felix hausdorff

FELIX HAUSDORFF
GesammelteWerke
Springer
Berlin
Heidelberg
New York
Hongkong
London
Mailand
Paris
Tokio

Felix Hausdorff vor dem Hauptgebaude
der Universitat Bonn, Marz 1932
Photographie: Erna BannoWy spatere Ehefrau des Mathematikers Ernst Witt

FELIX HAUSDORFF
Gesammelte Werke
einschliefilich der unter dem Pseudonym Paul Mongre
erschienenen philosophischen und literarischen Schriften
und ausgewahlter Texte aus dem NachlaC
Verantwortlich fiir die gesamte Edition:
Egbert Brieskorn, Friedrich Hirzebruch, Walter Purkert,
Reinhold Remmert und Erhard Scholz

FELIX HAUSDORFF
Gesammelte Werke
BAND I
Felix Hausdorff (1868-1942)
Hausdorff als akademischer Lehrer
Arbeiten zur Mengenlehre
BAND II
Grundziige der Mengenlehre (1914)
BAND III
Mengenlehre (1927,1935)
Deskriptive Mengenlehre und Topologie
BAND IV
Analysis, Algebra
und Zahlentheorie
BANDV
Astronomie, Optik und
Wahrscheinlichkeitstheorie
BAND VI
Geometrie, Raum und Zeit
BAND VII
Philosophisches Werk
BAND VIII
Literarisches Werk
BAND IX
Korrespondenz

FELIX HAUSDORFF
Gesammelte Werke
BAND III
Mengenlehre (1927,1935)
Deskriptive Mengenlehre und Topologie
Herausgegeben von
U. Feigner, H. Herrlich, M. Husek, V. Kanovei,
P. Koepke, G. Preufi, W. Purkert und E. Scholz
Springer

Herausgeber
U. Feigner, H. Herrlich, M. Husek, V. Kanovei, P. Koepke, G. PreuC,
W. Purkert und E. Scholz
Die Adressenfinden sich am Buchende,
ISBN 978-3-540-76806-7 e-ISBN 978-3-540-76807-4
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation
in der Deutschen Nationalbibliografie; detaiUierte bibHografische
Daten sind im Internet iiber

Vorwort
Im Jahre 1927 erschien FELIX HAUSDORFFS Buch Mengenlehre. Es war als
zweite Auflage der Grundziige der Mengenlehre deklariert, tatsachlich aber ein
voUkommen neues Buch. Die historische Bedeutung dieses Werkes besteht vor
allem darin, daB hier erstmals der damals aktuelle Stand einer neuen mathematischen
Disziplin, der deskriptiven Mengenlehre, monographisch dargestellt
wurde. Daneben war es ein ausgezeichnetes Lehrbuch der allgemeinen Mengenlehre
und der Theorie der metrischen Raume. 1935 erschien eine um ein 10.
Kapitel erweiterte Neuauflage. Im ersten Teil des vorliegenden Bandes ist die
Mengenlehre voUstandig abgedruckt, und zwar die erweiterte Auflage von 1935.
Dem Abdruck des Buches ist eine historische Einfiihrung vorangestellt, in
der auf die Entstehung und Rezeption des Werkes, auf HAUSDORFFS Verhaltnis
zur russischen Schule um LusiN sowie auf die Anderungen gegeniiber den
Grundzugen und deren vermutliche Griinde naher eingegangen wird. Dokumentiert
sind in der Einfiihrung auch die vom Antisemitismus im nationalsozialistischen
Deutschland bestimmten Diskussionen im Verlag de Gruyter um einen
Nachdruck der Mengenlehre sowie die Merkwiirdigkeiten der 1937 erschienenen
russischen Ubersetzung des Buches.
Auf den Abdruck der Mengenlehre folgen ausfiihrliche Anmerkungen der Herausgeber.
Dort sind auch die minimalen Anderungen dokumentiert, die die
Auflage von 1935 in den ersten neun Kapiteln von der 1927-er Auflage unterscheiden.
In HAUSDORFFS NachlaB fanden sich, eingelegt an den entsprechenden
Stellen seines Exemplars der Mengenlehre^ einige Zettel mit handschriftlichen
Erganzungen und Verbesserungen. Diese sind hier im AnschluB an die Anmerkungen
der Herausgeber, mit kurzen Kommentaren versehen, abgedruckt. Den
Teil 1 beschliefien eine Dokumentation aller Rezensionen der Mengenlehre und
der Abdruck ausgewahlter Rezensionen.
Der zweite Teil des vorliegenden Bandes enthalt HAUSDORFFS publizierte
Arbeiten zu Themen der deskriptiven Mengenlehre und Topologie, jeweils unmittelbar
gefolgt vom zugehorigen Kommentar. Dieser Teil beginnt mit HAUS­
DORFFS bedeutendstem Beitrag zur entstehenden deskriptiven Mengenlehre,
seiner Losung des Kontinuumproblems fiir Borelmengen (1916). Er enthalt
ferner HAUSDORFFS beriihmten G^-Satz von 1924, seine Arbeiten tiber die
Erweiterung stetiger Abbildungen (1930, 1938), seine Beitrage zur Theorie
der Hiillenraume (1935) und zur infinitaren Kombinatorik (1936) sowie Arbeiten,
die Erganzungen und wesentliche Verbesserungen zu Ergebnissen von
KANTOROVITCH/LIVENSON, SIERPINSKI, MAZURKIEWICZ und KURATOWSKI
beisteuern.
VII

Die beiden iibrigen Telle des Bandes slnd Arbelten aus dem Nachlafi HAUS-
DORFFs gewldmet. Mehr als 1000 Blatt des Nachlasses betreffen Themen aus
der deskrlptlven Mengenlehre. Viele dleser Aufzelchnungen dlenten vor allem
HAUSDORFFS eigenem Verstandnls belm Studlum elnschlaglger Arbelten, und
es ware nlcht sehr slnnvoll, sle alle zu publlzleren. Es fanden slch jedoch auch elne
Relhe von elgenstandigen Studlen HAUSDORFFS, die elne Publlkatlon durchaus
rechtfertlgen. Dlese wurden nach Ihrem Inhalt In sechs Gruppen zusammengefaBt:
„(^5-Operatlonen", „Mengensysteme, Borelmengen, Trennbarkelt",
„Borelsche Funktlonen", „Reduzible Mengen und Dlfferenzenketten", „Susllnmengen,
Indlzes, Trennbarkelt" und „Varla". Auf den Abdruck elnes jeden Faszlkels
folgen kurze Anmerkungen; am Ende jeder Gruppe steht eln ausfiihrllcher
Kommentar mlt dem zugehorlgen Llteraturverzelchnls.
Im NachlaBtell zur Topologle werden zunachst drel Faszlkel abgedruckt, die
unmlttelbar mlt zwel Veroffentllchungen HAUSDORFFS Im Zusammenhang stehen.
Es folgen vler bemerkenswerte Studlen iiber metrlsche Raume, darunter
seln Manuskrlpt mlt der Erfindung der „langen Geraden", seine Metrlsatlonssatze
und seine orlglnelle Konstruktlon elnes separablen metrlschen Unlversalraumes.
Mlt gewlssen Themenkrelsen der allgemelnen Topologle hat slch HAUSDORFF
Immer wleder elngehend beschaftlgt. Die Essays iiber „Fundamentalkonstruktlonen
der Topologle", „Kurven, Bogen und Peano-Kontlnua" sowle „Dlmenslonstheorle"
geben elnen Abrlfi der hlstorlschen Entwlcklung dleser Geblete
und elnen Uberbllck iiber elnschlaglge Faszlkel In HAUSDORFFS Nachlafi; angeschlossen
slnd jeweils charakterlstlsche Stiicke aus dem Nachlafi.
Mlt den komblnatorlschen und algebralschen Methoden der Topologle hat
slch HAUSDORFF erst relatlv spat, Ende der 20-er Jahre, befafit. Damlt beschaftlgt
slch der Essay „ Hausdorffs Bllck auf die entstehende algebralsche Topologle".
Im Anschlufi daran 1st seine Vorlesung „Komblnatorlsche Topologle" aus
dem Sommersemester 1933 abgedruckt, die bemerkenswert modern war. Im
Friihjahr 1940, berelts In elner ausslchtslosen Lebenssltuatlon, hat HAUSDORFF
den § 4 der Vorlesung „Dle topologlsche Invarlanz der Homologlegruppen" iiberarbeltet,
obwohl er gewlfi wufite, dafi er dlese Vorlesung nlcht mehr wiirde halten
konnen. In elnem Brief an J. O. MuLLER schrelbt er am 6.6.1940, er habe
den Bewels jetzt so verelnfacht, „dass [er] eln gewlsses aesthetlsches Wohlgefallen
daran habe". Aus dlesem umfangrelchen Faszlkel slnd ebenfalls grofiere
Telle abgedruckt.
Wir danken den Herren KoUegen G. E. Strecker (Kansas State University)
und J.M. Plotkln (Michigan State University) fiir die sprachllche Glattung
engllschsprachlger Texte sowle den Herren KoUegen S. Albeverlo (Bonn), J.
Ferrelros (SevlUa), M. Ruzlcka (Freiburg) und R. Slegmund-Schultze (Krlstlansand)
fiir die Ubersetzung von Texten aus dem Itallenlschen, Spanlschen, Tschechlschen
und Norweglschen.
Oktober 2007 Die Herausgeber
VIII

Hinweise fiir den Leser
Im Anschlufi an diese Hinweise findet sich ein voUstandiges Schriftenverzeichnis
HAUSDORFFS. Alle Literaturangaben in den Kommentaren mit der Abkiirzung
H, wie z. B. [H 1916], beziehen sich auf dieses Schriftenverzeichnis. HAUSDORFFS
Arbeiten sind in den Literaturverzeichnissen nicht noch einmal aufgefiihrt. Die
in diesem Band abgedruckten Arbeiten sind im Schriftenverzeichnis mit einem
Stern versehen.
Die aus dem Nachlafi pubhzierten Faszikel sind wortgetreu wiedergegeben
(mit Ausnahme nicht allgemein gebrauchhcher Abkiirzungen; diese werden ausgeschrieben).
Von HAUSDORFF unterstrichene Worte oder Textstellen sind kursiv
gedruckt. Der Ubergang zu einem neuen Blatt im Original ist im Abdruck
durch einen senkrechten Strich gekennzeichnet; am Rand ist in dieser Zeile die
Nummer des neuen Blattes vermerkt.
Der gesamte Nachlafi HAUSDORFFS ist katalogisiert. Die angegebenen Faszikelnummern
beziehen sich stets auf diesen Nachlafikatalog {Findbuch Nachlafi
HAUSDORFF) . Steht die Uberschrift eines Nachlafistiickes in eckigen Klammern,
stammt sie vom Verfasser des Katalogs, weil HAUSDORFF im Original keine
Uberschrift angegeben hat. Ist die Uberschrift ohne Klammern gesetzt, stammt
sie von HAUSDORFF selbst. Das gleiche gilt fiir Orts- und Zeitangaben.
Der Nachlafikatalog mit bibliothekarischen und inhaltlichen Beschreibungen
ist im Internet zuganglich unter www.aic.uni-wuppertal.de/fb7/hausdorflF.
Danksagung
Das Erscheinen des Bandes III der gesammelten Werke FELIX HAUSDORFFS
ist uns Anlafi, denen zu danken, die dieses Werk gefordert haben und welter
fordern. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danken wir dafiir, dafi sie
durch ihre Unterstiitzung diese Edition ermoglicht hat. Der Nordrhein-Westfalischen
Akademie der Wissenschaften gebiihrt unser besonderer Dank fiir die weitere
fiLnanzielle Forderung der Edition ab Beginn des Jahres 2002 und fiir den
grofiziigig gewahrten Druckkostenzuschufi. Schliefilich danken wir den Editoren
des vorliegenden Bandes fiir ihre selbstlose Arbeit und dem Springer-Verlag fiir
die angenehme Zusammenarbeit und fiir die gute Ausstattung des Werkes.
IX
Egbert Brieskorn
Friedrich Hirzebruch
Reinhold Remmert
Walter Purkert
Erhard Scholz

Schriftenverzeichnis Felix Hausdorffs
einschliefilich der unter dem Pseudonym
Paul Mongre veroffentlichten Schriften
[H 1891] Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung (Dissertation).
Ber. liber die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig.
Math.-phys. Classe 43 (1891), 481-566.
[H 1893] Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung II, III. Ber. liber
die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.phys.
Classe 45 (1893), 120-162, 758-804.
[H 1895] Uber die Absorption des Lichtes in der Atmosphdre (Habilitationsschrift).
Ber. liber die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss.
zu Leipzig. Math.- phys. Classe 47 (1895), 401-482.
[H 1896] Infinitesimale Abbildungen der Optik. Ber. liber die Verhandlungen
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.- phys. Classe 48
(1896), 79-130.
[H 1897a] Das Risico bei Zufallsspielen. Ber. liber die Verhandlungen der
Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.- phys. Classe 49 (1897),
497-548.
[H 1897b] (Paul Mongre) Sant' Ilario - Gedanken aus der Landschaft Zarathustras.
Verlag C.G.Naumann, Leipzig. VIII + 379 S. Wiederabdruck
des Gedichts „Der Dichter" und der Aphorismen 293, 309, 313, 324, 325,
337, 340, 346, 349 in Der Zwiebelfisch 3 (1911), S.80 u. 88-90.
[H 1897c] (Paul Mongre) Sant^ Ilario - Gedanken aus der Landschaft Zarathustras.
Selbstanzeige. Die Zukunft, 20.11.1897, 361.
[H 1898a] (Paul Mongre) Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer
Versuch. Verlag C. G. Naumann, Leipzig. VI und 213 S.
[H 1898b] (Paul Mongre) Massengliick und Einzelgliick. Neue Deutsche Rundschau
(Preie Blihne) 9 (1), (1898), 64-75.
[H 1898c] (Paul Mongre) Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau
(Freie Blihne) 9 (5), (1898), 443-452.
[H 1898d] (Paul Mongre) Stirner. Die Zeit 213, 29.10.1898, 69-72.
XI

H 1899a] Analytische Beitrdge zur nichteuklidischen Geometrie. Ber. liber
die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.phys.
Classe 51 (1899), 161-214.
H 1899b] (Paul Mongre) Tod und Wiederkunft. Neue Deutsche Rundschau
(Preie Blihne) 10 (12), (1899), 1277-1289.
H 1899c] (Paul Mongre) Das Chaos in kosmischer Auslese. Selbstanzeige.
Die Zukunft 8 (5), (1899), 222-223.
H 1900a] (Paul Mongre) Ekstasen. Gedichtband. Verlag H.Seemann Nachf.,
Leipzig. 216 S.
H 1900b] Zur Theorie der Systeme complexer Zahlen. Ber. iiber die Verhandlungen
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Classe
52 (1900), 43-61.
H 1900c] (Paul Mongre) Nietzsches Wiederkunft des Gleichen. Die Zeit 292,
5.5. 1900, 72-73.
H 1900d] (Paul Mongre) Nietzsches Lehre von der Wiederkunft des Gleichen.
Die Zeit 297, 9.6.1900, 150-152.
H 1901a] Beitrdge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ber. iiber die Verhandlungen
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Classe
53 (1901), 152-178.
H 1901b] Uber eine gewisse Art geordneter Mengen. Ber. iiber die Verhandlungen
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Classe
53 (1901), 460-475. Englische Ubersetzung in Plotkin, J. M. (Hrsg.):
Hausdorff on Ordered Sets. American Mathematical Society, Providence
(Rhode Island) 2005, 11-22.
H 1902a] (Paul Mongre) Der Schleier der Maja. Neue Deutsche Rundschau
(Preie Biihne) 13 (9), (1902), 985-996.
H 1902b] (Paul Mongre) Der Wille zur Macht. Neue Deutsche Rundschau
(Preie Biihne) 13 (12) (1902), 1334-1338.
H 1902c] (Paul Mongre) Max Klingers Beethoven. Zeitschrift fiir bildende
Kunst, Neue Folge 13 (1902), 183-189.
H 1902d] (Paul Mongre) Offener Brief gegen G.Landauers Artikel 'Die Welt
als ZeiV. Die Zukunft 10 (37), 14.6.1902, 441-445.
H 1902e] W. Ostwald: Vorlesungen iiber Naturphilosophie(Besprech.u.ng).Zeitschrift
fiir mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 33
(1902), 190-193.
XII

[H 1903a] Das Raumproblem (Antrittsvorlesung an der Universitat Leipzig,
gehalten am 4.7.1903). Ostwalds Annalen der Naturphilosophie 3 (1903),
1-23.
[H 1903b] (Paul Mongre) Sprachkritik. Neue Deutsche Rundschau (Preie Biihne)
14 (12), (1903), 1233-1258.
[H 1903c] Christian Huygens' nachgelassene Abhandlungen: Uher die Bewegung
der Korper durch den Stoss. Uher die Centrifugalkraft. Herausgegeben
von FeHx Hausdorff. 79 Seiten, mit Anmerkungen Hausdorffs auf den
Seiten 63-79. Verlag W.Engelmann, Leipzig 1903. Unveranderter Nachdruck:
Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig, ohne Jahresangabe.
[H 1903d] J. B. Stallo: Die Begriffe und Theorien der modernen Physik (Besprechung).
Zeitschrift ftir mathematischen und naturwissenschafthchen
Unterricht 34 (1903), 138-142.
[H 1903e] W. Grossmann: Versicherungsmathem^atik {Besprech.ung).ZeitschY.
fiir mathematischen und naturwissenschafthchen Unterricht 34 (1903),
361.
[H 1903f] M. Kitt: Grundlinien der politischen Arithmetik (Besprechung).
Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschafthchen Unterricht
34 (1903), 361.
[H 1904a] Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Jahresbericht der DMV 13
(1904), 569-571. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 31-33.
[H 1904b] Eine neue Strahlengeometrie (Besprechung von E.Study: Geometrie
der Dynamen). Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschafthchen
Unterricht 35 (1904), 470-483.
[H 1904c] (Paul Mongre) Gottes Schatten. Die neue Rundschau (Preie Btihne)
15 (1), (1904), 122-124.
[H 1904d] (Paul Mongre) Der Arzt seiner Ehre, Groteske. Die neue Rundschau
(Preie Biihne) 15 (8), (1904), 989-1013. Neuherausgabe als: Der
Arzt seiner Ehre. Komodie in einem Akt mit einem Epilog. Mit 7 Bildnissen,
Holzschnitte von Hans Alexander Miiller nach Zeichnungen von
Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. Fiinfte ordentliche Veroffentlichung des
Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Neudruck: S.Pischer, Berlin
1912, 88 S.
[H 1904e] (Paul Mongre) Max Klinger, Beethoven. Begleittext zur Abbildung
der Klingerschen Skulptur in: Meister der Farbe. Beispiele der gegenwdrtigen
Kunst in Europa. Mit begleitenden Texten. E. A. Seemann, Leipzig
1904, Abb. Nr. 4.
XIII

H 1905] B.Russell, The principles of mathematics (Besprechung). Vierteljahresschrift
fiir wissenschaftliche Philosophie und Sociologie 29 (1905),
119-124.
H 1906a] Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie.Ber.iihei
die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.phys.
Klasse 58 (1906), 19-48.
H 1906b] Untersuchungen iiber Ordnungstypen /, //, ///. Ber. liber die Verhandlungen
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys.
Klasse 58 (1906), 106-169. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]),
35-95.
H 1907a] Untersuchungen iiber Ordnungstypen IV, V. Ber. iiber die Verhandlungen
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Klasse
59 (1907), 84-159. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 97-171.
H 1907b] fiber dichte Ordnungstypen. Jahresbericht der DMV 16 (1907),
541-546. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 175-180.
H 1908] Grundzilge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Annalen 65
(1908), 435-505. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 197-258.
H 1909a] Die Graduierung nach dem Endverlauf. Abhandlungen der Konigl.
Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Klasse 31 (1909), 295-334.
Engl. tJbers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 271-301.
H 1909b] Zur Hilbertschen Losung des Waringschen Problems. Math. Annalen
67 (1909), 301-305.
H 1909c] (Paul Mongre) Strindbergs Blaubuch. Die neue Rundschau (Preie
Biihne) 20 (6), (1909), 891-896.
H 1910a] (Paul Mongre) Der Komet. Die neue Rundschau (Freie Biihne) 21
(5), (1910), 708-712.
H 1910b] (Paul Mongre) Andacht zum Leben. Die neue Rundschau (Freie
Biihne) 21 (12), (1910), 1737-1741.
H 1911] E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen
(Besprechung). Jahresbericht der DMV 20 (1911), 2.Abteilung, IV Literarisches,
1. b. Besprechungen, 92-97.
H 1912] (Paul Mongre) Biologisches. Licht und Schatten 3 (1912/13), H.35
(unpaginiert).
H 1914a] Grundzilge der Mengenlehre. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit
53 Figuren. Nachdrucke: Chelsea Pub. Co. 1949, 1955, 1965, 1978.
XIV

[H 1914b] Bemerkung iiher den Inhalt von Punktmengen. Math. Annalen 75
(1914), 428-433.
* [H 1916] Die Mdchtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Annalen 77 (1916),
430-437.
[H 1917] Selbstanzeige von Grundzuge der Mengenlehre. Jahresber. der DMV
25 (1917), Abt. Literarisches, 55-56.
[H 1919a] Dimension und aufieres Mafi. Math. Annalen 79 (1919), 157-179.
[H 1919b] Der Wertvorrat einer Bilinearform. Math. Zeitschrift 3 (1919),
314-316.
[H 1919c] Zur Verteilung der fortsetzbaren Potenzreihen. Math. Zeitschrift 4
(1919), 98-103.
[H 1919d] Uber halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung. Math.
Zeitschrift 5 (1919), 292-309.
[H 1921] Summationsmethoden und Momentfolgen I, II. Math. Zeitschrift 9
(1921), I: 74-109, II: 280-299.
[H 1923a] Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes uber Fourierreihen.
Math. Zeitschrift 16 (1923), 163-169.
[H 1923b] Momentprobleme fur ein endliches IntervalL Math. Zeitschrift 16
(1923), 220-248.
* [H 1924] Die Mengen Gs in vollstdndigen Rdumen. Pundamenta Mathematicae
6 (1924), 146-148.
[H 1925] Zum Holderschen Satz uber r{x). Math. Annalen 94 (1925), 244-
247.
* [H 1927a] Mengenlehre, zweite, neubearbeitete Auflage. Verlag Walter de
Gruyter & Co., Berlin. 285 S. mit 12 Figuren. 1937 erschien in Moskau:
F.Hausdorff: Teoria mnoshestvch (Mengentheorie). Kapitel 1 bis 4
und 9 aus [H 1927a] sind wortlich iibersetzt, die restlichen Kapitel hat
N. B. Vedenisoff unter Anleitung von Alexandroff und Kolmogoroff teilweise
neu verfaBt.
[H 1927b] Beweis eines Satzes von Arzela. Math. Zeitschrift 26 (1927), 135-
137.
[H 1927c] Lipschitzsche Zahlensysteme und Studysche Nablafunktionen. Journal
fiir reine und angewandte Mathematik 158 (1927), 113-127.
[H 1930a] Die Aquivalenz der Holderschen und Cesdroschen Grenzwerte negativer
Ordnung. Math. Zeitschrift 31 (1930), 186-196.
XV

* [H 1930b] Erweiterung einer Homoomorphie. Fundamenta Mathematicae 16
(1930), 353-360.
[H 1930c] Akrostichon zum 24.Februar 1930. In: Walter Tiemann (Hrsg.)i^er
Verleger von morgen, wie wir ihn wunschen. Verlag der Freunde Kirsteins,
Leipzig, 1930, S.9.
[H 1931] Zur Theorie der linearen metrischen Rdume. Journal ftir reine und
angewandte Mathematik 167 (1931/32), 294-311.
[H 1932] Eduard Study. Worte am Sarge Eduard Studys, 9. Januar 1930. Chronik
der Rheinischen Friedrich Wilhelms-Universitat zu Bonn ftir das akademische
Jahr 1929/30. Bonner Universitats-Buchdruckerei Gebr. Scheur,
Bonn 1932.
* [H 1933a] Zur Projektivitdt der 6s-Funktionen. Fundamenta Mathematicae
20 (1933), 100-104.
* [H 1933b] Problem 58. Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 286.
* [H 1934] Uher innere Abbildungen. Fundamenta Mathematicae 23 (1934), 279-
291.
* [H 1935a] Mengenlehre, dritte Auflage. Mit einem zusatzlichen Kapitel und
einigen Nachtragen. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 S. mit 12
Figuren. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englische Ausgabe: Set
theory. Ubersetzung aus dem Deutschen von J.R.Aumann et al. Chelsea
Pub. Co., New York 1957, 1962, 1978, 1991.
* [H 1935b] Gestufte Rdume. Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 486-502.
* [H 1935c] Problem 62. Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 578.
* [H 1936a] ijber zwei Sdtze von G.Fichtenholz und L.Kantorovitch. Studia Mathematica
6 (1936), 18-19.
[H 1936b] Summen von "RiMengen. Fundamenta Mathematicae 26 (1936),
241-255. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 305-316.
* [H 1937] Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums. Fundamenta Mathematicae
29 (1937), 151-158.
* [H 1938] Erweiterung einer stetigen Abbildung. Fundamenta Mathematicae
30 (1938), 40-47.
[H 1969] Nachgelassene Schriften. 2 Bande. Ed.: G. BERGMANN, Teubner,
Stuttgart 1969. Band I enthalt aus dem Nachlafi die Faszikel 510-543,
545-559, 561-577, Band II die Faszikel 578-584, 598-658 (alle Faszikel
sind im Faksimiledruck wiedergegeben).
XVI

Korrespondenzen zwischen Hausdorffs Bezeichnungen
und der modernen Notation
AUgemeine Mengenlehre
HAUSDORFF
0
a; = {l,2,...}
X-Y
8
8
C
c
X + Y
X + Y
XY
6
D
E
K
Q
X
(B^x)
X
{X,Y)
heutige Bez.
0
N = {0,1,2,...}
€
^
C
c,S
X \ y, y"^
XUY
xnY
U
n
c
UJl
{x : ^(x)}
{x : ^{x)}
X xY
Bedeutung
leere Menge
Menge der natiirlichen Zahlen
Element von
nicht Element von
Teilmenge
echte Teilmenge^
Komplementarmenge (bzgl. X)
Vereinigungsmenge
disjunkte Vereinigungsmenge
Schnittmenge
Vereinigung von Mengenfamilien
Durchschnitt von Mengenfamilien
disj. Vereinigung von Mengenfamilien
2^°, Kardinalitat des Kontinuums
erste liberabzahlbare Ordinalzahl
Menge aller x, fiir die $(x) gilt
Menge aller x, fiir die ^(x) gilt
Cartesisches Produkt
^ HAUSDORFF verwendet oft C im Sinne von C und nicht im Sinne von ^, Die moderne
Notation benutzt C fiir die echte Inklusion.
XVII

Deskriptive Mengenlehre
HAUSDORFF
Menge 1. Kategorie
Menge 2. Kategorie
G/j-Raum
F//-Raum
-^a
F^G
Fa, Gs
reduzible Mengen
additive Klasse ^
multiplikative
Klasse ^
F«
G^
Borelmengen
Suslinmengen
heutige Bez.
magere Menge
nicht-magere Menge
Baire-Raum
vollst. Bairescher Raum
X
n?,E?
5:§,n§
A^
f ^1+c ' ^ ungerade
\ n?+^ , ^ gerade
f Il5_^^ , ^ ungerade
\ 5]?+^ , ^ gerade
Al
5:1
XVIII
Bedeutung |
abzahlbare Vereinigung
von nirgends dichten
Mengen
topol. AbschluBvon X
abgeschl., offene Mengen
Mengen Fa , G6
sowohl F(7 als auch Gs
Borel-Klassen
Borel-Klassen
Borel-Klassen
Borel-Klassen
Borelmengen
analytische Mengen

Inhaltsverzeichnis
Teil I. Mengenlehre (1927, 1935)
Mengenlehre - Historische Einfiihrung 1
Felix Hausdorff: Mengenlehre 41
Anmerkungen der Herausgeber 352
Anmerkungen HausdorfFs zu Mengenlehre 399
Rezensionen 409
Teil II. Veroffentlichte Arbeiten
Die Machtigkeit der Borelschen Mengen 429
Die Mengen Gs in voUstandigen Raumen 443
Erweiterung einer Homoomorphie 455
Zur Projektivitat der ^s-Funktionen 471
Problem 58 (in Fundamenta Mathematicae) 479
Uber innere Abbildungen 483
Gestufte Raume 503
Problem 62 (in Fundamenta Mathematicae) 525
Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L. Kantorovitch 529
Die schlichten stetigen Bilder des NuUraums 539
Erweiterung einer stetigen Abbildung 555
XIX

Teil III. Aus dem Nachlafi zur deskriptiven Mengenlehre
1. Js-Operationen 570
[Topologische Invarianz von Mengenklassen] 570
[Projektivitat der (5s-Funktionen] 574
Positiv analytische Funktionen 578
[Js-Funktionen] 580
Abkiirzung der Existenzbeweise, Mengenl. § 33 582
2. Mengensysteme, Borelmengen, Trennbarkeit 588
Borelsche Mengen 588
[Verallgemeinerung der reduziblen Mengen] 590
[Spezielle Mengen im Baireschen Nullraum] 591
[Konstruktion verschiedener Mengenkorper, Trennung] 592
Trennungseigenschaften 598
[Trennungseigenschaften II] 602
[Trennungseigenschaften III] 604
Uber ]\mAn 609
Uber lim fn und lim fn (Mengenl. § 41) 613
3. Borelsche Funktionen 626
Erweiterung Borelscher Funktionen 626
Borelsche Funktionen 631
Die Borelschen Mengen und der Nullraum 641
4. Reduzible Mengen und Differenzenketten 654
[Reduzible Mengen] 654
Reduzible Mengen 657
[Verallgemeinerung der reduziblen Mengen] 660
5. Suslinmengen, Indizes, Trennbarkeit 675
Trennbarkeit durch Suslinkomplemente 675
[Trennungseigenschaften II - Teil 2] 684
Indizes 687
Theorie der Indizes 690
XX

Analytische Zerlegung eines Raumes X 692
Hurewicz 695
[Existenz nichttrivialer Gss und andere Probleme] 701
6. Varia 715
[Suslinsche Funktionen] 715
[Die Menge der Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch stetigen
Funktion] 717
[Fcr-Mengen erster Kategorie] 720
Geometrisierung der Ordnungszahlen 727
Ein Satz von G. Kurepa 729
Zu meiner Arbeit: tJber zwei Satze von Kantorovitch und
Fichtenholz 731
Teil IV. Aus dem Nachlafi zur Topologie
L-Raume als Unterrraume eines topologischen Raumes 740
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des NuUraums 742
[Charakterisierung der verdichteten F^+^] 745
Metrische und topologische Raume 750
[Metrisierung kompakter und normaler Raume] 755
Der metrische separable Universalraum 762
Raume £* 770
Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der Topologie 778
Operationen mit topologischen Raumen 787
[Topologisierung des Urbildes eines topologischen Raumes] 795
G. Aumann, Beitrage zur Theorie der Zerlegungsraume 796
Hausdorffs Studien fiber Kurven, Bogen und Peano-Kontinua 798
Verscharfung des lokalen Zusammenhangs 826
Beweis des Satzes von M. Torhorst 832
Ein Satz von R. L. Moore 835
XXI

[Offene Bilder abgeschlossener Intervalle] 836
[Peanosche Kontinua, der Jordansche Kurvensatz] 836
Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie 840
Analysis situs 854
Zum ,^flastersatz" 856
Schwach n-dimensionale Mengen 858
Zur Dimensionentheorie 862
Hausdorffs Blick auf die entstehende algebraische Topologie 865
Einfiihrung in die kombinatorische Topologie (Vorlesung, Bonn,
Sommersemester 1933) 893
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen 954
Euklidische Komplexe 977
Personenregister 981
Sachregister 989
XXII

Inhalt:
Mengenlehre - Historische Einfiihrung
V.Kanovei (Abschn.5), W.Purkert (Abschn. 1, 2, 3, 4, 6)^
1. Einleitung
2. Die Entstehung des Buches Mengenlehre
3. Der Ubergang von den topologischen Raumen zur spezielleren
Theorie der metrischen Raume
4. Zur Rezeption der Mengenlehre
5. Hausdorff und Lusin
6. Die Neuauflage von 1935. Ubersetzungen
1. Einleitung
1927 erschien im Verlag Walter de Gruyter FELIX HAUSDORFFS Buch Mengenlehre.
Es war als ,^weite, neubearbeitete Auflage" der Grundziige der Mengenlehre
deklariert, in Wahrheit aber ein voUkommen neues Buch. Wegen der vom
Verlag verlangten Beschrankung der Seitenzahl der neuen Ausgabe auf etwa
60 % des Umfangs der Grundziige^ waren drastische Kiirzungen notig geworden.
So liefi HAUSDORFF aus dem in den Grundziigen behandelten Stoff die Mafiund
Integrationstheorie, grofie Teile der Theorie der geordneten Mengen sowie
die Ausfiihrungen iiber eukhdische Raume weg. Die wohl einschneidendste Anderung
gegeniiber den Grundziigen bestand darin, dafi HAUSDORFF die dort
von ihm selbst entwickelte Theorie der topologischen Raume in der Neuausgabe
fast voUstandig verliefi und die Punktmengentheorie auf metrische Raume
beschrankte.
Andererseits war HAUSDORFF natiirhch bestrebt, wichtige seit dem Erscheinen
der Grundziige erzielte Fortschritte auf dem Gebiet der Mengenlehre in
sein neues Buch aufzunehmen. Solche Fortschritte gab es vor allem in zwei
Bereichen:
^Ein herzlicher Dank geht an Herrn Egbert Brieskorn fiir zahlreiche wertvolle Hinweise.
^Naheres dazu im Abschnitt 2 dieser Einfiihrung.

1.) Die Untersuchungen zur Grundlegung der Mengenlehre hatten zu einer weithin
akzeptierten vervollstandigten Version der ZERMELOschen Axiomatik gefiihrt
(A. FRAENKEL, TH. SKOLEM).
2.) Es hatte einen betrachtlichen Ausbau des Gebietes gegeben, das man heute
als deskriptive Mengenlehre bezeichnet (ALEXANDROFF, HAUSDORFF, LUSIN,
SusLiN, SIERPINSKI, KURATOWSKI U. a.).
Die Problematik der axiomatischen Grundlegung der Mengenlehre lag HAUS­
DORFF nicht besonders am Herzen - er iiberliefi diese Arbeit gerne anderen und
konnte sich durch das Erscheinen von FRAENKELS Biichern [Pr 1923] und [Fr
1927] im Hinblick auf das eigene Werk entlastet fiihlen.^
Ganz anders lagen die Dinge bei der deskriptiven Mengenlehre. HAUSDORFF
bemiihte sich, alle auf diesem Gebiet erzielten Fortschritte, insbesondere die der
russischen Schule um LusiN, in sein Buch einzuarbeiten. Die grofie Resonanz
auf HAUSDORFFS Mengenlehre beruhte zu einem wesentlichen Teil darauf, daft
hier erstmals eine monographische Darstellung des damals aktuellen Standes
der deskriptiven Mengenlehre gegeben wurde. Diese Tatsache mag es rechtfertigen,
dafi im folgenden der genaueren Analyse der Entstehung und Wirkung des
HAUSDORFFschen Buches ein kurzer Abrifi der Entwicklung der deskriptiven
Mengenlehre bis zum Jahre 1916 vorangestellt wird. In diesem Jahr publizierte
HAUSDORFF seinen bedeutendsten Beitrag zur deskriptiven Mengenlehre,
die Losung des Kontinuumproblems fiir Borelmengen"^ ([H 1916]); gleichzeitig
und unabhangig von HAUSDORFF erzielte ALEXANDROFF das gleiche Ergebnis
([Al 1916]). Im Jahr danach begann mit der Entdeckung der analytischen Mengen^
durch LusiNs Schiiler M. SUSLIN eine neue Etappe in der Entwicklung
der deskriptiven Mengenlehre, welche vor allem durch die russische Schule um
LusiN und die polnische Schule um SIERPINSKI gepragt wurde. Diese Etappe
ist im Abschnitt 5. dieser Einfiihrung, in den Kommentaren zu HAUSDORFFS
Mengenlehre und in den Kommentaren zu seinen zahlreichen nachgelassenen
Papieren zur deskriptiven Mengenlehre eingehend behandelt, so daft wir in dem
^In einer Postkarte HAUSDORFFS an FRAENKEL vom 9.6.1924 heiftt es dazu: „Fur die
freundliche Dedication der 2. Auflage Ihrer „Einleitung i. d. Mengenlehre" sage ich Ihnen
herzlichen Dank, zugleich mit bestem Gliickwunsch zu dem buchhandlerischen Erfolg Hires
Werkes. Sie haben mir fiir die 2.Aufl. meines Buches (die ich ganzlich neu bearbeiten
will) einen grossen Dienst geleistet, insofern ich fiir verschiedene wichtige Dinge, die mir
nicht liegen, auf Ihre ausgezeichnete Darstellung verweisen kann, z. B. fiir die Axiomatik (in
der Sie einen wesentlichen Fortschritt iiber Zermelo hinaus erzielt haben betr. das Axiom der
Aussonderung) und fiir die Behandlung der Antinomien." NL FRAENKEL, Abraham Halevi
Fraenkel Archive (Arc. 4* 1621), Jewish National and University Library, Jerusalem.
^Das System der Borelmengen eines metrischen Raumes ist das kleinste Mengensystem,
welches die offenen Mengen enthalt und welches gegeniiber Komplementbildung und der
Bildung abzahlbarer Vereinigungen abgeschlossen ist. Es kann durch transfinite Rekursion
der Lange c

folgenden historischen Uberblick darauf nicht einzugehen brauchen.
In einer modernen Darstellung der klassischen deskriptiven Mengenlehre ([Ke
1995]) wird das Gebiet folgendermafien umschrieben:
Descriptive set theory is the study of „definable sets"in Polish (i.e.,
separable completely metrizable) spaces. In this theory, sets are classified
in hierarchies, according to the complexity of their definitions, and the
structure of the sets in each level of these hierarchies is systematically
analyzed.^
Zu diesem „klassischen" Teil kamen ab den 30-er Jahren logische und metamathematische
Untersuchungen hinzu sowie die Erforschung der engen Beziehungen
zur Theorie der rekursiven Funktionen (Entstehung der „efFektiven deskriptiven
Mengenlehre") 7 Die deskriptive Mengenlehre hat mittlerweile Anwendungen
in zahlreichen Zweigen der Mathematik gefunden, z. B. in der Mafitheorie,
Wahrscheinlichkeitstheorie, Topologie, Funktionalanalysis, harmonischen Analyse,
Limitierungstheorie, Potentialtheorie, Ergodentheorie, Darstellungstheorie
Liescher Gruppen, Kombinatorik und mathematischen Logik.^
Die deskriptive Mengenlehre hat wie die allgemeine Mengenlehre ihren Ausgangspunkt
in CANTORS Untersuchungen iiber die Eindeutigkeit der trigonometrischen
Entwicklung ([Ca 1872]). CANTOR hatte 1870 bewiesen, daft aus
oo
-—+ \^(a^ cosnx + 6yj sinnx) = 0 (1)
n=l
fiir alle x e (—TT, TT] folgt, dafi ak — 0, bk = 0\/k ist. 1871 zeigte er, daft dieser
Satz bestehen bleibt, wenn die Reihe in endlich vielen Punkten nicht konvergiert
oder die Null nicht darstellt. Entscheidend fiir die weitere Entwicklung war
CANTORS Frage nach der Existenz unendlicher Eindeutigkeitsmengen; dabei
heiftt P eine Eindeutigkeitsmenge, wenn aus der Giiltigkeit von (1) fiir alle x G
(-TT, 7T]\P folgt, daft a/c = 0, 6fc == 0 V/c ist. 1872 konnte CANTOR zeigen, daft
es unendliche Eindeutigkeitsmengen gibt. Um sie zu charakterisieren, fiihrte er
den Begriff der Ableitung eine Punktmenge ein: Fiir P C R ist die Ableitung P'
die Menge aller Haufungspunkte von P. Der Prozeft des Ableitens kann iteriert
werden: p(^+i) = [pMy^ Die mengentheoretische Operation des abzahlbaren
Durchschnitts und weiteres sukzessives Ableiten fiihrten CANTOR auf die Idee
des „Zahlens iiber das Unendliche hinaus", auf die transfiniten Ordinalzahlen:
oo ^
PI p{n) ^. pico)^ (P^'^A =: p('^+l), usw.
Fiir den Aufbau einer allgemeinen Mengenlehre muftte es nur noch gelingen,
diese neuen „Zahlen"a;,a; + 1,... unabhangig vom Begriff der Ableitungsordnung
von Punktmengen zu definieren; dies erreichte CANTOR 1883 mittels des
6[Ke 1995], S.XV.
"^S. dazu das Buch von Y. N. MOSCHOVAKIS [MOS 1980].
^Literaturhinweise zu zahlreichen Anwendungen findet man bei KECHRIS [Ke 1995], S. 347.

Begriffs der Wohlordnung. Die transfiniten Ordinalzahlen sind fiir die deskriptive
Mengenlehre, insbesondere fiir die Untersuchung hoherer Punktklassen, ein
unverzichtbares Instrumentarium.
Die 1872 von CANTOR gefundenen unendlichen Eindeutigkeitsmengen sind
gewisserma£en ,^agere" Mengen: P ist Eindeutigkeitsmenge, falls P^^^ = 0 ist
fiir eine natiirliche Zahl n ([Ca 1872]). Die Eindeutigkeitsmengen sind bis heute
ein intensiv bearbeitetes Forschungsgebiet geblieben; die moderne deskriptive
Mengenlehre hat dazu wesenthche Beitrage leisten konnen.^
Mittels der Ableitung einer Punktmenge konnte CANTOR topologisch „einfache"
Mengen definieren: P heiftt abgeschlossen, falls P' C P, P heifet insichdicht,
falls P Q P'] eine abgeschlossene insichdichte Menge heifit perfekt. Die
Komplemente abgeschlossener Mengen sind die offenen Mengen; diese kommen
bei CANTOR allerdings nur implizit vor. Die abgeschlossenen bzw. die offenen
Mengen sind das Ausgangsmaterial fiir die im obigen Zitat erwahnten Hierarchien.
Fiir die abgeschlossenen Mengen konnte CANTOR einen Struktursatz
beweisen, der die Frage der Machtigkeit klart: Ist P abgeschlossen, so gilt
P = P U 5, P n 5 = 0 (2)
mit hochstens abzahlbarem R und perfektem S (Satz von CANTOR-BENDIXSON).
Da eine nichtleere perfekte Menge die Machtigkeit des Kontinuums hat, folgt
aus dem Satz von CANTOR-BENDIXSON die Giiltigkeit der CANTORschen Kontinuumhypothese
fiir abgeschlossene Mengen von R: Jede abgeschlossene unendliche
Menge ist entweder abzahlbar oder sie hat die Machtigkeit des Kontinuums.
CANTOR hoffte, dafi man durch Ausdehnung von (2) auf beliebige
Teilmengen P C R die Kontinuumhypothese wird allgemein beweisen konnen.
Dies kann nicht gelingen, wie wir heute wissen. Die erfolgreichen Bemiihungen
von YOUNG, HAUSDORFF, ALEXANDROFF und SUSLIN, den Satz von CANTOR-
BENDIXSON auf wesentlich allgemeinere Mengenklassen als die abgeschlossenen
Mengen auszudehnen, haben jedoch der Entwicklung der deskriptiven Mengenlehre
wichtige Impulse verliehen.
Die erste Monographic, die voUstandig der deskriptiven Mengenlehre gewidmet
war, LusiNs Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications ([Lu
1930a]), enthalt nach einem Preface von LEBESGUE ein Avertissement des Autors,
welches folgendermafien beginnt:
Les questions traitees dans cet Ouvrage appaxtiennent a la theorie descriptive
des fonctions dont MM. Borel, Baire et Lebesgue sont les fondateurs.^°
Die deskriptive Funktionentheorie, von der LusiN hier spricht, war nicht zuletzt
aus philosophischen Erwagungen heraus entstanden, aus Erwagungen, die das
Problem der Existenz mathematischer Gegenstande betrafen. Die im Hinblick
darauf zentrale Frage hatte LEBESGUE in einem Brief an BOREL folgendermafien
formuliert:
^S. dazu das Buch [KeLou 1989] und [KeLou 1992].
iO[Lu 1930a], S.XIII.

Peut-on demontrer Vexistence d'un etre mathematique sans le definir?^^
Die Antwort, die er unmittelbar anschloft, formulierte eine Ansicht, die auch von
BAIRE und BOREL vom Beginn ihrer wissenschaftlichen Tatigkeit an vertreten
worden war:
C'est evidemment une affaire de convention; mais je crois qu'on ne pent
batir solidement qu'en admettant qu'on ne demontre Vexistence d'un etre
qu'en le definissant}^
Was unter „definierbar" zu verstehen ist, hat LEBESGUE im selben Jahr so beschrieben:
Un objet est defini ou donne quand on a prononce un nombre fini de
mots s'appliquant a cet objet et a celui-la seulement; c'est-a-dire quand
on a nomme une propriete caxacteristique de I'objet.^^
Dies ist in der Tat etwas vage und wiirde zur Prazisierung einer formalen Sprache
bediirfen. Versuche einer solchen Prazisierung haben BAIRE, BOREL und
LEBESGUE nicht unternommen; fiir sie muftten sich die mathematischen Objekte
durch gewisse akzeptierte Prozeduren „beschreiben" (decrire) lassen. Jedenfalls
gehorten CANTORS Theorie beliebiger Mengen beliebig grower Machtigkeit,
beliebige Funktionen im Sinne DIRICHLETS und beliebige Auswahlen in ZERME-
LOs Beweis des Wohlordnungssatzes nicht zum Bereich des „Beschreibbaren".^^
Die Herausbildung der franzosischen Schule der „deskriptiven Funktionentheorie"
kann auch als Beginn der „deskriptiven Mengenlehre" als eines eigenstandigen
Teilgebietes der Mathematik betrachtet werden.^^ Am Anfang dieser
Entwicklung stand BORELs Monographic Legons sur la theorie des fonctions
([Bo 1898]), das erste Buch, welches in grofierem Umfang Ideen der Mengenlehre
in Prankreich verbreitete.^^ CANTORS Sch5pfungen werden dort im Haupttext
aber nur so weit in Betracht gezogen, als es fiir die Theorie der reellen Funktionen
erf order lich erscheint. So heifit es nach Einfiihrung des Machtigkeitsbegriffes
mit Blick auf die BegriflPe „abzahlbar" und „von Kontinuumsmachtigkeit":
Ces notions nous suffiront pour les applications que nous avons en vue.^^
Fiir Mafitheorie und deskriptive Mengenlehre besonders bedeutsam war die
Einfiihrung der „ensembles mesurables", jener Mengenklasse, die HAUSDORFF
ii[BBHL 1905], S.265.
i2Ebd.
i3[Le 1905], S.205.
^^Sehr eingehend werden die Ansichten der „franz6sischen Halbintuitionisten" BAIRE, BO­
REL und LEBESGUE bei MOORE behandelt ([Mo 1982], S.92 fF.). MOORE arbeitet auch im
einzelnen heraus, daft sie in ihren eigenen Arbeit en ihre strikte Ablehnung des Auswahlaxioms
nicht durchhalten konnten: eine Reihe von Satzen in diesen Arbeiten benotigen das
Auswahlaxiom, zumindest seine abzahlbare Version.
i^S.dazu auch Band II dieser Edition, S. 774-777.
^^Naheres dazu im Band II dieser Edition; S. 22-23.
^^[Bo 1898], S.20. Nur in erganzenden Noten am Schluft des Buches werden beliebige
Machtigkeiten und die transfiniten Ordinalzahlen erwahnt.

spater in den Grundzugen Borelsche Mengen nannte. Ein Intervall / = (a, h)
ist mefibar und soil das Mafi ii{I) — h — a haben. Sind E^ E' mefibar und ist
E' C E, so soil auch E\E' mefibar sein mit ii{E \ E') = fi{E) - ^i{E'). Sind
{E^}ieN mefebar und paarweise disjunkt, so ist auch E = U^^ mefibar und es
gilt
(
oo \ oo
\jEA=Y,ti{Ei).
Die meSbaren Mengen sind dann etwas vage so definiert:
Les ensembles dont on pent definir la mesure en vertu des definitions
precedentes seront dits par nous ensembles mesurables, [• • -J^^
Sie entstehen also aus den Intervallen durch die sukzessive angewandten Operationen
der Komplementbildung und der abzahlbaren disjunkten Vereinigung.
Die Schritte in diesem Prozefi fiihren, ausgehend von den offenen Intervallen,
zu den Mengenklassen der Borelschen Hierarchie; bei BOREL selbst kann man
von dieser Hierarchie bestenfalls etwas ahnen.
Am Beginn von BAIRES Dissertation [B 1899] stand der Zweifel, ob ein so
allgemeiner Funktionsbegriff wie der von DiRiCHLET akzeptiert werden kann;
im Hinblick auf die DiRlCHLETsche Definition heifit es bei BAIRE:
On ne s'occupe pas, dans cette definition, de rechercher pax quels moyens
la correspondance pent etre efFectivement etablie; on ne cherche meme
pas s'il est possible de I'^tablir.^^
Er selbst stellte sich das Ziel, Funktionenklassen abzugrenzen, die durch allgemein
akzeptierte analytische Methoden erzeugt werden konnen. Das wichtigste
Ergebnis in dieser Hinsicht war die Einfiihrung der nach ihm benannten
Funktionen: Die Baireschen Funktionen / : M^ -^ R bilden die kleinste Funktionenklasse,
die alle stetigen Funktionen enthalt und abgeschlossen unter der
Bildung punktweiser Limit es ist. BAIRE definiert sie induktiv: KQ sei die Klasse
der stetigen Funktionen. Fiir eine Ordinalzahl £, < oJi ist / G K^, falls
f{x) = lim fk{x) ist mit fk e K^^, ^k < C
k^ oo
und / fiir kein fi < ^ bereits in K^ liegt. Die Funktionenklassen K^ bilden die
sogenannte Bairesche Hierarchie. BAIRE untersuchte insbesondere die Klassen
Ki und K2', z. B. gab er notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir an,
dafi f E Ki ist.^^ Mit der Unterscheidung von Mengen erster und zweiter Kategorie
schuf er ein wichtiges Instrument fiir die Untersuchung von Punktmengen.
Eine Synthese und inhaltliche Weiterentwicklung der Ideen von BAIRE und
BOREL erreichte LEBESGUE in seinem umfangreichen Aufsatz Sur les fonctions
representables analytiquement ([Le 1905]). Verschiedene Autoren haben diese
Arbeit sogar als den Beginn der deskriptiven Mengenlehre betrachtet. So heifit
es in der Topologie von ALEXANDROFF/HOPF:
i^[Bo 1898], S.48.
1Q[B 1899], S.l.
20 Satz VIII, S. 255 in HAUSDORFFS Mengenlehre.

Die deskriptive Mengenlehre wurde (anschlie£end an BAIRES Arbeiten
iiber unstetige Funktionen) von LEBESGUE 1905 begriindet.^^
LEBESGUE betrachtete Funktionen f : W^ ^ R. Die Klasse der fonctions representables
analytiquement ist die kleinste Klasse, die alle Konstanten und
die Projektionen /^(xi,... ,Xn) = Xi enthalt und die abgeschlossen ist unter
Summen-, Produkt- und punktweiser Limesbildung. Mittels der Lebesgueschen
Mengen {x;a < f{x) < b} bzw. {x;a < f{x) < b} kann jeder Klasse von
Funktionen eine Mengenklasse zugeordnet werden. Umgekehrt kann man auch
von einer Mengenklasse ausgehen, z. B. von den Borelmengen: Eine Funktion
f{x) hei£t Borel-mefibar (fonctions mesurables (B)), wenn ihre Lebesgueschen
Mengen samtlich Borelsche Mengen sind. LEBESGUE konnte zeigen, dafi die
Klasse der Baireschen Funktionen mit der Klasse der Borel-mefibaren Funktionen
zusammenfallt und diese wiederum fallt mit der Klasse der analytisch
reprasentierbaren Funktionen zusammen. Ferner entsprechen sich Schritt fiir
Schritt die Borelsche und die Bairesche Hierarchie.
LEBESGUE bewies die Existenz von Funktionen jeder Baireschen Klasse K^,
ferner auch die Existenz von Funktionen, die keiner Baireschen Klasse angehoren.
Den Beweis fiir letztere Behauptung konnte man sehr einfach in Analogic
zu CANTORS Beweis der Existenz transzendenter Zahlen fiihren: Die Menge
der Baireschen Funktionen hat die Machtigkeit b^, die aller reellen Funktionen
die Machtigkeit H^ > b^, also gibt es reelle Funktionen, die keine Baireschen
Funktionen sind. Ein solcher Beweis ware allerdings mit LEBESGUES philosophischen
Ansichten nicht vereinbar gewesen. Er konstruierte auf [0,1] x [0,1] eine
Universalfunktion (p{x,t) fiir die Klasse aller Baireschen Funktionen in einer
Variablen, d. h. zu jeder Baireschen Funktion g{x) auf [0,1] existiert eine reelle
Zahl tg G [0,1] mit (f{x,tg) = g{x). (p{x^t) ist keine Bairesche Funktion (zweier
Variablen), denn sie kann offenbar keiner Klasse K^ mit ^ < coi angehoren.
(^(x, t) ist aber „definierbar" im LEBESGUEschen Sinne.
LEBESGUE zeigte auch, dafi die nach heutiger Terminologie Lebesgue-mefibaren
Funktionen und Mengen umfangreichere Klassen liefern als die Baireschen
Funktionen und die Borelschen Mengen, d. h. 1.) Es existieren L-mefibare Funktionen,
die nicht analytisch reprasentierbar sind; 2.) Es existieren L-mefibare
Mengen, die keine Borelmengen sind. Diese Funktionen und Mengen sind aber
„definierbar".
Dies war in etwa der Stand der Theorie, den HAUSDORFF vorfand, als er an
die Erarbeitung der Grundzuge der Mengenlehre ging. Von den philosophisch
motivierten Einschrankungen, die sich die franzosischen Forscher auferlegt hatten,
grenzte sich HAUSDORFF in den Grundziigen deutlich ab. Nach der Erwahnung
der Antinomien und der ZERMELOschen Bemiihungen, sich dagegen
durch eine geeignete axiomatische Grundlegung der Mengenlehre abzusichern,
schreibt er, offenbar im Hinblick auf die franzosische Debatte (insbesondere in
[BBHL 1905]):
21 [AH 1935], S.21. In einer Fuftnote wird an dieser Stelle auf [Le 1905] verwiesen. Y. N
MoscHOVAKis bemerkt zu LEBESGUES Arbeit: „This beautiful and seminal paper truly started
the subject of descriptive set theory." ([Mos 1980], S.XIII).

Hierher gehort auch die vielumstrittene Prage, unter welchen Bedingungen
ein mathematisches Objekt, etwa eine Zahl, eine Menge, eine Punktion
als „definiert" anzusehen sei (die Prage nach der Definition einer
„Definition"). Wir folgen der freien AufFassung CANTORS (Punktmengen
III^^) und verlangen nicht, da£ die logische Disjunktion, ob ein Ding
einer Menge angehort oder nicht, mit unseren aktuellen Mitt ein wirklich
entschieden werden konne. Eine reelle Zahl ist entweder algebraisch
oder transzendent, und damit ist die Menge der transzendenten Zahlen
„wohldefiniert", obgleich man zur Zeit der ebengenannten CANTORschen
Abhandlung noch nicht wu£te, da£ IT ZU ihr gehort [•••]. Die Punktion
/(x), die fiir rationales x gleich 1 und fiir irrationales gleich 0 ist, ist
wohldefiniert, obgleich wir die Werte /(2^), /(2^), /(TT^) USW. nicht kennen.
Dieser MengenbegrifF und dieser (DiRiCHLETsche) Punktionenbegriff
bindet sich weder an „Kriterien, die nur eine endliche Anzahl von Versuchen
erfordern", noch an „analytische Daxstellungen" u. dgl. Bekanntlich
ist die gegenteilige, allerengste Einschrankung der mathematischen Definition
von L. KRONECKER gefordert, aber von niemandem je ernstlich
durchgefiihrt worden.^^
Fiir HAUSDORFF waren die Ergebnisse der franzosischen Schule der Theorie der
reellen Funktionen wegen ihrer mathematischen Substanz interessant: Punktionen
und Mengen, die durch gewisse abzahlbare Prozeduren entstehen, haben
interessante Struktureigenschaften, die es zu ergriinden gilt. Am Anfang mag
auch die Hoffnung eine Rolle gespielt haben, auf CANTORS Weg das Kontinuumproblem
zu losen; HAUSDORFF bemerkte aber bald, da£ hier vermutlich kein
Fortschritt zu erzielen war.^^
In ihrem Essay Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzilgen der Mengenlehre
(Band II dieser Edition, S. 773-787) weisen V. KANOVEI und P. KOEP-
KE auf einen methodisch aufierordentlich bedeutsamen Wechsel der Perspektive
hin, den HAUSDORFF in den Grundziigen gegeniiber der franzosischen Schule
vorgenommen hat:
In den Grundziigen baut HAUSDORFF die deskriptive Theorie zum ersten
Mai als eine Theorie von Mengen und nicht als eine Theorie von
Funktionen auf. Diese Sichtweise hat sich historisch durchgesetzt.^^
In dem genannten Essay werden HAUSDORFFS eigene Ergebnisse, die er in den
Grundziigen auf dem Gebiet der deskriptiven Mengenlehre erzielt hat, eingehend
gewiirdigt; es geniigt deshalb, sie hier nur stichpunktartig zu nennen:
- Einfiihrung des Begriffs des voUstandigen metrischen Raumes und Ausarbeitung
der Theorie der separablen voUstandigen metrischen Raume (d. h. der
^^ HAUSDORFF bezieht sich hier auf [Ca 1882].
^^[H 1914a], S.450; Bd. II dieser Edition, S.550. LEBESGUE hatte seine Uberlegungen zu
ZERMELOS Beweis des Wohlordnungssatzes folgendermaften resiimiert: „En resume, quand
j'examine de pres le raisonnement de M. Zermelo, comme d'ailleurs plusieurs raisonnements
generaux sur les ensembles, je le trouve trop peu kroneckerien pour lui attribuer un sens
[•••]". ([BBHL 1905], S.267).
24Vgl. dazu die kleingedruckte Passage in [H 1914a], S.321; Band II dieser Edition, S.421.
^^Band II dieser Edition, S. 773.

polnischen Raume) als natiirliche Basis der deskriptiven Mengenlehre,
- Einfiihrung der Borelschen Hierarchie mittels transfiniter Rekursion und Einfiihrung
suggestiver Notationen fiir die Anfangsstufen der Borelschen Hierarchie,
die sich allgemein durchgesetzt haben {Gs, F^, Gsa^ F^s, usw.)^^,
- Losung des Kontinuumproblems fiir G^cr(5-Mengen: jede unendliche GsaS-
Menge in einem separablen voUstandigen metrischen Raum ist entweder abzahlbar
oder hat die Machtigkeit des Kontinuums,
- Einfiihrung der reduziblen Mengen; Beweis, dafi dies genau die Mengen sind,
die zugleich Gs und Fa- sind,
- Charakterisierung der Mengen, die zugleich Gs und F^ sind, durch Differenzenketten:
Genau die Mengen der Gestalt
eine absteigende Folge abgeschlossener Mengen der Lange ^ < ui, sind gleichzeitig
Gs und F^.
An den Beweis des Satzes iiber die Machtigkeit der unendlichen G5cr

Zur Topologie gehort auch die ,^deskriptive Punktmengenlehre'''' (Theorie
descriptive des ensembles), d. h. im wesentlichen die Theorie der Borelschen
Mengen, der A-Mengen und der projektiven Mengen. [ • • ]
Eine Einfiihrung in die deskriptive Mengenlehre findet man in HAUS-
DORFFs Mengenlehre (§§18, 19, 32, 33, 37, 43), eine ausfiihrlichere Darstellung
in dem Buch „Topologie I" von KURATOWSKI; eine stark philosophisch
gefarbte Daxstellung dieser Theorie gibt LusiN in den „Legons
sur les ensembles analytiques" (Collection Borel).^^
Der Hinweis auf den franzosischen Ausdruck „Theorie descriptive des ensembles"
konnte vermuten lassen, dafi dieser Terminus in Frankreich vor 1935 gelaufig
war. Dies ist nicht der Fall; er kommt weder in LusiNs Buch noch in der
franzosisch geschriebenen Topologie von KURATOWSKI ([KU 1933]) noch in sonstigen
Publikationen vor. Es ist nur von „Theorie descriptive des fonctions" die
Rede. Das Wort „descriptif" in bezug auf mathematische Inhalte erscheint erstmals
in dem Buch Integrales de Lehesgue, fonctions d^ensemble, classes de Baire
von C. DE LA VALLEE POUSSIN ([VP 1916]); dort heifit es in der Einleitung:
Toutes ces questions [welche in den Teilen 1 und 2 des Buches behandelt
werden - W. P.] sont surtout d'ordre metrique. Dans la troisieme Partie,
j'aborde des questions d'ordre plus exclusivement descriptif, etroitement
liees cependant aux precedent es. II s'agit de la repartition des fonctions
dans les classes successives de Baire, du theoreme de M. Baire sur les
fonctions de classe 1 et des extensions de ce theoreme que Ton doit a M.
Lebesgue.^^
2. Die Entsteliung des Buches Mengenlehre
HAUSDORFFS Grundzilge der Mengenlehre hatten nach dem ersten Weltkrieg
eine lebhafte Rezeption erfahren.^^ Mitte 1923 war das Werk ausverkauft. Der
Verlag Veit & Co. in Leipzig, der es herausgebracht hatte, war bereits 1919
vom Verlag Walter de Gruyter in Berlin libernommen worden. De Gruyter
hatte 1921 eine Lehrbuchserie „Goschens Lehrbiicherei" aus der Taufe gehoben;
als erster Band in der Gruppe 1 „Reine und angewandte Mathematik" erschien
1921 das Buch Irrationalzahlen von OSKAR PERRON. In der Ankiindigung von
Goschens Lehrbiicherei wurde das Ziel des Unternehmens folgendermaften umrissen:
Mit diesem Unternehmen bezwecken wir eine Sammlung von ausgesprochenen
Lehrhuchern aus den Gebieten der Mathematik, der exakten Naturwissenschaften
und der Technik, die wissenschaftliche Griindlichkeit,
leichte Verstandlichkeit und klaxen Aufbau in sich vereinen und ganz
^^[AH 1935], S. 19-20. Die Klasse der projektiven Mengen ist die kleinste Klasse, die alle
analytischen Mengen enthalt und die abgeschlossen gegeniiber Komplementbildung und
Bildung stetiger Bilder ist.
^°[VP 1916], S.IX. Den Hinweis darauf verdanke ich Herrn Jean-Michel Kantor (Paris).
^^S.dazu Band II dieser Edition, S.55 ff.
10

esonders fiir Studierende der Universitaten und technischen Hochschulen,
fiir Lehramtskandidaten und Lehrer mittlerer und hoherer Schulen^
zur Benutzung an pddagogischen Akademien und Lehrerseminarerij sowie
auch fiir das Selbststudium gleichartig vorgebildeter Leser geeignet
sind. Jeder Band wird einen Umfang von 10 bis 20 Druckbogen haben
(im allgemeinen etwa 15 bis 16 Bogen) und ungefahr den Inhalt einer
einsemestrigen Vorlesung umfassen.
Einem Bogen entsprechen sechzehn Seiten; die ins Auge gefafiten Lehrbiicher
sollten also in der Regel etwa 260 Seiten und maximal 320 Seiten umfassen. Als
Mitte 1923 der Verlag wegen einer Neuauflage der Grundziige der Mengenlehre
fiir „G6schens Lehrbiicherei" an HAUSDORFF herantrat, mufiten - wie bereits
erwahnt - erhebliche Kiirzungen stattfinden (die Grundziige batten 476 Seiten).
Am 17.6.1923 schreibt HAUSDORFF in einem Brief an ERNST ZERMELO:
Es wird Sie vielleicht interessiren, dass mein Buch iiber Mengenlehre ausverkauft
ist und der Verleger eine zweite, allerdings verkiirzte Auflage (in
Goschens Lehrbiicherei) vorschlagt. Das stimmt auch mit meinen eigenen
Wiinschen iiberein; ich hoffe die Sache beim zweiten Mai erheblich einfacher
und eleganter zu machen (auch in den Bezeichnungen). Das Meiste
iiber geordnete Mengen werde ich 'rausschmeissen und dafiir mehr iiber
Punktmengen bringen. Etwaige Rathschlage, die Sie mir ertheilen konnen
oder wollen, werden mit gro£tem Dank entgegengenommen (welches
eigentlich der Zweck dieser Mittheilung ist)!^^
Die in diesem Brief angedeutete starkere Beriicksichtigung der Theorie der
Punktmengen korrespondierte mit einer Verschiebung in HAUSDORFFS Forschungsinteressen:
Seit Erscheinen der Grundziige der Mengenlehre hatte er
sich zunehmend von der allgemeinen Mengenlehre abgewandt und mehr der
Analysis, insbesondere der Mafitheorie, der Theorie der reellen Funktionen und
der Funktionalanalysis zugewandt. Die damit verbundene starkere Orientierung
auf die Erforschung spezieller Klassen von Punktmengen deutete sich bereits
in HAUSDORFFS Lehrtatigkeit zu Beginn seiner zweiten Bonner Zeit an. Er
begann sein Bonner Ordinariat im Wintersemester 1921/22 mit einer vierstiindigen
Vorlesung Mengenlehre und Theorie der reellen Funktionen.^^ Eine einsemestrige
Vorlesung hatte dem Verleger als Inhalt eines Bandes von Goschens
Lehrbiicherei in etwa vorgeschwebt, und in der Tat diente die genannte Vorlesung
HAUSDORFF als Grundlage fiir seine „v611ige Neubearbeitung".^^ Man kann
sagen, daK die Vorlesung inhaltlich so gut wie voUstandig in die Mengenlehre
eingegangen ist. Eine Reihe von Paragraphen des Buches (z. B. 4-11,13,15, 20,
22, 23) wurde weitgehend, z. T. wortlich, aus der Vorlesung iibernommen, wobei
im Buch natiirlich ausfiihrlichere Erlauterungen und mehr Beispiele zu finden
sind. Auch zwei einschneidende Veranderungen der Mengenlehre gegeniiber
^^Nachlaft ERNST ZERMELO, Universitat Freiburg.
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 13 : Fasz. 42. HAUSDORFF war zum 1.4.1921 nach Bonn berufen
worden, hatte aber im Sommersemester 1921 mit Zustimmung des Kultusministeriums noch
in Greifswald gelesen und seine Stelle in Bonn erst am 1.10.1921 angetreten.
34[H 1927a], S.5.
11

den Grundziigen finden sich schon in der Vorlesung, namlich der Wegfall der
von HAUSDORFF in den Jahren 1904-1909 selbst geschaffenen hoheren Theorie
der geordneten Mengen und der Ubergang von der Theorie der topologischen
Raume mit zweitem Trennungsaxiom zur spezielleren Theorie der metrischen
Raume.
Die meisten Abschnitte, die HAUSDORFF in seinem Buch gegeniiber der Vorlesung
wesentUch erweiterte bzw. die er ganz neu aufnahm, behandeln Themen
der deskriptiven Mengenlehre. So sind in der Vorlesung die Ausfiihrungen iiber
Ringe, Korper, a- und J-Systeme sowie den SusHnschen Prozefi im Kapitel I
„Mengen und ihre Verkniipfungen" mit enthalten; sie nehmen dort nur 9| handschrifthche
Seiten ein. Im Buch widmet er diesen Themen ein eigenes Kapitel
„Mengensysteme", in dem u. a. die BoRELsche Hierarchie besonders eingehend
behandelt wird unter ausgiebiger Benutzung der (55-Operation.^^ In diesem Kapitel
tritt auch erstmals die Bezeichnung "Suslinsche Menge" auf.^^
Wesentlich erweitert gegeniiber der Vorlesung sind die Abschnitte, welche die
Borel- und Suslinmengen metrischer Raume behandeln. In der Vorlesung ist einiges
davon in die Paragraphen iiber separable und iiber voUstandige Raume
mit eingebaut, im Buch gibt es ein eigenes Kapitel „Punktmengen und Ordnungszahlen".
Ganz neu gegeniiber der Vorlesung sind hier z. B. die Existenzsatze,
d. h. der Nachweis, dafi in einem vollstandigen Raum mit nichtleerem
perfekten Kern zu jeder Ordnungszahl ^ < a;i Borelmengen existieren, die genau
von ^-ter Klasse sind, sowie Suslinmengen, die keine Borelmengen sind.
Neu sind auch die von SuSLiN und LusiN stammenden tiefliegenden Resultate
in Form zweier Bedingungen, deren jede notwendig und hinreichend dafiir ist,
daK eine Suslinmenge in einem polnischen Raum eine Borelmenge ist.
HAUSDORFF hebt im Vorwort zur Mengenlehre auch hervor, dafi er gegeniiber
den Grundziigen die Baireschen Funktionen starker beriicksichtigt habe.
Bereits in der genannten Vorlesung sind die Baireschen Funktionen eingehender
behandelt als in den Grundziigen] im Buch wird das noch weiter ausgebaut und
systematischer dargestellt, insbesondere die BAlREsche Klassifikation, ihr Zusammenhang
mit der BORELschen Hierarchie und Satze iiber Bairesche Bilder
von separablen Suslin- bzw. Borelmengen.
Eine Anderung gegeniiber den Grundziigen, die HAUSDORFF im Vorwort explizit
nennt, ist der Wegfall der Mafi- und Integrationstheorie. Vermutlich hatte
er dies jedoch zunachst nicht so vorgesehen. Im Nachlafi findet sich ein druckreif
ausgearbeitetes Manuskript zur Mafi- und Integrationstheorie, welches in der
Kapitel- und Paragraphenzahlung unmittelbar an das Buch Mengenlehre anschliefit:
„Zehntes Kapitel: Mengenfunktionen und Funktionale. §45. Additive
Mengenfunktionen." ^^ Das Manuskript ist nicht datiert; wir wissen jedoch aus
^^Die (5s-Operation haben HAUSDORFF, SIERPINSKI und KOLMOGOROFF entdeckt; vgl.dazu
die Fuftnote 1 in [H 1933a], dieser Band, S.473, ferner Abschnitt 5 dieser Einfiihrung.
^^SUSLIN und LUSIN hatten diese Mengen in Anlehnung an LEBESGUE [Le 1905] analytische
Mengen bzw. A-Mengen genannt. Zur Entdeckungsgeschichte der Suslinmengen und zu ihrer
verschiedenen Benennung s. [Lo 2001].
^"^NL HAUSDORFF : Kapsel 51: Fasz. 1129, Bll. 1-73. Der Faszikel enthalt Bl. 74 ff. eine vor-
12

NL HAUSDORFF : Kapsel 33: Fasz. 244 vom 13.11.1925, da£ die Paragrapheneinteilung
und -numerierung der Mengenlehre im Herbst 1925 bereits feststand,
denn dieser Faszikel ist iiberschrieben „Zu § 41" und behandelt Einschiebungssatze
fiir reelle Funktionen. Im Januar 1925 stand die Paragraphennumerierung
ofFenbar noch nicht fest, denn Faszikel 232 vom 2.1.1925 tragt die Uberschrift
„Erganzung zu Kapitel IX, § : Funktionen und Urbildmengen." Faszikel 1129
diirfte also im Verlaufe des Jahres 1925 entstanden sein. Dafi dies Manuskript
als letztes Kapitel des Buches geplant war, zeigen auch Verweise im Text. So
wird auf Bl. 31 der Borelsche tJberdeckungssatz benutzt; es heifit dort „nach
dem Borelschen Satz § 26, 11". Der Satz II in § 26 der Mengenlehre ist in der
Tat der Borelsche tJberdeckungssatz.
Im ersten Paragraphen „Additive Mengenfunktionen" ^^ betont HAUSDORFF,
dafi BegrifFe wie Lange, Flache, Volumen, Gewicht, Ladung u. dgl. auf solche
Funktionen fiihren. Dann hei£t es:
Es sei noch auf das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung hingewiesen,
das vollig von der Idee der additiven Mengenfunktion beherrscht wird.^^
In seiner Vorlesung iiber Wahrscheinlichkeitsrechnung vom Sommersemester
1923^^ hatte HAUSDORFF in den Paragraphen 4-6^^ einen Abri£ der Mafi- und
Integrationstheorie gegeben, freilich auf die Bediirfnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung
zugeschnitten. Das hier in Rede stehende Manuskript ist allgemeiner
gehalten und gibt einen knappen Uberblick iiber die Mafi- und Integrationstheorie
auf dem damals aktuellsten Stand.^^ Allerdings gab es Mitte
der 20-er Jahre bereits mehrere gute Darstellungen dieses Gebietes^^; dies hat
HAUSDORFF im Vorwort dann auch als Grund dafiir genannt, warum die Mafiund
Integrationstheorie schliefilich weggefallen ist. Verwendet hat HAUSDORFF
den Abrifi der Mafi- und Integrationstheorie aus Fasz. 1129 als Grundlage fiir
die Paragraphen 2 „Additive Mengenfunktionen (Masse)" und 3 „Lineare Funktionale
(Integrale)" seiner Vorlesung Reelle Funktionen und Mafitheorie vom
Wintersemester 1932/33.^^ Dort wird dariiber hinaus der Zusammenhang von
Integration und Differentiation ausfiihrlich behandelt, insbesondere die DEN-
JO Yschen Derivierten einschliefilich des DEN JO Yschen Verteilungssatzes, ferner
weitere Integralbegriffe wie z. B. das Perron-Integral.
laufige Version, in der schon eine Einteilung in Paragraphen gegeben ist, die Numerierung
der Paragraphen aber noch offen gelassen wurde.
^^Unter „additiV versteht HAUSDORFF „c7-additiV, additive Mengenfunktionen im heutigen
Sinne hei£en bei ihm „beschrankt additiV.
^^Fasz. 1129, B1.3.
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 21: Fasz. 64, vollstandig abgedruckt im Band V dieser Edition,
S.595-722.
^^Bd.V, S. 626-666.
^^Die Uberschriften der auf den einleitenden §45 folgenden Paragraphen lauten: §46. Konstruktion
additiver Mengenfunktionen, § 47. Lineare Funktionale, § 48. Konstruktion linearer
Funktionale.
^^S. dazu auch den Kommentar von S. D. CHATTERJI ZU Fasz. 64 in Band V dieser Edition,
S. 723 ff., insbesondere S. 727-728; ferner [Ch 2002].
4^NL HAUSDORFF : Kapsel 17: Fasz. 53.
13

Der Verlagsvertrag fiir die Mengenlehre war bereits am 12. Mai 1924 unterschrieben
worden. Darin wurde folgendes vereinbart:
Die Zusendung des vollkommen druckfertigen Manuskriptes sowie der
reproduktionsfahigen Vorlagen zu den Figuren soil bis Ende 1924 an die
Verlagshandlung erfolgen. [• • • ]
Die erste Auflage wird in 1500 (Fiinfzehnhundert) bis 2000 (Zweitausend)
Exemplaren abgezogen.^^
Der Abgabetermin wurde im Dezember 1924 auf den 15. April 1925 verlangert.^^
Aber auch diesen Termin hat HAUSDORFF offenbar nicht halten konnen.
tjber die weitere Vorbereitung der Drucklegung der Mengenlehre erfahrt man
einiges aus den Briefen ALEXANDROFFS an HAUSDORFF.^'^ Erstmalig erwahnt
wird das Buch in einem Brief vom 27.10.1925:
HofFentlich hatten Sie schone Tage in der Schweiz, die Ihrer Gesundheit
wohl getan haben. Dadurch wird auch sicher Ihre Arbeit an Ihrem Buche,
auf das wir, russische Mengentheoretiker, mit einer so groften Ungeduld
wcirten, wesentlich gefordert.
Im November 1925 hatte ALEXANDROFF HAUSDORFF in Bonn besucht. Spatestens
zu diesem Zeitpunkt wufite ALEXANDROFF, dafi es sich nicht um eine
Neuaufiage im iiblichen Sinne, sondern um ein vollkommen neues Buch handeln
wiirde. Am 4.4.1926 schreibt er an HAUSDORFF:
Es freut mich sehr zu vernehmen, da£ die zweite Auflage Ihres Buches
endlich dem Drucke iibergeben ist* es waxten ja so sehr viele Menschen
auf dieses Buch, insbesondere auch in meiner Heimat; der Verleger soil
also nicht allzuviel Zeit weiter verlieren, er diirfte ja auch auf einen guten
geschaftlichen Erfolg rechnen (auch in Amerika und in Polen, hoffentlich
endlich auch in Deutschland werden ja rasch viele Exemplare verkauft).
'^^Staatsbibliothek zu Berlin, Dep. 42 (Archiv de Gruyter), 227. Es muft im Archiv des
Verlages de Gruyter umfangreiches Material, die Mengenlehre betrefFend, gegeben haben. In
dem Katalog Repertorium der Briefe aus dem Archiv Walter de Gruyter ([Ne 1999]), der
anlaftlich der Ubergabe des Archivs an die Staatsbibliothek zu Berlin herausgegeben wurde,
heii^t es:
HAUSDORFF, Felix, Professor fiir Mathematik an der Universitat Bonn (1868-
1942). 34 Briefe, 3 Briefkarten, 6 Postkarten, 1 Aktennotiz iiber eine Besprechung
23.6.1923-21.8.1935. 34 Schreiben an H. 1 Vertragsentwurf. Beilagen:
Auszug aus einem Brief von Prof. R. Haussner 26.5.1922. Brief des Verlags
B.Westermann Sz Co., New York 16.6.1927. Schriftwechsel mit der Zweigstelle
Leipzig (Herr Eydt) wegen der Vorrate der „Mengenlehre" 20. 9.-1.10.1934.
Brief der Druckerei F.Ullmann in Zwickau 22.11.1934. Auszug aus einem
Brief von Professor W. Siift, Freiburg i.Br., dem Vorsitzenden der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung 11.4.1939. Brief an Professor L.Bieberbach 7. 8.
1939. Inhalt: Ausarbeitung und Veroffentlichung der „Mengenlehre" in „G6schens
Lehrbiicherei" nebst 2 Neudrucken.
Dieses Material konnte leider trotz intensiver mehrwochiger Nachforschungen in der Staatsbibliothek
und im Verlag de Gruyter nicht mehr aufgefunden werden.
^^Handschriftliche Notiz auf dem Rand des Verlagsvertrages.
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 61.
14

Ich werde mich besonders interessieren um (unseren Novembergesprachen
entsprechend) eine Korrektur Ihres Buches mitlesen zu diirfen.
Aus weiteren Briefen geht hervor, dafi ALEXANDROFF die Korrekturen bis etwa
Kapitel VII gelesen hat. Die restlichen Bogen haben ihn wegen intensive! Reisetatigkeit
im Herbst 1926 zu spat erreicht. Im Nachlafi HAUSDORFFS befindet
sich ein Exemplar der Bogenkorrekturen^^, aus dem ersichtlich ist, dafi diese im
Dezember 1926 abgeschlossen waren. Die Mengenlehre mufi im Januar oder Februar
1927 erschienen sein, denn ALEXANDROFF bedankte sich in einem Brief
vom 6.3.1927 fiir die Zusendung des Buches. Aus diesem Brief geht hervor, dafi
auch LusiN ein Exemplar erhielt. Interessant ist in diesem Zusammenhang eine
Bemerkung HAUSDORFFS in seinem Brief an ALEXANDROFF vom 31.5.1927.
Dort heifit es:
Herr Lusin hat mir fiir das Buch bisher nicht gedankt. Ob es ihn wohl
argert, dass ich die (A)-Mengen Suslinsche Mengen genannt habe? In der
Arbeit Ens[embles] analytiques (Fund. Math.), die ich grosstenteils sehr
schwach finde, hat er ja die Vaterschaft auf Lebesgue iibertragen. Wirklich
schon sind aber seine neuen Beweise fiir die beiden Hauptsatze, die
ich - nach Mitteilung von Sierpiiiski - noch in mein Buch aufgenommen
habe.
Hoffentlich verschluckt Russland und Polen ungeheure Mengen meines
Buches, damit ich meinem Verleger imponiere!^^
3. Der Ubergang von den topologischen Raumen zur spezielleren
Theorie der metrischen Raume
HAUSDORFFS Entscheidung, in der Mengenlehre nicht die von ihm selbst in den
Grundziigen begriindete Theorie der topologischen Raume darzustellen und sich
im wesentlichen auf die Theorie der metrischen Raume zu beschranken, fiihrte
schon vor dem Erscheinen der Mengenlehre zu einer Reaktion ALEXANDROFFS.
Unter Bezug auf seine Mitarbeit an den Korrekturen der Mengenlehre schrieb
ALEXANDROFF am 4.7.1926 an HAUSDORFF:
Da£ Sie nur sehr wenige meiner Bemerkungen beriicksichtigen werden ist
mir weder unangenehm, noch unerwartet: ich habe mir erlaubt, alles, was
mir beim Lesen Ihres Buches einfiel auch aufzuschreiben [• • ]
Was nun speziell meine Bemerkungen iiber den metrischen bzw topologischen
Standpunkt betrifft, so vergessen Sie ja nicht, lieber Herr Hausdorff,
da£ ich in dieser Frage durchaus nicht objektiv sein kann, vor allem deshalb
nicht, da£ ich mit der erst en Auflage Ihres Buches mit tausenden
innigsten Faden verbunden bin, ja sogar, da£ mir dieses Buch vielleicht
das liebste in der ganzen Literatur ist, da£ ich, infolgedessen oft eine,
sogar gut motivierte, aber nicht unentbehrliche Abanderung, im buchstablichen
Sinne schmerzhaft empfinde. Durch diesen subjektiven Grund
'^^NL HAUSDORFF : Kapsel 28 : Fasz. 100.
4^NL HAUSDORFF : Kapsel 62. S. dazu auch [Lo 2001].
15

wiirde ich mich, natiirlich, nicht leiten lassen, wenn ich nicht iiberhaupt
der Meinung ware (fiir deren Entstehen Sie allerdings eine gewifte Verantwortung
tragen!), daft unter den, bis jetzt bekannten, Eigenschaften der
Punktmengen die topologischen doch die interessantesten sind: au£er der
Topologie im engeren Sinne des Wortes, deren Gebiet allein jetzt iiber
alle Grenzen wachst (ohne leider dabei zusammenhangend zu sein!) fallt
ja auch die ganze sogenannte deskriptive Mengenlehre (Baire. Lebesgue
usw) unter den BegrifF der topologischen Eigenschaften, und wenn man
alles das ausschlieftt, bleibt ja tatsachlich weniger als 50 % der Punktmengenlehre
iibrig [• • • ]
Moglicherweise war die Formulierung, mit der HAUSDORFF die hier in Rede
stehende Abanderung im Vorwort der Mengenlehre ankiindigt, durch ALEX-
ANDROFFs Bemerkungen beeinfluftt. Er schreibt dort, nachdem er den Wegfall
der Theorie der geordneten Mengen und der Ma£- und Integrationstheorie angekiindigt
hat:
Mehr als diese Streichungen wird vielleicht bedauert werden, da£ ich
zu weiterer Raumersparnis in der Punktmengenlehre den topologischen
Standpunkt, durch den sich die erste Auflage anscheinend viele Preunde
erworben hat, aufgegeben und mich auf die einfachere Theorie der metrischen
Raume beschrankt habe, wofiir ein fliichtiger Uberblick (§ 40) iiber
die topologischen Raume kein geniigender Ersatz ist.^°
In dem erwahnten § 40 bespricht HAUSDORFF zunachst verschiedene Moglichkeiten,
in einer Menge axiomatisch eine Topologie einzufiihren. Als undefinierter
Grundbegriff wird jeweils einer der folgenden Begriffe gewahlt: offene Menge,
abgeschlossene Menge, abgeschlossene Hiille, offener Kern, Umgebung.^^
HAUSDORFF skizziert dann Moglichkeiten, die Raume durch Trennungseigenschaften
verschiedener Starke sowie durch Separabilitatseigenschaften weiter zu
spezialisieren. Dieser kurze Paragraph war insofern von historischer Bedeutung,
als hier erstmalig eine systematische Zusammenstellung der in verschiedenen
Originalarbeiten verstreuten Vorschlage zur Einfiihrung von Topologien und
zur Formulierung von Trennungs- und Separabilitatseigenschaften im Rahmen
eines Lehrbuchs erfolgte.^^ Fiir Lehrbiicher der allgemeinen Topologie wurde
es spater kanonisch, mit einer tjbersicht fiber die verschiedenen Moglichkeiten
der Einfiihrung von Topologien zu beginnen.
Es wird vielleicht nicht nur die „Raumersparnis" gewesen sein, die HAUS­
DORFF bewogen hat, sich auf die metrischen Raume zu konzentrieren. Er wird
in einem Lehrbuch in Goschens Lehrbiicherei das Ziel gehabt haben, seinen
Lesern besonders den Teil der allgemeinen Topologie nahezubringen, der in
den zwanziger Jahren am intensivsten erforscht war und der in verschiedenen
Zweigen der Mathematik schon die meisten Anwendungen gefunden hatte, und
^°[H 1927a], S.5-6. Der Ausdruck „Raumersparnis" verrat auch hier HAUSDORFFS Sinn fiir
Ironie, der sein literarisches Werk durchweg ausgezeichnet hatte.
^^S.dazu den Artikel Zum Begriff des topologischen Raumes, Bd.II dieser Edition, S. 718-
732.
^2Vgl.[En 1977], S.41.
16

das war ohne Zweifel die Theorie der metrischen Raume. Deren Bedeutung betont
z. B. R. ENGELKING in seinem Buch General Topology (in den historischen
Anmerkungen zum Kapitel „Metric and Metrizable Spaces"); es heifit dort:
The class of metric spaces is sufficiently large to include many objects
studied in various branches of mathematics and thus describe them in
geometric language, and, at the same time, the spaces in this class seem
to be sufficiently simple to permit the use of geometric intuition.^^
So arbeitete die Funktionalanalysis, die sich besonders nach 1920 stiirmisch
entwickelte, mit normierten, d. h. mit speziellen metrischen Raumen. Die ebenfalls
aufbliihende deskriptive Mengenlehre studierte Punktmengen vor allem
in separablen vollstandigen metrischen Raumen. Was die allgemeine Topologie
betrifft, so konstatiert ENGELKING:
For many years topologists' attention was focused on metric spaces and,
in particular, on separable metric spaces. No doubt, the latter class is the
best explored class of topological spaces; Kuratowski's two-volume monograph
[1966] and [1968] is a veritable encyclopaedia on this subject.^^
Auch HAUSDORFFS eigene Arbeiten aus dem Zeitraum zwischen den Grundziigen
und der Mengenlehre untersuchen - soweit sie nicht rein analytischen
Charakters sind- Objekte in metrischen Raumen.^^ So wird in der bereits
erwahnten Arbeit Die Mdchtigkeit der Borelschen Mengen ([H 1916]) das Kontinuumproblem
fiir Borelmengen in einem separablen vollstandigen metrischen
Raum gelost. In HAUSDORFFS wohl einflufireichstem Zeitschriftenaufsatz Dimension
und dufieres Mafi ([H 1919a]) beschrankt er sich zwar auf Euklidische
Raume, die Ubertragung auf metrische Raume liegt aber auf der Hand.^^ Die
Arbeit Uber halhstetige Funktionen und deren Verallgemeinerungen ([H 1919d])
behandelt von vornherein reelle Funktionen, die auf einem metrischen Raum
definiert sind; die Ergebnisse sind weitgehend in die Paragraphen 41 und 42 der
Mengenlehre eingeflossen.^'^ Schliefilich enthalt [H1924] HAUSDORFFS beriihmten
Gs-Satz: Jedes Gs in einem vollstandigen metrischen Raum ist mit einem
vollstandigen metrischen Raum homoomorph.^^
Eine ahnliche Gewichtung bei der Wahl der studierten Raumklassen hatte
auch P.URYSOHN vorgenommen. Obwohl er stets ein lebhaftes Interesse an
allgemeinen topologischen Raumen hatte, betreffen viele seiner herausragenden
Leistungen metrische Raume. Als ALEXANDROFF nach URYSOHNS friihem
Tod dessen Arbeit Memoire sur les multiplicites Cantoriennes ([Ur 1925/1926])
^3[En 1977], S.320.
^^Ebenda, S.320. [1966] und [1968] bedeuten [Ku 1966] und [Ku 1968] in unserem Literaturverzeichnis.
^^Die bedeutenden Beitrage, die HAUSDORFF bereits in den Grundziigen der Mengenlehrk.
zur Theorie der metrischen Raume leistete, sind im Band II dieser Edition, S. 762-787
besprochen worden.
^^S.Band IV dieser Edition, S. 21-54.
^^S. Band IV dieser Edition, S. 79-103.
^^S.dazu diesen Band, S. 443-453.
17

aus dem Nachla£ zur Publikation vorbereitete, schrieb er an HAUSDORFF im
Hinblick auf diese „Hauptarbeit" URYSOHNS:
In der Topologie der allgemeinen (in metrischen kompacten Raumen)
gelegenen Continua wird das eine der groftten und bahnbrechenden Leistungen
sein; in dieser Topologie der Continua lag immer der Schwerpunct
seiner Interessen, die abstracte Topologie war fiir ihn gewi£erma£en ein
Nebenfach, obwohl er die letzte Zeit sich hauptsachlich mit den abstracten
Raumen beschaftigte.^^
Diese Gewichtung erklart vielleicht auch URYSOHNS lebhaftes Interesse an Metrisationssatzen,
d. h. am Auffinden moglichst allgemeiner hinreichender Bedingungen
dafiir, daK ein topologischer Raum mit einem geeignet gewahlten metrischen
Raum homoomorph ist. Auch HAUSDORFF hatte Metrisationssatze
bewiesen. Seine Ergebnisse^^ wurden aber durch die URYSOHNS iibertroffen.
Am 23.8.1924, unter dem unmittelbaren Eindruck von URYSOHNS tragischem
Tod, schrieb HAUSDORFF an ALEXANDROFF:
Mit Schauder vor der Sinnlosigkeit des Schicksals halte ich den Brief in
Handen, den mir Urysohn am 16. August geschrieben hat - wahrscheinlich
den letzten Brief seines Daseins, einen Tag vor dem Tode. Ich wollte
ihm darauf antworten, dass sein Beweis des Satzes von der Metrisirbarkeit
normaler Raume mit zweitem Abzahlbarkeitsaxiom so schon und einfach
sei und dass er damit die lange und complicirte Arbeit iiber die Metrisation
kompakter Raume so weit iiberholt habe, dass ich meine Beweise
nun nicht mehr der Veroffentlichung fiir werth halte.^^
Die fundamentale RoUe, welche der Begriff des topologischen Raumes in der
modernen Mathematik spielen soUte, war Mitte der zwanziger Jahre noch nicht
abzusehen. Das betraf insbesondere auch die geometrische Topologie, jene auf
GAUSS, LISTING, RIEMANN, MOBIUS, BETTI, POINCARE und BROUWER ZUriickgehende
Forschungsrichtung von gro£er Tiefe und Schonheit, welche die
allgemeine Theorie der topologischen Raume erst relativ spat als ihre unverzichtbare
Grundlage betrachtete.^^
Andererseits war, durch HAUSDORFFS Grundzilge initiiert, die allgemeine Topologie
in den zwanziger Jahren als eine eigenstandige mathematische Disziplin
betrachtlich weiterentwickelt worden, vor allem durch die russische Schule, die
polnische Schule und durch Forscher wie FRECHET, TIETZE und ViETORiS.
Es gab deshalb auch manche Stimmen des Bedauerns iiber HAUSDORFFS Einschrankung
der Raumtheorie auf die metrischen Raume. ALEXANDROFF wurde
schon genannt; seine gemeinsam mit H. HOPF verfafite Topologie ([AH 1935])
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 61, Brief vom 2. 9.1924.
®°AUS dem Nachlaft publiziert in diesem Band, S. 755-758.
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 62.
^^S.dazu von E. BRIESKORN und E. SCHOLZ den Abschnitt „Zur Aufnahme mengentheoretisch-topologischer
Methoden in die Analysis Situs und geometrische Topologie" in der
historischen Einfiihrung zu HAUSDORFFS Grundziige der Mengenlehre, Band II dieser Edition,
S. 70-75.
18

war die erste Monographie, die eine Synthese der allgemeinen Topologie mit
anderen Zweigen der Topologie anstrebte.^^ Weitere Stimmen des Bedauerns
finden sich in Rezensionen der Mengenlehre. So hei£t es bei G. FEIGL im Jahresbericht
der DMV:
Weniger leichten Herzens wird man sich damit abfinden, da£ der Theorie
der Punktmengen von vornherein metrische Raume zugrunde gelegt und
da£ die fiir die Topologie so au£erordentlich wichtige Theorie allgemeinerer
Raume, deren systematische Darstellung in den „Grundziigen" eine
beherrschende Stellung eingenommen hatte, ebenfalls (bis auf einen kurzen
referierenden Paragraphen) beiseite gelassen worden ist. Aber auch
diese Streichung wird man billigen miissen: Die abstrakte Topologie hat
im letzten Jahrzehnt, namentlich durch die Arbeit en von ALEXANDROFF
und URYSOHN, SO gewaltige Fortschritte gemacht, da£ eine einigerma£en
erschopfende Darstellung nur noch in einem besonderen Werk gegeben
werden kann.^^
Ein mit „D." signierender Referent im Nieuw Archief voor Wiskunde bemerkt:
Jammer is het vooral, dat de schrijver in de leer der puntverzamelingen
het topologische standpunt heeft verlaten en zich, behoudens een
vluchtig overzicht, beperkt heeft tot de eenvoudige theorie der metrische
ruimten.^^
Ahnlich aufiert sich H. M. GERMAN im Bulletin of the AMS.^^ HANS HAHN
spricht in den Monatsheften fur Mathematik und Physik von einem „Opfer, das
aus raumokonomischen Griinden gebracht werden mufite und das dem Verfasser
wohl gleich schmerzlich war, wie dem sachkundigen Leser." ^^ Schliefilich
schreibt A. ROSENTHAL in der Deutschen Literaturzeitschrift:
Unter dem jetzt Weggelassenen befindet sich manches, was man nur ungern
vermissen wird. Gerade einige solche Theorien, die man H. selbst
zu verdanken hat, sind in der 2. Aufl. ausgeschieden worden; namlich die
hoheren Teile der Theorie der geordneten Mengen und - was ganz besonders
bedauerlich ist - die von H. in der 1. Aufl. geschaffene Theorie der
topologischen Raume, an die inzwischen so viele andere Mathematiker
angekniipft haben.^^
4. Zur Rezeption der Mengenlehre
In der eben herangezogenen Rezension von ROSENTHAL wird die trotz Raumknappheit
ausfiihrliche Darstellung der deskriptiven Mengenlehre besonders
hervorgehoben:
^^Leider blieb das Werk - durch die Zeitumstande bedingt - unvollendet. Von den geplanten
drei Banden erschien nur der erste.
64[Fei 1928], S.56.
6^[D. 1928], S.411.
66[Geh 1927], S.779.
^'^[Hahn 1928], S.57.
68[Ro 1928], S.294.
19

Dariiber hinaus ist als besonders wertvoUer Zuwachs eine allgemeine und
umfassende Theorie der Borelschen Mengen (die in der 1. Aufl. nur kurz
gestreift wurde) und der noch allgemeineren (1917 von Suslin entdeckten
und hier von H. nach ihm benannten) Suslinschen Mengen zu betrachten.
Diese Theorie ist nunmehr im Buch sehr stark betont und zieht sich durch
alle Teile des Buches hindurch, was naturgema£ bei den Anwendungen
auf Punktionen in einer eingehenden Theorie der Baireschen Punktionen
seinen Ausdruck findet.^^
ROSENTHAL schliefit, sicherlich nicht zuletzt wegen dieses „wertvollen Zuwachses",
mit einer Prognose:
Die 2. Aufl. wird sicherlich ebenso viel und eifrig studiert werden wie die
1. Aufl.; und es ist zu erwarten, da^ sie in eben so hohem Ma£e wie die
erste anregend wirken wird.^°
Es ist ganz ausgeschlossen, in diesem Rahmen eine Rezeptionsgeschichte der
Mengenlehre zu schreiben. Im folgenden soil nur anhand einiger statistischer
Angaben und einiger ausgewahlter Beispiele verdeutlicht werden, dafi sich diese
Voraussage ROSENTHALS vol! und ganz bestatigt hat.
Die lebhafte Rezeption der Grundziige der Mengenlehre hatte erst Jahre nach
Erscheinen des Buches eingesetzt, was hauptsachlich auf den ersten Weltkrieg
zuriickzufiihren war. Ganz im Gegensatz dazu wurde die Mengenlehre sofort mit
grower Aufmerksamkeit aufgenommen. Zum einen waren die aufteren Bedingungen
fiir wissenschaftliche Arbeit 1927 viel besser als in den Kriegs- und ersten
Nachkriegsjahren, zum anderen war HAUSDORFF mittlerweile ein weltweit bekannter
und anerkannter Mathematiker, nicht zuletzt durch seine Grundziige.
Einige Rezensionen der Mengenlehre wurden schon erwahnt; insgesamt erschienen
in den Jahren 1927 und 1928 mindestens elf, davon fiinf in Deutschland,
zwei in den USA, je eine in Holland, Norwegen, Spanien und der Tschechoslowakei.^^
Besonders bemerkenswert ist die schon genannte Besprechung von
HANS HAHN, des Vorgangers von HAUSDORFF im Bonner Ordinariat und bedeutenden
Forschers auf den Gebieten Funktionalanalysis und Topologie; sie
schliefit mit den Worten:
Soil ein zusammenfassendes Urteil iiber dieses Buch abgegeben werden,
so kann es nur lauten: Eine in jeder Hinsicht mustergiiltige Darstellung
eines schwierigen und dornigen Gebietes; ein Werk von der Art derer,
die den Ruhm der deutschen Wissenschaft iiber die Welt getragen haben
und auf das mit dem Verfasser alle deutschen Mathematiker stolz sein
diirfen.'^^
^^Ebd., S.195.
^^Ebd., S.295.
^^ Ubersichten iiber alle uns nach Auswertung von 121 verschiedenen Periodika bekannt
gewordenen Rezensionen der Mengenlehre bzw. deren Nachauflage ([H 1935a]) finden sich in
diesem Band, S.409 bzw. S. 424. Im Anschluft an die jeweilige Liste sind einige ausgewahlte
Rezensionen abgedruckt, ferner HAUSDORFFS kurze Selbstanzeige von [H 1935a].
'^2[Hahn 1928], S.58.
20

Moglicherweise hatte HAHN schon die besondere Gefahr des deutschen Antisemitismus
im Auge, als er diese Zeilen schrieb.
HAUSDORFF hatte, wie bereits oben erwahnt, mit [H 1916] einen grundlegenden
Beitrag zur Theorie der Borelschen Mengen geleistet. Die weitergehende
Theorie der analytischen Mengen geht vor allem auf SUSLIN, LusiN und SlER-
PINSKI zuriick. Wie wichtig aber die erste zusammenfassende und besonders
elegante und durchdachte Darstellung dieses neuen StofFes in HAUSDORFFS
Mengenlehre war, wird sehr schon aus HUREWICZ' Arbeit Zur Theorie der
analytischen Mengen ([Hu 1930]) deutHch. HuREWiCZ metrisiert zunachst die
Menge der abgeschlossenen Teilmengen eines (iberabzahlbaren kompakten metrischen
Raumes R mittels der HausdorfFmetrik gemafi Mengenlehre, S. 145 fF.
und konstruiert so einen neuen kompakten metrischen Raum 7^, den „Potenzraum"7^
Sein Hauptergebnis besagt, dafi die Teilmenge M des Potenzraumes,
die aus alien (iberabzahlbaren abgeschlossenen Mengen von R besteht, beziig-
Hch 71 eine analytische Menge ist. Beim Begriff „analytische Menge" heil^t es in
einer Fufinote:
Analytische Mengen — Souslinsche Mengen (A). Wegen der (hauptsachlich
von LusiN und SIERPINSKI entwickelten) Theorie der analytischen
Mengen vgl. etwa HAUSDORFF, Mengenlehre, S. 177 fF. Die in der gegenwartigen
Arbeit zu beniitzenden BegrifFe und Lehrsatze werden unten im
§ 1 zusammengestellt/^
Bei dieser Zusammenstellung wird in einer Fufinote angemerkt:
Wir schlie£en uns dabei sehr eng an die Darstellung in HausdorfFs Mengenlehre
an/^
Es wird dann noch mehrmals auF die Mengenlehre verwiesen; bei der LusiN-
SiERPiNSKischen Theorie der Indizes z.B.mit der Bemerkung:
Die hier beniitzte Form der Definition stammt von HAUSDORFF (Mengenlehre,
S. 187)7^
Eine besondere RoUe bei der Rezeption der HAUSDORFFschen Ideen spielte
eine der ersten mathematischen SpezialzeitschriFten, die polnische ZeitschriFt
Fundamenta MathematicaeP Die Fundamenta publizierten Arbeiten zur Mengenlehre,
Topologie, Theorie der reellen Funktionen, Mafi- und Integrationstheorie,
Funktionalanalysis, zur Logik und zu den Grundlagen der Mathematik.
Waren die Grundziige der Mengenlehre in den Fundamenta vom ersten Bande
an mit bemerkenswerter Haufigkeit prasent, so trifFt dies Fast in gleicher Weise
Fiir die Mengenlehre ab deren Erscheinungsdatum zu: In den 20 Banden von
^^Heute als Hyperraum bezeichnet; s.dazu Band II dieser Edition, S. 762-766.
^4[Hu 1930], S.4.
"^^Ebd., S.6.
"^^Ebd., S.7.
^^S.dazu auch Band II dieser Edition, S. 58-59.
21

9 (1927) bis 28 (1937) wurde das Buch in 70 von 590 insgesamt erschienenen
Arbeiten zitiert, das entspricht einer Quote von 11,9 %7^
In einer Reihe von Arbeiten in den Fundamenta wird unmittelbar an die
Mengenlehre angekniipft. So hatte HAUSDORFF auf S. 90 die Frage aufgeworfen,
ob es eine feste Js-Funktion X — $(Mi, M2,...) derart gibt, dafi X genau alle
von einem beliebig gegebenen Mengensystem M. erzeugten Borelmengen durchlauft,
wenn die Mi alle moglichen Mengen von M durchlaufen. Diese Frage griff
SiERPiNSKi noch im Erscheinungsjahr der Mengenlehre auf ([Si 1927]) und beantwortete
sie negativ, indem er ein spezielles M. angab (namlich das System
aller Teilmengen der Menge der irrationalen Zahlen G (0,1)), fiir welches die
Annahme der Existenz einer solchen (5s-Funktion zum Widerspruch fiihrt. In [Si
1930] werden von SiERPiNSKi fiinf Probleme gelost, die TARSKI im Zusammenhang
mit den HAUSDORFFschen (5s-Funktionen (operations de M. Hausdorff)
gestellt hatte. Z.B.kann die Frage, ob die Iteration zweier (55-Funktionen wieder
eine ist, bejaht werden, wahrend die Frage, ob die Mengenklasse, die durch
Vereinigung zweier durch verschiedene (55-Funktionen iiber demselben M. erzeugter
Mengenklassen entsteht, wieder durch eine ^s-Funktion erzeugt werden
kann, verneint werden mufi. In [Si 1937] schliefilich zeigt SiERPiNSKi, dafi es eine
Mengenfunktion /(Mi,M2,...) gibt (die natiirlich keine (5s-Funktion sein
kann), welche genau die Borelmengen iiber M erzeugt, wenn die Mi behebige
Mengen aus M sind. Fiir die Konstruktion von / ist die HAUSDORFFsche
(5s-Funktion aus Satz II, S. 93 der Mengenlehre die Grundlage.
In [Ba 1931] greift STEFAN BANACH ebenfalls eine Anregung aus der Mengenlehre
auf. Fiir reelle Funktionen auf einem metrischen Raum A hatte der
Klassensatz gegolten: Die Funktionen der LEBESGUEschen Klasse (M^^N^)
sind genau die BAiREschen Funktionen ip^ der Klasse ^ ([H 1927a], S. 255 ff.).
Betrachtet man nun Funktionen in einem beliebigen metrischen Bildraum Y,
so zeigt HAUSDORFF durch ein Gegenbeispiel, daft eine Funktion der Klasse
(M^,iV^) = (Fa^Gs) kein (p^ zu sein braucht. Hieran schlieftt er die folgende
Bemerkung an:
Die Frage, in welchen Bildraumen Y oder fiir welche Paare von Raumen
A, Y XII umkehrbar ist, verdient Untersuchung.^^
BANACH widmet sich dieser Untersuchung und findet z. B., dafi XII umkehrbar
ist im Falle eines Banachraumes Y oder im Falle eines Raumes Y, in dem sich
zwei beliebige Punkte stets durch einen stetigen Bogen verbinden lassen, hier
allerdings fiir ^ ^^^ 1.
1931 und 1933 erschien in Fundamenta in zwei Teilen die umfangreiche Arbeit
von L. KANTOROVITCH und E. LIVENSON Memoir on the Analytical Operations
and Projective Sets. In dieser Arbeit wird die wichtige RoUe der Ss-
Operation fiir die deskriptive Mengenlehre gezeigt, insbesondere auch fiir die
^^Fiir die Grundziige hatte die Quote in den ersten 20 Banden der Fundamenta bei 15,8 %
gelegen.
'^^[H 1927a], S.269. Satz Xll war die eine, fiir jedes Paar A, Y geltende Richtung des
Klassensatzesi Die BAiRESchen Funktionen ^^ sind von der Klasse (M«,Ar«).
22

Untersuchung projektiver Mengen. In zwei Vorlaufernoten in den Comptes Rendus
([KL 1930a], [KL 1930b]) batten KANTOROVITCH und LIVENSON folgendes
gezeigt: Gebt man vom System der abgescblossenen Mengen eines geeigneten
metriscben Raumes aus, so fiibrt die ins Transfinite wiederbolte Anwendung
der (5s-Operation, verbunden mit dem Ubergang zum Komplement, stets nur
auf projektive Mengen bocbstens zweiter Stufe. In [KL 1931] baben die Autoren
verscbiedene Verallgemeinerungen und Modifikationen der (5s-Operation untersucbt
und eine neue Klasse von Operationen, sogenannte positive analytiscbe
Operationen, eingefiibrt. Wenn diese iiber abzablbaren Mengensystemen operieren,
sind sie mit HAUSDORFFS (5s-Funktionen aquivalent; in der Einleitung
beifit es, nacbdem zunacbst auf die SuSLiNscbe Operation verwiesen wurde:
Then in 1927 Mr. HAUSDORFF and independently of him Mr. KOLMO-
GOROFF introduced a very wide class of analytical operations, called by
Mr. HAUSDORFF 5S-operations. [...] The importance of these operations
is the consequence of their generality: every positive analytical operation
on a countable infinity of sets is equivalent with a ^s-function. Their theory
is therefore in essence the most general theory of analytical operations
on a countable infinity of sets.^°
HAUSDORFF bat in [H 1933a] unmittelbar auf diese Arbeit reagiert und einen
grundlegenden Projektionssatz von KANTOROVITCH/LIVENSON verallgemeinert
und dessen Beweis ganz wesentlicb vereinfacbt.^^
In [Ta 1936] bat A. TARSKI, an HAUSDORFFS Mengenlehre und an einscblagige
Arbeiten von SIERPINSKI ankniipfend, die ^s-Operation in folgender Weise
verallgemeinert: Eine HAUSDORFFscbe (Js-Funktion iiber einem Mengensystem
M ist durcb eine Menge N von Folgen z/ == {i/^} natiirlicber Zablen
(d.b. i^^ < Lu = LUQ) definiert vermoge
X= (J fl M,,, M^^eM.
TARSKI betracbtet statt der Mengen N Mengen ^ von Folgen ip = {^^} von
Ordinalzablen (p^ < cup und kommt so zu „operations de Hausdorff en degre
/^" : Ist M. ein vorgegebenes Mengensystem, so gebort zur Menge $ die verallgemeinerte
^s-Funktion vom Grade (3
Die Klasse dieser Funktionen bezeicbnet TARSKI mit Hp; die HAUSDORFFscbe
Klasse der (55-Funktionen ware dann gerade HQ. Das Ziel von TARSKIS Arbeit
ist es, Mengenklassen zu finden, die abgescblossen sind gegeniiber Operationen
der Klasse Ti/s fiir gegebenes l3 und Eigenscbaften dieser Mengenklassen zu
studieren.
^0[KL 1931], S.216.
^^S.dazu in diesem Band S. 471-478.
23

Als letztes Beispiel sei aus den Nachkriegsbanden der Fundamenta die Arbeit
[Ale 1947] erwahnt. Sie geht unmittelbar von HAUSDORFFS Behandlung
der Funktionenklassen, die durch Urbildmengen definiert sind, aus {Mengenlehre,
S. 232 ff.). Sei X eine beliebige Menge, H ein cr-Ring von Teilmengen von
X {Mengenlehre, S.236), Y ein separabler metrischer Raum. Als „Hausdorff-
Klasse"7Y* bezeichnet ALEXIEV^ICZ die Menge aller Funktionen f : X -^ Y,
so dafi gilt: Fiir jede ofFene Menge G C Y gehort {x;f{x) G G} zu H. Die
Arbeit behandelt folgendes allgemeine Problem: Welches sind die notwendigen
und hinreichenden Bedingungen dafiir, dafi die Grenzfunktion einer konvergenten
Folge von Funktionen fn{x) einer gewissen Funktionenklasse /C wieder
in /C liegt? 1st z. B. /C die Klasse der stetigen reellen Funktionen einer reellen
Variablen, liefert ein bekannter Satz von ARZELA die Antwort (quasigleichmafiige
Konvergenz). ALEXIEW^ICZ untersucht das Problem fiir gewisse HausdorfF-
Klassen W*.
1958 wurde die Theorie der Suslinmengen von LORENTZ und ZELLER erstmals
in der Limitierungstheorie angewandt ([LoZe 1958]). Riickblickend schreibt
LORENTZ dariiber:
I am not a stranger to analytic sets. In the 1930s I enjoyed the geometric
exposition of the theory by Luzin [11], preferring it to the dry formulas
of Hausdorff's book. But K. Zeller and I had to use the Hausdorff version
when we wanted to apply it to summability.^^
In die Rezeptionsgeschichte der Mengenlehre gehort auch die unter HAUS­
DORFFS Leitung angefertigte Dissertation von GusTAV STEINBACH aus dem
Jahre 1930. AUe wichtigen Satze iiber Borel- und Suslinmengen bezogen sich
in ihrer urspriinglichen Form auf Mengen in euklidischen Raumen oder auf
Mengen im Baire-Raum der Irrationalzahlen (z. B. in LusiNs Legons). HAUS­
DORFF hat sich in der Mengenlehre sehr darum bemiiht, moglichst allgemeine
Raume zugrunde zu legen, meist beliebige polnische Raume. In diese Richtung
zielt auch die Dissertation von STEINBACH. SO wird dort der LusiNsche Begriff
der Universalmenge eines Mengensystems von einem euklidischen Raum auf
einen metrischen Raum X verallgemeinert: Eine Universalmenge in X wird im
Produktraum X x Y mit F = R definiert; die Raume y =const. libernehmen
dabei die RoUe der euklidischen Raume, mit denen im LusiNschen Fall die
Universalmenge geschnitten wird.
Die von LusiN eingefiihrten projektiven Mengen waren durch Projektionen in
euklidischen Raumen definiert. Um sie auf polnische Raume zu verallgemeinern,
fiihrte STEINBACH anstelle der Projektionen geeignete Abbildungseigenschaften
ein.
Die von HAUSDORFF eingeleitete Tendenz, topologisch moglichst allgemeine
Versionen der einschlagigen Result ate zu finden, wurde unter seiner Anleitung
von STEINBACH fruchtbringend weiterverfolgt. Die Dissertationsschrift STEIN-
BACHs hat HAUSDORFF mit „sehr gut" bewertet. Spater hat man herausgefunden,
dafi manche Result ate der deskriptiven Mengenlehre auch in nicht sepa-
^[Lo 2001], S.29. [11] ist [Lu 1930a].
24

ablen und sogar in nicht voUstandigen Raumen gelten. Auch die Ausweitung
von den polnischen Raumen auf kompakte Hausdorff-Raume hat interessante
Ergebnisse gezeitigt.^^
Die erste umfassende Monographie zur allgemeinen (mengentheoretischen)
Topologie war KuRATOWSKis Topologie I ([Ku 1933]).^^ Im Vorwort nennt
KuRATOWSKi als Quellen an erster Stelle HAUSDORFFS Biicher:
Paxmi les livres sur la Topologie dont je me suis servi en redigeant ce
volume et dont la valeur ne se reduit pas seulement a leur interet historique,
sont a citer: F. HAUSDORFF, Grundziige der Mengenlehre, Leipzig,
Veit 1914, et Mengenlehre, Berlin-Leipzig, Gruyter 1927.^^
Es folgen dann in dieser Reihenfolge SiERPlNSKis Zarys teorji mnogosci II (Topologia
ogolna) (1928) und FRECHETS Les espaces abstraits (1928). In KURA-
TOWSKls Buch werden nur vier Autoren mehr als 20 mal zitiert: Sein Lehrer
SiERPiNSKi, dem das Buch gewidmet ist (51 mal), HAUSDORFF (40), LUSIN (26)
und URYSOHN (25). Von den 40 Verweisen auf Werke HAUSDORFFS betreflFen
22 die Mengenlehre,
Schliefilich sei noch erwahnt, dafi A.N. KOLMOGOROFF in seiner grundlegenden
Arbeit zur Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ([Kol 1933])
mehrfach auf HAUSDORFFS Mengenlehre zuriickgegriffen hat (Begriff des Mengenkorpers,
des cr-Korpers und des Borelschen Systems).
Die Mengenlehre war offenbar auch buchhandlerisch ein Erfolg. Es gab mindestens
einen unveranderten Nachdruck, denn es gibt Exemplare, die zwar als
Ausgabedatum 1927 angeben, in die aber eine Ubersicht iiber Goschens Lehrbiicherei
fest eingebunden ist, die bis 1931 reicht. 1935 gab es eine Neuauflage
der Mengenlehre; s. u. Abschnitt 6.
5. Hausdorff und Lusin
LusiNs schon mehrfach erwahntes Buch Legons sur les ensembles analytiques
et leurs applications ([Lu 1930a]) gab eine zusammenfassende Darstellung der
Untersuchungen iiber Borelsche und projektive Mengen seit LEBESGUES grundlegender
Arbeit [Le 1905] bis zum Ende der zwanziger Jahre. In der Besprechung
des LusiNschen Werkes im Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik
(1930, S. 85) hatte kein Geringerer als JOHANN VON NEUMANN geschrieben:
Die vom Verf. und M. Suslin geschciffene Theorie der analytischen Mengen
ist eine der wichtigsten Etappen im Fortschritt der Punktmengentheorie
und ein heute bereits in den Hauptziigen fertiges und libersehbares
Lehrgebaude. Da die Originalliteratur uniibersichtlich ist, ist das
Bediirfnis nach einer zusammenfassenden Darstellung des Gegenstandes
dringend. (In deutscher Sprache ist seit einigen Jahren die vorziigliche
Zusammenfcissung in Hausdorffs Mengenlehre (2. Aufl. 1927; F. d. M. 53,
169) vorhanden; jedoch ist bei der Wichtigkeit dieser Disziplin eine monographische
Darstellung nichtsdestoweniger erwiinscht.)
8^S. dazu [R 1980], S.8-9.
^"^S.naheres dazu im Band II dieser Edition, S. 64-65.
85[Ku 1933], S.IX.
25

Diese Parallelitat von grofieren Teilen der HAUSDORFFschen Mengenlehre und
LusiNs Monographie sowie die zeitliche Nahe beider Werke mag es rechtfertigen,
dem Vergleich dieser beiden bedeutenden Mathematiker im Hinblick auf
ihre mengentheoretischen Interessen einige Zeilen zu widmen.
HAUSDORFF und LusiN gehoren zu den Gelehrten, welche in der Ara nach
CANTOR bedeutende Beitrage zur Weiterentwicklung der klassischen Mengenlehre
und ihrer Anwendungen geleistet haben. Ihr Zugang zu dieser Thematik
war jedoch denkbar verschieden: Wahrend HAUSDORFF als etwa 30-jahriger
nach PubHkationen auf ganz disparaten und von der Mengenlehre weit entfernten
Gebieten durch seine philosophischen Interessen schliefilich zur Mengenlehre
gefiihrt wurde^^, hat LusiN schon als Student unter D. F. JEGOROFF in Moskau
und in Paris unter dem Einflufi der franzosischen Schule (BAIRE, BOREL,
LEBESGUE) die Bedeutung der Theorie der Punktmengen fiir sein Hauptinteressengebiet,
die Theorie der reellen Funktionen, erkannt. Er hatte auf diesem
Gebiet auch sofort grofien Erfolg; bereits seine Dissertation Integral i trigonometricheskij
rjad (Integral und trigonometrische Reihe, Moskau 1915) hat ihn
als bedeutenden Mathematiker weithin bekannt gemacht.
HAUSDORFFS und LusiNs Interessen innerhalb der Mengenlehre waren ziemlich
verschieden, aber nicht ohne einige bemerkenswerte Beriihrungspunkte. Die
Herausgeber des Bandes II von LusiNs Gesammelten Werken ([Lu 1958]) haben
in seinen mengentheoretischen Untersuchungen folgende drei Richtungen
unterschieden:
(I) Borelsche und projektive Mengen reeller Zahlen, speziell Mengen der erst
en und zweiten Stufe der projektiven Hierarchic;
(II) cc;i-Folgen, erzeugt durch die LusiNsche Sieboperation und ahnliche „effektive"
Konstruktionen;
(HI) verschiedene Typen von Mengen und transfiniten Folgen, deren Existenz
das Auswahlaxiom voraussetzt - ein mehr marginaler Punkt.
Erwahnt werden soUte auch LusiNs tiefes Interesse an Grundlagenfragen der
Mathematik. Er teilte z. B. in bezug auf das Auswahlaxiom die Skepsis der franzosischen
„Halbintuitionisten".^'^ HAUSDORFF dagegen hat das Auswahlaxiom
ganz selbstverstandlich benutzt, sogar ohne es explizit zu erwahnen.^^
HAUSDORFFS mengentheoretische Untersuchungen lassen sich nicht so einfach
klassifizieren; sie iiberdecken, wenn man den Nachlai^ mit einbezieht^^,
^^HAUSDORFFS Weg zur Mengenlehre ist ausfiihrlich im Band II dieser Edition, S.2-16,
dargestellt.
^^Vgl. dazu LusiNS Vortrag Sur les voies de la theorie des ensembles ([Lu 1928]) auf dem
Internationalen Mathematikerkongrei^ 1928 in Bologna; s.ferner [Mo 1982], S.92 ff. und insbesondere
S.288.
^^Z.B.bei der Konstruktion seiner paradoxen Kugelzerlegung in [H 1914a] und [H 1914b];
s. Band IV dieser Edition, S. 9.
^^HAUSDORFF stellte offenbar sehr hohe Anforderungen an eigene PubHkationen; eine Reihe
von Stiicken aus seinem Nachlaft hatte zu seiner Zeit zu einfluftreichen Publikationen fiihren
konnen (z. B. Fasz. 223, s. Band IV dieser Edition, S. 317-323, und diesen Band, S. 750-754.
26

uchstablich die gesamte zeitgenossische Mengenlehre mit Ausnahme logischer
und metamathematischer Untersuchungen. Trotzdem kann man einige Hauptrichtungen
herausheben:
(A) Geordnete Mengen (Konfinalitat, regulare und singulare Zahlen, Elementund
Liickencharaktere, saturierte Strukturen, Halbordnung);
(B) Arithmetik transfiniter Zahlen und Ordnungstypen (Hausdorffsche Rekursionsformel,
verallgemeinerte Kontinuumhypothese, allgemeine geordnete
Produkte und Potenzen);
(C) Studium der Du Bois-Reymondschen finalen Halbordnung bei Folgen und
Funktionen - hierzu gehort eines seiner tiefsten Resultate in der Mengenlehre,
der Beweis der Existenz von (a;i,a;i)-Lucken;
(D) Borelsche, Suslinsche und co-Suslinsche Mengen in metrischen Raumen;
(E) Struktur von Mengenringen und Funktionenfamilien, speziell Borelmengen
und Bairesche Funktionen;
(F) Js-Operationen iiber Mengensystemen.
(D), (E), (F) sowie die elementareren Telle von (A), (B) bilden den Hauptteil
des Inhalts der Mengenlehre (bzw. ihrer etwas erweiterten Nachauflage [H
1935a]). Einige andere Abschnitte des Buches, wie die Theorie der Kontinua,
zahlt man heute mehr zur Topologie als zur Mengenlehre.
Wir betrachten im folgenden die Beziehungen zwischen HAUSDORFFS und
LusiNs Untersuchungen und insbesondere die zwischen HAUSDORFFS Mengenlehre
und L US INS Legons.
Was (I) betrifft, so hat LusiN oft das Theorem von ALEXANDROFF und
HAUSDORFF iiber die Existenz perfekter Teilmengen in iiberabzahlbaren Borelmengen
zitiert. Dieses Resultat, unabhangig voneinander in [Al 1916] und
[H 1916] erzielt, war zweifellos ein Ausgangspunkt fiir die weitere Entwicklung
der deskriptiven Mengenlehre, vor allem in Rufiland. In der Tat wurde SUSLIN,
indem er ALEXANDROFFS Konstruktion verbesserte, zur Entdeckung der Suslinmengen
und zu den darauf folgenden Untersuchungen gefiihrt (und mit ihm
LusiN als Lehrer von ALEXANDROFF und SUSLIN).^^
HAUSDORFF definierte und untersuchte einige transfinite Folgen vom Typ (II)
in [H 1936b] als Teil seines Programmes (C), aber unter anderen Gesichtspunkten
und mit anderen Resultaten als in den zum Punkt (II) gehorigen Arbeiten
LUSINS.
Was (III) betrifft, so ist die Konstruktion von (a;i,a;i)-Lucken in LusiNs
Arbeit [Lu 1946] wesentlich auf dieselbe Idee gegriindet, die HAUSDORFF in
[H 1936b] zu seiner Konstruktion gefiihrt hatte; man kann aber nicht von
einer wortlichen Reproduktion sprechen. LusiNs erste kiirzere Note dazu in
Franzosisch ([Lu 1943]) zitiert als einzige fremde Arbeit [H 1936b], aber ohne
^^Genaueres im Kommentar zu [H 1916], dieser Band, S. 439-442.
27

speziellen Bezug darauf im Text und mit nicht ganz korrekten bibliographischen
Daten.^^ Die auf [Lu 1943] folgende o. g. langere Arbeit [Lu 1946] enthalt
keinerlei Hinweis mehr auf HAUSDORFF.^^ Man kann dies verschieden interpretieren,
aber vielleicht handelte LusiN vor dem Hintergrund seiner eigenen
Verfolgungsgeschichte unter STALIN in den spaten dreifiiger Jahren, als man
ihm u. a. unangemessen enge Kontakte zu auslandischen KoUegen vorwarf.^^
HAUSDORFF hat in seinem Buch Mengenlehre viel Miihe darauf verwandt, die
Resultate LusiNs und seiner Schule auf dem Gebiet der deskriptiven Mengenlehre,
insbesondere aus dem unter (D) angefiihrten Themenkreis, zu verallgemeinern
und zu verbreiten. Die Mengenlehre erschopft aber nicht den gesamten
Inhalt von LusiNs Legons, prasentiert jedoch das, was man den Kernbereich der
klassischen deskriptiven Mengenlehre nennen kann: die grundlegenden Resultate
liber Borel-, Suslin- und co-Suslinmengen in separablen metrischen Raumen.
Beiseite gelassen hat HAUSDORFF einige wichtige Themenbereiche, die spater
in den Legons sehr gut dargestellt sind, wie projektive Mengen und die Struktur
der Klassen und Teilklassen der Borelschen Hierarchie.
Dies im Blick sollen im folgenden noch einige Bemerkungen zum Vergleich
zwischen LusiNs Arbeiten aus den zwanziger Jahren und seinen Legons einerseits
und dem deskriptiv-mengentheoretischen Teil der Mengenlehre [H 1927a]
andererseits angeschlossen werden.
1) HAUSDORFF prasentierte die deskriptive Mengenlehre in einer Form, die
auf alle separablen metrischen Raume anwendbar ist. Diese allgemeine Form
ist eine von HAUSDORFFS originellen Leistungen in seiner Mengenlehre. Lu-
SIN hat in den Legons nur den Fall der reellen Zahlen und hauptsachlich nur
den Baire-Raum der irrationalen Zahlen betrachtet. HAUSDORFFS Verallgemeinerung
ist durchaus nicht trivial: einige grundlegende Resultate beruhen auf
seinem bemerkenswerten Theorem, dafi G^-Mengen in einem voUstandigen metrischen
Raum selbst vollstandig metrisierbar sind ([H 1924]; s. diesen Band,
S. 443-453).
2) HAUSDORFF hat LUSINS etwas weitschweifigen Stil wesentlich modernisiert.
LusiN bevorzugte eine mehr geometrische Art der Darstellung, welche
nicht immer mit dem Inhalt harmonierte und zu unnotig langen und umstandlichen
Argumentationen sowohl in den Legons als auch in seinen friiheren Arbeiten
[Lu 1926], [Lu 1927] fiihrte. HAUSDORFFS Darstellung des damals aktuellen
Standes der deskriptiven Mengenlehre in [H 1927a] bzw. [H 1935a] war viel moderner
und kompakter. Dies mag auch die Ursache dafiir gewesen sein, dafi LU­
SINS Legons, obwohl sie das Gebiet der deskriptiven Mengenlehre umfassender
liberdeckten und obwohl LusiN und seine Schule weit mehr an originellen Re-
^^Der Verweis auf HAUSDORFF wurde in der russischen Ubersetzung in LUSINS Gesammelten
Werken ([Lu 1958]) ganz weggelassen.
^^Ubrigens gab LUSIN hier auch eine andere Realisierung des gleichen (c

sultaten auf diesem Gebiet erzielt hatten als HAUSDORFF, dessen Mengenlehre
nicht iiberschattet haben. Wenn man als Beleg wieder die wichtigste einschlagige
Zeitschrift, die Fundamenta Mathematicae, heranzieht, und etwa die ersten
20 Bande nach Erscheinen von LusiNs Buch analysiert, ergibt sich folgendes:
Die Legons werden in 28 der in diesen Banden enthaltenen 590 Arbeiten zitiert,
HAUSDORFFS Werk in 58 Arbeiten. Von diesen 58 Arbeiten kann man mindestens
23 der deskriptiven Mengenlehre zurechnen. Selbst SiERPiNSKi, enger
Freund und zeitweise Mitarbeiter LusiNs, griff in [Si 1933] bei der Darstellung
LusiNscher Ideen nicht auf [Lu 1930a], sondern auf HAUSDORFFS Mengenlehre
zuriick. So fiigte er den Beweisen zweier wichtiger Theoreme folgende Fufinoten
an:
La demonstration est basee sur une idee de M. Lusin; cf. F. Hausdorff,
Mengenlehre (1927), p. 276.^^
Ici aussi I'idee de la demonstration est due a M. Lusin. Cf. F. Hausdorff,
I.e., p. 277.^^
3) In alien grofieren Publikationen und in seinen Legons widmete LusiN
philosophischen Erorterungen iiber die Grundlagen der Mathematik, speziell
liber das Wesen mathematischer Definitionen, Resultate und Schlufiweisen sowie
liber das Auswahlaxiom viel Raum. HAUSDORFF hat solche Er5rterungen
in seinen Biichern iiber Mengenlehre vermieden (mit Ausnahme einiger weniger
Bemerkungen zum Mengenbegriff), obwohl er selbst ein eigenstandiger philosophischer
Denker war und sich auch mit Grundlagenfragen auseinandergesetzt
hatte.^^ Es gibt keine direkten Reaktionen HAUSDORFFS auf LusiNs philosophische
Exkurse, wohl aber eine sehr kritische Bemerkung ALEXANDROFFS in
einem Brief an HAUSDORFF. Damit hatte es folgende Bewandtnis: Nachdem
das Kontinuumproblem fiir Suslinmengen gelost war, hatte LusiN vergeblich
versucht, es auch fiir Suslinkomplemente zu losen. Dazu bemerkte er in [Lu
1925a]:
Les efforts que j'ai faits pour resoudre cette question m'ont conduit a
ce resultat tout inattendu: il existe une famille admettant une application
sur le continu d'ensembles effectifs telle qu'on ne sait pas et Ton
ne saura jamais si un ensemble quelconque de cette famille (suppose non
denombrable) a la puissance du continu, [• • • ]^^
In einer weiteren Note ([Lu 1925b]) hat LusiN ein solches ,Jgnorabimus" auch
fiir Projektionen von Suslinkomplementen ausgesprochen. ALEXANDROFF reagierte
in einem Brief an HAUSDORFF vom 29.11.1925 darauf mit folgender
Bemerkung:
94[Si 1933], S.265.
95Ebd., S.269.
^®Zu Grundlagenfragen der Mathematik s. den Kommentar zu [H 1905] im Band I dieser
Edition, ferner Band VI dieser Edition und Band II, S. 27-29, 53-55. Dem philosophischen
Werk HAUSDORFFS ist Band VII dieser Edition gewidmet.
^"^[Lu 1925a], S. 1572. Es ist bemerkenswert, dal^ die Prage nach der Existenz perfekter
Teilmengen in iiberabzahlbaren Suslinkomplementen die Beweismoglichkeiten der Zermelo-
Praenkelschen Axiome libersteigt; s. dazu [Koe 1996], S. 93-95.
29

Was die Lusinschen Noten betrifft, so macht auf mich einen besonders unbegreiflichen
Eindruck dieses „nous ne savons pas et nous ne saurons jamais"
- das ist ja zum ersten mal, da:^ man in der Mathematik so ein
„Ignorabimus" deklariert, und dabei es gar nicht [zu] begriinden versucht
[•••]
Mir tut es auch Leid, da£ LUSIN, dessen Geisteskraft ich ja sehr gut
kenne, sich jetzt mit solchen Sachen begniigt.^^
ALEXANDROFF hatte eine solche doch ziemlich scharfe Formulierung wohl kaum
gewahlt, ware er nicht der Meinung gewesen, dafi HAUSDORFF (wie iibrigens
auch HILBERT) ein ,Jgnorabimus" in der Mathematik ablehnte.
4) Was die Borelmengen betrifft, war LusiN auf die DE LA VALLEE-POUSSINsche
Hierarchic fokussiert, die sich auf die Operation des mengentheoretischen
Limes griindet. Der Grund hierfiir lag wohl nicht zuletzt darin, dafi hier gewisse
Analogien mit der Limesbildung im Bereich der reellen Zahlen bestehen. HAUS­
DORFF schuf seine eigene Hierarchic der Klassen F, G, F^, Gs, Ffjs^ Gsa, • -,
basierend auf abzahlbaren Vereinigungen und abzahlbaren Durchschnitten; sie
wurde zum Prototyp der modernen Systematik.
Die unter (E) aufgefiihrte Thematik war von Beginn an bis in die spaten dreifiiger
Jahre ein standiger Gegenstand von HAUSDORFFS Aufmerksamkeit. Lu-
SIN war daran nur insoweit interessiert, als Borelmengen und Bairesche Funktionen
tangiert waren. HAUSDORFF seinerseits hat sich mit LUSINS Arbeit [Lu
1930b] und den entsprechenden Kapiteln in den Legons eingehend beschaftigt;
im Nachlaft finden sich dazu zahlreiche Untersuchungen, wovon einige in diesem
Band abgedruckt sind.^^
Ziemlich iiberraschend ist, da£ LusiN die Richtung (F) voUkommen ignorierte.
1921 hat A.N. KOLMOGOROFF, damals ein achtzehnjariger Student unter
LusiN, eine brilliante Untersuchung der ^s-Operationen vorgelegt, die SlER-
PiNSKis und HAUSDORFFS gleichzeitige Studien in einigen Punkten libertraf.
Der erste Teil dieser Arbeit wurde in [Kol 1928] publiziert, der zweite, weit
bedeutendere erst in [Kol 1993]. KOLMOGOROFF selbst hat 1985 in seinen
Kommentaren fur seine Gesammelten Werke erwahnt, da& LUSIN mit dieser
Untersuchungsrichtung iiberhaupt nicht einverstanden war.^^^
6. Die Neuauflage von 1935. Ubersetzungen
Am 2. Oktober 1934 fand im Verlag de Gruyter eine Lektorenkonferenz statt.
Im ProtokoU wird zu HAUSDORFFS Buch festgestellt:
Hausdorff, Mengenlehre geht zu Ende. Neue Auflage machen oder anastatischen
Nachdruck?
Beschlossen: 500 Expl. anastatisch nachdrucken.^^^
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 61, Brief vom 29.11.1925.
99S.588fr, S.626ff.
^°°S.dazu auch den Kommentar zu [H 1933a], dieser Band, S.478.
^^^Staatsbibliothek zu Berlin, Dep. 42 (Archiv de Gruyter), 461.
30

HAUSDORFF hat aber, „um den inzwischen erzielten Fortschritten wenigstens
teilweise gerecht zu werden"^^^, die Verlagsleitung offenbar iiberzeugen konnen,
dem Nachdruck ein zehntes Kapitel hinzuzufiigen und das Quellen- und
Literaturverzeichnis zu aktualisieren. So erschien das Werk 1935 in einer neuen
Auflage. Die meisten Rezensionen der Neuauflage waren kurz und verwiesen
auf friihere Besprechungen der Ausgabe von 1927, in einigen auch mit einem
Hinweis auf den bisherigen grofien Erfolg des Werkes. So schrieb z.B.ERICH
KAMKE im Jahresbericht der DMV:
Nur acht Jahre nach Erscheinen der zweiten Auflage ist schon eine Neuauflage
dieses Standaxdwerkes der Mengenlehre notig geworden. Das ist
angesichts des keineswegs immer einfachen Gegestandes des Werkes ein
so grower Erfolg, da£ jedes weitere empfehlende Wort iiberfliissig ist.^^^
Es gab zwei ausfiihrlichere Rezensionen, beide von bedeutenden Fachleuten auf
dem Gebiet der Mengenlehre, namhch von THORALF SKOLEM und von GlULio
ViVANTi; beide sind in deutscher Ubersetzung in diesem Band, S. 425-428,
abgedruckt.
Mitte 1939 war auch von der Nachauflage nur noch ein geringer Bestand
vorhanden. Darauf bezieht sich die im folgenden vollstandig abgedruckte Aktennotiz
aus dem Verlagsarchiv, die keines weiteren Kommentars bedarf.^^^
Berlin, den 12. Sept.
„Hausdorff, Mengenlehre" (Goschens Lehrbiicherei Band 7)
Die Bestande der 3. Auflage dieses Werkes gehen zu Ende. Wir haben
aber Bedenken eine neue Auflage zu veranstalten, da Hausdorff Jude ist
und wir befiirchten miissen, da£ uns durch den Nachdruck Unannehmlichkeiten
entstehen konnten.
In der Verlagskonferenz vom 1. Aug. 1939 wurde der Beschluft gefa£t,
nach einem neuen Autor Umschau zu halten; da es aber sicher einer langeren
Zeit bedarf, bis das neue Manuskript vorliegen kann, wollten wir
uns einmal mit Herrn Professor Bieberbach in Verbindung setzen und
dessen Meinung einholen, ob wir es riskier en konnten einen weiteren kleinen
Manuldruck des Hausdorff'schen Buches zu veranstalten, eventuell
mit der alten Jahreszahl. Herr Bieberbach riet von einer solchen Auffrischung
des Buches dringend ab.
Als neue Autoren empfahl Herr Geheimrat Hau£ner die Herren Tietze -
Miinchen, Beck - Bonn und Herbert Seifert sowie hauptsachlich Tornier.
Herr Professor Bieberbach rat von Tietze und Beck ab. Seifert scheidet
102[H 1935a], S.6.
i03[Ka 1936], S. 25.
lO^Der Rand des Schriftstiicks ist z. T. abgerissen. Die fehlenden Buchstaben oder Wortteile
ergeben sich jedoch eindeutig aus dem vorhandenen Text bis auf das durch [1] gekennzeichnete
Wort. Es kann nicht „speziellen" geheiften haben, da der Leerraum nach dem Wort „speziell"
noch deutlich sichtbar ist. Vermutlich hat dort „judischen" gestanden; dies wiirde sich
aus dem Zusammenhang am ehesten ergeben, zumal die Mengenlehre von BIEBERBACH und
seinen Anhangern als typisch jiidisch charakterisiert wurde. Zu L. BIEBERBACH S. [Me 1987].
31

aus, well er der Mitarbeiter an der „Threllfallschen Topologie" ist, die wir
nach Krach seinerzeit ablehnten. Tornier kommt nicht mehr in Prage, da
er, obwohl strenger Parteigen., seines Amtes enthoben wurde.
Herr Bieberbach nannte nun als geeigneten Autor Perron - Miinchen.
Wenn wir uns an diesen wenden, so begeben wir uns in gewisse Gefahr,
denn Herr P. wird sich bei dieser speziell [1] Wissenschaft keinen Zwang
auferlegen und Juden nach Herzenslust zitieren. Ich erinnere dabei an
die Korrespondenz, die wir in dieser Beziehung mit ihm wegen der neuen
Auflage von Goschens Lehrbiicherei Band 1 fiihrten.
Neuerdings schrieb Herr Geheimrat Hauiner* „DaJ^ Sie sich wegen einer
Mengenlehre iiberhaupt um jemanden bemiihen, konnte leicht etwas
hinausgeschoben werden, bis klax zu iibersehen ist, ob auch unter den
jetzigen Verhaltnissen die Mengenlehre eine solche Beachtung und Wertschatzung
findet wie bisher."
Vielleicht empfiehlt es sich wegen eines Bearbeiters einmal die Schriftleitung
des Jahrbuches iiber die Fortschritte der Mathematik zu befragen,
die ja im Bilde sein mu£, wer sich auf dem Gebiet besonders betatigt.
Grethlein^^^
In der Unterredung mit Herrn Cram am 28. September 1939 wurde beschlossen,
mit der Neubesetzung zunachst zuzuwarten.^^^
Von HAUSDORFFS Mengenlehre gab es eine russische und eine englische Ausgabe.
Die russische Ausgabe erschien 1937 unter HAUSDORFFS Namen und unter
dem Titel „Mengenlehre" (Teoria mnoshestvch). Als verantwortliche Redakteure
dieser Ausgabe fungierten P. ALEXANDROFF und A. KOLMOGOROFF. AUerdings
- und das ist in der Geschichte der mathematischen Literatur ein ziemlich
ungewohnlicher Fall - erschien hier unter HAUSDORFFS Namen ein Buch, welches
er so nicht geschrieben hatte. Der Sachverhalt wird am besten deutlich,
indem wir im folgenden das Vorwort der Redakteure in deutscher tJbersetzung
abdrucken:
Vorwort zur russischen Ausgabe
Die „Mengenlehre" HAUSDORFFS gehort zum Best and jener einzigartigen
klassischen Werke der mathematischen Literatur, welche nicht nur die
Bilanz einer ganzen Periode in der Entwicklung der jeweiligen Disziplin
Ziehen, sondern auch die Wege der kiinftigen Entwicklung skizzieren.
Wenn man von der „Mengenlehre" HAUSDORFFS spricht, so hat man eigentlich
zwei Biicher im Auge- die erste Auflage, erschienen 1914 unter
dem Titel „Grundziige der Mengenlehre", und die zweite Auflage, erschienen
1927 und einfach als „Mengenlehre" betitelt. Die beiden Biicher unterscheiden
sich in ihrem Inhalt derartig stark voneinander, da£ man sie
^°^Die Unterschrift ist abgekiirzt; aus dem Vergleich mit anderen Dokumenten mit der
Unterschrift von Grethlein wird klar, daft es Grethlein heiften muft.
^^^Staatsbibliothek zu Berlin, Dep. 42 (Archiv de Gruyter), 227. Das Dokument liegt in
einer Mappe „Herrn Geheimrat Hauftner bereits unterbreitet". ROBERT HAUSSNER (1863-
1948) war von 1905 bis 1934 Ordinarius in Jena, danach Emeritus. Er fungierte seit den
zwanziger Jahren als Berater von de Gruyter fxir Goschens Lehrbiicherei. Hauftner gehorte
politisch der extremen Rechten an, s. [Hag 1997], S. 166 ff.
32

als zwei verschiedene Werke betrachten mu£ und nicht als zwei Auflagen
ein und desselben Buches. Die wesentlichen Unterschiede der beiden
Biicher bestehen in folgendem: 1° Die Theorie der topologischen Raume,
welche die Grundlage der Daxstellung in der ersten Auflage ist und
die erstmalig von HAUSDORFF systematisch ausgearbeitet wurde, ist in
der zweiten Auflage nur in einem Paragraphen dargestellt: die gesamte
Theorie der Punktmengen ist in der zweiten Auflage nur fiir metrische
Raume durchgefiihrt; 2° In der zweiten Auflage fehlen die Theorie des
Metres und des Lebesgueschen Integrals, aber auch die Topologie der Euklidischen
Ebene und des n-dimensionalen Raumes; 3° Hinzugefiigt ist in
der zweiten Auflage - und zwar in meisterhafter Ausfiihrung - die Theorie
der ^-Mengen von SUSLIN (in der vorliegenden Ubersetzung werden
diese Mengen in Ubereinstimmung mit der von HAUSDORFF eingefiihrten
Terminologie als Suslinsche Mengen bezeichnet nach ihrem Entdecker
M. J. SUSLIN (geb. 1894, gest. 1919)).
Die Griinde, welche den Autor in der zweiten Auflage zum Verzicht auf
so umfangreiches Material aus der ersten Auflage bewogen haben, hat er
im Vorwort zur zweiten Auflage genannt: sie bestehen im wesentlichen
in der Forderung des Verlages gegeniiber dem Autor, den Umfang einzuschranken.
Zweifellos ist der Verzicht auf den topologischen Aufbau der
Punktmengenlehre, welcher eine der glanzvollsten Errungenschaften der
ersten Auflage des HAUSDORFFschen Buches war, der gr6£te Verlust: der
Autor selbst spricht in seinem Vorwort mit sichtlichem Bedauern von der
Notwendigkeit, so zu verfahren.
Die Redakteure der russischen tJbersetzung haben den Entschlu£ gefa£t,
diese Einbu£e riickgangig zu machen, die das Buch aus au£eren Griinden
erlitten hatte: unterstiitzt in dieser Beziehung vom Verlag ONTI, haben
sie beschlossen, zum topologischen Standpunkt zuriickzukehren, auf
den sich zurecht der ausgezeichnete Ruf der ersten Auflage des Buches
griindet. Wir haben also den Versuch gemacht, die gro£en Vorziige der
zweiten Auflage - Vorziige, die vor allem in der logischen Vollendung und
in der Geschliffenheit (otschlifovka) des gesamten Materials bestehen -
mit den Vorziigen der ersten Auflage zu verbinden. Allerdings war das
gesteckte Ziel durch mechanische Ubertragung des Textes der ersten Auflage
nicht zu erreichen: eben diese erste Auflage wax der Stimulus einer
gewaltigen Entwicklung der Theorie der topologischen Raume mit dem
Ergebnis, da£ diese Theorie iiberhaupt nicht mehr so aussieht, wie sie
1914 aussah, als die erste Auflage des HAUSDORFFschen Buches erschien.
Bei der Umarbeitung derjenigen Kapitel der ersten Auflage, welche der
allgemeinen (topologischen) Mengenlehre gewidmet sind, mu£ten wir diese
somit dem gegenwartigen Stand der Theorie der topologischen Raume
anpassen. Eine dieser Forderung entsprechende Daxstellung der Theorie
wax schon von einem von uns in dem Buch ALEXANDROFF und HOPF,
Topologie I (Kapitel I und II) vorgelegt worden. Von dieser Daxstellung
wurde natiirlich (bei einigen Kiirzungen) Gebrauch gemacht. Die schwierige
Aufgabe der Vereinigung dieses Stoffes mit dem iibrigen St off des
HAUSDORFFschen Buches, seine Einfiigung in den vorgegebenen Rahmen
dieses Buches, die Verschmelzung mit den iibrigen Kapiteln HAUSDORFFS
33

zu einem Ganzen, hat N. B. VEDENISOFF auf sich genommen und, wie
uns scheint, vortrefflich gelost. Diese gesamte Arbeit, die natiirlich den
Rahmen einer iiblichen tjbersetzungsarbeit weit iibersteigt, ist von VE­
DENISOFF unter unserer standigen redaktionellen Mitwirkung durchgefiihrt
worden und selbstverstandlich vollstdndig unter unserer und nur
unter unserer Verantwortung}^^
Au£erdem wurden, entsprechend den neuesten Untersuchungen von HAUS-
DORFF selbst, von A. N. KOLMOGOROFF, L. W. KANTOROVITCH und E.
M. LiVENSON, die Paxagraphen umgearbeitet, welche sich auf Mengenoperationen
und ihre Anwendungen beziehen. Es scheint uns, da^ diese
Umarbeitung im Geiste der generellen Absichten des HAUSDORFFschen
Buches erfolgt ist.
Schlie£lich hielten wir es fiir zweckma£ig, dem Buch in Form eines besonderen
Anhangs eine Ubersetzung von HAUSDORFFS Artikel iiber lineare
Raume anzufiigen.^^^ Im letzten Moment haben wir erfahren, da£ auch
HAUSDORFF sich entschieden hat, in der dritten deutschen Auflage ein
Kapitel einzufiigen, welches diesem Gegenstand gewidmet ist.^°^ Somit
hofFen wir, da£ ungeachtet dessen, da£ das HAUSDORFFsche Buch, wie
sich aus dem Gesagten ergibt, unter unseren Handen eine betrachtUche
Umarbeitung erfahren hat, der wahre Geist des Originals in vollem Ma£e
erhalten geblieben ist. Unsere Aufgabe wax es, in die Hande des sowjetischen
Lesers ein Buch zu legen, welches im gro£en und ganzen sowohl die
erste als auch die zweite Auflage des HAUSDORFFschen Buches ersetzt,
dabei aber denjenigen Teil des Originals beibehalt, der beibehalten werden
konnte, weil er sich auf dem aktuellen Stand der Mengenlehre befindet.
Wenn diese Aufgabe von uns einigerma£en zufriedenstellend gelost
worden ist, dann halt der Leser in der Tat einen griindlichen Leitfaden
der Mengenlehre in Handen. Durch dessen Studium wird er sich fiir die
Lektiire beliebiger Spezialliteratur in dieser Disziplin vollstandig vorbereitet
zeigen und er wird nach Kraften an deren fernerer Ausaxbeitung
teilnehmen konnen.
Bolschewo-Komaxovka P. Alexandroff
7. August 1936 A. Kolmogoroff
Ein naherer Vergleich der russischen Ausgabe mit [H 1927a] zeigt folgendes:
Die Kapitel I-IV der russischen Ausgabe sind im wesentlichen wortliche Ubersetzungen
der entsprechenden Kapitel der Mengenlehre. Im Kapitel V gibt es
^°^Die von ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF durch Kursivdruck hervorgehobene Passage
ist wohl nur verstandlich, wenn man bedenkt, daft im Juli 1936 eine groft angelegte Pressekampagne
gegen LUSIN stattfand. Da LUSIN der fiihrende Mengentheoretiker der Sowjetunion
war, wollten es ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF offenbar vermeiden, daft er in irgendeiner
Weise mit der russischen Ausgabe des Buches in Zusammenhang gebracht wiirde, weil dies
das Projekt moglicherweise ernsthaft gefahrdet hatte. LUSIN wird aber uberall korrekt zitiert
so wie in HAUSDORFFS Original.
lo^Es handelt sich um [H 1931].
^°^Die dritte Auflage hat im August 1936 in Moskau offenbar nicht vorgelegen. Auf welche
Information sich ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF hier beziehen, ist unklar. Aus keiner
bisher bekannten Quelle geht hervor, daft HAUSDORFF eine solche Absicht gehabt hat.
34

einen neuen Paragraphen „Mengenoperationen"; ansonsten ist der grosste Teil
von HAUSDORFFS Text vorhanden. Kapitel VI „Topologische Raume" ist vollkommen
neu und stellt einen Auszug aus den Kapiteln 1 und 2 von [AH 1935]
dar. Das nachste Kapitel VII „Metrische Raume" beginnt mit einem Paragraphen
liber vollstandige Raume. Darin ist der Abschnitt fiber dyadische Mengen
und Machtigkeitssatze eine wortliche tJbersetzung der entsprechenden Passagen
in § 26 von HAUSDORFFS Buch. Die weiteren Paragraphen dieses Kapitels mit
den Titeln „Mengenraume", „Zusammenhang in metrischen Raumen", „Jordansche
Kontinua" enthalten zwar einzelne Textstiicke aus der Mengenlehre, sind
im librigen aber neu verfafit. Das Kapitel VIII ist mit „Deskriptive Mengenlehre"
iiberschrieben. Es beginnt mit HAUSDORFFS §32 „Die Borelschen und
Suslinschen Mengen" in weitgehend worthcher Ubersetzung, aber mit einem
neu verfaKten zusatzlichen Abschnitt. Der Machtigkeitssatz auf S. 179 von [H
1927a] heifit in der russischen Ausgabe „Theorem von Alexandroff-HausdorfP'.
Der §33 ,^xistenzbeweise" ist neu verfafit. Der §34 „Kriterien fiir Borelsche
Mengen" ist wortlich libersetzt, enthalt aber einen zusatzlichen Abschnitt „Hinreichende
Bedingungen (Zweite Methode)". Kapitel VIII bringt dann noch
zwei Paragraphen: „Stetige Bilder Borelscher und Suslinscher Mengen" und „Topologische
Invarianz von Mengenklassen". Der erste enthalt das meiste aus
HAUSDORFFS §37 in wortlicher Ubersetzung, der zweite beginnt mit HAUS­
DORFFS C^-Satz ([H 1924], [H 1927a], S.214, Satz III, hier auch „Satz von
AlexandrofF-Hausdorff" genannt), ab diesem Satz folgt eine wortliche Ubersetzung
von HAUSDORFFS § 38. Kapitel IX „Reelle Funktionen" schhefilich ist im
wesentlichen eine wortliche Ubersetzung des entsprechenden Kapitels in HAUS­
DORFFS Buch.
Es deutet nichts darauf hin, dafi HAUSDORFF iiberhaupt etwas von der russischen
Ausgabe seines Buches erfahren hat. In den Referatenjournalen, zu denen
er mit der Hilfe von E. BESSEL-HAGEN noch Zugang hatte, wird diese Ausgabe
nicht erwahnt. Ob er mit der doch sehr weitgehenden Umarbeitung einverstanden
gewesen ware, la£t sich nicht sagen. Es scheint jedenfalls ziemlich sicher zu
sein, daJ^ er nicht gefragt wurde; ein Einverstandnis seinerseits hatten ALEX-
ANDROFF und KOLMOGOROFF vermutlich erwahnt. Den Verlag brauchte man
nicht zu fragen, denn die Sowjetunion hat sich damals um Fragen des Copyright
nicht gekiimmert.
In der Kampagne gegen LusiN wurde diesem besonders vorgeworfen, dafi
er „liebedienerische Beziehungen" zu auslandischen Gelehrten unterhalten habe^^^,
deren Verdienste iiber Gebiihr herausgestellt habe und es versaumt habe,
die gro£en Verdienste der sowjetischen Mathematik geniigend in den Vordergrund
zu riicken. Das von ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF gezeichnete Vorwort
datiert vom 7. August 1936; einen Tag davor war die Stellungnahme der
sowjetischen Akademie zum „Fall Lusin" in der Pravda veroffentlicht worden, in
der zahlreiche Vorwiirfe aus der monatelangen Hetzkampagne noch einmal aufgelistet
waren. Aus heutiger Sicht mu£ man es wiirdigen, da£ ALEXANDROFF
^[Pa 1997], S. 138-140.
35

und KOLMOGOROFF in dieser Situation eine Teoria mnoshestvch unter HAUS-
DORFFs Namen herausbrachten und nicht - die wortlich iibersetzten Kapitel
auch noch modifizierend - unter ihrem eigenen Namen. Dies hatte ganz im Rahmen
der ofRziellen sowjetischen Wissenschaftspolitik gelegen; dafi sie es nicht
taten, kann vielleicht als ein Indiz fiir die tiefe Verehrung und Dankbarkeit
gegeniiber HAUSDORFF gewertet werden.^^^
Die englische Ausgabe der Mengenlehre, deren erste Auflage 1957 bei Chelsea
in New York erschien, ist eine wortliche Ubersetzung von [H 1935a]^^^,
ausgefiihrt von einer Gruppe von Mathematikern unter Leitung von JOHN
R. AuMANN. Vorangestellt ist ein ganz kurzes ,^ditor's Preface", gezeichnet
mit A. G., aus dem ledigHch hervorgeht, dafi sich die Ubersetzungsarbeit lange
hingezogen hat und dafi dem Herausgeber A. G. die Endredaktion oblag. In
der zweiten Auflage (1962) sind zwei je reichUch eine halbe Seite umfassende
Zusatze von R. L. GOODSTEIN angefiigt: „Appendix E, on the contradictions in
Naive Set Theory" und „Appendix F, on the Axiom of Choice".
Die englische Ausgabe war ein sehr erfolgreiches Buch: die vierte Auflage
erschien 1991, fast 80 Jahre nach der Entstehung des grofiten Teiles dieses
Werkes.
Literatur
[AH 1935] ALEXANDROFF, P.; HOPE, H.: Topologie I. Springer-Verlag, Berlin
1935.
[Al 1916] ALEXANDROFF, P.: Sur la puissance des ensembles mesurahles B.
Comptes Rendus Acad. Paris 162 (1916), 323-325.
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(1947), 61-65.
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pura ed applicata, Ser. 3, 3 (1899), 1-123.
[BBHL 1905] BAIRE, R.; BOREL, E.; HADAMARD, J.; LEBESGUE, H.: Cinq
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Paris 1898.
[Br 1996] BRIESKORN, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Geddchtnis. Aspekte
seines Werkes. Vieweg, Braunschweig - Wiesbaden 1996.
^^^S.dazu auch Band II dieser Edition, S. 57-58, ferner die Korrespondenz ALEXANDROFF-
HAUSDORFF im Band IX dieser Edition.
^^^Ein Nachdruck von [H 1935a] war bereits 1944 von Dover veranstaltet worden.
36

[Ca 1872] CANTOR, G.: Uher die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie
der trigonometrischen Reihen. Math. Annalen 5 (1872), 123-132.
[Ca 1882] CANTOR, G.: Uber unendliche lineare Punctmannichfaltigkeiten.
Teil III. Math. Annalen 20 (1882), 113-121.
[Ch 2002] CHATTERJI, S.D.: Hausdorff als Mafitheoretiker. Mathematische
Semesterberichte 49 (2002), 129-143.
[D. 1928] D. (Anonymus): F. Hausdorff, Mengenlehre. Nieuw Archief voor
Wiskunde 15 (1928), 410-412.
[DL 1999] DEMIDOV, S.S.; LEVSHIN, B. V. (Hrsg.): Der Fall von Akademiemitglied
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[Fei 1928] FEIGL, G.: F. Hausdorff, Mengenlehre. Jahresbericht der DMV 37
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d^ensemble, classes de Baire. Gauthier-Villars, Paris 1916.
40

Mengenlehre
Zweite, neu bearbeitete Auflage. W. de Gruyter, Berlin 1927
[H 1927a]
Mengenlehre
Dritte Auflage. Mit einem zusatzlichen Kapitel und einigen
Nachtragen. W. de Gruyter, Berlin 1935
[H 1935a]
Hier abgedruckt ist die um ein zehntes Kapitel erweiterte Auflage von 1935.
Die Kapitel eins bis neun stimmen bis auf minimale Abweichungen mit den
entsprechenden Kapiteln in der Auflage von 1927 liberein. Diese Abweichungen
sind in den Anmerkungen der Herausgeber dokumentiert. Aus der Auflage von
1927 sind Titelei und Vorwort abgedruckt.
41

Goschens Lehrbiicherei
I. Gruppe
Reine Mathematik
Band 7
Mengenlehre
Von
Professor Dr. F. Hausdorff
Walter de Gruyter & Co.
vormals G. J. Goschen'sche Verlag'shandlung
J. Guttentag-, Verlag-sbuclihandlung- — Georg
Reimer — Karl J. Triibner — Veit&Comp.
Berlin W 10 und Leipzig
1927
42

Mengenlehre
Von
Dr. F. Hausdorff
o. Professor der Mathematik
an der Universitat Bonn
Zweite, neubearbeitete Auflage
Mit 12 Figuren
Walter de Gruyter & Co
vormals G. J, Goschen'sche Verlag-shandlungf
J, Guttentagf, Verlag-sbuchhandlung— Georg-
Reimer — Karl J. Triibner — Veit & Comp.
Berlin W lo und Leipzig
1927
43

Alle Rechte, insbesondere das der Uber-
setzung in fremde Spraclien, vorbehalten.
Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W lo
44

Vorwort.
Das vorliegende Werk versucht, die wichtigsten Theoreme der Mengenlehre
mit voUstandig ausgefiihrten Beweisen darzustellen, so da6 seine
Lektiire nirgends der Erganzung durch fremde Hilfsraittel bedarf, wohl
aber ihrerseits zum tieferen Eindringen in die umfangreiche Literatur befahigt.
Es setzt beim Leser keine hoheren mathematischen Kenntnisse
als etwa die Anfangsgrunde der Differential- und Integralrechnung, allerdings
aber eine gewisse Scharfe des abstrakten Denkens voraus und wird
von Studierenden in mittleren Semestern mit Erfolg gelesen werden konnen.
Schwierigere Gegenstande am Ende der einzelnen Kapitel mogen beim
ersten Studium iiberschlagen werden; der Leser, der nur die einfachsten
Tatsachen der Punktmengentheorie kennen lernenwill, kann nach fliichtiger
Durchsicht der ersten beiden Kapitel sogleich das sechste in Angriff
nehmen. — Den Fachgenossen hoffe ich wenigstens in formaler Hinsicht,
insbesondere durch Verscharfung der Satze, Vereinfachung der Beweise
und Befreiung von unnotigen Voraussetzungen, einiges Neue zu bieten.
Die Stoffauswahl mu6 bei einem so ausgedehnten, sich taglich noch
erweiterndem Gebiet immer einen etwas subjektiven Gharakter haben und
manche Wiinsche (auch die des Verfassers) unerftillt lassen: ein Lehrbuch
kann nicht die Vollstandigkeit eines Referats anstreben. In diesem Falle
kam noch hinzu, daB der aufiere Rahmen, in dem das Buch jetzt erscheint,
eine starke Einschrankung des Umfangs gegeniiber der ersten Auflage
(Grundziige der Mengenlehre, Leipzig 1914) erforderte, wodurch eine Umarbeitung
in den kleinsten Teilen notwendig wurde, der ich schheBUch
eine voUige Neubearbeitung vorgezogen habe. Von den damals behandelten
Gegenstanden glaubte ich am ehesten die etwas isoHert fiir sich
steheifde Theorie der geordneten Mengen (bis auf einen geringen Rest) und
sodann die Einfiihrung in die Lebesguesche MaB- und Integraltheorie
opfern zu konnen, fiir die es ja an sonstigen Darstellungen nicht mangelt.
Mehr als diese Streichungen wird vielleicht bedauert werden, daB ich zu
weiterer Raumersparnis in der Punktmengenlehre den topologischen Standpunkt,
durch den sich die erste Auflage anscheinend viele Freunde erworben
hat, aufgegeben und mich auf die einfachere Theorie der metri-
45

Q Vorwort.
schen Raume beschrankt habe, wofiir ein fliichtiger Uberblick (§40) iiber
die topologischen Raume kein geniigender Ersatz ist. SchlieBlich habe
ich die AUgemeinheit wie nach oben, so auch nach unten begrenzt und
die spezielle Theorie der Euklidischen Raume (z. B. den Jordanschen
Satz liber ebene Kurven) weggelassen, d. h. etwa alles, was auf approximierenden
Polygonen und Polyedern beruht; man wird also zwar eine
Menge von Satzen iiber den Euklidischen Raum finden, aber nur solche,
die fiir ihn als Sonderfall eines separablen oder voUstandigen oder lokal
zusammenhangenden Raumes o. dgl. gelten. — Diesen Abstrichen steht
als Zugang gegeniiber eine voUstandigere Behandlung der B or el schen und
der 1917 entdeckten Suslinschen Mengen, sowie der Baireschen Funktionen;
auch stetige Abbildung und Homoomorphie ist eingehender als
damals beriicksichtigt. Zu einer Diskussion iiber Antinomien und Grundlagenkritik
habe ich mich jetzt ebensowenig wie damals entschliefien
konnen. Kleinere Abweichungen zwischen dem alten und dem neuen Buch
betreffen die Benennungs- und Bezeichnungsweise, worin leider noch bis
in die geringsten Einzelheiten verwirrende Unstimmigkeit herrscht; ich
habe, wo ich es fiir richtig hielt, die Vorschlage anderer Autoren beriicksichtigt,
haufig aber auch keinen AnlaU gefunden, von meinen eigenen
Gewohnheiten abzugehen.
Herr H. Hahn hat sich der groBen Miihe unterzogen, eine voUstandige
Korrektur mitzulesen, und mich vielfach mit kritischen Bemerkungen und
wertvollen Verbesserungsvorschlagen unterstiitzt. Verschiedene Anregungen
und Hinweise verdanke ich auch Herrn P. Alexandroff. Fiir
briefliche Mitteilungen und Zusendung von Korrekturen neuerschienener
Arbeiten bin ich Herrn W. Sierpinski verpflichtet. Die Zeichnung der
Figuren hat mir Herr E. A. Weiss abgenommen. Allen diesen Herren
KoUegen sei Hermit der herzlichste Dank ausgesprochen.
46

Mengenlehre
Von
Dr. F. Hausdorff
em. o. Professor der Mathematik
an der Universitat Bonn
Dritte Auflage
Mit 12 Fig-uren
Walter de Gruyter & Co.
vormals G. J. Goschen'sche Verlagshandlung
J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg
Reimer — Karl J. Trubner — Veit & Com^.
Berlin W lO und Leipzig
1935
47

Aus dem Vorwort zur 2. Auflage.
Das vorliegende Werk versucht, die wichtigsten Theoreme der Mengenlehre
mit voUstandig ausgefiihrten Beweisen darzustellen, so daU seine
Lektiire nirgends der Erganzung durch fremde Hilfsmittel bedarf, wohi
aber ihrerseits zum tieferen Eindringen in die umfangreiche Literatur befahigt.
Es setzt beim Leser keine hoheren mathematischen Kenntnisse
als etwa die Anfangsgriinde der Differential- und Integralrechnung, allerdings
aber eine gewisse Scharfe des abstrakten Denkens voraus und wird
von Studierenden in mittleren Semestern mit Erfolg gelesen werden konnen.
Schwierigere Gegenstande am Ende der einzelnen Kapitel mogen beim
ersten Studium iiberschlagen werden; der Leser, der nur die einfachsten
Tatsachen der Punktmengentheorie kennen lernenwill, kann nach fllichtiger
Durchsicht der ersten beiden Kapitel sogleich das sechste in Angriff
nehmen. — Den Fachgenossen hoffe ich wenigstens in formaler Hinsicht,
insbesondere durch Verscharfung der Satze, Vereinfachung der Beweise
uind Befreiung von unn5tigen Voraussetzungen, einiges Neue zu bieten.
Die Stoffauswahl mufi bei einem so ausgedehnten, sich taglich noch
erweiternden Gebiet immer einen etwas subjektiven Charakter haben und
manche Wiinsche (auch die des Verfassers) unerfiillt lassen: ein Lehrbuch
kann nicht die VoUstandigkeit eines Referats anstreben. In diesem Falle
kam noch hinzu, daB der auBere Rahmen, in dem das Buch jetzt erscheint,
eine starke Einschrankung des Umfangs gegenliber der ersten Auflage
(Grundziige der Mengenlehre, Leipzig 1914) erforderte, wodurch eine Umarbeitung
in den kleinsten Teilen notwendig wurde, der ich schlieBlich
eine voUige Neubearbeitung vorgezogen habe. Von den damals behandelten
Gegenstanden glaubte ich am ehesten die etwas isoliert fur sich
stehende Theorie der geordneten Mengen (bis auf einen geringen Rest) und
sodann die Einfiihrung in die Lebesguesche MaB- und Integraltheorie
opfern zu konnen, fiir die es ja an sonstigen Darstellungen nicht mangelt.
Mehr als diese Streichungen wird vielleicht bedauert werden, daB ich zu
weiterer Raumersparnis in der Punktmengenlehre den topologischen Standpunkt,
durch den sich die erste Auflage anscheinend viele Freunde erworben
hat, aufgegeben und mich auf die einfachere Theorie der metri-
49

6 Vorwort.
schen Raume beschrtokt habe, wofiir ein fliichtiger Uberblick (§ 40) liber
die topologischen Raume kein geniigender Ersatz ist. Schliefilich habe
ich die Allgemeinheit wie nach oben, so auch nach unten begrenzt und
die spezielle Theorie der Euklidischen Raume (z. B. den Jordanschen
Satz iiber ebene Kurven) weggelassen, d. h. etwa alles, was auf approximierenden
Polygonen und Polyedern beruht; man wird also zwar eine
Menge von Satzen iiber den Euklidischen Raum finden, aber nur solche,
die fur ihn als Sonderfall eines separablen oder vollstandigen oder lokal
zusammenhangenden Raumes o. dgl. gelten. — Diesen Abstrichen steht
als Zugang gegeniiber eine vollstandigere Behandlung der B or el schen und
der 1917 entdeckten Suslinschen Mengen, sowie der Baireschen Funktionen;
auch stetige Abbildung und Homoomorphie ist eingehender als
damals beriicksichtigt. Zu einer Diskussion iiber Antinomien und Grundlagenkritik
habe ich mich jetzt ebensowenig wie damals entschlieBen
konnen.
Vorwort zur 3. Auflage.
Die immer weiter anhaltende lebhafte Entwicklung der Mengenlehre
hatte an sich wieder eine Neubearbeitung dieses Buches wiinschenswert
gemacht; aus auBeren Griinden muBte davon abgesehen werden. Demgemafi
sind die ersten neun Kapitel ein fast unveranderter Abdruck der
2. Auflage. Um aber den inzwischen erzielten Fortschritten wenigstens
teilweise gerecht zu werden, habe ich in einem neu hinzugefiigten zehnten
Kapitel zwei Gegenstande, die mir das besonders zu verdienen scheinen,
ausfiihrlich dargestellt und auf drei weitere in kleineren Nachtragen,
allerdings ohne Beweise, hingedeutet; der Kreis hatte, ware nicht der
Raummangel hinderlich gewesen, erheblich weiter ausgedehnt werden
konnen.
50

Inhaltsverzeichnis.
Seite
Vorwort 5
Vorbemerkungen '. 9
1. Kapitel: Mengen und ihre Verknupfangen.
§ 1. Mengen 11
§ 2. Funktionen 14
§ 3. Summe und Durchschnitt 17
§ 4. Produkt und Potenz 21
2. Kapitel: Kardinalzahlen.
§ 5. Mengenvergleichung 25
§ 6. Summe, Produkt, Potenz 29
§ 7. Die Skala der Machtigkeiten 33
§ 8. Die elementaren Machtigkeiten . 36
3. Kapitel: Ordiiungstypen,
§ 9. Ordnung 41
§ 10. Summe und Produkt 44
§ 11. Typen der Machtigkeit N*o und X 49
4. Kapitel: Ordnungszahlen.
§ 12. Der Wohlordnungssatz 55
§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen 58
§ 14. Verkniipfungen von Ordnungszahlen 62
§ 15. Die Alefs . 70
§ 16. Der allgenieine Produktbegriff 73
5. Kapitel: Mengensysteme.
§ 17. Ringe und Korper 77
§ 18. Borelsche Systeme 82
§ 19. Die Suslinschen Mengen 90
6. Kapitel: Puiiktmengen.
§ 20. Entfernung 94
§ 21. Konvergenz 103
§ 22. Innere Punkte und Randpunkte. 109
§ 23. Die a-, P-, Y-Punkte 112
§ 24. Relative und absolute Begriffe . * 120
§ 25. Separable Raume 124
51

8 Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 26. Vollstandige Raume 129
§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie 138
§ 28. Mengenraume . 145
§ 29. Zusammenhang 150
7. K a pit el: Punktmengeii und Ordnungszahlen.
§ 30. Hullen und Kerne 164
§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen 173
§ 32. Die Borelschen und Suslinschen Mengen 177
§ 33. Existenzbeweise 181
§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen 184
8. Kapitel: Abbildun^ zweier Raume.
§ 35. Stetige Abbildung . 193
§ 36. Streckenbilder 200
§ 37. Bilder Suslinscher Mengen 208
§ 38. Homoomorphie 213
§ 39. Einfache Kurven 219
§ 40. Topologische Raume 226
9. Kapitel: Reelle Fnnktionen.
§ 41. Funktionen und Urbildmengen 232
§ 42. Funktionen erster Klasse 247
§ 43. Bairesche Funktionen 257
§ 44. Konvergenzmengen 270
10. Kapitel: Erganzungen.
§ 45. Die Bairesche Bedingung 276
§ 46. Halbschlichte Abbildungen 289
Nachtrage 298
Literatur 300
Quellenangaben 301
Register 305
52

Vorbemerkungen.
Intervalle reeller Zahlen werden mit eckigen oder runden Klammern
bezeichnet, jenachdem die Endpunkte mitgezahlt werden soUen odernicht.
Fur a < J ist also
[a, 6] ia,b) [a.b] (a,b)
die Menge der Zahlen ic, die den Bedingungen
^^^^^ a

10 Vorbemerkungen.
einer nach uEten bescJirankten Folge erklart. Entsprechende Bezeichnungen
geltem fiir ZaMenmengen, die nicht in Form einer Folge gegeben
sind, etwa
sup / {x).
Fiir eine nach oben bescbrankte Folge existieren die samtlichen
Suprema
v^ = sup [x„, x^_^i, x^j^2,.,.]
^it ^1 ^ ^2 ^ • • •; wenn diese v^ nach unten beschrankt sind und also
einen Grenzwert v haben, so heiBt dieser der obere Limes oder Limes superiorder
Folge, in Zeichen
V == lim sup a;„ =^ lim ic„.
Entsprechend ist der untere Limes oder Limes inferior
u = lim inf x^ = lim x^
zu erklaren.
Falls die iiber Beschranktheit gemachten Voraussetzungen nicht zutreffen,
werden die Zeichen i co verwendet. Z. B.Jiir eine nach oben
nicht beschrankte Folge rr„ wird sup Xn~ + oo^ limrr^ = -f- oo gesetzt;
fiir eine nach obeia beschrankte Folge x.,^, I'ur welche die obigen Suprema
t;^ nicht nach unten beschrankt sind, lima;^ == — cx).
Fiir Konvergenz von Folgeii und Funktionen verwenden wir in der
Kegel das Zeicheu des Pfeiles, z. B.
Xn->X soviel wie limx^ = x,
ebenso fiir eigentliehe Divergenz (x^-^ + oo, x^-^— oo).
Eine Behauptung iiber die natlirliche Zahl n (= 1, 2, 3,. ..) gilt
schlieplich oder fiir fast alle n (G. Kowalewski), wenn sie von einem
bestimmten B ab (y^ ^ n^ oder fiir alle n mit hochstens endlich vielen Ausnahmen
gilt; sie gilt unendlich oft^ wenn sie fiir unendlich viele n gilt (z. B.
fiir ^i = 2, 4, 6,8,. . -). Wenn wir von fast alien oder unendlich vielen
Gliedem einer Folge x^ sprechen, so meinen wir die zu fast alien oder unendlich
vielen Werten n gehorigen Glieder x^^ mogen diese Glieder verschieden
sein oder nicht.
54

Erstes Kapitel.
Mengen und ihre Verknupfungen.
§ 1. Mengen. [i]
Eine Menge entsteht durch Zusammenfassung von Einzeldingen zu
einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht. Wenn
diese oder ahnliche Satze Definitionen sein wollten, so wiirde man mit
Recht einwenden, dafi sie idem per idem oder gar obscurum per obscurius
definieren. Wir konnen sie aber als Demonstrationen gelten lassen, als
Verweisungen auf einen primitiven, alien Menschen vertrauten Denkakt,
der einer Auflosung in noch urspriinglichere Akte vielleicht weder fahig noch
bediirftig ist. Wir wollen uns mit dieser Auffassung begniigen und es als
Grundtatsache hinnehmen, da6 ein Ding M in eigentiimlicher, nicht definierbarer
Weise gewisse andere Dinge a^b^c^. , , und diese wiederum
jenes bestimmen; eine Beziehung, die wir mit den Worten ausdriicken: die
Menge M besteht aus den Dingen a^b, c,, . ,
Eine Menge kann aus einer natiirlichen Zahl von Dingen bestehen
oder nicht; je nachdem heiBt sie endlich oder unendlich, Beispiele sind [2]
einerseits die Menge der Einwohner einer Stadt, der Wasserstoffatome in
der Sonne, der natiirlichen Zahlen von 1 bis 1000, andererseits die Menge
aller natiirlichen Zahlen, aller Punkte einer Geraden, aller Kreise in einer
Ebene. Es ist das unsterbliche Verdienst Georg Cantors (1845—1918),
diesen Schritt in die Unendlichkeit gewagt zu haben, unter inneren wie
auBeren Kampfen gegen scheinbare Paradoxien, populare Vorurteile, philosophische
Machtspriiche (infinitum actu non datur), aber auch gegen Bedenken,
die selbst von den groBten Mathematikern ausgesprochen worden
waren. Er ist dadurch der Schopfer einer neuen Wissenschaft, der Mengenlehre
geworden — denn die Betrachtung endlicher Mengen ist ja nichts
weiter als elementare Arithmetik und Kombinatorik —, die heute das
Fundament der gesamten Mathematik bildet. An diesem Triumph der
Cantorschen Ideen andert es nach unserer Ansicht nichts, daB noch
eine bei allzu uferloser Freiheit der Mengenbildung auftretende Antinomie [3]
der vollstandigen Aufklarung und Beseitigung bedarf.
Die fundamentale Beziehung eines Dinges a zu einer Menge A, der es
angehort, bezeichnen wir mit G. Peano in Wort und Formel folgender-
"^^^^^' a ist Element von A: aeA.
55

12 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.
Das Gegenteil dieser Aussage lautet:
a ist nicht Element von A: a'eA.
W Zwei Mengen werden dann und nur dann als gleich, in Formel
definiert, wenn jedes Element der einen auch Element der andern ist (also
wenn beide dieselben Elemente enthalten). Hiernach ist eine Menge durch
ihre Elemente eindeutig bestimmt; wir bringen dies so zum Ausdruck, daB
wir die Menge durch die zwischen geschwungene Klammern gesetzten Elemente
bezeichnen, wobei nicht angegebene Elemente durch Punkte angedeutet
werden. So ist
A = {a}, A == {a, J}, A = {a, b, c}
die Menge, die aus dem einen Element a, den beiden Elementen a, A, den
drei Elementen a, i, c besteht;
A = {a, i, c,. ..}
ist eine Menge, die aus den Elementen a, 6, c und (moglicherweise) noch
andern besteht. Welches diese andern, durch Punkte bezeichneten Elemente
sein soUen, muB natiirlich irgendwie angegeben werden, z. B.
die Menge der naturlichen Zahlen (1, 2, 3,.. .}
die Menge der geraden naturlichen Zahlen {2, 4, 6, . . .}
die Menge der Quadratzahlen {1, 4, 9,. ..}
die Menge der Potenzen von 2 {1, 2, 4, 8, ...}
die Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7/.. .}.
Eine Unterscheidung zwischen dem Ding a und der Menge {a}, die
nur dies eine Element hat, ist begrifflich jedenfalls notwendig (wenn auch
praktisch oft belanglos), schon weil wir auch Mengen (Systeme) zulassen
werden, deren Elemente selbst wieder Mengen sind. Die Menge a == {1, 2}
besteht aus den zwei Elementen 1, 2, die Menge {a} aus dem einen Element a.
Wir lassen aus ZweckmaBigkeitsgriinden auch eine Menge 0, die Nullmenge
oder leere Menge, zu, die kein Element enthalt^). Nach der Definition
der Gleichheit von Mengen gibt es nur eine NuUmenge. .4=0 bedeutet,
daB die Menge A kein Element hat, leer ist, „verschwindet". WoUten wir
die NuUmenge nicht als Menge zulassen, so wiirden wir in zahllosen Fallen,
wo wir von einer Menge sprechen, zu dem Zusatz genotigt sein: falls diese
Menge existiert. Denn die Definition der Elemente einer Menge sagt uns
haufig noch gar nicht, ob solche Elemente vorhanden sind; z. B. ist bis
jetzt nicht bekannt, ob die Menge der natiirlichen Zahlen n, fiir welche die
Gleichung a;** + ^ + t/^ + ^ == z" "^ ^ in naturlichen Zahlen x, y, % losbar ist,
^) Ob das Zeichen 0 die NuUmenge oder die Zahl Null bedeutet, geht
aus dem jeweiligen Zusammenhang unzweideutig hervor.
56

§ 1. Mengen. 13
leer ist oder nicht (d. h. ob der beriihinte Fermatsche Satz rich tig ist oder [5]
nicht). Die Aussage ^ = 0 kann also eine wirkliche Erkenntnis — natiirlich
in andern Fidlen auch eine Trivialitat — bedeuten; viele oder, wenn man
vor Kiinsteleien nicht zuriickschreckt, alle mathematischen Behauptungen
lassen sich auf die Gestalt ^ = 0 bringen. Die Einfuhrung der NuUmenge
ist demnach, wie die der Zahl Null, durch Zweckmafiigkeitsgrunde geboten;
andererseits zwingt sie auch manchmal, das Nichtverschwinden einer Menge
(wie das einer Zahl) unter den Voraussetzungen eines Satzes ausdriicklich
namhaft zu machen.
Sind A und B zwei Mengen, so entsteht die Frage, ob die Elemente
der einen vielleicht auch der andern angehoren. Bedeuten a und b Elemente
von A und B^ so woUen wir zunachst die beiden Alternativen bilden:
jedes asB^ nicht jedes a£i>\
jedes beA^ nicht jedes be A.
Durch deren Verbindung erhalten wir vier mogliche Falle, von deneis
die drei ersten durch eine beigefligte Forme! bezeichnet werden:
(1) Jedes asB^ jedes be A : A=B
(2) Jedes asB^ nicht jedes bsA : A cz B
(3) Nicht jedes asB^ jedes beA -. A z> R
(4) Nicht jedes aeB^ nicht jedes beA.
Im Fall (1) sind in der Tat beide Mengen gleich^ naeh der friiherai
Erklarung. Im Fall (2) enthalt A nur Elemente von J^^ aber nicht aHe,
wodurch sich A als die kleinere, B als die groBere Menge charakterisierfc;
dies wird durch die Bezeichnung A^zB ZIHU Ausdruck gebracht, die an [6]
die Zahlenbeziehung a < p erinnern soil. Im Fall (3) steht es umgekehrfc,
sodafi ^ :=> JB so viel wie B ^A ist. Im allgemeinen wird keiner dieser
Falle, sondern der Fall (4) eintreten, zu dessen besonderer Bezeichnung kein
AnlaB besteht.
Die Relation „kleiner als" ist transitw^ d. h. aus A

14 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfiingen.
da6 es gar kein a gibt^). Dabei bedeutet 00, daB die
Menge B nicht leer ist. Die ZweckmaBigkeit jener Verabredung tritt z. B.
hervor, wenn wir die Teilmengen einer endlichen Menge zahlen. Die Teilmengen
von {1, 2, 3} sind
0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2.3}, {1,2,3},
es gibt ihrer 8 == 2^. Eine Menge aus n Elementen besitzt I I Teilmengen,
die aus m Elementen bestehen, wobei I I — —7-7—'-—n der Binomial-
koeffizient und I A ) == I I = 1 zu setzen ist; die Anzahl der Teilmengen ist
(o)+(")+•+(»-i)+(:)--
Schon dies einfache Ergebnis spricht fiir den oben erklarten Begriff
der Teilmenge.
Ist A^B^ so bedeute
B~ A
die Menge der Elemente von 5, die nicht Elemente von A sind; diese Differenz
wird auch das Komplement i>on A in B genannt. Ollenbar ist
B~0 = B, B-B==0,
B~-(B -A)=:A.
Es sei ausdriicklich hervorgehoben, weil andere Autoren anders verfahren,
daB wir bei der Differenzbildung den Subtrahenden stets als Teilmenge
des Minuenden annehmen. Z. B. setzt die Schreibweise C — {B ~ A)
zunachst A ^B^ sodann B — A ^C voraus. Beispiel: A = {5, 6, 7, . . .}
sei die Menge der natiirlichen Zahlen von 5 ab, j^ = {1, 2, 3,.. .} die Menge
aller natiirlichen Zahlen, C == (1, 2, 3, 4, 5, 6} die Menge der ersten sechs
natiirlichen Zahlen. Hier ist ^ - ^ - {1, 2, 3, 4}, C - (^ - ^) = {5, 6).
§ 3. Funktionen.
Der Funktionsbegriff ist fast ebenso fundamental und urspriinglich
wie der Mengenbegriff. Eine funktionale Beziehung baut sich aus
Elementpaaren ebenso auf wie eine Menge aus einzelnen Elementen.
Statt eines einzelnen Elementes betrachten wir eine Zusammenstellung
von zwei Elementen in einer bestimmten Reihenfolge oder, wie wir es nennen,
[7] ein geordnetes Paar (a, b) von Elementen, worin a das erste, b das zweite
^) Ausfuhrlicher: die Aussage „wenn aeA, so ist auch aeB'' ist richtig, weil
die Voraussetzung ae^ nie erfiillt ist. Sind p, q Urteile, so ist die Aussage „wenn
p richtig ist, so ist auch q richtig" (aus p folgt q) gewiB richtig, wenn p falsch ist.
Aus einem falschen Urteil folgt jedes beiiebige Urteil; wenn 2 x 2 = 5, so gibt
es Hexen.
58

§ 2. Funktionen. 15
Element ist. Zwei solche geordneten Paare gelten dann und nur dann als
gleich, wenn sie dasselbe erste und dasselbe zweite Element haben:
(a*, b*) = (a, b) soviel wie a* = a^ b* = b.
Die Paare (a, b) und (J, a) sind hiernach verschieden, falls a^b; andererseits
hindert nichts, auch aus zwei gleichen Elementen ein geordnetes Paar
(a, a) zu bilden. Z. B. entstehen durch Kombination natiirlicher Zahlen
die geordneten Paare
(1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1)...;
solcher Art sind die Doppelindizes an den Elementen einer Matrix oder
Determinante. Durch Kombination reeller Zahlen entstehen die geordneten
Zahlenpaare (rr, y); durch solche Paare Cartesischer Koordinaten, bei denen
die Abszisse x und die Ordinate y nicht vertauscht werden diirfen, lassen
sich die Punkte der Ebene darstellen.
Das geordnete Paar (a, b) ist eine andere Begriffsbildung als die Menge
{a, ft}; bei dieser sind a und b als verschieden angenommen, und es kommt
auf die Reihenfolge nicht an.
Die geordneten Paare ermoglichen die Einfiihrang des Fuaktionsbegrifles,
wie sie uns auch zur Multiplikation (§ 4) und zur Ordnung (§ 9)
von Mengen dienen werden. Sei P eine Menge geordneter Paare p = (a, b);
fiir jedes in P vorkommende Paar p {peP) wollen wir b ein Bild von a,
a ein Urbild von b nennen, und es sei A die Menge aller Urbilder a (d. h.
aller ersten Elemente von Paaren peP), B die Menge aller Bilder b (d. h.
aller zweiten Elemente von Paaren peP). Hiernach bestimmt jedes a
seine Bilder, jedes b seine Urbilder; das ist der Zusammenhang, der zwischen
den Mengen A und B durch die Paarmenge P hergestellt wird: es findet,
wie man sagt, eine Abbildung der einen Menge auf die andere statt.
In dem besonderen Falle, wo jedes a nur ein einziges Bild b besitzt,
bezeichnen wir dieses durch a bestimmte, von a abhangige Element b mit
b = f{a)
und sagen, da6 dies eine in der Menge A definierte eindeutige Funktion ^on a
sei. Z, B. definiert die Menge der Paare (1, 2) (2, 1) (3, 2) eine Abbildung
der Menge A = {1, 2, 3} auf die Menge B = {1, 2}, und zwar eine in der
Menge A eindeutige Funktion, namlich
/(I) ==2, /(2) = 1, /(3) = 2,
Wenn iiberdies auch jedes b nur ein einziges Urbild a hatj so bezeielmen wir
dieses durch b bestimmte Element a mit
a = g{b)
und haben damit eine in B definierte eindeutige Funktion von h, Jede
dieser Funktionen heiBt zur andern infers oder die Umkehrung der andem;
beide werden als eindeutig umkehrbar oder eineindeutig bezeichnet; man
59

16 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.
nennt die zwischen A und B bestehende Abbildung eineindeutig oder schlicht
und sagt, daB zwei Mengen -A, B, die in einer solchen Beziehung stehen
konnen, dquwalent seien, in Zeichen
A^B, B^A.
Dieser fundamentale Begriff der Aquivalenz wird die Grundlage des zweiten
Kapitels bilden; begniigen wir uns hier mit dem Beispiel der Aquivalenz
zwischen der Menge A der natiirlichen und der Menge B der geraden (positiven)
Zahlen. Die Menge der geordneten Paare
(1, 2) (2, 4) (3, 6) . . .
stellt die eineindeutige Beziehung her, indem sie jeder natiirlichen
Zahl a das Bild J=2a, jeder geraden Zahl b das Urbild a = | J zuordnet.
Wenn das Element a mehrere Bilder hat, so wird die Bezeichnung
b — f(a) in dem Sinne beibehalten werden konnen, daB f(a) nicht ein
einziges, sondern mehrere (vielleicht unendlich viele) Elemente b bedeutet;
wir haben dann eine mehrdeutige Funktion /(a). Das Entsprechende gilt
von g(b); beide, im allgemeinen mehrdeutige Funktionen heiBen auch jetzt
noch zueinander invers. Ein haufig zu betrachtender Fall ist der, daB
zwar f(a) eindeutig, die Umkehrungsfunktion g(b) aber mehrdeutig ist.
Z. B, definiert die Menge der geordneten Paare (a, sin a), wenn a alle reellen
Zahlen durchlauft, eine Abbildung der Menge A aller reellen Zahlen auf
die Menge B der Zahlen — 1 < i ^ 1 von der Art, daB zwar J = sin a
eindeutig, a = arc sin 6 aber in der bekannten Weise mehrdeutig ist, namlich
nicht nur eine Zahl a^mit b = sin ao, sondern zugleich alle Zahlen 2k7t + a^
und (2k + l)7t — a^ik ganzzahhg) bedeutet. BeschrSnkt man statt dessen
a auf das Intervall —- ^ ^ a ^ ^, so wird die Beziehung zwischen beiden
Mengen eindeutig umkehrbar.
Die hier gegebene Definition des Funktionsbegriffs wird dem Anfanger,
der noch im Bann der elementaren, allenfalls der stetigen Funktionen steht,
etwas abstrakt erscheinen; sie ist aber notwendig, um diesem fundamentalen
Begrif! seine Freiheit und Allgemeinheit zu lassen. Es ist, um bei
der eindeutigen Funktion / (a) zu bleiben, nur wesentlich, daB / (a) nach
irgendeiner Vorschrift (die hier durch die Paarmenge P gegeben war) ein
durch a wohlbestimmtes Element ist, unwesentlich, ob sich diese Vorschrift
durch „analytische Ausdriicke" oder sonstwie fixieren laBt, unwesentlich
auch, ob unsere Kenntnisse und Hilfsmittel uns gestatten, auch nur fiir ein
einziges a die tatsachliche Bestimmung von / (a) durchzufiihren. Dasselbe,
[8] was hier iiber den allgemeinen, von Dirichlet formulierten Funktionsbegriff
gesagt wurde, ware auch schon iiber den Cantorschen Mengenbegrifl
zu sagen gewesen. Die Menge der rationalen Zahlen ist wohl-
60

§ 3. Summe und Durchschnitt 17
definiert, obwohl wir nicht wissen, ob ^ zu ihr gehort oder nicht, und die
Funktion/(a), die fiir rationales a gleich 1, ftir irrationales gleich 0 sein
soil, ist wohldefiniert, obwohl wir den Wert von j{n^) nicht kennen.
§ 3, Summe und Durchschnitt.
Sind A^ B zwei Mengen, so verstehen wir unter ihrer Summe
S=^A+B
die Menge der Elemente, die zu A oder zu B (oder auch zu beiden) gehoren,
unter ihrem Durchschnitt
D = AB
die Menge der Elemente, die zugleich zu A und zu B gehoren. Wenn D = 0^
die beiden Mengen A, B also kein gemeinsames Element haben^ so heiBen sie
zueinander fremd oder disjunkt; nur in diesem Falle bezeichnen wir die
Summe auch mit
S = A +B
und bemerken, daB dann offenbar S — A == B^ S •— B = A ist ^).
BeispieL A sei das Intervall ^) [!«3], d. h. die Menge der reellen
Zahlen x mit 1 ^ ic ^ 3, B ebenso das Intervall [2,4]. Dann ist S das
Intervall [1,4], D das Intervall [2,3].
Sind A^ B endliche Mengen und zueinander fremd^ A aus m, B dius n
Elementen bestehend, so besteht A + B aus m + n Elementen.
Es ist
S-A=-B~D, S-B^^^A-D,
ersteres namlich die Menge der Elemente, die nur zu 5, nicht zu A gehoren.
Also
D=:B-- {S,- A) = A-{S'- B),
der Durchschnitt laBt sich mit Hilfe von Summe und Differenz bilden.
Die Summen- und Durchschnittsbildung laBt sich otne weiteres auf
beliebig, endlich oder unendlich viele Mengen ausdehnen. Als abkiirzendes
Summenzeichen verwenden wir das deutsche @, bei disjunkten Summanden
auch das griechische -^, als abkiirzendes Durchschnittszeichen das deutsche
2D. Denken wir uns zunachst einmal den natiirlichen Zahlen 1, 2,.. ., A:
oder auch alien naturlichen Zahlen 1,2,.. • Mengen A^^ A^^ . .. zugeordnet
(wobei schon der Begriff der eindeutigen Funktion aus § 2 zur Anwendung
kommt), die iibrigens durchaus nicht paarweise versehieden zii sein
brauchen, so ist ihre Summe
^) Manche nennen die Summe auch Verelnigimg oder Yereieigungsmeiige;
andererseits wird vielfach die Addition auch nicht fremder Siimmaiiden mit dem
einfachen Pluszeichen (ohne Punkt) geschrieben. Das Zeichen + wurde von
C. Garatheodory eingeftihrt.
2) Wegen der Bezeichnung der Intervalle vgl. die Vorbemerkungen.
Hausdorff, Mengenlehre. 2
61

IQ Erstes Eapitel. Mengen und ihre Verknupfungen.
4^ W
m
die Menge der Elemente. die mindestens einem A^ angehoren, ihr Durchschnitt
m ^
die Menge der Elemente, die alien A^ zugleich angehoren. Nur wenn die
Summanden disjunkt^ d. h. paarweise fremd sind, also
schreiben wir die Summe auch
A^An==0 fur m^n,
Endlich der allgemeine Fall: den Elementen m einer Menge
M = {/n, n,,p^^*.} seien Mengen A^ zugeordnet; dann ist ihre Summe
die Menge der Elemente, die mindestens einem A^ angehoren, ihr Durchschnitt
M
die Menge der Elemente, die alien A^ zugleich angehoren; im Falle disjunkter
(paarweise fremder) Summanden schreiben wir auch
M
^ = Am + ^n ~\~ Ajj -\- ' ' ' = 2Aji^.
Beispiele: M = {0, 1, 2,...} sei die Menge der ganzen Zahlen ^ 0 und
Ajn die Menge der naturlichen Zahlen, die genau durch 2"* teilbar sind, also
^ ==:{!, 3, 5, 7,...}
A, = {2, 6,10,14,...}
A, = (4,12, 20, 28,. . .}
A, = {8, 24, 40, 56,. . .}
M
dann ist S = A^. + A. + A^-\ = 2A^
die Menge aller naturlichen Zahlen.
M sei die Menge der reellen Zahlen m > 1 und ^,^ = [0, m) das Intervall
der Zahlen O^x

§ 3. Summe und Durchschnitt. 19
A+B = B + A, AB^BA,
^j^J^B) + C:=^A + {B + C)=:A+B + C, (AB)C = A (BC) =^ABC,
(A +B)C = AC +BC,
AB + C=^(A +0(5 + 0.
Von den beiden letzten Formeln, den distributiven, ist die erste
evident und auch die zweite leicht einzusehen; wir bemerken noch den
nachst allgemeineren Fall
Sind samtliche A^ Teilmengen einer mnfassenden Menge E wid
B^ = E — A^ ihre Komplemente, m ist
E = eA^+ |B^ = ^A^ + BB^.
m m m tn
Denn jedes Element von E gebort entweder mindestens eifflem ^^ an
(also zu QA^) oder keinem, im letzteren Falle gehort es alien B^ an (also
zu SJB^). Wir konnen diese wichtige Formei kurz so aussprechen: aas
Komplement der Summe ist der Durchschnitt der Komplemente^ das Komplement
des Durchschniits ist die Summe der Komplemente. Wenn also eine
Menge P aus den Mengen A^^ durch wiederholte Summen- und Durclischnittsbildung
hervorgeht, so ^rlialt man ihr Komplement Q — E — P,
indem man die A^^ durch ihre Komplemente B^ ersetzt und zugleich die
Operationen

20 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.
hier insbesondere das Gleichheitszeichen, so heiBt die Menge A — A = A
der Limes der Mengenfolge
A = Lim^n,
und diese Folge wird komergent genannt.
Beispiele. Fiir die Folge M, JV, M, N,,,, ist M + N der obere, MN
der untere Limes; sie konvergiert nur fiir M = N. Eine aufsteigende
Folge il^g-Aag- • • konvergiert nach der Summe @^nj ^^^^ absteigende
^1S ^2 § • •' ^^ch dem Durchschnitt 2)^„, eine Folge disjunkter Mengen
nach der NuUmenge. — Man bezeichne mit A^ das Intervall [0, 1], mit
^25 -^3 die beiden Intervalle [0, |], [|, 1], mit A^^ A^, A^ die drei Intervalle
[0, ^], [1^, f], [f, 1] mid fahre so fort. Der obere Limes der Folge
An ist das Intervall [0,1], der untere die NuUmenge.
1st wieder E eine alle An umfassende Menge und Bn = E ~ ^„, so
ist E = A+B = A+B.
Denn ein xeE gehort entweder fast alien An^ d. h. nur endlich vielen Bn^
oder unendlich vielen Bn an.
Die Mengen A^A entstehen aus den An durch wiederholte Summenund
Durchschnittsbildung, und zwar ist
4. == A + ^2 + A + • • •, ^n = AnAn+l^n+2 • • ,
A = SiSzS^ ... , Sn ^ An + An+i + ^n+2 H •
Die erste Formel folgt unmittelbar aus der Definition, die zweite am einfachsten
durch Komplementbildung.
Die Mengen -4, A bleiben ungeandert, wenn man in der Folge An
endlich viele Mengen weglaBt, hinzufiigt oder abandert. Ferner ist fiir
eine Teilfolge Ap (wo p eine Folge natiirlicher Zahlen durchlauft) offenbar
Lim An^ Lim A^^him A^^ Lim An•
Wenn die ganze P^olge nach A konvergiert, so auch jede Teilfolge.
CharakteristischeFunktionen (C. de la Vallee Poussin). Jeder Teilmenge
A einer festen Menge E lafit sich umkehrbar eindeutig eine in E definierte
Funktion f{x) zuordnen, die nur die Werte 0, 1 annimmt, namlich
f{x) = i fiir xeA^ f(x) = 0 fiir xeE — A.
Man nennt das die charakteristische Funktion zur Menge A; wir bezeichnen
sie, indem wir nur die Abhangigkeit von A hervorheben und das Argument x
weglassen, einfach mit [A]. Der ganzen Menge E entspricht die konstante
Funktion [E] == 1, der NuUmenge 0 die konstante Funktion [0] = 0.
Den Verkniipfungen von Mengen entsprechen einfache Verkniipfungen
der charakteristischen Funktionen. So ist
[B^A]'^[B]^[A] (A^B)
64

§ 4. Produkt und Potenz. 21
eine Gleichung, die, wie die folgenden, fur jede Stelle x gilt; denn man hat
fiir die drei moglichen Falle
Insbesondere ist
Ferner ist
xe E — B,
[A]= 0 ,
[5] = 0 ,
[B-A]^ 0 ,
und durch Komplementbildung
iE-A]==i-[A].
[AB]=^[A-][B]
B- A,
0 ,
1 ,
1 ,
[4+B] = l-{l-[^])(l-m),
lA+B-i+iAB]=lA]+lB],
insbesondere fiir disjunkte Summanden
iA+B]^[A} + lBl.
Andererseits ist auch
[4 + ^] = max liAl [B]l [AB] = min [[^3, [B]]
und allgemein fiir die Sumnae S = ^A^ und den Durchschnitt D = S ^4^
beliebig vieler Mengen
A :
1
1
0.
[S} = max [A^l [D] = min [A^J.
Fiir den oberen Limes A = Lim A^^ und den unteren A = Lim A^
einer Mengenfolge ist
__ [A] = lii^[.4 J, [A] = lim [il J;
denn lim [.4^] ist dann und nur dann = 1 (sonst = 0), wenn unendlich oft
[A^] = 1, d. h. xeAn, xeA^ und lim [A^] ist dann und nur dann = 1, wenn
schlielilich X S -^fi) X S A, Fiir den Limes A = Limii„ einer konvergenten
Mengenfolge ist [^] = lim [A^].
§ 4. Produkt und Potenz.
Es bleibt uns noch iibrig, das Produkt von Mengen zu definieren.
Bilden wir aus zwei Mengen il, 5 die Menge P dm geordneten Paare (§ 2)
p = (a, b), worin a alle Elemente YOU A^ b alle Elemente Ton B durcMauft,
also
psP soviel wie aeA^ beB.
Falls die Mengen^) endlich sind und A aus M, B aus n Elementen besteht,
besteht P aus mn Elementen^ so daB diese Paarmenge tatsachlich den
Charakter eines Produkts hat. Es sei bemerkt, daB diese Qollstdndige Paar-
^) Diese mussen hier nicht disjunkt und konnen sogar identisch sein.
65

22 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.
menge, diea/tePaaremit asA^beB enthalt, alle jene Paarmengen, die nach
§ 2 eine funktionale Beziehung zwischen A und B vermitteln, zu Teilmengen
hat; sie selbst liefert die „meistdeutige", die in starkstem MaBe mehrdeutige
Abbildung, indem sie jedem a alle b als Bilder, jedem b alle a als
Urbilder zuordnet. — Zur Bezeichnung des Produkts steht uns die einfache
Schreibweise AB^ die bereits an den Durchschnitt vergeben ist, nicht mehr
zur Verfiigung. Nun konnen wir ja aus den Mengen A^ B selbst ein geord-
[9] netes Paar (A, B) bilden, und es steht uns frei, diesem Gebilde selbst wieder
die Bedeutung einer Menge zu geben, namlich das geordneie Mengenpaar
als Menge der geordneten Elementpaare zu definieren. D. h. fiir geordnete
Elementpaare und Mengenpaare wird die £-Beziehung
(a^b) 6(A,B) soviel wie asA^bsB
erklart, w^hrend andere Dinge als Elementpaare liberhaupt nicht als Elemente
einer Menge (.4, B) auftreten soUen. Dann ist also
P = (A,B)
das Produkt der beiden Mengen.
BeispieL A und B seien Mengen reeller Zahlen. Wird das Zahlenpaar
(a, b) durch den Punkt einer Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten
a, b Oder, kurz, durch den Punkt (a, b) dargestellt, so ziehe man durch alle
Punkte (a, ()){aeA) der X-Achse Parallelen zur y-Achse, durch alle Punkte
(0, b) (bsB) der Y-Achse Parallelen zur Z-Achse; die Schnittpunkte (a, b)
dieser Parallelen bilden das Produkt {A, B).
Das Produkt laBt sich als Summe aquivalenter Summanden auffassen
(§6).
Die Ausdehnung des Produkts auf mehr als zwei Faktoren bietet keine
Schwierigkeit. Analog wie die geordneten Paare (a, b) lassen sich geordnete
[10] Tripel (a, b, c) erklaren, das sind Zusammenstellungen von drei Elementen
m bestimmter Reihenfolge, also mit der Gleichheitsdefinition
(a*, J*, c*) = (a, b, c) soviel wie a* = a, 6* = b, c^ ~ c\
iibrigens brauchen diese drei Elemente nicht verschieden zu sein. Die
geordneten Tripel (a, i, c), worin a alle Elemente von A^ b alle Elemente
von 5, c alle Elemente vonC durchlauft, bilden per definitionem die Menge
[A, B, C), das Produkt der drei Mengen A, B, C Ebenso ist fiir jede endliche
Faktorenzahl zu verfahren.
Das kommutative und assoziative Gesetz gelten bei den Produkten
zwar nicht im Sinne der Gleichheit, wohl aber der Aquivalenz (§ 2). Die
Elemente (a, b) und (6, a) der Mengen {A, B) und (5, ^1) sind ja nicht dieselben,
stehen aber in umkehrbar eindeutiger Beziehung, so daB (A^ B) ^^
(B^ A), Auch die Elemente ((a, 6), c) von ((^, 5), C), d. h. die geordneten
Paare, deren erstes Element ein geordnetes Paar (a, b), deren zweites ein
66

§ 4. Produkt und Potenz. 23
Element c ist, sind mit den Tripeln (a, ft, c), den Elementen von {A^ B, C)
nicht identisch, entsprechen ihnen aber eineindeutig, und es ist
Um Produkte mit beliebiger Faktorenmenge zu erklaren, verallgemeinern
wir zuerst den Begriff des geordneten Paares oder Tripels, indem
wir jedem Element m einer Menge M = {m, n^g^. >.} irgendein Element
a^ zuordnen oder, anders gesagt, eine eindeutige Funktion / (m) = a^ in
M definieren; die Zusammenstellung dieser Elemente liefert das, was man
einen Elementkomplex
oder auch (Cantor) eine Belegung der Elemente m mit den Elementen a^
nennt. Beide Namen bezeichnen keine neue Konstraktion, sondem sind
eben Synonyme fiir jene in M delSnierte Fimktion f(m), Zwei Elementkomplexe
gelten dann und nur dann als gleich, wenn sie jedem m dasselbe
Element a^ (als Bild) zuordnen, d. h.
{a%y «*, «*,•••)= i^hnj «^«, «

24 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungeii.
Die Zuordnung der A„^ zu den m ist so viel wie Definition einer eindeutigen
Funktion F{m) = A^ in il/, einer Funktion, deren „Werte" nicht
Elemente, sondern Mengen sind. Und das Produkt P ist die Menge aller
eindeutigen Funktionen /(m), fiir die
f(m)eF(m) fiir jedes meM.
Lassen wir endlich alle A^^ = A zusammenfalien, so definieren wir mit
P = A^^
die Potenz (mit der Basis A und dem Exponenten M) als Produkt von
lauter gleichen Faktoren. Dies ist also die Menge aller Elementkomplexe
P — i^mi ^m ' ' •)? deren Elemente zu A gehoren {a^eA, a^e-4,. ..), oder
die Menge aller eindeutigen Funktionen a = f{m), die jedem meM als
Bild ein Element aeA zuordnen.
Ein wichtiges Beispiel: A = (a, J} bestehe aus zwei Elementen; A^
ist die Menge der Funktionen f(m), fiir die
/ (m) = a oder b.
Jede solche Funktion f(m) bestimmt^) die Menge Ma derjenigen m,
fiir die f(m) = a, sowie die Menge il/j derjenigen m, fiir die f(m) = 6, wobei
M - Ma + Mj,
eine Spaltung von M in zwei komplementare Teilmengen ist. Ist umgekehrt
Mf^ eine beliebige Teilmenge von J/, Mj,= M — Ma ihr Komplement
in M, und definieren wir
/ (m) ~ a fiir me M^, f (m) = b fiir me Mi,,
so haben wir eine unserer Funktionen /(w). Die Funktionen f{m) und die
Mengen Ma^ M stehen also in umkehrbar eindeutiger Beziebung, d. h.
A^^ ist mit der Menge aller Teilmengen von M dqui

§ 5. Mengenvergleichung. 25
Zweites Kapitel.
Eardinalzahlen.
§ 6. Mengenvergleichung.
Wir nannten (§ 2) zwei Mengen aquivalent, in Formel
wenn sich eine umkehrbar eindeutige Zuordnung ihrer Elemente herstellen
laBt, derart, daB jedem aein einziges b = f (a), jedem b ein einziges a = g(b)
entspricht. Offenbar gilt:
wenn A -^ B, ist B ^ A:
wenn J-B, B^C, ist^^-C;
man sagt, daB dife Aquivalenzbezieiiiing reflexw, symmetrisch und transitip
sei.
Endliche Mengen^) sind ersichtlich dann und nnr dann aquivalent^
wenn sie dieselbe Anzahl von Elementen haben. DemgemaB sagen wir
allgemein, daB aquivalente Mengen dieselbe Kardinalzahl oder Mdchtigkeit [ii]
haben. D. h. wir ordnen jeder Menge A ein Ding a zu derart, daB aquivalenten
Mengen und nur solchen dasselbe Ding entspricht:
a = b soviel wie A --^ B,
Diese neuen Dinge nennen wir Kardinalzahlen oder Machtigkeiten;
wir sagen: A hat die Machtigkeit a, a ist die Machtigkeit von A^ wohl auch
(indem wir a als Zahlwort verwenden) A hat a Elemente,
Diese formale Erklarung sagt, was die Kardinalzahlen sollen^ nicht
was sie sind. Pragnantere Bestimmungen sind versucht worden, aber sie
befriedigen nicht und sind auch entbehrlich. Relationen zwischen Kardinalzahlen
sind ims nur ein bequemer Ausdruck fiir Relationen zwischen
Mengen: das „Wesen" der Kardinalzahl zu ergriinden, mussen wir der
Philosophic uberlassen.
Einer endlichen Menge aus n Elementen {n = 1, 2, 3, . ..) wird als
Machtigkeit die Zahl n zugeordnet, der Niillmenge die Zahl 0.
Die Machtigkeit der Menge {1, 2, 3^...} der natiirlichen ZaWen wird
^0 (Alef-Null) genannt^). Mengen dieser Machtigkeit, die sich also in
Gestalt einer Folge
^') Eine vollstandige Mengenlehre hat auch die Theorie der endlichen
Mengen und der nattirlichen Zahlen exakt %VL begriinden; wir wollen hier diese
Praliminarien als erledigt ansehen.
^) f< ist der erste Buchstabe des hebralschen Alphabets.
69

26 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.
{«!, ag, ag,...} (a^ zfz a^ fur mz^n)
setzen lassen, heiBen abzdklbar^).
Der Menge der reellen Zahlen oder der damit aquivalenten Menge der
Punkte einer geraden Linie geben wir die Machtigkeit N (Alef); sie heiBt
die Machtigkeit des Kontinuums.
Die Machtigkeit der abzahlbaren Mengen wird vielfach mit a, die des
Kontinuums mit c bezeichnet.
Wir haben schon bei der ersten Einfiihrung des Begriffs die Aquivalenz
der Menge der natiirlichen Zahlen mit der der geraden Zahlen erwahnt. Wie
die folgende Zusamlnenstellung lehrt, in der die iibereinanderstehenden
Zahlen einander zuzuordnen sind:
1
2
1
1
10
2
2
4
3
4
100
3
3 . . n
6 .. 2n
5 . . 2n
9 . . n^
1000 . . . 10"
5 •• P»
(/?„ die nte Primzahl)
sind die Menge der natiiriichen, der geraden, der ungeraden, der Quadratzahlen,
der Potenzen yon 10, der Primzahlen allesamt einander aquivalent,
haben also dieselbe Machtigkeit NQ. Man kann die Liste weiterfiihren und
Zahlenfolgen immer rapideren Wachstums bilden (man denke etwa an 10,
10^®, 10^°^^,...), die dennoch, wie diinn sie auch in der Menge aller natiirlichen
Zahlen gesat sein mogen, keine geringere Machtigkeit als die Gesamtmenge
haben. Diese Verletzung des Axioms „totum parte majus*' ist eine
jener „Paradoxien des Unendlichen'', an die man sich gewohnen muB und
gewohnt hat; zwischen den Gesetzen endlicher und unendlicher Mengen
gibt es naturgemaB Abweichungen, die selbstverstandlich gar keinen Einwand
gegen die unendlichen Mengen begriinden.
Die Zahlen- oder Punktintervalle 0^a:

§ 5. Mengenvergleichung. 27
I. Jede unendliche Menge enthdlt eine abzdhlbare Teilmenge.
Es sei % ein Element der unendlichen Menge A^ a2 ein Element der
(immer noch) unendlichen Menge A — {aj}, a^ ein Element der (immer
noch) unendlichen Menge A — {aj, a^ usw. Die paarweise verschiedenen
Elemente %, ag, as,... bilden eine abzahlbare Teilmenge von A.
II. Jede unendliche Menge ist mit einer echten Teilmenge dgui^alent [12]
Indem man aus der unendUchen Menge A eine abzahlbare Teilmenge
herauszieht und deren Komplement in A mit B bezeichnet, erhalt man
dies ist z. B. mit
A = {«!, ag, . .., a„ ,., ,} + B;
{flfg, %, ' . ., «n+li , . ,} + B
aquivalent (man ordne jedem a„ als Bild a^^i^ Jedem J^JB als Bild b selbst zu).
Umgekehrt kann eine mit einer echten Teilmenge aquivalente Menge
nicht endlich sein. Diese Eigenschaft charakterisiert also die unendlichen
Mengen (und ist von R. Dedekind zur Definition der unendlichen
Mengen verwendet worden).
III. (Aquivalenzsatz von F. Bernstein.) Zwei Mengen^ deren jede [13]
mit einer Teilmenge der andern aquivalent ist^ sind selbst dquipalent.
Es sei A '^ B^^ B ^-^ A^^ A-^ Teilmenge von A^ und zwar echte, da sonst
nichts zu beweisen ist, also AiCzA^B^^zB. Durch die eineindeutige
Abbildung von B auf A^ wird auch B^ auf eine (echte) Teilmenge A^ von A^
abgebildet, also
Demnach ist der Satz auf folgenden zuriickgefiihrt:
wenn A ::::> A^:^ A^, A--^ A^-, so ist A ^ A^^
d. h. wenn eine Menge zwischen zwei dquimlenten Mengen liegt^ s& ist sie
mit diesen aquivalent,
Bei der eineindeutigen Abbildung von A auf A2 werde A^ aiif AQ,
A2 auf ^4, ^3 auf Jig usw. abgebildet, wobei also
Sei
D = AA^Az...
der Durchschnitt der Mengen A^^ dann ist
A :=D + {A~A,) + {Aj,- A2) + {A2 - ^3) + C^3 - ^4) + • • '
A^ = D + (^1 - ^2) + {A^ - A^) + f J3 - ^,) + . . .
Denn, um z. B. die erste Forme! zu beweisen: ein Element aeA gehort entweder
alien A^ an, alsg zu D, oder es gibt ein erstes 4^, dem es nicht angehort,
wahrend es noch zu ^,t_i gehort, also a€A^_i — A^ {AQ = A gesetzt).
Da nun
A Aj '-^ A2 -^3 "^ A^ ^5 ,^ . . . ^
71

28 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.
so ist auch
{A ~ A^) + (^, ^ ^3) + (A^ ^ A^) + (4, -- ^.) + . . .,
die links stehende Menge wird auf die rechts stehende abgebildet. Indem
man die librigen Elemente von A sich selbst als Bilder zuordnet, erhalt
man eine eineindeutige Abbildung von A auf ^1, also A ^ Ai,
Bis jetzt haben wir nur von Aquivaleiiz, also von Gleichheit zweier
Kardinalzahlen gesprochen. Die nachste Frage ware nun: wenn zwei
Mengen nicht aquivalent, also ihre Kardinalzahlen ungleich sind, lafit sich
danri in natiirlicher Weise die eine Kardinalzahl als die groBere, die andere
als die kleinere definieren? Kurz gesagt: haben die Kardinalzahlen
GroBencharakter ? Sind sie vergleichbar ?
Die Antwort scheint vorlaufig verneinend auszufallen. Bedeuten A
und B zwei Mengen, A^^ und B^ irgendwelche Teilmengen von ihnen, so bestehen
vier Moglichkeiten:
(1)
(2)
(3)
(4)
Es gibt ein A^
Es gibt kein A^
Es gibt ein A^
Es gibt kein Aj^
B und ein B^^ A.
5, aber ein B^^A,
BJ aber kein B^-^A.
'B und kein B^^A,
Im Fall (1) ist nach dem Aquivalenzsatz a = b; im Fall (2) wird man
naturgemaB a < b, im Fall (3) a > b zu definieren haben. Im Fall (4)
konnen wir offenbar, wegen seiner Symmetrie in bezug auf beide Mengen,
weder Oi b definieren, da sonst beides zugleich gelten miiBte;
ebensowenig ist a = b zulassig, was mit der bisherigen natiirlichen Definition
der Gleichheit in Widerspruch treten wiirde. Wir haben hier also
eine vierte Relation, die wir a 11 b schreiben und als Unvergleichharkeii
von a mit b bezeichnen, wahrend in den drei ersten Fallen a und b
vergleichbar heiBen soUen. Also.
(1) (i=^^^
(2) a < b > a, b vergleichbar
(3) (i>\>^
(4) a II b a^h unvergleichbar.
Die Vergieichbarkeit ware also nur zu retten, wenn man zeigen konnte,
daB der vierte Fall tatsachlich nicht eintreten kann. Bei zwei endlichen
Mengen ist dies in der Tat der Fall; denn ist, mit Numerierung der Elemente,
A = {%, ag,. . ., a^}, B == {ij, ^2? • • •? M ^^^ bildet man behufs
eineindeutiger Zuordnung die Paare (%, J^), (ag, ^2) ^sw., so kommt man
zu Ende, sobald eine der Mengen verbraucht ist. (Auch eine endliche und
eine unendliche Machtigkeit sind stets vergleichbar, jene ist die kleinere.)
Auf eine ahnhche, aber erst spater exakt zu begriindende Art (mittels Wohlordnung
der Mengen, § 13) werden wir kiinftig zeigen, daB der Fall (4^
niemals eintreten kann, zwei Kardinalzahlen also stets vergleichbar sind.
72

§ 6. Summe, Produkt, Potenz. 29
1st A einer Teilmenge von B aquivalent (Fall (1) oder (2) tritt ein), so
ist a == b oder a < b, was wir in a ^ b zusammenfassen. Der Aquivalenzsatz
schreibt sich dann in der einleuchtenden Form: wenn a^h und
a'^hy so ist a~h.
Ist a = b, ah, a||b,
so ist b = a, h>a^ b fc

30 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.
Oder sie zerfallt in die drei abzahlbaren Mengen der Zahlen, die durch 3
dividiert die Reste 0,1, 2 geben, also
^0 + ^0 + ^0 = ^\ ;
dasselbe folgt aus dem assoziativen Gesetz
^

§ 6. Summe, Produkt, Potenz. 31
DieVereinigungderabzablbar vielenlntervalle [n — 1, n) (/i = 1,2,...)
zur Halbgeraden gibt
praziser a^ + Og + Og + •••== ^^ fiir ai = Ug = O3 = • • • = N.
Fiir jede unendliche Macbtigkeit a ist a + ^0 = ^' Denn nach § 5,1
lafit sich setzen a = b + ^07 ^Iso
a + vSo = (b + No) + No = b + (vSo + No) = b + Xo - a.
Die Macbtigkeit einer unendlicben Menge wird durch Tilgung endbcb
vieler Elemente nicht verringert, d. b. weiin a — h + n^ a unendlicb,
n endlicb, so ist a = b. In der Tat ist
a = a + No - b + (;x + No) = 6 + «o = 6,
da aucb b unendlicb ist.
Bestebt A aus m, B aus n Elementeiij so hat das Prodidct {A^B]
mn Elemente (§ 4). Ferner gEt allgemein: ist A^^A^ B^^B^ so ht
{Aj^, Bi)'-' (4, B). Dies berechtigt zu der Definition:
Das Produkt ab zweier KaFdinalzaWen ist die Maehtigkeit des Mengenprodukts
(A, B), wenn A^ B irgend zwei Mengen mit den Machtigkeiten

32 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.
M
(A, M) == 2A^
folgt die behauptete Zahlengleichung. Zum Beweis der zweiten Formel
M
kann man in TIA^ direkt A^ — A setzen und erhalt A^,
Fiir die definieiten Prozesse gelten nun kommutative, assoziatxve und
distributive Gesetze, mit deren voUstandiger Ausfuhrung wir den Leser
nicht plagen woUen; begniigen wir uns, kurz den Beweis der Potenzregeln
zu skizzieren.
1st If = ilf 1 + ^2^ so erhalt man eine in M definierte Funktion /(m),
indem man eine in M^ definierte firn^) und eine in M2deiimeTte fim^) zu
einem Eunktionenpaar verbindet. Das liefert die Aquivalenz
und allgemein fiir eine beliebige Summe ^M^ disjunkter Summanden
LaBt man den Index 7i von M^ eine Menge N durchlaufen und nimmt
dann alle M^ aquivalent einer und derselben Menge M, so folgt
A^^>^) ^ (A^)^,
Andererseits sei A ={A-j^,A2)] man definiert das Paar (%, ag) als
Funktion von w, indem man zwei Funktionen a^ = fi(m), a^ — f^i^) zu
einem Paare verbindet; daraus folgt
{A^,A^)''~{Af,A¥)
und fiir ein beliebiges Produkt
(A^,A2.,.,r^{Af,Af,.,.),
sowie abermals, wenn der Index n von A^ eine Menge N durchlauft und alle
An gleich A angenommen werden.
In Kardinalzahlen haben wir also folgende Potenzregeln ^):
(a, 02...)'" = af a§'...
(a"*)" = a"
Beispiele fur Produkt und Potenz:
2 No = No + No = No
"No = No H h No = No
und aus der Summe iiber abzahlbar viele Summanden No
NoNo = No + No + ----No,
N^ = NoNo-No,
K = NoN« ... No = No.
1) 0." ist = l, 1'" = 1, 0'" = 0 zu setzen; jedes Produkt verschwindet,
falls einer der Faktoren verschwindet. 0" zu definieren ist zwecklos.
76

§ 7. Die Skala der Machtigkeiten* 33
o*"^" ist die M^chtigkeit der Menge aller Funktionen a ~ f(n) (n natiirliche
Zahl, asA) oder aller Folgen
(«!, ag,...) (ansA),
wo A eine Menge der Machtigkeit a bedeutet; z. B. 2^» die der Menge aller
dyadischen^ aus den Ziffern 0,1 gebildeten Folgen, 10^» die der Menge aller
dekadischen^ aus den Ziffern 0; 1,..., 9 gebildeten Folgen.
Die Menge aller Teilmengen einer Menge M von der Machtigkeit m hat
die Machtigkeit 2^.
Denn wir sahen (§ 4), daB diese Menge mit A^ aquivalent ist, wo A
aus zwei Elementen besteht.
§ 7. Die Skala der MaeMgkeiten.
Bis jetzt wissen wir noch nicht, ob unendliche Machtigkeiten verschieden
sein konnen oder ob vielleicht das popular© Vorurteil berechtigt
ist, das im Unendlichen die bloBe indifferente, der Abstufung unfahige
Negation des Endlichen erblickt.
L Es ist stets 2^ > nt, d, h. die Menge der Teilmengen ^>on M hat grofiere
Machtigkeit als M selbst,
Zunachst gibt es ein mit M aquivalentes System von Teilmengen,
namlich das der einelementigen {m}, msM, Also ist 2"^ ^ m.
Andererseits denken wir uns ein mit M aquivalentes System von Teilmengen,
indem wir jedem Element meM umkehrbar eindeutig eine Teilmenge
M^ g M entsprechen lassen, und wollen zeigen, daB es dann
immer noch eine weitere; von alien il/,» verschiedene Menge N^M gibt,
womit die Gleichung 2^ = tn ausgeschlossen ist. Das Element m kann
der ihm zugeordneten Menge M^ angehoren oder nicht:
entweder meM^ oder meM^;
die von den Elementen der zweiten Art gebildete Menge N ist daim gewiB
von alien M^ verschieden. Denn da
meN soviel wie meM^
ist, so wiirde, wenn fiir irgendein m N = M^ ware, der Widerspruch
msNy meN herauskommen. Oder anders ausgedriickt: gehort m zu M^,
so gehort es nicht zu N; gehort m nicht zu Jf^j so gehort es zu N; M^ und N
unterscheiden sich also jedenfalls, da m der einen, aber nicht der andern
Menge angehort.
Mit I ist also die Existenz verschiedener und zwar unendlich vieler
verschiedener unendlicher Kardinalzahlen gesichert; gehen wir von einem
unendlichen m (z. B. ^^ oder >^) aus, so konnen wir bilden
Hausdorff, Mengenlehre. 3
77

34 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.
xni = 2^" >m,
lUa == 2"^^ > nil,
(iibrigens gilt I auch fiir endliche m: 1 = 2 0, 2 = 2^ > 1,.. .)-
Ferner ist dann m + tUx + TUg + • • • eine noch groBere Kardinalzahl,
und mit dieser kann der ProzeB fortgesetzt werden; allgemein gilt:
II. Ist jedem msM eine Kardinalzahl a^ zugeordnet und befindet sich
unier diesen keine grofite^ so ist die Summe
M
grbf^er als jedes a^.
Denn zunachst ist sicher a ^ a^ fiir jedes m, wobei aber die Gleichheit
ausgeschlossen ist, da sonst a^ die groBte unter den gegebenen Kardinalzahlen
ware.
Beispielsweise wiirde, wenn es unvergleichbare Kardinalzahlen a, b
gibt, a + h groBer als jede von beiden sein.
Die Satze I, II ermoglichen ein unbegrenztes Aufsteigen zu hoheren
Machtigkeiten. Freilich bieten sie auch den Angriffspunkt fur eine Antinomie
(S. 11): da es zu jeder Menge von Kardinalzahlen eine noch groBere
gibt, so kann keine solche Menge alle Kardinalzahlen umfassen, und die
[15] ,,Menge aller Kardinalzahlen'' ist undenkbar. Wir werden hier also vor
die Tatsache gestellt, daB die Forderung, ,,alle" Dinge einer gewissen Art
zu sammeln, nicht immer voUziehbar ist: wenn man sie alle zu haben glaubt,
sind es doch nicht alle. Das Beunruhigende dieser Antinomie liegt nicht
darin, daB sich ein Widerspruch ergibt, sondern daB man auf einen Widerspruch
nicht gefaBt war: die Menge aller Kardinalzahlen scheint a priori so
unverdachtig wie die Menge aller natiirlichen Zahlen. Daraus entsteht
nun die Unsicherheit, ob nicht auch andere, vielleicht alle unendlichen
Mengen solche widerspruchbehafteten Scheinmengen, „Unmengen'' sein
mogen, und sodann die Aufgabe, diese Unsicherheit wieder zu beseitigen;
die Mengenlehre ist auf neuer (axiomatischer) Grundlage so aufzubauen,
daB Antinomien ausgeschlossen sind. Wir konnen auf die dahin zielenden,
von E. Zermelo begonnenen und sicheren Erfolg versprechenden Untersuchungen
in diesem Buche nicht eingehen und miissen unseren „naiven''
Mengenbegrif! festhalten.
[16] III. (Satz von J. Konig). Sind jedem meM zwei Kardinalzahlen a,„, b^
zugeordnet und ist stets a,^ < b^, so ist
M M
m m
Dies ist eine Verallgemeinerung des Satzes I, der fiir a^ === i^ b,^^ = 2
daraus entsteht.
7S

§ 7. Die Skala der Machtigkeiten. 35
Beweis. Wir bezeichnen der Einfachheit wegen einige Elemente von
M mit 1, 2, 3,.... Die A^ seien disjunkte Mengen von den Machtigkeiten
a^, die 5^ Mengen von den Machtigkeiten b^; wegen der Ersetzbarkeit
der B^ durch aqnivalente Mengen kann A^ als Teilmenge von J5„j
angenommen werden, also
A^ 0,
M
Mit ^ - ^ .4^ == ^1 + ^2 + ^3 + • • • + ^m + • • •
m
M
B = tlB^ == (B^, B^, B^, .. ., 5^, . . .)
soil a < b nachgewiesen werden. B ist die Menge der Komplexe
Zunachst ist a ^ b. Denn sei c^j ein festes Element ans £7^ = J5^ — il^^
so bilden die Komplexe
die nur je ein a^ (das die Menge A^ diircMauft) und sonst laeter Elemente c
enthalten, Teilmengen von J9, die paarweise fremd und mit A^^A^y. . .,
A^y.., aquivalent sind; also ist A mit einer Teilmenge von B
Equivalent.
Andererseits sei
P = IP^ = P, + i>, + i>3 + - • + P„» + - •
eine mit A aquivalente Teilmenge von B (P^-- A^); wir zeigen, da6 sie
nicht mit der ganzenMenge J? identisch sein kann, womit also dieGleichung
a = b ausgeschlossen ist und nur a ' ' ')
und insbesondere die zugehorigen Elemente ^^^; sie bilden in B^ eine
Menge D^ von einer Machtigkeit ^ a^ (denn es gibt ja nur a^ Komplexe
p^y also, da zu verschiedenen p^ nicht einmal verschiedene 6,^^ gehoren
miissen, hochstens o^ verschiedene i^^J. Demnach ist D^ d B^ oder
^m = ^m + E^i E^ ^ 0. WaMt man nun ein beliebiges Element e^^ von
-^mi ^«^ jedes msM^ so ist der Komplex
p = (6ji, ^25 e^,.«.5 e^^., .)
von alien p^ verschieden (^^ =|=^ b^^) imd rwar fur jedes m, er gehdrt
also nicht zu P und es kann nicht P = B gewesen mm. Damit ist der
Konigsche Satz bewiesen.
79
S*

36 Zweites Kapitel. Kardinalzahleu.
Sei speziell 0 < aj < ag < • • • eine Folge wachsender Machtigkeiten,
so ist

§ 8. Die eiementaren Machtigkeiten. 37
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3).
andererseits die samtlichen nattirlichen Zahlen ebenfalls in eine solche
Matrix anordnet (zwei Beispiele S. 30) und die auf gleichen Platzen stehenden
Elemente einander entsprechen ISBt. Das Diagonalschema liefert folgende
Korrespondenz:
n: 1 2 3 4 5 6 ...
(p,q): (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) ....
wobei die Zahlenpaare nach wachsender Summe p + q und bei gleicher
Summe nach wachsendem p geordnet sind. Das dyadische Schema liefert
dieBeziehung „ = 2^i(2g-l).
die nach p, q eindeutig „auflosbar" ist.
(y) Die Menge aller endlichen Komplexe natiirlicher Zahlen (pj), (p^, p^),
(Pii P2> Ps)j • • -J (Pij P2» • • •) P*)) • • •> WO also k und die pt alle natiirlichen
Zahlen durchlaufen. Ihre Machtigkeit ist
^0 + ^? + ^^g + - • = f «S = f ^5e = ^0^0 - ^0-
Die Zuordnung zwischen diesen Komplexen und den naturiehen
Zahlen n wird etwa durch die dyadische Entwicklung
vermittelt (z. B. wird der Zahl 27 = 1 + 2 + 2^ + 2^ der Komplex
(1, 1, 2, 1) zugeordnet).
(d) Die Menge der rationalen Zahlen.
LaBt man der positiven rationalen Zahl —, wo p und q teilerfremde
natiirliche Zahlen sind, das Zahlenpaar (p, q) entsprechen (Beispiel {fi))^
so wird die Menge der - mit einem Teil der Menge der (p, q) aquivalent,
hat also eine Machtigkeit 35 !>¥> a > ^ ' 1» 5J 15---J
wobei also die reduziblen Briiche wegzulassen sind.
Auch die Menge aller rationalen Zahlen ist abzahlbar, ebenso die der
rationalen Zahlen eines Intervalls. Die des Intervalls (0, 1) lassen sich
z. B. auch so in eine einfache Folge bringen, dafi man nach wachsenden
Nennern und bei Gleichheit dieser nach wachsenden Zahlern ordnet:
81

38 Zweites KapiteL Kardinalzahlen.
"5"' 3 ' 3 » 4 ' 4 ' 5 ' f) ' 5 > 5 ' * • • •
Dafi die Menge der rationalen Zahlen, die docli (geometrisch gesprochen)
die gerade Linie uberall dicht erfiillen, keine hohere Machtigkeit
hat als die der ganzen, gehort wie vieles andere zu den Tatsachen der
Mengenlehre, die iiberraschend und sogar paradox wirken.
[18] (e) Die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen.
Auch diese Menge, wiederum viel feiner und dichter als die der rationalen
Zahlen, ist nur abzahlbar. Beweisen wir es gleich fiir die reellen und
komplexen algebraischen Zahlen; eine algebraische Zahl A-ten Grades ist
Wurzel einer (durch sie eindeutig bestimmten) irreduziblen Gleichung
x^ + ?\x^-'^ H + rj,_ix + rj,-=0
mit rationalen Koeffizienten. Solcher Gleichungen gibt es unendlich viele,
aber gewiB nicht mehr, als es Komplexe (ri,>2, . . ., rj^) rationaler Zahlen
gibt (da nicht alle Komplexe irreduzible Gleichungen liefern), also hochstens
^l = ^Q, Also, es gibt b

§ 8. Die elementaren Machtigkeiten. 39
d. h. N gehort jener bereits (S, 36) betrachteten Kategorie von Kardinalzahlen
an, die ihrer ^s*o-ten Potenz gleich sind, und ist sicher nicht Summe
einer aufsteigenden Folge von Kardinalzahlen. Nach dem Aquivalenzsatz
ist dann erst recht
X --:::. N*^ ::= ,X» = ' • • - i^^^"
(Oder direkt: K^ = .VK = 2^' • l^^ = 2^^-^^o =. 2^" == K)
wie auch K* = 2^^ =. 3^^ =. . . . == ^^^ = ,s»S*o,
In diesen Formeln ist wieder eine Uberraschung verborgen: N'^ = NN
ist doch die Machtigkeit der Menge aller reellen Zahlenpaare (x^ y) oder
aller Punkte der Ebene, N^ ist die Machtigkeit des dreidimensionalen
Raumes oder der Menge aller Zahlentripel (x, ?/, z) usw. bis zu N^"^', welches
die Machtigkeit des ^o-dimensionalen Raumes, d. li. der Menge aller reellen
Zahlenfolgen (^i, ^21-^3? •• •) ist. Also: alle Rdiime Qon endlich oder abzaklbar
vielen Dimensionen haben dieselbe Machtigkeit K. Auch dies wirkt
paradox genug und scheint den Dimensionsbegril! umzustiirzen, den spater
erst eine ganz andersartige Betrachtung (die Forderung nicM nur eineindeutiger,
sondern auch beiderseits stetiger Abbildung) wiederherstellen
wird; und doch ist die Tatsache, daB Gerade und Ebene sozusagen gleichviel
Punkte haben, nicht ratselhafter als die, daB man die natiirlichen Zahlen
in gerade und ungerade einteilen kann, d. h. ^K = ^< im Grunde nichts
anderes als i^o + ^0 — ^a- Denn aus einem Dezimalbruch kann man
durch Spaltung zwei machen und aus zweien durch Ineinanderschlingen
wieder einen: das ist das ganze Geheimnis. Um dabei noch einen Augenblick
zu verweilen und dem Leser die Aquivalenz zwischen Linie und
Flache recht deutlich zu machen, stellen wir (mit einer Modifikation der
systematischen Bruchentwicklungen, die deren Zweideutigkeit vermeidel.)
jede reelle Zahl des Intervalls J = (0, 1] (d. k also 0 < jc^ 1) als dyadischen
Bruch mit unendlich vielen Einsen, d, h. in der Form
X = {\Y^ + (If'+^» + (i)^i+%-f^«» -I
dar, wo die Xn natiirliche Zahlen sind; dies ist stets und nur auf eine Weise
moglich und illustriert ubrigens die Gleichung N = ^*^*•- Schreiben wir
dafiir abgekiirzt ^ _ [^.^^ ^^^ ^^^ . _j^
Aus zwei solchen Zahlen x und y = [?/i, 2/2? 2^3? - • •] erhalten wir dann eine
und umgekehrt aus t — [fj, t^^ t^, t^^...]
wiederum x - [1^, Is. %. -1, 1/ = fo k, ^s.« «] ,
womit die geordneten Zahlenpaare (x, ^) uind die ZaHen I in eindeiitig
umkehrbare Beziehung gebracht sind, also das Quadrat 0 < * Si auf
die Strecke 0

40 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.
nale Intervall / eineindeutig abgebildet ist. Ebenso ist mit Zahlentripeln
(x^y^z) und endlichen Komplexen zu verfahren; fur Zahlenfolgen
(oj, y^z,.,.) stelle man die Abbildung etwa mittels des Diagonalschemas her:
t == [a^i, X2J 2/1, a^3, y^t %»• • • ]
und umgekehrt ^ == [^^^ t^.t^,...]
y = [^3? ^5» ^8) • * •]
Aus fc< = 2^"> folgt noch K > t h^K • • •]
kann die diese Zahlen umfassen, da es noch weitere
X = [^1, X2', ^3, • • • J (^1 ^ 0,1^ X2 =p c>2, ^3 ^ C3, . . .)
gibt. Dieses ,, Diagonal verfahren" ist das einfachste Modell fiir den
Beweis des Satzes § 7, I.
Da es imr K^ rationale und algebraische Zahlen gibt, so gibt es also
sicher irrationale und transzendente Zahlen, und zwar sogar ebensoviele (^5)
wie reelle Zahlen. Denn die Machtigkeit einer unabzdhlbaren (d. h. unendlichen,
nicht abzahlbaren) Menge wird durch Tilgung abzahlbar vieler Elemente
nicht verringert (Beweis wie der der entsprechenden Bemerkimg
S. 31). Man kann die reellen Zahlen 0 < a; ^ 1 auf die irrationalen
0 < 2/ < 1 z. B. vermoge
X = L^i, x.^j x^^ , . .]
= 11 + 11+1] + ...
\Xi- 1^3 1^3
abbilden, wo x durch die obige dyadische Darstellung, y durch einen Kettenbruch
der Folge natiirlicher Zahlen ajj, ojg,.. . zugeordnet ist.
Die Machtigkeit 2^.
Diese Machtigkeit, die wieder > N ist, kommt der Menge aller Teilmengen
des Kontinuums (Mengen reeller Zahlen) oder aller linearen, ebenen,
raumlichen Punktmengen zu, ferner der Menge aller eindeutigen Funktionen
f{x) einer reellen Variablen, wo f(x) zweiWerte annehmen kann; aus
84

§ 9. Ordnung. 41
folgt aber sofort, daB die Menge der Funktionen f{x), die alle reellen Werte
durchlaufen konnen, auch ntir von der Machtigkeit 2^ ist. Die Machtigkeit
spezieller Funktionenklassen kann natiirlich geringer sein, z. B. die Menge
aller stetigen Funktionen f(x) hat nur die. Machtigkeit t^. Denn f(x)
ist dann durch seine Werte /(r) an den rationalen Stellen r bestimmt;
die Menge aller / (r) hat die Machtigkeit N^« = N und die Menge aller
stetigen f(x) (da nicht jedes f{r) ein stetiges f(x) erzeugt) eine Machtigkeit
^ ^

42 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.
Wir konnen eine Menschenmenge nach Gewicht, Lange, Alter, nach
der alphabetischen Reihenfolge der Namen oder nach ihren Garderobenummern
im Theater ordnen.
[20] Eine Menge wird also geordnet, indem eine Vorschrift gegeben wird,
nach der von zwei verschiedenen Elementen a, b das eine vorangeht, das
andere nachfolgt. Soil a vor b^ b nach a stehen, so schreiben wir ^)
a a.
Die Beziehung < soil transitiv sein, d. h.
wenn a * = (6, a) sind verschieden und mogen zueinander invers
heiBen. Die Menge aller geordneten Paare werde dann in zwei komplementare
Teilmengen P + i^* gespalten mit der besonderen Vorschrift:
(a) Von zwei inversen Paaren gehort das eine zu P, das andere zu P*.
{^) Wenn p = (a, b) und q = (b^c) zu P gehoren, so auch r = (a, c),
Schreibt man dann fur (a,b) = peP
a a^
so ist eine Ordnung im obigen Sinne defmiert (wie umgekehrt aus jeder
Ordnung eine Spaltung P + P* entsteht, indem man diejenigen und nur
diejenigen Paare p = (a, b) zu P rechnet, fiir die a < b), Hier ist es wohl
klar, da6 das Vorangehen und Nachfolgen keine neuen Geheimnisse einfiihrt,
sondern daB es sich nur darum handelt, von zwei inversen Paaren
das eine — oder von zwei verschiedenen Elementen das eine — gegeniiber
[21] dem andern auszuzeichnen. P heiBe die ordnende Paarmenge,
Noch einfacher ist folgende Erklarung: man ordne jedem Element a von
A eindeutig umkehrbar eine Menge M(a) zu, derart, daB diese Mengen (im
Sinne der Disjunktion S. 13) immer vergleichbar sind, also, wegen der
vorausgesetzten Eineindeutigkeit,
M(a)%M(b) fiir a::^-b,
Schreibt man dann a andere Formen dieser Zeicher
zu wahlen.
86

§ 9. Ordnung. 43
M{a) = Menge der Elemente von .4, die

44 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.
Z. B. ist die Menge {1, 2, 3, 4,. . .} mit (2, 3, 4,. ..}. aber nicht mit
(2, 3, 4, . . ., 1} slhnlich.
Die Ahnlichkeit ist wie die Aquivalenz reflexiv, symmetrisch, transitiv.
[22] Von zwei ahnlichen Mengen sagt man, daB sie denselben Ordnungstypus
haben; d. h. man weist jeder geordneten Menge A ein Zeichen oc, ihren
Ordnungstypus (kurz Typus), derart 2iu, daB ahnliche Mengen und nur
solche denselben Ordnungstypus haben:
oc = p so viel wie A ^ B,
Der Typus der zu A inversen Menge ^* wird a* genaiint.
Ahnlichkeit schlieBt Aquivalenz ein, aber im allgemeinen nicht umgekehrt;
aus A^B folgt A -< 5, aus a = fi folgt a = b. Wir diirfen daher
sagen, daB ein Typus oc eine bestimmte Machtigkeit a habe.
Eine endliche Menge aus n Elementen kann auf nl Arten geordnet
(permutiert) werden, aber die entstehenden geordneten Mengen sind immer
mit der Menge {1, 2,. . ., n} ahnlich; wir nennen diesen Typus wieder n,
da die Verwechselung mit der Kardinalzahl n ungefahrlich ist. Eine Menge
aus einem Element habe den Typus 1, die Nullmenge den Typus 0.
Die Menge {1, 2, 3,. . .} der natiirlichen Zahlen in nattirlicher Ordnung
habe den Typus co, die invers geordnete {. . ., 3, 2, 1} also den Typus o)*.
§ 10. Summe und Produkt.
Es seien A^ B disjunkte geordnete Mengen. Dann soil
S =-A + B
die Summe beider Mengen in folgender Ordnung bedeuten: die Ordnung
der Elemente a unter sich und die der Elemente b unter sich bleibt bestehen,
und es wird jedes a vor jedes b gesetzt {a < J). Das ist also von B + A zn
unterscheiden, welche Menge zwar dieselben Elemente, aber in anderer
Ordnung besitzt: die Addition geordneter Mengen ist nicht kommutativ,
Beispiel. A = {1, 3, 5,. . .}, 5 = {2, 4, 6,. . .},
A+^ = {1,3,5,..., 2,4,6,...}
5 + ^ ={2,4,6,..., 1,3,5,...}.
Man kann auch sagen: in iS" = A + J? ist ^ < 5, die ganze Menge A
wird vor die ganze Menge B gesetzt. Allgemein moge, wenn A^ B Teilmengen
einer geordneten Menge sind, ^ < JB so viel wie
a

§ 10. Summe und Produkt. 45
AUgemein sei jedem Element m einer geordneten Menge
J/ = {..., m,..., n,..., p,.. .}
eine geordnete Menge A^ zugewiesen, und diese Mengen seien disjunkt
(paarweise fremd). Als Summe
S = 1^^ ==:...+ ^^,^ +...+ ^^ + ...+ ^^ + .. .
definieren wir die aus den Elementen aller A^ gebildete Menge in folgender
Ordnung: die Ordnung der Elemente a^eA^ unter sich bleibt unverandert,
fiir jedes m, wahrend fxir m < /i die ganze Menge A^ vor die
ganze Menge A^ gesetzt wird: A^ < A^-
Ersetzt man die Summanden durch dhnliche (natiirlich wieder disjunkte),
so geht auch die Summe in eine ahnliche iiber, und dies berechtigt
zu der Definition: sind den Elementen meMTypen oc^ zugeordnet, so
wird unter der Typensumme [23]
(y = 2o^fn = h ^m + • ^ • + «B + - • + S + ' * •
der Typus der obigen Mengensumme *S Yerstanden.
Es gilt ein allgemeines assoziatives Gesetz, von dem wir nur den einfachsten
Fall
(0^ + fi) + y = ^ + (P +Y) = ^ + P + y
anf iihren woUen, aber kein kommutatives: andert man die Ordnung von M,
so andert man S und im allgemeinen auch den Typus a,
Beispiele. Die Spaltung der natiirlichen Zahlenreihe (Typus co) in
{l,2,...,/i} + {^ + l,;i + 2,...},
wo der zweite Summand wieder vom Typus co ist, gibt
n -\- 0) =^ m.
Dagegen ist oj + n der Typus von
{71 + 1,71 + 2,..., l,2,...,7^},
und diese Menge hat, da sie ein letztes Element hat, gewiB nicht den Typus
o), also
0) + n^n -{- CO ]
offenbar sind die Typen tt>, ct) + 1, co + 2,.. . paarweise verschieden.
Die vier Anordnungen (S- 41) der natiirlichen Zahlen bei Voranstellung
der ungeraden vor die geraden haben die Typen
ft) + ft), ft) + ft)*, ft)* + ft), ft)* + ft>* 5
die wieder, wie leicht erkennbar, voneinander und von den Typen m + n
und deren Inversen /i + ft)* verschieden sind. ft)* + ft) ist auch der Typus
der Menge aller ganzen Zahlen
{...,-2,-1,0,1,2,...}.
in natiirlicher Reihenfolge.
89

46 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.
Wird jeder natiirlichen Zahl m eine naturliche Zahl a„, zugeordnet,
so liefert die Spaltung der naturlichen Zahlenreihe in Gruppen von je a^
Gliedern die Typengleichung
^a^ = % + ag + «3 H— • ==
Z. B.l) 1 + 1 +1 H =60
1+ 2 + 3 H = co.
Verteilt man hingegen die natiirlichen Zahlen auf abzahlbar viele Reihen,
etwa (Diagonalschema)
{1, 2, 4,...} + {3, 5, 8,...} + (6, 9, 13,...} + -.-,
so entsteht wieder ein neuer Typus
2co = ft> + a) + (o + -*.
m
Bei der Inversion einer Summe ist jeder Summand und die Ordnung
der Summanden umzukehren, d. h.
M M*
mit S^2A^ ist 6'* = :^^;,
und entsprechend fiir Typen. Z. B.
(^ + iff)* = /3* + a*.
Produkte endlich neler Faktoren, Die geordneten Paare (a, i), aeA^
bsB, wo A^ B geordnete (nicht notwendig disjunkte) Mengen sind, lassen
sich in eine Ordnung bringen, die man treffend die lexikographische oder die
Ordnung nach ersten Differenzen nennt. Wir defmieren namlich
(a, b) < (ai, bi), wenn entweder a < a^
oder a ~ a^j b < b^.
Die so geordnete Menge soil wieder {A^ B) genannt werden; es ist das
geordnete Produkt der geordneten Mengen und von (5, A) zu unterscheiden,
mit welcher Menge es aquivalent, aber im allgemeinen nicht ahnlich ist.
Ist A^ ^- A^ ^1 ~ ^j so ist (ilj, B^ ^ {A^ B), und dies berechtigt wieder,
den Typus von (A, B) als Produkt der Typen (x, /3 zu defmieren. Leider
kommen wir hier nicht um eine historisch gegebene Unbequemlichkeit
[24] herum: der Typus von {A^ B) wird ^oc^ nicht cx.^ genannt'^),
1) Da wir gleichzeitig l + l + l + --- = {

§ 10. Summe und Produkt. 47
Beispiel.
^={1,2}, B = {1,2,3,...}, cc = 2, p = co.
(A, B) ist die lexikographisch geordnete Menge der Paare (a, b), die also
die Ordnung ^^^ ^^ ^^^ 2) (i, 3)... (2,1) (2, 2) (2, 3).. .
erhalten; ihr Typus ist /Soc = a>2 = a> + co. (S, J4) ist die Menge der
Paare (J, a) in der Ordnung
(1,1) (1,2) (2,1) (2, 2) (3,1) (3, 2)...,
ihr Typus ^/3 == 2a) = o).
Die Addition gleicher Summanden fiihrt auch hier wieder zur Multiplikation,
d. h. wenn alle ix^ = oc sind und /JL den Typus von M bedeutet,
so ist ]^
:Sa = ocu.
m
In der Tat ist a/i der Typus Yon (Jf ^ 4), also der Menge der lexikographisch
geordneten Paare (m, a). Die Menge dieser Paare bei festem m
sei Afnj dann ist
M
{M,A)=^f^A^,
woraus wegen A^ ^^ A die behauptete Typengleichimg folgt. (x/ji entsteht,
indem man „a in jw einsetzt", d. h. in eine Menge ¥om Typus /JL fiir jedes
Element eine Menge Yom Typus a einsetzt.
Beispiele. co + ca + €E> = ft)3, 3 + 3 + 3+*"=3a> = co. Allgemein
ist nco ^=n + n + n + ''' = a)^ con = co + co + • • • +

48 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.
Dagegen
(ft) + 1) 2 = (CO + 1) + (ft> + 1) = co2 + 1 4: 0)2 + 2 == G)2 + 1. 2.
[25] Die Inversion von (A, B) ergibt die lexikographische Anordnung der
Paare (a, b) von (A*^ B*)^ also
(^,Br = (^*,5*),
(^a)* = ^*a*,
bei der Inversion eines Produkts sind die Faktoren, nicht ihre Reihenfolge
umzukehren (anders als bei der Addition).
Die Ausdehnung der Multiplikation auf drei und mehr Faktoren ist
evident. So sei (A, B^ C) die lexikographisch geordnete Menge der Tripel
(a, by c), wo also (a, 6, c) < (%, 6i, Cj), wenn
entweder a < a^
Oder a = Uj^y b Kb^
oder a = tti, b = bi, c < Ci;
ihr Typus heifit yfioc. Es gilt ersichtlich das assoziative Gesetz
y{Po() = (yP)(X==:yPoc,
In gleicher Weise kann jede beliebige endliche Faktorenzahl behandelt
werden, und weiter: ist M = (1, 2, 3,. ..} die Menge der natiirlichen Zahlen,
so lassen sich die Komplexe (Folgen)
P = («i, «2J«3) • • •) («m^^m)
auch noch lexikographisch ordnen, denn zwei verschiedene Komplexe p und
q = (biy &2? ^3» • • •) haben eine ersie Difjerenzstelle m, d. h.
% = ^1? • • •) ^m—l = ^m—l? ^m + *«t?
und dann definiere man p < q, falls a^ < b^. Das so geordnete Produkt
werde (Aj^, ^g? ^a? • • •) ^^^ sein Typus . . . oc.^oc^oc^^ genannt.
Beispiel. Ist jedes yl^ die Menge der natiirlichen Zahlen, so erhalten
wir ... ft) ft) ft) als Typus der lexikographisch geordneten Menge der natiirlichen
Zahlenfolgen p = (a^, ag? y. Da x das Intervall (0,1] durchlief, so ist also ... (0(oa>
der Typus der Zahlen 1 — a; in natiirlicher Ordnung, d. h. des Intervalls
[0,1).
Offenbar wird man die lexikographische Ordnung auf jedes Produkt
IIA^ ausdehnen konnen, wenn man nur sicher ist, daB zwei verschiedene
m
seiner Komplexe stets eine erste Differenzstelle haben, also allgemein, wenn
92

§ 11. Typen der Machtigkeit Xo ^^^ ^' 49
jede Teilmenge i^on M ein erstes Element hat (d. h. M wohlgeordnet ist,
Kap. IV).
Auf diese und weitere Ausdehnungen des Produktbegriffs soil spater
(§ 16) eingegangen werden. Auch ein allgemeiner Potenzbegriff kann erst
dann erklart werden, indessen werden wir natiirlich ^^ = ofi, CK(X(K =

50 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.
eine Folge natiiriicher Zahlen und
^ = ai + C + a2 + C+«3 + CH
ein durch a bestimmter, offenbar abzahlbarer Typus. Wenn wir zeigen
konnen, daB oi auch seinerseits die Folge a bestimmt, d. h. zwischen den a
und (K eineindeutige Zuordnung besteht, so ist bewiesen, daB es auch
mindestens i^^^^ — X verschiedene abzahlbare Typen gibt und, nach dem
Aquivalenzsatz, daB es deren genau N gibt.
Wir haben also zu zeigen: ist /5 = 6^ + C + ig + C + * • • und oc = p,
so ist «! = ^1, ag = Z^2» • • •• D^s beruht auf folgenden Schliissen:
(a) Ist ^1 +-^2^^^i +-^2» ^1 u^d ^1 endlich, A^ und B^ ohne
erstes Element, so ist ^^^^^^i, A2^=^B^,
Denn bei der ahnlichen Abbildung kann ein Element bisBi nicht Bild
eines Elements ag £ ^2 sein, weil b^ nur endlich viele Vorganger (eventuell
keinen) hat, a^ unendlich viele. Ebensowenig kann ein b^ einem a^ entsprechen.
Also miissen den a^ die b^ und den ag die Jg entsprechen.
(/3) Ist Ai + A2 — B1 + B^y A^ und B^^ vom Typus C, so ist ^2 ^ ^2-
Auch hier kann einem ag kein bi entsprechen, denn die Menge der Vorganger
von a^ enthalt eine Teilmenge (^1) ohne letztes Element, wahrend
di e der Vorganger von b^ vom Typus o)"^ ist und keine Teilmenge ohne
letztes Element (natiirlich die Nullmenge ausgenommen) enthalt. Wieder
also muB A^ auf B^ und A2 auf i?2 abgebildet werden.
Aus: % + f + • • • = 61 + C + • • • folgt daher nach (a):
ai = i^i, C + ^2 + C + • • • = f + ^2 + C + • • • ,
hieraus nach ()S) ag + C + • • • — ^2 + C + * • , dann wieder a^ = b^ usw.
Eine (unendliche) Menge ohne erstes und letztes Element heiBe unbegrenzt^
eine solche ohne benachbarte Elemente dicht* wir iibertragen diese
Pradikate auch auf ihren Typus. Es wird also verlangt, daB vor wie nach
jedem Element bzw. zwischen zwei Elementen immer noch weitere Elemente
der Menge existieren. Solche Mengen sind die der rationalen Zahlen
und die der reellen Zahlen in natiiriicher Ordnung; ihre Typen werden
rj und X genannt (X der Typus des Kontinuums).
II. Ist A abzdhlbar^ B unbegrenzt und dicht^ so ist A mil einer Teilmenge
von B dhnlich,
[28] III. Zwei unbegrenzte dichte abzahlbare Mengen sind dhnlich,
Beweis von II. Sei A = {%, ag, . . .} ^), es wird behauptet, daB man A
auf eine Teilmenge von B unter Erhaltung der Ordnung abbilden kann.
Indem wir dem % ein beliebiges Element von B zuordnen, wenden wir
sodann Induktion an: den Elementen von An = {%, ag, ..., an} seien bereits
^) Die Ordnung der Elemente von links nach rechts in {ai, ag,. ..) bedeutet
hier nicht die Ordnung von A.
94

§ 11. Typen der Machtigkeit { A^. Wir haben dann also nur zwischen
zwei Elementen von B oder vor einem solchen (dem Bilde des ersten Elements
von An) oder nach einem solchen ein weiteres Element von B zu
suchen, und das ist moglich, weil B unbegrenzt und dicht ist. Es gibt also
ein passendes Bild von a„^i, und man kann der Reihe nach alien a„ Bilder
zuordnen mit Erhaltung der Ordnung.
Beweis von III. Seien A = {%, ag? • • •} ^^d B = {J^, 62, • • •} unbegrenzt
und dicht; man kann also A auf eine Teilmeiige von J5, aber auch
B auf eine Teilmenge von A abbilden ^), und indem man die einzelnen Zuordnungsakte
abwechselnd in der einen und andern Richtung ausfiihrt,
kann man auch A auf B abbilden. Ordnen wir dem % das b^ zu und
schreiben a^ =^ ai^ b^ ^ bi. Nun wenden wir Induktion an: es seien
bereits die Paare (a^, ft^),..., (a**, b^) unter Erhaltung der Ordnung gebildet
und die Mengen A^ = {a\ ..., a% B^ = {b\ . -., b^} also ahnlicli aufeinander
bezogen; es soli nun das Paar (a**"^^, J**+^) hinzugefilgt werden. Fiir
gerades n sei a***^^ das a^ mit niedrigstem Index A, das nicht zii A*^ gehort,
und 6"+^ das b^. mit niedrigstem Index A, das zu B^ dieselbe Lage hat wie
a**"*"^ zu A^, Fiir ungerades n sei umgekehrt b^'^^ das niedrigste noch unabgebildete
b]^ und a*^+^ das niedrigste mit den Ordnungsbeziehungen vertragUche
a^^. Die Existenz passender Bilder ist durch die Unbegrenztheit
und Dichtigkeit beider Mengen gesichert, wahrend zugleich kein Element
bei der Abbildung iibergangen werden kann; also Ac^B,
Aus II (worin man sowohl fiir A wie fiir B die Menge der rationalen
Zahlen, vom Typus ^y, setzen kann) und III folgt demnach:
IV. Jede unbegrenzte dichte Menge enthdlt eine Teilmenge i>om Typus rj,
Eine Menge vom Typus r} enthdlt abzdhlbare Teilmengen von jedem Typus.
Jede unbegrenzte dichte abzdhlbare Menge ist vom Typus rj. [29]
M
Beispiele. JSrj = rjfi ist, wenn M (vom Typus /j,) endlich oder ab-
zahlbar ist, stets ein unbegrenzter dichter abzahlbarer Typus, also rj/bt = rj,
z. B. ^ ^ ^ — ^2z=z rjn = rjO) = rj^ = Tj.
Dichte abzahlbare Typen konnen sich nur durch Existenz oder Nichtexistenz
von ersten und letzten Elementen imterscheiden, es gibt deren
also vier: 7;, i + tj, rj + i, 1+^ + 1.
M
2 (1 + 7])= (i+ 7])/bt (M endlich oder abziHbar) ist entweder = 1 -f-1^
oder — rjy je nachdem M ein erstes Element hat oder lucht, 2. B.
1) Der dem Aquivalenzsatz analoge Ahnlichkeitssatz (zwei Mengeiij deren
jede einer Teilmenge der andern ahnlich ist, sind selbst ahnlichl ist failsclil Beispiel:
ein Intervall mit und eins ohne Endpunkte.
4*
95

52 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.
a + 7^)2 '-= a + ri)n = {I + ri)co = i + 7],
(1 + ^)ft)* = (l + ri)ri==rj.
Die Menge der rationalen Zahlen > a ist vom Typus rj; es gibt also
z. B. eine die GroBenordnung erhaltende, d. h. mit r monoton wachsende
Funktion s == f (r), die jeder rationalen Zahl r > 0 eine rationale Zahl s> a
und umgekehrt zuordnet. Sie laBt sich offenbar zu einer stetigen, mit x
monoton wachsenden Funktion y == f(x) erweitern, die die Halbgerade
a; > 0 auf die Halbgerade y > a abbildet und dabei jedem rationalen x
ein rationales ?/, jedem irrationalen x ein irrationales y zuordnet. Fiir
rationales a ist das naturlich trivial, dsi y = x + a eine solche Zuordnung
bewirkt.
Die Menge der rationalen Zahlen des Intervalls (0, 1) und die der
dyadisch rationalen (Briiche mit einer Potenz von 2 als Nenner) desselben
Intervalls sind ahnlich, beide vom Typus rj. Die Zuordnung, die wir sogleich
zu einer das ganze Intervall betreffenden
y = f(x) (0

§ 11. Typen der Machtigkeit {

54 Drifctes KapiteJ. Ordnungstypen.
wo durchweg P^czP^. Bilden wir die Summe aller Pj, P = SP^; sie
liefert mit dem Durchschnitt Q = ^Qi der Komplemente (A =^ Pi + Qi)
wieder eine Zerlegung A = P + Q^wo P also ein Anfangsstiick und offenbar
ohne letztes Element ist. Aus P^ < P^ folgt nun P g Pg? d. h. durchweg
P-^^P ^ Pg* und also ist P entweder das letzte Element von 5{?i oder das
erste von ^2> ^i + ^2 ist ein Schnitt, weder Sprung noch Liicke. Also
^$ ist stetig.
Bedienen wir uns noch der Ausdrucksweise:
J5g^ ist in A dicht, wenn zwischen zwei Elementen von A immer
mindestens ein Element von B liegt,
wobei also A, B selber dicht sind, so konnen wir den Typus A des
Kontinuums durch folgenden Satz charakterisieren:
V. Jede stetige Menge enthdlt eine Teilmenge vom Typus A. Jede unbegrenzte
stetige Menge^ in der eine abzdlilbare Menge dicht ist, ist i^om Typus X.
Beweis. A sei stetig; wir konnen sie iiberdies als unbegrenzt annehmen.
Sie enthalt (nach IV) eine Teilmenge B vom Typus 7/. Ist JB = P + ^
eine Liicke von B, so muB zwischen P und Q mindestens ern Element von
A liegen, da andernfalls, wie leicht zu sehen, auch A eine Liicke hatte. Also
enthalt A eine Teilmenge C, die aus B durch Ausfiillung der Liicken entsteht,
d. h. vom Typus A ist. Andererseits, wenn B zugleich in A dicht ist
(jede in A dichte Menge ist wieder unbegrenzt und dicht, also, falls
abzahlbar, vom Typus 7^), so kann zwischen P und Q auch nur ein einziges
Element von A liegen, d. h. A = C. Damit ist der Satz bewiesen.
Es gibt unendlich i^iele verschiedene stetige Typen if on der Mdchtigkeit
des Kontinuums, Ist 1? = 1 + A + 1 der Typus des abgeschlossenen Intervails
J = [0, 1 ], so sind die Potenzen ^, ^^^ ^, . . . stetig und voneinander
verschieden. Sei namlich /g =" i^t J)^ J3 = i^^ J^ J)^ - • "> Jm die
lexikographisch geordnete Menge der Zahlenkomplexe x = (xi, x^,. . ., o;^),
wo jedes Xj. das Intervall J durchlauft. Die Dichtigkeit von /„» ist
evident; die Liickenlosigkeit von 7^,^ wird auf die von /^_i folgendermaBen
zuriickgefiihrt. Es sei //^^ (a) die mit/„j_i ahnliche Menge der Komplexe
(a, Xg, . . ., o:,^) bei festem x^ = a, also
J
a
Bei einer Zerlegung J^^ = />^ -f Q^^ wird entweder einer der Summanden
//„i(a) mit zerlegt und damit der Fall auf eine Zerlegung
Jm~i~^m—i-^Qm~i zuriickgcfiilirt, oder die Zerlegung ist von der
Form
a I)
und dann hat, wenn a-^ das groBte a ist, P,,^ das letzte Element [a^, 1,. . ., 1),
wenn b^ das kleinste b ist, Q^ das erste Element {b^, 0, . . ., 0). — Um die
98

§ 12. Der Wohlordnungssatz. 55
Verschiedenheit der ^*^* zu beweisen, zeigen wir: ist m> I und J^ einer
Teilmenge i^onJn dhnlich^ so ist n> i undJ^^i ^i^^^ Teilmenge von /n~i
dhnlich. Die Menge /„» der Komplexe x = (a:i,..., a:,,^) sei auf eine Teilmenge
von J„, der Menge der Komplexe y — (r/j,..., yj ahnlich abgebildet.
Den beiden Komplexen (%,0,. . ., 0) und (ajj, 1,..., 1) mogen als
Bilder y = («/i, y.^, . . ., y^) und r] = (rj^, 7/2, . . ., rjn) entsprechen mit y Vn) ^i* demselben yi = rji = b entsprechen;
die vorhin angefiihrte Menge HJ^a) ist dann mit einer Teilmenge von HJjbX
also Jfn—i Mii^ einer Teilmenge von /n—1 ahnlich. — Endlich folgt nun, daB
iiir m> n nicht /,» mit einer Teilmenge von J^ (auch nicht mit /„ selbst)
ahnlich sein kann, denn es ware /^_i mit einer Teilmenge von J^^i und^
so fortfahrend, /„j_„^i mit einer Teilmenge von /j ahnlich, im Widerspruch
zum Obigen.
Viertes Kapitel.
Ordnungszahlen.
§ 12. Der Wohlordnungssatz. [30]
Wir delinieren: eine geordnete Menge heifit wohlgeordnet, wenn jede
(nicht leere) Teilmenge ein erstes Element hat. Der Ordnungstypus einer
wohlgeordneten Menge heifit eine Ordnungszahl oder Ordinalzahl.
In einer wohlgeordneten Menge gibt es keine Teilmenge vom Typus o)*^
jede fallende Reihe von Elementen a> b > c> - - - enthalt nur endlich
viele Gheder. Diese Eigenschaft konnte auch zur Definition dienen.
Auf jedes Element, wenn es nicht das letzte ist, folgt unmittelbar ein
nachstes; bei jeder Zerlegung A = P + Q hat das Endstiick Q ein erstes
Element, mag das Anfangsstiick P ein letztes haben oder nicht. Umgekehrt,
wenn bei jeder Zerlegung (die uneigentliche 0 + ^ mitgerechnet)
das Endstiick Q ein erstes Element hat^ so ist A wohlgeordnet; denn ist
^ :=» 0 eine beliebige Teilmenge von .4, P die Menge der Elemente < B
und ^ = JP + ^, so ist das erste Element von Q auch das erste von B.
Die endlichen Mengen {1, 2,.. ., n}^ die Menge {1, 2, 3,...} der natiirlichen
Zahlen, die Menge {1, 3, 5, ..,, 2, 4, 6,...} sind wohlgeordnet, ihre
Typen w, co, o) + co Ordnungszahlen. Die Ordnungstypen c?>*, f^, 1 sind
keine Ordnungszahlen.
99

56 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
Eine unendliche wohlgeordnete Menge A hat ein erstes Element a^,
dann ein zweites %, ein drittes ag usw.; wenn sie auBer dieser Folge noch
weitere Elemente hat, so ist unter diesen ein erstes a^^, dann wieder ein
nSchstes a^a+i usw.
Es ist also
(1) A = {UQ, ai, a2, ..., a^, a^^ +i, . ..}.
Das hier angedeutete, nachher durchzufiihrende Bezeichnungsprinzip
ist, dafi jedem Element als Index der Typus der Menge der vorangehenden
Elemente zugeordnet wird. Damit dies auch f iir die endlichen Indizes zutreffe,
haben wir mit 0 begonnen; % tragt als Index den Typus n der Menge
(ao,. . ., ^n—1}» ^0 ^^^ Typus 0 der Nullmenge.
Nach dieser vorlaufigen Orientierung beweisen wir den
[31] Wohlordnungssatz von E, Zennelo: Jede Menge kann wohlgeordnet
werden.
Wenn wir zu einer Wohlordnung in der Gestalt (1) gelangen woUen,
miissen wir z. B. jeder Menge P^ = {«o> %? • • •? ^n—i} ^i^ bestimmtes
Element a„ als das zunachst folgende zuordnen oder aus der Menge
Qn^ ^ -^ Pfi der noch ungeordneten Elemente ein bestimmtes a„ gewahlt
denken. Wenn man so verfahrt, erscheinen die Wahlakte selbst in einer gewissen
Ordnung: a^ kann und mu6 erst dann gewlLhlt werden, wenn seine
Vorganger «(,, ..., a^—i gewahlt sind. Der Beweis des Wohlordnungssatzes
kann auch mittels dieser sukzessiven Wahlakte gefiihrt werden, dann aber
erst an spaterer Stelle, nach genauerer Untersuchung der Ordnungszahlen.
Um ihn schon jetzt zu erbringen, verwenden wir ein System simultaner^
voneinander unabhangiget Wahlakte: wir ordnen jeder i^on A verscliiedenen
Teilmenge P von A ein ihr nicht angehoriges Element a = f(P)eA — P zu,
oder wir wahlen aus jeder von 0 verschiedenen Teilmenge Q von A ein ihr
angehoriges Element a = (p[Q) s Q. Beide Ausdrucksweisen bezeichnen
dasselbe: es ist /(P) = ^(^ — P) oder (p(Q) = f{A — Q). Wir wollen die
erste Form bevorzugen und nennen a = f{P) das Ansatzelement von P und
die aus P durch Hinzuftigung des Ansatzelementes entstehende Menge
P^ = P + {a} die Nachfolgerin von P. Bei diesem Verfahren werden
mehr Wahlakte voUzogen, als unbedingt notwendig sind, denn bei der
Wohlordnung (1) wiirde ja z. B. die Menge P == {ao, ag} ^^^d ihr Ansatzelement
gar nicht gebraucht werden. Dafiir aber sind die Wahlakte, wie
gesagt^ voneinander unabhangig, anders ausgedriickt: die Funktion
a = f(P) hat einen von vornherein feststehenden Definitionsbereich, namlich
die Menge aller PczA,
Die Art, wie nun aus dieser Zuordnung a^ f(P) zwangslaufig eine
Wohlordnung von A hervorgeht, ist im Grunde sehr einfach, obwohl sie an
das abstrakte Denken des Lesers einige Anspruche stellt. Wir betrachten
ein System von Mengen ^A, das
100

§ 12. Der Wohlordnungssatz. 57
(oc) die Nullmenge enthalt,
(/S) mit beliebig vielen Meiigen auch deren Summe enthalt,
(y) mit jeder Menge P czA auch deren Nachfolgerin P^ enthalt.
Ein solches System heiBe eine Kette, Es gibt Ketten, z. B. die
umfassendste: das System aller Mengen g ^. Der Durchschnitt beliebig
vieler Ketten ist ersichtlich wieder eine Kette; es gibt also eine kleinste
Kette ^, die der Durchschnitt aller Ketten ist. Diese untersuchen wir
jetzt und verstehen unter den im Folgenden vorkommenden Mengen
wie P, X immer Mengen aus ^.
Das Wesentliche ist, die Vergleichbarkeit aller Mengen von S zu zeigen
{im Sinne von S. 13), d. h. daB fiir zwei Mengen P, X immer eine der
drei Relationen X^P besteht. Nennt man eine Menge P^ die mit alien
Mengen X vergleichbar ist, normal^ so ist zu beweisen, daB alle Mengen
normal sind. Der erste Schritt besteht im Nachweis des Satzes:
I. Ist P .
(j8) Die Summe beliebig vieler X ist ein X.
Sei S = 'SX^; entweder ist jedes A\„g*P und S-^P^ oder mindestens
ein X^^P^ und S^P^,
(y) Die Nachfolgerin jedes XczA ist ein X,
Fiir X^P^ ist X^^P^-, fur X = P ist X^ = P+. Fiir X P, so miiBte X^ — X = (X_^ — P) + (P ~ X)
mindestens zwei Elemente enthalten, wahrend diese Menge doch nur ein
Element f(X) enthalt.
Nun konnen wir schlieBen:
II. Alle Mengen sind normal,
Wir zeigen wieder, daB die normalen Mengen eine Kette bilden, die
folgUch mit ® identisch sein muB.
(a) Die Nullmenge ist normal.
()8) Die Summe beliebig vieler normaler Mengen ist noniiaL
Sei P = ^P^ Summe normaler Mengen, X eine beliebige Menge,
also P„,^ X. Entweder ist jedes P^^ X und P ^ X, oder mindestens
ein PM:::=> X und P :^ X. P ist also mit jedem X vergleichbar.
(y) Die Nachfolgerin Pj^ jeder normalen Menge P

58 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
Durch die Vergleichbarkeit aller Mengen wird nun ^ geordnet, indem
man von zwei verschiedenen Mengen die kleinere vor die groBere setzt
(Pi < P2 so viel wie P^ < Pg)* ^i^se Ordnung ist eine Wohlordnung. Da
i$ selbst ein erstes Element hat (die NuUmenge), so ist nur zu zeigen, daB
bei einer Zerlegung 5S = S^i + ^2 ^^ ^i^ Anfangs- und Endstiick das
letztere ein erstes Element hat. Sei P^e^u PzS^zi ^i^^a*? ^ die
Summe aller Pj. Dann ist Pi^P^P^^ also P entweder das erste P^
Oder das letzte P^. Im zweiten Falle ist aber P^ das erste P^-^ wir haben
die Spaltung des Satzes I vor uns. In beiden Fallen gibt es ein erstes Pg-
Endlich lassen sich die Mengen P P noch das Element a nicht enthielte. Durch
a=:/(P), P = F{a)
werden also die Elemente as A und die Mangen P^-
§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen.
Jedes Element a der wohlgeordneten Menge A bestimmt
den Abschnitt P = Menge aller Elemente < a,
den Rest Q = Menge aller Elemente ^ a
und damit die Zerlegung A =^ P -\- Q (P0).
102

§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen. 59
Umgekehrt ist jede Zerlegung von A in ein Anfangsstiick P und ein
Endstiick Q von dieser Form, da Q ein erstes Element a hat. Ist a das
erste Element von ^, so ist P = 0, ^ = ^ zu setzen.
Nun gilt:
I. Ist b = f(a) elne dhnliche Abbildung der wohlgeordneten Menge A
aiif eine Teilmenge B, so ist stets f(a)^a,
D. h. also, bei einer solchen Abbildung kann ein Element nie ein
friiheres zum Bilde liaben. In der Tat: gabe es Elemente a mit f{a) < a,
so gabe es unter diesen ein erstes; es sei dies a und b = f{a) sein Bild, also
b < a und wegen der Ahnlichkeit f(b) < /(a), d,h, f{b)

60 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
eine wohlgeordnete Menge vom Typus ^, so sind ja nach Definition die
Zahlen < a den Abschnitten von A, also den Elementen von A^ eineindeutig
und ahnlich zugeordnet: jedes a bestimmt seinen Abschnitt
Pa vom Typus TT^, und ist a

§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen. gl
1st insbesondere ^ g 5, so ist oc W ist dann entweder ^ seUbst oder eine gewisse Zahl
aus W(o().
Nach V ist der Begriff „Menge aUer OrdnungszaMen" undenkbar
(vgl. S. 34).
Die Zahlen > (X sind die Zahlen oc + p (j9 > 0) und umgekehrf.
(A einem Abschnitt von A + B ahnhch); die kleinste Zahl > ^ ist a^ + 1.
105

62 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
Eine Zahl A > 0, die keinen unmittelbaren Vorganger hat, d. h. fiir
die W(X) kein letztes Element hat, heifit eine Limeszahl; die niedrigsten
Limeszahlen sind co, oo + co = co2, co3,... Eine Zahl, die nicht Limeszahl
ist, heifit isoliert; isolierte Zahlen sind auBer 0 dieZahlen der Form
^ + 1. .Hat die Menge
von Ordnungszahlen kein letztes Element, d. h. ist ^ Limeszahl, so wird
die ndchstgropere Zahl X>W, die offenbar Limeszahl ist, der Limes
von W genannt und mit
X = limW
Oder auch mit x = lim oc^
bezeichnet. Z. B. ist co der Limes von (0, 1,2,...} oder von jeder wachsenden
Folge {OCQ, ^i, oc.^,...} endUcher Zahlen

(2)
§ 14. Verknupfongen von Ordnungszahlen. 63
Aus (X < P folgt
(1) |/^ + ^ 0) und vice versa. Demnach:
iii + P = /J. + (oc + y)=^(fx+oc)+y>/j, + (K,
jbtp = /jt(oc + y) = /LKX + /j,y> /Jbcc fiir fJL>0,
Bei Nachsetzung des Summanden oder Faktors fx kann das Gleichheitszeichen
auftreten. Z. B.
ft> + l = 2 + ft> = €o,
ft>l2, lco = 2€o = m.
Die Umkehrung von (1) liefert folgende ScMiisse:
[Aus /i + « < Afc + /? Oder a + fi < ^-\- (A folgt (Xy = ??o> ^o + 1> ^o + 2, • •., dagegen fiir endliches a
nur eine einzige; sie besagt dann namlich, daB T? + (at — 1) der unmittel-
107

64 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
bare Vorganger von )(?, i^ + {oc — 2) der Vorganger von rj + (oc — I) sein
soil usw., wodurch nach endlich vielen Schritten tj eindeutig bestimmt
ist. Nur in diesem Falle bezeichnen wir die Losung mit
so daB (P — oc) + oc = p ist; diese Gleichung bedeutet also, daB (X eine
naturliche Zahl ist und rj aus ^ durch Weglassung der oc letzten Elemente
entsteht. Z. B. ist /3 — 1 der Vorganger von /S (/8 als isolierte Zahl > 0
vorausgesetzt).
Dwision, Jede Zahl f < (x^ ist in der Form
(3) C = ^^ + l (i

{(
§ 14. Verlcniipfungen von Ordnungszahlen. 65
z. B. war ... ojcoco = 1 + A derTypus des Intervalls [0,1). Wir werden
jetzt Produkte mit wohlgeordneter Reihenfolge der Faktoren, wie
^1 ^2 ^3 • • •? erklaren; die jetzige Definition hat mit der damaligen zunachst
gar nichts zu schaffen, und erst eine spatere Betrachtung (§ 16) wird ims
lehren, jiaB beide doch Spezialfalle eines allgemeinen Produktbegriffs sind.
Unsere gegenwartige Erklarung beruht auf transfiniter Induktion
(S. 62); der Symmetrie wegen wollen wir auch die — schon einfacher und
in weiterem Umfang, namlich fur Ordnnngstypen, erklarte — Addition
noch einmal auf diese Weise definieren, d. h. auf Addition von zwei Summanden
zuriickfiihren.
Jeder Ordnungszahl x sei eine Ordnungszahl JUL^ zugeordnet. Wir definieren
die — bei festgewShlten Summanden nur noch als Funktion von a
anzusehende — Summe
W(a)
]{(X) = I" ^^. = /xo + i"i + • • • + /^l + • • •
als Ordnungszahl durch folgende induktive Vorschrift:
f/(0) = 0;
Ifiir ^ > 0 sei /( /(I) + p.^ {fiir alle I < ac).
Nehmen wir der Einfachheit wegen alle /i^ > 0 (Summanden = 0
waren wegzulassen), so ist fiir ^ > |
m)+//.«> m > m+/.c > m,
die Zahlen /(

66 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
als Ordnungszahl durch die Vorschrift:
^^^ Ifiir oc> 0 sei f((K) die kleinste Zahl ^ /(|)/^| (fur alle I < a).
Nehmen wir der Einfachheit wegen alle Faktoren > 1 an (Einsen
waren wegzulassen), so ist zunachst klar, da6 f((x) > 0,
und man erhalt wie zuvor
(9) m + h-=mi^a
und fur eine Limeszahl oc
(10) m = iimm (i

§ 14. Verkniiplungen von Ordnungszahlen. 67
Wie eine natiirliche Zahl durch die Potenzen von 10, so laBt sich jede
Ordnungszahl durch die Potenzen einer beliebigen Basis ^ > 1 ausdriicken.
Sei C > 0 eine Ordnungszahl und ^ die niedrigste Potenz von /5,
die > C ist (daB es solche gibt, erkennt man aus der induktiv leicht zu beweisenden
Ungleichung /5^ ^y, wonach j8^+^ > C ist). Dann ist y keine
Limeszahl, sonst wgtre fur jedes I < y auch ^ + 1 < y, also
Es hat also y(> 0) einen unmittelbaren Vorganger oc und es ist
wobei 0, so erhalteii wir
weiter
usw. Da aber C^ jJ" > Ci^/S'*'> Cj^ • - •, also ^>?i>fs>-"»
« > «i > a2 > • • •, so muB das Verfahren einmal mit dem Rest 0
endigen und wir haben die Darstellung
worin alles durch C eindeutig bestimmt ist: die Qiederanzahl n + I (fiir
n — 0: l^ — p^rj), die Exponenten (X und die Koeffizienten tj, Und zwar
ist nicht nur die soeben konstruierte, sondem jede, gleichviel auf welchem
Wege gewonnene, Darstellung von der Form (14) eindeutig bestimmt. Denn
der Ausdruck (14) ist < ^S'*^^, wie man durch den SchluB von n auf
n + i erkennt: es ist dann namlich f < fi'^rj + ^8"^+^ ^ /3*(7/ + 1) ^ ^*+i.
Also muB j8* ^ C < fi^'^^ sein und die Exponenten wie die Koeffizienten
bestimmen sich genau wie oben.
Beispiele. ^ = 2: C = 2* + 2'** H \-T^.
P = (o: (15) C = a>^v + tt>«»yi +» —+

68 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
besteht (die im endlichen Zahlengebiet fur )S> 1 ja unmoglich ist); so
batten wir co = 2** gefunden. Definiert man fiir v = 0,1, 2,... die Zahlen
f, durch Co = 1, C.+i = i8f^ so ist (p > 1)
Co

§ 14. Verkniipfungen von Ordnungszahlen. 69
Koeffizienten von 0 verschieden. (Fiir | = 0 sind alle x^^ = 0.) Die Darstellung
ist eindeutig bestimmt. Fiir zwei Ordnungszahlen
definieren wir dann
a(^, ^) = -2? co« (x^ + y^) = a% I).
Dies braucht weder mit I + ^ noch mit ?; + I iibereinzustimmen; z. B.
ist or(co, co^ + 1) = co^ + CO + 1 von o) + (co^ + 1) = co^ + 1 und von
{co2 + l) + a)= 0)2+ C0 verschieden.
Bei gegebenem C hat die Gleichung G (I, ^) = C ^^^^ endlidi pMe
Losiingen |, T;. Denn es muB :r^+ ^a = ^a sein, und fiir a:« sind niir
die Werte 0, 1,.. ., z^, zulas^g; die Anzahl aller Losimgen ist das
Produkt aller Faktoren 1 + z^, von denen nur endlich viele > 1 sind.
Die Ungleichung ^ ^^ Hieraus
geht hervor, daB ad, ri) mit jedem seiner Smnmanden wachst: fiir lo < ^
ist cdo, v) < ^•
Wenn Co < C = ^(1, ^), so hat die Gleichung a{^o, YJQ) = Co ^ine
L5sung mit lo^ ^5 Vo'^V (winter AusschluB mindestens eines Gleichheitszeichens).
Schreiben wir namlich, unter Hervorhebung der ersten Differenzstelle
/? fiir Co und C,
^ = 2 (o'^'Xy +0)^x^ + 2 co%,
rj = ^o)^ijy + a)^y^ + 1^''^^'
Co = ^co*''Cy + C'/c^ + ^\o%
mit y > /5 > a, o:.^ + 2/^ = c^, ^fi + y^ > c^- Wir bestimmen dann zwei
ganze Zahlen a^,b^ mit 0^a^

70 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
wie Polynome multiplizieren und dabei die Exponenten natiirlich addieren,
also ?r(|, ^) = ^ oj^^'"' ^^x^y^ = 7i(rj, |)
7
Oder 7i(i, ri) = 2co^Zy, Zy = 2x^y^,
/'
2 iiber die (endlich vielen) Paare mit G((X, P) ==y erstreckt. Wir woUen
dies nur erwahnen und dem Leser liberlassen, auch hier die Analogic mit
endlichen Produkten festzustellen.
§ 16. Die Alefs.
AUe Kardinalzahlen konnen als Machtigkeiten wohlgeordneter Mengen
aufgefaBt werden (Wohlordnungssatz) und sind daher vergleichbar. Als
Zahlenklasse^ Z{a) bezeichnen wir die Menge aller Ordnungszahlen «, die
die Machtigkeit a haben; sie ist Teilmenge der entsprechenden Typenklasse
T(a) (S. 49). Fiir endliches n = 0,1, 2,. . . besteht Z(n) nur aus der
einen Ordnungszahl n; aus ZCN^) kennen wir schon unendlich viele
Vertreter
a>,a) + l,co+2,...,ft>2,...,ft>3,...,i?)^,...,ft)^,...,G)'^,...
Ist a 5B gibt (^ eine Menge von Kardinalzahlen),
so ist entweder a die kleinste oder in der wohlgeordneten Menge der Kardinalzahlen,
die > ^ und < a sind, befmdet sich eine kleinste. (Wir sagen
nicht, daB in der Menge der Kardinalzahlen > £ eine kleinste sei, weil
diese Menge ebenso undenkbar ist wie die Menge aller Kardinalzahlen.)
Die zu einer Kardinalzahl a nachstgroBere b wird, wie leicht einzusehen,
so erhalten, daB man zur Zahlenklasse Z{o) die nachstgroBere Ordnungszahl
p sucht; deren Machtigkeit ist b. Ob die Kardinalzahl 2^ > a
die nachstgroBere nach a ist, ist noch fiir kein unendliches a bekannt;
fiir a = No ist diese Frage das Kontinuumproblem (S. 40).
Die unendHchen Kardinalzahlen (^ N'o) heiBen Alefs. Das erste
unter ihnen ist ^

§ 15. Die Alefs. 71
mit N^^^i bezeichnet usf. D. h. jedes Alef ^^a erhdlt als Index den Typus
der Menge alter vorangehenden Alefs,
Z. B. ist die Machtigkeit ^< des Kontinuums > NQ, also t ^2,. . ., 0)^,, (o^+i^ • • •; jede Anfangszahl o)^ hat als
Index den Typus der Menge aller vorangehenden Anfangszahlen. Es
ist also
Z(N^) = Menge der Zahlen 0}^^fJi< oj^^^i
oder, im Sinne der Addition geordneter Mengen
(1) W(co,^^) = W{co,) + Z(K),
(2) W(co,) ==W(coo)+.-SZ(^

72 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
K = ^0 + I «Hi = N^ + N\ + - • + N|a.i + • ' • ^^^""^
z. B. Kj^ = ^-Folge deren Limes und mit einer coj-Folge OCQKOC^K - • • < OC^ <
^u)+i < ' ' ' auch deren Limes.
^) Ist 0)^2= wJ'(a;+ y) das hochste vorkommende Glied von C nnd etwa
r > 0, so isi ^= (or x-\ < Wa, also (OT < w^ und jedes Vielfache von w^
auch noch < w^, also c < w'' (z-f-1) < w«-
116

§ 16. Der aUgemeine Produktbegriff, 73
Fiir Anfangszahlen, deren Index eine Limeszahl ist, brauchen die Satze
III IV nicht zu gelten; z. B. gehoren zu H^(ct>^) die Zahlen COQ, COJ, cog, • • *,
aber nicht der Limes co^ dieser co-Folge. Die Anfangszahlen, fiir die IV
gilt, heiUen regular; zu ihnen gehoren also die (o^^i und COQ = ct>. [35]
Regulare Anfangszahlen mit Limeszahl-Index sind bisher nicht bekannt;
sie miiBten von exorbitanter GroBe sein.
§ 16. Der aUgemeine Produktbegriff. [36]
Es sei JIf =={..., m, ..., 72, ..., p,.. ,} eine geordnete Menge, deren
Elementen m geordnete IMengen A^ zugewiesen sind; wir erhalten damit
das zunachst ungeordnete Produkt
M
A = HA^ =(..., A^, . . ., A^^ . . ., Apj , . .)
m
als die Menge der Komplexe
« = (••-, «m> • • -7 «m • « ', %. • • •) i^^m^^m)'
Zwei solche Komplexe a und
6 = (..., 6^,, . ., bnj. . .J Ap,. ..)
bestimmen die ]VIenge M(a^ b) derjenigen m, fiir die a^^ b^; sie ist > 0
dann und nur dann, wenn die beiden Komplexe verschieden sind, und in
diesem Falle eine geordnete Teilmenge von M. Nennen wir der Kiirze
halber M das Argument, die Elemente von M{a,b) die Diilerenzstellen
zwischen a, b,
Fiir drei Komplexe a, b, c ist ofTenbar
(1) i¥(a, c) g M(a, b) + M(b, c),
denn wenn a^ =t^ c^, so muB mindestens eine der Ungleichungen a^ =|= 6,,^,
^m 4= ^m bestehen.
Wir wiesen bereits am Schlusse von § 10 darauf hin, daB im Falle
eines wohlgeordneten M eine lexikographische Ordnung des Produkts A
moglich ist. Hier hat namhch die Menge M(a, b) fiir a^b stets ein
erstes Element m und wir konnen dann a^b definieren, je nachdem
^w^^mJ daB dies wirklich eine Ordnung, d. h. das Zeichen < transitiv
ist, werden wir gleich sehen. Wir verstehen dann unter dem obigen A
das lexikographisch geordnete Produkt; seinen Typus miissen wir allerdings
mit M*
m
bezeichnen, wo die Reihenfolge der Faktoren ((X^ Typus von A^) die urngekehrte
ist wie im Mengenprodukt und in M. Das umgekehrte Argument
JIf* = iV kann passenderweise der Exponent genannt werden. Bei
gleichen Faktoren A^~ B entsteht aus dem Produkt die Potenz B^
mit dem Typus /3^* = p' {p, /^, v die Typen von B, M, N). Wir batten
z. B. die Potenz co**^* = 1 + A gefunden (S. 48).
117

74 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
Im Falle eines beliebigen M^ das nicht wohlgeordnet zu sein braucht^
sind wir darauf angewiesen, die lexikographische Ordnung soweit zu definieren,
wie sie definierbar ist. D. h. wenn i1/{a, b) ein erstes Element m
hat, das wir librigens mit m(a, b) bezeichnen woUen, und a^ ^ b^^ so sei
a^b, Mit a a und es gilt das transitive Gesetz: mit a < b,
b < c ki a < c, Denn sei m = m(a^ J), ji = ?n(b, c) und p — min [m, n']
(namlich p = m f iir m < TZ, p ~ n im n< m), so ist
fiir I < p: ai = bi^bi = Ci, also ai= Ci,
hingegen a^

§ 16. Der allgemeine Produktbegriff. 75
Die Komplexe einer Klasse sind lexikographisch vergleichbar und
A(a) ist also eine geordnete Menge. Auf die Eigenschaften (z. B. das
assoziative Gesetz), die ihr Produktcharakter verleihen, woUen wir nicht
eingehen und nur noch feststellen, daB sie eine grbfite^ d. h. nicht mehr
erweiterungsffilhige geordnete Teilmenge von A ist (natiirlich ist lexikographische
Ordnung gemeint). Ist namlich c=|=a, so spalte man die nicht
wohlgeordnete Menge i¥(a, c) in zwei Komplemente P, Q^ wo P wohl- [37]
geordnet und Q^Q ohne erstes Element ist (z. B. sei Q die Summe aller
Teilmengen von M(a^ c), die kein erstes Element haben, dann hat auch Q
keins und das Komplement P kann keine von Null verschiedene Teilmenge
ohne erstes Element haben, ist also wohlgeordnet). Definiert man dann
einen Komplex h durch
^m ~ ^m ^^r meP^ 6,^ = a^ fiir msM -— P,
so ist M(a, b) = P, M(b^ c) = Q^ also b^a^ b\\c^ folglieh: wenn csj=a,
so ist c mit mindestens einem Komplex b der Klasse A(a) imvergleiehbitF^
A(a) ist nicht erweiterungsfahig.
Ein wichtiges Beispiel liefert der Fall, daB der Exponent N = J/*
wohlgeordnet ist (nicht mehr, wie urspriinglich, das Argument M). Hier ist
jede Menge il/(a, b) invers wohlgeordnet; soil sie auch wohlgeordiiet sein,
so ist sie endlich, d. h. a^b bedeutet, daB sich die Komplexe a^b nur
an endlich vielen Stellen unterscheiden.
Nehmen wir etwa den Fall
iV =={0,1,2,...}, ilf = {,..,2,l,0},
N vom Typus o}\ unsere Komplexe sind
a=- (. . ., ^2, %, ao), a^sA^.
Um die Klasse A{a) und ihren Typus zu untersuchen, sei
die durch a^ bewirkte Zerlegung der Menge A^ und ihres Typus; es mogen
ferner a;,^, y^^ z^ die Mengen A^^^ B^^ C^ durchlaufen« Die Komplexe ^ a
erscheinen dann in folgender Ordnung:
' -1 ^4? Vzi ^2t ^1? ^o)
. ., ^4, a3, 2^2f ^IJ ^o)
.., ^4, ^3, a^, 1^1, XQ)
. ., ^4, ^3, ^25 %, 2/o)
. .J ^4, %, agi %5 ^o)
• M ^4^ %? %5 %? 2o)
. . , ^4, ^3, £f2 T % 1 ^®)
119

76 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.
Die Punkte oben und unten bedeuten die weitere Fortsetzung des
Schemas; die Punkte innerhalb der Komplexe bedeuten, daB dort Elemente
a„, stehen; jeder Komplex auBer dem mittelsten reprasentiert (fur x^e A^^,
ym^B^, z^eC^) eine ganze Menge solcher, die lexikographisch zu ordnen
sind, und diese Mengen bilden als Summanden, von oben nach unten
geordnet, die ganze Menge A (a), Fiir den Typus von A (a) erhalt man
demgemaB
oc{a) = h ^0^1^2)53 + ^o^i/^a + ^oi^i + i^o + 1
+ 70 + ^ori + ^0^172 + ^0^1^273 H ;
man sieht, wie er durch eine nach links und rechts fortschreitende
Summation gewissermaBen als Limes der Partialprodukte
^0 = i^o + 1 + yo
OCQOCJ^ = ^O(/SI + 1 + ri) = ^oA + OCQ + ^ori
== ^oh + /5o + 1 + ro + ^071
OCQOC^OC.2 = ^o^ii^a + '^oiSi + i^o + 1 + 7o + ^ori + ^0^172
erscheint. Die Ahnlichkeit mit der Entstehung der Cantor schen Produkte
von Ordnungszahlen (§ 14) ist unverkennbar; ja diese sind tatsachlich als
Spezialfalle in unserem allgemeinen Produktbegriff enthalten. Nimmt man
namlich alle Ay^ als wohlgeordnet und die a,,^ als ihre ersten Elemente,
so ist /8„j z= 0, (X,^ = 1+ yni zu setzen, also
oc(a) = 1 + yo + OCQY^ + ^0^172 H
und das ist (alle oc^> 1, 7m > 0 vorausgesetzt) imC an to rschen Sinneeben
OCQOCJ^OC^ . . . = lim OCQOCJ^ . . . (X.^^^.
Allgemein erhalt man die Gantorschen Produkte als Typen unserer
Klassen A(a), wenn man den Exponenten N und die Mengen A^^^ wohlgeordnet
und den Komplex a aus den ersten Elementen a„j der A^^^ bestehend
annimmt; mit dieser nicht schwer zu beweisenden Tatsache ist
nun auch der Umstand (S. 66) aufgeklart, daB die Can to rschen Produkte
nicht die Machtigkeit der vollen Produkte A — von denen ja die A(a) nur
Teilmengen sind — zu haben brauchen.
Man kann jene Klassen A(a) noch weiter spalten und damit neue produktartige
Mengen gewinnen, wenn man auf die Machtigkeit der Menge
M(a,b) achtet. Schreiben wir
wenn die Menge M(a,b) wohlgeordnet und von einem Typus < coc (oder
einer Machtigkeit < N^) ist, wo co^ eine Anfangszahl bedeutet; auch diese
verscharfte Kongruenz ist nach (1) transitiv und hefert eine Einteilung in
Klassen A^{a), wobei, fiir I < 17, At {a) Teilmenge von A,, (a) ist; fiir hinlangUch
groBes f fallen diese Klassen mit den A (a) zusammen. Die kleinste
120

§ 17. Ringe und Korper. 77
Klasse u4o(a), durch a^b{(o) definiert, besteht aus den Komplexen, die
sich von a nur an endlich vielen Stellen unterscheiden; fiir wohlgeordneten
Exponenten fallt bereits sie mit A (a) zusammen. 1st das Argument M
wohlgeordnet, so gibt es nur eine Klasse A(a) = A; aber A kann auch in
diesem Fall in kleinere Klassen A^(a) zerfallen. — Bei gleichen Faktoren
A^ = B erhalt man entsprechende Mengen, deren Potenzcharakter aber
nur dann ausreichend gewahrt bleibt, wenn man den Komplex a auch
aus lauter gleichen Elementen a^ = b bestehen laBt.
Naher auf den allgemeinen Produktbegriff einzugehen verbietet der
Raum; wir wollten aber doch dem Leser die Aufklarung nicht schuldig
bleiben, da6 und wie sich die verschiedenen ProduktbilduBgen, die er
kennengelernt hat, unter einen umfassenden Begrilf subsumieren.
Fiinftes Kapitel.
Mengensysteme*
§ !?• Binge und Korper. [38]
Eine Menge von Mengen wollen wir der Deutlichkeit wegen eia System
von Mengen nennen; wir bezeichnen die Mengensysteme mit groBen deutschen
Buchstaben. MeW bedeutet also, da6 die Menge J/ dem System 5W
angehort. Die betrachteten Mengen M sind reine Mengen, oline Relationen
(Ordnung) zwischen ihren Elementen, so dafi wir in dieser Hinsicht zum
Standpunkt der ersten beiden Kapitel zuriickkehren; die inzwischen erlangte
Kenntnis der Ordnungszahlen wird uns aber doch niitzlich und bisweilen
unentbehrlich sein. Wir richten unser Augenmerk insbesondere
auf gropte und kleinste Mengensysteme gewisser Art: Systeme, denen man^
nach einer bestimmten Vorschrift, kein Element hinzufiigen oder keins
wegnehmen kann.
1. Ringe. Ein Mengensystem heifie ein Ring^)^ wenn Summe und
Durchschnitt i>on zwei Mengen des Systems wieder dem System angehoren.
Dasselbe ist dann fur endHch viele Mengen des Systems der Fail. Ein
Ring ist also eine Art groBten Mengensystems, ein System, das durch die
Operationen Summe und Durchschnitt (an endlich vielen Elementen)
nicht erweitert werden kann.
Beispiele. Das System aller Teilmengen einer gegebenen Menge ist ein
Ring. — Bedeutet / = [a, j8) das Intervall der Zahlen a

78 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.
aus endlich vielen disjunkten /, mit Hinzurechnung der NuUmenge, einen
Ring. Denn der Durchschnitt zweier / ist ein / oder 0, also nach dem
distributiven Gesetz der Durchschnitt zweier S ein S. SchlieBt man S in
€in / ein, so ist offenbar I — S ein S] demnach ist / — (iS'^ + S.^) =
(/ — 6*1) (/ — S2) ein 5, und das Komplement davon in /, also S^ -j- 1^21
wieder ein S, tjbrigens ist auch die Differenz S — S^ zweier S ein S, denn
schlieBt man S in ein / ein, so ist S{I — S^) = S — S^ ein S,
Zu einem beliebigen Mengensystem 9K giht es einen eindeutig bestimmten
kleinsten Ring ^ 3JJ.
Wir werden diesen Ring, d. h. die ihm angehorigen Mengen, hier zwar
sofort sehr einfach angeben konnen, woUen aber als Vorbild fiir andere,
weniger elementare Falle einen allgemeinen Existenzbeweis geben. Es
gibt iiberhaupt Ringe ^ 2R; denn ist S die Summe aller Mengen e 3K, so ist
das System @ aller Teilmengen von S ein Ring liber SK. Da der Durchschnitt
behebig vieler Ringe offenbar wieder ein Ring ist, so ist der Durchschnitt
% aller Ringe SR, fiir die 501 g SR ^ @, ein Ring iiber 3K. Er ist
der kleinstmogliche, d. h. in jedem Ringe "St iiber Wl enthalten, da ja
3Rg3l@g©, also %^^(B^m,
Dieser kleinste Ring iiber 3K, nennen wir ihn jetzt 91, laBt sich offenbar
so bilden: er besteht aus den endlichen Summen
/? = i)i 4- 2)2 + • - + i>„.
deren Summanden ihrerseits von der Form
D = M, M3 . . . M^
d. h, Durchschnitte aus endlich vielen Mengen M(£3R) sind. DaB die genannten
Mengen /? zu SR gehoren miissen, ist klar; sie bilden aber schon
selb^t einen Ring (also Sfit), da nach dfem assoziativen Gesetz die Summe,
nach dem distributiven der Durchschnitt zweier R wieder ein R ist.
Offenbar kann man die Operationen Summe und Durchschnitt auch in
umgekehrter Rcihenfolge anwenden, d. h. 9? besteht aus den Durchschnitten
^ = ^1 ^2 • • • ^n
aus endUch vielen Mengen 5, die ihrerseits Summen
aus endlich vielen Mengen M sind.
2. Korper. Ein Mengensystem heifie ein Korper, wenn Summe^ Durchschnitt
und Differenz von zwei Mengen des Systems wieder dem System
angehoren.
Bei der Differenz ist, wie immer, der Subtrahend als Teilmenge des
Minuenden anzunehmen. Es wiirde iibrigens geniigen, die Forderung nur
fiir Summe und Differenz zu stellen, da der Durchschnitt auf diese beiden
Operationen zuriickfiihrbar ist (S. 17). Ein Korper ist a fortiori ein Ring.
122

§ 17. Ringe und Korper. 79
Beispiel. Die obigen Intervallsummen S bilden einen Korper, wie
vorhin bereits bewiesen wurde. Hatte man statt der halboffenen Intervalle
/ = [a, j3) entweder ollene (a, /3) oder abgeschlossene [a, p] genommen, so
wiirden die S zwar noch einen Ring, aber keinen Korper bilden.
Da6 liber einem beliebigen Mengensystem 3K ein kleinster Korper ^
existiert, erkennt man genau wie im Fall des Ringes; aber die Darstellung
seiner Mengen ist hier nicht ganz so trivial. Da ^, wenn iiberhaupt eine
Menge, so jedenfalls die NuUmenge enthalt, so woUen wir diese bereits in 2R
aufnehmen; ferner enthalt ^ den kleinsten Ring 9lg3K nnd ist ancb
der kleinste Korper liber 91. Wir setzen daher alsbald 3K als Ring voraus,
dem die NuUmenge angehort. Betrachten wir dann endlich viele Mengen
il/j g Mc, g • • • ^ M„ oder, zur Vereinfachnng der Schreibweise, eine absteigende
Mengenfolge von Mengen M
(1) M,gM,^.¥,^-^.
mit scliliepiich Qersclmindenden Gliedern. Die Differenzen J/^ — M^,
M^ — 1/3,. .. sind disjunkt. Die Menge
(2) A^(M^- M^) + (i¥3 - 1/4) + {M, - i¥,) + - •
heifie eine (endliche) Differenzenkette aus dem System 3Jl. Diese
Mengen A sind offenbar samtlich in ^ aufzunehmen; wir werden zeigen,
da6 sie selbst schon einen Korper bilden, der folglich der gesuchte Korper
^ ist.
Die Komplemente M -— A sind wieder Mengen A, Schreibt man
A = MA=^ (MM^ - MM^) + (MM^ - MM^) + • • •,
was wieder eine Darstellung der Form (2) istj so sieht man, daB man nur
zu beweisen braucht: MQ —A ist fiir M^^M^ ein A. Dann ist aber
(3) Mo - (Mo - M^) + (Ml - M,) + {M^ _ M3) + • • •,
(4) M,-A = (M, - M,) + (M, - M3) + . . .
und die Behauptung ist be^esen. Man beacMe noch, daB zu jedem A ein
M'^A existiert, z. B. M^.
Der Durchschnitt zweier A ist ein A. Hier ist eine ¥@randerte Bezeichnung
zweckmaBig: wir setzen
^-(Mo-M;) + (i¥,^MO + -«'
(5) j B= (iVr,- iV;,) +iN^- N[) + "^
mit schlieBlich verschwindenden ^) if^, M^, N^, N^, die dem System SR
angehoren.
Defmieren wir nun (die Indizes i, /c, / durchlaufen die ZaMen 0, 1, 2,- • •)
^) Diese Voraussetzung ist tibrigens hier nicht wesentlich; auch die iiiiendlichen
Differenzenketten (2) haben die Durchschnittseigenschaft.
123

80 Funftes Kapitel. Mengensysteme.
also Po = *^o-^o, -Pi = ^0^1 4- M^No, • . .
so gehoren auch die Pi, P'l dem Ringe SR an und verschwinden schliefilich.
Dabei ist Pi^P'i und, wenn man
beaehtet, P\ ^ P^+i, also
Wir zeigen nun, da6
(7) AB = (i>o - P',) + (i'l - PI) + • • •
und sogar einzein
(8)- .-^^ : ('^^* - ^^»')(^^- - ^*) = ^i - ^;•
Nennen wir die hier links stehende Summe Ci, Wenn xeCi^ so ist
etwa xe(M^^ — Ml^)(N^^ — iV^ also xeMi^N^^^Pi, aber zugleichreiPj.
Denn fiir t +A: = 1*0 + ^0 = ^ 1st entweder I^IQ^ M'^N^^M\^ oder
ikQ, MlNj,^Nj,^^i^Nj^.; also xeMiNj^, ebenso xeMiNi,.
Also ist Ci^Pi — P'l, Umgekehrt, ist xePi — P'l g P^ und etwa xeM^Ni,,
so ist a;£i¥^, da sonst oieilf^iVjtg P'z w^^re, ebenso a;£i\r;^, xe{Mi — M^)
(Nj,-~N'j,)^Ci, also i>i-PjgC^ Damit ist (8) und (7) bewiesen: AB
ist ein A,
Die Differenz zweier A ist ein A. Zn A^A^^ wahle man M^A,
dann ist A — A^~ A(M — A-^) ein ^.
jDte Summe zweier A ist ein A, Zu ^1, A2 wahle man umXassende
Mengen M^, M^ und M = M^ + M^-, dann ist M — (M — A^ (M — A2)
= Ai -\- A2 ein A.
Damit ist bewiesen, daB die A einen Korper bilden..
3. Erweiterte Korper. Einer spateren Anwendung (§ 30, II III)
wegen woUen wir die Differenzenketten ins Unendliche verlangern. Die
griechischen Buchstaben sollen die Ordnungszahlen < co^ durchlaufen, wo.
(o^ eine festgewahlte Anfangszahl, die erste Ordnungszahl von der
Machtigkeit X^ ist. Aus dem System 9K, das wieder ein Ring sein und die
Nullmenge enthalten soil, bilden wir eine absteigend wohlgeordnete Folge
Yom Typus 0^^
(9) M^^ i/22 - • g il/a> + l g ^/a, + 2§ • • •>
deren Glieder also mit ^¥^4.1 bezeichnet sind, und damit die Menge
124

§ 17. Ringe und Korper. 81
(10) A = (il/i - M^) + (M3 - M4) + . . . + (Jf^+i - M,_,2) + • • •
wobei daran zu erinnern ist, daB die Ordnungszahlen entweder gerade (2 i)
Oder ungerade (2 | + 1) sind, die Limeszahlen insbesondere gerade. Wir
nennen A wieder eine Differenzenkette aus SR, und zwar vom Typus a>^,
falls alle Mengen (9) von Null verschieden sind, dagegen vom Typus r) < co,,,
falls M^_^i die erste verschwindende Menge in (9) ist; natiirlich hangt der
Typus nicht nur von der Menge A selbst, sondern auch von der gewahlten
Darstellung ab. Wir behaupten:
I. Wenn das System SO? (das ein Ring ist und die Nullmenge enthalt)
auch nock so beschaffen ist, dafi der Durchschnitt aus weniger als ^^ Mengen M
ein M ist, so bilden die Differenzenkeiten {aus 3K) mm Typus < m^j_ einen
Korper,
Beweis. M — A ist wieder ein A. Wie oben geniigi es, zu zeigen, dafi
MQ — A fiir MQ g M^^ ein A ist. Wir defimeren nocb fiir Limeszahlen
r] < oj^ die Mengen
die nach der Durchschnitts-Voraussetzung wieder Mengen M sind. Es
bilden jetzt die samtlichen Mengen M^ ein absteigend woMgeordnetes
System
Jfo^ ilfi^ ilfg^ • • • i? M^ ^ l/^^i ^ • . . g i¥^2§ . ..,
worin jede Menge mit Limesindex der Durchschnitt aller vorangehendeii
Mengen ist. Hierbei ist
(11) 7¥„ = |{3/|-7¥j+l),
denn fiir jedes xeM^ gibt es, da die M^ schlieBlich = 0 sind, ein erstes M^
mit xlM^, wobei C>0 und keine Limeszalil, also C = | + l und
xeM^ — i/^+i ist. Durch Trennung der geraden und ungeraden Indizes
folgt
(12) M^-A = 2(M^ _ M^+^)
= (7Jf,-i¥i) + (M3-M3) + •--+ (iI/„-^„+i) + •-•.
Der Durcfischnitt zweier A ist wieder ein A *). Wir schreibcH jetzt wieder
wie in (5)
A=2(Mt- M\)
(13) J B = |(^-f - iv|)
^) Hierbei genligt, daB 3Ji ein Ring sei; auch die Voraussetzung des schlieBlichen
Verschwindens der Mengen (9) ist entbehrlich, und der Durchschnitt zweier
Differenzenketten vom Typus ^ft^a ist wieder eine solche.
Hausdorff, Mengenlehre. 6
125

82 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.
Um (6) zu iibertragen, miissen wir die natUrliche Summe verwenden:
wir definieren
(14)
wo

§ 18. Borelsche Systeme. 83
Mengensystem SOI bilden konnten, laBt sich aber auf den gegenwartigen
Fall nicht iibertragen; wollten wir etwa wie damals (S. 78) die Durchschnitte
D = M^ M^ J/g • • •
aus Folgen von Mengen M{e W) und damit die Summen
aus Folgen von Mengen D bilden, so bilden diese R noch durchaus kein
Borelsches System: die Summe abzahlbar vieler R ist zwar nach dem
assoziativen Gesetz wieder ein /?, aber der Durchschnitt abzahlbar vieler R
gibt, nach dem distributiven Gesetz entwickelt, eine Summe unabzahlbar
vieler D und im allgemeinen also kein R.
Diese Verwicklung laBt es ratsam erscheinen, die Forderungen fur
Summe und Durchschnitt zunachst einmal zu trennen.
_. -. T n • [^-SystemX (die Summe 1 . .
Em Mengensystem hei/Se em [^.^ystemi' «''"" [der Burchschnittl ^'^'
Folge von Mengen des Systems wieder dem System angehort
Wir machen einige Bemerkungen iiber a-Systeme, die sich dann ohne
weiteres auf (3-Systeme iibertragen. In einem cr-System gehort aiich die
Summe A+B + A+B + '- = A+B
zweier und endlich vieler Mengen des Systems wieder dem System an.
Das kleinste c-System iiber einem gegebenen Mengensystem Wl (seine
Existenz ist wie die des kleinsten Ringes zu erschheBen) heiBe SJl^. Es
wird von den Mengen
(1) M, = 7¥, 4- M^ + i>/3 + • • — ^M, (M,em)
gebildet, d. h. von den Summen aus Folgen von Mengen Ms SHI. Denn
die M^ miissen zu WQ geheren, bilden aber bereits selbst ein cr-System
(Verwandlung einer Doppelfolge in eine einfache).
Ist 2Jl ein Ring, so ist auch 3)l

84 Funftes Kapitel. Mengensysteme..
Ein Mengensysiem, das zugleich a-System und d-System ist^ heifle ein
(abySystem oder ein Borelsches System.
[39] tJber einem Mengensystem 3K existiert wieder ein kleinstes Borelsches
System S3 = SK(

§ 18. Borelsche Systeme. 85
M^ identisch sind. Ebenso hatten wir, mit Durchschnitten statt mit
Summen beginnend, die folgenden Mengen aufzunehmen:
' die Mengen Jf (e3K),
die Durchschnitte Jl/^ aus Folgen von Mengen M ^
(4) \ die Summen M^^ aus Folgen von Mengen ilf^,
die Durchschnitte M^at^ aus Folgen von Mengen M;^^
usw.
Die von diesen Mengen gebildeten Systeme waren mit SR, 2R^, SK^j^y,
S^arU: • • • Oder SIM, 9K^, 3R,)\,, 3K^

86 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.
A^^ ^s+i kommt also Summe und Durchschnitt der gegebenen Folge vor.
Man sieht daraus, da6 es keinen Zweck gehabt hatte, die Definition auf
^= ^ auszudehnen (es wiirde %^ = 91^+^ = .. . = Sg sein).
Die Systeme 91^ wachsen mit dem Index, d. h. ^^^W fiir |

§ 18. Borelsche Systeme. 87
Bemerkt sei noch: wenn, fiir irgend ein f ^ 1, 31^ == 9P+^ sein sollte, so
ist W = S3. Denn von den beiden Mengensystemen 91^, 51^+^ ist das eine
ein or-System, das andere ein ^-System; fallen sie zusammen, so haben
wir ein Borelsches System vor uns.
3. Darstellung der Borelschen Mengen. Wir sahen (um etwa an die
zweite Form anzukniipfen), da6 jedes J5^+^ fiir gerades | Durchschnitt,
fiir ungerades | Summe einer Folge von Mengen B^ ist. Ist rj eine Limeszahl,
so ist
(5) B^J == 6\ + ^2 + • • • {Cn ein B^n ^it |„ < 7]);
diese Form leidet an einer gewissen Willkiirlichkeit, indem die |„ von der
darzustellenden Menge B^ abhangen konnen, nnd wir wollen sie in eine
solche iiberfiihren, wo die In eine feste, nur von tj abhangige Folge bilden
(wie dies fiir ?7 = | + 1 der Fall war, wo f,j = | = ?^ — 1 gewahlt werden
konnte). Beispielsweise: wir wollen eine Menge B^^ die sich zunachst in
der Form B'^ = B^^ -f- J5^*^ + • • • mit beliebigen endlichen Indices i^ darstellt,
in die spezielle Form B^ = B^ + B^^ -j- ^ • - iiberfiihren, wo ^^ = n
ist. Wahlen wir eine feste, nur von der Limeszahl tj abhangige Folge von
Ordnungszahlen
1 ^ ^1 < V2 < ^?3

88 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.
eindeutig zugeordnet (z.B. X = M^M^M^... oder X = M^\- M2 + M^^ ),
so daB also 0 eine eindeutige Funktion der Mengen M^ bedeutet. Wahlt
man auf alle moglichen Weisen die Mengen M^ aus einem gegebenen
Mengensystem 2K, so durchlauft X ein Mengensystem X. Wir behaupten
dann:
[42] I. Fiir jedes ^ > 1 ld[k sick eine niir von | abhdngige Funktion (P|
so bestimmen^ da^
(8) X = 0^{M,, 714 M,,. ..) (M^em)
genau die von SO? erzeugten Borelschen Mengen B^ darstellL
DaB X genau die JB^' darstellt, soil naturlicli heiBen, daB X alle B^
und keine andern Mengen darstellt, oder daB X das Mengensystem X = 33^
durchlauft.
Der Beweis ist sehr einfach. Setzen wir
(9) (&,(ilfi, Mg, M3,...) = il/i 3/2 M^.,,^
so stellt X = 01 genau die M$ — B^ dar.
Wenn fcrner die Funktion 0^ bereits definiert ist, so erhalten wir,
gemaB der Bildung der 5^+^ aus den B^^ eine geeignete Funktion 0|-j_i
auf folgende Weise. Wir spalten die Menge der natiirlichen Zahlen in
abzahlbar viele abzahlbare Teilmengen, etwa nach dem dyadischen
Schema S.30. Fiir ungerades | setzen wir dann
(10) = 0^{M,, M,, M,,. . .) + 0^[M.^, M,, M\,,, . .)
I + 0^(M^. M,,, M.,,, ...) + •••
und fiir gerades |

§ 18. Borelsche Systeme. 89
Die hier auftretenden, durch (9) bis (12) induktiv erklarten Funktionen
^^ sind nun alle ^) von einer besonderen Gestalt, namlich Summen pon
Durchschnitten aus Teilfolgen der Mengenfolge If^, M^, .... Diese besonderen
Funktionen 0 werden also so gebildet: jeder Folge
V = (^^l, /zg, UQ, . , .)
wachsender natiirlicher Zahlen ordnen wir den Durchschnitt
2u; sodann sei N eine Menge solcher Folgen und
(13) X=^eM, = 0 (M„ Jf,. 1/3,...),
y
wobei das Funktionszeichen 0 und die Menge N einander entsprechen.
Wir woUen diese ofters auftretenden Funktionen als ds-Funktionen be- [43]
zeichnen. Wenn wir namlich, wie bisher, Summen- und Durchschnittsbildung
an abzdhlbar vielen Mengen mit c und 5, an beliebig vielen Mengen
mit 5 und d bezeichnen, so ist in (13) jeder Summandilfy ein M^^ die Summe
selbst ein M^^ (falls N abzahlbar ist, ein M^^^^ falls N nur ein Element hat,
ein M§). Durch Vertauschung der Rollen von Summe und Durchschnitt
wCirde man in analoger Weise ad-Funktionen erhalten, Durchschnitte von
Summen aus Teilfolgen einer Mengenfolge; die Komplemente der Mengen
(13) liefern ein Beispiel.
Wir haben nun behauptet, daB die Funktionen 0^ solche (55-Funktionen
(13) sind, miissen also zeigen: es gibt fiir jedes ^> 1 eine nur
von I abhangige Menge N^ derart, daB
(14) 0^(M^, M^, M^, . , ,)--=^-^ M,,
V
Z. B. besteht iV^ aus der einzigen Folge (1, 2, 3,. . .); N2 aus den Folgen
(1, 3, 5,. ..) (2, 6, 10,. . .) (4,12, 20,. . .) usw. Sei nun (14) fur ein bestimmtes
f richtig; dann ist
0^(M,, 1/3, M,,,..)=^M,
a
*' '
wobei jedem v = [n-^^ %, ^^3,,..) eine Folge a; = (2/ii — 1, 2n2 — 1,
2/^3 — 1, . . .) aus lauter ungeraden Zahlen und damit der Menge N^ eine
bestimmte Menge A^ entspricht; analog sind fi^ B^, y, T^, . . . aufzufassen.
Gilt dann (10), so ist
^) In den Satz I konnte man, mit ^Q{M^, M^^ M^,,..) = Mi, auch die
Mengen B^ einbeziehen, aber fur diese gilt das Folgende nicht.
133
n

90 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.
0^^^{M^, M,, M3,....) = f M,, iV,.+i ^ ^^ + B. + r^ + ...,
und analog wird im Falle der Formel (12) die Menge iV^ gefunden. Bei der
Durchschnittsbildung (11) tritt zunachst, nach dem distributiven Gesetz,
die Summe^)
auf, erstreckt iiber (XeA^^ PeB^^ysF^, . ..; d. h. die Folge ( 1 Idfit sich eine nur von | abhdngige Menge iV|, deren
Elemente v = (?Zi, n^^ n^^...) Folgen wachsender natiirlicher Zahlen sind^
so bestimmen, dafi die ds-Funktion
(15) X = fM,^iM„^M„,M„^...
genau die von 2FI erzeugten Borelschen Mengen J5^ darslellt,
Eine analoge Behandlung gestatten natiirlich auch die Borelschen
Mengen A^ (S. 85); die 0^ wiirden dann nicht Summen von Durchschnitten,
sondern Durchschnitte von Summen aus Teilfolgen der Folge M^
sein, d. h. crcf-Funktionen.
§ 19, Die Suslinschen Mengen.
Beim Anblick des Satzes II im vorigen Paragraphen liegt die Frage
nahe, ob es vielleicht eine feste d^-Funktion oder eine feste Menge N von
Folgen V == (^Zj, n^^ . . .) wachsender natiirlicher Zahlen gibt, derart, da6
die Menge
(1) X =: lilf, = 1.1/,, M^JI,^., . =

§ 19. Die Suslinschen Mengen. 91
die fraglichen Mengen zunachst in einer andern Bezeichnung, in der statt
der Mengen M^ Mengen zwar mit mehrfachen, aber unabhangig voneinander
variierenden Indices auftreten.
Wir ordnen einmal nicht den natiirlichen Zahlen, sondern den (ebenfalls
in abzahlbarer Menge vorhandenen) endlichen Komplexen (/ii), (ui^ n

92
Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.
Die fundamentalste Eigenschaft der Suslinschen Mengen spricht aber
der folgende Satz aus:
I. Die von Suslinschen Mengen MQ erzeugten Suslinschen Mengen sind
meder Mengen M^.
Oder kurz: jede Menge M^s ist nur eine Menge M^ (wie jedes M^^ ein
M^ ist). Der Suslinsche ProzeB ist derart umfassend, da6 seine Iteration
nichts Neues liefert.
Der Beweis sieht nur wegen der vielen Indizes schwierig aus, ist aber
ganz einfach. Es sei
V
eine Suslinsche Menge, deren erzeugende Mengen selbst wieder Suslinsche
Mengen sind:
JT' =@AC,' ^ttiCCi ^^axO-'iCti
iT^^* =@Afr^"^- Ml'l' Ml
N' niWaWa
„ 1 1-4 1 - 3
wobei V == (ni, TZg,...), ^ == (%, «2, • • •), ^ == (^i. 627 •••):•• • unabhangig
voneinander alle natiirlichen Zahlenfolgen durchlaufen. Es ist zu zeigen,
da6 P als Suslinsche Menge aus den M selber gebildet werden kann. Nach
dem distributiven Gesetz ist P die Summe aller Durchschnitte
(6) MllMZ^jMll,^^^ .i»/?:"^^^?,t---

§ 19. Die Suslinschen Mengen. 93
von dem die Menge abhangt, geraden Index hat. Ordnen wir nun schlieBlich
die Zahlenpaare (/Woj^^i, W2jb) den natiirlichen Zahlen p;^. eineindeutig
zu und definieren die von p^,..., ipy. oder m^,. .., m abhangige Menge
so geht (7) in ^p^M^^^^M^^^^^^^ ... liber und P ist die Summe dieser
Durchschnitte, iiber alle Folgen (pi, pg? p3? • • *) natiirlicher Zahlen erstreckt,
d. h. eine aus den M gebildete SusUnsche Menge.
Damit ist I bewiesen. Die Mengen N = Ms erzeugen keine neuen
Suslinschen Mengen; jedes Ns ist ein N, Insbesondere ist also jedes N^
und N^ ein iV, die Mengen N bilden ein Borelsches System $R iiber 2R; das
kleinste Borelsche System S5 ist demnach in 9? enthalten: alle mn 9R
erzeugten Borelschen Mengen sind auch SusUnsche Mengen, Das Umgekehrte
ist im AUgemeinen nicht richtig, wie wir spater (§33,1) sehenweFden.
SchlieBlich konnen wir von der Suslinschen Formel (5)(4) leicht zu
einer Darstellung der Gestalt (1) zuriickgehen und damit die Frage zu
Beginn dieses Paragraphen beantworten. Wir brauchen nur eine eineindeutige
Zuordnung zwischen den naturUchen ZaMen p und den endlichen
Komplexen naturiicher Zahlen (%, ^2,..., %) herzustellen, etwa
die aus der dyadischen Schreibweise entspringende
(8) p = 2**»~^ + 2'*»+**»~^ _j- . . . _|- 2»'»+»«+*'*+»v-'—1;»
sodann setzen wir
M^ = M
Dann entspricht jeder Folge v = Oh^ /ig, ^3,. . •) behebiger natiirlicher
Zahlen eine Folge TZ = (pi, pg, Ps, • • •) wachsender natiirlicher Zahlen der
Gestalt
PJ=:2"X-I, P2 = 2"^-^ + 2"^+'^^-^,
p __ 2"!—1 _[- 2*^i+"a~^ 4- 2**i+'*»+**~"-'^
(d. h. die Zahlen p^, pg — pi, Ps — P2? • • • bilden eine Teilfolge von 1, 2, 4,
8,. . .); ist n die Menge aller dieser Folgen n, so geht (5) in
JI
X = iSM^^M^^AP-, . .
liber. Damit ist, wenn wir zur Bezeichnung (1) zuriickkehren, der Satz
bewiesen:
II Es gibt eine jesle Menge N mn Folgen v = fuj, n^^ n^, . . .) wachsender
natiirlicher Zahlen derart^ dap die ds-Funktion
(1) X = l M, = i if„, M„, M^...
genau die von Wl erzeugten Suslinschen Mengen darstdlt.
137
o

94 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Sechstes KapiteL
Fnnktmengeii.
§ 20. Entfernung.
Wir haben bisher teils reine Mengen, teils solche mit Relationen
zwischen den Elementen (geordnete Mengen) betrachtet. Der zweiten
Klasse gehoren auch die Mengen an, die wir nun untersuchen wollen:
Mengen, in denen zwei Elemente eine Entfernung haben.
[46] 1. Metrische Baume. Es sei E eine Menge, deren Elemente wir jetzt
Punkte nennen. Jedem Punktpaar (x, y) sei eine reelle Zahl xy, die EnU
fernung beider Punkte, zugeordnet ^), also eine reelle Funktion xy = f{x^ y)
in [E, E) definiert. Hierfiir soUen die folgenden Entfernungsaxiome oder
-postulate gelten:
(a) XX =^ 0
(|3) xy = yx> 0 fur x::^y
(y) xy +yz>xz.
Das Axiom (y), das wichtigste unter ihnen, heiBe das Dreiecksaxiom
oder die Dreiecksungleichung (die Summe von zwei Dreiecksseiten ist
mindestens gleich der dritten). Die Menge E wird als metrische Menge,
Punktmenge oder metrischer Raum bezeichnet; bei der letzten Bezeichnung
wird vorwiegend an das Verhaltnis von E zu seinen Teilmengen und
Punkten, bei den ersten beiden an das Enthaltenseia von E in einem umfassenden
Raume gedacht.
Das nachstHegende Beispiel ist die Menge E^ der reellen Zahlen, wo
als Entfernung der absolute Betrag \x — y\ des Unterschiedes beider
Zahlen definiert wird. Sodann der n-dimensionale Euklidische Zahlenraum
En] seine Elemente sind die Komplexe
X = (Xiy X2f • • •} Xf^)
aus n reellen Zahlen; die Gleichheit ist wie (iblich (x = y so viel wie
^1 = 2/i? • • M ^n = yn) und die Entfernung durch
xy == V(x,-y^r + (xz -2/2)^ + • • • + K - Vnf
definiert, die Wurzel >0 genommen. Die Postulate (a)(/S) sind erfiillt,
auf den Beweis von (y) kommen wir zuriick.
Wenn zwei Raume eineindeutig und entfernungstreu aufeinander abgebildet
werden konnen (d. h. die Punkte x den Punkten | eineindeutig
so entsprechen, dafl xy = |?^), so werden sie isometrisch genannt. Z. B. ist
der £1 mit der Menge der Punkte (a;, 0) des £3 isometrisch. Isometrie, im
M Wenn Verwechselung mit einem Produkt in Frage kommt, wird statt
xy eine andere Bezeichnung zu wahlen sein.
138

§ 20.. Entfemung. 95
Grunde nichts anderes als die Kongruenz in der Elementargeometrie, ist
fiir metrische Mengen ein analoger Begriff wie Aquivalenz fiir reine, Ahnlichkeit
fiir geordnete Mengen (ein anderes, wichtigeres Analogon ist Homoomorphie,
§ 38); indessen ist es nicht notig, einen der Kardinalzahl und dem
Ordnungstypus entsprechenden Namen einzufuhren. Zwei isometrische
Raume, jeder im Verhaltnis zu seinen Punkten und Teilmengen betracMet,
konnen einfach als identisch angesehen werden (nicht aber zwei isometrische
Mengen in einem umfassenden Raum).
Ein dem E^ isometrischer Raum heifit ein n-dimemwmakr Euklidischer
Raum; x^,. , ,yX^heifien rechtwinklige Cartesische Koordinatendes Punktes
I, der dem Komplex x entspricM. Die isometrische Abbildung ist auf unendhch
viele Weisen moglich (Koordinatentransformation, orthogonale
Substitution). Unser idealisierteF Anschauunp- und Erfahrungsraum ist
ein dreidimensionaler Euklidischer Raum, seine Ebenen und Geraden sind
zwei- und eindimensionale Euklidische Raume; hieraus entspringen bekannte
geometrische Ausdrucksweisen auch fiir den E^ und andere Raume.
2. Lineare Biiume. Die Punkte des Euklidischen Zahlenraums waren
endliche Komplexe reeller Zahlen. Dies Verfahren laBt sich sofort verallgemeinem:
wir ordnen jedem Element m einer beliebigen Menge
M = {m, n, . ..}
eine reelle Zahl x^ zu (oder defmieren in M eine reelle Funktion), wodurch
wir den Komplex oder Punkt
X = (a;,,j, a;„, . . .)
mit den ^Koordinaten" o;,^, x^^ . , . erhalten. Gleichheit der Punkte bedeutet
Gleichheit samtlicher Koordinaten (x — y so viel wie x^^ = Vm ^^^
jedes 1718 M). Der Punkt
0 = (0, 0, . ..)
heiBt der Nullpunkt. Wir definieren Multiplikation eines Punktes mit einer
reellen Zahl oc und Addition von Punkten durch
(XX = {(XX^, «^m---)
wonach die Bedeutung von Zeichen wie —-x^x—y^ocx + ^y^ocx + ^y-i-yz
klar ist.
Wir sagen, drei Punkte x, y^ z liegen in gerader Linie oder sind kollinear,
wenn es drei reelle^ nicht samtlich verschwindende Zahlen oc, )5, y
gibt mit ax + fiy+Yz=-0, a + ^ + y==0.
Dabei kann y nicht 0 sein auBer tm x = y (dann liegt feder Punkt z mit
X, y in gerader Linie); fiir ^ =fr ^ kann^ da nur die Verhaltnisse (x: fi:y
in Betracht kommen, y = — 1 gewahit werden, und es liefert also
(1) z = ax + py, a + p=i
139

96 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
alle mit x^ y koUinearen Punkte z, deren Menge die durch re, y bestimmte
Gerade heiBt; z hangt von einer reellen Variablen oi oder p ab. Wird zu (1)
die Beschrankung ^ ^ 0, ^ ^ 0 hinzugefiigt, so erhalt man die durch rr, y
bestimmte (abgeschlossene) Strecke [x,y].
Man kann dies fortsetzen. Nennen wir k + 1 Punkte rr^, x^, . . ., %
linear abhdngig, wenn es eine Beziehung
^o^'o + ^1^1 ^ 1- ^ic^k = 0, ^0 + ^1 H rOc^^O
mit reellen Zahlen OCQ^OC^, . . .^oc^. gibt, die nicht samtlich verschwinden;
andernfalls linear unabhdngig. Sind XQ, X^, , ,., XJ^ linear abhangig, jedocb
o^i,..., rCfc linear unabhangig, so kann OCQ nicht 0 sein, und man erhalt,
indem man (XQ= — 1 setzt, alle von x^, ^ - -.Xj^ linear abhangigen Punkte %
in der Form
^0 = ^1^1 + ...+^jb^ib, ^i-i h%-=l;
sie hangen von A: — 1 reellen Parametern ab und bilden, wie man sich ausdriickt,
den durch rcj, . . ., % bestimmten {k — l)-dimensionalen Raum
/^i_i, bei Beschrankung auf ^i^O,. . ., ^^^^ ^^^ durch jene Punkte
bestimmte (k — iydimensionale Simplum Sj.__i. (/?i Gerade, R^ Ebene,
S^ Strecke, S^ Dreieck, 6*3 Tetraeder.)
Eine aus unseren Punkten x gebildete Menge E heiBe linear"^)^ wenn sie
mit zwei verschiedenen Punkten a;, y auch die ganze durch sie bestimmte
Gerade enthiilt; sie heiBe kom^ex, wenn sie mit a;, y auch die Strecke [x, y]
enthalt. So ist die oben erklarte Menge i?i_i linear, ^^—i konvex; einen
linearen Raum erhalt man auch, wenn man alle Punkte nimmt, deren
Koordinaten ein System linearer Gleichungen erfiillen. Der Durchschnitt
beliebig vieler linearer oder konvexer Mengen ist offenbar wieder linear
oder konvex. Ist E ein linearer oder konvexer Raum, A^E, so ist der
Durchschnitt K aller konvexen Mengen ^ A die kleinste konvexe Menge
'^A und wird als konvexe Hiille von A bezeichnet 2). K enthalt mit irgendwelchen
linear unabhangigen Punkten von A das ganze durch sie bestimmte
Simplum und ist einfach die Summe aller dieser Simpla.
Ist a ein fester Punkt, so werden durch
(2) ^ — x-\-a^x='^ — a
die Punkte x, ^ eineindeutig aufeinander abgebildet; man nennt diese^ Beziehung
eine Schiebung oder Translation. Dabei geht jeder lineare Raum
wieder in einen solchen uber und kann insbesondere in einen solchen (homo-
1) Bei Cantor u. a. lieiBen die Mengen auf der Geraden E^ linear.
2) Kleinste Mengen g A werden HiiUen^ groBte Mengen ^ A Kerne
von A genannt, mit einem kennzeichnenden Adjektiv (konvexe, vollstandige>
abgeschlossene HuUe; offener, insichdichter Kern). Die Existenz solcher groBter
und kleinster Mengen von irgendwelcher Eigenschaft mufi nattirlich bewiesen
werden.
140

§ 20. Entfernung. 97
gen linearen) iibergehen, der den Nullpunkt enthdlt, was wir nun voraussetzen
wollen. Ein solcher Raum E enthalt zu jedem Punkt x auch alle
Punkte OCX = OCX + (i — oc) ,0, und zu zwei Punkten x, y alle linearen
Kombinationen ocx + fiy (nicht nur'die mit ^ + /S = 1). Er wird durch
die Schiebungen (2), wenn a ein Punkt von E selbst ist, in sich transformiert.
Wir wollen E nun in der Weise zu einem metrischen Raum machen,
daB die Schiebungen isometrische Abbildungen werden, d. h. daB die
Punkte x^ y dieselbe Entfernung haben wie x + a, 2/ + ^» insbesondere
wie a; — t/, 0 oder O^y — x, Dadurch werden alle Entfernungen auf Entfernungen
vom NuUpunkte zuriickgefuhrt; bezeichnet man die Entfernung
des Punktes x vom Nullpunkt mit | x \ und nennt sie den Betrag von x^ so
ist xy = I ^ — ^ I die Entfernung zweier beliebiger Punkte. Man nennt
ein geordnetes Punktpaar (a;, y) auch einen Vektor und definiert die Gleiehheit
zweier Vektoren (a;, y)^ (|, rj) durch i^ — x = t; — |; Punktpaare, die
gleiche Vektoren liefern, haben also auch gleiche Entfernung (den Betrag
oder die Lange des Vektors).
Die reelle Funktion | x \ von x muB nun den drei Betragsaxwmen
genugen, die den Entfernungsaxiomen entsprechen:
(«o)|0|=0,
(^o)l^l = |-^|>0 fiir a:=t=0,
(ro)\^ + y\^\^\ + \y\'
Das letzte, das wir das Summenaxiom nennen, ergibt sich aus dem
Dreiecksaxiom (y), indem man a:, y^ z durch x^O, — y ersetzt. Umgekehrt,
wenn | x \ diesen Betragspostulaten geniigt, so geniigt
(3) xy=\x — y\
den Entfernungspostulaten; (y) folgt aus (y^) wegen
\x-z\ = \(x-7j) + (y -~z)\

98 Sechstes EapiteL Ponktmengen.
3. Beispiele linearer Baume. Der Euklidische Raum E^ entsteht,
wenn man den Betrag des Punktes
(4)
durch
X = (x^, x^,..., x^)
(5) |a;|=(a;f + a;| + ...+4)^
erklart. Der Beweis des Summenpostulats ergibt sich am kiirzesten durch
den bekannten SchluB: da die quadratische Form der reellen Variablen », v
^{X]c u + t/i-vf = au^ + 2buv + cv^
mit a = ^4» ^^^^kVh^ ^^-^Vl
nicht negativ ist, ist ihre Determinante > 0,
b

§ 20. Entferaung. 99
beiden Raume konnen als Euklidische R^ume, deren Dimensionenzahl die
Machtigkeit von M ist, bezeichnet werden.
Wenn man nicht an der Quadratsumme ^ + • • • + ^I? sondern an dem
1
Quadratmittel - (ajj + • • • + ^S) den Grenziibergang n -> oo vollzieht, so
kommt man auf Integrals, Wenn z. B. M das Intervall a1)
definieren. Die Summenungleichung, hier Minkowskische Ungleichung genannt,
beweisen wir so. Fur positive x^ | gibt die Taylorsche Formel
o:^ = P + p^^-Hx - I) + ^^P~^^ er^ix - 1)^-
di zwischen a:, |), also bei Weglassung des nichtnegaitiven RestgUedes
Ersetzt man darin, fiir positive y^rj, x und | durch . '^ ^-jr—^ ®^
^-•^ = (^ + rjr-il'' x+y ^^ 'I + Jjj
143

100
Sechstes Kapitel. Pnnktmengen.
Vertauscht man ar, | mit y, jj und addiert, so wird
a*
tp—1 7? ,P-i r > {x + yf
p—i-
Hierin setze man Xj^, yj^ (A: = 1, 2,.. ., n) fiir x, t/, ferner
^^^2x1,
und summiere nach A, dann folgt
if-2yl
Oder 1 1 1
CSrrp^ + (2yl)v ^ (2(:r, + y,)^yp.
Dies gilt fiir positive, natiirlich auch fiir nichtnegative Xj^, j/j^.; fiir
beliebige erhalt man, wegen \xj^\ -\- \yj^\^\x^-\- y^\,
1 i_ I
(2 I x^ \^f + (2\y^ n>^(2\xj, + 2/, IT,
also die zu beweisende Ungleichung.
[48] Der mit dem Betrag (10) definierte Raum mag etwa der pseudo-Eiiklidische
n-dimensionale Raum £J genannt werden.
Die bisher > 1 angenommene Zahl p kann librigens auch = 1 gesetzt
werden, also die Betragsdefinition
(11) l^l = l^ll + l^2l + -" + l^n|.
Andererseits kann man sagen, daB dem Grenzfall p = oo die Betragsdefinition
(12) |a;|-:max[|a:J, \x^\, . , .,\x^\-\
entspricht; denn wird dieser groBte unter den Betragen | x^ \ mit ^ be-
zeichnet, so folgt aus (10) I ^ i ^ I ^ w^-1, also fiir /? -> oo | x | -> |.
Fiir diese beiden letzten Betragsdefinitionen ist iibrigens die Summenungleichung
trivial.
Deutet man x^^ X2 als rechtwinklige Koordinaten
in der Euklidischen Ebene, wodurch man
den E^ eineindeutig (aber nur fiir p == 2 isometrisch)
auf diese abbildet, so ist es nicht ohne
Interesse, sich die ,,Eichkurve" | aj^ P + | rcg 1^
= 1, das Biid des „Einheitskreises" | a; ] = 1,
vorzustellen. Fiir p — 2 ist es der Euklidische
Einheitskreis, fiir p = 1 das ihm eingeschriebene
Quadrat mit den Ecken (± 1,0) und (0,± 1),
Fig. 1. fiir p = 00 das ihm umschriebene Quadrat mit
den Ecken (± 1, + 1). Fiir die iibrigen p verlauft die Kurve in den
entsprechenden Zwischengebieten. — Fiir n — 2 liefert p = 2 die Euklidische
Einheitskugel, p = 1 ein ihr eingeschriebenes Oktaeder, p = 00
einen ihr umschriebenen Wiirfel.
144

§ 20. Entfernung. 101
Die dem Grenziibergang n -• oo entsprechenden Raume ergeben sich
wie im Falle p = 2; so der pseudo-Hilbertsclie Raum tP als Raum der
Zahlenfolgen, fiir die | a^j |^ + | rcg P + * * * konvergiert. mit der Betragsdefinition
1
(13) \x\ = {\x^\v^\x^\^+ •••)»,
der Raum der stetigen Funktionen x = x (t) mit
(14) \x\ = U\x(t)\vdiy
Tisw. Fiir p = oo ist die sachgemaBe fjbertrageng von (12): Rsium der
beschrdnkten Zahlenfolgen mit
(15) |x| = sop|ar„l;,
was sich ohne weiteres auf Komplexe mit beliebigem Trager ausdehnen laBt.
Bisher haben wir als Betrag von x stets eine symmetrische Funktion
der Koordinaten gewahlt; wenn man darauf verzichtet, laBt sich der Kreis
der Beispiele sehr erweitern. So kann man den beschrankten Zahlenfolgen
X = (Xi^ 0:2? • • •) die Betrage
U' I = ^1! %! + ^21 ^21 H
zuordnen, wo c^ + Cg + * • * eine feste konvergente Reihe positiver Zahlen
ist. Oder: wir definieren den Betrag einer (reellen) Matrix
X = /Xij . . . X^^\
^jnl • • • ^mnJ
folgendermaBen: es sei
v-i = ^^ik^h (*' = 1, . , ., m; /c -: 1, . . ., n)
und I X I das Maximum von (2v\)^ unter der Bedingung 2u\—i. Man
sieht leicht, daB | a: j die Betragsaxiome erfiillt, also die Entfernung \x — y \
die Menge der Matrizen (aus mn Elementen) zu einem metrischen Raum
macht. Man kann den Exponenten 2 wieder durch p ersetzen und den
t)bergang zu unendlichen Matrizen machen.
4. Bairesche Baume. Ist x —(x^^ x^^. -«) eine Folge reeller Zahlen oder [49]
auch von Elementen beliebiger Mengen (X^BA^^ und ist m{x^y) die erste
Differenzstelle fiir zwei Folgen x^y^ d. h. die durch
^m + Vm, ^n ^ Vfi ^^^ n< M
defmierte natiiriiche Zahl, so erhalt man eine zulassige Entfemungsdefiiiition
durch
(16) XX = 0^ xy == 1: m(x^y) fiir x^y.
Hier gilt das Dreiecksaxiom sogar in der scharferen Gestalt
145

102 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
^2 < max[a;y, yz],
Denn unter der Voraussetzung, daB alle drei Folgen verschieden sind
(andernfalls ist nichts zu beweisen), hat man
m(x, z) > min [m(x, y), m(y,z)],
weil, die rechte Seite = m gesetzt, tur n< m Xn = y^ und y^ = z^, also
Xn = Zn und daher m(x^ ^)^^ ^^^' Diese Raume heiBen Bairesche Rdume;
insbesondere entsteht der Bairesche Nullraum, wenn man die x^ alle natiirlichen
Zahlen durchlaufen laBt.
»• Der p-adisclie Baum* p sei eine natiirliche Primzahl, i> eine Zahl
des Intervalls 0 < ^ < 1, beide fest gewahlt. Man kann dann jeder rationalen
Zahl x einen Betrag oder besser, da man hier eine Verwechslung vermeiden
muB, eine „Bewertung" ||a;|| in folgender Weise zuordnen:
(17) II 0 II = 0, II aj II = ^«» fiir x^O,
wo m(x) diejenige ganze Zahl m (^ 0) bedeutet, fiir die x genau durch p"*
teilbar, d. h. ar = p^ XQ und XQ Quotient von zwei nicht durch p teilbaren
ganzen Zahlen ist. Das Summenaxiom gilt hier wieder in der scharferen
Form ||^ + 2/l| min [m{x), m(y)];
ist namlich x = p^ XQ^ y — p^ y^ und etwa m

§ 21. Konvergenz. 103
gleich der ihrer Projektionen: z^^z^^x-^x^. — Man kann diese Produktbildung
ohne weiteres auf jede endliche Zahl von Faktoren ausdehnen.
§ 21. Konyergenz.
1. Im metrischen Raume E sei (a^j, o^g,. . .) eine Punktfolge. Wenn es
in E einen Punkt x gibt derart, daB die Entfernung xx^ mit yi -> oo nach 0
konvergiert:
lim xXn=^ 0 oder xx,j^ -> 0,
so heiBt die Folge in E konvergent und x ilir Limes (Grenzpunkt), in Zeichen
lim x^ — X oder x^-^ x,
Es kann natiirlich nur einen solchen Punkt geben, denn aus a:rr„->0,
yx^->Q folgt nach dem Dreiecksaxiom xy = 0, x = y. AUgemeiner: fiir
zwei in E konvergente Folgen x^-^x^ yn-^V ist
(1) ^nVn-^^y-
Denn nach der Dreiecksungleichung ist
^^iVnS^n^ + ^y -T-yyn,
Xy

104 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
I ^ I = (^? + ^2 + ' • •)'
ist mindestens gleich dem Betrag einer Koordinate, | ^ | > | ^jt I; also die
Entfernung \x —• y \>\Xj^ — yj^\. Bilden also die Punkte ^)
**/ — ^u/j, o/g, . . ., ^jj., • • •;
eine Fundamentalfolge, so bilden ihre k-ien Koordinaten erst recht eine
und haben einen Limes
Xig = lima:]J;
n
setzen wir dann x = (a-j, % . . ., a;;^, ...) •
Bei vorgeschriebenem e >0 ist \x^ ~ x^ \< e fiir geeignetes m und
jedes n >m^ also
J^(a;;^-4")•^ oo
2ixj:-x^f

§ 21. Konvergenz. 106
1 o:^ — a; I -> 0, also | a; — 11 = 0 vorhanden sein soil, so mu8 die NuUfunktion
re — | an ihren Stetigkeitsstellen verschwinden, x an den Stetigkeitsstellen
von f mit I ubereinstimmen. Die einfachsten Beispiele
lehren bereits, daB eine solche stetige Funktion x nicht zu existieren
braucht: man lasse etwa l{i) an einer einzigen Stelle c zwischen a
und h einen Sprung mit |(c — 0) 4= l(c + 0) machen und sonst stetig
sein. Auch der Raum der im Riemannschen Sinne integrablen Funktionen
ist aber noch nicht voUstandig (erst der Raum der Funktionen,
fiir die x(f) und sein Quadrat im Lebesgueschen ^) Sinne integrabel ist).
Auch die pseudo-Euklidischen und der pseudo-H ilbertsche Raum sind
vollstandig; insbesondere dem Grenzfall p = oo entsprechend der Raum
der beschrankten Zahlenfolgen mit der Betragsdefinition
! x I == sup j x^ I.
Hier ist auch der Raum der stetigen Funktionen x(l) mit d@p Betragsdefinition
I ^. I == jnax I x{i) 1
•vollstandig; denn eine Fundamentalfolge stetiger Funktionen konv«rgiert
alsdann gleichmdliig gegen eine, mithin ebenfalls stetige Grenzfunktion x(t).
Die reellen Zahlenfolgen a:= {x^^ x^;^.. .) bilden auf Grtmd der Betragsdefinition
/ 1 \ 1
\x\^m{ [xi + 0^2 -\- ' ' ' + 4 + ;^j^
deren Zulassigkeit der Leser beweisen moge, einen vollstandigen Raum,
worin die Konvergenz x^ -^ x mit Konvergenz samtlicher Koordinaten
(x\ -> x^^ x\-^ x^^^ . , ,) gleichbedeutend ist.
Der B aire sche Raum (S. 101) der Elementfolgen
X = (a^i, rCg, - • •)
ist vollstandig, wenn die x^. unabhangig voneinander alle Elemente gegebener
Mengen Aj^ durchlaufen. Denn bilden die Punkte
X = {Xi^ %, . . .)
•1
eine Fundamentalfolge, so ist, fiir jede natiirliche Zahl /c, x^x^ < T fiir
geeignetes m und jedes n > in, was aber nach der Definition der Entfernung
zur Folge hat, daB x*^ = xf^^ = x^'^^ = «. .. Nennen wir dies
Element Xj^ und bilden die Folge
SO stimmt x^ in einer, mit n gleichzeitig nach oo strebenden Zahl k won
Anfangselementen mit x liberein, d. h. xaf^ -• 0.
^) Die Lebesguesche MaB- und Integraltheorie wird in diesem Buche nicM
behandelt und die Bekanntschaft mit ihr nicht vorausgesetzt. Der Leser, der die
obige Anspielung auf den RIesz- Fischerschen Satz nicht versteht, betrachte
sie als nicht vorhanden.
149

106 Sechstes Kapitel. Ponktmengen.
3. VervoUstandigungeinesRaumes. Wie wir in § 11 die Dedekindsche
Theorie der Irrationalzahlen als Vorbild zur Ausfiillung derLiicken geordneter
Mengen genommen haben, so konnen wir nach dem Muster der
Cantor-Merayschen Theorie, welche die Irrationalzahlen durch Fundamentalfolgen
rationaler Zahlen definiert, jeden metrischen Raum E zu einem
voUstandigen Raum E erweitern, dessen Elemente die Fundamentalfolgen
aus Punkten von E sind. Bemerken wir zunachst:
(a) Fiir zwei Fundamentalfolgen |, rj existiert immer lim x^y^,
m der i at ist ^ «. % .. .) ist a;| = lima;a;,t. Insbesondere ist die Entfernung zwischen
f und einem seiner eigenen Punkte x^
X^ s ^^^ lllti X^ X^.
n
Diese konvergiert fiir m -> oo nach 0; denn wahlt man m so, daB fiir w > m
stets x^x^ < €, so ist a:„,| < s, a;^ | < 2e fiir n> m. Daher kann man
zu jedem | ein x mit beliebig kleinem xi bestimmen (E ist in E dicht, § 25).
Nennen wir fiir den Augenblick, der DeutUchkeit wegen, die Folgen
von Elementen | Sequenzen. Ist (l^, ^^i • • •) ^^^^ Fundamentalsequenz,
1
so bestimmen wir zu jedem ^„ ein x^^^ mit x^^^ < " 5 nach der Bemerkung
150

§ 21. Konvergenz. 107
(j8) bilden die x^ dann eine Fundamentalsequenz in E oder eine Fundamentalfolge
| = (x^, Xz,...) in E. Demnach ist | rr^ -> 0, auBerdem Xn In"^ 0,
also ^|^->0 nach dem Dreiecksaxiom, d. h. ^^ ko'nvergiert nach ^ und
der Raum E ist voUstandig.
Nennen wir die Menge E in ihrer Abhangigkeit von E jetzt E (Menge
der Fundamentalfolgen aus E). Fiir einen voUstandigen Raum F ist F= V,
Ist E in dem voUstandigen Raum V enthalten, so ist E^Y = f\ also
auch JB in y enthalten: E ist der kleinste mllstdndigeRaum^ in dem E enthalten
ist^ und soil die vollstdndige Hiille ^) von E heiBen. Allerdings haben
wir dabei die Punkte x von E mit den konstanten Folgen {x^x^.,,) oder,
wegen der Gleicbheitsdefinition fiir Fundamentalfolgen, mit den nach x
konvergenten Folgen (rc^, %,...) identifiziert. Will man diese Verwechslung
isometrischer Raume vermeiden, so kann man sagen: ist V ein vollstandiger
Raum ^ E^ so konvergieren alle Fundamentalfolgen aus E nach
Punkten x von F, und die Menge E dieser Punkte x heiBt eine vollstdndige
Hiille von E\ alle voUstandigen Hiillen von E sind isometrisch und zwar
derart, daB bei der isometrischen Beziehung die Punkte von E sich selbst
entsprechen.
4. Kompakte Mengen. Es sei Xj, eine Teilfolge der Folge x^, ausfiihr- [5i]
licher: {x^^^ x^^^...) eine TeUfolge von (x^^ x^^. . .), wo pi < pg < ' * * ^^^e
Folge wachsender natiirlicher Zahlen ist. Wenn x^ eine konvergente Teilfolge
XM *• X hat, so heiBt x ein Hdufungspunkt der ganzen Folge rr„. Dafiir
ist notwendig und hinreichend, daB fiir jedes £ > 0 unendlich oft xx^ Pi "lit xXj,^ < J, ein
P3 > p2 mit xXp^ x.
Wir definieren nun:
Eine Teilmenge A des Raumes E heijit in E kompakt^ wenn jede Punktfolge
XnsA eine in E konvergente Teilfolge^ d. h, einen Hdufungspunkt in
E hat.
Eine Menge A hei/it bedingt kompakt, wenn jede Punktfolge x^eA eine
Fundamentalfolge als Teilfolge hat
Eine in sich kompakte Menge E ist pollstdndig, E sei in sich kompakt,
d. h. in £; jede Fundamentalfolge aus E hat in E einen Haufungspunkt,
der aber in diesem FaUe der Limes der ganzen Folge ist.
Eine im Raume E kompakte Menge ist bedingt kompakt. Umgekehrt,
eine bedingt kompakte Menge A ist in einem geeigneten Raume E^A
kompakt, z. B. in einem voUstandigen Raum E fetwa in der voUstandigen
^) Vgl. die Anmerkung S. 96.
151

108 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Hiille A); denn dort hat jede Fundamentalfolge einen Limes, also jede
Punktfolge Xf^sA einen Haufungspunkt. Genauer gilt:
I. Dann und nur dann^ wenn E vollstdndig ist, ist jede bedingt kompakie
Teilmenge von E auch in E kompakt,
Denn wenn E nicht vollstandig und x^ eine Fundamentalfolge ohne
Limes ist, wobei wir offenbar die x^ paarweise verschieden annehmen
konnen, so ist die Menge A = {x^, x^, . . .} zwar bedingt kompakt, aber
nicht in E kompakt.
Die bedingt kompakten Mengen sind also die, die in geeigneten Raumen
kompakt sind.
Um die bedingt kompakten Mengen zu charakterisieren, stellen wir
noch folgende Definitionen auf.
Eifie Menge A hei^t beschrdnkt, wenn die Enifernungen Hirer PunkU
paare eine endliche obere Grenze haben; diese wird der Durchmesser d(A)
von A genannU
Eine Menge A heifit total beschrdnkt^ wenn sie sich fUr jedes d> Q
als Siimme endlich vieler Mengen von Durchmessern < 6 darstellen Id/it.
Jede total beschrankte Menge ist erst recht beschrankt. Im Euklidischen
Raume £p sind beschrankte Mengen auch total beschr&nkt, denn
ein Wiirfel laBt sich, indem man seine Kanten in n gleiche Teile teilt, in
n^ Teilwiirfel teilen, deren Durchmesser mit wachsendem n beliebig klein
werden. Im Hilbertschen Raum ist z. B. die Menge der Punkte
(1, 0, 0, 0, . . .)
(0, 1, 0, 0, , . .)
(0, 0, 1, 0, . . 0
zwar beschrankt, aber nicht total beschrankt; denn die Entfernung zweier
Punkte ist ^2 und f iir d ^,
einen dritten a^ mit a^a^, «2^3^^ usw., kurz, wir suchen, so lange es
geht, Punkte, die paarweise Entfernungen > Q haben. Solcher Punkte
kann es nur endlich viele geben, etwa %, ag,. . ., «„, da wir andernfalls
eine Folge erhielten, von der gewiB keine Teilfolge eine Fundamentalfolge
ist. Nunmehr hat jeder Punkt x e A von mindestens einem dieser Punkte
ajg eine Entfernung < ^, da man sonst den Punkt x noch den Punkten a^
hatte hinzufiigen konnen. Ist also Aj^ die Menge der Punkte xeA mit
xajc < ^, so ist i4 = ^1 + ^2 + • • • + ^n uJ^d jede Menge Aj^ ^^^ einen
Durchmesser < 2 ^. A ist also total beschrankt.
152

§ 22. Innere Piinkte und Randpunkte. 109
Umgekehrt sei A total beschrankt. Stellt man es als Summe endlich
vieler Mengen Aj^ mit Durchmessern < 6 dar und ist x^ eine Punktfolge
aus A^ so mu6 mindestens ein Summand Aj^ unendlich viele x^ enthalten;
wir konnen sagen: jede Punktfolge x^ hat eine Teilfolge x^ von beliebig kleinem
Durchmesser < d (d. h. in der zwei Punkte eine Entfernung < d haben).
Danach bilden wir von den x^ eine Teilfolge
vom Durchmesser < 1, von diesen x^ eine Teilfolge
vom Durchmesser

110 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
A sei eine Punktmenge. Wenn ein Punkt x von A so beschaflfen ist,
daB es eine Umgebung U^^A gibt, so heiBt er ein innerer Punkt, andernfalls
ein Randpunkt von A. Die Menge der inneren Punkte sei Ai, die der
Randpunkte il„ womit die Spaltung in disjunkte Summanden
A==Ai + Ar
gegeben ist. Ai heiBe der offene Kern (aus einem nachher ersichtlichen
Grunde), A^, der Rand von A. Eine Menge, die aus lauter inneren Punkten
[52] besteht (A^, = 0), heilie eine offene Menge; eine, die aus lauter Randpunkten
besteht (^4^ = 0), eine Randmenge'^),
Wir geben einige Beispiele aus der Euklidischen Ebene E mit rechtwinkligen
Koordinaten x^, x^,
A sei eine Kreisflache mit Peripherie, z. B. ^i + ^| ^ 1- Die Peripheriepunkte
(x\-\- x\=^ i) sind Randpunkte, die iibrigen innere Punkte.
A sei eine Kreisflache ohne Peripherie, rcj + a^g < 1; sie ist offen.
A sei eine Kreislinie, x\-{- x\=^ i\ das ist eine Randmenge.
A sei die Menge der „rationalen Punkte", d. h. derer mit zwei rationalen
Koordinaten, E — A die Menge der „irrationalen Punkte", d. h.
mit mindestens einer irrationalen Koordinate; beide sind Randmengen.
/(^i> ^2) sei eine stetige Funktion. Die Menge [/ > 0], soil heiBen
die Menge der Punkte x wo fix^, x^ > 0, ist offen. Z. B. das Innere
x^ ofi
einer Ellipse: 1 — -| i > 0.
Das gilt fiir jeden Raum. Ist jedem Punkt x von E eindeutig ein
Punkt y == j{x) eines andern oder desselben metrischen Raumes zugeordnet,
so heiBt diese Funktion im Punkte x stetig, wenn eine der beiden
gleichwertigen Bedingungen erfiillt ist:
(1) Wenn Xn nach x konvergiert, konvergiert y^ =• f{Xn) nach y = f{x).
(2) Ist y = f{x), 7} = /(I), so wird, wenn x | hinldnglich klein ist, yrj
beliebig klein, d. h. zu jedem o* > 0 laBt sich ein g > 0 so bestimmen, daB
mit x^ < Q zugleich yrj < a ist. Dabei ist x festzuhalten.
Ist /(re) in jedem Punkte x stetig, so heiBt sie stetig schlechthin. Wir
kommen auf die stetigen Funktionen ausfiihrlich zuriick. Einstweilen
aber konnen wir sagen:
I. Ist f{x) eine reelle stetige Funktion, so ist die Menge [/ > 0] offen.
Denn ist y = f{x) > 0, so laBt sich zu gegebenem a > 0 ein passendes
^ >0 finden derart, daB fiir a;|< p zugleich \y — rj \< a, also (wenn
(^< y gewahlt wird) 7] >y — or > 0 ist. D. h. es gibt eine Umgebung U^{Q), fiir
deren Punkte ^ auch noch /(|) > 0; a; ist innerer Punkt der Menge [/> 0].
Wir woUen uns iiberzeugen, daB auf diese Weise alle offenen Mengen
erhalten werden konnen. Bezeichnen wir fiir einen Punkt x und eine
Menge Bz^O als untere Entfernung
^) In beiden Fallen ist die NuUmenge mitzuzahlen.
154

§ 22. Innere Punkte irnd Randpuokte. HI
d(x,B) = info;!/
peB
die untere Grenze der Entfernungen des Punktes x von den Punkten y
der Menge B. Aus xy0] mit A ideniisch ist.
Aus I folgt, daB die Umgebungen offene Mengen sind; denn Q — ax
ist stetige Funktion von x und positiv in der Menge UaiQ)-
Mit A^B ist natiirlich A^^B^; A^ ist eine ^^monotone^^ Funktion
von A.
Die Menge Ai ist stets offen, da sie oben als Menge [/ > 0] mit stetigem
f{x) dargestellt wurde. Ist B offene Teilmenge von A, so ist B = B^^ Ai^
also Ai die grofite offene Teilmenge von A, daher der Name offener Kern
von A im Einklang mit der S. 96 getroffenen Verabredung.
Die Menge Aj. ist stets eine Randmenge.
Sind il, 5,... beliebig (auch unendlich) viele Mengen,
deren Summe und Durchschnitt, so folgt aus der Monotonie jedenfalls
Si^Ai + Bi + -'-, Di^AiB,^,
Dagegen gilt fiir endlich viele, z. B. zwei Mengen, scharfer:
mit D = AB ist Di^AiBi.
Denn xeAiBi hat eine Umgebung U^A und eine Umgebung V^B'^
die kleinere der beiden Umgebungen gehort dann zu D.xeDi, Also
AiBi^Di; andererseits war Di^AiBi.
Hieraus folgt ohne weiteres:
III. Die Summe beliebig vieler und der Durchschnitt endlich pieler offener
Mengen ist meder eine offene Menge,
155

112 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Denn mit denobigen Bezeichnungen ist S^^S, also 6*^ = 6", und Di=D,
— Der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen braucht nicht offen
zu sein. In der Euklidischen Ebene ist der Durchschnitt konzentrischer
1
offener Kreisflachen mit den Radien Q ~\- - (n = i^ 2^. . ,) die KreisflSche
vom Radius Q mit Peripherie; jeder Punkt ist der Durchschnitt seiner Um-
1
gebungen mit den Radien —.
Eine Summe beliebig vieler Umgebungen ist offen, und jede offene
Menge r:^ 0 kann so dargestellt werden, etwa als Summe aller in ihr enthaltenen
Umgebungen.
Sei B das Komplement von A^ E ~ A + B, Die inneren Punkte von
B heiBen auch du/iere Punkte von^) A, und umgekehrt. Die Rander beider
Mengen vereinigt ergeben die Begrenzung (Grenze) von A und von B:
A^ = Ar + B, = B,.
Ist z. B. A eine Kreisflache in der Ebene, gleichviel ob mit oder ohne
Peripherie oder mit einem Teil der Peripherie, so ist die Begrenzung in
jedem Fall die Kreisperipherie. Ist A die Menge der rationalen Punkte,
so ist Ag gleich der ganzen Ebene.
Die Begrenzung einer offenen Menge reduziert sich auf den Rand
des Komplements {Ag = B^), ist also eine Randmenge. Die Begrenzung
des ganzen Raumes oder der Nullmenge ist die Nullmenge^).
[53] § 23. Die a-, /?-, 7-Punkte.
A sei eine Punktmenge im Raum E, x Punkt von E (nicht notwendig
von A): Wir definieren: x heiBt ein
o(-Punkt , /S-Punkt , y-Punkt
von A^ wenn jede Umgebung U^
mindestens einen Punkt, unendlich viele, unabzahlbar viele Punkte
von A enthalt. Die Mengen der oc-^ jS-, y-Punkte seien A^c^ A^^ Ay.
Die /3-Punkte heiBen auch Ildufungspunkte, die y-Punkte Verdichtungspunkte^
die Menge Aj^ die Ahleiiung von A.
Es wird also verlangt, daB der Durchschnitt A U^^ fur jedes U^^ mindestens
die Machtigkeit 1, ^

§ 23. Die a-, p', y-Pimkte. 113
und sagen: x ist ein A-Punkt von A^ wenn jedes AU^ mindestens die
Machtigkeit kx hat; die Menge der A-Punkte sei -4;^ (A = a, ^, y).
Ein Haufungspunkt x von A kann auch so erklart werden: jede Umgebung
U^ enthalt mindestens einen von x verschiedenen Punkt von A.
Beispiele aus der Euklidischen Ebene Ei
A Kreisflache ohne Peripherie: ^^ = 4^ = ^^ = Kreisflaehe mit
Peripherie.
A Menge der rationalen Punkte: ^« = ^^ = JB, Ay = 0.
A Menge der irrationalen Punkte: Ag^^ A^ — Ay — E,
A Menge der ganzzahligen Punkte: A^ = A^ A^ = Ay = 0.
A sei (Fig. 2) die Menge der Punkte (%, a^s) = (—, ~ I, wo /i die Reihe
der Zahlen 1, 2, 4, 8, , . . und m alle ganzen ZaMen ^ 0 durchlauft. A^ ist
die Gerade Xg = 0, ^« = ^ + A^^ Ay = 0.
Mit dem Limesbegriff, statt mit dem Umgebungsbegriff, lassen sich die
A-Punkte folgendermaBen erkliren. Die ac-Punkte sind offenbar genau die
Limespunkte x = lim a^i, der (in £) ,
konvergenten Folgen vonPunkten
aus A (UnsA); die j8-Punkte die-
Jenigen unter ihnen, die sich mit . « , . .
a; z}z a» darstellen lassen. Oder
auch: die jS-Punkte sind ^-Punkte . ] . *
jeder Menge, die aus A durch ^ -_- ^
Tilgung endlich vieler Punkte ent- ^ig- 2.
steht, und vice versa; die y-Punkte sind a-Punkte jeder Menge, die aus
A durch Tilgung von endlich oder abzahlbar vielen Punkten besteht, und
vice versa. Haufungspunkte von Folgen aus A (S. 107) sind nicht iiotwendig
Haufun^punkte von Aj aber jedenfalls ^-Punkte.
Wir wollen im AnschluB an die Mengen Ax noch einige Bezeiehnungen
einfiihren, deren Fiille den Leser vielleicht am wenigsten verwirren wird,
wenn wir radikal verfahren und auch die erst spater mehr hervortretenden
Glieder des Systems schon jetzt bringen. Es handelt sich um die Durchschnitte
der Ax nait A und die Komplemente dieser Durchschnitte in A^
wobei wir A^ wegen AAg^ = A auBer Spiel lassen konnen. Wir setzen

114 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
selbst enthalt; er heiBt daher ein isolierter Punkt von A und die Menge A^
der isolierten Punkte der isolierte Teil von A. Cantor bezeichnet auch Aj
[54] als Adhdrenz, Aj^ als Kohdrenz von A. Ein Punkt von Ay, hat, da er nicht
Verdichtungspunkt ist, eine Umgebung, die hochstens abzahlbar viele
Punkte von A enthalt; er heiBt ein unverdichteier Punkt von A und A^ der
unverdichtete Teil von A. Auf die Mengen A^^ A^, kommen wir erst spater
(§ 25) zurxick.
AuBer den trivialen Relationen
A^^A, A^^A^^A^., A^Aj^^A,
gilt, ebenfalls ganz leicht einzusehen,
(2) A^ = A + A^,
woraus man mit disjunkten Summanden
(3) A, = (A--Aj,)+A^==A + (A^ - ^,)
erhalt; der isolierte Teil von A ist also
(4) Aj=: A - Aj, = A^- A^,
wahrend A^ — A = A^ — Af^
die Menge der nicht zu A gehorigen Haufungspunkte von A ist.
Die Menge A heiBt
isoliert^ wenn AJ^ — 0^ Aj = A
insichdicht^ wenn Aj = 0^ AJ^ — A^
wenn sie also aus lauter isolierten oder lauter Haufungspunkten besteht.
(Wir schreiben insichdicht in einem Wort, da nach einer spateren Definition,
§ 25, jede Menge in sich dicht ist.)
Beispiele. In der Ebene ist die Menge der rationalen Punkte insichdicht,
die der ganzzahligen isoliert; jede Menge, die iiberhaupt keinen
Haufungspunkt hat, ist isoliert, insbesondere jede endliche Menge. Die
Zahlenmenge {1, |^, J, . . .} ist isoliert, da ihr einziger Haufungspunkt 0
ihr nicht angehort; ebenso die Menge A in Fig. 2.
Die Menge Aj kann keinen Haufungspunkt ihrer selbst (der ja auch
Haufungspunkt von A ware) enthalten, ist also selbst eine isolierte Menge.
Wohl aber kann Ah isolierte Punkte ihrer selbst (die dann nicht isolierte
Punkte von A sind) enthalten, braucht also nicht insichdicht zu sein.
Fiir die Zahlenmenge A = {1, i, I, • • ., 0} ist ^^^ = {0} sogar isoliert. Mit
Verwendung mehrerer Indices, die von links nach rechts zu lesen sind, so daB
z. B. Ajh = (Aj)f^ und A^j ~ {Ah)j bedeutet, ist also
Ajj = Aj^ Ajh = 0,
wahrend nicht A^^ = A^^ A^j = 0 zu sein braucht.
Die Bedingung der insichdichten Menge kann A ^A^ geschrieben
werden. Das veranlaBt zu weiteren Definitionen: die Menge A heiBt
158

§ 23. Die «-, /5-, y-Punkte. 115
insichdicht^ wenn A^A^
abgeschlossen^ wenn ^ ^ ^^
perfekt, wenn ^ = yl^, [55]
wenn also jeder Punkt von A Haufungspunkt ist, bzw. wenn jeder Haufungspunkt
Punkt von A selber ist, bzw. wenn beides zugleich gilt. Man
kann dies nacli (2) auch durch Gleiclmngen ausdrucken, indem namlich
Ace einem der Summanden A^A^ oder beiden gleich wird: die
Menge A ist insichdicht, wenn A^ = A^
abgeschlossen, wenn A^== A
perfekt^ wenn A^ = A^ == A,
Zitieren wir wieder die einfachsten Beispiele aus der Ebene;
A Kreisflache ohne Peripherie: insichdicht.
A Kreisflache mit Peripherie und einem auBerhalb liegenden Punkt:
abgeschlossen.
A Kreisflache mit Peripherie: perfekt.
Mengen ohne Haufungspunkte {A^ = 0), insbesondere endliche, zahlen
natiiriich zu den abgeschlossenen. Die NuUmenge ist alles: isoliert, insichdicht,
abgeschlossen, perfekt (offen, Randmenge).
Mit A^B ist natiiriich Ai^B^ {K == oc/li,f), A^^B,,, A^.^B^;
diese Mengen verhalten sich monoton, aber nicht die Komplemente Aj-, A^*
Ferner ist (iiber die Bedeutung mehrfacher Indices s. oben)
(5) Aj,^=:Ax (A = ^, i8,y)
(6) A,^, = A^.
Beweis von (5). Ist a;^^;^^, so enthalt jedes U^ einen Punkt ysA^^ es
gibt aber, weil Ua: offen ist, ein Uy g U^^ Uy utid demnach f/j^ enthalt
mindestens/c;i Punkte von ^, ^mxsAi, Demnach ist JL;^^ ^ .4;i, andererseits
war Aioc^Ax.
(5) hesSigi: Die Mengen A)^sind abgeschlossen. Fiir Jede abgeschlossene
Menge B^A gilt B = B^^A^^: A^ ist also die kleinste abgeschlossene
Menge Uber A^ die abgeschlossene Hiille von A (S. 96).
Beweis von (6). Ist XEA^^P^ so enthalt jedes U^ einen von x
verschiedenen Punkt ysAcc, Man wahle eine Umgebnng Uy

116 Sechstes KapiteL Punktmengeu.
deren Summe tind Durchschnitt, so folgt aus der Monotonie
Scharfer gilt fiir endlich viele, z. B. zwei Mengen:
(7) mitS:=^A+B ist S^^^A^ + Bx. (A = a, ^,y).
Es braucht nur bewiesen zu werden, daB Si^A^ + Bx oder, daB ein
Punkt a;, der nicht zuAi + Bi gehort, auch nicht zu S^ gehort. Nun gibt
es, wenn x weder von A noch von B A-Punkt ist, Umgebungen U^, V^
derart, daB A U^^ B V^ von Machtigkeiten < k^ sind, und ist etwa U^ die
mit kleinerem Radius, so ist auch SU^ = AU^ -\- BU^ von einer Machtigkeit
< ki^ X auch von S kein A-Punkt.
Daraus folgt:
I. Die Summe endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener
Mengen ist abgeschlossen,
Dieser Satz ist mit dem Satze § 22, III ganz gleichbedeutend, denn es
gilt:
II. Die offenen und die abgeschlossenen Mengen sind Komplemente {^oneinander,
Denn hi E == A -\- B und x ein Punkt, so enthalt entweder jedes U^
einen Punkt von A {xeA^) oder es gibt ein C/g. mit AIJ^ = 0^ U^^B
(xeBi), Also:
(8) mit E = A+B ist £ = ^« + ^^ == 4,. + 5«.
Daraus folgt 11. Die Begrenzung jeder Menge ist abgeschlossen; denn
Ag — Af + Br ist Komplement der offenen Menge A^ + Bi^ oder Ag == A;^B^
ist Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Mengen.
Die abgeschlossenen Mengen konnen danach wie die offenen (§ 22,
III) durch reelle, im Raum E stetige Funktionen f(x) charakterisiert werden.
Die Mengen [/> 0], [/ < 0] und ihre Summe [/^O] sind offen; ihre
Komplemente, die Mengen [/ < 0], [/ ^ 0] und deren Durchschnitt [/ = 0]
sind abgeschlossen; alle offenen und abgeschlossenen Mengen konnen so
erhalten werden. Fiir f(x) = d{x,A) ist [/== 0] = ^a, also = ^, falls
A abgeschlossen ist. Die Kurven und Flachen der analytischen Geometric
sind abgeschlossene Mengen, insoweit sie durch Nullsetzen von (einer oder
mehreren) stetigen Funktionen der Koordinaten defmiert sind. Nicht dasselbe
gilt bei Parameterdarstellungen (die in den Zusammenhang des achten
Kapitels gehoren). Fine in der Form
^1 = 9>iW, ^2 = 9^2(0
oder allgemeiner f(Xj^, x^, i) = 0, g(Xj^, x^, t) = 0
mit stetigen Funktionen dargestellte Kurve A der a;ia;2-Ebene (wobei t
alle reellen Zahlen durchlauft) ist nicht notwendig abgeschlossen. Das
ist kein Widerspruch zum Vorangehenden: wohl definieren diese Glei-
160

§ 23. Die a-, ^-, y^Punkte. 117
chungen eine abgeschlosseneMenge J5im a:la;2^Raum, aber deren Projektion
A auf die a^iO^g-Ebene braucht nicht abgeschlossen zu sein. Ein Beispiel
fur nicht abgeschlossenes A liefert schon der einfache Fall
x^ = T~TT7r> ^2 = 0, wo die Kurve das offene Intervall (— 1, 1) der
Abszissenachse wird.
Ein zweiter, nicht weniger wichtiger Zusammenhang zwischen ofifenen
und abgeschlossenen Mengen ist dieser:
III. Jede abgeschlossene Menge ist Durchschniti einer Folge offener^ fede [56]
offene Menge ist Summe einer Folge abgeschlossener Mengen,
Sei namlich A eine beliebige Menge; wir legen um jeden Punkt xsA
die Umgebung U^(Q) mit festem Radius g; die Summe dieser Punktumgebungen
(9) U(A,Q)^iujQ)
X
kann passend als Umgebung der Menge A mit dem Radius Q bezeichnet
werden. Sie ist eine offene Menge, bestehend aus den Punkten y^ zu denen
mindestens ein Punkt a; e4 mit xy < Q vorhanden ist. Wir behaupten nun
(10) A^=^U{A,i)U(A,i)U{A,i)..,,
womit A^j also jede abgeschlossene Menge, als Durchschnitt einer Folge
offener dargestellt ist. Denn der Durchschnitt rechterhand, der librigens
auch der Durchschnitt aller U(A, Q) mit Q> 0 ist, ist ja gerade die Menge
aller Punkte t/, zu denen fiir jedes ^> 0 ein Punkt xeA mit xy < Q vorhanden
ist, d. h. aller ^-Punkte von A. Die zweite Halfte des Satzes III
folgt aus der ersten durch Komplementbildung.
Der Satz ergibt sich auch unmittelbar aus den fiir jede reelle Funktion
f(x) giiltigen Identitaten (n = 1, 2, 3,...)
[/> 0] = 1]
/^ n n\
[/^ 0] = n / < r Uj
wenn man f(x) stetig annimmt. Die zweite Gleichung ist nichts anderes
als (10), wenn f(x) = d{x, A) gesetzt wird.
Aus der friiheren Formel
S = A+B + '-, Sx^Aj^+B^^ + -'
folgt fiir A = i8:
IV. Die Summe beliebig vieler insichdichter Mengen ist insichdicht.
Dies gestattet, die Summe aller insichdichten Teilmengen von A (zu
denen ja jedenfalls die NuUmenge gehort) zu bilden, die nun wieder insichdicht,
also die gropte insichdichte Teilmenge oder der insichdichte Kern von
-4 ist. Wir nennen sie Aj^^ die nicht zum insichdichten Kern gehorigen
161

118 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Punkte von A separierte Punkte und ihre Menge Ag den separierten Teil
von A, womit wir eine neue, letzte Spaltung von A
(11) A=A^ + A,
in disjunkte Summanden erhalten. Eine nur aus separierten Punkten
[57] bestehende Menge {Aj. = 0) heiBt eine separierte Menge, womit wir also
ein neues Gegenstuck zu insichdicht erhalten: A ist
insichdicht^ wenn ^^ — 0, Aj. — A^
separierte wenn Ajc = O-, A^ = A,
Die Menge Ag der separierten Punkte ist offenbar selbst eine separierte
Menge, wie die Menge A^ der isolierten Punkte eine isolierte Menge war
(womit die Namen separierter Teil, isolierter Teil sprachlich gerechtfertigt
sind). Offenbar ist
(12) A^^A,, An^A^,
da ein isolierter Punkt von A gewiB keiner insichdichten Teilmenge von A
angehort; jede insichdichte Teilmenge von A gehort zur Koharenz A^.
Aber dann gehort sie auch zur zweiten Koharenz AJ^f^^ zur dritten Koharenz
AJ^J^J^ usw.; wir werden spater (§ 30) sehen, wie man durch transfinite
Wiederholung der Koharenzbildung schlieBlich zum insichdichten Kern
gelangt. Man kann auch sagen: dem separierten Teil A^ gehort nicht nur
der isolierte Teil Aj von A an, sondern auch der isolierte Teil Aj^j von -4;^,
der isolierte Teil Aj^^^ won Aj^j^ (die erste, zweite, dritte Adharenz von A) usw.
I l l
Beispiel. A sei die Menge der Zahlen - H [- "> wo p, ^, r die natiir-
1 1
ichen Zahlen durchlaufen. Dann ist Aj^ die Menge der Zahlen —|- ~
1 1 1
(die ja in der Form - + ^- + ff~ zu A gehoren; auBerdem ist nur noch
1
0 Haufungszahl von yi); AJ^h die Menge der Zahlen -, ^^;^;i = 0, also
A^ — Q^ die Menge A ist separiert.
Als Erganzung zu den Formeln, die sich auf das Verhalten der 1-
Punkte bei Summen- und Durchschnittsbildung beziehen, geben wir noch
folgendes iiber den Durchschnitt von A mit einer offenen Menge an.
Es ist
(13) {AG)i^Aj,G (G offen) U = oc,p,y),
wahrend auBerdem natiirlich die triviale Formel (AG)x^AxGx gilt.
Denn ist xeA^G^ U,j; eine Umgebung, so ist GU^ offen und es gibt eine
Umgebung V^^GU^; diese enthalt mindestens kx Punkte von A^ die
aber auch zu G, also zu AG gehoren. Also enthalt jedes U^ mindestens kx
Punkte von AG, xe{AG)x^
Anwendungen hiervon sind:
162

§ 23. Die «-, /?-, y-Punkte. 119
V. Der Durchschnitt einer offenen mit einer msichdichten Menge ist
insichdichU
Denn aus Ap-^A folgt nach (13) (AG)p^ApG':^AG.
Als Gegensatz zu IV und V sei bemerkt, dafi schon der Durchschnitt
von zwei insichdichten Mengen nicht insichdicht zu sein braucht. Beispiel:
zwei sich schneidende Gerade der Euklidischen Ebene.
VI. Eine o§ene Menge^ die keinen isolierten Punkt des Raumes enthalt,
ist insichdicht.
Denn ist G oflen und g E^, so ist G^ = [EG)^ ^EpG = G, Die fiir
jede insichdichte Menge notwendige Bedingung, in E^ enthalten zu sein,
ist also ftir offene Mengen auch hinreichend.
Ist A eine Menge, die keinen isolierten Punkt des Raumes enthalt, so
ist also Ai insichdicht, folglich
(14) Ai^.Ai, ^ § ^ .
Ist A wieder beliebig, so besteht zwischen isoliertem und separiertem
Teil die Beziehung
(15) A^^A.^Aj^,
deren erste Halfte aus (12) schon bekannt ist. Die zweite besagt, dafl Jeder
Punkt xeAg a-Punkt von A^ ist. Andernfalls hatte er eine Umgebung U
mit A^V = 0; da U offen ist, ware nach (13)
AV==AnU^ApU^(AU)p
und AU insichdicht, also AU^Aj^ im Widerspruch zu xeA^. A^
besteht also aus dem isolierten Teil und (gewissen) Haufungspunkten desselben;
das ist die scharfere Fassung der Tatsache, dafl mit A^ auch A^
verschwindet (weil dann A insichdicht ist).
Als Gegenstiick zu VI beweisen wir noch den Satz
VII. Eine abgeschlossene Menge, die keinen isolierten Punkt des Raumes
enthdlt, ist eine Ableitung,
Das ist also eine notwendige und hinreichende Bedingung, denn jede
Ableitung A^ ist abgeschlossen und g E^. Wir griinden den Beweis auf
den Hilfssatz
VIII. Ist H die Begrenzung der offenen Menge G, so Id^t sich H als
Ableitung A^ einer isolierten Menge A^G darstellen^).
Wir setzen 11:^0 voraus (fiir H = 0 kann man A = 0 wahlen).
H = G^ — G ist die abgeschlossene Menge der nicht zu G gehorigen Haufungspunkte
von G (oder der Rand F — Fi des Komplements F ^ E — G).
Fiir jeden Punkt xeG ist die untere Entfernung von H positiv:
d(x)==d(x,H)> 0.
^) Beispiel in der Euklidischen Ebene: G die Halbebene itj > 0, H die
Gerade X2 =^ 0, A die Menge der Fig. 2.
163

120 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Es sei A eine gro/itey nicht erweiterungsfahige Teilmenge^) von G
derart, da6 fiir je zwei verschiedene Punkte von ihr
(16) xy>ld(x)+ld(y).
Dann ist A^ g H. Denn sei x ein Haufungspunkt von A; man kann
ihn als Limes x = lim x^ einer Folge paarweise verschiedener Punkte
x^sA darstellen. Dann ist, wegen der Stetigkeit der Funktion d{x)^
d{Xn) ->

§ 24. Relative iind absolute Begriffe. 121
der Menge A^ sondern auch von dem sie umfassenden Raum E ab; sie sind
relativen Charakters. Dies mu6 unter Umstanden durch eine vollstandigere
Bezeichnung zum Ausdruck gebracht werden, indem wir z. B. A^^ (E) statt
Act schreiben und im Falle A = A^{E) sagen: A ist in E abgeschlossen, (So
hieB es ja auch in § 21: eine Folge ist in E konvergent, A ist in E kompakt.)
Dieselbe Punktmenge A kann in einem Raum E abgeschlossen,
offen, Randmenge o. dergl. sein, ohne es in einem andern Raum E zu sein.
Die Menge der irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 ist im Raume der
irrationalen Zahlen abgeschlossen, im Raume der reellen Zahlen nicht.
Eine Kreisscheibe (ohne Peripherie) ist in ihrer Ebene offen, im dreidimensionalen
Raum Randmenge. Jede Menge ist in sich selbst zugleich abgeschlossen
und offen.
Solche Begriffe, Eigenschaften, Beziehungen, die Tom umgebenden
Raum unabhangig sind, heifien absolut. So ist eine Menge ^4 absolut abgeschlossen
zu nennen, wenn sie in jedem Raum E'^A abgeschlossen ist.
Die Aussage ,,^1 ist insichdicht" hat absoluten Charakter, denn sie besagt:
fiir jeden Punkt aeA und jedes ^> 0 gibt es unendlich viele Punkte
von 4, die von a eine Entfernung < Q haben, und hierin ist nur von A,
nicht von einem umfassenden Raum die Rede.
Die Aussage „a; ist A-Punkt von 4" bedeutet, daU es fiir jedes ^ > 0
mindestens ki Punkte as A mit ax

122 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
1st A + B = D, so ist der offene Kern Bi(D) von B im Raume D
als Komplement D — A^(D) zu erklaren. Das gibt nach (2) die Menge
D(E - A^) Oder
(5) BdD)^DBf^
^0 B* = E —- A das Komplement von Ain E und Bf dessen auf E beziiglicher
offener Kern ist ^). Die Menge B ist in D off en, wenn
(6) B = DBt,
Die in D offenen Mengen sind die Komplemente (in D) der in D abgeschlossenen
oder die Durchsclinitte
(7) B^DG
von D mit offenen Mengen, (7) geht aus (4) hervor, wenn G = E — F das
oflene Komplement von F bezeichnet.
DaB ^ in D abgeschlossen ist, ist damit gleichbedeutend, daB A ^D
ist und D — A keinen Haufungspunkt von A enthalt: Ao^(D — A)
^A^(D-^A) = 0.
Der insichdichte Kern Aj^ von A ist in A abgeschlossen. Denn enthielte
A — A^ einen Haufungspunkt h von Aj^, so ware Aj^ + {A} insichdicht
und Ajf. nicht die groBte insichdichte Menge ^A. Der insichdichte Kern
einer abgeschlossenen Menge ist perfekt.
Da (2) nur von A, D und nicht vom umgebenden Raum E abhangt, §o
hangen insbesondere die Mengen
(8) Ai(A) = AAi
nur von A ab, sie haben absoluten Charakter. Die Mengen
Aj^ = AA^, A^ = A Ay
und ihre Komplemente
Aj = A Af^, A^ = A A^
sind durch A allein bestimmt. Demnach sind insichdicht und isoliert
Absolutbegriffe, und auch der insichdichte Kern Aywie sein Komplement
Af,^ A — Aj^ hangen nur von A ab. Es sind also, wenn wir samtliche
bisher definierten Mengen noch einmal zusammenstellen,
Ai, Ar, Ag, Aa, Aj3, Ay vom Raume E abhangig,
Af^, A J, A^, A^, Aj^, Ag vom Raume E unabhangig.
Naturlich ist A in D perfekt zu nennen, wenn A insichdicht und in D abgeschlossen
ist. Dann ist A ~ DA^, der Durchschnitt von D mit einer perfekten
Menge; das ist aber nicht umkehrbar: ein solcher Durchschnitt
braucht nicht insichdicht zu sein. A^^ ist in A perfekt.
Ist E ein vollstdndiger Raum, so ist oifenbar
^) In (5) rechts helBt es also nicht DBi, wie man analog zu (3) vermuten
konnte.
166

§ 24. Relative und absolute Begriffe. 123
(9) A,^AJE)=^A
eine i^ollstrndige Hiille (S. 107) von A, Die abgeschlossene Hiille von A in
einem vollstdndigen Raiim ist eine vollstdndige Hiille von A\ die in einem
vollstdndigen Raum abgeschlossenen Mengen sind vollstdndig. Dieses A hangt
im wesentlichen (bis auf die Bezeichnung der Elemente von A — A) nur
von A ab, da alle vollstandigen Hiillen in der S. 107 angegebenen Weise
isometrisch sind. In diesem Sinne ist A die grofite abgeschlossene Hiille
von A; denn ist A ^B und E ein vollstandiger Raum ^D (den man
z. B. durch Vervollstandigung von D erhalten kann), so ist A^{D) Teilmenge
voni4^(£') —A, Ist hierbei A selbst vollstandig, so ist^d = A ~ A^,
^ in £ und erst recht in D abgeschlossen {A = DA = D^ J; d. h. vollstdndige
Mengen sind absolut abgeschlossen (in jedem Raume D^A abgeschlossen)
und umgekehrtj denn eine absolut abgeschlossene Menge ist insbesondere
in jedem vollstandigen Raume abgeschlossen, also vollstandig.
Auch die beiden andern Mengen Ai = Ax{E) (1 = ^, y) hangen, wenn
E vollstandig ist, im wesentlichen nur von A ab und sind die groBtmoglichen
ihrer Art.
Das Seitenstiick zu den absolut abgeschlossenen waren die absolut
offenen, d. h. in jedem sie enthaltenden Raum offenen Mengen; indessen
ist leicht zu sehen, daB es solche Mengen (abgesehen von der Nullmenge)
nicht geben kann. Denn jede Menge A kann in einen Raum E so eingelagert
werden, daB sie Randpunkte, sogar lauter Randpunkte enthalt, etwa so
wie die Euklidische Ebene in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist:
man braucht nur (S. 102) das Produkt (A, B) von A mil der Menge B der reellen
Zahlen zu bilden; in diesem Raum der Punkte (x, ?/) ist jede „Schicht"
y = constans mit A isometrisch und besteht nur aus Randpunkten.
Auch Kompaktheit ist ein Relativbegriff; A war in E kompakt genannt
worden, wenn jede Punktfolge aus A eine in E konvergente Teilfolge enthalt.
Man kann auch sagen: A ist dann und nur dann in E kompakt^ wenn
jede unendliche Teilmenge von A mindestens einen Eaufungspunkt in E hat.
Die in sich kompakten Mengen sind vollstandig oder absolut abgeschlossen
(S. 107); sie konnen auch als absolut kompakt (in jedem umfassenden
Raum) bezeichnet werden. Ist A in irgendeinem Raum E kompakt,
so ist A bereits in seiner abgeschlossenen Hiille A^ kompakt und diese in
sich kompakt; ist A in E zugleich abgeschlossen und kompakt, so ist A
in sich kompakt.
Die Begriffe vollstandig und kompakt einerseits, abgeschlossen andererseits
sind voUig verschiedenen Charakters, wie gegeniiber dem auch hier
leider schwankenden Sprachgebrauch betont werden muB; jene fordern
in gewissen Fallen Existenz von a-Punkten oder Haufungspunkten, dieser
verlangt, wenn sie existieren, ihre Zugehorigkeit zu der betrachteten Menge.
167

124 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Bei den Begriffen abgeschlossen und kompakt zeigt sich der Unterschied
sehr pragnant in den fiir A^B^C giiltigen SchluBweisen: ist A in C
abgeschlossen, so auch in B; ist ^ in J5 kompakt, so auch in C.
Die Erorterungen dieses Paragraphen waren zur Klarung notwendig;
sie werden uns aber nicht hindern, auch im folgenden Relativbegriffe wie
abgeschlossen, offen, kompakt und die Bezeichnungen A^c usw. ohne Zusatz
zu gebrauchen, wp sie sich dann auf den jeweilig betrachteten Raum beziehen.
Insbesondere versteht es sich von selbst, daB zwei zugleich vorkommende
Relativbegriffe beziiglich desselben Raumes gelten sollen; wenn
wir z. B. von einer abgeschlossenen kompakten Menge sprechen, so heiBt
das: sie soil in E abgeschlossen und in E kompakt sein.
§ 25. Separable Baume.
In diesem und dem folgenden Paragraphen werden Machtigkeitsfragen
die HauptroUe spielen, und zwar werden wir die Machtigkeiten (des
Raumes und gewisser Teilmengen) zunachst nach oben, sodann nach unten
begrenzen. Wie dies geschieht, dariiber orientiert als vorlaufiges Beispiel
die Art, wie die Machtigkeit der Menge E der reellen Zahlen x bestimmt
wird. Sie ist/iocA^/en^ gleich N = ^^\ weil jedes x als lim r^ von rationalen
Zahlen darstellbar, die abzahlbare Menge R der rationalen Zahlen
,,in E dicht" ist; sie ist mindestens gleich N, weil umgekehrt jeder limTrt
auch eine reelle Zahl x^ d. h. E die vollstandige Hiille von R oder selbst
vollstandig ist.
Betrachten wir wieder nur Punkte und Teilmengen eines festen
metrischen Raumes E. Wir sagen, A ist zu B dicht^ wenn
A^^B,
Das besagt: jeder Punkt beB ist ^-Punkt von A oder als b = lim a^
(a^sA) darstellbar, oder jede Umgebung J/5 enthalt mindestens einen
Punkt von A^ oder zu jedem b gibt es ein a mit behebig kleiner Entfernung.
Die letzte Fassung oder die Schreibweise B = BA^ = A^(B) besagt nebenbei,
daB diese Eigenschaft vom umgebenden Raume E unabhangig ist.
Die Dichtigkeit von A zu B liefert fiir die Machtigkeit b von B eine obere
Schranke vermoge der Machtigkeit a von A, namlich
Denn es gibt nur a*^" Punktfolgen (%, ag,. ..) aus A, also hochstens so
viele (in E) konvergente, und A^ hat eine Machtigkeit ^ a*^".
Die Ungleichungen A^^B und A^^B^^ sind gleichbedeutend. Zwei
zueinander dichte Mengen (A^ = 5J rechnen wir zu derselben Dichtigkeitsklasse;
in jeder solchen Klasse gibt es genau eine abgeschlossene Menge
(F = A^ = B^= '' = FJ, die groBte Menge der Klasse.
168

§ 25. Separable Raume. 125
Wenn A zu B dicht und gleichzeitig Teilmenge von B ist, sagen wir:
A ist in B dicht Dann ist -4^ = B^c, beide Mengen gehoren zur selben
Dichtigkeitsklasse.
Jede Menge A ist in A^ dicht, insbesondere in ihrer vollstandigen
Hiille A. Der isolierte Tail A^ ist im separierten Teil Ag dicht, wegen
§ 23, (15). Im Euklidischen Raum E ist die Menge R der rationalen wie die
Menge / der irrationalen Punkte dicht; beide sind zueinander dicht (R^ =
J. = E).
Betrachten wir alle im Raum E dichten Mengen A: Aoi = E, (Das
bedeutet: das Komplement J? = J? — ^ ist eine Randmenge, 5^ = 0.)
Lassen wir die endlichen, d. h. aus nur endlich vielen Punkten bestehenden
Raume beiseite, so ist A unendlich. Unter den Machtigkeiten aller dieser
A ist eine kleinsie ^5^ vorhanden; der Raum hat dann eine Machtigkeit ^ K^*.
Der einfachste und wichtigste Fall ist, da6 in E eine abzahlbare
Menge R dicht ist; JB = R^ ist also hochstens von der Machtigkeit des Kontinuums
NQ" =^

126 Sechstes Kapitel. Punktinengen.
Auch nichtseparable Raume lassen sich leicht bilden. Man mache
eine beliebige Menge M = {?n^ n,. ..} zum metrischen Raum, indem man
je zwei verschiedenen Elementen die Entfernung 1 zuschreibt; in M ist
oifenbar keine Menge ^^o
hat, einen nichtseparablen Raum. Ist dieses ilf, oder allgemeiner
eine Menge M^ in der zwei verschiedene Punkte eine Entfernung
> Q haben {Q eine feste positive Zahl), in einem Raum E gelegen, so hat
eine in E dichte Menge niemals eine Machtigkeit < tn. Denn sie mufi zu
jedem m e M einen Punkt x^^ mit mx^ ^inn — mx^ — nx^>
9--29-19 = 0,
Man kann diese Bemerkung noch benutzen, um in jedem Raume E
eine dichte Menge geringster Machtigkeit zu bilden. Nennen wir eine
Menge E(Q), in der je zwei verschiedene Punkte eine Entfernung >^
haben und die nicht enveiterungsfdhig ist ^), ein Netz des Raumes JB, so
hat jede in E dichte Menge mindestens die Machtigkeit jedes Netzes. Ist
E{Q) ein Netz, so kann man fiir a < Q offenbar ein Netz E(a) bilden, das
E(Q) als Teilmenge enthalt. Zu jedem Punkt x von E existiert ein Punkt y
von E{Q) mit xy < Q (sonst ware das Netz durch x erweiterungsfahig).
Bildet man eine Folge von Netzen £(1), E(^)^.. ., so ist also
(1) R = E(\) + E(i) + • . .
in E dicht, und wahlt man liberdies jedes Netz so, daB es das vorangehende
als Teilmenge enthalt, so ist die Machtigkeit einer beliebigen in E dichten
Menge mindestens gleich der von /?. Denn ist a„ die Machtigkeit von
E\A~ E \zj-zin^ ^1 die von E{i\ m„ =- Qi H h a„ die von E f-J, so
ist a^ + a2 + • • • die Machtigkeit von R und die kleinste Machtigkeit,
die >mn fiir alle n,
Wir haben die Netze schon S. 108 in total beschrankten Mengen verwendet,
wo sie endlich waren und daher R hdchstens abzahlbar ist, also:
jede total beschrankle^ d, II jed-e bedingt kompakte Menge ist endlich oder
separabel,
Wir nehmen nun E als separabel an; die abzahlbare Menge R sei in
E dicht. Fiir jeden Punkt reR betrachten wir die Umgebungen (/^(Q)
mit rationalen Radien Q und nennen sie spezielle Umgebungen, Die Menge
aller speziellen Umgebungen ist abzahlbar. Wir bezeichnen diese Umgebungen
daher mit F^, Fg,..., eine einzelne spezielle Umgebung auch mit
V und, wenn sie den Punkt x enthalt, mit V^.
^) Die Bildung einer solchen Menge geschieht durch Wohlordnung von E
ahnlich wie S. 120.
170

§ 26. Separable Raume. 127
Zu jeder Umgebung U^gibt es ein V^ g U^. Denn hat U^ den Radius or,
so gibt es ein r mit xr

128 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
II. Der isolierte, der separierte, der unverdichtete Teil jeder Menge
eines separablen Raumes ist hochstens abzdhlbar.
Insbesondere sind isolierte, separierte, unverdichtete Mengen hoch-
[60] stens abzahlbar. Ist A unabzahlbar, so sind auch ^^, A^^ A^^ -4«, A^^ Ay,
unabzahlbar. Eine Menge mit hochstens abzahlbarer Ableitung A^ ist
hochstens abzahlbar; ist Ay hochstens abzahlbar, so ist A hochstens abzahlbar
und daher in Wahrheit 4^ = 0.
AuBer den uns aus § 23, (5) (6) bekannten, allgemeingiiltigen Iterationsformeln
//v \Actoc — ^«? A^f^ — Ap^ Ay^
— ^'/i
erhalten wir hier noch
iAy^ = Ay^ = Ayy = Ay
I A^y = A^y.
Denn wir batten Ay = A^y^Ayy^Ay^^Ay^ = ^r und die zweite
Zeile folgt daraus, daB A^ — A^ = Aj hochstens abzahlbar ist. In der
ersten ist enthalten, daB Ay perfekt ist.
III. Ein System disjunkter o-0ener Mengen des separablen Raumes
ist hochstens abzahlbar,
Denn zu jeder dieser offenen Mengen G^(>0) wahlen wir einen
Punkt xeG und ein F^^G; die den verschiedenen G zugeordneten V
sind verschieden und es gibt deren hochstens abzahlbar viele.
IV. Es gibt im separablen Raume genau i< offene (und ebensoi^iele abgeschlossene)
Mengen.
Eine oflfene Menge G (^ 0) laBt sich als Summe von speziellen Umgebungen
V^^G(x8G) darstellen, also in der Form
G = V 4-V A
mit einer passend gewahlten Menge natiirlicher Zahlen mj, mg,.... Es
gibt also hochstens so viele G wie Mengen natiiriicher Zahlen (2^'^ = t

§26. Vollstandige Raume. 129
Wir diirfen E durch Ej,. ersetzen (die in E perfekten Mengen sind mit
den in i^^ perfekten identisch, da Ej^ in E abgeschlossen ist), also annehmen,
daB E selbst insichdicht (perfekt) ist. Es sei xeE und wie soeben A =
(a^, a2, . . .} eine Menge von Punkten a„ =}= ^? ^n -^ ^- Die oben verwendeten
Un konnen wir, indem wir ihre Radien halbieren, disjunkt annehmen,
dann hat nicht nur G =2V^, sondern auch G^ mit A genau den Durch-
schnitt J5, denn wenn z. B. a^ nicht zu B gehort, so ist GUi — 0 nnd aj
auch nicht a-Punkt von G. Die G sind aber insichdicht, die G^ perfekt. —
Die den abzahlbaren Mengen B entsprechenden G^ enthalten iiberdies den
Punkt x\ es gibt also auch genau ^< perfekte Mengen, die einen festen Punkt
des perfekten Raumes enthalten.
VI. Ein System offener Mengen im separablen Raume kann, ohne [61]
Anderung seiner Summe^ durch ein hochstens abzdhlbares Teikysiem ersetzt
werden,
Denn ist G = ©G„j, die Summe iiber eine beliebige Menge erstreckt^
so suche man die (hochstens abzahlbar vielen) verschiedenen speadellen
Umgebungen F^, die in den Summanden G^ enthalten sind, raid wahle
fiir jedes /> ein bestimmtes G,^^ g Fp aus, dann ist
also G == 2G,^... Durch Ubergang zu den Komplementen folgt:
VII. Ein System abgeschlossener Mengen im separablen Raume kann,
ohne Anderung seines Durchschniits^ durch ein hochstens abzdhlbares Teilsystem
ersetzt werden.
§ 26. Vollstandige Raume.
1. Die Durchschnittssatze. Wie die Machtigkeit des Kontimiimns im
vorigen Paragraphen als obere, so wird sie in diesem fiir gewisse Mengen
als untere Grenze erscheinen. Die Grundlage dafiir bildet der nachher
folgende zweite Durchschnittssatz, dem wir als Gegenstiick einen ersten
nebst Folgerungen vorausschicken. Dieser bezieht sich auf in sich kompakte,
jener auf beschrankte vollstandige Mengen.
I (Erster Durchschnittssatz). Eine absteigende Folge jl^g J^g • —
kompakter^ abgeschlossener, von Null verschiedener Mengen hat einen mn
Null verschiedenen Durchschnitt.
Wir wahlen aus jeder Menge A^ einen Punkt a^. Die Folge |%, %,...)
hat als Punktfolge aus A^ eine konvergente Teilfolge mit dem Limes x,
der auch Haufungspunkt jeder Restfolge (a^, ^n+ii • • •) i^^. Also ist x
ein (X-Punkt jeder Menge ^„, d. h. Punkt von A^; xeAiA2....
Hausdorff, Mengenlehre. 9
173

130 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Der Raum E ist hierbei ganz beliebig; wir batten ja auch, statt
von kompakten abgeschlossenen^), von in sich kompakten Mengen sprechen
konnen.
II (Satz von E.Borel). Ist sine kompakte, abgeschlossene Menge in
der Summe einer Folge offener Mengen enthalten^ so ist sie bereits in einer
Summe von endlich nelen dieser offenen Mengen enthalten.
Essei A^S = Gi + G2 + ' '', A kompakt abgeschlossen, G„ offen.
Die Behauptung lautet: es gibt ein n mit ^4 g5„ = Gj + • • • + G^n-
In der Tat bilden die kompakten abgeschlossenen Mengen A(E — S^) eine
absteigende Folge mit dem Durchschnitt A(E — S) = 0] sie konnen also
nach I nicht alle von Null verschieden sein, und es gibt ein n mit A(E — S^)
= 0, d. h. A^ S^,
Aus der Verbindung mit §25, VI folgt eine Verscharfung des Borelschen
Satzes:
[62] III. 1st eine kompakte abgeschlossene Menge des separablen Raumes
in der Summe eines beliebigen Systems ofjener Mengen enthalten^ so ist sie
bereits in einer Summe ifon endlich vielen dieser offenen Mengen enthalten,
Auch der erste Durchschnittssatz laBt sich mit Hilfe von § 25, VII
verscharfen:
IV. Ist der Raum separabel^ so hat ein System kompakter abgeschlossener
Mengen einen von Null verschiedenen Durchschnitt, falls endlich viele
Mengen des Systems siets einen von Null verschiedenen Durchschnitt haben.
Denn der Durchschnitt des ganzen Systems laBt sich als Durchschnitt
^1 ^2 • • • einer Folge von Mengen des Systems darstellen, d. h. als Durchschnitt
der absteigenden, von Null verschiedenen, kompakten abgeschlossenen
Mengen A^^A^A^^^ - -,
V (Zweiter Durchschnittssatz). In einem vollstdndigen Raum hat eine
absteigende Folge Ai^A2^' - - beschrdnkter, abgeschlossener, von Null
verschiedener Mengen, deren Durchmesser nach 0 konvergieren, genau einen
gemeinsamen Punkt,
Wir wahlen wieder a„£^„; die Folge {ai, ag,. . .) ist dann eine Fundamentalfolge,
da a^ von alien folgenden (auch zu A^ gehorigen) Punkten
einen Abstand < d(i4 J hat. Also existiert x = lim a^ und wie bei I sieht
man, daB aje^li^g- • •? welcher Durchschnitt hier wegen d(Af^)->0 nur
einen Punkt haben kann.
Man hatte natiirlich auch hier die Beziehung auf den Raum E beseitigen
und einfach von vollstandigen Mengen A^ sprechen konnen. Keiner
der Durchschnittssatze ist Folge des andern; der zweite laBt zwar beschrankte
statt kompakter Mengen zu, hat aber dafiir die Durchmesser-
^) Das soil naturlicli helBen: in E kompakten und in E abgeschlossenen;
vgl. die SchluBbemerkung von § 24.
174

§ 26. VoUstandige Raume. 131
bedingung. Diese ist nicht zu entbehren, wie das Beispiel A^^ == {x^, x^^i,...}
zeigt, worin %, a^g,... Punkte bedeuten, die paarweise die Entfernung 1
haben. In Euklidischen Raumen, wo beschrankte und kompakte Mengen
identisch sind, ist der erste Durchschnittssatz inhaltreicher; der einfachste
Fall, daB eine absteigende Folge abgeschlossener Intervalle [a„, i„], also
mit Un < an^i < bn+i < ft„, als Durchschnitt ein abgeschlossenes Intervall
oder einen Punkt hat, ist dem Leser aus den Elementen bekannt.
2. Dyadische Mengen. Iii einem vollstandigen Raume E sei ein
System abgeschlossener, beschrdnkter, von Null verschiedener Mengen
Vp, y-pq^y^qri' ' ' gegeben, deren Indices die beidenWerte 1, 2 durchlaufen,
so dafi wir also zwei Mengen Fi, V^ mit einem Index, vier Mengen F^, F^g,
F21, F22 niit zwei Indices, allgemein 2" Mengen mit n Indices vor uns
haben. Fiir jede dyadische (aus den Ziffern 1, 2 gebildete) Ziffemfolge
(p? ?»'*»•••) s^ll iiberdies
(1) FpSF^,^Fp,,§...
gelten und die Durchmesser dieser Mengen sollen nach 0 konvergieren;
nach V besteht der Durchschnitt F^ F^,^ F^^^... tos einem einzigen Punkt a?.
Die Menge aller dieser Punkte
(2) D^%V^V^J^^,,.,,
die Summe xiber alle dyadischen Ziffemfolgen erstreckt, soil eine dyadische
Menge heiBen. Der Name bezeichnet nur die Darstellungsforni; was die
Natur dieser Mengen selbst betriflt, werden wir gleich sehen, daB dyadische
und in sich kompakte Mengen identisch sind.
Es gilt
(3) i) = @F^.@F,,,3F,,,...,
so daB sich die Menge D als abgeschlossen (im vollstandigen Raum £), also
als voUstandig erweist. In der Tat ist die Menge (2) zunachst in (3) enthalten.
Umgekehrt sei x Punkt der Menge (3), etwa xe Vp^ Vp^q^ ^p,?sf, • • • •
Bei den hier auftretenden Mengen F muB aber unendlich oft der gleiche
erste Index Pn^" P vorkommen, bei diesen F wieder unendlich oft der
gleiche zweite Index q^ = q, bei diesen V unendlich oft der gleiche dritte
Index r„ = r usw. Dann ist aber xeVp F^^ F^ ^^..., a: Punkt der Menge (2).
Die fiir die Mengen (1) geforderte Konvergenz der Durchmesser nach 0
ist fiir alle dyadischen Ziffemfolgen gleichmaBig. D. h, wenn (5^ der groBte
Durchmesser der Mengen F mit n Indices ist, wobei offenbar dann g„ = q, dann r„ = r usw. sein muB. Also kann nicht
^„ ^ (5 > 0 sein, da sonst F^, Fj,^, F^^^,.. . Durchmesser ^ d hatten.
Nach § 21, 4 ist demnach die Menge i) total beschrankt; uberdies
war sie voUstandig, also ist sie in sich kompakt.
175

132 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Bevor wir umgekehrt die in sich kompakten Mengen als dyadische
darstellen, verallgemeinem wir die letztgenanntenfolgendermaBen. Im voUstandigen
Raum E sei ein System abgeschlossener, beschrankter, von Null
verschiedener Mengen Wi, Wij^^ Wij^y... gegeben, wo nun jeder Index eine
endliche, eventuell von den vorangehenden Indices abhangige Menge von
mindestens zwei Ziffern durchlauft. In Wi sei also i = 1, 2, . . ., m; in
Wij, sei A = 1, 2,. . ., m^; in Wij^i sei Z = 1, 2,. .., niij^ usw. (m, m^-, m.jt,. ..
^ 2). Fur jede in dieser Weise gebildete Ziffernfolge (i, /c, Z, . ..) sei
mit Durchmessern, die nach 0 konvergieren, so daB der Durchscbnitt dieser
Mengen einpunktig ist; die Summe
(4) P = ^W,Wi,Wi,i...
heiBe eine polyadische Menge. Man schlieBt wie oben, daB
und die Konvergenz der Durchmesser iiach 0 gleichmaBig ist. In Wahrheit
ist sogar P nichts anderes als eine dyadische Menge, wie wir folgendermaBen
erkennen.
Wir bezeichnen die Mengen TV^, Wi^,. . . allgemein mit W, die aus
einem W durch Anhangung eines weiteren Index entstehenden Mengen mit
W^, W^, .. . (z. B. fiir W = Wn^ • W^ — ^iici)- Sodann werden wir Mengen
Fp, Vj)qy. . . mit dyadischen Indices (1 oder 2) bilden, die wieder allgemein
mit V bezeichnet werden; die aus V durch Anhangung eines weiteren
Index entstehenden Mengen seien V^, V-. Dabei soil entweder V gleich
einem einzelnen W
[oC) V = W,
oder V die Summe mehrerer W mit gleiclwielen Indices
(iS) F = T^i + I'Fii 4- • • •
sein, wobei die Summanden in lexikographischer Ordnung der Indices
geschrieben sein mogen. Wir beginnen die Definition mit
und setzen sie durch Induktion fort, indem wir V\ V- definieren, falls F
bereits definiert ist: im Falle (a) sei
im Falle (/3) sei
Fi = Tyi-f. W'34. ...^ F2 = T'F2 + IF« +.-.;
Fi = IFi + IFiii 4- • • •, F^ = PF„ + TFiv + • • •.
Beispielsweise wiirden sich aus den ersten Mengen W
W^ W„ Ws
176

die ersten Mengen V folgendermaBen ergeben:
§ 26. Vollstiindige Riiume. 133
12
1^22 - l^'22 + W,,
V 111
'211
V- 1111
212
13-
121 — "31
V,
Man sieht nun unmittelbar: jedes V ist ein W oder Summe endlich
vieler PF, also abgeschlossen, beschrankt, von Null verschieden. Es ist
V^V^^ V^V^, also sind fiir jede dyadische Ziffernfolge die Ungleichungen
(1) erfiilll. Ist V im Falle (j8), so sind F^, V^ Summen mit weniger
Gliedern als F, und nach hinreichend oftmaliger Anhangung von Indices
kommtimmer ein V des Falles {a) wieder; jede Folge F^, F^^, F^p^^,. . . hat
eine Teilfolge Wi^ Wi^, Wi^.^ , , , und demnach Durchmesser, die nach 0
konvergieren, wobei zugleich die Durchschnitte
identisch sind. Umgekehrt ist jedes W einem besliiamten V gleich und
jede Folge T^^, W^^j.,- T>F^|,|,... bestimmt ^ ^
eine Folge F^, F^^, F^^^,.,., von der
sie Teilfolge ist (z. B. W^, W^^,... die
Folge Fi, Fn, Fill, ^1112. • • •)• Dem>
nach ist die von den W erzeugte polyadische
Menge P gleich der von den V
erzeugten dyadischen Menge D.
Eine in sich kompakte Menge P
ist als polyadische Menge darstellbar.
Denn sie ist Summe endlich vieler
Mengen Wi von beliebig kleinen Durch-
messern ^ d^, wobei jede dieser Mengen abgeschlossen (in P), also wieder
in sich kompakt und ihre Anzahl ^ 2 angenommen werden kann. Indem
man dies fortsetzt, erhalt man
1
/I
1
[oj fol
[DJ
«
P == ^Wi, W, fW^,,, Wa fWi^i,.
Fig. 3.
fn] [DJ
wobei die W in sich kompakt (also voUstandig und beschrankt), die Durchmesser
der Mengen mit n Indices ^ d^ sind und d^-^O; P hi die von den
W erzeugte polyadische Menge (4).
Dyadische Mengen und in sich kompakte Mengen sind also identisch.
Wir betrachten jetzt insbesondere eine dyadische Menge, wo Fj und
Fg disjunkt sind ^), ebenso *F^ und Fp2. F^^,i und i?f 2?' .; aEgemein
1) Fig. 3 veranschaulicht den Fall abgeschlossener Rechtecksflaclien F,
von denen nur die Umfange (ohne Schraffienmg des Innern) gezeicheet sind.
177

134 Sechstes KapiteL Punktmengen.
sollen, fur jedes w, die Mengen mit n Indices paarweise disjunkt sein. Eine
solche Menge
heiBe ein dyadisclies Diskontinuum ^). Sie ist aquivalent mit der Menge
der dyadischen Ziffernfolgen, also von der Maclitigkeit 2^" = N des Kontinuums;
ferner ist sie perfekt nnd sogar genaner
jeder Punkt von D Verdichtungspunkt. Denn bei Festhaltung endlich
vieler Anfangsziffern erhalt man die Mengen D V^, D F^^, D F^gy, /.. (z. B.
DFj = Menge der Punkte xeD mit p = 1), die immer noch von der
Machtigkeit K sind und nach 0 konvergente Durchmesser haben; ist x
der Durchschnittspunkt dieser Mengen, so enthalt jede Umgebung U^
K Punkte von D.
Ein polyadisches Diskontinuum (wo die Mengen W mit n Indices
disjunkt sind, fur jedes n) ist mit einem dyadischen identisch.
Das klassische Beispiel eines dyadischen Diskontinuums ist das folgende,
das wegen seiner Beziehung zu den triadischen Briichen auch als
triadische Menge

§ 26. Vollstandige Raume. 135
sicher p = 1 ist. Das offene Komplement E — D besteht, auBer den Halbgeraden
(— oo, 0) und (1, oo), aus den mittleren Dritteln von F, Vp^ Vpq,.. .,
also aus den offenen Intervallen ( o, o I, I g, o)' (Q' g)' • • • • ^^ ^^^' ^^
leicht zu sehen, in E dicht, so daB D kein noch so kleines Intervall enthalt
(D ist in E nirgendsdicht, § 27). Der Grenzwert, dem die Langen der
Intervallsummen J^F^, JF^^,... zustreben, wird das (Lebesguesche)
2 4
LangenmaB von D genannt. Hier sind diese Langen o i o? • • •> ^Iso das
LangenmaB Null; es erscheint paradox, daB eine Menge vom LangenmaB 0
doch die Machtigkeit K des ganzen Intervalls haben kann. Man kann aber
die Intervallangen anders, insbesondere die offenen Intervalle von E — D
kleiner und die Langensummen A,, An,. . . von -2'F^, JF^^,... so langsam
abnehmend wahlen, daB das LangenmaB X — lim X^ von D positiv wird
und sogar beliebig nahe an 1 (wenn auch natlirlich < 1) liegt; dann ist
es wieder paradox, daB eine Menge positiven LangenmaBes kein noch so
kleines Intervall enthalt.
Die t)bertragung dieser einfachen Konstruktion auf die Ebeae ist
evident. Man teilt z. B. ein Quadrat F (abgeschlossene Quadratflache,
definiert etwa durch Of^Xj

136 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
VIII (W.H.Young). In einem vollsldndigen Raiim hat jede Menge
Y = Gf) (DurclischniU einer Folge offener Mengen)^ deren insichdichter Kern
nicht versckwindet^ mindestens die Mdchtigkeit \^,
Dem Beweise mogen einige erlauternde Bemerkungen vorausgehen.
Jeder dieser Satze ist Sonderfall des folgenden (eine abgeschlossene Menge
F ist Durchschnitt einer Folge offener Mengen G). Andererseits folgt aus
VI auch VII; und spater wird sich (wegen der Homoomorphie der G\^ in
vollstandigen Raumen mit vollstandigen Raumen selbst; § 38,111) auch
VIII als Folgerung aus VII ergeben. Die Mengen
G,^ = Durchschnitt einer Folge offener Mengen,
F^ = Summe einer Folge abgeschlossener Mengen
bilden nach den offenen Mengen G und abgeschlossenen Mengen F die
nachste Klasse der Borelschen Mengen (§ 32), auf die wir kiinftig den
Machtigkeitssatz ausdehnen werden. Diese Mengencharaktere sind natiirlich
relativ, vom Raume E abhangig, und man hatte ausfiihriich F(E) usw.
zu schreiben. Flir D ^ E ist aber, wenn das Argument E wieder weggelassen
wird,
F(D)^DF, G(D)=^DG, F,(B)=DF,, Gs(D)^DG,^,
die auf D bezlighchen Mengen sind die Durchschnitte von D mit den
entsprechenden auf E beziighchen. Es gibt auch absolute F^, Gj, Mengen,
die diesen Charakter in jedem sie umfassenden Raume haben. Von den
F„ ist das evident; ein absolutes F^ ist (z. B. in seiner vollstandigen
Hiille betrachtet) Summe einer Folge absolut abgeschlossener (vollstandiger)
Mengen, die einem metrischen Raume angehoren, und vice versa.
Gegen die Existenz absoluter G^y scheint zunachst die Nichtexistenz absolut
[64] offener Mengen zu sprechen, aber es verhalt sich doch anders: die drei
Aussagen
A ist ein G^^ in seiner vollstandigen Hulle,
A ist ein G^ in einem vollstandigen Raum,
A ist ein G,^ in jedem umfassenden Raum, ein absolutes G§
sind gleichbedeutend. Denn ist A ein G,^ in £", so auch in jedem kleineren
Raume D (A^ D^E); ist andererseits A ein G,^ in seiner abgeschlossenen
Hiille A^, so ist A == A^G,^ auch im Raum E ein G^, weil A^ abgeschlossen,
also ein G,^ und der Durchschnitt zweier G^) wieder ein Gs ist.
Fiir vollstandiges E geht hieraus die Gleichwertigkeit der drei Aussagen
hervor. Die absoluten G^ werden wir mit Riicksicht auf den Youngsclien
[65] Satz VIII haufig Youngsche Mengen nennen. — Danach konnen wir in
den drei Machtigkeitssatzen die Beziehung auf den Raum tilgen und sagen:
IX. Jede absolut perfekie Menge^ jede absolut abgeschlossene (i^ollstdndige)
Menge, jedes absolute G,j {Youngsche Menge) hat, wenn ihr insichdichter
Kern nicht verschwindet, mindestens die Mdchtigkeit N*.
180

§ 26. Vollstandige Riiume. 137
Gehen wir nun zum Beweise iiber; wir brauchen nur den dritten Satz
zu beweisen, werden aber die beiden ersten ohnehin unterwegs vorfinden.
Wir werden zeigen, daB die fraglichen Mengen ein dyadisches Diskontinuum
D enthalten, und werden die erzeugenden abgeschlossenen (voUstandigen)
Mengen V hier speziell als abgeschlossene Kugeln wahlen. Wir
unterscheiden namlich
offene Kugel U^(Q) = Menge der Punkte y mit xy < Q^
abgeschlossene Kugel V^{Q) = Menge der Punkte y mit xy ^ Q
(die offenen Kugeln sind unsere alten Umgebungen); sie mogen, bei gleichem
Radius und Mittelpunkt, zusammengehorig oder einander zugehorig heiBen.
Zusammengehorige f/, V bezeichnen wir mit denselben Indices. (Im
Euklidischen Raum ist dann U der offene Kern von F, V die abgesclilossene
Htille von U.)
Nun sei A^O eine insichdichte Menge im vollstandigeii Raum E,
Wir wahlen in A zwei Punkte %, ag und machen sie zu Mittelpunkteo
disjunkter abgeschlossener Kugeln Fj, Fg, denen die offenen Kugeln f/i, U^
zugehoren. Jede der beiden Mengen A f/^ ist ^ 0 und insichdicht (§ 23, V);
wir konnen also die Konstruktion wiederholen und zwei ihrer Punkte
a^,i,ap2 mit disjunkten abgeschlossenen Kugeln Fj,i, F^g^t^p umgeben.
Jede der vier Mengen AU^,,^ ist r:>0 und insichdicht; wir umgeben zwei
ihrer Punkte a^,^i, a^^o ^^^t disjunkten abgeschlossenen Kugeln F^^^i, Vpq2
^ Ujy^ und fahren so fort.
iNichts hlndert dabei, die Kugelradien beliebig klein zu wahlen, etwa
die der F,p, F^^, Vpqr-f - • • kleiner als 1, i, |-, .... Wir erhalten so ein
dyadisches Diskontinuum D, und dieses ist in A^ enthalten; denn ein Punkt
X von D, der zu V^V^qV^^^j.. . . gehort, ist Limes der Kugelmittelpunkte
(Ip^ Clpq^ dpqj.^ .... Also*
X. Ist A eine insichdichte^ i>on Null verschiedene Menge des i'ollstandigen
Raumes E^ so enthdlt A^ ein dyadisches Diskontinuum D.
Damit ist VI bewiesen (ist A insichdicht, so ist A^^ perfekt, und vice
versa), ferner VII: wenn F abgeschlossen ist und A enthalt, so ist F ^ A^
^ D. Zum Beweis von VIII nehmen wir
A ^Y = Oj^G

138 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
beliebige insichdichte Teilmenge von Y war, so LeiBt dies: jederPunkt des
insichdichten Kerns i>on Y ist Verdicktungspunkt von 7,
(5) Yu^Y..
Kombinieren wir dies alles schlieBlich mit den Tatsachen, die in einem
separablen Raume gelten (§25): hier hat jede Punktmenge hochstens die
Machtigkeit t^, ferner war dort stets A^'^A^^ also fiir eine Youngsche
Menge 7;^ = Y^, und A^^A^ hochstens abzahlbar. Also:
XL In einem vollstdndigen separablen Raujn ist jede Youngsche Menge
Y = Gs entweder hochstens abzahlbar oder von der Machtigkeit J

§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie. 139
so ist F — Ff die Begrenzung seines Komplements G, und andererseits, ist
G eine beliebige offene Menge und F ihr Komplement, so ist die Begrenzung
Ff von G eine Randmenge und iiberdies, wie jede Begrenzung, abgeschlossen.
Eine beliebige Menge A heifit in E nirgendsdicht^ wenn Hire abgeschlossene
Hiille A^^in E nirgendsdichi ist, Pafiir ist notwendig und hinreichend,
daU der offene Kern Bi ihres Komplements B = E~ A in E
dicht sei.
Die gewohnlichen Kurven in der Euklidischen Ebene £2^ die Kurven
und Flachen im Raum £3 usw. sind nirgendsdichte Mengen. Genauer:
ist /(a?!, x^ eine reelle stetige Funktion, die niemals in einer ganzen Umgebung
eines Punktes verschwinden kann, z. B. ein Polynom mit nicht
samtlich verschwindenden Koeffizienten, so stellt / = 0 eine nirgendsdichte
Menge in E^ dar, denn sie ist abgeschlossen und hat keinen inneren Punkt.
Ein dyadisches Diskontinuum i){§ 26, 2) ist im voUstandigen Raume
E nirgendsdicht, wenn man noch die scharferen Ungleichungen
^p^ 'pi i ^p2i ^pq^ ^pql I *^pqZ-i * ' '
(mit AusschluB der Gleichheitszeichen) hinzufiigt. - Denn in beliebiger Nahe
Jedes Punktes xeD^ welcher dem Durchschnitt V^V^q. ., angehoren moge,
liegen Punkte von
wp *^pl ^7)2/ ~r v' 7>(7 ' P9l PQ^f I" ' ' '
und diese gehoren nicht zu i), x ist nicht innerer Punkt von D. Bei der
Kugelkonstruktion S. 137 kann man offenbar diese Verscharfung herbeifiihren;
es gibt also in jedem voUstandigen Raum, dessen insichdichter
Kern nicht verschwindet, nirgendsdichte perfekte Mengen von der Machtigkeit
^

140 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
(oc) P = MA^, Q=^MA,, M = P + Q
definieren wir die Aussagen
A zn M nirgendsdicht, ^ in ilf dicht
als identisch; nach der friiheren Erklarung {M^AJ waren die Aussagen
A zu M dicht, Q = 0, P == M
identisch. (Das voile Gegenstiick zu dieser ware Q = M^ p = 0, M ^ A^^
M liegt ganz auBerhalb von A; dies hat kein besonderes Interesse). Im
Falle A^M w^ihlen wir die Praposition ,,in": A in M nirgendsdicht,
A in M dicht. Diese Relationen, wie allgemein die Mengen P und Q^
hangen nur von den Mengen A und M, nicht vom umgebenden Raum E ab.
P ist in M abgeschlosBen, ^ in ilf offen.
1st A in M abgeschlossen^ so ist P = ^, und wir haben die Identitat
der Aussagen:
A in M nirgendsdicht, M — A in M dicht;
^ in ilf dicht, A = M,
Wir stellen einige formale Eigenschaften dieser Begriffe zusammen,
deren Beweis, wenn nichts dazu gesagt wird, trivial ist.
I. (Transitives Gesetz). Ist A zu B^ B zuC dicht^ so ist A zuC dicht.
II. Ist A zu M dicht (nirgendsdicht), so ist A"^ zu 31* dicht (nirgendsdicht),
wenn A*, M* Mengen derselben Dichtigkeitsklasse wie A, M sind'^).
In der Tat hangen P, Q nur von A^, nicht von A ab. Was M betrifft,
so wissen wir, da6, fiir eine offene Menge G, (MG)^^ M^G^ MG, also
(MG)^ = (Mc,G)^ ist; setzt man darin G = A^, so folgt (2« = (2*> wenn
Q = MA^ und Q* = M* A^ gemaB der Zerlegung ((x) zu M und i¥*
gehoren. Die Aussagen ^ = 0 bzw. Q^ = M^ sind also mit denselben fiir
(2*, M* gleichbedeutend.
III. Ist A zu M dicht, so ist jede Menge ^A zu jeder Menge ^ M
dicht, Ist A zu M nirgendsdicht, so ist jede Menge ^A zu M nirgendsdicht]
ist A in M nirgendsdicht, so ist A in jeder Menge ^ M nirgendsdicht,
Hiervon bedarf nur die letzte Aussage eines Beweises: wir konnen
die Menge g M dabei als Raum E wahlen. Es ist
A,^M^ = Q^^A,^
und zugleich A^^A^^, also E'^A^^, A^ in E dicht. Man darf in dieser
letzten Behauptung nicht „zu'' statt „in" setzen (allerdings geniigt statt
der Zusatzbedingung ^ g If die mildere vi^ g Tlf J; das geht schon daraus
hervor, daB nach unserer Terminologie jede Menge A zur Nullmenge ilf = 0
nirgendsdicht ist, ohne doch zu jeder Menge gO nirgendsdicht zu sein!
IV. G sei offen, Ist A zu M dicht, soAGzu M G. Ist A zu M nirgendsdicht,
so A zu MG,
D.h. Al^^Aoc, Ml = M,, (S. 124).
184

§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie. 141
Der erste Teil folgt aus {AG)^^A^G^MG, Der zweite stutzt
sich auf den ersten und (a): Q ist in M dicht, also QG = MGAg in MG
dicht, A zu MG nirgendsdicht.
F. Sind Ai^ A2 in M off en und dicht, so ist auch ihr Durchschnitt in M
(offen und) dicht.
Denn sei A^ — MG^^A^^ MG^(G^, Gg offen). Es ist dicht: ^^ in ilf,
nach IV -^^Gg i^ -^^2? d- ^' A^A^ in A^^ weiter A^ in ilf, also (transitives
Gesetz) A^A^, in if.
VL ^-mrf A -^^ A2 zu M nirgendsdicht, so ist auch ihre Summe zu M
nirgendsdicht.
Man mache fiir A^, A^ und A — A-^^ A^ die Zerlegungen (a):
M - Pi + ^1 = i'a + ^2 = J^ + ^- Dann ist P = P^ + P^^ Q = Q^Q^.
Q-^ und ^2 sind in M offen und dicht, also nach V auch Q,
Die letzten beiden Satze gelten natiirlich auch fiir endlich viele
Mengen ^j, ^2? • • ^ ^n- ^^ einem (follstdndigen Raume lassen sie sich, in
eingeschrankter Weise, auf abzahlbar viele ubertragen.
VII. In einem vollstdndigen Raume sei eine Folge pon Mengen A^
(n = 1, 2, 3,...) mii ^i«g^2«^ * *' ^^^ ^i^^ Folge offener Mengen
Gn^A^ gegeben, Dann ist Y = G^G^. - ^ zu A^ dicht.
Wir umgeben einen Punkt a^s A^ mit einer abgeschlossenen Kugel Fj
(d. h. ai sei ihr Mittelpunkt); in der zugehorigen offenen Kugel U^ liegi^
wegen a^eA^at ein Punkt a2^^2> den wir mit einer abgeschlossenen Kugel
Fg^f/i umgeben; in U^ Hegt ein Punkt a^eA^, den wir mit einer Kugel
V^^U2 umgeben usf. Wir lassen dabei die Kugelradien nach 0 konvergieren
und nehmen iiberdies F„ g G„, so dafi der Punkt x von \\ Fj ...
zu Y gehort. Da F^ beliebig klein sein kann, ist a-^eY^, also A^'^Y^.
VIII. In einem vollsidndigen Raume sei eine Folge Youngscher Mengen
y^, Yg, . . . derselben Dichtigkeitsklasse [Y^^ = Y^^c = • * •) gegeben] dann
gehort ihr Durchschnitt Y = Y^ Yg • • • ^^^^^^ ^^^ selben Klasse.
Sei y,n = G,«i^m2-• • (G„»„ offen); setzen wir Y,^,,=^ Y,^^G^^
und wendenVII auf die Folge 7^, Y^^i ^\u« • • an, so ist % G^„ = 2^F,^
= y zu y^i — y^, d. h. in y^ dicht: y^ = Y^^. Insbesondere:
IX. Ist ^4i, ^27 • • • ^i^^ Folge ifon Mengen, die in der Youngschen
Menge M dicht und offen sind, so ist auch ihr Durchschnitt in M dicM,
Denn die Mengen A^ sind (als M G) selbst Youngsche Mengen und
gehoren mit M zu einer Dichtigkeitsklasse, also auch ihr Durchschnitt.
X. Ist A I, ^2T • • • ^i^^ Folge von Mengen, die zu der Youngschen [66]
Menge M nirgendsdicht sind, und A ihre Summe, soistM — M A in M dichL
Machen wir fiir die A^ die Zerlegungen (a), iff == P^ -f Q^, und setzen
^0 — ^1 + Pi + ' ' '1 Qo — Q1Q2'' ' y ^^ sind die Q^ in M offen und dicht,
also nach IX QQin M dicht. Uberdies ist MA^^i\, MA^PQ,M— A! A.
^ QQ, also ist M — M A erst recht in M dicht.
185

142 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Wir konnen aber nicht behaupten, dafi A noch zu M nirgendsdicht
sei; fiir die zu A gehorige Zerlegung M = P + Q wiirde man ja nur P g PQ,
Q^Qo schlieBen konnen, so daB Q nicht mehr in M dicht zu sein braucht.
Bringt man die rationalen Zahlen in eine Folge TJ, ^2,.. . und lafit A^ aus
der einzigen Zahl r„ bestehen, so ist A^ in der Menge M der reellen Zahlen
nirgendsdicht, A aber sogar dicht; der Satz X bleibt trotzdem giiltig, denn
M — A ist in M dicht. Versteht man aber unter M die Menge der rationalen
Zahlen selbst, die keine Youngsche Menge ist (sie ist in ihrer voUstandigen
Hiille, d. h. in der Menge der reellen Zahlen kein G§, S. 138),
so ist der Satz X nicht anwendbar: M —• A ist dann Null und nicht in M
dicht.
Man nennt, mit einer farblosen Bezeichnung (R. Baire), eine Menge i4
[67] i^on erster Kategorie oder von zweiter Kategorie zu M^ je nachdem sie Summe
einer Folge zu M nirgendsdichter Mengen ist oder nicht, Ist A^M^ so
heiBt sie von erster oder zweiter Kategorie in M; diesen wichtigsten Fall
wollen wir abkiirzend bezeichnen:
Ml eine Menge erster Kategorie in ilf,
Mji eine Menge zweiter Kategorie in AL
Der Satz X, auf A ^ M angewendet, lautet dann:
XL Ist M eine Youngsche Menge^ so ist M — Mi in M dicht.
Aus der Definition sowie aus II, III, IV folgt:
XII. Sind die endlich oder abzdhlbar i>ielen Mengen A^ zu M von
erster Kategorie^ so auch ihre Summe.
XIII. 7^^ A zu M von erster Kategorie^ so auch zu Jf*, wenn ilf*
derselben Dichtigkeitsklasse wie M angehort.
XIV. Ist A zu M von erster Kategorie^ so auch jede Menge ^ A; ist
A in M von erster Kategorie^ so auch in jeder Menge ^ M,
XV. Ist A zu M von erster Kategorie^ so auch zu M G (G offen).
Diese Satze lassen sicli natxirlich in solche liber Mengen zweiter
Kategorie umformen, z. B. statt XIV: ist A zu M von zweiter Kategorie,
so auch jede Menge ^ A usw.
Es kann sein, daB M selbst ein i/j ist; dann gibt es iiberhaupt kein
Mil, d^ lisich XIV alle Teilmengen von M ebenfalls Mi sind, Ist aber M
selbst ein Mu, so kann es nach XII nicht die Summe zweier Mi sein, und
das Komplement M — Mi eines Mi ist jedenfalls ein Mu (wogegen das
Komplement eines Mu sowohl ein Mi als ein Mu sein kann). Eine Youngsche
Menge ilf :=> 0 ist gewi/i ein Mu. Denn nach XI ist M — Mi in M
dicht und kann nicht Null sein.
Auf Grund der Eigenschaft, daB von einer Menge M = Mu nach
Tilgung eines Mi immer noch ein Mu zuriickbleibt, kann man sich die
Vorstellung bilden, daB die Teilmengen Mi sozusagen entbehrliche Ak-
186

§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie. 143
zidentien von diinner Struktur sind und ihre Komplemente M — Mi die
eigentliche Substanz der Menge M enthalten. Diese Vorstellung ist zwar
insofern zweckmaBig, als sie den nichtssagenden Bezeichnungen „erste
und zweite Kategorie" etwas Farbe verleiht; sie kann aber mit ahnlichen
Vorstellungen, die auf Grund anderer Pramissen gebildet sind, koUidieren.
Bei der Zerlegung M = Mg+ Mj^ in separierten Teil und insichdichten
Kern wiirde man doch diesen als Substanz und jenen als Akzidens betrachten,
zumal wenn Mj^ von der Machtigkeit des Kontinuums und M^
nur abzahlbar ist; trotzdem kann Mjg ein Mj und M^ ein il/jj sein. Ist
etwa / eine isolierte Menge mit perfekter Ableitung J^ (z. B. / die Menge
der Punkte I — , ~ J in Fig. 2 S. 113), so ist ilf = /^ = / + J^ eine solche Zerlegung,
wo J^ ein Mj und J ein Mjj ist (denn M — J^ ist in M dicht; iiberdies
stellt jeder einzelne Punkt von / bereits eine Menge M^ dar). — Ein
einzelner Punkt von M gibt eine Menge M^ oder ifi, je nachdem er isoliert
oder Haufungspunkt ist. Jede Menge M^ ist also in der Koharenz Mj^
enthalten, und jede endliche oder abzahlbare Teilmenge von Mj^ ist ein Jfj.
Z. B. ist in der Menge E der reellen Zahlen die Menge R der rationalen
Zahlen ein Ei, sogar ein Ri\ die Menge / der irrationalen ist (da E als
Youngsche Menge ein E^ ist) ein Eji und erst recht ein /n- — 1st ilf = M^
separiert, so ist Mj^ ein M^^ da M — Mj^~ Mj in M, = ilf dicht ist (§ 23,
(15)). Bilden wir also die mit M, M^^ M^j^^,.. beginnende Folge der Koharenzen
MQ^ il/^, Mg, . .., M^, ..., so ist jede dieser Mengen in den vorangehenden
von erster Kategorie, aber (solange sie ^ 0 ist) in sich von zweiter
Kategorie, weil sie isolierte Punkte hat.
Ist die Menge E^ die wir jetzt als Raum annehmen, eine Youngsche
Menge, so ist auch jede (in E) abgeschlossene Menge F und jede offene
Menge G (sogar jede Menge G^) eine Youngsche Menge, also, falls :=>0,
in sich von zweiter Kategorie. Auf Grimd dieser zwei Eigenschaften woUen
wir zwei Klassen von Mengen definieren, die als Verallgemeinerung der
Youngschen Mengen vielfach eine Rolle spielen. Wir sagen:
E hei^t eine F^^-Menge, wenn jede abgeschlossene Menge F:>0 in sick [68]
iwn zweiter Kategorie (ein Fn) ist ^). E heifit eineGji'Me?ige, wenn jede ofjene
Menge G^O in sich i>on zweiter Kategorie {ein Gjx) ist.
Die Bedingung der i^ij-Menge kann dahin eingeschrankt werden^ daB
nur jede perjekte Menge P:>0 ein Pji zu sein braucht; denn eine Menge F
mit isolierten Punkten ist ohnehin ein Fji,
Die Bedingung der Gjx-Menge kann durch dies^ ersetzt werden, daB
jede offene Menge G^O ein Ejj ist. Denn: ist G ein Gj, so auch ein Ej
(nach XIV); ist G ein JE^j, so auch ein Gj (nach XV)- G ist also in sich und
in E von derselben Kategorie" (wogegen eine abgeschlossene Menge F zugleich
ein F^ und E^ sein kann, z. B. jede im EukHdischen Raum E nirgends-
^) Hierzu vgl Nachtrag A.
187

144 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
dichte abgeschlossene Menge :::^0), Ferner lassen sich die GjrMengen
auch so charakterisieren:
E ist dann und nur dann eine Gji-Menge, wenn E — Ei steis in E
dicht ist.
Denn ist E — Ej stets in E dicht, so ist G :::5 0 kein Ej, ddi E — G = F
nicht in E dicht ist (i^^ = F 0, so ist in G — (E — A)G + AG der zweite Summand
ein Ej, also der erste ein Ejj und jedenfalls :>0. Aus G^O folgt also
(E — A)G^O, d. h. E - A ist in E dicht.
Mit E ist auch E ~ Ei eine Gn-Menge. Denn sei A in E, B in
E — A = D von erster Kategorie, so sind B und A + B auch in E von
erster Kategorie, also E — {A + B) = D — B in E und erst recht in D
dicht; D ist eine Menge, fiir die D — Djin D dicht ist, also eine Gn-Menge.
Jede Youngsche Menge ist eine Fjj-Menge; es gibt aber, wie wir spater
(§43,2) sehen werden, auch i^'u-Mengen, die keine Youngschen Mengen sind.
Jede Fji'Menge ist eine Gji-Menge, E sei eine i^u-Menge, G^O
offen, F == G^, ferner F — G = G^ — G == H die Begrenzung von G. Sie
ist in F nirgendsdicht (weil sie abgeschlossen und ihr Komplement
F ~ H = G in F dicht ist), also ein Fx; demnach ist G ein Fn und erst
recht ein Gu.
Es gibt aber auch Gjj-Mengen, die keine i^n-Mengen sind. Sei E
die Euklidische Ebene, A die Menge der irrationalen Punkte (i, 0) auf der
a:-Achse X; dann ist A ein Ei und D — E —- A wieder eine Gjj-Menge.
Sie ist aber keine jPjx'Menge, da die in ihr abgeschlossene Menge D X, die
Menge der rationalen Punkte (r, 0) auf der a;-Achse, in sich von erster
Kategorie ist.
Eine Bemerkung verdienen noch die Mengen F^, Summen von Folgen
abgeschlossener Mengen. Jede in E nirgendsdichte Menge A ist Teilmenge
einer in E abgeschlossenen nirgendsdichten Menge A^, also jede Menge
El Teilmenge einer Menge F^ — Ei\ die Mengen F^, die in E von erster
Kategorie sind, sind also die grofiten Mengen erster Kategorie in dem
Sinne, da6 sie und ihre Teilmengen alle Ei liefern. Es gilt noch:
Damit A =^ F^ ein Ei sei, ist hinreichend und im Fall einer GjyMenge
E auch notwendig, dap E — A in E dicht sei.
Denn ist A = ^F^ und E — A in E dicht, so ist erst recht E — F„
in E dicht, F^ in E nirgendsdicht und A ein Ej, Die andere Halfte der Behauptung
folgt aus der Definition der Gii-Mengen.
Ist der Raum E eine Fjj-Menge, so ist jedes A = G^::=>0 in sich
von zweiter Kategorie. Denn F = A^ ist ein Fii\ F — A ist ein F^j,
also in F von erster Kategorie, da sein Komplement ^ in JP dicht ist;
also ist ^ in i^ und erst recht in sich von zweiter Kategorie. In einer
188

§ 28. Mengenraume. 145
Fjj^Menge ist jedes G^, insbesondere j'ede abgeschlossene oder offene Menge
eine Fj^-Menge. Jede in einer Gn-Menge offene Menge ist eine G^^-Menge.
% 28. Mengenraume. [69]
1. Entfernimgeu zwischen Mengen. Wir betrachten wieder Punkte
und Teilmengen eines Raumes E. Die Entfernungen ab der Punktpaare
zweier Mengen A^ B{^ 0) haben stets eine untere Grenze d{A^ B) = d(B,A)
und, falls beide Mengen beschrankt sind, eine (endliche) obere Grenze
d(A, B) = d(B^ A); wir nennen dies die untere und obere Entfernung
zwischen A und B. Insbesondere ist d(A, A) = d(A) der Durchmesser
von A. Ist der Punkt b fest, so iBtd(A, b) = d{b,A) die untere, d{A,b) =
dib,A) die obere Entfernung des Punktes b von der Menge A.
Aus xa ^ya -}- xy folgt, wenn wir beiderseits die obere Grenze
fnv as A nehmen (A beschrankt): d{Xy A) -^ d(y^ A) + xy irnd durch Vertauschung
von x,y
Idix.A} — diy.A) l^xy;
auch fiir die unteren Entfernungen gilt dasselbe (S. 111). 5(a:, J) und
d(x,A) sind stetige Funktionen von x. 8{x^A)^0 ist mit xeA^ gleichbedeutend.
Fiir ^>0 ist «5(a?, ^) < ^ damit gleichbedeutend, daC zu
X eiii aeA mit ax < Q existiert oder daB x der Umgebung V(A, Q) von
A mit dem Radius Q angehort (S. 117).
Wir versuchen nun, zwischen zwei Mengen eine den Entfernnngsaxiomen
geniigende Entfernung zu erklaren und die Mengen dadurch zu
Elementen eines neuen metrischen Raumes zu machen. Die unteren und
oberen Entfernungen sind, wie man von vornherein vermuten kann und
ein Versuch sofort bestatigen wurde, dazu nicht geeignet.
Wir Ziehen nur beschrdnkte Mengen A, B^O in Betracht. Die Relation
(^ > 0)
(Q) I fiir jedes bsB ist d(A^ b) < Q
I zu jedem beB gibt es ein aeA mit ab < Q
deren dreiFormen gleichbedeutendsind, bestehtjedenfalls fiir Q > d{A^ B)
(wQ alle ab < Q) und besteht nicht fwt Q< d(A^ B) (wo alle ab > q). Die
untere Grenze der g, fiir die sie besteht, ist eine Zahl .> 0 und werde mit
Q(A^B) bezeichnet, was von Q{B^A) ZU Buterscheiden ist; nachderzweiten
Form der Relation (q) ist
ferner
(1) Q(A,B) = mi^8(A,b),
(2) 8(A, B) < Q(A, B) < d(A, B).
Hausdorff, Mengenlehre. 10
189

146 Seclistes Kapitel. Punktmengeii.
Fiir ^ > ^(^, B) besteht die Relation (^j, fiir ^< Q (A^ B) besteht sie nicht
(fiir Q = Q(AJB) besteht sie dann und nur dann, wenn das Supremum
in (1) fiir kein b erreicht wird). Q(A, B) = 0 heiBt so viel wie J5g^«,
A zu B dicht; in jedem andern Falle ist Q(A,B) > 0. Ferner gilt
(3) Q(A,B) + Q(B,C)>Q(A,C),
Denn fiir B^U{A, Q), C g U{B, G) ist C^U(A,Q-\- G), woraus der
SchluB leicht zu ziehen ist. Besteht eine der Mengen aus einem einzigen
Punkt, so ist nach (1)
(4) q [a, B) = sup ab = d(a, B), Q{A, b) = d(A, b),
heB
Dieses Q{A,B) ist wegen seiner Asymmetrie noch nicht als Entfernung
brauchbar; wir bilden daher
(5) TB = max [Q(A, B), Q{B, A)] = BA
und schlieBen aus (3), daB damit das Dreiecksaxiom AB -}- BC >^AC
erfiillt ist. Damit ist also eine Entfernung und ein metrischer Mengenraum
definiert, in dem man nur, analog zu friiheren Fallen, zwei Mengen mit
AB — 0, d. h. zwei Mengen derselben Dichtigkeitsklasse als identisch anzu-
sehen hat; fiir Zi& = 0 ist auch Q(A,C) = Q(B, C) und Q(C, A) == Q(C, B)
sowie JC = ^ .
Nach (2) liegt die Entfernung AB zwischen der unteren und oberen
Entfernung; nach (4) ist, wenn die eine Menge einpunktig ist,
Ab = mSix[6iA,b), d(A,b)] = d{A,b).
Wir wollen nachher der praziseren Ausdrucksweise halber von jeder
Dichtigkeitsklasse nur die groBte (abgeschlossene) Menge beibehalten, verengern
also den Definitionsbereich von ^(.4,^) und AB auf die abgeschlossenen
beschrdnkten Mengen > 0 des Raumes E. In diesem metrischen
Mengenraum ist die Konvergenz A == lim A^ oder A^-^A natiirhch durch
AAj^~^0 zu erklaren; die Folge heifie dann meirisch konvergent^ A ihr
metrischer Limes \ der Limes einer metrisch konvergenten Teilfolge von ^„
ein metrisches Haufungselement.
[70] 2, Abgeschlossener und offener Limes. AuBerdemkommen, zunachst
fiir beliebige Mengenfolgen A^ des metrischen Raumes £, folgende Grenzmengen
in Betracht, die denen fiir reine Mengen (oberer und unterer Limes,
§ 3) analog sind: der obere und untere abgeschlossene Limes
(6) i^=^^n, F = FIA,,
im Gleichheitsfalle der abgeschlossene Limes
(7) F = FIA,;
sowie der obere und untere offene Limes
190

§ 28. Mengenraume. 147
(8) 'G=~GIA^, &=GIA^,
im Gleichheitsfalle der o^ene Limes
(9) G=^GlA^
(die Abkurzungen Fl^ Gl mogen etwa i^-Limes, G-Limes gelesen werden).
Die Punkte dieser Mengen sollen durch folgende Eigenschaften definiert
sein:
xeF: jede Umgebung U^. hat mit unendlich vielen A^ Punkte gemein.
xeF^: jede Umgebung U^ hat mit fast alien A^ Punkte gemein.
xeG: es gibt eine Umgebung h\^ die unendlich vielen A^ angehort.
XBG^: es gibt eine Umgebung J/^., die fast alien A^ angehort.
Es ist F^F, G^G. Sind B^— E — A^^ die Komplemente der
An^ so ist, wie eine leichte Uberlegung lehrt,
(10) E^YlA^ + GIB^ =^FlA^-\' G~bB^.
Da6 G, G offen sind, folgt unmittelbar aus der Definition: es ist G bzw. G
die Summe aller Umgebungen, die unendlich Yiden bzw. fast alien A^^
angehoren; fast ebenso unmittelbar oder aus (10) folgt^ daB i^, ^abgeschlossen
sind. Abanderung, Hinzufiigung, Weglassung eiidlich vieler
Mengen ist auf die Grenzmengen ohne EinfluB; beira tlbergang zu einer
Teilfolge hat man, wenn sich die griechischen Buchstaben auf diese beziehen,
(11) F^0^0^F, G^r^r^G,
so daB mit der ganzen Folge auch jede Teilfolge einen abgeschlossenen
(offenen) Limes hat.
Beispiele. Fiir die Folge ^, 5, ^, i?, . . . ist
F_==A, + B,, F^A^B,,
G = Ai +B,, G = A,B,,
Werden die Folgen ^„ mit den Grenzmengen F, F^ G, G und B^ mit den
Grenzmengen 0^0, JT, F zu einer Folge ^j, B^, ^Ig, 5^, . . . vereinigt, so
hat diese die Grenzmengen
F+ 0, F0, G + r, GF.
Ist in der Euklidischen Ebene, fiir ^ > 0, A{t) die durch ^i + (^I =1
definierte ElHpse mit den Scheiteln (± 1, 0) und fO, ± t), so ist der abgeschlossene
Limes fiir die Folge A {n) mit n = 1, 2, 3^..,, dm Geradenpaar
^1 = it 1, fiir die Folge ^4 f—j die Strecke — 1 ^ ^i ^ 1, ^2 =^ 0.
I (Auswahlsatz). Ist der Raum separabel^ so enthdlt jede Mengenfolge
eine Teilfolge, fiir die der abgeschlossene (und eine, fur die der offene)
Limes existiert.
10*
191

148 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Wegen (10) genligt es, den Fall des oftenen Limes zu beweisen (iibrigens
liefert zweimalige Anwendung des Satzes eine Teilfolge, fiir die sowohl
der abgeschlossene als auch der offene Limes existiert). Statt der Umgebungen
V benutzen wir wieder die abzahlbar vielen speziellen Umgebungen V
(§ 25); die in unendlich vielen ^^ enthaltenenF(derenSummeG ist), mogen
obere V heiBen, die in fast alien A^^ enthaltenen (deren Summe G ist) untere V^
und diejenigen oberen, die keine nnteren sind, diskrepante F. Beim (Jbergang
zu einer Teilfolge wird die Menge der oberen, unteren, diskrepanten V
kleiner, groBer, kleiner (im weiteren Sinn, d. h. Gleichbleiben nicht ausgeschlossen);
wahlt man die Teilfolge aber geeignet, so kann man ein beliebiges
diskrepantes V wirklicli tilgen. Denn wenn V den unendlich vielen
Aj,^ aber nicht fast alien An angehort, so geniigt der Ubergang von A^
zur Teilfolge Ap^ won V zu einem unteren V zu machen und demnach aus
der Reihe der diskrepanten V zu streichen. Danach verfahre man, falls
G^Gj also diskrepante V vorhanden sind, folgendermaBen: man bringe
die (hochstens abzahlbar vielen) diskrepanten V in Form einer Folge
Fj, Fg,... und tilge F^ durch tjbergang von A^ zu einer Teilfolge A^,:
falls fiir diese noch diskrepante F vorhanden sind, etwa F^,..., so tilge
man das niedrigste F^ durch tJbergang von A^ zu einer Teilfolge A^ usf.
Entweder gelangt man schon nach endlich vielen Schritten zu einer Teilfolge,
fiir die keine diskrepanten F mehr vorhanden sind, also der offene
Limes existiert, oder das Verfahren ist unbegrenzt fortsetzbar. In diesem
Fall bilde man aus den (wachsend geordneten) Zahlenfolgen p, (/, r, . . .
die Diagonalfolge ^, d. h. aus
V = Vi^ P21 P31'"
Q = ^1, ^2» ^3, • • •
r = Tj, r2, ^3, ...
die Folge t = p^, q^, r^, ....
Diese liefert, da sie, von endlich vielen Gliedern abgesehen, Teilfolge
jeder vorangehenden ist, eine Mengenfolge ^Q ist gleichbedeutend mit Ac,l]^z=>0.
Wir nehmen daher kiinftig die A^ als abgeschlossen an, iiberdies als be-
192

§ 28. Mengenraume. 149
schrankt und >0. Bedeutet a^ einen Punkt von ^„, so kann man aiif
Grund einer leichten Uberlegung auch sagen:
xsF bedeutet: es gibt eine Folge a„ mit dem Haufungspunkt x
(d. h. mit einer nach x konvergenten Teilfolge).
xeF bedeutet: es gibt eine Folge Un'-^x,
Wir erhalten dann folgenden Satz, wo auch X, Y abgeschlossene
beschrankte Mengen ^0 bedeuten: _
II. Wenn Q(A^, X) -> 0, so ist X g^; wenn Q(Y, A ^ -> 0, so ist Y^F,
Beweis. Sei Q^ = Q(An, X) ->0, xeX; es gibt (weil fiir Q > Q(A^ B)
1
die Relation (Q) besteht) einen Punkt a^^eA^ mit xafi:r, xeF. _
Sei Qn^ Q{Y, An)-^0^ xsF; es gibt eine Folge Ug^sAj^ mit einer
konvergenten Teilfolge a^, -> x und zu jedem a^ einen Punkt ,^^ a Y mit
1
^hiVn < Qn + ~' ^so y^-^x^ X ist a-Punkt von 7, XEY^^ Y.
Damit ist II bewiesen. Aus X^F^^F^Y folgfc nun, daB fiir
X= Y dicse Menge auch mit F^ = F identisch ist, d.li.
III. Wenn der metrische Limes X = lim A^ exisliert^ so ist X = FlAn
zugleich der abgeschlossene Limes der Mengenfolge.
DaB eine Umkehrung dieser Satze nicht ohne weiteres moglicfa ist
zeigt schon ein triviales Beispiel: sei im Raume E der reellen Zahlen A^
das Interval! [— n^ n]^ so existiert der abgeschlossene Limes dieser Folge,
namlich E selbst, aber E ist nicht beschrankt und A^E hat keinen Sinn.
Diese Folge hat kein Haufungselement, da die Entfernungen A,,^An —
\n — m\ von zwei verschiedenen Mengen ^ 1 sind. — Ein anderes Beispiel
erhalt man mit
^2 , = {o, i}, A^n-i = {0, n} (^ - 1, 2, . . .),
wo also jedes A^ aus zwei Zahlen besteht. Hier existiert der abgeschlossene
Limes JF, aus der einen Zahl 0 bestehend, er ist zugleich das (einzige)
metrische Htlufungselement lim ^2,^, die ganze Folge ist aber nicht metrisch
konvergent.
AUgemein kann man nur sagen: wenn X mefcrisches Haufungselement
von An ist, d. h. eine Teilfolge mit ApX-^Q existiert, so ist nach III und
(11) F^X^F] alle etwaigen Haufungselemente der Folge liegen zwischen
dem unteren und oberen abgeschlossenen Limes. Ist insbesondere F — FlAn
vorhanden, so hat die Folge kein von F verschiedenes Haufungselement;
sie braucht aber, wie die Beispiele gezeigt haben, iiberhaupt keins zu haben,
Oder sie kann das einzige Hiiufungselement F haben, ohne metrisch zu
konvergieren.
193

150 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Wenn aber der Raum E in sich kompakt ist^), lassen sich unsere
Satze umkehren. Es gilt zunachst als Gegenstiick zu II:
IV. Wenn E in sich kompakt ist, so isi Q(An^ F)->Q (falls F von Null
verscliieden isi) und Q{Fy An)-^0.
Beweis. Fiir jeden Punkt xe F, der ja als lim a„ dargestellt werden
kann, ist d(^„, a;) < a^a:->0. Ware nun, fiir F^:^0, nicht Q(A^,^) -^ 0,
also fiir eine geeignete Teilfolge Q(AJ,^ JD ^ Q ^ ^^ ^^ 8^^^ ^^ nach der
Definition (1) einen Punkt XpsF mit d(Aj,, Xp) > Q. Die x^ haben, wegen
der Kompaktheit, eine konvergente Teilfolge x^-^x, wobei x der abgeschlossenen
Menge ^angehort und ^(.4^,x) -^0. Aus 16{A^, x^) — d (Ag, x) \
0 im Widerspruch zu q.
Zum Beweis des zweiten Teils stellen wir zunachst F^Q fest, da
jede Folge a^sAn mindestens einen Haufungspunkt xeF hat. Ware nicht
Q{F^ An) -* 0, also fiir eine gewisse Teilfolge Q(F, A^) > ^ > 0, SO gabe es
einen Punkt apcA^, mit 6(F^ ap) > ^, was damit in Widerspruch steht,
daU die a^ einen Helufungspunkt x e F haben miissen.
Aus IV folgt als Umkehrung von III:
[71] V. Wenn E in sich kompakt ist und der abgeschlossene Limes X — FIA^
existiert, so ist X = lim A^ zugleich der metrische Limes der Mengenfolge.
Da ein kompakter Raum hochstens separabel ist (S. 126), so liefert
der Auswahlsatz I in Verbindung mit V:
VI. Ist der Raum E in sich kompakt^ so hat jede Mengenfolge A^^^O
eine metrisch konvergente Teilfolge, D. h, der metrische Raum der abgeschlossenen
Mengen F{0 0 zusammenhangend, wenn sie sich nicht in zwei disjunkte abgeschlossene
Mengen >0 spalten laBb, und eine oftene Menge ir^O ist
zusammenhangend, wenn sie sich nicht in zwei disjunkte oflene Mengen > 0
spalten laBt. Eine abgeschlossene zusammenhdngende Menge heifit ein Kon-
1) Es genugt, daB die samtlichen An einer in E kompakten Menge angehoren
oder daB ^=

§ 29. Zusammenhang. 151
iinuum^ eine offene zusaminenhdngende Menge ein Gehiet, Ob eine Menge A
zusammenhangend ist oder nicht, hangt nur von ihr selbst, nicht vom
umgebenden Raume E ab (wahrend die Begriffe Kontinuum und Gebiet
Relativbegriffe bezijglich E sind).
Beispiele. Eine Hyperbel ist unzusammenhangend, die Spaltung in
ihre beiden Zweige ist eine Zerstiickelung ^). Die Menge der positiven und
negativen reellen Zahlen, ohne Null, ist unzusammenhangend. Eine einpunktige
Menge gilt als zusammenhangend (Kontinuum). Ein Interval!
[a, b] reeller Zahlen ist zusammenhangend; denn sei eine Spaltung ^^ + ^2
in disjunkte Mengen gegeben, a e A^ und c die untere Grenze der Zahlen
von ylg. 1st nun A^ abgeschlossen,^ so ist c die kleinste Zahl von A^^ also
c > a, und A^^ ist nicht abgeschlossen, da das halboflene Intervall [a, c)
zu A^ gehort, c selbst aber nicht.
Um eine Menge A (> 0) als zusammenhangend nachzuweisen, ist zu
zeigen, da6 bei jeder Spaltung (1) einer der Summanden Null ist. Man
beachte hierbei, daB diese Spaltung auch fiir jede Teilmenge B von A
eine entsprechende Spaltung
hervorruft. B =^ B,^ B,^ BA,^ BA, = BF, +BF,
I. Wenn je zwei Punkte von A ^^sich in A verhinden lassen'\ d. /L
einer zusammenhdngenden Teilmenge von A angehoren, so ist A zusammenkdngend,
Denn gabe es eine Zerstiickelung (1), x^ e Aj, x^ e A^^ so verbinde
man x^^ x^ durch eine zusammenhangende Teilmenge B; dann ware aber
auch B = B1 + B2 eine Zerstiickelung.
II. Die Summe von zwei zusammenhdngenden Mengen^ der en Durchschnitt
nieht verschmndet, ist zusammenhangend,
Sei S = A -j-B, D = AB^O, Einer Spaltung S = 8^^ + S^ entsprechen
A = A^ + A^, B = B^ + B^^ D = D^^ + D^* Weil A zusammenhangt,
ist einer der Summanden 0, etwa A^ — 0, also Dg = 0, /)i > 0,
B^:^0; weil B zusammenhangt, ist also j^g = 0, iSg = 0: *? ist zusammenhangend.
Eine Art Umkehrung von II ist der Satz:
III. Zwei abgeschlossene Mengen^ der en Summe und DurchschniU zu^
sammenhdngend istj sind selbst zusammenhangend.
Sei wieder S = A -\- B^ D — AB. Einer Spaltung A =^ A^-{- A^
entspricht D == D^-|-D^, also ist etwa Dg = 0, A^B=-Q, Dann ist
S = {A-^ •]-B)-\-Ac^\ damit dies keine Zerstiickelung sei, mufi ^2 = 0
sein: A ist zusammenhangend. — Der Satz gilt bereits, wenn A und B
in S (das man als Raum wahlen kann) abgeschlossen sind.
^) Wir sind in der Euklidischen Ebene E^, ohne unendlich feme oder
uneigentliche Punktel
195

152 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Sagen wir von endlich vielen, in bestimmter Reihenfolge geschriebenen
Mengen A^ B^C,,.., daB sie eine Kette bilden, falls je zwei benachbarte
Mengen gemeinsame Punkte haben (AB^O^ JSCr^O, ...). Sind diese
Mengen zusammenhangend, so ist nach II auch A + B^ {A + B) + C,., .
zusammenhangend. Nach I folgt:
IV. Die Summe beliebig vieler zusammenhdngender Mengen^ von denen
je zwei einer Kette angehoren^ ist zusammenhangend.
Insbesondere gilt dies, wenn je zwei Mengen gemeinsame Punkte
haben.
Eine grofite (in keiner andern enthaltene) zusqmmenhdngende Teilmenge
von A heifit eine Komponente vpn A. Eine solche erKalt man, wenn
man die Menge A{x) aller Punkte, die sich in A mit einem Punkt xeA
verbinden lassen, oder die (nach IV zusammenhangende) Summe aller den
Punkt X enthaltenden zusammenhangenden Teilmengen von A bildet.
A(x) kann sich auf die einpunktige Menge {x} reduzieren, Zwei Komponenten
A(x)^ A(y) sind entweder disjunkt oder identisch. Man erhalt
so die Spaltung von A in Komponenten
(2) A=A(x) + A(y) + ^^-,
deren es eine (falls A zusammenhangt) oder mehrere (endlich oder unendhch
viele) geben kann. Eine Menge, deren samtliche Komponenten einpunktig
sind, die also keine mehrpunktige zusammenhangende Teilmenge enthalt,
heiBe punkthaft (total unzusammenhangend), wahrend eine Menge, die
kein mehrpunktiges Kontinuum enthalt, diskontinuierlich genannt werde ^).
Die erste Bedingung ist also scharfer, und eine Menge kann diskontinuierlich
sein, ohne punkthaft zu sein, sogar diskontinuierlich und zusammenhangend
(Beispiele § 31, 2 und § 42, 5). Punkthaft ist ein absoluter, diskontinuierlich
ein relativer Begriff. A ist in E diskontinuierlich heiBt: A hat
keine mehrpunktige, zusammenhangende, in E abgeschlossene Teilmenge.
Eine in sich diskontinuierliche Menge ist auch punkthaft (wegen VI)*
V. Mit A ist auch jede Menge zwischen A und AociA^B^A^) zusammenhangend,
Einer Spaltung 5 == 5^ + i?2 in relativ abgeschlossene Mengen entspricht
A ^ A^ + A^. Hier ist etwa Jig = 0, ^i = ^, ^ g Bj^^A^,
Bi^ = ^a, und da B^ in B abgeschlossen ist: B^ = BB^^c = BA^ = B,
B^ = 0,
VI. Die Komponenten i^on A sind in A abgeschlossen.
Fur eine Komponente P ist A Pec (zwischen P und P^ gelegen) nach
V zusammenhangend, also, da P eine groBte zusammenhangende Menge g^
ist, AP^=: P,
Auch hier herrscht kein einheitlicher Sprachgebrauch.
196

§ 29. Zusammenhang. 153
VII. Eine zusammenhdngende Menge C^ die zwei Punkte a, b {>on
Komplementdrmengen A^B(A + B — E) verbindet^ trifft die Begrenzung
dieser Mengen, Eine mehrpunktige zusammenhdngende Menge ist insichdicht
und mindestens i>on der Mdchtigkeit des Kontinuums,
Denn ware CAg = C (A^ + Br) = 0, so hatte man eine Zerstiickelung
C = CAi + CBi. Wahlt man speziell A als Menge der Punkte ax^Q,
B als Menge der Punkte arr > g, wo 0 < p < aft, so folgt, da6 C fiir jedes
dieser Q mindestens einen Punkt mit ax = q enthalten mu6, und damit
die zweite Halfte des Satzes.
Insbesondere ist ein mehrpunktiges Kontinuum perfekt. Eine endliche
Oder abzahlbare Menge ist punkthaft.
2. Lineare und lokal zusammenhangende Raume. In den linearen
Raumen (§ 20, 2), wo die Entfernung xy = \x — y\ auf einem Betrage
\x\ beruhte, der eine positiv homogene Funktion ersten Grades der Koordinaten
ist, sind die Strecken [rr, yl mit reellen Zahlenintervallen [a, A]
isometrisch, also zusammenhangend. Nach I sind also die konpexen
Mengen (die mit zwei Punkten re, y auch ihre Verbindimgsstrecke
[x, y] enthalten) zusammenhangend, so der ganze Raum, eine offene
Kugel (Umgebung), eine abgeschlossene Kugel u. dgL Weiter ist ein
Streckenzug
(o) [XQ^ Xi^ X^i . . ., ^n—lf ^n\ = V^m ^iJ ~t~ L^l? **'2J -J- * * * +L^n--1) ^nl
als Spezialfall einer Kette (S. 152) zusammenhangend und damit jede
Menge, in der sich zwei Punkte durch einen (der Menge angehorigen)
Streckenzug verbinden lassen; so ist in der Euklidischen Ebene (oder im
E.,^ fiir m^_2) die Menge J der irrationalen Punkte zusammenhangend,
denn sind re, y zwei Punkte von / und z ein dritter Punkt, der auf keiner
der (abzahlbar vielen) Geraden liegt, die x oder y mit einem rationalen
Punkte verbinden, so sind x^y in J durch den Streckenzug [re, 2, i/] verbunden.
— Fiir eine offene Menge im linearen Raum oder in einem konvexen
Teilraum ist diese Zusammenhangsbedingung (Verbindung durch
einen Streckenzug) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig. Denn
ist G off en und G{x) die Menge der Punkte j/, die sich mit XBG durch einen
Streckenzug [re,. .., y] in G verbinden lassen, so ist G{x) offen, weil fur
Uy^G jeder Punkt zeUy mit y durch [?/, 2]gf/y, also mit re durch
[re,. .., ?/, z] verbunden ist. Zwei Mengen ^(re), G{y) sind entweder disjunkt
oder identisch. Demnach hat man wie bei der Zerlegung in Komponenten
(4) G = G(x) + G{tjy+G{z) + '-.
Ist nur ein Summand vorhanden, so ist G = G{x) zusammenhangend; sind
zwei oder mehrere vorhanden, so liefert
G^Gix)+[G{y) + G(z) + '^']
197

154 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
eine Zerstiickelung. Bildet man hier den Durchschnitt mit einer Teilmenge
von G, so wird auch diese zerstiickelt, wenn sie mit mindestens zwei
SummandeDj etwaG(rr) und G{y), gemeinsamePunkte hat; eine zusammenhangende
Teilmenge von G liegt also ganz in einem einzigen Summanden.
d. h. die G(x) sind die Komponenten von G. Wir haben also gezeigt:
VIII. 1st der Raum kom^ex^ so sind die Komponenten einer offenen
Menge selbst offene Mengen; eine offene Menge ist dann und niir dann zusammenhdngend
(ein Gebiet)^ wenn sich je zwei Punkte durch einen Streckenzug
in ihr i>erhinden lassen.
In den separablen Raumen dieser Art, z. B. im Euklidischen, ist die
Menge der Komponenten einer offenen Menge hochstens abzahlbar.
Ist E die gerade Linie oder die Menge der reellen Zahlen, so enthalt
nach VII eine zusammenhangende Menge nebst zwei Punkten r?, b auch das
Intervall [a, b\ woraus leicht folgt, daC es hier koine andern zusammenhangenden
Mengen gibt als einzelne Punkte, Intervalle, Halbgerade und
die ganze Gerade selbst (die Intervalle konnen offen, halboffen oder abgeschlossen
sein, die Halbgeraden offen oder abgeschlossen). Gebiete sind die
offenen Intervalle (a, b)^ die offenen Halbgeraden (a, oo) und (— oo, b)
sowie die ganze Gerade. Die allgemeinste offene Menge G entsteht durch
Addition von endlich oder abzahlbar vielen disjunkten Gebieten. Wenn
dabei aneinandergrenzende Intervalle wie (a, b) und (&, c) vorkommen, so
wird i ein isolierter Punkt des abgeschlossenen Komplements F = E — C\
trifft dies niemals zu, so wird F perfekt.
Die in VIII zuerst genannte Bigenschaft kommt einer allgemeineren
Klasse von Raumen zu, wie wir nun zeigen woollen.
Nennen wir — zunachst in einem beliebigen Raume — eine Spaltung
(5) ^ -_^ i> + ^ + /? + .. .
der Menge A in disjunkte Summanden r^ 0 eine natiirliche Spaltung, wenn
sie die zusammenhangenden Teilmengen von A nicht zerreiBt, die Summanden
also Komponentensummen oder, wenn zusammenhangend, Komponenten
sind. Natiirliche Spaltungen sind also u. a. die Spaltung in Komponenten,
ferner in endlich viele relativ abgeschlossene oder in beliebig
viele relativ oft^ene Mengen {P und A — P sind dann gleichzeitig in A abgeschlossen
oder offen, woraus die Behauptung leicht folgt). Wenn sich
z. B. eine offene Menge G in oft^ene Mengen spalten laBt, so sind diese, insoweit
sie zusammenhangend sind, Komponenten von C Ein Gebiet G
mit der Begrenzung H ist Komponente von E — i/, denn G^ = G + N
ist abgeschlossen, E ~ (G + H) = G^^ offen, E — H = G + G^ eine natiirliche
Spaltung. Ein Gebiet ist durch seine Begrenzung und einen seiner
Punkte eindeutiff bestimmt.
198

§ 29. Zasammenhang. 155
Der Raum E heiBe lokal zusammenhdngend ^), wenn in jeder Um- [72]
gebung U.j^ eines beliebigen Punkies x ein den Punkt x enthaltendes Gebiei G^
t>
enthalten ist. Er braucht darum (als Ganzes) nicht zusammenhangend zu
sein ^). Ein konvexer Raum ist lokal zusammenhangend, da hier sogar
jede Umgebung U^ selbst zusammenhangend ist. Das einfachste Beispiel
eines nicht lokal zusammenhangenden Raumes bildet die Menge
E == {1, -J^ -JJ . . ., 0); die einzige, den Punkt 0 enthaltende zusammenhangende
Menge ist die einpunktige Menge {0} selbst und diese ist in E
nicht offen. Ein Beispiel fiir einen zusammenhangenden, aber nicht lokal
zusammenhangenden Raum folgt nach Satz XII. Nun gilt:
IX. Ist der Raum lokal zusammenhdngend und A = P + Q + R + - - -
eine naturliche Spaltung if on A, so ist
(6) A, = P, + Qi + R,+ ''^, A,^P, + Q, + R, + ^'-,
(7) A, = S,, s=^P^ + Q^ + R^+^-^.
In dieser einfachen Weise hangen also offener Kern, Rand und Begrenzung
der ganzen Menge von denen der Summanden ab. Zum Beweise von (6)
erinnern wir uns, daB allgemein
A,^P, + Q,+ ^^^, Ar^P, + Q, + ^"
gilt. Andrerseits sei xeAi, U^^A und G^ ein Gebiet mit ^BG,^^U^^
dann ist G^ in einem einzigen Summanden der Spaltung enthalten, etwa
Ga^^P, xePi, also Ai^Pi +Qi +- ^ ^.
Zum Beweise von (7) betrachten wir das Komplement B == E — A,
dann ist
E -~ P = B +Q + i? + • • *
(E-P),^ B, + Q, +R, + '''
P, = P, + (E- P), ^ Br + Pr +Qr + Rr+-'=B,^A, = A^,
also Ag^Pg 4- Qf^ + ' ' ' = S und Ag^S^, weil Ag abgeschlossen ist.
Andererseits ist
(8) A,^S,
und diese Halfte der Behauptung gilt sogar (in einem lokal zusammenhangenden
Raum) fiir jede Zerlegung A=P + Q + R + ' ' (die keine
naturliche Spaltung zu sein und nicht einmal disjunkte Summanden zu
haben braucht). Denn sei xeAg, U^ beliebig, G,^^U^; da x oc-Vunkt
von A und von B ist, enthalt die Menge G^ Punkte beider Mengen; sie
enthalte etwa einen Punkt von P und einen von ^ g E — P, ailso (nach
VII) auch einen von Pg oder 6', folglich xsS^.
^) Oder im kleinen zusammenhdngend (H. H ahn).
2) Ein isolierter Raum ist lokal zusammenhangend; jede einpunktige
Menge {x) ist ein G.r.
199

156 Sechstes Kapitel. Punkfcmengen.
Bei einer natiirlichen Spaltung in endlich viele Summanden verein-
facht sich (7) zu A,j = S = I\ + Qg .
X. 1st der Raum lokal zusammenhdugend^ so sind die Komponenten
offener Mengen stets Gebiete^ und umgekehrt.
Denn ist A offen, so sind naoli (6) auch P^Q^R^ . , , offen, was also
insbesondere von den Komponenten gilt. Wenn umgekehrt die Komponenten
offener Menge Gebiete sind, so ist die x enthaltende Komponente
von JJy. ein Gebiet G^., der Raum lokal zusammenhangend.
Eine Anwendung von (8) ist der Satz:
Ein zusammenhdngender und lokal zusammenhdngender Raum^ der eine
Fji'Menge ist, Id/St sich nicht in abzdhlbar nele disjunkie abgeschlossene
Mengen ::>0 spalten.
Angenommen, es sei E = Fj^ + F^ + - - - (F^ ^ 0 abgeschlossen);
weil E zusammenhangend ist, hat F^i eine Begrenzung II^ == F^r^O; die
Summe H = H^-\- IL^-\- - - * ist ebenfalls abgeschlossen (als Komplement
von ^i^nt)- ^^^ die Begrenzung von
E -- F, = F^ + F, -I- • • .
ergibt sich nach (8)
//ig (7^2+ ^3+ •-).,
d. h. //g + i/3 + • • • ist in // dicht, N^ und jedes //„ in N nirgends dicht,
also // in sich von erster Kategorie im Widerspruch zur Annahme, dafi E
eine i^jpMenge sein soil. — Diese Verscharfung des Zusammenhangs, die
eine Zerstiickelung nicht nur in endlich, sondern auch in abzahlbar viele
abgeschlossene Summanden ausschlieBt, gilt z. B. fiir Euklidische Raume;
wir werden sie nachher auf anderem Wege auch fiir kompakte Kontinua
beweisen (S. 162).
Wir haben bisher den lokalen Zusammenhang schlechthin, fiir alie
Punkte des Raumes, definiert. Es lage nahe, E in dem einzelnen Punkt x
lokal zusammenhangend zu nennen, wenn jedes U^ ein G^ (Gebietj dem x
angehort) enthalt; indessen ist es zweckmaBig, diese Bedingung etwas zu
lockern und so zu defmieren:
Der Raum E heiUt im Punkte x lokal zusammenhdngend, wenn jede
Umgebung U^ eine zusammenhdngende Menge C enthdlt, der x als innerer
Punkt angehort (xeC^); man kann dabei unter C die x enthaltende Komponente
von U^ verstehen.
XL Wenn der Raum E in jedem Punkt x lokal zusammenhdngend ist,
so ist er (schlechthin) lokal zusammenhdngend; und umgekehrt,
Denn ist C^ die x enthaltende Komponente von C/^., yeC^, Uy^ 0^
und Cy die y enthaltende Komponente von f/y, so ist Cy^C^, weil
^x'+ Cy zusammenhangend und < f_/,„ also mit C^ identisch ist. Nun
ist 2/innerer Punkt von Cy, also auch von C^, C^ besteht nur aus inneren
200

§ 29. Zusammenhang. 157
Punkten und ist ein x enthaltendes Gebiet g t/^;. Die Umkehrung ist
trivial.
Man kann den lokalen Zusammenhang in x noch etwas anders formulieren
(St. M a z u r k i e w i c z). Es sei ^ die untere Grenze der Durchmesser
d (C) aller beschrdnktenzusammenhdngenden Mengen C, die x und y enthalten;
wenn es keine solche gibt, werde J^'uicht definiert. Es ist xy >^xy; wenn
ferner xy und y^ existieren, so auch ocz 0 ist £^ dejQniert und < g, sobald xy < a.
Ist diese Bedingung erfiillt, so seien V^^ V^ die Umgebungen YOU X
mit den Radien ^, a. Jedes yeV^ laBt sich mit x durch eine zusammen-
hangende Menge Cy mit d(Cy) < Q verbinden. Die Menge C — %Cy ist
nach IV zusammenhangend und in V^, enthalten, da jeder ihrer Punkte
von X eine Entfernung < Q hat; sie enthalt V^ und hat demnach x ^um
inneren Punkt; E ist in x lokal zusammenhangend.
Ist umgekehrt £^ in a; lokal zusammenhangend, so habe V^ den
beliebig vorgeschriebenen Radius ^; die a; enthaltende Komponenta C
von U^ hat x zum inneren Punkt, enthalt also eine gewisse Umgebung V^
vom Radius G, Fiir xy < a ist dann xy

158 Sechstes Kapitel. Punktmengen,
da6 ff mit sr nicht nach 0 konvergiert. Ubrigens ist aber jR und E
zusammenhangend.
S.Distanzeii. Ein endlicher Punktkomplex (x^^ X2,. . ., ^„), worin die
Entfernungen X^XQ^ . . ., ^w—i^n benachbarter Punkte 0); wir sagen dann, x^ und x^ lassen sich durch eine p-Kette
verbinden, insbesondere durch eine ^-Kette in der Menge A^ wenn alle
Punkte der Kette zu A gehoren. Suchen wir fiir zwei Punkte a;, y von A
alle sie in A verbindenden o-Ketten; die untere Grenze der dabei auftretenden
Zahlen Q heiBe die Distanz der Punkte a;, y und werde mit ccy bezeichnet
(sie hangt aber nicht nur von den beiden Punkten, sondern auch von A
ab). Fiir Q > xy lassen sich also a;, y durch eine ^-Kette in A verbinden,
fiir Q

§ 29. Zusammenhang. 159
ist eben nur ein sehr grober, sozusagen mit bloBem Auge sichtbarer Mangel
an Zusammenhang, wahrend die Menge auch in feinerer, mikroskopischer
Weise unzusammenhangend sein, namlich eine Zerstiickelung A = P + Q
mit d(Py ^) = 0 gestatten kann (wie die Menge der rationalen Zahlen in
die der Zahlen < ]/2 und > yg).
In einem wichtigen Falle ist indessen die obige Behauptung umkehrbar.
Wenn die in sich kompakte (also kompakte, abgeschlossene)
Menge A = P + Q zerstiickelt, d. h. in zwei abgeschlossene Mengen -^ 0
gespalten wird, so ist deren untere Entfernung 6(P^Q) = d > 0. In der
Tat wird hier die untere Grenze d der Entfernungen p q wirklich erreicht,
das Infimum zum Minimum; denn ist Pn^ln"^ ^t so gibt es eine Teilfolge
mit Pn-^P-t "v^on dieser eine Teilfolge mit qn^Qi ^^^ dann ist
peP, qeQy d = pq > 0. Hier ist also jede Zerstiickelung „mit bloBem
Auge sichtbar", und wenn je zwei Punkte in A die Distanz 0 haben,
so ist A zusammenhangend. Ferner ist, wenn A nicht zusammenhangend
ist, die den Punkt p enthaltende Komponente P mit der
Menge P (0) der Punkte p^ = 0 identisch. Denn einerseits ist immer
P g P (0); andererseits ist P (0) abgeschlossen, weil die Distanz pi
eine stetige Funktion von x ist, also in sich kompakt und daher zusammenhangend,
da je zwei ihrer Punkte die Distanz Ohaben^), demnach
P(0)gP. Wir haben also gezeigt:
XIV. Eine in sich kompakte Menge A ist dann (und nur dann) zusammenhdngendy
wenn je zwei Hirer Punkte die Distanz 0 haben. Die den
Punkt p enthaltende Komponente ist die Menge der Punkte^ die von p die
Distanz 0 haben,
Beim Beweise von XIII zeigten w^ir, daB die Menge der Punkte :c mit
p^ < Q ebenso wie ihr Komplement abgeschlossen ist; dasselbe gilt auch
von der Menge P(Q) der Punkte pS< ^ und ihrem Komplement Q(Q) =
^ — P(^) fiir ^ > 0; man sieht wie dort, daB die untere Entfernung der
beiden Mengen >^ ist (QiQ):^0 vorausgesetzt). Fiir ^ = 0 gilt dies
nicht mehr; wohl ist noch die p enthaltende Komponente
(10) P(0) = %P{e)^P{i)P{±)P(^)...
abgeschlossen, aber ^(0) braucht es nicht zu sein und die untere Entfernung
beider kann 0 sein.
Die folgenden drei Satze sind Anwendungen der Distanzen auf kompakte
Mengen.
XV. Eine in sich kompakte Menge hleibt in sich kompakt, wenn man
statt der Entf ernungen die Distanzen zugrunde legt^ wobei sie in eine punkthafte
Menge ubergeht.
Die Menge sei, in Komponenten zerlegt,
A=^P + Q + R+'',
^) Hierzu vgl. Nachtrag B.
203

160 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
[73] macht man sie auf Grund der Distanzen in A zum metrischen Raum A^
so fallen alle Punkte einer Komponente yon A in einen einzigen Punkt
zusammen; man kann, indem man aus jeder Komponente je einen Punkt
wahlt, J = (p, g^r,.,.}
setzen ^). Eine Punktfolge x^ hat in A einen Haufungspunkt rr, d. h.
eine Teilfolge mit xXy-^O, und dann ist erst recht xx^-^O^ x^ hat auch
in A den Haufungspunkt x. A ist also in sich kompakt, und ebenso entspricht
jeder in sich kompakten Teilmenge B von A eine in sich kompakte
Teilmenge B von A. Sind p, q Punkte verschiedener Komponenten von A.
Q positiv und < 'p~q, so ist die Menge P (Q) der Punkte JX 0 eine groBte
Menge von Punkten, die paarweise in A Distanzen > Q (also erst recht
Entfernungen > Q) haben; diese Menge ist endlich und bestehe aus
rcj, ojg, . . ., a:„. Zu jedem Punkt xeA gibt es dann mindestens ein x^
(i =1, 2,'. .., n) mit xXi-^Q (sonst ware jene groBte Menge noch erweiterungsfahig)
und auch nur ein einziges (sonst ware 'x^j. ^ Q). Ist
ako Ai die Menge der Punkte ocXi ^ q, so ist
(11) ^ -^l + ^2 + -- + ^n
in disjunkte, abgeschlossene kompakte Mengen zerlegt, deren jede einen
„Distanzdurchmesser" ^ Q hat, d. h. zwei Punkte von A^ haben eine
Distanz ^^.
Ist A zweitens zugleich punkthaft, so konvergiert mit der Distanz x^
auch die Entfernung xy (^ ^) nach Null, und zwar gleichmaBig, d. h.
jedem or > 0 entspricht ein ^ > 0 derart, daB mit xy < Q auch xy < a.
Denn andernfalls gabe es eine Folge von Punktpaaren mit x^^ ~^ 0,
^nVn ^ ^? wobei wir mit Beschrankung auf Teilfolgen rr^-^rr, yn-^y ^^^
nehmen konnen, also ^ = 0, xy^o\ die verschiedenen Punkte x, y
wiirden derselben Komponente angehoren. A laBt sich also fur jedes
(5 > 0 in endhch viele disjunkte, in sich kompakte Mengen von Durchmessern

§ 29. Zusamnienhang. 161
1st drittens A auch noch perfekt, so sind die Summanden einer
solchen Spaltung (11) wieder perfekt, da sie in A auch offen, also insichdicht
sind. Die A^ sind also Mengen wie A und das Verfahren kann wiederholt
werden:
A = 2Ai, Ai = HAii,^, Aii, --= ^Aikiy. • .
wobei etwa die Durchmesser der Mengen mit n Indizes kleiner als —gewahlt
werden konnen, natiirlich auch so klein, daB jede Summe aus mindestens
zwei Summanden besteht. Dann ist
A = 2Ai.2Aij,,i:Ai^i,.,
ein polyadisches Diskontinuum (S. 134) und lafit sich in ein dyadisches
verwandeln.
Umgekehrt ist ein dyadisches Diskontinuum
punkthaft. Denn ist C^A zusammenhangend, so kann, damit C^CF^+C^Fg
keine Zerstxickelung sei, C nur mit einem V^^ dann nur mit einem F^^,
mit einem Vp^r ^sw. gemeinsame Punkte haben, d. h. C = V^V^gVp^^...
ist einpunktig. Damit ist XVI bewiesen.
XVII (Randsatzvon Z. Janiszewski). Fseiabgeschlossen, G==E-~F
ihr offenes Komplmnent, H = F^ die Begrenzung beider Mengen, C ein kompaktes
Kontinuum mit CM z:^ 0 ^). Dann hat (oc) jede Komponente i>on
CF Punkte mit H gemein, (j8) jiir CG::^0 jede Komponente ifon CG
Hdufungspunkte inH, (y) fUrCFi ^ 0 jede Komponente von CFi Hdufungspunkte
in H.
Die Figur veranschaulicht den Fall, daB F eine abgeschlossene Kreisflache
in der Euklidischen Ebene i?, G das
AuBere des Kreises, // die Kreisperipherie ist.
Beweis. (a) Ist CF = P -{- Q in zwei
abgeschlossene Mengen gespalten und P^O,
so ist auch PII ^ Q, Denn wegen
C^CF + CGcc ist C = P4-(^4-CGJ;
damit letzteres keine Zerstiickelung sei,
muB der Durchschnitt beider Summanden
PCG^ = PFG^ = PH von Null verschieden
sein. Sei nun peCF und P(Q) die ^*«-^-
Menge der Punkte x, die in der .abgeschlossenen kompakten Menge CF
eine Distanz 'px^q haben, so ist fiir Q>0. wie wir wissen, P(Q) und
das Komplement Q{Q) = CF-P(Q) abgeschlossen, also P(Q)H:>Q, Nach
dem ersten Durchschnittssatz § 26,1 ist der Durchschnitt der Mengen
^) Diese Voraussetzung ist wegen VII insbesondere erfullt, wenn CF^O,
CG:=>0.
Hausdorff, Mengenlehre. 11
205

162 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
P(Q)H fur ^ = 1,1,1,... auch nochr:>0, nach (10) also P(0)/7> 0,
wobei P(0) eine beliebige Komponente von CF bedeuten kann.
1
(jS) Sei F^ die abgeschlossene Menge der Punkte d(x,F)^_-
(n == 1, 2, 3, . ..); es ist G = F^ + F^ + - - - und fiir psCG schlie^lich
peCFn- Nach dem unter (a) Bewiesenen hat die p enthaltende Komponente
von CFn (C trifft sowohl Fn als E — F^^F^ nach VII also auch den
Rand von i^J, um so mehr die von CG, einen Punkt x^ auf dem Rande
1 .
von JP„, d. h. mit d[Xn^ F) = -, und diese Punkte haben in C einen
Haufungspunkt x mit 6{x^ F) = 0^ xeFG^ = H,
(y) C trifft sowohl Fi als E — F^^H^ nach VII also auch die Begrenzung
von F^\ nach (j3), auf Fi statt G angewandt, hat jede Komponente
von CFi Haufungspunkte in dieser Begrenzung, die gleich Fio, — F^
^F - Fi^II ist.
Anwendungen. Ist C ein kompaktes Kontinuum und A ein Teilkoniinuum
c: C, so gibt es ein Kontinuum B mit A c:B czC. Man wahle
namlich einen Punkt yeC —A, eine positive Zahl Q < d(y^ A) und setze
fiir F die Menge der Punkte d(x^ A) ^; andererseits ist y^B^ also Bc:C.
Ein kompaktes Kontinuum Idpt sicli niclit in abzdhlbar viele disjunkte
abgeschlossene Mengen >0 spalten'^) (W. Sierpiiiski).
Angenommen, das kompakte Kontinuum A sei als Summe
disjunkter abgeschlossener Mengen ^^r^O darstellbar. Wir zeigen, daB
A ein Kontinuum B enthalt, das mit unendlich vielen ^„, jedoch nicht
mit ^1, Punkte gemein hat:
B = BA^^ + BA^^ + ...=. ^^+ 5p+ .. .
(1 < Pi < P2 < ' ' *j Bjj:>0), Damit ist schon alles bewiesen; denn die
Wiederholung des Verfahrens gibt ein Kontinuum
mit C^ > 0, wo die q eine Teilfolge der p bilden und Pi < (]i < go < ' ' '
usw.; hierbei wiirde also ABC * - - = 0 sein im Widerspruch zum ersten
Durchschnittssatz. — Um die auf B beziigliche Behauptung zu beweisen,
verstehen wir unter 2^ = 0 ^i® untere Entfernung von A^, A^
und (etwa im Raume A selbst) unter F die abgeschlossene Menge der
Punkte b(x, A^)^q, sodaB A

§ 29. Zusammenhang. 163
einen Punkt von A^ enthaltende Komponente von JF, SO dafi ^^^ = 0,
Silg ^ 0- ^^^ enthalt aber nach XVII B einen Randpunkt von F^ d. h.
mit d(x^ AT) = g, und dieser gehort nicht zu A^\ B hat also mit mindestens
zwei Ant ^Is Kontinuum folglich mit unendlich vielen A^ Punkte gemein,
wie behauptet.
4. Folgen zusammenhangender Mengen.
XVIII. Eine absteigend^ Folge A^^A^^- - - kompakter Kontinua [74]
hat als Durchschnitt ein Kontinuum,
Bemerken wir voraus: zwei disjunkte abgeschlossene Mengen jPj, F^
lassen sich stets in zwei disjunkte offene Mengen G^, Gg einschlieBen; man
braucht nur jeden Punkt Xy^eF^ mit einer Umgebung vom Radius
\d{Xi^F^ und ebenso jeden Punkt x^eF.^, mit einer Umgebung
vom Radius | d(x2,, Fj) zu versehen. — Ware nun A =^ A^A^^ - * (eine kompakte
abgeschlossene Menge > 0) in zwei abgeschlossene Mengen zerstiickelbar,
so schlieBen wir diese in disjunkte offene Mengen G^, Gg ein, so daB
A=:AGi^ + AG2; mit F ==E—(G^ + Gg) ist AF^ 0. Nach dem
ersten Durchschnittssatz miifite dann aber bereits, fiir ein geeignetes n^
A^F == 0, also A^ = A^Gj, + il^Gg zerstiickelbar sein.
XIX (Satz von L. Zoretti). Ist der Raum in sich kompakt^ so ist
der obere abgeschlossene Limes einer Folge zusammenhangender Mengen
wieder zusammenhdngend^ falls der uniere abgeschlossene Limes nicht Null ist.
Die Mengen A^ seien zusammenhangend, JP = ^ ^4^^ > 0, es soil
F = FlAn als zusammenhangend erwiesen werden. Es sei xeF^ ysF;
danach (S. 149) gibt es eine Folge a^-^x mit a^^eA^, eine Teilfolge b^^-^y
mit bjjsA^y und endlich ist (§ 28, IV) ^(F, u4„)->-0, woraus zusammen
folgt: zu beliebigem ^ > 0 gibt es eine Menge A^^ A und in ihr zwei
Punkte a, b derart, daB
ax • * "n ^n) niit
CQ == a, c„ = A verbinden und zu jedem c^ laBt sich ein ZisF mit c^Zi < Q
angeben, wobei insbesondere ZQ = x und z^ — y gewahlt werden kann.
Dann ist (ZQ, Zi,.. ., zj eine(3g)-Kette, die x und y in F verbindek Da
dies fiir jedes Q moghch ist, haben x,y in F die Distanz 0; da dies fiir
jedes yeF gilt, so haben je zwei Punkte von F die Distanz 0; da J^ abgeschlossen,
also in sich kompakt ist, ist F zusammenhangend.
Das Beispiel der Folge A, B, A, B,, . , mit Fr= A^ + B^, F = A^B^
zeigt, daB die Voraussetzung F^O nicht entbehrlich ist und daB F nicht
zusammenhangend zu sein braucht. Auch die Kompaktheit des Raumes
ist wesentiich: ist in der Euklidischen Ebene A^ = [a, c,^, b] der die Punkte
11*
207

164 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
a = (— 1, 0), c„ = (0,7z), b^ = (1, 0) verbindende Streckenzug, so besteht
F = F aus den beiden Halbgeraden a; = ± 1, y >0 und ist nicht zusammenhangend.
Ist der Raum in sich kompakt und hat die Folge der zusammenhangenden
Mengen A^ den abgeschlossenen Limes A oder, was nach § 28,
III V dasselbe ist, den metrischen Limes A, so ist A ein Kontinuum*
Hiervon ist XVIII ein SonderfalL Ist der Raum in sich kompakt, so hat
nach § 28, VI jede Folge zusammenhangender Mengen eine metrisch konvergente
Teilfolge, deren Limes also wieder ein Kontinuum ist. (Man
erinnere sich, daB der metrische Limes abgeschlossen sein sollte.) Die
Kontinua eines in sich kompakten Raumes bilden also wieder einen
in sich kompakten Raum.
Siebentes Kapitel.
Punktmengen und Ordnungszahlen.
§ 30. Hiillen und Kerne.
Die Theorie der Wohlordnung, urspriinglich von Cantor gerade fiir
Zwecke der Punktmengenlehre ausgebildet, ist spater von dieser Mission
etwas zuriickgedrangt worden (nicht immer aus billigenswerten Motiven),
und wir haben selbst im vorigen Kapitel gesehen, was sich ohne sie erreichen
laBt. Indessen gibt es doch Falle, wo die Ordnungszahlen zurzeit unentbehrlich,
und andere, wo sie zur feineren Ausgestaltung eines ohne sie
erzielbaren Ergebnisses mindestens sehr willkommen sind. In der einen
oder andern RoUe treten sie besonders in Erscheinung, wenn es sich um
Bildung von Mengen oder Mengensystemen handelt, die irgendwie die
kleinsten oder gro/iten ihrer Art sind.
1. Schema fiir Hiillen und Kerne. In einem Raume E (der zunachst
eine reine Menge sein kann) sei jeder Menge A eindeutig eine Menge A^
zugeordnet (beide also g£; 9? ist ein Funktionszeichen). Diese Mengenfunktion
sei monoton, d. h.
(1) mit AccB ist A^^B^.
Ist dann S = A + B + - ", D = AB.,.
Summe und Durchschnitt beliebig vieler Mengen, so ist
S^^A^ + B^ + ''', D^^A^B^
Es gibt Mengen A, fiir die A ^A^^, z. B. die NuUmenge A = 0; es gibt
auch Mengen A, fiir die A^Atp, z. B. der ganze Raum A ^ E. Man
erkennt nun sofort:
I. Die Summe beliebig vieler Mengen mil A^A^ ist wieder eine solche;
der Durchschnitt beliebig vieler Mengen mit A'^Atp ist wieder eine solche.
208

§ 30. Hullen und Kerne. 165
Danach laBt sich fiir eine beliebige Menge M definieren:
die Summe M_ aller Mengen A^M mit -4 g^1^ (zu denen gewiB
^ = 0 gehdrt) oder die groBte Menge A^M mit; A^A^: der q>-Kern [75]
von M\ __
der Durchschnitt M aller Mengen A^M mit A^A^, (zu denen
gewiB A = E gehort) oder die kleinste Menge A^M mit A^A^pi die
(p'Hulle von M,
Das typische Beispiel liefert^^ = A^, die Menge der Haufungspunkte
von A in einem (metrischen) Raum. Hier bedeutet
A ^A^ : A insichdicht,
A^A^ : A abgeschlossen,
und wir gelangen zum insichdichten Kern M=Mjc sowie zur abgescMossenen
Htdle M == M^, _
Es kann sein, daB stets A ^ A^ ist; dann ist M = M und M die
kleinste Menge A^M mit AL = A^, Beispiel A^^ = A^, Menge der
a-Punkte von A^ wobei M wieder die abgeschlossene Hiille von M wird
Es kann sein, daB stets A^A^p ist; dann ist M = M und M die
groBte Menge A^M mit A = A^, Beispiel A^ = A^^ Menge der inneren
Punkte von A^ wobei M^ der offene Kern M^ wird.
Man kann diese Spezialfalle herbeiflihren, indem man die mit A^^
zugleich monotonen Funktionen
(2) A^ = yi -f- A^p^ A^ = AAjp
betrachtet i). Hier ist stets A ^ A^^ und A = A^ mit A ^Atp gleichbedeutend;
ferner stets A g A^^ und A — A^ mit A ^A^ gleichbedeutend.
Fiir Bildung des Kerns kann also A^^ durch A^, fiir Bildung der Hiille A^
durch Ag ersetzt werden, und wir haben:
Der (p-Kem Mist die groBte Menge A^M mit A — A^-^ die 9?-Hiille
M ist die kleinste Menge A^M mit A = Ag.
Beispiel. Fur A^ = A^ ist Ag = ^a, A^ = Af^ (Koharenz von A);
der insichdichte Kern M]^ ist die groBte Menge A^M mit A = Aj^] die
abgeschlossene Hiille i¥« die kleinste Menge A^M mit A = A^,
2. Eingreifen der Ordnungszahlen. Betrachten wir zuerst M, die
groBte Menge A^M mit A = A^* Diese Menge A erfiillt dann, wegen
der Monotonie der Funktion A^^ auch die Ungleichung ^4 = Ag^- M^,
sie ist nicht nur in Jf, sondern in der (im allgemeinen) kleineren Menge
Ma enthalten. Sie ist dann folglich auch in M^^, M^^^,. . . enthalten,
womit natiirlich wiederholte Bildung der Mengenfunktion ^4^ gemeint ist:
M^a == [M^)^ usw. Sie ist dann auch in dem Durchschnitt MM^M^^,..
der bisher gebildeten Mengen und dariiber hinaus in alien Mengen ent-
1) .4^ bedeutet hier nicht den separierten Teil von A,
209

166 Siebentes Kapitel. Panktmengen und Ordnungszahlen.
halten, die durch weitere Anwendung des Prozesses d entstehen. D. h.
[76] wenn wir induktiv jeder Ordnungszahl | eine Menge M^ zuordnen durch
die Vorschrift:
(Mo = M
(3) i M^^, = (M^),
J/^ z=z % M^ (rj Limeszah]),
so ist unser A ^ M in alien M^ enthalten.
Fiir jede Ordnungszahl rj > 0 gilt die Zerlegung ^)
(4) M=^:S(M^-M^^,) + M^.
Denn wenn xsM nicht zu Jl/^ gehort, so sei M^{0 < C^rj) die
Menge mit niedrigstem Index, der x nicht angehort; dieses f kann wegen
der dritten Vorschrift (3) keine Limeszahl sein, wir konnen demnach
setzen f = | + 1 (0 < | < »;), und xeM^— M^^^,
Die disjunkten Summanden M^ — M^^^ konnen aber nicht unaufhoriich
:> 0 sein, da ihre Summe die Machtigkeit von M nicht iiberschreiten
darf. Es sei rj die kleinste Ordnungszahl, fiir die M^ = M^^i
= M^^. Da diese Menge M^j also auch der Bedingung A — A^ geniigt,
so ist sie in der groBten Menge M dieser Art enthalten, andererseits war
aber M in jedem M^ enthalten, also ist M = M^.
Also: man erhalt den (p-Kevn von M in der Weise, da6 man in dem
nach (3) gebildeten System absteigender Mengen
(5) Mo, J/j, J/g,.. ., M,,, i/^+i, . . .,
das mit ilf, M^, ilf^^,. . . beginnt, die erste Menge M^ sucht, die mit M.^^.i
iibereinstimmt. Sie stimmt dann auch mit alien folgenden iiberein und ist
die kleinste Menge des Systems. Es ist bemerkenswert, dafi der qhKern M,
urspriinglich als groBte Menge A^MA^ oder als Summe aller dieser
Mengen definiert, jetzt als kleinste Menge des Systems (5) oder Durchschnitt
aller Mengen dieses Systems erscheint, also nicht von unten, sondern
von oben her erreicht wird. Der „Kern" kommt hier wirklich durch Ablosung
der ,,Schale" zum Vorschein.
Im Beispiel A^^ = A^, A^ = A^ sind die Mengen (5) die Kohdrenzen
M, Mj^, Mhj^,, . . von M, wobei der ProzeB ^^^ == ^ — ^,in derAbspaltung
der isolierten Punkte besteht; hier sind also die Summanden Mt — il/4-4.1
der Formel (4) isolierte Mengen und man erhalt den insichdichien Kern
oder die kleinste Kohdrenz, indem man den ProzeB der Abspaltung isolierter
Punkte bis zum Stillstand fortsetzt. — Ist insbe&ondere M abgeschlossen,
so ist (5) die Reihe der Ableitungen J/, i¥^, M^p,. . . und der insichdichte,
in diesem Fall perfekte Kern ist die kleinste Ableitung.
^) Auch fiir rj =•. 0, wenn statt 2: dann die NuUmenge gesetzt wird.
210

§ 30. Hiillen und Kerne. 167
Bevor wir ein weiteres Beispiel fiir Kernbildung bringen, ist noch die
y-Hiille iff, die kleinste Menge A^M mit -4 = ^„ analog zu behandeln.
Wegen der Monotonie von A^ hat man dann A = A^^M^^ A enthalt
mit M auch die (im allgemeinen) groBere Menge ilf^, also weiter Mgg, M^gg
usf. Definieren wir die Mengen M^ durch die induktive Vorschrift
(6) ] ilf HI = (M^),
ilf? =

168 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
[77] 3. Residuen. Ein sehr bemerkenswertes Beispiel fiir Kernbildung
erhalt man auf folgende Weise. Es sei
(9) A^ = A,-A
die Menge der nicht zu A gehorigen Haufungspunkte von A (der Rand
des Komplements E ~ A) und
(10) A^ = A^^
die durch zweimalige Anwendung dieses Prozqsses entstehende Menge.
Es folgt
(11) A^^A^^^,A^,
und die Vergleichung der Formeln
A, =A^ + A
ergibt, daB A^Ay,^ da6 Ay, = AA^o, in A abgeschlossen ist und daB
(12) A'--Ay, = A,- A^,
Differenz abgeschlossener Mengen ist.
Die Funktion Ay, ist nicht monoton; z. B. ist fiir den ganzen Raum
E^ = 0, Ey,^ 0, wahrend etwa fiir eine Menge A, die samt ihrem Komplement
in E dicht ist (wie die Menge der rationalen Punkte im Euklidischen
Raum), A^ = E — A und Ay, = A wird. Wenn wir aber nicht das
System aller Punktmengen, sondern nur das System $ der in einer festen
Menge P abgeschlossenen Mengen betrachten, so ist mit Ae^ auch AyjS^
und Ay, in 5P eine monotone Funktion. Denn sei E — P -\- Q; es ist
A^ = P(QAX
eine (fiir alle A^E definierte) monotone Funktion von A; schreiben wir
B^QA^, A^^PB,,
Da j5 in

§ 30. Hullen und Kerne. 169
Wegen (11), angewendet auf A = M^^ ist F^^F^^^F^^i, ^^^ ^^s
$ ,^+i,
P^ =z^% Pt (tj Limeszahl).
Mit einer in M abgeschlossenen Menge A bilden wir die Residuen A^(AQ=A,
Ai = A^j A^ = Ayjy,^ . . .). Dann ist AQ in PQ abgeschlossen; ist A^ in P^
abgeschlossen, so folgt nach der vorausgeschickten Betrachtung, daU A^^j
in P^^i abgeschlossen ist; ist tj Limeszahl und, fiir | < f^, A^ in P^ abgeschlossen,
so ist ^^ in P abgeschlossen. Damit ist bewiesen, dafi jedes
A^ in P^ abgeschlossen ist und mit P^ schlieBlich Null wird, A ist reduzibeL
Jede in der Differenzenkette M abgeschlossene Menge, insbesondei^ M
selbst, ist reduzibeL
III. Die reduziblen Mengen bilden einen Korper.
Dies folgt aus der SchluBbemerkung von § 17, da der Durchschnitt
beliebig vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist.
Zu den reduziblen Mengen gehoren unter vielen andem die separierten,
Denn aus (9)(10) folgt A^^A^^ A^^^A^^^A^^ und jedenfalls
A^ ^ Ap^ wonach das kleinste Residuum jeder Menge insichdicht ist
{A = A^ g A^) und fiir eine separierte Menge verschwindet. Man erhalt
auch aus (4), wenn die M^ Koharenzen bedeuten, eine separierte Menge
(deren kleinste Koharenz 0 ist) unmittelbar als Differenzenkette aus abgeschlossenen
Mengen, weil A^^^A^'^ Aj^^ und A — Ah = A^ — A^ ist, also
M^ - M^^, ^F^~ Fi F^ = il/^„ Fl = M^p.
213

170 Siebentes Kapitel, Punktmengen und Ordnungszahlen.
4. Fall eines separablen Baumes. Hier tritt die Vereinfachung ein,
daB die kleinste Koharenz oder das kleinste Residuum immer nach hochstens
abzahlbar vielen Schritten erreicht wird. Es gilt namlich:
[79] IV. 1st der Raum separabel, so ist ein auf- oder absteigend wohlgeordnetes
System offener [oder abgeschlossener) Mengen hochsiens abzahlbar,
Sei {Go, Gi,..., G|,...} (| < fi)
ein aufsteigendes System oftener Mengen, G^ c: G^ fur | < T; ; wir konnen
seinen Typus /LC als Limeszahl annehmen. Unter den in G^^i enthaltenen
speziellen Umgebungen V (S. 126) gibt es gewiB eine, F^, die in G^ nicht
enthalten ist. Dann ist V^ ::^Vf^iuT§

§ 30» Hiillen und Kerne. 171
Sei M gleichzeitig F^ und G^, A ihr kleinstes Residuum, also ^ = ^4^^
odermit5 = ^, ^„ = ^ + £ = 5« = i^.
A ist in M abgeschlossen, also gleichzeitigi^^ und G$; also ist auch
E — A und B = F(E — A) gleichzeitig F^ und G^. ^ und B sind beide
in F dicht und, als JF^ mit dichtem Kompletnent, in F von erster Kategorie;
danach ist auch F in sich von erster Kategorie, folglich F = 0 (F::>0
ware ein Fn), M ist reduzibel.
In einem separablen J^n-Raum, z. B. im separablen vollstandigen
Raum sind die reduziblen Mengen identisch mit denen, die gleichzeitig
F^ und G^ sind, Es ist merkwiirdig, daB man die Frage, ob eine Menge [80]
zugleich F^ und G^ ist, hier durch ein wohlbestimmtes (wenn auch unendliches)
Verfahren, namlich Residuenbildung, entscheiden kann, wahrend
z. B. fiir die Mengen F^ nichts Ahnliches bekannt ist.
Der Satz IV gestattet folgende Verallgemeinerung:
VII. Ist der Raum separabel^ so ist ein auf- oder absteigend wM- [8i]
geordnetes System reduzibler Mengen Mchstens abzdhlbar,
Es geniigt, ein aufsteigendes System zu betrachten (Komplementbildung).
Jeder Ordnungszahl j5 < i3 sei eine Feduzible Menge M^ zugeordnet
und fur j8 < y sei M^ ^ M^; es ist zu zeigen, daB die M^ schlieBlich
gleich werden (M^ = If^+i = «• • fiir geeignetes /5). Es sei M^s^ das
|-te Residuum von M^ = M^Q (^ < i3, wie aueh alle noch auftretenden
Ordnungszahlen < £2 sind). Nach (13) (15) ist
M^ = fiM^^ - Jf^i^i) ^ f{F^^ - i^^^),
Nun behaupten wir: es gibt eine feste, von ^ imabhangige Folge abgeschlossener
Mengen
(16) i^o^^^o^--Si^|§i^|^-derart,
daB schlieBlich F^^ = F^ und F'^^ = F'^ wird (fiir ^ ^ /5|, wo man
iiberdies die ^^ mit | wachsend annehmen kann). Wenn dies bereits fiir
alle i

172 Siebentes KtapiteJ, Punktmengen und Ordnungszahien,
wieder schlieBlich identisch; es sei F^ = Flj = JF;^^.I =•••== JP. Fiir
^ ^ /S^ ist dann
M^^ das kleinste Residuum von M^, also M^^ = 0 und
von j8 unabhangig, womit VII bewiesen ist.
Es ist von Interesse, festzustellen, da6 man Mengen mit beliebig
gro^em Index (< i2) der kleinsten Koharenz oder des kleinsten Residuums
bilden kann. Betrachten wir z. B. beschrankte abgeschlossene, der Grofie
nach wohlgeordnete Mengen reeller Zahlen^)
wo also der Index von m^ die Werte ^ = 1, 2,,.., /^ (I

§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen. 173
Es ist A = (MQ — Ml) + A-^. T>Si MQ — Mi = M^ der isolierte Teil von
M und im separierten Teil (§23, (15)), in diesem Fall in M selbst dicht
ist, so ist A in M dicht, A^^ = M^ und A^^ M^ — A = M^^ — A-^. Hier
ist ill g 1^2? ^^B^i—-^2 i^ -^^1 dicht, und die Wiederholung des
Schlusses liefert A^=^ A-^, Das erste Residuum von A ist also A^^ und
die induktive Fortsetzung zeigt, da6 A^ das f-te Residuum von A ist; es
verschwindet schlieBlich, aber erst dann, wenn M^^ die kleinste Ableitung
(= 0) von M ist, und mit dieser erhalt also das kleinste Residuum
von A einen beliebig groBen Index.
§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen.
1. Maximal- und Minimalmengen. In den bisherigen Fallen koimten
die Ordnungszahlen zur Not entbehrt werden, da die Existenz der HuIIen
und Kerne von vornherein feststand; immerhin dienten sie zur Erforschung
feinerer Merkmale, z. B. des Index der kleinsten Koharenz. In andem
Fallen aber laBt sich sogar der Existenzbeweis fiir gewisse Objekte nicht
ohne sie fiihren. Wenn in einem Mengensystem SI keine groBte Menge (die
Summe aller Mengen des Systems) existiert, so kann es nichtsdestoweniger
(verschiedene) Maximalmengen A in dem Sinne geben, daB im System
keine Menge ::> A vorhanden ist. Zu einer solchen Maximalmenge wird
man im allgemeinen nur folgendermaBen gelangen. Man wahlt im System
eine beliebige Menge AQ^ sodann, wenn Mengen ::='A^ existieren, unter
diesen eine Menge A^^ wenn noch Mengen ::^ ^i existieren, unter diesen
eine Menge A^ usw. Gelangt man fiir endliches v zu einer Menge A^ der art,
daB keine Menge z:> Ay existiert, so hat man eine Maximalmenge. Andernfalls
findet man zunachst eine Mengenfolge AQ^ A-j^^ A,^^ - - - vom
Typus ft). Es kann nun sein, daB keine Menge A im System existiert,
die alle A^. umfaBt; dann ist das Unternehmen gescheitert ^). Wir machen
daher die Annahme, daB eine aufsteigende Mengenfolge ohne letztes Element
stets fortsetzbar sei, also:
(

174 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
andernfalls A^ nicht dejSniert wird, so kann dieMenge der definierten A^
die Machtigkeit des Systems 91 nicht iiberschreiten, und es gibt eine kleinste
Ordnungszahl C > 0, fiir die A^ nicht definiert ist. Nach (oc) ist C keine
Limeszahl, also C = ?; + 1; ^^ ist noch definiert und die Mengen AQ, .. ., ^,y
wachsen mit ihren Indizes. Es gibt im System keine Menge ::=>Afj^ da
diese sonst als A^j^i gewahlt werden konnte; A^j ist eine Maximalmenge.
Der hier geschilderte ProzeB unterscheidet sich von denen in § 30
hauptsachlich durch die mangelnde Zwanglaufigkeit: man hat im allgemeinen
fiir jedes A^ die Wahl unter mehreren moghchen Mengen und
gelangt so auch zu verschiedenen Maximalmengen. Man kann diese Willkiir
nicht beseitigen, nur zuriickverlegen, indem man das System 31 von
vornherein zu 91* wohlordnet und dann fiir jedes A^ unter den verfiigbaren
Mengen die in 91* erste wahit; eine bestimmte Wohlordnung liefert
eine bestimmte Maximalmenge, verschiedene Wohlordnungen konnen
verschiedene Maximalmengen liefern. Wenn man das Zermelosche Wohlordnungsverfahren
so anwendet, dafi man als Ansatzelement (§ 12) von
{^,5,..,}, wenn moglich, eine Menge wahlt, die ^,J5, ... als echte
Teilmengen enthalt, so beginnt 91* mit wachsenden Mengen AQ

§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen, 175
A
(2) 0 = 2'rrr
X
mit nicht samtlich verschwindenden r besteht, heiBt A rational abhdngig,
andernfalls rational unabhdngig oder eine Basis iiir [A ]; wenn A rational
unabhangig ist, laUt sich jede Zahl y von [A] nur auf eine einzige Weise in
der G^stalt (1) darstellen. Eine Basis A fiir £, die als Maximalmenge im
System aller Basen (iibrigens auch als Minimalmenge im System der
Mengen A mit [A]== E) aufzufassen ist, erhalt man so: man wahle eine
reelle Zahl XQ 4= 0, dann eine x^^ die nicht rationales Vielfaches TQ XQ von
XQ ist, dann eine ojg, die nicht rationale Verbindung r^ XQ -f r^ x^ von a;^, Xj
ist; allgemein: ist TJ > 0, sind fiir ^

176 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
Wir definieren fiir ^ < ii (ii Anfangszahl von Z(KI), wie immer) die
Mengen A^ folgendermaBen:
A, = E;
^l-fi 6in x,y enthaltendes Kontinuum

§ 32. Die Borelschen und Suslinschen Mengen. 177
A„ + B^ niclit angehoren; zwei verschiedene solche mogen als x^^y^j definiert
werden. Aus dieser Erklarung folgt, daB iwc ^

178 Siebentes Kapitel. Punktraengen und Ordnungszahlen.
der Borelschen Mengen mit den F^ beginnen, also wie in § 18, (3) oder
gemafi der dortigen Vorschrift (a); man hat also folgende Definition fiir
die Ordnungszahlen | < i2:
f Die Mengen F^ sind die Mengen F,
[85] (a) I Die Mengen F^ sind fiir ungerades r} die Summen, fiir gerades
I ^ > 0 die Durchschnitte aus Folgen von Mengen F^ (^ < rj).
Die Mengen F^,F\F\F\,.. sind die F, F^, F^s, F^$^,.,,, dann
kommen die F*^ als Durchschnitte aus Folgen friiherer Mengen usw.
Betrachten wir auch noch die von den offenen Mengen G erzeugten
Borelschen Mengen, wobei man mit den G§ beginnen wird, also wie in
§ 18, (4) oder gemaB der Vorschrift (]8); man hat dann folgende Definition:
I
Die Mengen G^ sind die Mengen G,
Die Mengen C sind fiir ungerades rj die Durchschnitte, fiir
gerades ?7 > 0 die Summen aus Folgen von Mengen G^ (| < rj).
Die G^, G\ G^, G^,.,, sind die G, Gs, G^^.G^aH, - --, dann kommen die
G^ als Summen aus Fdlgen friiherer Mengen usw.
Offenbar sind die F^ und G^ Komplemente voneinander. tJberdies
aber sind beide Borelschen Systeme identisch, also auch die G^ bilden in
ihrer Gesamtheit die Borelschen Mengen des Raumes, n^mUch:
Jedes F^ ist ein G^+\ jedes G^ ein F^^'^.
Dies gilt fiir 1= 0 (jedes F ist ein G^, jedes G ein F^^ § 23, III) und
iibertragt sich induktiv auf r? > 0, wenn es fiir | < ij gilt: ist rj ungerade,
so ist F^ Summe einer Folge von Mengen F^, diese sind Mengen G^+^, also
jedenfalls auch Mengen C, und die Summe einer Folge von G^ ist ein C+^.
Analog fiir gerades T].
Auch folgendes ist induktiv leicht einzusehen. Die F^ bilden einen
Ring ^), auBerdem fiir ungerades | ein o'-System, fiir gerades | ein (5-System.
Die G^ bilden einen Ring und fiir ungerades | ein (5-System, fiir gerades ^
ein (T-System. Ist Y} Limeszahl, so ist das System aller F^{^ < rj) mit
dem aller G^ identisch und ein Korper, aber im allgemeinen weder ein
a- noch ein ^-System; die Summen aus Folgen von Mengen dieses Systems
sind die C, die Durchschnitte die F^K Das ganze Borelsche System ist
ein Korper und gleichzeitig a- und

§ 32. Die Borelschen iind Suslinschen Mengen. 179
Die Suslinschen Mengen des Raumes sind die von abgeschlossenen
Mengen F^^ usw. erzeugten Mengen
i^5 = @ Fn^ Fn^n^ F^^n^n^ • • •
in der aus § 19 bekannten Bezeichnung. Wir erinnern uns, daB alle Borelschen
Mengen auch Suslinsche sind und daB die Iteration des Suslinschen
Prozesses nichts Neues liefert: jedes Fss ist ein Fs- Die von den offenen
Mengen erzeugten Suslinschen Mengen
sind in ihrer Gesamtheit mit den Fs identisch; denn jedes G ist ein F^^
also ^ein Fs, und Gs ein Fss = Fs, ebenso Fs ein Gs- Die Gs sind aber
nicht die Komplemente der Fs, die ja vielmehr so aussehen wiirden:
E-Fs=^ 3)(Gn, + G«, n. + G^^r^^r.^ + •••),
und die Suslinschen Mengen bilden, wie wir noch sehen werden, im allgemeinen
keinen Korper.
Der Charakter einer Menge als Borelscher oder Suslinscher Menge ist
relativ und bezieht sich auf den Raum E; man hatte also ausfiihrlicher
F''(E) usw. zu schreiben. Wir haben fiir die F^ G, F^, Gs davon schon
gesprochen (§ 26, 3); ist D^E und wird das Argument E wieder weggelassen,
so ist ^(2)) ^ D F^, G^D) = D G^,
d. h. die Borelschen Mengen des Raumes D sind die Durchschnitte von D
mit den entsprechenden Borelschen Mengen des Raumes E. Der induktive
Beweis liegt auf der Hand. Dasselbe gilt von den Suslinschen Mengen:
Fs{D)^DFs, Gs(D) = DGs.
Es gibt auch absolut Borelsche und absolut Suslinsche Mengen, d. h. solche, [86]
die in jedem umgebenden Raume diesen Charakter haben, und zwar gibt
es absolute F^^ ferner fiir | ^ 1 absolute G^ (nicht fiir I == 0, absolut offene
Mengen gab es ja nicht), und absolute Fs oder Gs, und der Leser wird
leicht (wie S. 136) erkennen, daB eine Menge A einen dieser Gharaktere
absolut besitzt, wenn sie ihn in irgendeinem voUstandigen Raume, speziell
in ihrer voUstandigen Hiille J besitzt. DaB die Nichtexistenz absoluter G
der Existenz absoluter G*(f ^ 1) nicht widerspricht, haben wir uns damals
fiiT^ — i schon klargemacht; auch in Gs treten ja nur Summanden der
Form Gs = G^ auf.
Wir beweisen nun den Mdchtigkeitssatz: [87]
I. In einem voUstandigen separabUn Raum ist fede Suslinsche^ also insbesondere
jede Borelsche Menge entweder hochstens abzdhlhar oder von der
Mdchtigkeit K.
Das ist eine Verallgemeinerung von § 26, XI; jedoch entscheidet iiber
die Machtigkeit nicht mehr wie dort das Verschwinden oder Nichtverschwinden
des insichdichten Kerns. Die Menge der rationalen Zahlen
12*
223

180 Siebentes Kapitel. Punktmengen imd Ordnungszahlen.
(ein Fff) ist insichdicht und doch nur abzahlbar. Wir werden wie damals
zeigen, daB eine unabzahlbare Suslinsche Menge ein dyadisches Diskontinuum
D als Teilmenge enthalt, miissen aber bei der Kugelkonstruktion
statt der Haufungspunkte jetzt Verdichtungspunkte benutzen. Es sei
^ = © F(i) F(i, k) F(i, kj),,,
eine von abgeschlossenen Mengen F erzeugte Suslinsche Menge, die Summe
iiber alle natiirlichen Zahlenfolgen (i, k^l^...) erstreckt, wahrend, wie wir
sogleich bemerken woUen, (p, q^r^. . .) eine aus den Ziffern 1, 2 gebildete
dyadische Zahlenfolge bedeuten soil. Zur Vereinfachung konnen wir fiir
jede Folge natiirlicher Zahlen
F(i)^F{i,k)^F{i,k,l)^' "
annehmen (indem wir statt der urspriinglichen F die Durchschnitte mit
den vorangehenden einfiihren). Halt man Anfangsindizes fest, so entstehen
die Mengen
A{i) = © F{i) F(i, k) F(i, A:, Z)...,
kl...
A(i, k) = © F(i) F(i, k) F(i, k, I).
usw., wobei
^ = © A(i), A{i) = © A(i, k), A{i, A:) =- © A{i, k, I),,., .
i k I
Nun sei A und folglich auch A^ = A Ay unabzahlbar; wir wahlen
zwei Punkte aj,, ag dieser Menge (Verdichtungspunkte von und in A) und
machen sie zu Mittelpunkten disjunkter abgeschlossener Kugeln F^, Fg:
fiir die zugehorigen offenen Kugeln U^^ U^ ist also jede der beiden Mengen
A Up unabzahlbar. Dann ist mindestens ein Summand von A Up =

§ 33. Existenzbeweise. 181
messern -»- 0, haben also einen einzigen Durchschnittspunkt x, der sowohl
dem dyadischen Diskontinuum
als der Menge A angehort. Dies gilt fiir jede dyadische Folge, also jeden
Punkt X e D^ und D ist Teilmenge von A.
Der Satz I ist der umfassendste Machtigkeitssatz, den wir kennen.
Aber er bezieht sich doch nur auf ein verschwindend kleines Teilsystem
im System aller Punktmengen. Es gibt im separablen Raum ^5 abgeschlossene
Mengen (§ 25, IV), also i^^^ = i< Folgen abgeschlossener Mengen
oder Komplexe (i^i, F^^ F^, jFg, Fi2^ i^gu ^iii? • • •)? wie sie zur Definition
einer Suslinschen Menge dienen, also N Suslinsche Mengen (auch N Borelsche
Mengen). Der separable voUstandige Raum ist, wenn sein perfekter
Kern nicht verschwindet ^), von der Machtigkeit J< nnd hat 2^ > 5< Teilmengen.
Fiir die iiberwiegende Mehrheit der Punktmengen bleibt also
die Machtigkeitsfrage und damit das Kontinuumproblem ungeklart.
§ 33. Existenzbeweise.
Bei der Definition der Borelschen Mengen B in der Form JF^ oder
G^ erhebt sich die Frage, ob hier alle Indizes i

182 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
I. In einem vollstdndigen Raum^ dessert perfekter Kern nicht verschmndet^
gibt es Suslinsche Mengen^ die keine Borelschen sind^ und fur jede Ordnungszahl
^ < H Borelsche Mengen^ die genau Mengen G* {oder F^) und
nicht von niederer Klasse sind.
Zum Beweise bilden wir im voUstandigen Raum E mit Ej. ::=> 0 ein
dyadisches Diskontinuum
in der bekannten Weise (S. 131); die dyadischen Folgen (pj, p^^. ,.) sind
aus den Ziffern 1, 2 gebildet, und jeder solchen Folge entspricht umkehrbar
eindeutig ein Punkt x von D, namlich der Durchschnittspunkt der Mengen
deren Durchmesser nach 0 konvergieren.
Es gibt abzahlbar viele Zillernfolgen, die nur endlich viele Einsen
enthalten; tilgen wir die zugehorigen Punkte, so bleibt die Menge C der x
mit unendlich vielen /?„ = 1 iibrig, die aus der perfekten Menge D durch
Weglassung einer Menge F^ (einer abzahlbaren) entsteht und daher ein
G^ ist. Wir woUen die Punkte x tC etwas anders, namlich nicht mit
dyadischen, sondern mit natiirlichen Zahlenfolgen {x^^ x^^...) darstellen.
Fiir eine naturllche Zahl x sei unter [a;] ein dyadischer Komplex verstanden,
der erst rr — 1 Ziffern 2 und zuletzt eine Ziffer 1 hat, z. B.
[1] = (1), [2] = (2,1), [3] = (2,2,1),....,
ferner bedeute [rr^, x^^. . ., x^ den durch Aneinanderreihung von [ajj],
[Xg],. . ., \x-i^ in dieser Reihenfolge entstehenden dyadischen Komplex,
z. B. [2, 3, 1] = (2,1, 2, 2,1,1), und ebenso \x^, x^^ Xg,. ..] die in gleicher
Weise entstehende dyadische Ziffernfolge mit unendhch vielen Einsen
(namlich p^^ = p^^^^^ = p^^^^^^^^ = . . . = 1, die ubrigen /?« = 2).
Setzt man dann
so ist fiir jede Folge natiirlicher Zahlen
^%^ ^ Px.x, ^ I^z,x,x,^ ' ' '
mit Durchmessern -> 0, die Mengen F mit k Indizes sind disjunkt (z. B.
^2 = ^21 ^^^ P3 = ^221 '^ ^22)1 ^^d ^s ^s*
(1) C = 2F,^. 2F^^,^. 2^F,^.,., • • • ,
[89]
wobei jeder Punkt x eineindeutig einer Folge natiirlicher Zahlen (x^, x^^.. .)
entspricht (derart, daB x der einzige Punkt des Durchschnitts F^^F^^^^... ist).
Es geniigt nun, den Satz I fiir den (nicht voUstandigen) Raum C zu
beweisen. Denn Suslinsche Mengen in C und Borelsche Mengen G^ in
C(| ^ 1) sind ebensolche in E, weil C in £ ein Gs = G^ ist, und umgekehrt,
Mengen dieses Charakters in E haben ihn, falls sie Teilmengen von C sind,
auch in C,
226

§ 33. Existenzbeweise. 183
Die Mengen D und C sind separabel (z. B. ist die abzahlbare Menge
D — Cm D dicht). Wir betrachten in dem separablen Raume C die schon
so haufig verwendeten speziellen Umgebungen (S. 126 mit V bezeichnet);
nennen wir sie hier C/i, C/g,... und bilden mit ihnen das Mengensystem [90]
(2) 2K = {f/i,t/2,...}.
Die von 2R erzeugten Borelschen Mengen B^(B^ = J/, £i == M^^ B^ =
M^c-i''') u^d Suslinschen Mengen AS sind mit denen des Raumes C identisch,
da bereits die Mengen M^ (also jedenfalls die B^) alle offenen Mengen
G dieses Raumes umfassen. Jedes B^ ist ein G'y und jedes G^ jedenfalls
ein 5^+^ (fur f ^ CO ein #).
Nun sei y = (TIJ, jrigj • • 0 ^i^^® Folge wachsender naturlicher Zahlen,
N eine Menge solcher Folgen und
(3) X^(BM,^M^^,,.^0(M^,M^,.,.) {M,sm\
wo die 6^-Funktion 0 ihrer Argumente (die beliebige Mengen aus 21 sind)
durch die Menge N bestimmt ist. Wir wissen, daB bei geeignetem N oder 0
die Menge X genau die Mengen S oder auch die Mengen 6^(1 ^ f < fi)
darstellt, nach den Satzen § 18, II und § 19, II. Eine bestimmte Fnnktiont
0, gleichviel welche, werde gewahlt und festgehalten; die damit in der
Form (3) darstellbaren Mengen mogen die Mengen 0 heiBen.
Jedem Punkt x eC ordnen wir nun, vermoge der durch ihn bestimmten
Folge naturlicher Zahlen x-^^ ojg,..., die von x abhangige Menge
(4) 0(x)^0(U,^,V,^,,,.)
eindeutig zu. Das ist also eine Menge 0, und jede Menge 0 ist so darstellbar,
denn M^ s M heiBt doch eben, daB M^ == U^e^eins der U sein soil. (Die
natiirlichen Zahlen %, ojg,.. . sind ganz beliebig, nicht etwa wachsend oder
paarweise verschieden.) Jedes 0 ist also ein 0(x)^ wobei ubrigens recht
wohl 0(x) = 0(y) sein kann trotz x:^y.
Der Punkt x kann nun der ihm zugeordneten Menge 0(x) angehorea
oder nicht. Es sei A die Menge der x s0(x), B die Menge der x e0(x); [9i]
J[ + 5 r= (7. Dann ist B von alien 0(x) verschieden, da von den beiden
Mengen B und 0(x) eine, und nur eine, den Punkt x enthalt. B gehort alsa
nicht zu den Mengen 0.
Fiir eine natiirliche Zahl n sei A^ die Menge der a;, fiir die x e U^.
Dann ist
(5) A^0{A^,A^,,.,)
mit derselben Funktion 0 wie zuvor. Denn XBA oder x B0(X) besagt:
fiir eine in N vorkommende Zahlenfolge v = (BJ, %* - - -) gehort x
dem Summanden Jf„^ M^^... = U^^^ U^^^. . . von 0iMy^, M^,...) =
0(Ujp^j C/a;^,. . .) an, dann ist aber x e A^^ A^^... und x gehort dem entsprechenden
Summanden von ^(^i, ^21 • - •) ^R- Und umgekehrt.
227

184 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
Wir haben schlieBlich noch zu erkennen, daB die An Borelsche Mengen
sind. 1st k eine natiirliche ZahL so sei A^j^ die Menge der x^ fiir die x^ == k*
Das heiBt so viel, daB x einer der (in C) abgeschlossenen Mengen
(fiir n = i der Menge C F^) angehort, mit beliebigen natiirlichen Zahlen
a?i,...,a;^_i; Ani ist die Summe dieser Mengen nach rcj,. . ., a;„_i, also ein
Fa (in C), Endlich ist
k
also ebenfalls eine Borelsche Menge; denn x s U^^ besagt doch, daB es
eine natiirliche Zahl k gibt mit x e Uj^, x^ = k, d. h. x e A^h Uj^^
Damit ist unser Ziel erreicht, namUch:
Stellt 0 genau die Suslinschen Mengen S dar, so ist nach (5) A eine
von Suslinschen (sogar Borelschen) Mengen A^ erzeugte Suslinsche Menge,
also selbst eine Menge S. Ihr Komplement B ist aber kein S, und danach
ist A keine Borelsche Menge.
Stellt 0 genau die Borelschen Mengen B^ dar, so ist nach (5) A eine
von Borelschen Mengen ^^^ erzeugte Borelsche Menge, also selbst eine
Borelsche Menge des Raumes C. Ihr Komplement B ist dann auch eine
Borelsche Menge, aber kein 5^, sondern also genau ein B*^ mit t) > |. Es
gibt also in C Borelsche Mengen, die genau B'l sind mit beliebig hohem Index,
und das gilt dann auch fiir die C. Dann gibt es aber fiir jeden Index 7]
Mengen, die genau C sind. Das gilt zunachst fiir Indizes | + 1 • ware
jedes G^+^ ein G^, so ware ®^ = ®^+-'- das ganze Borelsche System und
alle G^ waren schon Mengen GK ES gilt aber auch fiir Limeszahlen rf:
ware jedes G^ ein G^(| < ^), also ein JF^"^^, SO ware jedes C+^ ein F^^
jedes F'^^'^ ein G^ und jedes C+^ ein C. Damit ist der Existenzsatz
bewiesen.
[92] § 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen.
1. Notwendige Bedingungen. Der Existenzsatz hat uns belehrt, daB
es in einem geeigneten Raume SusHnsche Mengen S gibt, die keine Borelschen
Mengen B sind. Wir miissen demgemaB nach Kriterien dafiir fragen,
daB ein S ein B sei. Zwei Bedingungen sind dafiir aufgestellt worden: die
erste von M. Suslin, daB das Komplement E — S wieder ein S sei, die
zweite von N. Lusin, daB iS" mit disjunkten Summanden darstellhar sei, daB
es namlich eine (d. h. unter den verschiedenen moglichen Darstellungen
wenigstens eine) Darstellung
S = 2 Fn^Fn^n^. . .
gebe, bei der die zu verschiedenen Zahlenfolgen (n^, TZg,. ..) und (v^-, ^'2, • • •)
gehorigen Summanden F^^F^^n^. . . und F^^F^^^^. . . stets disjunkt sind
(weswegen wir das Summenzeichen JS statt © gesetzt haben). Wir zeigen
228

§ 34. Kriterien fur Borelsche Mengen. 185
zunachst, daB beide Bedingungen notwendig sind, gleichviel wie der Raum
beschaifen sei.
I. Wenn die Suslinsche Menge S eine Borelsche isi, so ist ihr Komplement
E — S wieder eine Suslinsche Menge.
Denn E — S ist ja sogar eine Borelsche Menge. Wir haben diese
evidente Tatsache schon im Existenzsatz verwendet.
II. Wenn die Suslinsche Menge S eine Borelsche ist, so isi sie mil disjunkten
Summanden darstellbar.
ber Beweis beruht auf folgenden Schltissen, bei denen wir der Kiirze
halber eine mit disjunkten Summanden darstellbare Suslinsche Menge als
jL-Menge und eine Menge A^ die nebst ihrem Komplement E — A eine
Z/-Menge ist, als 5-Menge bezeichnen woUen.
(A) Die Summe einer Folge disjunkter L-Mengen ist eine L-Menge.
Man kann diese L-Mengen in der Form
darstellen; setzt man noch JP^ = E (der ganze Raum)j so ist
eine L-Menge.
(B) Der Durchschnitt einer Folge pon L-Mengen ist eine L-Menge.
Es seien A = 2 A^^ A^^^^ ^a,a,a, • • •
B =- :EBf,^ Bfy^j,^ J^6,d,d, • • •
abzahlbar viele L-Mengen (A^^^ usw. abgeschlossen). Man vereinige, etwa
nach dem Diagonalschema, die samtlichen Indizesfolgen zu einer einzigen
dann wird
Til 722 ^3 ^A '^S »« • • •
= % ag ^1 ag ^2 ^ • • • ^
A B C , . . = ^ An^ ^niTit ^sit ^»i nj«4 -^„^„j Cf^ . . .
= 2F F F
WO i^ni...njfe diejenige von den dariiberstehenden Mengen bedeutet, deren
hochster Index njc ist (so daB Fn^^n^ ^^^ ^^^ %,..., n^, wenn auch
nicht von alien diesen Zahlen abhangt, z. B. F^^^^^^ = B^^), Wir haben
ABC... damit als L-Menge dargestellt. Natiirlich ist auch der Dmrchschnitt
endlich vieler L-Mengen eine L-Menge.
(C) Summe und Durchschnitt einer Folge von B- Mengen ist eine B-Menge.
Die Mengen Aj^^ A^, .. . und ihre Komplemente 5^, B.^^. .. seien
L-Mengen. Nach (B) ist der Durchschnitt A^A^-^ -, unter Zuziehung von
(A) aber auch die Summe
229

186 Siebentes Kapite]. Panktmengen und Ordnungszahlen.
^1 4- ^2 + ^3 + • • • = ^1 + ^1 "42 + J?i ^2 -^3 + • • •
eine L-Menge, und zwar eine 5-Menge, da von den B^ dasselbe gilt.
[93] (D) Die Mengen F^ sind L-Mengen,
Eine Menge F^j . . .
A==F, + F, + F, + '^'
kann mit aufsteigenden abgeschlossenen Summanden angenommen werden,
dann ist
A=:.F^ + (F,- F,) + (^3 _ iT,) -f . . .
mit disjunkten Summanden, die als Differenzen abgeschlossener Mengen
wieder (spezielle) Mengen F^ sind. So ergibt sich
usw. (FQ
A =
17 -- . .
• = 0).
n,
Wegen
n, ~ -^nifi, = * ' '
—1)
- F -1
ist dann A = ^A„, A
= ^Pn^Fn^n^
als L-Menge dargestellt.
Hierzu werde noch die augenblicklich uberfliissige, spater zu verwendende
Bemerkung gemacht: wenn der Raum separabel ist, kann die
Darstellung von A mit disjunkten Summanden so eingerichtet werden,
daB die Durchmesser der Mengen i^,^^ . ^k ^^* k -^ co nach 0 konvergieren.
Denn E kann als Summe einer Folge abgeschlossener Mengen
mit beliebig kleinen Durchmessern ^ 6 dargestellt werden (z. B. voh abgeschlossenen
Kugeln mit Radien | 6, deren Mittelpunkte eine in E dichtfe
Menge bilden); das gleiche gilt von jeder abgeschlossenen Menge und
jeder Menge Fc. Schreibt man demnach
^ = T^l 4- n + • • • , -Fn == ^1 4- • • • + Fn,
wo die V^ abgeschlossen sind und Durchmesser ^ d haben, so hat auch
An = Fn — i^n~i ^ ^n eincu Durchmesser ^ Du^rchmesser
< -j^ bekommen. Der Durchmesser der etwa auftretenden Nullmengen
ist natiirlich = 0 zu setzen.
Nach (D) sind insbesondere die abgeschlossenen und die offenen
Mengen jL-Mengen, d. h. jB-Mengen, und da nach (C) die J5-Mengen ein
Borelsches System bilden, so sind die Borelschen Mengen des Raumes
sicherlich J?-Mengen, womit II bewiesen ist.
Wesentlich tiefer liegt der Beweis, daB die beiden Bedingungen unter
Umstanden auch hinreichend sind. Wir miissen dazu eine merkwiirdige
Darstellung der Suslinschen Mengen als Summen und Durchschnitte von
Nj Borelschen Mengen vorausschicken.
230

§ S4. Kriterien fiir Borelsche Mengen. 187
2. Die Indizes. Es sei [94]
(1) A = (B jF(ni) F(ni, n^) F(n^, n^, Wg)...
eine Suslinsche Menge des Raumes £, B = E — A ihr Komplement.
Hierbei ist also jedem endlichen Komplex natiirlicher Zahlen, den wir
abkiirzend mit
(2) r = (7^l, ^2, ..., Wi)
bezeichnen, eine abgeschlossene Menge
(3) F(r) = F(n^, n^, .. , n,)
zugeordnet, und die Summe in (1) erstreckt sich iiber alle Folgen (^i, n^,...)
natiirlicher Zahlen. Wir diirfen dabei wie schon friiher
(4) F{nj)^F{n^, n.,)^F(ni, n^, n^)^-voraussetzen.
Wenn wir an den Komplex (2) eine weitere natiirliche ZaM anhangeii,
so entsteht ein Komplex
(r, n) = (?ii,..., %, n),
den wir einen Nachfolger von r neimen; r heiBt der Vorganger von (r, n),
Sei RQ eine beliebige Menge von Komplexen r. Wenn r, aber kein
Nachfolger von r zu RQ gehort, heiBe r ein EndeUment von R^. Durch Weglassung
der Endelemente entsteht aus i?© eine neue Komplexmenge fij,
und indem wir diese Streichung der Endelemente wiederholen, gelangen
wir zu einer absteigenden Folge
/IQ) ^1? ^2? • • •) ^^ufi ^(a-\-li ' " '
von Komplexmengen, die induktiv dadurch definiert sind, daB R^^i aus
R^ durch Tilgung der Endelemente entsteht und fiir eine limeszahl rj
Da RQ hochstens abzahlbar ist, konnen von den disjunkten Mengen
/?! — R^+i (dies ist die Menge der Endelemente von R^) hochstens abzahlbar
viele von Null verschieden sein und wir gelangen fur einen ersten
Index rj (O^ri < i2) zu einer Menge /?^ = R^^i^ die also keine Endelemente
mehr hat, aber natiirlich Null sein kann. Nennen wir dies rj den
Index der Menge R^; fiir iJ?|+i. Die Menge
R = R^ = R^^i = -.. werde etwa der Kern von R^ genannt (er ist die
groBte Menge g J?^, die keine Endelemente hat). Prozesse dieser Art sind
uns aus § 30 gelaufig; der gegenwartige hat groBe Ahnhchkeit mit der Abspaltung
der isolierten Punkte und der Bildung der kleinsten Koharenz.
Nun bestimmt jeder Punkt x des Raumes die Menge RQ(X) derjenigen r,
fiir die x s jF(r), und wenn wir mit dieser Menge den eben geschilderten
ProzeB ausfiihren, so gelangen wir zu den Mengen R^(x)^ endigend mit dem
Kern R{x) == Rr^ix) = i?^a.i(a;) = • •. ; der von x abhangige Index Y] = YI[X)
231

188 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
der Menge RQ(X) werde auch der Index des Punktes x genannt. Wir haben
also fur die Mengen A^B eine Spaltung nach den Indizes ihrer Punkte:
(5) A^2A^, B = 2B^ (^

§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen. 189
die Menge der Punkte x mit R^{x)-:^0\ denn das heiBt ja, daB es ein r
gibt, wofiir (7) gilt. Und es ist
(11) n = (S>[F^(r) - i^^+i(r)]
r
die Menge der Punkte x mit i?|(^) ^ i?^+i(^); denn dies bedeutet, daB
es ein r gibt, das Endelement von R^{x) ist, wofiir also
reR^(x\ reR^^i(x),
d. h. X e F^(r), x e F^^i(r)
Oder X e F^(r) — F^^i(r),
Fiir diese Mengen gilt aber nun
Zunachst ist namlich der Kern R(x) von ji!?o(^) dann und nur dann > 0,
wenn x e A, Ist a: e ^ und etwa x e F(ni) F(n^^ n^)..., so gehoren die
sUmtlichen Komplexe (n^), (%, ng), (%, Wg? ^z)^.. . zu /?o(^); sie sind Bieht
Endelemente und gehoren also zu Ri(x); so weiterschliefiend erkennt man,
daB sie zu jedem Ri(x)^ also zum Kern R(x) gehoren, der demnach r:^ 0 ist.
Wenn umgekehrt der Kern R{x) :=> 0 ist und daher nach (6) einen eingHedrigen
Komplex (%) enthalt, so enthalt er, als Menge ohne Endelemente,
auch einen zweigliedrigen (nj, ng), einen dreigliedrigen (/ij, Tig? ^z)
usf., alle diese Komplexe gehoren auch zu RQ(X), d. h.
X e F(n^) F(n^, n^ F(n^, n^, n^).. .^A.
Fiir X sB und nur in diesem Falle ist R(x) = 0.
Nach der Definition der Indizes rj{x) ist nun
R^(x) ^ R^-^i{x) mit I < rj(x),
R^{x) = R^j^^(x) ^ R{x) mit ^^7](x)
gleichbedeutend. Danach ist T^ die Menge der Punkte, deren Index > |
ist, wahrend S^ (durch R^(x) > 0 definiert) genau alle Punkte von A und
diejenigen Punkte von B, deren Index > |, enthalt. Damit ist (12) bewiesen.
Man erhalt daraus noch
j S^-T^=A,+ A^+'^' + A^
^ ^ \ E~S^ = Bo + B, + -'+B^.
Nun ergibt sich aus (9), von den abgeschlossenen Mengen FQ(r) ausgehend,
durch Induktion, daB alle Mengen F^(r) Borelsche Mengen des
Raumes sind, aus (10) und (11), daB die S^^ T^ Borelsche Mengen sind;
dasselbe folgt fiir die A^^ B^^ etwa aus (13) durch Induktion. Nach (5)
ist also die Suslinsche Menge A und ihr Komplement B als Summe i^on i

190 Siebentes Kapitel. Punktmerigen und Ordnungszahlen.
Borelschen Mengen dargestellt^); beide Mengen sind dann auch Durchschnitte
von X^ Borelschen Mengen, insbesondere nach (12) einfach
(14) .4 = 3)6'^
Die S^ und T^ nehmen mit wachsendem Index ab, die Mengen (13)
nehmen zu; der Durchschnitt aller T^ ist 0. Wir bemerken noch, daB man
fiir (10) auf Grund von (8) auch
(15) S^= (BF^(n)
n
schreiben, also die samtlichen Komplexe r durch die eingliedrigen ersetzen
kann; fiir T^ ist dies nicht zulassig. tJberdies ist
(16) n^.^®P^(r)F^(Q),
wo I + CO die erste auf |, ^ + 1, f + 2,... folgende Ordnungszahl und
die Summe rechts liber alle Paare verschiedener Komplexe gleicher Ziflerzahl
(17) r = (/ii,. .., njfe), Q = (vi,. .., vj,) (r 4^ Q)
zu erstrecken ist. Sei in der Tat x e T^^.^, also
(18) xeFt^Jr)^F^+^^^(r)
fiir ein gewisses r. Fiir m = 0, 1, 2, . . . ist demnach wegen (9)
X e i^|+^+i(r), X e F^^Jr, nj
mit geeignetem n^; diese Zahlen HQ, n^,. . . konnen aber nicht samtUch
gleich sein, denn aus x e F^j^J^r^ n) bei festem n wiirde folgen x e F^^^^ir^ n)
^F^j^^^i(r) im Widerspruch zu (18). Demnach gibt es mindestens zwei
Zahlen m, /m mit /i^ 4= w^ und es ist
^ e F^+m(r, nj F^^^{r, n^) g F^(r, nj F^(r, n^),
X gehort also der in (16) rechtsstehenden Menge an.
3. Hinreichende Bedingungen 2). Schicken wir zwei Hilfsbetrachtungen
voraus.
(oc) Sind jedem i < i2 abzahlbar viele Mengen D^ (etwa fiir n =
1,2,...) zugeordnet, die mit wachsendem | abnehmen {D^^D^ fiir
i 0 ,
n
so gibt es ein n derart, daB fiir jedes | auch D^ > 0.
Denn zu jedem i gibt es zunachst ein n(^) mit Z)p^ :^ 0. Die Funktion
n{i)^ die nur abzahlbar vieler Werte fahig ist, muB mindestens einen Wert
n unabzahlbar oft annehmen; dann ist Z)|>0 fiir unabzahlbar viele |,
also (wegen der monotonen Abnahme mit wachsendem |) fiir alle |.
[95] 1) Im separablen vollstandigen Raume schlieBt man daraus, daB die
Mengen J5, die Komplemente Suslinscher Mengen, entweder hochstens abzahlbar
Oder von einer der Machtigkeiten Ki, K sind: das ist wegen des ungelosten Kontinuumproblems
ein weniger prazises Resultat als der fiir die Suslinschen Mengen
selbst giiltige Satz § 32, I.
'') Hierzu vgJ. § 46, 1,
234

§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen, 191
(j5) 1st der Raum separabel, so kann in der Darstellung (1) der Suslinschen
Mengen angenommen werden, daB die Durchmesser der Mengen
F(/ii,...,%) mit A: -»- 00 nach 0 konvergieren. (Der Durchmesser der
Nullmenge ist natiirlich = 0 zu setzen.)
Wir hatten oben (S. 186) bei Punkt (D) bemerkt, dafi die Mengen F^^
also insbesondere der Raum selbst, einer solchen Darstellung und zwar
mit disjunkten Summanden fahig sind. Setzt man demgemaB
JS = :^ E(m-j) E(mi, mg). ..,.
wo die £(mi,. .., m^^) abgeschlossen sind und mit k -^ co nach 0 konvergente
Durchmesser haben^), bringt dies mit der Menge (1) zum Durchschnitt,
ordnet den Zahlenpaaren (m^t, njg) die natiirlichen Zahlen p^ eineindeutig
zu und setzt
so wird A==-QF^^ F^^^^...
eine Darstellung der verlangten Form, die iibrigens, wie wir beaehten
woUen, disjunkte Summanden hat, sobald dies fiir (1) der Fall ist. Auch
die Nebenbedingung F^^^Fp^p^^- - - laBt sich aufrechterhalten, wenn
man E(mi) § E{mi, m^) § • • * voraussetzt.
Dies vorausgeschickt, woUen wir nun die Sat^e I^ II umkehren.
III. Ist der Raum i>ollstdndig und separabel, so ist eine Suslinsche Menge^ [96]
deren Komplement eine Suslinsche Menge ist, eine Borelsche. Zwei disjunkte
Suslinsche Mengen sind in ihrer Summe Borelsche Mengen,
Zum Beweise betrachten wir zwei Suslinsche Mengen A, A mit den
entsprechenden Borelschen Mengen F^(r), F^(r) und 6*^, S^. Die Darstellungen
(1) von A und A mogen die Durchmesserbedingung (p) erfiillen.
Wir zeigen dann: wenn S^S^::>0 fiir jedes i, so ist ^ ^> 0. [97]
In der Tat ist, nach (15), fiir jedes ^ (so auch im folgenden)
&F^(n)F^(v)^0,
die Summe liber alle Paare naturlicher Zahlen n, v erstreckt. Nach der
Hilfsbetrachtung (oc) existiert ein Summand
F^(n^)F^iv^)z>0,
Ersetzen wir hierin i durch f + 1« so hi
es existiert ein Summand
& F^(nj^, n) F^ivj, p) ^ (^.
Fiin^,n^)F^(v^,v^):=:>0
^) Umgekehrt ist ein solcher Raum hochstens separabel; denn w^hlt man
aus jeder Menge E(mi,..., nik) :> 0 einen Punkt, so ist die Menge dieser Punkte
in E dicht.
235

192 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.
usf. Wir erhalten also zwei Zahlenfolgen (%, Ai2,...)»(^i» ^'2? • • •) derart,
daB fiir jedes k (f = 0 gesetzt)
F{n^,..., Tij,) F(v^,. . ., ^jb) ::> 0 .
Diese abgeschlossenen, mit wachsendem k abnehmenden Mengen mit
Durchmessern ~^0 haben nach dem zweiten Durchschnittssatz einen
(einzigen) gemeinsamen Durchschnittspunkt x^ der sowohl zu A als auch
zu A gehort; also A A^O.
Wenn, fiir jedes |, 6"^ Z i:^ 0, so ist nach (12) oder (14) erst recht
5^ AS| > 0 und daher A A::=>0. Also umgekehrt:
Wenn yl A = 0, so muB einmal fiir ein | (und alle folgenden) 6*1 Z = 0
sein, also
A-= AS^ = {A + A)S^,
A ist der Durchschnitt von A -\- A mit einer Borelschen Menge. Zwei
disjunkte Suslinsche Mengen sind also in ihrer Summe Borelsche Mengen.
Insbesondere, wenn das Komplement B = E — A einer Suslinschen Menge
auch eine ist, so sind beide Borelsche Mengen {in A -\- B = £), und zwar
von einem gewissen Index an ^ = S^,
Damit ist III bewiesen; die Suslinsche Bedingung ist hinreichend,
falls der Raum vollstandig und separabel ist. Der Nachsatz von III zeigt
iibrigens, daB der Satz auch gilt, wenn der Raum eine Suslinsche Menge M
in einem vollstandigen separablen Raum E ist.
[98] Ebenso laBt sich dasLusinsche Kriterium als hinreichend erweisen:
[99] IV. Ist der Raum vollstandig und separabel^ so ist jede mit disjunkten
Summanden darstellbare Suslinsche Menge eine Borelsche.
Nach (12) und (13) ist S^— T^^A^S^; wenn T^ = 0, so ist
A == S^ eine Borelsche Menge. Ist also A keine Borelsche Menge, so ist
r^>0 fiir jedes | (so auch im folgenden), also nach (16).
(BF^(r)F^(Q)^0,
die Summe iiber die (abzahlbar vielen) Paare von verschiedenen Komplexen
gleicher Zifferzahl erstreckt. Nach der SchluBweise {oc) existiert
ein Summand
F^(r)Fi(Q)^0
mit einem Komplexpaar (17). Ersetzt man | durch f + 1, so ist
(BFi{r,n)Fi{Q,v)::>0
nv
und es existiert ein Summand
^^(^ nj,^i) F^(Q, n+i) ^ 0 .
So fortfahrend erhalt man zwei (wegen r^ Q) verschiedene Zahlenfolgen
(Wj, Tig,. . .) und (vi, ^2,.. .) derart, daB (| = 0)
F(ni, ...,%)F(ri,..., rft)r:^0
236

§ 35. Stetige Abbildung. 193
fiir jedes h\ die Anwendung des zweiten Durchschnittsatzes lehrt, daB die
beiden verschiedenen Summanden F{n^ F{n-^^ n^... und F(v^ F{vi^ v^)...
denselben Punkt liefern. Wenn also A keine Borelsche Menge ist, so ist sie
gewiB nicht mit disjunkten Summanden darstellbar (weder mit noch ohne
Durchmesserbedingung, wie wir bei.(/?) bemerkt haben), und damit ist
IV bewiesen.
Achtes Kapitel.
Abbildung zweier Raume.
§ 36. Stetige Abbildung.
1. Grundlagen.
Wie schon in § 2 gehen wir von einer vorgegebenen Menge geordneter
Paare (x^y) aus; die Mengen der hierin auftretenden Elemente x^y seien
A^B, Jedem xsA sind hierdurch ein oder mehrere Bilder (Bildpunkte)
y =

194 Achtes Kapitel. Abbildung zweier RHume.
Funktion y =

§ 35. Stetige Abbildung. 195
Der Zusatz, den die eingeklammerten Worte aussprechen, wird durch
Komplementbildung bewiesen, weil V(B — Q) = A — "PiQ)*
Ein spezieller Fall des Satzes ist uns aus §22,1 bekannt; ist (p(x) erne
reelle stetige Funktion, B also eine Menge reeller Zahlen, so ist die dort
mit [cp > 0] bezeichnete Menge ja nichts ander,es als das Urbild der Menge
Q, die der Durchschnitt von B mit der Halbgeraden 2/ > 0, also eine in B
offene Menge ist,
Aus I folgt wegen der Formeln (2) noch roehr:
II. Ist B stetiges Bild von A, so haben die Borelschen und Suslinschen
Mengen des Raumes B als Urbilder Borelsche und Suslinsche Mengen des
Raumes A^ und zwar enisprechen den Mengen F^(B)^ G^{B) als Urbilder
Mengen F^A), G^A).
In der Tat geht dies eben daraus hervor, dafi die Urbilder von Siimmen
und Durchschnitten die Summen und Durchschnitte der Urbilder sind.
Hat man also z. B. schon bewiesen, dafi iiir i

196 Achtes KapiteJ. Abbildung zweier Raume.
morphes Bild von A (ebenso A von B) und die zwischen beiden Mengen
bestehende schlichte Abbildung eine Homoomorphie; ferner sagt man, daB
A und B zueinander homoomorph seien^ was wir durch das Zeichen
B^A Oder A^B
ausdriicken woUen. Um die Begriffe also nochmals zusammenzustellen,
SO hat man je nacli der Beschaffenheit der Funkiion x = y)(y) folgende
Falle (y = (p(x) als stetig vorausgesetzt):
B stetiges Bild von A: y)(y) kann mehrdeutig sein.
B schlichtes stetiges Bild von A: y)(y) eindeutig.
B homoomorphes Bild von A: y)(y) stetig.
Der dritte Fall ist als Sonderfall des zweiten, dieser als Sonderfall des
ersten anzusehen. Im dritten Fall ist die Asymmetrie zwischen A^B
wieder verschwunden.
[101] 2. InsichkoinpakteMengen. Die Satze I, II gelten nur fiir die Urbilder,
nicht fiir die Bilder. Ist B stetiges Bild von yi, so braucht das Bild
einer in A abgeschlossenen Menge keine in B abgeschlossene zu sein; wenn
A isoliert ist und demnach jede mit A aquivalente Menge B als schlichtes
stetiges Bild von A angesehen werden kann, so ist jede Teilmenge von A
in A abgeschlossen, jede Teilmenge von B also Bild einer in A abgeschlossenen.
Wir sahen, daU sogar das schlichte stetige Bild einer absolut abgeschlossenen
(voUstandigen) Menge A noch ganz beUebig sein kann, bis auf
die Aquivalenz mit A. Dagegen gilt ein einfaches und prazises Resultat,
wenn A eine in sich kompakte (also kompakte, absolut abgeschlossene)
Menge ist:
III. Das sietige Bild B einer in sich kompakicn Menge A ist wieder in
sich kompakt] ist die Abbildung schlicht^ so ist sie eine IIomoomorphie.
Die Voraussetzung besagt, daB jede Punktfolge aus A eine konvergente
Teilfolge hat, deren Limes zu A gehort. Dasselbe ist fiir B zu zeigen.
Ist yn eB, Xn= y>(yn) (p{x) oder y^-^y eB^ B ist in sich
kompakt. Der zweite Teil der Behauptung folgt nun am einfachsten so:
jede in A abgeschlossene Menge P ist in sich kompakt, ihr Bild Q = 0{P)
in sich kompakt, also absolut und daher in B abgeschlossen, dies aber
besagt nach I, daB die als eindeutig vorausgesetzte Funktion x = y)(y)
stetig ist.
Im Eukhdischen Raume ist eine Menge A dann und nur dann in sich
kompakt, wenn sie beschrankt und abgeschlossen ist; ihr — wieder in
einem Eukhdischen Raum angenommenes — stetiges Bild B ist wieder beschrankt
und abgeschlossen. Insbesondere durchlauft eine in A stetige
reelle Funktion eine abgeschlossene und beschrankte Zahlenmenge, hat
240

§ 36. Stetige Abbildung. 197
also einen groBten und kleinsten Wert (d. h. die obere Grenze ist ein
wirklich erreichtes Maximum, die untere ein Minimum).
Nennt man eine in sich kompakte Menge Z, die Summe einer Folge
solcher Mengen Z^, so ist das stetige Bild eines K wieder ein X, das eines
Kff wieder ein K^. (Man vergleiche die mittlere Formel (1)), Der Euklidisohe
Raum ist ein K^ (z. B. Summe konzentrischer abgeschlossener Kugeln
mit Radien AI = 1, 2, 3,..,), also auch jede in ihm abgeschlossene Menge;
deren stetiges Bild ist also ein K^^ braucht aber, wenn in einem Euklidischen
Raum gelegen, nicht abgeschlossen zu sein. Jede eindimensionale Menge
Ffj^ 5 = JBJ + ^2 + • • M ist Projektion einer ebenen abgeschlossenen Menge
7l = ^i + i4.2 + -*; i^sin lasse einfach dem Punkte (a^i, 0) von B^^ den
Punkt (rci, n) von A^ entsprechen, d, h. iibertrage die Menge B^ von der
Geraden x^ = 0 auf X2 = n, Auch das stetige Bild eines Euklidischen F^
ist ein K^^ insbesondere das einer offenen Menge. Es sei bemerkt^ daB
aber der H i 1 b e r t sche Raum kein Kaj vielmehr in ihm jedes K^ von erster
Kategorie ist, wShrend er selbst, als voUstandiger Raum, in sich von
zweiter Kategorie ist. Denn jede Umgebung des Nullpunktes (0, 0, 0,...)
enthalt eine Menge von Punkten (^, 0, 0,...), (0, ^, 0,...),... , die paarweise
die Entfernung 1/2 Q haben und also keinem K angehoren; dasselbe
gilt von jedem Punkt, und das Komplement eines K ist also im Hilbertschen
Raume dicht, K nirgendsdicht.
Es sei hier der Begriff der gleichmaBigen Stetigkeit erwahnt; die
eindeutige Funktion y — (p{x) heifit in A ^Uichmdpig stetige wenn fiir jede
Folge von Punktpaaren mit x^ 1,^ •-> 0 zugleich y^ rjn -^ 0. (Bei festem
|» = ^ ist das die Stetigkeitsforderung fiir die Stelle |). Diese Bedingung
ist, wie in iiblicher Weise zu erkennen, damit gleichbedeutend: jedem
0 entspricht ein (nur von or abhangiges) ^ > 0 derart, daB mit x ^ < Q
zugleich y 7] < a ist. Es gilt dann:
IV. Ist A in sich kompakt^ so ist jede in A stetige Funktion gleickmd/iig
stetig,
Sei x^$y^-*0; x^ hat eine konvergente Teilfolge also auch
Ip-^o;; fiir die Bilder gilt dann y^^-^y, %-^y, 2/p>/p->0. D. h. y,,rin
hat eine nach 0 konvergente Teilfolge. Das Gleiche gOt von jeder Teilfolge
y^ rjv, also muB die ganze Folge y„^^ nach 0 konvergiaren (sonst hatte
sie eine Teilfolge y^ ri^.'^o 0).
V. Jede in sich kompakte Menge ist stetiges BUd einer hompakten perfekten
punkthaften Menge, Zwei kompakte perfekte punMhape Mengen sind
stets homoomorph.
Eine kompakte perfekte punkthafte Menge A laBt sich nach § 29^ XVI
als dyadisches Diskontinuum
A = 2V V V
241

198 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
darstellen (§ 26, 2), wobei die Mengen F in ^ abgeschlossen, also in sich
kompakt angenommen werden konnen (indem man V durch AV ersetzt).
Bei festem n haben die disjunkten Mengen V mit n Indizes paarweise
positive untere Entfernungen, unter denen e^ die kleinste sei. Sind a:, f
verschiedene Punkte von A und unterscheiden sich die zugehorigen dyadischen
Ziffernfolgen in der 7i-ten Ziffer, so ist x^^e^^ hieraus folgt, dafi
fiir X ^ ->Q die beiden zugehorigen Ziffernfolgen in einer liber alle Grenzen
wachsenden Zahl von Anfangsziffern iibereinstimmen. — Eine in sich
kompakte Menge B laBt sich (S. 133) als dyadische Menge
darstellen. Man ordne dem einzigen Punkt x des Durchschnitts V^, Vj,^
Vpqr- • • ^^^ einzigen Punkt y des (zur gleichen dyadischen Folge gehorigen)
Durchschnitts W^WpqW^gj,,.. zu. Durch diese Zuordnung y = q)(x) wird
B stetiges Bild von A, Denn ist dn der grofite Durchmesser der Mengen W
mit n Indizes, so ist yrj :^ ^„, falls y und rj zu zwei dyadischen Ziffernfolgen
mit n iibereinstimmenden Anfangsziffern gehoren; aus dn-^0 und
dem zuvor Gesagten folgt dann, daB fiir x ^ ->0 auch y rj -^ 0, — Ist
schliefihch auch B kompakt, perfekt und punkthaft, also als dyadisches
Diskontinuum darstellbar, so ist die besprochene Abbildung schlicht, also
eine Homoomorphie.
Wenn wir also ein bestimmtes dyadisches Diskontinuum A wahlen,
z. B. die Cantorsche triadische Menge oderauch die Menge der dyadischen
Zifferfolgen (p, q,r^. ..) selbst mit der § 20, 4 erklarten Entfernung (den
dyadischen Baireschen Raum), so erhalten wir alle in sich kompakten
Mengen als stetige, alle kompakten perfekten punkthaften Mengen als
homoomorphe Bilder von A. Umgekehrt ist jedes stetige Bild von A
in sich kompakt, jedes homoomorphe liberdies insichdicht (perfekt) und.
wie sich sofort zeigen wird, auch punkthaft.
3. Erhaltung des Zusammenhanges.
VI. Das stetige Bild einer zusammenhdngenden Menge ist wieder zusammenhdngend.
Das stetige Bild einer beliebigen Menge hat nicht mehr
Komponenten als diese,
1st B stetiges Bild von A und B = Bi + B^ eine Zerstiickelung von
B in zwei (in B) abgeschlossene Mengen, so entspricht dieser e|ne Zerstiickelung
von A = *F(Bj) + W(B2) = Ai + A2 in zwei (in A) abgeschlossene
Mengen. Mit B ist also A unzusammenhangend, mit A ist B
zusammenhangend. — Da mit

§ 35. Stetige Abbildung. 199
von A, — Sind A und B homoomorph, so entsprechen einander die Komponenten
beider Mengen; ist die eine punkthaft, so auch die andere.
Insbesondere hat eine in der zusammenhangenden Menge A (z. B.
in einem reellen Zahlenintervall) stetige reelle Funktion eine zusammenhangende
Wertmenge B^ nimmt also zugleich mit zwei Werten y-^ < y^
auch jeden Wert y zwischen ihnen (yi 0. Also: die (teilweise vielleicht nicht definierten)
yyn haben eine nach 0 konvergente Teilfolge; das Gleiche gilt von jeder
243

200 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Teilfolge yyy^ und daher mu6 die ganze Folge nach 0 konvergieren, da es
sonst eine Teilfolge yy^ gabe, deren Glieder entweder undefiniert oder
^ (T > 0 waren.
Aus III und VII folgt:
VIII. Das steiige Bild einer in sich kompakten und (in alien Punkten)
lokal zusammenhdngenden Menge ist wieder eine solche,
§ 36. Streckenbilder*
1. DyadiseheKontinua. Ein stetiges Bild einer abgeschlossenen
geradlinigen Strecke, etwa des Intervalls T — [0,1] der reellen Zahlen
0 ^ i^ ^ 1, wird eine stetige Kurve^ ein schlichtes stetiges und daher (§ 35,
III) homoomorphes Bild von T eine einfache Kurve genannt. Stetige
Kurven wollen wir indes lieber Streckenhilder nennen, da sie, wie wir sehen
[102] werden, mit dem, was der Anschauung als Kurve vorschwebt, wenig
Ahnlichkeit zu haben brauchen. T ist in sich kompakt, zusammenhangend
und lokal zusammenhangend; nach den Satzen VI VIII des vorigen Paragraphen
miissen diese Eigenschaften auf jedes Streckenbild iibergehen,
und wir werden zeigen, daB ihr Besitz auch hinreicht.
Zuvor wollen wir eine einfache Erzeugung der Streckenhilder kennen
lernen. Wir bilden, wie schon oft, eine dyadische Menge, indem wir jeder
dyadischen, aus den Ziffern 1, 2 gebildeten Folge (p, q,r, . , .) abgeschlossene
beschrankte, von Null verschiedene Mengen
eines voUstandigen Raumes E entsprechen lassen mit Durchmessern, die nach
0 konvergieren; wie wir wissen(S. 131), ist diese Konvergenz gleichmaBig,
d. h. der groBte Durchmesser d^ der Mengen V mit n Indizes konvergiert
nach 0 fiir n -^ co. Wenn wir die Mengen mit n Indizes disjunkt annahmen,
erhielten wir ein dyadisches Diskontinuum\ Jetzt wollen wir das andere
Extrem voraussetzen: die genannten Mengen soUen in lexikographischer
Anordnung eine Kette bilden, d. h. in
(2) @F, = F, + F2, @F,,==Fn + F,, + F2i+F,,, ...
haben benachbarte Mengen gem'einsame Punkte. Die von den F erzeugte
dyadische Menge
(3) C = ©F,F^,F^,,...,
wofiir wir, wie bekannt, auch
(4) C-©F^.@F^,.@F^,,.-.-
schreiben konnen, heiBe dann ein dyadisches Kontinuum; die Berechtigung
des Namens wird sich sofort ergeben.
I. Streckenhilder und dyadische Kontinua sind identisch.
244

§ 36. Streckenbilder. 201
Es sei Ti = [0, |] die linke und T^ = [J, 1] die rechte Halfte des
Intervalls T, ebenso T^i die linke und T^^ ^i® rechte Halfte von Tp, T^qx
die linke und T^^g die rechte Halfte von T^q usw. 1st C stetiges Bild von T,
wobei den Teilintervallen T^, T^^,... die Bilder C^, C^^, .. . entsprechen,
so sind dies kompakte abgeschlossene Mengen (iibrigens Kontinua), deren
Durchmesser, wegen der gleichmaBigen Stetigkeit der Abbildungsfunktion,
mit wachsender Zahl der Indizes nach 0 konvergieren, und die Summen
bilden in lexikographischer Anordnung Ketten. Ein Streckenbild ist also
ein dyadisches Kontinuum.
Umgekehrt sei C ein dyadisches Kontinuum (3), Wir lassen fiir jede
dyadische Zifferfolge den einzigen Punkt x von V^V^qV^q^ ^ ,. dem
einzigen Punkt t von T^ T^q T^qj.. . . entsprechen. Diese Funktion x = q}(t)
ist eindeutig, obwohl gewisse t (die bei den Halbierungen der Intervalle
auftretenden Teilpunkte) zu zwei dyadischen Ziffernfolgen gehoren. So ist
t ~ ^ Punkt der beiden (und nur der beiden) Durchschnitte T^ T^^ 3^122 • • •»
Tg ^21 ^211 — Aber auch die entsprechenden Durchschnitte V-^ V^t ^122* • •?
Fo F21 F211 • • • sind identisch; denn da F^ Fg > 0, F12 Fgi > 0,..., so
haben die Mengen V^ + Fg, V^^ -f- Fgi,... Durchmesser ^ 2di, 2^2? • • •
und ihr Durchschnitt ist einpunktig. — Die Funktion x = (p(t) ist femer
stetig: mit t — r konvergiert x | nach 0. Denn sobald \t — x\ < ^^ so
gehoren t und r entweder zu einem oder zu zwei benachbarten T** (Teilintervallen
mit n Indizes), also x und | zu einem oder zu zwei lexikographisch
benachbarten F** (Mengen F mit n Indizes), und es ist a; | ^ 2 dn-
Ein dyadisches Kontinuum ist also Streckenbild.
Bemerken wir folgenden Zusatz zu I. Wenn m samtlichen Ketten (2)
die Durchschnitte lexikographisch benachbarter F und nur diese von Null
verschieden sind, so ist C schlichtes, also homoomorphes Bild von T. Ein
Punkt X kann dann namlich nur dann zu zwei dyadischen Ziffernfolgen
gehoren, wenn diese lexikographisch benachbart sind, und hat also auch
in diesem Falle nur ein einziges Urbild t = y)(x), Wenn z. B. x z,u den
Zifferfolgen (1, q^, TJ, ...) und (2, grg, rg,...) gehort, so ist xeViq^ Fg,,
und das ist jetzt nur fiir gr^ == 2, ^2 = ^ moglich; sodann x e V^^r^ Vur^f was
nur fiir r^ = 2, rg = 1 moglich ist, usf.;. x gehort zu (1, 2, 2,. ..) und
(2, 1, 1,. ..), sein einziges Urbild ist t = i-
Man kann die dyadische Konstruktion dahin abandern, daB jede der
Ziffern p,q,r,... nicht zwei, sondern irgendeine endliche, vielleicht auch
von den vorangehenden Ziflern abhangige Zahl (^ 2) von Werten durchlauft;
durch die entsprechende Einteilung von T ergibt sich auch dann
noch das „polyadische'' Kontinuum (3) als Streckenbild.
245

202
Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Unter den Beispielen zum Satz I sind einige sehr iiberraschend: eine
abgeschlossene Dreiecks-, Quadrat-, Krekfldche ist Streckenbild, ebenso
ein dreidimensionaler Tetraeder-, Wiirfel-, Kugelkdrper\ d. h. es gibt stetige
Kurveri^ die in einem Euklidischen E^ {n ^ 2) gelegen sind und innere
Punkte haben, also in diesem Sinne /i-dimensionale Gebilde sind. Man
nennt sie nach ihrem Entdecker Peanosche Kurven, Um etwa mit
K. Knopp ein Dreieck V (es ist die abgeschlossene Dreiecksflache
gemeint), das wir der bestimmten Vorstellung wegen rechtwinklig
Fig. 8
und gleichsclienklig annehmen, als Streckenbild darzustellen, fallen wir
von der Spitze das Lot auf die Grundlinie und erhalten zwei wiederum
rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke Fj, Fg; jedes Fp wird auf die
gleiche Weise in F^i, F^a usw. zerlegt, wobei die Numerierung durch die
lexikographische Kettenforderung bestimmt ist. Es ist
Vpi zerlegen
usw.; die Numerierung
laBt sich so einrichten,
daB die lexikographische
Bedingung erfiillt ist.
Fig. 9. Die von G. Peano zuerst
gegebene arithmetische Darstellung ist geometrisch mit Seitendrittelung
und Teilung in neun Teilquadrate gleichbedeutend.
Eine arithmetisch sehr durchsichtige Abbildung
der Strecke T auf das Quadrat (0 ^ aj^ ^ 1, 0 ^ rcg ^ 1) stammt von
H. Lebesgue. Es sei P die Cantorsche triadische Menge der Zahlen t e T^
die als triadische Briiche mit lauter NuUen und Zweien darstellbar sind:
32
31
fyZ
(l+r^+^3 + ---) (^« = o,i)
246
43
33
34
m
4^

§ 36. Streckenbilder. 203
Diese Darstellung ist einzig; wenn zwei solche Zahlen /, T zuerst in der
1
/i-ten Ziffer differieren, so ist \t — r \^:^, und wenn also t nach r kon-
vergiert, so stimmt t in einer iiber alle Grenzen wachsenden Zahl von Anfangsziffern
mit r liberein. Hieraus erkennt man, daB
^i = -J + Y^+-"= 9iii)^ ^^2 = -f+ ^ + • ' • == %(0
in P stetige Funktionen von t sind; schon hierbei durchlauft x = (x-^^ x^)
das ganze Quadrat. Endlich dehnt man diese Funktionen auf das ganze
Intervall T aus, indem man sie in den offenen Intervallen (cc, p) (den Komponenten)
von T — P — Q linear verlaufen laBt, d. h.
und ebenso (p2(t) definiert (^, j8 gehoren zu P), Diese erweiterten Funktionen
sind auch noch stetig, da durch die lineare Interpolation nur Mittelwerte
zwischen den schon vorhandenen eingefiihrt werden. Wenn teQ
monoton nach r s P konvergiert (der einzige Fall, der einer tJberlegong
bedarf) und (a, /3) das t einschlieBende Intervall ist, so konvergieren
auch oc und /8 nach r und (piioc)^(pi(P)^ ^t{t) nach (pi(T^): es sei denn^ daB
I schlieBlich in einem festen Intervall (oc^ j8) bleibt und nach einem der
Endpunkte konvergiert, wobei q)i(t) -* q>^{r) trivial ist.
Man kann, indem man die Folge der t^ in drei oder mehr Teilfolgen
spaltet, auch den drei- oder mehrdimensionalen Wiirfel als Streckenbild
erhalten, ja sogar bis zu ^Q Dimensionen gehen. Spaltet man etwa nach
dem dyadischen Schema S. 30, so werden die Funktionen x^ =

204 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
(wegen der Aquivalenz), kann es nun auch stetiges Bild sein. Erst die
Forderung der Homoomorphie setzt den Dimensionsbegriff wieder in seine
Rechte ein; denn es gilt der (in voUer AUgemeinheit zuerst von L. E. J.
Brouwer bewiesene) Satz von der Invarianz der Dimensionenzahl:
Eine Menge A im Euklidischen E^ und eine Menge B im Euklidischen
En sind, wenn n> m und B innere Punkte hat^ niemals homoomorph.
Da wir den allgemeinen Beweis in diesem Buche nicht bringen konnen,
sei wenigstens der ganz einfache Fall ?n= i besprochen: nehmen wir,
indem wir B durch eine Teilmenge ersetzen, B als (abgeschlossenen) Wiirfel
im En an, so bleibt B nach Tilgung eines Punktes zusammenhangend,
wahrend A durch Tilgung jedes zwischenzwei anderen gelegenen Punktes
unzusammenhangend wird. Daher kann A nicht schlichtes stetiges Bild
von B sein. (Wohl aber B von A! Denn B ist Streckenbild, stetiges Bild
von T; behalt man von den Urbildern jedes Punktes von B nur ein einziges
bei, so erhalt man eine Menge A i gelegen,
keine inneren Punkte haben; dies kommt der anschauKchen Vorstellung
einer „Kurve" schon naher als die stetige Kurve.
Auch einfache Kurven merkwiirdiger Art lassen sich als dyadische
Kontinua leicht erzeugen. Gehen wir zur K n o p p schen Dreieckskonstruk-
tion zuriick. V sei ein gleichschenkliges Dreieck mit den Basiswinkeln-F
und dem Winkel an der Spitze -F-; durch Drittelung des letzteren entstehen
drei Dreiecke, von denen wir das mittlere weglassen uiid die beiden
auBeren (abgeschlossen) mit Fi, Fg bezeichnen; sie sind mit F ahnlich und
haben nur einen Punkt gemein. Mit F^ verfahren wir wie mit F und
erhalten ^wei neue Dreiecke F^^, Fp2 usw. Hier sind bei passender Numerierung
die Zusatzbedingungen erfuUt, die das dyadische Kontinuum C
Fig. 10.
als homoomorphes Streckenbild sichern. Diese einfache Kurve C hat nirgends
eine Tangente, da sich in beliebiger Nachbarschaft ein,es Punktes
xsVpVpq.,, Dreiecke mit festen Winkeln (Vj^^Vp^,.,.) befinden, in denen
X liegt und deren Ecken zu C gehoren; gabe es eine Tangente in a:, so
miissten die Winkel dieser Dreiecke nach 0 oder jc konvergieren. — Andert
man die Konstruktion unter Verzicht auf feste Winkel und gleichschenklige
Dreiecke ab, mit Beibehaltung des Prinzips, daB jedes Dreieck von einer
passenden Ecke aus in drei Dreiecke zerlegt und davon das mittelste weg-
248

§ 36. Streckenbilder. 205
gelassen wird, so kann man auch erreichen, daB die Flacheninhalte der
Dreieckpsummen © Fp, © F^ j,... beliebig langsam abnehmen und ihr Limes,
das FlachenmaB von C, positiv wird. Es gibt also einfache Kurven posttiven
Fldchemnapes^ was uns iibrigens insofern nicht mehr liberraschen
wird, als wir ja sogar punkthafte ebene Mengen positiven Fl&chenmafles
kennen (S. 135).
2. Bedingungen fiir Streckenbilder.
II (Satz von W. SierpiAski). Die Menge A ist dann undnur dann
ein Streckenbild^ wenn sie ein kompaktes Koniinuum ist und sick fiir jedes
d > 0 als Summe endlich vieler kompakter Kontinua mit Durchmessern ^ d
darstellen Id/iL
Der Ausdruck kompaktes Kontinuum konnte iibrigens an beiden
Stellen des Satzes durch vollstandiges oder absolutes Kontinuum (zusammenhangende
Menge, die voUstandig oder absolut abgeschlossen ist)
ersetzt werden, da von A ja zugleich totale Beschranktheit (S. 108) gefordert
wird.
DaB die Bedingung notwendig ist, ist evident (Zerlegung von T in w
gleiclie Teilintervalle; die Durchmesser ihrer Bilder konvergieren mit
n -^ oo nach 0). Es ist zu zeigen, daB sie hinreicM.
Nennen wir zur Abkiirzung eine der Bedingung des Satzes geniigende
Menge A ein iS-Kontinuum. Die Hauptsache ist, zu zeigen, daB bei einer
Zerlegung ^)
(5) A^QA^
p
von A in Kontinua A^ von Durchmessern ^ S diese selbst wieder als
iS-Kontinua angenommen werden konnen. Und dazu wieder mufi bewiesen
werden:
Ist C ein Kontinuum

206 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Jede Menge C mit n Indices hat einen Durchmesser ^

§ 36. Streckenbilder. 207
A mit keinem Aj^. verbunden werden, was insbesondere ^4^ ^^5.= 0 bedingt,
und dann ware A =®^^ + @^Ar ^^^^ Zerstiickelung. Sind nun re, y zwei
beliebige Punkte von A^ xeAi^ y ^ ^h (wobei auch i==A sein darf), so
kann man, indem man etwa A^ mit A^^ A^ mit ^g? ^2 ^^^ -^3 usw., schlieBlich
das letzte A^ mit Aj^. verbindet, eine Kette ^i + • • • + ^* herstellen,
die alle A^ mindestens einmal enthalt, also = A ist, und deren Anfangsglied
a;, deren Endglied y enthalt; eine solche Kette (d. h. die Summe ihrer
Glieder) heiBe K[x, y), Nebenbei sei bemerkt, dafi man die Gliederzahl der
Kette durch wiederholtes Setzen eines Gliedes beliebig vergroBern und
demnach in (8) annehmen kann, daB p von 1 bis i% q von 1 bis Q (unabhangig
von p), r von 1 bis R (unabhangig von p, q) lauft usw. Man kann
dann
^ =.4i4- '-^-Ap^K{x,y)
annehmen (x^y beliebige Punkte von ^4; x e A^^^y e Ap)^ sodann
^p = ^2,1 -f ' • • + Aj,q = K(x^, yp)
{Xp^ ^p beliebige Punkte von Ap^x^s ^^j_, y^ B A^Q) USL Wahlt man Met
yp = yeAp,
so bilden die Mengen A^^ in lexikographischer Ordnung eine Kette, da
z. B. A^Q A21 den Punkt y^ = x^ enthalt, und es ist evident, daB das Verfahren
unbegrenzt fortsetzbar ist. Dann ist A polyadisches Kontinuum
(S. 201), also Streckenbild und II bewiesen.
Ill (Satzvon H.HahnundSt.Mazurkiewicz)* DieMenge A istdemn
uad nur dann ein Streckenbild^ wenn sie ein kompaktes, lokal zusammenhdngendes
Kontinuum ist.
Um die Bedingung als hinreichend zu erweisen, zeigen wir, daB ein
kompaktes, lokal zusammenhangendes Kontinuum A die Sierpi6skische
Bedingung des Satzes II erfiillt (ein 6*-Kontinuum ist). Umgeben wir jeden
Punkt X 8 A mit einer abgeschlossenen Kugel V^ (auf A als Raum bezogen)
vom Radius ^, so ist die x enthaltende Komponente A^ von V^ ein kompaktes
Kontinuum und hat x als inneren Punkt (wegen des lokalen
Zusammenhangs), enthalt also eine Umgebung U^. Nach dem Borelschen
Satz § 26, II ist A bereits in einer Summe endlich vieler U^ eiithalten,
also fiir eine geeignete endliche Teilmenge B von A
A = QU,= SA,,
A als Summe endlich vieler Kontinua mit Durchmessern ^ 2 ^ darstellbar,
DaB die Bedingung in III notwendig ist, folgt aus § 35, VI, VlII;
iibrigens laBt sich auch unmittelbar zeigen, daB ein i?-Kontinuum lokal
zusammenhangend ist. Denn ist (5) eine Zerlegung von A in endlich viele
251

208 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Kontinua mit Durchmessern ^ 5, und ist x in den Kontinuen A^ enthalten,
in den Aj^ nicht, so ist C = © -4^ ein ic enthaltendes Kontinnum vom Durchmesser
^2 5, das x als inneren Punkt hat, weil x in der abgeschlossenen
Menge ^ A-^ nicht enthalten ist; A ist in x lokal zusammenhangend.
§ 37. Bilder Suslinscher Mengen.
Bei den Versuchen, aus der Art einer Menge A auf die Art ihres stetigen
Biides B zu schlieBen, haben wir bisher eigentlich nur das eine Ergebnis
erzielt: das stetige Bild einer in sich kompakten Menge K ist wieder ein iT;
abgesehen von den Zusatzen, die sich auf Erhaltung des Zusammenhanges
und des lokalen Zusammenhanges beziehen. Und es scheint auch
zunachst gar keine Aussicht zu bestehen, iiher dies eine Ergebnis hinauszugelangen,
da schon eine dbsolut abgeschlossene Menge F eine beliebige
Menge (natiirlich von hochstens derselben Mglchtigkeit wie JF) zum stetigen
Bilde haben konnte. Wenn wir indessen Mengen in separablen Qollstdndigen
Raumen betrachten, so lafit sich doch ein einigermafien scharfes Resultat
gewinnen: die stetigen Bilder Suslinscher Mengen sind Suslinsche^ und die
schlichten stetigen Bilder Eorelscher Mengen sindBorelsche Mengen. Suslinsche
und Borelsche Mengen eines voUstandigen Raumes haben ja librigens diesen
Charakter in jedem Raume, sind dbsolut Suslinsche und Borelsche Mengen,
so daB wir also auch hier von separablen absoluten S und B sprechen
konnen.
Bevor wir die ausgesprocbene Behauptung prazisieren und beweisen,
seien noch einige Bemerkungen liber Raumprodukte sowie tiber die Projektion
(S. 102) vorausgeschickt, die wir als Beispiel einer stetigen Abbildung
schon ofter verwendet haben und verwenden werden. Das Produkt
Z — (X, Y) zweier metrischer Raume, also die Menge der Paare z = (a:, y)
mit xeX^ y ^^i wurde durch eine Festsetzung wie § 20, (18) oder (19)
zum metrischen Raum gemacht; es kommt nicht sehr darauf an, welche
Wahl wir treffen, da alle diese Raume Z homoomorph sind. Jedes Paar
z ~ (a;, y) bestimmt sein erstes Element x = 9?(z), die Projektion von z auf X;
das ist eine stetige, sogar gleichmaBig stetige Funktion. Das Bild
A = (P(C) einer Teilmenge von Z ist die Projektion von C auf X. Zu den
Teilmengen des Produkts gehoren insbesondere die Produkte von Teilmengen,
C = (A^B) mit ^ g X, 5^7; diese konnen sich auf einzelne
Punkte reduzieren, und es sei z. B. (A^y) die (mit A isometrische)
Menge der Punkte (x^ y) mit festem y und x e A. Das Produkt C = (^, B)
ist gegeniiber Summe und Durchschnitt distributiv; es ist
(© A^, B) = ©(^,„ B), (S) A,,, B) = ®(4,„ B),
natiirlich ebenso fiir den zweiten Faktor. Sind X, Y vollstandig, so ist
Z vollstandig, und umgekehrt» Ist ^ in X abgeschlossen, so ist (A, Y)
252

§ 37. Bilder Suslinscher Mengren. 209
in (X, Y) abgeschlossen und umgekehrt; durch Komplementbildung und
distributives Gesetz erkennt man: ist A in X offen oder eine Borelsche
Menge F^, G^ oder eine Suslinsche Menge S, so ist (A, Y) in (Z, Y) offen
oder ein F^^ G^, S^ und umgekehrt. Ist A in X und B in Y ein F% so ist
in Z sowohl (yi, Y) als (X, B) als auch ihr Durchschnitt {A, B) ein -F^ und
umgekehrt: ist (A^ B) ein i^^ in Z = (Z, 7), so auch in (Z, B)^ und ^ ist
ein F^ in X; auch dies gilt fiir die G^ und S,
Nun sei J5 stetiges Bild von A^ A liege in einem Raume X, 5 in einem
Raume 7. Durch die abbildende Funktion y = x, q)(xj->(p(x), y^-^y] da zugleich yn-^z, ist
z = y.
Nun konnen wir zeigen:
XL Das stetige Bild einer separahlen^ absolut Suslinschen Menge ist [103]
wieder eine solche (wenn es nicht endlich ist) ^). Das schlichte stetige BUd
einer separablen^ absolut Borelschen Menge ist wieder eine solche.
Wir bringen die Behauptung auf die Form: A liege im separablen vollstandigen
Raum X, der z. B. als voUstandige Hiille von A gedacht werden
kann, B in einem beliebigen Raum Y, B sei stetiges (oder schlichtes stetiges)
Bild von A; wenn dann A eine Suslinsche (oder Borelsche) Menge in X
ist, so auch B in Y,
Sei A^(BPn,Pn.n,"'
eine Suslinsche Menge; die in X abgeschlossenen Mengen P^^^ni konnen
so angenommen werden, daB ihre Durchmesser mit A -^ oo nach 0 konvergieren;
ferner sei P^^ ^ P^^^^ § — •. Vermoge der Abbildung y =

210 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
ordnen wir gemafi (1) jeder dieser Mengen die in Y abgeschlossene Menge zu
Dann ist Q,^ Q,^,^. , . = 0(P,^ P„^,^. ..) •
Denn seien P, Q diese Durchschnitte; entweder besteht P aus einem einzigen
Pimkt X e Ay und nach I besteht dann Q aus dem einzigen Punkt y = (p(x)'y
Oder JP == 0, dann muB aber nach den Eigenschaften eines voUstandigen
Raumes (zweiter Durchschnittssatz) Pn,...nk schlieBlich 0 sein, also auch
Qn^.,.n]c— 0 und ^ == 0. Also ist
eine Suslinsche Menge.
Ist A eine Borelsche Menge, also (§34, II) mit disjunkten Summanden
A = 2 P^^ Pn^n^'''
darstellbar und B schlichtes stetiges Bild von A, so ist auch
mit disjunkten Summanden darstellbar; da B wie A separabel ist und der
Raum Y demnach als voUstandig und separabel angenommen werden kann,
so ist B eine Borelsche Menge.
Die Unterschiede des Satzes II von § 35, II sind sehr zu beachten.
Damals handelte es sich um relativ Borelsche und Suslinsche Mengen (in A^
in J5), es wurde von Mengen gi? auf ihre Urbilder ^A geschlossen, die
Borelschen Klassencharaktere JF^, G^ blieben erhalten. Jetzt ist von
absolut Borelschen und Suslinschen Mengen die Rede, der SchluB geht von
der Menge A auf ihr Bild 5, und die Borelschen Klassencharaktere brauchen
nicht erhalten zu bleiben. In dieser Beziehung gilt vielmehr das extreme
Gegenteil: alle separablen, absolut Suslinschen Mengen sind stetige Bilder
[104] separabler, absolut abgeschlossener Mengen, ja sogar einer einzigen solchen
Menge, namlich des Baireschen Nullraums, Hierunter verstanden vrir die
Menge A der F'olgen natiirlicher Zahlen
X = (^^l, AZ2, . . .)
mit der in § 20, 4 erklarten Entfernungsdefinition; daB A voUstandig oder
absolut abgeschlossen ist, haben wir schon S. 105 bemerkt, und A ist
separabel, da z. B. die abzahlbare Menge der x^ in denen schlieBlich lauter
Einsen stehen, in A dicht ist. Der Bairesche Nullraum ist mit der Menge der
irrationalen Zahlen homoomorph (die ein absolutes Gg ist). Denn ordnen
wir der Zahlenfolge x eineindeutig die irrationale Zahl
^•=^+^+---
zwischen 0 und 1 zu, so wird die Menge dieser Zahlen stetiges Bild von A
und umgekehrt: die Konvergenz bedeutet namlich, daB x^ in einer
mit m nach oo strebenden Zahl von Anfangsziffern mit x iibereinstimmt,
254

§ 37. Bilder Suslinscher Mengen. 211
und daraus folgt i,„-^i, ebenso umgekehrt. Das offene Intervall (0,1)
laBt sich nun homoomorph und mit Erhaltung des rationalen oder irrationalen
Gharakters auf die Menge aller reellen Zahlen abbilden, etwa durch
2ti-~ 1 = , , . , (0

212 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
schranken die Definition von y = (p(x) auf F(x) •> 0; dann wird B schlichtes
stetiges Bild einer in A abgeschlossenen Menge. — DaB man in beiden
Behauptungen von III die Menge A durch die homoomorphe Menge / ersetzen
kann, ist evident.
Die Suslinschen (Borelschen) Mengen in separablen voUstandigen Ranmen
sind also stetige (schlichte stetige) Bilder von absolut abgeschlossenen
Mengen oder reellen G^-Mengen — nicht aber von reellen oder Euklidischen
abgeschlossenen Mengen (deren stetige Bilder immer nur absolute F^ sind).
Man kann sie in entsprechender Weise auch als Projektionen darstellen.
Die Suslinsche Menge B im separablen voUstandigen Raum Y sei vermoge
y == (p{x) stetiges, die Borelsche Menge B schhchtes stetiges Bild der Menge
A im separablen voUstandigen Raum X. Die Punktpaare(a;, y) mit xe X^
y EY bilden den separablen voUstandigen Raum Z — (X, Y), etwa mit der
Entfernungsdefinition ^x^^ + yTf. Die Menge C der Punkte (a;, €p{x))^ also
durch xeA, y=^

§ 38. Homoomorphie. 213
§ 38. Homoomorphie.
Eine Homoomorphie zwischen A und B {A^ B) war als schlichte,
in beiden Richtungen stetige Abbildung y == (p(x)^ x = y(?/) zwischen
beiden Mengen erklart worden. Wir halten, trotz der Symmetrie dieser
Beziehung, an den Bezeichnungen Bild und Urbild fest. An die Betrachtungen
des vorigen Paragraphen ankniipfend, die sich hier erheblich umgestalten
werden, beweisen wir zunachst einen dem dortigen Satz I ungefahr
analogen Satz:
I. Es sei A^=^B^ A in einem vollstdndigen Raume X, B in einem be- [107]
liebigen Raume Y gelegen. In X sei eine Folge opener Mengen P^, ^2? • • •
gegeben, Diesen kann man offene Mengen Q^, Q21 - - • des Raumes Y so zuordnen^
da/i fur jede Folge v = (?ix, ;I2T • • *) vi^cichsender natUrlicker Zahlen^
fiir die P^ = P^^ P^^. . . g ^, zugleich Qv = Qn, Qn^- • ^^^ ^i^d pon P^ isL
Um zu erkennen, was eigentlich bewiesen werden soll^ bemerken wir:
die Mengen An = A P^ sind in A off en, ihre Bilder J5,j in J? often (well die
Funktion x = y)(y) stetig ist!); und weil hier das Bild des Durchschnitts
der Durchschnitt der Bilder ist, so ist B^ = B^^ B^^., . das Bild von
Ay = Af^^ An^.... Wenn wir also irgendwie B^ ~ BQ^ als Durchschnitt
von B mit einer offenen Menge Q^ darstellen, so ist BQ^ das Bild von A P^;
es ist zu zeigen, daB man diese offenen Mengen Qn so „klein" wahlen kann ^),
dafl mit P^^A auch Q^ ^ B, Wir verfahren so: zu jedem Punkt x e A^
wahlen wir eine Umgebung f/^(:r), die mitsamt ihrer abgeschlossenen Hiille
in der offenen Menge Pn Hegt, und zu dem Bildpunkt y = (p{x) e B^ eine
Umgebung V^iy) so, da6 das Urbild von B V^iy) in UJx) liegt (was wegen
der Stetigkeit der Funktion x~,.y)(y) moglich ist); liberdies sollen die
1
Radien beider Umgebungen < — sein. Unter Q^ verstehen wir dann die
Summe der Umgebungen V^iy), erstreckt iiber y eB^] es ist klar, daU
BQn = Bny denn die Menge B VJy) hat ein in A U^ix) ^A^ gelegenes
Urbild, ist also selbst gj5„, daher BQn^B^^ wahrend zugleich B Q^^
alle Punkte y sB^ enthalt. — Nunmehr ist in der Tat Qv^B fiir i\ g A.
Seien m

214 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
fiir jedes m gilt, so isi xePr^A^. x hat also ein Bild y ^ (p{x)eB, und aus
folgt 2/„~>y, also z^yeB, was zu beweisen war.
Betrachten wir nun, wie schon mehrmals, eine M^nge N von Folgen
[108] V = (/ii, 7i2,...) wachsender naturlicher Zahlen und bilden mit den in X
offenen Mengen P^ die Menge (^^-Funktion)
SO laBt sich jede mit A homoomorphe Menge B nach I in der Gestalt
B == f (?.- f

§ 38. Homoomorphie. 215
erfUlU das Dreiecksaxiom^ denn schreibt man kurz d^^ fiir d(x^ F) und beachtet
dy^dz + yz^ dy-^da: + xy, so ist
^y yz xy + yz xz
^y + Sx + ^v yz+ dy + d;,— xy + yz + d^ + d^ ~ xz + d^ + 6^
Indem man noch dy-^d^^ xy in (1) anwendet, erhalt man
Nun sei A — G^G^- * - ein G^, das Komplement J5 = i^i + ^2 + * * * ^^^
Ffj\ man wahle eine konvergente Reihe positiver Zahlen c^ + Cg + • • *
und definiere fiir Punkte von A
xy = 2c,,(p{x, y I i^J.
Dies hat wieder Entfernungscharakter, und durch Beilegung dieser
Entfernungen wird die Menge A ein (von A verschiedener) metrischer
Raum A, der schlicht auf A abgebildet ist (Jedem Punkt xeA entspricht
derselbe Pnnkt xe A). Wir woUen zeigen, daB ^4 und A Merdurch homoomorph
werden, d, h. daB, bei festem x, aus x^~> 0 zugleich xy-^O
folgt und umgekehrt. In der Tat folgt aus (2)
fiir xy -^0 konvergiert, wegen d(x^ F^) > 0, jedes Glied der Reibe nach
0 und wegen der gleichmaBigen Konvergenz auch die Reibensumme. Andererseits
ist nach (2)
Cj xy
und mit xy konvergiert xy nach 0.
Endlich sei xy = max [a: 2^, xy];
das ist wieder eine Entfernung und erzeugt einen dritten, mit A und A
homoomorphen Raum J4. Dieser ist nun vollstandig, wenn E voUstandig
ist, was den Beweis von III voUendet, Sei namlich s^eine Fundamentalfolge
in A^ also (wegen xy^xy) auch eine in A und mA; me hat also, im
Sinne der urspriinglichen Entfernungen xy, einen Limes in E. Dieser
kann kein Punkt t von B sein; denn ware etwa teF^^ so wiirde aus (3)
iiir m < n
XtnXn
also fiir n-^ 00 (x^ Xn-^ x,„ t > 0, d{Xf^, F^)-^ 0)
lim inf x^x^ ^ -1
n 2
259

216 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
folgen, und dann ist ir„ in ^, also erst recht in A^ keine Fundamentalfolge,
da doch fiir eine solche sogar lim sup 5^^n ^i* wachsendem m nach 0 konn
vergieren miifite. Also gibt es einen Punkt xeA mit xx^-^0^ xx^-^Q^
der Raum ^4 ist vollstandig.
Ein Beispiel ist uns schon bekannt (S. 210): die Menge der irrationalen
Zahlen, ein absolutes G^, ist mit dem absolut abgeschlossenen Baireschen
NuUraum homoomorph.
Sind zwei in Euklidischen Raumen gelegene Mengen A^ B homoomorph
und A abgeschlossen, so ist B ein G^, aber zugleich ein F^ (ein K^,
S. 197), also reduzibel. Die nicht reduzible Menge der irrationalen Zahlen
kann also mit keiner Euklidischen abgeschlossenen Menge homoomorph sein.
Wir wollen den Satz II noch auf einem andern, etwas weiter fuhrenden
Wege beweisen.
[Ill] IV (Satz von M. Lavrentief f). Eine Homoomorphie zmschen A undB
Idfit sich zu einer Homoomorphie zwischen zwei ahsoluten G^-Mengen X '^A
und Y ^B erweitern.
Es sei zunachst nur B stetiges Bild von A, vermoge der stetigen Funktion
y = 9?(a:); A^ und BQ seien voUstandige Hiillen von A und B. Betrachten
wir einen Punkt xeA^^ der also Limes mindestens einer Folge
von Punkten ansA ist; i„ = (pia^) seien deren Bilder. Die b^ konnen eine
Fundamentalfolge bilden oder nicht; im ersten Fall konvergieren sie nach
einem Punkt yeB^, Es kann nun sein, daB alien nach x konvergenten
Folgen a^ Fundamentalfolgen b^ entsprechen (wie dies z. B. fiir xeA der
Fall ist, wo stets b^^-^y = (p{x) ist); dann konvergieren alle diese Fundamentalfolgen
b^ nach einem und demselben Punkte ysBQ] denn wenn den
beiden Folgen a„->a;, a^^ -^-x zwei Folgen b^-^y, K -^y mit y ^y entsprachen,
so wiirde die Folge %, %, ag, 02? • • • nach x konvergieren und
ihre Bilder 6^, Sj, b^^ 52> • • • keine Fundamentalfolge liefern. Nennen wir
^1 die Menge der Punkte XSAQ, welche die angegebene Eigenschaft haben
(alien Folgen a^-^x entsprechen Fundamentalfolgen 6„), so entspricht also
jedem Punkte xsA^ ein ganz bestimmter Punkt y = (pi{x) von BQ, namlich
so, dafi fiir a^-^-x stetsft^-*?/; wir haben hier eine eindeutige Funktion

J 38. Honioomorphie. 217
art, da6 iixv xa

218 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Beispiel. Es sei
A = (0,1) + (1, 2) + (2, 3)
die Summe der drei offenen Zahlenintervalle (0, 1), (1, 2), (2, 3); in diesen
werde die Funktion y = 3; die Punkte 0, 3 sind also in A^^ und ihre Bilder 1, 3 in A2 aufzunehmen.
Dagegen sind 1 und 2 nicht in ^1 aufzunehmen, denn wenn x
von links oder rechts nach 1 konvergiert, so konvergiert y nach 0 oder 2,
so daB nicht jeder Folge x-^l eine Fundamentalfolge entspricht; analog
verhalt sich der Punkt 2.
Aus IV folgt nun der Satz II noch einmal mit dem Zusatz:
[112] II*. Das homoomorphe Bild einer absolut Borelschen Menge F^^ ^ 2)
ist wieder eine solcke (mit demselben Index |).
Nachdem namlich die Homoomorphie auf die absoluten G^-Mengen
X, Y ausgedehnt ist, konnen wir den Satz § 35, II anwenden. Ist A ein
absolutes G^(|^l), so auch in X; dann ist, wegen der Stetigkeit von
X — y)(y)^ B ein G^ in F, also ein absolutes G^, da Y ein absolutes G^ ist.
Ebenso ist, falls A ein absolutes F^i ^ 2) ist, B ein F^ in 7, also ein absolutes
F\ da Y ein absolutes G^ und F^^ ist. Analog ist der Beweis fiir die
absolut Suslinschen Mengen zu fiihren.
Einige weitere, bei Homoomorphie invariante Mengencharaktere kann
man aus IV durch Betrachtung der Komplemente X -' A, Y — B erhalten
Z. B. gehen die Komplemente absolut Suslinscher Mengen (in einem vollstandigen
Raum) durch Homoomorphie wieder in solche liber. Die Dif-
262

§ 39. Einfache Kurven. 219
ferenzen von zwei absoluten G^ gehen wieder in solche liber; denn ist
A =:: Ai — A2 Differenz von zwei absoluten G^, die man wegen XA =
XA-i^— XA2 als Teilmengen von X annehmen kann, so ist B =^ B^ — B^
auch eine solche Differenz. Das trifft insbesondere auf die absoluten Mengen
F^ = Fa zu.
Wir stellen in einer kleinen Tabelle die wichtigsten Ergebnisse zusammen,
die sich auf stetige, schlichte stetige und homoomorphe Bilder
von Mengen beziehen; K bedeutet eine in sich kompakte Menge; die Charaktere
F (abgeschlossen), F^^ G^, B (Borelsche Menge), S (Suslinsche
Menge) sind absolut zu verstehen; der Zusatz sep. bedeutet separabel; ein
leerer Platz bedeutet, daB sich nichts aussagen lafit.
A
K
F
pi
G^
S
sep, i?
sep. 5
sep. S
stetig
K
S
S
s
Bild von A
schlicht stetig
K
B
B
S
§ 39. Einfache Kurven.
homoomorph
K
Gs
i^(l^2)
GHS^i)
S
Gs
B
S
1. Bedingungen fiir einfache Kurven.
Unser Streckenbild, d. h. das stetige Bild einer abgeschlossenen Strecke
Oder des Zahlenintervalls T= [0,1] brauchte mit dera, was man sich
anschaulich unter einer Kurve vorstellt, wenig Ahnlichkeit zu haben.
Etwas naher kommt dieser Vorstellung die einfache Kurve ^), namlich das
homoomorphe Bild von T. Damit C ein solches sei, sind jedenfalls folgende
Eigenschaften notwendig, deren Verzeichnis leicht noch weiterzuiuhren
ware und bei deren Fassung wir die Begriffe abgeschlossen, Kontinuum
usw. auf C selbst als Raum beziehen:
(oC) C ist in sich kompakt.
(j8) C hat zwei Punkte a. J, zwischen denen es irreduziblss Kontinuum
ist; d. h. C selbst ist Kontinuum, aber kein Kontinuum

220 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
(y) C hat zwei Punkte a, b, zwischen denen es irreduzibel zusammenhdngend
ist; d. h. C selbst ist zusammenhangend, aber keine zusammenhangende
Menge c C enthalt die Punkte a, b,
(d) C ist zusammenhangend und hat zwei Punkte a, b folgender Art:
fur jeden Punkt xeC gibt es eine Zerlegung C ~A + B, wo A^B abgeschlossen
sind, nur den Punkt x gemein haben und aeA^ beB,
(e) C ist lokal zusammenhangend.
In der Tat folgt die Notwendigkeit von (a)(e) aus § 36, III. Die iibrigen
Bedingungen ergeben sich, wenn man unter a, b die Bilder der Endpunkte
0,1 von T versteht; keine zusammenhangende Menge < T enthSlt
die Punkte 0,1, woraus (y) und um so mehr (P) folgt; und fiir jedes isT
gibt T = [0, t] 4- [^ 1] eine Zerlegung, die auf C iibertragen die Eigenschaft
((5) hat (unter [0, 0] und [1, 1] sind die einpunktigen Mengen {0}
und {1} zu verstehen).
Wir werden nun zeigen, da6 die Bedingungen (a, )9, B) oder ((K, y)
oder ((x^ d) auch hinreichend sind.
I. Die Bedingungen (y) und (6) sind gleichbedeutend.
Da6 (y) aus (d) folgt, ist sehr einfach einzusehen. Wenn DczC die
Punkte a, & enthalt, sei xeC — D und C^A+B eine gemafl (d) zu x
gehorige Zerlegung; dann ist DAB = 0 und D == DA + DB eine Zerstiickelung,
D nicht zusammenhangend.
Umgekehrt, sei (y) erfiillt oder auch nur folgende Teilannahme: C sei
zwischen a, b irreduzibles Kontinuum im Sinne von (jS) und werde durch
Tilgung eines von a, b verschiedenen Punktes unzusammenhangend. Um
daraus (d) zu beweisen, konnen wir x von a, b verschieden annehmen, da
iuT X == a und x ~ b die Zerlegungen C ~ a + C — C -\-b den gestellten
Forderungen geniigen (wir bezeichnen jetzt einpunktige Mengen [x] einfach
mit x), Dann ist C — x unzusammenhangend, also in C — x =^ P + Q
zerstuckelbar, wo -P, ^ in C — re abgeschlossen sind. Dann sind die Mengen
A = P-^x^B^Q + x (in C) abgeschlossen, uberdies sind sie nach
§ 29, III zusammenhangend, da ihre Summe C und ihr Durchschnitt x
zusammenhangend sind. Keines der Kontinua ^ cr C, B

§ 39, Einfache Kurven. 221
(1) fiir o^iC^g ist Ai^A2^
Es ist namlich ^2 + ^i> ^'s Summe zusammenhangender Mengen mit dem
gemeinsamen Punkt Xi, zusammenhangend; da sie a,J enthalt, ist nacli
(y) C = A2 + B^^ mit -4^ geschnitten A^ = ^^ -^2 + ^1 = ^1 -^g.
Fur
1 — 2
folgt hieraus A^^ = -^2, ebenso natiiriich JSj = fig? d. h.
die zu X gehorige Zerlegung C = A -\- B i%i durch x eindeutig hestimmU
Nennen wir ^4. das zu x gehorige Anfangsstiick von C (B das Endstiick).
Zu X = a gehort das Anfangsstiick a^ zu x ~b das Anfangsstiick C.
Wenn aber in (1) x^^ rcg, so ist
(2) A1CZA2, X2eA2'-A^.
Ware namlich zugleich %f^2 ^^^ ^2^-^11 ^^ wiirde ^4^ — ytg folgen,
also -^1 — Xi = ^2 "^ ^2> ^1 + ^^2 = -^2 + ^v I^ dieser letzten Gleichung,
die eine Zerlegung in Komponenten ausspricht, miiBte Bj = x^^ B^ = x^
sein; aber B^ und i?2 enthalten J, und man gelangt zum Widerspruch
x^== X2 = b, Also: sind oji,ojg verschieden und x^sA^^ so ist nichi
X2eAi, womit (2) bewiesen ist.
Natiirlich konnen fiir % =t=^ X2 auch die Relationen x^sB^^ X.^BB^ nicht
gleichzeitig bestehen. Es besteht also eine und nur eine der Relationen
X-^GA.2I A.i^A.2'i X2SA.2 -^1?
Oder ^2^^i? ^2^^i? x^eA^ — A2*
Die zu verschiedenen Punkten gehorigen Anfangsstiicke stehen also immer
in der Beziehung A^^Az- Wir machen C zu einer geordneien Menge,
indem wir ... . .
Xi < rTg fur A^ c: ^2
definieren. Dies ist mit XisAz^ ^1 4^ ^2 gleichbedeutend; auBerdem enthalt
^^2 noch den Punkt X2^
Nach geschehener Ordnung ist also A die Menge der Punkte

222 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Riiume.
[a, a^i), also off en; ebenso ist C^ offen, falls sie kein erstes Element hat.
Beides zagleich wiirde eine Zerstiickelung von C bedeuten, also hat entweder
C^ ein letztes oder C^ ein erstes Element.
Wenn ferner C separabel ist, also eine abzahlbare Menge i? in C dicht
ist (im metrischen Sinn), so ist R auch im ordinalen Sinn (S. 54) in C dicht.
Denn (o^i, x^ lir x^ < x^ ist offen, enthalt also einen Punkt r von /?, d. h.
x^

§ 39. Einfache Kurven. 223
es sei P„ die a enthaltende, Q^ die b enthaltende Komponente von i^„ (solange
noch afif/„, werde JP„ = 0 gesetzt; analog Q^. Die Mengen
(wobei die Summanden mit n zunehmen) sind disjunkt und zusammenhangend.
Hierbei enthalt nach dem Randsatz § 29, XVII P^ einen Punkt
1
auf dem Rande von F„, also in der Entfernung —von x\ xi^% Haufungs-
TV
punkt von P und Q\ P -\- Q -{- x zusammenhangend, als Summe der zusammenhangenden
Mengen A = P -\- x^ B — Q + x. Wenn nun noch
gezelgt wird, daB A und B abgeschlossen sind, so ist der Beweis erbracht;
denn aus der Irreduzibilitat (P) folgt dann C ~ P + Q + x = A -j- B^
die gewiinscbte Zerlegung. Es ist also zu zeigen: wenn c^x a-Punkt
von P ist, so ist ceP, Sei R^ die c enthaltende Komponente von F^ und
R = QRn (schlieBlich ist ceFn] vorher sei wieder R^ == 0). Nun ist scHieBlich
c innerer Punkt von F^ und wegen des lokalen Zusammenhangs innerer
Punkt von R^ (schon die c enthaltende Komponente von F^^^ hat c zum
inneren Punkt); R^ enthalt also Punkte von P, Danach ist R^P^O,
RP:=>0 und fur hinlanglich groBes n auch R^P^^O^ d. k R^ = P^ und
R = P, also ceP,
Damit ist IV bewiesen. Ein kompaktes, lokal zusammenhangendes
Kontinuum war immer stetiges Bild einer Strecke; ist es iiberdies zwischen
zwei gewissen Punkten irreduzibel, so ist es homoomorphes Streckenbild.
2. Primteile eines Kontinuums ^). C sei mehrpunktig, zusammenhangend
und werde wieder als Raum angenommen, auf den sich die Relativbegriffe
beziehen. Die Punkte r, in denen C lokal zusammenhangend ist,
mogen reguldre Punkte, die iibrigen s singuldre Punkte heiBen; ist R die
Menge der regularen, S die der singularen Punkte, so ist
C=.RJ^S^R, + S^,
Die Punkte (einpunktigen Mengen) i^on Ri und die Komponenten von S^
heipen die Primteile i^on C (H. H ahn). Falls i?^ = 0, 6* in C dicht ist, hat C
sich selbst als einzigen Primteil und heiBe ein Primkontinuum. Ist R^ ::=> 0,
so ist diese insichdichte Menge lokal zusammenhangend, da einer ihrer
Punkte mit einem hinlanglich benachbarten durch eine zusammenhangende
Menge g C von beliebig kleinem Durchmesser, also g i?^, verbunden
werden kann; ilire Komponenten sind in /?| offen und mehrpunktig, R^
also (§ 29, VII) mindestens von der Machtigkeit fc

224 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Eaume.
(3) (X, 5x, ^2? • • M ^n-li y)y
deren Zwischenpunkte s^^ ^2? • • ^ ^n-i singulai* sind (wozu wir auch fiir
xy^Q die Kette (x^y) ohne Zwischenpunkte rechnen), heiBe eine^mgzi-
Idre Q'Kette, Verbinden wir rr, y durch alle moglichen singularen {)-Ketten;
die untere Grenze der hierbei auftretenden Zahlen Q sei als die singulare
Distanz xy definiert. Es ist xy ^ xy und es gilt das Dreiecksaxiom
^ + y^^ ^1 denn wenn sicha^und y durch eine singulare ^-Kette, y und z
durch eine singulare cr-Kette verbinden lassen, so x und z durch eine singulare
Q + o'-Kette. Wenn wir statt der singularen ^-Ketten solche
(4) {x, ^1, t^,..., ^n-i, y)
verwenden, deren Zwischenpunkte aus 6"^ entnommen sind, so andert sich
die untere Grenze der Q nicht; denn eine ^-Kette (3) ist eine spezielle
^-Kette (4), und andererseits gehort zu einer ^-Kette (4) eine ^ + ^-
Kette (3), indem man zu jedem tj^ ein Sj^. mit S]ch ^ und y verschiedenen Primteilen angehorig voraus;
im ausgeschlossenen Fall ware C Primkontinuum, F einpunktig.
Das Bild 0{G) einer in C offenen Menge G braucht in F nicht oflen zu
sein. Wenn jedoch G den ganzen Primteil A, das Urbild des Punktes |,
268

§ 39. Einfache Kurven. 225
enthalt, so hat 0(G) den Punkt | zum inneren Punkt. Denn ist JP = C — G,
so ist das Bild 0(F) abgeschlossen (als sletiges Bild einer kompakten abgeschlossenen
Menge) und enthalt | nicht, hat also von | eine positive untere
Entfernung Q; alle Punkte rj mit ^r] < Q gehoren demnach zu 0(G),
Wir wollen nun das eigentliche Ziel dieser Untersuchung erreichen,
namlich beweisen, daB das Kontinuum der Primteile lokal zusammenhdngend
ist.
V. Ist C kompaktes Kontinuum^ F (in C) abgeschlossen^ P eine Komponente
von F, so ist jeder Punkt x von F^ P(F — P)^ singular, und der x
enthaltende Primteil A trifft den Rand F^ von F.
Folgendes sei vorausbemerkt. Damit der Satz einen Inhalt habe, d. h.
ein Punkt x vorhanden sei, muB Fi^O und F^P sein, also F unzusammenhangend
und insbesondere F 0. Der Randsatz
§ 29, XVII, auf dem hauptsachlich der Beweis des jetzigen Satzes beruht,
sagt aus, daB jede Komponente von CF = F den Rand F,. trifft, ferner:
wenn Q ein Kontinuum ist, das F^ und Fi trifft, so hat jede Komponente
von QFi Haufungspunkte in F^^
Nun kann x nicht regular sein; denn ist U^^Fi^ so miifite x innerer
Punkt der ihn enthaltenden Komponente von f/^., also erst recht von P
sein und ware nicht Haufungspunkt von F — P,
Sei weiter F = P + 2 Q^^ die Zerlegung von F in Komponenten.
Wegen d(x^ (^w) > 0 muB es, weil x Haufungspunkt von F — P sein soil,
eine Folge von Komponenten Q^^ mit d(x, Q^ -^ 0 geben; nach dem Auswahlsatz
konnen wir annehmen, daB der abgeschlossene Limes Q ~ Fl Q^
existiert. Er ist wieder ein KontinuumgjF (Satz von Zoretti) und enthalt
X, ist also in P enthalten, iiberdies natiirlich in (F — P)^] nach dem
bereits Bewiesenen sind also alle Punkte (zu denen x gehort) von QF^ singular,
QFi g S. Wie oben bereits vorausbemerkt wurde, treffen alle Q^ den
Rand F^., also ist auch ^i^^r^O, und die x enthaltende Komponente
X von QFi hat Haufungspunkte in F^, X^F^^Q, Da nun X^S,
Xcc^Sat und X^ zusammenhangend ist, ist X^, in dem zu x gehorigen
Primteil A enthalten und AF^z^O,
VI. Ist A ein Primteil des kompakten Kontinuums C, JF die Menge der
Punkte mit d(x, A) ^ Q(Q > 0)^ P die A enthaltende Komponente von JF, SO
ist A g Pi,
Denn ist xeA^Fi P, so darf x nicht zu (F — P)« gehoren, da sonst,
nach V, A den Rand von F treffen miiBte; es gibt also eine Umgebung
U^ g Fi, die zu F — P disjunkt ist, d. h. U^^P, x ist innerer Punkt von P,
VIL (Satz von R. L. Moore). Das Kontinuum der Primteile eines
kompakten Kontinuums ist lokal zusammenhangend,
Hausdorff, Mengenlehre. 15
269

226 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Sei leJT, das Urbild von | der Primteil A von C; FQ eine Umgebung
von f, ihr Urbild eine in C offene Menge G^^A. 1st ^ positiv und kleiner
als die untere Entfernung zwischen A und der Begrenzung ^) von GQ (beides
sind kompakte Kontinua), so ist die Menge F des Satzes VI in G^ enthalten;
P sei wie dort die A enthaltende Komponente von F und A^G^P^GQ^
wo G = Pi oflen ist. Fiir die Bilder folgt 0{G)^0(P)^0{GQ) ^ F^,
Hierbei enthalt, wie wir oben sahen, 0(G) den Punkt | als inneren Punkt,
und 0(P) ist ein Kontinuum g JTQ, das f als inneren Punkt enthalt, womit
also der lokale Zusammenhang von F in ^ bewiesen ist.
VIII. (Satz von H. Hahn). Ist C ein kompaktes, zusammengesetzteSy
zwischen zwei gewissen Punkten irreduzibles Kontinuum^ so ist das
Kontinuum seiner Primteile mit dent Intervall 7(0 ^ i ^ 1) homoomorph.
T ist stetiges Bild von C in der Weise^ dafi die Urbilder der Punkte t
die Primteile ifon C sind,
Denn /*, das Kontinuum der Primteile, ist kompakt, mehrpunktig,
zwischen zwei Punkten irreduzibel und lokal zusammenhangend, also nach
IV mit T homoomorph. T ist stetiges Bild von JP, F von C, also T von C,
wobei jedem t genau ein Punkt von F und ein Primteil von C entspricht.
Ein einfaches Beispiel in der (x^^ X2)-Ebene ist die aus den beiden
Mengen
/? : 0 < ajj ^ 1, X2 = sin
S : Xi = 0, — 1 ^ 0^2 ^ 1
gebildete Menge C = R + S, wobei zugleich R die Menge der regularen,
S die der singularen Punkte ist -). Die Primteile sind S und die Punkte
von /?; die Projektion auf die x^-Achse liefert [0, 1] als stetiges Bild von C.
Zwischen jedem Punkt aeS und dem Punkt b(Xj^ = 1, rpg = 0) ist C irreduzibles
Kontinuum, zwischen alien andern Punktpaaren ist es reduzibel.
Irreduzibel zusammenhangend im Sinne von (y) ist es auch zwischen a und b
nicht, da a +/? zusammenhangend ist; dagegen ist die Menge a + R
zwischen a und b irreduzibel zusammenhangend und nach II T schlichtes
stetiges Bild von ihr (wieder durch Projektion).
[114] § 40. Topologische Raume.
Homdomorphien werden auch topologische Abbildungen und homoomorphe
Mengen topologisch aquivalent genannt; Eigenschaften, die
homoomorphen Mengen gemeinsam sind, heiBen topologische Invarianten.
So ist die Eigenschaft, ein absolutes G^(|^ 1) zu sein, topologisch invariant,
nicht aber absolute Abgeschlossenheit (Vollstandigkeit); relative
^) Wenn diese verschwindet (Go = C), kann ^ >0 beliebig sein.
2) Dasselbe leistet die Menge in Fig. 6 (S. 157).
270

§ 40. Topologische Raume. 227
Abgeschlossenheit und Oflenheit sind hingegen wieder topologisch invariant,
d. h. ist A in E abgeschlossen (offen) und E mit E, A mit einer
entsprechenden Teilmenge.Z homoomorph, so ist A in E abgeschlossen
(offen). Die mathematische Disziplin, die sich mit diesen Dingen beschaftigt,
heifit Topologie oder (mit einem von Riemann wieder aufgegriffenen
Leibnizschen Ausdruck) Analysis situs. Wir haben in sie
nicht tiefer eindringen und nur wenige, allgemein gehaltene Satze daraus
beweisen konnen. Es ist dies aber der passende AnlaB, in aller Kiirze
diejenigen Punktmengentheorien zu streifen, die den topologischen Standpunkt
von vornherein zur Geltung bringen und nur mit topologisch invarianten
Begriffen arbeiten; ein so definierter topologischer Raum ist
von homoomorphen Raumen in demselben Sinne ununterscheidbar,
wie in unserer Jheorie ein metrischer Raum von isometrischen Raumen.
Dabei handelt es sich nicht bloB um eine formale Umgestaltung der metrischen
Theorie, sondern um einen neuen, weiteren Raumbegriff; die
metrisierbaren^ d. h. mit metrischen Raumen homoomorphen Raume
bilden nur einen Spezialfall unter den topologischen Raumen. Das Primare
im topologischen Raum E sind die (in E) abgescMossenen und ihre Komplemente,
die offenen Mengen; hierauf stiitzt sich der Stetigkeitsbegriff^
namlich (§ 35, I): die eindeutige Funktion x = f(x)^ die den Raum E
auf den Raum E abbildet, heifit stetig, wenn jeder in E abgeschlossenen
(offenen) Menge als Urbild eine in E abgeschlossene (offene) Menge entspricht.
Eine schlichte, beiderseits stetige Abbildung heifit Homoomorphie.
Die abgeschlossenen oder offenen Mengen konnen unerklart an die Spitze
gestellt oder auf verwandte Begriffe (abgeschlossene Hiille, Limespunkt,
Haufungspunkt; offener Kern, Umgebung) zuriickgefiihrt werden, immer
unter Wahrung des topologisch in varianten Charakters; die nahere Beschaffenheit
des Raumes wird dann durch eine passende Auswahl von
Axiomen geregelt, von denen wir nur die drei Hauptgruppen in Betracht
Ziehen: Summen- und Durchschnittsaxiome, Trennungsaxiome, Mdchtigkeitsaxiome.
Solche Axiome konnen z. B. der metrischen Raumtheorie
entlehnt werden, wo sie als beweisbare Theoreme auftreten.
I. Summen- und Durchschnittsaxiome, Die abgeschlossenen Mengen
soUen unter alien Umstanden den Forderungen geniigen:
(1) Der Raum E und die Nullmenge 0 ist abgeschlossen.
(2) Die Summe von zwei abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.
(3) Der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen
ist abgeschlossen.
Hiernach kann die abgeschlossene Hiille A^ als Durchschnitt aller
abgeschlossenen Mengen ^A (zu denen jedenfalls E gehort) definiert
werden; sie hat folgende Eigenschaften:
15*
271

228 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
(a) 0,-0
(b) A^^A
(c) A^^ = A^
(d) (A + BU = A, + B,,
Man konnte auch diese Eigenschaften als Axiome liber die Mengenfunktion
A^ an die Spitze stellen (K. Kuratowski), abgeschlossene Mengen
durch A^ = A definieren und damit die Satze iiber abgeschlossene Mengen
beweisen; z. B. folgt (3) daraus, daB wegen (d) ^« eine monotone Mengenfunktion,
d. h. mit A^B auch Acc^Boi^ ist.
Fiir die offenen Mengen gelten die entsprechenden Satze:
(1) Der Raum E und die NuUmenge 0 sind offen.
(2) Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist offen.
(3) Die Summe von beliebig vielen offenen Mengen ist offen.
Die Summe aller offenen Mengen g A heiBt der offene Kern A^ und
hat analoge Eigenschaften (a, 6, c, d) wie ^,. Man kann natiirlich auch
diese Eigenschaften oder die Satze iiber offene Mengen als Axiome an die
Spitze stellen. Eine Modilikation davon bilden die Axiome iiber Urngehungen.
Bezeichnen wir die den Punkt x enthaltenden offenen Mengen
(zu denen jedenfalls E gehort) mit G^. und greifen aus ihnen ein Teilsystem
von Mengen V^ derart heraus, daB jedes G^ ein V^ enthalt; diese
U^ heiBen Umgebungen von x^ und die Umgebungen aller Punkte bilden
ein {>olles Umgehungssystem fiir den Raum E, Solcher Systeme wird es
im allgemeinen verschiedene geben; das groBte besteht aus alien offenen
Mengen '>0\ im metrischen Raume bilden die in § 22 eingefiihrten
,,spharischen" Umgebungen Vr^iq) mit positiven Radien q ein solches,
aber auch schon dann, wenn man sich auf rationale Q oder ^ = 1, J, i, • • •
beschrankt; im separablen Raume bilden die „speziellen'' Umgebungen
V von § 25 ein voiles Umgehungssystem; im lokal zusammenhangenden
Raum gibt es ein voiles System aus zusammenhangenden Umgebungen.
Zwei voile Systeme, mit den Umgebungen U^ und F^., stehen in der Beziehung:
jedes U^ enthalt ein V^ und jedes V^ ein V^, Ist der Raum E,
mit den Umgebungen f/^, homoomorph mit E, so geben die Bilder der
U^ ein voiles Umgehungssystem fiir E: AUS den Satzen iiber offene Mengen
ergeben sich folgende Eigenschaften der Umgebungen:
(A) Jeder Punkt x hat mindestens eine Umgebung V^\ es ist stet&
XBV^,
(B) Zu zwei Umgebungen f/^., V^ desselben Punktes gibt es eine
dritte W^ g V^ F^.
(C) Jeder Punkt yef/^, hat eine Umgebung Uy^U^,
Nun kann man wieder die Umgebungen als unerklarten Begriff an
die Spitze stellen und die Satze (A, B, C) als Umgebungsaxiome postu-
272

§ 40. Topologische Raume. 229
lieren ^). Offene Mengen G sind dann als Summen von Umgebungen oder
als solche Mengen zu definieren, wo jeder Punkt xeG eine Umgebung
U^^G hat (hierzu die NuUmenge mitgerechnet). Dann werden die
Satze (1,2,3) liber offene Mengen beweisbar.
Mit den bisherigen Axiomen, mag man diese oder jene der erwahnten
Formen vorziehen, ist der Raum natiirlich noch sehr arm an Eigenschaften.
Es ist sogar noch nicht einmal dafiir gesorgt, da6 einpunktige (und damit
nach (2) auch endliche) Mengen abgeschlossen sind. Dies kann man ent-
Aveder durch ein Axiom eben dieses Inhalts oder lieber durch folgende
Forderung erreichen:
Zu zwei verschiedenen Punkten x^ y gibt es eine abgeschlossene Menge,
die rr, aber nicht y enthalt.
Denn die abgeschlossene Hiille der einpunktigen Menge {%] ist dann
diese Menge selbst. — In dieser Forderung kann man das Wort abgeschlossen
auch durch offen ersetzen; dann geht sie in das erste der folgenden
Trennungsaxiome liber.
II. Trennungsaxiome,
(4) Ist x^ =1= 0^2, so gibt es eine offene Menge G^, die x^, aber nicM x.^
enthalt.
(5) Ist x^ 4= ^2> so gibt es zwei disjunkte offene Mengen G^, G^ mit
X-^ B ^\^ X^ S Cr2.
(6) Ist F2 eine den Punkt % nicht enthaltende abgeschlossene Menge^
so gibt es zwei disjunkte offene Mengen Gi^G^ mit x^eG^^ F^^G^,
(7) Sind Fi, F^ zwei disjunkte abgeschlossene Mengen, so gibt es
zwei disjunkte offene Mengen G^, G2 ^^ ^i = ^i» ^2 S ^2-
(8) Sind ^1, A2 zwei disjunkte, in ihrer Sunmie abgeschlossene
Mengen, so gibt es zwei disjunkte offene Mengen Gj, G^ mit A^^G^,
Jedes dieser Axiome, dabei (4) festgehalten, ist eine Verscharfung des
vorangehenden, und man erhalt auf diese Weise topologische Raume zunehmender
Spezialisierung. In metrischen Raumen gilt das letzte Trennungsaxiom,
also alle (vgl. S. 163; der Beweis reicht auch fiir (8) aus).
III. Mdchtigkeitsaxiome. Hier wiirde es sich vor allem (wenn man
die trivialen endlichen Rtome ausschlieSt) um die Beziehungen zum
Abzahlbaren handeln; wir sprechen sie mit Hilfe der Umgebungen in den
beiden Abzdhlbarkeitsaxiomen aus:
(9) Es gibt ein voiles Umgebungssystem, wo jeder Punkt hochstens
abzahlbar viele Umgebungen hat.
(10) Es gibt ein abzslhlbares voiles Umgebungssystem.
^) Eine solche Umgebungstheorie wurde in der ersten Auflage dieses Buches
durchgeltihrt.
273

230 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Das erste ist in jedem metrischen Raume, das zweite in jedem
separablen Raume erfiillt.
Das hier gegebene Verzeichnis von Axiomen kann natiirlich erganzt
werden; aber die Axiome der Gruppe I und wenigstens eins der Trennungsaxiome
sind wohl das Minimum dessen, was man von einem topologischen
Raume fordern muB, wenn er nicht gar zu abnorm ausfallen soil. Mit dem
zweiten Trennungs- und dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom, also mit
(1,2,3,5,9) laBt sich schon eine der metrischen annahernd ahnliche
Raumtheorie begriinden. Zur Metrisierbarkeit des Raumes ist aber das
scharfste Trennungsaxiom, also (1,2,3,8,9) jedenfalls notwendig; es
sei hier ohne Beweis erwahnt, da6 zur Homoomorphie mit einem separablen
metrischen Raume die Giiltigkeit der Axiome (1, 2, 3, 6,10) notwendig
und hinreichend ist (Satz von P. Urysohn, etwas verscharft von
A. Tychonoff).
Eine interessante Kategorie topologischer Raume hat M. Frechet
aufgestellt: sie legt den BegriiBf der konvergenten Folge oder des Limes
(Grenzpunkts) zugrunde. Gewissen Punktfolgen (a:i, o^g,...) des Raumes
E sollen eindeutig Punkte x von E zugeordnet sein; eine solche Punktfolge
heiBt konvergent (nach x) und der zugeordnete Punkt x = lim x^
ihr Limes. Hierbei sollen die beiden Limesaxiome gelten:
(oc) Jede konstante Folge (rr, rr, a:, . ..) konvergiert nach x.
(^) Jede Teilfolge einer nach x konvergenten Folge konvergiert
nach X,
Der mit einer solchen Limesdefmition ausgestattete Raum heiBe
ein L'Raum,
Ist ^ g J? und konvergiert eine Punktfolge aus A nach x, so heiBe
X ein Limespunkt^) von A\ die Menge der Limespunkte von A sei Ax*
Nach dem Axiom (a) ist Ai^A*, die Mengen mit A^ — A werden als
abgeschlossen definiert. Dann gelten die Satze (1, 2, 3) iiber abgeschlossene
Mengen; das folgt leicht daraus, daB Ax eine monotone Mengenfunktion
und wegen ()5) offenbar {A + B)x = Ax + Bx ist. Die abgeschlossene
Hiille A^ von A ergibt sich dann nach § 30, 2 als groBte Menge der Folge
A^,A\. , ., ^^. . ., die durch
A^ = A, ^^+1 = ^1, A"^ == @ .1^' (ri Limeszahl)
"^
induktiv definiert ist und mit A^ Ax^ Axx^ - - - beginnt; librigens ist, ver-
moge derselben Dberlegung wie im Fall eines Baireschen Funktionensystems
(S. 167), jedenfalls A^ = A^, d. h. die groBte Menge A^ = A'f
wird schon fiir einen Index rj ^ i2 erreicht.
^) Die Limespunkte sind hier, wie wir sogleich sehen werden, nicht notwendig
mit den «-Punkten (Punkten der abgeschlossenen Hiille) identisch,
sondern bilden nur einen Teil von ihnen.
274

§ 40. Topologische Raume. 231
tjbrigens bilden die Funktionensysteme^ auf die eben zuriickverwiesen
wurde, das einfachste Beispiel fiir i-Raume; ein Beispiel, aus dem zugleich
hervorgeht, da6 im allgemeinen, anders als in metrischen Raumen, Ax
noch nicht abgeschlossen ist und die Limespunkte nur einen Teil der
durch unbegrenzt wiederholte Limesbildung entstehenden a-Punkte
bilden. Die Elemente von E („Punkte'*) seien die in einem Raume T
definierten reellen Funktionen x = x(t), und die Konvergenz x — lim x^
werde durch x(t) = limXn(t) erklart, d. h. es soil im gewohnlichen Sinne
uberall, fiir jedes teT*^ x^it) nach x(t) konvergieren. Eine Menge A^E
ist also ein Funktionensystem, eine abgeschlossene Menge ein Bairesches
Funktionensystem (S. 167 und § 43), die abgeschlossene Hiille das kleinste
Bairesche System liber A, Ist nun z. B. T die Menge der reellen Zahlen,
A das System der stetigen Funktionen x^Ax das der Funktionen y = lim x^^
AXX das der Funktionen z = lim2/n> so ist Ax'^^Axx] die Funktionen y
haben namlich, wie wir in § 42 sehen werden, immer noch Stetigkeitspunkte,
wahrend die Funktionen z schon uberall unstetig sein konnen.
Die abgeschlossene Hiille A^, = A^ wird hier erst fiir TJ = £2 erreicht.
Man halte sich das metrische Gegenstiick vor Augen: wenn wir das System
Eder beschrankten Funktionen durch die Entfernung xy = Bnjf\x(t)—y(t)\
zum metrischen Raum machen, so bedeutet lim x^ = x gleichmdssige Konvergenz
von x^{t) nach x{t) fiir alle t; dann ist Az stets abgeschlossen
und Ai = All = . . . = ^^.
Eine weitere Abweichung der L-Raume von den metrischen ist, daB
in ihnen schon das zweite Trennungsaxiom (5) nicht zu gelten braucht
(das erste (4) gilt, da die einpunktigen Mengen wegen des Limesaxioms
(oc) abgeschlossen sind). Es kann sogar in einer ganz flagranten Weise
verletzt werden. Nennen wir den Raum E zerlegbar, wenn er als Summe
Fi -f F2 von zwei abgeschlossenen Mengen < E darstellbar ist (falls
JPI, F2 iiberdies disjunkt sind, handelt es sich um eine Zerstiickelung,
so daB unzusammenhangende Raume gewiB zerlegbar, unzerlegbare gewiB
zusammenhangend sind, jedoch nicht umgekehrt). Wir batten in unserer
Theorie niemals AnlaB, diesen BegrifE zu erwahnen, weil, abgesehen von
einpunktigen Raumen, die natiirlich unzerlegbar sind, jeder metrische
Raum zerlegbar ist. Sogar ist jeder Raum, in dem das zweite Trennungsaxiom
(5) gilt, zwischen zwei beliebigen seiner Punkte x^ 4=^ Xg zerlegbar,
d. h. so, daB Xj^ nur zu F^ und nicht zu F2, x^ nur zu F^ und nicht zu F^
gehort: man braucht unter i^i, F^ nur die Komplemente (JF^ = E — G^J
F2 = E — Gj) der in (5) genannten offenen Mengen zu verstehen. —
Da offenbar das stetige Bild eines unzerlegbaren Raumes wieder unzerlegbar
ist (wie das eines zusammenhangenden wieder zusammenhangend
war), so muB dieses Bild, falls es ein metrischer Raum ist, einpunktig sein:
insbesondere ist in einem unzerlegbaren Raum jede reelle stetige Funktion
275

232 Neuntes KapiteL Reelle Funktionen.
konstant, Bei dieser paradoxen Beschaffenheit der unzerlegbaren Raume
ist es besonders merkwiirdig, daB ein (mehrpunktiger) L-Raum unzerlegbar
sein kann^ wie folgendes Beispiel zeigt. E sei eine Kreisperipherie, fiir deren
Drehungen um den Mittelpunkt wir einen positiven Sinn festsetzen; das
Zeichen q> bedeute eine Drehung um den festen Winkel 27cd,vfO d irrational
ist; der Punkt x von E gehe hierdurch in a;^, die Menge A^E in A^^
iiber. Als konvergent definieren wir erstens die konstanten Folgen
(re, re, X,. . .) mit dem Limes Xy zweitens die aus lauter verschiedenen
Punkten bestehenden, im gewohnlichen Sinn (auf Grund der elementargeometrischen
Entfernungen) nach einem Punkt x konvergenten Folgen,
diesen geben wir aber den Limes Xfp. Die beiden Limesaxiome sind erfiillt.
Dann ist Ai == A + (A')^, wo A' die Menge der Haufungspunkte von A
im gewohnlichen Sinn bedeutet. Wir behaupten nun, daB iiir E ~ A + B
mindestens eine der Gleichungen ^4^ = £, B^ = E besteht, wo mit die
Unzerlegbarkeit von E gezeigt ist. Liegen auf jedem Kreisbogen Punkte
von Ay so ist A' = E, Ax = £, also erst recht A^^ = E. Ist das Gegenteil
der Fall, so enthalt B einen Kreisbogen C (mit Endpunkten). Dann ist
C=^C,Cx = C+C^,Cu = C + C^+C^^ usw., C,^C + C^ + 6^,^+ -
und diese Menge ist die ganze I^eisperipherie, denn wenn x der mittelste
Punkt von C ist, so ist die Menge {a;, a;^, rc^^^,.. .} in E dicht (im gewohnlichen
Sinn). Also ist C^ = E, B^= E.
Neuntes Kapitel.
Reelle Funktionen.
[115] § 41. Funktionen und Urbildmengen.
1. Urbildmengen. Im Raume A (der zun^chst iibrigens nur eine reine
Menge, kein metrischer Raum zu sein braucht) sei eine eindeutige reelle
Funktion f(x) definiert, d. h. jedem Punkt xeA eine reelle Zahl f{x) zugeordnet.
Die Menge der Punkte rr, wo f(x)>y {y eine gegebene reelle
Zahl), werde wie in § 22 kurz mit [/ > y] bezeichnet; ebenso sind Mengen
wie [/ ^ ?/], [y y] uJ^d [/ < y] zu betrachten; statt der letzteren nehmen wir lieber
1) Ist auch X eine reelle Variable, so kommt noch Unterscheidung zwischeii
rechts und links in Frage.
276

§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 233
ihre Komplemente und nennen die Mengen
U>yl U^y]
die zur Funktion / gehorigen Urbildmengen (oder Lebesgueschen Mengen), [116]
Zwischen beiden Arten bestehen aber Relatione!); es ist
(1)
U^y]
2)
n
[/ > y] = ® f^y +
(n=i,2,3,
Eine Funktion b^stimmt ihre Urbildmengen, aber auch umgekehrt;
und zwar sieht man aus (1), da6 bereits die Mengen [/ > y] zur Bestimmung
von / ausreichen, denn dann sind aucb die Mengen [/ ^ y] und, als Differenzen,
die Mengen [/ = y] bekannt. Auch die Mengen [/ > y] brauchen
nicht samtlich bekannt zu sein, da zwischen ihnen weitere Relationen bestehen;
es genxigen z. B. die Mengen [/ > r] fur rationales r, da
Zwischen den Mengen [/ > r] bestehen nooh die Relationen
[/>r]= ® [/>e], ^=@[/>r], 0 = Sr/>r],
(t>r r r
und der Leser wird sich leicht iiberzeugen, daB ein diesen Bedingumgen
geniigendes System von Mengen M(r) wirklich eine (und nur eine) Fiinktion
/ mit [f > r] = M(r) definiert.
Der Zusammenhang zwischen den Eigenschaften einer Fuaktion
und denen ihrer Urbildmengen wird der Hauptgegenstand dieses Kapitels
sein. Ein Ergebnis dieser Art ist uns bereits bekannt: ist / eine stetige
Funktion, so ist jede Menge [f > y] offen (in A), jede Menge [f^y]
abgeschlossen. Hiervon gilt auch die Umkehrung: wenn alle Mengen
[/ > y] und [/ < z] offen sind, so auch ihre Durchschnitte [y < f yl = [/i > y] + [/a > 2/]
(2)
[/ ^ y] = [/i ^ 2/] + [ft ^ y]
[f>y]=Ui>y'iU2>y]
I U^y'i=[fi^y]Ut^y]-
111

234 Neuntes Kapitel. Reelle Fanktionen.
Fur die Summe
/ = /x+/2
besagt f>y oder h> y — fz die Existenz einer (von der betrachteten
Stelle X abhangigen) rationalen Zahl r mit fi> r> y — f2 oder /^ > r,
/g > 2/ —- r, woraus man die erste der beiden Formeln
r
erhalt; die zweite ergibt sich durch entsprechende Behandlung von
U 2/] = f [/n > y]
^ ^ [h^y]==^Un^y],
^ n
walirend sich die mittleren Formeln (2) nicht auf unendlich viele Funktionen
iibertragen lassen. Es erscheint nach (5) nicht unpassend, die
Funktionen sup/^ mit /^, die Funktionen inf/n wiit fs zu bezeichnen.
Die obere Grenze /^^ einer Folge von Funktionen /^ ist wieder ein /^,
denn statt
g = supg^, g^ = sup/,„„
m n
kann man schreiben:
g = sup /^„ = sup [/ii, /i2, /21,. . .]
mn
mit Verwandlung der Doppelfolge in eine einfache; ebenso ist /^^ ein /

§ 41. Fcinktionen und Urbildmengen. 235
schreiben kann; die g^ sind Funktionen /^, lim/„ also ein /^^, ebenso [119]
limfn ein fsa- Die Grenzfunktion lim/^ einer konvergenten Folge ist
beides zugleich.
Im Falle gleichmafliger Konvergenz tritt eine wesentliche Vereinfachung
ein: die Grenzfunktion lim /„ einer gleichmdpig koni^ergenten Folge
ist zugleich ein f^ und /^, vorausgesetzt, daB wir die Funktionen / einem
System entnehmen, dem zugleich mit / auch / + constans angehort. Denn
wenn | 99 — /n I ^ e„, e^-^O, so ist (p = inf (/« + e„) =^ sup (/„ — g„).
Um den Aussagen fiber Urbildmengen eine bequeme Form zu geben,
treilen wir folgende Verabredung. Die Mengen M^N soUen gegebene
Mengensysteme SJJJ, ^ durchlaufen. Wenn dann [/ >*t/] fiir jedes y ein
M ist, so sagen wir: die Funhiion / ist von der Klasse (1/, *). Wenn [/ ^ y]
stets ein N ist, sagen wir: / ist von der Klasse (*, N), Wenn beides gilt:
/ ist von der Klasse (ikf, iV). Z. B. sind die stetigen Funktionen des metri- [120]
schen Raumes A von der Klasse (G, JF), wo G die offenen, F die abgeschlossenen
Mengen des Raumes -4 durcMauft, und vice versa. Wenn
insbesondere die N die Komplemente A -- M der M sind, so sind die
Aussagen gleichbedeutend: / ist von der Klasse (M^ *), — / ist von der
Klasse (*, iV).
Nehmen wir jetzt an, da6 die M wie die N einen Ring bilden (Summe
und Durchschnitt zweier M ist ein J/, Summe und Dinrchschnitt zwei^
N ist ein N), Dann konnen wir folgende Satze aussprechen:
I. Wenn die Funktionen f von der Klasse (ilf, *) sind^ so ist
max [/i, /g] und min [/i, /j] ebenfalls von der Klasse (Jf, *),
fs = inf fn von der Klasse (*, M^),
fa = sup fn und /i + /2 ^^'^ ^^^ Klasse (ilf^, *).
II. Wenn die Funktionen f von der Klasse (*, N) sind^ so ist
max[/i, f^] und min[/i, /j] ebenfalls von der Klasse (*, iV),
f„ = sup fn von der Klasse {N^^ *),
/a = inf fn und f^ + /j von der Klasse (*, iVj).
Alle diese Behauptungen folgen unmittelbar aus (2) (3) (5); nur
bei den mittleren hat man noch (1) heranzuziehen. Sind die / von der
Klasse (Jlf, *), so sind sie zugleich von der Klasse (*, M^) und /^ ist von
der Klasse (*, M^^^) = (*, M^). Sind die / von der Klasse (*, iV), so
auch von der Klasse {N^, *) und /^ von der Klasse (JV^^, *) = (iV^, *).
Wir woUen ein System von Funktionen / ein gewohnliches Funktionensystem
nennen, wenn es folgenden Postulaten genligt:
(a) Jede konstante Funktion ist ein /.
(P) Maximum und Minimum zweier f ist ein f.
(y) Summe^ Differenz^ Produkt und Quotient (mit nirgends verschwindendem
Divisor) zvi^eier f ist ein f.
279

236 Nenntes Kapitel. Reelle Fanktionen.
Wegen der Identitaten
|/| = max[/, -/]
kann die Forderung (j9) durch diese ersetzt werden: der Betrag jedes f ist ein /.
Ein gewohnliches Funktionensystem heiBe vollstdndig^ wenn es auch
noeh dem Postulat geniigt:
(d) Der Limes einer gleichmd/iig konvergenten Folge von Funktionen
f ist ein /.
Wir haben dann folgenden Satz:
III. Die Mengen M, zu denen der ganze Raum A und die Nullmenge
gehort^ sollen einen a-Ring^) bilden, ihre Komplemente N = A — M
demgemd^ einen d-Ring, Dann bilden alle Funktionen f der Klasse (M, N)
ein vollstdndiges System,
Denn (a) ist erfiillt, da A und 0 Mengen ilf, N sind; (j5) gilt, weil
nach III max [/j, /g] und min [/j, /g] von der Klasse (M^N) sind. Ferner
ist nunmehr /^ und fi + f^ von der Klasse (if/,*), fs und fi + fz ^^n
der Klasse (*, iV), also /^ + /j und der gleichmaBige Limes von Funktionen
/ von der Klasse (ilf, iV); (d) ist erfiillt. Mit der Summe ist auch
die Differenz zweier / ein /, da — / ein / ist. Das Quadrat eines / ist ein /;
denn [f > y] ist f iir y < 0 der ganze Raum, tur y^O Summe der beiden
Mengen [/ > ]ly] und [/ < — ]/y], also ein ilf; ebenso [p ^ y] ein N.
Danach ist das Produkt zweier /
/./.=m-M
ein /. Mit / 4= 0 ist 7 ein /; denn U > 2/ ist fiir a/ > 0 mit ^ < / < ^ h
welches Durchschnitt zweier M ist, identisch, fiir y = 0 mit [/ > 0],
fiir y 0] und / < - • Also -^
1 1
und ~T sind von der Klasse (M, *), 7 von der Klasse (ifef, iV). Damit
ist auch die Giiltigkeit von (y) bewiesen.
[121] 2. Erweiterung gewohnlicher Systeme. Es durchlaufe / ein gewohnliches
Funktionensystem. Sodann bedeute /* den Limes einer (iiberall)
konvergenten Folge von Funktionen /, speziell g den einer aufsteigenden
(/i ^ /2 ^ • * *)) ^^ den einer absteigenden (/i ^ /2 ^ • • •)» ^ cine Funktion,
die zugleich ein g und ein h ist. In dem Schema
f k I r*
d. h. einen Ring und ein c-System (jedes Ma ist ein M).
280

§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 237
ist jede Funktion Spezialfall der rechts folgenden; es ist iibrigens mit
-/ -k ~^ -/*
identisch. Von den auf g und h beziiglichen Tatsachen werden wir kiinftig
meist nur die eine Halfte beweisen.
Jedes g ist ein /^ = sup /„, aber auch umgekehrt, weil
sup /n = lim max [/j, /g,. . ., /„].
Zu den k (die gleichzeitig /^ und j§ sind) geh5ren insbesondere die
Limites gleichmaBig konvergenter Folgen /^. Der Limes gleichmaBig
konvergenter g„, A„, /c„ ist ein g, A, k (lim g^ ist ein g^ = g, lim 4i ein
Aj = h).
Maximum y Minimum^ Summe zweier g isi ein g. Denn weim
tnyfn aufsteigend nach g, g' konvergieren, so konYergiereiii max[^,/i]^
niin [/«,/;], /„ + /; aufsteigend nach max [g,g'l min [g,g'], g-^-g'.
Maximum, Minimum, Summe, Differenz, Produkt zweier/* ist naturlich
ein /*, aber auch der Quotient (mit nirgends verschwindendem Divisor).
1
Es geniigt zu zeigen, daB mit q>^0 auch — ein /* ist. Ist iiberall 9? > 0
und (p — lim /^, so kann man auch /« > 0 annehmen, indem man es durch
max /„, ersetzt, welches nach max [y^, 0] = 9? konvergiert, und dann
,. 1
ist (p = \\vci~r'
. ^. . 1 1 ^ ,
1st 95^0, so ist — = 95-—2 Produkt zweier /*, also [122]
ein /*.
Die /* bilden also ein gewohnliches System, aber dariiber hinaus gilt:
IV. Der Limes einer gleichmaBig koriQergenten Folge von Funktionen
/* isi ein /*; die /* bilden ein vollstdndiges System.
Zunachst bemerke man: wenn /* = lim/„ vom Betrage ^e ist,
so kann man auch | /« | ^ e voraussetzen, denn /4 — max [/^, — e]
und f^ = min [/^, e] konvergieren ebenfalis nach /*. — Nun sei F gleichmaBiger
Limes von Funktionen FQ, F^, ,.., die Funktionen /* sind; man
kann mit Beschrankung auf eine Teilfolge voraussetzen, daB jP^ von
alien folgenden um hochstens Cwt+i abweicht (M = 0, 1,...), wo
^1 + ^2 + ' • * ^i^® konvergente Reihe positiTer Zahlen ist, und demnach
schreiben
F~F^=iF^~F^}+iF^~F,)+ «^
Oder fp = ^^^ ^^^ , . .
wo die 99^ (m = 1,2,...) Funktionen /* vom Betrage ^ e^ sind; lu zeigen
ist, daB 9? ein /* ist. Nach dem oben Gesagten kann man
281

238 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
annehmen. Dann konvergiert aber
fn = fin + fzn + • • • + fnn
nach 99, womit die Behauptung bewiesen ist. In der Tat ist iur n> m
In ' v/ln + • • • + Jmn) ^^^ /m+l,n -}-•••-}- /„^
vom Betrage ^ e^^^ H h ^n < ^m, wenn 6^ == e^+i + ^^+2 + • • •
gesetzt wird; aus
/in + • • • + imn — yl erscheinen, wenn / das
betrachtete Funktionensystem und y die reellen Zahlen durchlauft, wobei
man iibrigens y fest, etwa y = 0 annehmen kann, ddif — y wieder ein / ist.
Definitionsgemafi sind die Funktionen /, g, A, A;, /* von den Klassen
{M,N), (P, *), (*,

§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 239
(B) Zu jedem M^ gibt es eine Funktion F, die Limes einer gleichmdpig
konvergenten Folge von Funktionen /, ferner in M^ positiv ist und sonst
verschwindeL
Sei ilft, = ilfi -}- ^2 + * * *' £i + ^2 + • • • eine konvergente Reihe
positiver Zahlen; man bestimme nach (A) eine Funktion /„ mit 0 ^ /„ ^ «„,
die in M^ positiv ist und sonst verschwindet. Dann ist
F = h + U+'eine
Funktion der verlangten Art.
(C) Zu jedem M gibt es ein g, das in M gleich 1 und sonst gleich 0 ist.
Wir wahlen / wie in (A), dann sind z. B.
nf
g = hm jq—^, g = hm mm [nf, 1]
Funktionen der verlangten Art.
(D) Zu jedem M^ gibt es ein g, das in M^ gleich 1 und sonst gleich 0 ist.
Ist il/

240 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
bilden demnacli ein voUstandiges System iiber dem System der /; das
kleinste voUstandige System dieser Art mu6 in ihm enthalten sein, d. b.
jede Funktion v ist von der Klasse (P, Q).
Um zu zeigen, da6 auch umgekehrt jede Funktion (p der Klasse (P, Q)
ein V ist, schicken wir voraus: falls y^ < y^^ so gibt es stets eine Funktion v
derart, daB fiir
t;==0, 0 0
und die Funktion v = —; erfiillt die gestellte Forderung ^). In der Tat
ist in den obigen drei Mengen
QiP^ P1P2 P1Q2
Vj^ = 0 v^> 0 ^1 > 0
Vg > 0 ^2 > 0 ^2 = 0
-^ = 0 0

§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 241
y-i+\Y\^ 1-12/1
wird das offene Intervall — i wieder ein v^ folglich aber auch
(8) 0 = r-^,
ein V, und der Satz VII ist bewiesen. Diese „Beschrankungstransformation",
die Ersetzung der unbeschrankten Funktion 0 durch die beschrankte
q>^ wird noch weiterhin anzuwenden sein.
VIII. Bilden die Funktionen f ein i^ollstdndiges System^ so bilden die M
einen a-Ring^ die N einen d-Ring^ und die Funktionen der Klasse (M, N)
sind mit den f identiseh.
Denn Hilfssatz (B), wo F nunmehr ein / ist, zeigi, daB jedes M„ ein
M ist. Die P, Q werden dann mit den M^ N identisch, die Funktionen v
mit den /, und der Rest der Behauptung folgt aus VII. Der Satz VIII ist
gleichzeitig die Umkehrung von III.
Die Voraussetzung der VoUstandigkeit triflt nun nach IV jedenfalls
fiir die /* zu, also:
IX. Die Funktionen der Klasse (ilf*, N*) sind mit den f* identiseh.
Suchen wir nun die Umkehrung der Tatsache, daB jedes g von der
Klasse (P, *) ist. DefinitionsgemaB gibt es zu jedem g ein f^g^ eine
Minorante f. Umgekehrt gilt nun auch:
X. Jede Funktion der Klasse (P, *), die eine Minorante f hat, ist ein g.
Sei q> von der Klasse (P, *) und 0. Auch 99 + / ist von der Klasse (P, *), wie aus (3)
vermoge P = M^ folgt, und wir konnen also mit vertoderter Schreibweise
q>> 0 annehmen. Fiir ein 0 und /i = 1, 2,... suchen wir zu der Menge
[(p> nd]^ die ein P = M^ ist, nach dem Hilfssatz (D) ein g„, das in dieser
Menge 1 und sonst 0 ist. Die iiberall konvergente Reihe
g == ^ (gl + g2 + • • •),
der en Glieder ja fiir jedes x schlieBlich verschwinden, stellt als Limes aufsteigender
g ein g dar. Ist in einem Punkt
(n — i)d < (p

242 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
und also iiberall 0 < 9? — g ^ laBt sich also durch Funktionen g gleichmaBig approximieren und ist
selbst ein g.
XL Jede Funktion der Klasse (P, *) ist Limes einer aufsteigenden Folge
von Funktionen v der Klasse (P, Q),
Fiir eine beschrankte Funktion ist dies in X enthalten. Ist 0 unbeschrankt
und von der Klasse (P, *), so machen wir wieder die Beschrankungstransformation
(7); q> ist von der Klasse (P, *) und beschrankt
(— 1 < 9? < 1), also ein g; 9? = lim f^ mit /^ ^ /g ^ • • •, wobei man
— l^fn^q> /n ^ —1-
Da also stets — 1 < -y^ < 1, so konnen wir die Funktionen
bilden, die wieder Funktionen v sind und aufsteigend nach 7~---j—r = 0
konvergieren.
Die entsprechenden Satze gelten liber die Funktionen der Klasse
(*, (2); sie sind, wenn sie eine Majorante / haben, Funktionen fe, jedenfalls
aber Limites absteigender Folgen von Funktionen v, Jede zwischen zwei
Funktionen / verlaufende Funktion v der Klasse (P, Q) ist zugleich ein g
und A, also ein k. Da also insbesondere jede beschrankte Funktion v ein k
ist, so folgt aus der Beschrankungstransformation, dafi man jede Funktion
k
V in der Gestalt . . , . mit \k\

§ 41. FuDktionen und Urbildmengen. 243
Bilden die / nur ein gewohnliches System, so ist XII auf die v anwendbar:
die v, v^, vs, «?* sind identisch mit den Funktionen der Klassen
(P, Q), (P, *), (*, Q), (Qa, P$). Dabei sind nach IX die /* mit den f*
identisch, wahrend die /, g, h (oder /, ^, /^) nur einen Teil der v, v^^ v$
bilden; die g sind identisch mit den v^j, die eine Minorante / haben; die h
mit den v,^, die eine Majorante / haben; die k (von denen wieder die / nm*
ein Teil sind) mit den v^ die zwischen zwei Funktionen / verlaufen.
Der Leser moge die bisherigen Betrachtungen noch einmal liberblicken
und sich etwa folgendes einfaches Beispiel vor Augen halten: die
/ seien die Funktionen, die nur endlich viele Werte annehmen; dann sind
die g die nach unten beschrankten, die h die nach oben beschrankten, die
k die beiderseits beschrankten, die v und /* die voUig willkiirlichen Funktionen.
DaB in der Tat jede nach unten beschrankte Funktion, etwa
9? ist /„ ^ 9? <
1
fn+-' Da /?^ < i?2„, ist fj, < f2n, die Funktionen /j, /o, f^, /g, • • • kon-
vergieren aufsteigend nach 9?. Die tibrigen Behauptungen sind ganz leicht
einzusehen. Schon die Mengen if, iVund um so mehr die P, Q^ 1/*, iV* sind
die willkiirlichen Teilmengen von A. Hiernach verfolge man die Umkehrung
der Klassensatze, z. B. dafi nicht jede Funktion der Klasse (ilf, N)
ein / ist oder da6 in X die Einschrankung, wonach die fragliche Funktion
eine Minorante / haben (d. h. nach unten beschrankt sein) soil, nicht wegbleiben
darf.
4. Einschiebungs- und Erweiterungssatz. [123]
XIII (Einschiebungssatz). Wenii g eine Funktion g, h eine Funktion k
and uberall g^h ist^ so gibt es eine Funktion k mit g^k^h.
Wir setzen zur Abkiirzung tur reelles t
(9) {t} = max[t,0] = i\t\+lt;
das ist eine stetige Funktion von ^, die nichtnegativ ist und mit w^achsendem
f zunimmt (genauer: nicht abnimmt). Sodann stellen wir folgende Betrachtung
an, auf die wir nachher (beim Beweise von XVI) noch einmal
zuriickgreifen werden. Sei
und (p^y). Es ist
9) = lim9?„, (Pi2^ '*'
y) = lim y)n, ^1 ^ y^g ^ * ' *
(10) tPi~(Pi^y)i — (p2^W2 — 92^V2 — 9z^' "y
daher auch
iWi - 9^1} ^ {^1 - (P2} ^ {W2 " 9^2} ^ {V2 - 9^3} ^ - •
16*
287

244 Neuntes Eapitel. Reelle Funktionen.
und diese Funktionen konvergieren nach {y; — 9?} = 0. Die alternierende
Reihe
(11) o)-=i- 9?i} - {fi - 9^2} + {^2 - n] - {W2 - Vz] +konvergiert
daher iiberall; wir behaupten, daB ^p^co^y. Unterscheiden
wir die Punkte mit q) = y) und (p> ip. Isi -^^ ^ y;, so ist
(^=^n-\-i > Wn^% so ist
^ = 9^1 + (Vl ~ 9^1) V (Wn — '
Um nun XIII zu beweisen, sei 9? := g, y = A; die Funktionen 9?^, y„
seien Funktionen /. Auch die Glieder und Partialsummen der Reihe co
sind Funktionen /; da die Partialsummen mit ungerader Gliederzahl eine
aufsteigende, mit gerader eine absteigende Folge bilden, ist co gleichzeitig
ein g und ein A, also ein k.
Bei dem folgenden Satz handelt es sich darum, eine in der Menge
B

§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 245
Hilfssatz (B) ZUPQ? welches ein M^ ist, eine Funktion Ao (wieder ein A*), die
in PQ positiv ist und in QQ verschwindet. Die Funktion v = . , ist
jedenfalls ein v (wegen der Beschrtoktheit aber immer noch ein k)\ in QQ
ist v = k == (p, in P© 1 '^ I < I * I ^^^^ ^^ ~ ^» ^^^^ durchweg | i; | < 1.
Ist endlich 0 in QQ definiert, von der Klasse (P, Q) und nicht beschrankt,
so machen wir die Beschrankungstransformation (7). Auf (p
treffen die vorigen Voraussetzungen zu, es laBt sich zu einem v mit
V
11; I < 1 erweitern, und 0 laBt sich zu F = T \—r erweitern, d. h.
* ' ' 1 — IVI '
zu einer Funktion v.
5. Absolute Konvergenz. Die Funktionen /* lassen sich als Summen
konvergenter Reihen von Funktionen / darstellen:
/* = lim/« - /i + (/2 ~ /i) + (/a - /2) + • • • = 9^1 + ^2 + 9^3 + • • •
Wenn wir hier statt der einfachen absolute Konvergenz fordern (d. h.
I 9^11 + I 9^2 I + • ' • soil iiberall konvergieren), so werden wir nur einen
Teil der Funktionen /* erhalten: bezeichnen wir diese Funktionen mit d,
Sie bilden wieder ein gewohnliches System, Denn zun^chst ist Summe,
Differenz und Produkt zweier d wieder ein d. Sodann ist der Betrag | d \
eines d wieder ein d] denn wegen |I i3 | — | ^ || ^ | j3 — ^ | ist mit der
Reihe /^ + (/2 — /i) + * * • auch diejenige absolut konvergent, die aus
ihr durch Vertauschung von /^ mit | /„ \ entsteht. Es ist nur noch zu be-
1
weisen, da6 mit d 4= 0 auch ^ ein d ist. Sei zunachst d = lim/„ > 0;
setzt man /^ = max /n, '^ I» welche Funktion ebenfalls nach d konvergiert,
so erhalt man, am raschesten aus der evidenten Ungleichung
max [^1, /SJ - max [oc, /3] ^ max [^^ - ^, /5i ~ jS]
die Abschatzung | /;^.i - /i I ^ I /n+i ~ /n I + (" - ^T+Jp ^^^ ^^^
daher /„ durch /^ ersetzen, also von vornherein /« > 0 annehmen. Dann
ist :v = lim 7- und i j- — ^, , ^^ zugleich mit /« . i — L das
d fn /n+l /n /n/n+1 ^ ^**^^ '
1
allgemeine Glied einer absolut konvergenten Reihe; -j ist ein d. Ist endlich
1 1
d ^ 0, so ist -1 = d • -^ als Produkt zweier d wieder ein d,
Aus der Zerlegung
folgt, dafl bei absoluter Konvergenz
289

246 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
d = :S(Pn = :S{(pn}-2{-(Pn}
Differenz von zwei konvergenten Reihen mit Gliedern ^0 ist; d. h. jede
Funktion d ist als Differenz g — g* zweier Funktionen g darstellbar, wofiir
man (mit g = ^ h\g^ = — h) auch h — h' oder g + h setzen kann: Differenz
zweier Funktionen h oder Summe eines g und eines h. (Wogegen
g -~ h == g + g^ wieder eing^h — g = h + h' wieder ein h ist.) Umgekehrt
ist klar, da6 die Funktionen g, h und ihre Summen und Differenzen wieder
Funktionen d sind. Bei Beschrankung auf absolute Konvergenz entstehen
also aus den / die Funktionen
(12) d = g-^g' = h~h'-^g + h.
Nennen wir eine reelle Funktion, deren Wertmenge isoliert ist, eine
Treppenfunktion, so gilt:
XV. Jede Funktion /*, die zugleich eine Treppenfunktion istj ist eine
Funktion d,
Dem Beweise schicken wir folgende Bemerkung voraus. Bezeichnen
wir diejenigen Mengen, die gleichzeitig M* und iV* sind, mit i?, so ist jede
Funktion 9?, die eine Treppenfunktion /* ist, von der Klasse (R, R). Denn
die Menge [(p > y] ist, wenn 0 mit [(p^y~\-d] identisch;
ebenso die Menge [

§ 42. Funktionen erster Klasse. 247
Summe endlich vieler Q, also selbst ein Q (bzw. 0, wenn kein a^ ^ y -— 1
existiert). g ist also von der Klasse (P, *) und > 0, also nach X eine
Funktion g; dasselbe gilt von g', womit XV bewiesen ist.
Die Funktionen g, A, d lassen sich durchTreppenfunktionen derselbenArt
beliebig genau approximieren, Sei g eine Funktion g, 5 > 0 und m = 0,
± 1, ± 2, • • • ; die Menge [g > md] = Pm ist ein P, Definieren wir die
Funktion go gleich md in der Menge P^_j — P^= [(m •— i) d y] ein P^, also go von der
Klasse (P, *) ist; da mit g auchgo^g eine Minor ante / hat, ist go eing
(Satz X). Ferner ist 0 ^ go — g < 5 und go eine spezielle Treppenfunktion,
die nur Werte md annimmt. Durch ebensolche Treppenfunktionen
h^ und do = go + ^o kann man die Funktionen h und d = g + h
approximieren.
Andererseits lassen sich die allgemeinen Funktionen /* durch Funktionen
d approximieren. Es gilt namlich wieder ein Einsehiebungssatz:
XVI. Sind 9?, y) zwei Funktionen /* und Uberall q>> % so gibt es eine
Funktion o) = d mit q>^ o^y).
Wir konnen auf den Beweis von XIII zuriickgreifen. Nach (6) laBt
sich jedes /* als Limes absteigender g oder aufsteigender h darstellen;
nehmen wir die y„ des genannten Beweises also als Funktionen g, die qf^
als Funktionen h an. Die Fimktionen (10) sind wieder Funktionen g und
bleiben es bei EinschlieBung in geschwungene Klammern, da max [g, 0]
ein g ist. Weil wir jetzt die scharfere Voraussetzung (p> ip (nicht 0 konstant)
an, so folgt: jede Funktion /* Idpt sich durch Funktionen d und daher
auch durch Treppenfunktionen d beliebig genau approximieren. Sie laBt
sich daher auch durch eine absolut konifergente Reihe mit Gliedern d darstellen,
d. h. bei Beschrankung auf absolute Konvergenz erreichen wir von
den / aus die /* in zwei Schritten, iiber die Zwischenstufe der d,
§ 43. Funktionen erster Klasse.
1. Einfuhrung. Wir nehmen denRaum^ als metrisch an und identifizieren
die Funktionen / des vorigen Paragraphen mit den stetigen Funktionen;
da sie ein vollstandiges System bilden (der gleichmafiige Limes
291

248 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
einer Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig), so tritt der dortige Satz
XII in Kraft. Die M sind mit den offenen Mengen G, die N mit den abgeschlossenen
Mengen F des Raumes identisch (§ 22, III). Also:
I. Die stetigen Funktionen f und die Grenzfunktionen g, A, /* aufsteigender,
absteigender, konifergenter Folgen (^on stetigen Funktionen sind
mit den Funktionen der Klassen (G, i^), (G, *),(*, i^), (i^^, G^) identisch.
Die/* werden d]&Funktionen der ersten (B air eschen) Klasse bezeichnet,
was in § 43 auf hohere Klassen ausgedehnt werden wird. Die Funktionen
[124] der Klassen (G, *), (*, F) heiBen halbstetig^ und zwar die der Klasse (G, *)
unterhalb stetig, die der Klasse (*, JF) oberhalb stetig\ diese Namen sollen
sogleich erlautert werden. Mit Riicksicht darauf, dafl hier die Mengen JP, Q
mit den J/, N und die Funktionen k mit den / zusammenfallen, nehmen
Einschiebungs- und Erweiterungssatz die Form an:
II. Ist g unterhalb stetig, h oberhalb stetig und uberall g^h^ so gibt es
eine stetige Funktion f mit g^f^h.
III. Eine in der abgeschlossenen Menge F definierte stetige Funktion
lupt sich zu einer im ganzen Raume A stetigen Funktion erweitern.
Die Bezeichnungen „oberhalb und unterhalb stetig" (nach oben, nach
unten halbstetig) ruhren davon her, da6 die Stetigkeitsbedingung hier in
zwei Halften gespalten wird. Eine Funktion j{x) ist an der Stelle a stetig,
wenn es fiir jedes a > 0 eine Umgebung Ua gibt, fur deren Punkte xeVa
\i(x)~f(a)\ 0 eine Umgebung C/^ existiert, in der
f{x)~f{a) -a,
so heifit fix) im Punkte a unterhalb stetig, Zur Veranschaulichung bemerken
wir, dafi man z. B. aus einer stetigen Funktion durch VergroBerung (Verkleinerung)
des Funktionswertes f(a) allein, ohne Anderung der umgebenden
Werte /(a:), eine oberhalb (unterhalb) stetige Funktion erhalt. Ist
/(a) = ± 1, sonst uberall f(x) = 0, so ist f{x) im Punkte a i^^^^^n^ stetig.
Ist f(x) oberhalb stetig, so ist — f(x) unterhalb stetig.
Ist f(x) an der Stelle a unterhalb stetig, so ist a innerer Punkt jeder
Menge [/ > y], der er angehort, und nee ^ersa. Denn ist /(a) > y, und wird
0 < a < f{a) — y gew^lt, so ist in einer gewissen Umgebung Ua noch
f(x) > f(a) — a> y, a innerer Punkt von [/ > y]. Ist umgejcehrt die
genannte Bedingung erfiillt, so ist a innerer Punkt von [/ > f(a) — a]
fiir jedes or > 0 und es gibt eine Umgebung U^^ in der f{x) > f(a) ~ o*, f(x)
ist in a unterhalb stetig. Danach folgt: damit f(x) an jeder Stelle unterhalb
stetig sei, ist notwendig und hinreichend, dafi jede Menge [/ > y]
292

§ 42. Funktionen erster Klasse. 249
offen sei. Und fiir eine oberhalb stetige Funktion /, d. h. eine unterhalb
stetige — /, ist notwendig und hinreichend, dafi [/ < y] offen, [/ ^ y]
abgeschlossen sei. Damit ist die Bezeichnung „unterhalb, oberhalb stetig"
fiir die Funktionen der KJassen (G, •), (*, J^) erklart. Diese Funktionen
sind von R. Baire eingefiihrt worden, der auch zuerst bewiesen hat, daP
jede unterhalb stetige Funktion Limes einer aufsteigenden Folge stetiger
Funktionen, d. h. in unserer Bezeichnung jede Funktion der Klasse (G, *)
ein g ist. Der umgekehrte SchluB, da6 jedes g von der Klasse (G, *) ist,
gilt hier iibrigens in viel weiterem Umfange, als es allgemein der Fall ist;
nicht nur die obere Grenze abzahlbar vieler, sondern beliebig vieler stetiger
oder unterhalb stetiger Funktionen
g = sup g^
ist noch unterhalb stetig, da Ja
als Summe offener Mengen wieder offen ist (an Jeder Stelle x soHen natfirlich
die gn(x) nach oben beschrankt sein). Man betrachte z. B. zu einer
willkiirlichen Funktion q) die unterhalb stetigen Minoranten g; wenn
es (iberhaupt solche gibt, so ist unter ihnen eine groBte, namlich die obere
Grenze aller. Entsprechendes gilt fiir oberhalb stetige Funktionen.
Man wird den Satz I vielleicht durch eine Konstruktionsvorschrift
erganzt wiinschen, nach der die Funktionen der Klassen (G, *), (*, F),
(F^, G$) wirklich als Grenzfunktionen aufsteigender, absteigender, konvergenter
Folgen von stetigen Funktionen darstellbar sind. Solche Vorschriften,
gliltig fiir den allgemeinen Fall beliebiger Ausgangsfunktionen /,
sind natiirlich in den Beweisen der umgekehrten Klassensatze (§ 41,3)
enthalten; es fragt sich nur, ob sie sich hier nicht vereinfachen lassen- Fiir
den Baireschen Satz, dafi eine unterhalb stetige Funktion 9? Limes aufsteigender
stetiger Funktionen ist, lafit sich in der Tat ein iiberaus einfacherBeweis
geben, wenigstens wenn (p nach unten besclM'ankt,etwa (man erhalt f{x) ^ f{x)y indem man z = x wahlt). Fiir sKwei
Raumpunkte x, y ist

250 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
f^(x) = inf [(p(z) + n. xz]
eine aufsteigende Folge mit /^ ^ 9?, also g == lim /^ ^ 99; wir zeigen, da6
auch g ^ 9?, also g == 99 ist. Wahlen wir bei vorgeschriebenem a > 0 den
Punkt z^so, da6
/n(^)> 9^(^71) + ^-a;z„~or,
so ist (wegen 9? ^ ^, 9)^0), 99(0;) > n-rcz^ — o", also rrz^^-> 0; dann
ist aber schlieBlich, weil 9? unterhalb stetig ist,
?>(2n) > 9^(^) - Cr, /n(^) > ^{^) - 2(7,
also %(x) ^ 9?(^).
2. Beispiele von Funktionen erster Klasse. Nachst den unterhalb
stetigen Funktionen g und den oberhalb stetigen Funktionen U sind die
Funktionen
rf = g + A = g-g'-A-A'
bemerkenswert, die wir allgemein in § 41, 5 besprochen haben; sie entstehen
durch Summation absolut konvergenter Reihen von stetigen Funktionen.
Jede Funktion erster Klasse laBt sicli durch Funktionen c?, insbesondere
durch Treppenfunktionen d beliebig approximieren.
Jede Funktion mit hochstens abzdhlbar i^ielen Unstetigkeitspunkten
ist i^on erster Klasse, Sei C die Menge der Stetigkeitspunkte, D die Menge
der Unstetigkeitspunkte von /; M sei die Menge [/> y]^), Wenn nun
xsMC^ so besteht die Ungleichung i> y auch noch in einer gewissen
Umgebung von re, also MC^M^^ MD^M^, Ist D hochstens abzahlbar,
so auch J/^, und M = Mi + M^ setzt sich aus einer offenen und
einer hochstens abzahlbaren Menge zusammen, ist also ein JF^. Da fur
U ^{x) =
lim 71 [9? ( a; H— j — (p(x)] erwahnenswert; andererseits dieFunktionen/(::c),
bei denen liberall die rechts- und linksseitigen Grenzwerte f(x + 0), f{x — 0)
vorhanden sind (so insbesondere die monotonen Funktionen und
deren Summen und Differenzen: die Funktionen beschrankter Variation).
Diese Funktionen mit einseitigen Grenzwerten haben, wie
eine leichte tJberlegung lehrt, hochstens abzahlbar viele Unstetigkeitspunkte,
sind also in der Tat von erster Klasse: iibrigens sind sie sogar
Funktionen d. Da namlich j{x + 0) als Funktion von x dieselben einseitigen
Grenzwerte hat wie /(rr), und max[/(a;), g(a:)] den rechtsseitigen
Grenzwert max[/(a; + 0), g{x + 0)] hat, so gilt fiir die Funktion
^) Wir lassen die Einschrankung, daB der Buchstabe / immer eine stetige
Funktion bedeuten soil, jetzt fallen.
294

§ 42, Funktionen erster Klasse. 251
^(a:) = max[/(a;), f(x + 0), /(a; - 0)]
(p(x ±0) = fix ±0)^q)(x), (p(x) ist oberhalb stetig; ebenso ist
y>(x)^mmmx), f(x + 0), fix ^ 0)]
unterhalb stetig; q> + tp ist eine Funktion d, Ersetzt man hierin f(x)
durch
f{x + 0), f(x + 0)-^f(x), f{x~-0)-~f(x),
so ergeben sich
/(^ + 0)+/(^-0), f(x + 0)-f(x), f(x-0)-^f(x)
als Funktionen d, durch lineare Kombination also auch f(x) selbst.
3, Stetigkeitspunkte, Ist zunacbst / eine beliebige im Raume A definierte
reelle Funktion, so sei C die Menge ihrer Stetigkeitspunkte,
D = A •— C die ihrer Unstetigkeitspunkte. C ist ein G^^ D ein F^ (bezogen
auf den Raum ^). Denn die Stetigkeit laBt sich auch so charakterisieren:
f(x) ist an der Stelle a dann und nur dann stetig, wenn es zu jedem
or > 0 eine Umgebung U^ gibt, fiir deren Punkte x^ y immer
\f{x)-ny)\ 0 oder auch
C = C(l)C(i)C(i).-.,
C ein Gs (W. H. Young).
Das eine Extrem bilden die (iiberall) stetigen Funktionen mit C == -4,
2) = 0, das andere die iiberall unstetigen mit C = 0, D = A; eine solche
ist z. B. die sogenannte Dirichletsche Funktion der reellen Variablen x,
die fiir rationales x gleich 1, fiir irrationales gleich 0 ist. Den stetigen
Funktionen am nachsten stehen die Funktionen, fiir welche C in A dicht
ist; man nennt sie nach H. Hankel punktweise unstetig (oder besser:
hochstens punktweise unstetig, unter Hinzurechnung auch der stetigen
Funktionen). Nach S. 144 ist dann D, als i^

252 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen,
Weiter sei /„-^/ eine iiberall (in A) konvergente Funktionenfolge;
fragen wir, unter welchen Umstanden man aus der Stetigkeit der /» auf
die der Grenzfunktion schliefien kann. Wir sagen, daB die Folge im Punkte
a uniform konvergiert, wenn es zu jedem cr > 0 eine natiirliche Zahl m
und eine Umgebung Ua gibt derart, dafi
(1) \Ux)-f(x)\

§ 42. Funktionen erster Klasse. 253
Menge, F^ ist deren Durchschnitt fiir TI = m + 1, m + 2,..., also wieder
abgeschlossen. Wegen der Konvergenz der Folge erfiUlt jeder Punkt x
die Ungleichungen (2) fiir hinreichend groBes m, und es ist also
(3) A=F^ + F^+''^
Andererseits, wenn a innerer Punkt von JF^ ist, also die Ungleichungen
(2) und die fiir n-^ co daraus folgende
\f(x)-f^(x)\^a
nicht nur fiir x = a^ sondern in einer gewissen Umgebung (xeUa) bestehen,
so gehort a der vorhin genannten Menge G(a) an, also
(4) G((r)§i^i< + F2i+---
Hieraus folgt: wenn G(a) = 0, so ist jedes F^i = 0, F^ als abgescMossene
Menge ohne innere Punkte in A nirgends dicht und nach (3) A von erster
Kategorie in sich. Umgekehrt also: ist A ein Ajj^ so ist Jedes G{&) :> 0.
Weiter: ist A eine Gn-Menge (S. 143), also jede {in A) offene Menge
G r> 0 in sich von zweiter Kategorie, so betrachten wir die auf G eingeschrankten
Teilfunktionen /n(^ IG), f{x\G); das vorhin genannte
G{cf) ist dann durch GG(a) zu ersetzen. Wir finden also: iwt G^O ist
GG(a) :> 0, d. h. G(a) ist in A dichL Das abgeschlossene Komplement
F(a) dieser Menge ist also in A nirgendsdicht, die Menge
D = F{1) + F(^) + F(l)+'''
der Unstetigkeitspunkte von / ein ^i, die Menge C der Stetigkeitspunkte
in A dicht und ein An, So haben wir den Satz^) gefunden:
V. Ist der Raum A eine G^-Menge (d. h. jede offene Menge G r^ 0
von zweiter Kategorie in sich oder in A)^ so ist jede Funktion erster Klasse
hocfistens punktweise unstetig, die Menge ihrer Stetigkeitspunkte in A dieht.
Das trifft also insbesondere zu, wenn A eine Youngsche Menge,
speziell ein voUstandiger Raum ist. So kann, wenn A die Menge der reellen
Zahlen ist, eine Funktion erster Klasse nur punktweise unstetig sein; die
( JL T*fltionfliP^ t
= rt fiir . . , xl ist nicht von erster
U irrationales /
Klasse, wohl aber ist sie von zweiter Klasse (§43), d. h. limes von
Funktionen erster Klasse, wie die Formel
f{x) = lim lim (cos ml jtx)^
m n
zeigt.
Der Satz V versagt, wenn die Voraussetzung iiber A nicht zutrifft.
In der abzahlbaren Menge A = (a^, %, -.»} von reellen Zahlen ist jede
Funktion von erster Klasse, da man, bei willkiirlich vorgegchFiebenen
bn == f(an)^ immer eine stetige Funktion /„(a:), z. B. ein Polynom, so
bestimmen kann, da6 fnicti) == b^ - --, fn{(hi) =^ h, also /«-*/. 1st A
*) Vgl. hierzu § 45, 3.
297

254 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
die Menge der rationalen Zahlen und etwa f(x) = l oder 0, je nachdem
X dyadisch rational ist oder nicht, so ist / iiberall unstetig.
Von einer glatten Umkehrung des Satzes V in dem Sinne, dafi punktweise
unstetige Funktionen auch von erster Klasse seien, kann schon aus
Machtigkeitsgriinden keine Rede sein. Ist A etwa die Menge der reellen
Zahlen, so gibt es nur ^^ stetige Funktionen und ^^"^^ = x Funktionen erster
Klasse; es gibt aber K^ = 2^ punktweise unstetige Funktionen. Denn ist D
eine perfekte nirgendsdichte Menge (von der Machtigkeit X), C ihr offenes,
in A dichtes Komplement, so ist jede Funktion, die in C verschwindet,
in D nicht verschwindet (also in xeC stetig, in xeD unstetig ist), punktweise
unstetig. — Wenden wir aber V auf die in f(x) — f{x\ A) enthaltenen
Teilfunktionen f(x \ B) an, die ja wieder in ihrem Raume B Funktionen
erster Klasse sind; ist B eine Cii-Menge, so liegen die Stetigkeitspunkte
der Teilfunktion (die nicht Stetigkeitspunkte der Gesamtfunktion zu
sein brauchen) in B dicht. Dies gilt insbesondere, wenn A eine i^ij-Menge
(S. 143) und B in A abgeschlossen, also wieder eine J^n-Menge ist, so daB
wir aus V folgern konnen:
VL Ist der Raum A eine Fn-Menge (d. h. jede abgeschlossene Menge
i^>0 in sich von zweiter Kategorie), / eine Funktion erster Klasse^ so
enthdlt jede (in A) abgeschlossene Menge F:::^Q mindestens einen Stetigkeitspunkt
der Teilfunktion f(x \ F).
Hierzu gilt nun folgendes Gegenstiick:
VII. Ist der Raum A separabel^ f eine in ihm definierte Funktion,
und enthdlt jede (in A) abgeschlossene Menge i^ > 0 mindestens einen Stetigkeitspunkt
der Teilfunktion f(x \ F), so ist f von erster Klasse.
Wir haben zu beweisen, daB / von der Klasse (Fc^ G^) ist, d. h. daB
alle Mengen B ~ [f> y^ und C = [/ < 2] Mengen F^ sind. Betrachten
wir zwei solche mit y < z, so daB A = B + C, Nun sei i^ > 0 abgeschlossen,
a ein Stetigkeitspunkt von f(x \ F), Wenn aeB, f(a) > t/, so
gibt es also eine Umgebung Ua derart, daB in FUa auch noch f>y^ d. h.
FUa^B ist; ebenso gibt es fiir asC eine Umgebung mit FUa^C, und
mindestens einer dieser Falle tritt ein (sogar beide, wenn aeBC), Setzen
wir F — FUa = i^i, so folgt also: jede abgeschlossene Menge F^O enthdlt
eine kleinere abgeschlossene Menge F^cz F derart, da[i die Differenz F — F^
entweder in B oder iji C enthalten ist, Ist noch i^\ > 0, so erhalten wir
ebenso eine Menge F^ < i^i, und mit transfiniter Fortsetzung dieses Verfahrens
defmieren wir fiir alle Ordnungszahlen | < i2 die abgeschlossenen
Mengen F^ in der uns gelaufigen Weise, namlich (auBer FQ = F): ist i^^>0,
so sei F^^i eine Menge

§ 42. Funktionen erster Klasse. 255
Da der Raum separabel sein soli, so gibt es (§ 30, IV) eine kleinste
Menge -F^ = -F^+i = ^tj+2 = • • •; sie muB der Konstruktion zufolge Null
sein, und damit ist F =,2 D^ in hochstens abzahlbar viele Summanden
gespalten, die g B oder g C und xiberdies, als Differenzen abgeschlossener
Mengen, spezielle Mengen F^ sind, Vereinigt man wieder die zu B und
die zu C gehorigen Summanden, so erhalt man eine Spaltiing F =^ Y + Z
in zwei disjunkte Mengen i^^ mit YgjB, ZgC; insbesondere gestattet
der ganze Raum eine solche Spaltung A = Y + Z,
Nun endlich halten wir y fest, wahrend z eine Folge Zi > Zg > • •
mit Zn-*y beschreiben moge. Zu B = [f> y] und Cn = [f < Zn] bestimmen
wir eine Spaltung des Raumes A = Yn + Z^ in zwei disjunkte
Mengen Fa mit Y^^B, Z^^Cn* Sei
man findet C = [f ^y]^ A - B. Aus A=-B + C=Y-hZ und
YSB^Z^C folgt dann y = J9, JZ = C; d. h. die Menge J5 - [/> 2/]
ist ein F^* Dasselbe gilt natiirlich von den Mengen [/ < z] und damit
ist VII bewiesen.
Aus VI und VII ergibt sich:
VIII. (Theorem von R. Baire). Ist der Raum A eine separable [125]
Fii-Menge, so ist die in ihm definierte Funktion f dann und nur dann von
erster Klasse, wenn jede (in A) abgeschlossene Menge F^O mindestens
einen Stetigkeitspunkt der Teilfunktion f(x\ F) enthdlt.
Man kann hierin das Wort abgeschlossen ohne weiteres durch perfekt
ersetzen, da ein isolierter Punkt von F eo ipso Stetigkeitspunkt von j(x | /'')
ist.
5. Anwendung des Baireschen Theorems. Es sei A die Menge der
reellen Zahlen, f(x) also reelle Funktion der reellen Variablen re; in der
Ebene E mit rechtwinkligen Koordinaten rr, y betrachten wir die durch
y = f(x) definierte Menge („Kurve") C, Wir bezeichnen die Punkte der
Ebene mit z = (x, y), die von C mit z = ix^ f(x)) = (p(x). Fragen wir,
wann C zusammenhdngend ist. Dazu ist lolgende Bedingung jedenfalls
notivendig:
(oc) Jeder Punkt von C ist Hdufungspunkt von links und rechts^ d. h.
zu jedem x gibt es eine Folge x^ < x mit q>(Xn) -^ q)(x) und eine ebensolche
Folge x^ > x.
Denn spalten wir durch x XQ die Menge C in C^, Co, wo C^
in C abgeschlossen ist, so muB, damit keine Zerstiickeiung eintrete, Cj
einen Haufungspunkt in C.^ haben, der offenbar kein anderer als

256 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
I St aber f(x) {>on erster Klasse, so ist (oc) audi hinreichend.
Nehmen wir an, C == C^ -\- C^ sei in zwei relativ abgeschlossene
Mengen zerstiickelbar; das liefert auf die rc-Achse projiziert
A = A^ + A^=^G^ + G^ + F,
wo Gi = Aii, G2 = ^2h ^ = ^ia^2«^0 gesetzt ist ^). Nach VI hat
die Teilfunktion f(x | F) einen Stetigkeitspunkt a;, etwa xsA^, Dann
kann x nicht Limes von Punkten rr^e^g-^ sein, da sonst q)(x)ECi Limes
von Punkten q)(Xn)eC2 ware; es gibt also eine zu A2F disjunkte Umgebung
U von X, Dann kann U nicht auch noch zu Gg disjunkt sein, da doch x
(X-Punkt von A2 = A2F -}- G2 ist, also ist UG2^0. Dies aber geht wegen
der Bedingung (oc) nicht. Denn ist das offene Intervall (a, b) eine Komponente
der offenen Menge UG2 re, fix^) > y> /C^)?
so miiBte / zwischen x^ und x an einer Stelle |^ den Wert y annehmen;
das gabe /(|„) = y, ^n-^x und der von

§ 43. Bairesche Funktionen. 257
von Kl, also umgekehrt (§35, III) auch K^ schlichtes stetiges Bild von
[a, 6], d, h. eben: f(x) ist in [a^b] stetig, im oben angegebenen Sinne.
Denanach ist C dann und nur dann diskontinuierlich (in £), wenn
die Unstetigkeitspunkte von f(x) in A dicht liegen. Und C ist zugleich
zusammenhangend und diskontinuierlich, wenn f(x) Funktion erster Klasse
ist, die Bedingung (oc) erfiillt und ihre Unstetigkeitspunkte in A dicht
liegen. Eine solche Funktion ist leicht zu bilden. Die durch
a(x) = &m- (^4=0), (j(0) = 0
erklarte Funktion ist nur an der Stelle x = 0 unstetig, erfullt aber auch
dort die Bedingung (a)j da ori~| = cr(—— 1 =0 twt n = i^2,3,...,
Ist (rj, Tg, /"a ...} die Menge der rationalen Zahlen, c?i + ^2 + ^"3 + • -
eine konvergente Reihe positiver Zahlen, so ist, wie aus der gleichmaBigem
Konvergenz leicht folgt, die Funktion
f(x) = 2c^a(x — rj
nur an den rationalen Stellen unstetig, erfullt aber auch dort die Bedingung
((X) und ist Funktion erster Klasse (weil sie nur abzahlbar viele
Unstetigkeitsstellen hat).
§ 43. Bairesche Funktionen.
1. Bairesche Systeme* Wir betrachten reelle Funktionen, die samtlich
in demselben Raume A (der zunachst eine reine Menge sein kann)
definiert sind. Bin System solcher Funktionen / heifit ein Bairesches
System^ wenn der Limes jeder konvergenten Folge von Funktionen f meder
dem System angehort. t)ber einem gegebenen System 0 von Funktionen /
gibt es Bairesche Systeme (z. B. das aller in A definierten Funktionen)
und ein kleinstes solches (den Durchschnitt aller Baireschen Systeme
S0); die Funktionen dieses Systems heiJJen die von den / erzeugten
Baireschen Funktionen. Wir konnen sie zunachst in folgender Form darstellen,
der S. 84 bemerkten Darstellung Borelscher Mengen entsprechend.
Wir betrachten, indem wir i, A, i,,.. die naturlichen Zahlen durchlaufen
lassen, alle Funktionen der Gestalt
g = limg,., gi = limg,«fe, gi* = Hp g^^^i,... [126]
mit der Vorschrift, daB fur jede Folge naturlicher Zahlen i^ A, I,... in
der Folge der Funktionen g^, g^^^, g^^^i,... schlieBlich lauter Funktionen
/ auftreten soUen. Diese Funktionen g sind mit den von den / erzeugten
Baireschen Funktionen b identisch. Denn einerseits bilden die g offenbar
ein Bairesches System iiber 0^ so daB jedes b ein g ist. Andererseits ist
auch jedes g ein &; ware g kein J, so ware auch mindestens ein g^, dann
Hausdorff, Mengenlehre. 17
301

258 Neimtes Kapitel. Reelle Funktionen.
ein gije, ein gn^j usw. vorhanden, das kein b ist, i«i Widerspruch dazu,
daB in der Folge dieser Funktionen schliefilich lauter Glieder / auftreten.
Dieser Darstellung ist wiederum eine sukzessive Konstruktion vorzuziehen.
Zu den Baireschen Funktionen gehoren die Funktionen /
selbst, die Funktionen /^ == lim Z^, die Funktionen p = lim /J usw. mit
endlicher oder unendlicher Wiederholung, die aber nicht iiber die Ordnungszahlen
| < i2 hinaus erstreckt zu werden braucht. Bei der induktiven
Definition der /^ empfiehlt es sich, um ein moglichst glattes SchluBergebnis
zu erzielen, folgendermafien vorzugehen (ein voUstandiges Funktionensystem
ist S. 236 erklart):
Die P sind die Funktionen eines vollstdndigen Anfangsystems 0^;
die /^+-^ sind die Limites konvergenter Folgen i^on Funktionen f;
die P (rj Limeszahl) sind die Funktionen des kleinsten ifollstdndigen
Systemsy dem alle Funktionen /^(| < t?) angehoren,
Demnach folgen z. B. auf die Funktionen /^, /^, Z^,. . . mit endlichen
Indizes | als Funktionen f^ noch nicht die Limites konvergenter Folgen
von Funktionen /% sonderji erst die Funktionen des kleinsten voUstandigen
Systems iiber den / , diese Abweichung von der sonst iiblichen, auch
in § 30, 2 provisorisch angenommenen Bezeichnung rechtfertigt sich durch
die bessere tlbereinstimmung der Funktionen- und Mengenindizes, wie
wir sehen werden. Denn die f bilden nun fur jeden Index ein voUstandiges
System (nicht nur die /^+^, § 41, IV) und damit sind, wie wir
wissen, Vereinfachungen verbunden.
Jedes /^ ist ein spezielles f^ fiir ^ ^, Eine Funktion gehort genau zur Klasse f, wenn
sie dieser, aber keiner friiheren Klasse angehort.
Wir defmieren ferner:
g^ = Limes einer aufsteigenden, h^ = Limes einer absteigenden
Folge von Funktionen f;
auBerdem fiir eine Limeszahl rj
g,j == Limes einer aufsteigenden, A^ == Limes einer absteigenden
Folge von Funktionen fH^

§ 43. Bairesche Funktionen. 259
I. Die Funktionen r,g,h'^ sind mil denen der Klassen {M\N^)^
(M^,*), (*,iV^) identisch.
AuBerdem sind^die Funktionen /^"^^ (die damaligen /*) mit denen der
Klasse (iV^, M^) identisch; das gibt also
(2) ilf^+i = iV|, #+i = lf|.
Ferner sei rj Limeszahl; wir identifizieren die damaligen / mit den Funktionen
/^ aller Klassen f < 77. Die M sind jetzt die J¥% die N sind die N^;
die P, Q aber sind die M^^ N*^, da 3a die Funktionen f^ jetzt die Rolle der
damaligen v spielen. Wir schlieBen also aus P = Ma, Q = N^:
.ry. ( M^ == Summe einer Folge von Mengen M^ (| < rj)
^ \ iV? = Durchschnitt einer Folge von Mengen N^ (rj Limeszahl).
Dabei sind, wie aus den Bemerkungen zum Satz XII in § 41, 3 hervorgeht,
die Limites konvergenter Folgen von Funktionen f mit den /^"^^
identisch; die g^j sind diejenigen g*^, die eine Minorante f haben; die A,
diejenigen A*?, die eine Majorante f haben; die k^j (die zugleich g^ und h^
n
sind) diejenigen Z*^, die zwischen zwei Funktionen f verlaufen. Die p sind
die Quotienten zweier k^, — Dagegen sind die k^ (die zugleich g^ und h^
sind) stets mit den /^ identisch.
Die Formeln (2)(3) bestimmen die M^,N^ induktiv, ausgehend von
den Mengen M^ = [/^ > y], N^ — [/® ^ y] des Ausgangssystems. Lassen
wir den oberen Index 0 weg, so hat man also
M^= M N^ = N
(4)
M^ = Nl - M^, m = M} - N,^
M^ = iV| = N,so m = Ml^ MsaS
M^ = (S M'"" N^ = % iV^" (h < 01)
Wir no tier en noch den Einschiebungs- und Erweiterungssatz:
II. 1st g^ ^ A^, so gibt es eine Funktion f mit g '^f ^ h/^
Fiir Limeszahlen rj tritt noch hinzu: ist g^ ^ A,^, so gibt es eine Funktion
kyj mit g^'^kfj'^ h^,
III. Ist N eine Menge iV^, so Id/it sick eine in N definierie Funktion
if on der Klasse (M'^, N") zu einer im ganzen Raume definierten Funktion f
erweitern,
2. Die Baireschen Funktionen des Raumes.
Wahlt man insbesondere als Ausgangsfunktionen p == f die im (metrischen)
Raume A stetigen Funktionen, so heifien die von ihnen erzeugten
Baireschen Funktionen die Baireschen Funktionen (oder die analytisch
darstellbaren Funktionen) des Raumes A. Die Funktionen M^ N sind hier [128]
17*
303

260
Neuntes Eapitel. Reelle Funktionen.
die G, F, und die M^, N^ warden die Borelschen Mengen des Raumes A;
nach der Definition der 6^,F^ (§ 32 («)(j8)) folgt aus (4)
Mo = G = Go No = F = F'>
M^ = F„ = F^ m = Gs = G^
M^ = Gs„ = G^ m = F„x = F^
(5)
M' = F„So = F^
M-'^G"
und allgemein
,^ I i¥^ = G^ iV^ = F^ (I gerade)
^^^ \M^ = F^, # = G^ (I ungerade).
[129]
Man bemerke hierbei, daB es fiir eine Limeszahl ri ganz gleichgultig ist,
ob man M^ als Summe von Mengen M^ oder N^ oder G^ oder JF^(| < TJ)
auffaBt, da ja jedes M^ ein spezielles iV^+^ usw. ist.
IV. Die Baireschen Funktionen des Raumes A sind identisch mit den
Funktionen der Klasse (B^ B)^ wo B die Borelschen Mengen des Raumes A
durchldufU
Denn jede Bairesche Funktion ist von der Klasse (B^B), Ist umgekehrt
/ von der Klasse (JB, B)^ SO betrachte man fiir rationales r die
abzahlbar vielen Borelschen Mengen [/ > r], [/ ^ r] und wahle die Ordnungszahl
^ so groB, daB alle diese Mengen zugleich G^ und F% also zugleich
M^ und N^ sind. Dann ist fur jedes y
{f>y} = @ [f>r]
ein Mi = M^ und
r>y
r

§ 43. Bairesche Funkdonen. 261
(z. B. voUstandig ist und einen insichdichten Kern :::> 0 hat), ein verschwindend
kleines Teilsystem im System aller (i

262 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
dann auch fiir alle abgeschlossenen. Sei namlich
abgeschlossen, Fj > 0 der isolierte, F^ der separierte Teil, Fj^ der insichdichte
(perfekte) Kern, F^ die Ableitung. Die Ableitung Fjp^F^ des
isolierten Teils ist in JF nirgends dicht (ihr Komplement F — Fj^^ Fj ist
in F dicht, da seine abgeschlossene Hiille ^ Fj^, + (JF — F^p) = F ist),
also ein J^i; sie besteht aus F^ — F^ und denjenigen Punkten von JP^., die
Haufungspunkte von F^ sind. Da nun vorausgesetztermaBen j{x \ Fjg)
bis auf Mengen erster Kategorie stetig ist, so gibt es eine Menge Z), von
erster Kategorie in Fj^ und erst recht in F, derart, da6 f(x\F]^ — D) stetig
ist. Entfernen wir nun aus J^ die Menge erster Kategorie F^^ + D, so
bleibt F^ + C liibrig, wo f(x\C) stetig ist und C keinen Haufungspunkt von
Fj enthalt; infolgedessen ist auch f(x \ Fj + C) in den Punkten von C und
natiirlich auch in den (isolierten) Punkten von Fj stetig, d. h. f{x \ F) bis
auf Mengen erster Kategorie stetig. (Im Falle -Fi = 0 ist i(x\F^) stetig,
Fp ein Fi).
[130] Wir zeigen nun nach N. Lusin: es kann (im Raum A der reellen
Zahlen) fiir jede perfekte Menge P > 0 /(a; | jP) bis auf Mengen erster
Kategorie stetig sein, wahrend / keine Bairesche Funktion ist. Wir konstruieren
namlich eine unabzdhlbare Menge L derart, daB LP stets ein Pj
ist. Dies als geschehen vorausgesetzt, sehen wir: L ist keine Borelsche
(auch keine Suslinsche) Menge, sonst miiBte sie eine perfekte Menge
P::=>0 enthalten und LP = P ware ein Pjj. Die charakteristische Funk*
tion / von L (= 1 in L, = 0 in ^ — L) ist also keine Bairesche Funktion,
wahrend doch stets f(x | P) bis auf Mengen erster Kategorie stetig, namlich
f{x\P - LP) = 0 stetig ist.
Um eine solche Menge L zu bilden, betrachten wir Folgen natiirlicher
Zahlen v _ /^ .« ^ \
und definieren X < Y (X „finar' kleiner als 7), wenn schlieBlich, fiir
h ^ ^0, Xn < y^ ist; die kleinste Zahl /i^, wofiir dies der Fall ist, werde mit
n{X^ Y) bezeichnet. Diese Relation ist transitiv: wenn X < Y, Y < Z,
ist auch X < Z und zwar offenbar
n(X, Z) ^ max [n(Z, 7), n(Y,Z)].
Es gibt zu jeder endlichen oder abzahlbaren Menge von Zahlenfolgen
X, 7, Z,... eine final groBere U; man braucht ja nur
Ui > oJi, ii2 > max [^2,2/2], W3 > inax [x^, ^3, 23], ...
zu wahlen. DemgemaB kann man eine Menge von Zahlenfolgen
XQ < Xi < • • • < J^ < • • • vom Typus £2 konstruieren.
Andererseits ordnen wir jeder Zahlenfolge X den Kettenbruch
306

§ 43. Bairesche Funktionen. 263
zu (t irrationale Zahl zwischen Q und 1), den obigen Folgen X| die Zahlen t^
(I < JQ). Dann hat die Menge L = {^o» h^.. ., ^o,,.. .} die geforderten
Eigenschaften.
Schreiben wir kurz n^jj fiir n(X^j Xfj)(S < rj) und bemerken: wenn
eine Folge von Zahlen tjj nach t^ konvergiert, so strebt die Anzahl der
gemeinsamen Anfangsziffern beider Kettenbriiche und folglich auch nt^j
nach 00. Wir wahlen nun ein i^ > 0 und setzen
M = {to,..., «^}, iV = {^^+1, t^^o,.. .},
L = M + N; ferner spalten wir die Menge N der Zahlen i^ (c^> tj) in
iV = iVi + iVg + • * ^ wo iVn die Menge der t^ mit n^^ = n ist. Dann ist
kein Punkt von M Hdufungspunkt von N^. Denn fiir I < T; ist
7i|C 0 perfekt. Ist LP unabzahlbar, so ist dies eine Menge
wie L selbst (einer Menge von Zahlenfolgen X|^ < X^^ < ' ' ' < X^^ < - - -
entsprechend) und gestattet eine Spaltung LP = M + N^ wo N von erster
Kategorie in LP, also in P, und M abzahlbar, also auch von erster Kategorie
in P ist (jede abzahlbare Menge ^Q^ ist ein (^i, S. 143): LP ist ein Pj.
Dasselbe gilt, wenn LP hochstens abzahlbar ist. Damit ist die Betrachtung
zu Ende geftihrt: eine Funktion / braucht keine Bairesche Funktion zu
sein, auch wenn stets f(x\F) bis auf Mengen erster Kategorie stetig ist.
Es sei noch erwahnt, daB das Komplement K — A — L der Lusinschen
Menge eine i^jj-Menge ist, d. h. (S. 143) jede in K perfekte Menge
::> 0 ist in sich von zweiter Kategorie. Eine solche Menge, die also insichdicht
und in K abgeschlossen ist, ist von der Form ZP, wo P (in der Menge
A der reellen Zahlen) perfekt ist; wegen P =:^ KP + LP ki KP in P,
also erst recht in sich selbst von zweiter Kategerie. Es gibt also Fn-Mengen,
die keine absolut Borelschen Mengen sind, womit eine friiher (S. 144)
ausgesprochene Behauptung, daB eine Fn-Menge keine Youngsche Menge
zu sein braucht, in viel weiterem Umfang bewiesen ist.
Wenn eine Funktion / (mag sie eine Bairesche Funktion sein oder
nicht) im Raume A, der als Gn-Menge gedacht ist, bis auf Mengen erster
Kategorie stetig ist, d. h. mindestens eine Spaltung A =C + D existiert,
wo D ein ^i und f(x | C) stetig ist, so gibt es (W. Sierpihski) unter alien
solchen Spaltungen A = C^ + D^ — C2 + D2 = y eine mit groBtem C.
und kleinstem Z), neinilich
307

264 Neuntes Rapitel, Reelle Funktionen.
C = Ci + C2+--^ D^D^D^.,..
Es braucht nur gezeigt zu werden, daB f(x \ C) stetig ist (D ist natiirlich
ein ^i). Sei xeC und etwa xeC^; da f(x | C^) stetig ist, so gibt es bei
beliebigem a> 0 eine Umgebung Ug^ mit
(7) \f(z)^f(x)\y], N=[f>y]
verstehen wir jetzt die (von keinem Parameter mehr abhangigen) Mengen
der Punkte (re, y), die den fraglichen Ungleichungen geniigen. In demselben
Sinn sei
[131] (11) C = N'^M=[f=:y].
Geometrisch interpretiert, im Falle einer ebenfalls reellen Variablen rr,
ist C die durch y = f(x) dargestellte „Kurve", M der Teil der rry-Ebene
unterhalb der Kurve, M(^) die Projektion auf die rc-Achse des Teiles von
C, der in der Halbebene y>^ liegt (oder des Teiles von ilf, der aut der
Geraden y = ^ liegt); entsprechendes ist von N und iV(/5) zu sagen. Nun
gilt der Satz:
VII. /(re) ist dann und nur dann eine Bairesche Funktion r(x), wenn
die Menge M ein M^ und die Menge N ein N^ ist. Ist f(x) ein /^(rc), so ist
auch die Menge C ein
Zum Beweise betrachten wir die Baireschen Funktionen f'(x) des
308

§ 43. Bairesche Funktionen. 265
Raumes A und die Baireschen Funktionen f{x^y) des erweiterten
Raumes ^4*. Es gilt:
Jtdes f(x, 0) ist ein fH^)- Das ist fiir ^ = 0 richtig, da man
aus einer in beiden Variablen x^ y stetigen Funktion durch die Substitution
y = 0 eine in x stetige Funktion erhalt, und wird sodann durch
Induktion bewiesen. Der SchluB von | auf f + 1 ist trivial; ist ferner ij
Limeszahl und die Behauptung fiir alle | < ^ bewiesen, so schlieBt man
auf 7] vermoge der Darstellung von /'' als Quotient zweier k^ (S. 259).
Ebenso folgt:
Jedes f{x) ist ein f(x^ y)\ f(x) — y ist ein f(x^ y), letzteres, weil y
stetige Funktion von x^ y, also ein f{x^ y) jeder Klasse ist.
Ist danach f(x) ein f(x)^ so ist f(x) — y ein f{x^ y)^ also von der
Klasse (M^, iV^), die Menge M ist ein M^, -N ein N^, C ein NK Ist umgekehrt
M ein N ein iV^, so ist j{x^ y) = f(x) — y von der Klasse (J/^ N^,
denn diese Funktion hat die Besonderheit, dafi ihre Urbildmengen (in ^*)
aus J/, N durch Translationen rj =' y + p entstehen, die den ganzen Raum
A* isometrisch in sich transformieren. Also ist /(x, y) ein f(x^ y), /(x, 0) =
f(x) ein fHx).
Der letzte Teil des Satzes VII ist im allgemeinen nicht umkehrbar.
Jedoch gibt der folgende Satz eine bedingte Umkehrung, die bemerkenswert
ist, weil die Mengen C(jS) == [/ = jS] des - Raumes ^4 keinen SchluB
auf den Charakter der Funktion f(x) erlauben:
VIIL Ist der Raum A eine separable^ absolut S uslinsche Menge und [132]
C eine Suslinsche Menge im erweiterten Raum {A^ Y)^ so ist f(x) eine
Bairesche Funktion.
A sei Suslinsche Menge im separablenvoUstandigen Raum X, dann ist
A"^ ~ (AjY) Suslinsche Menge im separablen vollstandigen Raum (X, 7),
also separables S (S = absolut Suslinsche Menge). C und der in ^*
offene Halbraum y > ^ sind Suslinsche Mengen in A*^ ihr Durchschnitt
also ein hochstens separables S; hiervon ist M(P) die Projektion auf den
Raum A^ also stetiges Bild, nach § 37, II also wieder ein S. Durch Betrachtung
des Halbraums y ^ ^ ergibt sich auch das Komplement A — M(^)
als -5, beide Mengen sind in ihrer Summe A Borelsche Mengen (§ 34, III).
Wie M(P) ergibt sich auch N(fi) als Borelsche Menge in A^ f{x) ist Bairesche
Funktion. In Wahrheit ist dann, wie wir aus VII wissen, C eine
Borelsche Menge in ^* gewesen, nicht nur eine Suslinsche, Ubrigens
kann man aus der Borelschen Klasse von C nicht auf die Bairesche
Klasse von f{x) schlieBen; wehn C ein N^ ist, kann f{x) ein p{x) mit
Tj'^ i sein.
Die Projektion von C auf Y ist die von f(x) durchlaufene Wertmenge 5,
das (reelle, eindeutige) Bild von A vermoge y = f(x); wir bezeichnen diese
Menge, falls f(x) eine Bairesche Funktion ist, als Bairesches Bild von A.
309

266 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
Hieriiber gilt:
[133] IX. Das Bairesche Bild einer separablen, absolui Suslinschen Menge
ist eine Suslinsche Menge, Das schlichte Bairesche Bild einer separablen^
absolut Borelschen Menge ist eine Borelsche Menge. Ist Bschlichtes
Bairesches Bild einer reellen Suslinschen Menge -4, so ist auch A schlichtes
Bairesches Bild 9on B,
Der Beweis ist groBtenteils schon in dem von VIII enthalten. Mit
A war auch A* separables S^ ebenso C, ebenso J5 (§ 37, II). Ist A separable,
absolut Borelsche Menge oder Borelsche Menge in X, so (A^Y) in
(X, y), also^* separable absolut Borelsche Menge, ebenso C (als Borelsche
Menge in A*), ebenso B, falls die Projektion schlicht ist. Bei der
dritten Behauptung sei x = g(y) die in B definierte Umkehrfunktion von
y ^f(x); nun war B ein separables S, C ein S und daher Suslinsche
Menge im Raum B* = (X, J5), wo X jetzt die Menge der reellen Zahlen
ist; es liegt also, mit Vertauschung der Variablen x y^ wieder die Bedingung
des Satzes VIII vor und g{y) ist Bairesche Funktion (auf deren Klasse
man aus der von i(x) nicht schlieBen kann).
Der Satz IX ist eine Verallgemeinerung von § 37, II, allerdings zunachst
nur fiir reelk Funktionen (vgl. XIII). Ubrigens geben bereits
(§ 37, III) die im Baireschen NuUraum oder in der Menge / der irrationalen
Zahlen definierten (reellen) stetigen Funktionen als Wertmengen alle
(reellen) Suslinschen Mengen. Wenn aber x die Menge A aller reellen
Zahlen durchlaufen soil, so geniigen die stetigen Funktionen f(x) nicht,
um als Bilder alle Suslinschen Mengen zu liefern (das stetige Bild von A
ist ein F^); wohl aber geniigen die Funktionen erster Klasse, namlich:
X. Jede reelle Suslinsche Menge ist Wertmenge einer Funktion erster
Klasse f(x) der reellen Variablen x (sogar einer Funktion mit hochstens
abzahlbar vielen Unstetigkeitsstellen).
Wir konnten namlich die reelle Suslinsche Menge B als stetiges Bild
von /, also vermittelst einer stetigen Funktion j[i) darstellen, wo i die
irrationalen Zahlen durchlauft. Wir erweitern diese Funktion (ohne VergroBerung
ihrer Wertmenge) auf alle reellen Zahlen, indem wir die rationalen
Zahlen in eine Folge (rj, rg,.. .} bringen, zu jedem r„ eine irrationale
1
Zahl i^mit | ^n — r„ ) < — wahlen und /(r„) = /(i„) setzen. Dann ist auch
n
noch die Gesamtfunktion f{x) in jedem irrationalen Punkte i stetig, denn
fiir rp-^i ist auch ij,-^i und /(r^) = f(ip)-^f(i)' f(x) ist also hochstens
in den rationalen Punkten unstetig und nach S. 250 von erster Klasse.
4. Nichtreelle Bairesche Funktionen* A und Y seienmetrische Raume;
wir betrachten aUe in A definierten eindeutigen Funktionen y =

§ 43. Bairesche Funktionen. 267
reellen Zahlen ist, handelt es sich um die reellen Funktionen (x)eQ, also das Urbild von BQ (B Bild von A), Die Mengen
[yeGl [yeF],
wo G alle in Y offenen, F alle in Y abgeschlossenen Mengen durchlauft^
sollen dann als Urbildmengen der Funktion y = (p(x) bezeichnet werden;
sie sind iibrigens Komplemente von einander und es wiirde geniigen, die
eine Art in Betracht zu zieben. Wenn M ein gegebenes System von Mengen
g A und N = A — M deren Komplemente durchlauft, so heifie die Funktion
(p von der Klasse (ilf, iV), falls jede Menge [ysG] ein M und jede Menge [134]
[ysF] ein N ist. Es gilt dann folgender Satz, bei dem unter verschiedenen
moglichen Klassenaussagen diejenige bevorzugt ist, die fiir Borelsche
Hengen die einfachste ist:
XI. Die Funktionen cp^-^(p seien i^on der Klasse (M, iV). Dann ist qf
von der Klasse (iV^^, M^^)^ imFalle gleichmd^iger Konvergenz von der Klasse
(M^^ N$). Wenn die M ein aSystem^ die N ein d-System bilden^ so ist q>
von der Klasse (iV^, M^), im Fall gleichmdfiiger Konvergenz von der Klasse
Es sei F::>0 in Y abgeschlossen; fiir 1^ = 1, 2, 3,... sei F^ die abge-
1
schlossene Menge der Punkte y mit 8{y^ F) ^ —^ G^ die offene Menge der
1
Punkte 6(y^F) < — ^ Hy eine beliebige Menge zwischen beiden
(G,^H,^F,). Also
Ferner sei j/„ = 9?„(a:) ~> 1/ = 93(0;). Dann sind folgende Behauptungen iiber
X gleichbedeutend:
311

268 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
{oc) yeF,
(P) fiir jedes v ist yn^H^ fiir fast alle n,
(y) fiir jedes v ist ynsH^ fiir unendlich viele n.
Aus (oc) folgt (j8). Wenn ^£jP, so ist, fiir jedes v, ysG^, also (weil G^
oflen ist) ynsGy^Hy fiir fast alle AI.
Aus (P) folgt (y).
Aus (y) folgt {oc). Fiir jedes i' ist ynsH^ g i^y fiir unendlich viele n,
also (weil F^ abgeschlossen ist) ysF^, folglich yeF.
Hiernach erhalt man mit Benutzung von (^)(y)
[ysF]= 2i Lim [ynsHr].
Wahlt man darin H^ = G^, so ist die Menge [ynsH^] ein ilf, ihr oberer
Limes fiir M-> oo ein Jtf^,) und [yeF] ein M^,^. Die Funktion (p ist von der
Klasse (*, M,s) = (iV^^, Jf^^j).
Ist die Konvergenz gleichmaCig, so ist {(x) mit der verscharften Behauptung
(^*) fiir jedes v ist ynsH,, fiir ^i ^ n*.
(wo ^ly nur von r, nicht von a; abhangt) gleichbedeutend. Denn wahlt
man n^ so, da6 ^y„

§ 43. Bairesche Funktionen. 269
einzigen stetigen und die einzigen Baireschen Funktionen; eine Funktion
9), die an einer einzigen Stelle = 1 und sonst iiberall == 0 ist, ist von der
Klasse (F^^ G^), ohne ein (p^ zu sein. Die Frage, in welchen Bildraumen
y Oder fiir welche Paare von Raumen A^Y XII umkehrbar ist, verdient
Untersuchung ^). Jedenfalls gilt die Umkehrung bei beliebigem A^ falls Y
ein Euklidischer Raum ist. Denn hier ist Konvergenz von Punkten mit
KonvergenzihrersamtlichenKoordinatengleichbedeutend;^ = (y^, •. -, 2/«»)
als Funktion q){x) erklaren heifit jede Koordinate y^ als reelle Funktion
fji,(x) erklaren; von der Klasse (M% iV^), so ist jedes /j^ von derselben Klasse,
weil der Halbraum y^^ > P(yj^ ^ j8) in Y offen (abgesehlossen) ist; also
ist jedes ^ ein reelles f und q> ein q>\
Die beiden ersten Satze von IX, die sich damals auf reelle Bairesche
Bilder bezogen, gelten fiir jeden Bildrauna Y^ gleichviel ob die Klassensatze
umkehrbar sind oder nicht. Also:
XIIL Das Bairesche Bild (reell oder nicht) einer separabUn^ absolut
Snslinschen Menge ist eine hochstens separable^ absolut Suslinsche Menge.
Das schlichte Bairesche Bild {reell oder nicht) einer separablen^ absolut
Borelschen Menge ist eine separable^ absolut Borelsche Menge.
Zunachst ist zu sagen: wenn ^n -^ ^ = hm q)^^, q> = lim 99^^^, . . . [136]
p q r
in der fiir jede natiirliche J^hlenfolge die Funktionen q)p^ f^^ q>p^^...
schliefilich stetig sind (diese Form von 9? ist, wie wir sahen, fiir Bairesche
Funktionen notwendig und hinreichend). Sind B^ Bp^ B^g^ J^p^r^ • - -
die durch diese Fimktionen entworfenen Baireschen (schliefilich stetigen)
Bilder, so kann man offenbar Y durch
YQ^ B +^Bp+^B^, +eB^,, + ' '
ersetzen. Wir konnen demgemafi den Bildraum Y als separabel, iiberdies
als vollstandig annehmen.
Ferner: sind A und Y beliebig, q)(x) Bairesche Funktion, so ist die
Menge C der Punkte {x^ y) mit y = q)(x) im erweiterten Raum ^* = (u4, Y)
eine Borelsche Menge (vgl. VII, VIII). Bezeichnen wir namlich die Ent-
*) Hierzu vgl. Nachtrag D.
313

270 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen*
ernungen yrj im Raume Y wie m linearen Raumen mit 11/ — ^ J, ohne
damit Y als linearen Raum vorauszusetzen, und betrachten fur irgend
eine in A definierte Funktion (p(x) des Bildraums Y die Entfernung
/(^, y)==\y - 9(^) 11
das ist eine reelle Funktion im erweiterten Raum A*. 1st (p(x) stetig,
so ist f(x,y) stetig; da ferner aus (pn-^

§ 44. Konvergenzmengen. 271
zweiter Klasse^) von der Klasse (GsoiPad)i die Menge der Divergenzpunkte,
(o(f) > 0, also ein G^^; die Menge der Konvergenzpunkte,
co(f) = 0, ein Fg$, Die Menge der Stellen, wo A < lim/„ < /^, ist auch
ein F^s, namlich der Durchschnitt [/=/][/> X][f < fx] — F^,) F^ F^.
Danach kann man sich von der Voraussetzung endlicher /, / durch die
fn
Beschrankungstransformation (Pn~ iTTTTl befreien; die Menge der
Stellen, wo fn konvergiert, ist mit der Menge der Stellen identisch, wo
— 1 < lim 9?„ < 1 (wahrend (pn -* ^ niit /„ -> oo, 99^-> — 1 mit fn^ — ^
gleichbedeutend ist).
Die Menge [/= oo] = [^ = l]=[^^l]ist iibrigens ein G^, ebenso
die Menge [/= — 00], und auch die Summe beider, d. h. die Menge D^
der Stellen, wo fn{x) nicht beschrdnkt ist, ist ein G^. Wenn man z. B. (wie
in der Theorie der Fourierreihen) eine Folge stetiger Funktionen einer
reellen Variablen konstruiert, die an alien rationalen Stellen in dieser
Weise (so, daB /„(rc) nicht beschrankt ist) divergieren, so findet dasselbe
Verhalten automatisch auch noch an N irrationalen Stellen statt, denn
D^ hat als dichtes G^ nach § 26, XI die Machtigkeit des Kontinuums.
Die Menge der Stellen, wo /„ nach einem vorgeschriebenen Werte
konvergiert, ist auch ein F^$, z. B.
[/«-0] = [9>„->0] = [£^ 0] [^^0].
Aber auch die Menge, wo f^ nach -f 00 oder — 00 divergiert 2), ist ein
Wir haben bisher die erste Halfte des Satzes bewiesen:
I (H. Hahn). Die Konvergenzmenge einer Folge reeller stetiger Funktionen
ist stets ein F^St ^^^ ^^ /eder Menge C ~ F^^ Idfit sich eine Folge
reeller stetiger Funktionen angeben, fiir welche C die Kom^ergenzmenge isL
Zum Beweis der zweiten Halfte nehmen wir C zunachst als Fa
C==F^ + F^ + F^ + ^', FiSi^ggi^sg-an
(Fn abgeschlossen); D = A — C sei das Komplement. Die Funktion h,
^'^''' Fi. F2-Fi. F,-F,,,.., D
gleich 1, i, 1, ..., 0
definiert wird; ist oberhalb stetig; denn \h ^ ^] ist, wenn nicht die Nullmenge
oder der ganze Raum, eine der Mengen F^- Sie ist also Limes einer
absteigenden Folge stetiger Funktionen yi^^t^''S da die Funk-
tionen ^; = min [ip^, 1] und ^;' = max |^y;, -j
ebenfalls absteigend
*) Sie ist selbst ein h^ von der Klasse (Gjo, Gs), woraus aber nicht mehr
folgt als im Text.
2) Dies wird als eigentliche Divergenz bezeichnet, sollte aber besser uneigentliche
Komergenz heifien (H. Hahn).
315

272 Neuntes Kapitel. Reelle Funktioneii.
1
nach h konvergieren, kann man alsbald ~ ^tp^ -^i annehmen. Die
TV
1
stetigen Funktionen (py^— —, fur die 1 ^ 99^ ^ ^i gilt, bilden eine auf-
^»
Bteigende Folge und konvergieren in C nach T-, d. h. nach ganzzahligen
Grenzwerten, in D divergieren sie nach + 00. Das wSre also schon eine
Losung des Problems fiir den Fall C = F^; zur Weiterflihrung transformieren
wir sie folgendermaBen. Es ist 0 ^ (pn-^i — ^n^^\ schieben wir
zwischen 99^ und q>n+i noch Funktionen mit gebrochenem Index
X / 1 2 2n-l\
9^«+« = 9>« + tWn-\-i-

§ 44. Konvergenzmengen. 273
ein Nff^; der Beweis ist wie zuBeginn dieses Paragraphen. Das libertragt
sich auch auf nichtreelle Funktionen (§ 43,4), falls der Bildraum voUstandig
ist.
Kehren wir wieder zu reellen stetigen Funktionen zuriick und betrachten
statt einer Folge von Funktionen f^ix) eine Sckar von Funktionen /{a:, y),
die von einem reellen, positiven Parameter y abhangen (bei festem y also
stetige Funktionen von xeA sind) und deren Verhalten fiir y-^0 untersucht
werden soil. Die Konvergenzmenge C der Punkte x, wo lim f(x^ y)
existiert, ist wieder einFaS- Denn hierzu ist notwendig und hinreichend:
es gibt fiir jedes or > 0 ein ?j > 0 derart, daB
(2) I fix, 2/1) - f(x, 2/2) i ^ or fiir 2/1 < 2/2 < ^•
Bei festen a*, YJ ist die Menge F(a^ ^) der Punkte x, in denen (2) gilt, abgeschlossen
(als Durchschnitt der Mengen, wo die Ungleichung (2) fiir ein
bestimmtes Paar y^, y^ gilt). Die Menge der Punkte x, wo (2) liir
festes crund irgendein TJ gilt, ist C(a) = @ F(a^ ^), wofiir wir
C(a) = F(a, 1) + F(a, i) + F{a, |) + - •
schreiben k5nnen, da die F(a^ri) mit abnehmendem fj wachseii; endlich
ist wieder C der Durchschnitt der C{a) oder
C^C(i)C(\)C(\),..,
womit C als Fo$ erkannt ist.
Der obere Limes
f{x)=iimj(x,y)
wird durch
f(x)^\img{x,Yi\ ^(^.q)= sup/(rr,|^) (i? > 0)
definiert; soil er (bei festem x) existieren, d. h. endlich sein, so muB, fiir
hinlanglich kleines y, fix^y) nach oben und g(x^ y) nach unten beschrankt
sein; g{x^y) nimmt zugleich mit y ab. Existiert f(x) fiir jedes x, so ist f{x}
wieder eine Funktion W- der Klasse (*, G^). Um das zu erkennen, konnen
wir f(x, y), bei festem x^ fiir alU y>0 nach oben beschrankt annehmeB^
indem wir statt seiner min [Hx,y),l betrachten, welche Funktion fiir
hinlanglich kleines y, etwa y^tj^ mit fix^y) iibereinstimmt und sonst,
1
fiir y^ri^ jedenfalls ^ — ist. Bei dieser Annahme existiert g{x^ y) fiir
jedes y und ist, als obere Grenze stetiger Funktionen, unterhalb stetig
(S. 249); ferner ist dann
i(x) = lim g\x, -j
Hausdoiff, Mengenlehre. 18
317

274 Neuntes Kapitel. Reelle Fonktionen.
als Limes absteigender Funktionen erster Klasse ein h^. Der analog zu
defmierende /(^) _ jy^ f{x, y)
ist, wenn iiberall endlich, ein g^ von der Klasse (F^, *).
Z. B. fiir y(a: + y)-y(rr)
/ (^7 y) = ^ '
wo q>(x) stetige Funktion der reellen Variablen x ist, ergibt sich: die Menge
der Stellen, wo (p(x) nach rechts differenzierbar ist, ist ein F^y^ die rechte
obere Derivierte (iiberall endlich angenommen) ist ein A^, die rechte untere
ein g^. Dasselbe gilt natiirlich nach links, iibrigens auch beiderseits (wenn
man rechts und links nicht unterscheidet).
Bei einer Funktionenschar sind diese Schliisse (auf die Klasse von /
und^ sowie der Konvergenzmenge) von stetigen Funktionen nicht auf
Funktionen der Klasse (M^N) iibertragbar; sie beruhen ja wesentlich
darauf, daB der Durchschnitt beliebig (nicht bloB abzahlbar) vieler F
ein F, die Summe beliebig vieler G ein G ist. So hat die Tatsache, daB
[137] g(x) = sup f(x, y)
y
(/(^) y) sei bei festem x nach oben beschrankt) unterhalb stetig ist, falls
f(x,y) bei festem y nach x stetig ist, kein Analogon fiir Bairesche Funktionen
/ hoherer Klasse. Wenn /(a:, y) B air esche Funktion beider Variablen
im erweiterten Raum (A^Y) und A separables S (S = absolut Suslinsche
Menge) ist, so ergibt sich g{x) als Funktion der Klasse (6", 6"), denn offenbar
ist die Menge [g > c] Projektion der Menge [/ > c] auf den Raum A^ also
ein 5, ebenso [g^c]= S r 11
g > c — —\, Die Mengen [g < c], [g^c] sind
Komplemente A — S. (Wenn speziell der Raum A Eukhdisch und f(x,y)
von erster Klasse ist, so ist g(x) von der Klasse (F^^ *), also von zweiter
Klasse. Denn hier ist die Projektion eines F„ wieder ein F^.)
Es ist lehrreich, noch einige andere Konvergenzmengen zu betrachten.
Wir nehmen x reell, y positiv an; die in der oberen Halbebene y > 0 definierte
reelle Funktion /(a;, y) sei bei festem y stetig in x. Wir lassen
(x, y) aus der oberen Halbebene nach einem Punkt (|, 0) der a;-Achse
konvergieren; je nach der Art, wie diese Konvergenz
(3) (a:,t/)-(|,0)
vorgeschrieben ist, kann die Menge C der Zahlen | oder der Punkte (|, 0),
fiir die lim f(x^y) existiert, verschiedenen Charakter haben.
Geradlinige Anndherung. Bei Annaherung parallel der y-Achse, wo es
sich also um lim /(f, ^) handelt, wissen wir, daB C ein F^s ist, Dasselbe
gilt bei Annaherung auf der festen Geraden
(4) x~^ = ty.
318

§ 44. Konyergenzmengen. 275
handelt es sich um den Grenzwert
(5) limJ(S + ty,y)^g(lt)
— 2^ < ^ < 2^, t == tg^l; hier
einer, bei festem y.und i, stetigen Funktion von |, und die Menge C(t) der f,
wo dieser Grenzwert existiert, ist ein FgS- Dies ist also das Ergebnis bei
Anndherung in fester Richtung,
Die Summe C = Q)
ist die Konvergenzmenge ein F^^, bei Anndherung in mindestens einem
(hinlanglich schmalen) Winkelraum ein F^^a^ bei Anndherung in jedem
(beliebig breiten) Winkelraum ein F^^; diese Behauptungen moge der Leser
selbst beweisen.
Bei ganz mllkurlicher Anndherung (3) ist die Konvergenzmenge C ein
Gs, und zwar ohne jede Voraussetzung iiber f(x^ y)^ das also nicht mehr nach
X stetig zu sein braucht. Denn zur Konvergenz ist notwendig und hinreichend,
da6 fur jedes cr > 0 der Punkt (f, 0) eine ebene Umgebung U
babe, in deren oberer Halfte (y > 0) fiir je zwei Punkte
I /(^i7 Vi) - /(^2.2/2) I ^

276 Zebntes Kapitel. Erganzungen.
Zehntes Kapitel.
Erglinzungen*
§ 45. Die Bairesche Bedingung.
1. Moduln und Kongruenzen. Alle Mengen, die wir betrachten,
seien Teilmengen einer festen Menge £", die wir als ,,Raum" und deren
[138] Elemente wir als ,,Punkte** bezeichnen. Als Diskrepanz zweier Mengen
A, B erklaren wir die Menge
[A,B] = (A + B)~AB
= (A —AB)+ (B—AB)= [B,A]
der Punkte, die einer dieser Mengen, aber nicht der anderen angehoren.
Sind a(x), b{x) die charakteristischen Funktionen (S. 20) von A, B, so ist
\a{x)—b{x)\ die charakteristische Funktion von [^,i5].
Fiir drei Mengen A^B^C gilt
(1) [A,C]^[A,B]^[B,C\.
Denn sei xs[A,C], etwa xeA^ xsC; je nachdem XIBB oder xeB^ ge«
hort X zu [A^B] oder zu [B^C],
Ferner ist offenbar
(2) [E-A,E-B]=[A,B].
1st jedem Element (Index) n einer beliebigen Menge ^) N ein Paar von
Mengen ^,j, 5„ zugeordnet, so ist
(3j I [©^„, @5„]s@[A„,fi„]
[^A^,m^]^_

§ 46. Die Bairesche Bedingung. 277
Ein nichtleeres System 3R von Teilmengen M des Raumes E heifit
unter folgenden Bedingungen ein Moduli [139]
((x) Jede Teilmenge eirier Menge aus 3K gehort wieder zu 3K,
(j8) Die Summe endlich vieler Mengen aus 3Jt gehort wieder zu 9K.
Wird statt (P) die scharfere Forderung gestellt:
(P^) Die Summe (endlich oder) abzahlbar vieler Mengen aus 9K gehort
wieder zu 3R,
so heiBt ein System 3K, das (a) und (/3^) erfiillt, ein a-Modul. Jeder
Modul enthalt die leere Menge 0.
Die endlichen oder (falls E ein metrischer Raum ist) die in E nirgends
dichten Mengen bilden einen Modul, die hochstens abzahlbaren oder die
Mengen erster Kategorie in E (die Ej) einen or-ModuL
Nach dem Vorbild der Zahlentheorie und Algebra nennen wir zwei
Mengen A^ B kongruent nach dem Modul 9K,
wenn sie sich „nur um Mengen MeW unteVscheiden", genauer gesprochen:
wenn ihre Diskrepanz \A^E\ zu 2K gehort Man kann das so ausdriicken:
die beiden Summanden
M^ = A -~AB= {A+B)~-B,
M^=B—AB = (A4.B)—A,
aus denen sich die Diskrepanz zusammensetzt, sind Mengen M des Moduls
3K, ynd gemafi
B=^AB+M^=^(A-- M,) + M^
^•{A+B)-M^={A + M,y- M,
entsteht von den kongruenten Mengen die eine aus der andern, indem
man eine Menge M abzieht und dafiir eine Menge M hinzufiigt. Man
kann auch sagen, dafi A und B ,,bis auf Mengen M'' tibereinstimmen
oder „mit Vernachlassigung von Mengen M'' identisch sind. ^ ^ 0 (SR)
heiBt, daB A zu M gehort. Wir lassen im folgenden bei den Kongruenzen
die Angabe des festen Moduls fort und schreiben statt A ^ B (M) einfach
A~B.
DaB A^ A und mit A ^B auch B^ A^ d. h. daB die Kongruenzbeziehung
reflexiv und symmetrisch ist, ist trivial; nach (1) ist sie auch
transitiv, d. h. mit A ^ B^ B ^ C hi A ^ C. Sie gestattet also die Einteilung
der Teilmengen von E in Klassen kongruenter Mengen, wobei
zwei Klassen entweder identisch oder disjunkt sind. Ist E^O, so sind
alle Mengen ^ 0 und es gibt nur eine Klasse; das andere Extrem ware,
daB W nur aus der leeren Menge 0 besteht und jede einzelne Mfenge fxir
sich eine Klasse bildet.
Aus (2) folgt: mit A =^ B ist E — A~ E ~B.
321

278 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
Aus (3) folgt: mit A^^^B.^^ ist
flir eine endliche, im Fall eines cr-Moduls auch ftir eine abzahlbare Menge
von Indizes n.
Aus (4) ergibt sich im Fall eines a-Moduls:
I»it ^n,'"nj,^B^,'^'nj, ist A~B,
der Suslinsche ProzeB laBt die Kongruenz bestehen.
E sei jetzt ein metrischer Raum; als Umgebung U^ von x bezeichnen
wir jede offene, den Punkt x enthaltende Menge. 3M sei wieder ein fester
Modul und A eine beliebige Menge des Raumes. Fur das lokale Verhalten
von ^ zu 9K in einem Raumpunkt x machen wir folgende Unterscheidung:
X heifie ein Nullpunkt von A (fur 3K), wenn er eine Umgebung U^ mit
(5) AU.^O
hat; andernfalls, wenn also flir jede Umgebung U^
AU^^O
ist, ein positwer Punkt. Die Menge der positiven Punkte werde A^^, die
der Nullpunkte Ag genannt, also E^A^-j- Aq. Aq ist offen^ A^^ abgeschlossen,
Denn wenn xeA^ und also eine Umgebung V^ mit (5) hat, so ist f/^-g Ag,
weil jeder Punkt von f/^. ebenfalls eine solche Umgebung (namlich U^)
hat. Es ist also
X
wenn jedem Nullpunkt x ein Uy. gemaB (5) zugeordnet wird, und
AAg^(B\iU^,
X
wobei hier jeder Summand ^ 0 ist. Wenn 3R ein cr-Modul und E (oder
wenigstens A) separabel ist, so folgt daraus
(6) AA.^a,
da man gemafi § 25, VI die Summe iiber die f/^. (oder AU^) auf abzahlbar
viele dieser Summanden beschranken kann. Die Gleichung (6) kann aber
auch gelten, wenn E nicht separabel ist (vgl. den folgenden Satz I).
Ein Punkt xeE—^« ist Nullpunkt von ^, da er eine Umgebung
U^ = E — A^ mit AUa: = 0 hat; hieraus folgt
(7) A^^A,
Wenn alle endlichen Teilmengen von ^ zu 3K gehoren, ist A^^A^] wenn
alle abzahlbaren, so ist A^^^Ay (vgl. § 23).
Wenn A ^ B^ so ist auch AU^^ BU^ und jeder Nullpunkt der einen
Menge auch Nullpunkt der andern, also A^, — j^^,, Ag = Bg (dies laBt
sich nicht umkehren).
322
^?

§ 45. Die Bairesche Bedingung. 279
2. Die Bairesche Bedingung fiir Mengen. 30? sei jetzt der cr-Modul
der Mengen erster Kategorie (in E). Die NuUpunkte und positiven Punkte
von A warden hier Punkte erster und zweiter Kategorie von A genannt.
Wir zeigen zunachst, daB die Formel (6) in jedem Falle, auch bei nichtseparablem
Raum E gilt:
I (Satz von S. Banach). Die in A liegenden Punkte erster Kategorie
ifon A bilden eine Menge erster Kategorie,
Wir betrachten zuerst den Spezialfall A^A^, wollen also beweisen:
wenn alte Punkte von A Punkte erster Kategorie sind, so ist A {>on erster
Kategorie, Wir bilden ein maximales, d. h. nicht erweiterungsfShiges
System von disjunkten offenen Mengen U^ mit AUr^^O; die Existenz
eines solchen Systems folgt wie in § 31 dnrch Wohlordnung und aus MSchtigkeitsgrunden.
x durchlauft eine geeignete Teilmenge von A' V = 21V^
ist offen, Y ^=E — J] abgeschlossen. Dann ist F nirgendsdicht, der
offene Kern 7^=0; denn wenn F^-:>0 ware, so konnte, je nacMem
^F^ = 0 Oder a ein Punkt von AY^ ist, entweder Y^ selbst oder (da
^ in a von erster Kategorie ist) ein geeignetes i/^gF^ mit AU^^^
den Mengen 1]^. hinzugeftigt werden. Wir haben jetzt F ^ 0,
A =.'AU -^AY^Al]
und es bleibt ^4 i/ = 0 zu zeigen. Als Menge erster Kategorie ist
^ c/jj. = A^i -j- A^^ _|- ... = ^ A^^
n
Summe abzahlbar vieler nirgendsdichter Mengen ^^,j, die (bei festem x)
disjunkt angenommen werden konnen. Dann sind die samtlichen Mengen
Ay,^ paarweise disjunkt, und wenn wir zeigen konnen, daB jedes
A^ = 2d A^^
X
nirgendsdicht ist, so folgt aus
AV = 2:A^^=:SA,,
die Behauptung AU^ 0. Nun ist offenbar
hieraus folgt fiir die abgeschlossenen Hiillen (S. 118, (13))
A^nat § A^^U^
und wenn G den offenen Kern A^^i von A^^^ bedeutet: A^^^^GU^ also
GU^ = 0,da^a.^ nirgendsdicht ist. DemnaehistCZ/ = O^G = GV^ ^^€ = 0,
6? = 0, A^ nirgendsdicht.
Hiermit ist der besondere Fall A ^A^ des Satzes I bewiesen; im aJIgemeinen
Fall beachten wir, daB fiir jede Teilmenge B ,von A ersiehtlich
A^^Bq ist, insbesondere fiir B — AA^: B^B^, also B^Q.
Die Begrenzung jeder offenen Menge G oder jeder abgeschlossenen
323

280 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
Menge F ist nirgendsdicht, also Gcc—G^F —/", == 0; jede offene Menge
ist mit einer abgeschlossenen und umgekehrt kongijuent (G ^ G«, F^F^).
[140] Wir sagen, eine Menge A sei eine ^-Menge oder geniige der Baireschen
Bedingung (im weiteren Sinn, C. Kuratowski), wenn sie mit einer
offenen oder auch mit einer abgeschlossenen Menge kongruent ist.
Das Komplement einer ^-Menge ist eine ^'Menge. Denn A ^G gibt
E—A~E~G==F.
Die P'Mengen hilden ein Borelsches System ^). Denn ist A^ ^ G„ ^ F^
fiir n = 1, 2, 3, . . ., so folgt
Alle Borelschen Mengen des Raumes sind also fi-Mengen.
Jede /8-Menge entsteht aus einer offenen, indem man ein Ej weglaBt
und hinzufiigt. Will man nur die eine dieser beiden Operationen zulassen,
so ergibt sich: die /S-Mengen sind die Mengen der Form
(8) Gs + Ej Oder F„^Ej.
Denn sei ^ ^ G eine fi Menge; die Diskrepanz [A, G] ist als Menge erster
Kategorie in einer Menge D = F^ von erster Kategorie enthalten; setzt
man C = E—D = G$, so ist C[A,G] = [CA.CG] =0, CA = CG und
A=CA + DA =CG + DA,
wobei CG ein G^ und DA ein Ei ist. Durch Komplementbildung erhalt
man die zweite Form (8) ^),
A ist dann und nur dann ^'Menge, wenn es eine Menge C ^ E {E — C
ein Ej) gibt derart, dafi CA in C offen, oder ahgeschlossen, oder zugleich offen
und abgeschlossen ist.
Dafi dies hinreicht, ist evident; ist z. B. CA = CG und C^E, so
ist A==EA~CA=CG^EG==G, Die Notwendigkeit folgt so: ist
A ~ H, C = E — [A, H] ~ E, BO ist wie oben C[A, H] = [CA, CH] = 0,
CA == CH, Setzt man fiir H eine offene oder abgeschlossene Menge, so
gibt es also ein C^^ E mit C^A = C^G, ein C^^E mit C^A = C^F und
ein C == C^C^ ~ E mit C^ = CG = CF.
Weitere notwendige und hinreichende Bedingungen fiir ^-Mengen ergeben
sich mit Hilfe der beiden Mengen Aq, Ap der Punkte erster und
zweiter Kategorie von A, Setzen wir B = E —A, Fiir jede Menge A ist
[141] 1) Sogar ein Suslinsches (0. Nikodym).
[142] 2) Der Leser, der die Lebesguesche MaBtheorie kennt, sei darauf hingewiesen,
daB zwischen den mefibaren Mengen und den j5-Mengen, insbesondere
zwischen den Mengen vom MaBe 0 und den Mengen erster Kategorie eine weitgehende
Analogie besteht (W. Sierpiiiski). Die meBbaren Mengen sind die Mengen
der Form
Gd — N Oder Fo + N,
wo N eine Menge vom MaBe 0 ist; man vergleiche dies mit (8).
324

§ 45. Die Bairesche Bedingung. 281
nach (6)
(6*) A=A (Aj, + A^) ~AA^, = A^-BA^,
Hiernach sind die Kongruenzen
(9) BA^~(^, (10) A^A^
gleichbedeutend; sie sind fiir eine j8-Menge A hinreichend {A ist mit einer
abgeschlossenen Menge ^^ kongruent), aber auch notwendig, denn fiir
eine abgeschlossene Menge F ist nach (7) und (6*) Fj,^F^ also
F = FFj, = Fp^ und wenn A ^F /S-Menge ist, so ist A^ = 7^^, also
A = Ap, (9) besagt, daU die nicht zu A gehorigen Punkte, in denen A von
zweiter Kategorie ist, nur eine Menge erster Kategorie bilden.
Aus (10) gehen durch Komplementbildung sowie durch Vertauschung
der Mengen ^, JB die Kongruenzen
(11) A^Ap~B^, B^Bp^A^
hervor; jede einzelne davon ist fiir ^-Mengen notwendig und hinreichend,
z. B. auch Ap~Bq,
denn hieraus folgt BA^^ BB^ ^ 0, die Kongruenz (9). Die Formein (11)
besagen, daB eine ^S-Menge A bis auf Mengen erster Kategorie aus den
Punkten zweiter Kategorie von A oder den Punkten erster Kategorie
von B = E — A besteht. Endlich erwahnen wir noch die folgende Charakterisierung
der ^-Mengen:
(12) Aq-^Bg dicht, A^B^ nirgendsdicht (im Raum £"),
d. h. die Punkte, wo wenigstens eine der beiden Mengen 4, B von erster
Kategorie ist, bilj^eu eine dichte (offene) Menge; diejenigen, wo A und B
beide von zweiter Kategorie sind, eine nirgendsdichte (abgeschlossene/.
In der Tat ist (12) hinreichend, denn aus der allgemein giiltigen Kongruenz
B = BBp folgt J5^^ ^ BApBp und im Falle (12) BA^ ~ 0, also (9).
Andererseits ist nach (7) ApBp^AocB„ = Ag (Begrenzung von A); ist
A^F,B~G=E--F, so ist ApBp= Fj,Gp g F^; die Begrenzung einer
abgeschlossenen Menge ist aber nirgendsdicht und (12) auch notwendig.
Wir nennen eine Menge A oc-abgeschlossen^ wenn sie mit ihrer abgeschlossenen
Htille kongruent ist {A ^ A^); oc-offen^ wenn sie mit ihrem
offenen Kern kongruent ist (A^A^); eine oc-Menge, wenn sie beides
ist, d. h. Ag = A^ — A^^ 0, wenn also die Begrenzung von A von erster
Kategorie ist. Dies alles sind spezielle ^-Mengen. Die ieler und
die Summe abzdhlbar i^ieler oc-offener Mengen ist oc-offen.
Es geniigt, die erste Behauptung zu beweisen. Ftir A = (BA^ mit
endlich vielen Summanden ist A^, ~ ©^^^ — ®^w ~ ^- ^iir A = S)^„
325

282 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
mit endlich oder abzahlbar vielen Mengen ist ^^g S)^!,^^ = ^* und
^*~2)^„ = ^; aus A^A^^A* und A ^ A* folgt A~A^.
Wenn wir statt des

§ 45. Die Bairesche Bedingung. 283
3. Die Bairesche Bedingung fiir Funktionen. Jedem Punkt x des
metrischen Raumes E sei durch die Funktion
2/== (p{x)
ein Punkt y des metrischen Raumes H eindeutig zugeordnet (vgl. S. 194);
y heiBt das Bild von x\ das Bild einer Menge A^E (d. h. die Menge
der Bilder der Punkte von A) werde mit (p(A) bezeichnet. Das Bild
IIQ== (p(E) des ganzen Raumes E kann der ganze Raum // oder eine
Teilmenge davon sein; wir nennen y = (p{x) eine Abbildung von E auf HQ
Oder von E in H (im Falle HQ = B also eine Abbildung von E auf H).
Als das JJrbild ip{B) einer Menge B ^ H bezeichnen wir die Menge aller
Punkte X von E mit q)(x)sB] offenbar ist y)(B) = y)(HQB).
Der Punkt x heifit ein Stetigkeitspunkt von (p(x), wenn flir jede
Folge Xj^-^ X auch (p(x). Die Menge C der Stetigkeitspunkte ist
immer ein G$, die Menge D der Unstetigkeitspunkte ein F^ (Beweis wie
S. 251 fiir reelle Funktionen). Wir erinnern noch an die topologische
Charakterisierung der Stetigkeitspunkte x (S. 194): fiir y — q>{x) hat das
Urbild jeder Umgebung Vy den Punkt x als inneren Punkt, Dabei kann
man sich auf die Vy beschranken, die einein {>ollen Umgebungssystem {S.228)
oder, wie wir ktirzer sagen wollen, einer Basis 33 des Raumes H angehoren:
eine Basis ist ein System offener Mengen^ aus denen durch Summenbildung
alle offenen Mengen erhalten werden. LaBt man also Y alle Basismengen,
f/== ip(V) deren Urbilder durchlaufen, so ist x dann und nur dann
Stetigkeitspunkt, wenn er innerer Punkt jeder Menge U ist, der er angehort,
folglich dann und nur dann Unstetigkeitspunkt, wenn es mindestens
ein U mit xsU — Ui = U^ {V^ Rand von JJ) gibt, und wir erhalten fiir
die Menge D der Unstetigkeitspunkte die einfache Darstellung
(13) D = ©(7,,
wobei die' Summe, wie gesagt, uber die Urbilder Z7 = ^( F) aller Mengen
V einer Basis von H (oder, wegen ^( F) == \P[HQV)^ vonHo) zu erstrecken
ist. Fiir eine stetige Abbildung (D = 0) folgt daraus die uns bekannte
Charakterisierung: die Urbilder aller offenen Mengen sind offen (§35, I).
Die Abbildung y = (p(x) liefert, wenn man x auf eine Menge A^E
beschrankt, eine Teilfunktion (p{x\A) oder eine Teilabbildung von A in H
(auf (p{A)^H)j bei der das Urbild einer MengeB^H offenbar Ay){B)
ist.
Wir nennen q)(x) eine (X-Funktion^ wenn die Menge D ihrer Unstetigkeitspunkte
von erster Kategorie (2)^0, C^E) ist. Jede punktweise
unstetige Funktion (S. 251) ist «-Funktion, und wenn E—Ei stets in
E dicht, E ein Gjj-Raum ist (S. 143), z. B. ein vollstandiger, so ist jede
a-Funktion auch punktweise unstetig.
Wir sagen, daB q){x) eine ^-Funktion ist oder der Baireschen Be-
327

284 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
dingung (im weiteren Sinne) geniigt, wenn es eine Menge C^E gibt,
wofiir (p(x \C) stetig ist. Diese Funktionen sind also „bis auf Mengen
erster Kategorie stetig*' im Sinne von S. 261. Es sei nochmals daran erinnert,
dafi die Punkte von C hier Stetigkeitspunkte der Teilfunktion
(p{x\C), aber nicht notwendig der Gesamtfunktion (p{x) sind.
DenZusammenhang zwischen ^-Funktionen und ^-Mengen, ^-Funktionen
und /8-Mengen vermitteln folgende Satze.
III. Fiir eine (x-Funktion ist notwendig und bei hochstens separablem H
auch hinreichend, dafi das Urbild jeder offenen (abgeschlossenen) Menge
oc-offen (^-abgeschlossen) sei.
Das folgt aus (13). Wird die Basis S5 von alien offenen Mengen gebildet,
so ist mit D==0 jedes Uj. = 0, 6' ~ i/^-, das Urbild jeder offenen
Menge V ist a-offen und das Urbild E — U = y){H — F) jeder abgeschlossenen
Menge // — F ist a-abgeschlossen. Umgekehrt folgt aus U^^O
bei hochstens separablem H, indem man eine hochstens abzahlbare Basis
wahlt, D = 0. (Es geniigt natiirlich, dafi HQ hochstens separabel sei.)
[144] IV. Fiir eine ^-Funktion ist notwendig und bei hochstens separablem H
auch hinreichend, dafi das Urbild jeder offenen (oder jeder abgeschlossenen
oder jeder Borelschen) Menge eine fi-Menge sei.
Bei der Teilabbildung (p(x \ C) ist das Urbild von F, wie wir oben
bemerkten,Cy)(V) = CU und, falls q){x\C) stetig ist, in C offen: CU = CG;
hieraus folgt fiir C^ E: U ^G, U ist ^-Menge, falls q){x) ^-Funkti.on
ist. Die eingeklammerten Behauptungen folgen durch Komplement-,
Summen- und Durchschnittsbildung. — Umgekehrt, ist jedes U = y){V)
eine ^-Menge und H hochstens separabel, so durchlaufe F eine hochstens
abzahlbare Basis; wir ordnen jedem U eine offene Menge G^ V zu
und bilden die Summe der Diskrepanzen D == ®[C/, G] ^ 0, sowie
C == E —D~E; dann ist CU = CG, d. h. bei der Teilfunktion (p(x\C)
ist das Urbild CU jeder Basismenge F in C offen und folglich das Urbild
jeder offenen Menge in C offen: q}{x \C) ist stetig, (p{x) eine j5-Funktion.
Die charakteristische Funktion (p(x) einer Menge A ist dann und nur
dann oc-Funktion (fi-Funktion), wenn A oc-Menge (fi-Menge) ist.
Dies folgt aus III IV, wenn man den Raum H = {0,1} nur aus den
beiden Zahlen 0 und 1 bestehen laBt; alle vier Teilmengen von B sind zugleich
offen und abgeschlossen und ihre Urbilder sind E, A, E — A und 0.
— t)brigens folgt die Behauptung fiir iX-Funktionen unmittelbar daraus,
dafi A^ die Menge der Unstetigkeitspunkte von (p(x) ist; insbesondere ist
(p(x) dann und nur dann stetig, wenn A zugleich offen und abgeschlossen
ist, q)(x \ C) dann und nur dann stetig, wenn CA in C zugleich offen und
abgeschlossen ist; die Behauptung iiber jS-Funktionen folgt dann aus der
S. 280 angegebenen charakteristischen Eigenschaft der ^-Mengen.
328

§ 45. Die Bairesche Bedingung. 285
Wir betrachten jetzt eine Folge von Abbildungen y^ =

286 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
Also ist by^a in C/^; da dies fur jedes a gilt, ist a Stetigkeitspunkt von
(p{x).
Ferner sei F^{a) die Menge der x^ wo
(P) VrnVn^^ fur/i = m+l, mH-2, ...;
diese Menge ist abgeschlossen (fiir jedes einzelne n definiert die Ungleichung.
(p) eine abgeschlossene Menge wegen der Stetigkeit von q)>^(x) und (pn{^)\
fiir die samtlichen n^m-\- i den Durchschnitt dieser abgeschlossenen
Mengen). Wegen der Konvergenz der Folge (pn(^) ist, fiir jedes rr, (P) fiir
ein geeignetes m erfiillt; hieraus folgt
E =

§ 45. Die Bairesche Bedingung. 287
untere Entfernung des x von C), und dann (x(x) = (p(c{x)) erklliren.
Diese Funktion, behaupten wir, ist in jedem Punkt ceC stetig, also eine
a-Funktion. Es ist, fiir x^-> c^ (x(x^)-->(x(c) zu zeigen, wobei man sich
auf die beiden Falle beschranken kann, dafi alle x^^ zu C oder alle zu D gehoren.
Fiir x^^eC ist (x(x.^) = (p(x^^)-^ q)(x) ~ (x{x) wegen der Stetigkeit
von (p(x\C), Fiir X^^ED ist dix^^C) -> 0, A(a;^)-> oo, die Entfernung
zwischen x^ und c{x^^) konvergiert nach 0, also c(x^)->c und
^(^"n) ~ 9^(c{^rt))'^ 9!?(c)=a(c), wieder wegen der Stetigkeit von 99{rc|C).
— Nunmehr sei
q)i^(x) = (p{x) fiir xeC + Fj.
q>k{x) — (x(x) fiir xeD —Fj^.
Auch diese Funktionen sind in csC stetig, denn fiir x^^ -> (?, x^eD ist schlieBlich
X^ED —Fjfe, ^jci^i^ ~ o(.{x^^)-^oc{c) = (p{c)— (fjeic). Andererseits
ist lim i{x) = q){x)^
It
namlich in C (pjc(x) = h(x)'^f(x) = (p(x)j und in jedem Punkt von D
schlieBlich (pis(x) =99(0;). — Allgemeiner gilt, wie wir ohne Beweis angeben:
wenn H oder HQ hochstens separabel ist, so ist jede j8-Funktion Grenzfunktion
von iV-Funktionen, wie jede ^ff-Menge Limes von iV-Mengen
(Satz II).
4. Die engere Bairesche Bedingung. Ist M eine Teilmenge von E,
so heiBe (p(x) eine ySji^-Funktion, wenn (p(x \ M) bis auf Mengen erster
331

288 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
Kategorie (in M) stetig oder im Raum M eine ^-Funktion ist, d. h. wenn
eine Spaltung M = C -{- D moglich ist mit D = J/j und stetigem q)(x \C),
Man kann hierbei sowohl von der abgeschlossenen Hiille M^ als auch vom
insichdichten Kern Mj^ auf M selbst schlieBen, d. h. es gilt:
Ist F = i/^, so ist eine ^p-Fiinktion zugleich fij^^-Funktion,
Denn ist i^ = C + D, i) in i^ von erster Kategorie, q){x \ C) stetig,
so ist (p{x I MC) stetig und MD in F, also (§ 27, XIII) auch in M von
erster Kategorie.
Ist K = i/j;., so ist eine fix-Funktion zugleich ftj^^-Funktion,
Denn (vgl. S. 262 oben) ist
M= J+ (S~-J)+ A',
wo / der isolierte, S der separierte Bestandteil von M ist, so ist MJ^
in MJ^ abgeschlossen und nirgendsdicht, da sein Komplement MJ = J
in MJ^ dicht ist, um so mehr MJ^^ ein M^, Nach §23, (15) ist S ^ J^t,
S — y g J^. Ferner gibt es ein i), von erster Kategorie in K und um so
mehr in M^ wofiir (p{x | K — D) stetig ist. Nach Tilgung von MJ^J^D
aus M bleibt J -\- C^ wo (p(x\C) stetig und CJ,^ ~ 0; daher ist auch
(p{x\J -\-C) in den Punkten von C und in den (isolierten) Punkten
von / stetig,

1. Trennbarkeit.
§ 46. Halbschlichte Abbildungen. 289
§ 46. Halbschlichte Abbildungen. [ue]
Zwei Mengen A,B des Raumes E heiBen trennhar^ wenn sie sich in
zwei disjunkte Borelsche Mengen P^Q einschlieBen lassen:
A^P, B^Q, PQ = 0.
Das ist damit gleichbedeutend, da6 A^ B disjunkt und in ihrer Summe
Borelsche Mengen sind. Denn aus der Trennbarkeit folgt
AB = 0, A=-{A^B)P, B=(A + B)Q;
umgekehrt folgt aus diesen Gleichungen (A -}- B) PQ ~ 0 und
A^P-^PQ, B^Q — PQ,
In unsymmetrischer Form kann die Trennbarkeit von A, B auch so ausgedriickt
werden: es gibt eine Borelsche Menge P, die A einschliefit und JS ausschlieBt:
A^P^ BP = 0. Die Trennbarkeit von A und E —B ist damit
gleichbedeutend: es gibt eine Borelsche Menge P mit A^P^B,
Wenn fiir m = 1, 2, 3,... die Mengen A^ und 5 trennbar sind, so sind
auch A = QA^ und B trennbar. Denn aus A^ ^ JP^, ^^m — ^ ^^Ig*
mit P =

290 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
es dann ein nicht trennbaresMengenpaar A^^ J5^, sodann ein nicht trennbares
^ik^ ^pqy ^i^ nicht trennbares A^j^i, B^^j. usw. Wegen ^^gC^, B^^D^
(C^, D^ abgeschlossen) ist dann C^Dp r^ 0, ebenso C^j^Dj^q ^ 0, C^i^iD^gy ^ 0,...
1st nun E separabel, so konnen wir annehmen (S. 191), da6 die Durchmesser
der C, D mit wachsender Zahl der Indizes nach 0 konvergieren;
ist er iiberdies vollstandig, so hat die Folge der C^D^^ Cik^^pq, • •» einen Durchschnittspunkt,
der offenbar zu AB gehort. D. h. wenn A, B nicht trennbar
sind, so sind sie nicht disjunkt, oder:
[147] Im separablen ^ollstdndigen Raum sind zwei disjunkte Suslinsche
Mengen trennbar^ rf. h. in ihrer Summe Borelsche Mengen (§34, III).
Ferner sei
A == ^ C^C^jfi^j^i. . .
mit disjunkten Summanden darstellbar; es ist dann
A = ^Ai, A^ = ^A^]^, A^j^ = ^jAijcit . • *
% k I
mit disjunkten Summanden. Ist E separabel und vollstandig, so sind die
disjunkten Suslinschen Mengen A^ paarweise trennbar, also simultan
trennbar: es gibt disjunkte Borelsche Mengen P^^A^, die man iiberdies
durch C^P^ ersetzen, also g C^ annehmen kann. Ebenso gibt es disjunkte
Borelsche Mengen P^j^^A^j^^ P^j^^C^j,, wobei man noch P^^ durch PiPik
ersetzen, d. h. P^j. g P^ annehmen darf. So erhalt man
^i g ^t g C^, A^j. g P^jc g C^jg, Aij^i g P^j^i g C^j^i, . . .
P,^P,,^P,,,^.,,
Da aber A^A^j^A^j^i. , . = C^Cij^Cij^i . . ., so ist dies auch = PiPik^iki • • •.
^ ~ -^^i^ik^iki • • •
und da die Mengen P mit gleichvielen Indizes paarweise disjunkt sind,
so ist dies mit
gleichbedeutend, A ist Borelsch. Im separablen vollstdndigen Raum ist
jede mit disjunkten Summanden darstellbare Suslinsche Menge Borelsch
(§34, IV).
2. Erhaltung der JS-Mengcn. Die (eindeutige) Abbildung y =

§ 46. Halbschlichte Abbildungen. 291
Der Sonderfall stetiger Bilder ist bereits in § 37, II behandelt. Wir
wollen zeigen, daB auch das halbschlichte Bairesche Bild einer fi-Menge
noch eine jB-Menge ist und daB sich eine solche Abbildung in hochstens abzahlbare
viele schlichte Bairesche Abbildungen von 5-Mengen spalten
laBt. Wir stellen einen Satz voran, auf dem die Beweise beider Behauptungen
beruhen werden:
I. Die Abbildung y=(p(x) des i>ollstdndigen Raumes A sei stetig.
Jeder dyadischen (aus den Ziffern 1, 2 gebildeten) Folge p^ q, r, , . . sei eine
Folge beschrdnkter, in A offener Mengen ^)
mil Durchmessern -^ 0 und den Bildern
derart zugeordnet, dafi die 2** Mengen U mil n Indizes paarweise disjunkt
sindj hingegen ihre Bilder V gemeinsame Punkte haben:
(1) V,V,^Q, V,^V^V,,V,,^0,...
Dann hat die unahzdhlbare Menge
ein einpunktiges Bild, die Abbildung ist also nicht halbschlicht.
Der Beweis ist auBerst einfach. Der Durchschnitt Uj^Uj^qllj^ .. . kann
durch den der abgeschlossenen Hiillen ersetzt werden und ist also einpunktig;
verschiedenen dyadischen Folgen entsprechen verschiedene Punkte
X = UpUpqUpqj.. . ., D ist von der Machtigkeit des Kontinuums^). Ist
y ^ (p(x), so konvergieren wegen der Stetigkeit auch die Durchmesser
der Bilder F^, 7^^, F^^,, . .. nach 0. Ist i =U„ U„^ U„^^ . . ., so istF^ F^ r^ 0,
^pq ^nx ^ ^1 ^pgr ^nxft ^0, ... uud da die Summe von zwei Mengen
mit nichtleerem Durchschnitt einen Durchmesser hat, der hochstens der
Summe der beiden Einzeldurchmesser gleich ist, so konvergieren auch die
Durchmesser von Fp-j. V^, Fp^_j_ F^^, Fp^,4_ F^^^, . . . nach 0, d. h,
^ =

292 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
Bei der Abbildung y = ^(x) von A auf B bezeichnen wir den Punkt y
von B als einfaches oder mehrfaches Bildj jenachdem sein Urbild y)(y)
einpunktig oder mehrpunktig ist. Die Menge M der mehrfachen Bilder
laBt sich offenbar in der Gestalt
(2) M==(S

§ 46. Halbschlichte Abbilduagen. 293
Damit ist der SchluB von k auf k — 1 gerechtfertigt, D von F — B trennbar.
II. Das halbschlichte stetige Bild eines separablen i^ollstdndigen Raumes
A ist eihe B-Menge.
Vorausbemerkt sei: bei beliebigem 5>0 bilden diejenigen Mengen
einer Basis des Raumes A, die Durchmesser < d haben, wieder eine Basis;
ein separabler Raum A hat also fiir jedes Ai = 1, 2,. . . eine abzahlbare
1
Basis 93„, die aus Mengen Z7 von Durchmessern

294 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
S32(i/i) und 932(^^2) erstreckt. Mit V^V^ ist nach (G) (fiir n = 2) auch
M1M2 und einer der Summanden, bei geeigneter Numerierung
Fii F12 ^21 ^22 von Y —B nicht trennbar.
So fortfahrend verwirklichen wir die Voraussetzungen von I, insbesondere
die Ungleichungen (1) dadurch, daB die Mengen linker Hand von Y —B
nicht trennbar sind. Hiernach ist (p(x) nicht halbschlicht und Ilbewiesen.
[149] III. Das halbschlichte Bairesche Bild einer B-Menge ist wieder eine
B-Menge.
Sei y~(p(x) halbschlichte Abbildung der 5-Menge A auf B.
1st (p{x) zunachst stetig, so beachten wir (§37, III), daB A vermoge
einer schlichten stetigen Abbildung x='i(t) Bild eines separablen vollstandigen
Raumes T ist, z. B. einer im Baireschen Nullraum abgeschlossenen
Menge (den trivialen Fall, daB A und T nur endlich sind, konnen
wir ausschlieBen). Dann ist y = 99 (|(/)) = >/(0 halbschlichte stetige
Abbildung von T auf B, also B nach II eine B-Menge.
Im allgemeinen Fall, daB y =

§ 46. Halbschlichte Abbildungen. 295
Es seien t/j, f/g,... die Mengen einer Basis von A^ Vn— ^i^n) das Bild
von U^ und bei der Abbildung 9? {x \ U^) sei M^ die Menge der mehrfachen,
Qn== Vn— ^n ^^^ der einfachen Bilder. Die Mengen £/^, F^, J/^, Q^ sind
^-Mengen, ebenso das Urbild JP^ = U^y)(Q^) von ^^ bei der Abbildung
q)(x\Un) (denn ^^ ist in F^, also -P^ in U^ Borelsch). Dann ist (p{x\P^)
schlicht und demgemafi die Menge ®Pn spaltbar. Das ist aber die Menge
P = 2J Wj(y)' Denn ist xe fjiy)^ so gibt es ein U^^ mit y){y) U^ = x^
also ist y== (pi^o) einfaches Bild bei (p(x\U^i) und xeP^ — und vice versa.
Um die hiermit begonnene Abtrennung eines spaltbaren Bestandteils
von A fortzusetzen, verstehen wir (vgl. S. 166 und 170) fiir die Ordniingszahlen
$ < Q unter tp^iy) die Kohdrenzen von f(y); d. h. f^iy) = f (y),
W^+i(y) ist die Menge der in y)^(y) liegenden Haufungspimkte vom f|(^),
also y>^(y) — y>^+i(y) die Menge der isolierten Punkte von ^i(^); fiir
eine Limeszahl 7] ist tptjiy) =3) y)^{y)^ Entsprechend setzen wir
dann wird fiir |^ < t;
A^=-j;W^(y) C^o = ^K
y
y
und die Gleichung
y^iy) — Wniy) = .-^ [niy) — w^wiy)]
gibt nach t/ summiert
(3) A-~~A,^=^ ^2;{A^-~A^^,).

296 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
bilden, wenn der Durchschnitt
der Bilder von A^U^,..., A^U^ tm alle i < Q nichtleer ist; insbesondere
ist dann der Durchschnitt D^ = q>(Uj) .. . (p(U^) nichtleer.
(G) Wenn bei der heliebigen Abbildung (p(x) de$ separablen Raumes A
die n Mengen Ui^ (A = 1,..., n) ein kokdrentes System bilden und ^(U^,)
eine hochstens abzdhlbare Basis i^on Uj^ ist, so gibt es in dieser Basis zwei
disjunkte Mengen Uj^i, Uj^2 derart, dafi die 2n Mengen Uj^i^ Uj^^ ein kokdrentes
System bilden,
Sei y^sD^j^i^ also fiir jedes k in ^^4.1 Ui^ ein Urbildpunkt von y^
vorhanden: y) (y^) A^^^ Uj, = y)^^^ (y^) f/^. ^ 0; da y)^+i (y) die Koharenz
von y)^(y) ist, ist y)^(y^) Uj^ unendlich^). Es gibt also in ^(Uj,)
zwei von ^ abhangige disjunkte Mengen £^M(^)> ^k^i^)^ ^i® ^^^ V^^iV^)
nichtleeren Durchschnitt haben. Aber von solchen Systemen von 2n
Mengen i/j^i? ^kzS^^^ ^s hochstens abzahlbar viele verschiedene;mindestens
eines muB unabzahlbar oft vorkommen, und fiir unabzahlbar viele f
ist also
Uki{^) = Uj,^, U,^(^) = U,,,
W (2/1) Uj,i > 0, y)^ (y^) Uj,2 :=> 0,
(piA^U^^^) (p(A^U^^). . . (p(A^U^i) (p{A^U^2):::>0.
Diese letzte fiir unabzahlbar viele ^ richtige Ungleichung gilt aber fiir
alle 1^, da die A^ mit wachsendem ^ abnehmen, also bilden die 2n Mengen
^11? • • M ^«2 ^i^ koharentes System.
IV. Bei einer halbschlickten stetigen Abbildung des separablen (^ollstdndigen
Raumes A gibt es ein f mit ^^ = 0; A ist also spaltbar,
Wir beweisen: wenn alle A^ r^ 0^ so ist die stetige Abbildung y = (p(x)
nicht halbschlicht. A selbst bildet ein koharentes System, also gibt es in
S3i (mit den Bezeichnungen wie beim Beweise von II) zwei disjunkte
C/i, C/g, die ein koharentes System bilden, sodann in SSgC^^) zwei disjunkte
Upi^ Vp2, derart, dafi C/u, f/12, f72i> ^22 ®^^ koharentes System bilden usf.
Damit tritt I in Kraft; die Bedingungen (1) sind jetzt dadurch verwirklicht,
dafi die Bilder der Mengen eines koharenten Systems nichtleeren
Durchschnitt haben.
[150] V. Eine B-Menge ist bei jeder halbsehlichten Baireschen Abbildung
spaltbar, d. h, Summe abzahlbar i^ieler B-Mengen, die schlicht abgebildet
werden.
Dies wird auf IV so zuriickgefiihrt wie III auf II. 1st y ~ q){x) halbschlichte
Abbildung der ^-Menge A und zunachst stetig, so ist bei der
halbsehlichten stetigen Abbildung y= (p(Hi)) == v(^) (vgl. den Beweis
1) Ist Pfi die Ableitimg, Ph = PPfi die Koharenz von P und U offen, so ist nach
§ 23, (13) {PU)^^PpU^PhU\ ist PhU>0, so kann PU nicht endlich sein.
340

§ 46. Haibschlichte Abbildungen. 297
von III) r = 2* r„in 5-Mengen r^spaltbar, diesch]ichteBilderjB^ = ^(r„)
haben; da auch T^ und A^=^^{T^) in schlichter Beziehung stehen, so
auch A^ und B^ == (p(A^)^ A — S A^ ist bei der Abbildung (p{x) spaltbar.
Im allgemeinen Fall der Baireschen halbschlichten Abbildung y = q) (x)
von A auf B betrachten wir die Punkte z— (x^y) des Produktraums
{A, B) und die stetigen Funktionen x — ^{z\ y = 7](z) (Projektionen von z
auf A und B). Die^-Menge Cder Punkte (x^

298 Nachtrage.
Nachtrage.
[151] (A) Zu S. 143.
Der Raum E hiefi eine i^H-Menge, wenn jede abgeschlossene Menge
i^ :=» 0 in sich von zweiter Kategorie ist. Er heifie eine jPj-Menge, wenn
er keine i^u-Menge ist, wenn es also eine abgeschlossene Menge i^r^-O
gibt, die in sich von erster Kategorie ist. Hieriiber hat W. Hurewicz bemerkenswerte
Ergebnisse erzielt:
Der Raum E ist dann und nur dann i^x"Menge, wenn er eine perfekte
abzdhlbare Menge P enthalt; also dann und nur dann jPu-Menge, wenn
jede perfekte Menge P r:> 0 unabzahlbar ist.
In einem separablen Raum E sind die Borelschen Mengen (und sogar
die Komplemente Suslinscher Mengen) samtlich jPj-Mengen mit eventueller
Ausnahme der G$, Diese konnen i^ji-Mengen sein; andererseits sind ja die
G;^ eines vollstandigen, auch eines nicht separablen, Raumes — die Youngschen
Mengen — wirklich jPjj-Mengen (S. 144).
Demselben Gedankenkreis gehoren noch folgende beiden Satze an,
aus denen im Fall eines vollstandigen Raumes E die Machtigkeitssatze
§26, VIII und §32, I entspringen:
Jede Menge 0;^ im beliebigen Raum £, deren insichdichter Kern
nicht verschwindet, enthalt eine (in E) perfekte Teilmenge P^O, Jede
unabzahlbare Suslinsche Menge im separablen Raum E enthalt eine
(in E) perfekte Teilmenge P^O.
(B) Zu S. 159.
Zu der SchluBweise im Text ware erforderlich, dafi zwei Punkte von
P(0) in P{0) selbst, nicht nur in 4, die Distanz 0 haben. Der Zusammenhang
von P (0) ist etwa so zu beweisen. Nehmen wir an, es sei P(0) = Q + R
in die beiden in sich kompakten Mengen ^ und R zerstiickelt; verbindenwir
1
einenPunkt gsQ und einenPunkt reB durcheine—Kette in A, waswegen
n
^ = 0 fiir jede natiirliche Zahl n moglich ist. Achten wir fiir die Punkte
a: der Kette darauf, ob die untere Entfernung d(x,Q) kleiner als oder
mindestens gleich d{x, R) ist; fiir den ersten Punkt q tritt der erste, ftir
den letzten r der zweite Fall ein, und es muB also in der Kette einen Punkt
a:,i geben, ftir den noch d{x^,Q) < d(x^, R), wahrend fur den darauf
_ 1
folgenden Punkt y^ schon d(yn,Q) ^diy^.R) ist; hierbei ist qx^S-
1
und x^y^^ g —. Solche Punktpaare gibt es also fur jedes AI = 1, 2, 3, . . .
Die Folge x^ hat eine konvergente Teilfolge x^.->x, wo xeA^ dann ist
342

Nachtrage. 299
auch y^-^ X und wegen der Stetigkeit der Distanzen und Entfernungen
^ = 0, d(x^Q) ^^ d(x^ R), Also wiirde x zu P(0)='Q-\-R gehoren
und das ergibt einen Widerspruch, da dannvon den beiden Zahlen d{x^Q)
und d (x, R) die eine 0 und die andere positiv ist.
(C) Zu § 39, 2.
Es sei t=q) (x) eine stetige Abbildung des kompakten, zwischen
zwei gewissen Punkten a, 6 irreduziblen Kontinuums C auf dasreelleZahlenintervall
T (0 ^ / ^ 1). Die Urbilder der Zahlen t mogen die Schiditen
der Abbildung (p heiBen; C{x^ (p) sei die Schicht, der der Punkt x angehort,
also die Menge aller y mit (p(y) = (f (x). Die Abbildung werde monoton
genannt, wenn alle Schichten Kontlnua (ein- oder mehrpunktige) sind;
z. B. ist in dem Hahnschen Satz VIII fiir ein zusammeegesetztes Kontinuum
C die Existenz einer monotonen Abbildung bewiesen, deren Schiehten
die Primteile sind. Nun geht aus einer Untersuchung von C. Kuratowski
hervor: wenn C uberhaupt monotone Abbildungen zulaBt und C{x) den
Durchschnitt aller C {x^ (p) fiir samtliche monotone Abbildungen (p mit
(p(a) =0, (p(b) = \ bezeichnetj so sind diese C(x) wiederum die
Schichten einer monotonen Abbildung, die also eine Spaltung von C in
die kleinstmoglichen Schichten bewirkt. Diese Kuratowskischen Minimalschichten
C {x) verdienen den Nanien Primteile eher als die in § 39, 2
so genannten Mengen, die moglicherweise noch in Minimalschichten gespalten
werden konnen.
(D) Zu S. 269.
Die Frage ist von St. Banach behandelt worden mit folgendem
Hauptergebnis. Man definiere fiir Q -^r} < Q die „modifizierten'' Baireschen
Funktionen f"^ durch die Induktionsvorschrift:
Die /I sind die Funktionen der Klasse (M^^ N^) = (F„,Gs),
Fiir ?7 > 0 sind die f'^ die Grenzfunktionen konvergenter Folgen
von Funktionen /'^ {^< n)-
Dann sind bei hochstens separablem Bildraum Y die Funktionen
f^^ mit denen der Klasse {M'''^\ N"'^^) identisch.
Dadurch also, daB man als Ausgangspunkt der Limesbildung nicht
die stetigen Funktionen, sondern die /^ nimmt (die im Allgemeinen
nicht Grenzfunktionen von Folgen stetiger Funktionen zu sein brauchen),
wird der Satz XII bei hochstens separablem Y fiir die modifizierten
Baireschen Funktionen umkehrbar. Die Frage Meibt offen, wie fiir
eine Limeszahl tj die Funktionen der Klasse (ilf*^, M^) aus konvergenten
Folgen von Funktionen niederer Klassen entstehen, oder welche Bedingung
im allgemeinen Falle der Vollstandigkeit von Systemen reeller
Funktionen (S. 236, 258) entspricht.
343

Literatun
R. Baire, Lecons sur les fonctions discontinues (Paris 1905).
St. Banach, Th^orie des operations lin^aires (Warszawa 1932).
E. Borel, Legons sur la tk^orie des fonctions (Paris! 1898, 3. ^d. 1928), zitiert
als: Lemons (1898).
E. Borel, Legons sur les fonctions de variables reelles (Paris 1905), zitiert als
Legons (1905).
E. Borel, M^thodes et problemes de th^orie des fonctions (Paris 1922).
C. Garatheodory, Vorlesungen iiber reelle Funktionen (Leipzig und Berlin
1918), zitiert als: Vorlesungen.
A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre (3. Aufl. Berlin 1928).
M. Fr^chet, Les espaces abstraits (Paris 1928).
H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen I (Berlin 1921), zitiert als: Theorie.
H. Hahn, Reelle Funktionen I (Leipzig 1932).
G. Hessenberg, GrundbegrilTe der Mengenlehre (Gottingen 1906).
E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable (Cambridge 1907,
3. ed. I 1927, 2. ed. II 1926).
E, Kamke, Mengenlehre (Berlin und Leipzig 1928).
C. Kuratowski, Topologie I (Warszawa-Lwow 1933).
N. Lusin, Legons sur les ensembles analytiques (Paris 1930).
K. Menger, Dimensionstheorie (Leipzig und Berlin 1928).
J. Pierpont, Lectures on the theory of functions of real variables I II (Boston
1905, 1912).
A. Rosenthal, Neuere Untersuchungen iiber Funktionen reeller Veranderlichen
(Math. Enzykl. II C 9).
A. Schoenflies, Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten
I II (Leipzig 1900, 1908).
A. Schoenflies, Entwickelung der Mengenlehre und ihrerAnwendungen (Leipzig
und Berlin 1913).
W. Sierpihski, Legons sur les nombres transfinis (Paris 1928).
W. Sierpinski, Hypothese du continu (Warszawa-Lwow 4934).
W. Sierpinski, Introduction to general topology (Toronto 1934).
H. Tietze und L. Vietoris, Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen
der Topologie (Math, Enzykl. Ill A B 13).
C. de la Valine Poussii>, Int^grales de Lebesgue, Fonctions d'ensemble,
Classes de Baire (Paris 1916).
W. H. Young and Grace Chisholm Young, The theory of sets of points (Cambridge
1906).
Die von St. Mazurkiewicz und W. Sierpinski herausgegebene Zeitschrift
Fundamenta Mathematicae (Warschau, seit 1920) ist wesentlich
der Mengenlehre gewidmet.
344

Quellenangaben.
Die folgenden Zitate, zu deren ErgS^nzung wir auf die Berichte von
A. Schoenflies und das Referat von A. Rosenthal verweisen, soUen nur iiber
den UrspTung der wichtigsten Begriffe und Theoreme Rechenschaft geben.
t)brigens sind die meisten Satze tiber Punktmengen zunachst nur ftir den eindimensionalen
oder hochstens Euklidischen Raum ausgesprochen und hier erheblich
umgestaltet worden. Bei Zitaten aus Biichern ist die Seitenzahl angegeben,
bei Zitaten aus Zeitschriften Bandzahl (zuweilen eingeklammert
Serienzahl), Jahr und Seitenzahl.
S. 10. G. Kowalewski, Einftihrung in die Infinitesimalrechnung
(Leipzig 1908), 14.
§ 1. Von Zitaten Cantors wurde im allgemeinen abgesehen; der Inhalt'der
ersten vier Kapitel und die Grundbegriffe der Punktmengentheorie gehen
fast ausschlieBlich auf ihn zurtick. Von seinen zahlreichen Abhandiungen
kommen hauptsachlich in Betracht: tIber unendliche lineare Punktmannigfaltigkoiten
I—VI: Math. Ann. 15 (1879), 1; 17 (1880), 355;
20 (1882), 113; 21 (1883), 51, 545; 23 (1884), 453. Beitr^ge zur Begrtindung
der transfiniten Mengenlehre I II: Math. Ann. 46 (1895), 481;
49 (1897), 207.
S. 11. A. Genocchi-G. Peano, Differentialrechnung und Grundziige
der Integralrechnung (Leipzig 1899), 340.
§ 3. S. 17. G. Garath6odory, Vorlesungen, 23.
S. 19. Oberer und unterer Limes als ensemble limite complet und ensemble
limite restreint bei E. Borel, Legons (1905), 18.
S. 20. G. de la Valine Poussin, Int6grales, 7.
§ 6. III. F. Bernstein in E. Borel, LeQons (1898), 103.
§ 7. S. 34. E. Zermelo, Math. Ann. 65 (1908), 261. Ober die Antinomienfrage
fmdet der Leser Naheres bei A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre
(1928).
III. J. Konig, Math. Ann. 60 (1904), 177.
§ 11. I. F. Bernstein, Untersuchungen aus der Mengenlehre (Diss. Halle
1901), 34.
S. 53. H. Minkowski, Verb. d. Heidelb. Kongr. (Leipzig 1905), 171.
S. 53. R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen (Braunschweig
1872).
§ 12. E. Zermelo, Math. Ann. 59 (1904), 514 und 65 (1908), 107.
§ 13. Zur Wohlordnungstheorie hat G. Hessenberg, Grundbegriffe der Mengenlehre
(1906) Erhebhches beigetragen.
§ 14. S. 68. G. Hessenberg, Grundbegriffe, § 75.
§ 15. S, 71. Zur Frage N ^ Xi vgl. D. Hilbert, Math. Ann. 95 (1925), 181.
§ 16. F. Hausdorff, Leipz. Ber. 58 (1906), 108.
§ 18. E. Borel, Legons (1898), 46.
§ 19. M. Souslin i), Gompt. rend. 164 (1917), 88. N. Lusin, ib. 91. Vgi § 32.
§ 20, 1. Bei M. Fr^chet, Rend. Pal. 22 (1906), 17, 30 heiBt ein metrischer Raum
classe (E) (Entfernung = 6cart), in spateren Arbeiten classe (D) (distance).
^) Michael Sushn (1894—1919) hat nur diese eine Arbeit selbst veroffentlicht.
Der russische Name ist deutsch Suslin auszusprechen.
345

302 Quellenangaben.
§ 20, 3. S. 98. D. Hilbert, Getting. Nachr. 8 (1906), 157.
S.99. H.Minkowski, Geometrie derZahlen{Leipzig und Berlinl910), 116.
§ 20, 4, R. Baire, Acta math. 32 (1909), 105.
§ 20, 5. K. Hens el, Theorie der algebraischen Zahlen I (Leipzig und Berlin
1908). J. Ktirschak, Journ. fur Math. 142 (1913), 212.
§ 21, 1. Vollstandiger Raum der Sache nach bei M. Fr6chet, Rend. Pal. 22
(1906), 23.
§ 21, 3. S. 106. G. Cantor, Math. Ann. 5 (1872), 123; Gh. M6ray, Nouveau
precis d'analyse infinit^simale (Paris 1872).
§ 21, 4. M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906), 6.
§ 22, Offene Menge: H. Lebesgue, Ann. di mat. (3) 7 (1902), 242; G. Garath6odory,
Vorlesungen, 40. In der ersten Auflage wurden die offenen
Mengen als Gebiete bezeichnet, worunter wir jetzt zusammenhangende
offene Mengen verstehen.
§ 23. Die mei^ten Begriffe dieses § stammen von G. G an tor. Verdichtungspunkt:
E. Lin del of. Acta math. 29 (1905), 184. Insichdichter Kern:
H. Hahn, Theorie, 76.
§ 25. Die Satze dieses § stammen meist von G. Gantor.
S. 125. Separabel (in etwas anderem Sinne): M. Fr6chet, Rend. Pal.
22 (1906), 23.
IV. F.Bernstein, Diss. (Halle 1901), 44.
§ 20, 1. II. E. Borel, Ann. 6c. norm. (3) 12 (1895), 51.
III. E. Lindelof, Gompt. rend. 137 (1903), 697; W. H. Young, Lond.
math. soc. proc. 35 (1903), 384.
IV. W. Sierpinski, Bull. Ac. Gracovie (1918), 49.
§ 26, 3. VIII. W. H. Young, Leipz. Ber. 55 (1903), 287; Theory, 64.
§ 27. S. 142. R. Baire, Ann. di Mat. (3) 3 (1899), 67.
§ 28, 1. Entfernung AB: D. Pomp6ju, Ann. Fac. Toulouse (2) 7 (1905), 281..
§ 28, 2. Die Mengen F, F der Sache nach bei P. Painlev6 ; siehe L. Zoretti,
Journ. de math. (6) 1 (1905), 8; Bull. soc. math. France 37 (1909), 116.
§ 29, 1. Zusammenhang: N. J. Lennes, Amer. J. of Math. 33 (1911), 303.
Kontinuum: G. Jordan, Gours d'analyse I (2. 6d. Paris 1893), 25.
Gebiet (auf WeierstraB zurtickgehend) G. Garath6odory, Vorlesungen,
208, 222.
III. Z. Janiszewski und G. Kuratowski, Fund. math. 1 (1920), 211.
§ 29, 2. S. 155. H. Hahn, Jahresber. D. Math. V. 23 (1914), 319; Wiener Ber.
123 (1914), 2433.
X. H. Hahn, Fund. math. 2 (1921), 189. d Kuratowski, Fund.
math. 1 (1920), 43.
S. 157. St. Mazurkiewicz, Fund. math. 1 (1920), 167.
§ 29, 3. S. 158. G. Gantor, Math. Ann. 21 (1883), 576.
XV. L. E. J. Brouwer, Amst. Ak. Proc. 12 (1910), 785.
XVII. Z. Janiszewski, Th^se (Paris 1911) = Journ. 6c. polyt. (2)
16 (1912), 100.
S. 162. W. Sierpinski, T6hoku Math. J. 13 (1918), 300.
§ 29, 4. XIX. L. Zoretti, Journ. de math. (6) 1 (1905), 8.
§ 30, 4. VII. Z. Zalcwasser, Fund. math. 3 (1922), 44.
§ 31, 1. S. 174. G. Hamel, Math. Ann. 60 (1905), 459.
S. 175. L. Zoretti, Ann. 6c. norm. (3) 26 (1909), 487.
S. 175. Z. Janiszewski, Gompt. rend. 151 (1910), 198.
346

Quellenangaben. 303
§ 81, 2. S. 176. F.Bernstein, Leipz. Ber. 60 (1908), 325.
S. 177. W. Sierpinski, Fund. math. 1 (1920), 7.
§ 32. I. Flir Borelsche Mengen: P. Alexandroff, Compt. rend. 162 (1916),
323; F. Hausdorff, Math. Ann. 77 (1916), 430.
Zur Theorie der Suslinschen Mengen vgL:
M. Souslin, Compt. rend. 164 (1917), 88.
N. Lusin, Ensembles analytiques (1930).
N. Lusin und W. Sierpinski, Bull. Ac. Grac. (1918), 35; Journ. de
Math. (7) 2 (1923), 53.
W. Sierpinski, Bull. Ac. Crac. (1919), 161, 179.
§ 33. I. W. Sierpinski, Compt. rend. 175 (1922), 859.
§ 84, 2. N. Lusin und W. SierpiAski, J. de Math. (7) 2 (1923), 53.
§ 36, 2. in. G, Jordan, Cours d*Analyse I (2. M. Paris 1893), 53.
V. L. E. J. Brouwer, Amst. Ak. Proc. 12 (1910), 785.
§ 35, 3. S. 199. H. Lebesgue, Lemons sur Pint^gration (Paris 1904), 105.
§ 36, 1. Peanosche Kurven: G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), 157. D. Hilbert.
Math. Ann. 38 (1891), 459. K. Knopp, Archly d. Math. u. Ph, (3)
26 (1918), 103. H. Lebesgue, Legons sur Pint^gration (Paris 1904), 44.
S. 204. L. E. J. Brouwer, Math. Ann. 70 (1911), 161. tJber die
Brouwer-Urysohn-Mengersche Dimensionentheorie ygl. K.
Menger, Dimensionstheorie (1928).
§ 36, 2. IL W. Sierpinski, Fund. math. 1 (1920), 44.
in. H. Hahn, Jahresb. D. Math. V. 23 (1914), 319; Wiener Ber. 123
(1914), 2433; St. Mazurkiewicz, Compt. r. Varsovie (III) 6
(1913), 305 (polnisch); Fund. math. 1 (1920), 191.
§ 37. II. III. W. SierpiAski, BuU. Ac. Crac. (1918), 29 und (1919), 161;
Fund. math. 5 (1924), 155.
IV. M. Souslin, Compt. rend. 164 (1917), 88.
§ 38. I. II. W. SierpiAski, Compt. rend. 171 (1920), 24.
III. St. Mazurkiewicz, BulL Ac. Crac. (1916), 490. P. Alexandroff,
Compt. rend. 178 (1924), 185. F. Hausdorff, Fund. math.
6 (1924), 146.
IV. M. Lavrentieff, Compt. rend. 178 (1924), 187; Fund. math. 6
(1924), 149.
§ 39, 1. II. L. Vietoris, Monatshefte Math. Phys. 31 (1921), 179.
III. N. J.Lennes Amer. J. of Math. 33 (1911), 308; W. Sierpinski,
Ann. di Mat. (3) 26 (1916), 131.
§ 39, 2. H. Hahn, Wiener Ber. 130 (1921), 217.
VII. R. L. Moore, Math. Ztschr. 22 (1925), 307.
§ 40. Genaueres A. Rosenthal (Enzykl. II G 9) Nr. 26; H. Tietze und L. Vietoris
(Enzykl. Ill A B 13); M. Fr^chet, Les espaces abstraits (1928);
C. Kuratowski, Topologie I (1933); W. Sierpinski, General topology
(1934).
S. 228. G. Kuratowski, Fund. math. 3 (1922), 182.
S. 229. Trennungsaxiome: H. Tietze, Math. Ann. 88 (1923), 290.
S. 230. P. Urysohn, Math. Ann. 94 (1925), 309. A. Tychonoff, Math*
Ann. 95 (1925), 139.
S. 230. M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906).
§ 41. Diese Theorie stammt hauptsSichlich von H. Lebesgue, Journ. de Math.
347

304 Quellenangaben.
(6) 1 (1905), 139—216. Vgl. W. H. Young, Lond. math. soc. proc, (2)
12 (1912), 260. F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 (1919), 292.
§ 41, 4. XIII, XIV. H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 103. H. Tietze, Journ,
f. Math. 145 (1914), 9. F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 (1919), 295.
§ 41, 6, W. SierpiAski, Fund. math. 2 (1921), 15, 37; St. Mazurkiewicz,
ib. 28; St. Kempisty, ib. 64, 131.
§ 42, Die S^tze dieses § stammen meistens von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3
(1899), 1—122; Legons SUP les fonctions discontinues (Paris 1905).
§ 42, li S. 249. R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125; H. Tietze, Journ.
f. Math. 145 (1914), 9; F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 (1919), 293.
§ 42, 8. S. 251. W. H. Young, Wien. Ber. 112 (1903), 1307; H. Lebesgue,
Bull. soc. math. 32 (1904), 235.
S. 251. H. Hankel, Math. Ann. 20 (1887), 89.
S. 251 {p,D nicht vertauschbar): V. Volterra, Giorn. di mat. 19
(1881), 76.
§ 42, 4» VIL H. Lebesgue in E. Borel, Lemons (1905), 149 und Journ.
de math. (6) 1 (1905), 182. G. de la ValUe Poussin, Integrates, 121.
VIII. R. Baire, Ann. di Mat. (3) 3 (1899), 16, 30.
§ 42, 6. C. Kuratowski u. W. Sierpi^ski, Fund. math. 3 (1922), 303.
§ 43. Vgl. R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 68; H. Lebesgue, Journ.
de math. (6) 1 (1905).
§ 48, 2. V. H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 205. C. de la Valine
Poussin, Integrates, 145.
VI. R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 81.
S. 262. N. Lusin, Fund. math. 2 (1921), 155.
S. 263. W. Sierpinski, Fund. math. 5 (1924), 20.
§ 48, 8. W. Sierpinski, Gompt. rend. 170 (1920), 919; Fund. Math. 2 (1921),
74; Fund. Math. 3 (1922), 26; Bull. Ac. Crac. (1919), 161, 179.
§ 44, I. H. Hahn, Archiv Math. Ph. 28 (1919), 34. W. Sierpii^ski, Fund.
math. 2 (1921), 41.
§ 46, 2. L S. Banach, Fund. Math. 16 (1930), 395.
S. 280. G. Kuratowski, Fund. Math. 16 (1930), 390.
Erst durch diese beiden Arbeiten ist die Bairesche Bedingung klar und
einfach geworden. Als Bairesche Bedingung (im engeren Sinn, vgl.
§ 45, 4) wurden fruher Eigenschaften recht verschiedenen, teilweise
komplizierten Wortlauts bezeichnet, die vor Kenntnis des Banachschen
Satzes nur im separablen Raum gleichwertig waren; iiber ihren Zusammenhang
im beliebigen Raum vgl. G. Steinbach, Beitrage zur Mengenlehre
(Diss. Bonn 1930), § 8.
S. 280. O. Nikodym, Fund. Math. 7 (1925), 149.
S. 280. W. Sierpinski, Hypothese du continu (1934).
§ 46, 3. G. Kuratowski, Fund. Math. 5 (1924), 75. Die dortigen Bezeichnungen
fonction a-continue, ^-continue habe ich in a-Funktion, /?-Funktion
abgekiirzt und danach die a-Mengen und /5-Mengen benannt.
§ 46. N. Lusin, Ensembles analytiques (1930).
§ 46,1. N. Lusin, Gompt. rend. soc. polon. math. (1926), 104.
§ 46, 2. Vgl. auch H. Hahn, Reelle Funktionen (1932), § 42, 4 und § 42, 5.
Nachtrag A. W. Hurewicz, Fund, Math. 12 (1928), 78.
Nachtrag C. G. Kuratowski, Fund. Math. 3 (1922), 200, ib. 10 (1927), 225
Nachtrag D. St. Banach, Fund. Math. 17 (1931), 283.
348

a-abgeschlossen 281, a-Funktion 283,
a-Menge281,a-offen281,a-Punktll2
Abbildung 15, 193, 283
abgeschlossen 115, absolut, relativ—121
Ableitung 112, 166
Abschnitt 58
absolut 121
abzahlbar 26, 36
Abzahlbarkeitsaxiome 229
Adharenz 114, 118
ahnlich 43
Ale! 26, 70, — Null 25
Analysis situs 227
Anfangszahl 71, regulare 73
Ansatzelement 56
Antinomie 34, 61
Aquivalenz 16, —satz 27
Argument 73
assoziativ 18
auBerer Punkt 112
B-Menge 290
^-Funktion 283, jS-Menge 280, /?-Punkt
112
Baire 142, 248, 249, 255, 257, —sche
Bedingung 280, 283, 288, —sches
Bild 265, —sche Funktion 257,
259, —sche Klasse 248, 258, —scher
(Null-)Raum 102, —sches System
167, 231, 257, —sches Theorem 255
Banach 279, 299
Basis 283
Begrenzung 112
Bendixson 138
Bernstein 27, 176
beschrankt, total — 108
Betrag, —saxiome 97
Bild 15, 193, Bairesches 265, eindeutiges
193, einfaches 292, halbschlichtes
290, homoomorphes 196,
Hausdorff, Mengenlehre.
Register.
(Verweisung auf Seitenzahlen.)
349
mehrf aches 292, schlichtes 193,
stetiges 194, —raum 266
Bolzano 109
Borel 130, —sche Klasse 86, —^sche
Menge 84,177,179, —^sches System
82, 84
Brouwer 204
y-Punkt 112
Cantor 11, 16, 23, 40, 46, 68, 71, 76,
96, 106, 114,134, 135, 138,158, 164
Garatheodory 17
Cauchy 103
charakteristische Funktion 20
^-System 83
^5-Funktion 89
Dedekind 27, 53, 106
Diagonalschema 30, —verfahren 40
dicht 50, 54, 124 125
Dichtigkeitsklasse 124
Differenz 14, —enkette 79, 81
Dirichlet 16, 251, 253
disjunkt 17, 18
diskontinuierlich 152
Diskrepanz 276
Distanz 158, singulare 223
distributiv 18
Division 64
Dreiecksaxiom 94
Durchmesser 108
Durchschnitt 17, —ssatze 129, 130
dyadisch, —es Diskontinuum 134, —es
Kontinuum 200, —e Menge 131,
—es Schema 30
eindeutig, eineindeutig 15, 193
Einschiebungssatz 243, 247, 248, 259
Element 11, —paar 14
Entfernung 94, 146, obere, untere 110,
145, —saxiome 94
20

306
Erweiterungssatz 244, 248, 259
Euklidisch 94
Existenzsatz 182, 260
Exponent 73
Fa 136, F^ 178, Fi-Menge 298, Fw
Menge 143
fast alle 10
fremd 17
Frechet 125, 230
Fundamentalfolge 103
Funktionensystem, Bairesches 167,
231, 257, gewohnliches 235, vollstandiges
236
at 136, G^ 178, Gii-Menge 143
Gebiet 151
Gerade 96
Grenze, obere, untere 9
Hahn 155, 207, 223, 226, 271
halbschlicht 290
Hamel 174
Hankel 251
Haufungspunkt 107, 112
Hensel 102
Hessenberg 68
Hilbert 202, —scher Raum 98
Homoomorphie 196, 213
Hiille 96, 165, abgeschlossene 115,
konvexe 96, vollstandige 107
Hurewicz 298
imperfekt, total— 176
Index 187, 188
Induktion, transfinite 62
Infimum 9
innerer Punkt 110
insichdicht 114
Intervall 9
Invarianz der Dimensionenzahl 204
invers 15, 16, —geordnet 43
isoliert 114
isometrisch 94
Janiszewski 161, 175
Jordan 219
Kardinalzahl 25
Kategorie, erste, zweite 142
Kern 96, 165, insichdichter 117, offener
110
Register.
350
Kette 57, 152, ^-Kette 158
Klasse von Funktionen 235,
Knopp 202, 204
Koharenz 114, 166
kommutativ 18
kompakt, bedingt— 107, 123
Komplement 14
Komplex 23
Komponente 152
kongruent 277
Konig 34
267
Kontinuum 151, dyadisches 200, irreduzibles
175, 219, zusammengesetztes
223, — der Primteile 224,
Prim— 223, —problem 40
Konvergenz 20,103,146, uniforme 252,
—menge 270
konvex 96, 153
Korper 78
Kowalewski 10
Kugel 137
Kuratowski 228,
Kurve, einfache 200
202, stetige 200
280, 285, 299
219, Peanosche
L-Raum 230
Lavrentieff 216
Lebesgue 199, 202, 280, —sche
Mengen 233, 267
leere Menge 12
Lennes 222
lexikographisch 46, 48, 73
Limes (oberer, unterer = superior, inferior)
10, 19, 20, 62, 103, 146, 230,
abgeschlossener, offener 146, 147,
— axiome 230, — zahl 62
linear 96
iokal zusammenMngend 155, 156
Lticke 53
Lusin 184, 192, 262, 289
Machtigkeit 25, des Kontinuums 26, 38
Maximum 9, Maximalmenge 173
Mazurkiewicz 157, 207
mehrdeutig 16
M^ray 106
metrisch 94, 146, metrisierbar 227
Minimum 9, Minimalmenge 175
Minkowski 53, —sche Ungleichung
99
Modul 277

mono ton 111, 164
Moore 225
iV-Funktion 287, iV-Menge 282
Netz 126
Nikodym 280
nirgendsdicht 138, 139, 140
normal 57
Nullmenge 12
Nullraum 102, 210
often 110, relativ— 122
Ordnung 42, —stypus 44, —szahl 55
Oscillation 270
Paar, geordnetes 14
Paarmenge, ordnende 42
Peano 11, —sche Kurve 202
perfekt 115, relativ — 122
polyadisch 132, 134, 201
Potenz 24, 31, 32, 49, 66
Primkontinuum, Primteil 223
Produkt 22, 23, 31, 46, 48, 65, 69,
75, 102
Projektion 102, 208
punkthaft 152
Punktmenge 94
punktweise unstetig 251
Radius 109
Rand, —menge, —p\inkt 110
reduzibel 168
reflexiv 25
regular 73, 223
relativ 121
Residuum 168
Rest 58, —typus 63
Riemann 99, 104, 227
Ring 77
*9-Menge 290
cr-System 83
schlicht 16, 193
schlieBlich 10
Schnitt 53
separabel 125
separiert 118
Sierpinski 162, 177, 205, 222, 263,
272, 280
singular 223
spaltbar 294
Sprung 53
351
;er. 307
stetig 41, 53, 110, 194, gleichmaCig—
197, oberhalb, unterhalb — 248,
— bis auf Mengen erster Kategorie
261
Strecke 96, —nbild 200, —nzug 153
Subtraktion 63
Summe, 17, 18, 29, 44, 45, 65, 68,
—naxiom 97
Supremum 9
Suslin 184, —sche Menge 91, 177, 179
symmetrisch 25
Teil, —funktion 194, —menge 13
topologisch 226, —er Raum 227
transitiv 13, 25, 42
trennbar 289
Trennungsaxiome 229
Treppenfunktion 246
triadische Menge 134
Tychonoff 230
Typus 44, Typenklasse 49
Umgebung 109, 117, 228, spezielk —
126, —saxiome 228
umkehrbar, eindeutig — 15
unabzahlbar 26
unbegrenzt 50
unverdichtet 114
unvergleichbar 28
Urbild 15, 193, —mengen 233, 267
Urysohn 230
delaVallee Poussin 20
Verdichtungspunkt 112
vergleichbar 28, 60, 61
Vergleichbarkeitssatz 60
volJstandig 103, 236
WeierstraB 9, 109, 125
Wertmenge 232
wohlgeordnet 55
Wohlordnungssatz 56
Young 136, 251, -—sche Mmge iM
Zahlenklasse 70
zerlegbar 231
Zermelo 34, 56
Zerstiickelung 150
Zoretti 163, 175, 225
zusammenhangend 150, irreduzibel—
220, lokal— 155, 156

Anmerkungen der Herausgeber
[1] (S. 11) Mengen
HAUSDORFFS Auffassung des Mengenuniversums kann aus Sicht der heute tiblichen
axiomatischen Vorgehensweise folgendermafien umrissen werden (s. dazu
auch Band II dieser Edition, S. 577-578). HAUSDORFF benutzt diejenigen Definitions-
und Transformationsprinzipien fiir Mengen, die in dem ZERMELO-FRAEN-
KELschen Axiomensystem ZFC (s. T. JECH, Set Theory. The Third Millennium
Edition^ Springer Monographs in Mathematics, 2002, dort S. 3) als Aussonderungs-,
Ersetzungs-, Paarmengen-, Potenzmengen-, Unendhchkeits-, Vereinigungs-
und Auswahlaxiom formahsiert werden. Das Extensionalitatsaxiom findet
sich bei HAUSDORFF als Definition der Gleichheit von Mengen (s. Anm.
[4]). Das Regularitatsaxiom (oder Fundierungsaxigm), mit dem man Induktionsbeweise
fiir alle Mengen fiihren kann, wird nicht benutzt.
Dariiber hinaus sieht HAUSDORFF eine Vielzahl weiterer mathematischer Objekte
und Begriffe als gegeben an. Nattirliche und reelle Zahlen, Kardinalzahlen
und Ordinalzahlen werden nicht als Mengen definiert, sondern als Objekte
oder Dinge eigener Art und ohne interne mengentheoretische Struktur postuliert.
Auf S. 25 nennt HAUSDORFF dies eine „formale Erklarung" und schreibt
pragnant: „das ,Wesen' der Kardinalzahl zu ergriinden, miissen wir der Philosophic
liberlassen." Weiterhin benutzt HAUSDORFF funktionale Zuordnungen
zwischen Mengen und Objekten anderen Typs, wie z. B. die Bildung von geordneten
Paaren (a, b) (s. Anm. [7]), oder die Zuordnung einer Kardinalzahl zu
jeder Menge (s. Anm. [11]). Auch ZERMELO griindet seine axiomatische Mengenlehre
auf „Dinge", von denen ein Teil dadurch als „Mengen" ausgezeichnet
sind, daB sie (andere) Dinge als Elemente besitzen (E. ZERMELO, Untersuchungen
iiber die Grundlagen der Mengenlehre. I, Math. Ann. 65 (1908), 261-281,
dort S. 262). Die iibrigen Dinge werden von ZERMELO als Urelemente bezeichnet.
Zusammenfassend kann man die HAUSDORFFsche Mengenlehre als eine Erweiterung
der ZERMELO-FRAENKELschen Mengenlehre ZFC mit Urelementen
beschreiben, in der zusatzliche relationale und funktionale Zusammenhange
zwischen Mengen und Urelementen durch kanonische Axiome definiert werden.
Diese Theorie ist in ihrer mathematischen Starke zu ZFC aquivalent, approximiert
aber besser das tatsachliche Vorgehen in der Mathematik.
Zur Erlauterung von HAUSDORFFS Darstellung werden wir gelegentlich das
eingeschrankte Axiomensystem ZF benutzen, das aus ZFC durch Fortlassen
des Auswahlaxioms entsteht. V. K. /P. K.
352

[2] (S. 11) Beispiele
Auch bei diesen Beispielen liberwindet HAUSDORFF rasch den „Erdenrest"; s.
Band II dieser Edition, S. 145 u. S. 586-587. V. K. /P. K.
[3] (S. 11) Antinomie
In dem Buch Mengenlehre hat HAUSDORFF wie schon in den Grundziigen der
Mengenlehre Diskussionen iiber die Natur der mengentheoretischen Antinomien
oder iiber Grundlagenfragen weitgehend zuriickgedrangt, obwohl diese
Pragen zu Beginn des 20. Jahrhunderts und auch noch in den zwanziger Jahren
zu lebhaften Auseinandersetzungen unter Mathematikern gefiihrt hatten
(s. dazu Cinq lettres sur la theorie des ensembles, den beriihmten Meinungsaustausch
zwischen R. BAIRE, E. BOREL, J. HADAMARD und H. LEBESGUE
in Bull. Soc. Math. Pr. 33 (1905), 261-273). HAUSDORFFS Einstellung kann
als die eines „praktischen Mengentheoretikers" charakterisiert werden, welcher
mit mathematisch relevanten Mengen arbeitet und intuitiv wohlbegriindete
Annahmen und Methoden einsetzt, die heute gewohnlich mit der ZERMELO-
PRAENKELschen Mengenlehre ZFC identifiziert werden. Der Einflufi von HAUS­
DORFFS Biichern Grundzilge der Mengenlehre und Mengenlehre auf die Etablierung
dieser Arbeltsweise mit Mengen war so dominierend, daB die Hommage,
die er in den Grundziigen, S.III, GEORG CANTOR zugedacht hatte, von den
nachfolgenden Generationen von Mengentheoretikern ebenfalls ihm selbst hatte
gewidmet werden konnen. V. K. /P. K.
[4] (S. 12) Zwei Mengen werden ... gleich
HAUSDORFF definiert zwei Mengen als gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
In der modernen axiomatischen Mengenlehre hingegen ist die Gleichheit
oder Identitat ein GrundbegrifF der Logik. Die HAUSDORFFsche Definition
entspricht dann dem ZERMELOschen Axiom der Bestimmtheit oder Extensionalitat
x = y^^=^\/z (z G x z G y) (E. ZERMELO, Untersuchungen iiber die
Grundlagen der Mengenlehre. 7, Math. Ann. 65, 261-281, dort S. 263).
V.K./P.K.
[5] (S. 13) beriihmte Fermatsche Satz
Gemeint ist der Grofie PERMATsche Satz, den A. WILES 1994 bewiesen hat
(A. WILES, Modular elliptic curves and FermaVs last theorem, Annals of Mathematics
141 (1995), 443-551). Es gibt eine umfangreiche Literatur iiber die
Geschichte des Grofien PERMATschen Satzes, s. z. B. A. v. D. POORTEN, Notes
on FermaVs last theorem, Wiley, New York 1996. Piir HAUSDORFFS Gedankengang
zur Rechtfertigung der leeren Menge miifite man heute, nach dem Beweis
der PERMATschen Vermutung, ein beliebiges anderes ungelostes mathematisches
Problem einsetzen. V. K. /P. K.
[6] (S. 13) Notation
Die Entstehung und die Geschichte der grundlegenden mengentheoretischen Begriffe
und Satze sowie der symbolischen Notation in der Ara vor HAUSDORFF
353

sind in den Anmerkungen zu Grundzuge der Mengenlehre und in dem Essay
Der Begriff der Funktion im Band II dieser Edition, S. 577 ff. und S. 621-633
kommentiert. Zusatzlich finden sich am Beginn des vorliegenden Bandes nach
dem HAUSDORFFschen Schriftenverzeichnis zwei Tabellen mit Korrespondenzen
zwischen HAUSDORFFS mengentheoretischer Notation und der heute iiblichen.
V.K./RK.
[7] (S. 14) geordnetes Paar
HAUSDORFF betrachtet das geordnete Paar als undefinierten Grundbegriff mit
bestimmten Eigenschaften. In den Grundziigen der Mengenlehre, S. 32 bemerkte
HAUSDORFF, dafi man das geordnete Paar von a und b durch die Mengenbildung
(a, 6) — {{1, a}, {2, 6}} definieren konnte. Heute wird allgemein das
KuRATOWSKische Paar
(a,6) = {{a},{a,6}}
verwendet. S. dazu Band II dieser Edition, S. 627-629. V. K. /P. K.
[8] (S. 16) von Dirichlet formulierten Funktionsbegriff
HAUSDORFF legt den allgemeinen Funktionsbegriff zugrunde, der nicht auf eine
spezielle Klasse von Funktionen wie die der analytischen, stetigen etc. beschrankt
ist. Die Urspriinge des BegrifFs in dieser AUgemeinheit konnen auf Arbeiten
von FOURIER, LOBATCHEVSKY und vor allem DiRlCHLET in der ersten
Halfte des 19. Jahrhunderts zuruckgefiihrt werden; s. dazu A. P. YOUSCHKE-
VITCH: The concept of function up to the middle of the 19th century, Archive
for History of Exact Sciences 16 (1976/77), 37-85, bzw. den Essay Der Begriff
der Funktion im Band II dieser Edition, S. 621-633. V. K. /P. K.
[9](S.22) {A,B)
Das Produkt [A, B) wird heute als A x 5 notiert. In Anlehnung an DESCAR­
TES' analytische Geometric und zur Abgrenzung von anderen Produkten wird
es haufig Cartesisches Produkt genannt. V. K. /P. K.
[10] (S. 22) geordnete Tripel
HAUSDORFF fiihrt das geordnete Tripel (a, 6, c) wie schon das geordnete Paar
(a, b) als Grundbegriff ein. Unter Verwendung des geordneten Paars liefie sich
das Tripel auch als (a, 6, c) = ((a, 6), c) definieren. V. K. /P. K.
[11] (S.25) Kardinalzahl
Streng genommen definiert HAUSDORFF nur, was es heifit, dafi zwei Mengen
dieselbe Kardinalzahl besitzen oder gleichmdchtig sind. Diese Aquivalenzrelation
- HAUSDORFF schreibt statt gleichmachtig auch dquivalent - ist auf der
Klasse aller Mengen definiert, liefert aber keine Definition einer Kardinalzahl
als mengentheoretisches Objekt, d. h. als Menge mit bestimmten Eigenschaften.
Es ist nicht einfach, Kardinalzahlen als Mengen zu definieren (s. den Essay
Der Begriff der Kardinalzahl, Bd. II dieser Edition, S. 634-644). Die nahelie-
354

gende Definition einer Kardinalzahl als Aquivalenzklasse der in Rede stehenden
Aquivalenzrelation liefert echte Klassen, die keine Mengen sind. 1923 publizierte
J.V.NEUMANN, Zur Einfuhrung der transfiniten Zahlen, Acta Sci. Math.
Szeged 1, 199-208, die noch heute giiltige Darstellung von Ordinalzahlen und
Kardinalzahlen als Mengen: eine Kardinalzahl wird definiert als Anfangsordinalzahl^
d. h. als Ordinalzahl, die zu keiner kleineren Ordinalzahl gleichmachtig
ist (s. Anm. [30]). Diese Definition ist auch in einer Mengenlehre mit Urelementen
problemlos moglich. Angesichts HAUSDORFFS ausfiihrlicher Diskussion der
Problematik des „formalen" Kardinalzahlbegriffs ist anzunehmen, dafi HAUS-
DORFF die Arbeit von J.V.NEUMANN beim Verfassen der Mengenlehre nicht
kannte. V.K./RK.
[12] (S. 27) Satze I und II
Im Beweis von Satz I benutzt HAUSDORFF, ohne darauf aufmerksam zu machen,
das Auswahlaxiom, das aber erst auf S. 56 im Beweis des Wohlordnungssatzes
kurz erwahnt wird. Die Verwendung von unendlich vielen sukzessiven
oder simultanen Auswahlen erscheint sehr anschaulich und wird in der Mathematik
oft unkritisch eingesetzt. Auf Grund der verschiedenen Problematiken
des Auswahlaxioms (Paradoxien, Unabhangigkeit von den anderen Axiomen
der Mengenlehre) ist aber Vorsicht geboten.
Fiir Satz I und sein Korollar Satz II ist bereits ein abzdhlbares Auswahlaxiom
hinreichend, nach dem jede abzahlbare Folge nichtleerer Mengen eine Auswahlfolge
besitzt: Sei An die Menge aller n-elementigen Teilmengen der gegebenen
unendlichen Menge A. Nach dem abzahlbaren Auswahlaxiom sei Xn € An fiir
alle n. Dann ist A^ = |J^ Xn eine abzahlbare Teilmenge von A. Die Notwendigkeit
eines abzahlbaren Auswahlprinzip fiir die Satze I und II lasst sich mit
Hilfe der COHENschen Erzwingungsmethode („Forcing") zeigen. In Set Theory
and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York 1966, dort Satz 1 auf
S. 138, konstruiert P. J. COHEN ein Modell der Theorie ZF mit einer unendlichen
Menge X von reellen Zahlen ohne abzahlbare Teilmenge. Diese Menge ist
zu keiner ihrer echten Teilmengen Y gleichmachtig, denn gabe es eine Bijektion
/ : X ^^Y C X, so ware iiir a e X — Y die Menge {a, /(a), f{f{a)),...} eine
abzahlbare Teilmenge von X (aus /^+^(a) - /^(a) folgt f{a)=aeX-Y
und i — 0). Fiir weitere Informationen, insbesondere zur Geschichte von DE-
DEKiNDs Endlichkeits-Definition, s. Anm. [20] zu Grundziige der Mengenlehre,
Band II dieser Edition, S. 588. V. K. /P. K.
[13] (S. 27) Aquivalenzsatz
Die Geschichte dieses wichtigen Satzes ist mit den Namen BERNSTEIN, CAN­
TOR, DEDEKIND, SCHRODER U. a. verbunden; s. dazu Anm. [19] zu Grundziige
der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 587. V. K. /P. K.
[14] (S. 29) Summe, Produkt, Potenz
Die Definition unendlicher Summen und Produkte von Kardinalzahlen benutzt
das Auswahlaxiom, um eine reprasentierende Menge fiir jede vorkommende
355

Kardinalzahl auszuwahlen, und im Falle des Produkts auch, um zu zeigen, daB
das Cartesische Produkt nicht leer ist und die liblichen Eigenschaften besitzt.
Auswahlprinzipien sind notwendig, well eine Reihe Kardinalzahl-arithmetischer
Eigenschaften in der Theorie ZF sogar aquivalent zum Auswahlaxiom sind (s.
A. TARSKI, Sur quelques theoremes qui equivalent a Vaxiome du choix, Fundamenta
Math. 5 (1924), 147-154). V. K. /P. K.
[15] (S.34) „Menge aller Kardinalzahlen'^
Die Antinomic „Menge aller Kardinalzahlen" wird im ZERMELO-FRAENKELschen
Axiomensystem ZF dadurch umgangen, dafi die Axiome nur fiir gewisse
Zusammenfassungen von Objekten (beispielsweise fiir definierbare Teilklassen,
funktionale Bilder von Mengen, Paare, Potenzklassen usw.) fordern, daB die Zusammenfassungen
wiederum Mengen sind. (Definierbare) Zusammenfassungen
werden als Klassen bezeichnet. Aus den ZF-Axiomen folgt, daB die Klasse aller
natiirlichen Zahlen eine Menge ist, wahrend die Klasse aller Kardinalzahlen eine
echte Klasse ist, welche keine Menge ist. Letzteres kann durch Nachbildung
des HAUSDORFFschen Arguments im formalen System ZF bewiesen werden.
Grundgedanke der ZERMELO-FRAENKELschen Axiomatik, mit der die Rus-
SELLsche Antinomic vermicden wird, ist, daB Mengen „kleinc" Klassen sind.
Dies wird ausfiihrlich dargestellt in M. HALLETT, Cantorian set theory and
limitation of size, Oxford, 1984.
Um Klassen zu voUwertigen Objekten der Grundlagentheorie zu machen, sind
Klassentheorien wie die Axiomensystcme NBG von VON NEUMANN, BERN AYS
und GODEL oder KM von KELLEY und MoRSE eingefiihrt worden. In diesen
Theorien ist cine Klasse eine Menge genau dann, wenn sic Element einer (anderen)
Klasse ist. Die Theorien NBG und KM besitzen etwa dieselbe mathematischc
Starke wie die Mengenthcorien ZF oder ZFC. V. K. /P. K.
[16] (S. 34) Satz von J. Konig
S. dazu Anm. [22] zu Grundziige der Mengenlehre in Band II dieser Edition,
S. 588-589. V.K./P.K.
[17] (S. 36) Die Mdchtigkeit H des Kontinuums
In modcrner Notation bezeichnet man diese Machtigkeit mir c oder 2^°.
V.K./P.K.
[18] S. 38) Die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen
Zur Geschichtc des Beweises, dafi diese Menge abzahlbar ist, s. Anm. [24] zu
Grundziige der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 589. V. K. /P. K.
[19] (S.40) Kontinuumproblem
Die Kontinuumhypothese (CH) hat zwei verschicdene Formen: die erste, ausgedriickt
durch die Gleichung 2^° = b^i, ist die Behauptung, dafi cs eine Bijektion
zwischen der Menge der reellen Zahlen und der Menge der abzahlbarcn
Ordinalzahlen gibt; die zweite behauptet, dafi cs keine Kardinalzahl m mit
356

^o < nx < 2^° gibt. Beide Formen sind in ZFC aquivalent, aber nicht in ZF.
Es widerspricht nicht der Theorie ZF, dafi Hi und 2^° zwei verschiedene Kardinalzahlen
sind, die beide unmittelbare Nachfolger von HQ sind.
Sowohl die Kontinuumhypothese als auch die HAUSDORFFsche verallgemeinerte
Kontinuumhypothese (GCH) 2^^ = ^^^+i fiir alle Ordinalzahlen ^ stehen
seit CANTOR im Mittelpunkt der mengentheoretischen Forschung. Die verallgemeinerte
Kontinuumhypothese wurde erstmals in [H 1908], S.494 formuHert
und Cantorsche Alefhypothese genannt. K. GODEL {The consistency of the axiom
of choice and of the generalized continuum-hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA 24 (1938), 556-557) und P. J. COHEN {The independence of the continuum
hypothesis, I and II, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 50 (1963), 1143-1148, und
51 (1964), 105-110) bewiesen, dafi die CANTORsche Kontinuumhypothese von
den mengentheoretischen Axiomen unabhangig ist, d. h. sie ist in ZFC weder zu
beweisen noch zu widerlegen. Diese bahnbrechenden Resultate begriindeten die
axiomatische Mengenlehre, in der Modelle von verschiedenen mengentheoretischen
Axiomensystemen konstruiert und untersucht werden. Die Unabhangigkeitsresultate
sind in modernen Studien dahingehend verallgemeinert worden,
dafi die kardinale Exponentiation 2^^ in verschiedenen Modellen recht behebige
Werte annehmen kann. Diese werden - zumindest fiir regulare Kardinalzahlen
- nur durch einige einfache Regeln eingeschrankt, die im wesenthchen aus dem
Satz von KONIG folgen. S. dazu auch Anm. [43] zu Grundziige der Mengenlehre,
Band II dieser Edition, S. 598-600.
In letzter Zeit gibt es interessante neue Ansatze zur Klarung des Kontinuumproblems,
bei denen natiirHche mengentheoretische Hypothesen identifiziert
werden soUen, deren Adjunktion zu ZFC die Kardinahtat des Kontinuums entscheiden
wiirde (s. H. WOODIN, The Continuum Hypothesis and the Q Conjecture,
Coxeter Lecture, Fields Institute, 2002). V. K./P. K.
[20] (S. 42) Eine Menge wird also geordnet
Es wird stillschweigend vorausgesetzt, dafi a 7^^ 6 ist, folghch kann a < a nicht
eintreten. HAUSDORFF betrachtet hier also strikte lineare Ordnungen. Naheres
dazu in Anm. [28] zu Grundziige der Mengenlehre, Band II dieser Edition,
S. 591-592. V.K./P.K.
[21] (S. 42) ordnende Paarmenge
Dies ist aquivalent zur modernen Definition einer Ordnungsrelation als einer
Menge geordneter Paare, die gewissen Bedingungen geniigt. Die Auffassung
einer Ordnung auf A als einer geeigneten Teilmenge von Ax A geht auf HAUS-
DORFF selbst zuriick: Grundziige der Mengenlehre, S. 69-71; s. dazu den Verweis
in Anm. [20]. V.K./P.K.
[22] (S.44) Ordnungstypus
Dieser Begriff ist wie der der Kardinalzahl durch eine Aquivalenzrelation mit
Klassen-grofien Aquivalenzklassen definiert und stofit auf ahnliche Probleme
(s. Anm. [11]). In der Theorie ZF kann man den Ordnungstypus einer geord-
357

net en Menge A = (.A,

Teilmenge. In diese Menge lasst sich die Menge der rationalen Zahlen (oder in
HAUSDORFFS Notation der Ordnungstyp rj) nicht ordnungstreu einbetten.
Satz III stammt von CANTOR. In HAUSDORFFS „Zick-Zack-Beweis" werden
explizite Aufzahlungen der betrachteten dichten, abzahlbaren Mengen benutzt,
so dafi hier ein Riickgriff auf beliebige Auswahlen vermieden wird. Zur HAUS-
DORFFschen „Zick-Zack-Methode" s. den Essay Die Hausdorffsche Theorie der
r]a-Mengen und ihre Wirkungsgeschichte im Band II dieser Edition, S. 645-674.
V.K./P.K.
[29] (S. 51) Satz IV
Wenn andererseits ein abzahlbarer Ordnungstypus r die Eigenschaft hat, da6
jede abzahlbare Ordinalzahl (d. h. jeder abzahlbare wohlgeordnete Typus) ahnlich
zu einer Teilmenge von r ist, dann ist rj (der dichte abzahlbare Typus)
ebenfalls zu einer Teilmenge von r ahnlich; s. HAUSDORFFS Studie Ein Satz
von G. Kurepa (Fasz. 702) in diesem Band, S. 729-731. V. K. /P. K.
[30] (S. 55) wohlgeordnete Menge, Ordinalzahl
HAUSDORFF definiert die Ordinalzahlen naheliegenderweise als Ordnungstypen
wohlgeordneter Mengen. Demgegeniiber definiert man in der Theorie ZF
zunachst die VON NEUMANNschen Ordinalzahlen als transitive Mengen, die
durch die G-Relation wohlgeordnet werden (eine Menge t heifit transitiv, wenn
jedes Element x G t auch eine Teilmenge von t ist). Unter wesentlicher Benutzung
des Ersetzungsaxioms kann man zeigen, dass jede wohlgeordnete Menge
(X,

[32] (S. 59) W{a)
In der Theorie der VON NEUMANNschen Ordinalzahlen sind die Abschnitte besonders
einfach: fiir beliebige Ordinalzahlen ce, P gilt a < (3 dann und nur dann,
wenn a e 13. Damit ist W{a) = a. V. K. /P. K.
[33] (S. 61) zwei Kardinalzahlen sind stets vergleichbar
Dieser Satz von ZERMELO ist nur richtig, wenn man das Auswahlaxiom voraussetzt.
Ohne Auswahlaxiom sind sogar die Kardinalzahlen Hi und c = 2^° nicht
notwendig vergleichbar; s. P. COHEN, Set theory and the continuum hypothesis,
New York 1966. V. K. /P. K.
[34] (S. 71) Anfangszahl uja
In ZF sind cUa, ^a und W{uJa) durch die spezifische Wahl von Reprasentanten
von Ordinalzahlen und Kardinalzahlen identisch. Dennoch wird gelegentlich
durch den Gebrauch von to a oder HQ; der ordinale oder aber der kardinale Charakter
der Zahl in einer Aussage betont. V. K. /P. K.
[35] (S.73) regular
HAUSDORFF nennt eine Kardinalzahl LJX = ^^A regular, wenn fiir jede Menge
X kleinerer Ordinalzahlen als CJA, deren Ordnungstyp echt kleiner als a;A ist,
supX < uj\ gilt. Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms ist jede Nachfolgerkardinalzahl
K^+i regular. Die von HAUSDORFF als exorbitant bezeichneten
regularen Kardinalzahlen KA mit Limesindex A heiBen heute schwach unerreichbar.
Fiir stark unerreichbare Kardinalzahlen wird zusatzlich gefordert, dafi
2^^ < HA fiii' alle 7 < A gilt. Das Wort „unerreichbar" wurde in diesem Zusammenhang
von C. KURATOW^SKI vorgeschlagen.
Stark unerreichbare Kardinalzahlen sind insofern sehr groB, als sie nicht „von
unten" durch Operationen wie die ordinale Addition, Multiplikation, Potenzbildung
oder die Abbildung a 1-^ ^^Q; erreicht werden konnen. ZERMELO zeigte,
da6 in ZFC die Existenz einer stark unerreichbaren Kardinalzahl nicht
bewiesen werden kann (E. ZERMELO, Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche,
Fund. Math. 16 (1930), 29-47, dort S. 45). Schwach unerreichbare Kardinalzahlen
konnen in einem gewissen Sinne klein sein, z. B. < c = 2^°, aber auch ihre
Existenz kann in ZFC nicht bewiesen werden; s. dazu auch die Anmerkungen
[43] und [44] zu Grundzilge der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 598-601
fiir weitere Informationen und Liter at urhinweise. V. K. /P. K.
[36] (S. 73) Der allgemeine Produktbegriff
Die Theorie der allgemeinen Produkte und ihrer partiellen lexikographischen
Ordnung ist HAUSDORFFS ureigenste Schopfung; s. dazu die Anmerkungen [48]
und [49] zu Grundzilge der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 604-605.
V.K./P.K.
[37] (S. 75) zwei Komplemente P, Q
P ist das maximale wohlgeordnete Anfangssegment von M{a, b). V. K. /P. K.
360

[38] (S. 77) Ringe und Korper
HAUSDORFF studiert in § 17 Mengenringe, die abgeschlossen unter paarweiser
Vereinigungs- und Durchschnittsbildung sind, und Mengenkorper, die zusatzlich
abgeschlossen beziiglich der Differenzbildung zweier Mengen sind. Das bemerkenswerteste
Resultat ist Satz I auf S. 81, der besagt, dafi die aus Mengen von
971 gebildeten Differenzenketten von der Lange < uj^ einen Korper bilden, falls
dJl ein Ring ist, der die NuUmenge enthalt und der abgeschlossen gegeniiber
Durchschnittsbildung von weniger als ^^^ Mengen aus Tl ist. V. K. /P. K.
[39] (S. 84) kleinstes Borelsches System
Das kleinste Borelsche System 53 = ^{(75) ^ das alle Mengen eines gegebenen
Mengensystems dJl enthalt, kann ahnlich definiert werden wie der kleinste Ring
iiber Tl, namlich als Durchschnitt aller Borelschen Systeme 03' mit 971 C ^^
Die Mengen in ^ = Tl(cjb) werden die von 971 erzeugten Borelschen Mengen genannt.
Ublicherweise wird der Fall betrachtet, dafi 971 das System aller offenen
Oder aller abgeschlossenen Mengen eines gegebenen topologischen Raumes ist
(zu historischen Aspekten s. Anm. [83]), aber HAUSDORFF zeigt, dafi ein eingehendes
Studium Borelscher Systeme auch fiir ein beliebiges Mengensystem 971
moglich ist. V. K. /P. K.
[40] (S. 85) Aufbau des Borelsches Systems
Durch transfinite abwechselnde Iteration der Operationen a und 6 definiert
HAUSDORFF eine Folge von Mengenklassen, die man die Borelsche Hierarchic
(iiber einem gegebenen Mengensystem 971) nennt: Es sei 21^ = 97t, und weiter
~ ( U£

z.B.IR ist (ein polnischer Raum ist ein separabler, voUstandig metrisierbarer
Raum). Andererseits kann die Lange 0 sein wie bei dem von HAUSDORFF angegebenen
trivialen Beispiel. A. W. MILLER, On the length of Borel hierarchies^
Ann. Math. Logic 16 (1979), 233-267, zeigte den schwierigen Satz, da6 fiir
jedes ^ < cji ein Mengensystem dR existiert, so dafi die Lange der Borelschen
Hierarchie liber 9Jl genau ^ ist. V. K. /P. K.
[42] (S.88) Satz I
Die Stufen 05^ der Borelschen Hierarchie werden durch transfinite Iterationen
von abzahlbaren Vereinigungen und Durchschnitten erzeugt. Im vorhegenden
Satz ersetzt HAUSDORFF diesen transfiniten Prozess durch die einmahge Anwendung
einer infinitaren Operation von einfacher und durchsichtiger Natur.
V.K./P.K.
[43] (S.89) 6s-Funktionen
Der BegrifF der Ss-Funktion^ meist als 6s-Operation bezeichnet, gehort zu den
wichtigsten mengentheoretischen Begriffen, die mit HAUSDORFFS Namen verbunden
sind. Die FamiHe der (5s-Operationen umfasst grundlegende Operationen
auf abzahlbar vielen Argumenten wie die Bildung von z. B. abzahlbaren
Vereinigungen und Durchschnitten und die ^-Operation (zur Geschichte der
Entdeckung der ^5-Operationen s. diesen Band, S. 30).
AUerdings schlieBt HAUSDORFF durch die unausgesprochene, aber implizite
Forderung, daB die Folgen der „ Basis" A/" aus streng wachsenden Folgen u
natiirlicher Zahlen bestehen, einige sehr einfache Funktionen wie z.B. die Projektionsfunktion
^o{Mi,M2,Ms,...) — Mi aus (s.auch Fasz.431, in diesem
Band, S. 574). Dies ist auch der Grund dafiir, dafi Satz I auf S. 88 nur fiir ^ > 1
formuliert ist. Im Fall ^ = 0 mit 03^ = -DPT ware das naheliegende $o eine Projektionsfunktion
und keine (55-Operation. V. K. /P. K.
[44] (S. 90) Diese Frage ist ubrigens zu verneinen
In der erst en Ausgabe der Mengenlehre (1927) stand an S telle dieses Satzes
„Diese Frage ist bisher nicht entschieden." SiERPiNSKi hat das Problem noch im
gleichen Jahr aufgegriffen und die Frage negativ beantwortet (W. SIERPINSKI,
Sur une probleme de M. Hausdorff, Fund. Math. 10 (1927), 427-430; s. auch
dieser Band, S. 22). A. DASGUPTA hat folgendes bewiesen {Boolean operations,
Borel sets, and Hausdorff ^s question, J. Symbolic Logic 61 (1996), 1287-1304):
Ist 3!Jl ein System von Borelmengen in einem liberabzahlbaren polnischen Raum
X, deren Borelrange durch eine Ordinalzahl ^ < uji beschrankt sind, so gibt
es keine 5s-Operation $ (mit irgendeiner, nicht notwendig Borelschen Basis),
so dafi die Klasse $(3DT) mit der Klasse aller Borelmengen iibereinstimmt. Dies
gilt insbesondere flir die konkreten Borelschen Klassen DJl = F^ oder OT = G^
in X. Andererseits hat SIERPINSKI gezeigt, dafi es eine ^^o-stellige Operation
gibt, welche, angewendet auf Folgen abgeschlossener Mengen, genau alle Borelmengen
liefert, aber diese Operation ist keine (55-Operation (W. SIERPINSKI,
Sur un probleme de la theorie generale des ensembles concernant les families
362

oreliennes d'ensembles, Fund. Math. 29 (1937), 206-208). V.K./RK.
[45] (S. 91) Suslinsche Mengen
Die Suslinmengen werden durch die angegebene (5s-Operation $ erzeugt, die
als Suslin-Operation oder haufiger als A-Operation bezeichnet wird. Der Begriff
der Suslinmenge geht auf M. SuSLlNs Note Sur une definition des ensembles
mesurables B sans nombres transfinis^ Comptes rendus Acad. Sci. Paris
164 (1917), 88-91, zuriick (s. Anmerkung [84] beziiglich historischer Angaben).
HAUSDORFF zeigt, dafi Tlt^^y^^ C OTs, so dafi die A-Operation in einem
Schritt jede abzahlbare Folge abzahlbarer Vereinigungen und Durchschnitte
subsumiert, und ferner, dafi Tls = ^ss- V. K. /P. K.
[46] (S. 94) Metrische Rdume
Die einschneidenste Anderung in der Mengenlehre gegeniiber den Grundzilgen
der Mengenlehre war der Ubergang von der allgemeinen Theorie der topologischen
Raume, die HAUSDORFF in den Grundzilgen selbst geschaffen hatte, zur
spezielleren Theorie der metrischen Raume; s. dazu ausfiihrhch Abschnitt 3
der historischen Einfiihrung in diesem Band, S. 15-19. HAUSDORFF hat in den
Grundzilgen auch die Theorie der metrischen Raume, die auf FRECHET zuriickgeht,
erstmals systematisch dargestellt und durch eigene Beitrage bereichert;
s. dazu Band II dieser Edition, S. 762-772. Zur Geschichte des Begriffs „metrischer
Raum" (diese Bezeichnung stammt von HAUSDORFF), insbesondere zu
den einschlagigen Arbeiten FRECHETS, S. Band II, S. 701-708. W. P.
[47] (S. 99) mufi man die ursprilngliche Erkldrung modifizieren
Aus moderner Sicht handelt es sich bei diesem Funktionenraum um einen Quotientenraum:
Seine „Punkte" sind Aquivalenzklassen quadratisch integrierbarer
Funktionenmodulo der Aquivalenzrelation f ^ g 4=^ J^{f—g)'^dt = O.S.auch
den Artikel Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der Topologie in
diesem Band, S. 778-797. V. K. /P. K.
[48] (S. 100) pseudo-Euklidische
Das Prafix „pseudo" soil hier und auf der nachsten Seite darauf hindeuten, dafi
der Exponent p in der Normdefinition verschieden vom euklidischen Wert 2 ist.
V.K./P.K.
[49] (S. 101) Bairesche Rdume
HAUSDORFF hat dem Studium der Baireschen Raume grofie Aufmerksamkeit
gewidmet. In 25 Faszikeln seines Nachlasses spielen sie eine RoUe; einiges davon
ist in diesem Band, S. 591, 641, 742-749, abgedruckt. S. dazu auch seine Arbeit
Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums in diesem Band, S. 539-554. W. P.
[50] (S. 104) Raum E .. .ist unvollstdndig
Teilmengen voUstandiger Raume, die in natiirlicher Weise (wie E hier) als Mengen
F(y definiert sind, gehoren im allgemeinen nicht zu den Gs, und sie konnen
363

folglich nicht voUstandig in irgendeiner mit der gegebenen Topologie kompatiblen
Metrik sein, well G5 eine topologisch absolute Klasse ist (s. Anm. [58],
Satz2). V.K./P.K.
[51] (S. 107) Kompakte Mengen
Aus heutiger Sicht ist HAUSDORFFS Definition der Kompaktheit eine Variante
der Folgenkompaktheit: eine Menge X eines (metrischen) Raumes E ist kompakt
in E im HAUSDORFFschen Sinn genau dann, wenn ihr Abschlufi X folgenkompakt
in E ist, d. h. dafi jede Folge von Punkten in X eine in X konvergente
Teilfolge besitzt. In diesem Falle ist X als Teilraum vollstandig, wahrend X
und E nicht notwendig vollstandig sind. Die Menge X ist im HAUSDORFFschen
Sinne kompakt in sich genau dann, wenn X folgenkompakt ist - und dann ist
X abgeschlossen in E und als Teilraum vollstandig. Eine abgeschlossene Menge
X C E ist kompakt in E im HAUSDORFFschen Sinn genau dann, wenn sie
kompakt in sich ist.
Fiir Mengen in metrischen Raumen fallt die Folgenkompaktheit mit der
gewohnlichen Uberdeckungskompaktheit zusammen: jede Uberdeckung der Menge
mit offenen Mengen enthalt eine endliche Teiliiberdeckung.
Der Begriff der Kompaktheit geht auf FRECHETS Dissertation Sur quelques
points du calcul fonctionnel, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22
(1906), 1-74 zuriick. V. K. /P. K.
[52] (S. 110) Offene Menge
Zur Geschichte des Begriffs „offene Menge" s. Band H dieser Edition, S. 720-
722. HAUSDORFF hebt in den Grundziigen die fundamentale Bedeutung des
Begriffs der offenen Menge fiir die Topologie hervor und fiihrt dafiir die Bezeichnung
„Gebiet"ein, die sich aber nicht durchgesetzt hat. Die axiomatische
Einfiihrung von Topologien mittels des Grundbegriffs „offene Menge" geht auf
H. TiETZE, Beitrdge zur allgemeinen Topologie /, Math. Annalen 88 (1923),
290-312, zurtick. W. P.
[53] (S. 112) Die a-, /5-, j-Punkte
Die Begriffe eines a-, (3- oder 7-Punkts sind lokale topologische Begriffe. Ku-
RATOWSKI gibt eine allgemeine Definition der Eigenschaft „lokal von der Klasse
C im Punkt x" zu sein (C. KuRATOWSKi, Topology^ Vol. I. New edition, revised
and augmented. Academic Press, New York 1966, §30, X).
In nachgelassenen Studien hat HAUSDORFF zwei weitere lokale Begriffe betrachtet.
In Fasz. 317, entstanden zwischen 1921 und 1930, definiert er: x heifit
ein 5-Punkt von X, wenn fiir jede Umgebung Ux von x die Menge XnUx nicht
mager, d. h. nicht von erster Kategorie, ist. In den Fasz. 1003 und 1004 von
1914 definiert HAUSDORFF: x heifit e-Punkt von X, wenn fiir jede Umgebung
Ux von x die Menge X P^Ux kein Fcr ist. Offensichtlich sind 5- und e-Punkte
Verdichtungspunkte von X. V. K. /P. K.
364

[54] (S. 114) Adhdrenz, Kohdrenz
S. Anm. [72] zu Grundziige der Mengenlehre^ Band II dieser Edition, S.611.
V.K./P.K.
[55] (S. 115) insichdicht, abgeschlossen, perfekt
Die Definitionen mittels der Ableitungen Ap gehen auf CANTOR zurlick: CAN­
TOR definiert den Begriff „perfekt" in G. CANTOR, Uber unendliche lineare
Punktmannichfaltigkeiten, Teil 5, Math. Ann. 21 (1883), 545-591, dort S. 575,
und „abgeschlossen" und „insichdicht" in G. CANTOR, Uber unendliche lineare
Punktmannichfaltigkeiten, Teil 6, Math. Ann. 23 (1884), 453-488, dort S.470,
471. V.K./P.K.
[56] (S. 117) Satz III
Hier wird fiir metrische Raume gezeigt, da6 abgeschlossene Mengen Gg-Mengen
und offene Mengen Fo-Mengen sind. Satz III liefert - trotz seines elementaren
Beweises - eine niitzliche notwendige Bedingung flir die Metrisierbarkeit eines
topologischen Raumes; s. auch die Anm. [64] - [66].
Betrachten wir als Beispiel die Gandy-Harrington- Topologie auf den reellen
Zahlen, ein entscheidendes Hilfsmittel zur Untersuchung von Borel-Strukturen.
Sie wird durch alle Suslinmengen erzeugt, die sich mittels der ^-Operation aus
rekursiven Folgen abgeschlossener Mengen bilden lassen (s. L. HARRINGTON,
A. S. KECHRIS, A. LOUVEAU, A Glimm - Effros dichotomy for Borel equivalence
relations, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 903-928, dort S.917). Aus
deskriptiv-mengentheoretischen Griinden gibt es in dieser Topologie eine II}-
Menge X, die kein Xl} ist. Jede n{-Menge ist Gandy-Harrington-abgeschlossen,
und jedes Gandy-Harrington-G5 ist eine 5]}-Menge. Somit ist X Gandy-Harrington-abgeschlossen,
aber kein Gandy-Harrington-Gs. Nach dem Kriterium
von Satz HI ist die Gandy-Harrington-Topologie nicht metrisierbar, obwohl sie
einige Eigenschaften mit voUstandigen metrischen Raumen teilt und z.B. eine
Baire-Topologie ist. V. K. /P. K.
[57] (S. 118) separierte Menge
Separierte Mengen werden heute als zerstreute Mengen (scattered sets) bezeichnet;
s. KuRATOWSKi, Topology /, § 9.VI. V.K./P.K.
[58] (S. 120) Relative und absolute Begriffe
In der Topologie und deskriptiven Mengenlehre unterscheidet man relative und
absolute Eigenschaften. Relative Eigenschaften einer Punkmenge X hangen
vom umgebenden Raum ab, wahrend absolute Eigenschaften wie z.B. Folgenkompaktheit
nur von der inneren Struktur der Punktmenge abhangen. Hierbei
ist eine Punktmenge X immer gemeinsam mit einer „Abstandsfunktion" auf
X zu sehen, die die Einschrankung der Metrik mindestens eines umgebenden
metrischen Raums auf die Teilmenge X ist. Nach KuRATOWSKi, Topology /,
§ 13.IX nennt man absolute Eigenschaften auch innere Invarianten (intrinsic
invariants).
365

Zweck von § 24 ist eine allgemeine „Erorterung" der Relativitat oder Absolut
heit topologischer Eigenschaften, wie sie in den weiteren Ausfiihrungen der
Mengenlehre immer wieder bedeutsam werden wird. Im absoluten Fall kann
man sagen: „X hat die Eigenschaft K'% ohne dabei eine Einbettung von X in
einen umgebenden Raum explizit zu machen. AUerdings hangt die Absolutheit
moglicherweise von der Art der hier zugelassenen umgebenden Raume ab, z. B.
konnte ein Begriff beziiglich aller vollstdndigen umgebenden Raume absolut
sein, aber nicht fiir beliebige umgebende Raume.
Im vorliegenden Paragraphen geht es um Punktmengen in beliebigen umgebenden
Raumen. In diesem Fall sind im wesentlichen solche Begriffe absolut,
die nur auf die „innere Struktur" von X Bezug nehmen. Schon die Grundbegriffe
„offen" und „abgeschlossen" sind problematisch: nur die leere Menge ist
absolut offen, und eine Punktmenge X ist absolut abgeschlossen genau dann,
wenn sie voUstandig ist (S. 123).
HAUSDORFF scharft hier das Bewufitsein fiir Relativitatsphanomene, auch
um spater frei und informell Absolutheiten behaupten und benutzen zu konnen
- manchmal sogar, ohne die Art der umgebenden Raume explizit zu spezifizieren.
Da sich die Darstellung im weiteren Verlauf zunehmend auf vollstdndige
Raume konzentrieren wird, seien hier allgemeine Absolutheits-Definitionen und
-Satze bzgl. solcher umgebender Raume angegeben. Dabei betrachte man beliebige
Eigenschaften K von Mengen X in (metrischen) Raumen E. Statt „X
erfiillt K in ^" wird alternativ auch gesagt „X ist K in E^\ „X ist eine Menge
K in £"' oder „X gehort zur Klasse K in E'''. Die Eigenschaft K heifit metrisch
absolut (in bezug auf voUstandige metrische Raume) genau dann, wenn
(a) X ist K in E

Eine Eigenschaft K heiBt topologisch absolut (in bezug auf voUstandige metrische
Raume) genau dann, wenn
{/3) X ist K in E

[62] (S. 130) Satze III und IV
HAUSDORFFS Einschrankung auf separable Raume ist in beiden Satzen iiberfliissig.
Um etwa III zu beweisen, betrachte man eine offene Uberdeckung U
einer abgeschlossenen kompakten Teilmenge X eines metrischen Raumes E. X
ist separabel, auch wenn E selbst es nicht ist: s. HAUSDORFFS Feststellung auf
S. 126 der Mengenlehre, dafi jede folgenkompakte und sogar jede im Sinne von
§ 24.4 bedingt kompakte Teilmenge X eines metrischen Raumes E separabel
ist. Andererseits ist ZY' = {U nX\U eU} eine Uberdeckung von X, die aus in
X offenen Mengen besteht. Nach dem LiNDELOFschen Satz (Satz VI, S. 129)
enthalt W eine abzahlbare Teiliiberdeckung, weil X separabel ist. Nun braucht
man nur noch den Satz von Borel (Satz II) anzuwenden. V. K. /P. K.
[63] (S. 135) Mdchtigkeitssdtze
S. den Kommentar zu [H 1916] in diesem Band, S. 429-442. V. K. /P. K.
[64] (S. 136) die drei Aussagen
Die Aquivalenz dieser drei Aussagen bedeutet gerade die metrische Absolutheit
der Klasse Gg in bezug auf voUstandige metrische Raume; s. Satz 1 in
Anm. [58] fiir ein allgemeineres Resultat. V. K. /P. K.
[65] (S. 136) Youngsche Mengen
Gs-Teilmengen reeller Zahlen wurden als spezifische Punktmengen von W. H.
YOUNG, Zur Lehre der nicht abgeschlossenen Punktmengen^ Berichte Verh.
Konigl.-Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig 55 (1903), 287-293, dort S.288 unter
der Bezeichnung „innere Grenzmengen von Folgen von Intervallmengen"
eingefiihrt, d. h. als Durchschnitte von abzahlbaren Folgen von Vereinigungen
offener Intervalle. V. K. /P. K.
[66] (S. 141) Satz X
Satz X besagt, dafi eine co-magere Menge, also das Komplement einer Menge
erster Kategorie, dicht ist, falls der umgebende Raum eine Youngsche Menge
ist. Eine Youngsche Menge ist eine absolute G5-Menge, also ein Gs in einem
voUstandigen metrischen Raum. Dieser Satz ist eine andere Fassung des Baireschen
Kategoriensatzes, s. Anm. [90] zu Grundzilge der Mengenlehre^ Band II
dieser Edition, S. 614. Der Satz hatte auch mit dem HAUSDORFFschen Metrisationssatz
bewiesen werden konnen, nach dem G5-Mengen voUstandig metrisierbar
sind ([H 1924], s. dazu Anm. [110] und den Kommentar in diesem Band,
S. 446-453). V.K./P.K.
[67] (S. 142) Mengen erster und zweiter Kategorie
Die Begriffe Menge erster Kategorie (Vereinigung abzahlbar vieler nirgendsdichter
Mengen) und Menge zweiter Kategorie (Menge, die nicht von erster Kategorie
ist) gehen auf BAIRES Dissertation zuriick (veroffentlicht als R. BAIRE,
Sur les fonctions de variables reelles, Annali di Matematica 3 (1899), 1-122,
368

dort S. 65). In moderner Terminologie heifien Mengen erster Kategorie „mager"
(meager sets), solche zweiter Kategorie „nicht-mager" (non-meager sets), und
die Komplemente von Mengen erster Kategorie heifien „co-mager" (co-meager
sets); s. z.B. A. KECHRIS, Classical descriptive set theory. New York 1995.
V.K./P.K.
[68] (S. 143) Mengen Fn und Gn
Nach Satz X von § 27 ist eine relativ abgeschlossene Teilmenge einer Youngschen
Menge, d. h. einer Gs-Menge in einem vollstandigen Raum, nicht mager
in sich. Ausgehend von dieser Eigenschaft definiert HAUSDORFF zwei Verallgemeinerungen
Youngscher Mengen: eine Menge X ist eine Fu-Menge genau
dann, wenn jede nichtleere relativ abgeschlossene Teilmenge Y C X nichtmager
in sich ist. In HAUSDORFFS Nachlafi erscheint dieser Begriff schon in
Fasz. 246, Verallgemeinerung der Youngschen Mengen^ datiert 21.11.1925. Eine
Menge X ist eine Gn-Menge, wenn jede nichtleere in X relativ offene Teilmenge
Y (Z X nicht-mager in sich ist. HAUSDORFF betrachtet Gn-Mengen
bereits in Fasz. 151, datiert 12.10.1923. Die Mengen heifien dort F-Mengen,
wohl wegen ihrer Verwandschaft mit den Youngschen Mengen.
HAUSDORFF zeigt auf S. 144, dafi jede Fn-Menge eine Gn-Menge ist, aber
nicht umgekehrt: als Gegenbeispiel dient die Menge aller Paare (x, 0) G IR^ mit
irrationalem x. S. auch Anm. [151] und den Kommentar zu Fasz. 281 iiber Fn-
Raume in der Klasse der Suslin- und co-Suslin-Mengen (dieser Band, S. 703).
In neueren Biichern heifien Gn-Raume Bairesche Rdume: s. z. B. R. ENGEL-
KING, General topology, Berlin 1989, 3.9 oder A. S. KECHRIS, Classical descriptive
set theory, New York 1995, 8.B. Ferner werden Fn-Raume, d. h. Raume,
in denen jede nichtleere abgeschlossene Teilmenge ein Bairescher Raum im
Sinne der Relativtopologie ist, als vollstdndig Bairesche Raume bezeichnet (s.
A. S. KECHRIS, a. a. O., 21.F). Man beachte, dafi diese Begriffe auch fiir topologische
Raume ohne Metrik sinnvoU sind.
Ein in der deskriptiven Mengenlehre wichtiger Bairescher Raum, der aber
nicht metrisierbar ist, ist die Menge der reellen Zahlen mit der Candy-Harrington-Topologie,
welche durch nichtleere „efFektiv" Suslinsche Mengen reeller Zahlen
erzeugt wird (s. Anm. [56]). Der Beweis, dafi dies ein Bairescher Raum ist,
ist anspruchsvoll (s. HARRINGTON et al., A Climm ~ Effros dichotomy for Borel
equivalence relations, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 903-928).
Ebenfalls Bairesch sind die Choquet-Rdume, die mit Hilfe unendlicher Spiele
definiert werden: Zwei Spieler, I und II, spielen abwechselnd nichtleere offene
Teilmengen eines Raums X. Spieler I beginnt mit einer offenen nichtleeren Menge
UQ ^X. Spieler II antwortet mit Ui CUQ. Dann wahlt \U2 QUi,\\ antwortet
mit einem Us C U2 usw. Der Spieler II gewinnt das Spiel, wenn f]^ Un 7^ 0. Der
Raum X ist ein Choquet-Raum, wenn II in diesem Spiel eine Gewinnstrategie
hat (KECHRIS, a. a. O., 8.C). Es lafit sich leicht zeigen, dafi ein Choquet-Raum
ein Bairescher Raum ist; andererseits ist jeder voUstandige metrische Raum ein
Choquet-Raum.
Weitere Fragen, die mit dem Begriff der Kategorie zusammenhangen, werden
369

im § 45 der Mengenlehre behandelt. V. K. /P. K.
[69] (S. 145) Mengenrdume
Die Hausdorff-Distanz zwischen zwei nichtleeren Mengen A, B in einem Raum
X mit Metrik r lafit sich in geschlossener Form definieren als
dH{A,B)= sup maxjinf r(a,6o), infr(ao,6)}.
aoeA,boeB «^^ b^^
Geometrisch betrachtet ist dniA, B) das Infimum aller e > 0, so dafi A C Ue{B)
und B C Ue{A), wobei die e-Umgebung von A definiert ist als
Ue{A) = {x e X\ es gibt ein a e A mit r(x, a) < e}.
Die Idee einer solchen Abstandsfunktion {ecart und ecart mutuel) stammt von
D. POMPEJU, Sur la continuite des fonctions de variables complexes, Ann. Fac.
Sci. Toulouse 7 (1905), 265-315, dort S. 281; HAUSDORFF hat diese anscheinend
iibernommen (s. HAUSDORFFS eigene Anmerkung in Grundziige der Mengenlehre,
S. 463) und allgemein in die Topologie eingefiihrt.
Eingeschrankt auf spezielle Klassen von Teilmengen des gegebenen Raumes
X liefert die Hausdorff-Distanz metrische Hyperrdume. Um unendliche Werte
der Distanz zu vermeiden, werden gewohnlich nur beschrdnkte Teilmengen von
X betrachtet. Weil dniA^B) — 0 genau dann, wenn A = B ist, schrankt man
weiter ein auf abgeschlossene Teilmengen, fiir die A = A ist. Mit F(X) bezeichnet
man den Raum aller abgeschlossenen, beschrankten nichtleeren Teilmengen
von X mit der Hausdorff-Metrik. Oft wird ferner der Teilraum K(X) aller kompakten
nichtleeren Teilmengen von X betrachtet. Interessanterweise vererben
sich manche Eigenschaften von X auf K(X) wie die
- Vollstdndigkeit, nach H. HAHN, Reelle Funktionen, Leipzig 1932, S. 124;
s. auch C. KURATOWSKI, Topology /, New York 1966, § 33.IV;
- Kompaktheit, nach Satz VI, Mengenlehre, § 28.3.;
- Separabilitdt
Folglich ist K(X) ein polnischer Raum, wenn X ein solcher ist. S. auch KECH-
RIS, Classical descriptive set theory. New York 1995, 4.F. Weitere Eigenschaften
von Hyperraumen werden in dem Essay Hausdorff-Metriken und Hyperrdume,
Band II dieser Edition, S. 762-766 besprochen.
Das Konzept der Raume K(X) mit der Hausdorff-Metrik dn ist von grofier
Bedeutung, erlaubt es doch, wichtige Systeme von Teilmengen von X als einzelne
Teilmenge von K(X) aufzufassen und mit den Methoden der deskriptiven
Mengenlehre zu klassifizieren. Fiir einen iiberabzahlbaren polnischen Raum X
ist z. B. die Menge aller iiberabzahlbaren kompakten Teilmengen von X eine
nicht-Borelsche Suslinmenge in K(X) (W. HuREWicz, Zur Theorie der analytischen
Mengen, Fund. Math. 15 (1930), 4-17). Eine Reihe alterer und neuerer
370

Klassifikationsresultate, auch fiir Raume X^ stetiger Funktionen, finden sich
bei KECHRIS, a.a. O.
In HAUSDORFFS Arbeit Summen von )Xi Mengen [H 1936b] werden Cantor-
Bendixson-Ableitungen in einem kompakten Raum X mit dem Hyperraum
X = K(X) in Verbindung gebracht. Fiir eine beliebige Ordinalzahl ^ sei X^ =
{A G X\A^ = ^^^^l, wobei A^ die ^-te Cantor-Bendixson-Ableitung der Menge
A C X ist. Nach dem Satz von Cantor-Bendixson gilt
X= [j X^ ,
und die Mengen X^ wachsen fiir ^ —^ uji. HAUSDORFF zeigt nun, daB fiir hinreichend
groBe abzahlbare Ordinalzahlen ^ gilt: X = X^ modulo einer mageren
Menge ([H 1936b] wird in Band I dieser Edition kommentiert).
Im Nachlafi, Faszikel 123, Der „Raum'^ der messbaren beschrdnkten Mengen,
datiert vom 3.11.1915, benutzt HAUSDORFF das Lebesgue-MaB zur Definition
eines Abstands: der Abstand zweier meBbarer beschrankter Mengen A, B eines
euklidischen Raumes sei das MaB ihrer symmetrischen Differenz AuB — AnB.
Wenn Mengen A,B, die sich nur durch eine Nullmenge unterscheiden, miteinander
identifiziert werden, so geniigt dieser Abstand alien metrischen Axiomen,
und der eingefiihrte Mengenraum ist separabel. V. K. /P. K.
[70] (S. 146) Abgeschlossener und offener Limes
HAUSDORFF untersucht hier die Begriffe des offenen und abgeschlossenen Limes
einer Folge von Teilmengen eines metrischen Raumes, nachdem er bereits
in den Grundziigen der Mengenlehre den abgeschlossenen Limes einer Folge
von Teilmengen eines topologischen Raumes eingefiihrt hatte. Es zeigt sich,
daB der abgeschlossene Limes eine herausragende Bedeutung hat: Wie bereits
in dem Essay Hausdorff-Metriken und Hyperrdume, Band II dieser Edition,
S. 762 bemerkt wurde, erhalt man zu jedem metrischen Raum (X, d) einen
Hyperraum, indem man die Menge J^{X) aller nicht-leeren, abgeschlossenen
und beschrankten Teilmengen von X mit der Hausdorff-Metrik dn versieht.
Konvergiert in dem metrischen Raum (T{X), dn) eine Folge {An)ne\i^ gegen
ein A G J^{X), so ist A abgeschlossener Limes dieser Folge, wie HAUSDORFF auf
S. 149 der Mengenlehre zeigt. Falls {X, d) kompakt ist, gilt auch die Umkehrung
(s. S. 150). Somit kann fiir kompakte metrische Raume {X,d) die Konvergenz
einer Folge in J^{X) beziiglich des abgeschlossenen Limes durch eine Metrik,
namlich die Hausdorff-Metrik beschrieben werden und somit durch eine Topologie.
G. CHOQUET hat 1948 dann eine Verallgemeinerung des Begriffes des
abgeschlossenen Limes fiir Filter (anstelle von Folgen) auf der Menge 2^ der
abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raumes X eingefiihrt, indem
er analog zu HAUSDORFF zunachst den oberen und unteren abgeschlossenen
Limes eines Filters erklart (G. CHOQUET, Convergences, Ann. Univ. Grenoble;
Sect. Sei. Math. Phys. 23 (1948), 57-112; vgl. auch Band II dieser Edition,
S.732). Falls X kein lokal kompakter T2-Raum ist, kann er zeigen, dafi die
371

Konvergenz von Filtern auf 2^ beziiglich dieses Limesbegriffes (von ihm Pseudokonvergenz
genannt) nicht durch eine Pratopologie geschweige denn durch
eine Topologie beschrieben werden kann, wohl aber durch eine Pseudotopologie
(vgl. zur Definition dieser Begriffe Band II dieser Edition, S. 731).
Topologische, pratopologische und pseudotopologische Raume sind Beispiele
fiir Limesraume.^ 1972 hat W. GAHLER den unteren abgeschlossenen Limes
a-Um und den oberen abgeschlossenen Limes a-hm eines Filters T auf der Menge
2^ der abgeschlossenen Teilmengen eines Limesraumes (X, q) wie folgt definiert
(dabei heiBt eine Teilmenge A in einem Limesraum (X, q) abgeschlossen, wenn
A — A \= {x ^ X\ Q^ existiert ein {T^ x) ^ q mit A G J^} gilt):
a) X ^ a-lim J^ genau dann, wenn ein (Q^x) G q existiert, so dafi es zu jedem
G e g ein B e sec^ gibt mit J5 Pi G y^ 0 fiir alle B e B, wobei
secJ^= {S C 2^ :AnBj^ 0 fiir alle A e J"} ist.
(3) X E a-lim T genau dann, wenn ein {Q^x) G q existiert, so dafi es zu jedem
GeGemAeT gibt mit A 0 G 7^ 0 fiir alle A e A.
(W. GAHLER, Beitrdge zur Theorie der Limesrdume. In: ASSER, G.; FLACHS-
MEYER, J.; RiNOW, W. (Hrsg.) Theory of Sets and Topology. In Honour of
Felix Hausdorff (1868-1942). Berlin 1972, 161-197. In GAHLERS Originalarbeit
ist der Filter J^ allerdings durch den dazu im Wesentlichen aquivalenten Begriff
der gefilterten Familie ersetzt worden.)
Zu a) und P) aquivalente Formulierungen sind unabhangig von GAHLER 1980
von E. LOWEN-COLEBUNDERS gefunden worden (in The Choquet hyperspace
structure for convergence spaces, Math. Nachrichten 95 (1980), 17-26). Nun
lafit sich auf 2^ eine Konvergenzrelation qa wie folgt erklaren:
(^, A) e qa

algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc. 31 (1935), 433-454, dort S.453) flir
Folgen und spater fiir Moore-Smith-Folgen (vgl. G. BiRKHOFF, Lattice theory,
Providence 1948) eingefiihrt worden ist und die auch fiir Filter (s. D. C. KENT,
Convergence functions and their related topologies, Fund. Math. 54 (1964),
125-133) und gefilterte Familien (s. W. RiNOW, Lehrhuch der Topologie, Berlin
1975) in geordneten Mengen definiert werden kann, sowohl die von HAUS-
DORFF bereits in den Grundziigen definierte Mengenkonvergenz als auch seine
abgeschlossene Konvergenz (= Konvergenz im Sinne des abgeschlossenen Limes)
verallgemeinert (im ersten Fall wahle man als vollstandigen Verband die
Potenzmenge V{X) einer Menge X und im zweiten Fall die Menge 2^ der
abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raumes X als vollstandigen
Verband). H. H. /M. H. /G. P.
[71] (S. 150) Satz V
Satz V und Satz III, S. 149 (s. auch Grundziige der Mengenlehre, Kap. VIII,
§ 6, Satze IV und VI) zeigen: Ist X kompakt, dann ist die ^//-Konvergenz einer
Folge {Xn} in K(X) aquivalent mit ihrer topologischen Konvergenz, d. h. mit
der Existenz von limm-^oo-^m- Dies formuliert man auch in folgender Weise:
die d/7-Topologie von K(X) fallt mit der Exponential- oder Vietoris-Topologie
zusammen, welche durch alle Mengen der Form {KGK(X) | K C U} und
{K G K{X) \ K nU = H)} mit ofFenem U C X erzeugt wird (s. KECHRIS,
Classical descriptive set theory. New York 1995, § 4.F). V. K. /P. K.
[72] (S. 155) lokal zusammenhdngend
Der Begriff des lokalen Zusammenhanges wurde 1914 von H. HAHN {Uber die
allgemeinste ebene Punktmenge, die stetiges Bild einer Strecke ist, Jahresbericht
der DMV 23 (1914), 318-322) eingefiihrt, der auf diese Bedingung im
Zusammenhang mit der Charakterisierung stetiger Bilder einer Strecke gesto-
6en war. HAHN nennt den BegrifF allerdings „Zusammenhang im Kleinen". Er
definiert ihn zunachst nur fiir Teilmengen der Ebene und 1921 fiir metrische
Raume {Uber die Komponenten offener Mengen, Fund. Math. 2 (1921), 189-
192). Letzteres tut auch HAUSDORFF in seiner Mengenlehre. Allerdings laBt sich
der Begriff ohne weiteres auf topologische Raume libertragen, was heutzutage
allgemein liblich ist. Fiir einen topologischen Raum X sind aquivalent:
(1) X ist lokal zusammenhangend, d. h. jedes x e X besitzt eine Umgebungsbasis
aus zusammenhangenden Mengen (also: zu jeder Umgebung Ux von x
existiert eine zusammenhangende Umgebung Vx von x mit Vx C Ux)-
(2) Die Zusammenhangskomponenten offener Teilmengen von X sind offen in
X.
(3) Die Topologie von X besitzt eine Basis aus zusammenhangenden Mengen
(d. h. jede offene Teilmenge von X ist Vereinigung von offenen zusammenhangenden
Teilmengen von X). [Wegen (3) diirfen die in (1) auftretenden
zusammenhangenden Mengen auch offen sein.]
Die Charakterisierung des lokalen Zusammenhanges (fiir metrische Raume)
durch (2) geht auf HAHNS Arbeit von 1921 zuriick. Wegen (2) sind die Zu-
373

sammenhangskomponenten eines lokal zusammenhangenden Raumes offen und
abgeschlossen, stimmen also mit den von HAUSDORFF in den Grundzugen eingefiihrten
Quasikomponenten iiberein. Ein topologischer Raum X heifit in heutiger
Sprechweise im Punkte x E X zusammenhdngend im Kleinen, wenn jede
Umgebung Ux von x eine Umgebung Vx von x enthalt, so dass fiir jedes y ^Vx
eine zusammenhangende Teilmenge von Ux existiert, die x und y enthalt. Ohne
Beschrankung der Allgemeinheit konnen die hier auftretenden Umgebungen
als offen angenommen werden. Ferner kann, falls X regular ist, die in Ux enthaltene
Umgebung Vx als abgeschlossen angesehen werde, was HAHN in seiner
Arbeit von 1914 auch tut und erst 1921 auf die Abgeschlossenheit verzichtet,
ebenso wie R. L. MOORE {Concerning connectedness im kleinen and a related
property, Fund. Math. 3 (1922), 232-237). So wird der Weg frei gemacht fiir
die allgemeine Definition.
Es ist leicht nachzuprtifen, dafi ein topologischer Raum lokal zusammenhangend
ist genau dann, wenn er in jedem Punkt x ^ X zusammenhangend im
Kleinen ist. Allerdings folgt aus der Tatsache, da6 ein topologischer Raum X
in einem Punkte XQ G X zusammenhangend im Kleinen ist, nicht notwendig,
daB der Punkt XQ eine Umgebungsbasis aus zusammenhangenden, offenen Mengen
besitzt, wie das Beispiel auf S. 113 im Buch von HOCKING/YOUNG zeigt
(HOCKING, J.G.; YOUNG, G.S., Topology, London 1961).
Schon HAUSDORFF weist darauf hin, dafi der lokale Zusammenhang bei stetigen
Abbildungen nicht erhalten bleibt {Mengenlehre, S. 199). Spater konnte
G.T.WHYBURN zeigen {On quasi-compact mappings, Duke Math. J. 19
(1952), 445-446), dafi Quotienten lokal zusammenhangender Raume lokal zusammenhangend
sind. Als schliefilich N. BOURBAKI {Topologie generale, Paris
1940) finale Topologien eingefiihrt hatte, konnte auch gezeigt werden, dafi der
lokale Zusammenhang sogar gegeniiber alien finalen Topologien erhalten bleibt
(s. G. PREUSS, Allgemeine Topologie, Berlin 1972, 5.3.8). Daraus folgt, dafi es
zu jedem topologischen Raum X einen lokal zusammenhangenden Raum X*
und eine bijektive stetige Abbildung / : X* -^ X gibt, so dafi fiir jeden lokal zusammenhangenden
Raum Y und jede stetige Abbildung g :Y ^^ X genau eine
stetige Abbildung / : F ^ X* existiert mit f o f = g. Durch diese Eigenschaft
ist das Paar (X*,/) bis auf Homoomorphie eindeutig bestimmt (vgl. PREUSS,
a. a. O., 8.1.3). Dieses Ergebnis ist zuerst von A.M. GLEASON erzielt worden
{Universal locally connected refinements, Illinois J. Math. 7 (1963), 521-531).
Der Satz von HAHN/MAZURKIEWICZ (vgl. HAUSDORFFS Mengenlehre, S. 207)
bleibt jedoch ein wesentlicher Grund fiir die Einfiihrung des lokalen Zusammenhanges.
S. MAZURKIEWICZ hat iibrigens unabhangig von HAHN den lokalen Zusammenhang
(= Zusammenhang im Kleinen) fiir Teilmengen des IR^ entdeckt
{Sur les lignes Jordan, Fund. Math. 1 (1920), 166-209).
Zu HAUSDORFFS eigenen (unveroffentlichten) Studien zum lokalen Zusammenhang
vergleiche auch unseren Artikel Hausdorffs Studien iiber Kurven,
Bogen und Peano-Kontinua in diesem Band, S. 798-839. H. H. /M. H. /G. P.
374

[73] (S. 160) _
Hier mu6 es richtig heifien: „.. .der Distanzen in A zum metrischen Raum A,
..." (in der Auflage von 1927 ist diese Stelle korrekt). W. P.
[74] (S. 163) Ein KoroUar zu Satz XVIII
In der russischen Ubersetzung der Mengenlehre (s. die historische Einfiihrung,
dieser Band, S. 32-36) ist mit Verweis auf BROUWER dem Satz XVIII ein interessantes
KoroUar angefiigt (XIV in §30). Eine Eigenschaft C kompakter
Mengen ist induktiv genau dann, wenn aus ihrer Giiltigkeit fiir jedes died
der Folge Xi ^ X2 ^ Xs... kompakter Mengen Xn auch ihre Giiltigkeit fiir
X = pl^ Xn folgt. Dann gilt: Besitzt eine kompakte Menge X eine induktive
Eigenschaft C, dann gibt es eine minimale kompakte Menge X' C X, welche
bereits die Eigenschaft C besitzt. V. K. /P. K.
[75] (S. 165)
A. S. KECHRIS, Classical descriptive set theory, New York 1995, 34.D, nennt
Operatoren (p, welche X^^ C X fiir alle X erfiillen, Ableitungen (derivatives),
wahrend Operatoren cp mit X C X^ fiir alle X Erweiterungen (expansions)
heiBen. V. K. /P. K.
[76] (S. 166) Induktive Definierbarkeit
Iterierte transfinite Konstruktionen dieser Art werden in der Theorie der induktiven
Definitionen studiert, einem Teilgebiet der deskriptiven Mengenlehre.
Ein Grundproblem ist die Charakterisierung der kleinsten Ordinalzahl ^, so dafi
X^ = X^^i ist, wo X eine Menge bestimmten Typs ist. Auch die deskriptive
Natur von Hiillen und Kernen wird hier untersucht. Einen umfassenden Uberblick
liber dieses Gebiet gibt P. AczELs Artikel An introduction to inductive
definitions im Handbook of Mathematical Logic, Amsterdam 1977, 739-782.
V.K./P.K.
[77] (S. 168) Residuen, reduzible Mengen
KURATOV^SKI, Topology /, New York 1966, § 12.VII, definiert mit Verweis auf
HAUSDORFF das Residuum einer Menge A als An Apoc- Es folgt leicht aus der
Gleichung A^ = ACiApoc, dafi das Residuum A^ aus alien denjenigen Punkten
X E A besteht, welche nicht Punkte lokaler Abgeschlossenheit sind. Dabei ist
X e A ein Punkt lokaler Abgeschlossenheit genau dann, wenn er eine offene
Umgebung U besitzt, so dafi AnU relativ abgeschlossen in U ist. KURATOW-
SKI stellt in § 12.VIII ferner fest, dafi das letzte Residuum einer Menge A die
grofite relativ abgeschlossene Teilmenge von A ist, welche keine Punkte lokaler
Abgeschlossenheit enthalt. Folglich ist A reduzibel genau dann, wenn jede ihrer
nichtleeren relativ abgeschlossenen Teilmengen Y C. A mindestens einen Punkt
lokaler Abgeschlossenheit enthalt.
Zur Problematik der Residuen und der reduziblen Mengen s. auch den Essay
Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundziigen der Mengenlehre, Band II
dieser Edition, S. 773-787, und die Kommentare zu HAUSDORFFS einschlagigen
375

nachgelassenen Papieren, dieser Band, S. 654-674. V. K. /P. K.
[78] (S. 168)
Hier muB es richtig heifien: „Das kleinste Residuum ist der ^^-Kern M von M".
W.R
[79] (S. 170) Satz IV
Dies ist der Satz von BAIRE - HAUSDORFF, S. dazu Anm. [69] zu Grundziige der
Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 610. Aus diesem Satz folgt, daB in einem
separablen Raum jede Differenzenkette abgeschlossener Mengen hochstens
abzahlbar ist, mit der Konsequenz, daB in diesem Fall alle reduziblen Mengen
A2-Mengen sind, d. h. sowohl F^ als auch Ga. V. K. /P. K.
[80] (S. 171) die Frage, oh eine Menge zugleich Fa und Gs ist
HAUSDORFF stellt fest, daB die iterierte Bildung von Residuen einer gegebenen
Menge X in einem separablen Raum ein transfinites Verfahren ist, welches
entscheidet, ob X zugleich FQ- und Gs ist, und im positiven Fall kanonische
Darstellungen von X als Fo-Menge bzw. Gs-Menge liefert. Diese Darstellungen
sind in dem Sinne kanonisch, daB sie mittels „einfacher" topologischer Operationen
uniform fiir alle X definiert werden konnen und nicht von mengentheoretischen
Annahmen wie dem Auswahlaxiom abhangen. KuRATOWSKI folgert
daraus in seiner Topology /, §34.VI, daB man aus jeder nichtleeren Menge X,
welche zugleich F^ und Gs ist, einen Punkt f{X) G X kanonisch auswahlen
kann.
Fiir Mengen, welche nur F^ oder nur Gs sind, scheint es keine in ahnlicher
Weise kanonischen Entscheidungs- und Darstellungsprozesse zu geben. Um diese
Vermutung streng mathematisch zu beweisen, konnte man folgendermafien
vorgehen: Hatte man ein kanonisches Verfahren fiir Fo-Mengen und damit insbesondere
fiir abzahlbare Mengen, so erhielte man fiir jede abzahlbare Menge
X reeller Zahlen ein „kanonisches" Auswahlelement f{X) e X. Die Funktion
/ kann als Auswahlfunktion bei der bekannten Konstruktion einer ViTALi-
Menge, die nicht LEBESGUE-meBbar ist, eingesetzt werden (s. Grundziige der
Mengenlehre, S. 401-402). Die so gebildete VlTALi-Menge ware definierbar. Es
gibt aber Modelle der Mengenlehre, in denen jede definierbare Menge reeller
Zahlen Lebesgue-meBbar ist (s. R. SOLOVAY, A model of set theory in which
every set of reals is Lebesgue measurable^ Ann. of Math. 92 (1970), 1-56).
V.K./P.K.
[81] (S. 171) Satz VII
Z. ZALCWASSER, Un theoreme sur les ensembles qui sont a la fois F^ et Gs,
Fund. Math. 3 (1922), 44-45, hat bewiesen, daB in separablen Raumen jede
wohlgeordnet wachsende oder fallende Folge von A2-Mengen hochstens abzahlbar
ist. Dies ist aquivalent zu Satz VII, well im Fall separabler Raume das System
der A2-Mengen mit dem der reduziblen Mengen zusammenfallt. (Einen
anderen Beweis gibt KuRATOWSKi in Topology /, §24.111).
376

Man beachte, dafi streng wachsende iiberabzahlbare Folgen {X^}^

ihrer Definitionskomplexitat auch als I]}-Mengen bezeichnet. Der Begriff „analytische
Menge" findet sich eher in Arbeit en zur deskriptiven Mengenlehre,
wahrend „Suslinmenge" oder „Souslinmenge" ^ in der Topologie iiblich sind.
Um die Entdeckung der Suslinmengen und der A-Operation gab es einen vehementen
Prioritatsstreit. Die erwahnte Note SuSLiNs in Comptes rendus 164
(1917) enthalt sowohl die explizite Definition der A-Operation (unter einer anderen
Bezeichnung) als auch die Definition der ensembles (A). Die frlihere Note
von P. ALEXANDROFF, Sur la puissance des ensembles mesurables B, Comptes
rendus Acad. Sci. Paris 162 (1916), 323-325, enthalt keines von beidem,
sondern zeigt lediglich, dafi jede Borelmenge in einer Form dargestellt werden
kann, in der man schon einige Grundziige der A-Operation und ihre Anwendung
auf abgeschlossene Mengen erkennen kann. Naheres hierzu in unserem Kommentar
zu [H 1916] in diesem Band, S. 429-442. Es gab unter Mathematikern
unterschiedliche Ansichten, ob man ALEXANDROFF oder SuSLiN die Prioritat
bei der Entdeckung der A-Operation zuschreiben soUe und welche RoUe LusiN
bei dieser Entdeckung gespielt habe. Unzweifelhaft hat ALEXANDROFFS Beweis
SuSLiN bei der Entdeckung der Suslinmengen zumindest inspiriert und motiviert.^
Ein jiingerer Artikel von G. LORENTZ, Who discovered analytic sets,
The Mathematical Intelligencer, 23 (2001), Nr. 4, 1-5, enthalt einen kurze historische
Darstellung und weitere Literaturhinweise.
HAUSDORFF selbst hat sich nicht offen an dieser Diskussion beteiligt. Er hat
sie aber insofern beeinflufit, als er den Terminus „Suslinmenge" in seiner Mengenlehre
eingefiihrt hat (s. dazu auch HAUSDORFFS Brief an ALEXANDROFF
vom 31.5.1927, zitiert in diesem Band, S. 15). ALEXANDROFFS Note in Comptes
rendus 162 (1916) wird im Kontext der Suslinmengen in der Mengenlehre
nicht erwahnt. V. K. /P. K.
[85] (S. 178) Die Borelsche Hierarchic
HAUSDORFF definiert die Hierarchic der Borelschen Klassen F^ und G^ eines
gegebenen Raumes aufbauend auf den Klassen F^ = F und G^ = G der
abgeschlossenen bzw. offenen Mengen durch Induktion:
F^ = (U

Klassen haben. So formuliert KURATOWSKI, der in Topology /, New York 1966
i. a. HAUSDORFFS Notation folgt (mit F^ und G^ anstatt F^ und G^), die
meisten Result ate iiber die Struktur der Borelklassen in § 11.30 mittels der additiven
Klassen a, d. h. F^ mit ungeraden Indizes und G^ mit geraden Indizes,
und der multiplikativen Klassen a (das sind die komplementaren Klassen).
Bemerkenswerterweise erhalt man alle Borelschen Mengen aus F durch die
positiven Operationen o- und §, ohne Rlickgriff auf die Komplemente. Dasselbe
gilt fiir die Klassen G. HAUSDORFF beschreibt in einer nachgelassenen Studie
(Fasz. 662, dieser Band, S. 588) weitere Zugange einschliefilich solcher, die
auf Limes-Operationen anstatt auf der Bildung abzahlbarer Vereinigungen und
Durchschnitte beruhen. V. K. /P. K.
[86] (S. 179) absolut Borelsche und absolut Suslinsche Mengen
Hier ist die metrische Absolutheit gemeint, s. Anm. [58]. In §38 wird dariiberhinaus
mittels einer komplizierteren Analyse die topologische Absolutheit dieser
Begriffe festgestellt, auch die der einzelnen Borelklassen, beginnend mit G5.
V.K./P.K.
[87] (S. 179) Machtigkeitssatz
Satz I, die Bestatigung der Kontinuumhypothese fiir Suslinmengen, stammt
von M. SUSLIN. LusiN schreibt am SchluB von Sur la classification de M. Baire^
Comptes rendus Acad. Sci. Paris 164 (1917), 91-93:
Enfin M. Souslin a demontre que tout ensemble (A) est ou denombrable,
ou bien contient un ensemble parfait: [• • •] (S. 93).
Auch in einer Fufinote in N. LusiN, W. SiERPiNSKi, Sur quelques proprietes des
ensembles (A), Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie, 4 (1918), 35-48, wird das Resultat
SuSLiN zugeschrieben; SuSLlNs einzige einschlagige Arbeit in Comptes
Rendus Acad. Sci. Paris 164 (1917) (s. Anm. [84]) enthalt diesen Satz jedoch
nicht. HAUSDORFF [H 1916] und ALEXANDROFF (in der in Anm. [84] zitierten
Arbeit) haben 1916 unabhangig voneinander die Kontinuumhypothese fiir Borelmengen
bewiesen, aber weder die Methode von HAUSDORFF noch die von
ALEXANDROFF ist fiir den allgemeineren Fall der Suslinmengen geeignet (s. den
Kommentar zu [H 1916] in diesem Band, S. 429-442). V. K. /P. K,
[88] (S. 181) Existenzsatz
DaB die Borelschen Klassen eine echt aufsteigende Hierarchic bilden, wurde
von H. LEBESGUE, Sur les fonctions representables analytiquement, Journ. de
Math. Pures et Appl. (Ser. 6), 1 (1905), 139-216, gezeigt. SUSLIN kiindigte die
Existenz einer nicht-Borelschen analytischen Menge in seiner in den Comptes
rendus 164 (1917) erschienenen Note an (s. Anm. [84]).
HAUSDORFF hat in einer nachgelassenen Studie Abkiirzung der Existenzbeweise,
Mengenl § 33 vom 12.12.1935 (Fasz. 437) fiir den Satz I, S. 182 einen
wesentlich klirzeren Beweis angegeben (der Faszikel ist abgedruckt in diesem
Band, S.582). V.K./P.K.
379

[89] (S. 182) Satz I fur den (nicht vollstdndigen) Raum C
Der erste Schritt im Beweis von Satz I ist die Konstruktion einer Gs-Menge
C C E, welche homoomorph zum Baire-Raum iNi'^ ist. Es geniigt nun, den Satz
fiir C zu zeigen, weil fiir Teilmengen X von C die Borel-Klasse bzgl. C gleich
der Borel-Klasse bzgl. E ist, und weil X Suslinsch bzgl. C ist genau dann, wenn
X Suslinsch bzgl. E ist.
Als Teilraum ist C nicht notwendig vollstandig (wie z.B. die irrationalen
Zahlen in der von R ererbten Metrik), aber mit der Konstruktion von S. 182 ist
C homoomorph zum Baire-Raum N"^ und damit vollstandig metrisierbar durch
eine geeignete andere Metrik. V. K. /P. K.
[90] (S. 183) Mengensystem OH = {C/i, C/2, • • •}
Es wird benutzt, dafi die speziellen Umgebungen von S. 126 eine Basis der Topologie
von C sind. V. K. /P. K.
[91] (S. 183) Es sei A die Menge der x £ ^{x)
Der Beweis beruht auf der Existenz universeller Mengen
U = {{x,y)eCxC\xe^{y)}
fiir die Klassen G^, d. h. dafi U eine G^-Menge ist, und dafi jede „eindimensionale"
G^-Menge X C C ein „Schnitt"
X = {xeC\ {x,yo)eU}
von U fiir ein geeignetes yo E C ist. Universelle Mengen finden sich bereits in
LEBESGUES Beweis des Existenzsatzes fiir Borelsche Mengen.
Die Menge
B = {xeC \x^ $(x)} = {xeC \ {x,x) ^ U}
wird wie eine CANTORsche Diagonalmenge definiert. Dann ist B ^ $(x) fiir
alle X G C, weil man sonst folgenden Widerspruch erhielte:
X ^ B

(1) X ist eine Borelmenge;
(2) X ist zugleich Suslin- und co-Suslinmenge;
(3) X kann durch Anwendung der A-Operation (auf abgeschlossene Mengen)
mit disjunkten Summanden erhalten werderi, mit anderen Worten, es gibt
ein System abgeschlossener Mengen {Xu}ue^

Classical descriptive set theory, New York 1995, Theorem 7.3 wird der Beweis
noch in ahnlicher Weise gefiihrt.
A-Operation mit disjunkten Summanden werden an spaterer Stelle, etwa auf
S. 211, benutzt, um Borelmengen als injektive Bilder topologisch einfacher Mengen
darzustellen. V. K. /P. K.
[94] (S. 187) Die Indizes
Die hier definierte /nrfex-Funktion ordnet Elementen des Raums E Ordinalzahlen
zu; derartige Funktionen werden in der modernen deskriptiven Mengenlehre
auch als Normen oder Range bezeichnet. Die Wohlordnung der Ordinalzahlen
induziert mittels der /ndea:-Funktion eine Prdwohlordnung von E: x ^
y -^=^ Index(x) < Index(2/). Auf dem Komplement von A, der co-Suslinschen
Menge E — A, sind die Vorgangermengen bzgl. der Prawohlordnung auf uniforme
Weise Borelsch. Damit ist die Prdwohlordnungseigenschaft fiir co-Suslinsche
oder n^-Mengen bewiesen, eine Fundamentaleigenschaft, aus der weitere deskriptive
Eigenschaften co-Suslinscher Mengen folgen (s. A. KECHRIS, Classical
descriptive set theory, New York 1995 §34.B).
Die Definition des Indizes kann aus moderner Perspektive mit Hilfe von fundierten
und nichtfundierten Bdumen beschrieben werden. Die Menge
Ro{x) = {reuj

{Fr} und {F^} konnen zu derselben Suslinmenge A — A\ aber zu verschiedenen
Folgen {A^} und {A'A von Borelschen Konstituenten fiihren. Weil jede
Borelmenge B sowohl Suslin als auch co-Suslin ist, lafit B zwei Arten von Zerlegungen
in Konstituenten zu, welche bemerkenswert verschiedene Eigenschaften
haben; s. unseren Kommentar zu HAUSDORFFS nachgelassenen Anmerkungen
zu Mengenlehre, Nr. [E], dieser Band, S.402.
Indizes und Konstituenten gehen zuriick auf LusiN und SlERPlNSKi, Sur quelques
proprietes des ensembles {A), Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie4 (1918), 35-48
(Konstituenten von co-Suslinmengen) und SlERPlNSKi, Sur une propriete des
ensembles (A), Fund. Math. 8 (1926), 362-369 (Konstituenten von Suslinmengen).
Eine eher geometrische, aber im Grunde aquivalente Version der Indizes
ergibt sich aus der LusiNschen Siebmethode; s. den Kommentar zu NachlaB
HAUSDORFF, Fasz. 426, in diesem Band, S. 675. V. K. /P. K.
[95] (S. 190) Fufinote
Die Kardinalitatsaussage fiir co-Suslinmengen, oder nJ[-Mengen, stammt von
SUSLIN und LUSIN. AUS der Darstellung einer co-Suslinmenge C als Vereinigung
C =^ \J.^^^ B^ von Borelmengen B^ und dem Kardinalitatssatz flir Borelmengen
von ALEXANDROFF und HAUSDORFF ergeben sich die Falle:
- jedes B^ ist hochstens abzahlbar und damit
card(C)

[96] (S. 191) Satz III
Der zweite Teil des Satzes ist, wie HAUSDORFF im lO.Kapitel der 3. Auflage,
S. 290 selber anmerkt, aquivalent zum Trennungssatz (fiir Suslinmengen):
Sind A und C disjunkte Suslinmengen in einem voUstandigen separablen
Raum E, dann gibt es eine Borelmenge C/, die A von C
trennt, d. h. ^ C C/ und C H C/ = 0.
In dieser Form wird der Satz bei N. LusiN, Sur les ensembles analytiques, Fund.
Math. 10 (1927), 1-95, dort S.52, formuliert.
Zum Nachweis der Aquivalenz uberprlift man zunachst durch eine einfache
Induktion iiber die Borelsche Hierarchie, dafi jede Borelmenge B im Unterraum
AuC von der Gestalt B = Un{AuC) mit einer Borelmenge U in E ist. Nach
Satz III ist A Borelsch in AuC und daher A = U n{AuC) mit einer Borelmenge
U in E. Dann ist A C U und C HU = 0. S. auch unseren Kommentar
zu Fasz. 426 (iiber Trennungssatze) in diesem Band, S. 682. V. K. /P. K.
[97] (S. 191) wenn S^S^ D 0 fiir jedes C, so ist AADO
Diese Behauptung ist das Prinzip der Index-Restriktion^ welches gewohnlich
folgendermafien formuliert wird:
Index-Restriktion. Sei B = U^

erfiillt: man schreibe namlich B = {XQ, xi,..., x^^,..., x^,...}, ^ < Ui und
setze Brj = {x^; ^ < rj}. Dann ist B = Ur7

[105] (S.211) SatzIII
Der erste Teil des Satzes wurde bereits von LusiN, Sur la classification de
M. Baire, Comptes rendus 164 (1917), 91-94 (s. Anm. [87]) gezeigt. Im hier
vorliegenden Beweis induziert eine Darstellung
^ = U ^nxOFnin^n...
nin2...
einer Suslinmenge A mit abgeschlossenen Argument en F, deren Durchmesser
gegen 0 streben, mittels der Bedingung
/(ni,n2,...) G Fn^ H ^^^2 H...
eine stetige (partielle) Abbildung des Baireraums auf A. Wenn A Borelsch ist,
so konnen die Summanden der 74-Operation nach Satz II in § 34 paarweise
disjunkt gewahlt werden, wodurch die induzierte Punktion / injektiv wird. S.
dazu auch Anm. [93]. V. K. /P. K.
[106] (S. 212) Satz IV
Der erste Teil des Satzes folgt direkt aus Satz II. Der zweite Teil beruht darauf,
da6 Bilder von Funktionen auch Projektionen des Funktionsgraphen sind.
Die Aussage iiber Suslinmengen stammt von SUSLIN, Sur une definition des ensembles
measurables B sans nombres transfinis^ Comptes rendus Acad. Sciences
Paris 164 (1917), 88-91, Theoreme IV (s. Anm. [84]). Borelsche Mengen lassen
sich als Bilder injektiver Funktionen darstellen. Die Injektivitat bedeutet, dafi
die Funktionsgraphen P C X xY uniform sind, d. h. fiir jedes x e X gibt es
hochstens ein y ^Y mit (x, y) G P. Damit ist jede Borelmenge in R^ Projektion
einer uniformen Gs-Menge in R""^^ -= IR"" x IR. V. K. /PK.
[107] (S. 213) Satz I
Die Schwierigkeiten, diesen Satz und den darauf aufbauenden Satz II fiir abgeschlossene
Mengen statt fiir offene Mengen zu zeigen, wird durch eine einfache
Uberlegung aus dem Nachlafi HAUSDORFF, Fasz. 260 deutlich. Es sei
A = X = Y = R, und 5 C y sei das offene Intervall (0,1). (p sei ein ordnungserhaltender
Homoomorphismus von IR auf B mit ip{n) = 1 — ^ fiir alle n,
Setze Pn — [n, 4-oo). Dann ist (p{Pn) = [1 ~ ~51)? ^^^ j^^^ ^^ ^n korrespondierende
abgeschlossene Menge Qn ^ [1 — ^,1) mu6 1 enthalten. Dann aber
ist
n n
V.K./P.K.
[108] (S. 214) wachsender natilrlicher Zahlen
Fiir den Beweis von Satz I ist es essentiell, streng wachsende Folgen von Indizes
zu betrachten. Ware namlich TV = {iy} mit i/ = (1,1,1,...), so ware
386

$(Pi, P2, Ps, • • •) = Pi, und man konnte das Argument des vorliegenden Satzes
auf alle offenen Mengen anwenden. Diese aber werden nicht unter beliebigen
Homoomorphismen erhalten: z. B. ist das Einheitsintervall [0,1] offen im polnischen
Raum [0,1] und nicht offen im polnischen Raum IR. V. K. /P. K.
[109] (S. 214) Satz II
Dieser Satz geht auf W. SIERPINSKI, Sur les ensembles mesurables B, Comptes
rendus Acad. Sci. Paris 171 (1920), 24-26 zuriick. Ohne Verwendung des
Begriffs „absolut" besagt der Satz:
Eine Teilmenge X eines vollstdndigen Raumes A sei topologisch homoomorph
zur Teilmenge Y eines metrischen Raumes B. Wenn K eine der Klassen G^,
^ > 1 oder aber die Klasse der Suslinmengen ist, und wenn X ein K in A ist,
dann ist Y ein K in B. Also sind die Borelschen Klassen G^, ^ > 1 ebenso wie
die Klasse der Suslinmengen topologisch absolut (s. Anm. [58]).
Ein entsprechendes, aber tiefer liegendes Result at liber die Klassen F^ liefert
Satz II* aufS. 218. V.K./P.K.
[110] (S.214) Satz III
In [H 1924], dieser Band, S. 443-453 beweist HAUSDORFF diesen Satz in der
pragnanten Form: „ Jede Menge Gs in einem voUstandigen Raum ist mit einem
vollstandigen Raum homoomorph". Letzteres ist dazu aquivalent, da6 die Menge
eine vollstdndige Metrik besitzt, die mit ihrer Topologie vertraglich ist. Zuvor
hatte ALEXANDROFF, Comptes rendus Acad. Sci. Paris 178 (1924), 185-187,
dieses Resultat fiir den separablen Fall bewiesen.
Die Eigenschaft „X ist Gs-Menge in einem vollstandigen metrischen Raum"
ist eine innere topologische Eigenschaft von X und hangt nicht von dem umgebenden
vollstandigen Raum ab. Diese innere Eigenschaft ist gerade die vollstdndige
Metrisierbarkeit Z. B. ist die Gs-Menge / C IR aller irrationalen Zahlen,
die in der Metrik von IR nicht vollstandig ist, dennoch voUstandig metrisierbar.
Sie ist homoomorph zum vollstandigen B aire-Raum !N=IH'^(S. §37 der Mengenlehre).
V.K./P.K.
[Ill] (S.216) Satz IV
Dieses „Theoreme fondamental" von M. LAVRENTIEFF, Contribution a la theorie
des ensembles homeomorphes, Fund. Math. 6 (1924), 149-160, kann auch
folgendermafien formuliert werden:
Sind A und B voUstandige metrische Raume, dann kann jeder Homoomorphismus
zwischen Mengen X C A und Y C B zn einem Homoomorphismus
zwischen Mengen X^ und Y' erweitert werden, wobei X C X^ C A^Y CY' C B
und X\ Y' jeweils Gs-Mengen in A bzw. B sind. V. K. /P. K.
[112] (S.218) Satz II*
Satz II * stammt von LAVRENTIEFF, als KoroUar zum Erweiterungssatz IV, s.
die in der vorigen Anm. zitierte Arbeit. Somit sind alle Borelschen Klassen,
beginnend mit Gs, sowie die Klasse aller Borelmengen und die Klasse aller
387

Suslinmengen topologisch absolut. Demgegeniiber sind die Klassen F, Fa und
G nicht topologisch absolut, denn man kann recht einfach eine Menge Y in
einem voUstandigen metrischen Raum B angeben, die nicht F^ in 5 ist, aber
homoomorph mit einer abgeschlossenen (oder offenen) Teilmenge eines anderen
voUstandigen metrischen Raumes ist. V. K. /P. K.
[113] (S.219) Einfache Kurven
S. dazu auch den Artikel Hausdorffs Studien iiber Kurven, Bogen und Peano-
Kontinua, dieser Band, S. 798-839. H. H. /M. H. /G. R
[114] (S.226) Topologische Rdume
Zur historischen Bedeutung der im § 40 von HAUSDORFF gegebenen Ubersicht
s. die historische Einfiihrung in diesem Band, S. 16. W. P.
[115] (S. 232) Funktionen und Urbildmengen
Der Inhalt von §41 ist weitgehend eine verbesserte und aktualisierte Version
von HAUSDORFFS Arbeit Uber halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung
[H 1919d], kommentiert im Band IV dieser Edition von S. D. CHATTERJI
(S. 97-103). CHATTERJIS Kommentar konzentriert sich auf topologische und die
Theorie der reellen Funktionen betreffende Aspekte, so da6 wir uns in den folgenden
Anmerkungen auf die Sicht der deskriptiven Mengenlehre beschranken
konnen. V. K. /P. K.
[116] (S. 233) Lebesgueschen Mengen
Definition (1) stammt aus H. LEBESGUE, Sur les fonctions representable analytiquement,
Journ. de Math. (Ser. 6) 1 (1905), 139-216. V.K./P.K.
[117] (S.234) Werte ±oo
Fiir die meisten hier behandelten Probleme diirfte die Zulassung der formalen
Werte ±oo zu keinen wirklichen Schwierigkeiten fiihren, denn durch Komposition
mit einem ordnungserhaltenden Homoomorphismus von IR auf das offene
Intervall (—1,1) C IR wird eine reelle Funktion mit endlichen Werten kanonisch
in eine reelle Funktion mit Werten in (—1,1) iiberflihrt sowie eine Funktion mit
Werten in [—oo, -foo] in eine solche mit Werten in [—1,1]. V. K. /P. K.
[118] (S. 234) obere und untere Limes
In einer nachgelassenen Studie (Fasz. 425, dieser Band, S.613) werden diese
Operationen ausfiihrlicher betrachtet. S. dazu auch HAUSDORFFS nachgelassene
Anmerkungen zur Mengenlehre (Nr. [G] zu S. 237, dieser Band, S.404).
V.K./P.K.
[119] (S.235)
Hier muB es richtig heifien: „die gn sind Funktionen Z^-, lim/^ also ein fas''- In
der Auflage von 1927 ist die Stelle korrekt. W. P.
388

[120] (S. 235) Klasse (M, N)
1st die Funktion f : A ^^ R von der Klasse (M, AT"), dann liegen die Mengen
[/ < y] und [/ < y] in den komplementaren Klassen M^ = {A- X\X e M}
bzw. A^^ = {A — X|X G N}. Wenn M und N zueinander komplementdr sind,
d. h. N^ = M, dann sind alle Mengen [/ > y] und [/ < y] Mengen M. Wenn
die Mengen M zudem einen a-Ring bilden, so ist das /-Urbild einer offenen
Teilmenge von IR stets ein M. Das bedeutet in moderner Terminologie, dafi /
Tl-mefibar ist, wobei M die Klasse der Mengen M ist (A. S. KECHRIS, Classical
descriptive set theory, New York 1995, § 24A). Beispielsweise sind stetige
Funktion von der Klasse (G, F) mit den komplementaren Klassen G und F
der offenen bzw. abgeschlossenen Mengen, daher ist Stetigkeit dasselbe wie
G-MeBbarkeit.
Meistens arbeitet HAUSDORFF mit zueinander komplementaren Klassen M
und N (s. z. B. S. 238), aber es gibt interessante andere Falle. Auf S. 236 ff werden
durch Limesbildungen Mengen von Funktionen definiert, die i. a. nicht
durch (M, N) mit komplementaren M und N beschrieben werden (siehe Anm.
[121]). In Fasz.532, dieser Band, S. 715-717 betrachtet HAUSDORFF die Funktionenklasse
(5, S) mit der nicht selbstkomplementaren Klasse S der Suslinmengen.
Sind M und N nicht wechselseitig komplementar, dann ist die Funktionenklasse
(M, N) i. a. nicht abgeschlossen gegeniiber der Transformation / i—> —f
und nicht durch eine MeBbarkeitseigenschaft charakterisierbar. V. K. /P. K.
[121] (S. 236) Erweiterung gewohnlicher Systeme
HAUSDORFF studiert hier die Beziehungen zwischen der deskriptiven Theorie
der Funktionen und der deskriptiven Theorie der Mengen, die in der Mengenlehre
im Vordergrund steht und sich auch historisch gegeniiber der „Funktionenlehre"
durchgesetzt hat. Abzahlbaren Limesoperationen von Funktionen
entsprechen bei den Urbildmengen abzahlbare Durchschnitte und Vereinigungen.
Diese Beobachtungen fiihren im weiteren Verlauf zu direkten Parallelen
zwischen den Baireschen Funktionenklassen und der Borelhierarchie.
Ein typischer Fall, den HAUSDORFF schon in [H 1919d] betrachtet hat, ist
der eines gewohnlichen Funktionensystems ^ mit Definitionsbereich A, bei dem
die Klasse der Lebesgueschen Urbildmengen
[/>2/] = {r'((2/,+oo))|/e^,j/eR}
gleich der Borelschen Klasse S^ auf A ist, fiir ein a < uji. Wenn dann g^* das
System aller Funktionen ist, die punktweiser Limes einer Folge aus ^ sind, so
ist
[r > 2/] - {(r)-^((2/,+oo))ir er,yeR} = s^i. V.K./P.K.
[122] (S. 237)
Es mufi hier statt

[123] (S.243) Einschiebungssatz
Fiir ein gewohnliches Funktionensystem ^ wird hier also gezeigt:
Wenn g punktweiser Limes einer aufsteigenden Folge aus ^ und h
Limes einer absteigenden Folge aus ^ ist, so da6 liberall g > h, so
gibt es eine Funktion A:, die zugleich Limes einer aufsteigenden als
auch einer absteigenden Folge aus ^ ist, mit g > k > h.
Satz XIII verallgemeinert den Einschiebungssatz von [H 1919d], der auf Vorarbeiten
von BAIRE und HAHN aufbaut (s. [H 1919d]). W. SIERPINSKI benutzte
in Sur une propriete des ensembles ambigus, Fund. Math. 6 (1924), 1-5, den
Einschiebungssatz, um einen Einschiebungssatz fiir Borelmengen zu beweisen,
der im wesentlichen ein Trennungssatz ist. Ein expliziter Trennungssatz fiir
Borelmengen wurde zuerst von M. LAVRENTIEFF formuliert und mit einer Beweisskizze
in Sur les sous-classes et la classification de M. Baire, Comptes
rendus Acad. Sci. Paris 180 (1925), 111-114, veroffentlicht (s. auch Anm. [96]).
In der im folgenden skizzierten allgemeinen Form findet sich der Trennungssatz
wahrscheinlich erstmals in HAUSDORFFS nachgelassenen Noten der friihen 30-er
Jahre (wie z. B. in Fasz. 1064, dieser Band, S. 592-596).
^ = (9Jl, OT) bezeichne die Klasse aller Funktionen / : A ^^ IR, so daB die
Lebesgueschen Urbildmengen [/ > y], [/ > y] fiir beliebiges y e R zuTl resp.
^ gehoren. Seien & und S^ die Funktionensysteme, die aus den Limit es von
wachsenden bzw. fallenden Folgen aus ^ bestehen. HAUSDORFF verwendet die
Bezeichnungen g und h fiir Elemente von 0 bzw. S^. Nun betrachte man eine
Menge X in ^5 und ein Y in 9Jlo- mit X C Y. Weil X ein (absteigender)
Durchschnitt von Mengen aus ^ ist, liegt die charakteristische Funktion h von
X als fallender Limes von Funktionen aus ^ in der Klasse S^. Dementsprechend
liegt die charakteristische Funktion g von Y in (&. Wegen X CY gilt liberall
h < g, und nach dem Einschiebungssatz gibt es eine Funktion k ^ (3 Ci S^ mit
h < k < g. Die Menge Z = [k > ^] gehort dann zu dJlfj D ^5 und es ist
X CZ CY.
Vertauscht man noch Y mit seinem Komplement Y', so erhalt man den Trennungssatz
fiir 0^5-Mengen: sind X und Y' disjunkte Mengen in 9^6, dann gibt
es eine Menge Z eTl^n ^5, so dafi X C Z und Y' ilZ = 0.
V.K./P.K.
[124] (S. 248) halbstetig
Die Begriffe oberhalb stetige Funktion {semi-continues superieurement) und unterhalb
stetige Funktion (inferieurement) hat R. BAIRE in seiner Dissertation
Sur les fonctions de variables reelles, Ann. di Matematica 3 (1899), 1-122, dort
S. 6, eingefiihrt. V.K./P.K.
[125] (S. 255) Theorem von R. Baire
Stetige Funktionen / : X ^ [R sind von der Klasse (G,F). Funktionen der ersten
(Baireschen) Klasse sind punktweise Limites stetiger Funktionen und von
der Klasse (Fa, G^). Satz VIII liefert eine von der Limesbildung unabhangige
390

Charakterisierung dieser Funktionenklasse fiir Fn-Raume X; dies ist z.B. der
Fall, wenn X voUstandig ist. Im Kern geht dieses Resultat auf BAIRES Dissertation
(s. vorige Anm.) zuriick; s. auch Anm. [96] zu Grundziige der Mengenlehre,
Band II dieser Edition, S. 615. V. K. /P. K.
[126] (S. 257) g = lim^^, gi = limgik, gik = lim^fi^/, • • •
i k I
Dieses Definitionsschema laBt sich als rekursives Schema entlang eines wohlfundierten
Baums T C N"^ mit folgenden Eigenschaften interpretieren: (a) die leere
Folge A ist ein Elemente von T (die Wurzel von T); (b) wenn t eine Folge in T
ist, so gehort auch jedes Anfangsstlick von t zu T; (c) wenn t eine Fortsetzung
in T hat („t ist kein Blatt von T"), dann gehort jede einelementige Erweiterung
t^/c, A: G IH zu T; (d) T ist wohlfundiert, d. h. es gibt keinen unendlichen Pfad
durch T. Es sei weiterhin jedem t E T eine Funktion gt : A ^^ R zugeordnet
mit: (e) wenn t ein Blatt von T ist, so gehort gt zu dem vorgegebenen Anfangssystem
{/} von Funktionen; (f) fiir jedes andere t ^ T ist gt = lim gt/^kk—^oo
Durch Induktion liber den wohlfundierten Baum folgt, dafi jedes gt und insbesondere
die „Wurzelfunktion" g — g^ ZM dem von {/} erzeugten Baireschen
Funktionensystems $ gehort. Umgekehrt hat jede Funktion in $ eine solche
Baumdarstellung. V. K. /P. K.
[127] (S. 258) Bairesche Funktionenklasse
Die Baireschen Funktionen werden von KuRATOW^SKl in seiner Topology /,
New York 1966, § 31.IX mit Blick auf LEBESGUES Arbeit Sur les fonctions
representable analytiquement, Journ. de Math. (Ser. 6) 1 (1905), 139-216,
auch analytisch reprdsentierbare Funktionen genannt. Die Klasse der Baireschen
Funktionen wird in der Literatur gelegentlich auf unterschiedliche Weise
hierarchisiert, so da6 bei der Ubertragung von Ergebnissen Vorsicht geboten
ist. HAUSDORFF definiert die Klasse ^^ fiir Limesindizes rj als das kleinste
vollstdndige Funktionensystem, welches [J^^j. ^^ umfafit (hier geniigt die Abgeschlossenheit
beziiglich Limites gleichmafiig konvergenter Folgen). Demgegeniiber
setzt KURATOWSKI einfach $"? = \J^

[130] (S. 262) Wir zeigen nun nach N. Lusin
Eine Menge L reeller Zahlen, welche stets von erster Kategorie ist (d. h. L Pi P
ist fiir jedes perfekte P von erster Kategorie in P), wurde von LusiN in Sur
Vexistence d^un ensemble non-denombrable qui est de premiere categorie dans
tout ensemble parfait^ Fund. Math. 2 (1921), 155-157, ahnlich wie hier durch
eine transfinite Konstruktion definiert. In einer spateren Note in Comptes rendus
Acad. Lincei 7 (1928), 214-215, haben LusiN und SIERPINSKI gezeigt, dafi
man eine solche Menge auch erhalt, wenn man aus jeder Konstituente einer
gegebenen nicht-Borelschen co-Suslinmenge (s. Anmerkung [94]) einen Punkt
auswahlt. V. K. /P. K.
[131] (S.264) C = N-M^[f = y]
Die Menge C ist aus heutiger Sicht einfach der Graph Tf = {(x, f{x))\x G A}
der Funktion /. In der Theorie ZFC wird eine Funktion generell mit ihrem
Graphen identifiziert. V. K. /P. K.
[132] (S. 265) Satz VIII (und Satz VII vorige Seite)
Zusammen besagen die beiden Satze: Eine reelle Abbildung f : A —^ R auf
einer Suslinmenge in einem polnischen Raum ist genau dann Bairesch, wenn
ihr Graph Tf eine Sushnmenge in A x IR ist. Wenn dariiber hinaus A Borelsch
in dem umgebenden polnischen Raum ist, so ist / genau dann Bairesch, wenn
Tf Borelsch in A x [R ist. Mit den auf Definitionskomplexitaten aufbauenden
Techniken der modernen deskriptiven Mengenlehre ist letzteres schnell gezeigt.
Suslinmengen werden durch 5]}-Definitionen charakterisiert. Es sei
/(a) = y 4=^ 32; G IR (p{a, y, z)
eine XlJ-Definition von F/, wobei in ^p nur Quantoren iiber natiirliche Zahlen
vorkommen. Dann ist
/(a) ^y

[134] (S.267) Klasse{M,N)
HAUSDORFF verallgemeinert nun die Betrachtungen von reellwertigen Funktionen
zu Funktionen f : X -^ Y m beliebige topologische Raume Y, Die
Baireschen Funktionenklassen ^^ werden nur fiir Ordinalzahlen i < u)i definiert,
die keine Limesordinalzahlen sind, denn im reellwertigen Fall hatte HAUS­
DORFF dort unter gleichmaBigen Limites abgeschlossen, die hier i. a. nicht zur
Verfiigung stehen (zur Frage der Limesstufen s. auch Anm. [127]).
V.K./RK.
[135] (S. 268) Satz XII
HAUSDORFF definiert das System $ der Baireschen Funktionen im allgemeinen
Fall genauso wie fiir reelle Funktionen. Allerdings lafit sich Satz XII, der eine
Verbindung zwischen den Baireschen Klassen und den Borelmengen des Definitionsraums
herstellt, im Gegensatz zum reellen Fall nicht umkehren. HAUS­
DORFF gibt als Gegenbeispiel den Fall / : A -^ {0,1} mit einem mehrpunktigen
zusammenhangenden Raum A an. In Nachtrag D zur Mengenlehre, S. 299
verweist HAUSDORFF auf einen Vorschlag von BANACH, den Anfang der Baireschen
Hierarchic zu modifizieren. Tatsachlich gilt mit dieser Modifikation,
daB die Baireschen und die Borel-mefibaren Funktionen iibereinstimmen, sogar
mit einer gewissen Korrespondenz zwischen den Stufen der beiden Klassifikationsschemata
(KuRATOWSKi, Topology /, New York 1966, §31.IX). HAUSDORFF
iibertragt auch einige andere grundlegende Resultate aus der Theorie der reellen
Funktionen auf Bairesche Abbildungen in einen beliebigen polnischen Raum.
V.K./P.K.
[136] (S. 269)
Hier mu6 es anstatt (p = linir- (ppqr richtig heifien: (ppq = limr ^pqr-
VK./P.K.
[137] (S.274) g{x) = supyf{x,y)
HAUSDORFF betrachtet diese Transformation genauer in Fasz. 532 (dieser Band,
S. 715-717). Es zeigt sich, dafi Funktionen g, die auf diese Weise aus Baireschen
Funktionen entstehen, eine umfangreiche Funktionenklasse bilden, welche durch
die Forderung charakterisiert ist, da6 alle Lebesgueschen Urbildmengen der
Form [g > c] Suslinmengen sind. V. K. /P. K.
[138] (S. 276) Diskrepanz
Die HAUSDORFFsche Diskrepanz [A, B] = {A\B)U {B\ A) heifit heute symmetrische
Differenz und wird mit AAB bezeichnet. V. K. /P. K.
[139] (S. 277) Modul
Was HAUSDORFF einen Modul nennt, nennt man heute ein Ideal (von Mengen).
Entsprechend ist ein a-Modul ein a-Ideal V. K. /P. K.
393

[140] (S. 280) (5-Menge
Statt der Bezeichnung „/3-Menge" folgt man heute eher HAUSDORFFS alternativer
Bezeichnung „genuge der Baireschen Bedingung" und spricht von einer
Menge mit der Baireschen Eigenschaft {having the Baire property), s. A. S.
KECHRIS, Classical descriptive set theory, New York 1995, 8.F. Der Begriff
geht auf R. BAIRE, Sur les fonctions de variables reelles, Ann. di Matematica
3 (1899), 1-122, zurlick. Mengen mit der Baireschen Eigenschaft nannte LE-
BESGUE ensembles Z {Sur les fonctions representable analytiquement, Journ.
de Math. (Ser. 6) 1 (1905), 139-216, dort S. 186). H. HAHN nannte sie in Reelle
Funktionen, Leipzig 1932, offene Mengen bis auf eine Menge erster Kategorie,
HAUSDORFF definiert eine /?-Menge als eine Menge X, die kongruent ist mit
einer ofFenen oder einer abgeschlossenen Menge Y. Es genligt jedoch, in dieser
Definition nur offene (wie in der modernen Standarddefinition) oder nur abgeschlossene
Mengen zu betrachten. Wenn namhch F = GQC der AbschluB einer
offenen Menge G oder aber G — Fi der offene Kern einer abgeschlossenen Menge
F ist, dann ist die Differenz F\G nirgends dicht und folghch ist eine Menge
X kongruent mit F genau dann, wenn sie kongruent mit G ist. V. K. /P. K.
[141] (S.280) Fufinote 1
Dafi das System der /3-Mengen abgeschlossen unter der A-Operation ist und
somit ein Sushnsches System bildet, wurde in LusiN, Sur la classification de M.
Baire, Comptes rendus Acad. Sci. Paris 164 (1917), 91-93, angeklindigt und
in LusiN und SlERPlNSKi, Sur quelques proprietes des ensembles {A), Bull. Int.
Acad. Sci. Cracovie 4 (1918), 35-48, bewiesen. HAUSDORFF verweist in seiner
Anmerkung zu S.280 auf O. NiKODYM, Sur une propriete de Voperation A,
Fund. Math. 7 (1925), 149-154, der wiederum auf LusiN und SIERPINSKI verweist.
V. K. /P. K.
[142] (S.280) FuBnote2
Die „weitgehende Analogic" zwischen den Lebesgue-mefibaren Mengen und
den /^-Mengen, die HAUSDORFF konstatiert, wird in J. C. OxTOBY, Measure
and Category - A Survey of the Analogies between Topological and Measure
Spaces, Springer, 1971, umfassend dargestellt. Mafi- und kategorientheoretische
Aussagen A lassen sich formal durch Austausch von Wortern wie „me6bar",
„Nullmenge", usw. gegen „hat die Bairesche Eigenschaft", „mager", usw. zu
Aussagen A^^^^ dualisieren. Measure and Category enthalt zahlreiche Paare
zueinander dualer Theoreme. Dieses Phanomen wird durch die Dualitdtssdtze
von W. SIERPINSKI, Hypothese du continu, Warschau, 1934, dort Proposition
C25 (darauf verweist HAUSDORFF in seiner FuBnote) und von P. ERDOS, Some
remarks on set theory, Ann. of Math. (2. Ser.) 44 (1943), 643-646, zumindest
teilweise begriindet:
Unter der Kontinuumhypothese gibt es eine Bijektion / : IR ^^ IR
mit /-I = /, so da6 fiir alle A C IR gilt:
A ist eine NuUmenge 4=> f{A) ist mager,
394

und
A ist mager f{A) ist eine NuUmenge.
Hieraus ergibt sich ein Dualitdtsprinzip fiir Satze A, in denen mengentheoretische
Aussagen (wie z.B. Inklusions- oder Kardinalitatseigenschaften) iiber
NuUmengen und magere Mengen gemacht werden, jedenfalls unter der Kontinuumhypot
hese:
A ist zu der dualen Aussage A^^^^ aquivalent.
E. SzPiLRAJN zeigte aber in seinen Remarques sur les fonctions completement
additives d^ensemble et sur les ensembles jouissant de la propriete de Baire,
Fund. Math. 22 (1934), 303-311, dafi sich diese Methode nicht so erweitern
laBt, dafi die Abbildung f : R ^^ R aufierdem mefibare Mengen in Mengen mit
der Baire-Eigenschaft und umgekehrt iiberfiihrt. Er fafit sein Ergebnis in der
(technisch wohldefinierten) Aussage zusammen: „Les classes B et L ne sont pas
semblables."
Neuere mengentheoretische Untersuchungen haben gezeigt, dafi es ungeachtet
der elementaren Duahtaten erhebhche Asymmetrien zwischen Mafi und Kategorie
gibt, insbesondere im Bereich der projektiven Mengen reeller Zahlen.
R. M. SOLOVAY konstruierte in A model of set-theory in which every set of reals
is Lebesgue measurable, Ann. of Math. 92 (1970), 1-56, ein Modell von ZFC,
in dem alle projektiven Mengen reeller Zahlen mefibar sind und die Bairesche
Eigenschaft besitzen. Die wesentliche kombinatorische Voraussetzung der So-
LOVAYschen Konstruktion ist eine unerreichbare Kardinalzahl, deren Existenz
aber nicht in ZFC bewiesen werden kann. S. SHELAH zeigte dann in Can you
take Solovay's inaccessible away?, Israel J. Math. 48 (1984), 1-47, dafi diese
Prage fiir Mafi und Baire-Eigenschaft in verschiedener Weise zu beantworten ist:
fiir die Mefibarkeit aller projektiven Mengen sind die unerreichbaren Kardinalzahlen
unvermeidlich, sogar fiir die Mefibarkeit aller Sg-Mengen, aber Modelle,
in denen alle projektiven Mengen die Baire-Eigenschaft besitzen, konnen ohne
unerreichbare Kardinalzahlen konstruiert werden.
J. RAISONNIER und J. STERN entdeckten eine noch deutlichere Asymmetrie:
die Lebesgue-Mefibarkeit aller 5]2-Mengen reeller Zahlen impliziert, dafi alle
5]2-Mengen reeller Zahlen die Bairesche Eigenschaft haben, aber nicht umgekehrt
(J. RAISONNIER U. J. STERN, The strength of measurability hypotheses,
Israel J. Math. 50 (1985), 337-349; J. STERN, Regularity properties of definable
sets of reals, Ann. Pure Appl. Logic 29 (1985), 289-324). Der Vollstandigkeit
halber sei ferner erwahnt, dafi Mefibarkeit und die Baire-Eigenschaft fiir die
kleinere Klasse A2 von ZFC und auch untereinander unabhangig sind, und
dafi alle Suslinmengen (5]{) und co-Suslinmengen (11}) Lebesgue-mefibar sind
und die Baireeigenschaft haben. V. K. /P. K.
[143] (S. 282) Modul dJlo der nirgendsdichten Mengen
Die HAUSDORFFsche Klasse N der ao-Mengen {= /3o-Mengen) wurde auch von
KuRATOWSKi, Topology I, New York 1966, Ch. I, § 8.V, betrachtet.
V.K./P.K.
395

[144] (S. 284) Satz IV
Nach diesem Satz ist im separablen Fall eine Punktion genau dann eine (3-
Funktion, wenn sie Baire-mefibar ist, d. h. da6 Urbilder offener Mengen die
Bairesche Eigenschaft haben. V. K. /P. K.
[145] (S. 288) p'^-Mengen
Das System derjenigen Mengen, die auf jeder perfekten Menge die Bairesche
Eigenschaft haben, enthalt z.B. alle Mengen, die stets von erster Kategorie
sind (s. Anm. [130]) und deren Komplemente. V. K. /P. K.
[146] (S. 289) Halbschlichte Abbildungen
Halbschlichte Abbildungen werden heute auch als a;-1-Abbildungen bezeichnet,
weil das Urbild eines jeden Punktes hochstens abzahlbar ist. In § 46 werden
einige Resultate aus LusiN, Legons sur les ensembles analytiques, Paris
1930, Kap. Ill, verallgemeinert; halbschlichte Abbildungen heifien dort semireguliere.
V. K. /P. K.
[147] (S. 290) sind zwei disjunkte Suslinsche Mengen trennbar
Vergl. den Trennungssatz III, S. 191, der mit Hilfe der Ordinalzahlen gezeigt
wurde, sowie die Anm. [96] und [97]. Zur Elimination der Ordinalzahlen aus
Argumenten der deskriptiven Mengenlehre schreibt HAUSDORFF auf S. 164:
Die Theorie der Wohlordnung, urspriinglich von CANTOR gerade ftir
Zwecke der Punktmengenlehre ausgebildet, ist spater von dieser Mission
etwas zuriickgedrangt worden (nicht immer aus billigenswerten Motiven),
[...] . Indessen gibt es doch Falle, wo die Ordnungszahlen zurzeit unentbehrlich
[...] sind.
Unser Kommentar zu Fasz. 426, dieser Band, S. 682-684, geht auf weitere Resultate
aus den friihen 30-er Jahren ein, die mit dem Trennungssatz verwandt
sind. V. K. /P. K.
[148] (S. 290) B-Mengen, S-Mengen
HAUSDORFF hat auch an anderer Stelle die Bezeichnungen B-Mengen und S-
Mengen benutzt, etwa in Fasz. 1060. V. K. /P. K.
[149] (S. 294) Satz III
Um Schwierigkeiten bei der Definition der Baireschen Funktionen zwischen allgemeinen
topologischen Raumen zu umgehen, empfiehlt es sich, die Funktionen
hier als Borel-mefibar aufzufassen, d. h. dafi Urbilder offener Mengen Borelsch
sind (s. auch Anm. [135]).
Satz III wurde zuerst von P. NOVIKOFF, Sur les fonctions implicites mesurables
B, Fund. Math. 17 (1931), 8-25, dort S. 13, fiir Projektionen von Borelmengen
gezeigt, deren Schnitte in Projektionsrichtung hochstens abzahlbar
sind. Dieses Resultat erscheint schon friiher (mit einem Verweis auf NoviKOv)
396

in LusiNs Legons sur les ensembles analytiques, Paris 1930, dort S. 178.
V.K./RK.
[150] (S. 296) Satz V
In LusiNs Legons sur les ensembles analytiques, Paris 1930, S. 243, erscheint
der Satz in einer aquivalenten „georQetrischen" Form als Spaltungssatz:
Seien X und Y polnische Raume. Dann ist jede Borelmenge P C X x Y
mit hochstens abzahlbaren Schnitten eine abzahlbare Vereinigung uniformer
Borelmengen.
Ein Schnitt einer Menge P C X xF ist eine Menge der Form Px = {y\{x,y) G
P} C y, fiir X G X. Eine Menge P C X x Y ist uniform, wenn jeder Schnitt
Px hochstens einen Punkt enthalt; eine uniforme Menge ist der Graph einer
partiellen Funktion von X nach Y. Die Projektion von P ist die Menge pr P =
{x G X\{x,y) G P}; wenn P eine partielle Funktion ist, so ist prP auch der
Definitionsbereich dieser Funktion.
Borelmengen mit hochstens abzahlbaren Schnitten besitzen weitere bemerkenswerte
Eigenschaften. Im Gegensatz zu beliebigen Borelmengen konnen sie
z. B. durch Borelmengen uniformisiert werden:
1st P C X xY eine Borelmenge mit hochstens abzahlbaren Schnitten, dann
gibt es eine uniforme Borelmenge Q C. P mit
prQ-prP.
Siehe LusiN, Legons sur les ensembles analytiques, Paris 1930, oder Novi-
KOFF, Sur les fonctions implicites mesurables B, Fund. Math. 17 (1931), 8-25.
Eine Beweismoglichkeit flir die Uniformisierung besteht darin, P in abzahlbar
viele uniforme Borelmengen zu spalten und aus diesen partiellen Funktionen
auf Borelsche Weise eine Funktion zu kombinieren, die flir alle Elemente von
prP definiert ist.
Der oben zitierte Spaltungssatz gehort zu einer Reihe von interessanten Spaltungssdtzen
{splitting theorems) von folgendem Typ: Sei K eine Mengenklasse
und K^ das System der abzahlbaren Vereinigungen von Mengen aus K.
Dann ist jede Borelmenge mit Schnitten in K^j eine abzahlbare Vereinigung
von Borelmengen mit Schnitten in K. Fiir die Klasse K — l^ aller kompakten
Mengen (in polnischen Raumen) gibt es Spaltungssatze von V. ARSENIN,
Sur la nature des projections de certains ensembles mesurables B, Bull. Acad.
Sci. URSS Ser. Math. 4 (1940), 403-410, und K. KuNUGUi, Contribution a
la theorie des ensembles boreliens et analytiques, J. fac. sci. Hokkaido Imp.
Univ., ser. Math. 8 (1939), 1-25. Siehe auch E. SCEGOL'KOV, Uber die Uniformisierung
gewisser B-Mengen (Russisch), Dokl. Akad. Nauk SSSR 59 (1948),
1065-1068, J. SAINT RAYMOND, Boreliens a coupes K^, Bull. Soc. Math. France
104 (1976), 389-400, und A. LouvEAU, A separation theorem for T\ sets,
Trans. Amer. Math. Soc. 260 (1980), 363-378. V. K. /R K.
397

[151] (S.298) Nachtrdge, (A)
HAUSDORFF zitiert hier Resultate von W. HUREWICZ, Relativ perfekte Telle
von Punktmengen und Mengen (A), Fund. Math. 12 (1928), 78-109. Darunter
ist insbesondere der folgende bemerkenswerte Satz: Jede co-Suslinmenge X in
einem polnischen Raum, allgemeiner in einem beliebigen separablen metrischen
Raum, welche eine Fn-Menge in der Relativtopologie ist (d. h. voUstandig Bairesch,
s. Anmerkung [68]), ist ein G5. Wenn namlich X kein G5 ist, dann ist es
kein Fn aus einem ganz elementaren Grund: es gibt eine abzdhlbare und folglich
magere und in sich magere Menge Q C X, die relativ abgeschlossen in X
und insichdicht ist. Umgekehrt ist jedes G5 ein Fn, weil jedes Gs voUstandig
metrisierbar ist. Wir verweisen auf 21.18 und 21.19 in A. S. KECHRIS, Classical
Descriptive Set Theory, New York 1995, fur eine moderne Form dieses Satzes.
In HAUSDORFFS NachlaB finden sich zwei Noten (Fasz. 261 und 281), in denen
einige von HuREWicz' Resultaten reproduziert und kommentiert sind; s. dazu
dieser Band, S. 695-703. V. K. /P. K.
Autore n:
H. H. :
M. H. :
H. Herrlich
M. Husek
V. K.: V. Kanovei
P. K.: P. Koepke
G. P.: G. Preufi
W. P.: W. Purkert
398

NL HAUSDORFF : Kapsel 52 : Faszikel 1141
[Anmerkungen HAUSDORFFS ZU Mengenlehre ([H 1935a])]
Die folgenden Notizen HAUSDORFFS befanden sich in dem im Nachlafi vorhandenen
Exemplar von [H 1935a]; die Notizzettel waren an den entsprechenden
Stellen eingelegt. Nur die erste Notiz ist datiert, die librigen nicht. Die Notizen
werden hier in der Reihenfolge der Seitennummern abgedruckt; nach jeder
Notiz folgt unmittelbar der Kommentar.
[A] (S.80) Zu Mengenlehre § 17. (Vereinfachung). 25/11 41
Tl sei ein Ring von Mengen (d. h. enthalte mit A, B zugleich A + B, AB) und
enthalte die NuUmenge. 21 sei eine Folge 21 = (AQ, AI, A2,...) mit AQZ:) AiZ)
A2 D • • • und schliesslich Ai — ^\ 03 = (BQ, BI, B2,...) eine weitere solche
Folge. Wir bilden die Folge C = (Co, Ci, C2,...) mit
{ Ci = ^ AiBk fiir / gerade
i, k gerade ('j^\
Ci = ^ AiBk fiir / ungerade
i-\- k = I
Dann ist ebenfalls Co D Ci D C2 D • • • . Namlich fiir gerades /
C/_i D Ci D C/+1 .
Die erste Ungleichung (/ > 0) folgt daraus: jedes Glied A^Bk {i-\-k = 1, i,k
gerade) von C/ hat entweder i > 0 oder A: > 0, also A^Bk C Ai-iBk oder
C AiBk-i, in beiden Fallen C C/_i; also C/_i D C/. Die zweite (/ ^ 0): jedes
Glied von C/+i hat die Form Ai^iBk oder AiBk-\-i {i,k gerade, i-\-k = I),
ist also C AiBk C Ci : Cz+i C C/. Die Ci sind schliesslich 0.
Wir haben jetzt
Ci - Q+i = E {^^- Mi){Bk - Bk^i) (/ gerade) (2)
i-{- k = I
i, k gerade
Beweis. Sei x e Ci — C/+i; x eCi; x e AiBk {i-\-k = I, i,k gerade). Da
xeCi^i, ist xeAi^iBk, xeAiBk+i, x e {Ai-Ai^i)Bk, x e Ai{Bk-Bk+i),
X 8 (Ai — AiJ^.i){Bk — Bk+i), die linke Seite von (2) in der rechten enthalten.
Umgekehrt, sei x in der rechten Seite enthalten, x e {Ai — Ai^i){Bk —-B^+i)
{i-\- k = I, i,k gerade). Also x e AiBk C C/. Da x in 74^+1,^^+2, • • • 5-^^+1,
Bk-\-2^ • • • nicht enthalten ist, ist fiir x e ApBq , p ^i^ Q = k^ p-\- q^l^ also
399

X in C^+i nicht enthalten. Demnach x e Ci — Ci-^i; die rechte Seite von (2) in
der linken enthalten, beide sind gleich.
Verknlipfen wir mit 21,03, C^ die Differenzketten
A = {Ao-Ai)^{A2-As)^'" , B = (Bo - ^i) + (^2 - ^3) + • • • :
C = (Co-Ci) + (C2-C3) + ---,
so folgt aus (2), dass C = AB. Der Durchschnitt zweier A ist also ein A, und
die A bilden (wie a. a. O. gezeigt) einen Korper.
Kommentar
HAUSDORFF gibt einen einfacheren Beweis fiir die Behauptung (S. 79), daB
die Klasse der Differenzenketten abgeschlossen gegeniiber Durchschnittsbildung
ist. Man beachte, dafi entgegen den in Mengenlehre getroffenen Vereinbarungen,
^ hier die Vereinigung von nicht notwendig paarweise disjunkten Mengen
bezeichnet. V. K. /P. K.
[B] (S. 82) Mengenlehre S. 82
Auch fiir drei Differenzketten
gilt ABC = E (

A B
Wir setzen [/ = E U{a, \b{a, B)), F = E Uib, |6(6, A)).
a b
(6(a, B) > 0 well aeB.) Zu x eU, y ^V giebt es Punkte a 8 A, b e B mit
ax < |6(a, 5) ^ |a6 ,
also ab ^ ax-\-xy-\-yb < xy-\- ^ab^ ab < 3xy. 1st nun z e tJV, x -^ z, y -^ z,
so ist xy -^ 0, ab —^ 0, 8{a,B) -^0, ax ^ 0, a ^> z, ebenso b ^ z, also
z 8 ^5. Demnach UV C A5, liberdies UV D AB, also 17^ = AB. (C/F = 0
ist evident, da stets ?ixy > ab, xy > 0.)
Kommentar
6(a, J5) bezeichnet die untere Entfernung zwischen einem Punkt a und einer
Menge B, definiert in Mengenlehre, S. 111. HAUSDORFF merkt an, dafi
b{a,B) > 0 ist, falls a nicht zum Abschlufi B von B gehort. Am Schlufi argument
iert er ein wenig zwanglos; so ist mit x —^ z gemeinet, daB eine Folge
{xn} von Punkten Xn ^ U gegen z geht, usw. V. K./P-K.
[D] (S.170) Mengenlehre, S. 170, V.
Die reduziblen Mengen jedes (auch nicht separablen) Raumes sind gleichzeitig
Fc7 und Gs.
Ist M = J2{F^ - ^e)' ^0 13 F(5 D • • • D F^ D F^' D • • • , so sei F^n die
Menge der Punkte x von F^, deren untere Entfernung 6(x, F/) ^ ;^; M =
^^F^n = Yl^n^ Mn = X^F^n- Die Mengen F^n sind abgeschlossen und
^ n n ^
haben paarweise untere Entfernungen ^ -, denn fiir x 8 F^n^ y ^ Fj^n mit
^

[E] (S. 192) Mengenlehre, S. 192.
(1) A = Borelsch ist damit gleichbedeutend, dass ein ^ mit A — S^ oder
Y^ Bj^ = Q existiert, d. h. dass die „Konstituenten" von B schliesslich ver-
^>^
schwinden.
(2) Beziiglich der Konstituenten A^ von A gilt (Sierpinski, F. M. 21, p. 34):
wenn A nicht Borelsch ist, so sind b^i Mengen A^ unabzahlbar.
Beweis. E — Yl,^e, {E^ — A^ -^ B^) ist k-konvergent (Summen von Ki
Mengen, F. M. 26), d.h. T^ = ^ Er^ ist schliesslich von 1. Kategorie. Dies
lasst sich relativieren: fiir jede perfekte Menge P C -E ist PT^ schliesslich
von 1. Kategorie in P, umsomehr PAT^ = P ^ A^. Angenommen, die A^
seien schliesslich (fiir ?7 > ^o) hochstens abzahlbar: dann ist P ^ ^4^ fiir
jede perfekte Menge P von 1. Kategorie in P; denn es giebt ein ^o,
sodass P Y^ Aj^ m P von 1. Kategorie ist, und P XI ^^ i^^ ^^ ebenfalls,
als hochstens abzahlbare Teilmenge von P. Demnach enthalt Yl ^v keine
perfekte Teilmenge ^ 0, und da diese Menge (= A — Y ^v) analytisch ist,
ist sie hochstens abzahlbar. A ist Borelsch. Also:
[A^ schliesslich hochstens abzahlbar] —> [A = Borelsch],
[A nicht Borelsch] —> [\^i Mengen A^ unabzahlbar].
Dies ist nicht umkehrbar: A kann Borelsch und dennoch b^i Mengen A^
unabzahlbar sein. Beispiel: P'(no, ni,..., n^) = P(ni,..., n^), X, 0 fiir no =
1,2,>2; dann ist A' = X, -^£ ~ -^^ ^^^ ^^^^ ^^^ nicht Borelschem A,
A'. = A'Ti 7^ 0 Ki mal, obwohl A' Borelsch ist. (Einleuchtender mittels Siebkonstruktion.)
(3) Der Beweis von (1) gilt auch, wenn m A = J2^niEnin2 • - - i^rn ^
Fnin2 D • • • ) die abgeschlossenen Mengen Fn^___nk die Durchmesserbedingung
lim(i(Fni...nfc) = 0 nicht erfiillen, da man S. 192 A mit Durchmesserbedingung
k
annehmen kann.
Kommentar
In Teil (2) dieser Note werden die Beziehungen zwischen den folgenden drei
Eigenschaften der Zerlegung einer Suslinmenge A — U^

Das wichtigste der in Betracht gezogenen Resultate ist (i) => (iii) (urspriinglich
von W. SIERPINSKI, Sur les constituantes des ensembles analytiques^ Fund.
Math. 21 (1933), 29-34, aber ganz erheblich vereinfacht durch HAUSDORFFS
Technik der k-Konvergenz, die er in seiner beriihmten Arbeit Summen von Hi
Mengen, Fund. Math. 26 (1936), 241-255 ([H 1936b]) eingefiihrt hat). Eine
element are Analyse des Beweises zeigt, dafi in Wirklichkeit das starkere Resultat
(ii) =^ (iii) erzielt wird. Um (i) => (ii) einzusehen, braucht man nur zu
beriicksichtigen, dafi A = U^

durch abzahlbar viele Konstituenten B^ liberdeckt werden kann. Somit gilt die
Aquivalenz (i^)

Kommentar
Die Notiz endet abrupt mit einem mit Rotstift eingetragenen Fragezeichen.
Das Resultat, das HAUSDORFF hier vermutet, ist folgendes. Angenommen, die
Funktionen / bilden ein gewohnliches Funktionensystem ^ (zur Terminologie
s. Mengenlehre, S. 235). Dann wird behauptet, dafi das System ^ der punktweisen
oberen Limites von Folgen von Funktionen aus ^ ein vollstandiges System
bildet, d. h. der Limes einer gleichmdflig konvergenten Folge von Funktionen
aus ^ ist wiederum eine Funktion in ^. HAUSDORFF hat nicht einmal angedeutet,
wie der in der Note bewiesene Fakt zu diesem Ziel fiihren konnte.
Tatsachlich wissen wir nicht, ob das Resultat in dieser AUgemeinheit richtig
ist. Andererseits hat HAUSDORFF bewiesen (Fasz. 425, dieser Band, S.613-
617), dafi der Satz richtig ist im speziellen Fall, dafi ^ selbst ein vollstandiges
System ist.
Satz IV in Mengenlehre, S. 237 zeigt, dafi das kleinere System S^* von Funktionen,
welche punktweise Limites von Folgen von Funktionen aus ^ sind, ein
vollstandiges System ist, auch wenn S^ nicht vollstandig ist. HAUSDORFF hat
anscheinend die Behauptung flir 5^ als eine Verallgemeinrung von Satz IV betrachtet,
so dafi aus letzterer die friihere folgen soUte. Dies ist in der Tat der
Fall, wenn auch durchaus nicht trivial. Ist namlich ^ ein vollstandiges System,
so ist aus Symmetriegriinden auch das duale System ^ der punktweisen unteren
Limites von Folgen von Funktionen aus S^ vollstandig. Damit ist dann
auch 5^ n g ein vollstandiges System. Es bleibt zu zeigen, dafi S^* = S^ Pi g ist.
Die folgende Beweisfiihrung ist eine Modifikation von SlERPlNSKis Beweis eines
ahnlichen Resultats fiir Folgen von Mengen; naheres dazu im Fasz. 633, dieser
Band, S. 609-613.
Angenommen also, dafi 'd{x) = linin^oo/n(^) = l2Mn-^oo fnip^)^ wo alle
Funktionen fn und /^ zu ^ gehoren. Dann gehoren alle Funktionen
fmn{x) = m±n{ fm{x), . . . , /m+n(^)} Uud f^rii^) = ma.x{f^{x), . . . , f^^rii^)}
ebenfalls zu 5^, fmn > /m,n+i und f^^ < /4,,n+i ^^^ alle m, n, und
^x) = inf sup fmn{x) = sup inf /^^(x) fiir alle x. (1)
Setze pn{x) = maxifc 0 und zeigt, dafi Pn{x) > 'd{x) — £ fiir alle
hinreichend grofien n.
In der Tat gibt es nach (1) einen Index /i, so dafi 'd^x) — e < f'^nip^) ^^^ ^'^
n gilt; gleichzeitig gibt es fiir jedes m einen Index Vrn niit d{x) — £ < fm^umip^)-
Sei u — maxrn 'd{x) — £.
405

Durch ahnliche Schliisse sieht man, dafi Pn{x) < 'd{x)-\-e fiir alle hinreichend
groBen n.
Da £ > 0 beliebig war, beweist dies 'd{x) — llmnPni^) • V. K. /P. K.
[H] (S. 266) Mengenlehre 1935, S. 266
Nach M. Kondo, Fund. Math. 31, p. 29-46, giebt es eine lineare Menge A, die
analytisches Komplement ist, und von der jede unabzdhlbare analytische lineare
Menge B schlichtes stetiges Bild ist.
Hingegen giebt es (p. 30) keine Menge A dieses Art, die analytisch ware.
Denn (Mengenlehre, S. 266, IX) wenn B schhchtes stetiges Bild der analytischen
Menge A ist, ist auch A schlichtes Bairesches Bild von B, setzt man fiir
B insbesondere eine Borelsche Menge, so ergiebt sich auch A als Borelsch, die
schlichten stetigen Bilder von A sind dann auch alle Borelsch und umfassen
nicht alle analytischen Mengen.
Kommentar
HAUSDORFF bezieht sich hier auf die Arbeit M. KONDO, Sur la representation
parametrique reguliere des ensembles analytiques, Fund. Math. 31 (1938), 29-
46, in der gezeigt wird, dafi jede Suslinmenge (d. h. jede E}-Menge) B (in
einem polnischen Raum) stetiges eineindeutiges Bild einer gewissen nicht von
B abhangenden co-Suslinmenge A ist - im wesentlichen der Lebesgue-Menge
aller Mengen a: C Q, wohlgeordnet in der natiirlichen Ordnung der rationalen
Zahlen (d. h. AC 2'^, Q ist hier diskret). HAUSDORFF merkt an, dafi es keine
Suslinmenge A mit dieser Eigenschaft geben kann. In der Tat, angenommen
f : A ^^ B ist eine bijektive stetige Abbildung {A,B Mengen in polnischen
Raumen). Ist A Suslinsch, so auch der Graph von /. Dies folgt aus einer elementaren
Rechnung, die darauf beruht, dafi / voUstandig bestimmt ist durch
seine Werte auf einer beliebigen abzahlbaren dichten Teilmenge von A. Ebenso
ist der Graph von f~^ eine Suslinmenge. Wenn B = dom/~^ eine Borelmenge
ist, so mufi der Graph von f~^ auch eine Borelmenge sein; folglich ist f~^
eine Bairesche Abbildung (s. Anmerkung [132] zu Mengenlehre). Dann mufi A
als eineindeutiges Bairesches Bild einer Borelmenge auch Borelsch sein, so dafi
wiederum alle eineindeutigen stetigen (und sogar Baireschen) Bilder von A
Borelsch sind, was leicht zu einem Widerspruch fiihrt. V. K. /P. K.
[I] (S. 276) Mengenlehre 1935, S. 276.
An Stelle von (1) gilt genauer
[A,C\ = [[A,B],[B,C\\.
Fiir die charakteristischen Funktionen a, 6, c gilt namlich |a — c| = ||a — 6| —
\h — c||, denn die rechte Seite ist fiir 6 = 0 gleich ||a| — |c|| = |a — c|, fiir
6=1 gleich \\a — 1| — |1 — c\\ = |(1 — a) — (1 — c)| = |c — a\. Hiernach ist
406

die Relation A = B (9Jl) auch dann transitiv, wenn 9JI ein Korper ist (ohne
notwendig die Eigenschaft (a) zu haben). Dagegen lasst sich in diesem Falle
nicht aufrechterhalten, dass mit An = Bn J^ An = ^ Bn ist.
Z.B. sei dJl das System der Borelschen Mengen, N eine nicht Borelsche
Menge C E^ E = P-{-Q Zerlegung in zwei disjunkte Borelsche Mengen. Dann
^.
ist P + NQ = NQ, Q + NP = NP; summiert E = N, was nicht stimmt.
[A,B] hat die charakteristische Funktion [A]+ [5] (mod 2). Mit [A,B] =C
ist A = [B, C]. [[A, B], [B, C]] = [A, C] folgt daraus ohne weiteres.
Kommentar
HAUSDORFF zeigt, daB die Additivitat der Kongruenz verloren geht, wenn DJl
genau das System aller Borelmengen (der reellen Geraden E") ist. Man beachte,
daB m in diesem Falle kein Ideal ist. V. K. /P. K.
[J] (S. 282) Mengenlehre S. 282.
Die (dort gar nicht erwahnten) ao-abgeschlossenen Mengen, fiir die Aa — A
nirgendsdicht ist, und die cxo-offenen Mengen, fiir die A — Ai nirgendsdicht ist,
fallen mit den ao-Mengen zusammen. Wenn namlich A — Ai — Ar nirgendsdicht
ist, so ist Ag ^ Aig -\- Arg nirgendsdicht {Aig als Grenze einer offenen
Menge ist nirgendsdicht, Arg Q Aroc ist mit Ar nirgendsdicht). Also: ao-offene
Menge = cxo-Menge; cxo-abgeschlossene Menge = ao-Menge (Komplement). Es
ist bemerkenswert, dass von den drei Menge Aoc — Ai, Aoc —A, A — Ai entweder
keine oder alle drei nirgendsdicht sind. (KURATOWSKI, Top. I, p. ).
Die Mengen mit nirgendsdichter Begrenzung (Mengen N) bilden einen Korper.
Wenn A ^ B, d.h. [^, B] nirgendsdicht, ist Aoci = Bai und Aioc = Bioc-
Beweis der 1. Relation (die 2. durch Komplementbildung): es ist {A-\- B)oci =
{Aoci + Boci)oci' [Namlich einerseits {A + B)oci D ^a* + ^ai, (^ + B)oci =
{A + B)ocioci 3 {^ai + Boci)oci- Andererseits wegen (P -h Q)i C Pa + Qz •
{A-\-B)cxi = {Acx -\-Boc)i C Aoc -^Boci, nochmals mit i operiert: {A^B)oci C
Aoci^Bocioi C {Aoci^ Boci)oc, mit i operiert: {A^B)oci C {Aoci ^ Boci)oii]
Ist P nirgendsdicht, so ist {A + P)oci = {Aoci + Poii)oii = Aoci; ist A ^ B,
also A -\- P = B -\- Q, P und Q nirgendsdicht, so ist Aoci = {A-\- P)oci =
{B + Q)oci = Boci .
Dies ist nicht umkehrbar. Ist E die Zahlengerade, A die Menge der rationalen,
B die der irrationalen Zahlen, so ist Aoci = Eoci = E, Aioc = Bioc = 0,
also [A^B] = A-\- B = E nicht nirgendsdicht.
Aus
{a) {A^B)oc^ = {Aoci^Boc^)oc^
407

folgt durch ex (well Gocia = Got fur ofFenes G)
und aus (fS) folgt durch i wieder {a). ((/?) - Kuratowski, Top. I, p. 37, (i).)
Kommentar
Die Behauptung, dafi von den drei Mengen Aa —Ai^ AQC — A^ A — Ai entweder
keine oder alle drei nirgendsdicht sind, haben wir in KURATOWSKI, Topology I
nicht lokalisieren konnen. Sie folgt leicht aus der Tatsache, daB sowohl XQC ^Xod
als auch Xioc \ Xi nirgendsdicht sind (s. Anmerkung [140] zu Mengenlehre).
Die Gleichung (/5) ist die Gleichung (i) in Topology /, New York 1966, Kapitel
I, §8. VII (S. 73); p. 37 bezieht sich auf die Erstausgabe dieses Buches in
franzosischer Sprache. V. K. /P. K.
[K] (S. 299)
(Dies ist die einzige Notiz, die HAUSDORFF direkt in sein Exemplar von [H
1935a] eingetragen hat. Auf Zeile 16 v. o. und 17 v. o. hat er die Passage „mit
(^(a) = 0,

Liste der Rezensionen zu [H 1927a]
* BACHILLER, T. R. in: Revista Matematica Hispano-Americana, 2.^ serie. Tomo
II (1927), 252-253.
D. (ANONYMUS) in: Nieuw Archief voor Wiskunde, 15 (1928), 410-412.
FEIGL, G. in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 37 (1928),
Literarisches, 56-58.
FEIGL, G. in: Jahrbuch liber die Fortschritte der Mathematik 53 (1927) (erschienen
1931), 169.
* GERMAN, H.M. in: Bulletin ofthe American Mathematical Society 33 (1927),
778-781.
* HAHN, H. in: Monatshefte fiir Mathematik und Physik 35 (1928), 56-58.
NAGELL, T. in: Norsk Matematisk Tidsskrift 9 (1927), 109-110.
PANKRAZ, O. in: Casopis pro Pestovani Matematiky a Fysiky 57 (1928), 313-
315.
* ROSENTHAL, A. in: Deutsche Literaturzeitung fiir Kritik der internationalen
Wissenschaft 49 (1928), 294-295.
SALKOWSKI, E. in: Unterrichtsblatter fiir Mathematik und Naturwissenschaften
34 (1928), 62.
SZEGO, G. in: Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Mechanik 8 (1928),
495.
* WHYBURN, G.T. in: The American Mathematical Monthly 35 (1928), 191-
194.
Die mit einem Stern gekennzeichneten Rezensionen sind auf den folgenden Seiten
abgedruckt, die von Bachiller in englischer Ubersetzung (aus dem Spanischen).
409

Rezension von T. R. BACHILLER in Revista Matematica
Hispano-Americana
HAUSDORFF (Dr. F.): Mengenlehre. Goschens Lehrbiicherei. 1. Gruppe; Reine
Mathematik: Band 7. Zweite, neubearbeitete Auflage, mit 12 Figuren, 284 S.,
Walter de Gruyter & Co. Berlin und Leipzig, 1927.
Several years after the first edition of this magnificent work is out of print,
comes this second with invaluable improvements and additions, which make it,
in greater degree than the former one, more accessible to the general public of
pure and applied mathematics. Indeed, it has been the author's constant worry
to expound as rigorously as possible the fundamental theory of sets, divided
into its two essential branches of abstract sets and point sets, at the same time
as the first applications to the theory of functions of a real variable, with the
help only of the elementary concepts of mathematical analysis which are ordinarily
acquired during the first courses of any University. We shall not develop
once more an apology of the theory of sets, the importance of which is not only
due to its high philosophical interest for researches touching on the foundations
of mathematics, but also to its very essential role in any mathematical theory,
particularly now that the modern tendency has crystallized, to study intrinsically
the objects that it creates in its fecund and brilliant development. It will
suffice to mention the primary role played at present, both in Mathematics and
in Mathematical Physics, by the theory of functionals whose fecundity keeps
growing as its foundations are deepened and systematized by almost copying
them from set theory and the theory of functions of a real variable, and, within
those domains the capital tendency to search for relations of a topological kind,
that is to say, independent from any quantitative considerations. An aspect this
last one that is well represented in the book under review, as the 8*^ chapter
offers a magisterial account of such foundations of Topology, studying brieffy,
but clearly and precisely, the continuous correspondences or transformations
between two spaces, all the way until arriving at the concept of a topological
space, a name that is due to the author himself.
The theory of sets is developed by Professor Hausdorff in his work in the
course of nine chapters, whose mere enumeration by subjects will suffice to
give a clear idea of its importance, mainly from the didactical point of view.
The first notions about sets and operations with them form the topic of the
1*^* chapter, followed by chapters devoted to cardinal numbers, order types,
and ordinal numbers. The 5*^^ chapter studies systems of sets (rings, fields,
Borel systems, sums and products of a denumerable set of sets, Souslin sets).
In the next chapter the theory of point sets begins, establishing the notions
of metric, linear, and Baire space, based upon an axiomatic definition of the
distance, which leads to the study of the convergence of point sequences and
to the spaces where a definition of limit is possible (the L-spaces of Frechet),
and consequently to compact spaces; it is unnecessary to say that, within these
classifying concepts, one can still have the classical groupings according to the
concept of derived set. But one of the essential traits of this chapter, is the
410

careful distinction made between the absolute or intrinsic notions (referred to
the set itself) and the relative ones (corresponding to relations of situation,
somehow, of a set within or with respect to another), and the use that is made
of them in the long paragraphs devoted to separable, complete, and connected
spaces (with respect to the latter one can single out the important boundary
theorem of Janizewski [sic]). In the 7^^ chapter the relations between point sets
and order types are expounded, and in the 8*^, as we have already mentioned,
the most important concepts of Analysis Situs are succinctly developed, up
to the concept of Jordan curve, not without first indicating and emphasizing
the core of the idea of dimension in the primitive sense of Brouwer. This eight
chapter, with the last one, are likely to be the best in this work, for in the
final chapter the essential bases of the modern theory of real functions are
expounded, departing from the idea of image set of a function and reaching at
an elegant exposition of the Baire classification.
The work ends with a select bibliography and informative notes. We do not
hesitate to recommend this excellently edited book, first of all to anyone who
wishes to acquire a solid culture in this field of the beautiful and fecund theory
created by Cantor.
T. R. Bachiller
Ubersetzung aus dem Spanischen von J. Ferreiros
411

Rezension von H. M. GEHMAN in Bulletin of the American
Mathematical Society
HAUSDORFF'S REVISED MENGENLEHRE
Mengenlehre. By Felix Hausdorff, Second edition. Berlin and Leipzig, Walter
de Gruyter, 1927. 285 pp.
There are second editions and second editions. Some are merely second printings
with misprints corrected and a few pages added to bring the subject
matter up to date; others are complete revisions. Hausdorff's second edition
is an extreme example of the latter type; here even the title has been revised
the first edition having appeared in 1914 under the title Grundziige der
Mengenlehre.*
Not only has the title of the book been abbreviated in this new edition,
but the book itself has been reduced in size so that the number of pages is
considerably less than two-thirds that of the first edition. This is due principally
to a difference in the literary style of the two editions, the Grundziige seeming
extremely verbose when compared with the conciseness of the second edition.
It is questionable wether the new edition will be as "teachable" as the old.
Certainly it cannot be read with as much ease by a student approaching the
subject for the first time, as so much more is left for him to supply for himself.
Probably the best approach to the subject will be found to lie in judicious
selection of topics from both editions. We regret that we find in the second
edition such a conscious effort on the part of the author to save space.
As in the first edition, there are two main topics considered, the first five
chapters being concerned with the general theory of aggregates and the
remaining chapters with the more special theory of point sets. In discussing
the various chapters we shall give in general only the omissions from and the
additions to the material contained in the first edition.
The Vorbemerkungen and Chapter 1 (pp. 9-24) contain the essential parts of
the first two chapters of the Grundziige in one-third the space required there.
Among the topics omitted are symmetric sets and the principle of duality, and
much less space is devoted to the "algebra" of sets. Among the topics retained
the order is often changed; for example, a section on functions defined over
a set is placed before the section on the fundamental ideas of the sum and
common part^ of two sets. Here the author has replaced the cumbersome &, 1)
notation of the Grundziige by a more common notation: the sum S of two sets
^, ^ is indicated by S = A ^ B^ the common part D by D = AB. As in the
Grundziige, the notation S = A-\- B is used if and only if D = 0, thus differing
from the usual notation which indicates the sum by S = A-\- B in all cases.
*Reviewed by Professor Henry Blumberg in this BULLETIN, vol. 27 (1920-21), pp. 116-129.
[Abgedruckt in Band II dieser Edition, S. 844-853.]
^ Durchschnitt, translated by Blumberg as section. The most common expression is product,
but Hausdorff uses this in a different sense.
412

Chapter 2 (pp. 25-41) on cardinal numbers and Chapter 3 (pp. 41-55) on
order types correspond almost exactly to Chapters 3 and 4 respectively of the
Grundziige, although the number of pages has been reduced by half. This is
partly accounted for by the omission of certain sections on ordered sets, the
topic of ordered sets being given very brief consideration in this edition.
The fourth chapter (pp. 55-77) contains all the material on well-ordered sets
and ordinal numbers that has been retained from Chapters 5 and 6 of the
Grundzuge, where these topics covered five times the space. Practically all of
Chapter 6 (partially-ordered sets, etc.) has been omitted, the only section that
remains essentially as a unit being the section on general products and powers
of ordered sets. The other topics considered are: the well-ordering theorem, the
comparability of ordinal numbers, combination of ordinal numbers, and the
Alephs.
In the fifth chapter (pp. 77-93) the author begins a comprehensive treatment
of Borel and Suslin (or Souslin) sets, to which portions of Chapters 7 and 8 are
also devoted. Suslin sets were first studied in 1917 by Michael Suslin (1894-
1919), a Russian. These sets are a generaliziation of the well known Borel sets.
The remainder of the book (see however §40) is devoted to a discussion
of sets of points considered as subsets of a metric space, that is, a space in
which there exists a definition of the distance between each pair of points,
subject to certain distance axioms. This is a departure from the viewpoint of
the Grundziige, where Hausdorff begins with a topogical space, i.e., a space
satisfying certain neighborhood axioms (Umgebungsaxiome). Having proved a
number of theorems on the basis of this set of axioms, he then specializes the
space step by step by adding additional restrictions, obtaining in turn a metric
space, a euclidian space of n dimensions, and finally a euclidean plane, with
appropriate groups of theorems in each case.
We do not quarrel with the author's decision to omit the discussion of euclidean
spaces from the second edition, although we feel that the student loses
something if he does not have brought to his attention the special methods
applicable in euclidean spaces.
We do regret exceedingly, however, that he has treated only metric spaces
when he might so easily have followed the outline of the Grundzilge. Instead of
doing so, he proceeds as follows: having assumed that the space is metric, he
defines (§ 22) a neighborhood of radius p of a point x, as the set of points whose
distance from x is less then p. A system of neighborhoods defined thus will
satisfy the Umgebungsaxiome. In proving many of the theorems that follow, the
author makes use of this special system of neighborhoods, and in his proofs does
not use all the properties of a metric space, but only those properties which are
necessary to insure that the space contain a sytem of neighborhoods satisfying
the Umgebungsaxiome. In other words, a number of theorems which are true in
a topological space are proved by Hausdorff only for a metric space, when with a
slight rearrangement of material he could have proved these theorems in all their
generality. Since the author does not hesitate to assume whenever necessary
that his given metric space is complete, compact, or separable, if one of these
413

hypotheses is needed to prove a particular theorem, it seems strange that he
does not take the most general viewpoint throughout this part of the book,
and assume merely that the point sets considered are subsets of a topological
space, assuming it to be also metrical when and only when it is necessary. In
this connection, compare § 22 and § 23 of the second edition with § 2 and § 3 of
Chapter 7 of the first edition.
Chapter 6 (pp. 94-164) on point sets and Chapter 7 (pp. 164-193) on point
sets and ordinal numbers correspond to Chapters 7 and 8 of the Grundziige.
Dyadic sets and sets of the first and second categories of Baire are given more
prominence than in the first edition. A few pages are devoted to the idea of a
locally connected (=^connected im kleinen) set, an idea which Hahn and Mazurkiewicz
were developing at the time of the appearance of the first edition.
The results of the sixth chapter are obtained without any reference to ordinal
numbers, while Chapter 7 is devoted to theorems in which this concept occurs
or which are more easily proved by making use of this idea. Here the author
shows that the totality of Suslin sets is not identical with the totality of Borel
sets, but that there exist Suslin sets which are not Borel sets. In the concluding
section, necessary and sufficient conditions are given in order that a Suslin set
be a Borel set. In an appendix are given alternative proofs by Lusin of the
theorems of this section, which proofs were communicated to the author by
letter too late to be put in the proper place in the text. This is a striking proof
of the current interest in this topic.
Chapter 8 (pp. 193-232) on correspondences between two spaces and Chapter
9 (pp. 232-275) on real functions comprise some material from Chapter 9 of the
Grundziige, but much of the material is new. The author first considers the subject
of continuous curves: it is shown that the class of dyadic continua is identical
with that of continuous curves; the Sierpinki and the Hahn-Mazurkiewicz
characterizations of continuous curves are given. Next the subject of correspondences
is taken up, under which are Lavrientieff's theorem on the extension of
a continuous (1 — 1) correspondence, and a convenient table (p. 219) giving the
image of various classes of point sets under correspondences of various types.
Another section is devoted to the work of Hahn and R. L. Moore on the prime
parts of a continuum. In the final section of Chapter 8 (§ 40), Hausdorff discusses
briefly topological spaces, giving various sets of axioms used to distinguish
the class of metric spaces from the more general class of topological spaces.
The ninth and concluding chapter gives a much more complete treatment
of Baire's functions than was the case in the Grundziige, and concludes with
the theorems of Hahn and Sierpinski on the nature of the convergence set of a
sequence of real continuous functions.
In addition to the omissions which we have mentioned above, the second
edition omits the entire tenth chapter of the Grundziige which treated content
and measure of point sets and the applications of this theory to Lebesgue
integrals.
The book closes with a list of the literature of the subject, a list of sources,
and an index. Unlike the first edition, the list of sources gives merely the ori-
414

ginal place of publication of the theorems cited; there are no supplementary
remarks. The enlarged list of literature over that given in the first edition testifies
to the growing interest in the subject of aggregate theory - an interest
which the appearance of the Grundzuge did much to arouse and foster. The
index is remarkably complete, and is an improvement over that of the first
edition in that it contains also references to authors. Another improvement is
the consecutive numbering of sections. The work of the publishers is excellent.
We have discovered only a few unimportant misprints.
It is not within our province to criticize the author's choice of material. The
book aims to be a textbook and not a report on the subject of aggregate theory,
and therefore many topics have had to be omitted altogether, and in the case
of those topics which have been included a choice of theorems has had to be
made. Under such circumstances, the only criterion for the goodness of the
author's choice is the taste of the individual reader.
The Grundzuge has been out of print for the past four years and we therefore
heartily welcome the appearance of this new edition. We wish to state without
qualification that this is an indispensable book for all those interested in the
theory of aggregates and the allied branches of real variable theory and analysis
situs. If we have seemed critical of some phases of the book, it is only because
this excellent book is not better.
415
H.M. GERMAN

Rezension von H. HAHN in Monatshefte fiir Mathematik und
Physik
F. HausdorfF, Mengenlehre. Zweite, neubearbeitete Auflage. (Goschens Lehrbiicherei,
1. Gruppe, Reine Mathematik, Band 7.) Bei de Gruyter, Berlin und
Leipzig 1927. 285 Seiten.
Die uns vorliegende zweite Auflage von HAUSDORFFS Mengenlehre ist nur
dem Namen nach eine zweite Auflage, in Wirklichkeit ein voUig neues Buch,
das in jeder Hinsicht auch den neuesten Fortschritten der Wissenschaft Rechnung
tragt und dem im groBen wie im kleinen die jahrelange, liebevolle und tief
eindringende Beschaftigung des Autors mit dem darzustellenden Wissensgebiete
zugute gekommen ist. Eine kurze Ubersicht liber den Inhalt wird am besten
Gelegenheit geben, auf die wichtigsten Unterschiede gegentiber der ersten
Auflage hinzuweisen. I. Mengen und ihre Verkniipfungen. 11. Kardinalzahlen.
III. Ordnungstypen. IV. Ordnungszahlen. Hier wird mit dem zweiten Zermeloschen
Beweise des Wohlordnungssatzes begonnen; ferner sei bemerkt, dafi
HESSENBERGS natiirliche Summen und Produkte zur Darstellung gelangen,
mit deren Hilfe sich der Beweis der Formel K^ = K^ bekanntlich besonders
einfach fiihren lafit. Der kurze Schlufiparagraph dieses Kapitels „Der allgemeine
Produktbegriff" ist das einzige, was der Verfasser von der umfangreichen
Theorie der geordneten Mengen, deren Urheber er ist, und die er in der ersten
Auflage ziemlich ausfiihrlich dargestellt hatte, in die Neuauflage aufgenommen
hat- ein Opfer, das ihm gewifi schwer gefalien ist und das durch die Enge des
zur Verfiigung stehenden Rahmens erzwungen wurde. V. Mengensysteme. Zuerst
werden Ringe und Korper betrachtet sowie die mit den Korpern in naher
Beziehung stehenden Differenzenketten; es folgt eine abstrakte Theorie der Bo-
RELschen und der SuSLiNschen Mengen (die neuerdings auch analytische Mengen
genannt werden), deren Darstellbarkeit durch ,,^5-Funktionen" besonders
untersucht wird. VI. Punktmengen. Hier stehen wir vor der einschneidendsten
Anderung, die der Verfasser gegen seine fruhere Darstellung vorgenommen hat.
Wahrend in der ersten Auflage der Lehre von den Punktmengen ein topologischer
Raum zugrunde gelegt war (die den topologischen Raum charakterisierenden
Forderungen sind seither allgemein als die „Hausdorffschen Umgebungsaxiome"
bekannt), wird nunmehr ein metrischer Raum zugrunde gelegt und die
topologischen Raume werden nur mehr andeutungsweise in einem einzigen Paragraphen
behandelt - wieder ein Opfer, das aus raumokonomischen Griinden
gebracht werden mufite und das dem Verfasser wohl gleich schmerzlich war,
wie dem sachkundigen Leser. Der Unterschied zwischen relativen und absoluten
Begriffen ist deutlich herausgearbeitet. Insbesondere sei hervorgehoben
die Untersuchung der dyadischen (und polyadischen) Mengen, deren Identitat
mit den kompakten Mengen nachgewiesen wird. Ferner sei noch - als liber
das Ubliche hinausgehend - hingewiesen auf den Begriff der zu einer Menge B
dichten Menge A {d.h.B ist Teil der abgeschlossenen Hiille von A), woran sich
noch die Begriffe schliefien: nirgends dicht zu B, von erster und zweiter Ka-
416

tegorie zu B, ferner die Begriffe der F//-Menge (von der jeder abgeschlossene
Teil in sich von zweiter Kategorie ist) und der G/j-Menge (von der jeder offene
Teil in sich von zweiter Kategorie ist). Es folgt eine Untersuchung der Mengenraume
(auf Grund geeigneter Abstandsdefinitionen zweier Punktmengen)
und der verschiedenartigen Begriffe des Limes einer Mengenfolge. Den AbschluB
bildet ein eingehendes Studium des (bekanntlich auf HAUSDORFF zuriickgehenden)
Begriffes „Zusammenhang", wobei auch der „lokale" Zusammenhang
(wie der Verfasser statt Zusammenhang „im kleinen" sagt) zur Sprache kommt.
VII. Punktmengen und Ordnungszahlen. Hier wird in systematischer Weise das
Eingreifen der Ordnungszahlen in der Theorie der Punktmengen behandelt,
wofiir das bekannteste Beispiel CANTORS Bildung der Koharenzen ist. Der Verfasser
fiigt an einem Beispiel hinzu: die Residuenbildung, wodurch er zu einer
sehr schonen Charakterisierung der Mengen gelangt, die gleichzeitig F^ und Gs
sind. An Hand der Ordinalzahlen wird neuerdings auf die BORELschen und Sus-
LiNschen Mengen eingegangen, die Existenzbeweise geflihrt und die schwierige
Frage behandelt, wann eine SuSLlNsche Menge eine BORELsche ist (auf Grund
einer neuen Arbeit von LusiN wird diese Prage in vereinfachter Weise noch
in einem Anhange am Schlusse des Buches behandelt). VIII. Abbildung zweier
Raume. Ausgehend von einer allgemeinen Theorie der stetigen Abbildungen,
wird zunachst das Problem der Streckenbilder behandelt (wann ist eine Punktmenge
stetiges Bild einer Strecke?); es folgen die Abbildungseigenschaften der
SuSLiNschen Mengen (auf denen ja hauptsachlich die Bedeutung dieser Mengengattung
beruht); dann wird die Homoomorphie behandelt (hier findet man
auch den sehr elegant en Beweis des Verfassers, dafi jedes absolute Gs einer absolut
abgeschlossenen Menge homoomorph ist); schliefilich werden die „einfachen
Kurven" und die „Primteile" eines Kontinuums behandelt, liber die ein schoner
Satz von R. L. MoORE bewiesen wird. IX. Reelle Funktionen. Dieses Kapitel
gehort zu den originellsten des Buches. Der LEBESGUEsche Gedanke, Funktionen
durch ihre „Urbildmengen" zu charakterisieren (z. B. durch den Charakter
der Punktmengen, in denen f > g bei gegebenem g ist), findet eine systematische
Durchfiihrung; von hier fiihrt ein ganz naturgemaBer Weg zur Lehre von
den halbstetigen Funktionen und zu den Funktionen der BAiREschen Klassen.
Die Ubertragung dieser Gedankengange von reellen Funktionen auf allgemeinere
Abbildungen stoBt noch auf untiberwundene Schwierigkeiten. Der letzte
Paragraph handelt von den Konvergenzmengen (d. i. die Menge aller Punkte, in
denen eine Folge reeller Funktionen konvergiert). Soil ein zusammenfassendes
Urteil liber dieses Buch abgegeben werden, so kann es nur lauten: Eine in jeder
Hinsicht mustergiiltige Darstellung eines schwierigen und dornigen Gebietes;
ein Werk von der Art derer, die den Ruhm der deutschen Wissenschaft liber
die Welt getragen haben und auf das mit dem Verfasser alle deutschen Mathematiker
stolz sein dlirfen.
Hans Hahn.
417

Rezension von A. ROSENTHAL in Deutsche Literaturzeitung fiir
Kritik der internationalen Wissenschaft
F[elix] HausdorfF [ord. Prof. f.Mathem. an d. Univ. Bonn], Mengenlehre. 2.
neubearb. Aufl. [Goschens Lehrbiicherei. I. Gruppe, Bd. 7.] Berlin, Leipzig, Walter
de Gruyter & Co., 1927. 285 S. 8° m. 12 Fig.
Die l.Aufl. des grundlegenden und bedeutenden Werkes von HAUSDORFF
ist 1914 unter dem Tit el „Grundzuge der Mengenlehre" erschienen. Die jetzt
vorliegende 2. Aufl. ist ein voUig neues Buch! Vieles Neue ist dazugekommen,
vieles Alte ist weggeblieben; selbst die iibernommenen Telle sind durchgehend
bis in die letzten Einzelheiten umgeformt und umgruppiert worden.
Unter dem jetzt Weggelassenen befindet sich manches, was man nur ungern
vermissen wird. Gerade einige solche Theorien, die man H. selbst zu verdanken
hat, sind in der 2. Aufl. ausgeschieden worden; namlich die hoheren Telle
der Theorie der geordneten Mengen und - was ganz besonders bedauerlich
ist- die von H. in der l.Aufl.geschaffene Theorie der topologischen Raume,
an die inzwischen so viele andere Mathematiker angekniipft haben. Statt dessen
wird jetzt die Punktmengenlehre ausschliefilich in den (etwas spezielleren)
metrischen Raumen behandelt; und es werden andererseits auch nicht mehr
(wie friiher) die noch wesentlich spezielleren Euklidischen Raume besonders
untersucht; (so dafi z.B.der Jordansche Kurvensatz nicht mehr vorkommt).
Hiermit diirfte zusammenhangen, dafi auch die ganze Inhalts- und Mafi-Theorie
und infolgedessen bei den funktionentheoretischen Anwendungen die Lehre von
den Integralen in Wegfall gekommen ist. Da so vieles in der neuen Aufl. nicht
mehr enthalten ist, wird man - insbesondere wegen des Fehlens der so wichtigen
Theorie der topologischen Raume - die l.Aufl.daneben nicht entbehren
konnen.
Zu diesen zahlreichen Kiirzungen hat, wenigstens teilweise, - leider - ein
aufierer Grund Anlafi gegeben: das Buch erscheint in der 2. Aufl. als ein Band
der Sammlung „Goschens Lehrbiicherei"; deshalb soUte der Umfang wesentlich
eingeschrankt werden, und er ist in der Tat um nahezu 200 Seiten verkiirzt
worden. Diese betrachtliche Verminderung des Umfanges konnte nur zum Tell
durch die erwahnten Weglassungen erzielt werden, zumal da viel Neues zur
2. Aufl. hinzugekommen ist. Entscheidend ist vielmehr die aufierordentlich konzentrierte
und wirklich bewundernswerte Darstellung: im ganzen Buch findet
sich kein liberflussiges Wort; alles ist so knapp und einfach wie moglich ausgefiihrt;
dabei ist nirgends eine Liicke, sondern alles zum Verstandnis Notwendige
ist gesagt und alle wesentlichen Akzente sind gesetzt. Aufbau und
Anordnung sind sehr durchsichtig und naturgemafi. So bereitet bei der Lektiire
die Form und natiirlich erst recht die Sache einen hohen Genufi, zumal da in
alien beibehaltenen Teilen weitgehend die seit der l.Aufl. erzielt en vielfachen
Fortschritte verwertet worden sind. Dariiber hinaus ist als besonders wertvoller
Zuwachs eine allgemeine und umfassende Theorie der Borelschen Mengen (die
in der 1. Aufl. nur kurz gestreift wurden) und der noch allgemeineren (1917 von
418

Suslin entdeckten und hier von H. nach ihm benannten) Suslinschen Mengen
zu betrachten. Diese Theorie ist nunmehr im Buch sehr stark betont und zieht
sich durch alle Telle des Buches hindurch, was naturgemaB bel den Anwendungen
auf Funktlonen In elner eingehenden Theorie der Balreschen Punktlonen
semen Ausdruck findet. Dlese Borelschen und Suslinschen Mengen werden
zuerst liber elnem belleblgen Mengensystem 9Jt erzeugt (§18 u. 19), und dies
fiihrt spater (§32-34, 37), bel Zugrundelegung des Systems der abgeschlossenen
Mengen Irgendelnes metrlschen Raumes 91, zu den Borelschen und Suslinschen
Mengen von 91. Hler, wle iiberall Im Buch, zelgt slch das (schon fiir die
1. Aufl. charakterlstlsche) Streben nach gofiter AUgemelnhelt und zugleich nach
grofiter Scharfe. -
Die 2.Aufl. wlrd sicherllch ebenso vlel und elfrlg studiert werden wle die
l.Aufl.; und es 1st zu erwarten, dafi sle in eben so hohem MaBe wle die erste
anregend wlrken wlrd. Eln Anzelchen dafiir liegt schon vor: W. Slerplnskl
[Fundamenta Math. 10 (1927), S. 427 bis 430] hat berelts elne von H. auf S. 90
gestellte Frage aufgegrlffen und [negatlv] beantwortet.
Heidelberg. A. ROSENTHAL.
419

Rezension von G. T. WHYBURN in The American Mathematical
Monthly
Mengenlehre. By F. HAUSDORFF. Berlin-Leipzig, Walter de Gruyter and Co.,
1927. 285 pages.
Any attempt to produce a book on the theory of aggregates and have it approximately
up to date and complete at the time of its appearance must, on
account of the present status of the subject, fall somewhat short of the mark.
Each year there appear one or two volumes of Fundament a Mathematicae, a
journal which is devoted almost entirely to this subject; and perhaps an equal
volume of papers are published each year in German and American journals.
When one considers the vast number of new results being obtained all the time,
and realizes the practical impossibility of foretelling of what importance a
new proposition is going to be when first discovered, one readily appreciates
the difficulties which confront an author in culling out the new material and
selecting the results which will likely prove most useful in future research. This
is especially true on account of the comparative youth of the subject and the
scanty supply of books available on this subject. However, in consideration of
the difficulties. Professor Hausdorff seems to have accomplished this feat with
a fair degree of success in his new book, that is, in so far as it was attempted.
Such does not seem to have been the author's chief purpose in writing the book.
This book appeals to the reviewer as one which would be of much more interest
and practical value either to a beginner in the subject or to the mathematician
whose main field lies in some other branch of mathematics but who has occasional
opportunity in his work to use some elementary theorems on aggregate
theory than it would be to the research specialist in this particular field.
The reviewer would hardly feel justified in criticizing the author for his choice
of the material to include in his book, because that is the author's pleasure; and
undoubtedly the material chosen is fairly representative of the work which has
been done and is being done in the field of aggregate theory, and it is capable
of giving the beginner a nice insight into some of the beauties of the subject.
However, there are a number of places in the book where the treatment could
have been somewhat clarified and the proofs of some of the theorems materially
shortened if only the author had chosen to make use of some quite well known
theorems which were not included in his book. One or two instances of this
sort will be given below.
We do not purpose, in this review, to give a synopsis of the material covered
in the book under review, nor to compare it with an earlier book, Grundzilge
der Mengenlehre, by the same author. The reader who desires this is referred
to an excellent review of this book by H. M. Gehman in the Bulletin of the
American Mathematical Society.^ Instead, some features of the book which are
of particular interest to the reviewer and which perhaps will be of interest to
readers of the Monthly will be commented upon.
1 Vol. 33 (1927), pp. 778-780.
420

A very notable feature of this book is the author's attempt to introduce
a logical system of notation and terminology. In most cases the author has
followed the modern tendencies in this respect. The problem of adopting a
standard system of notation and terminology is squarely up to workers in this
field at the present time. Some symbolic language clearly is necessary in order to
prevent our papers being cumbersome. However, the question as to just how far
one should go in this respect is a debatable one. Especially is this true in point
set theory. It is quite possible, in fact it often happens, that an author uses so
many signs and symbols in his paper that his article is made almost unreadable.
In the reviewer's opinion, letters and symbolic notation are of no use whatever
in any subject unless they simplify the presentation and very materially shorten
it. Yet it quite frequently occurs that an author of a paper in the field goes to
considerable trouble to introduce a host of letters to mean certain things, and
sets up his hypothesis and conclusions in the form of very imposing appearing
equations when, as a matter of fact, the same thought could be conveyed more
clearly and intelligibly in words and this could actually be done in much less
space. This may appear rather astounding, but if one considers the extra space
required in printing an equation or a number of sigma signs, which usually have
to be set off, together with the space required to define these symbols, such
a statement appears less unreasonable. The chief objection to a complicated
system of notation, let me repeat, is the fact that the paper thereby becomes
much more tedious to read. This objection can be largely overcome through the
functioning of two agencies, to wit, (1) the adoption by all writers in the field
of a standard set of symbols and terms to stand for the more commonly used
notations whose expression in words either is awkward or requires considerable
space, and (2) the exercise of great care by each writer when introducing a new
symbol - the symbol should be suggestive, if possible, of the idea for which it
stands, and it should be defined in each and every paper in which it is used
until its usage by authors becomes sufficient to warrant the omission of the
definition. The reviewer knows of nothing which can do more to bring these
agencies to bear in the field than the appearance of books like Hausdorff's in
which a very elegant system of notation is used which follows, in the main, the
modern tendencies in the subject. Hausdorff's symbols are all clearly defined
and are, for the most part, quite suggestive of the things for which they stand.
In some cases it seems to the reviewer that too much notation is used and
several unnecessary symbols are introduced, but of course that is questionable.
The notation aeA to mean „a is an element of A" and alA to mean „a is not
an element of A" seems objectionable in some respects. Particularly it is true
since, just two pages further on, the author introduces the notation A = B [sic!]
to mean „A is a subset of B", and A < B [sic!] to mean „A is a proper subset
of 5". It is quite true that aeA and a = A [sic!] do not convey exactly the same
meaning, since the first indicates that a is one of the elements of A, while the
second merely indicates that a belongs to A (a might be either a single element
or a collection of elements of A); nevertheless, it seems that we should be able
421

to do without the former of these symbols. In general usage it would ordinarily
be known whether or not a consisted of a single element or a collection of
elements; and such being known, the distinction between the notation aeA and
a — A appears to the reviewer to become unimportant. The notation aeA is
objectionable for the additional reason that the notation X means the set X
plus all of its limiting elements, and to use e in an entirely different sense
is confusing to a reader even though he can soon grasp the correct meaning.
Another confusing thing is the author's use of the term „Entfernung", which
we would translate as „distance", for one thing and the term „Distanz"for a
different thing. The former of these is denoted by xy (for distance from x to
y) and the latter by 'xy. On the whole, however, the system of notation is very
good and is one which authors in the subject would do well to study and follow
wherever it is necessary or desirable to resort to symbolic language. The use
of the term component to replace the rather awkward term maximal connected
subset seems especially desirable to the reviewer.
We consider now §39,1 of the book, which is entitled Bedingungen fiir einfache
Kurven. Here the author lists the following five conditions as necessary
conditions in order that a metric space C be a simple continuous arc.
{a) C is self-compact.
{(3) C contains two points a and h between which it is an irreducible continuum.
(7) C contains two points a and h between which it is irreducibly connected.
{5) [a condition equivalent to (7)].
(e) C is locally connected, i.e., connected im kleinen.
He then proceeds to state (cf. Theorems HI and IV) that the sets of conditions
(a, 7), (Q^,(5), and (a,^, e) are necessary and sufficient in order that C should
be a simple continuous arc. No proof is given for the sufficiency of the sets
(a, 7) and (ce, (S); instead, references are made to N. J. Lennes and W. Sierpinski,
respectively. However, the author gives a complete proof for the sufficiency of
the set of conditions (a, (3, e). This proof is very elementary in nature, and we
do not critizice the author in the least for giving it. It is interesting, however,
to see how the theorem follows by the following line of argument: Since C is
compact, by (ce), and metric and, by (e), is locally connected, it is readily seen
that C satisfies axioms 1, 2, and 4 of R. L. Moore's paper On the foundations of
plane analysis situs.'^ Hence by Theorem 15 of that paper, the proof of which
uses essentially only these axioms, it follows that C is arcwise connected. But,
by (/3), C is an irreducible continuum between some two of its points a and 6;
and since C contains an arc from a to 6, it is clear that C must be identically
this arc.
It is of interest in this connection to note that if C is a subset of a Euclidean
space of any number of dimensions, then the condition a may be omitted from
the set (ce, /^, e), i. e., conditions (/5, e) characterize an arc in an Euclidean space.
For, by (/3), C is an irreducible continuum between some two of its points a and
^Transactions of the American Mathematical Society, vol. 17 (1916), pp. 131-164.
422

6; and since, by (e), C is locally connected, then by a theorem of R. L. Moore's^
C contains an arc t from a to h. Clearly C must be identical with t. It is
also true^ that, in a Euclidean space, conditions (7, e) characterize a simple
continuous arc.
G. T. WHYBURN
^ A theorem concerning continuous curves^ Bulletin of the American Mathematical Society,
vol.23 (1917), pp. 233-236.
"^Cf. G. T. Whyburn, Concerning connected and regular point sets, Bulletin of the American
Mathematical Society, vol. 33 (1927), pp. 685-689. Although the proofs in this paper
are worded for the Euclidean plane, it is obvious that they hold in a Euclidean space of any
number of dimensions. Also it seems to be true that the results of this paper hold, and hence
that conditions (7, e) characterize an arc, in any metric space which is locally compact.
423

Liste der Rezensionen zu [H 1935a]
GERMAN, H. M. in: Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936),
619.
HORNICH, H. in: Monatshefte fiir Mathematik und Physik 42 (1935), 23.
KAMKE, E. in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 46
(1936), Literarisches, 25.
LiETZMANN, W. in: Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschaftlichen
Unterricht aller Schulgattungen 66 (1935), 406.
MAAK, W. in: Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik 16 (1936),
380.
PANNWITZ, E. in: Jahrbuch liber die Fortschritte der Mathematik 61 (1935)
(erschienen 1936), 60-61.
* SKOLEM, TH. in: Norsk Matematisk Tidsskrift 17 (1935), 52-53.
* ViVANTi, G. in: BoUetino di Matematica 32 (1936), A V-VI.
Die mit einem Stern gekennzeichneten Rezensionen sind auf den folgenden Seiten
in deutscher Ubersetzung (aus dem Norwegischen bzw. Italienischen) abgedruckt.
Ferner erschien die folgende kurze Selbstanzeige HAUSDORFFS im Zentralblatt
fiir Mathematik und ihre Grenzgebiete 12 (1936), 203.
HausdorfF, F.: Mengenlehre. 3. Aufl. (Goschens Lehrbiicherei Gruppe
1, Bd. 7.) Berlin und Leipzig: Walter de Gruyter 1935. 307 S. RM. 13.50.
Die ersten neuen Kapitel der 3. Auflage sind ein fast unveranderter Abdruck
der 2. Auflage. Ein neu hinzugefiigtes zehntes Kapitel behandelt die Bairesche
Bedingung und halbschlichte Abbildungen; auf einige weitere inzwischen erzielte
Fortschritte ist, ohne Beweise, in kleineren Nachtragen hingedeutet.
F. Hausdorff (Bonn).
424

Rezension von TH. SKOLEM in Norsk Matematisk Tidsskrift
F. Hausdorff: Mengenlehre, 3. Auflage (Goschens Lehrbiicherei; Gruppe 1, Band
7). 307 S. Walter de Gruyter & Co., Berlin und Leipzig; 1935.
Die vorliegende 3. Auflage von Hausdorffs Lehrbuch der Mengenlehre ist ein
fast unveranderter Nachdruck der 2. Auflage. Der Unterschied besteht im wesentlichen
darin, dafi ein Kapitel hinzugefiigt worden ist, Kap. 10, wo einige
Forschungsthemen der letzten Jahre diskutiert werden, deren Studium zu
wichtigen Fortschritten gefiihrt hat. Die erste Auflage des Buches war dagegen
ganz wesentlich verschieden von der 2. bzw. 3. Auflage insofern, als damals mehr
von der allgemeinen Mengenlehre abgehandelt worden war; so fand man dort
z. B. ziemlich viel liber geordnete Mengen. Da es im wesentlichen die Punktmengenlehre
und die Lehre von den Funktionenmengen gewesen sind, die spater
mit Gewinn untersucht wurden, sah sich der Verfasser, um die wichtigsten
hierin erzielten Fortschritte einzubeziehen, gezwungen, viel vom Inhalt der ersten
Auflage wegzulassen. Neben dem grofiten Teil der allgemeinen Theorie
der geordneten Mengen ist auch Lebesgues Mafi- und Integrationstheorie weggelassen
worden, und der topologische Standpunkt, der in der erst en Auflage
der Punktmengentheorie zugrundegelegt worden war, ist durch den einfacheren
metrischen Standpunkt ersetzt worden. Dennoch findet man weiterhin ein
wenig iiber topologische Raume, namlich im § 40.
Das wichtigste, in den letzten Auflagen Hinzugekommene ist die voUstandigere
Behandlung der Borelschen Mengen, der Suslinschen Mengen und der
Baireschen Funktionen. Auch die Lehre von den stetigen Abbildungen und
Hom5omorphien ist ausfiihrlicher behandelt als zuvor. Der Verfasser stiitzt
sich auf den „naiven" Mengenbegriff; er sagt ausdriicklich, daB er sich nicht
auf eine Diskussion der Antinomien oder der Grundlagenprobleme einlassen
will. Es kann wohl bezweifelt werden, ob dieser Standpunkt, den nach wie vor
viele Mengentheoretiker und auch andere Mathematiker einnehmen, besonders
gliicklich ist. Der Unterzeichnete ist jedenfalls der Meinung, daB die Mathematik
nur an Klarheit gewinnen kann, wenn man ausdriicklich nur mit einem
prazisierten Mengenbegriff operiert, so daB die Definition der Mengen durch
logische e-Ausdriicke und o:-Ausdriicke erfolgt, die durch logische Operationen,
Konjunktion, Disjunktion, Negation, Anwendung von „alle" und „es existiert"
aufgebaut werden konnen, wobei die Relation xey, o: x ist ein Element
von y, zugrundegelegt wird.
Um einen klareren Eindruck vom Inhalt des Buches zu geben, will ich ganz
kurz sagen, was in den einzelnen Kapiteln behandelt wird. Der Verfasser beginnt
in Kap. 1 mit einer Diskussion von Mengen und Funktionen im allgemeinen
sowie der verschiedenen Operationen mit Mengen, namlich Vereinigungen,
Durchschnitte, Produkte und Potenzen. In Kap. 2 werden die Kardinalzahlen
diskutiert und in Kap. 3 die Ordnungstypen; es sind die allgemeinsten Satze
und ein Teil naheliegender Beispiele, die behandelt werden. In Kap. 4 werden
die Ordnungszahlen diskutiert, also die Ordnungstypen wohlgeordneter Men-
425

gen. Nach der Definition des BegrifFs „wohlgeordnete Menge" wird der Satz bewiesen,
dafi jede Menge wohlgeordnet werden kann. Der Beweis wird natiirlich
in Zermelos Art gefiihrt mit Hilfe des Auswahlprinzips. Man mufi hier wohl
kritisieren, daB der Verfasser nicht hervorhebt, daB eine solche besondere Voraussetzung
zugrundegelegt wird. Weiterhin werden die wichtigsten Operationen
mit Ordnungszahlen und die aufsteigende Reihe der Alefs behandelt. -
Vom fiinften Kapitel ab beginnt der zweite Teil des Buches, der besonders
vom gewohnlichen mathematischen Standpunkt aus von Interesse ist. Nach einer
in Kap. 5 erfolgenden Diskussion von Mengensystemen, die im Hinblick auf
gewisse Operationen wie Bildung von Vereinigungen oder Durchschnitten abgeschlossen
sind, speziell Borelsche Systeme und Suslinsche Mengen, beginnt im
Kap. 6 die eigentliche Punktmengentheorie. In Kap. 7 werden diejenigen Teile
der Punktmengenlehre behandelt, in denen die Ordnungszahlen besonders zur
Anwendung kommen, in Kap. 8 wird die Abbildung von Raumen aufeinander
behandelt, in Kap. 9 werden reelle Funktionen studiert - von besonderem Interesse
sind hier die Baireschen Funktionen - und zum Schlufi in Kap. 10 werden,
wie schon erwahnt, einige der wichtigsten neueren Errungenschaften auf dem
Gebiet der Mengenlehre diskutiert. Danach kommen „Nachtrage", in denen
einige weitere Resultate der letzten Zeit ohne Beweis wiedergegeben werden.
Das Buch ist eine griindliche Darstellung der wichtigsten Dinge sowohl aus
der klassischen allgemeinen Mengenlehre als auch aus der Lehre von den Punktmengen,
den reellen Funktionen und den Funktionenmengen. Es mufi als ein
sehr wertvoiles Buch bezeichnet werden.
Th. Skolem.
Ubersetzung aus dem Norwegischen: Reinhard Siegmund-Schultze
426

Rezension von G. ViVANTi in BoUetino di Matematica
F. HAUSDORFF - Mengenlehre. Berlin - Leipzig, Walter de Gruyter & C, 1935:
8^ p. 307.
Diese 3. Auflage ist ein fast unveranderter Wiederabdruck der 2. Auflage
(1927) mit einem zusatzlichen Kapitel und einigen sehr kurzen Nachtragen.
WoUte man eine detaillierte Darstellung des Inhalts des vorliegenden Buches
geben, mlifite man die Erklarung einer sehr grofien Anzahl technischer Termini
vorausschicken, von denen viele unter den Spezialisten der Mengenlehre^ noch
nicht allgemein gebrauchlich sind. Wir werden uns damit begnligen, eine kurze
Ubersicht der Hauptpunkte der einzelnen Kapitel zu geben.
Im Kapitel 1 definiert der Autor Aquivalenz, Summe, Durchschnitt, Produkt
und Potenz von Mengen, ausgehend vom Begriff Menge^ der als ursprlinglicher
Begriff (concetto primitivo) aufgefafit wird.
Im Kapitel 2 fiihrt der Autor den Begriff der Kardinalzahl ein. Er beweist
den fundamentalen Satz von Cantor-Bernstein; er erwahnt auch den vierten
FalP^ von dem er ankiindigt, spater seine Unmoglichkeit zu beweisen. Der
Autor geht dann von den Operationen mit Mengen zu den entsprechenden
Operationen mit Kardinalzahlen liber. Er beweist ferner die Existenz einer
unbegrenzt wachsenden Skala solcher Zahlen und widmet den elementarsten
transfiniten Kardinalzahlen besondere Aufmerksamkeit.
Im Kapitel 3 werden die Ordnungstypen dargestellt; insbesondere werden die
Typen von abzahlbaren Mengen und von Mengen mit Kontinuumsmachtigkeit
behandelt.
Dem Studium der Ordinalzahlen ist das vierte Kapitel gewidmet. Der Autor
zeigt zunachst, den Spuren Zermelos folgend, dafi jede Menge wohlgeordnet werden
kann. Er behandelt dann die Operationen mit Ordinalzahlen und wendet
die Folgerungen aus dem Satz von Zermelo auf die transfiniten Kardinalzahlen
an {Aleph-Zahlen).
Im Kapitel 5 werden Mengensysteme betrachtet. Ein Mengensystem, das die
Eigenschaft besitzt, die Summe und den Durchschnitt einer beliebigen Folge
von Elementen des Systems zu enthalten, heifit ein Borelsches System. Flir jedes
System M. von Mengen existiert ein kleinstes Borelsches System, das M
enthalt; seine Elemente heifien die von M erzeugten Borelmengen. Weniger einfach
ist die Definition der Suslinmengen, welche die Borelmengen als Spezialfall
enthalten.
Mit Kapitel 6 beginnt das Studium von Punktmengen. Ein metrischer Raum
ist eine Menge von Elementen, die Punkte genannt werden, mit der Eigenschaft,
daB jedem Paar x^y von Punkten eine nichtnegative reelle Zahl xy {Abstand)
^VlVANTl schreibt „teoria degli aggregati"; „Menge" ist bei ihm immer „aggregate". -
Anm. des Ubersetzers.
^Gemeint ist der Fall der Unvergleichbarkeit von zwei Kardinalzahlen. - Anm. des Ubersetzers.
427

zugeordnet wird, so dafi folgende Bedingungen erfiillt sind:
XX = 0;
xy — yx > ^ fiir x verschieden von y\
xy -\-yz> xz.
Es werden auf diese Raume die Begriffe und Definitionen ausgedehnt, die fiir
euklidische Raume gebrauchlich sind. Ein tiefergehendes Studium der Punktmengen
in einem metrischen Raum erfordert den Gebrauch von transfiniten
Ordinalzahlen; einem solchen Studium ist das siebente Kapitel gewidmet.
Im Kapitel 8 werden Abbildungen eines Raumes auf einen anderen Raum
betrachtet. Insbesondere werden eineindeutige Abbildungen studiert, die zusammen
mit ihren Inversen stetig sind {Homdomorphismen). Bemerkenswerte
Eigenschaften haben die Streckenbilder, d. h. die stetigen Bilder eines abgeschlossenen
geradlinigen Segments, ferner auch die einfachen Kurven^ die
homoomorphen Bilder eines solchen Segments.
Ist eine Punktion / der Punkte eines Raumes gegeben, so heifit die Menge
aller Punkte, in welcher / groBer oder gleich einer vorgegebenen Zahl ist, eine
Lebesguesche Menge dieser Funktion. Kapitel 9 ist dem Studium der Beziehungen
zwischen Funktionen und ihren Lebesgueschen Mengen gewidmet.
Kapitel 10, welches in der vorliegenden Ausgabe neu ist, behandelt im ersten
Teil eine gewisse Bedingung, die als Bairesche Bedingung bezeichnet wird;
der zweite Teil diskutiert einen Typ von Abbildungen eines Raumes auf einen
anderen, die als halbschlicht bezeichnet werden.
Die eher kurzen Nachtrage, die das Buch abschliefien, geben ohne Beweise
liber einige neuere Ergebnisse in der in diesem Buch behandelten Theorie Auskunft.
G. ViVANTI
Ubersetzung aus dem Italienischen: Sergio Albeverio
428

Die Machtigkeit der Borelschen Mengen.
Math. Annalen 77 (1916), 430-437
[H 1916]

Die Machtigkeit der Borelschen Mengen.
Von
P. HAUSDORFP in Greifswald.
Ein System von Mengen, dem auch die Summe
Ton abzahlbar vielen Mengen des Systems angehort, lieiBe ein (J-System;
ein System, dem auch der Durchschnitt
von abzahlbar vielen Mengen des Systems angehort, heifie ein d-System;
ein System, das beide Eigenschaften hat, ein (^d)-System. Wir bilden
das kleinste (

Die Machtigkeit der Borelschen Mengen. 431
(3) die Summen G^^ aus abzahlbar vielen Mengen G^ (die Durclischnitte
G§§ aus solclien sind wieder Mengen G^j
(4) die Durchsclinitte Gsad aus abzahlbar vielen Mengen Gda und so
fort fiir endliche Indizes, dann weiter
(co) die Durchschnitte aus abzahlbar vielen Mengen der Klassen
(1)(2)(3)...,
(co +1) die Summen aus abzahlbar vielen Mengen der Klasse (co)
und so fort fiir transfinite Indizes der zvreiten Cantorschen Zahlenklasse,
Um dies Bildungsgesetz zu prazisieren, definieren wir also fiir jede Ordnungszahl
a (l^c^

432 F. HAUSDORFP.
anderea Klasseneinteilung; denn da jedes F ein G§ und jedes G ein F^
ist (das gilt in jedem metrischen Raume; G. d. M., S. 306)^ so ist die
Klasse [a\ in der Klasse {a + 1) und die Klasse [a) in der Klasse \a +1]
enthalten.
Summe und Durchsehnitt yon zwei (oder endlich vielen) Mengen der
Klasse (a) ist wieder von dieser Klasse. Wenn diese Eigenschaft namlich
einem System von Mengen M zukommt, so kommt sie auch den Mengen
M^ und den Mengen M^ zu; sie libertragt sich also von den Gebieten
auf alle folgenden Klassen. In diesem Falle kann man die M^ als Summen
aufsteigender Mengenfolgen darstellen, d. h.
annehmen, indem man andernfalls M.^ durcli @(-Mi, M^, - - -, ifeTj ersetzt^
welche Summe wieder ein M ist; ebenso die M^ als Durchsclmitte absteigender
Mengenfolgen. Die Different zweier Mengen der Klasse (a) ist
Darclisclinitt einer Menge der Klasse (a) mit einer Menge der Klasse [a]y
also Durchschnitt von zwei speziellen Mengen der Klasse (a + 1)^ demnacli
selbst von der Klasse (c*:+l)? iibrigens ebenso von der Klasse [a + 1].
AUes dies gilt auch von den Komplementklassen [aj.
Man kann die Frage aufwerfen^ ob die wiederholte Summen- und
Durckschnittsbildung wirklich zu immer neuen Mengen fiihrt; es konnte
ja sein, da6 sckon eine bestimmte Klasse (a), ein ((9^)-Sjstem ist^ so daB
alle Borelschen Mengen in Wahrheit von dieser oder noeli geringerer
Klasse waren. Das hangt naturlich von dem Raume ab, dem unsere
Mengen angeboren; in einem Raum mit nur abzahlbar vielen Punkten
ware jede Punktmenge hochstens abzahlbar, also ein F^, Im euklidischen
Raum existieren aber Borelsche Mengen von beliebig hoher Klasse, die
sich nicht auf solche niederer Klasse reduzieren: das geht aus dem Zusammenhang*)
der Borelschen Mengen mit den Baireschen Funktionen
und aus dem (a. a. 0. bewiesenen) Satz von H. Lebesgue hervor, daB es
Bairesche Funktionen beliebig hoher Klasse gibt, die sich nicht auf solche
niederer Klasse reduzieren.
TJm ein paar Beispiele von (linearen) Borelschen Mengen zu nenneu:
die Menge der rationalen Zahlen ist ein F^, aber kein G^^ da sonst auch
ihr Komplement ein F^ und beide von erster Kategorie waren; die Funktion
f{x), die fiir rationales x gleich 1, fiir irrationales gleich 0 ist, ist
eine Bairesche Funktion zweiter und nicht geringerer Klasse, d. h. sie ist
zweifacher Limes (Limes von Limites) stetiger Funktionen, aber nicht
*) H. Lebesgue, Sur les fonctions representables analytiquement, Journ. de
Math. (6) 1 (1905); W, H. Young, On functions and their associated sets of points,
Proc. London Math. Soc. (2) Vl (1912).
433

Die Machtigkeit der Borelsclien Mengen. 433
einfacher. Die Menge der irrationalen Zahlen, in deren Kettenbruchentwicklung
die Teilnenner nach oo divergieren, ist ein Fadj aber kein G^a]
die Funktion, die in dieser Menge = 1 und sonst = 0 ist, ist eine Bairesche
Funktion dritter iind nicbt geringerer Klasse*).
Wir kommen nun zum Zweck dieser Mitteilung, namlicb zum Beweis
des Satzes:
Jede Borelsche Menge ist entweder endlich oder atozahlbar oder
yon der Machtigteit des Kontinnums.
Dies war bisher ftir die abgeschlossenen Mengen F durch G. Cantor,
fiir die Grebietsdurchscbnitte G^ durch W. H. Young bekannt; icb hatte
es (G. d. M., S. 465) nocli fiir die Gsad bewiesen, wonacb es fiir die G^ada
trivial ist. Insgesamt ergibt dies die Giiltigkeit des Satzes fiir die Mengen
und F, Fa, Fad, Fada
bis zu den Klassen (5) und [4], also z. B. auch fiir Differenzen von zwei
Mengen aus den Klassen bis (4) und [4]. Das obige Theorem, fiir die
Borelschen Mengen aller Klassen mit endlichem oder unendlichem Index
gtiltig, ist also eine sehr weitgehende VerallgemeineruDg der bisher bekannten
Machtigkeitssatze,
Wir nehmen die von den Gebieten ausgehende Darstellung der Borelschen
Mengen zu Hilfe und bezeichnen die Klasse (|) einfacher mit §;
wir erinnern uns ferner, da6 Mengen gerader Klasse als Durchschnitte
aus Mengen ungerad'er Klasse, diese als Summen aus Mengen gerader
Klasse dargestellt werden konnten, und da6 wir die Summen aus aufsteigend
geordneten Summanden bilden durften. Es geniigt, den Machtigkeitssatz
fiir die Mengen gerader Klasse zu beweisen. Eine Menge A von
gerader Klasse | stellt sich so dar:
A. von ungerader Klasse |^ < ^. Insoweit 1^. = 1, A- ein Gebiet ist, ist
die Zerlegung beendet; fiir g^. > 1 ist
A^ von gerader Klasse |^ < ^•. Weiter ist
A^., von ung;erader Klasse |^, < £?. Wenn £^, > 1, ist sodann
tk \ tk' ik' I j j iky
*) R. Baire, Sur la representation des fonctions discontinues, Acta Math. 30
(1906).
434

434 F. HAUSDORFF.
danacli wieder
usw. Wie nun aber auch die natiiiiiclien Zahlenfolgen iJcl-'-y pqr - -gewahlt
sein mogen^ so muB unter den ungeraden abnelimenden Ordnungszahlen
^i ^ ^ik -^ ^ikl ^
nach einer endlichen Zalil von Schritten die Zahl 1, also unter den entsprechenden
Mengen ein Gebiet auftreten (iibrigens kann naturlich auch
eine Menge gerader Klasse sicL. auf eine Menge niederer Klasse, insbesondere
auf ein Gebiet reduzieren). Wir nabmen soeben mit dem Erscbeinen
eines Gebiets die Zerlegung als beendet an, woUen aber jetzt lieber
verabreden, daB wir sie aucb dann gemaB der Formel
G = ®((?, G, G, ...) = ^{G, G,G,- 0
fortsetzen; wenn z. B. J.^^^ = (?, so soil audi
AP _ APi __ /fP!z _ AP^'^ _ ,, — a
ik Ik ikl tkl
sein. Auf diese Weise sind alle Mengen, sowohl die mit gleich vielen
oberen (Summen-) und unteren (Durchsclinitts-)IndizeSj wie aucb die mit
einem unteren Index mebr, definiert, und es mu6 aucb in der Reibe der
Mengen
AP APi APi"- , . .
scblieBlicb ein Gebiet auftreten.
Nehmen wir nun an, A sei unabzablbar. Wegen A Q A^ = ^ A^^ ist
J. = (g ^(A, A^] ; unter diesen abzablbar yielen Summanden muB sicb
also gewiB ein unabzablbarer befinden, etwa £> (AJ A^^j , Es seien x^^ x^
zwei Yerdicbtungspunkte*) von und in dieser Menge; wir umgeben sie
als Mittelpunkte mit abgeschlossenen Kugeln Fj, Fg, die keinen Punkt
gemein baben und, falls A^^ ein Gebiet ist, diesem Gehtet angehbren, also
die beigesetzte BezeicbnuDg (G) soil, wie aucb im folgenden, bedeuten.
*) X heifit Yerdiclitungspiinkt von ilf, wenn in jeder Umgebung von x unabzablbar
viele Punkte von M liegen, Im euklidiscben Raum (allgemeiner in einem
metriscben Raum mit abzablbarer dicbter Teilmenge) bat jede unabzablbare Menge
Verdicbtungspunkte, und alle bis auf bocbstens abzablbar viele geboren ibr selbst
an. — Eine „abgescblossene Kugel'' V mit dem Mittelpunkt x und dem Radius Q ist
die Menge der Punkte, die von x eine Entfernung ^Q baben, ein „Kugelgebiet'* U
die Menge der Punkte, die von x eine Entfernung < Q baben.
435

Die Maclitigkeit der Borelschen Mengen. 435
da6 die betreffende Ungleichung dann und nur dann gefordert wird, wenn
die rechtsstehende Menge ein Gebiet ist. In diesem Falle kann ja die
obige Bedingung gestellt werden, da x^^^ x^ Punkte von J^^^ sind. Sind
U^j U2 die zu Fj, V^ geborigen Kugelgebiete mit denselben Mittelpunkten
und Radien, so ist
^{U„, A, Al')
iinabzablbar ftir a = 1, 2 (im folgenden sollen a, ^^y, - - - beliebige von
den Ziffern 1^ 2 sein).
Diese Menge ist nun ^-42 = ©^^2; woraus wir wie oben schlieBen,
dafi eine der Mengen ^{U^y A, -4^\ Af) fiir geeignetes p unabzahlbar ist;
da wir die Al mit dem Index p aufsteigend annehnien konnten, so reicben
wir mit einem geniigend groBen p = p^ fur beide FaHe c^ = 1, 2 aos; es
ist also
%{U„,A,Al\A'^)
unabzablbar. Diese Menge ist aber wieder ^ ^^l = ^^A^^^^y und wir
scblieBen wieder, daB fiir geniigend groBes q == q^j^
^{0^,A,Al\Al%Al\'-)
unabzablbar ist fur beide Werte a. Es seien x^^j x^^ zwei Verdicbtungspunkte
von und in dieser Menge; wir umgeben sie als Mittelpunkte mit
abgescblossenen Kugeln V^^y F^g ^^^^ gemeinsamen Punkt, die in U^
und, falls die Mengen Al"", ^fj^" Gebiete sind, aucJi in diesen Gehieten
liegen, also
jede der beiden letzten Bedingungen wird dann und nur dann gesteUt,
wenn die recbts stebende Menge ein Gebiet ist. Ist TJ^^ das Kugelgebiet
mit gleicbem Mittelpunkt und Radius wie F^^, so ist
^\^ap ^; ^iS -42^ ^11 /
unabzablbar fiir alle vier Wertepaare a, /3.
Deuten wir nocb den nachsten Scbritt des Verfabrens an. Die letztgenannte
Menge ist Teilmenge von
^3 — ^p^3? -^12 — ^9-^12 } ^21 — ^2^21 ? All — '^r All ;
und durcb wiederbolte Anwendung des Schlusses von einer unabzahlbaren
Summe auf die Unabzahlbarkeit eines ihrer abzablbar vielen Summanden
ergibt sicb, daB
^(TT A AP^ JP^ A^^ APi.^11 APi^ii AP2921 APi(liiriii\
'^\^ap -^7 -^1 ; ^2 ' A f Al y A2 ? Al ? All /
436

436 F. HAUSDORFF.
fur gentigend groBe Werte p^, q^^, g^ai? ^lu ^^ ^^^^ ^^^^ Fallen a, jS unabzahlbar
ist. Zu zwei Verdichtungspunkten von und in dieser Menge
werden abgeschlossene Kugeln V^o^, ^aS2 ohuQ gemeinsamen Punkt konstruiert
derart, da6
letztere Ungleichungen nur insoweit geforderfc, als die rechtsseitigen
Mengen Gebiete sind. Die oben zuletzt stebende Durcbscbnittsmenge bleibt
unabzahlbar^ wenn man U^^ durch C/^^^, das zu V^^ gehorige Kugelgebiet,
ersetzt. Beim nacbsten Scbritt wiirden die Mengen mit der unteren
Indizessumme 4 hinzukommen (J.^, A^^, • • •, J-ji^i mit genligend groBen
letztm oberen Indizes) usw. usw.
So erhalt man eine ^dyadisclie" Menge
die von der Macbtigkeit des Kontinuums ist*). Sie ist nacb Konstruktion
Teilmenge von
7^ __

Die Machtigkeit der Borelschen Mengen. 437
struktion bei der Bildung des Durchsclmitts D zur Verwendung kam, also
D ^G ist. X kann also nicht zu D gehoren, womit bewiesen ist, daB
J. ^_ D ^ A von der Machtigkeit des Kontinuums ist.
Damit ist also fiir eine sehr umfassende Kategorie von Mengen die
Machtigkeit geklart; als einen Scbritt zur Losung des Kontinuumproblems
kann man dies freilich kaum auffassen, da die Borelschen Mengen eben
doch noch sehr speziell sind und nur ein verschwindend kleines Teilsjstem
(von der Machtigkeit i5 des Kontinuums) in dem System aller
Mengen bilden (das von der Machtigkeit 2^ > ^ ist).
Wie zu den beiden Hauptpunkten des Beweises (Existenz von Verdichtungspunkten
in einer unabzahlbaren Menge und von gemeinsamen
Punkten bei einer absteigenden Folge abgeschlossener Mengen) bemerkt
wurde, gilt der Machtigkeitssatz in jedem voUstandigen Raum mit abzahlbarer
dichter Teilmenge, z. B. auch im Hilbertschen Raume und in gewissen
Funktionenraumen (G. d. M., S. 317).
438

Commentary on [H 1916]
V. Kanovei; P. Koepke
There was an explosion of research activity in descriptive set theory after the
1917 discovery of Sushn sets (analytic sets). Aside from its evident importance
to the philosophy of modern mathematics {cf. Hilbert's problems), the following
theorem of HAUSDORFF ([H 1916]) (independently obtained by ALEXANDROFF
in [Al 1916]) was one of only a few distinguished antecedents of that discovery.
ALEXANDROFF-HAUSDORFF Theorem: Every uncountable Borel set of reals
X contains a perfect subset, hence, has cardinality c = 2^° .
This generalizes earlier theorems of CANTOR ([Ca 1884], for closed sets). YOUNG
([Y 1903], for Gs sets; see also Grundzuge der Mengenlehre, p. 319) and HAUS­
DORFF (for GSCTS sets, hence, also for Gso-sa sets, Grundzuge, pp. 465-466).
Several proofs of the above theorem are known; all of them easily generalize
to Borel sets in Polish spaces. Such a generalization is mentioned in the
final paragraph of [H 1916], although the proof actually given by HAUSDORFF
addresses Borel sets in Euclidean spaces. Set theory textbooks (including Mengenlehre,
§ 32) usually present this theorem as a corollary of a more general
theorem, that states the same result for the wider class of Suslin sets. This later
theorem was first published by Suslin ([Su 1917]), but some of its essential
ingredients appeared in [Al 1916].
The shortest known proof of the Borel set version can be obtained as follows.
To avoid topological details, let us consider Borel sets in Baire space N*^. It
suffices to prove that every Borel set X C N''^ is a continuous 1-to-l image of
a closed subset of INJ*^. This result follows from Theorem III in § 37 of Mengenlehre,
but it can also be proved by a more elementary argument. The proof
proceeds by induction on the countably transfinite number of iterations necessary
to obtain a given Borel set X from closed sets by countable unions and
intersections. The induction step for a countable union is trivial as soon as one
notes that it is sufficient to consider a countable union of pairwise disjoint sets
(as in § 34 of Mengenlehre). As for a countable intersection, if, for all n, Xn
is the image of a closed Zn ^ ^ via a continuous 1-to-l function F^, then
X = Pl^ Xn is a continuous 1-to-l image of the set
Z = {{zo,ZuZ2,...) G Zo X Zi X Z2 X ... : Fo(;^o) = i^i(^i) = i^2(^2) = ...},
which is a closed subset of (Dsl'^)'^.
The original proofs given by ALEXANDROFF and HAUSDORFF are based on
the same method of analysis of the transfinite construction of Borel sets from
intervals; one can even extract an essential common part of the two proofs. Yet
439

the final result is obtained differently: HAUSDORFF concentrates on a straightforward
construction of a perfect subset, while ALEXANDROFF presents a given
Borel set as the outcome of what would later be called the Suslin operation
applied to intervals.
For the reader's convenience, we present both proofs, beginning with their
common part and then finishing with HAUSDORFF'S and ALEXANDROFF's separate
arguments. By necessity we change the original notation and slightly alter
the content of the arguments in order to emphasize their similarity. Note finally
that ALEXANDROFF's article [Al 1916] is, in fact, an extended abstract where
proofs (and some definitions) are only outlined rather than given in detail.
The common part
Let (N'^'^)^ consist of all pairs (s^t) of sequences s,t G N'^'^ of equal length
Ihs = Iht. A set T C (IKI^^)^ is
— a tree if {s \n^t\n) G T whenever (5, t) G T and n

Lemma 2. Suppose that r C T is a complete digression. Then Ilendp'^ — ^ *
Proof. Let x G Hendp'''- ^^ prove that x G X^ for any (s,t) G r, by induction
on |{5,t)|r, the rank of (s^t) in r, which equals 0 whenever (s^t) is
an endpoint of r, and which otherwise is the least ordinal strictly bigger than
all ordinals \{s^p,t^k)\ry where (s^p.t^k) E r. (The definition of |(s,t)|T- is
based on the well-foundedness of r, while the inductive step is based on the
completeness of r.) In particular, x e X = Xj^.
HAUSDORFF'S argument
Suppose that X is an uncountable Borel set. HAUSDORFF obtains a perfect
subset P C X in the form P = p|^ UnG2^ ^^^ where {Pn}nG2

Proof. Let b = {Tn}ne\i^ ^ ^- Then r{b) = flr^T^ ^^ obviously a complete
digression and nendp^(^) = fin Ilendp'^n = rin^Mn. Therefore, fln^Mn Q X
by Lemma 2. To prove the converse, suppose that x e X. The set r' =
{(5,t) G T : X G X/} is obviously a complete digression. Furthermore, there
is a complete digression r C r' such that for any (s^t) G r that is not an
endpoint we have \/p3\k {{s^p^t^k) G r) (note the uniqueness!). For any n,
let Tn be the set of all (s,t) G r such that s consists only of numbers p < n;
clearly r^ is an n-digression and b = {TnjnGiN ^ -S; moreover, x G Hendp'^^
for each n, as required.
By this lemma (the key point of ALEXANDROFF'S proof), the given Borel
set X is the result of the A-operation applied to intervals, i. e., it is a Suslin
set. Of course, ALEXANDROFF was unaware of this as he was writing his note.
Accordingly, the construction of a perfect subset of X (provided that X is
uncountable) is carried out in [Al 1916] by a splitting procedure based on the
particular digression structures behind the equality of the lemma rather than
on the general idea of the A-operation as, e.g., in the proof of Theorem I in
§ 34 of Mengenlehre.
References
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Comptes Rendus Acad. sci. Paris 162 (1916), 323 - 325.
[Ca 1884] CANTOR, G.: Uber unendliche lineare Punctmannichfaltigkeiten.
Teil VL Math. Annalen 23 (1884), 453-488.
[Lo 2001] LORENTZ, G. G.: Who discovered analytic sets. The Mathematical
Intelligencer 23 (4) (2001), 28-32.
[Lu 1917] LusiN, N.: Sur la classification de M. Baire. Comptes Rendus
Acad. sci. Paris 164 (1917), 91-94.
[Su 1917] SOUSLIN, M.: Sur une definition des ensembles mesurables B sans
nombres transfinis. Comptes Rendus Acad. sci. Paris 164 (1917), 88-91.
[Y 1903] YOUNG, W. H.: Zur Lehre der nicht abgeschlossenen Punktmengen.
Ber. der Ges. der Wiss. zu Leipzig 55 (1903), 287-293.
442

Die Mengen Gs in vollstandigen Raumen.
Fundamenta Mathematicae 6 (1924), 146-148.
[H 1924]

Die Mengen G^ in vollstandigen Raumen.
Von
F. Hausdorff (Bonn).
Herr P. Alexandroff hat den interessanten Satz^) gefunden,
dass die in vollstandigen separablen Raumen liegenden Mengen
G^ topologisch niehts anderes als voUstandige separable
Raume selbst, d. h. mit ihnen homoomorph sind. Da der (loc. cit.
nur skizzirte) Beweis nach der eigenen Angabe des Verfassers ziemlich
schwierig zu sein scheint, so mochte ich hier einen kurzen und
einfachen Beweis mittheilen^ tiberdies ohne Einschrankung auf sepa^rable
Raume. Der Satz lautet also:
Jede Menge G^ in einem vollstandigen Raum ist mit einem VQllstdndigen
Raum homoomorph
Es sei E ein metrischer Raum, in dem also zwei Punkte a?, y
eine Entfernung xy haben, die den Forderungen gentlgt:
(a) xy = yx^O ftir x=^y; a:a? == 0,
(P) xy + yz'^xz (Dreiecksungleichung),
Ist F irgend eine Menge in E^ so sei*)
(1) xFz=:m{xi, xyF=:m{{xt+yt%
xF also die (untere) Entfernung des Punktes x von der Menge F,
Aus
xt'\'yt^xF-\'yF^ xt\-yt^2 ,xt \'Xy
folgt unniittelbar
(2) xyt^xl +yl,
(3) xyI^2.xF-^xy.
*) P. Alexandroff, Sur les ensembles de la premiere classe et les ensembles
abstraits. Comptes Rendus 178 {1924;), p. 185—187.
*) inf = Infimum = untere Grenze, sup = Supremum = obere Grenze.
445

147 P. Hausdorff:
Wenn F abgeschlossen ist und x^ y nicht zu F gehoren^ ist xF'^ 0
und nach (2) xyF'^0, In diesem Falle sei
(4) q>{x, y) = —-^-== sup ^^
xy + xyF ts/ xy + xt + yt'
Diese Funktion hat Entfernungscharakter; sie erfttllt (a) und
die Dreiecksungleicliung
(5) (p{x, y) + q){y, z) > (p(x, z),
Denn wegen yt^yz-\-zt^ yi^^y+^i ist fur teF (also x^y^z=\^t)
xy + yz + xt + zt xz + xt + zt
Nunmehr sei A in £ ein G^^^ B = E—A ein F^,
J5 = -Fi + i^2 + ^3 + • • •? ^n abgeschlossen.
Wir wahlen eine convergente Reihe ^c„ positiver Zahlen und definiren
fur xsA^yeA
(6) xy = ^c„ ^j^q^^^ - ^c„'' "^
2 xy + xF^
uud mit xy-^Q zugleich a;y->0.
Endlich sei
(8) xy = m^^\xy^xy]'^
446

Die Mengen G^ 148
das ist wieder eine Entfernung und erzeugt einen dritten, mit A
und A homoomorphen Raum A. Wir zeigen, dass mit E zugleich
auch A vollstdndig ist^ was den Beweis unseres Satzes voUendet.
Sei x„ eine Fundamentalfolge (Oauchysche Folge) in A] wegen
xy'^xy ist sie auch eine in A (ebenso in Z), hat also einen Limes
in E. Dieser kann nicht zu B gehoren. Denn fiir xJ-^Q^ teB
und etwa teF^ hat man nach (7) fiir m

Commentary on [H 1924]
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
Although the short paper [H 1924] contains just one result and its proof, it
(together with a short paper by P. S. ALEXANDROFF mentioned below) started
the study of completeness concepts in a topological sense.
The concept of completeness for metric spaces and the significant contribution
of HAUSDORFF to its development are dealt with in Band II of this series.
We recall that HAUSDORFF (in [H 1914a], Kap.VHI, §9, I and V) was the first
who stated and proved two important theorems for complete metric spaces
known earlier for the space of real numbers. The assertion of the first theorem
(proved by G. CANTOR for the special case of the reals in [Can 1880]) depends
on a given metric:
// (An) is a decreasing sequence of non-empty closed sets in a complete metric
space then P| A^ 7^ 0 provided the An-diameters converge to 0.
Although the next theorem follows from the previous one, its assertion is of
a topological character (proved by R. BAIRE for the reals in [Bai 1899]):
If X is a complete metric space and (An) is a sequence of open dense subsets
of X, then the intersection f]An is dense in X.
The last result is often called the Baire category theorem. For its assertion
to be valid one does not need the given metric to be complete, it suffices
if there is a complete metric inducing the same topology. Topological spaces
the topology of which is induced by a complete metric are called completely
metrizable topological spaces. Thus, BAIRE'S theorem holds for completely
metrizable topological spaces, whereas CANTOR'S theorem holds for complete
metric spaces.
Topologists realized the importance of completely metrizable topological
spaces (mainly around 1920) and tried to find purely topological characterizations
(first in the realm of metrizable spaces).
In [Pre 1921], M. FRECHET asked whether there exists a metric space not
admitting a complete topologically equivalent metric. He did not realize that
the answer follows from his own result published in [Pre 1910, Th. 14, page 8],
namely that each non-empty complete and dense~in-itself metric space must
be uncountable, so that the metric space of rational numbers does not admit a
complete metric. In fact, for rational numbers an even older result from [YY
1906] could be used. It was W. SiERPiNSKi and E. W. CHITTENDEN who reproved
the above-mentioned result of FRECHET independently in letters sent to
FRECHET (see [Pre 1924]). CHITTENDEN showed even more; namely, that the
cardinality of a complete and dense-in-itself space must be (even locally) at
least that of the continuum (see [Chi 1924]). Apparently none of these authors
was aware of the same results in [H 1914a] (see also §26 in [H 1935a]).
448

In the year 1924, two basic papers appeared that partly solved the problem
of a topological description of completely metrizable spaces. The first one was
published by P. S. ALEXANDROFF in [Ale 1924] (written in 1922) and contains
the following result:
A subspace of a complete separable metric space X can be re-metrized by a
complete metric if and only if it is a G5-subset of X,
The second paper by HAUSDORFF, [H 1924], is a reaction to that result: it
contains the sufficiency of the same condition without requiring separability of
the space X.
Because of a further development it seems to be appropriate to mention two
facts from a sketch of ALEXANDROFF's proof (he remarked that the whole proof
was rather complicated and was going to be published elsewhere - with respect
to the development discussed below, his proof has never been published). ALEX­
ANDROFF first indicates that separable metric spaces are complete iff each of
their open bases contains a base B having the property that H^i Bn ^ ^
whenever {Bn) is a decreasing sequence in B - he uses the terminology that
the base B has a closed property. To show the existence of such a base for
a G^-subset of a complete separable metric space X, he asserts that one can
find a sequence Cn of open locally finite covers of X such that H^i Cn i^ ^
whenever (Cn) is a monotone sequence with Cn ^Cn - nowadays, such a property
of a system of open covers is called completeness of the system - it was
used later by HAUSDORFF for his generalizations of completeness (we should
note that ALEXANDROFF's procedure (expressed in modern terminology) proves
that every separable metric space is paracompact). To finish the proof, he
constructs a metric on X (by means of a procedure from [AU 1923]) that is
complete because of the special property of the base. That proves sufficiency of
the main result (necessity was said to follow from HAUSDORFF's generalization
of CANTOR'S theorem).
ALEXANDROFF uses the fact that separable metric spaces are subspaces of
compact metric spaces. Such an assertion is not true for nonseparable spaces,
and for such spaces HAUSDORFF needed to find another approach. He constructed
directly a metric p on a G 0 and J^c^ converges) and proved that this metric is complete
and equivalent to the restriction of d.
Before HAUSDORFF published his proof, he sent it to ALEXANDROFF. We
do not have that letter at our disposal, we know about it from the answer by
ALEXANDROFF and URYSOHN. In their letter to HAUSDORFF of May 21, 1924
(written in Moscow, Nachlass HAUSDORFF, Kapsel 61), they add a proof of the
converse of HAUSDORFF'S result as suggested by URYSOHN:
Every completely metrizable space is a Gsset in every larger metrizable space.
449

Their reasoning is very simple: Suppose X is a completely metrizable topological
space that is homeomorphic to a subspace A of a metric space Y. For every
X ^ A one can find e^ < 1/n such that the intersection Sx,n of the open ball in
Y around x with diameter e^ with A has diameter less than 1/n in X. It is very
easy to show that A = H^i ^n, where Gn = UXGX '^x,n is an open subset of
Y. That approach of ALEXANDROFF and URYSOHN is direct, simple, and much
more elementary than the construction often used these days, namely as a consequence
of LAVRENTIEV'S result published in the same issue of Fundamenta
Math, in [Lav 1924] (LAVRENTIEV proved that homeomorphisms between subsets
of complete metric spaces can be extended to homeomorphisms between
G

HAUSDORFF adds a note dated 29. 3.1930 (Kapsel 33, Fasz. 265) where he
gives a simpler proof: take maximal 1/n-nets An in X; then the system of all
open balls centered at points of An and having radius l/n,n G N, gives the
requested base. It is easy to see that this procedure gives a stronger result: a
complete base is contained in every open base of a complete metric space.
Although none of his later papers was devoted to completeness in topological
spaces, in several of his unpublished notes one can find several instances where
HAUSDORFF attempted to find such a property. In his notes from November 1,
1935 (Kapsel 38, Fasz. 548), HAUSDORFF defines a topological space X to be topologically
complete if it has an open base having the above closed property. He
shows that the long line is a non-metrizable topologically complete space, that
compact spaces are topologically complete and that in a regular topologically
complete space, every open nonempty subspace is of second category. He poses
several questions, among them these two: Is every Gs subspace of a topologically
complete space again topologically complete? Is topological com^pleteness
preserved by countable intersections?
Probably his generalization of completeness had some properties he did not
like, because in his next note about that matter, from March 9, 1937, (Kapsel
40, Fasz. 623), he suggests the definition of topologically complete spaces as
those being a Gs in every larger space. Nevertheless, one year later, March 23,
1938, (Kapsel 40, Fasz. 656) he shows that such a definition gives the empty
space only, and so he came back to open bases having closed property in March
27, 1938, (Kapsel 40, Fasz. 657) and tried to modify that concept.
At approximately that time, the paper [Cech 1937] of E. CECH was published,
defining a topologically complete Tikhonov space as one being a Gs in each
of its Hausdorff compactifications. CECH proved that the new concept has all
the properties required for a generalization of completeness beyond the realm
of metrizable spaces: (i) Baire category theorem holds for the new topologically
complete spaces; (ii) the class of such spaces coincides with the topologically
complete metrizable spaces in the class of all metrizable spaces; (iii) a subspace
of a topologically complete space is topologically complete iff it is an
intersection of a G5 subset and a closed subset.
The two approaches of HAUSDORFF and CECH were essentially the same, the
main (and important) difference was in the class of spaces they used. While
HAUSDORFF tried to obtain a convenient definition for all topological spaces,
CECH used Tikhonov spaces only, which turned out to be more convenient
for the given purpose. Also the following development shows that HAUSDORFF
was correct in his ideas about how to define a generalization of completeness
for topological spaces, except that he tried to do so for all spaces; whereas
restricting one's attention to regular spaces or Hausdorff spaces would suffice
to get a reasonable theory.
At the beginning of the 1960s a characterization of topologically complete
spaces was found ([Fro 1960a], [Arh 1961]) by means of open covers having the
above closed property:
A Tikhonov space is topologically complete iff it has a countable complete system
451

of open covers.
Z. FROLIK examined what happens if one takes Hausdorff or regular spaces
instead of Tikhonov ones in definitions or characterizations of topologically
complete spaces (see his summary [Pro 1960b]). He was not aware of HAUS-
DORFF'S attempts and discovered also that he could not obtain all the expected
results outside Tikhonov spaces. Except for complete families of covers, FROLIK
used the absolute G(5-property, too: if P is a dense subspace of a Hausdorff space
R, then P is a, Gs in R-
Nowadays, the property defined by CECH is called Cech completeness or
completeness in the sense of Cech and the term topological completeness is often
reserved for Tikhonov spaces induced by a complete uniformity. Thus every
metrizable space is topologically complete but need not be Cech complete (e.g.,
the space of rational numbers). Conversely, every locally compact Hausdorff
space is Cech complete but need not be topologically complete (e.g., the long
line). Of course, every metrizable Cech complete space is topologically complete
as well.
The definitions used by HAUSDORFF in his unpublished notes appeared later
by other authors, too, as generalizations of Cech completeness under various
terms, e.g., quasi Cech completeness, and AF-completeness. Naturally, there
are other generalizations of completeness, such as Choquet completeness, and
sieve completeness.
References
[Ale 1924] ALEXANDROFF, P.S.: Sur les ensembles de la premiere classe
et les ensembles abstraits. Compt. Rendus Acad. Sci. Paris 178 (1924),
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Acad. Sci. Paris 127 (1923), 1274-1276.
[Arh 1961] ARHANGEL'SKII, A.V.: On topological spaces which are complete
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Rendus Acad. Sci. Paris 260 (1958), 218-220.
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Rend. Circ. Mat. Palermo 30 (1910), 1-26.
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Erweiterung einer Homoomorphie.
Fundamenta Mathematicae 16 (1930), 353-360.
[H 1930b]

Erweiterung einer Homoomorphie.
Von
Felix Hausdorff (Bonn).
Wir wollen den folgenden Satz tiber metrische Raume J5/, Fj
F^ E beweisen:
I. Isi F in E abgeschlossen^ so lasst sick eine Homoomorphie zwischen
F und F zu einer Hmnoomorphie zwischen E und einem gedgneten
Eaum E eriveitern.
Mit andern Worten : es wird die Moglichkeit einer „Ummetrisierung"
behauptet. Statt der alten Entfernungen iiv^ die den metrischen
Raum E definieren, lassen sich neue Entfernungen uv einfiihren,
die einen mit E homoomorphen Raum E definieren und ftir
Punktpaare aus F die in der Metrik von F vorgeschriebenen Werte
haben. (Die Homoomorphie besagt: aus wt;~>0 bei festem ii folgt
iiU—> 0 und umgekehrt). Man kann auch sagen: einem topologiseben
metrisierbaren Raum E lasst sicli stets eine Metrik aufpragen,
deren Teilmetrik in einer abgeschlossenen Menge F(2E vorgeschrieben
ist.
Der Beweis von I ist meinem frtiheren Beweise (Math. Zeitschrift
5 (1919), S. 296) des Satzes von H. Tietze nachgebildetj
dass eine in einer abgeschlossenen Menge stetige Funktion zu einer
im ganzen Raume stetigen erweitert werden kann, aber erfordert
erheblich mehr Kunstgriffe.
Wir bezeichnen mit t«, t?, w Punkte des Raumes E^ mit a, b, c,
jp, q^ r Punkte der abgeschlossenen Menge F^ mit a?, y Punkte des
offenen Komplements G = E — F, Es sei
d{ti) = inf pw
457

354 P. Hausdorff:
die untere Grenze der (alten) Entfernungen des Punktes u von den
Punkten peF (die untere Entfernung zwischen u und F), also
(J(a) = 0, (5(0?) > 0. Aus pu^pv-{-iiv ergibt sich, indem man
beiderseits die untere Grenze nach p nimmt,
\d{u) — d(v)\^uv.
Wir betrachten sogleich, da wir sie spater verwenden mtissen,
die Funktion
(0) d{u^ v) = min [uv^ d(;u) -\- ^{v)]^
die symmetriscb ist und dann und nur dann verschwindet, wenn.
u = v oder u^ v zwei Funkte von F sind. Sie geniigt der ^Dreiecksungleichung"
(5(Wj v) -{' d{v,w)'^d{u, w).
In der Tat gelten die vier Ungleicbungen
uv -f- vtv ^ uw
uv-\-[d{v)'^diw)] ^ (5(w) + d {w)
[d(ti) + d(v)] + «;ii^ ^ (5(w) + d{w)
[6 {u) + d{v)] + [6{v) + d {w)] ^d{u)^6 {w\
and wenn man links und recbts den kleinsten der vier Ausdrttcke
nimmt, ergibt sicb die Behauptung,
Der Satz I ist mit dem folgenden Equivalent:
II. Ist F in E abgeschlossen und mit F homoomorph^ so giht asdine
Funktion cp (w, a) ^ 0 mit folgenden Eigenschaften:
{a) (p(b^ a) = ab
(^) We7in (5(^)~>0, qp (ic, a)-~> 0, so ist ax->0 {bei festem a)-
(y) Filr jedes Punktpaar u^ v ist die obere Grenze
(1) ip{Uy v) = sup \(p{u^ a) — (p{v^ a)\
a
endlich und konvergiert nach 0 fur uv—>0 (bei festem u).
In der Tat erfiillt, wenn I ricbtig ist, die neue Entfernung
q)(i«, a) = au die Forderungen von IT, wobei ip(u^ v) ^ wt^; {§) gilt,
weil mit cix-^Q zugleicb ax~>0^ und (y) gilt, weil mit uv-^^O
zugleicb w --> 0»
458

Erweiterung einer Homoomorphie. 355
Um andererseits aus II auf I zu scUiessen, bemerken wir
zuerst, dass tff{u.v) symmetrisch ist und die Dreiecksungleichung
tp (w, v) -f- ^ (t?, w) ^ tp{u^ w)
^rfUUt. Diese Funktion ist selbst nocli nicht als neue Entfernung
verwendbar, schon weil sie moglicherweise ftir u^v verscbwindet.
Bilden wir daher mit ihr und der Funktion (0)
(2) Wv = max [i/^(w, v\ d{u, v)]
und zeigen, dass dies eine geeignete Entfernung ist. Jedenfalls ist
"uv symmetrisch und erflillt die Dreiecksungleicbung uv-^vw^uw.
Sprechen wir die Eigenschaft (y) ftir die drei Falle, dass % w
Punkte von F, F oder F^ G oder G^ G sind, gesonderfc aus:
(yi) Es ist ip(6, c) = sup \ab — ae\ = he
a
(j/g) Es ist ip{x^ b) = tl}{b, x) = sup \(p{x^ a) — ab\ ^ (p{x^ b)
a
^ndlich und konvergiert nach 0 far xy ~>Q (bei festem b) i).
(ys) Es ist ip {x^ y) = sup I ^ {x, a) — (p (y, a) |
a
6ndlich und konvergiert nach 0 ftir xy —^Q (bei festem x),
Jetzt sehen wir, dass m ftir u=^v und nur in diesem Falle
verschwindet. Denn m ^==0 bedeutet 6 (w, v) = ^(t«j v) = 0 ; also
^ntweder U'=v oder ii = bj v = c Punkte von F^ aber auch in
diesem Falle t/;(6, c) = &c=: 0, also b = c, Hiernach liefert uv als
Entfernung einen Raum F, dessen Homoomorphie mit E zu beweisen
bleibt:
Wenn (bei festem u) t*^?->0, so ist d{u^v)->0 und nach (y)
if) (w, V) "-> 0, also ub->0,
Sei (bei festem u) wi~>0, also cJ(w, i?)~->0 und i/^ («/, t?) ~> 0. Ist
u = x Punkt von Gy so ist d{x^ v) = min [xv^ d(x) -j- ^ {^)] und
wegen des festen d{x)'^0 folgt schon aus d(x^v)->0^ dass a?^->0.
Ist u = b Punkt von F^ so ist d{bf v) = min [bv, d{v)] = ^(t^)~>0
und ip(b,v)->0. Hier sind die Falle v==€€F und v=^y€G mt
unterscheiden (von denen mindestens einer bei dem variablen v un-
*) xb -^ 0 bei festem x kommt nicht in Frag^e.
459

356 F. Hausdorff:
endlicli oft eintretea muss). Im ersten Fall ist ip{by c)=^hc->Q
and 6c—>0, im zweiten ist 0 und i/>(6, y)->0 oder erst recht
qp (y, h) -> 0, auf Grund von {§) also hy -> 0. Stets ist also mit
Damit ist gezeigt, dass I aus II folgt. Es handelt sich nunmehr
um Konstruktion einer Funktion ^(w, a), die die Eigenschaften (a)
(/?) {y) hat, oder einer Funktion q){x^a\ die die Eigenschaften (/3)
(ri) (yi) ^^at.
Wir bilden (ftir peF^ wie verabredet) die untere Grenze
(3) .>(.,.) = inf[cp + 2^^-2j
und die obere Grenze
(4) (p{x, a, c) = sup p — ^ — ^ + 11,
die (auch bei unbeschranktem F) gewiss endlich ist. weil der eingeklammerte
Ausdruck ^oc ist. Dann ist
und demnach sei
— 9)(a?, a, c) = inf c^ —ojo + ^r-T — 1^^(^;C)
(5) (p{x^ a) = g) {x, a^ c)-}- o) {or^ c) ^ 0,
wo c irgend ein fester Punkt von F ist. Der Beweis, dass q)(x, a)
die verlangten Eigenschaften hat, wird durch folgende Uberlegungen
erbracht.
(A) Wir wahlen einen von x abhangigen Punkt p mit px 0, so ist (5(a?)->0, px-^Oy
Jjp—>0, also 6p->0, ap-^ahy cp->cb^ und wir erhalten: llir
bx-^O ist
lim 0) {x^ c) ^ cbj lim g){x^ a, c)^ah — ch.
460

Erweiterung einer Homoomorphie, 357
(B) Wir waHen einen von x (und c) abhangigen Punkt q mit
(6) ^(a,,c) + c3 + 2^^-2.
Andererseits ist
Dies verbunden gibt
«(.,o)^c6 + 2^^-2.
o{x) ' o{x) ^ ^ ^'
2 ga? < 2 6a? +"^6 0 (bei festem i), dass jo?->0,
hq->0^ bq-^Oy cq-^cb, und aus (6) oder o){x^ e)'^cq—d{x)
lima>(a?, c)^ c6,
in Verbindung mit (A) also: ftir bX'-^O ist oj {x, c)-^cb,
Weiter ist auch
zu (6) addiert
(p{x,a,c)^aq — cq — -^^ + l,
(p{x, a) + 6(x) > n + -|7^ — 1
und bierin ist der Beweis von (§!) entbalten; denn wenn, bei festem a,
(p {x^ a) -> 0 und 6 {x) -> 0, so ist o^ ~> 0 und -~— — 1 —> 0, also
Endlich folgern wir aus (p{x^ a)'^ aq — d{x)
ab — (p{x^ a)

358 F. Hausdorff:
(C) Wir wahlen einen von a;, a (und c) abhangigen Punkt r mit
(7) fp{p(!,a,e) — d{x):ah — cb — -^-r-r +1
Hierans folgt wieder, wenn hx->Q bei festem ft, dass auch
rrt?~>0, hr->0^ br-^^O^ ar->ab^ cr->cb\ aus (7) oder (p{x^a^c)

Erweiterung einer Homoomorphie. 359
nur von a?, b abhtogige obere Schranke ^ 0, namlicli q) (cr, b\ die
ftir bx-->0 nach 0 konvergiert.
(E) Um noch (yg) zu beweisen, beachten wir, dass
poc • d{y) — py • d{x) = [px — py] d(y) -f py [d{y) - d{oc)]
8i)8o\nt^xy'[d{y)'\-py]^2xy-py ht Nun konnen wir unbeschadet
der AUgemeinheit den Raum JS als beschrankt, etwa vom Durchmesser
^ ^ annehmen, da jeder Raum mit einem beschrankten homSo-
morpb ist (man ersetze die Entfernungen d durch i ^? wobei
die Dreiecksungleichung erhalten bleibt. Dagegen ware es nicht zulassig,
die Menge F als beschrankt vorauszusetzen, ohne die Tragweite
des Satzes I zu verkleinern). Dann ist also
px py
d[x) d(y)
xy
d{x) dyy)
nnd nach derselben ScHussweise wie bei (D)
|a>(^-,c)-a>(y,c)|^^J^,
WO recbts eine von a unabhangige Schranke steht^ die flir xy->Q
bei festem x (wo d{y)-> d [x) > 0) nach 0 konvergiert.
Hiermit ist der Beweis des Satzes I vollendet.
Eine einfache Konsequenz sind die beiden folgenden Satze, von
denen der zweite auf anderem Wege von V. Niemytzki und
A. Tychonoff bewiesen wurde (Fund. Math. 12 (1928)3 Seite
118—120):
Ein metrisierbarer Raum ist dann und nur dann hompaktj wenn
er in jeder Metrik beschrankt ist.
Ein metrisierbarer Raum ist dann und nur dann kompakty wenn
er in jeder Metrik vollstdndig ist
Die Notwendigkeit der Bedingungen ist klar. Ist andererseits
der Raum E nicht kompakt (in sich kompakt), so enthalt er eine
463

360 P. Ilausdorff:
abzahlbare MeDge F={ai, aj,..., a^,,...} ohne Haufungspunkt, die also
in E abgescMossen ist. Da zwei isolierte Mengen gleicher Machtigkeit
stets homoomorph sind, so ist F sowohl mit der Zahlenmenge
Fi =={1, 2,..., w,...} als auch mit F^ = {15 ^v> ~v} honioomorph.
Nach I ist dann F mit einem nicht beschrankten Raum Fi und
mit einem nicht vollstandigen Raum E^ (in dem F^ abgeschlossen
ist, d. h. eine Pundamentalfolge ohne Limes existiert) homoomorph.
464

Commentary on [H 1930b]
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
The main Theorem I can be reformulated as follows:
Let A he a closed subset of a metric space {X,d). Every metric f on A that is
topologically equivalent to d on A can be extended to a metric F on X that is
topologically equivalent to d.
This result had no predecessor except, perhaps, some trivial ones. HAUS-
DORFF himself added no comments in his paper.
One can trace a development of HAUSDORFF'S ideas concerning the result
in Fasz. 95 of Kapsel 26b. The first note is from November 30, 1925, where he
proved:
// a metric space X is not totally bounded, then it is homeomorphic to a noncomplete
metric space. Consequently, if every metric space homeomorphic to
X is complete, then X is compact.
HAUSDORFF uses the term conditional compactness instead of total boundedness:
every sequence in the space contains a Cauchy subsequence. To prove the
result of his note HAUSDORFF took a sequence A — {an} in {X, d) containing
no Cauchy subsequence and defined
where
F(x,2/) =max{|(/?(a;)-(y9(2/)|, 5{x,y)} ,
S{x,y) = min{(i(x, 2/), d{x,A)-\-d{y,A)}, and
1 On otherwise.
where {cn} is a sequence of positive numbers with a convergent sum. It is not
difficult to show that the new metric F is topologically equivalent to c? on X
and that the sequence {an} is Cauchy in F since F{an,am) — \cn — Cm\ for
large n, m (and the sequence remains nonconvergent, of course).
HAUSDORFF realized that he, in fact, extended an equivalent convenient metric
/ from the closed subspace consisting of the image of the sequence {an}
to an equivalent metric F on all of X, and already in December 5, 1925 he
formulated Theorem I. He gave a proof based on the erroneous assumption
that one can assume A to be bounded in its metric (he noted "das ist keine
Beeintrachtigung"; later on he added a footnote "Doch!" See below, his notes
from December 18, 1925). If A is bounded one can define the new metric F on
X as follows:
F(x, y) = max{'0(a:, y), S{x, y)} ,
465

where 6 is as above and
'0(x, y) = s\ip{\ip{x, a) - ip{y, a)\} .
aeA
The function (/?(x, a) for a G A equals f{x,a) if x G A and is defined by the
following formula ii x ^ A
ip{x, a) = inf {/(a, c) - -JTZ^ + ^i •
ceA a(x, Aj
He then proved the above characterization of noncompact metrizable spaces
X by extending the metric f{an,CLm) — |1/^ ~ l/m| from a countable closed
discrete set A = {an} to X.
He added other possible definitions of the function (p{x^a) for x ^ A that
can be used in the situation, namely
and
(p{x, a) = d{x, A) sup { ' ] ,
ceA ^ d{x, c))
(p(x, a) - sup{/(a, c) - -77^^ + 1} •
ceA d{x, A)
On December 18 of the same year HAUSDORFF wrote that the assumption
about boundedness of the equivalent metric on A is really restrictive, but that
it is possible to assume the original metric d to be bounded on A. He tried yet
another function (p{x,a) but without success. So, on December 22 he proved
his result for a bounded metric f on A using the second if above, which gives
a proof shorter than the others.
There is a break in HAUSDORFF'S notes (that we have at our disposal and
that deal with the extension problem) from December 1925 until February 20,
1928, where he again analyzed the situation for unbounded /.
Subsequently, in three notes from June 1930, he came to a solution. The right
function (f{x,a) forx^A is of the form
^(., a) = sMfia, c) - ficp) - ^ + 1} + inf {/(CP) + 2 ^ - 2} ,
where p is a fixed point of A.
The published version coincides with the June 1930 notes except for several
minor changes.
At the end of the paper, HAUSDORFF added his original motivation for
Theorem I, namely: Ein metrisierbar Raum ist dann und nur dann kompakt,
wenn er in jeder Metrik beschrdnkt (oder vollstdndig) ist. In the meantime,
V. NiEMYTZKl and A. TYCHONOFF published the "complete" part of the result
in [NT 1928]. Their method is different. For a sequence {an} that is d-discrete
466

in {X^d) they added a new point ^ to X, and neighborhoods of ^ were chosen
so that an converged to it. Using one of ALEXANDROFF and URYSOHN'S
metrization theorems they showed that the topology on X U {^} is metrizable.
One can see a relationship between the above formula for (p{x^a) and the
procedure from [H 1919d]. If one omits p, the formula coincides with HAUS-
DORFF'S formula for a continuous extension of the map / (defined on a closed
subset Ax Aoi X xX) to the whole square X xX. The map ip is then a continuous
pseudometric on X x X and its combination with 6 causes the resulting
map F to be a metric that is equivalent to d. If / is not bounded, then the
map ip could have values H-oo and that is the reason why a point p was added
to the formula - it forced -0 to have real values.
It is true that the proofs are not easy but they are elementary in the sense
that almost nothing deep or from other fields is needed. Nowadays different
proofs (perhaps more elegant ones) are used, but they usually require some
special knowledge. It should be noted that R. H. BiNG re-proved Theorem I in
[Bing 1947] using his metrization theorem (he did not cite HAUSDORFF).
HAUSDORFF did not say anything about the connection of Theorem I to
TIETZE'S theorem (except a similarity of his proofs of both results at p. 353).
In fact, it is not seen immediately that TIETZE'S theorem follows easily from
Theorem I. First, one should notice that an equivalent formulation of Theorem
lis:
Every continuous pseudometric on a closed subset A of a metrizable space X
can be extended to a continuous pseudometric on X.
Now, take a bounded continuous map f on A and suppose that / > 0 and
has 0 as one of its values. The pseudometric \f{x) — f{y)\ is continuous on the
closed subset A of X, it extends to a continuous pseudometric e on X, and
F{x) — e(x, /~^(0)) is the requested continuous extension of / to X. See [Gan
1969] for this procedure.
In a letter of April 9, 1932, G.NoBELiNG asked HAUSDORFF whether he
could construct the extension F to be totally bounded provided / is totally
bounded and (X, d) is separable. In his notes from May 3, 1932 and August
17, 1932 HAUSDORFF tried his various functions (p to answer that question
but without success. It appeared later that the positive answer follows from
KuRATOWSKl's construction of extensions of maps in [Kur 1938].
Later on, there appeared other variations of HAUSDORFF'S result on the extension
of continuous metrics. In [Isb 1959] one can find a uniformly continuous
variation:
Every bounded uniformly continuous pseudometric on a subspace of a uniform
space X can be extended to a uniformly continuous pseudometric on X.
One can notice that, unlike the topological case, the subspace need not be closed
and the pseudometric must be bounded. The previous note about relations
between the TiETZE extension result for maps and the HAUSDORFF extension
for pseudometrics is also valid for the uniform case. Here the corresponding
extension theorem for maps was proved by M. KATETOV in [Kat 1951]. The
explicit formulation and proof for extensions of uniformly equivalent pseudo-
467

metrics can be found in [Nhu 1980] (the approach there is different and more
compUcated).
A generahzation of HAUSDORFF'S extension of pseudometrics to nonsymmetric
uniformities was investigated by J. DEAK (see the survey in [Dea 1993]).
At the end we would hke to mention a very interesting connection to the
following result of J. DuGUNDJi from [Dug 1951]:
Let X be an arbitrary metric space, A a closed subspace of X, Y a locally
convex space, and f : A ^f- Y a continuous map. Then there is an extension
F:X-^Y.
Moreover, the image F{X) is contained in the closed convex hull of f{A). Although
there seems to be no connection to HAUSDORFF'S extension of metrics,
R. ARENS showed in [Are 1953] that both results are equivalent in the following
sense:
For a closed subspace A of a topological space X the following properties are
equivalent:
1. every continuous mapping on A into a Banach space can be continuously
extended to X ;
2. every continuous pseudometric on A can be extended to a continuous
pseudometric on X;
3. every locally finite open cover of A can be extended to a locally finite open
cover of X.
The same equivalence holds if one takes separable Banach spaces, separable
pseudometrics and countable covers.
C. H. DOWKER proved in [Dow 1952] that the above equivalent properties are
valid for any closed subspace A of a topological space X if and only if X is collectionwise
normal. It followed earlier from the above result of DuGUNDJi that
the mentioned separable case holds for any closed subspace A of a topological
space X if and only if X is normal.
Thus HAUSDORFF'S original result can be generalized from metric spaces to
coUectionwise normal spaces (and not any further) and in the separable case
to normal spaces (and not any further).
The fact that every continuous pseudometric on A can be extended to a
continuous pseudometric on X was called by ARENS as "A is P-embedded in
X"; the survey paper [Hos 1992] describes the known results on P-embedding
till 1992.
References
[Are 1953] ARENS, R.: Extension of coverings, of pseudometrics, and of
linear-space-valued mappings. Canad. J. Math. 5 (1953), 211-215.
[Bing 1947] BiNG, R. H.: Extending a metric. Duke Math. J. 14 (1947),
511-519.
468

[Dea 1993] DEAK, J.: A survey of compatible extensions. CoUoq. Math. Soc.
J.Bolyai 55 (1993), 127-175.
[Dow 1952] DOWKER, C. H.: On a theorem of Banner. Ark. Math. 2 (1952),
307-313.
[Dug 1951] DUGUNDJI, J.: An extension of Tietze's theorem. Pacific J. Math.
1 (1951), 353-367.
[Gan 1969] GANTNER, T.E.: Some corollaries to the metrization lemma.
Amer. Math. Monthly, 76 (1969), 45-47.
[Hos 1992] HOSHINA, T.: Extensions of mappings. In: Recent Progress in
General Topology (ed. M. HuSEK, J. VAN MILL), Elsevier Amsterdam
1992, 405-416.
[Isb 1959] ISBELL, J.R.: On finite-dimensional uniform spaces. Pacific J.
Math. 9 (1959), 105-121.
[Kat 1951] KATETOV, M.: On real-valued functions in topological spaces.
Fundamenta Math. 38 (1951), 85-91.
[Kur 1938] KURATOWSKI, C: Remarques sur les transformations continues
des espaces metriques. Fundamenta Math. 30 (1938), 48-49.
[Nhu 1980] NHU, N.T.: Extending metrics uniformly. CoUoq. Math. 43
(1980), 91-97.
[NT 1928] NiEMYTZKl, v., TYCHONOFF, A. N.: Beweis des Satzes, dass ein
metrisierbarer Raum dann und nur dann kompakt ist, wenn er in jeder
Metrik vollstdndig ist. Fundamenta Math. 12 (1928), 118-120.
[Tie 1915] TiETZE, H.: Uber Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge
stetig sind. J. fiir die reine und angew. Math. 145 (1915), 9-14.
469

Zur Projektivitat der (^5-Funktionen.
Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 100-104.
[H 1933a]

Es sei
Zur Projektivitat der S^-Funktionen ^).
Von
Felix Hausdorff (Bonn).
^{A,,A,,..) = SDA,
eine ds-Funktion der Mengenfolge A^^ wobei P ein nicht leeres
System von nicht leeren (abzahlbaren oder endlichen) Mengen p =
= {^1,^2,...} nalftirliclier Zahlen ist. Wird die Funktion ^ (d. h.
das System P) festgehalten, wahrend die A^ unabhangig von einander
alle Mengen eines Systems 91 durchlaufen, so durchlauft A ein
Mengensystem, das mit (P9t bezeichnet werde.
Es sei Z = (Z, Y) das Produkt (Verbindungsmenge) der Mengen
X, Y. Ftir eine Menge C in Z sei nC ihre Projektion auf X; durchlauft
C ein Mengensystem 6; so heisse n (£ das von n C durchlaufene
System.
Ist S ein System von Mengen in Z, 31 ein System von Mengen
in X, so heisse 6 ds-projektiv zu % wenn zu jeder ds-Funktion 2^
eine (5s-Funktion W so bestimmt werden kann, dass
Die Herren Kantorovitch und Liven son haben in ihrem
sehr interessanten Memoir on the analytical operations and projective
sets I, Fund. Math. 18 (1932), p. 214—279 die (Js-Projektivitat als
^) Herr Sierpinski war BO freundlich, dieso Funktionen nach mir zu benennen;
ich selbst hatte, bevor ich die sachliche Bezeichnung wahlte, die Absicht,
sie nach Herrn Sierpidski zu benennen, der sie viel friiher angfewendet hat
(Sur 1©B ensembles mesurables B, C. R. 171 (1920), p. 24—26).
473

ProjeMivitdt der hs-Funktionen 101
Konsequenz einer spezielleren Eigenschaft, der Projektivitat von ®
zu 31, nachgewiesen, die icli in etwas einfaeherer Form folgendermassen
erklaren mochte. Eine Menge C^Z lasst sich so schreibeni
WO {Ay, y) der Durchschriitt von C mit (X, y) und Ay die (schlichte)
Projektion dieses Durchschnitts auf X, d. h. die Menge der x mit
{x^ y) € C ist. Die Mengen Ay naogen die y-Schichten von C heissen.
Nun sei jedem yeY eine ds-Funktion Qy zugeordnet; bildet man
dann mit den y-Schichten
Ay^^y{A,.A,,,..)
aus einer Mengenfolge A^^X die Menge C, so wird
C=Q{A„A,,...)
eine Funktion (keine (5s-Funktion) der Mengen J.^, und werden
die Af^ wieder auf alle moglichen Weisen einem Mengensystem 21
entnommen, wahrend das System der 0) darstellt.
y
474

102 F. Hausdorff:
Diese Projektivitat hat folgende Eigenschaften (1. c. theorems
X, XI, VI):
I. 7^^ a zu % projektiv, so ist filr eine helieUge ds-FunUion W
auch W^ zu "^ projektiv.
Denn da die Bildung der t/-Schicht distributiv zu Summen- und
Durchschnittsbildung ist, so gilt fur die y-Schichten Ay^ A^^y von C
und C^ mit C= 2^(C,, Cg,..) zugleich
ist also
80 kann man
Ay=W{A,y, ^2^,...);
A,ny '= ^y\Am\y ^ mil " ') (Amn ^ •^)f
^my = ^my (^11? ^1 J> ^21? • • •)
als (55-Funktion der Doppelfolge A^,, anseheu und Ay ist als ^5-
Funktion von di9-Funktionen wieder eine (3s-Funktion
Ay = @y (^iij ^125 ^21) • • •)
der Afnn' Bei Betrachtungen dieser Art ist tibrigens der Begriff der
positiv analytischen Funktion (1. c. p. 225) sehr zweckmassig, der
die Funktionen 0 von ihrer Darstellung als ds-Funktionen unabhangig
durch eine innere, „deskriptive^ Eigenschaft erklart.
II. Isi a zu % projektiv^ so ist 6 zu 91 ds-projektiv.
Denn analog zu n(l=0il ist nach I auch nW(l= @% wo
Y
@ = S &y eine von 2^ abhangige (5.9-Funktion ist.
y
III. Ist a zu % projektiv. so ist das St/stem 6^* der Komplemente
{in Z) der Mengen von (£ zum System 91* der Komplemente
{in X) der Mengen von % projektiv.
p p
Denn zu jeder ds-Funktion 0 = S JJ gibt es eine komplep
n
P P
mentare 0* = D S, die zunachst als arf-Funktion erscheint, aber
p n
(als positiv analytisch) auch als ds-Funktion dargestellt werden kann;
die Behauptung folgt dann aus
0* = S{A*, y), Af = 0*(Af, At,...),
475

ProjeMivitdt der Zs-Funhtionen 103
wo C* = Z—C, Af = X—Ay, Af = X — A„ und 0f komplementar
zu Wj, ist.
Die Herren Kantorovitch und Livenson haben nun (fundamental
theorem; p. 264) auf Grund ihres ProjektivitatsbegrifFs
bewiesen, dass unter gewissen Annahmen tlber den Raum Y (Fmetriscb,
kompakt, unabzahlbar) das System der in Z abgeschlossenen
Mengen (Js-projektiv zum System der in X abgeschlossenen Mengen
ist, und damit friihere Ergebnisse von ihnen selbst, Herrn Sierpiiski
und Frl. Braun (vgl. die Litteraturangaben p. 218) verallgemeinert.
Der Zweck dieser kleinen Mitteilung ist, auf ganz
einfachem Wege den allgemeinsten hier gtiltigen Satz zu beweisen:
IV. Ist X ein beliebiger^ Y ein separabler topologischer Raurtiy so
ist das St/stem (£ der in Z = (Z, Y) offenen Mengen projektiv
zum System 91 der in X offenen Me7tgen.
Nach III ist dann auch das System ®* der in Z abgeschlossenen
Mengen zum System 91* der in X abgeschlossenen Mengen
projektiv.
Der Begrifif des topologischen Raumes X ist hier im weitesten
Sinn verstanden: es sind die in X offenen Mengen (und ihre Komplemente,
die abgeschlossenen) gegeben, die Summe beliebig vieler
und der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen, X selbst
und die leere Menge ist offen. Irgend welche Trennungsaxiome sind
unnotig, es brauchen nicht einmal die einpunktigen Mengen abgeschlossen
zu sein. Sind U, V die in X, Y offenen Mengen, so sind
die Produkte ([/, V) und ihre Summen die in (X, Y) offenen Mengen.
Nun sei Y separabel, d. h. es gibt endlich oder abzahlbar viele
in Y offene Mengen Fj, Fj,..., die mit ihren Summen alle in Y
offenen Mengen V liefern. Jeder Punkt y € Y bestimmt die Menge
{ni,/^2v} derjenigen n, fiir die y e V^] wir ordnen ihm die adoder
^s-Funktion
A, = A,^^A,^-{-.,,= WMuA,,,,.)
der Mengenfolge A^, ^j,... zu und bilden ftir A„^X mit den
Mengen Ay als y-Schichten die Menge
C = S{A„y) = i}{A„A„...).
y
Zu zeigen ist, dass C die in Z offenen Mengen durchlauft, wenn
die An die in X offenen Mengen durchlaufen.
476

104 F. Hausdorff.
OflPenbar ist (a;, y)eC gleichbedeutend mit x e Ay and dies damit,
dasB es eio n mit x e A„^ y eV„ gibt, d. h. es ist einfaeh
n
woraus unmittelbar folgt, dass bei offenen A^ auch C ofien ist.
Um zu zeigen, dass jedes in Z oflfene Q ein C ist, verstehen?
wir unter A^ die grosste in X oflfene Menge mit {A^j V„) ^ G (die
Summe aller in X oflfenen Mengen U mit {U, V„) ^ G). Die hiermit
gebildete Menge C ist also ^ G; andererseits hat aber jeder
Punkt {x^ y)€ G eine Umgebung (Z7, F„) ^ G und dann ist TJ'^ A^^
also
{x,y)e[A,, Vn)^C und G^C.
Der hiermit beendete Beweis von IV ist eine vereinfachte und
von alien tiberflitissigen Einschr^nkungen befreite Form des Beweises^
den die Herren Kantorovitch und Livenson ftir ihr Theorem
XII B (p. 255) gegeben haben.
477

Commentary on [H 1933a]
V. Kanovei; P. Koepke
This note was written after the memoir [KL 1932], which dealt with different
aspects of 6s-operations. In particular KANTOROVITCH and LiVENSON consider
a modification of the 6s-operation on planar sets that applies differently to
different cross-sections of planar sets.
More precisely, consider subsets of a product space of the form Z = X x Y.
Suppose that (y? is a map that associates a 6s-operation ^y over the index
set INI with any y ^ Y. Let Xn C X for any n. Define Ocp({Xn}nGN) to
be the set C C X x Y such that, for any y E Y, the cross-section Cy —
{x : (x,2/) G C} coincides with $^({Xn}nGN)- This can be called: a crosssection-wise
6s-operation.
Suppose further that 21 is a system of subsets X, while C^ is a system
of subsets oi Z = X xY. KANTOROVITCH and LIVENSON define ([KL 1932],
p. 250) € to be projective rel. 21 if there is an assignment if as above such that
C is equal to the collection (1(^(21) of all sets of the form C = ^^p{{Xn}ne^)',
where {X^lnGN is an arbitrary sequence of sets in 21.
HAUSDORFF proposes the following modification of this concept, perhaps
distilled from the "Fundamental Theorem On Projections" in [KL 1932], p. 264.
Say that a system € as above is 8s-projective rel. 21 if and only if for any 6soperation
^ there exists a 6s-operation ^ such that the class ^21 of all subsets
of X obtained by the action of $ on sets in 21 is equal to the class TT'^C of
all X-projections of those subsets of X x Y obtained by the action of ^ on
sets in €.
HAUSDORFF'S theorems I, H and ni are present in [KL 1932]. In particular,
theorem H which states that if € is projective rel. 2t then (t is 6s-projective rel.
21, is the content of the "Fundamental Theorem" on p. 264. However HAUS­
DORFF'S exposition is simpler and more focused, and he also removes certain
restrictions in [KL 1932]. For instance, the condition that y is a compact space,
as in the cited "Fundamental Theorem", is removed. HAUSDORFF'S demonstration
does not use any topological properties of Y at all.
The final Theorem IV in HAUSDORFF'S note asserts that if X is arbitrary
and Y separable (more exactly, 2nd countable) then the system of all open
subsets of X X y is projective rel. the collection of all open subsets of X.
(By Theorem III, we can replace both occurrences of "open" by "closed".) The
proof is remarkably simple: if {l^^jneN is a base for the topology of y, then
let Py = {n:yeVn} and $^(^1,^2,.-.) =[JnePy^ri-
References
[KL 1932] KANTOROVITCH, L.; LIVENSON, E.: Memoir on the analytical
operations and projective sets, I. Fundamenta Math. 18 (1932), 214-279.
478

Problem 58.
Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 286.
[H 1933b]

286 Prdblemes.
58) Gibt es in einer Menge E von der Mfichtigkeit Xi ein
abzahlbares System von Teilmengen A^^ A^,... derart, dass man in
der Gestalt
X = lim A„
{Pi')P2j'' Teilfolge der natiirlichen Zahlen, lim bedeutet das Borelsche
ensemble limite complet) alle Teilmengen X von JS erhalt?
(Es handelt sich, die Verneinung ohne Benutzung der Kontinuumhypothese
zu beweisen).
Probleme de M. F. Hausdorff.
481

Commentary on [H 1933b]
V. Kanovei; P. Koepke
HAUSDORFF asks whether there exists a countable family ^ of sets An ^ E,
where ^ is a set of cardinality Hi, such that every set X C J^ can be presented
in the form X = lim^c^oo ^n for a sequence of sets An G ^.
This problem makes sense only if 2^^ — 2^° ; otherwise a simple cardinality
argument leads to a negative answer. The authors were pleased to receive,
with the kind help of H. MILDENBERGER, the following remarks of S. SHELAH
regarding this problem. That a positive answer is consistent follows from 4.2 +
4.1 on p. 278 of [She 1980]; a positive answer also can be deduced from MA.
That a negative answer is consistent can be demonstrated by a model obtained
by adding b^2 Cohen generic reals (with finite support).
It follows that the problem is independent of ZFC and, of course, could
not be solved using the classical tools of set theory in the 1930s. On the other
hand, SiERPiNSKi ([Si 1938]) proved that for any set E with cardJ^^ = ^i, the
existence of a family $ as queried in the problem is equivalent to the existence
of a countable family $ with the same effect through the operation lim, as
well as to the existence of a countable family $ with the same effect through
the operation cfS, and finally to the existence of an uncountable set X C [R
such that any Y C X is F(j relative to X.
References
[Si 1938] SiERPlNSKi, W.: Sur un probleme de M. Hausdorff. Fundamenta
Math. 30 (1938), 1-7.
[She 1980] SHELAH, S.: Whitehead groups may not be free, even assuming
CH, 11. Israel Journal of Mathematics 35 (1980), 257-285.
482

tjber innere Abbildungen.
Fundamenta Mathematicae 23 (1934), 279-291.
[H 1934]

Uber innere Abbildungen
Von
F. H a u s d o r f f (Bonn).
1. Zweck dieser Mitteilung ist zunachst der Beweis des Satzes:
L Ist y==q){x) eine innere Ahhildung des Baumes A auf den Raum
B = (p{A\ d. h, eine stetige Ahhildung^ bei derjede in A offene Menge
U ein in B offenes Bild V=q){U) hat, so ist zugleich mit A auch
B topologisch vollstdndig.
Als topologisch voUstandig wird ein Raum bezeichnet, der mit
einem metrisch vollstandigen Raum (in dem jede Fundamentalfolge
konvergiert) homoeomorph ist. Herr Sierpiiski^) hat den
Satz ftir Mengen in Euklidischen Raumen bewiesen; bei einer Gelegenheit^)
habe ich ihn in obigem Umfang ausgesprochen und
mochte, einem Wunsch des Herrn Kuratowski entsprechend, nun
den Beweis geben. Als Basis ftir den Raum A bezeichnet man
ein System F offener Mengen =}= 0 dieses Raumes derart, dass jede
offene Menge =|= 0 Summe gewisser UBF ist Bedeutet TJx (Umgebung
von x) eine den Punkt x euthaltende oflfene Menge, so soil
also jede Umgebung jedes Punktes XBA eine Umgebung UxtF
enthalten, x soil „beliebig kleine" Umgebungen TJ^^r haben; im
metrischen Raum kann man darunter Umgebungen mit beliebig
kleinen Durchmessern verstehen.
Ein System von (beliebigen) Mengen ?7=j= 0 des Raumes A heisst
geschlossen, wenn fur jede Folge von Mengen U^ 3 ^^2^ ^sD"des
Systems der Durchschnitt ihrer abgeschlossenen Httllen nicht
leer ist: U^ U^ U^ ...=j=0.
1) Fund. Math. XVI (1930). p. 173-180.
«) Journ. f. Math. 167 (1932), S. 301.
485

280 P. Hausdorff:
II. Zur topologischen Vollstdndigkeit des Raumes A ist die Existem
einer geschlossenen Basis F noiwendig und hinreichend.
Diesen Satz hat Herr N. Wedeniasoff^) bewiesen und
damit ein frtiheres Ergebniss des Herrn P. Alexandroff^) verscharft
und vereinfacht.
Dem Beweis unseres Satzes I. schicken wir Folgendes voraas:
Hilfsatz. Es sei r eine Basis ftir den Raum A, ferner y = g){x)
eine stetige Abbildung von A auf B = q){A\ sodann U eine in A
oiBfene Menge und F=^(?7) ihr Bild, endlich G eine beliebige
Menge in J5, in der V nicht enthalten ist (F— 6^=1=0). Dann ist
eine Darstellung
(?4.F=^+Fo+F, + ... + F, + ...
moglich (wo der Index Z einen Abschnitt von Ordnungszahlen
durchlauft), derart dass
(a) die Fn=y(J7^) die Bilder offener Mengen C/^cP; C/^C^^i^^r
(j3) V^ niemals in der Summe G^= G -}- 2 Vt enthalten ist:
F,-G,=1=0.
Der Beweis ist sehr einfach. Ftir ein I seien bereits die F^ mit
^i = 0 heisst das: es ist GQ = G
bestimmt). Jedenfalls ist G^;^ C ^ + ^- 1st noch (r;^ =f= ^ H" ^? ^^^^
V—G;^=j=0, so sei ysV—ff;^, x ein Urbildpunkt eU von y = (p{x)
^°d ^^ C ^ ®^^® ^^^ Basis r angehorige Umgebung von x, Dann
ist F;^ = g)(C/"^) nicht (Z^jiy da V^ den Punkt y enthalt. Ist hingegen
(?;^ = (r -|- F, so wird F^^ nicht mehr definiert; aus Machtigkeitsgrtinden
muss dies ftir einen kleinsten Index ^ > 0 eintreten,
und dann ist G -{• V= G^= G •-{- 2 Vj^^ die gewtinschte Dar-
stellung.
Beim Beweise von I konnen wir A als metrisch vollstandig annehmen.
Fur jedes ^ = 1,2,3, ... ist das System P^ der in A
oiBFenen Mengen ?7=(=0, die ebenso wie ihre Bilder V=

als Indizes
ihre Bilder seien
und wir setzen
Uber innere Abbildungen 281
^a? ^a^f ^a^yi
|

282 F. Hausdorff:
die Summe tlber alle Indizesfolgeu erstreckt. Denn aus (1) ergibt sich
der Reihe nach, dass jeder Punkt yeB einem gewissen F„ und,
wenn man hier das kleinste a wtthlt, einer einzigen Menge V^— B^
angehort, sodanu t/e F^,^ und, bei kleinstem ^^ ye V^^— B^^, danach
y^ ^a^y ^' s. w. Ubrigens konnen in (5) auch leere Summanden
auftreten.
Die Grleichung (5) besagt, dass im Fall einer inneren Abbildung
die offenen Mengeu F„, F^^, F^^y,... eine Basis ftir den Raum
B bilden. Denn jeder Punkt yeBh&t Umgebuugen F^, F^^, '^a^y)"^
die nach (3) beliebig klein werden.
Sodann wird aus (4) die Geschlossenheit dieser Basis und damit
nach II. die topologische Vollstandigkeit von B folgen. AUgemein ist
Die Summe rechterhand enthalt alle Vaiaa.^.a » ^^ P ^ 9. ^^^
lexikogrophisch (nach ersten Differenzen geordnet)
Denn wenn
(«!, a27 • • • »«J = (i^i, •. •, /^«-i, «„,..., a^), a„ < /?„
ftir ein n = 1, 2,... ,/)^ so ist nach (2)
Demnach ist fUr p^q, («!,..,a^)'a....a, Mgt (^i,•••,/?.) ^ («.,••-, «.)•
Nun sei
eine Folge unserer Mengen F, wo F^ eine Menge mit p Indizes
bezeichnet; es ist zu zeigen, dass ihre abgeschlossenen Htillen einen
Durchschnitt =}= 0 haben, wobei offenbar die Mengeu der Folge als
paarweise verschieden (F^« =}= V^n+ij angenommen werden dtirfen.
Zunachst konnen nicht unendlich viele Pn = p sein. Denn dann
hatte man eine Folge
488

und nach (6)
Uber innere Abhildungen 283
(«!,..., a^)>(/3i,...,^^)>(yi,...,y^)>...,
was bei der lexikographischen Wohlordnung unmoglich ist. Demnach
muss j?„ —> oo streben und wir konnen mit Beschrankung auf eine
Teilfolge
(7) ^a...a,D ^,...,,D T^,...y.D... ip

284 F. Hausdorff:
III. gefunden, dessen Mitteilung vielleicht einen jtingeren Mathematiker
zu weiterer Verfolgung des Problems anregt.
Von der Annahme, dass X separabel sei, wird zunachst kein
Gebrauch gemacht.
Wir konnen annehmen, dass X = ^ die abgeschlossene Hiille
von A sei, also ^ in X dicht und B = q){A) in Y=^(p{X) dicht.
Wenn dann
ist, so ist
(p[A U) = BV {U in X, V in Y oflfen)
also der Durchmesser von Fgleich dem Durchmesser von (p{U). Denn
auf Grrund der Stetigkeit ist q){AU)CBV, andererseits BV(2(p{U\
und weil AU in U, BV in V dicht, also AU= U, BV= V ist:
cp{U)Cv{U)^(p{AU)CBVC

Uber innere Ahhildungen 285
9?(Z7|j...|J Durchmesser

286 F. Hausdorff:
ihr Urbild sei
Sodann sei
(12) P, =^ % '2 ^«'^' '2 ^I'^'l'- • • •'
|l Ills Willis
aus (9) folgt P2 D A. Endlicli sei
Wir behaupten
P:=^PrP,. Q = (p{P).
(13) «^(^

Uber innere Abbildungen 287
Die Menge Pj ist ein G^ in X. Die Menge R besteht aus Summanden
der Form V—W= Differenz oflfener MeDgen = F^.
Wenn nun X separabel ist und die Basis F also abzfthlbar gewahlt
werden kann, so ist R als Summe abzahibar vieler F^ wieder ein
F^^ und wenn wir

288 F. Hausdorff:
IV. Jeder metrisehe Baum B ist vermoge einer inner en Ahhildung
y z=z(p{x) Bild eines Baireschen Eaumes A, Diese Ahhildung Idsst sich
zu einer inneren Ahhildung eines topologisch vollstdndigen Baireschen
Baumes PZ^ A erweitern.
Als d-Netz in B (d > 0) bezeichnen wir eine maximale Teilmenge
von JB, deren Punkte paarweise Entfernungen ^ d haben;
die Existenz einer solchen ist durch Woblorduung zu beweisen. Zu
jedem Punkte yeB giebt es mindestens einen Netzpunkt h mit
hy 0, B^ ein (5„-Netz in B\ wir bilden den voUstandigen
Baireschen Raum (14) aller Netzpunktfolgen (15). Jede
^Koordinate" h^ von x ist stetige Funktion von x^ denn flir § =
= (^1,j^,,...) und a?^

Uber innere Abhildungen 289
y=z(p[x) in PQ eine innere ist. Sei x = {hi,h^^..) eP^^ ferner ^,,
die offene Kugel mit dem Zentrum x und Radius —, d, h. dieMenge
aller mit bi,...,bn beginnenden Netzpunktfolgen ^ = (61 ,...,&«,
/?„^i,...)£X, endlich F„ die in Y offene Menge der Punkte rj mit
(17) «>.^

290 F. Hausdorff:
Auch Q = q)(P) ist topologisch vollstaDdig (vgl. den Satz I),
wie man sehr einfach einsieht: Q ist die Menge aller y € Y^ zu
denen es ein ic = (6j, 62»-«)eX mit (16) giebt; die Menge i?„ aller i/,
zu denen es ein b^eB^ mit h„y

Uher innere Abhildungen 291
A = tp(B)), In Ar^ ist die znvor betrachtete stetige Abbildung y = (p(x)
scblicht. Das Bild einer offenen Kugel mit Zentrum x und Radius
— besteht aus alien ?? mit
71
es ist immer noch DifFerenz oflfener Mengen. Ist nun B separabel,
so ist jedes Netz B^ hochstens abzahlbar, der ganze Bairesche Raum
X= (^1, ^2 v) separabel, AQ separabel; das Bild einer in AQ oflfenen
Menge lasst sich aus abzahlbar vielen Differenzen offener Mengen
zusammensetzen und ist ein i\.
497

Commentary on [H 1934]
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
The paper consists of three parts having a common theme, namely the relationship
between open mappings and properties related to completeness.
The first part concerns preserving completeness by open mappings. As is
mentioned in the paper, SlERPINSKi proved a special case of Theorem I in [Sie
1930]. The precise statement of SIERPINSKI'S result is as follows:
Si E est un ensemble Gs (d'un espace a m dimensions) et si f{x) est une fonction
definie et continue sur E qui transforme tout ensemble ouvert relativement
a E en un ensemble ouvert relativement a f{E), f{E) est aussi un ensemble
Gs. ([Sie 1930], p. 173).
That is why HAUSDORFF speaks about SlERPlNSKl's result for subsets of
Euclidean spaces (ENGELKING in his book [Eng 1989] says that SIERPINSKI
proved his result for separable metric spaces).
HAUSDORFF proved the result for general metric spaces in his notes from
29.1.1931 (Kapsel 35, Fasz.407). Why the result was published only in 1934
is explained in the second paragraph of [H 1934]. These notes also contain an
example (not included in the final publication) which explains that the result is
not valid for multi-valued mappings: X is the set of reals, Y the set of rationals
and / assigns to a: in X all the i/'s in Y such that |a: — i/| < 1; then f{G) is
open in Y for every open G in X, and f~^{H) is open in X for every open H
inF.
HAUSDORFF's procedure is based on a characterization of topological completeness
by means of the so-called "closed basis". That characterization was
proved independently by VEDENISOV and HAUSDORFF (see Commentary to [H
1924]).
HAUSDORFF's proof is elegant and elementary and is used even today, if one
cannot go outside metric spaces. Otherwise, procedures used by MICHAEL for
paracompact spaces are used. MICHAEL generalized Theorem I in [Mic 1959]
as follows:
A paracompact continuous and open image of a completely metrizable space is
completely metrizable. In fact, instead of completeness of the domain one can
assume completeness of fibers f~^{x).
The second part concerns the following result of MAZURKIEWICZ on extensions
of open mappings (a solution of ARONSZAJN'S problem from [Aro 1931])
published in [Maz 1932]:
Soient R, T deux espaces complets, separables, A d R, f une transformation
interieure de A, f{A) — B

HAUSDORFF tried to generalize that result to nonseparable spaces in his
notes (Kapsel 38, Fasz. 520) from 28.6.1934. He found a largest set A* D A
such that / is open on A* and tried to find a convenient G^^-set A in between
A and A*. Several days later (Kapsel 38, Fasz. 524, 3. 7.1934) he described his
construction of A in more detail without using A* and excerpted what is really
needed to get a G^-set. The conditions obtained are fulfilled for separable X
(the notes contain more details than the corresponding part of the publication
[H 1934]).
HAUSDORFF'S effort to remove separability from MAZURKIEWICZ'S result was
useless as was shown by R. POL almost 50 years later in [Pol 1981]. POL used an
example from KuRATOWSKi's book [Kur 1933, §30, X, Remark] to show that
MAZURKIEWICZ'S result does not hold for nonseparable spaces X (he remarks
on p. 73 that the result holds for nonseparable spaces X if one adds some
conditions on /, e.g., that the fibers f~^(x) are separable; if one assumes that
the fibers are completely metrizable then even the completeness of X need not
be assumed).
Nevertheless, HAUSDORFF gave a new and simpler proof of MAZURKIEWICZ'S
result that is used up to the present day. It may be interesting to point out the
following comment of HAUSDORFF accompanying the proof:
Bei den (vergeblichen) Versuchen, die Voraussetzung der Separabilitat
zu entfernen, habe ich einen ziemlich einfachen Beweis von III gefunden,
dessen Mitteilung vielleicht einen jiingeren Mathematiker zu weiterer Verfolgung
des Problems anregt.
Von der Annahme, dass X separabel sei, wird zunachst kein Gebrauch
gemacht. ([H 1934], p. 283-284).
Since completely metrizable spaces generalize to spaces complete in the sense
of CECH (i. e., to Tychonoff spaces that are G^-sets in their compactifications),
there appeared a question as to whether one can change metric spaces to Tychonoff
spaces and complete metrizability to Cech completeness. The question
was imphcitly answered by ARHANGEL'SKII in [Arh 1961] and FROLIK in [Pro
1961] who constructed examples of locally Cech complete Tychonoff spaces that
are not Cech complete. Since it is easy to see that every locally Cech complete
Tychonoff space is an open image of a Cech complete space, the examples show
that an open continuous image of a Cech complete space need not be Cech
complete.
Perhaps motivated by a result from KuRATOWSKi's book [Kur 1933] (§ 33 III
in the 1966 edition, footnote on p. 288 in [H 1934]) HAUSDORFF investigated
open images of subsets of Baire spaces in the third and final part. KURATOW-
SKI was interested in images of irrationals (i. e., of the separable Baire spaces)
and, thus, in separable metrizable spaces only; for his constructions, he used
special open bases. HAUSDORFF again generalized the procedure to nonseparable
spaces. Although HAUSDORFF'S approach was basically similar to that
of KuRATOWSKi, he used maximal r-nets instead, which might be simpler for
499

some readers. He showed that his approach also gives the original result of
KURATOWSKI.
We add that MORITA proved in [Mor 1955] that every metrizable space is a
perfect image of a subset of a Baire space^ and A. H. STONE in [Sto 1962] added
to HAUSDORFF'S result that a Baire space of weight «; > cj is characterized as a
completely metrizable, strongly zero-dimensional space having the property that
every nonvoid set has weight hc.
The last part was devoted to open images of subspaces of Baire spaces and
was prepared in the notes dated 12.6.1934 (Kapsel 38, Fasz. 517) and 16.6.1934
(Kapsel 38, Fasz. 518). The latter one is a simplified version of the main proof
from the first one, as it appears in [H 1934]. The notes do not contain more
than his published results.
What HAUSDORFF calls metric with "verscharfte Dreiecksaxiom" is now
usually called an ultrametric or non-archimedean metric. The fact that a metrizable
space can be metrized by such a metric if and only if it is strongly
zero-dimensional (IndX = 0) seems to be attributed to HAUSDORFF [H 1934]
and DE GROOT [Gro 1956] in [Eng 1989] (also in [Eng 1995]). Such a result
is not explicitly stated in [H 1934]; he explicitly mentions zero-dimensionality
of subspaces of Baire spaces but he has in mind indX = 0. It is true that
one can understand the equivalence to be implicitly hidden in [H 1934] (using
current knowledge). One implication follows from the remark (p. 290) that
every ultrametric space is homeomorphic to a subspace of a Baire space. To
use that remark, one must know that subspaces of Baire spaces are strongly
zero-dimensional, a proof of which is not difficult. In fact, HAUSDORFF proved
that in his notes (Kapsel 33, Fasz. 273, 2.-28.6.1927) - see the corresponding
Commentary, this vol., p. 776-777. The other implication follows from the fact
that if Ind X = 0 then dim X = 0 (this implication is also not hard to show)
and the last equality implies that X can be re-metrized by an ultrametric, as
HAUSDORFF proved in Fasz. 273.
References
[Arh 1961] ARHANGEL'SKII, A. V.: On topological spaces which are complete
in the sense of Cech (Russian). Vestnik Mosk. Univ., Ser I: Mat. Meh.
no. 2, (1961), 37-40.
[Aro 1931] ARONSZAJN, N.: Uber ein Urbildproblem. Fundamenta Math. 17
(1931), 92-121.
[Eng 1989] ENGELKING, R. : General Topology. Heldermann Verlag, Berlin
1989.
[Eng 1995] ENGELKING, R. : Theory of Dimensions. Finite and Infinite.
Heldermann Verlag, Berlin 1995.
[Fro 1961] FROLIK, Z.: Locally topologically complete spaces (Russian). Dokl.
Akad. Nauk SSSR 137, No. 4 (1961), 790-792.
500

[Gro 1956] DE GROOT, J.: Non-archimedean metrics in topology. Proc.
Amer. Math. Soc. 7 (1956), 948-953.
[Kur 1933] KuRATOWSKi, K. Topologie 7, Warszawa, 1933, (Warszawa, 1966).
[Maz 1932] MAZURKIEWICZ, S.: Surles transformations interieures. Fundamenta
Math. 19 (1932), 198-204.
[Mic 1959] MICHAEL, E.: A theorem on semi-continuous set-valued functions.
Duke Math. J. 26 (1959), 647-651.
[Mor 1955] MORITA, K.: A condition for the metrizability of topological
spaces and for n-dimensionality. Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sect.
A 5 (1955), 33-36.
[Pol 1981] POL, R.: On category raising and dimension-raising open mappings
with discrete fibers. Coll. Math. 44 (1981), 65-76.
[Sie 1930] SiERPiNSKl, W.: Sur une propriete des ensembles Gs- Fundamenta
Math. 16 (1930), 173-180.
[Sto 1962] STONE, A.H.: Absolute F^-spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 13
(1962), 495-499.
501

Gestufte Raume.
Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 486-502.
[H 1935b]

Gestufte Raume.
Von
F. Hausdorff (Bonn).
Wenn jeder Teilmenge A einer Menge JS eine Menge Aj^ zugeordnet
wird, die den Kuratowskischen Axiomen tiber die abgeschlossene
HtiUe mit Ausnahme von A;i;^ = ^;^ gentigt, so woUen wir E
einen gestuften Baum nennen. Insbesondere erzeugt jeder Fr^chetsche
L-Raum einen gestuften Raum^ und andererseits jeder gestufte
Raum einen topologischen Raum, so dass die gestuften Raume als
Bindeglied zwisehen L-Raumen und topologischen Raumen einer
kurzen Untersuchung nicht unwert sind, die vielieicht einige bekannte
Tatsachen der Raum-Axiomatik ^) in hellerem Lichte erscheinen
lasst.
§ 1. Topologische Raume.
Dieser Ausdruck wird bier im folgenden Sinn verstanden: in E
ist ein System ^ von Mengen F(2,E^ den abgeschlossenen Mengen,
mit den Eigenschaften gegeben ^)\
(1) Der Raum E selhst und die Nullmenge 0 sind ahgeschlossen.
(2) Die Summe von zwei (also von endlich vielen) abgeschlossenen
Mengen ist ahgeschlossen.
(3) Der Durchschnitt von heliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist
abgeschlossen.
(4) Eifipunktige (also endliche) Mengen sind abgeschlossen.
1) Vgl. M. Fr^chet, Les espaces ahstraits (Paris
2) Wieviel man schon mit (1) und (3) allein beweisen kann, zeigt W. Sier-
p in ski, General topology (Toronto 1934), Chapt. 1.
505

Gestufte Rdume 487
Die Komplemente der abgeschlossenen Mengen heissen offene
Meiigen; eine oflfene Menge, die den Punkt x oder die Menge A
eathalt, heisst Umgebung von x oder A, (4) moge auch das ersie
Trennungsaxiom heissen; es besagt, dass, fiir ^4=2/, x eine zu y
disjankte Umgebung hat. Das zweite Trennungsaxiom, wonach zwei
verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen haben, wird nicht vorausgesetzt.
Die Axiome (1)—(4) ermoglichen die Einftihrung der kleinsten
abgeschlossenen Menge 3^5 d. h. der abgeschlossenen Htille A^
von A mit den Eigenschaften
(5) 0„=0, ACA^C^, (4 + B)„ = ^„+B„, 4„„ = 4„, ^a=^,
die man auch mit Herrn K u r a t o w s k i ^) als Axiome an die
Spitze stellen kann.
Eine und dieselbe Menge kann durch verschiedene Systeme
3*; ^i abgeschlossener Mengen zu verschiedenen topologischen Kaumen
E^ E^ gemacht werden. Wir nennen E^ einen (topologischen)
Oberraum zu E, E einen Unterraum zu JSj, wenn ^iCS* -^1'® i^^
Oberraum abgeschlossenen Mengen sind also auch im Unterraum
abgeschlossen^ aber (falls ^^ =|= 5) nicht umgekehrt; der Oberraum
hat weniger abgeschlossene Mengen und demgemass grossere abgeschlossene
Hiillen:
AAE,)-DA,{E).
Der unterste aller moglichen Raume ist der, wo alle Mengen
abgeschlossen sind (also alle Mengen offen, alle Punkte isoliert,
E ein „diskreter" Eaum), der oberste der, in dem nur die (von den
Axiomen geforderten) endlichen Mengen und E selbst abgeschlossen
sind. Ist eine Menge von topologischen, als Punktmengen samtlich
identischen, Raumen Ef (wo der Index t irgend eine Menge T durchlauft)
mit den Systemen ^^ abgeschlossener Mengen und den abgeschlossenen
Htillen A^{Ef) gegeben, so hat dieses Raumsystem
gemeinsame Ober- und Unterraume. Unter den Oberraumen E,
ftir die ja 8*CS^ s®i^ muss, gibt es einen untersten, fiir den das
System der abgeschlossenen Mengen
d=JJ^f
1) C. Kuratowski, Sur Voperation A de VAnalysis Situs^ Fund. Math. '6
(1922), p. 182-199.
506

488 F. Hausdorff:
das Produkt (der Durchschnitt) der saratlichen ^f ist, das oflfenbar
die Axiome (1)—(4) erftillt. Ftir die abgeschlosseDen Htillen in
diesem untersten Oberraum gilt
die genaue Formel wird in (10) gegeben. Ebenso gibt es unter den
Unterraumen E mit ^3??/ einen obersten; fiir ihn ist
t t
t
und zwar ^ das kleinste System tiber 2%^^ das die Axiome (2), (3)
— /
erftillt.
Es sei y = q){x) eine eindeutige Abbildung des topologischen
Raumes E (mit den abgeschlossenen Httllen A^ auf den topologischen
Raum H (mit den abgeschlossenen Htillen B^\ ^{^ s^i ^^^ ^^Id
von A(2E, (p~^{B) das Urbild von B (2 H. Die Abbildung ist im
Punkt X stetig, wenn ftir jede Menge A mit xeA^ zugleich q){x)€q)(A)^
ist; sie ist tiberall stetig, wenn
oder auch
q>{AJC9iA)^ (AC^)
ist. Damit gleichbedeutend ist: die Urbilder der in fi^ abgeschlossenen
(offenen) Mengen sind in E abgeschlossen (offen). Die identische
Abbildung von E auf den, als Punktmenge mit E identischen,
Raum H ist stetig, wenn jede in H abgeschlossene Menge auch in
E abgeschlossen, d. h. H Oberraum zu E ist. Die schlichten
(= eineindeutigen) stetigen Bilder von E sind also mit den Oberraumen
von E topologisch Equivalent (homoomorph).
H
Es sei E = 2Ey eine Zerlegung der Menge E in disjunkte
y
Summanden =|= 0, wobei der Index y zunachst eine reine Menge H
durchlauft Indem wir y ==^(a?) statt x e Ey schreiben, also jedem
Punkt X den Index der ihn enthaltenden Menge Ey zuordnen, erhalten
wir eine eindeutige Abbildung von E auf IT, bei der
(p~^(y) = Ey das Urbild von y ist. Wenn nun E topologisch ist,
so suche man auch H so zu topologisieren, dass die Abbildung
507

Gestufte Bdume 489
y==:(p{x) stetig wird; ist dies moglich, so heisst E=2Ey eine
stetige Zerlegung, Die Aufgabe verlangt, nur solche Mengen B(2H
als abgeschlossen zu erklaren, deren Urbilder (p~^{B) abgeschlossen
sind; es stebt aber frei, alle diese Mengen oder nur einen Teil von
ihnen als abgeschlossen zu erklaren. Andererseits sind die Punkte y
durch Axiom (4) als abgeschlossen vorgeschrieben, und ihre Urbilder,
die Summanden Ey der Zerlegung, mtissen also abgeschlossen sein.
Dies ist aber auch die einzige ^) notwendige und hinreichende Bedingung
ftir eine stetige Zerlegung. Bezeichnen wir dann mit SB das
System der B^ deren Urbilder
y->(5)=^" E.
y
abgeschlossen sind, so gibt jedes System 3(^)C®5 ^^^ ^^^ ^®"
dingungen (1)—(4) gentigt, einen zulassigen topologischen Raum H,
Da das System SB selbst diesen Bedingungen genligt, so ist der
Raum H mit g(jff) = S5 der unterste aller dieser Raume, die ihrerseits
die Oberraume (schlichte stetige Bilder) dieses Minimalraums
sind. Die abgeschlossenen HUllen des Minimalraums werden in (12)
angegeben.
§ 2. Crestufte Raume.
Wir denken uns jeder Menge A(^E eine Menge Aj^ zugeordnet,
die die Eigenschaften (5) von A^ hat bis auf ^^-^==^1;^, also
(6) 0^ = 0, ACA.CE, (A + 5), = 4, + 5„ x^^x.
Wir nennen E einen gestuften Raum^ Aj^ seine Stufenfunhtion.
Das System der Mengen mit Aj^^=zA erftiUt die Fordernngen
(1)—(4). Es gentigt (3) zu beweisen; aus der dritten Gleichung (6)
folgt, dass A;^^ monotone Funktion von A ist (mit A(^B ist A^(2B^^
und wenn also A = IIAf, A^^^^ At ist, so ist
t
^xCjI^a=[l^t = ACA,, A,^A.
t t
Wenn wir also die Mengen mit A;^ = A als abgeschlossen erklaren,
so entsteht ein topologischer Raum. In bekannter Weise findet man,
*) tJber weitere in der Literatur auftretende BediDgungen vgi. § 4.
508

490 F. Hausdorff:
dass die abgeschlossene Hiille A^ die grosste Menge ist, die durch
endliche und transfinite Wiederholung der ^-Operation aus A entsteht,
also die grosste Menge in der Folge
(7) AQ^=A, Ai=A^, A2 = A^;i^ ..., A^^...^ A^^,.,^
wobei
Wir schreiben kurz
4^-}-i—^^;t, -^n^^^ ^1 (''? Limeszahl).
(8) A,^ A-\-A;,-^A;,^ •{-.., (in transf.).
Der Aufstieg liber die „Stufen" (7) fiihrt also schliesslich zur hochsten
Stufe, zur abgeschlossenen Hiille. Man bemerkt sofort, dass
verschiedene gestufte Raume denselben topologischen Raum ergeberi
konnen, z. B. die Raume mit den Stufenfunktionen A;^^ oder A^
(§>0). Ein topologiscber Raum ist selbst ein gestufter Raum, in
dem die Stufenbildung A^ sofort abbricht {A^^^==A^,
Eine und dieselbe Menge kann durch verschiedene Stufenfunktionen
A^^iE), A;^^{E^) zu verschiedenen gestuften Raumen £", E-^
gemacht werden. Wir nennen E^ einen (gestuften) Oberraum zu E^
E einen Unterraum zu E-^, wenn
Hieraus folgt
AJ.E,)Z)A^[E),
El ist also auch im topologischen Sinne Oberraum zu E. Der unterste
aller gestuften Raume ist der diskrete Raum mit A;^ = A^
der oberste der, wo A;,^ = A ftir endliches, A;i = E fiir unendliches
A; diese beiden Extremalraume sind topologisch und dieselben
wie im topologischen Fall (§ 1).
Eine Menge gestufter, als Mengen identischer, Raume Ef mit
den Stufenfunktionen A;^(JB^) hat gestufte Oberraume E mit
hierunter einen untersten mit
A,{E):)^A,{E,),
(9) A,(E}=^AAE,l
t
509

Gestufte Rdume 491
weil dieser Ausdruck die Eigenschaften (6) hat. Die Menge A ist
in E dann und nur dann abgeschlossen {Aji{E)= A\ wenn sie in
jedem E^ abgeschlossen ist; E ist also auch als topologischer Raum
der unterste Oberraum der topologischen Raume E^. Die abgeschlossene
Hulle A^{E) ergibt sich aus dern A;^^=2A;^{E) durch (8), und
diese Formel vereinfacht sich im AUgemeinen auch dann nichtj
wenn die E^ als bereits topologisch angenommen werden, sodass
also die abgeschlossene Hulle A^ im untersten Oberraum durch
(10) A , = ^ A,(IS,), A, = A-\-A,-{-A,, + ... (in transf.)
t
gegeben wird. Entsprechend gibt es zum System der E^ gestufte
Unterraume E mit
ME)CJIA,{E,)
t
und unter diesen einen obersten; ob er das auch im topologischen
Sinne ist, bleibt fraglich.
Insbesondere haben die samtlichen gestuften Raume E^. die denselben
topologischen Raum E mit den abgeschlossenen Htillen A^
erzeugen, einen obersten Unterraum E^ von dem aber fraglich ist,
ob er noch E erzeugt, ob es also eine kleinste Stufenfunktion gibt,
die vermoge (8j zu gegebenen A^ ftihrt. Hierzu sei bemerkt: wenn
A^ = A -\- D mit endlichem D ist, so ist A^^^;^ == ^^ -|- Z>^ =
= {A-{-D)-\-D =A-\-D^A^^ und demgemass A^^A-\-D',
umgekehrt ist bei A^= A-\-D mit endlichem D auch A^^=^ A-{- D
ftir jede Stufenfunktion, die A^ erzeugt. Demnach enthalt A;^^ alle X^
mit X(2.A und endlichem X^—X (vgl. dazu die Anmerkung S. 496).
Sind E^H gestufte Raume mit den Stufenfunktionen A^^B^^
so ist nach Analogic mit dem topologischen Fall die Abbildung
y = (p(x) von E auf H im Punkt x stetig zu nennen, wenn flir jede
Menge ^ mit xeA;^ zugleich q)(x) e (p[A) und iiberall stetig, wenn
(a)

492 F. Hausdorff:
und dureh die Abbildung (p~\ wegen A^(2(p~^f{A;^),
(c) {A)=.B', aus B^=B folgt ^^Cg>-V(^;i) =
=z(p-'^[B^) = q)~^{B) = A, also A;i^= A), Die abgeschlossenen Hullen
in H werden gemass (8) durch
B^ = B + B^-\-B^^-j-... (iatransf.)
geliefert, und dies vereinfacht sich im Allgemeinen auch dann nicht,
wenn E bereits topologisch ist; die abgeschlossenen HUllen im
Minimalraum werden dann durch
(12) B^=(p{A„\ A==ip-\B), 5^=5+5^+^^^ + ... (in transf.)
gegeben.
511

Gestufte Rdume 493
§ 3. i-RSume.
Ein Fr^chetscher L-Raum entsteht aus der Menge E, wenn unter
den Punktfolgen (^i,^2i^8v) g©wisse als konvergent mit einem
Limes x ausgezeichnet werden. Das System ^ dieser Konvergenzen
soil folgende Eigenschaften haben:
(a) Eine konvergente Folge hat nur einen einzigen Limes.
(j3) Eine (konstante, d.h.) aus lauter gleichen Punkten x bestehende
Folge konvergiert nach x,
(y) Jede Teilfolge einer nach x konvergenten Folge ko7ivergierf nach x.
Der Punkt x heisse Limespunkt der Menge A^ wenn es eine
Folge XncA^ Xn->x gibt; A;^ sei die Menge der Limespunkte
von A, Dann erfUllt A^ die Forderungen (6) ftir Stufenfunktionen,
wie leicht zu sehen; jeder L-Raum induziert also einen gewissen
gestufteu Raum und einen zugehorigen topologischen Raum mit den
abgeschlossenen Hlillen (8).
Eine und dieselbe Menge kann durch verschiedene Konvergenzensysteme
S, S^ zu verschiedenen L-Raumen E^ E^ gemacht werden.
Wir nennen E Unterraum zu E^ oder E^ Oberraum zu J5, wenn
^(^Si- Dann ist auch A;^{E) (^ A;^^{E^\ E also auch als gestufter
(und als topologischer) Raum Unterraum von E^. Der unterste
L-Raum, mit den wenigsten Konvergenzen, ist der, wo nur die
durch (^) geforderten konstanten Folgen konvergent sind; das ist,
als gestufter Raum, wieder der diskrete Raum mit il^ = A. Einen
obersten L-Raum kann es wegen der sogleich zu besprechenden
Forderung der Vertraglichkeit offenbar nur in dem trivialen Fall
geben, dass E endlicb ist; sein ^ besteht aus den schliesslicli
konstanten Folgen. Wohl aber gibt es L-Raurae ohne echten Oberraum,
deren Konvergenzensystem also nicht erweiterungsfahi^ ist; in
diesem Fall befindet sich z. B. ein kompakter metrischer Raum E^
denn eine in ihm nicht konvergente Folge en thai t Teil folgen mit
verschiedenen Limites und kann wegen (y), {a) in keinem Oberraum
zur Konvergenz gebracht werden.
Ein System von L-Raumen Et^ als Mengen identisch, mit den
Konvergenzensystemen % kann einen L-Raum als gemeinsamen
Oberraum nur haben, wenn sie vertrdglich sind, d. h.eine Punktfolge in
512

494 F. Hausdorff:
alien Ef, wo sie koavergent ist, denselbea Limes hat. 1st dies der
Fall so ist
=Jt.
ein zulassiges KonvergenzeDsystem; es definiert einen L-Raum i/,
Welcher Oberraum und zwar unterster Oberraum aller Ef ist. Offenbar
gilt dann (9) und E ist also auch als gestufter Raum (sowie
als topologischer Raum) der unterste Oberraum der E^, Die Vertraglichkeit
der Ef ist insbesondere gesichert, wenn sie ein geordnetes
System bilden, d. h. von zweien der eine ein Unterraum des andern
ist. (Sind die E^ als L-Rftume unvertraglich, so haben sie doch als
gestufte Raume einen untersten Oberraum, der also dann entweder
nicht dureh einen L-Raum erzeugbar ist oder nur durch einen
solehen, der nicht Oberraum der L-Raume E^ ist). Hingegen haben
die Ef, ob vertraglich oder nicht, stets gemeinsame L-Unterraume E
mit ^(2II^f und darunter einen obersten, durch ^ = i7^^ de6-
— t — t
niert; denn dieses Konvergenzensystem erfiillt die Axiome [a)—(y).
Ob dieses E auch als gestufter Raum der oberste Unterraum der Ef
ist, bleibt fraglich.
Die Abbildung y = ^(^) des L-Raumes E auf den L-Raum H
ist im Punkte x stetig, wenn fiir jede Folge x,^ -> x zugleich
(p{Xn)-> (p(x)\^t, Sie ist dann auch als Abbildung der zugehorigen
gestuften Raume in x stetig, d. h. aus ^ e-A^ folgt (p[x) e (p[A)^^^\
der Beweis liegt auf der Hand. Die Stetigkeit der identischen
Abbildung von E auf H {E und H als Punktmengen identisch) ist
damit gleichbedeutend, dass jede Konvergenz aus E auch in H
gilt, also ^{E)C^{H), E Unterraum von H ist.
Ein L-Raum heisse maximal, wenn sein Konvergenzensystem
nicht erweitert werden kann, ohne den zugehorigen gestuften Raum
zu andern. Hieriiber gelten folgende Satze:
L Ein maximaler L'Eaum erfiillt ausser [a)^{§),{y) noch das Axiom:
{6) Wenn jede J'eilfolge Xp von x^ eine nach x konvergente Teilfolge
Xg enthdlt, so konvergiert die game Folge x^ nach x.
Beweis. J5'sei L-Raum; wir definieren eine neue Konvergenzrelation
x^ % x, die bedeuten soil; jede Teilfolge Xp von x^, hat eine
Teilfolge Xq ^ X* Diese Relation erfullt (a), denn aus x„%x^ x„Xy
513

Gestufte Rdume 495
folgt: Xn hat eine Teilfolge Xp->x, x^ eiue Teilfolge Xq~^y^ also
x = y. Sie erfUllt auch (j3) und endlich (y): jede Teilfolge x^ einer
Teilfolge Xp hat eine Teilfolge x^-^x^ also x^ Xx, Demnach erzeugt
diese Relation einen L-Raum ^*. Mit x^-^x ist x^Xx^ also £"*
Oberraurn zu ^; beide L-Raume erzeugen aber denselben gestuften
Raum, il;^ [E^) = A;^ {E\ denn zu x^e A, x^Xx gibt es eine Teilfolge
Xp->x, also A^{E'')CAx{E)C^x[E''y ^* ^rfullt {d)\ wenn
jede Teilfolge x^ von ^^ eine Teilfolge Xg Xx hat (also diese eine
Teilfolge x^->x\ so ist ^;,^a;. Wenn E selbst schon (d) erftilltj
ist mit x^Xx auch x^-^x^ ^* mit JS" identisch. Wenn E also (d)
nicht erfullt, ist £* echter Oberraum von E mit demselben gestuften
Raum, E nicht maximal; ist E maximal, so ist in ihm {6) erftillt.
II, Jeder gestufte Baum^ der durch einen L-Raum erzeugt werden
kann, wird durch einen maximalen L-Raum erzeugt^ ndmlich durch
den obersten aller ihn erzeugenden L-Rdume.
Zum Beweise sei zunachst E ein L-Raum, Aj^ die Menge der
Limespunkte von A^ x„—>x eine konvergente Folge und X = 2x^
n
die Menge ihrer verschiedenen Punkte. Dann ist
(13) X + x^X,.
Es braucht hierzu nur X;i^CiX-\-x gezeigt zu werden; nun enthalt
aber jede Folge aus Punkten eX entweder eine Teilfolge, die
zugleich Teilfolge von x„ ist, oder sie enthalt ein Xf, unendlich oft;
sie kann also, wenn konvergent, nur nach x oder X/^ konvergieren.
Die Formel (13) gilt ebenso, wenn x^ eine beliebige Teilfolge von x„
und X=^2Xp ist, und in dieser Allgemeinheit aogewandt zeigt sie,
p
dass der Limes einer konvergenten Folge durch die Folge selbst
und die Kenntnis der Stufenfunkrion A^^^ eindeutig bestimmt ist,
Denn entweder gibt es unter den X = 2Xp ein X ^ X;^^ und dann
p
ist x = X;i — X oder es sind alle X=X;] in diesem Falle, wo ^
alien X angehort, muss offenbar schliesslich x„ = x sein, denn waren
unendlich viele ^^ =}= a?, so wurde X=2xp den Punkte nicht
p
enthalten. Hieraus geht nun hervor, dass alle L-Raume, die dieselbe
Stufenfunktion il;^ haben, mit einander vertrMglich sind und
einen untersten Oberraum haben, der wegen(9) dieselbe Stufenfunktion
Aj^ hat, womit II bewiesen ist.
514

496 F. Hausdorff:
Man kann dem Beweis auch folgende Wendung geben. E sei
mit der Stufenfunktion Aj^ versehen, seine Erzeugbarkeit durch
einen L-Raum wird noch nicht vorausgesetzt. Wir definieren dann
eine Konvergenzrelation x^^x^ die bedeuten soil: filr jede Teilfolge
Xp und X=2Xp gilt X-^ x =^ X;^^, Das System ^Q dieser
p
Konvergenzen erftillt die Limesaxiome, wobei insbesondere der Beweis
der Eindeutigkeit {a) wortlich derselbe ist wie oben; es erzeugt
also einen Z-Raum EQ mit A;^{EQ)(2A^, Wenn nun insbesondere E
selbst ein L-Raum mit dem Konvergenzensystem ^ ist, so folgt aus
uach (13) x^X^i *lso ^CI^o> demnach A^(^A^{EQ) und
folglich AJ^{EQ) :== Ajf^\ der Raum EQ ist der oberste, mit dem grossten
Konvergenzensystem ^Q, unter alien L-Raumen, die den gestuften
Raum E induzieren.
tTbrigens folgt unter den Voraussetzungen von (13) noch ^)
(14) X-{-x = X,
(wieder ftir jedes X = 2xp); denn (13) gibt X;^;^ = (X-|-^);t =
p
= X;^ -f-^A = {X"\-x) -\-X = X-\- x== X^^ sodass X;^ bereits die
abgeschlossene Hiille von X ist. Man kann demgemSss ftir einen
topologischen Raum E eine Konvergenzrelation x^ Xx der Bedeutung
Ae&meren: fur jede leilfolge Xp und X=2xp gilt X-\~x = X^\
p _
sie erzeugt einen L-Raum E^ mit A^{E^)(^A^^ A^{E^)(i_A^, Wenn E
selbst durch einen L-Raum erzeugt wird, dessen Stufenfunktion A^
von A^ verschieden sein kann, so ist EI=EQ der maximale L-Raum
(wie aus der Vergleichung von (13) und (14) folgt), der den gestuften
oder den topologischen Raum erzeugt.
Wir haben friiher (S. 494) aus der L-Stetigkeit an einer Stelle x
auf die gestufte Stetigkeit geschlossen; umgekehrt gilt:
III. Es sei t/ = q)(x) Ahhildung des L-Raumes E auf den maximalen
L-Raum H; ist diese Abhildung an der Stelle x fur die
gestuften Rdume stetig^ so ist sie auch fur die L-Rdume stetig,
Beweis. A;^, B seien die Stufenfunktionen in E^H\ vorausgesetzt
wird, dass mit xeAji auch q){x)eg){A)^ ist; gezeigt werden
soil: mit Xf^->x ist auch yn = (p{^n)~>

Gestufte Rdume 497
Maximalitat von H ist also zu beweisen: ftir jede Teilfolge y^ und
Y=2yp ist r+2/=F, Fttr X = 2Xp ist a? = lim^^ eZ;^, also
p p
folge, die zugleich eine Teilfolge yg von y^ ist. Wenn hierin unendlich
viele yq = y sind, ist z=^y\ andernfalls lasse man die
endlich vielen yq = y fort und hat nunmehr eine Teilfolge yg-^z
voQ yp mit y^ =j= z/. Aus Xg-^x folgt auf Grand der gestuften
Stetigkeit wie oben y eY' mit Y' = 2yg, anderseits aus (13) wegen
yg-^z\ Y'^^^==Y'-\-z^ demnach yeF' + 2;, und, did. y non eY'^ ^^ = y*
In alien Fallen ist also z eY'\'y und damit III bewiesen*
Schliesslich betrachten wir noch in einem topologischen Raum E
die Konvergenzrelation x^^X^ i* d®^ Bedeutung: jede JJmgehung
von X enthdlt fast alle x^. Dieses Konvergenzensystem ^g erftillt
zwar (/?), (y), aber im Allgemeinen nicht das Eindeutigkeitsaxiom (a);
es kann gleichzeitig x^^^Xy x^i^y^ ^ =\= y sein (wir haben das
zweite Trennungsaxiom nicht vorausgesetzt).
Ist E ein L-Raum upd topologisch Unterraum von JB, so ist
mit x„-^ X (in E) zugleich x^ X ^- Denn wenn U offen ist und
die unendlich vielen Xp nicht enthalt, so ist X = 2xp (2_E — TJ
p
und wegen der Abgeschlossenheit von E — U auch X^(2E — [/,
^ = limXp€ X^(2E — C/, U ist keine Umgebung von x.
Da der S. 496 definierte L-Raum Ei Unterraum von E ist, folgt
insbesondere: wenn x„X^i so ist x^X^- ^.Iso Si([[[®2«
Aus x^X^^ X = 2x^ folgt X € Xa^ da sonst E — X^ eine
n
Umgebung von x ware, die kein x^ enthielte. Aus
folgt also X € A^. Wenn ^ auch das Axiom (a) erfttUt und also
einen L-Raum E^ erzeugt, so ist A;^^{E2)(Z^a ^^d ^(.(J^/g) C-^a?
E2 Unterraum von E,
IV. 1st der topologische Raum E von einem L-Raum erzeugt^ so
erfuUt ^ das Axiom (a) und E^ == E^ ist der maximale L-Raum,
der E erzeugt.
Zunachst zeigen wir: wenn x^-^ x und x^ X y^ so ist y ==x.
Sei X = 2x„] nach (14) ist Xg^== X -}- x abgeschlossen. Sind
n
Fandamenta Mathematicae, t. XXV. 32
516

498 F. Hausdorff:
unendlich viele x^ = y, so ist ohnehin x^=^y\ andernfalls kann
man nach Weglassung endlich vieler x^ annehmen, dass y nicht
zu X gehort; ware nun auch noch y =|= ^, so ware E—X^ eine
Umgebung von y, die kein x^ enthielte, im Widerspruch zu x^ X V*
Sodann sei x^X^i ^nXVi oc^y: hieraus w6llen wir einen Widerspruch
ableiten. Ware unendlich oft x^ = Xj so wtirde jede Umgebung
von y den Punkt x enthalten, also x^=^y sein; demnach ist
schliesslich x^^x^ ebenso ^„=|=«/, und mit Weglassung von Anfangsgliedern
kann man annehmen, dass x^y nicht zu X=2x„ gehoren.
n
Dann darf ^^^ Uberhaupt keine konvergente Teilfolge^jt;->2; enthalten,
weil hieraus mit Xp X ^9 ^^^ anfangs bewiesen, z== x und ebenso
z = y folgen wtirde. Also ist X abgeschlossen und E—X ware eine
Umgebung von x (und von y), die kein x^ enthielte.
^2 erzeugt also einen L-Raum E2, Unterraum von E; vorher
hatten wir S^ (^ Sj bewiesen, und S^ ist maximal, also ^2 = ^1'
Wenn E kein L-Raum ist, braucht der L-Raum L,, wie gesagt,
nicht zu existieren, es sei denn, dass E das zweite Trennungeaxiom
erftillt; existiert E^^ so bleibt es fraglich, ob S^ echte Teilmenge
von ^2 sein kann.
§ 4. Stetige Zerleguiigeii.
Wir nannten die Zerlegung E = 2Ey des topologisehen Raumes
y
E in disjunkte Summanden ^= 0 stetig, wenn sich die Menge H
derart zum topologisehen Raum machen lasst, dass die Abbildung
y = q){x) (mit xeEy gleichbedeutend) stetig wird. Wie wir fan den,
ist die Abgeschlossenheit der Ey hierftir notwendig und hinreichend;
unter den topologisehen Raumen, die dann die gestellte Porderung
erftiUen, gibt es einen untersten, den Minimalraum JJ, in dem alle
und nur die Mengen als abgeschlossen gelten, deren Urbilder abgeschlossen
sind; die Ubrigen sind die Oberraume von H. Gegenliber
dieser einfachen Losung ^) werden die stetigen Zerlegungen vielfach
noch anderen Bedingungen unterworfen, von deren Ursprung wir
uns teilweise Rechenschaft ablegen wollen.
*) Vgl. R. B a e r und F. Levi, Stetige Funktionen in topologisehen Bdumen,
Math. Zeitschr. 34 (1931); S. 110-130.
517

Gestufte Rdume 499
(A) Verlangen wir, dass die stetige Abbildung von E auf H
doppeltstetigj d. h. dass (nicht nur das Urbild, sondern auch) das Bild
jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen sei. Dazu ist notwendig,
dass das Urbild des Bildes von A
(15) I=(p-'(piA)
mit A zugleich abgeschlossen und dass H der Minimalraum sei
(denn ist A = (p~'^(B) abgeschlossen, so ist (p{A) = B abgeschlossen);
beides zusammen ist auch hinreichend, denn dann hat bei abgeschlossenenfi
A das Bild (p(A) ein abgeschlossenes Urbild A und
ist abgeschlossen.
Diese Bedingung findet sich implicite bei Herrn Alexandroff^)
und zwar auf folgendem Wege. Betrachten wir im Raum U die
Urbilder, d. h. die Mengen
Jede Menge A(2E enthalt ein grosstes Urbild A, die Summe der
Ey(^A, und ist in einem kleinsten Urbild A enthalten, der Summe
der Ey mit AEy^^\ das letztere ist durch (15) gegeben. Offenbar
hat man
(16) E—A = E — A, W~^A = E~A,
Nun kommen die Festsetzungen a. a. 0. (S. 557 oben) darauf hinaus,
einen Raum mit den offenen Mengen V=q)['U) zu erklaren^
wo U die offenen Mengen von E durchl^uft. Dieser Raum erscheint
von unserem Standpunkt aus als willkurlich, da er im Allgemeinen
kein stetiges Bild von E ist; um ihn zu einem solchen zu machen,
muss man verlangen, dass die Urbilder q)-^(V) = U {V ist ein
Urbild, also Urbild seines Bildes) offen seien, d. h. dass mit U auch
U offen sei, und das ist wegen (16) damit gleichbedeutend, dass
bei abgesehlossenem A auch A abgeschlossen ist.
Beilaufig konnte man auch verlangen, dass (nicht nur das Urbild,
sondern auch) das Bild jeder offenen Menge offen, die Abbildung
eine „innere" sei; daftir ware notwendig und hinreichend^
dass A mit A zugleich offen und H der Minimalraum sei.
1) P. Alexandroff, tJber stetige Abbildungen hompakter Raume, Math.
Ann, 96 (1927), !S. 555—571.
518
y
B

500 F. Hausdorff:
(B) Wir fordern, dass der Minimalraum H ausser dem ersten
Trennungsaxiom 2\ (von zwei verschiedeuen Punkten hat jeder eine
zum andern disjunkte Umgebung, d. h. die Punkte sind abgeschlossene
Mengen) noch eiiies der tibrigen Trennungsaxiome erftillt:
T^\ zwei verschiedene Punkte
T^\ ein Punkt und eine ihn nieht enthaltende abgeschlossene Menge
7\: zwei disjunkte abgeschlossene Mengen
haben ein Paar disjunkter Umgebungen. {T^ ist Verscharfung von
i;; T^ mit T^ Verscharfung von T^\ T^ mit T^ Verscharfung
von T^. Die Bedingung T, drtickt sich in den Summanden Ey so
aus: zwei verschiedene Summanden Ey^.Ey^ lassen sich in disjunkte
offene Mengen C/j, U^ einschliessen, die zugleich Urbilder von der
V
Form U^SEy^cp-^V) sind. Entsprechendes gilt von T^, T^.
y
Um den Zusammenhang dieser Trennungsforderungen (B) mit
der Bedingung (A) der doppelten Stetigkeit zu erkennen, bemerken
wir zunachst:
[1] Das doppeltstetige Bild eines T^-Raumes ^) E ist ein T^-Raum H,
Denn JT ist Minimalraum; ist V(2E offen, so ist U offen und
V=q)(V) offen. Sind J5, JB' disjunkt und abgeschlossen, so sind
ihre Urbilder A^ A! disjunkt und abgeschlossen, haben also disjunkte
Umgebungen ?7, JJ', Da TJ das grosste Urbild (^ JJ war, ist bereits
AC^. ^'C£'i die Bolder r=(p{U), V = (p{TT) sind dann
disjunkte Umgebungen von B, B\
Andererseits haben wir in der Bikompaktheit (P. Alexandroff,
P. Urysohn) eine mit der Abgeschlossenheit nahe verwandte
Eigenschaft, die bei stetiger Abbildung erhalten bleibt und also zu
doppelter Stetigkeit ftlhren wird. Wir nehmen als Definition: der
Raum E heisst bikompakt^ wenn jedes E tiberdeckende System
offener Mengen {E = 2TJ) ein endliches, E tiberdeckendes Teilsystem
hat. Demgemass ist eine Menge A(2E bikompakt, wenn jedes A
tiberdeckende System in A offener Mengen {A = SATJ^ JJ in E offen),
d. h. jedes A tiberdeckende System in E offener Mengen (A d 2U)
ein endliches, A tiberdeckendes Teilsystem hat. Es gilt bekanntlich:
^) d. h, wo T^ (vielleicht ohne T^) gilt. Wenn wir ron ©inem Raum schlechthin
sprechen, setzen wir kein Trennungsaxiom, sondern nur die Axiom© (1), (2), (3)
liber abgeschlossene Mengen roraus.
519

Gestufte Bdume 601
[2] Das stetige Bild H eines bikompakten Raumes E ist bikompakt.
[3] Eine im bikompakten Raum E abgeschlossene Menge A ist
bikompakt.
[4] Eine bikompakte Menge A im T^-Raum E ist abgeschlossen,
[5] Ein bikompakter T^-Raum ist audi T^-Raum.
[6] Zwei disjunkte bikompakte Mengen eines T^-Raumes haben
ein Paar disjunkter Umgebungen.
Zur Bequemlichkeit des Lesers geben wir die einfachen Beweise:
[2] Wird Hvon den offenen F, also ^von den offenen !7=qp""^(F)
liberdeckt, so wird L von endlich vielen U^ H von endlich vielen
V=(p{U) tiberdeckt.
[3] Wird A von den U tiberdeckt, so wird E von E — A und
den C/, also von E — A und endlich vielen [7, A von endlich vielen
U tiberdeckt.
[6] Zunftchst sei A bikompakt, x^ eE — A\ XQ und x € A haben
ein Paar (von x abhangiger) disjunkter Umgebungen Uo{x\ TJ{x\
A wird von endlich vielen U{x^ tiberdeckt, dann sind TJ = 2U{x,)
und UQ = nUo{Xf,) disjunkte Umgebungen von Ay XQ.
Hieraus folgt alsbald [4], denn da die abgeschlossene Menge
E — UQ^ A den Punkt XQ nicht enthalt, so gehort XQ der abgeschlossenen
Hiille A^^^ nicht an: XQ € E — A^, Also E — A(2E— A^,
Aad^^ ^^ = A. Sind weiter AQ^A disjunkt und bikompakt, so
kann der Schluss wiederholt werden: AQ und xeA haben disjunkte
Umgebungen UQ{X)^ U[X)\ U=2U{Xk) und Uo= 11 Uo{Xf,) sind
disjunkte Umgebungen von A^AQ. [5] folgt dann aus [3] und [6].
Weiter gilt:
[7] Jede stetige Abbildung eines bikompakten Raumes E auf einen
T^'Raum H ist doppeltstetig,
Denn eine in E abgeschlossene Menge ist nach [3] bikompakt,
ihr Bild nach [2] bikompakt und nach [4] in H abgeschlossen.
Die Verbindung von [1] und [7] gibt nun z. B. folgenden Salz:
[8] Die stetige Abbildung des bikompakten T^-Raumes E auf den
Ti'Raum H ist dann und nur dann doppeltstetig, wenn H ein
T^-Raum ist.
Denn ist H ein 7'2-Raum, so ist die Abbildung nach [7] doppeltstetig.
Ist andererseits die Abbildung doppeltstetig, so ist, weil E
nach [5] T'^-Raum ist, nach [1] auch H ein T4-Raum, also, weil
als 7\-Raum vorausgesetzt, auch T^-^di^m.
520

502 F. Hausdorff.
(C) Wieder aus anderer Quelle eDtspringt eine Zusatzbedingung
H
ftir stetige Zerlegungen E = 2Ey^ wenn E ein L-Raum ist und
y
die Abbildung y ^=: (p{x) durch Wahl eines L-Raums H stetig gemacht
werden soil. Das Konvergenzensystem von H muss dann
das System fi, bestehend aus den Konvergenzen
(p {x^ -> (p (pc) ftir x^-^x
eathalten. Anders ausgedriickt: eine Konvergenz y„->y des Systems S
ist damit gleichbedeutend, dass es Punkte x^eEy^^ xeEy mit x^-^x
gibt. Benutzen wir den unteren abgeschlossenen Limes lim A^ einer
Mengenfolge il„ 4= 0 (die Menge aller Punkte lim x^ ftir x^ e ^„),
so ist yn->y damit gleichbedeutend, dass es einen Punkt x gibt,
der gleichzeitig zu Ey und zu lim Ey gehort, also mit
Ey. lim Ey^ 4= 0.
Man sieht nun, dass S zwar die Limesaxiome {^\ (y), aber nicht
notwendig das Eindeutigkeitsaxiora (a) erfttllt, da ja limjE^,^ mit verschiedenen
Ey gemeinsame Punkte haben kann; zur Sicherung der
Eindeutigkeit ist notwendig und hinreichend, dass lim Ey hochstens
mit einem Ey gemeinsame Punkte hat, also:
mit ^,.lim^, =1=0 ist lim ^„ CE^.
y yn • ^n ^— y
Wenn dies ftir alle y, y^ erftlllt ist, definiert fi einen Z-Raum J3,
der unsere Aufgabe lost; die librigen Raume dieser Art sind die
Oberraume des Minimalraums H. tTbrigens ist die Bedingung mit
der folgenden, anscheinend scharferen, gleichwertig:
mit ^^ . lim ^^^ =}= 0 ist liin JS,^ C ^!K?
wobei der obere abgeschlossene Limes lim A^ die Menge aller
Punkte limajp {A^ Teilfolge von ^„, XpcAp) bedeutet ^).
Auf weitere ahnliche Bedingungen fur stetige Zerlegungen wollen
wir nicht eingehen. Die betrachteten drei, so verschiedener Herkunft
sie auch sind, erweisen sich doch im Falle eines kompakten
metrischen Raumes E als gleichwertig.
^) C. Kuratowski, Sur lea decompositions semi-continues d'espaces metriques
compacts, Fund. Math. 11 (1928), p. 169—185; insbesondere p. 171. VgL auch
P. Alexandroff, a. a. O., S. 568.
521

Kommentar zu [H 1935b]
H. Herrlich, M. Husek, G. Preufi
In dieser Arbeit studiert HAUSDORFF Raume, die heute oft Hullenrdume (engl.:
closure spaces) oder prdtopologische Rdume genannt werden, wobei er allerdings
zusatzlich das erste Trennungsaxiom fordert. Wie schon im Artikel "Zum Begriff
des topologischen Raumes" (diese Edition, Band II, S. 725-726) erwahnt,
ist es F. RiESZ 1907 bereits gelungen, einen Raumbegriff anzugeben, namlich
den des "mathematischen Kontinuums", dessen Axiomatik in moderner Sprechweise
der eines pratopologischen Raumes mit 1. Trennungsaxiom und einer
Abschwachung des 2. Trennungsaxioms entspricht. ([R 1907], S.318)
HAUSDORFF kniipft nun an die von KURATOWSKI 1922 aufgestellten Hiillenaxiome
fiir einen topologischen Raum ([Ku 1922], S. 182) an und laBt die Idempotenz
des Hiillenoperators weg; das Ergebnis nennt er einen gestuften Raum,
falls einpunktige Teilmengen mit ihrer Hiille libereinstimmen, d. h. das Ti~
Axiom erfiillt ist. Jeder gestufte Raum induziert einen topologischen Raum,
dessen abgeschlossene Mengen identisch sind mit denjenigen Teilmengen, die
mit ihrer Hiille libereinstimmen; in moderner Sprechweise liefert diese Konstruktion
die topologische Reflexion eines gestuften Raumes. Die abgeschlossene
Hiille einer Teilmenge A dieses topologischen Raumes entsteht "stufenweise"
durch einen transfiniten Konstruktionsprozefi, wie HAUSDORFF zeigt
(S.490). Weiterhin untersucht HAUSDORFF den Zusammenhang zwischen gestuften
Raumen und den von FRECHET in [F 1906] eingefiihrten L-Raumen.
Insbesondere induziert jeder L-Raum einen gestuften Raum. Aus heutiger
Sicht wiirde man sagen, da6 jeder verallgemeinerte Konvergenzraum (X, q)
einen Hiillenraum (X, c/g) induziert, der aus dem vorgegebenen verallgemeinerten
Konvergenzraum durch birefiektive Modifizierung entsteht^; namlich fiir
A C X definiert man clqA = {x e X\ es existiert Q G F{X) mit {Q, x) e q und
A e Q}. Einen Uberblick iiber Konvergenzstrukturen und ihre Einordnung in
die moderne Nomenklatur findet der Leser in [P 1995].
Nicht unerwahnt bleiben soUte, dass HAUSDORFF in einer Studie vom 4. Mai
1938 (NL HAUSDORFF : Kapsel 42 : Fasz. 700) eine von ihm selbst in seiner Arbeit
Gestufte Rdume gestellte Frage positiv beantwortet. Dabei handelt es sich
um folgendes Problem: Fiir einen topologischen Ti-Raum E definiert HAUS­
DORFF zwei verschiedene Folgenkonvergenzrelationen, und zwar /Ci und /C2,
wobei /Ci einen L-Raum auf der Grundmenge von E liefert, wahrend /C2 als
iibliche Konvergenzrelation in einem topologischen Raum i. a. keinen L-Raum
erzeugt. Ist allerdings E selbst ein L-Raum, d. h. genauer, wird E von einem
^ein verallgemeinerter Konvergenzraum ist ein Paar {X,q), wobei X eine Menge und
q C F(X) X X mit F(X) = {T\T Filter auf X}, so da6 gelten:
(1) (x, x) ^ q fiir jedes x £ X, wobei x = {A C X\x G A}
(2) (JT, x) eq sofern (G^x) eq und G C T.
522

L-Raum induziert, so gilt /Ci = /C2. Kann JCi 7^ IC2 sein, falls E kein L-Raum
ist und IC2 CLuf der Grundmenge von E einen L-Raum erzeugtl^
Durch CECHS Buch [C 1966], das auf Seminaren basiert, die CECH zwischen
1936 und 1939 abgehalten hat, sind Hiillenraume einem breiten mathematischen
Publikum zuganglich geworden. Auch sind in [C 1937] bereits
Hiillenraume unter der Bezeichnung A-Raume untersucht worden (vgl. den Artikel
"Zum Begriff des topologischen Raumes", diese Edition, Band II, S. 724-
725).
In jiingster Zeit sind die pratopologischen Raume {— Hiillenraume) wiederentdeckt
worden; insbesondere sind Quotientenabbildungen zwischen pratopologischen
Raumen stets erblich im Gegensatz zu Quotientenabbildungen zwischen
topologischen Raumen.
Schon ARHANGELS'KII hat in [A 1963] die erblichen Quotientenabbildungen
zwischen topologischen Raumen, d. h. diejenigen Quotientenabbildungen
f : X ^^Y zwischen topologischen Raumen mit der Eigenschaft, dafi fiir jeden
Unterraum B cY die Einschrankungsabbildung /L-ir^i • f~^[B] —^ B eine
Quotientenabbildung ist, als die pseudo-offenen Abbildungen charakterisiert,
d. h. als jene surjektiven stetigen Abbildungen f : X ^^ Y mit der Eigenschaft,
daB jeder Punkt y G F fiir jede Umgebung U von f~^{y) zum Inneren
von f[U] gehort. In [K 1969] wird festgestellt, dafi Quotientenabbildungen zwischen
topologischen Raumen erblich, also pseudo-offen, sind genau dann, wenn
sie Quotientenabbildungen in der (topologischen) Kategorie PrTop der pratopologischen
Raume (und stetigen Abbildungen) sind. Dafi PrTop von alien
moglichen topologischen Erweiterungen der Kategorie Top der topologischen
Raume (und stetigen Abbildungen), in denen Quotientenabbildungen erblich
sind, in geeignetem Sinne die kleinste ist, wird in [He 1988] gezeigt. Damit haben
die gestuften Raume eine neue Bedeutung erlangt.
Literatur
[A 1963] ARHANGEL'SKII, A.V.: Some types of factor mappings, and the
relation between classes of topological spaces. Dokl. Akad. Nauk SSSR
153 (1963), 743-746 (- Soviet Math. Dokl. 4, 1726-1729).
[C 1937] CECH, E.: Topologicke prostory. Casopis pro pestovani matematiky
a fysiky 66 (1937), 225-264. Engl. Ubersetzung: CECH, E., Topological
papers, Prague 1968, 437-472.
[C 1966] CECH, E.: Topological spaces (revised ed. by Z. FROLIK and M.
KATETOV), Wiley and Sons, London 1966.
[F 1906] FRECHET, M.: Sur quelques points du calcul fonctionnel. Rend.
Palermo 22 (1906), 1-74.
^Faszikel 700 ist in diesem Band, S. 729-731 vollstandig abgedruckt.
523

[He 1988] HERRLICH, H.: Hereditary topological constructs. In: General Topology
and its Relations to Modern Analysis and Algebra VI, Proc,
Prague 1986 (ed. Z. FROLIK), Heldermann, Berlin 1988, 249-262.
[K 1969] KENT, D.C: Convergence quotient maps. Fundamenta Math. 65
(1969), 197-205.
[Ku 1922] KURATOWSKI, C: Sur ^operation ~A de VAnalysis Situs. Fundamenta
Math. 3 (1922), 182-199.
[P 1995] PREUSS, G.: Semiuniform convergence spaces. Math. Japonica 41
(1995), 465-491.
[R 1907] RiESZ, F.: Die Genesis des Raumbegriffs. Math. u. Naturw. Berichte
aus Ungarn 24 (1907), 303-353.
524

Problem 62.
Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 578.
[H 1935c]

Probl^mes.
62) Die (reelle) Funktion f{po) der reellen Variablen x heisse
symmetrisch'Stetig wenn ftir jedes oo
Km [f{x + h)— f{x — h)] = 0.
A->0
Kann die Menge der Unstetigkeitsstellen einer solchen Funktion
unabzahlbar sein? Kann sie eine beliebig vorgeschriebene Menge F^j
sei? (Dass sie eine beliebig vorgeschriebene abzahlbare Menge sein
kann, ist leicht einzusehen.)
Probleme de M. F. Hausdorff.
C07

Commentary on [H 1935c]
V. Kanovei; P. Koepke
A function / : IR ^ IR is symmetrically continuous if for all x we have
l±mh-^oo[f{x -i- h) — f{x — h)] = 0. Consider the set Df of all points of discontinuity
of such a function /. Generally, Df is a F^ set for any function /
thus in particular, for symmetrically continuous functions. HAUSDORFF asks:
can Df be uncountable ?
can Df be any given F^ set ?
These problems,already attracted interest in the 30s. A rather unexpected difficulty
is that the usual methods of construction of discontinuous functions do
not seem to work as desired if we also want the function to be symmetrically
continuous. Nevertheless, HAUSDORFF (and FRIED independently) proved in
1936-37 that Df is a set of the 1st category for any symmetrically continuous
real function /. In 1971 PREISS gave an example of a symmetrically continuous
function whose set Df of discontinuity is uncountable. (The example
is based on a certain trigonometrical series and uses results from that area.)
Fore more information and appropriate references, see our comments on HAUS-
DORFF'S notes Fasz. 601 and 602 (this volume, p. 717-726), which are relevant
to symmetrically continuous functions.
528

Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L. Kantorovitch.
Studia Mathematica 6 (1936), 18-19.
[H 1936a]

Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L, Kantorovitch
von
F. HAUSDORFF (Bonn).
f{x) sei eine Abbildung* von A in ^*, d. h. jedem x^A
ist ein/(x)^i4* zugeordnet. Beliebig- viele solche Abbildungen
mogen wesentlich verschieden heifien, wenn es zu endlich vielen
verschiedenen/^,,..,/^ unter ihnen immer mindestens eine Stelle
X gibt, wo fi{x)y..,,f^{x) paarweise verschieden sind.
Beliebigf viele Teilmengen Z der Menge C mogen unabhdngig
heifien, wenn fiir endlich viele verschiedene Zj,...,Z,
Z^',..., Z^ unter ihnen immer
Zj...z,(C-z;)...(c-z;) + o.
Dann gelten die Satze:
L Ist A von der unendlichen Mdchtigkeit m, so gibt es 2"^
wesentlich verschiedene Abbildungen von A in A,
11. Eine Menge C der unendlichen Mdchtigkeit m hat T^
unabhdngige Teilmengen.
In ihrer Arbeit: Sur les operations Hneaires dans Tespace
des fonctions bornees (Stud. Math. 5 (1935), p. 69—98) haben
die Herren G. FICHTENHOLZ und L. KANTOROVITCH den Satz I
(Lemme III, p. 81 und Supplement, p. 94—98) sowie fiir m = Ko
und m = 2 ^0 den Satz II (p. 80 und Lemme IV, p. 82) bewiesen.
Die Beweise sind aber ziemlich umstandlich und lassen sich,
wie die Verfasser selbst vermuten, sehr viel einfacher fiihren.
Beweis von I. M sei von der Machtigkeit m und A die
Menge der endlichen Mengen x CM; A ist von der Machtigkeit
1+m+m^+... = i^Q/n = m. Durchlauft t die samtlichen 2"^
Teilmengen von M, so ist
f(x,t) = xt
531

Sdtze von Fichtenholz — Kantorovitch, 19
(Durchschnitt von x und t) bei festem t eine Abbildung von A
in A. Diese 2"^ Abbildungen sind wesentlich verschieden. Denn
sind i^y ^2>"*» 4 paarweise verschieden, so wahle man aus jeder
der Menken (/. — t) + (/. — t) 4= 0 (1 < z < y < >t) ein Element
und bilde die Summe x dieser Elemente; dann ist xt^ ^ xf..
Be we is von II. Gemafi I nehmen wir 2"" wesentlich verschiedene
Abbildungen /(x, t) von -4 in ^4 als gegeben an, wo
der Parameter t eine Menge der Machtigkeit 2"^ durchlauft. Es
sei B die Menge der endlichen Mengen y ^ A und C = {A^ B)
das kombinatorische Produkt von A und B, d. h. die Menge
der geordneten Paare (x, y) mit x^A, y^B, Auch B und C
haben die Machtigkeit m. Jedem t ordnen wir die Menge Z{t)
der Paare {x, y) mit f{xyt)^ y zu; C—Z{t) ist die Menge der
Paare {x, y) mit f{xyt)Jy, Dann sind die 2"" Mengen Z{t) unabhangig.
Denn sind /^,..., t , ^(,..., t' allesamt verschieden,
so gibt es nach I ein x derart, dafi die p + q Bilder
^i = f(x, t), xj = f{x, tj)
fiir / = !,...,/? und y==l,...,

Kommentar zu [H 1936a]
U. Feigner
GRIGORY FICHTENHOLZ und LEONID KANTOROWITSCH haben in ihrer Abhandlung
„Sur les operations lineaires dans Vespace des fonctions bornees '^
(Studia Mathematica, Lemberg, Band 5 (1935), S. 69-98) den metrischen linear
en Raum M. aller mefibaren, beschrankten Funktionen / : E" —> M betrachtet,
wo E = [a,b] ein fest vorgegebenes kompaktes reelles Intervall ist und M. mit
der Norm
11/11= sup |/(x)|
a

ist wohldefiniert. Wenn aufierdem Tl C P^{E) gilt, dann ist Gm ein linearer
Unterraum von Ai. Wenn -0 : 9Jl ^^ R eine beliebige Abbildung mit |'0(i^)| <
K (fiir eine geeignete reelle Zahl K) ist, dann wird durch die Festsetzung
F{XD{X)) = '4^{D) (fiir D E 9Jl) ein lineares Punktional auf Qm definiert, das
nach dem Satz von HAHN-BANACH ZU einem linearen Punktional auf ganz M.
erweitert werden kann.
Diese Uberlegungen zeigen, dafi jeder unabhangigen Familie 9Jt C P^{E),
jeder positiven reellen Zahl K und jeder Abbildung i/j iTl ^^R mit |'0(i^)| < K
(fiir alle D G dJl) in ein-eindeutiger Weise ein lineares Funktional F (der Norm
< K) zugeordnet werden kann. Daraus folgt, dafi Kard(R^) = (2^o)Kard(mt)
eine untere Schranke fiir die Anzahl aller linearen Funktionale auf M ist. Es
gilt also
^2Ho)Kard(a7i) ^ Anzahl der linearen Funktionale auf M < 2^'''°.
Es wird gezeigt (dort Lemma IV genannt), dafi es in P^{E) eine unabhangige
Teilfamilie M der Machtigkeit 2^''° gibt. Daraus folgt, dafi Kard(R^) = 2^" °
die genaue Anzahl der samtlichen linearen Funktionale auf A4 ist.
Der Beweis von Lemma IV (anderthalb Seiten lang) stiitzt sich auf ein kombinatorisches
Lemma (Lemma III), das (auf vier Seiten) durch transfinite Induktion
bewiesen wird. FiCHTENHOLZ und KANTOROWITSCH selbst nennen
ihren Beweis von Lemma III „assez compliquees" und vermuten, dafi man ihn
vielleicht auch etwas einfacher fiihren kann.
Fiir die beiden Lemmata III und IV hat HAUSDORFF sehr viel einfachere
Beweise gefunden. HAUSDORFF hat die beiden Lemmata zugleich von der Einschrankung
auf die Menge R der reellen Zahl befreit.
Definition (FICHTENHOLZ-KANTOROVITCH/HAUSDORFF). Seien A und B
nicht-leere Mengen und ^ eine Menge von Abbildungen von AinB. Dann ist
S eine Familie wesentlich-verschiedener Funktionen, wenn es zu endlich vielen
verschiedenen Funktionen /i,/2,.--,/n ^ 5^ stets eine Stelle a ^ A gibt, an
der die Funktionen paarweise verschiedene Werte haben: fi{a) ^ fk{o) Kr
I

Auch dieser Beweis beruht auf einem Kunstgriff, indem o. B. d. A. die vorgegebene
Menge A durch eine gleichmachtige Menge der Form C — Pe(M) x
Pe(Pe(M)) ersetzt wird, deren G-Struktur fiir das vorliegende Problem geeigneter
ist. Wenn d = {fu t ^ M} wie im Beweis von Satz 1 eine Familie von
wesentlich verschiedenen Abbildungen von Pe(M) in Pe(M) ist, und fiir t C M,
Z{t) = {(x, y) e B; ft{x)ey} gesetzt wird, dann ist bereits Tl = {Z{t)]t C M}
die gesuchte unabhangige Familie.
Man kann Satz 2 auch sehr elegant auf rein topologische Weise beweisen.
Hier nutzt man aus, daB Tychonov-Produkte „kleine" dichte Teilmengen haben
konnen.
Definition. Die Dichtigkeit (oder der Separabilitdtsgrad) eines topologischen
Raumes {R,r) ist die kleinste Kardinalzahl K derart, dafi es eine Kmachtige
Teilmenge gibt, die dicht in R ist. Wir bezeichnen sie mit d{{R,r)).
[Hier ist r die Topologie von R.]
Satz 3 (HEWITT-MARCZEW^SKI-PONDICZERY, 1941/1947) Set K. eine unendliche
Kardinalzahl und R = Yl-^j Rj das Tychonov-Produkt der Hausdorff-
Rdume Rj {fiir j G J). Wenn Kard(J) < 2'^ und d{Rj) < K fiir alle j G J,
dann gilt auch d{R) < K. Inshesondere ist das Tychonov-Produkt von 2^° vielen
separablen Hausdorff-Rdumen ebenfalls separabel.
EDWARD MARCZEWSKI [M 1947] bewies diesen Satz 1941 (publiziert 1947)
nur fiir den Fall separabler Raume, also fiir den Fall K = ^Q. E. S. PONDICZERY
[Pon 1944] bewies den Satz 1944 fiir Potenzen von Hausdorff-Raumen. Erst
EDWIN HEWITT [H 1946] bewies den Satz 1946 in voUer AUgemeinheit.
Aus Satz 3 ergibt sich unmittelbar der Hausdorffsche Satz 2, denn wenn R
das Tychonov-Produkt von 2'^ vielen Kopien des diskreten Raumes 2 = {0,1},
und (gemafi Satz 3) A eine dichte Teilmenge von R der Machtigkeit K, ist, dann
ist {Anpr-\{0}); 0

gilt:
{x G A; h{x) - V9(l) & f2{x) - 99(2) & ... &/,(a;) = ^(n)} / 0.
(ii) Eine Familie 5^ von Abbildungen von A m. B heifit stark oszillierend,
wenn je endlich viele Elemente von ^ stark oszillieren.
Die Bezeichnung spielt auf das lateinische Wort oscillare (schaukeln, schwanken)
an. ^ ist 'stark oszillierend', wenn zwischen je endlich vielen Funktionen
aus der Familie beliebig vorgegebene 'Schwankungen' bestehen.
Satz 4 (R. ENGELKING, M. KARLOWICZ, 1965): Set M eine unendliche
Menge der Kardinalitdt K. Dann gibt es eine Familie ^ von Funktionen von
M in M mit den beiden Eigenschaften: (i) Kard(F) = 2'^ und
(ii) ^ ist eine Familie von starker Oszillation.
Aus Familien von starker Oszillation lassen sich unabhangige Familien sehr
leicht wie folgt konstruieren.
Satz 5 (R. ENGELKING, M. KARLOWICZ, 1965): Sei ^ eine Familie von
Funktionen von M in M von starker Oszillation, Kard(M) >2, und (b ^ A C
M, A^ M. Dann ist
m=^{r\A)- fed}
eine unabhangige Familie von Teilmengen von M. Fur f^ge^mit f ^ g gilt
/-1(A) ^ g-\A). Daher gilt auch Kard(97l) = Kard(5^).
ENGELKING und KARLOW^ICZ beweisen ihren Satz 4 unter Verwendung von
HAUSDORFFS Satz 2, wobei sie einige Ideen aus HEWITT [H 1946] benutzen.
Man kann Satz 4 aber auch direkt beweisen, indem man sich an HAUSDORFFS
Beweis von Satz 1 anlehnt.
Wir hatten oben angedeutet, wie der HAUSDORFFsche Satz 2 aus dem Satz
von HEWITT-MARCZEWSKI-PONDICZERY gefolgert werden kann. ENGELKING
und KARLOWICZ zeigen, dafi wiederum der topologische Satz von HEWITT-
MARCZEWSKI-PONDICZERY aus dem oben genannten kombinatorischen Satz 4
folgt.
In HAUSDORFFS Nachlafi findet sich in Kapsel 41, Fasz. 677 (abgedruckt
in diesem Band auf den Seiten 731-732) eine kleine dreiseitige Notiz mit der
Uberschrift:
„Zu meiner Arbeit: Uber zwei Sdtze von Kantorovitch und Fichtenholz (Studia
Math.) "
Diese Notiz ist vermutlich Ende April, Anfang Mai 1937 entstanden, denn
HAUSDORFF benotigte diese Resultate in seiner Arbeit „Uber limA^" (Kapsel
40: Fasz. 633, abgedruckt in diesem Band auf den Seiten 609-613), die das Datum
2.5.1937 tragt. Die Begriffe der „wesentlich verschiedenen Funktionen"
und der „unabhangigen Familien" werden in dieser Notiz wie folgt verallgemeinert.
Definition. Sei K eine unendliche Kardinalzahl und A irgendeine Menge.
(1) Eine Familie ^ von Funktionen f : A —^ A wird K-wesentlich verschieden
genannt, wenn es zu jeder Teilmenge X von S niit Kard(X) < K, wenigstens ein
536

Argument a e A gibt, so daB f{a) 7^ g{a) fiir je zwei verschiedene Funktionen
/, g aus X.
(2) Eine Familie dJl von Teilmengen von A heifit K-unabhdngig, wenn fiir je
zwei Teilmengen X, 2) von 5^ mit Kard(X) < K, und Kard(2)) < /^ stets gilt:
f|{X;X e X} n f|M - F;y e 2)} ^ 0.
Die Begriffe „wesentlich verschieden" und „b^o-wesentlich verschieden" sind
identisch, und ebenso sind die Begriffe „unabhangig" und „Ho-unabhangig"
identisch. Hausdorff betrachtet in seiner kleinen Studie nur die beiden Spezialfalle
K = b^i und K = "^2- Er beweist die folgenden beiden Satze, wobei
^'^'^(nach ALFRED TARSKI, 1930) die 'schwache Potenz' ist,
Q;

seiner „Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und -Rdume^' hat sich
DEMETRIOS KAPPOS sehr wesentlich auf den Begriff der unabhangigen Familie
gestiitzt (vergl. seinen Ergebnisbericht im Springer Verlag Berlin 1960).
In der Topologie tritt er auf etwa bei der Berechnung der Kardinalitat der
Cech-Stone Kompaktifizierung des diskreten Raumes N der natiirlichen Zahlen
(POSPISIL [Pos 1937]) und bei Pragen nach Dichtigkeit, Spreizung und Gewicht
topologischer Raume (siehe oben). In der Theorie der Ultrafilter tritt er auf
bei der Berechnung der Anzahl der Ultrafilter auf einer beliebigen unendlichen
Menge und ebenso in den Untersuchungen zur Rudin-Keisler-Ordnung (KEN­
NETH KuNEN: Ultrafilters and independent sets, Transactions Amer. Math.
Soc. 172 (1972), S. 299-306). Der Begriff der unabhangigen Familie spielt auch
in der Algebra eine wichtige Rolle, etwa in den Untersuchungen zur Struktur
der Baer-Specker-Gruppe (vergl. ANDREAS BLASS, JOHN IRWIN: Special families
of sets and Baer-Specker Groups, Communications in Algebra 33 (2005),
S. 1733-1744), und natiirlich auch in der Theorie der freien Booleschen Algebren.
- Diese Hinweise mogen belegen, dafi der Hausdorffsche Satz iiber die
Existenz grofier unabhangiger Mengensysteme (Satz 2) nach wie vor zu den
zentralen Satzen der „Infinitaren Kombinatorik" gehort.
Literatur
[BF 1982] BALCAR, B.; FRANEK, P.: Independent families in complete
Boolean algebras. Transactions Amer. Math. Soc. 274 (1982), 607-618.
[CN 1972] COMFORT, W.W.; NEGREPONTIS, S.: On families of large oscillation.
Pundamenta Mathematicae 75 (1972), 275-290.
[EK 1965] ENGELKING, R.; KARLOWICZ, M.: Some theorems of set theory
and their topological consequences. Pundamenta Mathematicae 57
(1965), 275-285.
[H 1946] HEWITT, E.: A remark on density characters. Bulletin of the
Amer. Math. Soc. 52 (1946), 641-643.
[K 1983] KuNEN, K.: Maximal a-independent families. Pundamenta Math.
117 (1983), 75-80.
[M 1947] MARCZEWSKI (SPILRAJN), E.: Separabilite et multiplication cartesienne
des espaces topologiques. Pundamenta Mathematicae 34 (1947),
127-143.
[Pon 1944] PONDICZERY, E. S.: Power problems in abstract spaces. Duke
Math. J. 11 (1944), 835-837.
[Pos 1937] POSPISIL, B.: Remark on bicompact spaces. Annals of Mathematics
38 (1937), 845-846.
538

Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums.
Fundamenta Mathematicae 29 (1937), 151-158.
[H 1937]

Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums.
Von
F. Hausdorff (Bonn).
Das Folgende ist eiixe kleine Erganzung zu Herrn Kuratowski's^)
Theorie der schlichten, beiderseits Borelschen Abbildungen
(hom^omorphies de classe a,j8). Es ist dort festgestellt, dass jede
Borelsche Menge A eines separablen vollstandigen Eaumes schlichtes
stetiges Bild einer im NuUraum N abgeschlossenen Menge NQ und,
falls unabzahlbar, nach Tilgung einer abzahlbaren Menge R schlichtes
stetiges Bild von N selbst ist; ausserdem wird die Klasse der inversen
Abbildung prazisiert (vgl. nnten (5)). Wenn wir fragen,
wann A schlichtes stetiges Bild yon N selbst ist (also NQ=N oder
jR=0 angenommen werden kann), so ergibt sich als notwendige
Bedingung, dass A wie N verdichtet sein muss; dies erweist sich
aber auch als hinreichend: die schlichten stetigen Bilder von N sind
mit den verdichteten Borelschen Mengen identisch^). Auch hierbei soil
die Klasse der inversen Abbildung prazisiert werden (Satz I).
Wir stellen zunachst in (1) bis (7) einige Hilfsbetrachtungen
und bekannte Besultate zusammen.
(1) Zur Abkiirzung soUen die Borelschen Mengen eines metrischen
Eaumes nach dem Vorbild von H. Lebesgue so bezeichnet werden:
F^==F abgeschlossen, G^=G offen,
F'^^nO^^, G^'^-ZF^^ (Mr a>0, ^n

152 F. Hausdorff:
Also J^" == ensemble de classe a multiplicative, 6"^ = ensemble
de classe a additive (Kuratowski); fiir die ersten Indizes:
Nachher, von (4) ab, soUen diese Borelschen Mengen immer
in separablen vollstdndigen Eaumen liegen, sodass z. B. F einen
separablen voUstandigen Eanm, F^=Gd einen separablen, topologisch
voUstandigen Eaum bedeutet. Die Borelschen Mengen eines separablen,
nicht notwendig voUstandigen Eaumes A sind dann mit
J.JF", AG^ ZU bezeichnen. Die Abbildung / von A auf B heisst von
der Klasse a, wenn f~\BF) stets ein AF'' ist; ist sie schlicht nnd f~^
von der Klasse /S, d.h. f(AF) stets ein BF^, so heisst / von der Klasse
a,p Oder eine Abbildung a,j8.
(2) Der Bairesche NuUraum N (mit der Menge der irrationalen
ZaMen homoomorph) ist die Menge der natiirlichen Zahlenfolgen
A=:(Zj^,?2,...) mit der Metrik: ist /^=(mi,m2, ...) + ^ und Ic die kleinste
Zahl mit l^^^mk, so ist |A—/^|=l/fc; er wird hierdurch voUstandig.
Das Intervall h, Ordnung Ni^,,jj^ ist die Menge der A, deren erste k
Ziffern ?I,...,ZA sind; es ist in N of fen und abgeschlossen und ebenso
wie sein Komplement mit N homoomorph.
(3) Fiir eine Menge ACX sei A die Menge der Verdichtungspunkte,
A'^^AA die Menge der in A liegenden Verdichtungspunkte; eine
Menge AC A oder A==A* heisst verdichtet. Fiir eine verdichtete
Menge A ist die Bedingung A=A notwendig und hinreichend;
mit A ist A verdichtet. Eine verdichtete Menge ist stets auch insichdicht;
eine topologisch vollstandige, insichdichte Menge ist auch
verdichtet. Ist X separabel, so sind, fiir jede Menge A, A und A*
verdichtet, A—A* abzahlbar.
Der Kiirze halber sagen wir:
A ist in G verdichtet^ wenn ACGCA^
d. h. wenn A verdichtet und in G dicht ist. Ist A in G verdichtet
und TJ offen, so ist ATJ m. GTJ verdichtet. Ist ACBCG und A in G
verdichtet, so ist A in B und B in G verdichtet (auch umgekehrt).
Von jetzt an handelt es sich nur noch um Mengen in separablen
voUstandigen Eaumen.
(4) Das Bild eines F"" (a>0) bei einer Abbildung a,/? ist ein F^^""
(A, p. 222). Das Bild eines F bei einer Abbildung^^ 0,^ ist ein F^'^^-
542

Bilder des Nullraums 153
Alles Folgende ist der Umkehrung der zweiteix Behauptung
von (4) gewidmet. Da diese Behauptung fur ^=0 gewiss umkehrbar
ist (jedes F^ ist mit einem F homoomorph), nehmen wir ^>0 an
und schreiben a statt /3.
(5) Jedes F'^'^^ (a>0) entsteht durch eine Abbildung 0,a aus einem
0-dimensionalen F oder aus einer in N abgeschlossenen Menge;
falls unabzahlbar, entsteht es, nach Weglassung einer abzahlbaren
Menge, aus N selbst durch eine Abbildung 0,a (B, p. 215, theoreme 1;
B, p. 216, coroUaire 1; vgl. auch A, p. 224, theoreme 2).
Beim tJbergang von der ersten Behauptung (5) zur zweiten
wird der folgende Satz von Herrn Mazurkiewicz verwendet
(A, p. 225, theoreme 3):
(6) Ist X 0-dimensionales F, A ein Gs in X, A und X~A in X
dicht, so ist A mit N homoomorph.
Aus ihm folgern wir noch:
(7) Ist -1 in JV dichtes Os, so ist A mit N homoomorph.
Denn ist X der dyadische Teilraum von N, aus den A=(?i,Z2v)
mit lk=lj2 bestehend (X mit dem Cantorschen Diskontinuum
homoomorph), so ist die Menge X^CX der A mit unendlich vielen
lk=l niit N homoomorph, X^^X—X-^^ abzahlbar, beide Summanden
in X=X-f^+X2 dicht. 1st A in X^ dichtes Gs, so auch in X, wahrend
zugleich X—J.DX2 in X dicht ist; nach (6) ist A mit N homoomorph.
Unsere Absicht ist nun, die folgende Prazisierung von (5)
zu beweisen:
Sat^ I. Jedes verdichtete F^^'^^ (a>0) entsteht aus N durch eine
Abbildung 0,a.
Zunachst ist der Fall a=l zu behandeln, den wir besonders
aussprechen:
Sat^ II. Jedes verdichtete F^=Fod entsteht aus N durch eine
Abbildung 0,1.
Das ist eine (von Herrn Kuratowski selbst vermutete) Verscharfung
des Satzes B, p. 210, wonach die verdichteten {= insiehdichten)
F^=Gd aus N durch Abbildungen 0,1 entstehen.
Beim Beweise dieses Satzes wie auch von II spielt die Moglichkeit
eine EoUe, eine insichdichte ^a-Menge B folgendermassen zu
zerlegen (der Raum X ist hier zunachst noch beliebig):
543

154 F. Hausdorff:
J5==i>i + -D2 + --- ^it disjunkten Summanden i>/4=0,
^ ^ \Pi=Bx + .,.+Di perfekt
Wir nennen dies eine Zerlegung Z und, wenn alle Di von
Durchmessern 0 eine Zerlegung
Z((5), bei der die Pi=BUi (Ui offen) sind.
(Lemme B, p. 208). Die besondere Form der Pi ist von Herrn
Kuratowski in den Wortlaut des Hilfssatzes nicht aufgenommen,
aber aus dem Beweis ersichtlicli. Es folgt daraus;
(8*) Ist A in B verdichtet, so ist jedes ADi in Di verdichtet.
Denn AUi ist in BUi verdichtet, also auch in Pi (AUi ist
verdichtet und in BUi oder in Pi dicht); wegen AUiCAPiCPi
ist APi in Pi verdichtet, und da X—Pi-i offen ist, A{Pi—Pi-i)
in Pi—Pi-i Oder ADi in Di verdichtet.
Im Folgenden wird es sich auch bei Mengen B=Fo um solche
Zerlegungen handeln, bei denen ADi in Bi verdichtet ist; indessen
kann man das nicht mehr, wie bei Mengen B=F—F', durch Pi=BUi
erreichen. (Es gibt insichdichte und sogar verdichtete B=FGJ die
iiberhaupt kein BU4=^ niit offenem U enthalten, z.B. wenn B und
X—B in X dicht sind).
(9) (74=0 sei ein i^^ (im separablen vollstandigen Eaume X) und
A eine in C verdichtete analytische Menge. Dann gibt es fiir vorgeschriebenes
d>0 eine Menge B zwischen A und C (ACBCG)
mit einer Zerlegung Z((5), bei der jedes ABi in Di verdichtet ist.
Beweis. Man kann die abgeschlossenen Summanden von
C=EFh von Durchmessern

Bilder des Nullraums 155
Menge QxCA vomDurchmesser

156 F. Hausdorff:
Aus AD^aCi:D^aiCG^ f olgt durch Summation nach /u: AB^~^CB^CG\
d. h. ACB^CG^. Dadurch sind die Mengen mit Ic Indizes bedingungsgemass
bestimmt.
Auf Grand von ACHB^cnC^==A, also A = nB^ ist nun
II leicht zu beweisen. Zu jedem xeA gibt es eine und nur eine Folge
A=(i!^i,?2v) ^it' ^=^li^hh-''^ umgekehrt, weil X vollstandig ist
und nach (7) P^^..j^ fiir ]c>l einen Durchmesser 0).
Ist B verdichtetes P"'^\ so gibt es nach (5) eine Zerlegung
B=A-^Bj wo A = f(N) vermoge einer Abbildung 0,a aus N entsteht
und R=B—A abzahlbar ist. Nun ist jeder Punkt xeR in
einer perfekten Menge Q^CA+x enthalten, deren (in N abgeschlossenes)
Urbild P^=f~\Q^) = f~\AQ^) = r\Q:,— x) nirgendsdicht ist.
Denn fiir jede Umgebung U von ^ ist JL?7 (wie BU) unabzahlbar,
enthalt also eine mit dem Cantorschen Diskontinuum G homoomorphe
Menge und, weil G mit seinem „Quadrat" (G,G) homoomorph
ist, sogar 2'^'' disjunkte perfekte Mengen Q} da von deren Urbildern
p^f'^Q) nur abzahlbar viele einen inneren Punkt haben konnen,
enthalt AU ein perfektes Q mit nirgendsdichtem Urbild P. Eine
Folge solcher Umgebungen Un mit Durchmessern ->0 liefert eine
Folge perfekter QnCAUn mit nirgendsdichten Urbildern P,, und
dann ist Qx==i:Qn+x perfekt mit einem Urbild Px=^EPn, das in N
abgeschlossen und (von I. Kategorie, also) nirgendsdicht ist. Macht
man dies fiir jedes xeR und setzt Q=zEQx

Bilder des Nullraums 157
wo iV^i etwa eiix Intervall von N und g^^ von der Klasse 0,a ist. Sodann
ist Q als Summe abzahlbar vieler perfekter Mengen ein verdichtetes Fo
und entsteht nach II (tibrigens ist dieser Spezialfall natiirlich viel
schneller zu beweisen) aus N durch eine Abbildung 0,1; da iV^2^ ^ —^i
wieder mit N homoomorph ist, sei
^ = ^2(^2),
g2 von der Klasse 0,1. Wir haben jetzt {g=gi,g2 in ^i?-^2)
B = g{N),
g ist schlicht und stetig. Ist F in N abgeschlossen, so ist g^{N^F)==
= (B—Q)F''=BG6F''=BF^F''=BF''', g2{N2F) = QF^=FaF^=G^F^ und
dies ist, wenn a>l, ein F"" oder BF'\ Also g(F)=^BF'', g ist von der
Klasse 0,a.
Zum Schluss woUen wir noch die topologischen Bilder von N
charakterisieren, Sie sind jedenfalls Gd (separabel, topologisch voUstandig),
O-dimensional und insichdicht (= verdichtet); aber diese
Eigenschaften sind nocb nicht hinreichend, da sie z.B. auch kompakten
Mengen (dem Cantorschen Diskontinuum) zukommen konnen.
l^un heisst insichdicht: es gibt keinen isolierten Punkt, d. h. keine
einpunktige oder endliche offene Menge; N hat aber eine dariiber
hinausgehende Eigenschaft:
(K) Es gibt Iceine hompaUe offene Menge (+0).
Oder: jede offene Menge (?^=0 enthalt eine Folge ai ohne Haufungspunkt
in G\ in der Tat bilden im Intervall Ni^ i^ irgendwelche
Punkte cii^Ni^ i^i eine solche^), da sie paarweise die Entfernung
1/(A; + 1) haben. Die Eigenschaft K geht auch auf die mit N homoomorphen
Mengen iiber und ist nun mit den zuvor angegebenen
zusammen auch hinreichend:
Die mit dem Nullratim N homoomorphen Mengen sind identisch
mit den separablen, topologisch vollstdndigen, 0-dimensionalen Bdumen
X, die keine Jcompalcte offene Menge (=#0) enthalten.
1) Sogar ohne Haufungspunkt in N; auch G ist nicht kompakt; die kompakten
Mengen sind in N nirgendsdicht.
547

158 F. Hausdorff.
Beweis der Hinlanglichkeit ^). Ein separable! 0-dimensionaler
Eaum X hat eine abzahlbare Basis, aus offenen und zugleich
abgescblossenen Mengen Vi von Durchmessern

Kommentar zu [H 1937]
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
l.Zur Thematik
Zwischen Borelschen Mengen in separablen, vollstandigen metrischen Raumen
einerseits und dem Raum P der irrationalen Zahlen andererseits bestehen
aufierst enge Beziehungen. Der beide verbindende Begriff ist der schlichter
stetiger Abbildungen bzw., als Verfeinerung desselben, der von KURATOWSKI
geschafFene Begriff der (a, /?)-Homoomorphismen. Die HAUSDORFFsche Arbeit
[H 1937], entstanden aus einer intensiven Beschaftigung mit den KURATOWS-
Klschen Ergebnissen, verdeutlicht diese Zusammenhange in besonders klarer
Weise.
2. Der Bairesche NuUraum
Als Baireschen NuUraum bezeichnet HAUSDORFF den Raum N^, d. h. das Nfache
Produkt des diskreten Raumes N der natiirlichen Zahlen mit sich selbst.
Bereits 1909 hatte BAIRE gezeigt, dafi dieser Raum zum Raum P der irrationalen
Zahlen homoomorph ist ([B 1909], S. 103). MAZURKIEWICZ bewies,
dafi jeder dichte, co-dichte G^^-Teilraum des Raumes R der reellen Zahlen
homoomorph zu P (und somit zum NuUraum) ist ([M 1918], S. 163), woraus
KuRATOWSKl schlofi, dafi ein topologischer Raum genau dann homoomorph mit
P ist, wenn er sich als dichter, co-dichter G

lafit er die Arbeit von ALEXANDROFF und URYSOHN unerwahnt. In seinem historischen
Ubersichtsartikel iiber ordnungsfahige topologische Raume bemerkt
S. PURISCH zum Verhaltnis der Arbeiten von HAUSDORFF und ALEXANDROFF
und URYSOHN:
P. Alexandroff and P. Urysohn ([4]) used continued fractions in 1928 to
characterize the irrational numbers as a topologically complete, separable,
0-dimensional, metric space that contains no nonempty compact
open set. In 1937 this result was rediscovered by Hausdorff ([45]) using
Baire's result of the homeomorphism between the irrationals and N^
(which Hausdorff referred to as "der Bairesche Nullraum"). It is interesting
to note that it was not unusual for Alexandroff and Hausdorff to
independently prove the same result. For example they both verified the
truth of the Continuum Hypothesis for the class of Borel sets on the real
line ([1] and [43]), and they both proved that every nonempty compact
metrizable space is the continuous image of the Cantor set ([3] and theorem
V in section 35, page 197 in [44] as well as the announcement in
[2]).3
In den zwanziger Jahren hatten ALEXANDROFF und HAUSDORFF eine rege
Korrespondenz und einige personliche Begegnungen. Die Korrespondenz be-
ginnt am 18. April 1923 mit einem Brief von ALEXANDROFF und URYSOHN
und endet am 9. 3. 1935.^ Die topologische Charakterisierung von P spielt
in dieser Korrespondenz keine RoUe. Trotzdem ist es merkwiirdig, da6 HAUS­
DORFF nur KuRATOWSKi erwahnt, nicht jedoch die Arbeit von ALEXANDROFF
und URYSOHN.^ Letztere verweisen in einer Fufinote zu ihrem Theorem auf ein
noch alteres Resultat:
Im wesentlichen ist dieser Satz (fiir a priori linear vorausgesetzte Mengen)
in einem Theorem von Brouwer erhalten (Proceed. Kon. Ak. Amsterdam
20 (April 1917), S. 1193).^
Neben obiger Charakterisierung von P (sie erscheint auch in HAUSDORFFS,
die Veroffentlichung [H 1937] vorbereitender Studie [NL HAUSDORFF, Fasz.
1058, Bl. 11], die vermutlich Anfang 1937 entstanden ist) beweist HAUSDORFF
auch folgende Result ate:
1. Jeder dichte G^-Teilraum von P ist mit P homoomorph ([NL HAUSDORFF,
Fasz. 620, Bl. 1-2] und [NL HAUSDORFF, Fasz. 1058, Bl. 1-2]).
3[P 1998], S. 691. Die Nummern [1], [2], [3], [4], [43], [44], [45] bezeichnen in dieser Reihenfolge
die Arbeiten [A 1916], [A 1925], [A 1926b], [AU 1928] in unserem Literaturverzeichnis
bzw. [H 1916], [H 1927a], [H 1937] im HAUSDORFFschen Schriftenverzeichnis.
^Der gesamte Briefwechsel wird im Band IX dieser Edition abgedruckt.
^DaB HAUSDORFF ALEXANDROFFS Arbeiten in den Mathematischen Annalen sehr sorgfaltig
studierte, zeigt das Beispiel der Arbeit [A 1926a], in der er einen Fehler entdeckte und dann
ALEXANDROFF brieflich Vorschlage zur Korrektur unterbreitete (s.dazu diesen Band, S. 865
fT.
^[AU 1928], S. 96, FuBnote 16a.
550

2. Jeder (nicht-leere) offene Teilraum von P ist mit P homoomorph ([NL
HAUSDORFF, Fasz. 620, Bl. 15]) J
3. Borelmengen und schlichte, stetige Bilder des NuUraumes
Injektive Abbildungen werden von HAUSDORFF schlicht genannt. SlERPlNSKi
bewies 1929, dafi ein Teilraum von R genau dann schlichtes stetiges Bild von
P ist, wenn er eine verdichtete Borelsche Menge in R ist ([S 1929], S. 18).
KuRATOWSKi bewies, dafi alle in sich dichten separablen voUstandigen metrischen
Raume als schlichte stetige Bilder von P darstellbar sind ([K 1934],
S.210), und verfeinerte das Instrumentarium durch Einflihrung des BegrifFs
der {a, P)-Homdomorphismen, d. h. bijektiver Abbildungen /: X —> Y mit
f[F^{X)] c F^(F) und f-^[F^{Y)] C F^(X) (wobei die F^(X) bzw. G^(X)
die Borelschen Mengen in X nach dem Vorbild von LEBESGUE klassifizieren:
F^{X) besteht aus den abgeschlossenen Mengen, F^{X) aus den G^-Mengen,
F'^{X) aus den F^r^^-Mengen in X u. s. f.). KuRATOWSKi erganzte dann mittels
dieses Begriffes das SiERPiNSKische Ergebnis durch Satze liber die Darstellbarkeit
Borelscher Mengen in separablen voUstandigen metrischen Raumen als
Bilder geeigneter (a,/?)-Homoomorphismen von abgeschlossenen Teilraumen
von P ([K 1933], [K 1934]). HAUSDORFF hat sich Anfang 1937 intensiv mit Ku-
RATOW^SKis Ergebnissen auseinandergesetzt ([NL HAUSDORFF: Fasz. 97, 619,
620, 624, 1058 und 1059]). Er war bestrebt, diese Ergebnisse zu verallgemeinern
und eleganter zu gestalten. Das ist ihm mit dem Hauptresultat seiner eigenen
Veroffentlichung in eindrucksvoller Weise gelungen:
Theorem ([H 1937], Satz I, S. 153): Fiir a > 0 ist jeder (nicht-leere) verdichtete
F*^"^^-Teilraum eines separablen, voUstandigen metrischen Raumes
(0, a)-homoomorphes Bild von P.
Hierdurch werden folgende Resultate erganzt bzw. verscharft:
Theorem ([K 1934], Theoreme, S.210): (Nicht-leere), separable, in sich
dichte, vollstandige metrische Raume sind (0, l)-homoomorphe Bilder von P.
Theorem ([K 1934], Theoreme 1, S.215 - korrigiert nach HAUSDORFF^):
Fiir a > 0 sind F^+^-Teilraume von separablen, voUstandigen, metrischen
Raumen (0, Q;)-homoomorphe Bilder geeigneter abgeschlossener Teilraume von
P.
Theorem ([H 1927a], S.211): Separable absolut Borelsche Mengen sind
schlichte stetige Bilder geeigneter abgeschlossener Teilraume von P.
Theorem ([H 1937], Satz H, S. 153): Jeder (nicht-leere) verdichtete F^^-
Teilraum eines separablen, voUstandigen metrischen Raumes ist (0, l)-homoomorphes
Bild von P.^
•^Die Faszikel 620, 624 und 1058 sind in diesem Band, S. 641-650, 742-749, abgedruckt.
^HAUSDORFF schreibt in Fasz. 620, Bl. 3: In der Fassung des th. 1, FM 22, S. 215 ist also
fiir a = Limeszahl die Behauptung "il suffit" falsch, denn durch 0, a kann ja aus F ein F'^~^^
entstehen, das kein F*^ ist.
^HAUSDORFF beweist erst diesen Satz und dann den Satz I.
551

HAUSDORFF hat seinen obigen Satz I zunachst nur fiir den Fall a > 1 beweisen
konnen und mit dem Fall a = 1 lange ringen mlissen. Am 7.3.1937 notiert
er (wobei er den Nullraum mit N bezeichnet):
1st C verdichtetes F^~^^{a > 1), so ist C Bild von N vermoge einer
Abbildung 0, a.
Die notwendige Bedingung fur die schlichten stetigen Bilder von N,
verdichtete Borelsche Mengen zu sein, ist also auch hinreichend.
Die verdichteten F^ = FaS ergeben sich hier (da sie F^ sind), als
Bilder von N vermoge 0,2; es ware zu priifen, ob sie nicht doch schon
durch 0,1 entstehen. Die verdichteten F^ — Gs entstehen aus N durch
0,1; gemafi (7). Wir haben also:
Verdichtetes F^ ist (0,1)-Bild von N.
(0,1)-Bild von N ist verdichtetes F^.
Verdichtetes F^ ist (0, 2)-Bild von N.
(0, 2)-Bild von N ist verdichtetes F^ und umgekehrt.
Also, wenn P" verdichtetes F" bedeutet und N"^ (0, a)-Bild von N:
(P') C (AT') C (P') C (iV") - (P');
die Prage ist, ob nicht bereits [N^) ^ (P^) ist.^°
Noch am 16.3. bemerkt HAUSDORFF ZU den Fallen a — 1 bzw. 0 (wobei er
den Nullraum mit X bezeichnet):
Die Einschrankung a > 1 habe ich bisher nicht beseitigen konnen;
fiir die verdichteten F^ = Fo-6 kann ich also nur, da sie F^ sind, ihre Entstehung
aus X durch Abbildungen 0, 2 behaupten, nicht 0,1. (Fiir a — 0
ist der Satz sicher nicht richtig; die verdichteten F^ — Gs entstehen zwar
durch Abbildungen 0,1 (Kurat. F M 22, p. 210), aber nicht durch 0,0, da
z. B. eine kompakte perfekte Menge, selbst wenn sie 0-dimensional ist,
mit X nicht homoomorph ist).^^
Anschliefiend unternimmt HAUSDORFF einen neuen Versuch, betitelt: "Vergebhcher
Versuch" (Bl. 17). Er endet nach zwei Seiten mit der Feststellung
"Dieses Verfahren fiihrt also nicht zum Ziele" (Bl. 18), woran sich die Vermutung
anschliefit "Konnte man umgekehrt von einem verdichteten F^ — F^s
zeigen, dafi es aus dem Nullraum X nur duch 0,2, nicht durch 0,1 entsteht?"
(Bl.lSv).
Zwei Tage spater erntet HAUSDORFF den Lohn seines Ringens. Er beginnt
seine Aufzeichnungen mit der Uberschrift:
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des NuUraums^^
und beweist seinen Satz H, zu dem er in seiner Arbeit [H 1937] anmerkt:
i^NL HAUSDORFF, Fasz.620, BL7.
i^NL HAUSDORFF, Fasz.620, BL 16-17.
12 NL HAUSDORFF, Fasz. 624, Bl. 1.
552

Das ist eine (von Herrn KuRATOWSKi selbst vermutete) Verscharfung
des Satzes B, p. 210, wonach die verdichteten (= insichdichten) F^ = Gs
aus N durch die Abbildungen (0,1) entstehen/^
Einige der von HAUSDORFF und KuRATOWSKi erzielten Resultate warden
spater auf den nicht-separablen Fall erweitert. Fiir unendliche Kardinalzahlen k
nimmt dabei der Raum B{k) — X^, wobei X ein diskreter Raum der Machtigkeit
k ist, die RoUe des NuUraumes ein. A. H. STONE ([St 1972]) bewies, dafi fiir
absolut Borelsche metrische Raume X folgende Bedingungen aquivalent sind:
(1) Es gibt einen geeigneten (a, ;5)-Homoomorphismus zwischen X und B{k).
(2) X ist Borel-isomorph zu B{k), d. h., es gibt eine bijektive Abbildung
f: X ^^ B{k)^ die Borel-Mengen bewahrt und reflektiert.
(3) X hat das Gewicht /c, es gibt aber keine Uberdeckung {Xn | n G N} von
X der art, daB jedes Xn als Vereinigung offener Teilraume vom Gewicht
kleiner als k darstellbar ist.
Dariiber hinaus zeigte er, dafi die Bedingungen (1), (2) und (3) aquivalent
bleiben, falls B{k) in (1) und (2) durch einen beliebigen absolut Borelschen
metrischen Raum Y und (3) durch geeignete (lokale) Basis-Beschreibungen an
X bzw. Y ersetzt werden. R. W. HANSELL verallgemeinerte das klassische Konzept
der Borel-Mengen, indem er fiir unendliche Kardinalzahlen k sogenannte
/c-Borel-Mengen einfiihrte, wobei abzahlbare Familien in der klassischen Definition
durch cr-diskrete Familien der Machtigkeit < k, ersetzt werden ([Ha 1973]).
Hiermit gelangen ihm geeignete Verallgemeinerungen von A. H. STONES Charakterisierung
von Borel-Mengen und KuRATOWSKis Resultat, dafi der NuUraum
fiir jede abzahlbare Ordnungszahl a Borel-Mengen der Klasse a enthalt.
In [Ha 1974a] fiihrt R. W. HANSELL das Konzept co-a-diskreter stetiger Abbildungen
ein und beweist u. a., dafi ein metrischer Raum genau dann absolut
analytisch und vom Gewicht < A: ist, wenn er co-(j-diskretes stetiges Bild von
B{k) ist.
Eine systematische Untersuchung von Borel - mefibaren Abbildungen und
(a, ;5)-Homoomorphismen fiir separable und nicht-separable metrische Raume
findet sich in [Ha 1974b]. Diese Untersuchungen erweiterte P. HOLICKY durch
Betrachtung nicht-injektiver Borel-mefibarer Abbildungen der Klasse (Q;,/3)
fiir beliebige Ordinalzahlen nicht nur zwischen metrischen sondern zwischen
beliebigen topologischen Raumen ([Ho 2004]). Dabei ergeben sich selbst im
separablen Fall neue Ergebnisse.
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554

Erweiterung einer stetigen Abbildung.
Fundamenta Mathematicae 30 (1938), 40-47.
[H 1938]

Erweiterung einer stetigen Abbildung.
Von
F. Hausdorff (Bonn).
Der metrische Eaum U werde durch u—f(u) stetig a.uf den
metrischen Eaum E abgebildet. Es sei uv die Entfernung zweier
Punkte u, V in E nnd ttv die Entfernung ihrer Bilder u, v in E; bei
gegebener AbbUdung ist m eine gegebene Funktion von u^v mjt
den Eigenschaften:
(a) m===vu'^0, ^^=0;
(y) ITv^-O, falls v-^u (d. h. uv->0 bei festem u),
Wenn umgekebrt flir die Punktpaare u,v von E eine Funktion
uv mit diesen Eigenschaf ten gegeben ist, so bestimmt sie eine stetige
Abbildiing von E auf einen (bis auf Isometrie bestimmten)
metrischen Eaum E, mit uv als Entfernung der Bildpunkte von u,v,
Denn da die Eelation uv—0 nach (aj/9) reflexiv, symmetrisch und
transitiv, also vom Charakter einer Gleichheitsbeziehung ist, so
kann man in abstracto jedem u ein Element u = f(u) mit der
Vorschrift
[u=v] = luv=0]
zuordnen und in der Menge E dieser Elemente uv als Entfernung
von u,v definieren. Man kann speziell den Eaum E auf Grund der
Eelation uv=0 in disjunkte Klassen (Schichten, tranches) spalten
und unter u=f{u} die den Punkt u enthaltende Klasse verstehen.
1st ECE und eine stetige Abbildung von E auf den metrischen
Eaum F gegeben, also fur u^veF eine den Bedingungen {a,^,y)
geniigende Funktion uv erklart, so erhalt man eine Erweiterung
557

Erweiterung einer stetigen Abhildung 41
dieser Abbildnng zu einer stetigen Abbildung von E anf einen geeigneten
metrischen Eaum EoF, wenn man fiir die Punktpaare
yon E eine den Bedingungen (a,fi,y) geniigende Funktion uv finden
kann, die fiir die Punktpaare von F mit der vorgegebenen iibereinstimmt.
Es ist klar, was dabei nnter EjF zu verstelien ist: bei
der abstrakten Definition von E sind die schon vorhandenen Elemente
von F beizubehalten, und wenn man speziell die Schichten
von E als Elemente von E benutzt, so bilden die Schichten, welche
Punkte von F enthalten, Qinen mit F isometrischen Eaum CE,
Nach diesen einfachen Vorbemerkungen woUen wir die Satze
beweisen:
I. Eine stetige Abbildung der im metrischen Eaum E abgeschlossenen
Menge F auf den metrischen Raum F Idsst sich zu einer stetigen
Abbildung f von E auf einen geeigneten metrischen Faum EZ)F
erweitern.
II. Diese Erweiterung ist insbesondere so moglich, dass F in E
abgeschlossen ist und E—F topologisch auf E—F abgebildet wird.
III. Eine topologische Abbildung von F Idsst sich zu einer topologischen
Abbildung von E erweitern^).
Beim Beweise mogen bedeuten:
a,b,c,p,q Punkte von F^
x,y Punkte von E-~F=G,
u,v,w Punkte von E.
d(u) = mfau sei die untere Entfernung des Punktes u von F.
a
tjberzeugen wir uns zunachst, dass zur Eichtigkeit von I die
Existenz einer reellen Funktion cp{a^u) (die also in dem Produktraum
{F^E) definiert ist) mit den Eigenschaften
(1) (p{a,b) = ab
(2) ^(^^,'y)=:sup \(p{a,u)—(p(a,v)\< oo
a
(3) y)(UjV)-^0 fiir v-^u
notwendig und hinreichend ist.
^) Vgl. meine Arbeit: Erweiterung einer Hom^oornorphie, Fund. Math. 16
(1930), p. 353-360, von der die gegenwartige eine Vereinfachung und Verallgemeinerung
ist.
558

42 F. Hausdorff:
I^otwendig: wenn eine Erweiterung von ah zu m vorhanden
ist, so ist (p(a,u)==au eine Punktion, die (1,2,3) erfiillt; in der Tat
haben wir dann y){u,v) = ^u-p\m—'av\^^m und (3) ist Folge von (y),
a
Hinreichend: wenn (p(a,u) eine den Bedingungen (1,2,3)
geniigende Funktion ist, so ist ip(u,v) eine Funktion, die, ftir uv
gesetzt, die Bedingungen (a,i8,y) erfiillt und auf Grund von (1), (2)
(4) ^(fe,c) = sup \ab~~ac\ = bc
a
liefert, sodass uv — ipiu^v) einen zulassigen Eaum E definiert und
damit I bewiesen ist.
Aber auch zum Beweise von II ist die Existenz einer solchen
Funktion (p{a^u) hinreichend. Hierzu betrachten wir die Funktion
(5) d{u^v)=^mhi[iiv^ d{u)-{-d{v)\
die (ftir uv gesetzt) die Bedingungen (a,/?,7) erfiillti) und iibrigens
die einfache Bedeutung hat, J^' auf einen einzigen Punkt und G=E—F
topologisch abzubilden, wie man aus dem Folgenden (im speziellen
Fall q){a,ti) = 0) sofort entnimmt. Nun erfiillt
(6) uv=m.Sbx[ip(u,v), d(u,v)]
die Bedingungen (a,^,y) und wegen (4) und d(b,c) = 0 stimmt uv
in F mit der gegebenen Funktion be liberein. Diese Erweiterung
hat aber die in II verlangten Eigensohaften. Benn es ist
ax > d{a, x) = min [ax, ^(^)] = ^{00) >0,
sodass x=f{x) von F=f{F) positiven Abstand hat, d.h. F abgeschlossen
ist. Weiter ist xy'^d(x,y)>0 ftir x=\=^y, die Abbildung ist
in G schlicht; sie ist liberdies topologisch, denn wenn (bei festem x)
xy~->0, so auch 8(x,y)-^0 und, da d(x)-{-d(y)>d{x) nicht nach 0
konvergiert, muss xy-^0 sein.
Demnach ist zum Beweise von I, II nur eine Funktion (p{a,u)
gemass (1,2,3) zu konstruieren. Beztiglich der tc,v in (2) und (3)
ist der Fall, dass beide zu F gehoren, bereits durch (4) erledigt,
sodass wir nur noch Punktpaare aus (G,(r) oder (F^G) zu betrachten
haben. D.h. es ist, indem wir (1) festhalten, nur noch eine (in {F,G)
definierte) Funktion (p{a,x) zu konstruieren mit den Eigenschaften:
1) Bezuglich der Dreieoksimgleichung (/?) vgl. Fund. Math. 16, p. 354.
559

Erweiterung einer stetigen Abhildung
A
B\
(2) yj{x,y) = m]^ \(p(a,x)—(p(a,y)\x,
(2) ^(6,a?) = sup \q)(ajX)—q){a^b)\b ist d{x)-^0, px-^0, also pb-^0, 0(p)-^0(b)j
niit
]im0{x)^0(b),
Zweitens wahlen wir einen (wieder von x abhangigen) Punkt q
{9) 0(x)+d(x)>0(q) + qx
d{x)
Da gleichzeitig
-1.
wird
0(x)^0(b)bx
'd(x)
-1,
||

44 F. Hausdorff:
Wahrend x und q variieren (6 ist fest), ist 0{q) nach unten
beschrankt, sodass wir 0{b) — 0(q)^C schreiben konnen mit festem (7.
Aus
qx0, qx-^O, q-^b und aus (9), wo die
rechte Seite ^ 0(q) ist,
lim0{x)^0(b).
Hiermit ist dieStetigkeit der Erweiterungsfunktion 0{u) gezeigt.
Spezialisierung von 0{p). tJber der Menge F bilden wir den
linearen Eaum L, bestehend aus den formalen Sunamen
(10) s=Eha
a
endlich vieler Punkte mit reel!en Koeffizienten; ^a ist eine reelle
Funktion von a, die nur an endb'ch vielen Stellen von Null verschieden
ist. Ist ebenso
SO wird natiirlich
a
a
erklart; L ist eine Abelsche Gruppe, additiv gescbrieben. Fiir s sei
X=:J]^a die „Koeffizientensumme", cr^^l^^l die „absolute Koeffia
a
zientensumme". Wir bilden nun
(11) ^{s,p)S ap\
a
diese Funktion von p ist bei beschranktem F beschrankt; bei unbeschranktem
F ist sie dann und nur dann nach unten beschrankt,.
wenn >l>0, denn 0(s,p)—^bp=Z!Ki(^—bp) ist beschrankt (aba
solut ^Zj\^a\cib), Als Funktion von s ist 0(Sjp) linear:
a
1st 0{s,p) nach unten beschrankt, so erweitern wir sie durch
(12) 0(s,x) = mt 0(s,p)-
p
px
d{x)
zu einer stetigen Funktion 0(s,u). Da
0{s,p) — 0(s,b)=Z!X„{ap—ab)
561

Erweiterung einer stetigen Abbildung 45
Absolut ^abp = 0(abjp) ist, haben wir
Ton diesen beiden Ungleichungen enthalt aber die linke eine Punktion
0{—abjp), die nicht nach unten beschrankt zu sein braucht.
Diese (nur ftir unbeschranktes F auftretendei)) Schwierigkeit umgehen
wir so: t=^jUaa sei ein festes Hilfselement eL mit positivem
a
jbi=JI/LCa und s werde der Beschrankung a^/u unterworfen (A>0
a
ist nun entbehrlich). Zu den letzten Ungleichungen oder
0{—lub,p)^0(s,p) — 0(s^b)^0(fj.b,p)
Mdieren wir 0(tjp), machen den tJbergang von p zn x und subtrahieren
dann wieder 0{t^x), Also:
0(t-fib,p)^0(S+t,p)-0{S,b)^0{t+lub,p)',
jetzt sind alle drei Funktionen von p nach unten beschrankt, also
nach (12)

46 P. Hausdorff:
hinzufiigt. 1st insbesondere s = a und t = e ein fester Hilfspunkfc
von F, also:
(p{a, x) = 0(a-i'G, x) — 0(c, x), (p{a^ b) = ab,
so erfiillt (p{a,x) die Bedingungen A,B, womit I, II "bewiesen sind.
Zum Beweise von III ist die Funktion (6) noch der JErgdnzungsbedingung
zu unterwerfen:
Wenn ax-^0 (bei festem a), ist anch ax->0,
Vermoge dieser wird. die in F und G einzeln topologische
Abbildung auch im ganzen Eanm E topologisch. Da nach .6(2), S. 43,.
y)(b,x)'^\q){b,x)\j also m==^ioii3bx['ip(ax)yd{ajX)]'^niSix[(p{a,x),d(x)] ist^
wird die Erganzungsbedingung sicher erfiillt, falls aus (p{ajX)->0
und d{x)->0 auch ax^-0 folgt. Um dies zu erzielen, andern wir
das bisherige Verfahren nur dahin ab, dass wir von (13) (wie bislier
(j^jbt vorausgesetzt) nicht 0(t,x), sondern
~0(2t,x)=:mf
^. . 1 px 1
subtrahieren, also
(U)* (p[s,x)^0{s + t,x) — ^0[2t,x)
setzen; (15), (16) und ^(s,b) — 0{s,b) bleJben auch jetzt richtig^
Wie in (9) gibt es einen von x (und s,t) abhangigen Punkt q mit
zugleich ist
also
0{s + t,x)+d(x)>0(s + t,q) +^-^-1,
^;0(2t,x)^0(t,q) + ^ ^^ ^'
2 ' ' '^ ^'^' ' 2d{x) 2
cp{s,x)+d[x)>0{s,q) + ^ ^ -^•
Nehmen wir wieder s^a und t = c^ so ist
(p{a,x)-^d[x)>'^-\-- ^—2*
Wenn bei festem a zugleich q)[a,x)->-Q und ^(a?)->0, so folgthieraus
a^-^0, also aq~^0 (wegen der Homoomorphie zwischen F
und F). ferner ~-^-l, ra->0, ax-^^. q. e. d.
d{x)
563

Erweiterung einer stetigen Abbildung 47
Bemerken wir noch, dass wir E nur als metrisclien Eaum
(also nicht als separabel oder gar kompakt) vorausgesetzt haben.
Die Schichten von JB, die wir als Elemente yon E ansehen konnen,
sind bei den Satzen II, III die Schichten von F (die Urbilder der
Punkte von F) und die einzelnen Punkte von 0=E—F, 1st F kompakt,
so haben wir eine halbstetige Zerlegung von E nnd die Metrisierbarkeit
des tJberranmes E (nicht aber die Moglichkeit, die
Metrik von F beizubehalten) folgt aus dem Urysohnschen Metrisationssatz.
Die Beibehaltung der gegebenen Metrik von F ist fiir
unseren Standpunkt wesentlich; der Satz III z. B. ist nur unter dieser
Voraussetzung nicht trivial. Yerzichtet man darauf, so gibt die
folgende Note von Herrn Kuratowski im Falle eines separablen
F, das dann als Teilmenge des Hilbertschen Quaders angenommen
werden kann, einen vereinfachten Beweis des Satzes II. Ubrigens
sei noch auf einen verwandten Satz i) hingewiesen, in dem E—F
zwar nicht topologisch, aber ohne Erhohung der Dimension anf
E—F abgebildet wird.
^) C. Kuratowski, 8ur le prolongement des fonctions continues et les trailsformations
en polytopes, Fund. Math. 24 (1935), p. 259-268: th. 2, p. 266.
564

Commentary on [H 1938]
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
Erweiterung einer stetigen Ahhildung is the last published paper by HAUS-
DORFF. It may be interesting to notice that (except for Grundziige der Mengenlehre)
his first abstract result on metric spaces was also devoted to extending
maps, specifically to TIETZE'S theorem in [H 1919d]. In that paper he found
a formula for extended maps that he was able to use successfully in more general
situations in [H 1930b] and [H 1938]. It is worth observing that his first
general result on extensions goes back to Grundziige der Mengenlehre - see the
comments in Band II, p. 768 - where he proved the existence of continuous
extensions of uniformly continuous maps onto completions (the proof works for
uniformly continuous extensions).
HAUSDORFF was aware of the importance of extending maps and in many of
his unpublished notes there are various extension results (either known or new).
Very often he deals with extensions of Baire or Borel functions (e. g. notes contained
in Fasz.293, 354, 514, 611, 618, 619, from the years 1928-1937). Those
results concern descriptive theory (Fasz. 618 and 619 are reprinted and commented
in this vol., p. 626-639); here we shall concentrate on extensions of
continuous maps. Since both extension results in [H 1919d] and [H 1938] are
closely connected, some of the following comments about HAUSDORFF'S extensions
go back to TiETZE and extend the commentary on [H 1919d] published
in vol. IV of this edition, p. 97-103.
Before 1915 when TIETZE published his extension result, it was probably only
H. LEBESGUE who proved explicitly a general result of that kind (in connection
with DIRICHLET'S problem). In fact he proved that:
Every bounded continuous function defined on a closed subset of M? can be
extended to a continuous function on R^.
TIETZE reproved (by a similar method) that same result for subsets of R^
and proved his famous result for continuous extensions of bounded continuous
functions on closed subsets of metric spaces. His extended function is given
by a formula using the metric function. The change from R^ to metric spaces
was significant. To see the difference between it and HAUSDORFF'S formula it
is convenient to show TIETZE'S formula here (F is an extension to the metric
space (X, d) of a bounded continuous real-valued function / defined on a closed
subset Aof X, />r >0):
;.M-/ snp,ex{/(2/)/(l + ^'(^,2/))-'/'^^'^^}, ^^ ^ i A-
^ ^~l fix). lixeA.
After 1915, several other formulas were shown to give continuous extensions
in R'^. DE LA VALLEE POUSSIN in 1916 used a convergent sum (this method
works for maps from separable spaces into Banach spaces), L. E. J. BROUWER
565

in 1919 used a triangulation method similar to that of LEBESGUE (this method
works for maps into locally convex linear topological spaces), H. BOHR used
integrals and is probably the first one to precisely describe how to prove the
extension result for unbounded functions from the proof for bounded ones ([Car
1918], p. VI, 619-620).
In 1919 HAUSDORFF arrived at a new simpler formula for the extended function
that used, as did TiETZE, the metric function (for bounded /):
^.^^ = I inf.eA{/(y) ^ ^ ^ - Ih if ^ ^ A;
^ ^ \ fix), ifxGA
HAUSDORFF also gave a simpler procedure than that in [Car 1918] showing
that the extension exists for unbounded functions as well. The new formula
was simpler than that of TiETZE and, moreover, later HAUSDORFF was able to
use it for more general situations in [H 1930b] and [H 1938]. After 1919 there
appeared even simpler formulas (e.g., by KEREKJARTO in 1923) but it is not
known whether they are useful in more general situations.
We should repeat that HAUSDORFF'S other proof of TIETZE'S theorem (by
means of an elegant new proof of HAHN'S "in-between theorem") has no predecessor.
Perhaps we should add an explanation concerning the fact that every
lower semicontinuous function is a limit of increasing continuous functions,
which HAUSDORFF attributed to BAIRE. The result was proved by R. BAIRE
for functions on R in [Bai 1904] and, when asked by HAHN, again by TiETZE
in [Tie 1915, Corollary to Theorem 2] for functions on metric spaces (using
his extension formula). HAHN then reproved it by a different method in [Hah
1917].
Three of HAUSDORFF'S unpublished notes concern results appearing in [H
1938].
In his notes (Fasz. 579, Kapsel 39) written sometime in 1935-36, HAUSDORFF
goes in detail through KuRATOWSKi's paper [Kur 1935] that contains the following
result:
If A is a closed subspace of a separable metric space X and f maps A onto
a metric space Y then there exists a continuous extension F of f mapping X
onto a metric space Z such that Y is closed in Z, Z \Y is a poly tope and
dim(Z\y)

the extensions can be found into Y, they can be found into retracts of Y as well,
(BORSUK, K.: Sur les retractes, Fund. Math. 17 (1931, 152-170, Th. 10). Then
KuRATOWSKl's result mentioned above was included. For bounded maps one
can find extensions preserving linear combinations of the original maps (BOR-
SUK,K.: Uher Isomorphic der Funktionalrdume, Bull. Acad. Pol. Sci. (1933),
p. 1-10) - at this place HAUSDORFF noted "dazu mein Beweis ohne Lebesguesche
Integrale". Another possibility is that the extensions preserve distances
between maps (BORSUK, K.: Sur les prolongements des transformations continues,
Fund. Math. 28 (1937), 99-110, Lemma 2). If Y is an absolute retract,
the extensions can be constructed to depend continuously on the original maps;
a modification for absolute neighborhood retracts is mentioned. Then HAUS­
DORFF went to extensions of homotopies for absolute retracts Y (HuREV^icz
Fund. Math. 20, p. 160, Th. 6). In general, one cannot take the n-dimensional
sphere for Y but it is possible when X is compact and dimX < n (HUREWICZ,
W.: liber Abbildungen topologischer Rdume auf die n-dimensionale Sphdre,
Fund. Math. 24 (1935), 144-150).
On May 21, 1937 (Fasz. 98, Kapsel 26b), HAUSDORFF already wrote a version
of his paper [H 1938]. It differs from the published version in that it has a more
brief explanation, a different organization of the proof, and final remarks.
On September 13, 1937, HAUSDORFF sent a version of his manuscript to
KURATOWSKI. Part of KuRATOWSKi's answer, [Kur 1938], is published in the
same issue of Fund. Math., where [H 1938] is published. KuRATOWSKi suggested
in it another proof for the case when Y is separable (notation as above): embed
y as y X 0 X 0 into H xRx C(X) (where H is the separable Hilbert space),
extend f to f : X -^ H and define F{x) = {f{x),d{x, A), d{x, A) • d{x, -)) {X
is canonically embedded into C{X)) - then Z equals F{X). In 1952, ARENS
omitted separability of Y in KURATOWSKI'S procedure by using C*(F) instead
of the Hilbert space H (one must use a generalization of the TiETZE extension
theorem for maps into Ciy) as was proved by DuGUNDJi in [Dug 1951]).
At the end we may mention some other extension results, e.g..
Every compact subset of a completely regular space X is C-embedded in X
proved in [Cech 1937], or a generalization of DuGUNDJi's result for stratifiable
spaces proved in [Bor 1966], or simultaneous extensions in [Sch 1990].
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568

Aus dem Nachlafi zur deskriptiven Mengenlehre
Von den etwa 26.000 Blatt des HAUSDORFFschen Nachlasses betreffen mehr
als 1.000 Blatt Themen aus der deskriptiven Mengenlehre. Viele dieser Aufzeichnungen
sind Notizen, die sich HAUSDORFF beim Studium einschlagiger
Arbeiten gemacht hat. Sie dienten vor allem seinem Selbstverstandnis, und es
ware nicht sehr sinnvoU, sie zu publizieren. Wir fanden jedoch auch eine Reihe
von eigenen Studien HAUSDORFFS, die eine Publikation durchaus rechtfertigen.
Diese haben wir nach ihrem Inhalt in Gruppen zusammengefafit. Innerhalb
einer Gruppe folgen auf den Abdruck eines Faszikels unmittelbar unsere Anmerkungen.
Nummern in eckigen Klammern am Rande des HAUSDORFFschen
Textes weisen auf diese Anmerkungen hin. Am Ende der Gruppe folgt ein
ausfiihrlicher Kommentar mit dem zugehorigen Literaturverzeichnis.
Die HAUSDORFFschen Bezeichnungen haben wir beibehalten, auch wenn einige
davon heute aufier Gebrauch sind. Die Liste, die am Beginn dieses Bandes
nach dem Schriftenverzeichnis abgedruckt ist, gibt die Korrespondenz zu den
heutigen Bezeichnungen. Die Orthographic wurde ebenfalls originalgetreu beibehalten,
auch wenn sie zwischen verschiedenen Schreibweisen wechselt, wie
Punktion und Function, speziell und speciell, Teilmenge und Theilmenge usw.
V. Kanovei, P. Koepke
569

1. (55-Operationen
Die Theorie der Js-Operationen ist eng mit HAUSDORFFS Namen verkniipft.
Die Idee dazu kam ihm vermutlich in den Jahren 1922-1923, als er versuchte,
eine gemeinsame Grundlage fiir den Beweis der topologischen Invarianz von
Borel- und Suslinmengen zu finden. (Etwa zur selben Zeit fand KOLMOGOROFF
unabhangig von HAUSDORFF das Konzept der 5s-Operation; s. den Kommentar
am Ende dieses Abschnitts). In publizierter Form erschienen die Grundlagen der
Theorie der (5s-Operationen (HAUSDORFF spricht von (5s-Punktionen) erstmals
in § 18.3 von HAUSDORFFS Mengenlehre ([H 1927a]).
Das Konzept der (5s-Operation fand seine Fortentwicklung in Studien von
KANTOROVITCH und LIVENSON ([KL 1932], [KL 1933]), SIERPINSKI ([Si 1930])
und anderen, vor allem zu Beginn der 30-er Jahre, aber auch noch spater
(z. B. in [Ly 1953]). Das Studium von (5s-Funktionen war ein permanenter Bestandteil
von HAUSDORFFS mathematischen Interessen in den 30-er Jahren.
Der Inhalt dieser Teile des Nachlasses besteht vor allem in Kommentaren und
Analysen zu den wichtigsten einschlagigen Publikationen wie der von KAN-
TOROVITCH/LIVENSON und SIERPINSKI. Im folgenden haben wir funf Noten
aus dem Nachlafi ausgewahlt. Die einzige Publikation HAUSDORFFS liber Ss-
Operationen ([H 1933a]) ist in diesem Band, S. 471-478 abgedruckt und kommentiert;
sie ist gewissen Aspekten der Beziehungen zwischen (5s-Operationen
und Projektionen gewidmet.
NL HAUSDORFF : Kapsel 31 : Fasz. 152
[Topologische Invarianz von Mengenklassen]
HS. MS. - [Bonn], 11.6.1921-9.10.1924. - 12 BU.
Von HAUSDORFF zusammengefasste Sammlung; abgedruckt sind hier BU. 5-8.
Topologische Invarianz von Mengenklassen.
30.9.23
Gi, G2, ... sei eine Folge offener Mengen (in einem metrischen Raume P).
Wir bilden hiermit folgende Menge: N = (ni, 77,2,...) sei eine Folge wachsender
[1] natiirhcher Zahlen, ^ eine Menge von Zahlenfolgen N und
^ = S Gn,Gn,Gn, '" = ^(Gi, G2, . . . ) (1)
N
die Menge, die man durch Vereinigung aller Durchschnitte Gn^Gn2 ''' erhalt,
wenn die Zahlenfolge N die Elemente von ^ durchlauft. Das Funktionszeichen
$ ist durch ^ bestimmt; die Menge A hangt ausserdem von den Mengen
Gi, G2, ... ab.
570

[Solche (speziellen) Punctionen $ betrachtet W. Sierpinski, Sur les ensembles
mesurables B, C. R. 171 (1920), p. 24-27. Er giebt sie nicht explicite an, sondern [2]
sagt: jeder Punkt von A = ^(d, G2,. •.) soil unendlich vielen Gn angehoren;
und wenn B = ^{Ti,r2,...) ? x e A, und y eTn fiir jedes n, wofiir x e Gn , so
m
soil y e B sein. Dann hat aber $(Gi, G2,.. •) eben die Form &GniGn2 • " •
N
Denn jedem x e A entspricht eine Folge N = (ni,n2,...) derart, dass x e
Gni Gn2 • • • ; ist ^ die Menge aller N, die so entstehen, so ist A Q A'^ =
m
&GniGn2 '' - Nach der zweiten Bestimmung von S[ierpinski], angewendet auf
N
A = ^(Gi, G2, • •.) I selber, ergiebt sich aber: ist x e A und x e GmGn^ " ' ^ Bl.5v
y 8 Gn^Gn2 •••5 SO soU y ^ A sein, also Gn^Gn^ • • • £ -A, A* ^ A, d.h.
v4* =A]
Die Mengen A sind nun nicht etwa spezieller Art, sondern - in einem Raum
mit abzahlbarer dichter Theilmenge wenigstens - jede Menge ist in dieser Form
darstellbar. Denn ist hier Gi, G2, ... das System aller Umgebungen (resp. ein
abzahlbares damit „gleichwerthiges" System), so entsprechen jedem Punkt x
diejenigen Gn {n = 711,712-,. -. ), die x enthalten, und es besteht GniGn2 ' * •
aus X allein; lasst man A^ — (ni,n2,...) die den Punkten x e A in dieser
Weise entsprechenden Zahlenfolgen durchlaufen, so erhalt man A in der Form
(1) dargestellt.
Specielle Wahl von ^ oder $ bedingt specielle Beschaffenheit von A. So
gehort (naher auszufiihren) zu jeder Ordnungszahl a eine Function $a derart,
dass A = ^Q;(GI, G2,...) alle Borelsche7i Mengen der Klassen ^ a durchlauft,
falls man die Gn alle offenen Mengen durchlaufen lasst. Ferner: bildet man
eineindeutig die natiirlichen Zahlen n = 1,2,... auf die endlichen Complexe
(^1), (^1,^2)5 (^1,^2,^3), •• • natiirlicher Zahlen ab und ordnet diesen offene
Mengen G^y^, Gy^^i^^, ... zu, | so liefert Bl.6
O Gy^ Giy^ y^ G
V-i '^V\t>2^^^1 ^2^3
erstreckt liber alle Zahlenfolgen {1^1,1^2,1^3,- • •) die Sousli7ische7i MengeTi; wahrend
andererseits
die CoTupleTneTite der Sousli7ische7i MengeTi liefert, falls ^1,^2,-•• eine Folge
von Complexen bildet, die von jeder Zahlenfolge (1^1, z^2, • • •) (mindestens)
einen Abschnitt ^ = (1^1,1^2, • • •, ^fc) enthalt, und (Ci, ^2, • • •) alle solchen Complexfolgen
durchlauft (P. Alexandroff, Sur les ensembles complement aires aux
ensembles (A), Fund. math. 4 (1923), S. 160-165; Sur I'invariance topologique [3]
des ensembles complementaires aux ensembles (A), Recueil Math. Moscou 31,
2 (1923), S. 310-318).
[Dies ist sehr einfach zu beweisen. Sei A — &Fy^Fy^y^ • • • eine Souslinsche
Menge, oder eine durch den Souslinschen Process aus den Mengen F^ gebildete
Menge; ^ = (i/i,..., i/;.) durchlauft die endlichen Complexe natiirlicher
Zahlen. G^ = P — F^ sei das Complement von F^ und B = & G^^ G^^ • • • die
571

durch den Alexandroffschen Process gebildete Menge, d. h. zu jeder Zahlenfolge
(z/i, 1/2, • • •) kommt in ^i,^2, • • • ein Abschnitt vor, und ^1,^2, • • • durchlauft
BL6v alle solche Complex- | folgen (7-Ketten, wie sie A[lexandroff] nennt). Dann
ist B = P — A das Complement von A. In der That: x e A heisst: es
giebt mindestens eine Zahlenfolge (z/i, z>'2, • • •) derart, dass fiir jeden Abschnitt
^ = (^1), (^1, ^2)5 • • • von ihr X e F^. y e A heisst also: flir jede Zahlenfolge
(i/i, 2^2,...) giebt es mindestens einen Abschnitt ^ derart, dass y nicht 8 F^ ,
sondern also y e G^. Denkt man sich bei festem y also zu jeder Zahlenfolge
(z/i, z>'2,...) einen (etwa den kleinsten) Abschnitt ^ bestimmt, fiir den y e G^,
so erhalt man eine Folge von Abschnitten ^1,^2, •• • , die eine 7-Kette bilden,
d.h. ye G^^G^^ " ^ V ^ B^ also A ^ B. Und umgekehrt: ist y 8 5 und
y 8 G^^G^^ • • • , so giebt es fiir jede Zahlenfolge (z^i, 1^2, • • •) einen Abschnitt ^
derart, dass y e G^ ^ also nicht y e F^ ^ nicht y e Fy^F^^y^ • • • , nicht y s A:
B ^ A. Demnach B — A. Man kann die Souslinschen Mengen im gewohnlichen
Sinn dadurch erhalten, dass man die F^ abgeschlossen wahlt, die G^ also
offen (aber auch umgekehrt).]
[4] Topologische Invarianz der Form A : Jede mit A = $(Gi, G2, • • •) homoomor-
Bl. 7 phe Menge B (eines metrischen Raumes Q) ist in der Form \ B — ^{Ti^T2^ • •.)
darstellbar, mit derselben Function ^ und mit offenen Mengen F^ des Raumes
Q.
(Satz V. Sierpinski; vgl. die obige Arbeit C. R. 171, wo das Resultat thatsachlich
in dieser allgemeinen Form herausgelesen werden kann, obwohl es sich dort
nur um die den Borelschen Mengen entsprechenden Functionen $ handelt.)
[•••V
Bl.8 I Hieraus folgt die topologische Invarianz der „offenen"! Borelschen Mengen
bestimmter Klasse (jede mit einer Borelschen Menge A der Klasse ^ a
homoomorphe Menge B ist wieder eine solche; ist A genau von der Klasse a,
so auch B. AUerdings machen hier die offenen Mengen G selbst zunachst eine
Ausnahme: man kann G in der Form (1) etwa als G = G1G2 - - - mit Gn = G
darstellen; jede damit homoomorphe Menge ist dann = rir2 • • • , d. h. ein Gs •
Dass einem G wieder ein F entspricht, kann man auch allgemein nicht beweisen
- wenn z.B. P und Q euklid[ische] Raume verschiedener Dim[ensionen]zahl
sind, ist es nicht richtig. Aber mit den Gs sind die Gs homoomorph (S. Ma-
[5] zurkiewicz, Bull. Acad. Sci. Cracovie 1916), mit den Gsa die Gsa usw.).
Ferner die Invarianz der Souslinschen Mengen (von P. Urysohn bemerkt)
und die ihrer Complemente (P. Alexandroff a. a. O.), sowie auch der Mengen,
die man durch wiederholte Anwendung des Souslinschen und Alexandroffschen
Processes erhalt.
Dass auch die „abgeschlossenen" Mengen F^ topologisch invariant sind, ist
[6] damit nicht bewiesen. Es gilt fiir (beschrankte) F, ferner Fa-, F^s (Mazurkie-
^Wir iiberspringen den Beweis des Satzes iiber die topologische Invarianz auf Bl. 7 und
7v, weil er in leicht verbesserter Form in HAUSDORFFS Mengenlehre, § 38, Satze I und II,
572

wicz), FaSa , aber dariiber hinaus ist es fraglich und nur das sicher, dass einem
F^ ein G^+^ entspricht. | BL8v
Das Complement B der Menge A = (1) lasst sich, wenn Gn das Complement
Fn hat, stets so darstellen:
B = KD Fp^Fp^"
p
wenn P — (pi,P2,---) alle endlichen und unendlichen Complexe natiirlicher
Zahlen (die Menge dieser Complexe sei ^) durchlauft, die so beschaffen sind:
jede Folge N = (ni,n2,...) hat mit P mindestens eine Ziffer gemein. In der
That: y e A heisst: fiir kein N = (ni,n2,...) gehort y zu Gn^Gn2 ''' \ f^^
jedes N giebt es eine Ziffer rik (nehmen wit etwa die erste) mit y e Fn,^; diese
rik bilden einen der Complexe P; y e Fp^Fp^ • • • . Also A ^ B, Umgekehrt:
y ^ B heisst: es giebt einen Complex P mit y s Fp^Fp^ • • • ; da jedes N eine
Ziffer mit P gemein hat, kann niemals y e GniGn2 '' * sein; y e A; B ^ A.
Also A das Complement von B. - Man kann dasselbe aus der Darstellung
or
B = ^{FnAFnA"-)
N
durch das distributive Gesetz erkennen.
Die topologische Invarianz der Mengen B, selbst wenn man darin statt der
Fn offene Mengen setzt, ist aber wegen der ev[entuell] endlichen Complexe P
zweifelhaft.
Anmerkungen
[1] HAUSDORFF betrachtet streng wachsende Folgen; s. Anm. [43] zu Mengenlehre.
[2] SiERPiNSKi zeigt in [Si 1920] folgendes (die Notation von Mengenlehre, § 32
zugrunde gelegt): Fiir jedes a > 1 gibt es eine Operation ^Q;(GI, G2, G3,...),
welche, angewendet auf beliebige Folgen offener Mengen Gn, alle Mengen G^
und nur diese liefert. Ferner gilt:
erscheint.
De plus, pour a > 1 nous pouvons supposer la fonction ^a telle que tout
point p qui appartient a I'ensemble E = ^0(^1,^2,^3, -- -), appartient
a una infinite des ensembles Gn . On voit aussi sans peine que si
p-$a(Gi,G2,G3,.--), Q = $a(ri,r2,r3,...)
et si, p etant un point de P, g est un point qui appartient a Tk pour
tout indice k pour lequel p appartient a Gk , alors q est un point de Q.
([Si 1920], S.25.)
573

[3] HAUSDORFF zitiert [Al 1924] und [Al 1923]. Die Angaben zu [Al 1924] sind
nicht korrekt: an Stelle von 4 (1923) mufi es 5 (1924) heiBen; die Seitenangaben
sind korrekt. Es scheint zunachst merkwiirdig, da6 in einem Manuskript
vom 30.9.1923 eine Publikation aus Fundamenta Mathematicae 5 (1924) mit
einer friiheren Jahresangabe zitiert wird (HAUSDORFF war im allgemeinen sehr
korrekt in seinen Zitaten). Vermutlich war es so, dafi das Herbstheft der Fundamenta
von 1923 in den Band 5 (1924) aufgenommen wurde, da Band 4 (1923)
schon recht umfangreich war (es gibt zwei Bande fiir 1924, aber nur je einen
fiir 1923 und 1925). HAUSDORFF hatte die Fundamenta abonniert und bekam
so die Hefte einzeln nach Erscheinen zugeschickt.
Der Briefkontakt zwischen ALEXANDROFF und HAUSDORFF begann im April
1923, der erste personliche Kontakt fand im Juli 1924 statt. Im Briefwechsel
gibt es keinen Hinweis auf ALEXANDROFFS Artikel [Al 1924], welcher laut einer
Fufinote auf S. 165 bereits 1922 fertig war.
[4] In diesem Satz ist es wichtig, dafi die „Basis" OT von ^ aus streng wachsenden
Folgen besteht; s. Anm. [108] zu Mengenlehre.
[5] Beziiglich MAZURKIEWICZ verweist HAUSDORFF hier auf [Ma 1916]. ALE­
XANDROFF bewies die Invarianz von co-Suslinmengen in [Al 1924]. HAUS-
DORFFs Hinweis auf URYSOHN beziiglich der Invarianz der Suslinmengen konnte
nicht durch eine Publikation verifiziert werden; vermutlich bezog sich HAUS­
DORFF hier auf die Anerkennung, die ALEXANDROFF diesbeziiglich in der Einleitung
von [Al 1924] seinem Preund URYSOHN gezoUt hatte. Wahrscheinlich
war aber schon seit der Entdeckung der Suslinmengen ein viel starkeres Resultat
bekannt, namlich dafi stetige Bilder von Suslinmengen wieder Suslinmengen
sind; s. dazu Anm. [103] zu Mengenlehre.
[6] Das Problem wurde von LAVRENTIEFF in [Lv 1924a], [Lv 1924b] gelost;
s. Satze IV und II* in Mengenlehre, § 38, und die Anmerkungen [111] und [112]
zu Mengenlehre.
NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 431
[Projektivitat der ^5-Funktionen]
Hs.Ms. - [Bonn], 7.-8.8.1932. - 33 BU. Abgedruckt sind Bll. 12-17.
6s-Funktionen
Al, A2,... sei eine Mengenfolge. Ist P eine (nicht leere) Menge natiirlicher
Zahlen, P = {ni,n2,...} (endlich oder abzahlbar), so sei zur Abktirzung
574
p

^ sei ein (nicht leeres) System solcher Mengen; wir bilden dann
A=&Ap^^{Ai,A2,...).
p
Die von ^ abhangige Funktion $ der Mengen ^1,^2,-- heisst eine 5s-
Funktion dieser Mengenfolge (es werden erst Durchschnitte Ap aus endlich
oder abzahlbar vielen Mengen An, d.h. Mengen A5, sodann eine Summe A^^
aus beliebig vielen Mengen As gebildet).
Beispiele: A = AiAsA^ h A2A4AQ • • • .
Hier besteht ^ aus den zwei Mengen P — {1,3, 5,...}, {2,4,6,...} .
A = {Ai ^ As -\- A^ ,.,) {A2 -\- A4 + AQ ...).
Das giebt entwickelt A = & An-^An^^ iiber alle ungeraden ni und geraden
n\n2
n2 erstreckt; ^ besteht aus den Mengen P = {ni,n2}.
Offenbar ist stets A1A2 •" ^A^ Ai+A2^ . Insbesondere ^{A, A,...) =
A; jede Menge ist 6s-Funktion einer geeigneten Mengenfolge. | Bl. 13
Eine fiir alle Mengenfolgen ^1,^2,... definierte Funktion A = ^{Ai,A2,...)?
wobei A wieder eine Menge und nicht stets =0 ist, heisse analytisch (Kantorovitch
u. Livenson, F. M. 18), wenn fiir jedes Element a und jedes n = 1, 2,... [1]
das Bestehen oder Nichtbestehen von a e An liber das Bestehen oder Nichtbestehen
von ae A entscheidet, oder: ist zugleich B = ^{Bi,B2, • • •) und ist
fiir jedes n gleichzeitig a e An, b e Bn oder gleichzeitig ae An, beBn, so
ist auch gleichzeitig a e A, b e B oder ae A, beB. Das lasst sich auch so
aussprechen: Wenn ae A, beB, so giebt es ein n, wofiir
entweder (a) a e An, b e Bn,
oder ((3) aeAn, b e Bn-
Wenn dabei immer der Fall (oc) eintritt, heisse $ positiv analytisch.
Z. B. ist Ai —A1A2 eine analytische (aber nicht positiv analytische) Funktion
von Ai, A2, As, ... . Denn a e Ai — A1A2 ist gleichbedeutend mit a e Ai,
a e A2', b e Bl — B1B2 ist gleichbedeutend damit, dass wenigstens eine der
Relationen be Bi, be B2 besteht.
Die 6s-Funktionen sind positiv analytisch. Denn zunachst ist A ^ A1A2 - • -
V _ ^
nicht stets 0. Wenn ferner a e &Ap, b e &Bp, I so giebt es ein P mit BL14
a e Ap, wahrend zugleich b e Bp ist; demnach giebt es ein n e P mit be Bn,
wahrend zugleich a e An ist.
Umgekehrt ist jede positiv analytische Funktion A = ^{Ai, A2,...)
eine bs-Funktion.
Zunachst ist ^1^12 • • • i A ^ Ai + A2 H . Denn: sei B = ^{Bi,...) D 0, [2]
beB. Wenn a e A1A2 • • • nicht zu A gehorte, ware fiir ein n ae An {be Bn),
was unmoglich ist. Ferner sei a e A, b irgend ein Element 8 B; dann ist a e An
{be Bn) fiir ein n, also ae Ai-{ .
575

Sei nun ^^ {n = 1,2,... ) das System der P, die die Zahl n enthalten, also
P 8 ^n mit ne P gleichbedeutend. Sei
q3 = $(*Pi,*P2,...)-
Da ^1^2 • • • I^ 0 (dieser Durchschnitt besteht aus der einen Menge {1,2,..,}),
Bl. 15 I so ist ^ D 0; ferner enthalt q}^, ^i+^2H und ^ lauter Elemente P D 0.
Wir behaupten ^ = &Ap.
p
Nennen wir die Summe rechterhand zunachst 5, so ist zu zeigen:
A^S. Sei a e A^ P die Menge aller n, ftir die a e An (P D 0 wegeri
a e Ai -\- A2 -\-' " ), also a e Ap. Ware P e ^, so gabe es ein n mit a e An,
P 8 ^n; aber ae An ist mit n 8 P und P 8 ^n gleichbedeutend. Also P 8 ^,
a e S.
S ^ A. Sei a 8 5, etwa a 8 yip, P 8 ^. Ware ae A, so gabe es ein n mit
a 8 An, P 8 ^n; die letzte Formel fiihrt zu n 8 P und wegen a e Ap ^ An
zum Widerspruch. Also ae A.
Die 6s-Funktion
0
5 = ^(^1,P2,...) = 6^Q
Q
(mit analogen Bezeichnungen wie zuvor: Q D 0 Menge natiirlicher Zahlen,
Q
5Q = S)5n? O ID 0 ein System solcher Q) heisst zur Punktion
n
A = ^AuA2,,..) = &Ap
p
Bl. 16 komplementdr, \ wenn folgendes gilt: sind alle An in einer Menge R (Raum)
[3] enthalten und Bn = R — An, so ist B = R — A.
Die Existenz einer komplementaren 6s-Funktion ^ zu jeder 6s-Funktion
$ ist so zu zeigen. Man erhalt durch Komplementbildung {Bn = R — An,
B = R — A) zunachst die ad-Funktion
P n
Dies B ist eine positiv analytische Funktion von Pi, P2, • • • und daher eine
6s-Funktion. Ubrigens kann man diese sehr leicht angeben: es sei Q eine Menge
natiirlicher Zahlen, die mit jedem P mindestens ein Element gemein hat, QP D
0, und Q das System dieser Q (£} DO, da z.B. Q = {1,2,...} ein solches Q
ist, und jedes Q D 0). Dann ist
n
B = (5BQ.
Q
576

Nennen wir die rechte Seite 5, so ist zu zeigen:
B '^ S. Sei 6 8 JB, also flir jedes P be B^, also flir mindestens ein Element
np e P: b e Bnp- Sei Q die Menge, die von den verschiedenen rip gebildet
wird, so ist beBq, \ QP D 0 flir jedes P, Q e Q, b e S. Bl. 17
5 ^ B. Sei 6 8 5, 6 8 BQ, es giebt also fiir jedes P ein Element np e PQ,
6 8 Bnp g B^ fiir jedes P, beB.
Eine bs-Funktion von bs-Funktionen ist wieder eine 8s-Funktion. [4]
Genauer: A = ^(Ai,A2,...) sei 6s-Funktion und fiir jedes ?7i = 1,2,... sei
Am = ^rn{Ami^Am2, • • •) eine 5s-Funktion. Hierdurch wird A = ^(An, A12,
^421,...) eine Funktion der Mengen-Doppelfolge Amn] sie ist, so wird behauptet,
eine 6s-Funktion. Dazu zeigen wir, dass sie positiv analytisch ist. Sie ist
jedenfalls nicht identisch 0 (alle Amn gleich gesetzt, Amn = C*, giebt Am = C,
A = C). Wird ferner Bm = ^m(^mi,^m2, •^.). ^ = ^(^1,^2,...) =
^(^11, JBI2,-S2I, ...) gesetzt und ist a 8 A, 6 8 JB, SO giebt es ein m mit
a 8 Am^ 6 8 Bm und demnach ein n mit a e Amm ^ ^ Bmn •
Anmerkungen
[1] HAUSDORFF bezieht sich hier auf [KL 1932].
Demnach ist $ analytisch, wenn die Giiltigkeit oder Ungiiltigkeit von a G
A = $(^1,^2,...) voUstandig durch die Menge P{a) = {n : a e An} bestimmt
wird. (Operationen dieser Art werden in [H-AK 1937] und [Ly 1953]
mengentheoretische Operationen genannt.) Sei ^ = V{^) das System aller
Mengen P, so daB P{a) = P die Inklusion a G ^{Ai,A2,...) impliziert.
(Alternativ, ^{^) = ^jP^} , wo Bn = {P Q^ i n e P}.) Dann ist offenbar
WO
Af =
^{An} = {aeX:P{a)e^}= \J fj ^n , U)
An wenn n ^ P
An = X \ An , das Komplement, wenn n ^ P
und X ist irgendeine feste Menge mit Un ^'^ — ^ • -^^^^ ^^^ ^^^ allgemeine
Form einer analytischen (nicht notwendig positiv analytischen) Operation $
mit der Basis ^.
Die Operation ist positiv genau dann, wenn die Implikation a ^ A => 6 G A
mit P{a) C P(6) gleichbedeutend ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung
fiir Positivitat ist die Erblichkeit der Basis ^, d. h. es gilt P G ^==>Q G ^
genau dann, wenn P C Q C N ist.
6s-Operationen sind dagegen folgendermafien definiert:
^v{^n} = &Ap= \J f]An, WO Ap=f]An. (2)
^ Pe'^n.eP n&P
577

Wenn ^ erblich ist, dann ist (1) aquivalent zu (2). Andererseits ist ^^3 = $^,
wobei ^ = {QCN:3PG^(PCQ)} (die vollstandige Basis) erblich ist.
Folglich sind, wie HAUSDORFF auf der nachsten Seite zeigt, 6s-Operationen (2)
und positiv analytische Operationen ein und dasselbe.
HAUSDORFF betrachtet gewohnlich nur Operationen mit N als Indexmenge.
Die Indexmenge kann aber jede hochstens abzahlbare Menge / sein; die Basen
^ bestehen dann aus Teilmengen von / und die Operationen $

M M ^^
Mengen D /i (/i 8 M), so ist ^A^ = ^A^\ M heisse die Maximalbasis fiir [1]
^. 1st Dm das System aller u (c A), die m enthalten, so ist D^ = H^rn
das System aller ly D fi^ also
SoUen $, ^ (zu M, iV gehorig) identisch, d.h. fiir jedes Mengensystem Am
^{Am) = "^{Am) sein, so ergiebt sich fiir Am, = Dm - M = N als notwendige
und hinreichende Bedingung.
Die entsprehende „komplemeiitare" analytische Funktion (dd-Funktion)
M fi
^{Am) = l[A>', A'' = Y,Am
/J, m
lasst sich in der urspriinglichen Form (6s-Funktion)
AT
^{Am)=J2^-
I ausdriicken, wo u das System N der Mengen durchlauft, die mit jedem fi e M Bl. iv
nichtleeren Durchschnitt haben. Hier ist bereits N = N die Maximalbasis fiir
^.
Wann ist fiir jedes Mengensystem ^21 C ^21? (^, ^ zu M, AT gehorig; $21 [2]
das aus ^(Am) fiir Am e 21 entstehende Mengensystem).
Antwort: dann und nur dann, wenn N = (p{M). Hier bedeutet ^{m) eine [3]
eindeutige Abbildung von A in sich, (/?(//) das Bild von fi (Menge aller Bilder
(fi{m) fiir me fi), ^{^) das Bild von M (Menge aller Bilder (^(/i) fiir fxe M).
N _
Beweis. Fiir das System 1) der Mengen Dm soil "^{Dm) = XI ^^ ~ ^ ^^^^
M
Menge aus $2), d. h. von der Form J2 ^M ^^i^' ^^ ^^ ^ ^' d- ^- ^^ "= ^(^(m)•
At
D(p(m) ist die Menge der z/, die (f{m) enthalten, ^/x = 11 ^^{m) die Menge der
m
M M ^
V, die (/?(/i) enthalten, sodass (y?(//) 8 ^^ und (^(M) = X^ (/p(/i) C X] A^ = iV;
also (/?(M) C N = N; andererseits ist N C ^^(M), denn v e N = Y1A,_,
bedeutet, dass es ein fi gibt mit u e A^, d.h. z/ D ^(/i), also z/ 8 (f{M).
Demnach ist N — (p{M) notwendig. | Diese Bedingung ist auch hinreichend, Bl. 2
N
denn dann ist fiir jedes Mengensystem 21 mit Am e 21 : ^(^m) = Z]^^ —
579
m

und es sei
^(-^j ^ / ^ / ^ ^iJi^ •) -^MC ^^ -^mixi ' •t^miXim2X2 ' ' ' ' .
Nun definieren wir
^muk^kiO = ^rufc, falls ^k der k. Abschnitt von ^ ist,
^fj'kVkiO = ^k-j-\-i, falls rjk 7^ ^fc und j die erste DifFerenzstelle zwischen
^k und r)k ist (1 ^ j ^ k).
Fiir diese B = B{^) gilt:
Ist /i 8 M^, so ist stets JB^^^^ = Am,,, ^^^^ = Am^Am^ -•' = A^.
Ist /i 8 Mr,, T] ^ ^, so ist {j die erste Differenzstelle zwischen ^ und 77)
fiir k^j B,,^rik = ^fc-i+i , ^/.r/ C f] ^fc-^+i = A1A2A3 • • • .
Demnach ist
und hier ist das zweite died C A1A2AS ... , also in jedem A^ enthalten, das
erste = Yl ^M. also ^(^) := ^l A^ = ^^{A). Q. e. d.
Anmerkungen
[1] ^21 ist das System aller Mengen, welche durch Anwendung der Punktion
^ auf Folgen von Mengen aus 21 entstehen. Die Inklusion C bedeutet hier C .
J2 bezeichnet hier die Vereinigung belrebiger Mengen (und nicht notwendig
paarweise disjunkter).
[2] HAUSDORFF bezieht sich hier auf [Si 1930].
[3] Die Indexmenge von ^ als einer 6s-Operation besteht aus alien Paaren
der Form (fik^^k) (offensichtlich hat man davon nur abzahlbar viele). Die
Basis besteht aus Mengen der Form {{fi\k,^\k) : k > 1}, wo ^ G \^^ und
/i G M^ (auch eine Folge in h\^) ist. HAUSDORFF zeigt folgendes: Ist A ~
^^(^1, ^2,...) ? dann kann man A auch erhalten, indem man ^ auf ein umgeordnetes
System derselben Mengen Ak mit passend geanderten Indizes anwendet.
581

NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 437
Abkiirzung der Existenzbeweise, Mengenl[ehre] § 33
Hs. Ms. - [Bonn], 12.12.1935. - 2 BU.^
Abkiirzung der Existenzbeweise, Mengenl. § 33.
12/12 35
M M
Es sei ^{Am) = ^A^ = ^Am^Am^ •'' eine 6s-Funktion (/i == (mi,m2,...)
durchlauft eine Menge M im Baireschen Nullraum /). il = (t/i, /72,...) sei eine
Folge von Mengen ebenfalls in /. Jede Menge aus $il hat die Form ^(^4^)
mit Am e it, d.h. Am = Ux^i wo ^ = (xi,a:2,...) eine Folge natiirlicher
[1] Zahlen ist; wir schreiben sie demgemass
M /i
M A;
Da ^ und ^4^ im selben Raum / liegen, kann die Menge A — E [^^ A^]
gebildet werden. Es ist
M ^i M fi M /J.
^ ^ k IJi k ^ iJb k
(dieselbe ^-Funktion wie oben), wobei
^ ^ k k
•^ km ^^ fv i^m ^^^ ^J 5
da Xm stetige Funktion von ^ ist, ist Fkm abgeschlossen. I — A ist nicht in
^il enthalten, da [^ e A^] = [^ e A] =^ [^ e I - A] und also I - A ^^ A^ fiir
B1.2 jedes ^. I
Bildet il eine Basis der offenen Mengen in /, so sind die Bm Borelsche
Mengen. Stellt $ genau die analytischen Mengen dar, so ist auch A analytisch,
I — A nicht, A nicht Borelsch. Stellt ^ genau die Borelschen Mengen
G, G(5, Gsa, • • • 5 GA, ... dar, so ist A und I — A Borelsch, aber I — A kein
Gx. - Die Borelschen Mengen in ihrer Gesamtheit kann ^ nicht darstellen, da
sonst I — A Borelsch und doch e $il sein miisste.
Wenn E voUstandig ist und sein perfekter Kern 7^ 0, so enthalt E die Menge
I topologisch. Auch E enthalt dann Borelsche Mengen, die genau von beliebig
hoher Klasse sind, und analytische nicht-Borelsche Mengen.
^Vor dem Datum hat HAUSDORFF mit andersfarbenem Stift notiert: Diagonalverf.
582

Anmerkungen
[1] Die Idee hinter der Definition von ^4^ ist folgende: Die Menge aller Paare
(^, z) mit ^ G N'^ und z ^ A^ ist eine universelle ^2l-Menge.
Kommentare
KANTOROVITCH und LIVENSON haben in ihrem grundlegenden Memoir on
the analytical operations and projective sets ([KL 1932]) zur Geschichte dieser
Operationen folgendes bemerkt:
The first known (not elementary) analytical operation was (A )-operation
of SOUSLIN. Then in 1927 Mr. HAUSDORFF and independently of him
Mr. KOLMOGOROFF introduced a very wide class of analytical operations,
called by Mr. HAUSDORFF bs-operations. ([KL 1932], S. 216.)
Dazu seien einige Anmerkungen erlaubt. Nach allem, was wir wissen, kann
HAUSDORFFS Studium von 6s-Operationen bis zu dem oben abgedruckten Faszikel
152 vom 30.9.1923 zuriickverfolgt werden. Die Kerneigenschaft dieser
Klasse von Operationen, namlich dafi es nur von der Menge {n i x ^ Xn}
abhangt, ob x G $(Xi,X2,...) ist, wurde bereits etwas frliher von SiER-
PINSKI fiir Operationen beobachtet und herausgestellt, die in natiirlicher Weise
mit den Borelschen Klassen zusammenhangen (s. Anm. [2] zu Fasz. 152). HAUS­
DORFFS friihe Studien liber 6s-Funktionen finden ihre Fortsetzung in Fasz. 160
vom 9.4.1924, in dem Resultate enthalten sind, die den Satzen I und H des
§ 18 der Mengenlehre entsprechen. Andererseits taucht die allgemeine Idee der
6s-Operation in der Vorlesung Mengenlehre und Theorie der reellen Funktionen
vom Wintersemester 1921/22 (Fasz. 42) noch nicht auf, obwohl dort Borelmengen
und die SuSLiNsche A-Operation betrachtet werden. Diese Vorlesung war
ein Vorlaufer des Buches Mengenlehre (s. dazu die historische Einfiihrung am
Beginn dieses Bandes). Somit kann man den Zeitraum, in dem HAUSDORFF die
6s-Operationen entdeckt hat, auf die Jahre 1922-1923 eingrenzen.
Zu Beginn der 20-er Jahre wurden die 6s-Operationen unabhangig von HAUS-
DORFF auch von KOLMOGOROFF entdeckt, damals studentisches Mitglied der
Moskauer mengentheoretischen Arbeitsgruppe unter LusiN.'^ KOLMOGOROFFS
Manuskript datiert vom Januar und Februar 1922. Veroffentlicht wurde es teilweise
in [Km 1928] und teilweise erst kiirzlich in KOLMOGOROFFs Gesammelten
Werken ([Km 1928/1993]).^ KOLMOGOROFF entdeckte insbesondere, dafi
die Kategorie der 6s-Operationen abgeschlossen gegeniiber Superposition und
^Es ist vielleicht den Schwierigkeiten der internationalen wissenschaftlichen Kommunikation
mit der Sowjetunion in den 20-er und vor allem in den 30-er Jahren geschuldet, da6
HAUSDORFF KOLMOGOROFFS Note [Km 1928] nicht in seiner Publikation [H 1933a] und auch
nie in seinen Studien im Nachlafi erwahnt hat.
^Dieser zweite Teil der KOLMOGOROFFschen Studien enthalt unter anderem die Definition
der R-Transformation. Dieser Teil war in Manuskriptform sowohl KANTOROVITCH und
LIVENSON als auch LYAPUNOV zuganglich.
583

Komplementbildung ist. Diese Tatsache ist in HAUSDORFFS Mengenlehre nur
implizit enthalten und liegt dort dem Beweis zugrunde (in § 18.3), dafi es fiir
jede Klasse K der Borelschen Hierarchie eine 6s-Operation mit einer Borel-
Basis gibt, die angewendet auf abzahlbare Folgen abgeschlossener Mengen alle
Mengen von K und nur diese liefert.
Der Terminus "6s-Operation" selbst kommt vor dem Erscheinen der Mengenlehre
im Jahre 1927 weder in HAUSDORFFS nachgelassenen Manuskripten
noch sonst irgendwo vor. Mittlerweile sind die 6s-Operationen auch unter dem
Namen „Hausdorff operations" bekannt; dies geht auf SlERPlNSKi zuriick, der
in [Si 1930] von „operations de M. HausdorfF" gesprochen hatte. HAUSDORFF
wiederum hatte erwogen, sie im Hinblick auf [Si 1920] nach SlERPlNSKi zu benennen
(s. dazu [H 1933a]). Allerdings kommen die 6s-Operationen in [Si 1920]
nicht explizit vor. Vom historischen Standpunkt aus sollten diese Operationen
Hausdorff-Kolmogorojf- Operationen heissen.
Fasz. 431 ist eine gut geschriebene kurze Einfiihrung in die Thematik der
6s-Operationen und konnte eine Erweiterung von § 18.3 der Mengenlehre darstellen.
Die Note schliefit Satze liber Superposition und die komplementare
Operation ein und behandelt die Beziehungen zwischen 6s-Operationen und
analytischen Operationen. HAUSDORFFS Hauptquelle war vermutlich das "Memoir"
[KL 1932] von KANTOROVITCH/LIVENSON. Er hat jedoch eine grofie Arbeit
geleistet, um die manchmal vage Darstellung in [KL 1932] zu verbessern
und durchsichtiger zu gestalten. Die folgende Besonderheit verschafft Fasz. 426
(abgedruckt weiter unten unter Punkt 5.) und weiteren einschlagigen Noten
HAUSDORFFS einen bemerkenswerten technischen Vorteil: Bei ihm bestehen
die Basen von analytischen oder von 5s-Operationen aus Mengen von natiirhchen
Zahlen anstatt aus unendhchen Folgen von natiirlichen Zahlen (oder aus
irrationalen Zahlen, die solchen Folgen entsprechen, wie in [KL 1932]).
In Fasz. 438 wird untersucht, wann eine 6s-Operation $ starker als eine andere
5s-Operation ^ ist in dem Sinne, dafi ^21 C $21 fiir jedes Mengensystem
21 gilt. Es wird eine einfache notwendige und hinreichende Bedingung dafiir
angegeben. Fasz. 435 enthalt eine Verbesserung des Beweises von SlERPlNSKi
(publiziert in [Si 1930]), dafi fiir jede Menge F von 6s-Operationen (mit Indexmenge
N), welche die Machtigkeit des Kontinuums hat, eine 6s-Operation
existiert, welche starker ist als alle Operationen in F.
Schliefilich beweist HAUSDORFF in Fasz. 437 folgendes: Ist il eine abzahlbare
Basis des Baireschen Raumes N*^ und $ irgendeine 6s-Operation (mit abzahlbarer
Indexmenge), dann gestattet die Klasse ^il eine Universalmenge^ d. h. es
gibt eine Menge W C N^ x N^ in ^il, so dafi jede Menge X C N^ der Klasse
$il die Form X = Wx = {y • {x,y) ^ Wm} hat mit einem geeigneten x G iNl"^.
In diesem Fall zeigt CANTORS Diagonalargument, dafi A = {x : x ^ Wx} eine
"echte" Menge in $il ist, d. h. A gehort zu $il, aber nicht zur komplementaren
Klasse. Dies ist eine wesentliche Abkiirzung der Argumentation in
§ 33 der Mengenlehre (wo C die RoUe von N spielt). Eine weitgehend ahnliche
Konstruktion hat KOLMOGOROFF in [Km 1928] vorgeschlagen.
Die 6s-Operationen sind in der Mengenlehre immer ein Gegenstand von ei-
584

nigem Interesse gewesen. Wir werden hier kurz einzelne besondere Ergebnisse
angeben (in [Ka 1988] wird ein vollstandigerer Uberblick gegeben).
Verallgemeinerte Quantoren. Wenn / irgendeine festgehaltene Indexmenge
ist und Q C

veroffentlicht worden (s.einige diesbeziigliche Bemerkungen in [Ka 1988], §6).
Abzahlbar determinierte Mengen. Eine sehr fruchtbare moderne Anwendung
von 5s-Operationen hat man in der Nichtstandard-Analysis gefunden. In diesem
Zweig der Mathematik betrachtet man extrem nichtseparable Raume mit einer
Borelstruktur, welche durch ein System von internen Mengen erzeugt wird. Von
letzteren nimmt man gewohnlich an, da6 sie die Eigenschaft der abzdhlbaren
Saturiertheit besitzen. In diesem Fall werden die Mengen der Form ^{XnjnetN ,
wo alle Xn interne Mengen sind und $ eine 6s-Operation ist, abzahlbar determinierte
Mengen genannt. Diese Familie enthalt alle Borelmengen und gestattet
eine Reihe tiefer und nichttrivialer Theoreme (s. [KKML 1989], und vom
Standpunkt der axiomatischen Nichtstandard-Analysis [KR 2004]). Es sei noch
angemerkt, dafi das System der abzahlbar determinierten Mengen in IR oder
in jedem beliebigen anderen polnischen Raum mit dem aller Teilmengen des
Raumes zusammenfallt, eben well $ eine beliebige 6s-Operation ist.
Literatur
[Al 1923] ALEXANDROFF, P.: Sur Vinvariance topologique des ensembles
complementaires aux ensembles (A)^ Recueil Mathematique de la Societe
Math, de Moscou (MaxeMaTHMecKHH C6OPHHK), 31 (1923), S. 310-318.
[Al 1924] ALEXANDROFF, P.: Sur les ensembles complementaires aux ensembles
(A), Fund, math., 5 (1924), S. 160-165.
[Bu 1982] BURGESS, J.: What are R-sets, in: Patras Logic Symposion, Patras
1980 (G. METAKIDES, ed.). Stud. Logic Found. Math. 109, North-
Holland, 1982, S. 307-324.
[Bu 1983] BURGESS, J.: Classical hierarchies from modern standpoint^ Fund.
Math., 115 (1983), S. 81-105.
[Ka 1988] KANOVEI, V.: Kolmogorov^s ideas in the theory of operations on
sets, Russian Math. Surveys, 43 (1988, 6), S. 111-155.
[KR 2004] KANOVEI, V., REEKEN, M.: Nonstandard Analysis: Axiomatically,
Springer, 2004.
[KL 1932] KANTOROVITCH, L.; LIVENSON, E. : Memoir on the analytical
operations and projective sets, /, Fund. Math., 18 (1932), S. 214-279.
[KL 1933] KANTOROVITCH, L.; LIVENSON, E. : Memoir on the analytical
operations and projective sets, II, Fund. Math., 20 (1933), S. 54-97.
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.
[KKML 1989] KEISLER, H.; KUNEN,K.; MILLER, A.; LETH,S.: Descriptive
set theory over hyperfinite sets, J. Symbolic Logic 56 (1989), S. 1167-1180.
586

[Km-1928] KOLMOGOROFF, A.: Operations sur des ensembles (Russisch),
Matem. Sb., 35 (1928), S. 414-422. (Das Manuskript datiert vom Januar
1922.)
[Km 1928/1993] KOLMOGOROFF, A.: On operations on sets, II, in: Selected
Works of A. N. Kolmogorov, Vol. Ill: Information Theory and the Theory
of Algorithms (A. SHIRYAEV, ed.), Kluwer, 1993, S. 266-274. (Das
Manuskript datiert vom Februar 1922.)
[Lv 1924a] LAVRENTIEFF, M. : Sur la recherche des ensembles homeomorphes,
C. r. Acad. sci. Paris, 178 (1924), S. 187 - 190.
[Lv 1924b] LAVRENTIEFF, M. : Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes,
Fund. Math., 6 (1924), S. 149-160.
[Ly 1953] LYAPUNOV, A.: R-sets (Russian), Trudy Mat. Inst. Steklov, 40
(1953), S. 1-68.
[Ma 1916] MAZURKIEWICZ, S.: Uber Borelsche Mengen, Bull. Acad. Sci.
Cracowie, 2 (1916), S. 490-494.
[Si 1920] SlERPiNSKi, W.: Sur les ensembles mesurables B, C. r. Acad. sci.
Paris, 171 (1920), S. 24-26.
[Si 1930] SiERPiNSKi, W.: Sur une propriete des operations de M. Hausdorff,
Fund. Math., 16 (1930), S. 1-6.
[H-AK 1937] XAYC^IOP^, ^.: Teopu^ Muootcecme, M. OHTM, 1937. (Russische
Ubersetzung von „Mengenlehre^\ s.dazu Punkt 6. der historischen
Einfiihrung am Beginn dieses Bandes.)
587

2. Mengensysteme, Borelmengen, Trennbarkeit
Neben den 6s-Operationen (s. o. Abschnitt 1.) und den reduziblen Mengen (s. u.
Abschnitt 4., ferner Band II dieser Edition, S. 782-784) gab es im Themenbereich
der abzahlbaren Borel-Operationen und deren Wirkung auf Mengenfamilien
einige Richtungen, flir die sich HAUSDORFF besonders interessierte; dies
sind
1) Struktur von Borelklassen liber einem gegebenen Mengensystem;
2) Trennbarkeit und multiple Trennbarkeit;
3) die Natur der Operationen des oberen und unteren Limes.
Diese Themen sind vor allem in seinem Nachlafi prasent, wahrend sie sich in
seinen Biichern Grundzilge der Mengenlehre und Mengenlehre kaum finden.
Um dies ein wenig auszugleichen, wird im folgenden eine Reihe von interessanten
Noten aus dem Nachlafi abgedruckt. Wir beginnen mit Fasz.662, in
dem die Unterschiede zwischen verschiedenen Konstruktionen der Borelschen
Hierarchic erklart werden. Zwei kurze Noten, ein Auszug aus Fasz. 1002 und
Fasz. 468 werfen verschiedene Fragen im Hinblick auf die Struktur von Borelmengen
und Baireschen Funktionen auf; im Kommentar versuchen wir einige
dieser Fragen zu beantworten. Im Fasz. 1064 zeigt HAUSDORFF, dafi Trennbarkeit
und einige andere Phanomene, die man flir Borelklassen in polnischen
Raumen entdeckt hatte, in Wirklichkeit einen viel allgemeineren Charakter besitzen.
Fasz. 633 zeigt, dafi, obwohl in einigen wichtigen Fallen die Operation
lim dieselbe Starke wie die Kombination ab hat, es Mengenringe gibt, deren
lim-Erweiterung ein echter Teil der a6-Erweiterung und nicht einmal ein
Ring ist. Schliefilich enthalt Fasz. 425 ein wichtiges Resultat in Richtung der
Untersuchungen in Mengenlehre, §41: die lim-Erweiterung eines vollstandigen
Funktionensystems (9Jl, ^) (wo SDT und ^ komplementare Mengenringe sind),
ist gleich dem System (SDts, *); dies hat einige bemerkenswerte Konsequenzen.
NL HAUSDORFF : Kapsel 41 : Fasz. 662
Borelsche Mengen
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936 - Marz 1938]. - 3 BU.^
Borelsche Mengen. F^ = F die abgeschlossenen, G^ = G die offenen Mengen
[1] des Raumes X; F'J ^ JJG^^ , G"^ = X)^^" Un < rj) flir r/ > 0. H^ die
n n
Mengen, die zugleich F^, G^ sind.
[2] (F^), {G^) sind komplementare Ringe, {H^) ein Korper.
^HAUSDORFF hat liber der Uberschrift „Borelsche Mengen" notiert: Zu Lusin, Legons sur
les ensembles analytiques (Paris 1930)
588

(F«) = (F|) ein 6-Ring, (G^) = (G|) ein a-Ring.
Fiir ry > 0 ist
(F«) + (G«) C (if") (C < 7?)
(F«+i) = (G«), (G«+i) = (F«).
{H^,) = iF^), {H2) = {G% TO = (//"). (a)
Beweis: fiir 77 = ^ + 1 ist (if«+^) = {F$){GI) ; hierausfolgt (F«) C (i/«+^) C
(F|), also (F|) = (if«+i) = (G«+i).
Fiir eine Limeszahl r/ sei (L^) = ^ (^^) oder [3]
^

Anmerkungen
[1] Die Gleichung F^ = f] G^" bedeutet, dafi F^ die Klasse aller Mengen
n
ist, welche abzahlbare Durchschnitte von Mengen aus den Klassen G^, ^ < rj
sind. Die Formel G^ = ^ F^"^ hat eine analoge Bedeutung. Die so definierten
n
Klassen F^, G^ stimmen nicht mit denen in Mengenlehre, § 32 iiberein; s. dazu
den am SchluB dieses Abschnitts folgenden Kommentar.
[2] Mit (F^) wird die Gesamtheit der Mengen F^ bezeichnet, analog fiir (G^)
usw. Zur Erklarung der hier und im folgenden benutzten Indizes s, a, ^, A:
Die Indizes § und

Menge 1. Kategorie F^; d.h. f{x\A) ist in den Punkten von A — F^j stetig.
AUe Baire'schen Functionen aber haben die Eigenschaft, dass f{x\A — Fcy)
stetig ist, F(j Menge 1. Kat[egorie]. Da fehlen die Zwischenstufen.)
2) Eine nirgendsdichte Menge D 0 ist kein G. Eine Menge 1. Kat[egorie],
die dicht ist, ist kein Gs- Kann man weiter von gewissen Mengen sagen, dass
sie kein Gsa sind? (Baire hat eine solche angegeben: die Menge der Ket- [2]
tenbriiche x = (a:i,X2,...) mit 11mXn — oo.) Ich versuchte es so: wenn
A = 'D{Ai,A2,...), Ai ^ A2 ^ ..., An in Bezug auf sich iiberall von
2. Kat[egorie], aber in Bezug auf An-i von 1. Kat[egorie], und A dicht ist, so
ist A kein Gsa- Aber der Beweis steht noch aus; und wie soUte das weitergehen,
zu Mengen, die keine GsaS sind?
Anmerkungen
[1] Die BAiREschen Satze uber Funktionen der ersten Klasse ([Ba 1899]) sind
im § 42 der Mengenlehre enthalten.
[2] BAIRE zeigte in [Ba 1909], dafi die Menge aller x G N"^ mit x{n) -^ 00
eine echte F(js -Menge ist (d. h., sie ist keine Gscj-Menge). Dariiber hinaus gab
BAIRE eine ziemhch allgemeine Konstruktion echter Fo-6 -Mengen in Hsl'^ : Jede
Menge der Form P = fl/e Uni...nfc ^^i.-.n^, wo die Pm...nk perfekte Teilmengen
von N"^ sind mit Pm...nk ^ Pmi...mk = 0^ wenn rrii ^ rii flir mindestens ein
i und wo jedes Qni...nk = Unfc+i Pni...nknk+i ^iue dichte magere Teilmenge
von Pni...nk ist, ist eine echte FCT6-Menge. In diesem Fall sind die Mengen
^k = Uni...nfe Pni...nk offcubar magcr in bezug auf sich selbst entgegen HAUS-
DORFFs Vermutung.
NL HAUSDORFF : Kapsel 37 : Fasz. 468
[Spezielle Mengen im Baireschen NuUraum]
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl.1930 - Febr. 1934]. - 1 Bl.
I sei die Menge der Irrationalzahlen zwischen 0 und 1, in Kettenbruchdarstellung:
x = (^1, ^2, • • •) (= ^ + TT- H ); ^n natiirliche Zahlen. Die Menge
iJ^ der X, flir die ^^ = /c, ist (in /) gleichzeitig offen und abgeschlossen.
A^ = linin H!^ ist die Menge der x, fiir die unendlich oft ^n = k, d. h. die eine
konstante Teilfolge ^m = ^n2 = • • • = k enthalten. Ak ist ein Gs (als
oberer Limes von G : Gsigmab = G3.)
A = &A'^ ist die Menge der x, die liberhaupt (mindestens) eine konstante
k
Teilfolge enthalten; das ist ein Gsa- I — A ist die Menge der x mit
^n -^ 00; ein FCJS. Nach Baire ist diese Menge kein Gsa, also A kein
Fas-
591

A* = lim/c A^ ist die Menge der x, die unendlich viele (verschiedene) konstante
Teilfolgen enthalten. Das ist ein Gs^js (als oberer Limes von Mengen
[1] Gs ). Nach Keldych ist es kein Fo-6a (Zitat bei Lusin).
Wie konnte man weitergehen? a = (0^1,0^2, • • •) sei eine Irrationalzahl; Hn{cL)
= Menge der x mit ^n > ctn^ L{a) = limiJr>(a) Menge der x, fiir die final
Bl.lv X > a (d.h. schliesslich ^n > ai, > a2, ...
k
sind (fiir ak = {k,k,...) ist das die Menge der x mit ^n -^ +00); L{a) ist ein
[2] F(j, ^L{ak) ein F^s (und wahrscheinlich kein Gsa wie im Baireschen Fall).
k
Sei A — (ai, a2,.. •), so schreiben wir L{A) = ^L{ak). Nun konnte man eine
k
Folge solcher Folgen nehmen: Aj, und limjL(74^) bilden, welches ein Fo-6a6
ist; kann man erreichen, dass es kein GsaSa ist? Also lim^ ^L{ajk).
k
Oder: l^MjliMk^i^^jk) ist ein Fcr6a6a; diesen Prozess konnte man fortsetzen:
lim^ lim^ lim;. L(aijh) ein Fo-6a6a6o-•
Anmerkungen
[1] HAUSDORFFS Hinweis auf KELDYSH (in den 30-er Jahren war die Transliteration
gewohnlich KELDYCH) beziiglich der Menge A* ist wahrscheinlich
dem Abschnitt iiber "arithmetische Definitionen" von Borelmengen in Kapitel
II von LusiNs Legons sur les ensembles analytiques ([Lu 1930b]) entnommen.
KELDYSHS eigene Darstellung findet sich in [Kl 1944].
[2] Zum „Baireschen Fall" s. Anm. [2] zu Fasz. 1002.
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 1064
[Konstruktion verschiedener Mengenkorper, Trennung]
Hs. Ms. - Schlofi Hornegg, Gundelsheim, 25.3.1931. - 3 Bll.A-4.
Schloss Hornegg, den 25.3. 31
Der Raum E sei eine reine Menge. Die im Folg[enden] betrachteten Mengen
seien ^ E". Es ist
l±m An • lim^n = l±m A^Bn ^ lim AnBn ^ lim An • lim^n ;
wenn also lim An = A, lim^n = B existiert, so auch llmAnBn = AB.
Ebenso, da auch l±m{E — Bn) = E-B, lim (An - AnBn) = A — AB. Ebenso
l±m{An + Bn) =A^B.
Fiir die Folge Ci, C2,... = ^1,^1,^2, B2,... ist
lim Cn = lim An ' lim Bn 1 1 im Cn — 1 im An
592

wenn lim^n = lim^n — C existiert, so auch 1 imCn = C.
Sei Ai ^ ^2 ^ ... . Unter
5 = Ai - ^2 + ^3 - -A4 + • • • (1)
verstehen wir den als existierend angenommeneii Limes samtlicher Partialsummen
B2n = {Ai - A2) + (A3 - ^4) + • • • + {A2n-1 " A2n)]
B2n+1 = (Ai - A2) + (A3 - A4) + • • • + [A2n-1 " A2n) + A2n+1 •
Da B2 Q B4 ^ ... und JBI 2 ^3 2 ... , so existieren jedenfalls l±mB2n =
l±mB2n-{-i' Zur Existenz von l±mBn ist die Gleichheit dieser beiden notwendig
und hinreichend, also wegen B2n-\-i — ^2n = A2n-\-i das Verschwinden von
lim A2n+i (= AiAs ...)^l±m An {= A1A2A3 ...) •
Die Mengen M mogen einen Korper 9Jt bilden, dem auch E selbst angehort. [1]
Die Mengen, die zugleich M5 und M^ sind, mogen M^, heissen; die Mengen
der Form liinM,^ {M^ eDJl) mogen M\ heissen.
Die Summe endhch (oder abzahlbar) vieler M^ ist ein M(j, der Durchschnitt
endhch (oder abzahlbar) vieler Ms ein Ms ; E — M^j ist ein Ms ; E — Ms ein
Mfj. Also bilden die My^, einen Korper OJtp..
Wenn in (1) die Mengen An Mengen M^ sind, so auch die B2n^ ^2n+i;
B ist dann zugleich (als lim52n) ein M^,o- = ^ao- — M^j und ein M5, also
ein M^. | Die Mengen Mx bilden ebenfalls einen Korper Tlx, nach den oben Bl.lv
bewiesenen Formeln fiir lim A^jBn, lim {An 4- -Bn), lim {E — An) •
Jede Menge Mx^ ist ein M\ . [2]
(MA^I ist eine Menge, die gleichzeitig Summe und Durchschnitt je einer Folge
von Mengen M\ ist.) Sei
C=&An = 'i^Bn
An, Bn Mengen Mx, wobei wir Ai ^ A2 ^ • •., J5i 2 ^2 2 ... annehmen
konnen. Es ist also
Sei
Fiir p > n ist
An = l±m Anp, Bn = l±mBnp {Anp, Bnp Mcugcn M).
p p
Cp — AipBip + A2pB2p + ... + AppBpp .
^np^np ^ ^p ^ v^lp I • * * ~r ^np) ~r \-tjnp H~ * * ' i -t^pp) =^ ^np i -077,^ ,
denn wir konnen auch Aip £ A2p £ •. •, ^ip 2 B2p 2 ... annehmen, indem
wir Anp durch Aip -j- ^2^ + ... + Anp ersetzen (was fiir p —^ oo den Limes
Ai ^ • •' + An = An hat) und ebenso Bnp durch BipB2p • • • Bnp- Aus dieser
Ungleichung erhalten wir fiir p —> oo AnBn ^ l±m Cp ^ lim Cp Q An -\- Bn
und fiir n —> oo (wegen l±mAn — lim^^ = C) C £ limCp ^ limCp ^ (7,
C = limCp, Cp ist eine Menge M, C also ein MA .
593

Jede Menge M^A ist ein M\.
{M^x ist Limes einer Folge von Mengen M^,). Da l±m Bn = 53 {Bn -f Bn-^-i +
n
- ") ein Bab, l±mBn = &{BnBn+i • • •) ein Bsa ist, so ist eine Menge M^A
gleichzeitig M^CJ6 = ^acjd = M^s und M^scr = ^66^ = Ms^, also (da M^^
B1.2 und Ms spezielle MA sind) ein MAS ^nd MACT, also MA^I und daher MA. |
Zwei disjunkte Mengen Ms sind in zwei disjunkte Mengen M^
[3] einschliessbar,
Sei A = ^An, B = ^Bn {An, Bn Mengen M) mit AB = 0; wir konnen
74i 2 v42 2 ..., JBI 2 ^2 2 ... annehmen, also l±m An — A, lim^n = B.
Bilden wir nach der Erklarung (1):
C = AiBo - AiBi + A2B1 - A2B2 + A3B2 - A3B3 + • • • {Bo = E)
D - AoBi - AiBi + A1B2 - A2B2 + A2B3 - A3B3 + • • • {Ao = E)
wobei die Konvergenzbedingung wegen
llmAn+iBn = limAnBn = lim^n^n+i = AB = 0
erfiillt ist; C, D sind, wie wir sahen, Mengen M^. Es ist A ^ C^ denn ist
X e A, also xeB und denanach Bn das Bn mit niedrigsten Index, dem x nicht
angehort, also x e Bn-i—Bn {n> 1), so ist x e AnBn-i—AnBn ^ C. Ebenso
ist B gD. Ferner ist CD = 0, denn {AniBni-i-AniBni){An-iBn-AnBn) =
Ani{An-i - An)' Bn{Bni-i - B^), WO fiir m > n der Faktor Am{An-i - An),
fiir m 2 von n — 1 auf n : Ai,..., A^-i sind in disjunkte Mengen Ci,..., Cn-i
(Mengen M^) einschliessbar, ferner Ai-\- --- -\- An-i und An in disjunkte
Mengen C, Cn, also Ai,..., An-i,An in CCi,..., CC^-i, Cn- (Die Summe
endlich vieler Ms ist ein Mg : ^Am + S)J5n = 2) (^m + ^n); der Durchm
n m,n
schnitt endlich vieler M(j ist ein MQ- : (SAm'&Bn = & AmBn- Distributives
m n m,n
Gesetz.)
Jede Menge M-\ ist Summe einer Folge disjunkter Mengen Ms .
Denn lim^n (^n Mengen M) gestattet die Darstellung
A1A2A2, • • • -f A2A3A4 • • • + ASA4A5 ... + ...=
= A1A2A3 • • • + (J^ - ^1)^2^3 '"^{E- A2)A3A4 ..• + ••• .
594

Die Mengen Ci,C2,... seien disjunkte Mengen M5. Damit \ B1.2v
S — ^Cn ein Mx sei, ist hinreichend und notwendig, dass die
Cn in Mengen Bn = M^ mit l±mBn — 0 einschliessbar seien, [5]
Die Bedingung ist hinreichend (sogar wenn die Cn nur Mengen Mx sind).
Sei Cn = limp Anp (Anp eTl) und
Sp = AipBi + A2pB2 -h • • • + AppBp (Sp ein M^).
Flir p > n ist Sp ^ AipBi 4 '\- AnpBn,
lini Sp 2 CiBi -i 1- CnBn — Ci -\ h Cn ,
lim Sp 2 S. Andererseits Sp ^ Aip + j- Anp 4- J5n -h J5n+i -J- i- ^p,
Tii,Sp £ Ci + • • • + Cn 4- (Bn + Bn+1 + '••).
Iim5p g 5-hTimn(Bn4-Bn+i + ---) = '5'4-Iim5n = S' + O,
also 5 = lini/Sp ein Mp.A oder MA .
Die Bedingung ist notwendig. Mit S = ^Cn {Cn s Wis ) ist auch E — S =
J2^n ein Mx und als Summe disjunkter M5 darstellbar {Dn e ^5). Es
lasst sich, da die Mengen Cn, Dn disjunkte Ms sind, Cn in ein Bn = My,
einschhessen, das mit Ci H h Cn-i + Di H h Dn-i keinen Punkt gemein
hat, also Bn ^ {Cn + Dn) + (Cn+i + Dn^i) H ; demnach
Bn + Bn+l + • • • g (Cn + Z^n) + (Cn+1 + -Dn+l) + ' ' ' ,
und folglich D(En + Bn+i + • • •) = 0, d.h. lim^n = 0.
n
Insbesondere, wenn die Cn sich in disjunkte Mengen Bn = My, einschhessen
lassen und Mengen Mx sind, so ist J^ Cn ein Mx • Allgemeiner:
Es sei Co, Ci,..., Co;,... ein wohlgeordnetes abzdhlbares System [6]
disjunkter Mengen Mx und Cjs lasse sich in eine Menge Bf^ = Mjj.
einschhessen, die mit den folgenden Mengen C^ (^ > (3) keinen
Punkt gemein hat. Dann ist S = ^ Cp ein Mx •
I Denn die Summe abzahlbar vieler M^, ist ein M^cj = M^j^ = M^, ihr B1.3
Komplemet ein M5. Demnach ist D = E — QB^ ein M5, ebenso Df^ =
E- 6 Bo, ein Ms, und wegen Bo^Cp - 0 (a < /3) ist C/3 g D(3, Cp g BpD^.
Demnach ist
E = D + &Dp = D + Y.^^^0 ^ ^ + Zl^/^ + Zl (^/5i^/3 - Cp).
^ 1 3 (3 p
In dieser letzten Zerlegung sind alle Summanden disjunkte MA (denn die Mengen
D und BpDf3 sind als Mengen Ms spezielle MA ). Demnach ist 5 = JZ ^P
wie E - S eine Menge MAa, S also MAO- und MAS, d.h. MA^I und MA . *^
595

[7] Sind A, B zwei Mengen Mg, so sind A — AB, B — AB in zwei
disjunkte Mengen M^ einschliessbar. (Vgl. Bl. 2 oben).
A = DAn, B = ^Bn, Ai i Asi... , Bl i52i... ; sei(Ao = J5o = £^)
C = {AiBo - AiBi) + {A2B1 - A2B2) + • • •
D = {AQBI - AiBi) + {A1B2 - A2B2) + • • '
(man muss jetzt Klammern setzen). C und D sind Mengen M^ und (wie Bl. 2)
disjunkt; ferner A — AB £ C, denn ist x 8 A — AB, also xeB, x e Bn-i —Bn,
so ist X 8 An{Bn-i — Bn) ^ C; ebenso ist B — AB Q D.
Anmerkungen
[1] Beim Lesen dieser Note ist es lohnend, sich den Spzialfall zu vergegenwartigen,
da6 9Jl die Borelklasse A^ (fiir eine abzahlbare Ordinalzahl ^) ist. (S. den
Kommentar zu Fasz. 662 liber die Beziehungen zwischen verschiedenen Borelschen
Hierarchien.) Dann bilden die Mcr, M5, M^,, Mx respektive die Klassen
VO TJO AO AO
[2] Weil offensichtlich OJIA C 971^6 r\^bG und andererseits OTo-6 HOTsa £ ^A^
ist, folgt unmittelbar, dafi fiir jeden Ring dK gilt: 9JIA = OTa6 H OTsa. HAUS-
DORFF hat hier ^ anscheinend als Mengenkorper angenommen, hat dies aber
in seiner Argumentation nirgends benutzt. In dieser AUgemeinheit wurde das
Resultat von SiERPlNSKi in [Si 1931] publiziert, es war aber fiir den in Anmerkung
[1] beschriebenen Spezialfall wohlbekannt, z. B. aus LusiNs Legons sur les
ensembles analytiques, die HAUSDORFF in diesem Zusammenhang im Fasz. 1063
vom 10. 3.1931 zitiert hat. Fasz. 1063 war offenbar ein Vorlaufer der vorliegenden
Note.
[3] Diese Behauptung ist das erste Trennungsprinzip fiir Ms -Mengen (vgl. Anm.
[97] zu Mengenlehre). Fiir den in Anm. [1] beschriebenen Spezialfall findet sich
das Resultat mit einer Beweisskizze in [Lv 1925]; einen voUstandigen Beweis
publizierte LusiN in seinem Buch Legons sur les ensembles analytiques ([Lu
1930b]) und in der Arbeit [Lu 1930a]. Auch der Terminus „Trennung, Trennbarkeit"
(separabilite) erscheint in diesem Sinne erstmals in [Lv 1925]. Die russische
Tradition der deskriptiven Mengenlehre schreibt die Einfiihrung von Trennungsprinzipien
jedoch LusiN zu. LAVRENTIEFF war in der ersten Halfte der
20-er Jahre in Moskau Mitglied der Gruppe um LusiN.
*^ Bei den Borelschen Klassen gilt: jedes Mx ist Summe abzahlbar vieler disjunkter Mengen
M^ : Co + Ci + • • • + Cuj + • • • , wo sich jedes Cp in ein B/g — M^ einschliessen lasst, das
mit den folgenden C^ (7 > /?) keinen Punkt gemein hat. (Lusin, ens. anal., S. 123; ensemble
R clairseme ferme d'„elements" {— M\ ) de classe a. Die Menge S = Ma daselbst braucht
nicht besonders beriicksichtigt zu werden, da sie Summe disjunkter M ist, die als spezielle
Ms in sich selbst als spezielle M^ eingeschlossen werden konnen. M bedeutet die Mengen
von Klassen < a).
596

SlERPlNSKi wiederum hat etwas friiher (in [Si 1924]) folgendes bewiesen: Sind
P, Q Mengen im IR^ , Q C P und (in moderner Terminologie) Q, P respektive
Mengen der Klassen 11^ und E^ (1 < ^ < ct;i), dann gibt es eine A^-Menge C
mit Q CC C P. Dies ist oflFenbar aquivalent zu LAVRENTIEFFS Trennungssatz.
SlERPiNSKi zitiert in diesem Zusammenhang aus HAUSDORFFS frtiherer Arbeit
[H 1919d] einen Satz, der dort „Einschiebungssatz" heifit (S.305, s. Band IV
dieser Edition, S. 92; in der Mengenlehre ist das Satz XIII in § 41, s. dazu auch
die Anmerkung [123] zu Mengenlehre). Dieser Satz beinhaltet ein mit obigem
eng zusammenhangendes (tatsachlich aber etwas allgemeineres) Resultat fiir
die Trennung Bairescher Funktionen (s. auch weiter unten unsere Anna. [6] zu
Fasz.609).
[4] Dies ist das erste multiple (endliche) Trennungsprinzip bzw. der Fall (oCn)
fiir A = Ms und B = M^ in der Aufzahlung des beifolgend abgedruckten
Fasikels 607.
[5] In dem in Anmerkung [1] beschriebenen Spezialfall ist das Resultat aus
LusiNs Legons sur les ensembles analytiques bekannt. Im Faszikel 1063, datiert
vom 10.3.1931 macht HAUSDORFF folgende Bemerkung (wo A durch M zu
ersetzen ware, um formale Ubereinstimmung mit vorliegendem Fasz. 1064 zu
erreichen):
Die Einschliessung der As in A^ kann iiberhaupt durch Einschliessung
der As in A^ ersetzt warden. Denn ist P ein As , Q ein Acy, P ^ Q,
so giebt esein R = A^ mit P '^ R^ Q; in der Tat sind JSL P, E - Q
disjunkte As und es giebt ein R = A^ mit P ^ P, R{E — Q) = 0,
(B1.4)
Diese Feststellung kann auf das erste Trennungsprinzip fiir As gegriindet werden
oder letztlich sogar auf den Einschiebungssatz (s. Anmerkung [3]).
[6] In dem in Anmerkung [1] beschriebenen Spezialfall geht das Resultat auf
LAVRENTIEFF ([LV 1925]) zuriick, hat aber dariiber hinausgehend einen tiefer
liegenden Hintergrund. Es sei daran erinnert, dafi eine Menge separiert heifit,
wenn sie keine nichtleere insichdichte Teilmenge enthalt. In einem polnischen
Raum ist eine solche Menge hochstens abzahlbar, mehr noch, sie kann in der
Form {xp : P < 'd} dargestellt werden, wo "d < uji ist und fiir jedes /3 < i? eine
offene Umgebung Up von xp existiert, die {x-y : ^ < ^y < 'd} nicht schneidet.
In bemerkenswerter Analogic dazu ist ein abzahlbares System von 119 -Mengen
separiert {clairseme, LusiN, [Lu 1930a], [Lu 1930b]), wenn es in der Form
{Cp : p < 'd} {'d < ui) dargestellt werden kann, so dafi fiir jedes (3 < 'd eine
A^-Menge Bp D Cp existiert, welche {j^^pC^ nicht schneidet. Vor diesem
Hintergrund haben LAVRENTIEFFS Studien (die von LUSIN in voUendeterer
Form in [Lu 1930b] prasentiert wurden) gezeigt, dafi 1) A2_^^ gleich der Klasse
der Vereinigungen von abzahlbaren separierten Folgen von 119 -Mengen ist und
dafi es 2) fiir jedes ^ < cJi eine Menge in A^^^ gibt, die nicht in einer solchen
597

Form mit weniger als ^ Summmanden darstellbar ist.
HAUSDORFFS Satz ist offenbar eine Verallgemeinerung in einer Richtung im
ersten dieser Result ate. Das andere Result at erlaubte es LAVRENTIEFF, eine
transfinite Subklassifikation jeder Klasse A9_^^ ZU definieren, welche spater
zu einer etwas einfacheren differentiellen Subklassifikation umgestaltet wurde
(s. unseren Kommentar zum Abschnitt 4 „Reduzible Mengen und Differenzenketten"
weiter unten in diesem Band).
[7] Dies ist das zweite Trennungsprinzip ((ex2) fur A = Ms und B = M^
in der Aufzahlung des folgenden Faszikels 607). In dem in Anmerkung [1] beschriebenen
Spezialfall ist es in LusiNs Legons sur les ensembles analytiques
und in [Lu 1930a] bewiesen.
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 607
Trennungseigenschaften
Hs. Ms. - [Bonn], 13.1.1937. - 4 BU.^
Trennungseigenschaften
13.1.37
A durchlaufe ein Mengensystem (A), A C X {X Raum); Ag bedeute die
Summen, Ad die Durchschnitte endlich vieler A; ebenso A^j, A^ die Summen
und Durchschnitte von endlich oder abzahlbar vielen A. A^ = X — A die Komplemente
der A. Die von diesen Mengen durchlaufenen Systeme werden mit
(As),..., {A') bezeichnet. (B) sei ein zweites System, B C X. Wir betrachten
folgende Eigenschaften:
Erster Trennungsatz A, B : *) {A, B mit Indizes sind Mengen 8 (A), {B)).
[1] {0C2) Zwei disjunkte Ai, A^ lassen sich in disjunkte Mengen B\^ B2 einschliessen.
Zweiter Trennungsatz A, B : **^
((32) Fiir zwei Mengen Ai, A2 lassen sich Ai — A2, A2 — A\ in disjunkte
Mengen B\^ B2 einschliessen.
Diese Satze lassen sich in verschiedener Weise auf n oder KQ Mengen ausdehnen.
Zunachst so {starke Disjunktion):
[2] (an) n paarweise disjunkte Ai,... ,An lassen sich in paarweise disjunkte Bi,
... ,Bn einschliessen.
^Im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 172-176.
*) Beispiel: X separabel, vollstandig; A analytische, B Borelsche Mengen.
**) Beispiel: X separabel, vollstandig; A analytische Mengen, B = A' ihre Komplemente.
598

(oCu;) ^^o paarweise disjunkte ^1,^2,... lassen sich in paarweise disjunkte Bi,
B2,''. einschliessen. I Bl.2
(Pn) Fiir n Mengen Ai (z == 1,..., n) lassen sich die Mengen Ai — J2 ^k in
paarweise disjunkte Mengen Bi einschliessen.
(Pa;) Fiir eine Folge von Mengen Ai (i = 1,2,... ) lassen sich die Mengen
Ai — "^ Ak in paarweise disjunkte Mengen Bi einschliessen.
Es ist vielleicht nicht iiberflussig zu bemerken: wenn (A) die leere Menge
enthalt, so folgt: (cXn+i) -^ (cXn), (oCcj) -^ (oCn) - (Man setze A^+i = 0, resp.
An+i = An+2 = ••• = 0). In jedem Falle gilt (Pn+i) ^ (Pn), (Pu;) ^ (Pn)
(man setze A^+i = A^, resp. A^+i = ^n+2 = • • • = ^n )•
Es gilt:
I. Wenn (A,) = {A) und (5^) = (B), so folgt (as) ^ (cXn), (P2) ^ (Pn)
fiir jedes n = 3,4,... .
II. Wenn (A^) = {A) und (^5) = (B), so folgt {0C2) -^ (cx^^), (P2) ^ (Pc^) •
Beweis von I. Ai (z = 1,.. .n) seien disjunkt. Ai und A^ = ^ ^k (wobei
A[ ein A ist) lassen sich wegen {0C2) in disjunkte B^, JB^ einschliessen. Die
Mengen Bf = Bi Y[ B^j^ (welches ein B ist) sind disjunkt, da iiir i ^ k
k^i
B'^B'^ C B'^Bk = 0, iiberdies Ak C A'i C B[ oder ^i C 5^, also Ai C .Bf.
Also (as) -> (an).
Seien Ai (i = 1,.. .n) beliebig, und ^^ = Yl ^k- Wegen (P2) ist
k^i
A-A[cB,, A[- Ai c B[, BiB[ = 0.
Sei wieder Bf — B^ ^ 5^, disjunkte Mengen B. Es ist fiir k ^ i
k^i
Ai-A[cAi-AkC A'j^ -AkdB'^, also Ai-A'-d B'l.
I Der Beweis von II ist genau derselbe. Es sei noch bemerkt: fiir (as) -^ (an) BL 3
und (as) -^ (ao;) reicht es aus, dass die Summe von endlich resp. abzahlbar
vielen disjunkten A ein A ist. Gegenbeispiel zu II. A die abgeschlossenen,
B die offenen Mengen; es gilt (an), aber nicht (a^;), es ist aber auch nicht
{A.) = {A).
Eine andere Ubertragung der Trennungsatze auf n oder ^^o Mengen (schwache
Disjunktion) ist diese: ((ys) = (0C2), (62) = (P2))-
(yn) n Mengen Ai (i — 1,2,... ,n) mit f|yli = 0 lassen sich in n Mengen
i
Bi mit YlBi = 0 einschliessen. [3]
599

(YU;) ^0 Mengen Ai (i = l,2,...) mit J^A^ = 0 lassen sich in Mengen B^
i
mit YlBi=0 einschliessen.
i
(5n) Fiir n Mengen Ai lassen sich die Mengen ^l^ — J^ A^ in Mengen Bi mit
i
YlBi = 0 einschliessen.
i
(6a;) Fiir HQ Mengen Ai (z = 1,2,... ) lassen sich die Mengen A^ - H^i i^
i
Mengen Bi mit Yi^i — ^ einschliessen.
i
Wenn (A) den Raum X enthalt, gilt: (Yn+i) -^ (Tn), (YU;) -^ (Tn)- (Man
setze An+i = X, resp. ^n+i ^ -An+2 =:•••== X). Wenn (B^) == (B),
gilt (Yn+i) -^ (Yn), (5n+i) ^ (^n)', wcnn (^s) = (B), gilt (YO;) -^ (Yn),
(6a;) ^ (6n) . (Sei Ai...An= A (ev. 0); ^n+l = An , resp. ^n+l = ^n+2 =
• • • — An). Man erhalt Mengen 5^ {i = 1,...,n + 1 oder i = 1,2,...)
D Ai — A mit n^« — 0- I^i^ Mengen Bi,... ,Bn-i und BnBn-\-i resp.
J5i,..., Bn-i, BnBn+i-, ''' sind disjunkt und enthalten Ai — A,..., An-i —
[4] III. Wenn {Ad) = (A) und (Bs) - (B), so folgt (62) -^ (6^) fiir jedes
n = 3,4,... ; wenn liberdies {B) C (A'), so folgt (Y2) -^ (Yn) ftir jedes
n = 3,4,... .
Wir schliessen von n auf n + 1. Ao^Ai,...,An seien Mengen A, ferner
Bl. 4 Ai- " An = Ae (A). Auf Grund von (6n) giebt es fiir z = 1,..., n | Mengen
B,:
Ai-AcBi, ]][J5i = 0
und auf Grund von (62) Mengen BQ, B mit
Ao - AoA c 5o , A- AoA c B , 5o^ = 0.
Dann ist AQ — AQA C BQ , Ai — AoA C B-{-Bi und die rechts stehenden Mengen
B sind disjunkt: 5o n(^ + ^i) — ^0 11(^0 = 0. (Dies ist von Ruziewicz,
* i
[5] Fund. Math. 24, S. 199-205 auf komplizierte Art bewiesen worden.)
Um unter den gleichen Voraussetzungen und {B) C {A') (Y2) -^ (Yn) zu
zeigen, sei AQAI • - - An = ^ und wieder mit A = Ai- - - An wegen (72)
AQCLBQ, A C 5, BQB - 0.
X — B und {X — B)Ai {i = 1,..., n) sind Mengen A, die letzteren mit dem
Durchschnitt {X — B)A = 0, also nach (7^)
{X-B)AiCBi, llBi = 0
600

Also 74o C ^0 , Ai G B -\- Bi und wie oben BQ Y[{B + Bi) ^ 0, womit (yn) -^
(Tn+i) gezeigt ist. - Statt (B) C (A^) geniigt iibrigens, dass A — B stets ein
A sei, oder dass die Diffrerenz zweier A ein A sei (das fiihrt zu {0C2) -^ {^2)
und demnach zu (72) -^ (62) -^ (6n) -^ (Tn) •)
I Wenn (Bd) = (5), so folgt aus (YU;) • ^^o Mengen ^4^ mit limA = 0 B1.4v
lassen sich in Mengen Bi mit lim^, = 0 einschliessen. [6]
Es sei n ^4^: = 0 und danach giebt es Mengen BI (i ^ /c) mit Ak C BI,
n ^i = 0. Man setze Bk = U H (^ i^d) = {B)). Dann ist AkCBk; ferner
k^i i^k
fiir i^k BkCBi, U^kC 11^1 = ^^ also limB^ = 0.
k^i k^i
Anmerkungen
[1] Trennungsprinzipien fiir zwei Mengen wurden erstmalig explizit fiir den Fall
formuliert und bewiesen, da6 (A) das System der Suslinmengen ist und (B)
das der Borelmengen (cx-Version) oder das der co-Suslinmengen ((3-Version),
und zwar von LusiN in [Lu 1927] (a-Version) bzw. [Lu 1930b] ((3-Version).
Verallgemeinerungen fiir mehr als zwei Mengen (endlich oder abzahlbar viele)
sind als multiple Trennungsprinzipien bekannt.
[2] Diese Version der multiplen Trennung ist eine ziemlich elementare Verallgemeinerung:
HAUSDORFF zeigt, da6 man (oCn) bzw. (|3n) aus {0C2) bzw. (|32)
durch eine einfache und direkte Argumentation herleiten kann.
[3] Im Gegensatz zur in [2] beschriebenen Situation sind die y- und 6-Versionen
schwieriger. Fiir den Fall (^4) — System der Suslinmengen und (B) = System
der Borelmengen (y-Version) bzw. (B) = System der co-Suslinmengen (5-
Version) stammen die Resultate (yn), (^n) (^ ^ 3), (ya;), (S^) respektive
von NoviKOV [No 1934a], LusiN [Lu 1934], NoviKOV [No 1934b] (angekiindigt
etwas friiher von LYAPUNOV [Ly 1934]) und NoviKOV [No 1934c].
[4] Der Beweis fiir (y2) -^ (yn) und (62) -^ (6n) wird durch Induktion nach
n gefiihrt und funktioniert nicht fiir (y^^) und (6^;) (s.u., Fasz.609).
[5] RuziEWiCZ' Arbeit [Ru 1935] enthalt einen Beweis fiir (62) -^ (5n) unter
ziemlich allgemeinen Bedingungen an A und B.
[6] Der Satz, dafi fiir jede Folge von Sushnmengen An mit l±m Ar, = 0 eine
Folge von Borelmengen Bn D An existiert mit l±m Br, = 0 ist analog zu
LYAPUNOVS Theorem fiir lim in [Ly 1934] (s.den folgenden Fasz.608).
601

NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 608
[Trennungseigenschaften II]
Hs. Ms. - [Bonn], 14.1.1937. - 8 BU."^
14.1.37
C. Kuratowski, Sur les theorernes de separation dans la theorie des ensembles.
Fund. Math. 26 (1936), S. 183-191.
[1] Im System (A) der Mengen A C X gilt der 1. (verallgemeinerte) Trennungssatz,
wenn fiir jede Folge von Mengen An mit J| A^ = 0 eine Folge Bn D An
mit JjBn = 0 existiert, wo die Bn zugleich von der Form A und A' {= X—A)
sind. Es gilt der 2. (verallgemeinerte) Trennungssatz, wenn fiir jede Folge An
eine Folge Bn D An — Yl ^rn mit YlBn = 0 existiert, wo die Bn von der
Form A' sind.
[2] Im System (B) gilt der (verallgemeinerte) Reduktionssatz, wenn zu jeder
Folge Bn eine Folge paarweise disjunkter Mengen B* e {B), B^ C Bn mit
J2^n ^J2^n existiert.
Wenn in (B) der Reduktionssatz gilt und (Ba) = (B), so gilt fiir die Mengen
A — X — B jeder der beiden Trennungssatze. Beweis:
(1) Sei An gegeben mit J^An = 0; sei Bn = X — An, also Yl,^n = X.
Es giebt eine Folge disjunkter 5* C 5n, E ^n = ^ • Sei A; - X - 5;,
A; D A, , n ^; = 0. Da die Bl disjunkt sind, ist Al=^X-Bl = Y.m^n ^m
ein Bij — B; also A* gleichzeitig A und B.
(2) Sei An gegeben, A = U^n = 0, Bn = X - An, B ^^Bn = X - A,
B1.2 I Es giebt eine Folge disjunkter B^ C Bn, ^^ B^ = B. Setzen wir Bn —
Em^n^m = B-Bl,Bn ist ein B, Y{Bn = B- E^^ = 0; ferner Bn D
B - Bn = An - A', q. e. d.
[3] [Wenn in (A) der 1. Trennungssatz gilt und (Ao-) — (A) = (A^), so gilt noch
folgender 3. Trennungssatz: Zu jeder Folge An mit l±m An — 0 giebt es Mengen
Bn D An mit limJ5^ = 0, speziell mit Bi D B2 D ... und YlBn =0, wo die
5^ gleichzeitig A und A' sind.
Denn sei A* = ^4^ 4- -A^+i + • • • ; das sind Mengen A mit H ^n = ^ ^^^
es giebt also Mengen B^ D A* mit H -^n — 0 ? ^i^ zugleich A und ^4' sind.
Sei Bn^ BlB^'"Bl, das gehort zu {A')d = {A') und (Ad) = (A). Weiter
ist BnDAl^^'A;, = A^^D An; BiDB2D'-';UBn = 0.]
Bl. 3 Der Reduktionssatz |
[4] (A) Ist (C) ein Korper, so gilt in (B) = (Co-) der Reduktionssatz (also in
"^Fasz. 608 besteht aus zwei Teilen. Der erste (Bl. 1-Bl. 4 oben) ist hier abgedruckt. Er
beschaftigt sich mit multiplen Reduktions- und Trennungsprinzipien, angewandt auf ziemlich
allgemeine Mengensysteme, und steht in enger Beziehung zu den Faszikeln 607 und 609.
Der zweite Teil (Bll. 4-8) analysiert KuRATOWSKis Reduktionsbeweis fiir die Klassen C = 11}
(co-Suslinmengen) und P2 = ^2 . Er pafit deshalb besser in Abschnitt 5, der den Suslinmengen
und den projektiven Mengen gewidmet ist, und wird dort abgedruckt. Fasz. 608 ist im
Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 177-184.
602

(A) = (Cs) die Trennungssatze).
Denn sei Bp eine Folge 8 (B) '• Bp — ^ Cpq, Cpq e (C). Man bringe die
Indizespaare (p, q) in eine einfache Folge und setze in dieser Anordnung
rs

Im (zunachst beliebigen) Raum E sei dJl ein Borelsches System.
Zwei Mengen A, B heissen 9Jl-trennbar, wenn sie sich in Mengen
P, Q 8 9Jl mit PQ = AB einschliessen lassen:
AgP, BgQ, AB = PQ.
{P, Q, R sollen Mengen aus M bedeuten). (Bl. 1)
Der hier diskutierte Begriff der SDT-Trennbarkeit ist equivalent mit dem Reduktionsprinzip
fiir die Komplemente der betrachteten Mengen. In der Tat, ist
A C P^ B Q Q, und Ar\B = PDQ, dann gilt P^ C A^, Q^ C B^ und
was nur eine andere Sprechweise dafiir ist, dafi die Mengen
JV^ und B^ durch die Mengen P^ und Q (welche zusammen mit P, Q zu
9Jl gehoren) wie im Reduktionsprinzip beschrieben reduziert werden.
[3] LYAPUNOV bewies in [Ly 1934], dafi fiir jede Folge von Suslinmengen An mit
limAn = 0 eine Folge von Borelmengen Bn mit lim^n = 0 und An C Bn
existiert. HAUSDORFF hat diese Tatsache den 3. Trennungssatz genannt und
gezeigt, dafi er mittels einer einfachen Uberlegung (die auf KuRATOWSKi [Ku
1936] zuriickgeht) aus dem 1. Trennungssatz folgt. Er hat dabei (AQ-) — {A) =
(Ad) angenommen. Unter den Borelklassen ist die Bedingung (^a) = (A) =
(Ad) fiir die Klassen S^ erfiillt. Fiir diese Klassen gilt der erste und der zweite
Trennungssatz nicht. Somit ist der dritte Trennungssatz fiir Borelklassen wenig
brauchbar (s. auch das Gegenbeispiel im folgenden Faszikel 609).
[4] Dies ist ein Resultat KuRATOWSKis aus [Ku 1936], §2. HAUSDORFF gibt
einen wesentlich einfacheren Beweis.
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 609
[Trennungseigenschaften III]
Hs. Ms. - [Bonn], 16.1.1937. - 8 BU.^
16.1.37
W. Sierpinski, Sur la separabilite multiple des ensembles mesurables B, Fund.
Math. 23 (1934), S. 292-303.
Ich wende die Bezeichungen meines Ms. „Trennungseigenschaften" (13.1.37)^
an. S[ierpinski] nennt fiir das Mengensystem (A) {A C X, A = X — A die
Komplemente, (C) = (A) (A') System der Mengen, die gleichzeitig A und A!
sind):
[1] 1. Lusinsches Prinzip: y2{A,B) = 72 fiir (B) = (C).
^Im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 185-192.
6 [Fasz. 607.]
604

Novikoffsche Eigenschaft: 7273 "' = Ilyn fur (B) = (C).
n
Liapounoffsche Eigenschaft: 7273 * • -To; fur (B) = (C).
2. Liapounoffsche Eigenschaft: zu jeder Folge An mit l±m An = 0 giebt es
eine Folge Cn D An (Cn e {A){A')) mit limCn = 0.
2. Lusinsches Prinzip: 62(^,5) = 62 fiir (B) = {A').
2. verallgemeinertes Lusinsches Prinzip: 6263 • • • — H ^n fiir (B) = (A^).
n
Hilfsatz L Wenn {A) = {As) = {Ad), so gilt 72 -^ ElTn • [2]
Der Beweis ist derselbe wie beim zweiten Teil meines Satzes III (bei allgemeinen
A, B): wenn {A) = {Ad), {B) = {Bs), {B) C {A^), so folgt ysTn -> Tn+i • [3]
Wenn die A einen Ring bilden, so auch die A' und (C) = (A) (A'), also
ist {A) = {Ad)^ {C) = (O, {C) C (AO, demnach y2(A,C)yn(A,C) -.
yn+i(AC). I BL2
Aus (^4) = Ring folgt nicht y2 -^ y^ (Liapounoffsche Eigenschaft). Das
ist kein Wunder; man wtirde wohl mindestens {A) = {Ag) = {As) verlangen
mlissen. Das S[ierpihski]sche Gegenbeispiel: A bestehe aus den offenen
Intervallen ^^ = (0, ^), X = [0,1] abgeschlossenes Intervall; Mengen C, die
gleichzeitig A und A' sind, giebt es gar nicht. y2 ist erfiillt, well es keine zwei
disjunkten A giebt; y^^ nicht, well die samtlichen An sich nicht in Cn mit
YlCn — 0 einschliessen lassen (iiberhaupt in keine Cn)- - Wenn man aber
{A) = {As) verlangt und demgemass noch die leere Menge zu den A rechnet,
ist schon y2 nicht erfiillt (0 und Ai sind disjunkt) und das Beispiel verliert
seine Beweiskraft.
Die Frage: gilt bei {A) = {As) = {As) {oder wenigstens bei {A) =
{A(j) = {As)) y2 —^ ycc; ? ist anscheinend nicht gelost.
Die Borelsche Klassen. {Q) = {Qs) sei ein Mengensystem, (P) = {Pd) das
der Komplemente {P = Q' = X — Q). Fiir die Ordnungzahlen a < ft werden
Qc und Pa (Komplemente von einander) so definiert: Qo = Qj PQ = P; fiir
a > 0 Qa = Durchschnitt von abzahlbar vielen P^ mit Indizes ^ < a, Pa =
Summe von abzahlbar vielen Q^ mit ^ < a. | Bl. 3
Fiir a > 0 ist {Paa) = {Pa), {Qad) = {Qa)' Jedes Qa ist ein P^+i,
jedes Pa ein Qa-\-i {(^ ^ 0). Ferner wird behauptet: der Durchschnitt zweier
Pa ist ein Pa, also {Pad) = (Ba), {Qas) = {Qa)' Das ist nicht richtig: um [4]
z.B. Pi • Pi = Q(j • Q(T als Qfj nachzuweisen, miisste man doch Q - Q = Q,
d.h. {Qd) = {Q) statt {Qs) = {Q) voraussetzen. Nehmen wir selbst beide
Voraussetzungen an, (Q) and (P) seien Ringe. Daraus folgt noch nicht, dass
(Qo) + {Qi) = (Q) + (Ps) die d-Eigenschaft hat, aus der erst fiir (P2) die
d-Eigenschaft folgen wiirde; es miisste speziell der Durchschnitt Q • Pg eines Q
mit einem P5 selbst ein Q oder P5 sein, was nicht aus den Voraussetzungen
folgt. Kurzum, die Voraussetzungen miissen verscharft werden, und zwar so:
(Q) sei ein Ring, (P) der Ring der Komplemente, und es sei
605

(1) iQ)ciPa), (P)C(Q.).
(Beispiel: Q die abgeschlossenen, P die offenen Mengen eines beliebigen Raumes
X.) Dann sind die beiden Satze von S[ierpinski] richtig:
Satz I. In (Qc,) gilt IlTn {a > 0).
B1.4 Satz II. In (Qa) gilt ju; (a > 0). |
[5] Der Beweis ist von Kuratowski (Fund. Math. 26, S. 186) viel einfacher erbracht
worden, namlich auf Grund des Reduktionssatzes. In (B) gilt der Reduktionssatz,
wenn zu jeder Folge von Mengen Bn e {B) eine Folge paarweise
disjunkter Mengen 5* 8 (B) mit B^ C Bn, Z)^n = S^n existiert. Wenn
in (B) der Reduktionssatz gilt und (Bey) = (B), so gilt fiir die Komplemente
A ^ X - B SOWOhl YlynJuj als H ^n * ^u; •
Ist (K) ein Korper, so gilt fiir die (i^cr) der Reduktionssatz, also fiir die
(Ks) samliche Trennungssatze.
Ist (Q) ein Ring, (P) = {Q') und gilt (1), so ist
(2) (i^) = (P5)(Qa)
ein Korper mit (P) C [K) C (P^), also (P5) = {K^), und fiir (Ps) gelten alle
Trennungssatze.
Da nun aus (1) durch transfinite Induktion folgt, dass auch Qa, Pa statt
Q, P die Bedingungen (1) erfiillen, so gelten in (P^s) — (Qa+i) (ci; ^ 0) alle
Trennungssatze; ferner: fiir eine Limeszahl a ist J2 i^^) — ^ iQ^) ^^^ Korper
C

[Hierzu ist zu bemerken: Wenn die A sich in Mengen B = F^ mit dem
Limes 0 einschliessen liessen, so ware ihre Summe (nicht nur Gsa, sondern
auch) Fo-6 ; nach einem Lusinschen Satz (vgl. Ms. 10.3.31 (Hornegg): ist (K) [8]
ein Korper, so ist eine Summe abzahlbar vieler disjunkter K^ dann und nur
dann ein Kx, wenn sich die Ks in Mengen K^j mit dem limO einschliessen
lassen; hier auf (K) = {F(j){Gs) anzuwenden). Dass die Summe der A kein
FCJ6 oder ihr Komplement X^Pm • J2^nin2 • • • kein Gs^ ist, kommt bereits
bei Baire vor (s. mein Ms. 28.3.18, Satz II).] [9]
Beweis. Bekannthch kann man zu einer perfekten linearen Menge P eine
Folge disjunkter perfekter Mengen Pn (^0) bestimmen, die in P nirgendsdicht
sind, wahrend ihre Summe Q = ^Pn in P dicht ist. Setzen wir dies fort
(Baire), so kann man also (mit P = der ganzen Geraden beginnend) perfekte
Mengen
-^ —^ -'ni --^ -'711712 -^ ' ' '
bestimmen (ni, n2,... durchlaufen die natlirlichen Zahlen), deren jede in der
vorangehenden nirgendsdicht ist, wobei ferner die Mengen mit k Indizes paarweise
disjunkt sind, wahrend
Q = YlPnr in P dicht, Q^.-.n^^^ E P7ii...7ifenfc+i m Pni...7ifc dicht
ni nfc+1
ist. Die Mengen
^ ^^ i^^ C^ , -^7ii...7ifc ^^ ^n\...nk Wni.-.nk
sind samtlich disjunkt und Gs • Es seien B D A, Brn,...nk ^ ^ni...nk Mengen
P^; wir zeigen, dass es eine Folge u = ni,n2,... mit Y[^rii..nk ¥" 0 gi^bt,
k
SO dass der obere Limes aller P-Mengen ^ 0 ist. Wir woUen dabei P, Bni.,.nk
durch PB^ Pni...nkBni...nk ersctzcu (so dass wir noch mehr beweisen), also
^ (~ J^ (~ -t^ •, ^ni...nk ^ •t^n\...nk ^ -^ni...nfc
voraussetzen. Wir zeigen, dass es eine Folge v und eine Folge von offenen
Intervallen C/Q > f^i > ^2 > • • • {Jh C Uk-i) mit
^k—1-^ni...nk —^ ^k^n\...nk
giebt, SO dass dann in der Tat n^ni...7ifc D Y{UkPnr..nk ^ Y{Uk+iPm..nk T^ 0
k k
I ist, denn die Uk-\-iPni...nk bilden eine abnehmende Folge kompakter Mengen. BL 7
Q ist in P von 1., A und B von 2. Kategorie, P als Pa enthalt also
einen inneren Punkt, d.h. ein Intervall UQ . UoQ = Yl ^oPm ist in UQP = UQ
dicht, es giebt also ein UoPm ^ 0. UoQm ist in C/oPm von 1., also C/o^7ii
und UoBni von 2. Kategorie; UoBm als P^ enthalt also rel[ativ] UoPm einen
inneren Punkt, also ein C/iPm mit UQ D Ui:
UoBn, D UiPn, .
607

Das ist die Behauptung fiir /c = 1. - 1st sie schon fiir k bewiesen, so ist
— '^UkPni...nkn i^ UkPni...nk dicht, also giebt es ein nk-\-i so dass
n
UkPnT,...nk+i ¥" 0; UkQm...nk+i ist ill UkPm...nk+i von 1., also C/ifc^m.-n^+i
und t/;c-Sni...nfc+i voii 2. Kategorie, letztere Menge als F^j enthalt rel[ativ]
UkPni...nk+i einen inneren Punkt, also
UkBn:L...nk+i ^ Uk+lPni...nk+i i ^k D Uk+1 ]
das ist die Behauptung fiir A; + 1. Q. e. d.
Satz III. In (Qc.) gilt U^n {a>0).
[10] Wir haben dies und auch die Giiltigkeit von 6^^ schon nach Kuratowski bewiesen.
Bl. 8 S[ierpihski] bestreitet S^j (schon fiir G^) mit Berufung auf das soeben | erhaltene
Resultat fiir die disjunkten An — Gs, die sich nicht in Bn = Fa f^^it
l±mBn = 0 einschliessen lassen. Das ist unverstdndlich, da ja nach II diese
An sich sogar in Mengen Cn e (F(j)(G5) mit JJCn = 0 einschliessen lassen.
Diese Arbeit von S[ierpihski] enthalt also mehrere Fehler.
Anmerkungen
[1] Yn , To;, ^n siud die Bezeichnungen aus Fasz. 607; Yl bezeichnet gelegentlich
auch die Konjunktion (s. Anmerkung [3] zu Fasz. 607 zum historischen Hintergrund).
Was HAUSDORFF hier (SlERPlNSKi [Si 1934] folgend) Liapounoffsche
Eigenschaft nennt, wurde in [Ly 1934] von LYAPUNOV zwar angekiindigt, der
Beweis erschien aber erstmals in NoviKOVs [No 1934b].
[2] Im Gegensatz zu (^a), (^s) bestehen die Klassen (A^), (Ad) aus endlichen
Vereinigungen bzw. Durchschnitten von Mengen aus (A).
[3] Satz III bezieht sich hier auf III in Fasz. 607.
[4] HAUSDORFF findet hier kleinere Fehler in SIERPINSKIS Arbeit [Si 1934].
Die "d-Eigenschaft" einige Zeilen weiter ist das 1. Trennungsprinzip fiir zwei
Mengen.
[5] HAUSDORFF bemerkt hier, dafi SIERPINSKIS Resultate in [Si 1934] (hier
die Satze I und II) einen einfacheren Beweis erlauben, wenn man sie als KoroUare
zu KuRATOWSKis Reduktionssatz in [Ku 1936] auffaBt (= (A) im oben
abgedruckten Fasz. 608).
[6] HAUSDORFF verweist hier auf einen Satz von SIERPINSKI aus [Si 1924] (s.
Anmerkung [3] zum oben abgedruckten Fasz. 1064). HAUSDORFFS Behauptung
ist offensichtlich allgemeiner: (R) ist nicht notwendig von der Form A9 .
[7] Dies bedeutet, da6 der hier als 2. Liapounoffsche Eigenschaft bezeichnete
Sachverhalt zusammen mit dem multiplen l.und 2. Trennungssatz in den
608

Versionen (a^;) und ((3^^) (s. Fasz. 607) fiir die Klasse A = II2 = Gs nicht
gilt (mit B = A^ fiir oc^ und 5 = Xl^ = F^ fiir ^^). HAUSDORFF reproduziert
SiERPiNSKis Beweis aus [Si 1934], der auf einer Konstruktion BAIRES
beruht (s. Anmerkung [2] zu den oben abgedruckten Ausziigen aus Fasz. 1002).
Dann skizziert er einen viel kiirzeren Beweis eines allgemeineren Resultats.
[8] HAUSDORFF zitiert Fasz. 1063, welcher hier nicht abgedruckt ist, da der
etwas spat ere Fasz. 1064 dessen Inhalt iiberdeckt. Das Result at ist in Anmerkung
[5] zu Fasz. 1064 kommentiert. Um HAUSDORFFS Bemerkung abzuschlie-
6en, sei K = A^ fiir eine Ordinalzahl 0 < ^ < LJI . Sei X eine Xl^_^i-Menge in
einem polnischen Raum, aber keine n9_^^ -Menge. Dann gibt es eine Darstellung
X = U^ An , wo die n9-Mengen An paarweise disjunkt sind. Aus HAUS-
DORFFS Bemerkung folgt, da6 die Mengen An nicht durch Xl9-Mengen Bn mit
lim^n = 0 iiberdeckt werden konnen. Das bedeutet, dafi die 2. Liapounoffsche
Eigenschaft zusammen mit (an) und ((3^) fiir jede beliebige Klasse II? nicht
gilt Das in Anmerkung [7] kommentierte Resultat entspricht dem Fall ^ = 2.
[9] Bin Manuskript vom 28. 3.1918 ist im Nachlafi HAUSDORFFS nicht mehr
vorhanden.
[10] HAUSDORFF bezieht sich hier auf die Behauptung (A) in Fasz. 608 (urspriinglich
aufgestellt in [Ku 1936]), welche insbesondere S^j nach sich zieht,
Oder, was dasselbe ist, den 2. verallgemeinerten Trennungssatz (in der Terminologie
von Fasz. 608) fiir die Klassen 11^. SiERPiNSKis Behauptung des Gegenteils
im vorletzten Paragraphen von [Si 1934], basierend auf dem in Anmerkung
[7] kommentierten Resultat, ist falsch, weil 6a, nur verlangt, da6 der Gesamtdurchschnitt
der trennenden Mengen leer ist und nicht, da6 diese paarweise
disjunkt sind. Wahrscheinlich hatte SlERPlNSKi im Sinn, dafi die weniger interessanten
Aussagen (cx^;) und (|3a;) fiir 11^ nicht gelten.
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 633
Uber limAn
Veroffentlichungsmanuskript. - [Bonn], [2.5.1937.] - 9 BU.^
Uber
Von
F. Hausdorff (Bonn).
Der „Raum" X sei eine beliebige Menge, (A) ein System von Mengen A C X]
die Mengen JZ A^, 11 ^n, lim An, lim An, l±m Ar, fiir Folgen An e (A) mogen
'^Auf Bl. 1 oben hat HAUSDORFF spater notiert: „An Fund. Math, geschickt, dann zuriickerbeten,
weil Resultat bekannt (Kozniecki)". Fasz. 632 ist eine geringfiigig ausfiihrlichere Version
des vorliegenden Textes. Dort steht am oberen Rand: „Etwas verkiirzt, 2. 5. 37 an Kurat.
geschickt". Fasz. 633 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 350-357.
609

mit Ao-, As, Ax, A*, A^ und die von diesen Mengen durchlaufenen Systeme
durch Einschliessung in runde Klammern bezeichnet werden. Bekanntlich ist
(A*) C (A^s) , (A*) C (A5a) , (AA) C (A*)(A*) C (Aa6)(A6a) -
Falls A ein i^m^', d.h. Summe und Durchschnitt zweier A wieder ein A ist,
[1] weiss man aber*^, dass in der letzten Formel die Gleichheitszeichen gelten:
(AA) = (AcT6)(A6a),
Bl. 2 die Mengen 1 imAYi sind identisch mit denen, die zugleich A(j^ und A^(j I
sind. Die Frage, ab auch fiir jeden Ring {A) die Gleichungen
(1) (A*) = (A,6) (2) (A,) = (A6a)
gelten, scheint bisher nicht gestellt worden zu sein, obwohl die verneinende
Antwort, die wir geben werden, weder ganz an der Oberflache noch sehr tief
liegt. Zuvor nennen wir einige Falle, wo (1) - flir den Ring der Komplemente
A' ^X-A also (2) - gilt:
(a) wenn (A) ein Korper ist,
((3) wenn (A) der Ring der Borelschen Mengen F^ (ensembles de classe a
multiplicative, bei festem a) eines metrisches Raumes X ist,
(y) wenn (A) ein beliebiger Ring im abzahlbaren Raum X ist.
Die (bekannten) Tatsachen (a) ((3) beruhen auf folgender Bemerkung:
(6) Bildet man aus dem System (A) diejenigen „speziellen" B = Ao-, die sich
mit Summanden B = Ai-\-A2-\-.. • darstellen lassen, von denen nur endlich
viele einen gemeinsamen Punkt haben (insbesonders mit disjunkten
Oder mit endlich vielen An), so ist (5*) = (A*).
Denn wenn x unendlich vielen B^ = ^1 ^^ angehort, so gehort er
n
Bl. 3 unendlich vielen A^ an, und umgekehrt, weil er bei festem m \ nur
endlich vielen A!^ angehort.
Ist (^4) ein Ring und sind die Differenzen D = A2 — Ai spezielle A^j, so
sind alle Aa, als Summen abzahlbar vieler disjunkter D, spezielle AQ-, und
ein oberer Limes von Mengen Ao-, insbesonders also jeder A^ys (als Limes von
Mengen A^y) ist stets ein A*. Dies trifft zu, wenn (A) ein Korper (D . ein
A) ist; ferner fiir die Borelschen F^ mit o; > 0, weil C^ = X — F^ Summe
abzahlbar vieler disjunkter F^ ist**\ und fiir die abgeschlossenen Mengen
[2] (a = 0), weil jede offene Menge Summe von abgeschlossenen ist, von denen
*) Sierpinski, C. R. 192 (1931), p. 1625 - 27.
**) Kuratowski, Topologie I (Warszawa-Lwow 1933), p. 162. Lusin, Ensembles Analytiques
(Paris 1930), p. 80.
610

nur je zwei gemeinsame Punkte haben. *^
Es bleibt noch (y) zu beweisen. Ordnen wir jedem Punkt x des beliebigen
Raumes X eine diesen Punkt enthaltende Menge Px zu. Die Mengen B mit
der Eigenschaft
(P) [xeB] -^ [Px C B],
d.h. die mit einem Punkte x das ganze zugehorige Px enthalten, | gestatten BL4
ofFenbar beliebige Summen- und Durchschnittsbildung. Sie sind Summen von
B
Mengen Px : 5 = X^ PE. 1st nun {A) ein Ring im Raume X, wobei wir anneh-
men diirfen, dass die A den ganzen Raum bedecken, so sei Px der Durchschnitt
der X enthaltenden Ringmengen; die Ringmengen A haben dann die Eigenschaft
(P) und diese geht auf die Summen und Durchschnitte iiber; die A^j
und ACJS insbesondere sind Summen von Mengen Px- 1st aber X abzahlbar,
so erkennt man sofort, dass Px ein A^ und jede Summe von Px ein ^50^ ist;
A^s ist zugleich ^50-, also nach der Sierpinskischen Formel ein ^A •
Hingegen woUen wir nun zeigen:
Satz. In jedem Raum X von der Mdchtigkeit ^ c = 2^° giebt es einen
Ring [A), in dem (1) nicht gilt, und zwar einen solchen, filr den die Mengen
A* = l±m An keinen Ring bilden.
Die letztgenannte Eigenschaft ist zur Ungiltigkeit von (1) jedenfalls hinreichend,
da mit (A) auch {A(j) und (A^js) Ringe sind. | Aus Bl.5
l±m An 4- limBn = l±m {An + Bn) , 11m An • lim^n ^ 11m (AnBn)
folgt, dass (A*) endhche Summenbildung, vielleicht aber keine Durchschnittsbildung
gestattet: diese Moglichkeit mlissen wir realisieren.
Das Hiilfsmittel bildet der Begriff der „unabhangigen" Mengen. Es sei jedem
Element n der Menge N eine Menge Un C X zugeordnet und
entweder Vn = Un oder Vn = Ul^^ = X — Un
(der Akzent soil stets die Komplementbildung bedeuten). Die Mengen Un heis-
N
sen (in X) unabhdngig wenn stets H ^n 7^ 0 ist fiir jede Wahl der Vn- Es soil
n
also stets Punkte geben, die beliebig gewahlten Un angehoren und den librigen
nicht angehoren. Sind die Un C X in X unabhangig, so auch in jedem Raume
Y D X, Jedes Teilsystem der Un giebt wieder unabhangige Mengen.
Wenn es in X unendlich viele unabhangige Mengen giebt, hat X die Machtigkeit
^ 2^0 = c. In einem Raum X der Machtigkeit | c (also auch in einem der B1.6
Machtigkeit ^ c) giebt es KQ unabhangige Mengen**\ denn ist X die Menge [3]
Sierpinski, Fund. Math. 6 (1924), p. 21-23.
611

der dyadischen Folgen x = (^i,^2, • • •) niit ^n = 0 oder 1, so sind die Mengen
Un= E [Cn = 0] unabhangig.
X
Sei demnach X von der Machtigkeit ^ c und wahlen wir in ihm ^0 unabhangige
Mengen, die wir Ai, Bi, A^^ B^-, ^3, ^3, ... nennen. Es sei
yl*=Tim^n, B*=Tim5n,
(C) der kleinste Ring, der die A^, Bn enthalt, Cn eine beliebige Mengenfolge
aus (C) und C* = Tim Cn ; dann behaupten wir, dass sicherlich C* i^ A'^B'".
Bl. 7 I Die C sind die Summen endlich vieler D, die ihrerseits die Durchschnitte
endlich vieler A^, Bn sind. Nach der Bemerkung {S) (BL 2) ist (C*) = (i^*),
und wir konnen uns auf den Nachweis beschranken, dass
D* =llmDn
fiir jeder Folge Dn e (D) von A*5* verschieden ist.
Die D sind von der Form D = PhQk, wobei Ph ein Durchschnitt endlich
vieler An mit dem Maximalindex h sein soil (z.B. P3 = As oder AiAs oder
A2AS oder ^41^2^3); sollte kein A-Faktor in D vorkommen, so sei /i = 0.
Analoges gilt fiir Qfc •
Erster Fall. Wenn ein konstantes Ph in unendlich vielen Dn = PhQkn vorkommt,
so ist D* — A* ^ 0 und erst recht D* - A*B* ^ 0. Denn die Menge
A,^^'AhA'h^,A'h^2'''BiB2Bs'-'
ist 7^ 0 auf Grund der Unabhangigkeit; ein Punkt x von ihr gehort den genannten
unendlich vielen Dn, aber nur endlich vielen An an: x e D* — yl*.
(Entsprechend fiir h = 0). Das Analoge gilt bei Vertauschung der A und B,
Bl. 8 Indem wir diesen Fall ausschliessen, konnen | wir nun voraussetzen:
Zweiter Fall. Dn = Phr^Qkr^ init hn ^ 00, kn -^ 00 (und durchweg hn > 0,
kn > 0). Dann aber ist A*5* — D* ^ 0. Denn es sei A das System aller Dn ;
Ap das System derer mit hn < p, A^ das System derer mit kn < q. Die
Systeme Ap, A^ sind nunmehr endlich, jedes Ap ist in einem A^ enthalten,
jedes A^ in einem Ap. Hiernach kann man zwei Folgen pi < p2 < • • • ,
qi < q2 < " ' der art bilden, dass
(3) Ap, c A^i c A^2 ^ Ap2 c Ap3 c A^3 c A^^ c Ap, c • • •
Die Mengen Dn aus
AQi I A _ A I A93 _ A 92 I A _ A I
**) Es giebt sogar in einem Raum der Machtigkeit m = m^o ein System von 2"^ Mengen,
von denen je abzahlbar viele (verschiedene) stets unabhangig sind. Dies lasst sich auf dieselbe
einfache Art zeigen, wie ich (Stud. Math. 6 (1936), p. 18-19) den Satz vom Fichtenholz und
Kantorovitch bewiesen habe: in einem Raum der unendhchen Machtigkeit m gibt es 2"^
Mengen, von denen je endUch viele stets unabhangig sind.
612

haben einen der Faktoren
-Ol,...,-Oq^ I Ap^-^l, . . . ,yip2 I -0^2 + 1, •••, ^93 I ^P3 + ll • • • 5 ^P4 I
und jedes Dn gehort einem dieser A-Systeme an (die nach (3) libereinandergreifen
und die Partialsummen A^^, Ap2, A^^, Ap^, ... haben). Auf Grund
der Unabhangigkeit giebt es einen Punkt x von
Ap^ Bi" Bq^ • Ap^^-^ ' • • Ap^Bq^ ' Ap^Bq^_^-^ • • • Bq^ ' ^p3 + i • • • Ap^Bq^ . . . . ;
er gehort keinem Dn an, wohl aber zu Ap^Ap^ • • • Bq^Bq^ • • • , also x^ A^'B* — D*.
Damit ist unser Satz bewiesen.
Anmerkungen
[1] SlERPlNSKi bewies in [Si 1931] (Theoreme II), dafi (74A) = (^a6)(^6a) fur
jeden Ring {A) gilt. Es scheint, da6 HAUSDORFF dieses Resultat unabhangig
von SiERPiNSKi bewiesen hat; s. Anmerkung [2] zu Fasz. 1064.
[2] Dafi jede Menge in G^ eine abzahlbare Vereinigung von paarweise disjunkten
Mengen der Klassen F^, P < a ist, findet man in [Ku 1933/1966],
§ 30.V, wo G^ die additive Klasse a genannt wird. SiERPiNSKi zeigte in [Si
1924a], dafi (in euklidischen Raumen) F^s = F* ist.
[3] In der Fufinote bezieht sich HAUSDORFF auf seine Arbeit [H 1936a].
NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 425
Uber limfn und lim/n (vgl. Mengenlehre, §41).
Hs. Ms. - [Bonn], 9.2.1932. - 12 BU.^
Uber limfn und limfn (vgl Mengenlehre, ^4V-
9.2.32
Die / mogen ein vollstdndiges System bilden, so dass die f^g^h, /* mit den
Funktionen der Klassen (M, A^), (M, *), (*,A^), (Ncj^Ms) identisch sind (Satz
XII).
Einschiebungssatz (XIII): Zu g ^ h giebt es ein / mit g ^ f ^ h.
Erweiterungssatz (XIV): Ist A^o eine Menge A", so lasst sich eine in A^o
definirte Funktion von der Klasse (M, N) zu einer Funktion / des Raumes
erweitern.
Eine Funktion if = lim/n ist von der Klasse (*,7kf5), Denn mit gn —
sup[/n,/n+i,---] ist (f = limgn = infgn {gi > 92 > •")'', 9n ist ein g,
®HAUSDORFF hat auf Bl. 1 oben mit andersfarbigem Stift notiert: „StepanofF, Nikodym,
Goldowsky".
613

von der Klasse (M, *), also von der Klasse (*,M5) und kp von der Klasse
(*,M55) = (*,M5). Allgemein ist jede Funktion ^ — inf ^^ oder jeder Limes
9? — lim^n einer absteigenden Folge von g^^ immer von der Klasse (*,M5).
Wir woUen nun die Umkehrung beweisen, dass jede Funktion Lp von der Klasse
Bl. 2 (*,M5) eine Funktion ^ — lim^'n ist. |
I. Es sei Mo eine Menge M und NQ = E — MQ ihr Komplement. Dann
giebt es eine Folge von Funktionen fn (Funktionen /) folgender Art:
(a) 0^/n^l;
((3) fiir X e No ist fn{x) — 0 fiir alle n;
(y) fiir X 8 Mo ist fn{x) — 1 fiir mindestens ein n und fn{x) > 0 fiir
hochstens zwei n.
Beweis. In dem trivialen Fall Mo = 0 setze man alle /^ = 0; in dem Falle
Mo = E /i = l, /2 = /3--.- = 0.
Sei demnach 0 C Mo C E'. Gemass (A) (S. 238) giebt es eine Funktion /,
nennen wir sie S = S{x)^ die in Mo positiv ist und in NQ verschwindet (falls die
/ die stetigen Funktionen, also die M die offenen, die N die abgeschlossenen
Mengen sind, kann S = S{x, NQ) als untere Entfernung des Punktes x von A^o
gewahlt werden).
B1.3 Sind N\N^^ zwei disjunkte Mengen N, so giebt es | ein /, das in N^
gleich 1, in N'' gleich 0 ist und liberall der Bedingung 0 ^ / ^ 1 geniigt.
(Erweiterungssatz. Man kann einfach, wenn S' in M' = E — N' positiv, in N'
gleich 0 ist, analog 6"^ / = s'^+5" setzen).
Nunmehr betrachten wir, indem wir den Index n zunachst alle ganzen Zahlen
= 0 durchlaufen lassen, eine Skala positiver Zahlen ..., p_2, p-i, po, Pi, P2, • • •
mit pn < Pn+i, limn-.-ooPn = 0, linin-^ooPn = 1, sowie die Mittel p^^_ 2
\{Pn + Pn+i)' Die Menge A^^ ^ [Pn-^ = ^ = Pn+^l i^t ein A", ebenso die
dazu disjunkte A^^' — [S ^ Pn-i] -^ [^ = Pn+i]; es sei fn eine Funktion /,
die in N!^ gleich 1, in A'^' gleich 0, und sonst zwischen 0 und 1 gelegen
ist; falls A^^ =0, sei fn=0 iiberall. Diese Funktionen erfiillen (a) und, weil
BL4 A'o £ A^' fiir jedes n, auch ((3). Ferner kann fn{x) > 0 nur in der Menge |
E — N^ = [pn-i < 6 < pn+i] sein und von diesen Mengen konnen nur zwei
benachbarte gemeinsame Punkte haben, so dass fn{x) > 0 hochstens fiir zwei
n richtig sein kann; und da Mo — [5 > 0] = &N^, x e MQ also mindestens
einer Menge A^;!^ angehort, so ist /n(^) = 1 fiir fiir mindestens ein n, also (y)
richtig. Wir denken uns hinterher wieder die Numerierung so geandert, dass
n = l,2,....
II. (p sei von der Klasse (*, Mg), also Q{y) — [(p ^ y] = Mi{y)M2{y) - — =
2) Mk (y). Man kann dann Mi (y) 2 M2 (y) 2 • • • und fiir die rationalen
Zahlen r die Mk{r) so annehmen, dass mit r < s (wobei Q{r) 2 Q{s)
ist) auch Mk{r) 5 Mk{s) fiir jedes A: = 1, 2,... ist.
614

Dies gilt sogar schon, wenn die M nur einen Ring bilden (sie bilden bei den
sonstigen Voraussetzungen - dass die / ein vollstandiges System bilden - sogar
einen cr-Ring). Dass Mk{y) 2 Mk-\-i{y), erreicht man, indem man Mk{y) durch
I Mi{y)M2{y) • • • Mk{y) ersetzt. Man kann dann Q{y) = l±mMk{y) schreiben. B1.5
k
Um das zweite zu erzielen, bringe man die rationalen Zahlen in eine Folge
ri,r2,... . Angenommen, man habe fiir ri, r2,...,r/^ schon erreicht, dass mit
ri < Tj Mk(ri) ^ Mk{rj) ist; das nachste r = rh-\-i kann dann zwischen zwei
der ri, r2,..., r/j fallen oder grosser als alle oder kleiner als alle sein. Im ersten
Falle sei etwa r^ < r < TJ , dann setze man
Mj^ir) = Mk{r)Mk{ri) + Mk{rj),
welches wieder ein M ist. Dann ist Mkin) 3 Ml^{r) ^ Mk{rj) und ^k Ml^{r) =
limM^(r) = Q{r)Q{ri)+Q{rj) = Q{r); man kann also Mk{r) durch Ml^{r) ersetzen
und hat damit fiir ri,..., rh-\-i das Gewiinschte erreicht. (Wenn r > ri =
max [ri,..., r,,], ist Ml^{r) = Mk{r)Mk{ri), wenn r < rj = min [ri,..., r/^], ist
Mj^{r) = Mk{r) + Mk{rj) zu setzen). Damit ist II bewiesen. | B1.6
III. Jede Funktion (f der Klasse (*,M5) ist von der Form ip = limfm-
(Wir betrachten nur durchweg endliche Funktionen, schliessen also ±00
aus.)
Zunachst sei (p > 0. Fiir positive rationale r betrachten wir die Mengen
Q{r) = [ip^r] = ^Mk{r)
P{r) = b y, also x ^
[(p v .
615

Denn dazu muss, wegen fkn = ^/c, Vk > v und andererseits x e Mk{rk) £
Mk(v) sein; das kann wegen x e P{v) nur flir endlich viele k und fiir jedes
Bl. 8 solche I k nur bei hochstens zwei Werten n der Fall sein. Also: fiir fast alle
m ist fm{x) S ^5 demnach lim/m(x) ^ v und folglich l±m fm{x) ^ y. -
Andererseits sei u eine positive rationale Zahl < y; dann giebt es unendlich
viele Wertpaare k^n mit fkn{x) > u. Denn es giebt unendlich viele k mit
u < Tk < y'l also X e [(p ^ rk] = Q{rk) £ Mk{rk) und zu jedem solchen /c ein
n mit fkn{x) = fkn{x,rk) = r^. Also ist, fiir unendlich viele m^ fm{x) > Ui
l±m fm{x) ^ lA und folglich l±m fm{x) ^ y. Damit ist l±m fm{x) = v^(x) fiir
jedes X bewiesen.
Wir haben III fiir (p > 0 bewiesen mit Punktionen /m ^ 0; wir konnen aber
Z,^ > 0 annehmen, denn fur f^ = max[/^,^] ist l±mf^{x) = max[(y9,0] =
(f. Wenn zugleich if < 1, so konnen wir auch fm < ^ annehmen, denn fiir
B1.9 f'^ = miii[/rn, 1 - :^] ist auch Tim/;^ = if. (Aus | Cm = min[am,M ^Igt
limcyn ^ min [Timam, lim^rri], aber auch limcm ^ min[Timam, lim^m] — A,
denn dann ist fiir jedes 5 > 0 unendlich oft a^ > A — e und schliesslich hm >
A — £, also unendlich oft Cm > A — £, limcm ^ A. In unserem Fall, wo l±mbm,
existiert, ist l±mCm = min [Timam, lim^m], d.h. lim/^(x) = min [(/?, 1] = ip.)
AUgemein konnen wir fiir a < (p < b auch a < fm < b annehmen.
Ist sodann $ beliebig von der Klasse (*, Ms), so ist cp = i^\^\ von derselben
Klasse und —1 < (p < 1, also cp = lim/m niit —1 < /m < 1. Dann ist mit
Fm = iJrf I auch limFm = JT^ = ^^ weil die Beschrankungstransformation
y = i^\Y\ inonoton und stetig ist. Damit ist III ohne Einschrankung bewiesen.
Bl.io Eine Funktion -0 von der Klasse (A/'cj,*) ist in | der Form i/j = lim/m
darstellbar.
IV. Ist (p von der Klasse (*,M5), -0 von der Klasse (A/'o-,*), und ip ^ i/;,
so giebt es eine Folge /n von Funktionen / derart, dass gleichzeitig
(p = Ilm/n und -0 == lim/n •
[1] Auf Grund von III konnen wir (p = lim^^, 9i ^ 92 = ''' als Limes
absteigender g, ebenso (p = l±mhn, /ii ^ /i2 = • • • als Limes aufsteigender h
darstellen. Dann ist gn ^ ^ ^ ip ^ hn und es lassen sich Funktionen fn mit
[2] 9n = fn = hn cinschiebeu, fiir die sich demgemass
(p ^lim/n ^ lim/n ^ -0
ergiebt. Andererseits haben wir (^ = lim/^, -0 = Uja/n ^^^ ^^^ ^n —
max[/n,/;], K'=min[/n,/;i
limF^ =max[Iim/n,lim/^] = (p , ImF^ = min [lim/n, lim/^] =^,
Bl. 11 wobei nun F^^ Z fn ^ Fl^ wird, also limF;^' ^ (p \ und limF;^ ^ -0. Fiir die
Folge F[, F{\ ^2,^2',... , die wir mit Fn bezeichnen, ist dann
limFn = max [limF^, limF^'] — cp, limK, = min [lim F^, lim F:^] — -0,
616

und die Fn sind Punktionen /, womit IV bewiesen ist.
Fiir ip = il; ergiebt sich das schon bekannte Result at, dass jede Funktion der
Klasse {N(j,Ms) gleich lim/n ist.
(Vgl. Stepanoff, Nikodym, Goldowsky, Fund. Math. 11, S. 264-76 fur den [3]
Fall stetiger Funktionen /).
Der Limes einer gleichmassig konvergenten Folge von Funktionen der Klasse
(*, Ms) ist von derselben Klasse (Mengenlehre, S. 235). Der Limes einer gleichmassig
konvergenten Folge von Funktionen if — lim/n ist also wieder eine
solche Funktion.
Die Konvergenzmenge einer Folge /^ (/n Funktionen /) ist ein N^s (Mengenlehre,
S. 273), die Divergenzmenge ein M^^s. Umgekehrt ist jede beliebig
gegebene Menge \ D = Mscj die Divergenzmenge einer Folge fn- Es sei Bl. 12
D = & Dn, wo die Dn Mengen Ms sind und Di ^ D2 ^ • - angenommen
werden kann, E — D — C. Wir definieren die Funktion (p
= 1 ^ i 0
in Di D2-D1 D3-D2 ... C.
(f ist von der Klasse {^,Ms), denn [if ^ y] ist, wenn nicht 0 oder der ganze
Raum, eine der Mengen Dn. Es ist (f ^ 0 und [(p > 0] = D, [ip — 0] = C.
Nach IV, auf ip und '0 = 0 angewandt, giebt es eine Folge fn mit lim/n = ^5
lim /n = 0, dann ist die Konvergenzmenge der Folge fn die Menge [y:> = 0] =
C, die Divergenzmenge [(p > 0] = D.
Anmerkungen
[1] Nach Definition ist (p = lim/n = infn^'n, wobei gn = sup;.^^ fk Funktionen
g mit gk-\-i < gk-, V/c sind.
[2] Hier wird der Einschiebungssatz (Mengenlehre, §41, XIII) benutzt, um fn
zu er halt en.
[3] HAUSDORFF bezieht sich hier auf [SN 1928] und [Go 1928].
Kommentare
Fasz. 662
HAUSDORFF'S Hierarchic der Klassen F^, G^, H^ ist fast identisch mit der
gegenwartig in der deskriptiven Mengenlehre allgemein akzeptierten: die Klassen
F^, G^, H^ fallen mit n?_^^, E?_^^, A?_^^ zusammen (s.etwa [Ke 1995],
§ ll.B). Dementsprechend ist die Definition hier verschieden von der in HAUS-
DORFFs Mengenlehre, §32. Ist namlich ^ ungerade, dann entspricht F^ hier
dem G^ in Mengenlehre, und umgekehrt entspricht G^ hier dem F^ dort. In
[Ku 1933/1966] werden Mengen aus F^ bzw. G^ (wie in Fasz. 662 definiert)
als Mengen der multiplikativen bzw. additiven Klasse ^ bezeichnet.
617

Die Geschichte der Borelschen Hierarchien geht auf LEBESGUE zuriick. In [Lb
1905] wurden offene (ouvert) bzw. abgeschlossene (ferme) Mengen der Klasse
a (fiir jede hochstens abzahlbare Ordinalzahl a) definiert als Mengen der
Form [a < f < b] bzw. [a < / < 6], wo / eine Funktion der Baireschen Klasse
a ist (d. h. als Urbilder offener bzw. abgeschlossener Intervalle). Die Bairesche
Hierarchie von Funktionen war etwas friiher in [Ba 1899] eingefiihrt worden.
HAUSDORFF merkt an, da6 in dieser Definition die Limesordinalzahlen ausgespart
sind, so da6 fiir jedes unendliche a die offenen bzw. abgeschlossenen
Mengen der Klasse a mit F*^"^^ bzw. G*^"^^ identisch sind (d. h. in moderner
Notation mit ^^^i bzw. H^^j^, weil l-\-a = a ist). LEBESGUE selbst nannte
im Falle einer Limesordinalzahl a die Mengen aus F^ Mengen vom Rang a;
fiir die Mengen aus G*^ hatte er in diesem Fall keine spezielle Bezeichnung.
Die Hierarchie von DE LA VALLEE POUSSIN beginnt mit der Klasse 0 aller
Mengen im Baire-Raum, die zugleich offen und abgeschlossen sind, oder (in einem
beliebigen Raum) mit der Klasse 1 aller Mengen, die zugleich F^ und Gs
sind. Induktiv erhalt man dann eine beliebige Klasse A"^ (a > 0 bzw. > 1) als
die Menge aller Limites (konvergenter) a;-Folgen von Mengen der Klassen ^4^ ,
£, < a. Diese Konstruktion beruht auf derselben Idee wie die Bairesche Funktionenhierarchie;
man beachte hierbei, dafi die charakteristische Funktion von
X = linin Xn gleich dem Limes der charakteristischen Funktionen der Mengen
Xn ist. LusiNs Modifikation K^ ([Lu 1930b]) besteht aus alien Mengen
von A^, die keiner Klasse A^ mit ^ < a angehoren. Somit bilden die LusiNschen
Klassen ein paarweise disjunktes System und kein aufsteigendes, was
HAUSDORFF sehr mififallen hat. HAUSDORFF bemerkt, daB die A^ fiir endliches
^ mit seinen H^, fiir unendliches ^ mit seinen H^+^ zusammenfalien. In
moderner Terminologie ist DE LA VALLEE POUSSINS A^ die Klasse A^_^^^^.
Zu den Beziehungen zwischen den Hierarchien s. auch [Ku 1933/1966], § 30.IX
und [Si 1932].
Fasz. 1002 und 468
In 1) von Fasz. 1002 wirft HAUSDORFF die Frage auf, ob das BAiREsche Theorem
iiber Funktionen der ersten Klasse {Mengenlehre, Satz VIII auf Seite
255) Verallgemeinerungen auf hohere Stufen der Borelschen Hierarchie gestattet.
(Eine solche Fragestellung ist ganz naturgemaB im Rahmen der HAUS-
DORFFschen Versuche, geeignete Verallgemeinerungen des Begriffs der reduziblen
Menge fiir den Fall zu finden, daB die abgeschlossenen Mengen durch
einen anderen 6-Ring ersetzt werden, z. B. durch eine der Borelklassen Gg,
FCJ5, ... .) Eine Verallgemeinerung dieser Art hatte bereits LEBESGUE gefunden
([Lb 1905], S. 191): Damit eine reelle Funktion f von der Baireschen Klasse
^ ist, ist notwendig und hinreichend, dafi sie in mindestens einem Punkt einer
jeden perfekten Menge {i^)-stetig ist. f heiBt (^)-stetig, wenn fiir beliebiges
e > 0 jeder Punkt x des Definitionsbereichs von / eine Umgebung Ux besitzt,
die als Vereinigung abzahlbar vieler disjunkter II^.^^-Mengen dargestellt werden
kann, so dafi auf jeder dieser Mengen / eine Konstante mit der Prazision
< £ ist und ferner jede dieser Mengen mit Ausnahme derjenigen, die x enthalt.
618

nirgendsdicht in Ux ist.
Was Punkt 2) von Fasz. 1002 betrifft, so hat KELDYSH ([K1 1944]) geeignete
Verallgemeinerungen der in Anmerkung [2] zu Fasz. 1002 beschriebenen
BAiREschen Konstruktion ([Ba 1909]) gefunden. Diese liefern (fiir endliches
n) echte 11^ -Mengen, d. h. solche 11^ -Mengen, die nicht zur komplementaren
Klasse S^ gehoren, allerdings von sehr kompliziertem Charakter. Im allgemeinen
ist flir hohere Klassen T der Borelschen Hierarchie das einzige bekannte
Verfahren, um zu beweisen, daB eine Menge X eine echte F-Menge ist, folgendes:
man zeigt von einer anderen Menge Y, von der man schon weiB, sie
ist echte F-Menge, dafi sie in gewissem Sinne auf X reduzibel ist (s. u.). Wir
woUen nun zeigen, wie dies benutzt werden kann, um eine exakte Bestimmung
der Borelklasse fiir gewisse Borelmengen in Fasz. 468 vorzunehmen.
Wir betrachten Mengen in polnischen Raumen. Es sei F eine Klasse der
Borelschen Hierarchie. Eine Menge X ist eine echte F-Menge, wenn sie zu F
gehort, ihr Komplement jedoch nicht zu F gehort. Z.B. ist eine echte S^-
Menge eine Menge in E^ — 11^ und eine echte 11^-Menge eine solche in
n^ — S^ ; echte A^-Mengen existieren nicht. Die grundlegende Pragestellung
in Fasz. 468 kann folgendermafien umrissen werden: Sind gewisse Borelmengen
echte Mengen jener Klassen, zu denen sie in natiirlicher Weise gehoren?
Die Reduzibilitat, auf die oben Bezug genommen wird, ist folgendermafien
definiert: Sind X bzw. Y Mengen in polnischen Raumen A bzw. B, dann
bedeutet 1^

etrachten eine Menge P C N^ in $r. Dann ist P = ^ieiPi = U^G^ Ciieu ^ '
wo Pi C tNi'^ Mengen in F sind. Es gibt dann eine Familie stetiger Funktionen
^i'.U^ ^E,so dafi Pi = ^i~\Xi). Sei ^(a) - {M(^)}iei fur a e N^, dann
ist ^ : N^ -> £;'^ stetig. Wir haben
aeP ^=> ^i{aePi) ^=^ ^^ (^i(a) G Xi) ^(a) G F.
Um die zweite Behauptung zu beweisen, bemerken wir, dafi jede echte Teilmenge
eines abzahlbaren diskreten polnischen Raumes offenbar A5-vollstandig ist
(A? ist die Klasse aller Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind).
Beispiel 1. Die Menge A* = {x G N'^ : 3^/c B'^i {x{i) = k)} aus HAUSDORFFS
Note ist eine 114 = GSCJS-Menge (s. unseren Kommentar zu Fasz. 633; 3^ ist
dasselbe wie lim). Die Definition ist aber nicht von der Art, um einen direkten
Bezug zum $-Theorem zu erlauben, weil 3°^i nicht der Hnksmaximale
Quantor ist.
Die Hilfsmenge Y = {y e 2^^^ : 3^j 3'^i {y{ij) = 1)} ist n^-voUstandig
wegen des $-Theorems und der Tatsache, dafi 3^ 3"^ A? = 11^ ist. Fiir jedes
y ^ 2^""^ definiert man x = i}{y) G ^^ durch x{2'{2j + 1) - 1) - j • y{ij).
Die Abbildung -i? hefert uns y ak{i)) fiir alle k ist, dann ist L eine echte
rig-Menge; dies ist es vielleicht, was HAUSDORFF im Sinn hatte.
Um dies zu beweisen, betrachten wir die Hilfsmenge
Y = {ye 2^^^ : VA: V^i {y{k,i) = 1)}.
Dies Y ist n3-vollstandig aus denselben Grlinden wie in Beispiel 1. Es bleibt
Y

eine sehr kurze und direkte Anwendung des $-Theorems, wenn man annimmLt,
da6 die gegebenen Folgen, sagen wir a^, paarweise orthogonal sind in dem
Sinne, daB ak{m)ak'{m) = 0 fiir alle m und k ^ k' (und, um Trivialitaten
auszuschlieBen, 3^m {ak{m) 7^ 0)).
Fasz. 1064
HAUSDORFF hat die Faszikel 1063 - 1066 in einer Mappe mit der Uberschrift
„Ringe, Korper, Trennungssatze, Bedeckungssatze (Messbarkeit)" zusammengefaBt.
Wir haben Fasz. 1064 fiir den Abdruck ausgewahlt, weil er in dieser
Sammlung der inhalthch reichhaltigste ist, HAUSDORFFS Ausgangspunkt ist
ein Korper 9JI von Teilmengen einer vorgegebenen Menge E (irgendeine topologische
Struktur von E spielt hier keine RoUe). Es werden dann Erweiterungen
von 971 mittels verschiedener Operationen betrachtet, insbesondere
OTcT und dK^ (abzahlbare Vereinigungen bzw. Durchschnitte von Mengen 9Jl),
9Jl^ = OJlo- n 9Jl6, und OJIA (Limites von konvergenten Folgen von Mengen in
9Jl). Dann beweist HAUSDORFF daB 971A p, = ^^A = 5!JIA ist und stellt das einfache
und das (endhche, in der Terminologie von Fasz. 607 mit oin bezeichnete)
multiple 1. Trennungsprinzip fiir OJl^ auf. Schliefilich findet er eine notwendige
und hinreichende Bedingung dafiir, daB eine abzahlbare disjunkte Vereinigung
von Mengen aus ^^ zu 3JIA gehort und schlieBt mit dem 2. Trennungsprinzip
fiir m^.
Wenn der Ausgangskorper 971 eine Borelklasse A^ ist, dann ist 97la = Xl^,
97l6 = li\ und folglich 971^ = A^ = 971 und 97tA = ^l+i- In diesem speziellen
Fall waren einige dieser Resultate als Trennungsprinzipien fiir Borelklassen 115
bekannt, z.B.aus LusiNs Legons sur les ensembles analytiques ([Lu 1930b]),
worauf HAUSDORFF in einer FuBnote auf Bl. 3 verweist. Das Ziel, das HAUS­
DORFF in den Faszikeln 1063 - 1066 vorschwebte, war offenbar die Verallgemeinerung
von LusiNs Resultaten auf den Fall, daB der Ausgangskorper keine
Klasse A^ in einem polnischen Raum zu sein braucht (HAUSDORFF schreibt
in Fasz. 1063: „In der ganzen Lusinschen Theorie ist diese Spezialisierung unerfreulich").
Verallgemeinerungen dieser Art offenbaren die wahre Bedeutung
der betrachteten Resultete und erlauben es, sich auf die wirklich wesentlichen
Argumente zu fokussieren.
Trennungssatze: Fasz. 607, 608, 609
Diese Serie von drei Noten ist der multiplen Trennbarkeit gewidmet, einem Gegenstand,
der 1934 von verschiedenen Autoren behandelt wurde ([No 1934a],
Ly 1934], [Lu 1934])^ (Eine gewisse Form multipler Trennbarkeit wird auch im
Fasz. 1064 betrachtet.) Es stellt sich bei diesen Untersuchungen unmittelbar
als ein wesentlicher Punkt her aus, dafi die Forderung der Disjunktheit zweier
Mengen verschiedene sinnvolle Verallgemeinerungen fiir endlich oder abzahlbar
viele Mengen erlaubt. Z. B. kann man paarweise Disjunktheit verlangen oder
^S. beziiglich der Friihgeschichte der Trennungssatze Anmerkung [97] zu Mengenlehre und
die Kommentare zu Fasz. 1064 oben und zu Fasz. 426 im Abschnitt 5.
621

aber, dafi der gesamte Durchschnitt oder (fur unendliche Mengenfamilien) der
obere bzw. untere Limes leer ist. Dementsprechend fiihrt das auf verschiedene
multiple Formen der Trennbarkeit, darunter jene, welche HAUSDORFF in
Fasz. 607 klassifiziert hat.
Die a-und (3-Formen haben sich als nicht wirklich interessant erwiesen. Die
Form (Yn) jedoch und die y-Form mit der Bedingung, dafi der obere Limes
verschwindet (d. h. die 2. Liapounoffsche Eigenschaft in der Terminologie von
Fasz. 609), wurden flir Suslinmengen A in [No 1934a] bzw. [Ly 1934] bewiesen
und dort auch angewandt, um einige Satze iiber die Einbettung von ebenen
Suslinmengen in Borelmengen zu beweisen. LusiNs Pragestellung ([Lu 1934]),
ob - wie im Fall der Versionen fiir zwei Mengen - auch die multiplen Trennungssatze
fiir die Borelklassen 11^ gelten, wurde von SiERPiNSKi ([Si 1934])
studiert. Es stellte sich heraus, dafi (y^) und (y^;) fiir 11^ gelten, nicht aber
die 2.Liapunoffsche Eigenschaft, zusammen mit (oCuj) und ((3c^). Verschiedene
kleinere Versehen in [Si 1934] hat HAUSDORFF im Faszikel 609 aufgedeckt.
Schliefilich hat KuRATOWSKi in [Ku 1936] gezeigt, dafi hinter den verschiedenen
Trennungssatzen eine etwas starkere Eigenschaft steht, die Reduktion
genannt wurde. KuRATOWSKi bewies, dafi multiple Reduktionssatze in endlicher
und abzahlbarer Form fiir die additiven Borelklassen XI^ gelten. (Sie
gelten auch fiir Il\ und Y^l; dies wird weiter unten kommentiert.) Folglich
gelten die Trennungsprinzipien (y^;) (wie in [Si 1934]) und (6^;) fiir die multiplikativen
Klassen n^ (man braucht nur zu den Komplementen iiberzugehen;
s. Fasz. 608).
Fasz. 633
Die Faszikel 631 - 633 des Nachlasses sind den Operationen lim und lim gewidmet,
d. h. der oberen und unteren Limesbildung iiber abzahlbare Folgen
von Mengen eines gegebenen Mengenringes. Das Hauptresultat ist der Satz auf
Blatt 4, der besagt, dafi es zu jeder Menge R, die mindestens die Kardinalitat
c hat, einen Ring {A) von Teilmengen A von R gibt, so dafi die Familie
(A*) aller A* = lim An mit An G (A) kein Ring ist; insbesondere ist hier
(A*) / (Ao-s). Einen solchen Satz hatte A. KOZNIEWSKI in [Kz 1933] bewiesen
(darauf bezieht sich HAUSDORFFS Randnotiz, dafi er dieses zur Veroffentlichung
in Fundament a Math, bestimmte Manuskript zuriickerbeten habe; den Namen
Kozniewski schreibt er in dieser Notiz falschlich Kozniecki). Fasz. 633 enthalt
aufier dem genannten Satz noch weiter e interessant e Result ate, weshalb wir uns
fiir den Abdruck entschieden haben.
HAUSDORFF weist auf verschiedene Falle {{a) — (S)) hin, in denen (A*) =
(Acrd) gilt. Zum Beispiel ist dafiir hinreichend, dafi jede Menge von {Acj) eine
abzahlbare disjunkte Vereinigung von Mengen aus (A) ist oder zumindest, dafi
jede Menge aus (Aa) als Vereinigung einer Folge von Mengen An G (A) mit
lim An = 0 geschrieben werden kann. Dies ist der Fall, wenn (A) ein Korper,
d. h. abgeschlossen gegeniiber Komplementbildung ist. Es trifft auch, was nicht
trivial ist, fiir Borelklassen 11^ zu (d. h.jede Menge in 5]^_|_i ist disjunkte
Vereinigung von U^ -Mengen, [Ku 1933/1966], § 30.V), so dafi formal llmn^ -
622

liml]^_^i = n^^2 ^^^ dementsprechend liml]^ = limEE^^i = ^a+2 &^^-
HAUSDORFF vergleicht sein Resultat mit einem Satz von SIERPINSKI ([Si
1931]), der besagt, dafi {Ax) = (^4^6) D (Asa) ist fiir jeden Ring {A). SiER-
PiNSKis Beweis ist besonders durchsichtig. Sei X = [j^ f|n ^^ = flm Un ^i^^
wobei man X^^ C X^ und Y^ C YJ^^ fiir alle m, n annehmen kann. Dann
ist X — lim^_^oo Zn mit
z„ = (X;iny„i)u(x2nyiny„2)u...u(x:nrin---ny„").
Diese Beweisflihrung benutzt gleichzeitig eine a6- und eine 6a-Darstellung einer
gegebenen Menge und braucht keine Aufspaltung in jeweils separate Argumentationen,
um (A*) = (^sa) und {A*) = {Ac^s) zu beweisen. Das Hauptresultat
HAUSDORFFS zeigt, dafi diese beiden Gleichungen fiir gewisse Ringe nicht gelten.
HAUSDORFFS Fufinote auf Bl. 6 bezieht sich auf ein Resultat in Fasz. 677
(abgedruckt weiter unten in Abschnitt 6.); s.dazu auch den Kommentar zu
[H 1936a] in diesem Band.
Fasz. 425
Diese Note ist eine schone Erganzung zu § 41 der Mengenlehre. Angenommen,
^ ist ein vollstdndiges Funktionensystem (von Funktionen / : ^ -^ IR, A eine
beliebige Menge; vgl. Mengenlehre, S.236). Tl bzw. ^ seien die Systeme aller
Teilmengen von A der Form [/ > y] bzw. [/ > y] mit y ^R und f E S - Dann
fallt ^ mit der Klasse (M, ^) von Funktionen ^ -^ IR zusammen {Mengenlehre,
Satz VIII auf S. 241). HAUSDORFF gibt in §41 der Mengenlehre geeignete
Charakterisierungen der Klassen 0, ij, ^* (resp. Suprema, Infima, punktweise
Limites von Folgen von Funktionen aus 5^) in Ausdriicken von SPt und 9^. Die
vorliegende Note liefert eine analoge Charakterisierung der Klasse der oberen
und der Klasse der unteren Limites.
Bezeichne g' die Klasse aller Funktionen der Form ^{x) = linin fn mit
fn ^ 5^- Wir nehmen der Einfachheit halber an, dafi weder cp noch irgendeines
der fn unendliche Werte annimmt. Eine einfache Abschatzung zeigt, dafi (p
von der Klasse (*,97l6) ist, d. h. die Mengen [(p > y], 2/ G IR gehoren alle
zu dJls. HAUSDORFF zeigt, dafi umgekehrt jede Funktion von (*,97t6) zu S
gehort. Folglich ist 5^ == (*, Tls) und dementsprechend g = (^a, *) •
Um HAUSDORFFS Beweis fiir diese Umkehrung etwas naher zu erlautern,
nehmen wir an, (p : A -^ R sei eine Funktion aus (*,9Jl5). Insbesondere ist
dann fiir jede rationale Zahl r die Menge Q^ = {x : cp{x) > r} eine Tls-
Menge. Ein einfaches kombinatorisches Argument (Satz II) zeigt, dafi es eine
Darstellung Q^ = fl^ M^ gibt, so dafi alle M^ zu DJl gehoren, M^^^ C M^
ist und ferner M^ C M^ gilt, falls r < s. Wir fixieren irgendeine Abzahlung
Q = {r{k) : /u G N} der rationalen Zahlen durch die natiirlichen Zahlen und
definieren r]k{x) = r fiir x G M^^ ^ und rjk{x) = —oc fiir x 0 M^^ . Dann
ist (p = limkTjkj aber leider gehoren die Funktionen rjk (die charakteristischen
Funktionen der Mengen M^^ ^) nicht notwendig zu S^. HAUSDORFFS
623

wichtigstes Instrument, um diese Schwierigkeit zu iiberwinden, besteht darin
(Satz I), jedem rjk eine abzahlbare Folge von Funktionen fkn € 5^ in folgender
Weise zuzuordnen: Jedes fkn ist weiterhin = — oc aufierhalb M^ ; fiir
jedes X G M^^ ^ gibt es wenigstens ein n mit fkn{x) = r]k{x) = r, und es
gibt hochstens zwei n mit fkn{x) > — oo. Transformiert man die Menge der
Funktionen fkn in eine einfache Folge {/m}meN, hat man gerade (p = llmfm
wie verlangt.
HAUSDORFF zitiert hier frlihere ahnliche Resultate von STEPANOFF, NIKO-
DYM und GOLDOWSKY ([SN 1928], [Go 1928]), die sich auf Limites stetiger
Funktionen beziehen.
Literal ur
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[VP 1916] DE LA VALLEE POUSSIN, CH. : Integrales de Lebesgue, fonctions
d'ensembles, classes de Baire, Paris, 1916.
625

3. Borelsche Funktionen
Dieser Abschnitt enthalt drei Noten HAUSDORFFS liber Borelsche Funktionen
vom Marz 1937. Unter Borelschen Funktionen verstand HAUSDORFF Funktionen,
fiir die das Urbild jeder offenen Menge eine Borelmenge ist. In heutiger
Terminologie sind Borelsche Funktionen Borel-mefibare (B-me6bare) Abbildungen.
Diese fallen mit den Abbildungen der Baireschen Klassifikation zusammen,
wenn man letztere direkt mit $i beginnt (s. Anmerkungen [129] und [135] zu
Mengenlehre).
KuRATOWSKi definierte in [Ku 1934] eine Abbildung f : X -^ Y als Abbildung
der Klasse a {a < uji)^ wenn alle /-Urbilder von offenen Mengen in
Y G^-Mengen in X sind. (Dies ist dasselbe wie die Funktionen der Klasse
{G^^F^) im Sinne von §43, Mengenlehre^ s.Anmerkung [134] zu Mengenlehre.)
Ein Homoomorphismus der Klasse a^fi ist dementsprechend eine bijektive
Abbildung / der Klasse o;, so daB f~^ von der Klasse (3 ist. Im Fokus von
HAUSDORFFS Interesse an diesen Untersuchungen standen solche Eigenschaften
Borelscher Funktionen, die deren Klassen mit den Klassen ihrer Definitionsbereiche
und Wertevorrate in Verbindung bringen, insbesondere, wenn der Wertevorrat
ein „Nullraum" ist, d. h. der nuUdimensionale Bairesche Raum j\^ = H^
(homoomorph mit der Menge der irrationalen Zahlen), oder eine von dessen
Teilmengen.
Die zum Abdruck ausgewahlten Faszikel 618 und 619 enthalten HAUSDORFFS
Uberarbeitung von hauptsachlich auf KURATOWSKI zuriickgehenden Resultaten,
welche die Erweiterung von Borelfunktionen und deren Anwendung auf
abgeschlossene und Borelsche Teilmengen von ^ betreffen. Der abschlieBende
Faszikel 620 enthalt die urspriingliche Version von HAUSDORFFS Satz aus der
Publikation [H 1937] (iiber verdichtete Borelmengen als Borelsche Bilder des
gesamten NuUraumes ^) und viele weitere damit zusammenhangende Bemerkungen
und Behauptungen.
In den hier in Rede stehenden Noten benutzt HAUSDORFF die Symbole
F^, G^, i/^ zur Bezeichnung der Borelschen Klassen in derselben Bedeutung
wie in dem oben (Abschnitt 2.) abgedruckten Fasz.662, d.h. F^, G^, H"^ fallen
(in moderner Notation) mit S?,^^,, nJ+Q,, A?^Q, zusammen. F^, G^ fallen
jedoch nicht mit F^, G^ in Mengenlehre zusammen (s. den Kommentar zu
Fasz. 662 im Abschnitt 2).
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 618
Erweiterung Borelscher Funktionen
HS. MS. - [Bonn], 4.3.1937. - 8 BU.^
Erweiterung Borelscher Funktionen. 4. 3.37
[1] Die Borelschen Mengen des Raumes X seien F^, G^; H'^ die zweiseitigen
(die zugleich F^, G^ sind). Ist ^ C X, so sind AF^, AG"^ die Mengen, die
rel[ativ] A F^, G^ sind (per definitionem); unter den relativ zweiseitigen,
^Fasz. 618 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 247-254.
626

die zugleich AF^ , AG^ sind, befinden sich jedenfalls die Mengen AH*^ , aber
nicht jede relativ zweiseitige ist ein AH^. (Z.B. a = 0; wenn X zusammenhangend
ist, sind nur 0 und X die Mengen if ^, wahrend in A^ wenn es
nicht zusammenhangend ist, auch noch andere zugleich offene und abgeschlossene
Mengen als 0 und A existieren). Wenn jedoch A ein F^ (a > 0) ist, so
ist jede Menge Ai, die zugleich AF^ , AG^ ist, von der Form AH^ ; denn Ai
und A2 = A — Ai sind disjunkte F^ und lassen sich (1. Trennungssatz) in disjunkte
Xi, X2, die H^ sind, einschliessen, dann ist A C Xi-\-X2, Ai = AXi
{Ai c AXu A2 C AX2, AXi ^A- AX2 cA-A2 = Ai).\ BL2
(1) Es sei A c X, A^ = AQn in A ein G^ {Qn = G^). Dann giebt es
eine Menge P D A, die ein F'^ ist, derart dass die Mengen Xn — PQn
(fiir die ja AXn — APQn — AQn = An ist) mit den Mengen An dhnlich
sind (d. h. mit An^ • • • Am, — 0 ist X^ • • • Xnj, = 0; insbesondere mit
An = 0 auch Xn = 0).
Sei Q die Summe aller Q^i • * • Quk ^^ ^ni • • • ^n^ = 0 (oder aller Qm • • •
Qnk C X - A)] Q ist zu A disjunkt, P = X - Q D A, Q ist ein G"^,
P ein F^. Fur A^ - - An^ = 0 ist Qm'Qnk C Q, PQu^'Quk = 0,
Xn^ ' ' ' Xnk = 0 •
(2) Es sei ^ c X ein F^ {a > 0), An in A sowohl G^ als F^, also
An = AQn (Qn ^iu H^). Dauu giebt es Mengen Xn = H^ , die mit den
Mengen An ahnlich sind, und fiir die AXn = ^n; fells die An disjunkt
und ^An — A^ kann ^ Xn — X gemacht werden.
Wir setzen Xn = Qn — ^ Qm ' • • Qn^ ? erstreckt liber diejenigen ni,..., n^ <
n, fiir die An^- " Anj^ = 0. Die Summe enthalt endlich viele Summanden, sie
und Xn ist ein H^ . Wir haben AXn = AQn — An • Fiir A^ • • • Any, = 0 und
max[ni,..., n^] = n ist | X^ • • • Xn,, C Qm • • • Qn^ z^ Xn disjunkt: BL3
1st insbesondere Yl^n = A, so modifizieren wir zunachst die Qn so, dass
^Qn — X wird. Ist noch J2Qn — 'S' 7^ X, also A C S, so sind A und
X — S disjunkte F^; nach dem 1. Trennungssatz giebt es ein Qo = H^ mit
X — 5 C Qo J ^Qo = 0. Wir fligen (nachdem wir fiir An — ^ auch Qn = 0
gesetzt haben) das Qo einem Qm ^ 0 hinzu, wodurch A{Qni + Qo) — AQm =
Am sich nicht andert; schreiben wir wieder Qm statt Qm + Qo , so ist nun die
Summe der Qn gleich S-\-Qo = X. - Sind weiter die An disjunkt, so reduziert
sich die Ahnlichkeitsforderung darauf, dass mit An auch Xn verschwindet und
dass zwei Xn mit verschiedenen Indizes disjunkt sind; dies wird erreicht durch
(fiir An — 0 ist Qn = Xn = 0); es bleibt
m

Bl.4 und es ist J2^n ^JZQn^^- \
(3) Es sei ^4 C X und ein System von Mengen ^ni...nfe = AQni...nk gegeben,
die in A G^ sind {Q
m-.-rifc — G^). Dann giebt es eine Menge P Z) A,
P = F"^, so dass die Mengen Xm...nk = PQn^.nk (f^r die AXni...nfc =
^ni...nfc ist), mit den Mengen ^ni...nfc ahnlich sind.
Das ist nur eine andere Schreibweise fiir (1).
Setzen wir fiir festes k:
Q — 2^ Qni,..nki X — 2^ Xni...nk'') ^ — PQ -
ni...nfc ni...nfc
Xni...nfc == PQni.nk ' ^^ = X^Qn^...nk ist in X^ ein G" , X^ selbst von der
Form F"^ G"^. Ferner
1st An, D
A^= J2 ^n,...n.; A^ = AQ^ = AX^.
ni...nfc
Anin2 ^ • • • , SO kann man auch Qm ^ Qmn^ ^ ''' annehmen
(man ersetze Qnin2 durch QniQnin2 usw.); Q^ D Q^ D • • • , X^ D X^ D • • • .
Ist A == ^4^ =^ A^ = • • , so ist
AcjJX^ .
k
(4) Es sei A C X ein F"^ {a > 0), die Ani...nfc = -AQni...nfc, Qm...nk ein
if^ . Es giebt iJ^-Mengen Xni...nfc mit Ani...nfc = ^Xni...nfc, die mit den
Ani...nk ahnlich sind. Wenn die Ani...nfc bei festem k disjunkt sind und
stets A — A^^so kann man erreichen, dass alle X^ = X sind.
Der erste Teil der Behauptung ist nur eine andere Schreibweise fiir (2). Der
Bl. 5 zweite Teil ist fiir A: = 1 in (2) bewiesen; nehmen wir an, | er sei fiir k bewiesen:
X^ = X. Wir wenden (2) statt auf X, A, An auf Xn,,,,nk ^ ^ni-.-n^ , Ani...nkn
a^" -t-'S ist -i^m.-.TikTi ^^^^ -^^ni...71^71 ^^ -^ni...nfc^jni...nfcn 1^ -^ni...nfc ^1^ ^ 5
• •rik ^^ Xni...nk ^^^ F^. Es giebt also Mengen Xni...nkn ^
die mit den An,...nkn ahnlich sind (d.h. mit ihnen zugleich verschwinden und
paarweise, beziiglich n, disjunkt sind), die ferner H^ in Xni...nk i also in X
sind; und da
kann
n
n
erreicht werden, was zu X^"^^ = X fiihrt. Damit ist die Behauptung bewiesen;
wir haben genauer
628

jedesmal mit disjunkten Summanden.
(Hierzu vgl. Kuratowski, Top. I, p. 165-66). [2]
(5) f{x) sei eine in A C X definierte Abbildung der Klasse a in den
voUstandigen separablen Raum Y. Sie lasst sich zu einer Punktion der
Klasse a in einer Menge A* = F^+^ D A erweitern; fiir a > 0 und
A = F^ zu einer Funktion der Klasse a im ganzen Raum X. (Kuratowski,
Top. I, p. 219). [3]
Fiir a = 0 (Erweiterung einer stetigen Funktion von A auf ein G^ Z) A) ist
die Sache bekannt; sei also a > 0. | B1.6
f{x) ist (Banach) gleichmassiger Limes von Funktionen f^{x) der Klasse
a, die in A definiert sind und isolierte Wert menge haben:
f\A)^{y^„yl...)
mit endlich oder abzahlbar vielen Punkten rechterhand. Das Urbild
ist, da y^ in f^{A) gleichzeitig offen und abgeschlossen ist, in A gleichzeitig
G^ und F^ . Falls f^{A) nur endlich ist, setzen wir schliesslich A^ = O.Es ist
mit disjunkten Summanden. Sei
also
Anin2...nk
^ = / ^ ^ni 5
ni
^ni ^ / ^ -^nin2?
Hierzu giebt es nun nach (3) Mengen Xni...nk ^^ -^-^ni...nfc = ^ni...nk 5 die in
n2
X = 2^ -^ni...nfc
ni...nfc
G*^ (und F*^) sind, wahrend X^ von der Form F^G^ ist; zugleich
Xn, D Xn,n, 3 ''' , X^ D X^ D • • • ; A* = n^^
ist von der Form F^+^ und D A. Die X^i...nfc mit festem A: sind disjunkt.
- Ist speziell A = F^, so kann X^ — X"^ = - -- = X gemacht werden, die
Xni...nfc sind Mengen H"^ . \ BL7
629
A;

Wir erweitern f^{x) zu (p^{x) auf X^ , indem wir in Xni...nfc_in /^(^) ^ 2/^
setzen, es wird (p^{X^) = f^{A). Das Urbild von y^ ist
ni...nfc_i
also in X^ ein G^; jedes Urbild einer Menge C ip^{X^) = {2/1,2/25 •••} i^t
= X^G^ und daher zugleich X'^F^; 99^(0:) ist in X^ von der Klasse a.
ip^{x\A*) ist in A* von der Klasse a.
Da die Funktionen f^ (a) in A gleichmassig konvergieren und man also
\fia)-fia)\< 1 fiir k>i
annehmen kann, bilden die Funktionswerte (p^{x) fiir x e A* eine Fundamentalfolge.
Sei x e Xn^^^^rik ^ ^ni-.-m und a ein Punkt eAn^,..nk ^ An^,,,ni (fiir
Xni...nk 7^ 0 ist ^ni...nfc 7^ 0). Dann ist (f^{x) = 2/n^ = f^{a) und ebenso
^'(x) =yn, = f{a), also
\(p^(x) - (f''{x)\ < - fiir A: > i, x 8 A* .
Da Y vollstandig ist, existiert (p{x) = lim ip^{x) fiir x e A"^ und ist, als gleichmassiger
Limes der Funktionen (p^{x\A*) von der Klasse a, wiederum von der
Klasse a. Fiir x e A ist (p{x) = f{x). Damit ist der Satz (5) bewiesen. (Fiir
BL8 A = F^ kann A* = X gemacht werden). |
Jede Funktion der Klasse a in A Idsst sich zu einer Funktion der
[4] Klasse a-\-1 in X erweitern.
Namlich zu einer Funktion der Klasse a in A'^ = F^~^^ D A, und diese zu
einer Funktion der Klasse a + 1 in X.
Anmerkungen
[1] Zur Bedeutung von F^, G*^, H^ in diesem Faszikel s. den Kommentar zu
Fasz. 662 oben in Abschnitt 2.
[2] HAUSDORFFS vorbereitende Satze (1) - (4) fiir den Beweis des Erweiterunssatzes
(5) sind Variationen der Resultate in [Ku 1933/1966], §30.VIIL
[3] Eine Funktion der Klasse a ist eine Funktion /, fiir welche die / -Urbilder
offener Mengen C^-Mengen sind - mit anderen Worten, eine Funktion der
Klasse {G^^F^) im Sinne von Mengenlehre, §41, falls man nur reelle Funktionen
betrachtet. Der Erweiterungssatz (5) stammt von KURATOV^SKI ([KU
1933]) und ist ein Theorem in [Ku 1933/1966], §35.VL Die letzte Behauptung
ist ein Spezialfall von Satz XIV in Mengenlehre, § 41 (bzw. Satz III in § 43); dafi
HAUSDORFF hier nur reelle Funktionen betrachtet, ist fiir die Beweisfiihrung
nicht wesentlich.
630

[3] Das Resultat ist ein KoroUar in [Ku 1933/1966], §^5.VI; KURATOWSKI
gibt dort weitere Literatur an.
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 619
Borelsche Funktionen
Hs. Ms. - [Bonn], 5.3.1937. - 18 Bll.^
5.3.37
Borelsche Funktionen
(Kuratowski, Top. I, p. 177.) [1]
f{x), Abbildung von X in y, heisst von der Klasse a, wenn f~^{F) ein F^
ist, Oder f-\G) ein G^.
Durch Induktion nach P folgt: f-\F^) ist F^+^, f-\G^) ist G^+^. Ist
y = f{x) von der Klasse a, z = g{y) von der Klasse /3, so ist g{f{x)) von
der Klasse a + /3. 1st g oder / stetig, so ist gf von der Klasse a, resp. P.
Ist X = Xi + ^2 -h • • • , Xn ein G^, und die Teilfunktion fn = f\Xn von
der Klasse a, so ist / von der Klasse o;. Ist X = Xi ~\ h Xn, Xk ein F^
und die Teilfunktion fk von der Klasse a, so ist / von der Klasse a. Mit /
ist jede Teilfunktion f\A von der Klasse a.
Ist f{x,y) beziiglich x stetig und beziiglich y von der Klasse a, [2]
so ist sie als Funktion von (x, y) von der Klasse a + 1.
(Auch wenn die von x^y durchlaufenen Raume X^Y nicht separabel sind.
Montgomery - Kuratowski, F. M. 25). | B1.2
(Ist f{x,y) beziiglich x und y von der Klasse 1, so braucht sie beziiglich
(x, y) nicht Borelsch zu sein. Ist in der Ebene (X, Y) C eine beliebige Menge
auf einer Kreisperipherie, so ist die charakteristische Funktion von G beziiglich
X und y von der Klasse 1, da sie auf jeder Geraden y — const., x = const,
hochstens zwei Unstetigkeitspunkte hat (oder hochstens einen, wenn G auf der
Geraden x = y angenommen sind). Als Funktion von {x^y) ist sie dann und
nur dann Borelsch, wenn G Borelsch ist.)
Sei X — (Xi, X2,...) das Produkt von endlich oder abzahlbar vielen Raumen
Xk\ x = (xi,X2,...) die Elemente von X, x^ 8 X^. x = f{t) eine
Abbildung von T in X, bedeutet Xk = fk(t), /(t) = {fi{t), ^(0, • • •), fk{t)
Abbildungen von T in X^.
Damit f{t) von der Klasse a sei, ist notwendig und bei separablen [3]
Xk auch hinreichend, dass jedes fk (t) von der Klasse a sei.
^Fasz. 619 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 255-272.
631

Notwendig, da Xk = Xk{x) stetige Punktion von x, fk{t) = Xk{f{t)) ist. -
Sind die fk{t) vonder Klasse a, Uk 'm Xk offen, so ist /~^(C/i,... Uk.Xk+i,...)
= fi~^{Ui) • • • fk~^{Uk) T' " ein G^. Bei separablen Xk sind dann die Ur-
Bl. 3 bilder aller in X offenen Mengen Mengen G^, | da die (C/i,... C//c, Xk-\-i, • -.) ^
wenn man die Uk Mengen einer abzahlbaren Basis von Xk durchlaufen lasst,
eine abzahlbare Basis von X bilden.
AUgemeiner: sei T = (Ti,T2,...), Xk = fk{tk) eine Abbildung von Tk in
Xk ; dann ist x = (/i(ti), /2(^2), • • •) — /(^) ^^^^ Abbildung von T (Menge der
t — (ti, ^2, • • •)) ^^ ^ ~ (^1^ ^2, •' •) (aber eine spezielle Abbildung, indem
sie jede Koordinate von t in eine Koordinate von x transformiert).
Sind die fk(tk) von der Klasse a und alle Xk separabel, so ist
f(t) von der Klasse a.
Denn da tk = tk{t) stetige Funktion von t ist, ist fk{tk) = fk{tk{t)) = ^k{t)
auch in t von der Klasse a und f{t) — {ipi{t),(p2{t),...) ebenfalls. Wenn
insbesondere fk{Tk) = Xk (Abbildung von Tk auf Xk) so ist /(T) = X.
Ist y = g{x) — g{xi,X2,'' -) von der Klasse 0, so ist y — g{f{t)) =
gifi{ti)^ 72(^2), • • •) von der Klasse a 4- /? {Xk separabel).
[4] (I) Ist y =^ f{x) (wieder Abb. von X in Y) von der Klasse a, so ist
I = E [y = f{x)] ^^ (-^5 y) e^^ F^ 1 falls Y separabel ist. Ist C in
x,y
(X, Y) ein F^ oder G^, so ist die Projektion von CI auf X ein F^~^^
Oder G«+^.
B1.4 I Beweis: (p{x,y) = \y — f{x)\ ist von der Klasse a, weil \y — yi\ stetige
Funktion von y,yi ist {f{x)^y) ist Abbildung der Klasse a von (X,F) in
(y, Y), danach kommt die stetige Abbildung I2/1 — 2/| von (y, Y) in die Menge
E der reellen Zahlen; das giebt eine Abbildung der Klasse a von (X, Y) m E,
namlich (p{x,y).) I — £" [(/?(x, 2/) = 0] als Urbild des Punktes 0 ist also ein
x,y
F^. - Ferner ist g{x) = (x,/(x)) Abbildung der Klasse a von X in (X, F),
das Urbild g-^{C)
ist; dies Urbild ist
von C ist F^+^ oder G^+^, wenn C ein F^ oder G^
^[(x,/(x))8G]^£:X^[(x,2/)8G][y = /(x)]=^
X y
Projektion von E [{x,y) eC][y = f{x)\ = CI.
x,y
Die Grenzfunktion einer konvergenten Folge fn{x) (Abbildungen von X in
Y) von Funktionen der Klasse a ist von der Klasse o; + 1, bei gleichmassiger
Konvergenz von der Klasse a. (Mengenlehre, S. 267). (Sind die fn{x) von
Klassen < a, a eine Limeszahl, so ist l±mfn{x) von der Klasse a + 1, bei
gleichmassiger Konvergenz von der Klasse a.)
Bei separablem Y ist eine Funktion der Klasse a stets Grenzfunktion gleichmassig
konvergenter isolierter Funktionen fn{x) der Klasse a (d.h. fn{^)
BL5 isoliert). |
632

Jede Menge G^ im vollstdndigen Raum ist mit einem vollstdndigen [5]
Raum homoomorph. (Mengenlehre S. 214 f.)
Einfacherer Beweis: -A = ]^ Gn , Gn offen im voUstandigen Raum X; es sei
— X-Gn (wir konnen die Gn^ X, Fn ^^ 0 voraussetzen), fn{x) — ^(^^p^
fiir X eGn- Wir definieren in A als neue Entfernung
pix,y) = \x-y\ + Y,Cn i|^:)^JTf")^jJ^)| (cn > 0, ^^c„ konvergent) .
n
p{x^y) erfiillt die Entfernungsaxiome; die neue Metrik ist mit der alten topologisch
aquivalent, denn mit p{x^y) -^ ^ ist |a; — 2/| —^0, und wenn, bei
festem x, y ^^ x in der alten Metrik, so (wegen der gleichmassigen Konvergenz)
p{x,y) -^ 0. Der neu metrisierte Raum ist vollstandig. Denn wenn
Xk darin eine Fundamentalfolge bilden, so auch in alten Raum; und es existiert
lim^A: = x; hierbei muss aber x e A sein, denn andernfalls, wenn etwa
xeX — A = ^Fn ware, etwa x 8 Fi, so wiirde aus
^ + \fi(xk) - fi{xi)\
fiir / -^ oo {fi{xi) -^ oo) lim^ p(xk,xj) ^ ci folgen, wahrend doch sogar
l±mi p{xk,xi) mit A:-^ oo gegen 0 konvergieren soil. | BL6
Andererseits sind die Gs , Gsa ,. • • ^nd (Lavrentieff) die F^j^ , Fo-sa v • • voUstandiger
Raume (d. h. die F^ fiir a ^ 1 und die G^ fiir a ^ 2) topologisch
invariant (Mengenl. S. 214, 218. Die dortige Bezeihung der F^, G^ ist anders
als die jetzige.)
Eine in A C X definierte stetige Funktion f{x) lasst sich, wenn Y
vollstandig ist, zu einer stetigen Funktion in A* D A erweitern, wo A* ein
Gs ist. (Mengenl. S. 216).
Eine Homoomorphie zwischen A und B, die in vollstdndigen [6]
Rdumen X, Y liegen, Idsst sich zu einer Homoomorphie zwischen
A* D A, 3*^3 erweitern, wo A*, B* Mengen Gs sind (Lavrentieff)
.
Wir erweitern die topologische Abbildung y — f{x) von A auf 3 zu einer
stetigen Abbildung fi{x) von Ai = Gs D A, ebenso die inverse Abbildung
^ = 9{y) zu einer stetigen Abbildung gi{y) von 3i = Gs D 3. Sei / =
E [y ^ fi{x)], K = E [x = gi{y)], A* und 3* die Projektionen von IK auf
x^y x,y
X^Y. A* und 3* sind homoomorph. / ist in {Ai, Y) abgeschlossen, K in
(X, J5i), K ein Gs in (X, F), IK ein Gs in /. Die Projektion auf X giebt
eine Homoomorphie zwischen I und ^i, bei der also IK {Gs in /) in ^4*
(Gs in Ai) libergeht; A* ist ein Gs in X, ebenso 5* eins in F. | BL7
Eine Homoomorphie zwischen A C U {U beliebig, nicht vollstandig) und
3 cY {Y vollstandig) lasst sich zu einer Homoomorphie von AD A, A ein
633

Gs in U, erweitern. Man nehme X als voUstandige Hiille von U, erweitere
auf A* = G6 (in X) D A und setze A = A*C/.
(Ein n-dimensionales A C U ist in einem n-dimensionalen A = G^ C U
enthalten; der Beweis braucht nur fiir n = 0 geftihrt zu werden. A ist mit
einer Menge B des Cantorschen Diskontinuums Y homoomorph; dies lasst
sich auf eine G3 -Menge A erweitern, die immer noch 0-dimensional, weil mit
einer Menge B CY homoomorph, ist).
Eine mit einem vollstandigen Raum Y homoomorphe Menge A ist ein G5
im vollst[andigen] Raum. Denn wenn beim Lavrentieffschen Theorem B = Y
ist, so ist B* = B und A* = A ein Gs in X. Also: die Gs in vollst[andigen]
Raumen = topologische Bilder voUstandiger Raume (topologisch voUstandige
Raume).
Topologische Invarianz von F^ {a > 0) und G^ (a > 1), von G^ — G§ ,
u.a.
[7] Erweiterungssatz (s. mein Ms 4.3.37): A C X; Y voUstandig, separabel.
Eine Abbildung der Klasse a von A in y lasst sich zu einer Abbildung der
Klasse a von A* = F^+^ D A erweitern; falls A ein F^ {a > 0) ist, zu einer
BL8 von X. I
Eine schlichte Abbildung y — f{x) von A auf B heisst von der Klasse a,/?,
wenn / von der Klasse a und die inverse Funktion x = g{y) von der Klasse
(3 ist. D.h. g{BF) = AF"", f{AF) = BF^.
Die Bezeichnungen F^, G", H^ (zweiseitig) soUen sich jetzt allein auf voUstandige
separable Raume beziehen.
[8] Eine Abbildung a, (3 von A auf B {A C X, B cY] X,Y separabel,
voUstandig) lasst sich zu einer Abbildung a, (3 von A* D A
auf B"" D B erweitern, wo A* ein F^+^+^ , B* ein F^+^+^ ist
Nach dem Erweiterungssatz giebt es ein Ai = F^-^^ ^ A und eine Erweiterungsfunktion
fi{x) der Klasse a in ^i, ferner ein Bi = F^~^^ D B und
eine Erweiterungsfunktion gi (y) der Klasse l3 in Bi. Sei I = E [y = fi (x)],
K ^ E [x = gi (y)]; A* und B* die Projektionen von IK auf X,Y. A* und
x,y
B* werden durch y = fi(x), x = gi{y) schlicht auf einander abgebildet, und
zwar von der Klasse Q^,/3, da fi{x) in Ai, also in A* C Ai von der Klasse a
ist. / ist nach (I) in [Ai,Y) ein F^, also ein F^+i in (X, F), K ein F^+^
Die Projektion von IK auf X ist also ein F^+^+^ in Ai oder in X, d.h.
BL9 A* = F^+/5+l , 5* = F^+«=+^ . I
Bei einer Abbildung a,p ist das Bild eines F^ ein F^^^ (a > 0).
Mit den bisherigen Bezeichnungen sei A ein F^. Es ist dann fiir f{x) keine
Erweiterung nothig, d.h. wir konnen Ai = A setzen, so dass / ein F^ in
{A, Y) Oder in (X, Y) wird. Zugleich wird I C K, IK = I, A* = A, B"" = B.
Die Projektion von IK auf Y ist jetzt ein F^+^ in Bi, also (fiir a > 0) auch
in y, weU ^i ein F^+^ ist. Demnach ist B"" = B = f{A) ein F^+".
634

Bei einer Abbildung a,0 ist das Bild eines F^ ein F^ (a > 0).
Die F^ {a > 0) sind also nicht nur bei Homoomorphie (Abbildung 0,0),
sondern auch bei Abbildungen a, 0 invariant.
Bei einer Abbildung 0, /3 ist das Bild eines F ein F^'^^.
Denn F ist ein F^ und die Abbildung eine Abbildung 1,/?, so dass wir den
allgemeinen Fall mit a = 1 vor uns haben. Wir werden sehen, dass umgekehrt
jedes F^+^ durch eine Abbildung 0,/? aus einem geeigneten F (voUstandigen
separablen Raum) entsteht, so dass man das F^~^^ nicht zu F^ erniedrigen
kann. |
13.3.37.
Zum Fig. vgl. Kuratowski, F. M. 22, p. 206-220.
FQ bedeute die 0-dimensionalen F (0-dimensionalen, separablen, abgeschlossenen
Raume); sei sind mit den abgeschlossenen Teilmengen des Nullraums ^
homoomorph. Wir woUen zeigen:
I. Jedes F^ {a > 0) ^
11. Jedes G^ (ce > 1) \
III. Jedes F«+i {a>l) J
entsteht aus einem FQ
durch eine Abbildung 0, a.
I ist fiir a = 1 richtig (lasst man in theoreme S. 210 die Voraussetzung der
Insichdichtkeit von X weg, so wird X (0,1)-Bild zwar nicht von ^, aber
einer in ^ abgeschlossene Menge); fiir a > 1 ist I wie II ein spezieller Fall
von III.
[9]
Bl.lO
Beweis. A) Wenn I^ fiir 1 ^ ^ < Q^ richtig ist, ist IIQ, richtig.
G^ (a > 1) ist Summe disjunkter F^ {^ < a) (Top. I, S. 162). Sei B = [12]
Y2Bn, B ein G", Bn ein F^"^ (1 ^ ^n < «;), die 5n disjunkt, alle im
vollst[andigen] sep[arablen] Raume Y gelegen. Es giebt also ein Xn 8 (Fo)?
von dem Bn = fn{Xn) (0,^n)-Bild ist; wir nehmen die Xn disjunkt an und
topologisieren (oder metrisieren) X = Y^Xn so, dass die X^ in X = ^ Xn
abgeschlossen und offen sind; X ist ein FQ . Die Funktion f{x), die in Xn
gleich fn ist, bildet X auf B schlicht und stetig ab; es ist zu zeigen, dass
sie von der Klasse 0,a ist. Ist G | in X offen, /(G) = ^ fn{XnG), so ist Bl. ii
n
fn{XnG) ein G^- in fn{Xn) = Bn =- F^- , also von der Form F^-G^- oder
G^ , /(G) ein G^ , q.e.d.
[Ubrigens ist auch fiir abgeschlossenes F fn{XnF) ein F^'^F^'' = F^^ oder
G^ und /(F) ein G^; /(F) also in B gleichzeitig F'^.G'^, ebenso /(G); die
Funktion f~^ ist zweiseitig von der Klasse a, sagen wir: von der Klasse a*;
/ von der Klasse 0, ce* .]
Fiir die weiteren Schritte ist folgender Prozess voranzuschicken. Es sei
X = {Xi, X2,...) das Cartesische Produkt von endlich oder abzahlbar vielen
Raumen, so topologisiert oder metrisiert, dass die Mengen (Gi,..., Gn, X^^+i,
635
[10]
[11]

Xn+1,...) eine Basis von X bilden. Mit den Xn ist auch X ein FQ. SOdann
sei fn{xn) eine Abbildung von Xn in y, fn{Xn) = Yn- Wir erhalten
folgendermassen eine Abbildung f{x) von XQ C X auf Yb = H^n- Es sei
( X - (X1,X2,...))
^0=£;[/l(^l) = /2(^2) = ...]
und in XQ f{x) = fi{xi) = f2{x2) ==•••. Hier gilt folgendes:
(a) f{Xo)=Yo
B1.12 und allgemeiner, wenn An C Xn, fn{An) = Bn, \ AQ = XQ (^1,^2, • • •) ^
Bo = YlBn gesetzt wird: f{Ao) = BQ (ftir An = Xn die erste Behauptung).
Denn y e f{Ao) heisst: es giebt ein x e AQ mit y = /(^), also erstens
y = fi{xi) = f2{x2) = '" und zweitens Xn ^ An, y e YlBn- - Umgekehrt:
y 8 H-^n heisst, dass fiir jedes n ein Xn e An mit y — fn{xn) existiert,
also erstens x e XQ und zweitens x e (741,^2, • • -), also y — f[x), x E AQ,
y e f{Ao).
(b) Sind die fn schlicht, so auch /.
[fix) = fix')] = HlfniXn) - /„«)] -^ l[[Xu = x'J = [x = x'] .
n n
(c) Es sei Bn CLY und An = fn~^{Bn) = fn~^{YnBn) • Dauu ist ftir jedes
n
r\Bn) = XoE[fn{Xn)eBn]
=
X
XQ • (Xi, . . . ,Xn-l, An,Xn4-l, . . . )
= XoPn , Pn = yXi, ... ^Xn-l, An, Xn-\-l,'-')
und wenn wieder BQ = YlBn, ^0 = ^0 (^1, ^2, • • •) gesetzt wird:
r'{B)=Xo'l[Pn=Ao.
n
Bl. 13 I Denn x e f~^{Bn) heisst: y = f{x) e Bn, x e XQ, also fni^n) ^ Bn, Xn ^
An, X e X()Pn. - Umgekehrt: x e XoPn heisst, dass y — f{x) = /i(xi) = • • •
und XneAn, also y = fn{xn) ^Bn, xe f~^{Bn).
(d) Sind die fn von der Klasse a, so ist XQ ein F^ in X und / in XQ von
der Klasse a. {Y separabel).
Wir betrachten zuerst die Abbildung (2/1,7/2, • • •) = (/i(^i), /2(^2), • • •) von
X in (y, y,...); sie ist von der Klasse a; bei dieser Abbildung ist XQ das
Urbild der in (y, y,...) abgeschlossenen Menge, die durch yi =2/2 = *" •
definiert ist, also ein F^ in X. Beschrankt man diese Abbildung auf XQ , so
636

ist / daselbst von Klasse a. (Oder: man setze in (c) Bi = B2 = " • = BQ =
abgeschlossen, dann ist An ein F^ in Xn, Pn eins in X, YlPn eins in X,
f-^{B) einsin XQ).
Sind insbesondere die fn stetig, so ist XQ in X abgeschlossen und / stetig.
(e) Sind die fn von der Klasse 0,a, so ist / von der Klasse 0,Q;. {Xn
separabel).
Wenn wir in (a) Ai,... ,An in Xi,... Xn offen annehmen, hingegen Ap =
Xp fiir p > n, so sind Bi,.. .Bn Mengen G^ in Yi,...y^ , | Bp = Yp, und BL14
das Bild von Xo{Ai,... An, Xn+i,...) ist in H ^n = ^0 ein G^, also, da diese
Mengen eine Basis von XQ bilden, das Bild jeder in XQ offenen Menge ein G^
in lo, f~^ von der Klasse a.
(f) Sind die Xn nuUdimensionale F, so auch X, XQ ; entsteht Yn aus Xn
durch eine Abbildung (0, a), so auch IQ = H ^n aus XQ , d. h. die (0, a)-
Bilder nuUdimensionaler F bilden ein 6-System.
Danach folgt III aus II und die Satze I, II, III sind allgemein bewiesen, denn
ist I^ fiir 1 ^ ^ < a richtig, so auch IIc^, IIIQ; und erst recht I^ • Also ist I fiir
alle a richtig, ebenso II und III. *^ [13]
IV. In Y = F (separabel voUstandig) sei B ein i7^+^ (a > 0). Dann [14]
entsteht Y aus X e (FQ) durch eine Abbildung f der Klasse 0,a, bei
der f~^{B) = A ein H^ in X ist.
(Fiir (3=1 bereits Top. I, p. 229 unten; vgl. Lusin, Ens. Anal. p. 114).
/3 = 0. B und Y — B sind F^ und entstehen nach I aus Mengen Xi, X2 e
(Fo) durch B = /i(Xi), Y - B = /2(X2), Abbildungen 0,a. Wir nehmen
Xi, X2 disjunkt, in X = Xi + X2 zugleich offen | und abgeschlossen; wie Bl. 15
beim Beweis von (A) ergiebt sich / (= /i, /2 in Xi, X2) von der Klasse 0, o;,
/(X) = y, X ein FQ; f-\B) = Xi in X ein H^ (abgeschlossen und offen).
Schluss von 7 auf /? = 7 + 1. B ist von der Form B = lim^n, wo die [15]
Bn Mengen H^^^ sind und also Abbildungen fn der Klasse 0, a von Xn
(e [FQ)) auf Y existieren, bei denen An — fn~^{Bn) in Xn ein H^ ist. Mit
den Bezeichnungen von (c) ist Pn ein H^ in X, X^Pn eins in XQ ; zugleich
ist Xo 8 (Fo) und /(XQ) = Y (weil y, = F). Wegen der Schlichtheit ist
f-^{B) - limXoPn und diese Menge ein i/^+i in XQ .
Schluss von 7 < /^ auf Limeszahl (3. B und Y — B sind F^^^ und also von
der Form B = Y[B2n. Y - B = Y{B2n-i, die Bn Mengen iJ^+^- {jn < P).
Wie soeben giebt es Abbildungen fn der Klasse 0,Q: von Xn e (FQ) auf Y,
bei denen f~\Bn) = XoPn ein H^^ in XQ ist; f-^{B) und f-^{Y-B) sind
gleichzeitig von der Form flH^^^, H^^"""' =P^, /~H-^) ^in H^ in XQ. | BL16
*^ Folgerungen (mit Hiilfe des Theorems von Mazurkiewicz): Ein unabzahlbares F"+^
(a > 0) « abzahlbare Menge plus (0, a)-Bild von ^ . X =: F"+^ , Y ^ F^+i unabzahlbar
(a,/3 > 1): y entsteht aus X durch (a, y5)-Abbildung.
637

Besonderer Fall (/? = 1). B ein i^^+^ (ce > 0), Y entsteht aus X durch
eine Abbildung / der Klasse (0,Q;), bei der A = f~^{B) ein iJ\ also zugleich
F(j, Gs ist. Demnach ist A = J2 (^2^ — ^2^+1) abzahlbare Differenzen-
kette abgeschlossener Mengen und f{A) = X^[/(i^2^) — /(^2^+i)] abzahlbare
Differenzenkette aus Mengen F*^. Die H^^^ sind also DifFerenzenketten aus
Mengen F^ (auch flir a = 0, wo der Raum X mit y als identisch angenommen
werden kann und in diesem Falle nicht mehr 0-dimensional zu sein
braucht.)
[16] V. (in IV werden die H durch F ersetzt) In F = F sei B ein F^+^
{a > 0). Dann entsteht Y aus X e (FQ) durch eine Abbildung / der
Klasse 0, o;, bei der A = f~^{B) ein F^ in X ist. (Ebenso, mit Komplementbildung,
konnen F^"^^, F^ durch G^^^, G^ ersetzt werden.)
B {= F^+/5) =]\Bn, Bn ein iJ^+^; man hat dann Abbildung fn der
Klasse 0, a mit fn{Xn) = Y, An = fn~^{Bn) — H^ in X^, und mit den
bekannten Bezeichnungen ist XoPn ein H^ in XQ , f~^{B) = J^XQPn ein
BL17 F^ in XQ. I
Es giebt flir jedes Paar von Ordnungszahlen a, p (< ^) eine Abbildung /
von o/K auf ^, die genau von der Klasse a,p ist (d.h. / nicht von einer
Klasse < a, f"^ nicht von einer Klasse < /?).
[17] (Beweis: mein Ms. Die Borelschen Mengen und der Nullraum, (18)).
17.4.37
Folgerung aus V: (flir /3 = 2)
Jede Menge F^+^ = F^^ {a > 0) ist als oberer Limes einer Folge
von Mengen F^ darstellhar,
Denn sie entsteht, bei einer Abbildung / der Klasse 0, a des nulldimensionalen
Raumes X auf Y, aus einer Menge A = F'^ — F^s • Nun hat der
nulldimensionale Raum eine abzahlbare Basis aus Mengen H, die gleichzeitig
offen und abgeschlossen sind; jede offene Menge ist Summe abzahlbar vieler
disjunkter H, jede Menge der Form FG = F — F' und jede Menge der Form
Fc, = Fi + F2 + • • • = Fi + (F2 - Fi) + • • • (Fi C F2 C • • • ) Summe disjunkter
abgeschlossener Mengen. Eine Menge A der Form F^s ist dann als
TimFn darstellbar; denn sei A = PQR" , P D Q D R-- , P = ^Pn,
Q = J2 Qn 5 R — X^ Pn 5 • • • Mengen Fg- mit disjunkten abgeschlossenen
Summenden Pnj Qn^ Pn, • • • • So ist A der obere Limes L des Mengensystems
Fn, Qm Rn, • • (es ist nur L C. A zu beweisen; da x e L hochstens
Bl. 18 einem Pn , einem Qn ,. • • | angehort, so gehort x unendlich vielen der Mengen
P, Q^ R, ... und, wegen P D Q D R... ^ alien an: x e A). Wir haben also
A — TimFn, wegen der Schlichtheit der Abbildung B = Tim/(Fn), und die
f{Fn) sind Mengen F^.
Es bliebe also (flir voUstandige separable Raume) nur zweifelhaft, ob (flir
a = 0) F(J6 stets als limFn darstellbar ist. (Rein mengentheoretisch ist zwar
638

fiir Ringe {A) bekannt, dass die Mengen 1 im^TT, mit denen idcntisch. sind,
die gleichzeitig A^s , ^6c7 sind; die Mengen limA^, llmAn sind resp. ^a6 ,
AscT, ob aber auch umgekehrt, ist unbekannt.) Dass aber diese Frage (fiir beliebige
metrische Raume) zu bejahen ist, hat bereits Sierpinski bewiesen (Sur
une propriete des ensembles Fcrs, Fund. Math. 6 (1924), p. 21 - 23). Die rein
mengentheoretische Frage, ob fiir einen Ring {A) die ^^6 mit den l±m An
identisch sind (schon ob Urn An wieder einen Ring bilden), ist noch oflFen. (Sie
ist zu verneinen, Kozniewski). [18]
Anmerkungen
[1] Die Definition einer B-mefibaren Funktion der Klasse a wird in [Ku
1933/1966], §31.1 gegeben. Das Konzept geht auf LEBESGUE zuriick. Eine
fonction mesurable B ist in [Lb 1905], S. 166 definiert als eine reelle Funktion
/, fiir die alle /-Urbilder abgeschlossener Intervalle von (R ensembles mesurables
B, d. h. Borelsche Mengen sind.
[2] Das Resultat ist aus [Ku 1933/1966], §31.V. Der nichtseparable Fall
wurde in zwei Arbeiten von MONTGOMERY (S. 527-533) und KuRATOWSKi
(S. 534-545) in Fundamenta Math. 25 (1935) behandelt. Bin entfernter
Vorlaufer dieses Resultats ist Theorem XX in [Lb 1905], S. 166, welches besagt,
dafi eine Funktion von n Variablen, welche in bezug auf jede dieser Variablen
stetig ist, hochstens von der Klasse n ist.
[3] Das Resultat ist aus [Ku 1933/1966], §31.VL
[4] Das Resultat ist aus [Ku 1933/1966], §31.VII; der erste Teil ist jedoch
dem Satz VII im § 43 der Mengenlehre ziemlich ahnlich.
[5] Dies ist HAUSDORFFS eigenes Resultat aus der Arbeit [H 1924] (s. diesen
Band, S. 443-453). HAUSDORFF gibt hier einen ganz wesentlich vereinfachten
Beweis (s. dazu auch Anm. [110] zu Mengenlehre).
[6] Dies bezieht sich auf LAVRENTIEFFS Arbeiten [Lv 1924a], [Lv 1924b]
(s. Anm. [Ill] zu Mengenlehre.
[7] Das Manuskript vom 4. 3.1937 ist der vorstehend abgedruckte Fasz. 618.
[8] Der Satz steht bei KuRATOWSKi ([Ku 1933/1966], §35.VII). Der Beweis
benutzt dieselbe Methode wie in LAVRENTIEFFS Theorem der Erweiterung
von Homoomorphismen, namlich sowohl / als auch die inverse Funktion f~^
simultan zu erweitern.
[9] Die genaue Bedeutung dieser Behauptung ist folgende: Angenommen
A, B sind Mengen in polnischen Raumen X, Y und f : A -^ B ist eine
bijektive Abbildung der Klasse (0, P) (im Sinne der relativen Topologien von
639

A und B). 1st dann A abgeschlossen in X, so ist B ein F^^^ in Y. Es sei
noch folgendes bemerkt: Ist f : X -^ Y eine (0,/?)-Abbildung von X auf Y
und A C X abgeschlossen, so ergibt sich unmittelbar aus der Definition, dafi
die Menge f{A) — B sogar ein F^ in Y ist.
Diese Bemerkung ist gleichermafien anzuwenden auf zwei ahnliche Behauptungen
einige Zeilen darliber und auf die Aussagen I, II, III und andere
ahnliche Behauptungen weiter unten.
[10] HAUSDORFF verweist hier auf [Ku 1934]. Die Bezeichnung FQ fiir
die abgeschlossenen Mengen des Baireschen Raumes J/" stammt von HAUS­
DORFF. In [Ku 1933/1966] bezeichnet FQ die abgeschlossenen Mengen in einem
beliebigen Raum; in [Ku 1934] kommt die Bezeichnung FQ liberhaupt nicht vor.
[11] Die Aussage III, das Hauptergebnis hier, kommt einigen Resultaten
in [Ku 1934] und [Ku 1933/1966] nahe und ist auch fiir a = 1 richtig. Die
Aussage I fiir OL — \ ist im wesentlichen schon in Mengenlehre bewiesen (s. u.,
Kommentar zu Fasz. 619).
[12] [Ku 1933/1966], §29.V.
[13] Zur Fufinote: MAZURKIEWICZ hat in [Ma 1916] bewiesen, dafi jede
iiberabzahlbare G5 -Menge des Baireschen Raumes ^ nach Entfernung einer
geeigneten abzahlbaren Menge zu ^ homoomorph wird.
[14] Das Resultat ist Theorem 2 in [Ku 1934]; in [Ku 1933/1966] ist es
nur fiir (3 = 1 (als Teil von Theorem 1 in § 37.11) enthalten. Das LusiNsche
Ergebnis, welches einige Zeilen weiter unten zitiert wird, bezieht sich nur auf
den Fall, dafi Y selbst der Bairesche Raum ist.
[15] Die Argumentation beinhaltet folgendes: Die Klasse H^+^ besteht
aus alien Limit es (konvergenter) Folgen von Mengen aus H*^ (s. beziiglich
dieses Theorems Anm. [2] zu Fasz. 1064 im Abschnitt 2).
[16] Theorem 3 in [Ku 1934].
[17] HAUSDORFF zitiert hier den im folgenden abgedruckten Fasz. 620.
[18] Die Bemerkung in Klammern hat HAUSDORFF mit andersfarbigem
Stift (offenbar spater) hinzugefiigt. A. KOZNIEWSKI (und unabhangig von ihm
HAUSDORFF) haben bewiesen, dafi fiir einen gewissen Ring {A) die Klasse
aller Mengen der Form limAn, An G (A), ein echter Teil der Klasse (A^s)
und nicht einmal ein Ring ist (s. im Abschnitt 2. Fasz. 633 und den zugehorigen
Kommentar).
640

NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz 620
Die Borelschen Mengen und der Nullraum
Hs. Ms. - [Bonn], 7.-16.3.1937. - 18 BIL^
7.3.37
Die Borelschen Mengen und der Nullraum
(Es handelt sich hier um Borelsche Mengen F^, G^ in separablen vollstdndigen
Raumen; z.B. F— separabel, voUstandig, F^ — Gs = separabel, topologisch
vollstandig. Ebenso um analytische Mengen in separablen voUstandigen Raumen).
(1) Das stetige Bild einer analytischen Menge ist analytisch, das schlichte
stetige Bild einer Borelschen ist Borelsch (Mengenlehre S. 209).
(2) Jede analytische Menge ist stetiges Bild des NuUraums ^ , jede Borelsche
schlichtes stetiges Bild einer in ^ abgeschlossenen Menge (ib. S. 211).
(3) Jedes 0-dimensionale Gs ist mit einer in ^ abgeschlossenen Menge ho- [1]
m5omorph. (Kuratowski, Top. I, S. 224, theoreme 2).
(4) X sei 0-dimensionales Gs, A c X und B =^ X — A in X dicht, A
ein Gs : dann ist A mit J^ homoomorph. (ib. S. 225, theoreme 3 von
Mazurkiewicz). *^
(5) Jedes in ^ dichte Gs ist mit ^ homoomorph.
Beweis. Das Cantorsche Diskontinuum X ist in ^ -\- D zerlegbar, wo ^
topologisch der Nullraum, D abzahlbar, ^ und D in X dicht sind. | (Beweis. Bl. 2
Vgl. Mengenlehre p. 182. X ist der dyadische Bairesche Raum der Folgen
X = {Cii^2,'-'), ^n = 0 Oder 1. D sei die Menge der x mit nur endlich
vielen ^^ = 1, ^ = X — D. Jedem x e JV entspricht eineindeutig eine Folge
V — (ni, n2,...) natlirlicher Zahlen, derart dass ^^ = 1 fur ni, ni + n2, ni -h
^2 + ^3, • • • • Diese Beziehung ist beiderseitig stetig, also jV topologisch der
Nullraum.) Ist nun A m jV dichtes Gs , so auch in X, wahrend X ~ A —
^JY — A)^ D ebenfalls in X dicht ist; nach (4) ist A mit JY homoomorph.
(6) Jedes 0-dimensionale unabzahlbare Gs ist = abzahlbare Menge plus to- [2]
pologischem Bild von jV. (Kuratowski, Top. S. 227, IV 1).
(7) Jedes insichdichte Gs ist schlichtes stetiges Bild von jV und zwar
vermoge einer Abbildung 0,1. (Kuratowski, F. M. 22, S. 210).
(8) Jedes H^^^ (a > 0) entsteht aus einer abgeschlossenen Teilmenge von
JY durch eine Abbildung 0,a. (Top. S. 231, Cor. 1). [3]
Verscharfung: (F. M. 22, Th. 1, S.215).
^Fasz. 620 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 273-291.
*) Ein 0-dimensionales insichdichtes Gs X braucht nicht mit ^ homoomorph zu sein;
Beispiel: X = Cantorsches Diskontinuum. Andererseits ist jede mit ^ homoomorphe Menge
0-dimensionales insichdichtes G^ .
641

(9) Jedes F^^^ (a > 0) entsteht aus einer abgeschlossenen Teilmenge von
Bl. 3 JV vermoge einer Abbildung 0, a. |
(Fiir eine Limeszahl a entsteht F^, welches ja F^^^ ist, auch aus einer in
JY abgeschlossenen Menge durch eine Abbildung 0, a.
[Umgekehrt: bei einer Abbildung a, ^ mit a > 0 ist das Bild eines F^ ein
•p&^oi jjiei-aus folgt fiir a = 1, dass das Bild eines F^ oder F bei Abbildung
l,/3 Oder 0,/? ein F^+i ist].
[4] In der Fassung des th. 1, F. M. 22, S. 215 ist also fiir a. — Limeszahl die Behauptung
„il suffit" falsch, denn durch 0, a kann ja aus F ein F"+^ entstehen,
das kein F^ ist.)
Wir wollen feststellen, wann die Borelschen Mengen schlichte stetige Bilder
von o/K selbst sind. Sie miissen verdichtet sein, und diese Bedingung wird sich
auch als hinreichend erweisen (wie bei (7) im Fall der G5 , bei deneri ja insichdicht
= verdichtet ist).
(10) Y sei topologisch vollstandig (nicht notwendig separabel), insichdicht.
Jeder Punkt y gehort c = 2^° perfekten Mengen Q an, die paarweise
nur y gemein haben.
Zunachst ist y Punkt eines dyadischen Diskontinuums D (Mengenlehre, S.
137; man kann bei der dyadischen Kugelkonstruktion Vp, Vpq,... y als Mittelpunkt
von VQ , VQO , • • • wahlen). Lassen wir die Polarkoordinaten r, (f in der
Ebene die Cantorsche Menge der Zahlen
Ki-i+-)
BL4 I durchlaufen, so entsteht eine kompakte perfekte diskontinuierliche Menge,
die mit D homoomorph ist, wobei wir den Punkt y dem Mittelpunkt r = 0
entsprechen lassen konnen; die Radien (f = const, liefern dann c perfekte
Mengen, die nur den Mittelpunkt gemein haben.
(11) f{x) sei eine schlichte stetige Abbildung von X in y (beide Raume F
oder Gs ), B = f{X);essei y e By—B (By die Menge der Verdichtungspunkte
von B). Dann giebt es eine perfekte Menge Q, y e Q C B -\-y,
deren Urbild P = f~^{Q) = f~^{BQ) = f~^{Q-y) in X nirgendsdicht
ist.
Zunachst giebt es eine perfekte Menge Qo 5 y ^ Qo C B -\- y. Denn seien
Vn Umgebungen von y mit Durchmessern -^ 0; BVn als unabzahlbare Borelsche
Menge enthalt eine perfekte Menge Qn, und Qo = Yl Qn + V leistet
das Verlangte. Qo enthalt nach (10) c perfekte Mengen Q, die paarweise nur
y gemein haben; ihre in X abgeschlossenen Urbilder P = f~^{Q — y) sind
disjunkt und nur abzahlbar viele P konnen innere Punkte haben; es giebt also
gewiss ein P ohne inneren Punkt, d.h. ein nirgendsdichtes.
642

(12) Wie bei (11) sei D C By — B ^ D abzahlbar; dann giebt es eine Menge
Q = Fcj (Summe perfekter Mengen) mit D C Q C B -\- D, deren Urbild
P = f-\Q) = f-^BQ) = f-\Q -D) in X ein F^ von 1. Kategorie
ist. I B1.5
Das folgt, wenn man fiir jedes yn ^ D gemass (11) eine perfekte Menge Qn
mit Vn^Qn (^ B -\- yn bildet und Q == XI Qn setzt.
Setzen wir C = B -\- D. Wir haben dann f{P) = Q — D und die Zerlegung
in disjunkte Summanden C = f{X - P) + f{P) ^ D == f{X - P)-\-Q.
(13) X sei der NuUraum, f{x) eine Abbildung der Klasse 0,a in Y
(vollstandig, separabel), B = f{X), also B verdichtet {B C By), ferner
D C By — B abzahlbar. Dann entsteht fiir o; > 1 auch C = B -\- D aus
dem Nullraum durch eine Abbildung 0, a.
(Man kann die Voraussetzungen auch so ausdriicken: C D B, C — B = D
abzahlbar, C verdichtet. Denn Cy = By, C C Cy ist mit C C By oder
D

(14) 1st C ein unabzahlbares F^"^^ {a > 0), so entsteht sie nach (9) aus einer
in ^ abgeschlossenen Menge A durch eine Abbildung / der Klasse 0, a,
wahrend A nach (6) gleich abzahlbare Menge plus homoomorphes Bild
von ^ wird, also C — D -\- B, D abzahlbar, B Bild von ^ mittels
0,a. (F. M. 22, S. 216, Cor. 1).
Wir konnen jetzt nach (13) hinzuftigen:
[5] 1st C verdichtetes F^+i (a>l), so ist C Bild von J/^ vermoge
einer Abbildung 0, a.
Die notwendige Bedingung flir die schlichten stetigen Bilder von ^, verdichtete
Borelsche Mengen zu sein, ist also auch hinreichend.
Die verdichteten F^ = F^s ergeben sich hier (da sie F'^ sind), als Bilder
von Ji^ vermoge 0,2; es ware zu priifen, ob sie nicht doch schon durch 0,1
entstehen. Die verdichteten F^ = Gs entstehen aus ^ durch 0,1 gemass (7).
Wir haben also: verdichtetes F^ ist (0,1)-Bild von ^. (0,1)-Bild von ^ ist
verdichtetes F^, Verdichtetes F^ ist (0,2)-Bild von ^ . (0,2)-Bild von ^ ist
verdichtetes F^ und umgekehrt. Also, wenn P^ verdichtetes F^ bedeutet und
^^ (O,a)-Bildvon ^:
(P^) C (^') C (P2) C (^') = (P^) ;
die Prage ist, ob nicht bereits (^^) = (P^) ist.
Ist C verdichtetes G^ (a > 0)^ so ist C Bild von JV vermoge
einer Abbildung 0, a.
Da C ein F^^^ ist, so ist fiir ce > 1 die Behauptung unmittelbare Folge der
Bl. 8 vorigen. Fiir o; = 1, wo C ein F(j ist, beweisen wir | zunachst wie in (11), dass
jedes 2/ 8 C in einer perfekten Menge C C liegt; ist sodann C — ^Fn, Qn
der perfekte Kern von F^ , B = Y1, Qn, so ist C — B = D hochstens abzahlbar,
und wenn wir zu jedem Punkt von D eine ihn enthaltende perfekte Menge
bilden, so ergiebt sich C als Summe perfekter Mengen; fiir diese C haben wir
bei (13) gesehen, dass sie aus ^ durch Abbildungen 0, 1 entstehen.
10.3.37
Die Aussage iiber die G^ ist an sich ungiinstiger als die liber die F^ und
lasst sich nicht dahin verscharfen, dass jedes verdichtete G""^^ aus ^ durch
eine Abbildung 0, a entsteht; sonst miisste (da das Bild von ^ vermoge 0, a
jedenfalls F^+^ ist) jedes (verdichtete) G'^'^^ ein F^"^^ sein. Dagegen lasst
sich in anderer Weise eine Verfeinerung (17) erzielen. Es scheint, dass der Weg
iiber (15), (16) dazu unnotig ist (nachdem man einmal weiss, s. mein Ms.
Borelsche Punktionen, Satz II, dass jedes G^ {a > 1) aus einem FQ durch
[6] eine Abb[ildung] (0, a*) entsteht). Denn in (13) kann man statt Abbildung
0,a auch (0, a*) setzen.
(15) Jedes G"^ (a > 1) ist Summe disjunkter F^ {^ < a).
644

Zunachst ist C — G^ {a > 0) Summe von F^ (^ < a), die wir aufsteigend
annehmen konnen:
C = ^Cn (CicC2C-.-), C = ;^(Cn-Cn-i);
Cn - Cn-1 als F^iG^2 ist jedenfalls H"^ (zweiseitig). Weiter ist dann G^^,
wobei im Fall a > 1 ^2 > 0 angenommen werden kann, Summe disjunkter
H^^ und F^iG^2 Summe disjunkter F^^H^^, die jedenfalls F^ mit ^ < a
sind. (Kuratowski, Top. S. 162) | [7]
(16) Jedes verdichtete G^ {a > 1) ist Summe disjunkter verdichteter F^
U 2 angenommen werden konnen, sind die Bn von der Form
F^ • Gs -h Fa = F^ . Da Bny = Cny , wird
Bnv = Cnv{Y - DV) + DVn {VnCny = Vn) ,
Bn - Bnv = {Cn - Cnv){Y - DV) .
I Wenn insbesondere D = X^(Cn — Cnv) gesetzt wird, ist Bl. 10
J^iBn - Bnv) = D{Y - DV) = D{Y - V).
Wir haben also jetzt C = ^Bn mit disjunkten Bn = F^ , und E = ^{Bn —
Bnv) ist zu V — ^^Bny disjuukt. Jeder Punkt y e E hat demnach, wie
645
BL9

gross auch n und wie klein 5 > 0 sei, eine Umgebung U vom Durchmesser
< S, die mit Bi -\- • -{- Bn nur abzahlbaren Durchschnitt hat; da er aber
Verdichtungspunkt von C und also CU unabzahlbar ist, muss ein BpU mit
p > n unabzahlbar sein, ebenso BpyU, und diese Menge enthalt also eine
perfekte Menge Qp. Indem wir die Punkte von E in eine Folge bringen, worin
jeder Punkt unendlich oft vorkommt, erhalten wir eine Folge perfekter Mengen
Quj, C {Bn^)y mit Durchmessern -^ 0 und ni < n2 < • • • , derart, dass zu
jedem y eine nach ihm konvergente Folge Q^, Q/3,. •. existiert; Qa + Q/? + " • • +
y = Qy ist dann wieder perfekt. Setzen wir noch fiir die n ^ n^ Qn = 0, so
wird
C = / ^{Bnv — Qn) + 2^ ^y '
n y
AUe Summanden sind disjunkt, alle verdichtet {Bnv — Qn ist in Bnv offen),
Bl. 11 alle sind F^ {Bnv ^ in Bn abgeschlossen, ist F^; | Bnv — Qn desgleichen; Qy
ist perfekt). Fiir a> 2 ist damit die Behauptung bewiesen.
Fiir a — 2 ergeben sich die Bnv — Qn nicht als F^, sondern als Gs plus
abzahlbare Menge, und um die Behauptung auch hier aufrechtzuerhalten, ist
zu zeigen: eine verdichtete Menge C = J5 + D, wo B ein Gt> und D abzahlbar
ist, ist Summe disjunkter verdichteter G5. B ist verdichtet, und wie bei
(11) konnen wir jeden Punkt yn von D in eine perfekte Menge Qn C B -\- y
einschliessen, von der wir diesmal voraussetzen diirfen, dass BQn — Qn — 2/ in
B nirgendsdicht ist. Wir erhalten dann mit ^ Qn = Q'- C = {B — Q) -\- Q,
und B — Q ist, well BQ in B von 1. Kategorie ist, noch in B dicht, also
verdichtetes Gs ; Q ist Summe von Mengen
ni 1) ist schlichtes stetiges Bild von ^
vermoge einer Abbildung /, die nicht nur von der Klasse 0, a, sondern
deren Inverse f~^ zweiseitig von der Klasse a ist, d.h. das Bild f{F)
Bl. 12 einer in ^ abgeschlossenen Menge ist in C gleichzeitig F^ und G^ . |
Es sei C = ^Cn, die Cn disjunkte verdichtete F^"^, wo ^n > 1 angenommen
werden kann. Ein verdichtetes F^ mit ^ > 1 entsteht aus ^ }edenfalls
durch eine Abbildung 0,^; fiir ^ = 1 ist das die Aussage von (7),
fiir ^ > 1 folgt es reichlich aus (14), da F^ ein F^^^ ist. Demnach sei
Cn = fn{Xn), fn vou dcr Klassc 0,^n; ^n das Intervall (n,...) des NuUraums
X = Y^Xn] C = f{X)\ f = fn in X^ • 1st F in X abgeschlossen,
so ist fn{XnF) = CnF^^ - F^- , /(F) vou dcr Form X) ^^" = G^ • 1st G in
X offen, so ist fn{XnG) = CnG^- = F^^G^^ ein G^, /(G) ein G^. Also ist
/(F) in G gleichzeitig G^ und F*^, f~^ ist zweiseitig von der Klasse a.
646

14.3.37.
(18) Fiir jedes Paar o;, /^ ( < ft) giebt es eine Abbildung / von ^ auf sich, die [8]
genau von der Klasse a,/? ist (d.h. / ist nicht von einer Klasse ^ < a,
f~^ ist nicht von einer Klasse r] < (3). (Kuratowski F. M. 22, p. 219,
theoreme d'existence). I Bl. 13
Zunachst sei a = 0, /? > 0. Verstehen wir das Kongruenzzeichen = nach
dem Modul der abzahlbaren Mengen, so dass A = B bedeutet, dass B =
{A — D) -\- Di {D,Di abzahlbar), so behaupten wir: es giebt in X = ^
Mengen H^, die nicht = G^ {rj < /3) sind. Hat /3 einen Vorganger /3 — 1 und
ware jedes H^ = G^~^, so wiirde
oder
G^=H^ = G^-\ F^+i = F^, G^+2^g/3+i
G/3+2 ^ (g./3+i _D^^D^ = G^+1 .Fi^G' = G^^'
sein, wahrend es doch G^ mit behebig hohem Index (genau) giebt. Ist (3 Limeszahl,
so ist (indem wir 2 < rj < f3 annehmen) zu zeigen, dass nicht jedes
H^ ein G^ ist; sei X = ^ Xn Summe seiner (abgeschlossenen und offenen)
Intervalle 1. Ordnung und Xn = An + Bn, An ein H^^ , das nicht G^ mit
7] < Pn ist, und P = limPn, so ist A = Y^ An und B = ^Bn jedes ein G^,
A ein H^; wenn dies ein G^ ware, miisste An = XnA ein G^ sein, was fiir
Pn > V nicht stimmt. Ebenso giebt es (Komplementbildung) solche H^, die
keinem F^ {rj < P) kongruent sind, und wenn man in X = Xi +X2 Ai C Xi
als H^ ^G"^, A2C X2 als iJ^ ^ F^ wahlt, so ist A - Ai + ^2 ein H^, das
keinem G^ und keinem F^ kongruent ist.
Sei jetzt in X A ein H^ das ^ G'l, F"^; dasselbe gilt fiir B = X - A.
Wir zeigen dann, dass A und 5 | unter diesen Bedingungen auch verdichtet Bl. 14
angenommen werden konnen. Sei (mit meinen gewohnlichen Bezeichnungen
Ay , Ay = AAy , Au = A - Ay) A = Ay -\- Bu, B = By-{-Au. Diese Mengen
sind verdichtet, da> X = Ay -\- By {X ist verdichtet), Bu C X — By C Ay,
A C Ay und Ay = Ay wegen A = A. Ferner ist Ay in A abgeschlossen, also
F^, Bu in B offen, also F^G = F^ (wegen /? > 0), i und JB sind Mengen
H^ und, da sie mit A,B kongruent sind, keinem F'^^ G'^ {r] < P) kongruent.
Schreiben wir wieder A, B statt A, ^, so sind also beides Mengen F^, aber
nicht F^. Sie lassen sich aus Xi, X2 (X = Xi + X2) durch Abbildungen
0,/3 erhalten: A = /i(Xi), B = /2(X2) (vgl. (14), sie sind beides Mengen
G^) und die Funktion f {= fu /2 in Xi, X2) ist eine Abbildung 0,/3 von
Xi + X2 = X auf A + 5 = X; sie ist nicht von einer Klasse 0, rj mit rj < P ^
sonst miisste A = /(Xi) ein F^ sein. Genau so giebt es Abbildungen Q;,0 von
X auf X, die nicht von einer Klasse ^,0 {^ < a) sind.
Endlich sei (a > 0, /? > 0) Xi = /i(Xi) eine Abbildung der genauen Klasse
a, 0 und X2 = /2(-^2) eine Abbildung der genauen Klasse 0, ^; dann ist / (=
/i, /2 in Xi, X2) eine Abbildung von X = Xi + X2 auf sich, die genau von
der Klasse a,P ist.
647

B1.15 I 16.3.37
Die Borelschen Mengen und der Nullraum. Nachtragliche Bemerkungen
(1) Jede im Nullraum X oflPene Menge G ist mit X homoomorph.
Flir jeden Punkt x = (ni,n2,...) 8 G befindet sich unter den Intervallen
Xn-L,Xnin2^' • • ^^^ grosstes (von kleinster Ordnung k) Xm-.-nfe, das zu G
gehort; es ist durch x eindeutig bestimmt, I{x); zwei solche / sind identisch
oder disjunkt. Also G = /i +/2 H Summe von endlich oder abzahlbar vielen
/, wobei die In zugleich off en und abgeschlossen sind; G ist mit Xi +X2 H
und also mit X homoomorph (auch im Fall endlich vieler Summanden, die
man iibrigens wegen X^^.-.^^ — X^^ "^^i--^fcn durch unendlich viele ersetzen
kann).
(2) Jede kompakte Menge Ad X ist nirgendsdicht.
Denn die Intervalle sind nicht total beschrankt {Xn^.-.n^ — Xln^^i ••^fcn
enthalt unendlich viele Punkte Xn 8 Xn^...n^n^ die paarweise Entfernungen
-j^ haben) und A kann kein Intervall enthalt en.
(3) Ist y = f{x) eine schlichte Abbildung von A C X auf B

Satz sicher nicht richtig; die verdichteten F^ = Gs entstehen zwar durch Abbildungen
0,1 (Kurat[owski] F. M. 22, p. 210), aber nicht durch 0,0, da z.B.
eine kompakte perfekte Menge, selbst wenn sie 0-dimensional ist, mit X nicht
homoomorph ist).
Vergebhcher Versuch: angenommen, es sei eine Zerlegung B = Y^Bn in
disjunkte Bn moghch, die (0, Q;)-Bilder von X sind und iiber deren Beschaffenheit
relativ zu B noch Naheres vorausgesetzt werden muss; ferner soil stets
Bn + Bn-\-i + • • • in B dicht sein. Da diese Mengen verdichtet sind und fiir
eine verdichtete Menge B^ = By ist (J5 C J5y, Boc C Bya = By C BQC ), so
ist {Bn -h Bn-]-i -^ ' ")y = By . Bringen wir D in eine Folge ^/i, 2/2, • • •, worin
jeder Punkt y von D unendhch oft vorkommt; Vk sei eine Umgebung von yk
Hiit Durchmesser Sk -^ 0. Bei behebig grossem z/ ist, da yk e {Bj^-^i + • • • )y ^
{Bj^^i + "')Vk und also ein Bn^Vk mit Uk > y unabzahlbar, enthalt also
eine perfekte Menge Qn^; wir konnen | demgemass eine Folge von Zahlen Bl. 18
rii < 77-2 < ••• bestimmen, derart, dass es perfekte Mengen Qnj^ C Bn^Vk
giebt. Ist dann z. B. y = y^^ = y^^ = y^ = - • - (a < ^ < 7

(5) Konnte man umgekehrt von einem verdichteten F^ — F(j6 zeigen, dass
[11] es aus dem NuUraum X nur durch 0,2, nicht durch 0,1 entsteht?
Z.B. von B = E {x^ -^ oo), welches in X ein Fcys und kein Gsa ist.
Anmerkungen
[1] HAUSDORFF bezieht sich hier auf die franzosische Erstausgabe von [Ku
1933/1966]. In der spateren englischen Standardausgabe von 1966 gehoren (3)
und (4) zu § 36.11.
[2] Verweis in (6): [Ku 1933/1966], § 36.IV; Verweis in (7): [Ku 1934]
(in [Ku 1933/1966] wird dies Resultat nicht expHzit genannt); Verweis in
(8): das nachsthegende Resultat in [Ku 1933/1966] ist Korollar la in § 37.11,
welches besagt, dafi jedes F^"*"^ (a > 1) (0,a)-Bild eines voUstandigen
separablen Raumes ist.
[3] Eine Abbildung a,(3 ist eine bijektive Abbildung f \ X -^ Y {X^Y
metrische Raume), so dafi das /-Urbild jeder in Y abgeschlossenen Menge
eine F^ -Menge in X und das /-Bild jeder in X abgeschlossenen Menge eine
F^-Menge in Y ist, s. Fasz. 619.
[4] Die Behauptung (9) wurde in [Ku 1934] bewiesen (s.die Anmerkungen
[10] und [11] zu Fasz. 619). HAUSDORFF bemerkt hier einen Widerspruch
in KuRATOWSKis Formulierung.
[5] Dies ist Satz 1 in [H 1937] (s.diesen Band, S. 539-554). Der hier gefiihrte
Beweis funktioniert nicht fiir a = 1, so dafi HAUSDORFF noch nicht
beweisen konnte, dafi jedes verdichtete F^ = Fc^s (0,1)-Bild von ^ ist.
Dies gelang ihm erst am 18.3.1937 (Fasz. 624, dieser Band, S. 742-744). Fiir
a = 0 ist die Behauptung falsch, well durchaus nicht jedes dichte F^ — G5
homoomorph zu c/K ist.
[6] HAUSDORFF bezieht sich hier auf den vorigen Faszikel 619, Bl. 11.
Dafi die Klasse der Abbildung (0,a*) anstatt (0, a) sein kann, war im Laufe
des Beweises in Fasz. 619 klar geworden.
[7] Die Behauptung (15) ist Theorem 2 in [Ku 1933/1966], § 30.V. Das
Resultat ist falsch fiir a = 1, z.B.fiir Teilmengen von IR (s.die abschliefiende
Bemerkung in [Ku 1933/1966], §30.V).
[8] Dieses Theorem bewies KURATOW^SKI in [Ku 1934]. HAUSDORFF gibt einen
anderen, direkteren Beweis.
[9] HAUSDORFF zitiert hier die Behauptung (13) von Blatt 5 des vorliegenden
Faszikels 620.
650

[10] Das Problem, ob jedes verdichtete F^ = F(j5 (0,1)-Bild von ^
ist, formulierte KuRATOWSKi in einer Fufinote auf S. 210 von [Ku 1934].
HAUSDORFF gab in Fasz. 624 eine bejahende Antwort (s. Anmerkung [5]).
[11] S.die Anmerkungen [5] und [10].
Kommentare
Funktionen der Baireschen Klassifikation, oder, wie sie bei HAUSDORFF heifien,
Borelsche Funktionen, wurden von BAIRE in seiner Dissertation [Ba 1899]
eingefiihrt. Sie wurden in Folgearbeiten, vor allem in [Lb 1905] und [Ba 1909],
ausgiebig studiert. Insbesondere entdeckte LEBESGUE die grundlegenden Beziehungen
zwischen der BORELschen Mengenhierarchie und der BAlREschen
Funktionenhierarchie. Dieses Thema war eines der bevorzugten Interessengebiete
HAUSDORFFS in der Mengenlehre seit Veroffentlichung der Grundzilge der
Mengenlehre (dort Kapitel IX, s.Band II dieser Edition, S. 773-787). HAUS­
DORFFS Arbeit [H 1919d] ist ganz diesem Gegenstand gewidmet (s.Band IV
dieser Edition, S. 79-103), ebenso zahlreiche Faszikel in seinem Nachlafi, zusammenfassend
dargestellt in Mengenlehre, §§ 41-43.
In den 30-er Jahren, vielleicht auch schon etwas eher, begann es ziemlich klar
zu werden, dafi zumindest im Fall der polnischen Raume jene Eigenschaften
der Baireschen Funktionen, die vom Standpunkt der deskriptiven Mengenlehre
aus interessant sind, viel mehr von den Borelklassen ihrer Bilder und Urbilder
abhangen als von der sukzessiven Baireschen Limeskonstruktion selbst. KuRA-
TOWSKI ([Ku 1934]) fiihrte den Begriff des Homoomorphismus der Klasse (a, l3)
ein {a, l3 Ordinalzahlen < ct;i) und untersuchte die Wirkung von Abbildungen
dieses Typs auf Borelmengen. HAUSDORFFS Analyse der KuRATOWSKischen
Studien, ausgefiihrt in den Jahren 1936-1937, fand ihren Niederschlag in einer
Reihe von Noten im Nachlafi und in der Publikation [H 1937].
Fasz. 618 ist vor allem einem wichtigen Resultat gewidmet, dem Erweiterungssatz
(5). HAUSDORFFS Beweis unterscheidet sich ziemlich von KuRATOW^-
SKis Beweisftihrung in [Ku 1933/1966].
Fasz. 619. Der Schliisselsatz dieser Note ist III auf Blatt 10. Dieser Satz
kommt dem Theorem 1 in [Ku 1934] nahe, welches folgendes besagt:
Dafiir, dafi eine Menge A in einem polnischen Raum Y ein F*^ in
y ist (a > 0), ist notwendig und hinreichend, dafi ein polnischer
Raum X und eine surjektive Abbildung f : X ^^ A der Klasse
(0, Of — 1) existieren. Ist a > 1, so kann X als 0-dimensionaler
Raum gewahlt werden.
(Hier wird angenommen, dafi a — 1 = a fiir eine Limeszahl a ist.) Man beachte,
dafi 0-dimensionale polnische Raume homoomorph zu abgeschlossenen
Teilmengen von jV sind. HAUSDORFF bemerkte hier bei KURATOWSKI ein
Versehen fiir den Fall, dafi a Limeszahl ist (s. Anm. [4] zu Fasz. 620), und gab
in Satz III eine korrekte Formulierung an.
651

Obwohl in II und III a > 1 gefordert wird, schlieBt die Beweisfiihrung bei
leichter Modifikation den Fall a — 1 mit ein. Es geniigt in Wirklichkeit, IIi
zu zeigen, d. h. II fiir a = 1. HAUSDORFFS Argumentation fiihrt nicht direkt
zum Ziel, weil eine Menge B der Klasse G^ = F^ nicht notwendig disjunkte
abzahlbare Vereinigung von abgeschlossenen Mengen ist. Aber B ist offenbar
disjunkte Vereinigung von DifFerenzen abgeschlossener Mengen, d. h. von G5 -
Mengen, welche topologisch ebenfalls polnische Raume sind, also (0,1)-Bilder
von abgeschlossenen Teilmengen von ^, und so weiter.
BehaUptung I fiir o; = 1 ist im Kern bereits in Mengenlehre enthalten
(s. Anm. [93] zu Mengenlehre), denn ein F^ ist per definitionem ein G5, folglich
selbst ein polnischer Raum und somit F^ und F^ . HAUSDORFF merkt an,
dafi das Result at durch eine Modifikation des in [Ku 1934] gefiihrten Beweises
dafiir, dafi jeder insichdichte polnische Raum (0,1)-Bild von ^ ist, erhalten
werden kann.
Man beachte den Unterschied zwischen Satz III einerseits und den Satzen
IV und V andererseits: die beiden letzteren behaupten die Existenz von Abbildungen,
deren Wertebereich (als auch deren Definitionsbereich) der ganze der
gegebenen Menge B zugrundeliegende polnische Raum Y ist. Dies erlaubt es,
gewisse Eigenschaften niedriger Borelklassen routinemafiig auf hohere Klassen
auszudehnen. HAUSDORFF gibt ein Beispiel dieser Art am Ende von Fasz. 619.
Wir geben hier ein anderes Beispiel, welches sich auf den Fall P — 1 bezieht.
Angenommen, B ist eine H^+i-Teilmenge eines polnischen Raumes Y. Dann
existieren nach Satz IV ein polnischer Raum X, eine H^ -Menge A C X (d. h.
ein A2 — F(j n Gs), und eine surjektive Abbildung f : X -^ Y der Klasse
(0, a), so dafi f{A) = B. Damit liefert jede Darstellung von A als Differenzenkette
von abgeschlossenen Mengen (wie in Mengenlehre, § 30) eine Darstellung
von A als Differenzenkette von F^ -Mengen.
Fasz. 620 enthalt einen Beweis (fiir den Fall a > 1) von HAUSDORFFS
Hauptresultat auf diesem Gebiet: Jede verdichtete F"+^-Menge B ist (0,a)-
Bild des ganzen Baireschen Raumes ^ = N^^ (und nicht nur einer abgeschlossenen
Teilmenge von ^ wie im Fall einer beliebigen, nicht notwendig
verdichteten, F^+^-Menge). Der Ursprung von HAUSDORFFS Interesse an diesem
Problem ist wahrscheinlich eine von KuRATOW^SKl in [Ku 1934], S. 210
aufgeworfene Frage: Ist jedes F^ = F^s (0,1)-Bild von ^? HAUSDORFFS
Beweis fiir den Fall o; > 1 im Fasz. 620 ist etwas verschieden von der endgiiltigen
Version, die in [H 1937] publiziert wurde. Er hatte sich tagelang darum
bemiiht, auch den Fall a = 1 zu klaren (der von seinem Beweis im Fasz. 620
vom 10.3.1937 nicht erfafit wird). Die Losung fand er am 18.3.1937; die erste
Niederschrift ist der Faszikel 624. Das Manuskript der Veroffenthchung [H 1937]
wurde dann am 24.3.1937 an Fundamenta Mathematicae geschickt (Fasz. 97).
Im iibrigen wird auf den Kommentar zu [H 1937] in diesem Band verwiesen,
der etwas zur Bedeutung von HAUSDORFFS Satz fiir die deskriptive Mengenlehre
sagt. Obwohl [H 1937] den Faszikel 620 im wesentlichen iibertrifft, haben
wir diesen trotzdem hier in voUer Lange aufgenommen, weil er einen Eindruck
von HAUSDORFFS Arbeitsweise auf dem Wege zu einem wichtigen Ergebnis ver-
652

mittelt. Besonders erwahnt sei auch das spezielle Resultat (17) fiir verdichtete
G^, welches in [H 1937] nicht vorkommt.
Literatur
[Ba 1899] BAIRE, R. : Sur les fonctions de variables reelles, Annali di matematica
pura ed applicata, Serie Ilia, 3 (1899), S. 1-122.
[Ba 1909] BAIRE, R. : Sur la representation des fonctions discontinues, Acta
Math., 32 (1909), S. 97-176.
[Ku 1933] KuRATOWSKi, C.: Sur les theorernes topologiques de la theorie des
fonctions de variables reelles, C. R. Acad. Sci. Paris, 197 (1933), S. 19-20.
[Ku 1934] KuRATOWSKi, C: Sur une generalization de la notion de homeomorphie,
Fund. Math., 22 (1934), S. 206-220.
[Ku 1933/1966] KuRATOWSKi, C: Topology, vol. I, New edition, revised and
augmented. Academic Press, 1966. Erstausgabe: Topologie /, Monografie
Matematyczne, vol. Ill, Warszawa 1933.
[Lv 1924a] LAVRENTIEFF, M.: Sur la recherche des ensembles homeomorphes,
C. r. Acad. sci. Paris, 178 (1924), S. 187 - 190.
[Lv 1924b] LAVRENTIEFF, M.: Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes,
Fund. Math., 6 (1924), S. 149-160.
[Lb 1905] LEBESGUE, H.: Sur les fonctions representable analytiquement,
Journ. de Math. (Ser. 6), 1 (1905), S. 139-216.
[Lu 1930] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.
[Ma 1916] MAZURKIEV^ICZ, S.: Uber Borelsche Mengen, Bull. Acad. Sci.
Cracowie, 2 (1916), S. 490-494.
653

4. Reduzible Mengen und Differenzenketten
HAUSDORFFS Nachlafi enthalt mehrere Noten liber reduzible Mengen und Differenzenketten.
Die meisten davon stammen aus den Jahren 1914-16; darin
wird versucht, den Begriff der reduziblen Menge zu verallgemeinern, jedoch
ohne nennenswerten Erfolg. Diese Serie von Arbeiten wird in unserer Auswahl
durch Fasz. 997 reprasentiert. In den 30-er Jahren kehrte HAUSDORFF ZU dem
genannten Gegenstand zuriick und verfaBte einige weitere Noten. Diese waren
sowohl Versuchen zur Verallgemeinerung (welche er aber schlieBlich aufgab)
als auch verschiedenen neuen Anwendungen von reduziblen Mengen und Differenzenketten
gewidmet. Insbesondere studierte HAUSDORFF die Trennbarkeit
durch reduzible Mengen oder R-Trennbarkeit. Diese Serie von Arbeiten wird
hier durch die Faszikel 995 und 996 reprasentiert.
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 997
[Reduzible Mengen]
Hs. Ms. - [Greifswald], 13.2.1915. - 5 BU.^
13/2 1915
I. Vereinfachung des Beweises (Grundz[uge] S. 461), dass der Durchschnitt
reducibler Mengen reducibel ist.
[1] Sei D — ^{A, B), A and B reducibel. Das letzte Residuum Di ist in D abgeschlossen:
Di = ^{D,F) = ^{^{A,F),^{B,F)); ^{A,F) und 2)(5,F)
sind reducibel. Schreiben wir dafiir wieder A, B und D statt Di, so ist zu
zeigen: der Durchschnitt D = !j)(A, B) reducibler Mengen kann der Gleichung
D = (p{D) nur genilgen, wenn er verschwindet.
Dabei kann angenommen werden, dass A ^ Doc, B ^ D^ , indem wir abermals
(oder gleich oben) A, B durch S)(A,Dcx), ^{B^Doc) ersetzen, welche
Mengen wieder reducibel sind und den Durchschnitt !J)(D, Doc) = D haben.
Bei dieser Annahme ist D ^ A^ Doc, also Aoc = Doc, ebenso Boc — Doc -
Setzen wir '^{D) = U, so ist nach Annahme '^{U) — J9, also
Doc=D-hU = Uoc.
Nun folgt ^\){A) = ^{Doc,E - A), ^\){B) = V{Doc.E-B),
^\>{D) = ^{Doc^E -D) = ^{DocME -A,E-B))^ &{MA)MB)),
U = &{MA)MB)).
Setzen wir jetzt D' = 'S){D,E - iK5)a), U' = Ti{U,E - iK^)a). Nach
Bl. 2 einer Formel fiir Relativgebiete (aus A = TI{B, G) folgt Aoc 2 "^{Boc, G)) ist|
^Mit einem Zusatz in violetter Tinte. Diese benutzte HAUSDORFF in den zwanziger und
dreiBiger Jahren.
654

ebenso U'^ ^D' -\-U'. Aus den Formeln fiir C/, U' folgt noch:
Danach behaupten wir, dass jedes Residuum A^ die Menge D' enthalt. Fiir
^ = 0 ist dies richtig; fur Limeszahlen ist der Inductionsschluss evident; es
braucht also nur von ^ auf ^ + 1 geschlossen zu werden. Wenn A^ 2D', so
folgt
A^oc 2K 2U'. E-A^2E-A2MA)2U',
also (Durchschnitt) i|>(^^) 2 ^' • Daraus weiter
M^doc 2K2D'. E- MA^) 2E- MA) 2 A 2 D^
also (p(A^) 2 D', .4^4.1 2E>', q. e. d.
Danach ist A/ 2 D', also, well A reducibel war, D' = 0. Daraus folgt:
i^'^ =0, 0 = ^{Doc,E-y\>{B)oc) = Boc-MB)oc = B-ip{B), Silso B = ip{B),
5 = 5/ - 0, D = 0.
11. Man kann ebenso, oder noch einfacher, beweisen, dass die Summe reducibler
Mengen reducibel ist. (Beides ist mit der Korpereigenschaft identisch,
da das Complement einer reduciblen Menge reducibel ist). | B1.3
Sei S = &{A, B) die Summe reducibler Mengen. Wieder ist 5/ = 2)(5, F) =
6(2)(A, F),!D(5,F)) und wir haben zu zeigen: wenn A, B reducibel und, fiir
S — &{A^B), S — cp(5) ist, so verschwindet S.
Setzen wir IKS') = ^, Soc=S^V = Voc; ferner
S' = S)(5, E-Boc), V' = ©(y, E-Boc).
Wieder ist nach der Formel fiir Relativgebiete
s'^ 2^{Soc^E-Boc) = s'^r, s'^2S'^v\ v^ 2 s' + r.
Zugleich ist 5' = S3(A, E — Ba) ^ A. Wir behaupten, dass jedes Residuum
A^ die Menge S' enthalt. Nur der Schluss von ^ auf ^ + 1 ist erforderlich:
Aus A^ 2 S' folgt A^oc 2 5^ 2 F',
E-A^2E-A2E-S2y2y'. M^d 2 V•
Dann il;(A^), 2 V^ 2 5', E- ^A^) 2 A^ 2 5', cp(A^) 2 S', ^^+i 2 S'.
I Demnach ist Bl. 4
Ai2S'^ 5^ = 0, 5^=0, S)(5OC,£;-J5,) = 0, 5, = 5, = FCX •
Also V ^^{Soc,E-S)g^{Boc,E-B)=MB)gBcc = V^a ,
VgMB)gVoc, tK^)a=Va-Boc, ^^Boc-MB)oc=B-ip{B).
655

Also B - (p(B) = 5^ = 0. Ebenso ^ = 0, 5 - 0.
Bl. 5 I Cantor nennt den sep[arierten] Bestandtheil einer abgeschlossenen Men-
[2] ge reducibel: R — F — Fy {F abgeschlossen). Notwendige und hinreichende
Kriterien fiir eine reducible Menge ([im] eukl[idischen] Raum) sind, dass R
hochstens abzdhlbar und Differenz abgeschlossener Mengen (also Ra — R abgeschlossen)
sei. Dass dies hinreicht, ist so zu zeigen: Roc — R = S abgeschlossen,
R hochstens abzahlbar. Man lege um jeden Punkt r^ von R = {ri,r2,...}
ein Kugelinneres Un, das zu E — S gehort, derart, dass die abgeschlossenen
Kugeln Vn einander nicht treffen.*^ G = Ui + U2-\ ; E — G = Pist perfect.
Ferner jRgGgE-S', E - J R 2 P 2 5. Die Menge F = &{P,Ra) =
6(P, R, S) = (3(P, R) = P-\-R ist abgeschlossen, P ihr perfecter Bestandtheil
Bl.5v = Fy, R = F-Fy.\
[3] Verallgemeinerung der reduciblen Mengen
(A) Ax kleinste Menge N = A^F {N durchlauft eine 6-Ring; F abgeschlossen).
\|)(A) ^ Ax - A, (p(A) = ipiKA). Mit (p{A) die Residuen Ai =
(p(yl), A2 — cp(^i),.... Letztes Res[iduum] = 0, ^ reducibel. Reducible
Mengen sind solche A={No- iVi) -\-{N2 - Ns)-\-• - •-\- (AT^ - AT^+i) + • • •
mit schliesslich verschw[indenden] Summanden; N^ 2 {Nrj)oc f^r ^ < rj.
Hier ist das Complement einer reduciblen Menge reducibel; Summe und
Durchschnitt wahrscheinlich nicht.
(B) (p(A) kleinste in A abgeschlossene Menge derart, dass A — (p{A) = N —
N' mit N 2 ^' (AT, A/^' durchlaufen einen 6-Ring.) Ai = (p{A), A2 =
(p(^i),... . Letztes Res[iduum] = 0, A reducibel. Reducible Mengen
sind solche A = {No - Ni) + (A^s - A^s) + • • • + (A^.. - A^^+i) + • • •
mit schliessl[ich] verschw[indenden] Summanden, AT^ 2 A'^ fiir ^ < 77;
(Ar2^ — N2^-^i) -\ = ^^ in ^ abgeschlossen. Hier ist der Durchschnitt
von zwei reduciblen Mengen reducibel; das Complement wahrscheinlich
nicht.
[4] Zu einer voUen Verallg[emeinerung] der gewohnlichen red[uciblen] Mengen l^in
ich nicht gelangt. Diese miisste liefern: die red[uciblen] Mengen sind von der
Form {No — A^i) + • • • mit AT^ 2 AT^ (^ < '^) und etwaigen Nebenbedingungen;
sie bilden einen Korper; sie sind wie ihre Complemente Mengen N^, und
umgekehrt: jede Menge, die zugleich mit ihrem Complement ein No- ist, ist
reducibel.
*) [Mit violetter Tinte spater eingefiigt]: Vielmehr so: Man lege um ri eine offene Kugel
Ui Q E — S, auf deren Oberflache kein Punkt rn liegt (d.h. Kugelradius 7^ rirn)- Giebt
es Punkte Vn ausserhalb Ui , d. h. ausserhalb Vi , und ist Va der erste unter ihnen, so lege
man um ra eine Ua ^ £" — (/S + Vi), auf deren Oberfl[ache] kein Punkt rn liegt, u.s.w.
G = Ui-\-U2-\-- • • ' E — G = Pist perfekt; denn ware p ein isolierter Punkt von P, so miisste
eine Umgebung U von p, p selbst ausgenommen, zu G gehoren, U = UUi -\-UU2-\-- • • sein,
was weder mit einem noch (wegen des Zusammenhangs von U) mit mehreren Summanden
moglich ist.
656

Anmerkungen
[1] Zur Notation: (p(X) und ^\>{X) in dieser Note entsprechen X^ und Xp in
Mengenlehre, § 30.3. E ist der ganze Raum, 2)(X, Y) = X nY, 6(X, Y) =
XUY.
[2] CANTOR nannte solche Mengen reductibel (s. Anm. [74] zu Grundziige der
Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 611). HAUSDORFFS Definition von „reducibel"
unterscheidet sich von der CANTORS. HAUSDORFF zeigt, dafi fiir Cantor-
Reduzibilitat einer Punktmenge R im euklidischen Raum notwendig und hinreichend
ist, dafi R abzahlbar und Differenz zweier abgeschlossener Mengen
ist. Fy und RQC haben dieselbe Bedeutung wie in Mengenlehre, § 23.
[3] Dieser Abschnitt ist mit violetter Tinte geschrieben und wurde spater verfafit.
Die Schreibweise „reducibel" deutet darauf hin, dafi er einige Zeit vor 1934
verfafit wurde, denn in den Faszikeln 996 und 995 von 1934 benutzte HAUS-
DORFF die modernisierte Rechtschreibung „reduziber'.
[4] HAUSDORFF skizziert die charakteristischen Eigenschaften, welche die verallgemeinerten
reduziblen Mengen haben miifiten; die in die Differenzenketten
eingehenden Mengen N bilden einen 6-Ring, etwa ^, und die gewohnlichen reduziblen
Mengen entsprechen dem Fall 0^ = F (abgeschlossene Mengen; s. den
Komnientar am Ende dieses Abschnitts).
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 996
Reduzible Mengen
Hs. Ms. - [Bonn], 4.1.1934. - 4 BU.
Reduzible Mengen 4.1. 34
(Mengenlehre S. 168; ensembles developpables, Kuratowski, Topologie I S. 59.) [1]
Eine Menge der Form
R = ^{F2^+i - F2^+2) = {Fi - F2) + (F3 - F4) + • • • + (F^+i - F^+2) + • • •,
wobei die abgeschlossenen Mengen i^^+i eine absteigende Folge (von beliebigem
Typus) bilden und schliesslich = 0 sind, heisst reduzibel. Die reduziblen Mengen
bilden einer Korper; insbesondere ist das Komplement [2]
S = E-R = Y,iF2^-F2^+i)= (Fo-Fi) + (F2-F3) + .-- + (F^-F^-,i) + ---
wieder reduzibel {FQ = E, F^ = 2) F^+i fiir rj = Limeszahl).
Zwei Mengen P, Q heissen R-trennbar, wenn sie sich in disjunkte reduzible
Mengen einschliessen lassen; man kann die letzteren komplementar annehmen,
also PgR, QgS = E-R.
657

I. Zur R-Trennbarkeit von P, Q ist notwendig und hinreichend, dass die
Formel
AgTA~QA (1)
[3] nur fiir ^4 = 0 bestehe.
Notwendig. Aus (1) und P £ R, Q^S folgt A g 'RA'SA. Wir zeigen, dass
A jedem F^ angehort, also = 0 ist. Zunachst ist A^ FQ = E\ ferner, wenn r]
Limeszahl und A^F^ fiir i

RQE-Q Oder QQE-R, ebenso P £ £^ - 5; die Mengen E - R, E-S
sind reduzibel und disjunkt, P und Q R-trennbar.
Die Bedingung des Satzes I {A^p =^ PA QA)
ist mit
aus A^A^ folgt A = 0 (ex)
aus A = A^ folgt A = 0 ((3)
gleichbedeutend. Dass (|3) aus (a) folgt, ist trivial, aber es folgt auch (ex) aus
((3), denn ist A ^ A^p, so ist (weil A^p abgeschlossen ist) A^ A^^ andererseits
A^^'A^^ A, also ~A = ^^, nach (/?) also A = 0 und ^ = 0.
(a) besagt mit A^ = AA^p: aus A = A^ folgt ^ = 0, oder: aus A D 0 folgt
A D Ad- Dann ist sogar Ad | in ^4 nirgendsdicht. Denn sei A^ ^ AG, G B1.4
offen, so zeigen wir, dass AG = 0, womit die Behauptung bewiesen ist (Ad ist
in A abgeschlossen und hat, bezogen auf A, keinen inneren Punkt, d.h. ist in
A nirgendsdicht). Auf Grund der bekannten Formel XG 2 XG (G offen) hat
man
{AG)^=TAG ~QAG2^^ Q^ G = A^G, (AG)di AdG^ AG,
also AG = (AG)d , d. h. AG = 0.
Wird insbesondere Q = E — P angenommen, so ist die R-Trennbarkeit von
P, Q mit der Reduzibilitat von P selbst identisch; da hier Ad die Begrenzung
von PA im Raume A ist, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung
fiir Reduzibilitat von P, dass fiir jede Menge A D 0 (oder jede abgeschlossene
Menge A D 0, vgl. ((3)) diese Begrenzung Ad kleiner als A oder in A
nirgendsdicht sei. (Hieraus schliesst K[uratowski], dass die reduziblen Mengen
einen Korper bilden, weil die Mengen mit nirgendsdichter Begrenzung in jedem
Raum einen Korper bilden).
Anmerkungen
[1] ensembles developpables: HAUSDORFF zitiert hier die franzosische Erstausgabe
von [Ku 1933/1966]. In der englischen Ausgabe wurde das mit resolvable
sets bzw. genauer mit sets resolvable in a differential chain of countable length
iibersetzt (§ 12.11 auf S. 96).
[2] E ist wie iiblich der ganze Raum.
[3] A bedeutet hier den Abschlufi von A, also A = A^ in der Notation von
Mengenlehre.
659

NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 995
[Verallgemeinerung der reduziblen Mengen
Hs. Ms. - [Bonn], 6.1.1934. - 15 BIL^
6.1. 34 a
1. Im Raume E sei ^ ein System von Mengen N mit denselben Eigenschaften
wie die abgeschlossenen Mengen (Mengenlehre S. 227), namlich
[1] (1) E und 0 ist ein N
(2) Die Summe zweier N ist ein N
(3) Die Durchschnitt beliebig vieler N ist ein N.
Hiermit kann man die Theorie der reduziblen Mengen nachbilden. Es sei A
das kleinste TV iiber A (es giebt solche AT, z.B. E, und der Durchschnitt aller
ist wieder eins); A heisse die A/'-Htille von A. 1st A = BN, so ist A — BA;
denn wegen A£ N ist AQN, also A = AA = BNA = BA.
Sei A- A =j4p, Ap - Ap = A^, so folgt A 2 Ap 2 ^cp, ^cp i ^,
A — A(p = A — Ap , Definieren wir
Ao = A, A^^i = ^^cp , Ar^ = ^ A^,
so werden die absteigenden Mengen AQ ^ Ai 2 • • • ^ A^^ 2 • • • schliesslich
BL2 gleich, Ar^ = ^77+1 = * • • • I
Die Mengen, deren kleinstes AT-Residuum Aj^ Null ist, heissen AT-reduzibel.
Die A/"-reduziblen Mengen sind die aus Mengen A^ gebildeten Differenzenketten.
Denn es ist, wenn A AT-reduzibel ist (^^^ = 0)
A=^(A^-A^+i)=X](3j-Arp),
wobei A^ 2 ^^p 2 A^+i, die A/'-Mengen A^, A^p also eine fortlaufende monoton
absteigende Folge (mit schliesslich verschwindenden Gliedern) bilden. -
Um das Umgekehrte zu beweisen, schicken wir voraus: ist A = {N — B)Ni,
so ist Ap = BA. Denn A £ AT, ausserdem war A = {N - B)A ^ A- BA,
also A- A = BA. Durch zweimalige Anwendung: ist A = ({N - N^) + C)Ni
(AT ^ AT' 2 C), so ist Ap = (AT' - C)A und App = CAp . Sei demnach
"^Die Faszikel 995-1004 hat HAUSDORFF unter dem Titel „ Verallgemeinerung der reduciblen
Mengen" in zeitlich riicklaufiger Anordnung in einer Mappe zusammengefaBt.
660

mit N^ ^ N^^ ^ Nrj {^ < rj) und schliesslich verschwindenden N^. Setzen wir
M^= E (^r; - iV;), also I B1.3
Mo = M, M^ = {N^- N^) + M^+i, Mrj = ^ M^ {rj Limeszahl).
Sei A von der Form MN; A^ die A^'-Residuen von A. Wenn bereits bekannt
ist, dass A^ von der Form M^N ist, so folgt aus dem soeben Bewiesenen, dass
A^p von der Form {N'^ - M^^i)N und A^^p = A^+i von der Form M^^iN
ist. Ebenso fiir eine Limeszahl. Also ist jedes A^ £ M^ und schliesslich 0; A
reduzibel; das gilt insbesondere von M selbst. Aus A^ ^ N^, A^p £ iV^ folgt
iiberdies A^ ^ N^, A^p £ N^.
Die AT-reduziblen Mengen bilden also einen Korper.
2. Ein System ^ der vorausgesetzten Art wird z.B. folgendermassen erhalten:
es sei Pi ein System paarweise disjunkter Mengen im Raume E — Y^Pi {i
durchlauft eine Menge /, die endlich, abzahlbar oder auch unabzahlbar sein
kann) und N seien die Mengen der Form
(a) N ^^PiFi {Fi abgeschlossen),
i
(d.h. PiN in Pi abgeschlossen). Offenbar gehoren 0 und E^ sogar alle abge- [2]
schlossenen Mengen F = Y^PiF zu ^. Die Summe zweier N ist ein N und
i
der Durchschnitt beliebig vieler Nk = Y^PiFik {k ^ K) ist
i
(|3) N = ^Nk = j:PiFi, Fi^^Fikk
i k
I 1st E separabel und das System der Pi hochstens abzahlbar, so bilden B1.3v
die Mengen N der Form (a), die einem gegebenen 6-Ring ^o angehoren (der
die abgeschlossenen Mengen enthalten moge), auch schon ein System ^ der [3]
K H^
vorausgesetzen Art. Denn in ((3) kann Fi = ^Fik durch Fi = ^ Fik ersetzt
k k
werden, wo Hi eine hochstens abzahlbare Teilmenge von K ist; setzt man H =
H
&Hi, so ist H hochstens abzahlbar und (wegen Hi Q H Q K) Fi = 1)Fik,
i k
H
also N = ^Nk wieder zu O^o gehorig.
k
1st N^ {^ < Q) ein System von Mengen dieser Art, welches monoton ist
(N^ ^ Nrj Oder N^ 2 Nrj fiir ^ < rj), so ist schliesslich 7V^ = 7V^+i = • • • .
Denn N^ = Yl Pi^i^ ? wo Fi^ = PiN^ gesetzt werden kann; hierin sind die
i
Fi^ (bei festem i) monoton, also schliesslich konstant (fiir ^ ^ 77^), demnach
simultan konstant fiir ^ ^ 77 ^ r]i und dann N^ fiir ^ ^ rj konstant. Die
reduziblen Mengen bestehen also aus hochstens abzahlbar vielen Gliedern der
661

Form N - N^; wenn E - N ein N^ ist (z.B. fiir N ^ F, Gs, FaS, • • • ); sind
[4] die reduziblen Mengen wie ihre Komplemente Mengen No-.
B1.4 I 6.1.34 -^ 19.2.34 b
Wir hatten gezeigt: wenn M = J2i^^ - ^Z) ^^^ ^^2^e = ^'n (C < ^) und
schliesslich verschwindenden N^, so ist jede Menge A der Form MN reduzi-
bel und fiir ihre „kanonische" Entwicklung A — Yli^^ ~ ^^P) S^l^ ^C = ^^ ^
A^p Q Nc- Insbesondere ist dies fiir A — M selbst richtig.
Nehmen wir jetzt an, es sei M = X^(^2^+i — ^2^+2) eine abzahlbare Diffe-
renzenkette, wo die Ai 2 A2 2 • • • 2 A^^+i 2 • • • einem 6-Ring ^0 angehoren
und schliesslich verschwinden. Hierzu kann man eine Zerlegung des Raumes in
abzahlbar viele disjunkte Summanden angeben, E — ^Pi^ der art dass die A^
die Form (a) {^PiFi) haben, d.h. A^Pi in Pi abgeschlossen ist. Namlich mit
Ao = E und yl^ = 2) ^^+1 fiir ^ = Limeszahl wird
(a) ^ = E(^c-^^+i);
jetzt ist A^{An — ^ry+i) entweder 0 oder A^ — ^r^+i selbst (jenachdem r] < (^
oder ry ^ ^), also in trivialer Weise in A^ — A^+i abgeschlossen. Bei Fest-
Bl. 5 haltung dieser Zerlegung | (ex) bilden die Mengen von ^0, die von der Form
[5] ^(A^ — A^+i)F^ sind, einen Ring ^^ 5 dem die A^ angehoren; jetzt liefert die
Residuenbildung die kanonische Darstellung
M = ^(52^+l-52^+2)
mit B^^A^, ferner J] (^2r/+i - ^27^+2) i E (^277+1 - ^2r?+2) •
Hierzu gehort nun wieder eine Zerlegung des Raumes
(13) £; = E(5e-s^+i),
ein Ring O^p , die Mengen von OTQ der Form X^(^4 — B^^i)F^ umfassend, und
in diesem durch Residuenbildung eine kanonische Darstellung
mit C^^B^, Yl (C'2r7+l — ^277+2) ^ Z] (^2r?+l " ^277+2) •
Kann man so fortfahrend vielleicht zu einer eindeutigen Darstellung von M
als Differenzenkette aus OTQ gelangen?
Wenn wir eine Folge von Entwicklungen
^ = E(^2«+i - ^21+2) (n = 0,l,2,...)
662

haben, wo fiir ^ < 77 A^ i -A^ , ferner | B1.6
^n+l (2 An Y^//in+1 __ jn+1 \ ^ \^( An _ An \
^^ = ^C ' 2^1^277+1 ^277+2/' = Z^\^2r]-\-l ^2r)+2) '
SO erhalt man mittels
folgendes: zunachst L^ ^ Lrj. Bilden wir dann
so ist M' = M. Namlich
n
M' = 5^(L2^+i - L24+2),
M' ^ Ml ist X e M', x 8 I/2^+i — 1/2^+2 , so ist fur jedes n x e ^2£+i' ^^^^
nicht fiir jedes n x e ^2^_^2 ' ^^^^ ^^^ ^^^ ^ ^ ^ ^2^+1 ~ ^2^+2 = ^ •
M g M': ist X 8 M, X 8 ^2^+1 - ^2^+2 ' ferner X 8 ^277+1 ~ ^277+1' ^^ muss
rj^^ sein, denn fiir r/ > ^ ware x e {A^^j^^ -^277+2) + (^277+3 - ^277+4) +
• • • , was zu -A2^_^i — ^2^+2 disjunkt ist. Ebenso x 8 ^2^_^i — ^2^+2 ^^
^ ^ rj usw. Da es keine fallende Reihe ^ > ^ > C > ' *' gi^bt, muss fiir
n > no X s ^2£+i ~~ ^2£+2 I ^ festem, von n unabhangigem ^ sein. Bl. 7
Daraus folgt: x e ^2£+i ^^^ jedes n, also x e 1/2^+1; hingegen x e ^2^+2
fiir n ^ no , also x e L2^+2 , demnach x e ^2^+1 — ^^2^+2 = M'.
Fiir jedes n ist L^ ^ A?; ferner
2^(^277+1 - ^277+2) ^ y^(^27?+i - ^277+2) •
Denn wenn x der links stehenden Menge angehort, etwa x 8 ^277+1 — I/277+2,
so ist X 8 ^2^^;^, also
X 8 MA2^_^i = 2^(^2^4.1 — ^2^+2) = / ^(^277+1 ~ ^277+2) •
Auf diese Weise haben wir (da die L^ wieder Mengen von ^0 sind) aus der
Folge von Zerlegungen eine neue abgeleitet. Es kann nun fiir jede Ordnungszahl
x

fiir X < fi.
Ob das schliesslich zu einer festen (fiir A > AQ ) Darstellung fiihrt, ist sehr
zweifelhaft; und dann hangt alles noch von der anfanglichen Darstellung ab.
BL 8 I Die Mengen N durchlaufen einen 6-Ring ^, die Mengen N' einen 6-Ring
[6] ^'. A sei eine feste Menge. Die Mengen der Gestalt N — N', wo
(1) N-N'QAgN,
bilden einen a-Ring.
Beweis. Sei M = E - N, M' = E - N'', die M und M' durchlaufen a-
Ringe ^, OJl'. Der Durchschnitt von zwei Mengen N-N' = NM' ist jedenfalls
wieder von dieser Form. Wir haben ferner
D = N-N'=^M-M', M' = M-^D
mit M ^E — A^ D ^ A. Wenn wir aus endlich oder abzahlbar vielen solchen
Mengen Dk — M'^ — Mk die Summe bilden, so wird
{MgE-A,DQA), D = M' -M,wo M' em', Mem.
E (der Raum) sei separabel. Die Summe aller in A offenen Mengen AG, die
von der Form N — N' = (1) sind, lasst sich durch eine Summe abzahlbar vieler
solcher ersetzen, ist also wieder von der Form (1). D.h. es giebt eine grosste in
A offene Menge der Form (1) oder eine kleinste in A abgeschlossene Menge
Ad derart, dass A- Ad von der Form (1) ist. Aus A - Ad ^ N - N', AQ N
Bl.9 folgt Ad ^ N' {Ad = AN'). I Hierbei ist vorausgesetzt, dass es liberhaupt
Mengen (1) giebt, die in A off en sind. Nehmen wir an, dass ^ und W die
abgeschlossenen Mengen enthalten, so ist dies erfiillt, da. E — E = 0 in A offen
ist.
Ist B in A ahgeschlossen, so ist Bd in Ad abgeschlossen. Denn ist A—Ad =
N - N' und B = AF, Bi = AdF, so ist B - Bi = NF - N'F {NF 2 B)
von der Form (1), Bi in B abgeschlossen, also Bd ^ Bi., Bd i"^ B, also in
Bl abgeschlossen, also in Ad abgeschlossen.
Wir bilden AQ = v4, A^^i = {A^)d, fur rj = Limeszahl Arj = V A^. Fiir
^ < r; ist Arj in A^ abgeschlossen. Die Arj werden schliesslich gleich, d. h. fiir
ein erstes rj Ayj = ^r^+i = • - ] A ~ ^{A^ — A^+i) + A^. Wenn A^ = 0,
Bl. 10 heisse A reduzibel rel[ativ] ^ (wir nehmen W = ^ an). |
Es ist per def. .4^ - A^+i = N2^ - N2^+i, A^2^ 2 A^; 7V2^+i 2 vl^+i . Fiir
^ < Tj ist N2^ 2 Arj, iV2^+i 2 \ ; wenn wir also A^^ — A^^x = N2rj - iV2r?+i
mit ® N2^N2^^i = 1) N^ multiplizieren, wird A^ - A^+i = NL - NL^^,
WO AT^^ = N2r^ 2) N^, N!2^^i = ATs^+i D N^ wieder Mengen N^ = N sind,
A^2r7 2 Arj *, lasscu wir den Akzent wieder weg, so bedeutet dies, dass die N^
Bl. 11 monoton abnehmend angenommen werden konnen. |
664

Der Raum E sei separabel; ^ sei ein die abgeschlossenen Mengen enthal- [7]
tender 6-Ring (z.B. der Ring der abgeschlossenen Mengen F, der Ring der
Gs , der der F(j^ , u. s. w.), A sei eine beliebige Menge.
Es seien A/', N' zwei Mengen des Ringes folgender Art:
(a) N = A^N'-
((3) N = A ^ F ist Summe von A und einer abgeschlossenen Menge (oder
E-N = {E- A){E - F) ist in E-A offen);
(y) AN^ = AF' ist in A abgeschlossen (oder N - N' = A- AN' ist in A
offen).
Z.B. ist N = N' = E ein solches Mengenpaar.
Setzen wir A' = AN', so ist N = A^ {N' - A') = N' + {A - A'), N -
A = N' - A', N - N' = A - A', A' ist in A abgeschlossen und nach ((3)
[N -A = F{E - A)) N' - A' in E - A abgeschlossen.
Unter alien Mengen A' dieser Art giebt es eine kleinste. Denn wenn Nk, Nj^
alle Paare von Mengen durchlauft, die den Bedingungen geniigen, so haben wir
Nk = A + Nl=A^Fk, A'^=ANl, = AFJ,.
I Der Durchschnitt F' aller F^ kann durch einen Durchschnitt abzahlbar vieler Bl. 12
F/ ersetzt werden; setzen wir demgemass
SO kommt
N = A4-N' = A-i-F, A' = AN' = AF',
wodurch (a,(3,y) mit Mengen N, N' aus OT erfiillt sind; A' ist die gesuchte
kleinste Menge. A' ist eindeutig bestimmt (A/", N' im AUg. nicht).
Man bemerke, dass N = N'F' ^ A' eine in N' enthaltene Menge des
Ringes ist, fiir die N — A' in E — A' abgeschlossen ist. {N' — A' war nur
in E — A Q E — A' ^ nicht notwendig in E — A' abgeschlossen). Denn es ist
A'F' = AF';
N-A' = {N'- A')F' = F{E - A)F' =
= F{F' - AF') = F{F' - A'F') = FF'{E - A').
Verallgemeinerung der reduziblen Mengen.
^ sei ein 6-Ring (der 0 enthalt). Die Differenzenketten
A = J2{N2^+l - 7V2C+2)
I 6.1.34 B1.13
von Typus < Q (vgl. Mengenlehre § 17), wo iVi 2 ATs 2 • • • 2 AT^+i 2 - • -
absteigende, schliesslich (fiir ^o ^ ^ < ^) verschwindende Mengen der Ringes
665

sind, bilden einen Korper. Wenn E (der Raum) 8 ^, so ist insbesondere das
Komplement
{NQ = E, fiir Limeszahl rj Nrj = ^ ^^+i) wieder eine Differenzenkette.
Meine Versuche, die reduziblen Mengen zu verallgemeinern, bewegen sich in
[8] der Richtung: jeder Menge A wird ein Mengenpaar AT, N' aus ^ zugeordnet
so, dass
N = A^N',
also mit A' = AN\ N - A ^ N' - A', N - N' = A - A', und dass A' in
A abgeschlossen ist. Uberdies wird A' eindeutig bestimmt (als kleinste Menge
BL14 dieser Art). Aus A = {N - N') + A' \ folgt dann durch Wiederholung das
Prozesses {AQ = A, ^^+i — (^^Y^ ^rj = ^ A^ fiir rj = Limeszahl), falls A
"reduzibel", d.h. das kleinste Aj^ = 0 ist,
A = Y:{A^-A^^I) = E(^^2^+l-A^2^+2)
diese Mengen A^ = N2^-\-iA sind in A abgeschlossen; iiberdies ist A^^i —
A^2^+3^ == ^^2^+2^ auch in A abgeschlossen, also N^j^iA in A abgeschlossen
und ebenso N^A fiir ^ = 0 und ^ = Limeszahl; alle N^A sind in A
abgeschlossen,
Mit dieser Zusatzbedingung ist zwar der Durchschnitt von zwei Differenzen-
[9] ketten wieder eine, wie man aus den Betrachtungen von S. 80 schliessen kann;
denn aus
^' = E(^2^+i - ^2^+2), A^' = E(^2Ui - K^2)
folgt A = A^A^' = E(^2^+i - ^2^+2), wo die N^ Summen endlich vieler
B1.15 N^N^ sind; N'^N^IA'A'' ist in A'A'\ also N^ in A abgeschlossen. |
Aber das Komplement E — A einer solchen speziellen Differenzenkette ist
nicht notwendig wieder eines; dazu miisste man verlangen, dass nicht nur N^A
in A^ sondern auch N^(E — A) in E — A abgeschlossen ist. Und wenn man
dies erzielt, so fallt wieder die Durchschnittseigenschaft dahin, denn dann ist
zwar N'^N'^{E - A'){E - A") in [E - A'){E - A''), aber nicht notwendig
N'^N;I{E-A'A'') in (E-A'A'O abgeschlossen.
Man muss also wohl diese Versuche aufgeben.
Anmerkungen
[1] Die Bedingungen (1) - (3) bedeuten, da6 ^ eine Topologie auf E ist
(eingefiihrt liber die abgeschossenen Mengen), die nicht mit der urspriinglich
gegebenen Topologie auf E zusammenzufallen braucht. Dementsprechend ist
666

A der Abschlufi von A in dieser neuen Topologie, und der zugehorige Begriff
der ^-reduziblen Menge ist aquivalent zu dem in Mengenlehre, § 30. Insbesondere
hat man die Zerlegung in Differenzenketten, aber um die ^-reduziblen
Mengen zu einem D^cj zu machen (zusammen mit ihren Komplementen), mu6
man die Separabilitat der ^-Topologie annehmen.
[2] Mit anderen Worten, das ^ hier ist die kleinste Topologie, welche die
urspriingliche Topologie und alle Pi als offene und zugleich abgeschlossene
Mengen enthalt.
[3] Die verfeinerte Topologie ist separabel, falls die urspriinglich gegebene separabel
ist, und die Indexmenge / ist abzahlbar. Folglich ist jeder 6-Ring von
Mengen in ^ abgeschlossen unter beliebigen Durchschnitten.
[4] Es ist nicht klar, ob man durch eine passende Wahl der Mengen Pi jede
der Klassen F(j etc. als ein ^ der hier in Rede stehenden Form erhalten
kann.
[5] Gegeben sei eine abzahlbare fallende und schliefilich verschwindende Folge
von Mengen A^ in einem 6-Ring O^o (eine solche ist z.B.diejenige Folge, die
die Zerlegung einer O^o-reduziblen Menge M in eine Differenzenkette liefert).
HAUSDORFF betrachtet die Partition E = UPI^^ ~ ^^+i) ? ^i^ wie in a. 2 oben
(Bl. 3) zu einem grofieren Ring ^^ fflhrt (a bezieht sich hier auf die Zerlegung
(oc) auf Bl. 4 und nicht etwa auf eine Ordinalzahl). Dies fiihrt zu einer
^cx-Zerlegung derselben Menge M in eine Differenzenkette ((3), welche aus
kleineren Mengen und kleineren Differenzen besteht. HAUSDORFF zeigt, dafi
dieser VerfeinerungsprozeB eine transfinite Iteration gestattet.
[6] Hier beginnt ein neuer Abschnitt. Gegeben sei ein 6-Ring ^ von Mengen
in einem separablen Raum E. 9^ soil alle abgeschlossenen Mengen enthalten.
HAUSDORFF zeigt, dafi dann fiir jede Menge A eine kleinste relativ zu A abgeschlossene
Menge Ad Q A existiert, so dafi A — A^ die Form N — N' hat,
wobei N, N^ e ^ der Beziehung N - N^ C A C N geniigen. Dies ist offenbar
dasselbe wie (B) im oben abgedruckten Fasz. 997 (Bl. 5v). HAUSDORFF
fiihrt dann die Konstruktion der Residuen aus und leitet die Darstellung von
0^-reduziblen Mengen durch 0^-Differenzenketten her.
[7] Hier beginnt wiederum ein neuer Abschnitt. HAUSDORFF modifiziert die
in Anm. [6] genannte Konstruktion. Die Modifikation ist in ((3) enthalten, wo
verlangt wird, dafi N die Vereinigung von A mit einer abgeschlossenen Menge
F ist (vgl. (A) in Fasz. 997, Bl. 5v).
[8] Hier wird wiederum die in Anm. [6] genannte Konstruktion betrachtet (die
Menge A^ ist dasselbe wie dort Ad). HAUSDORFF stellt hier folgendes fest:
Wahrend die abzahlbaren Differenzenketten von Mengen aus 0^ (einem gege-
667

enen 6-Ring, der 0 und den ganzen Raum enthalt) einen Korper bilden, gibt
es keinen Weg, dies fiir jene speziellen Differenzenketten zu zeigen, die mit der
Konstruktion der 0^-Residuen zusammenhangen. Dementsprechend kann man
nicht beweisen, da6 das Komplement einer ^-reduziblen Menge selbst wieder
0^-reduzibel ist.
[9] Gemeint ist S. 80 in Mengenlehre.
Kommentare
HAUSDORFFS Theorie der reduziblen Mengen wurde in Grundzuge der Mengenlehre,
Kap. VIII, §4 begriindet. Sie basiert auf der Tatsache, daB die doppelte
Anwendung X^y = X^p ^ der "Grenz"-Operation Xp = Xoc \ X (Menge aller
Haufungspunkte von X, die nicht zu X gehoren) eine relativ abgeschlossene
Teilmenge von X liefert. HAUSDORFF nennt X^p das (erste) Residuum von X.
Die wiederholte Anwendung von ij) fiihrt zur Folge der sukzessiven Residuen
X^ , ^ G Ord. X^ ist eine C-fallende Folge relativ abgeschlossener Teilmengen
von X, welche ein erstes Glied X^ mit (X^)^i; = X^^ besitzt. X^ heifit das
letzte Residuum und wird gelegentlich auch mit X/ oder Xoo bezeichnet (ry ist
< uji im separablen Fall). Eine Menge X ist reduzibel genau dann, wenn das
letzte Residuum leer ist. HAUSDORFF hatte bereits in den Grundzilgen gezeigt,
dafi die folgenden drei Mengenfamilien in polnischen Raumen zusammenfalien:
1° : Reduzible Mengen;
2° : Mengen, die sich als Differenzenketten aus abgeschlossenen Mengen mit
einer Ldnge < cji darstellen lassen, d. h. Mengen der Form
A= [j {X2a^X2a+l)
mit einer C-fallenden Folge {X^}^

(K von „kompakt") die Menge aller Punkte x G X, in welchen X nicht lokal
kompakt ist, d. h. fiir die keine Umgebung Ux existiert, so dafi die abgeschlossene
Hiille von X r\Ux kompakt ist. Das K-Residuum ist ofFenbar eine relativ
abgeschlossene Teilmenge von X. Folglich kann die iibliche Konstruktion der
sukzessiven Residuen angewendet werden und X kann K-reduzihel genannt
werden, wenn das letzte K-Residuum leer ist. Man kann zeigen (Satz 32 in
[Al 1977/1994]), daB eine Menge X in einem metrischen, dem 2.Abzahlbarkeitsaxiom
geniigenden Raum dann und nur dann K-reduzibel ist, wenn jede
nichtleere abgeschlossene Teilmenge Y

f :Y —> X der Klasse (0, OL) [f ist also stetig und das /-Bild jeder abgeschlossenen
Menge Y' (ZY ist ein 11^ ; s. HAUSDORFFS Fasz. 619 in Abschnitt 3). Es
ist dann klar, dafi / jede Darstellung von Y als Differenzenkette abgeschlossener
Mengen in eine Darstellung von X als Differenzenkette von 11^ -Mengen
transformiert.
Dieser Satz fiihrt zur Differenzenhierarchie^ einer natiirlichen Klassifikation
der Mengen in A^^^ ^: Diejenigen Mengen, die als Differenzenketten aus n^-
Mengen der Lange ^ dargestellt werden konnen, bilden die ^-te Teilklasse ^ von
A^_^i. LOUVEAU [Lo 1983] zeigte, dafi die Struktur von Borelklassen und Teilklassen
mittels gewisser komplizierterer abzahlbarer Operationen eine weitere
Verfeinerung gestattet, die zu einer voUstandigen Klassifikation der Klassen K
(von Borelmengen) der Form
K — {alle stetigen Urbilder einer gegebenen Borelmenge X} ,
fiihrt; diese beginnt mit den Klassen H? und 119 und deren "differentiellen"
Teilklassen.
Die Zerlegung 2° von A2 -Mengen fiihrt zu einer anderen interessanten Anwendung.
BURGESS ([Bu 1982], [Bu 1983]) hat gezeigt, dafi man durch Anwendung
einer projektionsartigen, auf gewissen „Spiel"-Ideen beruhenden Operation
auf alle A2-Mengen alle C-Mengen erhalt. (Die C-Mengen bilden die kleinste
Mengenklasse in einem gegebenen polnischen Raum, die alle abgeschlossenen
Mengen enthalt und gegeniiber Komplementbildung und A-Operation
abgeschlossen ist.) Wendet man ferner die obige Operation auf Mengen der ^ten
Teilklasse von A2 an, so erhalt man Mengen in der entsprechenden Klasse
der Hierarchie der C-Mengen. Eine ahnliche Anwendung auf Mengen in A3
fiihrt zu den R-Mengen (s. den Kommentar zu HAUSDORFFS Noten iiber 6s-
Operationen am Ende von Abschnitt 1) mit demselben Erscheinungsbild fiir
die Teilklassen.
Schritte zur Verallgemeinerung
In HAUSDORFFS Nachlafi befinden sich mehrere Noten iiber reduzible Mengen
aus den Jahren 1914-16. Sie sind sowohl Versuchen gewidmet, den Begriff der
reduziblen Menge zu verallgemeinern, als auch Vereinfachungen einiger einschlagiger
Beweise in den Grundziigen der Mengenlehre. Insbesondere ist der
hier abgedruckte Fasz. 997 zu nennen, wo HAUSDORFF beweist, dafi Durchschnitt
und Vereinigung zweier reduzibler Mengen wieder reduzible Mengen
sind. Anders als der Beweis in Mengenlehre, § 30.3, der mit der Entwicklung in
^ Die erste Klassifikation von AS.J -Mengen gab LAVRENTIEFF in [Lv 1925], allerdings in
etwas anderer Form, welche auf einer gewissen Trennbarkeit der Summanden voneinander
beruhte.
"^ Oder ^-te kleine Klasse, s. [Ku 1933/1966], §37 oder [Ke 1995], §22.E fiir eine umfassende
Darstellung. Es ist bekannt, dafi es in iiberabzahlbaren polnischen Raumen fiir jedes
^ < ui in A^_|_j^ Mengen gibt, welche der ^-ten Teilklasse angehoren, aber keiner fj,-ten
Teilklasse mit /x < ^ .
670

Differenzenketten arbeitet, basiert dieser friihere Beweis direkt auf der Definition
reduzibler Mengen. Die Art der Argumentation ist rein topologisch und es
ist kaum moglich, dahinter irgendeine Art geometrischer Intuition zu entdecken
(die bei Konstruktionen der deskriptiven Mengenlehre so oft sehr hilfreich ist).
Generell ist der Beweis viel weniger durchsichtig als derjenige, der in Mengenlehre
gegeben wird.
Am Ende von Fasz. 997 skizziert HAUSDORFF mogliche Methoden und wiinschenswerte
Ziele einer Verallgemeinerung der reduziblen Mengen; dies sind die
folgenden: Gegeben sei ein 6 -Ring ^ von Teilmengen eines gegebenen Raumes
(HAUSDORFF betrachtet in diesem Zusammenhang nur Raume mit zweitem
Abzahlbarkeitsaxiom). Es ist dann ein zu 0^ gehoriger BegrifF der reduziblen
Menge zu definieren, der folgenden Forderungen geniigt:
(i) Reduzible Mengen sind genau die Mengen der Form 2° mit X^ G OT;
(ii) Die reduziblen Mengen bilden einen Korper, d. h. ihre Gesamtheit ist abgeschlossen
gegeniiber endlichen Vereinigungen und gegeniiber Komplementbildung;
(iii) Die reduziblen Mengen sind genau die Mengen, welche zusammen mit
ihren Komplementen zur Klasse CRo- gehoren.
Zum Beispiel kann 9^ die Familie F aller abgeschlossenen Mengen sein. Dann
erhalt man die gewohnlichen reduziblen Mengen, wie sie in Mengenlehre, § 30,3
definiert sind; diese geniigen den Forderungen (i)-(iii). HAUSDORFFS Ziel war
es, den BegrifF der reduziblen Menge fiir den Fall eines beliebigen 6-Ringes zu
definieren. Fiir eine solche Verallgemeinerung skizzierte er in Fasz. 997 zwei
Wege:
(A) Nach dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom gibt es fiir jede Menge A eine
kleinste Menge N e^ der Form N = AUF, wobei F abgeschlossen ist.
Diese Menge N wird mit Ax bezeichnet. Dann definiert man i^A) =
Ax\A und (p(A) - M^i^)) •
(B) Wegen Giiltigkeit des zweiten Abzahlbarkeitsaxioms gibt es fiir jede Menge
A eine kleinste relativ abgeschlossene Teilmenge B C ^, so dafi
A-^ B ^ N \ N' mit N, N' e ^ und A C N. Diese Menge B wird
dann mit (p(A) bezeichnet.
In beiden Versionen ist das Residuum ^{A) eine relativ abgeschlossene Teilmenge
von A und A — (p{A) ist Differenz zweier Mengen in 0^. Fiir die Version
(A) kann das mit denselben Argumenten wie in § 30.3 der Mengenlehre gezeigt
werden. Die abnehmende Folge sukzessiver Residuen A^ (die alle zum gegebenen
Ring ^ gehoren, well er 6-Ring ist) stabilisiert sich (in einem Raum
mit zweitem Abzahlbarkeitsaxiom) bei einer hochstens abzahlbaren Ordinalzahl
^ — ^{A). Wenn das letzte Residuum A^ leer ist, heifit A reduzibel.
Sowohl bei (A) als auch bei (B) hat jede reduzible Menge A die Form 2°,
wobei die Xj Mengen des gegebenen 5-Rings OT sind. Ferner gilt zusatzlich
im Fall (A), dafi JC^ C X^ ist fiir C < ^ •
671

Die Resultate von HAUSDORFFS Untersuchungen konnen folgendermaBen zusammengefafit
werden: 1.) ^-reduzible Mengen, sowohl in der Version (A) als
auch in der Version (B), konnen in abzahlbare Differenzenketten aus Mengen
von ^ entwickelt werden. 2.) AUe Mengen, die in abzahlbare Differenzenketten
aus Mengen von OT entwickelt werden konnen, bilden einen Korper, vorausgesetzt,
or ist ein 6-Ring (das ist im wesentlichen Satz I in Mengenlehre, S.81).
3.) Man kann weder beweisen, da6 jede abzahlbare Differenzenkette aus Mengen
von ^ zu einer OT:-reduziblen Menge fiihrt noch dafi OT-reduzible Mengen
(in jeder der beiden Versionen) einen Korper bilden. (HAUSDORFF umreifit die
Schwierigkeiten, die mit letzterem Problem verbunden sind, in den abschlie-
Benden Paragraphen von Fasz. 995, der spater geschrieben wurde.) 4.) Es trifft
nicht zu, dafi jede Menge in ^(jilTls (9Jl ist der komplementare a-Ring) in eine
Differenzenkette aus Mengen von Ot entwickelt werden kann (s. o. beziiglich
eines einfachen Gegenbeispiels).
Da die Verallgemeinerungen nicht viel Erfolg hatten, wurde die Darstellung
in Mengenlehre sogar wesentlich kiirzer als in Grundzilge der Mengenlehre. Beispielsweise
lafit HAUSDORFF die separat gefiihrten Beweise, dafi die reduziblen
Mengen einen Korper bilden, fort und leitet dieses Resultat aus der Beziehung
1° = 2° =3° her (neu aufgenommen ist nur ein Resultat von ZALCW^ASSER:
Satz VII in §30.4).
In den 30-er Jahren, als die Struktur der Borelschen Hierarchic ein bevorzugtes
Interessengebiet der deskriptiven Mengenlehre wurde, kam HAUSDORFF auf
die reduziblen Mengen zuriick. Im Fasz. 996 studiert er die Trennung durch reduzible
Mengen (R-Trennbarkeit), vermutlich angeregt durch einige neue Ideen
zum Thema reduzible Mengen in dem gerade erschienenen Buch von KuRA-
TOW^SKi (Erstausgabe von [Ku 1933/1966]). In dieser Note verlafit HAUSDORFF
die topologische Definition der reduziblen Mengen, wie er sic in Mengenlehre,
§30 gegeben hatte, zugunsten der Definition, die DiflFerenzenketten benutzt.
Zwei Mengen P und Q heifien R-trennbar, wenn es eine reduzible Menge gibt,
die P enthalt und die mit Q disjunkt ist. Das Hauptresultat ist folgendes:
Daflir, dafi P und Q R-trennbar sind, ist notwendig und hinreichend, dafi
die Ungleichung A C P n A (1 Q D A nur die triviale Losung ^4 = 0 besitzt
(KURATOWSKI hatte ([Ku 1933/1966], §12.111) nur die Hinlanglichkeit
bewiesen). Am Ende des Faszikels 996 stellt HAUSDORFF fest, dafi fiir zwei
zueinander komplementare Mengen P, Q die R-Trennbarkeit zur Reduzibilitat
von P (und von Q) aquivalent ist.
In Fasz. 995 prasentiert HAUSDORFF verschiedene Versuche, den Begriff der
reduziblen Menge zu verallgemeinern. Eine neue Idee besteht z.B. darin, als
Ausgangsring ^ das System aller Mengen der Form [J^{Fi H Pi) zu nehmen,
wobei E = \JiPi eine Zerlegung des Raumes E mit paarweise disjunkten
Pi ist und die Fi abgeschlossene Mengen sind. AUerdings ist HAUSDORFFS
Resiime, alle diese Versuche betreffend, ziemlich pessimistisch: „Man muss also
wohl diese Versuche aufgeben" schreibt er am Ende von Fasz. 995. Es hat sich
herausgestellt, dafi die Methode der Zerlegung von Mengen in Differenzenketten
wesentlich fruchtbarer fiir das Studium von Borelmengen ist. HAUSDORFFS Satz
672

iiber die Darstellbarkeit der A2-Mengen durch abzahlbare DifFerenzenketten
aus abgeschlossenen Mengen beispielsweise gestattet eine direkte Verallgemeinerung
auf alle Borelklassen A9_^^ .
HAUSDORFFS letztes bekanntes Manuskript iiber reduzible Mengen ist Fasz.
658, datiert mit „Marz 1938" (im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2,
S. 542-556). Dies Manuskript enthalt die Analyse einer weiteren Version der
Konstruktion reduzibler Mengen, die von KuRATOWSKi stammt ([Ku 1933/1966],
§ 12). Es seien P und Q = E \ P ein Paar komplementarer Mengen in einem
metrischen Raum E. Wir betrachten die (notwendig abgeschlossenen) Mengen
A, die folgender Bedingung genligen:
(*) A = AnP n ^ n Q, oder, aquivalent dazu, A = AnP ^ AoQ.
Um eine solche Menge zu erhalten, wird eine andere Version der Konstruktion
fallender Residuen angewandt: Man setze AQ = E und
A^^i ^A^nP n A^nQ.
Fiir eine Limeszahl rj ist Arj wie iiblich der Durchschnitt iiber alle A^ mit
^ < T]. Dann gilt A^+i Q A^ und fiir ein geeignetes a hat man schlieBlich
Aa-\-i = Aa- A — Aa geuiigt (*), und mehr noch, A = A^ ist die groBte
solche Menge. Es zeigt sich, daB P reduzibel genau dann ist, wenn (*) fiir P
und Q = E \ P keine nichtleere Losung A hat. Es existiert sogar eine offensichtliche
Verbindung zwischen diesem iterativen Prozefi und dem urspriinglich
angewandten. Nimmt man obige A^ und setzt P^ = A^ Ci P ^ Q^ — A^ D Q,
so ist (P^)p = Q^+i und {Q^)p = P^+i und folglich {P^)cp = P^+2 und
(Q^)cp = Q^+2 (die Indizes p und (p bezeichnen, wie gesagt, die Begrenzung
bzw. das Residuum).
Eine andere bemerkenswerte Charakterisierung der reduziblen Mengen ist
folgende: P ist genau dann reduzibel, wenn jede relativ abgeschlossene Teilmenge
X C P einen Punkt x £ X enthalt, in dem X lokal abgeschlossen ist.
(X ist in X G X lokal abgeschlossen, wenn eine Umgebung Ux von x existiert,
so daB X OUx in Ux abgeschlossen ist.)
Literatur
[AP 1941] ALEXANDROFF, P.; PROSKURYAKOV, I.: fiber reduzible Mengen,
Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 5 (1941), S. 217-224.
[Al 1977/1994] ALEXANDROFF, P.: Lehrbuch der Mengenlehre, Frankfurt,
Harry Deutsch, 1994. (Ubersetzung von AjieKcan^poB 11. C. Beedenue
e meopuw Muootcecme u oSm^yio monojiozuio, Moscow, 1977.)
[Bu 1982] BURGESS, J.: What are R-sets, in: Patras Logic Symposion, Patras
1980 (G. METAKIDES, ed.). Stud. Logic Found. Math. 109, North-
Holland, 1982, S. 307-324.
[Bu 1983] BURGESS, J.: Classical hierarchies from modern standpoint, Fund.
Math., 115 (1983), S. 81-105.
673

[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.
[Ku 1933/1966] KURATOWSKI, K.: Topology, vol. I, New edition, revised
and augmented, Academic Press, 1966. Erstausgabe: Topologie /, Monografie
Matematyczne, vol. Ill, Warszawa 1933.
[Lv 1925] LAVRENTIEFF, M.: Sur les sous-classes et la classification de M.
Baire, C. r. Acad. sci. Paris, 180 (1925), S. 111-114.
[Lo 1983] LouvEAU, A.: Some results in the Wadge hierarchy of Borel sets,
in: Cabal Seminar 79-81 (A. S. KECHRIS e. a., eds.), Lecture Notes Math.
1019, Springer, 1983, S. 28-55.
[Lu 1930] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.
674

5. Suslinmengen, Indizes, Trennbarkeit
HAUSDORFF hinterliefi einen groBeren Bestand an Manuskripten, welche den
Inhalt der §§ 32-34 der Mengenlehre erweitern und die Entwicklung der deskriptiven
Mengenlehre seit Erscheinen der Mengenlehre im Jahre 1927 reflektieren.
Sein Interesse richtete sich vor allem auf die Vereinfachung von Beweisen und
auf die Verallgemeinerung von nach 1927 erzielten Resultaten.
Unsere Auswahl beginnt mit Fasz. 426, der eine kompakte Darstellung verschiedener
grundlegender Satze iiber Trennbarkeit und Untrennbarkeit fiir Suslin-
und co-Suslinmengen enthalt. Es folgt der zweite Teil von Fasz. 608, der
dem Reduktionssatz fiir co-Suslinmengen und 512-Mengen gewidmet ist. Danach
folgen die Fasz. 674 und 718 mit einer bemerkenswert allgemeinen Darstellung
der Theorie der transfiniten Indizes. Diese allgemeine Theorie schliefit
in natiirlicher Weise sowohl die Indizes ein, die durch die A-Operation erzeugt
werden, als auch diejenigen, die mit Sieben zusammenhangen. Fasz. 559 zeigt,
daB sowohl die Partitionen, die durch die A-Operation erzeugt werden, als auch
die, welche sich aus Sieben ergeben, voUstandig additiv im Sinne von Kategorie
und MaB sind. In Fasz. 261 analysiert HAUSDORFF verschiedene wichtige
Satze von HUREV^ICZ. Fasz. 281 schlieBlich befaBt sich mit einigen tief liegenden
Problemen der deskriptiven Mengenlehre.
NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 426
Trennbarkeit durch Suslinkomplemente
Hs. Ms. - [Bonn], 12.3.1932, 20.2.1934. - 16 Bll.
Trennbarkeit durch Suslinkomplemente (Lusin) 12.3.32^
Jeder rationalen Zahl r sei eine im Raum X abgeschlossene (oder Borelsche)
Menge F{r) zugeordnet; R{x) sei die Menge der r, fiir die x e F{r). Dann ist [1]
A=@F(ri)F(r2) ... (r^ > r^ > • • •),
die Summe iiber alle fallenden Folgen rationaler Zahlen erstreckt, eine Suslinsche
Menge in X (und jede Suslinsche Menge durch ein geeignetes System [2]
von Mengen F{r) in dieser Weise darstellbar). A ist die Menge aller x, fiir
die R{x) eine fallende Folge enthalt, d.h. R{x) nicht wohlgeordnet ist; das
Komplement B = X — A also die Menge aller x, fiir die R{x) wohlgeordnet
ist.
Es sei ein zweites solches System F'{r) abgeschlossener Mengen gegeben;
R\x) die Menge der r, fiir die x e F'{r).
I. Die Menge C der Punkte x e X, fiir die R{x) einer Teilmenge von [3]
R'{x) dhnlich ist, ist Suslinsch in X.
^Vor diesem Datum steht „(Verbessert 9.12. 34)". Das Manuskript vom 9.12.1934 ist der
Faszikel 527 Trennbarkeit durch Suslinkomplemente (zweiter Trennungssatz). Dieser Faszikel
ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 1-4.
675

Bl.2 Beweis. Die samtlichen rationalen Zahlen seien in eine | Folge ri,r2,... gebracht;
ro sei irgend eine irrationale Zahl. Nun moge jede der Zahlen ni, n2,...
die ganzen Zahlen > 0 durchlaufen (njfc = 0,l,2,...) und wir wollen den Komplexen
ni, n2,..., n/c Zahlen rnin2..-nk zuordnen nach folgender Vorschrift:
I ni n2...nk
= ro (irrational) fiir rik = 0 , rational fiir Uk > 0 .
Diese rationalen Zahlen definieren wir induktiv, jedoch nicht nach der Ziffernzahl
k, sondern nach der Anzahl der positiven unter den Zahlen rii,... .Uk-
Es sei a < /5 < 7 < • • • eine beliebige wachsende Folge natiirlicher Zahlen;
nc^np^n^,... > 0. Dann durchlaufe
^o...Onc 9.11e rationalen Zahlen,
^o...Ona o...On/3 allc rationalcn Zahlen, die zu ro.„.onc dieselbe Ordnung haben
wie rp zu r^ (ro...on« ^ ^o...Ona o...On^ , wenn r^ ^rp),
r-o...On^o...On^o...On^ allc ratioualcu Zahlcu, die ZU ro...on« und ro...oncO...On;5
dieselbe Ordnung haben wie r^ zu r^ und r^, u. s. w. (Die den Indizes
na,np,n^,... vorangehenden NuUen fallen natiirlich fort, wenn a = 1, resp.
/? = a + 1, resp. 7 = /? + 1,...)
Bl. 3 Bei dieser Bestimmung gilt folgendes: |
Fiir jede Ziffernfolge u = (ni, 712,...) mit Ua^np, n^, ...>0 {a < f3 < ^ <
• • • ) ist
^ni...UQ,5^ni...n/3?^ni...n^5 • • • i^dicscr Rcihenfolgc ahnlichmit Vc^^vp^r^^
... (auch wenn es noch sonstige n^ > 0 giebt); und zu jeder mit Va^rp^ry,...
ahnlichen Folge rationaler Zahlen pa^pp^p^,- -. giebt es gewiss eine Folge u
mit rni...ne. = Pa,rn^...n^ = pp,... (so z.B. cinc, wo nur ria.np.n^,... > 0
sind).
Hiernach bilden wir die Menge
r = 6[G(n) + F'(r„J][G(r2)+F'(r„,„3)][G(r3) + F'(r„, n2n3)].--
V
= 65)[G(rfc) + F'(r„,...„J],
V k
WO die Summe liber alle Folgen u = (ni, 712,...) von Zahlen ^ 0 zu erstrecken
ist, G{r) = X — F{r) das Komplement von F{r) bedeutet und F^{rm,...nk)
fiir Uk = 0 (rni...nfc irrational) gleich 0 zu setzen ist. F ist auf Suslinsche Art
aus Borelschen Mengen in X gebildet und also Suslinsche Menge in X. Wir
zeigen, dass F die gesuchte Menge C ist.
F £ C: Fiir x eT giebt es eine Folge u = (TII, n2,. •.) so, dass x e G{rk) +
B1.4 i^'(^ni...nfc) fiir A: = 1,2, Wenn daher x 8 F{rk), \ also x e G{rk),
so ist X 8 F'(rni...nfc) und sicher n^ > 0. Oder, da x 8 F{r) soviel wie
r 8 R{x) bedeutet: aus Vk 8 R{x) folgt rni...nfc e R^{x) (mit rik > 0).
Ist also R{x) = {va^rp^...} (a < P < ••• , endlich oder abzahlbar),
so enthalt R{x) die Menge rni...n«,^ni...n^,rni,...n^,..., die mit R{x)
ahnlich ist, also x eC. (Fiir R{x) = 0 ist a: 8 C trivial).
676

C ^T: Sei X 8 C, R{x) einer Teilmenge von R^{x) ahnlich. Flir R{x) = 0 ist
X 8 G{rk), X gehort alien Summanden von F an. Fiir R{x) = {TC^, r/3,...}
{a < [5 < ••• , endlich oder abzahlbar) enthalt R'{x) eine mit R{x)
ahnliche Menge {pcK,p/3,...}, und es giebt eine Folge z/ mit rni...nc. =
Pa,rn^...n0 = /?/?,..., also a; 8 F'(rni...nfc) fur A: = a,/3,7,..., wahrend
fiir die librigen k x e G{rk) ist. Also x e G{rk) + i^'(^ni...nfc) fiir alle
k, a; 8 F.
(Der Lusinsche Beweis, Ens. anal. S. 213 ff, ist trotz oder wegen der geometrischen
Einkleidung schwer verstandlich und nicht ganz richtig, da er - mit
meinen Bezeichnungen - nur die Folge ce, ^9,7,... = 1, 2,3,... beriicksichtigt,
was nicht ausreicht. Denn wenn nur zu jeder mit ri,r2,... ahnlichen Menge
Pi, P2, • • • eine Folge u mit r^ = Pi, ?^ni n2 = P2, • • • existiert, so braucht das
fiir eine Menge ra^rf^,... noch nicht zuzutrefFen; z.B. sei rc^ < r/3

Essei C/i-Vx QX~S2,oder (C/j - Vi)52 = 0, also ((7] - Vi)(S'2 +Vi) = 0;
setzen wir
A={Si + V2){S2^Vi),
so sind also C/i — Vi, U2 — V2, A paarweise disjunkt. Ferner ist
Sei jetzt
Ui-V, = (f/i - Vi){Si + 52) = (C/i - Vi)Si.
Ai^A^UiSu A2 = A^U2S2.
Man kann nun schreiben Ai= A-\- [ViSi + (C/i - V^i)S'i] und (Vi5i g ^)
Ai - .4 + (t/i - yi)5i = A + (t/i - Fi)
Ai=A^{Ui-Vi), A2 = A^{U2-V2),
also A1A2 == A und Ui-Vi = Ai- A1A2, {72 - V2 = A2 - ^1^2 ; -A, Ai, A2
Bl. 7 sind Suslinsch in X. |
Ist U eine Menge im Produktraum (X, Y) der beiden Raume X, y, so sei,
fiir y eY, U{y) die Menge aller x 8 X mit (x,?/) e C/, oder {U{y)^y) der
Durchschnitt von f/ mit (X, y). Nennen wie die Mengen U{y) die Schichten
von C/. Ist [/ in (X,y) Suslinsch, so ist jedes U{y) in X Suslinsch. Ist X
separabel, F der Bairesche Nullraum, so giebt es in (X, Y) eine Suslinsche
Menge U (Universalmenge), deren Schichten alle Suslinschen Mengen in X
liefern. Es giebt dann auch ein universales Paar Suslinscher Mengen Ui, U2 in
[5] (X,F), derart dass Ui{y)^ U2{y) alle Paare Suslinscher Mengen in X liefert.
Denn sei
y= (ni,n2,n3,n4,...)
Folge natiirlicher Zahlen,
2/1 = (ni,n3,...) = (^i{y), 2/2 -= (^2,714,...) =

Wir betrachten die soeben eingefiihrten Universalmengen f/i, U2- Nach II
sind Ui — U1U2, U2 — U1U2 in Mengen Ci, C2 einschliessbar, die disjunkte
Komplemente von S-Mengen sind. Diese sind, behaupten wir, nicht B-trennbar. [6]
Angenommen, es sei Ci ^ Bi, C2 ^ B2, B1B2 — 0, Bi,B2 Borelsch in | Bl.9
(X, Y). Sie seien von der Klasse P. Man nehme jetzt irgend eine Borelsche
Menge Ai in X, A2 = X — Ai, Es gabe dann ein y mit Ui {y) = A\,
f^2 (2/) — A2 . Man hatte dann
also
(C/i(y),2/) g C/i - f/iC/2 C B^, ([/2(2/),2/) g B2 ,
Aig5i(y), A2

[8] V. 1st X separabel, vollstdndig, unabzdhlhar, Y der Nullraum (oder die
Menge der reellen Zahlen), 50 gieht es in {X^Y) eine Borelsche Menge
Bl. 12 C, deren Projektion | auf X der ganze Raum X ist, und in der keine
Borelsche Menge enthalten ist, die sich schlicht auf X projiziert (d.h,
keine Menge der Form y = ip{x), (p{x) Bairesche Punktion).
Es seien gemass IV X — Ai, X — A2 disjunkte, nicht B-trennbare Komplemente
Suslinscher Mengen Ai,A2 {Ai -^ A2 = X)] A\,A2 lassen sich als
Projektionen (auf X) von Borelschen Mengen Ci,C2 in (X,F) darstellen,
wobei (y Menge der reellen Zahlen) angenommen werden kann, dass C\ im
Halbraum 2/ > 0, C2 in ?/ < 0 liegt. Die Menge C = Ci + C2 erfiillt dann die
Forderung. Denn angenommen, es gebe eine Borelsche Menge D ^C, die sich
schlicht auf X projiziert; es seien Di,D2 ihre Durchschnitte mit 2/ > 0, y < 0,
Bl, B2 deren Projektionen auf X; es ist D = D^ -\- D2, X — Bi -i- B2,
Di '^ Ci, Bl '^ Ai, ebenso ^2 ^ ^2, und hierbei sind Bi, B2 als schlichte
Projektionen von B-Mengen wieder B-Mengen. Nun wiirde man haben
X-AigX-Bi, X-A2gX-B2, {X- Bi){X - ^2) - 0;
BL 13 X — Ai, X — A2 waren B-trennbar. |
Zur Trennbarkeit durch Suslinkomplemente
Der Darstellung
A-©F(r^)F(r2)... (r^ > r^ > . • •)
12.3.32
20.2.34
entspricht auch eine Spaltung von A und B = X — A in Hi Bestandteile
nach „Indizes", die sogar einfacher ist als Mengenlehre § 34,2. Die Bildung von
Ro^Ri,... besteht hier darin: R^-^i entsteht aus R^ durch Weglassung des
etwaigen Anfangselementes (wenn R^ kein erstes Element hat, ist R^-\-i = R^)
und fiir eine Limeszahl rj ist Rr^ = ^ R^. Der Index r/ = 77(x) ist die erste
Zahl, fiir die Rrj{x) kein erstes Element hat: R{x) = R-q{x) — i?^+i(x). Man
kann auch sagen: 77 ist der Typus des grossten wohlgeordneten Anfangsstiicks
von RQ {X) . Die Mengen F^ (r) der x, fiir die r e R^ (x) (so dass r e R^ (x)
und X e F^ (r) gleichbedeutend sind), werden durch
Fo(r) = F{r)
p

X 8 F^{r) und es giebt ein p < r mit x e F^{p).) Hiernach bleiben die iibrigen
Formeln bestehen:
r) T)
{Ar^ Menge der x 8 A, fiir die ri{x) — r/, ebenso Br^)\
Si = QF^ir) ^ A^JlBr, , A = ^ S^
T^ = 6[i^^(r)-F^+i(r)] = J^^v^Y^B, ,
^>^ ^>^
Nun war, wenn A, A' zwei Suslinsche Mengen, B, B' ihre Komplemente sind,
wenn ferner C die Menge der x, flir die R'^ [x) einer Menge ^ RQ [X) ahnlich
ist (analog C die Menge der x, fiir die Ro{x) einer Menge ^ R'[){x) ahnlich
ist) \md S ^ A + C, S' = A' + C gesetzt wird, A - AA' ^ X - S', A' -
AA' ^ X — S. Hier bedeutet X — S die Menge der x, die sowohl zu B als
auch zu X — C gehoren, d. h. fiir die J^o(^) wohlgeordnet und RQ{X) keiner
Teilmenge von Ro{x) ahnlich ist, d.h. Ro{x) wohlgeordnet von einem Typus
I ^ und RQ{X) entweder nicht wohlgeordnet oder von einem Typus > ^, d.h. Bl. 15
X 8 B^iA' ^ iZ B'^)= B^S'^ fiir irgend ein ^. M[it] a[nderen] Worten
X-S^^^B^S'^, X-S' = ^B'^Si
sind die beiden Suslinkomplemente, in die sich A'B, AB' einschliessen lassen.
Dass A'B ^ ^ B^S'^ , ist trivial {x 8 A'B gehort zu einem B^ und zu jedem
5^, also X 8 B^S'c)^ ebenso dass X^^^5^ und Y^B'^Sr^ disjunkt sind; denn
B^Sr^' B'^S'^ ist stets 0, da B^Sr^ = 0 fiir ^ < r/ und B'^S'^ - 0 fiir r/ < ^. Dass
aber diese Summen Suslinkomplemente sind, ist die eigentliche Schwierigkeit.
In Fund. Math. 16, S. 75 giebt Lusin (in ganz ungenauer Bezeichnung) diese
Mengen an und sagt:
on demontre que ses series sont des ens[embles] mes[urables] B (im
Falle A A' = 0) und weiter: on demontre que ... sont des complementaires
analytiques. Ces demonstrations transfinies etant oh- [9]
tenues, il est facile a supprimer toutes les traces du transfini.
Worin | diese demonstrations transfinies bestehen, ist mir ganz unerfindlich. BL 16
Wenn man bereits wie in § 34,3 bewiesen hat, dass fiir A A' = 0 schliesslich
S^S'^ = 0, so folgt, dass die Summen Yl^^^c, ^BcS^ nur abzahlbar viele
Glieder enthalten und daher Borelsch sind. Denn fiir 77 > ^ ist J5^ £ 5^,
5; g 5^, BrjS'^ g S^S'^, so dass schliesslich 5^5^ = 0.
Die Menge CC der Punkte x, wo gleichzeitig RQ{X) einer Teilmenge von
Ro{x) und Ro{x) einer Teilmenge von RQ{X) ahnlich ist, ist Suslinsch; fiir
X 8 BB'CC besagt dies, dass JRO(^) mit RQ{X) ahnlich ist. Also BB'CC =
681

E B^B'^; A + A'-^CC' = {A + A') + Y1 B^B'^ ist Suslinsch, Y. B^B'^ Differenz
zweier Suslinscher Mengen. ^ B^B't ist sogar CA (Komplement einer
[10] Suslinschen Menge); vgl. Kuratowski, FM 28, p. 195. Uberdies ist es in BE'
analytisch(=5jB'CC').
B{X — S') = ^BcBS^ — J2 B'cBri ist ein Suslinkomplement, ebenso
X; B'^Br^ und X; ^^^77; BB' - Yl B'^Br^ = YB^B'^ ist Differenz von zwei
Susl[in]kompl[ementen] oder von zwei Suslinschen Mengen, wie soeben.
Die Menge F der x mit Ro{x) ^ Ro{x) ist gleichfalls Suslinsch, YB^B'^ £
r g E ^c4 + E ^e^^; r(A + A' + E ^^^e) = ^ E ^c^ + E B^B^^ ist
Suslinsch, ebenso TAA' = TE^^^^ •
Anmerkungen
[1] F{r): Jede Familie {F(r)}reQ von Mengen in einem gegebenen Raum heifit
ein Sieb (LusiN [Lu 1927] ^). HAUSDORFF verwendet dieses Wort nicht explizit.
Ein Sieb ist Borelsch resp. abgeschlossen, wenn alle Mengen F{r) Borelsch bzw.
abgeschlossen sind. Die Mengen
A = {x : R{x) ist nicht wohlgeordnet}, B = {x : R{x) ist wohlgeordnet}
heiBen die innere Menge bzw. die dufiere Menge des gegebenen Siebs.
[2] HAUSDORFF erwahnt hier einen Satz von LUSIN ([LU 1927]), der besagt,
da6 innere Mengen von Borelschen Sieben Suslinmengen sind; umgekehrt ist
jede Suslinmenge in einem polnischen Raum innere Menge eines abgeschlossenen
Siebes. Entsprechend sind aufiere Mengen von Borelschen Sieben und
aufiere Mengen von abgeschlossenen Sieben co-Suslinmengen. Dies gilt, weil
die Menge der rationalen Zahlen Q ahnlich (d. h. ordnungsisomorph) zu N"^^
ist, der Menge aller endlichen Sequenzen natiirlicher Zahlen, versehen mit der
LUSIN-SiERPiNSKischen linearen Ordnung

^[3] Sind {F{r)}, {F'(r)} zwei (Borelsche) Siebe, dann ist die Menge C aller
Punkte X, fiir die R{x) einer Teilmenge von R^{x) ahnlich ist, eine Suslinmenge.
Die Idee hinter diesem Resultat ([Lu 1930a], [No 1931]) ist folgende:
Die Menge P aller Paare (x, /), wo x £ X ist und / eine ordnungserhaltende
Injektion R{x) —> R{y), ist offenbar eine Borelsche Teilmenge von X x 2*'*^^*'^,
wobei E = 2*^^*^ der polnische Raum aller Teilmengen von Q x Q ist, versehen
mit der Topologie des Cantorschen Diskontinuums (Q wird als diskret betrachtet).
Andererseits ist C die Projektion von P. HAUSDORFF bevorzugte eine
mehr direkte Konstruktion eines konkreten Suslin-Schemas fiir C und korrigierte
genauestens die kleineren Versehen in LusiNs Beweis in „Legons sur les
ensembles analytiques", den er als zu geometrisch empfand.
[4] Das ist der 2. Trennungssatz; s. unseren Kommentar am Ende dieses Abschnitts.
[5] Ein Paar von Universalmengen C/i, U2 mit dieser Eigenschaft wird gelegentlich
auch ein doppelt-universales Paar genannt.
[6] S-Mengen sind Suslinsche Mengen. Um Satz III zu beweisen, betrachtet
HAUSDORFF ein doppelt-universales Paar von Suslinmengen Ui, U2 ^ X x\^^
und wendet Satz II an, um ein Paar disjunkter co-Suslinmengen Ci und C2 zu
erhalten, welche Ui \ {Ui H U2) bzw. U2 \ {Ui D U2) einschliefien. Dann zeigt
er, dafi Ci, C2 nicht Borel-trennbar sind. Im gegenteiligen Fall wiirde namlich
jede Borelmenge, die Ci von C2 trennt, fiir die ganze Klasse der Borelmengen
von X universal sein, was unmoglich ist.
[7] HAUSDORFF verweist hier auf Fasz. 427. Dort wird bewiesen, dafi jeder
liberabzahlbare polnische Raum die Vereinigung eines stetigen bijektiven Bildes
des Baireschen Raumes IKl"^ mit einer hochstens abzahlbaren Menge ist.
Dies wird benutzt, um Satz IV zu beweisen.
[8] Das Resultat wird viel einfacher ohne die Forderung, dafi die Projektion
von C auf X gleich X ist. Man nehme namlich irgendeine Borelmenge
C C X X y, deren Projektion eine nicht-Borelsche Suslinmenge ist und beachte,
dafi bijektive Projektionen von Borelmengen Borelsch sind (s. Anmerkung
[106] zu Mengenlehre; ferner unseren Kommentar am Ende dieses Abschnitts).
[9] HAUSDORFF nimmt hier Bezug auf eine der abschliefienden Bemerkungen
in LusiNs Artikel [Lu 1930b], wo Entwicklungen ahnlich zu HAUSDORFFS
X — S = ^B^S^^ und X — S^ = J2^'^'^^ i^ Analogic mit gewissen (abzahlbaren)
Entwicklungen betrachtet werden, die sich mehr auf Borelklassen beziehen.
LusiN stellt fest, dafi die erhaltenen Mengen (hier X — S und X — S') ein
gegebenes Paar von Suslinmengen im Sinne des zweiten Trennungssatzes trennen.
Er behauptet ferner, dafi sie co-Suslinmengen sind und dafi diese Tatsache
683

voUig ohne jeden Gebrauch des Transfiniten bewiesen werden kann. Hochstwahrscheinlich
meinte LusiN den Beweis des zweiten Trennungssatzes, wie er
dann in [Lu 1930a] erschien (HAUSDORFFS Beweis von Satz II verlauft in etwa
analog).
Es ist erwahnenswert, dafi LusiN sich sehr intensiv mit Grundlagenproblemen
befafit hat, etwa mit der Natur des Unendlichen und mit dem Transfiniten
in der Mengenlehre. Er hat deshalb in seinen Arbeiten Diskussionen dieser Art
oder entsprechenden Interpretationen konkreter mathematischer Resultate oft
viel Raum gegeben (s. dazu Abschnitt 5 der historischen Einfiihrung zu Mengenlehre,
dieser Band, S. 25 ff). HAUSDORFF dagegen war mehr der "working set
theorist", der das Mengenuniversum, wie es heute etwa durch ZFC beschrieben
wird, fiir gegeben nahm und sich um Grundlagenfragen nicht allzusehr
kiimmerte (s. dazu den Kommentar zu [H 1905] im Band I dieser Edition).
[10] Der Satz „ ^ B^B'^ Differenz • •« analytisch (- BB'CC)" ist nachtraghch
(offenbar wesentHch spater) eingefiigt worden. HAUSDORFF verweist hier auf
den folgenden Satz in [Ku 1937]: Sind A = U^

Um X: f^" C E ^" zu zeigen, sei a; e E f^" = E U^ und x e f/^" mit
n n n n^
kleinstmoglichem ^. Also x 8 C/^ fiir 77 < ^ und beliebiges m, und flir m^ n
nach (*) auch noch x 8 C/J^, also x 8 5?^. Demnach, fiir jedes m ^ n^
x^S^~S^, x^V''.\ BL5
14.1.37 II
(C) Fiir das System der projektiven Mengen Ci (Komplemente analytischer
Mengen) eines voUstandigen separablen Raumes X gilt der Reduktionssatz
(also fiir die analytischen Mengen Pi die beiden Trennungssatze).*^
In X sei jeder rationalen Zahl r in (0,1) eine abgeschlossene Menge Fr zugeordnet
und M^ = E [x e Fr]. Die Menge der x, fiir die Mx wohlgeordnet
r
(nicht wohlgeordnet) ist, ist ein Ci (Pi), und jedes Ci kann durch passende [2]
Fr erhalten werden. U sei ein Ci, U^ — E [M^ == ^], wo ^ eine Ordnungszahl [31
< r^ ist, U = ^U^ {^ . Man bringe ins Intervall (1,2)
eine Menge rationaler Zahlen vom Typus S und setze fiir diese Fr = X.
Sei jetzt U^ eine Folge von Mengen Ci, W^ = J2Ur ihre Zerlegungen in
Konstituenten, und hierbei kann man erreichen, dass alle U^ ^ 0 bei festem n
Indizes der Form ^*+ct;'^ haben. (^ hat den Resttypus u;*^). Da diese Resttypen
verschieden sind, hat man also
(**) fiir m 7^^ n ist eine der Mengen U^ , U^ 0 (fiir jedes ^).
I Danach ist (*) des Hilfssatzes (wo man j = ft setze) erfiillt; wir wollen B1.6
zeigen, dass die Mengen V'^'^ = ^{SV' — SV^) Mengen Ci sind; dann ist es
auch V^ und der Reduktionssatz bewiesen. Nun ist [4]
ynm _ ^^ E [M^ S ^] [M^ ^ ^Y (M dcr Typus von M)
= E [MJ < Q] [M^ nicht einer Teilmenge von M^ ahnlich]
X
= CiCi.
(Dass der zweite Faktor ein Ci ist, folgt aus dem bekannten Lusinschen Satz, [5]
dass, fiir zwei Systeme F(r), F'(r), E {Mx einer Teilmenge von M'^ ahnlich)
X
analytisch ist).
(D) Fiir die projektiven Mengen P2 (stetige Bilder der Ci) gilt der Reduktionssatz,
also fiir die Mengen C2 jeder Trennungssatz (von Novikoff,
Fund. 25 gefunden). (6]
*) Fiir die C\ gelten die Trennungssatze nicht (Lusin - NovikofF), also fiir die Pi nicht
der Reduktionssatz.
685

Vorausbemerkt sei: ist U — ^ U^ die Konstituentenzerlegung einer Menge
Ci in X, so ist auch (U^Y) = J^ {U^,Y) die Konstituentenzerlegung der Ci-
Menge {U^Y) in {X,Y) {Y ebenfalls separabel, voUstandig); man hat nur die
BL7 abgeschlossenen Mengen Fr C X durch die {Fr^Y) in (X^Y) zu ersetzen. |
Nun sei If^ eine Folge von P2-Mengen in X; U^ ist X-Projektion einer
Ci -Menge T"" in (X, Y) (wo Y := X oder auch Y = Bairescher Nullraum
ist). Bezeichnen wir fiir den AugenbHck die Projektion mit (p {^{T) =
E Yli^^y) ^T).Es sei T"^ = Y,T^ die Konstituentenzerlegung von T^,
X y ^
C/^ = ^{T'^) = Yl^^' ^i^ ^^ konnen wir gemass (**) einrichten, d.h. so,
dass es fiir jedes ^ hochstens ein n mit TP' 7^ 0 giebt; dasselbe gilt fiir die C/? .
Wir bilden wieder die Mengen V^ des Hilfssatzes und wollen beweisen, dass
die Mengen V'^'^ = J2 i'^^ ~ '^^) Mengen P2 sind, wodurch dasselbe fiir die
V^ und damit der Reduktionssatz fiir die P2 bewiesen ist. Es ist, wenn wir
auch z den Raum Z = Y durchlaufen lassen:
? ^ !/ 2
(Rl C {X, Y), R^ die entsprechende Menge in {X, Z)) und wenn wir i?^ =
{R\,Z), R^ = (i?|,y) setzen, wobei, mit tl^ = {Ul,Z), U^ = {Ul,Y),
BI.8 und I il^ die Konstituenten von {U'^,Z) C {X,Y,Z), U^ die von {U'^,Y) c
{X,Y,Z) sind:
^^' = £• E E n [(^' 2^) ^ ^l] [(^' ^) ^ ^l] •
Hier kann man YIW durch HS ersetzen, well die i?? mit ^ zunehmen
e, z z i
(die in [ ] stehende Behauptung, die, von x^ y abgesehen, von der Form
a(^)/3(^, z) mit /3(?7, z) —> /5(^, z) fiir ^ ^ ?7 ist, giebt zunachst
wenn andererseits Yl^(^iO0{C^^) gilt, also Yloi{^z)Pi^z,z) mit kleinstmogli-
2; ^ z
chem ^;2 und ^ das Kleinste aller ^z ist, so gilt Q;(^) und fl /^(C? ^2^) 7 ^Iso
686

E n OiiOPi^, z).) Danach ist
X y z ^
= £^ E n E [(^> y, z) e ^d [(^, y, ^) e i??]
X y z $^
y z X ^
Die Menge E[] = E(^^ " ^^) ist nach (C) ein Ci; E [ ]' ein Pi, E E[ ]'
xy2; ^ xyz xy ^
Projektion eines P\, also P\\ EX^\'= C\^ schliesslich £* 13 H [ ] Projektion
xy 2, ^ y z
eines Ci, also P2 . Q. e. d.
Anmerkungen
[1] Die Bedeutung dieser Behauptung ist folgende: Ist fiir irgendein n x G C/^ ,
dann sei ind^ {x) die kleinste Ordinalzahl ^, so da6 x e U^; ansonsten setze
man indn(x) = 00 (mit der Mafigabe, dafi ^ < 00 ist flir jede Ordinalzahl ^).
Dann ist wegen (*) oder (**) ind^(x) = ind^(x) < 00 unmoglich fiir m^ n.
Somit besteht V^ aus alien x G C/^, fiir die indn(x) < indm(^) ist fiir jedes
m^ n.
[2] Ci bzw. Pi sind die Klassen der co-Suslin- bzw. Suslinmengen.
[3] Mx bezeichnet den Ordnungstypus von M^ {M^ ist eine Menge rationaler
Zahlen).
[4] [•••]' bezeichnet das Komplement.
[5] HAUSDORFF bezieht sich hier auf den Satz I im oben abgedruckten Fasz. 426.
Dieser zeigt, dafi die Mengen V^ co-Suslinmengen sind und beweist schliefilich,
dafi die Familie der V^ das multiple Reduktionsprinzip fiir die gegebene
Familie der co-Suslinmengen U^ erfiillt.
[6] HAUSDORFF bezieht sich hier auf NOVIKOFFS Arbeit [No 1935], in der die
Trennungssatze fiir die projektive Klasse 112 = C2 = CPCA bewiesen sind.
NL HAUSDORFF : Kapsel 41 : Fasz. 674
Indizes
Hs. Ms. - [Bonn], [vermuth Sept. 1936 - Marz 1938]. - 3 Bll.
Indizes
Jeder rationalen Zahl r sei eine Menge F{r) d X zugeordnet und hierdurch
jedem x^ X die Menge R{x) = E [x e F(r')], so dass [1]
687

[r 8 R{x)] = [xe F{r)]
R{x) ist geordnet, A{x) sei ihr grosstes wohlgeordnetes Anfangsstiick, a{x) <
Q der Typus von A{x), = Index von x. Hierdurch wird
Man erhalt nun aus einer geordneten Menge R den Typus a ihres grossten
wohlgeordneten Anfangsstiickes durch wiederholte Tilgung des Anfangselements.
Es sei
R^ = R, R^^^ = R^ minus Anfangselement (wenn eins vorhanden
ist), sonst R^~^^ — R^^
[2] und fiir r/ == Limeszahl R'^ = JJ R^. Ist A = {ro,ri,--- ,r^,--'} (? <

Unterscheiden wir noch (mit anderer Bedeutung von A als zuvor):
A Menge der x mit nichtwohlgeordnetem R{x)
B — X — A Menge der x mit wohlgeordnetem R{x).
1st AX^ = A^ , BX^ =B^, so folgt aus (*) [3]
r Ao + Ai + \-A^ -- 5^ - T^ , demnach
\ Bo^Bi-\-'-^B^ = X-S^
\ X E A bedeutet, dass eine fallende Folge ri > r2 > • • • C R{x) existiert: B1.3
A = J2 ^(^1)^(^2) • • • (n > r2 > • • • )•
1st X ein topologischer Raum, die F{r) Borelsch, so ist A analytisch, B — [4]
X — A ein anal[ytisches] Komplement.
T^ = A^+i -h A^+2 + • • • + 5^+1 + B^+2 + • • • .
Bei vollst[andigem] separablem X ist A dann und nur dann Borelsch, wenn
schliesslich Br^ ^ 0, {rj > ^), A = S^ . [5]
Anmerkungen
[1] [r e R{x)] = [x e F(r)]: Die Gleichheit hier und in ahnlichen Formeln weiter
unten ist als logische Aquivalenz zu verstehen.
[2] A ist das grofite wohlgeordnete Anfangsstlick von R.
[3] A^ bzw. B^ sind die Borelschen Konstituenten der Suslinmenge A bzw.
der CO-Suslinmenge B. Diese Konstituenten haben viele Eigenschaften mit jenen
gemeinsam, welche liber die A-Operation definiert sind; s. Anmerkung [94]
zu Mengenlehre.
[4] Zur Prage, warum A eine Suslinmenge ist, s. Anmerkung [2] zu Fasz. 426.
[5] Die Behauptung, dafi (unter den gemachten Annahmen) die Suslinmenge
A (oder, aquivalent dazu, ihr co-Suslinsches Komplement B) Borelsch sind
genau dann, wenn nur abzahlbar viele nichtleere Konstituenten B^ existieren,
ist das LusiN-SiERPiNSKische Kriterium fur Borelsch-Sein. Es folgt leicht aus
dem Satz iiber die Index-Restriktion (s. Anmerkung [97] zu Mengenlehre). Beide
Satze gelten sowohl fiir die Konstituenten, die liber die A-Operation definiert
sind (wie in § 34 von Mengenlehre) als auch fiir jene, die iiber Siebe definiert
sind (wie in den Faszikeln 426 oder 674).
689

NL HAUSDORFF : Kapsel 42 : Fasz. 718
Theorie der Indizes
Hs. Ms. - [Bonn], 28. und 31.1.1939. - 8 Bll.^
31.1.39
Theorie der Indizes (Verallg. von Mengenlehre §34,2).
[1] In einer abzahlbaren Menge R sei eine Relation r -< s definiert, von der
sonst gar nichts vorausgesetzt wird. (D.h. in der Menge der geordneten Paare
(r, s) 8 {R,R) ist eine Teilmenge Q ausgezeichnet und statt (r, 5) e Q wird
r ^ s geschrieben.) Sagen wir fiir r ^ s, dass s ein Nachfolger von r sei. ~
Jedem r e R sei eine Menge F{r) des Raumes X zugeordnet. Wir bilden fiir
die Ordnungszahlen ^ < fi durch Induktion die Mengen
Fo{r) = F{r)
Frj(r) = n ^^(^) iv Limeszahl)
In der 2. Formel durchlauft s also die Nachfolger von r. F^{r) ist mit wachsendem
^ monoton abnehmend. Wir setzen
5? = E^«W' r, = ^[F,(r)-F^+i(r)]. (2)
r r
Wir betrachten endlich alle Folge p = (ri,r2,...) aus i?^°, fiir die ri -<
^2, ^2 ^ ^3, • • • gilt; ihre Menge sei P. Wenn R^^ als Bairescher Raum metrisiert
wird, ist P abgeschlossen. (Wenn p^ = {ri,r2,...) e P und p^ —^
p = (ri,r2,...)? so ist fiir jedes k r]^ -< r^,^-^ und fiir hinreichend grosses n
B1.6 r]^ =^rk, r^+i = r/e+i, also r^ -< r^+i, demnach pe P.) \
Setzen wir fiir p — (ri,r2,...) F{p) = F(ri)F(r2) • • • und bilden die
Mengen
Dann gilt
p
^ = ^F(p), B = X-A. (3)
P
S^ = A-{-T^ = A-^BT^, (4)
Beweis. A -\- T^ C S^ . T^ C S^ ist evident. Um A C S^ zu beweisen, sei x 8 A
und etwa x e F(ri)F{r2) • • • , wo fiir jedes k Vk -< r/c+i. Es gilt also
X 8 F^{rk)F^{rk+i) • • • , r^ ^ r^+i
^Der Fciszikel besteht aus zwei Versionen. Hier abgedruckt ist die verbesserte Version vom
31.1.1939 (Bll.5-8).
690

fiir ^ = 0; wenn es fiir ^ gilt, gilt nach (1) x e F^^i{rk) und ebenso x e
F^+i(r/c+i), also gilt es fiir ^ + 1; und wenn es fiir ^ < ry (77 Limeszahl) gilt,
so auch fiir r]. Demnach ist x e F^[ri) C S^ fiir jedes ^, A C S^.
S^cA-\-T^ Oder S^-T^C A. Sei xeS^- T^, also x e F^(ri). Da x e T^,
X e F^{ri) — F^+i(ri), ist x e F^^i{ri) und es giebt ein r2 (n -< r2) mit
X 8 F^{r2). Da ebenso x 8 F^4.i(r2), giebt es ein rs (r2 -< r^) mit x e F^{rs)
u.s.w. Es giebt also eine Folge p = (ri,r2,r3,...) 8 P mit x e Yl^^i'^k) C
nFirk) = A.
k
Damit ist (4) bewiesen. Nun fiihren wir ein
Rd^) = Ei^^F^ir)], (5)
r
SO dass [r 8 R^{x)] — [x e F^{r)]. \ Aus (1) folgt dann B1.7
[r 8 R^^iix)] = [r 8 R^{x)] Y^[s e R^{x)],
d.h. R^-^i{x) ist die Menge der Elemente in R^{x), die einen Nachfolger in
R^{x) haben {R^^i{x) entsteht aus R^{x) durch Tildung der "Endelemente",
derer namlich, die in R^{x) liegen und keinen in R^{x) liegenden Nachfolger
haben).
Ferner ist fiir eine Limeszahl rj
Rr,{x) = l[R^{x),
Die hochstens abzahlbaren, mit wachsendem ^ monoton abnehmenden Mengen
R^{x) miissen einmal gleich werden, d.h. es giebt einen kleinsten Index
rj{x) (0 ^ rj{x) < ft) derart, dass Rrj{x) = Rr^j^i{x) fiir r] = r]{x) und daher
auch fiir rj > r]{x) (Rr^ix) hat keine Endelemente mehr), wahrend
[R^{x)-R^^,{x)^0] = [^

demnach
Tc=E[v{x)>^] = Y^X,. (7)
Bl. 8 I Hieraus folgt, dass die T^ mit wachsendem ^ monoton abnehmen (ebenso
die S^ nach (4) oder nach der ersten Formel (2)) und dass
Wird noch AX^ = A^, BX^ = B^ gesetzt, so ist A = Y^A^, B = ^2^^^
und nach (7) (4)
Schliesslich ist noch
X-S^ = Bo-\-Bi^-"^B^
S^~T^ = Ao + Ai-\--" + A^,
[x e S^] = Y^[x e F^ir)] = ^[r e R^ix)] = [R^{x) / 0]
r r
und wenn wir die Menge, der die R^{x) flir ^ ^ rj{x) gleich werden, mit RQ{X)
bezeichnen ("Kern" von Ro{x)), so dass n[^^(^) / 0] = [Rft{x) / 0] ist, so
ergiebt sich
Anmerkungen
[1] In dieser Note ist -< ledigHch eine binare Relation ohne weitere spezielle
Annahmen. Insbesondere nimmt HAUSDORFF nicht an, dafi -< eine Ordnungsrelation
ist.
NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 559
Analytische Zerlegung eines Raumes X
Hs. Ms. - [Bonn], 18.1.1936. - 4 Bll.^
Analytische Zerlegung eines Raumes X. 18.1.36
In einer Menge Y sei jeder Menge B C Y eine Menge B^ zugeordnet, die
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 388-391.
692

monoton ist, d.h. fiir B C B"^ ist B^ C 5*(^. Wir bilden hiermit die Mengen
B^ (^ Ordnungzahl):
Bo = B, B^j^i = {B^)^, Br^ = ^^B^ {rj Limeszahl)
^

Demnach TQ D Ti D • • • , Ym = 0.
[1] Wenn Y ahzdhlhar, X separabel, und die A^{y) ^-Mengen sind,
so ist schliesslich T^ = 0 (von 1. Kat[egorie] in X), X^ = X.
Denn fiir AQ D Ai D • • • D A^ D • • • (^ < f^), wo die A^ (3-Mengen
im separablen Raume X sind, ist schliesslich A^ = A^+i = • • • . (Jede (3-
Menge A ist mit der Menge Ap der Raumpunkte kongruent, wo sie von 2.
Kategorie ist; da Ap abgeschlossen und monotone Funktion von A ist, ist in
Aop D Alp D '" D A^p D '' • schliesslich A^p = A^p flir ^ ^ a, A^ = Aa.)
Wahlt man a so gross, dass fiir alle y und ^^ a
A^{y)=A^^i{y),
so ist r^ = 0 (Sierpihski - Selivanowski).
Wenn B,p aus B dadurch entsteht, dass jedem y eine Menge N{y) C B
zugeordnet und B^p die Menge der y ist, zu denen ein rj e BN{y) vorhanden
BL4 ist, also B^ = B E [BN{y) ^0], so ist |
y
Denn
N{y)
A^^i{y) = A^{y)J2Mv)-
[x e A^+,{y)] = [y e 5^+i(x)] = [y e B^{x)] J^ bl e B^{x)][r] e N{y)]
V
= [xe A^{y)] XI [^ ^ MV)][V e N{y)].
Sind die A(y) ^-Mengen, Y abzdhlbar, so sind die A^{y) (3-
Mengen und bei separablem X schliesslich X^ = X.
Beispiele zu diesem Fall: Y sei die Menge der natiirlich geordneten rationalen
Zahlen, N{y) = E{ri < y); B^ ist die Menge der y e B, die einen Vorganger
v
Tj < y, T] e B haben {B — B^ also = 0 oder das erste Element von B).
Y sei die Menge der endlichen Komplexe y = (ni,..., n/c) natiirlicher Zahlen,
N{y) die Menge der aus y durch Ansetzung einer Zahl n entstehenden
Komplexe (y^n) — (ni,... ,nfc,n) (Nachfolger von y). B^ ist die Menge der
y e B, die einen Nachfolger (y, n) e B haben, B — B^p die Menge der „Endelemente"
von B.
Anmerkungen
[1] (3-Mengen sind Mengen, welche die Bairesche Eigenschaft besitzen.
694

NL HAUSDORFF : Kapsel 33 : Fasz. 261
Hurewicz
Hs. Ms., z.T. stichpunktartig. - Pontresina, Bonn, 12.9.1926, 25.9.1926,
7.1.1935.- 27 BU.^
(W. Hurewicz). Pontresina, 12.9.26^
Den Komplexen natiirlicher Zahlen (ni), (ni,712), (ni,77,2,ns),... seien Punkte
a(ni), a(ni,n2),... zugeordnet; ausserdem sei noch ein Punkt a gegeben.
Diese Punkte (eines metrischen Raumes E) bilden ein „Haufungssystem" 21,
wenn
(1) a — l±ma{ni), a(ni) = lima(ni,n2), a(ni,n2) = Iima(ni,n2,n3),...
a ist der „Mittelpunkt" von 21. Eine Punktfolge a(ni), a(ni,n2),... , den
Abschnitten einer Zahlenfolge (ni, n2, • • •) entsprechend, heisst eine Suslinsche
Punktfolge in 21, ihre etwaigen Haufungspunkte die Suslinschen Grenzpunkte
von 21. Wenn 2t mitsamt seinen Suslinschen Grenzpunkten eine abgeschlossene
Menge bildet, heisst 21 regular.
Lasst man die Indices ni,n2,... statt der Menge aller natiirlichen Zahlen
nur Restfolgen durchlaufen, so erhalt man ein Restsystem 21*. Ein solches ist
also durch Ungleichungen
(2) ni>k, n2>k{ni), ns >/c(ni,n2), ...
definirt, deren rechte Seiten ganze Zahlen ^ 0 sind, und wobei k{ni) von ni
u.s.w. abhangen kann. (Der Mittelpunkt a soil wieder zu 21* gehoren.) Durch
Veranderung der Indices
(3) ni=pi-\-k, 77,2 =P2 + A:(ni), ...
wo pi,p2, • • • die natiirlichen Zahlen durchlaufen, und
6 = a, b{pi) = a{ni), b{pi,p2) = a{ni,n2), ...
erhalt man 21* wieder in Form eines Haufungssystems 03. Die Suslinschen
Grenzpunkte von 53 sind diejenigen Suslinschen Grenzpunkte von 21, die den
Bedingungen (1) entsprechen.
Ist So-\-Si-\-e2-\ = cr eine konvergente Reihe positiver Zahlen und geniigen
die Entfernungen der Punkte von 21 den Bedingungen | Bl. 2
(4) aa{ni)

fiir jede natiirliche Zahl i und alle Zahlenfolgen (ni, n2,...), so ist 21 regular.
Sei Si + £i-\-i + • • • = (7i. Sei sodann a^ —^ x eine konvergente Folge von
Punkten a'^ aus 21 (m == 1,2,...); zu zeigen ist, dass x Punkt oder Suslinscher
Grenzpunkt von 21 ist. Sehen wir von dem Fall ab, dass fast alle a^ = a,
so konnen wir also (mit Beschrankung der m auf eine Teilfolge - so auch
weiterhin) annehmen, dass
[1] Erster Fall: alle hier auftretenden Indices n'^^ seien beschrankt, ebenso alle
712^ u.s.w. Es giebt dann unendlich viele a'^^ mit n^^ = rii und i^ > 1, unter
diesen unendlich viele mit n2^ = n2 und im > 2 u.s.f. Wir er halt en so eine
Folge
a(ni,n^,...,n,^J, a(ni,n2,n|,... ,nfj, a(ni,n2,n3,^i • • • ,^^3), .•-
die nach x konvergirt. Nach (4) ist aber
a(ni,...,nfc)a(ni,...,nfe,nj^4.i,...,nfj < £/c H hCz^-i < cr/, ,
also X = lima(ni,..., Uk) ein Suslinscher Grenzpunkt von 21.
k
Zweiter Fall: Es giebt einen ersten Index i, so dass n^ nicht beschrankt ist,
wahrend (flir i > 1) die vorangehenden beschrankt sind. Man erhalt dann eine
nach X konvergente Folge
mit limnf^ = 00. Da nach (4)
m
a(ni,...,ni_i,nf,...,n^) {im > i)
a(ni,...,n,_i,nr)a(ni,...,n,_i,nr,...,n)< "' + ••;,+ "'"''^ < ^
(flir im = i steht links 0), so folgt aus (1), dass x = a(ni,..., n^-i) ein Punkt
B1.3 von 21 ist. (Flir i = l ist a: = a). |
Man kann durch passende Wahl der Ungleichungen (2) erreichen, dass (4)
erfiillt wird. Wegen (3) und pi ^ ni, p2 ^ ^2, • • • ist dann
bb{pi)

einen Punkt a e Go und dazu eine Umgebung U, die mit ihren [2]
Haufungspunkten in Go enthalten ist: Ua C Go;
eine Punktfolge a(ni), lima(ni) = a, a{ni) ^ a, a{n\) 8 G\U
und zu jedem solchen Punkt eine Umgebung C/(ni), deren abgeschlossene
Htille in G\U enthalten ist: C/(ni)a ^G\U\
fiir jedes n\ eine Punktfolge a(ni,n2): lima(ni,n2) = a(ni),
a{n\^n2) 7^ a(ni), ^(^1,712) B G2U{ni), sodann Umgebungen
f/(ni,n2) von a(ni,n2) mit U{ni,n2)oc ^G2U{ni) u.s.w.
Dieses Haufungssystem 21 hat die Eigenschaft, dass keine Suslinschen Grenzpunkte
vorhanden sind. Angenommen, die Folge a(ni), a(ni,n2),.. • hatte
einen Haufungspunkt x e Fm- Da nun U 2 U{ni) 2 U{711,112) 2 ••• und
a(ni,.. .,n/c) 8 U{ni,... ,nk), also fiir /c ^ m a(ni,...,nfc) 8 t/(ni,... ,n^),
so miisste x 8 t/(ni,..., rim)a m sein im Widerspruch zu x 8 Fm .
Sei 51* ein regulares Restsystem von 21: es bildet (da die Suslinschen Grenzpunkte
fehlen) eine abgeschlossene Menge P. Ausserdem ist P in sich dicht
und abzahlbar, also eine perfekte abzahlbare Menge. Q. e. d. | BL4
Bonn, 25.9. 26
M und N seien Mengen im Raume E. Wir sagen: M ist ein F\N (abgeschlossen
beziiglich N), wenn alle zu N gehorigen a-Punkte von M zu- [3]
gleich Punkte von M sind: MQCN g M. Das ist damit gleichbedeutend: M
ist in M^N abgeschlossen; denn die ebengenannte Ungleichung ist aquivalent
mit M = M-^MocN = Moc{M^-N). [Oder mit MocN = MocN • M = MN,
{Moc-M)N - 0.] Ist M ein F\N, so auch ein F\No flir iVo g A^. Ist M abgeschlossen
(ein F\E), so auch ein F\N. Die Summe endlich vieler F\N und
der Durchschnitt beliebig vieler F\N ist wieder ein F\N. (Aus AocN C A,
BocN ^ B,... folgt fiir 5 = A-\-B^ im Fall endlich vieler Summanden
SocN = (Aa+^cc4- • ")N ^ (A+5-h '") = S;im Falle beliebig vieler Mengen
fiir D = AB" DocN g (A^^a - ")N g AB " = D.) Die Summe abzahlbar
vieler F\N heisse ein F(y\N (ein Fcj beziiglich AT); die Summe abzahlbar
vieler Fcy\N ist wieder ein solches, ebenso der Durchschnitt endlich vieler.
Ist M ein F^lN, so ist M ein F^j in M-\-N, und umgekehrt.
Denn aus M - 6Mn, MnocN g Mn folgt [4]
M g (M-f AT) @ Mnoc = M^N © Mnoc QM^QUn^M,
M = {M^N)&Mnoc = (M4-Ar)Fo-; umgekehrt, ist M = (M4-Ar)©F^, so
ist M = 6Mn, Mn = (M-hAr)Fn, Mn in M+AT und folglich in M^+A
abgeschlossen. Ist M ein Fo-IAT, so auch ein Fcy\No fiir NQ g N.
Wenn der Punkt x {s E) eine Umgebung Ux hat, derart dass MUx ein
Fo-jAr ist, so heisse M in x ein Fa I A". Die Menge X dieser Punkte ist offen.
697

ihr Komplement Y = E — X abgeschlossen. (Denn ^ eUx hat eine Umgebung
U^ ^Ux] U^ ist ein Fa\E, also ein Fa\N, MU^ = MUx • U^ als Durchschnitt
zweier F^\N wieder ein solches.) Es ist X ^ {E — N)i, also Y ^ Not; denn
ein Punkt x e {E — N)i hat eine zu N disjunkte Umgebung, NUx, dann ist
MUx = {MUx-\-N)Ux ein F^\N, also xeX.
Bl. 5 Wenn N hochstens separabel ist, \ so ist NY (die Menge der
Punkte von iV, in denen M kein F(j\N ist) entweder 0 oder unendlich,
jenachdem M ein F(j\N ist oder nicht.
Ist namlich M ein Fcj\N, so ist jedes MUx {Ux ein G\E oder F(j\E oder
Fcj\N) ein F^\N, X = E, Y = 0. (Das gilt, auch wenn TV nicht hochstens
X
separabel ist). Ist andererseits NY endlich, so schliessen wir so: X — iSUx, wo
X
X
MUx ein Fcj\N ist; da NX ^ &Ux, so lasst sich {NX hochstens separabel)
X
A
daraus ein hochstens abzahlbares Teilsystem G = &Ux ^ NX bilden; MG —
X
A
&MUx ist als Summe von hochstens abzahlbar vielen Fcj\N wieder ein solches.
X
Es ist
X2G2NX, NX = NG, NY=^NF {F = E - G),
Nun ist MF = M{F - NF) + MNF. NF = NY ist endlich, also ein F\N
oder F(j\N, ebenso MNF. Ferner ist F — NF (abgeschlossene minus endliche
Menge = F-F' = F^) em F^ und M{F-NF) = [M{F-NF)^N]{F-NF)
ein F^\N, also M = MG + MNF + M{F - NF) Summe dreier F^\N, d.h.
selbst ein F^AT. (Folglich Y = 0).
[Dagegen kann NY abzahlbar sein. Ist E die Menge der reellen, M die
der irrationalen, TV die der rationalen Zahlen, so ist X = 0, Y = E^ NY
abzahlbar. - Wenn aber M ^ TV, so ist NY = 0 oder unabzahlbar, jenachdem
M ein Fcj\N ist oder nicht. Hier bleiben die obigen Schliisse auch fiir abzahlbares
NY bestehen, namlich: MG ein Fa|TV, MF = MNF als hochstens
abzahlbare Menge ein Fa\N, ebenso M = MG + MF]
Jedenfalls also gilt: wenn M kein F(j\N und N separabel ist, so giebt es
unendlich viele Punkte von N, in denen M kein F(j\N ist.
II. Im Raume E sei A eine Suslinsche Menge, aber kein F^r; B = E ~ A
ihr Komplement, also kein Gs ; B sei separabel. Dann enthdlt B eine
B1.6 in B perfekte, abzahlbare Menge. \
Es sei yl = & F{mi) F(mi, 777,2) • • * niit abgeschlossenen Mengen
7TT,i,m2,.--
698

F(mi) 2 F(mi,m2) ^ • •• und
A{mi)= © F(mi)F(mi,m2) ••• ,
A{mi,m2) ^ & F(mi)F(mi, 777,2) F(mi, 7722, ms) •-
7713,7714,...
usw., also A= 6^(7721), A{mi) — & A{mi,m2) usw. Da A kein Fcy\B ist,
mi 7712
so giebt es einen Punkt y e B, in dem v4 kein Ffj\B ist. Es seien C/(72i)
die Umgebungen von y mit Radien ^ (721, ebenso 722,... durchlaufen alle
natiirlichen Zahlen); AU{ni) ist kein F(j\B, wegen
AU{ni) = &A{mi)U{ni)
mi
giebt es also mindestens ein 777,(721) derart, dass 74(772(721 ))C/(77,1) kein Fa\B
ist, und daher einen Punkt 2/(721) y^ y, 7/(721) e B, in dem diese Menge kein
F^\B ist (also 2/(721) a-Punkt von A(772(72i))C/(72i).) Es seien U(ni^n2) die
Umgebungen von 7/(721) mit Radien ^; A(772(721))[7(721,722) ist kein FG\B
(sonst ware auch 74(772(711))[7(721)^/(721,722) ein solches), wegen
^4(772(711)) == ©^(772(711), 7722)
7712
giebt es ein A{m{ni),m{ni,n2))U{ni^n2) ^ F(j\B und einen Punkt von B
7/(711,712) 7^ 7/(7ii), derart dass in ihm diese Menge kein Fcy|J5 ist (7/(711,7^2) Oi-
Punkt von ^4(772(711), 'rn{ni^n2))U{ni,n2)) usw. Zunachst bilden die Punkte 7/,
7/(711), 2/(^1,^2), •.. ein Haufungssystem 03 ^ -B, denn da 7/(77,1) cx-Punkt von
17(77,1), so ist yy(ni) ^ :^, lim7/(77,i) = 7/, usw. Wegen 7/(711) 7^ 2/ usw. ist
die von 03 oder jedem Restsystem gebildete Menge insichdicht. Ferner ist aber
7/(711) cx-Punkt von 74(771(77,1)) ^ ^(772(711)), also y{ni) 8 ^(772(711)), 7/(711,712) e
F(772(711), 777,(711,712)) usw., woraus folgt, dass jeder Suslinsche Grenzpunkt von
03 zu A — E — B gehort. Ein regulares Restsystem von 03 liefert also eine in
B abgeschlossene Menge P, die liberdies insichdicht und abzahlbar ist:
q. e. d.^ I BL8
(ex) E separabel, N unabz[dhlbare] Suslinsche Menge. N enthalt eine (in E) [5]
perfekte Teilmenge. (Nk ist nur in N perfekt) (Es braucht nur N, nicht
E sep[arabel] zu sein; trivial).
(|3) F = M + AT, iV Suslinsche Menge, aber kein F^, M separabel: M [6]
enthalt eine in M perfekte, abzahlbare Menge.
(y) E metrisch, E = M -\- N wie oben. N enthalt eine rel[ativ] perf[ekte] [7]
abzahlbare Menge (?) | Bl. 9
^Auf den Blattern 7-8 folgen Notizen unter den Uberschriften „W. Hurewicz, Fund. Math.
12 (1928), 78" (Bll. 7, 7v) und „Hurewicz" (BL 8). Einige dieser Bemerkungen sind im Nachtrag
(A) zu [H 1935a] (S. 298) publiziert. Wir drucken hier drei Bemerkungen ab, die dort
nicht oder nicht vollstandig vorkommen; die Numerierung mit (a,|3,'y) haben wir hinzugefiigt.
699

1.1.35
M set Gs im belieb[igen] Raum E, mit insichdichtem Kern Mk D 0 :
M enthdlt eine in E perfekte Teilmenge D 0.
(Hurewicz, Fund. Math. 12, p. 107. Die Voraussetzung: E separabel, dlirfte
unnotig sein). - Wir konnen, indem wir M^ (in M abgeschl[ossen], also Gs in
E) statt M betrachten, M selbst als insichdicht annehmen. M = G0G1G2" - ,
Go 2 Gi 2 • • • , Gn offen. Sei p e M (ebenso alle Punkte pi usw.), U{p) eine
Umgebung < Go {P < Q heisst P ^ Q oder PQC ^ Qi); Pi eine Folge
in U{p) mit limpi = p, Pi ^ P- Sodann U{pi) eine Umgebung < U{p)Gi\
i
Pik eine Folge in U{pi) mit limpik = Pi, Pik ^ Pi'-, dann U{pik) < U{pi)G2
k
usf. Also U{p) > U{pi) > U{pik) > ••• , U{pi^,,,in) < Gn- Das erhaltene
Haufungssystem hat die Eigenschaft, dass jeder Grenzpunkt p* = limp^j...^^
n
einer „Grundfolge" in M liegt. Denn fiir m < n ist Pi^...in ^ U{Pii...im,) ^
also p* 8 U{pi^,,.i^) ^ Gm, P* e G0G1G2 • • • = M. - Nehmen wir nun ein regulares
Restsystem Q, so ist Q plus Menge der Grenzpunkte von Grundfolgen
abgeschlossen — Q, Q ^ M, Q ist insichdicht, Q perfekt.
Anmerkungen
[1] Der erste Fall erlaubt es, das KONlGsche Lemma anzuwenden.
[2] Uoc ist der topologische Abschlufi von U.
[3] Mit anderen Worten, M ist genau dann ein F\N, wenn M in M U N
abgeschlossen ist in der (von E ererbten) Relativtopologie von M U N. Diese
Forderung ist starker als die, dafi M H N abgeschlossen in N ist (man wahle
M, N abzahlbare disjunkte dichte Teilmengen von IR).
[4] © bedeutet hier &n und Mna ist der topologische AbschluB von Mn.
[5] Dies ist ein Satz in [Hu 1928], S. 104, hier verscharft durch die Feststellung,
dafi man nur die Separabilitat von N fordern mufi und nicht die des
ganzen Raumes E.
[6] Satz II von Fasz. 261, in ahnlicher Weise verscharft wie in [5].
[7] Wahrscheinlich hatte HAUSDORFF hier die zu Satz II von Fasz. 261 komplementare
Vermutung im Auge, genauer gesagt, das Problem, ob jede Suslinmenge,
deren co-Suslinsches Komplement kein FQ- ist, eine abzahlbare perfekte
Teilmenge enthalt (s. zu diesem wichtigen Problem unseren Kommentar zum
folgenden Fasz. 281).
700

NL HAUSDORFF : Kapsel 33 : Fasz. 281
[Existenz nichttrivialer Gss und andere Probleme]
Hs. Ms. - [Bonn], 15.-17.10.1928. - 3 BU.
15/10 28
Die Summe einer aufsteigenden Folge, vom Typus 17, von Mengen M einer
gewissen Art moge Mg, der Durchschnitt einer absteigenden Folge Md heissen.
Also
Ms = e M^ (Mo £ Ml C ... C M^ C ...) ,
Md = 2) M^ (Mo 2 Ml 2 • • • 2 M^ 2 • • •) .
Z.B. ein nichttriviales F^s, d.h. Summe einer aufsteigenden Folge von Mengen
F(j, wobei nicht von einem gewissen Index an das Gleichheitszeichen gilt,
wird von jeder Menge {xo,xi,... ,Xu;,...} von der Machtigkeit ^i geliefert,
indem man M^ = {XQ, ... ,x^,...}. setzt. Entsprechend giebt es Gsd- Wenn
die Kont[inuum]hypothese gilt, sind alle Mengen eines z.B. Eukl[idischen] Raumes
gleichzeitig F^s, Gsd- Schwieriger scheint die Existenz nichttrivialer Gss,
F(jd feststellbar zu sein, und ich halte es nicht fiir unmoglich, dass es im separablen
Raum keine giebt, dass also dort eine Folge aufsteigender Gs oder
absteigender F^ hochstens abzahlbar ist (Hypothese H). [1]
Diese Hyp[othese] wiirde nach sich ziehen, dass eine monotone f^-Folge von
Funktionen l.Klasse f^{x) (etwa /o ^ /i ^ • * • ^ /c^ = • • • ) ebenfalls trivial
ist, d. h. schliesslich /^ = /^+i = - -- — f^ {rj > ^). Namlich die absteigenden
Fo--Mengen M^{r) — [f^ > r] (r beliebige reelle Zahl) wiirden schliesslich
libereinstimmen = M{r) fiir ^ ^ $r ; macht man dies fiir alle rationalen Zahlen
r und wahlt einen Index a > alle ^r , so ist fiir alle ^^ a und alle rat[ionalen]
r M^{r) = Ma{r), woraus f^{x) = fa{x) folgt. | Bl.lv
Ist dies der Fall ? (Hypothese K). Wenn man zu jeder Folge absteigender
M^ = Gs eine monoton abnehmende Folge von Funktionen 1. Klasse /^ mit
[/^ = 0] "^ M^ konstruieren konnte, so wiirde die Existenz nichttrivialer Gsd
die Hyp[othese] K und damit auch H widerlegen. Dasselbe leistet eine monoton
zunehmende Folge von F[unktionen] l.Klasse /^ mit vorgeschriebenen monoton
zunehmenden [f^ > 0] = M^ = F(j. Aber z.B. die charakteristischen Funktionen
dieser M^ sind nur dann von l.Klasse, wenn M^ = [/^ ^ |] zugleich
ein Gs ist, also reduzibel, und dann ist die Folge /^ in der Tat trivial.
Die Hypothesen K, H sind also weiterer Untersuchung bediirftig.
Die Mengen Gss sind Fjj -Mengen.
Denn sei A = 6 M^ Summe aufsteigender M^ = Gs- Wenn A keine
F//-Menge ist, so enthalt sie (nach Hurewicz) eine abzdhlbare Menge P, die
in A perfekt (d.h. insichdicht und in A abgeschlossen) ist. Sie ist wegen der
Abzahlbarkeit bereits in einem M^ mit geniigend hohem Index enthalten und
701

in M^ abgeschlossen, also ein insichdichtes Gs : dies kann aber nicht abzahlbar
sein (sep[arabler] vollst[andiger] Raum).
Wenn A = G^s ^^^ Suslin-Komplement ist, so ist nach Hurewicz
A selbst ein Gs -
Sind alle Fu -Mengen in der Form Gss darstellbar? Das ware das extreme
Bl. 2 Gegenteil zur Hypothese H, wonach alle Gss selbst Gs sind. |
Es sei P = Ad = ID A^ Durchschnitt einer absteigenden f^-Folge Borelscher
Mengen. Wir sagen, diese Folge ist kanonisch, wenn flir jede Borelsche Menge
5 2 P schliesslich S 2 A^ ist (flir ^ ^ Co).
Eine Suslinsche Menge P ist Durchschnitt einer absteigenden kanonischen
Folge.
Denn (Mengenlehre § 34) P ist Durchschnitt der S^, und wenn P eine
zu P disjunkte Suslinsche Menge ist, so ist schliesslich S^P — 0 (S. 192);
insbesondere: ist 5 2 P eine Borelsche Menge, P ihr Komplement, so ist
schliesslich S^T - 0, S^ g S.
Ist umgekehrt der Durchschnitt einer absteigenden kanonischen Folge stets
eine Suslinsche Menge?
Man kann natiirlich entsprechend aufsteigende kanonische Folgen definieren;
die Suslin-Komplemente sind Summen von solchen. Aber auch die Lusinsche
Menge L (S. 262, Mengenlehre) ist eine solche; denn eine Borelsche Menge
Q L ist hochstens abzahlbar, da sie sonst eine perfekte Menge P {P Q L)
enthielte im Widerspruch dazu, das PL ein P/, also C P, ist (ist L ein Suslin-
Komplement?) (eine Susl[insche] Menge ist sie nicht). L = {XQ, ... ,Xa^,...}
ist also Summe der kanonischen Folge der Mengen {XQ, ... ,x^,.. .}^^ , da
diese jede Borelsche Q L schliesslich libertrefFen. Ihr Komplement K ist eine
P/j-Menge; ist sie ev[entuell] eine Suslinsche? Das ware eine Entscheidung der
[2] Hurewiczschen Frage dahin, dass es Suslinsche P//-Mengen giebt, die keine
Gs sind. Zugleich eine des von Lusin als unlosbar bezeichneten Problems, ein
Susl[in]kompl[ement] von der Machtigkeit Ki anzugeben (L ware ein solches).
(Wenn hingegen auch die Susl[inschen] P// -Mengen stets Gs sind, so sind die
[3] unabzahlbaren Susl[inschen] Kompl[emente] v[on] d[er] Machtigkeit b^!)
Bl.2v I Sierpinski hat bewiesen, dass fiir eine konvergente Q-Folge f^{x) —> f{x)
von Funkt[ionen] 1. Klasse auch f{x) von 1. Kl[asse] ist (Fund. Math. 1, S. 138).
Das ist eine Unterstiitzung fiir die Hyp[othese] K. Im Allg. braucht zwar nicht
schliesslich f^ = fzu sein (Beispiel: sei irgend eine Menge A = {ao,..., cic^,...}
v[on] d[er] Machtigkeit Ki gegeben und f^{x) — 0 bis auf f^{a^) = 1; diese
F[unktionen] 1. Klasse konvergieren nach f{x) = 0); vielleicht aber fiir eine
monotone Folge?
Die kanonisch darstellbar en Mengen diirften aber kaum eine RoUe spielen, da
im Falle der Kontin[uum]hypothese jede Menge so darstellbar ist. Wir zeigen,
dass jede Menge Q Summe einer kanon[ischen] aufsteigenden Folge Borelscher
702

Mengen ist. Nehmen wir Q als nicht-Borelsch an (sonst ist Q = &B^ mit
B^ = Q eine solche Darstellung). Die Borelschen Mengen C Q bilden ein
System von der Machtigkeit ^i : AQ^AI,...,AUJ^.... Setzen wir S — (SA^ =
&B^, Brj = & A^, also 0 = Bo ^ Bi g '" . Zunachst ist 5 C Q. Jede
Borelsche Menge A C Q^ sagen wir A^, ist C Bj^ fiir 77 > ^; insbesondere
ist jeder Punkt von Q in 5 enthalten, also Q = S, und die Darstellung ist
kanonisch. | B1.3
17.10.28
/ sei der Raum der irr[ationalen] Zahlen ^ — ^ + ^ + • • • zwischen 0 und
1 (xi, X2^ ... Folgen nat[urlicher] Z[ahlen]). Da die n*® Ziffer Xn eine stetige
F[unktion] von ^ ist, so ist die Menge der ^ mit Xn > dn -\-1 {ctn nat[urliche]
Zahl) oder Xn > an abgeschlossen (iibrigens auch offen); ihr unterer Limes, d. h.
die Menge der ^, ftir die schliesslich Xn > an (^ final > a), ein Fso- = i^a;
diese Menge heisse K{a). Ist final a < /?, so ist K{a) D K{l3), da z.B. /? zu
K{a)^ aber nicht zu K{l3), gehort. Konstruiert man eine fi-Folge von Zahlen, [4]
die in finaler Rangordnung wachsen: ao < ai < - -- < a^j < - - • , so bilden die
K{a^) eine nichttriviale 17-Folge monoton abnehmender F^ (nichttrivial, d. h.
ohne dass die Glieder der Folge schliesslich iibereinstimmen).
Indem man / als Baireschen Nullraum deutet, hat man einen sep[arablen]
vollstdndigen Raum, wo eine solche FQ--Folge existiert,
Meine vorgestrige Hypothese H ist also widerlegt.
Anmerkungen
[1] Am Rand hat HAUSDORFF hier mit Rotstift das Wort „falsch" notiert; s. den
Kommentar weiter unten.
[2] Die Hurewiczsche Frage ist formuliert in [Hu 1928], S. 98.
[3] H ist die Machtigkeit des Kontinuums.
[4] Die finale Rangordnung ist folgendermafien definiert: Sind a, (3 Folgen
natiirlicher Zahlen, so bedeutet a < (3 ^ dafi /? die Folge a schlieBlich dominiert,
d. h. es ist a{n) < (3{n) ab einer Stelle no.
Kommentare
Trennbarkeit: Fasz. 426
Fasz. 426 wurde im Nachgang zu [Lu 1930a] und [No 1931] geschrieben, wo die
Technik der Siebe eingefiihrt wurde, die sich als sehr erfolgreich bei der Entwicklung
der Theorie der Borel-, Suslin- und co-Suslinmengen einschlieBlich der
Trennbarkeitsproblematik herausstelite. Die hauptsachlichen klassischen Resultate
in dieser Richtung sind die folgenden:
1. Trennungssatz fiir Suslimnengen: Sind X, Y disjunkte Suslinmengen (in einem
gegebenen polnischen Raum), dann gibt es eine Borelmenge B, so
dafi X C 5 und F n 5 - 0.
703

2. Trennungssatz fiir Suslimnengen: Sind X, Y Suslinmengen, dann gibt es
disjunkte co-Suslinmengen X' und Y', so dafi X\Y C X' und Y\X C
Reduktionssatz fur co-Suslinmengen: Sind X, X' co-Suslinmengen, dann gibt
es disjunkte co-Suslinmengen y C X, F' C X', so dafi XUX' = Fuy'.
Untrennbarkeit: In jedem iiberabzahlbaren polnischen Raum gibt es ein Paar
disjunkter co-Suslinmengen X, Y, die Borel-untrennbar sind im dem Sinne,
dafi es keine Borelmenge Z gibt, so dafi X C Z, aber Y il Z = (i.
Der erste Trennungssatz fiir Suslinmengen wurde in [Lu 1927] explizit formuliert
und bewiesen. Er ist jedoch ein unmittelbares KoroUar der allerersten Satze
liber Suslinmengen, z. B. des Satzes iiber die Index-Restriktion (s. Anmerkung
[97] zu Mengenlehre). Der Beweis des 2. Trennungssatzes (Satz II in Fasz. 426)
ist auf Satz I gegriindet (erstmals publiziert in [Lu 1930a] und [No 1931]) und
beruht auf Sieben als Darstellungsmethode fiir Suslinmengen.
Dem Satz I selbst kann man in der Sprache der Indizes eine etwas bequemere
Form geben. Seien {F{r)} und {F'{r)} zwei (Borelsche) Siebe (von Teilmengen
F(r), F'(r) eines gegebenen polnischen Raumes E). Wir definieren fiir
jedes X e E R{x) = {r G Q : x G F{r)} und analog R\x). Sei indx = ^,
wenn R{x) zur Ordinalzahl ^ (^ < a;i) ahnlich (ordnungsisomorph) ist, und
indx = oo, wenn R{x) nicht wohlgeordnet ist (mit der Mafigabe, dafi ^ < oo
fiir jede Ordinalzahl ^). Analog wird unter Benutzung von R'{x) ind'x definiert.
Indexvergleich: Es ist in diesem Fall {x : indx < ind'x} eine Suslinmenge. ^
Dieses Resultat (welches in der russischen Tradition NoviKOFF zugeschrieben
wird) folgt leicht aus Satz I von Fasz. 426, weil genau dann indx < ind' x
gilt, wenn entweder R{x) einer Teilmenge von R'{x) ahnlich ist oder wenn
R{x) nicht wohlgeordnet ist.
Der Reduktionssatz (bewiesen von KURATOW^SKI, s.u. den Kommentar zu
Fasz. 608) impliziert unmittelbar sowohl den erst en als auch den zweiten Trennungssatz,
indem man die Komplemente nimmt. Um beispielsweise den ersten
Trennungssatz zu beweisen, seien X, Y disjunkte Suslinmengen in einem
polnischen Raum E. Nach dem Reduktionssatz existieren disjunkte co-
Suslinmengen A C X^ und B C y^ mit A\J B = X^ \JY^ = E\ also sind
nach dem SuSLlNschen Theorem A und B in Wirklichkeit Borelmengen. Es
ist jedoch X C J5, wahrend Y f^B = ^ ist.
^ In modernen Biichern liber deskriptive Mengenlehre heiBen Abbildungen wie ind Normen
oder Range. Zum Beispiel heifit eine Abbildung (^ : X —» Ord ein ll^-Rang auf X,
wenn binare Relationen P(x,y) bzw. Q(x,y) der Klassen IlJ bzw. E} existieren, so dafi
gilt X

Das Untrennbarkeitsresultat (Satze III und IV in Fasz. 426, die urspriinglich
auf NoviKOFF und LusiN ([No 1931], [Lu 1930a]) zuriickgehen) benutzt CAN­
TORS Diagonalargument. Die grundlegende Tatsache, noch implizit in Fasz. 426,
besteht darin, dafi Reduktion und Trennbarkeit (in jeder der beiden Formen)
nicht beides fiir ein und dieselbe einigermafien "gute" Mengenklasse zutreffen
kann.^^ Das gilt z.B.fiir die Klasse der Suslinmengen wie auch fiir die Klasse
der co-Suslinmengen. Man argumentiert hier beidemale in derselben Weise
wie im Beweis von Satz III, namlich mit einem doppelt-universellen Paar. Genauer
folgt, daB die beiden Trennungssatze fiir co-Suslinmengen nicht gelten,
wahrend der Reduktionssatz fiir Suslinmengen nicht gilt. Man sieht also, daB
diese beiden Mengenklassen ziemlich gegensatzliche Eigenschaften haben.
SchlieBlich wollen wir noch einige Bemerkungen zu Satz V und zum Uniformisierungsproblem
machen. In der Standardterminologie (s. dazu Anmerkung
[106] zu Mengenlehre) behauptet Satz V ([Lu 1930a], [No 1931]) folgendes:
Seien X, Y iiberabzahlbare polnische Raume, dann existiert eine Borelmenge
P C X X Y mit prP = X, welche nicht durch eine Borelmenge und nicht
einmal durch eine Suslinmenge uniformisiert werden kann.^^ 1st X = Y = \^
der Bairesche Raum, so gibt es sogar eine abgeschlossene Menge P mit dieser
Eigenschaft.
Im allgemeinen ist die Existenz einer uniformisierenden Menge eine triviale
Konsequenz aus dem Auswahlaxiom, aber die Prage wird sehr viel komplizierter,
wenn eine „effektive" Auswahl verlangt wird (vorausgesetzt, die gegebene
Menge ist auch „efFektiv" definiert). Das Problem der „effektiven" Auswahl,
auch Uniformisierungsproblem genannt, wurde in der deskriptiven Mengenlehre
von LusiN ([Lu 1930c]) formuliert. Es hat HAUSDORFFS Aufmerksamkeit kaum
angezogen, weder in seinen Veroffentlichungen noch im NachlaB. Insbesondere
hat HAUSDORFF den folgenden Uniformisierungssatz nie diskutiert, obwohl dieser
einer der wichtigsten und schwierigsten Satze der klassischen deskriptiven
Mengenlehre ist:
Uniformisierung fiir co-Suslinmengen: Jedeco-Suslinmenge P C XxY {X,Y
polnische Raume) kann durch eine co-Suslinmenge uniformisiert werden.
(KONDO ([Kn 1938]), auf der Grundlage einer Methode der "effektiven"
Auswahl eines Punktes in einer nichtleeren co-Suslinmenge, eingefiihrt
von LusiN und NoviKOFF in [LN 1935]).
Nach Satz V in Fasz. 426 versagt die Uniformisierung fiir die Klasse der Borelmengen
(mit bemerkenswerten Ausnahmen, namlich den Borelmengen mit
abzahlbaren Schnitten (s. Anmerkung [150] zu Mengenlehre) und einigen anderen
Typen von Borelmengen mit speziellen Schnitten (s. [Ke 1995])). Sie ver-
^*^Eine Mengenklasse wird hier als „gut" charakterisiert, wenn sie abgeschlossen ist unter
Borelschen Operationen und stetigen Urbildern, so daB das Cantorsche Diagonalverfahren
angewandt werden kann.
^^In der Tat sind Graphen von totalen Baireschen Funktionen, uniforme Borelmengen mit
totalen Projektionen und uniforme Suslinmengen mit totalen Projektionen ein und dasselbe;
s. Anmerkung [132] zu Mengenlehre.
705

sagt auch fiir die Klasse der Suslinmengen. Andererseits kann jede Suslinmenge
durch eine Menge uniformisiert werden, welche eine Borelsche Kombination von
Suslin- und co-Suslinmengen ist ([Lu 1930a], [Ja 1941]).
Reduktion: Fasz. 608, Teil 2
Der Beweis des Reduktionssatzes fiir co-Suslinmengen geht auf KURATOWSKI
zuriick (die erste publizierte Note dazu war [Ku 1936]). KURATOWSKI zeigte
die Reduktionseigenschaft fiir die Klasse 11} aller co-Suslinmengen und die
Klasse Yl^ von deren Projektionen, sogar in der etwas komplizierteren Form
der multiplen Reduktion (fiir abzahlbare Mengenfamilien). HAUSDORFF analysierte
KuRATOWSKis Argumentation im zweiten Teil von Fasz. 608 (Satz C).
Fiir den speziellen Fall von nur zwei co-Suslinmengen in einem polnischen
Raum E ist die Uberlegung folgende: Seien X, X^ C E aufiere Mengen der
Borel-Siebe {F{r)} und {F'{r)}. Wir definieren indx und ind'x wie oben,
so dafi X = {x : indx < oo} und X' = {x : ind' < oc}. Die Siebe konnen
so transformiert werden, dafi fiir kein x die Beziehung indx = ind'x ^ oc
gilt. (Zum Beispiel nehme man zunachst F{r) = F'{r) — 0 fiir jede rationale
Zahl r > 0 und setze dann F(2) = E mid F'{2 - ^) ^ E fiir alle n.
Dann enthalt R{x) stets ein maximales Element, wahrend R'{x) niemals ein
maximales Element enthalt.) Dann liefert das Mengenpaar
Y = {x eX I indrr < ind' x} und Y' = {x e X' \ Ind! x < indx}
(y, Y' CO-Suslinmengen nach dem Satz liber den Indexvergleich) die Reduktion
fiir das Mengenpaar X, X\
Es ist bemerkenswert, dafi HAUSDORFF die Idee der Reduktion spatestens
1934 hatte, lange vor [Ku 1936]. Dies zeigt folgende Passage aus Fasz. 529^^:
Im (zunachst beliebigen) Raum E sei Tl ein Borelsches System.
Zwei Mengen A, B heissen 9Jt-trennbar, wenn sie sich in Mengen
P, Q 8 -371 mit PQ — AB einschliessen lassen:
A^P. B£Q, AB = PQ.
{P, Q, R sollen Mengen aus 9Jl bedeuten).
Das hier diskutierte Prinzip der 9Jl-Trennbarkeit ist aquivalent mit dem Reduktionsprinzip
fiir die Komplemente der betrachteten Mengen. In der Tat,
wenn ^CP, 5CQundAn5 = PnQ, dann gilt P^ C A^, Q^ C B^ und
P^ U Q^ = A^ U J5^. Aber dies bedeutet gerade, dafi die Mengen A^ und B^
durch die Mengen P^ und Q^ (die wie P, Q zu 9Jl gehoren) reduziert werden,
und das ist das Reduktionsprinzip fiir Ar ^ B^.
Satz D in Fasz. 608 beweist das Reduktionsprinzip (in Form der multiplen Reduktion)
fiir die projektive Klasse P2 (oder Yt\ i^ moderner Notation). KuRA-
TOWSKls Beweis beruht auf der Minimalindex-Methode, die NoviKOFF friiher
12 Faszikel 529, datiert vom 12. 12.1934, ist in [H 1969], Band 1, S. 100-101 im Faksimile
abgedruckt. Die zitierte Passage steht auf Bl. 1.
706

in [No 1935] eingefiihrt hatte, um den ersten und zweiten Trennungssatz flir die
komplementare Klasse C2 = 112 ^JU beweisen. Die Beweisidee ist folgende: Seien
X, X^ zwei S2-Mengen in einem polnischen Raum E. Dann existieren per
definitionem n^-Mengen P, P' C. E x E, deren Projektionen auf das "linke"
Exemplar von E die Mengen X, X' sind. Seien ind (x, y) und ind' (x, y) die
wie oben definierten Indizes auf E x E^ so dafi P = {{x,y) : ±iid{x,y) < 00}
und analog fiir P^ Seien fiir jedes x ^ E,
m ind x — min ind (x, y) und m ind' x = min ind' (x, y),
yeE yeE
SO dafi X = {x : mindx < CXD} und dasselbe mit mind'x fiir X\ Unter Annahmen
wie (*) oder (**) in Fasz. 608 reduzieren die Mengen
Y = {x e X : mindx < mind'x} , Y' = {x e X' : mind'x < mindx}
das gegebene Paar X, X\ Der Beweis, dafi die Ungleichung mindx < mind'x
eine 5]2"^^^S^ definiert, wirkt im Fasz. 608 ziemlich schwerfallig, wird jedoch
viel einfacher durch die moderne Methode der "syntaktischen" Transformationen.
Indizes und Konstituenten: Fasz. 674 und 718
Der letzte Teil von Fasz. 426 enthalt einen etwas anderen Beweis des zweiten
Trennungssatzes. Dort wird auch die Theorie der Indizes und Konstituenten
fiir Siebe prasentiert. Fasz. 674 enthalt eine etwas griindlichere Darstellung.
Ist R ein Borelsieb und x ein beliebiger Punkt, dann definiert man eine abnehmende
Folge von Mengen R^{x) induktiv folgendermafien: Ro{x) = R{x);
R^^i{x) entsteht aus R^{x) durch Weglassen des letzten Elements von R^{x)
(i?^+i(x) = R^{x), falls R^{x) kein letztes Element hat); fiir eine Limeszahl
rj ist Rr^{x) = n^

der Konstituenten A^ und B^ ist ziemlich schwierig; s. dazu [Kl 1937] und
[Mi 1983]. Fiir die via A-Operation definierten Konstituenten stellt sich diese
Bestimmung als einfacher heraus (s. [Lu 1933], wo LusiN auf unpublizierte
Studien von SiERPiNSKi verweist).
In Fasz. 718 gibt HAUSDORFF eine elegante allgemeine Konstruktion von
Indizes und Konstituenten, welche als Spezialfalle sowohl die A-Operation als
auch Siebe enthalt. BU. 1-4, die hier nicht abgedruckt sind, enthalten ein weniger
allgemeines Konzept nait einer Nachfolgerrelation, welches in der Erweiterung
eines endlichen Komplexes durch einen zusatzlichen Term besteht.
H AUSDORFFs allgemeinere Konstruktion auf den folgenden Blattern kann folgendernaafien
beschrieben werden: Gegeben sei eine abzahlbare Menge R mit
irgendeiner binaren Relation -< auf R als Nachfolger-Relation {r -< s wird
gelesen als „ s ist Nachfolger von r "). Man kann dann die Ableitung W jeder
Menge W ^ R dls die Menge aller r ^W definieren, die einen Nachfolger in
R haben.^'^ Dies fiihrt zu einer abnehmenden Folge {W^}^

sind, alle Konstituenten A^, B^, X^ (wie auch einige andere involvierte Mengen
wie F^(r), 5^, T^) Borelsch sind, wahrend A eine Suslinmenge, B eine
co-Suslinmenge ist.
Fasz. 559
SELIVANOVSKI ([Se 1933]) bewies fiir Siebe und SiERPiNSKi ([Si 1933]) fiir die
A-Operation, dafi die transfiniten Folgen der Konstituenten hinsichtlich Kategorie
und Mafi additiv sind. Insbesondere existiert stets ein "Schwanz" der
Folge, in dem die Vereinigung aller Mengen mager (d. h. von 1. Kategorie) ist
und das Mafi Null hat. Das Ziel dieser Note HAUSDORFFS ist es zu zeigen, dafi
die Result ate fiir eine sehr allgemeine Konstruktion von Konstituenten, welche
sowohl Siebe als auch die A-Operation einschliefit, richtig bleiben.
HAUSDORFF nimmt an, dafi fiir jede Teilmenge B einer gegebenen Menge Y
(stillschweigend als abzahlbar angenommen; Y entspricht dem R in Fasz. 718)
eine Teilmenge B^p C B definiert ist, welche man als eine Art von Ableitung von
B betrachten kann. Dies fiihrt zu einer absteigenden Folge {5^}| 0 ausdehnen? Im
Prinzip geniigt es zu verlangen, dafi Y abzahlbar ist und dafi die Ableitungsabbildung
B \-^ B^ (als Abbildung 2^ ^ 2^) Borel-mefibar ist. HAUSDORFF
schlagt eine speziellere Losung vor: Sei B^p = {y E B : B d N{y) 7^ 0}, wobei
N{y) C Y fiir alle y e Y. Dies ist in der Tat im Grunde dasselbe wie in
Fasz. 718, wenn wir N{y) mit der Menge aller Nachfolger von y identifizieren.
Ist insbesondere Y" = Q und N{y) = {q E Q : q < y} fiir alle y ^ Q, dann
haben wir den Fall der Siebe. Fiir Y = N^"^ und N{y) = {y^n : n G N} (Menge
aller unmittelbaren Nachfolger einer endlichen Sequenz y e\i^^^) hat man
den Fall der A-Operation.
709

Fasz. 261
Dieser Faszikel, datiert September 1926, enthalt die Beweise von zwei der wichtigsten
Satze in HUREWICZ' Arbeit [Hu 1928]. Die Beweise beruhen auf der
gleichen Idee und verwenden die gleiche Technik wie bei HuREWiCZ, sind aber
etwas anders aufgebaut. Man kann also annehmen, dafi HAUSDORFF schon 1926
eine Abschrift von HuREWiCZ' Manuskript oder anderes relevantes Material
von HuREWiCZ zur Verfiigung hatte.
Satz I behauptet, da6 jeder in sich magere metrische Raum kein Fn ist, d. h.
er ist (in moderner Terminologie; s. Anna. [68] zu Mengenlehre) nicht vollstandig
Bairesch. Der Grund dafiir ist denkbar elementar: soldi ein Raum enthalt notwendigerweise
eine abzahlbare perfekte Teilmenge (welche natiirlich mager in
sich ist). Satz II ist noch bemerkenswerter: Jede separable co-Suslinmenge (in
einem nicht notwendig voUstandigen und nicht notwendig separablen metrischen
Raum), welche kein Gs ist, enthalt eine abzahlbare perfekte Teilmenge
und ist folglich kein Fn- Fiir co-Suslinmengen in polnischen Raumen heifit das,
dafi die Eigenschaften vollstandig metrisierbar zu sein, Gs zu sein und Fn zu
sein ein und dasselbe bedeuten.
Fasz. 281
Der Index D bezeichnet den Durchschnitt einer absteigenden, der Index S die
Vereinigung einer aufsteigenden a;i-Folge von Mengen. Somit ist Gss die Klasse
aller Vereinigungen U^

Eine fallende c^i-Folge von Mengen X^ nennt HAUSDORFF kanonisch, wenn
fiir jede Borelmenge S mit n^

ist aber X C C, well Q abgeschlossen in A ist. Somit haben wir wiederum
einen Widerspruch zur Wahl von C.
Das Problem (i) hat die Aufmerksamkeit der Mengentheoretiker besonders
angezogen (in [KO 1981] sind diesbeziigliche Resultate und Literaturhinweise
zu finden). Wie leicht zu sehen ist, ist eine notwendige Bedingung dafiir, dafi
eine Suslinmenge A ein Fn ist, die folgende: Das co-Suslinsche Komplement C
von A hat die Eigenschaft, da6 jede Borelmenge B C.C durch eine Fo^-Menge
FCC iiberdeckt wird. Man kann diese Eigenschaft auch umformuHeren und
mit der Existenz tiberabzahlbar vieler nichtleerer Konstituenten C^ von C arbeiten,
die in gewisser Weise Fo-trennbar voneinander sind. Dies hat KANOVEI
benutzt, um zu beweisen ([Ka 1985a]), dafi (i) mit (*) aquivalent ist; folghch
ist (i) unentscheidbar. Von einem allgemeineren Standpunkt aus hangt Hu-
REWicz' Problem mit LusiNs Liste von Problemen der "effektiven" Existenz
von iiberabzahlbaren Familien von Borelmengen mit beschranktem Borelrang
zusammen. Zum Beispiel ist das folgende Problem mit (i) aquivalent:
(ii) Existieren eine co-Sushnmenge C = U^

[Ka 1985b] KANOVEI, V.: Undecidable and decidable properties of constituents,
Math. USSR Sbornik, 52 (1985), S. 491-519.
[KO 1981] KANOVEI, V.; OSTROVSKII, A.: On non-Borel Fn sets, Soviet
Math. Dokl., 24 (1981, 2), S. 386-389.
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.
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reelles d'un complementaire analytique (Russisch; Franzosische
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[Kn 1938] KoNDO, M.: Sur Vuniformization des complementaires analytiques
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[Ku 1936] KuRATOWSKi, C.: Sur les theoremes de separation dans la theorie
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[Ku 1937] KuRATOWSKi, C: Les suites transfinies d'ensembles et les ensembles
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Journ. de Math. (Ser. 6), 1 (1905), S. 139-216.
[Lu 1921] LusiN, N.: Sur Vexistence d'un ensemble non-denomrable qui est
de premiere categoric dans tout ensemble parfait. Fund. Math., 2 (1921),
S. 155-157.
[Lu 1927] LusiN, N.: Sur les ensembles analytiques. Fund. Math., 10 (1927),
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[Lu 1930a] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.
[Lu 1930b] LusiN, N.: Analogies entre les ensembles mesurables B et les
ensembles analytiques. Fund. Math., 16 (1930), S. 48-76.
[Lu 1930c] LusiN, N.: Sur le probleme de M. J. Hadamard d'uniformisation
des ensembles, Mathematica Cluj, 4 (1930), S. 54-66.
[Lu 1933] LusiN, N.: Sur les classes des constituantes des complementaires
analytiques, Ann. R. Scuola norm, super. Pisa, ser 3, 2 (1933, 3), S. 269-
282.
713

[LN 1935] LusiN, N.; NoviKOFF, P.: Choix effectif d'un point dans un complementaire
analytique arbitraire donne par un crible^ Fund. Math., 25
(1935), S. 559-560.
[LS 1922] LusiN, N.; SIERPINSKI, W. : Sur une decomposition du continu,
C. r. Acad. sci. Paris, 175 (1922), S. 357-359.
[LS 1923] LusiN, N.; SIERPINSKI, W. : Sur un ensemble non mesurable B,
J. de Math., 2 (1923), S. 53-72.
[Mi 1983] MILLER, A.: On the Borel classification of the isomorphism class
of a countable model, Notre Dame J. Form. Log., 24 (1983), S. 22-34.
[No 1931] NoviKOFF, P.: Sur les fonctions implicites mesurables B, Fund.
Math., 17 (1931), S. 8-25.
[No 1935] NoviKOFF, P.: Sur la separabilite des ensembles projectifs de seconde
classe, Fund. Math., 25 (1935), S. 459-466.
[Se 1933] SELIVANOWSKI, E.: Sur les proprietes des constituantes des ensembles
analytiques, Fund. Math., 21 (1933), S. 20-28.
[Si 1933] SIERPINSKI, W. : Sur les constituantes des ensembles analytiques,
Fund. Math., 21 (1933), S. 29-34.
[St 1980] STERN, J.: Effective partitions of the real line into Borel sets of
bounded rank, Ann. Math. Logic, 18 (1980), S. 29-60.
714

6. Varia
Im folgenden sind einige Stiicke aus dem Nachlafi abgedruckt, die sich mit verschiedenen
Gegenstanden der deskriptiven Mengenlehre (auch im Grenzbereich
zur allgemeinen Mengenlehre) befassen und die nicht in die Themenbereiche der
Abschnitte 1.-5. einzuordnen waren. Dazu gehoren Suprema Bairescher Funktionen,
symmetrisch stetige Funktionen und das Studium abzahlbarer Ordnungstypen
als Borelmengen.
NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 532
[Suslinsche Funktionen]
Hs. Ms. - [Bonn], 3.1.1935. - 4 Bll.^
3.1.35
[Eine] Reelle Funktion f{x) mit [f{x) > c] = Suslinsche Menge [fiir jedes
reelle c heifit eine] S-Funktion. g{x) = SMPyf{x,y) ist eine solche, wenn [1]
X e A, y e B, A und B S-Mengen und f{x,y) Bairesche Funktion beider 12]
Variablen ist. Denn [g > c] ist Projektion von [/ > c].
Lasst sich dies umkehren? [3]
Im besonderen ware, der Suslinschen Mengenkonstruktion entsprechend, an
Funktionen folgender Art zu denken: {ly = (ni, ^2,. •.) Folge natiirlicher Zahlen)
g{x) = SMpf^{x) =SUpinf[/ni(x),/nin2W,-"-],
wobei man librigens fmix) ^ /nin2(^) = '' annehmen und inf durch lim
ersetzen kann. Die Funktionen f^{x) (^ = (ni,..., n/c)) seien oberhalb stetig,
so dass auch fiy{x) als inf oberhalb stetig nach x ist. Uberdies ist fu{x)
nach beiden Variablen i/, x oberhalb stetig (der Raum der u als Bairescher
NuUraum metrisiert). Denn sei {xk, ^k) -^ (^, ^)' Fiir u = (ni, 77,2,...) ist dann
bei hinlanglich grossem k Uk = (ni,... ,n/„n^^i,...), fud^k) ^ fm...nh{^k),
li.mk fvui^k) ^ limA:/ni...n^(xfc)_^/ni...n^(^), da /ni...nj^) oberhalb stctig
ist; da dies fiir jedes h gilt, ist lim/c/^^^(x/c) ^ fu{x), q. e. d. g{x) ist dann
S-Funktion. (Die Variable y ist jetzt z/, B ist der Bairesche Nullraum.) | Bl.2
Nun sei g{x) eine S-Funktion,
^(C) = [g{x) >C] = & FnAc)Fn,nAc) " = G F,{c) , (l)
^ni(c) ^ Fn^ri'2[^c) 2 • • • abgcschlosscn. Wenn es gelange, fiir jeden Komplex
^ = (ni,..., n^) eine Funktion /^(x) zu finden mit
[/e^c]=F«(c), (2)
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 115-118.
715

so wiirde f^{x) oberhalb stetig, fm{x) ^ fn^n^i^) ^ ••• und mit fu{x) —
k k
sein, so dann fiir h{x) = sup^ fu{x)
[h>c] = &[f.>c] = (B&[U^c+^
u u n ^
= (5&F,{c+'^) = &^{c+'^) = 6[5>c+-]-[5>c],
h{x) = g{x).
Aber um (2) zu erreichen, miissen die F^{c) erst umgeformt werden, d.h.
durch solche Mengen Fi{c) ersetzt, die wieder
$'(c) = 6 K, (c)K,„, {c)--- = (3 Flic) = $(c)
ergeben und die fiir [/^ > c] = F'Ac) notwendigen Monotoniebedingungen
erfiillen. Z.B. fiir c\ < C2 FUci) 2 F^(c2). Betrachten wir zunachst die ra-
Bl.3 tionalen Werte | und bringen die rationalen Zahlen in eine Folge ri,r2,... .
Setzen wir
Flirj)= 6 F^in),
so ist fiir j < k, rj> Vk
F'^{ru)= 6 F^{n)2 6 F^{n) = F'^{r,)-
zugleich folgt, indem man i/ = (ni,..., n/c,...), ^ — (ni,..., n^) setzt und
den Limes nach k nimmt (in der Summe rechts stehen endlich viele Glieder)
Flivj) = 6 F^in),
Man kann also die F^ durch die F'^ ersetzen, d. h.
{a) fiir i Vj F^in) g F^{rj)
annehmen. Fiir r ^ s (r, s rational) ist also bei gegebenem r (= r^) und alle
bis auf endlich viele Werte s F^{r) ^ F^{s) (namlich fiir alle s = TJ mit
j > i, nicht aber sicher fiir j < i).
716
Z^J

Wie aber weiter? Wollte man entsprechend | Bl. 4
setzen, so hat man zwar wieder
aber nunmehr bloss
Kirj) = X> F.in)
2^J
Es scheint also, dass man auf diesem Wege nicht F^{r) £ F^{s) fiir r > s
ausnahmslos erreichen kann.
Anmerkungen
[1] S-Punktionen scheinen keine prazise Charakterisierung mittels MeBbarkeitseigenschaften
zuzulassen, selbst dann nicht, wenn der Definitionsbereich ein
ganzer polnischer Raum ist (anstatt einer Sushnschen Teilmenge eines solchen
Raumes). Die Urbilder offener Intervalle der Form (c, oo) sind namhch Sushnmengen,
wahrend die Urbilder von Intervallen (—oo, c) co-Suslinmengen sind.
[2] S-Mengen sind Suslinmengen. Die Punktion g{x) = swpy f{x,y) wird in
Mengenlehre, S. 274 betrachtet; dort wird explizit angenommen, dafi die Punktion
g{x^ y) fiir jedes feste x als reelle Punktion von y nach oben beschrankt ist,
[3] HAUSDORFFS (nicht ganz erfolgreicher) Versuch, das Problem zu losen, bezieht
nur ziemlich spezielle Bairesche Punktionen / ein. Die Prage kann mittels
einer anderen Pamilie von Baireschen Punktionen positiv beantwortet werden;
s. den Kommentar am Ende des Abschnitts.
NL HAUSDORPP : Kapsel 40 : Fasz. 602
[Die Menge der Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch
stetigen Funktion]
Hs. Ms. - [Bonn], 9.11.1936 und 10.4.1937. - 8 Bll.^
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 120-127. Er besteht
aus zwei Teilen. Hier abgedruckt ist der erste Teil vom 9.11.1936 (Bll. 1-4). Der zweite Teil
enthalt einen etwas anderen Beweis desselben Satzes, der auf FRIED zuriickgeht. HAUSDORFF
beginnt diesen Teil mit dem Satz: „Der folgende, etwgis andere Beweis stammt von H. Pried
(dessen Ms. mir die Redaktion der Fund [amenta Mathematicae] zur Durchsicht geschickt
hat)." FRIEDS Arbeit erschien in Fundamenta Mathematicae ([Fr 1937]).
717

f{x) sei reelle Funktion der reellen Variablen x und bis auf eine
Menge 1. Kategorie S symmetrisch stetig, d.h. in T = E — S {E
Menge der reellen Zahlen) ist
l±m[f{x -\-h)-f{x-h)]=0, xeT.
h—>0
Dann ist die Menge D der Unstetigkeitspunkte von f{x) von 1.
Kategorie. (/ hochstens punktweise unstetig).
Jedem x eT und e > 0 entspricht ein 5{x^e) > 0 der art, dass
\fix + h)- f{x-h)\ 0, /^o = ^(«, e) gegeben; a und a -\- ho sollen zu T
gehoren. Dann giebt es ein hi (von a, e, ho abhangig) derart, dass mit
a < X < a-\-hi stets \f{x-\-ho) — f{x — ho)\ < 2e ist (gleichviel ob x zu
BL2 T gehort oder nicht). |
Setzen wir hi = m±ii[2ho,6{a-{-ho^e)] und sei a < x < a + /ii. Sei b =
2a— {x — ho) = 2(a + ho) — {x-\-ho); a ist die Mitte von x — ho, b und a-\-ho
die Mitte von 6, x -\- ho.
• • • • •
x—ho a b a-\-ho x-\-ho
b a x—ho a-\-ho x+ho
Nun ist 0 < rr — a < 2/io, \{x — ho) — a| < /lo ^ S{a,e) und
0 < {x -\- ho) — (a + ho) = x — a < hi ^ 6{a -\- ho, s).
also \f{b)-f{x-ho)\

((3) uj{x) sei die Schwankung von f{x); wir zeigen, dass sie in einem Intervall, [2]
wo eine Menge Tn{€) dicht ist, ^ As ist.
Xo
• • • • •
do ai a2 as
Angenommen,| die Stelle XQ mit u){xo) > Ae liege in einem Intervall /, B1.3
wo Tn{e) dicht ist; wir konnen dies Intervall / = (ao^as) so wahlen, dass es
< ^ ist und Xo in letzten Drittel {a2,as) liegt; in (a2,a3) giebt es Punktpaare
Ci < ^2, deren Abstand 2ho = ^2—^1 beliebig klein ist, mit 1/(^2)—/(^i)| > 4^.
Wir wahlen von solchen ho eine Folge hn -^ 0. Verstehen wir unter T — hn die
um hn nach links verschobene Menge T (also Menge der a mit a 4- /in e T),
analog S — hn, so ist 5 + 5]^(5 — /in) noch von erster Kategorie, T 'Yl{T — hn) [3]
n n
iiberall dicht, und es giebt im ersten Drittel (ao, ai) von / einen Punkt a von
T Yli^ ~~ ^n), der also selbst mitsamt alien a -\- hn zu T gehort; nachdem
n
wir a so gewahlt haben, konnen wir /in, das wir wieder mit ho bezeichen,
^ 5{a,e) wahlen; dazu gehort ein Punktpaar ^1, ^2 mit ^^~^^ = /IQ ^ (5(a, e:)
in (a2,a3).
a 6 6
I 1 1 1 — I — I 1
ao ai a2 as
a c ^1^2 b
Wir bezeichen as mit 6; da 02 — a > 6 — a2, liegen ^1, ^2 in der zweiten Halfte
(^^,6) von (a,6). ^ sei | die Mitte von ^1, ^2; /ii ^ /lo eine gemass (a) zu B1.4
a, £, ho gehorige Zahl. Da
a + ^ a + ^ + /iia + ^ + /io a + 6 ^ + ^ ^
a < —-— < ^ ^ —-— < —-— < ci,
2 2 - 2 2 2 "*
giebt es in (^^, 9d:i±hL\ ein c e Tn{e); d.h. a < 2c - ^ < a + /ii, fiir das
Spiegelbild x von ^ bez[iiglich] c (a;i, ^2 die Spiegelbilder von ^1, ^2) gilt [4]
gemass (a)
|/(a;i)-/(x2)|

In G(£:), der Summe der Intervalle, in denem Tn{s) dicht ist, ist also u;{x) ^
4€. G{e) ist offen und dicht; H^^li) — C'o ist Gs und dicht; in Co ist uj{x) =
k
0. Also D C E — Co = Do, wobei Do ein F^ 1. Kategorie ist. Q. e. d.
Anmerkungen
[1] T = ^^Tnis) gilt fiir jedes fest vorgegebene e.
n
[2] uj{x) ^ die Schwankung von f in x, ist folgendermafien definiert:
a;(x)-115/(0-lim/(0;
s. Mengenlehre, S.270 (statt Schwankung sagt HAUSDORFF dort Oscillation).
[3] In der Formel S -{-"^{S — hn) bedeutet + die mengentheoretische Ver-
n
einigung; dementsprechend bedeutet • in T - Yl{T — hn) den Durchschnitt.
n
Bei der Wahl von a benutzt HAUSDORFF die Tatsache, dafi eine abzahlbare
Vereinigung dichter G^-Mengen wiederum ein dichtes Gs ist. HAUSDORFFS
Darstellung leidet ein wenig daran, dafi das n in hn und im weiteren nichts
mit dem n zu tun hat, welches durch Satz ((3) fixiert wird.
[4] Es ist X = 2c — ^ und dementsprechend xi = 2c — ^i, X2 = 2c — ^2 •
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 601
[Fo-Mengen erster Kategorie]
Hs. Ms. -[Bonn], 6.11.1936. - 10 Bll.^
6.11.36
f{x) sei symmetrisch stetig und beschrdnkt, g{x) sei die obere Schranke
(=lim sup m ) .
f^-^^ x-h

In einem hinl[anglich] kleinen Inter vail U = {x—h, x-\-h) und seinem Spiegelbild
U' bez[uglich] a hat man {^ — a = a — ^')
m') > fio - £, sup fia ^ sup m - ^,
fiirh-^O g{x') ^ g{x) — e. Ebenso umgekehrt, also \g{x) — g'{x)\ ^ e. -
Ebenso ist die untere Schranke h{x) und die Schwankung u;{x) — g{x) — h{x)
symmetrisch stetig.
Ich habe gezeigt, dass die Menge D der Unstetigkeitspunkte von f{x) von [1]
1. Kategorie (ein F^j) ist.
Es ist aber nicht moglich, eine beliebige F^ -Menge 1. Kategorie als
D vorzuschreiben {f{x) beschrankt vorausgesetzt).
Z.B. sei T die triadische Cantorsche Menge, bestehend aus den Zahlen in [2]
[0,1], die (wenigstens) eine Entwicklung
2^ ^
mit an = 0,2 (d.h. eine Entwicklung ohne Einsen) zulassen. Es sei
oo
bn m a + 6 V^ ^n + bn
asT, b = 2j:^^eT, c = ^ = ^
3n ' 2 ^^^ 3^
i 1
I die Mitte von a, b. Wenn nun c selbst zu T gehoren und zwar triadisch irra- Bl. 2
tional sein soil, so dass die Ziffern seiner (einzigen) triad[ischen] Entw[icklung]
0,2 sind, so muss a^ + 6n = 0 oder 2, d.h. entweder an = bn = 0 oder
dn = bn = 1 0],
E-T^U= E [uj{x) - 0]. Es giebt ein s derart, dass D{e) = E [oo(x) ^ e] [3]
X X
unabzahlbar ist; die Menge der Verdichtungspunkte dieser Menge ist unabzahlbar,
G D{e) C T, enthalt also einen Punkt ceT, der nicht triadisch rational
ist, und mindestens auf einer Seite von c eine nach c konvergente Folge, sagen
wir an < c, an -^ c] mit uj{an) ^ e. Die Punkte bn = 2c — an gehoren dann
nicht zu T; Lj{bn) = 0] wegen der symm[etrischen] Stetigkeit von uj{x) mlisste
aber uj{bn) — OLj{cin) -^ 0 streben.
(Die Voraussetzung: f{x) beschrankt, ist wohl entbehrlich). | Bl.3
721

Ein triadisch rationales c kann Mitte von a,b e T sein, aber es giebt nur
endlich viele solche Paare a, 6; diese sind auch triadisch rational. 1st in der Tat
'^=l+---+5^ = l+---+^ + E|r (-->0; c„. = i,2),
n>m
SO erhalt man aus c = Y] — entweder
(ex) ai -\- bi = ci,..., am -i- bm = Cm, an = bn = 0 fiir n> m
oder
((3) ai-{-bi = ci,... ,am-i + 6^-1 = Cm-i, am + bm = Cm-1, an = bn = 1
fiir n > m.
Das giebt endlich viele Paare a, 6. (Ein Paar a, 6, das (a) erfiillt, liefert ein
Paar a — -^ , b -\- -^ oder a + 3^ , 6 — 3^, das ((3) erfiillt, vielleicht auch
beide.) Jedenfalls ist auch in diesem Fall c nicht Mitte zweier Punkte a, b mit
hinreichend kleinem |6 — a|, so dass man in der obigen Uberlegung c als beliebigen
(nicht notw[endig] triadisch irrationalen) Verdichtungs- oder sogar nur
Haufungspunkt von E [(^(x) ^ e] annehmen kann und denselben Widerspruch
X
erhalt.
Es kann auch nicht T = E [a], U = E - T =^ E [ 0). Es ware dann eine der Mengen D{P) = E [-^{x) > 0] fiir 0 > a
X
unabzahlbar und man wiirde wie oben eine Folge a^ e D{l3), bn = 2c — an sU
B1.4 finden; uj{an) ^ /?, (^{bn) ^ o; im Widerspruch zu ij{bn) — ^{dn) ^"0.1
Wenn allgemein T eine unabzahlbare Menge To enthalt, deren Punkte c
nicht Mittelpunkte von Paaren a, 6 (^ c) aus T sind (wenigstens nicht fiir
beliebig kleines 6 — a), so kann T nicht = E [ a] sein. Denn andern-
X
falls ware eine der Mengen To-D(/3), (3 > a, unabzahlbar; es sei c ein zu ihr
gehoriger Verdichtungspunkt, und man hatte wieder an —^ c, bn = 2c —an mit
uj{an) ^ P, uj(bn) ^ a.
c heisse ein symmetrischer Verdichtungspunkt von T, wenn in jeder Umgebung
von c unabz[ahlbar] viele Punktpaare a < c < b, c = ^^, a,b e T
vorhanden sind.
Soil T = D fiir eine symm[etrisch] stetige Funktion sein und T unabzahlbar,
so muss jede unabzahlbare Teilmenge To von T unabzahlbar viele symmetrische
Verdichtungspunkte von T enthalten. - Denn eine der Mengen ToD{a)
ist unabzahlbar; jeder Verdichtungspunkt c von und in dieser Menge ist symmetrischer
Verd[ichtungs]p[unkt] von D{^) CT. - Ktirzer:
[4] alle Punkte von T bis auf hdchst[ens] abzdhlbar viele sind symmetr[ische]
Verd[ichtungs]p[unkte] von T.
Eine solche Menge T kann man folgendermassen bilden. Es sei P die Menge
der Punkte
v^ an
722

die eine pentadische Entwicklung mit lauter Ziffern an = 0, 2, 4 (also ohne | B1.5
Einsen und Dreien) zulassen, und T

erflillt bis auf die, ein FQ- ZU sein, habe ich gefunden (Menge der a = Xl f^
mit an = 0, 2, 4 und unendlich vielen an = 2).
Es sei g eine ungerade Basis > 3, P{g) die Menge der Zahlen a = J2^
mit ttn = 0, 2,..., ^f — 1; P{g) perfekt und nirgendsdicht; R{g) die Menge der
a 8 P{g), fiir die schliesslich an = 0 oder g — I. AUe Zahlen von P{g) — R{g)
sind symmetrische Verdichtungspunkte dieser Menge, also erst recht von P{g).
Denn 2cn = an-\-bn {c= ^^ ; a, b, ce P{g)) ist, wenn unendlich oft Cn — 2k
(2^2A:^^-2),z.B. durch
an = 2k-2 2k 2k-\-2
bn = 2k+ 2 2k 2k-2
(und vielleicht noch andere Werte) zu erfiillen; das giebt 2^° Wertpaare a, b
und zwar in beliebiger Nahe von c, da man fiir beliebig viele Anfangsindizes
n < N an = bn = Cn setzen kann; iiberdies kann man auch unendlich oft
O'n = bn = 2k und unendlich oft an = 2k ±2^ bn = 2k^2 setzen, so dass a, b
Bl. 8 zu P{g) — R{g) I gehoren. Sei sodann
und
T = Y, Pia) = ^(3) + P(5) + P(7) + • • •
9
9
alle Punkte von T — R sind symmetrische Verdichtungspunkte von T, denn
wenn x e T — R, x e R{g), x e P{g) — R{g), so ist x symmetrischer Verdichtungspunkt
von P{g)

u. s. w., so erkennt man, dass x jeder der Mengen R{g), R{g^), \ -R(5^), Bl.9
R{g^), •. • angehort, namlich
x = {g-l) + «^(^ + ^)+«3(^ + ^ + i + ^) +
x = a i ^ + (g2-l)
-^li + ^ + --- + ^ + ^l +
— +"3(:;6+78+"4-io+-n ^10 ^ pl2
9^ 9^
+ ^ 7II gl4 + ^ gl Tl6l+'
X = «ig'(g-i) + Mg^-i) + (^4 _ 1) Q!3
^12 ^ ^16 7
die Koeffizienten der ^^-Entwicklung (/c = 1, 2,4,8,...) von x sind schliesslich
0 oder g^ - 1\ x e R{g)R{g^)R{g^) • • • . Diese Menge ist aber hier von der
Machtigkeit des Kontinuums. (Es ist noch zu beachten, dass z.B. bei der Entwicklung
nach g^ die Zusammenziehung der drei ersten Glieder ein died ^
mit geradem z und 0^z

liefert eine ^f^-adische Entwicklung mit lauter Ziffern 0 oder g^ — 1. Denn wird
n\ — kl (fur n > k) gesetzt, so ist
^n —^^^ - O^n ^-^^ = an(^ " 1)
g2n[ ^^ gk-2l gk(l+l) ~^ ^ gk-2l
ein St lick einer solchen Entwicklung, und zwei solche Stiicke tiberdecken sich
nicht; denn dieses Stiick hat in den Nennern Potenzen von n\-\-k bis 2n!, das
nachste von (n+l)!4-A: bis 2(n-|-l)!; offenbar ist 2n! < (n + l)! + /c. Auch das
erste died mit der Nennerpotenz 2k\ und das erste jener Stiicke, mit Potenzen
von {k -\- 1)\ -\- k an, greifen nicht libereinander, da 2A:! < {k -\- 1)\ -\- k. Also
xeR{g^) fur /c = 1,2,3,...
Ubrigens konnten, auch wenn R = Yl^id) unabzahlbar ist, seine Punkte
9
symm[etrische] Verdichtungspunkte von T = ^P{g) (wenn schon nicht von
einem einzelnen Summanden) sein.
Anmerkungen
[1] HAUSDORFF bezieht sich hier auf den oben abgedruckten Fasz. 602.
[2] Das Cantorsche triadische Diskontinuum T ist eine abgeschlossene nirgendsdichte
Menge, die aus alien reellen Zahlen aus [0,1] besteht, deren triadische
Entwicklung keine Einsen enthalt. Um zu zeigen, dafi T nicht gleich der
Menge aller Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch stetigen Funktion / sein
kann, beweist HAUSDORFF zunachst folgendes: Wenn a, b mit a < b zu T
gehoren und c = ^^ triadisch irrational ist, dann gehort c nicht zu T. Andererseits
existiert ein triadisch irrationales c ^ T und eine wachsende Folge
{an} —> c von Punkten an G T, so dafi fiir ein gewisses e > 0 uj{an) > s fiir
alle n ist. Dann ist bn = 2c — an ^T fiir jedes n (wegen c = ^^^^"^ ), so dafi
^{bn) =0. Dies fiihrt zum Widerspruch mit der symmetrischen Stetigkeit der
Schwankung LJ .
[3] In diesem Faszikel ist E die Menge IR der reellen Zahlen.
[4] HAUSDORFF behauptet dies unter der Annahme, dafi T die Menge aller
Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch stetigen Funktion ist.
[5] Diese Menge T ist eine iiberabzahlbare G5-Menge, deren jeder Punkt
symmetrischer Verdichtungspunkt von T ist. HAUSDORFF bemerkt weiter unten,
dafi T kein Fa ist und folglich nicht die Menge der Unstetigkeitspunkte
einer symmetrisch stetigen Funktion sein kann.
[6] HAUSDORFF zitiert hier den folgenden Satz von CHARZYNSKI ([Ch 1933]):
726
9

Wenn die symmetrische Ableitung
lim
n—>oo
(p{x -\-h) — (p{x — h)
2h
iiberall endlich ist, dann ist die Menge aller Unstetigkeitspunkte von (p eine
zerstreute Menge (auch separierte Menge genannt, s. Mengenlehre, S. 118).
[7] Die Existenz einer solchen Menge T der Klasse Fa folgt aus der Existenz
einer symmetrisch stetigen Funktion mit einer iiberabzahlbaren Menge
von Unstetigkeitspunkten. Dies ist in [Pr 1971] bewiesen; s. den Kommentar
am Ende dieses Abschnitts.
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 629
Geometrisierung der Ordnungszahlen
Hs. Ms. - [Bonn], 6.4.1937. - 4 BU.^
Geometrisierung der Ordnungszahlen 6/4 37
R= {ri,r2,...} Menge d[er] rat[ionalen] Zahlen in fester Anordnung.
t = (n, '^2, • • •) dyadische Folgen (T Cantorsches Diskontinuum).
R{t) = Menge der r^ mit Tn = 1; t = R{t) Typus von R{t).
E ^Sh] (d.h. R{t) einer Teilmenge von R{ti) ahnlich) ist in (T,r) anatti
lytisch, ebenso E ^ ^h]-
E ^^OL]^ E ^^(y\^ E^ = oi\ analytisch flir jeden endlichen oder abzahl-
baren Typus a. (Der Durchschnitt der ersten beiden Mengen ist nicht gleich der
dritten.) Fiir wohlgeordnetes a (a < f^) ist E ^ — oc], £* [t ^ a] Borelsch.
Fiir welche noch (Kuratowskisches Problem)? [1]
Sei £^ p = a] = [a] gesetzt.
Ist RQ C R^ so ist E [R{t)Ro = 0]. abgeschlossen. Denn wenn
Ro = {ri.rj,... }, so ist E [R{t)Ro = 0] = E [n = TJ = •--= 0].
E [R{t) CRo]= E [R{t){R - Ro) = 0] ist abgeschlossen.
Die durch R{t)Ro = R{s) definierte Funktion s von t ist stetig. Denn
Wn = 1] = [rn = 1] [Vn e Ro] - \ BL 2
E [R{t)Ro = a] = E \s = a] ist bei der Abbildung s = s{t) das Urbild von
[a], also jedenfalls analytisch und bei Borelschem [a] auch Borelsch. Die Menge
£• [t = a + • • • ] (d. h. R{t) hat ein Anfangsstiick vom Typus a) ist analytisch
727

[2] und mit [a] Borelsch. Denn t = a + • • • bedeutet, dass es ein Interval! Rn =
E[r< r„] mit Rit)R„ = a giebt; E^ = a + ---] = "£ E [Rit)R„ = a].
r t ji t
[3] (Vgl. Kuratowski, F. M. 28, p. 171, th. 1.)
Ebenso ist
t t
mit [a] Borelsch (R{t) hat ein Endstiick oder Mittelstlick vom Typus a).
Mit [a] ist [a*] Borelsch.
Mit [a], [/?] ist [a + 0] Borelsch, falls (3 ein erstes oder a ein letztes Element
hat. Denn t = a + (3 heisst: es giebt ein Rn {vn das erste El[ement] von (3)
mit R{t)Rn = a, R{t){R - Rn) = P.
£^ [t = 1 H ] {R{t) hat ein erstes Element) ist Borelsch, sogar ein F^.
t
n k
Ebenso £* [t = • • • + 1] und E ^= h2H ] {R{t) hat benachbarte Ele-
Bl. 3 mente). Die Menge der t, fiir die R{t) dicht ist, | oder kein 1. El[ement] hat,
oder kein letztes hat, ist ein Gg. [rj] ist ein Gs.
[4] Hiernach ist die Vermutung falsch, dass [a] bei zerstreutem a (das keine
Teilmenge von Typus rj enthalt) Borelsch und andernfalls nicht-Borelsch sei.
Wenn A, Menge von Typus a, nur endlich oder abzahlbar viele ahnliche Abbildungen
auf sich hat (andernfalls hat sie 2^°), ist [a] Borelsch (Mitteilung
von Kuratowski *^). Dies ist nicht umkehrbar, denn rj hat gewiss 2^° ahnhche
Abbildungen auf sich (man kann R so ahnlich auf sich abbilden, dass die Menge
der ganzen Zahlen m in eine beliebige Menge am (• • • a_i < ao < ai < • • • ,
a±n -^ ±oo fiir n ^> oo) iibergeht), und doch ist [q] Borelsch.
Auch mit der Zerstreutheit hat diese Anzahl der ahnlichen Abb[ildungen]
nichts zu schaffen. Die Menge (a;* + UJ)UJ ist zerstreut und hat 2^° ahnliche
[5] Abb[ildungen]; die Menge X^a^ (Summe mit dem Erzeuger 77, die a^ lauter
rgi verschiedene ganze Zahlen; eine „gestufte" Menge) enthalt r] als Teiltypus und
B1.4 gestattet nur eine ahnliche Abbildung: die Identitat. |
[Theorie der zerstreuten Typen, vgl. Math. Ann. 65. Hier vielleicht einfacher:
[7]
Die a^ sind die Ordnungszahlen < Q und ihre Inversen; die a'^ {rj > 0) sind
00
die Typen o;^ = X] ^^"^ {^n < V'l ^i^ Summation hat den Erzeuger cj* + LU.
—00
Als Summanden sind auch 0 zugelassen.) Analogon zu den Borelschen Mengen.
Giebt es a^, die keine a^ mit ^ < ?7 sind? Fiir eine beliebige Menge existieren
dann die grossten zerstreuten Stiicke; und sie ist, wenn nicht zerstreut, Summe
zerstreuter Mengen iiber einen dichten Erzeuger (ry, 1 + r/, ?7 + l, l + r/-hl).]
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band2, S. 330-333.
*) S. Hartman, Zur Geometrisierung der abzalbaren Ordnungstypen, F. M. 29, S. 209
214.
728

(Aber dies alles hat anscheinend nichts mit der Prage zu tun, ob [a] Borelsch
ist oder nicht.)
Aus [t ^ 77] folgt Yi \t = ^]'-> auch umgekehrt? D.h. wenn eine abzahlbare
Menge wohlgeordnete Teiltypen von beliebiger Grosse enthalt, enthalt sie dann
ry ? Ja (Satz von Kurepa). [8]
Anmerkungen
[1] Das Kuratowskische Problem ist in einer Fufinote auf S. 173 von [Ku 1937]
formuliert.
[2] Das Wort Intervall hat HAUSDORFF mit andersfarbigem Stift unterstrichen;
am Rand steht ein Pragezeichen. Uber das Wort Intervall hat er geschrieben
„Anfangsstuck von R".
[3] Satz 1 in [Ku 1937], S. 171, behauptet, dafi die Menge aller ^ C Q, welche
kein grofites Element haben, Borelsch ist, wahrend einige Relationen wie
t

[1] (2) P{Mi + M2) < /3Mi + PM2 (Ml + M2 bedeutet, dass Mi < M2 ist).
(Das Gleichheitszeichen braucht nicht zu gelten. Sind z.B. Mi, M2 und also
auch Ml + M2 von Typus rj der Menge der rationalen Zahlen, so sind alle drei
/?-Zahlen =^7^^ + ^).
(3) Ist in einer geordnetem Menge E a < ai < a2 < • • • , /3n = /^[a, «n] und
M = 53 [^5ttn], so ist f3M ^ supPn = P-
([a, 6] = E [a ^ X ^b] ist das von a ^h begrenzte abgeschlossene Inter vail.
X
Es sei noch (a, b] = [a, 6] — a, [a, 6) = [a, 6] — 6.)
Beweis. ^4 C M sei wohlgeordnet von Typus a, x e A, Ax der durch
X bestimmte Abschnitt von Typus ax - Da Ax -\- x — A - [a, x] und, wenn
X 8 [a, an], C [a, a^] ist, so ist a^c + 1 ^ /?n ^ /?; OLX < P- Alle Abschnitte von
a sind also < /? und demnach a ^ (3 (fiir a > 0 hatte a einen Abschnitt
BI.2 = /?), demnach /?M ^ /^. |
(4) Ist in der geordnetem Menge E a > ai > a2 > -- • , Pn — Plan,o] und
M = '^[an,a], so ist /3M ^ supPn = P.
Jede wohlgeordnete yl C M ist in einem [anya] enthalten, also sein Typus
a^pnSP-
Satz von G. Kurepa. Wenn die geordnete abzdhlbare Menge E fiir jede Ordnungzahl
a < Q eine Teilmenge von Typus a enthdlt, so enthdlt sie eine
Teilmenge von Typus rj.
[2] (Der Satz steht in einem Ms. La reciproque d'un theoreme de Cantor-Hausdorff,
das mir 11/5 38 zur Begutachtung von O. Blumenthal geschickt wurde.
Der Beweis von K[urepa] ist fehlerhaft und kompliziert.)
Nach Voraussetzung ist PE = ^. Wir nennen zwei Elemente a ^ b von E
konjugiert (a ~ 6), wenn P[a,b] < Qs. Diese reflexive, symmetrische Beziehung
ist transitiv: wenn a ^ b^ 6 ~ c, so ist a ^ c. Wir konnen alle drei Elemente
verschieden und etwa a < c annehmen; ist a < c < 6, [a, c] C [a, b], so folgt
a r^ c aus a ~ 6 nach (1); ist 6 < a < c, so folgt a ^^ c aus b ^ c nach (1);
ist a < 6 < c, so ist [a, c] — [a, b] + [6, c] und a r^ c folgt aus (2).
Demnach lasst sich E in Klassen konjugierter Punkte spalten; E{a) sei die
Klasse der mit a konjugierten Punkte; zwei Klassen, die nicht identisch sind,
Bl. 3 sind disjunkt. |
Jede Klasse ist ein Stiick, d.h. enthalt mit a < c auch jedes Element b mit
a < b < c. Denn a ^ c giebt /5[a,c] < Ct und nach (1) auch P[a^b] < (7,
a ~ 6.
Fiir jede Klasse E{a) gilt pE{a) < Q. Sei E{a) = U -\-a-\-V {U Menge
der X < a, V Menge der a: > a in E{a)). Es geniigt PU < O, PV < O zu
beweisen, dann ist nach (2) auch PE{a) ^ pU-\-1-\-pV < ft. Sei V y^ 0; hat
V ein letztes Element 6, so ist V = (a, b] C [a, b], pV < ft. Andernfalls ist V,
730

well E abzahlbar ist, mit einer cj-Folge ai < a2 < • - • konfinal, V = X^(a, a^]
und PV < Q folgt aus (3). Ebenso hat man zum Beweis von PU < Q, wenn
U kein erstes Element hat und also mit einer a;* -Folge ai > a2 > " • koinitial
ist, (4) heranzuziehen.
Zwei verschiedene Klassen sind niemals benachbart. Wenn zwischen E{a) <
E{h) kein Element von E lage, so ware [a, h] C E{a) + E{b) und nach (2)
P[E{a) + E{h)\ < il, also /?[a, 6] < 1}, a ~ 6 im Widerspruch zur Annahme,
dass E{a), E{b) verschieden sind.
Der Typus der Klassenmenge ist also dicht, denn es kann nicht nur eine
Klasse geben, weil, mit E — E{a), PE < ft ware. Wahlt man aus jeder Klasse
ein Element, so hat die Menge dieser Elemente einen der Typen 77, H-?7, 77+1,
1 + ry + 1, q. e. d.
Anmerkungen
[1] Ml < M2 bedeutet, dafi flir mi G Mi und m2 G M2 stets mi < m2 gilt;
es kann dann die geordnete Summe Mi + M2 gebildet werden.
[2] Es ist nie eine Arbeit von KuREPA unter diesem Titel erschienen; das Result
at wurde erst viel spater in [Kur 1948] publiziert.
NL HAUSDORFF : Kapsel 41 : Fasz. 677
Zu meiner Arbeit: Uber zwei Satze von Kantorovitch
und Fichtenholz
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936 - Marz 1938]. - 3 BU.
Zu meiner Arbeit: Uber zwei Satze von Kantorovitch und Fichtenholz (Studia
Math.)^
(1) Wenn A von der Machtigkeit m = m^° ist, so giebt es 2"^ abzahlbar
wesentlich verschiedene Abbildungen / von A in A, d.h. zu endlich
oder abzahlbar vielen verschiedenen fn giebt es immer ein x, wo alle
fn{x) paarweise verschieden sind.
Denn: M sei von der Machtigkeit m; x durchlaufe die hochstens abzahlbaren
Mengen C M, t alle Mengen c M. Die Menge A der x ist von der Machtigkeit
m^° = m, die der t von der Machtigkeit 2"^. Die Abbildungen f{x,t) = xt
(Durchschnitt) von A in A sind abz[ahlbar] wesentlich verschieden; denn zu
abzahlbar vielen verschiedenen tn wahle man aus jeder Menge {ti — tj)-\- {tj —
U) ^ 0 {i ^ j) einen Punkt und x sei die Summe dieser: xU ^ xtj .
Es giebt 2"^ abzahlbar unabhdngige Teilmengen Z von C (|C| = m), d.h.
flir abzahlbar viele verschiedene Zi, Zj ist Yl Zi - Yl{C — Zj) ^ 0.
f{x,t) Abb[ildungen] von A in A {\A\ = m), die abz[ahlbar] unabh[angig]
sind; t durchlaufe eine Menge v[on] d[er] Machtigkeit 2^. B = \ System der B1.2
^HAUSDORFF bezieht sich hier auf seine Arbeit [H 1936a].
731

hochstens abz[ahlbaren] Mengen y C A; C = {A,B); \B\ und |C| == m. Es sei
Zit) = E [/(^. i) e y], C- z{t) = E [/(a^> i) e y].
Sind ti, tj paarweise verschieden (abzahlbar viele), so giebt es ein x derart,
dass f{x,ti) = Xi und /(x,t^) = x'^ paarweise verschieden sind; sei y — {xi}.
Also f{x,ti)ey, f{x,t'j)ey,
(x, y) 8 Z{U), (x, y) 8 Z(t;.), UZiU) • U[C - Z{t'^)] / 0.
(2) Entsprechendes gilt, wenn m = m^^; es giebt dann 2"^ Abb[ildungen]
von A in A^ unter denen je Ki an mindestens einer Stelle lauter verschiedene
Werte haben, und 2"^ Teilmengen Z von C, derart dass fiir
^i verschiedene Z^ und Z'^ immer \{Z^ • n(C - Z;^) / 0.
Da c = 2^°, so kann man (1) auf m = c anwenden. Wenn c = 2^^ sein soUte,
so ware (2) auf m = c anwendbar; es gabe 2^ reelle Punktionen /(x, t) einer
reellen Variablen x {t durchlauft eine Menge von der Machtigkeit 2^) derart,
dass je Ki verschiedene f{x,t^) mindestens eine Stelle x haben, wo f{x,t^)
Bl. 3 samtlich verschieden sind. |
Das Gegenteil ware: fiir jedes System von 2^ reellen Funktionen f{x,t)
{x reell, {t} eine Menge von der Machtigkeit 2*^) giebt es ein Teilsystem
f{x,t^) von der Machtigkeit Hi derart dass die Werte f{x,t^) an keiner Stelle
X paarweise verschieden sind, sondern fiir jedes x ein Paar ^x 7^ Vx mit
f{x,t^^) — f{x,trj^) existiert. Wenn dies richtig ist, ist 2^^ > 2^°.
Trivial ist: die Werte f{x,t) konnen bei festem x nicht alle verschieden
sein (da \T\ = 2^ > c) und es giebt also ein Paar t^^, trj^ {^x / Vx), wo
f{x^t^^) = f{x,trj^). Ist To die aus alien t^^, t^^ gebildete Menge, die aber
im Allg. von der Machtigkeit c und nicht ^^l sein wird, so sind die Funktionen
/(x, t), t 8 To , so beschaffen, dass sie an keiner Stelle x paarweise verschieden
sind. Das sind aber zuviele Funktionen - es mtissten nur Ki sein. (Nimmt man
c — Ki an, so ist das Ziel erreicht, aber wertlos, da dann 2^^ > 2^° = Hi
selbstverstandlich ist.)
Kommentare
Fasz. 532
Diese kurze Note hangt mit der in § 44 der Mengenlehre diskutierten Transformation
g{x) = sup f{x,y) zusammen.
Als S-Funktion bezeichnet HAUSDORFF jede Funktion g : A ^^ R {A eine
Suslinsche Teilmenge eines polnischen Raumes X), deren Lebesguesche Mengen
[g > c] = {x E A : g{x) > c} (und somit auch diejenigen der Form [g > c]),
c G IR, Suslinmengen sind. Man beachte, das dies nicht das ist, was man Suslinmefibar
nennen konnte, well die komplementaren Lebesgue-Mengen [g < c] und
[g < c] nicht notwendig Suslinsch sind. Die Funktionen der Baireschen Klassifikation
sind S-Funktionen, aber nicht umgekehrt: z. B. ist die charakteristische
732

Funktion einer nicht-Borelschen Suslinmenge eine S-Punktion, aber keine Funktion
der Baireschen Klassifikation. Die Beziehungen der S-Funktionen zu den
Baireschen Funktionen haben eine gewisse Ahnlichkeit mit denen der oberhalb
stetigen Funktionen zu den stetigen Funktionen. Im Hinblick darauf konnte
man die S-Funktionen auch "oberhalb Suslinsche Funktionen" nennen.
Eine recht allgemeine Methode der Konstruktion von S-Funktionen ist folgende:
Seien X, Y polnische Raume, A eine Suslinsche Teilmenge von X,
f : A xY -^ R eine Bairesche Funktion, und g{x) = sup^ f{x,y) existiere fiir
jedes X e A. Dann ist g : A -^ R ofFenbar eine S-Funktion. HAUSDORFF fragt
nun, ob jede S-Funktion g : A ^>' R so erhalten werden kann, d. h. stets von
der Form g{x) = swpy f{x,y) mit einer Baireschen Funktion / ist.
Eine Modifikation der Argumente in Fasz. 532 liefert die positive Antwort.
In der Tat, sei ^ : A -^ IR eine S-Funktion. Wir konnen 0 < g{x) < 1 fiir alle
X G v4 annehmen (andernfalls wird ein ordnungserhaltender Homoomorphismus
von IR auf das Intervall [0,1] angewandt). Die Mengen Ac ~ [g > c] (c G IR)
sind Suslinsche Teilmengen von X und AQ = A. Die Schliisselbehauptung ist
folgende:
(*) Sei / = {rGQ:0 r} = g{x).
y
Symmetrisch stetige Funktionen: Fasz. 601, 602
HAUSDORFFS Interesse an symmetrisch stetigen reellen Funktionen ist moglicherweise
durch eine Arbeit von CHARZYNSKI ([Ch 1933]) angeregt worden, die
733

sich allerdings mit symmetrischen Ableitungen beschaftigt. Der zentrale Punkt
in mehreren nachgelassenen Noten HAUSDORFFS der Jahre 1934-1937 liber
symmetrisch stetige Funktionen / ist die Natur der Menge Df aller gewohnlichen
Unstetigkeitspunkte von /. Insbesondere wirft er in [H 1935c] die Prage
auf, ob Df ein beliebig vorgegebenes Fo- oder wenigstens liberabzahlbar sein
kann (Df ist fiir jedes / immer ein F(y).
Das bemerkenswerteste Resultat HAUSDORFFS ist der folgende Satz: Ist /
symmetrisch stetig oder auch nur symmetrisch stetig aufierhalb einer Menge
erster Kategorie, dann ist Df eine F^-Menge erster Kategorie. Somit ist /
schhmmstenfalls punktweise unstetig. Dies beantwortet eine der in [H 1935c]
aufgeworfenen Pragen. Im Nachlafi finden sich verschiedene Versionen fiir den
Beweis dieses Satzes. Hier abgedruckt ist Faszikel 602, die chronologisch letzte
Version des Beweises. Wenige Monate spater erhielt HAUSDORFF von der
Redaktion der Fundamenta ein Manuskript von H. FRIED zugeschickt, welches
einen anderen Beweis desselben Resultats enthielt. Die Arbeit von FRIED
erschien in den Fundamenta 1937 ([Pr 1937]; s. auch Pufinote 2 in diesem Abschnitt).
Die Argumentation in Fasz. 602 ist nicht rein topologisch; die additive Struktur
von IR spielt eine wichtige RoUe. Der zentrale Punkt in HAUSDORFFS Beweis
der Behauptung (/?) ist die Wahl von c, eines Symmetriepunktes, als Element
von Tn(^) derart, da6 der andere Symmetriepunkt 2c — ^ nahe genug zu a
ist (einem Element von T). So kann dann die Behauptung (a) angewendet
werden. Ein etwas kiirzerer Beweis wiirde von der Bemerkung ausgehen, dafi
Tn{e) ein dichtes G5 auf dem Intervall / der Lange < ^ ist. Deshalb gibt es
einen Punkt c ^ I mit c < ^ (wobei ^ ein beliebiger Punkt von / sein kann,
der nicht in Tn{e) zu liegen braucht), so da6 sowohl c als auch 2c — ^ (die
Symmetriepunkte) zu InTri{^) gehoren. (Um dies zu sehen, beachte man, dafi
die Menge C = {2c — ^ : ^ € / Pi Tn(0} dicht in einem Teilintervall von / ist;
folglich schneidet sie / PI T^ (^).) Es gilt dann
|/(6)-/(xi)|

eine iiberabzahlbare Menge reeller Zahlen keine symmetrischen Verdichtungspunkte
zu besitzen, wie das Cantorsche triadische Diskontinuum zeigt. HAUS-
DORFF bewies, da6 fiir jede symmetrisch stetige Funktion / alle bis auf abzahlbar
viele Punkte von Df symmetrische Verdichtungspunkte von Df sind. Die
Existenz symmetrisch stetiger Punktionen mit uberabzdhlbarem Df blieb jedoch
seit [H 1935c] eine offene Prage. Sie wurde erst 1971 von PREISS im positiven
Sinne beantwortet ([Pr 1971]).
Die Schwierigkeiten, die beim Studium symmetrisch stetiger Punktionen in
den 30-er Jahren aufgetreten waren, fiihrten HAUSDORFF ZU alternativen Konstruktionen
von Mengen mit iiberabzahlbar vielen symmetrischen Verdichtungspunkten.
Solch eine Menge, ein liberabzahlbares G^ von erster Kategorie, wird
in Pasz. 601 angegeben. HAUSDORFFS Versuche jedoch, eine solche Menge in
der Klasse F(j zu finden, bheben erfolglos. Die Existenz einer solchen Menge
folgt aus der Existenz symmetrisch stetiger Punktionen mit liberabzahlbarem
Df (weil Df stets ein ¥^ ist). Es ist bisher nicht bekannt, ob man das Resultat
mit elementareren Methoden als den in [Pr 1971] angewandten gewinnen
konnte.
Verschiedene einschlagige Ergebnisse aus spaterer Zeit verdienen hier erwahnt
zu werden. PREISS ([Pr 1971]) hat gezeigt, dafi fiir jede symmetrisch stetige
Funktion / die Menge Df eine NuUmenge ist. Andererseits kann nach Po-
NOMAREV ([Pn 1973]) Df nicht gleichzeitig abgeschlossen und iiberabzahlbar
sein. Merkwiirdigerweise scheint es bis CHLEBIK ([CI 1991]) nicht bekannt gewesen
zu sein, dafi es 2*^ verschiedene symmetrisch stetige Punktionen gibt und
nicht einmal, dafi nicht alle solchen Punktionen Borel-mefibar sind. Wir verweisen
beziiglich weiterer Studien und Ergebnisse auf LARSONS Ubersichtsartikel
[La 1985] und auf die Monographic [Th 1994] von THOMSON.
Abzahlbare Ordnungstypen: Fasz. 629 and 702
Die erste Note behandelt das Problem der deskriptiven Klasse der Menge aller
Teilmengen von Q eines gegebenen (abzahlbaren) Ordnungstypus (nicht notwendig
wohlfundiert). In der zweiten Note wird folgende Dichotomic bewiesen:
Jede abzahlbare Ordnung L enthalt entweder eine Teilmenge, die mit der Menge
der rationalen Zahlen ahnlich ist, oder es gibt ein a < uji, so dafi L keine
Teilmenge enthalt, die mit a ahnlich ist.
Das folgende Problem hat HAUSDORFF offenbar besonders interessiert. Fiir
jedes te2^seit = R{t) der Ordnungstyp der Menge R{t) = {r G Q : t{r) = 1}.
Fiir jeden abzahlbaren Ordnungstyp a ist die Menge [a] = {t :t — a} eine
Suslinmenge. HAUSDORFF stellt darliber hinaus fest, dafi [a] Borelsch ist, falls
a eine Ordinalzahl, d. h. ein wohlgeordneter Ordnungstypus ist. (Das ergibt
sich z. B. daraus, dafi in diesem Falle die Mengen [a] Konstituenten gewisser
co-Suslinmengen sind. Es gibt aber auch ziemlich einfache direkte Beweise
mittels transfiniter Induktion nach a.) Das Problem, welches wohl auf KURA-
TOW^SKI ([Ku 1937]) zuriickgeht, war es herauszufinden, ob es nicht-Borelsche
Mengen der Form [a] gibt.
HAUSDORFF zeigt in Fasz. 629, dafi [a] Borelsch ist fiir gewisse nicht wohl-
735

geordnete Typen. Zum Beispiel ist [77] Borelsch und sogar ein G5, wobei 77 der
Ordnungstypus der rationalen Zahlen ist. Er kommentiert ferner einen Artikel
von HARTMAN ([Hr 1937]), in dem bewiesen wird, da6 [a] Borelsch ist, falls a
hochstens abzahlbar viele Ordnungsautomorphismen gestattet.
Das Problem wurde schliefilich von D. ScOTT gelost ([Sc 1964]): [a] ist Borelsch
fiir jeden abzahlbaren Ordnungstypus a. Dieses Resultat ist ein Spezialfall
eines allgemeineren Theorems, welches besagt, dafi unter gewissen Bedingungen
jeder Orbit, der durch eine Borelsche Aktion einer polnischen Gruppe
auf einem polnischen Raum erzeugt wird, Borelsch ist (siehe z. B. RYLL-NARD-
ZEV^SKi [RN 1964] Oder KECHRIS [Ke 1995], 15.14 und 16.6).
Am Ende von Fasz. 629 verweist HAUSDORFF auf einen Satz von KUREPA,
der besagt, dafi jede abzahlbare geordnete Menge X, die fiir jedes ^ < uji eine
zu ^ ahnliche Teilmenge enthalt, auch eine zum Ordnungstypus rj der rationalen
Zahlen ahnliche Teilmenge enthalt. HAUSDORFF lernte dieses Resultat
1937 aus einem Manuskript KUREPAS kennen (s. Anmerkung [2] zu Fasz. 702).
Fasz. 702 enthalt HAUSDORFFS Beweis dieses Resultats. Er definiert eine Aquivalenzr
elation ~ auf X folgendermafien: x ^ y genau dann, wenn das Inter vail
[x,y] (oder das Intervall [y,x], falls y < x) "beschrankt" ist in dem Sinne, dafi
eine abzahlbare Ordinalzahl a existiert, so dafi [a:, y\ keine zu a ahnliche Teilmenge
enthalt. Die Kernpunkte fiir den Beweis sind: 1) Jede ~-Klasse ist eine
konvexe Teilmenge von X, die im obigen Sinne "beschrankt" ist; 2) Zwei verschiedene
~-Klassen konnen nicht benachbart sein.
Fasz. 677
HAUSDORFF beweist hier folgendes: Gegeben sei eine Kardinalzahl m, welche
der Bedingung m = m^° geniigt. Fiir jede Menge A der Kardinalitat m existiert
dann eine abzahlbar-unabhangige Familie von 2"^ Funktionen f : A ^^ A
und eine abzahlbar-unabhangige Familie von 2"^ Teilmengen von A. Dies ist
eine Verallgemeinerung seines Theorems aus [H 1936a] (dort sind nur endlichunabhangige
Familien definiert, aber ohne die Bedingung m = m^°). Der Beweis
enthalt eine direkte Konstruktion einer abzahlbar-unabhangigen Familie
ohne Benutzung des Auswahlaxioms.
Die Behauptung (2) ist eine weitere Verallgemeinerung: Wenn m = m^^ ist,
existieren i^i-unabhangige Familien der Kardinalitat 2"^.
Literatur
[Ch 1933] CHARZYNSKI, Z.: Sur les fonctions dont la derivee symmetrique
est paHout finie, Fund. Math., 21 (1933), S. 214-225.
[CI 1991] CHLEBIK, M.: There are 2^ symmetrically continuous functions,
Proc. Amer. Math. Soc, 113 (1991, 3), S. 683 - 688.
[Fr 1937] FRIED, H. : Uber die symmetrische Stetigkeit von Funktionen, Fund.
Math., 29 (1937), S. 134-137.
736

[Hr 1937] HARTMAN, S.: Zur Geometrisierung der abzdhlbaren Ordnungstypen,
Fund. Math., 29 (1937), S. 209-214.
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.
[Ku 1937] KuRATOWSKi, C.: Sur la geometrization des types d'ordre denombrable,
Fund. Math., 28 (1937), S. 167-185.
[Kur 1948] KUREPA, G. : Sur les ensembles ordonnes denombrables, Hrvatsko
Prirodoslovno Drustvo. Glasnik Mat.-Fiz. Astr. Ser. II, 3 (1948), S. 145-
151,
[La 1985] LARSON, L.: Symmetric real analysis: a survey, Real Anal. Exchange,
9 (1983/84, 1), S. 154-178.
[Lb 1905] LEBESGUE, H.: Sur les fonctions representable analytiquement,
Journ. de Math. (Ser. 6), 1 (1905), S. 139-216.
[Lu 1930] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.
[Pn 1973] PONOMAREV, S.: On a problem of Hausdorff, Math. Notes, 14
(1973), S. 671-672.
[Pr 1971] PREISS, D. : A note on symmetrically continuous functions, Casopis
Pest. Mat., 96 (1971), S. 262-264.
[RN 1964] RYLL-NARDZEWSKI, C: On Borel measurability of orbits, Fund.
Math., 56 (1964), S. 129-130.
[Sc 1964] SCOTT, D.: Invariant Borel sets, Fund. Math., 56 (1964), S. 117-
128.
[Th 1994] THOMSON, B.: Symmetric properties of real functions. Monographs
and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 183. Dekker, NY,
1994.
737

Aus dem Nachlafi zur Topologie
In diesem Teil werden zunachst drei Faszikel abgedruckt, die unmittelbar mit
einschlagigen Veroffentlichungen HAUSDORFFS im Zusammenhang stehen. Sie
werden hier nicht kommentiert, well auf die Kommentare bei den entsprechenden
Veroffentlichungen verwiesen werden kann. Es folgen dann vier bemerkenswerte
Studien HAUSDORFFS liber metrische Raume (mit Kommentar).
Mit gewissen Themenkreisen der allgemeinen Topologie hat sich HAUSDORFF
immer wieder eingehend beschaftigt, ohne darliber zu publizieren. In den folgenden
Essays „Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der Topologie ",
„Hausdorffs Studien iiber Kurven, Bogen und Peano-Kontinua" sowie „Hausdorffs
Studien zur Dimensionstheorie " wird liber den einschlagigen NachlaB ein
Uberblick gegeben; angeschlossen sind jeweils charakteristische Stlicke aus dem
NachlaB.
Mit kombinatorischer und algebraischer Topologfe hat sich HAUSDORFF erst
Ende der 20-er Jahre, angeregt u. a. durch Arbeiten P. ALEXANDROFFS, befaBt.
Damit beschaftigt sich der Essay „Hausdorffs Blick auf die entstehende
algebraische Topologie". Im AnschluB daran werden aus dem NachlaB HAUS­
DORFFS die Vorlesung „Komhinatorische Topologie" (Bonn, Sommersemester
1933) sowie weitere einschlagige Manuskripte abgedruckt.
739

NL HAUSDORFF : Kapsel 42: Fasz. 700
L-Raume als Unterraume eines topologischen Raumes
Hs. Ms. - [Bonn], 4. 5. 1938. - 4 BU.
£-Raume als Unterraume eines topologischen Raumes.
[1] (Vgl. Fund. Math. 25, p. 496-498).
E sei Ti-Raum mit den abgeschlossenen Hiillen Aa-
Die Konvergenzen
Xn -^ X, d. h. fiir jede Teilfolge Xp ist, mit X = Y^ Xp, X -\- x = X^
4/5 38
geben einen >C-Raum Ei ^^ E (d. h. E*! Unterraum von E). Dies Konvergenzensystem
heisse /Ci.
Die Konvergenzen
2
Xn -^ X, d. h. jede Umgebung von x enthalt fast alle Xn,
deren System /C2 heisse, geben im Allgemeinen keinen >C-Raum, da die Eindeu-
2 2
tigkeit (mit Xn —> x, x^ -^ ?/ ist x = y) nicht erfiillt zu sein braucht.
Jedes Konvergenzensystem, das einen Unterraum von E definiert, ist C /C2.
Insbesondere ist /Ci C /C2.
A. a. O. habe ich gezeigt: wenn E selbst £-Raum ist, ist /Ci = /C2 (/C2 erfiillt
also die Eindeutigkeitsforderung) und dieses ist das grosste Konvergenzensy-
Bl. 2 stem, das E erzeugt. |
Wenn /C2 eindeutig ist, definiert es den obersten £-Raum E2 —^ E (mag E
selbst £-Raum sein oder nicht). Insbesondere gilt fiir den durch /Ci definierten
£-Raum Ei: Ei -^ E2. Ich habe dort die Frage aufgeworfen, ob Ei von E2
verschieden sein kann. Das folgende Beispiel zeigt, dass sie zu bejahen ist.
Vorauszuschicken ist: N sei die Menge der natiirlichen Zahlen, P C N, Pn =
P{l,2,...,n}, \Pn\ die Machtigkeit von Pn (= Anzahl der Elemente von P,
die < n sind). Es ist
0

umgekehrt; z. B. hat die Menge der Primzahlen oder der Potenzen von 2 die
Dichte 0, das Komplement die Dichte 1.
Wir lassen E jetzt aus A^ und zwei weiteren Elementen x, y bestehen mit
folgenden ofFenen Mengen:
alle Mengen C N] x-\-{N - M), x-\-y-^{N -M) (M endlich C N); y + P
(P von der Dichte 1). | Bl. 3
Man libersieht sofort, dass der Durchschnitt endUch vieler und die Summe
bhebig vieler ofFener Mengen ofFen ist und dass Ti gilt. Abgeschlossen sind
demnach:
Die Mengen x -\-y+ Menge C N; y -\- M, M; x -\- Q {Q von der Dichte 0)
oder ausser den endlichen Mengen die folgenden
X -\- Q {Q unendlich von der Dichte 0)
X -i-y -\- P (P unendlich).
2
Das Konvergenzensystem /C2 erfiillt die Eindeutigkeitsbedingung. Zn -^ z bedeutet
fiiizEN (da z selbst eine Umgebung von z, z isolierter Punkt ist)
2
schliesslich Zn = z. Aber auch Zn -^ y ist nur so moglich, dass schliesslich
Zn = y ist; andernfalls gabe es eine unendliche Teilmenge R — {ri, r2,...} C N
mit rn -^ y; jede Umgebung Uy — y -\- P {P von der Dichte 1) miisste fast alle
Tn enthalten; das stimmt aber nicht, denn RP enthalt eine unendliche Menge
Q von der Dichte 0, und y -\- {P — Q) ware noch eine Umgebung von y {P — Q
von der Dichte 1), die unendlich viele Elemente von R nicht enthalt. Die einzige
nichttriviale Konvergenz in /C2 ist n -^ re (n = 1,2,...) nebst den unmittelbar
daraus folgenden Zn ^^ x^ wo Zn unendlich viele Elemente € iV, jedes endlich
oft und vielleicht auch noch x endlich oder unendlich oft durchlauft - oder
aber schliesslich Zn = x ist. | Hingegen ist nicht n -^ x. Sonst miisste fur jedes B1.4
unendliche P C N P -\- x — Pa sein; wenn aber P nicht von der Dichte 0 ist,
ist P + X nicht abgeschlossen (P^ = P -\-x^y). Das System /Ci enthalt nur die
trivialen Konvergenzen Zn —^ z^ wo schliesslich Zn — z.
Kann man zeigen: wenn E einen obersten £-Raum —^ E zulasst, so ist dieser
= £^2? (so dass die Eindeutigkeit von /C2 mit der Existenz eines obersten C-
Raums -^ E gleichbedeutend ware).
Anmerkungen
[1] Das bezieht sich auf HAUSDORFFS eigene Arbeit Gestufte Rdume ([H 1935b]),
abgedruckt in diesem Band, S. 503-521. Fiir nahere Erlauterungen s. den dortigen
Kommentar.
741

NL HAUSDORFF: Kapsel 40: Fasz. 624
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des Nullraums
Hs.Ms. - [Bonn], 18.3.1937. - 6 BU.
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des Nullraums.
18.3.37
X sei separabel. Fiir A C X sei A^ die Menge der Verdichtungspunkte, A^ =
ist abzahlbar. Fiir eine verdichtete Menge A [A — A^
oder A

C Fk; wir haben dann
hierbei ist Pk -{- Rk C Fk, also L C C C B und C — J^^k = i^ ist abzahlbar,
librigens R C^Rk C L. Jeder Punkt x von R ist, als Verdichtungspunkt von
L, in einer perfekten (z.B.mit dem Cantorschen Diskontinuum homoomorphen)
Menge Px C L vom Durchmesser < S, R in abzahlbar vielen solchen
Mengen P/ enthalten, und wenn wir A = J2^k -^ J2^i setzen, haben wir
CcAcC-\-L = C, also L = A. Es ist LPi = Pi verdichtet und in Pi
dicht; aber auch LPk verdichtet und in Pk dicht, denn Vk ist in LFk abgeschlossen,
Vk = LFkPk — LPk, Vk ist verdichtet und in Pk — Vk dicht. - Wir
haben also jetzt L C A C B, A = ^Pn perfekter Mengen von Durchmessern
< S, LPn verdichtet und in Pn dicht. Sind bereits unendlich viele
Dn = Pn-~^Pm¥^0,
SO ist es gut; andernfalls sei etwa Dn das letzte / 0 {A = Pi + • • • + Pn)-
Da LPn verdichtet und in Pn dicht ist, ist (Schnitt mit X — Y^rn

vom Durchmesser < -, LDiDij = LDij ist verdichtet und in Dij dicht. A2 =
Yl^ = Ylij ^ij ^^^ disjunkten Summanden, ist ein F^, L = ^LDi C A2 C
B2YD, = B2Ai.
(3) LDij C BsDij C Dij, LDij verdichtet, in B^Dij (einem F^-) dicht.
Indem wir (2) auf LDij, B^Dij anwenden, erhalten wir eine Menge A^j, LDij C
A^j C BsDij, A^j = Piji -\-Pij2 H mit aufsteigenden perfekten Pijk- Dijk =
Pijk — Pij,k-i ¥" ^ vom Durchmesser < -; LDij Dijk = LDijk verdichtet und
«j
in Dijk dicht. A3 = ^Ifc ^ijk^ L C A3 C ^3^2.
So fortfahrend erhalten wir perfekte Mengen P^, P^^, Pijk^ • • •, die mit dem
letzten Index wachsen, und Mengen
von Durchmessern < 1, -, -, ...;
z o
PiD DiD Pij D Dij D Pijk D Dijk D • • • .
Alle diese Mengen D sind ^ 0 und so beschaffen, dass LD verdichtet und in D
Bl. 6 I dicht ist. Ferner mit
Ai=Y^Di, A2 = ^Dij, A3-^Aj/c, •••
ist Ai C Pi, A2 C P2A1, A3 C P3A2,... und Ai D A2 D As o> - •,
L C ]jAn C n P n = L, L = []^ An
Sei nun x E L; es giebt eine bestimmte Zahlenfolge i^j^k,... mit x G
DiDijDijk' •'•, umgekehrt, jeder Zahlenfolge ^ = (i^j^k,...) entspricht ein
Punkt X = PiPijPijk-' • = DiDijDijk" € Yl^n = L. Hierdurch erhalten
wir eine schlichte Abbildung x = /(^) des NuUraums N auf L. Sie ist stetig,
denn wenn ^,^' die Entfernung < — haben und also in den ersten n Indizes
2i,...,Zn tibereinstimmen, gehoren x = /(^) und x^ = /(^O zu Di^^,,,^i^ und
haben eine Entfernung < —. Sie ist von der Klasse 0, 1; denn das Bild von
n
^21,...,in ist Di^^,,,^i^, eine Menge der Form: Durchschnitt endlich vieler Differenzen
P — Q, oder F • G, und da die Ni^^^^^^i^ eine Basis in N bilden, ist das
Bild jeder in N offenen Menge ein Fcj. Damit ist erwiesen, dass jedes verdichtete
P^ = Ffjs Bild des NuUraums vermoge einer Abbildung 0, 1 ist.
Anmerkungen
Beziiglich naherer Erlauterungen s. den Kommentar zu [H 1937], dieser Band,
S. 539-554. Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2,
S. 300-305.
744

NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 1058
[Charakterisierung der verdichteten F^~^^]
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Anfang 1937]. - 12 BU.^
(2) Das Bild eines F bei einer Abbildung 0, a ist ein F^+^.
Aus (1) folgt fiir ce = 1, dass das Bild eines F^ bei einer Abbildung 1,(3
ein F^+^ ist, also auch das Bild eines F^ bei einer Abbildung 0,/? ein
AUes Folgende kann als Umkehrung von (2) aufgefasst werden, wobei man
den Fall a = 0 (jedes F^ ist mit einem F homoomorph) beiseite lassen
kann.
(3) Jedes F^'^^{a > 0) entsteht durch eine Abbildung 0, a aus einem 0dimensionalen
F oder aus einer in N abgeschlossenen Menge.
(B, p. 215, theoreme 1; vgl. auch A, p. 224, theoreme 2)?
(4) Ist A ein Gs in einem nulldimensionalen X = F, A und X — A in X
dicht, so ist A mit N homoomorph (Satz von Mazurkiewicz; vgl. A, p. 225,
theoreme 3).
(5) Ist A ein in N dichtes Gs, so ist A mit N homoomorph.
Beweis: X sei der dyadische Teilraum von A/', bestehend aus den A =
(/i,/2?---) niit Ik = 1,2; X ist mit dem Cantorschen Dis | kontinuum Bl. 2
homoomorph. Die Menge Xi C X der A mit unendlich vielen Ik = 1 ist
mit N homoomorph und ein Gs, da, X2 — X — Xi abzahlbar ist; beide
Summanden sind in X = Xi + X2 dicht. Ist A in Xi dichtes Gs, so ist es
auch in X dichtes Gs, wahrend zugleich X — A — {X\ — A) + X2 in X
dicht ist, also nach (4) A mit N homoomorph.
(6) Jedes unabzdhlbare F'^~^^{a > 0) ist Summe einer abzdhlbaren Menge und
einer solchen, die aus N durch eine Abbildung 0, a entsteht, (B., p. 216,
coroUaire 1).
Unser Ziel ist nun, die folgende Prazisierung von (3) und (6) zu beweisen:
Satz I. Jedes verdichtete F^~^^{a > 0) entsteht aus N durch eine Abbildung
0, ce.
Zunachst ist der Fall a — 1 zu behandeln, den wir besonders formulieren:
Satz II. Jedes verdichtete F^ = F^s entsteht aus N durch eine Abbildung
0,1.
^[Das Manuskript ist ein Fragment; HAUSDORFFS Paginierung beginnt bei 5.]
^[Die Veroffentlichungen A und B werden in [H 1937], S. 151, dieser Band, S. 541, identifiziert.l
745

Das ist eine Verscharfung des Kuratowskischen Satzes B, p. 210, wonach
die verdichteten (= insichdichten) F^ = G5 aus N durch Abbildungen
Bl. 3 0,1 entstehen. |
(7) Eine insichdichte Menge D ^ 0 im separablen Raume X, die Differenz
von zwei abgeschlossenen Mengen ist, gestattet eine Zerlegung D = Y^Di
(/ = 1,2,...) in unendlich viele, disjunkte, nicht leere Mengen Di von
Durchmessern < 5, derart dass Pi = Di-i \- Di perfekt und zwar von
der Form Pi = DUi (Ui in X off en) ist.
(Vgl. B, p. 208, Lemme). Die zuletzt angegebene Form von Pi ist fiir uns
von Bedeutung; es folgt aus ihr:
Ist A irgendeine in D verdichtete Menge, so ist jedes ADi in Di verdichtet
Denn AUi ist in DUi verdichtet, also auch in Pi {AUi ist verdichtet und
in DUi dicht, also in Pi dicht), und wegen AUi C APi C Pi ist APi
in Pi verdichtet; indem man mit der offenen Menge X — Pi-i schneidet
{Pi — Pi-i — Di), findet man ADi in Di verdichtet.
(8) C 7^ 0 sei ein F^ (im separablen voUstandigen Raum X) und A eine
in C verdichtete Borelsche (oder analytische) Menge. Dann giebt es eine
BL 4 Menge B mit Ac B cC folgender Art: B = Y,Di\ (I = 1,2,...) ist in
unendlich viele, disjunkte, nichtleere Mengen Di von Durchmessern < 6
zerlegbar; ADi ist in Di verdichtet und Pi = Di -\- • -\- Di perfekt.
Beweis. Zunachst kann man mit Hiilfe einer entsprechenden Zerlegung
von X die abgeschlossenen Summanden von C = ^Fh von Durchmessern
< S annehmen. Wir setzen AFh = Vh-^Rh, Vh = (AFh) der verdichtete
Teil von AFh, Rh abzahlbar. Dann ist Ph = Vh perfekt, und aus A —
ZAFh C ZiPh + Rh) C E^h = C folgt fiir B = Z{Ph + Rh), dass
A C B C C. Hierbei ist Vh = AFh • Vh = APh verdichtet und in Ph
dicht, also APh in Ph verdichtet. Weiter ist R = B -J2Ph cYl^h C A
abzahlbar und jeder Punkt x e R, als Verdichtungspunkt der analytischen
Menge A, in einer perfekten Menge Px C A gelegen, die wir wieder vom
Durchmesser < S annehmen konnen; R ist in abzahlbar vielen dieser Px
enthalten, sagen wir R C J2 ^k C A C B, also B = Y,Ph + RcJ2Ph +
BL5 EPkCB^l 5 = ^ P/i + J]] Pfc; fiir die hinzugekommenen Summanden
ist ebenfalls APk = Pk in Pk verdichtet. Wir haben jetzt also B = ^Qi
mit perfekten Summanden von Durchmessern < J, AQi in Qi verdichtet;
indem man mit der offenen Menge X — {Qi-\ \-Qi-i) schneidet, ergiebt
sich auch ADi in Di verdichtet, Di — Qi — {Qi-\ \-Qi-i)- Behalten wir
nur die Di ^ 0 bei, so er giebt sich, wenn der en unendlich viele sind, die in
(8) behauptete Zerlegung B = J2Dh denn Di-{ \-Di = Qi-{ \-Qi
ist perfekt. Wenn aber nur endlich viele Summanden vorhanden sind,
so schreiben wir B = Di -\- - -\- Dk-i + D und konnen nun nach (7)
D = Dk -\- Dk+i + • • • mit unendlich vielen Summanden ^ 0 derart
746

setzen, dass (well AD in D verdichtet ist) ADDi — ADi in Di verdichtet
und Dk -\- •'' -\- Di perfekt ist (/ > k). Damit haben wir auch in diesem
Falle die gewlinschte Zerlegung B = Di-{ h Dk-i -\- Dk-\- Dk-\-i H
erhalten. | Bl. 6
(9) A = C^C^ • " sei ein verdichtetes F^rs (im separablen voUstandigen Raum
X), die C^ Mengen F^-. Dann lassen sich alien Komplexen /i,...,//.
natiirlicher Zahlen (A: = 1, 2,...) Mengen Di^,,^i^ derart zuordnen:
{a) Di^^^jj^ ist nicht leer und vom Durchmesser < ^; ADi^,,,i^ ist in
Ai..j, verdichtet. Es ist A c B''= X:z,..j, AI..J. C CK
{(3) Die Ai.../fc sind bei festem k disjunkt; Pi^,..ik-iik = S/li Di^...h-ii
ist perfekt.
(7) Fiir jede Folge A = {h^h,---) ist Ai D A1Z2 I^ " • •, also Pi^ D
Di, D Pi,i^ D Di,i, D • • •.
Beweis. A ist in C^A verdichtet; nach (8) giebt es eine Menge B^,A C
B^ C C^A, von der Form B^ = ^^1^1 ^i* disjunkten A 7^ 0 von Durchmessern
< 1, derart dass ADj in Di verdichtet und Pi = Di + -" + Di
perfekt ist.
Nehmen wir an, die Mengen mit fc — 1 Indizes seien bereits bedingungsgemass
bestimmt, und bezeichnen einen {k — l)gliedrigen Komplex mit
/i == /i,..., //e_i, den Komplex /i,..., h-ij mit ///. AD^ ist in D^ verdichtet,
also wegen AD^, C C^D^ C Df, auch AD^ in C^D^, welch
letztere | Menge ein F^ ist, denn D^ ist nach {(3) Differenz perfekter Bl. 7
Mengen. Nach (8) giebt es eine Menge B^, ADf^ d B^ d C^D^, der
Form B^ = Yli ^IJ^I ^i^ disjunkten D^i ^ 0 von Durchmessern < ^,
also Dfj^i C D/^; zugleich ist AD^ • D^i = AD^i in D^i verdichtet und
P^i = D^i-}--"-{- D^i perfekt. Aus AD^ C E^ D^i C C^ folgt durch
Summation nach /i AB^~^ C B^ C C^ oder Ac B^ cC^. Damit sind
die Mengen mit k Indizes bedingungsgemass bestimmt.
Wir haben nun A cYl^^ ^Y[C^ = A also A = YIB^ und konnen den
Beweis von II mit wenigen Worten erbringen. Zu jedem x ^ A giebt es
eine bestimmte Folge A = {h^h, • • •) mit x = Di^Di^i^ • • • und umgekehrt
(weil die Pi-^...ik nach (7) fiir /c > 1 Durchmesser < -^^j haben) zu jeder
Folge A einen Punkt x = Pi^Pi^i^ •. • = Di^Di^i^ - • e A. Hierdurch wird
eine schlichte Abbildung x = f{X) des NuUraums N auf A hervorgerufen.
Das Bild | des Intervalls Ni^...ik ist f{Ni^...ik) = ^Dh-.-hi Intervall wie BL 8
Bild haben einen Durchmesser < p Danach ist / gleichmassig stetig;
andererseits, da die D Differenzen perfekter Mengen, also Fo- sind und
die Intervalle eine Basis der offenen Mengen in N bilden, ist /(G) — AF^,
f von der Klasse 0,1.
Alsdann beweisen wir I fiir a > 1.
Ist B verdichtetes F^+^ (im separablen voUstandigen Raume X), so giebt
747

es nach (6) eine Zerlegung B = A + R, wo A = f{N) Bild von N vermoge
einer Abbildung 0, a und R = B — A abzahlbar ist. Nun ist jeder Punki
X E R in einer perfekten Menge Qx C A -\- x enthalten, deren (in N
ahgeschlossenes) Urbild Px = f~^{Qx) = f~^{^Qx) = f~^{Qx — ^) '^'i^fgendsdicht
ist. Denn da> x E B — A und also fiir jede Umgebung U von
X, AU unabzahlbar ist, so enthalt diese Borelsche Menge eine mit dem
Cantorschen Diskontinuum C homoomorphe Menge und, weil C mit dem
Cartesischen Produkt (C^C) homoomorph ist, unabzahlbar viele (2^°) |
Bl. 9 disjunkte perfekte Mengen Q, von deren Urbildern P = f~^{Q) hochstens
abzahlbar viele innere Punkte haben konnen; AU enthalt also ein perfektes
Q mit nirgendsdichtem Urbild P. Eine Folge von Umgebungen Un
von X mit Durchmessern -^ 0 liefert eine Folge perfekter Qn C AUn niit
nirgendsdichten Urbildern P^, und dann ist Qx = YlQn-\- ^ perfekt mit
einem Urbild Px = X^Pn, das in N abgeschlossen und von erster Kategorie,
folglich nirgendsdicht ist {N — Px ist in dem vollstandigen Raum
N dicht). - Macht man dies nun fiir jedes x E R und setzt Q = ^Qx^
P = f-\Q) = J2Px, so ist R c Q C A^ R und f{P) = AQ = Q - R,
f{N - P) = A - {Q - R) = B - Q, P ist in AT ein F^ von 1. Kategorie,
also N — P ein in N dicht es Gs und nach (5) mit N homoomorph; in Folge
dessen konnen wir, da die Teilfunktion f{x\N — P) von der Klasse 0, a ist,
B — Q = fi{Ni) setzen, Ni mit TV homoomorph, /i von der Klasse 0,a.
Q als Summe abzahlbar vieler perfekter Mengen ist verdichtetes Fo- und
Bl. 10 entsteht aus einem zu Ni disjunkten Nullraum N2 durch | eine Abbildung
0,1 (auf Grund von II; librigens lasst sich dieser Spezialfall natiirlich einfacher
beweisen). Wenn wir aus Ni, N2 einen Nullraum NQ = Ni -}- N2
bilden, in dem beide Summanden offen und abgeschlossen sind, haben
wir also
B-Q = h{m), Q = h{N2),
/i von der Klasse 0,a; /2 von der Klasse 0,1. Wir haben dann B —
/o(A'o) (/o = /i in A^i? /o = /2 in N2) und diese Funktion /o ist schlicht
stetig; iiberdies ist sie von der Klasse 0, a. Denn ist F in N abgeschlossen,
so ist fi{NiF) = iB- Q)F'^ und, weil B-Q = BG5 = BF\ ein JBF";
f2{N2) = QF^ = FaF^ = G^F^ und dies ist wegen a > 1 ein F^ oder
BF'^ (erst an dieser Stelle wird die Voraussetzung a > 1 notwendig).
Demnach ist /o(F) = 5F^, q.e.d.
Anhangsweise mogen noch die topologischen Bilder von N charakterisiert
werden. Sie sind jedenfalls Gs (separabel, topologisch voUstandig),
0-dimensional und insichdicht (= verdichtet); aber dies ist noch nicht
Bl. 11 hinreichend, wie das Cantorsche Diskontinuum zeigt. Wenn man | aber
die Bedingung der Insichdichtheit (es giebt keinen isolierten Punkt, d. h.
keine einpunktige offene Menge) dahin verscharft:
(K) Es giebt keine kompakte offene Menge (7^ 0)^,
^[Hierzu hat HAUSDORFF auf Blatt lOv erganzt: „{K): G (offen 7^ 0) ist nicht kompakt,
748

so ist dies auch noch notwendig; denn jedes Intervall iV/^..j^ enthalt unendlich
viele Punkte ai G iV/^..j^/, die paarweise Entfernungen ^^ haben,
also eine unendliche, isolierte, in N abgeschlossene Menge, und diese kann
in keiner kompakten Menge liegen. Mit den zuvor aufgefiihrten Bedingungen
zusammen wird sie aber auch hinreichend, d. h.
Die mit dem Nullraum N homoomorphen Mengen sind die separablen, topologisch
vollstdndigen, 0-dimensionalen Rdume X, die keine kompakte
offene Menge (•=^ 0^ enthalten.
Wenn namlich X separabel und 0-dimensional ist, so giebt es eine Zerlegung
X = Y^^i i^ disjunkte Mengen Di ^ 0 von Durchmessern < (5,
die zugleich off en und abgeschlossen sind. Denn zunachst hat X eine
abzahlbare Basis, aus offenen und zugleich abgeschlossenen Mengen Ui
von Durchmessern < S bestehend, und mit Di = Ui — {Ui -\- • - • -h Ui)
erhalt man so eine Zerlegung X = Yl^i- ^^ kommt wieder darauf an,
alle Di ^ 0 zn erhalten; das ist unmoglich oder moglich, jenachdem X
kompakt ist oder nicht. Denn | X enthalt, wenn nicht kompakt, eine Folge Bl. 12
ai, a2,... verschiedener Punkte ohne Haufungspunkt, und man kann jedem
ah eine offene und abgeschlossene Umgebung Dh vom Durchmesser
< ^ zuordnen, derart dass die Dh disjunkt sind. Dann ist D = ^Dh
off en und abgeschlossen, X — D = Yl^k in disjunkte (endlich oder unendlich
viele) Dk von Durchmessern < 5 zerlegbar, die in X — D, also in
X zugleich offen und abgeschlossen sind, und X = ^ Dh + ^Dk = ^Di
leistet das Verlangte. Erfiillt X die Bedingung (K), so ist auch Di nicht
kompakt und man hat Di = Y^^ Dim mit unendlich vielen Dim ¥" 0 (von
beliebig kleinen Durchmessern), die in Di, also in X offen und abgeschlossen
sind. So gelangen wir zu
h h
und wenn X nun noch voUstandig ist, giebt x — Di^Di^i^ • - = /(A) eine
schlichte stetige Abbildung von N auf X, bei der /(AT/^ .j^) = Di^,,,i^
offen und f{G) offen ist, also eine Homoomorphie.
Anmerkungen
Beziiglich naherer Erlauterungen s. den Kommentar zu [H 1937], dieser Band,
S. 549-554.
enthalt also eine Folge ai ohne Haufungspunkte in G.
Hier ist mehr gezeigt: Sie enthalt eine Folge ohne Haufungspunkte in N; also auch G ist
nicht kompakt; die kompakten Mengen in N sind nirgendsdicht." ]
749

NL HAUSDORFF : Kapsel 33: Fasz. 223
Metrische und Topologische Raume
Hs.Ms. - [Greifwald], 25.5.1915 - 5 Bll.
(Abgedruckt ist aus diesem Faszikel Abschnitt I, Bll. 1-2, lO.Z.v.o.)
25/5 15
Metrische und topologische Rdume. In metrischen Raumen gelten verschiedene
Satze, die in topologischen nicht richtig sind.
I. In jeder unendlichen kompakten Menge eines metrischen Raumes ist eine
[1] abzdhlbare Menge dicht. (Grdz. S.274, X). Die betreffende Menge A kann fiir
jedes p in eine endliche Anzahl von Kugeln mit dem Radius p (mit Mittelpunk-
[2] ten, die zu A gehoren) eingeschlossen werden; ihre Mittelpunkte bilden eine
in A dichte Menge. Die Kugeln selbst, resp. ihre Durchschnitte mit A, bilden
ein mit dem urspriinglichen gleichwerthiges System von Umgebungen; es gilt
also in jeder unendlichen kompakten metrischen Menge das zweite Abzdhlbarkeitsaxiom
(also in einem metrischen Raume, der in sich kompakt ist oder als
kompakte Theilmenge eines umfassenden metrischen Raumes aufgefasst werden
kann). Die Giiltigkeit des 2. Abzahlbarkeitsaxioms kann auch direkt aus
der Dichtigkeit einer abzahlbaren Menge gefolgert werden, vgl. II.
Dass I in einem topologischen Raume nicht gilt, zeigt das Beispiel einer
geordneten Menge wie (1 -h A)a;i, wo A das offene Linearcontinuum ist. (Die
Umgebungen durch Strecken zu definiren.) Ist x ein beliebiger Punkt dieser
Menge, so bilden die Punkte ^ x eine Menge vom Typus 1 + A + 1, also eine
[3] compakte Menge; jede abzahlbare Menge liegt in einem solchen Anfangsintervall,
hat also gewiss Haufungspunkte; die Menge ist kompakt; aber es ist keine
abzahlbare Menge in ihr dicht.
Ahnliches leisten Potenzmengen, z.B. (1 + A + l)^ .
Bl. 2 I Hierzu sei beilaufig bemerkt: die Menge A + (1 + X)uJi giebt eine "Curve"
(d. h. jede Umgebung ist auf eine lineare Strecke abbildbar), in der keine
abzahlbare Menge dicht ist. Lasst man x diese Menge, y die Strecke 0 < y < 1
durchlaufen, so geben die Punkte (x,y) eine "Flache" (jede Umgebung auf
das Innere eines Kreises abbildbar) ohne abzahlbare dichte Menge, also sozusagen
eine Riemannsche Flache mit unabzahlbar vielen Blattern. Dabei ist diese
Flache
0 1 2 3 (jj uj -\-l uj -\-2
zusammenhangend! je zwei Punkte lassen sich durch eine stetige Curve x —
ip{t), y = il;(t) verbinden. (Eine Flache, die in beliebig viele Blatter zerfallt, ist
nattirlich ohne weiteres angebbar, z.B. die Ebenen z = const, eines R^).
750

Anmerkungen
[1] Gemeint sind die Grundziige der Mengenlehre, Leipzig 1914.
[2] Das A in dieser Zeile ist im Original versehentlich klein geschrieben.
[3] HAUSDORFF schreibt „kompakt" auch gelegentlich mit c.
Kommentar: Gegenbeispiele in der Topologie^
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
Das von HAUSDORFF in seinem epochemachenden Buch Grundziige der Mengenlehre
([H 1914a]) geschaffene Raumkonzept ist nicht nur sehr viel klarer,
sondern auch erheblich allgemeiner als es unsere intuitiven, in der Regel an
metrischen Raumen geformten Raumvorstellungen sind. Hierdurch bedingt ist
die von Hausdorff geschaffene allgemeine Topologie ein
[• • • ] Gebiet, wo schlechthin nichts selbstverstandlich und das Richtige
haufig paradox, das Plausible falsch ist.^
Folglich besteht die Allgemeine Topologie sowohl aus einem Geflecht positiver
Resultate (Propositionen, Theoreme, KoroUare usw.) als auch aus einer Fiille
von sog. Gegenbeispielen, d. h. Beispielen, welche die Diskrepanz zwischen intuitiven
Raumvorstellungen und abstraktem Raumkonzept belegen. Flir viele
Topologen macht gerade diese Zwiespaltigkeit einen besonderen Reiz der Topologie
aus. Es gibt sogar ein Buch, das nicht positive Ergebnisse, sondern
Gegenbeispiele zum Inhalt hat: [SS 1978].
Da, wie bereits HAUSDORFF in [H 1914a] gezeigt hat, nicht nur jede Metrik,
sondern auch jede lineare Ordnung auf einer Menge X in natiirlicher Weise eine
Topologie auf X induziert, und da die metrischen Raume unseren intuitiven
Raumvorstellungen naher sind als die linear geordneten topologischen Raume
(linearly ordered topological spaces), kann es nicht verwundern, da6 letztere
ein natiirliches Reservoir elementarer Gegenbeispiele liefern.
Eines der klassischen derartigen Beispiele stellt das Lange Intervall nebst
seinen Varianten dar.
Im folgenden bezeichnen wir einen linear geordneten topologischen Raum
vom Ordnungstyp
• A der reellen Zahlen als reelle Gerade M
• (1 + A)a;i als langes Intervall I
• (1 -h A)a;i + 1 als lange Strecke S
• A + (1 + A)cc;i als lange Halbgerade H
• (A + '^)(^i^ + A + (A -h l)uJi als lange Gerade G.
Diese sehr einfach gebauten topologischen Raume haben eine Reihe bemerkenswerter
Eigenschaften. U. a. gilt:
^Aus Sicht der Funktionentheorie ist Faszikel 223 im Band IV dieser Edition, S. 318-323
kommentiert.
2[H 1914a], S. V.
751

1. Die lange Gerade G und die lange Halbgerade H sind fast (1-dimensionale)
topologische Mannigfaltigkeiten.
Genauer gilt: G und H sind zusammenhangende HausdorfTsche topologische
Raume, die ofFene Uberdeckungen aus zu R homoomorphen Teilraumen,
aber keine abzahlbare Basis besitzen.
2. Die lange Gerade G, die lange Halbgerade H und das lange Inter vail I
sind fast metrisierbar.
Genauer gilt: G, H und I sind lokal metrisierbar (d. h. sie besitzen offene
Uberdeckungen durch metrisierbare Teilraume) und normal (sogar erblich
normal und koUektionsweise normal), aber weder perfekt-normal noch
parakompakt, also nicht metrisierbar. Ferner ist keiner der Raume G^,
H^ bzw. I^ normal.
3. Das lange Intervall I ist fast kompakt.
Genauer gilt: I ist lokal-kompakt, abzahlbar kompakt, metakompakt und
sequentiell kompakt, aber kein Lindelof-Raum, also nicht kompakt. Ferner
besitzt I genau eine vertragliche uniforme Struktur und genau eine
Kompaktifizierung (die lange Strecke S).
4. Die lange Strecke S ist fast ein Gegenbeispiel zum Satz von HAHN und
MAZURKIEWICZ, der besagt, dafi jeder Hausdorffsche topologische Raum
X, der die folgenden Bedingungen (a) - (d) erfiillt, bereits (e) - (g) erfiillt:
(a) X ist kompakt,
(b) X ist zusammenhangend,
(c) X ist lokal zusammenhangend,
(d) X hat eine abzahlbare Basis,
(e) X ist stetiges Bild von [0,1],
(f) X ist wegzusammenhangend,
(g) X ist lokal-wegzusammenhangend.
S erfiillt die Bedingungen (a) - (c), aber keine der Bedingungen (d) - (g).
Dariiber hinaus dienen die Raume G, H, S und I als Bausteine zur Konstruktion
komplizierterer Gegenbeispiele.
Das lange Intervall und seine Varianten gehoren heute zur mathematischen
Folklore. Obwohl sie in den meisten Lehrbiichern erwahnt werden, bleibt ihr
Ursprung - selbst in einem so sorgfaltig recherchierten Buch wie [E 1989] -
im Dunkel. Die naheliegende Vermutung, Spuren bereits bei CANTOR finden
zu konnen, erweist sich als korrekt: Bereits 1883 wurde das lange Intervall von
CANTOR als geordnete Menge (noch ohne Topologie) beschrieben:
Die erweiterte ganze Zahlenreihe kann, wenn es die Zwecke erfordern,
ohne weiteres zu einer kontinuierlichen Zahlenmenge vervoUstandigt werden,
indem man zu jeder ganzen Zahl [d. h. Ordinalzahl] a alle reellen
Zahlen x, die groBer als Null und kleiner als Bins sind, hinzufiigt.^
3[C 1883], S.552 bzw. 171.
752

HAUSDORFF hat sich, wie die Faszikel 121 und 223 seines Nachlasses zeigen, im
Mai 1915 intensiv mit den topologischen Eigenschaften des langen Intervalls
und der langen Halbgeraden beschaftigt und insbesondere festgestellt, dafi
(a) die lange Halbgerade H fast eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (siehe
oben), aber nicht separabel ist und somit keine abzahlbare Basis besitzt,
(b) die lange Ebene H x (0,1) in analoger Weise fast eine 2-dimensionale
Mannigfaltigkeit ist,
(c) jeder (abzahlbar) kompakte metrische Raum eine abzahlbare Basis besitzt
und somit separabel ist, wahrend das lange Intervall I ein nicht
separabler, abzahlbar kompakter T2-Raum ist.
Leider hat HAUSDORFF diese Ergebnisse nicht publiziert. Er hat sie jedoch
TiETZE mitgeteilt. Dieser konstruiert das lange Intervall I als
[• • • ] Beispiel eines absolut-kompakten [= abzahlbar kompakten], jedoch
dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom nicht geniigenden Raumes, ein Beispiel,
das ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn F. Hausdorff verdanke.^
Durch Hinzufiigen eines Punktes gewinnt TiETZE als weiteres Beispiel die lange
Strecke S. Da I nicht abgeschlossen in S ist, folgt, da6 ein abzahlbar kompakter
T2-Raum nicht notwendig T2-abgeschlossen ist - ein Phanomen, das im Bereich
der metrischen Raume nicht eintreten kann.
Unabhangig hiervon konstruierte ViETORlS in [V 1921] - sich direkt auf
CANTOR beziehend - die lange Strecke S als Beispiel eines linear geordneten
zusammenhangenden, kompakten Raumes, der nicht separabel, also nicht
stetiges Bild von [0,1] ist. In einer Fufinote merkt er an, dafi die beiden HAUS-
DORFFschen Abzahlbarkeitsaxiome den Raum S ausschlossen und ihm deshalb
als "zu eng" erschienen.
Aus dem langen Intervall entsteht "durch Spiegelung am NuUpunkt" die
lange Gerade. Sie wurde erstmals (ohne Hinweis auf HAUSDORFF, TIETZE oder
ViETORis) von ALEXANDROFF (1896-1980) in der Arbeit [A 1924] auf Seite 295
bei seiner Analyse des F/ac/ien-Begriffs beschrieben: Er konstruiert in [A 1924]
neben der langen Geraden G auch die Flache 'S = G^ und merkt an:
Die Flache 5, die die Gestalt einer nicht-Archimedischen Ebene hat, entspricht
aber kaum dem anschaulichen Wesen einer geschlossenen Flache.
Dieser Ubelstand wird vermieden, indem man statt der Kompaktheit
die Bikompaktheit als charakteristische Eigenschaft der geschlossenen
Flachen verlangt.^
4[T 1924], S. 218.
^[A 1924], S. 295.
753

Es gibt inzwischen eine umfangreiche Literatur iiber (a) linear geordnete bzw.
(b) linear ordnungsfahige topologische Raume. Wir nennen zu (a) den Ubersichtsartikel
[L 1980] von LUTZER und zu (b) den Ubersichtsartikel [P 1998]
von PURISCH.
Literatur
[A 1924] ALEXANDROFF, P.: Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten
topologischen Rdume. Math. Ann. 92 (1924), 295-301.
[C 1883] CANTOR, G.: Uber unendliche lineare Punctmannichfaltigkeiten.
Nr. 5. Math. Ann. 21 (1883), 545-591; Ges. Abh., 186-209.
[E 1989] ENGELKING, R.: General Topology - Revised and compl. ed., Heldermann,
Berlin 1989.
[L 1980] LuTZER, D.J.: Ordered topological spaces. Surveys in General Topology.
G. M. REED (ed.). Academic Press, New York 1980, 247-295.
[P 1998] PURISCH, S.: ^ history of results on orderability and suborderability.
Handbook of the History of General Topology, Vol. 2. C. E. AuLL and
R. LOWEN (eds.), Kluwer Acad. Publ., Dordrecht 1998, 689-702.
[SS 1978] STEEN, L.A.; SEEBACH, J.A.: Counterexamples in topology. 2.
Aufl., Springer, Berlin 1978.
[T 1924] TiETZE, H.: Beitrdge zur allgemeinen Topologie. II. Uber die Einfuhrung
uneigentlicher Elemente. Math. Ann. 91 (1924), 210-224.
[V 1921] ViETORlS, L.: Stetige Mengen. Monatshefte f. Math. u. Phys. 31
(1921), 173-204.
754

NL HAUSDORFF: Kapsel 31: Fasz. 165
[Metrisierung kompakter und normaler Raume]
Hs. Ms. - [Bonn], 10.-22.7.1924. - 3 BU.
Metrisirung kompakter Rdume
10.7.24
E sei ein topologischer kompakter Raum, in dem das 2. Abzahlbarkeitsaxiom
gilt; die verschiedenen Umgebungen seien t/i, C/25 • - •; ihre abgeschlossenen
Hiillen Vi, V2,... . Un werde als Umgebung Ux aller Punkte x e Un angesehen.
Fiir X eUn giebt es eine Umgebung Up = Ux mit Vp Q Un- Fiir x ^ y giebt es
Umgebungen Um — Ux^ Un = Uy mit VmVn = 0 („getrennte" Umgebungen).
Man suche zu x ^ y alle solchen Paare getrennter Umgebungen Um, Un und
fiir diese den kleinsten Werth von m-\-n; das Reciproke davon werde xy genannt.
Also
xy = max —• fiir x e Um, y ^ Un, Kn K = 0,
n-\-m
XX wird == 0 gesetzt. Es ist zu zeigen, dass xy einen Frechetschen Voisinage
und damit einen Raum £ definirt; dass ferner £ mit £ homoomorph ist.
I. Wenn X^ -> X, ist XXj, -^ 0. {x G Um^ , X^ G Un^ , Vm^ Vn^ = 0)
Ware unendlich oft xx^, = > S, also m^ + n^^ < 7, so mlisste
mindestens ein Werthpaar m, n unendlich oft vorkommen. Also fiir unendlich
viele u
XeUm, Xj^eUn, VmVn=0,
was mit x^ —> x unvertraglich ist.
II. Wenn xxi, —^ 0, ist Xiy -^ x.
Ware nicht Xy ' «£/, oO gabe es {£ kompakt) eine Theilfolge Xp —^ y ^ x.
Man schliesse x, y in getrennte Umgebungen Um, Un ein; dann ist schliesslich
Xp eUn, also XXp > , im Widerspruch zu xx^ -^ 0.
m-\-n
III. Wenn x^ -^ x, y^ —^ x, ist Xyy^ —^ 0.
Ware unendlich oft x^yy = > S, so gabe es (wie bei I) ein Werthrriu
+ n^
paar m, n mit Xy G Um, yu € Un (fiir unendlich viele i/), Vm Vn — 0; aber dann
mlisste x eVm Vn sein.
IV. Wenn x^ —^x^y^-^ y, Xy y^ —^ 0, so ist x = ?/. | BL iv
Man schliesse, wenn x ^ y ware, x, y in getrennte Umgebungen Um, Un ein;
dann ist schliesslich Xy G Um, y^ ^ Un, Xyyy > und nicht Xyyy -^ 0.
m-\-n
V. Wenn Xyyy -^ 0, yyZy -^ 0, so ist XyZy —> 0.
Es giebt eine Theilfolge mit x^ -^ x, yp ^^ y, Zp -^ z. Nach IV ist x = y ^^^
y = z, also X = z und nach III XyZy —> 0.
755

Also xy ein voisinage; nach I, II ist £ mit £ homoomorph. Nach Chittenden
Bl. 2 ist £ mit einem metrischen Raum £ homoomorph. [
10. 7. 24
Metrisirung kompakter Rdume
£ sei ein topologischer kompakter Raum. Jede Umgebung Ux enthalt eine Umgebung
Vx mit Vx ^ Ux {Vx abgeschlossene Hiille zu \4). Zwei Punkte x ^ y
besitzen „getrennte" Umgebungen Ux^ Uy, namhch mit UxUy = 0.
In £ gelte das 2. Abzahlbarkeitsaxiom; [/i, U2, ... seien die Umgebungen
(jedes Un wird als Umgebung aller seiner Punkte angesehen).
Fiir X ^ y sei xy = yx das Reciproke der kleinsten Indexsumme m -\- n fiir
getrennte Umgebungen C/^, Un von x, y:
xy = max fiir x G f/m, U ^ Un, U^Un = 0.
Fiir X = y sei xy = 0. Ich zeige: xy ist ein voisinage (Prechet) und der hiermit
definirte Raum £ ist mit £ homoomorph. Da £ wieder (Chittenden) mit einem
metrischen Raum £ homoomorph ist, ist also £ metrisirbar.
I. Wenn x^, —> 2;, y^ ^- z, so ist x^yjy -^ 0.
Ware unendlich oft x^y^ = (Um , Un^ getrennte Umgebungen von
Xu, yiy) > S > 0^ nriiy -\- riu < 7, so mlisste hierbei mindestens ein Werthpaar
0
m, n unendlich oft vorkommen: Xy G Um, Vv ^Un- Dann ware aber z G U^Un,
im Widerspruch zu UniUn = 0.
Insbesondere fiir y^y = x = z:
II. Wenn Xiy -^ x, so ist xxi^ ^^ 0.
III. (Umkehrung von I). Wenn Xi^ —> x, yiy —^ y, x^y^^ -^ 0, so ist x — y.
Ware x ^ y^ Um, Un getrennte Umgebungen von x, 2/, so ware schliesslich
^u G C/m? Vv G Un, ^vVy ^ ;
m-\-n
und nicht Xj^y^ ^^ 0. Insbesondere fiir y^, = y:
BL 2v III*. Wenn Xj^ —> x, x^^y -^ 0, so ist x == y. |
IV. Wenn xx^, -^ 0, so ist Xj, —> x.
Andernfalls {£ kompakt) gabe es eine Theilfolge Xp -^ y, y 1^ x\ also Xp -^
2/, XpX -^ 0, nach III* also y = x, Widerspruch.
V. Wenn Xi^yiy —^ 0, yjyZi, -^ 0, so ist Xi,Ziy —> 0.
Es giebt Theilfolgen: Xp ^^ x, yp ^^ y, Zp —^ z. Nach 111 ist x — y, y = z,
d. h. X = z, nach I also XpZp —> 0. Xi^Zi, enthalt eine Theilfolge -^ 0; von jeder
Theilfolge gilt dasselbe, also XjyZjy -^ 0.
V zeigt die Eigenschaften des voisinage; II und IV die Homoomorphie von £
BL 3 mit £. I
756

Metrisirung normaler Rdume
22. 7. 24
Ein topologischer Raum £ heisst normal, wenn sich zwei disjunkte abgeschlossene
Mengen Fi, F2 {F1F2 = 0) stets in zwei disjunkte offene Mengen Gi, G2
einschliessen lassen (Fi C Gi, F2 C G2, G1G2 == 0). Diese Eigenschaft
ist topologisch invariant; sie kommt den metrischen Raumen (Grundziige, S.
335) und also den metrisirbaren zu. - Sind Gi, G2 wie oben gewahlt, so ist
G1G2 = G2G1 = 0 (G2 C £: - Gi, G2 CJ -Gi;A bedeutet mein A^,). [Da
demnach die abgeschlossenen Mengen Fi, G2 disjunkt sind, kann man sie in disjunkte
offene Mengen Ti D Fi, T2 ^ G2 einschliessen und dann ist rir2 = 0,
also riG2 = 0. D.h. man kann in einem normalen Raum die disjunkt en abgeschlossenen
Mengen Fi, F2 auch in getrennte offene Mengen Fi, G2, d.h.
mit riG2 = 0, einschliessen. Dies ist fiir das Folgende entbehrlich.] Also
G1F2 = 0.
Ist F abgeschlossen, G offen und F C G, so giebt es eine offene Menge F mit
^^F, FCG.D.h. die abgeschlossenen Mengen F und S — G sind disjunkt
und es giebt eine offene Menge T D F mit T{£ — G) = 0, F C G.- Schreiben wir
A < B fiir Ac. B_ {A^ C J5i), so giebt es also in diesem Falle eine offene Menge
F mit A 0 wie folgt. Es giebt gewiss zwei Indices
p, q mit
xeUp, Up

zwischen {x} und Uq eine interpolirende offene Menge G {x e G, G CUq) und
insbesondere ein Up mit x G C/p C G. Es sei dann
xy = max —— fiir (x, y\p,q) oder {y, x\p,q), (2)
P + 9
das Reciproke der kleinsten Indexsumme p-\-q dieser Art. Das Maximum wird
natiirlich erreicht. Hingegen xx = 0.~ Damit ist ein voisinage (Prechet) definirt,
d.h.
I. Mit Xnyn -^ O5 ynZn ^ 0 ist auch XnZn -^ 0.
Andernfalls ware fiir unendlich viele n
XnZn = \ > £ > 0 ,
Pn-^qn
also wieder fiir unendlich viele n Pn = Pi 9n = ^5d.h. fiir unendlich viele n
\p,q) Oder {zn,Xn \p,q), und eine dieser Relationen, etwa {xn,Zn \p,q)
oder
Xn G Up, Up •—, oder yn e £ -Uq^, {xn,yn\p,qi), Xnyn > —• (oder
Pi-^q P + qi
Beides). Jedenfalls widerspricht dies der Forderung x^yn ^^ 0, ynZn -^ ^'
Der mit dem Voisinage xy ausgestattete Raum £ ist mit £ homoomorph. Denn:
II. Mit Xn ^ y, Zn-^y ist XnZn -> 0. _
Wie bei I wiirde sich andernfalls etwa (3) ergeben und dann y e. Up, y E
£ — Uq im Widerspruch zu Up CUq. Speciell fiir Zn — y-
III. Mit Xn ^^ X ist XnX —> 0. Und umgekehrt:
IV. Mit XnX -^ 0 ist Xn -^ X.
Andernfalls gabe es ein Ur, das x, aber unendlich viele Xn nicht enthalt; durch
Interpolation {{x} < Up < Uq < Ur) wiirde man unendlich oft {x,Xn \P'>q)i
xxn > erhalten.
II und IV beweisen £ homoomorph f, £^ ist (Chittenden) metrisirbar, also auch
£.
758
•7.

Commentary
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
The previous note contains on its third page HAUSDORFF'S own proof of
URYSOHN'S metrization theorem:
Jeder dem 11. Abzdhlbarkeitsaxiom genugende normale topologische Raum ist
metrisierbar (d. h. einem metrischen Raume homoomorph)}
The result was proved in [Ury 1925] and as mentioned there, URYSOHN talked
about it in April 1924 at the Moscow Mathematical Society and again on July
8, 1924, at the Gottingen Mathematical Society An earlier paper [Ury 1924]
contains a weaker result (announced in [Ury 1923]):
Ein kompakter topologischer Raum ist dann und nur dann metrisierbar, wenn
er dem 11. Abzdhlbarkeits axiom genilgt.'^
URYSOHN communicated that result in a letter to HAUSDORFF dated 18. 4.
1923. Footnote 7 in [Ury 1924], p. 275, contains a note showing that HAUS­
DORFF orally communicated to URYSOHN his own proof using CHITTENDEN'S
metrization result:
Ubrigens erlaubt der Chittendensche Satz auch den zweiten Teil des Beweises
des in dieser Arbeit behandelten Satzes erheblich zu vereinfachen:
insbesondere hat mir Herr F. Hausdorff einen erstaunlich einfachen Beweis
miindlich mitgeteilt.
The proof by URYSOHN of the "compact" case is very long and complicated,
but HAUSDORFF'S proof is quite short and easy. The new proof by URYSOHN
from [Ury 1925] is essentially the proof used now (it uses Urysohn's lemma for
normal spaces).
URYSOHN wrote to HAUSDORFF about an improvement of his metrization
theorem for normal spaces on May 21, 1924. The letter contains the result but
no proof. HAUSDORFF tried to find a proof of his own after getting that letter of
May 21. In the note from July 10, 1924, he proved URYSOHN'S first metrization
theorem for compact spaces. Compactness is used twice there. First, in proving
the existence of a countable open base {Un\ having the property that any
two distinct points x and y have distinct neighborhoods Un and Um such that
Un n Um — 0 (then a distance d(x, y) is defined as max{l/(m + n); x G C/n, 2/ ^
Um^ Un n Um = 0})- Sccoud, in the proof that if the distances between x and
Xi go to zero, then {xi} converges to x (if not, one can choose a subsequence
converging to another point).
The second note is from the same day 10. 7.1924 and omits using compactness
in the second case mentioned above.
Finally, on 22.7.1924, HAUSDORFF replaced compactness by normality in
the construction of the open base with the Urysohn-like property.
We should remark that the defining property of normality appeared in [Vie
1921], where VIETORIS proved that every compact space has that property.
i[Ury 1925], p. 310.
2 [Ury 1924], p. 275.
759

Independently it appeared in [Tie 1923] under the name axiom (H) and in
[AlUr 1924] under the name used now. The latter paper contains also the result
that every compact space is normal.
The approach used by HAUSDORFF (namely, to construct a FRECHET distance
instead of a metric itself) is not used very often today. For him it could have
been natural because he studied in detail FRECHET'S distances and CHITTEN­
DEN'S metrization result. For instance, in 1915 he proved (Kapsel 33, Fasz.225)
that there is a FRECHET distance on the space of real numbers M that is not
continuous as a function on R x R (note that a metric is always continuous as a
function of two variables). In May 1924 (Kapsel 31, Fasz.164) he went through
CHITTENDEN'S proof that FRECHET'S distance space is homeomorphic to a metrizable
space. Thus, it seems clear that CHITTENDEN'S metrization was fresh in
his memory. We should also mention that ALEXANDROFF and URYSOHN used
metrization via the CHITTENDEN'S result in their paper [AlUr 1923] where they
characterized metrizable spaces by means of a collection of covers - called a
development today).
Of course, it is easier to construct a FRECHET distance since it need not satisfy
the triangle inequality. For that reason the distance defined by HAUSDORFF
is quite simple. Nevertheless, another metrization must then be used. URY-
SOHN'S construction is more complicated but directly defines a metric. Another
difference is that HAUSDORFF does not need to use the deep Urysohn lemma
in his construction.
At the end of [Ury 1925] the author asks whether normality can be replaced
by regularity. The positive answer to that question was given by TYCHONOFF
in 1926.
A characterization of metrization by means of open bases for non-separable
spaces waited for 25 years. First, A.H.STONE [Sto 1948] generalized to nonseparable
spaces ALEXANDROFF's result on locally finite bases:
Every metric space contains both a a-locally finite base and a a-discrete open
base.
Shortly after that, BiNG, NAG ATA and SMIRNOV proved their famous metrization
theorems:
A regular space is metrizable iff it has a a-discrete open base (BING).
A regular space is metrizable iff it has a a-locally finite open base (NAGATA,
SMIRNOV).
References
[AlUr 1923] ALEXANDROFF, P. S. and URYSOHN, P, S.: Une condition necessaire
et suffisante pour qu'une classe (L) soit une classe (D). C.R. Acad.
Paris 177 (1923), 1274-1276.
[AlUr 1924] ALEXANDROFF, P.S. and URYSOHN, P.S.: Zur Theorie der
topologischen Rdume, Math. Ann. 92 (1924), 258-266.
760

[Bing 1951] BiNG, R. H.: Metrization of topological spaces. Canad. J. Math.
3 (1951), 175-186.
[Chi 1917] CHITTENDEN, E. W,: On the equivalence of ecart and voisinage.
Trans. Amer. Math. Soc. 18 (1917), 161-166.
[Nag 1950] NAGATA, J.: On a necessary and sufficient condition of metrizahility.
J. Inst. Polytech. Osaka Univ. 1 (1950), 93-100.
[Smi 1951] SMIRNOV, J. M.: On metrization of topological spaces (Russian).
Uspekhi Mat. Nauk 6 (1951), 100-111.
[Sto 1948] STONE, A. H.: Paracompactness and product spaces. Bull. Amer.
Math. Soc. 54 (1948), 977-982.
[Tie 1923] TiETZE, H.: Beitrdge zur allgemeinen Topologie I: Axiome fiir
verschiedene Fassungen des Umgebungsbegrijjs. Math. Ann. 88 (1923),
290-312.
[Ty 1926] TYCHONOFF, A. N.: Uber einen Metrisationssatz von P. Urysohn.
Math. Ann. 95 (1926), 139-142.
[Ury 1923] URYSOHN, P.S.: Sur la metrisation des espaces topologiques.
Bull. Acad. Polon. Sci. (1923), 13-16.
[Ury 1924] URYSOHN, P.S.: Uber die Metrisation der kompakten topologischen
Raume. Math. Ann. 92 (1924), 275-293.
[Ury 1925] URYSOHN, P. S.: Zum Metrisationsproblem. Math. Ann. 94 (1925),
309-315.
[Vie 1921] ViETORiS, L.: Stetige Mengen. Monatshefte fiir Math. Phys. 31
(1921), 173-204.
761

NL HAUSDORFF: Kapsel 31: Fasz. 166
Der metrische separable Universalraum
Hs. Ms. - Bad Nauheim, Mitte August 1924. - 2 BU.
Nauheim, Mitte August. (Urysohn + 17.8.1924)
Der metrische separable Universalraum
Es soil ein separabler Raum construirt werden, der zu jedem separablen
Raum eine isometrische Theilmenge enthalt.
Sind pi,p2,.. • ,Pn ^ (nicht nothwendig verschiedene) Punkte eines metrischen
Raumes, so erfiillen ihre Entfernungen aik = PiPk die Bedingungen
an==0, aik^aki>0, aij-\r ajk > aik (z, j,/c = 1,2,... ,n) (1)
Die Matrizen
( ail
• • • air,
^nl * * * ^nr
WO n = 1,2,... und die Elemente aik den Bedingungen (1) geniigen, soUen als
Elemente eine metrischen Raumes 14 in folgender Weise definirt werden. 1st
zunachst
(
ail • • • aim \
j {m

wo a^,f3jy die Abschnitte von am,Pn durchlaufen. (Wenn m = 1 oder n = 1,
fallen die betreffenden Glieder fort, aipi ist = 0 zu setzen, da alle Matrizen
Oil = (3i = (0) sind.) Die Formel (2) definirt amPn ftir m + n = s, falls die
Entfernungen bereits fiir m + n < s bekannt sind.
Beispiele: a2p2 = |Q^2cei - Oiip2\ = |«12 - ^i2|-
^3^2 = m8ix\asai-ail32\, 10^30^2-0^2/^2! = max|ai3-6121, 1^23 - 1^12-^i2|| •
Es gilt nun allgemein das Dreiecksaxiom
OimPn + Pnjp > Oimlp - (3)
I Wir beweisen das inductiv durch den Schluss von m+n+p < 5 auf m^-n-\-p = Bl. iv
s. (Fiir m H- n + p = 3, d. h. m = n == p = 1, ist es richtig.) Es ist
otmlp = max \amay, - Q;^7p|, \amliv ~ TTTTPI •
/2

Beilaufig ist hi selbst nicht vollstandig, also U 0 isometrische Menge.
V enthalt eine mit der ganzen Geraden isometrische Menge, also z. B. einen
Punkt ^, der von 0^2 die Entfernung x -\- p hat {p eine positive Constante) fiir
^ 1 • f
M ^M.
a
jedes X. Dieses (5 ist aber kein Element von ZY, d. h. keine Matrix (3^ Denn dann
ware fur 1/ = 2,... ,n
/?^Q:2 =max|/?^/5i-/?ia2|, \(3vp2-p20^2\, •--APvPu-i-liu-ioi.2\ {Pia2 = x).
Fiir hinlanglich grosses x, z. B. x > /3iP2 + iS2/?3 + • • • + f3n-i(3n, folgt aber
daraus /3iya2 = x — /SiPiy, denn wenn dies bereits fiir die Werthe 1,2,...,?/ — 1
gilt, ist
/9^a2 = max[x - f3if3u, x - /3i/?2 - f32l3u,..., x - f3i^i,-i - (3y-i(3^] ^x~ /3if3^.
Also ist I3n0i2 = X — l3if3n =X—p^X-\-p.
Homogenitdt des Raumes V.
Wir bezeichnen wie bisher mit gleichen griechischen Buchstaben Matrizen, von
denen die mit kleinerem Index Abschnitt der andern ist. Wird dies nicht vorausgesetzt,
so soUen die Matrizen mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden,
wobei auch der Index nicht die Reihenzahl der Matrix bedeuten muss. Z. B.
ai = am =
Eine Folge (cei, 0:2,0^3,...) heisse eine kanonische Folge. - Isometric werde mit
~ bezeichnet:
(ai, a2,..., ttn) ~ (&i, &2, • • •, K)
heisst also: aiak = bibk-
I. Ist (^1,65 • • •,$n-i,^n) ~ (6,65 • • • 5Cn-i,(^m) uud kommcu allc Abschnitte
von am unter den Matrizen ^1,... ,^n-i vor (Gleichheit in unserem Sinne
verstanden), so ist auch ^^ = c^m- Denn
CnO^m = max l^ri^ry " Cu0^m\ , l^nO^/j, "

Bl. 2v {am, l3n, 7p, • • •) ist Theilfolge einer kanonischen Folge. |
11. Ist (^1,..., Cm 7 Cm+i) Abschnitt einer kanonischen Folge und (ai,..., a^) ~
(Ci5 • • • ,Cm), so giebt es eine Matrix am+i derart, dass (ai,... ,am,CLm+i) ~
(Ci5 • • • ?Cm,Cm+i). Der Beweis wird ftir m = 3 geniigend klar. Es soil zu
(Q;^,/?n,7p) ~ (Ci,6,6) eine Matrix Sq mit (a^,/3n,7p,

Commentary
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss^
A universal space for a class C of metric spaces is a metric space containing
isometric images of all spaces from C. It is nice if the universal space also
belongs to C and even better if it is uniquely determined up to isometry by
some additional property
As shown by FRECHET in 1910, the space Zoo is universal for the class
of separable metric spaces. However, Zoo fails to be separable. In [Pre 1925],
FRECHET repeats his result from 1910 and asks whether a separable universal
space exists. During the summer of 1924 he informed ALEXANDROFF and URY-
SOHN about the question. URYSOHN solved the problem shortly after he and
ALEXANDROFF visited HAUSDORFF. URYSOHN constructed a complete, separable
universal space V for the class of all separable metric spaces. Moreover, he
showed that V is determined uniquely, up to isometry, by a suitable homogeneity
property. URYSOHN mentioned his result in a letter to HAUSDORFF dated
August 3, 1924. The letter does not give any details of URYSOHN'S construction.
However it refers to the existence, homogeneity, and uniqueness results.
HAUSDORFF attempted to find his own construction. In his notes, which begin
on August 9, 1924 (Kapsel 31, Pasz. 162), he first recalls that Zoo is a universal
space for all separable metric spaces, but is not separable itself. Continuing on
August 10, he provides an independent construction of a universal separable
metric space, and begins, but does not finish, a proof that it has the same homogeneity
and uniqueness properties as URYSOHN'S universal space. The notes
contain many changes and corrections.
HAUSDORFF informed URYSOHN and ALEXANDROFF of his approach in a
letter dated August 11 - adressing them as "Herren Inseparables"."^ He described
his universal space in detail and admitted that he had not yet checked its
homogeneity. He also asked for details of URYSOHN'S construction. It is very
likely that URYSOHN received the letter but did not manage to reply; he died
on August 17, 1924.
URYSOHN'S construction was posthumously announced in [Ury 1925] and was
published in [Ury 1927]; the texts were prepared by ALEXANDROFF without
mentioning HAUSDORFF's approach.
HAUSDORFF'S remarks (Kapsel 31, Pasz. 166), published on the previous
pages, are taken from his notes of the middle of August. The last part deals
with the homogeneity of his universal space.
Both HAUSDORFF and URYSOHN first construct a universal space for some
(at most countable) metric spaces. Its completion is the required universal
separable metric space. URYSOHN'S first step provides a countable space UQ
^The authors wish to thank V. M. TiKHOMiROV and V. V. USPENSKII for kindly informing
them of HAUSDORFFS August 11, 1924 letter to URYSOHN and W. PURKERT for providing a
rare paper concerning that letter.
^The letter was published by V. M. TiKHOMiROV in Russian translation in "Voprosy istorii
jestestvoznanija i techniki", No. 4 (1998), 67-69.
766

that is universal for all countable metric spaces having rational distances; i. e.,
the metric has values in the set Q of rational numbers. HAUSDORFF'S first step
provides a space U that is universal for all countable metric spaces. URYSOHN'S
space f/o is the set of all finite subsets of Q supplied with a metric defined by
induction on the size of these sets. HAUSDORFF'S space U is the set of matrices
of distances of finite (ordered) metric spaces supplied with a metric defined by
induction on the size of these finite spaces.
It is not easy to show that the distance function constructed by URYSOHN
satisfies the triangle inequality and thus yields a metric. Work is also needed to
show that this space is universal for countable (in fact, even for finite) spaces
with rational distances and that the completion of C/Q is universal for all finite
spaces. In contrast, it is easy to show that HAUSDORFF'S distance function
satisfies the axioms for pseudometrics, and that this space is universal for all
countable metric spaces.
The completions of each of the spaces U and ^o are universal for separable
metric spaces; they are also themselves separable and satisfy the following
homogeneity property:
(*) Any isometry between finite subspaces A and B can be extended to an
isometry of the entire space.
In fact, HAUSDORFF proved such homogeneity only for the space U and
remarked that the result could be extended to the completion V. Such an
extension is not difficult to establish using part II of his notes (see [Hus 2006]).
URYSOHN proved that any two spaces that are universal for separable metric
spaces and that are separable, complete, and have the above homogeneity
property must be isometric. Consequently the universal spaces constructed by
URYSOHN and by HAUSDORFF are isometric, even though their descriptions are
different. HAUSDORFF'S approach, however, seems to be simpler and shorter.
URYSOHN demonstrated that V satisfies other desirable properties such as
arc-connectedness, local arc-connectedness, and universality and homogeneity
of spheres. However he showed by example that the homogeneity property (*)
cannot be extended to uncountable subspaces A and B of V; S. MROWKA in
[Mro 1953] showed that homogeneity could not be extended to all countable
subspaces A and B of V. Even more was proved in [Huh 1955]: namely, there
are closed, countable isometric subsets of F, the isometry of which cannot be
extended to V] but every isometry of totally bounded subsets of V extends to
an isometry of V.
The Banach-Mazur Theorem of 1932 asserts that the separable Banach space
(7[0,1] is also universal for the class of all separable metric spaces. A topological
proof was given by SlERPlNSKi in 1945 (announced in 1940), where he also
investigated universal spaces for metric spaces with bounded cardinality. The
Banach space C[0,1] does not satisfy the above homogeneity property.
In several recent papers, A.M. VERSHIK deals with universal separable metric
spaces. He uses representations similar to the one given by HAUSDORFF by
767

means of distance matrices; (he was unaware of HAUSDORFF'S notes). VERSHIK
summarized most known results and references on this topic in [Ver 2004]; he
also extended some results to probability metric spaces.
Since compact metric spaces are separable, V contains isometric copies of all
of them. However TUMARKIN proved in [Tum 1956] that there is no compact
metric space that is universal for the class of all compact metric spaces and that
there is not even a compact metric space universal for the class of all compact
metric spaces with diameter less than a given positive constant.
Answering a question of URYSOHN, M. KATETOV in [Kat 1986] constructed a
universal separable metric space satisfying (*) that is non-complete - it is of first
category. Moreover he found another approach to constructing universal spaces
that also works for higher cardinalities. KATETOV calls the above property (*)
for cardinalities of |A|, |5| less than an infinite cardinal K Ac-homogeneity; the
statement (*) is just the assertion of a;-homogeneity. A metric space M is said
to be (strongly) /^-universal if every metric space of cardinality at most K (or
of weight at most K, resp.) can be embedded isometrically into M. KATETOV
proved that for uncountable K, with K = supj^c'^; X < K,} there exists exactly one
(up to isometry) strongly ^-universal, /^-homogeneous metric space of weight
hi and that space is complete; and for K < s\ip{hi^;X < K} there exists no
/^-universal, /^-homogeneous space of weight K,.
By using some of KATETOV'S methods, V. V. USPENSKII showed that V is
homeomorphic to the separable Hilbert space I2 ([Usp 2004]). He also showed
in [Usp 1990] that the group of isometrics of V has many interesting properties,
e. g., it is universal for all topological groups having a countable base.
References
[Fre 1925] FRECHET, M.: L'expression la plus generale de la "distance''sur
une droite. Amer. J. Math. 67 (1925), 1-10.
[Huh 1955] HUHUNAISVILI, G. E.: On a property of Uryson's universal metric
space (Russian). Dokl. Akad. Nauk SSSR 101 (1955), 607-610.
[Hus 2006] HuSEK, M.: Urysohn universal space, its development and Hausdorff's
approach. Submitted to Proc. Workshop on Urysohn Universal
Space, Ben Gurion Univ., Beer Sheva 2006.
[Joi 1971] JOINER, CH.: On Urysohn's universal separable metric space.
Fund. Math. 73 (1971/72), 51-58.
[Kat 1986] KATETOV, M.: On universal metric spaces. Proc. 6th Prague
Top. Symp. 1986 (Heldermann Verlag, Berlin 1988), 323-330.
[Mro 1953] MROWKA, S.: Solution d'un problme d'Urysohn concernant les
espaces metriques universels. Bull. Acad. Polon. Sci. 1, (1953). 233-234.
[Tum 1956] TuMARKiN, L. A.: On a universal metric space for compacta
(Russian). Vestnik Moskov. Univ. 11 (1956), no. 2, 15-19.
768

[Sie 1945] SIERPINSKI, W: Sur un espace metrique separable universel Fund.
Math. 33 (1945), 115-122.
[Ury 1925] URYSOHN, P.: Sur un espace metrique universel C.R.Acad. Sci.
Paris 180 (1925), 803-806.
[Ury 1927] URYSOHN, P.: Sur un espace metrique universel. Bull. Sci. Math.
51 (1927), 43-64, 74-90.
[Usp 1990] USPENSKII, V.V.: On the group of isometrics of the Urysohn
universal metric space. Comment. Math. Univ. Carolin. 31 (1990), 181-
182.
[Usp 2004] USPENSKII, V.V.: The Urysohn universal metric space is homeomorphic
to a Hilbert space. Top. Appl. 139 (2004), 145-149.
[Ver 2004] VERSHIK, A. M.: Random metric spaces and universality (Russian).
Uspekhi Mat. Nauk 59 (2004), 65-104.
769

NL HAUSDORFF: Kapsel 33: Fasz. 273
Raume £^*
Hs. Ms. - [Bonn], 2.6. - 28.6.1927. - 6 BU.
Rdume £*,
I. 2.6.27
8 sei ein metrischer Raum, worin das Dreiecksaxiom in der scharferen Fassung
xz < max [xy^ yz] (1)
gilt. Z. B. ein Bairescher Raum, oder ein linearer Raum, der auf einer Betragsdefinition
mit
\x^y\ yz, so
ist xz < xy; zugleich ist xy < max [xz, yz], und da nicht xy < yz ist, notwendig
xy < xz, also xz = xy. Es giebt kein Dreieck mit drei verschiedenen Seiten,
sondern nur gleichschenklige (mit zwei gleichen und einer kleineren Seite) und
gleichseitige. Dasselbe gilt von (2); es ist |x + ^/l = \^\ f^^ \y\ < kl-
Wenn Xn —^ x, so ist fiir jeden Punkt a ^ x schliesslich Denn
in ax < msix[aXn,Xnx] strebt axn -^ ax > 0, XnX ^^ 0, also ist schliesslich
(jbXfi ^ XfiX, UiX — ClXifim
Ist £ separabel, so nehmen die samtlichen Entfernungen hochstens abzahlbar
viele Werte an. Denn sei {ai, a2,...} in £^ dicht; es kommen dann keine anderen
Entfernungen vor als apaq. Ist in der That x ein von den an verschiedener Punkt
und ap -^ X {p durchlauft eine Folge natiirlicher Zahlen), so ist, fiir jedes q, xaq
schliesslich (fiir hinreichend grosses p) gleich apaq. Und ist y ein weiterer, von x
Bl. iv I und von den an verschiedener Punkt, so ist xy schliesslich = apy. Ein solcher
Raum ist punkthaft.
In einem linearen Raum dieser Art ist fiir eine Fundamentalfolge Xn notwendig
und hinreichend, dass Un = Xn—Xn-i -^ 0. Denn ist |ii^+i|, |ix^+2|, • - < e,
so ist fiir n > m
\Xn - Xm\ = \Uni-\-l H h l^n| < Hiax |tA^| < S .
m+l

1st S in S dicht, und erfiillen die Punkte in £ das verscharfte Dreiecksaxiom,
so auch die in £. Die voUstandige Hiille eines Raumes dieser Art ist wiederum
von derselben Art.
(Angeregt durch J. Kiirschak, Uber Limesbildung und allgemeine Korpertheorie,
Crelles Journal 142 (1913), S. 211-253).
Die spharischen Umgebungen Ua unseres Raumes sind immer zugleich offen
und abgeschlossen. Denn Ua habe den Radius p, bestehe also aus alien Punkten
X mit ax < p. Ist y ein (von a verschiedener) Haufungspunkt von Ua,
giebt es also eine Folge a^n ^ 2/, so ist schliesslich ay — axn < p, y gehort zu
Ua- Demnach ist £ immer punkthaft (auch wenn er nicht separabel ist) und
zwei Punkte x ^ y gehoren zu verschiedenen Komponenten, sogar Quasikomponenten.
Denn ist p < xy und Ux die Umgebung von x mit Radius p, so ist
£ — Ux -\- {£ — Ux) eine Zerstiickelung, bei der x, y getrennt werden. Da Ux
beliebig klein sein kann, ist £ nulldimensional. \ Bl. 2
Beispiel eines nicht separablen Raumes £. Die Elemente von £ seien die
reellen Funktionen x = x{t) im Intervall 0 < t < 1.^ Fiir die identisch verschwindende
Funktion 0 werde |0| = 0 gesetzt. Falls x ^0, x{t) nicht identisch
verschwindet, sei ^ die obere Grenze der t mit x{t) 7^ 0 (0 < ^ < 1). Dann
ist ^ = \x\ ein zulassiger Betrag. Die Giiltigkeit von (2) ist so zu beweisen: sei
^ =: \x\, rj = \y\, ( — max [^, r]]. Wir konnen ^^0, 777^0, C ^, y{t) = 0 fiir t > ry,
also flir t > (: x{t) = y{t) = x{t) 4- y{t) = 0, demnach \x + y\ < (. - Da hier
alle Werte 0 < ^ < 1 als |x| vorkommen (z. B. fiir die Funktionen x{t) = 1 fiir
0

mit beliebigem Radius p{x) > 0. Die Summe
if =6 U{x,pix))
xEF
dieser Umgebungen ist offen, aber auch abgeschlossen. Denn sei yn G H, yn -^
z; zu jedem yn giebt es ein Xn ^ F mit Xnyn < p{^n) = Pn- Entweder ist
]imxnyn = 0; es giebt eine Teilfolge Xpyp -^ 0, Xp -^ z, z e F C H. Oder
Iimxr7^r7 > 0, also schliesslich Xnyn ^ cr > 0. Dann ist XnZ < m.8ix[xnyniynz]
schliesslich < Xnyn < Pn-, z £ U{xn,Pn) ^ H.
Daraus folgt: ist F abgeschlossen, G offen, F C G, so giebt es eine Menge H
(zugleich offen und abgeschlossen) mit F C H C G.
Denn man braucht nur die U{x,p{x)) C G zu wahlen.
D. h. man kann sagen, der Raum £^* ist nicht nur in Bezug auf die Punkte,
sondern auch in Bezug auf die abgeschlossenen Mengen nuUdimensional; jedes
F hat eine behebig kleine (d.h.m G ~^ F enthaltene) Umgebung H, die eine
leere Begrenzung hat.
Kommt diese Eigenschaft jedem nulldimensionalen Raume zu? (gewiss, wenn
Bl. 3v er separabel ist). Ist sie hinreichend fiir Homoomorphie mit f *? |
Ein Raum f * Idsst sich in disjunkte offene Mengen von beliebig kleinen Durchmessern
spalten (diese sind in Folge dessen auch abgeschlossen, d.h. Mengen
H).
Denn sei N = N{p) ein Netz, d. h. eine nicht erweiterungsfahige Menge von
Punkten a,b,..., die paarweise Entfernungen > p > 0 haben. Dann ist
N
S = Y,U{a,p)
a
eine Spaltung in solche Mengen von Durchmessern < p. In der That: zwei
verschiedene Mengen U{a,p), U{b,p) sind disjunkt, da aus x G U{a,p) U{b,p)
folgen wiirde ax < p, bx < p, ab < p. Ihre Summe ist der ganze Raum, denn
jeder Punkt x hat zu mindestens einem a G AT (und nur einem) die Entfernung
< p, sonst ware das Netz durch x erweiterungsfahig. Die Mengen U{a, p) haben
Durchmesser < p, denn aus ax < p, ay < p folgt xy < p. Bringt man eine solche
Spaltung zum Durchschnitt mit einer offenen (abgeschlossenen) Menge, so
lasst sich diese in disjunkte offene (abgeschlossene) Mengen mit beliebig kleinen
Durchmessern spalten.
Ein Raum £ mit dieser Eigenschaft ist mit einem Raum £* homoomorph.
Es sei £ = ^^ Gai eine Spaltung in disjunkte offene Mengen von Durchmessern
< 1; sodann werde jedes G^^ = ^^^ Gaia2 i^ disjunkte offene Mengen von
Durchmessern < - gespalten, ebenso GQC^Q,^ = Ylas Gotia2a3 init Durchmessern
772

- u.s.f. ai durchlauft irgend eine Menge, etwa von Ordnungszahlen, a2 eine
(eventuell von ai abhangige), as eine (eventuell von ai,a2 abhangige) u.s.f.;
alle Summanden seien D 0. Jeder Punkt x von S gehort einem und nur einem
Gai an, I dann einem und nur einem G^-^a^^ •••5 ^^ bestimmt eine Indices- Bl. 4
folge a — (ai, 0^2,...) so, dass x G G^^ Gaia2 Gaia2a3 ' • • • Zu verschiedenen x
gehoren verschiedene Folgen, weil Go,^ Gaia2 ''' wegen d{Gaia2-.-an) ~^ ^ ^^^
einpunktig ist. Wir definiren dann, wenn x ^ y zu a, 0 gehoren und k die erste
Differenzstelle dieser Folgen ist, Wy = —. (Bairescher Raum). Der so definirte
Raum S erfiillt das verscharfte Dreiecksaxiom; er ist aber zu £ homoomorph.
Denn: x sei fest, y beschreibe eine Folge. Wenn xy —> 0, so liegt fiir jedes k y
schliesslich in der ofFenen Menge Gai...ak' ^ ^ T' ^^^^ xy ^^ 0. Wenn xy -^ 0^
so ist schliesslich 'xy < —, x und y gehoren zu G^i a^ ^it dem Durchmesser
k
< —, xy < -; also xy -^ 0.
k k
Betrachten wir die beiden Eigenschaften:
{a) E lasst sich in disjunkte offene Mengen von beliebig kleinen Durchmessern
spalten.
{0) Zu F C G giebt es ein i7 mit F C iJ C G.
(/3) ist Folge von [a). Denn ein Raum £ mit (a) ist mit einem Raum £""
homoomorph; dieser und £ hat die Eigenschaft (/?). ((o;) ist keine topologische
Eigenschaft!)
Man kann auch (/?) direkt als Folge von (a) herleiten. £ lasst sich nach
Voraussetzung in
M
£ — 2_^ ^^
m
spalten, wo die Hm off en und disjunkt sind. Bei jeder Spaltung
Ml M2
£ = 2^ ^^ ~^ A^ ^^
m m
sind beide Summanden offen, also auch abgeschlossen, d. h. Mengen H. Nun sei
F C.G und der untere Abstand 8{F, £ — G) = a zunachst > 0. Wir spalten £ —
Y^ Hm mit Durchmessern d{Hm) < p < o- und setzen H = J^^ Hm {FHm 'D
0); dies ist offen und abgeschlossen, H D F. Aber auch H C G. Denn zny e H
giebt es ein | x G F mit xy < p; fiii z E £ — G ist xz > cr, yz > xz — xy > Bl. 4v
a- p; 6{H,£ - G) > a - p > 0, also H {£ - G) ^ 0, H C G. - Ist sodann
6{F,£ — G) — 0, so sei F^ die abgeschlossene Menge der Punkte von F mit
S(x,£ — G) > —, also S(Fn,£ — G) > —, F = Q Fn • Nun konnen wir wie
n n
soeben ein Hn mit F^ C Hn C G so bilden, dass zu jedem Punkt yn von Hn
ein Punkt Xn von F^ mit Xnyn ^ TT existirt. Fiir H = & Hn ist F C H C. G.
773

H ist offen, aber zugleich abgeschlossen; denn ist y^ —^z^ Up ^ Hp {p -^ oo),
und wird Xp wie oben bestimmt, so ist Xpijp —> 0, Xp -^ z, wegen Xp e F also
z e F; wahrend, wenn unendlich viele Punkte eines und desselben Hp nach z
konvergiren, z E Hp C H ist.
28. 6. 27
Die Eigenschaft (a) lasst in einem Raume £* noch folgende Verscharfung
zu. Wir ordnen jedem Punkt x des Raumes £ (= f *) eine positive Zahl px zu.
Dann giebt es eine Spaltung
in disjunkte offene Mengen Ha^ wo Ha den Punkt a enthalt und einen Durchmesser
< pa hat.
Wir ersetzen zuvor — durch die kleinste ganze Zahl Ua > —, pa durch
Pa Pa
— ^ pa- Mit anderer Bezeichnung: die pa werden aus der Folge 1, -,-,...
Ha 2u o
entnommen.
Sodann bilden wir ein Netz N, bestehend aus den Punkten a,b,..., die paarweise
die Relation ab > max [pa, pb] erfiillen, und nicht mehr erweiterungsfahig.
Bl. 5 Bei der Bildung von N durch Wohlordnung des Raumes spalten^ | wir diesen
zunachst in 5i + £^2 H 5 wo En die Menge der x mit px = — ist, und erhalten
n
also eine Wohlordnung £, wo fiir px > py das x dem y vorangeht. Das hat zur
Folge, dass bei der Bildung des Netzes N = {ao,ai,...} jedes a^, nachdem
die a^ mit ^ < rj schon bestimmt sind, unter den verfiigbaren Punkten den
grosstmoglichen Wert von p hat.
Wir behaupten dann, dass £ = J]^ C/(a, pa) eine Spaltung der gewiinschten
Art ist. Namlich: zwei Mengen U{a, pa), U{b, ph) sind disjunkt; hatten sie einen
Punkt X gemein, so ware ax < pa, bx < pb, ab < max[ax,6x] < max[pa,Pb]
gegen die Bestimmung des Netzes. Ihre Summe ist der ganze Raum (dies der
schwierigste Punkt des Beweises). Sei x ein Punkt von £. Es gilt dann fiir
mindestens einen Netzpunkt a ax < max [pa^Px]? sonst ware das Netz erweiterungsfahig.
Teilen wir die Netzpunkte in die Punkte a mit der eben genannten
Eigenschaft und die Punkte b mit bx > max[pb,pa;]. Wenn nun x keiner der
Mengen C/(a, pa) angehorte, also ax > pa und demnach px > Pa ware, so wiirde
X mit den Punkten b zusammen ein Netz bilden.
In der Tat: x und die b erfiillen die Netzrelation; und es lasst sich auch kein
neuer Punkt y mit xy > indiK[px,py], by > mdix[pb,Py] hinzufiigen. Denn zu
Bl. 5v y muss es wieder einen Punkt des | Netzes N, also notwendig einen Punkt
a, mit ay < m3>x [pa, Py] geben; dann wiirde folgen xy < max [ax, a^/] <
max [max [pa, Pa;], max [pa,P2/]] = max [pa, p^, Py] = max[px,Py] < xy, ein Widerspruch.
- Nunmehr steht aber, well px > pai die Tatsache, dass x mit den b
N
^[Am Beginn von Blatt 5 wiederholt HAUSDORFF die Uberschrift „Raume ^*"; am rechten
oberen Rand steht „IIL 28. 6. 27".1
a
774

ein Netz bildet, in Widerspruch mit der Konstruktion des Netzes; denn in dem
Augenblick, wo der erste Punkt a zu wahlen war, hatte man dann statt dessen
X wahlen miissen, weil x in der Wohlordnung vor a steht. Q. e. d. Es ist also
N
a
und jedes U{a,pa) hat einen Durchmesser < pa-
Diese verscharfte Eigenschaft (a*) ist topologisch: wird jedem Punkt x eine
Umgebung Ux zugeordnet, so kann man £ = ^^ Ha in disjunkte offene Mengen
mit a e Ha ^ Ua spalten. Sie ist aber Folge der metrischen Eigenschaft
(a), weil ein Raum £, der (a) besitzt, mit einem Raum £* homoomorph ist
und dieser, also auch £, die Eigenschaft (a*) hat.
Dass (a*) Folge von (a) und also in jedem Raum £^* erfiillt ist, lasst sich
auch so zeigen. Wir spalten
^ — / ^ ^Pl5 Hp^ = / ^ -"P1P2 5 ^PlP2 ~ / ^ ^PlP2P3' • " • 5
Pi P2 P3
WO die Hp^^^^p^ bei festem pi.. .pk-i paarweise disjunkt, offen und von Durch-
messern < — sind. I Bl. 6
A:
Es sei f = f 1 + £^2 + • • • , £k die Menge der x mit A: — 1 < — < A:. Nun
Px
seien die Hp^ gespalten in diejenigen Hq^, fiir die Hq^ £^i D 0, und die Hr^ mit
i/ri £i — 0. Dann die Hr^p^ in die Hr^q^, die mit £2 einen Punkt gemein haben,
und die Hr^r2-> die zu £2 disjunkt sind. U.s.f. Dann, behaupten wir, ist
Die k^^ dieser Summen ist
^ — / ^ Hq^ H- / ^ -"rigr2 "^" / ^ ^rir2q3 + * ' *

Wenn (7) gilt, so sei F C G,
F = A1A2 • • , G = Bi + B2+" , Ai D A2 5 • • • , Bi C ^2 C .. ,
wo die An^ Bn Mengen H sind. Nach einer Formel von Sierpinski (Fundamenta
Math. 6, S. 2) bilden wir die Menge
H = AiBi + A2B2 + '" = Ai{A2 + B2){A3 4- ^3) • •" -
Bl. 6v I Sie ist Q G, ^ F und zugleich ein H^, Hs, d. h. zugleich offen und abgeschlossen,
also ein iJ; es gilt (/?).
[Dass S = AiBi + ^2^2 + • • • und JD = ^1(^2 + ^2)(^3 + ^3) • • • identisch
sind, folgt so:
S C D. Sei X G 5, also x e AnBn'-,
xeD.
DCS. Sei X e D. Wenn x G ^1^42 • • •, ist x G F C G = (BBn, also x G
Bn^ X E AnBn C 5. Wenn a; ^ ^1^2 • • •, so sei (wegen x £ Ai) A^+i das niedrigste
mit x ^ ^n+i; also (da x G An+i + Bn), x G Ai,..., An, Bn, ^n+i, • • •,
X G An^n ^ 5'.]
Commentary
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
HAUSDORFF did not give a name to metrics that fulfill the verschdrftes Dreiecksaxiom,
as he called it; such metrics are called non-archimedean or ultrametric
today. We shall use the last term in this commentary. The term nonarchimedean
metric was given by A. F. MONNA in [Mon 1950], where he proved
some basic properties of such metric spaces. The second term was given by
M. KRASNER in [Kra 1944].
At the end of the first page HAUSDORFF proves that ultrametric spaces are
zero-dimensional. According to his proof, by zero-dimensionality of X he means
indX = 0, i.e., dimension in the sense of Urysohn. The formal definition of
the other main dimension functions (Ind, dim) had not yet been given by 1927
(Ind was defined by E. CECH in 1931 and dim again by CECH in 1933) but the
concepts were known in special cases. So, sometimes it is difficult to recognize
which zero-dimensionality is used.
In the second paragraph of the second page HAUSDORFF asserts that every
separable zero-dimensional metric space is homeomorphic to an ultrametric
space (subspace of a Baire space). HAUSDORFF then asks if the last result is
valid for non-separable spaces, too. (The same result and question were given
in [Mon 1950].)
The first part of the third page contains the proof that (in modern notation)
Ind X = 0 if X is an ultrametric space. HAUSDORFF explains the result that X
is zero-dimensional not only at points but also at closed sets and asks whether
776

every zero-dimensional space has this property. In 1968 P.ROY answered this
question in the negative by constructing a zero-dimensional metric space X
with IndX > 0 ([Roy 1968]).
The next result states (in modern notation) that dimX = 0 if X is an
ultrametric space and that every metric space with dimX = 0 can be remet
rized by an ultrametric. In particular it is proved that for such spaces
every uniform cover is refined by an open partition and, on 28.6.1927, the
corresponding result for any open cover.
The result that every metric space with Ind X = 0 can be re-metrized by an
ultrametric has not been proved in these notes. The explicit proof was given
by DE GROOT in [Gro 1956].
So by now we know that for metric spaces X the three following concepts
are equivalent:
a) X is ultrametrizable,
b) IndX^O,
c) dimX = 0,
and properly imply the condition indX = 0.
References
[Cech 1931] CECH, E.: Sur la theorie de la dimension. C.R.Acad. Sci. Paris
193 (1931), 976-977.
[Cech 1933] CECH, E.: Pnspevek k teorii dimense. Casopis pro pest, matematiky
a fyziky 62 (1933), 277-291.
[Gro 1956] DE GROOT, J.: Non-archimedean metrics in topology. Proc.
Amer. Math. Soc. 7 (1956), 948-953.
[Mon 1950] MONNA, A.F.: Remarques sur les metriques non-archimediennes
1,11. Indagationes Math. 12 (1950), 122-133, 179-191.
[Kra 1944] KRASNER, M.: Nombres semi-reels et espaces ultrametriques. C.
R. Acad. Sci. Paris 219 (1944), 433-435.
[Roy 1968] ROY, P.: Nonequality of dimensions for metric spaces. Trans.
Amer. Math. Soc. 134 (1968), 117-132.
777

Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der
Topologie
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
1. Einleitung
Beim Studium abstrakter Strukturen (wie z.B. topologischer Raume, Gruppen,
Moduln) spielen gewisse kanonische Konstruktionen, insbesondere die von Limiten
(wie Produkten und Egalisatoren bzw. Teil- oder Unterobjekten) und
Colimiten (wie Coprodukten bzw. Summen und Coegalisatoren bzw, Quotienten)
eine zentrale RoUe. Denn ein wesentliches Merkmal struktureller Untersuchungen
in der Mathematik besteht darin, da6 versucht wird, komplizierte
mathematische Gebilde vermoge besonders libersichtlicher Konstruktionsverfahren
aus besonders einfach gebauten Gebilden zusammenzusetzen. Gelingt
dieses, so wird das Studium komplizierter Gebilde wesentlich erleichtert; denn
man kann sich vielfach darauf beschranken, zunachst die besonders einfachen
Bausteine zu untersuchen und danach zu analysieren, welche Eigenschaften von
Gebilden bei der Zusammensetzung derselben mittels standardisierter Konstruktionsverfahren
er halt en bleiben. Als wichtigste Konstruktionsverfahren in
der Topologie mu6 man die Bildung von Teilraumen, Quotienten, Produkten
und Summen ansehen.^
Obwohl die erwahnten topologischen Fundamentalkonstruktionen uns heute
einfach und natiirlich erscheinen, zeigt ein Studium der Originalarbeiten, dafi
die urspriinglichen Begriffsfindungen in der Regel nur langsam, schwerfallig und
unsystematisch erfolgten. Vor diesem Hintergrund ist es erstaunlich, mit welcher
Klarheit HAUSDORFF in seinen privaten Aufzeichnungen die den unterschiedlichen
Konstruktionen zugrunde liegende gemeinsame Problemstellung
erkannte und mit welcher Eleganz er die gewonnenen Konzepte formulierte.
Diese Klarheit sowohl der Motivation als auch der BegrifFsbildung wird in
Veroffentlichungen erst spater im Werk von BOURBAKI ([Bo 1940]) erreicht.
2. Teilraume
In HAUSDORFFS Lehrbuch Grundziige der Mengenlehre ([H 1914a]) fehlen die
Konzepte von Produkten, Quotienten und Summen noch voUig. Nur der Teilraumbegriff
beginnt sich auf dem Umweg iiber die sog. Relativbegriffe abzuzeichnen,
ohne jedoch durch eine geeignete Namensgebung fixiert zu werden.
Das Konzept der Relativbegriffe erscheint uns heute zwar als selbstverstandlich^,
war 1914 aber natiirlich voUig neu und erscheint auch noch nicht in
^Dieser Gesichtspunkt wird in alien Lehrbiichern der allgemeinen Topologie hervorgehoben;
vgl. dazu etwa [He 1986] oder [E 1989].
•^Seine MiBachtung mag auch heute noch zu irritierenden "Paradoxien" AnlaB geben: so
ist das CANTORsche Diskontinuum zwar eine nirgends dichte Menge reeller Zahlen, andererseits
als kompakter T2-Raum nach dem BAiREschen Kategoriensatz nicht als abzahlbare
Vereinigung nirgends dichter Teilmengen darstellbar.
778

HAUSDORFFS Bonner Vorlesung Einfiihrung in die Mengenlehre von 1912 (NL
HAUSDORFF, Fasz. 34).
In [H 1914a] werden in Kap. VII, § 6 zunachst fiir jeden topologischen Raum
E und jede Teilmenge M von E die relativ abgeschlossenen und relativ offenen
(von HAUSDORFF Relativgebiete genannten) Teilmengen von M definiert.
Anschliefiend wird u. a. gezeigt, dafi die Relativgebiete (in heutiger Sprechweise)
eine Topologie auf M bilden, was HAUSDORFF ZU folgender Bemerkung
veranlaBt:
Die Begriffe des Relativgebiets und der relativ abgeschlossenen Menge
sind noch einer etwas systematischeren AufFassung fahig, indem wir eine
ganze Relativtheorie entwickeln, die sich, statt auf die Menge
E, auf eine Teilmenge von ihr als zugrunde liegenden Raum bezieht.^
Dem so gewonnen topologischen Raum wird jedoch noch kein Name gegeben.
Der Begriff Teilraum tritt in HAUSDORFFS Notizen erst viel spater auf, z. B.
1935 in der Studie Operationen mit topologischen Rdumen ([NL HAUSDORFF,
Fasz. 557]^, Bl. 2) bzw. 1937 in [NL HAUSDORFF, Fasz. 628], wo er darlegt,
dafi gewisse Konstruktionen in natiirlicher Weise zu von der Teilraumbildung
verschiedenen Topologisierungen von Teilmengen eines topologischen Raumes
fiihren (Stichworte: lineare Ordnung, schwache Topologie, gestufte Raume).^
In [NL HAUSDORFF, Fasz. 678]^ konstruiert HAUSDORFF initiale Topologien
nicht nur fiir Inklusionen von Teilmengen X eines topologischen Raumes Y,
sondern auch fiir beliebige Abbildungen /: X —> Y von einer Menge X in
einen topologischen Raum Y und dariiber hinaus sogar fiir das, was wir heute
strukturierte Quellen nennen, d. h. fiir beliebige Familien von Abbildungen
fi: X —> Yi von einer festen Menge X in topologische Raume Yi. HAUSDORFF
konstruiert die grobste Topologie auf X, welche die Inklusion X ^-^ Y bzw.
/: X —> y, bzw. alle fi: X —> Yi stetig macht. Den zugehorigen topologischen
Raum nennt er Maximalraum. Die Initialitdts-Eigen.scha.h der von ihm
konstruierten Topologie auf X, von der BOURBAKI spater so entscheidenden
Gebrauch machen sollte, wird allerdings von HAUSDORFF noch nicht erwahnt.
In grofieren systematischen Studien^ benutzt HAUSDORFF obige Konstruktion
des Maximalraumes u. a. zu der heute gebrauchlichen Definition von Teilraumen.
3. Produkte
1923 versuchte TIETZE, Produktraume wie folgt zu definieren:
3[H 1914a], S.241.
^Fasz. 557 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.
^Fasz. 628 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 327-329. Eine verbesserte
Version von Fasz. 628 ist Fasz. 640, im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 402-404.
Beide Faszikel hat HAUSDORFF mit Teilrdume und topologische Teilrdume iiberschrieben;
Fasz. 628 stammt vom 4. 4. und 10. 5. 1937; Fasz. 640 vom 18. 8. 1937.
^Ohne Titel, undatiert, vermutlich zwischen Sept. 1936 und Marz 1938 entstanden.
^NL HAUSDORFF, Fasz. 684: Topologische Rdume, vermutlich zwischen 1936 und 1938
entstanden, und Fasz. 741: Topologische Rdume, vermutlich zwischen April 1938 und April
1940 entstanden.
779

Sei eine geordnete Menge punktfremder Raume Dii gegeben (m.a.W. es
wird die Indexmenge der i geordnet vorausgesetzt). Als Produktraum
Yl 9^i der ^i wird - in naheliegender Verallgemeinerung von Steinitz und
Prechet angegebener Bildungen - der folgendermaBen gebildete Raum
bezeichnet: Elemente sind alle geordneten Mengen x = (. ..Xj...), die
entstehen, wenn man aus jedem Raum 9^i ein Element Xi nimmt und die
Xi entsprechend ihren Indizes ordnet; als umgebende Menge il(x^) von
x^ = (.. .x^ ...) wird jede Menge von Elementen x erklart mit folgender
Eigenschaft: es gibt zu jedem x° eine umgebende Menge ii{x^) in ^Hi, so
dafi il(ic°) alle Elemente x = {... Xi...) enthalt, fiir die jedes Xi in ili(x?)
liegt.^
Das von TIETZE definierte Produkt, heute Box-Produkt genannt, erwies sich jedoch
als das "falsche" Konzept. Es ist weder im kategoriellen Sinne ein Produkt
noch hat es angenehme topologische Eigenschaft en. So ist das Box-Produkt von
abzahlbar vielen 2-elementigen diskreten Raumen ein liberabzahlbarer diskreter
Raum (das "richtige" Produkt ist - modulo Homoomorphie - das CANTORsche
Diskontiunuum). Abzahlbare Box-Produkte zerstoren also in der Regel Kompaktheit,
Separabilitat und die Giiltigkeit des 2. Abzahlbarkeitsaxioms. Wie
das Box-Produkt von abzahlbar vielen Kopien von R zeigt, werden auch Metrisierbarkeit
und das 1. Abzahlbarkeitsaxiom i. allg. nicht von den Faktoren auf
das Box-Produkt iibertragen. Nur im Fall einer endlichen Indexmenge liefert
das Box-Produkt das "richtige" Konzept.
Die Konstruktion des "richtigen" topologischen Produktraumes wird gewohnlich
der Arbeit [Ty 1930] von TYCHONOFF zugeschrieben. Das ist insofern etwas
zu weit gegrifFen, als TYCHONOFF in obiger Arbeit nur einen (allerdings
wichtigen) Spezialfall beschreibt: die Konstruktion der heute Tychonoff-Quader
genannten Raume [0, l]'^.
Es sei {Joi} eine Menge von der Machtigkeit r von abstrakt gegebenen
zueinander fremden Einheitsstrecken 0 < t < 1. Ein Punkt x des
Raumes R ist definitionsgemaB der Inbegriff {ti, t2,..., ta,...} von ,,Koordinaten"
ta, wobei ta ein Punkt von J ex. t also eine reelle Zahl 0 <
tot < 1 ist. Die Umgebungsdefinition geschieht folgendermafien: Es sei
XQ = {ti, ^2,..., t° ,...} ein Punkt von R. Wir wahlen beliebig endlichviele
Jai, Ja2, •. •, */afc und auf jedem dieser Intervalle Ja^ zwei rationale
Zahlen r^. < t° . < r^'^; eine Umgebung von XQ = {t?, ^2,. -., t° ,...} besteht
dann definitionsgemafi aus alien Punkten x = {ti, ^2, • • •, ta, • • •},
die den Bedingungen r^. < t^^ < r^^ geniigen.^
Erst 1935 veroffenthchte TYCHONOFF zwei Arbeiten, in deren erster [Ty 1935a]
er die Produkte M^^'^^ bzw. Y[ [~^^ +^] konstruierte und in deren zweiter [Ty
1935b] er den Begriff des topologischen Produktes wie folgt formulierte:
Zuerst wollen wir eine Definition des Produktes von Raumen geben, wobei
die Gesamtheit der Faktoren eine beliebige Machtigkeit haben kann.
^[T 1923], S. 298.
9[Ty 1930], S. 546.
780

Es sei {Ra} eine Menge von topologischen Raumen, wobei der einzelne
Raum durch ein Element a einer Menge DJl charakterisiert wird.
Ein Punkt des zu definierenden Raumes R ist definitionsgemafi ein System
von ,,Koordinaten" {...,a:a,...} (xa G Ra)- Das Umgebungssystem
eines Punktes xo = {...,x°,...} wird folgendermaBen definiert.
Wir nehmen irgendeine endliche Anzahl von irgendwelchen Umgebungen
U{x^^)j..., U{x^^) der Punkte x^^,..., x^^ in den betrefFenden
Raumen R^i, • • •, Ra^ • Dann besteht eine Umgebung des Punktes xo =
{..., x^^,...} definitionsgemafi aus alien Punkten x = {..., Xa, • • •} mit
Xcti G U(x^^) (i = 1,..., n). Die anderen Koordinaten werden dabei keinen
Bedingungen unterworfen. Dadurch, dafi man die Elemente ai,..., an
von DJl, sowie die Umgebungen U{x^^) variiert, erhalt man verschiedene
Umgebungen von XQ}^
In der bereits erwahnten bemerkenswerten Studie Operationen mit topologi­
schen Raumen (NL HAUSDORFF, Fasz. 557) beschreibt HAUSDORFF mit beispielhafter
Klarheit u. a. Produkte und Potenzen topologischer Raume. Leider
ist nicht erkennbar, ob ihm Arbeiten TYCHONOFFS dabei vorlagen. Er definiert
die Produkttopologie auf Bl. 10 als grobste Topologie auf dem cartesischen
Produkt der Tragermengen, die alle Projektionen stetig macht, und bezeichnet
den resultierenden Raum als Maximalraum. Er merkt ferner an, dafi die Produkttopologie
initial bzgl. der Projektionen ist, d. h., dafi eine Abbildung in
den Produktraum genau dann stetig ist, wenn ihre Komposition mit den Projektionen
stetige Abbildungen liefert. Diese wichtige Erkenntnis spielt in der
spateren Darstellung BouRBAKis ([Bo 1940]) eine zentrale RoUe. HAUSDORFF
zeigt ferner, dafi abzahlbare Produkte Metrisierbarkeit und die Giiltigkeit des
ersten Abzahlbarkeitsaxiom bewahren, und merkt an:
Dies wiirde nicht mehr gelten, wenn man alle G = (d, G2,. • •) als offen
zuliefie; daher spielt nur der Maximalraum eine RoUe.^^
Er verwirft also das Box-Produkt wegen seiner schlechten Bewahreigenschaften.
Ferner stellt er fest, dafi im Produktraum Folgenkonvergenz mit punktweiser
Konvergenz libereinstimmt und erkennt die Potenzen Y^ als Spezialfalle von
Produkten.
HAUSDORFF untersucht ferner - modern gesprochen - die Frage, ob Potenzen
sequentieller Raume (d. h. jede sequentiell-oflFene Menge ist oflFen) sequentiell
sind, und beantwortet sie negativ, indem er zeigt, dafi Rf^'^^ nicht
sequentiell ist, weil die Menge aller BAiREschen Funktionen (d. h. aller Funktionen
/: [0,1] —> R, die aus stetigen Funktionen durch transfinit wiederholte
Limesbildung von Folgen hervorgehen) im Produktraum zwar sequentiellabgeschlossen,
aber dicht und somit nicht abgeschlossen ist. Dafi selbst das
Konvergenzverhalten transfiniter Folgen (fa) nicht ausreicht, die Topologie von
Rf^'^^ zu beschreiben, fiihrte BIRKHOFF spater zu folgendem Stofiseufzer:
10 [Ty 1935b], S. 772.
i^NL HAUSDORFF, Fasz. 557, Bl. 11.
781

This shows that even unhmited use of transfinite sequences leads one to
situations inconsistent with our usual topological ideas. ^^
In knapper Form finden sich obige BegrifFsbildungen und Resultate auch in
HAUSDORFFS spaterer Studie Topologische Rdume ([NL HAUSDORFF, Fasz.
684]).
4. Summen
Summen wurden von TiETZE 1923 eingefiihrt:
Sei eine Menge punktfremder Raume 9\i gegeben. Als Summenraum
^ 9^i dieser Raume werde der Raum bezeichnet, der aus der Menge der
Punkte aller 9^^ entsteht, wenn als umgebende Menge eines jeden Punktes
Xi von 91^ jede Menge erklart wird, die eine den Punkt Xi im Raum
9li umgebende Menge als Teilmenge enthalt.^^
HAUSDORFF untersucht in seiner bereits mehrfach genannten Studie Operationen
mit topologischen Rdumen (NL HAUSDORFF, Fasz. 557) nicht nur Summen
topologischer Raume, sondern das folgende etwas allgemeinere Problem: Wann
laBt sich zu gegebener Familie {Xi)i^j topologischer Raume die Vereinigung
(der Tragermengen) so zu einem topologischen Raum X machen, dafi jedes Xi
Teilraum von X wird? Er bemerkt, da6 die Vertrdglichkeit der Xi (die besagt,
dafi Xi und Xj fiir jedes Index-Paar (z, j) dieselbe Teilraum-Topologie auf dem
Durchschnitt XiilXj induzieren) eine notwendige aber i. allg. nicht hinreichende
Bedingung fiir die Losbarkeit des genannten Problems ist, und konstruiert
hierzu ein Beispiel mit dreielementiger Indexmenge /. Ein etwas einfacheres
Beispiel ist (XQI, X12, X20) mit
X„b = ({a,6}, {0,{a}, {a,b}}).
HAUSDORFF zeigt ferner, dafi obiges Problem in folgenden drei Fallen losbar
ist und dafi in diesen Fallen die Menge der Losungs-Topologien ein feinstes
Element besitzt. Den zugehorigen Raum bezeichnet er als Minimalraum:
(1) / = {1,2} und Xi und X2 sind miteinander vertraglich.
(2) Die Xi sind paarweise disjunkt. Der zugehorige Minimalraum - die Summe
der Xi - ist unter alien Losungen dadurch charakterisiert, dafi in ihm
alle Xi off en sind.
(3) Fiir jedes Index-Paar (i, j) ist Xi Teilraum von Xj oder Xj Teilraum von
Xi.
Wie leicht erkennbar, ist jede dieser drei Konstruktionen eine Colimes-Konstruktion,
namlich die von
(1) speziellen Pushouts,
12 [B 1937], S. 46.
13 [T 1923], S. 298.
782

(2) Coprodukten,
(3) speziellen gerichteten Colimiten ( = induktiven Limiten).
Man darf sagen, dafi HAUSDORFF seiner Zeit weit voraus war. Ein systematisches
Studium kategorieller topologischer Konstruktionen setzte erst gegen
Ende der 60er Jahre ein.
In [NL HAUSDORFF, Fasz. 574]^^ analysiert Hausdorff den obigen Fall (1)
detaillierter und in seiner Studie Topologische Raume (NL HAUSDORFF, Fasz.
684) skizziert er obige Ergebnisse erneut.
5. Quotienten
Quotienten eines topologischen Raumes X konnen alternativ mittels Aquivalenzrelationen
auf (der Tragermenge von) X, Zerlegungen von X oder surjektiver
Abbildungen mit Definitionsbereich X beschrieben werden. 1st insbesondere
/: X —> Y eine surjektive Abbildung, so bildet die Menge aller Teilmengen
von y, deren Urbild unter / ofFen in X ist, eine Topologie auf F, genauer: die
feinste Topologie, die /: X —> Y zu einer stetigen Abbildung macht, genannt
Quotiententopologie. Diese Konstruktion erscheint uns heute so naheliegend
und einfach, dafi wir das tastende und teils auch irrende Suchen der ersten
Autoren, die sich mit dieser Thematik befafiten, gar nicht mehr so recht nachvoUziehen
konnen. So schreibt ALEXANDROFF 1927 in der wohl ersten Arbeit
zu unserem Thema:
Jede Abbildung R* = f{R) bestimmt eine Zerlegung des Raumes R in
zueinander fremde Mengen X = f~^{x*), wobei x* ein beliebiger Punkt
des Bildraumes R* ist. Falls dabei die gegebene Abbildung stetig war, so
sind samtliche Mengen X abgeschlossen.
Es liegt daher nahe, Zerlegungen
(4) R=J:X
eines Raumes R in zueinander fremde abgeschlossene Mengen X a priori
zu betrachten.
Definition 1. Die Zerlegung (4) eines Raumes R in zueinander fremde
abgeschlossene Mengen bestimmt folgendermafien einen neuen Raum R*:
Punkte X* des Raumes R* sind Mengen X der Zerlegung (4), x* ~ X.
Umgebungen V{x*) entstehen folgendermafien: es sei XQ ein beliebiger
Punkt des Raumes R*. Jedem die Menge XQ ~ XQ enthaltenden Gebiete
G G R entspricht dann eine bestimmte V{XQ), die aus alien denjenigen
X* besteht, deren in G enthaltene X entsprechen.
Man sieht leicht ein, dafi R* wirklich ein Raum ist (d.h. dafi die V{x*)
alien im § 1 aufgestellten Umgebungsaxiomen geniigen).
^^Ohne Titel, undatiert, vermutlich Marz 1934 bis August 1936 entstanden. Fasz. 574 ist
im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 474-480.
783

Jede Zerlegung (4) eines Raumes induziert eine Abbildung des Raumes
R auf den durch diese Zerlegung bestimmten Raum R*: man erhalt diese
induzierte Abbildung, indem man einfach
X* = f{x) fiir alle x ^ X
setzt. Im allgemeinen braucht natiirlich diese Abbildung nicht stetig zu
sein.
Definition 2. Die Zerlegung (4) des Raumes R in zueinander fremde abgeschlossene
Mengen heifit stetig^ falls zu einem beliebigen, irgendeine
Menge Xo der Zerlegung (4) enthaltenden Gebiete G\ C R ein Gebiet
GQ D XO sich derart bestimmen laBt, da6 jede zu Go nicht fremde Menge
X der Zerlegung (4) in G\ enthalten ist.
Folgender Satz ist beinahe selbstverstandlich.
Die durch eine Zerlegung (4) induzierte Abbildung R* — f{R) ist dann
und nur dann stetig, falls die Zerlegung (4) stetig ist}^
Ahnlich geht AuMANN in [Au 1927] vor. Erst BAER und LEVI gelingt in [BL
1932] die allgemein akzeptierte Definition der Quotiententopologie, eingeschrankt
allerdings noch durch die Tatsache, dafi ihren Untersuchungen nicht allgemeine
topologische Raume, sondern Hausdorff-Raume zugrunde liegen.
Die von einer stetigen Funktion erzeugte Zerlegung in Kongruenzklassen
heiBt stetige Zerlegung.
Durch eine stetige Zerlegung wird der Bildraum der sie definierenden stetigen
Abbildung nicht einmal bis auf topologische Abbildungen eindeutig
bestimmt. Zu einem Eindeutigkeitssatz kommt man aber, wenn man sich
auf Punktionen beschrankt, welche T auf Bildraume von minimaler Dichte
abbilden. Dabei heiBt a{%) bzgl. a von minimaler Dichte, wenn jede
Menge in a{%) offen ist, deren [voUstandiges] Urbild in T offen ist.
Satz 1. a) Eine Zerlegung von % in Mengen DJl, ist dann und nur dann
stetig, wenn es zu irgend zwei verschiedenen Komponenten der Zerlegung
punktfremde Umgebungen gibt, die aus vollstdndigen Kongruenzklassen
bestehen}^
HAUSDORFF beschreibt in klarer und iiberzeugender Weise die Quotiententopologie
bzgl. surjektiver Abbildungen g: E —> H zunachst fiir den Ti-Fall in
seiner Arbeit [H 1935] liber gestufte Rdume (in Kenntnis von [BL 1932]) und
fiir den allgemeinen Fall in seinen privaten Notizen von 1935, etwa in dem hier
abgedruckten Fasz. 557. Mit AuMANNs Ansatz setzt er sich in einer kritischen
Besprechung auseinander, die jedoch nicht publiziert wurde und die wir im folgenden
abdrucken.^^ Auch mit der Arbeit [A 1927] von ALEXANDROFF hat sich
15 [A 1927], S. 556-557.
16 [BL 1932], S. 112.
I'^NL HAUSDORFF, Fasz. 550. Der Faszikel, datiert vom 21. 11. 1935, enthalt zwei Versionen
einer Besprechung von [Au 1932]. Im folgenden abgedruckt sind die Bll. 1-4 mit der etwas
ausfiihrlicheren Version. Fasz. 550 ist vollstandig im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band
1, S.265-272.
784

HAUSDORFF sehr kritisch auseinandergesetzt, und zwar in den Studien Fasz.
543 und 635.^^ Zur oben zitierten Passage aus [A 1927] schreibt er z.B.:
Der Satz S. 557 Z. 6, 7: "man sieht leicht, dass R* wirklich ein Raum
ist (d.h. dass die V{x*) alien in § 1 aufgestellten Umgebungsaxiomen
geniigen)" ist also falsch. Hierzu ist allerdings zu bedenken: A. definiert
nur Umgebungen V(x*) auf diese Weise, meint also wahrscheinlich,
dass diese eine Basis des Raumes Y bilden. Danach miisste man das
System f{A) {A in X abgeschlossen) zum kleinsten System abgeschlossener
Mengen erweitern, das die iiblichen Voraussetzungen iiber Summe
u. Durchschnitt erfiillt; dies ware der von A. gemeinte Raum (er kehrt in
Alexandroff-Hopf, S. 66 als schwacher Zerlegungsraum wieder). Welchen
Zweck er haben soil, ist mir nicht klar.^^
Auch in diesen kritischen Auseinandersetzungen mit den Veroffentlichungen
von KoUegen wird HAUSDORFFS standiges Bemuhen una grofitmogliche begriffliche
Klarheit, welches seine Publikationen stets auszeichnet, deutlich. Die Notizen
enthalten auch detaillierte Beweise einer Fiille von Resultaten. Erwahnt
seien hier die folgenden:
(a) Abgeschlossene, stetige Surjektionen sind Quotientenabbildungen [NL HAUS­
DORFF, Fasz. 543], Bl. 3.
(b) Offene stetige Surjektionen sind Quotientenabbildungen [NL HAUSDORFF,
Fasz. 543], Bl. 3.
(c) Stetige Abbildungen von kompakten T2-Raumen in T2-Raume sind abge­
schlossen. [NL HAUSDORFF, Fasz. 543], Bl. 3.
(d) Ist ein stetiges Bild eines kompakten T2-Raumes mit abzahlbarer Basis ein
T2-Raum, so ist dieser ebenfalls kompakt und besitzt eine abzahlbarere
Basis (ALEXANDROFF 1926) [NL HAUSDORFF, Fasz. 635], Bl. 3.
Hier aus folgt:
Die hauptsachliche Anwendung der Zerlegungsraume liegt in dem folgenden
Satz, auf den wir noch 6fter zuriickkommen werden: Bei F-stetiger
[d. h. abgeschlossener, stetiger - H. H.] Zerlegung eines kompakten metrisierbaren
Raumes in abgeschlossene Schichten ist auch der Zerlegungsraum
kompakt und metrisierbar.^^
Dariiber hinaus enthalt insbesondere das oben bereits genannte Manuskript
[NL HAUSDORFF, Fasz. 635] die sorgfaltige Ausarbeitung zahlreicher spezieller
^^Fasz. 543 ist iiberschrieben „Nach Alexandroff", datiert 10.-12. 4. 1935 und ist im Faksimile
abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 215-230. Fasz. 635 tragt den Titel „C. Kuratowski,
Sur les decomposition semicontinues d'espaces metriques compacts", datiert 15. 5. 1937. Der
Fasz. bezieht sich auf [A 1927] und auf die genannte Arbeit von Kuratowski in Fund. Math.
11 (1928), 169-185. Er ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 361-382.
i^NL HAUSDORFF, Fasz. 635, Bl. 6.
20NL HAUSDORFF, Fasz. 741, BL 35.
785

Ergebnisse insbesondere iiber monotone Quotienten. Der Begriff der Monotonie
(der besagt, da6 Urbilder von Punkten zusammenhangend sind) wurde
unabhangig von HAUSDORFF auch von WHYBURN eingefiihrt.
Literatur
[A 1927] ALEXANDROFF, P.: Uber stetige Abbildungen kompakter Rdume.
Math. Annalen 96 (1927), 555-571.
[Au 1932] AuMANN, G.: Beitrdge zur Theorie der Zerlegungsrdume. Math.
Annalen 106 (1932), 249-294.
[BL 1932] BAER, R., LEVI, F.: Stetige Funktionen in topologischen Rdumen.
Math. Zeitschr. 34 (1932), 110-130.
[B 1937] BiRKHOFF, G.: Moore-Smith convergence in general topology. Annals
of Math. 38 (1937), 39-56.
[Bo 1940] BouRBAKi, N.: Topologie Generale. Hermann, Paris 1940.
[E 1989] ENGELKING, R.: General Topology, Rev. and compl. ed., Heldermann
Verlag, Berlin 1989.
[He 1986] HERRLICH, H.: Topologie I: Topologische Rdume. Unter Mitarbeit
von H. BARGENDA. Heldermann Verlag, Berlin 1986.
[T 1923] TiETZE, H.: Beitrdge zur allgemeinen Topologie L Axiome fiir verschiedene
Fassungen des Umgebungsbegriffs. Math. Annalen 88 (1923),
290-312.
[Ty 1930] TYCHONOFF, A.: Uber die topologische Erweiterung von Rdumen.
Math. Annalen 102 (1930), 544-561.
[Ty 1935a] TYCHONOFF, A.: Uber einen Funktionenraum. Math. Annalen
111 (1935), 762-766.
[Ty 1935b] TYCHONOFF, A.: Ein Fixpunktsatz. Math. Annalen 111 (1935),
767-776.
786

NL HAUSDORFF: Kapsel 38: Fasz. 557
Operationen mit topologischen Raumen
Hs. Ms. - [Bonn], 21. - 27.12. 1935. - 18 BIL
Operationen mit topologischen Raumen
21. 12. 35
Topologischer Raum = Menge E, wo ein System offener Mengen G mit den
Bedingungen definiert ist:
(1) 0 und E sind offen.
(2) Die Summe beliebig vieler ofFener Mengen ist offen.
(3) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
A (Z E ist topologischer Teilraum von E, wenn die in A offenen Mengen mit
den Mengen AG {G in E offen) identisch sind.
At {t G T) sei ein System topologischer Raume.
I. Topologisierung des Durchschnitts ^ = Ht ^t (/ 0)-^
Die Topologisierung von A ist bereits durch die jedes einzelnen At eindeutig
bestimmt, indem die in A offenen G mit den AGt {Gt in At offen) identisch
sein miissen: die notwendige und hinreichende Bedingung ist also, dass AGt ein
von t unabhangiges Mengensystem durchlauft, oder dass jedes AGs auch ein
AGt ist (fiir beliebige 5, t G T). | Bl. 2
Nennen wir Ag^At vertrdglich, wenn As At gemeinsamer topologischer Teilraum
von As und At ist, also die Mengen AsAtGs = AtGs mit den Mengen
AsAtGt = AsGt identisch sind. Die Vertraglichkeit je zweier As, At ist
hinreichend zur Topologisierbarkeit von A (die AGs — AAtGg sind mit den
AGt = A AsGt identisch).
II. Topologisierung der Summe A = ^^ At (natiirlich so, dass jedes At topologischer
Teilraum von A ist).
Notwendige Bedingung ist, dass immer As und At vertraglich seien. Die in
A offenen Mengen G miissen (l)-(3) erfiillen und fiir jedes t miissen die AtG
mit den Gt identisch sein. Zerlegen wir diese Identitatsforderung in zwei Telle
(AtG) C (Gt), (Gt) c (AtG):
(a) AtG = Gt ist in At offen. Dies ergiebt
(a*) G = J2Gt, A,Gt=AtGs
t
und umgekehrt folgt aus (a*) wieder (a): AsG = J2t^sGt = Ylt'^tGs =
AGs = Gs- Diese G sind also die Summen von Gt, die sozusagen mit den At
proportional sind. Nursolche G, von der Form (a*), sind als offen zuzulassen;
man kann sie aber alle oder nur einen Teil von ihnen als offene Mengen wahlen.
l(/?)
Zu jedem Gt giebt es ein G mit AtG = Gt. Bl. 3
^natiirlich so, dass A topologischer Teilraum von jedem At ist.
787

Das System Q aller G, die (a) erfiillen, erfiillt auch die Axiome (l)-(3); wenn
es auch (P) erfiillt, d. h. wenn unter den Systemen proportionaler Umgebungen
Gt (mit AsGt = AtGs) es fiir jedes to solche mit beliebig vorgeschriebenem Gt^
gibt, dann ist damit A topologisiert. (Die Vertraglichkeit von As,At reicht dazu
wohl nicht aus. Man kann fiir jedes t ein Gt mit At^Gt — AtGto bestimmen;
dann ist At^AgGt = AgAtGtQ = AtQAtGs; aber daraus folgt nicht AgGt =
AtGs.)
23.12.35
Ein Beispiel, dass A — A^ -{- A2 -i- As sich nicht topologisieren lasst, obwohl
Ai, A2, As paarweise vertraglich sind. Es seien ai,61,ci,02,62,^2, ... lauter
verschiedene Punkte. In
Ai = (ai,a2,a3, ... ,ci,C2,C3, ...) sei
G^ = (ari,an+l,an4-2, " • • .Cn,Cn+l,Cn+2, • • •) 5 n = 1, 2, . . .
Bl. 4 I das System der oflFenen Mengen ^ 0; ebenso in
die offenen Mengen 7^ 0. Es ist
A2 = (61,62,63, ... ,ci,C2,C3, ...) seien
G2 = (6n5 6n+l, 6n4-2? ••• , Cn, Cn+1, Cn+25 • • •)
A2G1 = (Cn,Cn+l,Cn+2, • • •) = ^1^2
und bei gegebenem G^ ist hierdurch G2 eindeutig bestimmt.^ Weiter sei
As = {cii,a2,as, ,... ,61,64,69, ...) und
G^3 = (^n,an+l,ttn+2, ••• , 6^2, 6(^4_i)2 , 6(^+2)2, • • •)
das System der offenen Mengen ^ 0. Wir haben
AsGi = {an, a^+i, 0^4-2, ...) = AiGs
und wieder ist mit GJ hierdurch G3 eindeutig bestimmt.^ Andererseits ist
AsG^ = (6,2,6(,+i)2, ...) {e>n>{k-l)^)
A2GS = {bn^ , 6(^+1)2 , . . .)
Bl. 5 und hierbei ist n > A; ausser fiir n = 1 = A: und n = 2 = A;, | so dass fiir
n > 3 A2G^ ^ AsG^ {A2G^ C AsG^) ist. Offene Mengen Gi, G2, G3, die mit
Ai,A2,As proportional sind, sind also nur 0,0,0; Gi,G2,G3 (= ^1,^2,^3);
Gi,G2,G3; A ist nicht topologisierbar.
^D.h. A2G'^ = A1G2 hat nur die einzige Losung G2 = ^2-
^D.h. AzC^ = A1G3 hat nur die einzige Losung G3 = G^.
788

Noch einfacher:
As = (ai,a2,as, ... ,62,64,66, ...)
G^ — (ttn, an+l,an+2, • • • ,62n,62n+2,62n+4, • • •)
A3G2 = {h2kMk+2, &2fc+4, ...) {2k>n>2k-2)
A2G3 = (62n, 62n+2, 62n+4, • • •) 5
und es ist n > A: ausser fiir n = k = 1. Die einzigen Tripel proportionaler
offener Mengen sind 0,0,0 und ^1,^2, A3. A ist nicht topologisierbar, obwohl
Ai,A2, As paarweise vertraglich sind; auch A2 und As sind es (A3G2 = A2G3,
wo 2A: > n > 2k —2; bei gegebenem n ist hierdurch k eindeutig, als kleinste Zahl
77/
> —, und bei gegebenem k ist n zweideutig, n = 2k oder 2A: — 1, bestimmt.)
Die hier angegebenen Raume erfiillen allerdings kein Trennungsaxiom. | BL 6
25. 12. 35
Nennen wir die Mengen G der Form (a*) kanonisch. Wenn das System Q aller
kanonischen Mengen (/?) erflillt, liefert es eine Topologisierung von A und
zwar die mit den meisten ofFenen Mengen, den „Minimalraum" A. Jede andere
mogliche Topologisierung A* derselben Menge A hat ein System G* C G offener
Mengen, das (P) und die Axiome (l)-(3) erfiillt; A* ist schlichtes stetiges Bild
von A.
Falle, wo sich A topologisieren lasst:
(A) Bei A = Ai -\- A2 geniigt die Vertraglichkeit von Ai,A2.
(B) Ist A = Ylt-^t ^ paarweise disjunkten At, so erfiillt jedes System von
Mengen Gt die Proportionalitatsbedingung und (/?) ist erfiillt. Im Minimalraum
sind die At {— At + J2r^t ^) C)ffen und abgeschlossen.
(C) Es sei A = ^^ At Summe eines geordneten Mengensystems, d. h. zwischen
As und At besteht immer eine der Beziehungen As C At, At C As> Denken
wir uns T geordnet; fiir s < t sei As C At. Hier geniigt die Vertraglichkeit je
zweier Mengen As, At, d. h. dass (fiir s < t) die Gg mit den AgGt identisch sind.
I Wir konstruieren in der Tat ein System von Gt, die mit den At proportional BL 7
sind {Gs = AsGt, s < t) und wo fiir ein bestimmtes t = to (schreiben wir
t = 0) Go als offene Menge in Ao beliebig vorgeschrieben ist. Fiir 5 > 0 lasst
sich Gs so bestimmen, dass Go = AoGs, und zwar giebt es ein maximales
Gs dieser Art; dies soil gewahlt werden. Wir behaupten dann: fiir 0 < s < t
ist Gs = AgGt' Sei zunachst AsGt = G^; so dass G^ = Gs zu beweisen ist.
Nun ist Go^oGt = AoAsGt = AoG^, also G'^ C Gs, well Gs maximal gewahlt
war. Andererseits gilt Gs = A^GJ^, woraus Go = AoGs = AoG[ und demnach
G[ C Gt {Gt maximal) folgt, also
Gs — AsGt C AsGt = Gg, Gs C Gg,
also Gs = Gg. - Nunmehr gilt also Gs = AsGt fiir 0 < s < t; setzen wir noch
Gr = ArGo fiir r < 0, so ist auch Gq = AqGr fiir g < r < 0 und Gr — ArGs fiir
*[Hier notiert HAUSDORFF am Rand: G'^ in At offen.]
789

0 < s, d.h. G = Y2t ^t ist eine kanonische Menge mit vorgeschriebenem
Bl. 8 Go; die Bedingung (/?) ist erfiillt, A topologisierbar. |
Wenn eine Topologisierung von A = J2t ^* vorliegt, bei der die At in A offen
sind, so ist A der Minimalraum. Denn Gt ist dann stets in A off en und jedes
beliebige G = ^^ Gt in A offen (das braucht dann nicht mit der kanonischen
Darstellung G = ^Z^ AtG libereinzustimmen).
Wenn A der Minimalraum und jedes As At in ^4^ (und At) offen ist, so ist jedes
As in A offen. Denn bei festem s giebt Gt = AgAt ein System proportionaler
offener Mengen Gt, und G = J2t ^t ~ ^^ ^^^ Minimalraum offen.
Wenn T endlich ist und eine Topologisierung von A vorliegt, bei der die At
in A abgeschlossen sind, so ist A der Minimalraum. Denn ist G eine Menge
C A mit AtG = Gt, F = A-G und Ft = At - Gt = AtF, so ist Ft in At, also
in A abgeschlossen, F = ^^ Ft in A abgeschlossen, G in ^ offen.
Wenn A der Minimalraum und jedes As At in As und At abgeschlossen ist, so
ist jedes As in A abgeschlossen. Denn bei festem s giebt Gt = At{A — As) in At
offene, mit den At proportionale Mengen; ^^ Gt = A — As ist im Minimalraum
Bl. 9 offen. As abgeschlossen. |
Wir haben bisher rein topologische Raume (nur mit den Axiomen (l)-(3))
betrachtet; anders wird die Sache, wenn es sich um Trennungsaxiome, um C-
Raume, um metrische Raume handelt. Schon bei A = Ai + A2 (^1,^2 vertraglich)
kann trotz Metrisierbarkeit von Ai und A2 der Fall eintreten, dass A
nicht einmal das erste Trennungsaxiom erfiillt; bildet man z. B. Ai, indem man
einen einzigen, nicht isolirten Punkt ai von Ai durch einen Punkt a2 ^ Ai ersetzt,
isometrisch auf A2 = 02+(^1—^1) ab, so enthalt im Minimalraum A (und
in jedem schlichten stetigen Bild von A) jede Umgebung von ai auch a2', cti,ci2
sind nicht abgeschlossene Mengen. - Ist ^4 = Ai + ^2, Ai und A2 metrisch,
so dass ^1^12 = F in beiden Raumen dieselbe Metrik hat und in beiden abgeschlossen
ist, so lasst sich der Minimalraum metrisieren(in Ai und in A2 behalte
man die gegebenen Entfernungen bei, wahrend fiir xi e Ai — F, X2 ^ A2 — F
die Entfernung
X1X2 = inf {xip -i-pq-\- qx2)
Bl. 10 definiert wird. Vgl. mein Blatt vom 1. 4.35).^ |
27. 12. 35
III. Topologisierung des (kombinatorischen, Cartesischen) Produkts.
A = ^ At {At / 0) ist die Menge der Komplexe x = (xt) (Funktionen,
t
die jedem t ein Xt G At zuordnen). Bei der Topologisierung von A verlangen
^[Dabei handelt es sich um NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 540. Dieser Faszikel ist im
Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 197-198.]
790

wir, dass (B{xt G Gt) = {Gt, ^ As) ofFen sei.^ Das Axiom (3) verlangt, dass
alle ^ Gt, wo nur endlich viele Gt von At verschieden sind, in A offen seien;
t
diese Mengen und ihre Summen bilden das kleinste System Q offener Mengen
G, das zulassig ist; der hiermit topologisierte Raum A ware als Maximalraum
zu bezeichnen; fiir jede andere Topologisierung A* ist Q* D G, A schlichtes
stetiges Bild von A*. Man konnte z. B. auch die Produkte ^ Gt, wo hochstens
t
abzahlbar viele Gt 7^ At vorhanden sind, oder alle diese Produkte nebst ihren
Summen als offen erklaren. | Bl. 11
Der Maximalraum hat die Eigenschaft: wenn alle Xt stetige Funktionen von u
sind, so ist auch x stetige Punktion von u. (Umgekehrt: wenn x stetige Funktion
von u ist, so sind alle Xt als stetige Funktionen von x auch stetige Funktionen
von u). Denn (B{x G G) ist Summe von Mengen der Form (B{x e ^ Gt) mit
u u
nur endlich vielen Gt y^ At, das gilt z. B. wenn Gi,..., Gn ^ Ai,..,, A^, die
iibrigen Gt = At, ^{xi G Gi)...{xn G Gn) = offen, weil xi,...,Xn stetige
u
Funktionen von u sind.
Der Maximalraum A = (^1,^2,...) eines abzahlbaren Produkts erflillt das
erste Abzahlbarkeitsaxiom, wenn es die Faktoren Ak tun. In der Tat: Sei
a — (ai,a2,...) G A; fiir ak sei Uki,Uk2, • • • eine „auf ak sich zusammenziehende"
Folge von offenen Mengen, d. h. fiir jedes ak enthaltende offene Gk ist
schliesslich Ukn C Gk- (Man kann Uki D Uk2 D • • • annehmen). Dann ist
Un = {Ulw, U2n-, • • • 5 Unn-, ^n+l? ^n+l? • • •)
eine auf a sich zusammenziehende Folge; denn ist
a e G = (Gi,... ,Gk,Ak-{-i,...)
und n> k so gross gewahlt, dass Uin C Gi,..., Ukn C Gk, so ist Un C G.
(Dies wiirde nicht mehr gelten, wenn man alle G = (Gi, G2, • • •) als offen zuliesse;
daher spielt nur der Maximalraum eine RoUe.) Da A mit den Ak auch das
zweite Trennungsaxiom erfiillt, so ist mit den Ak auch A ein £-Raum (wo x e A
mit der Existenz einer konvergenten Folge Xn -^ x, Xn E A gleichbedeutend ist)
und zwar ist x ^' a mit gleichzeitigem Bestehen aller Konvergenzen Xk —^ ak
aquivalent. Denn ist | x ^^ a und ak G Gk, {Ai,..., Ak-i,Gk, Ak-\-i,.. •) eine Bl. 12
Umgebung von a, so ist schliesslich x in dieser Umgebung enthalten, Xk ^ Gk,
also Xk -^ CLk. 1st umgekehrt stets Xk -^ ak und G = (Gi,... ,G/, A/+i,...)
eine Umgebung von a, so ist schliesslich xi G Gi,...,x; G G^, also x G G, d. h.
X ^ a.
Sind die Ak metrisierbar, so auch A: man gebe dem Ak eine Metrik, bei
dem der Durchmesser S{Ak) von Ak mit k —^ 00 nach 0 konvergiert, und definiere
|x — 2/| = max \xk — Vkl- Oder auch, man wahle die Metriken so, dass
J2^{Ak) konvergiert, und setze |a: — 2/| = ^ \xk — yk\- In beiden Fallen ist
^d. h. dciss jede „Koordinate" xt stetige Punktion von x sei.
791

(X -> a) = Hfc i^k -^ CLk)'
IV. Topologisierung von 2^ (== Raum aller abgeschlosseiien Mengen ^ 0 von
X). (Vietoris). Die Mengen in X, 2^ werden durch grosse lateinische respektive
deutsche Buchstaben bezeichnet.
Wir stellen die Forderung: 1st F abgeschlossen, so sind die Mengen
(^ (A c F), ^ {AF + 0)
A A
abgeschlossen. (Hierzu leitet uns der Satz III, S. 149 meiner Mengenlehre: 1st
Ar, C F, An -> A, SO ist A = Fl An C F; ist AnF ^ 0, An ^ A, Xn e AnF,
so hat bei kompaktem X Xn eine konvergente Teilfolge Xp -^ x e. AF.) \
Bl. 13 Komplementbildung beziighch 2^ ergiebt, dass fiir oflFenes G die Mengen
A A
off en sind.
Man kann diese Forderung (etwas kiinsthch) so begriinden. Es giebt eine
durch X E A vermittelte mehrmehrdeutige Abbildung von X in 2^ oder umgekehrt.
Das Bild einer Menge P C X ist die Menge aller Bilder aller Punkte
X e P, d. h. die Menge aller A, zu denen es ein x G P mit x e A giebt, d. h.
(S {AP + 0).
A
Wir for der n also: das Bild einer abgeschlossenen Menge F soil abgeschlossen,
das einer offenen Menge G soil offen sein, i. e. die umgekehrte (mehrmehrdeutige)
Abbildung von 2^ in X soil stetig sein. (Man konnte dies auf alle, auch
nicht abgeschlossene Mengen A

ilden dann eine Basis in 2^.
Man kann (B{A C P) mit 2^ bezeichnen; unsere Mengen G haben dann die
Form 2^ (2^ - 2^^ • • • (2^ - 2^'^).
1st X metrisch und kompakt, so bestimmen diese Q als Umgebungen den
nach meiner Vorschrift (Mengenlehre §28) metrisierten Raum 2^, wahrend
diese Metrik im AUg. nicht topologisch invariant ist7 | Bl. 14
V. Topologisierung von Z = F^ (Menge der [ev. stetigen] Abbildungen
f{x) von X in Y).
Wir stellen die Forderung: flir festes XQ ist f{xo) durch / bestimmt; diese
Funktion soil fiir jedes XQ stetig sein, d. h. wenn VQ in Y offen ist, so soil
(£ [f{xo) G Vb] offen sein. Demnach sind auch die endlichen Durchschnitte soldier
Mengen
n
^ k=i
und die Summen beliebig vieler W als offen zu betrachten; wenn wir nur diese
Mengen, keine weiteren als offen betrachten, so erhalten wir den Maximalraum
Z, der unsere Aufgabe lost; von jedem andern Raum ZQ, der sie lost,
ist Z schlichtes stetiges Bild. (Hierbei ist Y als topologisch, X als reine Menge
angenommen; erst wenn etwa die f{x) stetig sein soUten, muss auch X als
topologisch angenommen werden. Die Sache ist nichts anderes als ein Spezialfall
von III, Topologisierung eines Cartesischen Produkts, wenn namlich die
dortigen At alle gleich angenommen werden, also an Stelle des Produkts eine
„Potenz"tritt.) | Bl. 15
Angenommen, Y sei >C-Raum. Hier kann man auch einen als Menge mit Z
identischen £-Raum ZQ definieren, namlich durch
[fn^f] = ll[fn{x)^fix)].
Es wird dadurch, fiir jedes XQ, f{xo) stetige Funktion von /, da
X
(/« - /) -> [fnixo) - f{xo)] ;
das gilt im £-Sinne wie im topologischen {Y der zum >C-Raum gehorige topologische
Raum, ZQ entsprechend). Daher ist ZQ Unterraum des zuvor konstruierten
Maximalraums Z. Ist ZQ mit Z identisch? D. h. sind die offenen Mengen von
ZQ mit denen von Z (den Summen der W) identisch, oder hat ZQ noch mehr
offene Mengen?
Das System der W hat die Eigenschaft:
^^t /o? /n G ^0 und gilt fiir jedes W mit /o G W schliesslich fn G W, so ist
Jn —^ JO-
^D. h. X kann mt Xi homoomorph sein, ohne dass die metrischen Raume 2^, 2^i es sind.
Kuratowski, Topologie I, p. 92.
793

Denn ist VQ eine Umgebung von fo{xo) und W = ^{/{XQ) E VQ), SO ist
/o € W, schliesslich /^ € W, d. h. fn{xo) ^ 1^; dies gilt fiir jedes Vb, also
BL 16 fn{xo) -^ fo{xo), und fiir jedes XQ, also /^ ^^ /o- | Daraus folgt aber noch
nicht, dass die W mit ihren Summen alle offenen Mengen von ZQ darstellen!
{Ws konnte eine „Halbbasis" von ZQ sein.)
Beispiele. (a) X sei das Intervall [0,1], Y die Menge der reellen Zahlen, Z =
Y^ die Menge der reellen in [0,1] definierten Funktionen. B sei das System der
Baireschen Funktionen; es ist in ZQ abgeschlossen. In Z ist es dicht, denn jedes
W = ^YK^ilfi^k) ^ Vk] enthalt auch Bairesche, sogar stetige Funktionen,
Also ist B hi Z nicht abgeschlossen, da sonst B — Z ware, aber es giebt ja
auch nicht-Bairesche Funktionen, Z — B 7^ 0. B ist also in Z^ abgeschlossen,
in Z nicht; Z{^ enthalt mehr abgeschlossene Mengen als Z, Z ist ein echter
Oberraum von ZQ. Z ist dann gewiss nicht als £-Raum erzeugbar.
(/3) X, Y wie oben, Z = Y^ jetzt nur die Menge der stetigen Funktionen. B
sei das System der stetigen Funktionen / wo M(/) = (B[f{x) > 0] ein Mass > S
X
Bl. 17 hat {0 < S < 1). B ist in ZQ abgeschlossen, denn | ist fn ^ B, fn ^^ /, so hat
M = IhE M{fn) - Unl^ifn) + M(/n+i) + • • • ] ciu Mass > S; und fiir X G M
ist unendlich oft fn{x) > 0, also f{x) > 0; M C M(/); f e B. ~ Wegen 6 > 0
ist ZQ — B ^ 0. Andererseits ist B in Z dicht, also dort nicht abgeschlossen,
well sonst B = Z ware. Denn jede Menge W = (BJXk=i[f{^k) ^ Vk] enthalt
Funktionen f ^ B; man braucht nur, nachdem man Werte yk G Vk gewahlt und
f{xk) — Vk gesetzt hat, in der offenen Menge X — Yl^ ^k (vom Masse 1) eine
abgeschlossene Teilmenge F vom Masse S zu wahlen, was wegen 6 < 1 moglich
ist, z.B. eine Summe von Intervallen, und in F f{x) = 0 zu setzen; danach
lasst sich / zu einer stetigen Funktion f E B erganzen. - Also auch in diesem
Fall ist Z echter Oberraum von ZQ (und kein £-Raum).
(7) Es sei X = {1,2,...} die Menge der nat. Zahlen, Y die der reellen, Z
Raum der reellen Zahlenfolgen. Hier ist ZQ mit Z homoomorph. Denn wenn
jede Umgebung Wn = ^IlLi [1/(^)1 < ^] ^^^ 0-Folge einer Folge Qnix) e B
enthalt, so ist gn -^ (0); bei einem in ZQ abgeschlossenen B also auch (0) G B.
Dasselbe gilt von jedem f{x) statt (0). Demnach ist B auch in Z abgeschlossen,
sonst gabe es ein / G Z — B, von dem jede Umgebung W ein Element g ^ B
enthielte. - Bei allgemeinem Y mit 1. Abzahlbarkeitsaxiom diirfte dasselbe
Bl. 18 gelten. | Zu der ganzen Sache vgl. noch Gestufte Raume, S. 497. Im topologi-
2
schen Raum Z definieren wir die Relation fn^^f uiit der Bedeutung: jede
Umgebung von / enthahlt fast alle fn- (Als Umgebungen geniigen die W). Im
allg. wiirde dabei die Einzigkeit des Limes fehlen; hier ist sie aber vorhanden
2 2
und fn-^f niit der Relation fn-^fin ZQ aquivalent. Der von fn-^f erzeugte
£-Raum, hier ZQ, ist ein Unterraum von Z, und wir haben Beispiele,
dass er echter Unterraum sein kann.
794

NL HAUSDORFF : Kapsel 41: Fasz. 678
[Topologisierung des Urbildes eines topologischen
Raumes]
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936 - Marz 1938]. - 2 BU.
y = f{x) Abbildung von X mY,
Bei topologischem Y X so zu topologisieren, dass f{x) stetig wird.
Durchlauft V die ofFenen Mengen von Y, so mussen alle Mengen f'^iV) in
X als offen erklart werden (es konnen vielleicht noch andere als offen erklart
werden). Wenn man nur sie als offen erklart, so erhalt man den Raum X mit
den wenigsten offenen Mengen, den Maximalraum X; alle andern Losungen
sind Unterraume von X {X schlichtes stetiges Bild von ihnen).
1st ein System topologischer Raume Yt und Abbildungen ft{x) von X in
Yt gegeben, so soil X so topologisiert werden, dass alle ft stetig werden. Alle
Ut = f~^{Vt) {Vt in Yt offen) sind als offen zu erklaren; ist (U) das kleinste
System liber diesen Mengen, das (U) = (Ud) — (Us) erfiillt (Durchschnitt
endlich vieler und Summe beliebig vieler U ein U), so mussen in X jedenfalls die
Mengen U offen sein. Wenn nur sie, ist X der Maximalraum. Die Durchschnitte
UtiUt2 • • • Ut^ endlich vieler Ut bilden eine Basis fiir X.
Es konnen auch alle Yt = Y sein, so dass es sich nur um verschiedene Abbildungen
ft von X in y handelt.
Ist Xo topologisch, als Punktmenge = X, die ft{x) in XQ bereits stetig, so
ist X Oberraum zu XQ ( es kann in XQ mehr offene Mengen geben als in X). | BL2
Dasselbe fiir >C-Raume. Y sei gegebener £-Raum, die Abbildung y — f{x)
von X in F soil durch Konvergenzdefinition in X stetig gemacht werden.
Nur solche Xn —^ x sind zulassig, wofiir f{xn) -^ /(^)- Man braucht sie
nicht alle zu nehmen. Nimmt man sie alle (grosstes Konvergenzensystem),
so erfiillt dies die Limesaxiome (/?) (7) (Gestufte Raume), aber i. A.nicht
(a), der topologische Maximalraum X braucht kein >C-Raum zu sein; es kann
f{xn) -^ f{x) = f{x'), x^x' sein.
Hat man mehrere /t(x), Abbildungen von X in F, so darf nur dann Xn -^
X definiert werden, wenn fiir alle t ft{xn) —^ ft{x). Nimmt man alle diese
Konvergenzen, so kann (a) erfiillt sein, wenn namlich
l[[Mx') = ft{x)] = [x = x'].
Z.B. (Toeplitz-Koethe, Journ. 171): x — (^1,^2, •• •) Folgen komplexer Zahlen,
die ein lineares System X bilden; t = (n,r2,...) durchlaufe alle Folgen, fiir die
ft{x) = ^^k^k absolut konvergiert. T das System aller dieser t. Es ist dann,
wenn Yl^k^k ==0 fiir alle t, notwendig x = 0 denn zu den t gehoren die
efc = (0,...,0,1,0,...),
795

und dann ist /e^ (x) = ^k = 0. Xn ^' x ist die von Toeplitz-Koethe definierte
Konvergenz. (Vgl. Fichtenholz).
Wenn XQ (top.) als reine Menge = X, die ft{x) in XQ bereits stetig sind, so
gehoren die in XQ bestehenden Konvergenzen zu denen in X bestehenden, X
ist Oberraum zu XQ.
NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 550
G. Aumann, Beitrage zur Theorie der Zerlegungsraume
Hs. Ms. - [Bonn], 21. 11. 1935. - 8 Bll.
Abgedruckt sind die Blatter 1-4.
G. Aumann, Beitrage zur Theorie der Zerlegungsraume. Math. Ann. 106 (1932),
S.249-294.
Die Arbeit ist griindlich, scharfsinnig und enthalt viele interessante Ergebnisse.
Indessen ist das Problem nicht klar gestellt und die Losung infolgedessen
nicht frei von Willkiir.
Es handelt sich (in vereinfachter Bezeichnung) um Folgendes. Aus einer Zerlegung
H
der Menge E in diskunkte Summanden ^ 0, wobei der Index y eine Menge
H durchlauft, entspringt eine (eindeutige) Abbildung y = (p{x) von E auf H,
indem man jedem Element x ^ E den Index y des Summanden zuordnet, der x
enthalt; also y = (p{x) mit x E Ey gleichbedeutend. Wenn nun E ein topologischer
Raum oder Limesraum oder metrischer Raum ist, so kann man versuchen,
in geeigneter Weise auch H zu einem solchen Raum zu machen. Verschiedene
Autoren haben das auf verschiedene Arten durchgefiihrt und sind so zu Bedingungen
flir die Zerlegung gelangt, denen entsprechend sie als stetige Zerlegung
Bl. 2 (Alexandroff), oberhalb-stetige Zerlegung (Vietoris), decomposition | semicontinue
(Kuratowski), allgemein-stetige Zerlegung (Aumann, S. 258) bezeichnet
wird.
Was heiCt aber: in geeigneter Weise? Stellen wir die prazise Forderung: Die
Abbildung (p soil stetig sein. Betrachten wir den topologischen Fall, mit dem
sich nur Alexandroff und Aumann befasst haben, und nehmen „rein topologische"
Raume, d. h. solche ohne Trennungsaxiome (aus deren Hinzunahme
natiirlich zusatzliche Bedingungen fiir die Zerlegung entspringen); ein rein topologischer
Raum ist durch das System seiner offenen Mengen charakterisiert,
das nur den Bedingungen zu geniigen hat: die NuUmenge und der Raum selbst
sind off en, der Durchschnitt endlich vieler und die Summe beliebig vieler offener
Mengen ist offen. Der einfache Tatbestand ist nun, dass ohne jede einschrdnkende
Bedingung flir die Zerlegung die Abbildung (p durch geeignete Wahl des rein
y
796

topologischen Raumes H stetig gemacht werden kann, dass also in diesem Sinne
jede Zerlegung eine stetige Zerlegung ist. Man darf namlich, der bekannten
Eigenschaft stetiger Abbildungen gemass, nur solche Mengen V in H als off en
erklaren, deren Urbilder
y
in E off en sind. Erklart man alle diese | V als off en, so entsteht ein bestimmter Bl. 3
topologischer Raum H, der „Minimalraum"; erklart man nur einen Teil der V
als off en, so entstehen noch andere Raume, die schlichten stetigen Bilder des
Minimalraumes.
Dieser einfache Sachverhalt kommt weder bei Alexandroff noch bei Aumann
zum klaren Ausdruck: beide definieren gewisse Mengen V, die ihnen plausibel
erscheinen, als offen, und die Forderung der Offenheit ihrer Urbilder ergiebt
dann gewisse Einschrankungen fiir die Zerlegung, die a priori durchaus nicht
notwendig sind. So entsteht die Bedingung der allgemein-stetigen Zerlegung bei
Aumann (Bedingung (S), S. 258), die scharfere Alexandroffsche Bedingung, die
darauf hinauskommt, dass (nicht nur das Urbild, sondern auch) das Bild jeder
abgeschlossenen Menge abgeschlossen sein soil, und als deren Gegenstiick eine
(von Aumann S. 261 als ^-Stetigkeit bezeichnete) Bedingung, wonach (nicht
nur das Urbild, sondern auch) das Bild jeder offenen Menge offen sein soil.
Natlirlich ist die Untersuchung dieser speziellen | Zerlegungen (insbesondere Bl. 4
der Alexandroffschen) von grossem Interesse, und hierzu bringt die Arbeit von
Herrn Aumann bemerkenswerte Beitrage, aber es ist nicht zu vergessen, dass
die Spezialisierung einer gewissen Willkiir entspringt und tatsachlich von der
Abbildung (p mehr als die einfache Stetigkeit fordert.
Ubrigens arbeitet Herr Aumann nicht mit offenen Mengen, sondern mit den
Tietzeschen Umgebungen (die nicht notendig offen sind), wodurch eine Umgruppierung
der Schliisse eintritt, die aber an dem hier Gesagten nichts andert.
Nachdem er seine Umgebungen im Raum H eingefiihrt und dadurch fiir jede
Menge B die Menge Bj der Punkte, die B als Umgebung haben, festgelegt
hat, beweist er anscheinend (S. 253) die Stetigkeit der Abbildung ip schon vor
Einfiihrung einer neuen Bedingung; in Wahrheit ist aber diese Stetigkeit, auf
Grund der Tietzeschen Umgebungen, mit der gewohnlichen Stetigkeit nur dann
identisch, wenn die Mengen Bj offen sind {Bj = Bjj), und diese Forderung fiihrt
dann zur Bedingung (S) der Allgemein-Stetigkeit.
797

Hausdorffs Studien iiber Kurven, Bogen und
Peano-Kontinua
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss
1. Einfiihrung
Zahlreiche Ergebnisse, insbesondere der komplexen Analysis und der Flachentheorie,
legen den Gedanken nahe, das Konzept einer Kurve stelle einen Grundbegriff
der Topologie dar. Leider ist dem nicht so.
In den Grundziigen der Mengenlehre ([H 1914a]) verzichtet HAUSDORFF sogar
voUstandig auf eine Definition von Kurven. Er schreibt dort:
Wir geben keine Definition des BegrifFs Kurve; die Mengen, die herkommlicherweise
diesen Namen fiihren, sind von so heterogener Beschaffenheit,
da6 sie unter keinen verniinftigen SammelbegrifF fallen.
G. T, WHYBURN betonte noch 1968
the unreliability of our intuition concerning these concepts [curves, surfaces,
etc. - die Verf.]^
Natiirlich liessen sich Kurven in einem Raum X als stetige Abbildungen
/ : [0,1] —> X des abgeschlossenen Einheitsintervalls nach X erklaren. Diese
Auffassung, die flir verschiedene Zwecke durchaus tragfahig ist, befriedigte die
Topologen jedoch nicht, da sie meinten, da6 (a) in ihrem Vorverstandnis von
„Kurve" dieselbe Kurve durch verschiedene stetige Abbildungen beschrieben
werden kann, daB also die Abbildung nicht die Kurve selbst sondern nur Mitt el
zu deren Darstellung ist und (b) ihnen "eine vom Abbildungsbegriff unabhangige
gestaltliche Charakterisierung dieser Gebilde"^ wiinschenswert erschien. Der
von C. JORDAN 1887 gewahlte Ausweg, eine Abbildung durch ihr Bild zu ersetzen,
Kurven also als stetige Bilder von [0,1] zu definieren, wurde voriibergehend
als naheliegende Losung dieses Problems angesehen, erwies sich aber als ephemer.
Bereits 1890 iiberraschte G. PEANO die Fachwelt mit der Konstruktion
einer stetigen, surjektiven Abbildung /: [0,1] —> [0,1]^.
Dazu bemerkte HAUSDORFF in den Grundziigen:
Man pflegt eine solche Menge [d. h. ein stetiges Bild des Einheitsintervalls
- die Verf.] als stetige Kurve zu bezeichnen. Aber dieser Begriff
umfafit eine Fiille der Gestalten, die sich von dem elementargeometrischen
Bilde einer „Kurve" himmelweit entfernen. Eine stetige Kurve kann
Fldchenstiicke enthalten: das ist eine der merkwiirdigsten Tatsachen der
Mengenlehre, deren Entdeckung wir G. Peano verdanken.^
i[H 1914a], S. 369, FuBnote.
2 [Why 1968], S. 26.
3 [Men 1932], S. 13.
"^[H 1914a], S.369.
798

In seinem Ubersichtsartikel History of Continuum Theory ([Cha 1998]) bemerkte
J. J. CHARATONIK zur historischen Wirkung von PEANOS Beispiel:
Peano's unexpected example shattered the intuitive notion of the dimension
of a space as being the least number of continuous parameters needed
to describe the space, and it precipitated a search for a rigorous definition
of dimension.^
PEANOS Entdeckung offnete das Tor zu einer Vielzahl z.T. aufierst tiefsinniger
Studien iiber Peano-Kontinua (stetige Bilder des abgeschlossenen Einheitsintervalls),
Bogen (homoomorphe Bilder des Einheitsintervalls), einfach
geschlossene Kurven, (homoomorphe Bilder der Kreislinie), irreduzible Kontinua,
1-dimensionale Kontinua, einfach zusammenhdngende Kontinua, Bogenzusammenhang
und - natiirlich - einen geeigneten Kurvenbegriff. Diese Untersuchungen
zeichnen sich (wie tiberhaupt grofie Telle der AUgemeinen Topologie)
aus durch ein faszinierendes Wechselspiel zwischen der Kristallisation geeigneter
Konzepte und diese harmonisch verbindender Theoreme einerseits und der
Entdeckung verbliiffender und teilweise hochst bizarrer Gegenbeispiele andererseits:
Essential progress in continuum theory is related to the investigation of
curiosities; the study of curiosities led to the discovery of regularities.^
Eine erschopfende Darstellung dieser Entwicklung ist wegen der Ftille des
Materials einerseits (CHARATONIK zitiert in [Cha 1998] 729 Arbeiten) und dem
Schwanken nicht nur des Kurvenbegriffs selbst sondern zahlreicher (heute weitgehend
fixierter) topologischer Grundbegriffe andererseits hier weder moglich
noch sinnvoll. Als Beispiel fiir die begrifflichen Schwierigkeiten sei das Schwanken
des hier zentralen Kontinuum-BegriSs angefiihrt:
(a) CANTOR^ definierte Kontinua als perfekte (d. h. abgeschlossene, insichdichte)
zusammenhangende Teilraume Euklidischer Raume.
(b) R. L. MOORE^ und HAUSDORFF^ definierten Kontinua als abgeschlossene,
zusammenhangende Teilmengen eines metrischen Raumes (also als
Relativbegriff).
(c) MENGER^^ definierte Kontinua als "mehrpunktige, zusammenhangende
beschrankte abgeschlossene" Teilraume Euklidischer Raume und Kontinua
im weiteren Sinne als "mehrpunktige zusammenhangende abgeschlossene"
Teilraume Euklidischer Raume. Wahrend der Kontinuums-
Begriff hier absolut ist, ist der des Kontinuums im weiteren Sinne nur
relativ.
^[Cha 1998], S. 707.
6 [Cha 1998], S. 716.
'^[Can 1883], S. 576.
8 [Moo 1923], S.290.
9[H 1927a], S. 150-151.
10 [Men 1932], S. 22-23.
799

(d) ANDERSON und CHOQUET^^ definierten Kontinua als kompakte, zusammenhangende
metrische Raume.
(e) Viele Autoren setzten Bekanntheit mit dem Begriff des Kontinuums voraus.
Einige verstanden darunter kompakte, zusammenhangende Teilraume
Euklidischer Raume.
Selbst heute ist der Begriff nicht eindeutig fixiert:
(f) HOCKING und YOUNG^^ definieren ebenso wie CHOQUET^^ Kontinua als
kompakte, zusammenhangende topologische Raume.
(g) WiLLARD^^ definiert ebenso wie ENGELKING^^ Kontinua als kompakte,
zusammenhangende Hausdorff-Raume,
(h) BURGESS^^ definiert Kontinua als kompakte, zusammenhangende metrische
Raume mit mindestens zwei Punkten.
(i) CHARATONIK schreibt 1998:
By a continuum we usually [sic!] mean a metric (or Hausdorff) compact
connected space. ^
Er lafit also mindestens zwei Sorten von Kontinua zu.
Im vorliegenden Beitrag verstehen wir unter einem Kontinuum einen kompakten,
zusammenhangenden, metrisierbaren topologischen Raum.^^
Unsere Stoffauswahl orientiert sich an den Pragestellungen, mit denen sich
HAUSDORFF in seinen Biichern oder seinen unveroffentlichten personlichen Aufzeichnungen
auseinandergesetzt hat. Dabei ist besonders bemerkenswert, dafi
HAUSDORFF - aufier in seinen Biichern - iiber diesen Themenkreis zwar kein
einziges Ergebnis veroffentlichte, aber die Liter at ur hierzu mit beeindruckender
Intensitat studierte und auf weit iiber tausend eng beschriebenen Seiten (allein
152 bzw. 200 zu MENGERS Biichern iiber Kurven- bzw. Dimensionstheorie)
resiimierte, kommentierte und erganzte. Dabei zeichnete er die vorgefundenen
Beweise in der Regel sorgfaltig nach, machte die Argumentation durchsichtiger,
schloB Beweisliicken oder ersetzte die Beweise durch eigene, elegantere
Alternativen. Auch brachte er die vorgefundenen Resultate haufig durch Herauskristallisierung
eines optimalen AUgemeinheitsgrades in perfektere Form,
ii[AnCh 1959], S. 347.
i2[HoYo 1961].
i3[Cho 1966].
14 [Will 1968].
i^[Eng 1989).
16 [Bur 1966].
i^[Chal998], S. 705.
i^Aquivalent dazu: ein Kontinuum ist ein kompakter, zusammenhangender Hausdorff-
Raum mit abzahlbarer Basis. Nicht-degenerierte Kontinua, d. h. Kontinua mit wenigsten
zwei Punkten, sind von der Machtigkeit des Zahlen-Kontinuums M.
800

egleitet von Beispielen, welche die Scharfe des jeweiligen Ergebnisses belegen.
Er beschrankte sich in seinen - ja nur fiir seine eigene Arbeit bestimmmten
- Notizen nicht auf eine Analyse des mathematischen Kerns der jeweils studierten
Veroffentlichungen, sondern unterzog auch die Darstellungsform der
jeweiligen Autoren einer kritischen Bewertung. Dies wird besonders deutlich
in seinen Notizen zu MENGERS Buch Kurventheorie (NL HAUSDORFF, Fasz.
985). HAUSDORFF beginnt sie mit einer historisch sehr interessanten allgemeinen
Feststellung zu MENGERS Biichern [Men 1928] und [Men 1932]:
Allgemeine Bemerkung zu Mengers Biichern: Die Kurventheorie behandelt
abgeschlossene beschrankte Mengen Euklidischer Raume, gilt aber
grossenteils fiir kompakte Raume (auch von nicht endlicher Dimension):
sie scheint spezieller als sie ist.
Die Dimensionstheorie behandelt separable regulare Raume, diese sind
aber metrisierbar: sie scheint allgemeiner als sie ist.^^
Im Text von Fasz. 985 finden sich zahlreiche kritische Bemerkungen zu Einzelheiten
von MENGERS Buch. Besonders bemerkenswert sind HAUSDORFFS
Bemiihungen, den Beweis fiir den n-Bogensatz ([Men 1932], S. 228 ff.) wesentlich
zu vereinfachen. In HAUSDORFFS Notizen erscheint der Satz unter Nr. VH
in folgender Formulierung:
VII (Zweiter n-Bogensatz fiir Bogenkomplexe). E sei Bogenkomplex, P
und Q endliche Mengen C E. Wennjede P, Q scheidende Menge T mindestens
n-punktig ist {n = 1,2,...), so giebt es in E mindestens n disjunkte
Bogen p- • • q {ev. uneigentliche p, p E PQ)?^
Im AnschluB an seinen eigenen Beweis stellt HAUSDORFF fest:
In Fund. Math. 10, S. 101-102 hat Menger fiir VII einen falschen Beweis
geliefert, den er im Buch Kurventheorie durch einen von Nobeling - n-
Kettensatz fiir Graphen, S. 221-228 - ersetzt hat. Dieser ist aber hochst
kompliziert; mein vorstehender Beweis, vor allem darauf beruhend, dass
P, Q nicht notwendig disjunkt zu sein brauchen, [• • • ] scheint mir bedeutend
einfacher.^^
HAUSDORFF bringt dann auf den Blattern 111-116 einen weiteren Beweis eines
modifizierten n-Bogen-Theorems, den er mit folgender Bemerkung abschliefit:
„That was a hard piece of work!" (Bl. 116).
2. Peano-Abbildungen
Unter einer Peano-Abbildung verstehen wir eine stetige Abbildung des abgeschlossenen
Einheitsintervalls / auf das Einheitsquadrat P. PEANO konstruierte
1890 die erste Peano-Abbildung mitt els der triadischen Entwicklung der
Elemente des Einheitsintervalls.
i^NL HAUSDORFF, Fasz. 985, BL Iv.
20NL HAUSDORFF, Fasz. 985, Bl. 93.
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 985, Bl. 100.
801

Bereits 1891 lieferte HiLBERT durch sukzessive Unterteilung von Quadraten
in jeweils vier kongruente Teilquadrate und geeignete lineare Reihung derselben
eine rein geometrische Konstruktion einer Peano-Abbildung / = (x,y).
Beziiglich der Abbildungen x und y merkte HiLBERT an:
Die oben gefundenen abbildenden Punctionen sind zugleich einfache Beispiele
fiir iiberall stetige und nirgends difFerentiirbare Punctionen.^^
E. A. MOORE wiirdigte 1900 HILBERTS Veranschaulichung einer solchen Art
von Abbildung:
This interesting phenomenon of continuous surface-fiUing curves HiLBERT
in 1891 made luminous to the geometric imagination, [• • •].
MOORE konstruierte dann - durch HILBERTS Darstellung angeregt - eine
Vielzahl schoner Peano-Abbildungen (als gleichmaBige Limiten von Polygonziigen)
und stetiger, nirgends differenzierbarer Abbildungen und hob die
Anschaulichkeit der so konstruierten "Kurven" K hervor:
Prom the continuity of K and the presence of the set of nodes the properties
of K follow in such a way as to appeal vividly to the geometric
imagination. Indeed the yt-curve from the simplicity of its geometric definition
and from the intuitive clearness of its properties appears to be
fit to replace the classical WEIERSTRASS curve as the standard example
of continuous curves having no tangents, [• "]?^
1905 kontruierte LEBESGUE in seinem Werk Legons sur Vintegration (S. 144)
zunachst eine stetige Abbildung / des CANTORschen Diskontinuums auf das
Einheitsquadrat und anschlieBend durch stiickweise lineare Fortsetzung von /
eine Peano-Abbildung g: I —> P.
1912 bewies SiERPiNSKi in [Sie 1912] zunachst, da6 genau eine stetige beschrankte
Abbildung /: E —> M mit folgenden Eigenschaften existiert:
1. f{-t) = f{t) fiir jedes t G E,
2- f{t) + /(t 4- ^) = 0 fiir jedes t e E,
3. 2./(|) + /(t+|) = lfiirjedestG/.
Hieraus folgerte er, dafi durch t i—> (/(O, /(^ ~ i)) ^i^^ Peano-Abbildung
g: I —> P definiert wird. Er zeigte ferner, dafi g sich geometrisch als Limes
einer Folge von sehr hiibschen Schneeflocken-ahnlichen Polygonen darstellen
lafit.
Da eine Peano-Abbildung /: / —> P nicht injektiv (und somit kein Homoomorphismus)
sein kann, gibt es wenigstens ein y E P mit mindestens zwei
22[Hil 1891], S.460.
23 [Moo 1900], S.73.
24 [Moo 1900], S.72.
802

Urbildern, kurz: mit \f~^{y)\ > 2. Diese Tatsache veranlafite HAHN 1913, die
Mengen U{f) = {|/~^(y)|; y G P} von Peano-Abbildungen / systematisch zu
erforschen. Flir die von PEANO (ebenso wie fiir die von HILBERT) angegebene
Abbildung / gilt U{f) = {1,2,4}. HILBERT bemerkte jedoch bereits:
Es erscheint iiberdies bemerkenswerth, dass durch geeignete Abanderung
der Theillinien in dem Quadrate sich leicht eine eindeutige und stetige Abbildung
finden Idsst, deren Umkehrung eine nirgends mehr als dreideutige
Eine weitergehende Verbesserung, d. h. die Konstruktion einer Peano-Abbildung
/ mit U{f) C {1,2}, ist nach HAHN nicht moglich. Er schreibt:
Wir prazisieren hier diese Tatsache dahin, dass bei jeder stetigen Abbildung
einer Strecke auf ein Quadrat diejenigen Punkte des Quadrates,
denen mindestens zwei Punkte der Strecke entsprechen, eine Menge von
der Machtigkeit des Kontinuums bilden, und dass es eine im Quadrate
iiberall dichtliegende Menge von Punkten gibt, denen mindestens drei
Punkte der Strecke entsprechen.^^
Ferner zeigt HAHN
[• • • ] wie durch geringfiigige Modifikation die Peano'sche Abbildung so
abgeandert werden kann, dass einem Punkte des Quadrates niemals mehr
als drei Punkte der Strecke entsprechen, und wie im engsten Anschluss
an ein Verfahren, dass nach Cantor zur Herstellung einer eineindeutigen
Zuordnung von Strecke und Quadrat verwendet werden kann, sich auch
eine stetige Abbildung der Strecke aufs Quadrat gewinnen lasst - eine
Abbildung, von der H. LEBESGUE einen Spezialfall angegeben hat.^^
Mittels einer auBerst eleganten geometrischen Konstruktion (sukzessives Fallen
von Loten) gewinnt POLYA 1913 eine stetige Abbildung des abgeschlossenen
Einheitsintervails auf die Flache eines rechtwinkligen Dreiecks, deren Umkehrung
hochstens dreideutig ist.
HAUSDORFF lieferte in seinen Grundziiger?^ eine detaillierte Darstellung der
von HILBERT konstruierten Peano-Abbildungen und in seiner Mengenlehre^^
neben einer auBerst knappen Andeutung der HiLBERTschen und der PEA-
NOschen Konstruktionen und der von KNOPP 1918 beschriebenen stetigen Abbildung
des Einheitsintervalls auf eine Dreiecksflache eine ausfiihrliche Darstellung
der LEBESGUEschen Konstruktion.
Peano-Abbildungen sind - wie schon erwahnt - nie injektiv. Anders ausgedriickt:
Bijektive Abbildungen vom abgeschlossenen Einheitsintervall auf das
25[Hill891], S.460.
26 [Hah 1913, S.33.
27[Hah 1913], S.33.
28 [H 1914a], S.369 ff.
29 [H 1927a], S. 202-203.
803

abgeschlossene Einheitsquadrat sind nie stetig. Jedoch verdient die folgende
Bemerkung SiERPlNSKis festgehalten zu werden:
As regards a 1 — 1 mapping of the segment 0 < t < 1 on the square
0

Aus HAUSDORFFS Grundzugen geht hervor, dafi Peano-Kontinua Kontinua im
Sinne unserer obigen Definition sind, aber eine Charakterisierung fehlte noch.
Diese gelang - unabhangig voneinander um 1913 - H. HAHN^^ und S. MAZUR-
KIEWICZ^'' mittels des von ihnen eingefiihrten Begriffs lokal zusammenhdngend
(= zusammenhdngend im kleinen) in verbliiffend eleganter Weise. In voller AUgemeinheit
besagt der Satz von HAHN und MAZURKIEWICZ, dafi die Peano-
Kontinua genau die nicht-leeren, lokal zusammenhangenden Kontinua sind.
Der lokale Zusammenhang erschien zunachst in zahlreichen Varianten, die
fiir Kontinua allerdings aquivalent sind. So charakterisierte SlERPlNSKi 1920
die Peano-Kontinua K unter alien nicht-leeren metrischen Kontinua durch die
Eigenschaft:
(S) Fiir jedes e > 0 ist K als Vereinigung endlich vieler zusammenhdngender
Teilmenger?^ vom Durchmesser < e darstellbar.
R.L. MOORE nahm SIERPINSKIS Arbeit 1922 zum Anlass, die Beziehungen
zwischen der Eigenschaft (5) und den HAHNschen Begriffen des lokalen
Zusammenhangs und des gleichmafiig lokalen Zusammenhangs zu analysieren.
Als Anwendung erhielt er:
Theorem: Der Rand F{U) eines nicht-leeren, einfach zusammenhangenden^^
beschrankten ebenen Gebiets U ist genau dann ein Peano-Kontinuum, wenn U
der Bedingung (S) geniigt.
HAUSDORFF, der diese Entwicklung aufmerksam verfolgte, erschien der Moo-
REsche Beweis in einer zwischen 1936 und 1938 entstandenen Studie^^ als "sehr
mangelhaft". Er liefert auf Bl. 5-12 einen eigenen Beweis und bereichert das
Ergebnis durch Anmerkungen der folgenden Art (zur Implikation: U erfiillt
(S) => F{U) Peanosch):
sowie:
(Im Raum Rs ist dies falsch. Ein ebenes Sinusoid und eine Kugelflache,
in deren Innern, bis auf einen Punkt,
das Sinusoid liegt, begrenzen ein Gebiet i7,
das sogar gleichmassig lokal
zusammenhangt, well offene zusammenhangende Mengen im Kugelinnern
durch Wegnahme eindimensionaler Mengen den Zusammenhang nicht
verlieren. Trotzdem ist F{U) nicht Peanosch.)^^
36 [Hah 1914a] und [Hah 1921].
37[Maz 1913], [Maz 1916] und [Maz 1920].
^^SlERPiNSKi setzte die Teilmengen nicht nur als zusammenhangend, sondern als Kontinua
voraus. Das ist aber offensichtlich unerheblich.
^^U heifit einfach zusammenhdngend, wenn F(U) zusammenhangend ist.
^°NL HAUSDORFF, Fasz. 659, Bl. 4. Fasz. 659 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 659, Bl. 8
805

Wir haben sogar bewiesen, wenn F(U) nicht total Peanosch^^ ist, hat U
die Eigenschaft S nicht.^^
Jahre spater greift HAUSDORFF^^ folgendes verwandte Resultat, das R. L.
MOORE bereits 1918 erzielte, auf und versieht es mit einem eigenen Beweis:
Theorem: Der Rand eines nicht-leeren, einfach-zusammenhangenden, beschrankten
Gebietes U der Ebene ist genau dann ein topologischer Kreis, wenn
U gleichmafiig lokal zusammenhangend ist.
Der Rand F einer Zusammenhangskomponente des Komplements eines ebenen
Peano-Kontinuums ist
(1) Peanosch^^
(2) total Peanosch^^,
(3) eine regulare Kurve^^,
wobei jede der obigen Behauptungen scharfer ist als seine Vorgangerin.
HAUSDORFF analysiert diese Ergebnisse in den Jahren 1937^^^ und erneut
1941^^ Er schreibt zu (1):
Der Originalbeweis ist sehr kompliziert (Primenden), auch der von Kerekjarto.
Kuratowski, F. M. 15, p. 180-184 giebt folgenden einfacheren.^^
AnschlieBend zeichnet er den KuRATOWSKischen Beweis nach, beweist (2)
nach WILDER, erwahnt das scharfere Resultat (3) von WHYBURN und merkt
an, dafi (1) fiir raumliche Peano-Kontinua nicht gilt. Er greift obige Ergebnisse
1941 erneut auf, zeichnet den KuRATOWSKischen Beweis von (3) nach, wobei
er bemerkt, da6 KURATOWSKI einen wichtigen Punkt iibersehen hat^^, und
studiert die zyklischen Elemente von F.
R. L. MOORE gewann 1919 eine merkwiirdige hinreichende Bedingung dafiir,
dafi ein Kontinuum Peanosch ist:
I. Theorem: Ein Kontinuum, das kein Haufungskontinuum^^ enthalt, ist
Peanosch.
HAUSDORFF griff dieses Resultat am 8.8.1935 auf^^, konstruierte einen eigenen
Beweis
^•^Ein Kontinuum heiBt total Peanosch, falls jedes nicht-leere Subkontiuum Peanosch ist.
43NL HAUSDORFF, Fasz.659, BL8.
44NL HAUSDORFF, Fasz. 767 vom 17. 5. 1941.
45 [Tor 1921], [Kur 1930].
46[Wil 1933].
4^ [Why 1928].
4^NL HAUSDORFF, Fasz. 638 vom 12. 6. 1937. Fasz. 638 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.
'^^NL HAUSDORFF, Fasz. 764 vom 2. und 7. 5. 1941.
50NL HAUSDORFF, Fasz. 638, Bl. 1.
51NL HAUSDORFF, Fasz. 764, Bl. 3.
5^ Ein nicht-degeneriertes Teilkontinuum H von K heiBt Hdufungskontinuum von K, falls
K\H dicht in K ist.
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 545.
806

[• • •] wesentlich einfacher als bei M., der noch dazu nur ebene Mengen
behandelt.^^
und bemerkt abschliefiend:
1st C zwischen zwei Punkten a, 6 irreduzibel und ohne Hauf. kont., so
ist es ein Bogen [a, 6] (Mengenlehre § 39, IV). Diesen Spezialfall (von
Janiszewski) benutzt Moore bereits beim Beweis von I.^^
Mit dem lokalen Zusammenhang und dem einfachen Zusammenhang von
Kontinua setzte sich HAUSDORFF wiederholt auseinander. Dabei heifit ein Kontinuum
K einfach-zusammenhdngend, wenn fiir je zwei Teilkontinua Ki,K2
von K aus K^U K2 = K folgt, da6 Ki fl K2 ein Kontinuum ist. In NL HAUS­
DORFF, Fasz. 1085^^ zeichnet er den KuRATOWSKischen Beweis der Tatsache
nach, dafi fiir ein einfach-zusammenhangendes Peanosches Teilkontinuum C
von E (Ebene oder Kugelflache) das Komplement E\C zusammenhangend ist,
und restimiert:
Fiir die Ebene oder Kugelflache [• • • ] haben wir also fiir die Peanoschen
Kontinua C Aquivalenz der beiden Eigenschaften:
C ist einfach-zusammenhangend, E\C ist zusammenhangend.
(Die erste ist eine topologische Eigenschaft von C selbst, die zweite betrifft
die Lage von C in E.f^
HAUSDORFF benutzt obiges Resultat anschliefiend zu einer relativ einfachen
Herleitung des Jordanschen Kurvensatzes.
Bereits frliher hatte HAUSDORFF^^ unter Benutzung einiger Arbeiten von
KuRATOWSKi sowie eigener Erkenntnisse auf 20 Seiten wichtige Ergebnisse
liber lokalen und einfachen Zusammenhang gesammelt. Er untersucht in Fasz.
488 vier topologische Eigenschaften und zeigt, da6 jede von ihnen unter geeigneten
Voraussetzungen zum einfachen Zusammenhang aquivalent ist. Er beweist,
dafi jedes Peano-Kontinuum mit der Fixpunkteigenschaft einfach-zusammenhangend
ist, schliefit hieraus, dafi die n-dimensionalen Simplices einfach-zusammenhangend
sind und zeigt, dafi die n-dimensionalen Euklidischen Raume
und die n-dimensionalen Kugelflachen fiir n > 2 die Fixpunkteigenschaft nicht
besitzen, aber einfach-zusammenhangend sind. Er verallgemeinert ferner einen
Satz von NIKODYM, indem er zeigt, dafi fiir abgeschlossene Teilmengen A und
B eines Raumes E aus dem lokalen Zusammenhang von AuB und ACiB auch
der von A und B folgt.
Peano-Kontinua sind als stetige HAUSDORFFsche Bilder des Einheitsintervalls
/ automatisch abgeschlossene stetige Bilder von /. Die naheliegende Frage,
ob sie sich auch als oflFene stetige Bilder von / darstellen lassen, wird von
54NL HAUSDORFF, Fasz. 545, BL2.
55Fasz. 545, Bl. 2. Fasz. 545 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.
5^Vom Fasz. 1085 sind im folgenden die Blatter 1-6 abgedruckt.
5'^NL HAUSDORFF, Fasz. 1085, Bl. 4.
5^NL HAUSDORFF, Fasz. 488. Der Faszikel ist undatiert; er entstand vermutlich in den
Jahren 1930 bis 1934.
807

HAUSDORFF verneint: 1940 weist er nach, dafi offene stetige Bilder des Einheitsintervalls
keinen topologischen Kreis enthalten konnen^^,
Obwohl HAUSDORFF in seiner Mengenlehre ([H 1927a]) wegen Platzmangels
gezwungen war, die topologische Theorie Euklidischer Raume zu streichen, hielt
er die seit dem Erscheinen der Grundzilge gewonnenen Ergebnisse liber Peano-
Kontinua und Bogen fiir so wichtig, dafi er fur jeden dieser Themenkreise einen
neuen Paragraphen hinzufiigte (§36 Streckenbilder bzw. § 39 Einfache Kurven).
4. Bogen und topologische Kreise
Wahrend die Entwicklung eines geeigneten Kurven-Begri^s sich als schwierig
und langwierig herausstellte - sie nahm fast ein halbes Jahrhundert in Anspruch
- wurden spezielle Kurventypen, insbesondere Bogen und topologische
Kreise, bereits friihzeitig begrifflich prazise gefafit und intensiv erforscht. Ein
topologischer Raum heifit Bogen (arc), falls er homoomorph zum abgeschlossenen
Einheitsintervall ist; er heifit topologischer Kreis {einfach geschlossene
Jordan-Kurve), falls er homoomorph zur Kreislinie ist.
Zahlreiche interne Charakterisierungen von Bogen wurden gewonnen, z.B.
als
(a) Kontinua, die zwischen zwei Punkten irreduzibel zusammenhangend^^
sind^\
(b) lokal zusammenhangende, irreduzible^^ Kontinua^^,
(c) Kontinua K, so dafi fiir jeden Punkt x mit zwei Ausnahmen zwei mehrpunktige
abgeschlossene Teilmengen A und B von K mit
AUB = K und AnB = {x} existieren^^,
(d) nicht-degenerierte Kontinua mit hochstens zwei Randpunkten^^,
(e) Kontinua von hochstens zweiter Ordnung mit mindestens zwei Endpunkten^^.
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 754 vom 20. 9.1940 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.
^°Ein Kontinuum K heifit zwischen zwei Punkten a und b irreduzibel zusammenhdngend,
falls kein echter zusammenhangender Teilraum von K sowohl a als auch 6 enthalt.
^^[Len 1911], vgl. auch [Hal 1919).
^•^Ein Kontinuum K heifit irreduzibel^ falls es zwei Punkte a und b enthalt derart, dafi kein
echtes Teilkontinuum von K sowohl a als auch b enthalt.
^3 [Jan 1912a].
64 [Sie 1917], [Str 1918].
6^Ein Punkt x eines zusammenhangenden Raumes X heifit Randpunkt von X, falls X\{x}
zusammenhangend ist; andernfalls Schnittpunkt (cut point). Die Eigenschaft (d) wurde interessanterweise
bereits 1905 von LENNES als Definition von Bogen gewahlt, jedoch noch nicht
zur Charakterisierung der homoomorphen Bilder des abgeschlossenen Einheitsintervalls verwendet.
([Moo 1920])
66 Ein Punkt heifit nach MENGER und URYSOHN
- von hochster n-ter Ordnung, falls er eine Umgebungsbasis aus Mengen besitzt, deren Rander
hochstens n-elementig sind.
808

In § 39 seiner Mengenlehre beweist HAUSDORFF, dafi Bogen durch jede der
obigen Bedingungen (a), (b) bzw. (c) charakterisiert werden. Dariiber hinaus
vert left er diese Ergebnisse durch den Nachweis, dafi fiir jeden separablen
metrisierbaren Raum X eine stetige Bijektion von X auf das abgeschlossene
Einheitsintervall existiert, falls (a) X zwischen zwei Punkten irreduzibel
zusammenhangend ist oder (b) X zusammenhangend ist und zwei Punkte
a und b so besitzt, dafi fiir jedes x e X abgeschlossene Mengen A,B mit
a e A, b e B, AnB = X und AnB = {x} existieren. Kompakte Raume mit
obigen Eigenschaften sind folglich Bogen.
Analog wurden interne Charakterisierungen von topologischen Kreisen gefunden,
z. B. als
1. nicht-degenerierte Kontinua, die fiir je zwei ihrer Punkte a und b in Teilkontinua
A und B mit AnB = {a^b} zerlegt werden konnen ([Str 1918]),
2. nicht-degenerierte Kontinua, die durch Entfernen von je zwei Punkten
unzusammenhangend werden ([Moo 1920]),
3. nicht-degenerierte Kontinua, die nach Entfernen jeder zusammenhangenden
Teilmenge zusammenhangend bleiben ([Kli 1924]),
4. nicht-degenerierte, planare^^, homogene^^ Peano-Kontinua^^,
5. Kontinua, deren Punkte alle von zweiter Ordnung sind^^.
Wie bereits erwahnt, verfolgte HAUSDORFF die Entwicklung der Theorie von
Kurven, Bogen und topologischen Kreisen sehr aufmerksam und gab insbesondere
fiir folgendes Resultat von R. L. MOORE^^ einen eigenen Beweis^^:
Theorem: Der Rand eines nicht-leeren, einfach-zusammenhangenden, beschrankten
Gebietes U der Ebene ist genau dann ein topologischer Kreis, wenn
U gleichmafiig lokal zusammenhangend ist.
- Endpunkt, falls er von hochtens erster Ordnung ist.
Ein Kontinuum heiBt von hochtens n-ter Ordnung, falls jeder seiner Punkte von hochstens
n-ter Ordnung ist. ([Men 1926a])
^^In die Ebene einbettbare topologische Raume heifien planar.
^^Topologische Raume X heifien homogen, falls zu jedem ihrer Punktepaare {x,y) ein
Homoomorphismus h: X —> X mit h{x) = y existiert.
^^Obiges Resultat von MAZURKIEWICZ liefert eine partielle Antwort auf das von KNASTER
und KuRATOWSKi in Fund. Math. 1 (1920), S. 223 formulierte Problem:
2) Un continu (borne) plan, topologiquement homogene, est-il necessairement
homemomorphe a une circonference?
Trotz positiver Vorankiindigungen von WARASZKIEWICZ und von CHOQUET gelang es BING
(1948) zu zeigen, dafi die Antwort negativ ist. Er bewies, dafi KNASTERS Pseudobogen
zwar nicht lokal-zusammenhangend, also keine topologischen Kreise sind, wohl aber nichtdegenerierte,
planare, homogene, sogar unzerlegbare (d. h., nicht als Vereinigung zweier echter
Teilkontiua darstellbare) Kontinua. Mit den Bogen haben sie dariiber hinaus die Eigenschaft
gemein, zu jedem ihrer nicht-degenerierten Subkontinua homoomorph zu sein. ([Moi 1948],
[Maz 1924])
"^OlMen 1926b].
^i[Moo 1918].
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 767, datiert 17. 5. 1941.
809

5. Bogenverkniipftheit von Peano-Kontinua
Peano-Kontinua sind bogenverkniipff^ {arcwise connected), sogar lokal bogenverkniipft.
Diese Verscharfung charakterisiert Peano-Kontinua unter alien Kontinua.
R. L. MoORE bemerkte hierzu:
Mazurkiewicz, Tietze, and I, working, as far as I know, entirely independently
of each other, have shown^^ that, in order that a bounded continuum
should be a continuous curve [d. h., ein Peano-Kontinuum - die Verf.]
it is necessary that it should be arc-wise connected. That this condition
is not sufficient is shown by the existence of the above-described point
set M2, which, though arc-wise connected, is not a continuous curve. However,
I have recently established the following theorem which embodies
a generalization of the above-mentioned result.
THEOREM A. In order that a continuum M should be a continuous curve
it is necessary that every maximal connected subset of an open subset of
M should be arc-wise connectedJ^
Less than a week before the date of the delivery of this address, Mr. R. L.
Wilder showed^^ that this condition is also sufficient. It therefore affords
a complete characterization of a continuous curve. ^^
HAUSDORFF setzte sich mit dieser Thematik wiederholt auseinander. U. a.
machte er sich kurze zusammenfassende Notizen liber obige Ergebnisse von
R. L. MOORE, TIETZE, MAZURKIEWICZ und WILDER sowie verwandte Resultate
u. a. von KNASTER (ES gibt Kontinua, die keine Bogen enthalten) und
TORHORST^^. In einer grofien Studie^^ liber zyklische Elemente eines topologischen
Raumes, liefert er u. a.
(a) Eine wesentliche Vereinfachung des MAZURKiEWiczschen Beweises der
lokalen Bogenverkniipftheit von Peano-Kontinua^^.
^^Ein topologischer Raum X heifit bogenverkniipft, falls je zwei seiner Punkte in X durch
einen Bogen verbunden werden konnen. Ein T2-Raum X ist genau dann bogenverkniipft,
wenn er wegzusammenhdngend ist, d. h. wenn zu jedem Punktepaar {x, y) in X eine stetige
Abbildung /: [0,1] ^ X mit /(O) = x und /(I) = y existiert.
Allgemein gilt, dafi zusammenhangende, lokal-zusammenhangende vollstandig metrisierbare
Raume bogenverkniipft sind. Jedoch existieren zusammenhangende, lokal-zusammenhangende
Teilraume der Ebene, die kontinuaverkniipft, aber nicht bogenverkniipft sind, da sie keinen
einzigen Bogen enthalten (MoORE 1926), und es existieren nicht-degenerierte, zusammenhangende,
lokal-zusammenhangende Teilraume der Ebene, die keine nicht-degenerierten
Kontinua enthalten (KNASTER und KURATOWSKI 1927),
^4[Maz 1920], [Tie 1919], [Moo 1917].
"^^Hier verweist MoORE auf seine Arbeit [Moo 1922].
^^Hier schreibt MoORE in einer Fufinote: „This result forms a part of Mr. Wilder's dissertation
for the degree of PhD. at the University of Texas."
^^[Moo 1923], S. 293-294.
'^^NL HAUSDORFF, Fasz. 329, vermutl. nach 1926 entstanden.
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 577, vermutl. Marz 1934 bis August 1936 entstanden. Fasz. 577 ist
im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 487-531.
SONL HAUSDORFF, Fasz. 577, Bll.4-6.
810

(b) Elegante Beweise der folgenden Satze:
1st X ein nicht-degeneriertes Peano-Kontinuum X ohne Schnittpunkte,
so gilt:
(1) Ein Punkt von X ist genau dann kein Endpunkt, wenn er innerer
Punkt eines Bogens ist.
(2) Jeder Punkt von X liegt auf einem topologischen Kreis.
(3) Je zwei Punkte von X liegen auf einem topologischen Kreis [WHY-
BURN, Transactions Amer. Math. Soc. 1927, p. 385].
(4) Zu je drei Punkten x, y, z von X existiert ein Bogen, der x und z als
Endpunkte und y als inneren Punkt besitzt [AYRES, Amer. J. Math.
1929, 577-594].
Zu den Ergebnissen von WHYBURN und AYRES stellt HAUSDORFF abschliefiend
fest:
Ubrigens sind dies alles besondere Falle des n-Bein- und n-Bogensatzes
fiir Peanosche Kontinua (Menger, Kurventheorie, S. 214, 216).^^
6. Der Jordansche Kurvensatz
Der JORDANsche Kurvensatz (kurz JCT) gehort zu denjenigen Resultaten, die
fast jeder Mathematiker formulieren, aber kaum jemand aus dem Stehgreif
beweisen kann. Denn trotz seiner "Evidenz" und seiner "Wichtigkeit" gelang
es bisher nicht, einen elementaren und kurzen Beweis zu finden, obwohl sich
viele namhafte Topologen und Analytiker hierum bemiihten.
Indeed, there is hardly another theorem which appears as "obvious" as
any axiom of elementary geometry, and whose proof is not obvious at
all. This probably explains why the Jordan curve theorem remained unnoticed
until 1887, when Camille Jordan pointed out and discussed the
theorem in his "Cours d'Analyse". Needless to say, Jordan's proof was
not a proof in the modern sense; yet it aroused the interest of many
mathematicians who recognized the significance of the theorem for "analysis
situs" as well as complex analysis. The first rigorous proof of JCT,
given by Oswald Veblen in 1905, revealed the complexity of the whole
matter.^^
War JoRDANs Beweis liickenhaft, so zeichnet sich JORDANs Formulierung des
Satzes selbst durch Prazision und Klarheit aus, was zur damaligen Zeit keineswegs
selbstverstandlich war. Hierauf weist VEBLEN, der den ersten voUstandigen
Beweis von JCT lieferte, ausdriicklich hiri:
81NL HAUSDORFF, Fasz.577, BL45.
82[DoTi 1978], S. 111.
811

JORDAN'S explicit formulation of the fundamental theorem that a simple
closed curve lying wholly in a plane decomposes the plane into an inside
and an outside region is justly regarded as a most important step in the
direction of a perfectly rigorous mathematics. This may be confidently
asserted whether we believe that perfect rigor is attainable or not. His
proof, however, is unsatisfactory to many mathematicians. It assumes the
theorem without proof in the important special case of a simple polygon
and of the argument from that point on, one must admit at least that all
details are not given.
Spater soUten sich noch viele Autoren an Beweisen des JCT versuchen -
nicht immer erfolgreich:
Some authors assume - often without an explicit mention - the validity
of JCT and its corollaries for special cases of curves (e. g. for polygonal
curves). Others omit proofs of certain steps which are "geometrically
obvious". (But what is more obvious than JCT itself?)
Viele Anwender gaben sich schliefilich mit dem Beweis gar nicht mehr ab:
[• • • ] it has become customary to omit the proof of JCT from textbooks
on complex analysis [• • • ]^^
Hingegen gab HAUSDORFF in seinen Grundziigen, die eine detaillierte Analyse
der topologischen Eigenschaften der Ebene enthalten,
[•••] in der Hauptsache, den erstaunlich einfachen Beweis von L.E.J.
BROUWER wieder. (S. 355),
zeigte gleichzeitig, da6 kein Bogen die Ebene trennt (S. 357/358), konstruierte
ein Kontinuum K in der Ebene E, das kein topologischer Kreis ist, obwohl E\K
in genau zwei Komponenten mit gemeinsamem Rand K zerfallt (S. 373; derartige
ebene Kontinua nannte SCHOENFLIES geschlossene Kurven). HAUSDORFF
beweist also, dafi topologische Kreise in der Ebene durch die JoRDANsche Eigenschaft
nicht charakterisiert werden, und er weist ferner nach, dafi ebene
topologische Kreise zwar keine inneren Punkte (S.373), wohl aber positives
Flachenmafi haben konnen (S. 374/375). In seiner Mengenlehre fielen diese speziellen
Ergebnisse - ebenso wie die allgemeinen topologischen Resultate - leider
dem Platzmangel zum Opfer:
Schliefilich habe ich die AUgemeinheit wie nach oben, so auch nach unten
begrenzt und die spezielle Theorie der Euklidischen Raume (z. B. den J
o r d a n schen Satz iiber ebene Kurven) weggelassen, [• • • ]^^
83[Veb 1905], S.83.
84[DoTi 1978], S. 125.
85 [DoTi 1978], S.112.
^^[H 1927a], S. 5/6. Das gesamte Vorwort ist in diesem Band, S.45 abgedruckt.
812

Dieser Verzicht kann jedoch keinesfalls als ein nachlassendes Interesse HAUS-
DORFFs an derart speziellen Problemen gedeutet werden, wie seine Aufzeichnungen
eindrucksvoll belegen. In den Faszikeln 685, 1049 und 1085 hat er sich
eingehend mit dem Jordanschen Kurvensatz und Verallgemeinerungen desselben
durch BROUWER und STRASZEWICZ beschaftigt.
Bemerkenswert ist insbesondere HAUSDORFFS hochst eleganter Beweis des
Jordanschen Kurvensatzes in Faszikel 1085, der auf einer bestechenden Analyse
des einfachen Zusammenhangs beruht.^^
7. Linien und verallgemeinerte Bogen
Linienhafte Gebilde sind nicht notwendig Bogen:
(A) Die Parabel, die reelle Gerade, das ofFene Einheitsintervall sind (untereinander
homoomorphe) hnienhafte Gebilde, aber wegen der fehlenden
Kompaktheit keine Bogen.
(B) Die langen Linien (siehe NL HAUSDORFF, Fasz. 223 und den zugehorigen
Kommentar, dieser Band, S. 750-754) und das Einheitsquadrat, versehen
mit lexikographischer Ordnung und zugehoriger Ordnungstopologie^^
sind linienhafte Gebilde, aber wegen der fehlenden Separabilitat keine
Bogen.
Naturgemafi wurden derartige "Nicht-Bogen" von HAUSDORFF und anderen
Topologen sorgfaltig erforscht. Wir werden im folgenden unter einer Linie einen
zusammenhangenden ordnungsfahigen^^ topologischen Raum verstehen, unter
einem verallgemeinerten Bogen eine kompakte Linie. Dann sind die Bogen die
separablen verallgemeinerten Bogen mit mehr als einem Punkt.
Bei der Untersuchung offener Linien (d. h. von Linien ohne Anfangs- oder
Endpunkt) konzentrierte sich das Augenmerk zunachst auf die folgende Eigenschaft
topologischer Raume X:
(S) Ftir jedes x aus X zerfallt X\{x} in genau zwei
Zusammenhangs-Komponenten.
So definierte R. L. MoORE in der Ebene:
An open curve is a closed, connected set of points M such that if P is a
point of M then M — P is the sum of two mutually exclusive connected
point-sets, neither of which contains a limit point of the other one.
KLINE untersuchte 1924 ebene "open curves" und WARD charakterisierte die
reelle Gerade 1936 als einen nicht-leeren, zusammenhangenden, lokal zusammenhangenden,
separablen, metrisierbaren, topologischen Raum, der (S) erfiillt.
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 1085; vgl. den Abdruck des Faszikels weiter unten.
8S[Str 1918], S.374.
^^Ein LOTS (linearly ordered topological space) ist eine linear geordnete Menge, versehen
mit der Ordnungstopologie (d. h. die ordnungs-ofFenen Intervalle bilden eine Basis). Ein topologischer
Raum heiBt ordnungsfahig, falls er homoomorph zu einem LOTS ist. (Vgl. den
Ubersichtsartikel [Pur 1998] von PURISCH.)
90 [Moo 1916], S.159.
813

WARD zeigte an Beispielen, da6 in seiner Charakterisierung weder der lokale
Zusammenhang noch die Separabilitat verzichtbar sind. Sein nicht lokal zusammenhangendes
Beispiel ist naheliegend (eine Verklebung von zwei Sinusoiden),
sein nicht separables Beispiel hingegen erstaunlich, da ihm sogar die Ordnungsfahigkeit
abgeht. Unter Verwendung der WARDschen Konstruktions-Idee
lafit sich sogar leicht zeigen, dafi sich jeder zusammenhangende, lokal zusammenhangende
(metrisierbare) topologische Raum als abgeschlossener Teilraum
in einen zusammenhangenden, lokal zusammenhangenden (metrisierbaren) topologischen
Raum mit der Eigenschaft (S) einbetten lafit. Die Eigenschaft (5)
ist also (im nicht separablen Fall) zur Charakterisierung von Linien voUig ungeeignet.
Topologische Charakterisierungen von Linien und verallgemeinerten Bogen
wurden erst relativ spat gefunden:
(i) Ein zusammenhangender, kompakter HAUSDORFFscher Raum ist genau
dann ein verallgemeinerter Bogen, wenn er genau zwei Randpunkte besitzt^^
(ii) Ein zusammenhangender, lokal zusammenhangender HAUSDORFFscher
Raum X ist genau dann eine Linie, wenn er die folgenden aquivalenten
Bedingungen erfiillt:
(F) X besitzt hochstens zwei Randpunkte und ist von hochstens zweiter
Ordnung^^,
{E) X'^\AX ist nicht zusammenhangend^^,
(K) unter je drei zusammenhangenden echten Teilmengen von X gibt es
stets zwei, die X nicht liberdecken^^,
(Z) unter je drei Punkten von X gibt es stets einen, der die beiden
anderen trennt^^,
{H) jede zusammenhangende Teilmenge von X besitzt hochstens zwei
Randpunkte^^,
(W) X besitzt eine Subbasis, die Vereinigung zweier Nester^^ ist^^.
Die naheliegende Vermutung (eine "folk conjecture"), dafi sich die Satze
bzgl. der Charakterisierung von Peano-Kontinua und deren Bogenverkniipftheit
auf den nicht metrisierbaren Fall iibertragen lassen wiirden, erwies sich als
9i[V^hy 1942], S.54.
92[Fra 1928].
93[Eil 1941].
94[Kow 1958].
Q^ZAREMBA, vgl. [Kok 1973], S. 15.
96 [Her 1962].
9^Eine Menge von Mengen heifit Nest, falls sie bezgl. der Inklusion linear geordnet ist.
98[vDaWa 1973].
814

ganzlich falsch: MARDESIC^^ konstruierte einen kompakten, zusammenhangenden,
lokal zusammenhangenden Hausdorff-Raum, der nicht verallgemeinertbogenverkniipft
ist, und er zeigte gemeinsam mit PAPIC^^^, da6 jedes stetige
Bild eines verallgemeinerten Bogens, das sich als nicht-triviales Produkt zweier
HAUSDORFFscher Raume darstellen laBt, bereits ein Peano-Kontinuum sein
muB. TREYBIG^^^ bewies, dafi jedes HAUSDORFFsche stetige Bild eines verallgemeinerten
Bogens, das nicht durch hochstens zwei Punkte getrennt werden
kann, bereits ein Peano-Kontinuum ist. Diese erstaunlichen Resultate implizieren
insbesondere, daB fiir jeden verallgemeinerten Bogen X, der nicht separabel
ist, weder X^ noch X x / als stetiges Bild eines verallgemeinerten Bogens darstellbar
ist. WARD^^^ zeigte hingegen, daB jeder nicht-leere, randendliche^^^,
kompakte, zusammenhangende HAUSDORFFsche Raum sich als stetiges Bild
eines verallgemeinerten Bogens darstellen laBt, und schloB aus diesen und ahnlichen
Untersuchungen:
Prom all these papers the following, rather imprecise, conclusion emerges,
non-metric continua which are the continuous images of [generalized] arcs
are probably one-dimensional - or, at any rate, at points where they are
not one-dimensional they must be, in some sense, locally metrizable.
8. Ebene Kurven
Wahrend die Herausarbeitung eines befriedigenden Kurvenbegriffs mehrere Jahrzehnte
in Anspruch nahm, gelang bereits CANTOR mit sicherem Gespiir die definitive
Fassung des Begriffs einer ebenen Kurve^^^. Danach sind ebene Kurven
(heute auch Cantor-Kurven genannt) nirgends dichte, nicht-degenerierte Teilkontinua
der Ebene. Obwohl obige Formulierung Bezug nimmt nicht nur auf
die Kurve selbst sondern - vermoge des Begriffs nirgends dicht - auch auf deren
Einbettung in die Ebene, ist die Abhangigkeit von der Art der Einbettung
nur scheinbar; denn - wie MENGER und URYSOHN unabhangig voneinander
bewiesen - ist ein echtes Teilkontinuum der Ebene genau dann eine Cantor-
Kurve, wenn es 1-dimensional (also eine Kurve im MENGER-URYSOHNschen
Sinne; s. u., Abschn. 9.) ist.
Obwohl der Begriff ebener Kurven (im Gegensatz zum allgemeinen Kurvenbegriff)
unproblematisch ist, liefert bereits die Theorie ebener Kurven eindrucksvoUe
lUustrationen zu HAUSDORFFS Bemerkung im Vorwort zu [H 1914a],
wo er die Mengenlehre (einschlieBlich der allgemeinen Topologie) als ein Gebiet
charakterisiert.
99[Mar I960].
i00[MaPa I960].
101 [Tre 1965].
102 [War 1976].
103Ein topologischer Raum heifit randendlich {rim finite), falls er eine Basis aus Mengen
mit jeweils endlichen Randern besitzt.
104 [War 1976], S. 184.
lo^Siehe [Men 1932], S. 71.
815

[• • • ] wo schlechthin nichts selbstverstandlich und das Richtige haufig
paradox, das Plausible falsch ist, [• • -j^^^
Zwar sind ebene Bogen und topologische Kreise besonders einfache Cantor-
Kurven, aber bereits in den Grundziigen hebt HAUSDORFF "ausdriicklich hervor",da6
(a) ebene Bogen positives Flachenmafi haben konnen (S. 374-375) und
(b) Cantor-Kurven existieren, die keine topologischen Kreise sind, obwohl sie
die Ebene in genau zwei Komponenten zerlegen, deren gemeinsamer Rand
sie sind (S. 373-374).
Er konstruiert Cantor-Kurven mit obigen Eigenschaften und erwahnt, dafi es
Cantor-Kurven gibt, welche die Ebene in mehr als zwei Komponenten zerlegen,
deren gemeinsamer Rand sie sind:
DaB unter den angegebenen Voraussetzungen auch mehr als zwei Komponenten
vorkommen konnen, ist der gewohnlichen Anschauung schwer
vorstellbar; L. E. J. BROUWER hat ein Beispiel dafiir gegeben.^^^
Auch iiber 50 Jahre spater erschien obiges Phanomen selbst den Spezialisten
bemerkenswert genug. So schreibt G. T. WHYBURN in seinem Artikel "What
is a curve?" 1968 u. a.:
Even when a set is sufficiently "thin" or "1-dimensional" so that we would
probably call it a curve, it may be in a plane and still not be two-sided.
[•••!
[• • • ] it is possible to construct in a plane a continuum which is thin in
the sense that it will not contain the interior of any circle and yet is so
unusual that it will divide the plane into any finite number or an infinite
number of regions and, further, it will be the boundary of each one of
these regions. Also a plane continuum can be constructed which not only
itself cuts the plane into infinitely many regions but has the remarkable
property that every subcontinuum of it (any "piece" of it) also cuts the
plane into infinitely many regions. ^^^
Sind schon die BROUWERschen Cantor-Kurven mit mehr als zwei Seiten
hochst fremdartig^^^, so ist die von WHYBURN 1930 konstruierte Cantor-Kurve
an Bizarrheit kaum zu liberbieten. WHYBURN charakterisiert sie durch die folgenden
Eigenschaften:
106 [H 1914a], S.V.
107 [H 1914a], S.346.
108 [Why 1968], S.25.
109 Ein besonders poetisch beschriebenes Beispiel einer Cantor-Kurve, welche gemeinsamer
Rand von drei Gebieten ist (bekannt unter dem Namen Lakes of Wada), stammt von Yo-
NEYAMA ([Yon 1917]); siehe auch [HoYo 1961], S. 143. Diese Cantor-Kurve hat dariiber hinaus
positives Mafi und ist unzerlegbar, d. h. nicht als Vereinigung zweier echter Teilkontinua darstellbar.
816

Indeed, we shall construct a compact plane continuum M having the
following properties:
1. M is the common boundary of two domains;
2. every subcontinuum of M separates the plane;
3. every subcontinuum of M contains a continuum which is homeomorphic
with M, or, in other words, M is topologically contained
in each of its subcontinua;
4. M contains no uncountable collection of mutually exclusive subcontinua
and therefore no indecomposable continuum; obviously it
contains no arc;
5. M admits of upper semi-continuous decomposition into elements
(continua or points) all save a countable number of which are points
and with respect to which M is a simple closed curve; clearly, then,
all the "point-elements" in this decomposition are local separating
points of M and are points of ordinary order 2 of M;
6. M contains two continua which are not homeomorphic with each
other.iio
Bereits 1959 haben ANDERSON und CROQUET hochst seltsame Cantor-Kurven
vorgestellt, die in gewissem Sinne kontrare Eigenschaften zu obiger WHY-
BURNscher Kurve haben: Sie konstruierten zwei Cantor-Kurven Ci und C2,
deren jede die Eigenschaft hat, daB keine zwei ihrer nicht-degenerierten Teilkontinua
zueinander homoomorph sind. Dariiber hinaus separiert kein Teilkontinuum
von Ci die Ebene, aber jedes nicht-degenerierte Teilkontinuum von C2
separiert die Ebene.
Die erwahnten bizarren Cantor-Kurven enthalten keine Bogen, sind somit
keine Peano-Kontinua, d. h. sind nicht lokal zusammenhangend. Unter den lokal
zusammenhangenden Cantor-Kurven gibt es aber auch sehr merkwiirdige
Gebilde: Ein besonders bemerkenswertes Beispiel ist die von SIERPINSKI
1916 konstruierte universelle Cantor-Kurve T (auch Sierpiriskischer Teppich
genannt), die sich nicht nur durch grofie RegelmaBigkeit auszeichnet, sondern
insbesondere durch die universelle Eigenschaft, daB die Cantor-Kurven, modulo
Homoomorphie, genau die nicht-degenerierten Subkontinua von T sind.
WHYBURN gelangen 1958 elegante interne und externe Charakterisierungen
des SlERPTNSKlschen Teppichs. Einleitend schreibt er:
The universal plane curve described by Sierpinski in 1916 has proven
highly useful in the developments of various phases of topology and analysis
which have gone ahead at such a rapid pace in the intervening
period of over forty years. Interest in this curve and its analog in 3-space
is currently much alive and its role in mathematics is surely by no means
finished. The curve is obtained very simply as the residual set remaining
when one begins with a square and applies the operation of dividing it
^[Why 1930], S.319.
817

into nine equal squares and omitting the interior of the center one, then
repeats this operation on each of the surviving 8 squares, then repeats
again on the surviving 64 squares, and so on indefinitely. Sierpinski showed
that this set contains a topological image of every plane continuum
having no interior point and thus it has come to be known as the Sierpinski
plane universal curve}^^
Anschliefiend charakterisiert WHYBURN den SiERPiNSKischen Teppich S unter
alien lokal zusammenhangenden Cantor-Kurven durch jede der beiden Eigenschaften:
1. (intern) S hat keinen lokalen Schnittpunkt^^^,
2. (extern) der Rand jeder Zusammenhangskomponente des Komplements
von S in der Ebene ist ein topologischer Kreis und die Rander von je zwei
derartigen Zusammenhangskomponenten sind disjunkt.
DaB der Sierpinski-Teppich nicht homogen ist, wurde bereits 1924 von MA-
ZURKIEWICZ bewiesen.
9. Der Menger-Urysohnsche Kurvenbegriff
Unabhangig voneinander entwickelten MENGER und URYSOHN in den Jahren
1922/23 eine Dimensionsbegriff^^^, der es ihnen gestattete (erneut unabhangig
voneinander^^^), "zu einer anschaulichen und dabei allgemeinen und fruchtbaren
Kurvendefinition zu gelangen"^^^. Demnach sind Kurven nichts anderes als
eindimensionale Kontinua.
Dafi der Weg zu dieser konzisen Definition lang und steinig war und welches
die anschaulichen Vorstellungen waren, die zu ihr fiihrten, beschreibt MENGER
1926 in seiner Arbeit Grundzuge einer Theorie der Kurven pragnant wie folgt:
Wir bezeichnen mit dem Wort "Kurve" so zahlreiche interessante geometrische
Gebilde, da6 wir erwarten diirfen, aus einer zweckmafiigen begrifflichen
Prazisierung unserer Kurvenvorstellung eine ausgedehnte Theorie
herleiten zu konnen. Die alteren Kurvendefinitionen wurden freilich, wie
sich herausstelite, den Forderungen der Anschauung nur in geringem Ma-
Be gerecht: Sowohl die Jordanschen Kurven (die eindeutigen stetigen Bilder
der Strecke), als auch die irreduziblen Kontinua konnen bekanntlich
ganze Flachenstiicke enthalten, - zu den einfachen Kurvenbogen (den
topologischen Bildern der Strecke) gehort anderseits schon eine so einfache
Kurve, wie die Kreislinie, nicht, - und die Cantorsche Definition
der ebenen Kurven als nirgends dichte Kontinua ist auf andere Euklidische
Raume prinzipiell uniibertragbar. Es ist angesichts der Schwierigkeiten,
welche insbesondere das Ausgehen vom Abbildungsbegriff mit sich
111 [Why 1958], S.320.
^^"^Lokale Schnittpunkte sind Schnittpunkte offener, zusammenhangender Teilraume.
ii^Siehe den Beitrag Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie in diesem Band, S. 840 ff.
ii^Fiir historische Details siehe [Men 1932], S.82.
11^ [Men 1932], S. 79.
818

ingt, nicht verwunderlich, wenn Hausdorff^^^ geradezu leugnet, dafi
sich unsere heterogenen Kurvenvorstellungen unter einen verniinftigen
Sammelbegriff iiberhaupt bringen lassen.
Pragen wir uns allerdings ganz unvoreingenommen nach dem anschaulichen
Wesen der Kurven, so ist die Abbildbarkeit dieser Gebilde auf gewisse
andere keineswegs deren wichtigstes Kennzeichen. Um ein solches
zu erhalten, vergleichen wir vielmehr eine Kurve mit einer Flache und
einem Korper. Die Kurve denken wir uns durch feine Drahte reprasentiert,
die Flache aus diinnem Blech hergestellt, den Korper aus Holz. Da
sehen wir: Um einen Punkt der Flache samt alien Punkten seiner Nachbarschaft
aus der Flache zu entfernen oder von der librigen Flache zu
trennen, miissen wir die Flache mit einer Schere langs kontinuierlicher
Linien schneiden. Um aus dem Korper einen Punkt nebst Nachbarschaft
herauszuholen, miissen wir ganze Flachen durchsagen. Um dagegen einen
Punkt der Kurve, sie mag noch so verastelt und verwickelt sein, samt seiner
Nachbarschaft aus der Kurve zu entfernen, geniigt es, wenn wir die
Kurve mit einer Zange in diskreten Punkten durchzwicken. Diese Tatsache,
die von der speziellen Gestalt der betrachteten Flache und Kurve
unabhangig ist, gestattet eine strenge begriffliche Prazisierung.^
Wie bereits erwahnt, sind die ebenen Kurven genau die Cantor-Kurven. Nach
allgemeinen dimensionstheoretischen Satzen ist jede Kurve als raumliche Kurve
realisierbar.
Dariiber hinaus hat MENGER 1926 gezeigt, daB sich - analog zum SiER-
PiNSKischen Teppich - eine spezielle Kurve im 3-dimensionalen Raum vermittels
geeigneter "Durchlocherung" des Einheitswiirfels gewinnen laBt, so daB
jede Kurve in diese spezielle Kurve eingebettet werden kann. In MENGERS
Buch Kurventheorie ist die Konstruktion dieser Universalkurve U auf Seite 347
sehr schon veranschaulicht. Mit dem Nachweis ihrer universellen Eigenschaft
endet MENGERS Buch. HAUSDORFF, der dieses Buch mit offensichtlich groBem
Interesse gelesen hat und - wie eingangs schon erwahnt - auf 152 Manuskript-
Seiten die Beweise akribisch nachvollzogen und z. T. verfeinert hat, verzichtete
zum SchluB seiner Notizen auf die Ausarbeitung des Universalitats-Beweises.
Er schlieBt mit der Bemerkung:
(Der Beweis von M. ist kompliziert. Besser der Hurewiczsche Einbettungsbeweis,
dem entsprechend man dann nur noch zu beweisen hat,
dass U jede Kurve des Rs topologisch enthalt; dies wird wohl ahnlich
sein wie bei der Sierpinskischen ebenen Universalkurve).^^
In einem Anhang weist MENGER auf einige ungeloste Probleme der Kurventheorie
hin. Insbesondere fragt er, ob die topologischen Kreise als homogene,
lokal zusammenhangende Kurven charakterisierbar sind. Uber ein Viertel-
^^^Hier erganzt MENGER in einer Pufinote: „Grundzuge der Mengenlehre (1914), S. 369."
ii^[Men 1926a], S. 277-278.
ii^NL HAUSDORFF, Fasz. 985, Bl. 152.
819

jahrhundert spater gelang ANDERSON^^^ eine verbliiffende Antwort: aufier der
Kreislinie gibt es, modulo Homoomorphie, genau eine homogene, lokal zusammenhangende
Kurve - die MENGERsche Universalkurve! ANDERSON betont:
The universal curve [• • • ] is not planar, is connected and locally connected,
but is very badly neither simply connected nor locally simply connected.
Homologically, it is about as "bad" as any 1-dimensional continuum
can be, but it is so "bad" that it turns out to be both homogeneous and
characterizable in quite general terms. ^^^
Ferner gelang ANDERSON^^^ eine weitere elegante topologische Charakterisierung
der MENGERschen Universalkurve mittels folgender Eigenschaften:
1. 17 ist eine Kurve,
2. [/ ist lokal zusammenhangend,
3. U hat keine lokalen Schnittpunkte,
4. planare Teilraume von U sind nirgends dicht in C/^^^.
Aus dieser Charakterisierung folgt iibrigens, da6 das von KOLMOGOROFF^^^
zum Nachweis stetiger offener, dimensionserhohender Abbildungen auf voUig
andere Weise konstruierte eindimensionale Kontinuum, modulo Homoomorphie,
nichts anderes ist als die MENGERsche Universalkurve.
Die Arbeiten URYSOHNS und insbesondere MENGERS bildeten Basis und Beginn
einer Strukturtheorie fiir Kurven (Zusammenhangszahl, Geschlecht, Verzweigungspunkte,
n-Beine, regulare Kurven, rationale Kurven, Baume, zyklische
Kontinua, Zerlegungssatze, Deformationssatze, Erreichbarkeitssatze u. s. w.)
Die Darstellung dieser Theorie und ihrer historischen Entwicklung ist jenseits
der Ziele des vorliegenden Beitrags.
Literatur
[And 1958a] ANDERSON, R. D.: A characterization of the universal curve
and a proof of its homogeneity. Ann. of Math. (2) 67 (1958), 313-324.
[And 1958b] ANDERSON, R. D.: One-dimensional continuous curves and a
homogeneity theorem. Ann. of Math. (2) 68 (1958), 1-16.
119 [And 1958a], [And 1958b].
120 [And 1958a], S. 313-314.
121 [And 1958b].
122Insbesondere zeigt ANDERSON, daB jeder ofFene Teilraum von U, modulo Homoomorphie,
eine der beiden folgenden nicht planaren Raumkurven enthalt:
The primitive skew curve of Type 1, is the gats-water-electricity-example, i.e.,
consists of two disjoint sets of three vertices each and the nine arcs joining
the vertices from different sets in pairs, the arcs being disjoint except for their
endpoints. The primitive skew curve of Type 2, is the one-skeleton of a 4simplex,
i. e., consists of five vertices and ten arcs joining these vertices in pairs,
the arcs being disjoint except for their endpoints. ([And 1958b], S. 7.)
123 [Kol 1937].
820

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NL HAUSDORFF : Kapsel 41: Fasz. 659
Verscharfung des lokalen Zusammenhangs
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936-Marz 1938]. - 12 BU.
Verscharfung des lokalen Zusammenhangs. (Vgl. R. L. Moore, F.M. 3 (1922),
232-237).
Betrachten wir folgende Eigenschaften der (metrischen) Menge X:
{a) X ist gleichmdssig lokal zusammenhdngend, wenn zu jedem e ein 6{s) — 6
derart gehort: zwei Punkte im Abstand < 5 liegen in einer zusammenhangenden
Menge C X vom Durchmesser < e.
{P) Eigenschaft S: Fiir jedes £ ist X Summe endlich vieler zusammenhdngender
Mengen von Durchmessern < e.
(7) X ist lokal zusammenhdngend; d. h. zu jedem e und p E X gehort ein
S{£,p) = 6 derart: fiir qp < 6 liegen p,q in einer zusammenhangenden Menge
vom Durchmesser < e.
Durch (/?) ist die totale Beschranktheit von X bedingt.
(1) a ^ p. Wenn X total beschrdnkt und gleichmdssig lokal zusammenhdngend
ist, hat X die Eigenschaft S. (Moore, th. 3, fiir ebenes beschranktes X).
Zu s werde S gemass (a) bestimmt; da X total beschrankt ist, giebt es ein
endliches ^-Netz {pi,... ,pn}; ist Ck die Summe der pk enthaltenden zusammenhangenden
Mengen von Durchmessern < £, so ist U{pk,S) C Ck. X —
Yyi Ck; Ck ist zusammenhangend, d{Ck) < 2e, X hat die Eigenschaft S»
(2) /3 ^ 7. Jede Menge der Eigenschaft S ist lokal zusammenhdngend (und
Bl. 2 total beschrdnkt). (Moore, th. 2) |
Es sei X = ^^ Ck, Ck zusammenhangend, d{Ck) < £'•> wir konnen Ck in X
abgeschlossen annehmen. Sei p G Ci,..., Cm, P ^ C'm+i, •.., Cn- Also
peX- (C^+i + • • • + Cn) c Ci + • • • + C,n ;
die Menge Ci -\ h Cm hat einen Durchmesser < 2e und hat p zum inneren
Punkt; X ist in p lokal zusammenhangend.
Nichtumkehrbarkeit dieser Satze: Ist X die Kreisperipherie nach Tilgung
eines Punktes, so hat X die Eigenschaft S, ohne gleichmassig lokal zusammenhangend
zu sein. (Also nicht 0 —> a). Ist X das offene Sinusoid {y —
sin —, 0 < a: < 1), so ist X lokal zusammenhangend, ohne S zu haben (nicht
X
^ -^ (5). Fiir total beschrankte Mengen ist {a) scharfer als {(3), (/?) scharfer als
(7).
(3) 7 —> a. Ist X kompakt und lokal zusammenhdngend, so ist es gleichmdssig
lokal zusammenhdngend.
1st X zunachst zusammenhangend, so ist die Mazurkiewiczsche Entfernung
pq = inf d{C) fiir alle zusammenhangenden Mengen C, die p, q enthalten.
826

durchweg definiert (endlich) und stetige Funktion von p, q; denn fiir pn -^
P? Qn ^^ Q ist |Pn9n —pq| ^ PnP+QnQ —^ 0 (wegen des lokalen Zusammenhangs);
pq ist dann gleichmassig stetig, pq < £ fiir pq < S = S{€)^ X gleichmassig lokal
zusammenhangend. - Ist X nicht zusammenhangend, so betrachte man seine
(endlich vielen) Komponenten.
Fiir kompakte Mengen ist (a) = {(3) = (7) (S die Sierpinskische Bedingung).
I Scharfer: Bl. 2v
(4) Mit A hat jede Menge X, in der A dicht ist, die Eigenschaft S.
Denn {X als Raum, A = X)ist A = Summe endlich vieler zusammenhangender
Mengen C von Durchmessern < e, so ist ^4 Summe der C, die wieder
zusammenhangend sind und Durchmesser < e haben. - Insbesondere: Ist A
gleichmassig lokal zusammenhangend und total beschrankt, so ist X lokal zusammenhangend.
I BL 3
Ist X kompakt, A gleichmassig lokal zusammenhangend und A = X, so ist X
(gleichmassig) lokal zusammenhangend. (Th. 1).
Bestimmen wir 5 = 6{£) so, dass zwei Punkte von A im Abstand < S durch
eine zusammenhangende Menge C A vom Durchmesser < e verbunden sind.
Sei p^q e X, 0 < pq < S, und Pn —^ p, qn -^ Q, Pn^ Qn in A. Da (schliesslich)
PnQn < ^ ist, giebt es eine zusammenhangende Menge Cn C A, vom Durchmesser
< £, die Pn,qn enthalt; wir konnen sie, durch ihre abgeschlossenen Hiillen
ersetzt (wobei sie nicht mehr in A zu liegen brauchen), kompakt annehmen;
Cu -^ C sei eine konvergente Teilfolge; C ist ein Kontinuum vom Durchmesser
< £, das p, q enthalt. X ist also gleichmassig lokal zusammenhangend.
(5) X sei lokal zusammenhangend, U offen: wenn die Begrenzung F{U) lokal
zusammenhangend ist, so auch U.
Von den beiden Mengen X — U, U ist die Summe (X) und der Durchschnitt
{F{U)) lokal zusammenhangend, also die beiden Mengen selbst.
Umgekehrt kann U lokal zusammenhangend sein, ohne dass F{U) es ist.
(Beispiel von A. Rosenthal, Math. Ztsch. 10, p. 102. Dort ist allerdings mehr gezeigt:
U kann lokal zusammenhangend sein, ohne dass F{U) (c F{U)) es ist.
Fiir F{U) geniigt ein einfacheres Beispiel, etwa U Inneres eines Quadrats nach
Tilgung von unendlich vielen Stacheln, die gegen eine Quadratseite konvergieren.)
|
id-
Man kann auch sagen:
(5) X sei lokal zusammenhangend, A abgeschlossen; wenn die Begrenzung
F{A) — A — A lokal zusammenhangend ist, so auch A.
U = X-A ist offen, F{A) = F{U), und es hatte sich nebst U auch X-U = A
827
Bl. 4

als lokal zusammenhangend ergeben.
(5) Zusammengefasst: X sei lokal zusammenhangend, A beliebig; wenn die
Begrenzung F{A) = A — A lokal zusammenhangend ist, so auch A und X — A.
(6) U sei ebenes beschrdnktes Gebiet mit zusammenhdngender Begrenzung
F(U) {U „einfach zusammenhangend"). Dann und nur dann ist F(U) lokal zusammenhangend
(Peanosches Kontinuum), wenn U der Bedingung S geniigt.
Bl. 5 (Moore, th. 4. Der Beweis erscheint mir sehr mangelhaft.) |
Schicken wir etwas ilber Querschnitte in einem Parallelstreifen voraus (bei
Moore ist es ein Kreisring). S sei ein von zwei parallelen Geraden P, Q begrenzter
Streifen (etwa 0 < y < 1); denken wir uns die Geraden etwa horizontal und
orientiert, so dass wir von rechts und links sprechen konnen. K sei ein kompaktes
Kontinuum C 5, KP ^ 0 ^ KQ. Die Komponenten von S — K sind (da
S lokal zusammenhangend ist) in S ofFen, und zwar giebt es ihrer mindestens
zwei^, die Komponente R^ die alle hinreichend weit rechts gelegenen Punkte von
S enthalt, und die Komponente L der links gelegenen. (Ein einfacher Streckenzug
/ r, der links und rechts gelegene Punkte verbindet und in S_ = S — {P-\-Q)
angenommen werden kann, lasst sich beiderseits ins Unendliche verlangern und
trennt dann P, Q, trennt also auch zwei Punkte p, q von K und K muss diesen
Streckenzug treffen; r, I gehoren also zu verschiedenen Komponenten von
S — K.) Wir nennen K einen Querschnitt von 5, R das Rechtskomplement, L
das Linkskomplement.
Sind Ki, K2 zwei disjunkte Querschnitte, P^, Li die Komplemente von Ki^
Bl. 6 so gilt entweder K2 C Ri, Ki C L2 oder | umgekehrt {K2 C Li, Ki C P2).
Betrachten wir eine der Parallel-Geraden zu P, Q, etwa P selbst; es sei pi der
am weitesten rechts gelegene Punkt von PKi. Liegt etwa pi links von p2, so
verbindet die rechte Halbgerade \p2,oo) die hinlanglich weit rechts gelegenen
Punkte mit p2, ohne Ki zu treffen, also p2 G Pi und folglich K2 C Ri. Ebenso
ergiebt sich, dass eine der Relationen Ki C L2 oder K2 C Li bestehen muss,
von denen aber die zweite unmoglich ist, also K2 C Ri, Ki C L2- Wenn diese
Lage stattfindet, schreiben wir Ki < K2; diese Ordnungsrelation ist transitiv
(man nehme immer die letzten Punkte pi von PKi. - Beliebige Punkte rrii von
MKi zu nehmen, wo M eine Mittelgerade von S ist, wie es Moore mutatis
mutandis tut, ist unzulassig; es kann Ki < K2 und doch ein Punkt m2 links
von mi liegen. Auf den Grenzgeraden P, Q diirfte wohl, falls Ki < K2, die
ganze Menge PKi links von der ganzen Menge PK2 liegen.) Wenn Ki < K2,
^Ausser R, L kann, wie die Figur andeutet, S — K noch andere Komponenten haben; diese
kommen hier nicht in Betracht.
828

ist genauer
K2-\-R2C jRi, i^i + Li c L2 .
Denn K2 + R2 ist zusammenhangend (da S lokal zusammenhangend ist, ist
S — K2 = R2 -\- {L2 + • • •) eine Zerstiickelung, K2 + R2 zusammenhangend);
da diese Menge d S — Ki\ {R2K1 = 0, weil Ki C L2), so ist sie in einer Bl. 7
Komponente von S — Ki, also in Ri enthalten.
Nunmehr zeigen wir (Satz (6) zu beweisen):
(A) Wenn F{U) nicht lokal zusammenhangend ist, hat U die Eigenschaft S
nicht.
F{U) enthalt ein Konvergenzkontinuum C = lini Cn {Cn, C disjunkte Kontinua).
Wir ziehen einen Parallelstreifen 5, derart, dass C iiber Q und un-
^ —
ter P Punkte hat; dasselbe gilt von den Cn (wenigstens schliesslich), und
Cn enthalt (nach dem Janiszewskischen Randsatz) ein Kontinuum Kn mit
KnP / 0 / KnQ; Kn ist ein Querschnitt, Rn und Ln seien rechtes und linkes
Komplement. Es muss in der Menge der Kn, die ja wie oben geordnet sind, eine
steigende oder fallende Folge geben; nehmen wir etwa sm Ki < K2 < Ks < " .
Also Kn C Rn-iLn-^i {u > l); da Kn C F{U), giebt es in beliebiger Nahe eines
Punktes von Kn — {P -\- Q) einen Punkt Xn ^ U, der noch in i^^-i^n+i
liegt. Wir konnen die Xn in beliebiger Nahe | der Mittelgeraden M des Streifens BL 8
annehmen (da MKn ^ 0) und dann e so klein, dass jede spharische Umgebung
U{xn,£) in S liegt. Eine zusammenhangende Menge vom Durchmesser < e, die
Xm enthalt und demgemass in S liegt, kann keinen Punkt Xn mit n — m > 2
enthalten, ohne F{U) zu treffen; denn Xm ^ i>m+i C Ln-i und Xn G Rn-i
werden in S durch Kn-i getrennt. Eine zusammenhangende Menge C C U
vom Durchmesser < e kann also nur endlich viele (hochstens drei) Punkte der
Menge {xi,X2,a;3,...} enthalten, und U kann nicht die Summe endlich vieler
solcher C sein: U hat die Eigenschaft S nicht.
(Im Raum Rs ist dies falsch. Ein ebenes Sinusoid und eine Kugelflache, in
deren Innern, bis auf einen Punkt, das Sinusoid liegt, begrenzen ein Gebiet U,
das sogar gleichmassig lokal zusammenhangt, weil offene zusammenhangende
Mengen im Kugelinnern durch Wegnahme eindimensionaler Mengen den Zu-
829

sammenhang nicht verlieren. Trotzdem ist F{U) nicht Peanosch.)
Wir haben sogar bewiesen: Wenn F{U) nicht total Peanosch (ein Pt) ist,
hat U die Eigenschaft S nicht (denn Anwesenheit von Konvergenzkontinuen
charakterisiert die Eigenschaft, nicht total Peanosch zu sein). Oder: wenn U S
Bl. 9 hat, ist F{U) ein Pt. \
Beweis des 2. Teiles von (6).
Wenn eine ebene Menge einen Durchmesser > S hat, so hat eine ihrer Projek-
tionen auf die X- und F-Achse einen Durchmesser > —^ (sonst ware sie in ei-
nem Quadrat von der Seitenlange —j= enthalten und ihr Durchmesser hochstens
v2
der Diagonale 6 dieses Quadrats gleich).
Hiilfssatz. Vi, V2,... sei eine Folge disjunkter ebener Gebiete mit Durchmessern
> 2e > 0; dann ist eine kompakte Menge C, die alle Begrenzungen F{Vn)
enthdlt und zu Yl ^n disjunkt ist, nicht lokal zusammenhdngend.
Wir konnen (indem wir die Vn durch eine Teilfolge ersetzen) annehmen, dass
die Projektionen der Vn auf die F-Achse samtlich Durchmesser > \/2 e haben.
Sei pn G F{Vn) C C und, wie wir annehmen konnen, pn —> p; es giebt dann
auch Punkte Vn ^ Vn (etwa mit \rn — Pn\ < —)? die nach p konvergieren, und
n
wenn yn die Ordinate von rn ist, auch einen Punkt Sn G Vn mit einer Ordinate,
die sich von yn um mehr als y/2£ unterscheidet, etwa (wieder mit Beschrankung
auf eine Teilfolge) mit Ordinaten > y^ + A/26:. Wir konnen demnach einen von
den horizontalen Geraden P, Q begrenzten Parallelstreifen S von der Breite e
Ziehen, der art, dass p nahe unter P liegt und jedes Vn einen Punkt r^ unter
Bl. 10 P I (hinlanglich nahe an p), aber auch einen Punkt Sn iiber Q hat5 fn^n sei
ein in Vn verlaufender einfacher Weg; er enthalt einen ganz in S verlaufenden
Teilweg Kn — CLrfin (cin dcr letzte Punkt von TnSn auf P und dann bn der
erste von anSn auf Q). Jetzt sind die Kn wieder Querschnitte von S und es sei
(wie beim Beweis des ersten Teils) Ki < K2 < " - Kn, i^n+i begrenzen mit
anfln+i, bnbn-\-i zusammcu ein Gebiet G^; die Gn sind disjunkt. Die Mittelge-
830

ade M des Streifens trifft Kn und Xn+i, sie enthalt eine bis auf die Endpunkte
in Gn liegende Strecke und auf dieser liegt, da sie einen Punkt von Vn mit einem
nicht zu Vn gehorenden Punkt verbindet, ein Punkt tn G F{Vn) C C;
('..
IK r3
jt/ — W\
Q
es ist also tn G Gn- Eine zusammenhangende Menge, die tn und tm (^ 7^ 'm)
verbindet, muss F{Gn) = Kn + i^n+i + Onfln+i + ^n^n+i treffen; wenn sie in C
enthalten ist, muss sie also anftn+i -f &n^n+i oder P-\-Q treffen, demnach einen
Durchmesser > - haben. Unter den tn giebt es aber Paare mit beliebig klein
werdenden Entfernungen, und wenn C, zunachst als Kontinuum angenommen,
lokal zusammenhangend ware, miissten diese Paare in zusammenhangenden
Teilmengen von C mit beliebig klein werdenden Durchmessern enthalten sein.
Also ist C nicht lokal zusammenhangend. Ist C nicht zusammenhangend, so
kann es auch nicht lokal zusammenhangend sein (man betrachte, wenn dies
ware, unendlich viele Punkte tn-> die einer der - endlich vielen - Komponenten
von C angehoren.) | BL 11
(Ein spezieller Fall des Hlilfssatzes: ist C Peanosches Kontinuum und Vn
die Komponenten von X — C^ X — Ebene, so kann es nicht unendlich viele
Vn mit Durchmessern > Is geben. (Schoenflies. Mein Beweis ahnlich wie bei
Kerekjarto, Hamb. Abh. 4 (1926), 164-171, insbesondere A), p. 167). Denn
Fiyn) c F{C) c c.)
Nun konnen wir die andere Halfte von (6) beweisen:
(B) Wenn U die Eigenschaft S nicht hat, ist F(U) nicht lokal zusammenhangend.
Ist / ein Kreisinneres, der art, dass UI ^ 0 nicht zusammenhangend ist,
V eine Komponente von UI, so ist F(y) C F{UI) C F{U) + F{I) =_C,
ferner F{V)F{I) / 0, denn V = UIV ist in UI abgeschlossen: ware V C
/, so ware V — UV in U abgeschlossen, was dem Zusammenhang von U
widerstreitet (in U D UI D V gilt zuerst nicht das Gleichheitszeichen, da UI
nicht zusammenhangend ist). Also V — / 7^ 0, VF{I) 7^ 0, und da VF{I) C
IF{I) = 0, ist F{V) F{I) ^ 0.
Nun lasst sich U mit endlich vielen (offenen) Kreisflachen Hk vom Radius
p bedecken, Ik sei die konzentrische (offene) Kreisflache vom | Radius 2 p, und Bl. 12
V/ci, Vfc2, • • • die Hk treffenden Komponenten von Ulk, so dass
^ = EE^^"-
Wenn U die Eigenschaft S nicht hat, so besteht bei hinlanglich kleinem p die
Summe nicht aus endlich vielen Summanden, d. h. es existiert ein Index k, fiir
831

den unendlich viele Vkn vorhanden sind, oder - mit Weglassung des Index k -
es giebt zwei konzentrische Kreisflachen iJ, / mit Radien p, 2p, derart dass UI
unendlich viele Komponenten Vn hat, die H treffen. Wegen F{Vn) F{I) ^ 0 hat
Vn einen Durchmesser > p. Andererseits ist F{Vn) C F{U) + F{I) — C^ K, C
I
\
'.'•M\
UI ist zu C disjunkt. Nach dem Hiilfssatz ist C nicht lokal zusammenhangend^,
also auch F{U) nicht, denn F{I) ist lokal zusammenhangend. Damit ist (B)
Bl. liv bewiesen. |
Wir haben bewiesen: {U beschranktes ebenes Gebiet, F{U) Kontinuum):
(A) Wenn U die Eigenschaft S hat, ist F{U) total Peanosch.
(B) Wenn F{U) Peanosch ist, hat U die Eigenschaft S.
Daraus folgt noch: ist F{U) Peanosch, so ist es total Peanosch. Dass U Gebiet
ist, ist wesentlich. Die untenstehende Figur {U Summe der unendlich vielen
ofFenen Quadratflachen) zeigt, dass andernfalls F{U) wohl Peanosch sein kann,
ohne total Peanosch zu sein. U hat die Eigenschaft S nicht.
NL HAUSDORFF : Kapsel 40: Fasz. 638
Beweis des Satzes von M. Torhorst
Hs. Ms. - [Bonn], 12.6.1937. - 2 Bll.
Beweis des Satzes von M. Torhorst^: 12/6 37
(T) C sei ebenes Peanosches Kontinuum, U eine Komponente des Komplements;
dann ist die Begrenzung F{U) Peanosch.
^Ubrigens ist F{U) F{I) / 0, da sonst (Mengenlehre 1914, p. 343, V) UI entweder leer
oder zusammenhangend ware; C ist Kontinuum; wegen F{Vn) C C C X — Vn ist (ib. p. 345,
VIII) F{Vn) Kontinuum, jedes Vn einfach zusammenhangend.
^ [Marie Torhorst (geb. 1888) promovierte 1918 bei HAUSDORFFS Vorganger HANS HAHN,
wurde 1933 von den Nationalsoziahsten aus poHtischen Griinden aus dem Schuldienst entlassen,
war von 1947-1950 Ministerin fiir Volksbildung des Landes Thiiringen und spater
Professorin am Deutschen Padagogischen Zentrahnstitut in BerUn. Sie wurde 100 Jahre alt.]
832

Der Originalbeweis ist sehr kompliziert (Primenden), auch der von Kerekjarto.
Kuratowski, F. M. 15, p. 180-184 giebt folgenden einfacheren.
1. Drei Bogen (a6)i, (a 6)2, (tt^)3, die paarweise nur die Endpunkte gemein
haben, bilden eine Kurve ©.
Zwei disjunkte Peanosche Kontinua A, B mogen durch drei disjunkte Peanosche
Kontinua Ci, C2, C3 verbunden sein {ACi 7^ 0 ^ BCi). Dann giebt es eine
Kurve 6 = Y^i{ab)i, {ab)i C A-\-d-{-B, aeA.beB.
Beweis. Ci enthalt einen Bogen, der A, B verbindet, also (Teilbogen) einen
Bogen piQi, der bis auf die Endpunkte zn A-^ B disjunkt ist; ebenso C2 einen
solchen Bogen ^2^2- A enthalt einen Bogen piP2, B einen Bogen qiq2', diese
4 Bogen bilden einen topologischen Kreis. In A -}- Cs -{- B verbinden wir pip2
mit qiq2 durch einen Bogen a 6, von dem nur die Endpunkte zu piP2 resp. qiq2
gehoren. Dieser Bogen mit dem topologischen Kreis zusammen leisten das Verlangte.
(Die rechte Figur entspricht nicht der linken; fiir diese wiirde a mit p2,
b mit q2 zusammenfalien.) | Bl. iv
2. C sei Peanosches Kontinuum, K C C nicht Peanosches Kontinuum; in C
giebt es eine Kurve 6 = X^(afe)z so, dass {ab)i mit K durch ein zu den beiden
andern Bogen von B disjunktes Kontinuum verbunden werden kann.
Beweis. Vorbemerkung: jedes Kontinuum L C C ist in einem beliebig wenig
grosseren Peanoschen Kontinuum L* enthalten (man telle C in endlich viele
Peanosche Teilkontinua beliebig kleinen Durchmessers [indem man das Inter-
vall teilt, von dem C stetiges Bild ist] und nehme die Summe L* der kleinen
Kontinua, die L treffen). - Da K nicht Peanosch ist, enthalt es ein Konvergenzkontinuum,
d. h. eine Folge disjunkter Kontinua Kn, deren Limes wieder ein
Kontinuum (mehrpunktig) und zu den Kn disjunkt ist. Greifen wir also Punkte
Pn^qn ^ Kn mit p = limPn 7^ liiRqn = q heraus; zugleich konnen wir PnPn-^i
in C durch einen Bogen mit Durchmesser —> 0 verbinden. Also: wir konnen
annehmen, dass wir drei Punkte pi,P2,P3 eines Peanoschen Kontinuums A,
drei Punkte ^i, ^2, qs eines zu A disjunkten Peanoschen Kontinuums B haben,
und drei disjunkte Kontinua Ki C K, mit Pi -\- qi d Ki\ aber die Kj sind noch
833

nicht Peanosch. Gemass der Vorbemerkung stellen wir jetzt (auch zn A,B, obwohl
diese schon Peanosch sind) Peanosche Kontinua A'^^B^'^K* her, Summen
Bl. 2 „kleiner" Peanoscher Kontinua Q, die resp. A, B, Ki \ treflFen, und die so kleine
Durchmesser haben, dass noch A*5* = 0, i^*K* = 0. Zu A, B, Ci = K* giebt
es nach 1. eine Kurve 6 = ^{ab)i, a e A, b e B, {ab)i C A+K^~\-B. Man hat
{ab)iA* ^ 0, {ab)iB* ^ 0, so dass {ab)i nicht in A* + J5* enthalten sein kann;
da er in A*-{-B""-\-K* enthalten ist, enthalt er einen Punkt x G K* - (A* + 5*).
X gehort also einem „kleinen" Kontinuum Q mit KiQ ^ 0, AQ = BQ = 0 an;
{ab)i ist mit K durch das Kontinuum Q verbunden; da ferner Q c AT*, ist Q
zu den beiden andern Kj^K^ und demnach zu {cib)j, {cib)k disjunkt. Q.e. d.
3. Beweis von (T). Wir zeigen sogar, dass F{U) total Peanosch ist.^
Gabe es ein nicht Peanosches Kontinuum K C F{U) (c F{R2 - C) = F{C) C
C), so betrachten wir die Kurve © C C von 2. Sie zerlegt (Jordanscher Satz)
die Ebene in drei Gebiete C/12, C/235 ^315 wo F{Uij) = (ab)i-\-{ab)j. U C R2 — Q
liegt in einem dieser Gebiete, etwa U C C/12; K C U C U12 + (a fe)i + (a 6)2- Nun
BL 2v soUte sich aber K mit (a 6)3 durch ein zu (a 6)1 + {a 6)2 dis | junktes Kontinuum
Q verbinden lassen, d. h. Q wlirde einen Punkt in U12 mit einem ausserhalb
U12 verbinden, ohne F{Ui2) zu treffen - damit ist der Widerspruch da.
(T) lasst sich noch weiter dahin verscharfen, dass F{U) eine reguldre Kurve
(im Sinne von Menger) ist: Whyburn, Fund. Math. 12, p. 267. Der Beweis
beruht darauf: die Eigenschaft regular zu sein, kommt einem Peanoschen Kontinuum
dann und nur dann zu, wenn sie seinen zyklischen Elementen zukommt.
Die zyklischen Elemente von F{U) (U Komponente von R2 — C, C Peanosch
- oder geniigt, dass F{U) Peanosch ist?) sind aber topologische Kreise (hierzu
Ayres, F. M. 14, theorem p. 92, und Wilder, F. M. 7, p. 354). Folgende
Bedingungen fiir ein Peanosches Kontinuum C sind aquivalent:
Die zyklischen Elemente von C sind (wenn mehrpunktig^) topologische Kreise;
C enthalt keine Kurve ©,
je zwei topologische Kreise C C haben hochstens einen Punkt gemein.
(T) ist im Rs nicht giiltig!
^Dass F{U) Kontinuum ist, folgt nach Brouwer (lokaler Zusammenhang und Unikoharenz
der Ebene). Die Verscharfung stammt von Wilder.
•^[Uber das Wort „mehrpunktig" hat HAUSDORFF ein Fragezeichen gesetzt.]
834

NL HAUSDORFF : Kapsel 38: Fasz. 545
Ein Satz von R. L. Moore
Hs.Ms. - [Bonn], 8.8. 1935. - 2 BU.
8.8.35
Ein Satz von R. L. Moore (Continuous sets that have no continuous sets of
condensation, Bull. Amer. Math. Soc. (2) 25 (1919), p. 174-176).
I. Ein (kompaktes) Kontinuum C, das kein Hdufungskontinuum enthdlt, ist
lokal zusammenhangend (also Streckenbild == Peanosches Kontinuum = continuous
curve; Mengenlehre S. 207).
Beweis. Wir zeigen, dass C, falls nicht lokal zusammenhangend, ein Haufungskontinuum
K (mit C — K = C) enthalt. C sei im Punkte a nicht lokal zusammenhangend,
es giebt also eine Punktfolge Xn -^ a derart, dass jedes Kontinuum
(im Raume C), das a, Xn enthalt, einen Durchmesser > 2r > 0 hat. F
sei die Kugel ax < r, H ihre Begrenzung (fiir x £ H ist ax = r); wir nehmen
alsbald ax-n < r an. Es giebt also kein Kontinuum C F, das a, Xn verbindet.
Also F c C, H D 0. Nach dem Randsatz von Janiszewski hat die Komponente
Cn von CF — F, die Xn enthalt, einen Punkt i/n auf H. \ Der obere abge- Bl. 2
schlossene Limes K = FlCn ist Kontinuum (well Fl Cn den Punkt lim
enthalt, also D 0 ist; Satz von Zoretti) und zwar mehrpunktiges, da er a und
auch einen Punkt auf H (Haufungspunkt der yn) enthalt. Es ist KCn — 0,
da sonst K -\- Cn ein Kontinuum C F ware, das Xn mit a verbindet. Also fiir
S = J2Cn C.C — K ist KCSCC — K,K Haufungskontinuum. Damit ist der
Satz I bewiesen (wesentlich einfacher als bei Moore, der noch dazu nur ebene
Mengen behandelt).
Ist C zwischen zwei Punkten a, b irreduzibel und ohne Haufungskontinuum,
so ist es ein Bogen [a, 6] (Mengenlehre, §39, IV.) Diesen Spezialfall (von Janiszewski)
benutzt Moore bereits beim Beweise von I. Dieser spezielle Satz
ist umkehrbar, der allgemeine aber nicht (eine Quadratflache ist Streckenbild,
enthalt aber Haufungskontinua, z. B. Strecken).
835

NL HAUSDORFF : Kapsel 43: Fasz. 754
[Offene Bilder abgeschlossener Intervalle]
Hs. Ms. ~ [Bonn], 20,9. 1940. - 1 Bl.
20/9 40
Ein G-stetiges Bild Y des abgeschlossenen Intervalls X =• [0,1] kann keinen
topologischen Kreis enthalten.
Beweis: y — f{x) sei G-stetige Abbildung von X auf Y. Nehmen wir an,
B G Y sei ein topologischer Kreis. Setzen wir A == f~^{B), so ist A in X
abgeschlossen und die auf A beschrankte Abbildung /| A ist auch noch G-stetig
(es ist f{AG) C F{A)F{G) = B f{G); andererseits 5/(G) C /(AG), denn fur
y G Bf{G) ist y = fix) mit x e G, x e r\y) C f-\B) = A, x e AG, y e
f{AG). Also f{AG) = Bf(G) in B offen, wenn G offen ist.) Wir haben also
jetzt eine G-stetige Abbildung der kompakten linearen Menge A auf einen
topologischen Kreis oder auf einen gewohnlichen Kreis B, der durch y — e*'^
mit reellem (p dargestellt sei. Sei ao = min A, ai > ao (ai G A) so klein,
dass y = f{x) fiir x e A [ao,ai] auf einem Halbkreis bleibt und folglich ip als
eindeutige stetige Punktion von y angesehen werden kann; demnach (p = (p{x).
Da das Bild von A[ao,ai) auf dem Kreise offen ist, kann das Maximum von
(p{x) in A [ao, ai] nicht in [ao, ai) eintreten; es tritt in ai ein; fiir das Minimum
gilt dasselbe; demnach ist ip{x) in A[ao,ai] konstant = ^(^i); das Bild von
74[ao,ai) ware einpunktig und nicht offen in B. Dieser Widerspruch beweist
die Behauptung.
(Das G-stetige Bild eines offenen Intervalls kann einen topologischen Kreis
enthalten. Z. B. y = e^^ fiir ~oo < x < oo, was man auch in eine Abbildung
von (0,1) umwandeln kann.)
NL HAUSDORFF : Kapsel 50: Fasz. 1085
[Peanosche Kontinua, der Jordansche Kurvensatz]
Hs. Ms. - [Bonn], [nach 1928]. 11 BU.
Abgedruckt sind die Blatter 1-6.
In der Ebene oder Kugelflache gilt auch eine eingeschrankte Umkehrung von (:
(C*) G sei ein einfach-zusammenhangendes Peanosches Kontinuum; dann ist
E — C zusammenhangend.^
Zunachst betrachten wie den Spezialfall, dass G ein Bogen (homoomorphes
Bild einer Strecke) ist.^ Nehmen wir an, ^ — G sei nicht zusammenhangend,
zwei Punkte a, 6 werden durch G getrennt. G enthalt ein irreduzibles F^(a, 6),
das auch nur ein Bogen [p, q\ sein kann. Ist r ein von p, q verschiedener Punkt
iRur., P.M. 8, 145.
2Kur., ib.l2, 228.
836

dieses Bogens, so wiirden also [p, r] und [r, q] die Punkte a, b nicht trennen; aber
da ihr Durchschnitt r ein Kontinuum ist, kann auch [p, q] nach £ die Punkte
a, 6 nicht trennen.
Nun sei C allgemein Peanosches Kontinuum; wir nehmen E — C sis nicht zusammenhangend
an und zeigen, dass dann C nicht einfach-zusammenhangend
ist. E —C = A-\-B sei eine Zerstiickelung, a ^ A^b e B; auf [a,b] (Strecke oder
Kreisbogen) sei p der erste, q der letzte Punkt von C (ev. p = q) und L ~ \p,q]
ein Bogen in C, der p^q verbindet (fiir p — q : L = p). L zerlegt E nicht
(Spezialfall von (*, soeben bewiesen); a, b sind durch einen Streckenzug M mit
I ML — 0 verbindbar. Nach dem Trennungssatz fiir metrische Raume giebt es Bl. 2
eine offene Menge G mit L C G, MG = 0. Jede Komponente von GC{D L)
ist in C offen, weil C Peanosch ist, R sei diejenige, die L enthalt (L C R).
Es ist M^ = 0 (i?. C G), wahrend MC = M{C_- 'R) D 0 ist, da M die
durch G getrennten Punkte a, 6 verbindet. Sei C — R = ^Si die Zerlegung in
Komponenten; diese sind wieder in G offen und bedecken MC = J^M5i; da
MC kompakt ist, wird es bereits von endhch vielen bedeckt, d. h. wenn wir die
Si mit MSi D 0 und Sj mit MSj = 0 unterscheiden, ist MC = ^MSi, wo
i etwa von 1 bis n geht. Fiir die Sj ist auch noch MSj = 0, da Sj in C — R
abgeschlossen, also MSj = M{C - R)Sj = MCSj = MSj ist. Setzen wir
also MK = 0. Wir wollen zeigen, dass die abgeschlossene Menge K ein Kontinuum
ist. (Es ist in einem lokal zusammenhangenden Raum E, wenn F Kontinuum
und G eine Komponente von E — F ist, F -\- G Kontinuum. Denn
L;-F = G + G', G und G' offen, F + G abgeschlossen; {F^G)^{E-G) = E
und \ {F -\- G){E — G) = F sind zusammenhangend, also auch F -\- G, E — G. BL 3
Wendet man dies auf G als Raum an, so folgt:) R + Sj ist zusammenhangend
und daher auch J^.(R^ Sj) ='R + J2SJ = K.
K trennt a, b nicht, wegen MK = 0. Auch die Si trennen a, b nicht; denn
[a, p] + L + [q, b] ist ein zu G — JR disjunktes Kontinuum (L zu G — R, [a, p) und
(g', 6] schon zu G disjunkt) und jede Komponente S von C — R C C — R liefert
S C C — R; a,b lassen sich zu Si disjunkt verbinden. Nun ware also
C = K + ^Si=K+&Si
als Summe endlich vieler Kontinua dargestellt, die a, b nicht trennen, wahrend
G sie trennt.
837

Genau wie K ist auch K-\-Si = R-\-Yl,j ^j'^^i = C—Y^^^^ Sh ein Kontinuum;
also Si C K -\- Si. Fiir zwei verschiedene Komponenten Si,Sh ist SiSh £
{K + Si){K + Sh) = K. Ebenso ist C, - X + E/./^ 5/, - :R + E, ^i +
Yhi^i^h = C — Si ein Kontinuum und CiSi = KSi, da SiSh £ S'^K. Da
C = Ci + iSi = Ci + S'i, ist CiSi D 0 (sonst ware C = C^ -f 5^ zerstiickelt), also
KSi DO.
Wir schliessen aus e, dass mindestens ein KSi kein Kontinuum ist. Denn
Bl. 4 waren sie alle Kontinua, so wiirde zunachst | if + ^i die Punkte a, b nicht
trennen, dann wiirde wegen {K + Si)S2 = KS2 auch K ^ Si-V S2 die Punkte
a, h nicht trennen u. s. w. bis K + 5i + - • + 5n = C, welches ja aber a, h
trennt. Ist also KSi kein Kontinuum, so haben wir o — L^i -\- Oi — C^i -p ib^, wo
Ci, Si Kontinua und CiSi — KSi kein Kontinuum ist, d. h. C ist nicht einfach
zusammenhangend, q. e. d.
Fiir die Ebene oder Kugelflache, wo ( und C* gelten, haben wir also fiir die
Peanoschen Kontinua C Aquivalenz der beiden Eigenschaften: C ist einfachzusammenhdngend,
E—C ist zusammenhangend. (Die erste ist eine topologische
Eigenschaft von C selbst, die zweite betrifFt die Lage von C in £".
Der Jordansche Satz. E Ebene oder Kugel, C sei homoomorph mit dem Kreise.
Dann zerfdllt E — C in zwei Gebiete mit der gemeinsamen Begrenzung C.
Beweis. Da C nicht einfach-zusammenhangend ist, ist JE^ — C nicht zusammenhangend;
E—C zerfallt in mindestens zwei Komponenten; fiir jede solche G
ist Gg C [E—C)g = Cg = C. Warc C nicht Begrenzung aller Komponenten von
-E—C, so sei etwa x G C—Gg nicht Punkt der Begrenzung Gg. Gg^ welches nach
(/?) zusammenhangend ist und C C, wiirde E zerlegen {E — Gg = {E — G)-\-G
eine Zerstiickelung, x ^ E — G, beide Summanden D 0). Aber Gg konnte ja nur
Bl. 5 ein Bogen sein und dieser zerlegt E nicht. |
Endlich ist zu zeigen, dass es nicht mehr als zwei Komponenten geben kann.
G sei eine Komponente; C = Gg. Die von G aus geradlinig erreichbaren Punkte
von C liegen in C dicht; a, b seien zwei verschiedene; wir konnen demgemass
a, b verbinden sowohl durch einen Streckenzug 5, der bis auf die Endpunkte
-* r^
ft 1
a,b in G liegt, als durch jeden der beiden Bogen P, G, die auf C durch a, b
bestimmt werden. p und q seien Punkte von P, Q, die von a, b verschieden
sind. - Nun nehmen wir an, es gabe ausser G noch mindestens zwei weitere
Komponenten Gi, G2 von £J — G; xi G Gi, ^2 G G2. Da p G G1G2, ist Gi + p,
G2 -\- p und Gi -\- p-\- G2 zusammenhangend, und da dies zuS + QCG + Q
838

disjunkt ist, werden xi,a:2 durch 5 + Q nicht getrennt, ebenso nicht durch
S ^ P. Da (5 + P)(5 + Q) = S Kontinuum ist, diirften nach e xi,X2 auch
durch (5 + P) + (AS + Q) = S^C und erst recht durch C nicht getrennt werden,
womit ein Widerspruch erzielt ist.
Zu dem Teil des Beweises, dass C gemeinsame Begrenzung aller Komponenten
von E — C ist, giebt es folgende Verallgemeinerung:
Damit in einem lokal zusammenhdngenden Raum E die abgeschlossene Menge
F {0 C F C E) gemeinsame Begrenzung aller Komponenter? von E—F sei,
ist notwendig und hinreichend, dass, fiirjede abgeschlossene Teilmenge F' C F,
E — F' zusammenhdngend sei. \ Bl. 6
Notwendig. F sei gemeinsame Begrenzung aller Komponenten von E — F (also
nirgendsdicht, E - F in E dicht) und F' C F Sei x e E - F'; x hat eine
zusammenhangende Umgebung U C E — F'; in dieser liegt ein Punkt y von
E — F, weil E — F dicht ist, und G sei die y enthaltende Komponente von
E — F {c E — F'). Ist sodann XQ ein fester Punkt von F — F\ so ist XQ G G,
weil F — Gg, und die Menge t/ + G + XQ zusammenhangend, sie ist C. E — F',
und also lasst sich jeder Punkt x von E — F' mit x^inE- F' verbinden, E — F'
ist zusammenhangend.
Hinreichend. Fiir jede Komponente G von E—F ist (im lokal zusammenhangenden
Raume) Gg C [E — F)g Q Fg C F. Ist nun F nicht = Gg, sondern F ^ Gg,
so ist F' = Gg C F eine Menge, flir die E - F' = {E -G) -{- G nicht zusammenhangend
ist {E-GD F{E -G) = F-GgZ)0).
"^ev. nur von C — F, wenn dies zusammenhangend ist.
839

Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie
H. Herrlich, M. Husek, G. Preufi
In der topologischen Dimensionstheorie beschaftigt man sich mit Dimensionsfunktionen,
d. h. Abbildungen D der Klasse aller topologischen Raume in die
Menge N U {—1, +00}, wobei N die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen
bedeutet, derart, dafi gelten:
1) Sind X und Y homoomorphe topologische Raume, so ist D{X) = D{Y),
2) D{W^) = n, wobei W^ die Menge der n-Tupel reeller Zahlen bezeichnet,
versehen mit der in der Analysis iiblichen Topologie.
Dariiber hinaus ist es wiinschenswert, nach Dimensionsfunktionen zu suchen,
die schone Eigenschaften haben, wie etwa:
3) (Unterraumsatz). Ist A Unterraum von X, so gilt D{A) < D{X).
4) (Produktsatz). Sind X und Y topologische Raume, so gilt
D{X xY)< D{X) + D{Y), falls X ^ 0 oder F / 0
5) (Summensatz). Ist {Xi)i^i eine geeignete Uberdeckung eines topologischen
Raumes X und gilt D{Xi) < n fiir alle i G /, so ist D(X) < n.
Um eine dieser Eigenschaften zu erhalten, kann es allerdings notwendig werden,
die Klasse der topologischen Raume einzuschranken. Besondere Bedeutung
erlangt haben die Dimensionsfunktionen ind („kleine induktive Dimension"),
Ind („gro6e induktive Dimension") und dim („Uberdeckungsdimension").
I) Die erste hinreichend genaue induktive Definition der Dimension flir Teilmengen
des M^ geht auf eine erst iiber 100 Jahre spater veroffentlichte Arbeit
von B. BOLZANO ([Bol 1948]) zuriick, die er 1843-44 schrieb. Somit konnte sie
die Entwicklung der Dimensionstheorie nicht beeinflussen. Sie lafit sich auch
nicht auf topologische Raume, sondern nur auf metrische Raume iibertragen,
was M. KATETOV ([Kat 1983]) naher untersucht hat. 1905 hat H. POINCARE
in seinem Buch La valeur de la science ([Poi 1905]) eine induktive Definition
der Dimension skizziert, die L. E. J. BROUWER im Jahre 1913 zu einer prazisen
Definition veranlafite ([Bro 1913]), nachdem er bereits vorher die Invarianz der
Dimension fiir Euklidische Raume bewiesen hatte ([Bro 1911]), d. h. die Aussage,
dafi furn,m = 1^2^3^... ,n ^ m, die Raume W^ und M"^ nicht homoomorph
sind (ob die Invarianz der Dimension iiberhaupt gilt, war durch die Arbeit von
G. PEANO ([Pea 1890]), die zeigte, dafi ein Quadrat stetiges Bild einer Strecke
sein kann, fraglich geworden).
Fiir lokal zusammenhangende kompakte metrische Raume stimmt die induktive
Dimension von BROUWER mit der heute als kleine induktive Dimension bezeichneten
iiberein (s. [ES 1992], S. 317), die auf P. URYSOHN ([Ury 1922]) und
840

K. MENGER ([Men 1923]) zuriickgeht und deshalb auch als Menger-Urysohn-
Dimension bezeichnet wird.
HAUSDORFF hat die damals neu entstandene Dimensionstheorie von URY-
SOHN und MENGER bereits im Wintersemester 1930/31 in seine Vorlesung Mengenlehre^
aufgenommen. Diese Vorlesung besteht aus fiinf Teilen: I. Mengenverkniipfungen,
II. Kardinalzahlen, III. Ordnungstypen und Ordnungszahlen,
IV. Punktmengen und V. Dimensionstheorie. Zur Einfiihrung der Dimensionsfunktion
ind (fiir metrische Raume) heifit es darin:
Der Urysohn-Mengersche DimensionsbegrifF (Anregungen von Poincare
und Brouwer folgend) kniipft eigentlich an die populare Erklarung an:
eine Linie wird von Punkten begrenzt, eine Flache von Linien, ein Korper
von Flachen, ein n-dimensionales Gebilde von (n — l)-dimensionalen. In
dieser Form ist die Erklarung noch nicht brauchbar, aber der Grundgedanke
- Zuriickfiihrung der Mengen auf ihre Begrenzungen und rekursive
Erklarung der n-dimensionalen durch die (n — l)-dimensionalen - ist in
der folgenden Definition gewahrt:
Der Raum ist hochstens n-dimensional, wenn jeder Punkt beliebig kleine
Umgebungen mit hochstens (n — l)-dimensionaler Begrenzung hat.
Wie soUen wir aber fiir n = 0 beginnen? Indem wir unter einer (—1)dimensionalen
Menge die leere Menge verstehen.^
Fiir einen topologischen Raum X sieht die Definition von ind folgendermafien
aus: Die kleine induktive Dimension (oder Menger-Urysohn-Dimension) ind X
von X ist induktiv definiert durch
a) ind X = —1 genau dann, wenn X = 0 ist;
b) ind X < n, falls zu jedem x ^ X und zu jeder Umgebung V von x eine
offene Menge U C X existiert derart, dafi x E U cV und ind dU < n — 1,
wobei dU den Rand von U bezeichnet;
c) ind X = n, falls ind X

a) Ind X — —1 genau dann, wenn X = 0 ist;
b) Ind X

Dafi die Punktionen ind, Ind und dim die Bedingung 1) flir Dimensionsfunktionen
erftillen, liegt auf der Hand. Die Bedingung 2) ist ebenfalls erfiillt: Der
Beweis von Ind W = dimR^ = n ist in BROUWERS Arbeit von 1913 enthalten,
wahrend ind W^ = n von MENGER ([Men 1926]) und URYSOHN ([Ury
1925]) (angekiindigt in [Ury 1922]) bewiesen wurde. Fiir separable metrische
Raume (aufgefafit als topologische Raume) stimmen alle drei genannten Dimensionsfunktionen
liberein: Der Beweis der Gleichheit von ind und Ind geht auf
L. A. Tumarkin ([Turn 1926]) und W. Hurewicz ([Hur 1927b]) zuriick, wahrend
ind^dim von HuREWiCZ in [Hur 1927a] bewiesen worden ist (nachdem URY-
SOHN ([Ury 1926]) dieses Ergebnis bereits fiir kompakte metrische Raume erzielt
hatte). Erst Anfang der 50-er Jahre haben M. KATETOV ([Kat 1952])
und K. MORITA ([Mor 1954]) gezeigt, dafi fiir alle metrisierbaren topologischen
Raume X gilt: Ind X = dimX. Da P. ROY in [Roy 1962] ein Beispiel eines
voUstandig metrisierbaren topologischen Raumes X mit ind X = 0 und Ind
X ~ 1 konstruiert hat, kommt J. NAG ATA in seinem 1965 erschienenen Buch
iiber Dimensionstheorie ([Nag 1965], S. 9) zu dem Schlufi, dafi die kleine induktive
Dimension fiir metrische Raume als nicht mehr so bedeutend angesehen
werden kann wie die grofie induktive Dimension und die Uberdeckungsdimension.
Beziiglich der grofien induktiven Dimension Ind gelten fiir metrisierbare
topologische Raume sowohl 3) (s. [Cech 1932]) als auch 4) (s. [Men 1928]).
Aufierdem gilt folgender Summensatz (s. 5)):
Ist X ein metrisierbarer topologischer Raum und {Xi)i^f^ eine abgeschlossene
Uherdeckung, die mit der Menge N indiziert ist, und gilt Ind Xi < n fiir alle
i eN, so ist Ind X < n.
Dieser Satz ist von CECH in [Cech 1932] fiir die grofiere Raumklasse der perfekt
normalen Raume bewiesen worden.
Die erste zusammenfassende Monographic zur Dimensionstheorie war MEN-
GERS 1928 bei Teubner erschienenes Buch Dimensionstheorie ([Men 1928]).
HAUSDORFF hat es sorgfaltig und kritisch studiert. Historisch interessant ist
z. B. seine resiimierende Bemerkung zum AUgemeinheitsgrad des Werkes (s. das
Zitat in diesem Band, S.801). Ein Beispiel fiir die kritische Auseinandersetzung
mit einzelnen Punkten in MENGERS Buch ist Faszikel 280. MENGER hatte
S. 251 ff. zwei Beweise des Satzes gegeben, dafi jede offene Teilmenge des R"^
mindestens n-dimensional ist. Im ersten Beweis findet HAUSDORFF mehrere
Unkorrektheiten, um schliefilich festzustellen:
Der Mengersche Beweis ist eine entstellte Reproduktion der Arbeit von
E. Sperner (Hamb. Mitt. 6, S.265), wo alles in Ordnung ist.^
Wir geben nun einen kurzen Uberblick iiber weitere Manuskripte zur Dimensionstheorie
in HAUSDORFFS Nachlafi. MENGER hatte in seinem Buch (S. 138 ff)
den Begriff der schwach n-dimensionalen Menge eingefiihrt und im Anschlufi
an Ideen von SlERPlNSKi eine schwach eindimensionale Menge konstruiert. Ob
es fiir jedes n schwach n-dimensionale Mengen gibt, war ein offenes Problem
^NL HAUSDORFF : Kapsel 33 : Fasz. 280, BL Iv.
843

([Men 1928], S. 309). Es wurde von MAZURKIEWICZ in [Maz 1929] im bejahenden
Sinne gelost. Im Faszikel 458 Schwach n-dimensionale Mengen vom 7. 12.
1933 konstruiert HAUSDORFF in Anlehnung an MAZURKIEWICZ eine im MEN-
GERschen Sinne schwach n-dimensionale Menge. Sein Vorgehen unterscheidet
sich in einigen Punkten von dem von MAZURKIEWICZ; Fasz. 458 ist deshalb im
folgenden voUstandig abgedruckt.
Die Faszikel 541 Dimensionserhohende und erniedrigende beiderseits stetige
Abbildungen vom 4. 4. 1935 und 542 Zur Dimensionstheorie vom 7. 4. 1935 rezipieren
verschiedene Arbeiten von HuREWicz. Das Hauptergebnis fafit HAUS­
DORFF folgendermafien zusammen: Sind A und B separable metrische Raume
und ist B vermoge y = ip{x) beiderseits stetiges Bild^ von A,^ so gibt es
fiir dimJ5— dim^d = d>0 mindestens (d-h l)-punktige Urbilder (p~^{y),
fiir dim A— dim^ — d > 0 mindestens c?-dimensionale Urbilder (p~^{y).
Fasz. 541 und 542 sind vollstandig im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band
1, S. 199-214.
Im Faszikel 569 Einbettung separabler Rdume in gleichdimensionale kompakte
(undatiert, vermutl. Marz 1934 - August 1936) geht es um den Satz,
dafi jeder separable metrische Raum topologisch zu einem gleichdimensionalen
kompakten Raum erweitert werden kann. Diesen Satz hatte HuREWicz in [Hur
1927a] angegeben; sein Beweis war jedoch nicht korrekt. Er sttitzte sich namlich
auf Ergebnisse von ALEXANDROFF in [Ale 1926]. Dort hatte HAUSDORFF aber
einen Fehler entdeckt und ALEXANDROFF eine Korrektur mitgeteilt, die dieser
mit HAUSDORFFS Erlaubnis in [Ale 1929] publizierte.^ HAUSDORFF bemerkt
schliefilich am Ende von Fasz. 569:
Hurewicz hat dann einen richtigen und einfacheren Beweis des Einbettungssatzes
gegeben: Monatsh. 37, 199-208. [Gemeint ist [Hur 1930]].^
Fasz. 569 ist komplett im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S.450-
459. Auch Fasz. 579 Erweiterung stetiger Abbildungen (undatiert, vermutl. 1935
- August 1936) tangiert die Dimensionstheorie; er ist ebenfalls in Faksimile-
Wiedergabe in [H 1969], Band 2, S.9-19, zu finden.
Was es mit dem Veroffentlichungsmanuskript Bemerkung zur Dimensionstheorie
(NL HAUSDORFF : Kapsel 40: Fasz. 606) auf sich hat, kann heute nicht
mehr geklart werden. Es enthalt von HAUSDORFFS Hand am oberen Rand
die Notiz „Etwas verkiirzt an Hilgers geschickt 11. 1. 37". Tatsachlich hat ein
A. HILGERS den Inhalt des Manuskripts fast unverandert in Band 28 (1937) von
Fundamenta Mathematicae veroffentlicht ([Hil 1937]). Dort findet sich jedoch
keinerlei Hinweis auf HAUSDORFF. HILGERS hat vermutHch von HAUSDORFF
vor dessen Emeritierung (1935) noch ein Promotionsthema erhalten.^^ Er hat
^Eine eindeutige stetige Abbildung y = (p{x) von A auf B heiBt beiderseits stetig, wenn
das Bild jeder abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist.
^S. dazu auch den folgenden Aufsatz von E. SCHOLZ.
^NL HAUSDORFF : Kapsel 39 : Fasz. 569, Bl. 10.
^°NL HAUSDORFF : Kapsel 51: Fasz. 1105 enthalt ein Blatt mit kurzen Notizen HAUSDORFFS
zur Dimensionstheorie, darunter der folgenden: „Thema fiir Hilgers: Total zusammenhanglose
n-dimensionale Mengen und schwach n-dimensionale Mengen".
844

jedoch bis 1945 in Deutschland nicht in Mathematik promoviert ([Tob 2006])
und auch nichts weiter iiber Mathematik veroffentlicht. Inhalt von Fasz. 606
ist der Beweis des folgenden Satzes:
X,Y seien separable Raume, X von der Machtigkeit des Kontinuums. Dann
ist X schlichtes^^ stetiges Bild einer Menge J mit dim J > dimy. (Man kann
J als Teilmenge des aus X und Y gebildeten Produktraums wahlen.)
Der Satz liefert u. a. schlichte stetige Abbildungen von Mengen J beliebig
hoher (auch abzahlbarer oder liberabzahlbarer) Dimension auf Mengen X behebig
niedriger Dimension. Fasz. 606 ist im Faksimile in [H 1969], Band 2,
S. 168-171, abgedruckt.
Im Manuskript Zur Dimensionstheorie (NL HAUSDORFF : Kapsel 42 : Fasz. 721)
vom 4.6.1939 verarbeitet HAUSDORFF Resultate aus verschiedenen Arbeiten
von SiERPiNSKi und POPROUGENKO und stellt einen interessanten Zusammenhang
zur deskriptiven Mengenlehre her; der Faszikel ist im folgenden abgedruckt.
In HAUSDORFFS Nachlafi befindet sich ferner eine umfangreiche Mappe „Dimensionstheorie
aus den 30-er Jahren)". Sie enthalt ein Manuskript mit dem
Titel „Dimensionstheorie" (Kapsel 47, Fasz. 986, 200 Blatt), welches wie ein
Buch aufgebaut ist und als Buchmanuskript hatte dienen konnen, ferner 30
Blatt Erganzungen dazu (Fasz. 987, datiert zwischen 1935 und dem 2.3. 1938).
Das Manuskript beriicksichtigt die Entwicklung der Dimensionstheorie bis 1936.
Es ist in neun Kapitel gegliedert: 1. Begrenzungen, 2. NuUdimensionale Mengen,
3. Dimensionsbegriff und Normalbereiche, 4. Die Menge der singularen
Punkte, 5. Der Zerlegungssatz, 6. Mengen hoheren Zusammenhangs, 7. Euklidische
Raume, 8. Einbettung n-dimensionaler Raume in Euklidische, 9. Stetige
Abbildungen. Das Manuskript zeigt, dafi HAUSDORFF ein hervorragender Kenner
des gesamten Gebietes war. Ob er anfangs an die Veroffentlichung eines
Buches iiber Dimensionstheorie gedacht hat, mu6 dahingestellt bleiben. Nach
1935 ware es fiir ihn als Juden kaum noch moglich gewesen, im nationalsozialistischen
Deutschland ein Buch zu publizieren.
Wie zu jener Zeit iiblich, werden in HAUSDORFFS Manuskript nur separable
metrische Raume betrachtet. Die separablen metrischen Raume der Dimension
n lassen sich topologisch einbetten in den R^'^+^. Das hat MENGER fiir
kompakte metrische Raume im Falle n = 1 bereits in [Men 1926] bewiesen,
wahrend fiir beliebiges n G N die Aussage 1931 gleichzeitig von G. NOBE-
LING ([Nob 1931]), L. PONTRJAGIN und G. TOLSTOV^A ([PT 1931]) sowie S.
LEFSCHETZ ([Lef 1931]) exakt bewiesen wurde (1928 hatte MENGER in [Men
1928] den allgemeinen Fall nur skizziert.). Einen einfacheren Beweis dieses sogenannten
Einbettungssatzes hat W. HUREWICZ im Jahre 1933 gegeben ([Eur
1933]). Dabei kam aufgrund des Kompaktifizierungssatzes von W. Hurewicz
([Hur 1927a]), der besagt, da6 sich jeder separable metrische Raum dicht in
einen kompakten metrischen Raum gleicher Dimension einbetten laBt, der Beweis
des Einbettungssatzes auf den Fall kompakter metrischer Raume zuriick-
^^schlicht = injektiv.
845

gefiihrt werden. Diesem Vorgehen schliefit sich auch Hausdorff in Kap. 8 seiner
Dimensionstheorie an, wobei er als Quelle die Arbeit [Hur 1933] angibt.
Zum Thema „Dimension" im weitesten Sinne hat HAUSDORFF selbst mit
seiner Arbeit [H 1919a] einen auBerordentlich folgenreichen Beitrag geleistet.
Merkwiirdigerweise gibt es zur Idee nichtganzzahliger Dimension liberhaupt
nichts im Nachlafi, auch nicht zu den Folgearbeiten anderer, wie z.B. denen
von BESICOVITCH. HAUSDORFF hat weder versucht, eine Verbindung zur topologischen
Dimensionstheorie herzustellen, noch hat er die entsprechenden
Versuche anderer rezipiert (s. dazu den Kommentar von S. D. CHATTERJI ZU
[H 1919a], Band IV dieser Edition, S. 53).
In HAUSDORFFS letztem Lebensjahr ist das Buch von W. HuREWicz und
H. WALLMAN ([HW 1941]) zur Dimensionstheorie erschienen, worin das bis
dahin angesammelte Wissen xiber die Dimension separabler metrischer Raume
hervorragend zusammengefaBt ist, einschliefilich der algebraisch-topologischen
Aspekte (homologische und kohomologische Charakterisierung der Dimension).
Kapitel VII dieses Buches („Dimension and Measure") ist der Hausdorff-
Dimension und ihren Beziehungen zur topologischen Dimension gewidmet. Ob
HAUSDORFF in seiner 1941 schon ganz aussichtslosen Lebenssituation dieses
Werk noch wahrgenommen hat, ist sehr fraglich.
Nach der Etablierung einer Dimensionstheorie fiir separable metrische Raume
trat fiir mindestens zehn Jahre ein Stillstand ein. Erst Anfang der flinfziger
Jahre des 20. Jahrhunderts begann ein neuer Start, als man erkannte, dafi sich
viele Ergebnisse der bisherigen Theorie auf groBere Raumklassen libertragen
lassen: Um zu verniinftigen Resultaten zu gelangen, ist allerdings beziiglich ind
eine Beschrankung auf Ts-Raume und beziiglich Ind und dim auf T4-Raume
(iblich. Wie bereits erwahnt, hat ind aufierhalb des Rahmens separabler metrischer
Raume nur geringe Bedeutung. Fiir Ind gilt der Unterraumsatz nur
beziiglich abgeschlossener Unterraume, wie E. CECH in [Cech 1932] gezeigt
hat. Der Summensatz fiir abzahlbare abgeschlossene Uberdeckungen ist fiir
n > 0 falsch, sofern Ind betrachtet wird, was sich aus einem Beispiel von O. V.
LOKUCiEVSKii aus dem Jahre 1949 ergibt ([Lok 1949]). Seine Giiltigkeit fiir
n = 0 ist implizit in CECHS Arbeit [Cech 1933] enthalten und wurde in [Ved
1939] von N. VEDENISSOFF exakt formuliert. Der Produktsatz ist fiir Ind ebenfalls
falsch, denn V. V. FiLiPPOV hat in [Fil 1972] kompakte Hausdorff-Raume
X und Y angegeben mit ind X = Ind X = 1, ind Y = Ind Y = 2 und Ind
{X xY) > ind {X xY) > 4. Gegeniiber Ind hat dim etwas bessere Eigenschaften:
Der Unterraumsatz gilt zwar auch nur fiir abgeschlossene Unterraume (s.
[Cech 1933]), aber es gelten Summensatze, und zwar sowohl fiir abgeschlossene
Uberdeckungen (s. [Cech 1933]) als auch fiir lokal-endliche abgeschlossene
Uberdeckungen, wie unabhangig voneinander K. MORITA ([Mor 1950]) und
M. KATETOV ([Kat 1952]) gezeigt haben. Der Produktsatz gilt allerdings auch
fiir dim nicht allgemein, d. h. unter der alleinigen Annahme, dafi mit X und Y
auch XxY T4-Raum ist; denn M. L. WAGE ([Wag 1978]) hat ein Beispiel eines
T4-Raumes Z angegeben derart, dafi Z x Z T4-Raum ist sowie Ind Z = 0 und
846

Ind {Z X Z) > 0 sind, woraus sich die Behauptung sofort ergibt, da fiir jeden
r4-Raum Z nach N. VEDENISSOFF ([Ved 1939]) die Aussagen Ind Z = 0 und
dim Z = 0 aquivalent sind. Unter gewissen Zusatzbedingungen ist die Ungleichung
dim(X x F) < dimX + dimF allerdings richtig, z. B. wenn X kompakt
und Y parakompakt ist, was MORITA in [Mor 1953] bewiesen hat. Spater sind
weitere Bedingungen an nicht-leere T4-Raume X und Y als hinreichend erkannt
worden:
(1) X X Y ist T4 und wenigstens ein Faktor ist kompakt [[Mor 1973], [Fil
1980] (angekiindigt in [Fil 1973])].
oder
(2) X xY ist T4 und X metrisierbar [[Fil 1980] (angekiindigt in [Fil 1973])
und [Pas 1981] (angekiindigt in [Pas 1973])].
Ersetzt man in der Definition von dim endliche offene Uberdeckungen durch beliebige
offene Uberdeckungen, so erhalt man die Dimensionsfunktion Dim, die
grofie Uberdeckungsdimension genannt wird, wahrend dim auch kleine Uberdeckungsdimension
heifit. Fiir parakompakte topologische Raume stimmen dim
und Dim iiberein wie C. H. DOWKER ([DOW 1947]) gezeigt hat. Die Uberdeckungsdimensionen
dim und Dim sind aber nicht nur fiir topologische Raume
untersucht worden, sondern auch fiir andere Raumklassen. So geht J. ISBELL
in seinem Buch iiber uniforme Raume ([Isb 1964]) auf beide Uberdeckungsdimensionen
ein, wobei er dim mit Sd und Dim mit Ad bezeichnet. Er kommt zu
folgenden bemerkenswerten Ergebnissen:
(1) Beziiglich 6d und Ad gilt der Unterraumsatz, und dichte Unterraume
haben (beziiglich beider Dimensionsfunktionen) die gleiche Dimension wie
der Ausgangsraum.
(2) Beziiglich Sd und Ad gilt der Summensatz fiir beliebige endliche Uberdeckungen.
(3) Fiir Ad gilt der Produktsatz.
[Unterraume und Produkte sind natiirlich im Rahmen uniformer Raume zu
bilden.]
Auch fiir Verallgemeinerungen uniformer (und topologischer) Raume sind
dim und Dim betrachtet worden, etwa fiir Nearness-Raume ([Her 1976]) oder
semiuniforme Konvergenzraume ([Pre 1999]).
Der Hohepunkt in dem bereits erwahnten Buch von HuREWicz und WALL-
MAN ist die homologische und kohomologische Charakterisierung der Dimension
endlich-dimensionaler separabler metrischer Raume. Dazu sind zwei Punkte
entscheidend:
1. Charakterisierung der Dimension durch Fortsetzung stetiger Abbildungen
in Spharen,
847

2. Algebraisch-topologische Charakterisierung der Fortsetzbarkeit stetiger
Abbildungen in Spharen (unter geeigneten Voraussetzungen).
Punkt 2. ist als HoPFscher Fortsetzungssatz bekannt (s. [Hopf 1933]), wahrend
Punkt 1. fiir kompakte metrische Raume von HuREWicz ([Hur 1935]) formuliert
worden ist und im oben genannten Buch fiir separable metrische Raume
bewiesen worden ist. Die verwendete Homologie- bzw. Kohomologietheorie ist
die CECHsche.
Im Rahmen topologischer Raume liest sich 1. wie folgt:
„Fiir normale topologische Raume X ist dimX < n (n > 0) genau dann, wenn
fiir jeden abgeschlossenen Unterraum A von X und jede stetige Abbildung
f : A —^ S^ von A in die n-Sphare AS"^ eine stetige Fortsetzung F : X -^ S'^
von / auf X existiert."
Das haben unabhangig voneinander E. HEMMINGSON ([Hem 1946]), P. ALEX-
ANDROFF ([Ale 1947]) und C. H. DOV^KER ([DOW 1947]) bewiesen. Beziiglich
der Giiltigkeit des HoPFschen Fortsetzungssatzes fiir eine moglichst grofie Klasse
topologischer Raume ist die CECHsche Kohomologie besser geeignet als die
CECHsche Homologie: Unter Verwendung der CECHschen Kohomologietheorie
mit ganzzahligen Koeffizienten ist der HoPFsche Fortsetzungssatz fiir parakompakte
topologische Raume giiltig; beschrankt man sich bei der Konstruktion der
CECHschen Kohomologiegruppen allerdings auf endliche offene Uberdeckungen,
so gilt der HoPFsche Fortsetzungssatz auch fiir normale topologische Raume
(s. [Dow 1947]).
Fiir parakompakte topologische Raume gilt dann in Analogic zum Procedere
bei HUREWICZ/WALLMAN ([HW 1941]) der folgende Satz:
„Ist X ein parakompakter topologischer Raum mit endlicher kleiner Uberdeckungsdimension,
so gilt dimX < n genau dann, wenn fiir jede ganze Zahl
m > n 4- 1 und jeden abgeschlossenen Unterraum A von X die m-te relative
CECHsche Kohomologiegruppe (mit ganzzahligen Koeffizienten) H^ (X, ^4)
gleich null ist."
Bei Beschrankung der relativen CECHschen Kohomologiegruppen auf endliche
offene Uberdeckungen gilt obiger Satz auch fiir normale topologische
Raume, wie Y. KODAMA ([Kod 1968]) gezeigt hat. Dariiberhinaus lafit er sich
auf normale Nearness-Raume, die sowohl uniforme Raume als auch normale
symmetrische topologische Raume verallgemeinern, ausdehnen (s. [Pre 1984]),
wobei abgeschlossene Unterraume durch beliebige Unterraume, die im Rahmen
der Theorie der Nearness-Raume gebildet werden, zu ersetzen sind, und
CECHsche Kohomologiegruppen auf endliche uniforme Uberdeckungen zu beschranken
sind.
Die kohomologische Charakterisierung der kleinen Uberdeckungsdimension
fiihrte schliefilich zur Entwicklung der kohomologischen Dimensionstheorie, wobei
auch CECHsche Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in einer abelschen
Gruppe G (anstelle der additiven Gruppe Z der ganzen Zahlen) zugelassen werden.
Die kohomologische Dimension c— Dim^ X eines topologischen Raumes
X mit Koeffizienten in einer festen abelschen Gruppe G 7^ 0 ist definiert durch:
848

CDi) c— DwciG^ = — 1 genau dann, wenn X = 0 ist,
CD2) c- DimcX < n, n = 0,1 • • •, falls F^(X, ^; G) = 0 fiir jede ganze Zahl
m > n + 1 und jeden abgeschlossenen Unterraum A von X,
CDs) c— DimcX = n, falls c— DimcX < n und c— DiniG-^ > n — 1,
CD4) c— DimcX = +00, falls c— DimcX > n iiir n = — 1,0,1, • • •.
Auch fiir verniinftige Raume stimmt die kohomologische Dimension nicht mit
der kleinen Uberdeckungsdimension dim iiberein, da A. N. DRANISNIKOV in
[Dra 1988] einen kompakten metrischen Raum X angegeben hat mit c— Dim^; X
= 3 und dimX = +00.
Das zeigt insbesondere, dafi bei der oben angegebenen kohomologischen Charakterisierung
von dim auf die Voraussetzung der Endlichdimensionalitat nicht
verzichtet werden kann. Weitere kohomologische Dimensionsfunktionen sind
studiert worden. Einen Uberblick dariiber erhalt der interessierte Leser durch
den von Y, KODAMA verfaBten Anhang zum Buch von K. NAGAMI ([Na 1970])
liber Dimensionstheorie.
Schliefilich hat sich noch eine transfinite Dimensionstheorie entwickelt, die
das Ziel verfolgt, den Grad der Unendlichdimensionalitat zu erfassen. Alle
drei Dimensionsfunktionen ind, Ind und dim sind auf den transfiniten Fall
libertragen worden, und zwar die kleine transfinite Dimension trind durch
W. HuREWicz ([Hur 1928]), die grofie transfinite Dimension trInd durch Ju. M.
SMIRNOV ([Smi 1959]) und die transfinite Uberdeckungsdimension trdim durch
P. BORST ([Bor 1988]). Dabei liegen die Werte der transfiniten Dimensionsfunktionen
in der Klasse der Ordinalzahlen. Naheres findet der interessierte Leser
in dem Buch Theory of Dimensions - Finite and Infinite von R. ENGELKING
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853

NL HAUSDORFF : Kapsel 31: Fasz. 121
Analysis situs
Hs. Ms. - [Bonn, Greifswald], 2.3.1912, 30.5.1915, 4.1. und 19.11.1916. - 22
Blatt. Abgedruckt sind hier BU. 17-22.
4/1 16
Die Invarianz der Dimensionenzahl, nach H. Lebesgue, Sur la non-applicabilite
•••, Math. Ann. 70 (1911).
Der folgende Satz muss m. E. einen rein arithmetisch-combinatorischen Beweis
zulassen: Man bilde ein quadratisches Schema von (natiirHchen) Zahlen
pik {i,k = 1,2,..., g') der art, dass keine Zahl zugleich in der ersten und
letzten Zeile, keine zugleich in der ersten und letzten Spalte auftritt. Dann
giebt es gewiss zwei benachbarte Zeilen i, i + 1 und zwei benachbarte Spalten
k,k-{-l, deren Durchschnitt mindestens drei verschiedene Zahlen enthalt (von
Pik,Pik-{-i,Pi-^ik,Pi-\-ik-\-i sind mindestens drei verschieden).
Ebenso: man bilde ein n-dimensionales Schema von (natiirlichen) Zahlen
Piii2---in i^cx = 1^2, ...,g) derart, dass keine Zahl zugleich in der ersten und
letzten Schicht, fiir irgend einen Index, auftritt. (D. h. es ist pii2..An ¥" Pqh2...hn
fiir alle 12 .. .in,h2 .. .hn] ebenso Pi^ii^...in 7^ Ph',qh3...hr^ ^sw.) Dann giebt es
mindestens zwei benachbarte Schichten, fiir jeden Index, deren (aus 2^ TAifern
bestehender) Durchschnitt mindestens n-\-l verschiedene Zahlen enthahlt.
Bl. 18 I Geometrisch ausgedriickt: man theile einen n-dimensionalen Wiirfel in q^
Theilwiirfel, denen man beliebige Ziffern zuordne. Keine Ziffer soil zugleich in
der ersten und letzten Schicht (parallel einer (n—l)-dimensionalen Wiirfelseite)
vorkommen. Dann giebt es zwei benachbarte Schichten, parallel jeder Seite, die
sich in 2'^ Wiirfeln mit mindestens n + 1 verschiedenen Ziffern schneiden.
Diesen Satz formen wir so um: Die verwendeten Ziffern seien 1,2,... ,p; Wi
sei die Menge der Wiirfel, denen die Zahl 1 zugeordnet ist, usw. Der ganze
Wiirfel, mit der Seitenlange 1, sei VF; dann ist
^=6(W^i,W^2,...,Wp);
jedes Wk besteht aus Theilwiirfeln von der Seitenlange ^; keine zwei verschiedenen
Wi, Wk haben innere Punkte gemein. (Wir rechnen alien Wiirfeln ihre
Begrenzung zu.) Die Projection jedes Wk auf eine Coordinatenachse habe
hochstens die Lange ^^. Dann existirt mindestens ein Punkt, der mindestens
n -f 1 von den Mengen Wk angehort. (Namlich der Mittelpunkt jenes Doppelwiirfels
von 2^ Theilwiirfeln.)
Die Voraussetzung, dass die Wk keine inneren Punkte gemein haben, ist
entbehrlich. Wenn dies der Fall sein soUte, sei Vk = ©(^^1,^2,..., Wk) und
Bl. 19 Uk die Menge der Theilwiirfel, die zu 14, aber nicht zu Vk-i \ gehoren. (Vi =
Wi,Ui = Vi). Ev.kann Uk = 0 sein. Die Uk bestehen dann paarweise aus
verschiedenen Wiirfeln; es giebt also einen Punkt, der mindestens n + 1 von
den Uk, also wegen Uk C Wk, mindestens n + 1 von den Wk angehort.
854

Weiter: W sei als Summe von p abgeschlossenen Mengen dargestellt
W = &{F,,F2,...,Fp),
deren Breite (parallel irgend einer Coordinatenachse) kleiner als 1 (Wiirfelseite)
ist. Dann haben mindestens n + 1 von den Fk einen gemeinsamen Punkt.
Die Dimensionen der Fk parallel einer Achse seien ^ d < 1. Man wahle
die natiirliche Zahl q > j^^, also d < ^^, und theile W in q'^ Theilwiirfel
von der Seitenlange ^, Wk sei die Summe der Wiirfel, die (im Innern oder
auf dem Rande) einen Punkt von Fk enthalten. Wk kann, fiir keine Coordinate,
von der ersten und letzten Schicht Wiirfel enthalten, da sonst Fk mindestens
die Breite ^^ hatte. Also schneiden sich mindestens n + 1 von den Wk
in einem Punkte. - Lassen wir nun q die ganzen Zahlen > j ^ durchlaufen
und bezeichnen Wk durch Wk{q). Es ist 3) Wk{q) = Fk, und zwar absteigend
Q
Wk{q) 2 Wk{q + 1). Nun haben, fiir jedes g, gewisse n + 1 von den Mengen
Wk{q) einen nicht-verschwindenden Durchschnitt; | unter den endlich vielen Bl. 20
((n+i)) ^ + 1-gliedrigen Combinationen der Wk muss es also mindestens eine
geben, die fiir unendlich viele q einen Durchschnitt D 0 hat, etwa
1){W,iq),W2{q),...,Wn+iiq))^0
fiir unendlich viele q. Dann folgt aus dem Cantorschen Durchschnittssatz, dass
D(Fi,F2,...,F,+i)D0.
Nunmehr folgt:
I. A sei eine beschrdnkte Menge im n-dimensionalen Raum und habe innere
Punkte. Bei jeder Zerlegung A = & (Ai, ^42,..., Ap) in relativ abgeschlossene
Mengen von hinreichend kleinen Dimensionen haben mindestens n + 1 von
diesen Mengen einen gemeinsamen Punkt
A enthalte einen Wiirfel W von der Seitenlange / (parallel den Achsen).
Nimmt man dann die Breiten der Ak kleiner als / an, so bestimmt jene Zerlegung
auch eine solche des Wiirfels W = 6(Fi,F2,... ,Fp) in relativ, also absolut
abgeschlossene Mengen {Fk = ^{W^Aka)) von der Breite < Z, und mindestens
n + 1 von den Fk, also auch von den ^4^ haben gemeinsame Punkte {Fk C
2)(A, Aka) = Ak). [Aka ist der Abschlufi von Ak - die Verf.]
Andererseits kann man aber auch jede Menge A des n-dimensionalen Raumes
so in relativ abgeschlossene Mengen von beliebiger Kleinheit zerlegen, dass nicht
mehr als n -h 1 dieser Mengen gemeinsame Punkte haben. | Man kann namlich BL 21
den ganzen n-dimensionalen Raum in dieser Weise zerlegen, indem man die
Schichten einer Wtirfeltheilung passend verschiebt. Gehen wir bei der Ebene
von einem quadratischen Gitter mit der Seitenlange 1 aus, lassen dann eine der
2/-Achse parallele Schicht unverandert, verschieben die nachstfolgende um S {S
keine ganze Zahl; in der Figur S = ^), die abermals folgende um 25, die vorhergehende
um —S, die vorvorletzte um —26 u. s. f., so haben, statt 4, nur noch
855

3 Quadrate gemeinsame Punkte. Im Raume (die z-Achse JL zur Papierebene)
verschiebe man erst die zur yz-Ehene parallelen Schichten parallel der y-Achse
wie oben, dann verschiebe man die der xy-Ehene parallelen Schichten so, dass
bei der Projection auf die xy-Ebene die verschobenen Quadratseiten ins Innere
der unverschobenen fallen, u. s. w. Man kann dies mit beliebiger Kleinheit
-^ V
i
U
4i_J
der Wiirfelseiten machen, also den n-dimensionalen Raum E = (3(Fi, F2,...)
darstellen, wo die Fn von beliebiger Kleinheit (Breite < I) sind und nicht mehr
als n + 1 einen Schnittpunkt haben. Fiir eine beschrankte Menge A giebt dies
eine Zerlegung in endlich viele relativ abgeschlossene Mengen. Daraus folgt der
Beweis fiir die Invarianz der Dimensionenzahl:
Bl. 22 Eine m-dimensionale Punktmenge B kann nicht ein eindeutiges, \ stetiges Bild
einer n-dimensionalen (n > m) Punktmenge A mit inneren Punkten sein.
Sonst enthielte A einen Wiirfel W von n Dimensionen; beschranken wir die
Abbildung auf ihn oder setzen A = W. B ware, als stetiges Bild von A, abgeschlossen
und beschrankt; A auch stetiges Bild von B . Wir konnen B in endlich
viele (relativ) abgeschlossene Mengen B = &{Bi,.. .,Bp) zerlegen der art, dass
die Dimensionen ihrer Bilder Ak beliebig klein sind (gleichmassige Stetigkeit in
einer beschrankten abgeschlossenen Menge), wahrend nur m + 1 von den Bk
einen Schnittpunkt haben. Dem entspricht eine Zerlegung A = &{Ai,..., Ap),
bei der die Ak abgeschlossen sind und nur m + 1 (< n + 1) von ihnen einen
Schnittpunkt haben, was als unmoglich erkannt wurde.
NL HAUSDORFF : Kapsel 35: Fasz. 395
Zum „Pflastersatz".
Hs. Ms. - [Bonn], 7.11. 1930. 4 BU.
Zum „Pflastersatz''. 7.11.30
Die Ebene lasst sich mit (abgeschlossenen) Quadratflachen von der Seite 1 so
bedecken, dass hochstens drei Quadrate einen Punkt gemeinsam haben (s. Fig.)
Wir woUen zeigen, dass sich der n-dimensionale Raum Rn mit (abgeschlosse-
856

nen) n-dimensionalen Wiirfeln von der Seite 1 so bedecken lasst, dass hochstens
n + 1 Wiirfel einen Punkt gemeinsam haben. Wir stellen die Punkte x des Rn
durch rechtwinklige Koordinaten dar: x = (xi, X2,..., Xn); a = (ai,..., a^)
durchlaufe alle Systeme von n ganzen Zahlen und W{a) bedeute den Wiirfel
von der Seitenlange 1, der durch die Ungleichungen
ai ^ xi ^ ai + 1
ai
a2 - S X2
ai
S a2 - — 1
a2 ai a2 ai
5 +
\dm I = 5+'
1
2m-Z+l •)m-l >
S57
di-i di
2^1-1+1
•>m—1
2m-l
= 1
Bl. 3

entgegen der Forderung (1).
Demnach zerfallen die d ^ 0 in solche (positive), die ausser NuUen lauter
Einsen haben, und solche (negative), die ausser Nullen lauter Elemente —1
haben. Fiir ein positives d sei A die Menge der m, fiir die dm = '^'i fur ein
negatives d sei B die Menge der m, fiir die dm = —1; A und B sind nichtleere
Teilmengen von {1,2,..., n}.
Je zwei verschiedene Mengen A, A* sind vergleichbar, d. h. Ac A* oder
yl D A*. Andernfalls gabe es ein Z, das zu A und nicht zu A* gehort, und ein
m ^ l^ das zu A* und nicht zu A gehort. Fiir die entsprechenden d, d* ware
di = 1, dm = 0, d'l = 0, d^ = 1; dann wiirde aber d — d* weder ein positives
Bl. 4 noch negatives d sein {di — d^ = 1, dm — d"!^ = —1)\
Dasselbe gilt von den Mengen B.
Jedes A ist zu jedem B disjunkt. Denn sonst hatten wir ein gemeinsames
Element m und ein d, d* mit d^ = 1, d^ = — 1; dann wiirde d — d* kein d sein
{dm-d*^ = 2).
Demnach giebt es ein grosstes A mit p Elementen, ein grosstes B mit q
Elementen, wobei p -h q ^ n. Und weiter giebt es wegen der Vergleichbarkeit
hochstens p Mengen A, hochstens q Mengen B, zusammen hochstens p -\- q,
also hochstens n Elemente d ^^ 0; zusammen mit dem Element d = 0 hochstens
n+1. Q.e. d.
Einfacher: man zerlege Rn simplizial und nehme die baryzentrischen Sterne
dieser Zerlegung: mehr als n + 1 dieser Sterne haben keinen Punkt gemein.
NL HAUSDORFF : Kapsel 36: Fasz. 458
Schwach n-dimensionale Mengen
Hs. Ms. - [Bonn], 7.12.1933. - 8 BU.
Schwach n-dimensionale Mengen. 7.12.33
(Nach St. Mazurkiewicz, Sur les ensembles de dimension faible. Fund. Math.
13 (1929), S. 211-217)
Ist M separabel, dimM = n, so ist die Menge M'^ (der hochste Dimensionsteil
von M) der Punkte x von M, wo dim^ M = n, entweder (n — 1)- oder
n-dimensional, in welchem Falle M schwach oder stark n-dimensional ist.
Wir nehmen den Satz als richtig an:
I. Ist G ein Gebiet (offene, zusammenhangende Menge) des (n+l)-dimensionalen
Euklidischen Raumes En-\-i, A eine hochstens (n — l)-dimensionale Teilmenge
858

von G, so ist G — A ein Halbkontinuum, d. h. je zwei Punkte von G — A liegen
in einem (kompakten) Kontinuum C G — A.
Nun stellen wir die Punkte des En+i mittels rechtwinkliger Koordinaten
dar; x — (^i, •. • ,^n) sei die Projektion von y auf den En- Wir schreiben entsprechend
y = (x, ^) | und es sei B = {A, L) die Menge der Punkte y — {x, ^) Bl. 2
mit X e A, ^ e L, wo A eine Menge des En und L eine Menge reeller Zahlen
ist (Produkt).
Insbesondere sei P der Einheitswiirfel (0 < ^i < 1,..., 0 < ^n ^ 1) des En,
Q = (P,/) der des En-^i, wo / das Intervall 0 < ^ < 1 ist.
0 1
Es sei 1 > /3i > ai > /?2 > 0:2 > • • • > 0, /3fc -^ 0, a^ ^^ 0. Wir haben dann
eine Folge disjunkter Intervalle Ik — [ak->Pk] von obenstehender Anordnung;
liberdies sei max(/5A: — ock) < ^.
Ferner teilen wir den Wiirfel P durch Kantenhalbierung inN = 2^ Teilwiirfel,
die wir irgendwie zu Pi, P2, • • • ? PN numerieren und deren Numerierung wir mit
der Periode N fortsetzen (PAT+I = PI,PN+2 = P25 • • •)• Sodann bilden wir die
Folge der Quader Qk = (Pk^h)- Sie sind disjunkt, in Q (sogar mit 0 < ^ <
1) enthalten; ihre Kanten sind hochstens < |; zu jedem Pi (i = 1,...,A/')
giebt es unendlich | viele Qk, deren Projektion auf En gerade Pi ist, namlich B1.3
Qi, Qi+N, Qz+2iv, • • • • Ftir n = 1 veranschaulicht es die Figur. Wenn die Folge
der Ik und die Numerierung der Pi gewahlt ist, ist Qk eindeutig bestimmt. Wir
schreiben Qk — ^k{Q) und iibertragen das vermittelst linearer Transformation
auf irgend einen achsenparallelen Quader
Q' ' Pi < ^i < 0^1, . . . , Pn < C < ^n, P < ^' < Cr ,
indem wir durch ^[ = pi-\- (ai — pi)^i usw. Q auf Q' abbilden; der Quader Q^,
der hierdurch aus Qk entsteht, werde als Q'^ = ^k{Q') bezeichnet. Die Kantenlange
von Q^ ist hochstens die halbe Kantenlange von Q'. Dies ermoglicht
uns, den Prozess fortzusetzen. Fiir irgend eine Folge K>= {ki^k2,.. •) natiirlicher
Zahlen bilden wir
Qki = ^kiiQ), Qkik2 = ^k2{Qki), Qkik2k3 = ^k3{Qkik2)l • • •
859

Diese Quader Qk^ 13 Qkik2 ^ * * * ? deren Durchmesser nach 0 konvergieren,
haben einen einzigen Punkt
^K = QkiQkik2Qkik2k3 ' ' '
B1.4 I gemein; B sei die Menge aller dieser b^,, wofiir wir offenbar auch
k\ k\k2 kik2ks
schreiben konnen.
Es sei Fi die (n — l)-dimensionale Begrenzung von Pi im Raum En,
N
F=&Fi und (^(Q) = (F,0)
1
die Menge der Punkte y = {x, 0) (d. h. mit ^ = 0) fiir x e F. Wie zuvor werde
dies auf jeden Quader Q' libertragen. Wir setzen sodann
c = ^{Q)+Y. ^(^^i) + Y. ^(^^1^2) + • • • •
k\ k\k2
Da alle diese Summanden abgeschlossen und (n — l)-dimensional sind, ist C
(n — l)-dimensional. Nunmehr sei A = B -\- C und wir woUen diese Menge als
schwach n-dimensional nachweisen.
(1) Fiir 6 G 5 ist dim^yl = 0 (also erst recht dim^^ = 0 und demnach
B1.5 dimB==0).|
Zunachst ist klar, dass in ^{Q) + Ylk Qki 2 A jeder Summand Qki sowohl
abgeschlossen als offen ist, also ist AQki in A abgeschlossen und offen.
In (p{Qki) + Ylk2 Qkik2 2 ^Qfci ist Qkik2 abgeschlossen und offen, also
AQkiQkik2 = ^Qkik2 in ^Qki (und demnach in A) abgeschlossen und offen.
So fortfahrend sieht man, dass b = b^ in A beliebig kleine abgeschlossene Umgebungen
AQk^, AQk-^k2i • • • hat, also A in 6 nulldimensional ist.
(2) Wir sagen: ein (kompaktes) Kontinuum K C Q durchsetzt Q, wenn K die
beiden Seiten ^ = 0 und ^ = 1 trifft; entsprechend wieder fiir irgend einen
Quader Q'.lstO

? < ^ < 1; die Begrenzung H ist durch ^ = P gegeben. Der Randsatz sagt,
dass jede Komponente von KF die Begrenzung H trifFt; insbesondere giebt die
Komponente, der ein Punkt ^ = 0 von K angehort, ein Kontinuum, welches
den Quader KF durchsetzt, womit die Behauptung fiir den Fall a — {) bewiesen
ist. Eine abermalige Anwendung liefert den allgemeinen Fall.
(3) Wenn das Kontinuum K den Wiirfel Q durchsetzt und ^{Q) nicht triflFt,
so hat K ein Teilkontinuum Ki^ das einen der Quader Qk durchsetzt.
Man wahle 0 < yS < 5{K^ ^{Q)) und betrachte das Intervall P = [0, /?] sowie
den Quader Q' = {P,I')] K hat ein Teilkontinuum K', das Q' durchsetzt. Die
Projektion H von K' auf den Raum En muss dann ganz in einem Teilquader
Pi von P {i = 1,... ,N) liegen; denn hatte H (welches ein Kontinuum ist) mit
zweien von den Pi Punkte gemein, so auch mit deren Begrenzung F^, also mit
I (p{Q) und dann gabe es ein x E H - (p{Q), also ein y = (x,^) mit y E K, 0 < Bl. 7
^ < P] also P > ^ = S{x,y) > S{ip{Q),K) im Widerspruch zur Wahl von p.
Also H C Pi, K' (Z {Pi,r), d.h. K' durchsetzt den Quader (P^,/')- 1st dann
k = i mod N und so gross, dass Ik ^ /', so giebt es ein Teilkontinuum von K',
welches den Quader {Pi, Ik) = (Pk,Ik) = Qk durchsetzt.
(4) Jedes Kontinuum K, das Q durchsetzt, trifft die Menge A.
Wir zeigen: wenn KC = 0, so ist KB D 0.
Aus K • (p{Q) = 0 folgt nach (3): es giebt ein Teilkontinuum Ki C K,
welches den Quader Qk^ durchsetzt. Aus Ki • ^{Qki) = 0 folgt: es giebt ein
K2 C Ki, welches den Quader Qkik2 durchsetzt u. s.w. Es giebt also eine
Folge K = (/ti, A;2, •. •) und eine abnehmende Folge von Kontinua {K D) Ki D
K2 z:> • •' derart, dass Km den Quader Qkik2...km durchsetzt. | Die kompakten Bl.8
absteigenden Mengen KmQkik2...km ^ 0 haben einen gemeinsamen Punkt b^,
der zugleich zu B und zu K gehort.
Aus I. folgt nun, dass dim^ > n. Denn ist G das Gebiet
0

NL HAUSDORFF : Kapsel 42: Fasz. 721
Zur Dimensionentheorie
Hs. Ms. - [Bonn], 4.6. 1939. - 6 BU.
4/6 39
Zur Dimensionentheorie
X sei separabel; n = 0,l,2, Die folgenden Eigenschaften sind aquivalent:
(a) dim X ^ n.
(fS) Fiir jede in X abgeschlossene Menge P{^ 0) giebt es eine Abbildung f{x)
von X auf P, deren Unstetigkeitspunkte eine Menge D von der Dimension
< n bilden und fiir die f{p)=p {p e P).
(7) Jede stetige Abbildung einer in X abgeschlossenen Menge P auf einen
Raum Y lasst sich zu einer Abbildung von X auf Y erweitern, deren
Unstetigkeitspunkte eine Menge von der Dimension < n bilden.
[Der Satz stammt von G. Poprougenko; vgl. das Zitat bei Kuratowski;
Top. I, p. 213. Fiir n = 0 ist die Abbildung f{x) stetig, P ein „Retrakt"
von X, ebenso die in (7) genannte Abbildung stetig; fiir diesen Fall
vgl. Sierpinski, F. M. 11, lemme S. 118-121; F. M. 14, S. 234; Poprougenko,
F. M. 15, S. 219-221]
a—^p.P sei in X abgeschlossen, S{x) = S{x,P) (unterer Abstand); fiir q G
Q = X — P ist 6{q) > 0, und es sei p{q) ein Punkt von P mit \q —
P{Q)\ < i^(^)- Wir wahlen eine in U (^, ^S{q)) liegende Umgebung U{q)
Bl. 2 mit einer hochstens (n — 1) dimensionalen Begrenzung F{U{q)). \ Dann
ist fiir X ^U{q):
\6(x) - 5{q)\ ^\x-q\< ^

fiir X e Q, woraus hervorgeht, dass f{x) in alien Punkten von P stetig
ist, denn iiii x -^ p ist \x — f{x)\ —> 0, f{x) —^p = /(p).
Ferner ist in der offenen Menge
Vk = Uk-Y,UjCQk
j

wo y eine Menge der Machtigkeit H des Kontinuums durchlauft, giebt es
im Baireschen NuUraum N eine Menge A, von der alle By stetige Bilder
sind. (Sierpinski, F. M. 14, p. 234-36).
Da jeder separable voUstandige Raum stetiges Bild von N ist, ist By
stetiges Bild einer Menge Ay C N. Die Menge A = YH^y^v) = ^{x e
xy
Ay) liegt in (iV, AT); {N,N) ist mit N homoomorph und 0-dimensional.
(Ay^y) = A{N,y) ist in A abgeschlossen, also stetiges Bild von A; Ay
und By ist stetiges Bild von A. Wegen (AT, N) ^ N kann man A auch als
Menge in N (oder in der Menge der irrationalen Zahlen oder als lineare
Bl. 5 Menge) ansehen. \cP = cQ bedeute, dass P stetiges Bild von Q und Q
stetiges Bild von P ist; cP < cQ, dass P stetiges Bild von Q, aber nicht
Q stetiges Bild von P ist. Zu ^^ linearen Mengen Ay giebt es nach dem
Obigen eine lineare Menge A mit cA ^ cAy. Zu jeder Menge A giebt es
eine Menge cC > cA. Denn wenn wir A im Intervall (0,1) und B als
solche Menge in (1,2) annehmen, die von den b^ stetigen Bildern von A
verschieden ist, so sind A und P, weil in C = A-\-B abgeschlossen, stetige
Bilder von C, also cA ^ cC^ cB ^ cC] es kann aber nicht cC ^ cA sein,
woraus cB ^ cA contra hyp. folgen wiirde, also cC > cA. - Man kann
also, wenn (p die kleinste Ordnungszahl der Machtigkeit > H ist, eine
Folge Ao, ..., A^,... (^ <

HausdorfFs Blick auf die entstehende algebraische
Topologie
E. Scholz^
1. Kombinatorische und algebraische Topologie in den 1920er
Jahren
Die algebraischen Methoden der Topologie waren seit POINCARES ersten beiden
Complements de V Analysis Situs (1899/1900) bis weit in die 1920er Jahre auf
eine kombinatorische Charakterisierung der betrachteten Raume angewiesen.
In der Homologietheorie wurde mit Ketten, Zyklen und Randern wie mit Elementen
kommutativer Gruppen gerechnet; der Gruppenaspekt wurde aber bis
zum Beginn der eigentlichen Algebraisierung entweder verdrangt oder bestenfalls
beilaufig erwahnt.^ Fiir endliche Zellenkomplexe (POINCARE) und lineare
simpHziale Komplexe (BROUWER) erfolgte die Berechnung von Betti- und Torsionszahlen
sowie der Fundamentalgruppe mit Standardmethoden der Theorie
der linearen Gleichungssysteme und der Elementarteilertheorie. Man erwartete
die Invarianz dieser numerischen Charakteristika, stiitzte sich dabei aber
auf die ab 1926 (H. KNESER) als Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie
bezeichnete Annahme, dafi je zwei Zellenzerlegungen desselben Raumes
durch Verfeinerungen wechselseitig kombinatorisch ineinander iiberfiihrt werden
konnen. Gegeniiber dem allgemeinen, auf mengentheoretische Methoden
gestiitzten Zugang zum Studium topologischer Raume klaffte zu dieser Zeit
eine kaum iiberbruckbare Kluft.
HAUSDORFF neigte bekanntlich gegeniiber plausiblen geometrischen Erwartungen
zu aufierster Skeptis. Er ging davon aus, dafi in der Mengenlehre und der
allgemeinen Theorie topologischer Raume "schlechthin nichts selbstverstandlich
und das Richtige haufig paradox, das Plausible falsch ist" ([H 1914a], S.V).
Entsprechend wenig wird er von einem von G.NOBELING Mitte der 1930er
Jahre publizierten angeblichen Beweis der Hauptvermutung fiir Mannigfaltigkeiten
gehalten haben, falls er ihn iiberhaupt ernsthaft zur Kenntnis nahm
([Nob 1935]).^ Spatere Arbeiten zeigten (am deutlichsten allerdings erst in den
^Unter Verwendung von Materialien und Hinweisen von F. HIRZEBUCH und E. BRIES-
KORN, denen hierfiir mein herzlicher Dank gilt.
^POINCARE verband das Gruppenkonzept grundsatzlich mit "substitutions" als Objekten.
Die Terminologie "homology group" findet sich zwar bei VEBLEN ([Veb 1922], S. 141), jedoch
nur als Randbemerkung; vgl. [McL 2006].
^Eine Besprechung dieser Arbeit findet sich in HAUSDORFFS Nachlaft nicht. Eine andere
Arbeit von N6BELING (Mathematische Annalen 104 (1930), 71-80) erschien ihm aber als
"ganz fehlerhaft" (NL HAUSDORFF, Fasz.987, Bl. 20). ALEXANDROFF und HOPF erwahnten
N5BELINGS Publikation in der Endredaktion ihres Buches am Jahresende 1935 zuriickhaltend,
keinesfalls zustimmend ([AleHo 1935], S. 152, Anm. 1). N6BELINGS Vortrag auf der Moskauer
Topolgie-Konferenz scheint ihm nicht viel Vertrauen eingebracht zu haben ([Ja 1999c]).
865

1960er Jahren), wie angebracht HAUSDORFFS Vorsicht hinsichtlich solcher Erwartungen
der kombinatorischen Topologie war. J. MiLNOR wies im Jahre 1961
nach, dafi die Hauptvermutung nicht fiir alle Zellenkomplexe gilt, R. KiRBY
und L. SiEBENMANN, dafi sie sogar fiir triangulierte (PL) Mannigfaltigkeiten
der Dimension n > 5 falsch sein kann ([Kui 1999], S.497f.).^
So ist es kaum verwunderlich, dafi HAUSDORFFS Interesse an der klassischen
Analysis Situs bis weit in die 1920er Jahre gering blieb. In einem im Jahr 1940
an seinen ehemaligen Kollegen J. O. MULLER, friiher Privatdozent und Extraordinarius
in Bonn,^ verfafiten Brief, den er zur Zeit einer erneuten Auseinandersetzung
mit dem Invarianzbeweis fiir die simpliziale Homologie metrischer
Raume schrieb, wies HAUSDORFF mit schmunzelnder Selbstironie riickblickend
auf dieses mafiige Interesse hin:
Wissen Sie noch, wie wir in dem Biichelchen von Veblen gemeinsam bis
Seite 2 vordrangen?^
Aus Sicht der strukturell und axiomatisch ausgerichteten "modernen" Mathematik
war der Zustand der algebraischen Methoden in der Topologie um
diese Zeit tatsachlich wenig zufriedenstellend. VEBLENS Buch ([Veb 1922]) berief
sich, ahnlich wie PoiNCAREs Arbeiten, stark auf geometrische Anschauungselemente,
besafi keine geklarten Grundlagen und arbeitete mit einer wenig
ausgepragten AlgebraisierungJ
Anders verhielt es sich mit der kombinatorischen Topologie im eigentlichen
Sinne. Schon DEHN und HEEGARD hatten in ihrem Enzyklopadieartikel [De-
He 1907] eine abstrakte Definition von Komplexen und ihrer kombinatorischen
Aquivalenz gegeben. Wenig spater wies E. STEINITZ auf die Hauptvermutung
(zu diesem Zeitpunkt noch nicht so bezeichnet) als zentralen Baustein fiir eine
systematische immanente Begriindung der kombinatorischen Topologie hin
([Stei 1908]). Durch L. E. J. BROUWERS Arbeiten zur simplizialen Approximation
entstand ab 1911 mit der spater so genannten (PL) (piecewise linear)
Struktur ein gut ausgebauter und folgenreicher geometrischer "Zwillingszweig"
zur abstrakten kombinatorischen Topologie ([BuZi 1999]).
Fiir die im Vergleich relativ zuriickgebliebenen algebraischen Methoden der
Topologie anderte sich die Situation erst ab Mitte der 1920er Jahre, zunachst
durch die Arbeiten von L.ViETORis und W.MAYER in Wien, dann durch
H. HoPF und P. ALEXANDROFF aus EMMY NOETHERS Gottinger Kreis. In den
1930er Jahren wurden diese Impulse auf internationaler Ebene aufgenommen
^In niedrigen Dimensionen, n < 3, ist die Hauptvermutung hingegen richtig, wie im Jahre
1963 von E. H. BROWN bewiesen wurde.
^ J. O. MULLER (1877-1940), 1909 Habilitation Universitat Bonn, 1931-1937 unbesoldeter
Extraordinarius ebendort, wurde die Lehrbefugnis im Wintersemester 1937/38 entzogen, weil
seine Prau aus einer jiidisdien Familie kam. Er starb noch im Jahr 1940 an einer Krebserkrankung.
^Brief an MULLER vom 6.6.1940. Universitatsarchiv Bonn, NL BESSEL-HAGEN, Kapsel
HAUSDORFF.
^In der historischen Literatur hat die interpretationsbediirftige Notation der friihen algebraisierenden
Topologie zu einer Untersuchung der Texte aus semiotischer Sicht angeregt
([Her 1997], [Her 2000]).
866

und fortgefiihrt, insbesondere durch E. CECH in Prag und die junge Generation
der Topologen in Princeton, A. W. TUCKER, N. STEENROD, S. EILENBERG
und andere. In den erstgenannten (Wiener und Gottingen/Moskauer) Arbeiten
wurden algebraische Homologietheorien formuliert, die sich an E. NOETHERS
"mengentheoretischer" (strukturorientierter) Theorie der Ringe und Gruppen
orientierten.^ Erst diese Auffassung ermoglichte es, Homologietheorien auch fiir
allgemeinere Raume zu formulieren als fiir Mannigfaltigkeiten oder geometrische
simpliziale Komplexe.
ViETORis begann in den Jahren 1926/27 mit dem Studium des Zusammenhangs
kompakter metrischer Raume ([Vie 1926], [Vie 1927]). Er startete mit
BROUWERS simplizialen Komplexen, fiihrte unter expliziter Verwendung des
Gruppenbegriffs deren "A;-te Zusammenhangsgruppe" modulo 2 ein und iibertrug
die Konstruktion auf kompakte metrische Raume X mit gegebener Triangulierung.
Dazu betrachtete er (iiber Z oder Z/(2)) gebildete Ketten, erzeugt
von den Simplizes der Triangulierung. Falls diese (beziiglich der Metrik von X)
auschlieftlich aus Simplizes mit Kantenlangen < e bestanden, bezeichnete er
sie als "e-homolog 0" (e-nullhomolog). Zwei in X gebildete Ketten Ci, C2 betrachtete
er als e-homolog, Ci~£C2, falls Ci — C2 im triangulierenden Komplex
homolog zu einer £:-nullhomologen Kette C ist. Dann betrachtete er "Fundamentalfolgen"
Ci, C2, ..., Ci, ... aus Zyklen d mit gegen Null konvergierenden
Kantenlangen, die fiir jedes ^ > 0 bei ausreichend hoher Indexwahl untereinander
e-homolog sind. Solche, wie er formulierte, Vollzyklen bildeten die Zykel
seiner Theorie. Die zugehorigen Homologien definierte ViETORlS entsprechend
iiber Vollrdnder, das heifit Fundamentalfolgen ^1,^2... aus Randern seiner
Komplexe mit gegen Null konvergierenden maximalen Kantenlangen.
Ein Jahr spater griffen auch HoPF und ALEXANDROFF EMMY NOETHERS
Vorschlage zur Charakterisierung des topologischen Zusammenhangs auf ([Ho
1928], [Ale 1928]). Beide schlossen dabei an BROUWERS simpliziale Zerlegungen
und Approximation topologischer Raume an. ALEXANDROFF verwendete
die urspriinglich zum Studium der Dimensionstheorie eingefiihrten Systeme
von tJberdeckungen aus abgeschlossene Mengen nun auch zur Berechnung
der Bettizahlen eines kompakten metrisierbaren Raumes. Er wies dabei auf
die Analogic geometrischer simplizialer Komplexe mit dem Nerv (ALEXAN-
DROFFs Terminologie) solcher abgeschlossener endlicher Uberdeckungen von X
hin und definierte dadurch die Bettizahlen des Raumes ("Brouwersche Zyklosezahlen").
Die Arbeiten von ViETORiS waren ihm bekannt; sie erschienen ihm
aber von begrenzter Reichweite und auf seinem Weg einer Verbesserung fahig.
Seine Methode wurde von E. CECH weiterentwickelt und auf Systeme off^ener
Uberdeckungen iibertragen. So wurden ALEXANDROFFS "Nerven" wenige Jahre
spater zum Ausgangspunkt fiir die Entwicklung der CECH-Homologie ([Cech
1932]).^
«[McL 2006], [Hir 1999], [MacL 1986].
^Siehe dazu [Ski 1993].
867

2. HAUSDORFFS Hinwendung zur kombinatorisch/algebraischen
Topologie
HAUSDORFF erfuhr durch ALEXANDROFF aus erster Hand von den neuesten
Entwicklungen. Im Juli 1924 fand der erste Besuch ALEXANDROFFS (gemeinsam
mit P. URYSOHN) bei HAUSDORFFS in Bonn statt. Es entstand eine wissenschaftliche
und personliche Preundschaft zwischen den beiden von Lebensweise
und Generation her so unterschiedlichen Mathematikern. In den nachsten Jahren
nutzte ALEXANDROFF seine Reisen nach Gottingen, Prankreich und Holland
fiir gelegentliche Besuche bei HAUSDORFF. SO auch Ende Oktober/Anfang
November 1925, bevor er zu einem langeren Aufenthalt im Winter 1925/26 bei
BROUWER nach Blaricum weiterreiste.^^ Es folgte ein intensiver wissenschaftlicher
Briefwechsel zwischen HAUSDORFF und ALEXANDROFF, der erst 1935 nach
der Machtiibernahme durch die Nazis abbrach.^^ Im Herbst 1932 hatten sich
die beiden Mathematiker in Locarno zum letzten Mai personlich getroffen.^^
Ein Ergebnis der Anregungen war, dafi sich HAUSDORFF gegen Ende der
1920er Jahre der kombinatorischen und der entstehenden algebraischen Topologie
zuwandte. Am 14.6.1928 schrieb er an ALEXANDROFF, der sich ebenso
wie HOPE ZU dieser Zeit in Princeton aufhielt:
Ich muss wohl doch noch auf meine alten Tage (ich werde wirklich am 8.
Nov. 60 Jahre alt!) Topologie lernen, was insofern eine Zeitverschwendung
ist, als ich damit lieber bis zum Erscheinen Ihres Buches warten sollte.^^
HAUSDORFF war also friih iiber die Planungen zu dem gemeinsamen Buchprojekt
von ALEXANDROFF und HOPE informiert. Seine hier gewahlte Verwendung
des Ausdrucks "Topologie" ist aus heutiger Sicht allerdings kommentierungsbediirftig,
rechnen wir ja einen wichtigen Teil der HAUSDORFFschen
Arbeiten ab 1910 selber der Topologie zu. Die im heutigen Sprachgebrauch unter
dem gemeinsamen Oberbegriff Topologie zusammengefafiten Theorien der
allgemeinen Topologie, der geometrischen Topologie, der kombinatorischen Topologie
und der algebraischen Topologie wurden noch bis in die 1930er Jahre
hinein in zwei grofie, deutlich voneinander unterschiedene Wissensgebiete
^^Im Dezember 1925 fand der fiir die moderne Algebraisierung entscheidende Besuch EMMY
NoETHERS in BROUWERS Kreis statt. ALEXANDROFF und VIETORIS waren zu dieser Zeit in
Blaricum anwesend; s. [McL 2006], [Ale 1935/1983], S.9.
^^Korrespondenz ALEXANDROFF - HAUSDORFF, 18.4.1923 - 9.3.1935. NL HAUSDORFF,
Kapseln 61 (Briefe ALEXANDROFFS) und 62 (Briefe HAUSDORFFS).
^^Der letzte (iiberlieferte) Brief von HAUSDORFF an ALEXANDROFF datiert vom 18.2.1933,
der letzte von ALEXANDROFF an HAUSDORFF vom 9.3.1935. Aufgrund der Stalinisierung der
Sowjetunion wurden in den 1930er Jahren Reisen nicht nur nach Nazi-Deutschland sondern
auch in das demokratische westliche Ausland in steigendem Mafte schwieriger. Fiir ALEXAN­
DROFF traten gesundheitliche Probleme hinzu. Den brieflichen Kontakt zu westlichen Kollegen,
insbesondere zu H. HOPF, liefe er sich aber nicht nehmen. Bis auf eine kriegsbedingte
Unterbrechung 1941/42 hielt ALEXANDROFF den Kontakt stets aufrecht und intensivierte ihn
nach 1945 wieder. In seinem ersten Brief an HOPF nach Kriegsende erkundigte er sich sofort
nach HAUSDORFFS Schicksal. (Brief vom 13.4.1946. NL HOPF, ETH Ziirich, Bibliothek,
Handschriftenabteilung, Hs. 621:93).
^^NL HAUSDORFF, Kapsel 62.
868

zerlegt, die Analysis Situs oder auch "(kombinatorische) Topologie" im alteren
Sinne und die Theorie der Punktmengen und der allgemeinen Rdume. Die
algebraische Topologie im modernen (strukturorientierten) Sinne entstand in
dieser Zeit erst ([Ja 1999b]). Dabei stand nicht zuletzt die Zielsetzung Pate, die
im kombinatorischen Kontext entwickelten Methoden auf "allgemeinere Raume
von Punktmengen" zu iibertragen.
Letzteres war die von HAUSDORFF in den Grundzugen bevorzugt verwendete
Bezeichnung. Bei seiner Einfiihrung des Fachterminus topologischer Raum fiir
einen axiomatisch definierten Umgebungsraum war er sich der damit verbundenen
Metonymie (Begriffsiiberdehnung) wohl bewufit. In einer Anmerkung
sprach er von einer blofien Verwandtschaft des von ihm angewendeten Attributes
"topologisch" zur bisher iiblichen Sprachverwendung:
Der Ausdruck ist in einem verwandten Sinne bereits iiblich; wir wollen
damit andeuten, daft es sich um Dinge handelt, die ohne Maft und Zahl
ausdriickbar sind.^^
Tatsachlich wurde die Topologie im Sinne der Analysis Situs noch iiber langere
Zeit als getrenntes Gebiet gegeniiber der in Mengensprache ausgefiihrten
Topologie der allgemeinen Raume angesehen. LEFSCHETZ verwies zum Beispiel
in seiner Monographie Topology (1930) lediglich in der Einleitung auf die Rahmung
des Gesamtgebietes durch den axiomatischen Raumbegriff (Hausdorff-
Raum). Der Haupttext blieb in Inhalt und Methode weiterhin der alteren geometrischen
Tradition der Analysis Situs verhaftet.
ALEXANDROFF und HOPF setzten sich in ihrem Lehrbuch von 1935 zum Ziel,
eine ausgewogene und tiefgreifende Verbindung der beiden bis dahin weitgehend
getrennten Forschungsfelder zu schafFen; aber selbst ihr grofi angelegter Entwurf
konnte die unterschiedlichen Forschungsgebiete nicht auf Dauer zu einer
gemeinsamen, aus einheitlicher Perspektive bearbeiteten Teildisziplin zusammenfiihren.
Dafiir war die innere Fortentwicklung der topologischen Forschung
zu rasch und die beteiligten Gruppen von Akteuren zu unterschiedlich.^^ In
modifizierter Form wirkt die Trennung bis heute fort, selbst wenn wir uns daran
gewohnt haben, die unterschiedlichen Forschungsrichtungen subsumierend
jeweils zu einer Teildisziplin der "Topologie" zusammenzufassen.^^
HAUSDORFF war bis tief in die 1920er Jahren hinein mit dem begrifflichen
Prazisierungsniveau der alteren, kontextgebunden algebraisierenden ("kombinatorischen")
Topologie unzufrieden. Er brachte dies an verschiedenen Stellen
in seinem Briefwechsel mit ALEXANDROFF und in seinen Exzerpten und Studien
deutlich zum Ausdruck.
Am scharfsten findet sich diese Einschatzung HAUSDORFFS in einer Klammerbemerkung
am Ende von Fasz. 1049, der eine ausfiihrliche Wiedergabe von
i^[H 1914a], S.213.
^^S. dazu auch Band II dieser Edition, S. 70-75.
^^Dies kommt auch noch zum Ende des 20. Jahrhunderts in den getrennten Projekten zur
Darstellung der Entstehungsgeschichten der beiden Felder in [AuLo 1997-2001] und [Ja 1999a]
zum Ausdruck.
869

J. W. ALEXANDERS Argumentation fiir die topologische Invarianz der "Homologiecharaktere"
(Bettizahlen und Torsionskoeffizienten) einer triangulierten beschrankten
Punktmenge des IR"^ enthalt ([Al 1922]). ALEXANDER argumentierte
dort mit der spater nach ihm benannten (Alexander-) Dualitat. HAUSDORFF
fafite seinen Eindruck von der Arbeit fiir den Eigengebrauch in der drastischen
Formulierung zusammen: "Fiir meine Anspriiche ist diese Arbeit ausserst wenig
liberzeugend!" (NL HAUSDORFF, Fasz. 1049, Bl. 19).
Ahnliche Bemerkungen finden sich an anderen Stellen des Nachlasses. Wir
konnen die zitierte Bewertung daher als typisch fiir HAUSDORFFS Einschatzung
auch der anderen topologischen Arbeiten von VEBLEN, ALEXANDER und
LEFSCHETZ aus den 1920er Jahren lesen.^^ Deutlicher und mit konkreter ausgefiihrter
Kritik finden sich an verschiedenen Stellen Kommentare zu dem von
ALEXANDER, VEBLEN und LEFSCHETZ vorgeschlagenen problematischen Konzept
der "Bettizahlen modulo m". Hier wies HAUSDORFF durch Angabe eines
einfachen Gegenbeispieles nach, dafi das Konzept selbst nicht konsistent definiert
war (Abschnitt 5). Dies war ein (kleiner) Beitrag zum Stilwechsel der
Topologie in Princeton, der mit dem Ubergang zum neuen Jahrzehnt begann
und sich wahrend der 1930er Jahre vollzog.
HAUSDORFF blieb keineswegs bei einer "negativen" Kritik stehen. In einigen
grundlegenden Fragen bildete er selbst eigene Auffassungen heraus und mischte
sich in die Diskussionen um die entstehende strukturorientierte algebraische
Topologie ein. Obwohl er sich nicht an deren Kernentwicklung beteiligte, eroffnen
seine kritischen Anmerkungen zur zeitgenossischen Literatur und die
Themenwahl seiner Ausarbeitungen einen aufschlufireichen, natiirlich von seiner
Perspektive gepragten und damit auch selektiven Blick in die Werkstatt
dieses neuen Wissenszweiges. HAUSDORFF selbst verwendete fiir das gesamte
Feld allerdings weiterhin die traditionellere Bezeichnung "kombinatorische
Topologie".
3. Lektiire von ALEXANDROFF, VIETORIS und anderen
HAUSDORFF begann seine Studien der neueren algebraischen Topologie mit
ALEXANDROFFS Arbeiten liber abstrakte simpliziale Approximation topologischer
Raume. Durch diesen Ansatz stellte ALEXANDROFF eine grundsatzliche
und allgemeine Beziehung zwischen mengentheoretisch charakterisierten, kompakten
metrisierbaren topologischen Raumen X und verallgemeinerten simplizialen
Komplexen her, die durch den Nerv abgeschlossener endlicher Uberdeckungen
von X gebildet werden. In Verallgemeinerung von BROUWERS geometrischen
Simplizes und ihrer Verwendung zur simplizialen Approximation
von Mannigfaltigkeiten betrachtete ALEXANDROFF hier sogar noch allgemeinere
abstrakte simpliziale Komplexe, definiert iiber Inzidenzschemata von endlichen
Untermengen einer endlichen oder unendlichen Menge. Unter (abstrakten)
"simplizialen Approximationen" verstand er gewisse axiomatisch charak-
^^HAUSDORFF kommentierte etwa ALEXANDERS Einfiihrung degenerierter Simplexe in (lessen
Arbeit [Al 1926], S. 306 mit der Klammerbemerkung "... nicht geniigend klar ..." (Fasz.
288, BL2v).
870

terisierte Folgen (ICm) abstrakter simplizialer Komplexe, durch die die Punkte
eines kompakten metrisierbaren Raumes charakterisierbar waren. Dazu gehorten
etwa Komplexe, deren Simplizes aus Systemen abgeschlossener Mengen mit
nichtleerem Durchschnitt bestanden. Diese bezeichnete er als die Nerven der
tJberdeckungen.^^
HAUSDORFF studierte die Arbeiten [Ale 1926] und [Vie 1927] im Detail, um
sich ein Bild der neuen Perspektiven fiir die Homologietheorie zu machen.^^
In ALEXANDROFFS Axiomensystem fiir approximierende Systeme (simpliziale
Approximationen) entdeckte er eine Ungenauigkeit, die eine Liicke im Beweis
des Hauptsatzes der Arbeit zur Folge hatte. Er konstruierte ein Gegenbeispiel
fiir die Satzaussage und schlug eine Verscharfung der Approximationsbedingungen
vor, die einen einwandfreien Beweis des Hauptsatzes ermoglichte. Die
Ergebnisse seiner kritischen Lektiire, insbesondere seine Verscharfung der Approximationsbedingungen,
teilte er ALEXANDROFF in dem schon erwahnten
Brief vom 14.6.1928 mit. Anders als bei seinen Anmerkungen zu ALEXANDER,
VEBLEN und LEFSCHETZ verband er mit seiner Kritik hier keinen grundsdtzlichen
Einwand gegen die gesamte Arbeitsweise. Er war im Gegenteil von Stil,
Inhalt und Arbeitsmethoden ALEXANDROFFS sehr beeindruckt und sogar begeistert.
Seine Beweiskritik und seinen Verbesserungsvorschlag kommentierte
er mit der Bemerkung:
Diese Rettungsmoglichkeit fiir Ihren Hauptsatz freut mich weit mehr als
die Entdeckung des Versehens, denn es ware schade gewesen, wenn sich
Ihre schone Idee, die gerade wegen ihrer abstrakten Fassung meinem
Geschmack besonders zusagt, nicht hatte halten lassen.^^
Tatsachlich schien ALEXANDROFFS Vorgehensweise zumindest die Moglichkeit
zu eroffnen, die vorhandene Kluft zwischen der algebraisch-kombinatorischen
Topologie und der Theorie der allgemeinen Raume zu schliefien.
HAUSDORFFS Interesse an den neuen und abstrakteren Homologietheorien
griindete sich allerdings nicht allein darauf, dafi nun die homologietheoretischen
Methoden auch auf allgemeinere Raume als Mannigfaltigkeiten oder geometrische
Simplizialkomplexe anwendbar wurden. Ihm erschien anscheinend genauso
wichtig, dafi durch sie Invarianzbeweise fiir die bekannten Charakteristiken simplizialer
Komplexe (Bettizahlen und Torsionskoeffizienten) moglich wurden, die
seinen Standards eher entsprachen als die zeitgenossischen Beweise etwa von
J.W.ALEXANDER.
In den Arbeiten von ALEXANDER war zwar die Idee der singularen Homologie
eingefiihrt worden ([Al 1915]). Diese offensichtlich topologisch invariante
^^ALEXANDROFF spitzte die Bedingungen spater im Sinne der von ihm so genannten "Projektionsspektren"
zu; [Ale 1926], [Ale 1927a], [Ale 1927b], [Ale 1928], [Ale 1929]. HAUSDORFFS
Lektiire ist dokumentiert in NL HAUSDORFF, Fasz. 257, 543, 639.
^^Brief HAUSDORFFS an ALEXANDROFF vom 14.6.1928 mit ausfiihrlicher Beweiskritik, NL
HAUSDORFF, Kapsel 62. Zu VIETORIS insbesondere die Studien in NL HAUSDORFF, Fasz. 295
und Fasz. 287 vom 2.8.1928 und vom Februar 1929.
20NL HAUSDORFF, Kapsel 62, Brief vom 14.6. 1928.
871

Methode wurde aber zunachst ohne eine mengentheoretisch abgestiitzte Algebraisierung
formuliert und blieb ohne sichere Grundlagen. Bis in die 1930er
Jahre hinein kam sie nicht ohne vage gehaltene geometrisch-semantische Beziige
aus. Sie wurde erst durch die nachste Generation von Topologen, SEI-
FERT/THRELFALL ([SeThr 1934]) und TUCKERS Nachweis, dafi degenerierte
Zyklen stets beranden ([Tu 1938]), in Ordnung gebracht.^^ Zwei weitere von
ALEXANDER in den 1920er Jahren vorgeschlagene Methoden basierten auf der
Idee der Alexander-DuaHtat ([Al 1922]) beziehungsweise der simpHzialen Approximation
und einer Erganzung der simpHzialen Kettenkomplexe um degenerierte
(simphziale) Ketten ([Al 1926]).
Aus HAUSDORFFS Sicht war ALEXANDERS zweiter Beweis (1922) "ausserst
wenig iiberzeugend" (siehe Abschnitt 2), und auch mit ALEXANDERS drittem
Ansatz konnte er sich nicht anfreunden. Das war anscheinend seiner grofien Distanz
gegeniiber BROUWERS Methoden geschuldet; fiir die nachste Generation
von Topologen, die BROUWER naher standen, war das anders. ALEXANDROFF
und HOPE etwa benutzten ALEXANDERS Vereinfachung der simpHzialen Approximation
zum Nachweis der Homotopieinvarianz der Homologie und bauten
darauf den ersten Invarianzbeweis in ihrem gemeinsamen Buch von 1935 auf.
HAUSDORFFS Kommentare zu ALEXANDERS Arbeit von 1926 bestanden dagegen
ausschliefilich aus (technisch zutreffenden) kritischen Randbemerkungen
(NL HAUSDORFF, Fasz. 288). Dementsprechend erschien ihm ALEXANDROFFS
und HOPES erster Invarianzbeweis spater als "nicht leicht zuganglich" (siehe
Abschnitt 7).
In ihren friihen Arbeiten erwahnten ALEXANDROFF und VIETORIS das Invarianzproblem
zwar, maKen ihm aber zunachst keinen ahnlich hohen Stellenwert
bei wie HAUSDORFF. ViETORis erklarte eher beilaufig und wie selbstverstandlich,
dafi seine Homologietheorie dieselben Zusammenhangszahlen liefere wie die
simphziale Homologie triangulierter Mannigfaltigkeiten und die von RIEMANN
(und POINCARE) betrachtete Bordanzhomologie von "Untervarietaten".^^ Fiir
^^Fiir eine Skizze der Prazisierung der singularen Homologietheorie siehe [Die 1989], S. 37-
49, 68 ff.). Interessanterweise decken sich die von DIEUDONNE monierten Schwachen der halbgeometrischen
singularen Homologietheorie inhaltlich weitgehend mit dem HAUSDORFFschen
Unbehagen. "He (Alexander) never said when two images of different p-cells by two continuous
mappings should be identified, nor what the boundary of a singular cell should be. This
vagueness was only partly improved in the successive versions of Alexander's proof given by
Veblen (...), van der Waerden (...) and Lefschetz ..." ([Die 1989], S. 45). DIEUDONNE sieht
die singulare Homologietheorie erst mit dem von TUCKER 1938 und EILENBERG 1940 geleisteten
Beitrag als methodologisch konsistent an. Er lasst die von SEIFERT und THRELFALL
(1934) erreichte Prazisierung an dieser Stelle aufter Betracht.
^^ VIETORIS erklarte von seinen Zusammenhangszahlen, diese seien ".. .abgesehen davon,
dai^ wir sie um 1 kleiner nehmen, genau die von O. Veblen [An application of modular equations
in analysis situs. Am Trans. 14, S. 86-94,] O.Veblen und J.W.Alexander [Manifolds
of n dimensions. Am. Trans. 14, S. 163-178], O. Veblen [Analysis situs. Cambridge Colloquium
1916] eingefiihrten. Wir haben nur die Definition derselben von der Darstellung
durch Matrizes losgelost. Sie konnen als die genaue Fassung der von Riemann, Fragment
aus der Analysis Situs, Werke, S. 479-482 eingefiihrten Zusammenhangszahlen gelten" ([Vie
1927], S.456, Anm. 2). VIETORIS umging damit auf seine Weise das bei RIEMANNS und
PoiNCARES Methode auftretende Problem, wie die in den fiir ihre Homologiekonstruktionen
872

die Invarianz seiner Homologiegruppen verwies er auf die gleichmafiige Stetigkeit
stetiger Abbildung in kompakten (metrisierten) Raumen, erganzte allerdings
in einer Anmerkung:
Diese Invarianz gilt in nicht kompakten abgeschlossenen Mengen nicht.^^
HAUSDORFF widmete diesem Thema (fiir den kompakten Fall) eine seiner ersten
handschriftlichen Studien zu den neuen Homologietheorien (NL HAUS­
DORFF, Fasz. 295 vom 2.8.1928). Eine fiir das Sommersemester 1933 angekiindigte
Vorlesung fiber kombinatorische Topologie gab ihm die Gelegenheit,
einen ersten begrifflich klar ausgearbeiteten Invarianzbeweis der Homologie fiir
kompakte metrische Raume auszuarbeiten. Er kam spater verschiedentlich auf
dieses Thema zuriick, zuletzt in einer ausfiihrlichen neuen Ausarbeitung verschiedener
Invarianzbeweise in einem Manuskript von April bis Juli 1940, in
dem er auch den nichtkompakten separablen Fall behandelte (siehe Abschnitt
7).
Zu dieser Zeit waren schon verschiedene andere Invarianzbeweise der Homologie
publiziert. In der von HAUSDORFF hoch geschatzten Monographie von
ALEXANDROFF und HOPF gab es gleich mehrere Beweise. Der erste von diesen
beiden Autoren gegebene Beweis fiir die topologische Invarianz der simplizialen
Homologie geometrischer Komplexe basierte, wie schon erwahnt, entscheidend
auf der Homotopieinvarianz der simplizialen Homologie. Damit bewiesen sie
einen "Produktsatz" fiir die von einer Komposition stetiger Abbildungen induzierten
Verkettung der Homologiehomomorphismen, in modernerer Sprache
also die funktorielle Eigenschaft der Homologie ([AleHo 1935], S. 323). Aus dem
Produktsatz folgte die Invarianz der Homologie ohne grofteren Aufwand (ibid.,
S.327). In Untertreibung ihres eigenen Anteils stellten die beiden Autoren ihren
Beweis als eine Weiterentwicklung der ALEXANDERschen Beweisstrategie
von 1926 dar ([AleHo 1935], S.313).
Natiirlich hatte ALEXANDROFF auch im weiteren eine voUig andere Meinung
von J. W. ALEXANDER als HAUSDORFF.^^ In einem aus Princeton an H. HOPF
geschriebenen Brief beschrieb er den von HAUSDORFF SO skeptisch kommentierten
ALEXANDER als Mathematiker, der mit "grosser Eleganz und Klarheit"
liber "abstrakte Topologie" vorzutragen wufite (Brief ALEXANDROFFS an HOPF
vom 18.3.1931, S. 3). Um diese Zeit war der Austausch zwischen der Princeton-
Gruppe der Topologie und der abstrakter ausgerichteten Gottingen/Moskauer
AuflFassung schon voU im Gauge.^^ HAUSDORFF mischte sich in diesen Mei-
verwendeten Unterobjekten auftretenden Singularitaten (ganzzahlige Linearkombinationen
aus "Untermannigfaltigkeiten" bei POINCARE oder "n-Strecke" bei RIEMANN - vgl. [Sar 1999]
- zu behandeln sind. Die konkurrierende geometrische Theorie der singularen Komplexe der
Princeton-Gruppe erwahnte er an dieser Stelle nicht einmal.
23[Vie 1927], S.461, Anm. 11.
^"^Das gilt wohl noch starker fiir die Bewertung BROUWERS.
^^ALEXANDROFF schrieb in dem zitierten Brief iiber ALEXANDERS Vortrage zum Thema
"elementare Sachen der abstrakten Topologie" weiter: "...die Anordnung des Stoffes war
genau so, wie ich das zu machen pflege. Alexander sagte auch ausdruecklich, daft er im
wesentlichen im Anschluss an meine alien Princetoner Vortraege die Sache darstellt." (Brief
873

nungsaustausch nur mit seiner Kritik an den "Bettizahlen modulo m" ein (Abschnitt
5). Seine Beobachtungen betrafen den Zustand der alteren Analysis
Situs, standen aber nicht im Zentrum der neueren Algebraisierung.
Im kommenden Jahrzehnt verfolgte er die weitere Entwicklung der Homologietheorie
mit grofiem Interesse. Anfang der 1930er Jahre studierte er die
Arbeiten W. MAYERS und E. CECHS. In einer wahrscheinlich im Jahre 1931
verfassten Notiz liber "Summe und Durchschnitt von Komplexen" erarbeitete
er sich die in [May 1929] und [Vie 1930] vorgestellte MAYER-ViETORiS-Formel
(NL HAUSDORFF, Fasz.402, BU. 5fF.).^^ Eine andere HAUSDORFFsche Studie
(Fasz. 743) zu MAYERS Arbeit fiber "abstrakte Topologie" ([May 1929]) wird
von G. BERGMANN auf April bis Juni 1940 datiert. CECHS entscheidende Arbeit
zur Einfiihrung seiner Homologietheorie ([Cech 1932]) studierte HAUSDORFF
bis Friihjahr 1934 (NL HAUSDORFF, Fasz. 463), wahrscheinlich begleitend zu
seiner Vorlesung im Sommersemester 1933 oder im direkten Anschlufi daran.^"^
HAUSDORFFS erhaltene Studien aus der Zeit zwischen 1928 und seiner Vorlesung
von 1933 zeigen, dafi er sich bis Januar 1931 eine eigenstandige Auffassung
abstrakter Komplexe der Moduln homogener "Formen" (HAUSDORFFS Terminologie)
und ihrer Randoperatoren verschaffte, also in heutiger Sprache der element
aren homologischen Algebra algebraischer Kettenkomplexe.^^ In diese Zeit
fallen auch Notizen zur Element art eilertheorie, in der er die gruppentheoretische
Fassung von FROBENIUS und STICKELBERGER mit der auf WEIERSTRASS
zuriickgehenden der Normalformen ganzzahliger Matrizen verband, um ein angemessenes
Verstandnis des algebraischen Basiswerkzeuges zur Berechnung der
Homologiegruppen zu gewinnenen und sich insbesondere Klarheit liber den
Status der "Bettizahlen modulo m" zu verschaffen (Fasz.402, BU. 1-4).^^
ALEXANDROFFS an HOPF vom 18.3.1931, S.3). ALEXANDROFF und HOPF waren, wie oben
erwahnt, im akademischen Jahr 1927/28 beide Gaste in Princeton gewesen.
^^Der Faszikel besteht aus drei Teilen. Der erste Teil (Bll. 1-4) behandelt das Rangproblem
abelscher Gruppen, aufgefaftt als Moduln liber 2Z oder Z/(m), und die Beobachtung,
daft der Rang nur fiir m prim sinnvoll definiert werden kann, mit der Konsequenz, daft die
VEBLEN/ALEXANDER/LEFSCHETZschen "Bettizahleu modulo m" im allgemeinen Fall nicht
wohldefiniert sind (siehe unten). Die entsprechende Seite ist datiert mit 15.1.1931. Der zweite
Teil (Bll. 5-8) behandelt unter der Uberschrift "Summe und Durchschnitt von Komplexen"
die MAYER-ViETORis-Formel. Der dritte Teil (Bll. 9-16) handelt vom "Produkt zweier Komplexe".
Die beiden letzten Telle gehoren inhaltlich eng zusammen; sie stehen aber beide nicht
mit Teil 1 im engen Zusammenhang. Die bei der Nachlafterschlieftung fiir Fasz. 402 angegebene
Datierung 15.1.1931 steht lediglich auf Blatt 4 und gilt somit nur fiir die Schluftpassage
des ersten Teils. Teil 1 schlieftt direkt an das Ende von Fasz. 401 an und gehort inhaltlich
dort hin (Datierung HAUSDORFFS 14.1.1931 auf Bl. 29 von Fasz. 401). Es gibt jedoch keinen
Grund, die beiden anderen Telle von Fasz. 402 in der Entstehung zeitlich weit entfernt vom
ersten anzusetzen.
^^HAUSDORFF stellte in seiner Vorlesungsausarbeitung (NL HAUSDORFF, Fasz. 55) ALEXAN­
DROFFS Homologie ausfiihrlich vor und erwahnte CECHS Fortentwicklung beilaufig (Fasz. 55,
Bl. 141). In seiner Wiederaufnahme des Invarianzbeweises der Homologie im Friihsommer
1940 bezog HAUSDORFF CECHS Ansatz ausdriicklich mit ein (Fasz. 742, Bll. 36-40). HAUS­
DORFFS Studie (Fasz. 463) iiber CECHS Arbeit (1932) entstand anscheinend nach Marz 1933
(siehe unten, Abschnitt 7).
28Fasz.401, B11.6ff.
29Vgl. obige Fuftn. 26.
874

4. Vorlesung Kombinatorische Topologie, Sommer 1933
Im Sommersemester 1933 hielt HAUSDORFF seine erste und einzige Vorlesung
iiber Kombinatorische Topologie und arbeitete sie wie gewohnt in einem ausfiihrlichen
Manuskript aus (NL HAUSDORFF, Fasz. 55). Das Manuskript zeigt in
klarer Weise, wie HAUSDORFF dieses Gebiet der Topologie zu Beginn der 1930er
Jahre sah. Wie oben schon dargelegt, hatte er die meisten der hier behandelten
Themen schon in kleineren Einzelstudien ab 1928 bearbeitet: VlETORlS-
Homologie, Februar bis August 1928 (Fasz. 287, 295), abstrakte Komplexe,
Januar 1931 (Fasz. 401, 402), Homologie von Komplexen und kompakten Raumen,
Marz 1931 (Fasz. 449, 450), Gruppenfolgen, Marz 1931 (Fasz. 451).
Das Vorlesungsmanuskript enthalt eine in sich abgeschlossene, leicht lesbare
Einfiihrung in die Theorie endlicher, geometrischer ("euklidischer") und abstrakter
Simplizialkomplexe (§ 1), in die fiir die Homologietheorie notwendigen
Telle der Theorie endlich erzeugter abelscher Gruppen (§2) und in die Homologie
abstrakter simplizialer Komplexe und deren Anwendung auf geometrische
Simplizialkomplexe und die Nerven von abgeschlossenen tJberdeckungen
(ALEXANDROFFsche Homologie) (§3). Das Vorlesungsmanuskript endet mit einem
Invarianzbeweis der simplizialen Homologie fiir kompakte, triangulierte
metrische Raume ("endliche euklidische Punktkomplexe") (§4). Eine ausgearbeitete
Mitschrift von H. SCHWERDTFEGER, einem Horer der Vorlesung, enthalt
nur die ersten drei Paragraphen.^^ HAUSDORFF hat jedoch seinen Invarianzbeweis
im Sommer 1933 vorgetragen, denn er fiigte der Uberschrift „§4.
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen" eine Fufinote an: „SS 1933
vorgetragen". Im Sommer 1940 kam er noch einmal auf den Invarianzbeweis
zuriick (s. Abschnitt 7).
Fiir die friihen 1930er Jahre hochst bemerkenswert war der in der Vorlesung
vorgestellte strukturorientierte Zugang zur Homologietheorie. Vor jeder geometrischen
Anwendung entwickelte HAUSDORFF eine rein algebraische Charakterisierung
der Homologie eines endlichen abstrakten Komplexes ^ mit Eckenmenge
X = {xi,...,Xr) und Simplexmenge S C V{X) als Unterstruktur der
von X erzeugten freien Grassmannschen Algebra mit ganzzahligen KoefRzienten.
Bezeichnen wir den freien Z-Modul iiber X als V, arbeitete HAUSDORFF
also zunachst mit der Grassmann-Algebra
gV:=:^Vm mit Vm :=/\" V .
m>0
Dabei verwendete er eine einfache multiplikative Notation fiir das Grassmann-
Produkt, also xy = —yx. Durch die Derivation dm • Vm —^ Vm-i mit
m
j=0
d{xy) = dxy-{- {-lYx dy , fiir x eVp.y eVq ,
^"Eine Kopie des ScHWERDTFEGERSchen Typoskripts ist im Besitz von Herrn E. BRIES-
KORN.
875

erklarte er einen Randoperator d — {dm) auf QV mit d^ix) = 1 statt dem
iiblichen 9o(^) = 0- In spaterer Sprechweise formuliert, arbeitete HAUSDORFF
also mit einem freien, durch die leere Menge augmentierten Koszul-Komplex.^^
Zur Beschreibung der Topologie schrankte er auf einen spezielleren Kettenkomplex
T = {Tm) ein. Die m-Ketten dieses Komplexes bestanden aus denjenigen
homogenen Polynomen vom Grad m+1, die nur Monome xi^... Xi^ besitzen,
zu denen es in $ ein entsprechendes (orientiertes) Simplex a = {xi^ ... Xi^)
gibt. Deren Gesamtheit bezeichnete HAUSDORFF als die "m-Formen" Tra des
abstrakten Komplexes $. Fiir die Einschrankung des Randoperators gilt
Daher waren in der Einschrankung die m-Zyklen Zm und m-Rander IZm leicht
einzufiihren, ebenso die m-te Homologiegruppe als Faktorgruppe Hm '-— Zm/^m-
So erhielt HAUSDORFF eine glasklare symbolische Einfiihrung der Homologie
i/f (^, Z) des abstrakten Simplizialkomplexes ^, beschrieben durch die Moduln
Oder (abelschen) GruppenHm (Fasz. 55, §3).^^
Die Anwendung auf die Homologie i/f ([$], 2!) geometrischer Simplizialkomplexe
war nun direkt moglich (HAUSDORFF notierte mit [^] den geometrischen
Trager des abstrakten Komplexes ^; Fasz. 55, Bl. 74ff.). Ebenso ergab sich
die Homologie H^ der (ALEXANDROFFschen) Nerven endlicher abgeschlossener
tjberdeckungen als Spezifizierung der allgemeinen Theorie (Fasz. 55, Bl. 140).
HAUSDORFFS Strategic des topologischen Invarianzbeweises basierte auf einer
Auswertung der strukturellen Beziehung zwischen diesen beiden Homologietheorien
(siehe unten, Abschnitt 7).
Im Vergleich zu alien zeitgenossischen Textbiichern oder Abhandlungen war
dies eine hochst ausgereifte und begrifHich klare Einfiihrung der Homologietheorie.
In der Sprache der Koszulkomplexe ausgedriickt, handelte es sich bei
HAUSDORFF um die Einfiihrung des zum freien Koszulkomplex assoziierten
speziellen Koszulkomplexes {ante letteram) beziiglich des durch die leere Menge
augmentierten Komplexes ^. Die Klarheit von HAUSDORFFS Darstellung
hebt sich nicht nur im Riickblick gegen die Textbiicher der 1930er Jahre positiv
ab. Selbst aus heutiger Sicht erscheint sie nicht als grundsatzlich "veraltet",
sondern als im guten Sinne elementar. Die geometrische Semantik der Ketten
und Randbildungen spielte nur in den Anwendungen eine Rolle.
Vor die eigentliche Homologietheorie schaltete HAUSDORFF in seiner Vorlesung
eine Einfiihrung in die Theorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen
und eine ganz auf diesen Kontext zugeschnittene, in sich abgeschlossenene Darstellung
der Elementarteilertheorie. Den Beweis fiir die Darstellbarkeit endlich
erzeugter abelscher Gruppen als direktes Produkt (oder direkte Summe) zyklischer
Gruppen, teils von unendlicher Ordnung, teils von endlicher Ordnung
SiEJN {l

die durch die Teilbarkeitsbedingung £j-^i\£j (1 < j < I) invariant charakterisiert
sind, fiihrte HAUSDORFF durch eine einfache modultheoretische Argumentation
iiber Z, ohne Hinweis auf E. NOETHER oder VAN DER WAERDEN.^^
HAUSDORFF stellte zunachst die auf WEIERSTRASS zuriickgehende klassische
Elementarteilertheorie ganzzahliger Matrizen dar.^^ Daran konnte er in seinem
Kapitel liber Homologiegruppen anschliefien; insbesondere auch bei einer Passage
iiber "Homologie modulo m", in der er kurz erlauterte, warum Bettizahlen
modulo m fiir allgemeines m keinen Sinn haben, sondern nur fiir m — p prim.
5. Homologiegruppen, Kritik an "Bettizahlen modulo m"
HAUSDORFF betrachtete die fc-Zykeln Zk, die /c-Rander 7^/c C Zk und die Homologiegruppen
Hk '-= Zk/1Zk im Sinne der neueren algebraischen Bestrebungen
der Topologie als "Moduln" (HAUSDORFFS Bezeichnung fiir endlich erzeugte
abelsche Gruppen). Die Bettizahlen pk waren damit durch pk = rang Hk und
die /c-dimensionalen Torsionskoeffizienten durch die Invarianten (Elementarteiler)
Si = Si^k {^ ^ i ^ h) von Hk bestimmt.
In einem eigenen Abschnitt der Vorlesung diskutierte HAUSDORFF Homologiegruppen
modulo m und die auf den ersten Blick naheliegende "Analogic"
von Elementen maximaler Ordnung m zu den Elementen unendlicher Ordnung
bei allgemeinen abelschen Gruppen. Er warnte jedoch, dafi die erwahnte Analogic
"leidcr nur ungefahr" sci. Bei zusammengesctztem m lieferte die Anzahl
des Auftretens von m unter den Elementarteilern si der Gruppe keinen verniinftigen
Rangbegriff, der sich unter Quotientenbildung subtraktiv und unter
direkter Summenbildung additiv verhalt. Damit spielte HAUSDORFF auf die
von LEFSCHETZ, ALEXANDER und VEBLEN verwendete, problematische Konzeption
der "Bettizahlen modulo m" an.
Er erlauterte das Problem an einem cinfachen Gegenbeispiel. Setzt man etwa
die maximale Anzahl von (unabhangigen) Elementen der Ordnung m als "Rang
modulo m" (rangm) an, so galte bei m = 4, G == 2/(4) und H = Z/(2) fiir
die Range rang4 G — 1 und rang4, H = rang4 G/H = 0. Damit ware die von
ihm geforderte Additivitat des Ranges,
rangm G = rangm H + rangm {G/H)
verletzt (NL HAUSDORFF, Fasz.55, Bl. 102).
Dafi das Konzept der "Bettizahlen modulo m" Tiicken hatte, war HAUSDORFF
gleich zu Beginn seiner Studien der zeitgenossischen Arbeiten der kombinatorischen
Topologie aufgefallen. In einer zwischen Sommer 1928 und Februar 1929
verfafiten Studie zu ALEXANDERS Arbeit [Al 1926] kommentierte er eine auf
Bettizahlen modulo m bezogene Passage mit der Bemerkung "Hochst zweifelhaft!"
(NL HAUSDORFF, Fasz. 288, B1.6v). Im Laufe der Einarbeitung in das
^^VAN DER WAERDEN wies im NoETHERSchen Stil nach, daft jeder Untermodul N eines
freien Moduls M iiber einem nullteilerfreien Hauptidealring R selber frei ist und Basen
wi, ... Um von M und 7;i, ... V]^ von N existieren mit vi — eiui (1 < ^ < /c) und ei \ Sj+i
(i < k) ([Wae 1930/31], Bd.2, S.120fF.
^^Vgl. etwa [Haw 1977].
877

neue Gebiet ging er der Frage weiter nach und kam im Januar 1931 zur Einsicht,
dafi fiir abelsche Gruppen (Moduln) eine Rangdefinition modulo m fiir
zusammengesetzte m liberhaupt nicht sinnvoll moglich ist. Ihm fiel auf, dafi
auch LEFSCHETZ in dieser Hinsicht zu arglos verfuhr und eine Berechnung von
Bettizahlen modulo m vorschlug, die im Widerspruch zu seiner eigenen Definition
stand. Dazu merkte er an:
In Lefschetz, Topology (1930), ist das falsch dargestellt (wie zuvor noch
falscher bei Alexander).^^
Diese Kritik teilte er samt Gegenbeispiel iiber ALEXANDROFF, der sich im Winter
1930/31 wieder in Princeton aufhielt, an ALEXANDER und LEFSCHETZ mit.
Hier arbeitete er, auf seinen gruppentheoretischen Kern reduziert, mit einem
Gegenbeispiel vom Typ m = 6, G = Z/(2) 0 2Z/(3) 0 2Z/(6), also
range's./{6) = 1, range 2/(2) == range 2/(3) = 0, aber range G = 2 .
Er formulierte diesen Sachverhalt konkret in der Sprache von Zykeln und Berandungsrelationen
modulo 6, allerdings ohne Angabe eines zugehorigen geometrischen
Komplexes (Fasz. 401, Bll. 31ff.). In Princeton wurde HAUSDORFFS
Gegenbeispiel im April 1931 in LEFSCHETZ' Seminar besprochen. Wenig spater
erhob CECH einen ahnlichen Einwand.^^
Als Randeintrag erganzte HAUSDORFF spater:
Meine Einwande (an Alexandroff mitgeteilt 14.1. 31) haben den Erfolg
gehabt, dass Alexander und Lefschetz die Sache iiberlegt haben. Vgl. A.
W. Tucker, Modular homology characters, Proc. Nat. Ac. of Sc. 18 (1932),
S.471, Anm.4.^'^
A. W. TUCKER stellte in der zitierten Arbeit fest, dafe man in Princeton bisher
"Bettizahlen modulo m" mit zwei verschiedenen, unvertraglichen Ansatzen
berechnet hatte und diskutierte Vor- und Nachteile beider Berechnungsweisen.
Ein grundsatzliches begriffliches Problem erblickte er darin anscheinend immer
noch nicht ([Tu 1932]).
ALEXANDROFF sah die Problematik klarer. Am 1.2.1931 schrieb er aus Gottingen
vor einer weiteren Fahrt nach Princeton an HAUSDORFF, da£ man LEF­
SCHETZ' Berechnungsformel der Bettizahlen sowieso "eigentlich nie braucht".
... [E]s ist nach meiner Ansicht kein besonderes Ungliick, dass sie fiir den
Fall mod eines zusammengesetzten m nicht gilt. Das einzige, was im Fall
modulo m wichtig ist, ist nach meiner Meinung der Begriff der Bettischen
Gruppe modulo m und die beiden Dualitatssatze - von Poincare
und von Alexander, samt der zugehorigen Verschlingungssatze, auf denen
der Beweis des Alexanderschen Dualitatssatzes beruht. Das alles ist richtig^
auch fiir einen zusammengesetzten Modul und neuerdings von Hopf,
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 401, B1.32.
3^Vgl. [Tu 1932], S.471, Anm.4.
^"^NL HAUSDORFF, Fasz. 401, B1.32.
878

Pontrjagin und von mir so einfach bewiesen worden, dass ... wirklich jeder
Mathematiker [das] verstehen wird. ... Was aber durch Ihre Kritik
wahrscheinlich hinfallig gemacht wird, ist die Euler-Poincaresche Formel
fiir den Fall der zusammengesetzten Moduln, denn sie scheint mir wesentlich
von der von Ihnen widerlegten Formel (bzw. ihrem Aequivalent
fiir die Range der betrefFenden Abelschen Gruppen) abhangig zu sein.^*
Trotz TUCKERS Verteidigung steuerte LEFSCHETZ schliefilich um. Das Problem
der "Bettizahlen modulo m" war ein Anlafi unter anderen, die Verwendung von
Homologiegruppen ernst zu nehmen. Der starkste Anstoft dazu kam fiir LEF­
SCHETZ allerdings aus seinen eigenen Forschungsarbeiten zur neuen Struktur
der Kohomologie und ihrer Produkte ([Mas 1999]). Aus der tjberarbeitung seines
Buches von 1930 ging schliefilich ein voUig verandertes Werk hervor, das
nun zutreflFend den Titel Algebraic Topology trug ([Lef 1942]).
Die "Bettizahlen modulo m" wurden, wie von ALEXANDROFF erwartet, durch
die weitergehende Algebraisierung der Topologie schliefilich obsolet gemacht. In
der Mitte der 1930er Jahre war das aber noch keineswegs selbstverstandlich.
So sah etwa HOPE in seinem ersten Entwurf fiir die gemeinsame Monographie
mit ALEXANDROFF zunachst noch die Einfiihrung von "Bettizahlen modulo m"
(m allgemein) vor. Seinen brieflichen Bemerkungen zufolge wurde auch er auf
die damit verbundene Problematik erst durch Anmerkungen HAUSDORFFS aufmerksam.
Daraufhin fiihrte er an verschiedenen Stellen als Fufinote die rettende
Klausel "fiir m prim" ein.^^
Fast zeitgleich charakterisierte E. CECH die Homologie Hn{X,G) mit Koeffizienten
in einer beliebigen abelschen Gruppe G durch Hk (X, Z), die Gruppe
G und Hk-i{X,G) in einer Weise, die dem spateren universellen Koeffiziententheorem
entsprach ([Cech 1935]).^^ HAUSDORFFS Anliegen wurde mit der
Verbreitung der Strukturalgebra in Form der Einsicht, dafi Moduln iiber Ringen
mit NuUteilern "keinen Rang besitzen", mathematisches AUgemeingut.
6. ALEXANDROFF/HOPF und der "Bonner Uhrmacher"
HAUSDORFF beteiligte sich auf diese Weise als ein "teilnehmender Beobachter"
am tJbergang von der klassischen Analysis Situs zur modernen algebraischen
Topologie. Seine Beitrage bestanden aus kritischen Beobachtungen und Klarungen
in Grundsatzfragen. Die meisten von ihnen waren fiir den Eigengebrauch
(inklusive den der Horer der Vorlesung vom SS 1933) bestimmt. Eigene Publikationen
zu diesem Thema nahm er nicht mehr in Angriff. Lediglich iiber
ALEXANDROFF versuchte er in einigen Fragen auf die Teilsdisziplin im weiteren
einzuwirken. Von seiner Fehlerkorrektur in ALEXANDROFFS erster axiomatischer
Charakterisierung der spateren "Projektionsspektren" war weiter oben
kurz die Rede (Abschnitt 3), ebenso von seinen Gegenbeispielen zur Berech-
^^NL HAUSDORFF, Kapsel 62, Brief vom 1.2.1931; Hervorhebungen im Original.
^^Etwa in [AleHo 1935], S.355, Anm.2; mehr dazu im Brief von HOPF an ALEXANDROFF
vom 21.3.1935 (ETH-Bibliothek, Handschriftenabt., NL HOPF, HS.620, 99-146.
40Vgl.[Skl 1993], S.227.
879

nung von "Bettizahlen modulo m", die er liber ALEXANDROFF an LEFSCHETZ
und ALEXANDER iibermitteln liefi.
In ahnlicher Weise versuchte er auch zur Verbesserung des ersten Entwurfes
der Monographie von ALEXANDROFF und HOPE beizutragen. Dabei war er
nicht in jederlei Hinsicht erfolgreich, erhofFte sich aber von diesem Werk viel fiir
die Schliefiung der Kluft zwischen den beiden grofien Teilgebieten der Topologie.
In einem Brief an HOPE erneuerte er im September 1934 ein Angebot zur
Beteiligung an der Fahnenkorrektur:
Ihr Brief mit der Mitteilung, dass der Satz beginnen soil, hat mich natiirlich
sehr erfreut. Meine Mitwirkung beim Korrekturlesen halte ich, wie
versprochen, aufrecht und hoffe, bei dieser Gelegenheit zu der Erkenntnis
zu kommen, dass die kombinatorische Topologie eine glaubwiirdige
Wissenschaft ist'^^
Ende 1934 oder zu Beginn des Jahres 1935 versandten die beiden Autoren
erste Fahnendrucke an verschiedene KoUegen mit der Bitte um Anmerkungen.
HAUSDORFF schickte im Marz 1935 ausfiihrliche Korrekturanmerkungen zu den
ihm zugeschickten Kapitelentwiirfen an ALEXANDROFF. Auf deren Inhalt lafit
sich durch ALEXANDROFFS Anwortbrief vom 9.3.1935 und die ALEXANDROFF-
HOPF-Korrespondenz riickschliefeen.^^
Wie wir einem Brief von HOPE an seinen Koautor entnehmen konnen, war
HAUSDORFF mit den ersten Kapiteln des Buches offenbar sehr zufrieden und
hatte nur kleinere Anmerkungen zu machen.^^ Das Kapitel IX der Publikationsfassung
(Kap. VI des damaligen Planungsstandes) liber Modifikationen von
simplizialen Zerlegungen eines Raumes und einen Invarianzbeweis der Homologie
mittels Nerven von tjberdeckungen lag HAUSDORFF besonders am Herzen.
Ihm widmete er tiefer greifende und kritische Anmerkungen. Zunachst wies er
die Autoren auf einige technische Mangel hin.^^ Dariiber hinaus monierte er
anscheinend ganz grundsatzlich, dafi ALEXANDROFF und HOPE die begriffliche
Struktur der ALEXANDROFFschen Homologietheorie selbst fiir einen kompakten
Raum X — F nicht so klar herausgearbeitet batten, wie es moglich gewesen
ware.
Die beiden Autoren verwendeten namlich keine Gruppenfolgen (HAUSDORFFS
Formel (1), nachster Abschnitt) sondern betrachteten die Menge MB = {Br{F)}
^^ Brief HAUSDORFFS an HOPF vom 18.9.1934. Korrespondenz HAUSDORFFS an HOPF, 4
Briefe, 3. 7.1931 bis 14.11.1938, ETH-Bibliothek, Handschriftenabt., NL HOPF, HS 621, 658-
661.
^^ HAUSDORFFS Korrekturanmerkungen liegen uns nicht vor. Sein letzter erhaltener Brief an
ALEXANDROFF datiert vom 18.2.1933; vgl. Fui^n. 12. In der HOPF-Korrespondenz sind seine
Korrekturanmerkungen nicht enthalten; s. Fuftn. 41.
"^^Brief HOPFS an ALEXANDROFF vom 13.1.1935.
^^ Hausdorffs technische Kritik betraf die Ausfxihrung der "kanonischen Eckpunktzuordnungen",
korrigiert in [AleHo 1935], S.349f., den "3. Erhaltungssatz" bei Eckpunktmodifikationen
([AleHo 1935], S.348f.) und wahrscheinlich auch ein logisches Detail der Definition von
"Bettischen N-Gruppen" (siehe unten); vgl. NL HAUSDORFF, Kapsel 61, ALEXANDROFF an
HAUSDORFF vom 9.3.1935 und NL HOPF, HOPF an ALEXANDROFF vom 2.3.1935.
880

von Gruppen Br{F), die fiir jedes £: > 0 als r-te Homologie irgendeines Nerven
einer e-Uberdeckung von F auftritt. Sie zeigten, dafi (bis auf Isomorphie)
hochstens eine Gruppe aus MB als Untergruppe aller anderen auftritt und
definierten dann ad-hoc:
Falls sie existiert, nennen wir sie [die Untergruppe MB - E. S.] die r-te
Bettische N-Gruppe von F und bezeichnen sie mit B'^{F)^^
In einer Anmerkung erlauterten die Autoren die Klausel 'falls sie existiert"
durch Verweis auf ein Beispiel, bei dem die Existenz nicht gewahrleistet ist!
ALEXANDROFF akzeptierte HAUSDORFFS technische Detailkritik. Er bestellte,
wie er schrieb "angeregt durch die Hausdorffsche Kritik", einige Fahnen
des ehemaligen Kapitels VI zuriick, um alles noch einmal durchzusehen. Eine
grundsatzliche Revision lehnte er hingegen ab.^^
HAUSDORFFS Kritik an der Unausgereiftheit des Konzeptes der "Bettischen
N-Gruppen" im Ganzen erschien ihm iibertrieben. Er wies den Vorschlag einer
begrifflichen Verbesserung freundlich aber bestimmt zuriick, zumindest fiir den
ersten Band des gemeinsamen Werks mit HOPF:
Dagegen teile ich nicht Ihre Abneigung gegen die "unter Umstanden gcir
nicht existierende" Bettische Gruppe B'^{F) - sie wird jetzt in Analogic
zu den Bettischen AT-Zahlen die Bettische iV-Gruppe genannt. Sie gehort
zu einem anderen Ideenkreis als die "vollen" Bettischen Gruppen eines
Kompaktums.^^
In Anspielung auf eine Episode, die er bei einem seiner Bonner Besuche erlebt
hatte, raumte ALEXANDROFF ein, dafi HAUSDORFFS begriffliche Kritik durchaus
nachvollziehbar sei. Dennoch woUte er sie sich nicht zu eigen machen:
Sie konnen natiirlich mir mit den Worten des alten Bonner Uhrmacher
(lebt er noch?) antworten: „In ihrer Art mogen ja diese Gruppen ganz
schon sein, aber die ganze Art ist Schunt und Mischt!" Aber auch diesen
Standpunkt wiirde ich nicht teilen. Die Bettischen A^'-Gruppen gehoren
genau zu derselben Kategorie der topologischen Invarianten, wie die Bettischen
AT-Zahlen. Zu derselben Art gehort auch der Zerlegungssatz und
iiberhaupt alles, was auf Nerven beliebig-feiner Uberdeckungen beruht,
andererseits aber vom Begriff des Projektionsspektrums noch keinen Gebrauch
macht. (ibid.)
Demnach hatte HAUSDORFF wohl zu einer Vorgehensweise ahnlich der seiner
Vorlesung von 1933 geraten, also vorgeschlagen, anstelle der etwas undurchsichtigen
Untergruppe MB - "falls sie existiert" - Limites von Gruppenfolgen
45[AleHo 1935], S.356.
'^^Brief ALEXANDROFFS an HOPF vom 9.3.1935, S. 6.
^"^NL HAUSDORFF, Kapsel 61, Brief ALEXANDROFFS vom 9.3.1935. Man beachte die Anfiihrungszeichen
bei " 'unter Umstanden gar nicht existierende' Bettische Gruppe". Die Moglichkeit,
daft die ALEXANDROFF/HoPFSche Definition leer sein kann, scheint demnach ein
Kritikpunkt HAUSDORFFS gewesen zu sein. Vermutlich ging der Existenzvorbehalt des Buches
aus HAUSDORFFS Einwand hervor.
881

zu bilden ("Fundamentalfolgen" in HAUSDORFFS Sprache der 1930er Jahre).
Darauf ware dann auch der topologische Invarianzbeweis besser aufzubauen.
ALEXANDROFF wandte dagegen ein:
Es ist dies [Bettische AT-Gruppen etc. - E. S.] eine durchaus bemerkenswerte
Kategorie von topologischen Begriffsbildungen. Den Satz, dass fiir
ein Polyeder die Bettischen 7V-Gruppen iiberhaupt existieren, ist ein interessanter
Satz (von Hopf). An seinem Interesse wird nichts geandert,
wenn man auch noch so viele und noch so einfache Invarianzbeweise
fiir die Bettischen Gruppen von Polyedern hatte. SelbstverstandUch wird
auch der von Ihnen erwahnte Beweis in unserem Buche gebracht, aber er
gehort in den zweiten Band des Buches, wo alles, was mit Voll- bzw. Projektionszyklen
zusammenhangt, daxgestellt wird. ... Dagegen liegt den
Methoden des ersten Bandes die Betrachtung der Projektionsspektra,
-zyklen usw. noch fern, (ibid.)
Er vertrostete also seinen Korrespondenten fiir einen begrifflichen Zugang nach
Art des "Bonner Uhrmachers" unter Verweis auf den systematischen Aufbau
des Buches auf Band II des Werkes. Einen weiteren Umbau des Gemeinschaftswerkes
woUte er auf keinen Fall in Kauf nehmen. Das Unternehmen "Alexandroff/Hopf'
hatte sich sowieso schon iiber 5 Jahre hingezogen und mehrere
Umbauten erlebt. HOPF hatte kurz vorher seinen Unmut iiber die haufigen
Anderungsvorschlage ALEXANDROFFS zum Ausdruck gebracht (Brief HOPES
an ALEXANDROFF vom 2.3.1935). Der Verleger protestierte noch heftiger.^^
ALEXANDROFF hatte also starke pragmatische Griinde, sich nicht auf HAUS­
DORFFS grundsatzlichen Vorschlag einzulassen.
An HOPF schrieb er, er woUe in Zukunft lieber MARKOFF weiter Korrekturen
lesen lassen. MARKOFF sei sehr griindlich und werde in "angenehmer Weise
bescheiden" sein. Er erganzte:
... er wird eben die Korrektur lesen und nach Fehlern suchen, und nicht
Vorschlage machen, wie man ein Buch iiber Topologie anders schreiben
konnte, als wir es nun einmal geschrieben haben!^^
Seine Antwort an HAUSDORFF war daher trotz aller Verbindlichkeit in dieser
Hinsicht klar abweisend. Beziiglich dessen Anspriichen an den in Kapitel
IX (Druckfassung) gefiihrten Invarianzbeweis glaubte ALEXANDROFF auf die
Zukunft verweisen zu konnen:
Im Ganzen werden im 1. Band vier, im zweiten Bande mindestens ein Beweis
fiir die Invarianz der Bettischen Gruppen gebracht. Hoffentlich findet
unter diesen fiinf Beweisen jeder Leser einen, der seinem Geschmack
entspricht; allerdings werden dabei manche Leser auf das Erscheinen des
^^CouRANT schrieb am 23.3.1935 an HOPF: "Von Springer erhielt ich handeringende Briefe
iiber Ihre und Alexandroffs Korrekturen. Es scheint ja wirklich, als ob Sie einfach das gauze
Buch nach dem Druck sozusagen noch einmal neu geschrieben haben. Springer erklart,
dass dieses Ausmass von Aenderungen und Korrekturen ein noch nie dagewesenes Unikum
darstellt." (ETH-Bibhothek, Handschriftenabteilung, NL HOPF, Kapsel Hs. 621:47)
49ETH-Bibliothek, Handschriftenabteilung, NL HOPF, HS 621:64, S.6.
882

zweiten Bandes warten miissen (der aber wirklich schneller fertig sein
wird als der erste!)^^
Im letzten Punkt verschatzte sich ALEXANDROFF. Der zweite Band erschien
bekanntlich nie. HAUSDORFF gehorte zu denjenigen Lesern, die "auf das Erscheinen
des zweiten Bandes" bis zum Sankt-Nimmerleins Tag batten warten
miissen. Das war nicht seine Sache. Gut vier Jahre nach Erscheinen des "ersten
Bandes" von ALEXANDROFF/HOPF, als abzusehen war, dafi ein zweiter wohl
kaum mehr folgen wiirde, machte er sich selbst daran, die Definition der Homologie
durch ALEXANDROFFsche Nerven und deren Invarianzbeweis neu zu
formulieren.
7. Invarianzbeweise der Homologie
HAUSDORFFS erster Invarianzbeweis der Homologie im Vorlesungsmanuskript
vom Sommer 1933 (NL HAUSDORFF, Fasz. 55) stiitzte sich auf ALEXANDROFFS
Homologietheorie mit starker Akzentuierung gruppentheoretischer Methoden
einschliefilich einer vereinfachten Aufnahme von CECHS Verallgemeinerung in
[Cech 1932].^^ Dabei arbeitete er insbesondere die Rolle von Gruppenfolgen Gi
(HAUSDORFFS Bezeichnung) samt Homomorphismen
Gi^i —> Gi (1)
fiir jedes i G IN heraus (Symbolik so bei HAUSDORFF, Fasz. 55) und fiihrte
zunachst in diesem speziellen Fall deren inverse Limites (in der spateren Bezeichnung
von N. STEENROD) ein. In Anspielung auf die Analysis und in Anlehnung
an ViETORls nannte er die inversen Limites hier "Fundamentalfolgen"
(Fasz.55, B11.135ff.).
In einem Arbeitsmanuskript vom 26.3.1933 (NL HAUSDORFF, Fasz. 451)
verallgemeinerte er die Gruppenfolgen zu Gruppenscharen (HAUSDORFFS Bezeichnung).
Darunter verstand er eine durch eine Menge U indizierte Familie
von Gruppen {Gu)ueu zusammen mit einem System von Homomorphismen
Gy —> Gu fiir gewisse v^u G t/, die (in spaterer Sprache ausgedriickt)
die Bedingungen eines invers gerichteten Systems erfiillen. Durch die Einfiihrung
gebundener Elemente (HAUSDORFFS Terminologie) der Form {xu)ueu mit
^u ^ Gu und Xy = fuvi^u)-, falls im gegebenen System ein Homorphismus
fuv ' Gu —> Gy existiert, konstruierte HAUSDORFF in diesem Manuskript das
spater als inversen Limes zu einer Gruppenschar bezeichnete Objekt.
In diesen Manuskripten machte er ausgiebig von der Pfeilsymbolik fiir Abbildungen
Gebrauch. Zu diesem Zeitpunkt war das keineswegs iiblich. Abbildungspfeile
wurden in der zeitgenossischen Literatur bestenfalls sporadisch eingesetzt;
zuweilen elementweise bei Randoperatoren der Homologietheorie, im
Einzelfall auch fiir allgemeine Homomorphismen.^^ Fiir die Abbildung gan-
^°NL HAUSDORFF, Kapsel 61, Brief vom 9.3.1935.
^^Fiir Randoperatoren elementweise siehe [Al 1926], [Ale 1928], [Cech 1932], [Pon 1931],
fiir den allgemeinen Fall [Wae 1930/31], Bd.l, S.44ff.
883

zer Gruppen hatte sie H. WEYL zur Symbolisierung von Darstellungshomomorphismen
eingesetzt ([Weyl 1925], S.544). Eine relativ systematische Verwendung
wie hier fiir Gruppenfolgen, sowohl fiir die ganze Gruppe, als auch
elementweise, war hingegen eine eigenstandige Symbolwahl HAUSDORFFS. In
einem Beispiel deutete er (in der Kopfzeile einer Tabelle) sogar eine ganze
Gruppenfolge auf diese Weise graphisch an:
Gi

fiir irgendeine kanonische Zerlegungsfolge X — (Xi). Dann zeigte er, dafi
B.^(X, Z) fiir kompakte metrische Raume topologisch invariant ist (Satz VIII,
Bl. 151). Durch den Nachweis der Isomorphie
zog dies wiederum die topologische Invarianz der simplizialen Homologie
ijrf([$],Z) eines endlichen geometrischen Simplizialkomplexes [$] nach sich
(Satz X).
Anfang der 1930er Jahre war dies eine bemerkenswerte begriffliche Zuspitzung.
Zwar war die Grundidee dieser Vorgehensweise in den Arbeiten von
ALEXANDROFF und CECH als Moglichkeit angelegt; aber keiner dieser beiden
Autoren arbeitete die in den eigenen Arbeiten angelegte Limeskonstruktion
klar heraus. Wie wir oben sahen, wehrte sich ALEXANDROFF sogar dagegen,
HAUSDORFFS Vorschlag zur Klarung seiner Konstruktion der Homologiegruppen
in Band I von [AleHo 1935] aufzunehmen. CECH nahm in [Cech 1932] zwar
eine detaiUierte Analyse der induzierten Abbildungen der Zyklen und ihrer
Homologien vor, charakterisierte aber die auftretenden Limites (als Moduln)
nur implizit. Die bei ihm angelegte Struktur der inversen Limites wurde erst
von STEENROD in [Ste 1936] explizit herausgearbeitet.^^ HAUSDORFF lernte
STEENRODS Arbeit moglicherweise erst 1940 kennen. Eine Studie dazu findet
sich in seinem Nachlafi (Fasz. 750).^^
Seine eigene AufFassung von "Gruppenfolgen" und "Gruppenscharen" und
ihrer Limites hatte er schon im Marz 1933 ausgearbeitet. Eine detaiUierte Studie
liber CECHS Arbeit, im Nachlafikatalog datiert als "vermutlich 1932 bis Februar
1934" (NL HAUSDORFF, Fasz. 463) entstand allem Anschein nach spater als
Marz 1933. In einer Randnotiz zu CECHS Behandlung von Ketten C^iJA) einer
tJberdeckung U bemerkte Hausdorff namlich:
Bei miri C^iJA) tritt in einer "Pundamentalfolge" oder in einem "gebundenen
Element" als Glied auf ^^
Zum Zeitpunkt seiner detaillierten Studie der CECHschen Arbeit hatte HAUS­
DORFF seine Auffassung der Gruppenscharen und der inversen Limites also
offenbar schon ausgearbeitet.
Im Laufe der 1930er Jahre wurden die Hilfsmittel der algebraischen Topologie
so weit verfeinert, da£ HAUSDORFF im Friihsommer 1940 seinen alten Beweis
des Fundamentalsatzes (der topologischen Invarianz der Homologie) verbessern
konnte. Zwischen Ende Mai und Juli 1940 bearbeitete er das Thema noch einmal
neu in einer Handschrift, liberschrieben "Vereinfachte Umarbeitung des § 4
^^Siehe dazu [Die 1989], S.74ff. Limites von Gruppen traten allerdings schon friiher auf,
etwa bei [Pon 1931] und [Herb 1933] - Hinweis von R. Kromer.
^^G. BERGMANN datiert dieses Manuskript auf "vermutlich Oktober 1940". Mir ist unbekannt,
worauf sich diese Monatsdatierung stiitzt; aber selbst falls diese Datierung zutreffen
sollte, zeigt HAUSDORFFS Terminologie und Symbolik in Fas. 742, daft er STEENRODS Arbeit
schon vorher, spatestens in der ersten Jahreshalfte 1940, zur Kenntnis genommen hatte.
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 463, B1.3v.
885

meiner Vorlesung vom SS 1933 nebst Zusatzen" (NL HAUSDORFF, Fasz. 742).
Die Handschrift besteht aus zwei (teilweise mehrfach geschriebenen) Teilen. Im
ersten (§ 4A) arbeitete unser Autor den Invarianzbeweis fiir endliche geometrische
Komplexe neu aus und erganzte ihn um tjberlegungen zur CECHschen
und zur ViETORlS-Homologie HY{X) allgemeinerer Raume X, samt Isomorphienachweis
HY{X) ^ H^{X) fur X kompakt, metrisierbar (BlL61ff.). Der
zweite (doppelt ausgefiihrte) Teil (§ 4B ~ § 4C) behandelte den Fall abzahlbarer,
lokal endlicher geometrischer (Simplizial-) Komplexe.
In diesem spaten Manuskript konnte HAUSDORFF aufier auf die Ansatze von
ALEXANDROFF, VIETORIS und CECH (1932) auch auf Kenntnis der Arbeiten
von PONTRJAGIN (1931) und STEENROD (1935) zuriickgreifen. Dennoch
benutzte er auch in seinem neuen Beweis weiterhin entscheidend, dafi die simpliziale
Homologie J^f ([^], Z) eines endlichen oder abzahlbaren geometrischen
Komplexes [$] mit der ALEXANDROFF-Homologie iY^([$], Z), gebildet aus Zerlegungsfolgen
von Uberdeckungen aus Simplexsternen, isomorph ist. CECH folgend,
verwendete er nun allerdings offene Uberdeckungen (und entsprechend
offene Simplexsterne). Die Beweisstrategie blieb aber ansonsten dieselbe wie
1933. HAUSDORFF fiihrte den Beweis erneut und unter schrittweise allgemeineren
Bedingungen aus, zunachst fiir endliche geometrische Simplizialkomplexe
(Fasz. 742, Bll. 25-28), dann fiir kompakte metrische Raume (BU. 33 ff.) und
schliefelich fiir abzahlbar unendliche, lokal endliche geometrische Simplizialkomplexe.
Er blieb bei (gegeniiber der CECH-Homologie) eingeschrankten, sich in jedem
Schritt verfeinernden tJberdeckungssystemen. Wie in der Vorlesung 1933
betrachtete er Gruppenfolgen (1) und konstruierte die zugehorige Limesgruppe
(Fasz. 742, Bl. 31). Er vereinfachte damit STEENRODS inverse Systeme, verwies
aber darauf, dd& eine allgemeinere Auffassung mit lediglich partialgeordneten
Indexmengen moglich ist. An einigen Stellen verwendete er nun sogar die Formulierung
des "inversen Systems" und dessen "Limesgruppe" (ibid., Bl. 37).
Eine Folge $ — (^i) von Komplexen ^i der Nerven schrittweise feiner werdender
Uberdeckungen induziert eine Folge von zugehorigen Homologiegruppen.
Deren (inversen) Limes bezeichnete HAUSDORFF ahnlich wie 1933 als Homologie
der Komplexfolge iJ*(^, 2) (ebda.). Mit der verbesserten Methode der
Gruppenlimites wurde der Beweis, dafi je zwei "kanonische" Zerlegungsfolgen
eines kompakten Raumes gleiche Homologien haben, also die entscheidende
Grundlage fiir die Einfiihrung der ALEXANDROFF-Homologie, beziehungsweise
ihrer HAUSDORFFschen Variante wie in den Gleichungen (2), (3), eleganter
fiihrbar als 1933 (ibid., Bll. 33ff.). Dasselbe gait fiir den Beweis der topologischen
Invarianz (ibid. Bll. 34ff.).
Fiir allgemeine topologische Raume fiigte HAUSDORFF einen kurzen Exkurs
zur CECH-Homologie ein. Diese sei "offenbar topologisch invariant" und stimmt
im kompakten Fall mit der simplizialen Homologie iiberein (ibid., Bll. 36ff.).
Fiir abzahlbare, lokal endliche, geometrische Simplizialkomplexe [^] ging er
jedoch wieder zu seiner an ALEXANDROFF orientierten Beweisstrategie iiber
und bewies die topologische Invarianz von iJ^([^], Z) durch Betrachtung von
886

Verfeinerungen abzahlbarer ofFener Uberdeckungen und ihrer Nerven (ibid.,
B11.85ff.).^^
HAUSDORFF war mit dem Ergebnis seiner Verbesserungen nun ofFenbar zufrieden.
In dem schon oben erwahnten Brief vom 6.6.1940 an J. O. MULLER
schrieb er weiter:
Ich habe jetzt den Komplex-Komplex, d. h. befasse mich mit kombinatorischer
Topologie. Wissen Sie noch, wie wir in dem Biichelchen von
Veblen gemeinsam bis Seite 2 vordrangen? Leider sind auch die spateren
Werke, Lefschetz, Threlfall-Seifert, AlexandrofF-Hopf, gar nicht leicht
zuganglich. Im Sommersemester 1933 habe ich noch eine zweistiindige
Einfiihrungsvorlesung iiber diesen Gegenstand gehalten; den letzten Paragraphen
davon, den Beweis der topologischen Invarianz der Bettischen
Gruppen, habe ich jetzt doch so vereinfacht, dass ich ein gewisses aesthetisches
Wohlgefallen daran habe.^^
Diese Aufierungen zeigen, dafi es HAUSDORFF als nunmehr fast 72-jahrigem in
seinen Ausarbeitungen zur algebraischen Topologie nicht mehr um neue Ergebnisse
ging. Es lagen publizierte Beweise der topologischen Invarianz der Homologie
vor, die den gangigen Kriterien standhielten, darunter die von ihm sachlich
keineswegs infrage gestellten von ALEXANDROFF und HOPE und einer von
SEIFERT/THRELFALL. Die Ausfiihrungen der letztgenannten waren allerdings
geometrischer im Stil als die von ALEXANDROFF und HOPE und lagen schon
deswegen seiner Denkweise ferner, abgesehen von ihrer Verwendung der (verbesserten)
Methode der singularen Homologie.^^ Dafi sich HAUSDORFF auch
mit den Beweisen von ALEXANDROFF und HOPE nicht ganzlich zufrieden geben
wollte, wurde weiter oben schon dargestellt (Abschnitt 6).
Der Schritt zur Betrachtung unendlicher Komplexe und nichtkompakter Raume
war zwischenzeitlich auch anderenorts geschehen. Schon [Lef 1930] enthielt
eine Darstellung der Homologie unendlicher Komplexe, wenn auch noch in vorlaufiger
Form. CECH zielte mit seiner Homologietheorie in allgemeinen Raumen
in dieser Hinsicht auf eine tragfahige Verallgemeinerung ([Cech 1932]). Es zeichnete
sich allerdings ab, dafi die urspriingliche Fassung der CECH-Homologie fiir
den nicht-kompakten Fall Probleme aufwarf, weil sie nicht homotopieinvariant
war ([Dow 1937]). HAUSDORFFS Vorsicht mag insofern durchaus als gerechtfertigt
erscheinen (obwohl dies nicht sein Grund war). Sein Invarianzbeweis war
klar aufgebaut und auch fiir diesen Fall verlafilich durchgefiihrt.
^^Der entsprechende Passus des Manuskriptes 4B (bzw. in anderer Zahlung 4C liegt in
zweifacher Ausfertigung vor, eine datiert vom 5.5.1940 (Fasz. 742, Bll. 87-101), die andere
auf den 10.6.1940 datiert (ibid., Bll. 72^86). In diesem Band ist nur die spatere Fassung
ediert.
5'^Vgl. Fuftn. 5.
^^Schon aus den Korrekturfahnen des ersten Teils von SEIFERT/THRELFALL war HAUS­
DORFF die grofte Differenz in Stil und Denkweise zu diesen beiden Autoren ersichtlich geworden.
In einem Brief vom 18.2.1933 schrieb er an ALEXANDROFF: „Threlfall und Seifert
haben mir einen Teil des Manuskripts eines Buches, das sie iiber komb. Top. schreiben wollen,
zugeschickt; ich finde das Bisherige recht hiibsch und klar. Aber meine Haupt-Hoffnung ist
doch auf Sie und Hopf gerichtet." (NL HAUSDORFF, Kapsel 61)
887

Ohnehin beschrieb er die Absicht seiner neuen Studien eher in Stilkategorien
als durch Giiltigkeitskriterien. Die vorhandenen Lehrbuchdarstellungen gait en
ihm als "gar nicht leicht zuganglich". Diese Formulierung liefi offen, ob ,schwierig,
wenn auch moglicherweise logisch in Ordnung' gemeint war, oder ,schwierig,
well logisch liickenhaft und methodologisch zweifelhaft'. Es ist leicht zu erraten,
wie HAUSDORFF die von ihm genannten Monographien in dieser Hinsicht
beurteilte.
Er jedenfalls hatte fiir die Invarianz- und Isomorphiebeweise eine Form gefunden,
die in seiner Sicht neben der logischen auch darstellungsmafiige ("aesthetische")
Geltung beanspruchen konnte.
8. Ausblick
Nach seiner Emeritierung im Jahre 1935 verfolgte HAUSDORFF die Entwicklung
der algebraischen Topologie in dem Mafee weiter, wie es ihm unter den erschwerten
Bedingungen des Literaturzugangs wahrend dieser Zeit moglich war.^^ Den
erhaltenen Studien nach zu schlie£en, verfolgte er insbesondere die Arbeiten
von S.EiLENBERG, W. HuREWicz und N.STEENROD mit grofiem Interesse
(NL Hausdorff, Findbuch). Thematisch beschrankte er sich dabei weitgehend
auf die Homologietheorie und ihre Eigenschaften. Die neu entstehenden Forschungsthemen
der Kohomologietheorie und ihrer Produktstrukturen sowie das
in dieser Zeit begonnene Studium hoherer Homotopiegruppen ([Mas 1999], [Die
1989], [HenPu 1990]) wurden, den erhaltenen Studien nach zu schliefien, von
HAUSDORFF nicht weiter beachtet. Lediglich ein sporadischer Hinweis auf "Fundament
algruppen hoherer Dimension: Hurewicz und Aronszeijn" findet sich in
einer einzeln stehenden Notiz (NL HAUSDORFF, Fasz.688, Bl. 1).®^ Anders ist
das mit Fragen der Homotopieaquivalenz von Abbildungen und mit dem Studium
von Retrakten bei HuREWiCZ und anderen. Diesbeziiglich einschlagige
Arbeiten hat HAUSDORFF rezipiert (z. B. NL HAUSDORFF, Fasz. 578, 580, 634,
663, 669, 680, 762, 784), ohne diese Dinge selbst weiter zu treiben.^^
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^^Zu HAUSDORFFS Lebens- und Arbeitsbedingungen unter der nationalsozialistischen Diktatur
s.die Biographic im Band I dieser Edition.
^^NACHMAN ARONSZAJN, Dissertation 1930 bei S. MARZURKIEWICZ und M. FRECHET.
^^Fiir die Durchsicht dieser Manuskripte geht ein herzlicher Dank an C.-F. BODIGHEIMER.
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Aus HausdorfFs Nachlaft sind im folgenden abgedruckt:
NL HAUSDORFF : Kapsel 18: Fasz. 55
Einfiihrung in die kombinatorische Topologie
Hs. Ms. - [Bonn], Sommersemester 1933. - 153 Bll.
NL HAUSDORFF : Kapsel 43: Fasz. 742
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen
(Vereinfachte Umarbeitung des § 4 meiner Vorlesung vom SS 1933
nebst Zusatzen).
Hs. Ms. - [Bonn], Ende April-Juli 1940. - 101 Bll.
Abgedruckt sind Bll. 23-28, 41-48, 60-101.
NL HAUSDORFF : Kapsel 35: Fasz. 401
Euklidische Komplexe
Hs. Ms. - [Bonn], 14.1.1931 [und friiher]. - 32 Bll.
Abgedruckt sind Bll. 23-24, 29-32.
892

Einfiihrung in die Kombinatorische Topologie
(SS 1933) 2 St.
§ 1. Komplexe.
Als einfachste Figuren des dreidimensionalen Euklidischen Raumes betrachten
wir:
(0) den Punkt x
(1) die (geradlinige) Strecke [xy]
(2) das Dreieck [xyz]
(3) das Tetraeder [xyzu]
Im Fall (1) ist X ^ y angenommen, die Strecke besteht aus den Punkten der
durch X, y gehenden Geraden, die zwischen x, y liegen, die Ecken x, y mitgerechnet
{abgeschlossene Strecke). Im Fall (2) ist angenommen, dass x, y, z nicht
auf einer Geraden liegen, sondern eine Ebene bestimmen, das Dreieck besteht
aus den Punkten, die im Innern oder auf den Seiten liegen {abgeschlossenes
Dreieck); man erhalt sie z. B., wenn man z mit alien Punkten von [xy] verbindet.
Im Fall (3) ist angenommen, dass x^y^z^u in keiner Ebene liegen; man
erhalt die Punkte des Tetraeders, wenn man u mit alien Punkten von [xyz]
verbindet. | B1.2
In Raumen hoherer Dimension existieren noch weitere analoge Figuren. En
sei ein n-dimensionaler Zahlenraum; die Punkte (Elemente der Menge En) sind
Zusammenstellungen
^ = (6,6,---,^n), y= (7/1,7/2,..., r/n),...
von n reellen Zahlen in bestimmter Reihenfolge, d.h.. x = y dann und nur dann,
wenn ^i = T/I , ^2 = 7/2, • • •, ^n = 7/n • Wir nennen ^1,..., Cn die Koordinaten von
x; der Punkt 0 == (0, 0, ..., 0) heisst Nullpunkt Unter ax -\- f3y -\- - - - -\- ^z
(endlich viele Punkte x, y,..., 2:, nicht notwendig verschieden; reelle Koeffizienten
a, /?,..., 7) wird der Punkt mit den Koordinaten a^i + (5r]i + • • • 4- 7^
(i — l,...,7i) verstanden. 771 + 1 Punkte xo,xi,...,Xm heissen (linear) unabhdngig^
wenn keine Relation
ao^o -h aixi -\ h Oim^ni =0, ao-\- ai-\ (- am = 0
besteht ausser fiir Q/Q = o^i = • • • = am = 0 (ein einzelner Punkt gilt demnach
als unabhangig). Sind XQ, ..., Xm unabhangig, wahrend x, XQ, . •., Xm abhangig
sind, so besteht also eine | Relation fSx + /3o^o + • • • + Pm^m = 0, (3 -\- Po + BL 3
hPm — 0, in der /?, /^o, • • • 5 /^m nicht alle 0 sind, und zwar ist /? 7^ 0, da sonst
xo,..., Xm abhangig waren. Indem man durch P dividiert, erhalt man
X = aoxo -\- aixi -\ h amXm, ao-\-ai -\ \-am = '^ (1)
m
und dies liefert also, wenn man die ai mit ^ a^ = 1 variieren lasst, alle von
0
Xo,..., Xrri abhangigen Punkte: sie bilden den durch XQ, ..., Xm bestimmten 771dimensionalen
Teilraum E{xoXi.. .x^) von En- (Fiir m — 1 die durch xo,xi
893

gehende Gerade, fiir m = 2 die durch xo,a;i,X2 gehende Ebene u. s.w.) Unterwirft
man die ai in (1) ausserdem der Einschrankung
«0 > 0, ai > 0, . . . , Qrn > 0, (2)
so bilden die x eine Menge [XQXI .. .Xm], die als m-dimensionales Simplex mit
den Ecken XQ^XI,. .. ,Xm bezeichnet wird ^. (m = 1 Strecke, m = 2 Dreieck
Bl. 4 u.s.w.)|
Die Maximalzahl unabhdngiger Punkte ist n -|- 1. Haben wir m + 1 Punkm
te XQ^XI,. ., ,Xm und stellen die Gleichung ^ai {xi — XQ) = 0 auf, so liefert
1
das fiir ai,..., am TI lineare homogene Gleichungen (Spaltung nach den Koordinaten),
und diese haben fiir m > n sicher eine Losung ai,...,Q:m mit
nicht lauter verschwindenden Gliedern, d.h. xo,...,Xm sind abhangig (mit
m m m
ao = — X^c^i : ^aiXi = 0, ^oii = 0). Mehr als n + 1 Punkte sind also
1 0 0
sicher abhangig; andererseits giebt es aber n + 1 unabhangige Punkte; z. B. die
i
n Punkte e^ = (0,..., 0,1,0,..., 0), deren i-te Koord. 1 ist, wahrend die iibrigen
n
verschwinden, verbunden mit dem NuUpunkt eo = 0 : hier ist ^^^^^(e^ — eo) ==
1
(ai,..., an) = 0 nur fiir CKI = • • • == an = 0 und ao = 0. Fiir n +1 unabhangige
Punkte xo,..., Xn ist also E{xo ... Xn) mit dem ganzen Raum identisch. Es
Bl. 5 giebt in En nur Simpla der Dimensionen 0,1,..., n. |
Der Punkt (1) wird aus Grtinden, die in den Elementen der Mechanik erlautert
werden, der Schwerpunkt der in den Punkten XQ ,..., Xm angebrachten Massen
ceo,..., Oini (mit der Summe 1) genannt; diese Massen, die wegen der Unabhangigkeit
der Xi durch x eindeutig bestimmt sind, heissen die baryzentrischen
Koordinaten von x. Bei gleichen Massen erhalt man den Schwerpunkt
oder Mittelpunkt
X ——(xoH \-Xm)
I ~r J-
des Simplums. AUgemein heissen die x, wo alle a^ > 0 sind, innere oder mittlere
Punkte des Simplums, die iibrigen, wo also mindestens ein a^ gleich 0 ist,
Randpunkte. (Es stimmt diese Unterscheidung mit der mengentheoretischen
in Bezug auf den Raum JE'(XO ... Xm) tiberein, aber fiir m < n nicht mit der
in Bezug auf den ganzen Raum En- Ein 0-dimensionales Simplum x hat den
mittleren Punkt x und keinen Randpunkt). Der Rand wird also von den {m—1)-
Simpla (= (m — l)-dimensionalen Simpla)
• Xm—\
Bl. 6 I gebildet, die durch Weglassung je einer Ecke entstehen; die Randsimpla dieser
^der oder das Simplex? Plural Simplices oder Simplexe? Ich ziehe vor: das Simplum, die
Simpla.
894

Randsimpla sind (m — 2)-Simpla u. s. w.; die 1-Simpla [xoa^i], [a:oa:2]5 [3:^1^2], • • •
heissen auch Kanten.
Das Simplum [xoa^i.. .Xm] ist durch die Menge S = {XQXI .. .Xm} seiner
Ecken bestimmt und wird kurz mit [S] bezeichnet. Ist T C 5 eine nicht leere
Teilmenge von 5, so heisst [T] mit [S] inzident.
Zwei Simpla [S], [T] in En heissen exklusiv, wenn ihr Durchschnitt entweder
leer oder das von ihren gemeinsamen Ecken bestimmte Simplum ist (Dabei
wird [S] ^ [T], 5 7^ T angenommen).
In kurzer Formel
[S][T] = [ST];
im Allgemeinen ist [S][T] 'D [ST] und es soil also bei exklusiver Lage das
Gleichheitszeichen gelten.
Beispiele in der Ebene (links exklusive, rechts nicht exklusive Lage).
Zwei Dreiecke: y^
V3
V . 1\
^v^ ^ BL 7
eine gemeinsame Ecke \ 1 ^ \ ^;^:^:^^^3
keine gemeinsame Ecke
Dreieck und Strecke:
zwei gemeinsame Ecken
eine gemeinsame Ecke
X
Ay >*, X
X
>1. .^-
y.
y.
/ N ^. / I
895
\
y.
Y
^3
y.

keine gemeinsame Ecke
[S], [T] sind inshesondere dann (aher nicht nur dann) exklusiv, wenn ihre sdmtlichen
Ecken unabhangig sind.
Sei S = {zo...Zr Xr-^i . . . Xm}, T = {ZQ . . . Zr Vr+l • • • Vp}, ST = {ZQ . . . Zr].
Ein gemeinsamer Punkt x von [5], [T] hat also die Darstellung
Bl. 8 I daraus folgt
X = a^Zo H h arZr + Qfr+ia^r+l h OLm^m
m p
mit einer KoefSzientensumme J2 ^i ~ "^ pj = 1 — 1 = 0, also wegen der
0 0
Unabhangigkeit
ao - (3o = '•' = O^r - Pr = Oir+1 = ' " = am = Pr-^1 = " ' = f3p =^ 0,
V 3
X = aozo H h OirZr gehoit zu [ST].
Endlich viele verschiedene, paarweise exklusive Simpla [S'l],..., [Sr] bilden
eine Punktmenge
m = [Sl] + --- + [Sr],
die ein simplizialer Komplex genannt wird. (Wir schreiben +, statt -h, auch bei
nicht disjunkten Summanden). Z.B. Komplex des Dreiecks [$] = [3^03:1X2].
Komplex des Dreiecksrandes [$] = [XQXI] + [X1X2] + [3:2^0]-
Die Simpla [^i],..., [S^] und die mit diesen inzidenten (z.B. [T], T C ^i)
Bl. 9 heissen zum Komplex [$] gehorig. |
Wir werden das Beiwort simplizial meistens fortlassen, aber es handelt sich
bei einem Komplex nicht um eine Punktmenge schlechthin, sondern in einer
bestimmten simplizialen Zerlegung. Eine Rechtecksflache ist noch kein Kom-
896

plex, sondern wird erst einer, wenn sie in exklusive Dreiecke zerlegt wird, was
r
auf unendlich viele Arten geschehen kann; auch ein Dreieck kann nochmals in
Dreiecke zerlegt werden, wodurch es als Punktmenge unverandert bleibt, als
Komplex sich andert.
Bezeichnet man samtliche verschiedene Ecken des Komplexes mit XQ, a^i,..., a^s,
so lasst sich jeder Punkt x des Komplexes in der Form (analog zu (1) (2))
ao^o + OLiXi -\ h agXs^ ao + o^i 4- •
ao > 0,..., c^s > 0.
+ as = 1,
mit eindeutig bestimmten ai darstellen, obwohl die XQ,. .. ,Xs im AUgemeinen
nicht mehr unabhangig sein werden. Sei namlich [S] \ ein zum Komplex gehori- Bl. 10
ges Simplum niedrigster Dimension, dem x angehort; etwa [S] = [
(1st X eine Ecke XQ, SO ist [S] = [XQ] = XQ] liegt x, ohne Ecke zu sein, auf einer
Kante [XQXI], SO ist [S] = [xo^i] usw.) Dann ist x mittlerer Punkt von [S] und
[S] durch X eindeutig bestimmt, denn wenn x auch noch zu [T] ^ [S] gehorte,
wiirde er zu [S][T] = [ST], d.h. zu einem Simplum C [S] gehoren. Sind demnach
aoj • • • ? Oim die baryzentrischen Koordinaten von x in 5, so hat man (1)
(2) und demnach (3) mit a^+i = • - • = as = 0, o^o > 0,..., am > 0.
(Ohne die geschilderte Vorschrift wiirde (3) i. A. nicht eindeutig sein). Z.B.
flir den aus zwei Strecken der geraden Linie bestehenden Komplex [^] =
[XQXI] + [X1X2] hat man fiir die Ecken x = a:o,xi,X2, wenn x mittlerer Punkt
von [a:i,X2] ist: x = ai^i + a2X2, wenn x mittlerer | Punkt von [a;o,a:i] ist, BL 11
X = ao^o + aiXi] die sonst fiir Punkte, die zwischen a:o,X2 liegen,.noch mogliche
Darstellung x = aoXo -\- 0^2^2 kommt hier nicht in Betracht.
Die auf die angegebene Weise bestimmten Koeffizienten ao,... ,as heissen
auch jetzt noch baryzentrische Koordinaten von x.
Der Zahlenraum En wird zum Euklidischen Zahlenraum, wenn man fiir die
Punkte X := (^1,..., ^n) den Betrag \x\ = {^f-\ h ^^) 2 und fiir zwei Punkte
x,y die Entfernung \x — y\ erklart. \x\ ist die Entfernung des Punktes x vom
NuUpunkt. Es ist |a: + 2/| < \x\ + \y\, \ax\ = \a\\x\.
Sowohl im Simplum wie im Komplex ist x stetige Funktion der baryzentrischen
Koordinaten und jede baryzentrische Koordinate stetige Funktion von x.
Denn fiir zwei Punkte x — ^ aiXi, y
0
\^ - y\ < Z)l

BL 12 |x - y| —> 0. I
Umgekehrt woUen wir zunachst im Simplum (1) zeigen, dass jedes a^ stetige
Punktion von x ist. Betrachten wir ao und nehmen x 7^ XQ an, also ai,..., am
nicht alle 0. Der Punkt y = rrwn ^^^ (j^nn die Projektion von XQ
CKi H \-am
y^
auf die gegeniiberliegende Seite [xi... Xm], denn y gehort dieser Seite an und
zugleich ist
X = aoxo + (1 - ao)y,
X liegt auf der Geraden durch xo,y. Offenbar ist y stetige Punktion von x und
\x — Xn
X — xo — {1 — ao){y — xo), -, r = 1 — ao (Teilverhaltnis) stetige Punktion
von X fiir X 7^ XQ. Ebenso ist ai stetige Punktion von x iiir x ^ xf, wenn x -^ XQ,
m
SO konvergiert jedes ai {i ^ 0) nach 0, infolgedessen aber auch ao — 1 — J2 ^i
1
nach 1, d. h. ao ist auch bei xo stetig.
Haben wir einen Komplex, ist x mittlerer Punkt des Simplums [S] = [XQ .. • Xm],
y mittlerer Punkt eines Simplums [T] und ?/ ^ a;, so ist jedenfalls [S] C [T]
m
X = ^aiXi^
0
y =
p
"^PjXj mit a^ > 0, /3j > 0. Da wir uns hier im Simplum T befinden, konver-
0
giert /?o -^ c^o, • • •, Pm -^ ocm, /3m+i ^0, ..., ^p ^ 0. Das gilt fiir jedes
der endlich vielen [T], die 2 [S] sind, z.B. im skizzierten Pall [S] = [XQXI] fiir
T = [xoXi], [^0X1X2], [XQXIXS]; wie also auch y nach x konvergieren moge, so
konvergiert jede baryzentrische Koordinate von y nach der entsprechenden von
X.
Zwei m-dimensionale Simpla [S] = [xo •.. Xm] und [T] = [yo ... ym] in beliebigen
Raumen lassen sich eineindeutig auf einander abbilden dadurch, dass man
die Punkte mit gleichen baryzentrischen Koordinaten auf einander abbildet:
m m
x = Y^aiXi, y = Y^aiyi.
0 0
Dadurch ist jedes der beiden Simpla stetiges Bild des andern; eine solche to-
898
I

pologische (d. h. eineindeutige, in beiden Richtungen stetige) Abbildung heisst
auch Homoomorphie?
Auch zwei Komplexe [$], [^], deren Ecken XQ, ..., Xs und yo,... ,ys einan-
der eineindeutig so zugeordnet werden konnen, | dass jedem in [$] enthaltenen Bl. 14
Simplum [xiXj .. .Xk] ein in [^] enthaltenes [yiVj -- -Vk] entspricht und umgekehrt,
werden durch Zuordnung der Punkte mit gleichen baryzentrischen Koordinaten
s s
x = ^aiXi, y = y^^ (y-iVi
0 0
topologisch auf einander abgebildet. Z. B. sind die beiden hier skizzierten Strek-
kenkomplexe homoomorph. Man erkennt, dass fiir die topologischen (d. h. bei
topologischer Abbildung invarianten) Eigenschaften eines Komplexes nur die
Kenntnis derjenigen Eckenmengen S = {xiXj .. .Xk} erforderlich ist, die einem
im Komplex enthaltenen Simplum [S] = [xiXj >. .Xk] entsprechen. Das System
$ dieser Mengen S wird als Schema des Komplexes [^] oder als abstrakter
Komplex bezeichnet, und auf diese Weise werden wir dazu gefiihrt, endliche
Systeme endlicher Mengen zu betrachten, d. h. zur kombinatorischen Topologie.
I Zuvor noch Folgendes: das homoomorphe Bild eines Simplums [XQ ... Xm] Bl. 15
bei Abbildung in einen beliebigen metrischen Raum heisst ein topologisches
Sim^plum,. Wir fassen dies nicht nur als Punktmenge auf, sondern halt en dabei
die Abbildung fest, und nennen dementsprechend die Bilder yo, • • • ? 2/m der
Ecken XQ, ..., Xm die Ecken, die Bilder der Kanten [xiXj] die Kant en usw. des
m
topologischen Simplums; dem Bildpunkt y von x = '^aiXi schreiben wir die
0
baryzentrischen Koordinaten a^ zu. Z. B. sei a::oXi^2 ein (gleichseitiges) Dreieck,
dessen Umfang wir von seinem Mittelpunkt aus auf den Umkreis projizieren;
•^Die hier vorliegende Abbildung wird auch als lineare oder affine Abbildung der beiden
Simpla bezeichnet; sie lasst sich auf die Raume E{xo ... Xm) und E(yo ... ym) ausdehnen.
899
^3

wir erhalten dann den Kreisbogen XQ xi als topologisches Simplum (Strecke)
mit den Ecken xo,xi. Ebenso wird das topologische Bild eines Euklidischen
Komplexes ein topologischer Komplex genannt; z.B. die Kreislinie als topologisches
Bild des Dreiecksumfangs [xoa::i] + [^^1X2] + [2:23:0] ein topologischer
Bl. 16 Komplex mit drei Ecken und Kanten; sie kann natiirlich, | ohne sich als Punktmenge
zu andern, auch als topologischer Komplex mit n Ecken und n Kanten
(n > 3) aufgefasst werden. Die Kreisflache ist topologisches Dreieck. Die Kugelfiache
lasst sich, indem man den Rand eines Tetraeders auf sie projiziert, als
topologischer Komplex mit 4 Ecken, 6 Kanten (Kreisbogen), 4 (spharischen)
Dreiecken auffassen.
Die urspriinglich betrachteten Simpla und Komplexe mogen gegeniiber den
topologischen als Euklidisch oder geradlinig bezeichnet werden; wenn nichts
anderes gesagt ist, verstehen wir unter einem Simplum oder Komplex immer
Bl. 17 einen Eukhdischen. |
Abstrakte Komplexe.
Eine Menge S = {XQXI ... Xm} aus m-\-l verschiedenen Element en heisst ein
abstraktes m-Simplum (m-dimensionales Simplum) mit den Ecken XQ,. .. ,Xm-
Ein endliches System
^ : ^i, 52,... ,Sr
verschiedener solcher abstrakter Simpla, worin insgesamt die verschiedenen
Ecken XQ,. -. ,Xs vorkommen, heisst ein abstrakter Komplex mit den Ecken
xo,... ,Xs. Wir verabreden, dass in ^ nebst jedem S auch sdmtliche Teilmengen
von S vorkommen sollen, sodass z. B. der abstrakte Komplex (das Schema)
des Dreiecks vollstandig so zu schreiben ware:
$ : {xoa:ia;2}{xoa;i}{xoX2}{xiX2}{:ro}{a;i}{x2};
lasst man das erste 2-Simplum weg, so erhalt man das Schema des Dreiecks-
Bl. 18 umfangs. |
Andererseits geniigt es aber auch {reduzierte Schreibweise), nur die Maximalsimpla
(die nicht Teilmengen grosserer Simpla sind) hinzuschreiben, z. B.
als Schema des nachstehenden Komplexes [$] = [XQ 0:1X2 ] + [2:1X3] :
^ : {xoXia:2}{a:ia:3} ; die voUst. Darstellung wiirde lauten:
$ : {xoXia:2}{xoXi}{xoX2}{2:iX2}{xiX3}{xo}{a:i}{a:2}{x3}.
Der Komplex heisst n-dimensional (ein n-Komplex), wenn in ihm n-Simpla,
aber keine hoheren vorkommen; homogen n-dimensional, wenn alle Maximalsimpla
n-Simpla sind. Der zuletzt angefiihrte Komplex ist nicht homogen.
900

Jeder abstrakte Komplex ^ : Si,... ,Sr ist das Schema unendlich vieler Euklidischer
Komplexe [^] = [Si] -\ h [5^], die allesamt homoomorph sind.
Es kommt ja nur darauf an, durch geeignete Wahl der Ecken die Simpla
[Si],..., [Sr] paarweise exklusiv zu | machen; das geht jedenfalls so (aber nicht Bl. 19
nur so), dass man samtliche Ecken unabhangig wahlt. Man kann also zu einem
Komplex $ mit 5 + 1 Ecken jedenfalls im Eg einen Komplex [$] bilden, der
$ als Schema hat. Es geht aber schon, wenn $ n-dimensional ist, im £^2n+i,
wenn man darin die Ecken „in allgemeiner Lage" wahlt, d. h. so, da6 2n + 2
Ecken stets linear unabhangig sind. Denn zwei Simpla S, T des Komplexes haben
jedes hochstens n + 1, zusammen hochstens 2n + 2 Ecken; da diese linear
unabhangig sind, liegen [S], [T] exklusiv. Bisweilen wird es vorkommen, dass
man eine Zusammenstellung von Ecken betrachten muss, die nicht allesamt verschieden
sind, z.B. {XQXIXQX2}\ dies heisst ein singuldres abstraktes Simplum
und gehort einem Komplex $ dann und nur dann an, wenn die Menge der
verschiedenen Ecken (in unserem Fall {a:^o^i^2}) zu ^ gehort. | Bl. 20
Orientierung.
Auf der die Punkte x ^ y verbindenden Geraden werde einer der beiden
Richtungssinne betrachtet. Dann erscheinen die Punkte in einer bestimmten
Reihenfolge, die in [xy] oder {x,y} noch nicht vorhanden war, indem die gerichtete
Gerade von x nach y fiihrt {x Anfangspunkt, y Endpunkt) oder umge-
kehrt; wir erhalten zwei orientierte Strecken xy, yx und setzen (was zunachst
willkiirlich erscheint) yx = —xy. In der Ebene der drei (nicht auf einer Geraden
liegenden) Punkte x,y,z werde einer der beiden Drehungssinne betrachtet.
Dann erscheinen die Punkte in einer (zyklischen) Reihenfolge und wir erhalten
zwei orientierte Dreiecke
xyz = yzx = zxy, xzy = zyx = yxz,
wobei wir yxz = —xyz setzen. | Bl. 21
901

AUgemein wird aus m + 1 verschiedenen Ecken XQ^XI,. ..Xm ein „Produkt"
P = xoa^i ...Xm
gebildet mit der Vorschrift, dass es durch eine Vertauschung zweier Ecken in
—P und daher allgemein bei einer geraden (ungeraden) Permutation der Ecken
in -{-P{—P) libergehen soil. Wir erhalten so zum Simplum S = {XQXI .. .Xm}
zwei orientierte Simpla dbP. Sind nicht alle Ecken verschieden (5'singular), so
wird P = 0 gesetzt. Auch einem Punkt x werden zwei orientierte Punkte ±x
zugeordnet.
Wir definieren also fiir je zwei verschiedene oder gleiche Ecken x,y unter
den Ecken XQ^XI, .. .Xs (das sind einfach s + 1 verschiedene Elemente) eine
„alternierende" Multiplikation nach der Regel
yx = —xy, XX = 0,
die also nichtkommutativ ist (Matrizen!), ferner soil sie assoziativ sein:
xy ' z = X • yz = xyz,
Bl. 22 I allgemein wird ein Produkt P mit einem Produkt Q zu PQ multipliziert, indem
man erst die Faktoren von P, dann die von Q schreibt. Hiernach bilden
wir mit den Variablen XQ,. .. ,Xs alle Polynome mit ganzen rationalen Koeffizienten,
also ein hyperkomplexes Zahlensystem, das zuerst von H. Grassmann
betrachtet wurde; diese Polynome lassen sich auf die Form bringen
A^a-^Y^aiXi + ^aijXiXj-{- ^ aijkXiXjXk-\ \-aoi...sXoXi.. .Xs (4)
i i

Das giebt entwickelt
A{y)=^A^yA',
wo A die friihere Bedeutung hat und yA' das Aggregat der Glieder ist, die y
als Faktor enthalten (die Glieder, die y zweimal oder ofter enthalten, sind ja
= 0), A' ist also wieder ein nur von den Xi gebildetes Polynom und heisst der
Rand von A. \ {A' ist, wenn man so will, die „Ableitung" von A{y) fiir y — 0). Bl. 24
Da offenbar
{aA-\-I3B + '")' = aA' + I3B' + '" ,
so geniigt es, den Rand fiir orientierte Simpla zu berechnen. Man hat V =
0, (x)' = 1, ferner fiir m > 0
m
(a^O^l • • • XmY = X^(-l)* ^0 • • • Xi-iXi^i ...Xm
0
= X1X2 ...Xm- X0X2 . . . Xm + XQX1X2, ...Xm h {-l)'^XoXi . . . Xm-1
Denn das Aggregat der mit y behafteten Glieder in (XQ -\-y)... {xm + y) ist
m
22,^^"- ^i-iy^i-hl • • • ^m;
0
bringt man hier y (durch i Vertauschungen im i. Gliede) an die erste Stelle, so
m
wird dies = y • Y.i-'^Y ^0 • • • Xi-iXi+i... Xm- Z. B.
0
(xoXiY = xi-xo
{xoXiX2y = a;iX2 - X0X2 + XQXI = X1X2 + 0:23:0 + a:oa::i
{xoXiX2X3y = X1X2X3 - ^0X20:3 + X0X1X3 - X0X1X2.
I Der Rand eines orientierten m-Simplum ist also die Summe der in gewisser Bl. 25
Weise orientierten {m — 1)-Simpla, die den (geometrischen) Rand des Euklidischen
Simplums bilden.
[Es mufi erwahnt werden, dass viele Autoren den Rand (x)' = 0 definieren.
Auf die Abanderungen, die das gegeniiber {xY — 1 mit sich bringt, wird
hingewiesen werden.]
Fiir ein Produkt zweier Polynome wird
A{y)B{y) = {A + yA'){B + yB') =
AB + yA'B + AyB'
Wenn A ein Produkt von m + 1 Ecken oder allgemeiner eine m-Form ist, ist
Ay = (—l)'"+^yA und demnach
{AB)'^ A'B - [-1)'^AB' {A mr-Form) (5)
903

Insbesondere
{XBY = B-XB' (6)
((5) bei der modifizierten Erklarung nur fiir m > 0 giiltig und wenn B n-Form
mit n > 0 oder Summe von solchen ist).
Bl. 26 Der Rand eines Randes ist stets 0. \
Denn wenn y, z zwei neue Ecken sind, und A{y -\- z) das Polynom bezeichnet,
das aus A durch Vertauschung von Xi mit Xi -\- y -\- z hervorgeht, ist einerseits
andererseits
A{y-{-z) = A + {y + z)A'
- A{y) + zA\y) = A + yA'^ z{A! + yJ^'\
also zyA!' = 0 oder A" = 0.
Ein Polynom, dessen Rand 0 ist, heisst ein Zyklus; eine m-Form, deren Rand
0 ist, ein m-Zyklus {Z"^). Z.B. ist
Z^ = XQXI + xi j;2 + 3:2^:^0
ein 1-Zyklus, denn der Rand ist {xi — XQ) + (x2 — xi) -\- (XQ — X2) — 0. Jeder
Rand ist also ein Zyklus und nach (6) ist ein Zyklus auch ein Rand, da fiir
B^ = 0 : B = {xBy ist; erst bei der Einschrankung auf Polynome in einem
Bl. 27 bestimmten Komplex ergiebt sich ein Unterschied. |
Ist namlich ^ ein Komplex, so betrachten wir jetzt nur solche Polynome oder
Formen, wo die wirklich vorkommenden Glieder (mit KoefRzienten ^ 0) einem
in $ vorkommenden Simplum entsprechen. Sind also 5f^(z = 1,2,...) die in
$ vorkommenden m-Simpla und wird jedem solchen Si eins der zugehorigen
orientierten Simpla PJ^ zugeordnet, so sind
F^=^J2aiPr
die m-Formen in $, die allein zulassig sind. Z.B. kommen fiir den Komplex
des Dreiecksumfangs nur
F^ = aoxo + aixi + a2X2
F^ = aoia:^oa:i + 0:022:03:2 + 012X1X2
als Formen in Betracht (F^ = - -- = Q) und als Polynome nur a^F^ -\-F^. Fiir
den Dreieckskomplex tritt noch
F'^ = 0012X0X1X2
hinzu, wahrend F^ ==•••== 0 ist.
Wir sagen, die so erklarten Polynome und Formen gehoren zu $ oder sind
Polynome in ^, Formen in ^.
904

Mit A gehort auch der Rand A' zu ^. Das ist ftir jedes Simplum evident. | Bl. 28
Nun sagen wir: ein Polynom in $ ist ein Zyklus in $, wenn sein Rand 0 ist.
Und ein Polynom ist ein Rand in $, wenn es Rand eines Polynoms in $ ist.
Jeder Rand in $ ist Zyklus in $, aber nun nicht mehr umgekehrt; denn wenn
B Zyklus in $ ist, so giebt die Formel (6) zwar B = {xB)' fiir irgend eine Ecke
x, aber xB braucht nicht mehr Polynom in $ zu sein. Z. B. ist im Komplex
des Dreiecksumfangs der Zyklus Z = XQXI + XIX2 + ^2X0 kein Rand, da es gar
keine 2-Form / 0 giebt. Im Komplex des Dreiecks hingegen ist Z = (X0X1X2)'.
Zwei Polynome A,B in ^ werden homolog genannt, in Zeichen
Ar^B (^),
wenn ihre Differenz ein Rand in $ ist. A ^ 0 (^) bedeutet also, dass A selbst
ein Rand ist. | Bl. 29
Beispiele: (a) Kreisrin^)
Aus 6 Ecken x 1X2 2:3 2/12/22/3 bilden wir den Komplex $ der 6 Dreiecke
{x2X^yi} {x^xiy2}{xiX2y^} {2/22/3^^1} {2/32/1^2} {2/12/23^3}.
Er ist das Schema eines in der Ebene liegenden Komplexes [^], der als Punkt-
'i
1 * ; I > U 1
>c
menge der ringformige Raum zwischen den Umfangen der Dreiecke [XI.T2^3]5
[2/12/22/3] ist; diese lasst sich auch als ebener Kreisring oder als Tubus (offene
Rohre) topologisch abbilden, wodurch man entsprechende topologische Komplexe
erhalt. Sei A = X2X32/1 + X3X12/2 + xiX2y2, + xiy^y2 + X22/12/3 + 2:32/22/1 • Ini
Rande A' fallen die Produkte, die einen Faktor x und einen y enthalten, fort,
da z. B. das erste Dreieck X32/1, das letzte 2/1^:3 liefert; es bleibt
A' = X2Xz + X2,Xx + XxX2 + 2/32/2 + 2/1^/3 + 2/22/1
I Die beiden 1-Zyklen X = 0:2^3 + 2:3^1 + X\X2, Y = 2/22/3 + 2/32/1 + 2/12/2 sind Bl. 30
also homolog: A' = X -Y r^O, X ~ F.
*^Das ist nur ein Stichwort, um ev. auf das Beispiel verweisen zu konnen; es ist nicht der
Kreisring als Punktmenge, sondern als bestimmter Komplex gemeint.
905
H
f'i
li

BL 31
(/?) Projektive Ebene.
Aus 6 Ecken xiX2Xsyiy2y3 bilden wir die Halfte (10) aller Q 20 Dreiecke:
%

Wahrend man also in jeder Gleichung a A = 0 den Faktor a ^ 0 wegdividieren
kann (alle Koeffizienten von a A sind 0, also alle von A), darf man eine
Homologie a A ~ 0 zm Allgemeinen nicht dividieren. Wenn a A ~ 0, o; > 1,
und a die niedrigste Zahl dieser Art ist, ferner A im m-Zyklus, so sagt man,
dass a ein m-dimensionaler Torsionskoeffizient ist. Im obigen Komplex der
projektiven Ebene ist also 2 ein eindimensionaler Torsionskoeffizient. A wird
dann auch ein Randteiler genannt.
(7) {Torus). Ein Rechteck, von dem man ein Paar gegeniiberliegender Seiten
identifiziert, geht in einen Tubus (vgl. {a)) liber, und wenn man auch das
zweite Paar identifiziert, in einen Torus (Kreiswulst). | Die ebene Figur, worin Bl. 33
dh^
\ -^\
.. ,../i
wieder die gleichbezeichneten Ecken und Kanten zu identifizieren sind, giebt
einen zugehorigen Komplex mit 18 Dreiecken. Wir heben folgende 1-Zyklen
hervor:
X — xia:2 + ^23^3 H- xsxi, analog F, Z
I = xiyi + yizi + zixi, analog //, ///.
Hier ist X ~ y ~ Z, I r^ II ^ III. Denn wenn man alle Dreiecke so orientiert,
dass der Drehungssinn entgegengesetzt dem Uhrzeiger ist, z. B. xiX2y2, ^12/22/15
X2ysy2 usw., so erhalt bei der Randbildung jede Kante von den beiden Dreiecken,
mit denen sie inzident ist, entgegengesetzte Orientierung, wie wir fiir die
angefiihrten Dreiecke und die librigen der untersten Zeile durch Pfeile angeben,
und die Summe der 6 untersten Dreiecke hat als Rand X1X2 -\- X2Xs -\- xsxi -\yiUs
+ 2/32/2 + 2/22/1 I = -^ — ^? also X r^ Y. Ebenso die librigen Homologien.
Hingegen sieht man, dass keine Homologie aX + /?/ ~ 0 besteht ausser flir
a = P = 0; denn in einer 2-Form, deren Rand keine von den in der Figur
innerhalb des Rechtecks verlaufenden Kanten (wie X12/252/12/2? ^22/2 u. s. f.) enthalten
soil, mlissen alle Dreiecke denselben Koeffizienten haben; die Form ist
ein Vielfaches der Summe aller 18 orientierten Dreiecke, dann aber hat sie den
Rand 0, d. h. die Kanten xiX2,xiyi,... fallen gleichfalls fort.
907
BL 34

(S) Das Mobiussche Blatt Der skizzierte Komplex aus 6 Dreiecken veran-
h h
schaulicht ein Reckteck, von dem zwei gegeniiberliegende Seiten (die linke und
rechte) verkehrt identifiziert sind. Werden alle Dreiecke entgegengesetzt dem
Uhrzeiger orientiert, so giebt ihre Summe den Rand
die beiden Zyklen
X1X2 + X2X3 + x^yi + 2yixi + Xiy^, + 2/32/2 + 2/22/1,
X1X2 + X2X3 + X32/1 + yixi, 2/12/2 + 2/22/3 + 2/3^1 + xiyi
Bl. 35 sind homolog. Man reicht mit 5 Dreiecken aus. |
h
Die Komponenten eines Komplexes. Zwei Ecken x,y des Komplexes $ heissen
verbunden, wenn es einen Kantenzug {xzi}{ziZ2} ... {zm-iZm}{zmy} in ^
giebt; sie sind dann auch homolog, da xzi + 2:1^2 + \- ZmV den Rand y — x
hat (wovon sich sogleich auch die Umkehrung ergeben wird). Alle mit x verbundenen
Punkte sind auch unter einander verbunden; danach spaltet sich die
ganze Eckenmenge E in E = Eo-^Ei-\ , d. h. in disjunkte Klassen verbundener
Punkte; wenn nur eine solche Klasse da ist, also alle Ecken verbunden
sind, heisst der Komplex zusammenhdngend. Andernfalls sieht man, dass jedes
Simplum von ^ nur Ecken haben kann, die einer einzigen Klasse angehoren,
sodass sich $ = $0 + ^1 H spaltet, wo ^i die Menge aller Komplex-Simpla
bedeutet, deren Ecken zu Ei gehoren; die ^i sind wieder Komplexe und heissen
die Komponenten von $. Entsprechend zerfallt jede m-Form (m > 0) in
A = AQ -{- Ai -\- "' , Ai eine m-Form in ^f, zwei Glieder von $^, ^j{i ^ j)
haben keinen gemeinsamen Faktor; dasselbe gilt von A' — A'^-\- A'^-\- • • - fiir
m > 1. (Die Konstanten, (—l)-Formen, gehoren alien ^i an). Ist A ein m-
Bl. 36 Zyklus (m > 1), so I sind alle Ai m-Zyklen; ist A ein m-Rand (m > 0), ^ ~ 0,
so sind alle Aj ~ 0.
908

Fiir eine NuUform schreiben wir A = AQ -\- Ai -\- -- - , Ai = Yl^ij^ij-, wo
3
Xij die zu Ei gehorigen Ecken sind. A ist ein Zyklus, wenn J2^ij — ^ 0^^^
der modifizierten Randdefinition fiir 0 - Simpla ist jede 0 - Form ein Zyklus).
Hingegen ist zu ^4 ~ 0 notwendig und hinreichend, dass einzeln jedes
Y^Oiij = 0 (i = 0,1,...). Notwendig, weil mit A r^ 0 auch Ai ~ 0, also Ai
3
jedenfalls ein Zyklus sein muss; hinreichend, weil alle Xij in Ei mit einem bestimmten
Punkt Xi von Ei homolog sind, also Ai r^ Xi -^^ aij = 0. Man sieht
3
jetzt auch, dass unverbundene Punkte nicht homolog sind, z.B. XQ — xi ^ 0,
weil xo,—xi keine Zyklen sind. Also homolog = verbunden. Man kann mit
Pi = ^ aij sagen, dass jede NuUform mit PQXQ 4- /?ixi H (^o? ^i ? • • • Punk-
3
te aus Eo^Ei,...) homolog ist; sie ist ein Zyklus fiir ^o + A H = 0? ^^^ Rand
fiir ^0 = /3i = • • • = 0. I Bl. 37
§ 2. Abelsche Gruppen.
Eine Gruppe Q ist eine Menge von Elementen, worin eine Kompositionsregel
gegeben ist, die zwei (gleichen oder verschiedenen) Elementen x, y ein drittes
Elemente zuordnet, das man im AUgemeinen multiplikativ schreibt:
xy = z.
Diese Komposition braucht nicht kommutativ zu sein, es kann yx ^ xy sein;
hingegen wird sie als assoziativ angenommen: xy - z = x -yz = xyz. Ferner soil
in xy = z jedes der Elemente durch die beiden andern eindeutig bestimmt sein,
woraus in bekannter Weise die Existenz eines Einselementes e {xe — ex — x)
und die Existenz inverser Elemente {xx~^ = x~^x = e) folgt. Die Anzahl
der Elemente von Q (endlich oder unendlich) heisst die Ordnung der Gruppe;
die Potenzen x^ {k ganze Zahl ^ 0) eines Elementes bilden eine | zyklische BL38
Untergruppe; wenn diese von unendlicher Ordnung ist, heisst x ein Element
unendlicher Ordnung, wenn nicht, x ein Element von der Ordnung h der zyklischen
Gruppe {x^ = e, h kleinste natiirliche Zahl; e,x,... ,x^~^ bilden die
zyklische Gruppe). U. s.w.
Wir haben es im Folgenden nur mit kommutativen (Abelschen) Gruppen zu
tun, und in diesem Falle schreibt man die Kompositionsregel haufig additiv
x-\-y = z = y -{-X.
Dementsprechend wird das Einselement jetzt Nullelement genannt und mit 0
bezeichnet: x + 0 = 0 + a; = a:; das zu x inverse Element heisst —x, statt der
friiheren x^ wird kx ^ geschrieben. Die Vielfachen kx (0, ±x, d=2x,...) bilden
^[Hier steht am Rand mit Rotstift: ax]
909

eine zyklische Gruppe; x ist Element von der endlichen Ordnung /i, wenn hx = 0
und h die kleinste natiirliche Zahl dieser Art ist. Die ganzen rationalen Zahlen,
die rationalen Zahlen, die ganzen Zahlen (Restklassen) mod m bilden (bei der
gewohnlichen Addition) solche Gruppen; z.B. hat in der Gruppe mod 14 das
Bl. 39 Element 2 die Ordnung 7. |
Homomorphismen und Faktorgruppen.
Die Gruppe Q^ heisst homomorphes Bild von Q, wenn jedem x G G eindeutig
ein x' G G' zugeordnet ist, was wir in der Form
schreiben (x' ist eindeutige Funktion von x); dabei soil x\ das Bild von x, die
ganze Gruppe G' durchlaufen, und das Bild einer Summe die Summe der Bilder
sein,
x-\-y ^ x' -hy'.
Wir schreiben auch G —^ G^, homomorphe Abbildung von G auf G' oder Homo-
B1.40 morphismus von G auf G'- \
Umgekehrt heisst fiir x -^ x' x ein Urhild von x'\ x' kann mehrere Urbilder haben,
die Abbildung braucht nicht umkehrbar eindeutig (eineindeutig, schlicht)
zu sein. Wenn sie es ist, nennen wir G' isomorphes Bild von ^; offenbar ist
dann auch G isomorphes Bild von G' •> so dass wir
X x', G G'
schreiben konnen; die isomorphen Gruppen ^, G' stimmen dann, bis ev. auf die
Bezeichnung der Elemente, iiberein.
Beispiel: G sei die Gruppe der ganzen rationalen Zahlen x, G' die Gruppe
der Restklassen mod m; bedeutet x' die Restklasse, der x angehort (d. h. die
Klasse aller Zahlen = x mod m), so ist x ^^ x' ein Homomorphismus von G auf
G'' Jedem x' entsprechen als Urbilder die Zahlen einer Restklasse.
Sei a, eine Untergruppe^ von G- Zwei Elemente x, y aus G heissen kongruent
B1.41 mod H, X = y (H), wenn \ x — y ^ H. Hiernach verteilen sich die Elemente
von G auf Restklassen mod H (auch Nebengruppen von H genannt); diese
Restklassen bilden eine Gruppe G\ wenn man die Addition der Restklassen in
natiirlicher Weise so erklart: sind x\y^ die Restklassen, denen x,y angehoren,
so sei x' + y' die Restklasse, der x -\- y angehort (sie hangt von der speziellen
Wahl von x,y nicht ab; ist x = xi^y = yi (H), so ist auch x-\-y = xi-\-yi (W),
denn {x -}- y) — {xi -\- yi) = {x — xi) -\- {y — yi) gehort zu H; man sieht hier,
welche RoUe die Kommutativitat spielt.) Die Zuordnung x —^ x' definiert einen
Homomorphismus von G auf G' - Die Gruppe G' wird als Faktorgruppe oder
Quotientengruppe G \ H bezeichnet (man soUte sie allerdings hier eher als
Differenz G — H bezeichnen).
Im vorangehenden Beispiel ist Ji die Gruppe der Vielfachen von m.
Ist andererseits G —^ G' ein Homomorphismus, so bilden die Urbilder des
BL42 NuUelementes 0' von G' eine Untergruppe H \ von G (aus x ^^ 0',y ^ 0' folgt
^Bei nichtkommutativem Q wiirde man eine invariante Untergruppe nehmen.
910

x-\-y -^ 0^) und allgemein bilden die Urbilder eines beliebigen x' eine Restklasse
mod H (aus x —^ x' ^y ^^ x' folgt x — y^^O\x = y (W), und umgekehrt haben
zwei x,y derselben Restklasse dasselbe Bild x^ = y'). Die Restklassen mod H
und die Elemente von Q' entsprechen einander also eineindeutig: Q \ H und Q'
sind isomorph.
Direktes Produkt (hier eher als direkte Summe zu bezeichnen).
Aus zwei Gruppen Gi,Q2 bilden wir eine Gruppe G — (^1,^2), indem wir
die geordneten Paare x = {xi^X2)^y = (2/1,2/2), •• • aus Elementen von ^1,^2
bilden; x = y ^ei durch Xi = yi,X2 — y2 und die Addition in Q durch
x-{-y = (xi +yi,X2 + 2/2)
erklart; das NuUelement von ^ ist 0 = (Oi,02), wo 0i,02 die NuUelemente von
Qi, Q2 sind. Q heisst das direkte Produkt von Qi, Q2 (andern wir die Reihenfolge,
so sind (^1,^2) und (^2,^1) isomorph). | B1.43
Man kann das noch etwas anders fassen. Die Elemente x' = (xi,02), worin
xi € Gi, bilden eine mit Qi isomorphe Untergruppe Q' von Q, ebenso die
Elemente x'' = (0i,a:2) eine mit Q2 isomorphe Untergruppe G" von G] G', G"
haben nur das Element (0i,02) — 0 gemeinsam, und x = (xi,X2) = (^1,02) +
(Oi,X2) = x' H- x'' lasst sich als Summe eines Elementes von G' und eines von
G^' darstellen (nur auf eine Weise). Schreiben wir statt G', G" wieder Gi,G2, so
haben wir also folgende Erklarung:
Die Gruppe G ist direktes Produkt ihrer Untergruppen Gi^G2, wenn sich jedes
Element x e G eindeutig in der Form x = xi-\-X2 {xi ^ Gi^X2 G G2) darstellen
Idsst. I Hierin liegt, dass Gi,G2 nur die Null gemein haben, denn ist x = xi = X2 Bl.44
ein gemeinsames Element, so ist 0 = xi — X2, und da 0 nur die eine Darstellung
0 = 0 + 0 haben soil, ist xi = 0, X2 = 0, x = 0. Wenn G direktes Produkt ihrer
Untergruppen Si,^2 ist, ist G \ Gi isomorph mit G2' Denn x = xi -\- X2 und
y = 2/1+2/2 sind mod Si kongruent, wenn x —2/ = (a^i — 2/i) + (^2—2/2) € Si, d.h.
^2 =2/2; die Restklassen mod Si und die X2 sind einander isomorph zugeordnet.
Bei Ausdehnung auf mehr als zwei Faktoren:
S ist direktes Produkt ihrer Untergruppen Si, S2, • • •, Ss, wenn sich jedes x e G
auf eine und nur eine Weise als x = xi-\-X2-i \-Xs darstellen lasst {xi ^ Gi)-
I Ist £ Teilmenge (nicht notwendig Untergruppe) von S, so sei £x die Menge B1.45
der ganzzahligen linearen Kombinationen x = aiXi-\ ho^n^n endlich vieler
Elemente von £. £\ ist die kleinste Gruppe, die £ enthalt und in S enthalten
ist; wir sagen, die Elemente von £ erzeugen £\. Insbesondere erzeugen sie die
ganze Gruppe S, wenn £\ = G'
Die Elemente xi,... ,Xn ^ 0 heissen unabhdngig, wenn die Relation aiXi -\h
anXn = 0 nur fiir aiXi = • = anXn = 0 besteht, wobei aiXi = 0 fiir ein
Element Xi unendlicher Ordnung mit a^ = 0, fiir ein Xi der Ordnung hi {> 1,
weil Xi ^ 0) mit hi \ ai gleichbedeutend ist. Eine Menge £ von Elementen
^ 0 heisst unabhangig, wenn jede endliche Teilmenge von £ aus unabhangigen
Elementen besteht.
911

Wenn £ zugleich unabhangig ist und die Gruppe Q erzeugt, heisst £ eine
Basis der Gruppe.
Wenn Q eine endliche Basis Xi,...,Xn hat, ist sie direktes Produkt von n
zyklischen Gruppen, und umgekehrt.
Denn Xi erzeugt die zyklische Gruppe Qi der Elemente aiXi (a^ durchlauft
alle ganzen Zahlen oder ein Restsystem mod hi)] jedes x ist eindeutig als x =
B1.46 aixi + ... anXn darstellbar, Q = {Qi,..., Qn)- Und umgekehrt. |
Nicht jede Gruppe hat eine Basis. Z.B. kann die Gruppe der rationalen
Zahlen (bei Addition) nicht von endlich vielen Elementen erzeugt werden, da
aixi H h anXn nur solche rationalen Zahlen darstellt, deren Nenner im Generalnenner
von xi,...,Xn aufgeht; andererseits sind aber schon zwei Elemente
^ 0 stets abhangig.
Fiir Elemente unendlicher Ordnung^ xi,X2,... lautet die Unabhangigkeitsbedingung:
aixi + • • • + a^Xn = 0 nur fiir ai ==••• = a^ == 0. Eine Gruppe
Q heisst vom Range p {p natiirliche Zahl), wenn sie p, aber nicht mehr als p
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung enthdlt; vom Range 0, wenn alle
Elemente von endlicher Ordnung sind; von unendlichem Rang, wenn sie fiir
jedes p == 1, 2,... p unabhangige Elemente unendlicher Ordnung enthalt.
Z.B. ist das direkte Produkt vonp zyklischen Gruppen unendlicher Ordnung
vom Range p. Hier lassen sich alle Elemente in der Form x = aiXi-\ (- apXp
eindeutig darstellen (x = 0 nur fiir a i = • • • = oip = 0); sind q> p Elemente |
BL47 Hi = J^^ij^j (^ — 1? • • • 5^5 J — 1? • • • ?P) gegeben, so haben die p Gleichungen
j
^ Piaij = 0 fiir die q Unbekannten /Si eine ganzzahlige Losung mit nicht
i
samtlich verschwindenden l3i und dann ist ^ iSiyi = 0; es giebt also nicht
i
mehr als p unabhangige Elemente unendlicher Ordnung. - Ein solches direktes
Produkt heisst eine freie Gruppe oder ein Modul vom Range p; wir bezeichnen
ihn auch mit [xi,..., Xp]; man erkennt leicht, dass auch yi,..., y^ eine Basis ist
dann und nur dann, wenn Vi = ^ ^ij^j ^^ einer ganzzahligen Matrix {c^ij)
3
von der Determinante ±1 (unimodulare Transformation der Basis).
Wenn die Gruppe Q vom endlichen Rang p ist, so hat auch jede Untergruppe
und jedes homomorphe Bild Q' von Q einen Rang < p.
Fiir die Untergruppen ist die Behauptung vollig trivial; wenn ferner x^,..., x^
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung von Q' und xi, Xq irgend wel-
Bl. 48 che Urbilder sind, so sind auch xi,..., Xg unabhangige | Elemente unendlicher
Ordnung in Q (aus Yl (^j^j = 0 folgt Yl ^j^j — ^'j Oij = 0) und der Rang von
G ist > dem Rang von Q'.
I. Ist G vom endlichen Rang p, ihre Untergruppe H vom Rang q, so istQ\H
vom Rang p — q.
Sei G' = G \ 'H vom Rang r; wir haben p = q -\- r zu zeigen. xi,..., Xg seien
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung inH; y[,... ,y'^ unabhangige Ele-
^[Hier steht mit Rotstift am Rand: „freie" Elemente]
912

mente unendlicher Ordnung in G\ also ^ aiXi = 0 nur flir a^ == 0, "^ Pjijj =
0' nur flir Pj = 0; sind yi^...yr Urbilder der y[,...,y!^ hei Q —^ Q' (die
yj sind Restklassen mod W), so heisst das: ^ Pjyj ^ 0 (H) nur fiir /3j =
0. Dann sind Xi,yj unabhangige Elemente unendlicher Ordnung in G- Denn
Y^ aiXi + Yl f^jVj = 0 liefert J2 PjVj = ^ W^ (^j = ^^ S ^ + r.
Andererseits sei y ein beliebiges Element von Q^ y ^^ y'] dann besteht eine
Relation Py' + Y. f^jVj "= 0' ^^^ /^ / 0, also py^Y PjVj =xeH, und | eine Bl. 49
Relation ax ^Y oi.iXi = {) mit a 7^ 0, also
etwas anders geschrieben {yi = a^^+i,... ,yr = Xq-^r)' fur jedes 2/ in ^ besteht
q-\-r
eine Relation Py = Y ^k^k {P ¥" 0)- Dann kann der Rang von Q nicht
1
> g + r sein; denn fiir p > g' + r Elemente y^, ^^^/i — X] ^ik^k suche man eine
nichttriviale Losung 7^ von ^ "Jiaik =0 {q-\-r Gleichungen, p Unbekannte),
i
dann ist Y PiliVi — O5 nicht alle ^^7^ = 0. Also ist p < g' + r. Damit ist I
bewiesen.
Gruppen mit endlicher Basis. Sei Q = (^1,..., ^n) direktes Produkt zyklischer
Gruppen; ^1,..., ^^ seien von den Ordnungen /ii,..., hm und
^^+1,..., ^^ von unendlicher Ordnung. Wenn alle Gruppen von endlicher Ordnung
sind (m = n), ist Q eine endliche Gruppe von der Ordnung hi" -hn] wenn
alle von unendlicher Ordnung sind (m = 0), ist Q ein Modul vom Range n. | Bl. 50
Was ist an den Zahlen n, m, /ii,..., /im der Darstellung eigentiimlich, was
durch die Gruppe Q bestimmt?
Wir haben fiir die Gruppenelemente die Darstellung x = aiXi-\ h ocnXn^
wo x = 0 nur fiir o^i = 0 (/ii),..., am = 0 (hm), Q". Da Q' den Rang 0 hat, so hat nach I Q" oder
Q I Q' denselben Rang wie Q^ d. h.
n — m = p ist der Rang von G-
Diese Anzahl der Basiselemente unendlicher Ordnung ist also nur durch Q
bestimmt, es ist der Rang von Q.
Betrachten wir Q'. Weder m noch hi,...,hm sind durch G' eindeutig bestimmt.
Das geht aus folgender Bemerkung hervor: | Bl. 51
Wenn /ii,/i2 teilerfremd sind, ist das Produkt zweier zyklischer Gruppen der
Ordnungen /ii,/i2 eine zyklische Gruppe der Ordnung hih2-
Denn sind Xi,X2 von den Ordnungen /ii,/i2 und ^1,^02 zwei ganze Zahlen
mit Pihi -h /32^2 = I5 so setze man x = ^2^1 + /Si^2; dann ist hix = PihiX2 =
913

(1 — /32^2)3:^2 = ^2, h2X — xi] man sieht, dass die Gruppe sowohl von xi, X2 als
von X erzeugt wird.
Hiernach kann man die Darstellung Q' = (^i,..., Qm) im AUgemeinen mannigfach
abandern. Man kann jedes hi in teilferfremde Faktoren (Primzahlpotenzen)
spalten und G^ als direktes Produkt von zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung
schreiben (das giebt die Maximalzahl von Faktoren, denn
eine zyklische Gruppe von der Ordnung p^ kann nicht als direktes Produkt von
zyklischen Gruppen niedrigerer Ordnung, p-^^ wcidp^'^{f > fi > /2,/i+/2 = /)?
dargestellt werden, sonst hatten alle Elemente nur diese Ordnung p^^). Umge-
B1.52 kehrt kann man teilerfremde | Primzahlpotenzen wieder zusammenziehen zu
anderen Ordnungen als den urspriinglichen hi. Man sieht also, dass die Zahlen
m, /ii,..., hm mannigfacher Abanderung fahig sind. U. a. ist folgende Zusammenziehung
moglich, die wir an einem Beispiel illustrieren: es mogen etwa bei
der Auflosung aller hi in teilerfremde Primzahlpotenzen folgende Faktoren vorkommen:
p^^p^^p^^p^] Q^^Q^^Q-,^5 ^^?^ (p?^? f verschiedene Primzahlen. Es
konnen Potenzen derselben Primzahl aus verschiedenen hi stammend mehrfach
auftreten). Wir ordnen sie so:
p3 ^4 ^2
p^ q
p^ q
(in jeder Spalte stehen Potenzen derselben Primzahl absteigend geordnet).
Dann konnen wir zusammenziehen zu:
^1 = P^Q, ^2 = P^q, ^3 = P^q^r, £4 = p^q^r'^
{si = Produkt der Glieder in der i. Zeile von unten); hierbei ist ei \ 82 \ s?, | ^4-
B1.53 I Demnach lasst sich jede endliche Gruppe ^, die eine endliche Basis hat, als
direktes Produkt zyklischer Gruppen {Gi, • • •, Gm) von den Ordnungen £1 | £2 |
• • • I Em darstellen. Hier sind nun, wie wir sehen werden, die Ordnungen d
und die Anzahl m durch G eindeutig bestimmt; wir bezeichnen sie daher als
Invarianten von G-
Wir haben jetzt also eine Basis xi,..., Xm von G, die Elemente sind
m
X — y ^ O^iXiy
1
X = 0 nur fiir ai = 0 {si).
p^ sei irgend eine Primzahlpotenz; wir halten p fest und lassen nur / variieren
== 0,1,2, Die Elemente x, fiir die p-^^x = 0, bilden eine Untergruppe
Gf, die mit G gegeben ist. Wir berechnen ihre Ordnung aus der obigen
Basis. Dann haben wir die Kongruenzen p-^ai = 0 (si) zu erfiillen. Sei
B1.54 Si der grosste | gemeinsame Teller von p^ und £i, d. h. wenn Si genau durch
914

P'^'ifi ^ 0) teilbar ist, S = p^% gi — min[/^,/]. Unsere Kongruenz wird dann
mit a^ = 0 I -r^ 1 gleichbedeutend, die genau 5i mod Si verschiedene Losungen
hat I 0, -^, 2-^,..., ((5i — 1)-^ I , und demnach ist 11 ^^ = p^si ^{^ Anzahl der
V Oi di OiJ
verschiedenen x mit p^x == 0, d. h. die Ordnung von Qf; da diese bekannt ist,
haben wir also
m
1
WO af bekannt ist. Nun ist min[/i, /]—min[/i, /—I] flir fi>f gleich /—(/—I) =
1, fiir /^ < / — 1 gleich fi — fi =0, also ist bekannt
bf = af — af-i = Anzahl der fi>f
flir / > 1 (6o = Anzahl der fi > 0, d. h.. bo = m ist zunachst noch nicht bekannt).
Insbesondere ist bi = Anzahl der durch p teilbaren £i bekannt; | hierbei Bl. 55
ist bl < m. Da wir aber natiirlich I < Si \ £2" ' \ ^m angenommen haben,
giebt es ein in ^i, d. h. in der Ordnung h = Si" -Sm der Gruppe aufgehendes
p, wofiir 61 = m; hierdurch wird m bekannt, namlich als Maximum der zu
den verschiedenen p \ h gehorigen Zahlen 61. Flir jedes p ist nun die Anzahl
bf der /^ > / fiir / = 0,1,2,... bekannt, sodann ist Cf = bf — 6/+1 = Anzahl
der fi = f bekannt, und da /i < /2 < • • • (wegen £1 | £2 | • • *)? ^^ i^^
Jl = • • • = JCQ '=^ U, /co + l = •••== Jco+Ci — -1-5 /co+Ci + 1 = • • • = /cQ-f-ci+C2 ~ ^
usw. (es kann natiirlich auch Cf = 0 sein, dann fehlen die betreffenden Glieder),
d. h. jedes fi ist bekannt. Nunmehr ist fiir jedes Si und jede Primzahl p
die genau in Si aufgehende Potenz p^' bekannt, womit die £i selbst bestimmt
sind.
Wenden wir dies auf die Gruppe G' der Elemente endlicher Ordnung von Q
an, so haben wir also bewiesen:
II. Jede Gruppe Q mit endlicher Basis ist als direktes \ Produkt (^1,..., ^n) BL 56
zyklischer Gruppen in der Weise darstellbar, dass Gi,- -- Gm "^on endlichen Ordnungen
£1,..., £^ und zwar 1 < ei | £2 | * * * | ^m, Gm+i-, - -- iGn von unendlicher
Ordnung sind. Die Zahlen 72,772, £1,..., £jji sind durch G eindeutig
bestimmt; n — m ist der Rang von G, die Si heissen die Invarianten von G-
Diese Produktzerlegung moge eine kanonische, die entsprechende Basis
xi,...,Xmj... ^Xn {xj ein erzeugendes Element von Gj) eine kanonische Basis
heissen.
Es soil nun gezeigt werden, dass jede Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden
auch eine endliche Basis hat.
III. Jede Untergruppe eines Moduls ist wieder ein Modul.
Es sei ^ == [a^i,... ,Xn], W Untergruppe; wenn sie allein aus dem Nullelement
besteht, bezeichnen wir sie als Modul vom Rang 0. Schliessen wir diesen Fall
aus.
Beweis fiir n == 1. Es sei yi = aiXi das kleinste positive Vielfache von
xi, das in H vorkommt. Wenn dann y = jiXi in H vorkommt, ist 71 = /Siai
915

B1.57 durch ai teilbar; sonst | ware 71 == Piai + o;, 0 < a < o^i, und es wiirde
y — PiVi = ax iiiH vorkommen, gegen die Wahl des kleinsten ai. Also besteht
H aus den Vielfachen von yi,H = [yi].
Schluss von n — 1 auf n. Wenn W C [^2,..., Xn], ist die Behauptung richtig.
Andernfalls kommen Elemente aiXi + ... mit 0:1 7^^ 0 in 7-^ vor; yi =
aixi + • • • + an^n sei ein solches mit kleinstem positiven ai. Fiir jedes in H
vorkommende y = 71X1 + • • • + 7na:n ist dann 71 = (iiai durch ai teilbar
(Beweis wie oben); y — Piyi — z ist dann frei von xi, liegt also in [0:2,..., Xn],
und diese z bilden eine Untergruppe von [x2,..., Xn], also nach Annahme einen
Bl. 58 Modul [2/2,. •., Vm\ {m < n). Nun ist offenbar W = [7/1,2/2, • • •, 2/m]- |
Hilfsformel fiir Matrizen.
(^)
Q^t
a, ... a^
sei eine rechteckige Matrix mit m Zeilen, n Spalten, kurz eine Matrix (m, n); die
Elemente etwa willkiirliche Variable. Ebenso B = (^^) eine Matrix (n,p) {i =
1,..., m; j = 1,..., n; fc = 1,... ,p) und F = A5 die Produktmatrix (7^),
eine Matrix (m,p) mit den Elementen
Es sei a}i'./.}'^ die r-reihige Determinante
< • • • "7'
^i^ • • • ^}:
die mittels der Zeilen ii,...v und der Spalten J'i,...,jr gebildet ist; wenn
zi,...,V nicht alle verschieden oder ji,...jr nicht alle verschieden sind, ist
diese Determinante = 0. Sind die i alle verschieden und die j alle verschieden
und bedeutet TT^ eine Permutation der zi,...,v, sg TT^ = ±1, jenachdem TT^
B1.59 gerade (ungerade) ist, so ist |
(links steht das, was aus Q^}^'"}'^ durch TT^ wird); dasselbe gilt fiir eine Permutation
TTj von ji,..., jV •
Wir behaupten nun:
il...ir ^ V^ il-.-ir 0Jl...jr
lki...kr Z^ jl---jr'^^ki...kr'
D. h. die r-reihigen Determinaten von T sind Produktsummen der r- reihigen
Determinanten von A und B.
916

Beweis (zi,..., v seien verschieden, ki,... ,kr desgleichen, sonst haben wir
0 = 0). Zunachst ist nach der Definition einer Determinante
WO -Ki alle Permutationen von ii,..., 2^ durchlauft. Das wird
TTi 31 •••jr
jl"-jr
WO ji,...,jr zunachst unabhangig von einander die Indizes l,...,n durchlaufen.
Alle Glieder, wo die j nicht paarweise verschieden sind, verschwinden.
Unter den iibrigen fassen wir immer | die zusammen, wo ji,..., jr dieselbe Bl. 60
Ziffernmenge in verschiedener Ordnung bilden, d. h. von einer festen Menge
ji < " ' < jr die Permutationen TTJ durchlaufen; das giebt
E EK•.•.•.;:/?^••/3i:)-.•
= E E

Zwei Matrizen A, A = HAP, wo 11, P unimodular sind, heissen aquivalent.
(n eine Matrix {m,m), A : {m^n), P : (n,n)) Aquivalente Matrizen haben
B1.62 denselben Rang und dieselben Elementarteiler. \
Mit der Matrix A betrachten wir die lineare Transformation
B1.63
5Z ^^^'^
(i = l,...,m; j = l,...,n),
wobei wir unter den Xj, yi nicht notwendig Zahlen, sondern Gruppenelemente
verstehen. Wir schreiben dafiir
/^i \
2/1 \
Y = AX,
wo X
.Y
einspaltige Matrizen sind. Wenn wir die yi
\ Xn J Vm I
und Xj unimodular transformieren,
Y = nxy, x = px
so wird Y = UAPX = AX, A = UAP aquivalent A.
Zu den unimodularen Substitutionen der y^ gehoren folgende:
(a) yi = -t/i, ^2 = 2/2,..., ym = ym
{(3) yi = 2/2, y2 = 2/i, ya = 2/3, • • •, Vm = Vm
(7) yi = 2/1 + /^2/2, ^2 = 2/2,..., ^m = 2/m (/^ gauz rational), d. h. wenn
man in A eine Zeile mit —1 multipliziert, oder zwei Zeilen vertauscht, oder zu
einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert, so entsteht immer eine
mit A aqui|valente Matrix. Dasselbe kann man mit den Spalten machen und
diese „elementaren" Umformungen beliebig oft wiederholen.
Unter den zu A aquivalenten Matrizen suchen wir eine (wir nennen sie wieder
A), worin das absolut kleinste, nicht verschwindende Element einen moglichst
kleinen Wert hat (wir nehmen den Rang > 1 an); man kann es vermoge Zeilenund
Spaltenvertauschung an die Stelle an bringen und (ev. die 1. Zeile mit
— 1 multipliziert) positiv annehmen. Dann sind die Glieder aij der 1. Zeile und
die an der 1. Spalte durch an teilbar; dann ware z.B. an = fiau + a,0 <
a < ail, so wiirde man durch Subtraktion der /i-fachen 1. Zeile von der i.
Zeile ail = (^n — l^o^n = a erhalten, im Widerspruch zur Wahl von an. Also
an = /io^ii, und durch die genannte Subtraktion erhalt man dann an — 0,
ebenso in der ganzen 1. Spalte und Zeile. Jetzt sieht die mit A aquivalente
Matrix (wir nennen sie immer wieder A) so aus:
/ ceil
0
0

fiaii + a, 0 < a < ce^j, so wiirde man durch Subtraktion der /i-fachen 1. Zeile
von der i. Zeile und sodann durch Addition der 1. Spalte zur j. Spalte folgende
Elemente erhalten:
an
0
0
^ij
an
-fiaii
0
^ij
an
-fian
also aij —aim Widerspruch zur Wahl von an- Wir haben also A in eine aquivalente
Matrix der letzthingeschriebenen Form oder das urspriingliche System
Vi ~J2 ^ij^j (hj = 1,..., m) durch unimodulare Transformation der i/i^Xj
in die neue Form
yi
2/2
anxi
an
a
0^22^2 H h Oi2nXn
Vm = Oim2X2 H h amnXn
gebracht (an \ (^ij)- Mit dem nach Abtrennung der ersten Gleichung verbleibenden
System verfahren wir genau so (wenn seine Matrix noch vom Rang > 1
ist) und gelangen so schliesslich zu | einem System folgender Art BL 65
wo an I a22 \ •'
Diagonalmatrix
Vs+l
2/1 = aiixi
2/2 = ^22^2
0
ass-^s
ass natiirliche Zahlen sind (s < m, s < n), oder zu einer
/ 0^11 0
V 0
0 a22
0
0
a
0
^ss
0
0
0
0
0 0
die mit der urspriinglichen aquivalent ist. Ihr Rang ist offenbar 5, ihre Determinantenteiler
an, an0:22, • • •, OLnoi.22 • • • OLSS^ ihre Elementarteiler an, a225 • • • ?
asst und da diese mit denen der urspriinglichen iibereinstimmen miissen, haben
wir bewiesen: | BL 66
919
0
0
0

IV. Eine Matrix (aij) vom Range r mit den Elementarteilern ei,... ,£r ist
mit der Diagonalmatrix (sij) (wo en = Si,... ,£rr = £r, ^/Ze uhrigen Sij — 0)
dquivalent. Jeder Elementarteiler geht im folgenden auf: ei | £2 | • • * \ ^r- Zwei
Matrizen (mit m Zeilen, n Spalten) sind dann und nur dann dquivalent, wenn
sie denselben Rang und dieselhen Elementarteiler haben. Das Gleichungssystem
yi = ^ OLij Xj (i = 1,..., m; i = 1,..., n)
3
Idsst sich durch unimodulare Transformationen der yi und Xj auf die Form
bringen yi — Yl, ^ij^j^ ^- ^•
j
yi = e\xx, ..., yr = SrXr, yr-^1 =0, ..., ym = 0.
Nun konnen wir beweisen:
V. (Hauptsatz der Abelschen Gruppen) Eine Abelsche Gruppe mit endlich
vielen Erzeugenden hat eine endliche Basis, ist also direktes Produkt von zykli-
Bl. 67 schen Gruppen. \
Die Gruppe heisse U und habe die Erzeugenden ui,... ,Un, besteht also aus
den Elementen
u = aiui -\ h anUn,
wo aber ui,... ^u^ noch nicht unabhangig zu sein brauchen. Wir betrachten
einen Modul X — [xi^.. .^Xn] mit den Elementen
X = aixi H \-anXn,
wobei hier aber die ai,..., 0;^ durch x eindeutig bestimmt sind. Das giebt
vermoge x —> u einen Homomorphismus X —> U und also einen Isomorphismus
X \y ^^ U^ ^o y eine Untergruppe von X ist, namlich die Gruppe
derjenigen y — aixi -{• ho^n^n? denen das NuUelement 0 von U entspricht,
d. h. fiir die aiUi -\- - — -\- anUn = 0. Wenn sich y nicht auf die Null von X
reduziert (dann ist X

die Basis von y. Hiernach ist nun aiUi -\ h anUn = 0 dann und nur dann,
wenn eins seiner Urbilder (dann alle), z. B. aiXi -\ h o^nXn zu y gehort, also
mit ganzen pi die Gleichungen bestehen
d.h.
aiXi H h anXn = /?12/1 H h Pmym = f^lSlXi + • • • + limemXm,
Ist n > m, so entsprechen den letzten n — m Indizes j = m +1,..., n Elemente
Uj unendlicher Ordnung: ajUj = 0 nur fiir aj = 0. Den m ersten Indizes
i = 1,..., m I entsprechen Elemente Ui von der Ordnung Si : aiUi — 0 nur fiir B1.69
a^ = 0 {£i). Hierbei konnen allerdings Elementarteiler = 1 auftreten; wegen si \
^2 I • • • I ^m sind es die ersten, etwa e\ — - • - = eh — ^-, Sh+i > 1; die zugehorigen
ui = '" = Uh = 0 sind wegzulassen. (Hat man von vornherein die Anzahl
der n Erzeugenden moglichst klein gewahlt, so ist dieser Fall ausgeschlossen).
Jedenfalls haben wir nun die Elemente von U in der Form
U = ah-^lUh-^l H h amUm + Q^m+l^m+l H h anUn
mit der Basis Uh-\-ij... ,Un, U = {Uh+i-, • -- Mn) als direktes Produkt zyklischer
Gruppen dargestellt und zwar ist dies wegen 1 < Sh+i | • • • | ^m eine
kanonische Darstellung (II).
Wir haben zugleich bewiesen, dass jedes homomorphe Bild eines Moduls eine
endliche Basis hat. Es folgt noch:
Hat U eine endliche Basis, so auch jedes homomorphe Bild W von U. Denn
X -^U.U^W giebt X -> W.
Hat U eine endliche Basis, so auch jede Untergruppe Ui von U. Denn bei
X -^ U entspricht dem Ui als Urbild eine Untergruppe Xi von X^ also ein
Modul (III): Xi-^Ui.\ Bl.70
§ 3. Homologiegruppen
Es sei (§1) ^ ein abstrakter Komplex, dessen Simpla bis zur Dimension n (>
0) ansteigen (n-dimensionaler Komplex, n-Komplex, ^'^). Fiir m > 0 sei fm die
Anzahl der in $ vorkommenden m-Simpla: /o Anzahl der Ecken, /i der Kanten,
..., fn der n-Simpla; /^ = 0 fiir m > n. Jedem m-Simplum wie {rroa:i... Xm},
das in $ vorkommt, sei ein orientiertes Simplum Q = ia^oa^i... Xm zugeordnet.
Qj (j = 1,..., /m) seien diese orientierten Simpla; die m-Formen (homogenen
m-dimensionalen Polynome)
j
mit ganzen rationalen /Sj bilden (bei Addition) eine Gruppe und zwar einen
Modul (freie Gruppe) vom Range fm • dieser Modul heisse J^rn- Die m-Zyklen,
921

d. h. diejenigen m-Formen B, deren Rand = 0, bilden eine Untergruppe Z^, die
Bl. 71 also wieder ein Modul ist (§ 2, III); sein Rang sei Zm- \ Die m-Rdnder, d. h. die
m-Zyklen ~ 0 oder diejenigen B, die sich als Rand B = A' einer (m + l)-Form
A in ^ darstellen lassen, bilden wiederum einen Modul IZm £ ^m: sein Rang
sei Tm- Also: Trn 3 ^m 2 T^m (m-Formen, m-Zyklen, m-Rander); Moduln
vom Range fm>Zm>rm-
Mit diesen Moduln wird man natiirlich auch ihre Faktorgruppen Trn \ ^m-,
^m I T^m zu betrachten haben.
^m I ^m ist die Gruppe der Restklassen von m-Formen mod ZjYi 5 zwei
m-Formen B^Bi gehoren in dieselbe Restklasse, wenn ihre DifFerenz ein Zyklus,
d.h. B' = B'l. Dieser Restklasse ist also eineindeutig ein {m — 1)-Rand
B' zugeordnet, d. h. es ist '^
also
^m I ^m isomorph mit IZm-i-,
Dies gilt zunachst fiir m > 1, aber auch noch ftir n = 0, wenn man setzt:
BL 72 I Namlich, wenn xi (z = 1,..., /o) die Ecken des Komplexes sind, so sind
/o /o /o
die 0-Formen durch ^ OLiXi^ die 0-Zyklen durch ^ otiXi mit ^ ce^ = 0
1 1 1
/o
oder durch ^ ai {xi — xi) gegeben, also ZQ = fo — 1. (Bei der modifizierten
2
Randdefinition x' = 0 waren alle 0-Formen auch 0-Zyklen, r_i = 0 zu setzen).
^m I 2^m ist also auch ein Modul (-^^ IZm-i)^ alle Elemente ^ 0 von unendlicher
Ordnung.
Die Faktorgruppe Zm \ ^m = ^m heisst die m. Homologiegruppe des
Komplexes 0, ihr Rang
die 777,. Bettische Zahl des Komplexes; sie ist aber, wie wir sehen werden, im
AUgemeinen kein Modul mehr, sondern direktes Produkt von zyklischen Gruppen
teils unendlicher, teils endlicher Ordnung. Aus (1) (2) ergiebt sich durch
Elimination von Zm '- fm-rm = Tm-i + hm,
Bl.73 I Fiir m > n sind /^, z^, ^m = 0 zu setzen, da der Modul der m-Formen aus
der einen Form 0 besteht, also vom Range 0 ist. Ferner ist aber schon Vn = 0
'Oder: fiir die m - Formen liefert B ^ B' einen Homomorphismus von J~m ^-Uf l^rn — 15
wobei dem 0-Element von IZm-i die ??i-Formen B mit B' = 0, d. h. die ?72-Zyklen entsprechen:
'"^rn — l '^"^ ^m I ^rri'
922

zu setzen, da es keinen n-Rand (Rand einer (n + l)-Form) giebt ausser 0. Wenn
man die Gleichungen fm — /^m + ^m + ^m-i mit (—1)*^ multipliziert und fiir
m = 0,1,..., n addiert, so folgt
7=x^(-ir/„, = i+^(-ir/i. (4)
diese Zahl heisst die Euler - Poincaresche Charakteristik des Komplexes $.
Was hat das alles fiir eine Bedeutung? Wir werden in § 4 die topologische Invarianz
der Homologiegruppen nachweisen, d. h. sind $, ^ zwei abstrakte Komplexe,
deren zugehorige Euklidische Komplexe [^], [^] gleich oder homoomorph
sind, so sind die beiden zu ^, ^ gehorigen m. Homologiegruppen isomorph; die
m. Homologiegruppe hangt also nur von der Punktmenge [^] ab, die | simpliziale Bl. 74
Zerlegung ist einflusslos, auch kann [^] durch eine homoomorphe Menge, sei
es ein Euklidischer oder topologischer Komplex, ersetzt werden. Sowohl der
Rang hm als auch die Invarianten von Hm (Ordnungen der endlichen zyklischen
Gruppen bei kanonischer Zerfallung, m-dimensionale Torsionszahlen, von
denen noch zu sprechen sein wird) sind also topologische Invarianten im angegebenen
Sinn, und folglich ist auch 7, well es sich durch die hm ausdriicken
n
lasst, topologische Invariante, wahrend in 7 = ^ {—l)'^fm die Anzahlen fm
0
der m-Simpla einzeln nicht invariant sind.
Beispiele (vgl. Schluss von § 1)
(a) Kreisring, Ringflache zwischen zwei Dreiecken. 6 Ecken, 12 Kanten, 6 Dreiecke:
/o = 6, /i = 12, /2 = 6, 7 = /o —/1 + /2 = 6 — 12+6 == 0. Betrachten wir in
'? ^ Ef'
• 9 IP 3-0
P>
Ef'
p*
der Ebene die {p-\-l){q-\-1) Gitterpunkte (z, j) (i = 0,... ,p; j = 0,..., ^).
Sie bilden pq \ Quadrate mit p{q 4-1) wagerechten (der a;-Achse parallelen) und Bl. 75
{p-\-l)q senkrechten, zusammen 2pq + p + ^ Kanten. Wenn wir jedes Quadrat
in zwei Dreiecke zerlegen, treten noch pq Diagonalkanten hinzu; insgesamt ist
die ganze Rechtecksfldche als Komplex dargestellt mit
/o = (p+l)(^ + l) Ecken,
/i = ^PQ + P + 9 Kanten,
/2 = 2pq Dreiecken.
Die Charakteristik wird 7 = /o — /i + /2 = 1-
923

Identifizieren wir die linke und rechte Rechtecksseite (00 mit pO,... ^Oq mit
pq)^ so entsteht der Tubus. Dabei fallen 9 + 1 Ecken und q Kanten weg; der
neue Komplex hat die Zahlen /o = pq -\- P-, /i = Spq + p, f2 = '^pq, seine
Bl. 76 Charakteristik ist 0, wie bei dem damit homoomorphen Kreisring. |
(/3) Projektive Ebene. 6 Ecken, 15 Kanten, 10 Dreiecke. 7 = 1.
(7) Torus. Wenn man beim Tubus (Beispiel (a)) noch die obere und untere
Rechteckseite identifiziert, so fallen p Ecken (nicht mehr p + 1, da Og und
pq schon identifiziert sind) und p Kanten fort; die Charakteristik bleibt unverandert
= 0.
(S) Mobiussches Blatt. Wie beim Tubus ist 7 = 0; bei dem damals angegebenen
Komplex war /o — 6, /i = 12, /2 = 6, aber man kann auch die
beliebig geteilte Rechtecksflache nehmen und wie beim Tubus (nur „verkehrt")
zwei gegeniiberliegende Seiten identifizieren.
Das m-Simplum hat die Charakteristik 1:
i-,=i-i'»,+ivrrv-=o=(i-ir"
VH
Der Rand des m-Simplums hat dieselben /o,..., fm-i wie soeben, nur fm = 0,
also 7 = 1- (-l)'^.
Also: die m-dimensionale VoUkugel: 7=1;
Bl. 77 die (m — l)-dimensionale Kugelfiache: 7 — 1 — (—1)"^ |
Z.B. der Kreisumfang (m = 1) : 7 = 0; die Kugelfiache des Es : 7 = 2.
Seien ^1,^2 zwei abstrakte Komplexe, ^ = $1 + $2 ihre mengentheoretische
Summe (Menge der Simpla, die zu ^1 oder $2 gehoren), ^0 = ^1 ^2 ihr
Durchschnitt (Menge der Simpla, die zu $1 und zu ^2 zugleich gehoren). Sind
/mlJ /m2, fm, fmO die Auzahlcn der m-Simpla in $1, ^2, ^, ^05 so ist offenbar
/ml + /m2 = fm -\- fmO und dahcr fiir die Charakteristiken (Summendurchschnittsformel)
71+72=7 + 70- (SD)
Konstruiert man zu den abstrakten Simpla von ^ Euklidische Simpla in exklusiver
Lage, so ist auch (mengentheoretisch) [$] = [^1] + [^2] , [^0] = [^i][^2]-
Wenn ^1, $2 keine Ecke gemein haben, ist 7 = 71 + 72-
Bedecken wir die Kugel- oder Tetraederfiache mit einer geniigend grossen
Zahl exklusiver Dreiecke (man kann z.B. jedes Dreieck „baryzentrisch" teilen,
Bl. 78 indem man die Mittelpunkte der | Seiten und des Dreiecks selbst einfiihrt, und
924

diesen Prozess beliebig oft wiederholen). Wenn man von / paarweise exklusiven
Dreiecken die inneren Punkte entfernt, aber die Seiten und Ecken bestehen
lasst, so entsteht die „Kugelfiache mit / Lochern"; fiir den abstrakten Komplex
hat das die Wirkung, dass / Dreiecke wegfallen und die Charakteristik 7 =
/o — /i + /2 sich um / vermindert; die der Kugelfiache war 2, also die der
Kugel mit / Lochern ist 2 — 1. Z. B. fiir / = 1 (homoomorph mit Kreisscheibe
Oder Dreieck) 7 = 1; fiir / = 2 (homoomorph mit Tubus oder Kreisring)
7 — 0; fiir /> 2 ist 7 < 0. - $1 reprasentiere eine Kugel mit / > 2 Lochern
und $2 einen Tubus. Wenn die Locher des Tubus auf zwei Lochern | der Bl. 79
CD O
Kugel liegen, giebt $ eine Kugel mit / — 2 Lochern und einem „Henkel"; $0
giebt zwei disjunkte Kreislinien mit der Charakteristik 70 = 0 + 0 = 0. Also
7 + 7o =71+72 = (2 — /) + 0, 7 = 2 — Z. Wiederholt man dies, so bleibt
die Charakteristik 2 — /, wahrend man eine Kugel mit / — 2h Lochern und h
Henkeln (/ > 2h) erhalt: die Kugel mit / Lochern und h Henkeln (man ersetze
/ durch / + 2h) hat die Charakteristik 2 — I — 2h.
k Kugelflachen, von denen die erste die zweite, die zweite die dritte u. s. w.
beriihrt, geben die Charakteristik k -\- 1. Beweis durch Rekursion: reprasen-
0000
tiert ^k diese Menge, ^1 eine weitere sie berlihrende Kugel, so ist ^/j; + ^1 =
^k-\-i, ^k^i ein einzelner Punkt (Charakteristik 1); also nach (SD) 7^+71 —
7/e+i + 1 Oder wegen 71 = 2 : 7^+1 =7^ + 1; also (71 = 2) 7^ = A: + 1. - Wenn
auch die k. Kugel wieder die erste beriihrt, wird die Charakteristik = A:. | BL80
Bestimmung der Homologiegruppen. Es seien Pi, Qj, Rk die orientierten
Simpla der Dimensionen m+1, m, m — 1 (z = 1,..., /m+i; J' = 1? • • • 5 fm'-, k =
1,..., /^_i); sie bilden Basen fiir die Moduln J^rn+ii ^rm ^m-i-
Es bestehen dann die Inzidenz- oder die Berandungsrelationen
3 k
wobei die Pij^^jk iibrigens nur die Werte 0, ±1 haben.
Diese rechteckigen Matrizen
{Pij) = B = Em, {ijk) =T = Em-l
heissen Inzidenz- oder Berandungsmatrizen.
Da 0 = i^'' = E NQ'j = E NlJkRk. ist E Pijljk = 0 (die Rk sind
3 jk j
925

unabhangige Elemente unendlicher Ordnung), also BT = 0 oder
EmEm-l = 0.
Fiir m = 0 sind die Qj die Ecken des Komplexes, sodass man als einziges Rk
das (—1)- Simplum 1 anzunehmen hat; die Matrix E-i ist dann einspaltig und
B1.82 hat /o Elemente = 1.1 ^
Sei r der Rang, £i | • • • | £r die Elementarteiler der m. Inzidenzmatrix Em =
B. Dann kann man nach § 2, IV die P^, Qj unimodular in neue Basiselemente
Ai, Bj so transformieren, dass die Inzidenzrelationen in
A; - siBi,...,A; = srBr, A;+I = ... = 4 = 0
iibergehen, wo fiir den Augenblick / = /m+i- Hieraus folgt
T^m = [^iBi, . . . , ErBr]
^m-\-l = [Ar+li . . • , Af\
f
Denn jeder m-Rand ^ (^i^i — Y2 ^i^i^i ist ganzzahlige Kombination von
1 1
^i^i,..., ErBr und diese sind (wie Bi,... ,Br selbst) unabhangige Elemente
/
unendlicher Ordnung. Und jeder (m + 1)-Zykel ^ aiAi ist definiert durch
1
r
^ aiSiBi = 0, Qfi = . • • = a^ = 0; er ist Kombination von Ar+i,.. •, ^/, die
1
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung sind.
Hieraus geht r = Vm = Rang von IZm hervor:
Der Rang Vm des Moduls IZm der m-Rander ist gleich dem Rang der Inzidenz-
BL 83 matrix Em. Die Bettischen Zahlen hm bestimmen sich aus (3). |
Schreiben wir also
T^m = [^1^1,. . • ,£mBm]- (5)
Die hierbei verwendete Basis Bj von J^m enthalt jedenfalls die rm Zyklen
5i,... ,Br^ {siBi ist Rand, also Zyklus; Bi ist Zyklus und Randteiler, aber
vielleicht nicht Rand); fiir die iibrigen Bj bestehen Inzidenzrelationen
Bj = ^ JjkRk (j =^ '^m + 1, . . . , /m; A: = 1, . . . , /m-l),
k
die sich wieder durch unimodulare Transformation dieser Bj (ohne Anderung^
von 5i,..., Br^) und der Rk in die Form
Bj =0{j = rm+l, . . . , Zm), Bj = ^jCj (j = Z,n + 1, . . . , fm)
^[Blatt 81 ist im Ms. komplett getilgt.]
^Das ist dann auch eine unimodulare Transformation aller Bj, oder die endgiiltigen Bj
sind unimodular aus den Qj transformiert.
926

ingen lassen {fm — ^m = fm-i Rang von Em-i^lj ihre Elementarteiler).
Worauf es uns ankommt, ist, dass wir nun eine Basis des Moduls
Zm = [Bi,...,Br^,...,BzJ[, (6)
haben, wovon die ersten Glieder die in (5) erscheinenden Zyklen sind. | Bl. 84
Nunmehr ist also ein m-Zyklus B =^Y1, l^j^j dann und nur dann ~ 0, wenn
1
er zu 7lm gehort, also von der Form ^ iijSjBj ist, d. h. fiir
1
1^3 ^ 0 i^j) 0' = 1. • • • , ^m), Pj =0{j = r^+i, . . . , Zm)'
Die Homologiegruppe Tim = Zm \ IZm besteht aus den Restklassen.der m-
Zyklen mod IZm oder, wie wir auch sagen konnen, aus den m-Zyklen B selbst,
bei Nichtunterscheidung homologer Zyklen. In diesem Sinne hat sie die erzeugenden
Elemente Bj^ die ersten Vm von den Ordnungen EJ^ die letzten
Zm— f'm = hm vou uneudlicher Ordnung.
Scheidet man die etwaigen ersten Elementarteiler Sj aus, die = 1 sind, so erhalt
man Hm in kanonischer Darstellung, also:
Die Invarianten von Hm (die Ordnungen der endlichen zyklischen Gruppen
bei kanonischer Zerfallung) sind die von 1 verschiedenen Elementarteiler
der Inzidenzmatrix Em- Sie heissen die m-dimensionalen Torsionszahlen des
Komplexes. \ Bl. 85
Wir nannten ja (§ 1) £ > 1 einen 777,-dimensionalen Torsionskoeffizienten,
wenn B ein m-Zyklus und £J5, aber kein kleineres Vielfaches von J5, ~ 0 ist.
Die von 1 verschiedenen Elementarteiler von Em nnd der Rang hm von Hm
sind topologisch invariant (wenn die topologische Invarianz von Hm als richtig
unterstellt wird). Dagegen sind fm^^m^fm (also auch der Rang r^ von Em)
nicht topologisch invariant.
Die Torsionszahlen konnen natiirlich auch fehlen, sodass Hm ein Modul, direktes
Produkt zyklischer Gruppen unendlicher Ordnung wird. Das ist gewiss
fiir m = n (n hochste Dimension der Simpla des Komplexes) der Fall, wo es
n-Rander ausser 0 nicht giebt, also ein n-Zyklus nur dann ~ 0 ist, wenn er = 0
ist.^° Hier ist Hn = Zn, hn = Zn, rn = 0.
Auch Torsionszahlen 0. Dimension giebt es nicht. Wir sahen am Ende von
§ 1: wenn ^ in k Komponenten zerfallt und Xi {i — 1,..., /c) eine Ecke aus
jeder Komponente ist, | so ist jede 0-Form B einer Verbindung von xi,..., x^ Bl.86
k k
homolog; JB ~ ^ A^iJ B ist ein Zyklus fiir ^ /3^ = 0, ein Rand {B ~ 0)
1 1
fiir A = • • • = yS/c == 0. Also ist eB ~ 0 nur, wenn schon 5 ~ 0; es giebt
k
keine Torsionszahlen 0.Dimension. Jeder Zyklus B ist ^^ ^ Pi{xi — xi), die
^^Inzidenzmatrizen En,En+i, - • • giebt es nicht. IZn und fiir m > n, Fm, 2m,'J^m,'Hrt
bestehen nur aus dem Nullelement.
927

Homologiegruppe Ho ist
Wo = [X2 -Xi,.,.,Xk -Xi]
und ihr Rang ho — k — 1 : die Bettische Zahl ho ist um eins kleiner als die
Komponentenzahl des Komplexes, filr einen zusammenhdngenden Komplex also
ho = 0. [Bei der Randdefinition x' = 0 ist Ho = [xi,X2, • - - y Xk], ho = k] Ftir
einen zusammenhangenden Komplex besteht also Ho nur aus dem Nullelement.
Die praktische Bestimmung der Homologiegruppen aus den Inzidenzmatrizen
ist natiirlich sehr miihsam wegen der grossen Zeilen- und Spaltenzahlen. Wir
Bl. 87 beschranken uns auf einige allgemeine Bemerkungen. |
Ein Komplex $, dessen Maximalsimpla alle die Ecke x enthalten, heisst ein
Stern mit dem Mittelpunkt x. Beispiel: {xxiX2},{xxs},{xx4} und die Teil-
y ^
mengen dieser Maximalsimpla. Die x nicht enthaltenden Simpla von ^ bilden
wieder einen Komplex ^, den man den „Aussenrand" des Sterns $ nennt; im
Beispiel: {xiX2},{xs},{x4} und die Teilmengen. Wenn T die Simpla von ^
bedeutet, so sind T und {rr, T} sowie {x} die Simpla von $. Jedes Polynom in
$ ist in der Form
A = xU-\-V
darstellbar, wo C/, V frei von x sind und also in ^ liegen.
In einem Stern bestehen alle Homologiegruppen nur aus dem Nullelement.
Es ist zu zeigen, dass jeder Zyklus ein Rand (~ 0) ist. Wir haben
A' = U-xU'-h v.
Aus A' = {) folgt also [/ + F' = 0 (und U' = {)), also
A = v -xV = {xvy,
B1.88 I WO xV in $ liegt; denn jedes died in V entspricht einem in ^ liegenden
Simplum T, jedes in xV einem in $ liegenden Simplum {x,T}. Jeder Zyklus
ist also ~ 0.
Insbesondere hat ein Komplex, der nur aus einem Simplum besteht, lauter
Homologiegruppen, die nur aus 0 bestehen; denn das Simplum kann als Stern
mit einer Ecke als Mittelpunkt aufgefasst werden.
Ist $ ein beliebiger Komplex mit der Ecke x und ^ der Aussenrand des
Sternes, der aus alien x enthaltenden Simpla von ^ und ihren Teilmengen
besteht, so ist jedes Polynom in $ auch in der Form
A = xU + V
928

darstellbar, U und V frei von x, wobei U in ^ liegt, aber V nicht notwendig;
dann ist also xV ivn AUgemeinen nicht mehr Polynom in $.
$ sei der Rand eines {n + 1)-Simplums ([^] ist homoomorph mit der ndimensionalen
Kugelflache im {n + l)-dimensionalen Raume, der n-Sphare).
Alle Homologiegruppen Hm \ fur m < n bestehen nur aus der Null; Hn ist ein Bl. 89
Modul vom Range 1.
Das (n + 1)-Simplum werde {x, x^^... ^Xn} = {x^ S} geschrieben, wo S ein n-
Simplum ist, die dem x gegeniiberliegende Seite (Figur fiir n = 2, Tetraeder).
Der Komplex ^ besteht aus dem Stern der x enthaltenden Simpla und ihren
Teilmengen, so wie noch dem einzigen Simplum 5; die Teilsimpla von S ausser
S selbst gehoren jenem Stern, also dem Aussenrand ^ dieses Sterns an. In Folge
dessen gilt, wenn A eine m-Form mit m < n und ein Zyklus ist, wie vorhin
A = {xVy ~ 0, denn jedes died von V entspricht einem echten Teilsimplum
von 5, xV liegt in $. - Fiir m = n hingegen enthalt jedes died in V alle
Ecken von 5, d.h. V ist ein Vielfaches von XQXI .. .Xn^ A ein Vielfaches von
{XXQ ... XnY = C; dies ist ein Zyklus in $, aber kein Rand. Also Hn — ^n — [C']
ist der Modul, der aus den Vielfachen von C besteht. | BL 90
Pseudomannigfaltigkeiten. Ein abstrakter n-Komplex ^ (respektive ein zugehoriger
Euklidischer Komplex [^] ) heisst unter folgenden Bedingungen eine
n-dimensionale Pseudomannigfaltigkeit (abgekiirzt VM. oder VMn oder
(A) $ ist homogen, d. h. alle Maximalsimpla sind n-dimensional.
(B) Jedes (n—l)-Simplum von $ gehort (mindestens einem, aber) hochstens
zwei n-Simpla an.
Der Rand von $ sei die Menge der (n — 1)-Simpla, die nur einem n-Simplum
angehoren. (AUgemein wird als Rand eines homogenen n-Komplexes die Menge
der (n — 1)-Simpla bezeichnet, die mit einer ungeraden Zahl von n-Simpla
inzident sind). Es kann sein, dass kein Rand vorhanden ist, jedes S'^~^ genau
zwei S'^ angehort, dann heisst die VM. randlos, andernfalls berandet
Zwei S'^ heissen benachbart, wenn sie ein S'^~^ gemein haben.
(C) Jedes n-Simplum Idsst sich mit jedem andern durch eine Kette von
n-Simpla verbinden, in der zwei konsekutive Glieder \ benachbart sind. (Eine BL 91
Verscharfung der Zusammenhangsbedingung). Erlauterungen fiir n = 2. Alle
929

Maximalsimpla sind Dreiecke; /\/ ist keine VM. ~ Drei Dreiecke mit einer
gemeinsamen Kante (wie die Blatter eines Buches) diirfen nicht vorkommen.
Bei dem Rechteck gehoren die Rechteckseiten zum Rande, die Diagonale nicht.
- Zwei Dreiecke, die nur einen Punkt gemein haben, gelten nicht als benachbart.
[p>

ecken einen und denselben Drehungssinn giebt; wenn man aber Kanten identifiziert,
so kann dies | (muss nicht) zu inkoharenten Orientierungen benachbarter Bl. 94
Dreiecke fiihren. Z.B. beim Mobiusschen Blatt fiihrt die Orientierung Xiy2yi,
koharent auf die Nachbarwinkel fortgesetzt, schliesslich zu x 1X3 2/1, und dieses
k
Id/
rA
h • u
ID/
\ /t>\
n h
und das erste Dreieck erteilen der gemeinsamen Kante dieselbe Orientierung
2/1X1, sind also inkoharent orientiert.
Unsere Beispiele realisieren also bereits alle vier moglichen Falle:
orientierbar
nichtorientierbar
randlos berandet
Torus
proj. Ebene
Kreisring
Mobiussches Blatt
Simplum und Simplumrand sind orientierbare VM.^ jenes berandet, dieser
randlos.
Betrachten wir die beiden hochsten Homologiegruppen Hn = 2^n und Hn-i]
von der erst en woUen wir den Rang, von der zweiten die Invariant en, d. h. die
(n — l)-dimensionalen Torsionskoeffizienten bestimmen. Es gilt: | Bl. 95
(1) Wenn $ randlos und orientierbar ist, ist Tin der Modul [C], wo C =
f
^ Si die Summe der koharent orientierten n-Simpla ist; in alien andern Fallen
1
besteht Hn nur aus dem Nullelement. (Also /in = 1 resp. hn = 0).
(2) Wenn ^ randlos und unorientierbar ist, hat Hn-i die einzige Invariante
2; in alien andern Fallen giebt es keine Invarianten. (Also Hn-i direktes
Produkt einer zyklischen Gruppe von der Ordnung 2 mit einem Modul vom
Rang hn-i; respektive Hn-i Modul vom Rang hn-i)-
Beweis.^^ Wir bringen die / n-Simpla Si in eine Reihenfolge: Si beliebig, 52
mit ^1 benachbart, 53 mit ^i oder 52 (vielleicht mit beiden) benachbart, ^4
mit einem der frliheren benachbart, u. s. w., wegen (C) werden alle Si auf diese
Weise erreicht. Fiir 1 < h < f ist also Sh mit einem Si {i < h) benachbart,
unter denen, wenn es mehrere giebt, man ein bestimmtes wahle, etwa das mit
kleinstem z; Th sei das mit 5^, Sh inzidente (n — 1)-Simplum, und man kann der
Reihe nach, | von einer beliebigen Orientierung der Si beginnend, jedes Sh mit Bl. 96
den zugehorigen Si koharent orientieren. Da Th schon mit Si,Sh inzident ist.
^^Seifert-Threlfall
931

kann es mit keinem Sk {k > h) inzident sein; die T2,... ,T/ sind insbesondere
paarweise verschieden, da im h < k T/^, aber nicht T^ mit Sk inzident ist.
Nun sei
/
E^-
C ist frei von T2,..., T/ (Th kommt nur in S[ und S'^ vor, mit entgegengesetz-
/
ten Zeichen). Jede n-Form A = ^ OiiSi, deren Rand A^ frei ist von T2, -.., T/,
1
ist Vielfaches von C, denn da Th nur in 5^' und 5^ mit entgegengesetztem Vorzeichen
vorkommt, ist ah = ai, jedes ah einem friiheren gleich, also A = aC.
Insbesondere ist jeder n-Zyklus A gleich aC; wenn es Zyklen ^ 0 geben soil,
muss C ein Zyklus sein, was, wie wir sahen, nur bei randloser orientierbarer
VM. der Fall ist; C ist dann die Summe der koharent orientierten Si, und Zn
ist der Modul [C]; in jedem andern Falle giebt es keine n-Zyklen ^ 0. Damit
B1.97 ist (1) bewiesen. |
Ferner ist jede n—1-Form Bi mit einer solchen B homolog, die von T2,..., T/
frei ist; man bestimme 02 so, dass B2 = Bi — 02S2 von T2 frei ist (das geht,
da T2 in S2 den Koeffizienten ±1 hat); dann Bs = B2 — PsS'^ frei von T3 (und
/
von T2, da Sg frei von T2 ist) u. s. f., schliesslich wird B = Bi — J2 PhS'h frei
2
von alien Th und B r^ Bi.
Nun fragen wir nach der Moglichkeit einer Gleichung l3Bi ~ 0 oder f3B ~ 0
mit kleinstem natiirlichem j3\ wenn sich (3 > 1 findet, giebt das einen (n — 1)dimensionalen
Torsionskoeffizienten. Also (3B = A' Rand einer n-Form und
frei von den Th\ also muss, wie wir bei (1) sahen, A Vielfaches von C sein,
A = 7C, 0B = 7C. Ist ^ berandet, so kommen in C Randsimpla T mit
Koeffizienten ±1 vor, also in 7(7' mit Koeffizienten ±7, in /3B mit Koeffizienten,
die durch /? teilbar sind, also ist 7 durch /? teilbar, B — ^C bereits selbst Rand,
BL98 (3=1: kein Torsionskoeffizient. Ist (j) randlos, aber\ orientierbar, so ist C (wie
wir bei (1) sahen) Zyklus, PB = 0, B = 0, /? = 1, kein Torsionskoeffizient.
Ist endlich $ randlos und unorientierbar, so enthalt C gewisse innere (n —
1)-Simpla T mit den Koeffizienten ±2, sodass wir C = 2Bo setzen konnen,
aus PB = 7C" = 2jBo folgt, dass 27 durch (3 teilbar ist, 5 = SBQ. Die
Koeffizienten von ^B ~ 0 {PB = 7C") sind gerade; die von BQ sind ±1, also
ist zwar 2Bo ~ 0, BQ aber nicht '^ 0. Fiir gerades ^ ist 5 ~ 0, fiir ungerades
B r^ BQ und erst 2B ~ 0. Demnach ist in Hn-i BQ das einzige Element
endlicher Ordnung ausser 0; (2) ist bewiesen.
Die Auskunft, die diese beiden Satze geben, ist nur unvoUstandig. Wir kennen
nach (2) die Invarianten von Hn-i, d. h. die Elementarteiler > 1 der Inzidenzmatrix
En-i (das ist die Matrix (Pij) von S^ = ^ Pij Tj, Si n-Simpla,
j
BL99 Tj (n - 1)-Simpla). Die obersten Gleichungen (3) |
932

f^n — Jn ^n ^n—1 — Jn ^n—1
hn-1 = fn-1 - Tn-l - rn-2
liefern auch den Rang Vn-i = fn — hn dieser Matrix {hn = 1 resp. 0). Den Rang
hn-i von Hn-i Oder den dazu erforderlichen Rang rn-2 von En-2 erhalten wir
durch diese Betrachtungen nicht.
Im Falle n = 2 schliessen sich aber diese Gleichungen und die unterste so
zusammen, dass wir alle hn bestimmen konnen:
h2 = /2 -ri
hi = fi- ri -ro
ho — f2 — fQ —1 = 0 (da ^ zusammenhangend ist).
Wir konnen die Charakteristik zu Hlilfe nehmen:
1 = h - h + f2 = l-\-hQ-hi^h2 = l-hi-\-h2
/ii = 1 + /i2 - 7;
also hi = 2 — J bei randlosem orientierbarem $ (/z2 = 1), hi = 1 — ^y in alien
andern Fallen (/i2 = 0). Damit ist auch Hi bestimmt (Invarianten gemass (2)).
I Beispiele (vgl. § 1, wegen der Charakteristik § 3). Bl. 100
(a) Kreisring, berandet, orientierbar. j = 0. hi — 1 — j = 1. Kein Torsionskoeffizient,
also Hi = Modul vom Range 1 = zyklische Gruppe unendlicher
Ordnung. Wir konnen den damals (§ 1) mit X = 0:1X2 + X2X3 + x^xi bezeichneten
Zyklus als Basis wahlen, d. h. alle Zyklen sind mit aX homolog.
(/?) Projektive Ebene, randlos, unorientierbar. j = 1. hi = 1 — j = 0.
Ein Torsionskoeffizient 2. Hi ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2;
B = 2/22/3 + 2/32/1 + 2/12/2 (§ 1) ist erzeugendes Element, 2B ~ 0.
(7) Torus, randlos, orientierbar. j = Q. hi = 2 — j = 2. Kein Torsionskoeffizient.
Hi ist Modul vom Range 2. Die damals (§1) mit X — X1X2 -{- X2Xs -\-
X3X1, / = xiyi + yiZi + 2^1X1 bezeichneten Zyklen konnen als Basis gewahlt
werden.
(S) Mobiussches Blatt, berandet, unorientierbar. 7 = 0. hi = 1 — j = 1.
Kein Torsionskoeffizient. Hi zyklische Gruppe unendlicher Ordnung. Basis (§ 1)
xia:2 4- X2X3 + xsyi + yixi. | Bl. lOl
Homologiegruppen mod TT. TT sei eine natiirliche Zahl > 1. Betrachten wir eine
Abelsche Gruppe Q, fiir deren samtliche Elemente TTX = 0 ist, alle Elemente
haben also endliche Ordnung und zwar ist die Ordnung jedes Elementes Teller
von TT, denn wenn ax = 0 und TT = 0:7 -h /? (0 < /? < a), n nicht durch a
teilbar ist, so ist schon /3x — 0, a nicht die Ordnung von x. Die Elemente
der Ordnung n und die von Ordnungen < TT weisen eine ungefahre Analogic
auf zu den Elementen unendlicher und endlicher Ordnung bei einer allgemeinen
Abelschen Gruppe. Jede Untergruppe Gi von G hat natiirlich auch die
933

Eigenschaft TTX = 0, ebenso jedes homomorphe Bild G^ von G (aus x -^ x'
folgt 0 = TTX -^ Tix' = 0). ^ lasst sich, wenn sie endlich viele Erzeugende hat,
als direktes Produkt zyklischer Gruppen von Ordnungen, die in TT aufgehen,
darstellen, ebenso GiiG'-
Die erwahnte Analogie ist leider nur ungefahr. Man konnte z. B. bei kanonischer
Darstellung von G als direktes Produkt von zyklischen Gruppen der
Ordnungen Si | £2 | * • * | ^m die Anzahl der (letzten) Invarianten, die = TT sind,
den Rang mod TT von G nennen. Aber dieser Rang hat im Ahgemeinen nicht die
Bl. 102 I Eigenschaft § 2, I:
{R) Ist G vom Rang p mod TT, ihre Untergruppe H vom Rang q mod TT, SO
ist G \H vom Rang r = p — q mod TT.
Beispiel: TT = 4, ^ sei zykhsch von der Ordnung 4, bestehend aus 0, x, 2x, 3x;
p = l.H werde gebildet von 0, 2x.H und G \ H sind von der Ordnung 2, also
q = r = 0.
Betrachten wir aber den Fall TT = Primzahl. AUe Elemente von G sind von
der Ordnung 1 oder TT, d. h. jedes Element ^ 0 ist von der Ordnung TT; eine
solche Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden ist also direktes Produkt von
zyklischen Gruppen der Ordnung TT; die Anzahl dieser Gruppen ist der Rang
mod TT. (Analogon zum Modul). Hier ist audi (R) richtig; man erkennt das,
indem man den Beweis von §2,1 noch einmal durchnimmt und Gleichungen
durch Kongruenzen mod n ersetzt; der zweite Teil des Beweises bleibt richtig,
weil aus a ^ 0, /^ ^ 0 auch a/3 ^ 0 (TT) folgt. (Der erste Teil bleibt allgemein
BL 103 richtig, aber daraus folgt nur p> q-\-r).\
Wir betrachten die Polynome eines Komplexes ^ jetzt mod TT (TT zunachst
noch natiirliche Zahl > 1)]A = 0 (mod TT; wir lassen diesen Zusatz des weiteren
gelegentlich fort) bedeutet, dass alle Koeffizienten von A durch n teilbar sind,
A = B soviel wie A — B = 0; A heisst ein Zyklus mod TT, wenn A' = 0 und ein
Rand mod TT, wenn A = B', wo B' der Rand eines Polynoms J5 in $ ist; jeder
Rand mod n ist auch Zyklus mod TT. A und B heissen homolog mod TT, A ^ B
(mod TT), wenn A — B ein Rand mod TT ist. Man bemerke, dass man zwischen
Zyklen mod n und Rander mod TT noch eine Klasse von Polynomen einschieben
kann, die ich orientierte Zyklen mod TT nennen will; A heisse ein orientierter
Zyklus mod TT, wenn A mit einem gewohnlichen Zyklus mod n kongruent ist.
BL 104 Die Beziehungen dieser drei Polynomklassen sind aus folgendem zu ersehen: |
(a) A Zyklus mod TT, A' = 0, A' = nQ
(/?) A orientierter Zyklus mod TT : A = C-\-7rP mit C - 0, ^' - TTP'
(7) A Rand mod TT : A = B' -^TTP
Das Q (Randteiler) aus {a) ist in {(3) ein Rand P' ; der Zyklus C aus {P) ist
in (7) ein Rand B\
Beispiel: TT = 2. (Auf diesen wichtigsten Fall kommen wir noch besonders
zuriick.) $ sei eine n-dimensionale Pseudomannigfaltigkeit; Si,...,Sf die irgendwie
orientierten n-Simpla (/ = /n); man betrachte die n-Form
A=^±Si±S2±-'-±Sf
934

mit willklirlichen Zeichenkombinationen; sie sind mod 2 alle kongruent und
zahlen fiir ein einziges Polynom mod 2. Wenn $ berandet ist, enthalt A' die
Randsimpla mit Koeffizienten ±1, und ist also | ^ 0 (mod 2), A kein Zyklus Bl. 105
mod 2. Ist $ randlos, so enthalt A' nur innere Simpla mit Koeffizienten 0, ±2
und ist also = 0 (mod 2), A jedenfalls Zyklus mod 2. Hier ist noch zu unterscheiden:
ist $ orientierbar, so ist A bei geeigneter Vorzeichenwahl ein Zyklus,
also A orientierter Zyklus mod 2. Ist $ nichtorientierbar, so ist keines der A
ein Zyklus; es giebt hier nach (1) {Zn = Hn enthalt nur die Null) iiberhaupt
keinen n-Zyklus j^ 0, und A ist also kein orientierter Zyklus mod 2.
Wenn wir nun also mod n kongruente Polynome nicht unterscheiden (oder,
was auf dasselbe hinauskommt, als Koeffizientensystem nicht mehr den Ring
der ganzen rationalen Zahlen, sondern den Ring der Restklassen mod TT nehmen),
so bilden die m-Formen eine Gruppe ^m(7r), die m-Zyklen mod n eine
Untergruppe Z^(7r), die m-Rander mod n dann wieder eine Untergruppe
'^m(7r). (Von der zwischen den beiden letzten gelegenen Gruppe der orientierten
m-Zyklen mod TT sehen wir ab.) Wie bei nichtmodularer Betrachtung ^^
zeigt sich | BL 106
wahrend
^m(7r) I Zm{7r) < > 7^rn-l(7r),
^m(7r) I 7^m(7^) = Hm{7r)
als m. Homologiegruppe mod n bezeichnet wird; das ist also die Gruppe der
m-Zyklen mod TT bei Nichtunterscheidung solcher, die mod TT homolog sind. In
alien diesen Gruppen ist das 7r-fache jedes Elements gleich dem NuUelement
der Gruppe. Die fm orientierten m-Simpla Bj bilden, wie von ^^, so auch von
•^m(7r) eine Basis, nur dass sie jetzt von der Ordnung n werden {J2^j^j = 0
nur fiir Pj = 0); .Fm(7r) hat den Rang fm mod TT; die Range mod n von
Zm{7r), 7^m(7^), Wm(7r) mogeu Zra{7T), r,n(7r), hm{7r) heisscu.
Wir nehmen jetzt IT als Primzahl an. Dann werden alle diese Gruppen direkte
Produkte von soviel zyklischen Gruppen der Ordnung TT, wie der Rang mod n
angiebt, und nach (R) gilt
fm-ZmM = r^-i(7r),
Zm (TT) - rm (TT) = km (TT) ,
^m(7r) = fm- rm(7r) - r^_i(7r);
I Gleichungen, die denen ((1) (2) (3)) zu Beginn dieses § entsprechen. Man hat Bl. 107
dabei wieder r_i(7r) = r_i = 1 zu setzen, sowie fiir einen n-dimensionalen
Komplex rn('7r) — 0; die Charakteristik kann statt mit den hm auch mit den
^m(7r) gebildet werden:
n n n
7 = 5^ (-ir/m = 1+E (-1)/*- = 1+E (-I)"'* w-
oder, wie man sagen kann, bei Betrachtung mod 0
935

hm{T^) heisst die m. Bettische Zahl mod TT.
'i^mM ist die Anzahl derjenigen von den Elementarteilern €i \ S2 \ • • - \ £rm
der m. Inzidenzmatrix Em, die nicht durch ir teilbar sind.
Schreiben wir wieder r = rmi f = /m+i? so hatten wir (vor (5)) die Gleichungen
A'^ = siBu ..., A; = srBr, ^;+i -... - 4 - 0
Ai,..., A/ eine Basis der {m + l)-Formen. Die Anzahl der nicht durch TT teilbaren
£1,..., e^ sei p; es sind das die p ersten; ^i,..., Cp ^ 0, 1 sind ja die Invarianten von Hm und daraus ergiebt sich ^m(7r); wahrend
^m5^m(7r) keine topologischen Invarianten sind. Aus
ergiebt sich dann durch Subtraktion
^m(7r) = fm- rm{7r) " Tm-l(7r)
hm{7^) = hm +5'm('7r) -\- gm-lM,
woraus die topologische Invarianz der Bettischen Zahl hmi^r) und der Gruppe
'Wm('7r) ( = Produkt von hmi^r) zyklischen Gruppen der Ordnung TT) hervorgeht.
936

Es ist dabei p_i(7r) = 0 und fiir die hochste Dimension n (^ n-dimensional)
Qni'^) = 0 zu setzen. Ausserdem ist noch 5^0(^) = 0, denn Torsionszahlen
0. Dimension giebt es nicht, die Elementarteiler von £"0 sind alle — 1 | und Bl. 110
keiner durch TT teilbar. Also ist /io(7r) = /lo {= Anzahl der Komponenten des
Komplexes minus 1).
Von besonderer Bedeutung ist der Fall TT = 2; da hier ein orientiertes
Simplum P = XQXI ... Xm mit —P kongruent ist, kommt dies auf eine Aufhebung
der Orientierung hinaus. Als Koeffizienten der Polynome mod 2 braucht
man nur 0 und 1; eine m-Form ^ 0 ist Summe gewisser m-Simpla mit Koeffizienten
1, ihr Rand = Summe der (m — 1)-Simpla, die mit einer ungeraden
Zahl jener m-Simpla inzident sind. Z.B. fiir A = XQXI + Xoa:2 + ^0^3 ist
A^ — —3xo + xi + X2 + X3, A' = XQ -i- xi -\- X2 -\- xs- Die m. Homologiegrupe
mod 2 7^771(2) heisst die m. Zusammenhangsgruppe des Komplexes, die m.
Bettische Zahl hm{2) die m. Zusammenhangszahl des Komplexes.
Beispiel. Ist ^ eine n-dimensionale Pseudomannigfaltigkeit, so ist /in (2) = 1
Oder 0, jenachdem $ randlos oder berandet ist. Denn wir haben | Bl. ill
hn{7r) = /^n+^'nW+^n-lW = /in + 5'n-l W,
hn{2) = /ln+^n-l(2).
Nun batten wir gesehen (vgl. (1) und (2)):
Ist $ randlos und orientierbar, so ist /in = 1, es giebt keine (n — l)-dimensionalen
Torsionskoeffizienten: 7^n-i(2) = 0; /in(2) = 1.
Ist $ randlos und unorientierbar, so ist /in = 0, es giebt eine einzige Invariante
2 von Hn~i, 5'n-i(2) = 1; hn{2) = 1. In alien anderen Fallen, also wenn
$ berandet ist, ist hn — 0 und ^n-i(2) = 0; /in(2) = 0.
Verifikation: fragen wir nach den n-Formen A ^ 0, die Zyklen mod 2 sind. A
ist Summe gewisser von den n-Simpla 5i,..., 5/, etwa A = Si-\ \-Sh' Hier
kann nicht h < f sein, denn nach der Eigenschaft (C) der VM. miisste eines der
Si,... ,Sh mit einem der Sh-\-i, • • • 5 S'/ benachbart sein und das gemeinsame
(n — 1)-Simplum T dieser beiden wiirde in A' mit dem Koeffizienten 1 auftreten,
/
A' ^ 0. Also A = J2 '^i' 1st ^ berandet, so enthalt A^ die Randsimpla mit
1
Koeffizienten 1, A' ^0: hn{2) = 0. | Bl. 112
Ist $ unberandet, gleichviel ob orientierbar oder nicht, so ist A^ = 0 (mit
dem schon erwahnten Unterschied, dass A bei orientierbarem ^ orientierter
Zyklus mod 2, andernfalls nur Zyklus mod 2 ist). Also A Zyklus mod 2 und
^ 0; Zn{2) Hn{2) ist die Gruppe, bestehend aus 0,^, von der Ordnung 2;
/in(2) = 1. I BL113
13
§ 4. Die topologische Invarianz der Homologiegruppen
^, ^ seien zwei abstrakte Komplexe mit den Ecken x,y. Jeder Ecke yj von
^ sei eindeutig eine Ecke Xj = (p{yj) von ^ zugeordnet, wobei die Xj nicht
^SS 1933 vorgetragen
937

paarweise verschieden zu sein und nicht alle Ecken von ^ zu durchlaufen brauchen:
hierbei soil jedem Simplum T in^, etwa T = {yoyi... ?/n}, ein Simplum
S — {xQXi...Xn} in ^ entsprechen, das eventuell singular sein kann (dann
soil die Menge der verschiedenen Xj ein Simplum in ^ sein). Wir woUen diese
Abbildung eine simpliziale Abbildung von ^ in $ (in $ soil heissen: auf einen
Teil von $) nennen. Hierbei geht also ein orientiertes Simplum yoyi • • • 2/n in ^
iiber in ein orientiertes Simplum a^o^i - • -Xn in ^ (das eventuell 0 sein kann),
jedes Polynom 5 in ^ in ein Polynom ^4 in $, der Rand B' in A', die Summe
Bl. 114 51+^2 in Ai + ^2; Zyklen gehen in Zyklen, Rander in Rander iiber. Das | giebt
also einen Homomorphismus der Gruppen Trn (^), ^m (^), ^m (^) ? '^m (^) in
die Gruppen (d. h. auf Untergruppen von) J^rn{^), ^m{^),^m{^),Hm{^)] wir
woUen daflir auch Tm{^) —> ^m(^) u.s.w. schreiben {G -^ G' Homomorphismus
von G '^^ G\ d. h. auf eine Untergruppe von G')-
Verallgemeinernd lassen wir jetzt zu, dass jeder Ecke y von ^ eine oder
mehrere Ecken x von $ als Bild zugeordnet werden und verlangen, dass das
Gesamtbild $(T) eines Simplums T = {yoyi • • • 2/n} von ^, d. h. die Menge aller
Bilder aller Ecken von T, ein Simplum in $ sei. Dann heisse ^ eine Verfeinerung
von ^. Wahlen wir unter den Bildern von yj ein bestimmtes Xj = (p{yj), so
ist {XQ ... Xn} Q ^(T) ein Simplum in ^ und wir erhalten also eine simpliziale
Abbildung wie vorhin, aber durch verschiedene Bilderwahl mehrere solche. Hier
gilt nun aber:
I. Ist ^ eine Verfeinerung von $, so lief em die hierdurch entstehenden sim-
Bl. 115 plizialen Abbildung en von ^ in ^ von jedem | Zyklus B in^ als Bilder Zyklen
A in ^, die mit einander homolog sind (in

d. h. R-j- S^ = 0 anzunehmen), also P' = 0 und folglich
A-A=^{xo- x)P = (xoXoYP = {xoXoPy ;
es ist zu zeigen, dass XQXQP ZU $ gehort. 1st nun etwa 2/1... 2/n ein in R
vorkomnaendes died (mit Koeffizienten 7^ 0), so ist {yoVi-'-yn} = T ein
Simplum in ^ und {a^o^o^i • •-^n} ^ $(T) eines in $, also xoXoa;i...Xn
ein Polynom in $; die Betrachtung aller Glieder zeigt, dass wirklich XQXQP
Polynom in $ ist.
Demnach entsprechen jedem Zyklus B bei den verschiedenen simplizialen
Abbildungen homologe Zyklen A^ zwei homologen Zyklen B schon bei jeder
einzelnen simplizialen Abbildung zwei homologe Zyklen A, insgesamt also
einer Klasse homologer Zyklen B eindeutig eine Klasse homologer Zyklen
A: nm{^)^Hm{^).\ B1.116V
Hierzu ist noch folgende Bemerkung zu machen. Die Zuordnung B -^ A
oder der Homomorphismus Hm{^) -^ ^m{^) ist schon durch jede einzelne
simpliziale Abbildung Xj = ^{Vj), wo (p{yj) aus dem Gesamtbild ^{Vj) beliebig
ausgewahlt ist, eindeutig bestimmt; das Wesentliche der Verfeinerung besteht
darin, dass die verschiedenen simplizialen Abbildungen dieser Art im Sinne des
Satzes I mit einander iibereinstimmen. Hat man eine zweite Verfeinerung, bei
der dem yj event uell noch mehr Ecken zugeordnet werden, als bei der erst en,
also ^{yj) 2 ^(2/i)j wahrend aber auch ^(T) noch ein Simplum in $ ist, so
bleibt der Homomorphismus Hmi"^) -^ Wm(^) dabei ungeandert. | Bl. 117
Ist ^ Verfeinerung von $, ft Verfeinerung von ^, so ist Q Verfeinerung von
$ (wir lassen einer Ecke z alle Bilder x von alien Bildern y von z entsprechen).
Die Homomorphismen Hm{'^) —^ Wm(^) -^ Wm(^) setzen sich zu Hm{^) —>
Hm{^) zusammen.
Unterteilung.
Wenn man in einem Euklidischen Komplex [^] den Schwerpunkt (Mittelpunkt,
oder auch irgend einen inneren Punkt) eines Simplums [S] als neue
Ecke X einfiihrt, so teilt sich dieses Simplum [S] wie alle es enthaltenden in
Teilsimpla und es entsteht ein neuer Komplex [^], der als Punktmenge mit [^]
identisch ist. Z. B. entsteht aus einem Dreieck [X0X1X2] durch Einfiihrung seines
^x.
Schwerpunktes x ein Komplex von drei Dreiecken [xa:iX2] + [xo3:x2] + [XQXIX],
aus dem Komplex [xoa:ia:2] + [xix^] durch Einfiihrung des Schwerpunktes von
[XQXI] der Komplex [xxia;2] + [3:0^^2] + [^i^^] u. s.w. | BL 118
Dies fiihrt darauf, mit einem abstrakten Komplex ^ folgende Operation vorzunehmen.
Einem zu $ gehorigen Simplum S = {XQXI ... Xm} wird eine neue,
939
• ^

von alien Ecken von $ verschiedene Ecke x zugeordnet; sodann bilde man einen
Komplex ^, dem die folgenden Simpla angehoren soUen:
{a) wenn T D S ein Simplum in $ ist, das S enthalt, etwa
T = {XQXI ... XmXm-}-! • - • Xn}, gehoren alle Simpla To = {xxi... XmXm^i... Xn},
Ti = {a:o:rX2 . . . XmXm-^l . . . Xn} • • • , Tm = {XQ . • • Xm-lXXm-\-l • • • Xn} ZU ^, die
aus T dadurch entstehen, dass man eine der Ecken XQ ..., Xm von S durch x
ersetzt;
(/?) die Teilmengen der in (a) genannten Simpla gehoren zu ^,
(7) die Simpla von $, die nicht S enthalten, gehoren zu ^.
Wir sagen: ^ entsteht aus ^ durch die einfache Unterteilung x —^ S. (Hierbei
werde m > 1 angenommen. Fiir m == 0 wiirde ^ aus ^ einfach darduch
entstehen, dass man die Ecke XQ jetzt x nennt).
Umgekehrt geht ^ wieder in $ liber dadurch, dass man x durch eine Ecke
Bl. 119 von S ersetzt; wenn man z. B. | x durch XQ ersetzt, geht TQ in T und Ti,..., Tm
in singulare Simpla C T iiber.
Der durch einfache Unterteilung von $ entstehende Komplex ^ ist eine Verfeinerung
von $.
Die Ecken von $ seien XQ,. .. ^Xr, die von ^ sind XQ,. .. ,Xr,x] schreiben
wir die letzteren fiir den Augenblick yo,.. .,yr^y und ordnen jedem yj {j =
0,..., r) das Bild Xj, dagegen dem y als Bilder alle Ecken XQ, ..., x^ von S
zu, so ist das gesamte Bild jedes Simplums in ^ ein Simplum in $. Z. B. hat
das erste Simplum in (a) TQ = {yyi,..., ymym-\-i • • • 2/n} das Bild $ (To) =
{XQXI ..., XmXi... XmXm-{-i - - - Xn} = T; entsprcchendcs gilt von den librigen
Ti, ferner von ihren Teilmengen {P) und den unter (7) genannten Simpla.
Schreiben wir fiir die Ecken von ^ wieder XQ,. .. ,Xr,x. Wir haben m + 1
simpliziale Abbildungen von ^ auf $ (diesmal auf den ganzen Komplex),
Bl. 120 darin bestehend, dass | man (pi{x) = Xi (2 = 0,..., m) und ^i{xj) = Xj {j =
0,..., r) setzt; jedem Polynom B in ^ entsprechen m + 1 Bilder Ai = ^i{B),
die nach I alle homolog sind {AQ ^ -- - ^ Am), falls B ein Zyklus oder auch nur
B^ frei von x ist; und es entspringt daraus fiir die Homologiegruppen gleicher
Dimension (wir lassen die Dimensionsbezeichnung weg) ein Homomorphismus
von W(^) in H{^).
Hierbei gilt aber mehr:
II. Wenn ^ durch einfache Unterteilung aus ^ entsteht^ sind die gleichdimensionalen
Homologiegruppen beider Komplexe isomorph: 7i{^)

Faktoren XQ, ..., Xm nicht alle enthalt, '0(T) = T. Da im ersten Falle
m m
/ ^ -Li ^^ / ^ ^0 • • • Xi—iXXi-\-i . . . X'faXfYi-\-l • • • Xji = XD Xm-\-l • • • ^n
0 0
{S' Rand von S — XQ ... Xm) ist, so ist die Funktion ij; folgendermassen definiert:
man schreibe
A = SC + D = XQXI ... XmC + D ,
wo C keinen der Faktoren XQ ,..., Xm enthalt und kein died von D alle diese
Faktoren enthalt (indem man alle Glieder von A zusammenfasst, die samtliche
xo,..., Xm enthalten, und diese Faktoren an die ersten m + 1 Stellen bringt);
dann soil sein
B = iP{A) = xS'C + D
Diese Abbildung der Polynome A auf Polynome B hat die Eigenschaft: mit
B =^ '0(A) ist auch B' = ip{A^). \ Bl. 122
Beweis: A' = S'C - (-1)^5C' + D'
(vgl. (5) in § 1); da hier nur das zweite died alle Faktoren von S enthalt, ist
Andererseits ist
^{A') = S'C - {-l)'^xS'C' + D'.
B' = {xSyC - i-l^xS' C ^D'
und da {xS'y = S' - xS" = 5', kommt B' = xl){A').
Demnach ist jedem Zyklus A ein Zyklus B^ jedem Rand A ein Rand B zugeordnet;
iiberdies ist natiirlich -0(^1 -\- A2) = -0(^11) + ^^(^2) • Homologe Zyklen
A gehen in homologe Zyklen B liber, und wir erhalten einen Homomorphismus
von 'H{^) in?^(^); vorher hatten wir einen in umgekehrter Richtung.
Diese beiden Homomorphismen sind nun eindeutige Umkehrungen von einander.
Zunachst folgt:
Wenn B — IIJ{A), SO ist A = (pi{B) (z = 0,..., m). Denn wenn man in
m
XD = y ^ XQ . . . Xi—iXXi-\.i . . . Xrri
0
I X durch Xi ersetzt, so geht dies in S liber (ein died geht in S iiber, die andern Bl. 123
inO).
Wenn wir umgekehrt von einem Polynom ^ in ^ ausgehen und etwa A =
(po{B) setzen, so kann ^^{A) ^ B sein. Z. B. aus B = xxi... Xm entsteht A =
XQXI ... Xm = S und ip{A) = xS' = xxi... Xm H ¥" B. Jedoch gilt:
Ist B ein Zyklus^^ und A = (po{B), so ist ip{A) ~ B.
^Ubrigens geniigt, dass B' frei von x ist.
941

Sei B = il^{A.), also, wie soeben bewiesen, A = (po{B), (po{B — B) = 0; es
soil B — B ^ 0 gefolgert werden. B,A,B,B — B sind Zyklen. Es gentigt zu
zeigen: ist B ein Zyklus, (po{B) = 0, so ist J5 ~ 0.
Sei B = xE-{-D, E und D frei von x]B' = E - xE' + D' sei = 0 oder auch
nur frei von x, also E' = 0. Jetzt ist 0 = ^o{B) = XQE + JD, subtrahiert |
Bl. 124 B = {x — xo)E = {xox)'E = {XQXE)'] es ist zu zeigen, dass XQXE Polynom in
^ ist. Sei E = 0:13:2 .. • XmQ -h R, Q frei von xi,..., Xm und kein died von R
enthalt alle diese Faktoren. Aus 0 = XQ E-\-D = XQXI ... XmQ + x^R + D folgt
aber Q = 0, denn die Glieder von xoi? und D enthalten niemals alle Faktoren
xo,..., Xm (weil D Polynom in ^ ist). Also E = R, d. h. kein died von E
enthalt alle Faktoren xi,..., Xm- Sei U ein died von E, das xi nicht enthalt; es
ist zu zeigen, dass XQXU in ^ liegt. Wenn U den Faktor XQ enthalt, ist XQXU =
0. Wenn es ihn nicht enthalt, so sei etwa U = X2 -.. XpXm+i -- -Xn {p < m <
n). Da xU in ^ liegt, ist {xx2 .. .XpXm+i • • -Xn] ein Simplum in ^, sein
Gesamtbild
T = {XQXI ... Xrn, a^m+i • • • Xn} eius in $, also (vgl. (a))
^1 = {XQXX2 ... XmXm-\-i • • • ^n} ^ins in ^, xoa:C/ entspricht einem Simplum
Bl. 125 C Ti, liegt also in ^. |
Wir hatten in der letzten Betrachtung die simpliziale Abbildung (po bevorzugt,
aber es gilt natiirlich aus Symmetriegriinden: Ist B ein Zyklus, Ai =
(Pi{B), so ist il^(Ai) ~ B. Umgekehrt gilt: Ist A ein Polynom, B — '0(^), so
ist (pi{B) = A.
Beides zusammen zeigt (da im ersten Fall die Ai homolog sind), das die Klassen
homologer Zyklen A und B einander eineindeutig entsprechen, womit II
bewiesen ist.
Der derivierte Komplex.
Denkt man sich in einem Euklidischen Komplex [$] zu jedem Simplum [S] =
[xo^i..., Xm] den Schwerpunkt
2/01,...m = rT(^0 +Xi-\ h Xm)
m+ 1
(Addition hier geometrisch verstanden wie zu Beginn von § 1) bestimmt, wobei
wir noch der Ecke XQ den neuen Namen t/o geben, so werden die Simpla von
Bl. 126 [$] in exklusive Teilsimpla |
mit den Ecken y zerlegt, wodurch ein neuer Komplex [^] entsteht, der als
942

Punktmenge mit [$] identisch ist. In der Figur sieht man, dass z. B. Teildreiecke
[2/02/012/012], Teilstrecken [2/022/012], [2/12/13] u.s.w. auftreten. Man gewinnt
daraus folgende Kegel:
Jedem Simplum S eines abstrakten Komplexes $ wird eine Ecke ys eines neuen
Komplexes ^ zugeordnet, dem diejenigen Simpla {ys}, {vsyr}, {ysyrVu}-, - • •
angehoren sollen, wofiir S G T C U G ... . ^ heisst der derivierte Komplex
von $.
Zugleich verstehen wir dann, wenn [$] ein zu ^ gehoriger Euklidischer Komplex
ist, unter [^] nicht einen beliebigen zu ^ gehorigen Euklidischen Komplex,
sondern eben den, wo die ys die Schwerpunkte der [S] sind: nennen wir [^] den
baryzentrisch derivierten Komplex von [^]. | Bl. 127
Einige Eigenschaften des baryzentrisch derivierten Komplexes werden nachher
eine Rolle spielen.
Die obere Grenze der Entfernungen der Punktpaare in einer beschrankten
Menge (im Euklidischen Raume oder allgemeiner in einem metrischen Raume)
heisst der Durchmesser der Menge.
Der Durchmesser d eines Euklidischen Simplums ist gleich der grossten Kantenldnge
I.
Sei [S] = [XQXI ... Xm] Menge der Punkte
m
X = aoxo 4- aixi H h amXm {on >0,^ai = 1).
Wir haben x — XQ — ai{xi — XQ) -\ + am{xm — ^o), fiir die Entfernungen
|x-xo| < ai\xi - xo\-{ \-am\xm -^o| < (l, d = l.
^ m
1st in der obigen Betrachtung x = 7^ Xi speziell der Schwerpunkt,
m + 1 ^
so ergiebt sich genauer
R^ — ^0 ^ I
m-\-l
und daraus, wenn nachher y der Schwerpunkt ist: die Entfernung eines Sim-
777/
plexpunktes vom Schwerpunkt ist hochstens • /.
m + 1
Nennen wir die grosste Kantenlange eines Euklidischen Komplexes [$] kurz
seine Kantenlange, so gilt:
943
0

1st I die Kantenldnge von [$] und [^] n-dimensional, so ist die Kantenldnge
n I
Bl. 129 des baryzentrisch derivierten Komplexes [^] hochstens gleich • /. |
Denn ist [ysyr] eine Kante von [^], 5 C T, T ein m-Simplum, so ist yr der
777/
Schwerpunkt von [T], ys ein anderer Punkt von [T], \ys — VTI < 1 <
m -\-1
n-hl
Man sagt, dass die Summe verschiedener exklusiver Simpla [S]^ die die Ecke
X gemein haben, einen Stern mit dem Mittelpunkt x bilden.
Insbesondere sei, fiir eine Ecke Xj von [^], Xj die Summe der Simpla des
baryzentrisch derivirten Komplexes [^], die die Ecke yj{= Xj) haben; Xj heisse
der baryzentrische Stern von Xj im Komplex [$]. Zwei Punkte von Xj haben
Tl
von yj eine Entfernung < -/ < /, von einander eine Entfernung < 2/; der
Durchmesser jedes baryzentrischen Sterns ist < 21 (/ Kantenlange von [$]).
III. Dann und nur dann, wenn die Ecken Simplum des
Komplexes [^] bilden, haben die zugehorigen baryzentrischen Sterne
BL 130 Xi,Xj,...,Xk einen nichtleeren Durchschnitt. \
Z. B. im hier skizzierten Komplex ist X0X1X2 D 0, X1X3 D 0, dementsprechend
dass [2:03:1X2], [2:1X3] Simpla des Komplexes sind; dagegen ist X2X3 = 0
und [x2Xs] kein Simplum des Komplexes.
Beweis von III. Gehort [xiXj .. .Xk] zu [$], so ist [yiyij • • 'yij...k] ein
Simplum in [^] mit der Ecke y^, und der Punkt yij,,,k gehort zu X^, ebenso
zu Xj,..., Xk : XiXj ... Xk D 0.
Wenn umgekehrt XQXI ... Xm ^ 0, so giebt es fiir jedes i = 0,..., m ein
Simplum [Ti] des Komplexes [^] mit der Ecke yi derart, dass der Durchschnitt
dieser [Ti] nicht leer ist (denn Xi ist Summe solcher [Ti]). Wenn Ti die
zugehorigen abstrakten Simpla (Eckenmengen) und T = TQ ... Tm ist, so ist
[T] = [To]... [Tyn], wegen der exklusiven Lage der [T], also T D 0. Nun ist jedes
Simplum von ^ von der Form {ysoVSi • • • } niit ^o C 5i, C ...; da T^ die Ecke
Bl. 131 yi enthalten soil, so muss 5o = {xi} sein und fiir jedes in Ti \ vorkommende
ys muss also Xi e S sein; fiir jedes in T, d. h. in alien Ti vorkommende ys
muss gleichzeitig x^ G 5 (i = 0,...,m), {XQXI .. .Xm} ^ S sein, und mit S ist
also {XQXI ... Xm} ein Simplum in ^, [XQXI ... Xm] eins in [^]. Damit ist III
bewiesen.
Wenden wir uns wieder zum abstrakten Komplex $ und seinem derivierten
944

IV. Der derivierte Komplex ^ Idsst sich durch wiederholte einfache Unterteilung
aus $ gewinnen. ^ ist eine Verfeinerung von ^. Die gleichdimensionalen
Homologiegruppen von $ und ^ sind isomorph: H{^) 5i, durch die aus $ ^1 entsteht. Zu $1
gehoren nach Vorschrift (vgl. die damaligen Angaben 7, a, /?) : die 8a, die nicht
D 5i, d. h. die 8p] diejenigen Simpla, die aus 81 durch Substitution von 2/1
fiir eine Ecke von 81 entstehen, sowie ihre Teilmengen, wobei man sich auf
die beschranken kann, die 2/1 enthalten (die iibrigen kommen schon unter den
8p vor); das sind die Simpla^^ {yi,8a} fiir 8a C S'l oder die {yi,8p} fiir
8f3 C 81. Also:
$1 : Simpla 8p; und {2/1, S'/^} fiir 81 D 8f3.
Zweite einfache Unterteilung y2 —^ 82, durch die aus ^1 $2 entsteht. \ Bl. 133
Aus den 8p entstehen dann wie beim ersten Schritt die 8^ und diejenigen
{2/2, 'S'^}, wo ^2 D 8^. - Die {2/1, S'/?} (^i D 5/?) werden ersetzt durch diejenigen,
die nicht D 82, das sind die {yi, 8^} mit 5i D 5^; wenn {yi, ^2} unter ihnen
vorkommt, also ^i D 82 ist, so hat man die Simpla und ihre Teilmengen zu
nehmen, wo eine Ecke von ^2 durch 2/2 ersetzt wird; das giebt {yi,y2,8j} mit
82'D 8^. Also:
$2 : 8Y, {2/1,5^} fiir 5i D 5^; {2/2,8^} fiir S'2 D 8^,
{yuy2,8^}iui 81 D 82 D 8^.
Gehen wir noch einen Schritt weiter (5 = 4,... ,p), so besteht ^3 aus den
Simpla
85'-,
{yi,85} fiir 5i D 8s, analog {y2,8s},{y3,85};
{yi,y2,8s} fiir 81D 82D 8s, analog {yi,y3,8s}, {y2,y3,8s};
{yuy2,y3,8s} fiir 81D82D83D 8s.
I Schliesslich besteht ^p-i (wo von den 8 nur noch das letzte 8p = 0 librig ist) BL 134
^^Hierunter kommt auch {yi,Sp} = {yi} selbst vor; deshalb haben wir Sp = 0 mitgezahlt.
945

aus:
0
{Vi}
{ViVj) fiir Si D Sj
{ViVoVk } iiivSi DSJ DSk
wobei eo ipso i > j > k > -- - ist; lassen wir die NuUmenge wieder weg, so ist
$p_i == ^ der derivierte Komplex von ^.
Damit ist die erste Behauptung von IV bewiesen^*"; aus der Isomorphie der
gleichdimensionalen Homologiegruppen von $,^i; $1,^2; ••• folgt die Isomorphie
derer von $ und ^.
Nach diesen Vorbereitungen werden wir jetzt die topologische Invarianz der
BL135 Homologiegruppen in mehreren Stufen beweisen. |
(A) Gruppenfolgen. Es sei Gi,G2^'" eine Folge von Abelschen, additiv
geschriebenen Gruppen; wir konnen daraus Elementfolgen
x= {xi,X2,^..), y= (2/1,2/2,...)^ •••
mit Xn E Gn, Vn ^ Gn u.s.w. bilden; x — y werde durch Xn = Vn, x + y =
(^1 + 2/1,3^2 + 2/2? • • •) definiert. AUe x bilden dann wieder eine Gruppe, die als
direktes Produkt der Gruppen Gn bezeichnet werden konnte. Das NuUelement
ist 0 = (Oi, O2,. •.)? On das NuUelement von Gn-
Diese Gruppe soil aber nicht betrachtet werden, sondern eine gewisse Untergruppe.
Es sei namlich fiir jedes n ein Homomorphismus
von Gn-\-i in Gn (auf eine Untergruppe von Gn) gegeben; wir betrachten dann
nur solche Elementfolgen x = (a:i,X2,...)? worin Xn+i —> Xn fiir jedes n =
1,2,..., d. h. Xn das dem Xn-\-i durch Gn-j-i -^ Gn zugeordnete (eindeutig
BL 136 bestimmte) Bildelement | ist; nennen wir diese x etwa Fundamentalfolgen, z. B.
ist 0 = (Oi, O2,...) eine. Mit x, y ist x-hy eine Pundamentalfolge (xn+i+^/n+i —^
Xn-^yn)'', die von den Fundamentalfolgen gebildete Gruppe moge
G = {Gi,G2,'' •)
genannt werden.
Beispiel. Sind p,q zwei natiirliche Zahlen > 1, so hat die Gruppe der Restklassen
mod pq einen Homomorphismus auf die Gruppe der Restklassen mod
p, indem man jeder Restklasse {x)pq die Restklasse {x)p zuordnet, wobei die
Restklassen {x)pq, {x + p)pq, {x + 2p)pq,... ,{x -{- q — lp)pq dasselbe Bild {x)p
^^Da Verfeinerung transitiv ist, ist ^ Verfeinerung von $, und zwar werden bei ^ —> $
jeder Ecke ys alle Ecken x von S zugeordnet. Die Isomorphie der Homologiegruppen daraus
direkt zu beweisen, ware recht umstandlich; es war ja schon bei einfacher Unterteilung etwas
miihsam.
946

haben. Stellt man die Restklassen durch die kleinsten Zahlen > 0 dar, so sieht
z. B. der Homomorphismus iiir p = S,q = 4 so aus:
Gr. mod 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
I
Gr. mod 3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
Nun sei Gn die Gruppe der Restklassen mod 2^. Die Homomorphismen
Gn-\-i -^ Gn geben folgende Tabelle: | Bl. 137
Gi^
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
G2---
Gs^ - GA
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 4 4
1 5 5
2 6 6
3 7 7
0 0 8
1 1 9
2 2 10
3 3 11
0 4 12
1 5 13
2 6 14
3 7 15
Die in einer Zeile stehenden Elemente bilden die Anfange von Fundamentalfolgen.
Die Gruppe G ist von der Machtigkeit des Kontinuums.
1st m < n^ so wird durch Xn —^ Xn-i -^ -- - -^ Xm auch ein Homomorphismus
Gn —^ Gm vermittelt. Ist also ni < 712 < ... eine Folge wachsender
natiirlicher Zahlen, so konnen wir | mit den Fundamental-Teilfolgen Bl. 138
die Gruppe
X = \Xfi^ , Xqri2 5 • • • j
G = {Gn,,Gn2-,"')
bilden. G und G sind isomorph^ denn nicht nur x ist durch x eindeutig bestimmt,
sondern auch x durch x, well jedes Element Xn einer Fundamentalfolge
seine samtlichen Vorganger eindeutig bestimmt {xn -^ Xn-i —^ • • • —^xi).
(B) Komplexfolgen. $1, ^2, • • • sei eine Folge abstrakter Komplexe, von
denen jeder folgende ^n+i eine Verfeinerung des vorangehenden ^^ ist. Das
liefert flir jede Dimensionenzahl m = 0,1,2,..., die wir in der Bezeichnung
nicht mitschreiben wollen, einen Homomorphismus Hn-\-i —^ Wn (von 7Yn+i in
'^n), ^n die m. Homologiegruppe von $n- Wir nennen
H = {Hi,H2,...)
947

die m. Homologiegruppe der Komplexfolge
^ = ($i,$2,.-.)-
BL139 I Fiir jede Folge ni < 712 < • • • ist die m. Homologiegruppe
der Komplexteilfolge
ft — yftni?'tn2 5•••j
mit H isomorph.
Beispiel. $n+i sei der derivierte Komplex von ^n- Da hier Isomorphismus
Hn ^^ Wn+i besteht, also nicht nur Xn (Element von Hn) durch a^n+i,
sondern auch umgekehrt eindeutig bestimmt ist, so ist jede Fundamentalfolge
X = {xi,X2,.'.) durch ihr Anfangselement xi eindeutig bestimmt: 7i ist mit
Hi isomorph.
(C) Raumzerlegungen und ihre „Nerven".
Ein Raum R (zunachst eine reine Menge) werde als Summe von endlich vielen
nichtleeren Mengen dargestellt, die nicht disjunkt zu sein brauchen:
R = Xi-hX2^'"^Xs.
Bl. 140 I Nennen wir dies kurz eine Zerlegung X von J^ (X reprasentiere das System
der Mengen Xi,..., X^). Wir ordnen dieser Zerlegung einen abstrakten Komplex
^ zu, der als ISlerv der Zerlegung (P. Alexandroff) bezeichnet wird: jedem
Index i = 1,..., 5 wird eine Ecke Xi zugeordnet; xi,..., Xg sind paarweise
verschieden (auch wenn etwa Xi = X2 sein soUte). Dann soil in $ dann und
nur dann das Simplum {xiXj .. .Xk} vorkommen, wenn die zugehorigen Mengen
einen nicht leeren Durchschnitt XiXj • • • Xk D 0 haben. Man sieht, dass
^, wie es sein soil, von jedem Simplum auch die Teilsimpla enthalt.^^
Beispiel (vgl. Satz III). Ist ^ ein abstrakter Komplex, R = [$] ein zugehoriger
Euklidischer Komplex, so hat die Zerlegung von R in baryzentrische Sterne
Bl. 141 den Nerv $. |
Nun sei y eine zweite Zerlegung i^ = Yi + • • • + Ft, ^ ihr Nerv mit den
Ecken yi,... ,yt. y heisst eine Verfeinerung von X (E. Cech), wenn jedes Yj
in mindestens einem Xi enthalten ist. Ordnen wir der Ecke yj jede Ecke Xi zu,
fiir die Xi ^ Yi (mindestens eine, vielleicht mehrere), so wird ^ eine Verfeinerung
von $ im friiheren Sinn, d. h. das Gesamtbild jedes Simplums in ^ ist
ein Simplum in $. In der Tat: seien dem yj die Bilder Xj^ ,Xj^,..., Xj^ zugeordnet,
dem yh die Bilder x/^^, Xh2, • • •, ^hq (die von den Bildern von yj nicht
verschieden zu sein brauchen) u.s.w., so ist Yj C Xj^ • • • Xj^, Y^ C Xh-^ • • • Xh^]
ist {yjyh ... } Simplum in ^, so ist 0 C YjYh • • • C X^-, • • • Xj^Xh^ • • • Xh^ • • • ,
^^Zwei Komplexe mogen aquivalent heissen, wenn sich ihre Ecken xi^yi eineindeutig so
zuordnen lassen, dass jedem Simplum des einen ein Simplum des andern entspricht. Der Nerv
ist natlirlich nur im Sinne der Aquivalenz bestimmt.
948

also {xj-^ ... Xj^Xhi '.. Xhq ... } ein (ev. singulares) Simplum in $. - Hieraus
resultiert also ein bestimmter Homomorphismus von W(^) in H{^).
1st Z eine dritte Zerlegung R = Y^ Zk, ^ ihr Nerv mit den Ecken Zk,
und ist Z Verfeinerung von y, so | ist Z auch Verfeinerung von X (jedem Bl. 142
Zk entspricht mindestens ein Yj D -^fc? jedem Yj mindestens ein Xi D Yj,
also jedem Zk mindestens ein Xi D Zk). Der hierdurch bestimmte Homomorphismus
H{n) -> H{^) ist derselbe, der sich durch Zusammensetzung von
H{Q>) -^ H(^), W(^) -^ 7iC($) ergiebt. Unterscheidet man namlich die mittelbare
Verfeinerung des Q von $, wo dem Zk erst alle Bilder yj und dann
deren Bilder Xi zugeordnet werden, und die unmittelbare, wo dem Zk alle Xi
mit Xi 2 Zk zugeordnet werden; es kann ja sein, dass Xi 3 Zk auch ohne
Zwischenschaltung eines Yj moglich ist. Die unmittelbare Verfeinerung ordnet
den Zk also eventuell mehr Ecken zu als die mittelbare, aber dadurch wird ja
der Homomorphismus H{Ct) —^ H{^) nicht geandert.
Als Homologiegruppe der Zerlegung A! bezeichnen wir die des Nerven $. Ist
X = (A'l, Af2,...) eine Zerlegungsfolge, wo Xn-\-i Verfeinerung von JMn ist, Hn
die m. Homologiegruppe von Af^, so heisse H — {Hi^H2, • • •) die m. Homologiegruppe
der Zerlegungsfolge X. Fiir eine Teilfolge X = {X^^, Af^s,...) I i^t Bl. 143
die Homologiegruppe H — {Hm, Wns ? • • •) mit H isomorph, da der unmittelbare
Homomorphismus Hn —^ Hm (^ < ^) derselbe ist wie der mittelbare
(D) Kompakte Rdume.
Im metrischen Raum R sei X eine Menge, q ein Punkt, S{X, q) = untere Entfernung
des q von X = untere Grenze von pq flir p e X. Aus pqi < pq2 + qiq2
folgt 5{X,qi) < S{X,q2) + 91^2, ^{^IQ) ist stetige Funktion von q] hieraus
folgt, dass fiir (5 > 0 die Menge
X{S) = Menge der Punkte q mit S(X, q) < S
abgeschlossen ist; X{0) ist die abgeschlossene Hiille von X, also bei abgeschlossenem
X mit X identisch; wenn J^ > 0, (5n -^ 0, ist der Durchschnitt der
X{Sn) gleich X{0). Fiir zwei Punkte pi,p2 von X und zwei Punkte ^1,^2 des
Raumes ist
qiq2 < qiPi +P1P2 +^2^2 < qiPi + d{X) -\-p2q2,
d{X) der Durchmesser von X {X sei beschrankt); hieraus folgt, indem man
nach pi,p2 die untere Grenze der rechten Seite | nimmt: BL 144
949

qiq2 oo, so batten die pn keine
konvergente Teilfolge.
Durchschnittssatz: Eine abnehmende Folge Xi O X2 ^ • • • abgeschlossener,
nicht leerer Mengen hat einen nichtleeren Durchschnitt X. Denn sei Pn G Xn
und p = limp^ Limes einer konvergenten Teilfolge; fiir jedes n ist schliesslich
Piy G Xn (fiir ly >n), also p G X^; X enthalt p.
R Idsst sich fiir jedes positive d in endlich viele abgeschlossene Mengen mit
Bl. 145 Durchmessern < d zerlegen. \
Man wahle einen Punkt pi, dann einen p2 mit pip2 > f, dann einen ps
mit piP3,P2P3 > f U.S.W., so lange es geht. Es geht nur endlich oft (sonst
batten die Pn keine konvergente Teilfolge). Ist pi,... ,Ps die so erbaltene, nicbt
mehr erweiterungsfahige Menge, so bat jeder Punkt p von mindestens einem
Pi {i = 1,.. .,s) die Entfernung pip < |; ist Xi die Menge der p mit pip < |,
so ist also R = Xi -\ \- Xg, Xi abgescblossen vom Durcbmesser < d.
Wir betracbten kiinftig nur nocb Zerlegungen R = Xi -\- • -- -}- Xg = Y^Xi
in endlicb viele, abgeschlossene, nicbt leere Mengen Xi] ist A! diese Zerlegung,
so sei d{JY) = maixd^Xi) der „Maximaldurcbmesser" der Zerlegung Af; man
kann ibn beliebig klein macben.
Es giebt eine positive Zahl 6{X) — 6 derart, dass die Mengen Xi{6) denselben
Nerv haben wie die Mengen Xi.
Man betracbte eine bestimmte Indexkombination i,j,...,k (aus den Zablen
Bl. 146 1,..., s) mit XiXj • • • Xk = 0 und die | abgescblossenen Mengen
Xi{6n)Xj{6n) ' "Xk{6n) = Fn,
die fiir ^1 > 62 > • • • , 6n -^0 abnebmend sind und den Durcbscbnitt
XiXj ' • • Xk = ^ baben. Nacb dem Durcbscbnittssatz konnen die Fn nicbt alle D
0 sein; es giebt also ein (von i,j,...,k abbangiges) 6 > 0 mit Xi{6) • • • Xk{6) =
0; bei Verkleinerung von 6 bleibt das besteben. Macbt man dies fiir alle (endlicb
viele) solcbe Indexkombinationen und nimmt das kleinste der so erbaltenen 6,
so folgt also jetzt stets aus Xi-'-Xk = 0 aucb Xi{6)--- Xk{6) = 0 und
natiirlicb umgekebrt (wegen X C X(6)); die Xi{6) baben denselben Nerv wie
die Xi. Man kann 6 dabei durcb ein kleineres ersetzen.
Eine Zerlegungsfolge A'n beisse in die Zerlegungsfolge ^n iiberfiihrbar, wenn
jeder Menge Xnj von Af^ genau eine Menge Ynj von 3^^ entspricbt {R =
Y^ Xnj = Y2 ^nj), die Ynj denselben Nerv $n ^^^ die Xnj haben und mit
3 3
BL 147 Xmi 3 Xnj {m < n) auch stets Ymi 2 Ynj ist. \
950

Dies hat folgende Bedeutung: wenn etwa (m < n) Xn Verfeinerung von
Xra ist, wodurch ftir die gleichdimensionalen Homologiegruppen Hm^^n von
^rni^n ^in Homomorphismus Hn —> Hm {in Hm) entsteht, so ist auch y^
Verfeinerung von ym und giebt denselben Homomorphismus. Denn die zweite
Verfeinerung ordnet der Ecke Xnj jedenfalls dieselben Ecken Xmi zu wie die
erste, und vielleicht noch andere (denn es konnte Ymi 5 ^j sein auch ohne
Xmi 2 Xnj-, die Uberftihrung ist einseitig); durch diese Vergrosserung der
Bilder wird aber der Homomorphismus nicht geandert.
Eine Zerlegungsfolge Xn mit dn == d{Xn) —> 0 heisse regular] wenn liberdies
Af^+i Verfeinerung von Xn ist, kanonisch. Wir setzen 5n = S{Xn).
V. Eine Zerlegungsfolge Xn mit dn+i + 25^+1 < ^n ist in eine kanonische
Zerlegungsfolge 3^n uherfuhrhar, ndmlich mit Ynj = Xnj{Sn)'
Zunachst ist Sn-\-i < ^Sn, Sn -^0, dn + 2Sn —^ 0; der Durchmesser | von Ynj Bl. 148
ist < d{Xnj) + 2Sn, also d{yn) < dn-\- 2Sn -^ 0, yn (wie Xn) regular. Nach der
Bestimmung von Sn hat ^n denselben Nerv wie Xn. Aus XmiXnj D 0 {m < n)
folgt Ymi 5 Ynj. Denn sei (in der Figur sind i,j weggelassen) p G XmiXnj und
q ein beliebiger Punkt von Ynj. Da p,q zu Ynj gehoren, ist pq < dn + 25n <
Sn-i < Sm, und da p zu Xmi gehort, ist S{Xmi, q) ^ PQ < ^m, q € Xmi{Sni) =
Ymi, also Ynj Q Ymi. Hieraus folgt erstens die Uberfiihrbarkeit, denn mit
Xmi 5 Xnj ist erst recht Ymi 2 Ynj, zweitens, dass yn Verfeinerung von ym
(also die Folge yn kanonisch) ist; denn zu Xnj giebt es wegen R = Y^ Xmi
i
mindestens ein XmiXnj D 0, also zu Ynj mindestens ein Ymi 2 ^j-
VI. Jede reguldre Zerlegungsfolge Xi,X2,... hat eine Teilfolge X(y,,Xp,...,
die in eine kanonische Folge uberfiihrbar ist. \ Bl. I48v
Es sei dn —^ 0 und, da man die Sn verkleinern kann, 2Sn-\-i < Sn angenommen.
Man kann dann die Zahlen a < (3 < ^ < • • • , von einem beliebigen a
ausgehend, der Reihe nach so wahlen, dass
di3 < Sa- 2^0,4-1, d^

Wegen Sp < (5^+1, ^7 <

IX. 1st ^ ein abstrakter Komplex, R = [$] ein zugehoriger Euklidischer
Komplex, so ist jede Homologiegruppe des Raumes R mit der gleichdimensionalen
des abstrakten Komplexes $ isomorph.
Wir hatten gesehen ((C) und Satz III), dass die Zerlegung A' von R in die
baryzentrischen Sterne von [$] den Nerv ^ hat; ist I die (grosste) Kantenlange
von [$], so ist d{X) < 21. Betrachten wir die Folge der abstrakten Komplexe
$, $1, $25 • • • wo jeder der derivierte des vorangehenden ist, und i^ = [$] =
[$i] = [$2] = ..., wo jeder der baryzentrisch derivierte des vorangehenden ist.
Die Zerlegung Xn von R in die baryzentrischen Sterne von [^n] hat den Nerv
$n und den Maximaldurchmesser dn < 2/n, wo In die Kantenlange von [$n] ist;
wir hatten, wenn $ p-dimensional ist, Zn+i < ^^j^n gefunden. In < l{-^)'^,
also c?n -» 0. I Bl. 153
Die Zerlegungsfolge Af,A'i,... ist also regular, allerdings im Allgemeinen
nicht kanonisch, A'n+i keine Verfeinerung von A^^; das sieht man schon am
^,
y^
!f^ ^ U
h u h
einfachsten Fall einer Strecke [^1X2] mit dem derivierten Komplex [2/12/3] +
[2/32/2] (2/1 = ^i5 2/2 = ^2, 2/3 Mittelpunkt); der baryzentrische Stern Y3 von 2/3
ist weder in Xi noch in X2 enthalten.
Nach VI ist aber eine geeignete Teilfolge A^Q,, Af/^,... in eine kanonische
Folge ^a? 3^/3, • • • uberfiihrbar; deren Homologiegruppe H (also die des Raumes
R) ist die Gruppe {Ha,H/3,...), wo Hn die des Komplexes $n ist; da alle
$n isomorphe Homologiegruppen haben, (der Homomorphismus Hp —> Ha ist
Isomorphismus), ist 7i mit der Homologiegruppe von $ isomorph.
Aus VIII und IX resultiert
X. (Topologische Invarianz der Homologiegruppen) Ist $ ein abstrakter
Komplex, [$] ein zugehoriger Euklidischer Komplex, R eine mit [$] homoomorphe
Punktmenge, so sind die Homologiegruppen von R mit denen von $ isomorph.
953
1^

NL HAUSDORFF : Kapsel 43: Fasz. 742
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen
Hs. Ms. - [Bonn], Ende April - Juli 1940. 101 BIL
[Hier die Abschnitte 5, 5a, 9, 10 aus §4 A, "Die topologische Invarianz der
Homologiegruppen", ferner §4B "Abzahlbare Komplexe" und §4C
"Homologiegruppen abzahlbarer Komplexe".]
5. Eine Eigenschaft des kompakten Raumes.
T sei ein System endlich vieler abgeschlossener Mengen Fi^O des kompakten
Raumes R. Wir wahlen aus jeder Menge Fi einen Punkt ai und erhalten
die Menge A der a^; d{A) sei der Durchmessr von A] d{T) die untere Grenze
der d{A)', sie wird, well R kompakt ist, wirklich erreicht, und es giebt also eine
Menge A mit kleinstem Durchmesser d{A) = d{J^). Wenn d{!F) = 0, so ist
A = a einpunktig, a G Y\Fi. Umgekehrt, wenn Y\Fi einen Punkt a enthalt,
Bl. 24 kann man A = a wahlen und hat d{J^) = 0. Also: | d{J^) = 0 oder > 0, jenachdem
JjFi^O oder = 0.
U sei ein System endlich vieler offener Mengen Ui ^ 0 des kompakten Raumes
R mit R — Y^Ui. Dann giebt es eine positive Zahl 5 = S{U) derart, dass jede
Menge A c R mit einem Durchmesser d{A) < S in mindestens einer Menge
Ui enthalten ist.
Wenn eins der Ui — R ist, ist die Behauptung bei beliebigem ^ > 0 trivial.
Nehmen wir also alle C/^ C -R an und sei T das System der abgeschlossenen
Mengen Fi = R-Ui^{)', wegen ^1^1 = Ri^t]\ Fi = {) und daher d{T) > 0.
Die Zahl 5 = d{T) genligt unseren Anspriichen. In der Tat kann eine Menge
A vom Durchmesser < 5 nicht mit alien Fi Punkte gemein haben, sonst ware
d{A) > d{T). Also ist, fiir mindestens ein i, AFi = 0, AC.Ui.
Ist V ein System endlich vieler Mengen Vj mit R = Y1,^3 ^^^ ^^^ ^^^ Maximaldurchmesser
^(V) = max(i(Vj) kleiner als S{U)^ so ist V Verfeinerung von
Bl. 25 U. I
5 a. Topologische Invarianz der Homologiegruppen von Komplexen.
Satz. $, ^ seien abstrakte Komplexe; sind die Euklidischen Komplexe P =
[$], Q = [^] homoomorph, so sind die Homologiegruppen (gleicher Dimension)
H{^), H{^) isomorph.
Beweis. Ist p = p(q) eine topologische Abbildung von Q auf P, q = q{p)
ihre Umkehrung, so entsprechen offenen Mengen in Q offene Mengen in P;
einer Zerlegung von Q in endlich viele offene Mengen entspricht eine gleiche
Zerlegung von P, mit demselben Nerv, und wegen der gleichmassigen Stetigkeit
von p{q) kann man die Zerlegung von Q so fein wahlen, dass die von P beliebig
fein wird, d. h. die Durchmesser der offenen Mengen in P beliebig klein werden.
Dies vorausgeschickt, sei
U: P = ^Ui
die Zerlegung von P in die offenen Sterne von $; Nerv $.
954

Sodann nehmen wir an, indem wir ^ alsbald durch eine geniigend feine baryzentrische
Unterteilung ersetzen, wodurch die Homologiegruppe W(^) sich
ja (im Sinne der Isomorphie) nicht andert, dass der Zerlegung von Q in die
offenen Sterne von ^ eine Zerlegung
in offene Mengen mit d{V) < S{U) entspricht, sodass | V Verfeinerung von U Bl. 26
wird; der Nerv von V ist ^.
Drittens wird $ durch eine geniigend feine baryzentrische Unterteilung $i
ersetzt der art, dass fiir die Zerlegung
U': P = J2UI
in die offenen Sterne von $i d{U^) < ^(V), also U^ Verfeinerung von V wird;
der Nerv von U^ ist $i.
Viertens endlich wird ^ durch eine Unterteilung ^i ersetzt so, dass der
Zerlegung von Q in die offenen Sterne von ^i eine Zerlegung
V^: P = Y.^l
mit d{V^) < S{U^) entspricht, V^ Verfeinerung von U^ ; Nerv ^i.
Diese Verfeinerungen ergeben simpliziale Abbildungen von ^i in $i, $i in
^, ^ in ^ und entsprechend Homomorphismen
Wenn wir die Elemente dieser Gruppen mit
2/1 , ^1 , y , X
bezeichnen (es sind jedesmal Klassen homologer Zyklen), so haben wir also
Gleichungen
xi=f{yi)^ y = 9{xi), x = h{y);
f,g,h sind Homomorphismen. Die zusammengesetzten Homomorphismen | Bl. 27
y = gfiyi), ^ = hg{xi)
sind aber Isomorphismen von H{^i) auf H(^) und von W($i) auf H{^).
Wir behaupten, dass die Gleichung
y = 9{xi)
einen Isomorphismus von W($i) auf W(^) darstellt. Denn:
{a) dieser Homomorphismus ist schlicht (eineindeutig): dem NuUelement von
W(^) entspricht nur das NuUelement von 7^($i). In der Tat: aus g{xi) = 0
folgt hg{xi) — 0, und da hg Isomorphismus ist, xi = 0.
955

{(3) er bildet H{^i) auf die ganze Gruppe W(^) ab, d. h. jedem y entspricht
ein xi mit y = g{xi). In der Tat: da gf Isomorphismus ist, so ist bei gegebenem
y die Gleichung y = gf{yi) nach yi auflosbar und mit xi = f{yi) wird also
y = g{xi)-
Demnach ist 7Y(^) mit H{^i) isomorph; H(^i) ist mit W(^), also H(^) mit
Bl. 28 H{^) isomorph. Q.e.d. |
Der bewiesene Satz gestattet, einem Raum P = [$], der Euklidischer Komplex
(Euklidisches „Polyeder") ist, als Homologiegruppe H{P) die Gruppe
7Y($) zuzuordnen; sie ist (bei Identifikation isomorpher Gruppen) von der
speziellen Darstellung des Komplexes unabhangig: wenn zugleich P = [^]
ist, ist H{^) mit H{^) isomorph. Er gestattet zugleich, die Definition von
H{P) auf Raume P auszudehnen, die mit Euklidischen Polyedern homoomorph
sind (krumme oder topologische Polyeder), wobei fiir homoomorphe Raume
P, Q H{P) mit H{Q) isomorph ist; denn ist P mit [$], Q mit [^] homoomorph
und P mit Q homoomorph, so ist [$] mit [^] homoomorph, 7Y($) mit ?Y(^)
isomorph, H[P) mit H{Q) isomorph.
Weiter aber konnen wir auf derselben Grundlage sogar Homologiegruppen
allgemeiner kompakter Raume (Nr. 7) und sogar topologischer Raume (Nr. 8)
erklaren, die fiir Euklidische Komplexe [^] mit li{^) tibereinstimmen.
9. Beliebige Unterteilung.
Es sei P = [^] = [^], [^] Unterteilung von [^]. Wir wissen jetzt, dass die
Gruppen H(^), H{^) isomorph sind (Nr. 7) und woUen zeigen:
IX. Der Isomorphismus wird durch die simpliziale Abbildung x = (p{y) G ^{y)
erzeugt, d. h. indem man jeder Ecke y von ^ eine Ecke (gleichviel welche) des
Tragers $(?/) von y in ^ zuordnet.
S = $(T) sei allgemein der Trager von T. Die Behauptung ist, dass der in
IV angegebene Homomorphismus von 7Y(^) in ?Y($) in Wahrheit Isomorphismus
von W(^) auf H{^) ist; fiir den Fall der baryzentrischen Unterteilung war
dies in VI festgestellt worden.
Ein Simplum T heisse reduziert, wenn es dieselbe Dimension wie sein Trager
hat; nicht reduziert, wenn es eine kleinere hat. In der Fig. ist z.B. {2/0,2/5,2/4}
reduziert, {2/4,2/5} nicht reduziert.
Die samtlichen Ti mit [Ti] C [S], wo [S] ein festes r-Simplum ist, bilden einen
BL 42 Komplex ^2, die [Ti] einen Euklidischen Komplex [^2]. |
956

(a) [^2] ist Unterteilung von [5], d.h. [S] = Yl [Ti].
Es braucht nur [S] C ^ [Ti] gezeigt zu werden. Ist x G [5], so hat x in [^] einen
Trager [T], dieser in [^] einen Trager [5i]; dann ist x e (T) C {Si), {Si)[S] ^ 0,
also (5i) ein offenes Simplum C [S] , [T] C [5], a; G X] [Ti]-
Wir haben weiter zu zeigen, dass [^2] eine r-dimensionale orientierbare Pseudomannigfaltigkeit
{VM., vgl.Blatt 23) ist, d.h. die folgenden Behauptungen
(/?, 7, (5, s) zu beweisen.^
{(3) Die Maximalsimpla Tj von ^2 sind r-dimensional.
Es ist [S] = Yl [Tj]- (^i) ist in [S] oflPen; ist y e (Tj), so liegt ein hinlanglich
kleines, y enthaltendes r-Simplum C [S] ganz in (Tj) . Tj muss also rdimensional
sein.
(7) Jedes (r — 1)-Simplum t von ^2 gehort (mindestens einem, aber) hochstens
zwei von den Maximalsimpla an.
Wenn [t] Seite von [Tj], [Tk] ist, so ist, im r-dimensionalen Raume Rr, der [S]
enthalt, ein mittlerer Punkt y von \t] innerer Punkt von [Tj] + [Tk]; ein drittes
Simplum {t,yi} mit der Seite t kann nicht existieren, sonst wiirde die Strecke
[yyi] mit [Tj] + [Tk] nur den Punkt y gemein haben. | Bl. 43
(S) Jedes Tj lasst sich mit jedem andern Tk durch eine Kette von r-Simpla
verbinden, in der zwei benachbarte Glieder ein (r — 1)-Simplum gemein haben.
Eine solche Kette erhalt man, wenn man zwei innere Punkte Pj,Pk von
[Tj], [Tk] so wahlt, dass ihre Verbindungslinie kein (r — 2)-Simplum vom [$2]
trifft; diese Strecke trifft also nur (r — 1)-Simpla und zwei r-Simpla, die sie der
Reihe nach passiert, haben ein (r — 1)-Simplum gemein.
(e) Die Simpla [Tj] lassen sich „koharent" orientieren, indem man sie alle mit
[S] gleich orientiert (d. h. so, dass im Raume Rr S in Tj durch eine Affinitat
mit positiver Determinante libergeht).
Errichtet man in einem mittleren Punkt y des (r — 1)-Simplums [t] eine
Senkrechte zur Ebene Rr-i, die [t] tragt, im Raume Rr, der [S] tragt, so ergeben
sich zwei Falle: entweder gehort t zwei r-Simpla Tj,Tk an und diese Senkrechte
hat auf beiden Seiten von y Punkte von [S], y ist innerer Punkt von [S], t hat
den Trager S = ^(t); oder t gehort nur einem r-Simplum Tj an, jene Senkrechte
hat nur auf einer Seite Punkte von [S], y ist Randpunkt und t hat eine (r — 1)
dimensionale Seite s von S als Trager s = ^(t). | Bl. 44
Nunmehr definieren wir
wobei jetzt S orientiert und die Tj gemass [e) orientiert sein sollen. Es ist durch
die bekannten Verabredungen jedem Polynom ^ in ^ ein Polynom B = ip{A)
in ^ zugeordnet, mit i^{Ai + A2) = V^C^i) + '0(^2)-
^[Zur Definition einer Pseudomannigfaltigkeit s. HAUSDORFFS Vorlesung, dieser Band,
S. 929.1
957

(C) Die Abbildung -0 ist randtreu, V'C^)' = V^C^O-
Es geniigt, '0(5)' = '0(5') nachzuweisen. Die Simpla t, die zwei Maximalsimpla
Tj,Tk angehoren, heben sich in ^ Tj heraus. Denn da Tj,Tk koharent orientiert
sind, ist etwaT^ = yjt, Tk = -ykt, Tj = t-yjt', T^ = -t^-ykt\ T'.+T;^
frei von t. Diese t fehlen also in '0(5)' und eo ipso in 0(5'). Sei t ein Simplum,
das nur einem Tj, sagen wir T angehort. Es gehort [t] einer Randseite [s] von
^
5 an; t wird (in Rr-i) mit 5 gleichorientiert, und da auch T mit 5 gleichorientiert
ist, haben wir 5 = xs^ T = yt; -0(5) = t-\- -- - , 5' = s4----, '0(5') =
^(s) + ... = t + ---,r' = t + ---, ^(5)' = t + • • • . i^{Sy - il){S') ist also frei
Bl. 45 von t, also von samtlichen (r — 1)-Simpla, d. h. 0. |
Beispiel: i;{xQXiX2) = yoysy^ + 2/42/52/3 + 2/32/52/1 + 2/42/32/2,
[il;{xoXiX2)y = 2/02/5 + 2/52/1 + 2/i2/3 + 2/32/2 + 2/22/4 + 2/42/0
== '0(xoxi + a:iX2 + X2X0) = ilj{{xoXiX2y)
ip fiihrt also Zyklen, Rander, homologe Zyklen von $ in ebensolche von ^ iiber
und bewirkt Homomorphismen der Gruppen T,Z,1Z,H von $ in die von ^
(wie umgekehrt (^ von ^ in $). Wir zeigen nun, dass fiir die Homologiegruppen
(p, ip zueinander invers sind.
(r/) Es ist (ftp(A) = A.
Es geniigt ^ip{S) = S fiir r-Simpla 5 zu zeigen. Fiir r = 0 ist das trivial; wir
schliessen von r — 1 auf r und nehmen also ^il){S') = 5' an. Nun ist ^{Tj)
orientiertes Simplum aus r + 1 Ecken von 5, also ±5 oder 0, (pip{S) = aS mit
ganzem a; also wegen der Randtreue beider Abbildungen (pil;{S') — a5'; dies
war = 5', also a = 1 : (pip{S) = 5.
(Das ist eine durch Orientierung verscharfte Fassung eines Spernerschen Sat-
Bl. 46 zes: ohne Orientierung ist die Anzahl der Tj mit (p{Tj) — S ungerade.) |
{'d) Fiir einen reduzierten Zyklus B ist ip(p{B) = B.
B sei r-dimensional, alle darin vorkommenden Glieder T haben r-dimensionale
Trager; es ist B == ^ Bs^ wo 5 die r-Simpla von ^ durchlauft und Bs —
Y^ pjTj das Aggregat der Glieder mit dem Trager 5 ist; die Orientierung wie bei
-0(5) = YTj. Fiir zwei Simpla Tj = yjt, Tk = —ykt, die das (r — 1)-Simplum t
gemein haben, muss Pj = Pk sein, damit in B' = B'g-\ = {Pj—l3k)t-\ = 0
958

das t herausfallt, und wegen (5) miissen alle /3j gleich sein, Bs = Ps^ Tj —
Ps V^(S'). Mit A = J2 PsS hat man also B = '0(A), ip{B) - A, IIJ^{B) = B.
(n) 1st C reduziert und C = D\ so ist C auch Rand der reduzierten Form
Denn C = ^(p{C) = ilJ(f{D') = [il;(f{D)y. Jede Form 'ip{A) ist reduziert.
Wir hatten [^2] die Unterteilung des r-Simplums [S] genannt; [^1] sei die
Unterteilung des Randes von [5], die Menge der [T], die in irgend einer (r — 1)dimensionalen
Seite von [S] enthalten sind. Wegen der topologischen Invarianz
der Homologiegruppen ist in ^2 jeder Zyklus ~ 0, in ^1 jeder Zyklus der
Dimension < r — 1 homolog 0 (wahrend '0(5') ein (r — 1)-Zyklus in ^1 ist, |
der nicht = 0, also auch nicht ~ 0 ist). Nun zeigen wir: Bl. 47
(i) Jeder Zyklus B ist mit einem reduzierten homolog.
B sei g-dimensional. Wir betrachten die Trager von B (d. h. die Trager der
in B vorkommenden Glieder); ihre Maximaldimension sei r. Wenn B nicht
reduziert ist, ist r > g ; S sei einer der r-dimensionalen Trager, Bs die Summe
der Glieder mit Trager 5, C die der iibrigen, B = Bs-i-C, 0 = B' = B'^-{-C\
Die Trager von C sind entweder r-dimensionale Simpla 7^ S oder Simpla von
Dimensionen < r —1; darunter befindet sich kein Simplum D 5, und folglich hat
C unter seinen Tragern S nicht. Also auch B^ hat den Trager S nicht; seine
Trager sind C 5; Bg liegt in ^1, und da seine Dimension g' — 1 < r — 1, so ist
Bg r^Oin ^1, Bg = D', D in ^1. Bs - D ist Zyklus in "^2, also ~ 0, und wir
haben B ^^ D -^ C = Bi; die Trager von Bi sind solche von C oder von D, im
letzteren Falle C 5; d. h. wir haben den Trager S weggeschafft und die Anzahl
der r-dimensionalen Trager um 1 vermindert. So fortfahrend schaffen wir die rdimensionalen
Trager fort, immer durch Ubergang zu homologen Zyklen, dann
(wenn noch r — l>q) die (r — l)-dimensionalen Trager u.s.w., bis wir zu einem
reduzierten Zyklus ~ B gelangen. | BL 48
(if) Fiir jeden Zyklus B ist ip(p{B) ~ B.
Das folgt aus {I^){L)'J ist B ^^ C, C reduziert, so ist il^

jeder Zyklus A auch Rand, namlich z. B. = {xA)', aber wenn A (5-Polynom ist,
braucht xA keins zu sein. A ^^ 0 (A (5-homolog 0) bedeute, dass A (5-Rand ist;
A r^s B bedeute A — B ^s ^- Wir betrachten alsdann Folgen
A = {Ai,A2,...)? ^n r-dimensionale Sn-^orm, Sn —> 0.
Wenn insbesondere die An 5n-Rander sind, heisst A ein Vollrand und homolog
0, ^ ~ 0; A^ B bedeutet, dass A-B^ {Ai- Bi,A2 -B2,...) ^ 0. Sind die
An nur (5n-Zyklen und
(^1, ^2, -A3,...) '^ (A2, A3, A4,...),
so heisst A ein Vollzyklus. Ein Vollrand ist ein Vollzyklus, aber nicht umgekehrt.
Z sei die Gruppe der VoUzyklen, 1Z die der Vollrander; die Differenzgruppe
Bl. 61 Z — 1Z — V\ ist die r-dimensionale Vietorissche Homologiegruppe des Raumes
R. Ihre Elemente v sind also Klassen homologer VoUzyklen; v besteht aus alien
mit einem Vollzyklus A homologen VoUzyklen.
Wir zeigen, dass V mit der in Nr. 7 erklarten Gruppe H isomorph ist.
(A) Ist A = F(xo, xi,...,Xm) ein 5-Zyklus, \yi — Xi\ < e, so ist B —
F{yo, 2/1, • • •, Vm) ein {S + 2£:)-Zyklus und mit A {S -\- 2e)-homolog.
Setzen wir Ak = F{yo,..., yk-i,Xk, • •., Xm) (A: = 0,..., m + 1), also AQ =
A, Am-\-i = B. Dass B wie A Zyklus und \yi — yj\ < 5 -\-2£ ist, ist evident. Es
geniigt zu zeigen, dass Ak und A^+i = F(2/o,..., 2//c-i, 2//c, ^/c+i, • • •, a^m) (

in Nr. 7) gebildete Gruppe ist der mit den tin gebildeten Gruppe H isomorph.
I (C) Es sei R = Y^ Fi eine abgeschlossene £-Bedeckung T. Ein „uberfliissi- Bl. 63
ges" Fi, das namlich in der Summe der iibrigen enthalten ist, konnen wir
weglassen, und durch Wiederholung dieser Prozedur kommen wir zu einer Bedeckung
ohne iiberflussige Summanden; wir nehmen alsbald J^ in dieser Gestalt
an. Indem wir dann einen Punkt ai e Fi — ^ Fj wahlen, erhalten wir
lauter verschiedene Punkte und konnen diese (statt der Indizes i) als Ecken des
Nerven $ wahlen; {aittj ... ak} ist Simplum von ^ dann und nur dann, wenn
FiFj • • • Ffe 7^ 0. $ ist 2£-Komplex, denn ist {aittj} eine Kante, so ist FiFj ^ 0
und \ai — aj\ < d{FiFj) < 2e\ jede Homologie in ^ ist 2£-Homologie. Es gilt
nun:
Ist ji die Lebesguesche Zahl von T, so wird durch irgend eine kanonische
Ahhildung (p von R in ^ (d. h. eine Abbildung ai = (p{x) mit x £ Fi) jedem
ji-Zyklus C eindeutig eine Zyklenklasse ^ von $ zugeordnet, zwei ji-homologen
fi-Zyklen dieselbe; C ist, wenn S-Zyklus {S < JJL), mit jedem Zyklus A der Klasse
i {S -\- 2e)-homolog.
Die Zahl /x hat die Eigenschaft: wenn eine Menge M vom Durchmesser <
II die Mengen Fi,Fj,... ,Fk triflPt, so ist FiFj--- Fk i=- 0, also {aia^ .,.a}^^
Simplum in $. Ist M = {x{^x\.. .Xr\ ein /i-Simplum, a^ = ^{xi), Xi G F^,
so ist MFi ^ 0 fiir i = 0,1,..., r und also {aoai... a^} Simplum in $ (das
ev. singular ist). | Bl. 64
Die Abbildung if ist also fiir /i-Komplexe simplizial und fiihrt jeden /i-Zyklus
C in einen Zyklus ^{C) in $ liber, jede //-Form in eine Form aus $, jeden /x-
Rand in einen Rand aus ^, zwei //-homologe /i-Zyklen C,D in zwei (in ^)
homologe Zyklen ^{C) ~ ^{D). Da fiir ai = (p{xi) \ai — Xi\< d{Fi) < e, so ist,
falls C (5-Zyklus ist, ip{C) mit C {S -\- 2£:)-homolog, nach (A); ist A ~ ip{C)
in ^, also A ~2e ^{C), so ist A mit C (5 -f 2£)-homolog. Die Klasse ^ von
(p{C) hat also die angegebenen Eigenschaften. Es ist noch hinzuzufiigen, dass
sie von der speziellen Wahl der kanonischen Abbildung (p nicht abhangt: ist
(fi eine andere kanonische Abbildung, so ist (pi{C) ~ ^(C). Ist namlich ^{x)
die Menge der ai mit x e Fi, so ist fiir eine Menge M vom Durchmesser < /i
M
die Menge $(M) — ^ ^{x) ein Simplum in $; denn wenn ai G ^(M), etwa
ai e ^{x), X e M, also x e Fi, so ist MFi J^ 0 ^^^ ^^^ Durchschnitt aller dieser
Fi ist 7^^ 0. Demnach giebt $(x) fiir /x-Komplexe eine mehrdeutige simpliziale
Abbildung dieser Komplexe in $, woraus fiir (p{x) e ^{x), (pi{x) G ^{x) die
Behauptung (fi{C) ~ (f{C) folgt (Nr. 1). | Bl. 65
(D) R = J2^j sei eine (wieder abgeschlossene) Bedeckung Q, die Verfeinerung
von T ist und deren Nerv ^ die paarweise verschiedenen Ecken bj G Gj hat; es
resultiert hieraus eine simpliziale Abbildung / von ^ in ^, namlich ai = fibj)
mit Fi D Gj. bj = il^{x) sei eine kanonische Abbildung von Rm^, x e Gj.
Dann ist ai — fip{x) eine kanonische Abbildung von R in ^ {x e Gj C Fi)
und folglich fiir jeden /x-Zyklus C fij^iC) ~ ^{C) in $. Ist C auch //i-Zyklus
(/xi Lebesguesche Zahl von ^), sodass '0(C) Zyklus in ^ ist, so geht dieser also
961

durch / in ^{C) iiber, bis auf Homologie, d. h. die Klasse 77 von '0(C) in ^ geht
durch den Homomorphismus von 'H(^) inW($), der durch / bewirkt wird, in
Bl. 64v die Klasse ^ von ^{C) in $ iiber. | Es ist noch zu bemerken: bei ai = fi^j)
ist bj G Fi, |ai — 6j| < d{Fi) < e\ ein Zyklus B m ^ (2£i-Zyklus, wenn
Q £:i-Bedeckung ist) geht also durch / in einen Zyklus f{B) iiber, der mit
BL 65 B (2£i + 2£)-homolog ist. |
(E) Nunmehr sei Tm eine Srn-Bedeckung von R (ohne liberfliissige Summanden),
mit dem Nerv ^rn] ^m —^ 0; ^m+i Verfeinerung von !Frn\ 'Hm die Homologiegruppe
(r. Dimension) von
i — (^15^2, • • OJ im = hm^rn-\-l
seien die Elemente von H. firn sei die Lebesguesche Zahl von J^rn, ^m eine
BL 66 kanonische Abbildung von R in $^. |
Andererseits sei
C = (Ci, C2, . . .) Cn (5n-ZykluS, Cn ^rjr, Cn+1, Jn ^ 0, T/n "^ 0
ein VoUzyklus. Fiir passendes rim und n > rim ist Sn < fj^m, Vn < Mm, ^n < ^m;
also alle Cn /im-Zyklen und /im-homolog, sodass nach (C) alle (/:?m(C'n) einer
bestimmten Klasse ^m = ^m(C) von ^m angehoren und Cn mit jedem Zyklus
Am dieser Klasse {Sn + 2erri)-homolog, also S^m-homolog ist. Ist auch noch
n > rim+i, ^m+i = ^m+i(C), SO ist nach (D) ^m = ^m^m+i, also
e-(ei,6,...) = e(C)
ein durch C bestimmtes Element von H. Ist C ~ P, so ist fiir n > n^ Cn ^nm
Dn und ^m{C) = ^m(P), also ^(C) = ^{V), d.h. jedem v (Element von V)
entspricht eindeutig ein Element ^ = ^{'^)- Das giebt einen Homomorphismus
von V in H.
Er ist Isomorphismus, d. h. fiir ^ = 0 ist i? = 0. Denn dann ist Cn ~3£m ^ fiir
n > rim, C ^ 0.
Er ist Isomorphismus von V auf W, d. h. zu jedem ^ giebt es ein v mit ^ =
^{v). Zunachst ist, fiir An ^ Cn, A= (^1,^2,...) ein VoUzyklus, denn An ist
BL 67 2^^-Zyklus, I und bei der (durch die Verfeinerung hervorgerufenen) simplizialen
Abbildung fn von $n+i in ^n ist nach (D) fn{An-\-i) mit An+i (25^+1 +2£n)homolog,
wahrend An und fn{An-\-i), beide zu ^n gehorig, 2£n-homolog sind,
also An mit A^+i (2£n+i + 2£n)-homolog, (^1, ^2, • • •) '^ (^2, ^3, • • •)• Weiter
ist nun ^{A) = C. Denn bei der simplizialen Abbildung /^ = fmfm^-i * * • fn-i
von m), a^ = fmi^])^ ist Fj^ C F/^ und insbesondere a'j G
F/^ ; /^ ist also fiir die Ecken von ^n eine kanonische Abbildung in ^m, also
fiir jede kanonische Abbildung (pm von jR in ^^, (pm{An) ~ fmi'^n) ~ ^m,
also Cm{A) = ^m nnd ^(.4) = ^. Die Vietorissche Klasse v von ^ giebt also
962

Damit ist die Isomorphie von V und H bewiesen.
Man kann den Beweis auch fiir die Folgen offener Bedeckungen fiihren.
(C*) R = Y^Ui sei eine ofTene e-Bedeckung U ohne liberfllissige Summanden,
sodass wir den Nerv $ mit paarweise verschiedenen Ecken a^ G Ui realisieren
konnen; er ist ein 2£:-Komplex.
Nach Nr. 5 giebt es eine Zahl p = p(^) derart, dass jede Menge M vom
Durchmesser < 3p in einem Ui enthalten ist. Insbesondere ist fiir x E R die
spharische Umgebung C/(x, p) | vom Radius p, also Durchmesser < 2p, in einem Bl. 68
Ui enthalten, und wir definieren eine kanonische Abbildung a^ = (f{x) von R in
$ als eine mit U{x, p) C Ui. Es sei ^{x) die Menge der ai mit U{x,p) C Ui. Fiir
M
eine Menge M vom Durchmesser < p ist dann $(M) = JZ $(x) ein Simplum
X
in $; denn ist a^ G ^(M), also a^ G ^(x), x G M, so ist M C U{x,p) C
t/^; alle diese C/^ haben M gemein, also einen nicht leeren Durchschnitt. Fiir
alle p-Komplexe ist also (p{x) G ^{x) eine simpliziale, ^{x) eine mehrdeutige
simpliziale Abbildung dieser Komplexe in $; hieraus folgt wie in (C):
Ist p = p(ZY), so wird durch irgend eine kanonische Abbildung if von R in
^ jedem p-Zyklus C eindeutig eine Zyklenklasse ^ in ^ zugeordnet, zwei phomologen
p-Zyklen dieselbe; C ist, wenn S-Zyklus {5 < p), mit jedem Zyklus
A der Klasse ^ ( rim die (pm{Cn) einer bestimmten Klasse
Cm = Cm(C) von ^m angchorcn und Cn mit Am G Cm S^rrx-homolog ist, ferner
dass Cm = ^mCm+ij C = C(^) ^i^ bcstimmtcs Element von H ist, das allein von
der Klasse v von C abhangt: C = C('^)5 nnd dass dieser Homomorphismus von V
963

in H, ein Isomorphismus ist. Um zu zeigen, dass es ein Isomorphismus auf die
ganze Gruppe Ti ist, stellen wir wieder fest, dass fiir An ^ in A= {Ai, ^2, • • •)
ein VoUzyklus ist. Es ist noch zu zeigen, dass (m < n) die simpliziale Abbildung
/m — fmfm+i ''' fn-1 von $n 1^ ^rn ftir die Ecken von ^n eine kanonische
Abbildung ist: nun ist jedenfalls, wenn af" = fmiaf^^) und aj'~^^ = /^+i(a^)
ist (wobei die letzte Gleichung fiir n = m + 1 als a^^^ = OL^ ZU verstehen ist),
al e L7+' und U{al,f^m) C U{U^+\fim) C t/^, wegen der gemass (D*)
spezialiserten Abbildung fm- Also ist (pm{An) ^ fmi^n) ~ Am, im{A) =
Bl. 71 U. i{A)=i. Q.e.d. I
V als metrischer Raum. Fiir einen Zyklus A in R sei 1^41, Betrag von A, die
untere Grenze der 6 mit A ^s 0 (solche S existieren, z.B. S > d{R)). Es ist
|0| - 0, 1^1 > 0 fiir A ^ 0^; ferner \A-\-B\< max(|yl|, \B\).
Wenn wir |^ — 5| als Entfernung von A,B definieren, bilden die Zyklen also
einen metrischen Raum mit „verscharftem Dreiecksaxiom" A. Wir vervoUstandigen
diesen Raum, indem wir Fundamentalfolgen A = {Ai,A2,...)
bilden, d. h. solche, wo der Durchmesser dm der Restfolge {Am,Am-\-i • • •) mit
m —^ oo nach 0 konvergiert; wegen A geniigt dazu, dass Sm = \Am — ^m+i|
nach 0 konvergiert, da fiir m < n \Am — An\ < max((5m, 0
beschranken, gehen die A, von denen je zwei mit der Entfernung 0 identifiziert
BL 72 werden, in die Elemente von V iiber.'^ |
§4B. Abzahlbare Komplexe.
10/6 40
Der abstrakte Komplex $ habe eine abzahlbare Menge von Ecken XQ, xi, a:2,. • •
Beziiglich der in $ vorkommenden Simpla {xiXj}, {xiXjXk}, • • • wird verlangt:^
(1) Jede Ecke kommt nur in endlich vielen Simpla vor.
(2) Die Dimensionen der Simpla haben ein Maximum n ($ ist n-dimensional).
Wir bilden hieraus Polynome
A = a-\- ^aiXi + ^aijXiXj H
i i S{A), also |A| > S{A).
^Vietoris nennt die Vollzyklen Fundamentalfolgen, die Vollrander Nullfolgen.
^ausserdem wie immer, dass jedes Teilsimplum von 5 G ^ auch zu ^ gehort.
964

Wir konnen, in einem Euklidischen Raume geniigend hoher Dimension, den
abstrakten Simpla S Euklidische Simpla [S] in paarweise exklusiver Lage zuordnen,
wodurch eine Punktmenge [^] = J2 [*^] entsteht. Es geniigt jedenfalls
^2n+i (wenn nicht schon ein niederer Raum), indem wir die Ecken „in allgemeiner
Lage" wahlen, d. h. so, dass je 2n + 2 Ecken linear unabhangig sind. |
Aber im Gegensatze zu endlichen Komplexen brauchen so erhaltene Komplexe Bl. 73
[$] nicht homoomorph zu sein. Die Figuren zeigen zu dem eindimensionalen
Komplex $ mit den Maximalsimpla {01}{12}{23}... Mengen [$], die eine
—•—* t tt }
I 1. ^ tr
—^
ir r
Halbgerade, eine halboffene Strecke, einen Rechtecksumfang, einen Rechtecksumfang
mit anstossender Strecke, eine nicht lokal zusammenhangende Menge
darstellen (nur die beiden ersten sind homoomorph).
Um die Homoomorphie aller Mengen R = [$] zu erzwingen, mlissen wir dem
Raum R eine topologische (nicht dem Komplex $ eine kombinatorische) Bedingung
auferlegen; R soil lokal endlich sein. Hierunter wird eine der folgenden
Bedingungen verstanden, deren Gleichwertigkeit sofort gezeigt werden soil:
(a) Die offenen Sterne Ui der Ecken Xi sind ofFen (in R).
{(3) Jeder Punkt x e R hat eine finite Umgebung (eine Menge C R heisst finit,
wenn sie nur mit endlich vielen [S] gemeinsame Punkte hat).
(7) Jede Menge F = ^ F5, wo F5 in [S] abgeschlossen ist und die Summe
s
iiber alle 5 G ^ erstreckt wird, ist abgeschlossen (in R). |
Der offene Stern Ui ist die Summe der (nach (1) endlich vielen) ofFenen Simpla
(S) mit Xi G 5; er ist eine finite Menge; R = Y^Ui.
Bl. 74
a ^^ (3. Ist X G C/i, so ist Ui eine finite Umgebung von x.
/? —> 7. Sei X Haufungspunkt von F — ^ Fs^ pi —^ x, pi G Fs^, U eine
finite Umgebung von x. Mit Weglassung von Anfangsgliedern konnen wir alle
Pi e U annehmen, also U[Si] ^ 0. Dies kann nach {(3) nur fiir endlich viele i
der Fall sein, also etwa pi G F5. H h Fsj^; da diese Menge abgeschlossen ist,
ist auch xeFs,-i--" + Fsj,QF.
7 ^ a. R — Ui ist die Summe der abgeschlossenen Simpla, die Xi nicht als
Ecke haben, also = ^ F5, wo F5 = 0 fiir x^ G 5 und Fs = [S] fiir Xi ^ 5,
demnach abgeschlossen; Ui offen.
Aus 7 folgt (indem man einen Teil der Fs gleich 0 setzt), dass, fiir jeden
Teilkomplex ^0, [$o] in [^] abgeschlossen und [$o] ebenfalls lokal endlich ist.
Jetzt folgt: sind $, ^ isomorph (mit den Ecken Xi^yi) und [^],[^] lokalendlich,
so sind [$], [^] homoomorph.
Zum Beweise bilden wir jedes Simplum [S] auf das entsprechende [T] affin
ab, das giebt eine schlichte Abbildung von [$] auf [^]. Dabei entspricht jeder
abgeschlossenen Menge F C [^] eine abgeschlossene in [^]; denn es ist F =
965
M
/

Bl. 75 X; F[S'], F[S] hat als Bild | eine in [T] abgeschlossene Menge FT und F hat
das abgeschlossene Bild ^ FT- Da flir die inverse Abbildung dasselbe gilt, ist
die Abbildung topologisch.
Ebenso: sind $, ^ isomorph, [$], [^] homoomorph und [$] lokal endlich, so
auch [^]. Denn die offenen Sterne von Xi und von yi entsprechen einander und
mit dem einen ist wegen der Homoomorphie auch der andere offen.
Einen lokal endlichen Komplex [$] zu gegebenem n-dimensionalen $ kann
man z.B. im i^2n+i so konstruieren: ist ^ eine bestimmte der rechtwinkligen
Koordinaten von x G R2n-\-i, ^i die Koordinate von Xi, so wahle man die Xi in
allgemeiner Lage und so, dass ^i -^ +00. Sei a eine reelle Zahl; fiir i > ia ist
ii > OL^ und da der Halbraum ^ (^ > a) konvex ist, liegt jedes aus Ecken Xi
X
mit i > ia gebildete Simplum [S] ganz in ihm; der komplementare Halbraum
Ga = ^ {^ < a) wird also nur von solchen Simpla [S] getroffen, die mindestens
X
eine der Ecken XQ, ..., Xi^ haben; das sind nach (1) nur endlich viele. R Gk ist
also eine finite offene Menge in R, und da i^ = RGi + RG2 H , so hat jeder
Bl. 76 Punkt eine finite Umgebung. |
Man bemerke, dass R = [$] nicht kompakt ist. Denn die Menge der Ecken
Xi ist abzahlbar, isoliert {xi hat die zu den librigen Ecken disjunkte Umgebung
Ui) und abgeschlossen (man setze Fs = [S] fiir 0-dimensionales, Fs = 0 fiir
hoherdimensionales 5, ^ Fs = Eckenmenge ist abgeschlossen). Dagegen ist
R lokal kompakt, d. h. jeder Punkt x hat eine Umgebung U mit kompakter
abgeschlossener Hiille U] in der Tat ist U, wenn finit, in der Summe endlich
vieler [S] enthalten, also U in dieser kompakten Summe abgeschlossen. - Jede
kompakte Menge P C R hat eine finite Umgebung; denn jeder Punkt x e P
hat eine Ux, und P wird von endlich vielen Ux bedeckt.
Simpliziale Abbildung wird wie bei endlichen Komplexen definiert; ist ^
ein abzahlbarer Komplex mit den Ecken y und wird jeder Ecke y eine Ecke
X — (p{y) von $ zugeordnet derart, dass das Bild (p{T) jedes Simplums T G ^
ein Simplum 5 G $ ist, so haben wir eine simpliziale Abbildung von ^ in $; sie
bewirkt Homomorphismen der Gruppen J^,Z,1Z,H von ^ in diejenigen von ^.
Wird jeder Ecke y eine Eckenmenge ^{y) von $ zugeordnet derart, dass das
T
BL 77 Gesamtbild ^(T) = ^ $(?/) jedes Siihplums T ein Simplum | ist (jedes ^{y) ist
y
also selbst ein Simplum), so haben wir eine mehrdeutige simpliziale Abbildung
von ^ in ^; alle in dieser enthaltenen eindeutigen simplizialen Abbildung (p{y) G
^{y) geben denselben Homomorphismus 7i((^) —> H{^).
1st M C R = [$] eine Menge, die in einem Simplum [S] von [$] enthalten
ist, so giebt es unter diesen [S] ein bestimmtes von niedrigster Dimension,
den Trager von M. Ist M = [T] selbst ein Simplum, [S] der Trager von [T],
so schreiben wir S — ^(T); es gilt dann fiir die offenen Simpla (T) C (5).
Insbesondere ist fiir einen Punkt y S = ^{y) das durch y G (5) bestimmte
Simplum (R ist Summe aller offenen Simpla (S) mit S E ^, diese sind disjunkt,
T
y ^ R gehort einem einzigen an). Es ist ^(T) = ^ ^{y)-
966

Es sei R = [^] = [^], beide Komplexe abzahlbar (immer mit den Eigenschaften
(1) (2)) und lokal endlich; [^] heisst Unterteilung von [$], wenn jedes
Simplum [T] von [^] in einem Simplum [S] von [$] enthalten ist. Die Zuordnung
^(y) = Trager von y zu jeder Ecke y von ^ definiert eine mehrdeutige simpliziale
Abbildung von ^ in $; | jede darin enthaltene Abbildung (p{y) E ^(y) eine Bl. 78
eindeutige simpliziale Abbildung; diese alle geben denselben Homomorphismus
H(^) ^ H{^) von 7Y(^) in H{^).
Dies ist in der Tat ein Isomorphismus von H{^) auf H{^). Zunachst giebt
es nur endlich viele Ti mit [Tj] C [5]; denn diese bilden einen Teilkomplex von
^ und es ist [S] — Y^ [Ti]; ware dieser Teilkomplex unendlich, so ware er doch
lokal endlich und folglich nicht kompakt, aber [S] ist kompakt. Die Summe der
Maximalsimpla Tj mit [Tj] C [S], wo die Tj mit S libereinstimmend orientiert
sind, bezeichnen wir mit ip{S) = J2 ^j5 ^^ &^^ dann in Anbetracht dessen, dass
die Polynome A, B von $, ^ immer schon in endlichen Teilkomplexen liegen:
ip(p{B) ~ B, wenn JB Zyklus ist;
hieraus folgt eineindeutige Zuordnung der Klassen homologer Zyklen in $ und
^. I Bl. 79
Wir betrachten jetzt auch Raumzerlegungen R = J2Ui mit abzahlbar vielen
Summanden ^ 0; der Nerv $ wird wie bei endlich vielen Summanden erklart; er
soil die Eigenschaften (1) (2) haben, d. h. jedes Ui hat nur mit endlich vielen Uj
nichtleeren Durchschnitt und die Anzahl der Ui mit nichtleerem Durchschnitt
hat ein Maximum (wenn dies = n + 1, so ist $ n-dimensional). Die Zerlegung
von R = [^] = "Y Ui in die offenen Sterne hat den Nerv $. - Die Zerlegung
R = ^Vj heisst Verfeinerung von R = Yl Ui, wenn jedes Vj in mindestens
einem Ui enthalten ist; die samtlichen i dieser Art bilden ein Simplum $(j) in
$, und hiermit ist eine mehrdeutige simpliziale Abbildung des Nerven ^ von
^ V^ in $ gegeben, also eine homomorphe Abbildung von H{^) in H{^). Ist
R = Yl ^j insbesondere die Zerlegung in die offenen Sterne von ^, wo i^ =
[$] = [^] und [^] Unterteilung von [$] ist, so ist diese Zerlegung Verfeinerung
von R = YUj (offener Stern von ^) und ^{j) = ^{yj) ist der Trager von yj.
Alles Bisherige ist eine nahezu unveranderte Ubertragung der Verhaltnisse
bei endlichen Komplexen (§4 A). Nur an Stelle der dortigen Nr. 5 tritt eine
neue Betrachtung: man muss zeigen, dass der abzahlbare Komplex [$] beliebig
feine Unterteilungen zulasst, bei denen jedes Simplum [Si] in Simpla vom
Durchmesser < £i unter- | geteilt wird, wo die Si eine vorgeschriebene Folge Bl. 80
positiver Zahlen bilden.
(Zum Folgenden Alexandroff-Hopf, S. 146).
Es sind, wenn ^o ein Teilkomplex des endlichen Komplexes $ ist, einige Falle
vorauszuschicken, wo eine gegebene Unterteilung von [$o] ^^f [^] erweitert, d. h.
eine Unterteilung von [$] angegeben wird, die in [$o] die gegebene Unterteilung
bewirkt.
(A) [$] ein Simplum [5], [$o] sein Rand.
Man projiziert die Randunterteilung von einem mittleren Punkt p von [S] aus.
967

1st [$o] = E [Si], so ist [S] = E (P + Si).
(B) [$] ein Simplum [5], [$o] ein Teilsimplum [SQ].
Es sei T = 5- ^0, [T] die zu [5o] gegeniiberliegende Seite von [S] = [5o + T].
Ist [So] = E ['S'i]) so ist [5] = E ['^^ + ^] ^i^^ ^^^ gesuchten Unterteilungen; sie
lasst [T] ungeteilt.
(C) $ und $0 mogen dieselbe Eckenmenge haben, sodass ^ — $o aus Simpla
besteht, die zwar nicht zu ^o gehoren, deren Ecken aber Ecken von ^o sind.
Diese Simpla mogen r (> 1) als kleinste Dimension haben. Ist S eines der
Dimension r, so gehort der Rand von [S] zu [^o] und die Unterteilung wird
Bl. 81 gemass | (A) auf [5] libertragen, dann ebenso auf die iibrigen r-dimensionalen
Simpla von ^ — ^o? dann auf die (r + 1)- dimensionalen u. s. w.
(D) Allgemein. Es sei $i 5 ^o der Komplex aller Simpla von $, deren Ecken
zu $0 gehoren. Gemass (C) wird die Unterteilung von [$o] auf [$i] libertragen.
Wenn So ein Simplum von ^ ist, dessen Ecken zu $i (also zu ^o) gehoren, so
gehort So zu $i. Jedes Simplum S von $ ist jetzt in der Form {^o, T} = 5 (=
So + T) darstellbar, wo So die zu ^o gehorenden, T die nicht zu $o gehorigen
Ecken umfasst (eine der Mengen 5o, T kann 0 sein). Fur [5o] ist die Unterteilung
[So] = E [Si] gegeben, sie wird gemass (B) auf [S] = E [*^i + ^] ubertragen.
So entsteht eine Unterteilung von [$], die in [$i] und erst recht in [$o] niit
der gegebenen iibereinstimmt, wahrend sie alle zu [^o] disjunkten Simpla (d. h.
die, deren Ecken nicht zu $o gehoren) ungeteilt lasst.
Satz I. R= [^] sei ein abzahlbarer, lokal endhcher Komplex, 5^ (z = 0,1,...)
die Simpla von $, ki eine Folge ganzer Zahlen > 0; dann giebt es eine Unterteilung
von jR, die fiir jedes i Unterteilung der /c^-fachen baryzentrischen
Bl. 82 Unterteilung von [Si] ist. |
Beweis. R lasst sich in der Form Ro-{-Ri-\ darstellen, wo jedes Rn Summe
endlich vieler Simpla [Si] und RmRn = 0 fiir n — m > 2 ist. Denn man setze
To = [So] und, wenn T^-i bereits als Summe endlich vieler Simpla definiert ist,
Tn = [Sn] plus der Summe der [Si], die Tn-i treffen; da jedes [Si] eine Ecke von
Tn-i enthalten muss, ist nach (1) auch T^ Summe endlich vieler Simpla. Es ist
Tn-i ^Tn] Rn sci die Summe der Simpla, die in T^, aber nicht in Tn-i liegen;
Tn = Rn-\- Tn-i. (Ubrigeus ist Rn = Tn — Tn-i die abgeschlossene Hiille von
Tn - Tn-l.) Es ist Tn = Ro ^ Rl -^ •-\-Rn, R = Y.Tn = T, ^n- SodaUU ist
TnRn-^2 = 0; denn ware p G TnRn-{-2, so miisste p nach der Definition von Rn-\-2
einem Simplum [S] angehoren, das nicht in T^+i enthalten ist, andererseits ist
aber p e [S] Tn, [S] Tn y^ 0, also [S] C Tn+i. Hiermit ist RmRn = 0 fiir
BL 83 n-m>2 gezeigt. |
Jedem Simplum [Si] C Tn ist eine Zahl ki zugeordnet. In sei das Maximum
dieser ki, also In-i < In'-, durch Z^-fache baryzentrische Unterteilung von Rn
entsteht ein Komplex ^n niit Rn = [^n]- Hiervon ist R^Rn+i == [^n] ^^^ ^^i^-
968

komplex; RnRn+i empfangt von Rn+i eine /n+i-fache baryzentrische Unterteilung,
wodurch [$^] eine An-fache (An = In+i —In) baryzentrische Unterteilung
erhalt. Nach (D) lasst sich diese auf Rn libertragen, wodurch Rn — [^n] wird in
einer Unterteilung, die in [$^] mit jener An-fachen Unterteilung iibereinstimmt,
wahrend die Simpla von [^^-il ~ Rn-iRn ungeteilt bleiben, weil Rn^iRn und
Rn-iRn disjunkt sind. Die samtlichen [^n] schliessen sich zu einer Unterteilung
von R zusammen, denn in Rn-iRn stimmen [^n-i], [^n] iiberein. Ein
Simplum [Si] C R^ empfangt in \^n] eine Unterteilung einer Zn-fachen, also
(ki < In) einer A:^-fachen baryzentrischen Unterteilung. Damit ist I bewiesen.
Indem wir die Zahlen ki geniigend gross wahlen, erkennen wir also: bei beliebig
vorgegebenen £i > 0 hat R = [$] eine Unterteilung, bei der [Si] in Simpla
von Durchmessern < Si geteilt wird. | Bl. 84
II. Q = [^] sei abzahlbarer, lokal endlicher Komplex und homoomorph mit
P; P — Y^Ui sei eine Zerlegung von P in beliebig viele offene Mengen.
Es giebt eine Unterteilung [^i] von [^] derart, dass der Zerlegung von Q in
die offenen Sterne eine Zerlegung P — Yl^j entspricht, die Verfeinerung von
P = EUi ist.
Beweis. Sei q = f{p) eine topologische Abbildung von P auf Q. Ist y eine
Ecke von ^ und V{y) der zugehorige offene Stern, so ist V{y), kompakt, in
endlich vielen der offenen Mengen f{Ui) enthalten und es giebt eine positive
Zahl S{y), derart dass jede Menge C V{y) vom Durchmesser < S{y) in einer
dieser Mengen f{Ui) enthalten ist. Fiir ein Simplum Tj von ^ sei Sj — Minimum
der 6{y) fiir die Ecken y von Tj. [^i] sei eine Unterteilung von [^], bei der jedes
[Tj] in Simpla vom Durchmesser < ^Sj untergeteilt wird. Ist z eine Ecke von
^1, W{z) der offene Stern von z, so giebt es einen offenen Stern V{y) von
^ mit W{z) C V{y), wobei jeder Summand (offenes Simplum) (zzi...) von
W{z) einem Summanden (Tj) = {yyi...) von V{y) angehort, also, da [zzi...]
ein Simplum der Unterteilung von [Tj] ist, einen Durchmesser < ^6j < ^S{y)
hat; W{z) hat also einen Durchmesser < S{y) und liegt in einer der Mengen
f{Ui). Also liegt jeder offene Stern von [^i] in einer Menge f{Ui), sein Urbild
in einer der Mengen Ui. Q. e. d. | Bl. 85
Nunmehr konnen wir die topologische Invarianz der Homologiegruppen abzahlbarer
Komplexe wie fiir endliche beweisen (§4 A, Nr. 5 a):
III. $, ^ seien abzahlbare Komplexe; sind die lokal endlichen Komplexe P =
[$], Q = [^] homoomorph, so sind die Homologiegruppen (gleicher Dimension)
W(^), W(^) isomorph.
Beweis. Es sei
U: P = ^Ui
die Zerlegung von P in die offenen Sterne von $; Nerv $.
Sodann nehmen wir ^ bereits so untergeteilt an (ohne Anderung der Homologiegruppe
W(^)), dass der Zerlegung von Q in die offenen Sterne von ^ nach
II eine Zerlegung
entspricht, die Verfeinerung von U ist; Nerv ^.
969

Dann sei $i, wieder nach II (hier auf die identische Abbildung von P auf P
angewandt), eine so feine Unterteilung von $, dass die Zerlegung
in die oflFenen Sterne von $i Verfeinerung von V wird, und endlich entspreche
die Verfeinerung
Bl. 86 I von U^ einer Zerlegung von Q in die ofFenen Sterne einer geniigend feinen
Unterteilung ^i von ^. Die Nerven von U^,V^ sind $1,^1.
Der weitere Fortgang des Beweises ist wortlich so wie im Fall endlicher Komplexe,
darauf beruhend, dass bei den Homomorphismen
m^i) -^ w($i) -^ H{^) -^ n{^)
die zusammengesetzten Homomorphismen H(^i) —> W(^) , H{^i) -^ H{^)
BL 87 Isomorphismus der linken Gruppen auf die rechten sind. |
§4C. Homologiegruppen abzahlbarer Komplexe^
5/5 40
2. Gruppenfolge mit direkten Homomorphismen.^
Es sei Tin (^ = 1,2,...) eine Folge von Abelschen Gruppen und fiir jedes n
ein Homomorphismus hn von Tin in Wn+i gegeben (nicht, wie in §4 A, Nr. 6
einer von Hn+i in Wn- Diese damaligen Homomorphismen konnen invers, die
jetzigen direkt genannt werden). Fiir jedes Xn G Hn ist also
bestimmtes Element von 7Yn+i- Wir betrachten „gebundene" Restfolgen
wo fiir n > /i stets Xn-\-i — hnXn'-, x ist durch ihr Anfangsglied Xh eindeutig
bestimmt. Die Restfolge x und
heissen gleich, x = y, wenn sie final gleich sind, d. h. fiir ein I {> h^ > k) Xn =
2/n fiir n > /. Die Gleichheit ist transitiv. Als Summe x -\-y wird die Folge
{xi +2//,xz+i +2/Z+1,...)
fiir I > h^k erklart. Die Restfolgen bilden eine Gruppe H = (Wi, W25 • • O^ ^^^
jedenfalls das Nullelement 0 = (Oi, O2, • • •) — (^2,03,...) = • • • enthahlt (On
BL 88 das Nullelement von Hn)- \ Fiir m < n besteht der zusammengesetzte Homo-
^[Die folgenden Blatter sind eine vorlaufige Version des § 4B vom 10. 6.1940 (BIL 72 ff.)-
Am Rande hat HAUSDORFF vermerkt: „(Zweckmassiger §4B, 10/6 40)." Wir haben sie hier
trotzdem abgedruckt, um zu zeigen, wie HAUSDORFF in einer Zeit schwierigster Lebensurnstande
das Problem der topologischen Invarianz der Homologiegruppen immer wieder
bearbeitet hat, bis das Ergebnis seinen Anspriichen geniigte (vgl. den Auszug aus HAUS-
DORFFs Brief an J. O. MULLER, dieser Band, S. 887).]
^[Die Numerierung hat HAUSDORFF nachtraglich von 1. zu 2. geandert; er wollte also zuerst
den Abschnitt „Naturliche Homomorphismen" (Blatt 88 Mitte ff.) abhandeln.]
970

morphismus h'!^ = hn-i " - hm von Hm in '^n- 1st ni < n2 < • • • eine Folge
natiirlicher Zahlen, so konnen wir die Gruppe H = {Hm, Hn2 ? • • •) bilden, bestehend
aus den gebundenen Restteilfolgen x = (xn;,, Xn^+i,.. .)• Dieses x und
die gebundene Gesamtfolge x = (a:n^,Xn^+i,Xn;,+2, • • •) bestimmen einander
eineindeutig, Ti ist also mit H isomorph.
1. Natiirliche Homomorphismen.
Der abstrakte Komplex $ sei Teil des abstrakten Komplexes ^. Ein Zyklus
in ^ ist also zugleich einer in ^, zwei in $ homologe Zyklen sind auch in ^
homolog; einer Klasse x in ^ homologer Zyklen (der z.B. der Zyklus A angehort)
entspricht eindeutig eine Klasse y D x in ^ (mit A) homologer Zyklen.
Dies liefert einen Homomorphismus, den „naturliclien Homomorphismus" von
n{^) in n{^).
Wir betrachten wieder Raumzerlegungen R = "^ Ui in endlich viele Mengen,
der Nerv dieser Zerlegung U sei $. Die bisher getroffene Verabredung Ui ^ 0
moge jetzt fallen gelassen werden; der Nerv besteht aus den Ecken 2, Kanten
{ij}, Dreiecken {ijk} u. s.w., fiir die Ui ^ 0, UiUj / 0, UiUjUk 7^ 0,... | Man Bl. 89
sieht, dass der Nerv identisch ist mit dem, der nur aus den Ui ^ 0 gebildet wird;
die Indizes i mit Ui = 0 kommen schon als Ecken nicht in $ vor, geschweige
denn ein Simplum mit einer dieser nicht vorhandenen Ecken.
Es sei jetzt R C S,V {S = ^ Vi) eine Zerlegung von S mit dem Nerven ^,
und U {R = Y^Ui^ Ui = RVi) die hierdurch bewirkte Zerlegung von R mit
dem Nerven $. Dann ist $ C ^, denn jedes Simplum {ij.. .k} von $ ist auch
eines in ^ (aus UiUj -- -Uk 7^ 0 folgt ViVj • - -Vk 7^ 0). Wir haben damit den
natiirlichen Homomorphismus von H(U) = H{^) in H{V) = W(^); jeder Klasse
X homologer Zyklen in $ entspricht eine bestimmte Klasse y ^ x homologer
Zyklen in ^.
Wir betrachten eine zweite Zerlegung V {S = J2 ^j) ^^^ '^ ^^ ^^^ Nerven
^' und die entsprechende U' {R = ^ U-, U- = RV-) von R mit dem Nerven
$'; es ist $' C ^', jeder Klasse x' in ^' entspricht eine Klasse y' D x' in ^'•
(Klasse = Klasse homologer Zyklen). - Sei nun V' Verfeinerung von V, also W
von U.
Ausser den beiden natiirlichen Homomorphismen haben wir dann die beiden
„Verfeinerungshomomorphismen"/i, / von H{^') in 'H{^) und von 'H{^') in
7i{^) : X = hx'^ y = ly' ordnet | jeder Klasse x' in ^' eine Klasse x in $, jeder BL 90
Klasse y' in ^' eine Klasse y in ^ zu. Wir behaupten:
Wenn x = hx\ y ^ x, ?/' 2 3:', so ist auch y = ly\ (Man gelangt also von x^
zu y entweder auf dem Wege x' -^ x ^^ y^ erst Verfeinerungs-, dann natiirlicher
Homomorphismus, oder x' —^ y' -^ y, erst natiirlicher, dann Verfeinerungs-
Homomor phismus.)
In der Tat: es sei ^(j) die Menge der i mit Vi D V- und ^(j) die Menge
der i mit Ui 'D C/j; ofFenbar ist ^(j) C ^(j). Indem wir jeder Ecke j von ^f'
eine Ecke i G ^{j) zuordnen, haben wir eine simpliziale Abbildung von ^' in
^, die den Homomorphismus / erzeugt; wegen ^{j) C $(jf) haben wir damit
zugleich jeder Ecke j von ^' eine Ecke i von $(jf) zugeordnet, und dies erzeugt
den Homomorphismus h. Ist also A' ein Zyklus in $', also auch einer in ^',
971

so geht er durch jene simpliziale Abbildung in einen Zyklus A von $ iiber, der
auch einer in $' ist; ist A' E x' Cy', A E x Cy^ so haben wir hx' = x, hy' — y.
Seien jetzt R und S D R kompakt; Vn eine kanonische Zerlegungsfolge von
S, mit Nerven ^„; Un die entsprechende, ebenfalls kanonische Zerlegungsfolge
Bl. 91 von R, mit Nerven ^n- \ Sind Xn^Vn Klassen von ^ni^m so haben wir die
Verfeinerungshomomorphismen Xn = hnXn+i^ Vn — ^n2/n+i; aus dem Gesagtem
geht hervor, dass, wenn durchweg yn 2 Xn ist, aus Xn — hnXn+i auch
Vn = InVn+i folgt. D. h. jcdem Element x = {xi,X2,...), Xn = hnXn+i der
Homologiegruppe H{R) entspricht vermoge der natiirlichen Homomorphismen
Xn ^ Vn ein bestimmtes Element
y = (2/1,2/2, • . 0^ Vn = InVn+l
der Homologiegruppe 1~L{S)\ wir nennen dies den natiirlichen Homomorphismus
von ^{{R) in H{S). Er kann symbolisch durch x C. y dargestellt werden (was
eben soviel wie Xn ^ 2/n, fiir jedes n, bedeuten soil).
Endlich seien jR = [$], S = [^] Euklidische Komplexe mit ^ C ^, R C S.
Ist Vi der offene Stern der Ecke i von ^, so ist fiir die z G ^ Ui = RVi der
offene Stern der Ecke i von $, oder aber = 0. (Ein ofFenes Simplum {So) ist fiir
5o G $ in i? enthalten, anderenfalls zu R disjunkt, da ja R wie S Summe offener,
paarweise disjunkter Simpla von [^] resp. [^] ist.) Der Zerlegung 5 = ^ T^ in
offene Sterne entspricht also die Zerlegung i? = ^ C/^ in offene Sterne. Genau
Bl. 92 dasselbe | gilt fiir die n-mal derivierten Komplexe $n C ^n- (Sei ^0 = $, ^0 =
^). Wir nehmen also die kanonische Zerlegungsfolge Vn fiir 5, Zerlegung in
die offenen Sterne von [^n], und die entsprechende Un fiir R, Zerlegung in die
offenen Sterne von [^n], die Nerven sind ^n, ^n- 1st
x = (xo,xi,X2,...)
ein Element von H{R), so entspricht ihm vermoge x C y^ d. h. Xn C y^, ein
Element
y = (2/0,2/1,2/2,...)
von H{S). Aber x und XQ, y und yo entsprechen einander eineindeutig, und der
natiirliche Homomorphismus x C y ist also durch XQ C T/Q bestimmt. D. h.
Ist R = [$],5 = [^] mit ^ C ^, so ist der natiirliche Homomorphismus von
H{R) in H{S) identisch mit dem natiirlichen Homomorphismus von H{^) in
H{^).
2. Gruppenfolge mit direkten Homomorphismen (s. oben)
3. Homologiegruppen lokal kompakter, separabler Rdume
Der Raum R sei separabel und lokal kompakt, d. h. jeder Punkt hat eine
Bl. 93 Umgebung U mit kompakter abgeschlossener Hiille U. \ Auch jede kompakte
Menge P C R hat eine Umgebung U mit kompaktem C/, denn jeder Punkt x
von P hat eine solche C/^, P ist in der Summe U endlich vieler Ux enthalten
und [/, Summe endlich vieler Ux^ ist kompakt. R selbst lasst sich, weil separabel,
als Summe abzahlbar vieler Un mit kompakten Un darstellen; setzt man
972

Pn = Ui-\ h f/n, SO sind die Pn kompakt, Pn C Pn+i, R = J2Pn' Endlich
definieren wir noch kompakte Mengen Rn 5 Pn induktiv: Ri — Pi; wenn Rn
bestimmt ist, sei V^+i eine Umgebung von Rn + Pn+i niit kompakter abgeschlossener
Hiille Pn+i = Vn-^i- Dann ist Rn in einer offenen Menge C ii^+i,
also im ofFenen Kern Pn+i enthalten, wofiir wir Rn < Rn-\-i schreiben, und
wegen
Eine solche Darstellung
Rn 2 Pn ist R = y ^ Rn -
R = Ri-\- R2 + R3-\ , Rn < Pn+1, Rn kompakt
heisse eine kanonische Darstellung von R. (Umgekehrt ist ein P, das einer
solchen Darstellung fahig ist, lokal kompakt, denn x ^ R, sagen wir x € Rn,
hat eine Umgebung i?n+i mit kompakter abgeschlossener Hiille). Jede Teilfolge
giebt wieder eine kanonische Darstellung R = Rn^ + Rn2 H •
Ist Hn die Homologiegruppe bestimmter Dimension von Rn-, so haben wir
den natiirlichen Homomorphismus hn von Hn in Wn+i? | niit dem wir nach Bl. 94
der Vorschrift von Nr. 1 die Gruppe H = (Wi,7i2, • • •) bilden; sie ist mit jeder
Teilgruppe H = (Hm, Wns 5 • • •) isomorph.
Fiir jede kompakte Menge Q C i? ist schliesslich Q < Rn- Denn es ist R =
Y^ Rn {R = YRn^Y Rn-\-i ^ Z] PR C P), Q also in einem R^ enthalten.
Ist demnach R = Yl Qn eine zweite kanonische Darstellung, so kann man die
Indizes a

7^ 0 soil endlich sein. Rand, Zyklus, Homologie wird wie bei endlichen Komplexen
erklart. Wir haben Gruppen ^, Z, 7^, H (der Formen, Zyklen, Rander,
Klassen homologer Zyklen), die aber unendlich viele Erzeugende haben konnen.
Wir konnen den abstrakten Simpla S nun Euklidische Simpla [5], in paarweise
exklusiver Lage, eines Euklidischen Raumes geniigend hoher Dimension
zuordnen. Es geniigt jedenfalls i^2r+i (vielleicht schon ein niederer Raum), indem
wir die Ecken „in allgemeiner Lage" wahlen, d. h. so, dass je 2r + 2 Ecken
Bl. 96 linear unabhangig | sind. Aber im Gegensatz zu endlichen Komplexen brauchen
so erhaltene Komplexe [^] = Yl [^\ iiicht homoomorph zu sein. Dem eindimensionalen
Komplex $ mit den Maximalsimpla {01},{12},{23},... kann man
Komplexe [$] zuordnen, die eine Halbgerade, eine halbofFene Strecke, einen
(
/ rsy
Rechtecksumfang, einen Rechtecksumfang nebst angesetzter Strecke, eine nicht
lokal zusammenhangende Menge darstellen, und viele andere; von den angefiihrten
sind nur die beiden ersten homoomorph.
Um die Homoomorphie der R — [$] zu erzwingen, miissen wir dem Raume
R noch eine Bedingung auferlegen (die nicht kombinatorischer, sondern topologischer
Natur ist). Diese Bedingung wird als lokale Endlichkeit bezeichnet
und driickt sich in einer der folgenden, sogleich als aquivalent zu erweisenden
Bedingungen aus:
(a) Die offenen Sterne Ui der Ecken Xi sind ofFen (in R)
{/3) Jeder Punkt x hat eine finite Umgebung (finit heisst eine Menge C R, die
nur mit endlich vielen abgeschlossenen Simpla [5], oder auch, nur mit endlich
vielen offenen Simpla (AS), Punkte gemein hat).
(7) Jede Menge F = ^ Fs, wo Fs in [S] abgeschlossen ist, ist abgeschlossen
s
Bl. 97 (ini?).|
Der offene Stern Ui ist die Summe der (nach (1) endlich vielen) offenen Simpla
(5) mit Xi G 5; er ist eine finite Menge und R = Y1 ^^•
a ^ (3. 1st X E Ui, so ist Ui eine finite Umgebung von x.
/3 ^^ 7. Sei x Haufungspunkt von F = ^ Fs, Pi -^ x, pi e F, U eine finite
Umgebung von x. Ist pi G F5., so kann, weil die pi fast alle zu U gehoren. Si
nur endlich viele Simpla durchlaufen; also etwa pi G F5. -I- • • • + Fs^, und x
gehort dieser abgeschlossenen Menge an, also x E F, F ist abgeschlossen.
^ -^ a. R — Ui ist die Summe J^ F5, wo F5 — 0 oder [5], jenachdem S die
Ecke Xi enthalt oder nicht enthalt; Yl, ^s ist abgeschlossen, Ui offen.
Ein lokal endlicher Komplex [^] heisst auch (unendliches) Polyeder.
Sind jetzt die abstrakten Komplexe ^, ^ isomorph (mit den zugeordneten
974

Ecken Xi^yi) und [$], [^] lokal endlich, so sind [^], [^] homoomorph.
Zum Beweise bilden wir jedes Simplum [S] auf das entsprechende [T] affin ab;
das giebt eine schlichte Abbildung von [$] auf [^]. Dabei entspricht jeder abgeschlossenen
Menge F C [^] eine abgeschlossene in [^]; denn es ist F = J]] ^[^]^
F[S] hat als Bild eine abgeschlossene Menge FT-, und F hat das abgeschlossene
Bild Yl ^T- Da auch fiir die umgekehrte Abbildung dasselbe gilt, ist jene Abbildung
topologisch. I Ebenso: sind $, ^ isomorph, [$], [^] homoomorph und Bl. 98
[^] lokal endhch, so auch [^].
Einen lokal endlichen Komplex [$] zu gegebenem r-dimensionalen ^ kann
man z. B. in -R2r+i so konstruieren: es sei ^ eine bestimmte rechtwinklige Koordinate
des Punktes x G R2r+i\ wir wahlen die Ecken xi in allgemeiner Lage und
so, dass ^i ^> 00. Sei a irgendeine relle Zahl; flir i > ia ist dann ^z > a, und da
der Halbraum ^{^ > a) konvex ist, liegt jedes aus Ecken Xi mit i > ia gebildete
X
Simplum [S] ganz in ihm; der komplementare offene Halbraum (B{^ < a) = Ga
X
wird also nur von Simpla [S] getroffen, die mindestens eine der Ecken XQ, ..., Xi^
haben; solcher [S] giebt es nach (1) nur endlich viele. Ua — RGa ist also eine
finite offene Menge von R, und da. R = Ui -\- U2 -\- - - - a) enthalten, also
Ma < Mp. Ma < Mp < My < • • • giebt also bei passenden Indizes eine kanonische
Darstellung: wir schreiben wieder R = Ri -\- R2 -\- - " ., Ri < R2 < " •
Zu jedem Rn gehort ein endlicher Komplex ^^ niit Rn = [^n]; Ma gehort
zu dem Komplex, der aus Si,...,Sa und ihren Teilsimpla besteht. Es ist
^iC$2C---, ^ = Y1 ^n- Bezeichnet (wie immer fiir eine feste Dimension)
J^ni ^n, T^n, ^Hn die Gruppcu der Formen, Zyklen, Rander, Klassen homologer
Zyklen fiir $n, -^5 ^^ ^, T~t dasselbe fiir $, so ist (da die Polynome in $ nur
endlich viele Glieder haben soUten, also einem geeigneten $n angehoren)
mit aufsteigenden Summanden {Ti C J-2 C • • • u. s. w.). Was H und die Tin \
betrifft, so ist H die zu Anfang dieser Nr. erklarte Gruppe, deren Elemente die Bl. 100
Klassen x von $ (Klasse = Klasse homologer Zyklen) sind. Andererseits ist H
mit der in Nr. 2 erklarten Gruppe
W* = (7^1,^2, . • •)
975

isomorph, deren Elemente
mit den natiirlichen Homomorphismen hn von Hn in Hn+i sind. Denn sei
A ^ x; A gehort bereits einem ^/i, also einem Xh ^ ^/i+i ^ • • • £ a: an; wir
haben
x = Xh-\- Xh-^i H
(wozu nur x C Xh -\- Xh-\-i + • • • zu zeigen ist; ist B E Xh also JB ~ A in $,
so ist bereits in einem ^i {I > h) J5 ~ ^, B E xi). Man sieht, dass rr und x*
einander eineindeutig bestimmen.
Schliesslich aber ist (vgl. Ende von Nr. 1) der natiirliche Homomorphismus
von H{Rn) in ^{Rn+i) mit dem natiirlichen Homomorphismus von Hn in Wn+i
identisch; also W* mit der in Nr. 3 erklarten Gruppe H{R) des Raumes R iden-
Bl. 101 tisch (oder isomorph). | Demnach ist die Homologiegruppe H des abstrakten
Komplexes $ die Homologiegruppe l-i{R) des Raumes R= [$], wenn [$] lokal
endlich ist; als solche ist sie topologisch invariant. D. h. sind $, ^ zwei abzahlbare
Komplexe und sind die lokal endlichen Komplexe [^], [^] homoomorph, so
sind H($), W(^) isomorph. Die Homologiegruppe eines mit R = [$] homoomorphen
Raumes ist mit 7Y(^) isomorph.
976

NL HAUSDORFF : Kapsel 35 : Fasz. 401
Euklidische Komplexe
Hs. Ms. - [Bonn], 14.1.1931 [teils friiher, Anm. auf Bl. 32 spater]. - 32 BU.
Abgedruckt sind BU. 23, 24, 29-32 (29-32 sind eine verb. Version von 25-28)
Kongruenzen mod/x. /i sei eine natiirliche Zahl > 1. Ein Polynom, das aus
einem Polynom des Komplexes $ durch Multiplikation mit /i entsteht, heisse
= 0 (mod n)] A = B (mod /i) bedeute soviel wie A — B = 0 (mod /i). Das
Polynom A heisse
(a) ein Zyklus mod/i, wenn A' = 0 (mod fj.), A^ = /lE;
{(5) ein orientierter Zyklus mod/i, wenn A mit einem gewohnlichen Zyklus
kongruent ist (mod /x),
A = C-\-fiD, C' = 0, A' = fiD'-
diese Forderung ist scharfer als (a), da ja dort zwar E ein Zyklus {E' = 0),
aber nicht — D' zu sein braucht; aus fiE r^ 0 folgt nicht £J ^ 0;
(7) homolog Null mod/i, A ~ 0 (mod /i), wenn A mit der Ableitung eines
Polynoms aus $ kongruent ist,
A-=B' -\-fxD,
diese Forderung ist wiederum scharfer als (P).
Die mod /i betrachteten Polynome m*^^ Dimension (wobei also A und B = A
nicht unterschieden werden), die Zyklen mod/i, die orientierten Zyklen mod/i,
die orientierten Zyklen ~ 0 (mod JLL) bilden Abelsche Gruppen endlicher Ordnung
Trnifj), Gmifj), ^m{^^)-, lCm{fj)- \ Wcuu man Polynome, die miteinan- BL24
der mod/i homolog sind, nicht unterscheidet, entstehen die Faktorgruppen
Fmil^) = ^m(/^) |/Cm(A^), G^(M) = Qm{fj) \ ICm{fj), Hmifj) = Hm{l^) \ ^m{l^)i
von denen wegen der topologischen Invarianz die m*^ Homologiegruppe mod /i
Gm(/i) (in zweiter Linie auch Hm{f^)) in Betracht kommt. Gmifj) ist die Gruppe
der Zyklen mod /i {Hm (/i) die der orientierten Zyklen mod /i) bei Identifizierung
solcher Elemente, die miteinander mod /i homolog sind.
Wir nennen die Polynome Ai,... ,Ar mod/i unabhdngig, wenn keine Kongruenz
r
2_] OiiAi=0 (mod /i)
1
ausser flir 0;^ = 0 (mod /i) besteht; mod/i unverknupft, wenn auch keine Beziehung
r
yj aj A^ ~ 0 (mod /i)
1
ausser fiir ai = 0 (mod /i) besteht. Die Maximalzahl Pm{lA mod/i unverkniipfter
Zyklen mod/i heisst die m^^ Bettische Zahl mod/i des Komplexes $.
977

Die Anzahl der Elementarteiler von Em, die nicht durch fi teilbar sind, heisse
rm{lj)] man kann sie den Rang mod/x der Matrix Em nennen. (Jedoch konnen
bei einer Matrix, deren Rang mod/x r(/i) ist, bereits die r(/i) reihigen De-
BL29 terminanten = 0 (/i) sein; z. B. hat ^ die Matrix ( rj 9 1 "^od 4 den Rang
2, obwohl ihre Determinante = 0 (mod 4). Der mittels der Determinantenteiler
erklarte Rang mod// kann also kleiner sein als der mittels der Elementarteiler;
nur fiir Primzahlen // stimmen beide notwendig iiberein). Die Anzahl
fm — fm{^j) — dmifj) der durch /i teilbaren Torsionszahlen (m — 1). Dimension
ist topologisch invariant.
Schreiben wir voriibergehend ro, po fiir rm+i(M), rm{fj)- In (1), worin ja
ei|e2| • • • \er sein soUte, sind die letzten ero+i, • •. ,er durch /i teilbar, die ersten
ei,..., e^o nicht; ^ro+i^ • • •, ^r sind daher Zyklen mod/i und soUen zu
den A hiniibergenommen werden, so dass nun
(7) X[ = ei^i,...,X;^ = er.Br,, A[ = ^ - ^ = A;_,^ = 0 (mod //)
Ebenso statt (2)^
(8) Yl = /iCi, ...Xo= fpoCpo. ^; ^ • • • ^ B^-po = 0 (mod /i)
Die verbleibenden e^, fj sind nicht durch /i teilbar; ihre grossten gemeinsamen
Teller Si = (e^,/i), (/?j = (fj^p) mit /i sind < /i.
Das Polynom ?7i. Dimension
ist dann und nur dann ein Zyklus mod/x, wenn B^ = J2VjfjC^j ^ 0 (mod /x),
B1.30 I also rjjfj = 0 (mod //) oder 77^ = 0 (mod -^), r/j = 77^ -^ mit ganzem ry^. Es
liefert also
po ^—po
1 ^^ 1
alle Zyklen mod /i. Damit ein solcher Zyklus ~ 0 mod /x, d. h. mit der Ableitung
eines Polynoms {m -\-1). Dimension
J2^i^i-^ ^OiiAi
1 1
^[Blatt 29 ist rechts oben datiert: 14.1. 31.]
^[Bei (1) und (2) handelt es sich um die zu (7) und (8) analogen modulfreien Begrenzungsrelationen
(1) X[ = eiBi,..., X; = CrBr, A[ = ---= A',_^ = 0
(2) y/ = /iCi,...,y; = /pCp, B[ = --- = B',_^ = 0
Dabei bilden Ai,..., As-r eine Basis fiir die {m + l)-dimensionalen Zyklen, Bi,..., B(j-p
eine Basis fiir die m-dimensionalen Zyklen; die Xi^Yj bezeichnen die Nichtzyklen.]
978

kongruent sei, ist notwendig und hinreichend, dass
ro
B = ^iieiBi,
dass also die Kongruenzen mod/x bestehen
1
^j — = 0 (j = 1,..., po), A = ^iei (i - 1,..., ro), Pj = 0 (j = ro+l, •.., cr-po)
oder, was dasselbe ist:
Vj = 0 i^j) (j = 1,..., po), A = 0 (si) (i = 1,..., To)
/3^- = 0 (/x) (j = ro + 1,..., a - po)
Demnach haben wir die cr—po—ro mod p unverkniipften Zyklen ^ro+i 5 • • • 5 B^-pQ;
aber es kann mehr als soviele geben, d. h. zwischen k > a — po — ro Zyklen
(/i = l,...,A:)
Po cr — po
1 ^-^ 1
I besteht unter Umstanden keine Homologie ^rjhVh ~ 0 (modp) mit nicht B1.31
samtlich durch p teilbaren rjh- Denn diese Bedingung giebt die Kongruenzen
J2h VhTjhj = 0 i^j)^ (j --1,. • •, Po)
J2h mPhi = 0 (si), (2 - 1,..., ro)
E/i ^/i/^/i, = 0 (/^). (j = ro + 1,..., or - Po),
wovon man zwar die letzten sicher durch 77^, die nicht samtlich = 0 (p) sind,
erfiillen kann; aber die der ersten beiden Zeilen verlangen vielleicht doch rjh ^
0(M).
[Beispiel. Die urspriinglichen, modulfreien Relationen (1), (2) seien
X[=Wi, A[ = --- = 0
r/ = 2Ci, B[=B'^ = 0;
Yi,Bi,B2 eine Basis fiir die m-dimensionalen Polynome. Nehmen wir fi — 6.
B = myi-^PiBi+p2B2 ist ein Zyklus mod 6 fur 2ryi = 0 (6), r/i ^ 0 (3), rji =
3^1; es ist homolog 0 mod 6 fiir E = 3^Bi, d. h. r^i = 0 (6) oder r}^ = 0 (2); /3i =
3^ (6) Oder f3i = 0 {3); 02 = 0 (6). Unter den Zyklen B = 3rj^Yi+piBi+P2B2
mod 6 sind die ~ 0 mod 6 also durch rj^ = 0 (2), Pi = 0 (3), ^2 = 0 (6) | BL32
charakterisiert. Doch ist nicht B2 der einzige mod 6 unverkniipfte Zykel; z. B.
sind Bo = SYi + Bi und B2 auch mod 6 unverkniipft, denn PoBo -\- P2B2 ^ 0
(mod 6) verlangt ^0 - 0 (2), /^o - 0 (3), /?2 = 0 (6), d. h. auch /3o = 0 (6)!]^
In Lefschetz, Topology (1930) ist das falsch dargestellt (wie zuvor noch
falscher bei Alexander). Es heisst dort (mit absoluten Begriffen, d. h. A4^ =
^[Die folgenden Bemerkungen hat HAUSDORFF dem Manuskript spater hinzugefiigt.]
979

0) S.33 unten: xi,...,Xn sind independent (bei mir „unverknupft"), wenn
Yli'i^i^i ^ 0 nur fiir U = 0 gilt; S.34 oben, dass fiir independence modm die
Bedingung U — {) durch U = {) (m) ersetzt werden soil. Die Maximalzahl independenter
Elemente = Bettische Zahl R{K), resp. R{K;m). S.42 oben tp =
Anzahl der durch m teilbaren Torsionskoeffizienten; unser dp-i{m). S.42 Formel
(33) ist dann die Bettische Zahl mod m angegeben mit
was meiner Formel
Rp{K; m) = Rp{K) + tp^i -h tp ,
entspricht, also die Maximalzahl mod/i unverkniipfter Zyklen B (mod/i) mit
^ — Po — ^o; das ist zwar fiir Primzahlen //, aber nicht allgemein richtig.
Meine Einwande (an Alexandroff mitgeteilt 14.1.31) haben den Erfolg gehabt,
dass Alexander und Lefschetz die Sache liberlegt haben. Vgl. A. W.
Tucker, Modular homology charakters, Proc. Nat. Ac. of Sc. 18 (1932), S. 471,
Anm. 4.
980
(M)

Albeverio, S. 428
Alexander, J. W. 870-874,877-878,
880, 888, 902, 979-980
AlexandrofF, P. S. 2, 4, 6, 9, 14-19,
27, 29-30, 32-36, 46, 347, 378-379,
383,387,439-442,445,448-450,452,
467,486,518-519,521,549, 550, 553,
554, 571-572,574, 578, 586,668,673,
739, 753-754, 760, 766, 783-786,796,
797,844,848,849,865-876,878-883,
885-889, 948, 967, 980
Alexiewicz, A. 24, 36
Anderson, R.D. 800, 817, 820-821
Arens, R. 468, 567
Arhangel'skii, A. V. 452, 499-500,
523
Aronszajn, N. 498, 500, 888
Arsenin, V. 397
Asser, G. 372
AuU, C.E. 554,754,821,824,889
Aumann, R. 36, 784, 786, 796-797
Ayres, W.L. 811,834
BachiUer, T. R. 409-411
Baer, R. 517, 784, 786
Baire, R. 4-7, 10, 26, 36, 38, 40,
186, 293, 299, 344,346, 348-349,353,
368,376,386,390-391,394,411,414,
434,448,452, 554, 566-567,591,607,
609, 619, 624, 651, 653
Balcar, B. 537-538
Banach, St. 22, 36, 323, 343-344,
348-349, 393, 534
Personenregister
981
Bargenda, H. 786
Beck, H. 31
Bendixson, I. 4, 349
Bentley, H. L. 852
Bergmann, G. 874, 885
Bernays, P. 356
Bernstein, F. 71,220,345-347,349,
355, 427
Besicovitch, A. S. 846
Bessel-Hagen, E. 35, 866
Betti, E. 18
Bieberbach, L. 14, 31-32, 39
Bing, R. H. 467-468, 760-761, 809,
821
Binz, E. 850
Birkhoff, G. 372-373, 781, 786
Blass, A. 538
Blumberg, H. 412
Blumenthal, O. 730
Bodigheimer, C. F. 888
Bohr, H. 566
Bolzano, B. 153, 349, 840, 849, 851
Bonnet, R. 537
Borel, E. 4-6, 10, 26, 36, 174, 344-
346, 348-349, 353, 377
Borges, C.J. 567
Borst, P. 849-850
Borsuk, K. 567
Bourbaki, N. 374, 778-779, 781,
786
Braun, St. 476
Brieskorn, E. 1, 18, 36, 865, 875-
876

Brouwer, L. E. J. 18, 248, 346-347,
349, 375, 411, 554, 565, 568, 813,
816,840,842,843,850,865-868,872-
873
Brown, E.H. 866
Burde, G. 889
Burgess, J. 585-586, 670, 673, 800,
821
Cantor, G. 3-5, 7-8, 26, 37, 55, 60,
67, 84, 90, 112, 115, 120, 140, 150,
158,178-179,183, 202, 208,345-346,
349, 353, 355, 357, 359, 365, 396,
411,417,427,439,442,448-450,452,
584,656-657,705, 730, 752-754,799,
815, 818, 821
Caratheodory, C. 61,344-346,349,
431, 568
Cauchy, A. L. 349
Cech, E. 451-452, 499, 523, 568,
776, 777,841-843,846,848,850,867,
874, 878, 879, 885-887, 889, 890
Charotnik, J. J. 799-800, 821
Charzynski, Z. 713, 726, 733, 736
Chatterji, S. D. 13, 37, 388, 846
Chittenden, E.W. 448, 452, 756,
758-761
Chlebik, M. 735-736
Choquet, G. 371, 453, 800, 809,
817, 821
Cohen, P. J. 355, 357-358, 360
Comfort, W. 535, 537-538
Courant, R. 882
Dalen, Y. van 825
Dasgupta, A. 362
Deak, J. 468-469
Dedekind, R. 71, 97,150, 345, 349,
355
Dehn, M. 866, 889
Demidov, S. S. 37
Descartes, R. 354
Dieudonne, J. 872, 889
Dirichlet, P. G. Lejeune 5-6, 8, 60,
349, 354, 565
982
Dostal, M. 821
Dowker, C. H 468-469,847-848,850,
889
Dranisnikov, A. N. 849-850
Dugundji, J. 468-469, 567-568
Eilenberg, S. 821, 867, 872,
Epple, M. 890
Engelking, R. 17, 37, 369, 498, 500,
535-538, 754, 786, 800, 821, 850
Erdos, P. 394
Feigl, G. 19, 37, 409
Feigner, U. 533
Ferreiros, J. 411, 891
Fichtenholz, G. 529, 531, 533-534,
536-537, 612, 731, 796
FiHppov, V. V. 846, 850
Fischer, G. 890
Flachsmeyer, J. 372
Fourier, J.-B.-J de 354
Fraenkel, A. 2, 37, 344-345, 352-
353, 356
Franek, F. 537-538
Frankl, F. 821
FrankHn, S. P. 821
Frechet, M. 18, 25, 169, 274, 344-
347,350, 363-364,410,448,453, 505,
522-523, 756, 758, 760, 766, 768, 888
Fried, H. 528, 717, 734, 736
Probenius, G. 874
FroHk, Z. 452-453, 499-500, 523-
524
Gahler, W. 372
Gantner, T. E. 469
Gauss, C.F. 18
Gehmann, H. M. 19, 37, 409, 412,
415, 420, 424
Genocchi, A. 345
Gleason, A. M. 374
Godel, K. 356-357,383
Goldowsky, G. 613, 617, 624
Goodstein, R. L. 36
Grassmann, H. 902

Gray, J.J. 891
Groot, J.de 500-501,777
Hadamard, J. 36, 353, 713
Hagenliicke, H. 37
Hahn, H. 19-21, 37, 46, 199, 251,
267, 270,315,344,346-348,350,370,
373-374,390,394,409,414,416-417,
534, 566, 752, 803, 805, 821, 832
Hallett, G. H. 821
Hallett, M. 356
Hamel, G. 218, 346, 350
Hankel, H. 295, 348, 350
Hansen, R. W. 553-554
Harrington, L. 365, 369
Hartmann, S. 728, 736-737
HausdorfF, F. 1-2, 4-38, 40, 42-43,
47, 345, 347-348, 352-364, 366-391,
393-396,398-401,403-408,410,412-
414,416-421,424-425,427,431,439-
441,445,448-452,457,465-468,473,
478,481-482,485,498-500,505, 522,
527-528, 531, 534-537,541, 549-553,
557, 565-567,569-570,572-574,577-
578,580-584,587-588,590-592,596-
598, 601-604,608-609,613,617-618,
620-624,626,630-631,639-641,650-
652,654,657,659-660,667-673,675,
682-684,687,690,692,695, 700-701,
706-711, 715, 717, 720, 726-727,729-
737, 739-742, 745, 748, 750, 751, 753,
755, 759-760, 762, 765-768, 770-771,
774, 776, 778-779, 781-787, 789-790,
795-796, 798-801,803,805-816,818-
819,826,832,834-836,840-846,854,
856,858,862,865-866,868-888,892,
954, 957, 970, 977, 979
Haussner, R. 14, 31-32
Hawkins, Th. 890
Heegard, P. 866, 889
Hemmingson, E. 848, 850
Henn, H.-W. 890
Hensel, K. 146, 346, 350
Herreman, A. 890
Herrlich, H. 398, 448, 465, 498,
983
522-524,549, 565, 751, 759, 766, 776,
778, 786, 798, 822, 840, 850, 852
Hessenberg, G. 112, 344-345, 350,
400, 416
Hewitt, E. 535-536, 538
Hilbert, D. 246, 345-347, 350, 802-
803, 822
Hilgers, A. 844,850
Hirzebruch, F. 865, 890
Hobson, E.W. 344
Hocking, J. G. 374,800,822
Holicky, P. 553-554
Hopf, H. 6, 9, 18, 33, 36, 848, 850,
865-869,873,874,879-883,887,889-
890, 967
Hornich, H. 424
Hoshina, T. 469
Huhunaisvili, G.E. 768
Hurewicz,W. 21,37,342,348,350,
370,398, 567,675,695,699-701,703,
710-712, 819, 843-849, 851, 888
Husek, M. 398, 448, 465, 469, 498,
522, 549, 565, 751, 759, 766, 768,
776, 778, 798, 840
Irwin, J. 538
Isbell, J.R. 469,847,851
Jacobson, N. 889
James, I. 890
Janiszewski, Z. 205, 219, 346, 350,
411, 822, 835, 860
Jankov, V. 712
Jech, T. 352
Jegoroff, D.F. 26
Joiner, Ch. 768
Jordan, C. 346-347, 350, 798, 811-
812, 822
Kamke, E. 31, 38, 344, 424
Kanovei, V. 1, 8, 377, 398, 403,
439, 478, 482, 528, 569, 586, 712-
713
Kantor, J.-M. 10
Kantorovitch, L. 22-23, 34, 37-38,

473,476-478,529, 531,533-534,536,
537, 570, 575, 583, 584, 586, 612,
731
Kappos, D. 538
Karlowicz, M. 535-538
Katetov, M. 467, 469, 523, 768,
840, 843, 846, 851, 890
Kechris, A. S. 3, 38, 365, 369-371,
373,375,381-382,389,394,398, 586,
624, 674, 713, 736-737
Keisler, H. 586
Keldysh, L. 592, 619, 624, 713
Kelley, J. L. 356
Kempisty, St. 348
Kent, D. C. 373, 524
Kerekjarto, B.von 566, 806, 831,
833
Kirby, R. 866
Kline, J. R. 813, 822
Knaster, B. 809-810, 822
Kneser, H. 865
Knopp, K. 246, 347, 350, 803
Kodama, Y. 848-849,851
Konig, J. 78, 345,350,356-357,700
Koepke, P. 8, 38, 398, 439, 478,
482, 528, 569
Koethe, G. 795-796
Kok, H. 821
Kolmogorofr, A. N. 12, 23, 25, 30,
32, 34-36, 38, 380, 570, 578, 583-
584, 586-587, 820, 821
Kondo, M. 406, 705, 713
Koppelberg, S. 537
Kowalewski, G. 54, 345, 350
Kowalski, H. J. 822
Kozniewski, A. 609, 622, 624, 639-
640
Krasner, M. 776-777
Krishnarao, G. V. 821
Kronecker, L. 8
Kiirschak, J. 346, 771
Kuiper, N.H. 890
Kunen, K. 535, 537-538, 586
Kunugui, K. 397
Kuratowski, C. 2, 10, 17, 25, 38,
984
272,324,329,343,344, 346-348,350,
354, 360, 364, 365, 370, 375, 376,
379, 391, 393, 395, 401, 407, 408,
467,469,485,494,499-501,506, 521,
522, 524,541-544,548-551,553, 554,
564, 566-568,601-604,606, 608-610,
622,624,626,629-631,635,639,641,
645,647,649-653,637,659,669,672-
674, 682, 704, 706, 710, 713, 728,
729, 735, 737, 743, 746, 785, 793,
796, 806, 807, 809, 810, 822, 833,
862
Kurepa, G. 359, 729-731, 736-737
Larson, L. 735, 737
LavrentiefF, M. 260, 347, 350, 367,
387, 390, 414, 450, 453, 574, 587,
596-598,624,633,639,653, 670, 674
Lebesgue, H. 4-8, 10, 12, 15, 26,
36, 38-40,45, 49,149, 243, 246, 346-
348,350,353,378-379,388,391, 394,
417,433, 541, 551, 565-566,589,618,
624, 639, 651, 653, 682, 713, 737,
802-804, 822, 851, 854
Lefschetz, S. 845, 851, 869-872,874,
877-880, 887, 890, 979-980
Leibniz, G. W. 271
Lennes, N.J. 266, 346-347, 350,
422, 808, 822
Leth, S. 586
Levi, F. 517, 784, 786
Levshin, B.V. 37
Liapounoff, A. -^ Lyapunov, A.
Lietzmann, W. 424
Lindelof, E. 346
Listing, J. B. 18
Livenson, E. 22-23, 34, 37-38, 473,
476-478, 570, 575, 583-584, 586
Lobatchevsky, N. L 354
Lokucievskii, O. V. 846, 851
Lorentz, G. G. 24, 38, 378, 442
Louveau, A. 38, 365, 397, 670, 674
Lowen, R. 554, 754, 821, 824, 889
Lowen-Colebunders, E. 372
Lusin, N.N. 1, 2, 4, 10, 12, 15,

21, 24-30, 34-35, 37-40, 228, 306,
333, 344, 345, 347, 348, 350, 377-
379,381,383-386,392,394,396,397,
414, 417, 442, 583, 589, 590, 592,
596-598,601, 605,607,610,618,621,
622, 624, 625, 637, 640, 653, 674,
675,677,681-685,689, 705, 708, 711-
714, 737
Lutzer, D.J. 754
Lyapunov, A. 583, 587, 601, 604-
606, 608-609, 625
Maak, W. 424
Mac Lane, S. 890
Mardesic, S. 815, 822
Marczewski, E. 395, 535-536, 538
Markoff, A. 882
Massey, W.S. 890
Mayer, J. C. 824
Mayer, W. 866,874,891
Mazurkiewicz, St. 201, 251, 344,
346-348,350,374,414,489,498-499,
501, 543, 548-549,554, 572, 574, 587,
637,640,653, 752,805,809-810,818,
823, 826, 844, 851, 858, 888
McLarty, C. 891
Mehrtens, H. 39
Menger, K. 344, 347, 799-801, 808,
811, 815, 818-820,823,834,841,843-
845, 852
Meray, Ch. 150, 350
Metakides, G. 586, 673
Michael, E. 498, 501
Mildenberger, H. 482
Mill, J. van 469
Miller, A. W. 362, 586, 713
Milnor, J. 866
Minkowski, H. 97, 345-346, 350
Mobius, A. F. 18
Moise, E. E. 823
Monk, J. D. 537
Monna, A. F. 776-777
Montgomery, D. 401, 631, 639
Moore, E.H. 802,823
Moore, G. H. 5, 39
985
Moore, R.L. 269, 347, 351, 374,
414,417,422,423, 799,804-806,809,
810, 813, 823, 824, 826, 828, 835
Morita, K. 500-501, 843, 846-847,
852
Morse, A. P. 356
Moschovakis, Y. N. 3, 7, 39
Mrowka, S. 767-768
MiiUer, J. O. 866, 887, 970
Nagami, K. 849, 852
Nagata, J. 760-761, 843, 852
Nagell, T. 409
Negrepontis, St. 535, 537-538
Neuendorff, O. 39
Neumann, J. von 25,355-356,360
Nhu, N. T. 469
Niemytzki, V. 463, 466, 469
Nikodym, O. 324, 348, 351, 394,
613, 617, 624-625, 807
Nobeling, G. 467, 845, 852, 865,
891
Noether, E. 866-868, 877, 889, 891
Novikov, P.S. 383, 396-397, 601,
605,608,625,685,687, 704-706,713
Ostrowski, A. 493
Ostrovskii, A. 713
Oversteegen, L. G. 824
Oxtoby, J. C. 394
Painleve, P. 346
Pankraz, O. 409
Pannwitz, E. 424
Papic, P. 815, 822
Pasynkov, B.A. 852
Paul, S. 39
Peano, G. 55, 246, 345, 347, 351,
798-799, 801-803, 824, 840, 852
Perron, O. 10, 32
Pierpont, J. 344
Poincare, H. 18, 840, 852, 865-866,
872-873, 891
Pol, R. 499, 501
Polya, G. 803,824

Paul, S. 39
Peano, G. 55, 246, 345, 347, 351,
798-799, 801-803, 824, 840, 852
Perron, O. 10, 32
Pierpont, J. 344
Poincare, H. 18, 840, 852, 865-866,
872-873, 891
Pol, R. 499,501
Polya, G. 803,824
Pompeju, D. 346, 370
Pondiczery, E. S. 535-536, 538
Ponomarev, S. 735, 737
Pontrjagin, L. 845, 852, 879, 886,
891
Poorten, A. van der 353
Poprougenko, G. 845, 862
Pospisil, B. 538
Preiss, D. 528, 735, 737
Preuss, G. 374, 398, 448, 465, 498,
522, 524, 549, 565, 751, 759, 766,
776, 778, 798, 840, 852-853
Proskuryakov, I. 673
Puppe, D. 890
Purisch, S. 550, 554, 754, 813, 824
Purkert, W. 1, 398, 766
Raisonnier, J. 395
Rajagopalan, M. 852
Reeken, M. 377, 586
Riemann, B. 18,148,271,351,872-
873
Riesz, F. 522, 524
Rinow, W. 372-373
Rogers, C. A. 39
Rosenthal, A. 19-20, 40, 344-345,
347, 409, 418-419, 827
Roy, P. 777,843,853
Ruziewicz, S. 601, 625
Ryll-Nardzewski, C. 736-737
Saint Raymond, J. 397
Salkowski, E. 409
Sarkaria, K. S. 891
Scegol'kov, E. 397
Scharlau, W. 890
986
Schmets, J. 568
Schoenflies, A. 344-345, 804, 812,
824, 831
Scholz, E. 18, 865
Schroder, E. 355
Schwerdtfeger, H. 875
Scott, D. 736-737
Seebach, J. A. 754
Seifert, H. 31, 872, 887, 891
Selivanowski, E. 694, 709, 714
Shelah, S. 395, 482
Shiryaev, A. N. 38, 587
Siebenmann, L. 866
Siegmund-Schultze, R. 426
Sieklucki, K. 850
Sierpinski, W. 2, 12, 15, 21-23, 25,
29, 40, 46, 206, 221, 249, 266, 307,
316, 324, 344, 346-348, 351, 362,
377-379,381,383-385,387,390,392,
394, 402-403, 405, 414, 419, 422,
448, 450, 453, 473, 476, 482, 485,
498, 501, 505, 541, 551, 554, 570-
573, 580, 583-584, 587, 590, 596-
597,604-606,608-611,613,623,625,
639, 682, 689, 694, 702, 708-709,
713, 767, 769, 802, 804-805, 817,
819, 824, 827, 843, 845, 862, 864
Simon, P. 890
Sklaryenko, E.G. 891
Skolem, Th. 2, 31, 424-426
Smirnov, J. M. 760-761, 849, 853
Solovay, R. M. 376, 383, 395
Sperner, E. 843
Spilrajn, E. —> Marczewski, E.
Stalin, J. W. 28
Steen, L. A. 754
Steenrod, N. 867, 883-886, 888,
891
Steinbach, G. 24, 348
Steinitz, E. 866, 891
StepanofF, W. 613, 617, 624-625
Stern, J. 395, 712, 714
Stickelberger, L. 874
Stone, A. H. 500-501,553-554,760-
761

Thomson, B. 735, 737
Threlfall, W. 872, 887, 891
Tietze, H. 18, 31, 344, 347-348,
364,457,467,469, 565-568, 753-754,
761, 779-780, 782, 786, 810, 824
Tikhomirov, V. M. 766
Tindell, R. 821
Tobies, R. 853
Toeplitz, O. 795-796
Tolstowa, G. 845, 852
Torhorst, M. 810, 825, 832
Tormier, E. 31-32
Treybig, L.B. 815,825
Tucker, A.W. 867, 872, 878-879,
891
Tumarkin, L. A. 768, 843, 853
Tychonoff, A. 274, 347, 351, 463,
466, 469, 760-761, 780-781, 786
Tymchatin, E.D. 824
Urysohn, P. S. 17-19, 25, 40, 274,
347,351,440,449-450,452,467, 519,
549-550,554, 574, 757, 759-761,766-
769, 776, 808, 815, 818, 820, 825,
840-841, 843, 853, 868
Uspenskii, V. V. 766, 768-769
Uspensky, V. A. 378, 682
Vallee Poussin, C. de la 10, 30, 40,
64, 344-345, 348, 351, 565, 568, 589,
618, 625
Veblen, O. 811, 825, 866, 870-872,
874, 877, 887, 891
Vedenisoff, N. B. 34, 450, 453, 486,
498, 846-847, 853
Vershik, A. M. 767-769
Vietoris, L. 18, 344, 347, 753-754,
759, 761, 792, 796,866-868,870-872,
874-875, 883, 886, 891, 959, 962
Vivanti, G. 31, 424, 427-428
Vojtech, J. 849
Volterra, V. 348
Waerden, B.L.van der 872, 877,
892
987
Wage, M.L. 846,853
Wallman, H. 846-848, 851
Waraszkiewicz, Z. 809
Ward, A.J. 813-815,825
Wattel, E. 825
Weierstrass, C. 53, 153, 346, 351,
802, 874, 877, 890
Weiss, E. A. 46
Weyl, H. 884,892
Whyburn,G.T. 374,404,409,420,
423, 786, 798,806,811,816-818,825,
834
Wilder, R. L. 806, 810, 825, 834
Wiles, A. 353
Willard, S. 800, 825
Wolff, H. 852
Woodin, H. 357
Yoneyama, K. 816, 825
Young, G. Ch. 344, 453
Young, G.S. 374,800,822
Young, W. H. 4,180, 295, 344, 346,
348, 351, 368, 433, 439, 442, 453
Youschkevitch, A. P. 354
Zalcwasser, Z. 346, 376, 672, 710
Zeller, K. 24, 38
Zermelo, E. 2, 5, 7-8, 11, 39, 78,
100, 345, 351-353, 356, 359-360,427
Zieschang, H. 889
Zoretti, L. 207, 219, 269, 346, 351

Sachregister
Das folgende Register bezieht sich auf alle Texte aufier auf HAUSDORFFS
Mengenlehre. Beziiglich der Mengenlehre verweisen wir auf sein eigenes Register,
dieser Band, S. 349-351.
Die Umlaute a, o, ii werden in der lexikographischen Ordnung wie ae, oe, ue
behandelt.
Abbildung (a, /?), Abbildung d. Klasse
a 541-543, 546, 547, 549, 551-
553, 626, 629-632,634-639,641-644,
646-652, 670, 742-748
abelsche Gruppe 561,848,865,874-
879, 909-916,920,933,937,938, 946,
947,958-961,966,970,971,974,975,
977
abgeschlossene Hiille 16, 385, 485,
488-490,495, 505-512,515, 520,522,
669, 697, 740, 742, 755, 756, 827,
949, 960, 966, 968, 972, 973
abgeschlossene Menge 4, 16, 23,
361,362,364-366,368,371,374,376,
378,380-382,386,388,389,394,401,
403, 432, 434, 439, 446, 448, 451,
457,458,464-467,476,478, 505-508,
510, 511, 516-520,522, 541-544,546,
548, 551, 558, 565, 566, 588-591,603,
606, 610, 614, 618, 620, 626, 627,
635-638, 640-644, 646-648, 650-652,
656-659,661,662,664-673,675,682,
685,686,690, 694-703,705, 710, 726,
727, 733, 740-743,745, 746, 748, 749,
757, 771-774,776, 779, 781, 783-785,
989
790, 792, 794, 797, 799, 801, 807,
809, 813, 814, 827, 831, 836, 837,
839,841-843,855,856,860,862-864,
867, 870, 871, 873, 893, 949, 950,
954, 965, 966, 974, 975
abgeschlossener Limes 371, 372,
521, 835
abgeschlossene Uberdeckung 843,
846, 867, 870, 871, 875, 876, 884,
960
Ableitung (einer Punktmenge) 3,
4, 371, 709, 729
absolut abgeschlossene Menge 366
absolut Borelsche Menge 367, 379,
551, 553
absolute Begriffe, Eigenschaften
365, 366
absolut Suslinsche Menge 367, 379,
553
abstrakter Komplex -^ Schema eines
Komplexes
abzahlbare Basis 752, 753, 759, 768,
785, 800
abzahlbarer Komplex 964,966-970,
973, 976

abzahlbares Auswahlaxiom 355,
358
Abzahlbarkeitsaxiome 18,669,671,
750, 753, 755-757, 759, 780, 781, 791,
794
additive Funktion 377
additive Mengenfunktion 13, 533
Adharenz 365
affine Abbildung 899, 957, 965, 975
AF-VoUstandigkeit 452
Alexander-Dualitat 870, 872, 878
algebraische Topologie 739, 865,
866, 868-871, 879, 885, 887, 888
allgemeine Topologie 25, 739, 751,
799, 815, 868
allseitige Erreichbarkeit 804, 838
A-Menge -^ Suslinmenge
Analysis situs 18, 854, 865, 866,
869, 872, 874, 879
analytische Menge -^ Suslinmenge
analytische Operation, Mengenfunktion
23, 475, 575, 577, 578, 584
analytische Zerlegung (eines Raumes)
692, 693, 709
Anfangszahl, Anfangsordinalzahl
355, 360
Antinomien der Mengenlehre 7, 36,
353, 356
Antisemitismus 31, 32
^-Operation 2, 9,12,362,363,365,
377, 378, 386, 394, 440, 442, 571,
572, 578, 583, 585, 670, 675, 682,
689, 708, 709, 715
Aussonderungsaxiom 2
Auswahlaxiom 5, 26, 29, 36, 352,
355, 358, 359, 360, 376, 537, 705,
736
Axiomatik der Mengenlehre, axiomatische
Mengenlehre 2, 7, 357
Baire-mefibare Funktion 396
Baire-Raum, Bairescher Raum (s.
auch Bairescher NuUraum) 24, 28,
363, 367, 369, 380, 381, 386, 387,
439, 493, 494, 496, 497, 499, 500,
990
618, 619, 626, 640, 641, 652, 683,
690, 705, 733, 770, 771, 773, 776
Bairesche Abbildung, Funktion 6,
7, 12, 20, 22, 27, 30, 385, 389, 391-
393, 396, 406, 433, 434, 565, 588,
590, 591, 597, 651, 680, 705, 715,
717, 733, 781, 794
Bairesche Hierarchic, Bairesche
Klassifikation 6, 7, 12, 393, 618,
626, 651, 732, 733
Bairesche Klassen 7, 10, 389-391,
393, 618, 701, 702, 710
Bairescher Kategoriensatz 368,448,
451, 778
Bairescher NuUraum 363, 541, 542,
546, 547, 549-553,582, 591,626,635,
638, 641, 643, 646, 648, 650, 678-
680,686, 703, 715, 742-744,747-749,
771, 864
Baire-Topologie 365
Banachraum 22, 468, 565, 767
baryzentrisch derivierter Komplex
943, 944, 953
baryzentrische Koordinaten 894,
897-899
baryzentrischer Stern 858,944,948,
953
baryzentrische Unterteilung 955,
956, 968, 969
Basis einer (5s-Operation 577-580,
585
Basis einer abelschen Gruppe 912-
915, 920, 921, 925-927, 933, 935
Basis einer Topologie 380,449-451,
478,485,486,488-490,492,493,495,
498, 499, 546, 548, 582, 603, 632,
636-638,747, 752, 753, 759, 760, 768,
785, 793, 815
Baum 382, 391, 440, 441, 682, 820
berandete Pseudomannigfaltigkeit
929-933
Berandungsmatrix -^ Inzidenzmatrix
Berandungsrelation -^ Inzidenzrelation

?-Funktion —^ Baire-me£bare Funktion
/3-Menge -^ Menge mit der Baireschen
Eigenschaft
Bettische Gruppe —> Homologiegruppe
Bettizahlen 865,867,870,871,877,
922, 926, 928, 980
Bettizahlen modulo m 870, 874,
877-880, 936, 937, 977
bikompakter Raum —> kompakter
Raum
B-Menge, 5-mefibare Menge -^ Borelmenge
Bogen 798, 799, 801, 808-818, 833,
835-838
bogenverkniipft 810, 814, 815
Bogenzusammenhang 799
Boolesche Algebra 537, 538
Bordanzhomologie 872
Borelmenge, Borelsche Menge 2,
6, 7, 10, 12, 17, 20-22, 24-28, 30,
35, 362, 366, 367, 377-387,390, 392,
393,396,397,402-404,406,407,431-
434,438-442,541, 542, 549-553,571,
572, 582-586,588-590,598,601,603,
604, 610, 619, 620, 622, 626, 638,
639, 641, 642, 644, 648, 651, 669,
670,672,675,676,678-684,689, 702-
705, 707-709,711, 712, 715, 727-729,
733, 735, 736, 742, 746, 748, 864
Borel-me£bare Funktion, Borelsche
Funktion 377, 393, 396, 553, 565,
626, 631, 639, 644, 651, 669, 709,
735
Borelsche Hierarchic 2, 6, 7, 9, 12,
361, 362, 378, 381, 384, 389, 584,
588-590, 596, 617-619, 651, 672
Borelsche Klassen 362, 366, 367,
378-380,387, 389,403,432-435,542,
572, 583, 588-590,596,604,605,617-
622, 626, 651, 652, 669, 670, 673,
679, 683, 707, 712
Borelsches System 25, 361, 706
Box-Produkt 780, 781
991
Brouwer-Cech-Dimension —> induktive
Dimension, grofie
Cantor-Bendixson-Ableitung —> Ableitung
(einer Punktmenge)
Cantor-Kurve 815-819
Cantorsche Alephhypothese —> verallgemeinerte
Kontinuumhypothese
Cantorscher Durchschnittssatz 855,
950
Cantorsches Diskontinuum 543,
546, 547, 550, 634, 641, 642, 683,
721, 726, 727, 734, 735, 743, 745,
748, 778, 780, 802
Cartesisches Produkt 354,356, 532,
635, 748, 790, 793
Cech-Homologie 867, 886, 887
Cech-Lebesgue-Dimension -^ Uberdeckungsdimension,
kleine
Cech-Stone-Kompaktifizierung 538
Cech-VoUstandigkeit 452, 499
Charakteristik -^ Euler - Poincare-
Charakteristik
charakteristische Funktion 390,406,
407, 618, 623, 631, 701, 732
Choquet-Raum 370
Choquet-VoUstandigkeit 452
co-analytische Menge —> co-Suslinmenge
co-dichter Teilraum 549, 669
Cohensche Erzwingungsmethode ->
Forcing
Colimes 782, 783
co-magere Menge 368, 369
Coprodukt 783
co-Suslinmenge 27, 29, 369, 381-
385, 392, 395, 398, 403, 404, 406,
571, 572, 574, 598, 601, 602, 675,
677-685,687,689, 700, 702-707, 709-
712, 717, 735
Darstellungstheorie 3
DedekindscheEndlichkeitsdefinition
355
A^-Menge {F^ und Gs) 376, 401,

668-670
5s-Operation, (5s-Funktion 12, 22,
23, 27, 30, 362, 363, 473-475, 478,
570, 574-586, 588, 619, 670
55-projektives Mengensystem 473,
475, 476, 478
Denjoyscher Verteilungssatz 13
derivierter Komplex 942-946, 948,
953, 972
deskriptive Funktionentheorie 4, 5,
10, 389
deskriptive Mengenlehre 2-10, 12,
16, 17, 19, 22, 24, 27, 28, 35, 365,
369, 370, 375, 377, 378, 382, 388,
389, 392, 396, 439, 565, 569, 596,
617, 651, 652, 671, 672, 675, 704,
705, 711, 715, 845
Determinantenteiler 917, 919, 978
Dichte (einer Menge natiirlicher Zahlen)
740, 741
dichter Teilraum, dichte Teilmenge
549, 550, 641, 643, 649, 650, 669,
696, 700, 718-720, 723, 728, 731, 734,
742-746, 750, 763, 765, 770, 771, 781,
794, 803, 827, 838
Dichtigkeit (eines topologischen Raumes)
—> Separabilitatsgrad
Differenzenhierarchie 670
Differenzenkette 9, 361, 376, 400,
401, 598, 638, 652, 657, 660, 662,
665-673
Dimension, Dimensionstheorie 800,
801,818,840-849,862,863,867,893,
894, 897, 902, 921, 925, 927, 937,
940, 945, 947, 952, 954, 959, 962,
964-966, 968, 969, 973-975,977, 978
Dimensionsfunktionen (ind, Ind,
dim. Dim) 776, 777, 840-849
dim X -^ Uberdeckungsdimension,
kleine
Dim X -^ Uberdeckungsdimension,
grofee
direktes Produkt 876,911-915,920-
922, 927, 931, 934-936, 946
Dirichletscher FunktionsbegrifF 6,
992
8,354
diskreter Raum 506, 509, 512, 535,
538, 549, 553, 619, 620, 683, 780
Divergenzmenge 617
Dreiecksungleichung (siehe auch verscharftes
Dreiecksaxiom) 446, 458,
459, 559, 760, 762, 763, 767
Dualitat von Mafi und Kategorie
394, 395, 675, 709
Durchmesser einer Menge 943,944,
949-954,959,961,963,964,967,969
Durchschnittssatz —^ Cantorscher
Durchschnittssatz
dyadisches Diskontinuum 642
ebene Kurve —> Cantor-Kurve
Ecke, Eckenmenge 894-897, 899-
902,906-909,921-929,937-940,943-
945,948,951,961-963,965,966,968,
969, 971-975
efFektive Auswahl —^ Uniformisierung
efFektive deskriptive Mengenlehre
3
Eindeutigkeitsmenge (der trigonometrischen
Entwicklung) 3, 4
eindimensionales Kontinuum 799,
815, 816, 818, 820, 829
einFach geschlossene Kurve 799
einFach zusammenhangend 799,
805-807,809,813,828,832,837,838
Einschiebungssatze (Fiir Mengen u.
Funktionen) 390, 597,606,613,617
Elementarteilertheorie, Elementarteiler
865, 874, 876, 877, 917-921,
926, 927, 932, 936, 937, 978
ErbUchkeit (topol. EigenschaFten)
577, 578, 669, 700, 752
Ergodentheorie 3
Ersetzungsaxiom 359
Erweiterung von Abbildungen, Erweiterungssatze
457-468, 557-567,
613, 614, 626, 629, 630, 633, 634,
639, 651, 844, 847, 848, 863
eukhdischer Komplex, euklidisches

Simplum 900, 901, 903, 923, 924,
929, 939, 942, 943, 948, 953, 954,
956, 965, 972, 974, 977
euklidischer Raum 1, 17, 24, 371,
381, 385, 433, 439, 485, 498, 572,
613,656,657, 701, 799-801,807,808,
812, 818, 840, 858, 893, 897, 943,
950, 965, 974
Euler-Poincare-Charakteristik 879,
923-925, 933, 935
exklusive Lage (von Simpla) 895-
897, 901, 924, 925, 942, 944, 965,
974
Extensionalitatsaxiom 352, 353
Faktorgruppe 910, 922, 977
Familie wesentlich verschiedener
Abbildungen 531, 532, 534-537, 731
Filter 371, 372
finale Rangordnung 703
finale Topologie 374
Folgenkompaktheit 364, 365, 368
Forcing 355, 383, 403, 712
Form 902-904, 907-909, 921, 922,
927,929,932,934-937,959,974,975
Frechet-Distanz —> Voisinage
F^-Menge 363-365, 367, 376, 377,
381,388,401,432-434,482,493, 527,
528, 543, 544, 546, 547, 572, 591,
606-609,618,638,643-645,649,652,
667,668, 697-701,711, 712, 720, 721,
723, 724, 726-728,734, 735, 742-744,
746-748
Fundamentalfolge -^ inverser Limes
Fundamentalgruppe 865
Fundierungsaxiom 352
Funktionalanalysis 3, 11, 17, 20,
21, 537
Funktionenfamilie starker Oszillation
535, 536
F//-Menge, F//-Raum 369, 391,
398, 668, 701, 702, 710-712
Gandy-Harrington-Topologie 365,
369
993
Gebiet (bei HausdorfF) —> offene
Menge
G^-Menge 17,28,363-369,376,377,
380,386,387,398,401,431-434,439,
445,449-452,489,493,495,496,498,
499,542,543,546, 547, 549-551,553,
572,582, 590-592,606-609,618,633,
634,638,640-646,649,650,652,665,
668,669,698, 700-702, 710, 711, 720,
723, 726, 728, 734-736, 745, 746, 748
gefilterte Familie 372, 373
geometrische Topologie 18, 868
geordnete Menge 1, 11, 12, 19, 27,
357, 358, 373, 688, 729, 730, 736,
750-752, 780, 813, 814
geordnetes Paar 352, 354, 532, 690
geordnetes Produkt, geordnete Potenz
27, 750
geschlossene Basis 486, 488, 489,
498
geschlossenes Mengensystem 485
geschlossene Kurve 812
gestufte Menge 728, 729
gestufter Raum 372, 505, 508-515,
522, 523, 741, 779, 784, 794, 795
Gewicht eines topologischen Raumes
553
gewohnliches Funktionensystem
389, 405
gleichmaKig lokal zusammenhangend
805, 806, 809, 826, 827, 829
Grassmann-Algebra 875, 902
Grofier Fermatscher Satz 353
Grundlagen der Mathematik 2, 21,
26, 29, 353, 684
Gruppenfolge 875, 880, 881, 883-
886, 946, 970, 972
G//-Menge 369
Haufungskontinuum 806, 807, 835
Haufungssystem 695-697, 699, 700
Halbintuitionisten 5, 26
Halbkontinuum 859, 861
Halbordnung, halbgeordnete Menge
27, 886

halbschlichte Abbildung 396
halbstetige Funktion 390, 566, 715,
716, 733
harmonische Analyse 3
Hauptvermutung (der kombinatorischen
Topologie) 865, 866
Hausdorff-Dimension 846
Hausdorff-Klassen 24
HausdorfF-Kompaktifizierung 451
HausdorfF-Metrik 21, 370, 371
HausdorfF-Operation —> 5s-Operation
Hausdorff-Raum 25, 451, 452, 520,
535, 752, 753, 778, 784, 785, 800,
804, 814, 815, 846, 869
Hausdorffsche Rekursionsformel 27
Hessenbergsche Summe 400
Hilbert-Quader 564
Hilbertraum 438, 566, 567, 768
Homoomorphismus, homoomorph
386-388,441, 445-447,450, 457-459,
463-465,485,493,494,496, 500, 507,
542, 543, 546-553,558-560,563, 572,
619,626, 633-635,639-644,648-651,
678, 679, 733, 743, 745, 748, 749,
752, 755, 756, 758-760, 768, 771-773,
775, 776, 780, 784, 793, 794, 799,
803, 808, 809, 813, 817, 820, 836,
838,840,864,899-901,905,906,923-
925,929,952-954,956,965,966,969,
974-976
Homoomorphismus der Klasse a, (5
-^ Abbildung (a, (3)
homogener Raum, Homogenitat
764, 766-768, 809, 819, 820
homogenes Polynom -^ Form
Homologie, Homologietheorie, homolog
848,865-867,871-888,905,907-
909,927, 932-935,938-942,955,958-
964, 967, 971, 974-977, 979
Homologiegruppe 873, 874, 876-
887,921-923,925,927-929,931,933,
935-938,940,945-949,951-956,958-
960, 962, 963, 969, 970, 972, 973,
976, 977
homologische Algebra 874
994
Homomorphismus 883, 884, 910,
912,920-922,934,938-941,946,947,
949, 951, 952, 955, 956, 958, 962,
963, 966, 967, 970-973, 976
Homotopie, Homotopietheorie 567,
872, 873, 887, 888
Homotopieinvarianz 872, 873, 887
Hopfscher Fortsetzungssatz 848
Hiillenraum -^ gestufter Raum
Hyperraum 21, 370, 371, 781, 793
Ideal (von Mengen) 393, 407
Indexrestriktion 384,403, 689, 704,
711
Indexvergleich 706
Indizes, Theorie der Indizes 21, 382-
384,675,685,687,689-691,704, 706-
708, 711
induktive Definierbarkeit 375
induktive Dimension, grofie 776,
777, 840-843, 846, 847
induktive Dimension, kleine 777,
840, 841, 843, 846
induktive Eigenschaft 375
induktiver Limes —> Colimes
ind X —> induktive Dimension, kleine
Ind X -^ induktive Dimension, grosse
initiale Topologie 779, 781
innere Abbildung -^ ofFene Abbildung
innere Invarianten -^ absolute Eigenschaften
innere Menge (eines Siebes) 682
insichdichte Menge 4, 365, 398,448,
542-544,547, 551,553, 597,635,642,
643,652,696,699-702,710, 711, 742,
743, 746, 748, 799
Integrationstheorie 1, 12, 13, 16,
21,33
Invarianten einer abelschen Gruppe
914, 915,923, 927,931-934,936,
937
Invarianz der Dimension 840, 842,

854, 856
Invarianz der Homologiegruppen (s.
auch topologische Invarianz) 873,
875,876,880,882-888,923,927,936,
937, 946, 953, 954, 959, 969, 970,
973, 976, 977
inverser Limes 882-886, 888, 946-
948
Inzidenz, Inzidenzrelation, inzidente
Simpla 895, 896, 925, 926, 930-
932
Inzidenzmatrix 925-928, 932, 936
irreduzibles Kontinuum 799, 807,
809, 818, 835, 836
Isometrie, isometrische Mengen
762-768
Isomorphie, isomorph 946-949,952-
956, 960-967, 969-971, 973, 974
Jordankurve 818
Jordanscher Kurvensatz 807, 811-
813, 834, 836, 838
Kardinalzahl, Kardinalitat 352,
354-360,482, 531, 532, 534-538,553,
580,611,612,622, 701-703,725, 731,
732, 736, 767, 768, 780, 864
Ketten, Kettenkomplexe 865, 867,
872, 874, 876, 885, 902
Kettenbruch 591
A:-Konvergenz 402, 403
Klassentheorien 356
Koharenz 365, 693
Kohomologie, Kohomologietheorie
848, 849, 879, 888
kohomologische Dimension 848, 849
Kombinatorik 3
kombinatorische Topologie 739,865,
866,868-871,873,875,877,880,887,
893, 899
kommutative Gruppe —> abelsche
Gruppe
kommutatives Diagramm 884
kompakte Menge 364, 368, 375,
397,404, 547-550,552, 567,607,642,
995
648,649,669, 748-750,817,827,828,
830,835-837,859-861,873,950,966,
967, 969, 972, 973
kompakter Raum 18, 21, 25, 366,
367, 370, 371, 449, 451, 463, 465,
466,476,478, 512, 519-521,564, 567,
752, 753, 755, 756, 759, 760, 768,
778, 780, 785, 792, 793, 800, 801,
809,813-815,826,840,843-845,847-
849, 867, 870, 871, 873, 875, 880,
881,884-886,949,950,952,954,956,
959, 972
Kompaktifizierungssatz von Hurewicz
845
komplementare 5s-Funktion 576,
578, 584, 585
komplementare Klassen 389
komplementarer Mengenring 588,
605, 610
Komplex 865-867,871-876,885-887,
893,896-901,904-908,921-923,925-
929, 934, 935, 937, 939, 940, 942-
948, 953, 954, 956, 959, 961, 963-
974, 976, 977
Komponente —> Zusammenhangskomponente
Konfinalitat 27
Konstituente 382-384,392,402-404,
684-686, 689, 707-709, 712, 735
Kontinuum 356,434,437,438, 522,
750, 798-800,804-812,816-818,820,
827-839, 859-861
Kontinuumhypothese 4, 27, 356,
357, 379, 385, 394, 395, 481, 550,
701, 702, 711
Kontinuumproblem 2, 8, 9, 17, 29,
356, 357
Konvergenzensystem 512,513,515,
516, 521, 522, 740, 741, 795
Konvergenzkontinuum 829, 830, 833
Konvergenzmenge 617
Konvergenzraum 522, 847
Koszul-Komplex 876
Kreisring —> Tubus
Kuratowskische Hiillenaxiome 506,

522
Kurve, KurvenbegrifF, Kurventheorie
750, 798-802,804, 808-820,833,
834
Lange der Borelschen Hierarchie
361, 362
lange Gerade, Halbgerade, Strecke;
langes Intervall 451, 452, 751-753,
813
Lebesgue-mefibare Funktion 7
Lebesgue-mefibare Menge, Lebesgue-Mafi
7,371,376,377,394,395,
431, 585
Lebesguesche Klassen, Mefibarkeitsklassen
22, 391
Lebesguesche Urbildmengen 7, 388-
390, 393, 732
Lebesguesche Zahl 961, 962
lexikographische Ordnung 358, 360,
489, 813
Limesraum 372, 505, 512-517, 521-
523, 740, 741, 790, 791, 793-796
Limeszahl 360, 361, 393, 509, 585,
589, 603, 618, 632, 637, 642, 647,
651, 655, 657, 658, 661, 662, 664,
666, 688, 691, 693, 707
Limitierungstheorie 3, 24
Lindelof-Raum 752
hnearer Raum 533, 534, 566, 770
hneares Funktional 13, 533, 534
hnear unabhangig 893, 894, 896,
901, 965
Linie, Unienhaftes Gebilde 813,814
lokal abgeschlossen 673
lokal bogenverkniipft 810
lokal endlicher Raum, Komplex
965-969, 974-976
lokaler topologischer Begriff 364
lokal kompakter Raum 452, 669,
752, 972, 973, 975
lokalkonvexer Raum 468, 566
lokal metrisierbarer Raum 752,815
lokal wegzusammenhangend 752
lokal zusammenhangender Raum
996
373, 374,404, 752,804-807,810,813-
815,817-820,826-832,834,835,837,
839, 840, 965
L-Raum —> Limesraum
Lusin-Menge 702, 711
Lusinsche Sieboperation, Siebmethode
26, 383, 402, 675, 682, 683,
689, 703, 704, 706-709
Lusinsches Kriterium 384, 689
Lusin-Sierpinski-Ordnung 682
Machtigkeit -^ Kardinalitat
Machtigkeit des Kontinuums 434,
437-439,448, 580, 584, 702, 703, 725,
800, 803, 845, 864, 947
magere Menge -^ Menge erster Kategorie
Mannigfaltigkeit 752, 753,865-867,
870, 872
Mafitheorie, Mafi, Mefibarkeit 1, 3,
5, 11-13, 16, 21, 33, 377, 394, 395,
533, 675, 709, 717, 794, 812, 816
mathematische Logik 3, 21
Matrix (von Distanzen) 762-765,
767, 768
Maximalraum 779, 781, 782, 791,
793, 795
Mayer-Vietoris-Formel 874
Menge erster Kategorie 6, 364, 368,
369, 371, 392, 394-396,398,402,433,
528, 546, 590, 591, 643, 646, 649,
669,694, 696, 709-711,718-721,723,
724, 734, 735, 748, 768
Menge mit der Baireschen Eigenschaft
394-396, 585, 694, 709
Mengenkorper 25, 361, 407, 588,
590, 593, 596, 603, 606, 610, 621,
622, 656, 657, 659, 661, 666, 668,
671, 672
Mengenring 361,399,588,589,596,
605,610-612,615, 618,621-623,639,
640, 656, 657, 661, 662, 664, 665,
667-669, 671, 672
mengentheoretische Topologie -^ allgemeine
Topologie

Menger-Urysohn-Dimension —> induktive
Dimension, kleine
Menge zweiter Kategorie 6, 368,
369, 451, 591, 607, 608, 694, 718
mefibare Kardinalzahl 537
Metrik 365,369-371,380,387,448-
450,457-459,463,465-467,493, 500,
542, 557, 558, 564-566,633, 751, 759,
760, 767, 776, 790, 791, 793, 867
metrisch absolute Eigenschaft, metrische
Absolutheit 366-368, 379
metrischer Raum 1-3, 8, 9, 12, 15-
19, 21-24, 27, 28, 33, 35, 363, 365-
373, 375, 381, 385, 387, 388, 398,
400,401,433,435,440,445-451,457,
465, 468, 476, 485, 493, 494, 498-
500, 512,533, 541,549-551,553, 557,
558, 564-566,570, 572, 610,639,650,
669,673,695,699, 710, 750-753, 756,
757, 759, 762, 763, 766-768,770, 771,
776, 777, 793, 796, 799, 800, 837,
840,843-849,866,867,873,875,884-
886, 899, 943, 949, 964
metrisierbarer Raum 362, 368, 380,
387,398,448-452,457,463,466,467,
498-500,549,550,633,635,690, 710,
715, 752, 756-760,785, 790, 791, 793,
800, 809, 810, 813, 814, 843, 847,
867, 870, 871, 873, 886
Metrisierbarkeit, Metrisationssatze
18, 365, 467, 564, 755-760, 780, 781,
790
Minimalraum 508, 511, 517-519,
521, 789, 790, 797
Modelle (der Mengenlehre) 357, 376,
383, 395, 482
Modul 874-879, 885, 912, 913, 915,
916, 920-922,925, 927, 929, 931-934
Mobiussches Blatt 908, 924, 930,
931, 933
monotoner Quotient 786
Moore-Smith-Folge 373
Nearness-Raum 847, 848
Nerv (einer Uberdeckung, Zerlegung)
997
867, 870, 871, 875, 876, 880, 881,
886, 948-955, 960-963, 967, 969-972
Nest 814
Netz 772, 774, 775, 826
nichtarchimedische Metrik -^ Ultrametrik
nichtarchimedischer Korper 493
nicht-magere Menge -^ Menge zweiter
Kategorie
Nichtstandard-Analysis 586
nirgendsdichte Menge 407, 408,
546, 590, 591, 607, 619, 642, 648,
659, 696, 718, 723, 724, 726, 748,
749, 778, 815, 818, 820, 839
nirgends difFerenzierbar 802
normaler Raum 18, 468, 752, 757,
759, 760, 843, 848
n-Sphare 848, 929
nuUdimensionaler Raum 493, 494,
543, 547-550,552, 589,603,626, 634,
635, 637, 638, 641, 649, 651, 745,
748, 749, 771, 772, 776, 777, 860,
864
NuUmenge (leere Menge) 353, 399,
505, 796, 841, 876, 945, 946
NuUmenge (Menge vom Mafi 0) 394,
395, 709, 735
NuUraum —> Bairescher NuUraum
oberer Limes 388, 405, 585, 588,
591-595,609,611-617,622-624,638-
640, 835
offene Abbildung 485, 488, 489,
492, 494, 495, 498, 499, 518
offene Basis 759, 760
offene Menge 16, 24, 361, 364-366,
373,374,378,380,381, 386-389,394,
400,407,431-437,448,476-478,485,
486,488-490,492,493,495-500,506,
518, 541, 542, 544, 546-551,570, 572,
573, 585, 588, 589, 591, 597, 603,
606, 610, 614, 618, 620, 626, 627,
632,635,637,638,643,646-649,664,
667, 668, 696, 703, 718, 720, 734,
741, 744, 746-749, 757-760, 771-774,

776, 777, 779, 781-784, 787-797,805,
807,808,827-829,832,834,836-838,
841-843,858,860,861,863,954,955,
960, 965, 966, 969, 973, 974
offener Kern 16, 973
offener Limes 371, 372
offener Stern 965-967,969,970,972,
974
offene Uberdeckung 777, 842, 847,
848, 867, 886, 960, 963
(a;i,a;i)-Lucke 27,28
Ordinalzahl, Ordnungszahl 3, 4, 5,
352,355, 356,359-362,375,382,384,
393, 396, 403, 435, 441, 486, 490,
553, 571, 596, 605, 609, 618, 638,
663, 667, 671, 684, 685, 687, 690,
693, 704, 707-710, 712, 727-729,735,
736, 752, 773, 849, 864
ordnungsfahiger Raum 813
Ordnungsrelation, Ordnung 357,
703, 751, 779, 828
Ordnungstopologie 813
Ordnungstypus 357-360, 687, 701,
707, 715, 727-731, 735, 736, 750
Orientierung, orientierbar, orientiert
901-904,906-908,921, 925, 930-935,
937,938,941,957-959,964,967,973,
977
p-adischer Raum 770
paradoxe Kugelzerlegung 26
parakompakter Raum 449,498, 752,
847, 848
Partition 675, 777
Peano-Abbildung 801-804
Peano-Kontinuum, Peanosches Kontinuum
798,799,804-811,814,815,
817, 828, 831-838
perfekte Menge 4, 27, 365, 383-
385, 392, 396, 402, 404, 437, 439-
442, 544-547,552, 582, 591,607,618,
642-644,646,649,656,696-702,710,
711, 723, 742-744, 746-748, 799
Perron-Integral 13
Pfeilsymbolik 884
998
Pflastersatz 842, 856
polnischer Raum 3, 9, 12, 17, 24-
25,361, 362,370, 381,382, 384, 385,
387, 392, 393, 397, 398, 403, 406,
439, 440, 586, 588, 597, 609, 619-
621,639,651,652,668-670,682,683,
703-707,710, 711, 717, 732, 733, 736
Polynom 902-905, 921, 928, 929,
934,935,937-942,957,959,960,964,
967, 973, 975, 977-979
positiv analytische Funktion 475,
575, 577, 578
Potentialtheorie 3
Potenzraum —> Hyperraum
pratopologischer Raum -^ gestufter
Raum
Prawohlordnung 382
Primende 806, 833
Produktraum 678, 733, 748, 778-
781, 790, 793, 815, 840, 845-847
Projektion, Projektionsfunktion
362, 378, 385, 386, 392, 396, 397,
474,478,535, 570,632-634,670,680,
683,686,687, 705-707,781,830,854,
856, 859, 898, 899
Projektionsspektrum 871,879,881,
882
projektive Ebene 906,924,930,931,
933
projektive Hierarchie, Klassen 26,
585, 687, 706
projektive Menge 10, 22-26, 28, 395,
602, 685, 864
projektives Mengensystem 474-476,
478
Pseudobogen 809
Pseudomannigfaltigkeit 929-932,
934, 937, 957
Pseudometrik 467, 468, 767
Pseudotopologie 372
punkthafter Raum 770, 771
Punkt lokaler Abgeschlossenheit
375
Punktmenge, Punktmengentheorie
1, 3, 4, 11, 16, 26, 33, 365, 366, 368,

396, 506, 507, 511, 795, 869, 870,
896, 897, 899, 900, 905, 906, 923,
939, 943, 953, 965
Pushout 782
Quasikomponente 374, 771
Quotientenabbildung 523, 785
Quotientenraum 363,374, 778, 783,
786
Quotiententopologie 783, 784
Radon-Integral 533
Rand, Randoperator 865, 867, 876-
878,894,895,903-909,922-938,941,
958-961, 964, 967, 974, 975
randendlicher Raum 815
randlose Pseudomannigfaltigkeit
929-933
Randsatz von Janiszewski 829,835,
860, 861
Rang einer abelschen Gruppe 874,
877-879,912,913,915,922,923,926-
929, 931, 933-935
Reduktionsprinzipien, Reduktionssatze
602-604, 606, 608, 622, 675,
685-687, 704-706
reduzible Menge 9, 375, 376, 401,
588, 590, 598,618,619,654-662,664-
673, 701
reelle Funktion, Theorie der reellen
Funktionen 8, 11, 13, 17, 21, 22,
26, 388, 393, 613-618, 630, 639, 710,
715, 717, 718, 732, 771
regulare Kardinal (Ordinal)-zahl 27,
357, 360
regulare Kurve 806, 834
regularer Raum 451, 452, 567, 760
Regularitatsaxiom -^ Fundierungsaxiom
rekursive Funktion 3
relative BegrifFe, Eigenschaften 365,
366, 375, 700, 778, 779, 799
Residuum 375, 376, 654-656, 660-
662, 667-669, 671, 673
Retrakt 567, 863, 888
999
Riemannsche Flache 750
Ring 902, 935
i^-Menge 585, 670
i?-Transformation 583, 585
jR-Trennbarkeit 654, 657-659, 672
Rudin-Keisler-Ordnung 538
Russellsche Antinomie 356
saturierte Struktur, Saturiertheit
27, 586
Satz von Banach-Mazur 767
Satz von Cantor-Bendixson 4, 371
Satz von Hahn-Banach 534
Satz von Hahn-Mazurkiewicz 374,
752, 805
Satz von Konig 441, 700
Satz von Kurepa 729, 730, 736
Satz von Torhorst 832
Satz von Zoretti 835
Schema eines Komplexes 899-901,
921, 923, 925, 929, 937, 939, 943,
944, 947, 948, 953, 954, 959, 964,
971, 973, 974, 976
schwache Topologie 779
schwach n-dimensionale Menge 843,
844, 858, 860, 861
Schwankung 719-721, 723, 726
Schwerpunkt 894, 939, 942-944
Separabilitat, separabler Raum (s.
auch polnischer Raum) 16, 368,370,
376, 377, 381, 384, 385, 398, 435,
438, 440, 445, 449, 468, 476, 478,
489,490,493,496-499,535, 541, 542,
544, 545, 547-551,553, 564-567,571,
598,603,629,634-638,641-643,645,
648, 650, 661, 664, 665, 667, 668,
678-680,685,686,689,693,694,698-
703, 709, 710, 742, 743, 746, 747,
753, 762, 763, 766-768, 770, 771, 776,
780,809,813-815,843-848,858, 863,
864, 873
Separabilitatsgrad 535
separierte Menge -^ zerstreute Menge
sequentieller Raum 781

S'-Funktion -^ Suslinsche Funktion
Sieb, Sieboperation -^ Lusinsche Sieboperation
Sieb-VoUstandigkeit 452
Sierpinskischer Teppich 817-819
Simplex, Simplum 867, 870, 871,
876,886,894-905,908,921-932,934,
935,937-940,942-945,948,949,956-
959, 961, 964-969, 971-975
simpliziale Abbildung 938-940,942,
955, 960-964, 966, 967, 971, 972
simpliziale Approximation 866,867,
870-872
simpliziale Homologie 866, 873, 875,
885, 886
simplizialer Komplex 865,867,870,
871, 875, 876, 885, 886, 896
simpliziale Zerlegung 858,867,880,
896, 923
singulare Homologie 871, 872, 887
singulare Kardinal (Ordinal)-zahl
27
S'-Menge -^ Suslinmenge
Spaltungssatze 397
Stern (s. audi baryzentrischer Stern)
858,928,929,944,953-955,965-967,
969, 970, 972, 974
stetige Abbildung, stetiges Bild, stetige
Funktion 377, 385, 386, 389,
406, 433, 439, 457, 467, 468, 485,
486,489,490,494,496-498,507, 508,
510, 513, 515, 517-521,523, 557-561,
565, 566, 590,614,618-620,629,631-
633, 635, 637, 641, 642, 646, 648,
649, 678, 679, 703, 727, 733, 744,
747, 748, 752, 763, 771, 781, 783-
785, 789, 791-799,802-804,807-809,
815, 818, 827, 833, 836, 840, 844,
845,847,848,856,862-864,873,897-
899, 949, 952
stetige Kurve -^ Peano-Kontinuum
stetige Zerlegung 508, 511, 517,
521, 784, 796, 797
Streckenbild -^ Peano-Kontinuum
Stufenfunktion 508-512, 514, 515
1000
Summe (topologischer Raume),
Summenraum 778, 782, 787, 840,
846, 847
Suslinkomlement -^ co-Suslinmenge
Suslinmenge, Suslinsche Menge 2,
4, 10, 12, 15, 20, 21, 24, 25, 27-29,
35, 363, 365-367, 369, 370, 377-381,
383-389,392,393,395,396,402,403,
406, 439, 442, 544, 571, 572, 574,
582, 598, 601, 602, 604, 622, 641,
675-683,685,687,689,693,698-700,
702-707,709, 711, 712, 715, 717, 727,
729, 732, 733, 735, 746, 864
Suslinsche Funktion 715, 717, 732,
733
Suslinsche Klassen 366
Suslinscher Grenzpunkt 695-697,
699
Suslinscher Prozefi -^ A-Operation
Suslinsches System 394
symmetrische Differenz 393
symmetrischer Verdichtungspunkt
722-724, 726, 734, 735
symmetrisch stetige Funktion 527,
528, 715, 717, 718, 720-722,726, 727,
733-735
Ts-Raum 846
Teilraum 549, 550, 740, 745, 752,
778, 779, 787, 793, 794, 799, 800,
814, 818, 820, 840, 846-849, 893
Tietzescher Erweiterungssatz 457,
467, 566, 567
Topologie 3, 6, 9, 10, 17-21, 25,
27, 364, 365, 372-374, 378, 380, 387,
448, 467, 535, 538, 666, 667, 669,
683, 751, 752, 778, 779, 781, 783,
798, 799, 840, 865-888
topologisch absolute Eigenschaft, topologische
Absolutheit 367, 379,
387, 388
topologische Abbildung -^ Homoomorphismus
topologische Gruppe 768
topologische Invarianz (s. auch In-

varianz der Homologiegruppen)
570-572,574,633,634, 757, 793,865,
866,871-873,923,927,936,937,973,
976-978
topologischer Komplex 900, 905,
923
topologischer Kreis 808, 809, 811,
812, 816, 818, 819, 833, 834, 836
topologischer Raum 1, 12, 15-19,
33, 35, 361, 363, 365, 367, 369, 371-
374,388,393,396,448,450-452,457,
468,476, 505-510,512,513, 515-517,
522, 523, 538, 549, 550, 553, 566,
689, 740, 750-757,759, 760, 778, 779,
781-784,787, 790, 793-797,800,808-
810, 813-815,840-843,846-848,865,
867, 869-871, 886, 956
topologische Reflexion 522
topologisches Simplum 899, 900
topologisch vollstandiger Raum, topologische
VoUstandigkeit 451,452,
485,486,488,494-496,498,542, 547,
549, 550, 634, 641, 642, 748, 749
Topologisierung 779, 787-790, 792,
793, 795
Torsionskoeffizient, -zahl 865, 870,
871,877,907,923,927,931-933,936,
937, 978, 980
Torus 907, 924, 930, 931, 933
total beschrankt 465,467, 566, 648,
826, 827
total imperfekte Menge 384, 385
total Peanosches Kontinuum 806,
830, 832, 834
transfinite Dimension 849
transitive Menge 359
Trennungsaxiome 506, 517, 519,
522, 789, 790, 792, 796
Trennungseigenschaften, Trennungsprinzipien,
Trennungssatze (der deskriptiven
Mengenlehre) 16, 384,
390,396,400, 588, 592, 596-599,601-
604, 606, 608, 609, 621, 622, 627,
654,672,675,677-680,683-685,703-
705, 707, 712, 837-839
1001
Triangulierung, trianguliert 867,
870, 872, 875
Tubus 905, 924, 925, 930, 931
r4-Raum 846,847
Tychonoff-Produkt 535
TychonofF-Quader 780
Tychonoff-Raum 451, 452, 499
Typenklasse 358
Typus -^ Ordnungstypus
T2-Raum -^ Hausdorff^Raum
tFberdeckungsdimension, grofie 847
Uberdeckungsdimension, kleine
777, 840, 842-849, 862, 863
Ultrafilter 538
Ultrametrik, ultrametrisierbar 500,
776, 777
Umgebung 16, 375, 506, 517, 519,
520, 523, 597, 618, 642, 646, 656,
669,673,697-699, 734, 740, 741, 748-
750, 755-757, 759, 771, 775, 780-785,
788, 791, 793, 794, 797, 829, 839,
841, 842, 863, 960, 963, 965, 966,
972-975
Umgebungsaxiome 783, 785
Umgebungsbasis 841, 842
unabhangige Familie (von Mengen)
531, 533-538, 611, 612, 731, 736
unentscheidbares Problem 712
unerreichbare Kardinalzahl 360,
383, 395
uniforme Menge 397
uniformer Raum 467, 847, 848
Uniformisierung 705, 706
Unikoharenz 834
Universalkurve (von Menger) 819,
820
Universalmenge (eines Mengensystems)
24, 380, 583, 584, 619,
678, 679, 683, 705, 864
Universalraum 762, 763, 766-768
Unstetigkeitsstelle 527, 528, 631,
717, 718, 721, 723, 726, 727, 734,
862, 863
untere Entfernung 401, 445, 458,

558, 862, 949
unterer Limes 388, 405, 521, 585,
588, 592-595,609,613,616,622,623,
703
Unterraum -^ Teilraum
Unterteilung eines Komplexes 940,
945, 946, 955-957, 967-970
Urbildmenge -^ Lebesguesche Urbildmenge
Urelement 352, 355
Urysohnsches Lemma 759, 760
verallgemeinerteKontinuumhypothese
27, 357
verallgemeinerte Quantoren 585
verallgemeinerter Bogen 813-815
verdichtete Menge 541-547, 551-
553, 626, 642-653, 742-748
Verdichtungspunkt 364, 435-438,
542,642,645,646,648, 721-724,734,
735, 742, 743, 746
Verfeinerung eines Komplexes, einer
Zerlegung 938-940,945-949,951-
955, 961-963, 967, 969, 971
verscharftes Dreiecksaxiom 493,496,
500, 770, 771, 773, 776, 964
Vietorissche Homologiegruppe 959,
960
Vietoris-Topologie 373
Vitali-Menge 376
Voisinage 755, 756, 758, 760
VoUrand 960, 964
voUstandig Bairescher Raum -^ Fn-
Raum
voUstandige Hiille 385, 634, 771
vollstandiger Raum, Vollstandigkeit
(s. auch polnischer Raum) 8, 12,
28, 363, 365-370,384, 385, 387, 388,
391,437,438,440,445,447-452,463-
466,485,489,492,494-496,498,499,
541, 542, 544-546,549-551,582, 598,
629,633-635,637,638,641,643,645,
648,650,668,678-680,685,686,689,
702, 703, 742, 743, 746, 747, 763,
766-768, 770, 864
1002
vollstandiger Verband 372, 373
vollstandiges Funktionensystem 405,
588, 613, 615, 623
voUstandig metrisierbarer Raum 368,
380,387,398,448-450,498-500,549,
710, 810, 843
VoUzyklus 960,962-964
von Neumannsche Ordinalzahl 359,
360
Wahrscheinlichkeitsraum 768
Wahrscheinlichkeitstheorie 3, 13,
25
wegzusammenhangend 752, 810
wesentlich verschiedene Abbildungen
—» Familie wesentlich verschiedener
Abbildungen
wohlgeordnete Menge 359,496,675,
677,680-682,685,688,689, 707, 727,
729, 730, 735
Wohlordnung, Wohlordnungssatz 4,
5, 8, 355, 382, 396, 450, 489, 494,
774, 775
Youngsche Menge 368, 369
Zellenkomplex 865, 866
Zellenzerlegung 865
Zerlegungsfolge 949-953, 972
Zerlegungsraum 785, 796
Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre
mit (ohne) Auswahlaxiom -^ ZFC
(ZF)
zerstreute Menge 365, 597, 723,
727-729
Zerstiickelung 829, 837, 838
ZF 352,356-360
ZFC 352, 353, 356, 357, 360, 383,
392, 395, 482, 537, 684
zusammenhangende Menge, zusammenhangender
Raum 404,603,627,
656, 750, 752, 753, 786, 799, 800,
805-807,809,810,813-815,818,826-
829,831,832,836-839,858,867,908,
928, 929

zusammenhangend im Kleinen 374
Zusammenhangsgruppe (eines Komplexes)
937
Zusammenhangskomponente 373,
374, 771, 806, 812, 813, 816, 818,
827-829,831,832,834,835,837-839,
861, 908, 927, 928, 937
Zusammenhangszahl (eines Komplexes)
937
zyklische Gruppe 876, 909, 910,
912-915, 920-923, 927, 931, 933-936
zyklisches Element 806, 810, 834
Zyklus 865, 867, 872, 876-878, 885,
904,905,907-909,921,922,926-930,
932-942,955,958-964,967,971,972,
974, 975, 977-980
1003

Ulrich Feigner
Universitat Tubingen
Mathematisches Institut
Auf der Morgenstelle lo
72076 Tubingen
Deutschland
Horst Herrlich
Universitat Bremen
FB Mathematik und Informatik
Postfach 33 04 40
28334 Bremen
Deutschland
Mirek Husek
Charles University
Dept. of Mathematics
Sokolovska 83
18600 Praha 8
Tschechien
Vladimir Kanovei
Bolshaya Cherkizovskaya St. 9
kor. 4, kv. 94
107392 Moskau
Russland
Herausgeberadressen
1005
Peter Koepke
Universitat Bonn
Mathematisches Institut
Beringstrafie 1
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Deutschland
Gerhard PreuB
Freie Universitat Berlin
Institut fur Mathematik I
Arnimallee 2-6
14195 Berlin
Deutschland
Walter Purkert
Universitat Bonn
Mathematisches Institut
Beringstrafie 1
53115 Bonn
Deutschland
Erhard Scholz
Universitat Wuppertal
Fachbereich Mathematik
GaufistraCe 20
42097 Wuppertal
Deutschland