Bestimmung der Mondentfernung.pdf - Xplora

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Astronomie
Thema: Der Mond (Zusatzaufgabe)
TMD: 16128
Kurzvorstellung
des Materials:
Übersicht über die
Teile
Information zum
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• Dieses Zusatzarbeitsblatt zeigt eine Möglichkeit auf, die
Entfernung Mond – Erde mit einer recht alten, aber sehr
präzisen Methode bei einer Mondfinsternis zu bestimmen
• Das Ihnen hier vorliegende Arbeitsblatt ist Teil einer
Sammlung für den Astronomieunterricht, welche Sie gratis
beim Kauf eines Meade Schul-Teleskops erhalten.
• Nähere Informationen finden Sie unter
www.Schulteleskope.de
• Bestimmung der Mondentfernung von der Erde nach Hipparch
von Nikaea
Ca. 6 Seiten, Größe ca. 369 KByte
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SCHOOL-SCOUT s Der Mond (Zusatzaufgabe) Seite 2 von 6
Name:____________________________ Klasse:___________ Datum:________________
1. Vorwort
Versuch zur Bestimmung der Mondentfernung
Die Entfernung des Mondes von der Erde lässt auf mehrere Arten bestimmen. Die hier
vorgestellte Methode nutzt die Mondfinsternis und den damit erzeugten Erdschatten auf
der Mondscheibe um die Entfernung des Erdmondes zu berechnen. In dieser Aufgabe
werden Daten gestellt, mit denen sich die Entfernung berechnen lässt. Soll das Experiment
jedoch selbst durchgeführt werden, ist eine Mondfinsternis erforderlich.
2. Theorie
Bei einer Mondfinsternis tritt der Mond bekanntlich in den Kernschatten der Erde. Dabei
wird der kreisförmige Schatten auf der Mondoberfläche sichtbar. In folgender Abbildung
ist die Situation bei einer Finsternis dargestellt:
(πS : Parallaxe der Sonne, πM : Parallaxe des Mondes, ρ : scheinbarer Radius des Kernschattens
der Erde am Mond, ρM : scheinbarer Radius des Mondes, ρS : scheinbarer
Radius der Sonne, RS/E/M : wahrer Radius der Sonne/der Erde/des Mondes, r : Abstand
Erde - Mond)
a. Welche Beziehung der Außenwinkel am Punkt E zu den Innenwinkeln bei S
und M gilt im Dreieck SME?
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SCHOOL-SCOUT s Der Mond (Zusatzaufgabe) Seite 3 von 6
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Im Folgenden wollen wir das Verhältnis der scheinbaren Radien des Kernschattens der
Erde auf der Mondoberfläche und der Mondscheibe selbst als V bezeichnen und erhal-
ρ π S + π M − ρS
ten mit a): V = =
ρ ρ
M
M
b. Was gilt laut der Zeichnung für πM in Abhängigkeit von RE und r?
c. Setze das Ergebnis in V ein! Was folgt damit für r?
Zur Auswertung benötigen wir noch die scheinbaren Radien der Sonne und des Mondes.
Diese bestimmt man am besten mit einem Fernrohr und einem Fadenkreuz. Dazu
folgende Überlegung: Auf dem Himmelsäquator bewegt sich die Sonne in 24h um
360°. Ihre Winkelgeschwindigkeit beträgt somit 15°/h. Da sich die Sonne bei einer
Deklination δ ungleich Null allerdings auf einem verschobenen Parallelkreis zum Äquator
mit einer kleineren Winkelgeschwindigkeit bewegt, beträgt ihre Winkelgeschwindigkeit
dann nur 15° / h ⋅cos(
δ ) . Bei einer Durchgangszeit t durchs Okular beträgt
der zurückgelegte Winkel: t ⋅15° / h⋅
cos( δ ) . Mit 15°/h = 15’’/s folgt für den
scheinbaren Radius der Sonne:
t S
ρ S = ⋅(
15,
00''
/ s)
⋅cos(
δ ) und für den Mond analog: ρM = ⋅(
14,
49''/
s)
⋅cos(
δ )
2
2
3. Messung
Nachdem nun alle Formeln zur Berechnung von r vorliegen, geht es zum eigentlichen
Messvorgang. Zunächst benötigen wir die Durchgangszeiten des Mondes und der Sonne.
Diese werden am besten am selben Tag der Finsternis gemessen und notiert. Hier im Beispiel:
t S
= ( 134,
8 ± 0,
5)
s und = ( 134,
0 ± 0,
5)
s
t M
Die Deklinationen betrugen dabei -14°32’ für die Sonne und +14°25’ für den Mond.
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t M

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Die besten Ergebnisse für die Bestimmung des Mondradius und des Kernschattenradius
erzielt man mit Fotografien. Auf den Fotos sollte der Mond gut erkennbar und nicht zu
klein abgebildet sein (mindestens 4 cm Durchmesser).
Anhand der Bilder werden dann die Radien ρ und ρM bestimmt. Hier:
ρ = ( 20,
2 ± 0,
6)
mm und ρ = ( 52,
8 ± 1,
5)
mm
M
4. Auswertung der Messdaten
Mit den oben gewonnen Messdaten können nun die verschiedenen Größen mit ihren
Größtfehlern berechnet werden.
a. Berechne V unter der Annahme, dass der geometrische Kernschattenrand 2%
kleiner ist als der optische. Warum eigentlich?
b. Was folgt aus den Messwerten für die scheinbaren Radien von Sonne und
Mond?
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c. Mit obigen Werten, einem Erdradius von RE = (6378±319) km und unter Vernachlässigung
der Sonnenparallaxe πS gegenüber ρM und ρS (da die Sonne so
weit entfernt ist und aufgrund der hier vorliegenden Messgenauigkeit), ergibt
sich also für r:
Vergleiche mit dem tatsächlichen Wert aus einem Sternenkalender an diesem
Tag von r = 385040km
.
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Lösung:
2. Theorie
a. Die Summe der Außenwinkel ist gleich der Summe der Innenwinkel der Grund-
ρ + ρ = π + π
b.
c.
linie: S S M
RE M
r
= π
4. Auswertung
RE
+ π S − ρ S
V =
r
→
ρ
M
RE
r =
V ⋅ ρ + ρ −π
ρ ( 52,
8 ± 1,
5)
a. V = 0 , 98⋅
= 0,
98⋅
= 2,
56 ± 0,
14 .
ρ ( 20,
2 ± 0,
5)
M
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M
S
2%, weil die Lichtstrahlen in der Atmosphäre leicht gebrochen werden.
t S
( 134,
8 ± 0,
5)
s
b. ρS
= ⋅(
15''
/ s)
⋅cos(
δ ) =
⋅(
15''
/ s)
⋅cos(
−14°
32')
= ( 985,
5 ± 3,
7)''
2
2
tM ( 134,
0 ± 0,
5)
s
ρM
= ⋅(
14,
49''/
s)
⋅cos(
δ ) =
⋅(
15''
/ s)
⋅cos(
+ 14°
25')
= ( 979,
9 ± 3,
7)''
2
2
c.
RE
r =
V ⋅ ρ + ρ
M
S
→ r =
( 375575 ± 33326)
km
S
360⋅
3600"
( 6378 ± 319)
km
=
2π
( 2,
56 ± 0,
14)
⋅(
985,
5 ± 3,
7)"
+ ( 979,
9 ± 3,
7)"