Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

T (E) ≈ exp
⎡
⎣− 2
�a
�
0
4.2 Der Tunneleffekt
⎤
�
2m (Epot (ai) − E) da⎦
(4.50)
Man muss beachten, dass es sich hierbei insgesamt um eine sehr grobe Näherung handelt
und auch die Voraussetzungen des Übergangs ∆a → da mathematisch genauer betrachtet
werden müssten. Insbesondere ist dieser Übergang für Rechtecke in der Nähe der Um-
kehrpunkte fragwürdig. Trotzdem liefert Gleichung (4.50) ein qualitativ korrektes Bild
des Tunnelprozesses. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der WKB-Methode (Wentzel-
Kramer-Brillouin) mathematisch fundierter begründen. Aufgrund einer sehr hohen Kom-
plexität sei hierzu aber nur auf das Buch von Wolfgang Nolting [Nol06, Kapitel 7] und
das Vorlesungsskript von Reinhard Schlickeiser von der Ruhruniversität Bochum [Sch05,
Kapitel 4] verwiesen.
Anmerkungen
Folgendes sei noch anzumerken:
• In diesem Abschnitt wurden die Elektronen als untereinander nicht wechselwirkende
und freie Teilchen beschrieben [Kub02].
• Das Tunneln in Oberflächenzuständen, die in z-Richtung lokalisiert sind, kann nicht
erklärt werden.
• Es lässt sich kein Zusammenhang zwischen dem Tunnelstrom und der Zustandsdichte
ρS(E) der Oberfläche herleiten.
• Im Modell für freie Elektronen hängt der Transmissionskoeffizient T nur von Ez ab.
Betrachtet man den dreidimensionalen Fall, erhält man das gleiche Ergebnis [Sim88].
4.2.3 Störungstheoretischer Ansatz
Bardeen veröffentlichte 1961 eine realistische Beschreibung des Tunnelstroms unter Be-
rücksichtigung der dreidimensionalen Geometrie von Spitze und Probe [Bar61]. Hierbei
betrachtet man die beiden Elektroden als zwei schwach wechselwirkende Systeme. Der
Tunnelstrom errechnet sich dann aus der Überlappung der Wellenfunktionen innerhalb der
Potentialbarriere mit Hilfe zeitabhängiger Störungstheorie [Kub02].
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