Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

A − B = 1 � � −αa αa
ik e + e
2ik
� + α � e −αa − e αa�� A ′ e ika
�
= cosh (αa) − α
�
sinh (αa) A
ik ′ e ika
4.2 Der Tunneleffekt
(4.30)
Setzt man die Ausdrücke für C (siehe Gleichung (4.28) auf der vorherigen Seite) und D
(siehe Gleichung (4.29) auf der vorherigen Seite) in Gleichung I ein, so folgt:
A + B = 1
2α e−αa (α + ik) A ′ e ika + 1
2α eαa (α − ik) A ′ e ika
� � −αa αa ′ ika
e (α + ik) + e (α − ik) A e
= 1
2α
= 1 � � −αa αa
α e + e
2α
� + ik � e −αa − e αa�� A ′ e ika
�
= cosh (αa) − ik
�
sinh (αa) A
α ′ e ika
(4.31)
Addiert man nun das Ergebnis für A − B ( Gleichung (4.30)) mit dem Ergebnis für A + B
( Gleichung (4.31)), so erhält man:
2A = A ′ e ika
��
cosh (αa) − ik
= A ′ e ika
�
2 cosh (αa) −
α
� ik
α
�
sinh (αa)
+ α
ik
�
+
= A ′ e ika
�
2 cosh (αa) + k2 − α2 sinh (αa)
iαk
cosh (αa) − α
ik
� �
sinh (αa)
�
�
sinh (αa)
�
Damit folgt nun als Beziehung zwischen der Amplitude A der einlaufenden Welle und der
Amplitude A ′ der transmittierten Welle:
2ikαA = A ′ e ika � 2αik cosh (αa) + � k 2 − α 2� sinh (αa) �
(4.32)
Mit dem Zusammenhang zwischen A, B, C, D sowie A ′ kann man den Realteil der Wel-
lenfunktionen ΨI, ΨII, ΨIII in Abhängigkeit von x in Abbildung 4.8 auf der nächsten Seite
auftragen.
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