Formelsammlung Kolbenmaschinen I (KMA I) - Fachhochschule ...

Formelsammlung KMA I Seite 1/27
Formelsammlung
Kolbenmaschinen I (KMA I)
Stand 20.01.2007
V 1.7
Prof. Dr. Andreas Huster
Fachhochschule Koblenz
FB IW/Maschinenbau
Die vorliegende Formelsammlung beinhaltet die wesentlichen Themengebiete der Vorlesung
Kolbenmaschinen I, die für alle Studierende der Fachrichtung Maschinenbau an der FH Koblenz
angeboten wird. Sie ist als Unterstützung der Vorlesung für den internen Gebrauch gedacht.

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Inhaltsverzeichnis
0 Symbole und Indizes ....................................................................................................................3
1 Einteilung Verdrängermaschinen..................................................................................................5
2 Allgemeine Gleichungen...............................................................................................................6
3 Geometrie der Hubkolbenmaschinen............................................................................................6
4 Kreisprozesse des Verbrennungsmotors ......................................................................................7
4.1. Otto-Motor .............................................................................................................................7
4.2. Diesel Vergleichsprozesse...................................................................................................10
4.2.1. Güldner ........................................................................................................................10
4.2.2. Seiliger .........................................................................................................................11
4.3. 2-Takt-Motor........................................................................................................................12
5 Kinematik und Kräfte des Kurbeltriebs........................................................................................13
6 Verdrängerpumpen.....................................................................................................................15
7 Verdichter/Kompressoren ...........................................................................................................19
7.1. Mehrstufigkeit ......................................................................................................................21
7.2. Rotationsverdränger ............................................................................................................21
7.3. Reale Verdichtung ...............................................................................................................23
8 Verbrennungsmotoren................................................................................................................24
8.1. Heizwert Hu..........................................................................................................................25
8.2. Luftverhältnis λ ....................................................................................................................25
8.3. Spezifischer Kraftstoffverbrauch be......................................................................................26
8.4. Mitteldrücke.........................................................................................................................26
8.5. Fahrzeugleistung.................................................................................................................27

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0 Symbole und Indizes
Zeichen Bezeichnung SI-Einheit übliche Einheit
.
m Massenstrom kg/s kg/min; t/h
.
V , Q Volumenstrom m 3 /s l/min; m 3 /h
A Fläche m 2
mm 2
b Breite m mm
be spez. Kraftstoffverbrauch kg/J g/kWh
c Geschwindigkeit m/s km/h
cp spez. isobare Wärmekapazität J/kgK
cv spez. isochore Wärmekapazität J/kgK
D Durchmesser m mm
E Energie J
e spez. Energie J/kg m 2 /s 2
e r Einheitsvektor 1 1
F Kraft N
h spezifische Enthalpie m 2 /s 2 ; J/kg kJ/kg
Hu Heizwert J/kg MJ/kg
k Rohrrauhigkeit m mm
m Masse kg
M Moment Nm
n Drehzahl Hz=1/s 1/min
n Polytropenexponent - -
na Arbeitsspieldrehzahl Hz=1/s 1/min
p Druck Pa bar
Q Wärmeenergie J
q spez. Wärmeenergie J/kg m 2 /s 2
r Radius m mm
R spezielle Gaskonstante J/kgK
Re Reynoldszahl - -
s Kolbenweg m mm
s spezifische Entropie J/kg K -
T Temperatur K °C
U innere Energie J
U Umfang m mm
u spezifische innere Energie m 2 /s 2 ; J/kg kJ/kg
v spezifisches Volumen m 3 /kg
Vc Kompressionsvolumen m 3 mm 3 ; l
Vg Zylindervolumen m 3 mm 3 ; l
Vh Hubvolumen m 3 mm 3 ; l
VH gesamtes Hubvolumen m 3 mm 3 ; l
vi inneres Volumenverhältnis - -
Vs Schadraumvolumen m 3 mm 3 ; l
W Arbeit J
w spezifische Arbeit m 2 /s 2 ; J/kg kJ/kg
zK Zylinderanzahl - -
ϑ Temperatur K °C
Π Druckverhältnis - -
α,β Winkel - °
κ Isentropenexponent - -
ν kinematische Viskosität m 2 /s mm 2 /s
η dynamische Viskosität Pa s
λ Rohrreibungszahl - -

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λ Luftzahl - -
λA Aufheizgrad - %
λF Füllungsgrad - %
λL Liefergrad - %
λp Druckverlustgrad - %
λST Schubstangenverhältnis - -
ρ Dichte kg/m 3
kg/l
ω Winkelgeschwindigkeit Hz=1/s
ζ Verlust-/Dissipationsfaktor 1 1
Zeichen Bezeichnung
OT oberer Totpunkt
UT unterer Totpunkt
ND Niederdruck
HD Hochdruck
Indizes Bezeichnung
0 Ausgangszustand
A Austritt
E Eintritt
e effektiv
f gefördert
i innen
K Kolben
K Kraftstoff
m mittel
n normal
s isentrop
ST Pleuel- /Schubstange
u Umgebung, ggf. Ansaugzustand

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1 Einteilung Verdrängermaschinen

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2 Allgemeine Gleichungen
Dichte
spezifisches Volumen
thermische Zustandsgleichung
idealer Gase
m
ρ =
V
v =
V
m
p
p ⋅ v = R ⋅ T ⇔ = R ⋅ T
ρ
p ⋅ V = m ⋅R
⋅ T
1. Hauptsatz pot kin E E U E + + =
2. Hauptsatz T ⋅ ds = du + p ⋅ dv = dh − v ⋅ dp = c p ⋅ dT − v ⋅ dp
Zustandsänderung idealer Gase p ⋅ V = const
Zustandsänderung realer Gase p ⋅ V const
kinematische Viskosität
κ
n =
η
ν =
ρ
3 Geometrie der Hubkolbenmaschinen
Kolbenfläche
A k = ⋅D
4
π
Kolbenhub sk = 2 ⋅rk
Hubvolumen Vh = A k ⋅ sk
Gesamtes Hubvolumen VH = Vh
⋅ zk
Schadraumvolumen V3=Vs (Verdichter u. Pumpen)
2
k

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Kompressionsvolumen V2=Vc (Motoren)
Zylindervolumen V g = Vh
+ Vs
= Vh
+ Vc
Arbeitsspiele
Arbeitsspieldrehzahl na =
⋅n
Umdrehung
Theoretischer Volumenstrom V th = VH
⋅n
a
Theoretischer Massenstrom mth = ρ0VH
⋅n
a
Realer Massenstrom mf = ⋅ ρ ⋅ V ⋅n
= λ ⋅m
th
.
.
.
λL 0
f
Liefergrad λ L = = λ
. F ⋅ λD
⋅ λ A ⋅ λp
mittl. Kolbengeschwindigkeit = 2 ⋅ s ⋅n
.
m
m
th
cK k
Volumenänderungsarbeit ∫ − = W pdV
2
1
H
Reynoldszahl ;
L c ⋅
Re = Außenströmung: L: charakteristische Länge
ν
hydraulischer Durchmesser
a
L
.
c ⋅ d c ⋅ d ⋅ ρ
Re = = Innenströmung: hydr. Rohrdurchm.=charak. Länge
ν η
d h
⋅ A
=
U
4
4 Kreisprozesse des Verbrennungsmotors
4.1. Otto-Motor
Idealer Kreisprozess des Otto-Motors im p-V- und T-s Diagramm

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Arbeitsspiele von Verbrennungsmotoren:
(4-Takt; 1 Arbeitsspiel / 2 Umdrehungen)
1. Ansaugen 0 →180°KW
2. Kompression 180° →360°KW
3. Arbeitshub 360° →540°KW
4. Ausschieben 540° →720°KW
Im Zylinder verbleibt ebenfalls eine
Restmasse.
Zum Ladungswechsel sind
zwangsgesteuerte Ventile erforderlich
Arbeitstakte und realer Druckverlauf eines 4-Takt Otto-Motors
Arbeitstakte des idealen Vergleichsprozesses:
Prämissen:
• Vernachlässigung des Ladungswechsels
• konstante Stoffgrößen
• ideal dichte Maschine
Verdichtungsverhältnis
1⇒2: isentrope Verdichtung
ε
p
T
c
2
2
V 1 Vh
+ V
= =
V V
= p
2⇒3: isochore Wärmezufuhr (Verbrennung)
2
1
= T ⋅ ε
1
⋅ ε
W
p
κ
c
κ−1
c
⇒ q
⇒ T
= p
c
+ Q
( real : Q
c
(q1,2=0)
∆V
= 0 ⇒ W = 0
3
2,
3
2,
3
3
= c
= T
2
T
⋅
T
2
2,
3
2
, 3
v
= m
⋅(
T
q
+
c
3
2
= m
3
2,
3
v
k
L
⋅ c
− T
⋅H
u
v
2
)
⋅(
T
)
3
− T
2
)

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3⇒4:isentrope Expansion (Arbeitsleistung)
4⇒1: isochore Wärmeabfuhr
⇒ q
p
T
4
4
= c
= p
3
= T
∆V
= 0 ⇒ W = 0
4 , 1
v
3
1
⋅
ε
κ
c
1
⋅
ε
κ−1
c
⋅(
T − T ) < 0!
! ! ! ! ! ! ! !
Kreisprozeß ⇒ Endpunkt=Anfangspunkt ⇒ΣQ+ΣW=∆U=0 ⇒w=-qE,A
Thermischer Wirkungsgrad
th,
Otto
Q
=
2,
3
Q
1
+ Q
Theoretisch nur 2 Einflußgrößen: Geometrie εc und Stoffgröße κ
therm. Wirkungsgrad
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
η
2,
3
4
4,
1
Qzzu
+ Q
=
Q
zu
ab
1
= 1−
ε
0 5 10 15 20 25 30 35
Verdichtungsverhältnis ε
Thermischer Wirkungsgrad in Abhängigkeit des Verdichtungsverhältnisses
c
κ−1

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4.2. Diesel Vergleichsprozesse
4.2.1. Güldner
Einspritzverhältnis
Druck [bar]
T
Thermischer Wirkungsgrad
70
60
50
40
30
20
10
0
V
ρ =
V
η
3
2
Q2,3
2
1
th,
Güldner
Q
=
2,
3
Q
+ Q
2,
3
Volumen
q 2,3
4,
1
Q
=
zu
Q
q 4,13
+ Q
zu
ab
Q4,1
3
4
1
= 1−
κ
ε
−1
c
s
κ
ρ −1
⋅
κ ⋅(
ρ −1)

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4.2.2. Seiliger
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Volumen
Druck [bar]
Q3,4
Q4,1
Q2,3
T
s
1
2
3
4
5
q 5,13
q 2,3
q 3,4
Einspritzverhältnis
3
4
V
V
=
ρ
Druckverhältnis
2
3
p
p
=
ψ
Thermischer Wirkungsgrad
)
1
(
1
1
1
1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
1
c
zu
ab
zu
4
,
3
3
,
2
1
,
5
4
,
3
3
,
2
Seiliger
,
th
−
ρ
⋅
ψ
⋅
κ
+
+
ψ
−
ψρ
⋅
ε
−
=
+
=
+
+
+
=
η
κ
−
κ

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4.3. 2-Takt-Motor
Arbeitsspiele von Verbrennungsmotoren:
(2-Takt; 1 Arbeitsspiel / Umdrehung)
1. 0 →180°KW
Bis AÖ: Ladungswechsel; Restgase
werden von Frischmasse verdrängt.
Kompression und Zündung (kurz vor
OT)
2. 180° →360°KW
Expansionsarbeit, bis AÖ
Verbrennungsgase entweichen
zur Atmosphäre
ab LÖ: Beginn Ladungswechsel
Eine „Spülpumpe“ muß den
Ladungswechsel unterstützen
Zum Ladungswechsel sind keine Ventile
erforderlich
Arbeitstakte und realer Druckverlauf eines 2-Takt Motors

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5 Kinematik und Kräfte des Kurbeltriebs
x
z
y
β
h
α
r K
L ST
Kolbenkraft FK = f(
p)
Pleuelstangenkraft
Normalkraft
Tangentialkraft
F
F
ST
N
FK
=
cos( β)
FK
=
tan( β)
sin( α + β)
FT = FK
cos( β)
Radialkraft
cos( α + β)
FR = FK
cos( β)
Kräftesumme Kolben
r
FST
r r
= FK
+ FN
Kräftesumme Kurbelwelle
r
FST
r r
= FT
+ FR
Schubstangenverhältnis
λ
ST
r
=
L
K
ST
OT
Drehmoment an der Welle Md( α ) = Md(
t)
= FT
( α)
⋅rK
Drehwinkel α=ω·t
λST
2
Kolbenweg (Näherung) x(
α
) = rK
⋅(
1−
cos( α)
+ sin ( α))
2
F N
β
F K
F T
α
m O
F ST
m ST
F ST
m R
F R

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dx(
α)
⋅
λST
Kolbengeschwindigkeit cK
( α)
= = x = rK
⋅ ω ⋅(sin(
α)
+ sin( 2 ⋅ α))
dt
2
dcK
( α)
⋅⋅
2
Kolbenbeschleunigung aK ( α)
= = x = rK
⋅ ω ⋅(cos(
α)
+ λ ST cos( 2 ⋅ α))
dt
Drehwinkel α=ω·t
mittlere Kolbengeschwindigkeit x 2 s n 4 rK
n ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅
1
Oszillierende Massen m O = ∑ mi
≈ mK
+ mST
, für λST=0,25
3
rotierende Massen
rWange
2
m R = ∑ m,
Ri ≈ mZapfen
+ mWange
+ mST
rK
3
Oszillierende Kräfte
r
FO
r r
= FI
+ FII
2
r
= mO
⋅rK
⋅ ω (cos( α)
+ λST
cos( 2α))
⋅ ex
Oszillierende Kraft
r
2 r
FI
= mO
⋅rK
⋅ ω ⋅ cos( α)
⋅ ex
Oszillierende Kraft
r
FII
2 r
= λST
⋅mO
⋅rK
⋅ ω ⋅ cos( 2α)
⋅ ex
Rotierende Kraft
r
FR
2 r
= mR
⋅rK
⋅ ω ⋅ er
sin( α + β)
cos( β)
sin( α + β)
cos( β)
Moment Md = FT
⋅rK
= FK
⋅ ⋅rK
= ( FS
− FO
) ⋅ ⋅rK
Gesamtkraft FG
= FI
+ FII
+ FR
r
r
r
r
0 1 2 3 4 5 6
FII
F O
FI
Drehwinkel α [-]
Kraftverläufe aus den Massenkräften in Abhängigkeit des Drehwinkels der Kurbelwelle

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Fy
Resultierender Kraftverlauf der Massenkräfte bei einer Einzylinder-Hubkolbenmaschine
6 Verdrängerpumpen
Pumpen unterscheiden sich von Kompressoren oder Verdichtern dadurch, dass nur quasi
inkompressible Fluide, wie z.B. Wasser und Öle, gefördert werden. Hubkolbenpumpen werden
vorzugsweise bei relativ kleinen Volumenströmen, aber hohen Drücken eingesetzt.
Hubkolbenpumpen
Vorteile Nachteile
• selbst ansaugend • pulsierender Volumen-/Massenstrom
•
.
V =Q ≈ const ≠f(pHD) (ideal) • oszillierende Massen
• sehr hohe Drücke • hohes Leistungsgewicht
• leichte Bearbeitung der Dichtflächen • Ventilsteuerung erforderlich
• gute Abdichtungsmöglichkeiten
F x

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Drehkolbenpumpen
Vorteile Nachteile
• selbst ansaugend
•
.
V =Q ≠ const = f(pHD)
• geringe/keine Pulsation • hohe Fertigungsgenauigkeit erforderlich
• keine Ventilsteuerung erforderlich • geringere Maximaldrücke
• keine oszillierende Massen
• geringes Leistungsgewicht
Prinzipieller Aufbau einer Pumpenanlage
spez. Förderarbeit
w
f,
P
p
=
Stationäre Geschwindigkeiten:
2
− p
ρ
1
+
g(
z
2
2
2
c
− z ) +
1
− c
∑ ϕ + − +
A
p A − pE
w f , A = g(
z A zE
) ; cA≈cE≈0 m/s
ρ
zwischen Ansaugung und Windkessel
zwischen Windkessel und „Verbraucher“
E
2
2
1

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mittlere Geschwindigkeit
In den Stutzen ist die Geschwindigkeit instationär.
.
.
V V th
c = = λL
(Saug- und Druckleitung)
A A
i
j
spez. Verluste ϕ = ∑ζ
i ⋅ = ∑ζ j ⋅ + ∑
Colebrook-Diagramm
i
c
c
j k
Kinematische Viskosität von Wasser in Abhängigkeit der Temperatur
2
2
2
2
λ
k
l
d
k
h,
k
2
c k
⋅
2

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Stutzen:
Druckverlust
2
ST
K
2
ST
K
ST
ST
ST
2
ST
,
ST
)
2
sin(
2
)
sin(
r
A
A
2
d
l
)
c
(
2
c
p
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
λ
+
α
ω
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
⋅
⋅
λ
=
⋅
ρ
⋅
ζ
=
∆ ϕ

Formelsammlung KMA I Seite 19/27
Beschleunigungsdruck ( ) ⎟ m ⋅ a
2
⎛ AK
⎞
∆p
= = ρ ⋅ ⋅ ⋅ ω α + λ α ⋅
⎜
ST,
a lST
rK
cos( ) ST cos( 2 )
A ST
⎝ A ST ⎠
max. Druckabsenkung ( ) ⎟ 2 ⎛ A K ⎞
∆p
= ρ ⋅ ⋅ ⋅ ω + λ ⋅
⎜
ST,
a,
max lST
rK
1 ST , für α=0°
⎝ A ST ⎠
Ventilverluste
ϕ
V
1
≈ ζ
2
V
. ⎛ ⎞
⎜ 2 ⋅ V ⎟
⎜
A
⎟
⎜ V ⎟
⎝ ⎠
. ⎛ ⎞
1 ⎜ V(
α)
⎟
ϕV
( α)
= ζ V
2
⎜
A
⎟
⎜ V ⎟
⎝ ⎠
∆ p = ρ ⋅ϕ
Ventildruckverlust V,
ϕ V
2
1
= ζ
2
2
V
. ⎛
⎜ 2 ⋅ λL
⋅ V
⎜
⎜ A V
⎝
th
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(zylinderweise Betrachtung)
Um Kavitation (Hohlraumbildung) in der Flüssigkeit der vermeiden, darf der Dampfdruck (im Arbeitsraum)
nicht unterschritten werden (temperaturabhängig!); daher ist ein Mindestdruck notwendig, der
die Größe des Dampfdrucks aufweist:
Mindestdruck in der Arbeitskammer pK,min= pE-ρ∑ϕE-ρ g ∆zE- ∆pST,ϕ(α)-∆pa(α)-pVE(α) ≥pD(ϑ)
Wirkungsgrade
V V
Volumetrischer Wirkungsgrad η Vol = = = λ
.
L ; ρ=const !!!!!
VH
⋅n
V
a
th
⋅
Hydraulisch-mechanischer Wirkungsgrad
Pth
Vh
⋅ ∆p
⋅n
Vh
⋅ ∆p
⋅n
Vh
⋅ ∆p
ηhm
= = =
=
P M ⋅ω
M ⋅ ⋅π
⋅n
M ⋅ 2 ⋅π
e
⋅
d
d
2 d
f
Vol h
Gesamtwirkungsgrad e
Vol hm
Pe
Md
⋅ω
Md
⋅ 2 ⋅π
⋅n
7 Verdichter/Kompressoren
.
P V⋅
∆p
η ⋅ V ⋅ ∆p
⋅n
η = = =
= η ⋅η
In der Literatur werden beide Begriffe für Maschinen zur Druckerhöhung von Gasen und Dämpfen
verwendet. In älterer Literatur wird z.T. auch noch der Begriff „Pumpe“ für die Förderung
kompressibler Fluide benutzt. Zur besseren Unterscheidung sollte dies jedoch vermieden werden.
Der Innere Druck p2 ist i.d.R. größer als der außen anliegende Anlagendruck pHD, da noch zusätzlich
ein Druckverlust beim Ausschieben über das Auslaßventil entsteht.

Formelsammlung KMA I Seite 20/27
p HD
Druck
p u=p ND
3
∆V Rück=∆V 34
V s
Schadraumverhältnis
2
4 1
Volumen
V h
Ideales p-V-Diagramm eines Verdichters
V
s
ε s = ; Vs≈0,05..0,1 Vh
Vh
Liefergrad λL = = λ . F ⋅ λA
⋅ λp
⋅ λD
Füllungsgrad
Aufheizgrad
Druckverlustgrad
Dichtheitsgrad
Ventildruckverlust
.
m
m
th
1 ⎛ ⎞
⎜⎛
p ⎞ n ⎟
HD
λF = 1−
εs
⋅ ⎜ ⎜
⎟ −1⎟
, wenn isentrop: n=κ
⎜⎝
pND
⎠ ⎟
⎝ ⎠
T1, th TND
λ A = = , λA=f(Π,Medium,...); λA ≈0,5..1
T T
1
p1 p1
λ p = = ; λp

Formelsammlung KMA I Seite 21/27
innere Verdichtungsarbeit
innere Verdichtungsleistung
Sonderfall: n=1
W
i
=
∫
n T
pdV = m ⋅R
⋅
n −1
λ
n
= ⋅ λD
⋅ λp
⋅ λF
⋅p
n −1
P
i
=
dW
dt
n
= ⋅ λD
⋅ λp
⋅ λF
⋅p
n −1
P
i
=
dW
dt
= λ ⋅ λ ⋅ λ ⋅p
D
p
ND
. n T
= m⋅R
⋅
n −1
λ
⋅ V
ND
ND
A
⎛
⎜⎛
p
⎜ ⎜
⎜⎝
p
⎝
2
1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜⎛
p 2 ⎞
⋅ V ⋅ ⎜ ⎜
⎟
1
⎜⎝
p1
⎠
⎝
ND
A
.
⋅ V
⎛ p
⋅ln
⎜
⎝ p
⎛
⎜⎛
p
⎜ ⎜
⎜⎝
p
⎝
th
. Tu
⎛ p 2 ⎞
= m⋅R
⋅ ⋅ln
⎜
⎟
λA
⎝ p1
⎠
κ
Isentrope Verdichtungsarbeit Ws
= −∫
pdV = m
κ −1
Isentr.Verdichtungsleistung
Isotherme Verdichtungsl.
P
s
dW
=
dt
s
dW
=
dt
F
u
.
th
1
κ .
= m⋅
R ⋅ T
κ −1
= m⋅R
⋅ T
effektive Antriebsleistung Pe=Md·ω=Md·2·π·n
P
th
th
.
ND
2
1
2
1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜⎛
p
⋅ ⎜ ⎜
⎜⎝
p
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅R
⋅ T
ND
ND
⎛
⎜⎛
p
⎜ ⎜
⎜⎝
p
⎝
⎛ p
⋅ln
⎜
⎝ p
HD
ND
n−
n
2
1
⎛
⎜⎛
p
⎜ ⎜
⎜⎝
p
⎝
HD
ND
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
n−1
n
n−1
n
⎞
⎟
−1⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
−1⎟
⎟
⎠
1 ⎞
⎟
−1⎟
⎟
⎠
; n>1 !!!!!
n−1
⎞
⎞ n ⎟
⎟ −1⎟
⎠ ⎟
⎠
HD
ND
κ−1
κ
⎞
⎟
⎠
κ−1
κ
⎞
⎟
−1⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
−1⎟
⎟
⎠
; wenn s=const:n=κ
7.1. Mehrstufigkeit
Größere Druckverhältnisse können sinnvoll nur mehrstufig realisiert werden. Dabei sollten etwa
gleiche Stufendruckverhältnisse eingehalten werden. Zwischen den Stufen ist i.d.R. ein Kühler zur
Senkung der Gastemperaturen vorgesehen. Übliche Werte pro Stufe liegen bei 5. Jedoch können je
nach Anwendungsfall auch je Stufe viel höhere Werte (..20) umgesetzt werden.
7.2. Rotationsverdränger
Zu den Rotationsverdrängern gehören u.a.
• Rootsgebläse
• Schraubenverdichter
• Flügelzellenverdichter.
Diese Maschinen zeichnen sich durch geringe/keine auftretenden Massenkräfte aus. Durch die i.d.R.
hohe Förderfrequenz (mehrere Kammern werden je Umdrehung „entleert“) sind die Druckpulsationen

Formelsammlung KMA I Seite 22/27
gegenüber Hubkolbenkompressoren in den Leitungen geringer, jedoch nicht zwangsläufig zu
vernachlässigen. Die Befüllung und Entleerung der einzelnen Arbeitskammern geschieht nicht über
Ventile, sondern über feste Auslassflächen, die von Steuerkanten begrenzt werden. Dies hat Vorteile,
weil weniger (bewegliche) Bauteile zu Einsatz kommen, wenn die Drücke auf der Ansaugseite und
Hochdruckseite an die innere Verdichtung (Volumenverringerung) bis zum geometrisch bedingten
Öffnen zur HD-Seite angepaßt sind. Es entfallen bzw. reduzieren sich zudem die Strömungsverluste,
die sonst an den Ventilen auftreten. Ist dies nicht der Fall, verschlechtert sich der Wirkungsgrad, weil
entweder eine teilweise isochore Verdichtung der inneren isentropen anschließt, oder eine
Überverdichtung mit anschließender Expansion in den HD-Raum erfolgt.
p
p HD,groß
p HD,ideal
p HD,klein
p-V-Diagramm mit Bereichen der Überverdichtung (pHD,klein) und isochorer Mehrverdichtung (pHD,groß)
inneres Verdichtungsverhältnis
Inneres Druckverhältnis
V
1 v i = =
V2
Π
i
V
V
ND
HD
κ p
= v i =
p
.
Volumenstrom V th = VKammer
⋅n
⋅ zKammer
π dKopf
− dFuss
Kammervolumen VKammer
≈ ⋅
⋅L
(Schraubenmaschine; Roots)
4 z
2
1
2
V 2
2
V 1
V

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7.3. Reale Verdichtung
p-V-Diagramm für verschiedene Polytropenexponenten
Temperatur
1. Hauptsatz der Thermodynamik
2 isotherm
(∆q

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spez. Volumenänderungsarbeit
spez. Volumenänderungsarbeit
Wirkungsgrade
n−1
⎛ ⎞
n ⎜⎛
p ⎞ n ⎟
2
w ⋅ ⋅ ⋅⎜
⎜
⎟
i = ∫ vdp = R T1
−1⎟
, für n>1 !!!!!
n −1
⎜⎝
p1
⎠ ⎟
⎝ ⎠
2
w i = ∫ vdp = R ⋅T1
⋅ln
, für n=1 !!!!!
p1
m m
Volumetrischer Wirkungsgrad η Vol = =
= λ
.
L ; ρ≠const !!!!!
ρND
⋅ VH
⋅n
m
a
th
Mechanischer Wirkungsgrad
Isentroper innerer Wirkungsgrad
Isentroper Gesamtwirkungsgrad
8 Verbrennungsmotoren
η
=
P
i
m
Pe
P
η =
s
i
Pi
P
η =
s
e
Pe
⋅
Verbrennungsmotoren wandeln chemisch gebundene Energie in mechanische Wellenarbeit. Zur
Verbrennung werden vorwiegend Kohlen-Wasserstoffverbindungen mit dem in der Umgebungsluft
enthaltenen Oxidator Sauerstoff zur Energiewandlung verwendet. Bei den chemischen, exothermen
Reaktionen wird die freiwerdende Wärme durch die Wandlung in Druckenergie (geschlossener
Arbeitsraum) schließlich in Wellenarbeit nutzbar.
Reaktionsgleichungen:
C + ½ O2 => CO – 110,5 kJ/mol
CO + ½ O2 => CO2 – 283 kJ/mol
C + O2 => CO2 – 393,5 kJ/mol
H2 + ½ O2 => H2O – 241,8 kJ/mol
Die Verbrennung findet entweder im oder außerhalb des Arbeitsraums statt. Man spricht
entsprechend von einer inneren oder äußeren Verbrennung. Bei der inneren Verbrennung sind
Arbeitsmedium und Brenngas identisch, was für quasi alle mobilen Antriebe (PkW, Motorrad, LkW,
etc.) gilt. Weiterhin unterscheidet man die zyklische gegenüber der kontinuierlichen Verbrennung, wie
sie z.B. bei einer Gasturbine vorliegt.
Beim Dieselmotor wird die Verbrennung beim Überschreiten der Zündtemperatur durch eine
Selbstzündung initialisiert. Hingegen ist beim Otto-Motor eine zusätzliche Energiequelle erforderlich,
um die Zündenergie bereitzustellen, die i.d.R. als Funken durch eine Zündkerze erfolgt.
Beim konventionellen Otto-Motor wird ein Luft-Kraftstoff-Gemisch verdichtet. Die Gemischbildung
erfolgt außerhalb des Arbeitsraumes im Ansaugtrakt. Durch spezielle Einspritzdüsen (früher, heute
selten, Vergaser) wird der Kraftstoff zerstäubt und verdampft z.T. bereits auf dem Weg in den
Zylinderraum. Während der Verdichtung steigen Druck und Temperatur, so dass bis zur Zündung
aller Kraftstoff verdampft sein sollte. Nur gasförmiger Kraftstoff kann verbrennen! Weiterhin muss
zusätzlich auch die „richtige“ Menge Sauerstoff, der in der Luft enthalten ist, zur Verbrennung
⋅
p

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bereitstehen, d.h. sowohl bei zu geringem Sauerstoff-Anteil als auch bei einer zu großen Verdünnung
des Kraftstoffs im Sauerstoff ist keine Verbrennung möglich! Daher ist beim konventionellen Otto-
Motor eine relativ konstantes Verhältnis zwischen Luft und Kraftstoff erforderlich. Bei
Lastschwankungen muss das Verhältnis konstant bleiben. Daher bezeichnet man dies auch als
„Qualitätsregelung“; die Qualität des Gemisches bleibt gleich. Das führt dazu, dass im Teillastbetrieb
der Ansaugdruck p1‘ zu Beginn des Verdichtungsvorgangs gedrosselt werden muss.
Druck p
p u
q 2,3
3
2
2'
3'
V 2 =V c
Volumen V
4'
V 1
4
1
1'
q 4,13
Druck p
p u
q 2,3
3
2
2'
3'
q 3,4
V 2=V c
4'
4
Volumen V
p-V-Diagramme des Otto- und Diesel-Vergleichsprozeß im Voll- und Teillastbetrieb (`)
Das Arbeitsverfahren des Diesel-Motors unterscheidet sich hier deutlich. Es wird nur reine Luft
angesaugt und verdichtet. Gegen Ende des Verdichtungsvorgangs wird unter hohem Druck Diesel in
den Arbeitsraum eingespritzt, der aufgrund der geänderten Eigenschaften sehr schnell verdampft und
sich selbst entzündet. Lokal entstehen Bereiche mit den „richtigen“ Luft-Kraftstoff-Verhältnissen für
eine Verbrennung. Die Luftmasse ist unabhängig vom Lastzustand konstant (ohne zusätzliche
Ladeeinrichtung!). Das Verhältnis zwischen Luft- und Kraftstoff ändert sich ständig, so dass man hier
von einer „Quantitätsregelung“ spricht. Eine Ansaugdrosselung ist nicht erforderlich.
8.1. Heizwert Hu
Der Heizwert Hu gibt den Energieinhalt eines Kraftstoffs an. Per Definition liegt Wasser am Austritt in
gasförmiger Phase vor. Die theoretisch umsetzbare Wärmeenergie bzw. Wärmeleistung ist
Q
.
zu
= m
.
k
⋅H
u
,
[ Q
.
zu
] =
J.
[Hu]= MJ/kg
Qzu
= mk
⋅Hu
, [ Qzu
] = J/
s = W
Z.T. wird auch noch der Begriff „unterer Heizwert“ verwendet.
8.2. Luftverhältnis λλλλ
Das Luftverhältnis λ gibt das Verhältnis zwischen vorhandener Luftmasse mL und der stöchiometrisch
notwendigen Luftmasse für eine vollständige Verbrennung an. Für ein kg Kraftstoff werden ca. 14,5
kg Luft (ca. 21% Sauerstoffanteil) benötigt, um den Kraftstoff vollständig zu verbrennen. Dies hängt
von der Zusammensetzung des Kraftstoffs ab.
m
.
m
L
L
λ = = , z.B. λ =
= 1
. mK
⋅L
ST mK
⋅L
ST
−3
kg Luft
1,
379 ⋅10
kg
0,
02kg
Luft
Kraftstoff ⋅14,
5
kg
Kraftstoff
Ist λ kleiner als 1, ist keine vollständige Verbrennung möglich, da nicht für alle C/H-Atome O-Atome
vorhanden sind. Man nennt dies auch ein „fettes“ oder „reiches“ Gemisch.
5
V 1
5'
q 5,1
1=1'

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Ist hingegen λ größer als 1, ist eine vollständige Verbrennung möglich (aber nicht in jedem Fall
sicher!), d.h. nicht alle O-Atome sind an Reaktionen beteiligt. Hierbei handelt es sich um ein
„mageres“ oder „armes“ Gemisch.
Dichte [kg/l] Heizwert Hu [MJ/kg] Luftbedarf LST [kg/kg]
Benzin 0,715..0,765 42,7 14,8
Super 0,73..0,78 43,5 14,7
Diesel 0,815..0,955 42,5 14,5
8.3. Spezifischer Kraftstoffverbrauch be
Der spezifische Kraftstoffverbrauch ist als das Verhältnis zwischen Kraftstoff-Massenstrom und
effektiver Wellenleistung definiert:
.
m
b e =
P
k
e
Kleinere Werte von be bedeuten weniger Kraftstoffmasse für gleiche Leistung, d.h. der Wirkungsgrad
steigt.
Wirkungsgrad
Pe
η =
.
mk
⋅H
u
=
b
e
1
⋅H
be
u
0,8 0,9 1 1,1 1,2
Luftzahl l
Effektive Leistung und spezifischer Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit der Luftzahl λ
8.4. Mitteldrücke
Für praktische Berechnungen ist es i.d.R. sinnvoll,
„Mitteldrücke“ einzuführen. Dies sind integrale
Rechenwerte, die einmal durch Auswertung von real
gemessenen p-V-Diagrammen gewonnen wurden
(Indizierung).
Druck p
p u
Pe
V 2 =V c
-
+
Volumen V
V 1
p i
p e

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W
i
P
P
e
i
P = n
ϕ
=
∫
a
= n
a
i
pdV = V ⋅ p ⇒ p
⋅ p ⋅ V
i
⋅ p
e
= P − P
e
h
⋅ V
h
h
i
m,
i
Wi
= pi
=
V
h
Die Innenleistung Pi bzw. der mittlere Innendruck pm,i stellen dabei Größen dar, die sich aus der
direkten Druckmessung theoretisch an umsetzbarer Energie ergeben würden. Durch die
Reibungsverluste Pϕ, die alle weiteren Verluste berücksichtigt, kann die Wellenleistung Pe schließlich
berechnet werden.
Weitere Beziehungen:
Pe=Md*ω=pm,e*nA*VH
p
p
− 2 ⋅P
e
e = (4-Takt)
n ⋅ Vh
− P
e
e = (2-Takt)
n ⋅ Vh
8.5. Fahrzeugleistung
Fahrleistung eines Straßenfahrzeugs (Index FZ):
Pe= {m·g·(µR·cos(α) +sin(α))+0,5·cw·A·ρ·(c±cFZ) 2 }·cFZ
cFZ= i·ω· RRad = i·ω· DRad/2=i·π·n·DR