Grundlagen der Elektrotechnik 2 (GET 2) - Allgemeine und ...
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<strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong> 2<br />
(<strong>GET</strong> 2)<br />
Daniel Erni<br />
(BA 342, daniel.erni@uni-duisburg-essen.de)<br />
Norbert Koster<br />
(BA 337, norbert.koster@uni-duisburg-essen.de)<br />
Markus Pell<br />
(BA 302, markus.pell@uni-duisburg-essen.de)<br />
Lehrstuhl für <strong>Allgemeine</strong> <strong>und</strong> Theoretische <strong>Elektrotechnik</strong> (ATE)<br />
Abteilung für <strong>Elektrotechnik</strong> <strong>und</strong> Informationstechnik<br />
Fakultät für Ingenieurwissenschaften<br />
Universität Duisburg-Essen<br />
Inhalt<br />
1. Einführung<br />
2. Bauelemente <strong>der</strong><br />
<strong>Elektrotechnik</strong><br />
3. Elektrische Netzwerke<br />
4. Wechselspannungen<br />
<strong>und</strong> Wechselströme<br />
5. Komplexe<br />
Wechselstromrechnung<br />
6. Netzwerkanalyse<br />
7. Netzwerksätze<br />
-1-<br />
-2-<br />
1
Einführung I<br />
Ingo Wolff<br />
Verlagsbuchhandlung<br />
Dr. Wolff, 2003<br />
401 Seiten, � 35.50<br />
Einführung II<br />
Ingo Wolff<br />
Verlagsbuchhandlung<br />
Dr. Wolff, 2005<br />
373 Seiten, � 35.50<br />
Vorlesungsunterlagen<br />
• Lehrbuch <strong>GET</strong> 1:<br />
Skriptum für das Kapitel<br />
«Bauelemente <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong>»<br />
• Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung:<br />
� Bildmaterial zum Buch<br />
� Ergänzende Manuskripte<br />
� Aufgabenstellungen<br />
Alles via Moodle-Server:<br />
http://moodle.uni-duisburg-essen.de/<br />
Vorlesungsunterlagen<br />
• Lehrbuch <strong>GET</strong> 2:<br />
Nebenstehendes Buch von Ingo Wolff wird als<br />
Skriptum zur Vorlesung verwendet.<br />
• Ergänzende Lehrbücher:<br />
H, Frohne, K.-H. Löcherer, H. Müller,<br />
«Moeller <strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong>»<br />
Teubner, 2005, 551 Seiten, � 38.90<br />
Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger,<br />
«Theoretische <strong>Elektrotechnik</strong> – eine Einführung»<br />
Springer Verlag, 2005, 745 Seiten, � 44.95<br />
Eugen Philippow, W.-J. Becker, W. Hofmann,<br />
«<strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong>»<br />
Verlag Technik, (10. Aufl.), 2000,<br />
800 Seiten, � 74.20<br />
-3-<br />
-4-<br />
2
Einführung III<br />
Einführung IV<br />
Verschiedenes<br />
• Vorlesungsbetrieb:<br />
Vorlesungsunterlagen<br />
• Alternative Lehrbücher:<br />
Manfred Albach,<br />
«<strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong> 1 –<br />
Erfahrungssätze, Bauelemente,<br />
Gleichstromschaltungen»<br />
Pearson Studium, 2005, 304 Seiten, � 29.95<br />
Manfred Albach,<br />
«<strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong> 2 –<br />
Periodische <strong>und</strong> nichtperiodische<br />
Signalformen»<br />
Pearson Studium, 2005, 272 Seiten, � 29.95<br />
L.-P. Schmidt, G. Schaller, S. Martius,<br />
«<strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong> 3 –<br />
Netzwerke»<br />
Pearson Studium, 2006, 256 Seiten, � 29.95<br />
Übungen<br />
Seminare<br />
Tutorien<br />
Skript (Lehrbücher <strong>GET</strong> 1 & <strong>GET</strong> 2, I. Wolff)<br />
Vorlesungsfolien (PDF-Files via Moodle herunterladen)<br />
• Nomenklatur:<br />
Referenzen auf Folien <strong>der</strong> Vorlesung<br />
«<strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong> 1» (<strong>GET</strong> 1)<br />
erfolgen gemäss <strong>der</strong> folgenden Schreibweise<br />
Folie 1-76, Folie 1-228, Folien 1-89-91.<br />
• Bitte:<br />
Lesen Sie auch die zugehörige Literatur (Skript <strong>und</strong> Bücher) !<br />
-5-<br />
-6-<br />
3
Einführung V<br />
Worum es geht<br />
(A) Elektromagnetische Feldtheorie (B) Stromlehre<br />
Elektrische <strong>und</strong> magnetische<br />
Fel<strong>der</strong>: E, D, B, H.<br />
Das elektrische Strömungsfeld:<br />
J.<br />
Bauelemente:<br />
R, C, L, M.<br />
«Übersetzung»<br />
<strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong> <strong>GET</strong> 2<br />
[Buch <strong>GET</strong> 1: Seiten 258-401]<br />
4. Bauelemente<br />
• Bezugspfeile<br />
• Bezugspfeile <strong>und</strong> Netzwerke<br />
• Elektrische Quellen<br />
• Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand<br />
• Der Kondensator<br />
• Die Spule<br />
• Gekoppelte Spulen<br />
• Der Transformator<br />
Netzwerke <strong>und</strong> Schaltungen:<br />
u, i.<br />
• Gleichstrom/-spannung<br />
• Wechselstrom/-spannung<br />
-7-<br />
-8-<br />
4
Voraussetzungen I<br />
Energetische Verhältnisse in den Bauelementen<br />
Aktive / passive elektrische Bauelemente:<br />
Voraussetzungen II<br />
• Passive Bauelemente:<br />
• Elektrische Energie wird in Wärme umgewandelt<br />
(Verbraucher), gespeichert o<strong>der</strong><br />
übertragen.<br />
• Ohne Anlegen einer elektrischen Spannung<br />
fliesst auch kein Strom.<br />
• Wichtige passive Bauelemente: Wi<strong>der</strong>stand,<br />
Kondensator, Spule, Transformator.<br />
• Aktive Bauelemente:<br />
Grössenverhältnisse <strong>der</strong> Bauelemente<br />
Zeitskalen <strong>der</strong> Anregung elektrischer Bauelemente:<br />
Elektromagnetische<br />
Welle (Anregung)<br />
Ein Bauelement heisst «konzentriertes Bauelement», falls dessen<br />
charakteristische Abmessung � viel kleiner als die Wellenlänge �<br />
<strong>der</strong> anregenden Grösse ist. Die räumliche Variation <strong>der</strong> elektrischen<br />
Grössen entlang des Bauelements ist vernachlässigbar.<br />
Netzwerke bestehen aus konzentrierten Bauelementen.<br />
• Es fliesst ein Strom auch ohne Anlegen einer<br />
elektrischen Spannung.<br />
• Elektrische Quellen (o<strong>der</strong> genauer: elektrische<br />
Energiewandler, da es keine<br />
«Energiequellen» im eigentlichen Sinn gibt).<br />
� � �<br />
20 = c 0<br />
20� f<br />
-9-<br />
-10-<br />
5
Voraussetzungen III<br />
Idealisierung von Bauelementen<br />
Netzwerkelemente:<br />
Klemme<br />
(2) Netzwerkanalyse:<br />
Netzwerkelement<br />
i<br />
u<br />
Klemme<br />
Netzwerkelement Mathematisches Modell<br />
Elektrisches<br />
Netzwerk<br />
Bezugspfeile I<br />
Gleichungssystem<br />
Bezugspfeil <strong>der</strong> elektrischen Spannung<br />
�<br />
1 2<br />
�<br />
E<br />
2<br />
�<br />
u = � E�d � s<br />
1<br />
d� s<br />
a) u12 > 0<br />
• Realen elektrischen Bauelementen<br />
werden Idealisierungen zugeordnet:<br />
Netzwerkelemente.<br />
• Netzwerkelemente sind mathematische<br />
Modelle zur Beschreibung<br />
<strong>der</strong> Haupteigenschaften von<br />
elektrischen Bauelementen.<br />
• Netzwerkelemente (Modelle)<br />
werden mittels (Schalt-) Symbol<br />
gekennzeichnet.<br />
• Eine Schaltung realer Bauelemente<br />
idealisiert sich zu einem Schaltplan<br />
von Netzwerkelementen.<br />
• Ein solcher Schaltplan heisst<br />
«elektrisches Netzwerk».<br />
�<br />
1 2<br />
�<br />
E<br />
• Bezugspfeil <strong>der</strong> Spannung stets in Richtung des Wegelements.<br />
• u > 0: Die Wegelemente (d.h. <strong>der</strong> Bezugspfeil) zeigen während<br />
<strong>der</strong> Integration grösstenteils in Richtung <strong>der</strong> elektrischen<br />
Feldstärke (Integral ist positiv).<br />
• u < 0: Die Wegelemente sind grösstenteils entgegengesetzt zur<br />
Richtung <strong>der</strong> elektrischen Feldstärke (Integral ist negativ).<br />
d � s<br />
b) u12 < 0<br />
-11-<br />
-12-<br />
6
Bezugspfeile II<br />
Bezugspfeil <strong>der</strong> elektrischen Stromstärke<br />
i<br />
�<br />
J<br />
a) i > 0<br />
i =<br />
�<br />
J � � n�dA<br />
�<br />
��<br />
A<br />
d � F<br />
� n<br />
Bezugspfeile III<br />
a)<br />
� m > 0<br />
� n<br />
d � s<br />
�<br />
n quer<br />
A<br />
i<br />
b)<br />
�<br />
J<br />
� n<br />
i < 0<br />
• Bezugspfeil <strong>der</strong> elektrischen Stromstärke stets in Richtung des<br />
Flächennormalenvektors.<br />
• i > 0: Flächennormalenvektor zeigt in Richtung <strong>der</strong> elektrischen<br />
Stromdichte (Skalarprodukt ist positiv).<br />
• i < 0: Flächennormalenvektor zeigt in die entgegengesetzte<br />
Richtung <strong>der</strong> elektrischen Stromdichte.<br />
Bezugspfeil des magnetischen Flusses<br />
(1) Elektrische Stromstärke <strong>und</strong> magnetische Feldstärke:<br />
��<br />
C<br />
�<br />
H �d � s<br />
=<br />
��<br />
Aquer i > 0<br />
�<br />
H, � B<br />
A<br />
�<br />
J � � n quer �dA quer<br />
b)<br />
� m<br />
< 0<br />
� n<br />
d � s<br />
�<br />
n quer<br />
i > 0<br />
�<br />
H, � B<br />
• Bezugspfeil des Stromes i bestimmt nquer .<br />
• Bezugspfeil des Stromes i ordnet die Rich-<br />
�<br />
tung von ds im Rechtsschraubensinn zu.<br />
� �<br />
• nquer <strong>und</strong> ds bilden Rechtsschraubensystem.<br />
A<br />
�<br />
-13-<br />
-14-<br />
7
Bezugspfeile IV<br />
Bezugspfeil des magnetischen Flusses<br />
(2) Stromstärke, magnetische Feldstärke <strong>und</strong> magnetischer Fluss:<br />
i<br />
i =<br />
��<br />
Aquer Bezugspfeil<br />
����� i > 0 � � J � � n quer > 0<br />
i < 0 � � J � � n quer < 0<br />
�m > 0 � � B� � n > 0<br />
�m < 0 � � B� � n < 0<br />
�<br />
J � � n quer �dA quer<br />
� m<br />
� n quer<br />
=<br />
��<br />
C<br />
�<br />
H �d � s<br />
Rechtsschraubensinn<br />
�������� d � s<br />
i > 0 � � H �d � i < 0<br />
s > 0<br />
� � H �d � s < 0<br />
Bezugspfeil<br />
����� � n ��� � «willkürlich»<br />
B<br />
�<br />
H<br />
«willkürlich»<br />
Bezugspfeile V<br />
� m =<br />
��<br />
A<br />
�<br />
B� � n�dA<br />
Bezugspfeil des magnetischen Flusses<br />
(3) Bezugspfeilordnung beim Induktionsgesetz:<br />
a)<br />
n �<br />
u ind =<br />
��<br />
�A<br />
� m<br />
iind<br />
�<br />
E�d � s<br />
R<br />
= � d� m<br />
dt<br />
uind<br />
i ind = u ind<br />
R<br />
= � d<br />
dt<br />
��<br />
A<br />
b)<br />
n �<br />
�<br />
B� � n�dA<br />
uind<br />
� m<br />
(a) Die Bezugspfeile<br />
<strong>der</strong><br />
induzierten<br />
Stromstärke i ind<br />
<strong>und</strong> des<br />
magnetischen<br />
Flusses � m<br />
bilden ein<br />
Rechtsschraubensystem.<br />
(b) Der Bezugspfeil <strong>der</strong> induzierten<br />
Spannung u ind <strong>und</strong> <strong>der</strong> Bezugspfeil<br />
des magnetischen Flusses � m<br />
bilden ein Rechtsschraubensystem.<br />
-15-<br />
-16-<br />
8
Bezugspfeile VI<br />
Netzwerkelemente <strong>und</strong> Bezugspfeile<br />
(1) Mögliche Zuordnung <strong>der</strong> Bezugspfeile:<br />
Netzwerkelement<br />
i<br />
a)<br />
u<br />
b)<br />
Netzwerkelement<br />
i<br />
c)<br />
u<br />
d)<br />
�<br />
E, � J<br />
Die Richtungen <strong>der</strong> Feldgrössen<br />
werden durch die<br />
Physik vorgegeben.<br />
Bezugspfeile VII<br />
i<br />
Netzwerkelement<br />
u<br />
Netzwerkelement<br />
u, i<br />
Netzwerkelemente <strong>und</strong> Bezugspfeile<br />
(2) Konsequenzen <strong>der</strong> «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:<br />
u = + � E ��<br />
i = + � J �A<br />
u = � � E ��<br />
i = � � J �A<br />
u<br />
i<br />
Die Bezugspfeile <strong>der</strong> elektrischen<br />
Grössen Spannung <strong>und</strong> Strom<br />
können willkürlich gewählt werden.<br />
� � E, � J<br />
u = � � E ��<br />
i = + � J �A<br />
u = + � E ��<br />
i = � � J �A<br />
-17-<br />
-18-<br />
9
Bezugspfeile VIII<br />
Netzwerkelemente <strong>und</strong> Bezugspfeile<br />
(2) Konsequenzen <strong>der</strong> «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:<br />
Wir berücksichtigen den festen, physikalischen Zusammenhang<br />
zwischen den beiden Feldgrössen (Folie 1-134):<br />
a ( )u > 0; i > 0<br />
b ( )u < 0; i > 0<br />
c ( )u < 0; i < 0<br />
d ( )u > 0; i < 0<br />
Bezugspfeile IX<br />
u = + �<br />
�i = +R �i<br />
� �A<br />
u = � �<br />
�i = �R �i<br />
� �A<br />
u = + �<br />
�i = +R �i<br />
� �A<br />
u = � �<br />
�i = �R �i<br />
� �A<br />
Netzwerkelemente <strong>und</strong> Bezugspfeile<br />
(2) Konsequenzen <strong>der</strong> «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:<br />
�<br />
J = � � � E<br />
p = +u �i = R�i 2 = u2<br />
R<br />
p = �u �i = R�i 2 = u2<br />
R<br />
p = +u �i = R�i 2 = u2<br />
R<br />
p = �u �i = R�i 2 = u2<br />
R<br />
• Gleichsinnige Bezugspfeile führen jeweils zur üblichen Schreibweise u = + R·i des<br />
ohm’schen Gesetzes. Bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach u = � R·i.<br />
• Die in Wärme umgesetzte Leistung (Verlustleistung = vom passiven Element aufgenommene<br />
Leistung) ist stets positiv. Dies erfolgt direkt nur bei gleichsinnigen Bezugspfeilen,<br />
bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach das negative Produkt p = � u·i.<br />
• Bei aktiven Elemente, ist die abgegebene Leistung positiv, was direkt nur bei den<br />
entgegengesetzten Bezugspfeilen erfolgt.<br />
(4) Konvention: das Verbraucherbezugspfeilsystem:<br />
u «gleichsinnig» u «gegensinnig»<br />
i i<br />
a) b)<br />
Passives Bauelement Aktives Bauelement<br />
-19-<br />
-20-<br />
10
Elektrische Quellen I<br />
Beispiele elektrischer Quellen<br />
(1) Das Normalelement von Weston:<br />
CdSO 4<br />
Cd<br />
U 0<br />
– +<br />
U 0 = 1.0813 V (Spannungsnormal, i < 1 mA,<br />
bei 20°C, än<strong>der</strong>t wenig mit <strong>der</strong> Temperatur).<br />
CdSO 4<br />
Hg 2 SO 4<br />
Hg<br />
Klemmen<br />
Elektrische Quellen II<br />
Beispiele elektrischer Quellen<br />
(2) Der Blei-Akkumulator:<br />
– +<br />
U 0 PbO 2 � PbSO 4<br />
Chemische<br />
Bindungsenergie<br />
Pb � PbSO 4<br />
i Laden<br />
i Entladen<br />
Elektrische<br />
Energie<br />
• Es gibt keine Energiequellen,<br />
son<strong>der</strong>n nur Energiewandler.<br />
• In einer elektrischen Quelle<br />
werden Ladungen mittels EMK<br />
(«treibende» Kraft nichtelektrischer<br />
Natur, cf. Folie 1-243)<br />
getrennt.<br />
• Elektrochemische EMK: Cadmiumsulfat-Lösung<br />
mit Quecksilber-Anode<br />
(+) <strong>und</strong> Cadmium-<br />
Kathode (–).<br />
• Cd ist unedler als Hg <strong>und</strong> geht<br />
bei <strong>der</strong> Kathode in Lösung. Bei<br />
<strong>der</strong> Anode verbinded sich Cd ++<br />
mit Hg2SO4 <strong>und</strong> bildet dort CdSO4 <strong>und</strong> metallisches Hg.<br />
H 2SO 4 + H 2O<br />
• Gebräuchlichster elektrischer<br />
Energiespeicher<br />
(Automobilindustrie)<br />
• Zwei Bleisulfatelektroden<br />
(PbSO 4) in verdünnter<br />
Schwefelsäure (H 2SO 4).<br />
• Laden:<br />
elektrische � chemische<br />
Energie Bindung<br />
• Entladen:<br />
chemische � elektrische<br />
Bindung Energie<br />
-21-<br />
-22-<br />
11
Elektrische Quellen III<br />
Beispiele elektrischer Quellen<br />
(2) Der Blei-Akkumulator:<br />
� Ladevorgang:<br />
Positive Elektrode (Anode): PbSO 4 + SO 4 -- + 2H2 O � 2(-e) = PbO 2 + 2H 2 SO 4<br />
Negative Elektrode (Kathode): PbSO 4 + H 2 ++ + 2(-e) = Pb + H2 SO 4<br />
«laden»<br />
Elektronenstrom<br />
� Entladevorgang:<br />
2(-e)<br />
PbSO 4 � Pb<br />
– +<br />
H ++<br />
2 SO --<br />
4<br />
H 2 SO 4 + H 2 O<br />
Positive Elektrode (Anode): PbSO 4 + H 2 ++ + H2 SO 4 = PbSO 4 + 2H 2 O � 2(-e)<br />
Negative Elektrode (Kathode): Pb + SO 4 -- = PbSO4 + 2(-e)<br />
«entladen»<br />
Ionenstrom<br />
2e –<br />
Pb � PbSO 4<br />
Elektrische Quellen IV<br />
Beispiele elektrischer Quellen<br />
(2) Der Blei-Akkumulator:<br />
U0 V<br />
2,8<br />
2,6<br />
2,4<br />
2,2<br />
2,0<br />
1,8<br />
1,6<br />
Laden<br />
Entladen<br />
– +<br />
SO -- H ++<br />
4 2<br />
H 2 SO 4 + H 2 O<br />
0 2 4 6 8 10 12 h t<br />
2(-e)<br />
PbSO 4 � PbO 2<br />
2e –<br />
PbO 2 � PbSO 4<br />
• Beim Entladevorgang ist die<br />
Spannung über eine bestimmte<br />
Zeit nahezu konstant.<br />
• Die Spannung hängt zudem<br />
von <strong>der</strong> Grösse des bei <strong>der</strong><br />
Entladung fliessenden Stromstärke<br />
ab.<br />
• Ladungszustand lässt sich<br />
anhand <strong>der</strong> Spannung am<br />
Akkumulator bestimmen.<br />
-23-<br />
-24-<br />
12
Elektrische Quellen V<br />
Beispiele elektrischer Quellen<br />
(3) Elektromechanische Energiewandler: • Drehende Leiterschleife<br />
im Magnetfeld.<br />
• Spannungserzeugung<br />
�<br />
durch Induktion.<br />
• Abgriff über Schleifringe.<br />
I E<br />
Elektromagnet zur Erzeugung<br />
des statischen Magnetfeldes.<br />
A<br />
�<br />
B<br />
Elektrische Quellen VI<br />
Beispiele elektrischer Quellen<br />
(3) Elektromechanische Energiewandler:<br />
A<br />
� n<br />
b<br />
u = � d� m<br />
dt<br />
�<br />
B<br />
� n<br />
b<br />
u<br />
�<br />
B<br />
d �<br />
= � { B �a�b�cos( � t)<br />
}<br />
dt<br />
= � B �a�b�� �sin( � t)=<br />
û�sin � t<br />
�� � ��<br />
û<br />
�<br />
a<br />
�<br />
a<br />
u<br />
t = 0<br />
Bewegte, d.h. drehende Leiterschleife zur<br />
Erzeugung <strong>der</strong> (induzierten) Quellenspannung.<br />
u<br />
t = 0<br />
�t<br />
�m ()= t<br />
� n<br />
( )<br />
��<br />
A<br />
�<br />
B� � n �t<br />
( )<br />
�dA =<br />
( )<br />
= � B �a�b<br />
�<br />
�cos � t<br />
���������������� A �<br />
• Wird ein Verbraucher<br />
angeschlossen, dann<br />
fliesst ein Strom, bzw.<br />
es wird elektrische<br />
Energie umgesetzt.<br />
• Die verbrauchte Leistung<br />
wird an <strong>der</strong> Welle<br />
mechanisch erbracht.<br />
-25-<br />
-26-<br />
13
Ideale elektrische Quellen I<br />
Elektrisch starre Quellen<br />
(1) Urspannungsquelle:<br />
u<br />
u 0<br />
u = u 0 �i<br />
u 0<br />
i<br />
(2) Urstromquelle:<br />
Schaltsymbol u<br />
u-i-Kennlinie<br />
i<br />
u<br />
i = i 0 �u<br />
: Urspannung : Urstromstärke<br />
Kurzschluss: i � � (� R innen = 0) Leerlauf: u � � (� R innen = �)<br />
Ideale elektrische Quellen II<br />
Gesteuerte Quellen<br />
u1<br />
1 1´<br />
( )<br />
u 0 = f u1<br />
2 2´<br />
a)<br />
i1<br />
1 1´<br />
2<br />
b)<br />
()<br />
u 0 = f i1<br />
2´<br />
1<br />
2<br />
c)<br />
u1<br />
( )<br />
i 0 = f u1<br />
i 0<br />
1´<br />
2´<br />
i1<br />
1 1´<br />
i 0 = f()<br />
i1<br />
2 2´<br />
d)<br />
i 0<br />
Verbraucherbezugspfeilsystem:<br />
Quellen<br />
haben gegensinnige<br />
Bezugspfeile !<br />
i<br />
(a) SpannungsgesteuerteSpannungsquelle.<br />
(b) Stromgesteuerte<br />
Spannungsquelle.<br />
(c) Spannungsgesteuerte<br />
Stromquelle.<br />
(d) Stromgesteuerte<br />
Stromquelle.<br />
Beispiel (Folie 25):<br />
( )<br />
u = f I E<br />
-27-<br />
-28-<br />
14
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand I<br />
Netzwerkelement <strong>und</strong> Symbol<br />
Definitionen des ohm’schen Wi<strong>der</strong>stands:<br />
u = R�i<br />
R = �<br />
� �A<br />
R<br />
i<br />
a) Schaltsymbol b)<br />
u<br />
Bezugspfeile<br />
[ R]=<br />
u � �<br />
�<br />
� i �<br />
�<br />
V<br />
= = �<br />
A<br />
i = G�u<br />
� �A<br />
G =<br />
�<br />
Elektrischer Wi<strong>der</strong>stand in Ohm. Elektrischer Leitwert<br />
in Siemens.<br />
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand II<br />
Strom-Spannungs-Kennlinien<br />
Die Wi<strong>der</strong>standskennlinie:<br />
u<br />
V<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
u 2<br />
u 1<br />
R 3<br />
= 10�<br />
�i<br />
�u<br />
R2 = 5�<br />
R1 = 1�<br />
i1 i2 0<br />
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A i 0 1 2 3 4 5 V u<br />
i<br />
A<br />
1,2<br />
0,2<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
G1 = 1S<br />
R<br />
G2 = 0,2S<br />
[ G]=<br />
i � � � 1 �<br />
�<br />
�u<br />
�<br />
�<br />
=<br />
�<br />
� R �<br />
� =<br />
= A<br />
V = ��1 = S<br />
R bzw. G ist die Steigung <strong>der</strong> entspr. Kennlinie.<br />
G 3<br />
= 0,1S<br />
R = �u<br />
�i =<br />
= u 2 �u 1<br />
i 2 � i 1<br />
G = �i<br />
�u =<br />
= i 2 �i 1<br />
u 2 � u 1<br />
-29-<br />
-30-<br />
15
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand III<br />
Die Verlustleistung am elektrischen Wi<strong>der</strong>stand<br />
Verlustleistung als Funktion <strong>der</strong> elektrischen Grössen:<br />
p<br />
W<br />
25,0<br />
18,75<br />
12,5<br />
6,25<br />
0<br />
G 1 = 1S<br />
G 2 = 0,25 S<br />
0 1 2 3 4 5 V u<br />
p = u�i = R�i 2 = u2<br />
R<br />
p<br />
100 W<br />
75<br />
50<br />
25<br />
0<br />
R 2 = 4 �<br />
R 1 = 1�<br />
0 1 2 3 4 5 A i<br />
[ p]=<br />
[ u�i ]= VA = W<br />
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand IV<br />
Technische Bauformen<br />
(1) Der Drahtwi<strong>der</strong>stand:<br />
Schutzschicht Anschlusskappe<br />
Wi<strong>der</strong>standsdraht Wickelkörper<br />
24 � – 82 k� / 6 W<br />
Die Leistung p wird<br />
dem elektrischen<br />
System entzogen<br />
bzw. in Wärme<br />
umgewandelt:<br />
� Verlustleistung.<br />
Quadratisches<br />
Verhalten.<br />
Die Leistung<br />
in Watt.<br />
• Aufgewickelter Draht aus<br />
Wi<strong>der</strong>standsmaterial wie<br />
Nickelin, Manganin, usw.<br />
(cf. Folien 1-138, 1-141).<br />
• Werte: 1� bis 100 k�.<br />
• Präzis einstellbar, dafür<br />
teuer.<br />
• Auch für grosse Verlustleistung<br />
erhältlich.<br />
1 � – 22 � / 50 W<br />
-31-<br />
-32-<br />
16
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand V<br />
Technische Bauformen<br />
(2) Der Massewi<strong>der</strong>stand:<br />
Schutzschicht Anschlusskappe<br />
Wi<strong>der</strong>standsmasse<br />
2.4 M� / ± 20%<br />
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand VI<br />
Technische Bauformen<br />
(3) Der Schichtwi<strong>der</strong>stand:<br />
Schutzschicht Anschlusskappe<br />
� i<br />
� a<br />
Wi<strong>der</strong>standsschicht<br />
�<br />
56 k� / ± 1%<br />
(Metallschicht)<br />
• Körper gefüllt mit homogener<br />
Wi<strong>der</strong>standsmasse<br />
wie Bindemittel mit Russ<br />
o<strong>der</strong> Graphit.<br />
• Werte: 10 � bis 1 G�.<br />
• Sehr geringe Herstellungskosten,<br />
dafür sind die<br />
Toleranzen <strong>der</strong> Wi<strong>der</strong>standswerte<br />
gross.<br />
• Diese Bauform eignet<br />
sich für grosse Stückzahlen.<br />
• Typischer Einsatz in <strong>der</strong><br />
Konsumerelektronik.<br />
• Dünne Metall- o<strong>der</strong> Kohleschicht,<br />
ergibt Wi<strong>der</strong>stand:<br />
R =<br />
�<br />
( )<br />
2 2<br />
� �� � �a � �i<br />
• Werte: 1 � bis 100 k�.<br />
• Diese Bauform eignet<br />
sich für genaue Wi<strong>der</strong>stände,<br />
d.h. mit kleinen<br />
Toleranzen <strong>und</strong> für grosse<br />
Stückzahlen.<br />
-33-<br />
-34-<br />
17
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand VII<br />
Technische Bauformen<br />
(4) Farbcode für Wi<strong>der</strong>standswerte (DIN IEC 62):<br />
2.4 M� / ± 5%<br />
Kohle-Schichtwi<strong>der</strong>stände<br />
} Metall-Schichtwi<strong>der</strong>stände<br />
Farbe A B C Multiplikator Toleranz Temperaturkoeffizient<br />
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand VIII<br />
Technische Bauformen<br />
(4) Farbcode für Wi<strong>der</strong>standswerte (DIN IEC 62):<br />
± 5%<br />
24 � 100 k�<br />
2.4 M� / ± 5%<br />
-35-<br />
-36-<br />
18
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand IX<br />
Technische Bauformen<br />
(5) Internationale Normenreihe für Wi<strong>der</strong>standswerte (E-Reihen, DIN IEC 63):<br />
{ }<br />
k k n k<br />
En = En En = 10�ro<strong>und</strong> ( 10 ); � k = 0,1,…,n �1<br />
E 6: 10 15 22 33 47 68 ± 20%<br />
E 12: 10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 ± 10%<br />
E 24: 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 … ± 5%<br />
E n: n = 6, 12, 24, 48, 96, 192.<br />
(6) SMD-Wi<strong>der</strong>stände (Surface Mounted Device):<br />
0.2 mm � 0.4 mm<br />
Beschriftete Wi<strong>der</strong>stände mit sehr kleinen Abmessungen für eng bedruckte Schaltungen<br />
E 24: 2.4 � 2R4 � R �[1,10] � ± 5%, ± 2%<br />
24 � 24R � R �]10,100] � ± 5%, ± 2%<br />
240 k� 244 4: Anzahl Nullen � R �]100,10 7 ] � ± 5%, ± 2%<br />
Der elektrische Wi<strong>der</strong>stand X<br />
«Extreme» Wi<strong>der</strong>standsbauformen<br />
Hochleistungswi<strong>der</strong>stand:<br />
(Lokomotivbau, usw.)<br />
110 kW / 1.8 m<br />
Mikrowellen-Wi<strong>der</strong>stände (SMD)<br />
(cf. Folie 10)<br />
SMD-Wi<strong>der</strong>stände<br />
Wi<strong>der</strong>standssensor<br />
(Nano-Thermometer)<br />
-37-<br />
-38-<br />
19
Der Kondensator I<br />
Die Parallelplatten-Anordnung<br />
Prinzipieller Aufbau:<br />
d u<br />
� r<br />
A<br />
� Q<br />
Der Kondensator II<br />
Laden des Kondensators<br />
(1) Der Ladevorgang:<br />
a)<br />
Q = 0<br />
Q = 0<br />
U 0<br />
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + -<br />
�<br />
E<br />
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + -<br />
+ Q<br />
�<br />
E, � D<br />
+ Q<br />
• Wichtig: Siehe hierzu auch Folien<br />
1-58, 1-87 bis 1-88 (Ladung <strong>und</strong><br />
D-Feld) <strong>und</strong> 1-89 (Ladung <strong>und</strong><br />
Spannung) bzw. Folie 1-107 zum<br />
Energieinhalt !<br />
• Zweielektrodenanordnung: Mit dem<br />
Anlegen einer Spannung wird ein<br />
elektrisches Feld dazwischen ausgebildet<br />
<strong>und</strong> Ladungen auf die Platten<br />
aufgebracht: Speicherung von Ladungen<br />
<strong>und</strong> elektrischer (Feld-)Energie.<br />
• Eine solche Anordnung (ein solches<br />
elektrisches Speicherelement) heisst<br />
«Kondensator».<br />
• Der Vorgang des «Aufbringens»<br />
heisst «laden» des Kondensators.<br />
-<br />
+ + + + + + + + + +<br />
- - - - - - - - - -<br />
� Q<br />
t < 0 b) t = 0<br />
c) t > 0<br />
Keine Spannung,<br />
kein Feld,<br />
keine Ladung.<br />
U 0<br />
Spannung wird angelegt,<br />
es existiert ein E-Feld,<br />
es erfolgt Ladungstrennung<br />
durch Influenz.<br />
�<br />
E<br />
+<br />
i L<br />
i L<br />
U 0<br />
Spannungsquelle<br />
liefert positive<br />
Ladung auf die<br />
obere Platte <strong>und</strong><br />
negative Ladung<br />
auf die untere<br />
Platte.<br />
alternative<br />
Lesart !<br />
Quelle «saugt» auf <strong>der</strong> oberen Platte<br />
die negative Träger ab <strong>und</strong> schiebt<br />
sie auf die untere Platte, wo sie die<br />
positven Ladungen kompensieren.<br />
«Schieben» � Ladestrom i L .<br />
-39-<br />
-40-<br />
20
Der Kondensator III<br />
Laden des Kondensators<br />
(2) Fazit: • Der Kondensator speichert die positive Ladung auf <strong>der</strong> einen Platte <strong>und</strong> die<br />
gleiche Menge an negativer Ladung auf <strong>der</strong> gegenüberliegenden Platte.<br />
• Durch das zwischen den Platten existierende elektrische Feld speichert <strong>der</strong><br />
Kondensator auch elektrische (Feld-)Energie.<br />
• Im geladenen Zustand kann keine Energie mehr zugeführt werden, d.h. es<br />
kann kein Strom mehr fliessen.<br />
Bei Anlegen einer Gleichspannung an den Kondensator fliesst, abgesehen<br />
vom Ladestrom, kein elektrischer Strom über den Kondensator.<br />
• Das bleibt so, solange nichts an <strong>der</strong> Kondensatoranordnung geän<strong>der</strong>t wird,<br />
d.h. es bleibt so, selbst wenn die Spannungsquelle abgehängt wird.<br />
• Wird <strong>der</strong> geladene Kondensator an einen Wi<strong>der</strong>stand angeschlossen, so<br />
fliesst ein Strom, <strong>der</strong> Kondensator wird entladen. Durch den Entladestrom<br />
werden die positiven <strong>und</strong> negativen Ladungen ausgeglichen, d.h. alle<br />
gespeicherten Grössen werden abgeführt.<br />
Der Kondensator IV<br />
Die Kapazität des Kondensators<br />
Bezugspfeile <strong>und</strong> Bezugsgrössen:<br />
Verbraucherbezugspfeilsystem<br />
!<br />
ut ()<br />
C = Q<br />
u<br />
[ C]=<br />
As<br />
V<br />
i t ()<br />
+Qt ()<br />
�<br />
E t<br />
(), � Dt<br />
()<br />
�Qt ()<br />
ut ()<br />
s<br />
=<br />
� = F Die Kapazität<br />
in Farad.<br />
• Vereinbarung: Unter Ladung Q<br />
wird die Ladung verstanden,<br />
die sich auf <strong>der</strong> Elektrode befindet,<br />
an welcher <strong>der</strong> Bezugspfeil<br />
<strong>der</strong> Spannung beginnt<br />
(siehe hierzu auch Folie 1-107).<br />
• Spannung <strong>und</strong> Ladung verhalten<br />
sich im Kondensator proportional<br />
zueinan<strong>der</strong> (siehe<br />
Folien 1-89 <strong>und</strong> 1-106).<br />
• Die Proportionalitätskonstante<br />
heisst Kapazität C:<br />
Q = � 0� r �A<br />
d<br />
�u =:C�u<br />
-41-<br />
-42-<br />
21
Der Kondensator V<br />
Ladungstransport bei zeitlich variieren<strong>der</strong> Spannung<br />
(1) Zur Stromstärke:<br />
Verbraucherbezugspfeilsystem<br />
!<br />
ut ()<br />
i t ()<br />
+Qt ()<br />
�<br />
E t<br />
(), � Dt<br />
()<br />
�Qt ()<br />
Die elektrische Stromstärke i(t) am Kondensator<br />
ist proportional zur zur Zeitableitung <strong>der</strong> Spannung,<br />
mit <strong>der</strong> Kapazität C als Proportionalitätskonstante.<br />
Der Kondensator VI<br />
ut ()<br />
A K<br />
�<br />
J t<br />
()<br />
�<br />
n L A L<br />
A K � n<br />
()<br />
i t<br />
�<br />
H t<br />
()<br />
i t ()<br />
+Qt ()<br />
�<br />
Dt ()<br />
�<br />
H() t<br />
�Qt ()<br />
�<br />
H t<br />
()<br />
ut ()<br />
• Varierende Spannung (z.B. eine<br />
Wechselspannung) am Kondensator:<br />
ständiger Lade- <strong>und</strong> Entladevorgang.<br />
• Gemäss Folie 42 wird auch<br />
ständig Ladung aufgebracht<br />
bzw. weggeführt: es fliesst ein<br />
Strom, solange u(t) sich än<strong>der</strong>t:<br />
dQ t<br />
it ()= ()<br />
=<br />
dt<br />
�0� r �A<br />
�<br />
d<br />
ut ()<br />
()<br />
dt<br />
du t<br />
it ()= C �<br />
du t ()<br />
dt<br />
Ladungstransport bei zeitlich variieren<strong>der</strong> Spannung<br />
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:<br />
i =<br />
��<br />
A L<br />
�<br />
J � � n L �dA<br />
• Frage �: Fliesst <strong>der</strong> Strom<br />
i(t) am, zum o<strong>der</strong> durch den<br />
Kondensator?<br />
• Stromfluss i(t) verän<strong>der</strong>t aber<br />
laufend die Ladungen ± Q(t).<br />
• Die Elektrodenladungen sind<br />
Anfangs- <strong>und</strong> Endpunkte <strong>der</strong><br />
elektrischen Flussdichte D.<br />
Q =<br />
dQ<br />
dt<br />
��<br />
Ak = d<br />
dt<br />
�<br />
D� � n�dA<br />
�<br />
��<br />
Ak d � F<br />
�<br />
D� � n�dA<br />
�<br />
= i<br />
d � F<br />
-43-<br />
-44-<br />
22
Der Kondensator VII<br />
Ladungstransport bei zeitlich variieren<strong>der</strong> Spannung<br />
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:<br />
i =<br />
��<br />
A L<br />
�<br />
J � � n L �dA =<br />
dQ<br />
dt<br />
= d<br />
dt<br />
��<br />
Ak • Es sieht so aus, als würde die Leitungsstromdichte<br />
J zwischen den Platten<br />
durch die sogenannte Verschiebungsstromdichte<br />
JD = dD/dt fortgesetzt, falls<br />
die Elektrodenladungen zeitabhängig<br />
sind.<br />
• Die Verschiebungsstromdichte schliesst<br />
den Stromkreis Quelle-Kondensator;<br />
selbst bei Vakuum (!) zwischen den<br />
Elektrodenplatten.<br />
Der Kondensator VIII<br />
�<br />
D� � n�dA<br />
d � d<br />
�<br />
=<br />
F<br />
� D<br />
dt � � �<br />
�� n�dA := JD �<br />
Ak � �� n�dA<br />
Ak ����������� d � D<br />
dt<br />
interessante Interpretation !<br />
()<br />
i(), t j t<br />
()<br />
i(), t j t<br />
Ladungstransport bei zeitlich variieren<strong>der</strong> Spannung<br />
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:<br />
ut ()<br />
• Frage �: Ist die Verschiebungsstromdichte dD/dt wirklich eine physikalische<br />
Stromdichte zumal ja keine Ladungsträger zwischen den Platten fliessen?<br />
• Besser: Hat dD/dt die gleichen Eigenschaften wie eine reale Stromdichte?<br />
Will heissen: Kann die Verschiebungsstromdichte dD/dt auch ein Magnetfeld erzeugen?<br />
d � D<br />
dt<br />
�<br />
H<br />
i t ()<br />
i t ()<br />
�<br />
H<br />
�<br />
H<br />
ut ()<br />
• Antwort �: Aus <strong>der</strong> Kontinuität von dD/dt<br />
<strong>und</strong> <strong>der</strong> Stromdichte J folgt über das Durchflutungsgesetz<br />
<strong>der</strong> Nachweis des H-Feldes:<br />
i =<br />
=<br />
��<br />
C<br />
��<br />
AL �<br />
H � d � s<br />
=<br />
�<br />
J � � n L �dA<br />
=<br />
��<br />
A k<br />
d � D<br />
dt � � n�dA<br />
-45-<br />
-46-<br />
23
Der Kondensator IX<br />
Ladungstransport bei zeitlich variieren<strong>der</strong> Spannung<br />
(3) Das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz:<br />
��<br />
C<br />
�<br />
H �d � s<br />
=<br />
��<br />
A<br />
�<br />
J � � n�dA+<br />
d<br />
dt<br />
��<br />
A<br />
�<br />
D� � n�dA<br />
(cf. Folie 1-193)<br />
Antworten:<br />
� Der Strom fliesst bei zeitlich verän<strong>der</strong>licher<br />
Anregung «durch» den Kondensator.<br />
� Der Verschiebungsstrom ist ein real existieren<strong>der</strong><br />
Strom, <strong>der</strong> auch im Vakuum<br />
«fliessen» kann. Im Dielektrikum lässt sich<br />
dieser Wechselstrom über die zeitlich verän<strong>der</strong>liche<br />
Polarisation versinnbildlichen.<br />
Der Kondensator X<br />
Netzwerkelement <strong>und</strong> Symbol<br />
(1) Schaltsymbol:<br />
i<br />
C<br />
(3) Spannungen <strong>und</strong> Ströme:<br />
i = C� du<br />
dt<br />
u = 1<br />
C<br />
t<br />
u<br />
� i( � )�d� + U0 �<br />
0<br />
• Elektrische Ströme i / Stromdichten<br />
J, als auch Verschiebungsströme /<br />
Verschiebungsstromdichten dD/dt<br />
sind Erzeugende des magnetischen<br />
Feldes.<br />
• Beide bestimmen das Magnetfeld<br />
in ihrer Umgebung entsprechend<br />
des um die Gesamtstromdichte<br />
erweiterten Durchflutungsgesetzes<br />
(siehe auch Folie 1-193):<br />
�<br />
J ges = � J + d � D<br />
dt<br />
(2) Definitionsgleichung:<br />
Q = C�u<br />
Verbraucherbezugspfeilsystem<br />
!<br />
Mathematisches Netzwerkmodell<br />
des Kondensators.<br />
«Eimer-Analogie»:<br />
u: Füllstand; i: Volumenstrom; Q: Füllmenge<br />
C: Querschnittsfläche des Eimers<br />
-47-<br />
-48-<br />
24
Der Kondensator XI<br />
Zeitliche Variation <strong>der</strong><br />
Zustandsgrössen<br />
� ut (): Qt ()�ut ()<br />
it () � �u() t<br />
• Strom hat Nulldurchgang bei<br />
Spannungsextremum.<br />
• Aus <strong>der</strong> Lage <strong>der</strong> Nulldurchgänge:<br />
Der elektrische Strom eilt <strong>der</strong><br />
Spannung um T/4 voraus.<br />
• Beim nichtsinusförmigen Verlauf<br />
haben Strom <strong>und</strong> Spannung<br />
nicht mehr dieselbe Form.<br />
• Komplikation bei Digitaltechnik.<br />
Der Kondensator XII<br />
d<br />
+ Q A<br />
� 0� r<br />
� Q<br />
�<br />
E<br />
�<br />
D<br />
0<br />
a)<br />
0<br />
b)<br />
u<br />
u , i,<br />
Q<br />
u,<br />
i,<br />
Q<br />
i()<br />
t<br />
Q()<br />
t<br />
u()<br />
t<br />
T 4 T 2 3T 4 T t<br />
Q()<br />
t<br />
Im Kondensator gespeicherte Energie<br />
Wel = 1<br />
2 � � E � � D �V = 1<br />
2<br />
(Folie 1-107)<br />
u<br />
� �<br />
�d<br />
�E<br />
Q<br />
�A �D<br />
�A�d<br />
�<br />
V<br />
u()<br />
t<br />
ut ():= û�sin( �t )<br />
i()<br />
t<br />
T 4 T 2<br />
3T 4 T t<br />
Im elektrischen Feld eines Kondensators<br />
wird Energie gespeichert. Sie<br />
wird aus <strong>der</strong> Spannung u zwischen den<br />
Elektroden, <strong>der</strong> Ladung Q auf den Elektroden<br />
<strong>und</strong> <strong>der</strong> Kapazität C bestimmt.<br />
W el = 1<br />
2 �Q�u<br />
= 1<br />
2 �C�u2<br />
= 1<br />
2 �Q2<br />
C<br />
Gleichwertige<br />
Austrücke für<br />
die Energie.<br />
-49-<br />
-50-<br />
25
Der Kondensator XIII<br />
Spezielle Bauformen<br />
(1) Der Kugelkondensator:<br />
Der Kondensator XIV<br />
Spezielle Bauformen<br />
(1) Der Kugelkondensator:<br />
�<br />
E<br />
�<br />
E max<br />
�<br />
E min<br />
siehe Folie 1-60<br />
� e =<br />
=<br />
���<br />
A<br />
���<br />
Metall Dielektrikum Metall Luft<br />
~ 1<br />
r 2<br />
• Berechnung des elektrischen Flusses � e<br />
durch die (gestrichelte) Kugelhüllfläche A:<br />
�<br />
�<br />
A<br />
�<br />
D� � n�dA<br />
=<br />
�<br />
D � � n �dA<br />
=<br />
���<br />
A<br />
�<br />
D �dA<br />
= � D ���� dA = 4� r 2 � � D = + Q<br />
A<br />
• � Aus Symmetriegründen ist das D-Feld<br />
rein radial gerichtet, wie auch <strong>der</strong> Flächennormalenvektor.<br />
� Aus Symmetriegründen ist das D-Feld<br />
auf <strong>der</strong> konzentrischen Hüllfläche konstant.<br />
0 r<br />
ri rai ra � + Q<br />
D =<br />
4� r 2<br />
�<br />
E =<br />
�<br />
E max =<br />
�<br />
E min =<br />
+ Q<br />
4�� 0� r r 2<br />
+ Q<br />
=<br />
2<br />
4��0�r ri + Q<br />
2<br />
4��0�r rai -51-<br />
-52-<br />
26
Der Kondensator XV<br />
Spezielle Bauformen<br />
(1) Der Kugelkondensator:<br />
• Die Spannung u:<br />
u =<br />
r ai<br />
�<br />
r i<br />
r ai<br />
�<br />
E�d � s<br />
=<br />
r ai<br />
�<br />
r i<br />
�<br />
E�d � r<br />
=<br />
r ai<br />
�<br />
r i<br />
�<br />
E � d � r<br />
+ Q + Q<br />
= � �dr = � � 2<br />
4��0�rr 4��0�r 1 � �<br />
�<br />
� r �<br />
r i<br />
• Die Kapazität C:<br />
C = Q<br />
u = 4�� 0� r �r ai �r i<br />
r ai � r i<br />
=<br />
r ai<br />
�<br />
r i<br />
� ri<br />
= 4�� 0� r<br />
�<br />
E � � n �dr<br />
r ai<br />
1<br />
r � i 1 ( r ) ai<br />
Der Kondensator XVI<br />
Spezielle Bauformen<br />
(2) Der Zylin<strong>der</strong>kondensator:<br />
u<br />
E � D �<br />
+ Q<br />
0 r � �<br />
� � �<br />
�<br />
n �<br />
� Q<br />
�i<br />
� n<br />
�ai a<br />
�<br />
�<br />
=<br />
r ai<br />
�<br />
r i<br />
�<br />
E �dr<br />
= Q<br />
�<br />
4��0�r rai � ri rai �ri siehe Folie 42<br />
Die Kapazität C ist wie aus Folie 42<br />
auch hervorgeht, nur von <strong>der</strong> Geometrie<br />
<strong>und</strong> dem Material abhängig.<br />
C � �, falls <strong>der</strong> Abstand null wird.<br />
� E, D<br />
� �<br />
� n<br />
u 0 r � �<br />
• Idealisierung:<br />
� >> �, d.h. vernachlässige<br />
die<br />
Streufel<strong>der</strong>.<br />
• Es gibt daher<br />
nur radial ausgerichtete<br />
Fel<strong>der</strong>.<br />
• Aber:<br />
In <strong>der</strong> Praxis<br />
sind die Kondensatoren<br />
eher «kurz».<br />
-53-<br />
-54-<br />
27
Der Kondensator XVII<br />
Spezielle Bauformen<br />
(2) Der Zylin<strong>der</strong>kondensator:<br />
• Berechnung des elektrischen Flusses � e durch die Zylin<strong>der</strong>mantelfläche A M :<br />
� e =<br />
���<br />
A<br />
�<br />
D = Q<br />
2���<br />
�<br />
E max =<br />
u =<br />
� ai<br />
�<br />
� i<br />
�<br />
D� � n�dA=<br />
���<br />
A M<br />
�<br />
E =<br />
Q<br />
2�� 0� r� i �<br />
�<br />
E�d � s<br />
=<br />
� ai<br />
�<br />
� i<br />
�<br />
E �d� =<br />
�<br />
D � � �<br />
n �dA=<br />
��� D �dA=<br />
� D ���� dA=<br />
2���� � D =Q<br />
Q<br />
2�� 0� r��<br />
�<br />
E min =<br />
� ai<br />
�<br />
� i<br />
A M<br />
Q<br />
2�� 0� r� ai �<br />
Der Kondensator XVIII<br />
Spezielle Bauformen<br />
(2) Der Zylin<strong>der</strong>kondensator:<br />
�<br />
E<br />
�<br />
E max<br />
�<br />
E min<br />
0<br />
0<br />
A M<br />
• Berechnung <strong>der</strong> Kapazität C:<br />
C = Q<br />
Q<br />
2��0�r�� �d�<br />
Q<br />
=<br />
2��0�r� ln � � � ai<br />
�<br />
� �i �<br />
�<br />
Metall Dielektrikum Metall Luft<br />
� i<br />
~ 1<br />
�<br />
�<br />
E =<br />
�<br />
E max =<br />
�<br />
E min =<br />
� ai � a �<br />
u = 2��0�r� ln � � � ai<br />
�<br />
� �i �<br />
�<br />
Q<br />
2�� 0� r��<br />
Q<br />
2�� 0� r� i �<br />
Q<br />
2�� 0� r� ai �<br />
-55-<br />
-56-<br />
28
Der Kondensator IXX<br />
Technische Bauformen<br />
Metall<br />
a)<br />
Metall-<br />
Belegung<br />
b)<br />
Dielektrikum<br />
Zuleitungen<br />
Metall<br />
Dielektrikum<br />
Dielektrikum<br />
Dielektrikum Drahtring<br />
c)<br />
Metall-<br />
Belegung<br />
d)<br />
Zuleitungen<br />
Der Kondensator XX<br />
Technische Bauformen<br />
Kennzeichnung <strong>der</strong> Kapazitätswerte:<br />
� Kennwerte von Zylin<strong>der</strong>-Kondensatoren<br />
(i.e. Röhrenkondensatoren):<br />
Metall<br />
0.1 pF – 0.1 �F<br />
Dielektrikum<br />
0.5 �F – 10 mF<br />
A B Mult. Tol.<br />
siehe Tabelle<br />
nächste Folie<br />
Metall<br />
Lot<br />
(a) Wickelkondensator.<br />
(b) Scheibenkondensator<br />
(c) Röhrenkondensator<br />
(d) Chip-<br />
Kondensator.<br />
Nicht abgebildet:<br />
Elektrolytkond.,<br />
Tantalkond.<br />
Gr<strong>und</strong>farbe<br />
50 V -<br />
16 V -,25 V-<br />
Werkstoffe, hier nicht weiter<br />
spezifiziert<br />
grün<br />
violett<br />
-57-<br />
-58-<br />
29
Der Kondensator XXI<br />
Technische Bauformen<br />
Kennzeichnung <strong>der</strong> Kapazitätswerte:<br />
� Kennwerte von Keramik-<br />
Scheibenkondensatoren:<br />
Kapazitätswerte werden<br />
aufgedruckt:<br />
p63 = 0.63 pF<br />
6p3 = 6.3 pF<br />
63p = 63 pF<br />
n63 = 0.63 nF = 630 pF<br />
6n3 = 6.3 nF<br />
Toleranzwerte werden mit<br />
Kennbuchstaben gemäss<br />
Tabelle angegeben.<br />
Der Kondensator XXII<br />
Gr<strong>und</strong>farbe des Kondensatorkörpers kennzeichnet<br />
die Werkstoffklasse, die Farbe <strong>der</strong><br />
oberen Kappe das Material.<br />
Superkondensatoren als Energiespeicher<br />
Elektrolyt-Kondensatoren («Elkos»):<br />
Kondensatorbank z.B. für die<br />
unterbruchsfreie Stromversorgung<br />
von Rechnern <strong>und</strong> Kleinanlagen.<br />
• Elektrolyt (flüssig, feucht) als<br />
Dielektrikum.<br />
• Achtung! Polarität <strong>der</strong> Anschlüsse<br />
ist stets zu beachten!<br />
3000 F !<br />
-59-<br />
-60-<br />
30
Die Spule I<br />
Die Toroidspule<br />
(1) Aufbau <strong>und</strong> Abmesssungen:<br />
Die Spule II<br />
Die Toroidspule<br />
(2) Zum Betriebsverhalten:<br />
Fall #1: Spule an Gleichspannung U:<br />
• Es fliesst, abgesehen vom Einschaltvorgang, <strong>der</strong> Strom I, welcher<br />
nur durch den ohmschen Wi<strong>der</strong>stand des Spuhlendrahtes gegeben ist.<br />
Fall #2: Spule an Wechselspannung u:<br />
• Die Zeitabhängigkeit <strong>der</strong> Spannung u(t) sei sinusförmig<br />
bzw. kosinusförmig <strong>und</strong> charakterisiert durch den<br />
Scheitelwert û <strong>und</strong> die Kreisfrequenz �.<br />
• Verhältnis zwischen Strom <strong>und</strong> Spannung lässt sich hier nicht<br />
mehr so ohne Weiteres angeben!<br />
• Wirkungen des Magnetfeldes müssen in das «Verhältnis» mit<br />
einbezogen werden.<br />
• Stichwort: Induktionsgesetz.<br />
Mit � r >> 100:<br />
• Tritt das Magnetfeld<br />
nur im Eisenkern<br />
auf.<br />
• Ist das Magnetfeld<br />
homogen<br />
verteilt bezüglich<br />
<strong>der</strong> Breite b.<br />
I = U<br />
R<br />
u = û�cos( �t )<br />
u i<br />
H,B<br />
-61-<br />
-62-<br />
31
Die Spule III<br />
Die Toroidspule<br />
(2) Das Magnetfeld:<br />
• Gebrauch des Durchflutungsgesetzes:<br />
��<br />
C<br />
�<br />
H �d � s<br />
�<br />
= H � d � �� s = � H � d � �� s = � � �<br />
H �2�r = � = w� i<br />
C<br />
� w� i<br />
H =<br />
2� r � � B = μ0μ r � � w� i<br />
H = μ0μ r �<br />
2� r<br />
� Aus Symmetriegründen ist das H-Feld wie auch <strong>der</strong><br />
Integrationsschritt ds auf C gleichsinnig gerichtet.<br />
� Aus Symmetriegründen ist das H-Feld entlang<br />
des Integrationsweges C konstant.<br />
Die Spule IV<br />
Die Toroidspule<br />
(2) Das Magnetfeld:<br />
�<br />
B<br />
wi<br />
μ0μr μ 0μ r<br />
μ 0μ r<br />
2�r i<br />
wi<br />
2�r m<br />
wi<br />
2�r a<br />
C<br />
Luft Eisenkern Luft<br />
~<br />
r<br />
1<br />
ri rm<br />
ra r<br />
• Die magnetische<br />
Flussdichte ist<br />
konstant entlang<br />
<strong>der</strong> Breite b.<br />
• Die magnetische<br />
Flussdichte variiert<br />
mit dem Radius r,<br />
d.h. entlang <strong>der</strong><br />
Dicke a <strong>der</strong> Toroidspule.<br />
-63-<br />
-64-<br />
32
Die Spule V<br />
Die Toroidspule<br />
(2) Der magnetische Fluss:<br />
� m =<br />
��<br />
A<br />
Näherungsrechnung für kleine Werte <strong>der</strong> Dicke a; d.h. die magnetische Flussdichte ist<br />
näherungsweise konstant über den Querschnitt A = a·b.<br />
( ) � klein<br />
a = r a � r i<br />
�<br />
B� � n�dA=<br />
μ0μ r �w�i<br />
2�<br />
�<br />
B � � B m = μ 0μ r �w� i<br />
2� �r m<br />
r a<br />
�b � 1<br />
� � dr �m =<br />
r<br />
μ0μ r �w�b<br />
� ln<br />
2�<br />
r � � a<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �i<br />
r i<br />
= μ 0μ r �w� i<br />
�<br />
= const. � r m = r a + r i<br />
2<br />
�m � � Bm � � ( n)�A<br />
�m = μ0μ r �w�A<br />
�i<br />
�<br />
Die Spule VI<br />
Die Toroidspule<br />
(3) Zum Induktionsgesetz:<br />
• Induzierte Spannung in einer Windung<br />
gemäss <strong>der</strong> magnetischen Flüsse aus<br />
Folie 65:<br />
(vergleiche hierzu auch Folien 1-285 ff.)<br />
(A) exakt:<br />
u ind = � d� m<br />
dt =<br />
u ind = � μ 0μ r �w�b<br />
2�<br />
(B) genähert:<br />
u ind = � d� m<br />
dt =<br />
u ind = � μ 0μ r �w�A<br />
�<br />
r i<br />
� ln r � � a<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� di<br />
dt<br />
r i<br />
� di<br />
dt<br />
-65-<br />
-66-<br />
33
Die Spule VII<br />
Induzierte Spannung <strong>und</strong> induktive Spannung<br />
Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung <strong>und</strong> Strom:<br />
R<br />
R<br />
B �<br />
ind 0 < u<br />
B �<br />
ind 0 < i<br />
n �<br />
ind 0 > i<br />
n �<br />
ind 0 > u<br />
i > 0<br />
i > 0<br />
Die Spule VIII<br />
a)<br />
d�<br />
m<br />
> 0<br />
dt<br />
1<br />
1‘<br />
d� m<br />
u = + > 0<br />
dt<br />
b)<br />
d�<br />
m<br />
< 0<br />
dt<br />
1<br />
1‘<br />
d� m<br />
u = + < 0<br />
dt<br />
• Angelegte Spannung u bewirkt einen<br />
elektrischen Strom i in <strong>der</strong> Schleife<br />
(Richtungen nach dem Verbraucherpfeilsystem).<br />
• Annahme: Es sei du/dt > 0 <strong>und</strong> somit<br />
auch di/dt > 0.<br />
• Magnetische Flussdichte B <strong>und</strong> Flächennormalenvektor<br />
sind gleichsinnig gerichtet.<br />
• Magnetischer Fluss �m mit Bezugspfeil entsprechend<br />
dem Flächennormalenvektor<br />
wird daher positiv berechnet: d�m/dt > 0.<br />
• Induzierte Spannung uind in einer Windung,<br />
die im Rechtsschraubensinn zum<br />
Flächennormalenvektor gezählt wird, ist<br />
wegen uind = – d�m/dt negativ !<br />
Induzierte Spannung <strong>und</strong> induktive Spannung<br />
Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung <strong>und</strong> Strom:<br />
• Maschenspannung in <strong>der</strong> Leiterschleife<br />
(cf. hierzu auch Beispiel aus Folie 1-266):<br />
R�i()� t ut ()= uind = � d�m dt<br />
R � 0 :<br />
�u()= t uind = � d�m dt<br />
ut ()= �uind = + d�m u = �u ind<br />
(ideale Spule ohne ohm’schen Wi<strong>der</strong>stand)<br />
dt<br />
Induktive elektrische<br />
Spannung<br />
� Fliesst durch die Leiterschleife<br />
(Spule) ein zeitabhängiger elektrischer<br />
Strom, so wird in <strong>der</strong> Schleife eine<br />
Spannung u ind induziert, welche den<br />
Aufbau des Magnetfeldes (bzw. den<br />
Stromfluss) zu verhin<strong>der</strong>n versucht<br />
(Lenz’sche Regel). Es muss von<br />
aussen eine Spannung u angelegt<br />
werden, die gerade u ind kompensiert,<br />
damit ein Strom fliessen kann.<br />
� Haben die Spannung u <strong>und</strong> <strong>der</strong><br />
Strom i gleichgerichtete Bezugspfeile<br />
(Verbrauchersystem), dann ist die<br />
Spannung u gleich <strong>der</strong> negativen<br />
induzierten Spannung u ind <strong>und</strong> heisst<br />
«induktive elektrische Spannung».<br />
-67-<br />
-68-<br />
34
Die Spule IX<br />
Der verkettete magnetische Fluss<br />
Spule mit w Windungen:<br />
Induktive elektrische Spannung<br />
Die Spule X<br />
Die Induktivität <strong>der</strong> Spule<br />
Beispiel: «Toroidspule»<br />
(A) exakt:<br />
(B) genähert:<br />
(C) allgemein:<br />
� = w��m = μ0μ r �w 2 b �ln ra ri 2�<br />
� = w��m = μ0μ r �w 2 �A<br />
�i<br />
�<br />
� = L�i<br />
Der mit <strong>der</strong> Spule verkettete magnetische Fluss<br />
� ist direkt proportional zur Stromstärke i durch<br />
die Spule. Die Proportionalitätskonstante heisst<br />
Induktivität L <strong>der</strong> Spule. L hängt nur von <strong>der</strong><br />
Geometrie <strong>und</strong> dem Material <strong>der</strong> Spule ab.<br />
( )<br />
• Bisherige Betrachtungen waren<br />
bezüglich einer Windung.<br />
• Bei w Windungen umschliesst <strong>der</strong><br />
Spulendraht den magnetischen<br />
Fluss � m w mal; o<strong>der</strong>:<br />
• Der magnetische Fluss � m durchsetzt<br />
die vom Spulendraht aufgespannte<br />
Fläche w mal. Damit ist:<br />
u = w� d� m<br />
dt<br />
=: d�<br />
dt<br />
• Die Grösse � = w·� m heisst<br />
verketteter magnetischer Fluss.<br />
• Einheit: [� ] = [� m ] = Vs = Wb.<br />
�i<br />
L = μ0μ r �w 2 b �ln ra ( r ) i<br />
2�<br />
L = μ0μ r �w 2 A<br />
�<br />
( )<br />
� w2 �A�� �1<br />
L = �<br />
i<br />
[ L]=<br />
Vs<br />
= H «Henry»<br />
A<br />
-69-<br />
-70-<br />
35
Die Spule XI<br />
Zeitliche Variation <strong>der</strong> Zustandsgrössen<br />
i, � , u<br />
� () t<br />
0<br />
it ():=<br />
u (t)<br />
i (t)<br />
u = w� d� m<br />
dt<br />
T 4 T 2 3T 4 T t<br />
î �cos( �t )<br />
Die Spule XII<br />
Netzwerkelement <strong>und</strong> Symbol<br />
(1) Schaltsymbol:<br />
a)<br />
b)<br />
(4) Spannungen <strong>und</strong> Ströme:<br />
u = L� di<br />
dt<br />
u<br />
L<br />
u<br />
L<br />
i = 1<br />
L<br />
�<br />
i<br />
i<br />
� u( � )�d�+<br />
I0 �<br />
0<br />
Verbraucherbezugspfeilsystem<br />
!<br />
= d�<br />
dt<br />
= L � di<br />
dt<br />
di t<br />
ut ()= L� ()<br />
dt<br />
Die elektrische Spannung u<br />
eilt dem Strom i durch die<br />
Spule eine Viertelperiode<br />
voraus, bzw. <strong>der</strong> Strom i<br />
ist nacheilend.<br />
(2) Definitionsgleichung:<br />
� = L�i<br />
(3) Zum Netzwerkelement:<br />
• Idealisierung besteht in <strong>der</strong> Vernachlässigung<br />
des Drahtwi<strong>der</strong>standes<br />
<strong>und</strong> <strong>der</strong> Wicklungskapazität.<br />
• (a) Altes IEC-Symbol;<br />
(b) Aktuelles DIN-Symbol.<br />
Mathematisches<br />
Netzwerkmodell<br />
<strong>der</strong> Spule<br />
-71-<br />
-72-<br />
36
Die Spule XIII<br />
Energieinhalt <strong>der</strong> Spule<br />
(1) Zur Induktivität <strong>der</strong> «rechteckigen» Spule:<br />
A = a 2<br />
i<br />
μ 0μ r � A<br />
a<br />
Die Spule XIV<br />
a<br />
w �<br />
Energieinhalt <strong>der</strong> Spule<br />
(1) Zur Induktivität <strong>der</strong> «rechteckigen» Spule:<br />
�<br />
A<br />
• Herleitung siehe Folien 1-283 bis 1-287:<br />
Wm = 1<br />
2 � � H � � B �V =: 1<br />
�H �B�V<br />
2<br />
• Voraussetzungen: Lange Spule, Magnetfeld<br />
nur im Innern vorhanden; äusseres<br />
Streufeld wird vernachlässigt:<br />
�<br />
H = H � � e �<br />
H = w�i<br />
�<br />
�<br />
B = B� � e �<br />
B = μ0μ r� w�i<br />
�<br />
( )�a 2<br />
� = w�� m = w� � B� � n<br />
• Induktivität: Zeigt den selben Ausdruck wie<br />
bei <strong>der</strong> Näherungsrechnung für die Toroid-<br />
Spule (Folie 70).<br />
� = w� � B� � ( n)�a<br />
2 = μ0μ rw 2 a 2<br />
�i<br />
�<br />
L = �<br />
i = μ0μ rw 2 a 2<br />
�<br />
= μ 0μ rw 2 A<br />
�<br />
• Formfaktor <strong>der</strong> Induktivität ist das Feldvolumen,<br />
welches wie folgt parametrisiert ist.<br />
V = ��A<br />
�: Mittellinie<br />
A: Querschnittsfläche<br />
-73-<br />
-74-<br />
37
Die Spule XV<br />
Energieinhalt <strong>der</strong> Spule<br />
(2) Im Magnetfeld gespeicherte Energie:<br />
Mit dem H- <strong>und</strong> dem B-Feld aus Folie 73 ergibt sich für die Energie:<br />
H = w�i<br />
B =<br />
�<br />
μ0μ r� w�i<br />
Wm =<br />
�<br />
1 w�i<br />
�<br />
2 � � μ0μ r�w�i � V� � A��<br />
������������������������� Wm = 1<br />
2 � μ0μ r�w 2 �A<br />
�i<br />
�<br />
2 = 1<br />
2 �L�i2<br />
Wm = 1<br />
2 � μ0μ r�w 2 � �A � 1<br />
�i<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� �i =<br />
2 ���i<br />
Wm = 1<br />
2 � μ0μ r�w 2 �1<br />
� �A �<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� � 2 = 1 �2<br />
�<br />
2 L<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
Wm = 1<br />
2 �L�i2<br />
Wm = 1<br />
2 ���i<br />
Wm = 1 �2<br />
�<br />
2 L<br />
Die Spule XVI<br />
Berechnung spezieller Induktivitäten<br />
Beziehungen zur Induktivität:<br />
� = L�i<br />
u = L� di<br />
dt<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� L<br />
Wm = 1<br />
2 �L�i2 � L = 2�Wm i 2<br />
Äquivalente Darstellungen<br />
Die Induktivität lässt sich auch ohne verketteten<br />
Fluss, d.h. über den Energieinhalt<br />
<strong>der</strong> Spule bestimmen: innere Induktivität.<br />
Die Bestimmung von Induktivitäten soll<br />
nun anhand von zwei Beispielen aus<br />
<strong>der</strong> Praxis dargestellt werden. Hierbei<br />
werden zwei verschiedene Anteile <strong>der</strong><br />
Induktivität in Erscheinung treten.<br />
-75-<br />
-76-<br />
38
Die Spule XVII<br />
Beispiel: «Zweidrahtleitung»<br />
(1) Betrachtete Anordnung:<br />
Aa: «äussere»<br />
Fläche<br />
Ai: «innere»<br />
Fläche<br />
In <strong>der</strong> xy-Ebene:<br />
�<br />
H = � i<br />
2� �x �� e z �<br />
Die Spule XVIII<br />
Beispiel: «Zweidrahtleitung»<br />
(2) Die äussere Indukivität L a :<br />
i<br />
2� �( d � x)<br />
�� ez • In <strong>der</strong> unendlich langen<br />
Doppelleitung wird die<br />
Fläche unendlich gross.<br />
• Der magnetische Fluss<br />
ist auch unendlich gross.<br />
• Wie erfasst man L ?<br />
• Induktivitätsbelag L’ = H/m<br />
� Den verkettete Fluss durch die «äussere» Fläche mit <strong>der</strong> erzeugenden Stromstärke<br />
in Verbindung bringen.<br />
w=1 �<br />
�a = �ma =<br />
��<br />
Aa �<br />
B� � n� dA<br />
= μ 0i�<br />
2� �<br />
d�� 0<br />
�<br />
� 0<br />
� 1 1 �<br />
+<br />
�<br />
� x d � x �<br />
� �dx<br />
= μ0i� 2� � ln d � � ��<br />
� � �<br />
0 � � � 0 �<br />
�<br />
�<br />
� �0 �<br />
� � ln<br />
�<br />
� d � �0 �<br />
� �<br />
��<br />
�� = μ0i� � �ln d � � � � 0<br />
�<br />
� �0 �<br />
�<br />
La � = La � = �a i� = μ0 � � ln d � � � 0<br />
�<br />
� �0 �<br />
�<br />
�<br />
d�� 0 ���� La � = μ0 �<br />
negatives Vorzeichen<br />
fällt weg, da das B-<br />
Feld <strong>und</strong> <strong>der</strong> Bezugspfeil<br />
von � m die gleiche<br />
Richtung (-z) haben.<br />
� d �<br />
�ln<br />
�<br />
� �0 �<br />
�<br />
-77-<br />
-78-<br />
39
Die Spule XIX<br />
Beispiel: «Zweidrahtleitung»<br />
(3) Der äussere Indukivitätsbelag L a ’:<br />
La� μ0 �<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 cm d<br />
Die Spule XX<br />
� 0<br />
0,2 cm<br />
0,4 cm<br />
1,0 cm<br />
2,0 cm<br />
Beispiel: «Zweidrahtleitung»<br />
(4) Die innere Indukivität L i :<br />
A i : «innere»Fläche<br />
A i = A 1 + A 2<br />
La � = μ0 �<br />
� d �<br />
�ln<br />
�<br />
� �0 �<br />
�<br />
• Durch die innere Fläche Ai tritt auch ein verketteter Fluss.<br />
• Symmetrie: Es muss <strong>der</strong> gesamte<br />
verkettete Fluss nur für<br />
einen Leiter berechnet werden.<br />
Für beide Leiter gilt dann<br />
entsprechend das Doppelte.<br />
• Abstand d >> �0 <strong>der</strong> Leiter sei<br />
gross: nur «eigenes» H-Feld<br />
zählt innerhalb von �0. • Im Leiterinnern A1 ist <strong>der</strong> Fluss<br />
nicht mehr mit dem gesamten<br />
Strom i verkettet; es gilt:<br />
i � = i<br />
�0 2<br />
�0 2 � �x 2 � = i� x2<br />
-79-<br />
-80-<br />
40
Die Spule XXI<br />
Beispiel: «Zweidrahtleitung»<br />
(4) Die innere Indukivität L i :<br />
Die Spule XXII<br />
Beispiel: «Zweidrahtleitung»<br />
(4) Die innere Indukivität L i :<br />
L i = 2� 2�W mi<br />
i 2<br />
= μ 0μ r �<br />
4�<br />
(5) Die gesamte Indukivität L:<br />
L = L a + L i � μ 0�<br />
�<br />
� d �<br />
� ln<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� + μ0μ r�<br />
4�<br />
� 0<br />
(6) Der Induktivitätsbelag L’ <strong>der</strong> Doppelleitung :<br />
L � = L<br />
� � μ0 �<br />
� d �<br />
� ln<br />
�<br />
� �0 �<br />
� + μ ��<br />
� r �<br />
�<br />
�<br />
�� 4 ��<br />
• Die Durchdringung des verketteten Flusses mit<br />
dem zugehörigen «ortsabhängigen» Strom bedarf<br />
einer allgemeinen Fassung von � = L·i.<br />
• Wir gehen den an<strong>der</strong>en Weg über die Energie:<br />
� i<br />
H = 2<br />
2� ��0 ��<br />
�<br />
B = μ0μ r � i<br />
2<br />
2� ��0 ��<br />
Wmi = 1<br />
2 �<br />
�0 �<br />
� H � � B � 2�����d� =<br />
0<br />
� 0<br />
= μ0μ r � i 2 2��<br />
8� 2 � � 4<br />
��0 3 � d� = μ0μ r � i 2 �<br />
16�<br />
0<br />
Folie 1-196<br />
Der Faktor 2 steht für die Berücksichtigung<br />
<strong>der</strong> beiden Leiter.<br />
Die Doppelleitung setzte sich aus<br />
einem äusseren <strong>und</strong> inneren Bereich<br />
zusammen: Induktivitätsbeiträge<br />
können addiert werden.<br />
-81-<br />
-82-<br />
41
Die Spule XXIII<br />
Beispiel: «Koaxialleitung»<br />
(1) Zur Anordnung:<br />
Leiterabschnitt<br />
<strong>der</strong> Länge �<br />
�<br />
� a = � ma =<br />
�<br />
�<br />
Die Spule XXIV<br />
Beispiel: «Koaxialleitung»<br />
(2) Die äussere Indukivität L a :<br />
��<br />
A<br />
�<br />
B � � n �dA<br />
La = �a i = μ0� 2� �ln � � ai<br />
�<br />
� �i (3) Die innere Indukivität L i :<br />
=<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ai<br />
�<br />
� i<br />
Das Magnetfeld <strong>der</strong> Koaxialleitung<br />
wurde bereits auf Folie 1-208 bis<br />
1-211 hergeleitet:<br />
�<br />
B = μ0μ r i<br />
2<br />
2��i ��<br />
�<br />
B = μ0 i<br />
2��<br />
�<br />
B = μ0μ r i<br />
2��i μ0i 2�� ���d� = μ0i� 2� �ln � � � ai<br />
�<br />
� �i �<br />
�<br />
�<br />
2 � 1� �2 2<br />
� �ai 2 2<br />
�<br />
� �a � �ai<br />
Die äussere Induktivität ergibt sich<br />
aus <strong>der</strong> Verkettung des magnetischen<br />
Flusses im «Leiterzwischenraum» mit<br />
<strong>der</strong> erzeugenden Stromstärke.<br />
Die innere Induktivität berechnet sich wie<strong>der</strong>um über die<br />
Energie unter Berücksichtigung <strong>der</strong> magnetischen Fel<strong>der</strong> aus<br />
Folie 82. Die resultierenden Ausdrücke sind kompliziert <strong>und</strong><br />
sollen hier nicht explizit hergeleitet werden.<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
-83-<br />
-84-<br />
42
Die Spule XXV<br />
Beispiel: «Koaxialleitung»<br />
(3) Die innere Indukivität L i :<br />
Wmi = μ0μ r�i 2<br />
16� + μ0μ r�i 2<br />
4�<br />
Beitrag des (einzigen)<br />
Innenleiters (cf. Folien<br />
81 <strong>und</strong> 82).<br />
Li = μ0μ r�<br />
8� + μ0μ r�<br />
2�<br />
Li = μ0μ r� 8� + μ0μ r� 2�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
1+ 2� 2<br />
ai<br />
2 2<br />
�a � �ai<br />
+<br />
�1�<br />
2<br />
�ai 2<br />
�a � �ai<br />
1+ 2� 2<br />
ai<br />
2 2<br />
�a � �ai<br />
+<br />
�1�<br />
Die Spule XXVI<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
2<br />
�ai 2<br />
�a � �ai<br />
Beispiel: «Koaxialleitung»<br />
(3) Die innere Indukivität L i :<br />
Beitrag des<br />
Innenleiters<br />
(konstant)<br />
1+ 2� 2<br />
ai<br />
2 2<br />
�a � �ai<br />
+<br />
�1�<br />
2<br />
�ai 2<br />
�a � �ai<br />
4<br />
2�ai 2 2 ( �a � �ai ) 2<br />
2 + � 2 2<br />
a + �ai<br />
( )<br />
2 2<br />
4 �a � �ai<br />
4<br />
2�ai 2 2 ( �a � �ai ) 2<br />
2 + � 2 2<br />
a + �ai<br />
( )<br />
2 2<br />
4 �a � �ai<br />
4<br />
2�ai �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
��<br />
2 2 ( �a � �ai ) 2<br />
2 + � 2 2<br />
a + �ai<br />
(4) Der Induktivitätsbelag <strong>der</strong> Koaxialleitung L’:<br />
L � = Li � + La� � μ0μ r<br />
8� + μ0 2� �ln � � ai<br />
�<br />
� �i �<br />
�<br />
�<br />
( )<br />
2 2<br />
4 �a � �ai<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
��<br />
�ln �a �<br />
� �ai �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�ln �a �<br />
� �ai �<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�ln �a �<br />
� �ai �<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
(siehe hierzu auch Folie 84)<br />
Beitrag des<br />
Aussenleiters<br />
(sehr klein)<br />
-85-<br />
-86-<br />
43
Die Spule XXVII<br />
Beispiel: «Koaxialleitung»<br />
(5) Zum Induktivitätsbelag <strong>der</strong> Koaxialleitung:<br />
La� ,<br />
μ0 8�<br />
L�i μ0 8�<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
� i = 0,1cm<br />
� i = 0,5 cm<br />
hier gemäss Formel<br />
aus Folie 86<br />
� La � La � Li , μr = 1<br />
0 2 4 6 8 10 cm � ai<br />
Die Spule XXIX<br />
Bauformen technischer Spulen<br />
(1) Auswahl verschiedener Spulentypen:<br />
Integrierte Mikrowellen-Spulen<br />
(1 GHz – 0.5 THz)<br />
Merke: Falls � i gross wird,<br />
d.h. in die Nähe von � ai<br />
rückt, dann kann <strong>der</strong> Beitrag<br />
von L i ’ gross werden.<br />
La� L� � μ0 2� ln � ��<br />
� ai<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�� �i Li� �<br />
�<br />
� + μ � r �<br />
�<br />
4 ��<br />
Wandstärke des Aussenleiters:<br />
0.2 cm.<br />
Bauarten:<br />
• Luftspulen (> 500 MHz)<br />
• Spulen mit Magnetkern<br />
• Toroidspulen<br />
• Schalenkernspulen<br />
Spulenkerne:<br />
• Geschichtete, mit Papier<br />
isolierte, dünne Eisenbleche<br />
mit �r = 100 –<br />
10’000.<br />
• Ferrit-Kerne, d.h. gesintertes<br />
Eisenoxid-Keramik<br />
für mittelfrequente Anwendungen.<br />
-87-<br />
-88-<br />
44
Gekoppelte Spulen I<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(1) Experimentalanordnung zur Definition <strong>der</strong> Gegeninduktivität:<br />
Gekoppelte Spulen II<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(1) Experimentalanordnung zur Definition <strong>der</strong> Gegeninduktivität:<br />
(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i 1 :<br />
Das Magnetfeld bzw. Fluss � 11<br />
wird erzeugt:<br />
�11 = w1 ��m1 =<br />
�<br />
= w1 � B1 � � n1 � dA<br />
��<br />
A 1<br />
Das Magnetfeld <strong>der</strong> Spule 1<br />
koppelt auch in die Spule 2:<br />
�21 = w2 ��m21 =<br />
�<br />
= w2 � B1 � � n2 �dA<br />
��<br />
A 2<br />
(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i 1 :<br />
� m21 ist <strong>der</strong> von <strong>der</strong> Spule 1<br />
durch den Querschnitt A 2 <strong>der</strong><br />
Spule 2 erzeugte magnetische<br />
Fluss, welcher den mit <strong>der</strong><br />
Spule 2 verketteten magnetischen<br />
Fluss � 21 hervorruft.<br />
Wir schreiben nun:<br />
� 11 = L 1 �i 1<br />
� 21 = M 21 �i 1<br />
Eigen-<br />
Induktivität<br />
Gegen-<br />
Induktivität<br />
M 21 = f(Geometrie 1 <strong>und</strong> 2,<br />
gegenseitige Lage)<br />
-89-<br />
-90-<br />
45
Gekoppelte Spulen III<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(1) Experimentalanordnung zur Definition <strong>der</strong> Gegeninduktivität:<br />
Gekoppelte Spulen IV<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(1) Experimentalanordnung zur Definition <strong>der</strong> Gegeninduktivität:<br />
(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i 2 :<br />
(<strong>der</strong> Strom i 1 := 0 A)<br />
�22 = w2 ��m2 =<br />
�<br />
= w2 � B2 � � n2 �dA<br />
��<br />
A 2<br />
Das Streufeld <strong>der</strong> Spule 2<br />
koppelt auch in die Spule 1<br />
<strong>und</strong> es ergibt sich:<br />
�12 = w1 ��m12 =<br />
�<br />
= w1 � B2 � � n1 �dA<br />
��<br />
A 1<br />
(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i 2 :<br />
� m12 ist <strong>der</strong> von <strong>der</strong> Spule 2<br />
durch den Querschnitt A 1 <strong>der</strong><br />
Spule 1 erzeugte magnetische<br />
Fluss, welcher den mit <strong>der</strong><br />
Spule 1 verketteten magnetischen<br />
Fluss � 12 hervorruft.<br />
Wir schreiben nun:<br />
� 22 = L 2 �i 2<br />
� 12 = M 12 �i 2<br />
Eigen-<br />
Induktivität<br />
Gegen-<br />
Induktivität<br />
M 12 = f(Geometrie 1 <strong>und</strong> 2,<br />
gegenseitige Lage)<br />
-91-<br />
-92-<br />
46
Gekoppelte Spulen V<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(2) Zwei stromführende Spulen:<br />
Durch Spule 1 fliesst Strom i 1 <strong>und</strong> gleichzeitig fliesst durch Spule 2 <strong>der</strong> Strom i 2 :<br />
Da alle Beziehungen linear sind können die damit verknüpften verketteten Teilflüsse<br />
überlagert werden:<br />
� 1 = � 11 + � 12<br />
� 2 = � 21 + � 22<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� 1 = L 1 �i 1 + M 12 �i 2<br />
� 2 = M 21�i 1 + L 2 �i 2<br />
Frage: Wie verhalten sich die beiden Gegeninduktivitäten M12 <strong>und</strong> M21 zueinan<strong>der</strong>?<br />
Annahme: <strong>der</strong> Raum zwischen den beiden Spulen sei isotrop.<br />
Es sei: (1) i1 = I1 <strong>und</strong> i2 = 0: Erstes Gedankenexperiment.<br />
Wm1 = 1<br />
2 �L 2<br />
1�I 1<br />
Wm2 = 0<br />
Gekoppelte Spulen VI<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(2) Zwei stromführende Spulen:<br />
(2) i 1 = I 1 <strong>und</strong> i 2 = 0 � I 2 : Verkopplung führt nun zur gegenseitigen Beeinflussung, d.h.<br />
zur Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> verketteten Flüsse in Spule 1 <strong>und</strong> Spule 2. Dadurch wird in beiden<br />
Spulen je eine (Gegen-)Spannung induziert.<br />
uind1 = � d�12 dt = �M 12 � di2 dt<br />
= 1<br />
2 L 1 I 1<br />
I 2<br />
1<br />
� + � L2I 2 �di2 =<br />
2 L1I1 2 + M12 I 1 �di 2<br />
0<br />
I 2<br />
0<br />
uind 2 = � d� 21<br />
dt = �M 21 � di1 dt<br />
Wm = 1<br />
2 L1I Damit i2 = 0 � I2 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes diese Gegenspannungen<br />
überw<strong>und</strong>en werden, d.h. es wird daher folgende Energie im Feld gespeichert.<br />
t<br />
Arbeit um die durch di2 in Spule 1<br />
2 induzierte Spannung zu überwinden.<br />
1 + ( �uind1 � i1 � uind 2i2 )�dt =<br />
Energieinhalt<br />
Arbeit für Feld-<br />
0<br />
Spule 1<br />
Aufbau in Spule 2<br />
2 + M12 I 1 I 2 + 1<br />
2<br />
2 L 2 I 2<br />
-93-<br />
-94-<br />
47
Gekoppelte Spulen VII<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(2) Zwei stromführende Spulen:<br />
(3) i 2 = I 2 <strong>und</strong> i 1 = 0: Umgekehrtes Gedankenexperiment.<br />
Wm1 = 0 Wm2 = 1<br />
2 �L2 �I 2<br />
2<br />
(4) i 2 = I 2 <strong>und</strong> i 1 = 0 � I 1 : Damit i 1 = 0 � I 1 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes<br />
diese Gegenspannungen überw<strong>und</strong>en werden, d.h. es wird daher folgende Energie<br />
im Feld gespeichert.<br />
I 1<br />
0<br />
I 1<br />
Wm = 1<br />
2 L2I 2 1<br />
2 + � M 21I 2 �di1 + � L1I1 �di1 =<br />
2 L2I 2<br />
2 + M 21I 2I1 + 1<br />
2 L1I 2<br />
1<br />
(5) Fazit: Da im Endzustand in beiden<br />
Gedankenexperimenten jeweils die<br />
gleichen Ströme fliessen müssen,<br />
gilt für die Gegeninduktivitäten:<br />
Gekoppelte Spulen VIII<br />
Die Gegeninduktivität<br />
(3) Zusammenfassung:<br />
� 1 = L 1�i 1 + M �i 2<br />
� 2 = M �i 1 + L 2 �i 2<br />
Der verkettete magnetische Fluss in<br />
zwei magnetisch verkoppelten Spulen<br />
ist direkt proportional zu den elektrischen<br />
Stromstärken in den Spulen<br />
Die Proportionalitätskonstanten sind<br />
die Eigeninduktivitäten L1 <strong>und</strong> L2 <strong>der</strong><br />
beiden Spulen sowie die Gegeninduktivität<br />
M zwischen den Spulen.<br />
Für die Einheiten gilt demnach:<br />
[L1 ] = [L2 ] = [M] = Vs/A = H (Henry)<br />
0<br />
M 12 = M 21 := M<br />
u1 = L1 � di1 dt + M � di2 dt<br />
u2 = M � di1 dt + L2 � di2 dt<br />
Gekoppelte Spulen<br />
sind bezüglich <strong>der</strong><br />
gegenseitigen Verkopplung<br />
reziprok.<br />
Die an den Klemmen zweier gekoppelten<br />
Spulen anliegenden elektrischen Spannungen<br />
u 1 <strong>und</strong> u 2 setzen sich aus zwei<br />
Anteilen zusammen: Der eine Anteil ist<br />
Proportional zur Stromän<strong>der</strong>ung in <strong>der</strong><br />
betrachteten Spule, <strong>der</strong> an<strong>der</strong>e Anteil ist<br />
proportional zur Stromän<strong>der</strong>ung in <strong>der</strong><br />
verkoppelten Spule.<br />
-95-<br />
-96-<br />
48
Gekoppelte Spulen IX<br />
Die Bezugspfeilordnungen<br />
(1) Die physikalische Anordnung: • Verbraucherbezugspfeilsystem<br />
• Bezugspfeile werden an den<br />
beiden Spulen so gewählt,<br />
dass die jeweiligen Bezugspfeile<br />
<strong>der</strong> Stromstärken bzw. <strong>der</strong> Spannungen<br />
parallel zueinan<strong>der</strong> liegen.<br />
• Flächennormalenvektor bzw.<br />
<strong>der</strong> Bezugspfeil des verketteten<br />
magnetischen Flusses steht zur<br />
elektrischen Stromstärke im<br />
Rechtsschraubensinn.<br />
• (a) Gleichsinnig gewickelt: Je<br />
einen positiv verketteten Fluss<br />
Mit L1 <strong>und</strong> L2 > 0 � M > 0<br />
gleichsinnig gewickelt gegensinnig gewickelt<br />
Gekoppelte Spulen X<br />
Die Bezugspfeilordnungen<br />
(2) Schaltsymbole <strong>der</strong> gekoppelten Spulen:<br />
Hochfrequenztechnik<br />
Gleichwertige<br />
Schaltsymbole<br />
Nie<strong>der</strong>frequenz<strong>und</strong><br />
Energietechnik<br />
• (b) Gegensinnig gewickelt: Die<br />
Spule 1 hat einen positiven, die<br />
Spule 2 einen negativen Fluss.<br />
Mit L 1 <strong>und</strong> L 2 > 0 � M < 0<br />
Gleichsinnig gewickelte<br />
Spulen (Punkte an gleichen<br />
Enden)<br />
M > 0<br />
Gegensinnig gewickelte<br />
Spulen (Punkte an ungleichen<br />
Enden)<br />
M < 0<br />
-97-<br />
-98-<br />
49
Gekoppelte Spulen XI<br />
Die Bezugspfeilordnungen<br />
(3) Wicklungssinn <strong>und</strong> Bezugspfeilordnung:<br />
u 1<br />
i 1<br />
L 1<br />
M<br />
L 2<br />
u 1<br />
M < 0<br />
a) b)<br />
i 2 i 2<br />
i 1<br />
u2 u2 L1 L2 Gekoppelte Spulen XII<br />
Streufaktor <strong>und</strong> Kopplungsfaktor<br />
M<br />
M>0<br />
Än<strong>der</strong>t man die Bezugspfeilordnung<br />
an einer <strong>der</strong> beiden Spulen, dann<br />
verän<strong>der</strong>n sich (logischerweise) die<br />
Vorzeichenverhältnisse erneut.<br />
(1) Streuflüsse: Streuflüsse <strong>der</strong> Spulen 1 <strong>und</strong> 2:<br />
� m�1 = � m1 �� m21<br />
� m� 2 = � m2 �� m12<br />
Streufaktoren <strong>der</strong> Spulen 1 <strong>und</strong> 2:<br />
� 1 = � m�1<br />
� m1<br />
= 1� � m21<br />
� m1<br />
� 2 = � m� 2<br />
� m2<br />
= � m1 �� m21<br />
� m1<br />
= 1� � m12<br />
� m2<br />
-99-<br />
-100-<br />
50
Gekoppelte Spulen XIII<br />
Streufaktor <strong>und</strong> Kopplungsfaktor<br />
(1) Streuflüsse:<br />
Streufaktoren <strong>der</strong> Spulen 1 <strong>und</strong> 2:<br />
� 1 = 1� � m21<br />
� m1<br />
� 2 = 1� � m12<br />
� m2<br />
= 1� w 1Mi 1<br />
w 2L 1i 1<br />
= 1� w 2 Mi 2<br />
w 1L 2i 2<br />
= 1� w 1M<br />
w 2L 1<br />
= 1� w 2 M<br />
w 1L 2<br />
Streufaktoren sind ein Mass dafür, wie gross<br />
<strong>der</strong> Anteil des magnetischen Flusses <strong>der</strong><br />
einen Spule ist, welcher die an<strong>der</strong>e Spule<br />
nicht durchsetzt.<br />
Z.B.: Fluss � m1 durchsetzt Spule 2 vollständig<br />
� m1 = � m21 � � 1 = 0<br />
Gekoppelte Spulen XIV<br />
Streufaktor <strong>und</strong> Kopplungsfaktor<br />
(2) Kopplungsfaktoren:<br />
Kopplungsfaktoren zwischen den Spulen 1 <strong>und</strong> 2:<br />
k 1 = � m21<br />
� m1<br />
k 2 = � m12<br />
� m2<br />
= w 1 M<br />
w 2L 1<br />
= w 2M<br />
w 1 L 2<br />
k 1 = 1� � 1<br />
k 2 = 1� � 2<br />
Kopplungsfaktoren sind ein Mass für die Verkopplung<br />
<strong>der</strong> beiden Spulen miteinan<strong>der</strong>.<br />
Z.B.: Fluss � m1 durchsetzt Spule 2 vollständig<br />
� m1 = � m21 � k 1 = 1<br />
Es gilt zudem:<br />
� = L�i � � m = L<br />
w �i<br />
�m1 = L1 �i1 w1 �m21 = M<br />
�i1 w2 �m2 = L2 w2 �i2 �m12 = M<br />
�i2 w1 Für reale Spulen gilt immer:<br />
k1 < 1 �1 > 0<br />
k2 < 1 � 2 > 0<br />
Typischerweise haben die<br />
Streufaktoren � eher kleine<br />
Werte, d.h. die Kopplungsfaktoren<br />
gehen gegen eins.<br />
-101-<br />
-102-<br />
51
Gekoppelte Spulen XV<br />
Streufaktor <strong>und</strong> Kopplungsfaktor<br />
(3) Gesamtstreufaktoren <strong>und</strong> Gesamtkopplungsfaktoren:<br />
Die Gesamtkopplungs- bzw. Gesamtstreufaktoren erfolgen aus einer Mittelwertbildung:<br />
k = k 1�k 2 = � m21<br />
� m1<br />
� � m12<br />
� m2<br />
� = 1� k 2 2<br />
M<br />
� � = 1�<br />
L1 �L2 = M 2<br />
L 1�L 2<br />
Näherung für kleine Streufaktoren � 1 <strong>und</strong> � 2 :<br />
= M<br />
L 1 �L 2<br />
� k = M<br />
L 1 �L 2<br />
� = 1� k 2 = 1� k1 �k2 = 1� ( 1� �1 )�( 1� � 2 )= 1�1+ �1 + � 2 � �1� 2<br />
z d 1<br />
� � 1 + � 2 � � � � 1 + � 2<br />
Gekoppelte Spulen XVI<br />
Beispiel: «Zwei ineinan<strong>der</strong>liegende Spulen»<br />
(1) Anordnung:<br />
�<br />
H 1 , � B 1<br />
�<br />
n 2<br />
w 2<br />
� 2<br />
i 2<br />
�<br />
w 1 i 1<br />
� 1<br />
� 2<br />
d 2<br />
� 1<br />
�<br />
n 1<br />
�<br />
H 2 , � B 2<br />
-103-<br />
Voraussetzungen:<br />
• Äussere Spule ist ideal, d.h.<br />
Streufeld wird vernachlässigt.<br />
• Für � = 0 sind die beiden<br />
Spulen gleichsinnig gewickelt.<br />
• Es sei zuerst nur die äussere<br />
Spule angeschlossen, d.h.<br />
i1 � 0 <strong>und</strong> i2 = 0.<br />
Gesucht:<br />
• Die Gegeninduktivität M <strong>der</strong><br />
angegebenen Anordnung.<br />
-104-<br />
52
Gekoppelte Spulen XVII<br />
Beispiel: «Zwei ineinan<strong>der</strong>liegende Spulen»<br />
(2) Magnetfeld <strong>und</strong> magnetischer Fluss:<br />
z d 1<br />
�<br />
H 1 , � B 1<br />
�<br />
n 2<br />
w 2<br />
� 2<br />
i 2<br />
�<br />
� m21 = μ 0 w 1 i 1<br />
� 1<br />
w 1 i 1<br />
� 1<br />
� 2<br />
d 2<br />
� 1<br />
�<br />
n 1<br />
�<br />
H 2 , � B 2<br />
�cos( � )� � d 2<br />
2<br />
4<br />
Gekoppelte Spulen XVIII<br />
Äussere Spule 1:<br />
H 1 = w 1 i 1<br />
� 1<br />
B 1 = μ 0 w 1 i 1<br />
� 1<br />
Fluss in innerer Spule 2:<br />
� m21 =<br />
= μ 0 w 1 i 1<br />
� 1<br />
Beispiel: «Zwei ineinan<strong>der</strong>liegende Spulen»<br />
(3) Verketteteter magnetischer Fluss:<br />
z d 1<br />
�<br />
H 1 , � B 1<br />
�<br />
n 2<br />
w 2<br />
� 2<br />
i 2<br />
�<br />
w 1 i 1<br />
� 1<br />
� 2<br />
d 2<br />
� 1<br />
�<br />
n 1<br />
�<br />
H 2 , � B 2<br />
M = � 21<br />
i 1<br />
��<br />
A2 �<br />
B 1 � � n 2 �dA<br />
��� cos(<br />
� )�dA<br />
A 2<br />
Mit <strong>der</strong> inneren Spule 1 ist demnach<br />
<strong>der</strong> folgende magnetische<br />
Fluss verkettet:<br />
� 21 = w 2 �� m21<br />
= μ 0 w 1 w 2 i 1<br />
� 1<br />
�cos( � )� � d 2<br />
2<br />
4<br />
Für die Gegeninduktivität M gilt<br />
daher die einfache Beziehung:<br />
= μ0w1w 2<br />
2� d2 �cos( � )<br />
4� 1<br />
-105-<br />
-106-<br />
53
Gekoppelte Spulen XIX<br />
Beispiel: «Zwei ineinan<strong>der</strong>liegende Spulen»<br />
(3) Alternative Berechnung <strong>der</strong> Gegeninduktivität:<br />
z d 1<br />
�<br />
H 1 , � B 1<br />
�<br />
n 2<br />
w 2<br />
� 2<br />
i 2<br />
�<br />
w 1 i 1<br />
� 1<br />
� 2<br />
d 2<br />
� 1<br />
�<br />
n 1<br />
�<br />
H 2 , � B 2<br />
Diese Anordnung mit einstellbarer<br />
Gegeninduktivität heisst Variometer.<br />
• Man hätte auch umgekehrt, mit<br />
<strong>der</strong> inneren Spule 2 beginnen<br />
können; d.h. i1 = 0 <strong>und</strong> i2 � 0.<br />
• Das Streufeld <strong>der</strong> kurzen,<br />
inneren Spule 2 müsste dabei<br />
aber bei <strong>der</strong> Berechnung mitberücksichtigt<br />
werden, da dieses<br />
Streufeld die Spule 1 durchsetzt.<br />
• Diese Berechnung ist sehr, sehr<br />
aufwändig!<br />
• Wir nutzen besser die Reziprozitätseigenschaft:<br />
M12 = M21 = M.<br />
• Merke: M(�) ist variabel!<br />
M = 0 � � = (2n+1)·�/2<br />
M lässt sich negativ einstellen<br />
-107-<br />
54