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Primzahlen, die aber nicht bekannt sind, und e ist ein sogenannter invertierbarer
Exponent modulo N (das Inverse von e ist allerdings auch nicht bekannt).
Eine Möglichkeit, die Zahl m zu bestimmen, besteht darin N zu faktorisieren.
Dann läßt sich ein Element d berechnen mit de ≡ 1 (mod (p − 1)(q − 1))
und es gilt c d = m ed = m (mod N). Somit ist das RSA-Problem höchstens so
schwierig wie das Faktorisierungsproblem. Da sich Mathematiker in den letzten
3000 Jahren vergeblich bemüht haben, einen effizienten Algorithmus zum Faktorisieren
zu finden, kann man vermuten, daß dies wirklich schwierig ist. Das
Hauptproblem der RSA-Annahme hingegen ist es, daß es eventuell eine andere
Möglichkeit gibt, das RSA-Problem zu lösen als N zu faktorisieren. Selbst
wenn das Faktorisierungsproblem schwer bleibt, könnte RSA somit gebrochen
werden. Zwar ist kein solcher Algorithmus bisher bekannt, aber es konnte (im
Gegensatz zum verwandten Rabin-Problem) auch nicht bewiesen werden, daß
es keinen geben kann.
Schlüsselerzeugung Um ein RSA-Schlüsselpaar zu erzeugen, bestimmt der
Schlüsselgenerator zunächst zwei zufällige Primzahlen p und q. Daraus ergibt
sich der öffentliche Modul N = pq. Die Größe (Länge der Bitdarstellung) von
N bestimmt die Sicherheit des Verfahrens (und den Berechnungsaufwand). Zur
Zeit gilt 1024-bit-RSA als hinreichend sicher für die meisten Anwendungen,
2048-bit-RSA wird für extrem kritische Schlüssel gefordert. Demnach haben p
und q jeweils mindestens 512 Bit (sie sollten gleich groß sein).
Als nächstes wählt der Generator einen öffentlichen Exponenten e mit
ggT(e, (p − 1)(q − 1)) = 1.
Außer dieser Bedingung muß e keine weiteren Eigenschaften besitzen. Aus Sicherheitsgründen
(Low-Exponent-Attacke) sollte e nicht zu klein sein, aber ansonsten
kann es zur Beschleunigung von Public-Key-Operationen stets einer
kleinen Konstante gleichgesetzt werden, etwa 65537.
Aufgrund der Tatsache, daß e und (p − 1)(q − 1) keine gemeinsamen Teiler
besitzen, kann mit dem erweiterten Euklidschen Algorithmus der geheime
Exponent d bestimmt werden, mit
ed = 1 (mod (p − 1)(q − 1)).
Der öffentliche Schlüssel besteht aus (e, N), der private Schlüssel ist (d, N)
oder auch (sinnvoll zur Beschleunigung von Berechnungen von Private-Key-
Operationen mit dem Chinesischen Restsatz) (d, p, q).
Schlüsselverwendung RSA-Schlüssel lassen sich für zwei Operationen einsetzen,
nämlich zur Nachrichtenverschlüsselung und für digitale Signaturen. In
beiden Fällen kommt dabei eine identische Berechnungsvorschrift zum Einsatz,
lediglich die Rollen von öffentlichem und privatem Schlüssel werden vertauscht.
Diese Symmetrie wird sich später beim RSA-Key-Sharing als nützlich erweisen.
Um eine Nachricht m für den Empfänger mit dem öffentlichen Schlüssel
(e, N) zu verschlüsseln, wird sie als Zahl zwischen 1 und N − 1 aufgefaßt und
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