Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

4 Allgemeines zum Rastertunnelmikroskop
I. ΨI (0) = ΨII (0) =⇒ A · e 0 + B · e 0 = C · e 0 + D · e 0
II. ΨII (a) = ΨIII (a) =⇒ C · e αa + D · e −αa = A ′ · e ika
III. Ψ ′ I (0) = Ψ′ II (0) =⇒ ik · A · e0 − ik · B · e 0 = α · C · e 0 − α · D · e 0
IV. Ψ ′ II (a) = Ψ′ III (a) =⇒ α · C · eαa − α · D · e −αa = ik · A ′ · e ika
Also vereinfacht noch einmal die folgenden Bedingungen:
I. A + B = C + D
II. C · e αa + D · e −αa = A ′ e ika
III. A − B = α
ik (C − D)
IV. C · eαa − D · e−αa = ik
α A′ eika Addiert man nun Gleichung II mit Gleichung IV, so erhält man:
2Ce αa =
� ik
α
�
+ 1 A ′ e ika
⇐⇒ 2αCe αa = (ik + α) A ′ e ika
=⇒ C = 1
2α e−αa (α + ik) A ′ e ika
Subtrahiert man Gleichung IV von Gleichung II, so folgt:
2αDe −αa = (α − ik) A ′ e ika
=⇒ D = 1
2α eαa (α − ik) A ′ e ika
(4.28)
(4.29)
Setzt man die errechneten Ausdrücke für C (Gleichung (4.28)) und D (Gleichung (4.29))
in Gleichung III ein, so ergibt sich:
ik (A − B) = 1 � � −αa αa ′ ika
e (α + ik) − e (α − ik) A e
2
Stellt man etwas um, so erhält man mit den Definitionen des Sinushyperbolicus 1 und des
Kosinushyperbolicus 2 :
46
� 1 1 x −x
sinh (x) = e − e �
2 cosh (x) = 1
2
2 � x −x
e + e �