Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

4.2 Der Tunneleffekt
Wissenschaftsjournal von Vilya N. Lutskii stattgefunden hatte. Dies blieb allerdings
zunächst von der westlichen Welt unbemerkt [Bre09].
Im folgenden Kapitel soll der Tunneleffekt quantenmechanisch erklärt werden und die
Wahrscheinlichkeit angegeben werden, dass ein Teilchen durch eine Potentialbarriere be-
liebiger Form tunnelt. Schließlich soll noch ein Zusammenhang zwischen Tunnelstrom und
dem Abstand der Spitze zur Probe bei einer bestimmten Spannung angegeben werden.
4.2.1 Das Tunneln von Elektronen durch eine Potentialbarriere
Um die Tunnelwahrscheinlichkeit eines Elektrons durch einen Potentialwall zu bestimmen,
sucht man eine Lösung der stationären Schrödingergleichung. Aus Übersichtlichkeits- und
Verständnisgründen geht man hier von eindimensionalen Problemen aus. Damit kann man
als Ansatz die eindimensionale stationäre Schrödingergleichung 1 verwenden:
−� 2
2m
∂ 2 Ψ
∂x 2 + EpotΨ = EΨ (4.18)
Um eine mathematisch exakte Beschreibung des Tunnelprozesses durch eine Potentialbar-
riere zu erlangen, unterteilt man das x-Gebiet in drei Abschnitte. Abschnitt I bezeichnet
den Bereich x < 0, Abschnitt II den Bereich zwischen 0 � x � a sowie Abschnitt III für
x > a, wobei a die Breite der Potentialbarriere ist. Man wählt nun den Energienullpunkt so,
dass Epot = 0 für x < 0 und x > a. Somit bewegt sich das Teilchen, wegen F = −grad Epot
in den Abschnitten I und III kräftefrei. Grafisch ist dies in Abbildung 4.7 auf der nächsten
Seite dargestellt.
1 Für den dreidimensionalen Fall ist die zweifache partielle Ableitung nach x in der eindimensionalen
Schrödingergleichung durch den ∆-Operator zu ersetzen.
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