Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

Abschnitt II: EpotIII �= 0
4.2 Der Tunneleffekt
Im Abschnitt II ist nun Epot II = E0 �= 0, da das Teilchen hier in ein Potential φ0 > 0
einlaufen soll. Dabei nimmt die potentielle Energie des Teilchens ∆Epot um E0 zu, da
Epot I = Epot III = 0 gesetzt wurde. Für die Schrödingergleichung in diesem Bereich gilt
dann, wenn man Gleichung (4.18) auf Seite 43 umstellt:
Substituiert man α := � 2m (E0 − E)/� 1 , so erhält man:
∂2ΨII 2m
+
∂x2 �2 (E − E0) ΨII = 0 (4.23)
∂ 2 ΨII
∂x 2 − α2 ΨII = 0 (4.24)
Es ergibt sich folgende Lösungsfunktion für diese Differentialgleichung:
Abschnitt III: EpotIII = 0
ΨII = C · e +αx + D · e −αx
(4.25)
Analog zum Abschnitt I gilt auch für Abschnitt III, da hier ebenfalls Epot III = 0 ist, der
folgende Ansatz:
ΨIII(x) = A ′ · e ikx + B ′ · e −ikx
(4.26)
Da es keine weitere Barriere für x > a gibt, ist keine Stelle vorhanden, an der die in
+x−Richtung ausbreitende Welle zurückreflektiert werden kann. Deswegen muss B ′ = 0
sein. Also gilt:
Auswertung
ΨIII(x) = A ′ · e ikx
Aufgrund von Stetigkeits- und Randbedingungen ergeben sich folgende Forderungen:
1 Man beachte, dass α reell ist, da E0 > E
(4.27)
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