Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

4 Allgemeines zum Rastertunnelmikroskop
Nach Tersoff und Hamann gilt nach Fermis Goldener Regel für den Tunnelstrom [Ter85]
[Bar61]:
I = 2πe
�
�
f(Eν) [1 − f( Eν + eU )] |Mµν| 2 δ (Eµ − Eν) (4.51)
µ,ν
Hierbei bezeichnet f (E) die Fermi-Funktion, U die zwischen Probe und Spitze angelegte
Spannung, Mµν das Tunnel-Matrix-Element zwischen den Zuständen Ψµ der Probe und
den Zuständen Ψν der Oberfläche. Eµ beschreibt die Energie des ungestörten Zustandes
Ψµ. Für den Fall geringer Spannungen (∼ 10 meV bei Metall-Metall-Tunnelprozessen)
und unter der Annahme von Temperaturen im Zimmertemperaturbereich kann man die
Fermi-Funktion durch eine Stufenfunktion nähern. Gleichung (4.51) vereinfacht sich zu:
I = 2π
� e2U �
|Mµν| 2 δ (Eν − EF ) · δ (Eµ − EF ) (4.52)
µν
Die Schwierigkeit besteht nun darin, das Matrixelement Mµµ zu berechnen. Dessen Be-
tragsquadrat ist übrigens ein Maß für den in Gleichung (4.36) auf Seite 50 eingeführten
Transmissionskoeffizienten. Für den Grenzfall, in dem man die Spitze durch eine punkt-
förmige Spitze am Ort r0 ersetzen kann, wird die Probe von den quantenmechanischen
Eigenschaften der Spitze nicht beeinflusst. Dieser Fall stellt das bestmögliche Auflösungs-
vermögen dar. Gleichung (4.52) vereinfacht sich zu:
I ∝ |Ψν (r0) | 2 · δ (Eν − EF ) = ρS(r0, EF ) (4.53)
Man kann somit erkennen, dass der Tunnelstrom zur lokalen Zustandsdichte der Oberfläche
(Sample) ρS am Fermi-Niveau am Ort der Spitze r0 proportional ist. Da eine punktförmi-
ge Spitze kein sehr realistisches Modell darstellt, muss man Gleichung (4.52) allgemeiner
behandeln. Nach Bardeen gilt:
Mµν = �2
�
2m
�
dS · Ψ ∗ µ � ∇Ψν − Ψν � ∇Ψ ∗ �
µ
(4.54)
wobei das Integral über eine beliebige Fläche, die komplett innerhalb der Barriere, die
Spitze und Probe voneinander trennt, liegt.
Nimmt man eine kugelförmige Spitze (siehe Abbildung 4.18 auf der nächsten Seite), mit
s-artigen elektronischen Zuständen an, so folgt nach [Ter85]:
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