Praktikum II - hanno-rein.de
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Hanno Rein<br />
praktikum2@<strong>hanno</strong>-<strong>rein</strong>.<strong>de</strong><br />
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong><br />
PT: Potentialtrog<br />
Betreuer: Wal<strong>de</strong>mar Kaiser<br />
Florian Jessen<br />
florian.jessen@stu<strong>de</strong>nt.uni-tuebingen.<strong>de</strong><br />
19. April 2004<br />
Ma<strong>de</strong> with L ATEX and Gnuplot
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 1 von 12<br />
1 Vorwort<br />
Der Verlauf von Feldlinien zwischen verschie<strong>de</strong>nen Ladungsträgern ist häufig in <strong>de</strong>r Praxis von großer<br />
Be<strong>de</strong>utung. Allerdings kann <strong>de</strong>r Verlauf nur in einzelnen Spezialfällen analytisch beschrieben wer<strong>de</strong>n. In<br />
diesem Versuch wird <strong>de</strong>r Feldlinienverlauf experimentell bestimmt.<br />
2 Physikalische Grundlagen<br />
2.1 Messprinzip<br />
Das Elektrolyt (in unserem Fall Leitungswasser) dient dazu, dass das Potential als Spannungsabfall zu<br />
einer Elektro<strong>de</strong> an einem beliebigen Punkt in <strong>de</strong>r Ebene gemessen wer<strong>de</strong>n kann. Da durch ein direktes<br />
Spannungsmessgerät ein Strom fließen wür<strong>de</strong>, <strong>de</strong>r selbst <strong>de</strong>n Potentialverlauf verän<strong>de</strong>rt, verwen<strong>de</strong>t<br />
man zur Messung eine Wheatstonesche Brückenschaltung. Mit Hilfe eines Spannungsteilers legt man die<br />
Messson<strong>de</strong> auf ein Potential Umess. Tastet man nun mit <strong>de</strong>r Messson<strong>de</strong> <strong>de</strong>n Trog ab, und misst <strong>de</strong>n<br />
Strom, <strong>de</strong>r über die Messson<strong>de</strong> fließt, so stellt man fest, dass es auf bestimmten Linien (Äquipotentiallinien)<br />
ein Minimum <strong>de</strong>s Stroms gibt. Es fließt also praktisch kein Strom, und somit hat <strong>de</strong>r untersuchte<br />
Punkt das Potential Umess. Mit Hilfe dieser Äquipotentiallinien kann man dann auch auf die Feldlinien<br />
zurückschließen.<br />
2.2 Elektrisches Potential<br />
Das elektrische Feld E ist ein konservatives Kraftfeld. Man kann also zu je<strong>de</strong>m Punkt P im Raum eine<br />
Funktion φ <strong>de</strong>finieren, so dass gilt:<br />
E = −∇φ<br />
� ∞<br />
(1)<br />
φ(P ) = E ds (2)<br />
P<br />
Zur Normierung wird P (∞) = 0 gesetzt. Die Differenz zweier Potentiale wird als elektrische Spannung<br />
bezeichnet.<br />
2.3 Nabla Operator<br />
Der Nabla Differentialoperator ist <strong>de</strong>finiert als<br />
⎛ ⎞<br />
�∇ =<br />
⎝<br />
∂<br />
∂x<br />
∂<br />
∂y<br />
∂<br />
∂z<br />
⎠ . (3)<br />
• Wen<strong>de</strong>t man ihn auf eine skalare Funktion f(x, y, z) an, so ist � ∇f <strong>de</strong>r Gradient <strong>de</strong>r Funktion:<br />
�∇f = grad � f (4)<br />
Der Gradient zeigt immer in die Richtung <strong>de</strong>r stärksten Än<strong>de</strong>rung. Der Gradient <strong>de</strong>s Schwerefel<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong>r Er<strong>de</strong> zeigt beispielsweise Richtung Erdmittelpunkt.<br />
• Multipliziert man <strong>de</strong>n Nabla Operator (über das Skalarprodukt) mit einem Vektorfeld � f(x, y, z), so<br />
erhält man die Divergenz <strong>de</strong>s Fel<strong>de</strong>s:<br />
�∇ · � f = div � f (5)<br />
Das Ergebnis ist ein Skalar und beschreibt anschaulich die Anzahl <strong>de</strong>r Senken und Quellen in<br />
einem infinitesimal kleinen Volumen. Da beispielsweise die Feldlinien beim Magnetfeld � B immer<br />
geschlossen sind, gilt hier:<br />
div � B = 0 (6)<br />
Für das elektrische Feld E gilt dies natürlich nicht. Hier ist<br />
div � E = ϱ<br />
ɛ0<br />
. (7)
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 2 von 12<br />
• Es gibt neben <strong>de</strong>m Skalarprodukt noch die Möglichkeit <strong>de</strong>n Nabla Operator über das Kreuzprodukt<br />
an ein Vektorfeld � f anzuwen<strong>de</strong>n. Man erhält die Rotation von � f:<br />
�∇ × � f = rot � f (8)<br />
Die Rotation beschreibt anschaulich das Vorhan<strong>de</strong>nsein von Wirbeln in einem Vektorfeld. Das<br />
statische elektrische Feld � E hat keine Wirbel. Es ist also:<br />
rot � E = 0 (9)<br />
• Wen<strong>de</strong>t man <strong>de</strong>n Nabla Operator zweimal hinte<strong>rein</strong>an<strong>de</strong>r an, so erhält man <strong>de</strong>n sogenannten<br />
Laplace- o<strong>de</strong>r Deltaoperator � ∆:<br />
�∇ 2 = � ∆ (10)<br />
Dieser fin<strong>de</strong>t man beispielsweise in <strong>de</strong>r Laplace-Gleichung wie<strong>de</strong>r.<br />
2.4 Satz von Gauss<br />
Ist � f(x, y, z) eine vektorielle Funktion, so gilt bei einer geschlossenen Fläche S die das Volumen VS<br />
umschließt:<br />
�<br />
�∇ · � �<br />
f dV = �f d � A (11)<br />
VS<br />
2.5 Laplace Gleichung<br />
S<br />
Für das elektrische Potential gilt Gleichung (1). Mit Hilfe <strong>de</strong>s Gaussschen Satzes erhält man:<br />
�<br />
�E d � �<br />
A = �∇ · � E dV (12)<br />
S<br />
VS<br />
Nach Gleichung (7) gilt:<br />
�<br />
�∇ · � E dV =<br />
�<br />
VS<br />
VS<br />
�∇ · � E − ϱ<br />
ɛ0<br />
�<br />
ϱ<br />
VS<br />
ɛ0<br />
dV (13)<br />
dV = 0 (14)<br />
Da es sich um ein Volumenintegral über eine skalare Größe han<strong>de</strong>lt, muss auch gelten:<br />
�∇ · � E − ϱ<br />
ɛ0<br />
�∇ · � E = ϱ<br />
= 0 (15)<br />
ɛ0<br />
�∇ · (− � ∇ · φ) = ϱ<br />
ɛ0<br />
Mit Hilfe <strong>de</strong>s Laplace Operators erhält man schließlich die Poisson Gleichung:<br />
−∆φ = ϱ<br />
ɛ0<br />
Im Vakuum, und in gewisser Näherung auch beim vorliegen<strong>de</strong>n Versuch im Trog zwischen <strong>de</strong>n Elektro<strong>de</strong>n,<br />
gibt es keine Raumladungen (φ = ϱ). Somit ve<strong>rein</strong>facht sich die Poisson Gleichung zur Laplace Gleichung:<br />
−∆φ = 0 (19)<br />
(16)<br />
(17)<br />
(18)
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 3 von 12<br />
3 Auswertung<br />
3.1 Anordnung 1<br />
Abbildung 1: 3D-Potentialverlauf mit Äquipotentiallinien beim Quadrupol<br />
Für das Schaubild wur<strong>de</strong>n die Messwerte digitalisiert und mit Hilfe einer Griddingfunktion zu einem<br />
kontinuierlichen Netz interpoliert. Mit Hilfe dieses Netzes und einer Projektion in die Ebene kann auch<br />
<strong>de</strong>r Verlauf <strong>de</strong>r Äquipotentiallinien dargestellt wer<strong>de</strong>n.
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 4 von 12<br />
Abbildung 2: Äquipotentiallinien beim Quadrupol<br />
Mit Hilfe <strong>de</strong>r Beziehung � E = � ∇φ kann aus <strong>de</strong>m Potentialverlauf auf das elektrische Vektorfeld geschlossen<br />
wer<strong>de</strong>n. Hierzu wur<strong>de</strong>n numerisch die Differenzenquotienten für je<strong>de</strong> Raumrichtung (in unserem Fall 2)<br />
zwischen 6 Gitterpunkten <strong>de</strong>r Potentialmatrix berechnet. Der Quellco<strong>de</strong> <strong>de</strong>s Programms ist im Anhang<br />
aufgeführt. Für die Anordnung 1 erhält man folgen<strong>de</strong>s � E-Vektorfeld, wobei die Länge <strong>de</strong>r Vektoren<br />
proportional zur Stärke <strong>de</strong>s � E-Fel<strong>de</strong>s sind:<br />
Abbildung 3: � E-Feldvektoren beim Quadrupol<br />
Die Messwerte übertreffen unsere erwartete Genauigkeit.
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 5 von 12<br />
3.2 Anordnung 2<br />
Abbildung 4: 3D-Potentialverlauf mit Äquipotentiallinien bei Elektro<strong>de</strong>nanordnung 2
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 6 von 12<br />
Abbildung 5: Äquipotentiallinien bei Elektro<strong>de</strong>nanordnung 2<br />
Abbildung 6: � E-Feldvektoren bei Elektro<strong>de</strong>nanordnung 2<br />
Die Stufenbildung beim Potentialverlauf ergibt sich dadurch, dass nur Äquipotentiallinien vermessen wur<strong>de</strong>n<br />
und somit Zwischenwerte interpoliert wer<strong>de</strong>n mussten. Trotz<strong>de</strong>m zeigen die Messwerte <strong>de</strong>n erwarteten<br />
Verlauf <strong>de</strong>s Fel<strong>de</strong>s.
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 7 von 12<br />
3.3 Dipol<br />
Unsere Messung, sowie die Theorie ergab folgen<strong>de</strong>n Potentialverlauf:<br />
Abbildung 7: Potentialverlauf Dipol<br />
Die Abweichungen von <strong>de</strong>n theoretischen Werten lassen sich erklären durch:<br />
• ungenaue Messung<br />
• Messung nicht genau auf <strong>de</strong>r Verbindungslinie<br />
• Annäherung we<strong>de</strong>r durch Kugel noch durch Zylin<strong>de</strong>r i<strong>de</strong>al<br />
• Störeffekte an Grenzflächen wie Wand, Wasseroberfläche<br />
• Störeffekte durch Zuleitungen<br />
• Elektrolyt ist ein Dielektrikum (Wasser ist ein Dipol)<br />
• Kriechströme im Elektrolyt verän<strong>de</strong>rn das Feld<br />
• möglicherweise weitere Störungen durch die verwen<strong>de</strong>te Wechselspannung
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 8 von 12<br />
Anhang<br />
Sourceco<strong>de</strong> E-Feld-Berechnung<br />
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 9 von 12<br />
}<br />
$cal2 *= 1/(2/ sqrt (2)+1);<br />
$efeld [$x[$i ]][ $y[$j ]][ "y"] = -( $cal1 - $cal2 )/<br />
($y[$i +1] - $y[$i -1]);<br />
# echo $efeld [$x[$i ]][ $y[$j ]][" x "]." < br >";<br />
}<br />
echo " electric field calculation done : $anzahl vectors ad<strong>de</strong>d !";<br />
echo " start writing to file : $filename ... ";<br />
$out = fopen ( $filename ,"w");<br />
for ($i =1; $i < $max_x -1; $i ++){<br />
for ($j =1; $j < $max_y -1; $j ++){<br />
fwrite ($out , $x[$i ]."\t".$y[$j ]."\t".<br />
$efeld [$x[$i ]][ $y[$j ]][ "x"].<br />
"\t". $efeld [$x[$i ]][ $y[$j ]][ "y"]."\n");<br />
# echo $x[$i ]."\ t". $y[$j ]."\ t".<br />
$efeld [$x[$i ]][ $y[$j ]][ "x"]."\t".<br />
$efeld [$x[$i ]][ $y[$j ]][ "y"]."\n";<br />
}<br />
}<br />
fclose ( $out );<br />
echo " file written !";<br />
?><br />
exiting ...
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 10 von 12<br />
Orginalmessdaten Anordnung 1
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 11 von 12<br />
Orginalmessdaten Anordnung 2
<strong>Praktikum</strong> <strong>II</strong> PT: Potentialtrog Seite 12 von 12<br />
Orginalmessdaten Anordnung 3