Nanotechnologie in der Schule - Prof. Dr. Thomas Wilhelm

4.1.2 Das Auflösungsvermögen
Betrachtung selbstleuchtender Objekte
4.1 Historisches
1874 stellte Hermann von Helmholtz seine Theorie zur Berechnung des Auflösungsver-
mögens eines Mikroskops vor. Sie setzt voraus, dass die zu betrachtenden Objekte selbst
leuchten. Betrachtet man mit einem Mikroskop einen kleinen Lichtpunkt, so sieht man
in Wirklichkeit „keinen idealen Lichtpunkt, sondern ein kleines Beugungsscheibchen endli-
cher Ausdehnung, das noch von einer Reihe dunkler und heller Ringe umgeben ist“ [Nie04,
Seite 369]. Dies lässt sich aufgrund der Beugung von Lichtwellen an der Lochblende des
Objektives erklären. Bezeichnet man den Durchmesser der Blende mit D = 2R und die
Brennweite des Objektives mit f, so kann eine Intensitätsverteilung der gebeugten Intensi-
tät I(γ) in Abhängigkeit von der auf die Lochblende einfallenden Intensität I0 angegeben
werden [Ped05, Seite 472]:
I(γ) = I0
Hierbei ist γ der sog. Beugungsparameter:
� �2 2J1(γ)
γ
(4.1)
γ = 1
kD sin α (4.2)
2
mit k = |k| = ω/c = 2π/λ der Betrag des Wellenvektors des sich ausbreitenden elektrischen
Feldes des Lichtes und α der Winkel zwischen der optischen Achse und dem Beobachtungs-
punkt. J1(γ) ist die Bessel-Funktion erster Ordnung. Für die Besselfunktion ν-ter Ordnung
gilt allgemein [Nol06, Seite 228]:
Jν(γ) =
�
γ
�ν �∞
2
k=0
wobei Γ die Gammafuktion bezeichnet:
� ∞
Γ(ν + 1) =
Für die Besselfunktion erster Ordnung gilt nun:
J1(γ) = γ
2
∞�
k=0
(−1) k
k!Γ (k + ν + 1)
0
dt e −t t ν
(−1) k
k!Γ (k + 2)
�
γ
�2k 2
�
γ
�2k 2
(4.3)
(4.4)
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