FACHBEREICH ARCHITEKTUR - Goepf Bettschen

BAULEITER HOCHBAU
K U R S
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E
10) DAS ZENTRISCHE KNICKEN
1) Stabilität
2) Das Knicken
3) Knicklängen
4) Kritische Spannungen, Schlankheitsgrad, Trägheitsradius
5) Knickspannungen, zul. Schlankheitsgrade,Knickwiderstand
6) Grobe Berechnung von Stützen mit Näherungstabellen
7) Beispiele zu Knicken
g.bettschen

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1) Stabilität
Auf das Bauwerk wirken vertikale und horizontale Kräfte
Ein System, dessen an ihm angreifenden Kräfte im Gleichgewicht sind, ist stabil, wenn
Arbeit geleistet werden muss um das Gleichgewicht der Kräfte zu verändern.
labiles
System
Es gibt aber auch Bauteile, die von der Belastung her instabil werden können. Besonders
gefährdet sind Druckstäbe, Scheiben und Schalen.
Das unstabilwerden von Druckstäben nennt man Knicken.
l
F
Druckstab
D:\Dez 2011\Statik10.DOC 12.12.2011
stabiles
System
Die Formeln für die Spannungen und Formänderungen sind nur anwendbar und
theoretisch richtig wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind :
1) Die Last F greift absolut zentrisch an.
2) der Stab muss absolut gerade sein.
3) Das Material ist absolut homogen.
Alle drei Voraussetzungen sind in der Praxis nicht erfüllt, deshalb sind obige
Formeln nur gültig, wenn die Stabilität gewährleistet ist.
Y
Y 1
2
2) Das Knicken
Yo
F
F
y
=
Fast jede Säule hat eine anfängliche Ausbiegung yo.
Durch diese Ausbiegung yo entsteht im Stab ein
Moment M = F ⋅ yo.
Dieses Moment M hat nun wiederum eine zusätzliche
Ausbiegung y1 zur Folge, worauf sich das Moment nochmals
um F ⋅ y1 vergrössert und eine weitere Ausbiegung y2 bewirkt.
Dieser Prozess setzt sich fort, bis schlussendlich die
Materialfestigkeiten überschritten werden.
⇒ y = yo + y1 + y2 + . . . + yn
Diese Ausbiegungen sind zueinander ähnlich :
y 0
y1 = α ⋅ yo ; y2 = α ⋅ y1 = α 2 ⋅ yo ; y3 = α ⋅ y2 = α 3 ⋅ yo
y = yo + α ⋅ y0 + α 2 ⋅ yo+ α 3 ⋅ yo+ . . . α n ⋅ yo
y = yo ⋅(1+ α + α 2 + α 3 . . . α n )
1
⋅
1 − α
σ =
F
= E ⋅ ε =
A
l
⋅
l
=
⋅
⋅
E
Δ
Δl
F l
E A
α = F / FE
FE = Eulersche Knicklast
Sobald nun der Wert α = 1 wird, wird y = ∞, auch bei noch so kleinem y0.
Man nennt daher α = 1 die Knickbedingung.

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Für die folgenden Berechnungen wird angenommen, dass die Ausbiegung mit einer
Sinuskurve erfasst werden kann und E ⋅ I konstant ist.
Aus der Differentialgleichung der Durchbiegung
F y’’ + M/( E ⋅ I ) = 0 und der Funktionsgleichung der Sinuskurve erhält
man durch integrieren und durch einsetzten von M = F⋅ yo die
x
sogenannte Euler’sche Knicklast für die Knickbedingung α = 1:
l
y F Kr = π
2
⋅
E ⋅ I
(FE= Euler’sche Knicklast)
2
L
F
Da der Stab in Form einer Sinuswelle ausknickt, kann er je nach
Befestigung in verschiedenen Halbwellen ausknicken. Fkritisch ist also
diejenige Last, die ein Stab gerade noch erträgt.
F
3) Knicklängen
Die Knicklänge ist diejenige Länge, bei der ein beidseitig gelagerter Stab unter der gleichen
Belastung wie der zu untersuchende Stab ausknickt.
F F F F
Kr
E ⋅ I
= π ⋅
L
2
2
L L L L
lK = L
lK=0.5⋅L
lK=0.7⋅L
lK=2⋅L
Bei den eingespannten Stäben ist aufzupassen, ob durch die Einspannung nicht
zusätzliche Momente in die Stäbe eingeleitet werden, was dann ein exzentrisches Knicken
zur Folge haben kann und zu einer Verminderung der berechneten Tragfähigkeit führt.
Es empfiehlt sich daher, bei nicht genauen Kenntnissen der Einspannung für
das Knicken eine beiderseitig gelenkige Lagerung anzunehmen.
4) Kritische Spannungen, Schlankheitsgrad, Trägheitsradius
Aus der kritischen Knickkraft können nun die kritischen Spannungen berechnet werden :
2
FKr
π ⋅ E ⋅ I
σ Kr = = 2
A A⋅
lK
I und A sind nur von der Grösse und Gestalt des Stabes abhängig, man hat deshalb einen
neuen Begriff eingeführt :
Trägheitsradius
D:\Dez 2011\Statik10.DOC 12.12.2011
i =
I
A
Schlankeitsgrad λ = lK
i
E I
FKr
= ⋅ ⋅
L
F
2 E ⋅ I 2 E⋅I 1 2 ⋅
π
Kr = 2 ⋅π⋅ 2 FKr
= 4 ⋅π⋅ 2
2
L
L
4
Der Wert i ist der Massstab für die Steifigkeit des
Stabes, er ist sehr wichtig und deshalb in den
Querschnittstabellen aufgeführt.

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2 2 2
π ⋅E⋅i π ⋅ E
Kritische Spannung σ Kr = = 2
2
lK
λ
Die kritische Spannung ist also nur von E und der Schlankheit des Stabes abhängig und
stellt die durchschnittliche Spannung dar, die ein Stab gerade noch erträgt.
Im Mauerwerksbau versteht man unter Schlankheit oft das Verhältnis der Mauerhöhe zur
geringsten Wandstärke.
z
Trägheitsradius beim Rechteck
i y ≈ 0289 · h
h
y
(aus den Formeln für I, A und i )
i z ≈ 0289 · b
Die Formeln von Euler für Fkrit und σkrit gelten nur für
den elastischen Bereich, das heisst also, so lange bis
σkrit kleiner σp bzw. σf wird
(σp = Proportionalitätsgrenze, σf = Fliessgrenze).
5) Knickspannungen, zulässige Schlankheitsgrade und
Bemessungswert des Knickwiderstandes
Aus den vorher besprochenen theoretischen Überlegungen und auf Grund vieler Versuche
wurden in den verschiedenen Normen Angaben für das Berechnen von Druckstäben
gemacht :
Holzbau ( SIA 265, Zif 4.2.8)
Die maximale Schlankheit sollte normalerweise nicht grösser als λ = 150 sein.
Für den nachweis der Tragfähigkeit des Druckstabes aus Holz muss die folgende
Bedingung erfüllt sein:
σc,d ≤ kc · fc,d
Schlankheit λ = lk / i
Relative Schlankheit für Vollholz: λ rel = λ / 56.5
Für Brettschichtholz: λ rel = λ / 62.8
Knickbeiwert kc
aus Tabelle Figur 7, SIA 265
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b
σc,d = Bemessungswert der Druckspannung
fc,d = Bemessungswert der Druckfestigkeit für
vor Witterung geschützte Bauteile:
Nadelholz C24: fc,d = 12 N/mm 2
Brettschichtholz GL24h: fc,d = 14.5 N/mm 2

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Stahlbau ( SIA 263, Zif 4 5)
Die maximale Schlankheit sollte normalerweise nicht grösser als
λ = 200 für Haupttragelemente und λ = 250 für Verbände sein.
Für verschiedene Profilsorten wurden die Knickspannungskurven bestimmt ( siehe Fig. 7,
SIA 263), mit den Werten aus diesem Diagramm kann die Tragfähigkeit des Druckstabes
berechnet werden.
Der Bemessungswert des Knickwiderstandes NK, Rd = κK ⋅ fd ⋅ A
muss grösser sein als der Bemessungswert der Beanspruchung ( mit den
Sicherheitsfaktoren vergrösserte charakteristische Werte)
S235: ΛE = 94
Stahlbeton ( SIA 262)
Druckglieder sind auf Knicken zu berechnen, sobald der Schlankheitsgrad λcr den Wert 30
übersteigt.
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6) Grobe Berechnung von Stützen mit Näherungstabellen
Für unsere Zwecke genügt es, wenn wir die Berechnung der Stützen mit einfachen
Näherungstabellen durchführen.
Hier eine solche einfache Hilfstabelle, die für uns genügend genaue Resultate liefert.
Stützen aus Stahlbeton, Stahl, Holz
Berechnungsgang:
1) Querschnitt wählen ( Fläche A, Trägheitsradius i)
2) Schlankheitsgrad λ = lk / i berechnen
3) Reduzierte Baustoff-Knickfestigkeit fkd aus Tabelle herauslesen
4) Nachweis das Nrd = fkd x A > (grösser als) Nd Schlankheitsgrad
λ
lk / i
Näherungswerte der reduzierten Baustoff-Knickfestigkeit fkd
Baustahl
S235
Stahlbeton
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Holz
Mauerwerk
Mit Bewehrungsgrad in % vom Querschnitt
3 - 4 2 - 3 1 -2 0.6 – 1 0.6
20 224 23 13 17 15 13 12.3 2.9
30 210 20 12 15 12 10 11.5 2.6
40 198 19 11 13 10 9 10.3 2.5
50 184 17 10 12 9 7 9.3 2.2
60 169 16 9 10 9 7 8.1 1.9
70 153 15 8 9 7 6 7.1 1.7
80 139 12 7 7 6 4 5.9 1.5
90 125 10 6 6 4 3 4.8 1.2
100 112 9 5 6 4 3.8 1.0
110 101 7 4 4 3 3.2 0.7
120 90 7 4 4 2.6 0.4
130 81 6 3 3 2.3
140 74 4 3 1.9
150 65 4 2 1.7
Zwischenresultate linear interpolieren
Beispiel Holzstütze, lk = 5 m, Nd = 190 kN
1) Querschnitt gewählt 200/200 mm, A = 40'000 mm 2 , i = 58 mm
2) Schlankheit λ = lk / i = 87
3) fk d aus Tabelle: für λ= 80 = 5.9 N/mm 2
für λ= 90 = 4.8 N/mm 2 f k d für λ= 87 = 5.1 N/mm 2
lineare Interpolation : f k d = 5.9-((5.9 - 4.8)x 0.7) = 5.1 N/mm 2
4) Nachweis: Nk d = fk d · A = 5.1 · 40'000 = 204'000 N = 204 kN
N R d = 204 kN > N d = 190 kN → i.O.

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7) Beispiele zu Knicken
Beispiel a : Holzstütze
2.50 m
N
Beispiel b : Stahlstütze
3.00 m
N
Beispiel c : Stütze
N
4.50 m
Beispiel d : Stahlstütze
2.80 m
2.80 m
N
IPE 200
Kantholz C24 10/16 cm ; lk = 2.50 m
Gesucht : Bemessungswert NR d
des Knickwiderstandes
Nd = 105 kN, lk = 3.00 m
Gesucht :
erforderliches Stahlrohr aus S235
Nd = 406 kN, lk = 4.50 m
Gesucht :
Bestimmung der erforderlichen Stützengrösse
mit Knicknachweis, lky = lkz
a) Brettschichtstütze GL234h von 200 mmm Breite
b) Walzprofil HEA-Reihe, S235
c) Betonstütze Beton C25/30
Stahlstütze aus IPE 200, S235
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Gesucht :
Bemessungswert NR d des Knickwiderstandes

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