Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm
Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm
4 Allgemeines zum Rastertunnelmikroskop Nach Tersoff und Hamann gilt nach Fermis Goldener Regel für den Tunnelstrom [Ter85] [Bar61]: I = 2πe � � f(Eν) [1 − f( Eν + eU )] |Mµν| 2 δ (Eµ − Eν) (4.51) µ,ν Hierbei bezeichnet f (E) die Fermi-Funktion, U die zwischen Probe und Spitze angelegte Spannung, Mµν das Tunnel-Matrix-Element zwischen den Zuständen Ψµ der Probe und den Zuständen Ψν der Oberfläche. Eµ beschreibt die Energie des ungestörten Zustandes Ψµ. Für den Fall geringer Spannungen (∼ 10 meV bei Metall-Metall-Tunnelprozessen) und unter der Annahme von Temperaturen im Zimmertemperaturbereich kann man die Fermi-Funktion durch eine Stufenfunktion nähern. Gleichung (4.51) vereinfacht sich zu: I = 2π � e2U � |Mµν| 2 δ (Eν − EF ) · δ (Eµ − EF ) (4.52) µν Die Schwierigkeit besteht nun darin, das Matrixelement Mµµ zu berechnen. Dessen Be- tragsquadrat ist übrigens ein Maß für den in Gleichung (4.36) auf Seite 50 eingeführten Transmissionskoeffizienten. Für den Grenzfall, in dem man die Spitze durch eine punkt- förmige Spitze am Ort r0 ersetzen kann, wird die Probe von den quantenmechanischen Eigenschaften der Spitze nicht beeinflusst. Dieser Fall stellt das bestmögliche Auflösungs- vermögen dar. Gleichung (4.52) vereinfacht sich zu: I ∝ |Ψν (r0) | 2 · δ (Eν − EF ) = ρS(r0, EF ) (4.53) Man kann somit erkennen, dass der Tunnelstrom zur lokalen Zustandsdichte der Oberfläche (Sample) ρS am Fermi-Niveau am Ort der Spitze r0 proportional ist. Da eine punktförmi- ge Spitze kein sehr realistisches Modell darstellt, muss man Gleichung (4.52) allgemeiner behandeln. Nach Bardeen gilt: Mµν = �2 � 2m � dS · Ψ ∗ µ � ∇Ψν − Ψν � ∇Ψ ∗ � µ (4.54) wobei das Integral über eine beliebige Fläche, die komplett innerhalb der Barriere, die Spitze und Probe voneinander trennt, liegt. Nimmt man eine kugelförmige Spitze (siehe Abbildung 4.18 auf der nächsten Seite), mit s-artigen elektronischen Zuständen an, so folgt nach [Ter85]: 60
I = 32π3 e 2 � U (E − E0) 2 ρT (EF )R 2 α 4 4.2 Der Tunneleffekt e 2αR · � |Ψν(r0)| 2 · δ(Eν − EF ) (4.55) Hierbei entspricht E −E0 der Austrittsarbeit EA der Elektronen, R dem Radius der Spitze, ρT der lokalen Zustandsdichte der Spitze (Tip) sowie r0 dem Mittelpunkt des Krümmungs- radius der Spitze. Abb. 4.18: Schematische Darstellung der Sondenspitze, wobei diese eine willkürliche ν Form haben kann. Lokal wird sie aber im Punkt des geringsten Abstands zur Probenoberfläche durch eine sphärische Kugel, mit Krümmungsradius R, Mittelpunkt am Ort r0 sowie Abstand a von der Oberfläche beschrie- ben. Mit einer weiteren Bedingung kommt man auch für nicht-punktuelle Spitzen zum selben Resultat. Die Summe über die Wellenfunktionen Ψν der Probe entspricht der lokalen Zustandsdichte der Probe am Fermi-Niveau am Ort der Spitze r0: I ∝ � |Ψν(r0)| 2 · δ(Eν − E) = ρS(r0, EF ) (4.56) ν Der exponentielle Zusammenhang des Tunnelstroms vom Abstand a, wie man ihn aus Glei- chung (4.44) auf Seite 55 kennt, ist hier im Abfallen der Wellenfunktion ins Vakuum ver- borgen: 61
- Seite 23 und 24: Nanotechnologie für den Unterricht
- Seite 25 und 26: Inhalt Die Nanobox enthält: 3.2 Un
- Seite 27 und 28: 2. Nanowürfel - Powerspeicher der
- Seite 29 und 30: 3.2 Unterrichtsmaterialien Abb. 3.3
- Seite 31 und 32: 3.2 Unterrichtsmaterialien Beim Exp
- Seite 33 und 34: 3.3 Schulbesuche durch externe Einr
- Seite 35 und 36: ponaten [Nanc] zu folgenden Themen
- Seite 37 und 38: 3.4 Internetangebote einzelne Schul
- Seite 39: Teil I Das Rastertunnelmikroskop 25
- Seite 42 und 43: „Vielleicht, daß es in der Zukun
- Seite 44 und 45: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 46 und 47: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 48 und 49: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 50 und 51: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 52 und 53: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 54 und 55: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 56 und 57: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 58 und 59: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 60 und 61: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 62 und 63: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 64 und 65: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 66 und 67: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 68 und 69: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 70 und 71: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 72 und 73: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 76 und 77: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 78 und 79: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 80 und 81: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 82 und 83: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 84 und 85: 4 Allgemeines zum Rastertunnelmikro
- Seite 86 und 87: 5 Spitzenpräparation Abb. 5.1: Ras
- Seite 88 und 89: 6 Verwendung des vorhandenen RTM 6.
- Seite 90 und 91: 6 Verwendung des vorhandenen RTM 76
- Seite 92 und 93: 6 Verwendung des vorhandenen RTM wi
- Seite 94 und 95: 6 Verwendung des vorhandenen RTM Ab
- Seite 96 und 97: 6 Verwendung des vorhandenen RTM 82
- Seite 98 und 99: 7 Ferienakademie des Piezokristalls
- Seite 100 und 101: 7 Ferienakademie 86
- Seite 103 und 104: Ferrofluide, Magnetismus und Curie-
- Seite 105 und 106: 8.2 Magnetismus Abb. 8.1: Erklärun
- Seite 107 und 108: 8.4 Hysterese Abb. 8.2: Ausrichtung
- Seite 109 und 110: 8.5 Sonderstellung von Ferrofluiden
- Seite 111 und 112: 8.7 Rosensweig Instabilitäten In A
- Seite 113 und 114: 8.8 Modellvorstellung zum Magnetism
- Seite 115 und 116: Physikalische Anforderungen an ein
- Seite 117 und 118: Eth > Epot 9.1 Bedingungen an die P
- Seite 119 und 120: 9.2 Attraktive Wechselwirkungen Ema
- Seite 121 und 122: 9.2 Attraktive Wechselwirkungen A i
- Seite 123 und 124: 9.3 Repulsive Wechselwirkungen geei
I = 32π3 e 2<br />
�<br />
U (E − E0) 2 ρT (EF )R 2<br />
α 4<br />
4.2 Der Tunneleffekt<br />
e 2αR · �<br />
|Ψν(r0)| 2 · δ(Eν − EF ) (4.55)<br />
Hierbei entspricht E −E0 <strong>der</strong> Austrittsarbeit EA <strong>der</strong> Elektronen, R dem Radius <strong>der</strong> Spitze,<br />
ρT <strong>der</strong> lokalen Zustandsdichte <strong>der</strong> Spitze (Tip) sowie r0 dem Mittelpunkt des Krümmungs-<br />
radius <strong>der</strong> Spitze.<br />
Abb. 4.18: Schematische Darstellung <strong>der</strong> Sondenspitze, wobei diese e<strong>in</strong>e willkürliche<br />
ν<br />
Form haben kann. Lokal wird sie aber im Punkt des ger<strong>in</strong>gsten Abstands<br />
zur Probenoberfläche durch e<strong>in</strong>e sphärische Kugel, mit Krümmungsradius<br />
R, Mittelpunkt am Ort r0 sowie Abstand a von <strong>der</strong> Oberfläche beschrie-<br />
ben.<br />
Mit e<strong>in</strong>er weiteren Bed<strong>in</strong>gung kommt man auch für nicht-punktuelle Spitzen zum selben<br />
Resultat.<br />
Die Summe über die Wellenfunktionen Ψν <strong>der</strong> Probe entspricht <strong>der</strong> lokalen Zustandsdichte<br />
<strong>der</strong> Probe am Fermi-Niveau am Ort <strong>der</strong> Spitze r0:<br />
I ∝ �<br />
|Ψν(r0)| 2 · δ(Eν − E) = ρS(r0, EF ) (4.56)<br />
ν<br />
Der exponentielle Zusammenhang des Tunnelstroms vom Abstand a, wie man ihn aus Glei-<br />
chung (4.44) auf Seite 55 kennt, ist hier im Abfallen <strong>der</strong> Wellenfunktion <strong>in</strong>s Vakuum ver-<br />
borgen:<br />
61
Change language