3. Übung – Algorithmen II - Christian Schulz und Johannes Singler

3. Übung – Algorithmen II 

Christian Schulz und Johannes Singler 

Institut für Theoretische Informatik, Prof. Sanders 

1 KIT Christian – Universität des Schulz Landes Baden-Württemberg und Johannes undSingler: 


Fakultät für Informatik 

Institut für Theoretische Informatik 

nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Organisatorisches 

Übungsblätter 

Das zweite Übungsblatt steht seit Dienstag online. 

Die Musterlösung des zweiten Übungsblatts erscheint am 18.11. 

Umfrage zur Übung 

Teilnahme weiter möglich 

https://ilias.rz.uni-karlsruhe.de/goto_rz-uka_svy_83373.html 

34 Teilnehmer, könnten noch mehr werden 

2 Christian Schulz und Johannes Singler: 



Institut für Theoretische Informatik

Inhalt heute 

1 Wiederholung A*-Suche / Landmark-Algorithmus 

Details 

grafische Veranschaulichung mit Maple und Applet 

2 Maximale Flüsse 

Applet zu Ford-Fulkerson 

Anwendung 





A*-Suche 

ganz allgemein 

informierter Such-Algorithmus für Kürzeste Wege in Graphen 

definierter Startknoten, definierte (potentiell mehrere) Zielknoten 

negative Kantengewichte okay (aber natürlich keine Zyklen) 

zielgerichtet durch heuristische Funktion h 

zur Schätzung der Distanz zum Zielknoten 

nicht verwechseln: in Vorlesung f := h 

Scanne Knoten mit kleinstem f (v) = g(v) + h(v), 

wobei g die (genau bekannte) Distanz vom Startknoten ist 

Knoten werden im Allgemeinen mehrfach gescannt. 





A*-Suche Material 

Anwendungen 

in der Künstlichen Intelligenz: 

finden von besten Lösungen für Puzzle, z. B. Rubiks-Cube 

implizite Graphen (erzeuge neue Knoten durch 

Kantentraversierung), extrem groß 

Applets 

http://www.stefan-baur.de/priv.studies.hauptseminar.html 

http://www.geosimulation.de/umsetzungen/2_0_2_Modelle/ 

A-Star.html 

„Literatur“ 

http://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm 

deutscher Wikipedia-Artikel grenzwertig 





Beschleunigung kürzester Wege 

mittels Potentialen 

Bedingungen an Potential h 

allgemeine A*-Suche sagt: 

Nie Kosten zum Ziel (d. h. hier Potential) überschätzen! 

„zulässige“ Heuristik im Sprachgebrauch von A* 

garantiert „Korrektheit“, kürzesten Pfad zu finden 

nie zu spät relaxieren 

Wir wollen Dijkstra verwenden ⇒ keine negativen Kantengewichte 

¯c(e) = c(e) + h(v) − h(u) ≥ 0 

„konsistente“ Heuristik im Sprachgebrauch von A* 

Algorithmus vereinfacht sich, jeder Knoten wird nur noch einmal besucht 

⇒ wird äquivalent zu Dijkstra auf ¯c. 

Wir könnten sonst immer noch Bellman-Ford verwenden, 

neue negative Zyklen entstehen nicht. Ist aber zu teuer. 

beide Eigenschaften erstmal unabhängig voneinander 





„konsistent“ ⇒ „zulässig“? 

Erstmal nicht. . . 

Potential kann man immer um eine Konstante verschieben, 

ohne dass sich an den neuen Kantengewichten etwas ändert. 

Man kann f (v) ≤ µ(v, t) immer brechen mit f (v) + C � µ(v, t) 

(Konstante C aufaddieren, die nur groß genug ist). 

¯c ändert sich nicht, und damit auch der Lauf des Algorithmus nicht. 

aber. . . 



c((u, v)) + f (v) − f (u) ≥ 0 ⇔ 

c((u, v)) ≥ f (u) − f (v) 

µ(v, t) = c((v, v 1)) + ... + c((v k , t)) ≥ f (v) − f (v 1) + ... + f (v k ) − f (t) ⇔ 

f (v) − f (t) ≤ µ(v, t) ⇔ 

f (v) ≤ f (t) + µ(v, t) ⇔ 

Σ 

⇒ 

⇒ überschreitet µ(v, t) sowieso höchstens um konstantes f (t) 

Steigung darf nicht steiler sein als Kantengewicht. 



Korrektheit 

f (v) ≤ f (t) + µ(v, t) reicht aus für Korrektheit 

f (t) ≤ 0 ⇒ f (v) ≤ µ(v, t) trivialerweise 

f (t) ≥ 0 ⇒ d[t] ≤ d[t] + f (t) ≤ c(p) gilt immer noch (Folie 138) 

⇒ Algorithmus hört nicht zu früh auf. 

am einfachsten: Wähle f (t) = 0 (auch impliziert durch f : V → R + ) 

Fazit: Konsistenz impliziert etwas, was der Zulässigkeit so nahe 

kommt, dass der Algorithmus immer noch funktioniert. 





Landmark-Algorithmus 

erster Ansatz 

f (v) = µ(v, t) wäre das optimale Potential. 

Algorithmus läuft nur Knoten ab, die auf kürzesten Pfaden liegen. 





Landmark-Algorithmus 

erster Ansatz 

f (v) = µ(v, t) wäre das optimale Potential. 

Algorithmus läuft nur Knoten ab, die auf kürzesten Pfaden liegen. 

Potentiale brauchen so viel Speicher wie wie alle kürzesten Wege 

⇒ Vorberechnung sinnlos 

Kompromiss 

Berechne Potential für einige t, genannt Landmarks. 

Bei konkreter Anfrage: 

Wähle Landmark hinter dem Ziel (heuristisch). 

Potential für Landmark ℓ: f (v) = µ(v, ℓ) − µ(t, ℓ) 





Qualität der Landmarks 

Was passiert für schlechte Landmark vor/gegenüber dem Ziel? 

Korrektheit? Geschwindigkeit? 





Qualität der Landmarks 

Was passiert für schlechte Landmark vor/gegenüber dem Ziel? 

Korrektheit? Geschwindigkeit? 

immer korrekt dank „Dreiecksungleichung“ 

f (v) = µ(v, ℓ) − µ(t, ℓ) ≤ µ(v, t) ⇔ µ(v, ℓ) ≤ µ(v, t) + µ(t, ℓ) 



s v t 

Algorithmus sucht in falsche Richtung ⇒ langsamer 

ℓ 



Grafische Veranschaulichung 

von Potentialen 

Maple-Demo 

Pegel steigt an, genauer (nach Dijkstra): 

Bleibe auf Niveau, steige nur an, wenn es nicht anders geht, 

und höherer Knoten noch nicht besucht 

Problem bei Gefälle: Algorithmus „bleibt stecken“, 

da höhere Knoten schon besucht 

deswegen: keine negativen Kantengewichte 





Maple-Demo 

Maple-Dokument: 

http://algo2.iti.kit.edu/documents/AlgorithmenII_WS10/AStarPotential.mw 





Einordnung A*-Suche 

A*-Suche besser oder schlechter als andere Algorithmen? 

allgemein im schlimmsten Fall exponentielle Laufzeit 

schlechter als Dijkstra 

schlechter als Bellman-Ford 

katastrophal 

Unter „Konsistenzbedingungen“ wie Dijkstra, sehr gut 

zielgerichtet 

in der Praxis mit gutem Potential (z. B. durch gute Landmark) 

viel besser als Dijkstra 





Demo Ford-Fulkerson-Algorithmus 

Applets 

http://www-b2.is.tokushima-u.ac.jp/~ikeda/suuri/maxflow/ 

MaxflowApp.shtml?demo4 (Demo 1) 

http://links.math.rpi.edu/applets/appindex/graphtheory.html 





Graphpartitionierung 

Was ist Graphpartitionierung? 

Geben G und k > 1, teile V in k Blöcke V 1, V 2, ...V k so dass: 

1 alle Mengen disjunkt, und die Vereinigung gerade V ist 

2 alle Mengen ungefähr gleich groß 

3 Anzahl der Kanten wird minimiert 





Notation 

ungerichteter Graph G = (V , E, c, ω), n = |V |, m = |E| 

Knotengewichte c : V → R>0 

Kantengewichte ω : E → R≥0 

Erweiterung auf Mengen 

1 c(V ′ ) := ∑v∈V ′ c(v) 

2 ω(V ′ ) := ∑v∈V ′ ω(v) 

Schnittkanten Eij := {{u, v} ∈ E : u ∈ Vi, v ∈ Vj} Nachbarschaft eines Knotens Γ(v) := {u : {u, v} ∈ E} 






Formal 

Geg.: Graph G = (V , E, c, ω) 

Knotengewichtsfunktion c : V → R>0 

Kantengewichtsfunktion ω : E → R≥0 

k ∈ N, ɛ ∈ R>0. 

Ges.: Blöcke V 1, ..., V k von V 



mit V = � 

i V i und V i ∩ V j = ∅ (i �= j) 

mit c(V i) ≤ (1 + ɛ)c(V )/k ∀i (Balancebedingung) 

und Kantenschnitt = ∑i

Beispiel zur Klärung der Begriffe 

Partitionierung 



unungerichteterraph 

G = (V , E), n = |V |, m = |E| 

c ≡ 1, ω ≡ 1 

Kantenschnitt = 17 

Balancebedingung? 



Beispiel zur Klärung der Begriffe 

Partitionierung 



ungerichteter Graph 

G = (V , E), n = |V |, m = |E| 

c ≡ 1, ω ≡ 1 

Kantenschnitt = 17 

Balancebedingung? 

ɛ = 0.25 

7, 8, 10, 8 ≤ (1+ɛ) 

k c(V ) = 10.31 

Optimal? 



Motivation 

Anwendung sind überall: 

Social Networks 

Parallel Computing (Finite Element Methode, LGS) 

Chipdesign 

Airline Crew Scheduling 





Beispiel 

Finite Element Methode 





Standard für Graphpartitionierung 

Multilevelframework 

match 

contract 

input 

graph 



... ... 

local improvement 

initial 

part. 

uncontract 

output 

partition 




match 

input 

graph 

... 

contract uncontract 

initial 

partitioning 




... 

output 

partition 









Flows 

Gegeben initiale Partition 

Wie kann man Flows als lokalen Verbesserungsschritt verwenden? 

Probleme? 

G 

b1 



b2 



Flows als Verfeinerungsschritt 

Konstruktion 

G 

s 

b1 



B 

t 

b2 

B, so dass jeder MinCut in B einen ɛ-balanced cut in G induciert 

z.B. 2 mal Breitensuche (Links, Rechts) 

stoppen der BFS, wenn Größe (1 + ɛ) n 2 − ω(b2) überschritten 

⇒ ω(b2new) ≤ ω(b2) + (1 + ɛ) n 2 − ω(b2) 



Flows 

Flussberechnung in diesem Bereich liefert für diesen optimale Cuts 

ɛ-balanced Partitioning allerdings NP-hart 

s 



t 



Flows - Verbesserungen 

in größeren Bereichen nach zulässigen Cuts suchen? 

Stichwort: Most Balanced Minimum Cuts (NP-hart) 

Zutaten: Starke Zsh. Komp. (DFS!), DAGs, Topologisches 

Sortieren, Adaptive Suchstrategie 

s 



t 




Spielwiese der Basic Toolbox: 

Matchings, Clusterings?, Sortieren, Addressierbare PQs, 

Dynamisches Programmieren, BFS, DFS, MaxFlows, Topologisches 

Sortieren, Edge Colorings, Tabu-Suchen, Meta-Heuristiken, Parallel, 

Extern ... 

Bei Interesse ⇒ vorbeikommen!

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