Kap. 5: Erzwungene Konvektion

5 Erzwungene Konvektion 

5.1. Einleitung Prandtl´sche Grenzschichttheorie 

L 

L 

� 

� 

th, 

ein 

h, 

ein 

th 

th 

�ˆ 

�ˆ 

�ˆ 

�ˆ 

thermische 

hydraulische 

thermische 

hydraulische 

Einlauflänge 

Wärmeübertragung 

Einlauflänge 

Grenzschichtdicke 

Grenzschichtdicke 

1


Laminare Strömung 

y 

u 

�u 

�y 

Turbulente Strömung 

y 

u 

�u 

� y 


2

5.2. Laminare Strömung 

Reynolds-Experiment 


y 


Für ausgebildete laminare Strömung gilt: 

Gesetz von Hagen-Poiseuille 

2 

� � 

� � � � y � 

u y � u 

� 

max 1� 

� 

� � 

� 

(5.1) 

� � d/ 

2 � � 

3



Bei laminarer Strömung erfolgt keine Quervermischung in y-Richtung. 

� Wärmeübertragung nur durch Wärmeleitung entlang Temperaturgradient 

in der thermischen Grenzschicht 

Die Grenzschichtdicke hängt von der Lauflänge ab. 

u� 

L 

h, 

ein 

d 

Re d 

� 

� 

0, 

05 

u� 

d 

� 

Re 

d 

(5.2) 

4

� 


Re- und Pr-Zahl sind von entscheidender 

Bedeutung für den konvektiven 

Wärmeübergang. 

Typische Werte für Pr: 

� Flüssige Metalle Pr


z.B. für zylindrisches Rohr mit 

�W � const., 

Nu� 

3, 

65 


laminar solange Red � 2300 (gilt nur bei Rohrströmung) 

Übergang 

laminar � turbulent 

2300 � Red 

� 

Für ausgebildete laminare Strömung: 

000 

weitere Werte in Vorlesungsunterlagen Seite 31 und Buch von Shah & 

London. 

10 

Nu � 

� 

const. 

� 

6

Nu 

d 

� 

� 

� 

�3, 

65 

� 

� 

�� 

3 


� 

� 

� 

� 

�1, 

62 

� 

� 

� 

3 

� 

� d � 

2RePr� 

� 

� L � 

1 � 22Pr 

� � 

� � 

� � d � 

� � 

� 

� RePr 

� L �� 

� 

� � 

� �� 

� 

� 

� 

1 

3 

� 

� 

� 


Im VDI- Wärmeatlas wird für Rohrströmung im gesamten Bereich von 

x = 0 bis x = L empfohlen 

Für Spaltströmung: 

Nu 

s 

� 

� 

� 

�3, 

75 

� 

� 

�� 

3 

� 

� 

� 

� 

�1, 

47 

� 

� 

� 

3 

� 

� s � 

2RePr� 

� 

� L � 

1� 

22Pr 

� � 

� � 

� � s � 

� � 

� 

� RePr 

� L �� 

� 

� � 

� �� 

Geltungsbereich: 0 � Pr � � ; 0 � 

� d � 

RePr� 

� � 

� L � 

� 

Genauigkeit: � 10 % 

� 

� 

� 

1 

3 

� 

� 

� 

(5.6a) 

(5.6b) 

7

d 

Re � Pr� 

��L 

Pe d / L 

Fo �ˆ 

� 


u d � 

� � 

� a 

Verweilzeit 

Pe �ˆ 

Peclet � 

Zahl 

Schlußfolgerungen 

d 

L 

des 

� 

L 

t 

Fluids 

2 

d 

� 

a L 

in 

� 

Rohr 

2 

d 

a t 

� 

1 

Fo 

� 

Gz 


Nu ist am Anfang des Rohres sehr hoch und geht bei langen Rohren 

gegen 3,65. 

In Hochleistungswärmeübertragern wird deshalb die ausgebildete 

Strömung gestört, so dass sich die Strömung neu ausbilden muss und 

damit der Wärmeübergang verbessert wird. 

8


Wärmeübertragung im laminar durchströmten Rohr 


9


5.3. Turbulente Strömung 

In der Praxis meist u > 0,5 m/s � Turbulente Strömung 


In den meisten technischen Anwendungsfällen keine laminare Strömung. 

z.B. Wasser bei 20 °C, d = 15 mm, u = 0,10 m/s, 

Re = 1500 (laminar) 

� 

Lh, ein 

� 

1, 

125m 

� 

75�d 

Lh, 

ein 

1/ 6 

� � 4, 

4 Re d � Lh, 

ein � � 15� 

40��d 

(5.6) 

d 

10

Es gilt: 

� 

� 


� � u 

; 

y � y 

; 

größer als bei laminarer Strömung 

� 

Nu � 

turb. 

Nu 

lam. 


Für turbulente Strömung keine exakten Lösungen möglich. 

Die zuverlässigste Gleichung ist nach VDI-Wärmeatlas (Gnielinski-Gleichung): 

� � 

� � � �� 

� 

� 2 

Re � 1000 Pr 

� 

� � d � 3 

Nu � 

8 

� 1� 

� 

� � 

(5.7) 

� 2 / 3 � L � 

1 � 12, 

7 � Pr � 1 � 

8 

� � 

Druckverlustbeiwert � für technisch rauhe Rohre: 

� � � � 2 � 

1, 

82 � log Re � 1, 

64 

� � 

(5.8) 

10 

11

� 


Für glatte Rohre gilt nach Blasius: 

� 

� 

� 

� 

0, 

3164 

Re 

0, 

25 

� 

� 

� 

Gültigkeitsbereich der Gnielinski-Gleichung: 

2300 < Re < 10 6 

0,5 < Pr < 10 4 

0 < d / L < 1 

Stoffwerte für �b 

(´Bulk´-Temperatur). 

Einfluss Kühlung/Erwärmung berücksichtigen 

0, 

14 

b 

Nu NuGl. 

5. 

7 � 

w 

� 

� � � 

� � � 

� 

� 

� 

� 


(5.9) 

Genauigkeit 

wenn Wand- und Fluidtemperatur sehr unterschiedlich, da Stoffwerte 

temperaturabhängig. 

� 

10 � 

15 

% 

12


Für Pr Nu laminar 

c) Instabilität, an dem Übergang laminar � turbulent: 

� verwende Nu lam wenn größer als Nu turb . 

13


Wärmeübertragung im Rohr für Pr = 7 


14


Wärmeübertragung im Rohr für Pr = 7 


15

Beispiel: 



Ein Benzolmassenstrom von 2 kg/s wird durch 

Wärmeübertragung von bei 45°C kondensierendem 

Kältemitteldampf von einer Eintrittstemperatur � ein = 10°C 

auf eine Austrittstemperatur � aus von mindestens 30°C 

erwärmt. 

Man bestimme die benötigte Wärmeübertragungsfläche. 

Stoffwerte von Benzol 

Dichte: 879 kg/m3 spez. Wärme: 1,74 kJ/(kg·K) 

Wärmeleitfähigkeit: 0,153 W/(m·K) 

kin. Viskosität: 0,74·10-6 m2 /s 

16


Zur Verfügung stehen zwei verschiedene 

Rohrbündelwärmeübertragerbauformen. 

Der Kältemitteldampf soll an der Rohraußenseite 

kondensieren, das Benzol soll durch die Rohre 

Strömen. 

Wärmeübertrager 1 

Anzahl der Rohrbündel 2 

Anzahl der Rohre / Bündel 39 

Rohrlänge 1 m 

Rohrdurchmesser x Wandstärke 10 mm x 1 mm 

Wärmeübertrager 2 

Anzahl der Rohrbündel 3 

Anzahl der Rohre / Bündel 90 

Rohrlänge 1,2 m 

Rohrdurchmesser x Wandstärke 25 mm x 2,5 mm 


2 

1 

17


��69, 6 kW 

Qsoll � M cp 

aus ein 

� � 

Q� � k A � �T 

ist 

j 

eff 

Im vorliegenden Fall ist �T eff = 23,6 K, vgl. Kapitel 10.1 

1) A � nA 

� 2 � � d� 

L � z � 2 � � 0, 

008m 

� 1m 

� 39 � 

2) A � nA 

� 3 � � � 0, 

02m 

� 1, 

2m 

� 90 � 

j 

20, 

35 

m 

2 


1, 

96 

m 

2 

18



19 

w 

w 

0 

0 

i 

i 

A 

1 

A 

1 

A 

1 

kA 

1 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

K 

m 

W 

000 

25 

ng 

Wärmeleitu 

K 

m 

W 

000 

10 

on 

Kondensati 

K 

m 

W 

1000 

Konvektion 

erzwungene 

für 

2 

W 

2 

0 

2 

i 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

i 

2 

2 

1 

K 

m 

W 

877 

1 

K 

m 

W 

1 

000 

25 

1 

000 

10 

1 

1000 

1 

k 

1 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

i 

k � 

� 

�

Nu d 

� 

� 

� 

f �� Re, 

� 

Pr 

Re 


� 

� 

� d �� 

Pr, � �� 

� L �� 

� � � � c 

u� 

d 

� 

1 turbulent 

� 

� 

p � 

7, 

4 

M� 

� d 

� � 2 � 

� di 

� � � � z � � 

� 4 � 

2 turbulent oder laminar 

� 

12000 

Turbulent: Gnielinski-Gleichung (Gln. (5.7.) ) 

Laminar: Gln. (5.6a) 

1 

� 2300 

2 


20

mit Nud 

� 

� � 

� 


d 

� 

� 

Übertragbare Wärmeströme 

1 

2 

1 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� A�1 � 2 � �� A�2 

Q� 1 � k1 

A1 

�Teff 

� �1 

A1 

� Teff 

W 

1930 

2 

m K 

W 

129 

2 

m K 

W 

98 2 

m K 

Q� 2 � k2 

A2 

�Teff 

� �2 

A2 

� Teff 

Q� 2 � 

47, 

1kW 

� 

89, 

3kW 

� 

61, 

9 


�turbulent, Gln. 

( 5. 

7) 

� 

�laminar , Gln. 

( 5. 

6a) 

� 

kW 

21


5.4. Nicht - kreisförmige Durchmesser 

Für laminare Strömung: 

siehe Gleichungen in den Vorlesungsunterlagen oder Buch von 

Shah & London 

Für turbulente Strömung: 


verwende Gnielinski – Gleichung (Gln. (5.7) ) mit „ hydraulischem“ oder 

„äquivalentem“ Durchmesser: 

d 

h 

4 

� 

A 

quer 

� (5.11) 

Ubenetzt 

22

z.B. Ringspalt: 


D d 

in Red, 

Nud, 

d 

L 

Übereinstimmung 

einsetzen 

mit 

Messung 

d 

h 

� 

� 

10 

4 � 

% 

� 

4 

� 

� 2 2 � D � d 

�D�d� � 


�D�d� 23


5.5. Laminar – überströmte Platte 

u� 

x 

�h 


Externe Strömung: • keine Krümmung 

• kein Druckgefälle 

• W const 

• keine Auftriebseffekte ( keine freie Konvektion) 

� � 

� 1 � 

� � � � 

h � � � 2 

4, 

64 Re � 

x 

x 

Re x 

� � 

� 

� 

x u 

(5.13) 

(5.14) 

24

� 

th 

Nu 


Thermische Grenzschichtdicke: 

� 

0 , 976 

� Pr 

� 1 � 

�� 

� 

� 3 � 

� � 

Örtliche Nusselt – Zahl: 

h 

� 

0, 

976�Pr 

�x 

� x 

� 

� 1 � 

� � � 

� 3 � 

�x 

�4, 

64�Re 

� 1 � 

� � � 

� 2 � 


(5.15) 

0, 

33 0, 5 

x � 0, 

332 �Pr 

� Rex 

� 

(5.16) 

Mittlere Nusselt – Zahl von x = 0 bis x = L: 

Nu L 

� 

� � 

� 

L 

25



26 

. 

4 

. 

5 

� � 

� 

� 

� 

� 

L 

0 

x 

x dx 

L 

1 

dx 

x 

x 

u 

Pr 

332 

, 

0 

L 

1 

L 

0 

x 

33 

, 

0 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� � � 

� 

5 

, 

0 

33 

, 

0 

L 

5 

, 

0 

1 

u 

Pr 

332 

, 

0 

L 

1 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

2 

mit 

Stoffwerte w � 

� 

� 

� 

� 

� 

33 

, 

0 

5 

, 

0 

L 

Pr 

Re 

664 

, 

0 

Nu � 

� 

� 

� (5.18) 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

33 

, 

0 

5 

, 

0 

L Pr 

Re 

664 

, 

0 

L 

1 

(5.17)


5.6. Turbulent – überströmte Platte: 

Krit. 

5 


Übergang laminar � turbulent bei Re � 5 � 10 

(5.19) 

Hydraulische Grenzschichtdicke: 

Örtliche Nusselt-Zahl: 

Für mittlere Nu–Zahl Gln. (5.21) integrieren. 

Bessere Übereinstimmung mit Gleichung von Petukhov und Popov: 

Nu 

L 

� 

1� 

2, 

44 

0, 

037 

� 

�Pr 

� 

Re 

�2� � �0, 

1 

3 

0, 

8 

L 

�Pr 

� 1� 

�Re 

� 

L 

x 

� 1 � 

� �� 

� 

h � � � 5 

0, 

37 Re � 

x 

x 

0, 8 

x 

0, 

33 

(5.20) 

Nu � 0, 

0287 �Re 

�Pr 

(5.21) 

(5.22) 

27


5.7. Überströmte Einzelkörper 

z.B. Rohre, Kugel, Profile 

� : 

5.7.1 querangeströmter Zylinder: 

am Staupunkt gilt: 

u � 

p � 

m 

0 

s 

pmax 

� p 

mit zunehmendem �: u � und � 0 bzw. 

�� 

danach: Wirbelbildung und Rückströmung 

� p 

� 

�x 

bis zu einer bestimmten Stelle in der Nähe von 90°, danach 

� p 

�x 

� 

0 

� 

u � 

bis zum Ablösepunkt. 

u� 

0 

0 

90 ° 

d 

� 


28


von Karman Vortex Street behind a tube for 

Re=1000, calculated with the RNG model 


29


Übergang laminar � turbulent bei 

Re � 2 � 10 

Strömungsablösung: laminar bei � 80° 

turbulent bei �140° 

Ungleichverteilung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit. 

� Ungleichverteilung des Wärmeübergangs. 

Korrelationen an Messwerte angepasst. 

Den weitesten Gültigkeitsbereich hat Korrelation von Whitaker: 


� � 

� 

� 

d u 

Re (5.23) 

� � 

� � 1 � 

� 2 � 

1 

� � 

� � � 

� � 

� � 2 � 

� 3 � � 0, 

4 � �� 

�� 

4 � 

Nu d � �0, 

4 �Re 

� 

� � � � 

� 

� 

� 

d 0, 

06Red 

Pr 

(5.24) 

�W 

� 

� 

� 

� 

Krit. 

� 

� 

5 

30


� � 

Beachte: 4 , 0 5 , 0 Nu � f Re ; Pr 

5.7.2. Umströmte Kugel: 

Whitaker: 

Nu min 

� 

2 

Nu d 

Re d 

� � d 

� 

� 

� � 

� 

� 

d u 

für Kugel wenn Re � 0 

Gln. ( 5. 

24) 

und Gln. 

( 5. 

25) 

: � 

d 

� 

Außendurchmesser 

30 

% 


Gilt näherungsweise immer bei Anlaufströmung, 

d.h. nur Vorfaktoren ändern sich. 

� � 1 � 

� 2 � 

� � 

� � � 

� � 2 � 

� 3 � � 0, 

4 � �� 

� 

Nu d � 2 � �0, 

4 �Re 

� � � � � � 

� 

� 

� 

d 0, 

06 Red 

Pr 

(5.25) 

� 

� � �W 

� 

� 

� 

� 1 � 

� � 

� 4 � 

31

Nu 

Nu 

Nu 


5.7.3. Sonstige Querschnitte: 


siehe Vorlesungsunterlagen bzw. aus VDI – Wärmeatlas. Für alle Geometrien: 

Nu � Nu � Nu � 

min 

lam 

turb 

� 

�ˆ 

�ˆ 

2 

min 

für 

Kugel 

Gln. 

( 5. 

18) 

Gln. 

( 5. 

21) 

2 

lam 

für 

für 

bzw. 

Nu 

2 

turb 

� 

laminar 

turbulent 

0. 

3 

für 

überströmte 

Zylinder 

überströmte 

L * wird anstelle von d in Nu, Re, (d/L) verwendet. 

Platte 

Platte 

(5.26) 

In Gln. (5.26), Gln. (5.18) und (5.22) Überströmlänge L * einsetzen. 

L * 

A 

U 

� 

A 

U 

(5.27) 

�ˆ 

Wärmeübertragungsfläche 

�ˆ 

Umfang der 

Pr ojektion in Strömungsrichtung 

32



33 

� � 

d 

L 

für 

2 

d 

L 

d 

2 

L 

d 

L 

Zylinder 

* 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� � 

* 

L 

L 

u 

Re 

2 

für 

Pr 

W 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

* 

L 

L 

Nu 

d 

d 

d 

L 

Kugel 

2 

* 

� 

� 

� 

� 

Beispiel:


5.8. Durchströmte Haufwerke 


Haufwerk: geordnete oder regellose Anordnung von mehreren Einzelkörpern. 

u� 

Die effektive Strömungsgeschwindigkeit u ist größer als u , da die 

� 

Einzelkörper den Strömungsquerschnitt verringern. 

u� 

34


Def.: Lückenvolumen, Porosität � 

V � V � V 

(5.28) 

Lücke 

ges 

Körper 

ges 

V 

V 

Lücke 

Körper 

� � 

� 1 � 

(5.29) 

V 

V 

� 

u 

� 

V� 

Aquer 

� � 

ges 

d.h. verwende u 

für Re 

u � L 

� 

Leerer Strömungsquerschnitt ohne Körper 

� 


35



Dies gilt, nur solange der Abstand zwischen den Einzelkörpern so groß 

ist, dass keine Beeinflussung der Grenzschichten vorliegt. 

In den meisten Fällen führt diese Beeinflussung 

zu einer Verbesserung des Wärmeübergangs. 

z.B. Kugelschüttung mit � � 0, 

4 : 

� Verdoppelung von Nu bei gleichem u ! 

Berücksichtigung durch Korrekturfaktor � 

Schüttung 

�� NuEinzelkörper 

Nu � � � 

(5.31) 

wobei Nu mit u berechnet wird. 

Einzelkörper 

�1�� für 0, 

4 � � � 1 und 100 � Pe 10000 

� � 1 � 1, 

5 

� 

(5.32) 

u� 

36


Recht gut solange Re nicht zu niedrig (d.h. solange Re > 1) 

Ansonsten „schleichende“ Strömung 

dann � 

� 1 möglich durch Ungleichverteilung der Strömung. 


37

Kap. 5: Erzwungene Konvektion

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