Affine Ebene, Kongruenz, Mittelsenkrechtensatz, Höhensatz

Affine Ebene, Kongruenz, Mittelsenkrechtensatz, Höhensatz
Frieder Knüppel
Gegeben sei eine Menge P (Interpretation: Punktmenge) und eine Menge L (Geradenmenge, lines)
und eine Relation I ⊆ P × L (Inzidenz). Statt (a, Γ) ∈ I schreibt man a I Γ.
Übliche Redeweise: a liegt auf Γ für a I Γ.
M ⊆ P heißt kollinear, wenn es eine Gerade Γ mit a I Γ für alle a ∈ M gilt.
1.1 Definition Wir nennen die ’Inzidenzstruktur’ (P, L, I) eine affine Ebene, wenn gilt:
(V) (Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden) Für alle a, b ∈ P mit a �= b existiert
genau ein Γ ∈ L mit a, b I Γ. Bezeichnung: a ∨ b
(P) (euklidisches Parallelenaxiom) Zu a ∈ P und Γ ∈ L mit a � IΓ existiert genau eine Gerade Ω
durch a, die mit Γ keinen Punkt gemein hat.
(R) (Reichhaltigkeit) Es gibt drei verschiedene nicht kollineare Punkte
(gemeint: die Menge der drei Punkte ist nicht kollinear).
Im folgenden sei (P, L, I) eine affine Ebene.
Bemerkung Wir nennen Geraden Γ, Ω parallel, Γ�Ω, wenn sie gleich sind oder keinen gemeinsa-
men Punkt haben.
Dann verlangt (P)(euklidisches Parallelenaxiom): Zu jedem a ∈ P und Γ ∈ L existiert genau ein
Ω ∈ L mit a I Ω und Γ�Ω. Bezeichnung: (a�Γ).
Daraus folgt:
1.2 Lemma Die Parallel-Relation auf L ist eine Äquivalenzrelation.
Die Klassen paralleler Geraden nennt man Parallelbüschel.
1.3 Definition Ein Isomorphismus einer affinen Ebene (P, L, I) auf eine affine Ebene (P ′ , L ′ , I ′ )
ist eine bijektive Abbildung ϕ : P → P ′ mit der Eigenschaft:
a, b, c kollinear ⇔ ϕ(a), ϕ(b), ϕ(c) kollinear, für alle a, b, c ∈ P .
Statt Isomorphismus ist (bei Inzidenzstrukturen) das Wort Kollineation üblich.
Die Menge aller Kollineationen einer affinen Ebene auf sich bildet (mit der Nacheinanderausführung
von Abbildungen als Verknüpfung) eine Gruppe, die Automorphismengruppe (Kollineationsgrup-
pe) der affinen Ebene.
Bemerkung (Geraden als Punktreihen) Jeder Geraden Γ von (P, L, I) ordne man zu die ’Punkt-
reihe’ PΓ := {a ∈ P | a I Γ }, d.h. die Menge der mit Γ inzidierenden Punkte. Man setze P ′ := P ,
L ′ := {PΓ | Γ ∈ L } (Menge der Punktreihen), I ′ :=∈. Dann ist ϕ := idP ein Isomorphismus von
(P, L, I) auf die affine Ebene (P ′ , L ′ , I ′ ). Die affine Ebene (P ′ , L ′ , I ′ ) entsteht aus (P, L, I), indem
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man jede Gerade Γ ∈ L durch die zugehörige Punktreihe ersetzt.
Deshalb können wir uns auf affine Ebenen beschränken, in denen jede Gerade eine Teilmenge der
Punktmenge ist.
Im folgenden betrachten wir eine solche affine Ebene (P, L, I).
1.4 Definition Ein Parallelogramm ist ein Tupel (a, b, c, d) aus 4 verschiedenen Punkten mit
a ∨ b�c ∨ d und b ∨ c�d ∨ a.
Beobachtung(vierter Parallelogramm-Punkt) Wenn a, b, d nicht kollineare Punkte einer affinen
Ebene sind, gibt es genau einen Punkt c mit der Eigenschaft: (a, b, c, d) ist ein Parallelogramm.
Jeder 2-dimensionale Vektorraum liefert eine affine Ebene:
1.5 Satz Sei V eine 2-dimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper K.
Setze P := V . Eine Gerade sei eine Teilmenge von V der Form a + U mit a ∈ V und U ein
1-dimensionaler Untervektorraum von V ; L sei die Menge aller Geraden. Dann ist (P, L, ∈) eine
affine Ebene.
Zusätze
1.5 a) Für Geraden a + U, b + W gilt:
a + U ⊆ b + W ⇔ a + U = b + W ⇔ a − b ∈ U = W
1.5 b) Für Geraden a + U, b + W gilt: a + U�b + W ⇔ U = W
1.5 c) Seien a, b ∈ V verschieden. Dann ist a ∨ b = a+ < b − a >.
1.5 d) Seien a, b, c, d ∈ V paarweise verschieden und je drei der Punkte nicht kollinear. Dann gilt:
(a, b, c, d) ist ein Parallelogramm ⇔ b − a = c − d.
Beweis der letzten Aussage. ⇒: Man hat < b − a >=< d − c > und < c − b >=< d − a >. Also
b − a = λ(d − c) und c − b = µ(d − a) für passende λ, µ ∈ K. Addieren liefert (d − a) − (d − c) =
c − a = µ(d − a) + λ(d − c). Nun sind (d − a), (d − c) linear unabhängig (sonst wären a, c, d auf der
gemeinsamen Geraden d+ < d−a >= d+ < d−c >). Es folgt 1 = µ und −1 = λ, also b−a = c−d.
⇐: Wenn b − a = c − d ist, folgt a ∨ b = a+ < b − a > �c+ < d − c >= c ∨ d und analog a ∨ d�b ∨ c.
Vorsicht! Es gibt affine Ebenen, die nicht zu einer affinen Ebene über einem 2-dimensionalen Vek-
torraum isomorph sind. Spter lernen wir geometrische Eigenschaften, welche affine Ebene über
Vektorräumen kennzeichnen.
1.6 Die euklidische Ebene Auf der affinen Ebene zum Vektorraum V = IR 2 haben wir den eu-
klidische Abstand |a − b| := � f(a − b, a − b) (euklidische Norm von a − b) zwischen zwei Punkten
a, b ∈ V .
Diese affine Ebene zusammen mit der euklidischen Abstandsfunktion |a − b| nennt man die eukli-
dische Ebene.
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Allein aus dem euklidischen Abstand |a − b| kann man das Skalarprodukt rekonstruieren! Denn es
gilt 2 · f(a, b) = f(a − b, a − b) − f(a, a) − f(b, b) = |a − b| 2 − |a − 0| 2 − |b − 0| 2 .
1.7 Beobachtungen: Kongruenz in der euklidischen Ebene Seien {a, b}, {c, d} ⊆ V 2-
elementige Mengen. Wenn gilt |a−b| = |c−d| (d.h. Abstand von a zu b ist gleich dem Abstand von
c zu d) nennt man die beiden Mengen {a, b}, {c, d} kongruent und schreibt dafür {a, b} ≡ {c, d}
oder kurz ab ≡ cd.
Offenbar ist ≡ eine Äquivalenzrelation auf der Menge der 2-elementigen Teilmengen von V .
Aus 1.5 d) folgt: Wenn (a, b, c, d) ein Parallelogramm ist, gilt {a, b} ≡ {c, d}.
Als Übungsaufgabe wurde gezeigt:
Für alle a, b ∈ V mit a �= b ist Ma,b := {v ∈ V | {v, a} ≡ {v, b} eine Gerade (nämlich die Mittel-
senkrechte 1
2 (a + b)+ < a − b >⊥ ).
Wenn m, a ∈ V sind und a �= m, so ist {v ∈ V | {v, m} ≡ {a, m} } der Kreis mit Mittelpunkt m
durch den Punkt a. Die Gerade a ∨ m schneidet den Kreis in genau zwei Punkten (a und 2m − a).
Der Punkt 2m − a ist das Bild von a unter der ’Spiegelung’ V → V , v ↦→ 2m − v am Punkt m.
1.8 Bemerkung zur Historie Eine Kennzeichnung der euklidischen Ebene aus geometrischen
Begriffen ist recht schwierig (zu umfangreich für eine allgemeine Geometrie-Vorlesung). Einer sol-
che Charakterisierung muss ja insbesondere eine geometrische Beschreibung der reellen Zahlen
innewohnen. Eine Lösung dieser Aufgabe wurde erst 1900 von Hilbert in dem berühmten Buch
’Grundlagen der Geometrie’ angegeben.
1.9 Definition ’Affine Ebene mit Kongruenzrelation’ Nun sei (P, L, ∈) eine affine Ebene
und ≡ eine Äquivalenzrelation auf der Menge der 2-elementigen Teilmengen von P .
Wir setzen voraus:
(PG) (Parallelogramm-Axiom) Wenn (a, b, c, d) ein Parallelogramm ist, gilt {a, b} ≡ {c, d}.
KS (Kreisschnittaxiom) Seien a, m ∈ P , a �= m. Dann gibt es genau einen Punkt b auf der Geraden
a ∨ m mit b �= a, m und {a, m} ≡ {b, m}.
Bezeichnung: b = a m .
(MS) (Mittelsenkrechte) Für alle a, b ∈ V mit a �= b ist Ma,b := {x ∈ P | {x, a} ≡ {x, b} } eine
Gerade. Jede Gerade von (P, L, I) läßt sich in der Form Ma,b schreiben.
1.10 Bemerkung Die Definition einer affinen Ebene mit Kongruenzrelation (manchmal auch ’ei-
ne euklidische Ebene’ genannt) verwendet nur recht anschauliche geometrische Begriffe (Punkt,
Gerade, Inzidenz, Kongruenz, d.h. abstandsgleich). Die verlangten Axiome (d.h. Voraussetzungen)
(PG), (KS), (MS) akzeptiert man gerne, weil sie physikalische Erfahrungen beim Zeichnen spiegeln.
Die euklidische Ebene ist eine sehr spezielle affine Ebene mit Kongruenzrelation.
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Im folgenden sei (P, L, ∈, ≡) eine affine Ebene mit Kongruenzrelation.
1.11 Definition (⊥ ) Nenne Geraden Γ, Ω senkrecht, geschrieben Γ ⊥ Ω, wenn es verschiedene
Punkte a, b auf Ω gibt mit Γ = Ma,b.
1.12 Bemerkung In der euklidischen Ebene gilt: Ma,b = 1
2 (a+b)+(a−b)⊥ . Daraus folgt: Geraden
c+ < u > und d+ < v > der euklidischen Ebene sind genau dann senkrecht, wenn f(u, v) = 0
gilt (f=Skalarprodukt), d.h. u ⊥ v (das Symbol ⊥ wird in doppelter Bedeutung benutzt; das kann
hier aber nicht zu Verwechslungen führen).
1.13 Bemerkung zur Schuldidaktik Viele aus der Schule bekannten Sätze der ’Elementargeo-
metrie’ gelten bereits in affinen Ebenen mit Kongruenzrelation. In der Schule wird man nicht im
Detail alle Aussagen herleiten; zum Beispiel wird man die Existenz von Punktspiegelungen oder
Lotgeraden ohne Herleitung akzeptieren. Auch wird man stillschweigend voraussetzen: wenn Γ, Ω
parallel sind, so ist jede Senkrechte zu Γ auch senkrecht zu Ω. Die genannten Aussagen sind in
jeder affinen Ebene mit Kongruenzrelation beweisbar (was garnicht ganz einfach ist).
Im Rahmen geometrischer Anschauung können Schüler selber Ideen entwickeln und Beweise ver-
stehen.
Das ist beim Rechnen in der euklidischen Ebene mit dem Skalarprodukt nicht so leicht möglich.
1.14 Lemma Senkrechtstehen von Geraden ist symmetrisch, d.h. Γ ⊥ Ω ⇒ Ω ⊥ Γ.
Beweis. Wir haben Ω = a ∨ b und Γ = Ma,b.
Wähle c ∈ Ma,b mit c �∈ a ∨ b. Es gibt einen Punkt d derart, daß a, c, b, d ein Parallelogramm ist.
Wegen dem Parallelogramm-Axiom (PG) gilt {b, d} ≡ {a, c} und {b, c} ≡ {a, d}. Mit {a, c} ≡ {b, c}
folgt {b, d} ≡ {a, c} ≡ {b, c} ≡ {a, d}. Also c ∨ d = Ma,b = Γ und Ω = a ∨ b = Mc,d. Also Ω ⊥ Γ.
Wir beweisen nun den Mittelsenkrechtensatz und den Höhensatz.
Dabei verwenden wir Aussagen, die im Schulunterricht selbstverständlich sind und deren Beweis
wir nachliefern (gekennzeichnet durch (???)).
1.15 Satz (Mittelsenkrechtensatz) Seien (a, b, c) ein Dreieck (Tripel nicht kollinearer Punkte) und
Ma,b, Mb,c, Mc,a die Mittelsenkrechten. Dann gibt es genau einen Punkt m mit m ∈ Ma,b, Mb,c, Mc,a.
Dies ist der Mittelpnkt des a, b, c enthaltenden Kreises (Umkreis des Dreiecks).
Beweis. Angenommen, Ma,b�Mb,c. Da a ∨ b zu Ma,b senkrecht ist, ist (nach (???)) a ∨ b auch zu
Mb,c senkrecht. Da auch b∨c ⊥ Mb,c ist, folgt wegen der Loteindeutigkeit (???) (durch einen Punkt
auf eine Gerade gibt es genau eine Lotgerade): a ∨ b = b ∨ c, Widerspruch ( a, b, c nicht kollinear).
Also haben Ma,b, Mb,c genau einen Schnittpunkt m.
Es gilt am ≡ mb und bm ≡ cm. Also am ≡ cm. Das bedeutet m ∈ Ma,c.
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1.16 Satz (Höhensatz) Sei (a, b, c) ein Dreieck (Tripel nicht kollinearer Punkte). Sei Γa das Lot
(Lotgerade) durch a auf b ∨ c; entsprechend Γb und Γc (Existenz? Eindeutigkeit?). Dann sind
Γa, Γb, Γc kopunktal.
Beweis. Seien a ′ , b ′ , c ′ Punkte derart, dass (a, b, c, b ′ ), (c, a, b, a ′ ), (b, c, a, c ′ ) Parallelogramme sind.
Das Parallelogramm-Axiom liefert
(1) b ′ a ≡ bc ≡ ac ′ .
Wäre b ′ = c ′ , so wäre c∨c ′ = c∨b ′ �a∨b; die Diagonalen c∨c ′ , a∨b die Parallelogramms (b, c, a, c ′ )
wären parallel, was nicht sein kann (???). Also ist
(1) b ′ �= c ′ .
Nach (1) und (2) ist a der Mittelpunkt von b ′ , c ′ .
Da Γa senkrecht zu b ∨ c ist und b ′ ∨ a = a ∨ c ′ �b ∨ c gilt, folgt (???): Γa ist senkrecht zu b ′ ∨ c ′ .
Also ist Γa = Mb ′ ,c ′ die Mittelsenkrechte zu den Punkten b′ , c ′ .
Analog für Γb und Γc.
Die drei Höhen Γa, ... sind also die Mittelsenkrechten des Dreiecks a ′ , b ′ , c ′ .
Der Mittelsenkrechtensatz liefert genau einen Punkt m ∈ Γa, Γb, Γc.
Zusatz. Der Kreis mit Mittelpunkt m durch a ′ enthält b ′ und c ′ .
Sei weiter (P, L, ∈, ≡) eine affine Ebene mit Kongruenzrelation.
1.17 Definition(Spiegelung am Punkt m) Sei m ∈ P . Für a ∈ P , a �= m, setze ρm(a) := a m
(siehe (KS) in 1.9); außerdem ρm(m) := m. Die Abbildung ρm : P → P heißt die Spiegelung am
Punkt m.
1.18 Bemerkung In der euklidischen Ebene gilt ρm(a) = 2m−a. Denn a, m, 2m−a sind kollinear,
a �= 2m − a falls a �= m und |a − m| = |(2m − a) − m|.
Unmittelbar aus der Definition von ρm folgen a) und b):
1.19 Lemma a) ρ 2 m(= ρm ◦ ρm) = idP �= ρm (man sagt: ρm ist involutorisch); insbesondere ist ρm
bijektiv und ρm = ρ −1
m .
b) Der einzige Fixpunkt von ρm (d.h. ρm(a) = a) ist m.
c) Sei Γ ∈ L. Dann ist ρm(Γ) ∈ L und ρm(Γ)�Γ.
Insbesondere ist ρm eine Kollineation.
d) Die Fixgeraden von ρm (d.h. ρ(Γ) = Γ) sind die Gerade durch m.
Beweis von c).
Falls m ∈ Γ gilt offenbar ρm(Γ) = Γ.
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Sei also m �∈ Γ.
Setze Ω := (m�Γ).
Wähle einen Punkt u ∈ Ω, u �= m.
Setze v := u m = ρm(u).
Mu,v und Ω schneiden sich eindeutig in m (denn u �∈ Mu,v).
Wegen Ω�Γ haben Mu,v und Γ einen eindeutigen Schnittpunkt a.
Sei b ∈ P derart, dass (u, a, v, b) ein Parallelogramm ist.
Mit dem Parallelogrammaxiom folgt vb ≡ au ≡ av ≡ ub. Also u, v ∈ Ma,b und damit
(1) Ω = Ma,b
Mit m ∈ Ω = Ma,b und b, m, a kollinear und b �= a folgt b = a m = ρm(a).
Sei Σ die Parallele zu Γ durch b.
Nun sei x ∈ Γ. Wir behaupten: ρm(x) ∈ Σ; genauer: ρm(x) ist der Schnittpunkt y von Σ mit m∨x.
Sei x ′ der Schnittpunkt von Ω mit (b�x ∨ m).
Wähle x ′′ derart, daß (b, x ′ , a, x ′′ ) ein Parallelogramm ist.
Das Parallelogrammaxiom und (1) sagen ax ′′ ≡ bx ′ ≡ x ′ a ≡ x ′′ b. Also
(2) x ′′ ∈ Ω
Nun sind (x, m, x ′′ , a) und (b, x ′ , m, y) Parallelogramme. Deshalb nach Parallelogrammaxiom und
(1) und (2): xm ≡ x ′′ a ≡ bx ′ ≡ my. Außerdem x �= y und x, m, y kollinear. Also
(3) ρm(x) = x m = y ∈ Σ
Damit ist ρm(Γ) ⊆ Σ gezeigt. Analog folgt ρm(Σ) ⊆ Ω und damit Σ ⊆ ρm(Ω). Es folgt ρm(Γ) = Σ.
Wegen Γ �= Σ folgt d).
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Wintersemester 03/04 Übungen zu Geometrie I Prof. F. Knüppel
Serie 2
1 (endliche affine Ebenen) a) Sei (P, L, ∈) eine affine Ebene. Auf einer bestimmten Geraden Γ
mögen genau m (natürliche Zahl) Punkte liegen. Man zeige: Auf jeder Geraden liegen m Punkte.
Wieviele Geraden gehen durch einen beliebigen Punkt?
Wieviele Geraden enthält ein Parallelbüschel?
Wieviele Punkte gibt es insgesamt? Wieviele Geraden?
b) Man skizziere die affine Ebene zum Vektorraum V := K 2 , wobei K der Körper mit 2 Elementen
ist.
c) Wie b) für den Körper mit 3 Elementen.
2 Sei (P, L, ∈) eine affine Ebene. Eine Translation ist eine Kollineation τ mit der Eigenschaft
τ(Γ)�Γ für jede Gerade Γ und: τ = idP oder τ hat keinen Fixpunkt (d.h. τ(a) �= a für jedes
a ∈ P ).
Wir betrachten ein Translation τ �= idP . Man zeige:
a) τ −1 ist eine Translation.
b) x ∨ τ(x) ist eine Fixgerade für jedes x ∈ P .
c) Die Menge der Fixgeraden von τ ist ein Parallelbüschel (die ’Richtung’ von τ).
d) Wenn (a, b, c, d) ein Parallelogramm mit τ(a) = b ist, folgt τ(d) = c.
e) Zu a, b ∈ P existiert höchstens eine Translation mit τ(a) = b.
3 Das ’Fano-Axiom’ für affine Ebenen sagt: die Diagonalen a ∨ c, b ∨ d eines Parallelogramms
(a, b, c, d) sind nicht parallel.
Man zeige: Eine affine Ebene zu einem Vektorraum über einem Schiefkörper K erfüllt genau dann
das Fano-Axiom, wenn 1 + 1 �= 0 ist (d.h. charK �= 2).
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Fortsetzung: Studium der Punktspiegelungen.
1.20 Definition (Bewegung) Eine Bewegung einer affinen Ebene (P, L, ∈, ≡) mit Kongruenzrela-
tion ist eine bijektive Abbildung ϕ : P → P , welche ≡ erhält; d.h. {ϕ(x), ϕ(y)} ≡ {x, y} für alle
x, y ∈ P mit x �= y.
Didaktische Bemerkung Die Bezeichnung Bewegung (englisch: motion) ist nicht glücklich, weil
sie einen zeitabhängigen Vorgang suggeriert. Im Geometrie-Unterricht 14-jähriger Kinder kommt
der Abbildungsbegriff nicht vor. Aber so wie Geraden mit einem Lineal (ohne Skala) gezeichnet
werden und Kongruenz mit dem Zirkel geprüft wird, kann man Bewegungen realisieren: Man neh-
me eine Folie, lege diese auf die ’Zeichenebene’; zu jedem Punkt x der Zeichenebene gehört der
darüberliegende Punkt x ′ der Folie. Nun wird die Folie ’bewegt’: auf der Zeichenebene verschoben
oder auch geklappt und wieder auf die Zeichenebene gelegt. Dann ist ϕ(x) der unter dem Folien-
punkt x ′ liegende Punkt der Zeichenebene.
1.21 Satz Jede Bewegung ist eine Kollineation, insgesamt also ein Automorphismus der Struktur
(P, L, ∈, ≡).
Die Menge der Bewegungen ist eine Untergruppe der Kollineationsgruppe von (P, L, ∈).
Beweis. Sei ϕ eine Bewegung, Γ eine Gerade. Nach Voraussetzung (MS) können wir Γ = Ma,b
schreiben.
Nun ist
ϕ(Ma,b) = ϕ({x ∈ V | xa ≡ xb }) =
{ϕ(x), x ∈ V | xa ≡ xb } =
{ϕ(x), x ∈ V | ϕ(x)ϕ(a) ≡ ϕ(x)ϕ(b) } =
{y ∈ V | yϕ(a) ≡ yϕ(b) } = M ϕ(a),ϕ(b)
(vorletztes = da ϕ bijektiv).
1.21 Lemma(Fortsetzung Punktspiegelungen)
a) Seien a, b, m ∈ P nicht kollinear. Dann ist (a, b, ρm(a), ρm(b)) ein Parallelogramm.
b) ρm ist eine Bewegung.
Beweis. Aus 1.19 c) folgt a ∨ b�ρm(a ∨ b) = ρm(a) ∨ ρm(b)
und ρm(a) ∨ b�ρm(ρm(a) ∨ b) = ρm(ρm(a)) ∨ ρm(b) = a ∨ ρm(b).
Zu b). Zu zeigen ist xy ≡ ρm(x)ρm(y) für alle x, y ∈ P mit x �= y.
Falls m = x oder m = y folgt das direkt aus der Definition von ρm.
Falls x, y, m nicht kollinear, ist nach a) (x, y, ρm(x), ρm(y)) ein Parallelogramm und (PG) liefert
die Behauptung.
Zuletzt sei m ∈ x ∨ y und m �= x, y.
Wähle u, v ∈ P derart, dass (x, y, u, v) ein Parallelogramm ist. Auch (ρ(x), ρ(y), ρ(u), ρ(v)) ist ein
Parallelogramm (da ρm Kollineation).
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Da u, v, m nicht kollinear, liefert der vorhin behandelte Fall uv ≡ ρ(u)ρ(v).
Mit (PG) folgt xy ≡ uv und ρ(u)ρ(v) ≡ ρ(x)ρ(y).
Wir erhalten xy ≡ ρ(x)ρ(y).
1.22 Lemma Senkrechte Geraden Γ, Ω haben genau einen Schnittpunkt (d.h. sind nicht parallel).
Beweis. Wir haben Γ = a ∨ b und Ω = Ma,b für passende a, b ∈ P .
Setze c := a b = ρb(a).
Dann gilt a ∨ b = a ∨ c und b ∈ Ma,c und a �∈ Ma,c.
Es folgt Ma,c ∩ (a ∨ c) = {b}.
Angenommen, es gibt d ∈ Ma,b ∩ Ma,c.
Die Punkte a, d, b sind nicht kollinear (sonst d ∈ Ma,c ∩ (a ∨ c) = {b}, also b ∈ Ma,b, was nicht
zutrifft). Also ist (a, d, c = ρb(a), ρb(d)) nach 1.21 a) ein Parallelogramm.
(PG) liefert aρb(d) ≡ cd ≡ ad ≡ bd ≡ ρb(d)b (zweites ≡ wegen d ∈ Ma,c).
Das zeigt ρb(d) ∈ Ma,b.
Wegen d, ρb(d) ∈ Ma,b, Ma,c folgt b ∈ Ma,c = Ma,b, ein Widerspruch.
Die Annahme ist also falsch, wir haben Ma,b�Ma,c.
Da Ma,c � �a ∨ c = Γ folgt Ω = Ma,b � �a ∨ c = Γ.
1.23 Korollar Zu je zwei Punkten a, b ∈ P existiert genau ein Punkt m mit ρm(a) = b, genannt
der ’Mittelpunkt’ von a, b. Falls a = b, gilt a = b = m. Falls a �= b, ist m der eindeutige Schnitt-
punkt von a ∨ b mit Ma,b (siehe 1.22).
Beweis. Aus ρm(a) = a folgt m = a, da nach 1.19 b) m einziger Fixpunkt von ρm ist.
Nun sei a �= b.
Es gelte ρm(a) = b. Dann gilt (da nach 1.19 c) ρ Kollineation ist) ρ(a ∨ b) = ρ(a) ∨ ρ(b) = b ∨ a,
d.h. a ∨ b ist Fixgerade von ρ und deshalb m ∈ a ∨ b (1.19 d)). Da ρ Bewegung ist, gilt am ≡
ρ(a)ρ(m) ≡ bm, also m ∈ Ma,b.
Umgekehrt sei m der Schnittpunkt von a ∨ b und Ma,b. Dann gilt am ≡ bm und nach Definition
von ρm folgt ρm(a) = b.
In Übungsserie 2 wurden Translationen definiert:
1.24 Definition Eine Translation einer affinen Ebene (braucht keine Kongruenzrelation zu tra-
gen) ist eine Kollineation τ mit der Eigenschaft τ(Γ)�Γ für jede Gerade Γ und: τ = idP oder τ hat
keinen Fixpunkt (d.h. τ(a) �= a für jedes a ∈ P ).
1.25 Lemma Die Translationen der affinen Ebene (P, L, ∈, ≡) sind genau die Produkte von zwei
Punktspiegelungen.
Translationen sind Bewegungen (d.h. erhalten ≡) und damit auch das Senkrechtstehen von Gera-
den.
Zu je zwei Punkten a, b existiert genau eine Translation τ mit τ(a) = c (man sagt: die Gruppe der
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Translation operiert scharf transitiv auf P ).
Beweis. Seien ρm und ρn Punktspiegelungen. Nach 1.9 c) sind diese Kollineationen mit der Ei-
genschaft: Bildgerade � Urbildgerade. Also hat auch ρm ◦ ρn diese Eigenschaft. Angenommen,
ρm ◦ ρn(a) = a. Dann folgt b := ρn(a) = ρm(a). Falls a = b folgt nach 1.19a) a = b = m = n, also
ρm ◦ ρn = idP . Falls a �= b, ist nach 1.23 ebenfalls m = n und damit ρm ◦ ρn = idP . Also ist ρm ◦ ρn
eine Translation.
Umgekehrt sei eine Translation τ von (P, L, ∈) gegeben. Wähle a ∈ P , setze c := τ(a). Sei m der
Mittelpunkt von a, c (siehe 1.23), also ρm(a) = c. Dann gilt ρc ◦ ρm(a) = c. Also sind τ und ρc ◦ ρm
zwei Translationen, die a auf c abbilden. Daraus folgt ρc ◦ ρm = τ (Übung Serie 2).
Translationen brauchen wir zum Beweis des folgenden Lemmas.
1.26 Lemma (Verträglichkeit von � und ⊥) Seien Γ, Γ ′ , Ω, Ω ′ ∈ L und Γ senkrecht zu Ω. Dann
gilt:
(1) Ω�Ω ′ ⇒ Γ ⊥ Ω ′
(2) Γ ⊥ Ω ′ ⇒ Ω�Ω ′
(3) Die Menge {Σ ∈ L | Σ ⊥ Γ } der zu Γ senkrechten Geaden ist ein Parallelbüschel.
(4) Γ�Γ ′ und Ω�Ω ′ ⇒ Γ ′ ⊥ Ω ′
(5) Γ�Γ ′ und Γ ′ �Ω ′ ⇒ Ω�Ω ′
Beweis. Zu (1). Ω und Γ haben genau einen Schnittpunkt m (siehe 1.22). Wegen Ω ′ �Ω haben auch
Ω ′ , Γ genau einen Schnittpunkt m ′ .
Da die Translationen transitiv auf P operieren (1.25) existiert eine Translation τ mit τ(m) = m ′ .
Sie erfüllt τ(Γ) = Γ und τ(Ω) = Ω ′ . Da τ eine Bewegung ist (1.25) und deshalb die Senkrecht-
Relation von Geraden erhält, folgt Γ ⊥ Ω ′ .
Zu (2). Sei Σ die Parallele zu Ω ′ durch m. Nach (1) ist Σ ⊥ Γ. Wir haben also zwei zu Γ senkrechte
Geraden durch m, nämlich Ω und Σ, und wollen Ω = Σ beweisen.
Es gibt (Definition von ⊥) a, b ∈ Γ mit Ω = Ma,am und Σ = Mb,bm. Wähle c ∈ Ω mit c �= m. Es gilt ac ≡ cρm(a) ≡ ρm(c)a (da ρm Bewegung ist). Also a ∈ Mc,cm. Da
m ∈ Mc,cm ist und a �= m folgt b ∈ Γ = Mc,cm. Also bc ≡ bcm ≡ cbm (letztes ≡ durch Anwenden von ρm). Also c ∈ Mb,bm = Σ. Folglich
Σ = c ∨ m = Ω.
Zu (3), (4), (5): folgt direkt aus (1) und (29.
1.27 Korollar (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) Zu jedem a ∈ P und Γ ∈ L existiert genau
ein Ω ∈ L mit a ∈ Ω und Ω ⊥ Γ.
Folgt sofort aus 1.26.
Damit haben wir die Aussagen (???) beim Mittelsenkrechtensatz und Höhensatz exakt bewiesen.
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Wintersemester 03/04 Übungen zu Geometrie I Prof. F. Knüppel
Serie 3
Sei V ein 2-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und f : V ×V → K eine symmetrische
anisotrope Bilinearform (anistrop heißt: f(v, v) = 0 ⇒ v = 0).
(Beispiel: V := IR 2 mit gewöhnlichem Skalarprodukt).
Wir definieren ≡ durch:
für a, b, c, d ∈ V mit a �= b und c �= d.
Offenbar ist ≡ eine Äquivalenzrelation.
Man zeige für die affine Ebene zu V :
{a, b} ≡ {c, d} ⇔ f(a − b, a − b) = f(c − d, c − d)
a) Jede Gerade Γ (der affinen Ebene zu V ) mit 0 �∈ Γ kann man schreiben als Γ = v + v ⊥ .
b) Zusätzlich sei vorausgesetzt: char K �= 2, d.h. 2 = 1 + 1 �= 0.
Man zeige: Jede Gerade Γ ist Mittelsenkrechte, d.h. Γ = Ma,b für passende a, b ∈ V , a �= b (Hin-
weis: a) benutzen).
Bemerkung. In Serie 1, 3 wurde gezeigt, daß Ma,b für alle a, b ∈ V , a �= b eine Gerade ist. Wir
haben nun also bewiesen, daß die Geraden genau die Mengen der Form Ma,b sind; d.h. es gilt das
’Mittelsenkrechtenaxiom’ (MS).
c) Es gilt das Parallelogramm-Axiom (PG) der Vorlesung.
2 (Fortsetzung von Aufgabe 1) Zusätzlich sei vorausgesetzt: char K �= 2, d.h. 2 = 1 + 1 �= 0.
Man zeige, daß dann das ’Kreisschnittaxiom’ (KS) gilt: Zu a, m ∈ V mit a �= m existiert genau ein
b ∈ V mit b ∈ a ∨ m und b �= a und am ≡ bm (Bezeichnung: b = a m ).
Zusammenfassung (sehr wichtig und interessant):
Satz Seien V, K, f wie oben und charK �= 2. Die affine Ebene (V, L, ∈, ≡) über V mit ≡ wie oben
ist eine affine Ebene mit Kongruenzrelation (im Sinn der Vorlesung).
3 Gibt es eine affine Ebene mit Kongruenzrelation der Ordnung 3 (d.h. jede Gerade enthält genau
3 Punkte)?
Kürübung: Sprechen Sie eine Vermutung aus, zu welchen endlichen Ordnungen es affine Ebenen
mit Kongruenzrelation gibt.
11

Zum Satz von Thales
2.1 Hilfssatz Sei a, b, c ein Dreieck; seien m der Mittelpunkt von a, b (siehe 1.23) und n der Mit-
telpunkt von a, c. Dann gilt m �= n und m ∨ n�b ∨ c.
Beweis. Die Translation (siehe 1.25) ρn ◦ ρm ist �= idP und hat m ∨ n als eine Fixgerade (denn
m ∨ n ist fix unter beiden Punktspiegelungen). Wegen ρn ◦ ρm(b) = ρn(a) = c ist b ∨ c auch eine
Fixgerade. Die Menge der Fixgeraden der Translation ist ein Parallelbüschel; deshalb gilt m∨n�b∨c.
Bezeichnung Sei a, b ∈ P und m der Mittelpunkt von a, b (siehe 1.23). Nenne { x ∈ P | xm ≡
am } = { x ∈ P | xm ≡ bm } den Thales-Kreis über a, b.
2.2 Satz (des Thales von Milet) Seien a, b, c ∈ P paarweise verschieden, T der Thales-Kreis über
a, b. Dann gilt
c ∈ T ⇔ a ∨ c ⊥ b ∨ c
Beweis. Sei m der Mittelpunkt von a, b und n der Mittelpunkt von a, c.
Dann gilt (nach 2.1) (1) m ∨ n�b ∨ c.
Aus c ∈ T folgt am ≡ cm, also m ∈ Ma,c. Da n ∈ Ma,c und m �= n ist, folgt m ∨ n = Ma,c ⊥ a ∨ c
und wegen (1) und 1.26 (1) auch b ∨ c ⊥ a ∨ c.
Umgekehrt sei b∨c ⊥ a∨c und damit m∨n ⊥ a∨c. Die Loteindeutigkeit erzwingt m ∈ m∨n = Ma,c,
also am ≡ cm, d.h. c ∈ T .
2.3 Korollar Der Thales-Kreis über a, b besteht aus den Fußpunkten der Lote von b auf die Ge-
raden durch a.
2.4 Korollar (Schnitt eines Kreises mit einer Geraden) Sei a, m ∈ P , a �= m und T := {x ∈
P | xm ≡ am} der Kreis mit Mittelpunkt m durch a.
a) |T ∩ Γ| ≤ 2 für jede Gerade Γ, eine Gerade und ein Kreis schneiden sich in höchstens 2 Punkten.
Bezeichnung: Passante, wenn |T ∩ Γ| = 0; Sekante, wenn wenn |T ∩ Γ| = 2; Tangente, wenn
|T ∩ Γ| = 1.
b) Sei c ∈ T . Es gibt genau eine Tangente durch c, nämlich die Lotgerade durch c auf a ∨ m.
c) Für alle c, d ∈ T mit c �= d gilt m ∈ Mc,d.
d) Der Mittelpunkt m von T ist eindeutig bestimmt.
Durch drei nicht kollineare Punkte geht genau ein Kreis (der Umkreis des Dreiecks a, b, c).
Beweis. Zu a). Sei b ∈ T ∩ Γ. Setze c := b m = ρm(b). Dann ist T der Thales-Kreis über b, c. Für
alle x ∈ Γ mit x �= b, c gilt: x ∈ T ⇔ x ∨ c ⊥ Γ, d.h. x ist Fusspunkt des Lotes von c auf Γ (Satz
von Thales).
Zu b) Setze b := c m . Sei Γ das Lot durch c auf c ∨ m. Wenn x ∈ Γ ∩ T ist, so ist x Fußpunkt des
Lotes durch b auf Γ (Satz von Thales), also x = c.
Umgekehrt sei Γ eine Tangente durch a. Der Fußpunkt des Lotes von b auf Γ liegt auf T , ist also
12

gleich c. Folglich Γ ⊥ b ∨ c.
c) ist klar. Zu d) Es gibt in T 3 verschiedene Punkte a, b, c (mit Satz von Thales und da durch jeden
Punkt mindestens 3 Geraden laufen). Nach a) ist (a, b, c) ein Dreieck (d.h. a, b, c nicht kollinear).
m liegt auf den Mittelsenkrechten des Dreiecks (siehe c)) und ist (Mittelsenkrechtensatz) deshalb
eindeutig.
In einer affinen Ebene mit Kongruenzrelation haben wir die Relation ’senkrecht’ für Geraden defi-
niert (und gezeigt, dass ’senkrecht’ anständige Eigenschaften hat). Kann man aus der Senkrecht-
Relation die Kongruenzrelation rekonstruieren, d.h. ist die Kongruenzrelation durch die Senk-
rechtrelation eindeutig bestimmt? Ja!
2.5 Hilfssatz Sei (P, L, ∈, ≡) eine affine Ebene mit Kongruenzrelation.
Zwei kommutierende Punktspiegelungen sind gleich.
Wenn τ eine Translation ist mit τ ◦ τ = id (siehe 1.25) so folgt τ = id
Beweis. Seien ρa, ρb kommutierende Punktspiegelungen.
Dann gilt ρa ◦ρb ◦ρa = ρb; also ist ρa(b) ein Fixpunkt von ρb. Da (nach 1.19 b)) b einziger Fixpunkt
von ρb ist, folgt ρa(b) = b. Da ρa nur den Fixpunkt a hat, a = b.
Nun sei τ eine Translation und τ = τ −1 . Schreibe τ = ρaρb (siehe 1.25). Dann kommutieren ρa, ρb
und deshalb sind beide Punktspiegelungen gleich. Also τ = id.
2.6 Satz In einer affinen Ebene mit Kongruenzrelation ist die Kongruenzrelation aus dem Senk-
rechtstehen von Geraden rekonstruierbar.
Genauer: Sei (P, L, ∈) eine affine Ebene und seien ≡ und ⊲⊳ Relationen derart, daß (P, L, ∈, ≡)
und auch (P, L, ∈, ⊲⊳) affine Ebenen mit Kongruenzrelation sind. Für alle Geraden Γ, Ω ∈ L möge
gelten:
Dann ist ≡ = ⊲⊳.
Beweis. Wir betrachten zunächst nur ≡ .
Seien a, b, c ∈ P , a �= b.
Γ ⊥≡ Ω ⇔ Γ ⊥⊲⊳ Ω
Wir wollen für beliebiges d ∈ P , d �= c, ein Kriterium für die Aussage (*) ab ≡ cd angeben, welches
nur ⊥ verwendet.
Translationen beruhen nur auf der Inzidenzstruktur (P, L, ∈) und sind für jede Kongruenzrelation
Bewegungen.
Sei τ die Translation mit τ(c) = a (siehe 1.25); setze e := τ(d). Wegen cd ≡ ae (da τ Bewegung
ist, 1.25) ist (*) äquivalent zu
(**) ab ≡ ae (d.h. e liegt auf dem Kreis bezüglich ≡ mit Mittelpunkt a durch b). Wir brauchen
also nur ein Kriterium (+) dafür, daß e ∈ P die Aussage (**) erfüllt.
13

Sei ω die Translation mit ω(b) = a. Setze u := ω(a) (= ω ◦ ω(b)).
Dann gilt (da τ Bewegung)
(1) ab ≡ ω(a)ω(b) = ua. Außerdem
(2) u ∈ a ∨ b (da a ∨ b Fixgerade von τ) und
(3) u �= b (denn u = b liefert ω ◦ ω(b) = b,
also ω(b) = ω −1 (b),
also ω = ω −1 und nach Hilfssatz ω = id, Widerspruch zu a �= b).
Wegen (1), (2), (3) gilt u = b a .
Behauptung: (**) ist äquivalent zu (+) e = b oder e = u oder e ∨ b ⊥ e ∨ u.
Hierzu. Wegen u = b a ist T := {x ∈ P | ab ≡ ax} der Thales-Kreis über a, u. Nach dem Satz von
Thales gilt für e ∈ P : (**) ⇔ e ∈ T ⇔ e erfüllt (+).
Also ist (*) äquivalent zu (+).
Analog folgt: Aussage (+) ist äquivalent zu ab ⊲⊳ ae.
Bemerkung Der vorige Beweis (Überlegung zu ω) liefert, daß die Punktspiegelung ρa nicht von
der Kongruenzrelation ≡ abhängt (nur vom Punkt a).
Algebraische Modelle affiner Ebenen mit Kongruenzrelation
3.1 Satz In jeder affinen Ebene bilden die Translationen eine Untergruppe der Gruppe aller Kol-
lineationen.
Sei nun (V, L, ∈) eine affine Ebene über einem 2-dimensionalen Vektorraum V . Für c ∈ V setze
τc : V → V , x ↦→ x + c. Dann ist τc die Translation, welche 0 in c abbildet.
Die Abbildung
V, + → Gruppe der Translationen von (V, L, ∈), c ↦→ τc ist ein Gruppenisomorphismus.
Die Gruppe der Translationen operiert einfach transitiv auf V .
Beweis. Zur ersten Aussage. Seien τ, ω Translationen. Zeige: τ ◦ ω ist Translation.
Sei τ ◦ ω(a) = a. Es folgt ω(a) = τ −1 (a), also ω = τ −1 nach Serie 2, 2e). Deshalb τ ◦ ω = id.
Nun sei (V, L, ∈) eine affine Ebene über einem 2-dimensionalen Vektorraum V .
Jede Abbildung τc ist bijektiv, eine Kollineation (τc(a+ < v >) = (c + a)+ < v >); erfüllt τ(Γ)�Γ
für jede Gerade Γ; ist �= id für c �= 0 und hat dann keinen Fixpunkt.
Also ist τc eine Translation von (V, L, ∈) . Sei nun τ irgendeine Translation von (V, L, ∈). Setze
c := τ(0). Dann gilt τ(0) = c = τc(0) und Serie 2, 2e) liefert τ = τc.
Die angegebene Abb. V, + → Gruppe der Translationen von (V, L, ∈), c ↦→ τc ist also wohldefi-
niert und bijektiv.
Wegen τc+d = τc ◦ τd ist sie ein Gruppenhomomorphismus.
In Serie 3 wurde bewiesen
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3.2 Satz(algebraische Modelle affiner Ebenen mit Kongruenzrelation) V ein 2-dimensionaler Vek-
torraum über einem Körper und charK �= 2.
Sei f : V × V → K eine anisotrope symmetrische Bilinearform.
Für a, b, c, d ∈ V mit a �= b, c �= d definiere
{a, b} ≡ {c, d} ⇔ f(a − b, a − b) = f(c − d, c − d)
Dann ist die affine Ebene (V, L, ∈, ≡) über V mit ≡ wie oben eine affine Ebene mit Kongruenzre-
lation (im Sinn der Vorlesung).
Zusatz Geraden Γ = a+ < v >, Ω = b+ < w > ∈ L (wobei a, b, v, w ∈ V ; v, w �= 0 ist) sind
genau dann senkrecht, wenn f(v, w) = 0 gilt.
Den Zusatz haben wir eigentlich auch schon bewiesen, trotzdem hier im Detail:
Da das Senkrechtstehen von Geraden mit � verträglich ist (1.26), darf man a = 0 = b annehmen.
Wenn f(v, w) = 0 ist, folgt Mv,−v =< w >= Ω (Serie 1, 3) und v ∨ (−v) = Γ, also Γ ⊥ Ω.
Wenn Γ ⊥ Ω gilt, gibt es c, d ∈ Γ mit Γ =< v >= c ∨ d und Mc,d =< w >= Ω. Also
f(c − w, c − w) = f(d − w, d − w) und (wegen 0 ∈ Ω) f(c, c) = f(d, d). Deshalb gilt f(c − d, w) = 0,
also f(v, w) = 0.
Kaum zu glauben aber wahr: Alle affinen Ebenen mit Kongruenzrelation werden bereits durch den
Satz 3.2 beschrieben!
3.3 Theorem Jede affine Ebene (P, L, ∈, ≡) mit Kongruenzrelation ist isomorph zu einer affinen
Ebene mit Kongruenz wie in 3.1.
Ausführlich:
Gegeben sei eine affine Ebene (P, L, ∈, ≡) mit Kongruenzrelation.
Dann gibt es einen 2-dimensionalen Vektorraum V über einem Körper K mit charK �= 2, eine
anisotrope symmetrische Bilinearform f : V × V → K und eine Kollineation ϕ : P → V von
(P, L, ∈) auf die affine Ebene zu V mit der Eigenschaft
{a, b} ≡ {c, d} ⇔ f(ϕ(a) − ϕ(b), ϕ(a) − ϕ(b)) = f(ϕ(c) − ϕ(d), ϕ(c) − ϕ(d))
für alle a, b, c, d ∈ P (a �= b; c �= d).
Da der Beweis des Theorems ziemlich umfangreich ist und Hilfsmittel erfordert, die sowie noch
vorkommen, warten wir damit.
Illustration Betrachte die affine Ebene zu V := K 2 , wobei K der Körper der rationalen Zahlen
sei.
Setze f(a, b) := α1β1 + 2α2β2. Dann ist f eine anisotrope symmetrische Bilinearform auf V , die
nach 3.1 eine Kongruenzrelation ≡ liefert.
Setze a := (1, 0) und m := (0, 0).
Wegen f(a − m, a − m) = f(a, a) = 1 ist T = {(x1, x2) ∈ K 2 | f(x1, x2) = x 2 1 + 2x 2 2 = 1 } der Kreis
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mit Mittelpunkt m = 0 durch a (’Einheitskreis’ mit Mittelpunkt 0). Man hat a m = −a.
Die Mittelsenkrechte Ma,am ist < (0, 1) >.
Es gilt Ma,a m∩T = ∅. Denn ein Punkt in dieser Menge hätte die Form (0, λ) mit λ ∈ K und 2λ2 = 1.
Wenn man die rationalen Zahlen durch IR ersetzt (und alles andere lässt), ist der Einheitskreis
eine reelle Ellipse durch (1, 0) und (0, 1/ √ 2).
Die Kongruenzrelation ≡ ist verschieden von derjenigen ⊲⊳, welche das gewöhnliche Skalarprodukt
g liefert. Nach 2.6 müssen die beiden daraus resultierenden Senkrechtrelationen auf der Geraden-
menge auch verschieden sein.
Höhensatz und symmetrische Bilinearform
4.1 Betrachtung Zunächst ein einfacher Beweis des Höhensatzes in einer affinen Ebene mit Kon-
gruenz, die durch einen 2-dimensionalen Vekktorraum V und eine anisotropen symmetrischen Bi-
linearform f : V × V → K (siehe 3.1) gegeben ist.
Sei also a, b, c ein Dreieck. Sei Γa die Lotgerade durch a auf b ∨ c; entsprechend Γb und Γc. Dann
haben Γa, Γc genau einen Schnittpunkt d (sonst wäre Γa�Γc und nach 1.26 würde b ∨ c�b ∨ a, also
b ∨ c = b ∨ a folgen, Widerspruch). Zu zeigen ist d ∈ Γb.
Falls b = d sind wir fertig. Sei b �= d.
Wegen f(a − d, b − c) = 0 = f(c − d, a − b) folgt
f(b − d, a − c) =
f((b − c) + (c − d), (a − b) + (b − c)) =
f(b − c, a − b) + f(b − c, b − c) + f(c − d, b − c) =
f(b − c, a − b) + f(b − c, b − d) =
f(b − c, a − d) = 0
Also ist Γb = b+ < b − d > und damit d ∈ Γb.
Der Beweis besteht in schlichtem Rechnen und erfordert keine Phantasie, anders als der ’geome-
trische’ Beweis 1.16, den aber schon Kinder in der Sekundarstufe 1 verstehen können.
Leider verstärkt sich im Schulunterricht mit zunehmender Abiturnähe die Tendenz, phantasielose
Rechentechnik einzuüben; man denke an die unseligen ’Kurvendiskussionen’.
Der Satz von Thales beleuchtet das Schnittverhalten von Geraden und Kreisen und erlaubt die
Rekonstruktion der Kongruenzrelation aus der Senkrechtrelation.
Eine weniger offensichtliche Bedeutung hat der Höhensatz.
Voraussetzungen für 4.2.
Wir betrachten eine affine Ebene (P, L, ∈) über einem K-Links-Vektorraum (K Schiefkörper).
Sei eine symmetrische Senkrechtrelation ⊥ auf der Geradenmenge gegeben derart, daß gilt
(S1) Γ ⊥ Ω ⇒ Γ � �Ω
(S2) Seien Γ ⊥ Ω. Dann gilt für jede Gerade Σ:
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Σ ⊥ Γ ⇔ Σ�Ω.
(S3) Zu jeder Geraden existiert mindestens eine Senkrechte.
Eine von einer Kongruenzrelation kommende Senkrechtrelation hat jedenfalls diese Eigenschaften
(siehe 1.26). Aus den Eigenschaften folgt die Existenz und die Eindeutigkeit der Lotgeraden (Zu
jedem Punkt a und jeder Geraden Γ existiert genau eine Gerade Ω mit a ∈ Ω und Ω ⊥ Γ).
4.2 Satz Für die gegebene Senkrechtrelation möge der Höhensatz gelten (d.h. die Höhen eines
jeden Dreiecks sind kollinear).
Dann ist K kommutativ und es gibt eine anisotrope symmetrische Bilinearform
f : V × V → K mit a+ < v > ⊥ b+ < w > ⇔ f(v, w) = 0
für alle Geraden a+ < v >, b+ < w >.
Beweis. Wähle senkrechte Geraden durch 0. Die kann man schreiben als < e1 >, < e2 > (ei ∈ V ),
und wegen (S1) ist e1, e2 eine Basis von V .
Statt λe1 + µe2 ∈ V schreiben wir nur (λ, µ).
Jede Gerade Γ, die weder zu < (1, 0) > noch zu < (0, 1) > parallel ist, kann man schreiben als
c+ < (1, λ) >, mit c ∈ K 2 und λ ∈ K \ {0} (die ’Steigung’).
Alle zu c+ < (1, λ) > senkrechte Geraden haben die Form d+ < (1, λ ′ ) >, wobei λ ′ ∈ K \ {0} nur
von λ abhängt.
Die Abbildung ′ : K \ {0} → K \ {0}, λ ↦→ λ ′ ist involutorisch (d.h. λ ′′ = λ für alle λ ∈ K \ {0}),
da ⊥ symmetrisch ist, und insbesondere bijektiv.
(i) λ ′ λ = µ ′ µ für alle λ, µ ∈ K \ {0}.
Beweis. Wir dürfen λ �= µ annehmen und nutzen den Höhensatz.
Betrachte das Dreieck a := (λ, 0), b := (µ, 0), c := (0, −λµ).
Für die Höhen gilt dann:
Γb = b+ < (1, µ ′ ) >, Γa = a+ < (1, (µ −1 λµ) ′ ), Γc = c+ < (0, 1) >.
Nach Voraussetzung haben die Höhen einen gemeinsamen Punkt. Dies liefert nach kurzer Rechnung
(+) µµ ′ = λ(µ −1 λµ) ′ .
Speziell λ = 1 liefert µµ ′ = 1 · 1 ′ für alle µ ∈ K \ {0} und (i) ist bewiesen.
Weiter folgt λ(µ −1 λµ) ′ = µµ ′ = 1 · 1 ′ = λλ ′ , also λ = µ −1 λµ. Deshalb:
(ii)K ist kommutativ.
Setze κ := 1 · 1 ′ und f : K 2 × K 2 → K, f((α, β), (γ, δ)) := αγ − κβδ.
Offenbar ist f eine symmetrische Bilinearform.
Für Geraden Γ = a+ < (µ, 1) > und Σ = b+ < (λ, 1) > (mit λ, µ ∈ K \ {0}) gilt
Γ ⊥ Σ ⇔ µ = λ ′ ⇔ λµ − κ = 0 ⇔ f((µ, 1), (λ, 1)) = 0
Es gilt also für alle Gerade Γ = a+ < c >, Σ = b+ < d >, daß Γ ⊥ Σ äquivalent ist zu f(c, d) = 0.
Keine Gerade ist zu sich selbst senkrecht, also f anisotrop.
Ber Beweis ist beendet.
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4.3 Korollar Sei (V, L, ∈) eine affine Ebene über einem Vektorraum, und ≡ eine Kongruenzrelation
dazu.
Dann existiert eine symmetrische anisotrope Bilinearform f : V × V → K mit der Eigenschaft
ab ≡ cd ⇔ f(a − b, a − b) = f(c − d, c − d)
Beweis. Durch ≡ wird eine Senkrechtrelation auf der Geradenmenge definiert (1.11) mit den in 4.2
vorausgesetzten Eigenschaften, insbesondere gilt der Höhensatz für die Senkrechtrelation (siehe
1.16).
4.2 liefert eine anisotrope symmetrische Bilinearform f mit
(*) a+ < c > ⊥ b+ < d > ⇔ f(c, d) = 0.
Nach 3.2 ist durch f(a−b, a−b) = f(c−d, c−d) ⇔ ab ⊲⊳ cd eine Kongruenzrelation ⊲⊳ definiert.
Nach 3.2 und (*) bewirkt ⊲⊳ die gleiche Senkrechtrelation auf der Geradenmenge wie ≡.
In 2.6 haben wir bewiesen, daß daraus folgt ≡ = ⊲⊳.
Wir kommen später auf affine Ebenen mit Kongruenzrelation zurück, um etwas über die in der
Schule behandelten Dreieckskonstruktionen und Winkelbegriffe zu sagen.
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Wintersemester 03/04 Übungen zu Geometrie I Prof. F. Knüppel
Serie 4
Für die Aufgaben 1 und 2 sei eine affine Ebene (P, L, ∈, ≡) mit Kongruenzrelation gegeben. Man
argumentiere ohne das ’Algebraisierungstheorem’ 3.3 zu verwenden.
1 a) Wir wissen, dass durch die Ecken a, b, c eines Dreiecks genau ein Kreis geht (Mittelsenkrech-
tensatz), der ’Umkreis’ des Dreiecks.
Man zeige: Das Dreieck ist genau dann rechtwinklig (etwa a ∨ c ⊥ c ∨ b), wenn der Mittelpunkt
des Umkreises auf einer der ’Seiten’ a ∨ b, a ∨ c, b ∨ c liegt.
b) Man zeige: Ein Dreieck ist genau dann gleichschenklig (d.h. etwa ab ≡ ac), wenn eine seiner
Ecken auf der Mittelsenkrechten der beiden anderen Ecken liegt.
2 Gegeben sei ein Kreis {x ∈ P | ma ≡ xm }. Man zeige: jede Gerade durch m ist Passante oder
Sekante (d.h. es gibt keine Tangente durch m). Der Fall einer Passante kann vorkommen.
3 1. Sei K ein endlicher Körper mit charK �= 2. Dann gilt für Q := {γ 2 | γ ∈ K \ {0} } bekanntlich
2|Q| = |K \ {0}| (warum?).
2. Sei κ ∈ K und f : K 2 × K 2 → K, f((αβ), (γ, δ)) := αγ + κ · βδ.
Offenbar ist f eine symmetrische Bilinearform.
Kann man κ so wählen, daß f anisotrop ist? (1. verwenden)
3. Gegeben sei ein 2-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K wie in 1.
Kann man stets die durch V gegebene affine Ebene mit einer Kongruenzrelation ausstatten?
Fragen? Ärger?
Zu erreichen bin ich ziemlich oft in Zimmer 520 Matheseminar;
sonst: knueppel@math.uni-kiel.de, 0431-880-3668, 0431-521323, 01779275610 .
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