Symmetrie und Ornamentik

Technische Universität Darmstadt 

Fachbereich Mathematik 

Wissenschaftliche Hausarbeit zum 

Ersten Staatsexamen für das Lehramt an Gymnasien 

Symmetrie und Ornamentik 

Claus Rohrbach 

Betreuer: Prof. Dr. phil. nat. Gunter Stein 

Riedstadt, November 1998

Symmetrie und Ornamentik Claus Rohrbach 2 

Vorwort 

In der Vorbereitungsphase zu dieser Staatsexamensarbeit besuchte ich die Hundertwasser- 

Ausstellung in Darmstadt auf der Mathildenhöhe. Hier mußte ich feststellen, daß nicht alle 

Menschen von symmetrischen Figuren und Gebilden gleichermaßen fasziniert sind. Der 

Künstler Hundertwasser verbindet (ganz im Gegensatz zu mir) mit dem Begriff der 

Symmetrie eher negative Eigenschaften. Für ihn ist die Symmetrie starr und zu wenig 

lebendig. Nach seiner Ansicht macht sie geradezu krank. 

Vielleicht hat gerade diese gegensätzliche Ansicht von Symmetrie mein Interesse geweckt, sie 

genauer zu untersuchen, um ihrer Faszination auf den Grund zu gehen. Es fing mit dem 

Interesse an Kirchenfenstern an und vertiefte sich unter anderem in Ornamenten und Parketts. 

Während eines Aufenthaltes auf Zypern wurde mir die Allgegenwärtigkeit von Symmetrie 

verdeutlicht, da sie in der 10.000 Jahre alten zypriotischen Kultur immer wieder zu 

Verzierungszwecken benutzt wurde. Während der Anfertigung dieser Arbeit ist mir bewußt 

geworden, wie vielfältig sich Symmetrie äußern kann, und deshalb kann hier nur ein kleiner 

Einblick in ein großes und interessantes Gebiet der Mathematik gewährt werden. 

Ich möchte mich bei Herrn Prof. Dr. phil. nat. Gunter Stein für seine Hilfen, Anregungen und 

Betreuung vor und während der Ausarbeitung der Staatsexamensarbeit bedanken. 

Mein Dank gilt auch meinen Eltern, die mir durch ihre Unterstützung das Studium erst 

ermöglichten. 

Danken möchte ich auch meinem Bruder Bernd, der mir in allen technischen Fragen und 

Problemen sofort mit Rat und Tat zur Seite stand. 

Weiterhin möchte ich mich bei allen Freunden und Bekannten für die entgegengebrachte 

Rücksichtnahme bedanken. Während der Anfertigung dieser Arbeit habe ich leider sehr lange 

nichts von mir hören lassen. 

Ganz besonders möchte ich mich bei meiner Freundin Katharina bedanken, die mir durch ihre 

Liebe, Ruhe und Gelassenheit immer wieder neuen Mut und Kraft gegeben hat.


Inhaltsverzeichnis 

1. Einleitung 4 

2. Bewegungen 11 

2.1. Translationen 12 

2.2. Drehungen 12 

2.3. Spiegelungen 14 

2.4. Gleitspiegelungen 16 

2.5. Beschreibung bezüglich einer Orthonormalbasis 16 

3. Gruppe der Kongruenzabbildungen 18 

3.1. Die Erzeugenden der Gruppe K 18 

3.2. Eigentliche Bewegungen 19 

4. Punktgruppen 25 

4.1. Zyklische Gruppen 25 

4.2. Diedergruppen 27 

4.3. Klassifizierung von Autofelgen 32 

5. Friesgruppen 34 

6. Ornamentgruppen 41 

6.1. Kristallographische Restriktion 44 

7. Homöometrie 62 

8. Zweiseitige Fries- und Flächenornamente 63 

9. Die Symmetrie in der Kristallographie 64 

10. Parkettierung der euklidischen Ebene 65 

10.1. Laves-Netze 66 

10.2. Die 93 Klassen regulärer Parkettierungen 76 

11. Parkettierungen in der Kristallographie 87 

12. Hyperbolische Ornamente 91 

12.1. Spiegelung am Kreis 93 

12.1.1. Eigenschaften der Funktion z → 1/z 94 

12.2. Die Spiegelungsgruppe 101 

12.3. Hyperbolische Parkettierung 102 

12.4. Drehgruppen der hyperbolischen Geometrie 106 

13. Symmetrie und ihre Anwendung 107 

14. Palindrome 111 

15. Ausblick 113 

16. Abbildungsnachweis 115 

17. Literaturverzeichnis 117 

18. Symbolverzeichnis 120 

19. Anhang 121 

Versicherung 129


1. Einleitung 

Da der Symmetriebegriff in dieser Arbeit eine zentrale Stellung einnehmen wird, möchte ich 

auf die verschiedenen Sichtweisen von Symmetrie eingehen. Die Behandlung des Begriffs 

Symmetrie soll in diesem Kapitel nicht auf mathematisch - wissenschaftliche Weise 

geschehen. 

Wenn man in verschiedenen Lexika nach einer Begriffsbestimmung für Symmetrie sucht, so 

merkt man schnell, daß der Begriff Symmetrie mit einer Vielzahl unterschiedlicher Begriffe 

in Verbindung gebracht wird. So werden Beziehungen wie Anordnung, Ebenmaß, Ganzheit, 

Gleichheit, Harmonie, Nichtunterscheidbarkeit, Regelmäßigkeit, Spiegelung, Übereinstimmung 

und Zuordnung zur Symmetrie hergestellt. Um nun eine allgemeingültige 

Definition für den Begriff der Symmetrie zu erarbeiten, ist es unerläßlich, die 

Entstehungsgeschichte dieses Wortes zu verfolgen. 

Die Herkunft des Wortes Symmetrie ist in der altgriechischen Sprache zu finden. Dieses Wort 

setzt sich aus den zwei Teilen σνµ σνµ σνµ und µετρον µετρον zusammen. Der erste Teil bedeutet „mit“ und 

dem zweiten Teil kommt die Bedeutung „allgemeines Maß“ zu. Symmetrie heißt demnach, 

„mit einem gemeinsamen Maß“ 1 ausgestattet zu sein. Im Altertum wird durch ein Werk über 

die Proportionen von Polyklet (um 500 v. Chr.) der Begriff Schönheit in einem gewissen 

Grade mit Symmetrie verbunden. Der griechische Philosoph Aristoteles und sein Lehrer Plato 

(um 400 v. Chr.) zählen zu den drei Hauptformen der Schönheit die Ordnung, die Symmetrie 

und die Bestimmtheit. 

Um eine geeignete Begriffsdefinition von Symmetrie zu finden, ist es sinnvoll, den Begriff 

durch Merkmale zu kennzeichnen, die sich aus Aussagen über den Begriff ableiten lassen. 

Zuvor soll an verschiedenen Beispielen aufgezeigt werden, wie vielfältig und vielschichtig 

der Begriff der Symmetrie verwendet wird. 

Abbildung 1: Symmetrie in der Architektur des alten Theaters in Darmstadt 

1 Zitat aus: Flachsmeyer, J.: Mathematik und ornamentale Kunstformen / S. 5.


Beispielsweise wird der Begriff in der Kunsttheorie und der Architektur verwendet (vgl. 

Abb. 1). „Dieser Reiz der Symmetrie ist so allgemein verbreitet, daß Architekten in aller Welt 

sich diesem Streben in fast allen Baustilen gefügt haben.“ 2 Ebenso werden Verzierungen 

jeglicher Art in der Kunst untersucht, die einem symmetrischen Aufbau zugrunde liegen. 

Aber auch in der Musikwissenschaft wird von einem symmetrischen Aufbau gesprochen, der 

als Grundlage für die Form dient. So hat zum Beispiel der Musikwissenschaftler W. Graeser 

eine Musiktheorie entworfen, die auf dem mathematischen Begriff der Gruppe aufbaut. In 

seiner Theorie wird jedoch nicht auf den Begriff der Symmetrie eingegangen. Am häufigsten 

wird der Begriff der Symmetrie wahrscheinlich mit der Geometrie verbunden, da dieser 

Zusammenhang in der Schule am ehesten gelehrt wird. So wird beispielsweise das Muster 

einer Schneeflocke (vgl. Abb. 2) untersucht, das gegenüber 60° Drehungen unverändert 

erscheint. 

Abbildung 2: Die Formen der Schneeflocken können sehr unterschiedlich 

sein, aber sie besitzen alle eine sechszählige Drehachse. 

Symmetrie ist auch bei physikalischen Phänomenen zu beobachten. Wenn man z. B. bei zwei 

gegensätzlich geladenen Teilchen das Vorzeichen der Ladung ändert, so ändert sich nichts an 

dem elektrischen Feld und den Kräften zwischen den Teilchen. Ebenso wird auch in der 

Chemie die Symmetrie betrachtet. Dies geschieht beispielsweise bei der Untersuchung eines 

Kristalls. Bei Kristallen kann nämlich ein periodischer Aufbau des räumlichen Gitters 

beobachtet werden. In der Biologie finden sich wiederum Evolutionsprozesse, bei denen sich 

Proteinmoleküle in symmetrischer Weise verändern. Die Soziologie beschäftigt sich mit 

sozialen Einstellungen von Menschen gegenüber ihrer Umwelt. In diesem Zusammenhang 

spricht zum Beispiel der Wissenschaftler E. Pankoke auch von sozialer Symmetrie, die sich 

mit den verschiedensten Entwicklungen gesellschaftlicher Relationen beschäftigt. Die 

Literaturwissenschaft bedient sich der Symmetrie durch verschiedene Versformen, durch 

die sich ein kunstvoll gereimtes Gedicht auszeichnet. 

2 Zitat aus: Wille, R.: Symmetrie – Versuch einer Begriffsbestimmung / Preprint 985 / S. 6.


Nachts: „Wie sanft die Nacht dich zwingt zur Ruh, 

Stiller werden des Herzens Schläge; 

Die lieben Augen fallen dir zu, 

Heimlich nur ist die Sehnsucht rege. 

Halbe Worte von süßem Bedeuten 

Träumerisch über die Lippen gleiten.“ 3 

Es soll noch angemerkt werden, daß heute in der Umgangssprache die Bedeutung der 

zweiseitigen oder auch bilateralen Symmetrie gebraucht wird. Diese Art der Symmetrie ist 

beispielsweise in der äußeren Form des menschlichen Körpers mehr oder weniger exakt zu 

finden. Durch Spiegelung entlang der vertikalen Körperachse, ist die rechte Körperhälfte in 

die linke zu überführen und umgekehrt. 

Diese relativ enge Fassung des Symmetriebegriffs unterscheidet sich vom eher weit gefaßten 

Begriff, der durch Begriffe wie Regelmäßigkeit und Wiederholung charakterisiert wird. Diese 

Charakteristiken finden sich zum Beispiel in den Jahreszeiten Frühjahr, Sommer, Herbst und 

Winter wieder. Durch ihre regelmäßigen Wiederholungen bilden sie den Jahreszyklus, der in 

immer gleicher Reihenfolge die vier Jahreszeiten auftreten läßt. Sie sind aber auch in 

Tapetenmustern, Ornamenten, Liedern, Gedichten mit bestimmten Versformen und vielen 

anderen Kunstwerken zu finden. 

Der Mathematiker R. Wille versucht, den Begriff etwas zu präzisieren, indem er die 

Symmetrie als eine Relation der Gleichheit beschreibt. „Symmetrie wird in diesem Sinne 

überwiegend als Ordnung, Entsprechung und Gleichheit verstanden.“ 4 Viele Begriffsbestimmungen 

beziehen sich auf ein Ganzes, wobei sich dessen Elemente und Teile 

ausgewogen und harmonisch zueinander verhalten. Somit erhält die Ästhetik den Einzug in 

das Umfeld der Symmetrie. 

Nachdem im vorherigen Abschnitt andeutungsweise gezeigt wurde, in welchen Bereichen 

Symmetrie zu finden ist, soll nun darauf eingegangen werden, in welcher Art und Weise sie 

sich zu äußern mag. „Symmetrie äußert sich im menschlichen Bewußtsein als Vorstellung 

von Gleichheit mit ganzheitsbildender Wirkung.“ 5 Hierbei lassen sich nach Wille zwei 

Grundtypen der Gleichheit unterscheiden. Charakterisiert werden die unterschiedlichen Typen 

durch die Begriffe Entsprechung und Zuordnung. Die Entsprechung beschreibt die 

3 Zitat aus: Storm, T.: Novellen – Gedichte / S. 428. 

4 Zitat aus: Wille, R.: Symmetrie – Versuch einer Begriffsbestimmung / Preprint 985 / S. 10. 



Beziehungen von Teilen eines Ganzen, während die Zuordnung etwas aktiveren Charakter 

erhält, da sie nur durch den menschlichen Gedanken an Bedeutung gewinnt. „Gerade die 

Abweichung von der Deckungsgleichheit aktiviert das Denken, sich der gemeinsamen (und 

der unterschiedlichen) Merkmale der zugeordneten Teile zu vergewissern. Wahrscheinlich 

trägt diese Aktivität zum intensiveren Erleben der Symmetrie bei.“ 6 

Da die Verkettung von Symmetrietransformationen wieder solche ergeben und auch deren 

Umkehrabbildungen Symmetrietransformationen sind, bilden sie eine Gruppe, die auch die 

Abbildung 3: Evariste Galois (1811 – 1832) 

Gründer der Gruppentheorie 

Symmetriegruppe genannt wird. Aber nicht nur die Symmetrie hat ihren Reiz. Ebenso können 

auch die Symmetriebrechung, die Dissymmetrie und die Assymmetrie ihre anziehende 

Wirkung auf ihren Betrachter ausüben. Es sei somit nur ganz kurz erwähnt, daß durch das 

Fehlen von Symmetrie die Individualität besonders stark ausgeprägt wird. Dies ist in der 

Musik, Kunst und Natur zu beobachten. Wenn man zum Beispiel die zwei Gesichtshälften 

eines Menschen miteinander vergleicht, so wird der Betrachter feststellen, daß minimale 

Symmetrieabweichungen existieren. Es würde sogar unnatürlich wirken, wenn die beiden 

Gesichtshälften exakt gleich wären. Ebenso finden sich beispielsweise beim Tanzen 

gebrochene Symmetrien, welche die individuellen (und somit interessanten) Bewegungen 

ausmachen. 

Der Symmetrie kommen aber auch ganz entscheidende Bedeutungen zu. Die Symmetrie ist 

also nicht nur „nett“ anzusehen, sondern sie erfüllt geradezu bestimmte Zweckmäßigkeiten. 

Das Vorhandensein von Symmetrie erweckt in jedem Fall die Aufmerksamkeit. Dies wird bei 

Verkehrsschildern deutlich, wenn wichtige Verbotszeichen durch ihre symmetrische 

Erscheinungsform besonders hervorgehoben werden. Dieser Sachverhalt wird von R. Wille 



durch die folgende Aussage beschrieben: „Symmetrie ist für das Wahrnehmen ein 

Erkennungs- und Orientierungsprinzip.“ 7 

Der These „Symmetrie ist für das Denken ein Ordnungs- und Erkenntnisprinzip“ 8 

versuchte beispielsweise der Mathematiker F. Klein in seinem „Erlanger Programm“ von 

1872 gerecht zu werden. 

Abbildung 4: F. Klein (1849 – 1925) 

Hierbei sollte sich die Geometrie auf dem Prinzip der Symmetrie begründen. Aufbauend auf 

dieser Leitidee werden nach F. Klein die Gesetze der Geometrie durch die Symmetriegruppen 

der Bewegungen im Raum bestimmt. Der Begriff der Symmetriegruppe ist sogar von der 

Physik übernommen worden, woraus sich die relativistische Symmetriegruppe ableiten läßt. 

Sie sollte die Grundlage für die Relativitätstheorie sein. In der Statistik hat man auch das 

Symmetrieprinzip entdeckt. Es kann nämlich davon ausgegangen werden, daß zwei gleiche 

Experimente unter gleichen Bedingungen die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit haben. 

Der ökonomische Aspekt einer Handlung wird durch diese These gestützt: „Symmetrie ist für 

das Handeln ein Zweckmäßigkeits- und Gestaltungsprinzip.“ 9 In der Chemie wird die 

Symmetrieeigenschaft benutzt, um komplexe Berechnungen durchzuführen. Durch eine 

gewisse Gleichartigkeit wird die Berechnung entscheidend vereinfacht. Symmetrien werden 

auch auf verschiedenste Weise zur Gestaltung und Schmückung von Gebrauchsgegenständen 

verwendet. In solchen Fällen muß nicht zwangsläufig die Zweckmäßigkeit im Vordergrund 

stehen. Die Verzierungen können auch inhaltliche Bedeutungen vermitteln. 

„Als Vollkommenheitsprinzip erfährt Symmetrie unterschiedliche Deutungen und 

Wertungen.“ 10 Als Symbol für Vollkommenheit stehen Kreis und Kugel. Ihnen kommt 

speziell im religiösen Bereich eine bestimmte Bedeutung zu. Durch Kreis und Kugel wird die 

Allgegenwart von Gott symbolisiert. Dies ist auch in der Kirchenarchitektur zu finden, wo der 

Übergang von der Quadrat- zur Kreisfigur vollzogen wird. Symmetrische Bilder werden auch 






zur Meditation herangezogen. Üblich ist dies im buddhistischen und taoistischen Kulturkreis, 

wo Mandalas eine entscheidende Rolle spielen. 

Abbildung 5: In der berühmten Proportionsstudie wird der menschliche 

Körper in Beziehung zum Kreis und Quadrat gesetzt (der Kreis als 

Symbol des Himmels und das Quadrat als Symbol der Erde). 

Die Symmetrie ist auch in einer nahezu unerschöpflichen Vielfalt in der Natur anzutreffen. 

Vermutlich ist die Menschheit durch die allgegenwärtige Symmetrie in der Natur inspiriert 

worden, um tägliche Gegenstände zu verzieren und zu schmücken. Ich denke, es gehört zu 

den Grundbedürfnissen der Menschheit, ihre Gegenstände und Gebäude zu schmücken, da die 

symmetrischen Formen in der Natur als ästhetisch, wohltuend und harmonisch empfunden 

werden. 

Durch das Streben nach immer neuen und aufwendigeren Mustern und Schmuckformen gerät 

diese Erfindungskunst mehr und mehr in die Fänge der Wissenschaft, in der Symmetrie- 

eigenschaften im Laufe der Zeit systematisch untersucht wurden. 

Durch die vielfältigen Faszinationen von Symmetrie bin ich inspiriert worden, sie genauer zu 

untersuchen. Unter anderem bin ich auch durch die Ausstellung des Künstlers Hundertwasser 

in Darmstadt auf das Thema aufmerksam geworden, da er in seinen Kunstwerken bewußt auf 

das Fehlen von Symmetrie geachtet hat. Nach seiner Auffassung ist die „sterile Symmetrie“ 

menschenfeindlich, da sie kein Leben enthält. „ Eine Strenge Befolgung der Symmetrie wird 

mitunter geradezu als künstlerisch starr empfunden“. 11 

Um den Begriff der Symmetrie vollständig und systematisch zu erarbeiten, ist das 

Hinzunehmen von mathematischen Werkzeugen unumgänglich. 

11 Zitat aus: Flachsmeyer, J.: Mathematik und ornamentale Kunstformen / S.8.


In dieser Arbeit wird der Schwerpunkt auf der Behandlung von Ornamenten und Parketts 

liegen, deren Eigenschaften sich mit Hilfe der Gruppentheorie beschreiben lassen. 

Nach einer Einführung in die mathematischen Grundlagen der Isometrie der Ebene und der 

Gruppentheorie der Symmetrie werde ich Punkt-, Fries- und Ornamentgruppen behandeln. 

Hier nimmt die Kristallographie (Lehre über die Struktur der Kristalle) eine zentrale Stellung 

ein. Anschließend werde ich das Parkettierungsproblem sowohl in der euklidischen als auch 

in der hyperbolischen Ebene behandeln.


2. Bewegungen 

Wir legen der euklidischen Ebene ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde. Die Punkte 

(x1, x2) können wir als Elemente der Ebene mit positiv definitem Skalarprodukt v ⋅ w 

interpretieren. Für je zwei Punkte v = (x1, x2) und w = (y1, y2) sei der Abstand (engl. 

Distance d) zwischen v und w gegeben durch: 

2 

d( v, 

w) 

= v − w = ( v − w) 

⋅ ( v − w) 

= ( x1 

− y1 

) + ( x 2 − 

Der Winkel der durch die Vektoren v und w eingeschlossen wird, ist durch den Kosinussatz 

gegeben: 

v − w 

2 

= 

v 

Definition 2.1.: 

2 

+ 

w 

2 

− 2 ⋅ 

v 

⋅ w ⋅ cos 

( ∠( 

v, 

w) 

) 

Es sei E die euklidische Ebene. Eine Abbildung B: E → E mit d(Bv, Bw) = d(v, w) für alle 

v, w ∈ E heißt eine Bewegung B von E. 

In dieser Arbeit sollen nur Bewegungen B behandelt werden, die eine zum Urbild kongruente 

Figur erzeugen. Solche Abbildungen, Transformationen oder auch Bewegungen werden durch 

Translationen T, Drehungen D, Spiegelungen S, Gleitspiegelungen GS und durch deren 

Hintereinanderausführung erzeugt und sind allesamt Kongruenzabbildungen. Dies bedeutet, 

daß bei dieser Art von Abbildungen die Winkel und Längen erhalten bleiben. Zur Erfassung 

von Längen- und Winkelmaßen dient das Skalarprodukt. Ändert sich das Ergebnis bei der 

skalaren Multiplikation zweier Vektoren nicht, falls die Abbildung v → B ⋅ v ausgeübt wird, 

so bleiben bei dieser Abbildung die Längen und Winkel erhalten. Bei den angeführten 

Bewegungen handelt es sich in jedem Fall um eine bijektive Abbildung der Ebene auf sich. 

y 

2 

) 

2


2.1. Translationen 


Eine Transformation T: E → E der Ebene E auf sich heißt genau dann Translation, wenn 

für je zwei Punkte P und Q die Vektoren PP ´ und QQ ´ gleich sind. P´ sei das Bild von P, 

sowie Q´ das Bild von Q. 

Jede Translation T der Ebene E ist durch einen Vektor v ∈ E gegeben. Zwischen dem 

Ortsvektor x eines Punktes in der Ebene und dem Ortsvektor x´ des Bildpunktes X´, in den X 

von der durch v gegebenen Abbildung überführt wird, besteht die Abbildungsgleichung: 

x´ = x + v . 

2.2. Drehungen 


Es sei Z ein Punkt der Ebene E und α, 180 ° ≤ α ≤180° 

, ein orientierter Winkel. Zu jedem 

Punkt P ∈ E, P ≠ Z existiert dann ein eindeutiger Punkt P´ derart, daß �Z, P�=�Z, P´� und 

∠ ( PZP´) 

= α. 

Eine Transformation D: E → E heißt eine Drehung um den Punkt Z mit dem Winkel α, 

wenn: 

D(Z) = Z und D(P) = P´ für alle P ≠ Z. 

Eine anschauliche analytische Beschreibung einer Drehung D besteht zunächst aus einer 

Drehung um den Koordinatenursprung. Es sei e1, e2 eine Basis der Ebene E, die um den 

gleichen Winkel α mitgedreht wird. Dadurch ergibt sich eine neue Basis e1´, e2´. 

Bei dieser Wahl hat der Ortsvektor des Bildpunktes X´, bezogen auf die Basis (e1, e2), die 

gleichen Koordinaten wie der Ortsvektor x bezogen auf die Basis (e1´, e2´). Die Basis (e1´, e2´) 

läßt sich als Linearkombination der Basis (e1, e2) darstellen.


Abbildung 6: Koordinatentransformation bei einer Drehung 

Anhand der Abbildung 6 können wir uns mit Hilfe der Trigonometrie überlegen, daß die neue 

Basis folgende Gestalt hat: 

�cos( 

α) 

� 

1 = �� und 

� sin( α) 

� 

� 

� 

�− 

sin( α) 

� 

e = �� 

� cos( α) 

� 

´ 

2 

e ´ 

D ist eine Drehung um den Ursprung O mit dem Winkel α von e1 nach e2 gemessen. Die 

Abbildungsmatrix D für eine Drehung hat die folgende Gestalt: 

�cos( 

α) 

D = �� 

� sin( α) 

�� − sin( α) 

� 

cos( α) 

� 

Für den Spezialfall α = 180° nennen wir D eine Inversion oder Halbdrehung. 

Bisher war immer der Koordinatenursprung das Drehzentrum. Im allgemeinen beschreibt der 

Vektor z das Drehzentrum. So geht der Vektor v´-z durch Drehung um α aus dem Vektor v-z 

in oben beschriebenen Weise hervor. Man erhält dadurch mit der Drehmatrix 

�cos( 

α) 

− sin( α) 

� 

D = �� 

�� [mit det(D)=1] die Gleichung 

� sin( α) 

cos( α) 

� 

v´ = D ⋅ (v - z) + z . 

e´ 2 

e 2 

α 

e´ 1 

e 1


Unabhängig vom Koordinatensystem läßt sich folgende Formel aufstellen: 

D 

α , z = 

T D 

z 

α, 

o 

T 

−1 

z 

Dα , z beschreibt eine Drehung mit dem Zentrum Z und Winkel α. Die Translation, die den 

Ursprung in das Drehzentrum Z überführt, wird mit T Z bezeichnet, wie umgekehrt die 

Translation 

Z 

1 

T − eine Verschiebung des Drehzentrums in den Ursprung beschreibt. 

Drehungen finden sich beispielsweise in Autofelgen (vgl. mit Kapitel 4.2.) oder gotischen 

Kirchenfenstern wieder. 

2.3. Spiegelungen 


Es sei g ⊂ E eine Gerade. Zu jedem Punkt P ∈ E, der nicht auf g liegt, existiert ein eindeutig 

bestimmter Punkt P´ ∈ E , so daß PP ´ Mittelsenkrechte von g ist. Eine Transformation 

Sg : E → E nennen wir eine Spiegelung an g, wenn 

Sg(P) = P, falls P ∈ g 

Sg(P) = P´, falls P ∉ g. 

Bei einer Spiegelung an der x1-Achse geht der Punkt V mit dem Ortsvektor v in den Punkt V´ 

mit dem Ortsvektor v´ über. Der Ortsvektor v´ ergibt sich auf folgende Weise: 

� x1´ 

� �1⋅ 

x1 

+ 0 ⋅ x 

v´ 

= �� = �� 

� x 2´ 

� �0 

⋅ x1 

−1 

⋅ x 

2 

2 

� �1 

�� = �� 

� �0 

0 �� 

x 

−1�� 

�� 

�� 

x 

1 

2 

� 

�� 

� 

Auf diese Elementarspiegelung lassen sich alle Geradenspiegelungen zurückführen. Wir 

wählen die Geradendarstellung in vektorieller Form. Der Ortsvektor sei x0, g beschreibt den 

vom Nullvektor verschiedenen Richtungsvektor der Geraden. Mit jedem Parameter λ ∈ ℝ 

und der Geradengleichung g ist schließlich der Ortsvektor x eines Geradenpunktes bestimmt 

durch:


x( λ ) = x 0 + λ ⋅g 

. 

Wenn die Spiegelachse durch den Ursprung verläuft, so kann x0 = 0 gesetzt werden. Die 

Geradengleichung der Spiegelachse nimmt dann die Gestalt x( λ ) = λ ⋅ g , λ ∈ ℝ an. Nun sei 

X´ der Bildpunkt des an der Geraden gespiegelten Punktes X. Der Ortsvektor x´ des Punktes 

X´ läßt sich auf folgende Weise bestimmen: 

1. Durch Drehung der Ebene E um den Winkel ϕ = ∠ g, 

e ) geht die Spiegelachse in die 

( 1 

x1 – Achse und der zu spiegelnde Punkt X in X´´ über. Es gilt mit 

�cos( 

α) 

− sin( α) 

� 

D = �� 

�� : x´´ = Dx. 

� sin( α) 

cos( α) 

� 

2. Die Elementarspiegelung wird auf x´´ angewendet. Der Punkt X´´ geht dabei in den Punkt 

X´´´ mit dem Ortsvektor x´´´ über. Mit �� 1 

0 � 

S0 = �� gilt x´´´ = S0⋅D⋅x . 

�0 

−1� 

3. Durch die anschließende Drehung um den Winkel − ϕ = ∠ e , g) 

werden der Punkt X und 

die durch g bestimmte Achse wieder in die Ausgangslage gebracht. Dabei geht X´´´ in das 

gewünschte Spiegelbild X´ von X über. Die Drehung um den Winkel -ϕ erfolgt durch die 

Inverse D -1 von D. Wir erhalten schließlich die folgende Abbildungsvorschrift: 

x´ = D -1 ⋅S0⋅D⋅x . 

Für den Fall x0 ≠ 0 kann zuerst die Translation -x0 ausgeführt werden. Hierdurch wird der 

Aufpunkt in den Ursprung verschoben und es entsteht die oben beschriebene Situation. Zum 

Schluß wird die Ausgangssituation durch die Translation x0, die den Ursprung in den 

Aufpunkt der Geraden verschiebt, wieder hergestellt. Es ergibt sich dadurch die Gleichung: 

x´ = D -1 ⋅S0⋅D⋅(x – x0) + x0 . 

Spiegelungen finden sich beispielsweise bei Kaleidoskopbildern und in der Klecksographie 

(Tintenklecksbilder) wieder. 

( 1


2.4. Gleitspiegelungen 


Eine Transformation GS: E → E heißt Gleitspiegelung, wenn man sie als Hintereinander- 

ausführung einer Geradenspiegelung Sg an einer Geraden g und einer Translation T parallel 

zur Geraden g schreiben kann, d.h. GS = T � Sg. 

Eine Gleitspiegelung ergibt sich also durch eine Hintereinanderausführung von einer 

Spiegelung und einer Translation (vgl. Abb. 7). Die Translation darf aber nicht orthogonal zur 

Spiegelungsachse stehen. Wenn dies der Fall ist, so ist das Ergebnis wieder eine Spiegelung. 

Mit dem Translationsvektor v und der Abbildungsvorschrift für eine Spiegelung an einer 

beliebigen Achse (vgl. Kapitel 2.3.) ergibt sich die Abbildungsgleichung: 

x´ = D -1 ⋅S0⋅D⋅(x – x0) + x0 + v . 

Gleitspiegelungen finden sich beispielsweise in Fußspuren im Schnee wieder. 

Abbildung 7: Spuren im Schnee 

2.5. Beschreibung bezüglich einer Orthonormalbasis 

Alle Bewegungen der bisher behandelten Typen und deren Verkettungen sind durch ein 

System von linearen Abbildungsgleichungen beschrieben. Dabei wird der Punkt X mit seinem


Ortsvektor �� x1 

� 

x = �� in den Punkt X´ mit dem Ortsvektor 

� x 

� 

2 � 

� 

� x1 

´ � 

x´ 

= �� überführt. Das 

� x 2´ 

� 

Gleichungssystem hat die folgende Gestalt: 

´ � x � a x b x e a b x e 

1 � ⋅ 1 + ⋅ 2 � � � � �� 

1 � � � 

x´ 

= � � 

� 

+ = A ⋅ x + v 

´ 

x � 

= �� 

c x1 

d x �� + �� = 

2 f �� 

c d�� 

�� 

x �� 

2 f �� . 

� 1 � � ⋅ + ⋅ � � � � �� 

� � � 

Nun wird von den Abbildungen gefordert, daß sie kongruent sein sollen. Die Forderung nach 

Längen- und Winkeltreue wird dadurch erfüllt, daß die Koeffizienten weiteren Bedingungen 

unterliegen. Bei einer Translation T bleiben Längen und Winkel erhalten, so daß die 

Variablen e und f keinen beschränkenden Bedingungen unterworfen sind. Wenn sich das 

Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren nicht ändert, auch wenn die Abbildung x → A ⋅ x 

ausgeführt wird, dann bleiben auch Längen und Winkel der Vektoren bei der Abbildung 

erhalten. Wir verlangen demnach von der Abbildungsmatrix A, daß für die x, y ∈ E die 

Gleichung 

x ⋅ y = A ⋅ x ⋅ A ⋅ y 

erfüllt ist. Damit die Gleichung erfüllbar ist, muß demnach gelten: 

2 2 

2 2 

(i) a + b = 1 ; (ii) c + d = 1 ; (iii) a ⋅ c + b ⋅ d = 0 . 

Wählen wir eine feste Orthonormalbasis in der Ebene E, dann bilden die Zeilen der 

Koeffizientenmatrizen der Kongruenzabbildungen zueinander orthogonale Einheitsvektoren 

[vgl. mit (iii)]. Die Umkehrabbildung ist auch eine Kongruenzabbildung und die Spalten der 

Koeffizientenmatrix bilden wiederum zueinander orthogonale Einheitsvektoren. 

Die Einführung einer festen Orthonormalbasis ist unerläßlich, wenn wir mit Hilfe des 

Computers geometrische Abbildungen erzeugen wollen. Die Zeilenvektoren haben die 

Länge 1 [vgl. mit (i) und (ii)].


3. Gruppe der Kongruenzabbildungen 

Da wir die Abbildungen bezüglich einer festen Orthonormalbasis beschreiben, können wir zu 

jeder Kongruenzabbildung auch die Umkehrabbildung angeben. Die Umkehrbewegung wird 

mit B -1 bezeichnet und ist wieder eine Kongruenzabbildung. Man erhält: 

x 

B 

x´ 

−1 

= + 

w 

mit �� − � d ∆ − b ∆� 

B = �� 

�− 

c ∆ a ∆ � 

1 

, ∆ = det(B) und w = -B -1 v. 

Die identische Abbildung I führt jeden Punkt der Ebene E in sich selbst über und ist natürlich 

wieder eine Kongruenzabbildung. Die Identität �� 1 

0� 

I = �� läßt die Figur quasi unberührt. 

�0 

1� 

Führen wir zwei Kongruenzabbildungen nacheinander aus, so ist es möglich, das Resultat 

auch als Ergebnis einer einzigen Kongruenzabbildung zu schreiben, d.h. die Hintereinanderausführung 

zweier Kongruenzabbildungen ist wieder eine Kongruenzabbildung. Die Verkettung 

von Kongruenzabbildungen führt also nicht aus der Menge der Kongruenzabbildungen 

heraus. Zudem ist die Hintereinanderausführung von Bewegungen 

(Kongruenzabbildungen) assoziativ, d.h. B1 � ( B2 

� B3) 

= ( B1 

� B2 

) � B3 

aber im allgemeinen 

nicht kommutativ d.h. B1 � B2 

≠ B2 

� B1. 

Mit den drei oben genannten Eigenschaften Umkehrabbildung (Inverses), Identität (neutrales 

Element) und assoziativer Hintereinanderausführung ergibt sich, daß die 

Kongruenzabbildungen eine Gruppe bilden und wir bezeichnen sie mit K. Der Begriff der 

Gruppe wird von großer Bedeutung sein, wenn wir die Symmetrien von Ornamenten 

untersuchen werden. 

3.1. Die Erzeugenden der Gruppe K 

Eine Sonderrolle in der Gruppe K der Kongruenzabbildungen nehmen die Spiegelungen ein. 

Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, daß sich eine Gleitspiegelung GS aus einer Spiegelung S 

und aus einer Translation T zusammensetzt. Ebenso kann eine Translation T als eine


Hintereinanderausführung von zwei Spiegelungen erzeugt werden. Dies ist möglich, wenn 

man die Spiegelachsen in einem geeigneten Abstand und parallel wählt. Es ist aber auch 

möglich, eine Drehung durch eine Verkettung von Spiegelungen zu erzeugen. Hierzu müssen 

die Spiegelungsgeraden g und h durch den gewünschten Drehpunkt Z verlaufen. Die Geraden 

g und h schließen dabei einen Winkel ein, der halb so groß sein muß wie das Maß des 

Drehwinkels (vgl. Abb. 8). 

Abbildung 8: Erzeugung einer Drehung durch die Verkettung zweier Spiegelungen. 

Somit ergibt sich der Sachverhalt, daß die Gruppe K der Kongruenzabbildungen 

ausschließlich durch Spiegelungen erzeugt wird. 

3.2. Eigentliche Bewegungen 

h 

P Q 

Z 

(α + β) / 

2 

α / 2 β / 2 

Translationen und Drehungen erhalten stets die Orientierung. Anders verhält sich dies im Fall 

einer Spiegelung. Durch diese Bewegung findet in der Tat eine Orientierungsumkehr statt. 

Durch Anwendung des Matrizenkalküls läßt sich nachweisen, daß zur Erzeugung einer 

orientierungstreuen Kongruenzabbildung eine gerade Anzahl von Spiegelungen ausgeführt 

werden muß. Nur dann erhält man als Ergebnis die Identität I. Dies bedeutet zugleich, daß 

auch die Translationen und Drehungen durch eine gerade Anzahl von Spiegelungen erzeugt 

werden müssen, da sie orientierungstreue Bewegungen sind. 

g


Umgekehrt werden Kongruenzabbildungen mit orientierungsumkehrender Wirkung 

ausschließlich durch Spiegelungen von ungerader Anzahl erzeugt. 

Führt man die Produkte von je einer geraden Anzahl von Spiegelungen aus, so ist das 

Ergebnis ebenfalls ein Produkt von Spiegelungen gerader Anzahl. Dies bedeutet, daß die 

orientierungstreuen Kongruenzabbildungen der Ebene E eine Untergruppe der Gruppe K 

bilden. Man nennt diese Untergruppe auch Gruppe der eigentlichen Bewegungen, da in ihr 

nur orientierungstreue Kongruenzabbildungen auftreten. Andererseits werden orientierungsumkehrende 

Kongruenzabbildungen häufig auch uneigentliche Bewegungen genannt. Die 

uneigentlichen Bewegungen bilden keine Gruppe, da die Hintereinanderausführung von zwei 

uneigentlichen Bewegungen eine eigentliche Bewegung ergibt. 

Wir wissen jetzt, daß die Bewegungen B, d. h. Translationen T, Drehungen D, Spiegelungen 

S und Gleitspiegelungen G S eine Gruppe bilden. Dies bedeutet zugleich, daß deren 

Hintereinanderausführung wieder eine dieser Bewegungen ergibt. Da die Ergebnisse nicht 

immer sofort offensichtlich sind, fassen wir diese in einer Multiplikationstafel zusammen und 

unterscheiden zwischen einem linken und einem rechten Faktor, da die 

Hintereinanderausführung von Bewegungen in einer Gruppe nicht kommutativ zu sein 

braucht. 

Dα,Z bezeichnet die Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Winkel α und GS(g, v) 

beschreibt eine Gleitspiegelung mit der Spiegelachse g und dem dazugehörigen 

Tanslationsvektor v.


Multiplikationstafel für Bewegungen in der Ebene E (in Anlehnung an Flachsmeyer [u. a.]): 

r.- Faktor → 

l.- Faktor ↓ 

Tw 

Sg´ 

D α´,Ζ´ 

1. 

Translation 

Tv+w 

Tv Sg D α,Ζ GS(g,v) 

5. 

a) v ⊥ g´: 

Spiegelung Sh 

b) v nicht ⊥ g´: 

Gleitspiegelung 

GS(h, u) 

9. 

Drehung D α´,Z´´ 

GS(g,w) 13. 


GS(h, u) 

(Spiegelung) 

2. 

a) w ⊥ g: 

Spiegelung Sh 

b) w nicht ⊥ g: 


GS(h, u) 

6. 

a) g´�� g: 

Translation Tu 

b) g´nicht �� g: 

Drehung D β,Z´´ 

10. 

a) Z ∈ g´: 

Spiegelung Sh 

b) Z ∉ g´: 


GS(h, u) 

14. 

a) g´�� g: 




Anmerkungen zu der Multiplikationstafel: 

1.) Die Translationsvektoren addieren sich. 

3. 

Drehung D α,N 

7. 

a) Z ∈ g´: 

Spiegelung Sh 

b) Z ∉ g´: 


GS(h, u) 

11. 

a) Z = Z´: 

Drehung D α,α´ 

b) Z ≠ Z´: 

Drehung oder 

Translation 

15. 


GS(h, u) 

4. 


GS(h, u) 

8. 

a) g´�� g: 




12. 


GS(h, u) 

16. 

a) g´ �� g: 




2. a) Die Spiegelgerade verläuft parallel zu g und ist von g um 1/2⋅ w entfernt 

(vgl. Abb. 9). 

Q´ 

P´ 

Abbildung 9 

h 

g


2. b) Die Spiegelgerade h ist parallel zu g und um die Hälfte des Projektionslotvektors von 

w = P'Q' 

auf g entfernt. Der Translationsvektor u = AB entspricht der Projektion von 

w auf g. 

Abbildung 10 

3.) Das neue Drehzentrum Z´´ ergibt sich durch den Schnittpunkt der zweiten 

Spiegelgeraden g4 der Translation mit der ersten Spiegelgeraden g1 der Drehung 

(vgl. Abb. 11). 

Abbildung 11 

4.) Der Translationsvektor u ergibt sich durch die Addition (vgl. mit Fall 2.) von v und 

der Projektion von w auf g (vgl. Abb. 10). 

5.) Vergleiche mit Fall 2. Die Spiegelungsgerade liegt nun auf der anderen Seite von g. 

6. a) Der Translationsvektor u zeigt von g nach g´. Die beiden Geraden haben den Abstand 

1/2⋅ u . 

P´=A 

6. b) Das Drehzentrum ergibt sich durch den Schnittpunkt von g und g´. Der Drehwinkel ist 

doppelt so groß wie der durch die Geraden g und g´ eingeschlossene Winkel. 

7. a) Für den Fall, daß g´ durch das Drehzentrum verläuft, wird aus der Schubspiegelung 

eine Spiegelung. 

Q´ 

B 

g 2 =g 3 g 4 g 1 

M 

α/2 

Z'' 

P´ Q´ 

h 

g


7. b) Die Schubspiegelung setzt sich aus der Spiegelung an der Geraden g1 der Drehung 

Dα,Z und der Translation mit dem Vektor von der Geraden g2 der Drehung Dα,Z nach g´ 

(g2 �� g´ gewählt) zusammen. Der Translationsvektor ist hierbei zweimal so lang wie 

der Abstand zwischen g2 und g´. 

8. a) Den Translationsvektor erhält man durch Addition von v und dem doppelten 

Abstandsvektor von g nach g´. 

8. b) Die Drehung Dβ,Z´´ ist die Hintereinanderausführung einer Translation um v, mit einer 

Drehung um den Schnittpunkt der Geraden g und g´. Der Drehwinkel ist doppelt so 

groß wie der eingeschlossene Winkel zwischen g und g´. 

9.) Wie Fall 8., jedoch wählen wir nun noch die zweite Spiegelgerade g2 der Translation, 

die gleich der Spiegelgeraden g3 der Drehung ist. Dann entspricht das Drehzentrum 

Z´´ dem Schnittpunkt von g1 mit g4. 

10.) Die Gleitspiegelung ist die Hintereinanderausführung einer Translation mit dem 

Vektor, der von g zur ersten Spiegelgeraden g1 der Drehung Dα´,Z´ zeigt und doppelt so 

lang wie deren Abstand (g �� g1) ist. Danach wird eine Spiegelung an der zweiten 

Spiegelgeraden der Drehung ausgeführt und wir sind beim Fall 5. 

11.) Die Drehung Dα,Z sei erzeugt durch die Spiegelungen an den Geraden g1 und g2. Die 

Drehung Dα´,Z´ sei erzeugt durch die Spiegelung an derselben Geraden g2 und einer 

Geraden g3. Das Produkt der beiden Drehungen ist dann gleich dem Produkt der 

beiden Spiegelungen g3 

S und g1 

S , weil das Produkt von S g die Identität I ergibt. Für 

2 

Z = Z´ schneiden sich g1 und g3 im Drehzentrum Z. Daraus ergibt sich für die 

Hintereinanderausführung von g3 

S und g1 

S eine Drehung um Z mit dem Drehwinkel 

α+α´. Für Z ≠ Z´ können für die Lage der Geraden g1 und g3 zwei Möglichkeiten 

auftreten. Wenn g1 und g3 sich schneiden, so ergibt die Hintereinanderausführung von 

Sg und 3 g1 

S eine Drehung wie im Fall 6. b). Falls die Geraden parallel verlaufen, so 

ergibt sich eine Translation wie im Fall 6. a). 

12.) Die Gerade g1 sei die erste Spiegelgerade der Drehung Dα´,Z´ mit g �� g1. Somit ist die 

Spiegelgerade h der Gleitspiegelung GS(h,u) gleich g2 und die Translation u ergibt sich 

aus der Addition von v und dem doppelten Abstandsvektor von g nach g1. 

13.) Diese Konstellation entspricht Fall 5.


14.) Hier entsteht die gleiche Konstellation wie in Fall 8. In a) befindet sich der 

Translationsvektor lediglich auf der anderen Seite von g. In b) ist die Drehung 

diesesmal von g´ nach g orientiert. 

15.) Wir haben den gleichen Fall wie in 12. 

16. a) Der Translationsvektor ergibt sich durch die Addition von v und w, sowie dem Vektor, 

der von g nach g´ zeigt und die doppelte Länge des Abstandes der beiden Geraden hat. 

16. b) Die Hintereinanderausführung einer Translation mit dem Vektor v und einer Drehung, 

die durch die Spiegelungen an g und g´ erzeugt wird, ergibt eine Drehung um den 

Winkel β (vgl. mit Fall 9.). Der Winkel β ist doppelt so groß wie der von den Geraden 

eingeschlossene Winkel. Nun wird noch die Translation mit dem Vektor w ausgeführt. 

Dies ergibt eine Drehung um den Winkel β (vgl. mit Fall 3.).


4. Punktgruppen 

Wir sprechen von einer diskreten Bewegungsgruppe, wenn es keine beliebig kleinen 

Drehungen und Translationen in dieser Gruppe gibt. Es existieren drei verschiedene 

Bewegungsgruppen in der Ebene, die in dieser Arbeit behandelt werden. Die 

Bewegungsgruppen lassen sich in Punkt- (Kap. 4.), Fries- (Kap. 5.), und Ornamentgruppen 

(Kap. 6.) einteilen. 

Die Punktgruppen lassen sich in zyklische Gruppen, die nur aus Drehungen D und diedrale 

Gruppen, welche aus Drehungen D und Spiegelungen S bestehen, einteilen. Alle Elemente 

der Punktgruppe haben die gemeinsame Eigenschaft, daß immer ein Punkt der Ebene 

unverändert bleibt (Fixpunkt). 

4.1. Zyklische Gruppen 

Wir haben festgestellt, daß die Gruppe K (vgl. mit Kap. 3) durch Spiegelungen erzeugt wird. 

Daraus folgt, daß alle elementaren Bewegungen der Gruppe K für sich alleine auch eine 

Gruppe bilden, so zum Beispiel die Kongruenzabbildungen der Drehungen D. Für diesen Typ 

hat sich der Begriff zyklische Gruppe eingebürgert. Dieser Gruppentyp wird mit Cn 

bezeichnet und besteht aus den n Elementen 

D 

0 

1 2 

, D , D ,..., D 

= = . 

n − 1 

0 n 

mit D D I 

n 

D beschreibt die n-malige Hintereinanderausführung der Drehung D. 

Abbildung 12: Beispiele für zyklische Gruppen


Beispielsweise ist die Gruppe gr(D), die durch eine Drehung D um das Drehzentrum Z mit 

dem Drehwinkel α = 360° n erzeugt wird, eine zyklische Gruppe mit der Ordnung n. Die 

Gruppen gr(D) und C n sind isomorph (d.h. es existiert eine bijektive Abbildung) zueinander: 

gr( D) 

≅ C . 

n 

Es gilt die Isomorphie sogar zwischen der Restgruppe 

Abbildungsvorschrift k → 

k 

D mit k ∈ 

+ 

Z n gibt. 

+ 

Z n und C n , da es eine 

Wenn die Gruppenordnung von C n immer weiter wächst, so ergibt sich im Grenzfall die 

unendliche Gruppe C ∞ , welche von nur einem Element erzeugt wird. Man hat sich in diesem 

Fall einen sehr großen Kreis oder besser ein Band vorzustellen (vgl. Abb. 13). Das daraus 

resultierende Ornament ist jetzt aber translationssymmetrisch. Die Symmetriegruppe dieses 

Ornamentes wird von einer Elementartranslation erzeugt, die nach rechts oder links 

verschoben wird. Auch hier gilt die Isomorphieeigenschaft: 

Abbildung 13: Ein Fries mit dem Symmetrietyp C∞ 

+ 

C ∞ ≅ Z . 

Wenden wir uns einem ebenen Ornament in E zu, dessen Symmetriestruktur zu einer 

zyklischen Gruppe C n gehört. Hierzu kann man beispielsweise Autofelgen, Wirbelräder oder 

auch gotische Kirchenfenster heranziehen (vgl. Abb. 14). 

Ein Wirbelrad mit n Speichen läßt als Kongruenzabbildungen nur Drehungen zu. Es gibt 

hierzu eine Elementardrehung, so daß alle anderen Symmetrien durch Iteration der 

Elementardrehung entstehen.


Abbildung 14: Im gotischen Fischblasenmotiv realisierte Ornamente 

mit den Symmetrietypen C 2 , C 3 , C 4 

Durch die Hinzunahme von Spiegelungen lassen sich die Symmetrien eines Wirbelrades 

vermehren. Dies ist der Fall, wenn alle Speichen zu beiden Seiten spiegelsymmetrisch 

gestaltet sind (vgl. Abb. 15). 

Abbildung 15: Beispiele für gotische Blattrosetten 

Diese Bewegungsgruppe nennt man diedrale Gruppe oder auch Diedergruppe D n . Die 

Bezeichnung diedral kommt von Dieder, worunter man einen Zweiflächner versteht. 

4.2. Diedergruppen 

Zu den Drehungen sind noch einmal die gleiche Anzahl von Spiegelungen hinzu gekommen. 

Die Symmetriegruppe einer Blattrosette mit n Blättern hat demnach 2 ⋅ n Elemente. Davon 

entfällt jeweils eine Hälfte auf die Drehungen und eine auf die Spiegelungen. Die 

Elementardrehung mit dem Drehwinkel α = 360° n sei mit D bezeichnet, sowie die 

Spiegelungen mit S. Die Drehungen sind dann durch 

und die Spiegelungen durch 

0 1 2 n− 

1 

0 n 

D , D , D ,..., D mit D = D = I 

0 1 2 n− 

1 

SD , SD , SD ,..., SD gegeben. Für ungerades n führen die 

Drehungen die Spiegelgeraden ineinander über. Dagegen gibt es für gerades n in der 

Diedergruppe zwei Klassen von Spiegelgeraden (vgl. Abb. 16).


Abbildung 16: Beispiele für diedrale Gruppen 

Die Spiegelachsen schließen dabei einen Winkel von 180° n ein. Wenn zwei Spiegelungen 

an derselben Spiegelachse hintereinander ausgeführt werden, so wird dies mit 

gekennzeichnet und es gilt: S I 

2 = . Wie bei der zyklischen Gruppe C n ist es auch bei der 

Diedergruppe möglich, den Übergang zum Unendlichen herbeizuführen. Man bezeichnet 

diese Gruppe mit D ∞ . 

Die Symmetriegruppenstruktur eines Wirbelrades mit n Speichen ist durch die Existenz 

eines einzigen erzeugenden Elementes gegeben. Der Leser vergleiche hier mit der zyklischen 

0 n 

Gruppe. Es gilt: D = D = I . Dagegen ist die Symmetriegruppenstruktur einer n-blättrigen 

Rosette (vgl. Abb. 15) dadurch bestimmt, daß es zwei erzeugende Elemente gibt, die den 

0 n 

folgenden Beziehungen genügen: D = D = I und S I 

2 = . Hier sei auf die Diedergruppe 

verwiesen. 

Das Pentagramm (vgl. Abb. 17) gehört beispielsweise auch zur Diedergruppe. In dem 

berühmten Werk von Johann Wolfgang von Goethe (1749 – 1832) versuchte Faust den 

Mephistopheles mit dem Pentagramm (Drudenfuß) zu bannen. 

Mephistopheles: „Gesteh´ ich´s nur! daß ich hinausspaziere, 

Verbietet mir ein kleines Hindernis: 

Der Drudenfuß auf Eurer Schwelle – 

Faust: Das Pentagramma macht dir Pein? 

Ei, sage mir, du Sohn der Hölle: 

Wenn das dich bannt, wie kamst du denn herein? 

Wie ward ein solcher Geist betrogen? 

Mephistopheles: Beschaut es recht! Es ist nicht gut gezogen: 

Der eine Winkel, der nach außenzu, 

Ist, wie du siehst, ein wenig offen.“ 12 

12 Zitat aus: Goethe, J. W.: Faust – Der Tragödie erster Teil / Zeilen 1393 – 1402. 

2 

S


Teilersatz von Langrange: 

Abbildung 17: Pentagramm / Drudenfuß 

Es sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und H eine Untergruppe von G. Dann teilt die 

Ordnung von H die Gruppenordnung n. Im besonderen teilt die Ordnung eines jeden 

Gruppenelementes von G die Gruppenordnung n. 

Beweis 4.1.: 

H sei die Untergruppe von G. Die Ordnung von H sei ord(H) = k, 1≤ k ≤ n . Die 

Grundmenge G zerfällt durch die Untergruppe H in viele Teilmengen gleicher Ordnung. Es 

sei x ∈ G und x ∉ H. Somit haben die Mengen xH = {xh: h ∈ H} (Linksklasse) und H die 

gleiche Ordnung, da es eine eindeutige Abbildungsvorschrift h → xh mit h ∈ H und xh ∈ xH 

gibt. Die Mengen H und xH haben für x ∉ H kein Element gemeinsam, da sonst x ⋅ h = h´ für 

entsprechende h, h´ ∈ H gelten würde. Dies hätte aber x = h´ ⋅ 

1 

h − ∈ H zur Folge. Wenn es 

schließlich kein Element aus G gibt, das außerhalb von H und xH liegt, dann gilt: 

G = H ∪ xH � ord( 

H) 

= ord( 

xH) 

= 1 2 ⋅ ord( 

G) 

. Falls ein y ∈ G mit y ∉ H existiert, dann 

wird yH gebildet. Die Menge yH hat dann wieder genauso viele Elemente wie H. Die drei 

Mengen H, xH und yH sind paarweise verschieden und die Elemente von G sind durch deren 

Vereinigung erschöpft. 

Es gilt: G = H ∪ xH ∪ yH � ord( 

H) 

= ord( 

xH) 

= ord( 

yH) 

= 1 3 ⋅ ord( 

G) 

. Dieses Vorgehen 

wird nach höchstens n Schritten beendet. Daraus folgt, daß ord(H) ein Teiler von ord(G) = n 

ist. Das Gruppenelement x habe die Ordnung k und die von x erzeugte Gruppe habe die 

Ordnung k. Dann ist k ein Teiler von n. ■


Rosettensatz: 

Abbildung 18: J. L. Lagrange (1736 – 1813) 

Es sei H eine endliche Untergruppe der Gruppe der Kongruenzabbildungen K der Ebene E. 

Dann gilt nach Flachsmeyer [u. a.]: 

1. Alle Bewegungen aus H haben einen gemeinsamen Fixpunkt. 

2. Wenn H wenigstens drei Elemente besitzt, dann ist der gemeinsame Fixpunkt eindeutig 

bestimmt. 

3. Entweder besteht H nur aus Drehungen D und dem gemeinsamen Fixpunkt oder H besteht 

aus Drehungen, dem Fixpunkt und aus der gleichen Anzahl von Spiegelungen S an den 

Spiegelungsgeraden durch den Fixpunkt. 

4. Für den Fall, daß H eine reine Drehgruppe ist, gilt: H ≅ C n . Die Untergruppe H besteht 

aus den Symmetrien des n-speichigen Wirbelrades. 

5. Für den Fall, daß H eine gemischte Gruppe ist, gilt: H ≅ D n . Die Untergruppe H besteht 

aus den Symmetrien der n-blättrigen Rosette. 

Beweis 4.2.: 

In der Gruppe K der Kongruenzabbildungen gibt es nur Translationen, Drehungen, 

Spiegelungen und Gleitspiegelungen. Da aber eine Translation und eine Gleitspiegelung mit 

einem echten translatorischen Anteil nicht von endlicher Ordnung sind, können in der 

endlichen Untergruppe H nur Drehungen und Spiegelungen auftreten.


1. Fall: ord(H) = 1 

Dieser Fall ist trivial, da H nur aus der Identität I besteht. Das Wirbelrad mit nur einer 

Speiche besitzt die Symmetriegruppe C 1 und es gilt: H ≅ C1 

. 

2. Fall: ord(H) = 2 

In diesem Fall existiert in H außer I noch eine Halbdrehung (Drehung um 180° wegen 

ord(H) = 2) oder eine Spiegelung. Falls es sich um eine Halbdrehung handelt, so besitzt ein 

zweispeichiges Wirbelrad die Symmetriegruppe C 2 und es gilt: H ≅ C 2 . Falls es sich um eine 

Spiegelung handelt, so besitzt die einblättrige Rosette die Symmetriegruppe D 1 und es gilt: 

H ≅ D1 

. Die Anzahl der Drehungen sowie die Anzahl der Spiegelungen ist hier gleich eins. 

3. Fall: ord(H) ≥ 3 

Fall a): H besteht nur aus Drehungen 

Die Drehungen D ∈ H haben das Drehzentrum Z und den Drehwinkel α. Da D von endlicher 

Ordnung ist, existieren zwei natürliche Zahlen m und n mit α = m n ⋅ 360° 

. O.B.d.A. kann 

vorausgesetzt werden, daß 0 < m < n und m, n teilerfremd sind. Dann hat D die Ordnung n, 

denn aus der Primfaktorzerlegung ergibt sich, daß kein i, 1 ≤ i < n existiert mit i ⋅ m = n. Die 

von D in der Gruppe K der Kongruenzabbildungen erzeugte Gruppe gr(D) besteht dann also 

aus den Potenzen der Drehung um Z mit dem Drehwinkel α = 360° n . Nun können wir 

zeigen, daß zwei Drehungen in H das gleiche Drehzentrum Z haben. Eine Drehung D mit 

ord(D) = m > 1 soll um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel α = 360° m erfolgen. Eine 

Drehung D´ mit ord(D´) = j > 1 soll um das Drehzentrum Z´ mit dem Drehwinkel β = 360° j 

erfolgen. Wenn die beiden Ordnungen m und j übereinstimmen, dann muß Z = Z´ sein, da wir 

sonst Drehungen D ~ und D ´ 

~ um Z und Z´ aus H hätten, deren Drehwinkel sich zu 360° 

ergänzen würde. Das Produkt D ~ ⋅ D ´ 

~ würde dann eine Translation liefern. Somit können wir 

auch den Fall verschiedener Drehpunkte bei Gleichheit der Drehordnung ausschließen. Nun 

m + j 

seien m und j teilerfremd. Dann hat das Produkt D ⋅ D´ den Drehwinkel ⋅ 360° 

. D ⋅ D´ 

m ⋅ j 

hat demnach die Drehordnung m ⋅ j . Wenn Z und Z´ verschieden wären, dann hätten wir mit 

der Drehung D ⋅ D´ eine Drehung um einen Punkt, die sich zu einer Drehung um Z (und auch 

Z´) hinsichtlich des Drehwinkels zu 360° ergänzt. Dies würde eine Translation ergeben, was 

jedoch auszuschließen ist.


Fall b): H besteht aus Drehungen und Spiegelungen 

Wenn H zwei Spiegelungen enthält, so müssen sich deren Spiegelgeraden schneiden. 

Ansonsten wären sie parallel und die Spiegelungen würden eine Translation ergeben, die aber 

nicht von endlicher Ordnung ist und deshalb ausgeschlossen werden kann. H besteht demnach 

zum einen aus der Nulldrehung und zum anderen aus einer Drehung, die das Ergebnis von 

zwei Spiegelungen ist. Da die Drehungen von H eine Untergruppe bilden, existiert ein 

gemeinsames Drehzentrum Z. Zwei der Spiegelgeraden verlaufen durch dieses Drehzentrum 

und jede weitere Spiegelgerade muß auch durch Z verlaufen. Dies muß so sein, da man mit 

dem Produkt dieser Spiegelung mit einer der beiden anderen Spiegelungen eine Drehung aus 

H mit Drehzentrum Z erhält. Die Hintereinanderausführung D � S ergibt laut Multiplikations- 

tafel eine Spiegelung, da das Drehzentrum auf der Spiegelgeraden liegt. Halten wir nun die 

Spiegelung S 1 in H fest. Es gibt zwischen allen Spiegelungen S ∈ H und Drehungen D ∈ H 

eine Abbildung S → SS1 

, die bijektiv ist. Dann gibt es also genau so viele Spiegelungen wie 

= und D n 

n−1 n−1 

Drehungen und es gilt: H { I, 

D,..., 

D , S, 

DS,..., 

D S} 

4.3. Klassifizierung von Autofelgen 

H ≅ . ■ 

Autofelgen können auch nach dem Aspekt der Symmetrie untersucht werden. Es ergeben sich 

die folgenden Klassifizierungen. 

Autofelgen der Zyklischen Gruppe Cn: 

Abbildung 19: Abbildung 20: Abbildung 21: 

Felge vom Typ C3 Felge vom Typ C 7 

Felge vom Typ C12


Autofelgen der Dieder Gruppe Dn: 

Abbildung 22: Felge vom Typ D 3 

Abbildung 23: Felge vom Typ D 7 

Abbildung 24: Felgen vom Typ D 10 

Abbildung 25: Felgen vom Typ D12 

Bei genauerer Betrachtung können wir auch die Anzahl der Schrauben und die Form der 

Firmenzeichen mit einbeziehen. Wenn wir dies tun, gehen häufig die Symmetrieeigenschaften 

verloren. Am ehesten können die Symmetrieeigenschaften erhalten werden, wenn wir den 

Mercedesstern zur Betrachtung heranziehen. Er selbst gehört nämlich der Diedergruppe D3 

an. 

Abbildung 26: Torornament vom Typ D4 im Darmstädter Schloß.


5. Friesgruppen 

Eine Friesgruppe ist eine diskrete Bewegungsgruppe, deren Elemente aus Translationen längs 

einer gegebenen Friesachse bestehen. Wenn wir auf einen beliebigen Punkt P alle 

Translationen anwenden, so entsteht ein einfacher periodischer Streifen. Die 

Kongruenzabbildung der Translation soll jedoch nicht die einzige Symmetrie sein, die ein 

Friesornament aufweisen kann. Es können auch noch Drehungen vorkommen. Hier sind aber 

nur Halbdrehungen möglich, da das Fries sonst nicht in sich überführt wird. Die Drehzentren 

liegen in einem solchen Fall immer auf der Friesachse und bilden eine Punktreihe von der 

halben Translationsdistanz (vgl. mit der Multiplikationstafel auf Seite 21). Ebenso sind aber 

auch Spiegelungen möglich. Als Spiegelachsen sind aber nur solche in Betracht zu ziehen, die 

senkrecht zur Friesachse stehen oder aber die Friesachse selbst. Wenn in einem Friesornament 

senkrechte Spiegelungsachsen existieren, so bilden sie eine Reihe von parallelen Geraden die 

den Abstand der halben Translationsdistanz besitzen. Es ist noch auf Gleitspiegelungssymmetrie 

zu untersuchen. Diese Symmetrie ist nur möglich, wenn die Friesachse selbst die 

Gleitspiegelungsachse ist. Nun müssen aber zwei Möglichkeiten unterschieden werden, da zu 

der Gleitspiegelung noch die Längsachsenspiegelung auftreten kann oder auch nicht. Die 

Gleitspiegelung kann als die Hintereinanderausführung einer Längsachsenspiegelung und 

einer Translation verstanden werden. Die Zusammensetzung von Gleitspiegelung und 

Längsachsenspiegelung ergibt eine Translation. 

Um eine Klassifizierung der Friesornamente nach mathematischen Gesichtspunkten der 

Gruppentheorie vornehmen zu können, ist es notwendig, Überlegungen anzustellen, in 

welcher Weise sich die Kongruenzabbildungen eines Friesornamentes zu einer Friesgruppe 

zusammensetzen. Es gibt insgesamt 7 verschiedene Friesgruppen (vgl. mit Klemm, M.), die 

im folgenden aufgearbeitet werden:


* 

1. Die Friesgruppe C 1 besteht nur aus Translationen T. Das folgende Muster können wir uns 

nach links und rechts ins Unendliche fortgesetzt vorstellen. 

Abbildung 27 Abbildung 28 

Das Symmetriediagramm ist ein Translationsvektor T der Länge a. 

erzeugenden Elemente von 

* 

C 1 mit n ∈ ℤ (Menge der ganzen Zahlen). 

n 

T sind die 

2. Die Friesgruppe * 

C 2 enthält Translationen T der Länge a und Halbdrehungen D. Die 

Drehzentren haben in dieser Friesgruppe den Abstand a/2. 


Der Pfeil beschreibt den Translationsvektor und die Punkte markieren die Drehzentren der 

Halbdrehungen. 

−n 

n 

m m −1 

m −1 

−1 

−m 

Es gilt: DT = T D wegen DT = ( DT ) = ( T ) D = T D .


* 

3. Die Friesgruppe D 1 besteht aus Translationen T und Spiegelungen S, deren Spiegelachsen 

senkrecht zur Friesachse (transversal) verlaufen. Benachbarte Spiegelachsen haben den 

Abstand a/2. Dieser Abstand entspricht der halben Translationslänge. 


Die vertikalen Achsen markieren in dem Symmetriediagramm die Spiegelachsen. 

4. Die Friesgruppe 

D besteht aus den Elementen der Translation T und der Spiegelung S, 

* * 

1 

wobei die Spiegelachse identisch mit der Friesachse (longitudinal) ist. Dies bedeutet, daß 

durch die Hintereinanderausführung der genannten Bewegungen auch Gleitspiegelungen 

G S vorkommen. 


Die zum Translationsvektor parallel verlaufende Achse ist die Spiegelachse.



* * * 

D 1 wird von Translationen T und Gleitspiegelungen S 

den Fall, daß n gerade ist, ergibt sich aus 

G erzeugt. Für 

n 

G S die minimale Translation und für 

ungerades n erhält man eine Gleitspiegelung mit dem halben Translationsanteil. 


Die gestrichelte Linie markiert die Lage der Gleitspiegelachse, die hier parallel zum 

Translationsvektor verläuft. 


* 

D 2 wird durch Tanslationen T, Halbdrehungen D, longitudinalen 

Spiegelungen S und longitudinalen Gleitspiegelungen G S erzeugt. Durch die 

Kombination der Friesgruppen * 

C 2 , 

* 

D 1 und 

D entsteht die momentan behandelte 

Friesgruppe. Dies bedeutet, daß zwei benachbarte Spiegelachsen den Abstand der halben 

Translationslänge haben. 


Die Drehzentren der Halbdrehungen befinden sich in dieser Gruppe auf dem Schnittpunkt 

der zueinander vertikalen Spiegelachsen. 

* * 

1



D besteht aus Translationen T, Halbdrehungen D, transversalen 

* * 

2 

Spiegelungen S und longitudinalen Gleitspiegelungen G S . Durch die Kombination der 

Friesgruppen 

* 

C 2 , 

* 

D 1 und 

D entsteht unsere Friesgruppe 

* * * 

1 

D . 


Die Drehzentren der Halbdrehungen haben den Abstand a/4 der Translation und befinden 

sich auf der Gleitspiegelachse. 

* * 

2


Wenn man von einem gegebenen Friesmuster die zugehörige Friesgruppe ermitteln möchte, 

so kann man sich des folgenden Entscheidungsalgorithmus bedienen: 

ja 

* D2 Spiegelung an Längsachse ? 

Spiegelung an Querachse ? 

ja 

ja 

nein 

nein 

** * 

D2 C2 Ornament 

Halbdrehung ? 

** D1 * D1 ja 

ja 

Spiegelung an Längsachse ? 

Spiegelung an Querachse ? 

ja 

nein 

nein 

nein 

Gleitspiegelung ? 

nein 

*** * 

D C 1 

1 

Abbildung 41: Entscheidungsalgorithmus über den Friesornamenttyp.


Es existieren auch noch andere Bezeichnungsweisen der Friesgruppen. Aus diesem Grund 

möchte ich die verschiedenen Bezeichnungsweisen gegenüberstellen: 

Bezeichnungsweise 

nach Klemm 

Bezeichnung nach 

Schubnikow und Koptsik 

Friesgruppen- 

Ornamente 

* 

C p1 F 

1 

1 

* 

C p112 F 

2 

2 

D Pm 2 

F 

* 

1 

D p1m 1 

F 

* * 

1 

D p1a 3 

F 

* * * 

1 

D pmm2 1 

F 

* 

2 

D pma2 2 

F 

* * 

2 

* 

Abbildung 42: Ein zypriotisches Friesornament vom Typ C 2 im Haus des 

Dionysos, Paphos, Zypern (ohne Beachtung der Farbgestaltung) 

Abbildung 43: Ein Friesornament vom Typ 

* 

D 1 im Kykko-Kloster, Zypern. 

1 

1 

1 

2 

2


6. Ornamentgruppen 

Unter einer Ornamentgruppe verstehen wir eine diskrete Bewegungsgruppe in der Ebene, die 

aus zwei unabhängigen Translationen T 1, T2 

besteht. Solche Ornamente finden sich 

beispielsweise in Wand- oder Bodenmustern wieder. Wenn wir alle Translationen auf einen 

beliebigen Punkt P in der Ebene anwenden, so entsteht ein doppelt periodisches Punktgitter 

(vgl. Abb. 44). Dieses Punktgitter besteht aus einem nach Richtung und Längen der 

Translationsvektoren geeigneten Koordinatensystem. Die Punkte des Gitters haben alle die 

Form z , z ) 

( 1 2 mit 1, z 2 

z ∈ ℤ . Die euklidische Ebene, in der wir uns bewegen, wird durch 

das Punktgitter lückenlos mit parallelogrammförmigen Pflastersteinen ausgefüllt. Im 

folgenden werden wir die Pflastersteine auch mit dem Begriff der Einheitszelle oder auch 

Gittermasche bezeichnen. 

Abbildung 44: Eine Einheitszelle (durch Vektoren aufgespanntes Parallelogramm). 

Ebenso wie im Fall der Friesgruppe, muß auch die Ornamentgruppe nicht nur aus 

Translationen bestehen. Ebenso können Drehungen oder Spiegelungen auftreten. 


Ein Motiv sei eine Punktmenge, die in einem Ornament in gedrehter, gespiegelter oder 

verschobener Form immer wieder auftritt. Die Motive seien in diesem Ornament lückenlos 

und ohne Überschneidungen angeordnet. 

Um bei einem Flächenornament die zugehörige Einheitszelle zu ermitteln, muß man lediglich 

einen Punkt des Motivs fixieren und schließlich die Punkte der benachbarten Wiederholungen 

des Motivs aufsuchen. Die auf diese Weise gefundene Einheitszelle muß aber das Motiv nicht 

unzerteilt enthalten. Das Motiv kann demnach über die Ränder der Einheitszelle hinausragen. 

Die Einheitszelle enthält aber das Motiv als Ganzes. Daraus läßt sich folgern, daß ein und das


selbe Ornament durch verschiedene Motive erzeugt werden kann. Wie wir schon erwähnt 

haben, gibt es außer den Translationen auch noch Drehungen D, die das Flächenornament 

invariant lassen. 

Abbildung 45: Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 – 1955) 

Weyl legte der Untersuchung der Symmetrie 

den zentralen Begriff der Invarianz zugrunde. 

Wenn Z das Drehzentrum mit dem Drehwinkel α = 2 ⋅ π / n mit n ∈ ℕ ist, so heißt Z ein 

n-Zentrum des Flächenornaments. Aber nicht nur Z ist ein n-Zentrum. Falls Z ein n-Zentrum 

mit dem Ortsvektor z ist und v eine Translation, die zur Symmetriegruppe des Ornaments 

gehört, so ist auch z + v ein n-Zentrum des Flächenornaments. Nach Herfort / Klotz gelten die 

folgenden Sätze 6.1., 6.2. und 6.3.: 

Satz 6.1.: 

Wenn ein Ornament ein n-Zentrum Z besitzt und die Symmetriegruppe die Translation T 

enthält, dann ist auch der Punkt Z´ = T(Z) ein n-Zentrum des Flächenornaments. 

Beweis 6.1.: 

Eine Drehung D mit dem Drehzentrum Z kann auch als Verkettung 

D 

n, 

Z 

= T � D � T 

dargestellt werden. Wenn nun die Drehung D n, 

Z und die Translation T zur Symmetriegruppe 

gehören, dann gehört auch die Verkettung 

T 

Z 

n, 

O 

−1 

Z 

−1 

� D n, 

Z � T zu dieser Gruppe. Diese Abbildung 

ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z´ mit T(Z) = Z´ um den Winkel α = 2 ⋅ π / n , da die 

− 1 

−1 

−1 

Gleichung T � D � T = ( T � T ) � D � ( T � T ) gilt. Das neue Drehzentrum Z´ ergibt 

n, 

Z 

sich durch ´ = T � T ( O) 

. ■ 

Z Z 

Z 

n, 

O 

Z


Satz 6.2.: 

Besitzt ein Flächenornament die n-Zentren P und Q, so ist auch = D ( Q) 

ein n-Zentrum 

R n, 

P 

des Ornaments. D n, 

P sei hierbei die Drehung um P mit dem Drehwinkel 2 ⋅ π / n . 

Beweis 6.2.: 

Da die Kongruenzabbildung 

D 

n, 

P 

� D � D eine Drehung mit dem Drehwinkel 2 ⋅ π / n ist 

n, 

Q 

−1 

n, 

P 

und alle Elemente der Verkettung zur Symmetriegruppe des Ornaments gehören, ist auch 

deren Hintereinanderausführung ein Element der Gruppe. Nun muß nur noch die 

Fixpunkteigenschaft von R gezeigt werden. Da ( Q) 

Q 

D 

n , P 

D n , Q = und D ( R) 

Q 

1 − 

n , P 

= 

, gilt auch 

−1 

� D � D ( R) 

= R . Damit gehört die Drehung um R mit dem Drehwinkel 2 ⋅ π / n 

n, 

Q 

n, 

P 

wirklich zur Symmetriegruppe. ■ 

Durch Ausübung von Translationen oder Drehungen auf ein Ornament mit einem n-Zentrum 

erhält man also unendlich viele weitere n-Zentren. Für diese n-Zentren gilt aber, daß sie nicht 

beliebig nahe beieinander liegen können. 

Satz 6.3.: 

Es sei v die Translation des kleinsten Betrags in der Gruppe der Kongruenzabbildungen des 

Ornaments; außerdem seien Z und Z´ n-Zentren des Ornaments. 

1 

Dann gilt: ZZ´ = ⋅ v . 

2 

Beweis 6.3.: 

Wenn wir die Hintereinanderausführung 

D 

n, 

Z´ 

� D betrachten, so erkennen wir, daß auch 

sie zur Symmetriegruppe gehört. Das Ergebnis der Verkettung ist eine Translation, da die 

Summe der Drehwinkel Null ergibt. Diese Translation verschiebt dabei das Drehzentrum Z in 

D n , Z´ 

( Z) 

(vgl. Abb. 46). 

−1 

n, 

Z


D n,Z´ (Z) 

Abbildung 46: Minimalabstand der Symmetriezentren 

Wie man der Abb. 46 entnehmen kann, sind die Abstände ZZ ´ und Z ´ D n , Z´ 

( Z) 

gleich. Mit 

Hilfe der Dreiecksungleichung gelangen wir zu p ≤ 2 ⋅ ZZ´ 

. Da die Verkettung der 

Drehungen eine Translation ergibt, genügt p der Ungleichung v ≤ p , woraus die Behauptung 

folgt, daß der Minimalabstand zweier Symmetriezentren mindestens dem halben 

Translationsabstand entspricht. ■ 

6.1. Kristallographische Restriktion 

Z 

p 

360°/n 

In diesem Abschnitt folgt eine erhebliche Einschränkung für die Drehungen, die zu einer 

Symmetriegruppe eines bestimmten Ornaments gehören. Da in der einschlägigen Literatur 

Zusammenhänge zwischen Ornament- und Kristallsymmetrien hergestellt werden, wird diese 

Einschränkung auch häufig als Kristallographische Restriktion bezeichnet. Der 

Zusammenhang zwischen beiden Symmetrien ergibt sich durch die Projektion eines 

räumlichen Kristalls in die zweidimensionale Ebene. In der Praxis findet man solche 

Anwendungen beispielsweise bei Röntgenbildern wieder, wo eine solche Projektion 

vorgenommen wird. 

Die Ornamentgruppen werden auch als kristallographische Gruppen bezeichnet. 

Satz 6.4.: 

Für ein Flächenornament mit dem n-Zentrum Z kann n nur eine der Zahlen 2, 3, 4 oder 6 sein. 

Z´


Beweis 6.4.: 

Den Beweis dieses Satzes können wir mit dem bisherigen Wissen und einigen 

elementargeometrischen Überlegungen erbringen. Zur Verdeutlichung des Sachverhaltes 

möge die folgende Abb. 47 dienen: 

Abbildung 47: Die kristallographische Restriktion 

Für ein Flächenornament sei Z ein n-Zentrum. Dann gibt es ein weiteres n-Zentrum P, 

welches von Z den kleinsten Abstand besitzt. Die Drehung um das n-Zentrum P mit dem 

Winkel α = 2 ⋅π / n werde wiederum mit D n, 

P bezeichnet. Wenn nun diese Drehung auf den 

Punkt Z angewendet wird, so erhalten wir den Punkt Q mit = D ( Z) 

und es gilt: 

PZ = PQ . 

Q n, 

P 

O.B.d.A sei Q ein weiters n-Zentrum, wobei die 2 ⋅ π / n Drehung mit D n, 

Q bezeichnet sei 

und den Punkt P in den Punkt R überführt, wobei wieder die Gleichung QP = QR gilt. Wir 

wissen auch, daß die Winkel in P und Q das gleiche Maß 2 ⋅ π / n haben. Wir können nun 

zwei Fälle unterscheiden: 

1. Es gilt: R = Z 

Dann ist ZPQ ein gleichseitiges Dreieck und es gilt somit n = 6. 

2. Es gilt: R ≠ Z 

R 

360°/n 360°/n 

Q P 

Da die Winkel bei P und Q das gleiche Maß haben müssen, können sie nur rechte oder 

stumpfe Winkel sein. Ansonsten würden im Widerspruch zur Voraussetzung die 

Symmetriezentren näher beieinander liegen. In diesem Fall kann nur n = 2, n = 3 oder 

n = 4 gelten. ■ 

Z


Die Aussage der kristallographischen Restriktion hat aber zur Folge, daß sich 3-Zentren und 

4-Zentren gegenseitig ausschließen. 

Satz 6.5.: 

Besitzt ein Flächenornament ein 4-Zentrum, so hat es weder ein 3-Zentrum noch ein 6- 

Zentrum. 

Beweis 6.5.: 

Wenn es eine Verkettung 

D 

3, 

Q 

� D der Symmetriegruppe geben würde, dann hätte die 

−1 

4, 

P 

Drehung einen Drehwinkel von 2 ⋅ π / 12 zur Folge. Demnach gäbe es also ein 12-Zentrum. 

Genauso verhält sich dies für die Verkettung 

D 

6, 

Q 

� D . Auch diese Hintereinander- 

ausführung hätte ein 12-Zentrum zur Folge. Dies ist jedoch auszuschließen. ■ 

Die verschiedenen n-Zentren können aber nicht in jeder Gittermasche vorkommen. Sie sind 

vielmehr an die Form der Gittermasche gebunden. 

Wenn zum Beispiel in einem Flächenornament ein 6-Zentrum auftritt, dann wählen wir das 

Symmetriezentrum als Ursprung der Gittermasche. Die Punkte E1 und E2 spannen mit dem 

Ursprung zusammen die Einheitszelle auf. Somit wird auch das Gitter durch die ganzzahlige 

Linearkombination der Vektoren OE1 und OE 2 aufgespannt. 

P 3 

P 4 

P 2 

Abbildung 48: Rhombische Einheitszelle 

O 

E 2 

P 1 

P 5 

P 6 

E 1 

−1 

4, 

P


Die Drehung mit dem Winkel α = 2 ⋅ π / 6 um das Drehzentrum O läßt nicht nur das 

k 

Ornament, sondern auch das Gitter invariant (vgl. Abb. 48). Da die Punkte D ( E ) 

Pk = n, 

O 1 mit 

k ∈ ℕ ein regelmäßiges Sechseck bilden, gehören sie auch alle zum Gitter und es gilt P6 = E1. 

Nun muß aber auch E2 mit einem der Punkte P1, ..., P5 identisch sein. E2 kann nun so gewählt 

werden, daß er durch die Drehung D n, 

O aus E1 hervorgeht. Die Einheitszellen des Gitters sind 

demnach Rhomben, die aus gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sind. Ebenso sind 

auch die 3-Zentren an diesen speziellen Gittertyp gebunden. 

Wenn das Flächenornament ein 4-Zentrum besitzt, so müssen die Einheitszellen quadratisch 

sein (vgl. Abb. 49). 

Abbildung 49: Quadratische Einheitszelle 

Ein spezieller Gittertyp ist bei Flächenornamenten mit einem 2-Zentrum nicht nötig. Hier 

genügt ein beliebiges Parallelogramm. Wenn man von der Symmetriegruppe aber noch 

Spiegelungen und Gleitspiegelungen fordert, so ergeben sich auch hier spezielle Gittertypen. 

Es sei Sg eine Achsenspiegelung mit O ∈ g und E1 ∉ g. Dann muß Sg(E1) ein weiterer 

Gitterpunkt sein. Hierfür sind zwei Fälle möglich: 

1. Der Ursprung O des Koordinatensystems liegt auf der Geraden, die durch E1 und S(E1) 

verläuft (vgl. Abb. 50). Für jeden Gitterpunkt P, mit Ortsvektor p und seinem 

Spiegelbild S(P) mit dem Ortsvektor p´, liegt der Gitterpunkt mit dem Ortsvektor p + p´ 

auf der Spiegelachse. Unter all diesen Punkten gibt es einen Punkt, der den kleinsten 

Abstand (d ≥ 0) zu O hat. Dies muß E2 sein. Somit wird die Einheitszelle von den 

Vektoren OE 1 und OE 2 aufgespannt. 

P2 

P1 

O 

E2 

P3 

P4 

E1


Abbildung 50: Rechteckige Einheitszelle; Spiegelachse senkrecht zu OE1 

2. In diesem Fall liegt O nicht auf der Geraden, die durch E1 und S(E1) = E1´ verläuft. Die 

zwei Vektoren OE 1 und 

E 1 

S(E 1 ) 

´ 

OE 1 sind linear unabhängig. Deren Summe führt zu einem 

Gitterpunkt E2 ≠ O. E2 liegt auf der Spiegelachse und die Gitterpunkte OE1E2E1´ bilden in 

diesem Fall einen Rhombus, wie man der Abb. 51 entnehmen kann. 

O 

O 

E 1 

S(E 1 ) = E 1 ´ 

Abbildung 51: Rhombische Einheitszelle; Spiegelachse nicht senkrecht zu OE1 

E 2 

E 2 

S g 

S g


Für Flächenornamente können also folgende Gittertypen auftreten: 

Parallelogramm, Rechteck, Rhombus, Quadrat und Rhombus (besteht aus gleichseitigen 

[60° Winkel] Dreiecken). 

Der Leser kann nun ohne weiteres nachvollziehen, daß die folgenden Bewegungen der 

Symmetriegruppe für die verschiedenen Gitter zulässig sind. 

Parallelogramm: Translationen und 2-Zentren sind möglich. 

Rechteck: Translationen, 2-Zentren, Spiegelungen und Gleitspiegelungen sind 

möglich. 

Rhombus: Translationen, 2-Zentren, Spiegelungen und Gleitspiegelungen sind 

möglich. 

Quadrat: Translationen, 2- und 4-Zentren, Spiegelungen und Gleitspiegelungen 

sind möglich. 

Rhombus (60°): Translationen, 2-, 3- und 6-Zentren, Spiegelungen und Gleitspiegelungen 

sind möglich.


Um eine Klassifizierung (nach Klemm, M.) der Wandmuster nach mathematischen Gesichtspunkten 

der Gruppentheorie vornehmen zu können, ist es notwendig, Überlegungen 

anzustellen, in welcher Weise sich die Kongruenzabbildungen eines Wandmusters zu einer 

Ornamentgruppe zusammensetzen. 

1. Die Ornamentgruppe p1 besteht nur aus Translationen. Die Lage der Basistranslationen 

zueinander ist dabei beliebig und linear unabhängig. 


2. Die Ornamentgruppe p2 enthält Translationen und Halbdrehungen. Die Drehzentren 

bilden ein Netz mit Punkten, deren Abstände halb so groß sind wie die Abmessungen des 

Translationsnetzes (siehe Symmetriediagramm). 

Abbildung 54 Abbildung 55


3. Die Ornamentgruppe pm besteht aus Translationen und Spiegelungen, deren 

Spiegelachsen parallel zueinander verlaufen. Die Spiegelachsen sind in dieser Gruppe 

zugleich auch Gleitspiegelachsen. Das Symmetriediagramm ergibt sich durch zwei 

zueinander senkrechte Vektoren der Basistranslationen. 


4. Die Ornamentgruppe pg besteht aus Translationen und echten Gleitspiegelungen (d. h. die 

Gleitspiegelachse ist nicht mit einer Spiegelachse identisch; vergleiche mit 

Ornamentgruppe pm, in der die Spiegelachse mit der Gleitspiegelachse übereinstimmt), 

deren Achsen parallel zueinander verlaufen. Die Gleitvektoren sind durch (z+1/2)⋅v 

gegeben, mit z ∈ ℤ und v sei der Vektor einer Basistranslation. 



5. Die Ornamentgruppe cm besteht aus Translationen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen, 

deren Achsen parallel zueinander verlaufen. Dabei entsprechen die doppelten 

Gleitvektoren einer Translation dieser Ornamentgruppe. 


6. Die Ornamentgruppe pmm entsteht durch die Kombination der beiden Ornamentgruppen 

p2 und pm. Entsprechend enthält die Gruppe pmm Translationen, Halbdrehungen und 

Spiegelungen, deren Achsen zugleich auch Gleitspiegelachsen sind. 


7. Die Ornamentgruppe pmg entsteht durch die Kombination der Gruppen p2, pm und pg 

der Wandmuster. Demnach besteht pmg aus Translationen, Halbdrehungen, Spiegelungen 

und echten Gleitspiegelungen. 



8. Die Ornamentgruppe pgg entsteht durch die Kombination der Ornamentgruppen p2 und 

pg. Somit enthält diese Gruppe Translationen, Halbdrehungen und echte Gleitspiegelungen. 


9. Die Ornamentgruppe cmm enthält die Transformationen der Gruppen p2 und cm. Es 

handelt sich hier um eine Gruppe mit Translationen, Halbdrehungen, Spiegelungen und 

Gleitspiegelungen. 


10. Die Ornamentgruppe p4 besteht aus Translationen und Vierteldrehungen, deren 

Drehzentren natürlich auch Drehzentren der Halbdrehungen sind. Das Translationsnetz ist 

ebenso quadratisch wie das Netz der Drehzentren. 


4 

4 

4 

4 

4


11. Die Ornamentgruppe p4m ergibt sich durch die Kombination der Ornamentgruppen p4 

und pmm. Demnach verfügt diese Gruppe über Elemente wie Translationen, 

Vierteldrehungen, Halbdrehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen, welche die 

gleiche Achse haben wie die Spiegelung. 


12. Die Ornamentgruppe p4g ergibt sich durch die Kombination der Wandmustergruppen p4, 

pgg und cmm. Die Gruppe p4g enthält Translationen, Vierteldrehungen, Halbdrehungen, 

Spiegelungen und echte Gleitspiegelungen. 


4 

4 

4 

4 

4 

4 

4 

4 

4 

4


13. Die Ornamentgruppe p3 besteht aus Translationen und Dritteldrehungen. Das 

Translationsnetz wird durch zwei gleich lange Basistranslationsvektoren erzeugt und 

bildet aufgrund der Dritteldrehungen ein hexagonales Netz. Ebenso bilden die Punkte der 

Drehzentren ein hexagonales Netz. 


14. Die Ornamentgruppe p6 ergibt sich durch die Kombination der Wandmustergruppen p2 

und p3. Diese Ornamentgruppe besteht aus Translationen, Dritteldrehungen und 

Halbdrehungen. Daraus ergeben sich zusätzlich noch Sechsteldrehungen. 


3 3 

6 

3 

3 

3 

3 

3 

6 

6 

3 6


15. Die Ornamentgruppe p31m ergibt sich durch die Kombination der Gruppen cm und p3. 

Somit besteht die Gruppe p31m aus Translationen, Dritteldrehungen, Spiegelungen und 

Gleitspiegelungen an zueinander parallelen Achsen. Allerdings liegen in dieser Gruppe 

nicht alle Drehpunkte auf den Spiegelachsen. 


16. Die Ornamentgruppe p3m1 ergibt sich durch die Kombination der Gruppen cm und p3. In 

dieser Gruppe liegen im Vergleich zur Gruppe p31m aber alle Drehpunkte auf den 

Spiegelachsen. 


3 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

3 3


17. Die Ornamentgruppe p6m ergibt sich durch die Kombination der Gruppen p6, p31m und 

p3m1. Demnach besteht die Gruppe p6m aus Translationen, Sechsteldrehungen, 

Dritteldrehungen, Halbdrehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen an zueinander 

parallelen Achsen. Hier liegen alle Drehzentren auf den Spiegelachsen. 


Alle Basistranslationsvektoren sind linear unabhängig zueinander. 

Es gibt also insgesamt 17 verschiedene Ornamentgruppen. 

Satz 6.6.: 

Es gibt genau 17 Typen von Ornamentgruppen. 

• Die fünf Typen ohne Spiegelung oder Gleitspiegelung: p1, p2, p3, p4, p6. 

• Die drei Typen ohne Drehungen: pm, pg, cm. 

• Die vier Typen mit Spiegelung oder Gleitspiegelung und nur Halbdrehungen: pmm, pgg, 

pmg, cmm. 

6 3 3 

• Die fünf Typen mit Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehungen mit einem 

Drehwinkel kleiner als 180°: p4m, p4g, p6m, p31m, p3m1. 

Auf den Beweis des Satzes wird an dieser Stelle verzichtet, da er sehr komplex und 

umfangreich ist. Für interessierte Leser sei auf das Buch von Klemm, M.: „Symmetrien von 

Ornamenten und Kristallen“ verwiesen. In diesem Buch wird ein vollständiger Beweis für die 

Existenz von genau 17 Ornamentgruppen gegeben. 

Die verwendeten Bezeichnungen für die kristallographischen Gruppen sind international 

üblich. Um deren Bedeutung etwas besser zu verstehen, soll im folgenden auf die Symbole 

eingegangen werden: 

6 

6 

6


• Der Buchstabe p bezeichnet die primitive Zelle oder auch Einheitszelle. 

• Der Buchstabe c taucht in der Bezeichnung auf, wenn die Translationsvektoren ein Netz 

bilden, das sich aus zentrierten Rechtecken zusammensetzt. In diesem Fall ist die 

Einheitszelle zentriert in das Rechteck (centered cell) eingelagert. Die Fläche des 

Rechtecks ist dabei doppelt so groß wie die der Einheitszelle. 

• Die Ziffern 2, 3, 4 und 6 beschreiben die Ordnung der Drehzentren. 

• Der Buchstabe m leitet sich vom englischen Wort mirror ab und deutet auf das 

Vorhandensein von Spiegelachsen hin. 

• Der Buchstabe g weist auf die Existenz von Gleitspiegelungen hin. 

• Die Ziffer 1 nimmt nur bei den Ornamentgruppen p31m und p3m1 eine Sonderrolle ein. 

Hier können zwei Fälle unterschieden werden: 

1. Wenn die 1 an dritter Stelle der Bezeichnung der kristallographischen Gruppe (p31m) 

steht, dann wird damit verdeutlicht, daß weder Spiegelungsachsen noch 

Gleitspiegelungsachsen senkrecht zu den Kanten der Einheitszelle verlaufen. 

2. Wenn die 1 an vierter Stelle der Bezeichnung der kristallographischen Gruppe (p3m1) 

steht, dann wird damit verdeutlicht, daß es keine Achsen in der Einheitszelle gibt, die 

deren Kanten unter einem 60° Winkel schneiden. 

Es existieren aber auch noch andere Bezeichnungsweisen der Ornamentgruppen. Aus diesem 

Grund möchte ich die verschiedenen Bezeichnungsweisen gegenüberstellen. Die Buchstaben 

k und g stehen in der polyaschen Bezeichnungsweise für Klapp- und Gleitachsen:


Wandgruppenmuster 

Polyasche 

Bezeichnung 

Internationale 

Bezeichnung 

W1 C p1 p1 

1 

W2 C p2 p2 

2 

W3 C p3 p3 

3 

W4 C p4 p4 

4 

W6 C p6 p6 

6 

1 

W D kg 

cm cm 

1 

1 

2 

W D kk 

pm pm 

1 

1 

3 

W D gg 

pg pg 

1 

1 

1 

W D kgkg cmm c2mm 

2 

2 

2 

W D kkkk pmm p2mm 

2 

2 

3 

W D kkgg pmg p2mg 

2 

2 

4 

W D gggg pgg p2gg 

2 

2 

1 

W3 

2 

W3 

1 

W4 

2 

W4 

* 

D p3m1 p3m1 

3 

� 

D p31m p31m 

3 

* 

D p4m p4mm 

4 

� 

D p4g p4gm 

4 

1 

W D p6m p6mm 

6 

6 

Bez.: Bigalke / 

Wippermann 

Eine Anmerkung möchte ich noch zu den Drehzentren n-ter Ordnung machen. In der 

einschlägigen Literatur werden für Drehungen von höchster Ordnung häufig folgende 

Bezeichnungen verwendet: 

Wenn die Drehung höchster Ordnung n = 2 ist, spricht man auch von einer Digyre, für n = 3 

von einem Trigyre, für n = 4 von einem Tetragyre und für n = 6 von einem Hexagyre.


„Recognition and classification of periodic patterns can be fun: in fact once you begin looking 

for them, you become aware of how surounded we are by these ornamental designs. (There is 

a slight warning to those who engage in this pastime. While staring at a stranger’s printed 

dress or gazing intently at a carpet design, you may find yourself the object of curious 

stares!)“ 13 

Abbildung 86: Flächenornament in einer zypriotischen Siedlung vom Typ pmm. 

Bodenmosaik im Haus des Dionysos, Paphos, Zypern. 

Wenn man von einem gegebenen Ornamentmuster die zugehörige Ornamentgruppe ermitteln 

möchte, so kann man sich des folgenden Entscheidungsalgorithmus (siehe Abb. 87) bedienen: 

13 Zitat aus: Herfort, P. / Klotz, A.: Ornamente und Fraktale / S. 39.


Nur noch 

Translationen ? 

p2 

ja 

Spiegelachsen ? 

Drehzentrum 

außerhalb der 

Spiegelachse ? 

Orthogonale 


ja 

ja 

ja 

ja 

nein 

nein 

cmm pmg 

nein 

nein 

pgg 

pmm 

Als Drehungen nur 

Halbdrehungen ? 

Nur noch 


p3 

ja 

Ornament 

Drehungen ? 

Als Drehungen nur 

Dritteldrehungen ? 

ja 

ja 

Drehzentrum 

außerhalb der 

Spiegelachse ? 

ja 

nein 

nein 

p31m p3m1 


Vierteldrehungen? 


Spiegelachse durch 

4-er Zentrum ? 

Abbildung 87: Entscheidungsalgorithmus über den Flächenornamenttyp. 

nein 

p4m 

ja 

nein 

ja 

p1 Spiegelachsen ? 

ja 

nein 

nein 

p4g 

ja 

nein 

Gleitspiegelachsen, 

die keine Spiegelachsen 

sind ? 

nein 

p4 

ja 

cm 

ja 

Spiegelachsen 

? 

ja 

p6m 

nein 

pm 

p6 

nein 

pg 

nein 

nein


7. Homöometrie 

Ebenso wie der Begriff Symmetrie stammt auch das Wort Homöometrie aus dem 

griechischen und bedeutet so viel wie Gleichartigkeit. Er unterscheidet sich aber von der 

Symmetrie in dem Punkt, daß in der Homöometrie Änderungen möglich sind, diese aber in 

immer gleicher Weise auftreten müssen. Eine solche Gleichartigkeit findet man 

beispielsweise in dem Pflanzenwachstum. Hier ist zu beobachten, daß die Blätter entlang des 

Stiels in gleichmäßiger Weise zum Ende hin immer kleiner werden. Wenn man nun die sieben 

einseitigen Friesornamente (7) betrachtet, so kommen aus der Homöometrie (nach Preisinger) 

noch drei homöometrische Friesgruppen hinzu. Die Bewegungen B entsprechen in diesem 

Kapitel nicht der Definition 2.1. Die homöometrischen Friesgruppen werden nach 

Schubnikow und Koptsik bezeichnet. Es handelt sich um die homöometrischen Gruppen: 

1 

p s 

p s 1m 

p s1a s 

Abbildung 88 

Abbildung 89 

Abbildung 90


In der Baukunst hat sich beispielsweise die Gotik der Homöometrie bedient, während die 

Romantik nur Symmetrie mit gleichem Maß verwendet hat. 

8. Zweiseitige Fries- und Flächenornamente 

Die bisherigen Fries (7) - und Flächenornamente (17) waren jeweils einseitig. Um deren 

Betrachtung abzurunden möchte, ich erwähnen, daß es auch möglich ist, zweiseitige Friesund 

Flächenornamente zu erzeugen. Dies ist dann der Fall, wenn sich zwei Linien 

überschneiden. Es existieren 31 zweiseitige Friesornamente (nach Preisinger). Beispiele für 

diese Art der Friesornamente (vgl. Abb. 91 + 92) findet man unter anderem in der Alhambra 

in Granada. 

Abbildung 91: Einseitiges Friesornament vom Typ p1. 

Abbildung 92: Zweiseitiges Friesornament vom Typ p11a. 

Bei den zweiseitigen Flächenornamenten existieren 80 Gruppen. Für die zweiseitigen 

Friesornamente (31) erhöht sich die Zahl der Friesgruppen um elf homöometrische Gruppen. 

Insgesamt gibt es also: 

Einseitige Friesornamentgruppen 7 

Zweiseitige Friesornamentgruppen 31 

Einseitige Friesornamentgruppen (homöometrisch) 10 

Zweiseitige Friesornamentgruppen (homöometrisch) 42 

Einseitige Flächenornamentgruppen 17 

Zweiseitige Flächenornamentgruppen 80


9. Die Symmetrie in der Kristallographie 

Da die Untersuchung von Flächenornamenten im wesentlichen auf den Grundlagen der 

Kristallographie beruht, möchte ich einen kurzen Einblick in die Wissenschaft der 

Kristallographie gewähren. 

Die moderne Kristallographie befaßt sich mit der räumlichen Anordnung der Atome 

(Struktur) in der Materie, mit den Änderungen des strukturellen Aufbaus, sowie mit den 

physikalischen, chemischen, material- und geowissenschaftlichen und technischen 

Eigenschaften fester Stoffe. In Deutschland hat sich die Kristallographie aus der Mineralogie 

und seit etwa 1850 aus der Physik entwickelt. Mit der Entdeckung der Beugung von 

Röntgenstrahlen an Kristallen (1912) und der Entdeckung der periodischen Anordnung der 

Atome in Kristallen durch Max von Laue, entwickelte sich die Kristallographie zu einer 

modernen Wissenschaft, die somit im Zentrum der Kristallstrukturanalyse stand. Diese neu 

erworbenen Kenntnisse führten zu einer gravierenden Veränderung des „Weltbildes“. Auch in 

heutiger Zeit ist die Kristallwissenschaft von überaus großer Bedeutung. Sie findet 

beispielsweise ihre Anwendung in den Werkstoffwissenschaften. Aber auch in der Biologie 

war sie von immanenter Wichtigkeit, da erst durch die Kristallographie eine 

Strukturaufklärung der DNS-Doppelhelix möglich wurde. Außerdem sind auch Aussagen 

über chemische und biologische Funktionen von Proteinen möglich geworden. 

Nun liegen der Kristallstrukturlehre aber auch Symmetrieoperationen zugrunde, deren 

Bedeutung weit über das Gebiet der Kristallographie hinaus reicht. Wenn man zum Beispiel 

ein Kristall in idealisierter Form (ohne Baufehler) betrachtet, so lassen sich daraus die 230 

Raumgruppen ableiten. Durch Projektion einer Kristallstruktur in die Ebene (vergleichbar mit 

einem Röntgenbild), ergeben sich die sogenannten Fries- und Ornamentgruppen, die von dem 

Mathematiker Georg Pólya untersucht wurden. 

Georg Pólya (13.12.1887 – 07.09.1985) arbeitete unter anderem auch 

mit dem Kristallographen Paul Niggli zusammen, der Schriftleiter der 

„Zeitschrift für Kristallographie“ war. In dieser Zeitschrift wurde auch 

die „gruppentheoretische Klassifikationsfrage der Ornamentmuster in 

übersichtlicher Darstellung und mit einer geschlossenen 

Beweisführung“ 14 aufgearbeitet. Abbildung 93: G. Pólya 

14 Zitat aus: Flachsmeyer, J.: Mathematik und ornamentale Kunstformen / S.107.


10. Parkettierung der euklidischen Ebene 


Unter einem Parkett (vgl. Abb. 94) verstehen wir die lückenlose und überlappungsfreie 

Überdeckung der euklidischen Ebene mit nur kongruenten Parkettsteinen. 

Abbildung 94: Beispiele für Parkettmuster 

In der Kristallographie und der Physik wird der dreidimensionale Raum in sogenannte 

Dirichlet-Kammern15 unterteilt. Dabei wird ein System von regelmäßig angeordneten, 

punktförmigen Zentren betrachtet. Diesen Zentren werden die Dirichlet-Kammern 

zugeordnet. Darunter ist eine Art Einzugsbereich von Punkten zu verstehen, der aus genau 

den Punkten besteht, die keinem anderen als dem eben betrachten Zentrum näher liegen. 

Anwendung findet dies bei der Untersuchung der relativen Lage von Atomkernen. In unserem 

Fall beschränken wir uns jedoch auf den zweidimensionalen euklidischen Raum und einer 

analogen Einteilung in Dirichlet-Kammern, wie dies zum Beispiel bei einem Kristallgitter in 

der Ebene der Fall ist. Die Symmetriegruppe dieses Kristalls ist dann eine der 17 

Ornamentgruppen, die bereits vorgestellt wurden. Wir erhalten ein System von Zentren, in 

dem wir alle Elemente einer Ornamentgruppe nacheinander auf ein vorgegebenes Zentrum 

anwenden. Somit erhalten wir lauter deckungsgleiche konvexe Vielecke, welche die Ebene 

Abbildung 95: L. Dirichlet (1805 – 1859) 

15 Benannt nach dem Mathematiker L. Dirichlet.


lückenlos und überlappungsfrei überdecken; also eine Parkettierung bilden. Ein Parkettstein 

kann als Ornament auffaßt werden, indem man lediglich seinen Rand betrachtet. Demnach 

verstehen wir unter der Symmetrie eines Parketts gerade die Symmetrie des zugehörigen 

Ornaments. Mit den Dirichlet-Kammern (vgl. Abb. 96) lassen sich sogenannte Dirichlet- 

Parketts bilden, bei denen jeder Parkettstein durch eine geeignete Symmetrie in jeden anderen 

überführt werden kann. 

Abbildung 96: Beispiele für Dirichlet-Kammern 


Ein Parkett P heißt regulär, wenn seine Ornamentgruppe O(P) auf dem Parkett 

bereichstransitiv operiert. 

Die Definition besagt lediglich, daß alle Parkettsteine in ein und derselben Weise von der 

Gesamtheit der anderen Steine umgeben sind. Die Menge aller Randpunkte bildet ein 

zusammenhängendes Netz in der Ebene. 

10.1. Laves-Netze 


Zwei Ornamentgruppen O1 und O2 gehören zu demselben Typ von Ornamentgruppen, wenn 

es eine affine Abbildung α gibt, durch welche die Diagramme der zwei Ornamentgruppen 

aufeinander abgebildet werden können mit α -1 ⋅ O1 ⋅ α = O2. 

O1 und O2 heißen dann zueinander äquivalent.



Unter einem Laves-Netz verstehen wir eine Klasse topologisch äquivalenter Netze, die bei 

regulären Parketts auftreten können. Ein Laves-Netz wird durch die Angabe des Zyklus der 

Eckenordnung angegeben. 

Abbildung 97: Zwei reguläre Parketts mit der Ornamentgruppe cm und den 

Eckenzyklen 333333 und 44333 

Die Abbildung 97 veranschaulicht, daß reguläre Parketts mit gleichen Ornamentgruppen 

durchaus unterschiedliche Zyklen von Eckenordnungen besitzen können. Dies bedeutet eine 

bisher noch ungenügende Typisierung der Parketts, da sie sich noch wesentlich voneinander 

unterscheiden. Abhilfe schafft hier der folgende Satz, der zur weiteren Typisierung der 

Parketts benötigt wird. Nach Bigalke / Wippermann gilt: 

Satz 10.1.: 

Es existieren genau 11 topologisch verschiedene Laves-Netze für reguläre Parketts. 

Beweis 10.1.: 

Im folgenden Beweis wird die Eulersche Polyederformel herangezogen. Jedoch müssen wir 

beachten, daß die von uns betrachteten Netze der Parketts unendlich sind, während die 

Eulersche Polyederformel nur für endliche Netze gültig ist. Da wir jedoch nur einen endlichen 

Teil des Netzes betrachten, geht die Eigenschaft der Regularität verloren (vgl. Abb. 98). 

Abbildung 98: Reguläres Parkett 43433 pmg.


Die verlorengegangene Eigenschaft, daß alle Parkettsteine in gleicher Weise von allen 

anderen umgeben sein sollen, kann jedoch durch einen Trick zurückgewonnen werden. 

Stellen wir uns das Netz des Parketts auf einem Torus realisiert vor. In dem Kapitel 

Ornamentgruppen haben wir festgestellt, daß sich zu jeder Ornamentgruppe zwei linear 

unabhängige Vektoren finden lassen. Die beiden Vektoren geben eine Translation an, durch 

die das Netz auf sich selbst abgebildet wird. Nun betrachten wir einen Ausschnitt des 

Parketts, der die Form eines Parallelogramms hat, welches durch die beiden Vektoren der 

Translation aufgespannt wird. In den Abbildungen 99 und 100 wird verdeutlicht, wie sich das 

Abbildung 99: Endlicher Teil des Parketts 43433, pgm Abbildung 100: Ausschnitt des Parketts 

Netz mit dem Parallelogramm schneidet. Dabei entsprechen sich jeweils zwei Punkte auf 

gegenüberliegenden Seiten, weil sie durch die angegebene Translation aufeinander abgebildet 

werden können. Dies wird durch gleiche Buchstaben kenntlich gemacht. Das ermöglicht uns, 

den ausgeschnittenen Teil des Netzes auf einem Torus einzubetten. Auf dem Torus haben wir 

somit ein Netz erzeugt, bei dem jede Fläche auf gleiche (topologische) Weise von allen 

anderen Flächen umgeben ist. Es ist uns gelungen, nun doch noch die Eulersche 

Polyederformel anwenden zu können. Für den Torus lautet sie: 

e – k + f = 0 . 

F 

A B 

Abbildung 101: L. Euler (1707 – 1783) 

E 

D 

A B 

C 

C 

F 

E 

D


Die Variablen e, k und f geben die Anzahl der Ecken (e), Kanten (k) und Flächen (f) des 

eingebetteten Graphen auf dem Torus an. Bei der dazu äquivalenten Gleichung 

e 

f 

− 

k 

f 

+ 1 = 0 

kann man die beiden Quotienten als „Anteil der Eckenzahl pro Fläche“ und „Anteil der 

Kantenzahl pro Fläche“ 16 interpretieren. Wenn n die Anzahl der Ecken auf dem Rand einer 

Fläche ist und i1, i2, ..., in die Ordnungen dieser Ecken sind, dann ergibt sich die Gleichung 

e 

f 

= 

1 

i 

n 

� 

m= 1 m 

, 

da die Ecke im zu genau m Flächen gehört und deshalb den Beitrag 1/im pro Anteil der 

Eckenanzahl pro Fläche liefert. 

Da jede Kante zu genau zwei Flächen gehört, liefert sie den Beitrag 1/2 zum Anteil der 

Kantenanzahl pro Fläche und es gilt: 

k n 

= 

f 2 

Durch Ersetzen ergibt sich die Gleichung 

1 

i 

n 

� 

m= 1 m 

− 

n 

2 

+ 1 = 0 . 

Jede Ecke hat mindestens die Ordnung 3 und so gilt für jedes m = 1, 2, 3, ..., n die 

Nebenbedingung im ≥ 3, wodurch sich die Ungleichung 

n 

3 

− 

n 

2 

+ 1 = 0 

16 Zitat aus: Bigalke, H. G. / Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen S. 269.


ergibt, was gleichzeitig die Einschränkung n ≤ 6 erzwingt. Somit haben wir die diophantische 

n n 

Gleichung − + 1 = 0 nur für n = 3, 4, 5, 6 zu untersuchen. Aufgrund der Einschränkung 

3 2 

n ≤ 6 ergeben sich nur endlich viele Lösungsmöglichkeiten. Die Lösungen können in Form 

von Tupeln angegeben werden, die sich mit einem relativ einfachen Computerprogramm 

berechnen lassen (vergleiche mit Bigalke, H. G. / Wippermann, H.). 

Nach der Bestimmung der Lösungstupel für die Laves-Netze muß überprüft werden, ob es 

auch wirklich ein solches Laves-Netz gibt, das den Zyklus der Eckenordnung gemäß dem 

Lösungstupel erfüllt. Anhand eines Beispiels möchte ich verdeutlichen, wie eine solche 

Überprüfung aussehen kann. Dazu nehmen wir uns beispielsweise das Lösungstupel (5, 5, 10) 

heraus und wir nehmen an, daß es dazu ein Laves-Netz mit dem Zyklus der Eckenordnung 

5, 5, 10 gibt. Durch bloßes Probieren findet man leicht heraus, daß eine Realisierung eines 

solchen Laves-Netzes nicht möglich ist. Dazu zeichnen wir ein Dreieck, über dessen 

5-5-Kante ein zweites Dreieck dieser Art konstruiert wird. Doch schon beim dritten Dreieck 

stellen wir fest, daß dieses Problem für das Lösungstupel (5, 5, 10) nicht mehr lösbar ist, da 

für das dritte Dreieck nur der Zyklus der Eckenordnung 5, 5, 5 in Frage kommen würde. Zum 

besseren Verständnis betrachte man hierzu die Abbildung 102. In analoger Weise werden die 

anderen Lösungstupel im Hinblick auf ihre Realisierbarkeit untersucht (vgl. Bigalke / 

Wippermann). 

Abbildung 102: Untersuchung zur Realisierbarkeit eines Laves-Netzes zum Lösungstupel (5, 5, 10)


n Lösungstupel als 

Laves-Netz realisierbar 

Lösungstupel als 

Laves-Netz nicht realisierbar 

Bezeichnung des 

Laves-Netzes 

3 (3, 7, 42) 

(3, 8, 24) 

(3, 9, 18) 

(3, 10, 15) 

(3, 12, 12) 12, 12, 3 

(4, 5, 20) 

(4, 6, 12) 12, 6, 4 

(4, 8, 8) 884 

(5, 5, 10) 

(6, 6, 6) 666 

4 (3, 3, 4, 12) 

(3, 3, 6, 6) 6363 

(3, 4, 4, 6) 6434 

(4, 4, 4, 4) 4444 

5 (3, 3, 3, 3, 6) 63333 

(3, 3, 3, 4, 4) 44333 

43433 

6 (3, 3, 3, 3, 3, 3) 333333 

In der Tabelle können die Ergebnisse einer vollständigen Untersuchung aller Lösungstupel 

abgelesen werden. Einen Sonderfall stellt das Lösungstupel (3, 3, 3, 4, 4) dar, weil es zu ihm 

zwei Laves-Netze gibt. Demnach gibt es genau 11 Laves-Netze. ■


Abbildung 103: Repräsentanten der elf Laves-Netze durch Laves-Parketts. Hier sind speziell in jedem 

Verzweigungspunkt alle Winkel gleich groß.


Nach Satz 10.1. sind zwei reguläre Parketts genau dann topologisch äquivalent zueinander, 

wenn ihnen das gleiche Laves-Netz zugrunde liegt. Dies soll durch die Abbildung 104 

veranschaulicht werden. 

Abbildung 104 a) - b): Zwei zueinander topologisch äquivalente Parketts 

Abbildung 105 a) – b): Zwei zueinander nicht topologisch äquivalente Parketts 

Wenn wir uns die Abbildung 106 betrachten, stellen wir fest, daß die Typisierung der Parketts 

durch deren Ornamentgruppen und Laves-Netze offensichtlich noch nicht ausreichend ist. 

Obwohl es Parketts gibt, welche den gleichen Ornamenttyp besitzen und denen zugleich 

dieselben Laves-Netze zugrunde liegen, können sie trotzdem immer noch wesentlich 

verschieden voneinander sein. 

Abbildung 106 a) –d): 

Bei den beiden regulären Parketts in 106 a) und 106 b), die der Ornamentgruppe cmm 

angehören und denen das Laves-Netz 4444 zugrunde liegt, besitzt jeder Parkettstein in a) zwei 

Spiegelungsachsen und eine Halbdrehung. Dagegen besitzen die Parkettsteine in b) keine


Symmetrie außer dem trivialen Fall der Identität (der im folgenden nicht weiter erwähnt 

werden soll). 

Die Parketts in 106 c) und 106 d) haben den Ornamentgruppentyp pg und das gleiche Laves- 

Netz 4444 wie a) und b). Obwohl in c) und d) die Parkettsteine keine Symmetrie aufweisen, 

unterscheiden sie sich dennoch. In der Abbildung c) können die Parkettsteine durch eine 

Translation in horizontaler Richtung ineinander überführt werden. Dies ist bei dem Parkett in 

d) nicht der Fall. Dies bedeutet eine noch unzureichende Charakterisierung durch den 

Ornamentgruppentyp und das Laves-Netz. 

Nach den bisherigen Erkenntnissen haben alle Parkettsteine in einem regulären Parkett 3, 4, 5 

oder 6 Nachbarparkettsteine (vergleiche mit den 11 Repräsentanten der Laves-Netze). Dabei 

verstehen wir unter den Nachbarn eines Parkettsteines p diejenigen, die mit p mehr als einen 

Punkt gemeinsam haben. Aufgrund der Regularität gibt es in der Ornamentgruppe O(P) zu 

jedem Parkettstein mindestens eine Nachbarabbildung, die p auf einen Nachbarn abbildet. 

Außerdem sind alle Parkettsteine mit ihren Symmetrieelementen zueinander kongruent, da 

jeder Parkettstein in gleicher Weise von allen anderen umgeben ist (regulär). Die Abbildung 

107 zeigt die Symmetrieelemente der Nachbarabbildungen eines Parkettsteines. 

Abbildung 107: Die Pfeile beschreiben die Translation und die Linsen 

kennzeichnen die Drehzentren der Halbdrehungen 

Man kann auf einem regulären Parkett P mit der Ornamentgruppe O(P) einen beliebigen 

Parkettstein p mit n Nachbarabbildungen auswählen, durch die der Parkettstein auf seine n 

Nachbarn abgebildet werden kann. Die ausgewählten Nachbarabbildungen bilden eine 

Gruppe G, die auf dem ganzen Parkett bereichstransitiv operiert. Wir bezeichnen die n 

ausgewählten Nachbarabbildungen mit a 1, 

a 2 ,..., a n . Eine beliebige Abbildung ai soll nun 

nicht nur den Parkettstein p auf seinen Nachbarn pi (mit i ∈ {1, 2, ..., n}) abbilden. Weiterhin


sollen auch all seine Symmetrieelemente A 1, 

A 2 ,..., A n der Abbildungen a 1, 

a 2 ,..., a n mit 

abgebildet werden. Deren Bilder werden mit A 1, 

A 2 ,..., A n und die dazugehörigen 

Abbildungen mit a 1, 

a 2 ,..., a n bezeichnet. Diese Abbildungen lassen sich durch Verkettung 

−1 

und Inversenbildung von a 1, 

a 2 ,..., a n erzeugen, da a j = a i � a j � a i für alle j ∈ {1, 2, ..., n} 

gilt. Somit sind a 1, 

a 2 ,..., a n Nachbarabbildungen für den Parkettstein pi und zugleich 

Elemente von G für alle i ∈ {1, 2, ..., n}. Ebenso kann p auf beliebige Parkettsteine px und py 

durch eine endliche Folge von Nachbarabbildungen abgebildet werden, wie auch px auf py 

durch solche Nachbarabbildungen abgebildet werden können. Somit operiert G auf dem 

ganzen Parkett P bereichstransitiv und es gilt: G ⊆ O(P). Daraus läßt sich nach Bigalke / 

Wippermannn der folgende Satz ableiten. 

Satz 10.2.: 

Zu einem regulären Parkett P gibt es mindestens n Nachbarabbildungen, durch die ein 

Parkettstein auf all seine n Nachbarn abgebildet werden kann. Diese Nachbarabbildungen 

bilden eine Ebenengruppe G, die auf dem ganzen Parkett P bereichstransitiv operiert und eine 

Untergruppe von der Ornamentgruppe O(P) ist. Es gilt: G ⊆ O(P). 

Die Gruppe G hängt wesentlich von der Wahl der n Nachbarabbildungen (vgl. Abb. 108) ab, 

da die Gruppe G durch sie erzeugt wird. Dazu betrachten wir nochmals die Abbildung 107. 

Dieses Parkett ist vom Ornamentgruppentyp cmm und es steht uns frei, welche 

Symmetrieelemente wir daraus auswählen. Wenn wir die vier Translationen als 

Nachbarabbildungen wählen, dann ist G vom Typ p1. Falls wir die vier Halbdrehungen 

wählen, so ist G vom Typ p2. Für den Fall, daß wir die Gleitspiegelungen an zueinander 

parallelen Achsen wählen, ergibt sich für G der Ornamentgruppentyp pg. Für die drei 

besprochenen Fälle p1, p2 und pg gilt G ⊂ O(P). Wenn wir dagegen die Symmetrieelemente 

wie in der Abbildung 108 wählen, so gilt G = O(P).


Abbildung 108: Beispiel für die Auswahl von Nachbarabbildungen. 

Die gestrichelte Linie ist die Gleitspiegelungsachse und 

die Linse bezeichnet ein zweizähliges Drehzentrum. 

10.2. Die 93 Klassen regulärer Parkettierungen 

In der folgenden Abbildung 109 wird noch einmal verdeutlicht, wie sich die Parketts 

unterscheiden können, obwohl sie alle der Ornamentgruppe p2 angehören und ihnen ein 

Laves-Netz vom Typ 4444 zugrunde liegt. Der Unterschied liegt in den verschiedenen Lagen 

der Symmetrieelemente der Gruppe p2 in Bezug auf das Laves-Netz. Beispielsweise 

Abbildung 109: Unterschiedliche Lage der Drehzentren bezüglich der Netzkanten. 

verlaufen in Abbildung 109 die Netzkanten nicht durch alle Drehzentren der Halbdrehungen. 

Hierdurch haben wir ein weiteres Charakterisierungsmerkmal für ein Parkett gefunden. Neben 

der Ornamentgruppe und dem Laves-Netz können wir noch zusätzlich die Verknüpfung des 

Laves-Netzes mit den Symmetrieelementen der jeweiligen Ornamentgruppe vornehmen. Die 

Parketts sollen sich jedoch nicht wesentlich voneinander unterscheiden, wenn lediglich die 

Ausgestaltung der Parkettsteinkanten verschieden ist.


Das dritte Merkmal soll noch etwas präzisiert werden, wozu folgende Überlegung 

durchzuführen ist: 

Zu jedem Laves-Netz L gibt es die Gruppe, die aus all seinen topologischen 

Automorphismen besteht. Diese induzieren aufgrund der Bijektivität eine eindeutige 

Permutation der Menge BL, der durch L erzeugten Bereiche. Die Gesamtheit aller 

Permutationen bildet eine Gruppe, die wir mit ΠL bezeichnen. Wir können aus BL 

zwei beliebige Bereiche B1 und B2 auswählen. Dann gibt es genau nL verschiedene 

Permutationen aus ΠL, durch welche die beiden Bereiche B1 und B2 aufeinander 

abgebildet werden können. Die Anzahl nL der Permutationen finden wir, indem wir 

uns überlegen, wie der Rand von B1 auf B2 abgebildet werden kann, so daß dabei 

gleichzeitig auch L auf sich abgebildet wird. Die Ergebnisse sind der Tabelle auf 

Seite 78 zu entnehmen. Die Unabhängigkeit von nL bezüglich der beliebigen Wahl der 

beiden Bereiche ist durch die Regularität bedingt. Demnach sind alle Bereiche in 

gleicher Weise von allen anderen umgeben. Wenn ein reguläres Parkett P mit dem 

Laves-Netz L(P) und der Ornamentgruppe O(P) vorliegt, dann wird durch jedes 

Symmetrieelement von O(P) bijektiv eine Permutation der Menge aller Parkettsteine 

induziert. All diese Permutationen bilden eine Gruppe ΠP, die zugleich auch 

Untergruppe von ΠL ist. Es gilt: ΠP ⊆ ΠL. 

Es wäre interessant zu wissen, ob es zu jedem Laves-Netz L ein reguläres Parkett gibt, 

so daß ΠP = ΠL gilt. Das Ergebnis liegt uns bereits vor, wenn wir uns nochmals die elf 

Repräsentanten der Laves-Netze betrachten. Bei jedem Parkett können alle 

Parkettsteine durch nL Symmetrien auf die anderen abgebildet werden. Daher ist die 

Gleichung ΠP = ΠL gültig. Solche speziellen Parketts mit der Eigenschaft ΠP = ΠL 

werden topologisch komplett genannt. Das dazugehörige Parkett heißt Laves-Parkett 

und deren Ornamentgruppen werden mit O(Λ) bezeichnet.


L nL Typ von O(Λ) 

333333 12 p6m 

63333 1 p6 

44333 2 Cmm 

43433 2 p4g 

6434 2 p6m 

6363 4 p6m 

444 8 p4m 

12, 12, 3 2 p6m 

12, 4, 6 1 p6m 

884 2 p4m 

666 6 p6m 

Nun haben wir das nötige Werkzeug, um die Verknüpfung eines Laves-Netzes mit den 

Symmetrieelementen der Ornamentgruppe zu präzisieren: 

Es sei ein reguläres Parkett P mit der Ornamentgruppe O(P) und dem Laves-Netz L(P) 

gegeben. Dann ist es uns möglich, ein entsprechendes Laves-Parkett ΛP mit der 

Ornamentgruppe O(ΛP) durch einem Homöomorphismus 17 h so abzubilden, daß auch 

sämtliche Symmetrieelemente von O(P) auf entsprechende Symmetrieelemente der 

Gruppe O(ΛP) abgebildet werden. Es gilt: h(P) = ΛP. Durch h wird dann eine 

Untergruppe ΓP ⊆ O(P) mit der Eigenschaft ΓP = h -1 ⋅ O(P) ⋅ h definiert. 

Wenn wir die Symmetrieelemente von ΓP in dem Laves-Parkett ΛP markieren, dann 

erhalten wir das, was wir bisher mit „Verknüpfung des Laves-Netzes mit den 

Symmetrieelementen der Symmetriegruppe“ 18 bezeichnet haben. ■ 

Die obige Überlegung führt zu dem folgenden Satz in Anlehnung an Bigalke, H. G. / 

Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen. 

17 

Als homöomorph werden Parketts bezeichnet, die vom gleichen Typ sind. (Vgl.: Duden / 

Das Fremdwörterbuch) 

18 

Zitat aus: Bigalke, H. G. / Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen / S. 280.


Satz 10.3: 

Zu jedem Laves-Netz L gibt es eine maximale Ebenengruppe Gmax in folgendem Sinne: 

1. Es gibt ein reguläres Laves-Parkett Λ mit dem Laves-Netz L und Gmax = O(Λ) als 

Symmetriegruppe. 

2. Wenn ein reguläres Parkett P mit der Ornamentgruppe O(P) ein Laves-Netz L hat, dann 

gibt es eine homöomorphe Abbildung h von P auf das Laves-Parkett ΛP, durch welche der 

Gruppe O(P) eine isomorphe Untergruppe zugeordnet wird, die bereichstransitiv auf ΛP 

operiert: h(P) = ΛP, ΓP = h -1 ⋅ O(P) ⋅ h ⊆ O(ΛP). 

Mit Hilfe des Satzes 10.3. können wir jedem regulären Parkett P ein Paar (ΛP, ΓP) zuordnen. 

Dieses Paar ist aber nicht immer eindeutig bestimmt. 

Abbildung 110 a) – b) 

Die Abbildung hätte auch so aussehen können, daß die Drehzentren der Halbdrehungen nicht 

auf den horizontalen Seitenmitten (vgl. Abb. 110 b), sondern auf den vertikalen Seitenmitten 

der Quadrate liegen. Damit sind die Untergruppen ΓP zwar unterschiedlich, aber die 

quadratischen Parketts mit ihren markierten Symmetrieelementen zueinander kongruent. 

Wenn also ein Parkett P mit der Ornamentgruppe O(P) und dem Laves-Netz L auf 

unterschiedliche Weise homöomorph auf das zugehörige Laves-Parkett abgebildet wird, so 

daß alle Symmetrieelemente von O(P) auf Symmetrieelemente von O(ΛP) abgebildet werden, 

dann können deren Untergruppen ΓP zwar verschieden sein, aber sie sind dann in O(ΛP) 

zueinander konjugiert. In diesem Fall wollen wir die dem Parkett P zugeordneten Paare 

(ΛP,ΓP) nicht weiter unterscheiden. 

Jetzt sind wir soweit, eine Klasseneinteilung der regulären Parketts durchzuführen.



Zwei reguläre Parketts P und Q gehören zum gleichen Parkettyp, wenn die Parketts mit all 

ihren Symmetrieelementen so auf das gleiche Laves-Parkett Λ homöomorph abgebildet 

werden können, daß die ihm zugeordneten Paare (Λ, ΓP) und (Λ, ΓQ) gleich sind. Dies 

bedeutet, daß ΓP und ΓQ bis auf Konjugation gleich sind. 

Anleitung: 

Um alle möglichen Typen regulärer Parketts zu finden, listen wir zunächst für jedes Laves- 

Parkett Λ mit der Ornamentgruppe O(Λ) alle Untergruppen Γ ⊆ O(Λ) auf, welche 

bereichstransitiv auf dem Parkett operieren (1. Schritt). 

Es wird sich dabei herausstellen, daß diese Menge auch Paare enthält, zu denen kein reguläres 

Parkett existiert. Um diese Paare herauszufinden, werden wir bei der nächsten Untersuchung 

prüfen, ob in jedem Fall die Kanten des Laves-Parketts so verformt werden können, daß die 

Symmetrieelemente aus O(Λ) \ Γ nicht mehr Symmetrien des Parketts sind und somit die 

Gruppe Γ auch Symmetriegruppe des neu erhaltenen regulären Parketts ist. Falls dies zutrifft, 

so haben wir einen Typ regulärer Parketts gefunden (2. Schritt).



Unter einer regulären Parkettierung verstehen wir ein Paar (Λ, Γ), das aus einem Laves- 

Parkett und einer Untergruppe Γ der Ornamentgruppe O(Λ) besteht, die auf dem Laves- 

Parkett bereichstransitiv operiert. Zwei reguläre Parkettierungen (Λ, Γ1) und (Λ, Γ2) sind vom 

gleichen Typ, wenn es einen Homöomorphismus h von Λ auf sich gibt, mit 

Γ2 = h -1 ⋅ Γ1 ⋅ h. 

Eine Klasse regulärer Parkettierungen vom gleichen Typ wird mit [Λ, Γ] bezeichnet, und 

gegebenenfalls mit Indizes versehen, falls verschiedene nicht zueinander konjugierte 

Untergruppen Γ vom gleichen Typ auftreten. 

Nun versuchen wir das Diagramm der behandelten Ebenengruppe Γ ⊆ O(Λ) so in das 

entsprechende Laves-Parkett Λ „einzupassen“ 19 , daß Γ bereichstransitiv auf Λ operiert. Falls 

dies auf verschiedene Weisen gelingen sollte und die Gruppendiagramme mit dem Laves- 

Parkett nicht zueinander kongruent sind, dann erhalten wir verschiedene Verknüpfungen des 

Laves-Netzes mit der Ebenengruppe und entsprechend auch verschiedene Paare (Λ, Γ), die 

durch Indizes kenntlich gemacht werden. 

Abbildung 111: Beispiel für zwei verschiedene Weisen, auf einem Laves-Parkett 

[333333, p31m] zu operieren. 

Als Beispiel wählen wir die Ornamentgruppe p31m. Diese Gruppe operiert auf zwei 

verschiedene Weisen auf dem Laves-Parkett 333333. Man betrachte hierzu die 

Abbildung 111. 

19 Zitat aus: Bigalke, H, G. / Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen: S. 282.


Nach einigen Vorüberlegungen führen wir nun den 1. Schritt der oben beschriebenen 

Untersuchung durch. 

Auflistung aller Klassen regulärer Parkettierungen 

Laves-Parkett 333333 

[333333, p6mm] [333333, p3m1] [333333, p31m]1 [333333, p31m]2 

[333333, p6] [333333, p3]1 [333333, p3]2 [333333, cmm] 

[333333, pmg]1 [333333, pmg]2 [333333, pgg]1 [333333, pgg]2 

[333333, pgg]3 [333333, cm]1 [333333, cm]2 [333333, pg]1 

[333333, pg]2 [333333, p2]1 [333333, p2]2 [333333, p1] 


[63333, p6] 


[44333, cmm] 

[44333, p2] 

[44333, pmg] [44333, pgg] [44333, cm] 


[43433, pmg] [43433, p4] [43433, pgg] 


[6434, p6m] [6434, p31m] [6434, p6] 


[6363, p6m] 

[6363, p3] 

[6363, p3m1] [6363, p31m] [6363, p6] 


[4444, p4m]1 [4444, p4m]2 [4444, p4m]3 [4444, p4g]1 

[4444, p4g]2 [4444, p4g]3 [4444, p4g]4 [4444, p4]1 

[4444, p4]2 [4444, p4]3 [4444, pmm]1 [4444, pmm]2 

[4444, pmm]3 [4444, cmm]1 [4444, cmm]2 [4444, cmm]3


[4444, cmm]4 [4444, pmg]1 [4444, pmg]2 [4444, pmg]3 

[4444, pmg]4 [4444, pmg]5 [4444, pgg]1 [4444, pgg]2 

[4444, pgg]3 [4444, pgg]4 [4444, pm]1 [4444, pm]2 

[4444, cm]1 [4444, cm]2 [4444, pg]1 [4444, pg]2 

[4444, p2]1 [4444, p2]2 [4444, p2]3 [4444, p1] 

Laves-Parkett 12, 12, 3 

[12, 12, 3, p6m] [12, 12, 3, p31m] [12, 12, 3, p6] 

Laves-Parkett 12, 4, 6 

[12, 4, 6, p6m] 


[884, p4m]1 

[884, cmm] 

[884, p4m]2 [884, p4g] [884, p4] 


[666, p6m]1 [666, p6m]2 [666, p3m1] [666, p31m] 

[666, p6]1 [666, p6]2 [666, cmm] [666, pmg] 

[666, pgg] [666, cm] [666, p2] 

Diese vollständige Aufzählung führt zu dem Satz 10.4.: 

Satz 10.4.: 

Für die elf Laves-Netze existieren genau 93 verschiedene Klassen regulärer Parkettierungen 

[Λ, Γ] mit Γ ⊆ O(Λ). Γ operiert auf Λ bereichstransitiv. 

Nun haben wir den 2. Schritt der Untersuchung durchzuführen. Für die 93 verschiedenen 

Paare [Λ, Γ] ist zu prüfen, ob es ein reguläres Parkett P mit dem Laves-Netz L(P) = L(Λ) gibt, 

so daß die Ornamentgruppe O(P) vom gleichen Typ ist wie Γ und Γ = ΓP gilt. An den zwei 

folgenden Beispielen soll dieses Vorgehen verdeutlicht werden.


1. Beispiel: [333333, p31m]1 

Jeder Parkettstein muß ein Sechseck sein, wie dem zugehörigen Gruppendiagramm 

entnommen werden kann. Außerdem besagt die Abbildung 112, daß Spiegelachsen durch 

gegenüberliegende Seitenmitten verlaufen und das Sechseck ein Drehzentrum der Ordnung 3 

besitzt. Die Symmetriegruppe des Parkettsteins ist die Diedergruppe D3, da die anderen 

Spiegelachsen, die ein regelmäßiges Sechseck besitzen, nicht vorkommen dürfen. Zusätzlich 

sollen die Eckpunkte des Sechsecks Drehzentren der Ordnung 3 sein. 

Abbildung 112 

Die Abbildung 113 ist eine Lösung. Dieses Parkett besitzt genau die Eigenschaften, die 

gefordert wurden. 

Abbildung 113


2. Beispiel: [333333, p3m1] 

Wie dem entsprechenden Gruppendiagramm in Abbildung 114 entnommen werden kann, hat 

der gesuchte Parkettstein wieder die Form eines Sechsecks, dessen Seiten auf Spiegelachsen 

liegen. Daraus ergibt sich als Symmetriegruppe für den Parkettstein wieder die 

Diedergruppe D3. Die geforderten Bedingungen können aber nur von einem Laves-Parkett 

333333 mit der Ornamentgruppe p6m erfüllt werden. Folglich gibt es kein Laves-Parkett 

333333, dessen Ornamentgruppe vom Typ p3m1 ist. 

Abbildung 114 

In dieser Art sind die Untersuchungen für die 93 Paare [Λ, Γ] durchzuführen. Das Ergebnis 

dieser Untersuchung besagt, daß es genau 81 verschiedene Typen regulärer Parketts gibt. Nun 

können wir für ein Parkett P der 81 Typen ein Paar (Λ, ΓP) angeben. Möglich ist dies, da 

durch die Realisierung (siehe Anhang Abb. 139) die Existenz eines solchen Parketts mit der 

Ornamentgruppe O(P) und h -1 ⋅ O(P) ⋅ h = ΓP = Γ bewiesen ist. 

Folglich gibt es zu 12 der 93 Klassen [Λ, Γ] keine regulären Parketts, die eine 

Ornamentgruppe O(P) mit h -1 ⋅ O(P) ⋅ h = ΓP = Γ haben. Dies liegt daran, daß ein reguläres 

Parkett P mit dem zugehörigen Laves-Netz L(P), auf dem die Gruppe G = h -1 ⋅ Γ ⋅ h 

bereichstransitiv operiert, eine Symmetriegruppe hat, die eine echte Obergruppe von G ist. 

Somit hat das Parkett mehr Symmetrien als die Gruppe G, die auf dem Parkett 

bereichstransitiv operiert. Um aber auch diese 12 Klassen durch geometrische Objekte zu 

realisieren, hat man nach einem Ausweg gesucht. Durch Anbringen von Markierungen soll 

dieser unbefriedigenden Situation Abhilfe geleistet werden.


Wenn eine Klasse [Λ, Γ] vorliegt, zu der es kein reguläres Parkett mit G = h -1 ⋅ Γ ⋅ h mit G als 

Symmetriegruppe gibt, dann suchen wir ein Parkett mit dem gleichen Laves-Netz, auf dem G 

bereichstransitiv operiert. Nach Satz 10.3. (vgl. Bigalke / Wippermann) existiert ein solches 

Parkett immer und im Extremfall könnte dies auch das Laves-Parkett Λ sein. In einem solchen 

Parkett bringen wir dann Markierungen an, so daß alle Steine einschließlich der Markierung 

zueinander kongruent sind. Das so entstandene markierte Parkett soll die Gruppe G als 

Symmetriegruppe besitzen. Durch das Anbringen der Markierungen (vgl. Abb. 114) gelingt es 

uns, dem Parkett P Symmetrien zu entziehen. Für die restlichen 11 Klassen [Λ, Γ] werden 

nach dem gleichen Verfahren Parketts mit Markierungen konstruiert, die G = h -1 ⋅ Γ ⋅ h als 

Symmetriegruppe besitzen. Auch hier berechtigt uns die Existenz dieser Parketts, die 

entsprechenden Paare (Λ, ΓP) anzugeben. Zwei markierte reguläre Parketts sind vom gleichen 

Typ, wenn das entsprechende wie für die unmarkierten regulären Parketts gilt. 

Abbildung 115: Beispiele für reguläre markierte Parketts ([884, pm], [666, p31m], [4444, pm]) 

Wir wollen alle Parketts, ob markiert oder auch nicht, unter dem gemeinsamen Gesichtspunkt 

der regulären Parkettierung (Λ, ΓP) betrachten. Die eindeutige Kennzeichnung erfolgt durch 

entsprechende Indizes. Somit läßt sich auch jede reguläre Parkettierung durch ein reguläres 

Parkett und eine Symmetriegruppe oder durch ein reguläres Parkett mit Markierung und 

Symmetriegruppe repräsentieren. 

Satz 10.5.: 

Von den 93 verschiedenen Klassen regulärer Parkettierungen, lassen sich 81 durch Parketts 

(vgl. mit Anhang) und 12 durch Parketts mit Markierungen repräsentieren.


11. Parkettierungen in der Kristallographie 

Wir können Parketts auch als ebene Kristalle auffassen. Dadurch kann ein erster Zugang zu 

den Symmetrien von Kristallen geschaffen werden. Die Einführung der Parketts geschah 

durch die 17 Ebenengruppen. Durch die Hinzunahme des Parkettierungsproblems können 

Phänomene, die bei Untersuchungen zur Geometrie des Kristallwachstums auftreten, 

verdeutlicht werden. Die Angabe des Parkettyps ist sinnvoll, da sie nämlich viel informativer 

ist als die alleinige Angabe der Ebenengruppe. Wir können den Weg aber auch in die andere 

Richtung beschreiten. Durch die Vorgabe der Parkettierung kann man sich die Frage stellen, 

wie es bei der vorgegebenen Konstellation mit der kristallographischen Realisierung steht. 

Dieses Vorgehen führt zu tieferen Einsichten über mögliche kristallographische Strukturen. 

Wie wir bisher festgestellt haben, läßt sich die Vielfältigkeit von kristallographischen 

Strukturen (in der Ebene) mit Hilfe von Parketts beschreiben. Dies soll durch die 

Abbildungen 116 - 118 verdeutlicht werden, in der erstens ein Molekül, zweitens ein Schnitt 

durch die Molekülschicht und drittens das „geglättete“ Bild des zugehörigen regulären 

Parketts vom Typ [333333, p3]1 zu sehen ist. 

Abbildung 116: Ein Molekül Abbildung 117: Molekülschicht Abbildung 118: Molekülparkett 

Anwendung findet diese Problemstellung u. a. in der Molekülchemie, wo die dichteste 

Packung bei Molekülkristallen gefunden werden soll. Dieses Problem ist 

jedoch nicht neu. 1611 formulierte der Mathematiker und Astronom 

Johannes Kepler das Kugelpackungsproblem, das dem der dichtesten 

Packung bei Molekülkristallen sehr nahe kommt. Es stellt sozusagen für 

die Molekülchemie das Grundproblem dar. Abbildung 119: Joh. Kepler 

(1571 – 1630)


Das Problem der Kugelpackung 

Man bestimme die dichteste Packung kongruenter Kugeln im Raum. Hierbei bedeutet 

Kugelpackung eine Anordnung beliebig vieler fester (materieller) Kugeln mit gleichem 

Durchmesser ohne Durchdringung oder Verformung. Die Dichte der Packung ist dabei der 

Prozentsatz des von den Kugelvolumina beanspruchten Raumes, bezogen auf ein beliebig 

großes Raumvolumen. 

Das zweidimensionale Analogon zum Kugelpackungsproblem, ist das sogenannte 

Kreispackungsproblem. Hier stellt sich die Frage, wie man Kreisscheiben von gleicher Größe 

in der Ebene möglichst dicht zusammenpacken kann. Die Bedingungen sollen die gleichen 

wie beim Kugelpackungsproblem sein. Die naheliegendsten Möglichkeiten sind die 

sogenannte Rechteckpackung (vgl. Abb. 120) und die hexagonale Packung (vgl. Abb. 121). 

Auch die Bienen haben dieses Problem beim Wabenbau zu lösen und bedienen sich hierbei 

der hexagonalen Packung. 

Abbildung 120: Rechteckpackung Abbildung 121: hexagonale Packung 

" Kreisfläche" 

Durch die Quotientenbestimmung ( 

" Quadratfläche" 

, 

" Kreisfläche" 

" Sechseckfläche" 

) erreicht man die 

folgenden Ergebnisse: Für die Rechteckpackung ergibt sich eine Dichte von 0, 

785 

4 ≈ 

π 

, 

π 

während die hexagonale Packung eine Dichte von ≈ 0, 

907 aufweist. 

2 3


Es ist aber noch nicht offensichtlich, daß die hexagonale Packung die dichteste Packung unter 

allen überhaupt denkbaren ist. C. F. Gauß bewies 1831, daß die hexagonale Packung unter 

allen Gitterpackungen die dichteste ist. Mit der Zusatzstruktur des Gitters gelang es nun, erste 

Fortschritte in dem Kreispackungsproblem zu erzielen. 

Abbildung 122: Quadratgitter Abbildung 123: Parallelogrammgitter 

In der Ebene besteht ein Gitter aus den Eckpunkten eines regelmäßigen zweidimensionalen 

Gitternetzes. Dabei können die Maschen aus gleichartigen Quadraten (vgl. Abb. 122), 

Rechtecken oder Parallelogrammen (vgl. Abb. 123) bestehen. Wichtig ist die Invarianz des 

Gitters gegenüber gewissen Translationen. Die Kreismittelpunkte bilden dabei ein Gitter der 

genannten Form. Eine Gitterpackung von Kreisscheiben ergibt sich, indem die Kreismittelpunkte 

ein Gitter bilden. Die Rechteckpackung und die hexagonale Packung sind also 

Gitterpackungen. 

Abbildung 124: C. F. Gauß (1777 – 1855) 

Gauß konnte beweisen, daß die hexagonale Packung unter den Gitterpackungen in der Ebene 

die dichteste ist, indem er die Gitterpackung mit der Zahlentheorie in Verbindung brachte und 

auf zahlentheoretische Ergebnisse von Lagrange zurückgriff. Der Beweis, daß die hexagonale 

Packung die beste überhaupt ist, blieb jedoch aus. Erst 1910 konnte durch Axel Thue ein 

hinreichender Beweis für die Behauptung geliefert werden (den er jedoch schon 1892 

angekündigt hatte). 

Auf das Problem der Kugelpackung soll nun nicht mehr näher eingegangen werden, da dies 

den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde. Als Beispiel möchte ich jedoch die Aufstapelung


von Orangen in Geschäften nennen. Hier kann natürlich unterschieden werden zwischen der 

platzsparendsten und der stabilsten Anordnung der Kugelpackung. Durch dieses Beispiel ist 

vielleicht deutlich geworden, daß dieses Problem keinesfalls nur von theoretischem Interesse 

ist. Wir können ihm täglich begegnen. So müssen sich zum Beispiel auch Speditionen über 

dieses Problem Gedanken machen, da die Orangen (und andere kugelförmige Früchte / 

Waren) beim Transport so wenig Raum wie möglich benötigen sollen. Es kommt also einer 

Kostenfrage gleich. 

„Erkennen heißt, das äußerlich Wahrgenommene 

mit den inneren Ideen zusammenzubringen 

und ihre Übereinstimmung 

zu beurteilen.“ 

(Johannes Kepler, 1619) 

Abbildung 125: Mysterium cosmographicum: 

Kepler hat sich unter anderem auch mit der 

Einordnung der fünf platonischen Körper in den 

Aufbau der Planetensphären beschäftigt (1596).


12. Hyperbolische Ornamente 

Ohne dies besonders zu erwähnen, haben wir bisher die Punkt-, Fries- und Ornamentgruppen 

in der euklidischen Geometrie betrachtet. Es existieren aber auch noch die elliptische und die 

hyperbolische Geometrie. In diesem Kapitel möchte ich die Eigenschaften der Kreisspiegelung 

beschreiben, um in die nicht-euklidische Dreiecksgeometrie einzuführen. 

Hierzu betrachten wir zunächst ein euklidisches Dreieck ABC, dessen Seite BC durch einen 

Kreisbogen durch B und C ersetzt werden soll. Dieser Kreisbogen soll im Inneren des 

euklidischen Dreiecks verlaufen. Das durch die Konstruktion entstandene Dreieck nennen wir 

nun hyperbolisches Ausgangsdreieck. Es ist offensichtlich, daß die Summe der Winkelmaße 

des hyperbolischen Ausgangsdreiecks nicht mehr π beträgt. In einem euklidischen Dreieck 

muß die Summe der Winkelmaße gleich π sein. Dies bedeutet, daß die Summe der 

Winkelmaße im hyperbolischen Dreieck α + β + γ < π sein muß (vgl. Abb. 126). Solange die 

Ungleichung erfüllt ist, können alle drei Winkel frei gewählt werden. 

Abbildung 126: Konstruktion des hyperbolischen Ausgangsdreiecks 

Bevor das hyperbolische Ausgangsdreieck konstruiert werden kann, muß man sich überlegen, 

in welcher Art und Weise der Mittelpunkt des Kreises durch B und C mit einbezogen werden 

muß. Der Mittelpunktswinkel δ zum Kreisbogen BC berechnet sich im Viereck ABMC zu: 

δ = π - (α + β + γ). Der Sehnen-Tangentenwinkel in B und C beträgt jeweils δ/2. Wenn wir 

die Summen der Winkelmaße β´ = β + δ/2 und γ´ = γ + δ/2 bilden, erhalten wir die 

Winkelmaße des euklidischen Dreiecks. 

Um die Konstruktion durchzuführen, zeichnen wir zunächst das euklidische Dreieck mit den 

gegebenen Winkeln α, β´ und γ´. Das hyperbolische Ausgangsdreieck erhalten wir, indem an 

CA und BA die Winkel β und γ abgetragen werden. Die Schenkel sind dabei Tangenten an


den gesuchten Kreis durch die Punkte B und C. Der Mittelpunkt M dieses Kreises ergibt sich 

durch den Schnittpunkt der Normalen durch B und C. 

Spiegelung des hyperbolischen Ausgangsdreiecks 

Das oben beschriebene hyperbolische Ausgangsdreieck soll nun an seinen drei Seiten AB, AC 

und BC gespiegelt werden (vgl. nächsten Abschnitt). Danach entstehen Figuren, die wir 

wiederum an ihren Seiten spiegeln wollen. Dieser Vorgang kann beliebig häufig wiederholt 

werden. Es ist aber nicht ohne weiteres vorherzusehen, wie sich die Figur entwickeln wird. 

Gehen wir zunächst von Spiegelungen an den Seiten AB und AC aus. Auch bei beliebigen 

Wiederholungen werden dabei kongruente Dreiecke entstehen. Der Punkt A ist in diesen 

Abbildungen Fixpunkt. Die erzeugten Bildfiguren liegen alle in einem Kreis um A. Es liegt 

daher nahe, einen Kreis K um A zu suchen, der bei der (Kreis-) Spiegelung an der 

Kreisbogenseite BC in sich übergeht. Wenn uns dies gelingt, dann wissen wir, daß alle 

inneren Punkte des Kreises K durch eine Spiegelung wieder in innere Punkte von K überführt 

werden. Somit können weder Spiegelungen an den geraden Seiten noch an der 

Kreisbogenseite BC zu Bildpunkten führen, die außerhalb des Fixkreises K führen.


12.1. Spiegelung am Kreis 

Im obigen Abschnitt wird ein Fixkreis K gesucht. Hierzu sollen zunächst die Grundlagen von 

Kreisspiegelungen und Fixkreisen bereitgestellt werden. 


Gegeben ist ein Kreis K mit Mittelpunkt m und Radius r. Zwei Punkte z und z * heißen 

bezüglich eines Kreises K spiegelbildlich zueinander, wenn sie beide auf derselben 

Halbgeraden (in m beginnend) liegen und für das Produkt der Abstände von m gilt: 

z = 

* 

2 

− m ⋅ z − m r . 

Abbildung 127: Die Abstände bei der Kreisspiegelung ergeben sich durch den Kathetensatz. 

Wie man der Abbildung 127 entnehmen kann, können z und z * nicht gleichzeitig im Inneren 

des Kreises liegen. Wenn z im Inneren liegt, so liegt z * im äußeren Teil des Kreises und 

umgekehrt. Die Abbildung z → z * ist offenbar für alle z ≠ m definiert. Wie die 

Geradenspiegelung, ist auch die Kreisspiegelung involutorisch, d. h. es gilt: 

(z * ) * = z 

Die Kreisspiegelung z → z * für alle z ≠ m wollen wir nun mit Hilfe der komplexen Zahlen 

(z ∈ ℂ) beschreiben. Hierzu wählen wir m = 0. Nach Definition gilt 

positives Vielfaches von z ist: z * = k ⋅ z mit k ∈ ℝ + . 

K 

r 

m 

z 

z* 

z = 

* 2 

⋅ z r , wobei z *


Es gilt: 

* 

z z = k ⋅ 

2 

⋅ z , 

2 2 

⋅ z r und schließlich auch 

k = 

z = 

Einheitskreis mit r = 1 ist, erhält man aus z ⋅ z * = 1 und z* k ⋅ z 

z ⋅ k ⋅ z = 1 � 1 = z ⋅ k = z ⋅ z * . 

2 

* 2 

⋅ z r . Für den Fall, daß K der 

= , k ∈ ℝ + die Gleichung 

1 

Daraus ergibt sich die Gleichung z 

z 

* = . 

Die Punkte z und * 

z sind genau dann spiegelbildlich bezüglich des Einheitskreises 

1 

zueinander, wenn die Gleichung z 

z 

* = erfüllt ist. Daraus ergibt sich unmittelbar die 

Bedeutung der Funktion 

1 

z → . 

z 

1 

Durch die Abbildung z → wird jedem von Null verschiedenen Punkt z der Gaußschen 

z 

Zahlenebene ein Punkt w zugeordnet. Er läßt sich aus z durch eine Spiegelung am 

Einheitskreis und eine anschließende Spiegelung an der reellen Achse gewinnen. 

12.1.1. Eigenschaften der Abbildung 

1 

z → 

z 

In Anlehnung an Herfort / Klotz gilt der folgende Satz: 

Satz 12.1.: 

1 

Durch die Abbildung z → werden Geraden, die nicht durch den Nullpunkt verlaufen, in 

z 

Kreise überführt, die durch den Nullpunkt verlaufen. Der Nullpunkt ist hierbei der einzige 

Punkt des Kreises, der nicht Bild eines Geradenpunktes ist.


Beweis 12.1.: 

Wir betrachten die komplexe Form der Geradengleichung in Parameterdarstellung. 

g 

Abbildung 128 

Dann gibt es zu jedem Geradenpunkt z genau ein λ ∈ ℝ, so daß die Gleichung 

z = p + λ ⋅ i ⋅ p 

und die dazu komplex konjugierte Gleichung 

z = p − λ ⋅ i ⋅ p erfüllt sind. 

Der Parameter λ wird eliminiert, indem die Gleichung z = p + λ ⋅ i ⋅ p mit p und 

z = p − λ ⋅ i ⋅ p mit p multipliziert wird. Durch Addieren der beiden Gleichungen gelangt man 

zu folgender komplexen Geradengleichung: 

z ⋅ p + z ⋅ p − 2 ⋅ p ⋅ p = 0 

Ein Punkt w ≠ 0 ist bei der gegebenen Abbildung 

Punktes z der Geraden , wenn 

p 

w 

p 

+ − 2 ⋅ p ⋅ p = 0 gilt. 

w 

p 

ip 

1 

z → genau dann Bildpunkt eines 

z


Diese Gleichung läßt sich für p ≠ 0 in die folgende Gestalt 

� 1 � � 1 � 1 

�� w − w 

2 p 

�� ⋅ � � 

� 

− = 

2 p 

� 

� ⋅ � � ⋅ � 4 ⋅ p ⋅ p 

bringen. Die Gerade wird also auf die Punktmenge abgebildet, für deren Punkte w gilt: 

1 1 

w − = 

2 ⋅ p 2 ⋅ p 

Diese ist nun eine Kreisgleichung in vektorieller Form. Die Gleichung beschreibt einen Kreis 

1 

1 

um mit dem Radius (vgl. Abb. 129). Der Kreis verläuft durch den Nullpunkt, 

2 ⋅ p 

2 ⋅ p 

wobei aber w = 0 als Bildpunkt eines Geradenpunktes nicht in Betracht kommt. ■ 

Abbildung 129: Abbildung Kreis und Gerade 

Satz 12.2.: 

1 

Durch die Abbildung z → werden Kreise, die durch den Nullpunkt laufen, auf Geraden 

z 

abgebildet, die nicht durch den Nullpunkt verlaufen. 

Beweis 12.2.: 

Man gehe die Rechnung des obigen Beweises in umgekehrter Richtung durch. ■


Die Aussage des folgenden Satzes wird in Herfort, P / Klotz, A.: Ausgewählte Themen der 

Geometrie, DIFF, Tübingen, 1986, bewiesen. 

Satz 12.3.: 

Besitzt ein Kreis, der nicht durch den Ursprung verläuft, den Mittelpunkt m und den Radius r, 

* 1 

r 

so wird er durch die Abbildung z → z = in einen Kreis mit dem Radius 

und 

2 

z 

2 

m − r 

dem Mittelpunkt 

m 

2 

m 

− r 

2 

überführt. 

Die Punkte des Einheitskreises sind die einzigen Fixpunkte der Abbildung 

* 1 

z → z = . 

z 

Nun stellt sich die Frage, welche Kreise in sich überführt werden, so daß sie Fixkreise der 

Abbildung 

dieser Frage im Zusammenhang der Betrachtung von hyperbolischen Ornamenten unerläßlich 

* 1 

ist. Wenn die Abbildung z → z = erfüllt sein soll, so müssen Urbild- und Bildkreis 

z 

identisch sein. Somit müssen zugleich beide den gleichen Radius und den gleichen 

Mittelpunkt haben. Mit Hilfe des Satzes 12.3. kommen wir zu der Erkenntnis, daß die 

folgende Gleichung (m ist der Mittelpunkt; r ist der Radius) gelten muß: 

m 

2 

* 

z → z sind. Spätestens an dieser Stelle ist es ersichtlich, daß die Beantwortung 

2 

− r = 1 bzw. ( m − r) 

⋅ ( m + r) 

= 1 

Die Faktoren sind beide die Beträge derjenigen Fixkreispunkte, die auf der vom Ursprung 

ausgehenden Halbgeraden durch den Mittelpunkt des Fixkreises liegen. Die Gleichung 

beschreibt die spiegelbildliche Lage (bezüglich des Einheitskreises) der Punkte zueinander. 

Falls nun solche Fixkreise existieren, so liegen sie aber weder ganz im Inneren noch ganz im 

Äußeren des Einheitskreises, wobei der Nullpunkt auf jeden Fall außerhalb dieser Kreise 

liegen muß. Aufgrund der speziellen Lage der Fixkreise müssen sie zwei Schnittpunkte mit 

dem Einheitskreis haben. Diese Schnittpunkte sind zugleich Fixpunkte der Spiegelung am 

Einheitskreis. Die Halbgeraden vom Ursprung zu den Schnittpunkten können mit dem 

Fixkreis keinen weiteren Punkt gemeinsam haben, da dieser sonst Fixpunkt der Spiegelung 

sein müßte. Somit ist deutlich geworden, daß nur die Punkte des Einheitskreises Fixpunkte 

sein können, da die Halbgeraden den Fixkreis lediglich berühren. Daraus läßt sich der


folgende Satz herleiten: In den Schnittpunkten mit dem Einheitskreis stehen die Tangenten an 

die beiden Kreise senkrecht zueinander. 

Satz 12.4.: 

* 1 

Fixkreise mit der Abbildung z → z = und der Einheitskreis schneiden sich unter rechten 

z 

Winkeln. 

Unter all diesen Kreisen, die den Einheitskreis orthogonal schneiden, müssen wir nach 

* 1 

Fixkreisen suchen. Es zeigt sich, daß alle diese Kreise durch die Abbildung z → z = in 

z 

sich überführt werden. Wenn ein zum Einheitskreis orthogonaler Kreis mit den 

Schnittpunkten z und z * gegeben ist, und die beiden Halbgeraden vom Ursprung aus durch die 

Schnittpunkte z und z * verlaufen, dann ergibt sich elementargeometrisch, mit Hilfe des 

Sehnen-Tangentensatzes, die folgende Gleichung: 

z ⋅ z 

* = 

1 

Dies bedeutet, daß die beiden Punkte spiegelbildlich zueinander liegen. 

Man sollte beachten, daß sich alle Kreise durch eine Streckung und Verschiebung in einen 

Einheitskreis überführen lassen und dabei spiegelbildlich gelegene Punkte auch wieder in 

solche überführt werden. Daraus läßt sich der folgenden Satz herleiten: 

Satz 12.5.: 

Jeder orthogonal zum Kreis C verlaufende Kreis K wird durch die Spiegelung an C in sich 

überführt. 

Wenn z im Inneren des Fixkreises liegt, so gilt dies auch für das Spiegelbild z * und es gilt der 

folgende Satz:


Abbildung 130: Die Spiegelung am Einheitskreis 

Satz 12.6.: 

Das Innere eines jeden orthogonal zum Kreis C verlaufenden Kreises K wird durch die 

Spiegelung an C in sich überführt. 

Außerdem geht bei einer Kreisspiegelung jeder Winkel in einen maßgleichen Winkel über. 

Satz 12.7.: 

Die Abbildungen 

1 

z → und 

z 

1 

z → sind winkeltreu. 

z


Nachdem wir die Kreisspiegelung und die Eigenschaften von Fixkreisen kennengelernt 

haben, ist es uns nun möglich einen Fixkreis K zu finden, der die Bedingung erfüllt, daß der 

Fixkreis K um A bei der Spiegelung am konstruierten Kreis durch BC in sich übergeht. Das 

Dreieck ABC war das hyperbolische Ausgangsdreieck, welches in dem Fixkreis K liegen soll. 

Aufgrund der Fixkreiseigenschaft werden alle inneren Punkte des Kreises K bei der 

Spiegelung an der Seite BC wieder in innere Punkte von K überführt. Somit können die 

Spiegelungen beliebig oft wiederholt werden, ohne daß dies zu Bildpunkten außerhalb des 

Fixkreises führt. 

Abbildung 131: Konstruktion der hyperbolischen Ebene 

Der Fixkreis K läßt sich nach Satz 12.4. als derjenige Kreis finden, der den Kreis durch BC 

des hyperbolischen Ausgangsdreiecks unter rechten Winkeln schneidet. Dieser Fixkreis K ist 

eindeutig durch seinen Mittelpunkt A und seinen Radius bestimmt. Der Radius läßt sich 

elementargeometrisch mit Hilfe des Thalessatzes konstruieren, wie man der Abbildung 131 

entnehmen kann. 

Durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum A gelingt es uns, den Fixkreis K in einen 

Einheitskreis zu überführen, wenn A als Ursprung gewählt wird. Durch diese Streckung ist 

das hyperbolische Ausgangsdreieck eindeutig festgelegt. Bisher war es lediglich durch seine 

drei Winkel bestimmt. In unserem Einheitskreis K spie(ge)lt sich nun alles ab. Diese Art der 

Geometrie wird aufgrund des bayerischen Vorbilds auch gerne als Bierdeckelgeometrie


bezeichnet. „Einsame Kneipengänger sollten daher auch zeichnerisch die Spiegelung am 

Kreis einüben.“ 20 

12.2. Die Spiegelungsgruppe 

Im folgenden werden die Spiegelungen an den drei verschiedenen Seiten AB, AC und BC 

(Kreisspiegelung) des hyperbolischen Ausgangsdreiecks durch Ziffern bezeichnet. 

• Spiegelung an AC S1 

• Spiegelung an AB S2 

• Kreisspiegelung an BC S3 

S, 1 S 2 und S 3 bilden eine Gruppe. Diese nennen wir Spiegelungsgruppe und bezeichnen sie 

mit < S, 1 S 2 , S 3 >. Die Einzelspiegelungen bilden ein Erzeugendensystem für die 

Spiegelungsgruppe. 

Die zweimalige Hintereinanderausführung (vergleiche mit dem Kapitel 2. Bewegungen) 

derselben Spiegelung ergibt die Identität I. Dies bedeutet die Inversität einer Spiegelung zu 

sich selbst. Es gilt also: 

� S = I mit i ∈ {1,2,3} 

Si i 

Die Inversenbildung einer Hintereinanderausführung von Spiegelungen ist relativ einfach. 

Durch die Umkehr der Reihenfolge einer Hintereinanderausführung erhält man die dazu 

inverse Spiegelungsverkettung. Aufgrund der Eigenschaft, daß eine Spiegelung zu sich selbst 

invers ist, lassen sich einige Hintereinanderausführungen wesentlich vereinfachen. So 

„schrumpft“ beispielsweise die Hintereinanderausführung 

S � S � S � S � S � S � S � S � S auf die einfachere und dazu identische Abbildung 

3 

1 

1 

3 

1 

1 

2 

2 

3 

1 

3 

1 

S � S � S . Dennoch liegt die Vermutung nahe, daß die Spiegelungsgruppe unendlich viele 

Elemente enthält. Mittels der folgenden Zeichnung läßt sich dies erklären. 

20 Zitat aus: Herfort / Klotz: Ornamente und Fraktale / S. 72


Abbildung 132: Die Unendlichkeit der Spiegelungsgruppe 

Die Bilddreiecke liegen entweder in Zl, links des Inversionskreises durch BC oder in Zr, 

welche rechts davon liegt (vgl. Abb. 132). Durch die Spiegelung an der Kreisseite durch B 

und C werden Zl und Zr bijektiv aufeinander abgebildet. Somit liegen in Zl und Zr gleich viele 

Bilddreiecke. Nun kann durch eine Drehung um den Ursprung (wird durch eine gerade 

Anzahl von Spiegelungen erzeugt) Zr in Zd überführt werden. Es gilt: Zd ⊂ Zl . 

Auch in Zd liegt die gleiche Anzahl von Bilddreiecken wie in Zl. Eine Menge hat aber nur 

dann eine echte Teilmenge gleicher Mächtigkeit, wenn die Mächtigkeit unendlich ist. Somit 

ist auch die Spiegelungsgruppe unendlich, da unendliche viele Dreiecke abgebildet werden. 

12.3. Hyperbolische Parkettierung 

Wie in dem Kapitel Bewegungen gezeigt wurde, ergibt sich aus der Hintereinanderausführung 

der beiden Spiegelungen S1 � S2 

eine Drehung mit dem Drehzentrum A und dem Drehwinkel 

2 ⋅ α (vergleiche mit Zeichnung: Konstruktion des hyperbolischen Ausgangsdreiecks). Diese 

Drehung sei hier mit D A bezeichnet. Wir betrachten nun diejenigen Bilddreiecke, die durch 

wiederholte Spiegelung an den Seiten des hyperbolischen Ausgangsdreiecks entstehen. 

Außerdem fordern wir, daß sich die Bilddreiecke nicht überschneiden dürfen (lediglich die 

Randpunkte der Bilddreiecke dürfen überlappen), da dies die Übersichtlichkeit wesentlich 

erhöht. 


Unter einer hyperbolischen Parkettierung verstehen wir die lückenlose, überlappungsfreie und 

regelmäßige Überdeckung der Ebene durch hyperbolische Dreiecke (Parkettsteine).


Um dieser Forderung gerecht zu werden, ist es notwendig, die wiederholte Ausführung der 

Drehung D A zum hyperbolischen Ausgangsdreieck zurückzuführen. Es wird also 

angenommen, daß die Drehung D A mindestens k-mal wiederholt werden muß und dieses 

kleinste k die Gleichung 

D 

k 

A 

k ( S S ) = I 

= � 

1 

2 

erfüllt. Dann muß gleichzeitig auch die Gleichung 

2 ⋅ α ⋅ k = 2 ⋅ π 

erfüllt sein und das Drehzentrum A hat demnach die Ordnung k. 

Außer A können auch noch die Punkte B und C als Drehzentren angesehen werden. 

Vorsichtshalber spreche ich hier von hyperbolischen Drehungen. Hyperbolische und 

euklidische Drehungen haben völlig analoge Eigenschaften. Sie haben beide genau einen 

Fixpunkt, erhalten die Orientierung und sind abstandserhaltend. Allerdings muß in der 

hyperbolischen Ebene der Abstand anders definiert werden. Somit sind die Dreiecke aus 

hyperbolischer Sicht kongruent. Dies liegt an dem Kongruenzbegriff, der in der 

hyperbolischen Ebene durch die Gruppe der Kongruenzabbildungen (Translationen, 

Spiegelungen und Drehungen) definiert werden kann. Bei diesen Drehzentren sollen die 

gleichen Forderungen erfüllt sein, wie sie dem Drehzentrum A zugrunde liegen. 

D 

D 

m 

C 

n 

B 

m ( S S ) = I 

= � und 2 ⋅ γ ⋅ m = 2 ⋅ π 

3 

1 

n ( S S ) = I 

= � und 2 ⋅ β ⋅ n = 2 ⋅ π 

2 

3 

Die Variablen k, m und n bezeichnen die Ordnung des Drehzentrums und die Winkel α, β und 

γ sind aus dem Bild zur Konstruktion des hyperbolischen Ausgangsdreiecks zu entnehmen. 

Bei der Konstruktion dieses Dreiecks wurde immer die Einhaltung der Ungleichung 

α + β + γ < π gefordert.


Für die Variablen k, m und n folgt daraus die sogenannte Hyperbolizitätsbedingung: 

1 

k 

+ 

1 

m 

+ 

1 

< 1 

n 

Zu jedem Zahlentripel (k, m, n) mit k, m, n ∈ ℕ, die der Ungleichung genügen, gehört die 

Spiegelungsgruppe . 

Die unendliche Spiegelungsgruppe wird häufig nach dem Mathematiker Harold S. M. 

Coxeter, als Coxeter-Gruppe T*(k, m, n) bezeichnet. Bei dieser Klasse handelt es sich um 

einen speziellen Typ von spiegelungserzeugenden Gruppen, bei deren Untersuchung Coxeter 

großen Anteil hatte. 

Abbildung 133: H. S. M. Coxeter (geb. 1907) 

Wenn nun alle Elemente dieser Gruppe auf das hyperbolische Ausgangsdreieck angewendet 

werden, so erreichen wir ein sehr interessantes Ergebnis. 

Satz 12.8.: 

Alle Bilddreiecke zusammen bilden eine Parkettierung des Einheitskreises mit hyperbolischen 

Dreiecken. 

Der Beweis des obigen Satzes ist von C. Caratheodory geführt worden. Aufgrund seiner 

Komplexität wird an dieser Stelle auf den Beweis verzichtet. Das folgende hyperbolische 

Ornament (vgl. Abb. 135) wurde mit Hilfe des Computerprogramms IFSCOX erzeugt. 

Abbildung 134: C. Caratheodory (1873 – 1950)


Abbildung 135: Hyperbolische Pflasterung zu der Gruppe T*(4,3,3) 

Die faszinierende Vielfalt einer Parkettierung mit hyperbolischen Dreiecken ergibt sich aus 

der Hyperbolizitätsbedingung. Möchte man eine Parkettierung mit euklidischen Dreiecken 

durchführen, so ergibt sich eine erhebliche Einschränkung der Vielfalt, da hier nicht mehr die 

Hyperbolizitätsbedingung gilt. Aus der Ungleichung wird eine Gleichung und es gilt: 

1 

k 

+ 

1 

m 

+ 

1 

n 

= 1 

Da nur ganzzahlige Lösungen zulässig sind, erfüllen nur die Tripel (3, 3, 3), (2, 3, 6) und 

(2, 4, 4) die Gleichung. Die Zahlen in den Klammern können noch beliebig permutiert 

werden. Dies bedeutet, daß eine Parkettierung der euklidischen Ebene nur mit gleichseitigen, 

halbierten gleichseitigen oder rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecken möglich ist. Die 

hyperbolische Parkettierung hat dagegen unendlich viele Möglichkeiten, da die Hyperbolizitätsbedingung 

aufgrund ihrer Ungleichung wesentlich weniger Einschränkungen 

vorgibt.


12.4. Drehgruppen der hyperbolischen Geometrie 

Wir wissen, daß Spiegelungen die Orientierung umkehren, ebenso, daß die Hintereinanderausführung 

von zwei Spiegelungen die Orientierung wieder herstellt. Da eine Drehung durch 

zwei Spiegelungen erzeugt werden kann, bilden die Abbildungen aus T*(k, m, n) eine 

Untergruppe T(k, m, n), die als Drehgruppe bezeichnet wird. Die Gruppe T(k, m, n) wird 

durch die Drehungen D A , D B , D C erzeugt und es gilt: 

T(k, m, n) = < D A , D B , D C > 

Die Abbildung 135 zeigt, inwiefern sich die beiden Gruppen T*(7, 3, 2) und T(7, 3, 2) auf das 

hyperbolische Ornament auswirken. Wir nehmen an, daß das hyperbolische Ausgangsdreieck 

schwarz gefärbt ist und die daran angrenzenden Spiegelbilder weiß gefärbt sind. Wir sehen, 

wie durch die Gruppe T*(7, 3, 2) die Dreiecke lückenlos, überlappungsfrei und in 

abwechselnder schwarz-weiß-Färbung auf die hyperbolische Ebene abgebildet werden. Diese 

Punktmenge wird auch Fundamentalbereich der Gruppe genannt. 

Aber auch die Wirkungsweise der Gruppe T(7, 3, 2) läßt sich an diesem hyperbolischen 

Ornament studieren. Die Ecken der hyperbolischen Dreiecke besitzen jeweils Drehzentren der 

Ordnung 7, 3 und 2. Die Drehgruppe erzeugt in diesem Fall die Vereinigung aller schwarzen 

Dreiecke, die aus dem schwarzen Ausgangsdreieck hervorgehen. Um eine vollständige 

Parkettierung zu bekommen, ist es notwendig, den Fundamentalbereich als Vereinigung der 

weißen (fehlenden) und schwarzen Dreiecke zu wählen. Die Drehgruppen sind nur von 

endlicher Ordnung. Dies ergibt sich aus den für die Drehgruppe geltenden Relationen: 

D 

k 

A 

m n 

= D = D = I . 

B 

C


13. Symmetrie und ihre Anwendung 

Die Symmetrie wird häufig zur Verzierung und Schmückung von Gegenständen 

herangezogen. Dies ist aber nicht der einzige Bereich, wo die Symmetrie Anwendung findet. 

Unter anderem wird sie von Architekten und Konstrukteuren genutzt. Hier soll aber nicht der 

ästhetische Aspekt im Mittelpunkt stehen. Vielmehr ist hier Stabilität (Verwindungsfreiheit / 

Steifigkeit) und Statik von übergeordnetem Interesse. Aber auch zur Produktion von Tapeten 

und Stoffen wird die Symmetrie herangezogen. Die Herstellung einer Tapete geschieht durch 

den Druck mittels einer Druckwalze. Dadurch ist der in der Fachsprache sogenannte Rapport 

vorgegeben, da nach einer vollständigen Umdrehung der Walze das Muster wieder von vorn 

beginnt. Wollte man tatsächlich ein Tapetenmuster ohne Symmetrie produzieren, so würden 

die Produktionskosten sehr schnell steigen. 

Nach der theoretischen Behandlung des Parkettierungsproblems in der euklidischen Ebene, 

möchte ich nun den daraus resultierenden praktischen Nutzen aufzeigen. Wenn in der 

Industrie ein Werkstück hergestellt werden soll, dann soll bei der Produktion möglichst wenig 

Abfall entstehen. Möchte man dieses Problem optimal lösen, so ist diese Aufgabe auf das 

Parkettierungsproblem (vgl. Abb. 136) zurückzuführen. Als erster nahm sich der Mathematiker 

H. Heesch dieser Aufgabe systematisch an. Als Lösung fand sich der sogenannte 

Flächenschluß 21 . 

Abbildung 136: Beispiele für unterschiedliche Ausnutzung einer Platte 

gegebener Größe durch verschiedene Anordnung 

desselben Parketts auf der Platte. 

21 Unter einem Flächenschluß versteht man ein Aneinanderschließen der Flächenelemente (vgl. Parkettierung).


Die Konstruktion eines Werkstücks ist demnach wesentlich von technischen 

(Realisierbarkeit), wirtschaftlichen (die Produktionskosten) und psychologischen (Kunst und 

Ästhetik) Aspekten abhängig. 

Die Ergebnisse eines Flächenschlusses bei einem Werkstück sind: 

1. Materialersparnisse durch Verringerung der Zerteilungsverluste. 

2. Geringere Kosten für die Abfallentsorgung. 

3. Energieeinsparung beim Zerteilen. 

4. Arbeitszeitersparnisse. 

5. Weniger Arbeitsgänge und minimierte Werkzeugabnutzung. 

Abbildung 137: Protokoll über die Herstellung eines Scheibenrades 

ohne und mit Berücksichtigung der Flächenschlußprinzipien. 

Ohne Flächenschluß beträgt der Anteil 

des Abfalls 33,6 %, während mit Flächenschluß 

lediglich 17,5 % Abfall anfallen.


Das der Konstrukteur schon in der Konstruktionsphase die Prinzipien des Flächenschlusses 

beachtet, ist der Idealfall. Es darf aber nicht verschwiegen werden, daß durch den 

(nächträglichen) Flächenschluß nicht nur erhebliche Entwicklungskosten entstehen können. 

Es sind auch die folgenden möglichen Situationen zu bedenken: 

1. Eventuelle Kosten für die Anschaffung neuer Werkzeuge. 

2. Im Einzelfall kann es wirtschaftlicher sein, mehr Abfälle in Kauf zu nehmen, wenn z. B. 

Mengenrabatte beim Einkauf erzielt werden können. 

3. Eine Konstruktion ohne Beachtung der Prinzipien des Flächenschlusses kann eventuell 

schneller durchgeführt werden. Dies ermöglicht eine kürzere Lieferzeit und bedeutet somit 

auch Wettbewerbsfähigkeit. 

4. Flächenschlüssig konstruierte Teile verfügen häufig über ungewollte, produktionsbedingte 

spitze Ecken, die nachbearbeitet werden müssen. Dies bedeutet mehr Arbeitsaufwand. 

5. Die Materialstruktur kann sich in unterschiedliche Richtungen auswirken, wenn die 

Parketteile in verschiedenen Lagen aus der Platte geschnitten werden müssen. 

6. Durch die Konstruktion flächenschlüssiger Teile entstehen durch den zeitlichen 

Mehraufwand zusätzliche Kosten. 

Am augenfälligsten werden uns Parkettierungen durch Pflasterungen, die uns täglich z. B. in 

Form von Straßen, Wegen, Plätzen, Auffahrten und Terrassen mit Verbundpflastersteinen 

begegnen. Mit wachsendem Umweltbewußtsein setzt sich immer mehr das Bestreben durch, 

in Wohnanlagen die Wege, Plätze und Straßen mit Atmosphäre zu gestalten. Die Vorteile 

liegen auf der Hand: 

1. Bei gepflasterten Straßen, Wegen und Plätzen ist die Reparatur leicht und kostengünstig 

durchzuführen. Bei Umgestaltungen sind die Steine im allgemeinen wieder zu verwenden. 

2. Gepflasterte Flächen lassen sich durch Verwendung verschiedener Steinformen und 

Steinfarben oder durch verschiedene Verlegemuster (vgl. Abb. 138) auf optische Weise 

gliedern. So können beispielsweise Rad- und Fußwege gegeneinander abgegrenzt werden. 

3. Durch Verwendung gefärbter Pflastersteine können kostengünstig dauerhafte 

Markierungen geschaffen werden, wie dies zum Beispiel auf Parkplätzen Anwendung 

findet.


Abbildung 138: Änderung eines Rechtecksteins in Form eines Fisches. Beispiele 

für verschiedene Möglichkeiten einen Parkettstein zu verlegen.


14. Palindrome 

Ein Palindrom ist eine Wortfolge (Ziffernfolge) oder ein Satz, die vor- wie rückwärts gelesen 

einen Sinn ergeben. Somit sind in Anlehnung an Walser, H. auch in Wort, Schrift und Zahl 

Symmetrien zu finden. 

Palindrome mit gleicher Bedeutung: 

ANNA RELIEFPFEILER UHU OTTO 

Auffällig ist bei den Palindromen UHU und OTTO, daß sie Spiegelungssymmetrie enthalten. 

Palindrome mit Bedeutungswechsel: 

NEBEL - LEBEN REGAL – LAGER REGEN – NEGER 

AVE - EVA GRAS - SARG 

Palindromische Sätze ohne Bedeutungswechsel: 

EIN NEGER MIT GAZELLE ZAGT IM REGEN NIE 

SEX AT NOON TAXES 

Ein palindromischer Satz mit Bedeutungswechsel: 

DIE LIEBE IST SIEGER – REGE IST SIE BEI LEID 

Palindromische Zahlen 

Palindromische Zahlen besitzen eine symmetrische Anordnung ihrer Ziffern, wie zum 

Beispiel 666, 44944 oder 26562. Sie haben sowohl vorwärts als auch rückwärts gelesen den 

gleichen Wert. Auffällig ist hierbei, daß alle palindromischen Zahlen mit einer geraden 

Ziffernzahl durch elf teilbar sind. Dieser Sachverhalt ist durch die folgende Regel einzusehen: 

Eine Zahl ist immer dann durch elf teilbar, wenn ihre alternierende Ziffernsumme durch elf 

teilbar ist. Da bei palindromischen Zahlen mit gerader Ziffernanzahl die alternierende 

Ziffernsumme immer Null ergibt, ist sie auch durch elf teilbar.


Ein interessantes Phänomen ist die Erzeugung von palindromischen Zahlen. Wenn man eine 

beliebige Zahl n ∈ ℕ mit ihrer Spiegelzahl (Vertauschung der Ziffernfolge) addiert, dann 

ergibt sich nach mehrfacher Wiederholung dieses Vorgehens eine palindromische Zahl. Man 

betrachte sich hierzu das folgende Beispiel mit der Startzahl 7254: 

1. Schritt: 7254 + 4527 = 11781 

2. Schritt: 11781 + 18711 = 30492 

3. Schritt: 30492 + 29403 = 59895 

Bisher ist aber die Frage noch nicht beantwortet, ob jede Startzahl nach endlichen vielen 

Schritten zu einer palindromischen Zahl führt. Z. B. wird von der Zahl 196 vermutet, daß sie 

nie zu einer palindromischen Zahl führt.


15. Ausblick 

In dieser Arbeit wurden Punkt-, Fries- und Ornamentgruppen vorgestellt. Danach wurde das 

Problem der Parkettierung in der euklidischen und hyperbolischen Ebene behandelt. 

Anmerkung: Im Kapitel 6. wurde von Gruppen gesprochen. Genaugenommen müßte man 

aber von Klassen sprechen. Davon wurde aber abgesehen, da in der 

verwendeten Literatur auch nur der Begriff der Gruppe benutzt wurde. 

Da dies nur einen kleinen Einblick in den Bereich der Symmetrie gewährt, möchte ich noch 

einen Ausblick geben, was noch untersucht werden kann. 

Beispielsweise wurden Kirchenfenster (vgl. mit Kapitel Punktgruppen) nur sehr knapp 

behandelt. Hier kann eine Untersuchung der Konstruktionsmöglichkeiten von Kirchenfenstern 

interessant sein. Es wäre auch möglich, dies als Projekt im Rahmen des Mathematikunterrichts 

durchzuführen. In den Arbeiten von Kindinger, K. und Artmann, B. sind 

Anregungen zu Konstruktionsmöglichkeiten gegeben, und Binding, G. ermöglicht einen 

Einblick in die verschiedenen Gestaltungsmöglichkeiten. Im Rahmen der Untersuchung von 

Punktgruppen bietet sich auch die Betrachtung von Mandalas an. 

Eine weitere Vertiefung kann durch die Untersuchung von Symmetrien im ℝ 3 stattfinden. Es 

existieren 230 Raumgruppen, die in der Kristallchemie von großem Interesse sind. Hierzu sei 

auf die Literatur von Klemm, M. und Bongartz, K. [u. a.] verwiesen. 

Aber auch im ℝ 2 ergeben sich noch interessante Symmetrien durch Einfärbung von 

Ornamenten. Wenn man diesem Problem nachgeht, stößt man zwangsläufig auf die Vier- 

Farben-Vermutung. Es existieren 101 Klassen mehrfarbiger drehinvarianter Ornamentgruppen. 

Neben den regulären Parketts ist es möglich, duale Parketts oder halbreguläre Parkettierungen 

zu betrachten. Besonders bemerkenswert sind meiner Meinung nach die regelmäßigen 

Flächenaufteilungen von Escher, die sehr kunstvoll gestaltet sind. Aber ebenso faszinierend 

sind die sogenannten Penrose Parketts. Der englische Mathematiker Roger Penrose fand als 

erster ein Polygonpaar, mit dem die Ebene nur aperiodisch (ohne Translationssymmetrie)


parkettiert werden kann. Es ist aber auch möglich, die Ebene mit fraktalen Figuren (z. B. 

Drachenkurven) zu parkettieren. Hierzu sei auf die Literatur von Herfort / Klotz verwiesen. 

Eine interessante mathematische Anwendung von Parketts ist der Beweis des Lehrsatzes von 

Pythagoras. Mit Hilfe von Parketten wird von Walser, H. nachgewiesen, daß in einem 

rechtwinkligen Dreieck a 2 + b 2 = c 2 gilt. 

Eine Verallgemeinerung des Kreispackungsproblems führt zum Kugelpackungsproblem, 

welches besonders in der Molekülchemie von Bedeutung ist. 

Aber nicht nur in den Wissenschaften lohnt sich die Symmetriebetrachtung. Wenn man mit 

geschärften Blick (für Symmetrien) durch Umwelt und Natur geht, können viele schöne und 

faszinierende Beispiele gefunden werden. 

Interessante Seiten zur Symmetrie im Internet 

http://www.mathe.tu-freiberg.de/ ~ gebel/SemBlatt/SB-1/Geschichte/Kepler.html 

http://servix.mathematik.uni-stuttgart.de/ ~ stroppel/litsymm.shtml 

http://www.toppoint.de/ ~ freitag/penrose/f-d-penrose.html 

http://kunden.swhamm.de/Geometriepage/parkektt.htm 

http://iisirius.ac.chemie.tu-darmstadt.de/fcc.html 

http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/carpets/patterns.html 

http://www.bremen.de/info/nepal/mandala.htm 

http://www.aim-worldwide.com/e0109020.html 

http://www.ph-heidelberg.de/wp/mauve/ornament/flechten.htm


16. Abbildungsnachweis 

Abbildung Nummer: 

1. Eigene Photographie 

2. Tarassow, L.: Symmetrie, Symmetrie! 

3. – 4. http://www.vma.bme.hu/mathhist/Mathematicans/ 

5. Mainzer, K.: Symmetrien der Natur – Ein Handbuch ... 

6. Eigener Entwurf (nach Herfort / Klotz) 

7. Herfort, P. / Klotz, A.: Ornamente und Fraktale 

8. Eigener Entwurf (nach Herfort / Klotz) 

9. – 11. Eigener Entwurf (nach Flachsmeyer / Feiste / Manteuffel) 

12. Klemm, M.: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen 

13. –15. Flachsmeyer, J. / Feiste, U. / Manteuffel, K.: Mathematik und 

ornamentale Kunstformen 

16. – 17. Klemm, M.: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen 

18. http://www.vma.bme.hu/mathhist/Mathematicans/ 

19. – 26. Eigene Photographie 

27., 29., ..., 39. Klemm, M.: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen 

28., 30., ..., 40. Eigener Entwurf (nach Klemm) 

41. Eigener Entwurf (nach Flachsmeyer / Feiste / Manteuffel) 

42. – 43. Eigene Photographie 

44. Eigener Entwurf (nach Klemm) 


46. – 51. Eigener Entwurf (nach Herfort / Klotz) 

52., 54., ..., 84. Klemm, M.: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen 

53., 55., ..., 85. Eigener Entwurf (nach Klemm) 

86. Eigene Photographie 

87. Eigener Entwurf (nach Flachsmeyer / Feiste / Manteuffel) 

88. – 92. Preisinger, A.: Symmetrie 


94. Bigalke, H. G. / Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen 


96. – 97. Bigalke, H. G. / Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen 

98. – 100. Eigener Entwurf




104. – 105. Eigener Entwurf 


116. Eigener Entwurf (nach Bigalke / Wippermann) 



120. – 123. Eigener Entwurf (nach Devlin) 


125. Mainzer, K.: Symmetrien der Natur – Ein Handbuch ... 

126. Herfort, P. / Klotz, A.: Ornamente und Fraktale 

127. – 128. Eigener Entwurf (nach Herfort / Klotz) 

129. – 132. Herfort, P. / Klotz, A.: Ornamente und Fraktale 

133. – 134. http://www.vma.bme.hu/mathhist/Mathematicans/ 

135. Entwurf mit Hilfe des Programms IFSCOX 

136. – 139. Bigalke, H. G. / Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen


17. Literaturverzeichnis 

Artmann, B.: Zur Geometrie gotischer Maßwerkfenster / In: MU – Der Mathematikunterricht 

/ Jahrgang 41, Heft 3, 1995. 

Artmann, B.: The Cloisters of Hauterive / In: The Mathematical Intelligencer / Jahrgang 13, 

Heft 2, Springer Verlag International, 1991. 

Binding, G.: Masswerk / Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 1989. 

Bigalke, H. G. / Wippermann, H.: Reguläre Parkettierungen – Mit Anwendungen in 

Kristallographie, Industrie, Baugewerbe, Design und Kunst / Mannheim, Leipzig, Wien, 

Zürich: Wissenschaftsverlag, 1994. 

Bongartz, K. / Borho, W. / Mertens, D. / Steins, A.: Farbige Parkette – Vier Aufsätze zur 

ebenen Kristallographie / Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag, 1988. 

Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik / Stuttgart, Leipzig: B. G. Teubner 

Verlagsgesellschaft, 1991. 

Coxeter, H. S. M.: Unvergängliche Geometrie / In: Wissenschaft und Kultur Bd. 17 / Basel, 

Stuttgart: Birkhäuser, 1963. 

Devlin, K.: Muster der Mathematik – Ordnungsgesetze des Geistes und der Natur / 

Heidelberg [u. a.]: Spektrum Akademischer Verlag, 1997. 

Escher, C.: Graphik und Zeichnungen / München: Moos, 1984. 

Fischer, G.: Lineare Algebra / Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1986. 

Flachsmeyer, J. / Feiste, U. / Manteuffel, K.: Mathematik und ornamentale Kunstformen / 

Leipzig: Teubner, 1990. 

Goethe, J. W.: Faust – Der Tragödie erster Teil / Stuttgart: Ernst Klett Verlag, 1991.


Heesch, H.: Reguläres Parkettierungsproblem / In: Arbeitsgemeinschaft für Forschung des 

Landes Nordrhein-Westfalen / Köln, Opladen: Westdeutscher Verlag, 1968. 

Heesch, H. / Bigalke, H. G.: Kristallgeometrie, Parkettierungen, Vierfarbenforschung / Basel, 

Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag, 1988. 

Heilbron, J. L.: Geometry Civilized – History, Culture and Technique / Oxford: Clarendon 

Press, 1998. 

Herfort, P. / Klotz, A.: Ornamente und Fraktale / Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1997. 

Hilbert, D. / Cohn-Vossen, S.: Anschauliche Geometrie / Berlin, Heidelberg, New York: 

Springer, 1932. 

Kindinger, K.: Eine geometrische Analyse gotischer Maßwerkfenster / In: MU- Der 

Mathematikunterricht / Jahrgang 41, Heft 3, 1995. 

Klemm, M.: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen / Berlin, Heidelberg, New York: 

Springer, 1982. 

Luidl, P. / Huber, H.: Ornamente – Ornaments / München: Verlag F. Bruckmann KG, 1983. 

Mainzer, K.: Symmetrien der Natur – Ein Handbuch zur Natur- und Wissenschaftsphilosophie 

/ Berlin, New York: Springer, 1988. 

Müller, E.: Gruppentheoretische und strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen 

Ornamente aus der Alhambra in Granada / Rüschlikon: Buchdruckerei Baublatt AG, 1944. 

Pedersen, J.: Geometry: The Unity of Theory and Practice / In: The Mathematical 

Intelligencer / Jahrgang 5, Heft 4, Springer Verlag International, 1983. 

Preisinger, A. (Hrsg.): Symmetrie / Schriftenreihe der TU Wien, Bd. 16, 1980.


Steinhaus, H.: Kaleidoskop der Mathematik / Berlin: VEB Deutscher Verlag der 

Wissenschaft, 1959. 

Storm, T.: Novellen – Gedichte / Trautwein Klassiker-Edition, 1996. 

Tarassow, L.: Symmetrie, Symmetrie! – Strukturprinzipien in Natur und Technik / 

Heidelberg, Berlin, Oxford: Spektrum Akademischer Verlag, 1993. 

Toth, G.: Glimpses of Algebra and Geometry / New York: Springer, 1998. 

Walser, H.: Symmetrie / Stuttgart, Leipzig: Teubner, 1998. 

Weyl, H.: Symmetrie / Basel, Stuttgart: Birkhäuser, 1955. 

Wille, D.: Repetitorium der Linearen Algebra – Teil 1 / Springe: Feldmann Verlag, 1991. 

Wille, R. (Hrsg.): Symmetrie in Geistes- und Naturwissenschaften / Berlin, Heidelberg, 

New York, London, Paris, Tokyo: Springer, 1988. 

Wille, R.: Symmetrie – Versuch einer Begriffsbestimmung / Darmstadt: In Preprint 985, 

1986. 

Wissenschaftlicher Rat der Dudenredaktion: Das Fremdwörterbuch / Mannheim, Wien, 

Zürich: Dudenverlag, 1990. 

Zee, A.: Magische Symmetrie / Basel [u. a.]: Birkhäuser, 1990.


18. Symbolverzeichnis 

A Abbildung 

A -1 

Umkehrabbildung 

B Bewegung 

ℂ Menge der komplexen Zahlen 

Cn 

Zyklische Gruppe 

Dα,Z 

Drehung mit Drehwinkel α und Drehzentrum Z 

Dn,Z 

Drehung mit Drehwinkel 360°/n und Drehzentrum Z 

D n 

n-malige Drehung 

Dn 

Diedergruppe 

∆ det(A) 

C1 * , C2 * , D1 * , D1 ** , D1 *** , D2 * , D2 ** 

Friesgruppen 

Γ Untergruppe von O(Λ) 

GS 


ps1, ps1m, ps1as 

Homöometrische Gruppen 

I Identität 

K Gruppe der Kongruenzabbildungen 

ℕ Menge der natürlichen Zahlen (inkl. 0) 

L Laves-Netz 

ΛP 

Laves-Parkett 

[Λ, Γ] Klasse eines Parketts 

xH Linksklasse 

p1, p2, pm, pg, cm, pmm, pmg, pgg, cmm, Ornamentgruppen 

p4, p4m, p4g, p3, p6, p31m, p3m1, p6m Ornamentgruppen 

O(P) Ornamentgruppe des Parketts 

O(Λ) Ornamentgruppe des Laves-Parketts 

O. B. d. A. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit 

ord(H) Ordnung von H 

P Parkett 

i-ter Parkettstein 

pi 

ΠL 

Gruppe aller Permutationen von L 

ℝ Menge der reellen Zahlen 

Sg 

Spiegelung an der Geraden g 

T Translation 

T*(k, m, n) Coxeter Gruppe 

ℤ Menge der ganzen Zahlen 

■ Beweisende


19. Anhang 

Zum besseren Verständnis möchte ich die Bezeichnungsweise erläutern. Die Abkürzung RP 

steht für Repräsentant des zugehörigen Parketts. Die Bezeichnungsweisen der Flächenornamente 

werden am Ende des Anhangs erläutert.

Symmetrie und Ornamentik Claus Rohrbach 122







Abbildung 139: Die Repräsentanten der 93 Parkettklassen 

Gegenüberstellung der unterschiedlichen Bezeichnungsweisen der Flächenornamentgruppen 

zum besseren Verständnis der Bezeichnungsweisen für Parketts: 

a) Nach Bigalke / Wippermann b) Internationale Bezeichnungsweise 

a) p1 p2 p3 p4 p6 pm pg cm p31m p3m1 

b) p1 p2 p3 p4 p6 pm pg cm p31m p3m1 

a) p2mm p2mg p2gg c2mm p4gm p4mm p6mm 

b) pmm pmg pgg cmm p4g p4m p6m


Versicherung 

Hiermit versichere ich, daß ich die vorliegende Arbeit selbständig verfaßt habe und keine 

anderen Hilfsmittel, als die angegebenen, verwendet habe. Sämtliche Stellen, die der Literatur 

entnommen wurden, habe ich mit Quellenangaben kenntlich gemacht. 

Riedstadt, November 1998

Symmetrie und Ornamentik

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