DA,X).
If 0 ¡ L ¡ M ¡ N ¡ 0 is an exact sequence then since A is hereditary there
are long exact sequences
0 ¡ L ¡ M ¡ N ¡ L ¡ M ¡ N ¡ 0
- - - - - -
0 ¡ L ¡ M ¡ N ¡ L ¡ M ¡ N ¡ 0.
LEMMA 1. Hom(Y,
1
X) DExt (X,Y) Hom(
-
Y,X).
(Thus
-
is left adjoint to )
PROOF. Let 0 ¡ P ¡ Q ¡ X ¡ 0 be a projective resolution. The sequence
Q ¡ X ¡ P ¡ Q
is exact, and Q=0, so we have a commutative diagram with exact rows
0 ¡ Hom(Y, X) ¡ Hom(Y, P) ¡ Hom(Y, Q)
1
0 ¡ DExt (X,Y) ¡ DHom(P,Y) ¡ DHom(Q,Y)
¥ ¥
1
and hence Hom(Y, X) DExt (X,Y). The other isomorphism is dual.
LEMMA 2. Let X be indecomposable.
(1) If X is non-projective then Hom(X,P)=0 for P projective, and
-
X X.
(2) If X is non-injective then Hom(I,X)=0 for I injective, and
-
X X.
PROOF OF (1). If ¤ :X ¡ P is non-zero, then Im(¤ ) is projective since A is
hereditary. Now X ¢ Im(¤ ) is epi, so Im(¤ ) is summand of X. But X is
indecomposable so X Im(¤ ), a contradiction.
Let 0 ¡ P ¡ Q ¡ X ¡ 0 be a projective resolution. Now
0 ¡ X ¡ P ¡ Q ¡ X
is exact, and X=0 since Hom(X,A)=0. Thus we have a commutative diagram
- - - -
P ¡ Q ¡ X ¡
¥ ¥
P ¡ Q ¡ X ¡ 0
with exact rows. Since P is injective,
P
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- -
P=0, and hence X X.