3 - Institut für Statistik

Die Wiener Universität zu Beginn des 20. Jahrhunderts

Der Wiener Kreis 1924 - 1936

Der Wiener Kreis 1924 - 1936

Der erste Wiener Kreis
Hans Hahn Moritz Schlick Richard von Mises Otto Neurath

Der Wiener Kreis 1924 - 1936

Der Wiener Kreis 1924 - 1936
Karl Menger 1902-1988

Ernst Mach (1837 – 1916)
Die Mechanik in ihrer
Entwicklung (1883)
Beiträge zur Analyse der
Empfindungen (1886)
Di Die Prinzipien P i i i d der Wä Wärmelehre l h
(1896)
Erkenntnis und Irrtum (1905)
Kultur und Mechanik (1916)

Jules Henri Poincaré (1854 – 1912)
• Science et méthode (1908)
• Dernières pensées (1913)

Der Wiener Kreis 1924 - 1936

Der Wiener Kreis 1924 - 1936

Der Wiener Kreis 1924 - 1936

Luitzen Egbertus Brouwer (1881 - 1966)
1881: geboren am 27. Februar
in Overschie (Niederlande)
1897 - 1904 Studium der Mathematik
an der Universität Amsterdam.
1907: Dissertation
Over de Grondslagen der Wiskunde
1912: Professor für Mathematik an der
Universität Amsterdam.
Dort blieb Brouwer Bro er bis zur r Emeritier Emeritierung. ng
1966: gestorben am 2. Dezember in
Blaricum (Niederlande)

Der Intuitionismus

2
2Der
Intuitionismus
Beispiel:
Es gibt irrationale Zahlen a und b, so dass a b eine rationale Zahl ist.
Konventioneller Beweis:

Der Intuitionismus von Luitzen Egbertus Brouwer (1881 - 1966)
•Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
ist ein unerlaubtes Beweismittel in Logik
und Mathematik.
• Es ist unzulässig, g, Dinge, g ,
welche eine bestimmte Eigenschaft besitzen,
zu einer Menge zu vereinigen.
Auf diesem Wege ist die Mengenlehre
nicht zu begründen.
Vielmehr muß ihr eine konstruktive
Mengendefinition zugrunde gelegt werden.

Konstruktivistische Mengendefinition von Brouwer
„Eine Menge ist ein Gesetz,
auf f Grund G d dessen, d wenn immer i wieder i d ein i willkürlicher illkü li h Ziff Ziffernkomplex k l
der Folge 1, 2, 3, 4, 5 ... gewählt wird,
jede dieser Wahlen entweder ein bestimmtes Zeichen
oder nichts erzeugt oder aber die Hemmung des Prozesses
und die definitive Vernichtung seines Resultates herbeiführt,
wobei für jedes n>1 nach jeder ungehemmten Folge von n-1 Wahlen L. E. Brouwer
wenigstens ein Ziffernkomplex angegeben werden kann, der,
(1881 - 1966)
wenn er als n-ter Ziffernkomplex gewählt wird,
nicht die Hemmung des Prozesses herbeiführt.
Jede in dieser Weise von einer unbegrenzten Wahlfolge erzeugte Zeichenfolge
(welche also im Allgemeinen nicht fertig darstellbar ist)
heißt ein Element der Menge Menge.
Die gemeinsame Entstehungsart der Elemente der Menge M
wird ebenfalls kurz als die Menge M bezeichnet.“

Karl Menger 1902-1985 (Kurze Biographie)
1902: geboren am 13. Januar in Wien
1913 - 20: Gymnasium in Wien
1920 - 24: Studium in Wien (Physik, Mathematik)
1924: Dissertation
1925: Rockefeller-Stipendium, Amsterdam 1926:
Habilitation bei L. E. J. Brouwer
1927 - 36: Professor für Geometrie in Wien
1930: Erste Reise in die USA
1930/31: Aufenthalte in Harvard Harvard, Rice Institute
1937: Emigration in die USA

Karl Menger 1902-1985
Arthur Schnitzlers Sohn Heinrich war ein Schulfreund Karl
Mengers, und so konnte der Gymnasiast Karl sein Stück
„Die Di gottlose ttl Komödie“ K ödi “ durch d h den d größten ößt österreichischen
ö t i hi h
Dramatiker begutachten lassen.
Schnitzlers Tagebucheintragungen spiegeln eine meteorische
Karriere wider:
2. 11. 1921: Karl Menger; erzählt mir von seinem holländischen
Aufenthalt; – seinen mathematischen Studien; liest mir eine neue
Szene zu seinem Stück vor (zwischen Johanna der Päpstin und
dem Ketzer). Begabter, vielleicht genialischer Mensch; – mit
Sonderlings- und größenwahnsinnigen Zügen.
17. 1. 1928: Zu Tisch der junge Menger, der aus Holland wieder
zurück; hier auf eine Professur wartet. Er scheint mit seinen 25
schon europäischen Ruf zu genießen und ich spüre immer sein
Genie auf einem mir freilich unzugänglichen Gebiete.“

Karl Menger (1902 - 1985), Standpunkt 1927
• Für jede der verschiedenen Versionen von Konstruierbarkeit
kann man eine zugehörige deduktive Mathematik entwickeln entwickeln.
• Das Beharren auf einer besonderen Idee der Konstruierbarkeit,
sowie die zugehörigen Entwicklungen als sinnvoll
und die Ablehnungen der darüber hinausgehenden Ergebnisse
als sinnlos zu kennzeichnen
haben nicht den geringsten kognitiven Inhalt.
• Für Mathematik und Logik ist allein die Frage interessant,
wie i man ausgehend h d von gewissen i A Aussagen
gemäß bestimmten Regeln zu anderen Aussagen kommt interessant,
während die Begründung von Aussagen oder Transformationsregeln
mit Bezug auf die Intuition nichts als leere Worte sind.

Karl Menger, Distanzierung vom Wiener Kreis
• Programmschrift Wissenschaftliche Weltauffassung: Der Wiener Kreis (1928/29)
• Gründung des Mathematischen Kolloquiums (1930)
mit Schriftenreihe Ergebnisse g eines Mathematischen Kolloquiums q ( (1931-1937) )
• Krise und Neuaufbau in den exakten Wissenschaften (1933)
• Alte Probleme - Neue Lösungen in den exakten Wissenschaften (1934)
• Neuere Fortschritte in den exakten Wissenschaften (1936)

Popper über Menger
„Am Institut war auch Karl Menger“, erinnerte sich
Sir Karl Popper viele Jahrzehnte später an seine
Studienjahre in Wien Wien,
„mit mir gleichaltrig – aber offenbar ein Genie, voll
von neuen und hinreißenden Ideen. (...) Es wäre
mir nie eingefallen, daß Menger, nach seiner
Professur, mich einladen würde, an seinem
Mathematischen Kolloquium q teilzunehmen.“
Bald nach seiner Rückkehr gründete Menger auf
Anregung von Studenten ein Mathematisches
Kolloquium Kolloquium, eine Art Gegenstück zum Wiener
Kreis. Jeden Dienstag trafen sich Mitglieder und
Gäste, um Vorträge zu hören und zu diskutieren.
Die Aufzeichnungen wurden im darauf folgenden
Jahr als „Ergebnisse eines Mathematischen
Kolloquiums“ Kolloquiums veröffentlicht.

Das Logische Toleranzprinzip
• Tolerante Einstellung: Menger, Der Intuitionismus, 1930
• Wörtlich: Rudolf Carnap. Logische Syntax der Sprache, 1934
In der Logik gibt es keine Moral.
„das Toleranzprinzip:
wir wollen nicht Verbote aufstellen,
sondern Festsetzungen treffen.“
Jeder mag seine Logik, d.h. seine Sprachform, aufbauen wie er will.
Nur muß er,wenn er mit uns diskutieren will, deutlich angeben, wie er es machen will,
syntaktische Bestimmungen geben anstatt philosophische Erörterungen Erörterungen.
“
....
Rudolf Carnap
(1891 - 1970)

Karl Menger (1902-1985)

Karl Menger (1902-1985)

Karl Menger (1902-1985)

Karl Menger (1902-1985)

Karl Menger (1902-1985)

Karl Menger (1902-1985)

Karl Menger (1902-1985)

Karl Menger 1902-1985 (Kurze Biographie)
1937-46: Professor in Notre Dame,
Indiana Indiana, USA
1946-71: 1946 71: Professor in Chicago
1951: Gastprofessor an der
Sorbonne, Paris;
dann: Gastprofessuren
Arizona, Ankara,
1985 gestorben in Chicago

Karl Menger 1942: Statistical Metrics
Eine statistische Metrik ist eine Menge S so dass es für je zwei Elemente
( („points points“) ) p und q in S eine Wahrscheinlichkeitsfunktion F Fpq (x) gibt gibt,
die folgende Bedingungen erfüllt:
(1) ( ) F pp (x) = 1. ()
(2) wenn p ≠q, dann F pq (0) < 1.
(3) F Fpq (x) = F Fqp (x)
(4) T [F pq (x), F qr (y)] ≤ F pr (x+y).
F pq (x) ist für jede reelle Zahl x die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand
zwischen p und q kleiner oder gleich (≤) x ist.

Karl Menger 1942: Statistical Metrics
F pr (x+y) ≥ T( F pq (x), F qr (y)), für p, q, r in S; x, y in R
Die Funktion T [α, β] ist definiert für 0 ≤ α ≤ 1 und 0 ≤ β ≤ 1 so dass gilt:
(a) 0 ≤ T [α, β] ≤ 1.
(b) T is non-decreasing in either variable.
(c) () T [α, [ β] = T[β, [β α]. ]
(d) T [1, 1] = 1.
(e) If α α > 0, dann T [α, 1] > 0.

Karl Menger 1966: Geometry and Positivism. A Probabilistic Microgeometry
Ernst Mach (1837 ( – 1916) ) Jules Henri Poincaré (1854 ( – 1912) )

Kontinuum

Mathematisches Kontinuum

Mathematisches Kontinuum

Physikalisches Kontinuum
Alles, was als Continuum erscheint,
könnte wohl aus diskreten Elementen bestehen,
wenn di dieselben lb nur unsern kl kleinsten i t praktisch kti h angewendeten d t M Maassen
gegenüber hinreichend klein, beziehungsweise hinreichen zahlreich wären.
Überall, wo wir ein Continuum vorzufinden glauben,
heisst das nur, dass wir an den kleinsten wahrnehmbaren Theilen
des betreffenden Systems noch analoge Betrachtungen anstellen
und ein analoges Verhalten bemerken können wie an grösseren.
So weit die Erfahrung noch keine Einsprache erhoben hat,
können wir die in keiner Weise schädliche, sondern nur bequeme Fiktion
des Continuums aufrecht erhalten.
In diesem Sinne nennen wir auch das System der Wärmezustände ein
Continuum.
Ernst Mach, Prinzipien der Wärmelehre, 1923, Kap. Das Continuum, S. 76.
Ernst Mach
(1838-1916)

Karl Menger 1951: Probabilistic Theories of Relations
„Poincarés Poincarés Paradoxon“:
Unterschied zwischen mathematischem und physikalischem Kontinuum
A = B, B = C
?
⇒ A = C
A, B, und C seien Elemente eines Kontinuums.,
Poincaré bahauptet:
Nur im mathematischen Kontinuum folgt aus den
Gleichungen A=B und B=C die Gleichung A=C.
I Im bbeobachtbaren b htb physikalischen h ik li h KKontinuum ti bbedeutet d t t
„gleich“ aber nur „ununterscheidbar“, und
aus A=B und B=C folgt dann nicht A=C.
Das grobe Ergebnis der Erfahrung kann dann durch
folgende Beziehung ausgedrückt werden:
AA=B, B B=C, B C A

Physikalisches Kontinuum
A = B, B = C, A # C.
Wenn also E(a, b) die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass a und b gleich sind, dann
gelten die folgenden Postulate:
• E(a, a) = 1 für alle a;
• E(a, ( b) ) = E(b, ( a) ) für alle a und b;
• E(a, b) · E(b, c) ≤ E(a, c) für alle a, b, c.

Karl Menger 1942: Probabilistic Metrics
• a und b heißen gewiß-gleich (certainly-equal), wenn E(a, b) = 1
(Gl (Gleichheitsrelation)
i hh it l ti )
• Alle die Elementen, die gewiß-gleich zu a sind,
können zu einer “Gleichheitsmenge” A zusammengefaßt werden.
• Alle zwei solchen Mengen g sind disjunkt, j es sei denn sie sind identisch.
• E(A, B) ist die Wahrscheinlichkeit, daß jedes Element von A und jedes Element
von B gleich sind.
Für diese Zahl ist die besondere Wahl der jeweiligen zwei Elemente unabhängig.

Beispiel:
dann :
- log E(A, B) = d(A, B),
• (1 (1a‘) ‘) d(A d(A, A) = 0;
(1 b‘) d(A, B) ≥ 0;
(1c‘) c d(A, B) ≠ 0, wenn A ≠ B;
• (2‘) d(A, B) = d(B, A) für alle a und b;
• (3‘) (3 ) d(A d(A, B) + d(B d(B, C) ≥ d(A d(A, C) C).

Erwin Schrödinger 1920: Theorie der Farbenmetrik (Kolorimetrie)
Der Abstand zwischen zwei Farben C und C‘ ist gleich 1,
wenn sie “klar klar unterscheidbar unterscheidbar” sind sind.
Der Abstand zwischen zwei Farben C und C‘ ist gleich einer
natürlichen tü li h ZZahl hl n, wenn es eine i FFolge l von El Elementen t
C 0 = C, C 1, C 2, ..., C n-1, C n = C‘
gibt, so daß jedes Paar aufeinander-folgender Elemente Ci-1 und C i “klar unterscheidbar” ist und es keine kürzere Kette
dieser Art gibt.
EErwin i Schrödinger S h ödi
(1887 – 1961)

Erwin Schrödinger 1920: Theorie der Farbenmetrik (Kolorimetrie)

Karl Menger: Schriften
• Statistical Metrics (1942)
• Probabilistic Theories of Relations (1951)
• Ensembles Flous et Fonctions
Aléatoires (1951)
• Geometry and Positivism
A Probabilistic Microgeometry (1966)

Karl Menger: Ensembles flous et fonction aléatoires (1951)
U Une relation l ti monaire i au sens classique l i est t un sous-ensemble bl F d de l' l'univers. i
Au sens probabiliste, c'est une fonction Π F définie pour tout x ∈ U.
Nous appellerons cette fonction même un ensemble flou et
nous interpréterons Π F (x) comme la probabilité que x appartienne à cet ensemble.

Karl Menger: Geometry and Positivism. Probabilistic Microgeometry (1966)
Mengers kombinierte:
• statistischen Metriken,
• probabilistischen Abständen,
• der Ununterscheidbarkeit von Elementen,
• und seiner “ensembles flous”
mit dem Konzept von “Klumpen, Haufen” (“lumps”), die leichter identifiziert und
unterschieden werden können, als Punkte.
Die Betrachtung von “Klumpen” erlaubt einen Zustand zwischen Ununterscheidbarkeit
und Verschiedenheit anzunehmen: den Zustand des “Überlappens” (“overlapping”).
E i t i l t b G db iff (d h d fi i t B iff i Th i )
Es ist irrelevant ob Grundbegriffe (d.h. undefinierte Begriffe einer Theorie)
Punkte und wahrscheinlich unterscheidbar oder Klumpen und wahrscheinlich
überlappend sind.

Karl Menger 1966: Geometry and Positivism. Probabilistic Microgeometry
Alles Alles, was interessiert interessiert, sind die Annahmen über diese
Grundbegriffe.
Aber die Annahmen, die in den beiden Fällen
gemacht wurden, sind nicht völlig identisch.
I believe that the ultimate solution of problems if
microgeometry may well lie in a probabilistic theory of
hazy lumps.
Wesentlich für diese Theorie ist, ist dass “Klumpen” Klumpen
keine Punktmengen sind; und sie reflektieren auch
keine Figuren wie z. B. Ellipsoide.
Sie sind eher in gegenseitigen Beziehungen von
Überlappen und Verschiedenheit, aus denen eine
Abstandsfunktion entwickelt werden muss muss.

Menger computer-generiert, 1977.
“In a slightly different terminology, this idea
was recently expressed by Bellman, Kalaba
and Zadeh under the name fuzzy set set.
(These authors speak of the degree rather
than the probability of an element belonging to
a set.)”
→ Mengers Hinweis (1966):
ensembles flous ≅ hazy y sets ≅ fuzzy y sets
Karl Menger (ed.): Selected Papers in Logic and
Doundations, Didactics, Economics.
Vienna Circle Collection, 10,
Dordrecht, Holland: D. Reidel Publ. Comp.,
p. 225-234.

Menger und De Pauli in Kirchberg am Wechsel, 1978.