Zahlen aus Geometrie

Zahlen aus Geometrie
Frieder Knüppel
Wir wollen diejenigen affinen und projektiven Räume kennzeichnen, die isomorph zu einem Raum
über einem Vektorraum sind.
Zunächst ein destruktives Beispiel.
1.1 Die Moulton-Ebene Die Punktmenge sei IR 2 .
Jedem Paar (m, c) mit c ∈ IR und m ∈ IR ∪ {∞} (∞ irgendein Element �∈ IR) wird eine Gerade
Γm,c wie folgt zugeordnet.
Falls m ≤ 0 setze Γm,c := {(x, y) ∈ IR 2 | y = mx + c } = (0, c) + IR(1, m), d.h. die Gerade der
affinen Ebene zu IR 2 mit Steigung m durch den Punkt (0, c).
Falls m = ∞, setze Γ∞,c := {(x, y) ∈ IR 2 | x = c } = (c, 0) + IR(0, 1).
Falls m > 0 setze Γm,c := {(x, y) ∈ IR 2 | 0 ≥ y = mx + c oder 0 ≤ y = 1
2 (mx + c) }.
Das bedeutet, für m > 0 ist Γm,c Vereinigung einer Geraden mit Steigung m in der unteren Halb-
ebene und einer Geraden mit Steigung 1
2m in der oberen Halbebene. Der ’Knickpunkt’ ist (c/m, 0).
’Moulton-Geraden’ Γm,c, Γn.d sind genau dann gleich oder haben keinen gemeinsamen Punkt, wenn
m = n ist.
Man prüft nach: Die Punktmenge IR 2 , zusammen mit der Menge aller Moulton-Geraden Γm,c und
∈ als Inzidenz, ist eine affine Ebene, genannt die Moulton-Ebene.
1.1’ Beobachtung In der Moulton-Ebene ist das kleine Desargues-Axiom (des) (Serie 5, Aufgabe
2) verletzt. Deshalb ist in dieser Ebene die Translationsgruppe (aufgrund dieser Aufgabe 2) nicht
transitiv auf der Punktmenge. Insbesondere ist die Moulton-Ebene deshalb nicht isomorph zu einer
affinen Ebene über einem Vektorraum.
1.2 Satz In einer affinen Ebene kommutieren Translationen mit verschiedenen Richtungen.
Wenn es in einer affinen Ebene mindestens zwei Translationen �= id mit verschiedenen Richtungen
gibt, ist die Translationsgruppe abelsch.
Beweis der ersten Aussage. Seien τ1, τ2 Translationen �= id mit verschiedenen Richtungen und a
irgendein Punkt der affinen Ebene. Setze b := τ1(a), c := τ2(a) und sei d der Punkt mit der Ei-
genschaft: (a, b, d, c) ist ein Parallelogramm (da τ1, τ2 verschiedene Richtungen haben, sind a, b, c
nicht kollinear).
Man hat τ1 ◦ τ2(a) = τ1(c) ∈ (c�a ∨ b) (da a ∨ b und dann auch (c�a ∨ b) Fixgerade von τ1 ist) und
τ1 ◦ τ2(a) = τ1(c) ∈ (b�a ∨ c).
Also gilt τ1 ◦ τ2(a) = d.
Analog folgt τ2 ◦ τ1(a) = d.
In Lineare Algebra lernt man, dass die Menge aller linearen Abbildungen eines Vektorraums in sich
(die Endomorphismen von V ) einen Ring bilden, wenn man als Multiplikation die Nacheinander-
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ausführung von Abbildungen nimmt und lineare Abbildungen addiert, indem man die Bildelemente
addiert. Etwas abstrakter (ohne Skalarmultiplikation):
1.3 Begriff: Endomorphismenring einer abelschen Gruppe Gegeben sei eine abelsche Grup-
pe T, + (in der Anwendung wird das die Translationsgruppe T, ◦ einer affinen Ebene sein).
Dann ist die Menge End(T ) aller Gruppenhomomorphismen T, + → T, + ein Ring, wenn man für
ϕ, ψ ∈ End(T ) festsetzt:
· (Ringmultiplikation) ist ◦ (Hintereinanderausführung) von Abbildung; also ϕ · ψ := ϕ ◦ ψ.
ϕ + ψ ist der durch ϕ + ψ : T → T , t ↦→ ϕ(t) + ψ(t) gegebene Gruppenhomomorphismus.
1.4 Hilfssatz (Kennzeichnung von Dilatationen) Sei (P, L, ∈) eine affine Ebene und δ : P → P
eine Abbildung mit der Eigenschaft
(+) für alle a, b ∈ P mit a �= b gilt δ(a) = δ(b) oder δ(a) ∨ δ(b)�a ∨ b
Dann ist δ eine Dilatation oder eine konstante Abbildung (d.h. alle Punkte haben den gleichen
Bildpunkt).
Beweis.
(i) Falls δ nicht injektiv, ist δ konstant.
Beweis (i). Seie a, b ∈ P , a �= b und δ(a) = δ(b).
Sei c ∈ P . Behauptung: δ(c) = δ(a).
Angenommen, δ(c) �= δ(a).
Falls c �∈ a ∨ b liefert (+): δ(b) ∨ δ(b) = δ(a) ∨ δ(c)�a ∨ c, b ∨ c, also a ∨ c = b ∨ c, Widerspruch.
Falls c ∈ a ∨ b, wähle d ∈ P , d �∈ a ∨ b. Nach vorigem Ergebnis ist δ(d) = δ(a). Also δ(a) ∨ δ(c) =
δ(d) ∨ δ(c)�a ∨ c, d ∨ c, also a, c, d kollinear und damit a, b, d kollinear, Widerspruch.
Damit ist (i) bewiesen.
Wir können also annehmen: δ ist injektiv.
(ii) Falls a, b, c ∈ P kollinear sind, dann auch δ(a), δ(b), δ(c).
Beweis (ii). Wir dürfen annehmen: a, b, c verschieden.
Dann gilt δ(a) ∨ δ(b), δ(a) ∨ δ(c)�a ∨ b = b ∨ c, also δ(a) ∨ δ(b) = δ(a) ∨ δ(c).
(iii) δ : P → P ist surjektiv.
Beweis (iii). Wähle a, b ∈ P mit a �= b. Dann ist δ(a) �= δ(b).
Sei y ∈ P .
Wir wollen x ∈ P finden mit δ(x) = y.
Falls y, δ(a), δ(b) nicht kollinear sind, sei x der Schnittpunkt von (a�δ(a) ∨ y) und (b�δ(b) ∨ y).
Dann erzwingt (+), daß δ(x) = y gilt.
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Falls y, δ(a), δ(b) kollinear sind, wähle c ′ , d ′ ∈ P mit y, c ′ , d ′ nicht kollinear und c ′ , δ(a), δ(b) nicht
kollinear und d ′ , δ(a), δ(b) nicht kollinear. Dann ist nach dem behandelten Fall δ(c) = c ′ und
δ(d) = d ′ für passende c, d ∈ P . Wiederhole nun das erste Argument mit c, d anstelle von a, b.
(iv) Seien a, b, c ∈ P und δ(a), δ(b), δ(c) kollinear. Dann sind a, b, c kollinear.
Beweis. Wir dürfen annehmen; a, b, c sind verschieden. Wir haben schon bewiesen, dass δ bijektiv
ist. Nach (+) gilt
a ∨ b, a ∨ c � δ(a) ∨ δ(b) = δ(a) ∨ δ(b). Es folgt a ∨ b = a ∨ c.
1.5 Erstes Algebraisierungstheorem für affine Ebenen
Gegeben sei eine affine Ebene (P, L, ∈). Folgende Aussagen sind äquivalent.
a) (P, L, ∈) ist isomorph zu einer affinen Ebene über einem 2-dimensionalem K-Vektorraum (K
Schiefkörper).
b) Die Translationsgruppe T ist transitiv auf P (d.h. zu a, b ∈ P existiert τ ∈ T mit τ(a) = b)
und es gibt eine Streckungsgruppe zu einem Zentrum o, die linear transitiv ist (d.h. zu a, b ∈ P ,
a, b �= o und a, b, o kollinear existiert eine Streckung δ mit Zentrum o und δ(a) = b).
Beweis. Aus a) folgt b), wie schon gesagt: wenn a, b ∈ V gegeben ist, bildet die Translation
τb−a; V → V, v ↦→ v + (b − a) den Punkt a in b ab.
Wenn a, b, 0 ∈ V kollinear und a, b �= 0 ist, hat man b = λa, und die Streckung δλ : V → V ,
v ↦→ λv, bildet a in b ab.
Nun sei b) vorausgesetzt.
Die verwendete Beweis-Idee stammt von Emil Artin.
(Der Beweis funktioniert wörtlich auch für affine Räume).
Sei o ∈ P wie in b).
Zu jedem p ∈ P existiert genau eine Translation τp ∈ T mit τp(o) = p (Voraussetzung und Serie 2,
2e)).
(i) Die Abbildung τ : P → T (Translationsgruppe), p ↦→ τp ist also bijektiv.
Man hat τo = id.
Für die Nacheinanderausführung von Translationen schreiben wir + statt ◦.
Nach 1.2 ist T, + eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0 = idP ).
End(T ) bezeichne den in 1.3 definierten Endomorphismenring der Gruppe T, +.
Wir wollen T, + mit passendem Schiefkörper K zu einem Vektorraum machen und dann zeigen, daß die
oben definierte Abbildung τ eine Kollineation der gegebenen Ebene auf die Ebene zum K-Vektorraum
3

T, + ist.
Sei D die Gruppe alle Streckungen mit Zentrum o.
Für jedes δ ∈ D und τp gilt
(Serie 5, Aufgabe 3b)).
Deshalb ist ˆ δ eine Bijektion von T auf T .
ˆδ(τp) := δ ◦ τp ◦ δ −1 = τ δ(p)
Da o, p, δ(p) kollinear sind, haben τp und ˆ δ(τp) die gleiche Richtung (Richtung=Parallelbüschel
der Fixgeraden einer Translation �= id).
Es ist ˆ δ ∈ End(T, +). Denn
ˆδ(τp + τq) = ˆ δ(τp ◦ τq) = δ ◦ (τp ◦ τq)δ −1 = δ ◦ (τp ◦ δ −1 ◦ δ ◦ τq)δ −1 = ˆ δ(τp) ◦ ˆ δ(τq) = ˆ δ(τp) + ˆ δ(τq).
Zusammenfassung: Für jede Streckung δ ∈ D ist die ’Konjugationsabbildung’ ˆ δ ein richtungserhal-
tender Automorphismus der Gruppe T, +.
(ii) Setze K := {η ∈ End(T, +) | Richtung(τp) ⊆ Richtung(η(τp))für alle τp ∈ T }.
D.h. K besteht aus allen richtungserhaltenden Endomorphismen von T (für idP = 0 ∈ T wird
jedes Parallelbüschel als eine Richtung angesehen).
Unmittelbar aus der Definition folgt:
(iii) K ein Unterring von End(T, +) mit 0- und 1-Element (=Identität auf T ).
(iv) K = { ˆ δ | δ ∈ D} ∪ {0} (hier bezeichnet 0 den Endomorphismus von T, +, der alles auf das
neutrale Element idp = 0 der Gruppe T, + abbildet).
Insbesondere ist der Unterring K von End(T, +) ein Schiefkörper (denn jedes ˆ δ ist invertierbar).
Beweis von (iv). ⊇ wurde schon gezeigt.
Sei also α ∈ K, α �= 0.
Wir wollen δ ∈ D finden mit α = ˆ δ.
Definiere dazu δ : P → P , δ(p) := (α(τp))(o).
Wir behaupten, dass (1) δ ∈ D ist und (2) ˆ δ = α gilt.
(Bemerkung: falls es ein δ ∈ D mit ˆ δ = α gibt, folgt (α(τp))(o) = δ ◦ τp ◦ δ −1 (o) = τ δ(p)(o) = δ(p);
d.h. die obige Definition von δ ist zwangsläufig und erfordert keine Phantasie).
Wegen 1.4 genügt für (1) der Nachweis von (+) aus 1.4 und dass δ nicht konstant ist.
Zunächst gilt δ(o) = o.
Wegen α �= 0 existiert eine Translation τp mit α(τp) �= idP = 0 = τo, also δ(p) �= o = δ(o).
Also ist δ nicht konstant.
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Zur Eigenschaft (+) aus 1.4.
Seien a, b ∈ P und δ(a) �= δ(b).
Wir behaupten: a ∨ b � δ(a) ∨ δ(b).
Sei τa,b die Translation mit τa,b(a) = b. Dann gilt τb = τa,b+τa (denn (τa,b+τa)(o) = (τa,b◦τa)(o) =
τa,b(a) = b).
Deshalb gilt
δ(b) =
(α(τb))(o) = (α(τa,b + τa))(o) =
(α(τa,b) + α(τa))(o) =
(α(τa,b) ◦ α(τa))(o) =
(α(τa,b)(δ(a)).
Da α(τa,b) und τa,b die gleiche Richtung haben,
folgt a ∨ b � δ(a) ∨ δ(b).
Aus 1.4 folgt, daß δ eine Dilatation ist, und wegen δ(o) = o folgt (1).
Zu (2). Wir behaupten ˆ δ(τp) = α(τp) für alle p ∈ P .
Die linke Seite ist τ δ(p) (siehe oben) und die rechte Seite ist auch eine Translation, die o auf δ(p)
abbildet (Definition von δ). Also sind sie gleich.
Damit ist (iv) bewiesen.
(v) Translationen τp, τq �= idP haben genau dann gleiche Richtung, wenn ˆ δ(τp) = τq für ein pas-
sendes δ ∈ D gilt.
Beweis. τp, τq mögen gleiche Richtung haben. Dann sind o, p, q kollinar, und p, q �= o. Da D linear
transitiv ist, hat man δ(p) = q für eine δ ∈ D. Es folgt ˆ δ(τp) = τ δ(p) = τq.
(vi) Wir machen T, + zu einem K-Vektorraum, indem wir α · τ := α(τ) festlegen.
Tanslationen τp, τq �= 0 haben genau dann gleiche Richtung, wenn Kτp = Kτq gilt.
Es ist dimT = 2.
Die Vektorraumeigenschaften folgen allein daraus, daß die Elemente von K \ {0} Automorphismen
der abelschen Gruppe T, + sind.
Die zweite Aussage folgt aus (v) und (ii).
Seien τp, τq zwei Translationen �= idP mit verschiedenen Richtungen. Wir behaupten: τp, τq ist
eine Basis.
Wie gesagt, sind die beiden Translationen linear unabhängig.
Sei τr irgendeine Translation �= idP .
Falls τr gleiche Richtung wie τp hat, gilt τr ∈ Kτp.
Also sei die Richtung von τr ungleich der Richtung von τp und derjenigen von τq.
Bestimme p ′ , q ′ derart daß o, p, p ′ und o, q, q ′ kollinear sind und o, p ′ , r, q ′ ein Parallelogramm ist.
Man hat nach (v) τp ′ ∈ Kτp, τq ′ ∈ Kτq und τp ′ + τq ′ = τr. Also τr ∈ Kτp + Kτq .
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(vii) Die Abbildung τ : P → T , p ↦→ τp ist eine Kollineation der gegebenen affinen Ebene (P, L, ∈)
auf die affine Ebene zum K-Vektorraum T .
Wie gesagt ist τ bijektiv.
Seien p, q, r ∈ P verschieden.
Die Bildpunkte τp, τq, τr sind genau dann kollinear, wenn (*) K(τr − τp) = K(τq − τp) gilt.
Beachte, daß −τp die zu τp inverse Abbildung ist (denn + in T bedeutet ◦); also −τp(p) = o.
Also ist (τr − τp)(p) = r = τp,r(p) und deshalb τr − τp = τp,r. Ebenso folgt τq − τp = τp,q.
Deshalb ist (*) äquivalent dazu, daß Kτp,r = Kτp,q gilt.
Das ist äquivalent dazu, daß τp,r und τp,q gleiche Richtung haben (siehe (vi)), d.h. zu p ∨ r � p ∨ q.
Dies ist äquivalent zu p, q, r kollinear.
Der Beweis ist beendet.
Aussage b) in 1.5 handelt von Kollineationen der affinen Ebene; es wird, grob gesagt, gefordert
daß sehr viele Dilatationen existieren (de facto alle, die es überhaupt geben kann).
Nun hätten wir stattdessen gerne eine äquivalente Aussage, welche direkt von Punkten, Geraden
und Inzidenz handelt. Eine solche ist das Desargues-Axiom.
Gegeben sei eine affine Ebene (P, L, ∈).
2.1 Großes Desargues-Axiom (Des) zum Zentrum z, affine Fassung
Seien Γi (i = 1, 2, 3) verschiedene Geraden durch einen gemeinsamen Punkt z. Seien ai, bi ∈ Γi
verschiedene Punkte �= z und a1 ∨ a2 � b1 ∨ b2 und a1 ∨ a3 � b1 ∨ b3. Dann gilt a1 ∨ a3 � b2 ∨ b3.
Das kleine Desargues-Axiom (des) kennen wir schon; da sind parallele ’Trägergeraden’ Γi voraus-
gesetzt.
2.2 Satz (über das Desargues-Axiom)
a) Das Desargues-Axiom (Des) zum Zentrum z ist genau dann wahr, wenn die Gruppe der Streckun-
gen mit Zentrum z linear transitiv ist.
b) Das kleine Desargues-Axiom (des) (siehe Übung, Serie 5, Aufgabe 2) gilt genau dann, wenn die
Translationsgruppe transitiv ist.
Beweis. Zu a). Seien die Voraussetzungen in (Des) erfüllt und sei die Gruppe der Streckungen zum
Zentrum z linear transitiv. Da a1, b1, z kollinear sind und a1, b1 �= z, existiert eine Streckung δ mit
Zentrum z und δ(a1) = b1. Analog wie in Serie 5, Aufgabe 2 folgert man δ(a2) = b2, δ(a3) = b3
und deshalb δ(a1 ∨ a3) = b1 ∨ b3 � a1 ∨ a3.
Nun zur umgekehrten (schwierigeren) Beweisrichtung.
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Sei (Des) mit z als Schnittpunkt von Trägergeraden erfüllt.
Seien a, b, z kollinear und a, b �= z.
Wir wollen eine Streckung δ mit Zentrum z und δ(a) = b konstruieren.
Bezeichne mit Σ die Gerade durch z, a, b.
Wähle einen Punkt c, der nicht auf Σ liegt.
Für x ∈ P , x nicht auf Σ, sei x ′ der Schnittpunkt von x ∨ z und (b�a ∨ x).
Für x ∈ Σ sei x ′ der Schnittpunkt von Σ und (c ′ �c ∨ x).
Dann ist offenbar δ : P → P , x ↦→ x ′ eine Bijektion mit δ(a) = b und δ(z) = z.
Wegen 1.4 (Hilfssatz zur Beschreibung von Dilatationen) genügt es zu zeigen:
( � ) δ(x) ∨ δ(y) � x ∨ y für alle verschiedenen Punkte x, y.
Falls z, x, y kollinear sind, folgt das unmittelbar aus der Definition von δ.
Seien also z, x, y nicht kollinear.
Falls x, y nicht auf Σ liegen, folgt aus (Des) (mit z als Zentrumspunkt) direkt x ′ ∨ y ′ � x ∨ y.
Bleibt der Fall: y ∈ Σ und x �∈ Σ.
Hier muss ich leider zwei Unterfälle unterscheiden.
Wenn x, c, z nicht kollinear sind zeigt (Des) (mit Dreiecken a, c, x und b, c ′ , x ′ ), daß x ′ ∨c ′ � x∨c gilt;
nochmaliges Anwenden von (Des) (mit Dreiecken x, y, c und x ′ , y ′ , c ′ ) liefert x ′ ∨ y ′ � x ∨ y. Wenn
x, c, z kollinear sind, schließt man auch durch zweimaliges Anwenden von (Des) auf x ′ ∨ y ′ � x ∨ y.
Teil b) des Satzes beweist man ganz analog zu a), deshalb sparen wir den Beweis.
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Wintersemester 03/04 Übungen zu Geometrie I Prof. F. Knüppel
Serie 8
1 (in Zusammenhang mit Aufgabe 2 von Serie 7). a) Sei e1, e2 eine Basis der euklidischen Ebene
und ϕ : IR 2 → IR 2 linear mit
(1) f(ei, ej) = f(ϕ(ei), ϕ(ej)) für alle i, j ∈ {1, 2} (f =gewöhnliches Skalarprodukt).
Man zeige:
(2) f(v, w) = f(ϕ(v), ϕ(w)) für alle v, w ∈ IR 2 .
b) Man zeige, daß eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft (2) eine Bewegung der euklidischen
Ebene ist, die 0 als Fixpunkt hat.
c) Warum sind die linearen Abbildungen mit der Eigenschaft (2) genau die Bewegungen der eukli-
dischen Ebene mit 0 als Fixpunkt?
d) Sei ϕ : IR 2 → IR 2 linear mit Matrix (aij) bezüglich einer beliebigen Basis e1, e2. (ϕ(ei) =
�
j aijej).
Was bedeutet Eigenschaft (1) in a) für die Matrix?
Wie kann man also die Bewegungen mit 0 als Fixpunkt durch ihre Matrizen kennzeichnen?
e) Wie sehen also alle Bewegungen der euklidischen Ebene aus? (Erinnerung: Serie 5, 3)
2 a) Man zeige für lineare Abbildungen ϕ, ψ : V → V das ’Bahnenlemma’: B(ϕ ◦ ψ) ⊆ B(ϕ) + B(ψ)
(siehe siehe Serie 6, Aufgabe 2).
b) Betrachte einen 3-dimensionalen Vektorraum V und den projektiven Raum Π(V ) dazu.
Wie wir wissen sind die Zentralkollineationen genau die von einfachen linearen Abbildungen indu-
zierten Kollineationen; das Zentrum ist die Bahn B(ϕ), die Achse der Fixraum F(ϕ) der induzie-
renden einfachen linearen Abbildung.
Nun seien zwei Zentralkollineationen ϕ, ψ mit gleicher Achse gegeben. Was kann man (mithilfe
von a)) über die Nacheinanderausführung ϕ ◦ ψ sagen ?
c) Gleiche Frage wie b) aber allgemein in einer projektiven Ebene (nicht notwendig zu einem Vek-
torraum).
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2.3 Lemma In jeder affinen Ebene folgt aus dem Desargues-Axiom (Des) das kleine Desargues-
Axiom (des).
Beweis als Übung (Serie 9).
2.4 Definition Eine affine Ebene heißt desarguessche affine Ebene, wenn (Des) (und damit nach
2.3 (des)) gilt.
Aus 2.3, 2.2 und dem ’ersten Algebraisierungstheorem’ 1.5 folgt
2.5 Zweites Algebraisierungstheorem Gegeben sei eine affine Ebene (P, L, ∈). Folgende Aus-
sagen sind äquivalent.
a) (P, L, ∈) ist isomorph zu einer affinen Ebene über einem 2-dimensionalem K-Vektorraum (K
Schiefkörper).
b) (P, L, ∈) ist eine desarguessche affine Ebene.
Die desarguesschen affinen Ebenen sind also (bis auf Isomorphie) genau die affinen Ebenen über
2-dimensionalen K-Vektorräumen (K ein Schiefkörper).
Gegeben sei eine affine Ebene zu einem K-Vektorraum V .
Wann ist der Schiefkörper K ein Körper?
Da die Streckungsgruppe zu einem festem Zentrum z isomorph zur Gruppe K \ {0}, · ist (2.9 im
Kapitel ’Projektive Ebenen, projektiver Abschluss’), gilt:
K ist Körper genau dann, wenn die Streckungsgrppe zu gegebenem Zentrum z kommutativ ist.
Wir formulieren eine dazu äquivalente geometrische Bedingung:
2.6 Pappus-Axiom (affine Fassung) Sei (P, L, ∈) eine affine Ebene.
Seien Γ, Σ ∈ L verschieden, z ihr Schnittpunkt, und a1, a3, a5 ∈ Γ, a2, a4, a6 ∈ Σ, ai �= z,
a1 ∨ a2 � a4 ∨ a5 und a2 ∨ a3 � a5 ∨ a6. Dann gilt a6 ∨ a1 �a3 ∨ a4.
In Worten: Die Punkte a1, ..., a6 mögen alternierend auf zwei verschiedenen Geraden liegen und
zwei Paare von Gegenseiten des Sechsecks seien parallel. Dann ist auch das dritte Paar von Ge-
genseiten parallel.
2.7 Satz (vom Pappus-Axiom) Gegeben sei eine affine Ebene zu einem 2-dimensionalen Vektor-
raum über einem Schiefkörper K. Folgende Aussagen sind äquivalent.
a) K ist kommutativ, also Körper.
b) Die affine Ebene erfüllt das Pappus-Axiom.
c) Die Gruppe der Streckungen zu einem festen Zentrum z ist kommutativ.
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Beweis. a) ⇔ c) wurde schon erklärt.
Sei b) vorausgesetzt.
Betrachte zwei Streckungen δ, δ ′ zum gleichen Zentrum z.
Zu zeigen ist δ ◦ δ ′ = δ ′ ◦ δ.
Sei also x ∈ P ; zu zeigen δ ◦ δ ′ (x) = δ ′ ◦ δ(x).
Hierzu.
Wir dürfen annehmen δ �= id, δ ′−1 , δ ′ und x �= z.
Setze a4 := x und wähle a3 ∈ P derart, dass a3, a4, z nicht kollinear sind.
Setze
(∗) a2 := δ ′ (a4), a6 := δ(a2) = δ ◦ δ ′ (a4), a5 := δ(a3), a1 := δ ′ (a5) = δ ′ ◦ δ(a3)
Dann sind z, a2, a4, a6 verschieden und liegen auf einer Geraden, die von derjenigen durch z, a3, a5, a1
verschieden ist.
Weiter gilt a4 ∨ a5 � δ ′ (a4 ∨ a5) = a1 ∨ a2 und
a2 ∨ a3 � δ(a2 ∨ a3) = a5 ∨ a6.
Das Pappus-Axiom liefert a3 ∨ a4 � a1 ∨ a6.
Folglich
δ ◦ δ ′ (a3 ∨ a4) = (δ ◦ δ ′ (a4) � a3 ∨ a4) = (a6 �a3 ∨ a4) = a1 ∨ a6.
Analog δ ′ ◦ δ(a3 ∨ a4) = a1 ∨ a6.
Deshalb sind δ ◦ δ ′ (a4) und δ ′ ◦ δ(a4) inzident mit a1 ∨ a6 und mit z ∨ a3. Da die beiden Geraden
verschieden sind, folgt δ ◦ δ ′ (a4) = δ ′ ◦ δ(a4) wie gewünscht.
Umgekehrt setzen wir voraus, dass je zwei Streckungen mit Zentrum z kommutieren.
Die Voraussetzungen des Pappus-Axiom mögen vorliegen.
Seien δ, δ ′ die Streckungen mit Zentrum z und δ ′ (a4) = a2 und δ(a2) = a6, also a6 = δ ◦ δ ′ (a4).
Dank der Voraussetzungen liegen dann die Aussagen (*) vor.
Es folgt δ ◦ δ ′ (a3 ∨ a4) = δ ◦ δ ′ (a3) ∨ δ ◦ δ ′ (a4) = δ ′ ◦ δ(a3) ∨ a6 = a1 ∨ a6.
Da δ ◦ δ ′ eine Streckung ist, folgt a3 ∨ a4 � a1 ∨ a6.
2.8 Satz von Hessenberg (1905) In einer affinen Ebene gilt: Aus dem Pappus-Axiom folgt das
Desargues-Axiom.
Wir lassen den (einfachen) Beweis weg; siehe etwa E. M. Schröder, Vorlesungen über Geometrie
II, Mannheim 1991, Seite 15.
Als Folgerung aus 2.8, 2.7 und 2.5 notieren wir
2.9 Drittes Algebraisierungstheorem für affine Ebenen
Für eine affine Ebene sind folgende Aussagen äquivalent.
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a) Die affine Ebene ist isomorph zu einer affinen Ebene über einem K-Vektorraum V , wobei K ein
Körper ist (kommutativ).
b) In der affinen Ebene ist das Pappus-Axiom wahr.
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Wintersemester 03/04 Übungen zu Geometrie I Prof. F. Knüppel
Serie 9
1 Gegeben sei eine affine Ebene (P, L, ∈). Bitte beweisen Sie: aus dem großen Desargues-Axiom
(Des) folgt das kleine (des).
Anleitung.
Die Voraussetzungen in (des) mögen vorliegen:
Seien Γi (i = 1, 2, 3) verschiedene parallele Geraden.
Seien ai, bi ∈ Γi Punkte und a1 ∨ a2 � b1 ∨ b2 und a1 ∨ a3 � b1 ∨ b3.
Zu zeigen ist a2 ∨ a3 � b2 ∨ b3.
Beweis. Wir dürfen annehmen ai �= bi für i = 1, 2, 3 (sonst ist ai = bi für alle i und die Behauptung
ist trivial).
Außerdem darf man annehmen: a1, a2, a3 nicht kollinear, und b1, b2, b3 nicht kollinear.
Die Gerade (b3 � a2 ∨ a3) schneidet b1 ∨ b2 eindeutig in einem Pukt b ′ 2.
Wir nehmen an b2 �= b ′ 2 (sonst fertig).
Es gibt einen eindeutigen Schnittpunkt z von Γ ′ 2 := a2 ∨ b ′ 2 und Γ3 (warum ?).
Setze Γ ′ 1 := z ∨ a1....................
2 Gegeben sei ein projektiver Raum (P, L, ∈).
Eine Teilmenge T ⊆ P heißt Teilraum, wenn gilt:
A, B ∈ T und A �= B ⇒ A ∨ B ⊆ T
Man zeige: Wenn ∅ �= T ⊆ P ein Teilraum ist und A ∈ P , A �∈ T , so ist M := � {A ∨ B | B ∈ T }
ein Teilraum (offenbar dann der kleinste T ∪ {A} enthaltende Teilraum. M besteht also aus allen
Punkten X ∈ P mit X = A oder (X ∨ A) ∩ T �= ∅).
Hinweis: Hier wirkt das Veblen-Young-Axiom!
3 (vgl. Aufgabe 2)) Sei V ein K-Vektorraum (K Schiefkörper; dimV ≥ 2) und
Π(V ) = (V (1) , V (2) , ⊂) der projektive Raum zu V .
Man zeige: die Abbildung
ist eine Bijektion.
Menge der Untervektorräume von V → Menge der Teilräume von Π(V )
U ↦→ U (1)
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Algebraisierung projektiver Ebenen
Gegeben sei eine projektive Ebene (P, L, ∈).
3.1 Projektives Desargues-Axiom Seien Γ1, Γ2, Γ3 ∈ L verschieden und Z ∈ Γ1, Γ2, Γ3.
Seien Ai, Bi ∈ Γi (i = 1, 2, 3) Punkte �= Z.
Dann gibt es eine Gerade Ω derart, dass
A1 ∨ A2, B1 ∨ B2, Ω;
A1 ∨ A3, B1 ∨ B3, Ω;
A2 ∨ A3, B2 ∨ B3, Ω
jeweils kopunktal sind.
3.2 Beobachtung Wenn das projektive Desargues-Axiom erfüllt ist, gilt das (affine) Desargues-
Axiom in der affinen Spezialisierung (Paff , Laff , ∈) bezüglich einer beliebigen unendlichfernen
Geraden Ω ∈ L.
Beweis. In der affinen Spezialisierung mögen die Voraussetzungen des affinen Desargues Axiom
((Des) oder (des)) vorliegen. Wir dürfen annehmen, daß die 6 Geraden Ai ∨ Aj, Bi ∨ Bj verschie-
den sind (sonst hat man einen Trivialfall).
Da A1 ∨ A2 � B1 ∨ B2 vorausgesetzt ist (in der affinen Spezialisierung), liegt der Schnittpunkt von
A1 ∨ A2 mit B1 ∨ B2 (in der projektiven Ebene) auf der Geraden Ω. Ebenso liegt der Schnitt-
punkt von A1 ∨ A3 mit B1 ∨ B3 auf Ω. Beide Schnittpunkte sind verschieden. Da wir das projek-
tive Desargues-Axiom vorausgesetzt haben, liegen die beiden erwähnten Schnittpunkte mit dem
Schnittpunkt von A2∨A3, B2∨B3 kollinear; d.h. Ω verläuft auch durch diesen dritten Schnittpunkt.
3.3 Lemma Wenn die projektive Ebene (P, L, ∈) isomorph ist zu einer projektiven Ebene über
einem 3-dimensionalen Vektorraum, so gilt in (P, L, ∈) das Desargues-Axiom.
Beweis. Die Voraussetzungen des projektiven Desargues-Axiom mögen vorliegen.
Wir dürfen wieder annehmen, daß die 6 Geraden Ai ∨ Aj, Bi ∨ Bj verschieden sind. Sei Ω die Ge-
rade durch die Schnittpunkte von A1 ∨A2 und B1 ∨B2 sowie A1 ∨A3 und B1 ∨B3. Die Gruppe der
Zentralkollineationen mit Achse Ω und Zentrum Z ist linear transitiv (2.12 im Kapitel ’Projektive
Ebenen ...’). Deshalb existiert eine Zentralkollineation ϕ in dieser Gruppe mit ϕ(A1) = B1. Sie
erfüllt dann ϕ(Ai) = Bi für i = 1, 2, 3. Deshalb gilt ϕ(A2 ∨ A3) = B2 ∨ B3. Da der Schnittpunkt
von A2 ∨ A3 mit der Achse Ω ein Fixpunkt ist, verläuft B2 ∨ B3 durch diesen Fixpunkt.
3.5 Projektives Pappus-Axiom Seien Γ1, Γ2 ∈ L und A1, ..., A6 ∈ P mit A1, A3, A5 ∈ Γ1, �∈ Γ2
und A2, A4, A6 ∈ Γ2, �∈ Γ1. Dann existiert eine Gerade Ω derart, dass
A1 ∨ A2, A4 ∨ A5, Ω;
A1 ∨ A6, A3 ∨ A4, Ω;
A2 ∨ A3, A5 ∨ A6, Ω
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jeweils kopunktal sind.
3.6 Beobachtung Wenn das projektive Pappus-Axiom erfüllt ist, gilt das (affine) Pappus-Axiom
in der affinen Spezialisierung (Paff , Laff , ∈) bezüglich einer beliebigen unendlichfernen Geraden
Ω ∈ L.
Beweis analog zu 3.2
3.5 Algebraisierungstheorem für projektive Ebenen
Folgende Aussagen sind äquivalent.
a) Die projektive Ebene erfüllt das (projektive) Desargues-Axiom.
b) Die projektive Ebene ist isomorph zu einer projektiven Ebene zu einem 3-dimensionalen Vek-
torraum über einem Schiefkörper.
Zusatz Eine projektive Ebene ist genau dann isomorph zu einer projektiven Ebene zu einem 3-
dimensionalen Vektorraum über einem Körper, wenn das (projektive) Pappus-Axiom gilt.
Beweis. Wir betrachten die affine Spezialisierung (Paff , Laff , ∈) bezüglich einer unendlichfernen
Geraden Ω ∈ L.
Nach 3.2 gilt in (Paff , Laff , ∈) das affine Desargues-Axiom (bzw. sogar das affine Pappus-Axiom).
Nach 2.5 ist (Paff , Laff , ∈) isomorph zur affinen Ebene zu einem Vektorraum K 2 (K ein passender
Schiefkörper bzw. sogar ein Körper).
Die affine Ebene über K 2 ist isomorph zur affinen Spezialisierung der projektiven Ebene Π(K 3 )
bezüglich irgendeiner unendlichfernen Geraden, zum Beispiel {(λ1, λ2, 0) | λi ∈ K}.
Deshalb ist die affine Spezialisierung (Paff , Laff , ∈) isomorph zu der ebengenannten affinen Spe-
zialisierung von Π(K 3 ).
D.h. es gilt eine Kollineation ϕ von (Paff , Laff , ∈) auf die affine Spezialisierung von Π(K 3 ).
Diese Kollineation bewirkt eine Kollineation von (P, L, ∈) auf Π(K 3 ) (ein Punkt auf Ω, ent-
sprechend einem Parallelbüschel von (Paff , Laff , ∈), wird durch ϕ auf ein Parallelbüschel von
(Paff , Laff , ∈), entsprechend einem Punkt der unendlichfernen Geraden {(λ1, λ2, 0) | λi ∈ K}
abgebildet).
Um auch den Zusatz vollständig zu beweisen, wäre noch zu zeigen: In einer projektiven Ebene
Π(K 3 ), K ein Körper, gilt das projektive Pappus-Axiom. Wir lassen den Beweis weg.
Der projektive Abschluss der Moulton-Ebene ist keine projektive Ebene zu einem Vektorraum;
denn dann wäre nach die Moulton Ebene eine affine Spezialisierung einer projektiven Ebene zu
einem Vektorraum und nach 1.8 deshalb eine affine Ebene zu einem Vektorraum.
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Bemerkungen zur Existenz projektiver Ebenen
In jeder projektiven Ebene sind je zwei Geraden (als Punktmengen) gleichmächtig (es gibt eine
Bijektion der einen auf die andere Gerade).
Wir betrachten eine projektive Ebene. Die Anzahl der Punkte auf einer Geraden sei χ (kann ∞
sein).
Jede affine Spezialisierung der projektiven Ebene hat dann χ − 1 Punkte auf jeder Geraden.
Man nennt χ − 1 die Ordnung der projektiven Ebene.
Eine projektive Ebene Π(V ) zu einem K-Vektorraum V hat Ordnung |K| (die Anzahl der 1-
dimensionalen Untervektorräume in einem festen 2-dimensionalen Untervektorraum ist |K| + 1).
Deshalb gibt es zu jeder Primzahlpotenz p k (k ∈ IN) mindestens eine projektive Ebene dieser Ord-
nung (Π(K 3 ) wobei K der Körper mit |K| = p k ist).
Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper (Satz von Wedderburn).
Deshalb ist jede desarguessche Ebene endlicher Ordung schon eine Pappus-Ebene.
Im allgemeinen gibt es nicht-isomorphe Ebenen zur gleichen Ordnung p k . Aber zum Beispiel gibt
es nur eine Ebene der Ordnung 4 (die zum Körper mit 4 Elementen).
Lange Zeit war nicht bekannt, ob eine projektive Ebene der Ordnung 10 existiert. Das wurde in-
zwischen durch Computerberechnung ausgeschlossen.
Die nächste offene Ordnung ist 12; man weiss nicht, ob es eine projektive Ebene der Ordnung 12
gibt.
Immer noch das einzig allgemeine Resultat über die Nichtexistenz projektiver Ebenen mit vorge-
gebener endlicher Ordnung ist das
Theorem von Bruck und Ryser (1949) Sei n ∈ IN, n ≡ 1 oder 2 mod 4.
Falls eine projektive Ebene der Ordnung n existiert, ist n = a 2 + b 2 für passende a, b ∈ IN0.
Für n = 10 ist n ≡ 2 mod 4 und n = 1 2 + 3 2 . Nach dem Theorem könnte es also eine projektive
Ebene der Ordnung 10 geben.
Für n = 12 ist n ≡ 0 mod 4 und das Theorem von Bruck und Ryser liefert keine Information.
Zum Beispiel liefert das Bruck-Ryser-Theorem die Nichtexistenz von projektiven Ebenen der Or-
nungen 6, 14, 21, 22 .
Kommentar zum Fortgang
Bei geradlinigem Kurs sollten nun Verallgemeinerungen auf projektive und affine Räume (d.h. nicht
nur Ebenen) folgen.
Um Abwechslung bemüht behandeln wir aber zuerst symmetrische Bilinearformen und orthogonale
Gruppen.
Die Welt der projektiven Räume höherer Dimension ist (im Gegensatz zur Welt der projektiven
Ebenen) in gewisser Weise wunderbar schlicht: ein projektiver Raum, der keine projektive Ebe-
ne oder Gerade ist, ist isomorph zu einem projektiven Raum Π(V ) (V ein K-Vektorraum mit
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dimV ≥ 4, K Schiefkörper)! Das liegt daran, daß in diesen Räumen das Desargues-Axiom beweis-
bar ist.
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