Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

Bemerkung
4.2 Der Tunneleffekt
Es soll nochmals der Transmissionskoeffizient in Abhängigkeit der Barrierenhöhe E0 wie
in Abbildung 4.11 auf der vorherigen Seite betrachtet werden. Hierbei wählt man jedoch
der Anschaulichkeit halber eine Barrierenbreite a von 2, 3 nm und erhöht sukzessive die
Barrierenhöhe von E0 = 0 eV bis E0 = 7, 1 eV. Für E0 < 7, 03 eV erhält man einen
Potentialtopf. Anschaulich ist dies in Abbildung 4.13 auf der nächsten Seite verdeutlicht.
Neben dem Transmissionskoeffizienten kann man auch den Reflexionskoeffizienten betrach-
ten. Dieser ist genau 1 - T (E) und kann außerdem analog zum Ansatz des Transmissions-
koeffizientens (vergleiche Gleichung (4.33) auf Seite 48) aus dem Verhältnis des Amplitu-
denquadrats der reflektierten zur einfallenden Welle errechnet werden. Aufgrund weiterer
ausführlicher Rechnungen sei an dieser Stelle darauf verzichtet.
Im Falle E0 < 7, 03 eV kann man erkennen, dass der Transmissionskoeffizient ein oszillato-
risches Verhalten zeigt. Bei bestimmten Energien wird dieser genau 1. Infolgedessen muss
der Reflexionskoeffizient 0 werden. Dazu betrachtet man Gleichung (4.35) auf Seite 49. Für
E0 < E, was genau bei E0 < 7, 03 eV der Fall ist, wird das Argument des sinh komplex.
Für diesen Fall gilt sinh(ix) = i sin(x) bzw. sinh 2 (ix) = − sin 2 (x). Bekanntermaßen liegen
die Nullstellen des sin(x) bei x = n·π mit n ∈ Z. Damit der Transmissionskoeffizient genau
1 wird, muss der Term sinh 2 (αa) = 0 werden. Also:
Stellt man diese Gleichung um, so erhält man:
�
2m(E − E0)
α · a =
· a
�
! = n · π (4.37)
n2π2�2 = E − E0n
2ma2 ⇐⇒ E0n = E − n2π2�2 2ma 2
(4.38)
Dies sind genau die Energien, bei denen eine Resonanz im Potentialtopf entsteht. In diesem
Fall wird der Topf komplett durchlässig. Anschaulich kann man sich die Entstehung der
Resonanzen durch destruktive Interferenz der einlaufenden Welle mit der am Ende des
Potentailtopfs zurückreflektierten Welle erklären.
Betrachtet man allgemein die Beschreibung einer Wellenfunktion, so kann man den oszil-
lierenden Anteil mit sin(kx) mit dem Wellenvektor k beschreiben. Mit der Definition des
Wellenvektors k = 2π
λ
folgt, dass die Maxima für Transmission genau dann zu finden sind,
wenn sich im Potentialtopf eine stehende Welle ausbildet:
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