felix hausdorff
felix hausdorff
felix hausdorff
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FELIX HAUSDORFF<br />
GesammelteWerke<br />
Springer<br />
Berlin<br />
Heidelberg<br />
New York<br />
Hongkong<br />
London<br />
Mailand<br />
Paris<br />
Tokio
Felix Hausdorff vor dem Hauptgebaude<br />
der Universitat Bonn, Marz 1932<br />
Photographie: Erna BannoWy spatere Ehefrau des Mathematikers Ernst Witt
FELIX HAUSDORFF<br />
Gesammelte Werke<br />
einschliefilich der unter dem Pseudonym Paul Mongre<br />
erschienenen philosophischen und literarischen Schriften<br />
und ausgewahlter Texte aus dem NachlaC<br />
Verantwortlich fiir die gesamte Edition:<br />
Egbert Brieskorn, Friedrich Hirzebruch, Walter Purkert,<br />
Reinhold Remmert und Erhard Scholz
FELIX HAUSDORFF<br />
Gesammelte Werke<br />
BAND I<br />
Felix Hausdorff (1868-1942)<br />
Hausdorff als akademischer Lehrer<br />
Arbeiten zur Mengenlehre<br />
BAND II<br />
Grundziige der Mengenlehre (1914)<br />
BAND III<br />
Mengenlehre (1927,1935)<br />
Deskriptive Mengenlehre und Topologie<br />
BAND IV<br />
Analysis, Algebra<br />
und Zahlentheorie<br />
BANDV<br />
Astronomie, Optik und<br />
Wahrscheinlichkeitstheorie<br />
BAND VI<br />
Geometrie, Raum und Zeit<br />
BAND VII<br />
Philosophisches Werk<br />
BAND VIII<br />
Literarisches Werk<br />
BAND IX<br />
Korrespondenz
FELIX HAUSDORFF<br />
Gesammelte Werke<br />
BAND III<br />
Mengenlehre (1927,1935)<br />
Deskriptive Mengenlehre und Topologie<br />
Herausgegeben von<br />
U. Feigner, H. Herrlich, M. Husek, V. Kanovei,<br />
P. Koepke, G. Preufi, W. Purkert und E. Scholz<br />
Springer
Herausgeber<br />
U. Feigner, H. Herrlich, M. Husek, V. Kanovei, P. Koepke, G. PreuC,<br />
W. Purkert und E. Scholz<br />
Die Adressenfinden sich am Buchende,<br />
ISBN 978-3-540-76806-7 e-ISBN 978-3-540-76807-4<br />
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek<br />
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation<br />
in der Deutschen Nationalbibliografie; detaiUierte bibHografische<br />
Daten sind im Internet iiber
Vorwort<br />
Im Jahre 1927 erschien FELIX HAUSDORFFS Buch Mengenlehre. Es war als<br />
zweite Auflage der Grundziige der Mengenlehre deklariert, tatsachlich aber ein<br />
voUkommen neues Buch. Die historische Bedeutung dieses Werkes besteht vor<br />
allem darin, daB hier erstmals der damals aktuelle Stand einer neuen mathematischen<br />
Disziplin, der deskriptiven Mengenlehre, monographisch dargestellt<br />
wurde. Daneben war es ein ausgezeichnetes Lehrbuch der allgemeinen Mengenlehre<br />
und der Theorie der metrischen Raume. 1935 erschien eine um ein 10.<br />
Kapitel erweiterte Neuauflage. Im ersten Teil des vorliegenden Bandes ist die<br />
Mengenlehre voUstandig abgedruckt, und zwar die erweiterte Auflage von 1935.<br />
Dem Abdruck des Buches ist eine historische Einfiihrung vorangestellt, in<br />
der auf die Entstehung und Rezeption des Werkes, auf HAUSDORFFS Verhaltnis<br />
zur russischen Schule um LusiN sowie auf die Anderungen gegeniiber den<br />
Grundzugen und deren vermutliche Griinde naher eingegangen wird. Dokumentiert<br />
sind in der Einfiihrung auch die vom Antisemitismus im nationalsozialistischen<br />
Deutschland bestimmten Diskussionen im Verlag de Gruyter um einen<br />
Nachdruck der Mengenlehre sowie die Merkwiirdigkeiten der 1937 erschienenen<br />
russischen Ubersetzung des Buches.<br />
Auf den Abdruck der Mengenlehre folgen ausfiihrliche Anmerkungen der Herausgeber.<br />
Dort sind auch die minimalen Anderungen dokumentiert, die die<br />
Auflage von 1935 in den ersten neun Kapiteln von der 1927-er Auflage unterscheiden.<br />
In HAUSDORFFS NachlaB fanden sich, eingelegt an den entsprechenden<br />
Stellen seines Exemplars der Mengenlehre^ einige Zettel mit handschriftlichen<br />
Erganzungen und Verbesserungen. Diese sind hier im AnschluB an die Anmerkungen<br />
der Herausgeber, mit kurzen Kommentaren versehen, abgedruckt. Den<br />
Teil 1 beschliefien eine Dokumentation aller Rezensionen der Mengenlehre und<br />
der Abdruck ausgewahlter Rezensionen.<br />
Der zweite Teil des vorliegenden Bandes enthalt HAUSDORFFS publizierte<br />
Arbeiten zu Themen der deskriptiven Mengenlehre und Topologie, jeweils unmittelbar<br />
gefolgt vom zugehorigen Kommentar. Dieser Teil beginnt mit HAUS<br />
DORFFS bedeutendstem Beitrag zur entstehenden deskriptiven Mengenlehre,<br />
seiner Losung des Kontinuumproblems fiir Borelmengen (1916). Er enthalt<br />
ferner HAUSDORFFS beriihmten G^-Satz von 1924, seine Arbeiten tiber die<br />
Erweiterung stetiger Abbildungen (1930, 1938), seine Beitrage zur Theorie<br />
der Hiillenraume (1935) und zur infinitaren Kombinatorik (1936) sowie Arbeiten,<br />
die Erganzungen und wesentliche Verbesserungen zu Ergebnissen von<br />
KANTOROVITCH/LIVENSON, SIERPINSKI, MAZURKIEWICZ und KURATOWSKI<br />
beisteuern.<br />
VII
Die beiden iibrigen Telle des Bandes slnd Arbelten aus dem Nachlafi HAUS-<br />
DORFFs gewldmet. Mehr als 1000 Blatt des Nachlasses betreffen Themen aus<br />
der deskrlptlven Mengenlehre. Viele dleser Aufzelchnungen dlenten vor allem<br />
HAUSDORFFS eigenem Verstandnls belm Studlum elnschlaglger Arbelten, und<br />
es ware nlcht sehr slnnvoll, sle alle zu publlzleren. Es fanden slch jedoch auch elne<br />
Relhe von elgenstandigen Studlen HAUSDORFFS, die elne Publlkatlon durchaus<br />
rechtfertlgen. Dlese wurden nach Ihrem Inhalt In sechs Gruppen zusammengefaBt:<br />
„(^5-Operatlonen", „Mengensysteme, Borelmengen, Trennbarkelt",<br />
„Borelsche Funktlonen", „Reduzible Mengen und Dlfferenzenketten", „Susllnmengen,<br />
Indlzes, Trennbarkelt" und „Varla". Auf den Abdruck elnes jeden Faszlkels<br />
folgen kurze Anmerkungen; am Ende jeder Gruppe steht eln ausfiihrllcher<br />
Kommentar mlt dem zugehorlgen Llteraturverzelchnls.<br />
Im NachlaBtell zur Topologle werden zunachst drel Faszlkel abgedruckt, die<br />
unmlttelbar mlt zwel Veroffentllchungen HAUSDORFFS Im Zusammenhang stehen.<br />
Es folgen vler bemerkenswerte Studlen iiber metrlsche Raume, darunter<br />
seln Manuskrlpt mlt der Erfindung der „langen Geraden", seine Metrlsatlonssatze<br />
und seine orlglnelle Konstruktlon elnes separablen metrlschen Unlversalraumes.<br />
Mlt gewlssen Themenkrelsen der allgemelnen Topologle hat slch HAUSDORFF<br />
Immer wleder elngehend beschaftlgt. Die Essays iiber „Fundamentalkonstruktlonen<br />
der Topologle", „Kurven, Bogen und Peano-Kontlnua" sowle „Dlmenslonstheorle"<br />
geben elnen Abrlfi der hlstorlschen Entwlcklung dleser Geblete<br />
und elnen Uberbllck iiber elnschlaglge Faszlkel In HAUSDORFFS Nachlafi; angeschlossen<br />
slnd jeweils charakterlstlsche Stiicke aus dem Nachlafi.<br />
Mlt den komblnatorlschen und algebralschen Methoden der Topologle hat<br />
slch HAUSDORFF erst relatlv spat, Ende der 20-er Jahre, befafit. Damlt beschaftlgt<br />
slch der Essay „ Hausdorffs Bllck auf die entstehende algebralsche Topologle".<br />
Im Anschlufi daran 1st seine Vorlesung „Komblnatorlsche Topologle" aus<br />
dem Sommersemester 1933 abgedruckt, die bemerkenswert modern war. Im<br />
Friihjahr 1940, berelts In elner ausslchtslosen Lebenssltuatlon, hat HAUSDORFF<br />
den § 4 der Vorlesung „Dle topologlsche Invarlanz der Homologlegruppen" iiberarbeltet,<br />
obwohl er gewlfi wufite, dafi er dlese Vorlesung nlcht mehr wiirde halten<br />
konnen. In elnem Brief an J. O. MuLLER schrelbt er am 6.6.1940, er habe<br />
den Bewels jetzt so verelnfacht, „dass [er] eln gewlsses aesthetlsches Wohlgefallen<br />
daran habe". Aus dlesem umfangrelchen Faszlkel slnd ebenfalls grofiere<br />
Telle abgedruckt.<br />
Wir danken den Herren KoUegen G. E. Strecker (Kansas State University)<br />
und J.M. Plotkln (Michigan State University) fiir die sprachllche Glattung<br />
engllschsprachlger Texte sowle den Herren KoUegen S. Albeverlo (Bonn), J.<br />
Ferrelros (SevlUa), M. Ruzlcka (Freiburg) und R. Slegmund-Schultze (Krlstlansand)<br />
fiir die Ubersetzung von Texten aus dem Itallenlschen, Spanlschen, Tschechlschen<br />
und Norweglschen.<br />
Oktober 2007 Die Herausgeber<br />
VIII
Hinweise fiir den Leser<br />
Im Anschlufi an diese Hinweise findet sich ein voUstandiges Schriftenverzeichnis<br />
HAUSDORFFS. Alle Literaturangaben in den Kommentaren mit der Abkiirzung<br />
H, wie z. B. [H 1916], beziehen sich auf dieses Schriftenverzeichnis. HAUSDORFFS<br />
Arbeiten sind in den Literaturverzeichnissen nicht noch einmal aufgefiihrt. Die<br />
in diesem Band abgedruckten Arbeiten sind im Schriftenverzeichnis mit einem<br />
Stern versehen.<br />
Die aus dem Nachlafi pubhzierten Faszikel sind wortgetreu wiedergegeben<br />
(mit Ausnahme nicht allgemein gebrauchhcher Abkiirzungen; diese werden ausgeschrieben).<br />
Von HAUSDORFF unterstrichene Worte oder Textstellen sind kursiv<br />
gedruckt. Der Ubergang zu einem neuen Blatt im Original ist im Abdruck<br />
durch einen senkrechten Strich gekennzeichnet; am Rand ist in dieser Zeile die<br />
Nummer des neuen Blattes vermerkt.<br />
Der gesamte Nachlafi HAUSDORFFS ist katalogisiert. Die angegebenen Faszikelnummern<br />
beziehen sich stets auf diesen Nachlafikatalog {Findbuch Nachlafi<br />
HAUSDORFF) . Steht die Uberschrift eines Nachlafistiickes in eckigen Klammern,<br />
stammt sie vom Verfasser des Katalogs, weil HAUSDORFF im Original keine<br />
Uberschrift angegeben hat. Ist die Uberschrift ohne Klammern gesetzt, stammt<br />
sie von HAUSDORFF selbst. Das gleiche gilt fiir Orts- und Zeitangaben.<br />
Der Nachlafikatalog mit bibliothekarischen und inhaltlichen Beschreibungen<br />
ist im Internet zuganglich unter www.aic.uni-wuppertal.de/fb7/hausdorflF.<br />
Danksagung<br />
Das Erscheinen des Bandes III der gesammelten Werke FELIX HAUSDORFFS<br />
ist uns Anlafi, denen zu danken, die dieses Werk gefordert haben und welter<br />
fordern. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danken wir dafiir, dafi sie<br />
durch ihre Unterstiitzung diese Edition ermoglicht hat. Der Nordrhein-Westfalischen<br />
Akademie der Wissenschaften gebiihrt unser besonderer Dank fiir die weitere<br />
fiLnanzielle Forderung der Edition ab Beginn des Jahres 2002 und fiir den<br />
grofiziigig gewahrten Druckkostenzuschufi. Schliefilich danken wir den Editoren<br />
des vorliegenden Bandes fiir ihre selbstlose Arbeit und dem Springer-Verlag fiir<br />
die angenehme Zusammenarbeit und fiir die gute Ausstattung des Werkes.<br />
IX<br />
Egbert Brieskorn<br />
Friedrich Hirzebruch<br />
Reinhold Remmert<br />
Walter Purkert<br />
Erhard Scholz
Schriftenverzeichnis Felix Hausdorffs<br />
einschliefilich der unter dem Pseudonym<br />
Paul Mongre veroffentlichten Schriften<br />
[H 1891] Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung (Dissertation).<br />
Ber. liber die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig.<br />
Math.-phys. Classe 43 (1891), 481-566.<br />
[H 1893] Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung II, III. Ber. liber<br />
die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.phys.<br />
Classe 45 (1893), 120-162, 758-804.<br />
[H 1895] Uber die Absorption des Lichtes in der Atmosphdre (Habilitationsschrift).<br />
Ber. liber die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss.<br />
zu Leipzig. Math.- phys. Classe 47 (1895), 401-482.<br />
[H 1896] Infinitesimale Abbildungen der Optik. Ber. liber die Verhandlungen<br />
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.- phys. Classe 48<br />
(1896), 79-130.<br />
[H 1897a] Das Risico bei Zufallsspielen. Ber. liber die Verhandlungen der<br />
Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.- phys. Classe 49 (1897),<br />
497-548.<br />
[H 1897b] (Paul Mongre) Sant' Ilario - Gedanken aus der Landschaft Zarathustras.<br />
Verlag C.G.Naumann, Leipzig. VIII + 379 S. Wiederabdruck<br />
des Gedichts „Der Dichter" und der Aphorismen 293, 309, 313, 324, 325,<br />
337, 340, 346, 349 in Der Zwiebelfisch 3 (1911), S.80 u. 88-90.<br />
[H 1897c] (Paul Mongre) Sant^ Ilario - Gedanken aus der Landschaft Zarathustras.<br />
Selbstanzeige. Die Zukunft, 20.11.1897, 361.<br />
[H 1898a] (Paul Mongre) Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer<br />
Versuch. Verlag C. G. Naumann, Leipzig. VI und 213 S.<br />
[H 1898b] (Paul Mongre) Massengliick und Einzelgliick. Neue Deutsche Rundschau<br />
(Preie Blihne) 9 (1), (1898), 64-75.<br />
[H 1898c] (Paul Mongre) Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau<br />
(Freie Blihne) 9 (5), (1898), 443-452.<br />
[H 1898d] (Paul Mongre) Stirner. Die Zeit 213, 29.10.1898, 69-72.<br />
XI
H 1899a] Analytische Beitrdge zur nichteuklidischen Geometrie. Ber. liber<br />
die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.phys.<br />
Classe 51 (1899), 161-214.<br />
H 1899b] (Paul Mongre) Tod und Wiederkunft. Neue Deutsche Rundschau<br />
(Preie Blihne) 10 (12), (1899), 1277-1289.<br />
H 1899c] (Paul Mongre) Das Chaos in kosmischer Auslese. Selbstanzeige.<br />
Die Zukunft 8 (5), (1899), 222-223.<br />
H 1900a] (Paul Mongre) Ekstasen. Gedichtband. Verlag H.Seemann Nachf.,<br />
Leipzig. 216 S.<br />
H 1900b] Zur Theorie der Systeme complexer Zahlen. Ber. iiber die Verhandlungen<br />
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Classe<br />
52 (1900), 43-61.<br />
H 1900c] (Paul Mongre) Nietzsches Wiederkunft des Gleichen. Die Zeit 292,<br />
5.5. 1900, 72-73.<br />
H 1900d] (Paul Mongre) Nietzsches Lehre von der Wiederkunft des Gleichen.<br />
Die Zeit 297, 9.6.1900, 150-152.<br />
H 1901a] Beitrdge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ber. iiber die Verhandlungen<br />
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Classe<br />
53 (1901), 152-178.<br />
H 1901b] Uber eine gewisse Art geordneter Mengen. Ber. iiber die Verhandlungen<br />
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Classe<br />
53 (1901), 460-475. Englische Ubersetzung in Plotkin, J. M. (Hrsg.):<br />
Hausdorff on Ordered Sets. American Mathematical Society, Providence<br />
(Rhode Island) 2005, 11-22.<br />
H 1902a] (Paul Mongre) Der Schleier der Maja. Neue Deutsche Rundschau<br />
(Preie Biihne) 13 (9), (1902), 985-996.<br />
H 1902b] (Paul Mongre) Der Wille zur Macht. Neue Deutsche Rundschau<br />
(Preie Biihne) 13 (12) (1902), 1334-1338.<br />
H 1902c] (Paul Mongre) Max Klingers Beethoven. Zeitschrift fiir bildende<br />
Kunst, Neue Folge 13 (1902), 183-189.<br />
H 1902d] (Paul Mongre) Offener Brief gegen G.Landauers Artikel 'Die Welt<br />
als ZeiV. Die Zukunft 10 (37), 14.6.1902, 441-445.<br />
H 1902e] W. Ostwald: Vorlesungen iiber Naturphilosophie(Besprech.u.ng).Zeitschrift<br />
fiir mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 33<br />
(1902), 190-193.<br />
XII
[H 1903a] Das Raumproblem (Antrittsvorlesung an der Universitat Leipzig,<br />
gehalten am 4.7.1903). Ostwalds Annalen der Naturphilosophie 3 (1903),<br />
1-23.<br />
[H 1903b] (Paul Mongre) Sprachkritik. Neue Deutsche Rundschau (Preie Biihne)<br />
14 (12), (1903), 1233-1258.<br />
[H 1903c] Christian Huygens' nachgelassene Abhandlungen: Uher die Bewegung<br />
der Korper durch den Stoss. Uher die Centrifugalkraft. Herausgegeben<br />
von FeHx Hausdorff. 79 Seiten, mit Anmerkungen Hausdorffs auf den<br />
Seiten 63-79. Verlag W.Engelmann, Leipzig 1903. Unveranderter Nachdruck:<br />
Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig, ohne Jahresangabe.<br />
[H 1903d] J. B. Stallo: Die Begriffe und Theorien der modernen Physik (Besprechung).<br />
Zeitschrift ftir mathematischen und naturwissenschafthchen<br />
Unterricht 34 (1903), 138-142.<br />
[H 1903e] W. Grossmann: Versicherungsmathem^atik {Besprech.ung).ZeitschY.<br />
fiir mathematischen und naturwissenschafthchen Unterricht 34 (1903),<br />
361.<br />
[H 1903f] M. Kitt: Grundlinien der politischen Arithmetik (Besprechung).<br />
Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschafthchen Unterricht<br />
34 (1903), 361.<br />
[H 1904a] Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Jahresbericht der DMV 13<br />
(1904), 569-571. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 31-33.<br />
[H 1904b] Eine neue Strahlengeometrie (Besprechung von E.Study: Geometrie<br />
der Dynamen). Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschafthchen<br />
Unterricht 35 (1904), 470-483.<br />
[H 1904c] (Paul Mongre) Gottes Schatten. Die neue Rundschau (Preie Btihne)<br />
15 (1), (1904), 122-124.<br />
[H 1904d] (Paul Mongre) Der Arzt seiner Ehre, Groteske. Die neue Rundschau<br />
(Preie Biihne) 15 (8), (1904), 989-1013. Neuherausgabe als: Der<br />
Arzt seiner Ehre. Komodie in einem Akt mit einem Epilog. Mit 7 Bildnissen,<br />
Holzschnitte von Hans Alexander Miiller nach Zeichnungen von<br />
Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. Fiinfte ordentliche Veroffentlichung des<br />
Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Neudruck: S.Pischer, Berlin<br />
1912, 88 S.<br />
[H 1904e] (Paul Mongre) Max Klinger, Beethoven. Begleittext zur Abbildung<br />
der Klingerschen Skulptur in: Meister der Farbe. Beispiele der gegenwdrtigen<br />
Kunst in Europa. Mit begleitenden Texten. E. A. Seemann, Leipzig<br />
1904, Abb. Nr. 4.<br />
XIII
H 1905] B.Russell, The principles of mathematics (Besprechung). Vierteljahresschrift<br />
fiir wissenschaftliche Philosophie und Sociologie 29 (1905),<br />
119-124.<br />
H 1906a] Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie.Ber.iihei<br />
die Verhandlungen der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.phys.<br />
Klasse 58 (1906), 19-48.<br />
H 1906b] Untersuchungen iiber Ordnungstypen /, //, ///. Ber. liber die Verhandlungen<br />
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys.<br />
Klasse 58 (1906), 106-169. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]),<br />
35-95.<br />
H 1907a] Untersuchungen iiber Ordnungstypen IV, V. Ber. iiber die Verhandlungen<br />
der Konigl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Klasse<br />
59 (1907), 84-159. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 97-171.<br />
H 1907b] fiber dichte Ordnungstypen. Jahresbericht der DMV 16 (1907),<br />
541-546. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 175-180.<br />
H 1908] Grundzilge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Annalen 65<br />
(1908), 435-505. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 197-258.<br />
H 1909a] Die Graduierung nach dem Endverlauf. Abhandlungen der Konigl.<br />
Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-phys. Klasse 31 (1909), 295-334.<br />
Engl. tJbers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 271-301.<br />
H 1909b] Zur Hilbertschen Losung des Waringschen Problems. Math. Annalen<br />
67 (1909), 301-305.<br />
H 1909c] (Paul Mongre) Strindbergs Blaubuch. Die neue Rundschau (Preie<br />
Biihne) 20 (6), (1909), 891-896.<br />
H 1910a] (Paul Mongre) Der Komet. Die neue Rundschau (Freie Biihne) 21<br />
(5), (1910), 708-712.<br />
H 1910b] (Paul Mongre) Andacht zum Leben. Die neue Rundschau (Freie<br />
Biihne) 21 (12), (1910), 1737-1741.<br />
H 1911] E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen<br />
(Besprechung). Jahresbericht der DMV 20 (1911), 2.Abteilung, IV Literarisches,<br />
1. b. Besprechungen, 92-97.<br />
H 1912] (Paul Mongre) Biologisches. Licht und Schatten 3 (1912/13), H.35<br />
(unpaginiert).<br />
H 1914a] Grundzilge der Mengenlehre. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit<br />
53 Figuren. Nachdrucke: Chelsea Pub. Co. 1949, 1955, 1965, 1978.<br />
XIV
[H 1914b] Bemerkung iiher den Inhalt von Punktmengen. Math. Annalen 75<br />
(1914), 428-433.<br />
* [H 1916] Die Mdchtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Annalen 77 (1916),<br />
430-437.<br />
[H 1917] Selbstanzeige von Grundzuge der Mengenlehre. Jahresber. der DMV<br />
25 (1917), Abt. Literarisches, 55-56.<br />
[H 1919a] Dimension und aufieres Mafi. Math. Annalen 79 (1919), 157-179.<br />
[H 1919b] Der Wertvorrat einer Bilinearform. Math. Zeitschrift 3 (1919),<br />
314-316.<br />
[H 1919c] Zur Verteilung der fortsetzbaren Potenzreihen. Math. Zeitschrift 4<br />
(1919), 98-103.<br />
[H 1919d] Uber halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung. Math.<br />
Zeitschrift 5 (1919), 292-309.<br />
[H 1921] Summationsmethoden und Momentfolgen I, II. Math. Zeitschrift 9<br />
(1921), I: 74-109, II: 280-299.<br />
[H 1923a] Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes uber Fourierreihen.<br />
Math. Zeitschrift 16 (1923), 163-169.<br />
[H 1923b] Momentprobleme fur ein endliches IntervalL Math. Zeitschrift 16<br />
(1923), 220-248.<br />
* [H 1924] Die Mengen Gs in vollstdndigen Rdumen. Pundamenta Mathematicae<br />
6 (1924), 146-148.<br />
[H 1925] Zum Holderschen Satz uber r{x). Math. Annalen 94 (1925), 244-<br />
247.<br />
* [H 1927a] Mengenlehre, zweite, neubearbeitete Auflage. Verlag Walter de<br />
Gruyter & Co., Berlin. 285 S. mit 12 Figuren. 1937 erschien in Moskau:<br />
F.Hausdorff: Teoria mnoshestvch (Mengentheorie). Kapitel 1 bis 4<br />
und 9 aus [H 1927a] sind wortlich iibersetzt, die restlichen Kapitel hat<br />
N. B. Vedenisoff unter Anleitung von Alexandroff und Kolmogoroff teilweise<br />
neu verfaBt.<br />
[H 1927b] Beweis eines Satzes von Arzela. Math. Zeitschrift 26 (1927), 135-<br />
137.<br />
[H 1927c] Lipschitzsche Zahlensysteme und Studysche Nablafunktionen. Journal<br />
fiir reine und angewandte Mathematik 158 (1927), 113-127.<br />
[H 1930a] Die Aquivalenz der Holderschen und Cesdroschen Grenzwerte negativer<br />
Ordnung. Math. Zeitschrift 31 (1930), 186-196.<br />
XV
* [H 1930b] Erweiterung einer Homoomorphie. Fundamenta Mathematicae 16<br />
(1930), 353-360.<br />
[H 1930c] Akrostichon zum 24.Februar 1930. In: Walter Tiemann (Hrsg.)i^er<br />
Verleger von morgen, wie wir ihn wunschen. Verlag der Freunde Kirsteins,<br />
Leipzig, 1930, S.9.<br />
[H 1931] Zur Theorie der linearen metrischen Rdume. Journal ftir reine und<br />
angewandte Mathematik 167 (1931/32), 294-311.<br />
[H 1932] Eduard Study. Worte am Sarge Eduard Studys, 9. Januar 1930. Chronik<br />
der Rheinischen Friedrich Wilhelms-Universitat zu Bonn ftir das akademische<br />
Jahr 1929/30. Bonner Universitats-Buchdruckerei Gebr. Scheur,<br />
Bonn 1932.<br />
* [H 1933a] Zur Projektivitdt der 6s-Funktionen. Fundamenta Mathematicae<br />
20 (1933), 100-104.<br />
* [H 1933b] Problem 58. Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 286.<br />
* [H 1934] Uher innere Abbildungen. Fundamenta Mathematicae 23 (1934), 279-<br />
291.<br />
* [H 1935a] Mengenlehre, dritte Auflage. Mit einem zusatzlichen Kapitel und<br />
einigen Nachtragen. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 S. mit 12<br />
Figuren. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englische Ausgabe: Set<br />
theory. Ubersetzung aus dem Deutschen von J.R.Aumann et al. Chelsea<br />
Pub. Co., New York 1957, 1962, 1978, 1991.<br />
* [H 1935b] Gestufte Rdume. Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 486-502.<br />
* [H 1935c] Problem 62. Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 578.<br />
* [H 1936a] ijber zwei Sdtze von G.Fichtenholz und L.Kantorovitch. Studia Mathematica<br />
6 (1936), 18-19.<br />
[H 1936b] Summen von "RiMengen. Fundamenta Mathematicae 26 (1936),<br />
241-255. Engl. Ubers. in Plotkin, a. a. O. (s. [H 1901b]), 305-316.<br />
* [H 1937] Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums. Fundamenta Mathematicae<br />
29 (1937), 151-158.<br />
* [H 1938] Erweiterung einer stetigen Abbildung. Fundamenta Mathematicae<br />
30 (1938), 40-47.<br />
[H 1969] Nachgelassene Schriften. 2 Bande. Ed.: G. BERGMANN, Teubner,<br />
Stuttgart 1969. Band I enthalt aus dem Nachlafi die Faszikel 510-543,<br />
545-559, 561-577, Band II die Faszikel 578-584, 598-658 (alle Faszikel<br />
sind im Faksimiledruck wiedergegeben).<br />
XVI
Korrespondenzen zwischen Hausdorffs Bezeichnungen<br />
und der modernen Notation<br />
AUgemeine Mengenlehre<br />
HAUSDORFF<br />
0<br />
a; = {l,2,...}<br />
X-Y<br />
8<br />
8<br />
C<br />
c<br />
X + Y<br />
X + Y<br />
XY<br />
6<br />
D<br />
E<br />
K<br />
Q<br />
X<br />
(B^x)<br />
X<br />
{X,Y)<br />
heutige Bez.<br />
0<br />
N = {0,1,2,...}<br />
€<br />
^<br />
C<br />
c,S<br />
X \ y, y"^<br />
XUY<br />
xnY<br />
U<br />
n<br />
c<br />
UJl<br />
{x : ^(x)}<br />
{x : ^{x)}<br />
X xY<br />
Bedeutung<br />
leere Menge<br />
Menge der natiirlichen Zahlen<br />
Element von<br />
nicht Element von<br />
Teilmenge<br />
echte Teilmenge^<br />
Komplementarmenge (bzgl. X)<br />
Vereinigungsmenge<br />
disjunkte Vereinigungsmenge<br />
Schnittmenge<br />
Vereinigung von Mengenfamilien<br />
Durchschnitt von Mengenfamilien<br />
disj. Vereinigung von Mengenfamilien<br />
2^°, Kardinalitat des Kontinuums<br />
erste liberabzahlbare Ordinalzahl<br />
Menge aller x, fiir die $(x) gilt<br />
Menge aller x, fiir die ^(x) gilt<br />
Cartesisches Produkt<br />
^ HAUSDORFF verwendet oft C im Sinne von C und nicht im Sinne von ^, Die moderne<br />
Notation benutzt C fiir die echte Inklusion.<br />
XVII
Deskriptive Mengenlehre<br />
HAUSDORFF<br />
Menge 1. Kategorie<br />
Menge 2. Kategorie<br />
G/j-Raum<br />
F//-Raum<br />
-^a<br />
F^G<br />
Fa, Gs<br />
reduzible Mengen<br />
additive Klasse ^<br />
multiplikative<br />
Klasse ^<br />
F«<br />
G^<br />
Borelmengen<br />
Suslinmengen<br />
heutige Bez.<br />
magere Menge<br />
nicht-magere Menge<br />
Baire-Raum<br />
vollst. Bairescher Raum<br />
X<br />
n?,E?<br />
5:§,n§<br />
A^<br />
f ^1+c ' ^ ungerade<br />
\ n?+^ , ^ gerade<br />
f Il5_^^ , ^ ungerade<br />
\ 5]?+^ , ^ gerade<br />
Al<br />
5:1<br />
XVIII<br />
Bedeutung |<br />
abzahlbare Vereinigung<br />
von nirgends dichten<br />
Mengen<br />
topol. AbschluBvon X<br />
abgeschl., offene Mengen<br />
Mengen Fa , G6<br />
sowohl F(7 als auch Gs<br />
Borel-Klassen<br />
Borel-Klassen<br />
Borel-Klassen<br />
Borel-Klassen<br />
Borelmengen<br />
analytische Mengen
Inhaltsverzeichnis<br />
Teil I. Mengenlehre (1927, 1935)<br />
Mengenlehre - Historische Einfiihrung 1<br />
Felix Hausdorff: Mengenlehre 41<br />
Anmerkungen der Herausgeber 352<br />
Anmerkungen HausdorfFs zu Mengenlehre 399<br />
Rezensionen 409<br />
Teil II. Veroffentlichte Arbeiten<br />
Die Machtigkeit der Borelschen Mengen 429<br />
Die Mengen Gs in voUstandigen Raumen 443<br />
Erweiterung einer Homoomorphie 455<br />
Zur Projektivitat der ^s-Funktionen 471<br />
Problem 58 (in Fundamenta Mathematicae) 479<br />
Uber innere Abbildungen 483<br />
Gestufte Raume 503<br />
Problem 62 (in Fundamenta Mathematicae) 525<br />
Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L. Kantorovitch 529<br />
Die schlichten stetigen Bilder des NuUraums 539<br />
Erweiterung einer stetigen Abbildung 555<br />
XIX
Teil III. Aus dem Nachlafi zur deskriptiven Mengenlehre<br />
1. Js-Operationen 570<br />
[Topologische Invarianz von Mengenklassen] 570<br />
[Projektivitat der (5s-Funktionen] 574<br />
Positiv analytische Funktionen 578<br />
[Js-Funktionen] 580<br />
Abkiirzung der Existenzbeweise, Mengenl. § 33 582<br />
2. Mengensysteme, Borelmengen, Trennbarkeit 588<br />
Borelsche Mengen 588<br />
[Verallgemeinerung der reduziblen Mengen] 590<br />
[Spezielle Mengen im Baireschen Nullraum] 591<br />
[Konstruktion verschiedener Mengenkorper, Trennung] 592<br />
Trennungseigenschaften 598<br />
[Trennungseigenschaften II] 602<br />
[Trennungseigenschaften III] 604<br />
Uber ]\mAn 609<br />
Uber lim fn und lim fn (Mengenl. § 41) 613<br />
3. Borelsche Funktionen 626<br />
Erweiterung Borelscher Funktionen 626<br />
Borelsche Funktionen 631<br />
Die Borelschen Mengen und der Nullraum 641<br />
4. Reduzible Mengen und Differenzenketten 654<br />
[Reduzible Mengen] 654<br />
Reduzible Mengen 657<br />
[Verallgemeinerung der reduziblen Mengen] 660<br />
5. Suslinmengen, Indizes, Trennbarkeit 675<br />
Trennbarkeit durch Suslinkomplemente 675<br />
[Trennungseigenschaften II - Teil 2] 684<br />
Indizes 687<br />
Theorie der Indizes 690<br />
XX
Analytische Zerlegung eines Raumes X 692<br />
Hurewicz 695<br />
[Existenz nichttrivialer Gss und andere Probleme] 701<br />
6. Varia 715<br />
[Suslinsche Funktionen] 715<br />
[Die Menge der Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch stetigen<br />
Funktion] 717<br />
[Fcr-Mengen erster Kategorie] 720<br />
Geometrisierung der Ordnungszahlen 727<br />
Ein Satz von G. Kurepa 729<br />
Zu meiner Arbeit: tJber zwei Satze von Kantorovitch und<br />
Fichtenholz 731<br />
Teil IV. Aus dem Nachlafi zur Topologie<br />
L-Raume als Unterrraume eines topologischen Raumes 740<br />
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des NuUraums 742<br />
[Charakterisierung der verdichteten F^+^] 745<br />
Metrische und topologische Raume 750<br />
[Metrisierung kompakter und normaler Raume] 755<br />
Der metrische separable Universalraum 762<br />
Raume £* 770<br />
Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der Topologie 778<br />
Operationen mit topologischen Raumen 787<br />
[Topologisierung des Urbildes eines topologischen Raumes] 795<br />
G. Aumann, Beitrage zur Theorie der Zerlegungsraume 796<br />
Hausdorffs Studien fiber Kurven, Bogen und Peano-Kontinua 798<br />
Verscharfung des lokalen Zusammenhangs 826<br />
Beweis des Satzes von M. Torhorst 832<br />
Ein Satz von R. L. Moore 835<br />
XXI
[Offene Bilder abgeschlossener Intervalle] 836<br />
[Peanosche Kontinua, der Jordansche Kurvensatz] 836<br />
Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie 840<br />
Analysis situs 854<br />
Zum ,^flastersatz" 856<br />
Schwach n-dimensionale Mengen 858<br />
Zur Dimensionentheorie 862<br />
Hausdorffs Blick auf die entstehende algebraische Topologie 865<br />
Einfiihrung in die kombinatorische Topologie (Vorlesung, Bonn,<br />
Sommersemester 1933) 893<br />
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen 954<br />
Euklidische Komplexe 977<br />
Personenregister 981<br />
Sachregister 989<br />
XXII
Inhalt:<br />
Mengenlehre - Historische Einfiihrung<br />
V.Kanovei (Abschn.5), W.Purkert (Abschn. 1, 2, 3, 4, 6)^<br />
1. Einleitung<br />
2. Die Entstehung des Buches Mengenlehre<br />
3. Der Ubergang von den topologischen Raumen zur spezielleren<br />
Theorie der metrischen Raume<br />
4. Zur Rezeption der Mengenlehre<br />
5. Hausdorff und Lusin<br />
6. Die Neuauflage von 1935. Ubersetzungen<br />
1. Einleitung<br />
1927 erschien im Verlag Walter de Gruyter FELIX HAUSDORFFS Buch Mengenlehre.<br />
Es war als ,^weite, neubearbeitete Auflage" der Grundziige der Mengenlehre<br />
deklariert, in Wahrheit aber ein voUkommen neues Buch. Wegen der vom<br />
Verlag verlangten Beschrankung der Seitenzahl der neuen Ausgabe auf etwa<br />
60 % des Umfangs der Grundziige^ waren drastische Kiirzungen notig geworden.<br />
So liefi HAUSDORFF aus dem in den Grundziigen behandelten Stoff die Mafiund<br />
Integrationstheorie, grofie Teile der Theorie der geordneten Mengen sowie<br />
die Ausfiihrungen iiber eukhdische Raume weg. Die wohl einschneidendste Anderung<br />
gegeniiber den Grundziigen bestand darin, dafi HAUSDORFF die dort<br />
von ihm selbst entwickelte Theorie der topologischen Raume in der Neuausgabe<br />
fast voUstandig verliefi und die Punktmengentheorie auf metrische Raume<br />
beschrankte.<br />
Andererseits war HAUSDORFF natiirhch bestrebt, wichtige seit dem Erscheinen<br />
der Grundziige erzielte Fortschritte auf dem Gebiet der Mengenlehre in<br />
sein neues Buch aufzunehmen. Solche Fortschritte gab es vor allem in zwei<br />
Bereichen:<br />
^Ein herzlicher Dank geht an Herrn Egbert Brieskorn fiir zahlreiche wertvolle Hinweise.<br />
^Naheres dazu im Abschnitt 2 dieser Einfiihrung.
1.) Die Untersuchungen zur Grundlegung der Mengenlehre hatten zu einer weithin<br />
akzeptierten vervollstandigten Version der ZERMELOschen Axiomatik gefiihrt<br />
(A. FRAENKEL, TH. SKOLEM).<br />
2.) Es hatte einen betrachtlichen Ausbau des Gebietes gegeben, das man heute<br />
als deskriptive Mengenlehre bezeichnet (ALEXANDROFF, HAUSDORFF, LUSIN,<br />
SusLiN, SIERPINSKI, KURATOWSKI U. a.).<br />
Die Problematik der axiomatischen Grundlegung der Mengenlehre lag HAUS<br />
DORFF nicht besonders am Herzen - er iiberliefi diese Arbeit gerne anderen und<br />
konnte sich durch das Erscheinen von FRAENKELS Biichern [Pr 1923] und [Fr<br />
1927] im Hinblick auf das eigene Werk entlastet fiihlen.^<br />
Ganz anders lagen die Dinge bei der deskriptiven Mengenlehre. HAUSDORFF<br />
bemiihte sich, alle auf diesem Gebiet erzielten Fortschritte, insbesondere die der<br />
russischen Schule um LusiN, in sein Buch einzuarbeiten. Die grofie Resonanz<br />
auf HAUSDORFFS Mengenlehre beruhte zu einem wesentlichen Teil darauf, daft<br />
hier erstmals eine monographische Darstellung des damals aktuellen Standes<br />
der deskriptiven Mengenlehre gegeben wurde. Diese Tatsache mag es rechtfertigen,<br />
dafi im folgenden der genaueren Analyse der Entstehung und Wirkung des<br />
HAUSDORFFschen Buches ein kurzer Abrifi der Entwicklung der deskriptiven<br />
Mengenlehre bis zum Jahre 1916 vorangestellt wird. In diesem Jahr publizierte<br />
HAUSDORFF seinen bedeutendsten Beitrag zur deskriptiven Mengenlehre,<br />
die Losung des Kontinuumproblems fiir Borelmengen"^ ([H 1916]); gleichzeitig<br />
und unabhangig von HAUSDORFF erzielte ALEXANDROFF das gleiche Ergebnis<br />
([Al 1916]). Im Jahr danach begann mit der Entdeckung der analytischen Mengen^<br />
durch LusiNs Schiiler M. SUSLIN eine neue Etappe in der Entwicklung<br />
der deskriptiven Mengenlehre, welche vor allem durch die russische Schule um<br />
LusiN und die polnische Schule um SIERPINSKI gepragt wurde. Diese Etappe<br />
ist im Abschnitt 5. dieser Einfiihrung, in den Kommentaren zu HAUSDORFFS<br />
Mengenlehre und in den Kommentaren zu seinen zahlreichen nachgelassenen<br />
Papieren zur deskriptiven Mengenlehre eingehend behandelt, so daft wir in dem<br />
^In einer Postkarte HAUSDORFFS an FRAENKEL vom 9.6.1924 heiftt es dazu: „Fur die<br />
freundliche Dedication der 2. Auflage Ihrer „Einleitung i. d. Mengenlehre" sage ich Ihnen<br />
herzlichen Dank, zugleich mit bestem Gliickwunsch zu dem buchhandlerischen Erfolg Hires<br />
Werkes. Sie haben mir fiir die 2.Aufl. meines Buches (die ich ganzlich neu bearbeiten<br />
will) einen grossen Dienst geleistet, insofern ich fiir verschiedene wichtige Dinge, die mir<br />
nicht liegen, auf Ihre ausgezeichnete Darstellung verweisen kann, z. B. fiir die Axiomatik (in<br />
der Sie einen wesentlichen Fortschritt iiber Zermelo hinaus erzielt haben betr. das Axiom der<br />
Aussonderung) und fiir die Behandlung der Antinomien." NL FRAENKEL, Abraham Halevi<br />
Fraenkel Archive (Arc. 4* 1621), Jewish National and University Library, Jerusalem.<br />
^Das System der Borelmengen eines metrischen Raumes ist das kleinste Mengensystem,<br />
welches die offenen Mengen enthalt und welches gegeniiber Komplementbildung und der<br />
Bildung abzahlbarer Vereinigungen abgeschlossen ist. Es kann durch transfinite Rekursion<br />
der Lange c
folgenden historischen Uberblick darauf nicht einzugehen brauchen.<br />
In einer modernen Darstellung der klassischen deskriptiven Mengenlehre ([Ke<br />
1995]) wird das Gebiet folgendermafien umschrieben:<br />
Descriptive set theory is the study of „definable sets"in Polish (i.e.,<br />
separable completely metrizable) spaces. In this theory, sets are classified<br />
in hierarchies, according to the complexity of their definitions, and the<br />
structure of the sets in each level of these hierarchies is systematically<br />
analyzed.^<br />
Zu diesem „klassischen" Teil kamen ab den 30-er Jahren logische und metamathematische<br />
Untersuchungen hinzu sowie die Erforschung der engen Beziehungen<br />
zur Theorie der rekursiven Funktionen (Entstehung der „efFektiven deskriptiven<br />
Mengenlehre") 7 Die deskriptive Mengenlehre hat mittlerweile Anwendungen<br />
in zahlreichen Zweigen der Mathematik gefunden, z. B. in der Mafitheorie,<br />
Wahrscheinlichkeitstheorie, Topologie, Funktionalanalysis, harmonischen Analyse,<br />
Limitierungstheorie, Potentialtheorie, Ergodentheorie, Darstellungstheorie<br />
Liescher Gruppen, Kombinatorik und mathematischen Logik.^<br />
Die deskriptive Mengenlehre hat wie die allgemeine Mengenlehre ihren Ausgangspunkt<br />
in CANTORS Untersuchungen iiber die Eindeutigkeit der trigonometrischen<br />
Entwicklung ([Ca 1872]). CANTOR hatte 1870 bewiesen, daft aus<br />
oo<br />
-—+ \^(a^ cosnx + 6yj sinnx) = 0 (1)<br />
n=l<br />
fiir alle x e (—TT, TT] folgt, dafi ak — 0, bk = 0\/k ist. 1871 zeigte er, daft dieser<br />
Satz bestehen bleibt, wenn die Reihe in endlich vielen Punkten nicht konvergiert<br />
oder die Null nicht darstellt. Entscheidend fiir die weitere Entwicklung war<br />
CANTORS Frage nach der Existenz unendlicher Eindeutigkeitsmengen; dabei<br />
heiftt P eine Eindeutigkeitsmenge, wenn aus der Giiltigkeit von (1) fiir alle x G<br />
(-TT, 7T]\P folgt, daft a/c = 0, 6fc == 0 V/c ist. 1872 konnte CANTOR zeigen, daft<br />
es unendliche Eindeutigkeitsmengen gibt. Um sie zu charakterisieren, fiihrte er<br />
den Begriff der Ableitung eine Punktmenge ein: Fiir P C R ist die Ableitung P'<br />
die Menge aller Haufungspunkte von P. Der Prozeft des Ableitens kann iteriert<br />
werden: p(^+i) = [pMy^ Die mengentheoretische Operation des abzahlbaren<br />
Durchschnitts und weiteres sukzessives Ableiten fiihrten CANTOR auf die Idee<br />
des „Zahlens iiber das Unendliche hinaus", auf die transfiniten Ordinalzahlen:<br />
oo ^<br />
PI p{n) ^. pico)^ (P^'^A =: p('^+l), usw.<br />
Fiir den Aufbau einer allgemeinen Mengenlehre muftte es nur noch gelingen,<br />
diese neuen „Zahlen"a;,a; + 1,... unabhangig vom Begriff der Ableitungsordnung<br />
von Punktmengen zu definieren; dies erreichte CANTOR 1883 mittels des<br />
6[Ke 1995], S.XV.<br />
"^S. dazu das Buch von Y. N. MOSCHOVAKIS [MOS 1980].<br />
^Literaturhinweise zu zahlreichen Anwendungen findet man bei KECHRIS [Ke 1995], S. 347.
Begriffs der Wohlordnung. Die transfiniten Ordinalzahlen sind fiir die deskriptive<br />
Mengenlehre, insbesondere fiir die Untersuchung hoherer Punktklassen, ein<br />
unverzichtbares Instrumentarium.<br />
Die 1872 von CANTOR gefundenen unendlichen Eindeutigkeitsmengen sind<br />
gewisserma£en ,^agere" Mengen: P ist Eindeutigkeitsmenge, falls P^^^ = 0 ist<br />
fiir eine natiirliche Zahl n ([Ca 1872]). Die Eindeutigkeitsmengen sind bis heute<br />
ein intensiv bearbeitetes Forschungsgebiet geblieben; die moderne deskriptive<br />
Mengenlehre hat dazu wesenthche Beitrage leisten konnen.^<br />
Mittels der Ableitung einer Punktmenge konnte CANTOR topologisch „einfache"<br />
Mengen definieren: P heiftt abgeschlossen, falls P' C P, P heifet insichdicht,<br />
falls P Q P'] eine abgeschlossene insichdichte Menge heifit perfekt. Die<br />
Komplemente abgeschlossener Mengen sind die offenen Mengen; diese kommen<br />
bei CANTOR allerdings nur implizit vor. Die abgeschlossenen bzw. die offenen<br />
Mengen sind das Ausgangsmaterial fiir die im obigen Zitat erwahnten Hierarchien.<br />
Fiir die abgeschlossenen Mengen konnte CANTOR einen Struktursatz<br />
beweisen, der die Frage der Machtigkeit klart: Ist P abgeschlossen, so gilt<br />
P = P U 5, P n 5 = 0 (2)<br />
mit hochstens abzahlbarem R und perfektem S (Satz von CANTOR-BENDIXSON).<br />
Da eine nichtleere perfekte Menge die Machtigkeit des Kontinuums hat, folgt<br />
aus dem Satz von CANTOR-BENDIXSON die Giiltigkeit der CANTORschen Kontinuumhypothese<br />
fiir abgeschlossene Mengen von R: Jede abgeschlossene unendliche<br />
Menge ist entweder abzahlbar oder sie hat die Machtigkeit des Kontinuums.<br />
CANTOR hoffte, dafi man durch Ausdehnung von (2) auf beliebige<br />
Teilmengen P C R die Kontinuumhypothese wird allgemein beweisen konnen.<br />
Dies kann nicht gelingen, wie wir heute wissen. Die erfolgreichen Bemiihungen<br />
von YOUNG, HAUSDORFF, ALEXANDROFF und SUSLIN, den Satz von CANTOR-<br />
BENDIXSON auf wesentlich allgemeinere Mengenklassen als die abgeschlossenen<br />
Mengen auszudehnen, haben jedoch der Entwicklung der deskriptiven Mengenlehre<br />
wichtige Impulse verliehen.<br />
Die erste Monographic, die voUstandig der deskriptiven Mengenlehre gewidmet<br />
war, LusiNs Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications ([Lu<br />
1930a]), enthalt nach einem Preface von LEBESGUE ein Avertissement des Autors,<br />
welches folgendermafien beginnt:<br />
Les questions traitees dans cet Ouvrage appaxtiennent a la theorie descriptive<br />
des fonctions dont MM. Borel, Baire et Lebesgue sont les fondateurs.^°<br />
Die deskriptive Funktionentheorie, von der LusiN hier spricht, war nicht zuletzt<br />
aus philosophischen Erwagungen heraus entstanden, aus Erwagungen, die das<br />
Problem der Existenz mathematischer Gegenstande betrafen. Die im Hinblick<br />
darauf zentrale Frage hatte LEBESGUE in einem Brief an BOREL folgendermafien<br />
formuliert:<br />
^S. dazu das Buch [KeLou 1989] und [KeLou 1992].<br />
iO[Lu 1930a], S.XIII.
Peut-on demontrer Vexistence d'un etre mathematique sans le definir?^^<br />
Die Antwort, die er unmittelbar anschloft, formulierte eine Ansicht, die auch von<br />
BAIRE und BOREL vom Beginn ihrer wissenschaftlichen Tatigkeit an vertreten<br />
worden war:<br />
C'est evidemment une affaire de convention; mais je crois qu'on ne pent<br />
batir solidement qu'en admettant qu'on ne demontre Vexistence d'un etre<br />
qu'en le definissant}^<br />
Was unter „definierbar" zu verstehen ist, hat LEBESGUE im selben Jahr so beschrieben:<br />
Un objet est defini ou donne quand on a prononce un nombre fini de<br />
mots s'appliquant a cet objet et a celui-la seulement; c'est-a-dire quand<br />
on a nomme une propriete caxacteristique de I'objet.^^<br />
Dies ist in der Tat etwas vage und wiirde zur Prazisierung einer formalen Sprache<br />
bediirfen. Versuche einer solchen Prazisierung haben BAIRE, BOREL und<br />
LEBESGUE nicht unternommen; fiir sie muftten sich die mathematischen Objekte<br />
durch gewisse akzeptierte Prozeduren „beschreiben" (decrire) lassen. Jedenfalls<br />
gehorten CANTORS Theorie beliebiger Mengen beliebig grower Machtigkeit,<br />
beliebige Funktionen im Sinne DIRICHLETS und beliebige Auswahlen in ZERME-<br />
LOs Beweis des Wohlordnungssatzes nicht zum Bereich des „Beschreibbaren".^^<br />
Die Herausbildung der franzosischen Schule der „deskriptiven Funktionentheorie"<br />
kann auch als Beginn der „deskriptiven Mengenlehre" als eines eigenstandigen<br />
Teilgebietes der Mathematik betrachtet werden.^^ Am Anfang dieser<br />
Entwicklung stand BORELs Monographic Legons sur la theorie des fonctions<br />
([Bo 1898]), das erste Buch, welches in grofierem Umfang Ideen der Mengenlehre<br />
in Prankreich verbreitete.^^ CANTORS Sch5pfungen werden dort im Haupttext<br />
aber nur so weit in Betracht gezogen, als es fiir die Theorie der reellen Funktionen<br />
erf order lich erscheint. So heifit es nach Einfiihrung des Machtigkeitsbegriffes<br />
mit Blick auf die BegriflPe „abzahlbar" und „von Kontinuumsmachtigkeit":<br />
Ces notions nous suffiront pour les applications que nous avons en vue.^^<br />
Fiir Mafitheorie und deskriptive Mengenlehre besonders bedeutsam war die<br />
Einfiihrung der „ensembles mesurables", jener Mengenklasse, die HAUSDORFF<br />
ii[BBHL 1905], S.265.<br />
i2Ebd.<br />
i3[Le 1905], S.205.<br />
^^Sehr eingehend werden die Ansichten der „franz6sischen Halbintuitionisten" BAIRE, BO<br />
REL und LEBESGUE bei MOORE behandelt ([Mo 1982], S.92 fF.). MOORE arbeitet auch im<br />
einzelnen heraus, daft sie in ihren eigenen Arbeit en ihre strikte Ablehnung des Auswahlaxioms<br />
nicht durchhalten konnten: eine Reihe von Satzen in diesen Arbeiten benotigen das<br />
Auswahlaxiom, zumindest seine abzahlbare Version.<br />
i^S.dazu auch Band II dieser Edition, S. 774-777.<br />
^^Naheres dazu im Band II dieser Edition; S. 22-23.<br />
^^[Bo 1898], S.20. Nur in erganzenden Noten am Schluft des Buches werden beliebige<br />
Machtigkeiten und die transfiniten Ordinalzahlen erwahnt.
spater in den Grundzugen Borelsche Mengen nannte. Ein Intervall / = (a, h)<br />
ist mefibar und soil das Mafi ii{I) — h — a haben. Sind E^ E' mefibar und ist<br />
E' C E, so soil auch E\E' mefibar sein mit ii{E \ E') = fi{E) - ^i{E'). Sind<br />
{E^}ieN mefebar und paarweise disjunkt, so ist auch E = U^^ mefibar und es<br />
gilt<br />
(<br />
oo \ oo<br />
\jEA=Y,ti{Ei).<br />
Die meSbaren Mengen sind dann etwas vage so definiert:<br />
Les ensembles dont on pent definir la mesure en vertu des definitions<br />
precedentes seront dits par nous ensembles mesurables, [• • -J^^<br />
Sie entstehen also aus den Intervallen durch die sukzessive angewandten Operationen<br />
der Komplementbildung und der abzahlbaren disjunkten Vereinigung.<br />
Die Schritte in diesem Prozefi fiihren, ausgehend von den offenen Intervallen,<br />
zu den Mengenklassen der Borelschen Hierarchie; bei BOREL selbst kann man<br />
von dieser Hierarchie bestenfalls etwas ahnen.<br />
Am Beginn von BAIRES Dissertation [B 1899] stand der Zweifel, ob ein so<br />
allgemeiner Funktionsbegriff wie der von DiRiCHLET akzeptiert werden kann;<br />
im Hinblick auf die DiRlCHLETsche Definition heifit es bei BAIRE:<br />
On ne s'occupe pas, dans cette definition, de rechercher pax quels moyens<br />
la correspondance pent etre efFectivement etablie; on ne cherche meme<br />
pas s'il est possible de I'^tablir.^^<br />
Er selbst stellte sich das Ziel, Funktionenklassen abzugrenzen, die durch allgemein<br />
akzeptierte analytische Methoden erzeugt werden konnen. Das wichtigste<br />
Ergebnis in dieser Hinsicht war die Einfiihrung der nach ihm benannten<br />
Funktionen: Die Baireschen Funktionen / : M^ -^ R bilden die kleinste Funktionenklasse,<br />
die alle stetigen Funktionen enthalt und abgeschlossen unter der<br />
Bildung punktweiser Limit es ist. BAIRE definiert sie induktiv: KQ sei die Klasse<br />
der stetigen Funktionen. Fiir eine Ordinalzahl £, < oJi ist / G K^, falls<br />
f{x) = lim fk{x) ist mit fk e K^^, ^k < C<br />
k^ oo<br />
und / fiir kein fi < ^ bereits in K^ liegt. Die Funktionenklassen K^ bilden die<br />
sogenannte Bairesche Hierarchie. BAIRE untersuchte insbesondere die Klassen<br />
Ki und K2', z. B. gab er notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir an,<br />
dafi f E Ki ist.^^ Mit der Unterscheidung von Mengen erster und zweiter Kategorie<br />
schuf er ein wichtiges Instrument fiir die Untersuchung von Punktmengen.<br />
Eine Synthese und inhaltliche Weiterentwicklung der Ideen von BAIRE und<br />
BOREL erreichte LEBESGUE in seinem umfangreichen Aufsatz Sur les fonctions<br />
representables analytiquement ([Le 1905]). Verschiedene Autoren haben diese<br />
Arbeit sogar als den Beginn der deskriptiven Mengenlehre betrachtet. So heifit<br />
es in der Topologie von ALEXANDROFF/HOPF:<br />
i^[Bo 1898], S.48.<br />
1Q[B 1899], S.l.<br />
20 Satz VIII, S. 255 in HAUSDORFFS Mengenlehre.
Die deskriptive Mengenlehre wurde (anschlie£end an BAIRES Arbeiten<br />
iiber unstetige Funktionen) von LEBESGUE 1905 begriindet.^^<br />
LEBESGUE betrachtete Funktionen f : W^ ^ R. Die Klasse der fonctions representables<br />
analytiquement ist die kleinste Klasse, die alle Konstanten und<br />
die Projektionen /^(xi,... ,Xn) = Xi enthalt und die abgeschlossen ist unter<br />
Summen-, Produkt- und punktweiser Limesbildung. Mittels der Lebesgueschen<br />
Mengen {x;a < f{x) < b} bzw. {x;a < f{x) < b} kann jeder Klasse von<br />
Funktionen eine Mengenklasse zugeordnet werden. Umgekehrt kann man auch<br />
von einer Mengenklasse ausgehen, z. B. von den Borelmengen: Eine Funktion<br />
f{x) hei£t Borel-mefibar (fonctions mesurables (B)), wenn ihre Lebesgueschen<br />
Mengen samtlich Borelsche Mengen sind. LEBESGUE konnte zeigen, dafi die<br />
Klasse der Baireschen Funktionen mit der Klasse der Borel-mefibaren Funktionen<br />
zusammenfallt und diese wiederum fallt mit der Klasse der analytisch<br />
reprasentierbaren Funktionen zusammen. Ferner entsprechen sich Schritt fiir<br />
Schritt die Borelsche und die Bairesche Hierarchie.<br />
LEBESGUE bewies die Existenz von Funktionen jeder Baireschen Klasse K^,<br />
ferner auch die Existenz von Funktionen, die keiner Baireschen Klasse angehoren.<br />
Den Beweis fiir letztere Behauptung konnte man sehr einfach in Analogic<br />
zu CANTORS Beweis der Existenz transzendenter Zahlen fiihren: Die Menge<br />
der Baireschen Funktionen hat die Machtigkeit b^, die aller reellen Funktionen<br />
die Machtigkeit H^ > b^, also gibt es reelle Funktionen, die keine Baireschen<br />
Funktionen sind. Ein solcher Beweis ware allerdings mit LEBESGUES philosophischen<br />
Ansichten nicht vereinbar gewesen. Er konstruierte auf [0,1] x [0,1] eine<br />
Universalfunktion (p{x,t) fiir die Klasse aller Baireschen Funktionen in einer<br />
Variablen, d. h. zu jeder Baireschen Funktion g{x) auf [0,1] existiert eine reelle<br />
Zahl tg G [0,1] mit (f{x,tg) = g{x). (p{x^t) ist keine Bairesche Funktion (zweier<br />
Variablen), denn sie kann offenbar keiner Klasse K^ mit ^ < coi angehoren.<br />
(^(x, t) ist aber „definierbar" im LEBESGUEschen Sinne.<br />
LEBESGUE zeigte auch, dafi die nach heutiger Terminologie Lebesgue-mefibaren<br />
Funktionen und Mengen umfangreichere Klassen liefern als die Baireschen<br />
Funktionen und die Borelschen Mengen, d. h. 1.) Es existieren L-mefibare Funktionen,<br />
die nicht analytisch reprasentierbar sind; 2.) Es existieren L-mefibare<br />
Mengen, die keine Borelmengen sind. Diese Funktionen und Mengen sind aber<br />
„definierbar".<br />
Dies war in etwa der Stand der Theorie, den HAUSDORFF vorfand, als er an<br />
die Erarbeitung der Grundzuge der Mengenlehre ging. Von den philosophisch<br />
motivierten Einschrankungen, die sich die franzosischen Forscher auferlegt hatten,<br />
grenzte sich HAUSDORFF in den Grundziigen deutlich ab. Nach der Erwahnung<br />
der Antinomien und der ZERMELOschen Bemiihungen, sich dagegen<br />
durch eine geeignete axiomatische Grundlegung der Mengenlehre abzusichern,<br />
schreibt er, offenbar im Hinblick auf die franzosische Debatte (insbesondere in<br />
[BBHL 1905]):<br />
21 [AH 1935], S.21. In einer Fuftnote wird an dieser Stelle auf [Le 1905] verwiesen. Y. N<br />
MoscHOVAKis bemerkt zu LEBESGUES Arbeit: „This beautiful and seminal paper truly started<br />
the subject of descriptive set theory." ([Mos 1980], S.XIII).
Hierher gehort auch die vielumstrittene Prage, unter welchen Bedingungen<br />
ein mathematisches Objekt, etwa eine Zahl, eine Menge, eine Punktion<br />
als „definiert" anzusehen sei (die Prage nach der Definition einer<br />
„Definition"). Wir folgen der freien AufFassung CANTORS (Punktmengen<br />
III^^) und verlangen nicht, da£ die logische Disjunktion, ob ein Ding<br />
einer Menge angehort oder nicht, mit unseren aktuellen Mitt ein wirklich<br />
entschieden werden konne. Eine reelle Zahl ist entweder algebraisch<br />
oder transzendent, und damit ist die Menge der transzendenten Zahlen<br />
„wohldefiniert", obgleich man zur Zeit der ebengenannten CANTORschen<br />
Abhandlung noch nicht wu£te, da£ IT ZU ihr gehort [•••]. Die Punktion<br />
/(x), die fiir rationales x gleich 1 und fiir irrationales gleich 0 ist, ist<br />
wohldefiniert, obgleich wir die Werte /(2^), /(2^), /(TT^) USW. nicht kennen.<br />
Dieser MengenbegrifF und dieser (DiRiCHLETsche) Punktionenbegriff<br />
bindet sich weder an „Kriterien, die nur eine endliche Anzahl von Versuchen<br />
erfordern", noch an „analytische Daxstellungen" u. dgl. Bekanntlich<br />
ist die gegenteilige, allerengste Einschrankung der mathematischen Definition<br />
von L. KRONECKER gefordert, aber von niemandem je ernstlich<br />
durchgefiihrt worden.^^<br />
Fiir HAUSDORFF waren die Ergebnisse der franzosischen Schule der Theorie der<br />
reellen Funktionen wegen ihrer mathematischen Substanz interessant: Punktionen<br />
und Mengen, die durch gewisse abzahlbare Prozeduren entstehen, haben<br />
interessante Struktureigenschaften, die es zu ergriinden gilt. Am Anfang mag<br />
auch die Hoffnung eine Rolle gespielt haben, auf CANTORS Weg das Kontinuumproblem<br />
zu losen; HAUSDORFF bemerkte aber bald, da£ hier vermutlich kein<br />
Fortschritt zu erzielen war.^^<br />
In ihrem Essay Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzilgen der Mengenlehre<br />
(Band II dieser Edition, S. 773-787) weisen V. KANOVEI und P. KOEP-<br />
KE auf einen methodisch aufierordentlich bedeutsamen Wechsel der Perspektive<br />
hin, den HAUSDORFF in den Grundziigen gegeniiber der franzosischen Schule<br />
vorgenommen hat:<br />
In den Grundziigen baut HAUSDORFF die deskriptive Theorie zum ersten<br />
Mai als eine Theorie von Mengen und nicht als eine Theorie von<br />
Funktionen auf. Diese Sichtweise hat sich historisch durchgesetzt.^^<br />
In dem genannten Essay werden HAUSDORFFS eigene Ergebnisse, die er in den<br />
Grundziigen auf dem Gebiet der deskriptiven Mengenlehre erzielt hat, eingehend<br />
gewiirdigt; es geniigt deshalb, sie hier nur stichpunktartig zu nennen:<br />
- Einfiihrung des Begriffs des voUstandigen metrischen Raumes und Ausarbeitung<br />
der Theorie der separablen voUstandigen metrischen Raume (d. h. der<br />
^^ HAUSDORFF bezieht sich hier auf [Ca 1882].<br />
^^[H 1914a], S.450; Bd. II dieser Edition, S.550. LEBESGUE hatte seine Uberlegungen zu<br />
ZERMELOS Beweis des Wohlordnungssatzes folgendermaften resiimiert: „En resume, quand<br />
j'examine de pres le raisonnement de M. Zermelo, comme d'ailleurs plusieurs raisonnements<br />
generaux sur les ensembles, je le trouve trop peu kroneckerien pour lui attribuer un sens<br />
[•••]". ([BBHL 1905], S.267).<br />
24Vgl. dazu die kleingedruckte Passage in [H 1914a], S.321; Band II dieser Edition, S.421.<br />
^^Band II dieser Edition, S. 773.
polnischen Raume) als natiirliche Basis der deskriptiven Mengenlehre,<br />
- Einfiihrung der Borelschen Hierarchie mittels transfiniter Rekursion und Einfiihrung<br />
suggestiver Notationen fiir die Anfangsstufen der Borelschen Hierarchie,<br />
die sich allgemein durchgesetzt haben {Gs, F^, Gsa^ F^s, usw.)^^,<br />
- Losung des Kontinuumproblems fiir G^cr(5-Mengen: jede unendliche GsaS-<br />
Menge in einem separablen voUstandigen metrischen Raum ist entweder abzahlbar<br />
oder hat die Machtigkeit des Kontinuums,<br />
- Einfiihrung der reduziblen Mengen; Beweis, dafi dies genau die Mengen sind,<br />
die zugleich Gs und Fa- sind,<br />
- Charakterisierung der Mengen, die zugleich Gs und F^ sind, durch Differenzenketten:<br />
Genau die Mengen der Gestalt<br />
eine absteigende Folge abgeschlossener Mengen der Lange ^ < ui, sind gleichzeitig<br />
Gs und F^.<br />
An den Beweis des Satzes iiber die Machtigkeit der unendlichen G5cr
Zur Topologie gehort auch die ,^deskriptive Punktmengenlehre'''' (Theorie<br />
descriptive des ensembles), d. h. im wesentlichen die Theorie der Borelschen<br />
Mengen, der A-Mengen und der projektiven Mengen. [ • • ]<br />
Eine Einfiihrung in die deskriptive Mengenlehre findet man in HAUS-<br />
DORFFs Mengenlehre (§§18, 19, 32, 33, 37, 43), eine ausfiihrlichere Darstellung<br />
in dem Buch „Topologie I" von KURATOWSKI; eine stark philosophisch<br />
gefarbte Daxstellung dieser Theorie gibt LusiN in den „Legons<br />
sur les ensembles analytiques" (Collection Borel).^^<br />
Der Hinweis auf den franzosischen Ausdruck „Theorie descriptive des ensembles"<br />
konnte vermuten lassen, dafi dieser Terminus in Frankreich vor 1935 gelaufig<br />
war. Dies ist nicht der Fall; er kommt weder in LusiNs Buch noch in der<br />
franzosisch geschriebenen Topologie von KURATOWSKI ([KU 1933]) noch in sonstigen<br />
Publikationen vor. Es ist nur von „Theorie descriptive des fonctions" die<br />
Rede. Das Wort „descriptif" in bezug auf mathematische Inhalte erscheint erstmals<br />
in dem Buch Integrales de Lehesgue, fonctions d^ensemble, classes de Baire<br />
von C. DE LA VALLEE POUSSIN ([VP 1916]); dort heifit es in der Einleitung:<br />
Toutes ces questions [welche in den Teilen 1 und 2 des Buches behandelt<br />
werden - W. P.] sont surtout d'ordre metrique. Dans la troisieme Partie,<br />
j'aborde des questions d'ordre plus exclusivement descriptif, etroitement<br />
liees cependant aux precedent es. II s'agit de la repartition des fonctions<br />
dans les classes successives de Baire, du theoreme de M. Baire sur les<br />
fonctions de classe 1 et des extensions de ce theoreme que Ton doit a M.<br />
Lebesgue.^^<br />
2. Die Entsteliung des Buches Mengenlehre<br />
HAUSDORFFS Grundzilge der Mengenlehre hatten nach dem ersten Weltkrieg<br />
eine lebhafte Rezeption erfahren.^^ Mitte 1923 war das Werk ausverkauft. Der<br />
Verlag Veit & Co. in Leipzig, der es herausgebracht hatte, war bereits 1919<br />
vom Verlag Walter de Gruyter in Berlin libernommen worden. De Gruyter<br />
hatte 1921 eine Lehrbuchserie „Goschens Lehrbiicherei" aus der Taufe gehoben;<br />
als erster Band in der Gruppe 1 „Reine und angewandte Mathematik" erschien<br />
1921 das Buch Irrationalzahlen von OSKAR PERRON. In der Ankiindigung von<br />
Goschens Lehrbiicherei wurde das Ziel des Unternehmens folgendermaften umrissen:<br />
Mit diesem Unternehmen bezwecken wir eine Sammlung von ausgesprochenen<br />
Lehrhuchern aus den Gebieten der Mathematik, der exakten Naturwissenschaften<br />
und der Technik, die wissenschaftliche Griindlichkeit,<br />
leichte Verstandlichkeit und klaxen Aufbau in sich vereinen und ganz<br />
^^[AH 1935], S. 19-20. Die Klasse der projektiven Mengen ist die kleinste Klasse, die alle<br />
analytischen Mengen enthalt und die abgeschlossen gegeniiber Komplementbildung und<br />
Bildung stetiger Bilder ist.<br />
^°[VP 1916], S.IX. Den Hinweis darauf verdanke ich Herrn Jean-Michel Kantor (Paris).<br />
^^S.dazu Band II dieser Edition, S.55 ff.<br />
10
esonders fiir Studierende der Universitaten und technischen Hochschulen,<br />
fiir Lehramtskandidaten und Lehrer mittlerer und hoherer Schulen^<br />
zur Benutzung an pddagogischen Akademien und Lehrerseminarerij sowie<br />
auch fiir das Selbststudium gleichartig vorgebildeter Leser geeignet<br />
sind. Jeder Band wird einen Umfang von 10 bis 20 Druckbogen haben<br />
(im allgemeinen etwa 15 bis 16 Bogen) und ungefahr den Inhalt einer<br />
einsemestrigen Vorlesung umfassen.<br />
Einem Bogen entsprechen sechzehn Seiten; die ins Auge gefafiten Lehrbiicher<br />
sollten also in der Regel etwa 260 Seiten und maximal 320 Seiten umfassen. Als<br />
Mitte 1923 der Verlag wegen einer Neuauflage der Grundziige der Mengenlehre<br />
fiir „G6schens Lehrbiicherei" an HAUSDORFF herantrat, mufiten - wie bereits<br />
erwahnt - erhebliche Kiirzungen stattfinden (die Grundziige batten 476 Seiten).<br />
Am 17.6.1923 schreibt HAUSDORFF in einem Brief an ERNST ZERMELO:<br />
Es wird Sie vielleicht interessiren, dass mein Buch iiber Mengenlehre ausverkauft<br />
ist und der Verleger eine zweite, allerdings verkiirzte Auflage (in<br />
Goschens Lehrbiicherei) vorschlagt. Das stimmt auch mit meinen eigenen<br />
Wiinschen iiberein; ich hoffe die Sache beim zweiten Mai erheblich einfacher<br />
und eleganter zu machen (auch in den Bezeichnungen). Das Meiste<br />
iiber geordnete Mengen werde ich 'rausschmeissen und dafiir mehr iiber<br />
Punktmengen bringen. Etwaige Rathschlage, die Sie mir ertheilen konnen<br />
oder wollen, werden mit gro£tem Dank entgegengenommen (welches<br />
eigentlich der Zweck dieser Mittheilung ist)!^^<br />
Die in diesem Brief angedeutete starkere Beriicksichtigung der Theorie der<br />
Punktmengen korrespondierte mit einer Verschiebung in HAUSDORFFS Forschungsinteressen:<br />
Seit Erscheinen der Grundziige der Mengenlehre hatte er<br />
sich zunehmend von der allgemeinen Mengenlehre abgewandt und mehr der<br />
Analysis, insbesondere der Mafitheorie, der Theorie der reellen Funktionen und<br />
der Funktionalanalysis zugewandt. Die damit verbundene starkere Orientierung<br />
auf die Erforschung spezieller Klassen von Punktmengen deutete sich bereits<br />
in HAUSDORFFS Lehrtatigkeit zu Beginn seiner zweiten Bonner Zeit an. Er<br />
begann sein Bonner Ordinariat im Wintersemester 1921/22 mit einer vierstiindigen<br />
Vorlesung Mengenlehre und Theorie der reellen Funktionen.^^ Eine einsemestrige<br />
Vorlesung hatte dem Verleger als Inhalt eines Bandes von Goschens<br />
Lehrbiicherei in etwa vorgeschwebt, und in der Tat diente die genannte Vorlesung<br />
HAUSDORFF als Grundlage fiir seine „v611ige Neubearbeitung".^^ Man kann<br />
sagen, daK die Vorlesung inhaltlich so gut wie voUstandig in die Mengenlehre<br />
eingegangen ist. Eine Reihe von Paragraphen des Buches (z. B. 4-11,13,15, 20,<br />
22, 23) wurde weitgehend, z. T. wortlich, aus der Vorlesung iibernommen, wobei<br />
im Buch natiirlich ausfiihrlichere Erlauterungen und mehr Beispiele zu finden<br />
sind. Auch zwei einschneidende Veranderungen der Mengenlehre gegeniiber<br />
^^Nachlaft ERNST ZERMELO, Universitat Freiburg.<br />
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 13 : Fasz. 42. HAUSDORFF war zum 1.4.1921 nach Bonn berufen<br />
worden, hatte aber im Sommersemester 1921 mit Zustimmung des Kultusministeriums noch<br />
in Greifswald gelesen und seine Stelle in Bonn erst am 1.10.1921 angetreten.<br />
34[H 1927a], S.5.<br />
11
den Grundziigen finden sich schon in der Vorlesung, namlich der Wegfall der<br />
von HAUSDORFF in den Jahren 1904-1909 selbst geschaffenen hoheren Theorie<br />
der geordneten Mengen und der Ubergang von der Theorie der topologischen<br />
Raume mit zweitem Trennungsaxiom zur spezielleren Theorie der metrischen<br />
Raume.<br />
Die meisten Abschnitte, die HAUSDORFF in seinem Buch gegeniiber der Vorlesung<br />
wesentUch erweiterte bzw. die er ganz neu aufnahm, behandeln Themen<br />
der deskriptiven Mengenlehre. So sind in der Vorlesung die Ausfiihrungen iiber<br />
Ringe, Korper, a- und J-Systeme sowie den SusHnschen Prozefi im Kapitel I<br />
„Mengen und ihre Verkniipfungen" mit enthalten; sie nehmen dort nur 9| handschrifthche<br />
Seiten ein. Im Buch widmet er diesen Themen ein eigenes Kapitel<br />
„Mengensysteme", in dem u. a. die BoRELsche Hierarchie besonders eingehend<br />
behandelt wird unter ausgiebiger Benutzung der (55-Operation.^^ In diesem Kapitel<br />
tritt auch erstmals die Bezeichnung "Suslinsche Menge" auf.^^<br />
Wesentlich erweitert gegeniiber der Vorlesung sind die Abschnitte, welche die<br />
Borel- und Suslinmengen metrischer Raume behandeln. In der Vorlesung ist einiges<br />
davon in die Paragraphen iiber separable und iiber voUstandige Raume<br />
mit eingebaut, im Buch gibt es ein eigenes Kapitel „Punktmengen und Ordnungszahlen".<br />
Ganz neu gegeniiber der Vorlesung sind hier z. B. die Existenzsatze,<br />
d. h. der Nachweis, dafi in einem vollstandigen Raum mit nichtleerem<br />
perfekten Kern zu jeder Ordnungszahl ^ < a;i Borelmengen existieren, die genau<br />
von ^-ter Klasse sind, sowie Suslinmengen, die keine Borelmengen sind.<br />
Neu sind auch die von SuSLiN und LusiN stammenden tiefliegenden Resultate<br />
in Form zweier Bedingungen, deren jede notwendig und hinreichend dafiir ist,<br />
daK eine Suslinmenge in einem polnischen Raum eine Borelmenge ist.<br />
HAUSDORFF hebt im Vorwort zur Mengenlehre auch hervor, dafi er gegeniiber<br />
den Grundziigen die Baireschen Funktionen starker beriicksichtigt habe.<br />
Bereits in der genannten Vorlesung sind die Baireschen Funktionen eingehender<br />
behandelt als in den Grundziigen] im Buch wird das noch weiter ausgebaut und<br />
systematischer dargestellt, insbesondere die BAlREsche Klassifikation, ihr Zusammenhang<br />
mit der BORELschen Hierarchie und Satze iiber Bairesche Bilder<br />
von separablen Suslin- bzw. Borelmengen.<br />
Eine Anderung gegeniiber den Grundziigen, die HAUSDORFF im Vorwort explizit<br />
nennt, ist der Wegfall der Mafi- und Integrationstheorie. Vermutlich hatte<br />
er dies jedoch zunachst nicht so vorgesehen. Im Nachlafi findet sich ein druckreif<br />
ausgearbeitetes Manuskript zur Mafi- und Integrationstheorie, welches in der<br />
Kapitel- und Paragraphenzahlung unmittelbar an das Buch Mengenlehre anschliefit:<br />
„Zehntes Kapitel: Mengenfunktionen und Funktionale. §45. Additive<br />
Mengenfunktionen." ^^ Das Manuskript ist nicht datiert; wir wissen jedoch aus<br />
^^Die (5s-Operation haben HAUSDORFF, SIERPINSKI und KOLMOGOROFF entdeckt; vgl.dazu<br />
die Fuftnote 1 in [H 1933a], dieser Band, S.473, ferner Abschnitt 5 dieser Einfiihrung.<br />
^^SUSLIN und LUSIN hatten diese Mengen in Anlehnung an LEBESGUE [Le 1905] analytische<br />
Mengen bzw. A-Mengen genannt. Zur Entdeckungsgeschichte der Suslinmengen und zu ihrer<br />
verschiedenen Benennung s. [Lo 2001].<br />
^"^NL HAUSDORFF : Kapsel 51: Fasz. 1129, Bll. 1-73. Der Faszikel enthalt Bl. 74 ff. eine vor-<br />
12
NL HAUSDORFF : Kapsel 33: Fasz. 244 vom 13.11.1925, da£ die Paragrapheneinteilung<br />
und -numerierung der Mengenlehre im Herbst 1925 bereits feststand,<br />
denn dieser Faszikel ist iiberschrieben „Zu § 41" und behandelt Einschiebungssatze<br />
fiir reelle Funktionen. Im Januar 1925 stand die Paragraphennumerierung<br />
ofFenbar noch nicht fest, denn Faszikel 232 vom 2.1.1925 tragt die Uberschrift<br />
„Erganzung zu Kapitel IX, § : Funktionen und Urbildmengen." Faszikel 1129<br />
diirfte also im Verlaufe des Jahres 1925 entstanden sein. Dafi dies Manuskript<br />
als letztes Kapitel des Buches geplant war, zeigen auch Verweise im Text. So<br />
wird auf Bl. 31 der Borelsche tJberdeckungssatz benutzt; es heifit dort „nach<br />
dem Borelschen Satz § 26, 11". Der Satz II in § 26 der Mengenlehre ist in der<br />
Tat der Borelsche tJberdeckungssatz.<br />
Im ersten Paragraphen „Additive Mengenfunktionen" ^^ betont HAUSDORFF,<br />
dafi BegrifFe wie Lange, Flache, Volumen, Gewicht, Ladung u. dgl. auf solche<br />
Funktionen fiihren. Dann hei£t es:<br />
Es sei noch auf das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung hingewiesen,<br />
das vollig von der Idee der additiven Mengenfunktion beherrscht wird.^^<br />
In seiner Vorlesung iiber Wahrscheinlichkeitsrechnung vom Sommersemester<br />
1923^^ hatte HAUSDORFF in den Paragraphen 4-6^^ einen Abri£ der Mafi- und<br />
Integrationstheorie gegeben, freilich auf die Bediirfnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung<br />
zugeschnitten. Das hier in Rede stehende Manuskript ist allgemeiner<br />
gehalten und gibt einen knappen Uberblick iiber die Mafi- und Integrationstheorie<br />
auf dem damals aktuellsten Stand.^^ Allerdings gab es Mitte<br />
der 20-er Jahre bereits mehrere gute Darstellungen dieses Gebietes^^; dies hat<br />
HAUSDORFF im Vorwort dann auch als Grund dafiir genannt, warum die Mafiund<br />
Integrationstheorie schliefilich weggefallen ist. Verwendet hat HAUSDORFF<br />
den Abrifi der Mafi- und Integrationstheorie aus Fasz. 1129 als Grundlage fiir<br />
die Paragraphen 2 „Additive Mengenfunktionen (Masse)" und 3 „Lineare Funktionale<br />
(Integrale)" seiner Vorlesung Reelle Funktionen und Mafitheorie vom<br />
Wintersemester 1932/33.^^ Dort wird dariiber hinaus der Zusammenhang von<br />
Integration und Differentiation ausfiihrlich behandelt, insbesondere die DEN-<br />
JO Yschen Derivierten einschliefilich des DEN JO Yschen Verteilungssatzes, ferner<br />
weitere Integralbegriffe wie z. B. das Perron-Integral.<br />
laufige Version, in der schon eine Einteilung in Paragraphen gegeben ist, die Numerierung<br />
der Paragraphen aber noch offen gelassen wurde.<br />
^^Unter „additiV versteht HAUSDORFF „c7-additiV, additive Mengenfunktionen im heutigen<br />
Sinne hei£en bei ihm „beschrankt additiV.<br />
^^Fasz. 1129, B1.3.<br />
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 21: Fasz. 64, vollstandig abgedruckt im Band V dieser Edition,<br />
S.595-722.<br />
^^Bd.V, S. 626-666.<br />
^^Die Uberschriften der auf den einleitenden §45 folgenden Paragraphen lauten: §46. Konstruktion<br />
additiver Mengenfunktionen, § 47. Lineare Funktionale, § 48. Konstruktion linearer<br />
Funktionale.<br />
^^S. dazu auch den Kommentar von S. D. CHATTERJI ZU Fasz. 64 in Band V dieser Edition,<br />
S. 723 ff., insbesondere S. 727-728; ferner [Ch 2002].<br />
4^NL HAUSDORFF : Kapsel 17: Fasz. 53.<br />
13
Der Verlagsvertrag fiir die Mengenlehre war bereits am 12. Mai 1924 unterschrieben<br />
worden. Darin wurde folgendes vereinbart:<br />
Die Zusendung des vollkommen druckfertigen Manuskriptes sowie der<br />
reproduktionsfahigen Vorlagen zu den Figuren soil bis Ende 1924 an die<br />
Verlagshandlung erfolgen. [• • • ]<br />
Die erste Auflage wird in 1500 (Fiinfzehnhundert) bis 2000 (Zweitausend)<br />
Exemplaren abgezogen.^^<br />
Der Abgabetermin wurde im Dezember 1924 auf den 15. April 1925 verlangert.^^<br />
Aber auch diesen Termin hat HAUSDORFF offenbar nicht halten konnen.<br />
tjber die weitere Vorbereitung der Drucklegung der Mengenlehre erfahrt man<br />
einiges aus den Briefen ALEXANDROFFS an HAUSDORFF.^'^ Erstmalig erwahnt<br />
wird das Buch in einem Brief vom 27.10.1925:<br />
HofFentlich hatten Sie schone Tage in der Schweiz, die Ihrer Gesundheit<br />
wohl getan haben. Dadurch wird auch sicher Ihre Arbeit an Ihrem Buche,<br />
auf das wir, russische Mengentheoretiker, mit einer so groften Ungeduld<br />
wcirten, wesentlich gefordert.<br />
Im November 1925 hatte ALEXANDROFF HAUSDORFF in Bonn besucht. Spatestens<br />
zu diesem Zeitpunkt wufite ALEXANDROFF, dafi es sich nicht um eine<br />
Neuaufiage im iiblichen Sinne, sondern um ein vollkommen neues Buch handeln<br />
wiirde. Am 4.4.1926 schreibt er an HAUSDORFF:<br />
Es freut mich sehr zu vernehmen, da£ die zweite Auflage Ihres Buches<br />
endlich dem Drucke iibergeben ist* es waxten ja so sehr viele Menschen<br />
auf dieses Buch, insbesondere auch in meiner Heimat; der Verleger soil<br />
also nicht allzuviel Zeit weiter verlieren, er diirfte ja auch auf einen guten<br />
geschaftlichen Erfolg rechnen (auch in Amerika und in Polen, hoffentlich<br />
endlich auch in Deutschland werden ja rasch viele Exemplare verkauft).<br />
'^^Staatsbibliothek zu Berlin, Dep. 42 (Archiv de Gruyter), 227. Es muft im Archiv des<br />
Verlages de Gruyter umfangreiches Material, die Mengenlehre betrefFend, gegeben haben. In<br />
dem Katalog Repertorium der Briefe aus dem Archiv Walter de Gruyter ([Ne 1999]), der<br />
anlaftlich der Ubergabe des Archivs an die Staatsbibliothek zu Berlin herausgegeben wurde,<br />
heii^t es:<br />
HAUSDORFF, Felix, Professor fiir Mathematik an der Universitat Bonn (1868-<br />
1942). 34 Briefe, 3 Briefkarten, 6 Postkarten, 1 Aktennotiz iiber eine Besprechung<br />
23.6.1923-21.8.1935. 34 Schreiben an H. 1 Vertragsentwurf. Beilagen:<br />
Auszug aus einem Brief von Prof. R. Haussner 26.5.1922. Brief des Verlags<br />
B.Westermann Sz Co., New York 16.6.1927. Schriftwechsel mit der Zweigstelle<br />
Leipzig (Herr Eydt) wegen der Vorrate der „Mengenlehre" 20. 9.-1.10.1934.<br />
Brief der Druckerei F.Ullmann in Zwickau 22.11.1934. Auszug aus einem<br />
Brief von Professor W. Siift, Freiburg i.Br., dem Vorsitzenden der Deutschen<br />
Mathematiker-Vereinigung 11.4.1939. Brief an Professor L.Bieberbach 7. 8.<br />
1939. Inhalt: Ausarbeitung und Veroffentlichung der „Mengenlehre" in „G6schens<br />
Lehrbiicherei" nebst 2 Neudrucken.<br />
Dieses Material konnte leider trotz intensiver mehrwochiger Nachforschungen in der Staatsbibliothek<br />
und im Verlag de Gruyter nicht mehr aufgefunden werden.<br />
^^Handschriftliche Notiz auf dem Rand des Verlagsvertrages.<br />
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 61.<br />
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Ich werde mich besonders interessieren um (unseren Novembergesprachen<br />
entsprechend) eine Korrektur Ihres Buches mitlesen zu diirfen.<br />
Aus weiteren Briefen geht hervor, dafi ALEXANDROFF die Korrekturen bis etwa<br />
Kapitel VII gelesen hat. Die restlichen Bogen haben ihn wegen intensive! Reisetatigkeit<br />
im Herbst 1926 zu spat erreicht. Im Nachlafi HAUSDORFFS befindet<br />
sich ein Exemplar der Bogenkorrekturen^^, aus dem ersichtlich ist, dafi diese im<br />
Dezember 1926 abgeschlossen waren. Die Mengenlehre mufi im Januar oder Februar<br />
1927 erschienen sein, denn ALEXANDROFF bedankte sich in einem Brief<br />
vom 6.3.1927 fiir die Zusendung des Buches. Aus diesem Brief geht hervor, dafi<br />
auch LusiN ein Exemplar erhielt. Interessant ist in diesem Zusammenhang eine<br />
Bemerkung HAUSDORFFS in seinem Brief an ALEXANDROFF vom 31.5.1927.<br />
Dort heifit es:<br />
Herr Lusin hat mir fiir das Buch bisher nicht gedankt. Ob es ihn wohl<br />
argert, dass ich die (A)-Mengen Suslinsche Mengen genannt habe? In der<br />
Arbeit Ens[embles] analytiques (Fund. Math.), die ich grosstenteils sehr<br />
schwach finde, hat er ja die Vaterschaft auf Lebesgue iibertragen. Wirklich<br />
schon sind aber seine neuen Beweise fiir die beiden Hauptsatze, die<br />
ich - nach Mitteilung von Sierpiiiski - noch in mein Buch aufgenommen<br />
habe.<br />
Hoffentlich verschluckt Russland und Polen ungeheure Mengen meines<br />
Buches, damit ich meinem Verleger imponiere!^^<br />
3. Der Ubergang von den topologischen Raumen zur spezielleren<br />
Theorie der metrischen Raume<br />
HAUSDORFFS Entscheidung, in der Mengenlehre nicht die von ihm selbst in den<br />
Grundziigen begriindete Theorie der topologischen Raume darzustellen und sich<br />
im wesentlichen auf die Theorie der metrischen Raume zu beschranken, fiihrte<br />
schon vor dem Erscheinen der Mengenlehre zu einer Reaktion ALEXANDROFFS.<br />
Unter Bezug auf seine Mitarbeit an den Korrekturen der Mengenlehre schrieb<br />
ALEXANDROFF am 4.7.1926 an HAUSDORFF:<br />
Da£ Sie nur sehr wenige meiner Bemerkungen beriicksichtigen werden ist<br />
mir weder unangenehm, noch unerwartet: ich habe mir erlaubt, alles, was<br />
mir beim Lesen Ihres Buches einfiel auch aufzuschreiben [• • ]<br />
Was nun speziell meine Bemerkungen iiber den metrischen bzw topologischen<br />
Standpunkt betrifft, so vergessen Sie ja nicht, lieber Herr Hausdorff,<br />
da£ ich in dieser Frage durchaus nicht objektiv sein kann, vor allem deshalb<br />
nicht, da£ ich mit der erst en Auflage Ihres Buches mit tausenden<br />
innigsten Faden verbunden bin, ja sogar, da£ mir dieses Buch vielleicht<br />
das liebste in der ganzen Literatur ist, da£ ich, infolgedessen oft eine,<br />
sogar gut motivierte, aber nicht unentbehrliche Abanderung, im buchstablichen<br />
Sinne schmerzhaft empfinde. Durch diesen subjektiven Grund<br />
'^^NL HAUSDORFF : Kapsel 28 : Fasz. 100.<br />
4^NL HAUSDORFF : Kapsel 62. S. dazu auch [Lo 2001].<br />
15
wiirde ich mich, natiirlich, nicht leiten lassen, wenn ich nicht iiberhaupt<br />
der Meinung ware (fiir deren Entstehen Sie allerdings eine gewifte Verantwortung<br />
tragen!), daft unter den, bis jetzt bekannten, Eigenschaften der<br />
Punktmengen die topologischen doch die interessantesten sind: au£er der<br />
Topologie im engeren Sinne des Wortes, deren Gebiet allein jetzt iiber<br />
alle Grenzen wachst (ohne leider dabei zusammenhangend zu sein!) fallt<br />
ja auch die ganze sogenannte deskriptive Mengenlehre (Baire. Lebesgue<br />
usw) unter den BegrifF der topologischen Eigenschaften, und wenn man<br />
alles das ausschlieftt, bleibt ja tatsachlich weniger als 50 % der Punktmengenlehre<br />
iibrig [• • • ]<br />
Moglicherweise war die Formulierung, mit der HAUSDORFF die hier in Rede<br />
stehende Abanderung im Vorwort der Mengenlehre ankiindigt, durch ALEX-<br />
ANDROFFs Bemerkungen beeinfluftt. Er schreibt dort, nachdem er den Wegfall<br />
der Theorie der geordneten Mengen und der Ma£- und Integrationstheorie angekiindigt<br />
hat:<br />
Mehr als diese Streichungen wird vielleicht bedauert werden, da£ ich<br />
zu weiterer Raumersparnis in der Punktmengenlehre den topologischen<br />
Standpunkt, durch den sich die erste Auflage anscheinend viele Preunde<br />
erworben hat, aufgegeben und mich auf die einfachere Theorie der metrischen<br />
Raume beschrankt habe, wofiir ein fliichtiger Uberblick (§ 40) iiber<br />
die topologischen Raume kein geniigender Ersatz ist.^°<br />
In dem erwahnten § 40 bespricht HAUSDORFF zunachst verschiedene Moglichkeiten,<br />
in einer Menge axiomatisch eine Topologie einzufiihren. Als undefinierter<br />
Grundbegriff wird jeweils einer der folgenden Begriffe gewahlt: offene Menge,<br />
abgeschlossene Menge, abgeschlossene Hiille, offener Kern, Umgebung.^^<br />
HAUSDORFF skizziert dann Moglichkeiten, die Raume durch Trennungseigenschaften<br />
verschiedener Starke sowie durch Separabilitatseigenschaften weiter zu<br />
spezialisieren. Dieser kurze Paragraph war insofern von historischer Bedeutung,<br />
als hier erstmalig eine systematische Zusammenstellung der in verschiedenen<br />
Originalarbeiten verstreuten Vorschlage zur Einfiihrung von Topologien und<br />
zur Formulierung von Trennungs- und Separabilitatseigenschaften im Rahmen<br />
eines Lehrbuchs erfolgte.^^ Fiir Lehrbiicher der allgemeinen Topologie wurde<br />
es spater kanonisch, mit einer tjbersicht fiber die verschiedenen Moglichkeiten<br />
der Einfiihrung von Topologien zu beginnen.<br />
Es wird vielleicht nicht nur die „Raumersparnis" gewesen sein, die HAUS<br />
DORFF bewogen hat, sich auf die metrischen Raume zu konzentrieren. Er wird<br />
in einem Lehrbuch in Goschens Lehrbiicherei das Ziel gehabt haben, seinen<br />
Lesern besonders den Teil der allgemeinen Topologie nahezubringen, der in<br />
den zwanziger Jahren am intensivsten erforscht war und der in verschiedenen<br />
Zweigen der Mathematik schon die meisten Anwendungen gefunden hatte, und<br />
^°[H 1927a], S.5-6. Der Ausdruck „Raumersparnis" verrat auch hier HAUSDORFFS Sinn fiir<br />
Ironie, der sein literarisches Werk durchweg ausgezeichnet hatte.<br />
^^S.dazu den Artikel Zum Begriff des topologischen Raumes, Bd.II dieser Edition, S. 718-<br />
732.<br />
^2Vgl.[En 1977], S.41.<br />
16
das war ohne Zweifel die Theorie der metrischen Raume. Deren Bedeutung betont<br />
z. B. R. ENGELKING in seinem Buch General Topology (in den historischen<br />
Anmerkungen zum Kapitel „Metric and Metrizable Spaces"); es heifit dort:<br />
The class of metric spaces is sufficiently large to include many objects<br />
studied in various branches of mathematics and thus describe them in<br />
geometric language, and, at the same time, the spaces in this class seem<br />
to be sufficiently simple to permit the use of geometric intuition.^^<br />
So arbeitete die Funktionalanalysis, die sich besonders nach 1920 stiirmisch<br />
entwickelte, mit normierten, d. h. mit speziellen metrischen Raumen. Die ebenfalls<br />
aufbliihende deskriptive Mengenlehre studierte Punktmengen vor allem<br />
in separablen vollstandigen metrischen Raumen. Was die allgemeine Topologie<br />
betrifft, so konstatiert ENGELKING:<br />
For many years topologists' attention was focused on metric spaces and,<br />
in particular, on separable metric spaces. No doubt, the latter class is the<br />
best explored class of topological spaces; Kuratowski's two-volume monograph<br />
[1966] and [1968] is a veritable encyclopaedia on this subject.^^<br />
Auch HAUSDORFFS eigene Arbeiten aus dem Zeitraum zwischen den Grundziigen<br />
und der Mengenlehre untersuchen - soweit sie nicht rein analytischen<br />
Charakters sind- Objekte in metrischen Raumen.^^ So wird in der bereits<br />
erwahnten Arbeit Die Mdchtigkeit der Borelschen Mengen ([H 1916]) das Kontinuumproblem<br />
fiir Borelmengen in einem separablen vollstandigen metrischen<br />
Raum gelost. In HAUSDORFFS wohl einflufireichstem Zeitschriftenaufsatz Dimension<br />
und dufieres Mafi ([H 1919a]) beschrankt er sich zwar auf Euklidische<br />
Raume, die Ubertragung auf metrische Raume liegt aber auf der Hand.^^ Die<br />
Arbeit Uber halhstetige Funktionen und deren Verallgemeinerungen ([H 1919d])<br />
behandelt von vornherein reelle Funktionen, die auf einem metrischen Raum<br />
definiert sind; die Ergebnisse sind weitgehend in die Paragraphen 41 und 42 der<br />
Mengenlehre eingeflossen.^'^ Schliefilich enthalt [H1924] HAUSDORFFS beriihmten<br />
Gs-Satz: Jedes Gs in einem vollstandigen metrischen Raum ist mit einem<br />
vollstandigen metrischen Raum homoomorph.^^<br />
Eine ahnliche Gewichtung bei der Wahl der studierten Raumklassen hatte<br />
auch P.URYSOHN vorgenommen. Obwohl er stets ein lebhaftes Interesse an<br />
allgemeinen topologischen Raumen hatte, betreffen viele seiner herausragenden<br />
Leistungen metrische Raume. Als ALEXANDROFF nach URYSOHNS friihem<br />
Tod dessen Arbeit Memoire sur les multiplicites Cantoriennes ([Ur 1925/1926])<br />
^3[En 1977], S.320.<br />
^^Ebenda, S.320. [1966] und [1968] bedeuten [Ku 1966] und [Ku 1968] in unserem Literaturverzeichnis.<br />
^^Die bedeutenden Beitrage, die HAUSDORFF bereits in den Grundziigen der Mengenlehrk.<br />
zur Theorie der metrischen Raume leistete, sind im Band II dieser Edition, S. 762-787<br />
besprochen worden.<br />
^^S.Band IV dieser Edition, S. 21-54.<br />
^^S. Band IV dieser Edition, S. 79-103.<br />
^^S.dazu diesen Band, S. 443-453.<br />
17
aus dem Nachla£ zur Publikation vorbereitete, schrieb er an HAUSDORFF im<br />
Hinblick auf diese „Hauptarbeit" URYSOHNS:<br />
In der Topologie der allgemeinen (in metrischen kompacten Raumen)<br />
gelegenen Continua wird das eine der groftten und bahnbrechenden Leistungen<br />
sein; in dieser Topologie der Continua lag immer der Schwerpunct<br />
seiner Interessen, die abstracte Topologie war fiir ihn gewi£erma£en ein<br />
Nebenfach, obwohl er die letzte Zeit sich hauptsachlich mit den abstracten<br />
Raumen beschaftigte.^^<br />
Diese Gewichtung erklart vielleicht auch URYSOHNS lebhaftes Interesse an Metrisationssatzen,<br />
d. h. am Auffinden moglichst allgemeiner hinreichender Bedingungen<br />
dafiir, daK ein topologischer Raum mit einem geeignet gewahlten metrischen<br />
Raum homoomorph ist. Auch HAUSDORFF hatte Metrisationssatze<br />
bewiesen. Seine Ergebnisse^^ wurden aber durch die URYSOHNS iibertroffen.<br />
Am 23.8.1924, unter dem unmittelbaren Eindruck von URYSOHNS tragischem<br />
Tod, schrieb HAUSDORFF an ALEXANDROFF:<br />
Mit Schauder vor der Sinnlosigkeit des Schicksals halte ich den Brief in<br />
Handen, den mir Urysohn am 16. August geschrieben hat - wahrscheinlich<br />
den letzten Brief seines Daseins, einen Tag vor dem Tode. Ich wollte<br />
ihm darauf antworten, dass sein Beweis des Satzes von der Metrisirbarkeit<br />
normaler Raume mit zweitem Abzahlbarkeitsaxiom so schon und einfach<br />
sei und dass er damit die lange und complicirte Arbeit iiber die Metrisation<br />
kompakter Raume so weit iiberholt habe, dass ich meine Beweise<br />
nun nicht mehr der Veroffentlichung fiir werth halte.^^<br />
Die fundamentale RoUe, welche der Begriff des topologischen Raumes in der<br />
modernen Mathematik spielen soUte, war Mitte der zwanziger Jahre noch nicht<br />
abzusehen. Das betraf insbesondere auch die geometrische Topologie, jene auf<br />
GAUSS, LISTING, RIEMANN, MOBIUS, BETTI, POINCARE und BROUWER ZUriickgehende<br />
Forschungsrichtung von gro£er Tiefe und Schonheit, welche die<br />
allgemeine Theorie der topologischen Raume erst relativ spat als ihre unverzichtbare<br />
Grundlage betrachtete.^^<br />
Andererseits war, durch HAUSDORFFS Grundzilge initiiert, die allgemeine Topologie<br />
in den zwanziger Jahren als eine eigenstandige mathematische Disziplin<br />
betrachtlich weiterentwickelt worden, vor allem durch die russische Schule, die<br />
polnische Schule und durch Forscher wie FRECHET, TIETZE und ViETORiS.<br />
Es gab deshalb auch manche Stimmen des Bedauerns iiber HAUSDORFFS Einschrankung<br />
der Raumtheorie auf die metrischen Raume. ALEXANDROFF wurde<br />
schon genannt; seine gemeinsam mit H. HOPF verfafite Topologie ([AH 1935])<br />
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 61, Brief vom 2. 9.1924.<br />
®°AUS dem Nachlaft publiziert in diesem Band, S. 755-758.<br />
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 62.<br />
^^S.dazu von E. BRIESKORN und E. SCHOLZ den Abschnitt „Zur Aufnahme mengentheoretisch-topologischer<br />
Methoden in die Analysis Situs und geometrische Topologie" in der<br />
historischen Einfiihrung zu HAUSDORFFS Grundziige der Mengenlehre, Band II dieser Edition,<br />
S. 70-75.<br />
18
war die erste Monographie, die eine Synthese der allgemeinen Topologie mit<br />
anderen Zweigen der Topologie anstrebte.^^ Weitere Stimmen des Bedauerns<br />
finden sich in Rezensionen der Mengenlehre. So hei£t es bei G. FEIGL im Jahresbericht<br />
der DMV:<br />
Weniger leichten Herzens wird man sich damit abfinden, da£ der Theorie<br />
der Punktmengen von vornherein metrische Raume zugrunde gelegt und<br />
da£ die fiir die Topologie so au£erordentlich wichtige Theorie allgemeinerer<br />
Raume, deren systematische Darstellung in den „Grundziigen" eine<br />
beherrschende Stellung eingenommen hatte, ebenfalls (bis auf einen kurzen<br />
referierenden Paragraphen) beiseite gelassen worden ist. Aber auch<br />
diese Streichung wird man billigen miissen: Die abstrakte Topologie hat<br />
im letzten Jahrzehnt, namentlich durch die Arbeit en von ALEXANDROFF<br />
und URYSOHN, SO gewaltige Fortschritte gemacht, da£ eine einigerma£en<br />
erschopfende Darstellung nur noch in einem besonderen Werk gegeben<br />
werden kann.^^<br />
Ein mit „D." signierender Referent im Nieuw Archief voor Wiskunde bemerkt:<br />
Jammer is het vooral, dat de schrijver in de leer der puntverzamelingen<br />
het topologische standpunt heeft verlaten en zich, behoudens een<br />
vluchtig overzicht, beperkt heeft tot de eenvoudige theorie der metrische<br />
ruimten.^^<br />
Ahnlich aufiert sich H. M. GERMAN im Bulletin of the AMS.^^ HANS HAHN<br />
spricht in den Monatsheften fur Mathematik und Physik von einem „Opfer, das<br />
aus raumokonomischen Griinden gebracht werden mufite und das dem Verfasser<br />
wohl gleich schmerzlich war, wie dem sachkundigen Leser." ^^ Schliefilich<br />
schreibt A. ROSENTHAL in der Deutschen Literaturzeitschrift:<br />
Unter dem jetzt Weggelassenen befindet sich manches, was man nur ungern<br />
vermissen wird. Gerade einige solche Theorien, die man H. selbst<br />
zu verdanken hat, sind in der 2. Aufl. ausgeschieden worden; namlich die<br />
hoheren Teile der Theorie der geordneten Mengen und - was ganz besonders<br />
bedauerlich ist - die von H. in der 1. Aufl. geschaffene Theorie der<br />
topologischen Raume, an die inzwischen so viele andere Mathematiker<br />
angekniipft haben.^^<br />
4. Zur Rezeption der Mengenlehre<br />
In der eben herangezogenen Rezension von ROSENTHAL wird die trotz Raumknappheit<br />
ausfiihrliche Darstellung der deskriptiven Mengenlehre besonders<br />
hervorgehoben:<br />
^^Leider blieb das Werk - durch die Zeitumstande bedingt - unvollendet. Von den geplanten<br />
drei Banden erschien nur der erste.<br />
64[Fei 1928], S.56.<br />
6^[D. 1928], S.411.<br />
66[Geh 1927], S.779.<br />
^'^[Hahn 1928], S.57.<br />
68[Ro 1928], S.294.<br />
19
Dariiber hinaus ist als besonders wertvoUer Zuwachs eine allgemeine und<br />
umfassende Theorie der Borelschen Mengen (die in der 1. Aufl. nur kurz<br />
gestreift wurde) und der noch allgemeineren (1917 von Suslin entdeckten<br />
und hier von H. nach ihm benannten) Suslinschen Mengen zu betrachten.<br />
Diese Theorie ist nunmehr im Buch sehr stark betont und zieht sich durch<br />
alle Teile des Buches hindurch, was naturgema£ bei den Anwendungen<br />
auf Punktionen in einer eingehenden Theorie der Baireschen Punktionen<br />
seinen Ausdruck findet.^^<br />
ROSENTHAL schliefit, sicherlich nicht zuletzt wegen dieses „wertvollen Zuwachses",<br />
mit einer Prognose:<br />
Die 2. Aufl. wird sicherlich ebenso viel und eifrig studiert werden wie die<br />
1. Aufl.; und es ist zu erwarten, da^ sie in eben so hohem Ma£e wie die<br />
erste anregend wirken wird.^°<br />
Es ist ganz ausgeschlossen, in diesem Rahmen eine Rezeptionsgeschichte der<br />
Mengenlehre zu schreiben. Im folgenden soil nur anhand einiger statistischer<br />
Angaben und einiger ausgewahlter Beispiele verdeutlicht werden, dafi sich diese<br />
Voraussage ROSENTHALS vol! und ganz bestatigt hat.<br />
Die lebhafte Rezeption der Grundziige der Mengenlehre hatte erst Jahre nach<br />
Erscheinen des Buches eingesetzt, was hauptsachlich auf den ersten Weltkrieg<br />
zuriickzufiihren war. Ganz im Gegensatz dazu wurde die Mengenlehre sofort mit<br />
grower Aufmerksamkeit aufgenommen. Zum einen waren die aufteren Bedingungen<br />
fiir wissenschaftliche Arbeit 1927 viel besser als in den Kriegs- und ersten<br />
Nachkriegsjahren, zum anderen war HAUSDORFF mittlerweile ein weltweit bekannter<br />
und anerkannter Mathematiker, nicht zuletzt durch seine Grundziige.<br />
Einige Rezensionen der Mengenlehre wurden schon erwahnt; insgesamt erschienen<br />
in den Jahren 1927 und 1928 mindestens elf, davon fiinf in Deutschland,<br />
zwei in den USA, je eine in Holland, Norwegen, Spanien und der Tschechoslowakei.^^<br />
Besonders bemerkenswert ist die schon genannte Besprechung von<br />
HANS HAHN, des Vorgangers von HAUSDORFF im Bonner Ordinariat und bedeutenden<br />
Forschers auf den Gebieten Funktionalanalysis und Topologie; sie<br />
schliefit mit den Worten:<br />
Soil ein zusammenfassendes Urteil iiber dieses Buch abgegeben werden,<br />
so kann es nur lauten: Eine in jeder Hinsicht mustergiiltige Darstellung<br />
eines schwierigen und dornigen Gebietes; ein Werk von der Art derer,<br />
die den Ruhm der deutschen Wissenschaft iiber die Welt getragen haben<br />
und auf das mit dem Verfasser alle deutschen Mathematiker stolz sein<br />
diirfen.'^^<br />
^^Ebd., S.195.<br />
^^Ebd., S.295.<br />
^^ Ubersichten iiber alle uns nach Auswertung von 121 verschiedenen Periodika bekannt<br />
gewordenen Rezensionen der Mengenlehre bzw. deren Nachauflage ([H 1935a]) finden sich in<br />
diesem Band, S.409 bzw. S. 424. Im Anschluft an die jeweilige Liste sind einige ausgewahlte<br />
Rezensionen abgedruckt, ferner HAUSDORFFS kurze Selbstanzeige von [H 1935a].<br />
'^2[Hahn 1928], S.58.<br />
20
Moglicherweise hatte HAHN schon die besondere Gefahr des deutschen Antisemitismus<br />
im Auge, als er diese Zeilen schrieb.<br />
HAUSDORFF hatte, wie bereits oben erwahnt, mit [H 1916] einen grundlegenden<br />
Beitrag zur Theorie der Borelschen Mengen geleistet. Die weitergehende<br />
Theorie der analytischen Mengen geht vor allem auf SUSLIN, LusiN und SlER-<br />
PINSKI zuriick. Wie wichtig aber die erste zusammenfassende und besonders<br />
elegante und durchdachte Darstellung dieses neuen StofFes in HAUSDORFFS<br />
Mengenlehre war, wird sehr schon aus HUREWICZ' Arbeit Zur Theorie der<br />
analytischen Mengen ([Hu 1930]) deutHch. HuREWiCZ metrisiert zunachst die<br />
Menge der abgeschlossenen Teilmengen eines (iberabzahlbaren kompakten metrischen<br />
Raumes R mittels der HausdorfFmetrik gemafi Mengenlehre, S. 145 fF.<br />
und konstruiert so einen neuen kompakten metrischen Raum 7^, den „Potenzraum"7^<br />
Sein Hauptergebnis besagt, dafi die Teilmenge M des Potenzraumes,<br />
die aus alien (iberabzahlbaren abgeschlossenen Mengen von R besteht, beziig-<br />
Hch 71 eine analytische Menge ist. Beim Begriff „analytische Menge" heil^t es in<br />
einer Fufinote:<br />
Analytische Mengen — Souslinsche Mengen (A). Wegen der (hauptsachlich<br />
von LusiN und SIERPINSKI entwickelten) Theorie der analytischen<br />
Mengen vgl. etwa HAUSDORFF, Mengenlehre, S. 177 fF. Die in der gegenwartigen<br />
Arbeit zu beniitzenden BegrifFe und Lehrsatze werden unten im<br />
§ 1 zusammengestellt/^<br />
Bei dieser Zusammenstellung wird in einer Fufinote angemerkt:<br />
Wir schlie£en uns dabei sehr eng an die Darstellung in HausdorfFs Mengenlehre<br />
an/^<br />
Es wird dann noch mehrmals auF die Mengenlehre verwiesen; bei der LusiN-<br />
SiERPiNSKischen Theorie der Indizes z.B.mit der Bemerkung:<br />
Die hier beniitzte Form der Definition stammt von HAUSDORFF (Mengenlehre,<br />
S. 187)7^<br />
Eine besondere RoUe bei der Rezeption der HAUSDORFFschen Ideen spielte<br />
eine der ersten mathematischen SpezialzeitschriFten, die polnische ZeitschriFt<br />
Fundamenta MathematicaeP Die Fundamenta publizierten Arbeiten zur Mengenlehre,<br />
Topologie, Theorie der reellen Funktionen, Mafi- und Integrationstheorie,<br />
Funktionalanalysis, zur Logik und zu den Grundlagen der Mathematik.<br />
Waren die Grundziige der Mengenlehre in den Fundamenta vom ersten Bande<br />
an mit bemerkenswerter Haufigkeit prasent, so trifFt dies Fast in gleicher Weise<br />
Fiir die Mengenlehre ab deren Erscheinungsdatum zu: In den 20 Banden von<br />
^^Heute als Hyperraum bezeichnet; s.dazu Band II dieser Edition, S. 762-766.<br />
^4[Hu 1930], S.4.<br />
"^^Ebd., S.6.<br />
"^^Ebd., S.7.<br />
^^S.dazu auch Band II dieser Edition, S. 58-59.<br />
21
9 (1927) bis 28 (1937) wurde das Buch in 70 von 590 insgesamt erschienenen<br />
Arbeiten zitiert, das entspricht einer Quote von 11,9 %7^<br />
In einer Reihe von Arbeiten in den Fundamenta wird unmittelbar an die<br />
Mengenlehre angekniipft. So hatte HAUSDORFF auf S. 90 die Frage aufgeworfen,<br />
ob es eine feste Js-Funktion X — $(Mi, M2,...) derart gibt, dafi X genau alle<br />
von einem beliebig gegebenen Mengensystem M. erzeugten Borelmengen durchlauft,<br />
wenn die Mi alle moglichen Mengen von M durchlaufen. Diese Frage griff<br />
SiERPiNSKi noch im Erscheinungsjahr der Mengenlehre auf ([Si 1927]) und beantwortete<br />
sie negativ, indem er ein spezielles M. angab (namlich das System<br />
aller Teilmengen der Menge der irrationalen Zahlen G (0,1)), fiir welches die<br />
Annahme der Existenz einer solchen (5s-Funktion zum Widerspruch fiihrt. In [Si<br />
1930] werden von SiERPiNSKi fiinf Probleme gelost, die TARSKI im Zusammenhang<br />
mit den HAUSDORFFschen (5s-Funktionen (operations de M. Hausdorff)<br />
gestellt hatte. Z.B.kann die Frage, ob die Iteration zweier (55-Funktionen wieder<br />
eine ist, bejaht werden, wahrend die Frage, ob die Mengenklasse, die durch<br />
Vereinigung zweier durch verschiedene (55-Funktionen iiber demselben M. erzeugter<br />
Mengenklassen entsteht, wieder durch eine ^s-Funktion erzeugt werden<br />
kann, verneint werden mufi. In [Si 1937] schliefilich zeigt SiERPiNSKi, dafi es eine<br />
Mengenfunktion /(Mi,M2,...) gibt (die natiirlich keine (5s-Funktion sein<br />
kann), welche genau die Borelmengen iiber M erzeugt, wenn die Mi behebige<br />
Mengen aus M sind. Fiir die Konstruktion von / ist die HAUSDORFFsche<br />
(5s-Funktion aus Satz II, S. 93 der Mengenlehre die Grundlage.<br />
In [Ba 1931] greift STEFAN BANACH ebenfalls eine Anregung aus der Mengenlehre<br />
auf. Fiir reelle Funktionen auf einem metrischen Raum A hatte der<br />
Klassensatz gegolten: Die Funktionen der LEBESGUEschen Klasse (M^^N^)<br />
sind genau die BAiREschen Funktionen ip^ der Klasse ^ ([H 1927a], S. 255 ff.).<br />
Betrachtet man nun Funktionen in einem beliebigen metrischen Bildraum Y,<br />
so zeigt HAUSDORFF durch ein Gegenbeispiel, daft eine Funktion der Klasse<br />
(M^,iV^) = (Fa^Gs) kein (p^ zu sein braucht. Hieran schlieftt er die folgende<br />
Bemerkung an:<br />
Die Frage, in welchen Bildraumen Y oder fiir welche Paare von Raumen<br />
A, Y XII umkehrbar ist, verdient Untersuchung.^^<br />
BANACH widmet sich dieser Untersuchung und findet z. B., dafi XII umkehrbar<br />
ist im Falle eines Banachraumes Y oder im Falle eines Raumes Y, in dem sich<br />
zwei beliebige Punkte stets durch einen stetigen Bogen verbinden lassen, hier<br />
allerdings fiir ^ ^^^ 1.<br />
1931 und 1933 erschien in Fundamenta in zwei Teilen die umfangreiche Arbeit<br />
von L. KANTOROVITCH und E. LIVENSON Memoir on the Analytical Operations<br />
and Projective Sets. In dieser Arbeit wird die wichtige RoUe der Ss-<br />
Operation fiir die deskriptive Mengenlehre gezeigt, insbesondere auch fiir die<br />
^^Fiir die Grundziige hatte die Quote in den ersten 20 Banden der Fundamenta bei 15,8 %<br />
gelegen.<br />
'^^[H 1927a], S.269. Satz Xll war die eine, fiir jedes Paar A, Y geltende Richtung des<br />
Klassensatzesi Die BAiRESchen Funktionen ^^ sind von der Klasse (M«,Ar«).<br />
22
Untersuchung projektiver Mengen. In zwei Vorlaufernoten in den Comptes Rendus<br />
([KL 1930a], [KL 1930b]) batten KANTOROVITCH und LIVENSON folgendes<br />
gezeigt: Gebt man vom System der abgescblossenen Mengen eines geeigneten<br />
metriscben Raumes aus, so fiibrt die ins Transfinite wiederbolte Anwendung<br />
der (5s-Operation, verbunden mit dem Ubergang zum Komplement, stets nur<br />
auf projektive Mengen bocbstens zweiter Stufe. In [KL 1931] baben die Autoren<br />
verscbiedene Verallgemeinerungen und Modifikationen der (5s-Operation untersucbt<br />
und eine neue Klasse von Operationen, sogenannte positive analytiscbe<br />
Operationen, eingefiibrt. Wenn diese iiber abzablbaren Mengensystemen operieren,<br />
sind sie mit HAUSDORFFS (5s-Funktionen aquivalent; in der Einleitung<br />
beifit es, nacbdem zunacbst auf die SuSLiNscbe Operation verwiesen wurde:<br />
Then in 1927 Mr. HAUSDORFF and independently of him Mr. KOLMO-<br />
GOROFF introduced a very wide class of analytical operations, called by<br />
Mr. HAUSDORFF 5S-operations. [...] The importance of these operations<br />
is the consequence of their generality: every positive analytical operation<br />
on a countable infinity of sets is equivalent with a ^s-function. Their theory<br />
is therefore in essence the most general theory of analytical operations<br />
on a countable infinity of sets.^°<br />
HAUSDORFF bat in [H 1933a] unmittelbar auf diese Arbeit reagiert und einen<br />
grundlegenden Projektionssatz von KANTOROVITCH/LIVENSON verallgemeinert<br />
und dessen Beweis ganz wesentlicb vereinfacbt.^^<br />
In [Ta 1936] bat A. TARSKI, an HAUSDORFFS Mengenlehre und an einscblagige<br />
Arbeiten von SIERPINSKI ankniipfend, die ^s-Operation in folgender Weise<br />
verallgemeinert: Eine HAUSDORFFscbe (Js-Funktion iiber einem Mengensystem<br />
M ist durcb eine Menge N von Folgen z/ == {i/^} natiirlicber Zablen<br />
(d.b. i^^ < Lu = LUQ) definiert vermoge<br />
X= (J fl M,,, M^^eM.<br />
TARSKI betracbtet statt der Mengen N Mengen ^ von Folgen ip = {^^} von<br />
Ordinalzablen (p^ < cup und kommt so zu „operations de Hausdorff en degre<br />
/^" : Ist M. ein vorgegebenes Mengensystem, so gebort zur Menge $ die verallgemeinerte<br />
^s-Funktion vom Grade (3<br />
Die Klasse dieser Funktionen bezeicbnet TARSKI mit Hp; die HAUSDORFFscbe<br />
Klasse der (55-Funktionen ware dann gerade HQ. Das Ziel von TARSKIS Arbeit<br />
ist es, Mengenklassen zu finden, die abgescblossen sind gegeniiber Operationen<br />
der Klasse Ti/s fiir gegebenes l3 und Eigenscbaften dieser Mengenklassen zu<br />
studieren.<br />
^0[KL 1931], S.216.<br />
^^S.dazu in diesem Band S. 471-478.<br />
23
Als letztes Beispiel sei aus den Nachkriegsbanden der Fundamenta die Arbeit<br />
[Ale 1947] erwahnt. Sie geht unmittelbar von HAUSDORFFS Behandlung<br />
der Funktionenklassen, die durch Urbildmengen definiert sind, aus {Mengenlehre,<br />
S. 232 ff.). Sei X eine beliebige Menge, H ein cr-Ring von Teilmengen von<br />
X {Mengenlehre, S.236), Y ein separabler metrischer Raum. Als „Hausdorff-<br />
Klasse"7Y* bezeichnet ALEXIEV^ICZ die Menge aller Funktionen f : X -^ Y,<br />
so dafi gilt: Fiir jede ofFene Menge G C Y gehort {x;f{x) G G} zu H. Die<br />
Arbeit behandelt folgendes allgemeine Problem: Welches sind die notwendigen<br />
und hinreichenden Bedingungen dafiir, dafi die Grenzfunktion einer konvergenten<br />
Folge von Funktionen fn{x) einer gewissen Funktionenklasse /C wieder<br />
in /C liegt? 1st z. B. /C die Klasse der stetigen reellen Funktionen einer reellen<br />
Variablen, liefert ein bekannter Satz von ARZELA die Antwort (quasigleichmafiige<br />
Konvergenz). ALEXIEW^ICZ untersucht das Problem fiir gewisse HausdorfF-<br />
Klassen W*.<br />
1958 wurde die Theorie der Suslinmengen von LORENTZ und ZELLER erstmals<br />
in der Limitierungstheorie angewandt ([LoZe 1958]). Riickblickend schreibt<br />
LORENTZ dariiber:<br />
I am not a stranger to analytic sets. In the 1930s I enjoyed the geometric<br />
exposition of the theory by Luzin [11], preferring it to the dry formulas<br />
of Hausdorff's book. But K. Zeller and I had to use the Hausdorff version<br />
when we wanted to apply it to summability.^^<br />
In die Rezeptionsgeschichte der Mengenlehre gehort auch die unter HAUS<br />
DORFFS Leitung angefertigte Dissertation von GusTAV STEINBACH aus dem<br />
Jahre 1930. AUe wichtigen Satze iiber Borel- und Suslinmengen bezogen sich<br />
in ihrer urspriinglichen Form auf Mengen in euklidischen Raumen oder auf<br />
Mengen im Baire-Raum der Irrationalzahlen (z. B. in LusiNs Legons). HAUS<br />
DORFF hat sich in der Mengenlehre sehr darum bemiiht, moglichst allgemeine<br />
Raume zugrunde zu legen, meist beliebige polnische Raume. In diese Richtung<br />
zielt auch die Dissertation von STEINBACH. SO wird dort der LusiNsche Begriff<br />
der Universalmenge eines Mengensystems von einem euklidischen Raum auf<br />
einen metrischen Raum X verallgemeinert: Eine Universalmenge in X wird im<br />
Produktraum X x Y mit F = R definiert; die Raume y =const. libernehmen<br />
dabei die RoUe der euklidischen Raume, mit denen im LusiNschen Fall die<br />
Universalmenge geschnitten wird.<br />
Die von LusiN eingefiihrten projektiven Mengen waren durch Projektionen in<br />
euklidischen Raumen definiert. Um sie auf polnische Raume zu verallgemeinern,<br />
fiihrte STEINBACH anstelle der Projektionen geeignete Abbildungseigenschaften<br />
ein.<br />
Die von HAUSDORFF eingeleitete Tendenz, topologisch moglichst allgemeine<br />
Versionen der einschlagigen Result ate zu finden, wurde unter seiner Anleitung<br />
von STEINBACH fruchtbringend weiterverfolgt. Die Dissertationsschrift STEIN-<br />
BACHs hat HAUSDORFF mit „sehr gut" bewertet. Spater hat man herausgefunden,<br />
dafi manche Result ate der deskriptiven Mengenlehre auch in nicht sepa-<br />
^[Lo 2001], S.29. [11] ist [Lu 1930a].<br />
24
ablen und sogar in nicht voUstandigen Raumen gelten. Auch die Ausweitung<br />
von den polnischen Raumen auf kompakte Hausdorff-Raume hat interessante<br />
Ergebnisse gezeitigt.^^<br />
Die erste umfassende Monographie zur allgemeinen (mengentheoretischen)<br />
Topologie war KuRATOWSKis Topologie I ([Ku 1933]).^^ Im Vorwort nennt<br />
KuRATOWSKi als Quellen an erster Stelle HAUSDORFFS Biicher:<br />
Paxmi les livres sur la Topologie dont je me suis servi en redigeant ce<br />
volume et dont la valeur ne se reduit pas seulement a leur interet historique,<br />
sont a citer: F. HAUSDORFF, Grundziige der Mengenlehre, Leipzig,<br />
Veit 1914, et Mengenlehre, Berlin-Leipzig, Gruyter 1927.^^<br />
Es folgen dann in dieser Reihenfolge SiERPlNSKis Zarys teorji mnogosci II (Topologia<br />
ogolna) (1928) und FRECHETS Les espaces abstraits (1928). In KURA-<br />
TOWSKls Buch werden nur vier Autoren mehr als 20 mal zitiert: Sein Lehrer<br />
SiERPiNSKi, dem das Buch gewidmet ist (51 mal), HAUSDORFF (40), LUSIN (26)<br />
und URYSOHN (25). Von den 40 Verweisen auf Werke HAUSDORFFS betreflFen<br />
22 die Mengenlehre,<br />
Schliefilich sei noch erwahnt, dafi A.N. KOLMOGOROFF in seiner grundlegenden<br />
Arbeit zur Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ([Kol 1933])<br />
mehrfach auf HAUSDORFFS Mengenlehre zuriickgegriffen hat (Begriff des Mengenkorpers,<br />
des cr-Korpers und des Borelschen Systems).<br />
Die Mengenlehre war offenbar auch buchhandlerisch ein Erfolg. Es gab mindestens<br />
einen unveranderten Nachdruck, denn es gibt Exemplare, die zwar als<br />
Ausgabedatum 1927 angeben, in die aber eine Ubersicht iiber Goschens Lehrbiicherei<br />
fest eingebunden ist, die bis 1931 reicht. 1935 gab es eine Neuauflage<br />
der Mengenlehre; s. u. Abschnitt 6.<br />
5. Hausdorff und Lusin<br />
LusiNs schon mehrfach erwahntes Buch Legons sur les ensembles analytiques<br />
et leurs applications ([Lu 1930a]) gab eine zusammenfassende Darstellung der<br />
Untersuchungen iiber Borelsche und projektive Mengen seit LEBESGUES grundlegender<br />
Arbeit [Le 1905] bis zum Ende der zwanziger Jahre. In der Besprechung<br />
des LusiNschen Werkes im Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik<br />
(1930, S. 85) hatte kein Geringerer als JOHANN VON NEUMANN geschrieben:<br />
Die vom Verf. und M. Suslin geschciffene Theorie der analytischen Mengen<br />
ist eine der wichtigsten Etappen im Fortschritt der Punktmengentheorie<br />
und ein heute bereits in den Hauptziigen fertiges und libersehbares<br />
Lehrgebaude. Da die Originalliteratur uniibersichtlich ist, ist das<br />
Bediirfnis nach einer zusammenfassenden Darstellung des Gegenstandes<br />
dringend. (In deutscher Sprache ist seit einigen Jahren die vorziigliche<br />
Zusammenfcissung in Hausdorffs Mengenlehre (2. Aufl. 1927; F. d. M. 53,<br />
169) vorhanden; jedoch ist bei der Wichtigkeit dieser Disziplin eine monographische<br />
Darstellung nichtsdestoweniger erwiinscht.)<br />
8^S. dazu [R 1980], S.8-9.<br />
^"^S.naheres dazu im Band II dieser Edition, S. 64-65.<br />
85[Ku 1933], S.IX.<br />
25
Diese Parallelitat von grofieren Teilen der HAUSDORFFschen Mengenlehre und<br />
LusiNs Monographie sowie die zeitliche Nahe beider Werke mag es rechtfertigen,<br />
dem Vergleich dieser beiden bedeutenden Mathematiker im Hinblick auf<br />
ihre mengentheoretischen Interessen einige Zeilen zu widmen.<br />
HAUSDORFF und LusiN gehoren zu den Gelehrten, welche in der Ara nach<br />
CANTOR bedeutende Beitrage zur Weiterentwicklung der klassischen Mengenlehre<br />
und ihrer Anwendungen geleistet haben. Ihr Zugang zu dieser Thematik<br />
war jedoch denkbar verschieden: Wahrend HAUSDORFF als etwa 30-jahriger<br />
nach PubHkationen auf ganz disparaten und von der Mengenlehre weit entfernten<br />
Gebieten durch seine philosophischen Interessen schliefilich zur Mengenlehre<br />
gefiihrt wurde^^, hat LusiN schon als Student unter D. F. JEGOROFF in Moskau<br />
und in Paris unter dem Einflufi der franzosischen Schule (BAIRE, BOREL,<br />
LEBESGUE) die Bedeutung der Theorie der Punktmengen fiir sein Hauptinteressengebiet,<br />
die Theorie der reellen Funktionen, erkannt. Er hatte auf diesem<br />
Gebiet auch sofort grofien Erfolg; bereits seine Dissertation Integral i trigonometricheskij<br />
rjad (Integral und trigonometrische Reihe, Moskau 1915) hat ihn<br />
als bedeutenden Mathematiker weithin bekannt gemacht.<br />
HAUSDORFFS und LusiNs Interessen innerhalb der Mengenlehre waren ziemlich<br />
verschieden, aber nicht ohne einige bemerkenswerte Beriihrungspunkte. Die<br />
Herausgeber des Bandes II von LusiNs Gesammelten Werken ([Lu 1958]) haben<br />
in seinen mengentheoretischen Untersuchungen folgende drei Richtungen<br />
unterschieden:<br />
(I) Borelsche und projektive Mengen reeller Zahlen, speziell Mengen der erst<br />
en und zweiten Stufe der projektiven Hierarchic;<br />
(II) cc;i-Folgen, erzeugt durch die LusiNsche Sieboperation und ahnliche „effektive"<br />
Konstruktionen;<br />
(HI) verschiedene Typen von Mengen und transfiniten Folgen, deren Existenz<br />
das Auswahlaxiom voraussetzt - ein mehr marginaler Punkt.<br />
Erwahnt werden soUte auch LusiNs tiefes Interesse an Grundlagenfragen der<br />
Mathematik. Er teilte z. B. in bezug auf das Auswahlaxiom die Skepsis der franzosischen<br />
„Halbintuitionisten".^'^ HAUSDORFF dagegen hat das Auswahlaxiom<br />
ganz selbstverstandlich benutzt, sogar ohne es explizit zu erwahnen.^^<br />
HAUSDORFFS mengentheoretische Untersuchungen lassen sich nicht so einfach<br />
klassifizieren; sie iiberdecken, wenn man den Nachlai^ mit einbezieht^^,<br />
^^HAUSDORFFS Weg zur Mengenlehre ist ausfiihrlich im Band II dieser Edition, S.2-16,<br />
dargestellt.<br />
^^Vgl. dazu LusiNS Vortrag Sur les voies de la theorie des ensembles ([Lu 1928]) auf dem<br />
Internationalen Mathematikerkongrei^ 1928 in Bologna; s.ferner [Mo 1982], S.92 ff. und insbesondere<br />
S.288.<br />
^^Z.B.bei der Konstruktion seiner paradoxen Kugelzerlegung in [H 1914a] und [H 1914b];<br />
s. Band IV dieser Edition, S. 9.<br />
^^HAUSDORFF stellte offenbar sehr hohe Anforderungen an eigene PubHkationen; eine Reihe<br />
von Stiicken aus seinem Nachlaft hatte zu seiner Zeit zu einfluftreichen Publikationen fiihren<br />
konnen (z. B. Fasz. 223, s. Band IV dieser Edition, S. 317-323, und diesen Band, S. 750-754.<br />
26
uchstablich die gesamte zeitgenossische Mengenlehre mit Ausnahme logischer<br />
und metamathematischer Untersuchungen. Trotzdem kann man einige Hauptrichtungen<br />
herausheben:<br />
(A) Geordnete Mengen (Konfinalitat, regulare und singulare Zahlen, Elementund<br />
Liickencharaktere, saturierte Strukturen, Halbordnung);<br />
(B) Arithmetik transfiniter Zahlen und Ordnungstypen (Hausdorffsche Rekursionsformel,<br />
verallgemeinerte Kontinuumhypothese, allgemeine geordnete<br />
Produkte und Potenzen);<br />
(C) Studium der Du Bois-Reymondschen finalen Halbordnung bei Folgen und<br />
Funktionen - hierzu gehort eines seiner tiefsten Resultate in der Mengenlehre,<br />
der Beweis der Existenz von (a;i,a;i)-Lucken;<br />
(D) Borelsche, Suslinsche und co-Suslinsche Mengen in metrischen Raumen;<br />
(E) Struktur von Mengenringen und Funktionenfamilien, speziell Borelmengen<br />
und Bairesche Funktionen;<br />
(F) Js-Operationen iiber Mengensystemen.<br />
(D), (E), (F) sowie die elementareren Telle von (A), (B) bilden den Hauptteil<br />
des Inhalts der Mengenlehre (bzw. ihrer etwas erweiterten Nachauflage [H<br />
1935a]). Einige andere Abschnitte des Buches, wie die Theorie der Kontinua,<br />
zahlt man heute mehr zur Topologie als zur Mengenlehre.<br />
Wir betrachten im folgenden die Beziehungen zwischen HAUSDORFFS und<br />
LusiNs Untersuchungen und insbesondere die zwischen HAUSDORFFS Mengenlehre<br />
und L US INS Legons.<br />
Was (I) betrifft, so hat LusiN oft das Theorem von ALEXANDROFF und<br />
HAUSDORFF iiber die Existenz perfekter Teilmengen in iiberabzahlbaren Borelmengen<br />
zitiert. Dieses Resultat, unabhangig voneinander in [Al 1916] und<br />
[H 1916] erzielt, war zweifellos ein Ausgangspunkt fiir die weitere Entwicklung<br />
der deskriptiven Mengenlehre, vor allem in Rufiland. In der Tat wurde SUSLIN,<br />
indem er ALEXANDROFFS Konstruktion verbesserte, zur Entdeckung der Suslinmengen<br />
und zu den darauf folgenden Untersuchungen gefiihrt (und mit ihm<br />
LusiN als Lehrer von ALEXANDROFF und SUSLIN).^^<br />
HAUSDORFF definierte und untersuchte einige transfinite Folgen vom Typ (II)<br />
in [H 1936b] als Teil seines Programmes (C), aber unter anderen Gesichtspunkten<br />
und mit anderen Resultaten als in den zum Punkt (II) gehorigen Arbeiten<br />
LUSINS.<br />
Was (III) betrifft, so ist die Konstruktion von (a;i,a;i)-Lucken in LusiNs<br />
Arbeit [Lu 1946] wesentlich auf dieselbe Idee gegriindet, die HAUSDORFF in<br />
[H 1936b] zu seiner Konstruktion gefiihrt hatte; man kann aber nicht von<br />
einer wortlichen Reproduktion sprechen. LusiNs erste kiirzere Note dazu in<br />
Franzosisch ([Lu 1943]) zitiert als einzige fremde Arbeit [H 1936b], aber ohne<br />
^^Genaueres im Kommentar zu [H 1916], dieser Band, S. 439-442.<br />
27
speziellen Bezug darauf im Text und mit nicht ganz korrekten bibliographischen<br />
Daten.^^ Die auf [Lu 1943] folgende o. g. langere Arbeit [Lu 1946] enthalt<br />
keinerlei Hinweis mehr auf HAUSDORFF.^^ Man kann dies verschieden interpretieren,<br />
aber vielleicht handelte LusiN vor dem Hintergrund seiner eigenen<br />
Verfolgungsgeschichte unter STALIN in den spaten dreifiiger Jahren, als man<br />
ihm u. a. unangemessen enge Kontakte zu auslandischen KoUegen vorwarf.^^<br />
HAUSDORFF hat in seinem Buch Mengenlehre viel Miihe darauf verwandt, die<br />
Resultate LusiNs und seiner Schule auf dem Gebiet der deskriptiven Mengenlehre,<br />
insbesondere aus dem unter (D) angefiihrten Themenkreis, zu verallgemeinern<br />
und zu verbreiten. Die Mengenlehre erschopft aber nicht den gesamten<br />
Inhalt von LusiNs Legons, prasentiert jedoch das, was man den Kernbereich der<br />
klassischen deskriptiven Mengenlehre nennen kann: die grundlegenden Resultate<br />
liber Borel-, Suslin- und co-Suslinmengen in separablen metrischen Raumen.<br />
Beiseite gelassen hat HAUSDORFF einige wichtige Themenbereiche, die spater<br />
in den Legons sehr gut dargestellt sind, wie projektive Mengen und die Struktur<br />
der Klassen und Teilklassen der Borelschen Hierarchie.<br />
Dies im Blick sollen im folgenden noch einige Bemerkungen zum Vergleich<br />
zwischen LusiNs Arbeiten aus den zwanziger Jahren und seinen Legons einerseits<br />
und dem deskriptiv-mengentheoretischen Teil der Mengenlehre [H 1927a]<br />
andererseits angeschlossen werden.<br />
1) HAUSDORFF prasentierte die deskriptive Mengenlehre in einer Form, die<br />
auf alle separablen metrischen Raume anwendbar ist. Diese allgemeine Form<br />
ist eine von HAUSDORFFS originellen Leistungen in seiner Mengenlehre. Lu-<br />
SIN hat in den Legons nur den Fall der reellen Zahlen und hauptsachlich nur<br />
den Baire-Raum der irrationalen Zahlen betrachtet. HAUSDORFFS Verallgemeinerung<br />
ist durchaus nicht trivial: einige grundlegende Resultate beruhen auf<br />
seinem bemerkenswerten Theorem, dafi G^-Mengen in einem voUstandigen metrischen<br />
Raum selbst vollstandig metrisierbar sind ([H 1924]; s. diesen Band,<br />
S. 443-453).<br />
2) HAUSDORFF hat LUSINS etwas weitschweifigen Stil wesentlich modernisiert.<br />
LusiN bevorzugte eine mehr geometrische Art der Darstellung, welche<br />
nicht immer mit dem Inhalt harmonierte und zu unnotig langen und umstandlichen<br />
Argumentationen sowohl in den Legons als auch in seinen friiheren Arbeiten<br />
[Lu 1926], [Lu 1927] fiihrte. HAUSDORFFS Darstellung des damals aktuellen<br />
Standes der deskriptiven Mengenlehre in [H 1927a] bzw. [H 1935a] war viel moderner<br />
und kompakter. Dies mag auch die Ursache dafiir gewesen sein, dafi LU<br />
SINS Legons, obwohl sie das Gebiet der deskriptiven Mengenlehre umfassender<br />
liberdeckten und obwohl LusiN und seine Schule weit mehr an originellen Re-<br />
^^Der Verweis auf HAUSDORFF wurde in der russischen Ubersetzung in LUSINS Gesammelten<br />
Werken ([Lu 1958]) ganz weggelassen.<br />
^^Ubrigens gab LUSIN hier auch eine andere Realisierung des gleichen (c
sultaten auf diesem Gebiet erzielt hatten als HAUSDORFF, dessen Mengenlehre<br />
nicht iiberschattet haben. Wenn man als Beleg wieder die wichtigste einschlagige<br />
Zeitschrift, die Fundamenta Mathematicae, heranzieht, und etwa die ersten<br />
20 Bande nach Erscheinen von LusiNs Buch analysiert, ergibt sich folgendes:<br />
Die Legons werden in 28 der in diesen Banden enthaltenen 590 Arbeiten zitiert,<br />
HAUSDORFFS Werk in 58 Arbeiten. Von diesen 58 Arbeiten kann man mindestens<br />
23 der deskriptiven Mengenlehre zurechnen. Selbst SiERPiNSKi, enger<br />
Freund und zeitweise Mitarbeiter LusiNs, griff in [Si 1933] bei der Darstellung<br />
LusiNscher Ideen nicht auf [Lu 1930a], sondern auf HAUSDORFFS Mengenlehre<br />
zuriick. So fiigte er den Beweisen zweier wichtiger Theoreme folgende Fufinoten<br />
an:<br />
La demonstration est basee sur une idee de M. Lusin; cf. F. Hausdorff,<br />
Mengenlehre (1927), p. 276.^^<br />
Ici aussi I'idee de la demonstration est due a M. Lusin. Cf. F. Hausdorff,<br />
I.e., p. 277.^^<br />
3) In alien grofieren Publikationen und in seinen Legons widmete LusiN<br />
philosophischen Erorterungen iiber die Grundlagen der Mathematik, speziell<br />
liber das Wesen mathematischer Definitionen, Resultate und Schlufiweisen sowie<br />
liber das Auswahlaxiom viel Raum. HAUSDORFF hat solche Er5rterungen<br />
in seinen Biichern iiber Mengenlehre vermieden (mit Ausnahme einiger weniger<br />
Bemerkungen zum Mengenbegriff), obwohl er selbst ein eigenstandiger philosophischer<br />
Denker war und sich auch mit Grundlagenfragen auseinandergesetzt<br />
hatte.^^ Es gibt keine direkten Reaktionen HAUSDORFFS auf LusiNs philosophische<br />
Exkurse, wohl aber eine sehr kritische Bemerkung ALEXANDROFFS in<br />
einem Brief an HAUSDORFF. Damit hatte es folgende Bewandtnis: Nachdem<br />
das Kontinuumproblem fiir Suslinmengen gelost war, hatte LusiN vergeblich<br />
versucht, es auch fiir Suslinkomplemente zu losen. Dazu bemerkte er in [Lu<br />
1925a]:<br />
Les efforts que j'ai faits pour resoudre cette question m'ont conduit a<br />
ce resultat tout inattendu: il existe une famille admettant une application<br />
sur le continu d'ensembles effectifs telle qu'on ne sait pas et Ton<br />
ne saura jamais si un ensemble quelconque de cette famille (suppose non<br />
denombrable) a la puissance du continu, [• • • ]^^<br />
In einer weiteren Note ([Lu 1925b]) hat LusiN ein solches ,Jgnorabimus" auch<br />
fiir Projektionen von Suslinkomplementen ausgesprochen. ALEXANDROFF reagierte<br />
in einem Brief an HAUSDORFF vom 29.11.1925 darauf mit folgender<br />
Bemerkung:<br />
94[Si 1933], S.265.<br />
95Ebd., S.269.<br />
^®Zu Grundlagenfragen der Mathematik s. den Kommentar zu [H 1905] im Band I dieser<br />
Edition, ferner Band VI dieser Edition und Band II, S. 27-29, 53-55. Dem philosophischen<br />
Werk HAUSDORFFS ist Band VII dieser Edition gewidmet.<br />
^"^[Lu 1925a], S. 1572. Es ist bemerkenswert, dal^ die Prage nach der Existenz perfekter<br />
Teilmengen in iiberabzahlbaren Suslinkomplementen die Beweismoglichkeiten der Zermelo-<br />
Praenkelschen Axiome libersteigt; s. dazu [Koe 1996], S. 93-95.<br />
29
Was die Lusinschen Noten betrifft, so macht auf mich einen besonders unbegreiflichen<br />
Eindruck dieses „nous ne savons pas et nous ne saurons jamais"<br />
- das ist ja zum ersten mal, da:^ man in der Mathematik so ein<br />
„Ignorabimus" deklariert, und dabei es gar nicht [zu] begriinden versucht<br />
[•••]<br />
Mir tut es auch Leid, da£ LUSIN, dessen Geisteskraft ich ja sehr gut<br />
kenne, sich jetzt mit solchen Sachen begniigt.^^<br />
ALEXANDROFF hatte eine solche doch ziemlich scharfe Formulierung wohl kaum<br />
gewahlt, ware er nicht der Meinung gewesen, dafi HAUSDORFF (wie iibrigens<br />
auch HILBERT) ein ,Jgnorabimus" in der Mathematik ablehnte.<br />
4) Was die Borelmengen betrifft, war LusiN auf die DE LA VALLEE-POUSSINsche<br />
Hierarchic fokussiert, die sich auf die Operation des mengentheoretischen<br />
Limes griindet. Der Grund hierfiir lag wohl nicht zuletzt darin, dafi hier gewisse<br />
Analogien mit der Limesbildung im Bereich der reellen Zahlen bestehen. HAUS<br />
DORFF schuf seine eigene Hierarchic der Klassen F, G, F^, Gs, Ffjs^ Gsa, • -,<br />
basierend auf abzahlbaren Vereinigungen und abzahlbaren Durchschnitten; sie<br />
wurde zum Prototyp der modernen Systematik.<br />
Die unter (E) aufgefiihrte Thematik war von Beginn an bis in die spaten dreifiiger<br />
Jahre ein standiger Gegenstand von HAUSDORFFS Aufmerksamkeit. Lu-<br />
SIN war daran nur insoweit interessiert, als Borelmengen und Bairesche Funktionen<br />
tangiert waren. HAUSDORFF seinerseits hat sich mit LUSINS Arbeit [Lu<br />
1930b] und den entsprechenden Kapiteln in den Legons eingehend beschaftigt;<br />
im Nachlaft finden sich dazu zahlreiche Untersuchungen, wovon einige in diesem<br />
Band abgedruckt sind.^^<br />
Ziemlich iiberraschend ist, da£ LusiN die Richtung (F) voUkommen ignorierte.<br />
1921 hat A.N. KOLMOGOROFF, damals ein achtzehnjariger Student unter<br />
LusiN, eine brilliante Untersuchung der ^s-Operationen vorgelegt, die SlER-<br />
PiNSKis und HAUSDORFFS gleichzeitige Studien in einigen Punkten libertraf.<br />
Der erste Teil dieser Arbeit wurde in [Kol 1928] publiziert, der zweite, weit<br />
bedeutendere erst in [Kol 1993]. KOLMOGOROFF selbst hat 1985 in seinen<br />
Kommentaren fur seine Gesammelten Werke erwahnt, da& LUSIN mit dieser<br />
Untersuchungsrichtung iiberhaupt nicht einverstanden war.^^^<br />
6. Die Neuauflage von 1935. Ubersetzungen<br />
Am 2. Oktober 1934 fand im Verlag de Gruyter eine Lektorenkonferenz statt.<br />
Im ProtokoU wird zu HAUSDORFFS Buch festgestellt:<br />
Hausdorff, Mengenlehre geht zu Ende. Neue Auflage machen oder anastatischen<br />
Nachdruck?<br />
Beschlossen: 500 Expl. anastatisch nachdrucken.^^^<br />
^^NL HAUSDORFF : Kapsel 61, Brief vom 29.11.1925.<br />
99S.588fr, S.626ff.<br />
^°°S.dazu auch den Kommentar zu [H 1933a], dieser Band, S.478.<br />
^^^Staatsbibliothek zu Berlin, Dep. 42 (Archiv de Gruyter), 461.<br />
30
HAUSDORFF hat aber, „um den inzwischen erzielten Fortschritten wenigstens<br />
teilweise gerecht zu werden"^^^, die Verlagsleitung offenbar iiberzeugen konnen,<br />
dem Nachdruck ein zehntes Kapitel hinzuzufiigen und das Quellen- und<br />
Literaturverzeichnis zu aktualisieren. So erschien das Werk 1935 in einer neuen<br />
Auflage. Die meisten Rezensionen der Neuauflage waren kurz und verwiesen<br />
auf friihere Besprechungen der Ausgabe von 1927, in einigen auch mit einem<br />
Hinweis auf den bisherigen grofien Erfolg des Werkes. So schrieb z.B.ERICH<br />
KAMKE im Jahresbericht der DMV:<br />
Nur acht Jahre nach Erscheinen der zweiten Auflage ist schon eine Neuauflage<br />
dieses Standaxdwerkes der Mengenlehre notig geworden. Das ist<br />
angesichts des keineswegs immer einfachen Gegestandes des Werkes ein<br />
so grower Erfolg, da£ jedes weitere empfehlende Wort iiberfliissig ist.^^^<br />
Es gab zwei ausfiihrlichere Rezensionen, beide von bedeutenden Fachleuten auf<br />
dem Gebiet der Mengenlehre, namhch von THORALF SKOLEM und von GlULio<br />
ViVANTi; beide sind in deutscher Ubersetzung in diesem Band, S. 425-428,<br />
abgedruckt.<br />
Mitte 1939 war auch von der Nachauflage nur noch ein geringer Bestand<br />
vorhanden. Darauf bezieht sich die im folgenden vollstandig abgedruckte Aktennotiz<br />
aus dem Verlagsarchiv, die keines weiteren Kommentars bedarf.^^^<br />
Berlin, den 12. Sept.<br />
„Hausdorff, Mengenlehre" (Goschens Lehrbiicherei Band 7)<br />
Die Bestande der 3. Auflage dieses Werkes gehen zu Ende. Wir haben<br />
aber Bedenken eine neue Auflage zu veranstalten, da Hausdorff Jude ist<br />
und wir befiirchten miissen, da£ uns durch den Nachdruck Unannehmlichkeiten<br />
entstehen konnten.<br />
In der Verlagskonferenz vom 1. Aug. 1939 wurde der Beschluft gefa£t,<br />
nach einem neuen Autor Umschau zu halten; da es aber sicher einer langeren<br />
Zeit bedarf, bis das neue Manuskript vorliegen kann, wollten wir<br />
uns einmal mit Herrn Professor Bieberbach in Verbindung setzen und<br />
dessen Meinung einholen, ob wir es riskier en konnten einen weiteren kleinen<br />
Manuldruck des Hausdorff'schen Buches zu veranstalten, eventuell<br />
mit der alten Jahreszahl. Herr Bieberbach riet von einer solchen Auffrischung<br />
des Buches dringend ab.<br />
Als neue Autoren empfahl Herr Geheimrat Hau£ner die Herren Tietze -<br />
Miinchen, Beck - Bonn und Herbert Seifert sowie hauptsachlich Tornier.<br />
Herr Professor Bieberbach rat von Tietze und Beck ab. Seifert scheidet<br />
102[H 1935a], S.6.<br />
i03[Ka 1936], S. 25.<br />
lO^Der Rand des Schriftstiicks ist z. T. abgerissen. Die fehlenden Buchstaben oder Wortteile<br />
ergeben sich jedoch eindeutig aus dem vorhandenen Text bis auf das durch [1] gekennzeichnete<br />
Wort. Es kann nicht „speziellen" geheiften haben, da der Leerraum nach dem Wort „speziell"<br />
noch deutlich sichtbar ist. Vermutlich hat dort „judischen" gestanden; dies wiirde sich<br />
aus dem Zusammenhang am ehesten ergeben, zumal die Mengenlehre von BIEBERBACH und<br />
seinen Anhangern als typisch jiidisch charakterisiert wurde. Zu L. BIEBERBACH S. [Me 1987].<br />
31
aus, well er der Mitarbeiter an der „Threllfallschen Topologie" ist, die wir<br />
nach Krach seinerzeit ablehnten. Tornier kommt nicht mehr in Prage, da<br />
er, obwohl strenger Parteigen., seines Amtes enthoben wurde.<br />
Herr Bieberbach nannte nun als geeigneten Autor Perron - Miinchen.<br />
Wenn wir uns an diesen wenden, so begeben wir uns in gewisse Gefahr,<br />
denn Herr P. wird sich bei dieser speziell [1] Wissenschaft keinen Zwang<br />
auferlegen und Juden nach Herzenslust zitieren. Ich erinnere dabei an<br />
die Korrespondenz, die wir in dieser Beziehung mit ihm wegen der neuen<br />
Auflage von Goschens Lehrbiicherei Band 1 fiihrten.<br />
Neuerdings schrieb Herr Geheimrat Hauiner* „DaJ^ Sie sich wegen einer<br />
Mengenlehre iiberhaupt um jemanden bemiihen, konnte leicht etwas<br />
hinausgeschoben werden, bis klax zu iibersehen ist, ob auch unter den<br />
jetzigen Verhaltnissen die Mengenlehre eine solche Beachtung und Wertschatzung<br />
findet wie bisher."<br />
Vielleicht empfiehlt es sich wegen eines Bearbeiters einmal die Schriftleitung<br />
des Jahrbuches iiber die Fortschritte der Mathematik zu befragen,<br />
die ja im Bilde sein mu£, wer sich auf dem Gebiet besonders betatigt.<br />
Grethlein^^^<br />
In der Unterredung mit Herrn Cram am 28. September 1939 wurde beschlossen,<br />
mit der Neubesetzung zunachst zuzuwarten.^^^<br />
Von HAUSDORFFS Mengenlehre gab es eine russische und eine englische Ausgabe.<br />
Die russische Ausgabe erschien 1937 unter HAUSDORFFS Namen und unter<br />
dem Titel „Mengenlehre" (Teoria mnoshestvch). Als verantwortliche Redakteure<br />
dieser Ausgabe fungierten P. ALEXANDROFF und A. KOLMOGOROFF. AUerdings<br />
- und das ist in der Geschichte der mathematischen Literatur ein ziemlich<br />
ungewohnlicher Fall - erschien hier unter HAUSDORFFS Namen ein Buch, welches<br />
er so nicht geschrieben hatte. Der Sachverhalt wird am besten deutlich,<br />
indem wir im folgenden das Vorwort der Redakteure in deutscher tJbersetzung<br />
abdrucken:<br />
Vorwort zur russischen Ausgabe<br />
Die „Mengenlehre" HAUSDORFFS gehort zum Best and jener einzigartigen<br />
klassischen Werke der mathematischen Literatur, welche nicht nur die<br />
Bilanz einer ganzen Periode in der Entwicklung der jeweiligen Disziplin<br />
Ziehen, sondern auch die Wege der kiinftigen Entwicklung skizzieren.<br />
Wenn man von der „Mengenlehre" HAUSDORFFS spricht, so hat man eigentlich<br />
zwei Biicher im Auge- die erste Auflage, erschienen 1914 unter<br />
dem Titel „Grundziige der Mengenlehre", und die zweite Auflage, erschienen<br />
1927 und einfach als „Mengenlehre" betitelt. Die beiden Biicher unterscheiden<br />
sich in ihrem Inhalt derartig stark voneinander, da£ man sie<br />
^°^Die Unterschrift ist abgekiirzt; aus dem Vergleich mit anderen Dokumenten mit der<br />
Unterschrift von Grethlein wird klar, daft es Grethlein heiften muft.<br />
^^^Staatsbibliothek zu Berlin, Dep. 42 (Archiv de Gruyter), 227. Das Dokument liegt in<br />
einer Mappe „Herrn Geheimrat Hauftner bereits unterbreitet". ROBERT HAUSSNER (1863-<br />
1948) war von 1905 bis 1934 Ordinarius in Jena, danach Emeritus. Er fungierte seit den<br />
zwanziger Jahren als Berater von de Gruyter fxir Goschens Lehrbiicherei. Hauftner gehorte<br />
politisch der extremen Rechten an, s. [Hag 1997], S. 166 ff.<br />
32
als zwei verschiedene Werke betrachten mu£ und nicht als zwei Auflagen<br />
ein und desselben Buches. Die wesentlichen Unterschiede der beiden<br />
Biicher bestehen in folgendem: 1° Die Theorie der topologischen Raume,<br />
welche die Grundlage der Daxstellung in der ersten Auflage ist und<br />
die erstmalig von HAUSDORFF systematisch ausgearbeitet wurde, ist in<br />
der zweiten Auflage nur in einem Paragraphen dargestellt: die gesamte<br />
Theorie der Punktmengen ist in der zweiten Auflage nur fiir metrische<br />
Raume durchgefiihrt; 2° In der zweiten Auflage fehlen die Theorie des<br />
Metres und des Lebesgueschen Integrals, aber auch die Topologie der Euklidischen<br />
Ebene und des n-dimensionalen Raumes; 3° Hinzugefiigt ist in<br />
der zweiten Auflage - und zwar in meisterhafter Ausfiihrung - die Theorie<br />
der ^-Mengen von SUSLIN (in der vorliegenden Ubersetzung werden<br />
diese Mengen in Ubereinstimmung mit der von HAUSDORFF eingefiihrten<br />
Terminologie als Suslinsche Mengen bezeichnet nach ihrem Entdecker<br />
M. J. SUSLIN (geb. 1894, gest. 1919)).<br />
Die Griinde, welche den Autor in der zweiten Auflage zum Verzicht auf<br />
so umfangreiches Material aus der ersten Auflage bewogen haben, hat er<br />
im Vorwort zur zweiten Auflage genannt: sie bestehen im wesentlichen<br />
in der Forderung des Verlages gegeniiber dem Autor, den Umfang einzuschranken.<br />
Zweifellos ist der Verzicht auf den topologischen Aufbau der<br />
Punktmengenlehre, welcher eine der glanzvollsten Errungenschaften der<br />
ersten Auflage des HAUSDORFFschen Buches war, der gr6£te Verlust: der<br />
Autor selbst spricht in seinem Vorwort mit sichtlichem Bedauern von der<br />
Notwendigkeit, so zu verfahren.<br />
Die Redakteure der russischen tJbersetzung haben den Entschlu£ gefa£t,<br />
diese Einbu£e riickgangig zu machen, die das Buch aus au£eren Griinden<br />
erlitten hatte: unterstiitzt in dieser Beziehung vom Verlag ONTI, haben<br />
sie beschlossen, zum topologischen Standpunkt zuriickzukehren, auf<br />
den sich zurecht der ausgezeichnete Ruf der ersten Auflage des Buches<br />
griindet. Wir haben also den Versuch gemacht, die gro£en Vorziige der<br />
zweiten Auflage - Vorziige, die vor allem in der logischen Vollendung und<br />
in der Geschliffenheit (otschlifovka) des gesamten Materials bestehen -<br />
mit den Vorziigen der ersten Auflage zu verbinden. Allerdings war das<br />
gesteckte Ziel durch mechanische Ubertragung des Textes der ersten Auflage<br />
nicht zu erreichen: eben diese erste Auflage wax der Stimulus einer<br />
gewaltigen Entwicklung der Theorie der topologischen Raume mit dem<br />
Ergebnis, da£ diese Theorie iiberhaupt nicht mehr so aussieht, wie sie<br />
1914 aussah, als die erste Auflage des HAUSDORFFschen Buches erschien.<br />
Bei der Umarbeitung derjenigen Kapitel der ersten Auflage, welche der<br />
allgemeinen (topologischen) Mengenlehre gewidmet sind, mu£ten wir diese<br />
somit dem gegenwartigen Stand der Theorie der topologischen Raume<br />
anpassen. Eine dieser Forderung entsprechende Daxstellung der Theorie<br />
wax schon von einem von uns in dem Buch ALEXANDROFF und HOPF,<br />
Topologie I (Kapitel I und II) vorgelegt worden. Von dieser Daxstellung<br />
wurde natiirlich (bei einigen Kiirzungen) Gebrauch gemacht. Die schwierige<br />
Aufgabe der Vereinigung dieses Stoffes mit dem iibrigen St off des<br />
HAUSDORFFschen Buches, seine Einfiigung in den vorgegebenen Rahmen<br />
dieses Buches, die Verschmelzung mit den iibrigen Kapiteln HAUSDORFFS<br />
33
zu einem Ganzen, hat N. B. VEDENISOFF auf sich genommen und, wie<br />
uns scheint, vortrefflich gelost. Diese gesamte Arbeit, die natiirlich den<br />
Rahmen einer iiblichen tjbersetzungsarbeit weit iibersteigt, ist von VE<br />
DENISOFF unter unserer standigen redaktionellen Mitwirkung durchgefiihrt<br />
worden und selbstverstandlich vollstdndig unter unserer und nur<br />
unter unserer Verantwortung}^^<br />
Au£erdem wurden, entsprechend den neuesten Untersuchungen von HAUS-<br />
DORFF selbst, von A. N. KOLMOGOROFF, L. W. KANTOROVITCH und E.<br />
M. LiVENSON, die Paxagraphen umgearbeitet, welche sich auf Mengenoperationen<br />
und ihre Anwendungen beziehen. Es scheint uns, da^ diese<br />
Umarbeitung im Geiste der generellen Absichten des HAUSDORFFschen<br />
Buches erfolgt ist.<br />
Schlie£lich hielten wir es fiir zweckma£ig, dem Buch in Form eines besonderen<br />
Anhangs eine Ubersetzung von HAUSDORFFS Artikel iiber lineare<br />
Raume anzufiigen.^^^ Im letzten Moment haben wir erfahren, da£ auch<br />
HAUSDORFF sich entschieden hat, in der dritten deutschen Auflage ein<br />
Kapitel einzufiigen, welches diesem Gegenstand gewidmet ist.^°^ Somit<br />
hofFen wir, da£ ungeachtet dessen, da£ das HAUSDORFFsche Buch, wie<br />
sich aus dem Gesagten ergibt, unter unseren Handen eine betrachtUche<br />
Umarbeitung erfahren hat, der wahre Geist des Originals in vollem Ma£e<br />
erhalten geblieben ist. Unsere Aufgabe wax es, in die Hande des sowjetischen<br />
Lesers ein Buch zu legen, welches im gro£en und ganzen sowohl die<br />
erste als auch die zweite Auflage des HAUSDORFFschen Buches ersetzt,<br />
dabei aber denjenigen Teil des Originals beibehalt, der beibehalten werden<br />
konnte, weil er sich auf dem aktuellen Stand der Mengenlehre befindet.<br />
Wenn diese Aufgabe von uns einigerma£en zufriedenstellend gelost<br />
worden ist, dann halt der Leser in der Tat einen griindlichen Leitfaden<br />
der Mengenlehre in Handen. Durch dessen Studium wird er sich fiir die<br />
Lektiire beliebiger Spezialliteratur in dieser Disziplin vollstandig vorbereitet<br />
zeigen und er wird nach Kraften an deren fernerer Ausaxbeitung<br />
teilnehmen konnen.<br />
Bolschewo-Komaxovka P. Alexandroff<br />
7. August 1936 A. Kolmogoroff<br />
Ein naherer Vergleich der russischen Ausgabe mit [H 1927a] zeigt folgendes:<br />
Die Kapitel I-IV der russischen Ausgabe sind im wesentlichen wortliche Ubersetzungen<br />
der entsprechenden Kapitel der Mengenlehre. Im Kapitel V gibt es<br />
^°^Die von ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF durch Kursivdruck hervorgehobene Passage<br />
ist wohl nur verstandlich, wenn man bedenkt, daft im Juli 1936 eine groft angelegte Pressekampagne<br />
gegen LUSIN stattfand. Da LUSIN der fiihrende Mengentheoretiker der Sowjetunion<br />
war, wollten es ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF offenbar vermeiden, daft er in irgendeiner<br />
Weise mit der russischen Ausgabe des Buches in Zusammenhang gebracht wiirde, weil dies<br />
das Projekt moglicherweise ernsthaft gefahrdet hatte. LUSIN wird aber uberall korrekt zitiert<br />
so wie in HAUSDORFFS Original.<br />
lo^Es handelt sich um [H 1931].<br />
^°^Die dritte Auflage hat im August 1936 in Moskau offenbar nicht vorgelegen. Auf welche<br />
Information sich ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF hier beziehen, ist unklar. Aus keiner<br />
bisher bekannten Quelle geht hervor, daft HAUSDORFF eine solche Absicht gehabt hat.<br />
34
einen neuen Paragraphen „Mengenoperationen"; ansonsten ist der grosste Teil<br />
von HAUSDORFFS Text vorhanden. Kapitel VI „Topologische Raume" ist vollkommen<br />
neu und stellt einen Auszug aus den Kapiteln 1 und 2 von [AH 1935]<br />
dar. Das nachste Kapitel VII „Metrische Raume" beginnt mit einem Paragraphen<br />
liber vollstandige Raume. Darin ist der Abschnitt fiber dyadische Mengen<br />
und Machtigkeitssatze eine wortliche tJbersetzung der entsprechenden Passagen<br />
in § 26 von HAUSDORFFS Buch. Die weiteren Paragraphen dieses Kapitels mit<br />
den Titeln „Mengenraume", „Zusammenhang in metrischen Raumen", „Jordansche<br />
Kontinua" enthalten zwar einzelne Textstiicke aus der Mengenlehre, sind<br />
im librigen aber neu verfafit. Das Kapitel VIII ist mit „Deskriptive Mengenlehre"<br />
iiberschrieben. Es beginnt mit HAUSDORFFS §32 „Die Borelschen und<br />
Suslinschen Mengen" in weitgehend worthcher Ubersetzung, aber mit einem<br />
neu verfaKten zusatzlichen Abschnitt. Der Machtigkeitssatz auf S. 179 von [H<br />
1927a] heifit in der russischen Ausgabe „Theorem von Alexandroff-HausdorfP'.<br />
Der §33 ,^xistenzbeweise" ist neu verfafit. Der §34 „Kriterien fiir Borelsche<br />
Mengen" ist wortlich libersetzt, enthalt aber einen zusatzlichen Abschnitt „Hinreichende<br />
Bedingungen (Zweite Methode)". Kapitel VIII bringt dann noch<br />
zwei Paragraphen: „Stetige Bilder Borelscher und Suslinscher Mengen" und „Topologische<br />
Invarianz von Mengenklassen". Der erste enthalt das meiste aus<br />
HAUSDORFFS §37 in wortlicher Ubersetzung, der zweite beginnt mit HAUS<br />
DORFFS C^-Satz ([H 1924], [H 1927a], S.214, Satz III, hier auch „Satz von<br />
AlexandrofF-Hausdorff" genannt), ab diesem Satz folgt eine wortliche Ubersetzung<br />
von HAUSDORFFS § 38. Kapitel IX „Reelle Funktionen" schhefilich ist im<br />
wesentlichen eine wortliche Ubersetzung des entsprechenden Kapitels in HAUS<br />
DORFFS Buch.<br />
Es deutet nichts darauf hin, dafi HAUSDORFF iiberhaupt etwas von der russischen<br />
Ausgabe seines Buches erfahren hat. In den Referatenjournalen, zu denen<br />
er mit der Hilfe von E. BESSEL-HAGEN noch Zugang hatte, wird diese Ausgabe<br />
nicht erwahnt. Ob er mit der doch sehr weitgehenden Umarbeitung einverstanden<br />
gewesen ware, la£t sich nicht sagen. Es scheint jedenfalls ziemlich sicher zu<br />
sein, daJ^ er nicht gefragt wurde; ein Einverstandnis seinerseits hatten ALEX-<br />
ANDROFF und KOLMOGOROFF vermutlich erwahnt. Den Verlag brauchte man<br />
nicht zu fragen, denn die Sowjetunion hat sich damals um Fragen des Copyright<br />
nicht gekiimmert.<br />
In der Kampagne gegen LusiN wurde diesem besonders vorgeworfen, dafi<br />
er „liebedienerische Beziehungen" zu auslandischen Gelehrten unterhalten habe^^^,<br />
deren Verdienste iiber Gebiihr herausgestellt habe und es versaumt habe,<br />
die gro£en Verdienste der sowjetischen Mathematik geniigend in den Vordergrund<br />
zu riicken. Das von ALEXANDROFF und KOLMOGOROFF gezeichnete Vorwort<br />
datiert vom 7. August 1936; einen Tag davor war die Stellungnahme der<br />
sowjetischen Akademie zum „Fall Lusin" in der Pravda veroffentlicht worden, in<br />
der zahlreiche Vorwiirfe aus der monatelangen Hetzkampagne noch einmal aufgelistet<br />
waren. Aus heutiger Sicht mu£ man es wiirdigen, da£ ALEXANDROFF<br />
^[Pa 1997], S. 138-140.<br />
35
und KOLMOGOROFF in dieser Situation eine Teoria mnoshestvch unter HAUS-<br />
DORFFs Namen herausbrachten und nicht - die wortlich iibersetzten Kapitel<br />
auch noch modifizierend - unter ihrem eigenen Namen. Dies hatte ganz im Rahmen<br />
der ofRziellen sowjetischen Wissenschaftspolitik gelegen; dafi sie es nicht<br />
taten, kann vielleicht als ein Indiz fiir die tiefe Verehrung und Dankbarkeit<br />
gegeniiber HAUSDORFF gewertet werden.^^^<br />
Die englische Ausgabe der Mengenlehre, deren erste Auflage 1957 bei Chelsea<br />
in New York erschien, ist eine wortliche Ubersetzung von [H 1935a]^^^,<br />
ausgefiihrt von einer Gruppe von Mathematikern unter Leitung von JOHN<br />
R. AuMANN. Vorangestellt ist ein ganz kurzes ,^ditor's Preface", gezeichnet<br />
mit A. G., aus dem ledigHch hervorgeht, dafi sich die Ubersetzungsarbeit lange<br />
hingezogen hat und dafi dem Herausgeber A. G. die Endredaktion oblag. In<br />
der zweiten Auflage (1962) sind zwei je reichUch eine halbe Seite umfassende<br />
Zusatze von R. L. GOODSTEIN angefiigt: „Appendix E, on the contradictions in<br />
Naive Set Theory" und „Appendix F, on the Axiom of Choice".<br />
Die englische Ausgabe war ein sehr erfolgreiches Buch: die vierte Auflage<br />
erschien 1991, fast 80 Jahre nach der Entstehung des grofiten Teiles dieses<br />
Werkes.<br />
Literatur<br />
[AH 1935] ALEXANDROFF, P.; HOPE, H.: Topologie I. Springer-Verlag, Berlin<br />
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Paris 1898.<br />
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seines Werkes. Vieweg, Braunschweig - Wiesbaden 1996.<br />
^^^S.dazu auch Band II dieser Edition, S. 57-58, ferner die Korrespondenz ALEXANDROFF-<br />
HAUSDORFF im Band IX dieser Edition.<br />
^^^Ein Nachdruck von [H 1935a] war bereits 1944 von Dover veranstaltet worden.<br />
36
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der trigonometrischen Reihen. Math. Annalen 5 (1872), 123-132.<br />
[Ca 1882] CANTOR, G.: Uber unendliche lineare Punctmannichfaltigkeiten.<br />
Teil III. Math. Annalen 20 (1882), 113-121.<br />
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Teubner, Leipzig - Berhn 1927.<br />
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Rechte am Ende des Kaiserreiches. Beitrage zur Geschichte des Parlamentarismus<br />
und der politischen Parteien, Band 108. Diisseldorf 1997.<br />
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und Physik 35 (1928), 56-58.<br />
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37
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Operations and Projective Sets (II). Fundamenta Math. 20 (1933), 54-<br />
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[Si 1933] SlERPiNSKi, W.: Le theoreme d^unicite de M. Lusin pour les espaces<br />
ahstraits. Fundamenta Math. 21 (1933), 250-275.<br />
[Si 1937] SlERPiNSKi, W.: Sur un prohleme de la theorie generale des ensembles<br />
concernant les families boreliennes d^ensembles. Fundamenta Math.<br />
29 (1937), 206-208.<br />
[Su 1917] SuSLiN, M.: Sur une definition des ensembles mesurables B sans<br />
nombres transfinis. Comptes Rendus Acad. Paris 164 (1917), 88-91.<br />
[Ta 1936] TARSKI, A.: Sur les classes d^ensembles closes par rapport aux<br />
operations de Hausdorff. Fundamenta Math. 27 (1936), 277-288.<br />
[Ur 1925/1926] URYSOHN, P.: Memoire sur les multiplicites Cantoriennes.<br />
Fundamenta Math. 7 (1925), 30-137; 8 (1926), 225-351.<br />
[VP 1916] VALLEE POUSSIN, C. DE LA: Integrales de Lebesgue, fonctions<br />
d^ensemble, classes de Baire. Gauthier-Villars, Paris 1916.<br />
40
Mengenlehre<br />
Zweite, neu bearbeitete Auflage. W. de Gruyter, Berlin 1927<br />
[H 1927a]<br />
Mengenlehre<br />
Dritte Auflage. Mit einem zusatzlichen Kapitel und einigen<br />
Nachtragen. W. de Gruyter, Berlin 1935<br />
[H 1935a]<br />
Hier abgedruckt ist die um ein zehntes Kapitel erweiterte Auflage von 1935.<br />
Die Kapitel eins bis neun stimmen bis auf minimale Abweichungen mit den<br />
entsprechenden Kapiteln in der Auflage von 1927 liberein. Diese Abweichungen<br />
sind in den Anmerkungen der Herausgeber dokumentiert. Aus der Auflage von<br />
1927 sind Titelei und Vorwort abgedruckt.<br />
41
Goschens Lehrbiicherei<br />
I. Gruppe<br />
Reine Mathematik<br />
Band 7<br />
Mengenlehre<br />
Von<br />
Professor Dr. F. Hausdorff<br />
Walter de Gruyter & Co.<br />
vormals G. J. Goschen'sche Verlag'shandlung<br />
J. Guttentag-, Verlag-sbuclihandlung- — Georg<br />
Reimer — Karl J. Triibner — Veit&Comp.<br />
Berlin W 10 und Leipzig<br />
1927<br />
42
Mengenlehre<br />
Von<br />
Dr. F. Hausdorff<br />
o. Professor der Mathematik<br />
an der Universitat Bonn<br />
Zweite, neubearbeitete Auflage<br />
Mit 12 Figuren<br />
Walter de Gruyter & Co<br />
vormals G. J, Goschen'sche Verlag-shandlungf<br />
J, Guttentagf, Verlag-sbuchhandlung— Georg-<br />
Reimer — Karl J. Triibner — Veit & Comp.<br />
Berlin W lo und Leipzig<br />
1927<br />
43
Alle Rechte, insbesondere das der Uber-<br />
setzung in fremde Spraclien, vorbehalten.<br />
Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W lo<br />
44
Vorwort.<br />
Das vorliegende Werk versucht, die wichtigsten Theoreme der Mengenlehre<br />
mit voUstandig ausgefiihrten Beweisen darzustellen, so da6 seine<br />
Lektiire nirgends der Erganzung durch fremde Hilfsraittel bedarf, wohl<br />
aber ihrerseits zum tieferen Eindringen in die umfangreiche Literatur befahigt.<br />
Es setzt beim Leser keine hoheren mathematischen Kenntnisse<br />
als etwa die Anfangsgrunde der Differential- und Integralrechnung, allerdings<br />
aber eine gewisse Scharfe des abstrakten Denkens voraus und wird<br />
von Studierenden in mittleren Semestern mit Erfolg gelesen werden konnen.<br />
Schwierigere Gegenstande am Ende der einzelnen Kapitel mogen beim<br />
ersten Studium iiberschlagen werden; der Leser, der nur die einfachsten<br />
Tatsachen der Punktmengentheorie kennen lernenwill, kann nach fliichtiger<br />
Durchsicht der ersten beiden Kapitel sogleich das sechste in Angriff<br />
nehmen. — Den Fachgenossen hoffe ich wenigstens in formaler Hinsicht,<br />
insbesondere durch Verscharfung der Satze, Vereinfachung der Beweise<br />
und Befreiung von unnotigen Voraussetzungen, einiges Neue zu bieten.<br />
Die Stoffauswahl mu6 bei einem so ausgedehnten, sich taglich noch<br />
erweiterndem Gebiet immer einen etwas subjektiven Gharakter haben und<br />
manche Wiinsche (auch die des Verfassers) unerftillt lassen: ein Lehrbuch<br />
kann nicht die Vollstandigkeit eines Referats anstreben. In diesem Falle<br />
kam noch hinzu, daB der aufiere Rahmen, in dem das Buch jetzt erscheint,<br />
eine starke Einschrankung des Umfangs gegeniiber der ersten Auflage<br />
(Grundziige der Mengenlehre, Leipzig 1914) erforderte, wodurch eine Umarbeitung<br />
in den kleinsten Teilen notwendig wurde, der ich schheBUch<br />
eine voUige Neubearbeitung vorgezogen habe. Von den damals behandelten<br />
Gegenstanden glaubte ich am ehesten die etwas isoHert fiir sich<br />
steheifde Theorie der geordneten Mengen (bis auf einen geringen Rest) und<br />
sodann die Einfiihrung in die Lebesguesche MaB- und Integraltheorie<br />
opfern zu konnen, fiir die es ja an sonstigen Darstellungen nicht mangelt.<br />
Mehr als diese Streichungen wird vielleicht bedauert werden, daB ich zu<br />
weiterer Raumersparnis in der Punktmengenlehre den topologischen Standpunkt,<br />
durch den sich die erste Auflage anscheinend viele Freunde erworben<br />
hat, aufgegeben und mich auf die einfachere Theorie der metri-<br />
45
Q Vorwort.<br />
schen Raume beschrankt habe, wofiir ein fliichtiger Uberblick (§40) iiber<br />
die topologischen Raume kein geniigender Ersatz ist. SchlieBlich habe<br />
ich die AUgemeinheit wie nach oben, so auch nach unten begrenzt und<br />
die spezielle Theorie der Euklidischen Raume (z. B. den Jordanschen<br />
Satz liber ebene Kurven) weggelassen, d. h. etwa alles, was auf approximierenden<br />
Polygonen und Polyedern beruht; man wird also zwar eine<br />
Menge von Satzen iiber den Euklidischen Raum finden, aber nur solche,<br />
die fiir ihn als Sonderfall eines separablen oder voUstandigen oder lokal<br />
zusammenhangenden Raumes o. dgl. gelten. — Diesen Abstrichen steht<br />
als Zugang gegeniiber eine voUstandigere Behandlung der B or el schen und<br />
der 1917 entdeckten Suslinschen Mengen, sowie der Baireschen Funktionen;<br />
auch stetige Abbildung und Homoomorphie ist eingehender als<br />
damals beriicksichtigt. Zu einer Diskussion iiber Antinomien und Grundlagenkritik<br />
habe ich mich jetzt ebensowenig wie damals entschliefien<br />
konnen. Kleinere Abweichungen zwischen dem alten und dem neuen Buch<br />
betreffen die Benennungs- und Bezeichnungsweise, worin leider noch bis<br />
in die geringsten Einzelheiten verwirrende Unstimmigkeit herrscht; ich<br />
habe, wo ich es fiir richtig hielt, die Vorschlage anderer Autoren beriicksichtigt,<br />
haufig aber auch keinen AnlaU gefunden, von meinen eigenen<br />
Gewohnheiten abzugehen.<br />
Herr H. Hahn hat sich der groBen Miihe unterzogen, eine voUstandige<br />
Korrektur mitzulesen, und mich vielfach mit kritischen Bemerkungen und<br />
wertvollen Verbesserungsvorschlagen unterstiitzt. Verschiedene Anregungen<br />
und Hinweise verdanke ich auch Herrn P. Alexandroff. Fiir<br />
briefliche Mitteilungen und Zusendung von Korrekturen neuerschienener<br />
Arbeiten bin ich Herrn W. Sierpinski verpflichtet. Die Zeichnung der<br />
Figuren hat mir Herr E. A. Weiss abgenommen. Allen diesen Herren<br />
KoUegen sei Hermit der herzlichste Dank ausgesprochen.<br />
46
Mengenlehre<br />
Von<br />
Dr. F. Hausdorff<br />
em. o. Professor der Mathematik<br />
an der Universitat Bonn<br />
Dritte Auflage<br />
Mit 12 Fig-uren<br />
Walter de Gruyter & Co.<br />
vormals G. J. Goschen'sche Verlagshandlung<br />
J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg<br />
Reimer — Karl J. Trubner — Veit & Com^.<br />
Berlin W lO und Leipzig<br />
1935<br />
47
Aus dem Vorwort zur 2. Auflage.<br />
Das vorliegende Werk versucht, die wichtigsten Theoreme der Mengenlehre<br />
mit voUstandig ausgefiihrten Beweisen darzustellen, so daU seine<br />
Lektiire nirgends der Erganzung durch fremde Hilfsmittel bedarf, wohi<br />
aber ihrerseits zum tieferen Eindringen in die umfangreiche Literatur befahigt.<br />
Es setzt beim Leser keine hoheren mathematischen Kenntnisse<br />
als etwa die Anfangsgriinde der Differential- und Integralrechnung, allerdings<br />
aber eine gewisse Scharfe des abstrakten Denkens voraus und wird<br />
von Studierenden in mittleren Semestern mit Erfolg gelesen werden konnen.<br />
Schwierigere Gegenstande am Ende der einzelnen Kapitel mogen beim<br />
ersten Studium iiberschlagen werden; der Leser, der nur die einfachsten<br />
Tatsachen der Punktmengentheorie kennen lernenwill, kann nach fllichtiger<br />
Durchsicht der ersten beiden Kapitel sogleich das sechste in Angriff<br />
nehmen. — Den Fachgenossen hoffe ich wenigstens in formaler Hinsicht,<br />
insbesondere durch Verscharfung der Satze, Vereinfachung der Beweise<br />
uind Befreiung von unn5tigen Voraussetzungen, einiges Neue zu bieten.<br />
Die Stoffauswahl mufi bei einem so ausgedehnten, sich taglich noch<br />
erweiternden Gebiet immer einen etwas subjektiven Charakter haben und<br />
manche Wiinsche (auch die des Verfassers) unerfiillt lassen: ein Lehrbuch<br />
kann nicht die VoUstandigkeit eines Referats anstreben. In diesem Falle<br />
kam noch hinzu, daB der auBere Rahmen, in dem das Buch jetzt erscheint,<br />
eine starke Einschrankung des Umfangs gegenliber der ersten Auflage<br />
(Grundziige der Mengenlehre, Leipzig 1914) erforderte, wodurch eine Umarbeitung<br />
in den kleinsten Teilen notwendig wurde, der ich schlieBlich<br />
eine voUige Neubearbeitung vorgezogen habe. Von den damals behandelten<br />
Gegenstanden glaubte ich am ehesten die etwas isoliert fur sich<br />
stehende Theorie der geordneten Mengen (bis auf einen geringen Rest) und<br />
sodann die Einfiihrung in die Lebesguesche MaB- und Integraltheorie<br />
opfern zu konnen, fiir die es ja an sonstigen Darstellungen nicht mangelt.<br />
Mehr als diese Streichungen wird vielleicht bedauert werden, daB ich zu<br />
weiterer Raumersparnis in der Punktmengenlehre den topologischen Standpunkt,<br />
durch den sich die erste Auflage anscheinend viele Freunde erworben<br />
hat, aufgegeben und mich auf die einfachere Theorie der metri-<br />
49
6 Vorwort.<br />
schen Raume beschrtokt habe, wofiir ein fliichtiger Uberblick (§ 40) liber<br />
die topologischen Raume kein geniigender Ersatz ist. Schliefilich habe<br />
ich die Allgemeinheit wie nach oben, so auch nach unten begrenzt und<br />
die spezielle Theorie der Euklidischen Raume (z. B. den Jordanschen<br />
Satz iiber ebene Kurven) weggelassen, d. h. etwa alles, was auf approximierenden<br />
Polygonen und Polyedern beruht; man wird also zwar eine<br />
Menge von Satzen iiber den Euklidischen Raum finden, aber nur solche,<br />
die fur ihn als Sonderfall eines separablen oder vollstandigen oder lokal<br />
zusammenhangenden Raumes o. dgl. gelten. — Diesen Abstrichen steht<br />
als Zugang gegeniiber eine vollstandigere Behandlung der B or el schen und<br />
der 1917 entdeckten Suslinschen Mengen, sowie der Baireschen Funktionen;<br />
auch stetige Abbildung und Homoomorphie ist eingehender als<br />
damals beriicksichtigt. Zu einer Diskussion iiber Antinomien und Grundlagenkritik<br />
habe ich mich jetzt ebensowenig wie damals entschlieBen<br />
konnen.<br />
Vorwort zur 3. Auflage.<br />
Die immer weiter anhaltende lebhafte Entwicklung der Mengenlehre<br />
hatte an sich wieder eine Neubearbeitung dieses Buches wiinschenswert<br />
gemacht; aus auBeren Griinden muBte davon abgesehen werden. Demgemafi<br />
sind die ersten neun Kapitel ein fast unveranderter Abdruck der<br />
2. Auflage. Um aber den inzwischen erzielten Fortschritten wenigstens<br />
teilweise gerecht zu werden, habe ich in einem neu hinzugefiigten zehnten<br />
Kapitel zwei Gegenstande, die mir das besonders zu verdienen scheinen,<br />
ausfiihrlich dargestellt und auf drei weitere in kleineren Nachtragen,<br />
allerdings ohne Beweise, hingedeutet; der Kreis hatte, ware nicht der<br />
Raummangel hinderlich gewesen, erheblich weiter ausgedehnt werden<br />
konnen.<br />
50
Inhaltsverzeichnis.<br />
Seite<br />
Vorwort 5<br />
Vorbemerkungen '. 9<br />
1. Kapitel: Mengen und ihre Verknupfangen.<br />
§ 1. Mengen 11<br />
§ 2. Funktionen 14<br />
§ 3. Summe und Durchschnitt 17<br />
§ 4. Produkt und Potenz 21<br />
2. Kapitel: Kardinalzahlen.<br />
§ 5. Mengenvergleichung 25<br />
§ 6. Summe, Produkt, Potenz 29<br />
§ 7. Die Skala der Machtigkeiten 33<br />
§ 8. Die elementaren Machtigkeiten . 36<br />
3. Kapitel: Ordiiungstypen,<br />
§ 9. Ordnung 41<br />
§ 10. Summe und Produkt 44<br />
§ 11. Typen der Machtigkeit N*o und X 49<br />
4. Kapitel: Ordnungszahlen.<br />
§ 12. Der Wohlordnungssatz 55<br />
§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen 58<br />
§ 14. Verkniipfungen von Ordnungszahlen 62<br />
§ 15. Die Alefs . 70<br />
§ 16. Der allgenieine Produktbegriff 73<br />
5. Kapitel: Mengensysteme.<br />
§ 17. Ringe und Korper 77<br />
§ 18. Borelsche Systeme 82<br />
§ 19. Die Suslinschen Mengen 90<br />
6. Kapitel: Puiiktmengen.<br />
§ 20. Entfernung 94<br />
§ 21. Konvergenz 103<br />
§ 22. Innere Punkte und Randpunkte. 109<br />
§ 23. Die a-, P-, Y-Punkte 112<br />
§ 24. Relative und absolute Begriffe . * 120<br />
§ 25. Separable Raume 124<br />
51
8 Inhaltsverzeichnis.<br />
Seite<br />
§ 26. Vollstandige Raume 129<br />
§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie 138<br />
§ 28. Mengenraume . 145<br />
§ 29. Zusammenhang 150<br />
7. K a pit el: Punktmengeii und Ordnungszahlen.<br />
§ 30. Hullen und Kerne 164<br />
§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen 173<br />
§ 32. Die Borelschen und Suslinschen Mengen 177<br />
§ 33. Existenzbeweise 181<br />
§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen 184<br />
8. Kapitel: Abbildun^ zweier Raume.<br />
§ 35. Stetige Abbildung . 193<br />
§ 36. Streckenbilder 200<br />
§ 37. Bilder Suslinscher Mengen 208<br />
§ 38. Homoomorphie 213<br />
§ 39. Einfache Kurven 219<br />
§ 40. Topologische Raume 226<br />
9. Kapitel: Reelle Fnnktionen.<br />
§ 41. Funktionen und Urbildmengen 232<br />
§ 42. Funktionen erster Klasse 247<br />
§ 43. Bairesche Funktionen 257<br />
§ 44. Konvergenzmengen 270<br />
10. Kapitel: Erganzungen.<br />
§ 45. Die Bairesche Bedingung 276<br />
§ 46. Halbschlichte Abbildungen 289<br />
Nachtrage 298<br />
Literatur 300<br />
Quellenangaben 301<br />
Register 305<br />
52
Vorbemerkungen.<br />
Intervalle reeller Zahlen werden mit eckigen oder runden Klammern<br />
bezeichnet, jenachdem die Endpunkte mitgezahlt werden soUen odernicht.<br />
Fur a < J ist also<br />
[a, 6] ia,b) [a.b] (a,b)<br />
die Menge der Zahlen ic, die den Bedingungen<br />
^^^^^ a
10 Vorbemerkungen.<br />
einer nach uEten bescJirankten Folge erklart. Entsprechende Bezeichnungen<br />
geltem fiir ZaMenmengen, die nicht in Form einer Folge gegeben<br />
sind, etwa<br />
sup / {x).<br />
Fiir eine nach oben bescbrankte Folge existieren die samtlichen<br />
Suprema<br />
v^ = sup [x„, x^_^i, x^j^2,.,.]<br />
^it ^1 ^ ^2 ^ • • •; wenn diese v^ nach unten beschrankt sind und also<br />
einen Grenzwert v haben, so heiBt dieser der obere Limes oder Limes superiorder<br />
Folge, in Zeichen<br />
V == lim sup a;„ =^ lim ic„.<br />
Entsprechend ist der untere Limes oder Limes inferior<br />
u = lim inf x^ = lim x^<br />
zu erklaren.<br />
Falls die iiber Beschranktheit gemachten Voraussetzungen nicht zutreffen,<br />
werden die Zeichen i co verwendet. Z. B.Jiir eine nach oben<br />
nicht beschrankte Folge rr„ wird sup Xn~ + oo^ limrr^ = -f- oo gesetzt;<br />
fiir eine nach obeia beschrankte Folge x.,^, I'ur welche die obigen Suprema<br />
t;^ nicht nach unten beschrankt sind, lima;^ == — cx).<br />
Fiir Konvergenz von Folgeii und Funktionen verwenden wir in der<br />
Kegel das Zeicheu des Pfeiles, z. B.<br />
Xn->X soviel wie limx^ = x,<br />
ebenso fiir eigentliehe Divergenz (x^-^ + oo, x^-^— oo).<br />
Eine Behauptung iiber die natlirliche Zahl n (= 1, 2, 3,. ..) gilt<br />
schlieplich oder fiir fast alle n (G. Kowalewski), wenn sie von einem<br />
bestimmten B ab (y^ ^ n^ oder fiir alle n mit hochstens endlich vielen Ausnahmen<br />
gilt; sie gilt unendlich oft^ wenn sie fiir unendlich viele n gilt (z. B.<br />
fiir ^i = 2, 4, 6,8,. . -). Wenn wir von fast alien oder unendlich vielen<br />
Gliedem einer Folge x^ sprechen, so meinen wir die zu fast alien oder unendlich<br />
vielen Werten n gehorigen Glieder x^^ mogen diese Glieder verschieden<br />
sein oder nicht.<br />
54
Erstes Kapitel.<br />
Mengen und ihre Verknupfungen.<br />
§ 1. Mengen. [i]<br />
Eine Menge entsteht durch Zusammenfassung von Einzeldingen zu<br />
einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht. Wenn<br />
diese oder ahnliche Satze Definitionen sein wollten, so wiirde man mit<br />
Recht einwenden, dafi sie idem per idem oder gar obscurum per obscurius<br />
definieren. Wir konnen sie aber als Demonstrationen gelten lassen, als<br />
Verweisungen auf einen primitiven, alien Menschen vertrauten Denkakt,<br />
der einer Auflosung in noch urspriinglichere Akte vielleicht weder fahig noch<br />
bediirftig ist. Wir wollen uns mit dieser Auffassung begniigen und es als<br />
Grundtatsache hinnehmen, da6 ein Ding M in eigentiimlicher, nicht definierbarer<br />
Weise gewisse andere Dinge a^b^c^. , , und diese wiederum<br />
jenes bestimmen; eine Beziehung, die wir mit den Worten ausdriicken: die<br />
Menge M besteht aus den Dingen a^b, c,, . ,<br />
Eine Menge kann aus einer natiirlichen Zahl von Dingen bestehen<br />
oder nicht; je nachdem heiBt sie endlich oder unendlich, Beispiele sind [2]<br />
einerseits die Menge der Einwohner einer Stadt, der Wasserstoffatome in<br />
der Sonne, der natiirlichen Zahlen von 1 bis 1000, andererseits die Menge<br />
aller natiirlichen Zahlen, aller Punkte einer Geraden, aller Kreise in einer<br />
Ebene. Es ist das unsterbliche Verdienst Georg Cantors (1845—1918),<br />
diesen Schritt in die Unendlichkeit gewagt zu haben, unter inneren wie<br />
auBeren Kampfen gegen scheinbare Paradoxien, populare Vorurteile, philosophische<br />
Machtspriiche (infinitum actu non datur), aber auch gegen Bedenken,<br />
die selbst von den groBten Mathematikern ausgesprochen worden<br />
waren. Er ist dadurch der Schopfer einer neuen Wissenschaft, der Mengenlehre<br />
geworden — denn die Betrachtung endlicher Mengen ist ja nichts<br />
weiter als elementare Arithmetik und Kombinatorik —, die heute das<br />
Fundament der gesamten Mathematik bildet. An diesem Triumph der<br />
Cantorschen Ideen andert es nach unserer Ansicht nichts, daB noch<br />
eine bei allzu uferloser Freiheit der Mengenbildung auftretende Antinomie [3]<br />
der vollstandigen Aufklarung und Beseitigung bedarf.<br />
Die fundamentale Beziehung eines Dinges a zu einer Menge A, der es<br />
angehort, bezeichnen wir mit G. Peano in Wort und Formel folgender-<br />
"^^^^^' a ist Element von A: aeA.<br />
55
12 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.<br />
Das Gegenteil dieser Aussage lautet:<br />
a ist nicht Element von A: a'eA.<br />
W Zwei Mengen werden dann und nur dann als gleich, in Formel<br />
definiert, wenn jedes Element der einen auch Element der andern ist (also<br />
wenn beide dieselben Elemente enthalten). Hiernach ist eine Menge durch<br />
ihre Elemente eindeutig bestimmt; wir bringen dies so zum Ausdruck, daB<br />
wir die Menge durch die zwischen geschwungene Klammern gesetzten Elemente<br />
bezeichnen, wobei nicht angegebene Elemente durch Punkte angedeutet<br />
werden. So ist<br />
A = {a}, A == {a, J}, A = {a, b, c}<br />
die Menge, die aus dem einen Element a, den beiden Elementen a, A, den<br />
drei Elementen a, i, c besteht;<br />
A = {a, i, c,. ..}<br />
ist eine Menge, die aus den Elementen a, 6, c und (moglicherweise) noch<br />
andern besteht. Welches diese andern, durch Punkte bezeichneten Elemente<br />
sein soUen, muB natiirlich irgendwie angegeben werden, z. B.<br />
die Menge der naturlichen Zahlen (1, 2, 3,.. .}<br />
die Menge der geraden naturlichen Zahlen {2, 4, 6, . . .}<br />
die Menge der Quadratzahlen {1, 4, 9,. ..}<br />
die Menge der Potenzen von 2 {1, 2, 4, 8, ...}<br />
die Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7/.. .}.<br />
Eine Unterscheidung zwischen dem Ding a und der Menge {a}, die<br />
nur dies eine Element hat, ist begrifflich jedenfalls notwendig (wenn auch<br />
praktisch oft belanglos), schon weil wir auch Mengen (Systeme) zulassen<br />
werden, deren Elemente selbst wieder Mengen sind. Die Menge a == {1, 2}<br />
besteht aus den zwei Elementen 1, 2, die Menge {a} aus dem einen Element a.<br />
Wir lassen aus ZweckmaBigkeitsgriinden auch eine Menge 0, die Nullmenge<br />
oder leere Menge, zu, die kein Element enthalt^). Nach der Definition<br />
der Gleichheit von Mengen gibt es nur eine NuUmenge. .4=0 bedeutet,<br />
daB die Menge A kein Element hat, leer ist, „verschwindet". WoUten wir<br />
die NuUmenge nicht als Menge zulassen, so wiirden wir in zahllosen Fallen,<br />
wo wir von einer Menge sprechen, zu dem Zusatz genotigt sein: falls diese<br />
Menge existiert. Denn die Definition der Elemente einer Menge sagt uns<br />
haufig noch gar nicht, ob solche Elemente vorhanden sind; z. B. ist bis<br />
jetzt nicht bekannt, ob die Menge der natiirlichen Zahlen n, fiir welche die<br />
Gleichung a;** + ^ + t/^ + ^ == z" "^ ^ in naturlichen Zahlen x, y, % losbar ist,<br />
^) Ob das Zeichen 0 die NuUmenge oder die Zahl Null bedeutet, geht<br />
aus dem jeweiligen Zusammenhang unzweideutig hervor.<br />
56
§ 1. Mengen. 13<br />
leer ist oder nicht (d. h. ob der beriihinte Fermatsche Satz rich tig ist oder [5]<br />
nicht). Die Aussage ^ = 0 kann also eine wirkliche Erkenntnis — natiirlich<br />
in andern Fidlen auch eine Trivialitat — bedeuten; viele oder, wenn man<br />
vor Kiinsteleien nicht zuriickschreckt, alle mathematischen Behauptungen<br />
lassen sich auf die Gestalt ^ = 0 bringen. Die Einfuhrung der NuUmenge<br />
ist demnach, wie die der Zahl Null, durch Zweckmafiigkeitsgrunde geboten;<br />
andererseits zwingt sie auch manchmal, das Nichtverschwinden einer Menge<br />
(wie das einer Zahl) unter den Voraussetzungen eines Satzes ausdriicklich<br />
namhaft zu machen.<br />
Sind A und B zwei Mengen, so entsteht die Frage, ob die Elemente<br />
der einen vielleicht auch der andern angehoren. Bedeuten a und b Elemente<br />
von A und B^ so woUen wir zunachst die beiden Alternativen bilden:<br />
jedes asB^ nicht jedes a£i>\<br />
jedes beA^ nicht jedes be A.<br />
Durch deren Verbindung erhalten wir vier mogliche Falle, von deneis<br />
die drei ersten durch eine beigefligte Forme! bezeichnet werden:<br />
(1) Jedes asB^ jedes be A : A=B<br />
(2) Jedes asB^ nicht jedes bsA : A cz B<br />
(3) Nicht jedes asB^ jedes beA -. A z> R<br />
(4) Nicht jedes aeB^ nicht jedes beA.<br />
Im Fall (1) sind in der Tat beide Mengen gleich^ naeh der friiherai<br />
Erklarung. Im Fall (2) enthalt A nur Elemente von J^^ aber nicht aHe,<br />
wodurch sich A als die kleinere, B als die groBere Menge charakterisierfc;<br />
dies wird durch die Bezeichnung A^zB ZIHU Ausdruck gebracht, die an [6]<br />
die Zahlenbeziehung a < p erinnern soil. Im Fall (3) steht es umgekehrfc,<br />
sodafi ^ :=> JB so viel wie B ^A ist. Im allgemeinen wird keiner dieser<br />
Falle, sondern der Fall (4) eintreten, zu dessen besonderer Bezeichnung kein<br />
AnlaB besteht.<br />
Die Relation „kleiner als" ist transitw^ d. h. aus A
14 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfiingen.<br />
da6 es gar kein a gibt^). Dabei bedeutet 00, daB die<br />
Menge B nicht leer ist. Die ZweckmaBigkeit jener Verabredung tritt z. B.<br />
hervor, wenn wir die Teilmengen einer endlichen Menge zahlen. Die Teilmengen<br />
von {1, 2, 3} sind<br />
0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2.3}, {1,2,3},<br />
es gibt ihrer 8 == 2^. Eine Menge aus n Elementen besitzt I I Teilmengen,<br />
die aus m Elementen bestehen, wobei I I — —7-7—'-—n der Binomial-<br />
koeffizient und I A ) == I I = 1 zu setzen ist; die Anzahl der Teilmengen ist<br />
(o)+(")+•+(»-i)+(:)--<br />
Schon dies einfache Ergebnis spricht fiir den oben erklarten Begriff<br />
der Teilmenge.<br />
Ist A^B^ so bedeute<br />
B~ A<br />
die Menge der Elemente von 5, die nicht Elemente von A sind; diese Differenz<br />
wird auch das Komplement i>on A in B genannt. Ollenbar ist<br />
B~0 = B, B-B==0,<br />
B~-(B -A)=:A.<br />
Es sei ausdriicklich hervorgehoben, weil andere Autoren anders verfahren,<br />
daB wir bei der Differenzbildung den Subtrahenden stets als Teilmenge<br />
des Minuenden annehmen. Z. B. setzt die Schreibweise C — {B ~ A)<br />
zunachst A ^B^ sodann B — A ^C voraus. Beispiel: A = {5, 6, 7, . . .}<br />
sei die Menge der natiirlichen Zahlen von 5 ab, j^ = {1, 2, 3,.. .} die Menge<br />
aller natiirlichen Zahlen, C == (1, 2, 3, 4, 5, 6} die Menge der ersten sechs<br />
natiirlichen Zahlen. Hier ist ^ - ^ - {1, 2, 3, 4}, C - (^ - ^) = {5, 6).<br />
§ 3. Funktionen.<br />
Der Funktionsbegriff ist fast ebenso fundamental und urspriinglich<br />
wie der Mengenbegriff. Eine funktionale Beziehung baut sich aus<br />
Elementpaaren ebenso auf wie eine Menge aus einzelnen Elementen.<br />
Statt eines einzelnen Elementes betrachten wir eine Zusammenstellung<br />
von zwei Elementen in einer bestimmten Reihenfolge oder, wie wir es nennen,<br />
[7] ein geordnetes Paar (a, b) von Elementen, worin a das erste, b das zweite<br />
^) Ausfuhrlicher: die Aussage „wenn aeA, so ist auch aeB'' ist richtig, weil<br />
die Voraussetzung ae^ nie erfiillt ist. Sind p, q Urteile, so ist die Aussage „wenn<br />
p richtig ist, so ist auch q richtig" (aus p folgt q) gewiB richtig, wenn p falsch ist.<br />
Aus einem falschen Urteil folgt jedes beiiebige Urteil; wenn 2 x 2 = 5, so gibt<br />
es Hexen.<br />
58
§ 2. Funktionen. 15<br />
Element ist. Zwei solche geordneten Paare gelten dann und nur dann als<br />
gleich, wenn sie dasselbe erste und dasselbe zweite Element haben:<br />
(a*, b*) = (a, b) soviel wie a* = a^ b* = b.<br />
Die Paare (a, b) und (J, a) sind hiernach verschieden, falls a^b; andererseits<br />
hindert nichts, auch aus zwei gleichen Elementen ein geordnetes Paar<br />
(a, a) zu bilden. Z. B. entstehen durch Kombination natiirlicher Zahlen<br />
die geordneten Paare<br />
(1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1)...;<br />
solcher Art sind die Doppelindizes an den Elementen einer Matrix oder<br />
Determinante. Durch Kombination reeller Zahlen entstehen die geordneten<br />
Zahlenpaare (rr, y); durch solche Paare Cartesischer Koordinaten, bei denen<br />
die Abszisse x und die Ordinate y nicht vertauscht werden diirfen, lassen<br />
sich die Punkte der Ebene darstellen.<br />
Das geordnete Paar (a, b) ist eine andere Begriffsbildung als die Menge<br />
{a, ft}; bei dieser sind a und b als verschieden angenommen, und es kommt<br />
auf die Reihenfolge nicht an.<br />
Die geordneten Paare ermoglichen die Einfiihrang des Fuaktionsbegrifles,<br />
wie sie uns auch zur Multiplikation (§ 4) und zur Ordnung (§ 9)<br />
von Mengen dienen werden. Sei P eine Menge geordneter Paare p = (a, b);<br />
fiir jedes in P vorkommende Paar p {peP) wollen wir b ein Bild von a,<br />
a ein Urbild von b nennen, und es sei A die Menge aller Urbilder a (d. h.<br />
aller ersten Elemente von Paaren peP), B die Menge aller Bilder b (d. h.<br />
aller zweiten Elemente von Paaren peP). Hiernach bestimmt jedes a<br />
seine Bilder, jedes b seine Urbilder; das ist der Zusammenhang, der zwischen<br />
den Mengen A und B durch die Paarmenge P hergestellt wird: es findet,<br />
wie man sagt, eine Abbildung der einen Menge auf die andere statt.<br />
In dem besonderen Falle, wo jedes a nur ein einziges Bild b besitzt,<br />
bezeichnen wir dieses durch a bestimmte, von a abhangige Element b mit<br />
b = f{a)<br />
und sagen, da6 dies eine in der Menge A definierte eindeutige Funktion ^on a<br />
sei. Z, B. definiert die Menge der Paare (1, 2) (2, 1) (3, 2) eine Abbildung<br />
der Menge A = {1, 2, 3} auf die Menge B = {1, 2}, und zwar eine in der<br />
Menge A eindeutige Funktion, namlich<br />
/(I) ==2, /(2) = 1, /(3) = 2,<br />
Wenn iiberdies auch jedes b nur ein einziges Urbild a hatj so bezeielmen wir<br />
dieses durch b bestimmte Element a mit<br />
a = g{b)<br />
und haben damit eine in B definierte eindeutige Funktion von h, Jede<br />
dieser Funktionen heiBt zur andern infers oder die Umkehrung der andem;<br />
beide werden als eindeutig umkehrbar oder eineindeutig bezeichnet; man<br />
59
16 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.<br />
nennt die zwischen A und B bestehende Abbildung eineindeutig oder schlicht<br />
und sagt, daB zwei Mengen -A, B, die in einer solchen Beziehung stehen<br />
konnen, dquwalent seien, in Zeichen<br />
A^B, B^A.<br />
Dieser fundamentale Begriff der Aquivalenz wird die Grundlage des zweiten<br />
Kapitels bilden; begniigen wir uns hier mit dem Beispiel der Aquivalenz<br />
zwischen der Menge A der natiirlichen und der Menge B der geraden (positiven)<br />
Zahlen. Die Menge der geordneten Paare<br />
(1, 2) (2, 4) (3, 6) . . .<br />
stellt die eineindeutige Beziehung her, indem sie jeder natiirlichen<br />
Zahl a das Bild J=2a, jeder geraden Zahl b das Urbild a = | J zuordnet.<br />
Wenn das Element a mehrere Bilder hat, so wird die Bezeichnung<br />
b — f(a) in dem Sinne beibehalten werden konnen, daB f(a) nicht ein<br />
einziges, sondern mehrere (vielleicht unendlich viele) Elemente b bedeutet;<br />
wir haben dann eine mehrdeutige Funktion /(a). Das Entsprechende gilt<br />
von g(b); beide, im allgemeinen mehrdeutige Funktionen heiBen auch jetzt<br />
noch zueinander invers. Ein haufig zu betrachtender Fall ist der, daB<br />
zwar f(a) eindeutig, die Umkehrungsfunktion g(b) aber mehrdeutig ist.<br />
Z. B, definiert die Menge der geordneten Paare (a, sin a), wenn a alle reellen<br />
Zahlen durchlauft, eine Abbildung der Menge A aller reellen Zahlen auf<br />
die Menge B der Zahlen — 1 < i ^ 1 von der Art, daB zwar J = sin a<br />
eindeutig, a = arc sin 6 aber in der bekannten Weise mehrdeutig ist, namlich<br />
nicht nur eine Zahl a^mit b = sin ao, sondern zugleich alle Zahlen 2k7t + a^<br />
und (2k + l)7t — a^ik ganzzahhg) bedeutet. BeschrSnkt man statt dessen<br />
a auf das Intervall —- ^ ^ a ^ ^, so wird die Beziehung zwischen beiden<br />
Mengen eindeutig umkehrbar.<br />
Die hier gegebene Definition des Funktionsbegriffs wird dem Anfanger,<br />
der noch im Bann der elementaren, allenfalls der stetigen Funktionen steht,<br />
etwas abstrakt erscheinen; sie ist aber notwendig, um diesem fundamentalen<br />
Begrif! seine Freiheit und Allgemeinheit zu lassen. Es ist, um bei<br />
der eindeutigen Funktion / (a) zu bleiben, nur wesentlich, daB / (a) nach<br />
irgendeiner Vorschrift (die hier durch die Paarmenge P gegeben war) ein<br />
durch a wohlbestimmtes Element ist, unwesentlich, ob sich diese Vorschrift<br />
durch „analytische Ausdriicke" oder sonstwie fixieren laBt, unwesentlich<br />
auch, ob unsere Kenntnisse und Hilfsmittel uns gestatten, auch nur fiir ein<br />
einziges a die tatsachliche Bestimmung von / (a) durchzufiihren. Dasselbe,<br />
[8] was hier iiber den allgemeinen, von Dirichlet formulierten Funktionsbegriff<br />
gesagt wurde, ware auch schon iiber den Cantorschen Mengenbegrifl<br />
zu sagen gewesen. Die Menge der rationalen Zahlen ist wohl-<br />
60
§ 3. Summe und Durchschnitt 17<br />
definiert, obwohl wir nicht wissen, ob ^ zu ihr gehort oder nicht, und die<br />
Funktion/(a), die fiir rationales a gleich 1, ftir irrationales gleich 0 sein<br />
soil, ist wohldefiniert, obwohl wir den Wert von j{n^) nicht kennen.<br />
§ 3, Summe und Durchschnitt.<br />
Sind A^ B zwei Mengen, so verstehen wir unter ihrer Summe<br />
S=^A+B<br />
die Menge der Elemente, die zu A oder zu B (oder auch zu beiden) gehoren,<br />
unter ihrem Durchschnitt<br />
D = AB<br />
die Menge der Elemente, die zugleich zu A und zu B gehoren. Wenn D = 0^<br />
die beiden Mengen A, B also kein gemeinsames Element haben^ so heiBen sie<br />
zueinander fremd oder disjunkt; nur in diesem Falle bezeichnen wir die<br />
Summe auch mit<br />
S = A +B<br />
und bemerken, daB dann offenbar S — A == B^ S •— B = A ist ^).<br />
BeispieL A sei das Intervall ^) [!«3], d. h. die Menge der reellen<br />
Zahlen x mit 1 ^ ic ^ 3, B ebenso das Intervall [2,4]. Dann ist S das<br />
Intervall [1,4], D das Intervall [2,3].<br />
Sind A^ B endliche Mengen und zueinander fremd^ A aus m, B dius n<br />
Elementen bestehend, so besteht A + B aus m + n Elementen.<br />
Es ist<br />
S-A=-B~D, S-B^^^A-D,<br />
ersteres namlich die Menge der Elemente, die nur zu 5, nicht zu A gehoren.<br />
Also<br />
D=:B-- {S,- A) = A-{S'- B),<br />
der Durchschnitt laBt sich mit Hilfe von Summe und Differenz bilden.<br />
Die Summen- und Durchschnittsbildung laBt sich otne weiteres auf<br />
beliebig, endlich oder unendlich viele Mengen ausdehnen. Als abkiirzendes<br />
Summenzeichen verwenden wir das deutsche @, bei disjunkten Summanden<br />
auch das griechische -^, als abkiirzendes Durchschnittszeichen das deutsche<br />
2D. Denken wir uns zunachst einmal den natiirlichen Zahlen 1, 2,.. ., A:<br />
oder auch alien naturlichen Zahlen 1,2,.. • Mengen A^^ A^^ . .. zugeordnet<br />
(wobei schon der Begriff der eindeutigen Funktion aus § 2 zur Anwendung<br />
kommt), die iibrigens durchaus nicht paarweise versehieden zii sein<br />
brauchen, so ist ihre Summe<br />
^) Manche nennen die Summe auch Verelnigimg oder Yereieigungsmeiige;<br />
andererseits wird vielfach die Addition auch nicht fremder Siimmaiiden mit dem<br />
einfachen Pluszeichen (ohne Punkt) geschrieben. Das Zeichen + wurde von<br />
C. Garatheodory eingeftihrt.<br />
2) Wegen der Bezeichnung der Intervalle vgl. die Vorbemerkungen.<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 2<br />
61
IQ Erstes Eapitel. Mengen und ihre Verknupfungen.<br />
4^ W<br />
m<br />
die Menge der Elemente. die mindestens einem A^ angehoren, ihr Durchschnitt<br />
m ^<br />
die Menge der Elemente, die alien A^ zugleich angehoren. Nur wenn die<br />
Summanden disjunkt^ d. h. paarweise fremd sind, also<br />
schreiben wir die Summe auch<br />
A^An==0 fur m^n,<br />
Endlich der allgemeine Fall: den Elementen m einer Menge<br />
M = {/n, n,,p^^*.} seien Mengen A^ zugeordnet; dann ist ihre Summe<br />
die Menge der Elemente, die mindestens einem A^ angehoren, ihr Durchschnitt<br />
M<br />
die Menge der Elemente, die alien A^ zugleich angehoren; im Falle disjunkter<br />
(paarweise fremder) Summanden schreiben wir auch<br />
M<br />
^ = Am + ^n ~\~ Ajj -\- ' ' ' = 2Aji^.<br />
Beispiele: M = {0, 1, 2,...} sei die Menge der ganzen Zahlen ^ 0 und<br />
Ajn die Menge der naturlichen Zahlen, die genau durch 2"* teilbar sind, also<br />
^ ==:{!, 3, 5, 7,...}<br />
A, = {2, 6,10,14,...}<br />
A, = (4,12, 20, 28,. . .}<br />
A, = {8, 24, 40, 56,. . .}<br />
M<br />
dann ist S = A^. + A. + A^-\ = 2A^<br />
die Menge aller naturlichen Zahlen.<br />
M sei die Menge der reellen Zahlen m > 1 und ^,^ = [0, m) das Intervall<br />
der Zahlen O^x
§ 3. Summe und Durchschnitt. 19<br />
A+B = B + A, AB^BA,<br />
^j^J^B) + C:=^A + {B + C)=:A+B + C, (AB)C = A (BC) =^ABC,<br />
(A +B)C = AC +BC,<br />
AB + C=^(A +0(5 + 0.<br />
Von den beiden letzten Formeln, den distributiven, ist die erste<br />
evident und auch die zweite leicht einzusehen; wir bemerken noch den<br />
nachst allgemeineren Fall<br />
Sind samtliche A^ Teilmengen einer mnfassenden Menge E wid<br />
B^ = E — A^ ihre Komplemente, m ist<br />
E = eA^+ |B^ = ^A^ + BB^.<br />
m m m tn<br />
Denn jedes Element von E gebort entweder mindestens eifflem ^^ an<br />
(also zu QA^) oder keinem, im letzteren Falle gehort es alien B^ an (also<br />
zu SJB^). Wir konnen diese wichtige Formei kurz so aussprechen: aas<br />
Komplement der Summe ist der Durchschnitt der Komplemente^ das Komplement<br />
des Durchschniits ist die Summe der Komplemente. Wenn also eine<br />
Menge P aus den Mengen A^^ durch wiederholte Summen- und Durclischnittsbildung<br />
hervorgeht, so ^rlialt man ihr Komplement Q — E — P,<br />
indem man die A^^ durch ihre Komplemente B^ ersetzt und zugleich die<br />
Operationen
20 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.<br />
hier insbesondere das Gleichheitszeichen, so heiBt die Menge A — A = A<br />
der Limes der Mengenfolge<br />
A = Lim^n,<br />
und diese Folge wird komergent genannt.<br />
Beispiele. Fiir die Folge M, JV, M, N,,,, ist M + N der obere, MN<br />
der untere Limes; sie konvergiert nur fiir M = N. Eine aufsteigende<br />
Folge il^g-Aag- • • konvergiert nach der Summe @^nj ^^^^ absteigende<br />
^1S ^2 § • •' ^^ch dem Durchschnitt 2)^„, eine Folge disjunkter Mengen<br />
nach der NuUmenge. — Man bezeichne mit A^ das Intervall [0, 1], mit<br />
^25 -^3 die beiden Intervalle [0, |], [|, 1], mit A^^ A^, A^ die drei Intervalle<br />
[0, ^], [1^, f], [f, 1] mid fahre so fort. Der obere Limes der Folge<br />
An ist das Intervall [0,1], der untere die NuUmenge.<br />
1st wieder E eine alle An umfassende Menge und Bn = E ~ ^„, so<br />
ist E = A+B = A+B.<br />
Denn ein xeE gehort entweder fast alien An^ d. h. nur endlich vielen Bn^<br />
oder unendlich vielen Bn an.<br />
Die Mengen A^A entstehen aus den An durch wiederholte Summenund<br />
Durchschnittsbildung, und zwar ist<br />
4. == A + ^2 + A + • • •, ^n = AnAn+l^n+2 • • ,<br />
A = SiSzS^ ... , Sn ^ An + An+i + ^n+2 H •<br />
Die erste Formel folgt unmittelbar aus der Definition, die zweite am einfachsten<br />
durch Komplementbildung.<br />
Die Mengen -4, A bleiben ungeandert, wenn man in der Folge An<br />
endlich viele Mengen weglaBt, hinzufiigt oder abandert. Ferner ist fiir<br />
eine Teilfolge Ap (wo p eine Folge natiirlicher Zahlen durchlauft) offenbar<br />
Lim An^ Lim A^^him A^^ Lim An•<br />
Wenn die ganze P^olge nach A konvergiert, so auch jede Teilfolge.<br />
CharakteristischeFunktionen (C. de la Vallee Poussin). Jeder Teilmenge<br />
A einer festen Menge E lafit sich umkehrbar eindeutig eine in E definierte<br />
Funktion f{x) zuordnen, die nur die Werte 0, 1 annimmt, namlich<br />
f{x) = i fiir xeA^ f(x) = 0 fiir xeE — A.<br />
Man nennt das die charakteristische Funktion zur Menge A; wir bezeichnen<br />
sie, indem wir nur die Abhangigkeit von A hervorheben und das Argument x<br />
weglassen, einfach mit [A]. Der ganzen Menge E entspricht die konstante<br />
Funktion [E] == 1, der NuUmenge 0 die konstante Funktion [0] = 0.<br />
Den Verkniipfungen von Mengen entsprechen einfache Verkniipfungen<br />
der charakteristischen Funktionen. So ist<br />
[B^A]'^[B]^[A] (A^B)<br />
64
§ 4. Produkt und Potenz. 21<br />
eine Gleichung, die, wie die folgenden, fur jede Stelle x gilt; denn man hat<br />
fiir die drei moglichen Falle<br />
Insbesondere ist<br />
Ferner ist<br />
xe E — B,<br />
[A]= 0 ,<br />
[5] = 0 ,<br />
[B-A]^ 0 ,<br />
und durch Komplementbildung<br />
iE-A]==i-[A].<br />
[AB]=^[A-][B]<br />
B- A,<br />
0 ,<br />
1 ,<br />
1 ,<br />
[4+B] = l-{l-[^])(l-m),<br />
lA+B-i+iAB]=lA]+lB],<br />
insbesondere fiir disjunkte Summanden<br />
iA+B]^[A} + lBl.<br />
Andererseits ist auch<br />
[4 + ^] = max liAl [B]l [AB] = min [[^3, [B]]<br />
und allgemein fiir die Sumnae S = ^A^ und den Durchschnitt D = S ^4^<br />
beliebig vieler Mengen<br />
A :<br />
1<br />
1<br />
0.<br />
[S} = max [A^l [D] = min [A^J.<br />
Fiir den oberen Limes A = Lim A^^ und den unteren A = Lim A^<br />
einer Mengenfolge ist<br />
__ [A] = lii^[.4 J, [A] = lim [il J;<br />
denn lim [.4^] ist dann und nur dann = 1 (sonst = 0), wenn unendlich oft<br />
[A^] = 1, d. h. xeAn, xeA^ und lim [A^] ist dann und nur dann = 1, wenn<br />
schlielilich X S -^fi) X S A, Fiir den Limes A = Limii„ einer konvergenten<br />
Mengenfolge ist [^] = lim [A^].<br />
§ 4. Produkt und Potenz.<br />
Es bleibt uns noch iibrig, das Produkt von Mengen zu definieren.<br />
Bilden wir aus zwei Mengen il, 5 die Menge P dm geordneten Paare (§ 2)<br />
p = (a, b), worin a alle Elemente YOU A^ b alle Elemente Ton B durcMauft,<br />
also<br />
psP soviel wie aeA^ beB.<br />
Falls die Mengen^) endlich sind und A aus M, B aus n Elementen besteht,<br />
besteht P aus mn Elementen^ so daB diese Paarmenge tatsachlich den<br />
Charakter eines Produkts hat. Es sei bemerkt, daB diese Qollstdndige Paar-<br />
^) Diese mussen hier nicht disjunkt und konnen sogar identisch sein.<br />
65
22 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungen.<br />
menge, diea/tePaaremit asA^beB enthalt, alle jene Paarmengen, die nach<br />
§ 2 eine funktionale Beziehung zwischen A und B vermitteln, zu Teilmengen<br />
hat; sie selbst liefert die „meistdeutige", die in starkstem MaBe mehrdeutige<br />
Abbildung, indem sie jedem a alle b als Bilder, jedem b alle a als<br />
Urbilder zuordnet. — Zur Bezeichnung des Produkts steht uns die einfache<br />
Schreibweise AB^ die bereits an den Durchschnitt vergeben ist, nicht mehr<br />
zur Verfiigung. Nun konnen wir ja aus den Mengen A^ B selbst ein geord-<br />
[9] netes Paar (A, B) bilden, und es steht uns frei, diesem Gebilde selbst wieder<br />
die Bedeutung einer Menge zu geben, namlich das geordneie Mengenpaar<br />
als Menge der geordneten Elementpaare zu definieren. D. h. fiir geordnete<br />
Elementpaare und Mengenpaare wird die £-Beziehung<br />
(a^b) 6(A,B) soviel wie asA^bsB<br />
erklart, w^hrend andere Dinge als Elementpaare liberhaupt nicht als Elemente<br />
einer Menge (.4, B) auftreten soUen. Dann ist also<br />
P = (A,B)<br />
das Produkt der beiden Mengen.<br />
BeispieL A und B seien Mengen reeller Zahlen. Wird das Zahlenpaar<br />
(a, b) durch den Punkt einer Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten<br />
a, b Oder, kurz, durch den Punkt (a, b) dargestellt, so ziehe man durch alle<br />
Punkte (a, ()){aeA) der X-Achse Parallelen zur y-Achse, durch alle Punkte<br />
(0, b) (bsB) der Y-Achse Parallelen zur Z-Achse; die Schnittpunkte (a, b)<br />
dieser Parallelen bilden das Produkt {A, B).<br />
Das Produkt laBt sich als Summe aquivalenter Summanden auffassen<br />
(§6).<br />
Die Ausdehnung des Produkts auf mehr als zwei Faktoren bietet keine<br />
Schwierigkeit. Analog wie die geordneten Paare (a, b) lassen sich geordnete<br />
[10] Tripel (a, b, c) erklaren, das sind Zusammenstellungen von drei Elementen<br />
m bestimmter Reihenfolge, also mit der Gleichheitsdefinition<br />
(a*, J*, c*) = (a, b, c) soviel wie a* = a, 6* = b, c^ ~ c\<br />
iibrigens brauchen diese drei Elemente nicht verschieden zu sein. Die<br />
geordneten Tripel (a, i, c), worin a alle Elemente von A^ b alle Elemente<br />
von 5, c alle Elemente vonC durchlauft, bilden per definitionem die Menge<br />
[A, B, C), das Produkt der drei Mengen A, B, C Ebenso ist fiir jede endliche<br />
Faktorenzahl zu verfahren.<br />
Das kommutative und assoziative Gesetz gelten bei den Produkten<br />
zwar nicht im Sinne der Gleichheit, wohl aber der Aquivalenz (§ 2). Die<br />
Elemente (a, b) und (6, a) der Mengen {A, B) und (5, ^1) sind ja nicht dieselben,<br />
stehen aber in umkehrbar eindeutiger Beziehung, so daB (A^ B) ^^<br />
(B^ A), Auch die Elemente ((a, 6), c) von ((^, 5), C), d. h. die geordneten<br />
Paare, deren erstes Element ein geordnetes Paar (a, b), deren zweites ein<br />
66
§ 4. Produkt und Potenz. 23<br />
Element c ist, sind mit den Tripeln (a, ft, c), den Elementen von {A^ B, C)<br />
nicht identisch, entsprechen ihnen aber eineindeutig, und es ist<br />
Um Produkte mit beliebiger Faktorenmenge zu erklaren, verallgemeinern<br />
wir zuerst den Begriff des geordneten Paares oder Tripels, indem<br />
wir jedem Element m einer Menge M = {m, n^g^. >.} irgendein Element<br />
a^ zuordnen oder, anders gesagt, eine eindeutige Funktion / (m) = a^ in<br />
M definieren; die Zusammenstellung dieser Elemente liefert das, was man<br />
einen Elementkomplex<br />
oder auch (Cantor) eine Belegung der Elemente m mit den Elementen a^<br />
nennt. Beide Namen bezeichnen keine neue Konstraktion, sondem sind<br />
eben Synonyme fiir jene in M delSnierte Fimktion f(m), Zwei Elementkomplexe<br />
gelten dann und nur dann als gleich, wenn sie jedem m dasselbe<br />
Element a^ (als Bild) zuordnen, d. h.<br />
{a%y «*, «*,•••)= i^hnj «^«, «
24 Erstes Kapitel. Mengen und ihre Verkniipfungeii.<br />
Die Zuordnung der A„^ zu den m ist so viel wie Definition einer eindeutigen<br />
Funktion F{m) = A^ in il/, einer Funktion, deren „Werte" nicht<br />
Elemente, sondern Mengen sind. Und das Produkt P ist die Menge aller<br />
eindeutigen Funktionen /(m), fiir die<br />
f(m)eF(m) fiir jedes meM.<br />
Lassen wir endlich alle A^^ = A zusammenfalien, so definieren wir mit<br />
P = A^^<br />
die Potenz (mit der Basis A und dem Exponenten M) als Produkt von<br />
lauter gleichen Faktoren. Dies ist also die Menge aller Elementkomplexe<br />
P — i^mi ^m ' ' •)? deren Elemente zu A gehoren {a^eA, a^e-4,. ..), oder<br />
die Menge aller eindeutigen Funktionen a = f{m), die jedem meM als<br />
Bild ein Element aeA zuordnen.<br />
Ein wichtiges Beispiel: A = (a, J} bestehe aus zwei Elementen; A^<br />
ist die Menge der Funktionen f(m), fiir die<br />
/ (m) = a oder b.<br />
Jede solche Funktion f(m) bestimmt^) die Menge Ma derjenigen m,<br />
fiir die f(m) = a, sowie die Menge il/j derjenigen m, fiir die f(m) = 6, wobei<br />
M - Ma + Mj,<br />
eine Spaltung von M in zwei komplementare Teilmengen ist. Ist umgekehrt<br />
Mf^ eine beliebige Teilmenge von J/, Mj,= M — Ma ihr Komplement<br />
in M, und definieren wir<br />
/ (m) ~ a fiir me M^, f (m) = b fiir me Mi,,<br />
so haben wir eine unserer Funktionen /(w). Die Funktionen f{m) und die<br />
Mengen Ma^ M stehen also in umkehrbar eindeutiger Beziebung, d. h.<br />
A^^ ist mit der Menge aller Teilmengen von M dqui
§ 5. Mengenvergleichung. 25<br />
Zweites Kapitel.<br />
Eardinalzahlen.<br />
§ 6. Mengenvergleichung.<br />
Wir nannten (§ 2) zwei Mengen aquivalent, in Formel<br />
wenn sich eine umkehrbar eindeutige Zuordnung ihrer Elemente herstellen<br />
laBt, derart, daB jedem aein einziges b = f (a), jedem b ein einziges a = g(b)<br />
entspricht. Offenbar gilt:<br />
wenn A -^ B, ist B ^ A:<br />
wenn J-B, B^C, ist^^-C;<br />
man sagt, daB dife Aquivalenzbezieiiiing reflexw, symmetrisch und transitip<br />
sei.<br />
Endliche Mengen^) sind ersichtlich dann und nnr dann aquivalent^<br />
wenn sie dieselbe Anzahl von Elementen haben. DemgemaB sagen wir<br />
allgemein, daB aquivalente Mengen dieselbe Kardinalzahl oder Mdchtigkeit [ii]<br />
haben. D. h. wir ordnen jeder Menge A ein Ding a zu derart, daB aquivalenten<br />
Mengen und nur solchen dasselbe Ding entspricht:<br />
a = b soviel wie A --^ B,<br />
Diese neuen Dinge nennen wir Kardinalzahlen oder Machtigkeiten;<br />
wir sagen: A hat die Machtigkeit a, a ist die Machtigkeit von A^ wohl auch<br />
(indem wir a als Zahlwort verwenden) A hat a Elemente,<br />
Diese formale Erklarung sagt, was die Kardinalzahlen sollen^ nicht<br />
was sie sind. Pragnantere Bestimmungen sind versucht worden, aber sie<br />
befriedigen nicht und sind auch entbehrlich. Relationen zwischen Kardinalzahlen<br />
sind ims nur ein bequemer Ausdruck fiir Relationen zwischen<br />
Mengen: das „Wesen" der Kardinalzahl zu ergriinden, mussen wir der<br />
Philosophic uberlassen.<br />
Einer endlichen Menge aus n Elementen {n = 1, 2, 3, . ..) wird als<br />
Machtigkeit die Zahl n zugeordnet, der Niillmenge die Zahl 0.<br />
Die Machtigkeit der Menge {1, 2, 3^...} der natiirlichen ZaWen wird<br />
^0 (Alef-Null) genannt^). Mengen dieser Machtigkeit, die sich also in<br />
Gestalt einer Folge<br />
^') Eine vollstandige Mengenlehre hat auch die Theorie der endlichen<br />
Mengen und der nattirlichen Zahlen exakt %VL begriinden; wir wollen hier diese<br />
Praliminarien als erledigt ansehen.<br />
^) f< ist der erste Buchstabe des hebralschen Alphabets.<br />
69
26 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.<br />
{«!, ag, ag,...} (a^ zfz a^ fur mz^n)<br />
setzen lassen, heiBen abzdklbar^).<br />
Der Menge der reellen Zahlen oder der damit aquivalenten Menge der<br />
Punkte einer geraden Linie geben wir die Machtigkeit N (Alef); sie heiBt<br />
die Machtigkeit des Kontinuums.<br />
Die Machtigkeit der abzahlbaren Mengen wird vielfach mit a, die des<br />
Kontinuums mit c bezeichnet.<br />
Wir haben schon bei der ersten Einfiihrung des Begriffs die Aquivalenz<br />
der Menge der natiirlichen Zahlen mit der der geraden Zahlen erwahnt. Wie<br />
die folgende Zusamlnenstellung lehrt, in der die iibereinanderstehenden<br />
Zahlen einander zuzuordnen sind:<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
10<br />
2<br />
2<br />
4<br />
3<br />
4<br />
100<br />
3<br />
3 . . n<br />
6 .. 2n<br />
5 . . 2n<br />
9 . . n^<br />
1000 . . . 10"<br />
5 •• P»<br />
(/?„ die nte Primzahl)<br />
sind die Menge der natiiriichen, der geraden, der ungeraden, der Quadratzahlen,<br />
der Potenzen yon 10, der Primzahlen allesamt einander aquivalent,<br />
haben also dieselbe Machtigkeit NQ. Man kann die Liste weiterfiihren und<br />
Zahlenfolgen immer rapideren Wachstums bilden (man denke etwa an 10,<br />
10^®, 10^°^^,...), die dennoch, wie diinn sie auch in der Menge aller natiirlichen<br />
Zahlen gesat sein mogen, keine geringere Machtigkeit als die Gesamtmenge<br />
haben. Diese Verletzung des Axioms „totum parte majus*' ist eine<br />
jener „Paradoxien des Unendlichen'', an die man sich gewohnen muB und<br />
gewohnt hat; zwischen den Gesetzen endlicher und unendlicher Mengen<br />
gibt es naturgemaB Abweichungen, die selbstverstandlich gar keinen Einwand<br />
gegen die unendlichen Mengen begriinden.<br />
Die Zahlen- oder Punktintervalle 0^a:
§ 5. Mengenvergleichung. 27<br />
I. Jede unendliche Menge enthdlt eine abzdhlbare Teilmenge.<br />
Es sei % ein Element der unendlichen Menge A^ a2 ein Element der<br />
(immer noch) unendlichen Menge A — {aj}, a^ ein Element der (immer<br />
noch) unendlichen Menge A — {aj, a^ usw. Die paarweise verschiedenen<br />
Elemente %, ag, as,... bilden eine abzahlbare Teilmenge von A.<br />
II. Jede unendliche Menge ist mit einer echten Teilmenge dgui^alent [12]<br />
Indem man aus der unendUchen Menge A eine abzahlbare Teilmenge<br />
herauszieht und deren Komplement in A mit B bezeichnet, erhalt man<br />
dies ist z. B. mit<br />
A = {«!, ag, . .., a„ ,., ,} + B;<br />
{flfg, %, ' . ., «n+li , . ,} + B<br />
aquivalent (man ordne jedem a„ als Bild a^^i^ Jedem J^JB als Bild b selbst zu).<br />
Umgekehrt kann eine mit einer echten Teilmenge aquivalente Menge<br />
nicht endlich sein. Diese Eigenschaft charakterisiert also die unendlichen<br />
Mengen (und ist von R. Dedekind zur Definition der unendlichen<br />
Mengen verwendet worden).<br />
III. (Aquivalenzsatz von F. Bernstein.) Zwei Mengen^ deren jede [13]<br />
mit einer Teilmenge der andern aquivalent ist^ sind selbst dquipalent.<br />
Es sei A '^ B^^ B ^-^ A^^ A-^ Teilmenge von A^ und zwar echte, da sonst<br />
nichts zu beweisen ist, also AiCzA^B^^zB. Durch die eineindeutige<br />
Abbildung von B auf A^ wird auch B^ auf eine (echte) Teilmenge A^ von A^<br />
abgebildet, also<br />
Demnach ist der Satz auf folgenden zuriickgefiihrt:<br />
wenn A ::::> A^:^ A^, A--^ A^-, so ist A ^ A^^<br />
d. h. wenn eine Menge zwischen zwei dquimlenten Mengen liegt^ s& ist sie<br />
mit diesen aquivalent,<br />
Bei der eineindeutigen Abbildung von A auf A2 werde A^ aiif AQ,<br />
A2 auf ^4, ^3 auf Jig usw. abgebildet, wobei also<br />
Sei<br />
D = AA^Az...<br />
der Durchschnitt der Mengen A^^ dann ist<br />
A :=D + {A~A,) + {Aj,- A2) + {A2 - ^3) + C^3 - ^4) + • • '<br />
A^ = D + (^1 - ^2) + {A^ - A^) + f J3 - ^,) + . . .<br />
Denn, um z. B. die erste Forme! zu beweisen: ein Element aeA gehort entweder<br />
alien A^ an, alsg zu D, oder es gibt ein erstes 4^, dem es nicht angehort,<br />
wahrend es noch zu ^,t_i gehort, also a€A^_i — A^ {AQ = A gesetzt).<br />
Da nun<br />
A Aj '-^ A2 -^3 "^ A^ ^5 ,^ . . . ^<br />
71
28 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.<br />
so ist auch<br />
{A ~ A^) + (^, ^ ^3) + (A^ ^ A^) + (4, -- ^.) + . . .,<br />
die links stehende Menge wird auf die rechts stehende abgebildet. Indem<br />
man die librigen Elemente von A sich selbst als Bilder zuordnet, erhalt<br />
man eine eineindeutige Abbildung von A auf ^1, also A ^ Ai,<br />
Bis jetzt haben wir nur von Aquivaleiiz, also von Gleichheit zweier<br />
Kardinalzahlen gesprochen. Die nachste Frage ware nun: wenn zwei<br />
Mengen nicht aquivalent, also ihre Kardinalzahlen ungleich sind, lafit sich<br />
danri in natiirlicher Weise die eine Kardinalzahl als die groBere, die andere<br />
als die kleinere definieren? Kurz gesagt: haben die Kardinalzahlen<br />
GroBencharakter ? Sind sie vergleichbar ?<br />
Die Antwort scheint vorlaufig verneinend auszufallen. Bedeuten A<br />
und B zwei Mengen, A^^ und B^ irgendwelche Teilmengen von ihnen, so bestehen<br />
vier Moglichkeiten:<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
Es gibt ein A^<br />
Es gibt kein A^<br />
Es gibt ein A^<br />
Es gibt kein Aj^<br />
B und ein B^^ A.<br />
5, aber ein B^^A,<br />
BJ aber kein B^-^A.<br />
'B und kein B^^A,<br />
Im Fall (1) ist nach dem Aquivalenzsatz a = b; im Fall (2) wird man<br />
naturgemaB a < b, im Fall (3) a > b zu definieren haben. Im Fall (4)<br />
konnen wir offenbar, wegen seiner Symmetrie in bezug auf beide Mengen,<br />
weder Oi b definieren, da sonst beides zugleich gelten miiBte;<br />
ebensowenig ist a = b zulassig, was mit der bisherigen natiirlichen Definition<br />
der Gleichheit in Widerspruch treten wiirde. Wir haben hier also<br />
eine vierte Relation, die wir a 11 b schreiben und als Unvergleichharkeii<br />
von a mit b bezeichnen, wahrend in den drei ersten Fallen a und b<br />
vergleichbar heiBen soUen. Also.<br />
(1) (i=^^^<br />
(2) a < b > a, b vergleichbar<br />
(3) (i>\>^<br />
(4) a II b a^h unvergleichbar.<br />
Die Vergieichbarkeit ware also nur zu retten, wenn man zeigen konnte,<br />
daB der vierte Fall tatsachlich nicht eintreten kann. Bei zwei endlichen<br />
Mengen ist dies in der Tat der Fall; denn ist, mit Numerierung der Elemente,<br />
A = {%, ag,. . ., a^}, B == {ij, ^2? • • •? M ^^^ bildet man behufs<br />
eineindeutiger Zuordnung die Paare (%, J^), (ag, ^2) ^sw., so kommt man<br />
zu Ende, sobald eine der Mengen verbraucht ist. (Auch eine endliche und<br />
eine unendliche Machtigkeit sind stets vergleichbar, jene ist die kleinere.)<br />
Auf eine ahnhche, aber erst spater exakt zu begriindende Art (mittels Wohlordnung<br />
der Mengen, § 13) werden wir kiinftig zeigen, daB der Fall (4^<br />
niemals eintreten kann, zwei Kardinalzahlen also stets vergleichbar sind.<br />
72
§ 6. Summe, Produkt, Potenz. 29<br />
1st A einer Teilmenge von B aquivalent (Fall (1) oder (2) tritt ein), so<br />
ist a == b oder a < b, was wir in a ^ b zusammenfassen. Der Aquivalenzsatz<br />
schreibt sich dann in der einleuchtenden Form: wenn a^h und<br />
a'^hy so ist a~h.<br />
Ist a = b, ah, a||b,<br />
so ist b = a, h>a^ b fc
30 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.<br />
Oder sie zerfallt in die drei abzahlbaren Mengen der Zahlen, die durch 3<br />
dividiert die Reste 0,1, 2 geben, also<br />
^0 + ^0 + ^0 = ^\ ;<br />
dasselbe folgt aus dem assoziativen Gesetz<br />
^
§ 6. Summe, Produkt, Potenz. 31<br />
DieVereinigungderabzablbar vielenlntervalle [n — 1, n) (/i = 1,2,...)<br />
zur Halbgeraden gibt<br />
praziser a^ + Og + Og + •••== ^^ fiir ai = Ug = O3 = • • • = N.<br />
Fiir jede unendliche Macbtigkeit a ist a + ^0 = ^' Denn nach § 5,1<br />
lafit sich setzen a = b + ^07 ^Iso<br />
a + vSo = (b + No) + No = b + (vSo + No) = b + Xo - a.<br />
Die Macbtigkeit einer unendlicben Menge wird durch Tilgung endbcb<br />
vieler Elemente nicht verringert, d. b. weiin a — h + n^ a unendlicb,<br />
n endlicb, so ist a = b. In der Tat ist<br />
a = a + No - b + (;x + No) = 6 + «o = 6,<br />
da aucb b unendlicb ist.<br />
Bestebt A aus m, B aus n Elementeiij so hat das Prodidct {A^B]<br />
mn Elemente (§ 4). Ferner gEt allgemein: ist A^^A^ B^^B^ so ht<br />
{Aj^, Bi)'-' (4, B). Dies berechtigt zu der Definition:<br />
Das Produkt ab zweier KaFdinalzaWen ist die Maehtigkeit des Mengenprodukts<br />
(A, B), wenn A^ B irgend zwei Mengen mit den Machtigkeiten<br />
32 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.<br />
M<br />
(A, M) == 2A^<br />
folgt die behauptete Zahlengleichung. Zum Beweis der zweiten Formel<br />
M<br />
kann man in TIA^ direkt A^ — A setzen und erhalt A^,<br />
Fiir die definieiten Prozesse gelten nun kommutative, assoziatxve und<br />
distributive Gesetze, mit deren voUstandiger Ausfuhrung wir den Leser<br />
nicht plagen woUen; begniigen wir uns, kurz den Beweis der Potenzregeln<br />
zu skizzieren.<br />
1st If = ilf 1 + ^2^ so erhalt man eine in M definierte Funktion /(m),<br />
indem man eine in M^ definierte firn^) und eine in M2deiimeTte fim^) zu<br />
einem Eunktionenpaar verbindet. Das liefert die Aquivalenz<br />
und allgemein fiir eine beliebige Summe ^M^ disjunkter Summanden<br />
LaBt man den Index 7i von M^ eine Menge N durchlaufen und nimmt<br />
dann alle M^ aquivalent einer und derselben Menge M, so folgt<br />
A^^>^) ^ (A^)^,<br />
Andererseits sei A ={A-j^,A2)] man definiert das Paar (%, ag) als<br />
Funktion von w, indem man zwei Funktionen a^ = fi(m), a^ — f^i^) zu<br />
einem Paare verbindet; daraus folgt<br />
{A^,A^)''~{Af,A¥)<br />
und fiir ein beliebiges Produkt<br />
(A^,A2.,.,r^{Af,Af,.,.),<br />
sowie abermals, wenn der Index n von A^ eine Menge N durchlauft und alle<br />
An gleich A angenommen werden.<br />
In Kardinalzahlen haben wir also folgende Potenzregeln ^):<br />
(a, 02...)'" = af a§'...<br />
(a"*)" = a"<br />
Beispiele fur Produkt und Potenz:<br />
2 No = No + No = No<br />
"No = No H h No = No<br />
und aus der Summe iiber abzahlbar viele Summanden No<br />
NoNo = No + No + ----No,<br />
N^ = NoNo-No,<br />
K = NoN« ... No = No.<br />
1) 0." ist = l, 1'" = 1, 0'" = 0 zu setzen; jedes Produkt verschwindet,<br />
falls einer der Faktoren verschwindet. 0" zu definieren ist zwecklos.<br />
76
§ 7. Die Skala der Machtigkeiten* 33<br />
o*"^" ist die M^chtigkeit der Menge aller Funktionen a ~ f(n) (n natiirliche<br />
Zahl, asA) oder aller Folgen<br />
(«!, ag,...) (ansA),<br />
wo A eine Menge der Machtigkeit a bedeutet; z. B. 2^» die der Menge aller<br />
dyadischen^ aus den Ziffern 0,1 gebildeten Folgen, 10^» die der Menge aller<br />
dekadischen^ aus den Ziffern 0; 1,..., 9 gebildeten Folgen.<br />
Die Menge aller Teilmengen einer Menge M von der Machtigkeit m hat<br />
die Machtigkeit 2^.<br />
Denn wir sahen (§ 4), daB diese Menge mit A^ aquivalent ist, wo A<br />
aus zwei Elementen besteht.<br />
§ 7. Die Skala der MaeMgkeiten.<br />
Bis jetzt wissen wir noch nicht, ob unendliche Machtigkeiten verschieden<br />
sein konnen oder ob vielleicht das popular© Vorurteil berechtigt<br />
ist, das im Unendlichen die bloBe indifferente, der Abstufung unfahige<br />
Negation des Endlichen erblickt.<br />
L Es ist stets 2^ > nt, d, h. die Menge der Teilmengen ^>on M hat grofiere<br />
Machtigkeit als M selbst,<br />
Zunachst gibt es ein mit M aquivalentes System von Teilmengen,<br />
namlich das der einelementigen {m}, msM, Also ist 2"^ ^ m.<br />
Andererseits denken wir uns ein mit M aquivalentes System von Teilmengen,<br />
indem wir jedem Element meM umkehrbar eindeutig eine Teilmenge<br />
M^ g M entsprechen lassen, und wollen zeigen, daB es dann<br />
immer noch eine weitere; von alien il/,» verschiedene Menge N^M gibt,<br />
womit die Gleichung 2^ = tn ausgeschlossen ist. Das Element m kann<br />
der ihm zugeordneten Menge M^ angehoren oder nicht:<br />
entweder meM^ oder meM^;<br />
die von den Elementen der zweiten Art gebildete Menge N ist daim gewiB<br />
von alien M^ verschieden. Denn da<br />
meN soviel wie meM^<br />
ist, so wiirde, wenn fiir irgendein m N = M^ ware, der Widerspruch<br />
msNy meN herauskommen. Oder anders ausgedriickt: gehort m zu M^,<br />
so gehort es nicht zu N; gehort m nicht zu Jf^j so gehort es zu N; M^ und N<br />
unterscheiden sich also jedenfalls, da m der einen, aber nicht der andern<br />
Menge angehort.<br />
Mit I ist also die Existenz verschiedener und zwar unendlich vieler<br />
verschiedener unendlicher Kardinalzahlen gesichert; gehen wir von einem<br />
unendlichen m (z. B. ^^ oder >^) aus, so konnen wir bilden<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 3<br />
77
34 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.<br />
xni = 2^" >m,<br />
lUa == 2"^^ > nil,<br />
(iibrigens gilt I auch fiir endliche m: 1 = 2 0, 2 = 2^ > 1,.. .)-<br />
Ferner ist dann m + tUx + TUg + • • • eine noch groBere Kardinalzahl,<br />
und mit dieser kann der ProzeB fortgesetzt werden; allgemein gilt:<br />
II. Ist jedem msM eine Kardinalzahl a^ zugeordnet und befindet sich<br />
unier diesen keine grofite^ so ist die Summe<br />
M<br />
grbf^er als jedes a^.<br />
Denn zunachst ist sicher a ^ a^ fiir jedes m, wobei aber die Gleichheit<br />
ausgeschlossen ist, da sonst a^ die groBte unter den gegebenen Kardinalzahlen<br />
ware.<br />
Beispielsweise wiirde, wenn es unvergleichbare Kardinalzahlen a, b<br />
gibt, a + h groBer als jede von beiden sein.<br />
Die Satze I, II ermoglichen ein unbegrenztes Aufsteigen zu hoheren<br />
Machtigkeiten. Freilich bieten sie auch den Angriffspunkt fur eine Antinomie<br />
(S. 11): da es zu jeder Menge von Kardinalzahlen eine noch groBere<br />
gibt, so kann keine solche Menge alle Kardinalzahlen umfassen, und die<br />
[15] ,,Menge aller Kardinalzahlen'' ist undenkbar. Wir werden hier also vor<br />
die Tatsache gestellt, daB die Forderung, ,,alle" Dinge einer gewissen Art<br />
zu sammeln, nicht immer voUziehbar ist: wenn man sie alle zu haben glaubt,<br />
sind es doch nicht alle. Das Beunruhigende dieser Antinomie liegt nicht<br />
darin, daB sich ein Widerspruch ergibt, sondern daB man auf einen Widerspruch<br />
nicht gefaBt war: die Menge aller Kardinalzahlen scheint a priori so<br />
unverdachtig wie die Menge aller natiirlichen Zahlen. Daraus entsteht<br />
nun die Unsicherheit, ob nicht auch andere, vielleicht alle unendlichen<br />
Mengen solche widerspruchbehafteten Scheinmengen, „Unmengen'' sein<br />
mogen, und sodann die Aufgabe, diese Unsicherheit wieder zu beseitigen;<br />
die Mengenlehre ist auf neuer (axiomatischer) Grundlage so aufzubauen,<br />
daB Antinomien ausgeschlossen sind. Wir konnen auf die dahin zielenden,<br />
von E. Zermelo begonnenen und sicheren Erfolg versprechenden Untersuchungen<br />
in diesem Buche nicht eingehen und miissen unseren „naiven''<br />
Mengenbegrif! festhalten.<br />
[16] III. (Satz von J. Konig). Sind jedem meM zwei Kardinalzahlen a,„, b^<br />
zugeordnet und ist stets a,^ < b^, so ist<br />
M M<br />
m m<br />
Dies ist eine Verallgemeinerung des Satzes I, der fiir a^ === i^ b,^^ = 2<br />
daraus entsteht.<br />
7S
§ 7. Die Skala der Machtigkeiten. 35<br />
Beweis. Wir bezeichnen der Einfachheit wegen einige Elemente von<br />
M mit 1, 2, 3,.... Die A^ seien disjunkte Mengen von den Machtigkeiten<br />
a^, die 5^ Mengen von den Machtigkeiten b^; wegen der Ersetzbarkeit<br />
der B^ durch aqnivalente Mengen kann A^ als Teilmenge von J5„j<br />
angenommen werden, also<br />
A^ 0,<br />
M<br />
Mit ^ - ^ .4^ == ^1 + ^2 + ^3 + • • • + ^m + • • •<br />
m<br />
M<br />
B = tlB^ == (B^, B^, B^, .. ., 5^, . . .)<br />
soil a < b nachgewiesen werden. B ist die Menge der Komplexe<br />
Zunachst ist a ^ b. Denn sei c^j ein festes Element ans £7^ = J5^ — il^^<br />
so bilden die Komplexe<br />
die nur je ein a^ (das die Menge A^ diircMauft) und sonst laeter Elemente c<br />
enthalten, Teilmengen von J9, die paarweise fremd und mit A^^A^y. . .,<br />
A^y.., aquivalent sind; also ist A mit einer Teilmenge von B<br />
Equivalent.<br />
Andererseits sei<br />
P = IP^ = P, + i>, + i>3 + - • + P„» + - •<br />
eine mit A aquivalente Teilmenge von B (P^-- A^); wir zeigen, da6 sie<br />
nicht mit der ganzenMenge J? identisch sein kann, womit also dieGleichung<br />
a = b ausgeschlossen ist und nur a ' ' ')<br />
und insbesondere die zugehorigen Elemente ^^^; sie bilden in B^ eine<br />
Menge D^ von einer Machtigkeit ^ a^ (denn es gibt ja nur a^ Komplexe<br />
p^y also, da zu verschiedenen p^ nicht einmal verschiedene 6,^^ gehoren<br />
miissen, hochstens o^ verschiedene i^^J. Demnach ist D^ d B^ oder<br />
^m = ^m + E^i E^ ^ 0. WaMt man nun ein beliebiges Element e^^ von<br />
-^mi ^«^ jedes msM^ so ist der Komplex<br />
p = (6ji, ^25 e^,.«.5 e^^., .)<br />
von alien p^ verschieden (^^ =|=^ b^^) imd rwar fur jedes m, er gehdrt<br />
also nicht zu P und es kann nicht P = B gewesen mm. Damit ist der<br />
Konigsche Satz bewiesen.<br />
79<br />
S*
36 Zweites Kapitel. Kardinalzahleu.<br />
Sei speziell 0 < aj < ag < • • • eine Folge wachsender Machtigkeiten,<br />
so ist<br />
§ 8. Die eiementaren Machtigkeiten. 37<br />
(1,1) (1,2) (1,3)<br />
(2,1) (2,2) (2,3)<br />
(3,1) (3,2) (3,3).<br />
andererseits die samtlichen nattirlichen Zahlen ebenfalls in eine solche<br />
Matrix anordnet (zwei Beispiele S. 30) und die auf gleichen Platzen stehenden<br />
Elemente einander entsprechen ISBt. Das Diagonalschema liefert folgende<br />
Korrespondenz:<br />
n: 1 2 3 4 5 6 ...<br />
(p,q): (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) ....<br />
wobei die Zahlenpaare nach wachsender Summe p + q und bei gleicher<br />
Summe nach wachsendem p geordnet sind. Das dyadische Schema liefert<br />
dieBeziehung „ = 2^i(2g-l).<br />
die nach p, q eindeutig „auflosbar" ist.<br />
(y) Die Menge aller endlichen Komplexe natiirlicher Zahlen (pj), (p^, p^),<br />
(Pii P2> Ps)j • • -J (Pij P2» • • •) P*)) • • •> WO also k und die pt alle natiirlichen<br />
Zahlen durchlaufen. Ihre Machtigkeit ist<br />
^0 + ^? + ^^g + - • = f «S = f ^5e = ^0^0 - ^0-<br />
Die Zuordnung zwischen diesen Komplexen und den naturiehen<br />
Zahlen n wird etwa durch die dyadische Entwicklung<br />
vermittelt (z. B. wird der Zahl 27 = 1 + 2 + 2^ + 2^ der Komplex<br />
(1, 1, 2, 1) zugeordnet).<br />
(d) Die Menge der rationalen Zahlen.<br />
LaBt man der positiven rationalen Zahl —, wo p und q teilerfremde<br />
natiirliche Zahlen sind, das Zahlenpaar (p, q) entsprechen (Beispiel {fi))^<br />
so wird die Menge der - mit einem Teil der Menge der (p, q) aquivalent,<br />
hat also eine Machtigkeit 35 !>¥> a > ^ ' 1» 5J 15---J<br />
wobei also die reduziblen Briiche wegzulassen sind.<br />
Auch die Menge aller rationalen Zahlen ist abzahlbar, ebenso die der<br />
rationalen Zahlen eines Intervalls. Die des Intervalls (0, 1) lassen sich<br />
z. B. auch so in eine einfache Folge bringen, dafi man nach wachsenden<br />
Nennern und bei Gleichheit dieser nach wachsenden Zahlern ordnet:<br />
81
38 Zweites KapiteL Kardinalzahlen.<br />
"5"' 3 ' 3 » 4 ' 4 ' 5 ' f) ' 5 > 5 ' * • • •<br />
Dafi die Menge der rationalen Zahlen, die docli (geometrisch gesprochen)<br />
die gerade Linie uberall dicht erfiillen, keine hohere Machtigkeit<br />
hat als die der ganzen, gehort wie vieles andere zu den Tatsachen der<br />
Mengenlehre, die iiberraschend und sogar paradox wirken.<br />
[18] (e) Die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen.<br />
Auch diese Menge, wiederum viel feiner und dichter als die der rationalen<br />
Zahlen, ist nur abzahlbar. Beweisen wir es gleich fiir die reellen und<br />
komplexen algebraischen Zahlen; eine algebraische Zahl A-ten Grades ist<br />
Wurzel einer (durch sie eindeutig bestimmten) irreduziblen Gleichung<br />
x^ + ?\x^-'^ H + rj,_ix + rj,-=0<br />
mit rationalen Koeffizienten. Solcher Gleichungen gibt es unendlich viele,<br />
aber gewiB nicht mehr, als es Komplexe (ri,>2, . . ., rj^) rationaler Zahlen<br />
gibt (da nicht alle Komplexe irreduzible Gleichungen liefern), also hochstens<br />
^l = ^Q, Also, es gibt b
§ 8. Die elementaren Machtigkeiten. 39<br />
d. h. N gehort jener bereits (S, 36) betrachteten Kategorie von Kardinalzahlen<br />
an, die ihrer ^s*o-ten Potenz gleich sind, und ist sicher nicht Summe<br />
einer aufsteigenden Folge von Kardinalzahlen. Nach dem Aquivalenzsatz<br />
ist dann erst recht<br />
X --:::. N*^ ::= ,X» = ' • • - i^^^"<br />
(Oder direkt: K^ = .VK = 2^' • l^^ = 2^^-^^o =. 2^" == K)<br />
wie auch K* = 2^^ =. 3^^ =. . . . == ^^^ = ,s»S*o,<br />
In diesen Formeln ist wieder eine Uberraschung verborgen: N'^ = NN<br />
ist doch die Machtigkeit der Menge aller reellen Zahlenpaare (x^ y) oder<br />
aller Punkte der Ebene, N^ ist die Machtigkeit des dreidimensionalen<br />
Raumes oder der Menge aller Zahlentripel (x, ?/, z) usw. bis zu N^"^', welches<br />
die Machtigkeit des ^o-dimensionalen Raumes, d. li. der Menge aller reellen<br />
Zahlenfolgen (^i, ^21-^3? •• •) ist. Also: alle Rdiime Qon endlich oder abzaklbar<br />
vielen Dimensionen haben dieselbe Machtigkeit K. Auch dies wirkt<br />
paradox genug und scheint den Dimensionsbegril! umzustiirzen, den spater<br />
erst eine ganz andersartige Betrachtung (die Forderung nicM nur eineindeutiger,<br />
sondern auch beiderseits stetiger Abbildung) wiederherstellen<br />
wird; und doch ist die Tatsache, daB Gerade und Ebene sozusagen gleichviel<br />
Punkte haben, nicht ratselhafter als die, daB man die natiirlichen Zahlen<br />
in gerade und ungerade einteilen kann, d. h. ^K = ^< im Grunde nichts<br />
anderes als i^o + ^0 — ^a- Denn aus einem Dezimalbruch kann man<br />
durch Spaltung zwei machen und aus zweien durch Ineinanderschlingen<br />
wieder einen: das ist das ganze Geheimnis. Um dabei noch einen Augenblick<br />
zu verweilen und dem Leser die Aquivalenz zwischen Linie und<br />
Flache recht deutlich zu machen, stellen wir (mit einer Modifikation der<br />
systematischen Bruchentwicklungen, die deren Zweideutigkeit vermeidel.)<br />
jede reelle Zahl des Intervalls J = (0, 1] (d. k also 0 < jc^ 1) als dyadischen<br />
Bruch mit unendlich vielen Einsen, d, h. in der Form<br />
X = {\Y^ + (If'+^» + (i)^i+%-f^«» -I<br />
dar, wo die Xn natiirliche Zahlen sind; dies ist stets und nur auf eine Weise<br />
moglich und illustriert ubrigens die Gleichung N = ^*^*•- Schreiben wir<br />
dafiir abgekiirzt ^ _ [^.^^ ^^^ ^^^ . _j^<br />
Aus zwei solchen Zahlen x und y = [?/i, 2/2? 2^3? - • •] erhalten wir dann eine<br />
und umgekehrt aus t — [fj, t^^ t^, t^^...]<br />
wiederum x - [1^, Is. %. -1, 1/ = fo k, ^s.« «] ,<br />
womit die geordneten Zahlenpaare (x, ^) uind die ZaHen I in eindeiitig<br />
umkehrbare Beziehung gebracht sind, also das Quadrat 0 < * Si auf<br />
die Strecke 0
40 Zweites Kapitel. Kardinalzahlen.<br />
nale Intervall / eineindeutig abgebildet ist. Ebenso ist mit Zahlentripeln<br />
(x^y^z) und endlichen Komplexen zu verfahren; fur Zahlenfolgen<br />
(oj, y^z,.,.) stelle man die Abbildung etwa mittels des Diagonalschemas her:<br />
t == [a^i, X2J 2/1, a^3, y^t %»• • • ]<br />
und umgekehrt ^ == [^^^ t^.t^,...]<br />
y = [^3? ^5» ^8) • * •]<br />
Aus fc< = 2^"> folgt noch K > t h^K • • •]<br />
kann die diese Zahlen umfassen, da es noch weitere<br />
X = [^1, X2', ^3, • • • J (^1 ^ 0,1^ X2 =p c>2, ^3 ^ C3, . . .)<br />
gibt. Dieses ,, Diagonal verfahren" ist das einfachste Modell fiir den<br />
Beweis des Satzes § 7, I.<br />
Da es imr K^ rationale und algebraische Zahlen gibt, so gibt es also<br />
sicher irrationale und transzendente Zahlen, und zwar sogar ebensoviele (^5)<br />
wie reelle Zahlen. Denn die Machtigkeit einer unabzdhlbaren (d. h. unendlichen,<br />
nicht abzahlbaren) Menge wird durch Tilgung abzahlbar vieler Elemente<br />
nicht verringert (Beweis wie der der entsprechenden Bemerkimg<br />
S. 31). Man kann die reellen Zahlen 0 < a; ^ 1 auf die irrationalen<br />
0 < 2/ < 1 z. B. vermoge<br />
X = L^i, x.^j x^^ , . .]<br />
= 11 + 11+1] + ...<br />
\Xi- 1^3 1^3<br />
abbilden, wo x durch die obige dyadische Darstellung, y durch einen Kettenbruch<br />
der Folge natiirlicher Zahlen ajj, ojg,.. . zugeordnet ist.<br />
Die Machtigkeit 2^.<br />
Diese Machtigkeit, die wieder > N ist, kommt der Menge aller Teilmengen<br />
des Kontinuums (Mengen reeller Zahlen) oder aller linearen, ebenen,<br />
raumlichen Punktmengen zu, ferner der Menge aller eindeutigen Funktionen<br />
f{x) einer reellen Variablen, wo f(x) zweiWerte annehmen kann; aus<br />
84
§ 9. Ordnung. 41<br />
folgt aber sofort, daB die Menge der Funktionen f{x), die alle reellen Werte<br />
durchlaufen konnen, auch ntir von der Machtigkeit 2^ ist. Die Machtigkeit<br />
spezieller Funktionenklassen kann natiirlich geringer sein, z. B. die Menge<br />
aller stetigen Funktionen f(x) hat nur die. Machtigkeit t^. Denn f(x)<br />
ist dann durch seine Werte /(r) an den rationalen Stellen r bestimmt;<br />
die Menge aller / (r) hat die Machtigkeit N^« = N und die Menge aller<br />
stetigen f(x) (da nicht jedes f{r) ein stetiges f(x) erzeugt) eine Machtigkeit<br />
^ ^
42 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.<br />
Wir konnen eine Menschenmenge nach Gewicht, Lange, Alter, nach<br />
der alphabetischen Reihenfolge der Namen oder nach ihren Garderobenummern<br />
im Theater ordnen.<br />
[20] Eine Menge wird also geordnet, indem eine Vorschrift gegeben wird,<br />
nach der von zwei verschiedenen Elementen a, b das eine vorangeht, das<br />
andere nachfolgt. Soil a vor b^ b nach a stehen, so schreiben wir ^)<br />
a a.<br />
Die Beziehung < soil transitiv sein, d. h.<br />
wenn a * = (6, a) sind verschieden und mogen zueinander invers<br />
heiBen. Die Menge aller geordneten Paare werde dann in zwei komplementare<br />
Teilmengen P + i^* gespalten mit der besonderen Vorschrift:<br />
(a) Von zwei inversen Paaren gehort das eine zu P, das andere zu P*.<br />
{^) Wenn p = (a, b) und q = (b^c) zu P gehoren, so auch r = (a, c),<br />
Schreibt man dann fur (a,b) = peP<br />
a a^<br />
so ist eine Ordnung im obigen Sinne defmiert (wie umgekehrt aus jeder<br />
Ordnung eine Spaltung P + P* entsteht, indem man diejenigen und nur<br />
diejenigen Paare p = (a, b) zu P rechnet, fiir die a < b), Hier ist es wohl<br />
klar, da6 das Vorangehen und Nachfolgen keine neuen Geheimnisse einfiihrt,<br />
sondern daB es sich nur darum handelt, von zwei inversen Paaren<br />
das eine — oder von zwei verschiedenen Elementen das eine — gegeniiber<br />
[21] dem andern auszuzeichnen. P heiBe die ordnende Paarmenge,<br />
Noch einfacher ist folgende Erklarung: man ordne jedem Element a von<br />
A eindeutig umkehrbar eine Menge M(a) zu, derart, daB diese Mengen (im<br />
Sinne der Disjunktion S. 13) immer vergleichbar sind, also, wegen der<br />
vorausgesetzten Eineindeutigkeit,<br />
M(a)%M(b) fiir a::^-b,<br />
Schreibt man dann a andere Formen dieser Zeicher<br />
zu wahlen.<br />
86
§ 9. Ordnung. 43<br />
M{a) = Menge der Elemente von .4, die
44 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.<br />
Z. B. ist die Menge {1, 2, 3, 4,. . .} mit (2, 3, 4,. ..}. aber nicht mit<br />
(2, 3, 4, . . ., 1} slhnlich.<br />
Die Ahnlichkeit ist wie die Aquivalenz reflexiv, symmetrisch, transitiv.<br />
[22] Von zwei ahnlichen Mengen sagt man, daB sie denselben Ordnungstypus<br />
haben; d. h. man weist jeder geordneten Menge A ein Zeichen oc, ihren<br />
Ordnungstypus (kurz Typus), derart 2iu, daB ahnliche Mengen und nur<br />
solche denselben Ordnungstypus haben:<br />
oc = p so viel wie A ^ B,<br />
Der Typus der zu A inversen Menge ^* wird a* genaiint.<br />
Ahnlichkeit schlieBt Aquivalenz ein, aber im allgemeinen nicht umgekehrt;<br />
aus A^B folgt A -< 5, aus a = fi folgt a = b. Wir diirfen daher<br />
sagen, daB ein Typus oc eine bestimmte Machtigkeit a habe.<br />
Eine endliche Menge aus n Elementen kann auf nl Arten geordnet<br />
(permutiert) werden, aber die entstehenden geordneten Mengen sind immer<br />
mit der Menge {1, 2,. . ., n} ahnlich; wir nennen diesen Typus wieder n,<br />
da die Verwechselung mit der Kardinalzahl n ungefahrlich ist. Eine Menge<br />
aus einem Element habe den Typus 1, die Nullmenge den Typus 0.<br />
Die Menge {1, 2, 3,. . .} der natiirlichen Zahlen in nattirlicher Ordnung<br />
habe den Typus co, die invers geordnete {. . ., 3, 2, 1} also den Typus o)*.<br />
§ 10. Summe und Produkt.<br />
Es seien A^ B disjunkte geordnete Mengen. Dann soil<br />
S =-A + B<br />
die Summe beider Mengen in folgender Ordnung bedeuten: die Ordnung<br />
der Elemente a unter sich und die der Elemente b unter sich bleibt bestehen,<br />
und es wird jedes a vor jedes b gesetzt {a < J). Das ist also von B + A zn<br />
unterscheiden, welche Menge zwar dieselben Elemente, aber in anderer<br />
Ordnung besitzt: die Addition geordneter Mengen ist nicht kommutativ,<br />
Beispiel. A = {1, 3, 5,. . .}, 5 = {2, 4, 6,. . .},<br />
A+^ = {1,3,5,..., 2,4,6,...}<br />
5 + ^ ={2,4,6,..., 1,3,5,...}.<br />
Man kann auch sagen: in iS" = A + J? ist ^ < 5, die ganze Menge A<br />
wird vor die ganze Menge B gesetzt. Allgemein moge, wenn A^ B Teilmengen<br />
einer geordneten Menge sind, ^ < JB so viel wie<br />
a
§ 10. Summe und Produkt. 45<br />
AUgemein sei jedem Element m einer geordneten Menge<br />
J/ = {..., m,..., n,..., p,.. .}<br />
eine geordnete Menge A^ zugewiesen, und diese Mengen seien disjunkt<br />
(paarweise fremd). Als Summe<br />
S = 1^^ ==:...+ ^^,^ +...+ ^^ + ...+ ^^ + .. .<br />
definieren wir die aus den Elementen aller A^ gebildete Menge in folgender<br />
Ordnung: die Ordnung der Elemente a^eA^ unter sich bleibt unverandert,<br />
fiir jedes m, wahrend fxir m < /i die ganze Menge A^ vor die<br />
ganze Menge A^ gesetzt wird: A^ < A^-<br />
Ersetzt man die Summanden durch dhnliche (natiirlich wieder disjunkte),<br />
so geht auch die Summe in eine ahnliche iiber, und dies berechtigt<br />
zu der Definition: sind den Elementen meMTypen oc^ zugeordnet, so<br />
wird unter der Typensumme [23]<br />
(y = 2o^fn = h ^m + • ^ • + «B + - • + S + ' * •<br />
der Typus der obigen Mengensumme *S Yerstanden.<br />
Es gilt ein allgemeines assoziatives Gesetz, von dem wir nur den einfachsten<br />
Fall<br />
(0^ + fi) + y = ^ + (P +Y) = ^ + P + y<br />
anf iihren woUen, aber kein kommutatives: andert man die Ordnung von M,<br />
so andert man S und im allgemeinen auch den Typus a,<br />
Beispiele. Die Spaltung der natiirlichen Zahlenreihe (Typus co) in<br />
{l,2,...,/i} + {^ + l,;i + 2,...},<br />
wo der zweite Summand wieder vom Typus co ist, gibt<br />
n -\- 0) =^ m.<br />
Dagegen ist oj + n der Typus von<br />
{71 + 1,71 + 2,..., l,2,...,7^},<br />
und diese Menge hat, da sie ein letztes Element hat, gewiB nicht den Typus<br />
o), also<br />
0) + n^n -{- CO ]<br />
offenbar sind die Typen tt>, ct) + 1, co + 2,.. . paarweise verschieden.<br />
Die vier Anordnungen (S- 41) der natiirlichen Zahlen bei Voranstellung<br />
der ungeraden vor die geraden haben die Typen<br />
ft) + ft), ft) + ft)*, ft)* + ft), ft)* + ft>* 5<br />
die wieder, wie leicht erkennbar, voneinander und von den Typen m + n<br />
und deren Inversen /i + ft)* verschieden sind. ft)* + ft) ist auch der Typus<br />
der Menge aller ganzen Zahlen<br />
{...,-2,-1,0,1,2,...}.<br />
in natiirlicher Reihenfolge.<br />
89
46 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.<br />
Wird jeder natiirlichen Zahl m eine naturliche Zahl a„, zugeordnet,<br />
so liefert die Spaltung der naturlichen Zahlenreihe in Gruppen von je a^<br />
Gliedern die Typengleichung<br />
^a^ = % + ag + «3 H— • == <br />
Z. B.l) 1 + 1 +1 H =60<br />
1+ 2 + 3 H = co.<br />
Verteilt man hingegen die natiirlichen Zahlen auf abzahlbar viele Reihen,<br />
etwa (Diagonalschema)<br />
{1, 2, 4,...} + {3, 5, 8,...} + (6, 9, 13,...} + -.-,<br />
so entsteht wieder ein neuer Typus<br />
2co = ft> + a) + (o + -*.<br />
m<br />
Bei der Inversion einer Summe ist jeder Summand und die Ordnung<br />
der Summanden umzukehren, d. h.<br />
M M*<br />
mit S^2A^ ist 6'* = :^^;,<br />
und entsprechend fiir Typen. Z. B.<br />
(^ + iff)* = /3* + a*.<br />
Produkte endlich neler Faktoren, Die geordneten Paare (a, i), aeA^<br />
bsB, wo A^ B geordnete (nicht notwendig disjunkte) Mengen sind, lassen<br />
sich in eine Ordnung bringen, die man treffend die lexikographische oder die<br />
Ordnung nach ersten Differenzen nennt. Wir defmieren namlich<br />
(a, b) < (ai, bi), wenn entweder a < a^<br />
oder a ~ a^j b < b^.<br />
Die so geordnete Menge soil wieder {A^ B) genannt werden; es ist das<br />
geordnete Produkt der geordneten Mengen und von (5, A) zu unterscheiden,<br />
mit welcher Menge es aquivalent, aber im allgemeinen nicht ahnlich ist.<br />
Ist A^ ^- A^ ^1 ~ ^j so ist (ilj, B^ ^ {A^ B), und dies berechtigt wieder,<br />
den Typus von (A, B) als Produkt der Typen (x, /3 zu defmieren. Leider<br />
kommen wir hier nicht um eine historisch gegebene Unbequemlichkeit<br />
[24] herum: der Typus von {A^ B) wird ^oc^ nicht cx.^ genannt'^),<br />
1) Da wir gleichzeitig l + l + l + --- = {
§ 10. Summe und Produkt. 47<br />
Beispiel.<br />
^={1,2}, B = {1,2,3,...}, cc = 2, p = co.<br />
(A, B) ist die lexikographisch geordnete Menge der Paare (a, b), die also<br />
die Ordnung ^^^ ^^ ^^^ 2) (i, 3)... (2,1) (2, 2) (2, 3).. .<br />
erhalten; ihr Typus ist /Soc = a>2 = a> + co. (S, J4) ist die Menge der<br />
Paare (J, a) in der Ordnung<br />
(1,1) (1,2) (2,1) (2, 2) (3,1) (3, 2)...,<br />
ihr Typus ^/3 == 2a) = o).<br />
Die Addition gleicher Summanden fiihrt auch hier wieder zur Multiplikation,<br />
d. h. wenn alle ix^ = oc sind und /JL den Typus von M bedeutet,<br />
so ist ]^<br />
:Sa = ocu.<br />
m<br />
In der Tat ist a/i der Typus Yon (Jf ^ 4), also der Menge der lexikographisch<br />
geordneten Paare (m, a). Die Menge dieser Paare bei festem m<br />
sei Afnj dann ist<br />
M<br />
{M,A)=^f^A^,<br />
woraus wegen A^ ^^ A die behauptete Typengleichimg folgt. (x/ji entsteht,<br />
indem man „a in jw einsetzt", d. h. in eine Menge ¥om Typus /JL fiir jedes<br />
Element eine Menge Yom Typus a einsetzt.<br />
Beispiele. co + ca + €E> = ft)3, 3 + 3 + 3+*"=3a> = co. Allgemein<br />
ist nco ^=n + n + n + ''' = a)^ con = co + co + • • • +
48 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.<br />
Dagegen<br />
(ft) + 1) 2 = (CO + 1) + (ft> + 1) = co2 + 1 4: 0)2 + 2 == G)2 + 1. 2.<br />
[25] Die Inversion von (A, B) ergibt die lexikographische Anordnung der<br />
Paare (a, b) von (A*^ B*)^ also<br />
(^,Br = (^*,5*),<br />
(^a)* = ^*a*,<br />
bei der Inversion eines Produkts sind die Faktoren, nicht ihre Reihenfolge<br />
umzukehren (anders als bei der Addition).<br />
Die Ausdehnung der Multiplikation auf drei und mehr Faktoren ist<br />
evident. So sei (A, B^ C) die lexikographisch geordnete Menge der Tripel<br />
(a, by c), wo also (a, 6, c) < (%, 6i, Cj), wenn<br />
entweder a < a^<br />
Oder a = Uj^y b Kb^<br />
oder a = tti, b = bi, c < Ci;<br />
ihr Typus heifit yfioc. Es gilt ersichtlich das assoziative Gesetz<br />
y{Po() = (yP)(X==:yPoc,<br />
In gleicher Weise kann jede beliebige endliche Faktorenzahl behandelt<br />
werden, und weiter: ist M = (1, 2, 3,. ..} die Menge der natiirlichen Zahlen,<br />
so lassen sich die Komplexe (Folgen)<br />
P = («i, «2J«3) • • •) («m^^m)<br />
auch noch lexikographisch ordnen, denn zwei verschiedene Komplexe p und<br />
q = (biy &2? ^3» • • •) haben eine ersie Difjerenzstelle m, d. h.<br />
% = ^1? • • •) ^m—l = ^m—l? ^m + *«t?<br />
und dann definiere man p < q, falls a^ < b^. Das so geordnete Produkt<br />
werde (Aj^, ^g? ^a? • • •) ^^^ sein Typus . . . oc.^oc^oc^^ genannt.<br />
Beispiel. Ist jedes yl^ die Menge der natiirlichen Zahlen, so erhalten<br />
wir ... ft) ft) ft) als Typus der lexikographisch geordneten Menge der natiirlichen<br />
Zahlenfolgen p = (a^, ag? y. Da x das Intervall (0,1] durchlief, so ist also ... (0(oa><br />
der Typus der Zahlen 1 — a; in natiirlicher Ordnung, d. h. des Intervalls<br />
[0,1).<br />
Offenbar wird man die lexikographische Ordnung auf jedes Produkt<br />
IIA^ ausdehnen konnen, wenn man nur sicher ist, daB zwei verschiedene<br />
m<br />
seiner Komplexe stets eine erste Differenzstelle haben, also allgemein, wenn<br />
92
§ 11. Typen der Machtigkeit Xo ^^^ ^' 49<br />
jede Teilmenge i^on M ein erstes Element hat (d. h. M wohlgeordnet ist,<br />
Kap. IV).<br />
Auf diese und weitere Ausdehnungen des Produktbegriffs soil spater<br />
(§ 16) eingegangen werden. Auch ein allgemeiner Potenzbegriff kann erst<br />
dann erklart werden, indessen werden wir natiirlich ^^ = ofi, CK(X(K =
50 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.<br />
eine Folge natiiriicher Zahlen und<br />
^ = ai + C + a2 + C+«3 + CH<br />
ein durch a bestimmter, offenbar abzahlbarer Typus. Wenn wir zeigen<br />
konnen, daB oi auch seinerseits die Folge a bestimmt, d. h. zwischen den a<br />
und (K eineindeutige Zuordnung besteht, so ist bewiesen, daB es auch<br />
mindestens i^^^^ — X verschiedene abzahlbare Typen gibt und, nach dem<br />
Aquivalenzsatz, daB es deren genau N gibt.<br />
Wir haben also zu zeigen: ist /5 = 6^ + C + ig + C + * • • und oc = p,<br />
so ist «! = ^1, ag = Z^2» • • •• D^s beruht auf folgenden Schliissen:<br />
(a) Ist ^1 +-^2^^^i +-^2» ^1 u^d ^1 endlich, A^ und B^ ohne<br />
erstes Element, so ist ^^^^^^i, A2^=^B^,<br />
Denn bei der ahnlichen Abbildung kann ein Element bisBi nicht Bild<br />
eines Elements ag £ ^2 sein, weil b^ nur endlich viele Vorganger (eventuell<br />
keinen) hat, a^ unendlich viele. Ebensowenig kann ein b^ einem a^ entsprechen.<br />
Also miissen den a^ die b^ und den ag die Jg entsprechen.<br />
(/3) Ist Ai + A2 — B1 + B^y A^ und B^^ vom Typus C, so ist ^2 ^ ^2-<br />
Auch hier kann einem ag kein bi entsprechen, denn die Menge der Vorganger<br />
von a^ enthalt eine Teilmenge (^1) ohne letztes Element, wahrend<br />
di e der Vorganger von b^ vom Typus o)"^ ist und keine Teilmenge ohne<br />
letztes Element (natiirlich die Nullmenge ausgenommen) enthalt. Wieder<br />
also muB A^ auf B^ und A2 auf i?2 abgebildet werden.<br />
Aus: % + f + • • • = 61 + C + • • • folgt daher nach (a):<br />
ai = i^i, C + ^2 + C + • • • = f + ^2 + C + • • • ,<br />
hieraus nach ()S) ag + C + • • • — ^2 + C + * • , dann wieder a^ = b^ usw.<br />
Eine (unendliche) Menge ohne erstes und letztes Element heiBe unbegrenzt^<br />
eine solche ohne benachbarte Elemente dicht* wir iibertragen diese<br />
Pradikate auch auf ihren Typus. Es wird also verlangt, daB vor wie nach<br />
jedem Element bzw. zwischen zwei Elementen immer noch weitere Elemente<br />
der Menge existieren. Solche Mengen sind die der rationalen Zahlen<br />
und die der reellen Zahlen in natiiriicher Ordnung; ihre Typen werden<br />
rj und X genannt (X der Typus des Kontinuums).<br />
II. Ist A abzdhlbar^ B unbegrenzt und dicht^ so ist A mil einer Teilmenge<br />
von B dhnlich,<br />
[28] III. Zwei unbegrenzte dichte abzahlbare Mengen sind dhnlich,<br />
Beweis von II. Sei A = {%, ag, . . .} ^), es wird behauptet, daB man A<br />
auf eine Teilmenge von B unter Erhaltung der Ordnung abbilden kann.<br />
Indem wir dem % ein beliebiges Element von B zuordnen, wenden wir<br />
sodann Induktion an: den Elementen von An = {%, ag, ..., an} seien bereits<br />
^) Die Ordnung der Elemente von links nach rechts in {ai, ag,. ..) bedeutet<br />
hier nicht die Ordnung von A.<br />
94
§ 11. Typen der Machtigkeit { A^. Wir haben dann also nur zwischen<br />
zwei Elementen von B oder vor einem solchen (dem Bilde des ersten Elements<br />
von An) oder nach einem solchen ein weiteres Element von B zu<br />
suchen, und das ist moglich, weil B unbegrenzt und dicht ist. Es gibt also<br />
ein passendes Bild von a„^i, und man kann der Reihe nach alien a„ Bilder<br />
zuordnen mit Erhaltung der Ordnung.<br />
Beweis von III. Seien A = {%, ag? • • •} ^^d B = {J^, 62, • • •} unbegrenzt<br />
und dicht; man kann also A auf eine Teilmeiige von J5, aber auch<br />
B auf eine Teilmenge von A abbilden ^), und indem man die einzelnen Zuordnungsakte<br />
abwechselnd in der einen und andern Richtung ausfiihrt,<br />
kann man auch A auf B abbilden. Ordnen wir dem % das b^ zu und<br />
schreiben a^ =^ ai^ b^ ^ bi. Nun wenden wir Induktion an: es seien<br />
bereits die Paare (a^, ft^),..., (a**, b^) unter Erhaltung der Ordnung gebildet<br />
und die Mengen A^ = {a\ ..., a% B^ = {b\ . -., b^} also ahnlicli aufeinander<br />
bezogen; es soli nun das Paar (a**"^^, J**+^) hinzugefilgt werden. Fiir<br />
gerades n sei a***^^ das a^ mit niedrigstem Index A, das nicht zii A*^ gehort,<br />
und 6"+^ das b^. mit niedrigstem Index A, das zu B^ dieselbe Lage hat wie<br />
a**"*"^ zu A^, Fiir ungerades n sei umgekehrt b^'^^ das niedrigste noch unabgebildete<br />
b]^ und a*^+^ das niedrigste mit den Ordnungsbeziehungen vertragUche<br />
a^^. Die Existenz passender Bilder ist durch die Unbegrenztheit<br />
und Dichtigkeit beider Mengen gesichert, wahrend zugleich kein Element<br />
bei der Abbildung iibergangen werden kann; also Ac^B,<br />
Aus II (worin man sowohl fiir A wie fiir B die Menge der rationalen<br />
Zahlen, vom Typus ^y, setzen kann) und III folgt demnach:<br />
IV. Jede unbegrenzte dichte Menge enthdlt eine Teilmenge i>om Typus rj,<br />
Eine Menge vom Typus r} enthdlt abzdhlbare Teilmengen von jedem Typus.<br />
Jede unbegrenzte dichte abzdhlbare Menge ist vom Typus rj. [29]<br />
M<br />
Beispiele. JSrj = rjfi ist, wenn M (vom Typus /j,) endlich oder ab-<br />
zahlbar ist, stets ein unbegrenzter dichter abzahlbarer Typus, also rj/bt = rj,<br />
z. B. ^ ^ ^ — ^2z=z rjn = rjO) = rj^ = Tj.<br />
Dichte abzahlbare Typen konnen sich nur durch Existenz oder Nichtexistenz<br />
von ersten und letzten Elementen imterscheiden, es gibt deren<br />
also vier: 7;, i + tj, rj + i, 1+^ + 1.<br />
M<br />
2 (1 + 7])= (i+ 7])/bt (M endlich oder abziHbar) ist entweder = 1 -f-1^<br />
oder — rjy je nachdem M ein erstes Element hat oder lucht, 2. B.<br />
1) Der dem Aquivalenzsatz analoge Ahnlichkeitssatz (zwei Mengeiij deren<br />
jede einer Teilmenge der andern ahnlich ist, sind selbst ahnlichl ist failsclil Beispiel:<br />
ein Intervall mit und eins ohne Endpunkte.<br />
4*<br />
95
52 Drittes Kapitel. Ordnungstypen.<br />
a + 7^)2 '-= a + ri)n = {I + ri)co = i + 7],<br />
(1 + ^)ft)* = (l + ri)ri==rj.<br />
Die Menge der rationalen Zahlen > a ist vom Typus rj; es gibt also<br />
z. B. eine die GroBenordnung erhaltende, d. h. mit r monoton wachsende<br />
Funktion s == f (r), die jeder rationalen Zahl r > 0 eine rationale Zahl s> a<br />
und umgekehrt zuordnet. Sie laBt sich offenbar zu einer stetigen, mit x<br />
monoton wachsenden Funktion y == f(x) erweitern, die die Halbgerade<br />
a; > 0 auf die Halbgerade y > a abbildet und dabei jedem rationalen x<br />
ein rationales ?/, jedem irrationalen x ein irrationales y zuordnet. Fiir<br />
rationales a ist das naturlich trivial, dsi y = x + a eine solche Zuordnung<br />
bewirkt.<br />
Die Menge der rationalen Zahlen des Intervalls (0, 1) und die der<br />
dyadisch rationalen (Briiche mit einer Potenz von 2 als Nenner) desselben<br />
Intervalls sind ahnlich, beide vom Typus rj. Die Zuordnung, die wir sogleich<br />
zu einer das ganze Intervall betreffenden<br />
y = f(x) (0
§ 11. Typen der Machtigkeit {
54 Drifctes KapiteJ. Ordnungstypen.<br />
wo durchweg P^czP^. Bilden wir die Summe aller Pj, P = SP^; sie<br />
liefert mit dem Durchschnitt Q = ^Qi der Komplemente (A =^ Pi + Qi)<br />
wieder eine Zerlegung A = P + Q^wo P also ein Anfangsstiick und offenbar<br />
ohne letztes Element ist. Aus P^ < P^ folgt nun P g Pg? d. h. durchweg<br />
P-^^P ^ Pg* und also ist P entweder das letzte Element von 5{?i oder das<br />
erste von ^2> ^i + ^2 ist ein Schnitt, weder Sprung noch Liicke. Also<br />
^$ ist stetig.<br />
Bedienen wir uns noch der Ausdrucksweise:<br />
J5g^ ist in A dicht, wenn zwischen zwei Elementen von A immer<br />
mindestens ein Element von B liegt,<br />
wobei also A, B selber dicht sind, so konnen wir den Typus A des<br />
Kontinuums durch folgenden Satz charakterisieren:<br />
V. Jede stetige Menge enthdlt eine Teilmenge vom Typus A. Jede unbegrenzte<br />
stetige Menge^ in der eine abzdlilbare Menge dicht ist, ist i^om Typus X.<br />
Beweis. A sei stetig; wir konnen sie iiberdies als unbegrenzt annehmen.<br />
Sie enthalt (nach IV) eine Teilmenge B vom Typus 7/. Ist JB = P + ^<br />
eine Liicke von B, so muB zwischen P und Q mindestens ern Element von<br />
A liegen, da andernfalls, wie leicht zu sehen, auch A eine Liicke hatte. Also<br />
enthalt A eine Teilmenge C, die aus B durch Ausfiillung der Liicken entsteht,<br />
d. h. vom Typus A ist. Andererseits, wenn B zugleich in A dicht ist<br />
(jede in A dichte Menge ist wieder unbegrenzt und dicht, also, falls<br />
abzahlbar, vom Typus 7^), so kann zwischen P und Q auch nur ein einziges<br />
Element von A liegen, d. h. A = C. Damit ist der Satz bewiesen.<br />
Es gibt unendlich i^iele verschiedene stetige Typen if on der Mdchtigkeit<br />
des Kontinuums, Ist 1? = 1 + A + 1 der Typus des abgeschlossenen Intervails<br />
J = [0, 1 ], so sind die Potenzen ^, ^^^ ^, . . . stetig und voneinander<br />
verschieden. Sei namlich /g =" i^t J)^ J3 = i^^ J^ J)^ - • "> Jm die<br />
lexikographisch geordnete Menge der Zahlenkomplexe x = (xi, x^,. . ., o;^),<br />
wo jedes Xj. das Intervall J durchlauft. Die Dichtigkeit von /„» ist<br />
evident; die Liickenlosigkeit von 7^,^ wird auf die von /^_i folgendermaBen<br />
zuriickgefiihrt. Es sei //^^ (a) die mit/„j_i ahnliche Menge der Komplexe<br />
(a, Xg, . . ., o:,^) bei festem x^ = a, also<br />
J<br />
a<br />
Bei einer Zerlegung J^^ = />^ -f Q^^ wird entweder einer der Summanden<br />
//„i(a) mit zerlegt und damit der Fall auf eine Zerlegung<br />
Jm~i~^m—i-^Qm~i zuriickgcfiilirt, oder die Zerlegung ist von der<br />
Form<br />
a I)<br />
und dann hat, wenn a-^ das groBte a ist, P,,^ das letzte Element [a^, 1,. . ., 1),<br />
wenn b^ das kleinste b ist, Q^ das erste Element {b^, 0, . . ., 0). — Um die<br />
98
§ 12. Der Wohlordnungssatz. 55<br />
Verschiedenheit der ^*^* zu beweisen, zeigen wir: ist m> I und J^ einer<br />
Teilmenge i^onJn dhnlich^ so ist n> i undJ^^i ^i^^^ Teilmenge von /n~i<br />
dhnlich. Die Menge /„» der Komplexe x = (a:i,..., a:,,^) sei auf eine Teilmenge<br />
von J„, der Menge der Komplexe y — (r/j,..., yj ahnlich abgebildet.<br />
Den beiden Komplexen (%,0,. . ., 0) und (ajj, 1,..., 1) mogen als<br />
Bilder y = («/i, y.^, . . ., y^) und r] = (rj^, 7/2, . . ., rjn) entsprechen mit y Vn) ^i* demselben yi = rji = b entsprechen;<br />
die vorhin angefiihrte Menge HJ^a) ist dann mit einer Teilmenge von HJjbX<br />
also Jfn—i Mii^ einer Teilmenge von /n—1 ahnlich. — Endlich folgt nun, daB<br />
iiir m> n nicht /,» mit einer Teilmenge von J^ (auch nicht mit /„ selbst)<br />
ahnlich sein kann, denn es ware /^_i mit einer Teilmenge von J^^i und^<br />
so fortfahrend, /„j_„^i mit einer Teilmenge von /j ahnlich, im Widerspruch<br />
zum Obigen.<br />
Viertes Kapitel.<br />
Ordnungszahlen.<br />
§ 12. Der Wohlordnungssatz. [30]<br />
Wir delinieren: eine geordnete Menge heifit wohlgeordnet, wenn jede<br />
(nicht leere) Teilmenge ein erstes Element hat. Der Ordnungstypus einer<br />
wohlgeordneten Menge heifit eine Ordnungszahl oder Ordinalzahl.<br />
In einer wohlgeordneten Menge gibt es keine Teilmenge vom Typus o)*^<br />
jede fallende Reihe von Elementen a> b > c> - - - enthalt nur endlich<br />
viele Gheder. Diese Eigenschaft konnte auch zur Definition dienen.<br />
Auf jedes Element, wenn es nicht das letzte ist, folgt unmittelbar ein<br />
nachstes; bei jeder Zerlegung A = P + Q hat das Endstiick Q ein erstes<br />
Element, mag das Anfangsstiick P ein letztes haben oder nicht. Umgekehrt,<br />
wenn bei jeder Zerlegung (die uneigentliche 0 + ^ mitgerechnet)<br />
das Endstiick Q ein erstes Element hat^ so ist A wohlgeordnet; denn ist<br />
^ :=» 0 eine beliebige Teilmenge von .4, P die Menge der Elemente < B<br />
und ^ = JP + ^, so ist das erste Element von Q auch das erste von B.<br />
Die endlichen Mengen {1, 2,.. ., n}^ die Menge {1, 2, 3,...} der natiirlichen<br />
Zahlen, die Menge {1, 3, 5, ..,, 2, 4, 6,...} sind wohlgeordnet, ihre<br />
Typen w, co, o) + co Ordnungszahlen. Die Ordnungstypen c?>*, f^, 1 sind<br />
keine Ordnungszahlen.<br />
99
56 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
Eine unendliche wohlgeordnete Menge A hat ein erstes Element a^,<br />
dann ein zweites %, ein drittes ag usw.; wenn sie auBer dieser Folge noch<br />
weitere Elemente hat, so ist unter diesen ein erstes a^^, dann wieder ein<br />
nSchstes a^a+i usw.<br />
Es ist also<br />
(1) A = {UQ, ai, a2, ..., a^, a^^ +i, . ..}.<br />
Das hier angedeutete, nachher durchzufiihrende Bezeichnungsprinzip<br />
ist, dafi jedem Element als Index der Typus der Menge der vorangehenden<br />
Elemente zugeordnet wird. Damit dies auch f iir die endlichen Indizes zutreffe,<br />
haben wir mit 0 begonnen; % tragt als Index den Typus n der Menge<br />
(ao,. . ., ^n—1}» ^0 ^^^ Typus 0 der Nullmenge.<br />
Nach dieser vorlaufigen Orientierung beweisen wir den<br />
[31] Wohlordnungssatz von E, Zennelo: Jede Menge kann wohlgeordnet<br />
werden.<br />
Wenn wir zu einer Wohlordnung in der Gestalt (1) gelangen woUen,<br />
miissen wir z. B. jeder Menge P^ = {«o> %? • • •? ^n—i} ^i^ bestimmtes<br />
Element a„ als das zunachst folgende zuordnen oder aus der Menge<br />
Qn^ ^ -^ Pfi der noch ungeordneten Elemente ein bestimmtes a„ gewahlt<br />
denken. Wenn man so verfahrt, erscheinen die Wahlakte selbst in einer gewissen<br />
Ordnung: a^ kann und mu6 erst dann gewlLhlt werden, wenn seine<br />
Vorganger «(,, ..., a^—i gewahlt sind. Der Beweis des Wohlordnungssatzes<br />
kann auch mittels dieser sukzessiven Wahlakte gefiihrt werden, dann aber<br />
erst an spaterer Stelle, nach genauerer Untersuchung der Ordnungszahlen.<br />
Um ihn schon jetzt zu erbringen, verwenden wir ein System simultaner^<br />
voneinander unabhangiget Wahlakte: wir ordnen jeder i^on A verscliiedenen<br />
Teilmenge P von A ein ihr nicht angehoriges Element a = f(P)eA — P zu,<br />
oder wir wahlen aus jeder von 0 verschiedenen Teilmenge Q von A ein ihr<br />
angehoriges Element a = (p[Q) s Q. Beide Ausdrucksweisen bezeichnen<br />
dasselbe: es ist /(P) = ^(^ — P) oder (p(Q) = f{A — Q). Wir wollen die<br />
erste Form bevorzugen und nennen a = f{P) das Ansatzelement von P und<br />
die aus P durch Hinzuftigung des Ansatzelementes entstehende Menge<br />
P^ = P + {a} die Nachfolgerin von P. Bei diesem Verfahren werden<br />
mehr Wahlakte voUzogen, als unbedingt notwendig sind, denn bei der<br />
Wohlordnung (1) wiirde ja z. B. die Menge P == {ao, ag} ^^^d ihr Ansatzelement<br />
gar nicht gebraucht werden. Dafiir aber sind die Wahlakte, wie<br />
gesagt^ voneinander unabhangig, anders ausgedriickt: die Funktion<br />
a = f(P) hat einen von vornherein feststehenden Definitionsbereich, namlich<br />
die Menge aller PczA,<br />
Die Art, wie nun aus dieser Zuordnung a^ f(P) zwangslaufig eine<br />
Wohlordnung von A hervorgeht, ist im Grunde sehr einfach, obwohl sie an<br />
das abstrakte Denken des Lesers einige Anspruche stellt. Wir betrachten<br />
ein System von Mengen ^A, das<br />
100
§ 12. Der Wohlordnungssatz. 57<br />
(oc) die Nullmenge enthalt,<br />
(/S) mit beliebig vielen Meiigen auch deren Summe enthalt,<br />
(y) mit jeder Menge P czA auch deren Nachfolgerin P^ enthalt.<br />
Ein solches System heiBe eine Kette, Es gibt Ketten, z. B. die<br />
umfassendste: das System aller Mengen g ^. Der Durchschnitt beliebig<br />
vieler Ketten ist ersichtlich wieder eine Kette; es gibt also eine kleinste<br />
Kette ^, die der Durchschnitt aller Ketten ist. Diese untersuchen wir<br />
jetzt und verstehen unter den im Folgenden vorkommenden Mengen<br />
wie P, X immer Mengen aus ^.<br />
Das Wesentliche ist, die Vergleichbarkeit aller Mengen von S zu zeigen<br />
{im Sinne von S. 13), d. h. daB fiir zwei Mengen P, X immer eine der<br />
drei Relationen X^P besteht. Nennt man eine Menge P^ die mit alien<br />
Mengen X vergleichbar ist, normal^ so ist zu beweisen, daB alle Mengen<br />
normal sind. Der erste Schritt besteht im Nachweis des Satzes:<br />
I. Ist P .<br />
(j8) Die Summe beliebig vieler X ist ein X.<br />
Sei S = 'SX^; entweder ist jedes A\„g*P und S-^P^ oder mindestens<br />
ein X^^P^ und S^P^,<br />
(y) Die Nachfolgerin jedes XczA ist ein X,<br />
Fiir X^P^ ist X^^P^-, fur X = P ist X^ = P+. Fiir X P, so miiBte X^ — X = (X_^ — P) + (P ~ X)<br />
mindestens zwei Elemente enthalten, wahrend diese Menge doch nur ein<br />
Element f(X) enthalt.<br />
Nun konnen wir schlieBen:<br />
II. Alle Mengen sind normal,<br />
Wir zeigen wieder, daB die normalen Mengen eine Kette bilden, die<br />
folgUch mit ® identisch sein muB.<br />
(a) Die Nullmenge ist normal.<br />
()8) Die Summe beliebig vieler normaler Mengen ist noniiaL<br />
Sei P = ^P^ Summe normaler Mengen, X eine beliebige Menge,<br />
also P„,^ X. Entweder ist jedes P^^ X und P ^ X, oder mindestens<br />
ein PM:::=> X und P :^ X. P ist also mit jedem X vergleichbar.<br />
(y) Die Nachfolgerin Pj^ jeder normalen Menge P
58 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
Durch die Vergleichbarkeit aller Mengen wird nun ^ geordnet, indem<br />
man von zwei verschiedenen Mengen die kleinere vor die groBere setzt<br />
(Pi < P2 so viel wie P^ < Pg)* ^i^se Ordnung ist eine Wohlordnung. Da<br />
i$ selbst ein erstes Element hat (die NuUmenge), so ist nur zu zeigen, daB<br />
bei einer Zerlegung 5S = S^i + ^2 ^^ ^i^ Anfangs- und Endstiick das<br />
letztere ein erstes Element hat. Sei P^e^u PzS^zi ^i^^a*? ^ die<br />
Summe aller Pj. Dann ist Pi^P^P^^ also P entweder das erste P^<br />
Oder das letzte P^. Im zweiten Falle ist aber P^ das erste P^-^ wir haben<br />
die Spaltung des Satzes I vor uns. In beiden Fallen gibt es ein erstes Pg-<br />
Endlich lassen sich die Mengen P P noch das Element a nicht enthielte. Durch<br />
a=:/(P), P = F{a)<br />
werden also die Elemente as A und die Mangen P^-<br />
§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen.<br />
Jedes Element a der wohlgeordneten Menge A bestimmt<br />
den Abschnitt P = Menge aller Elemente < a,<br />
den Rest Q = Menge aller Elemente ^ a<br />
und damit die Zerlegung A =^ P -\- Q (P0).<br />
102
§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen. 59<br />
Umgekehrt ist jede Zerlegung von A in ein Anfangsstiick P und ein<br />
Endstiick Q von dieser Form, da Q ein erstes Element a hat. Ist a das<br />
erste Element von ^, so ist P = 0, ^ = ^ zu setzen.<br />
Nun gilt:<br />
I. Ist b = f(a) elne dhnliche Abbildung der wohlgeordneten Menge A<br />
aiif eine Teilmenge B, so ist stets f(a)^a,<br />
D. h. also, bei einer solchen Abbildung kann ein Element nie ein<br />
friiheres zum Bilde liaben. In der Tat: gabe es Elemente a mit f{a) < a,<br />
so gabe es unter diesen ein erstes; es sei dies a und b = f{a) sein Bild, also<br />
b < a und wegen der Ahnlichkeit f(b) < /(a), d,h, f{b)
60 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
eine wohlgeordnete Menge vom Typus ^, so sind ja nach Definition die<br />
Zahlen < a den Abschnitten von A, also den Elementen von A^ eineindeutig<br />
und ahnlich zugeordnet: jedes a bestimmt seinen Abschnitt<br />
Pa vom Typus TT^, und ist a
§ 13. Die Vergleichbarkeit der Ordnungszahlen. gl<br />
1st insbesondere ^ g 5, so ist oc W ist dann entweder ^ seUbst oder eine gewisse Zahl<br />
aus W(o().<br />
Nach V ist der Begriff „Menge aUer OrdnungszaMen" undenkbar<br />
(vgl. S. 34).<br />
Die Zahlen > (X sind die Zahlen oc + p (j9 > 0) und umgekehrf.<br />
(A einem Abschnitt von A + B ahnhch); die kleinste Zahl > ^ ist a^ + 1.<br />
105
62 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
Eine Zahl A > 0, die keinen unmittelbaren Vorganger hat, d. h. fiir<br />
die W(X) kein letztes Element hat, heifit eine Limeszahl; die niedrigsten<br />
Limeszahlen sind co, oo + co = co2, co3,... Eine Zahl, die nicht Limeszahl<br />
ist, heifit isoliert; isolierte Zahlen sind auBer 0 dieZahlen der Form<br />
^ + 1. .Hat die Menge<br />
von Ordnungszahlen kein letztes Element, d. h. ist ^ Limeszahl, so wird<br />
die ndchstgropere Zahl X>W, die offenbar Limeszahl ist, der Limes<br />
von W genannt und mit<br />
X = limW<br />
Oder auch mit x = lim oc^<br />
bezeichnet. Z. B. ist co der Limes von (0, 1,2,...} oder von jeder wachsenden<br />
Folge {OCQ, ^i, oc.^,...} endUcher Zahlen
(2)<br />
§ 14. Verknupfongen von Ordnungszahlen. 63<br />
Aus (X < P folgt<br />
(1) |/^ + ^ 0) und vice versa. Demnach:<br />
iii + P = /J. + (oc + y)=^(fx+oc)+y>/j, + (K,<br />
jbtp = /jt(oc + y) = /LKX + /j,y> /Jbcc fiir fJL>0,<br />
Bei Nachsetzung des Summanden oder Faktors fx kann das Gleichheitszeichen<br />
auftreten. Z. B.<br />
ft> + l = 2 + ft> = €o,<br />
ft>l2, lco = 2€o = m.<br />
Die Umkehrung von (1) liefert folgende ScMiisse:<br />
[Aus /i + « < Afc + /? Oder a + fi < ^-\- (A folgt (Xy = ??o> ^o + 1> ^o + 2, • •., dagegen fiir endliches a<br />
nur eine einzige; sie besagt dann namlich, daB T? + (at — 1) der unmittel-<br />
107
64 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
bare Vorganger von )(?, i^ + {oc — 2) der Vorganger von rj + (oc — I) sein<br />
soil usw., wodurch nach endlich vielen Schritten tj eindeutig bestimmt<br />
ist. Nur in diesem Falle bezeichnen wir die Losung mit<br />
so daB (P — oc) + oc = p ist; diese Gleichung bedeutet also, daB (X eine<br />
naturliche Zahl ist und rj aus ^ durch Weglassung der oc letzten Elemente<br />
entsteht. Z. B. ist /3 — 1 der Vorganger von /S (/8 als isolierte Zahl > 0<br />
vorausgesetzt).<br />
Dwision, Jede Zahl f < (x^ ist in der Form<br />
(3) C = ^^ + l (i
{(<br />
§ 14. Verlcniipfungen von Ordnungszahlen. 65<br />
z. B. war ... ojcoco = 1 + A derTypus des Intervalls [0,1). Wir werden<br />
jetzt Produkte mit wohlgeordneter Reihenfolge der Faktoren, wie<br />
^1 ^2 ^3 • • •? erklaren; die jetzige Definition hat mit der damaligen zunachst<br />
gar nichts zu schaffen, und erst eine spatere Betrachtung (§ 16) wird ims<br />
lehren, jiaB beide doch Spezialfalle eines allgemeinen Produktbegriffs sind.<br />
Unsere gegenwartige Erklarung beruht auf transfiniter Induktion<br />
(S. 62); der Symmetrie wegen wollen wir auch die — schon einfacher und<br />
in weiterem Umfang, namlich fur Ordnnngstypen, erklarte — Addition<br />
noch einmal auf diese Weise definieren, d. h. auf Addition von zwei Summanden<br />
zuriickfiihren.<br />
Jeder Ordnungszahl x sei eine Ordnungszahl JUL^ zugeordnet. Wir definieren<br />
die — bei festgewShlten Summanden nur noch als Funktion von a<br />
anzusehende — Summe<br />
W(a)<br />
]{(X) = I" ^^. = /xo + i"i + • • • + /^l + • • •<br />
als Ordnungszahl durch folgende induktive Vorschrift:<br />
f/(0) = 0;<br />
Ifiir ^ > 0 sei /( /(I) + p.^ {fiir alle I < ac).<br />
Nehmen wir der Einfachheit wegen alle /i^ > 0 (Summanden = 0<br />
waren wegzulassen), so ist fiir ^ > |<br />
m)+//.«> m > m+/.c > m,<br />
die Zahlen /(
66 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
als Ordnungszahl durch die Vorschrift:<br />
^^^ Ifiir oc> 0 sei f((K) die kleinste Zahl ^ /(|)/^| (fur alle I < a).<br />
Nehmen wir der Einfachheit wegen alle Faktoren > 1 an (Einsen<br />
waren wegzulassen), so ist zunachst klar, da6 f((x) > 0,<br />
und man erhalt wie zuvor<br />
(9) m + h-=mi^a<br />
und fur eine Limeszahl oc<br />
(10) m = iimm (i
§ 14. Verkniiplungen von Ordnungszahlen. 67<br />
Wie eine natiirliche Zahl durch die Potenzen von 10, so laBt sich jede<br />
Ordnungszahl durch die Potenzen einer beliebigen Basis ^ > 1 ausdriicken.<br />
Sei C > 0 eine Ordnungszahl und ^ die niedrigste Potenz von /5,<br />
die > C ist (daB es solche gibt, erkennt man aus der induktiv leicht zu beweisenden<br />
Ungleichung /5^ ^y, wonach j8^+^ > C ist). Dann ist y keine<br />
Limeszahl, sonst wgtre fur jedes I < y auch ^ + 1 < y, also<br />
Es hat also y(> 0) einen unmittelbaren Vorganger oc und es ist<br />
wobei 0, so erhalteii wir<br />
weiter<br />
usw. Da aber C^ jJ" > Ci^/S'*'> Cj^ • - •, also ^>?i>fs>-"»<br />
« > «i > a2 > • • •, so muB das Verfahren einmal mit dem Rest 0<br />
endigen und wir haben die Darstellung<br />
worin alles durch C eindeutig bestimmt ist: die Qiederanzahl n + I (fiir<br />
n — 0: l^ — p^rj), die Exponenten (X und die Koeffizienten tj, Und zwar<br />
ist nicht nur die soeben konstruierte, sondem jede, gleichviel auf welchem<br />
Wege gewonnene, Darstellung von der Form (14) eindeutig bestimmt. Denn<br />
der Ausdruck (14) ist < ^S'*^^, wie man durch den SchluB von n auf<br />
n + i erkennt: es ist dann namlich f < fi'^rj + ^8"^+^ ^ /3*(7/ + 1) ^ ^*+i.<br />
Also muB j8* ^ C < fi^'^^ sein und die Exponenten wie die Koeffizienten<br />
bestimmen sich genau wie oben.<br />
Beispiele. ^ = 2: C = 2* + 2'** H \-T^.<br />
P = (o: (15) C = a>^v + tt>«»yi +» —+
68 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
besteht (die im endlichen Zahlengebiet fur )S> 1 ja unmoglich ist); so<br />
batten wir co = 2** gefunden. Definiert man fiir v = 0,1, 2,... die Zahlen<br />
f, durch Co = 1, C.+i = i8f^ so ist (p > 1)<br />
Co
§ 14. Verkniipfungen von Ordnungszahlen. 69<br />
Koeffizienten von 0 verschieden. (Fiir | = 0 sind alle x^^ = 0.) Die Darstellung<br />
ist eindeutig bestimmt. Fiir zwei Ordnungszahlen<br />
definieren wir dann<br />
a(^, ^) = -2? co« (x^ + y^) = a% I).<br />
Dies braucht weder mit I + ^ noch mit ?; + I iibereinzustimmen; z. B.<br />
ist or(co, co^ + 1) = co^ + CO + 1 von o) + (co^ + 1) = co^ + 1 und von<br />
{co2 + l) + a)= 0)2+ C0 verschieden.<br />
Bei gegebenem C hat die Gleichung G (I, ^) = C ^^^^ endlidi pMe<br />
Losiingen |, T;. Denn es muB :r^+ ^a = ^a sein, und fiir a:« sind niir<br />
die Werte 0, 1,.. ., z^, zulas^g; die Anzahl aller Losimgen ist das<br />
Produkt aller Faktoren 1 + z^, von denen nur endlich viele > 1 sind.<br />
Die Ungleichung ^ ^^ Hieraus<br />
geht hervor, daB ad, ri) mit jedem seiner Smnmanden wachst: fiir lo < ^<br />
ist cdo, v) < ^•<br />
Wenn Co < C = ^(1, ^), so hat die Gleichung a{^o, YJQ) = Co ^ine<br />
L5sung mit lo^ ^5 Vo'^V (winter AusschluB mindestens eines Gleichheitszeichens).<br />
Schreiben wir namlich, unter Hervorhebung der ersten Differenzstelle<br />
/? fiir Co und C,<br />
^ = 2 (o'^'Xy +0)^x^ + 2 co%,<br />
rj = ^o)^ijy + a)^y^ + 1^''^^'<br />
Co = ^co*''Cy + C'/c^ + ^\o%<br />
mit y > /5 > a, o:.^ + 2/^ = c^, ^fi + y^ > c^- Wir bestimmen dann zwei<br />
ganze Zahlen a^,b^ mit 0^a^
70 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
wie Polynome multiplizieren und dabei die Exponenten natiirlich addieren,<br />
also ?r(|, ^) = ^ oj^^'"' ^^x^y^ = 7i(rj, |)<br />
7<br />
Oder 7i(i, ri) = 2co^Zy, Zy = 2x^y^,<br />
/'<br />
2 iiber die (endlich vielen) Paare mit G((X, P) ==y erstreckt. Wir woUen<br />
dies nur erwahnen und dem Leser liberlassen, auch hier die Analogic mit<br />
endlichen Produkten festzustellen.<br />
§ 16. Die Alefs.<br />
AUe Kardinalzahlen konnen als Machtigkeiten wohlgeordneter Mengen<br />
aufgefaBt werden (Wohlordnungssatz) und sind daher vergleichbar. Als<br />
Zahlenklasse^ Z{a) bezeichnen wir die Menge aller Ordnungszahlen «, die<br />
die Machtigkeit a haben; sie ist Teilmenge der entsprechenden Typenklasse<br />
T(a) (S. 49). Fiir endliches n = 0,1, 2,. . . besteht Z(n) nur aus der<br />
einen Ordnungszahl n; aus ZCN^) kennen wir schon unendlich viele<br />
Vertreter<br />
a>,a) + l,co+2,...,ft>2,...,ft>3,...,i?)^,...,ft)^,...,G)'^,...<br />
Ist a 5B gibt (^ eine Menge von Kardinalzahlen),<br />
so ist entweder a die kleinste oder in der wohlgeordneten Menge der Kardinalzahlen,<br />
die > ^ und < a sind, befmdet sich eine kleinste. (Wir sagen<br />
nicht, daB in der Menge der Kardinalzahlen > £ eine kleinste sei, weil<br />
diese Menge ebenso undenkbar ist wie die Menge aller Kardinalzahlen.)<br />
Die zu einer Kardinalzahl a nachstgroBere b wird, wie leicht einzusehen,<br />
so erhalten, daB man zur Zahlenklasse Z{o) die nachstgroBere Ordnungszahl<br />
p sucht; deren Machtigkeit ist b. Ob die Kardinalzahl 2^ > a<br />
die nachstgroBere nach a ist, ist noch fiir kein unendliches a bekannt;<br />
fiir a = No ist diese Frage das Kontinuumproblem (S. 40).<br />
Die unendHchen Kardinalzahlen (^ N'o) heiBen Alefs. Das erste<br />
unter ihnen ist ^
§ 15. Die Alefs. 71<br />
mit N^^^i bezeichnet usf. D. h. jedes Alef ^^a erhdlt als Index den Typus<br />
der Menge alter vorangehenden Alefs,<br />
Z. B. ist die Machtigkeit ^< des Kontinuums > NQ, also t ^2,. . ., 0)^,, (o^+i^ • • •; jede Anfangszahl o)^ hat als<br />
Index den Typus der Menge aller vorangehenden Anfangszahlen. Es<br />
ist also<br />
Z(N^) = Menge der Zahlen 0}^^fJi< oj^^^i<br />
oder, im Sinne der Addition geordneter Mengen<br />
(1) W(co,^^) = W{co,) + Z(K),<br />
(2) W(co,) ==W(coo)+.-SZ(^
72 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
K = ^0 + I «Hi = N^ + N\ + - • + N|a.i + • ' • ^^^""^<br />
z. B. Kj^ = ^-Folge deren Limes und mit einer coj-Folge OCQKOC^K - • • < OC^ <<br />
^u)+i < ' ' ' auch deren Limes.<br />
^) Ist 0)^2= wJ'(a;+ y) das hochste vorkommende Glied von C nnd etwa<br />
r > 0, so isi ^= (or x-\ < Wa, also (OT < w^ und jedes Vielfache von w^<br />
auch noch < w^, also c < w'' (z-f-1) < w«-<br />
116
§ 16. Der aUgemeine Produktbegriff, 73<br />
Fiir Anfangszahlen, deren Index eine Limeszahl ist, brauchen die Satze<br />
III IV nicht zu gelten; z. B. gehoren zu H^(ct>^) die Zahlen COQ, COJ, cog, • • *,<br />
aber nicht der Limes co^ dieser co-Folge. Die Anfangszahlen, fiir die IV<br />
gilt, heiUen regular; zu ihnen gehoren also die (o^^i und COQ = ct>. [35]<br />
Regulare Anfangszahlen mit Limeszahl-Index sind bisher nicht bekannt;<br />
sie miiBten von exorbitanter GroBe sein.<br />
§ 16. Der aUgemeine Produktbegriff. [36]<br />
Es sei JIf =={..., m, ..., 72, ..., p,.. ,} eine geordnete Menge, deren<br />
Elementen m geordnete IMengen A^ zugewiesen sind; wir erhalten damit<br />
das zunachst ungeordnete Produkt<br />
M<br />
A = HA^ =(..., A^, . . ., A^^ . . ., Apj , . .)<br />
m<br />
als die Menge der Komplexe<br />
« = (••-, «m> • • -7 «m • « ', %. • • •) i^^m^^m)'<br />
Zwei solche Komplexe a und<br />
6 = (..., 6^,, . ., bnj. . .J Ap,. ..)<br />
bestimmen die ]VIenge M(a^ b) derjenigen m, fiir die a^^ b^; sie ist > 0<br />
dann und nur dann, wenn die beiden Komplexe verschieden sind, und in<br />
diesem Falle eine geordnete Teilmenge von M. Nennen wir der Kiirze<br />
halber M das Argument, die Elemente von M{a,b) die Diilerenzstellen<br />
zwischen a, b,<br />
Fiir drei Komplexe a, b, c ist ofTenbar<br />
(1) i¥(a, c) g M(a, b) + M(b, c),<br />
denn wenn a^ =t^ c^, so muB mindestens eine der Ungleichungen a^ =|= 6,,^,<br />
^m 4= ^m bestehen.<br />
Wir wiesen bereits am Schlusse von § 10 darauf hin, daB im Falle<br />
eines wohlgeordneten M eine lexikographische Ordnung des Produkts A<br />
moglich ist. Hier hat namhch die Menge M(a, b) fiir a^b stets ein<br />
erstes Element m und wir konnen dann a^b definieren, je nachdem<br />
^w^^mJ daB dies wirklich eine Ordnung, d. h. das Zeichen < transitiv<br />
ist, werden wir gleich sehen. Wir verstehen dann unter dem obigen A<br />
das lexikographisch geordnete Produkt; seinen Typus miissen wir allerdings<br />
mit M*<br />
m<br />
bezeichnen, wo die Reihenfolge der Faktoren ((X^ Typus von A^) die urngekehrte<br />
ist wie im Mengenprodukt und in M. Das umgekehrte Argument<br />
JIf* = iV kann passenderweise der Exponent genannt werden. Bei<br />
gleichen Faktoren A^~ B entsteht aus dem Produkt die Potenz B^<br />
mit dem Typus /3^* = p' {p, /^, v die Typen von B, M, N). Wir batten<br />
z. B. die Potenz co**^* = 1 + A gefunden (S. 48).<br />
117
74 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
Im Falle eines beliebigen M^ das nicht wohlgeordnet zu sein braucht^<br />
sind wir darauf angewiesen, die lexikographische Ordnung soweit zu definieren,<br />
wie sie definierbar ist. D. h. wenn i1/{a, b) ein erstes Element m<br />
hat, das wir librigens mit m(a, b) bezeichnen woUen, und a^ ^ b^^ so sei<br />
a^b, Mit a a und es gilt das transitive Gesetz: mit a < b,<br />
b < c ki a < c, Denn sei m = m(a^ J), ji = ?n(b, c) und p — min [m, n']<br />
(namlich p = m f iir m < TZ, p ~ n im n< m), so ist<br />
fiir I < p: ai = bi^bi = Ci, also ai= Ci,<br />
hingegen a^
§ 16. Der allgemeine Produktbegriff. 75<br />
Die Komplexe einer Klasse sind lexikographisch vergleichbar und<br />
A(a) ist also eine geordnete Menge. Auf die Eigenschaften (z. B. das<br />
assoziative Gesetz), die ihr Produktcharakter verleihen, woUen wir nicht<br />
eingehen und nur noch feststellen, daB sie eine grbfite^ d. h. nicht mehr<br />
erweiterungsffilhige geordnete Teilmenge von A ist (natiirlich ist lexikographische<br />
Ordnung gemeint). Ist namlich c=|=a, so spalte man die nicht<br />
wohlgeordnete Menge i¥(a, c) in zwei Komplemente P, Q^ wo P wohl- [37]<br />
geordnet und Q^Q ohne erstes Element ist (z. B. sei Q die Summe aller<br />
Teilmengen von M(a^ c), die kein erstes Element haben, dann hat auch Q<br />
keins und das Komplement P kann keine von Null verschiedene Teilmenge<br />
ohne erstes Element haben, ist also wohlgeordnet). Definiert man dann<br />
einen Komplex h durch<br />
^m ~ ^m ^^r meP^ 6,^ = a^ fiir msM -— P,<br />
so ist M(a, b) = P, M(b^ c) = Q^ also b^a^ b\\c^ folglieh: wenn csj=a,<br />
so ist c mit mindestens einem Komplex b der Klasse A(a) imvergleiehbitF^<br />
A(a) ist nicht erweiterungsfahig.<br />
Ein wichtiges Beispiel liefert der Fall, daB der Exponent N = J/*<br />
wohlgeordnet ist (nicht mehr, wie urspriinglich, das Argument M). Hier ist<br />
jede Menge il/(a, b) invers wohlgeordnet; soil sie auch wohlgeordiiet sein,<br />
so ist sie endlich, d. h. a^b bedeutet, daB sich die Komplexe a^b nur<br />
an endlich vielen Stellen unterscheiden.<br />
Nehmen wir etwa den Fall<br />
iV =={0,1,2,...}, ilf = {,..,2,l,0},<br />
N vom Typus o}\ unsere Komplexe sind<br />
a=- (. . ., ^2, %, ao), a^sA^.<br />
Um die Klasse A{a) und ihren Typus zu untersuchen, sei<br />
die durch a^ bewirkte Zerlegung der Menge A^ und ihres Typus; es mogen<br />
ferner a;,^, y^^ z^ die Mengen A^^^ B^^ C^ durchlaufen« Die Komplexe ^ a<br />
erscheinen dann in folgender Ordnung:<br />
' -1 ^4? Vzi ^2t ^1? ^o)<br />
. ., ^4, a3, 2^2f ^IJ ^o)<br />
.., ^4, ^3, a^, 1^1, XQ)<br />
. ., ^4, ^3, ^25 %, 2/o)<br />
. .J ^4, %, agi %5 ^o)<br />
• M ^4^ %? %5 %? 2o)<br />
. . , ^4, ^3, £f2 T % 1 ^®)<br />
119
76 Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.<br />
Die Punkte oben und unten bedeuten die weitere Fortsetzung des<br />
Schemas; die Punkte innerhalb der Komplexe bedeuten, daB dort Elemente<br />
a„, stehen; jeder Komplex auBer dem mittelsten reprasentiert (fur x^e A^^,<br />
ym^B^, z^eC^) eine ganze Menge solcher, die lexikographisch zu ordnen<br />
sind, und diese Mengen bilden als Summanden, von oben nach unten<br />
geordnet, die ganze Menge A (a), Fiir den Typus von A (a) erhalt man<br />
demgemaB<br />
oc{a) = h ^0^1^2)53 + ^o^i/^a + ^oi^i + i^o + 1<br />
+ 70 + ^ori + ^0^172 + ^0^1^273 H ;<br />
man sieht, wie er durch eine nach links und rechts fortschreitende<br />
Summation gewissermaBen als Limes der Partialprodukte<br />
^0 = i^o + 1 + yo<br />
OCQOCJ^ = ^O(/SI + 1 + ri) = ^oA + OCQ + ^ori<br />
== ^oh + /5o + 1 + ro + ^071<br />
OCQOC^OC.2 = ^o^ii^a + '^oiSi + i^o + 1 + 7o + ^ori + ^0^172<br />
erscheint. Die Ahnlichkeit mit der Entstehung der Cantor schen Produkte<br />
von Ordnungszahlen (§ 14) ist unverkennbar; ja diese sind tatsachlich als<br />
Spezialfalle in unserem allgemeinen Produktbegriff enthalten. Nimmt man<br />
namlich alle Ay^ als wohlgeordnet und die a,,^ als ihre ersten Elemente,<br />
so ist /8„j z= 0, (X,^ = 1+ yni zu setzen, also<br />
oc(a) = 1 + yo + OCQY^ + ^0^172 H<br />
und das ist (alle oc^> 1, 7m > 0 vorausgesetzt) imC an to rschen Sinneeben<br />
OCQOCJ^OC^ . . . = lim OCQOCJ^ . . . (X.^^^.<br />
Allgemein erhalt man die Gantorschen Produkte als Typen unserer<br />
Klassen A(a), wenn man den Exponenten N und die Mengen A^^^ wohlgeordnet<br />
und den Komplex a aus den ersten Elementen a„j der A^^^ bestehend<br />
annimmt; mit dieser nicht schwer zu beweisenden Tatsache ist<br />
nun auch der Umstand (S. 66) aufgeklart, daB die Can to rschen Produkte<br />
nicht die Machtigkeit der vollen Produkte A — von denen ja die A(a) nur<br />
Teilmengen sind — zu haben brauchen.<br />
Man kann jene Klassen A(a) noch weiter spalten und damit neue produktartige<br />
Mengen gewinnen, wenn man auf die Machtigkeit der Menge<br />
M(a,b) achtet. Schreiben wir<br />
wenn die Menge M(a,b) wohlgeordnet und von einem Typus < coc (oder<br />
einer Machtigkeit < N^) ist, wo co^ eine Anfangszahl bedeutet; auch diese<br />
verscharfte Kongruenz ist nach (1) transitiv und hefert eine Einteilung in<br />
Klassen A^{a), wobei, fiir I < 17, At {a) Teilmenge von A,, (a) ist; fiir hinlangUch<br />
groBes f fallen diese Klassen mit den A (a) zusammen. Die kleinste<br />
120
§ 17. Ringe und Korper. 77<br />
Klasse u4o(a), durch a^b{(o) definiert, besteht aus den Komplexen, die<br />
sich von a nur an endlich vielen Stellen unterscheiden; fiir wohlgeordneten<br />
Exponenten fallt bereits sie mit A (a) zusammen. 1st das Argument M<br />
wohlgeordnet, so gibt es nur eine Klasse A(a) = A; aber A kann auch in<br />
diesem Fall in kleinere Klassen A^(a) zerfallen. — Bei gleichen Faktoren<br />
A^ = B erhalt man entsprechende Mengen, deren Potenzcharakter aber<br />
nur dann ausreichend gewahrt bleibt, wenn man den Komplex a auch<br />
aus lauter gleichen Elementen a^ = b bestehen laBt.<br />
Naher auf den allgemeinen Produktbegriff einzugehen verbietet der<br />
Raum; wir wollten aber doch dem Leser die Aufklarung nicht schuldig<br />
bleiben, da6 und wie sich die verschiedenen ProduktbilduBgen, die er<br />
kennengelernt hat, unter einen umfassenden Begrilf subsumieren.<br />
Fiinftes Kapitel.<br />
Mengensysteme*<br />
§ !?• Binge und Korper. [38]<br />
Eine Menge von Mengen wollen wir der Deutlichkeit wegen eia System<br />
von Mengen nennen; wir bezeichnen die Mengensysteme mit groBen deutschen<br />
Buchstaben. MeW bedeutet also, da6 die Menge J/ dem System 5W<br />
angehort. Die betrachteten Mengen M sind reine Mengen, oline Relationen<br />
(Ordnung) zwischen ihren Elementen, so dafi wir in dieser Hinsicht zum<br />
Standpunkt der ersten beiden Kapitel zuriickkehren; die inzwischen erlangte<br />
Kenntnis der Ordnungszahlen wird uns aber doch niitzlich und bisweilen<br />
unentbehrlich sein. Wir richten unser Augenmerk insbesondere<br />
auf gropte und kleinste Mengensysteme gewisser Art: Systeme, denen man^<br />
nach einer bestimmten Vorschrift, kein Element hinzufiigen oder keins<br />
wegnehmen kann.<br />
1. Ringe. Ein Mengensystem heifie ein Ring^)^ wenn Summe und<br />
Durchschnitt i>on zwei Mengen des Systems wieder dem System angehoren.<br />
Dasselbe ist dann fur endHch viele Mengen des Systems der Fail. Ein<br />
Ring ist also eine Art groBten Mengensystems, ein System, das durch die<br />
Operationen Summe und Durchschnitt (an endlich vielen Elementen)<br />
nicht erweitert werden kann.<br />
Beispiele. Das System aller Teilmengen einer gegebenen Menge ist ein<br />
Ring. — Bedeutet / = [a, j8) das Intervall der Zahlen a
78 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.<br />
aus endlich vielen disjunkten /, mit Hinzurechnung der NuUmenge, einen<br />
Ring. Denn der Durchschnitt zweier / ist ein / oder 0, also nach dem<br />
distributiven Gesetz der Durchschnitt zweier S ein S. SchlieBt man S in<br />
€in / ein, so ist offenbar I — S ein S] demnach ist / — (iS'^ + S.^) =<br />
(/ — 6*1) (/ — S2) ein 5, und das Komplement davon in /, also S^ -j- 1^21<br />
wieder ein S, tjbrigens ist auch die Differenz S — S^ zweier S ein S, denn<br />
schlieBt man S in ein / ein, so ist S{I — S^) = S — S^ ein S,<br />
Zu einem beliebigen Mengensystem 9K giht es einen eindeutig bestimmten<br />
kleinsten Ring ^ 3JJ.<br />
Wir werden diesen Ring, d. h. die ihm angehorigen Mengen, hier zwar<br />
sofort sehr einfach angeben konnen, woUen aber als Vorbild fiir andere,<br />
weniger elementare Falle einen allgemeinen Existenzbeweis geben. Es<br />
gibt iiberhaupt Ringe ^ 2R; denn ist S die Summe aller Mengen e 3K, so ist<br />
das System @ aller Teilmengen von S ein Ring liber SK. Da der Durchschnitt<br />
behebig vieler Ringe offenbar wieder ein Ring ist, so ist der Durchschnitt<br />
% aller Ringe SR, fiir die 501 g SR ^ @, ein Ring iiber 3K. Er ist<br />
der kleinstmogliche, d. h. in jedem Ringe "St iiber Wl enthalten, da ja<br />
3Rg3l@g©, also %^^(B^m,<br />
Dieser kleinste Ring iiber 3K, nennen wir ihn jetzt 91, laBt sich offenbar<br />
so bilden: er besteht aus den endlichen Summen<br />
/? = i)i 4- 2)2 + • - + i>„.<br />
deren Summanden ihrerseits von der Form<br />
D = M, M3 . . . M^<br />
d. h, Durchschnitte aus endlich vielen Mengen M(£3R) sind. DaB die genannten<br />
Mengen /? zu SR gehoren miissen, ist klar; sie bilden aber schon<br />
selb^t einen Ring (also Sfit), da nach dfem assoziativen Gesetz die Summe,<br />
nach dem distributiven der Durchschnitt zweier R wieder ein R ist.<br />
Offenbar kann man die Operationen Summe und Durchschnitt auch in<br />
umgekehrter Rcihenfolge anwenden, d. h. 9? besteht aus den Durchschnitten<br />
^ = ^1 ^2 • • • ^n<br />
aus endUch vielen Mengen 5, die ihrerseits Summen<br />
aus endlich vielen Mengen M sind.<br />
2. Korper. Ein Mengensystem heifie ein Korper, wenn Summe^ Durchschnitt<br />
und Differenz von zwei Mengen des Systems wieder dem System<br />
angehoren.<br />
Bei der Differenz ist, wie immer, der Subtrahend als Teilmenge des<br />
Minuenden anzunehmen. Es wiirde iibrigens geniigen, die Forderung nur<br />
fiir Summe und Differenz zu stellen, da der Durchschnitt auf diese beiden<br />
Operationen zuriickfiihrbar ist (S. 17). Ein Korper ist a fortiori ein Ring.<br />
122
§ 17. Ringe und Korper. 79<br />
Beispiel. Die obigen Intervallsummen S bilden einen Korper, wie<br />
vorhin bereits bewiesen wurde. Hatte man statt der halboffenen Intervalle<br />
/ = [a, j3) entweder ollene (a, /3) oder abgeschlossene [a, p] genommen, so<br />
wiirden die S zwar noch einen Ring, aber keinen Korper bilden.<br />
Da6 liber einem beliebigen Mengensystem 3K ein kleinster Korper ^<br />
existiert, erkennt man genau wie im Fall des Ringes; aber die Darstellung<br />
seiner Mengen ist hier nicht ganz so trivial. Da ^, wenn iiberhaupt eine<br />
Menge, so jedenfalls die NuUmenge enthalt, so woUen wir diese bereits in 2R<br />
aufnehmen; ferner enthalt ^ den kleinsten Ring 9lg3K nnd ist ancb<br />
der kleinste Korper liber 91. Wir setzen daher alsbald 3K als Ring voraus,<br />
dem die NuUmenge angehort. Betrachten wir dann endlich viele Mengen<br />
il/j g Mc, g • • • ^ M„ oder, zur Vereinfachnng der Schreibweise, eine absteigende<br />
Mengenfolge von Mengen M<br />
(1) M,gM,^.¥,^-^.<br />
mit scliliepiich Qersclmindenden Gliedern. Die Differenzen J/^ — M^,<br />
M^ — 1/3,. .. sind disjunkt. Die Menge<br />
(2) A^(M^- M^) + (i¥3 - 1/4) + {M, - i¥,) + - •<br />
heifie eine (endliche) Differenzenkette aus dem System 3Jl. Diese<br />
Mengen A sind offenbar samtlich in ^ aufzunehmen; wir werden zeigen,<br />
da6 sie selbst schon einen Korper bilden, der folglich der gesuchte Korper<br />
^ ist.<br />
Die Komplemente M -— A sind wieder Mengen A, Schreibt man<br />
A = MA=^ (MM^ - MM^) + (MM^ - MM^) + • • •,<br />
was wieder eine Darstellung der Form (2) istj so sieht man, daB man nur<br />
zu beweisen braucht: MQ —A ist fiir M^^M^ ein A. Dann ist aber<br />
(3) Mo - (Mo - M^) + (Ml - M,) + {M^ _ M3) + • • •,<br />
(4) M,-A = (M, - M,) + (M, - M3) + . . .<br />
und die Behauptung ist be^esen. Man beacMe noch, daB zu jedem A ein<br />
M'^A existiert, z. B. M^.<br />
Der Durchschnitt zweier A ist ein A. Hier ist eine ¥@randerte Bezeichnung<br />
zweckmaBig: wir setzen<br />
^-(Mo-M;) + (i¥,^MO + -«'<br />
(5) j B= (iVr,- iV;,) +iN^- N[) + "^<br />
mit schlieBlich verschwindenden ^) if^, M^, N^, N^, die dem System SR<br />
angehoren.<br />
Defmieren wir nun (die Indizes i, /c, / durchlaufen die ZaMen 0, 1, 2,- • •)<br />
^) Diese Voraussetzung ist tibrigens hier nicht wesentlich; auch die iiiiendlichen<br />
Differenzenketten (2) haben die Durchschnittseigenschaft.<br />
123
80 Funftes Kapitel. Mengensysteme.<br />
also Po = *^o-^o, -Pi = ^0^1 4- M^No, • . .<br />
so gehoren auch die Pi, P'l dem Ringe SR an und verschwinden schliefilich.<br />
Dabei ist Pi^P'i und, wenn man<br />
beaehtet, P\ ^ P^+i, also<br />
Wir zeigen nun, da6<br />
(7) AB = (i>o - P',) + (i'l - PI) + • • •<br />
und sogar einzein<br />
(8)- .-^^ : ('^^* - ^^»')(^^- - ^*) = ^i - ^;•<br />
Nennen wir die hier links stehende Summe Ci, Wenn xeCi^ so ist<br />
etwa xe(M^^ — Ml^)(N^^ — iV^ also xeMi^N^^^Pi, aber zugleichreiPj.<br />
Denn fiir t +A: = 1*0 + ^0 = ^ 1st entweder I^IQ^ M'^N^^M\^ oder<br />
ikQ, MlNj,^Nj,^^i^Nj^.; also xeMiNj^, ebenso xeMiNi,.<br />
Also ist Ci^Pi — P'l, Umgekehrt, ist xePi — P'l g P^ und etwa xeM^Ni,,<br />
so ist a;£i¥^, da sonst oieilf^iVjtg P'z w^^re, ebenso a;£i\r;^, xe{Mi — M^)<br />
(Nj,-~N'j,)^Ci, also i>i-PjgC^ Damit ist (8) und (7) bewiesen: AB<br />
ist ein A,<br />
Die Differenz zweier A ist ein A. Zn A^A^^ wahle man M^A,<br />
dann ist A — A^~ A(M — A-^) ein ^.<br />
jDte Summe zweier A ist ein A, Zu ^1, A2 wahle man umXassende<br />
Mengen M^, M^ und M = M^ + M^-, dann ist M — (M — A^ (M — A2)<br />
= Ai -\- A2 ein A.<br />
Damit ist bewiesen, daB die A einen Korper bilden..<br />
3. Erweiterte Korper. Einer spateren Anwendung (§ 30, II III)<br />
wegen woUen wir die Differenzenketten ins Unendliche verlangern. Die<br />
griechischen Buchstaben sollen die Ordnungszahlen < co^ durchlaufen, wo.<br />
(o^ eine festgewahlte Anfangszahl, die erste Ordnungszahl von der<br />
Machtigkeit X^ ist. Aus dem System 9K, das wieder ein Ring sein und die<br />
Nullmenge enthalten soil, bilden wir eine absteigend wohlgeordnete Folge<br />
Yom Typus 0^^<br />
(9) M^^ i/22 - • g il/a> + l g ^/a, + 2§ • • •><br />
deren Glieder also mit ^¥^4.1 bezeichnet sind, und damit die Menge<br />
124
§ 17. Ringe und Korper. 81<br />
(10) A = (il/i - M^) + (M3 - M4) + . . . + (Jf^+i - M,_,2) + • • •<br />
wobei daran zu erinnern ist, daB die Ordnungszahlen entweder gerade (2 i)<br />
Oder ungerade (2 | + 1) sind, die Limeszahlen insbesondere gerade. Wir<br />
nennen A wieder eine Differenzenkette aus SR, und zwar vom Typus a>^,<br />
falls alle Mengen (9) von Null verschieden sind, dagegen vom Typus r) < co,,,<br />
falls M^_^i die erste verschwindende Menge in (9) ist; natiirlich hangt der<br />
Typus nicht nur von der Menge A selbst, sondern auch von der gewahlten<br />
Darstellung ab. Wir behaupten:<br />
I. Wenn das System SO? (das ein Ring ist und die Nullmenge enthalt)<br />
auch nock so beschaffen ist, dafi der Durchschnitt aus weniger als ^^ Mengen M<br />
ein M ist, so bilden die Differenzenkeiten {aus 3K) mm Typus < m^j_ einen<br />
Korper,<br />
Beweis. M — A ist wieder ein A. Wie oben geniigi es, zu zeigen, dafi<br />
MQ — A fiir MQ g M^^ ein A ist. Wir defimeren nocb fiir Limeszahlen<br />
r] < oj^ die Mengen<br />
die nach der Durchschnitts-Voraussetzung wieder Mengen M sind. Es<br />
bilden jetzt die samtlichen Mengen M^ ein absteigend woMgeordnetes<br />
System<br />
Jfo^ ilfi^ ilfg^ • • • i? M^ ^ l/^^i ^ • . . g i¥^2§ . ..,<br />
worin jede Menge mit Limesindex der Durchschnitt aller vorangehendeii<br />
Mengen ist. Hierbei ist<br />
(11) 7¥„ = |{3/|-7¥j+l),<br />
denn fiir jedes xeM^ gibt es, da die M^ schlieBlich = 0 sind, ein erstes M^<br />
mit xlM^, wobei C>0 und keine Limeszalil, also C = | + l und<br />
xeM^ — i/^+i ist. Durch Trennung der geraden und ungeraden Indizes<br />
folgt<br />
(12) M^-A = 2(M^ _ M^+^)<br />
= (7Jf,-i¥i) + (M3-M3) + •--+ (iI/„-^„+i) + •-•.<br />
Der Durcfischnitt zweier A ist wieder ein A *). Wir schreibcH jetzt wieder<br />
wie in (5)<br />
A=2(Mt- M\)<br />
(13) J B = |(^-f - iv|)<br />
^) Hierbei genligt, daB 3Ji ein Ring sei; auch die Voraussetzung des schlieBlichen<br />
Verschwindens der Mengen (9) ist entbehrlich, und der Durchschnitt zweier<br />
Differenzenketten vom Typus ^ft^a ist wieder eine solche.<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 6<br />
125
82 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.<br />
Um (6) zu iibertragen, miissen wir die natUrliche Summe verwenden:<br />
wir definieren<br />
(14)<br />
wo
§ 18. Borelsche Systeme. 83<br />
Mengensystem SOI bilden konnten, laBt sich aber auf den gegenwartigen<br />
Fall nicht iibertragen; wollten wir etwa wie damals (S. 78) die Durchschnitte<br />
D = M^ M^ J/g • • •<br />
aus Folgen von Mengen M{e W) und damit die Summen<br />
aus Folgen von Mengen D bilden, so bilden diese R noch durchaus kein<br />
Borelsches System: die Summe abzahlbar vieler R ist zwar nach dem<br />
assoziativen Gesetz wieder ein /?, aber der Durchschnitt abzahlbar vieler R<br />
gibt, nach dem distributiven Gesetz entwickelt, eine Summe unabzahlbar<br />
vieler D und im allgemeinen also kein R.<br />
Diese Verwicklung laBt es ratsam erscheinen, die Forderungen fur<br />
Summe und Durchschnitt zunachst einmal zu trennen.<br />
_. -. T n • [^-SystemX (die Summe 1 . .<br />
Em Mengensystem hei/Se em [^.^ystemi' «''"" [der Burchschnittl ^'^'<br />
Folge von Mengen des Systems wieder dem System angehort<br />
Wir machen einige Bemerkungen iiber a-Systeme, die sich dann ohne<br />
weiteres auf (3-Systeme iibertragen. In einem cr-System gehort aiich die<br />
Summe A+B + A+B + '- = A+B<br />
zweier und endlich vieler Mengen des Systems wieder dem System an.<br />
Das kleinste c-System iiber einem gegebenen Mengensystem Wl (seine<br />
Existenz ist wie die des kleinsten Ringes zu erschheBen) heiBe SJl^. Es<br />
wird von den Mengen<br />
(1) M, = 7¥, 4- M^ + i>/3 + • • — ^M, (M,em)<br />
gebildet, d. h. von den Summen aus Folgen von Mengen Ms SHI. Denn<br />
die M^ miissen zu WQ geheren, bilden aber bereits selbst ein cr-System<br />
(Verwandlung einer Doppelfolge in eine einfache).<br />
Ist 2Jl ein Ring, so ist auch 3)l
84 Funftes Kapitel. Mengensysteme..<br />
Ein Mengensysiem, das zugleich a-System und d-System ist^ heifle ein<br />
(abySystem oder ein Borelsches System.<br />
[39] tJber einem Mengensystem 3K existiert wieder ein kleinstes Borelsches<br />
System S3 = SK(
§ 18. Borelsche Systeme. 85<br />
M^ identisch sind. Ebenso hatten wir, mit Durchschnitten statt mit<br />
Summen beginnend, die folgenden Mengen aufzunehmen:<br />
' die Mengen Jf (e3K),<br />
die Durchschnitte Jl/^ aus Folgen von Mengen M ^<br />
(4) \ die Summen M^^ aus Folgen von Mengen ilf^,<br />
die Durchschnitte M^at^ aus Folgen von Mengen M;^^<br />
usw.<br />
Die von diesen Mengen gebildeten Systeme waren mit SR, 2R^, SK^j^y,<br />
S^arU: • • • Oder SIM, 9K^, 3R,)\,, 3K^
86 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.<br />
A^^ ^s+i kommt also Summe und Durchschnitt der gegebenen Folge vor.<br />
Man sieht daraus, da6 es keinen Zweck gehabt hatte, die Definition auf<br />
^= ^ auszudehnen (es wiirde %^ = 91^+^ = .. . = Sg sein).<br />
Die Systeme 91^ wachsen mit dem Index, d. h. ^^^W fiir |
§ 18. Borelsche Systeme. 87<br />
Bemerkt sei noch: wenn, fiir irgend ein f ^ 1, 31^ == 9P+^ sein sollte, so<br />
ist W = S3. Denn von den beiden Mengensystemen 91^, 51^+^ ist das eine<br />
ein or-System, das andere ein ^-System; fallen sie zusammen, so haben<br />
wir ein Borelsches System vor uns.<br />
3. Darstellung der Borelschen Mengen. Wir sahen (um etwa an die<br />
zweite Form anzukniipfen), da6 jedes J5^+^ fiir gerades | Durchschnitt,<br />
fiir ungerades | Summe einer Folge von Mengen B^ ist. Ist rj eine Limeszahl,<br />
so ist<br />
(5) B^J == 6\ + ^2 + • • • {Cn ein B^n ^it |„ < 7]);<br />
diese Form leidet an einer gewissen Willkiirlichkeit, indem die |„ von der<br />
darzustellenden Menge B^ abhangen konnen, nnd wir wollen sie in eine<br />
solche iiberfiihren, wo die In eine feste, nur von tj abhangige Folge bilden<br />
(wie dies fiir ?7 = | + 1 der Fall war, wo f,j = | = ?^ — 1 gewahlt werden<br />
konnte). Beispielsweise: wir wollen eine Menge B^^ die sich zunachst in<br />
der Form B'^ = B^^ -f- J5^*^ + • • • mit beliebigen endlichen Indices i^ darstellt,<br />
in die spezielle Form B^ = B^ + B^^ -j- ^ • - iiberfiihren, wo ^^ = n<br />
ist. Wahlen wir eine feste, nur von der Limeszahl tj abhangige Folge von<br />
Ordnungszahlen<br />
1 ^ ^1 < V2 < ^?3
88 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.<br />
eindeutig zugeordnet (z.B. X = M^M^M^... oder X = M^\- M2 + M^^ ),<br />
so daB also 0 eine eindeutige Funktion der Mengen M^ bedeutet. Wahlt<br />
man auf alle moglichen Weisen die Mengen M^ aus einem gegebenen<br />
Mengensystem 2K, so durchlauft X ein Mengensystem X. Wir behaupten<br />
dann:<br />
[42] I. Fiir jedes ^ > 1 ld[k sick eine niir von | abhdngige Funktion (P|<br />
so bestimmen^ da^<br />
(8) X = 0^{M,, 714 M,,. ..) (M^em)<br />
genau die von SO? erzeugten Borelschen Mengen B^ darstellL<br />
DaB X genau die JB^' darstellt, soil naturlicli heiBen, daB X alle B^<br />
und keine andern Mengen darstellt, oder daB X das Mengensystem X = 33^<br />
durchlauft.<br />
Der Beweis ist sehr einfach. Setzen wir<br />
(9) (&,(ilfi, Mg, M3,...) = il/i 3/2 M^.,,^<br />
so stellt X = 01 genau die M$ — B^ dar.<br />
Wenn fcrner die Funktion 0^ bereits definiert ist, so erhalten wir,<br />
gemaB der Bildung der 5^+^ aus den B^^ eine geeignete Funktion 0|-j_i<br />
auf folgende Weise. Wir spalten die Menge der natiirlichen Zahlen in<br />
abzahlbar viele abzahlbare Teilmengen, etwa nach dem dyadischen<br />
Schema S.30. Fiir ungerades | setzen wir dann<br />
(10) = 0^{M,, M,, M,,. . .) + 0^[M.^, M,, M\,,, . .)<br />
I + 0^(M^. M,,, M.,,, ...) + •••<br />
und fiir gerades |<br />
§ 18. Borelsche Systeme. 89<br />
Die hier auftretenden, durch (9) bis (12) induktiv erklarten Funktionen<br />
^^ sind nun alle ^) von einer besonderen Gestalt, namlich Summen pon<br />
Durchschnitten aus Teilfolgen der Mengenfolge If^, M^, .... Diese besonderen<br />
Funktionen 0 werden also so gebildet: jeder Folge<br />
V = (^^l, /zg, UQ, . , .)<br />
wachsender natiirlicher Zahlen ordnen wir den Durchschnitt<br />
2u; sodann sei N eine Menge solcher Folgen und<br />
(13) X=^eM, = 0 (M„ Jf,. 1/3,...),<br />
y<br />
wobei das Funktionszeichen 0 und die Menge N einander entsprechen.<br />
Wir woUen diese ofters auftretenden Funktionen als ds-Funktionen be- [43]<br />
zeichnen. Wenn wir namlich, wie bisher, Summen- und Durchschnittsbildung<br />
an abzdhlbar vielen Mengen mit c und 5, an beliebig vielen Mengen<br />
mit 5 und d bezeichnen, so ist in (13) jeder Summandilfy ein M^^ die Summe<br />
selbst ein M^^ (falls N abzahlbar ist, ein M^^^^ falls N nur ein Element hat,<br />
ein M§). Durch Vertauschung der Rollen von Summe und Durchschnitt<br />
wCirde man in analoger Weise ad-Funktionen erhalten, Durchschnitte von<br />
Summen aus Teilfolgen einer Mengenfolge; die Komplemente der Mengen<br />
(13) liefern ein Beispiel.<br />
Wir haben nun behauptet, daB die Funktionen 0^ solche (55-Funktionen<br />
(13) sind, miissen also zeigen: es gibt fiir jedes ^> 1 eine nur<br />
von I abhangige Menge N^ derart, daB<br />
(14) 0^(M^, M^, M^, . , ,)--=^-^ M,,<br />
V<br />
Z. B. besteht iV^ aus der einzigen Folge (1, 2, 3,. . .); N2 aus den Folgen<br />
(1, 3, 5,. ..) (2, 6, 10,. . .) (4,12, 20,. . .) usw. Sei nun (14) fur ein bestimmtes<br />
f richtig; dann ist<br />
0^(M,, 1/3, M,,,..)=^M,<br />
a<br />
*' '<br />
wobei jedem v = [n-^^ %, ^^3,,..) eine Folge a; = (2/ii — 1, 2n2 — 1,<br />
2/^3 — 1, . . .) aus lauter ungeraden Zahlen und damit der Menge N^ eine<br />
bestimmte Menge A^ entspricht; analog sind fi^ B^, y, T^, . . . aufzufassen.<br />
Gilt dann (10), so ist<br />
^) In den Satz I konnte man, mit ^Q{M^, M^^ M^,,..) = Mi, auch die<br />
Mengen B^ einbeziehen, aber fur diese gilt das Folgende nicht.<br />
133<br />
n
90 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.<br />
0^^^{M^, M,, M3,....) = f M,, iV,.+i ^ ^^ + B. + r^ + ...,<br />
und analog wird im Falle der Formel (12) die Menge iV^ gefunden. Bei der<br />
Durchschnittsbildung (11) tritt zunachst, nach dem distributiven Gesetz,<br />
die Summe^)<br />
auf, erstreckt iiber (XeA^^ PeB^^ysF^, . ..; d. h. die Folge ( 1 Idfit sich eine nur von | abhdngige Menge iV|, deren<br />
Elemente v = (?Zi, n^^ n^^...) Folgen wachsender natiirlicher Zahlen sind^<br />
so bestimmen, dafi die ds-Funktion<br />
(15) X = fM,^iM„^M„,M„^...<br />
genau die von 2FI erzeugten Borelschen Mengen J5^ darslellt,<br />
Eine analoge Behandlung gestatten natiirlich auch die Borelschen<br />
Mengen A^ (S. 85); die 0^ wiirden dann nicht Summen von Durchschnitten,<br />
sondern Durchschnitte von Summen aus Teilfolgen der Folge M^<br />
sein, d. h. crcf-Funktionen.<br />
§ 19, Die Suslinschen Mengen.<br />
Beim Anblick des Satzes II im vorigen Paragraphen liegt die Frage<br />
nahe, ob es vielleicht eine feste d^-Funktion oder eine feste Menge N von<br />
Folgen V == (^Zj, n^^ . . .) wachsender natiirlicher Zahlen gibt, derart, da6<br />
die Menge<br />
(1) X =: lilf, = 1.1/,, M^JI,^., . =
§ 19. Die Suslinschen Mengen. 91<br />
die fraglichen Mengen zunachst in einer andern Bezeichnung, in der statt<br />
der Mengen M^ Mengen zwar mit mehrfachen, aber unabhangig voneinander<br />
variierenden Indices auftreten.<br />
Wir ordnen einmal nicht den natiirlichen Zahlen, sondern den (ebenfalls<br />
in abzahlbarer Menge vorhandenen) endlichen Komplexen (/ii), (ui^ n
92<br />
Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.<br />
Die fundamentalste Eigenschaft der Suslinschen Mengen spricht aber<br />
der folgende Satz aus:<br />
I. Die von Suslinschen Mengen MQ erzeugten Suslinschen Mengen sind<br />
meder Mengen M^.<br />
Oder kurz: jede Menge M^s ist nur eine Menge M^ (wie jedes M^^ ein<br />
M^ ist). Der Suslinsche ProzeB ist derart umfassend, da6 seine Iteration<br />
nichts Neues liefert.<br />
Der Beweis sieht nur wegen der vielen Indizes schwierig aus, ist aber<br />
ganz einfach. Es sei<br />
V<br />
eine Suslinsche Menge, deren erzeugende Mengen selbst wieder Suslinsche<br />
Mengen sind:<br />
JT' =@AC,' ^ttiCCi ^^axO-'iCti<br />
iT^^* =@Afr^"^- Ml'l' Ml<br />
N' niWaWa<br />
„ 1 1-4 1 - 3<br />
wobei V == (ni, TZg,...), ^ == (%, «2, • • •), ^ == (^i. 627 •••):•• • unabhangig<br />
voneinander alle natiirlichen Zahlenfolgen durchlaufen. Es ist zu zeigen,<br />
da6 P als Suslinsche Menge aus den M selber gebildet werden kann. Nach<br />
dem distributiven Gesetz ist P die Summe aller Durchschnitte<br />
(6) MllMZ^jMll,^^^ .i»/?:"^^^?,t---
§ 19. Die Suslinschen Mengen. 93<br />
von dem die Menge abhangt, geraden Index hat. Ordnen wir nun schlieBlich<br />
die Zahlenpaare (/Woj^^i, W2jb) den natiirlichen Zahlen p;^. eineindeutig<br />
zu und definieren die von p^,..., ipy. oder m^,. .., m abhangige Menge<br />
<br />
so geht (7) in ^p^M^^^^M^^^^^^^ ... liber und P ist die Summe dieser<br />
Durchschnitte, iiber alle Folgen (pi, pg? p3? • • *) natiirlicher Zahlen erstreckt,<br />
d. h. eine aus den M gebildete SusUnsche Menge.<br />
Damit ist I bewiesen. Die Mengen N = Ms erzeugen keine neuen<br />
Suslinschen Mengen; jedes Ns ist ein N, Insbesondere ist also jedes N^<br />
und N^ ein iV, die Mengen N bilden ein Borelsches System $R iiber 2R; das<br />
kleinste Borelsche System S5 ist demnach in 9? enthalten: alle mn 9R<br />
erzeugten Borelschen Mengen sind auch SusUnsche Mengen, Das Umgekehrte<br />
ist im AUgemeinen nicht richtig, wie wir spater (§33,1) sehenweFden.<br />
SchlieBlich konnen wir von der Suslinschen Formel (5)(4) leicht zu<br />
einer Darstellung der Gestalt (1) zuriickgehen und damit die Frage zu<br />
Beginn dieses Paragraphen beantworten. Wir brauchen nur eine eineindeutige<br />
Zuordnung zwischen den naturUchen ZaMen p und den endlichen<br />
Komplexen naturiicher Zahlen (%, ^2,..., %) herzustellen, etwa<br />
die aus der dyadischen Schreibweise entspringende<br />
(8) p = 2**»~^ + 2'*»+**»~^ _j- . . . _|- 2»'»+»«+*'*+»v-'—1;»<br />
sodann setzen wir<br />
M^ = M<br />
Dann entspricht jeder Folge v = Oh^ /ig, ^3,. . •) behebiger natiirlicher<br />
Zahlen eine Folge TZ = (pi, pg, Ps, • • •) wachsender natiirlicher Zahlen der<br />
Gestalt<br />
PJ=:2"X-I, P2 = 2"^-^ + 2"^+'^^-^,<br />
p __ 2"!—1 _[- 2*^i+"a~^ 4- 2**i+'*»+**~"-'^<br />
(d. h. die Zahlen p^, pg — pi, Ps — P2? • • • bilden eine Teilfolge von 1, 2, 4,<br />
8,. . .); ist n die Menge aller dieser Folgen n, so geht (5) in<br />
JI<br />
X = iSM^^M^^AP-, . .<br />
liber. Damit ist, wenn wir zur Bezeichnung (1) zuriickkehren, der Satz<br />
bewiesen:<br />
II Es gibt eine jesle Menge N mn Folgen v = fuj, n^^ n^, . . .) wachsender<br />
natiirlicher Zahlen derart^ dap die ds-Funktion<br />
(1) X = l M, = i if„, M„, M^...<br />
genau die von Wl erzeugten Suslinschen Mengen darstdlt.<br />
137<br />
o
94 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Sechstes KapiteL<br />
Fnnktmengeii.<br />
§ 20. Entfernung.<br />
Wir haben bisher teils reine Mengen, teils solche mit Relationen<br />
zwischen den Elementen (geordnete Mengen) betrachtet. Der zweiten<br />
Klasse gehoren auch die Mengen an, die wir nun untersuchen wollen:<br />
Mengen, in denen zwei Elemente eine Entfernung haben.<br />
[46] 1. Metrische Baume. Es sei E eine Menge, deren Elemente wir jetzt<br />
Punkte nennen. Jedem Punktpaar (x, y) sei eine reelle Zahl xy, die EnU<br />
fernung beider Punkte, zugeordnet ^), also eine reelle Funktion xy = f{x^ y)<br />
in [E, E) definiert. Hierfiir soUen die folgenden Entfernungsaxiome oder<br />
-postulate gelten:<br />
(a) XX =^ 0<br />
(|3) xy = yx> 0 fur x::^y<br />
(y) xy +yz>xz.<br />
Das Axiom (y), das wichtigste unter ihnen, heiBe das Dreiecksaxiom<br />
oder die Dreiecksungleichung (die Summe von zwei Dreiecksseiten ist<br />
mindestens gleich der dritten). Die Menge E wird als metrische Menge,<br />
Punktmenge oder metrischer Raum bezeichnet; bei der letzten Bezeichnung<br />
wird vorwiegend an das Verhaltnis von E zu seinen Teilmengen und<br />
Punkten, bei den ersten beiden an das Enthaltenseia von E in einem umfassenden<br />
Raume gedacht.<br />
Das nachstHegende Beispiel ist die Menge E^ der reellen Zahlen, wo<br />
als Entfernung der absolute Betrag \x — y\ des Unterschiedes beider<br />
Zahlen definiert wird. Sodann der n-dimensionale Euklidische Zahlenraum<br />
En] seine Elemente sind die Komplexe<br />
X = (Xiy X2f • • •} Xf^)<br />
aus n reellen Zahlen; die Gleichheit ist wie (iblich (x = y so viel wie<br />
^1 = 2/i? • • M ^n = yn) und die Entfernung durch<br />
xy == V(x,-y^r + (xz -2/2)^ + • • • + K - Vnf<br />
definiert, die Wurzel >0 genommen. Die Postulate (a)(/S) sind erfiillt,<br />
auf den Beweis von (y) kommen wir zuriick.<br />
Wenn zwei Raume eineindeutig und entfernungstreu aufeinander abgebildet<br />
werden konnen (d. h. die Punkte x den Punkten | eineindeutig<br />
so entsprechen, dafl xy = |?^), so werden sie isometrisch genannt. Z. B. ist<br />
der £1 mit der Menge der Punkte (a;, 0) des £3 isometrisch. Isometrie, im<br />
M Wenn Verwechselung mit einem Produkt in Frage kommt, wird statt<br />
xy eine andere Bezeichnung zu wahlen sein.<br />
138
§ 20.. Entfemung. 95<br />
Grunde nichts anderes als die Kongruenz in der Elementargeometrie, ist<br />
fiir metrische Mengen ein analoger Begriff wie Aquivalenz fiir reine, Ahnlichkeit<br />
fiir geordnete Mengen (ein anderes, wichtigeres Analogon ist Homoomorphie,<br />
§ 38); indessen ist es nicht notig, einen der Kardinalzahl und dem<br />
Ordnungstypus entsprechenden Namen einzufuhren. Zwei isometrische<br />
Raume, jeder im Verhaltnis zu seinen Punkten und Teilmengen betracMet,<br />
konnen einfach als identisch angesehen werden (nicht aber zwei isometrische<br />
Mengen in einem umfassenden Raum).<br />
Ein dem E^ isometrischer Raum heifit ein n-dimemwmakr Euklidischer<br />
Raum; x^,. , ,yX^heifien rechtwinklige Cartesische Koordinatendes Punktes<br />
I, der dem Komplex x entspricM. Die isometrische Abbildung ist auf unendhch<br />
viele Weisen moglich (Koordinatentransformation, orthogonale<br />
Substitution). Unser idealisierteF Anschauunp- und Erfahrungsraum ist<br />
ein dreidimensionaler Euklidischer Raum, seine Ebenen und Geraden sind<br />
zwei- und eindimensionale Euklidische Raume; hieraus entspringen bekannte<br />
geometrische Ausdrucksweisen auch fiir den E^ und andere Raume.<br />
2. Lineare Biiume. Die Punkte des Euklidischen Zahlenraums waren<br />
endliche Komplexe reeller Zahlen. Dies Verfahren laBt sich sofort verallgemeinem:<br />
wir ordnen jedem Element m einer beliebigen Menge<br />
M = {m, n, . ..}<br />
eine reelle Zahl x^ zu (oder defmieren in M eine reelle Funktion), wodurch<br />
wir den Komplex oder Punkt<br />
X = (a;,,j, a;„, . . .)<br />
mit den ^Koordinaten" o;,^, x^^ . , . erhalten. Gleichheit der Punkte bedeutet<br />
Gleichheit samtlicher Koordinaten (x — y so viel wie x^^ = Vm ^^^<br />
jedes 1718 M). Der Punkt<br />
0 = (0, 0, . ..)<br />
heiBt der Nullpunkt. Wir definieren Multiplikation eines Punktes mit einer<br />
reellen Zahl oc und Addition von Punkten durch<br />
(XX = {(XX^, «^m---)<br />
wonach die Bedeutung von Zeichen wie —-x^x—y^ocx + ^y^ocx + ^y-i-yz<br />
klar ist.<br />
Wir sagen, drei Punkte x, y^ z liegen in gerader Linie oder sind kollinear,<br />
wenn es drei reelle^ nicht samtlich verschwindende Zahlen oc, )5, y<br />
gibt mit ax + fiy+Yz=-0, a + ^ + y==0.<br />
Dabei kann y nicht 0 sein auBer tm x = y (dann liegt feder Punkt z mit<br />
X, y in gerader Linie); fiir ^ =fr ^ kann^ da nur die Verhaltnisse (x: fi:y<br />
in Betracht kommen, y = — 1 gewahit werden, und es liefert also<br />
(1) z = ax + py, a + p=i<br />
139
96 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
alle mit x^ y koUinearen Punkte z, deren Menge die durch re, y bestimmte<br />
Gerade heiBt; z hangt von einer reellen Variablen oi oder p ab. Wird zu (1)<br />
die Beschrankung ^ ^ 0, ^ ^ 0 hinzugefiigt, so erhalt man die durch rr, y<br />
bestimmte (abgeschlossene) Strecke [x,y].<br />
Man kann dies fortsetzen. Nennen wir k + 1 Punkte rr^, x^, . . ., %<br />
linear abhdngig, wenn es eine Beziehung<br />
^o^'o + ^1^1 ^ 1- ^ic^k = 0, ^0 + ^1 H rOc^^O<br />
mit reellen Zahlen OCQ^OC^, . . .^oc^. gibt, die nicht samtlich verschwinden;<br />
andernfalls linear unabhdngig. Sind XQ, X^, , ,., XJ^ linear abhangig, jedocb<br />
o^i,..., rCfc linear unabhangig, so kann OCQ nicht 0 sein, und man erhalt,<br />
indem man (XQ= — 1 setzt, alle von x^, ^ - -.Xj^ linear abhangigen Punkte %<br />
in der Form<br />
^0 = ^1^1 + ...+^jb^ib, ^i-i h%-=l;<br />
sie hangen von A: — 1 reellen Parametern ab und bilden, wie man sich ausdriickt,<br />
den durch rcj, . . ., % bestimmten {k — l)-dimensionalen Raum<br />
/^i_i, bei Beschrankung auf ^i^O,. . ., ^^^^ ^^^ durch jene Punkte<br />
bestimmte (k — iydimensionale Simplum Sj.__i. (/?i Gerade, R^ Ebene,<br />
S^ Strecke, S^ Dreieck, 6*3 Tetraeder.)<br />
Eine aus unseren Punkten x gebildete Menge E heiBe linear"^)^ wenn sie<br />
mit zwei verschiedenen Punkten a;, y auch die ganze durch sie bestimmte<br />
Gerade enthiilt; sie heiBe kom^ex, wenn sie mit a;, y auch die Strecke [x, y]<br />
enthalt. So ist die oben erklarte Menge i?i_i linear, ^^—i konvex; einen<br />
linearen Raum erhalt man auch, wenn man alle Punkte nimmt, deren<br />
Koordinaten ein System linearer Gleichungen erfiillen. Der Durchschnitt<br />
beliebig vieler linearer oder konvexer Mengen ist offenbar wieder linear<br />
oder konvex. Ist E ein linearer oder konvexer Raum, A^E, so ist der<br />
Durchschnitt K aller konvexen Mengen ^ A die kleinste konvexe Menge<br />
'^A und wird als konvexe Hiille von A bezeichnet 2). K enthalt mit irgendwelchen<br />
linear unabhangigen Punkten von A das ganze durch sie bestimmte<br />
Simplum und ist einfach die Summe aller dieser Simpla.<br />
Ist a ein fester Punkt, so werden durch<br />
(2) ^ — x-\-a^x='^ — a<br />
die Punkte x, ^ eineindeutig aufeinander abgebildet; man nennt diese^ Beziehung<br />
eine Schiebung oder Translation. Dabei geht jeder lineare Raum<br />
wieder in einen solchen uber und kann insbesondere in einen solchen (homo-<br />
1) Bei Cantor u. a. lieiBen die Mengen auf der Geraden E^ linear.<br />
2) Kleinste Mengen g A werden HiiUen^ groBte Mengen ^ A Kerne<br />
von A genannt, mit einem kennzeichnenden Adjektiv (konvexe, vollstandige><br />
abgeschlossene HuUe; offener, insichdichter Kern). Die Existenz solcher groBter<br />
und kleinster Mengen von irgendwelcher Eigenschaft mufi nattirlich bewiesen<br />
werden.<br />
140
§ 20. Entfernung. 97<br />
gen linearen) iibergehen, der den Nullpunkt enthdlt, was wir nun voraussetzen<br />
wollen. Ein solcher Raum E enthalt zu jedem Punkt x auch alle<br />
Punkte OCX = OCX + (i — oc) ,0, und zu zwei Punkten x, y alle linearen<br />
Kombinationen ocx + fiy (nicht nur'die mit ^ + /S = 1). Er wird durch<br />
die Schiebungen (2), wenn a ein Punkt von E selbst ist, in sich transformiert.<br />
Wir wollen E nun in der Weise zu einem metrischen Raum machen,<br />
daB die Schiebungen isometrische Abbildungen werden, d. h. daB die<br />
Punkte x^ y dieselbe Entfernung haben wie x + a, 2/ + ^» insbesondere<br />
wie a; — t/, 0 oder O^y — x, Dadurch werden alle Entfernungen auf Entfernungen<br />
vom NuUpunkte zuriickgefuhrt; bezeichnet man die Entfernung<br />
des Punktes x vom Nullpunkt mit | x \ und nennt sie den Betrag von x^ so<br />
ist xy = I ^ — ^ I die Entfernung zweier beliebiger Punkte. Man nennt<br />
ein geordnetes Punktpaar (a;, y) auch einen Vektor und definiert die Gleiehheit<br />
zweier Vektoren (a;, y)^ (|, rj) durch i^ — x = t; — |; Punktpaare, die<br />
gleiche Vektoren liefern, haben also auch gleiche Entfernung (den Betrag<br />
oder die Lange des Vektors).<br />
Die reelle Funktion | x \ von x muB nun den drei Betragsaxwmen<br />
genugen, die den Entfernungsaxiomen entsprechen:<br />
(«o)|0|=0,<br />
(^o)l^l = |-^|>0 fiir a:=t=0,<br />
(ro)\^ + y\^\^\ + \y\'<br />
Das letzte, das wir das Summenaxiom nennen, ergibt sich aus dem<br />
Dreiecksaxiom (y), indem man a:, y^ z durch x^O, — y ersetzt. Umgekehrt,<br />
wenn | x \ diesen Betragspostulaten geniigt, so geniigt<br />
(3) xy=\x — y\<br />
den Entfernungspostulaten; (y) folgt aus (y^) wegen<br />
\x-z\ = \(x-7j) + (y -~z)\
98 Sechstes EapiteL Ponktmengen.<br />
3. Beispiele linearer Baume. Der Euklidische Raum E^ entsteht,<br />
wenn man den Betrag des Punktes<br />
(4)<br />
durch<br />
X = (x^, x^,..., x^)<br />
(5) |a;|=(a;f + a;| + ...+4)^<br />
erklart. Der Beweis des Summenpostulats ergibt sich am kiirzesten durch<br />
den bekannten SchluB: da die quadratische Form der reellen Variablen », v<br />
^{X]c u + t/i-vf = au^ + 2buv + cv^<br />
mit a = ^4» ^^^^kVh^ ^^-^Vl<br />
nicht negativ ist, ist ihre Determinante > 0,<br />
b
§ 20. Entferaung. 99<br />
beiden Raume konnen als Euklidische R^ume, deren Dimensionenzahl die<br />
Machtigkeit von M ist, bezeichnet werden.<br />
Wenn man nicht an der Quadratsumme ^ + • • • + ^I? sondern an dem<br />
1<br />
Quadratmittel - (ajj + • • • + ^S) den Grenziibergang n -> oo vollzieht, so<br />
kommt man auf Integrals, Wenn z. B. M das Intervall a1)<br />
definieren. Die Summenungleichung, hier Minkowskische Ungleichung genannt,<br />
beweisen wir so. Fur positive x^ | gibt die Taylorsche Formel<br />
o:^ = P + p^^-Hx - I) + ^^P~^^ er^ix - 1)^-<br />
di zwischen a:, |), also bei Weglassung des nichtnegaitiven RestgUedes<br />
Ersetzt man darin, fiir positive y^rj, x und | durch . '^ ^-jr—^ ®^<br />
^-•^ = (^ + rjr-il'' x+y ^^ 'I + Jjj<br />
143
100<br />
Sechstes Kapitel. Pnnktmengen.<br />
Vertauscht man ar, | mit y, jj und addiert, so wird<br />
a*<br />
tp—1 7? ,P-i r > {x + yf<br />
p—i-<br />
Hierin setze man Xj^, yj^ (A: = 1, 2,.. ., n) fiir x, t/, ferner<br />
^^^2x1,<br />
und summiere nach A, dann folgt<br />
if-2yl<br />
Oder 1 1 1<br />
CSrrp^ + (2yl)v ^ (2(:r, + y,)^yp.<br />
Dies gilt fiir positive, natiirlich auch fiir nichtnegative Xj^, j/j^.; fiir<br />
beliebige erhalt man, wegen \xj^\ -\- \yj^\^\x^-\- y^\,<br />
1 i_ I<br />
(2 I x^ \^f + (2\y^ n>^(2\xj, + 2/, IT,<br />
also die zu beweisende Ungleichung.<br />
[48] Der mit dem Betrag (10) definierte Raum mag etwa der pseudo-Eiiklidische<br />
n-dimensionale Raum £J genannt werden.<br />
Die bisher > 1 angenommene Zahl p kann librigens auch = 1 gesetzt<br />
werden, also die Betragsdefinition<br />
(11) l^l = l^ll + l^2l + -" + l^n|.<br />
Andererseits kann man sagen, daB dem Grenzfall p = oo die Betragsdefinition<br />
(12) |a;|-:max[|a:J, \x^\, . , .,\x^\-\<br />
entspricht; denn wird dieser groBte unter den Betragen | x^ \ mit ^ be-<br />
zeichnet, so folgt aus (10) I ^ i ^ I ^ w^-1, also fiir /? -> oo | x | -> |.<br />
Fiir diese beiden letzten Betragsdefinitionen ist iibrigens die Summenungleichung<br />
trivial.<br />
Deutet man x^^ X2 als rechtwinklige Koordinaten<br />
in der Euklidischen Ebene, wodurch man<br />
den E^ eineindeutig (aber nur fiir p == 2 isometrisch)<br />
auf diese abbildet, so ist es nicht ohne<br />
Interesse, sich die ,,Eichkurve" | aj^ P + | rcg 1^<br />
= 1, das Biid des „Einheitskreises" | a; ] = 1,<br />
vorzustellen. Fiir p — 2 ist es der Euklidische<br />
Einheitskreis, fiir p = 1 das ihm eingeschriebene<br />
Quadrat mit den Ecken (± 1,0) und (0,± 1),<br />
Fig. 1. fiir p = 00 das ihm umschriebene Quadrat mit<br />
den Ecken (± 1, + 1). Fiir die iibrigen p verlauft die Kurve in den<br />
entsprechenden Zwischengebieten. — Fiir n — 2 liefert p = 2 die Euklidische<br />
Einheitskugel, p = 1 ein ihr eingeschriebenes Oktaeder, p = 00<br />
einen ihr umschriebenen Wiirfel.<br />
144
§ 20. Entfernung. 101<br />
Die dem Grenziibergang n -• oo entsprechenden Raume ergeben sich<br />
wie im Falle p = 2; so der pseudo-Hilbertsclie Raum tP als Raum der<br />
Zahlenfolgen, fiir die | a^j |^ + | rcg P + * * * konvergiert. mit der Betragsdefinition<br />
1<br />
(13) \x\ = {\x^\v^\x^\^+ •••)»,<br />
der Raum der stetigen Funktionen x = x (t) mit<br />
(14) \x\ = U\x(t)\vdiy<br />
Tisw. Fiir p = oo ist die sachgemaBe fjbertrageng von (12): Rsium der<br />
beschrdnkten Zahlenfolgen mit<br />
(15) |x| = sop|ar„l;,<br />
was sich ohne weiteres auf Komplexe mit beliebigem Trager ausdehnen laBt.<br />
Bisher haben wir als Betrag von x stets eine symmetrische Funktion<br />
der Koordinaten gewahlt; wenn man darauf verzichtet, laBt sich der Kreis<br />
der Beispiele sehr erweitern. So kann man den beschrankten Zahlenfolgen<br />
X = (Xi^ 0:2? • • •) die Betrage<br />
U' I = ^1! %! + ^21 ^21 H<br />
zuordnen, wo c^ + Cg + * • * eine feste konvergente Reihe positiver Zahlen<br />
ist. Oder: wir definieren den Betrag einer (reellen) Matrix<br />
X = /Xij . . . X^^\<br />
^jnl • • • ^mnJ<br />
folgendermaBen: es sei<br />
v-i = ^^ik^h (*' = 1, . , ., m; /c -: 1, . . ., n)<br />
und I X I das Maximum von (2v\)^ unter der Bedingung 2u\—i. Man<br />
sieht leicht, daB | a: j die Betragsaxiome erfiillt, also die Entfernung \x — y \<br />
die Menge der Matrizen (aus mn Elementen) zu einem metrischen Raum<br />
macht. Man kann den Exponenten 2 wieder durch p ersetzen und den<br />
t)bergang zu unendlichen Matrizen machen.<br />
4. Bairesche Baume. Ist x —(x^^ x^^. -«) eine Folge reeller Zahlen oder [49]<br />
auch von Elementen beliebiger Mengen (X^BA^^ und ist m{x^y) die erste<br />
Differenzstelle fiir zwei Folgen x^y^ d. h. die durch<br />
^m + Vm, ^n ^ Vfi ^^^ n< M<br />
defmierte natiiriiche Zahl, so erhalt man eine zulassige Entfemungsdefiiiition<br />
durch<br />
(16) XX = 0^ xy == 1: m(x^y) fiir x^y.<br />
Hier gilt das Dreiecksaxiom sogar in der scharferen Gestalt<br />
145
102 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
^2 < max[a;y, yz],<br />
Denn unter der Voraussetzung, daB alle drei Folgen verschieden sind<br />
(andernfalls ist nichts zu beweisen), hat man<br />
m(x, z) > min [m(x, y), m(y,z)],<br />
weil, die rechte Seite = m gesetzt, tur n< m Xn = y^ und y^ = z^, also<br />
Xn = Zn und daher m(x^ ^)^^ ^^^' Diese Raume heiBen Bairesche Rdume;<br />
insbesondere entsteht der Bairesche Nullraum, wenn man die x^ alle natiirlichen<br />
Zahlen durchlaufen laBt.<br />
»• Der p-adisclie Baum* p sei eine natiirliche Primzahl, i> eine Zahl<br />
des Intervalls 0 < ^ < 1, beide fest gewahlt. Man kann dann jeder rationalen<br />
Zahl x einen Betrag oder besser, da man hier eine Verwechslung vermeiden<br />
muB, eine „Bewertung" ||a;|| in folgender Weise zuordnen:<br />
(17) II 0 II = 0, II aj II = ^«» fiir x^O,<br />
wo m(x) diejenige ganze Zahl m (^ 0) bedeutet, fiir die x genau durch p"*<br />
teilbar, d. h. ar = p^ XQ und XQ Quotient von zwei nicht durch p teilbaren<br />
ganzen Zahlen ist. Das Summenaxiom gilt hier wieder in der scharferen<br />
Form ||^ + 2/l| min [m{x), m(y)];<br />
ist namlich x = p^ XQ^ y — p^ y^ und etwa m
§ 21. Konvergenz. 103<br />
gleich der ihrer Projektionen: z^^z^^x-^x^. — Man kann diese Produktbildung<br />
ohne weiteres auf jede endliche Zahl von Faktoren ausdehnen.<br />
§ 21. Konyergenz.<br />
1. Im metrischen Raume E sei (a^j, o^g,. . .) eine Punktfolge. Wenn es<br />
in E einen Punkt x gibt derart, daB die Entfernung xx^ mit yi -> oo nach 0<br />
konvergiert:<br />
lim xXn=^ 0 oder xx,j^ -> 0,<br />
so heiBt die Folge in E konvergent und x ilir Limes (Grenzpunkt), in Zeichen<br />
lim x^ — X oder x^-^ x,<br />
Es kann natiirlich nur einen solchen Punkt geben, denn aus a:rr„->0,<br />
yx^->Q folgt nach dem Dreiecksaxiom xy = 0, x = y. AUgemeiner: fiir<br />
zwei in E konvergente Folgen x^-^x^ yn-^V ist<br />
(1) ^nVn-^^y-<br />
Denn nach der Dreiecksungleichung ist<br />
^^iVnS^n^ + ^y -T-yyn,<br />
Xy
104 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
I ^ I = (^? + ^2 + ' • •)'<br />
ist mindestens gleich dem Betrag einer Koordinate, | ^ | > | ^jt I; also die<br />
Entfernung \x —• y \>\Xj^ — yj^\. Bilden also die Punkte ^)<br />
**/ — ^u/j, o/g, . . ., ^jj., • • •;<br />
eine Fundamentalfolge, so bilden ihre k-ien Koordinaten erst recht eine<br />
und haben einen Limes<br />
Xig = lima:]J;<br />
n<br />
setzen wir dann x = (a-j, % . . ., a;;^, ...) •<br />
Bei vorgeschriebenem e >0 ist \x^ ~ x^ \< e fiir geeignetes m und<br />
jedes n >m^ also<br />
J^(a;;^-4")•^ oo<br />
2ixj:-x^f
§ 21. Konvergenz. 106<br />
1 o:^ — a; I -> 0, also | a; — 11 = 0 vorhanden sein soil, so mu8 die NuUfunktion<br />
re — | an ihren Stetigkeitsstellen verschwinden, x an den Stetigkeitsstellen<br />
von f mit I ubereinstimmen. Die einfachsten Beispiele<br />
lehren bereits, daB eine solche stetige Funktion x nicht zu existieren<br />
braucht: man lasse etwa l{i) an einer einzigen Stelle c zwischen a<br />
und h einen Sprung mit |(c — 0) 4= l(c + 0) machen und sonst stetig<br />
sein. Auch der Raum der im Riemannschen Sinne integrablen Funktionen<br />
ist aber noch nicht voUstandig (erst der Raum der Funktionen,<br />
fiir die x(f) und sein Quadrat im Lebesgueschen ^) Sinne integrabel ist).<br />
Auch die pseudo-Euklidischen und der pseudo-H ilbertsche Raum sind<br />
vollstandig; insbesondere dem Grenzfall p = oo entsprechend der Raum<br />
der beschrankten Zahlenfolgen mit der Betragsdefinition<br />
! x I == sup j x^ I.<br />
Hier ist auch der Raum der stetigen Funktionen x(l) mit d@p Betragsdefinition<br />
I ^. I == jnax I x{i) 1<br />
•vollstandig; denn eine Fundamentalfolge stetiger Funktionen konv«rgiert<br />
alsdann gleichmdliig gegen eine, mithin ebenfalls stetige Grenzfunktion x(t).<br />
Die reellen Zahlenfolgen a:= {x^^ x^;^.. .) bilden auf Grtmd der Betragsdefinition<br />
/ 1 \ 1<br />
\x\^m{ [xi + 0^2 -\- ' ' ' + 4 + ;^j^<br />
deren Zulassigkeit der Leser beweisen moge, einen vollstandigen Raum,<br />
worin die Konvergenz x^ -^ x mit Konvergenz samtlicher Koordinaten<br />
(x\ -> x^^ x\-^ x^^^ . , ,) gleichbedeutend ist.<br />
Der B aire sche Raum (S. 101) der Elementfolgen<br />
X = (a^i, rCg, - • •)<br />
ist vollstandig, wenn die x^. unabhangig voneinander alle Elemente gegebener<br />
Mengen Aj^ durchlaufen. Denn bilden die Punkte<br />
X = {Xi^ %, . . .)<br />
•1<br />
eine Fundamentalfolge, so ist, fiir jede natiirliche Zahl /c, x^x^ < T fiir<br />
geeignetes m und jedes n > in, was aber nach der Definition der Entfernung<br />
zur Folge hat, daB x*^ = xf^^ = x^'^^ = «. .. Nennen wir dies<br />
Element Xj^ und bilden die Folge<br />
SO stimmt x^ in einer, mit n gleichzeitig nach oo strebenden Zahl k won<br />
Anfangselementen mit x liberein, d. h. xaf^ -• 0.<br />
^) Die Lebesguesche MaB- und Integraltheorie wird in diesem Buche nicM<br />
behandelt und die Bekanntschaft mit ihr nicht vorausgesetzt. Der Leser, der die<br />
obige Anspielung auf den RIesz- Fischerschen Satz nicht versteht, betrachte<br />
sie als nicht vorhanden.<br />
149
106 Sechstes Kapitel. Ponktmengen.<br />
3. VervoUstandigungeinesRaumes. Wie wir in § 11 die Dedekindsche<br />
Theorie der Irrationalzahlen als Vorbild zur Ausfiillung derLiicken geordneter<br />
Mengen genommen haben, so konnen wir nach dem Muster der<br />
Cantor-Merayschen Theorie, welche die Irrationalzahlen durch Fundamentalfolgen<br />
rationaler Zahlen definiert, jeden metrischen Raum E zu einem<br />
voUstandigen Raum E erweitern, dessen Elemente die Fundamentalfolgen<br />
aus Punkten von E sind. Bemerken wir zunachst:<br />
(a) Fiir zwei Fundamentalfolgen |, rj existiert immer lim x^y^,<br />
m der i at ist ^ «. % .. .) ist a;| = lima;a;,t. Insbesondere ist die Entfernung zwischen<br />
f und einem seiner eigenen Punkte x^<br />
X^ s ^^^ lllti X^ X^.<br />
n<br />
Diese konvergiert fiir m -> oo nach 0; denn wahlt man m so, daB fiir w > m<br />
stets x^x^ < €, so ist a:„,| < s, a;^ | < 2e fiir n> m. Daher kann man<br />
zu jedem | ein x mit beliebig kleinem xi bestimmen (E ist in E dicht, § 25).<br />
Nennen wir fiir den Augenblick, der DeutUchkeit wegen, die Folgen<br />
von Elementen | Sequenzen. Ist (l^, ^^i • • •) ^^^^ Fundamentalsequenz,<br />
1<br />
so bestimmen wir zu jedem ^„ ein x^^^ mit x^^^ < " 5 nach der Bemerkung<br />
150
§ 21. Konvergenz. 107<br />
(j8) bilden die x^ dann eine Fundamentalsequenz in E oder eine Fundamentalfolge<br />
| = (x^, Xz,...) in E. Demnach ist | rr^ -> 0, auBerdem Xn In"^ 0,<br />
also ^|^->0 nach dem Dreiecksaxiom, d. h. ^^ ko'nvergiert nach ^ und<br />
der Raum E ist voUstandig.<br />
Nennen wir die Menge E in ihrer Abhangigkeit von E jetzt E (Menge<br />
der Fundamentalfolgen aus E). Fiir einen voUstandigen Raum F ist F= V,<br />
Ist E in dem voUstandigen Raum V enthalten, so ist E^Y = f\ also<br />
auch JB in y enthalten: E ist der kleinste mllstdndigeRaum^ in dem E enthalten<br />
ist^ und soil die vollstdndige Hiille ^) von E heiBen. Allerdings haben<br />
wir dabei die Punkte x von E mit den konstanten Folgen {x^x^.,,) oder,<br />
wegen der Gleicbheitsdefinition fiir Fundamentalfolgen, mit den nach x<br />
konvergenten Folgen (rc^, %,...) identifiziert. Will man diese Verwechslung<br />
isometrischer Raume vermeiden, so kann man sagen: ist V ein vollstandiger<br />
Raum ^ E^ so konvergieren alle Fundamentalfolgen aus E nach<br />
Punkten x von F, und die Menge E dieser Punkte x heiBt eine vollstdndige<br />
Hiille von E\ alle voUstandigen Hiillen von E sind isometrisch und zwar<br />
derart, daB bei der isometrischen Beziehung die Punkte von E sich selbst<br />
entsprechen.<br />
4. Kompakte Mengen. Es sei Xj, eine Teilfolge der Folge x^, ausfiihr- [5i]<br />
licher: {x^^^ x^^^...) eine TeUfolge von (x^^ x^^. . .), wo pi < pg < ' * * ^^^e<br />
Folge wachsender natiirlicher Zahlen ist. Wenn x^ eine konvergente Teilfolge<br />
XM *• X hat, so heiBt x ein Hdufungspunkt der ganzen Folge rr„. Dafiir<br />
ist notwendig und hinreichend, daB fiir jedes £ > 0 unendlich oft xx^ Pi "lit xXj,^ < J, ein<br />
P3 > p2 mit xXp^ x.<br />
Wir definieren nun:<br />
Eine Teilmenge A des Raumes E heijit in E kompakt^ wenn jede Punktfolge<br />
XnsA eine in E konvergente Teilfolge^ d. h, einen Hdufungspunkt in<br />
E hat.<br />
Eine Menge A hei/it bedingt kompakt, wenn jede Punktfolge x^eA eine<br />
Fundamentalfolge als Teilfolge hat<br />
Eine in sich kompakte Menge E ist pollstdndig, E sei in sich kompakt,<br />
d. h. in £; jede Fundamentalfolge aus E hat in E einen Haufungspunkt,<br />
der aber in diesem FaUe der Limes der ganzen Folge ist.<br />
Eine im Raume E kompakte Menge ist bedingt kompakt. Umgekehrt,<br />
eine bedingt kompakte Menge A ist in einem geeigneten Raume E^A<br />
kompakt, z. B. in einem voUstandigen Raum E fetwa in der voUstandigen<br />
^) Vgl. die Anmerkung S. 96.<br />
151
108 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Hiille A); denn dort hat jede Fundamentalfolge einen Limes, also jede<br />
Punktfolge Xf^sA einen Haufungspunkt. Genauer gilt:<br />
I. Dann und nur dann^ wenn E vollstdndig ist, ist jede bedingt kompakie<br />
Teilmenge von E auch in E kompakt,<br />
Denn wenn E nicht vollstandig und x^ eine Fundamentalfolge ohne<br />
Limes ist, wobei wir offenbar die x^ paarweise verschieden annehmen<br />
konnen, so ist die Menge A = {x^, x^, . . .} zwar bedingt kompakt, aber<br />
nicht in E kompakt.<br />
Die bedingt kompakten Mengen sind also die, die in geeigneten Raumen<br />
kompakt sind.<br />
Um die bedingt kompakten Mengen zu charakterisieren, stellen wir<br />
noch folgende Definitionen auf.<br />
Eifie Menge A hei^t beschrdnkt, wenn die Enifernungen Hirer PunkU<br />
paare eine endliche obere Grenze haben; diese wird der Durchmesser d(A)<br />
von A genannU<br />
Eine Menge A heifit total beschrdnkt^ wenn sie sich fUr jedes d> Q<br />
als Siimme endlich vieler Mengen von Durchmessern < 6 darstellen Id/it.<br />
Jede total beschrankte Menge ist erst recht beschrankt. Im Euklidischen<br />
Raume £p sind beschrankte Mengen auch total beschr&nkt, denn<br />
ein Wiirfel laBt sich, indem man seine Kanten in n gleiche Teile teilt, in<br />
n^ Teilwiirfel teilen, deren Durchmesser mit wachsendem n beliebig klein<br />
werden. Im Hilbertschen Raum ist z. B. die Menge der Punkte<br />
(1, 0, 0, 0, . . .)<br />
(0, 1, 0, 0, , . .)<br />
(0, 0, 1, 0, . . 0<br />
zwar beschrankt, aber nicht total beschrankt; denn die Entfernung zweier<br />
Punkte ist ^2 und f iir d ^,<br />
einen dritten a^ mit a^a^, «2^3^^ usw., kurz, wir suchen, so lange es<br />
geht, Punkte, die paarweise Entfernungen > Q haben. Solcher Punkte<br />
kann es nur endlich viele geben, etwa %, ag,. . ., «„, da wir andernfalls<br />
eine Folge erhielten, von der gewiB keine Teilfolge eine Fundamentalfolge<br />
ist. Nunmehr hat jeder Punkt x e A von mindestens einem dieser Punkte<br />
ajg eine Entfernung < ^, da man sonst den Punkt x noch den Punkten a^<br />
hatte hinzufiigen konnen. Ist also Aj^ die Menge der Punkte xeA mit<br />
xajc < ^, so ist i4 = ^1 + ^2 + • • • + ^n uJ^d jede Menge Aj^ ^^^ einen<br />
Durchmesser < 2 ^. A ist also total beschrankt.<br />
152
§ 22. Innere Piinkte und Randpunkte. 109<br />
Umgekehrt sei A total beschrankt. Stellt man es als Summe endlich<br />
vieler Mengen Aj^ mit Durchmessern < 6 dar und ist x^ eine Punktfolge<br />
aus A^ so mu6 mindestens ein Summand Aj^ unendlich viele x^ enthalten;<br />
wir konnen sagen: jede Punktfolge x^ hat eine Teilfolge x^ von beliebig kleinem<br />
Durchmesser < d (d. h. in der zwei Punkte eine Entfernung < d haben).<br />
Danach bilden wir von den x^ eine Teilfolge<br />
vom Durchmesser < 1, von diesen x^ eine Teilfolge<br />
vom Durchmesser
110 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
A sei eine Punktmenge. Wenn ein Punkt x von A so beschaflfen ist,<br />
daB es eine Umgebung U^^A gibt, so heiBt er ein innerer Punkt, andernfalls<br />
ein Randpunkt von A. Die Menge der inneren Punkte sei Ai, die der<br />
Randpunkte il„ womit die Spaltung in disjunkte Summanden<br />
A==Ai + Ar<br />
gegeben ist. Ai heiBe der offene Kern (aus einem nachher ersichtlichen<br />
Grunde), A^, der Rand von A. Eine Menge, die aus lauter inneren Punkten<br />
[52] besteht (A^, = 0), heilie eine offene Menge; eine, die aus lauter Randpunkten<br />
besteht (^4^ = 0), eine Randmenge'^),<br />
Wir geben einige Beispiele aus der Euklidischen Ebene E mit rechtwinkligen<br />
Koordinaten x^, x^,<br />
A sei eine Kreisflache mit Peripherie, z. B. ^i + ^| ^ 1- Die Peripheriepunkte<br />
(x\-\- x\=^ i) sind Randpunkte, die iibrigen innere Punkte.<br />
A sei eine Kreisflache ohne Peripherie, rcj + a^g < 1; sie ist offen.<br />
A sei eine Kreislinie, x\-{- x\=^ i\ das ist eine Randmenge.<br />
A sei die Menge der „rationalen Punkte", d. h. derer mit zwei rationalen<br />
Koordinaten, E — A die Menge der „irrationalen Punkte", d. h.<br />
mit mindestens einer irrationalen Koordinate; beide sind Randmengen.<br />
/(^i> ^2) sei eine stetige Funktion. Die Menge [/ > 0], soil heiBen<br />
die Menge der Punkte x wo fix^, x^ > 0, ist offen. Z. B. das Innere<br />
x^ ofi<br />
einer Ellipse: 1 — -| i > 0.<br />
Das gilt fiir jeden Raum. Ist jedem Punkt x von E eindeutig ein<br />
Punkt y == j{x) eines andern oder desselben metrischen Raumes zugeordnet,<br />
so heiBt diese Funktion im Punkte x stetig, wenn eine der beiden<br />
gleichwertigen Bedingungen erfiillt ist:<br />
(1) Wenn Xn nach x konvergiert, konvergiert y^ =• f{Xn) nach y = f{x).<br />
(2) Ist y = f{x), 7} = /(I), so wird, wenn x | hinldnglich klein ist, yrj<br />
beliebig klein, d. h. zu jedem o* > 0 laBt sich ein g > 0 so bestimmen, daB<br />
mit x^ < Q zugleich yrj < a ist. Dabei ist x festzuhalten.<br />
Ist /(re) in jedem Punkte x stetig, so heiBt sie stetig schlechthin. Wir<br />
kommen auf die stetigen Funktionen ausfiihrlich zuriick. Einstweilen<br />
aber konnen wir sagen:<br />
I. Ist f{x) eine reelle stetige Funktion, so ist die Menge [/ > 0] offen.<br />
Denn ist y = f{x) > 0, so laBt sich zu gegebenem a > 0 ein passendes<br />
^ >0 finden derart, daB fiir a;|< p zugleich \y — rj \< a, also (wenn<br />
(^< y gewahlt wird) 7] >y — or > 0 ist. D. h. es gibt eine Umgebung U^{Q), fiir<br />
deren Punkte ^ auch noch /(|) > 0; a; ist innerer Punkt der Menge [/> 0].<br />
Wir woUen uns iiberzeugen, daB auf diese Weise alle offenen Mengen<br />
erhalten werden konnen. Bezeichnen wir fiir einen Punkt x und eine<br />
Menge Bz^O als untere Entfernung<br />
^) In beiden Fallen ist die NuUmenge mitzuzahlen.<br />
154
§ 22. Innere Punkte irnd Randpuokte. HI<br />
d(x,B) = info;!/<br />
peB<br />
die untere Grenze der Entfernungen des Punktes x von den Punkten y<br />
der Menge B. Aus xy0] mit A ideniisch ist.<br />
Aus I folgt, daB die Umgebungen offene Mengen sind; denn Q — ax<br />
ist stetige Funktion von x und positiv in der Menge UaiQ)-<br />
Mit A^B ist natiirlich A^^B^; A^ ist eine ^^monotone^^ Funktion<br />
von A.<br />
Die Menge Ai ist stets offen, da sie oben als Menge [/ > 0] mit stetigem<br />
f{x) dargestellt wurde. Ist B offene Teilmenge von A, so ist B = B^^ Ai^<br />
also Ai die grofite offene Teilmenge von A, daher der Name offener Kern<br />
von A im Einklang mit der S. 96 getroffenen Verabredung.<br />
Die Menge Aj. ist stets eine Randmenge.<br />
Sind il, 5,... beliebig (auch unendlich) viele Mengen,<br />
deren Summe und Durchschnitt, so folgt aus der Monotonie jedenfalls<br />
Si^Ai + Bi + -'-, Di^AiB,^,<br />
Dagegen gilt fiir endlich viele, z. B. zwei Mengen, scharfer:<br />
mit D = AB ist Di^AiBi.<br />
Denn xeAiBi hat eine Umgebung U^A und eine Umgebung V^B'^<br />
die kleinere der beiden Umgebungen gehort dann zu D.xeDi, Also<br />
AiBi^Di; andererseits war Di^AiBi.<br />
Hieraus folgt ohne weiteres:<br />
III. Die Summe beliebig vieler und der Durchschnitt endlich pieler offener<br />
Mengen ist meder eine offene Menge,<br />
155
112 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Denn mit denobigen Bezeichnungen ist S^^S, also 6*^ = 6", und Di=D,<br />
— Der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen braucht nicht offen<br />
zu sein. In der Euklidischen Ebene ist der Durchschnitt konzentrischer<br />
1<br />
offener Kreisflachen mit den Radien Q ~\- - (n = i^ 2^. . ,) die KreisflSche<br />
vom Radius Q mit Peripherie; jeder Punkt ist der Durchschnitt seiner Um-<br />
1<br />
gebungen mit den Radien —.<br />
Eine Summe beliebig vieler Umgebungen ist offen, und jede offene<br />
Menge r:^ 0 kann so dargestellt werden, etwa als Summe aller in ihr enthaltenen<br />
Umgebungen.<br />
Sei B das Komplement von A^ E ~ A + B, Die inneren Punkte von<br />
B heiBen auch du/iere Punkte von^) A, und umgekehrt. Die Rander beider<br />
Mengen vereinigt ergeben die Begrenzung (Grenze) von A und von B:<br />
A^ = Ar + B, = B,.<br />
Ist z. B. A eine Kreisflache in der Ebene, gleichviel ob mit oder ohne<br />
Peripherie oder mit einem Teil der Peripherie, so ist die Begrenzung in<br />
jedem Fall die Kreisperipherie. Ist A die Menge der rationalen Punkte,<br />
so ist Ag gleich der ganzen Ebene.<br />
Die Begrenzung einer offenen Menge reduziert sich auf den Rand<br />
des Komplements {Ag = B^), ist also eine Randmenge. Die Begrenzung<br />
des ganzen Raumes oder der Nullmenge ist die Nullmenge^).<br />
[53] § 23. Die a-, /?-, 7-Punkte.<br />
A sei eine Punktmenge im Raum E, x Punkt von E (nicht notwendig<br />
von A): Wir definieren: x heiBt ein<br />
o(-Punkt , /S-Punkt , y-Punkt<br />
von A^ wenn jede Umgebung U^<br />
mindestens einen Punkt, unendlich viele, unabzahlbar viele Punkte<br />
von A enthalt. Die Mengen der oc-^ jS-, y-Punkte seien A^c^ A^^ Ay.<br />
Die /3-Punkte heiBen auch Ildufungspunkte, die y-Punkte Verdichtungspunkte^<br />
die Menge Aj^ die Ahleiiung von A.<br />
Es wird also verlangt, daB der Durchschnitt A U^^ fur jedes U^^ mindestens<br />
die Machtigkeit 1, ^
§ 23. Die a-, p', y-Pimkte. 113<br />
und sagen: x ist ein A-Punkt von A^ wenn jedes AU^ mindestens die<br />
Machtigkeit kx hat; die Menge der A-Punkte sei -4;^ (A = a, ^, y).<br />
Ein Haufungspunkt x von A kann auch so erklart werden: jede Umgebung<br />
U^ enthalt mindestens einen von x verschiedenen Punkt von A.<br />
Beispiele aus der Euklidischen Ebene Ei<br />
A Kreisflache ohne Peripherie: ^^ = 4^ = ^^ = Kreisflaehe mit<br />
Peripherie.<br />
A Menge der rationalen Punkte: ^« = ^^ = JB, Ay = 0.<br />
A Menge der irrationalen Punkte: Ag^^ A^ — Ay — E,<br />
A Menge der ganzzahligen Punkte: A^ = A^ A^ = Ay = 0.<br />
A sei (Fig. 2) die Menge der Punkte (%, a^s) = (—, ~ I, wo /i die Reihe<br />
der Zahlen 1, 2, 4, 8, , . . und m alle ganzen ZaMen ^ 0 durchlauft. A^ ist<br />
die Gerade Xg = 0, ^« = ^ + A^^ Ay = 0.<br />
Mit dem Limesbegriff, statt mit dem Umgebungsbegriff, lassen sich die<br />
A-Punkte folgendermaBen erkliren. Die ac-Punkte sind offenbar genau die<br />
Limespunkte x = lim a^i, der (in £) ,<br />
konvergenten Folgen vonPunkten<br />
aus A (UnsA); die j8-Punkte die-<br />
Jenigen unter ihnen, die sich mit . « , . .<br />
a; z}z a» darstellen lassen. Oder<br />
auch: die jS-Punkte sind ^-Punkte . ] . *<br />
jeder Menge, die aus A durch ^ -_- ^<br />
Tilgung endlich vieler Punkte ent- ^ig- 2.<br />
steht, und vice versa; die y-Punkte sind a-Punkte jeder Menge, die aus<br />
A durch Tilgung von endlich oder abzahlbar vielen Punkten besteht, und<br />
vice versa. Haufungspunkte von Folgen aus A (S. 107) sind nicht iiotwendig<br />
Haufun^punkte von Aj aber jedenfalls ^-Punkte.<br />
Wir wollen im AnschluB an die Mengen Ax noch einige Bezeiehnungen<br />
einfiihren, deren Fiille den Leser vielleicht am wenigsten verwirren wird,<br />
wenn wir radikal verfahren und auch die erst spater mehr hervortretenden<br />
Glieder des Systems schon jetzt bringen. Es handelt sich um die Durchschnitte<br />
der Ax nait A und die Komplemente dieser Durchschnitte in A^<br />
wobei wir A^ wegen AAg^ = A auBer Spiel lassen konnen. Wir setzen<br />
114 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
selbst enthalt; er heiBt daher ein isolierter Punkt von A und die Menge A^<br />
der isolierten Punkte der isolierte Teil von A. Cantor bezeichnet auch Aj<br />
[54] als Adhdrenz, Aj^ als Kohdrenz von A. Ein Punkt von Ay, hat, da er nicht<br />
Verdichtungspunkt ist, eine Umgebung, die hochstens abzahlbar viele<br />
Punkte von A enthalt; er heiBt ein unverdichteier Punkt von A und A^ der<br />
unverdichtete Teil von A. Auf die Mengen A^^ A^, kommen wir erst spater<br />
(§ 25) zurxick.<br />
AuBer den trivialen Relationen<br />
A^^A, A^^A^^A^., A^Aj^^A,<br />
gilt, ebenfalls ganz leicht einzusehen,<br />
(2) A^ = A + A^,<br />
woraus man mit disjunkten Summanden<br />
(3) A, = (A--Aj,)+A^==A + (A^ - ^,)<br />
erhalt; der isolierte Teil von A ist also<br />
(4) Aj=: A - Aj, = A^- A^,<br />
wahrend A^ — A = A^ — Af^<br />
die Menge der nicht zu A gehorigen Haufungspunkte von A ist.<br />
Die Menge A heiBt<br />
isoliert^ wenn AJ^ — 0^ Aj = A<br />
insichdicht^ wenn Aj = 0^ AJ^ — A^<br />
wenn sie also aus lauter isolierten oder lauter Haufungspunkten besteht.<br />
(Wir schreiben insichdicht in einem Wort, da nach einer spateren Definition,<br />
§ 25, jede Menge in sich dicht ist.)<br />
Beispiele. In der Ebene ist die Menge der rationalen Punkte insichdicht,<br />
die der ganzzahligen isoliert; jede Menge, die iiberhaupt keinen<br />
Haufungspunkt hat, ist isoliert, insbesondere jede endliche Menge. Die<br />
Zahlenmenge {1, |^, J, . . .} ist isoliert, da ihr einziger Haufungspunkt 0<br />
ihr nicht angehort; ebenso die Menge A in Fig. 2.<br />
Die Menge Aj kann keinen Haufungspunkt ihrer selbst (der ja auch<br />
Haufungspunkt von A ware) enthalten, ist also selbst eine isolierte Menge.<br />
Wohl aber kann Ah isolierte Punkte ihrer selbst (die dann nicht isolierte<br />
Punkte von A sind) enthalten, braucht also nicht insichdicht zu sein.<br />
Fiir die Zahlenmenge A = {1, i, I, • • ., 0} ist ^^^ = {0} sogar isoliert. Mit<br />
Verwendung mehrerer Indices, die von links nach rechts zu lesen sind, so daB<br />
z. B. Ajh = (Aj)f^ und A^j ~ {Ah)j bedeutet, ist also<br />
Ajj = Aj^ Ajh = 0,<br />
wahrend nicht A^^ = A^^ A^j = 0 zu sein braucht.<br />
Die Bedingung der insichdichten Menge kann A ^A^ geschrieben<br />
werden. Das veranlaBt zu weiteren Definitionen: die Menge A heiBt<br />
158
§ 23. Die «-, /5-, y-Punkte. 115<br />
insichdicht^ wenn A^A^<br />
abgeschlossen^ wenn ^ ^ ^^<br />
perfekt, wenn ^ = yl^, [55]<br />
wenn also jeder Punkt von A Haufungspunkt ist, bzw. wenn jeder Haufungspunkt<br />
Punkt von A selber ist, bzw. wenn beides zugleich gilt. Man<br />
kann dies nacli (2) auch durch Gleiclmngen ausdrucken, indem namlich<br />
Ace einem der Summanden A^A^ oder beiden gleich wird: die<br />
Menge A ist insichdicht, wenn A^ = A^<br />
abgeschlossen, wenn A^== A<br />
perfekt^ wenn A^ = A^ == A,<br />
Zitieren wir wieder die einfachsten Beispiele aus der Ebene;<br />
A Kreisflache ohne Peripherie: insichdicht.<br />
A Kreisflache mit Peripherie und einem auBerhalb liegenden Punkt:<br />
abgeschlossen.<br />
A Kreisflache mit Peripherie: perfekt.<br />
Mengen ohne Haufungspunkte {A^ = 0), insbesondere endliche, zahlen<br />
natiiriich zu den abgeschlossenen. Die NuUmenge ist alles: isoliert, insichdicht,<br />
abgeschlossen, perfekt (offen, Randmenge).<br />
Mit A^B ist natiiriich Ai^B^ {K == oc/li,f), A^^B,,, A^.^B^;<br />
diese Mengen verhalten sich monoton, aber nicht die Komplemente Aj-, A^*<br />
Ferner ist (iiber die Bedeutung mehrfacher Indices s. oben)<br />
(5) Aj,^=:Ax (A = ^, i8,y)<br />
(6) A,^, = A^.<br />
Beweis von (5). Ist a;^^;^^, so enthalt jedes U^ einen Punkt ysA^^ es<br />
gibt aber, weil Ua: offen ist, ein Uy g U^^ Uy utid demnach f/j^ enthalt<br />
mindestens/c;i Punkte von ^, ^mxsAi, Demnach ist JL;^^ ^ .4;i, andererseits<br />
war Aioc^Ax.<br />
(5) hesSigi: Die Mengen A)^sind abgeschlossen. Fiir Jede abgeschlossene<br />
Menge B^A gilt B = B^^A^^: A^ ist also die kleinste abgeschlossene<br />
Menge Uber A^ die abgeschlossene Hiille von A (S. 96).<br />
Beweis von (6). Ist XEA^^P^ so enthalt jedes U^ einen von x<br />
verschiedenen Punkt ysAcc, Man wahle eine Umgebnng Uy
116 Sechstes KapiteL Punktmengeu.<br />
deren Summe tind Durchschnitt, so folgt aus der Monotonie<br />
Scharfer gilt fiir endlich viele, z. B. zwei Mengen:<br />
(7) mitS:=^A+B ist S^^^A^ + Bx. (A = a, ^,y).<br />
Es braucht nur bewiesen zu werden, daB Si^A^ + Bx oder, daB ein<br />
Punkt a;, der nicht zuAi + Bi gehort, auch nicht zu S^ gehort. Nun gibt<br />
es, wenn x weder von A noch von B A-Punkt ist, Umgebungen U^, V^<br />
derart, daB A U^^ B V^ von Machtigkeiten < k^ sind, und ist etwa U^ die<br />
mit kleinerem Radius, so ist auch SU^ = AU^ -\- BU^ von einer Machtigkeit<br />
< ki^ X auch von S kein A-Punkt.<br />
Daraus folgt:<br />
I. Die Summe endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener<br />
Mengen ist abgeschlossen,<br />
Dieser Satz ist mit dem Satze § 22, III ganz gleichbedeutend, denn es<br />
gilt:<br />
II. Die offenen und die abgeschlossenen Mengen sind Komplemente {^oneinander,<br />
Denn hi E == A -\- B und x ein Punkt, so enthalt entweder jedes U^<br />
einen Punkt von A {xeA^) oder es gibt ein C/g. mit AIJ^ = 0^ U^^B<br />
(xeBi), Also:<br />
(8) mit E = A+B ist £ = ^« + ^^ == 4,. + 5«.<br />
Daraus folgt 11. Die Begrenzung jeder Menge ist abgeschlossen; denn<br />
Ag — Af + Br ist Komplement der offenen Menge A^ + Bi^ oder Ag == A;^B^<br />
ist Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Mengen.<br />
Die abgeschlossenen Mengen konnen danach wie die offenen (§ 22,<br />
III) durch reelle, im Raum E stetige Funktionen f(x) charakterisiert werden.<br />
Die Mengen [/> 0], [/ < 0] und ihre Summe [/^O] sind offen; ihre<br />
Komplemente, die Mengen [/ < 0], [/ ^ 0] und deren Durchschnitt [/ = 0]<br />
sind abgeschlossen; alle offenen und abgeschlossenen Mengen konnen so<br />
erhalten werden. Fiir f(x) = d{x,A) ist [/== 0] = ^a, also = ^, falls<br />
A abgeschlossen ist. Die Kurven und Flachen der analytischen Geometric<br />
sind abgeschlossene Mengen, insoweit sie durch Nullsetzen von (einer oder<br />
mehreren) stetigen Funktionen der Koordinaten defmiert sind. Nicht dasselbe<br />
gilt bei Parameterdarstellungen (die in den Zusammenhang des achten<br />
Kapitels gehoren). Fine in der Form<br />
^1 = 9>iW, ^2 = 9^2(0<br />
oder allgemeiner f(Xj^, x^, i) = 0, g(Xj^, x^, t) = 0<br />
mit stetigen Funktionen dargestellte Kurve A der a;ia;2-Ebene (wobei t<br />
alle reellen Zahlen durchlauft) ist nicht notwendig abgeschlossen. Das<br />
ist kein Widerspruch zum Vorangehenden: wohl definieren diese Glei-<br />
160
§ 23. Die a-, ^-, y^Punkte. 117<br />
chungen eine abgeschlosseneMenge J5im a:la;2^Raum, aber deren Projektion<br />
A auf die a^iO^g-Ebene braucht nicht abgeschlossen zu sein. Ein Beispiel<br />
fur nicht abgeschlossenes A liefert schon der einfache Fall<br />
x^ = T~TT7r> ^2 = 0, wo die Kurve das offene Intervall (— 1, 1) der<br />
Abszissenachse wird.<br />
Ein zweiter, nicht weniger wichtiger Zusammenhang zwischen ofifenen<br />
und abgeschlossenen Mengen ist dieser:<br />
III. Jede abgeschlossene Menge ist Durchschniti einer Folge offener^ fede [56]<br />
offene Menge ist Summe einer Folge abgeschlossener Mengen,<br />
Sei namlich A eine beliebige Menge; wir legen um jeden Punkt xsA<br />
die Umgebung U^(Q) mit festem Radius g; die Summe dieser Punktumgebungen<br />
(9) U(A,Q)^iujQ)<br />
X<br />
kann passend als Umgebung der Menge A mit dem Radius Q bezeichnet<br />
werden. Sie ist eine offene Menge, bestehend aus den Punkten y^ zu denen<br />
mindestens ein Punkt a; e4 mit xy < Q vorhanden ist. Wir behaupten nun<br />
(10) A^=^U{A,i)U(A,i)U{A,i)..,,<br />
womit A^j also jede abgeschlossene Menge, als Durchschnitt einer Folge<br />
offener dargestellt ist. Denn der Durchschnitt rechterhand, der librigens<br />
auch der Durchschnitt aller U(A, Q) mit Q> 0 ist, ist ja gerade die Menge<br />
aller Punkte t/, zu denen fiir jedes ^> 0 ein Punkt xeA mit xy < Q vorhanden<br />
ist, d. h. aller ^-Punkte von A. Die zweite Halfte des Satzes III<br />
folgt aus der ersten durch Komplementbildung.<br />
Der Satz ergibt sich auch unmittelbar aus den fiir jede reelle Funktion<br />
f(x) giiltigen Identitaten (n = 1, 2, 3,...)<br />
[/> 0] = 1]<br />
/^ n n\<br />
[/^ 0] = n / < r Uj<br />
wenn man f(x) stetig annimmt. Die zweite Gleichung ist nichts anderes<br />
als (10), wenn f(x) = d{x, A) gesetzt wird.<br />
Aus der friiheren Formel<br />
S = A+B + '-, Sx^Aj^+B^^ + -'<br />
folgt fiir A = i8:<br />
IV. Die Summe beliebig vieler insichdichter Mengen ist insichdicht.<br />
Dies gestattet, die Summe aller insichdichten Teilmengen von A (zu<br />
denen ja jedenfalls die NuUmenge gehort) zu bilden, die nun wieder insichdicht,<br />
also die gropte insichdichte Teilmenge oder der insichdichte Kern von<br />
-4 ist. Wir nennen sie Aj^^ die nicht zum insichdichten Kern gehorigen<br />
161
118 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Punkte von A separierte Punkte und ihre Menge Ag den separierten Teil<br />
von A, womit wir eine neue, letzte Spaltung von A<br />
(11) A=A^ + A,<br />
in disjunkte Summanden erhalten. Eine nur aus separierten Punkten<br />
[57] bestehende Menge {Aj. = 0) heiBt eine separierte Menge, womit wir also<br />
ein neues Gegenstuck zu insichdicht erhalten: A ist<br />
insichdicht^ wenn ^^ — 0, Aj. — A^<br />
separierte wenn Ajc = O-, A^ = A,<br />
Die Menge Ag der separierten Punkte ist offenbar selbst eine separierte<br />
Menge, wie die Menge A^ der isolierten Punkte eine isolierte Menge war<br />
(womit die Namen separierter Teil, isolierter Teil sprachlich gerechtfertigt<br />
sind). Offenbar ist<br />
(12) A^^A,, An^A^,<br />
da ein isolierter Punkt von A gewiB keiner insichdichten Teilmenge von A<br />
angehort; jede insichdichte Teilmenge von A gehort zur Koharenz A^.<br />
Aber dann gehort sie auch zur zweiten Koharenz AJ^f^^ zur dritten Koharenz<br />
AJ^J^J^ usw.; wir werden spater (§ 30) sehen, wie man durch transfinite<br />
Wiederholung der Koharenzbildung schlieBlich zum insichdichten Kern<br />
gelangt. Man kann auch sagen: dem separierten Teil A^ gehort nicht nur<br />
der isolierte Teil Aj von A an, sondern auch der isolierte Teil Aj^j von -4;^,<br />
der isolierte Teil Aj^^^ won Aj^j^ (die erste, zweite, dritte Adharenz von A) usw.<br />
I l l<br />
Beispiel. A sei die Menge der Zahlen - H [- "> wo p, ^, r die natiir-<br />
1 1<br />
ichen Zahlen durchlaufen. Dann ist Aj^ die Menge der Zahlen —|- ~<br />
1 1 1<br />
(die ja in der Form - + ^- + ff~ zu A gehoren; auBerdem ist nur noch<br />
1<br />
0 Haufungszahl von yi); AJ^h die Menge der Zahlen -, ^^;^;i = 0, also<br />
A^ — Q^ die Menge A ist separiert.<br />
Als Erganzung zu den Formeln, die sich auf das Verhalten der 1-<br />
Punkte bei Summen- und Durchschnittsbildung beziehen, geben wir noch<br />
folgendes iiber den Durchschnitt von A mit einer offenen Menge an.<br />
Es ist<br />
(13) {AG)i^Aj,G (G offen) U = oc,p,y),<br />
wahrend auBerdem natiirlich die triviale Formel (AG)x^AxGx gilt.<br />
Denn ist xeA^G^ U,j; eine Umgebung, so ist GU^ offen und es gibt eine<br />
Umgebung V^^GU^; diese enthalt mindestens kx Punkte von A^ die<br />
aber auch zu G, also zu AG gehoren. Also enthalt jedes U^ mindestens kx<br />
Punkte von AG, xe{AG)x^<br />
Anwendungen hiervon sind:<br />
162
§ 23. Die «-, /?-, y-Punkte. 119<br />
V. Der Durchschnitt einer offenen mit einer msichdichten Menge ist<br />
insichdichU<br />
Denn aus Ap-^A folgt nach (13) (AG)p^ApG':^AG.<br />
Als Gegensatz zu IV und V sei bemerkt, dafi schon der Durchschnitt<br />
von zwei insichdichten Mengen nicht insichdicht zu sein braucht. Beispiel:<br />
zwei sich schneidende Gerade der Euklidischen Ebene.<br />
VI. Eine o§ene Menge^ die keinen isolierten Punkt des Raumes enthalt,<br />
ist insichdicht.<br />
Denn ist G oflen und g E^, so ist G^ = [EG)^ ^EpG = G, Die fiir<br />
jede insichdichte Menge notwendige Bedingung, in E^ enthalten zu sein,<br />
ist also ftir offene Mengen auch hinreichend.<br />
Ist A eine Menge, die keinen isolierten Punkt des Raumes enthalt, so<br />
ist also Ai insichdicht, folglich<br />
(14) Ai^.Ai, ^ § ^ .<br />
Ist A wieder beliebig, so besteht zwischen isoliertem und separiertem<br />
Teil die Beziehung<br />
(15) A^^A.^Aj^,<br />
deren erste Halfte aus (12) schon bekannt ist. Die zweite besagt, dafl Jeder<br />
Punkt xeAg a-Punkt von A^ ist. Andernfalls hatte er eine Umgebung U<br />
mit A^V = 0; da U offen ist, ware nach (13)<br />
AV==AnU^ApU^(AU)p<br />
und AU insichdicht, also AU^Aj^ im Widerspruch zu xeA^. A^<br />
besteht also aus dem isolierten Teil und (gewissen) Haufungspunkten desselben;<br />
das ist die scharfere Fassung der Tatsache, dafl mit A^ auch A^<br />
verschwindet (weil dann A insichdicht ist).<br />
Als Gegenstiick zu VI beweisen wir noch den Satz<br />
VII. Eine abgeschlossene Menge, die keinen isolierten Punkt des Raumes<br />
enthdlt, ist eine Ableitung,<br />
Das ist also eine notwendige und hinreichende Bedingung, denn jede<br />
Ableitung A^ ist abgeschlossen und g E^. Wir griinden den Beweis auf<br />
den Hilfssatz<br />
VIII. Ist H die Begrenzung der offenen Menge G, so Id^t sich H als<br />
Ableitung A^ einer isolierten Menge A^G darstellen^).<br />
Wir setzen 11:^0 voraus (fiir H = 0 kann man A = 0 wahlen).<br />
H = G^ — G ist die abgeschlossene Menge der nicht zu G gehorigen Haufungspunkte<br />
von G (oder der Rand F — Fi des Komplements F ^ E — G).<br />
Fiir jeden Punkt xeG ist die untere Entfernung von H positiv:<br />
d(x)==d(x,H)> 0.<br />
^) Beispiel in der Euklidischen Ebene: G die Halbebene itj > 0, H die<br />
Gerade X2 =^ 0, A die Menge der Fig. 2.<br />
163
120 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Es sei A eine gro/itey nicht erweiterungsfahige Teilmenge^) von G<br />
derart, da6 fiir je zwei verschiedene Punkte von ihr<br />
(16) xy>ld(x)+ld(y).<br />
Dann ist A^ g H. Denn sei x ein Haufungspunkt von A; man kann<br />
ihn als Limes x = lim x^ einer Folge paarweise verschiedener Punkte<br />
x^sA darstellen. Dann ist, wegen der Stetigkeit der Funktion d{x)^<br />
d{Xn) ->
§ 24. Relative iind absolute Begriffe. 121<br />
der Menge A^ sondern auch von dem sie umfassenden Raum E ab; sie sind<br />
relativen Charakters. Dies mu6 unter Umstanden durch eine vollstandigere<br />
Bezeichnung zum Ausdruck gebracht werden, indem wir z. B. A^^ (E) statt<br />
Act schreiben und im Falle A = A^{E) sagen: A ist in E abgeschlossen, (So<br />
hieB es ja auch in § 21: eine Folge ist in E konvergent, A ist in E kompakt.)<br />
Dieselbe Punktmenge A kann in einem Raum E abgeschlossen,<br />
offen, Randmenge o. dergl. sein, ohne es in einem andern Raum E zu sein.<br />
Die Menge der irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 ist im Raume der<br />
irrationalen Zahlen abgeschlossen, im Raume der reellen Zahlen nicht.<br />
Eine Kreisscheibe (ohne Peripherie) ist in ihrer Ebene offen, im dreidimensionalen<br />
Raum Randmenge. Jede Menge ist in sich selbst zugleich abgeschlossen<br />
und offen.<br />
Solche Begriffe, Eigenschaften, Beziehungen, die Tom umgebenden<br />
Raum unabhangig sind, heifien absolut. So ist eine Menge ^4 absolut abgeschlossen<br />
zu nennen, wenn sie in jedem Raum E'^A abgeschlossen ist.<br />
Die Aussage ,,^1 ist insichdicht" hat absoluten Charakter, denn sie besagt:<br />
fiir jeden Punkt aeA und jedes ^> 0 gibt es unendlich viele Punkte<br />
von 4, die von a eine Entfernung < Q haben, und hierin ist nur von A,<br />
nicht von einem umfassenden Raum die Rede.<br />
Die Aussage „a; ist A-Punkt von 4" bedeutet, daU es fiir jedes ^ > 0<br />
mindestens ki Punkte as A mit ax
122 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
1st A + B = D, so ist der offene Kern Bi(D) von B im Raume D<br />
als Komplement D — A^(D) zu erklaren. Das gibt nach (2) die Menge<br />
D(E - A^) Oder<br />
(5) BdD)^DBf^<br />
^0 B* = E —- A das Komplement von Ain E und Bf dessen auf E beziiglicher<br />
offener Kern ist ^). Die Menge B ist in D off en, wenn<br />
(6) B = DBt,<br />
Die in D offenen Mengen sind die Komplemente (in D) der in D abgeschlossenen<br />
oder die Durchsclinitte<br />
(7) B^DG<br />
von D mit offenen Mengen, (7) geht aus (4) hervor, wenn G = E — F das<br />
oflene Komplement von F bezeichnet.<br />
DaB ^ in D abgeschlossen ist, ist damit gleichbedeutend, daB A ^D<br />
ist und D — A keinen Haufungspunkt von A enthalt: Ao^(D — A)<br />
^A^(D-^A) = 0.<br />
Der insichdichte Kern Aj^ von A ist in A abgeschlossen. Denn enthielte<br />
A — A^ einen Haufungspunkt h von Aj^, so ware Aj^ + {A} insichdicht<br />
und Ajf. nicht die groBte insichdichte Menge ^A. Der insichdichte Kern<br />
einer abgeschlossenen Menge ist perfekt.<br />
Da (2) nur von A, D und nicht vom umgebenden Raum E abhangt, §o<br />
hangen insbesondere die Mengen<br />
(8) Ai(A) = AAi<br />
nur von A ab, sie haben absoluten Charakter. Die Mengen<br />
Aj^ = AA^, A^ = A Ay<br />
und ihre Komplemente<br />
Aj = A Af^, A^ = A A^<br />
sind durch A allein bestimmt. Demnach sind insichdicht und isoliert<br />
Absolutbegriffe, und auch der insichdichte Kern Aywie sein Komplement<br />
Af,^ A — Aj^ hangen nur von A ab. Es sind also, wenn wir samtliche<br />
bisher definierten Mengen noch einmal zusammenstellen,<br />
Ai, Ar, Ag, Aa, Aj3, Ay vom Raume E abhangig,<br />
Af^, A J, A^, A^, Aj^, Ag vom Raume E unabhangig.<br />
Naturlich ist A in D perfekt zu nennen, wenn A insichdicht und in D abgeschlossen<br />
ist. Dann ist A ~ DA^, der Durchschnitt von D mit einer perfekten<br />
Menge; das ist aber nicht umkehrbar: ein solcher Durchschnitt<br />
braucht nicht insichdicht zu sein. A^^ ist in A perfekt.<br />
Ist E ein vollstdndiger Raum, so ist oifenbar<br />
^) In (5) rechts helBt es also nicht DBi, wie man analog zu (3) vermuten<br />
konnte.<br />
166
§ 24. Relative und absolute Begriffe. 123<br />
(9) A,^AJE)=^A<br />
eine i^ollstrndige Hiille (S. 107) von A, Die abgeschlossene Hiille von A in<br />
einem vollstdndigen Raiim ist eine vollstdndige Hiille von A\ die in einem<br />
vollstdndigen Raum abgeschlossenen Mengen sind vollstdndig. Dieses A hangt<br />
im wesentlichen (bis auf die Bezeichnung der Elemente von A — A) nur<br />
von A ab, da alle vollstandigen Hiillen in der S. 107 angegebenen Weise<br />
isometrisch sind. In diesem Sinne ist A die grofite abgeschlossene Hiille<br />
von A; denn ist A ^B und E ein vollstandiger Raum ^D (den man<br />
z. B. durch Vervollstandigung von D erhalten kann), so ist A^{D) Teilmenge<br />
voni4^(£') —A, Ist hierbei A selbst vollstandig, so ist^d = A ~ A^,<br />
^ in £ und erst recht in D abgeschlossen {A = DA = D^ J; d. h. vollstdndige<br />
Mengen sind absolut abgeschlossen (in jedem Raume D^A abgeschlossen)<br />
und umgekehrtj denn eine absolut abgeschlossene Menge ist insbesondere<br />
in jedem vollstandigen Raume abgeschlossen, also vollstandig.<br />
Auch die beiden andern Mengen Ai = Ax{E) (1 = ^, y) hangen, wenn<br />
E vollstandig ist, im wesentlichen nur von A ab und sind die groBtmoglichen<br />
ihrer Art.<br />
Das Seitenstiick zu den absolut abgeschlossenen waren die absolut<br />
offenen, d. h. in jedem sie enthaltenden Raum offenen Mengen; indessen<br />
ist leicht zu sehen, daB es solche Mengen (abgesehen von der Nullmenge)<br />
nicht geben kann. Denn jede Menge A kann in einen Raum E so eingelagert<br />
werden, daB sie Randpunkte, sogar lauter Randpunkte enthalt, etwa so<br />
wie die Euklidische Ebene in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist:<br />
man braucht nur (S. 102) das Produkt (A, B) von A mil der Menge B der reellen<br />
Zahlen zu bilden; in diesem Raum der Punkte (x, ?/) ist jede „Schicht"<br />
y = constans mit A isometrisch und besteht nur aus Randpunkten.<br />
Auch Kompaktheit ist ein Relativbegriff; A war in E kompakt genannt<br />
worden, wenn jede Punktfolge aus A eine in E konvergente Teilfolge enthalt.<br />
Man kann auch sagen: A ist dann und nur dann in E kompakt^ wenn<br />
jede unendliche Teilmenge von A mindestens einen Eaufungspunkt in E hat.<br />
Die in sich kompakten Mengen sind vollstandig oder absolut abgeschlossen<br />
(S. 107); sie konnen auch als absolut kompakt (in jedem umfassenden<br />
Raum) bezeichnet werden. Ist A in irgendeinem Raum E kompakt,<br />
so ist A bereits in seiner abgeschlossenen Hiille A^ kompakt und diese in<br />
sich kompakt; ist A in E zugleich abgeschlossen und kompakt, so ist A<br />
in sich kompakt.<br />
Die Begriffe vollstandig und kompakt einerseits, abgeschlossen andererseits<br />
sind voUig verschiedenen Charakters, wie gegeniiber dem auch hier<br />
leider schwankenden Sprachgebrauch betont werden muB; jene fordern<br />
in gewissen Fallen Existenz von a-Punkten oder Haufungspunkten, dieser<br />
verlangt, wenn sie existieren, ihre Zugehorigkeit zu der betrachteten Menge.<br />
167
124 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Bei den Begriffen abgeschlossen und kompakt zeigt sich der Unterschied<br />
sehr pragnant in den fiir A^B^C giiltigen SchluBweisen: ist A in C<br />
abgeschlossen, so auch in B; ist ^ in J5 kompakt, so auch in C.<br />
Die Erorterungen dieses Paragraphen waren zur Klarung notwendig;<br />
sie werden uns aber nicht hindern, auch im folgenden Relativbegriffe wie<br />
abgeschlossen, offen, kompakt und die Bezeichnungen A^c usw. ohne Zusatz<br />
zu gebrauchen, wp sie sich dann auf den jeweilig betrachteten Raum beziehen.<br />
Insbesondere versteht es sich von selbst, daB zwei zugleich vorkommende<br />
Relativbegriffe beziiglich desselben Raumes gelten sollen; wenn<br />
wir z. B. von einer abgeschlossenen kompakten Menge sprechen, so heiBt<br />
das: sie soil in E abgeschlossen und in E kompakt sein.<br />
§ 25. Separable Baume.<br />
In diesem und dem folgenden Paragraphen werden Machtigkeitsfragen<br />
die HauptroUe spielen, und zwar werden wir die Machtigkeiten (des<br />
Raumes und gewisser Teilmengen) zunachst nach oben, sodann nach unten<br />
begrenzen. Wie dies geschieht, dariiber orientiert als vorlaufiges Beispiel<br />
die Art, wie die Machtigkeit der Menge E der reellen Zahlen x bestimmt<br />
wird. Sie ist/iocA^/en^ gleich N = ^^\ weil jedes x als lim r^ von rationalen<br />
Zahlen darstellbar, die abzahlbare Menge R der rationalen Zahlen<br />
,,in E dicht" ist; sie ist mindestens gleich N, weil umgekehrt jeder limTrt<br />
auch eine reelle Zahl x^ d. h. E die vollstandige Hiille von R oder selbst<br />
vollstandig ist.<br />
Betrachten wir wieder nur Punkte und Teilmengen eines festen<br />
metrischen Raumes E. Wir sagen, A ist zu B dicht^ wenn<br />
A^^B,<br />
Das besagt: jeder Punkt beB ist ^-Punkt von A oder als b = lim a^<br />
(a^sA) darstellbar, oder jede Umgebung J/5 enthalt mindestens einen<br />
Punkt von A^ oder zu jedem b gibt es ein a mit behebig kleiner Entfernung.<br />
Die letzte Fassung oder die Schreibweise B = BA^ = A^(B) besagt nebenbei,<br />
daB diese Eigenschaft vom umgebenden Raume E unabhangig ist.<br />
Die Dichtigkeit von A zu B liefert fiir die Machtigkeit b von B eine obere<br />
Schranke vermoge der Machtigkeit a von A, namlich<br />
Denn es gibt nur a*^" Punktfolgen (%, ag,. ..) aus A, also hochstens so<br />
viele (in E) konvergente, und A^ hat eine Machtigkeit ^ a*^".<br />
Die Ungleichungen A^^B und A^^B^^ sind gleichbedeutend. Zwei<br />
zueinander dichte Mengen (A^ = 5J rechnen wir zu derselben Dichtigkeitsklasse;<br />
in jeder solchen Klasse gibt es genau eine abgeschlossene Menge<br />
(F = A^ = B^= '' = FJ, die groBte Menge der Klasse.<br />
168
§ 25. Separable Raume. 125<br />
Wenn A zu B dicht und gleichzeitig Teilmenge von B ist, sagen wir:<br />
A ist in B dicht Dann ist -4^ = B^c, beide Mengen gehoren zur selben<br />
Dichtigkeitsklasse.<br />
Jede Menge A ist in A^ dicht, insbesondere in ihrer vollstandigen<br />
Hiille A. Der isolierte Tail A^ ist im separierten Teil Ag dicht, wegen<br />
§ 23, (15). Im Euklidischen Raum E ist die Menge R der rationalen wie die<br />
Menge / der irrationalen Punkte dicht; beide sind zueinander dicht (R^ =<br />
J. = E).<br />
Betrachten wir alle im Raum E dichten Mengen A: Aoi = E, (Das<br />
bedeutet: das Komplement J? = J? — ^ ist eine Randmenge, 5^ = 0.)<br />
Lassen wir die endlichen, d. h. aus nur endlich vielen Punkten bestehenden<br />
Raume beiseite, so ist A unendlich. Unter den Machtigkeiten aller dieser<br />
A ist eine kleinsie ^5^ vorhanden; der Raum hat dann eine Machtigkeit ^ K^*.<br />
Der einfachste und wichtigste Fall ist, da6 in E eine abzahlbare<br />
Menge R dicht ist; JB = R^ ist also hochstens von der Machtigkeit des Kontinuums<br />
NQ" =^
126 Sechstes Kapitel. Punktinengen.<br />
Auch nichtseparable Raume lassen sich leicht bilden. Man mache<br />
eine beliebige Menge M = {?n^ n,. ..} zum metrischen Raum, indem man<br />
je zwei verschiedenen Elementen die Entfernung 1 zuschreibt; in M ist<br />
oifenbar keine Menge ^^o<br />
hat, einen nichtseparablen Raum. Ist dieses ilf, oder allgemeiner<br />
eine Menge M^ in der zwei verschiedene Punkte eine Entfernung<br />
> Q haben {Q eine feste positive Zahl), in einem Raum E gelegen, so hat<br />
eine in E dichte Menge niemals eine Machtigkeit < tn. Denn sie mufi zu<br />
jedem m e M einen Punkt x^^ mit mx^ ^inn — mx^ — nx^><br />
9--29-19 = 0,<br />
Man kann diese Bemerkung noch benutzen, um in jedem Raume E<br />
eine dichte Menge geringster Machtigkeit zu bilden. Nennen wir eine<br />
Menge E(Q), in der je zwei verschiedene Punkte eine Entfernung >^<br />
haben und die nicht enveiterungsfdhig ist ^), ein Netz des Raumes JB, so<br />
hat jede in E dichte Menge mindestens die Machtigkeit jedes Netzes. Ist<br />
E{Q) ein Netz, so kann man fiir a < Q offenbar ein Netz E(a) bilden, das<br />
E(Q) als Teilmenge enthalt. Zu jedem Punkt x von E existiert ein Punkt y<br />
von E{Q) mit xy < Q (sonst ware das Netz durch x erweiterungsfahig).<br />
Bildet man eine Folge von Netzen £(1), E(^)^.. ., so ist also<br />
(1) R = E(\) + E(i) + • . .<br />
in E dicht, und wahlt man liberdies jedes Netz so, daB es das vorangehende<br />
als Teilmenge enthalt, so ist die Machtigkeit einer beliebigen in E dichten<br />
Menge mindestens gleich der von /?. Denn ist a„ die Machtigkeit von<br />
E\A~ E \zj-zin^ ^1 die von E{i\ m„ =- Qi H h a„ die von E f-J, so<br />
ist a^ + a2 + • • • die Machtigkeit von R und die kleinste Machtigkeit,<br />
die >mn fiir alle n,<br />
Wir haben die Netze schon S. 108 in total beschrankten Mengen verwendet,<br />
wo sie endlich waren und daher R hdchstens abzahlbar ist, also:<br />
jede total beschrankle^ d, II jed-e bedingt kompakte Menge ist endlich oder<br />
separabel,<br />
Wir nehmen nun E als separabel an; die abzahlbare Menge R sei in<br />
E dicht. Fiir jeden Punkt reR betrachten wir die Umgebungen (/^(Q)<br />
mit rationalen Radien Q und nennen sie spezielle Umgebungen, Die Menge<br />
aller speziellen Umgebungen ist abzahlbar. Wir bezeichnen diese Umgebungen<br />
daher mit F^, Fg,..., eine einzelne spezielle Umgebung auch mit<br />
V und, wenn sie den Punkt x enthalt, mit V^.<br />
^) Die Bildung einer solchen Menge geschieht durch Wohlordnung von E<br />
ahnlich wie S. 120.<br />
170
§ 26. Separable Raume. 127<br />
Zu jeder Umgebung U^gibt es ein V^ g U^. Denn hat U^ den Radius or,<br />
so gibt es ein r mit xr
128 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
II. Der isolierte, der separierte, der unverdichtete Teil jeder Menge<br />
eines separablen Raumes ist hochstens abzdhlbar.<br />
Insbesondere sind isolierte, separierte, unverdichtete Mengen hoch-<br />
[60] stens abzahlbar. Ist A unabzahlbar, so sind auch ^^, A^^ A^^ -4«, A^^ Ay,<br />
unabzahlbar. Eine Menge mit hochstens abzahlbarer Ableitung A^ ist<br />
hochstens abzahlbar; ist Ay hochstens abzahlbar, so ist A hochstens abzahlbar<br />
und daher in Wahrheit 4^ = 0.<br />
AuBer den uns aus § 23, (5) (6) bekannten, allgemeingiiltigen Iterationsformeln<br />
//v \Actoc — ^«? A^f^ — Ap^ Ay^<br />
— ^'/i<br />
erhalten wir hier noch<br />
iAy^ = Ay^ = Ayy = Ay<br />
I A^y = A^y.<br />
Denn wir batten Ay = A^y^Ayy^Ay^^Ay^ = ^r und die zweite<br />
Zeile folgt daraus, daB A^ — A^ = Aj hochstens abzahlbar ist. In der<br />
ersten ist enthalten, daB Ay perfekt ist.<br />
III. Ein System disjunkter o-0ener Mengen des separablen Raumes<br />
ist hochstens abzahlbar,<br />
Denn zu jeder dieser offenen Mengen G^(>0) wahlen wir einen<br />
Punkt xeG und ein F^^G; die den verschiedenen G zugeordneten V<br />
sind verschieden und es gibt deren hochstens abzahlbar viele.<br />
IV. Es gibt im separablen Raume genau i< offene (und ebensoi^iele abgeschlossene)<br />
Mengen.<br />
Eine oflfene Menge G (^ 0) laBt sich als Summe von speziellen Umgebungen<br />
V^^G(x8G) darstellen, also in der Form<br />
G = V 4-V A<br />
mit einer passend gewahlten Menge natiirlicher Zahlen mj, mg,.... Es<br />
gibt also hochstens so viele G wie Mengen natiiriicher Zahlen (2^'^ = t
§26. Vollstandige Raume. 129<br />
Wir diirfen E durch Ej,. ersetzen (die in E perfekten Mengen sind mit<br />
den in i^^ perfekten identisch, da Ej^ in E abgeschlossen ist), also annehmen,<br />
daB E selbst insichdicht (perfekt) ist. Es sei xeE und wie soeben A =<br />
(a^, a2, . . .} eine Menge von Punkten a„ =}= ^? ^n -^ ^- Die oben verwendeten<br />
Un konnen wir, indem wir ihre Radien halbieren, disjunkt annehmen,<br />
dann hat nicht nur G =2V^, sondern auch G^ mit A genau den Durch-<br />
schnitt J5, denn wenn z. B. a^ nicht zu B gehort, so ist GUi — 0 nnd aj<br />
auch nicht a-Punkt von G. Die G sind aber insichdicht, die G^ perfekt. —<br />
Die den abzahlbaren Mengen B entsprechenden G^ enthalten iiberdies den<br />
Punkt x\ es gibt also auch genau ^< perfekte Mengen, die einen festen Punkt<br />
des perfekten Raumes enthalten.<br />
VI. Ein System offener Mengen im separablen Raume kann, ohne [61]<br />
Anderung seiner Summe^ durch ein hochstens abzdhlbares Teikysiem ersetzt<br />
werden,<br />
Denn ist G = ©G„j, die Summe iiber eine beliebige Menge erstreckt^<br />
so suche man die (hochstens abzahlbar vielen) verschiedenen speadellen<br />
Umgebungen F^, die in den Summanden G^ enthalten sind, raid wahle<br />
fiir jedes /> ein bestimmtes G,^^ g Fp aus, dann ist<br />
also G == 2G,^... Durch Ubergang zu den Komplementen folgt:<br />
VII. Ein System abgeschlossener Mengen im separablen Raume kann,<br />
ohne Anderung seines Durchschniits^ durch ein hochstens abzdhlbares Teilsystem<br />
ersetzt werden.<br />
§ 26. Vollstandige Raume.<br />
1. Die Durchschnittssatze. Wie die Machtigkeit des Kontimiimns im<br />
vorigen Paragraphen als obere, so wird sie in diesem fiir gewisse Mengen<br />
als untere Grenze erscheinen. Die Grundlage dafiir bildet der nachher<br />
folgende zweite Durchschnittssatz, dem wir als Gegenstiick einen ersten<br />
nebst Folgerungen vorausschicken. Dieser bezieht sich auf in sich kompakte,<br />
jener auf beschrankte vollstandige Mengen.<br />
I (Erster Durchschnittssatz). Eine absteigende Folge jl^g J^g • —<br />
kompakter^ abgeschlossener, von Null verschiedener Mengen hat einen mn<br />
Null verschiedenen Durchschnitt.<br />
Wir wahlen aus jeder Menge A^ einen Punkt a^. Die Folge |%, %,...)<br />
hat als Punktfolge aus A^ eine konvergente Teilfolge mit dem Limes x,<br />
der auch Haufungspunkt jeder Restfolge (a^, ^n+ii • • •) i^^. Also ist x<br />
ein (X-Punkt jeder Menge ^„, d. h. Punkt von A^; xeAiA2....<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 9<br />
173
130 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Der Raum E ist hierbei ganz beliebig; wir batten ja auch, statt<br />
von kompakten abgeschlossenen^), von in sich kompakten Mengen sprechen<br />
konnen.<br />
II (Satz von E.Borel). Ist sine kompakte, abgeschlossene Menge in<br />
der Summe einer Folge offener Mengen enthalten^ so ist sie bereits in einer<br />
Summe von endlich nelen dieser offenen Mengen enthalten.<br />
Essei A^S = Gi + G2 + ' '', A kompakt abgeschlossen, G„ offen.<br />
Die Behauptung lautet: es gibt ein n mit ^4 g5„ = Gj + • • • + G^n-<br />
In der Tat bilden die kompakten abgeschlossenen Mengen A(E — S^) eine<br />
absteigende Folge mit dem Durchschnitt A(E — S) = 0] sie konnen also<br />
nach I nicht alle von Null verschieden sein, und es gibt ein n mit A(E — S^)<br />
= 0, d. h. A^ S^,<br />
Aus der Verbindung mit §25, VI folgt eine Verscharfung des Borelschen<br />
Satzes:<br />
[62] III. 1st eine kompakte abgeschlossene Menge des separablen Raumes<br />
in der Summe eines beliebigen Systems ofjener Mengen enthalten^ so ist sie<br />
bereits in einer Summe ifon endlich vielen dieser offenen Mengen enthalten,<br />
Auch der erste Durchschnittssatz laBt sich mit Hilfe von § 25, VII<br />
verscharfen:<br />
IV. Ist der Raum separabel^ so hat ein System kompakter abgeschlossener<br />
Mengen einen von Null verschiedenen Durchschnitt, falls endlich viele<br />
Mengen des Systems siets einen von Null verschiedenen Durchschnitt haben.<br />
Denn der Durchschnitt des ganzen Systems laBt sich als Durchschnitt<br />
^1 ^2 • • • einer Folge von Mengen des Systems darstellen, d. h. als Durchschnitt<br />
der absteigenden, von Null verschiedenen, kompakten abgeschlossenen<br />
Mengen A^^A^A^^^ - -,<br />
V (Zweiter Durchschnittssatz). In einem vollstdndigen Raum hat eine<br />
absteigende Folge Ai^A2^' - - beschrdnkter, abgeschlossener, von Null<br />
verschiedener Mengen, deren Durchmesser nach 0 konvergieren, genau einen<br />
gemeinsamen Punkt,<br />
Wir wahlen wieder a„£^„; die Folge {ai, ag,. . .) ist dann eine Fundamentalfolge,<br />
da a^ von alien folgenden (auch zu A^ gehorigen) Punkten<br />
einen Abstand < d(i4 J hat. Also existiert x = lim a^ und wie bei I sieht<br />
man, daB aje^li^g- • •? welcher Durchschnitt hier wegen d(Af^)->0 nur<br />
einen Punkt haben kann.<br />
Man hatte natiirlich auch hier die Beziehung auf den Raum E beseitigen<br />
und einfach von vollstandigen Mengen A^ sprechen konnen. Keiner<br />
der Durchschnittssatze ist Folge des andern; der zweite laBt zwar beschrankte<br />
statt kompakter Mengen zu, hat aber dafiir die Durchmesser-<br />
^) Das soil naturlicli helBen: in E kompakten und in E abgeschlossenen;<br />
vgl. die SchluBbemerkung von § 24.<br />
174
§ 26. VoUstandige Raume. 131<br />
bedingung. Diese ist nicht zu entbehren, wie das Beispiel A^^ == {x^, x^^i,...}<br />
zeigt, worin %, a^g,... Punkte bedeuten, die paarweise die Entfernung 1<br />
haben. In Euklidischen Raumen, wo beschrankte und kompakte Mengen<br />
identisch sind, ist der erste Durchschnittssatz inhaltreicher; der einfachste<br />
Fall, daB eine absteigende Folge abgeschlossener Intervalle [a„, i„], also<br />
mit Un < an^i < bn+i < ft„, als Durchschnitt ein abgeschlossenes Intervall<br />
oder einen Punkt hat, ist dem Leser aus den Elementen bekannt.<br />
2. Dyadische Mengen. Iii einem vollstandigen Raume E sei ein<br />
System abgeschlossener, beschrdnkter, von Null verschiedener Mengen<br />
Vp, y-pq^y^qri' ' ' gegeben, deren Indices die beidenWerte 1, 2 durchlaufen,<br />
so dafi wir also zwei Mengen Fi, V^ mit einem Index, vier Mengen F^, F^g,<br />
F21, F22 niit zwei Indices, allgemein 2" Mengen mit n Indices vor uns<br />
haben. Fiir jede dyadische (aus den Ziffern 1, 2 gebildete) Ziffemfolge<br />
(p? ?»'*»•••) s^ll iiberdies<br />
(1) FpSF^,^Fp,,§...<br />
gelten und die Durchmesser dieser Mengen sollen nach 0 konvergieren;<br />
nach V besteht der Durchschnitt F^ F^,^ F^^^... tos einem einzigen Punkt a?.<br />
Die Menge aller dieser Punkte<br />
(2) D^%V^V^J^^,,.,,<br />
die Summe xiber alle dyadischen Ziffemfolgen erstreckt, soil eine dyadische<br />
Menge heiBen. Der Name bezeichnet nur die Darstellungsforni; was die<br />
Natur dieser Mengen selbst betriflt, werden wir gleich sehen, daB dyadische<br />
und in sich kompakte Mengen identisch sind.<br />
Es gilt<br />
(3) i) = @F^.@F,,,3F,,,...,<br />
so daB sich die Menge D als abgeschlossen (im vollstandigen Raum £), also<br />
als voUstandig erweist. In der Tat ist die Menge (2) zunachst in (3) enthalten.<br />
Umgekehrt sei x Punkt der Menge (3), etwa xe Vp^ Vp^q^ ^p,?sf, • • • •<br />
Bei den hier auftretenden Mengen F muB aber unendlich oft der gleiche<br />
erste Index Pn^" P vorkommen, bei diesen F wieder unendlich oft der<br />
gleiche zweite Index q^ = q, bei diesen V unendlich oft der gleiche dritte<br />
Index r„ = r usw. Dann ist aber xeVp F^^ F^ ^^..., a: Punkt der Menge (2).<br />
Die fiir die Mengen (1) geforderte Konvergenz der Durchmesser nach 0<br />
ist fiir alle dyadischen Ziffemfolgen gleichmaBig. D. h, wenn (5^ der groBte<br />
Durchmesser der Mengen F mit n Indices ist, wobei offenbar dann g„ = q, dann r„ = r usw. sein muB. Also kann nicht<br />
^„ ^ (5 > 0 sein, da sonst F^, Fj,^, F^^^,.. . Durchmesser ^ d hatten.<br />
Nach § 21, 4 ist demnach die Menge i) total beschrankt; uberdies<br />
war sie voUstandig, also ist sie in sich kompakt.<br />
175
132 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Bevor wir umgekehrt die in sich kompakten Mengen als dyadische<br />
darstellen, verallgemeinem wir die letztgenanntenfolgendermaBen. Im voUstandigen<br />
Raum E sei ein System abgeschlossener, beschrankter, von Null<br />
verschiedener Mengen Wi, Wij^^ Wij^y... gegeben, wo nun jeder Index eine<br />
endliche, eventuell von den vorangehenden Indices abhangige Menge von<br />
mindestens zwei Ziffern durchlauft. In Wi sei also i = 1, 2, . . ., m; in<br />
Wij, sei A = 1, 2,. . ., m^; in Wij^i sei Z = 1, 2,. .., niij^ usw. (m, m^-, m.jt,. ..<br />
^ 2). Fur jede in dieser Weise gebildete Ziffernfolge (i, /c, Z, . ..) sei<br />
mit Durchmessern, die nach 0 konvergieren, so daB der Durchscbnitt dieser<br />
Mengen einpunktig ist; die Summe<br />
(4) P = ^W,Wi,Wi,i...<br />
heiBe eine polyadische Menge. Man schlieBt wie oben, daB<br />
und die Konvergenz der Durchmesser iiach 0 gleichmaBig ist. In Wahrheit<br />
ist sogar P nichts anderes als eine dyadische Menge, wie wir folgendermaBen<br />
erkennen.<br />
Wir bezeichnen die Mengen TV^, Wi^,. . . allgemein mit W, die aus<br />
einem W durch Anhangung eines weiteren Index entstehenden Mengen mit<br />
W^, W^, .. . (z. B. fiir W = Wn^ • W^ — ^iici)- Sodann werden wir Mengen<br />
Fp, Vj)qy. . . mit dyadischen Indices (1 oder 2) bilden, die wieder allgemein<br />
mit V bezeichnet werden; die aus V durch Anhangung eines weiteren<br />
Index entstehenden Mengen seien V^, V-. Dabei soil entweder V gleich<br />
einem einzelnen W<br />
[oC) V = W,<br />
oder V die Summe mehrerer W mit gleiclwielen Indices<br />
(iS) F = T^i + I'Fii 4- • • •<br />
sein, wobei die Summanden in lexikographischer Ordnung der Indices<br />
geschrieben sein mogen. Wir beginnen die Definition mit<br />
und setzen sie durch Induktion fort, indem wir V\ V- definieren, falls F<br />
bereits definiert ist: im Falle (a) sei<br />
im Falle (/3) sei<br />
Fi = Tyi-f. W'34. ...^ F2 = T'F2 + IF« +.-.;<br />
Fi = IFi + IFiii 4- • • •, F^ = PF„ + TFiv + • • •.<br />
Beispielsweise wiirden sich aus den ersten Mengen W<br />
W^ W„ Ws<br />
176
die ersten Mengen V folgendermaBen ergeben:<br />
§ 26. Vollstiindige Riiume. 133<br />
12<br />
1^22 - l^'22 + W,,<br />
V 111<br />
'211<br />
V- 1111<br />
212<br />
13-<br />
121 — "31<br />
V,<br />
Man sieht nun unmittelbar: jedes V ist ein W oder Summe endlich<br />
vieler PF, also abgeschlossen, beschrankt, von Null verschieden. Es ist<br />
V^V^^ V^V^, also sind fiir jede dyadische Ziffernfolge die Ungleichungen<br />
(1) erfiilll. Ist V im Falle (j8), so sind F^, V^ Summen mit weniger<br />
Gliedern als F, und nach hinreichend oftmaliger Anhangung von Indices<br />
kommtimmer ein V des Falles {a) wieder; jede Folge F^, F^^, F^p^^,. . . hat<br />
eine Teilfolge Wi^ Wi^, Wi^.^ , , , und demnach Durchmesser, die nach 0<br />
konvergieren, wobei zugleich die Durchschnitte<br />
identisch sind. Umgekehrt ist jedes W einem besliiamten V gleich und<br />
jede Folge T^^, W^^j.,- T>F^|,|,... bestimmt ^ ^<br />
eine Folge F^, F^^, F^^^,.,., von der<br />
sie Teilfolge ist (z. B. W^, W^^,... die<br />
Folge Fi, Fn, Fill, ^1112. • • •)• Dem><br />
nach ist die von den W erzeugte polyadische<br />
Menge P gleich der von den V<br />
erzeugten dyadischen Menge D.<br />
Eine in sich kompakte Menge P<br />
ist als polyadische Menge darstellbar.<br />
Denn sie ist Summe endlich vieler<br />
Mengen Wi von beliebig kleinen Durch-<br />
messern ^ d^, wobei jede dieser Mengen abgeschlossen (in P), also wieder<br />
in sich kompakt und ihre Anzahl ^ 2 angenommen werden kann. Indem<br />
man dies fortsetzt, erhalt man<br />
1<br />
/I<br />
1<br />
[oj fol<br />
[DJ<br />
«<br />
P == ^Wi, W, fW^,,, Wa fWi^i,.<br />
Fig. 3.<br />
fn] [DJ<br />
wobei die W in sich kompakt (also voUstandig und beschrankt), die Durchmesser<br />
der Mengen mit n Indices ^ d^ sind und d^-^O; P hi die von den<br />
W erzeugte polyadische Menge (4).<br />
Dyadische Mengen und in sich kompakte Mengen sind also identisch.<br />
Wir betrachten jetzt insbesondere eine dyadische Menge, wo Fj und<br />
Fg disjunkt sind ^), ebenso *F^ und Fp2. F^^,i und i?f 2?' .; aEgemein<br />
1) Fig. 3 veranschaulicht den Fall abgeschlossener Rechtecksflaclien F,<br />
von denen nur die Umfange (ohne Schraffienmg des Innern) gezeicheet sind.<br />
177
134 Sechstes KapiteL Punktmengen.<br />
sollen, fur jedes w, die Mengen mit n Indices paarweise disjunkt sein. Eine<br />
solche Menge<br />
heiBe ein dyadisclies Diskontinuum ^). Sie ist aquivalent mit der Menge<br />
der dyadischen Ziffernfolgen, also von der Maclitigkeit 2^" = N des Kontinuums;<br />
ferner ist sie perfekt nnd sogar genaner<br />
jeder Punkt von D Verdichtungspunkt. Denn bei Festhaltung endlich<br />
vieler Anfangsziffern erhalt man die Mengen D V^, D F^^, D F^gy, /.. (z. B.<br />
DFj = Menge der Punkte xeD mit p = 1), die immer noch von der<br />
Machtigkeit K sind und nach 0 konvergente Durchmesser haben; ist x<br />
der Durchschnittspunkt dieser Mengen, so enthalt jede Umgebung U^<br />
K Punkte von D.<br />
Ein polyadisches Diskontinuum (wo die Mengen W mit n Indices<br />
disjunkt sind, fur jedes n) ist mit einem dyadischen identisch.<br />
Das klassische Beispiel eines dyadischen Diskontinuums ist das folgende,<br />
das wegen seiner Beziehung zu den triadischen Briichen auch als<br />
triadische Menge
§ 26. Vollstandige Raume. 135<br />
sicher p = 1 ist. Das offene Komplement E — D besteht, auBer den Halbgeraden<br />
(— oo, 0) und (1, oo), aus den mittleren Dritteln von F, Vp^ Vpq,.. .,<br />
also aus den offenen Intervallen ( o, o I, I g, o)' (Q' g)' • • • • ^^ ^^^' ^^<br />
leicht zu sehen, in E dicht, so daB D kein noch so kleines Intervall enthalt<br />
(D ist in E nirgendsdicht, § 27). Der Grenzwert, dem die Langen der<br />
Intervallsummen J^F^, JF^^,... zustreben, wird das (Lebesguesche)<br />
2 4<br />
LangenmaB von D genannt. Hier sind diese Langen o i o? • • •> ^Iso das<br />
LangenmaB Null; es erscheint paradox, daB eine Menge vom LangenmaB 0<br />
doch die Machtigkeit K des ganzen Intervalls haben kann. Man kann aber<br />
die Intervallangen anders, insbesondere die offenen Intervalle von E — D<br />
kleiner und die Langensummen A,, An,. . . von -2'F^, JF^^,... so langsam<br />
abnehmend wahlen, daB das LangenmaB X — lim X^ von D positiv wird<br />
und sogar beliebig nahe an 1 (wenn auch natlirlich < 1) liegt; dann ist<br />
es wieder paradox, daB eine Menge positiven LangenmaBes kein noch so<br />
kleines Intervall enthalt.<br />
Die t)bertragung dieser einfachen Konstruktion auf die Ebeae ist<br />
evident. Man teilt z. B. ein Quadrat F (abgeschlossene Quadratflache,<br />
definiert etwa durch Of^Xj<br />
136 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
VIII (W.H.Young). In einem vollsldndigen Raiim hat jede Menge<br />
Y = Gf) (DurclischniU einer Folge offener Mengen)^ deren insichdichter Kern<br />
nicht versckwindet^ mindestens die Mdchtigkeit \^,<br />
Dem Beweise mogen einige erlauternde Bemerkungen vorausgehen.<br />
Jeder dieser Satze ist Sonderfall des folgenden (eine abgeschlossene Menge<br />
F ist Durchschnitt einer Folge offener Mengen G). Andererseits folgt aus<br />
VI auch VII; und spater wird sich (wegen der Homoomorphie der G\^ in<br />
vollstandigen Raumen mit vollstandigen Raumen selbst; § 38,111) auch<br />
VIII als Folgerung aus VII ergeben. Die Mengen<br />
G,^ = Durchschnitt einer Folge offener Mengen,<br />
F^ = Summe einer Folge abgeschlossener Mengen<br />
bilden nach den offenen Mengen G und abgeschlossenen Mengen F die<br />
nachste Klasse der Borelschen Mengen (§ 32), auf die wir kiinftig den<br />
Machtigkeitssatz ausdehnen werden. Diese Mengencharaktere sind natiirlich<br />
relativ, vom Raume E abhangig, und man hatte ausfiihriich F(E) usw.<br />
zu schreiben. Flir D ^ E ist aber, wenn das Argument E wieder weggelassen<br />
wird,<br />
F(D)^DF, G(D)=^DG, F,(B)=DF,, Gs(D)^DG,^,<br />
die auf D bezlighchen Mengen sind die Durchschnitte von D mit den<br />
entsprechenden auf E beziighchen. Es gibt auch absolute F^, Gj, Mengen,<br />
die diesen Charakter in jedem sie umfassenden Raume haben. Von den<br />
F„ ist das evident; ein absolutes F^ ist (z. B. in seiner vollstandigen<br />
Hiille betrachtet) Summe einer Folge absolut abgeschlossener (vollstandiger)<br />
Mengen, die einem metrischen Raume angehoren, und vice versa.<br />
Gegen die Existenz absoluter G^y scheint zunachst die Nichtexistenz absolut<br />
[64] offener Mengen zu sprechen, aber es verhalt sich doch anders: die drei<br />
Aussagen<br />
A ist ein G^^ in seiner vollstandigen Hulle,<br />
A ist ein G^ in einem vollstandigen Raum,<br />
A ist ein G,^ in jedem umfassenden Raum, ein absolutes G§<br />
sind gleichbedeutend. Denn ist A ein G,^ in £", so auch in jedem kleineren<br />
Raume D (A^ D^E); ist andererseits A ein G,^ in seiner abgeschlossenen<br />
Hiille A^, so ist A == A^G,^ auch im Raum E ein G^, weil A^ abgeschlossen,<br />
also ein G,^ und der Durchschnitt zweier G^) wieder ein Gs ist.<br />
Fiir vollstandiges E geht hieraus die Gleichwertigkeit der drei Aussagen<br />
hervor. Die absoluten G^ werden wir mit Riicksicht auf den Youngsclien<br />
[65] Satz VIII haufig Youngsche Mengen nennen. — Danach konnen wir in<br />
den drei Machtigkeitssatzen die Beziehung auf den Raum tilgen und sagen:<br />
IX. Jede absolut perfekie Menge^ jede absolut abgeschlossene (i^ollstdndige)<br />
Menge, jedes absolute G,j {Youngsche Menge) hat, wenn ihr insichdichter<br />
Kern nicht verschwindet, mindestens die Mdchtigkeit N*.<br />
180
§ 26. Vollstandige Riiume. 137<br />
Gehen wir nun zum Beweise iiber; wir brauchen nur den dritten Satz<br />
zu beweisen, werden aber die beiden ersten ohnehin unterwegs vorfinden.<br />
Wir werden zeigen, daB die fraglichen Mengen ein dyadisches Diskontinuum<br />
D enthalten, und werden die erzeugenden abgeschlossenen (voUstandigen)<br />
Mengen V hier speziell als abgeschlossene Kugeln wahlen. Wir<br />
unterscheiden namlich<br />
offene Kugel U^(Q) = Menge der Punkte y mit xy < Q^<br />
abgeschlossene Kugel V^{Q) = Menge der Punkte y mit xy ^ Q<br />
(die offenen Kugeln sind unsere alten Umgebungen); sie mogen, bei gleichem<br />
Radius und Mittelpunkt, zusammengehorig oder einander zugehorig heiBen.<br />
Zusammengehorige f/, V bezeichnen wir mit denselben Indices. (Im<br />
Euklidischen Raum ist dann U der offene Kern von F, V die abgesclilossene<br />
Htille von U.)<br />
Nun sei A^O eine insichdichte Menge im vollstandigeii Raum E,<br />
Wir wahlen in A zwei Punkte %, ag und machen sie zu Mittelpunkteo<br />
disjunkter abgeschlossener Kugeln Fj, Fg, denen die offenen Kugeln f/i, U^<br />
zugehoren. Jede der beiden Mengen A f/^ ist ^ 0 und insichdicht (§ 23, V);<br />
wir konnen also die Konstruktion wiederholen und zwei ihrer Punkte<br />
a^,i,ap2 mit disjunkten abgeschlossenen Kugeln Fj,i, F^g^t^p umgeben.<br />
Jede der vier Mengen AU^,,^ ist r:>0 und insichdicht; wir umgeben zwei<br />
ihrer Punkte a^,^i, a^^o ^^^t disjunkten abgeschlossenen Kugeln F^^^i, Vpq2<br />
^ Ujy^ und fahren so fort.<br />
iNichts hlndert dabei, die Kugelradien beliebig klein zu wahlen, etwa<br />
die der F,p, F^^, Vpqr-f - • • kleiner als 1, i, |-, .... Wir erhalten so ein<br />
dyadisches Diskontinuum D, und dieses ist in A^ enthalten; denn ein Punkt<br />
X von D, der zu V^V^qV^^^j.. . . gehort, ist Limes der Kugelmittelpunkte<br />
(Ip^ Clpq^ dpqj.^ .... Also*<br />
X. Ist A eine insichdichte^ i>on Null verschiedene Menge des i'ollstandigen<br />
Raumes E^ so enthdlt A^ ein dyadisches Diskontinuum D.<br />
Damit ist VI bewiesen (ist A insichdicht, so ist A^^ perfekt, und vice<br />
versa), ferner VII: wenn F abgeschlossen ist und A enthalt, so ist F ^ A^<br />
^ D. Zum Beweis von VIII nehmen wir<br />
A ^Y = Oj^G
138 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
beliebige insichdichte Teilmenge von Y war, so LeiBt dies: jederPunkt des<br />
insichdichten Kerns i>on Y ist Verdicktungspunkt von 7,<br />
(5) Yu^Y..<br />
Kombinieren wir dies alles schlieBlich mit den Tatsachen, die in einem<br />
separablen Raume gelten (§25): hier hat jede Punktmenge hochstens die<br />
Machtigkeit t^, ferner war dort stets A^'^A^^ also fiir eine Youngsche<br />
Menge 7;^ = Y^, und A^^A^ hochstens abzahlbar. Also:<br />
XL In einem vollstdndigen separablen Raujn ist jede Youngsche Menge<br />
Y = Gs entweder hochstens abzahlbar oder von der Machtigkeit J
§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie. 139<br />
so ist F — Ff die Begrenzung seines Komplements G, und andererseits, ist<br />
G eine beliebige offene Menge und F ihr Komplement, so ist die Begrenzung<br />
Ff von G eine Randmenge und iiberdies, wie jede Begrenzung, abgeschlossen.<br />
Eine beliebige Menge A heifit in E nirgendsdicht^ wenn Hire abgeschlossene<br />
Hiille A^^in E nirgendsdichi ist, Pafiir ist notwendig und hinreichend,<br />
daU der offene Kern Bi ihres Komplements B = E~ A in E<br />
dicht sei.<br />
Die gewohnlichen Kurven in der Euklidischen Ebene £2^ die Kurven<br />
und Flachen im Raum £3 usw. sind nirgendsdichte Mengen. Genauer:<br />
ist /(a?!, x^ eine reelle stetige Funktion, die niemals in einer ganzen Umgebung<br />
eines Punktes verschwinden kann, z. B. ein Polynom mit nicht<br />
samtlich verschwindenden Koeffizienten, so stellt / = 0 eine nirgendsdichte<br />
Menge in E^ dar, denn sie ist abgeschlossen und hat keinen inneren Punkt.<br />
Ein dyadisches Diskontinuum i){§ 26, 2) ist im voUstandigen Raume<br />
E nirgendsdicht, wenn man noch die scharferen Ungleichungen<br />
^p^ 'pi i ^p2i ^pq^ ^pql I *^pqZ-i * ' '<br />
(mit AusschluB der Gleichheitszeichen) hinzufiigt. - Denn in beliebiger Nahe<br />
Jedes Punktes xeD^ welcher dem Durchschnitt V^V^q. ., angehoren moge,<br />
liegen Punkte von<br />
wp *^pl ^7)2/ ~r v' 7>(7 ' P9l PQ^f I" ' ' '<br />
und diese gehoren nicht zu i), x ist nicht innerer Punkt von D. Bei der<br />
Kugelkonstruktion S. 137 kann man offenbar diese Verscharfung herbeifiihren;<br />
es gibt also in jedem voUstandigen Raum, dessen insichdichter<br />
Kern nicht verschwindet, nirgendsdichte perfekte Mengen von der Machtigkeit<br />
^
140 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
(oc) P = MA^, Q=^MA,, M = P + Q<br />
definieren wir die Aussagen<br />
A zn M nirgendsdicht, ^ in ilf dicht<br />
als identisch; nach der friiheren Erklarung {M^AJ waren die Aussagen<br />
A zu M dicht, Q = 0, P == M<br />
identisch. (Das voile Gegenstiick zu dieser ware Q = M^ p = 0, M ^ A^^<br />
M liegt ganz auBerhalb von A; dies hat kein besonderes Interesse). Im<br />
Falle A^M w^ihlen wir die Praposition ,,in": A in M nirgendsdicht,<br />
A in M dicht. Diese Relationen, wie allgemein die Mengen P und Q^<br />
hangen nur von den Mengen A und M, nicht vom umgebenden Raum E ab.<br />
P ist in M abgeschlosBen, ^ in ilf offen.<br />
1st A in M abgeschlossen^ so ist P = ^, und wir haben die Identitat<br />
der Aussagen:<br />
A in M nirgendsdicht, M — A in M dicht;<br />
^ in ilf dicht, A = M,<br />
Wir stellen einige formale Eigenschaften dieser Begriffe zusammen,<br />
deren Beweis, wenn nichts dazu gesagt wird, trivial ist.<br />
I. (Transitives Gesetz). Ist A zu B^ B zuC dicht^ so ist A zuC dicht.<br />
II. Ist A zu M dicht (nirgendsdicht), so ist A"^ zu 31* dicht (nirgendsdicht),<br />
wenn A*, M* Mengen derselben Dichtigkeitsklasse wie A, M sind'^).<br />
In der Tat hangen P, Q nur von A^, nicht von A ab. Was M betrifft,<br />
so wissen wir, da6, fiir eine offene Menge G, (MG)^^ M^G^ MG, also<br />
(MG)^ = (Mc,G)^ ist; setzt man darin G = A^, so folgt (2« = (2*> wenn<br />
Q = MA^ und Q* = M* A^ gemaB der Zerlegung ((x) zu M und i¥*<br />
gehoren. Die Aussagen ^ = 0 bzw. Q^ = M^ sind also mit denselben fiir<br />
(2*, M* gleichbedeutend.<br />
III. Ist A zu M dicht, so ist jede Menge ^A zu jeder Menge ^ M<br />
dicht, Ist A zu M nirgendsdicht, so ist jede Menge ^A zu M nirgendsdicht]<br />
ist A in M nirgendsdicht, so ist A in jeder Menge ^ M nirgendsdicht,<br />
Hiervon bedarf nur die letzte Aussage eines Beweises: wir konnen<br />
die Menge g M dabei als Raum E wahlen. Es ist<br />
A,^M^ = Q^^A,^<br />
und zugleich A^^A^^, also E'^A^^, A^ in E dicht. Man darf in dieser<br />
letzten Behauptung nicht „zu'' statt „in" setzen (allerdings geniigt statt<br />
der Zusatzbedingung ^ g If die mildere vi^ g Tlf J; das geht schon daraus<br />
hervor, daB nach unserer Terminologie jede Menge A zur Nullmenge ilf = 0<br />
nirgendsdicht ist, ohne doch zu jeder Menge gO nirgendsdicht zu sein!<br />
IV. G sei offen, Ist A zu M dicht, soAGzu M G. Ist A zu M nirgendsdicht,<br />
so A zu MG,<br />
D.h. Al^^Aoc, Ml = M,, (S. 124).<br />
184
§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie. 141<br />
Der erste Teil folgt aus {AG)^^A^G^MG, Der zweite stutzt<br />
sich auf den ersten und (a): Q ist in M dicht, also QG = MGAg in MG<br />
dicht, A zu MG nirgendsdicht.<br />
F. Sind Ai^ A2 in M off en und dicht, so ist auch ihr Durchschnitt in M<br />
(offen und) dicht.<br />
Denn sei A^ — MG^^A^^ MG^(G^, Gg offen). Es ist dicht: ^^ in ilf,<br />
nach IV -^^Gg i^ -^^2? d- ^' A^A^ in A^^ weiter A^ in ilf, also (transitives<br />
Gesetz) A^A^, in if.<br />
VL ^-mrf A -^^ A2 zu M nirgendsdicht, so ist auch ihre Summe zu M<br />
nirgendsdicht.<br />
Man mache fiir A^, A^ und A — A-^^ A^ die Zerlegungen (a):<br />
M - Pi + ^1 = i'a + ^2 = J^ + ^- Dann ist P = P^ + P^^ Q = Q^Q^.<br />
Q-^ und ^2 sind in M offen und dicht, also nach V auch Q,<br />
Die letzten beiden Satze gelten natiirlich auch fiir endlich viele<br />
Mengen ^j, ^2? • • ^ ^n- ^^ einem (follstdndigen Raume lassen sie sich, in<br />
eingeschrankter Weise, auf abzahlbar viele ubertragen.<br />
VII. In einem vollstdndigen Raume sei eine Folge pon Mengen A^<br />
(n = 1, 2, 3,...) mii ^i«g^2«^ * *' ^^^ ^i^^ Folge offener Mengen<br />
Gn^A^ gegeben, Dann ist Y = G^G^. - ^ zu A^ dicht.<br />
Wir umgeben einen Punkt a^s A^ mit einer abgeschlossenen Kugel Fj<br />
(d. h. ai sei ihr Mittelpunkt); in der zugehorigen offenen Kugel U^ liegi^<br />
wegen a^eA^at ein Punkt a2^^2> den wir mit einer abgeschlossenen Kugel<br />
Fg^f/i umgeben; in U^ Hegt ein Punkt a^eA^, den wir mit einer Kugel<br />
V^^U2 umgeben usf. Wir lassen dabei die Kugelradien nach 0 konvergieren<br />
und nehmen iiberdies F„ g G„, so dafi der Punkt x von \\ Fj ...<br />
zu Y gehort. Da F^ beliebig klein sein kann, ist a-^eY^, also A^'^Y^.<br />
VIII. In einem vollsidndigen Raume sei eine Folge Youngscher Mengen<br />
y^, Yg, . . . derselben Dichtigkeitsklasse [Y^^ = Y^^c = • * •) gegeben] dann<br />
gehort ihr Durchschnitt Y = Y^ Yg • • • ^^^^^^ ^^^ selben Klasse.<br />
Sei y,n = G,«i^m2-• • (G„»„ offen); setzen wir Y,^,,=^ Y,^^G^^<br />
und wendenVII auf die Folge 7^, Y^^i ^\u« • • an, so ist % G^„ = 2^F,^<br />
= y zu y^i — y^, d. h. in y^ dicht: y^ = Y^^. Insbesondere:<br />
IX. Ist ^4i, ^27 • • • ^i^^ Folge ifon Mengen, die in der Youngschen<br />
Menge M dicht und offen sind, so ist auch ihr Durchschnitt in M dicM,<br />
Denn die Mengen A^ sind (als M G) selbst Youngsche Mengen und<br />
gehoren mit M zu einer Dichtigkeitsklasse, also auch ihr Durchschnitt.<br />
X. Ist A I, ^2T • • • ^i^^ Folge von Mengen, die zu der Youngschen [66]<br />
Menge M nirgendsdicht sind, und A ihre Summe, soistM — M A in M dichL<br />
Machen wir fiir die A^ die Zerlegungen (a), iff == P^ -f Q^, und setzen<br />
^0 — ^1 + Pi + ' ' '1 Qo — Q1Q2'' ' y ^^ sind die Q^ in M offen und dicht,<br />
also nach IX QQin M dicht. Uberdies ist MA^^i\, MA^PQ,M— A! A.<br />
^ QQ, also ist M — M A erst recht in M dicht.<br />
185
142 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Wir konnen aber nicht behaupten, dafi A noch zu M nirgendsdicht<br />
sei; fiir die zu A gehorige Zerlegung M = P + Q wiirde man ja nur P g PQ,<br />
Q^Qo schlieBen konnen, so daB Q nicht mehr in M dicht zu sein braucht.<br />
Bringt man die rationalen Zahlen in eine Folge TJ, ^2,.. . und lafit A^ aus<br />
der einzigen Zahl r„ bestehen, so ist A^ in der Menge M der reellen Zahlen<br />
nirgendsdicht, A aber sogar dicht; der Satz X bleibt trotzdem giiltig, denn<br />
M — A ist in M dicht. Versteht man aber unter M die Menge der rationalen<br />
Zahlen selbst, die keine Youngsche Menge ist (sie ist in ihrer voUstandigen<br />
Hiille, d. h. in der Menge der reellen Zahlen kein G§, S. 138),<br />
so ist der Satz X nicht anwendbar: M —• A ist dann Null und nicht in M<br />
dicht.<br />
Man nennt, mit einer farblosen Bezeichnung (R. Baire), eine Menge i4<br />
[67] i^on erster Kategorie oder von zweiter Kategorie zu M^ je nachdem sie Summe<br />
einer Folge zu M nirgendsdichter Mengen ist oder nicht, Ist A^M^ so<br />
heiBt sie von erster oder zweiter Kategorie in M; diesen wichtigsten Fall<br />
wollen wir abkiirzend bezeichnen:<br />
Ml eine Menge erster Kategorie in ilf,<br />
Mji eine Menge zweiter Kategorie in AL<br />
Der Satz X, auf A ^ M angewendet, lautet dann:<br />
XL Ist M eine Youngsche Menge^ so ist M — Mi in M dicht.<br />
Aus der Definition sowie aus II, III, IV folgt:<br />
XII. Sind die endlich oder abzdhlbar i>ielen Mengen A^ zu M von<br />
erster Kategorie^ so auch ihre Summe.<br />
XIII. 7^^ A zu M von erster Kategorie^ so auch zu Jf*, wenn ilf*<br />
derselben Dichtigkeitsklasse wie M angehort.<br />
XIV. Ist A zu M von erster Kategorie^ so auch jede Menge ^ A; ist<br />
A in M von erster Kategorie^ so auch in jeder Menge ^ M,<br />
XV. Ist A zu M von erster Kategorie^ so auch zu M G (G offen).<br />
Diese Satze lassen sicli natxirlich in solche liber Mengen zweiter<br />
Kategorie umformen, z. B. statt XIV: ist A zu M von zweiter Kategorie,<br />
so auch jede Menge ^ A usw.<br />
Es kann sein, daB M selbst ein i/j ist; dann gibt es iiberhaupt kein<br />
Mil, d^ lisich XIV alle Teilmengen von M ebenfalls Mi sind, Ist aber M<br />
selbst ein Mu, so kann es nach XII nicht die Summe zweier Mi sein, und<br />
das Komplement M — Mi eines Mi ist jedenfalls ein Mu (wogegen das<br />
Komplement eines Mu sowohl ein Mi als ein Mu sein kann). Eine Youngsche<br />
Menge ilf :=> 0 ist gewi/i ein Mu. Denn nach XI ist M — Mi in M<br />
dicht und kann nicht Null sein.<br />
Auf Grund der Eigenschaft, daB von einer Menge M = Mu nach<br />
Tilgung eines Mi immer noch ein Mu zuriickbleibt, kann man sich die<br />
Vorstellung bilden, daB die Teilmengen Mi sozusagen entbehrliche Ak-<br />
186
§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie. 143<br />
zidentien von diinner Struktur sind und ihre Komplemente M — Mi die<br />
eigentliche Substanz der Menge M enthalten. Diese Vorstellung ist zwar<br />
insofern zweckmaBig, als sie den nichtssagenden Bezeichnungen „erste<br />
und zweite Kategorie" etwas Farbe verleiht; sie kann aber mit ahnlichen<br />
Vorstellungen, die auf Grund anderer Pramissen gebildet sind, koUidieren.<br />
Bei der Zerlegung M = Mg+ Mj^ in separierten Teil und insichdichten<br />
Kern wiirde man doch diesen als Substanz und jenen als Akzidens betrachten,<br />
zumal wenn Mj^ von der Machtigkeit des Kontinuums und M^<br />
nur abzahlbar ist; trotzdem kann Mjg ein Mj und M^ ein il/jj sein. Ist<br />
etwa / eine isolierte Menge mit perfekter Ableitung J^ (z. B. / die Menge<br />
der Punkte I — , ~ J in Fig. 2 S. 113), so ist ilf = /^ = / + J^ eine solche Zerlegung,<br />
wo J^ ein Mj und J ein Mjj ist (denn M — J^ ist in M dicht; iiberdies<br />
stellt jeder einzelne Punkt von / bereits eine Menge M^ dar). — Ein<br />
einzelner Punkt von M gibt eine Menge M^ oder ifi, je nachdem er isoliert<br />
oder Haufungspunkt ist. Jede Menge M^ ist also in der Koharenz Mj^<br />
enthalten, und jede endliche oder abzahlbare Teilmenge von Mj^ ist ein Jfj.<br />
Z. B. ist in der Menge E der reellen Zahlen die Menge R der rationalen<br />
Zahlen ein Ei, sogar ein Ri\ die Menge / der irrationalen ist (da E als<br />
Youngsche Menge ein E^ ist) ein Eji und erst recht ein /n- — 1st ilf = M^<br />
separiert, so ist Mj^ ein M^^ da M — Mj^~ Mj in M, = ilf dicht ist (§ 23,<br />
(15)). Bilden wir also die mit M, M^^ M^j^^,.. beginnende Folge der Koharenzen<br />
MQ^ il/^, Mg, . .., M^, ..., so ist jede dieser Mengen in den vorangehenden<br />
von erster Kategorie, aber (solange sie ^ 0 ist) in sich von zweiter<br />
Kategorie, weil sie isolierte Punkte hat.<br />
Ist die Menge E^ die wir jetzt als Raum annehmen, eine Youngsche<br />
Menge, so ist auch jede (in E) abgeschlossene Menge F und jede offene<br />
Menge G (sogar jede Menge G^) eine Youngsche Menge, also, falls :=>0,<br />
in sich von zweiter Kategorie. Auf Grimd dieser zwei Eigenschaften woUen<br />
wir zwei Klassen von Mengen definieren, die als Verallgemeinerung der<br />
Youngschen Mengen vielfach eine Rolle spielen. Wir sagen:<br />
E hei^t eine F^^-Menge, wenn jede abgeschlossene Menge F:>0 in sick [68]<br />
iwn zweiter Kategorie (ein Fn) ist ^). E heifit eineGji'Me?ige, wenn jede ofjene<br />
Menge G^O in sich i>on zweiter Kategorie {ein Gjx) ist.<br />
Die Bedingung der i^ij-Menge kann dahin eingeschrankt werden^ daB<br />
nur jede perjekte Menge P:>0 ein Pji zu sein braucht; denn eine Menge F<br />
mit isolierten Punkten ist ohnehin ein Fji,<br />
Die Bedingung der Gjx-Menge kann durch dies^ ersetzt werden, daB<br />
jede offene Menge G^O ein Ejj ist. Denn: ist G ein Gj, so auch ein Ej<br />
(nach XIV); ist G ein JE^j, so auch ein Gj (nach XV)- G ist also in sich und<br />
in E von derselben Kategorie" (wogegen eine abgeschlossene Menge F zugleich<br />
ein F^ und E^ sein kann, z. B. jede im EukHdischen Raum E nirgends-<br />
^) Hierzu vgl Nachtrag A.<br />
187
144 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
dichte abgeschlossene Menge :::^0), Ferner lassen sich die GjrMengen<br />
auch so charakterisieren:<br />
E ist dann und nur dann eine Gji-Menge, wenn E — Ei steis in E<br />
dicht ist.<br />
Denn ist E — Ej stets in E dicht, so ist G :::5 0 kein Ej, ddi E — G = F<br />
nicht in E dicht ist (i^^ = F 0, so ist in G — (E — A)G + AG der zweite Summand<br />
ein Ej, also der erste ein Ejj und jedenfalls :>0. Aus G^O folgt also<br />
(E — A)G^O, d. h. E - A ist in E dicht.<br />
Mit E ist auch E ~ Ei eine Gn-Menge. Denn sei A in E, B in<br />
E — A = D von erster Kategorie, so sind B und A + B auch in E von<br />
erster Kategorie, also E — {A + B) = D — B in E und erst recht in D<br />
dicht; D ist eine Menge, fiir die D — Djin D dicht ist, also eine Gn-Menge.<br />
Jede Youngsche Menge ist eine Fjj-Menge; es gibt aber, wie wir spater<br />
(§43,2) sehen werden, auch i^'u-Mengen, die keine Youngschen Mengen sind.<br />
Jede Fji'Menge ist eine Gji-Menge, E sei eine i^u-Menge, G^O<br />
offen, F == G^, ferner F — G = G^ — G == H die Begrenzung von G. Sie<br />
ist in F nirgendsdicht (weil sie abgeschlossen und ihr Komplement<br />
F ~ H = G in F dicht ist), also ein Fx; demnach ist G ein Fn und erst<br />
recht ein Gu.<br />
Es gibt aber auch Gjj-Mengen, die keine i^n-Mengen sind. Sei E<br />
die Euklidische Ebene, A die Menge der irrationalen Punkte (i, 0) auf der<br />
a:-Achse X; dann ist A ein Ei und D — E —- A wieder eine Gjj-Menge.<br />
Sie ist aber keine jPjx'Menge, da die in ihr abgeschlossene Menge D X, die<br />
Menge der rationalen Punkte (r, 0) auf der a;-Achse, in sich von erster<br />
Kategorie ist.<br />
Eine Bemerkung verdienen noch die Mengen F^, Summen von Folgen<br />
abgeschlossener Mengen. Jede in E nirgendsdichte Menge A ist Teilmenge<br />
einer in E abgeschlossenen nirgendsdichten Menge A^, also jede Menge<br />
El Teilmenge einer Menge F^ — Ei\ die Mengen F^, die in E von erster<br />
Kategorie sind, sind also die grofiten Mengen erster Kategorie in dem<br />
Sinne, da6 sie und ihre Teilmengen alle Ei liefern. Es gilt noch:<br />
Damit A =^ F^ ein Ei sei, ist hinreichend und im Fall einer GjyMenge<br />
E auch notwendig, dap E — A in E dicht sei.<br />
Denn ist A = ^F^ und E — A in E dicht, so ist erst recht E — F„<br />
in E dicht, F^ in E nirgendsdicht und A ein Ej, Die andere Halfte der Behauptung<br />
folgt aus der Definition der Gii-Mengen.<br />
Ist der Raum E eine Fjj-Menge, so ist jedes A = G^::=>0 in sich<br />
von zweiter Kategorie. Denn F = A^ ist ein Fii\ F — A ist ein F^j,<br />
also in F von erster Kategorie, da sein Komplement ^ in JP dicht ist;<br />
also ist ^ in i^ und erst recht in sich von zweiter Kategorie. In einer<br />
188
§ 28. Mengenraume. 145<br />
Fjj^Menge ist jedes G^, insbesondere j'ede abgeschlossene oder offene Menge<br />
eine Fj^-Menge. Jede in einer Gn-Menge offene Menge ist eine G^^-Menge.<br />
% 28. Mengenraume. [69]<br />
1. Entfernimgeu zwischen Mengen. Wir betrachten wieder Punkte<br />
und Teilmengen eines Raumes E. Die Entfernungen ab der Punktpaare<br />
zweier Mengen A^ B{^ 0) haben stets eine untere Grenze d{A^ B) = d(B,A)<br />
und, falls beide Mengen beschrankt sind, eine (endliche) obere Grenze<br />
d(A, B) = d(B^ A); wir nennen dies die untere und obere Entfernung<br />
zwischen A und B. Insbesondere ist d(A, A) = d(A) der Durchmesser<br />
von A. Ist der Punkt b fest, so iBtd(A, b) = d{b,A) die untere, d{A,b) =<br />
dib,A) die obere Entfernung des Punktes b von der Menge A.<br />
Aus xa ^ya -}- xy folgt, wenn wir beiderseits die obere Grenze<br />
fnv as A nehmen (A beschrankt): d{Xy A) -^ d(y^ A) + xy irnd durch Vertauschung<br />
von x,y<br />
Idix.A} — diy.A) l^xy;<br />
auch fiir die unteren Entfernungen gilt dasselbe (S. 111). 5(a:, J) und<br />
d(x,A) sind stetige Funktionen von x. 8{x^A)^0 ist mit xeA^ gleichbedeutend.<br />
Fiir ^>0 ist «5(a?, ^) < ^ damit gleichbedeutend, daC zu<br />
X eiii aeA mit ax < Q existiert oder daB x der Umgebung V(A, Q) von<br />
A mit dem Radius Q angehort (S. 117).<br />
Wir versuchen nun, zwischen zwei Mengen eine den Entfernnngsaxiomen<br />
geniigende Entfernung zu erklaren und die Mengen dadurch zu<br />
Elementen eines neuen metrischen Raumes zu machen. Die unteren und<br />
oberen Entfernungen sind, wie man von vornherein vermuten kann und<br />
ein Versuch sofort bestatigen wurde, dazu nicht geeignet.<br />
Wir Ziehen nur beschrdnkte Mengen A, B^O in Betracht. Die Relation<br />
(^ > 0)<br />
(Q) I fiir jedes bsB ist d(A^ b) < Q<br />
I zu jedem beB gibt es ein aeA mit ab < Q<br />
deren dreiFormen gleichbedeutendsind, bestehtjedenfalls fiir Q > d{A^ B)<br />
(wQ alle ab < Q) und besteht nicht fwt Q< d(A^ B) (wo alle ab > q). Die<br />
untere Grenze der g, fiir die sie besteht, ist eine Zahl .> 0 und werde mit<br />
Q(A^B) bezeichnet, was von Q{B^A) ZU Buterscheiden ist; nachderzweiten<br />
Form der Relation (q) ist<br />
ferner<br />
(1) Q(A,B) = mi^8(A,b),<br />
(2) 8(A, B) < Q(A, B) < d(A, B).<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 10<br />
189
146 Seclistes Kapitel. Punktmengeii.<br />
Fiir ^ > ^(^, B) besteht die Relation (^j, fiir ^< Q (A^ B) besteht sie nicht<br />
(fiir Q = Q(AJB) besteht sie dann und nur dann, wenn das Supremum<br />
in (1) fiir kein b erreicht wird). Q(A, B) = 0 heiBt so viel wie J5g^«,<br />
A zu B dicht; in jedem andern Falle ist Q(A,B) > 0. Ferner gilt<br />
(3) Q(A,B) + Q(B,C)>Q(A,C),<br />
Denn fiir B^U{A, Q), C g U{B, G) ist C^U(A,Q-\- G), woraus der<br />
SchluB leicht zu ziehen ist. Besteht eine der Mengen aus einem einzigen<br />
Punkt, so ist nach (1)<br />
(4) q [a, B) = sup ab = d(a, B), Q{A, b) = d(A, b),<br />
heB<br />
Dieses Q{A,B) ist wegen seiner Asymmetrie noch nicht als Entfernung<br />
brauchbar; wir bilden daher<br />
(5) TB = max [Q(A, B), Q{B, A)] = BA<br />
und schlieBen aus (3), daB damit das Dreiecksaxiom AB -}- BC >^AC<br />
erfiillt ist. Damit ist also eine Entfernung und ein metrischer Mengenraum<br />
definiert, in dem man nur, analog zu friiheren Fallen, zwei Mengen mit<br />
AB — 0, d. h. zwei Mengen derselben Dichtigkeitsklasse als identisch anzu-<br />
sehen hat; fiir Zi& = 0 ist auch Q(A,C) = Q(B, C) und Q(C, A) == Q(C, B)<br />
sowie JC = ^ .<br />
Nach (2) liegt die Entfernung AB zwischen der unteren und oberen<br />
Entfernung; nach (4) ist, wenn die eine Menge einpunktig ist,<br />
Ab = mSix[6iA,b), d(A,b)] = d{A,b).<br />
Wir wollen nachher der praziseren Ausdrucksweise halber von jeder<br />
Dichtigkeitsklasse nur die groBte (abgeschlossene) Menge beibehalten, verengern<br />
also den Definitionsbereich von ^(.4,^) und AB auf die abgeschlossenen<br />
beschrdnkten Mengen > 0 des Raumes E. In diesem metrischen<br />
Mengenraum ist die Konvergenz A == lim A^ oder A^-^A natiirhch durch<br />
AAj^~^0 zu erklaren; die Folge heifie dann meirisch konvergent^ A ihr<br />
metrischer Limes \ der Limes einer metrisch konvergenten Teilfolge von ^„<br />
ein metrisches Haufungselement.<br />
[70] 2, Abgeschlossener und offener Limes. AuBerdemkommen, zunachst<br />
fiir beliebige Mengenfolgen A^ des metrischen Raumes £, folgende Grenzmengen<br />
in Betracht, die denen fiir reine Mengen (oberer und unterer Limes,<br />
§ 3) analog sind: der obere und untere abgeschlossene Limes<br />
(6) i^=^^n, F = FIA,,<br />
im Gleichheitsfalle der abgeschlossene Limes<br />
(7) F = FIA,;<br />
sowie der obere und untere offene Limes<br />
190
§ 28. Mengenraume. 147<br />
(8) 'G=~GIA^, &=GIA^,<br />
im Gleichheitsfalle der o^ene Limes<br />
(9) G=^GlA^<br />
(die Abkurzungen Fl^ Gl mogen etwa i^-Limes, G-Limes gelesen werden).<br />
Die Punkte dieser Mengen sollen durch folgende Eigenschaften definiert<br />
sein:<br />
xeF: jede Umgebung U^. hat mit unendlich vielen A^ Punkte gemein.<br />
xeF^: jede Umgebung U^ hat mit fast alien A^ Punkte gemein.<br />
xeG: es gibt eine Umgebung h\^ die unendlich vielen A^ angehort.<br />
XBG^: es gibt eine Umgebung J/^., die fast alien A^ angehort.<br />
Es ist F^F, G^G. Sind B^— E — A^^ die Komplemente der<br />
An^ so ist, wie eine leichte Uberlegung lehrt,<br />
(10) E^YlA^ + GIB^ =^FlA^-\' G~bB^.<br />
Da6 G, G offen sind, folgt unmittelbar aus der Definition: es ist G bzw. G<br />
die Summe aller Umgebungen, die unendlich Yiden bzw. fast alien A^^<br />
angehoren; fast ebenso unmittelbar oder aus (10) folgt^ daB i^, ^abgeschlossen<br />
sind. Abanderung, Hinzufiigung, Weglassung eiidlich vieler<br />
Mengen ist auf die Grenzmengen ohne EinfluB; beira tlbergang zu einer<br />
Teilfolge hat man, wenn sich die griechischen Buchstaben auf diese beziehen,<br />
(11) F^0^0^F, G^r^r^G,<br />
so daB mit der ganzen Folge auch jede Teilfolge einen abgeschlossenen<br />
(offenen) Limes hat.<br />
Beispiele. Fiir die Folge ^, 5, ^, i?, . . . ist<br />
F_==A, + B,, F^A^B,,<br />
G = Ai +B,, G = A,B,,<br />
Werden die Folgen ^„ mit den Grenzmengen F, F^ G, G und B^ mit den<br />
Grenzmengen 0^0, JT, F zu einer Folge ^j, B^, ^Ig, 5^, . . . vereinigt, so<br />
hat diese die Grenzmengen<br />
F+ 0, F0, G + r, GF.<br />
Ist in der Euklidischen Ebene, fiir ^ > 0, A{t) die durch ^i + (^I =1<br />
definierte ElHpse mit den Scheiteln (± 1, 0) und fO, ± t), so ist der abgeschlossene<br />
Limes fiir die Folge A {n) mit n = 1, 2, 3^..,, dm Geradenpaar<br />
^1 = it 1, fiir die Folge ^4 f—j die Strecke — 1 ^ ^i ^ 1, ^2 =^ 0.<br />
I (Auswahlsatz). Ist der Raum separabel^ so enthdlt jede Mengenfolge<br />
eine Teilfolge, fiir die der abgeschlossene (und eine, fur die der offene)<br />
Limes existiert.<br />
10*<br />
191
148 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Wegen (10) genligt es, den Fall des oftenen Limes zu beweisen (iibrigens<br />
liefert zweimalige Anwendung des Satzes eine Teilfolge, fiir die sowohl<br />
der abgeschlossene als auch der offene Limes existiert). Statt der Umgebungen<br />
V benutzen wir wieder die abzahlbar vielen speziellen Umgebungen V<br />
(§ 25); die in unendlich vielen ^^ enthaltenenF(derenSummeG ist), mogen<br />
obere V heiBen, die in fast alien A^^ enthaltenen (deren Summe G ist) untere V^<br />
und diejenigen oberen, die keine nnteren sind, diskrepante F. Beim (Jbergang<br />
zu einer Teilfolge wird die Menge der oberen, unteren, diskrepanten V<br />
kleiner, groBer, kleiner (im weiteren Sinn, d. h. Gleichbleiben nicht ausgeschlossen);<br />
wahlt man die Teilfolge aber geeignet, so kann man ein beliebiges<br />
diskrepantes V wirklicli tilgen. Denn wenn V den unendlich vielen<br />
Aj,^ aber nicht fast alien An angehort, so geniigt der Ubergang von A^<br />
zur Teilfolge Ap^ won V zu einem unteren V zu machen und demnach aus<br />
der Reihe der diskrepanten V zu streichen. Danach verfahre man, falls<br />
G^Gj also diskrepante V vorhanden sind, folgendermaBen: man bringe<br />
die (hochstens abzahlbar vielen) diskrepanten V in Form einer Folge<br />
Fj, Fg,... und tilge F^ durch tjbergang von A^ zu einer Teilfolge A^,:<br />
falls fiir diese noch diskrepante F vorhanden sind, etwa F^,..., so tilge<br />
man das niedrigste F^ durch tJbergang von A^ zu einer Teilfolge A^ usf.<br />
Entweder gelangt man schon nach endlich vielen Schritten zu einer Teilfolge,<br />
fiir die keine diskrepanten F mehr vorhanden sind, also der offene<br />
Limes existiert, oder das Verfahren ist unbegrenzt fortsetzbar. In diesem<br />
Fall bilde man aus den (wachsend geordneten) Zahlenfolgen p, (/, r, . . .<br />
die Diagonalfolge ^, d. h. aus<br />
V = Vi^ P21 P31'"<br />
Q = ^1, ^2» ^3, • • •<br />
r = Tj, r2, ^3, ...<br />
die Folge t = p^, q^, r^, ....<br />
Diese liefert, da sie, von endlich vielen Gliedern abgesehen, Teilfolge<br />
jeder vorangehenden ist, eine Mengenfolge ^Q ist gleichbedeutend mit Ac,l]^z=>0.<br />
Wir nehmen daher kiinftig die A^ als abgeschlossen an, iiberdies als be-<br />
192
§ 28. Mengenraume. 149<br />
schrankt und >0. Bedeutet a^ einen Punkt von ^„, so kann man aiif<br />
Grund einer leichten Uberlegung auch sagen:<br />
xsF bedeutet: es gibt eine Folge a„ mit dem Haufungspunkt x<br />
(d. h. mit einer nach x konvergenten Teilfolge).<br />
xeF bedeutet: es gibt eine Folge Un'-^x,<br />
Wir erhalten dann folgenden Satz, wo auch X, Y abgeschlossene<br />
beschrankte Mengen ^0 bedeuten: _<br />
II. Wenn Q(A^, X) -> 0, so ist X g^; wenn Q(Y, A ^ -> 0, so ist Y^F,<br />
Beweis. Sei Q^ = Q(An, X) ->0, xeX; es gibt (weil fiir Q > Q(A^ B)<br />
1<br />
die Relation (Q) besteht) einen Punkt a^^eA^ mit xafi:r, xeF. _<br />
Sei Qn^ Q{Y, An)-^0^ xsF; es gibt eine Folge Ug^sAj^ mit einer<br />
konvergenten Teilfolge a^, -> x und zu jedem a^ einen Punkt ,^^ a Y mit<br />
1<br />
^hiVn < Qn + ~' ^so y^-^x^ X ist a-Punkt von 7, XEY^^ Y.<br />
Damit ist II bewiesen. Aus X^F^^F^Y folgfc nun, daB fiir<br />
X= Y dicse Menge auch mit F^ = F identisch ist, d.li.<br />
III. Wenn der metrische Limes X = lim A^ exisliert^ so ist X = FlAn<br />
zugleich der abgeschlossene Limes der Mengenfolge.<br />
DaB eine Umkehrung dieser Satze nicht ohne weiteres moglicfa ist<br />
zeigt schon ein triviales Beispiel: sei im Raume E der reellen Zahlen A^<br />
das Interval! [— n^ n]^ so existiert der abgeschlossene Limes dieser Folge,<br />
namlich E selbst, aber E ist nicht beschrankt und A^E hat keinen Sinn.<br />
Diese Folge hat kein Haufungselement, da die Entfernungen A,,^An —<br />
\n — m\ von zwei verschiedenen Mengen ^ 1 sind. — Ein anderes Beispiel<br />
erhalt man mit<br />
^2 , = {o, i}, A^n-i = {0, n} (^ - 1, 2, . . .),<br />
wo also jedes A^ aus zwei Zahlen besteht. Hier existiert der abgeschlossene<br />
Limes JF, aus der einen Zahl 0 bestehend, er ist zugleich das (einzige)<br />
metrische Htlufungselement lim ^2,^, die ganze Folge ist aber nicht metrisch<br />
konvergent.<br />
AUgemein kann man nur sagen: wenn X mefcrisches Haufungselement<br />
von An ist, d. h. eine Teilfolge mit ApX-^Q existiert, so ist nach III und<br />
(11) F^X^F] alle etwaigen Haufungselemente der Folge liegen zwischen<br />
dem unteren und oberen abgeschlossenen Limes. Ist insbesondere F — FlAn<br />
vorhanden, so hat die Folge kein von F verschiedenes Haufungselement;<br />
sie braucht aber, wie die Beispiele gezeigt haben, iiberhaupt keins zu haben,<br />
Oder sie kann das einzige Hiiufungselement F haben, ohne metrisch zu<br />
konvergieren.<br />
193
150 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Wenn aber der Raum E in sich kompakt ist^), lassen sich unsere<br />
Satze umkehren. Es gilt zunachst als Gegenstiick zu II:<br />
IV. Wenn E in sich kompakt ist, so isi Q(An^ F)->Q (falls F von Null<br />
verscliieden isi) und Q{Fy An)-^0.<br />
Beweis. Fiir jeden Punkt xe F, der ja als lim a„ dargestellt werden<br />
kann, ist d(^„, a;) < a^a:->0. Ware nun, fiir F^:^0, nicht Q(A^,^) -^ 0,<br />
also fiir eine geeignete Teilfolge Q(AJ,^ JD ^ Q ^ ^^ ^^ 8^^^ ^^ nach der<br />
Definition (1) einen Punkt XpsF mit d(Aj,, Xp) > Q. Die x^ haben, wegen<br />
der Kompaktheit, eine konvergente Teilfolge x^-^x, wobei x der abgeschlossenen<br />
Menge ^angehort und ^(.4^,x) -^0. Aus 16{A^, x^) — d (Ag, x) \<br />
0 im Widerspruch zu q.<br />
Zum Beweis des zweiten Teils stellen wir zunachst F^Q fest, da<br />
jede Folge a^sAn mindestens einen Haufungspunkt xeF hat. Ware nicht<br />
Q{F^ An) -* 0, also fiir eine gewisse Teilfolge Q(F, A^) > ^ > 0, SO gabe es<br />
einen Punkt apcA^, mit 6(F^ ap) > ^, was damit in Widerspruch steht,<br />
daU die a^ einen Helufungspunkt x e F haben miissen.<br />
Aus IV folgt als Umkehrung von III:<br />
[71] V. Wenn E in sich kompakt ist und der abgeschlossene Limes X — FIA^<br />
existiert, so ist X = lim A^ zugleich der metrische Limes der Mengenfolge.<br />
Da ein kompakter Raum hochstens separabel ist (S. 126), so liefert<br />
der Auswahlsatz I in Verbindung mit V:<br />
VI. Ist der Raum E in sich kompakt^ so hat jede Mengenfolge A^^^O<br />
eine metrisch konvergente Teilfolge, D. h, der metrische Raum der abgeschlossenen<br />
Mengen F{0 0 zusammenhangend, wenn sie sich nicht in zwei disjunkte abgeschlossene<br />
Mengen >0 spalten laBb, und eine oftene Menge ir^O ist<br />
zusammenhangend, wenn sie sich nicht in zwei disjunkte oflene Mengen > 0<br />
spalten laBt. Eine abgeschlossene zusammenhdngende Menge heifit ein Kon-<br />
1) Es genugt, daB die samtlichen An einer in E kompakten Menge angehoren<br />
oder daB ^=
§ 29. Zusammenhang. 151<br />
iinuum^ eine offene zusaminenhdngende Menge ein Gehiet, Ob eine Menge A<br />
zusammenhangend ist oder nicht, hangt nur von ihr selbst, nicht vom<br />
umgebenden Raume E ab (wahrend die Begriffe Kontinuum und Gebiet<br />
Relativbegriffe bezijglich E sind).<br />
Beispiele. Eine Hyperbel ist unzusammenhangend, die Spaltung in<br />
ihre beiden Zweige ist eine Zerstiickelung ^). Die Menge der positiven und<br />
negativen reellen Zahlen, ohne Null, ist unzusammenhangend. Eine einpunktige<br />
Menge gilt als zusammenhangend (Kontinuum). Ein Interval!<br />
[a, b] reeller Zahlen ist zusammenhangend; denn sei eine Spaltung ^^ + ^2<br />
in disjunkte Mengen gegeben, a e A^ und c die untere Grenze der Zahlen<br />
von ylg. 1st nun A^ abgeschlossen,^ so ist c die kleinste Zahl von A^^ also<br />
c > a, und A^^ ist nicht abgeschlossen, da das halboflene Intervall [a, c)<br />
zu A^ gehort, c selbst aber nicht.<br />
Um eine Menge A (> 0) als zusammenhangend nachzuweisen, ist zu<br />
zeigen, da6 bei jeder Spaltung (1) einer der Summanden Null ist. Man<br />
beachte hierbei, daB diese Spaltung auch fiir jede Teilmenge B von A<br />
eine entsprechende Spaltung<br />
hervorruft. B =^ B,^ B,^ BA,^ BA, = BF, +BF,<br />
I. Wenn je zwei Punkte von A ^^sich in A verhinden lassen'\ d. /L<br />
einer zusammenhdngenden Teilmenge von A angehoren, so ist A zusammenkdngend,<br />
Denn gabe es eine Zerstiickelung (1), x^ e Aj, x^ e A^^ so verbinde<br />
man x^^ x^ durch eine zusammenhangende Teilmenge B; dann ware aber<br />
auch B = B1 + B2 eine Zerstiickelung.<br />
II. Die Summe von zwei zusammenhdngenden Mengen^ der en Durchschnitt<br />
nieht verschmndet, ist zusammenhangend,<br />
Sei S = A -j-B, D = AB^O, Einer Spaltung S = 8^^ + S^ entsprechen<br />
A = A^ + A^, B = B^ + B^^ D = D^^ + D^* Weil A zusammenhangt,<br />
ist einer der Summanden 0, etwa A^ — 0, also Dg = 0, /)i > 0,<br />
B^:^0; weil B zusammenhangt, ist also j^g = 0, iSg = 0: *? ist zusammenhangend.<br />
Eine Art Umkehrung von II ist der Satz:<br />
III. Zwei abgeschlossene Mengen^ der en Summe und DurchschniU zu^<br />
sammenhdngend istj sind selbst zusammenhangend.<br />
Sei wieder S = A -\- B^ D — AB. Einer Spaltung A =^ A^-{- A^<br />
entspricht D == D^-|-D^, also ist etwa Dg = 0, A^B=-Q, Dann ist<br />
S = {A-^ •]-B)-\-Ac^\ damit dies keine Zerstiickelung sei, mufi ^2 = 0<br />
sein: A ist zusammenhangend. — Der Satz gilt bereits, wenn A und B<br />
in S (das man als Raum wahlen kann) abgeschlossen sind.<br />
^) Wir sind in der Euklidischen Ebene E^, ohne unendlich feme oder<br />
uneigentliche Punktel<br />
195
152 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
Sagen wir von endlich vielen, in bestimmter Reihenfolge geschriebenen<br />
Mengen A^ B^C,,.., daB sie eine Kette bilden, falls je zwei benachbarte<br />
Mengen gemeinsame Punkte haben (AB^O^ JSCr^O, ...). Sind diese<br />
Mengen zusammenhangend, so ist nach II auch A + B^ {A + B) + C,., .<br />
zusammenhangend. Nach I folgt:<br />
IV. Die Summe beliebig vieler zusammenhdngender Mengen^ von denen<br />
je zwei einer Kette angehoren^ ist zusammenhangend.<br />
Insbesondere gilt dies, wenn je zwei Mengen gemeinsame Punkte<br />
haben.<br />
Eine grofite (in keiner andern enthaltene) zusqmmenhdngende Teilmenge<br />
von A heifit eine Komponente vpn A. Eine solche erKalt man, wenn<br />
man die Menge A{x) aller Punkte, die sich in A mit einem Punkt xeA<br />
verbinden lassen, oder die (nach IV zusammenhangende) Summe aller den<br />
Punkt X enthaltenden zusammenhangenden Teilmengen von A bildet.<br />
A(x) kann sich auf die einpunktige Menge {x} reduzieren, Zwei Komponenten<br />
A(x)^ A(y) sind entweder disjunkt oder identisch. Man erhalt<br />
so die Spaltung von A in Komponenten<br />
(2) A=A(x) + A(y) + ^^-,<br />
deren es eine (falls A zusammenhangt) oder mehrere (endlich oder unendhch<br />
viele) geben kann. Eine Menge, deren samtliche Komponenten einpunktig<br />
sind, die also keine mehrpunktige zusammenhangende Teilmenge enthalt,<br />
heiBe punkthaft (total unzusammenhangend), wahrend eine Menge, die<br />
kein mehrpunktiges Kontinuum enthalt, diskontinuierlich genannt werde ^).<br />
Die erste Bedingung ist also scharfer, und eine Menge kann diskontinuierlich<br />
sein, ohne punkthaft zu sein, sogar diskontinuierlich und zusammenhangend<br />
(Beispiele § 31, 2 und § 42, 5). Punkthaft ist ein absoluter, diskontinuierlich<br />
ein relativer Begriff. A ist in E diskontinuierlich heiBt: A hat<br />
keine mehrpunktige, zusammenhangende, in E abgeschlossene Teilmenge.<br />
Eine in sich diskontinuierliche Menge ist auch punkthaft (wegen VI)*<br />
V. Mit A ist auch jede Menge zwischen A und AociA^B^A^) zusammenhangend,<br />
Einer Spaltung 5 == 5^ + i?2 in relativ abgeschlossene Mengen entspricht<br />
A ^ A^ + A^. Hier ist etwa Jig = 0, ^i = ^, ^ g Bj^^A^,<br />
Bi^ = ^a, und da B^ in B abgeschlossen ist: B^ = BB^^c = BA^ = B,<br />
B^ = 0,<br />
VI. Die Komponenten i^on A sind in A abgeschlossen.<br />
Fur eine Komponente P ist A Pec (zwischen P und P^ gelegen) nach<br />
V zusammenhangend, also, da P eine groBte zusammenhangende Menge g^<br />
ist, AP^=: P,<br />
Auch hier herrscht kein einheitlicher Sprachgebrauch.<br />
196
§ 29. Zusammenhang. 153<br />
VII. Eine zusammenhdngende Menge C^ die zwei Punkte a, b {>on<br />
Komplementdrmengen A^B(A + B — E) verbindet^ trifft die Begrenzung<br />
dieser Mengen, Eine mehrpunktige zusammenhdngende Menge ist insichdicht<br />
und mindestens i>on der Mdchtigkeit des Kontinuums,<br />
Denn ware CAg = C (A^ + Br) = 0, so hatte man eine Zerstiickelung<br />
C = CAi + CBi. Wahlt man speziell A als Menge der Punkte ax^Q,<br />
B als Menge der Punkte arr > g, wo 0 < p < aft, so folgt, da6 C fiir jedes<br />
dieser Q mindestens einen Punkt mit ax = q enthalten mu6, und damit<br />
die zweite Halfte des Satzes.<br />
Insbesondere ist ein mehrpunktiges Kontinuum perfekt. Eine endliche<br />
Oder abzahlbare Menge ist punkthaft.<br />
2. Lineare und lokal zusammenhangende Raume. In den linearen<br />
Raumen (§ 20, 2), wo die Entfernung xy = \x — y\ auf einem Betrage<br />
\x\ beruhte, der eine positiv homogene Funktion ersten Grades der Koordinaten<br />
ist, sind die Strecken [rr, yl mit reellen Zahlenintervallen [a, A]<br />
isometrisch, also zusammenhangend. Nach I sind also die konpexen<br />
Mengen (die mit zwei Punkten re, y auch ihre Verbindimgsstrecke<br />
[x, y] enthalten) zusammenhangend, so der ganze Raum, eine offene<br />
Kugel (Umgebung), eine abgeschlossene Kugel u. dgL Weiter ist ein<br />
Streckenzug<br />
(o) [XQ^ Xi^ X^i . . ., ^n—lf ^n\ = V^m ^iJ ~t~ L^l? **'2J -J- * * * +L^n--1) ^nl<br />
als Spezialfall einer Kette (S. 152) zusammenhangend und damit jede<br />
Menge, in der sich zwei Punkte durch einen (der Menge angehorigen)<br />
Streckenzug verbinden lassen; so ist in der Euklidischen Ebene (oder im<br />
E.,^ fiir m^_2) die Menge J der irrationalen Punkte zusammenhangend,<br />
denn sind re, y zwei Punkte von / und z ein dritter Punkt, der auf keiner<br />
der (abzahlbar vielen) Geraden liegt, die x oder y mit einem rationalen<br />
Punkte verbinden, so sind x^y in J durch den Streckenzug [re, 2, i/] verbunden.<br />
— Fiir eine offene Menge im linearen Raum oder in einem konvexen<br />
Teilraum ist diese Zusammenhangsbedingung (Verbindung durch<br />
einen Streckenzug) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig. Denn<br />
ist G off en und G{x) die Menge der Punkte j/, die sich mit XBG durch einen<br />
Streckenzug [re,. .., y] in G verbinden lassen, so ist G{x) offen, weil fur<br />
Uy^G jeder Punkt zeUy mit y durch [?/, 2]gf/y, also mit re durch<br />
[re,. .., ?/, z] verbunden ist. Zwei Mengen ^(re), G{y) sind entweder disjunkt<br />
oder identisch. Demnach hat man wie bei der Zerlegung in Komponenten<br />
(4) G = G(x) + G{tjy+G{z) + '-.<br />
Ist nur ein Summand vorhanden, so ist G = G{x) zusammenhangend; sind<br />
zwei oder mehrere vorhanden, so liefert<br />
G^Gix)+[G{y) + G(z) + '^']<br />
197
154 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
eine Zerstiickelung. Bildet man hier den Durchschnitt mit einer Teilmenge<br />
von G, so wird auch diese zerstiickelt, wenn sie mit mindestens zwei<br />
SummandeDj etwaG(rr) und G{y), gemeinsamePunkte hat; eine zusammenhangende<br />
Teilmenge von G liegt also ganz in einem einzigen Summanden.<br />
d. h. die G(x) sind die Komponenten von G. Wir haben also gezeigt:<br />
VIII. 1st der Raum kom^ex^ so sind die Komponenten einer offenen<br />
Menge selbst offene Mengen; eine offene Menge ist dann und niir dann zusammenhdngend<br />
(ein Gebiet)^ wenn sich je zwei Punkte durch einen Streckenzug<br />
in ihr i>erhinden lassen.<br />
In den separablen Raumen dieser Art, z. B. im Euklidischen, ist die<br />
Menge der Komponenten einer offenen Menge hochstens abzahlbar.<br />
Ist E die gerade Linie oder die Menge der reellen Zahlen, so enthalt<br />
nach VII eine zusammenhangende Menge nebst zwei Punkten r?, b auch das<br />
Intervall [a, b\ woraus leicht folgt, daC es hier koine andern zusammenhangenden<br />
Mengen gibt als einzelne Punkte, Intervalle, Halbgerade und<br />
die ganze Gerade selbst (die Intervalle konnen offen, halboffen oder abgeschlossen<br />
sein, die Halbgeraden offen oder abgeschlossen). Gebiete sind die<br />
offenen Intervalle (a, b)^ die offenen Halbgeraden (a, oo) und (— oo, b)<br />
sowie die ganze Gerade. Die allgemeinste offene Menge G entsteht durch<br />
Addition von endlich oder abzahlbar vielen disjunkten Gebieten. Wenn<br />
dabei aneinandergrenzende Intervalle wie (a, b) und (&, c) vorkommen, so<br />
wird i ein isolierter Punkt des abgeschlossenen Komplements F = E — C\<br />
trifft dies niemals zu, so wird F perfekt.<br />
Die in VIII zuerst genannte Bigenschaft kommt einer allgemeineren<br />
Klasse von Raumen zu, wie wir nun zeigen woollen.<br />
Nennen wir — zunachst in einem beliebigen Raume — eine Spaltung<br />
(5) ^ -_^ i> + ^ + /? + .. .<br />
der Menge A in disjunkte Summanden r^ 0 eine natiirliche Spaltung, wenn<br />
sie die zusammenhangenden Teilmengen von A nicht zerreiBt, die Summanden<br />
also Komponentensummen oder, wenn zusammenhangend, Komponenten<br />
sind. Natiirliche Spaltungen sind also u. a. die Spaltung in Komponenten,<br />
ferner in endlich viele relativ abgeschlossene oder in beliebig<br />
viele relativ oft^ene Mengen {P und A — P sind dann gleichzeitig in A abgeschlossen<br />
oder offen, woraus die Behauptung leicht folgt). Wenn sich<br />
z. B. eine offene Menge G in oft^ene Mengen spalten laBt, so sind diese, insoweit<br />
sie zusammenhangend sind, Komponenten von C Ein Gebiet G<br />
mit der Begrenzung H ist Komponente von E — i/, denn G^ = G + N<br />
ist abgeschlossen, E ~ (G + H) = G^^ offen, E — H = G + G^ eine natiirliche<br />
Spaltung. Ein Gebiet ist durch seine Begrenzung und einen seiner<br />
Punkte eindeutiff bestimmt.<br />
198
§ 29. Zasammenhang. 155<br />
Der Raum E heiBe lokal zusammenhdngend ^), wenn in jeder Um- [72]<br />
gebung U.j^ eines beliebigen Punkies x ein den Punkt x enthaltendes Gebiei G^<br />
t><br />
enthalten ist. Er braucht darum (als Ganzes) nicht zusammenhangend zu<br />
sein ^). Ein konvexer Raum ist lokal zusammenhangend, da hier sogar<br />
jede Umgebung U^ selbst zusammenhangend ist. Das einfachste Beispiel<br />
eines nicht lokal zusammenhangenden Raumes bildet die Menge<br />
E == {1, -J^ -JJ . . ., 0); die einzige, den Punkt 0 enthaltende zusammenhangende<br />
Menge ist die einpunktige Menge {0} selbst und diese ist in E<br />
nicht offen. Ein Beispiel fiir einen zusammenhangenden, aber nicht lokal<br />
zusammenhangenden Raum folgt nach Satz XII. Nun gilt:<br />
IX. Ist der Raum lokal zusammenhdngend und A = P + Q + R + - - -<br />
eine naturliche Spaltung if on A, so ist<br />
(6) A, = P, + Qi + R,+ ''^, A,^P, + Q, + R, + ^'-,<br />
(7) A, = S,, s=^P^ + Q^ + R^+^-^.<br />
In dieser einfachen Weise hangen also offener Kern, Rand und Begrenzung<br />
der ganzen Menge von denen der Summanden ab. Zum Beweise von (6)<br />
erinnern wir uns, daB allgemein<br />
A,^P, + Q,+ ^^^, Ar^P, + Q, + ^"<br />
gilt. Andrerseits sei xeAi, U^^A und G^ ein Gebiet mit ^BG,^^U^^<br />
dann ist G^ in einem einzigen Summanden der Spaltung enthalten, etwa<br />
Ga^^P, xePi, also Ai^Pi +Qi +- ^ ^.<br />
Zum Beweise von (7) betrachten wir das Komplement B == E — A,<br />
dann ist<br />
E -~ P = B +Q + i? + • • *<br />
(E-P),^ B, + Q, +R, + '''<br />
P, = P, + (E- P), ^ Br + Pr +Qr + Rr+-'=B,^A, = A^,<br />
also Ag^Pg 4- Qf^ + ' ' ' = S und Ag^S^, weil Ag abgeschlossen ist.<br />
Andererseits ist<br />
(8) A,^S,<br />
und diese Halfte der Behauptung gilt sogar (in einem lokal zusammenhangenden<br />
Raum) fiir jede Zerlegung A=P + Q + R + ' ' (die keine<br />
naturliche Spaltung zu sein und nicht einmal disjunkte Summanden zu<br />
haben braucht). Denn sei xeAg, U^ beliebig, G,^^U^; da x oc-Vunkt<br />
von A und von B ist, enthalt die Menge G^ Punkte beider Mengen; sie<br />
enthalte etwa einen Punkt von P und einen von ^ g E — P, ailso (nach<br />
VII) auch einen von Pg oder 6', folglich xsS^.<br />
^) Oder im kleinen zusammenhdngend (H. H ahn).<br />
2) Ein isolierter Raum ist lokal zusammenhangend; jede einpunktige<br />
Menge {x) ist ein G.r.<br />
199
156 Sechstes Kapitel. Punkfcmengen.<br />
Bei einer natiirlichen Spaltung in endlich viele Summanden verein-<br />
facht sich (7) zu A,j = S = I\ + Qg .<br />
X. 1st der Raum lokal zusammenhdugend^ so sind die Komponenten<br />
offener Mengen stets Gebiete^ und umgekehrt.<br />
Denn ist A offen, so sind naoli (6) auch P^Q^R^ . , , offen, was also<br />
insbesondere von den Komponenten gilt. Wenn umgekehrt die Komponenten<br />
offener Menge Gebiete sind, so ist die x enthaltende Komponente<br />
von JJy. ein Gebiet G^., der Raum lokal zusammenhangend.<br />
Eine Anwendung von (8) ist der Satz:<br />
Ein zusammenhdngender und lokal zusammenhdngender Raum^ der eine<br />
Fji'Menge ist, Id/St sich nicht in abzdhlbar nele disjunkie abgeschlossene<br />
Mengen ::>0 spalten.<br />
Angenommen, es sei E = Fj^ + F^ + - - - (F^ ^ 0 abgeschlossen);<br />
weil E zusammenhangend ist, hat F^i eine Begrenzung II^ == F^r^O; die<br />
Summe H = H^-\- IL^-\- - - * ist ebenfalls abgeschlossen (als Komplement<br />
von ^i^nt)- ^^^ die Begrenzung von<br />
E -- F, = F^ + F, -I- • • .<br />
ergibt sich nach (8)<br />
//ig (7^2+ ^3+ •-).,<br />
d. h. //g + i/3 + • • • ist in // dicht, N^ und jedes //„ in N nirgends dicht,<br />
also // in sich von erster Kategorie im Widerspruch zur Annahme, dafi E<br />
eine i^jpMenge sein soil. — Diese Verscharfung des Zusammenhangs, die<br />
eine Zerstiickelung nicht nur in endlich, sondern auch in abzahlbar viele<br />
abgeschlossene Summanden ausschlieBt, gilt z. B. fiir Euklidische Raume;<br />
wir werden sie nachher auf anderem Wege auch fiir kompakte Kontinua<br />
beweisen (S. 162).<br />
Wir haben bisher den lokalen Zusammenhang schlechthin, fiir alie<br />
Punkte des Raumes, definiert. Es lage nahe, E in dem einzelnen Punkt x<br />
lokal zusammenhangend zu nennen, wenn jedes U^ ein G^ (Gebietj dem x<br />
angehort) enthalt; indessen ist es zweckmaBig, diese Bedingung etwas zu<br />
lockern und so zu defmieren:<br />
Der Raum E heiUt im Punkte x lokal zusammenhdngend, wenn jede<br />
Umgebung U^ eine zusammenhdngende Menge C enthdlt, der x als innerer<br />
Punkt angehort (xeC^); man kann dabei unter C die x enthaltende Komponente<br />
von U^ verstehen.<br />
XL Wenn der Raum E in jedem Punkt x lokal zusammenhdngend ist,<br />
so ist er (schlechthin) lokal zusammenhdngend; und umgekehrt,<br />
Denn ist C^ die x enthaltende Komponente von C/^., yeC^, Uy^ 0^<br />
und Cy die y enthaltende Komponente von f/y, so ist Cy^C^, weil<br />
^x'+ Cy zusammenhangend und < f_/,„ also mit C^ identisch ist. Nun<br />
ist 2/innerer Punkt von Cy, also auch von C^, C^ besteht nur aus inneren<br />
200
§ 29. Zusammenhang. 157<br />
Punkten und ist ein x enthaltendes Gebiet g t/^;. Die Umkehrung ist<br />
trivial.<br />
Man kann den lokalen Zusammenhang in x noch etwas anders formulieren<br />
(St. M a z u r k i e w i c z). Es sei ^ die untere Grenze der Durchmesser<br />
d (C) aller beschrdnktenzusammenhdngenden Mengen C, die x und y enthalten;<br />
wenn es keine solche gibt, werde J^'uicht definiert. Es ist xy >^xy; wenn<br />
ferner xy und y^ existieren, so auch ocz 0 ist £^ dejQniert und < g, sobald xy < a.<br />
Ist diese Bedingung erfiillt, so seien V^^ V^ die Umgebungen YOU X<br />
mit den Radien ^, a. Jedes yeV^ laBt sich mit x durch eine zusammen-<br />
hangende Menge Cy mit d(Cy) < Q verbinden. Die Menge C — %Cy ist<br />
nach IV zusammenhangend und in V^, enthalten, da jeder ihrer Punkte<br />
von X eine Entfernung < Q hat; sie enthalt V^ und hat demnach x ^um<br />
inneren Punkt; E ist in x lokal zusammenhangend.<br />
Ist umgekehrt £^ in a; lokal zusammenhangend, so habe V^ den<br />
beliebig vorgeschriebenen Radius ^; die a; enthaltende Komponenta C<br />
von U^ hat x zum inneren Punkt, enthalt also eine gewisse Umgebung V^<br />
vom Radius G, Fiir xy < a ist dann xy
158 Sechstes Kapitel. Punktmengen,<br />
da6 ff mit sr nicht nach 0 konvergiert. Ubrigens ist aber jR und E<br />
zusammenhangend.<br />
S.Distanzeii. Ein endlicher Punktkomplex (x^^ X2,. . ., ^„), worin die<br />
Entfernungen X^XQ^ . . ., ^w—i^n benachbarter Punkte 0); wir sagen dann, x^ und x^ lassen sich durch eine p-Kette<br />
verbinden, insbesondere durch eine ^-Kette in der Menge A^ wenn alle<br />
Punkte der Kette zu A gehoren. Suchen wir fiir zwei Punkte a;, y von A<br />
alle sie in A verbindenden o-Ketten; die untere Grenze der dabei auftretenden<br />
Zahlen Q heiBe die Distanz der Punkte a;, y und werde mit ccy bezeichnet<br />
(sie hangt aber nicht nur von den beiden Punkten, sondern auch von A<br />
ab). Fiir Q > xy lassen sich also a;, y durch eine ^-Kette in A verbinden,<br />
fiir Q
§ 29. Zusammenhang. 159<br />
ist eben nur ein sehr grober, sozusagen mit bloBem Auge sichtbarer Mangel<br />
an Zusammenhang, wahrend die Menge auch in feinerer, mikroskopischer<br />
Weise unzusammenhangend sein, namlich eine Zerstiickelung A = P + Q<br />
mit d(Py ^) = 0 gestatten kann (wie die Menge der rationalen Zahlen in<br />
die der Zahlen < ]/2 und > yg).<br />
In einem wichtigen Falle ist indessen die obige Behauptung umkehrbar.<br />
Wenn die in sich kompakte (also kompakte, abgeschlossene)<br />
Menge A = P + Q zerstiickelt, d. h. in zwei abgeschlossene Mengen -^ 0<br />
gespalten wird, so ist deren untere Entfernung 6(P^Q) = d > 0. In der<br />
Tat wird hier die untere Grenze d der Entfernungen p q wirklich erreicht,<br />
das Infimum zum Minimum; denn ist Pn^ln"^ ^t so gibt es eine Teilfolge<br />
mit Pn-^P-t "v^on dieser eine Teilfolge mit qn^Qi ^^^ dann ist<br />
peP, qeQy d = pq > 0. Hier ist also jede Zerstiickelung „mit bloBem<br />
Auge sichtbar", und wenn je zwei Punkte in A die Distanz 0 haben,<br />
so ist A zusammenhangend. Ferner ist, wenn A nicht zusammenhangend<br />
ist, die den Punkt p enthaltende Komponente P mit der<br />
Menge P (0) der Punkte p^ = 0 identisch. Denn einerseits ist immer<br />
P g P (0); andererseits ist P (0) abgeschlossen, weil die Distanz pi<br />
eine stetige Funktion von x ist, also in sich kompakt und daher zusammenhangend,<br />
da je zwei ihrer Punkte die Distanz Ohaben^), demnach<br />
P(0)gP. Wir haben also gezeigt:<br />
XIV. Eine in sich kompakte Menge A ist dann (und nur dann) zusammenhdngendy<br />
wenn je zwei Hirer Punkte die Distanz 0 haben. Die den<br />
Punkt p enthaltende Komponente ist die Menge der Punkte^ die von p die<br />
Distanz 0 haben,<br />
Beim Beweise von XIII zeigten w^ir, daB die Menge der Punkte :c mit<br />
p^ < Q ebenso wie ihr Komplement abgeschlossen ist; dasselbe gilt auch<br />
von der Menge P(Q) der Punkte pS< ^ und ihrem Komplement Q(Q) =<br />
^ — P(^) fiir ^ > 0; man sieht wie dort, daB die untere Entfernung der<br />
beiden Mengen >^ ist (QiQ):^0 vorausgesetzt). Fiir ^ = 0 gilt dies<br />
nicht mehr; wohl ist noch die p enthaltende Komponente<br />
(10) P(0) = %P{e)^P{i)P{±)P(^)...<br />
abgeschlossen, aber ^(0) braucht es nicht zu sein und die untere Entfernung<br />
beider kann 0 sein.<br />
Die folgenden drei Satze sind Anwendungen der Distanzen auf kompakte<br />
Mengen.<br />
XV. Eine in sich kompakte Menge hleibt in sich kompakt, wenn man<br />
statt der Entf ernungen die Distanzen zugrunde legt^ wobei sie in eine punkthafte<br />
Menge ubergeht.<br />
Die Menge sei, in Komponenten zerlegt,<br />
A=^P + Q + R+'',<br />
^) Hierzu vgl. Nachtrag B.<br />
203
160 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
[73] macht man sie auf Grund der Distanzen in A zum metrischen Raum A^<br />
so fallen alle Punkte einer Komponente yon A in einen einzigen Punkt<br />
zusammen; man kann, indem man aus jeder Komponente je einen Punkt<br />
wahlt, J = (p, g^r,.,.}<br />
setzen ^). Eine Punktfolge x^ hat in A einen Haufungspunkt rr, d. h.<br />
eine Teilfolge mit xXy-^O, und dann ist erst recht xx^-^O^ x^ hat auch<br />
in A den Haufungspunkt x. A ist also in sich kompakt, und ebenso entspricht<br />
jeder in sich kompakten Teilmenge B von A eine in sich kompakte<br />
Teilmenge B von A. Sind p, q Punkte verschiedener Komponenten von A.<br />
Q positiv und < 'p~q, so ist die Menge P (Q) der Punkte JX 0 eine groBte<br />
Menge von Punkten, die paarweise in A Distanzen > Q (also erst recht<br />
Entfernungen > Q) haben; diese Menge ist endlich und bestehe aus<br />
rcj, ojg, . . ., a:„. Zu jedem Punkt xeA gibt es dann mindestens ein x^<br />
(i =1, 2,'. .., n) mit xXi-^Q (sonst ware jene groBte Menge noch erweiterungsfahig)<br />
und auch nur ein einziges (sonst ware 'x^j. ^ Q). Ist<br />
ako Ai die Menge der Punkte ocXi ^ q, so ist<br />
(11) ^ -^l + ^2 + -- + ^n<br />
in disjunkte, abgeschlossene kompakte Mengen zerlegt, deren jede einen<br />
„Distanzdurchmesser" ^ Q hat, d. h. zwei Punkte von A^ haben eine<br />
Distanz ^^.<br />
Ist A zweitens zugleich punkthaft, so konvergiert mit der Distanz x^<br />
auch die Entfernung xy (^ ^) nach Null, und zwar gleichmaBig, d. h.<br />
jedem or > 0 entspricht ein ^ > 0 derart, daB mit xy < Q auch xy < a.<br />
Denn andernfalls gabe es eine Folge von Punktpaaren mit x^^ ~^ 0,<br />
^nVn ^ ^? wobei wir mit Beschrankung auf Teilfolgen rr^-^rr, yn-^y ^^^<br />
nehmen konnen, also ^ = 0, xy^o\ die verschiedenen Punkte x, y<br />
wiirden derselben Komponente angehoren. A laBt sich also fur jedes<br />
(5 > 0 in endhch viele disjunkte, in sich kompakte Mengen von Durchmessern<br />
§ 29. Zusamnienhang. 161<br />
1st drittens A auch noch perfekt, so sind die Summanden einer<br />
solchen Spaltung (11) wieder perfekt, da sie in A auch offen, also insichdicht<br />
sind. Die A^ sind also Mengen wie A und das Verfahren kann wiederholt<br />
werden:<br />
A = 2Ai, Ai = HAii,^, Aii, --= ^Aikiy. • .<br />
wobei etwa die Durchmesser der Mengen mit n Indizes kleiner als —gewahlt<br />
werden konnen, natiirlich auch so klein, daB jede Summe aus mindestens<br />
zwei Summanden besteht. Dann ist<br />
A = 2Ai.2Aij,,i:Ai^i,.,<br />
ein polyadisches Diskontinuum (S. 134) und lafit sich in ein dyadisches<br />
verwandeln.<br />
Umgekehrt ist ein dyadisches Diskontinuum<br />
punkthaft. Denn ist C^A zusammenhangend, so kann, damit C^CF^+C^Fg<br />
keine Zerstxickelung sei, C nur mit einem V^^ dann nur mit einem F^^,<br />
mit einem Vp^r ^sw. gemeinsame Punkte haben, d. h. C = V^V^gVp^^...<br />
ist einpunktig. Damit ist XVI bewiesen.<br />
XVII (Randsatzvon Z. Janiszewski). Fseiabgeschlossen, G==E-~F<br />
ihr offenes Komplmnent, H = F^ die Begrenzung beider Mengen, C ein kompaktes<br />
Kontinuum mit CM z:^ 0 ^). Dann hat (oc) jede Komponente i>on<br />
CF Punkte mit H gemein, (j8) jiir CG::^0 jede Komponente ifon CG<br />
Hdufungspunkte inH, (y) fUrCFi ^ 0 jede Komponente von CFi Hdufungspunkte<br />
in H.<br />
Die Figur veranschaulicht den Fall, daB F eine abgeschlossene Kreisflache<br />
in der Euklidischen Ebene i?, G das<br />
AuBere des Kreises, // die Kreisperipherie ist.<br />
Beweis. (a) Ist CF = P -{- Q in zwei<br />
abgeschlossene Mengen gespalten und P^O,<br />
so ist auch PII ^ Q, Denn wegen<br />
C^CF + CGcc ist C = P4-(^4-CGJ;<br />
damit letzteres keine Zerstiickelung sei,<br />
muB der Durchschnitt beider Summanden<br />
PCG^ = PFG^ = PH von Null verschieden<br />
sein. Sei nun peCF und P(Q) die ^*«-^-<br />
Menge der Punkte x, die in der .abgeschlossenen kompakten Menge CF<br />
eine Distanz 'px^q haben, so ist fiir Q>0. wie wir wissen, P(Q) und<br />
das Komplement Q{Q) = CF-P(Q) abgeschlossen, also P(Q)H:>Q, Nach<br />
dem ersten Durchschnittssatz § 26,1 ist der Durchschnitt der Mengen<br />
^) Diese Voraussetzung ist wegen VII insbesondere erfullt, wenn CF^O,<br />
CG:=>0.<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 11<br />
205
162 Sechstes Kapitel. Punktmengen.<br />
P(Q)H fur ^ = 1,1,1,... auch nochr:>0, nach (10) also P(0)/7> 0,<br />
wobei P(0) eine beliebige Komponente von CF bedeuten kann.<br />
1<br />
(jS) Sei F^ die abgeschlossene Menge der Punkte d(x,F)^_-<br />
(n == 1, 2, 3, . ..); es ist G = F^ + F^ + - - - und fiir psCG schlie^lich<br />
peCFn- Nach dem unter (a) Bewiesenen hat die p enthaltende Komponente<br />
von CFn (C trifft sowohl Fn als E — F^^F^ nach VII also auch den<br />
Rand von i^J, um so mehr die von CG, einen Punkt x^ auf dem Rande<br />
1 .<br />
von JP„, d. h. mit d[Xn^ F) = -, und diese Punkte haben in C einen<br />
Haufungspunkt x mit 6{x^ F) = 0^ xeFG^ = H,<br />
(y) C trifft sowohl Fi als E — F^^H^ nach VII also auch die Begrenzung<br />
von F^\ nach (j3), auf Fi statt G angewandt, hat jede Komponente<br />
von CFi Haufungspunkte in dieser Begrenzung, die gleich Fio, — F^<br />
^F - Fi^II ist.<br />
Anwendungen. Ist C ein kompaktes Kontinuum und A ein Teilkoniinuum<br />
c: C, so gibt es ein Kontinuum B mit A c:B czC. Man wahle<br />
namlich einen Punkt yeC —A, eine positive Zahl Q < d(y^ A) und setze<br />
fiir F die Menge der Punkte d(x^ A) ^; andererseits ist y^B^ also Bc:C.<br />
Ein kompaktes Kontinuum Idpt sicli niclit in abzdhlbar viele disjunkte<br />
abgeschlossene Mengen >0 spalten'^) (W. Sierpiiiski).<br />
Angenommen, das kompakte Kontinuum A sei als Summe<br />
disjunkter abgeschlossener Mengen ^^r^O darstellbar. Wir zeigen, daB<br />
A ein Kontinuum B enthalt, das mit unendlich vielen ^„, jedoch nicht<br />
mit ^1, Punkte gemein hat:<br />
B = BA^^ + BA^^ + ...=. ^^+ 5p+ .. .<br />
(1 < Pi < P2 < ' ' *j Bjj:>0), Damit ist schon alles bewiesen; denn die<br />
Wiederholung des Verfahrens gibt ein Kontinuum<br />
mit C^ > 0, wo die q eine Teilfolge der p bilden und Pi < (]i < go < ' ' '<br />
usw.; hierbei wiirde also ABC * - - = 0 sein im Widerspruch zum ersten<br />
Durchschnittssatz. — Um die auf B beziigliche Behauptung zu beweisen,<br />
verstehen wir unter 2^ = 0 ^i® untere Entfernung von A^, A^<br />
und (etwa im Raume A selbst) unter F die abgeschlossene Menge der<br />
Punkte b(x, A^)^q, sodaB A
§ 29. Zusammenhang. 163<br />
einen Punkt von A^ enthaltende Komponente von JF, SO dafi ^^^ = 0,<br />
Silg ^ 0- ^^^ enthalt aber nach XVII B einen Randpunkt von F^ d. h.<br />
mit d(x^ AT) = g, und dieser gehort nicht zu A^\ B hat also mit mindestens<br />
zwei Ant ^Is Kontinuum folglich mit unendlich vielen A^ Punkte gemein,<br />
wie behauptet.<br />
4. Folgen zusammenhangender Mengen.<br />
XVIII. Eine absteigend^ Folge A^^A^^- - - kompakter Kontinua [74]<br />
hat als Durchschnitt ein Kontinuum,<br />
Bemerken wir voraus: zwei disjunkte abgeschlossene Mengen jPj, F^<br />
lassen sich stets in zwei disjunkte offene Mengen G^, Gg einschlieBen; man<br />
braucht nur jeden Punkt Xy^eF^ mit einer Umgebung vom Radius<br />
\d{Xi^F^ und ebenso jeden Punkt x^eF.^, mit einer Umgebung<br />
vom Radius | d(x2,, Fj) zu versehen. — Ware nun A =^ A^A^^ - * (eine kompakte<br />
abgeschlossene Menge > 0) in zwei abgeschlossene Mengen zerstiickelbar,<br />
so schlieBen wir diese in disjunkte offene Mengen G^, Gg ein, so daB<br />
A=:AGi^ + AG2; mit F ==E—(G^ + Gg) ist AF^ 0. Nach dem<br />
ersten Durchschnittssatz miifite dann aber bereits, fiir ein geeignetes n^<br />
A^F == 0, also A^ = A^Gj, + il^Gg zerstiickelbar sein.<br />
XIX (Satz von L. Zoretti). Ist der Raum in sich kompakt^ so ist<br />
der obere abgeschlossene Limes einer Folge zusammenhangender Mengen<br />
wieder zusammenhdngend^ falls der uniere abgeschlossene Limes nicht Null ist.<br />
Die Mengen A^ seien zusammenhangend, JP = ^ ^4^^ > 0, es soil<br />
F = FlAn als zusammenhangend erwiesen werden. Es sei xeF^ ysF;<br />
danach (S. 149) gibt es eine Folge a^-^x mit a^^eA^, eine Teilfolge b^^-^y<br />
mit bjjsA^y und endlich ist (§ 28, IV) ^(F, u4„)->-0, woraus zusammen<br />
folgt: zu beliebigem ^ > 0 gibt es eine Menge A^^ A und in ihr zwei<br />
Punkte a, b derart, daB<br />
ax • * "n ^n) niit<br />
CQ == a, c„ = A verbinden und zu jedem c^ laBt sich ein ZisF mit c^Zi < Q<br />
angeben, wobei insbesondere ZQ = x und z^ — y gewahlt werden kann.<br />
Dann ist (ZQ, Zi,.. ., zj eine(3g)-Kette, die x und y in F verbindek Da<br />
dies fiir jedes Q moghch ist, haben x,y in F die Distanz 0; da dies fiir<br />
jedes yeF gilt, so haben je zwei Punkte von F die Distanz 0; da J^ abgeschlossen,<br />
also in sich kompakt ist, ist F zusammenhangend.<br />
Das Beispiel der Folge A, B, A, B,, . , mit Fr= A^ + B^, F = A^B^<br />
zeigt, daB die Voraussetzung F^O nicht entbehrlich ist und daB F nicht<br />
zusammenhangend zu sein braucht. Auch die Kompaktheit des Raumes<br />
ist wesentiich: ist in der Euklidischen Ebene A^ = [a, c,^, b] der die Punkte<br />
11*<br />
207
164 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
a = (— 1, 0), c„ = (0,7z), b^ = (1, 0) verbindende Streckenzug, so besteht<br />
F = F aus den beiden Halbgeraden a; = ± 1, y >0 und ist nicht zusammenhangend.<br />
Ist der Raum in sich kompakt und hat die Folge der zusammenhangenden<br />
Mengen A^ den abgeschlossenen Limes A oder, was nach § 28,<br />
III V dasselbe ist, den metrischen Limes A, so ist A ein Kontinuum*<br />
Hiervon ist XVIII ein SonderfalL Ist der Raum in sich kompakt, so hat<br />
nach § 28, VI jede Folge zusammenhangender Mengen eine metrisch konvergente<br />
Teilfolge, deren Limes also wieder ein Kontinuum ist. (Man<br />
erinnere sich, daB der metrische Limes abgeschlossen sein sollte.) Die<br />
Kontinua eines in sich kompakten Raumes bilden also wieder einen<br />
in sich kompakten Raum.<br />
Siebentes Kapitel.<br />
Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
§ 30. Hiillen und Kerne.<br />
Die Theorie der Wohlordnung, urspriinglich von Cantor gerade fiir<br />
Zwecke der Punktmengenlehre ausgebildet, ist spater von dieser Mission<br />
etwas zuriickgedrangt worden (nicht immer aus billigenswerten Motiven),<br />
und wir haben selbst im vorigen Kapitel gesehen, was sich ohne sie erreichen<br />
laBt. Indessen gibt es doch Falle, wo die Ordnungszahlen zurzeit unentbehrlich,<br />
und andere, wo sie zur feineren Ausgestaltung eines ohne sie<br />
erzielbaren Ergebnisses mindestens sehr willkommen sind. In der einen<br />
oder andern RoUe treten sie besonders in Erscheinung, wenn es sich um<br />
Bildung von Mengen oder Mengensystemen handelt, die irgendwie die<br />
kleinsten oder gro/iten ihrer Art sind.<br />
1. Schema fiir Hiillen und Kerne. In einem Raume E (der zunachst<br />
eine reine Menge sein kann) sei jeder Menge A eindeutig eine Menge A^<br />
zugeordnet (beide also g£; 9? ist ein Funktionszeichen). Diese Mengenfunktion<br />
sei monoton, d. h.<br />
(1) mit AccB ist A^^B^.<br />
Ist dann S = A + B + - ", D = AB.,.<br />
Summe und Durchschnitt beliebig vieler Mengen, so ist<br />
S^^A^ + B^ + ''', D^^A^B^<br />
Es gibt Mengen A, fiir die A ^A^^, z. B. die NuUmenge A = 0; es gibt<br />
auch Mengen A, fiir die A^Atp, z. B. der ganze Raum A ^ E. Man<br />
erkennt nun sofort:<br />
I. Die Summe beliebig vieler Mengen mil A^A^ ist wieder eine solche;<br />
der Durchschnitt beliebig vieler Mengen mit A'^Atp ist wieder eine solche.<br />
208
§ 30. Hullen und Kerne. 165<br />
Danach laBt sich fiir eine beliebige Menge M definieren:<br />
die Summe M_ aller Mengen A^M mit -4 g^1^ (zu denen gewiB<br />
^ = 0 gehdrt) oder die groBte Menge A^M mit; A^A^: der q>-Kern [75]<br />
von M\ __<br />
der Durchschnitt M aller Mengen A^M mit A^A^, (zu denen<br />
gewiB A = E gehort) oder die kleinste Menge A^M mit A^A^pi die<br />
(p'Hulle von M,<br />
Das typische Beispiel liefert^^ = A^, die Menge der Haufungspunkte<br />
von A in einem (metrischen) Raum. Hier bedeutet<br />
A ^A^ : A insichdicht,<br />
A^A^ : A abgeschlossen,<br />
und wir gelangen zum insichdichten Kern M=Mjc sowie zur abgescMossenen<br />
Htdle M == M^, _<br />
Es kann sein, daB stets A ^ A^ ist; dann ist M = M und M die<br />
kleinste Menge A^M mit AL = A^, Beispiel A^^ = A^, Menge der<br />
a-Punkte von A^ wobei M wieder die abgeschlossene Hiille von M wird<br />
Es kann sein, daB stets A^A^p ist; dann ist M = M und M die<br />
groBte Menge A^M mit A = A^, Beispiel A^ = A^^ Menge der inneren<br />
Punkte von A^ wobei M^ der offene Kern M^ wird.<br />
Man kann diese Spezialfalle herbeiflihren, indem man die mit A^^<br />
zugleich monotonen Funktionen<br />
(2) A^ = yi -f- A^p^ A^ = AAjp<br />
betrachtet i). Hier ist stets A ^ A^^ und A = A^ mit A ^Atp gleichbedeutend;<br />
ferner stets A g A^^ und A — A^ mit A ^A^ gleichbedeutend.<br />
Fiir Bildung des Kerns kann also A^^ durch A^, fiir Bildung der Hiille A^<br />
durch Ag ersetzt werden, und wir haben:<br />
Der (p-Kem Mist die groBte Menge A^M mit A — A^-^ die 9?-Hiille<br />
M ist die kleinste Menge A^M mit A = Ag.<br />
Beispiel. Fur A^ = A^ ist Ag = ^a, A^ = Af^ (Koharenz von A);<br />
der insichdichte Kern M]^ ist die groBte Menge A^M mit A = Aj^] die<br />
abgeschlossene Hiille i¥« die kleinste Menge A^M mit A = A^,<br />
2. Eingreifen der Ordnungszahlen. Betrachten wir zuerst M, die<br />
groBte Menge A^M mit A = A^* Diese Menge A erfiillt dann, wegen<br />
der Monotonie der Funktion A^^ auch die Ungleichung ^4 = Ag^- M^,<br />
sie ist nicht nur in Jf, sondern in der (im allgemeinen) kleineren Menge<br />
Ma enthalten. Sie ist dann folglich auch in M^^, M^^^,. . . enthalten,<br />
womit natiirlich wiederholte Bildung der Mengenfunktion ^4^ gemeint ist:<br />
M^a == [M^)^ usw. Sie ist dann auch in dem Durchschnitt MM^M^^,..<br />
der bisher gebildeten Mengen und dariiber hinaus in alien Mengen ent-<br />
1) .4^ bedeutet hier nicht den separierten Teil von A,<br />
209
166 Siebentes Kapitel. Panktmengen und Ordnungszahlen.<br />
halten, die durch weitere Anwendung des Prozesses d entstehen. D. h.<br />
[76] wenn wir induktiv jeder Ordnungszahl | eine Menge M^ zuordnen durch<br />
die Vorschrift:<br />
(Mo = M<br />
(3) i M^^, = (M^),<br />
J/^ z=z % M^ (rj Limeszah]),<br />
so ist unser A ^ M in alien M^ enthalten.<br />
Fiir jede Ordnungszahl rj > 0 gilt die Zerlegung ^)<br />
(4) M=^:S(M^-M^^,) + M^.<br />
Denn wenn xsM nicht zu Jl/^ gehort, so sei M^{0 < C^rj) die<br />
Menge mit niedrigstem Index, der x nicht angehort; dieses f kann wegen<br />
der dritten Vorschrift (3) keine Limeszahl sein, wir konnen demnach<br />
setzen f = | + 1 (0 < | < »;), und xeM^— M^^^,<br />
Die disjunkten Summanden M^ — M^^^ konnen aber nicht unaufhoriich<br />
:> 0 sein, da ihre Summe die Machtigkeit von M nicht iiberschreiten<br />
darf. Es sei rj die kleinste Ordnungszahl, fiir die M^ = M^^i<br />
= M^^. Da diese Menge M^j also auch der Bedingung A — A^ geniigt,<br />
so ist sie in der groBten Menge M dieser Art enthalten, andererseits war<br />
aber M in jedem M^ enthalten, also ist M = M^.<br />
Also: man erhalt den (p-Kevn von M in der Weise, da6 man in dem<br />
nach (3) gebildeten System absteigender Mengen<br />
(5) Mo, J/j, J/g,.. ., M,,, i/^+i, . . .,<br />
das mit ilf, M^, ilf^^,. . . beginnt, die erste Menge M^ sucht, die mit M.^^.i<br />
iibereinstimmt. Sie stimmt dann auch mit alien folgenden iiberein und ist<br />
die kleinste Menge des Systems. Es ist bemerkenswert, dafi der qhKern M,<br />
urspriinglich als groBte Menge A^MA^ oder als Summe aller dieser<br />
Mengen definiert, jetzt als kleinste Menge des Systems (5) oder Durchschnitt<br />
aller Mengen dieses Systems erscheint, also nicht von unten, sondern<br />
von oben her erreicht wird. Der „Kern" kommt hier wirklich durch Ablosung<br />
der ,,Schale" zum Vorschein.<br />
Im Beispiel A^^ = A^, A^ = A^ sind die Mengen (5) die Kohdrenzen<br />
M, Mj^, Mhj^,, . . von M, wobei der ProzeB ^^^ == ^ — ^,in derAbspaltung<br />
der isolierten Punkte besteht; hier sind also die Summanden Mt — il/4-4.1<br />
der Formel (4) isolierte Mengen und man erhalt den insichdichien Kern<br />
oder die kleinste Kohdrenz, indem man den ProzeB der Abspaltung isolierter<br />
Punkte bis zum Stillstand fortsetzt. — Ist insbe&ondere M abgeschlossen,<br />
so ist (5) die Reihe der Ableitungen J/, i¥^, M^p,. . . und der insichdichte,<br />
in diesem Fall perfekte Kern ist die kleinste Ableitung.<br />
^) Auch fiir rj =•. 0, wenn statt 2: dann die NuUmenge gesetzt wird.<br />
210
§ 30. Hiillen und Kerne. 167<br />
Bevor wir ein weiteres Beispiel fiir Kernbildung bringen, ist noch die<br />
y-Hiille iff, die kleinste Menge A^M mit -4 = ^„ analog zu behandeln.<br />
Wegen der Monotonie von A^ hat man dann A = A^^M^^ A enthalt<br />
mit M auch die (im allgemeinen) groBere Menge ilf^, also weiter Mgg, M^gg<br />
usf. Definieren wir die Mengen M^ durch die induktive Vorschrift<br />
(6) ] ilf HI = (M^),<br />
ilf? =
168 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
[77] 3. Residuen. Ein sehr bemerkenswertes Beispiel fiir Kernbildung<br />
erhalt man auf folgende Weise. Es sei<br />
(9) A^ = A,-A<br />
die Menge der nicht zu A gehorigen Haufungspunkte von A (der Rand<br />
des Komplements E ~ A) und<br />
(10) A^ = A^^<br />
die durch zweimalige Anwendung dieses Prozqsses entstehende Menge.<br />
Es folgt<br />
(11) A^^A^^^,A^,<br />
und die Vergleichung der Formeln<br />
A, =A^ + A<br />
ergibt, daB A^Ay,^ da6 Ay, = AA^o, in A abgeschlossen ist und daB<br />
(12) A'--Ay, = A,- A^,<br />
Differenz abgeschlossener Mengen ist.<br />
Die Funktion Ay, ist nicht monoton; z. B. ist fiir den ganzen Raum<br />
E^ = 0, Ey,^ 0, wahrend etwa fiir eine Menge A, die samt ihrem Komplement<br />
in E dicht ist (wie die Menge der rationalen Punkte im Euklidischen<br />
Raum), A^ = E — A und Ay, = A wird. Wenn wir aber nicht das<br />
System aller Punktmengen, sondern nur das System $ der in einer festen<br />
Menge P abgeschlossenen Mengen betrachten, so ist mit Ae^ auch AyjS^<br />
und Ay, in 5P eine monotone Funktion. Denn sei E — P -\- Q; es ist<br />
A^ = P(QAX<br />
eine (fiir alle A^E definierte) monotone Funktion von A; schreiben wir<br />
B^QA^, A^^PB,,<br />
Da j5 in
§ 30. Hullen und Kerne. 169<br />
Wegen (11), angewendet auf A = M^^ ist F^^F^^^F^^i, ^^^ ^^s<br />
$ ,^+i,<br />
P^ =z^% Pt (tj Limeszahl).<br />
Mit einer in M abgeschlossenen Menge A bilden wir die Residuen A^(AQ=A,<br />
Ai = A^j A^ = Ayjy,^ . . .). Dann ist AQ in PQ abgeschlossen; ist A^ in P^<br />
abgeschlossen, so folgt nach der vorausgeschickten Betrachtung, daU A^^j<br />
in P^^i abgeschlossen ist; ist tj Limeszahl und, fiir | < f^, A^ in P^ abgeschlossen,<br />
so ist ^^ in P abgeschlossen. Damit ist bewiesen, dafi jedes<br />
A^ in P^ abgeschlossen ist und mit P^ schlieBlich Null wird, A ist reduzibeL<br />
Jede in der Differenzenkette M abgeschlossene Menge, insbesondei^ M<br />
selbst, ist reduzibeL<br />
III. Die reduziblen Mengen bilden einen Korper.<br />
Dies folgt aus der SchluBbemerkung von § 17, da der Durchschnitt<br />
beliebig vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist.<br />
Zu den reduziblen Mengen gehoren unter vielen andem die separierten,<br />
Denn aus (9)(10) folgt A^^A^^ A^^^A^^^A^^ und jedenfalls<br />
A^ ^ Ap^ wonach das kleinste Residuum jeder Menge insichdicht ist<br />
{A = A^ g A^) und fiir eine separierte Menge verschwindet. Man erhalt<br />
auch aus (4), wenn die M^ Koharenzen bedeuten, eine separierte Menge<br />
(deren kleinste Koharenz 0 ist) unmittelbar als Differenzenkette aus abgeschlossenen<br />
Mengen, weil A^^^A^'^ Aj^^ und A — Ah = A^ — A^ ist, also<br />
M^ - M^^, ^F^~ Fi F^ = il/^„ Fl = M^p.<br />
213
170 Siebentes Kapitel, Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
4. Fall eines separablen Baumes. Hier tritt die Vereinfachung ein,<br />
daB die kleinste Koharenz oder das kleinste Residuum immer nach hochstens<br />
abzahlbar vielen Schritten erreicht wird. Es gilt namlich:<br />
[79] IV. 1st der Raum separabel, so ist ein auf- oder absteigend wohlgeordnetes<br />
System offener [oder abgeschlossener) Mengen hochsiens abzahlbar,<br />
Sei {Go, Gi,..., G|,...} (| < fi)<br />
ein aufsteigendes System oftener Mengen, G^ c: G^ fur | < T; ; wir konnen<br />
seinen Typus /LC als Limeszahl annehmen. Unter den in G^^i enthaltenen<br />
speziellen Umgebungen V (S. 126) gibt es gewiB eine, F^, die in G^ nicht<br />
enthalten ist. Dann ist V^ ::^Vf^iuT§
§ 30» Hiillen und Kerne. 171<br />
Sei M gleichzeitig F^ und G^, A ihr kleinstes Residuum, also ^ = ^4^^<br />
odermit5 = ^, ^„ = ^ + £ = 5« = i^.<br />
A ist in M abgeschlossen, also gleichzeitigi^^ und G$; also ist auch<br />
E — A und B = F(E — A) gleichzeitig F^ und G^. ^ und B sind beide<br />
in F dicht und, als JF^ mit dichtem Kompletnent, in F von erster Kategorie;<br />
danach ist auch F in sich von erster Kategorie, folglich F = 0 (F::>0<br />
ware ein Fn), M ist reduzibel.<br />
In einem separablen J^n-Raum, z. B. im separablen vollstandigen<br />
Raum sind die reduziblen Mengen identisch mit denen, die gleichzeitig<br />
F^ und G^ sind, Es ist merkwiirdig, daB man die Frage, ob eine Menge [80]<br />
zugleich F^ und G^ ist, hier durch ein wohlbestimmtes (wenn auch unendliches)<br />
Verfahren, namlich Residuenbildung, entscheiden kann, wahrend<br />
z. B. fiir die Mengen F^ nichts Ahnliches bekannt ist.<br />
Der Satz IV gestattet folgende Verallgemeinerung:<br />
VII. Ist der Raum separabel^ so ist ein auf- oder absteigend wM- [8i]<br />
geordnetes System reduzibler Mengen Mchstens abzdhlbar,<br />
Es geniigt, ein aufsteigendes System zu betrachten (Komplementbildung).<br />
Jeder Ordnungszahl j5 < i3 sei eine Feduzible Menge M^ zugeordnet<br />
und fur j8 < y sei M^ ^ M^; es ist zu zeigen, daB die M^ schlieBlich<br />
gleich werden (M^ = If^+i = «• • fiir geeignetes /5). Es sei M^s^ das<br />
|-te Residuum von M^ = M^Q (^ < i3, wie aueh alle noch auftretenden<br />
Ordnungszahlen < £2 sind). Nach (13) (15) ist<br />
M^ = fiM^^ - Jf^i^i) ^ f{F^^ - i^^^),<br />
Nun behaupten wir: es gibt eine feste, von ^ imabhangige Folge abgeschlossener<br />
Mengen<br />
(16) i^o^^^o^--Si^|§i^|^-derart,<br />
daB schlieBlich F^^ = F^ und F'^^ = F'^ wird (fiir ^ ^ /5|, wo man<br />
iiberdies die ^^ mit | wachsend annehmen kann). Wenn dies bereits fiir<br />
alle i
172 Siebentes KtapiteJ, Punktmengen und Ordnungszahien,<br />
wieder schlieBlich identisch; es sei F^ = Flj = JF;^^.I =•••== JP. Fiir<br />
^ ^ /S^ ist dann<br />
M^^ das kleinste Residuum von M^, also M^^ = 0 und<br />
von j8 unabhangig, womit VII bewiesen ist.<br />
Es ist von Interesse, festzustellen, da6 man Mengen mit beliebig<br />
gro^em Index (< i2) der kleinsten Koharenz oder des kleinsten Residuums<br />
bilden kann. Betrachten wir z. B. beschrankte abgeschlossene, der Grofie<br />
nach wohlgeordnete Mengen reeller Zahlen^)<br />
wo also der Index von m^ die Werte ^ = 1, 2,,.., /^ (I
§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen. 173<br />
Es ist A = (MQ — Ml) + A-^. T>Si MQ — Mi = M^ der isolierte Teil von<br />
M und im separierten Teil (§23, (15)), in diesem Fall in M selbst dicht<br />
ist, so ist A in M dicht, A^^ = M^ und A^^ M^ — A = M^^ — A-^. Hier<br />
ist ill g 1^2? ^^B^i—-^2 i^ -^^1 dicht, und die Wiederholung des<br />
Schlusses liefert A^=^ A-^, Das erste Residuum von A ist also A^^ und<br />
die induktive Fortsetzung zeigt, da6 A^ das f-te Residuum von A ist; es<br />
verschwindet schlieBlich, aber erst dann, wenn M^^ die kleinste Ableitung<br />
(= 0) von M ist, und mit dieser erhalt also das kleinste Residuum<br />
von A einen beliebig groBen Index.<br />
§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen.<br />
1. Maximal- und Minimalmengen. In den bisherigen Fallen koimten<br />
die Ordnungszahlen zur Not entbehrt werden, da die Existenz der HuIIen<br />
und Kerne von vornherein feststand; immerhin dienten sie zur Erforschung<br />
feinerer Merkmale, z. B. des Index der kleinsten Koharenz. In andem<br />
Fallen aber laBt sich sogar der Existenzbeweis fiir gewisse Objekte nicht<br />
ohne sie fiihren. Wenn in einem Mengensystem SI keine groBte Menge (die<br />
Summe aller Mengen des Systems) existiert, so kann es nichtsdestoweniger<br />
(verschiedene) Maximalmengen A in dem Sinne geben, daB im System<br />
keine Menge ::> A vorhanden ist. Zu einer solchen Maximalmenge wird<br />
man im allgemeinen nur folgendermaBen gelangen. Man wahlt im System<br />
eine beliebige Menge AQ^ sodann, wenn Mengen ::='A^ existieren, unter<br />
diesen eine Menge A^^ wenn noch Mengen ::^ ^i existieren, unter diesen<br />
eine Menge A^ usw. Gelangt man fiir endliches v zu einer Menge A^ der art,<br />
daB keine Menge z:> Ay existiert, so hat man eine Maximalmenge. Andernfalls<br />
findet man zunachst eine Mengenfolge AQ^ A-j^^ A,^^ - - - vom<br />
Typus ft). Es kann nun sein, daB keine Menge A im System existiert,<br />
die alle A^. umfaBt; dann ist das Unternehmen gescheitert ^). Wir machen<br />
daher die Annahme, daB eine aufsteigende Mengenfolge ohne letztes Element<br />
stets fortsetzbar sei, also:<br />
(
174 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
andernfalls A^ nicht dejSniert wird, so kann dieMenge der definierten A^<br />
die Machtigkeit des Systems 91 nicht iiberschreiten, und es gibt eine kleinste<br />
Ordnungszahl C > 0, fiir die A^ nicht definiert ist. Nach (oc) ist C keine<br />
Limeszahl, also C = ?; + 1; ^^ ist noch definiert und die Mengen AQ, .. ., ^,y<br />
wachsen mit ihren Indizes. Es gibt im System keine Menge ::=>Afj^ da<br />
diese sonst als A^j^i gewahlt werden konnte; A^j ist eine Maximalmenge.<br />
Der hier geschilderte ProzeB unterscheidet sich von denen in § 30<br />
hauptsachlich durch die mangelnde Zwanglaufigkeit: man hat im allgemeinen<br />
fiir jedes A^ die Wahl unter mehreren moghchen Mengen und<br />
gelangt so auch zu verschiedenen Maximalmengen. Man kann diese Willkiir<br />
nicht beseitigen, nur zuriickverlegen, indem man das System 31 von<br />
vornherein zu 91* wohlordnet und dann fiir jedes A^ unter den verfiigbaren<br />
Mengen die in 91* erste wahit; eine bestimmte Wohlordnung liefert<br />
eine bestimmte Maximalmenge, verschiedene Wohlordnungen konnen<br />
verschiedene Maximalmengen liefern. Wenn man das Zermelosche Wohlordnungsverfahren<br />
so anwendet, dafi man als Ansatzelement (§ 12) von<br />
{^,5,..,}, wenn moglich, eine Menge wahlt, die ^,J5, ... als echte<br />
Teilmengen enthalt, so beginnt 91* mit wachsenden Mengen AQ
§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen, 175<br />
A<br />
(2) 0 = 2'rrr<br />
X<br />
mit nicht samtlich verschwindenden r besteht, heiBt A rational abhdngig,<br />
andernfalls rational unabhdngig oder eine Basis iiir [A ]; wenn A rational<br />
unabhangig ist, laUt sich jede Zahl y von [A] nur auf eine einzige Weise in<br />
der G^stalt (1) darstellen. Eine Basis A fiir £, die als Maximalmenge im<br />
System aller Basen (iibrigens auch als Minimalmenge im System der<br />
Mengen A mit [A]== E) aufzufassen ist, erhalt man so: man wahle eine<br />
reelle Zahl XQ 4= 0, dann eine x^^ die nicht rationales Vielfaches TQ XQ von<br />
XQ ist, dann eine ojg, die nicht rationale Verbindung r^ XQ -f r^ x^ von a;^, Xj<br />
ist; allgemein: ist TJ > 0, sind fiir ^
176 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
Wir definieren fiir ^ < ii (ii Anfangszahl von Z(KI), wie immer) die<br />
Mengen A^ folgendermaBen:<br />
A, = E;<br />
^l-fi 6in x,y enthaltendes Kontinuum
§ 32. Die Borelschen und Suslinschen Mengen. 177<br />
A„ + B^ niclit angehoren; zwei verschiedene solche mogen als x^^y^j definiert<br />
werden. Aus dieser Erklarung folgt, daB iwc ^
178 Siebentes Kapitel. Punktraengen und Ordnungszahlen.<br />
der Borelschen Mengen mit den F^ beginnen, also wie in § 18, (3) oder<br />
gemafi der dortigen Vorschrift (a); man hat also folgende Definition fiir<br />
die Ordnungszahlen | < i2:<br />
f Die Mengen F^ sind die Mengen F,<br />
[85] (a) I Die Mengen F^ sind fiir ungerades r} die Summen, fiir gerades<br />
I ^ > 0 die Durchschnitte aus Folgen von Mengen F^ (^ < rj).<br />
Die Mengen F^,F\F\F\,.. sind die F, F^, F^s, F^$^,.,,, dann<br />
kommen die F*^ als Durchschnitte aus Folgen friiherer Mengen usw.<br />
Betrachten wir auch noch die von den offenen Mengen G erzeugten<br />
Borelschen Mengen, wobei man mit den G§ beginnen wird, also wie in<br />
§ 18, (4) oder gemaB der Vorschrift (]8); man hat dann folgende Definition:<br />
I<br />
Die Mengen G^ sind die Mengen G,<br />
Die Mengen C sind fiir ungerades rj die Durchschnitte, fiir<br />
gerades ?7 > 0 die Summen aus Folgen von Mengen G^ (| < rj).<br />
Die G^, G\ G^, G^,.,, sind die G, Gs, G^^.G^aH, - --, dann kommen die<br />
G^ als Summen aus Fdlgen friiherer Mengen usw.<br />
Offenbar sind die F^ und G^ Komplemente voneinander. tJberdies<br />
aber sind beide Borelschen Systeme identisch, also auch die G^ bilden in<br />
ihrer Gesamtheit die Borelschen Mengen des Raumes, n^mUch:<br />
Jedes F^ ist ein G^+\ jedes G^ ein F^^'^.<br />
Dies gilt fiir 1= 0 (jedes F ist ein G^, jedes G ein F^^ § 23, III) und<br />
iibertragt sich induktiv auf r? > 0, wenn es fiir | < ij gilt: ist rj ungerade,<br />
so ist F^ Summe einer Folge von Mengen F^, diese sind Mengen G^+^, also<br />
jedenfalls auch Mengen C, und die Summe einer Folge von G^ ist ein C+^.<br />
Analog fiir gerades T].<br />
Auch folgendes ist induktiv leicht einzusehen. Die F^ bilden einen<br />
Ring ^), auBerdem fiir ungerades | ein o'-System, fiir gerades | ein (5-System.<br />
Die G^ bilden einen Ring und fiir ungerades | ein (5-System, fiir gerades ^<br />
ein (T-System. Ist Y} Limeszahl, so ist das System aller F^{^ < rj) mit<br />
dem aller G^ identisch und ein Korper, aber im allgemeinen weder ein<br />
a- noch ein ^-System; die Summen aus Folgen von Mengen dieses Systems<br />
sind die C, die Durchschnitte die F^K Das ganze Borelsche System ist<br />
ein Korper und gleichzeitig a- und
§ 32. Die Borelschen iind Suslinschen Mengen. 179<br />
Die Suslinschen Mengen des Raumes sind die von abgeschlossenen<br />
Mengen F^^ usw. erzeugten Mengen<br />
i^5 = @ Fn^ Fn^n^ F^^n^n^ • • •<br />
in der aus § 19 bekannten Bezeichnung. Wir erinnern uns, daB alle Borelschen<br />
Mengen auch Suslinsche sind und daB die Iteration des Suslinschen<br />
Prozesses nichts Neues liefert: jedes Fss ist ein Fs- Die von den offenen<br />
Mengen erzeugten Suslinschen Mengen<br />
sind in ihrer Gesamtheit mit den Fs identisch; denn jedes G ist ein F^^<br />
also ^ein Fs, und Gs ein Fss = Fs, ebenso Fs ein Gs- Die Gs sind aber<br />
nicht die Komplemente der Fs, die ja vielmehr so aussehen wiirden:<br />
E-Fs=^ 3)(Gn, + G«, n. + G^^r^^r.^ + •••),<br />
und die Suslinschen Mengen bilden, wie wir noch sehen werden, im allgemeinen<br />
keinen Korper.<br />
Der Charakter einer Menge als Borelscher oder Suslinscher Menge ist<br />
relativ und bezieht sich auf den Raum E; man hatte also ausfiihrlicher<br />
F''(E) usw. zu schreiben. Wir haben fiir die F^ G, F^, Gs davon schon<br />
gesprochen (§ 26, 3); ist D^E und wird das Argument E wieder weggelassen,<br />
so ist ^(2)) ^ D F^, G^D) = D G^,<br />
d. h. die Borelschen Mengen des Raumes D sind die Durchschnitte von D<br />
mit den entsprechenden Borelschen Mengen des Raumes E. Der induktive<br />
Beweis liegt auf der Hand. Dasselbe gilt von den Suslinschen Mengen:<br />
Fs{D)^DFs, Gs(D) = DGs.<br />
Es gibt auch absolut Borelsche und absolut Suslinsche Mengen, d. h. solche, [86]<br />
die in jedem umgebenden Raume diesen Charakter haben, und zwar gibt<br />
es absolute F^^ ferner fiir | ^ 1 absolute G^ (nicht fiir I == 0, absolut offene<br />
Mengen gab es ja nicht), und absolute Fs oder Gs, und der Leser wird<br />
leicht (wie S. 136) erkennen, daB eine Menge A einen dieser Gharaktere<br />
absolut besitzt, wenn sie ihn in irgendeinem voUstandigen Raume, speziell<br />
in ihrer voUstandigen Hiille J besitzt. DaB die Nichtexistenz absoluter G<br />
der Existenz absoluter G*(f ^ 1) nicht widerspricht, haben wir uns damals<br />
fiiT^ — i schon klargemacht; auch in Gs treten ja nur Summanden der<br />
Form Gs = G^ auf.<br />
Wir beweisen nun den Mdchtigkeitssatz: [87]<br />
I. In einem voUstandigen separabUn Raum ist fede Suslinsche^ also insbesondere<br />
jede Borelsche Menge entweder hochstens abzdhlhar oder von der<br />
Mdchtigkeit K.<br />
Das ist eine Verallgemeinerung von § 26, XI; jedoch entscheidet iiber<br />
die Machtigkeit nicht mehr wie dort das Verschwinden oder Nichtverschwinden<br />
des insichdichten Kerns. Die Menge der rationalen Zahlen<br />
12*<br />
223
180 Siebentes Kapitel. Punktmengen imd Ordnungszahlen.<br />
(ein Fff) ist insichdicht und doch nur abzahlbar. Wir werden wie damals<br />
zeigen, daB eine unabzahlbare Suslinsche Menge ein dyadisches Diskontinuum<br />
D als Teilmenge enthalt, miissen aber bei der Kugelkonstruktion<br />
statt der Haufungspunkte jetzt Verdichtungspunkte benutzen. Es sei<br />
^ = © F(i) F(i, k) F(i, kj),,,<br />
eine von abgeschlossenen Mengen F erzeugte Suslinsche Menge, die Summe<br />
iiber alle natiirlichen Zahlenfolgen (i, k^l^...) erstreckt, wahrend, wie wir<br />
sogleich bemerken woUen, (p, q^r^. . .) eine aus den Ziffern 1, 2 gebildete<br />
dyadische Zahlenfolge bedeuten soil. Zur Vereinfachung konnen wir fiir<br />
jede Folge natiirlicher Zahlen<br />
F(i)^F{i,k)^F{i,k,l)^' "<br />
annehmen (indem wir statt der urspriinglichen F die Durchschnitte mit<br />
den vorangehenden einfiihren). Halt man Anfangsindizes fest, so entstehen<br />
die Mengen<br />
A{i) = © F{i) F(i, k) F(i, A:, Z)...,<br />
kl...<br />
A(i, k) = © F(i) F(i, k) F(i, k, I).<br />
usw., wobei<br />
^ = © A(i), A{i) = © A(i, k), A{i, A:) =- © A{i, k, I),,., .<br />
i k I<br />
Nun sei A und folglich auch A^ = A Ay unabzahlbar; wir wahlen<br />
zwei Punkte aj,, ag dieser Menge (Verdichtungspunkte von und in A) und<br />
machen sie zu Mittelpunkten disjunkter abgeschlossener Kugeln F^, Fg:<br />
fiir die zugehorigen offenen Kugeln U^^ U^ ist also jede der beiden Mengen<br />
A Up unabzahlbar. Dann ist mindestens ein Summand von A Up =<br />
§ 33. Existenzbeweise. 181<br />
messern -»- 0, haben also einen einzigen Durchschnittspunkt x, der sowohl<br />
dem dyadischen Diskontinuum<br />
als der Menge A angehort. Dies gilt fiir jede dyadische Folge, also jeden<br />
Punkt X e D^ und D ist Teilmenge von A.<br />
Der Satz I ist der umfassendste Machtigkeitssatz, den wir kennen.<br />
Aber er bezieht sich doch nur auf ein verschwindend kleines Teilsystem<br />
im System aller Punktmengen. Es gibt im separablen Raum ^5 abgeschlossene<br />
Mengen (§ 25, IV), also i^^^ = i< Folgen abgeschlossener Mengen<br />
oder Komplexe (i^i, F^^ F^, jFg, Fi2^ i^gu ^iii? • • •)? wie sie zur Definition<br />
einer Suslinschen Menge dienen, also N Suslinsche Mengen (auch N Borelsche<br />
Mengen). Der separable voUstandige Raum ist, wenn sein perfekter<br />
Kern nicht verschwindet ^), von der Machtigkeit J< nnd hat 2^ > 5< Teilmengen.<br />
Fiir die iiberwiegende Mehrheit der Punktmengen bleibt also<br />
die Machtigkeitsfrage und damit das Kontinuumproblem ungeklart.<br />
§ 33. Existenzbeweise.<br />
Bei der Definition der Borelschen Mengen B in der Form JF^ oder<br />
G^ erhebt sich die Frage, ob hier alle Indizes i
182 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
I. In einem vollstdndigen Raum^ dessert perfekter Kern nicht verschmndet^<br />
gibt es Suslinsche Mengen^ die keine Borelschen sind^ und fur jede Ordnungszahl<br />
^ < H Borelsche Mengen^ die genau Mengen G* {oder F^) und<br />
nicht von niederer Klasse sind.<br />
Zum Beweise bilden wir im voUstandigen Raum E mit Ej. ::=> 0 ein<br />
dyadisches Diskontinuum<br />
in der bekannten Weise (S. 131); die dyadischen Folgen (pj, p^^. ,.) sind<br />
aus den Ziffern 1, 2 gebildet, und jeder solchen Folge entspricht umkehrbar<br />
eindeutig ein Punkt x von D, namlich der Durchschnittspunkt der Mengen<br />
deren Durchmesser nach 0 konvergieren.<br />
Es gibt abzahlbar viele Zillernfolgen, die nur endlich viele Einsen<br />
enthalten; tilgen wir die zugehorigen Punkte, so bleibt die Menge C der x<br />
mit unendlich vielen /?„ = 1 iibrig, die aus der perfekten Menge D durch<br />
Weglassung einer Menge F^ (einer abzahlbaren) entsteht und daher ein<br />
G^ ist. Wir woUen die Punkte x tC etwas anders, namlich nicht mit<br />
dyadischen, sondern mit natiirlichen Zahlenfolgen {x^^ x^^...) darstellen.<br />
Fiir eine naturllche Zahl x sei unter [a;] ein dyadischer Komplex verstanden,<br />
der erst rr — 1 Ziffern 2 und zuletzt eine Ziffer 1 hat, z. B.<br />
[1] = (1), [2] = (2,1), [3] = (2,2,1),....,<br />
ferner bedeute [rr^, x^^. . ., x^ den durch Aneinanderreihung von [ajj],<br />
[Xg],. . ., \x-i^ in dieser Reihenfolge entstehenden dyadischen Komplex,<br />
z. B. [2, 3, 1] = (2,1, 2, 2,1,1), und ebenso \x^, x^^ Xg,. ..] die in gleicher<br />
Weise entstehende dyadische Ziffernfolge mit unendhch vielen Einsen<br />
(namlich p^^ = p^^^^^ = p^^^^^^^^ = . . . = 1, die ubrigen /?« = 2).<br />
Setzt man dann<br />
so ist fiir jede Folge natiirlicher Zahlen<br />
^%^ ^ Px.x, ^ I^z,x,x,^ ' ' '<br />
mit Durchmessern -> 0, die Mengen F mit k Indizes sind disjunkt (z. B.<br />
^2 = ^21 ^^^ P3 = ^221 '^ ^22)1 ^^d ^s ^s*<br />
(1) C = 2F,^. 2F^^,^. 2^F,^.,., • • • ,<br />
[89]<br />
wobei jeder Punkt x eineindeutig einer Folge natiirlicher Zahlen (x^, x^^.. .)<br />
entspricht (derart, daB x der einzige Punkt des Durchschnitts F^^F^^^^... ist).<br />
Es geniigt nun, den Satz I fiir den (nicht voUstandigen) Raum C zu<br />
beweisen. Denn Suslinsche Mengen in C und Borelsche Mengen G^ in<br />
C(| ^ 1) sind ebensolche in E, weil C in £ ein Gs = G^ ist, und umgekehrt,<br />
Mengen dieses Charakters in E haben ihn, falls sie Teilmengen von C sind,<br />
auch in C,<br />
226
§ 33. Existenzbeweise. 183<br />
Die Mengen D und C sind separabel (z. B. ist die abzahlbare Menge<br />
D — Cm D dicht). Wir betrachten in dem separablen Raume C die schon<br />
so haufig verwendeten speziellen Umgebungen (S. 126 mit V bezeichnet);<br />
nennen wir sie hier C/i, C/g,... und bilden mit ihnen das Mengensystem [90]<br />
(2) 2K = {f/i,t/2,...}.<br />
Die von 2R erzeugten Borelschen Mengen B^(B^ = J/, £i == M^^ B^ =<br />
M^c-i''') u^d Suslinschen Mengen AS sind mit denen des Raumes C identisch,<br />
da bereits die Mengen M^ (also jedenfalls die B^) alle offenen Mengen<br />
G dieses Raumes umfassen. Jedes B^ ist ein G'y und jedes G^ jedenfalls<br />
ein 5^+^ (fur f ^ CO ein #).<br />
Nun sei y = (TIJ, jrigj • • 0 ^i^^® Folge wachsender naturlicher Zahlen,<br />
N eine Menge solcher Folgen und<br />
(3) X^(BM,^M^^,,.^0(M^,M^,.,.) {M,sm\<br />
wo die 6^-Funktion 0 ihrer Argumente (die beliebige Mengen aus 21 sind)<br />
durch die Menge N bestimmt ist. Wir wissen, daB bei geeignetem N oder 0<br />
die Menge X genau die Mengen S oder auch die Mengen 6^(1 ^ f < fi)<br />
darstellt, nach den Satzen § 18, II und § 19, II. Eine bestimmte Fnnktiont<br />
0, gleichviel welche, werde gewahlt und festgehalten; die damit in der<br />
Form (3) darstellbaren Mengen mogen die Mengen 0 heiBen.<br />
Jedem Punkt x eC ordnen wir nun, vermoge der durch ihn bestimmten<br />
Folge naturlicher Zahlen x-^^ ojg,..., die von x abhangige Menge<br />
(4) 0(x)^0(U,^,V,^,,,.)<br />
eindeutig zu. Das ist also eine Menge 0, und jede Menge 0 ist so darstellbar,<br />
denn M^ s M heiBt doch eben, daB M^ == U^e^eins der U sein soil. (Die<br />
natiirlichen Zahlen %, ojg,.. . sind ganz beliebig, nicht etwa wachsend oder<br />
paarweise verschieden.) Jedes 0 ist also ein 0(x)^ wobei ubrigens recht<br />
wohl 0(x) = 0(y) sein kann trotz x:^y.<br />
Der Punkt x kann nun der ihm zugeordneten Menge 0(x) angehorea<br />
oder nicht. Es sei A die Menge der x s0(x), B die Menge der x e0(x); [9i]<br />
J[ + 5 r= (7. Dann ist B von alien 0(x) verschieden, da von den beiden<br />
Mengen B und 0(x) eine, und nur eine, den Punkt x enthalt. B gehort alsa<br />
nicht zu den Mengen 0.<br />
Fiir eine natiirliche Zahl n sei A^ die Menge der a;, fiir die x e U^.<br />
Dann ist<br />
(5) A^0{A^,A^,,.,)<br />
mit derselben Funktion 0 wie zuvor. Denn XBA oder x B0(X) besagt:<br />
fiir eine in N vorkommende Zahlenfolge v = (BJ, %* - - -) gehort x<br />
dem Summanden Jf„^ M^^... = U^^^ U^^^. . . von 0iMy^, M^,...) =<br />
0(Ujp^j C/a;^,. . .) an, dann ist aber x e A^^ A^^... und x gehort dem entsprechenden<br />
Summanden von ^(^i, ^21 • - •) ^R- Und umgekehrt.<br />
227
184 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
Wir haben schlieBlich noch zu erkennen, daB die An Borelsche Mengen<br />
sind. 1st k eine natiirliche ZahL so sei A^j^ die Menge der x^ fiir die x^ == k*<br />
Das heiBt so viel, daB x einer der (in C) abgeschlossenen Mengen<br />
(fiir n = i der Menge C F^) angehort, mit beliebigen natiirlichen Zahlen<br />
a?i,...,a;^_i; Ani ist die Summe dieser Mengen nach rcj,. . ., a;„_i, also ein<br />
Fa (in C), Endlich ist<br />
k<br />
also ebenfalls eine Borelsche Menge; denn x s U^^ besagt doch, daB es<br />
eine natiirliche Zahl k gibt mit x e Uj^, x^ = k, d. h. x e A^h Uj^^<br />
Damit ist unser Ziel erreicht, namUch:<br />
Stellt 0 genau die Suslinschen Mengen S dar, so ist nach (5) A eine<br />
von Suslinschen (sogar Borelschen) Mengen A^ erzeugte Suslinsche Menge,<br />
also selbst eine Menge S. Ihr Komplement B ist aber kein S, und danach<br />
ist A keine Borelsche Menge.<br />
Stellt 0 genau die Borelschen Mengen B^ dar, so ist nach (5) A eine<br />
von Borelschen Mengen ^^^ erzeugte Borelsche Menge, also selbst eine<br />
Borelsche Menge des Raumes C. Ihr Komplement B ist dann auch eine<br />
Borelsche Menge, aber kein 5^, sondern also genau ein B*^ mit t) > |. Es<br />
gibt also in C Borelsche Mengen, die genau B'l sind mit beliebig hohem Index,<br />
und das gilt dann auch fiir die C. Dann gibt es aber fiir jeden Index 7]<br />
Mengen, die genau C sind. Das gilt zunachst fiir Indizes | + 1 • ware<br />
jedes G^+^ ein G^, so ware ®^ = ®^+-'- das ganze Borelsche System und<br />
alle G^ waren schon Mengen GK ES gilt aber auch fiir Limeszahlen rf:<br />
ware jedes G^ ein G^(| < ^), also ein JF^"^^, SO ware jedes C+^ ein F^^<br />
jedes F'^^'^ ein G^ und jedes C+^ ein C. Damit ist der Existenzsatz<br />
bewiesen.<br />
[92] § 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen.<br />
1. Notwendige Bedingungen. Der Existenzsatz hat uns belehrt, daB<br />
es in einem geeigneten Raume SusHnsche Mengen S gibt, die keine Borelschen<br />
Mengen B sind. Wir miissen demgemaB nach Kriterien dafiir fragen,<br />
daB ein S ein B sei. Zwei Bedingungen sind dafiir aufgestellt worden: die<br />
erste von M. Suslin, daB das Komplement E — S wieder ein S sei, die<br />
zweite von N. Lusin, daB iS" mit disjunkten Summanden darstellhar sei, daB<br />
es namlich eine (d. h. unter den verschiedenen moglichen Darstellungen<br />
wenigstens eine) Darstellung<br />
S = 2 Fn^Fn^n^. . .<br />
gebe, bei der die zu verschiedenen Zahlenfolgen (n^, TZg,. ..) und (v^-, ^'2, • • •)<br />
gehorigen Summanden F^^F^^n^. . . und F^^F^^^^. . . stets disjunkt sind<br />
(weswegen wir das Summenzeichen JS statt © gesetzt haben). Wir zeigen<br />
228
§ 34. Kriterien fur Borelsche Mengen. 185<br />
zunachst, daB beide Bedingungen notwendig sind, gleichviel wie der Raum<br />
beschaifen sei.<br />
I. Wenn die Suslinsche Menge S eine Borelsche isi, so ist ihr Komplement<br />
E — S wieder eine Suslinsche Menge.<br />
Denn E — S ist ja sogar eine Borelsche Menge. Wir haben diese<br />
evidente Tatsache schon im Existenzsatz verwendet.<br />
II. Wenn die Suslinsche Menge S eine Borelsche ist, so isi sie mil disjunkten<br />
Summanden darstellbar.<br />
ber Beweis beruht auf folgenden Schltissen, bei denen wir der Kiirze<br />
halber eine mit disjunkten Summanden darstellbare Suslinsche Menge als<br />
jL-Menge und eine Menge A^ die nebst ihrem Komplement E — A eine<br />
Z/-Menge ist, als 5-Menge bezeichnen woUen.<br />
(A) Die Summe einer Folge disjunkter L-Mengen ist eine L-Menge.<br />
Man kann diese L-Mengen in der Form<br />
darstellen; setzt man noch JP^ = E (der ganze Raum)j so ist<br />
eine L-Menge.<br />
(B) Der Durchschnitt einer Folge pon L-Mengen ist eine L-Menge.<br />
Es seien A = 2 A^^ A^^^^ ^a,a,a, • • •<br />
B =- :EBf,^ Bfy^j,^ J^6,d,d, • • •<br />
abzahlbar viele L-Mengen (A^^^ usw. abgeschlossen). Man vereinige, etwa<br />
nach dem Diagonalschema, die samtlichen Indizesfolgen zu einer einzigen<br />
dann wird<br />
Til 722 ^3 ^A '^S »« • • •<br />
= % ag ^1 ag ^2 ^ • • • ^<br />
A B C , . . = ^ An^ ^niTit ^sit ^»i nj«4 -^„^„j Cf^ . . .<br />
= 2F F F<br />
WO i^ni...njfe diejenige von den dariiberstehenden Mengen bedeutet, deren<br />
hochster Index njc ist (so daB Fn^^n^ ^^^ ^^^ %,..., n^, wenn auch<br />
nicht von alien diesen Zahlen abhangt, z. B. F^^^^^^ = B^^), Wir haben<br />
ABC... damit als L-Menge dargestellt. Natiirlich ist auch der Dmrchschnitt<br />
endlich vieler L-Mengen eine L-Menge.<br />
(C) Summe und Durchschnitt einer Folge von B- Mengen ist eine B-Menge.<br />
Die Mengen Aj^^ A^, .. . und ihre Komplemente 5^, B.^^. .. seien<br />
L-Mengen. Nach (B) ist der Durchschnitt A^A^-^ -, unter Zuziehung von<br />
(A) aber auch die Summe<br />
229
186 Siebentes Kapite]. Panktmengen und Ordnungszahlen.<br />
^1 4- ^2 + ^3 + • • • = ^1 + ^1 "42 + J?i ^2 -^3 + • • •<br />
eine L-Menge, und zwar eine 5-Menge, da von den B^ dasselbe gilt.<br />
[93] (D) Die Mengen F^ sind L-Mengen,<br />
Eine Menge F^j . . .<br />
A==F, + F, + F, + '^'<br />
kann mit aufsteigenden abgeschlossenen Summanden angenommen werden,<br />
dann ist<br />
A=:.F^ + (F,- F,) + (^3 _ iT,) -f . . .<br />
mit disjunkten Summanden, die als Differenzen abgeschlossener Mengen<br />
wieder (spezielle) Mengen F^ sind. So ergibt sich<br />
usw. (FQ<br />
A =<br />
17 -- . .<br />
• = 0).<br />
n,<br />
Wegen<br />
n, ~ -^nifi, = * ' '<br />
—1)<br />
- F -1<br />
ist dann A = ^A„, A<br />
= ^Pn^Fn^n^<br />
als L-Menge dargestellt.<br />
Hierzu werde noch die augenblicklich uberfliissige, spater zu verwendende<br />
Bemerkung gemacht: wenn der Raum separabel ist, kann die<br />
Darstellung von A mit disjunkten Summanden so eingerichtet werden,<br />
daB die Durchmesser der Mengen i^,^^ . ^k ^^* k -^ co nach 0 konvergieren.<br />
Denn E kann als Summe einer Folge abgeschlossener Mengen<br />
mit beliebig kleinen Durchmessern ^ 6 dargestellt werden (z. B. voh abgeschlossenen<br />
Kugeln mit Radien | 6, deren Mittelpunkte eine in E dichtfe<br />
Menge bilden); das gleiche gilt von jeder abgeschlossenen Menge und<br />
jeder Menge Fc. Schreibt man demnach<br />
^ = T^l 4- n + • • • , -Fn == ^1 4- • • • + Fn,<br />
wo die V^ abgeschlossen sind und Durchmesser ^ d haben, so hat auch<br />
An = Fn — i^n~i ^ ^n eincu Durchmesser ^ Du^rchmesser<br />
< -j^ bekommen. Der Durchmesser der etwa auftretenden Nullmengen<br />
ist natiirlich = 0 zu setzen.<br />
Nach (D) sind insbesondere die abgeschlossenen und die offenen<br />
Mengen jL-Mengen, d. h. jB-Mengen, und da nach (C) die J5-Mengen ein<br />
Borelsches System bilden, so sind die Borelschen Mengen des Raumes<br />
sicherlich J?-Mengen, womit II bewiesen ist.<br />
Wesentlich tiefer liegt der Beweis, daB die beiden Bedingungen unter<br />
Umstanden auch hinreichend sind. Wir miissen dazu eine merkwiirdige<br />
Darstellung der Suslinschen Mengen als Summen und Durchschnitte von<br />
Nj Borelschen Mengen vorausschicken.<br />
230
§ S4. Kriterien fiir Borelsche Mengen. 187<br />
2. Die Indizes. Es sei [94]<br />
(1) A = (B jF(ni) F(ni, n^) F(n^, n^, Wg)...<br />
eine Suslinsche Menge des Raumes £, B = E — A ihr Komplement.<br />
Hierbei ist also jedem endlichen Komplex natiirlicher Zahlen, den wir<br />
abkiirzend mit<br />
(2) r = (7^l, ^2, ..., Wi)<br />
bezeichnen, eine abgeschlossene Menge<br />
(3) F(r) = F(n^, n^, .. , n,)<br />
zugeordnet, und die Summe in (1) erstreckt sich iiber alle Folgen (^i, n^,...)<br />
natiirlicher Zahlen. Wir diirfen dabei wie schon friiher<br />
(4) F{nj)^F{n^, n.,)^F(ni, n^, n^)^-voraussetzen.<br />
Wenn wir an den Komplex (2) eine weitere natiirliche ZaM anhangeii,<br />
so entsteht ein Komplex<br />
(r, n) = (?ii,..., %, n),<br />
den wir einen Nachfolger von r neimen; r heiBt der Vorganger von (r, n),<br />
Sei RQ eine beliebige Menge von Komplexen r. Wenn r, aber kein<br />
Nachfolger von r zu RQ gehort, heiBe r ein EndeUment von R^. Durch Weglassung<br />
der Endelemente entsteht aus i?© eine neue Komplexmenge fij,<br />
und indem wir diese Streichung der Endelemente wiederholen, gelangen<br />
wir zu einer absteigenden Folge<br />
/IQ) ^1? ^2? • • •) ^^ufi ^(a-\-li ' " '<br />
von Komplexmengen, die induktiv dadurch definiert sind, daB R^^i aus<br />
R^ durch Tilgung der Endelemente entsteht und fiir eine limeszahl rj<br />
Da RQ hochstens abzahlbar ist, konnen von den disjunkten Mengen<br />
/?! — R^+i (dies ist die Menge der Endelemente von R^) hochstens abzahlbar<br />
viele von Null verschieden sein und wir gelangen fur einen ersten<br />
Index rj (O^ri < i2) zu einer Menge /?^ = R^^i^ die also keine Endelemente<br />
mehr hat, aber natiirlich Null sein kann. Nennen wir dies rj den<br />
Index der Menge R^; fiir iJ?|+i. Die Menge<br />
R = R^ = R^^i = -.. werde etwa der Kern von R^ genannt (er ist die<br />
groBte Menge g J?^, die keine Endelemente hat). Prozesse dieser Art sind<br />
uns aus § 30 gelaufig; der gegenwartige hat groBe Ahnhchkeit mit der Abspaltung<br />
der isolierten Punkte und der Bildung der kleinsten Koharenz.<br />
Nun bestimmt jeder Punkt x des Raumes die Menge RQ(X) derjenigen r,<br />
fiir die x s jF(r), und wenn wir mit dieser Menge den eben geschilderten<br />
ProzeB ausfiihren, so gelangen wir zu den Mengen R^(x)^ endigend mit dem<br />
Kern R{x) == Rr^ix) = i?^a.i(a;) = • •. ; der von x abhangige Index Y] = YI[X)<br />
231
188 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
der Menge RQ(X) werde auch der Index des Punktes x genannt. Wir haben<br />
also fur die Mengen A^B eine Spaltung nach den Indizes ihrer Punkte:<br />
(5) A^2A^, B = 2B^ (^
§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen. 189<br />
die Menge der Punkte x mit R^{x)-:^0\ denn das heiBt ja, daB es ein r<br />
gibt, wofiir (7) gilt. Und es ist<br />
(11) n = (S>[F^(r) - i^^+i(r)]<br />
r<br />
die Menge der Punkte x mit i?|(^) ^ i?^+i(^); denn dies bedeutet, daB<br />
es ein r gibt, das Endelement von R^{x) ist, wofiir also<br />
reR^(x\ reR^^i(x),<br />
d. h. X e F^(r), x e F^^i(r)<br />
Oder X e F^(r) — F^^i(r),<br />
Fiir diese Mengen gilt aber nun<br />
Zunachst ist namlich der Kern R(x) von ji!?o(^) dann und nur dann > 0,<br />
wenn x e A, Ist a: e ^ und etwa x e F(ni) F(n^^ n^)..., so gehoren die<br />
sUmtlichen Komplexe (n^), (%, ng), (%, Wg? ^z)^.. . zu /?o(^); sie sind Bieht<br />
Endelemente und gehoren also zu Ri(x); so weiterschliefiend erkennt man,<br />
daB sie zu jedem Ri(x)^ also zum Kern R(x) gehoren, der demnach r:^ 0 ist.<br />
Wenn umgekehrt der Kern R{x) :=> 0 ist und daher nach (6) einen eingHedrigen<br />
Komplex (%) enthalt, so enthalt er, als Menge ohne Endelemente,<br />
auch einen zweigliedrigen (nj, ng), einen dreigliedrigen (/ij, Tig? ^z)<br />
usf., alle diese Komplexe gehoren auch zu RQ(X), d. h.<br />
X e F(n^) F(n^, n^ F(n^, n^, n^).. .^A.<br />
Fiir X sB und nur in diesem Falle ist R(x) = 0.<br />
Nach der Definition der Indizes rj{x) ist nun<br />
R^(x) ^ R^-^i{x) mit I < rj(x),<br />
R^{x) = R^j^^(x) ^ R{x) mit ^^7](x)<br />
gleichbedeutend. Danach ist T^ die Menge der Punkte, deren Index > |<br />
ist, wahrend S^ (durch R^(x) > 0 definiert) genau alle Punkte von A und<br />
diejenigen Punkte von B, deren Index > |, enthalt. Damit ist (12) bewiesen.<br />
Man erhalt daraus noch<br />
j S^-T^=A,+ A^+'^' + A^<br />
^ ^ \ E~S^ = Bo + B, + -'+B^.<br />
Nun ergibt sich aus (9), von den abgeschlossenen Mengen FQ(r) ausgehend,<br />
durch Induktion, daB alle Mengen F^(r) Borelsche Mengen des<br />
Raumes sind, aus (10) und (11), daB die S^^ T^ Borelsche Mengen sind;<br />
dasselbe folgt fiir die A^^ B^^ etwa aus (13) durch Induktion. Nach (5)<br />
ist also die Suslinsche Menge A und ihr Komplement B als Summe i^on i
190 Siebentes Kapitel. Punktmerigen und Ordnungszahlen.<br />
Borelschen Mengen dargestellt^); beide Mengen sind dann auch Durchschnitte<br />
von X^ Borelschen Mengen, insbesondere nach (12) einfach<br />
(14) .4 = 3)6'^<br />
Die S^ und T^ nehmen mit wachsendem Index ab, die Mengen (13)<br />
nehmen zu; der Durchschnitt aller T^ ist 0. Wir bemerken noch, daB man<br />
fiir (10) auf Grund von (8) auch<br />
(15) S^= (BF^(n)<br />
n<br />
schreiben, also die samtlichen Komplexe r durch die eingliedrigen ersetzen<br />
kann; fiir T^ ist dies nicht zulassig. tJberdies ist<br />
(16) n^.^®P^(r)F^(Q),<br />
wo I + CO die erste auf |, ^ + 1, f + 2,... folgende Ordnungszahl und<br />
die Summe rechts liber alle Paare verschiedener Komplexe gleicher Ziflerzahl<br />
(17) r = (/ii,. .., njfe), Q = (vi,. .., vj,) (r 4^ Q)<br />
zu erstrecken ist. Sei in der Tat x e T^^.^, also<br />
(18) xeFt^Jr)^F^+^^^(r)<br />
fiir ein gewisses r. Fiir m = 0, 1, 2, . . . ist demnach wegen (9)<br />
X e i^|+^+i(r), X e F^^Jr, nj<br />
mit geeignetem n^; diese Zahlen HQ, n^,. . . konnen aber nicht samtUch<br />
gleich sein, denn aus x e F^j^J^r^ n) bei festem n wiirde folgen x e F^^^^ir^ n)<br />
^F^j^^^i(r) im Widerspruch zu (18). Demnach gibt es mindestens zwei<br />
Zahlen m, /m mit /i^ 4= w^ und es ist<br />
^ e F^+m(r, nj F^^^{r, n^) g F^(r, nj F^(r, n^),<br />
X gehort also der in (16) rechtsstehenden Menge an.<br />
3. Hinreichende Bedingungen 2). Schicken wir zwei Hilfsbetrachtungen<br />
voraus.<br />
(oc) Sind jedem i < i2 abzahlbar viele Mengen D^ (etwa fiir n =<br />
1,2,...) zugeordnet, die mit wachsendem | abnehmen {D^^D^ fiir<br />
i 0 ,<br />
n<br />
so gibt es ein n derart, daB fiir jedes | auch D^ > 0.<br />
Denn zu jedem i gibt es zunachst ein n(^) mit Z)p^ :^ 0. Die Funktion<br />
n{i)^ die nur abzahlbar vieler Werte fahig ist, muB mindestens einen Wert<br />
n unabzahlbar oft annehmen; dann ist Z)|>0 fiir unabzahlbar viele |,<br />
also (wegen der monotonen Abnahme mit wachsendem |) fiir alle |.<br />
[95] 1) Im separablen vollstandigen Raume schlieBt man daraus, daB die<br />
Mengen J5, die Komplemente Suslinscher Mengen, entweder hochstens abzahlbar<br />
Oder von einer der Machtigkeiten Ki, K sind: das ist wegen des ungelosten Kontinuumproblems<br />
ein weniger prazises Resultat als der fiir die Suslinschen Mengen<br />
selbst giiltige Satz § 32, I.<br />
'') Hierzu vgJ. § 46, 1,<br />
234
§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen, 191<br />
(j5) 1st der Raum separabel, so kann in der Darstellung (1) der Suslinschen<br />
Mengen angenommen werden, daB die Durchmesser der Mengen<br />
F(/ii,...,%) mit A: -»- 00 nach 0 konvergieren. (Der Durchmesser der<br />
Nullmenge ist natiirlich = 0 zu setzen.)<br />
Wir hatten oben (S. 186) bei Punkt (D) bemerkt, dafi die Mengen F^^<br />
also insbesondere der Raum selbst, einer solchen Darstellung und zwar<br />
mit disjunkten Summanden fahig sind. Setzt man demgemaB<br />
JS = :^ E(m-j) E(mi, mg). ..,.<br />
wo die £(mi,. .., m^^) abgeschlossen sind und mit k -^ co nach 0 konvergente<br />
Durchmesser haben^), bringt dies mit der Menge (1) zum Durchschnitt,<br />
ordnet den Zahlenpaaren (m^t, njg) die natiirlichen Zahlen p^ eineindeutig<br />
zu und setzt<br />
so wird A==-QF^^ F^^^^...<br />
eine Darstellung der verlangten Form, die iibrigens, wie wir beaehten<br />
woUen, disjunkte Summanden hat, sobald dies fiir (1) der Fall ist. Auch<br />
die Nebenbedingung F^^^Fp^p^^- - - laBt sich aufrechterhalten, wenn<br />
man E(mi) § E{mi, m^) § • • * voraussetzt.<br />
Dies vorausgeschickt, woUen wir nun die Sat^e I^ II umkehren.<br />
III. Ist der Raum i>ollstdndig und separabel, so ist eine Suslinsche Menge^ [96]<br />
deren Komplement eine Suslinsche Menge ist, eine Borelsche. Zwei disjunkte<br />
Suslinsche Mengen sind in ihrer Summe Borelsche Mengen,<br />
Zum Beweise betrachten wir zwei Suslinsche Mengen A, A mit den<br />
entsprechenden Borelschen Mengen F^(r), F^(r) und 6*^, S^. Die Darstellungen<br />
(1) von A und A mogen die Durchmesserbedingung (p) erfiillen.<br />
Wir zeigen dann: wenn S^S^::>0 fiir jedes i, so ist ^ ^> 0. [97]<br />
In der Tat ist, nach (15), fiir jedes ^ (so auch im folgenden)<br />
&F^(n)F^(v)^0,<br />
die Summe liber alle Paare naturlicher Zahlen n, v erstreckt. Nach der<br />
Hilfsbetrachtung (oc) existiert ein Summand<br />
F^(n^)F^iv^)z>0,<br />
Ersetzen wir hierin i durch f + 1« so hi<br />
es existiert ein Summand<br />
& F^(nj^, n) F^ivj, p) ^ (^.<br />
Fiin^,n^)F^(v^,v^):=:>0<br />
^) Umgekehrt ist ein solcher Raum hochstens separabel; denn w^hlt man<br />
aus jeder Menge E(mi,..., nik) :> 0 einen Punkt, so ist die Menge dieser Punkte<br />
in E dicht.<br />
235
192 Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.<br />
usf. Wir erhalten also zwei Zahlenfolgen (%, Ai2,...)»(^i» ^'2? • • •) derart,<br />
daB fiir jedes k (f = 0 gesetzt)<br />
F{n^,..., Tij,) F(v^,. . ., ^jb) ::> 0 .<br />
Diese abgeschlossenen, mit wachsendem k abnehmenden Mengen mit<br />
Durchmessern ~^0 haben nach dem zweiten Durchschnittssatz einen<br />
(einzigen) gemeinsamen Durchschnittspunkt x^ der sowohl zu A als auch<br />
zu A gehort; also A A^O.<br />
Wenn, fiir jedes |, 6"^ Z i:^ 0, so ist nach (12) oder (14) erst recht<br />
5^ AS| > 0 und daher A A::=>0. Also umgekehrt:<br />
Wenn yl A = 0, so muB einmal fiir ein | (und alle folgenden) 6*1 Z = 0<br />
sein, also<br />
A-= AS^ = {A + A)S^,<br />
A ist der Durchschnitt von A -\- A mit einer Borelschen Menge. Zwei<br />
disjunkte Suslinsche Mengen sind also in ihrer Summe Borelsche Mengen.<br />
Insbesondere, wenn das Komplement B = E — A einer Suslinschen Menge<br />
auch eine ist, so sind beide Borelsche Mengen {in A -\- B = £), und zwar<br />
von einem gewissen Index an ^ = S^,<br />
Damit ist III bewiesen; die Suslinsche Bedingung ist hinreichend,<br />
falls der Raum vollstandig und separabel ist. Der Nachsatz von III zeigt<br />
iibrigens, daB der Satz auch gilt, wenn der Raum eine Suslinsche Menge M<br />
in einem vollstandigen separablen Raum E ist.<br />
[98] Ebenso laBt sich dasLusinsche Kriterium als hinreichend erweisen:<br />
[99] IV. Ist der Raum vollstandig und separabel^ so ist jede mit disjunkten<br />
Summanden darstellbare Suslinsche Menge eine Borelsche.<br />
Nach (12) und (13) ist S^— T^^A^S^; wenn T^ = 0, so ist<br />
A == S^ eine Borelsche Menge. Ist also A keine Borelsche Menge, so ist<br />
r^>0 fiir jedes | (so auch im folgenden), also nach (16).<br />
(BF^(r)F^(Q)^0,<br />
die Summe iiber die (abzahlbar vielen) Paare von verschiedenen Komplexen<br />
gleicher Zifferzahl erstreckt. Nach der SchluBweise {oc) existiert<br />
ein Summand<br />
F^(r)Fi(Q)^0<br />
mit einem Komplexpaar (17). Ersetzt man | durch f + 1, so ist<br />
(BFi{r,n)Fi{Q,v)::>0<br />
nv<br />
und es existiert ein Summand<br />
^^(^ nj,^i) F^(Q, n+i) ^ 0 .<br />
So fortfahrend erhalt man zwei (wegen r^ Q) verschiedene Zahlenfolgen<br />
(Wj, Tig,. . .) und (vi, ^2,.. .) derart, daB (| = 0)<br />
F(ni, ...,%)F(ri,..., rft)r:^0<br />
236
§ 35. Stetige Abbildung. 193<br />
fiir jedes h\ die Anwendung des zweiten Durchschnittsatzes lehrt, daB die<br />
beiden verschiedenen Summanden F{n^ F{n-^^ n^... und F(v^ F{vi^ v^)...<br />
denselben Punkt liefern. Wenn also A keine Borelsche Menge ist, so ist sie<br />
gewiB nicht mit disjunkten Summanden darstellbar (weder mit noch ohne<br />
Durchmesserbedingung, wie wir bei.(/?) bemerkt haben), und damit ist<br />
IV bewiesen.<br />
Achtes Kapitel.<br />
Abbildung zweier Raume.<br />
§ 36. Stetige Abbildung.<br />
1. Grundlagen.<br />
Wie schon in § 2 gehen wir von einer vorgegebenen Menge geordneter<br />
Paare (x^y) aus; die Mengen der hierin auftretenden Elemente x^y seien<br />
A^B, Jedem xsA sind hierdurch ein oder mehrere Bilder (Bildpunkte)<br />
y =
194 Achtes Kapitel. Abbildung zweier RHume.<br />
Funktion y =
§ 35. Stetige Abbildung. 195<br />
Der Zusatz, den die eingeklammerten Worte aussprechen, wird durch<br />
Komplementbildung bewiesen, weil V(B — Q) = A — "PiQ)*<br />
Ein spezieller Fall des Satzes ist uns aus §22,1 bekannt; ist (p(x) erne<br />
reelle stetige Funktion, B also eine Menge reeller Zahlen, so ist die dort<br />
mit [cp > 0] bezeichnete Menge ja nichts ander,es als das Urbild der Menge<br />
Q, die der Durchschnitt von B mit der Halbgeraden 2/ > 0, also eine in B<br />
offene Menge ist,<br />
Aus I folgt wegen der Formeln (2) noch roehr:<br />
II. Ist B stetiges Bild von A, so haben die Borelschen und Suslinschen<br />
Mengen des Raumes B als Urbilder Borelsche und Suslinsche Mengen des<br />
Raumes A^ und zwar enisprechen den Mengen F^(B)^ G^{B) als Urbilder<br />
Mengen F^A), G^A).<br />
In der Tat geht dies eben daraus hervor, dafi die Urbilder von Siimmen<br />
und Durchschnitten die Summen und Durchschnitte der Urbilder sind.<br />
Hat man also z. B. schon bewiesen, dafi iiir i
196 Achtes KapiteJ. Abbildung zweier Raume.<br />
morphes Bild von A (ebenso A von B) und die zwischen beiden Mengen<br />
bestehende schlichte Abbildung eine Homoomorphie; ferner sagt man, daB<br />
A und B zueinander homoomorph seien^ was wir durch das Zeichen<br />
B^A Oder A^B<br />
ausdriicken woUen. Um die Begriffe also nochmals zusammenzustellen,<br />
SO hat man je nacli der Beschaffenheit der Funkiion x = y)(y) folgende<br />
Falle (y = (p(x) als stetig vorausgesetzt):<br />
B stetiges Bild von A: y)(y) kann mehrdeutig sein.<br />
B schlichtes stetiges Bild von A: y)(y) eindeutig.<br />
B homoomorphes Bild von A: y)(y) stetig.<br />
Der dritte Fall ist als Sonderfall des zweiten, dieser als Sonderfall des<br />
ersten anzusehen. Im dritten Fall ist die Asymmetrie zwischen A^B<br />
wieder verschwunden.<br />
[101] 2. InsichkoinpakteMengen. Die Satze I, II gelten nur fiir die Urbilder,<br />
nicht fiir die Bilder. Ist B stetiges Bild von yi, so braucht das Bild<br />
einer in A abgeschlossenen Menge keine in B abgeschlossene zu sein; wenn<br />
A isoliert ist und demnach jede mit A aquivalente Menge B als schlichtes<br />
stetiges Bild von A angesehen werden kann, so ist jede Teilmenge von A<br />
in A abgeschlossen, jede Teilmenge von B also Bild einer in A abgeschlossenen.<br />
Wir sahen, daU sogar das schlichte stetige Bild einer absolut abgeschlossenen<br />
(voUstandigen) Menge A noch ganz beUebig sein kann, bis auf<br />
die Aquivalenz mit A. Dagegen gilt ein einfaches und prazises Resultat,<br />
wenn A eine in sich kompakte (also kompakte, absolut abgeschlossene)<br />
Menge ist:<br />
III. Das sietige Bild B einer in sich kompakicn Menge A ist wieder in<br />
sich kompakt] ist die Abbildung schlicht^ so ist sie eine IIomoomorphie.<br />
Die Voraussetzung besagt, daB jede Punktfolge aus A eine konvergente<br />
Teilfolge hat, deren Limes zu A gehort. Dasselbe ist fiir B zu zeigen.<br />
Ist yn eB, Xn= y>(yn) (p{x) oder y^-^y eB^ B ist in sich<br />
kompakt. Der zweite Teil der Behauptung folgt nun am einfachsten so:<br />
jede in A abgeschlossene Menge P ist in sich kompakt, ihr Bild Q = 0{P)<br />
in sich kompakt, also absolut und daher in B abgeschlossen, dies aber<br />
besagt nach I, daB die als eindeutig vorausgesetzte Funktion x = y)(y)<br />
stetig ist.<br />
Im Eukhdischen Raume ist eine Menge A dann und nur dann in sich<br />
kompakt, wenn sie beschrankt und abgeschlossen ist; ihr — wieder in<br />
einem Eukhdischen Raum angenommenes — stetiges Bild B ist wieder beschrankt<br />
und abgeschlossen. Insbesondere durchlauft eine in A stetige<br />
reelle Funktion eine abgeschlossene und beschrankte Zahlenmenge, hat<br />
240
§ 36. Stetige Abbildung. 197<br />
also einen groBten und kleinsten Wert (d. h. die obere Grenze ist ein<br />
wirklich erreichtes Maximum, die untere ein Minimum).<br />
Nennt man eine in sich kompakte Menge Z, die Summe einer Folge<br />
solcher Mengen Z^, so ist das stetige Bild eines K wieder ein X, das eines<br />
Kff wieder ein K^. (Man vergleiche die mittlere Formel (1)), Der Euklidisohe<br />
Raum ist ein K^ (z. B. Summe konzentrischer abgeschlossener Kugeln<br />
mit Radien AI = 1, 2, 3,..,), also auch jede in ihm abgeschlossene Menge;<br />
deren stetiges Bild ist also ein K^^ braucht aber, wenn in einem Euklidischen<br />
Raum gelegen, nicht abgeschlossen zu sein. Jede eindimensionale Menge<br />
Ffj^ 5 = JBJ + ^2 + • • M ist Projektion einer ebenen abgeschlossenen Menge<br />
7l = ^i + i4.2 + -*; i^sin lasse einfach dem Punkte (a^i, 0) von B^^ den<br />
Punkt (rci, n) von A^ entsprechen, d, h. iibertrage die Menge B^ von der<br />
Geraden x^ = 0 auf X2 = n, Auch das stetige Bild eines Euklidischen F^<br />
ist ein K^^ insbesondere das einer offenen Menge. Es sei bemerkt^ daB<br />
aber der H i 1 b e r t sche Raum kein Kaj vielmehr in ihm jedes K^ von erster<br />
Kategorie ist, wShrend er selbst, als voUstandiger Raum, in sich von<br />
zweiter Kategorie ist. Denn jede Umgebung des Nullpunktes (0, 0, 0,...)<br />
enthalt eine Menge von Punkten (^, 0, 0,...), (0, ^, 0,...),... , die paarweise<br />
die Entfernung 1/2 Q haben und also keinem K angehoren; dasselbe<br />
gilt von jedem Punkt, und das Komplement eines K ist also im Hilbertschen<br />
Raume dicht, K nirgendsdicht.<br />
Es sei hier der Begriff der gleichmaBigen Stetigkeit erwahnt; die<br />
eindeutige Funktion y — (p{x) heifit in A ^Uichmdpig stetige wenn fiir jede<br />
Folge von Punktpaaren mit x^ 1,^ •-> 0 zugleich y^ rjn -^ 0. (Bei festem<br />
|» = ^ ist das die Stetigkeitsforderung fiir die Stelle |). Diese Bedingung<br />
ist, wie in iiblicher Weise zu erkennen, damit gleichbedeutend: jedem<br />
0 entspricht ein (nur von or abhangiges) ^ > 0 derart, daB mit x ^ < Q<br />
zugleich y 7] < a ist. Es gilt dann:<br />
IV. Ist A in sich kompakt^ so ist jede in A stetige Funktion gleickmd/iig<br />
stetig,<br />
Sei x^$y^-*0; x^ hat eine konvergente Teilfolge also auch<br />
Ip-^o;; fiir die Bilder gilt dann y^^-^y, %-^y, 2/p>/p->0. D. h. y,,rin<br />
hat eine nach 0 konvergente Teilfolge. Das Gleiche gOt von jeder Teilfolge<br />
y^ rjv, also muB die ganze Folge y„^^ nach 0 konvergiaren (sonst hatte<br />
sie eine Teilfolge y^ ri^.'^o 0).<br />
V. Jede in sich kompakte Menge ist stetiges BUd einer hompakten perfekten<br />
punkthaften Menge, Zwei kompakte perfekte punMhape Mengen sind<br />
stets homoomorph.<br />
Eine kompakte perfekte punkthafte Menge A laBt sich nach § 29^ XVI<br />
als dyadisches Diskontinuum<br />
A = 2V V V<br />
241
198 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
darstellen (§ 26, 2), wobei die Mengen F in ^ abgeschlossen, also in sich<br />
kompakt angenommen werden konnen (indem man V durch AV ersetzt).<br />
Bei festem n haben die disjunkten Mengen V mit n Indizes paarweise<br />
positive untere Entfernungen, unter denen e^ die kleinste sei. Sind a:, f<br />
verschiedene Punkte von A und unterscheiden sich die zugehorigen dyadischen<br />
Ziffernfolgen in der 7i-ten Ziffer, so ist x^^e^^ hieraus folgt, dafi<br />
fiir X ^ ->Q die beiden zugehorigen Ziffernfolgen in einer liber alle Grenzen<br />
wachsenden Zahl von Anfangsziffern iibereinstimmen. — Eine in sich<br />
kompakte Menge B laBt sich (S. 133) als dyadische Menge<br />
darstellen. Man ordne dem einzigen Punkt x des Durchschnitts V^, Vj,^<br />
Vpqr- • • ^^^ einzigen Punkt y des (zur gleichen dyadischen Folge gehorigen)<br />
Durchschnitts W^WpqW^gj,,.. zu. Durch diese Zuordnung y = q)(x) wird<br />
B stetiges Bild von A, Denn ist dn der grofite Durchmesser der Mengen W<br />
mit n Indizes, so ist yrj :^ ^„, falls y und rj zu zwei dyadischen Ziffernfolgen<br />
mit n iibereinstimmenden Anfangsziffern gehoren; aus dn-^0 und<br />
dem zuvor Gesagten folgt dann, daB fiir x ^ ->0 auch y rj -^ 0, — Ist<br />
schliefihch auch B kompakt, perfekt und punkthaft, also als dyadisches<br />
Diskontinuum darstellbar, so ist die besprochene Abbildung schlicht, also<br />
eine Homoomorphie.<br />
Wenn wir also ein bestimmtes dyadisches Diskontinuum A wahlen,<br />
z. B. die Cantorsche triadische Menge oderauch die Menge der dyadischen<br />
Zifferfolgen (p, q,r^. ..) selbst mit der § 20, 4 erklarten Entfernung (den<br />
dyadischen Baireschen Raum), so erhalten wir alle in sich kompakten<br />
Mengen als stetige, alle kompakten perfekten punkthaften Mengen als<br />
homoomorphe Bilder von A. Umgekehrt ist jedes stetige Bild von A<br />
in sich kompakt, jedes homoomorphe liberdies insichdicht (perfekt) und.<br />
wie sich sofort zeigen wird, auch punkthaft.<br />
3. Erhaltung des Zusammenhanges.<br />
VI. Das stetige Bild einer zusammenhdngenden Menge ist wieder zusammenhdngend.<br />
Das stetige Bild einer beliebigen Menge hat nicht mehr<br />
Komponenten als diese,<br />
1st B stetiges Bild von A und B = Bi + B^ eine Zerstiickelung von<br />
B in zwei (in B) abgeschlossene Mengen, so entspricht dieser e|ne Zerstiickelung<br />
von A = *F(Bj) + W(B2) = Ai + A2 in zwei (in A) abgeschlossene<br />
Mengen. Mit B ist also A unzusammenhangend, mit A ist B<br />
zusammenhangend. — Da mit
§ 35. Stetige Abbildung. 199<br />
von A, — Sind A und B homoomorph, so entsprechen einander die Komponenten<br />
beider Mengen; ist die eine punkthaft, so auch die andere.<br />
Insbesondere hat eine in der zusammenhangenden Menge A (z. B.<br />
in einem reellen Zahlenintervall) stetige reelle Funktion eine zusammenhangende<br />
Wertmenge B^ nimmt also zugleich mit zwei Werten y-^ < y^<br />
auch jeden Wert y zwischen ihnen (yi 0. Also: die (teilweise vielleicht nicht definierten)<br />
yyn haben eine nach 0 konvergente Teilfolge; das Gleiche gilt von jeder<br />
243
200 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
Teilfolge yyy^ und daher mu6 die ganze Folge nach 0 konvergieren, da es<br />
sonst eine Teilfolge yy^ gabe, deren Glieder entweder undefiniert oder<br />
^ (T > 0 waren.<br />
Aus III und VII folgt:<br />
VIII. Das steiige Bild einer in sich kompakten und (in alien Punkten)<br />
lokal zusammenhdngenden Menge ist wieder eine solche,<br />
§ 36. Streckenbilder*<br />
1. DyadiseheKontinua. Ein stetiges Bild einer abgeschlossenen<br />
geradlinigen Strecke, etwa des Intervalls T — [0,1] der reellen Zahlen<br />
0 ^ i^ ^ 1, wird eine stetige Kurve^ ein schlichtes stetiges und daher (§ 35,<br />
III) homoomorphes Bild von T eine einfache Kurve genannt. Stetige<br />
Kurven wollen wir indes lieber Streckenhilder nennen, da sie, wie wir sehen<br />
[102] werden, mit dem, was der Anschauung als Kurve vorschwebt, wenig<br />
Ahnlichkeit zu haben brauchen. T ist in sich kompakt, zusammenhangend<br />
und lokal zusammenhangend; nach den Satzen VI VIII des vorigen Paragraphen<br />
miissen diese Eigenschaften auf jedes Streckenbild iibergehen,<br />
und wir werden zeigen, daB ihr Besitz auch hinreicht.<br />
Zuvor wollen wir eine einfache Erzeugung der Streckenhilder kennen<br />
lernen. Wir bilden, wie schon oft, eine dyadische Menge, indem wir jeder<br />
dyadischen, aus den Ziffern 1, 2 gebildeten Folge (p, q,r, . , .) abgeschlossene<br />
beschrankte, von Null verschiedene Mengen<br />
eines voUstandigen Raumes E entsprechen lassen mit Durchmessern, die nach<br />
0 konvergieren; wie wir wissen(S. 131), ist diese Konvergenz gleichmaBig,<br />
d. h. der groBte Durchmesser d^ der Mengen V mit n Indizes konvergiert<br />
nach 0 fiir n -^ co. Wenn wir die Mengen mit n Indizes disjunkt annahmen,<br />
erhielten wir ein dyadisches Diskontinuum\ Jetzt wollen wir das andere<br />
Extrem voraussetzen: die genannten Mengen soUen in lexikographischer<br />
Anordnung eine Kette bilden, d. h. in<br />
(2) @F, = F, + F2, @F,,==Fn + F,, + F2i+F,,, ...<br />
haben benachbarte Mengen gem'einsame Punkte. Die von den F erzeugte<br />
dyadische Menge<br />
(3) C = ©F,F^,F^,,...,<br />
wofiir wir, wie bekannt, auch<br />
(4) C-©F^.@F^,.@F^,,.-.-<br />
schreiben konnen, heiBe dann ein dyadisches Kontinuum; die Berechtigung<br />
des Namens wird sich sofort ergeben.<br />
I. Streckenhilder und dyadische Kontinua sind identisch.<br />
244
§ 36. Streckenbilder. 201<br />
Es sei Ti = [0, |] die linke und T^ = [J, 1] die rechte Halfte des<br />
Intervalls T, ebenso T^i die linke und T^^ ^i® rechte Halfte von Tp, T^qx<br />
die linke und T^^g die rechte Halfte von T^q usw. 1st C stetiges Bild von T,<br />
wobei den Teilintervallen T^, T^^,... die Bilder C^, C^^, .. . entsprechen,<br />
so sind dies kompakte abgeschlossene Mengen (iibrigens Kontinua), deren<br />
Durchmesser, wegen der gleichmaBigen Stetigkeit der Abbildungsfunktion,<br />
mit wachsender Zahl der Indizes nach 0 konvergieren, und die Summen<br />
bilden in lexikographischer Anordnung Ketten. Ein Streckenbild ist also<br />
ein dyadisches Kontinuum.<br />
Umgekehrt sei C ein dyadisches Kontinuum (3), Wir lassen fiir jede<br />
dyadische Zifferfolge den einzigen Punkt x von V^V^qV^q^ ^ ,. dem<br />
einzigen Punkt t von T^ T^q T^qj.. . . entsprechen. Diese Funktion x = q}(t)<br />
ist eindeutig, obwohl gewisse t (die bei den Halbierungen der Intervalle<br />
auftretenden Teilpunkte) zu zwei dyadischen Ziffernfolgen gehoren. So ist<br />
t ~ ^ Punkt der beiden (und nur der beiden) Durchschnitte T^ T^^ 3^122 • • •»<br />
Tg ^21 ^211 — Aber auch die entsprechenden Durchschnitte V-^ V^t ^122* • •?<br />
Fo F21 F211 • • • sind identisch; denn da F^ Fg > 0, F12 Fgi > 0,..., so<br />
haben die Mengen V^ + Fg, V^^ -f- Fgi,... Durchmesser ^ 2di, 2^2? • • •<br />
und ihr Durchschnitt ist einpunktig. — Die Funktion x = (p(t) ist femer<br />
stetig: mit t — r konvergiert x | nach 0. Denn sobald \t — x\ < ^^ so<br />
gehoren t und r entweder zu einem oder zu zwei benachbarten T** (Teilintervallen<br />
mit n Indizes), also x und | zu einem oder zu zwei lexikographisch<br />
benachbarten F** (Mengen F mit n Indizes), und es ist a; | ^ 2 dn-<br />
Ein dyadisches Kontinuum ist also Streckenbild.<br />
Bemerken wir folgenden Zusatz zu I. Wenn m samtlichen Ketten (2)<br />
die Durchschnitte lexikographisch benachbarter F und nur diese von Null<br />
verschieden sind, so ist C schlichtes, also homoomorphes Bild von T. Ein<br />
Punkt X kann dann namlich nur dann zu zwei dyadischen Ziffernfolgen<br />
gehoren, wenn diese lexikographisch benachbart sind, und hat also auch<br />
in diesem Falle nur ein einziges Urbild t = y)(x), Wenn z. B. x z,u den<br />
Zifferfolgen (1, q^, TJ, ...) und (2, grg, rg,...) gehort, so ist xeViq^ Fg,,<br />
und das ist jetzt nur fiir gr^ == 2, ^2 = ^ moglich; sodann x e V^^r^ Vur^f was<br />
nur fiir r^ = 2, rg = 1 moglich ist, usf.;. x gehort zu (1, 2, 2,. ..) und<br />
(2, 1, 1,. ..), sein einziges Urbild ist t = i-<br />
Man kann die dyadische Konstruktion dahin abandern, daB jede der<br />
Ziffern p,q,r,... nicht zwei, sondern irgendeine endliche, vielleicht auch<br />
von den vorangehenden Ziflern abhangige Zahl (^ 2) von Werten durchlauft;<br />
durch die entsprechende Einteilung von T ergibt sich auch dann<br />
noch das „polyadische'' Kontinuum (3) als Streckenbild.<br />
245
202<br />
Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
Unter den Beispielen zum Satz I sind einige sehr iiberraschend: eine<br />
abgeschlossene Dreiecks-, Quadrat-, Krekfldche ist Streckenbild, ebenso<br />
ein dreidimensionaler Tetraeder-, Wiirfel-, Kugelkdrper\ d. h. es gibt stetige<br />
Kurveri^ die in einem Euklidischen E^ {n ^ 2) gelegen sind und innere<br />
Punkte haben, also in diesem Sinne /i-dimensionale Gebilde sind. Man<br />
nennt sie nach ihrem Entdecker Peanosche Kurven, Um etwa mit<br />
K. Knopp ein Dreieck V (es ist die abgeschlossene Dreiecksflache<br />
gemeint), das wir der bestimmten Vorstellung wegen rechtwinklig<br />
Fig. 8<br />
und gleichsclienklig annehmen, als Streckenbild darzustellen, fallen wir<br />
von der Spitze das Lot auf die Grundlinie und erhalten zwei wiederum<br />
rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke Fj, Fg; jedes Fp wird auf die<br />
gleiche Weise in F^i, F^a usw. zerlegt, wobei die Numerierung durch die<br />
lexikographische Kettenforderung bestimmt ist. Es ist<br />
Vpi zerlegen<br />
usw.; die Numerierung<br />
laBt sich so einrichten,<br />
daB die lexikographische<br />
Bedingung erfiillt ist.<br />
Fig. 9. Die von G. Peano zuerst<br />
gegebene arithmetische Darstellung ist geometrisch mit Seitendrittelung<br />
und Teilung in neun Teilquadrate gleichbedeutend.<br />
Eine arithmetisch sehr durchsichtige Abbildung<br />
der Strecke T auf das Quadrat (0 ^ aj^ ^ 1, 0 ^ rcg ^ 1) stammt von<br />
H. Lebesgue. Es sei P die Cantorsche triadische Menge der Zahlen t e T^<br />
die als triadische Briiche mit lauter NuUen und Zweien darstellbar sind:<br />
32<br />
31<br />
fyZ<br />
(l+r^+^3 + ---) (^« = o,i)<br />
246<br />
43<br />
33<br />
34<br />
m<br />
4^
§ 36. Streckenbilder. 203<br />
Diese Darstellung ist einzig; wenn zwei solche Zahlen /, T zuerst in der<br />
1<br />
/i-ten Ziffer differieren, so ist \t — r \^:^, und wenn also t nach r kon-<br />
vergiert, so stimmt t in einer iiber alle Grenzen wachsenden Zahl von Anfangsziffern<br />
mit r liberein. Hieraus erkennt man, daB<br />
^i = -J + Y^+-"= 9iii)^ ^^2 = -f+ ^ + • ' • == %(0<br />
in P stetige Funktionen von t sind; schon hierbei durchlauft x = (x-^^ x^)<br />
das ganze Quadrat. Endlich dehnt man diese Funktionen auf das ganze<br />
Intervall T aus, indem man sie in den offenen Intervallen (cc, p) (den Komponenten)<br />
von T — P — Q linear verlaufen laBt, d. h.<br />
und ebenso (p2(t) definiert (^, j8 gehoren zu P), Diese erweiterten Funktionen<br />
sind auch noch stetig, da durch die lineare Interpolation nur Mittelwerte<br />
zwischen den schon vorhandenen eingefiihrt werden. Wenn teQ<br />
monoton nach r s P konvergiert (der einzige Fall, der einer tJberlegong<br />
bedarf) und (a, /3) das t einschlieBende Intervall ist, so konvergieren<br />
auch oc und /8 nach r und (piioc)^(pi(P)^ ^t{t) nach (pi(T^): es sei denn^ daB<br />
I schlieBlich in einem festen Intervall (oc^ j8) bleibt und nach einem der<br />
Endpunkte konvergiert, wobei q)i(t) -* q>^{r) trivial ist.<br />
Man kann, indem man die Folge der t^ in drei oder mehr Teilfolgen<br />
spaltet, auch den drei- oder mehrdimensionalen Wiirfel als Streckenbild<br />
erhalten, ja sogar bis zu ^Q Dimensionen gehen. Spaltet man etwa nach<br />
dem dyadischen Schema S. 30, so werden die Funktionen x^ =
204 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
(wegen der Aquivalenz), kann es nun auch stetiges Bild sein. Erst die<br />
Forderung der Homoomorphie setzt den Dimensionsbegriff wieder in seine<br />
Rechte ein; denn es gilt der (in voUer AUgemeinheit zuerst von L. E. J.<br />
Brouwer bewiesene) Satz von der Invarianz der Dimensionenzahl:<br />
Eine Menge A im Euklidischen E^ und eine Menge B im Euklidischen<br />
En sind, wenn n> m und B innere Punkte hat^ niemals homoomorph.<br />
Da wir den allgemeinen Beweis in diesem Buche nicht bringen konnen,<br />
sei wenigstens der ganz einfache Fall ?n= i besprochen: nehmen wir,<br />
indem wir B durch eine Teilmenge ersetzen, B als (abgeschlossenen) Wiirfel<br />
im En an, so bleibt B nach Tilgung eines Punktes zusammenhangend,<br />
wahrend A durch Tilgung jedes zwischenzwei anderen gelegenen Punktes<br />
unzusammenhangend wird. Daher kann A nicht schlichtes stetiges Bild<br />
von B sein. (Wohl aber B von A! Denn B ist Streckenbild, stetiges Bild<br />
von T; behalt man von den Urbildern jedes Punktes von B nur ein einziges<br />
bei, so erhalt man eine Menge A i gelegen,<br />
keine inneren Punkte haben; dies kommt der anschauKchen Vorstellung<br />
einer „Kurve" schon naher als die stetige Kurve.<br />
Auch einfache Kurven merkwiirdiger Art lassen sich als dyadische<br />
Kontinua leicht erzeugen. Gehen wir zur K n o p p schen Dreieckskonstruk-<br />
tion zuriick. V sei ein gleichschenkliges Dreieck mit den Basiswinkeln-F<br />
und dem Winkel an der Spitze -F-; durch Drittelung des letzteren entstehen<br />
drei Dreiecke, von denen wir das mittlere weglassen uiid die beiden<br />
auBeren (abgeschlossen) mit Fi, Fg bezeichnen; sie sind mit F ahnlich und<br />
haben nur einen Punkt gemein. Mit F^ verfahren wir wie mit F und<br />
erhalten ^wei neue Dreiecke F^^, Fp2 usw. Hier sind bei passender Numerierung<br />
die Zusatzbedingungen erfuUt, die das dyadische Kontinuum C<br />
Fig. 10.<br />
als homoomorphes Streckenbild sichern. Diese einfache Kurve C hat nirgends<br />
eine Tangente, da sich in beliebiger Nachbarschaft ein,es Punktes<br />
xsVpVpq.,, Dreiecke mit festen Winkeln (Vj^^Vp^,.,.) befinden, in denen<br />
X liegt und deren Ecken zu C gehoren; gabe es eine Tangente in a:, so<br />
miissten die Winkel dieser Dreiecke nach 0 oder jc konvergieren. — Andert<br />
man die Konstruktion unter Verzicht auf feste Winkel und gleichschenklige<br />
Dreiecke ab, mit Beibehaltung des Prinzips, daB jedes Dreieck von einer<br />
passenden Ecke aus in drei Dreiecke zerlegt und davon das mittelste weg-<br />
248
§ 36. Streckenbilder. 205<br />
gelassen wird, so kann man auch erreichen, daB die Flacheninhalte der<br />
Dreieckpsummen © Fp, © F^ j,... beliebig langsam abnehmen und ihr Limes,<br />
das FlachenmaB von C, positiv wird. Es gibt also einfache Kurven posttiven<br />
Fldchemnapes^ was uns iibrigens insofern nicht mehr liberraschen<br />
wird, als wir ja sogar punkthafte ebene Mengen positiven Fl&chenmafles<br />
kennen (S. 135).<br />
2. Bedingungen fiir Streckenbilder.<br />
II (Satz von W. SierpiAski). Die Menge A ist dann undnur dann<br />
ein Streckenbild^ wenn sie ein kompaktes Koniinuum ist und sick fiir jedes<br />
d > 0 als Summe endlich vieler kompakter Kontinua mit Durchmessern ^ d<br />
darstellen Id/iL<br />
Der Ausdruck kompaktes Kontinuum konnte iibrigens an beiden<br />
Stellen des Satzes durch vollstandiges oder absolutes Kontinuum (zusammenhangende<br />
Menge, die voUstandig oder absolut abgeschlossen ist)<br />
ersetzt werden, da von A ja zugleich totale Beschranktheit (S. 108) gefordert<br />
wird.<br />
DaB die Bedingung notwendig ist, ist evident (Zerlegung von T in w<br />
gleiclie Teilintervalle; die Durchmesser ihrer Bilder konvergieren mit<br />
n -^ oo nach 0). Es ist zu zeigen, daB sie hinreicM.<br />
Nennen wir zur Abkiirzung eine der Bedingung des Satzes geniigende<br />
Menge A ein iS-Kontinuum. Die Hauptsache ist, zu zeigen, daB bei einer<br />
Zerlegung ^)<br />
(5) A^QA^<br />
p<br />
von A in Kontinua A^ von Durchmessern ^ S diese selbst wieder als<br />
iS-Kontinua angenommen werden konnen. Und dazu wieder mufi bewiesen<br />
werden:<br />
Ist C ein Kontinuum
206 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
Jede Menge C mit n Indices hat einen Durchmesser ^
§ 36. Streckenbilder. 207<br />
A mit keinem Aj^. verbunden werden, was insbesondere ^4^ ^^5.= 0 bedingt,<br />
und dann ware A =®^^ + @^Ar ^^^^ Zerstiickelung. Sind nun re, y zwei<br />
beliebige Punkte von A^ xeAi^ y ^ ^h (wobei auch i==A sein darf), so<br />
kann man, indem man etwa A^ mit A^^ A^ mit ^g? ^2 ^^^ -^3 usw., schlieBlich<br />
das letzte A^ mit Aj^. verbindet, eine Kette ^i + • • • + ^* herstellen,<br />
die alle A^ mindestens einmal enthalt, also = A ist, und deren Anfangsglied<br />
a;, deren Endglied y enthalt; eine solche Kette (d. h. die Summe ihrer<br />
Glieder) heiBe K[x, y), Nebenbei sei bemerkt, dafi man die Gliederzahl der<br />
Kette durch wiederholtes Setzen eines Gliedes beliebig vergroBern und<br />
demnach in (8) annehmen kann, daB p von 1 bis i% q von 1 bis Q (unabhangig<br />
von p), r von 1 bis R (unabhangig von p, q) lauft usw. Man kann<br />
dann<br />
^ =.4i4- '-^-Ap^K{x,y)<br />
annehmen (x^y beliebige Punkte von ^4; x e A^^^y e Ap)^ sodann<br />
^p = ^2,1 -f ' • • + Aj,q = K(x^, yp)<br />
{Xp^ ^p beliebige Punkte von Ap^x^s ^^j_, y^ B A^Q) USL Wahlt man Met<br />
yp = yeAp,<br />
so bilden die Mengen A^^ in lexikographischer Ordnung eine Kette, da<br />
z. B. A^Q A21 den Punkt y^ = x^ enthalt, und es ist evident, daB das Verfahren<br />
unbegrenzt fortsetzbar ist. Dann ist A polyadisches Kontinuum<br />
(S. 201), also Streckenbild und II bewiesen.<br />
Ill (Satzvon H.HahnundSt.Mazurkiewicz)* DieMenge A istdemn<br />
uad nur dann ein Streckenbild^ wenn sie ein kompaktes, lokal zusammenhdngendes<br />
Kontinuum ist.<br />
Um die Bedingung als hinreichend zu erweisen, zeigen wir, daB ein<br />
kompaktes, lokal zusammenhangendes Kontinuum A die Sierpi6skische<br />
Bedingung des Satzes II erfiillt (ein 6*-Kontinuum ist). Umgeben wir jeden<br />
Punkt X 8 A mit einer abgeschlossenen Kugel V^ (auf A als Raum bezogen)<br />
vom Radius ^, so ist die x enthaltende Komponente A^ von V^ ein kompaktes<br />
Kontinuum und hat x als inneren Punkt (wegen des lokalen<br />
Zusammenhangs), enthalt also eine Umgebung U^. Nach dem Borelschen<br />
Satz § 26, II ist A bereits in einer Summe endlich vieler U^ eiithalten,<br />
also fiir eine geeignete endliche Teilmenge B von A<br />
A = QU,= SA,,<br />
A als Summe endlich vieler Kontinua mit Durchmessern ^ 2 ^ darstellbar,<br />
DaB die Bedingung in III notwendig ist, folgt aus § 35, VI, VlII;<br />
iibrigens laBt sich auch unmittelbar zeigen, daB ein i?-Kontinuum lokal<br />
zusammenhangend ist. Denn ist (5) eine Zerlegung von A in endlich viele<br />
251
208 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
Kontinua mit Durchmessern ^ 5, und ist x in den Kontinuen A^ enthalten,<br />
in den Aj^ nicht, so ist C = © -4^ ein ic enthaltendes Kontinnum vom Durchmesser<br />
^2 5, das x als inneren Punkt hat, weil x in der abgeschlossenen<br />
Menge ^ A-^ nicht enthalten ist; A ist in x lokal zusammenhangend.<br />
§ 37. Bilder Suslinscher Mengen.<br />
Bei den Versuchen, aus der Art einer Menge A auf die Art ihres stetigen<br />
Biides B zu schlieBen, haben wir bisher eigentlich nur das eine Ergebnis<br />
erzielt: das stetige Bild einer in sich kompakten Menge K ist wieder ein iT;<br />
abgesehen von den Zusatzen, die sich auf Erhaltung des Zusammenhanges<br />
und des lokalen Zusammenhanges beziehen. Und es scheint auch<br />
zunachst gar keine Aussicht zu bestehen, iiher dies eine Ergebnis hinauszugelangen,<br />
da schon eine dbsolut abgeschlossene Menge F eine beliebige<br />
Menge (natiirlich von hochstens derselben Mglchtigkeit wie JF) zum stetigen<br />
Bilde haben konnte. Wenn wir indessen Mengen in separablen Qollstdndigen<br />
Raumen betrachten, so lafit sich doch ein einigermafien scharfes Resultat<br />
gewinnen: die stetigen Bilder Suslinscher Mengen sind Suslinsche^ und die<br />
schlichten stetigen Bilder Eorelscher Mengen sindBorelsche Mengen. Suslinsche<br />
und Borelsche Mengen eines voUstandigen Raumes haben ja librigens diesen<br />
Charakter in jedem Raume, sind dbsolut Suslinsche und Borelsche Mengen,<br />
so daB wir also auch hier von separablen absoluten S und B sprechen<br />
konnen.<br />
Bevor wir die ausgesprocbene Behauptung prazisieren und beweisen,<br />
seien noch einige Bemerkungen liber Raumprodukte sowie tiber die Projektion<br />
(S. 102) vorausgeschickt, die wir als Beispiel einer stetigen Abbildung<br />
schon ofter verwendet haben und verwenden werden. Das Produkt<br />
Z — (X, Y) zweier metrischer Raume, also die Menge der Paare z = (a:, y)<br />
mit xeX^ y ^^i wurde durch eine Festsetzung wie § 20, (18) oder (19)<br />
zum metrischen Raum gemacht; es kommt nicht sehr darauf an, welche<br />
Wahl wir treffen, da alle diese Raume Z homoomorph sind. Jedes Paar<br />
z ~ (a;, y) bestimmt sein erstes Element x = 9?(z), die Projektion von z auf X;<br />
das ist eine stetige, sogar gleichmaBig stetige Funktion. Das Bild<br />
A = (P(C) einer Teilmenge von Z ist die Projektion von C auf X. Zu den<br />
Teilmengen des Produkts gehoren insbesondere die Produkte von Teilmengen,<br />
C = (A^B) mit ^ g X, 5^7; diese konnen sich auf einzelne<br />
Punkte reduzieren, und es sei z. B. (A^y) die (mit A isometrische)<br />
Menge der Punkte (x^ y) mit festem y und x e A. Das Produkt C = (^, B)<br />
ist gegeniiber Summe und Durchschnitt distributiv; es ist<br />
(© A^, B) = ©(^,„ B), (S) A,,, B) = ®(4,„ B),<br />
natiirlich ebenso fiir den zweiten Faktor. Sind X, Y vollstandig, so ist<br />
Z vollstandig, und umgekehrt» Ist ^ in X abgeschlossen, so ist (A, Y)<br />
252
§ 37. Bilder Suslinscher Mengren. 209<br />
in (X, Y) abgeschlossen und umgekehrt; durch Komplementbildung und<br />
distributives Gesetz erkennt man: ist A in X offen oder eine Borelsche<br />
Menge F^, G^ oder eine Suslinsche Menge S, so ist (A, Y) in (Z, Y) offen<br />
oder ein F^^ G^, S^ und umgekehrt. Ist A in X und B in Y ein F% so ist<br />
in Z sowohl (yi, Y) als (X, B) als auch ihr Durchschnitt {A, B) ein -F^ und<br />
umgekehrt: ist (A^ B) ein i^^ in Z = (Z, 7), so auch in (Z, B)^ und ^ ist<br />
ein F^ in X; auch dies gilt fiir die G^ und S,<br />
Nun sei J5 stetiges Bild von A^ A liege in einem Raume X, 5 in einem<br />
Raume 7. Durch die abbildende Funktion y = x, q)(xj->(p(x), y^-^y] da zugleich yn-^z, ist<br />
z = y.<br />
Nun konnen wir zeigen:<br />
XL Das stetige Bild einer separahlen^ absolut Suslinschen Menge ist [103]<br />
wieder eine solche (wenn es nicht endlich ist) ^). Das schlichte stetige BUd<br />
einer separablen^ absolut Borelschen Menge ist wieder eine solche.<br />
Wir bringen die Behauptung auf die Form: A liege im separablen vollstandigen<br />
Raum X, der z. B. als voUstandige Hiille von A gedacht werden<br />
kann, B in einem beliebigen Raum Y, B sei stetiges (oder schlichtes stetiges)<br />
Bild von A; wenn dann A eine Suslinsche (oder Borelsche) Menge in X<br />
ist, so auch B in Y,<br />
Sei A^(BPn,Pn.n,"'<br />
eine Suslinsche Menge; die in X abgeschlossenen Mengen P^^^ni konnen<br />
so angenommen werden, daB ihre Durchmesser mit A -^ oo nach 0 konvergieren;<br />
ferner sei P^^ ^ P^^^^ § — •. Vermoge der Abbildung y =
210 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
ordnen wir gemafi (1) jeder dieser Mengen die in Y abgeschlossene Menge zu<br />
Dann ist Q,^ Q,^,^. , . = 0(P,^ P„^,^. ..) •<br />
Denn seien P, Q diese Durchschnitte; entweder besteht P aus einem einzigen<br />
Pimkt X e Ay und nach I besteht dann Q aus dem einzigen Punkt y = (p(x)'y<br />
Oder JP == 0, dann muB aber nach den Eigenschaften eines voUstandigen<br />
Raumes (zweiter Durchschnittssatz) Pn,...nk schlieBlich 0 sein, also auch<br />
Qn^.,.n]c— 0 und ^ == 0. Also ist<br />
eine Suslinsche Menge.<br />
Ist A eine Borelsche Menge, also (§34, II) mit disjunkten Summanden<br />
A = 2 P^^ Pn^n^'''<br />
darstellbar und B schlichtes stetiges Bild von A, so ist auch<br />
mit disjunkten Summanden darstellbar; da B wie A separabel ist und der<br />
Raum Y demnach als voUstandig und separabel angenommen werden kann,<br />
so ist B eine Borelsche Menge.<br />
Die Unterschiede des Satzes II von § 35, II sind sehr zu beachten.<br />
Damals handelte es sich um relativ Borelsche und Suslinsche Mengen (in A^<br />
in J5), es wurde von Mengen gi? auf ihre Urbilder ^A geschlossen, die<br />
Borelschen Klassencharaktere JF^, G^ blieben erhalten. Jetzt ist von<br />
absolut Borelschen und Suslinschen Mengen die Rede, der SchluB geht von<br />
der Menge A auf ihr Bild 5, und die Borelschen Klassencharaktere brauchen<br />
nicht erhalten zu bleiben. In dieser Beziehung gilt vielmehr das extreme<br />
Gegenteil: alle separablen, absolut Suslinschen Mengen sind stetige Bilder<br />
[104] separabler, absolut abgeschlossener Mengen, ja sogar einer einzigen solchen<br />
Menge, namlich des Baireschen Nullraums, Hierunter verstanden vrir die<br />
Menge A der F'olgen natiirlicher Zahlen<br />
X = (^^l, AZ2, . . .)<br />
mit der in § 20, 4 erklarten Entfernungsdefinition; daB A voUstandig oder<br />
absolut abgeschlossen ist, haben wir schon S. 105 bemerkt, und A ist<br />
separabel, da z. B. die abzahlbare Menge der x^ in denen schlieBlich lauter<br />
Einsen stehen, in A dicht ist. Der Bairesche Nullraum ist mit der Menge der<br />
irrationalen Zahlen homoomorph (die ein absolutes Gg ist). Denn ordnen<br />
wir der Zahlenfolge x eineindeutig die irrationale Zahl<br />
^•=^+^+---<br />
zwischen 0 und 1 zu, so wird die Menge dieser Zahlen stetiges Bild von A<br />
und umgekehrt: die Konvergenz bedeutet namlich, daB x^ in einer<br />
mit m nach oo strebenden Zahl von Anfangsziffern mit x iibereinstimmt,<br />
254
§ 37. Bilder Suslinscher Mengen. 211<br />
und daraus folgt i,„-^i, ebenso umgekehrt. Das offene Intervall (0,1)<br />
laBt sich nun homoomorph und mit Erhaltung des rationalen oder irrationalen<br />
Gharakters auf die Menge aller reellen Zahlen abbilden, etwa durch<br />
2ti-~ 1 = , , . , (0
212 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
schranken die Definition von y = (p(x) auf F(x) •> 0; dann wird B schlichtes<br />
stetiges Bild einer in A abgeschlossenen Menge. — DaB man in beiden<br />
Behauptungen von III die Menge A durch die homoomorphe Menge / ersetzen<br />
kann, ist evident.<br />
Die Suslinschen (Borelschen) Mengen in separablen voUstandigen Ranmen<br />
sind also stetige (schlichte stetige) Bilder von absolut abgeschlossenen<br />
Mengen oder reellen G^-Mengen — nicht aber von reellen oder Euklidischen<br />
abgeschlossenen Mengen (deren stetige Bilder immer nur absolute F^ sind).<br />
Man kann sie in entsprechender Weise auch als Projektionen darstellen.<br />
Die Suslinsche Menge B im separablen voUstandigen Raum Y sei vermoge<br />
y == (p{x) stetiges, die Borelsche Menge B schhchtes stetiges Bild der Menge<br />
A im separablen voUstandigen Raum X. Die Punktpaare(a;, y) mit xe X^<br />
y EY bilden den separablen voUstandigen Raum Z — (X, Y), etwa mit der<br />
Entfernungsdefinition ^x^^ + yTf. Die Menge C der Punkte (a;, €p{x))^ also<br />
durch xeA, y=^
§ 38. Homoomorphie. 213<br />
§ 38. Homoomorphie.<br />
Eine Homoomorphie zwischen A und B {A^ B) war als schlichte,<br />
in beiden Richtungen stetige Abbildung y == (p(x)^ x = y(?/) zwischen<br />
beiden Mengen erklart worden. Wir halten, trotz der Symmetrie dieser<br />
Beziehung, an den Bezeichnungen Bild und Urbild fest. An die Betrachtungen<br />
des vorigen Paragraphen ankniipfend, die sich hier erheblich umgestalten<br />
werden, beweisen wir zunachst einen dem dortigen Satz I ungefahr<br />
analogen Satz:<br />
I. Es sei A^=^B^ A in einem vollstdndigen Raume X, B in einem be- [107]<br />
liebigen Raume Y gelegen. In X sei eine Folge opener Mengen P^, ^2? • • •<br />
gegeben, Diesen kann man offene Mengen Q^, Q21 - - • des Raumes Y so zuordnen^<br />
da/i fur jede Folge v = (?ix, ;I2T • • *) vi^cichsender natUrlicker Zahlen^<br />
fiir die P^ = P^^ P^^. . . g ^, zugleich Qv = Qn, Qn^- • ^^^ ^i^d pon P^ isL<br />
Um zu erkennen, was eigentlich bewiesen werden soll^ bemerken wir:<br />
die Mengen An = A P^ sind in A off en, ihre Bilder J5,j in J? often (well die<br />
Funktion x = y)(y) stetig ist!); und weil hier das Bild des Durchschnitts<br />
der Durchschnitt der Bilder ist, so ist B^ = B^^ B^^., . das Bild von<br />
Ay = Af^^ An^.... Wenn wir also irgendwie B^ ~ BQ^ als Durchschnitt<br />
von B mit einer offenen Menge Q^ darstellen, so ist BQ^ das Bild von A P^;<br />
es ist zu zeigen, daB man diese offenen Mengen Qn so „klein" wahlen kann ^),<br />
dafl mit P^^A auch Q^ ^ B, Wir verfahren so: zu jedem Punkt x e A^<br />
wahlen wir eine Umgebung f/^(:r), die mitsamt ihrer abgeschlossenen Hiille<br />
in der offenen Menge Pn Hegt, und zu dem Bildpunkt y = (p{x) e B^ eine<br />
Umgebung V^iy) so, da6 das Urbild von B V^iy) in UJx) liegt (was wegen<br />
der Stetigkeit der Funktion x~,.y)(y) moglich ist); liberdies sollen die<br />
1<br />
Radien beider Umgebungen < — sein. Unter Q^ verstehen wir dann die<br />
Summe der Umgebungen V^iy), erstreckt iiber y eB^] es ist klar, daU<br />
BQn = Bny denn die Menge B VJy) hat ein in A U^ix) ^A^ gelegenes<br />
Urbild, ist also selbst gj5„, daher BQn^B^^ wahrend zugleich B Q^^<br />
alle Punkte y sB^ enthalt. — Nunmehr ist in der Tat Qv^B fiir i\ g A.<br />
Seien m
214 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
fiir jedes m gilt, so isi xePr^A^. x hat also ein Bild y ^ (p{x)eB, und aus<br />
folgt 2/„~>y, also z^yeB, was zu beweisen war.<br />
Betrachten wir nun, wie schon mehrmals, eine M^nge N von Folgen<br />
[108] V = (/ii, 7i2,...) wachsender naturlicher Zahlen und bilden mit den in X<br />
offenen Mengen P^ die Menge (^^-Funktion)<br />
SO laBt sich jede mit A homoomorphe Menge B nach I in der Gestalt<br />
B == f (?.- f
§ 38. Homoomorphie. 215<br />
erfUlU das Dreiecksaxiom^ denn schreibt man kurz d^^ fiir d(x^ F) und beachtet<br />
dy^dz + yz^ dy-^da: + xy, so ist<br />
^y yz xy + yz xz<br />
^y + Sx + ^v yz+ dy + d;,— xy + yz + d^ + d^ ~ xz + d^ + 6^<br />
Indem man noch dy-^d^^ xy in (1) anwendet, erhalt man<br />
Nun sei A — G^G^- * - ein G^, das Komplement J5 = i^i + ^2 + * * * ^^^<br />
Ffj\ man wahle eine konvergente Reihe positiver Zahlen c^ + Cg + • • *<br />
und definiere fiir Punkte von A<br />
xy = 2c,,(p{x, y I i^J.<br />
Dies hat wieder Entfernungscharakter, und durch Beilegung dieser<br />
Entfernungen wird die Menge A ein (von A verschiedener) metrischer<br />
Raum A, der schlicht auf A abgebildet ist (Jedem Punkt xeA entspricht<br />
derselbe Pnnkt xe A). Wir woUen zeigen, daB ^4 und A Merdurch homoomorph<br />
werden, d, h. daB, bei festem x, aus x^~> 0 zugleich xy-^O<br />
folgt und umgekehrt. In der Tat folgt aus (2)<br />
fiir xy -^0 konvergiert, wegen d(x^ F^) > 0, jedes Glied der Reibe nach<br />
0 und wegen der gleichmaBigen Konvergenz auch die Reibensumme. Andererseits<br />
ist nach (2)<br />
Cj xy<br />
und mit xy konvergiert xy nach 0.<br />
Endlich sei xy = max [a: 2^, xy];<br />
das ist wieder eine Entfernung und erzeugt einen dritten, mit A und A<br />
homoomorphen Raum J4. Dieser ist nun vollstandig, wenn E voUstandig<br />
ist, was den Beweis von III voUendet, Sei namlich s^eine Fundamentalfolge<br />
in A^ also (wegen xy^xy) auch eine in A und mA; me hat also, im<br />
Sinne der urspriinglichen Entfernungen xy, einen Limes in E. Dieser<br />
kann kein Punkt t von B sein; denn ware etwa teF^^ so wiirde aus (3)<br />
iiir m < n<br />
XtnXn<br />
also fiir n-^ 00 (x^ Xn-^ x,„ t > 0, d{Xf^, F^)-^ 0)<br />
lim inf x^x^ ^ -1<br />
n 2<br />
259
216 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
folgen, und dann ist ir„ in ^, also erst recht in A^ keine Fundamentalfolge,<br />
da doch fiir eine solche sogar lim sup 5^^n ^i* wachsendem m nach 0 konn<br />
vergieren miifite. Also gibt es einen Punkt xeA mit xx^-^0^ xx^-^Q^<br />
der Raum ^4 ist vollstandig.<br />
Ein Beispiel ist uns schon bekannt (S. 210): die Menge der irrationalen<br />
Zahlen, ein absolutes G^, ist mit dem absolut abgeschlossenen Baireschen<br />
NuUraum homoomorph.<br />
Sind zwei in Euklidischen Raumen gelegene Mengen A^ B homoomorph<br />
und A abgeschlossen, so ist B ein G^, aber zugleich ein F^ (ein K^,<br />
S. 197), also reduzibel. Die nicht reduzible Menge der irrationalen Zahlen<br />
kann also mit keiner Euklidischen abgeschlossenen Menge homoomorph sein.<br />
Wir wollen den Satz II noch auf einem andern, etwas weiter fuhrenden<br />
Wege beweisen.<br />
[Ill] IV (Satz von M. Lavrentief f). Eine Homoomorphie zmschen A undB<br />
Idfit sich zu einer Homoomorphie zwischen zwei ahsoluten G^-Mengen X '^A<br />
und Y ^B erweitern.<br />
Es sei zunachst nur B stetiges Bild von A, vermoge der stetigen Funktion<br />
y = 9?(a:); A^ und BQ seien voUstandige Hiillen von A und B. Betrachten<br />
wir einen Punkt xeA^^ der also Limes mindestens einer Folge<br />
von Punkten ansA ist; i„ = (pia^) seien deren Bilder. Die b^ konnen eine<br />
Fundamentalfolge bilden oder nicht; im ersten Fall konvergieren sie nach<br />
einem Punkt yeB^, Es kann nun sein, daB alien nach x konvergenten<br />
Folgen a^ Fundamentalfolgen b^ entsprechen (wie dies z. B. fiir xeA der<br />
Fall ist, wo stets b^^-^y = (p{x) ist); dann konvergieren alle diese Fundamentalfolgen<br />
b^ nach einem und demselben Punkte ysBQ] denn wenn den<br />
beiden Folgen a„->a;, a^^ -^-x zwei Folgen b^-^y, K -^y mit y ^y entsprachen,<br />
so wiirde die Folge %, %, ag, 02? • • • nach x konvergieren und<br />
ihre Bilder 6^, Sj, b^^ 52> • • • keine Fundamentalfolge liefern. Nennen wir<br />
^1 die Menge der Punkte XSAQ, welche die angegebene Eigenschaft haben<br />
(alien Folgen a^-^x entsprechen Fundamentalfolgen 6„), so entspricht also<br />
jedem Punkte xsA^ ein ganz bestimmter Punkt y = (pi{x) von BQ, namlich<br />
so, dafi fiir a^-^-x stetsft^-*?/; wir haben hier eine eindeutige Funktion<br />
J 38. Honioomorphie. 217<br />
art, da6 iixv xa
218 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
Beispiel. Es sei<br />
A = (0,1) + (1, 2) + (2, 3)<br />
die Summe der drei offenen Zahlenintervalle (0, 1), (1, 2), (2, 3); in diesen<br />
werde die Funktion y = 3; die Punkte 0, 3 sind also in A^^ und ihre Bilder 1, 3 in A2 aufzunehmen.<br />
Dagegen sind 1 und 2 nicht in ^1 aufzunehmen, denn wenn x<br />
von links oder rechts nach 1 konvergiert, so konvergiert y nach 0 oder 2,<br />
so daB nicht jeder Folge x-^l eine Fundamentalfolge entspricht; analog<br />
verhalt sich der Punkt 2.<br />
Aus IV folgt nun der Satz II noch einmal mit dem Zusatz:<br />
[112] II*. Das homoomorphe Bild einer absolut Borelschen Menge F^^ ^ 2)<br />
ist wieder eine solcke (mit demselben Index |).<br />
Nachdem namlich die Homoomorphie auf die absoluten G^-Mengen<br />
X, Y ausgedehnt ist, konnen wir den Satz § 35, II anwenden. Ist A ein<br />
absolutes G^(|^l), so auch in X; dann ist, wegen der Stetigkeit von<br />
X — y)(y)^ B ein G^ in F, also ein absolutes G^, da Y ein absolutes G^ ist.<br />
Ebenso ist, falls A ein absolutes F^i ^ 2) ist, B ein F^ in 7, also ein absolutes<br />
F\ da Y ein absolutes G^ und F^^ ist. Analog ist der Beweis fiir die<br />
absolut Suslinschen Mengen zu fiihren.<br />
Einige weitere, bei Homoomorphie invariante Mengencharaktere kann<br />
man aus IV durch Betrachtung der Komplemente X -' A, Y — B erhalten<br />
Z. B. gehen die Komplemente absolut Suslinscher Mengen (in einem vollstandigen<br />
Raum) durch Homoomorphie wieder in solche liber. Die Dif-<br />
262
§ 39. Einfache Kurven. 219<br />
ferenzen von zwei absoluten G^ gehen wieder in solche liber; denn ist<br />
A =:: Ai — A2 Differenz von zwei absoluten G^, die man wegen XA =<br />
XA-i^— XA2 als Teilmengen von X annehmen kann, so ist B =^ B^ — B^<br />
auch eine solche Differenz. Das trifft insbesondere auf die absoluten Mengen<br />
F^ = Fa zu.<br />
Wir stellen in einer kleinen Tabelle die wichtigsten Ergebnisse zusammen,<br />
die sich auf stetige, schlichte stetige und homoomorphe Bilder<br />
von Mengen beziehen; K bedeutet eine in sich kompakte Menge; die Charaktere<br />
F (abgeschlossen), F^^ G^, B (Borelsche Menge), S (Suslinsche<br />
Menge) sind absolut zu verstehen; der Zusatz sep. bedeutet separabel; ein<br />
leerer Platz bedeutet, daB sich nichts aussagen lafit.<br />
A<br />
K<br />
F<br />
pi<br />
G^<br />
S<br />
sep, i?<br />
sep. 5<br />
sep. S<br />
stetig<br />
K<br />
S<br />
S<br />
s<br />
Bild von A<br />
schlicht stetig<br />
K<br />
B<br />
B<br />
S<br />
§ 39. Einfache Kurven.<br />
homoomorph<br />
K<br />
Gs<br />
i^(l^2)<br />
GHS^i)<br />
S<br />
Gs<br />
B<br />
S<br />
1. Bedingungen fiir einfache Kurven.<br />
Unser Streckenbild, d. h. das stetige Bild einer abgeschlossenen Strecke<br />
Oder des Zahlenintervalls T= [0,1] brauchte mit dera, was man sich<br />
anschaulich unter einer Kurve vorstellt, wenig Ahnlichkeit zu haben.<br />
Etwas naher kommt dieser Vorstellung die einfache Kurve ^), namlich das<br />
homoomorphe Bild von T. Damit C ein solches sei, sind jedenfalls folgende<br />
Eigenschaften notwendig, deren Verzeichnis leicht noch weiterzuiuhren<br />
ware und bei deren Fassung wir die Begriffe abgeschlossen, Kontinuum<br />
usw. auf C selbst als Raum beziehen:<br />
(oC) C ist in sich kompakt.<br />
(j8) C hat zwei Punkte a. J, zwischen denen es irreduziblss Kontinuum<br />
ist; d. h. C selbst ist Kontinuum, aber kein Kontinuum
220 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
(y) C hat zwei Punkte a, b, zwischen denen es irreduzibel zusammenhdngend<br />
ist; d. h. C selbst ist zusammenhangend, aber keine zusammenhangende<br />
Menge c C enthalt die Punkte a, b,<br />
(d) C ist zusammenhangend und hat zwei Punkte a, b folgender Art:<br />
fur jeden Punkt xeC gibt es eine Zerlegung C ~A + B, wo A^B abgeschlossen<br />
sind, nur den Punkt x gemein haben und aeA^ beB,<br />
(e) C ist lokal zusammenhangend.<br />
In der Tat folgt die Notwendigkeit von (a)(e) aus § 36, III. Die iibrigen<br />
Bedingungen ergeben sich, wenn man unter a, b die Bilder der Endpunkte<br />
0,1 von T versteht; keine zusammenhangende Menge < T enthSlt<br />
die Punkte 0,1, woraus (y) und um so mehr (P) folgt; und fiir jedes isT<br />
gibt T = [0, t] 4- [^ 1] eine Zerlegung, die auf C iibertragen die Eigenschaft<br />
((5) hat (unter [0, 0] und [1, 1] sind die einpunktigen Mengen {0}<br />
und {1} zu verstehen).<br />
Wir werden nun zeigen, da6 die Bedingungen (a, )9, B) oder ((K, y)<br />
oder ((x^ d) auch hinreichend sind.<br />
I. Die Bedingungen (y) und (6) sind gleichbedeutend.<br />
Da6 (y) aus (d) folgt, ist sehr einfach einzusehen. Wenn DczC die<br />
Punkte a, & enthalt, sei xeC — D und C^A+B eine gemafl (d) zu x<br />
gehorige Zerlegung; dann ist DAB = 0 und D == DA + DB eine Zerstiickelung,<br />
D nicht zusammenhangend.<br />
Umgekehrt, sei (y) erfiillt oder auch nur folgende Teilannahme: C sei<br />
zwischen a, b irreduzibles Kontinuum im Sinne von (jS) und werde durch<br />
Tilgung eines von a, b verschiedenen Punktes unzusammenhangend. Um<br />
daraus (d) zu beweisen, konnen wir x von a, b verschieden annehmen, da<br />
iuT X == a und x ~ b die Zerlegungen C ~ a + C — C -\-b den gestellten<br />
Forderungen geniigen (wir bezeichnen jetzt einpunktige Mengen [x] einfach<br />
mit x), Dann ist C — x unzusammenhangend, also in C — x =^ P + Q<br />
zerstuckelbar, wo -P, ^ in C — re abgeschlossen sind. Dann sind die Mengen<br />
A = P-^x^B^Q + x (in C) abgeschlossen, uberdies sind sie nach<br />
§ 29, III zusammenhangend, da ihre Summe C und ihr Durchschnitt x<br />
zusammenhangend sind. Keines der Kontinua ^ cr C, B
§ 39, Einfache Kurven. 221<br />
(1) fiir o^iC^g ist Ai^A2^<br />
Es ist namlich ^2 + ^i> ^'s Summe zusammenhangender Mengen mit dem<br />
gemeinsamen Punkt Xi, zusammenhangend; da sie a,J enthalt, ist nacli<br />
(y) C = A2 + B^^ mit -4^ geschnitten A^ = ^^ -^2 + ^1 = ^1 -^g.<br />
Fur<br />
1 — 2<br />
folgt hieraus A^^ = -^2, ebenso natiiriich JSj = fig? d. h.<br />
die zu X gehorige Zerlegung C = A -\- B i%i durch x eindeutig hestimmU<br />
Nennen wir ^4. das zu x gehorige Anfangsstiick von C (B das Endstiick).<br />
Zu X = a gehort das Anfangsstiick a^ zu x ~b das Anfangsstiick C.<br />
Wenn aber in (1) x^^ rcg, so ist<br />
(2) A1CZA2, X2eA2'-A^.<br />
Ware namlich zugleich %f^2 ^^^ ^2^-^11 ^^ wiirde ^4^ — ytg folgen,<br />
also -^1 — Xi = ^2 "^ ^2> ^1 + ^^2 = -^2 + ^v I^ dieser letzten Gleichung,<br />
die eine Zerlegung in Komponenten ausspricht, miiBte Bj = x^^ B^ = x^<br />
sein; aber B^ und i?2 enthalten J, und man gelangt zum Widerspruch<br />
x^== X2 = b, Also: sind oji,ojg verschieden und x^sA^^ so ist nichi<br />
X2eAi, womit (2) bewiesen ist.<br />
Natiirlich konnen fiir % =t=^ X2 auch die Relationen x^sB^^ X.^BB^ nicht<br />
gleichzeitig bestehen. Es besteht also eine und nur eine der Relationen<br />
X-^GA.2I A.i^A.2'i X2SA.2 -^1?<br />
Oder ^2^^i? ^2^^i? x^eA^ — A2*<br />
Die zu verschiedenen Punkten gehorigen Anfangsstiicke stehen also immer<br />
in der Beziehung A^^Az- Wir machen C zu einer geordneien Menge,<br />
indem wir ... . .<br />
Xi < rTg fur A^ c: ^2<br />
definieren. Dies ist mit XisAz^ ^1 4^ ^2 gleichbedeutend; auBerdem enthalt<br />
^^2 noch den Punkt X2^<br />
Nach geschehener Ordnung ist also A die Menge der Punkte
222 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Riiume.<br />
[a, a^i), also off en; ebenso ist C^ offen, falls sie kein erstes Element hat.<br />
Beides zagleich wiirde eine Zerstiickelung von C bedeuten, also hat entweder<br />
C^ ein letztes oder C^ ein erstes Element.<br />
Wenn ferner C separabel ist, also eine abzahlbare Menge i? in C dicht<br />
ist (im metrischen Sinn), so ist R auch im ordinalen Sinn (S. 54) in C dicht.<br />
Denn (o^i, x^ lir x^ < x^ ist offen, enthalt also einen Punkt r von /?, d. h.<br />
x^
§ 39. Einfache Kurven. 223<br />
es sei P„ die a enthaltende, Q^ die b enthaltende Komponente von i^„ (solange<br />
noch afif/„, werde JP„ = 0 gesetzt; analog Q^. Die Mengen<br />
(wobei die Summanden mit n zunehmen) sind disjunkt und zusammenhangend.<br />
Hierbei enthalt nach dem Randsatz § 29, XVII P^ einen Punkt<br />
1<br />
auf dem Rande von F„, also in der Entfernung —von x\ xi^% Haufungs-<br />
TV<br />
punkt von P und Q\ P -\- Q -{- x zusammenhangend, als Summe der zusammenhangenden<br />
Mengen A = P -\- x^ B — Q + x. Wenn nun noch<br />
gezelgt wird, daB A und B abgeschlossen sind, so ist der Beweis erbracht;<br />
denn aus der Irreduzibilitat (P) folgt dann C ~ P + Q + x = A -j- B^<br />
die gewiinscbte Zerlegung. Es ist also zu zeigen: wenn c^x a-Punkt<br />
von P ist, so ist ceP, Sei R^ die c enthaltende Komponente von F^ und<br />
R = QRn (schlieBlich ist ceFn] vorher sei wieder R^ == 0). Nun ist scHieBlich<br />
c innerer Punkt von F^ und wegen des lokalen Zusammenhangs innerer<br />
Punkt von R^ (schon die c enthaltende Komponente von F^^^ hat c zum<br />
inneren Punkt); R^ enthalt also Punkte von P, Danach ist R^P^O,<br />
RP:=>0 und fur hinlanglich groBes n auch R^P^^O^ d. k R^ = P^ und<br />
R = P, also ceP,<br />
Damit ist IV bewiesen. Ein kompaktes, lokal zusammenhangendes<br />
Kontinuum war immer stetiges Bild einer Strecke; ist es iiberdies zwischen<br />
zwei gewissen Punkten irreduzibel, so ist es homoomorphes Streckenbild.<br />
2. Primteile eines Kontinuums ^). C sei mehrpunktig, zusammenhangend<br />
und werde wieder als Raum angenommen, auf den sich die Relativbegriffe<br />
beziehen. Die Punkte r, in denen C lokal zusammenhangend ist,<br />
mogen reguldre Punkte, die iibrigen s singuldre Punkte heiBen; ist R die<br />
Menge der regularen, S die der singularen Punkte, so ist<br />
C=.RJ^S^R, + S^,<br />
Die Punkte (einpunktigen Mengen) i^on Ri und die Komponenten von S^<br />
heipen die Primteile i^on C (H. H ahn). Falls i?^ = 0, 6* in C dicht ist, hat C<br />
sich selbst als einzigen Primteil und heiBe ein Primkontinuum. Ist R^ ::=> 0,<br />
so ist diese insichdichte Menge lokal zusammenhangend, da einer ihrer<br />
Punkte mit einem hinlanglich benachbarten durch eine zusammenhangende<br />
Menge g C von beliebig kleinem Durchmesser, also g i?^, verbunden<br />
werden kann; ilire Komponenten sind in /?| offen und mehrpunktig, R^<br />
also (§ 29, VII) mindestens von der Machtigkeit fc
224 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Eaume.<br />
(3) (X, 5x, ^2? • • M ^n-li y)y<br />
deren Zwischenpunkte s^^ ^2? • • ^ ^n-i singulai* sind (wozu wir auch fiir<br />
xy^Q die Kette (x^y) ohne Zwischenpunkte rechnen), heiBe eine^mgzi-<br />
Idre Q'Kette, Verbinden wir rr, y durch alle moglichen singularen {)-Ketten;<br />
die untere Grenze der hierbei auftretenden Zahlen Q sei als die singulare<br />
Distanz xy definiert. Es ist xy ^ xy und es gilt das Dreiecksaxiom<br />
^ + y^^ ^1 denn wenn sicha^und y durch eine singulare ^-Kette, y und z<br />
durch eine singulare cr-Kette verbinden lassen, so x und z durch eine singulare<br />
Q + o'-Kette. Wenn wir statt der singularen ^-Ketten solche<br />
(4) {x, ^1, t^,..., ^n-i, y)<br />
verwenden, deren Zwischenpunkte aus 6"^ entnommen sind, so andert sich<br />
die untere Grenze der Q nicht; denn eine ^-Kette (3) ist eine spezielle<br />
^-Kette (4), und andererseits gehort zu einer ^-Kette (4) eine ^ + ^-<br />
Kette (3), indem man zu jedem tj^ ein Sj^. mit S]ch ^ und y verschiedenen Primteilen angehorig voraus;<br />
im ausgeschlossenen Fall ware C Primkontinuum, F einpunktig.<br />
Das Bild 0{G) einer in C offenen Menge G braucht in F nicht oflen zu<br />
sein. Wenn jedoch G den ganzen Primteil A, das Urbild des Punktes |,<br />
268
§ 39. Einfache Kurven. 225<br />
enthalt, so hat 0(G) den Punkt | zum inneren Punkt. Denn ist JP = C — G,<br />
so ist das Bild 0(F) abgeschlossen (als sletiges Bild einer kompakten abgeschlossenen<br />
Menge) und enthalt | nicht, hat also von | eine positive untere<br />
Entfernung Q; alle Punkte rj mit ^r] < Q gehoren demnach zu 0(G),<br />
Wir wollen nun das eigentliche Ziel dieser Untersuchung erreichen,<br />
namlich beweisen, daB das Kontinuum der Primteile lokal zusammenhdngend<br />
ist.<br />
V. Ist C kompaktes Kontinuum^ F (in C) abgeschlossen^ P eine Komponente<br />
von F, so ist jeder Punkt x von F^ P(F — P)^ singular, und der x<br />
enthaltende Primteil A trifft den Rand F^ von F.<br />
Folgendes sei vorausbemerkt. Damit der Satz einen Inhalt habe, d. h.<br />
ein Punkt x vorhanden sei, muB Fi^O und F^P sein, also F unzusammenhangend<br />
und insbesondere F 0. Der Randsatz<br />
§ 29, XVII, auf dem hauptsachlich der Beweis des jetzigen Satzes beruht,<br />
sagt aus, daB jede Komponente von CF = F den Rand F,. trifft, ferner:<br />
wenn Q ein Kontinuum ist, das F^ und Fi trifft, so hat jede Komponente<br />
von QFi Haufungspunkte in F^^<br />
Nun kann x nicht regular sein; denn ist U^^Fi^ so miifite x innerer<br />
Punkt der ihn enthaltenden Komponente von f/^., also erst recht von P<br />
sein und ware nicht Haufungspunkt von F — P,<br />
Sei weiter F = P + 2 Q^^ die Zerlegung von F in Komponenten.<br />
Wegen d(x^ (^w) > 0 muB es, weil x Haufungspunkt von F — P sein soil,<br />
eine Folge von Komponenten Q^^ mit d(x, Q^ -^ 0 geben; nach dem Auswahlsatz<br />
konnen wir annehmen, daB der abgeschlossene Limes Q ~ Fl Q^<br />
existiert. Er ist wieder ein KontinuumgjF (Satz von Zoretti) und enthalt<br />
X, ist also in P enthalten, iiberdies natiirlich in (F — P)^] nach dem<br />
bereits Bewiesenen sind also alle Punkte (zu denen x gehort) von QF^ singular,<br />
QFi g S. Wie oben bereits vorausbemerkt wurde, treffen alle Q^ den<br />
Rand F^., also ist auch ^i^^r^O, und die x enthaltende Komponente<br />
X von QFi hat Haufungspunkte in F^, X^F^^Q, Da nun X^S,<br />
Xcc^Sat und X^ zusammenhangend ist, ist X^, in dem zu x gehorigen<br />
Primteil A enthalten und AF^z^O,<br />
VI. Ist A ein Primteil des kompakten Kontinuums C, JF die Menge der<br />
Punkte mit d(x, A) ^ Q(Q > 0)^ P die A enthaltende Komponente von JF, SO<br />
ist A g Pi,<br />
Denn ist xeA^Fi P, so darf x nicht zu (F — P)« gehoren, da sonst,<br />
nach V, A den Rand von F treffen miiBte; es gibt also eine Umgebung<br />
U^ g Fi, die zu F — P disjunkt ist, d. h. U^^P, x ist innerer Punkt von P,<br />
VIL (Satz von R. L. Moore). Das Kontinuum der Primteile eines<br />
kompakten Kontinuums ist lokal zusammenhangend,<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 15<br />
269
226 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
Sei leJT, das Urbild von | der Primteil A von C; FQ eine Umgebung<br />
von f, ihr Urbild eine in C offene Menge G^^A. 1st ^ positiv und kleiner<br />
als die untere Entfernung zwischen A und der Begrenzung ^) von GQ (beides<br />
sind kompakte Kontinua), so ist die Menge F des Satzes VI in G^ enthalten;<br />
P sei wie dort die A enthaltende Komponente von F und A^G^P^GQ^<br />
wo G = Pi oflen ist. Fiir die Bilder folgt 0{G)^0(P)^0{GQ) ^ F^,<br />
Hierbei enthalt, wie wir oben sahen, 0(G) den Punkt | als inneren Punkt,<br />
und 0(P) ist ein Kontinuum g JTQ, das f als inneren Punkt enthalt, womit<br />
also der lokale Zusammenhang von F in ^ bewiesen ist.<br />
VIII. (Satz von H. Hahn). Ist C ein kompaktes, zusammengesetzteSy<br />
zwischen zwei gewissen Punkten irreduzibles Kontinuum^ so ist das<br />
Kontinuum seiner Primteile mit dent Intervall 7(0 ^ i ^ 1) homoomorph.<br />
T ist stetiges Bild von C in der Weise^ dafi die Urbilder der Punkte t<br />
die Primteile ifon C sind,<br />
Denn /*, das Kontinuum der Primteile, ist kompakt, mehrpunktig,<br />
zwischen zwei Punkten irreduzibel und lokal zusammenhangend, also nach<br />
IV mit T homoomorph. T ist stetiges Bild von JP, F von C, also T von C,<br />
wobei jedem t genau ein Punkt von F und ein Primteil von C entspricht.<br />
Ein einfaches Beispiel in der (x^^ X2)-Ebene ist die aus den beiden<br />
Mengen<br />
/? : 0 < ajj ^ 1, X2 = sin<br />
S : Xi = 0, — 1 ^ 0^2 ^ 1<br />
gebildete Menge C = R + S, wobei zugleich R die Menge der regularen,<br />
S die der singularen Punkte ist -). Die Primteile sind S und die Punkte<br />
von /?; die Projektion auf die x^-Achse liefert [0, 1] als stetiges Bild von C.<br />
Zwischen jedem Punkt aeS und dem Punkt b(Xj^ = 1, rpg = 0) ist C irreduzibles<br />
Kontinuum, zwischen alien andern Punktpaaren ist es reduzibel.<br />
Irreduzibel zusammenhangend im Sinne von (y) ist es auch zwischen a und b<br />
nicht, da a +/? zusammenhangend ist; dagegen ist die Menge a + R<br />
zwischen a und b irreduzibel zusammenhangend und nach II T schlichtes<br />
stetiges Bild von ihr (wieder durch Projektion).<br />
[114] § 40. Topologische Raume.<br />
Homdomorphien werden auch topologische Abbildungen und homoomorphe<br />
Mengen topologisch aquivalent genannt; Eigenschaften, die<br />
homoomorphen Mengen gemeinsam sind, heiBen topologische Invarianten.<br />
So ist die Eigenschaft, ein absolutes G^(|^ 1) zu sein, topologisch invariant,<br />
nicht aber absolute Abgeschlossenheit (Vollstandigkeit); relative<br />
^) Wenn diese verschwindet (Go = C), kann ^ >0 beliebig sein.<br />
2) Dasselbe leistet die Menge in Fig. 6 (S. 157).<br />
270
§ 40. Topologische Raume. 227<br />
Abgeschlossenheit und Oflenheit sind hingegen wieder topologisch invariant,<br />
d. h. ist A in E abgeschlossen (offen) und E mit E, A mit einer<br />
entsprechenden Teilmenge.Z homoomorph, so ist A in E abgeschlossen<br />
(offen). Die mathematische Disziplin, die sich mit diesen Dingen beschaftigt,<br />
heifit Topologie oder (mit einem von Riemann wieder aufgegriffenen<br />
Leibnizschen Ausdruck) Analysis situs. Wir haben in sie<br />
nicht tiefer eindringen und nur wenige, allgemein gehaltene Satze daraus<br />
beweisen konnen. Es ist dies aber der passende AnlaB, in aller Kiirze<br />
diejenigen Punktmengentheorien zu streifen, die den topologischen Standpunkt<br />
von vornherein zur Geltung bringen und nur mit topologisch invarianten<br />
Begriffen arbeiten; ein so definierter topologischer Raum ist<br />
von homoomorphen Raumen in demselben Sinne ununterscheidbar,<br />
wie in unserer Jheorie ein metrischer Raum von isometrischen Raumen.<br />
Dabei handelt es sich nicht bloB um eine formale Umgestaltung der metrischen<br />
Theorie, sondern um einen neuen, weiteren Raumbegriff; die<br />
metrisierbaren^ d. h. mit metrischen Raumen homoomorphen Raume<br />
bilden nur einen Spezialfall unter den topologischen Raumen. Das Primare<br />
im topologischen Raum E sind die (in E) abgescMossenen und ihre Komplemente,<br />
die offenen Mengen; hierauf stiitzt sich der Stetigkeitsbegriff^<br />
namlich (§ 35, I): die eindeutige Funktion x = f(x)^ die den Raum E<br />
auf den Raum E abbildet, heifit stetig, wenn jeder in E abgeschlossenen<br />
(offenen) Menge als Urbild eine in E abgeschlossene (offene) Menge entspricht.<br />
Eine schlichte, beiderseits stetige Abbildung heifit Homoomorphie.<br />
Die abgeschlossenen oder offenen Mengen konnen unerklart an die Spitze<br />
gestellt oder auf verwandte Begriffe (abgeschlossene Hiille, Limespunkt,<br />
Haufungspunkt; offener Kern, Umgebung) zuriickgefiihrt werden, immer<br />
unter Wahrung des topologisch in varianten Charakters; die nahere Beschaffenheit<br />
des Raumes wird dann durch eine passende Auswahl von<br />
Axiomen geregelt, von denen wir nur die drei Hauptgruppen in Betracht<br />
Ziehen: Summen- und Durchschnittsaxiome, Trennungsaxiome, Mdchtigkeitsaxiome.<br />
Solche Axiome konnen z. B. der metrischen Raumtheorie<br />
entlehnt werden, wo sie als beweisbare Theoreme auftreten.<br />
I. Summen- und Durchschnittsaxiome, Die abgeschlossenen Mengen<br />
soUen unter alien Umstanden den Forderungen geniigen:<br />
(1) Der Raum E und die Nullmenge 0 ist abgeschlossen.<br />
(2) Die Summe von zwei abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.<br />
(3) Der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen<br />
ist abgeschlossen.<br />
Hiernach kann die abgeschlossene Hiille A^ als Durchschnitt aller<br />
abgeschlossenen Mengen ^A (zu denen jedenfalls E gehort) definiert<br />
werden; sie hat folgende Eigenschaften:<br />
15*<br />
271
228 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
(a) 0,-0<br />
(b) A^^A<br />
(c) A^^ = A^<br />
(d) (A + BU = A, + B,,<br />
Man konnte auch diese Eigenschaften als Axiome liber die Mengenfunktion<br />
A^ an die Spitze stellen (K. Kuratowski), abgeschlossene Mengen<br />
durch A^ = A definieren und damit die Satze iiber abgeschlossene Mengen<br />
beweisen; z. B. folgt (3) daraus, daB wegen (d) ^« eine monotone Mengenfunktion,<br />
d. h. mit A^B auch Acc^Boi^ ist.<br />
Fiir die offenen Mengen gelten die entsprechenden Satze:<br />
(1) Der Raum E und die NuUmenge 0 sind offen.<br />
(2) Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist offen.<br />
(3) Die Summe von beliebig vielen offenen Mengen ist offen.<br />
Die Summe aller offenen Mengen g A heiBt der offene Kern A^ und<br />
hat analoge Eigenschaften (a, 6, c, d) wie ^,. Man kann natiirlich auch<br />
diese Eigenschaften oder die Satze iiber offene Mengen als Axiome an die<br />
Spitze stellen. Eine Modilikation davon bilden die Axiome iiber Urngehungen.<br />
Bezeichnen wir die den Punkt x enthaltenden offenen Mengen<br />
(zu denen jedenfalls E gehort) mit G^. und greifen aus ihnen ein Teilsystem<br />
von Mengen V^ derart heraus, daB jedes G^ ein V^ enthalt; diese<br />
U^ heiBen Umgebungen von x^ und die Umgebungen aller Punkte bilden<br />
ein {>olles Umgehungssystem fiir den Raum E, Solcher Systeme wird es<br />
im allgemeinen verschiedene geben; das groBte besteht aus alien offenen<br />
Mengen '>0\ im metrischen Raume bilden die in § 22 eingefiihrten<br />
,,spharischen" Umgebungen Vr^iq) mit positiven Radien q ein solches,<br />
aber auch schon dann, wenn man sich auf rationale Q oder ^ = 1, J, i, • • •<br />
beschrankt; im separablen Raume bilden die „speziellen'' Umgebungen<br />
V von § 25 ein voiles Umgehungssystem; im lokal zusammenhangenden<br />
Raum gibt es ein voiles System aus zusammenhangenden Umgebungen.<br />
Zwei voile Systeme, mit den Umgebungen U^ und F^., stehen in der Beziehung:<br />
jedes U^ enthalt ein V^ und jedes V^ ein V^, Ist der Raum E,<br />
mit den Umgebungen f/^, homoomorph mit E, so geben die Bilder der<br />
U^ ein voiles Umgehungssystem fiir E: AUS den Satzen iiber offene Mengen<br />
ergeben sich folgende Eigenschaften der Umgebungen:<br />
(A) Jeder Punkt x hat mindestens eine Umgebung V^\ es ist stet&<br />
XBV^,<br />
(B) Zu zwei Umgebungen f/^., V^ desselben Punktes gibt es eine<br />
dritte W^ g V^ F^.<br />
(C) Jeder Punkt yef/^, hat eine Umgebung Uy^U^,<br />
Nun kann man wieder die Umgebungen als unerklarten Begriff an<br />
die Spitze stellen und die Satze (A, B, C) als Umgebungsaxiome postu-<br />
272
§ 40. Topologische Raume. 229<br />
lieren ^). Offene Mengen G sind dann als Summen von Umgebungen oder<br />
als solche Mengen zu definieren, wo jeder Punkt xeG eine Umgebung<br />
U^^G hat (hierzu die NuUmenge mitgerechnet). Dann werden die<br />
Satze (1,2,3) liber offene Mengen beweisbar.<br />
Mit den bisherigen Axiomen, mag man diese oder jene der erwahnten<br />
Formen vorziehen, ist der Raum natiirlich noch sehr arm an Eigenschaften.<br />
Es ist sogar noch nicht einmal dafiir gesorgt, da6 einpunktige (und damit<br />
nach (2) auch endliche) Mengen abgeschlossen sind. Dies kann man ent-<br />
Aveder durch ein Axiom eben dieses Inhalts oder lieber durch folgende<br />
Forderung erreichen:<br />
Zu zwei verschiedenen Punkten x^ y gibt es eine abgeschlossene Menge,<br />
die rr, aber nicht y enthalt.<br />
Denn die abgeschlossene Hiille der einpunktigen Menge {%] ist dann<br />
diese Menge selbst. — In dieser Forderung kann man das Wort abgeschlossen<br />
auch durch offen ersetzen; dann geht sie in das erste der folgenden<br />
Trennungsaxiome liber.<br />
II. Trennungsaxiome,<br />
(4) Ist x^ =1= 0^2, so gibt es eine offene Menge G^, die x^, aber nicM x.^<br />
enthalt.<br />
(5) Ist x^ 4= ^2> so gibt es zwei disjunkte offene Mengen G^, G^ mit<br />
X-^ B ^\^ X^ S Cr2.<br />
(6) Ist F2 eine den Punkt % nicht enthaltende abgeschlossene Menge^<br />
so gibt es zwei disjunkte offene Mengen Gi^G^ mit x^eG^^ F^^G^,<br />
(7) Sind Fi, F^ zwei disjunkte abgeschlossene Mengen, so gibt es<br />
zwei disjunkte offene Mengen G^, G2 ^^ ^i = ^i» ^2 S ^2-<br />
(8) Sind ^1, A2 zwei disjunkte, in ihrer Sunmie abgeschlossene<br />
Mengen, so gibt es zwei disjunkte offene Mengen Gj, G^ mit A^^G^,<br />
Jedes dieser Axiome, dabei (4) festgehalten, ist eine Verscharfung des<br />
vorangehenden, und man erhalt auf diese Weise topologische Raume zunehmender<br />
Spezialisierung. In metrischen Raumen gilt das letzte Trennungsaxiom,<br />
also alle (vgl. S. 163; der Beweis reicht auch fiir (8) aus).<br />
III. Mdchtigkeitsaxiome. Hier wiirde es sich vor allem (wenn man<br />
die trivialen endlichen Rtome ausschlieSt) um die Beziehungen zum<br />
Abzahlbaren handeln; wir sprechen sie mit Hilfe der Umgebungen in den<br />
beiden Abzdhlbarkeitsaxiomen aus:<br />
(9) Es gibt ein voiles Umgebungssystem, wo jeder Punkt hochstens<br />
abzahlbar viele Umgebungen hat.<br />
(10) Es gibt ein abzslhlbares voiles Umgebungssystem.<br />
^) Eine solche Umgebungstheorie wurde in der ersten Auflage dieses Buches<br />
durchgeltihrt.<br />
273
230 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.<br />
Das erste ist in jedem metrischen Raume, das zweite in jedem<br />
separablen Raume erfiillt.<br />
Das hier gegebene Verzeichnis von Axiomen kann natiirlich erganzt<br />
werden; aber die Axiome der Gruppe I und wenigstens eins der Trennungsaxiome<br />
sind wohl das Minimum dessen, was man von einem topologischen<br />
Raume fordern muB, wenn er nicht gar zu abnorm ausfallen soil. Mit dem<br />
zweiten Trennungs- und dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom, also mit<br />
(1,2,3,5,9) laBt sich schon eine der metrischen annahernd ahnliche<br />
Raumtheorie begriinden. Zur Metrisierbarkeit des Raumes ist aber das<br />
scharfste Trennungsaxiom, also (1,2,3,8,9) jedenfalls notwendig; es<br />
sei hier ohne Beweis erwahnt, da6 zur Homoomorphie mit einem separablen<br />
metrischen Raume die Giiltigkeit der Axiome (1, 2, 3, 6,10) notwendig<br />
und hinreichend ist (Satz von P. Urysohn, etwas verscharft von<br />
A. Tychonoff).<br />
Eine interessante Kategorie topologischer Raume hat M. Frechet<br />
aufgestellt: sie legt den BegriiBf der konvergenten Folge oder des Limes<br />
(Grenzpunkts) zugrunde. Gewissen Punktfolgen (a:i, o^g,...) des Raumes<br />
E sollen eindeutig Punkte x von E zugeordnet sein; eine solche Punktfolge<br />
heiBt konvergent (nach x) und der zugeordnete Punkt x = lim x^<br />
ihr Limes. Hierbei sollen die beiden Limesaxiome gelten:<br />
(oc) Jede konstante Folge (rr, rr, a:, . ..) konvergiert nach x.<br />
(^) Jede Teilfolge einer nach x konvergenten Folge konvergiert<br />
nach X,<br />
Der mit einer solchen Limesdefmition ausgestattete Raum heiBe<br />
ein L'Raum,<br />
Ist ^ g J? und konvergiert eine Punktfolge aus A nach x, so heiBe<br />
X ein Limespunkt^) von A\ die Menge der Limespunkte von A sei Ax*<br />
Nach dem Axiom (a) ist Ai^A*, die Mengen mit A^ — A werden als<br />
abgeschlossen definiert. Dann gelten die Satze (1, 2, 3) iiber abgeschlossene<br />
Mengen; das folgt leicht daraus, daB Ax eine monotone Mengenfunktion<br />
und wegen ()5) offenbar {A + B)x = Ax + Bx ist. Die abgeschlossene<br />
Hiille A^ von A ergibt sich dann nach § 30, 2 als groBte Menge der Folge<br />
A^,A\. , ., ^^. . ., die durch<br />
A^ = A, ^^+1 = ^1, A"^ == @ .1^' (ri Limeszahl)<br />
"^<br />
induktiv definiert ist und mit A^ Ax^ Axx^ - - - beginnt; librigens ist, ver-<br />
moge derselben Dberlegung wie im Fall eines Baireschen Funktionensystems<br />
(S. 167), jedenfalls A^ = A^, d. h. die groBte Menge A^ = A'f<br />
wird schon fiir einen Index rj ^ i2 erreicht.<br />
^) Die Limespunkte sind hier, wie wir sogleich sehen werden, nicht notwendig<br />
mit den «-Punkten (Punkten der abgeschlossenen Hiille) identisch,<br />
sondern bilden nur einen Teil von ihnen.<br />
274
§ 40. Topologische Raume. 231<br />
tjbrigens bilden die Funktionensysteme^ auf die eben zuriickverwiesen<br />
wurde, das einfachste Beispiel fiir i-Raume; ein Beispiel, aus dem zugleich<br />
hervorgeht, da6 im allgemeinen, anders als in metrischen Raumen, Ax<br />
noch nicht abgeschlossen ist und die Limespunkte nur einen Teil der<br />
durch unbegrenzt wiederholte Limesbildung entstehenden a-Punkte<br />
bilden. Die Elemente von E („Punkte'*) seien die in einem Raume T<br />
definierten reellen Funktionen x = x(t), und die Konvergenz x — lim x^<br />
werde durch x(t) = limXn(t) erklart, d. h. es soil im gewohnlichen Sinne<br />
uberall, fiir jedes teT*^ x^it) nach x(t) konvergieren. Eine Menge A^E<br />
ist also ein Funktionensystem, eine abgeschlossene Menge ein Bairesches<br />
Funktionensystem (S. 167 und § 43), die abgeschlossene Hiille das kleinste<br />
Bairesche System liber A, Ist nun z. B. T die Menge der reellen Zahlen,<br />
A das System der stetigen Funktionen x^Ax das der Funktionen y = lim x^^<br />
AXX das der Funktionen z = lim2/n> so ist Ax'^^Axx] die Funktionen y<br />
haben namlich, wie wir in § 42 sehen werden, immer noch Stetigkeitspunkte,<br />
wahrend die Funktionen z schon uberall unstetig sein konnen.<br />
Die abgeschlossene Hiille A^, = A^ wird hier erst fiir TJ = £2 erreicht.<br />
Man halte sich das metrische Gegenstiick vor Augen: wenn wir das System<br />
Eder beschrankten Funktionen durch die Entfernung xy = Bnjf\x(t)—y(t)\<br />
zum metrischen Raum machen, so bedeutet lim x^ = x gleichmdssige Konvergenz<br />
von x^{t) nach x{t) fiir alle t; dann ist Az stets abgeschlossen<br />
und Ai = All = . . . = ^^.<br />
Eine weitere Abweichung der L-Raume von den metrischen ist, daB<br />
in ihnen schon das zweite Trennungsaxiom (5) nicht zu gelten braucht<br />
(das erste (4) gilt, da die einpunktigen Mengen wegen des Limesaxioms<br />
(oc) abgeschlossen sind). Es kann sogar in einer ganz flagranten Weise<br />
verletzt werden. Nennen wir den Raum E zerlegbar, wenn er als Summe<br />
Fi -f F2 von zwei abgeschlossenen Mengen < E darstellbar ist (falls<br />
JPI, F2 iiberdies disjunkt sind, handelt es sich um eine Zerstiickelung,<br />
so daB unzusammenhangende Raume gewiB zerlegbar, unzerlegbare gewiB<br />
zusammenhangend sind, jedoch nicht umgekehrt). Wir batten in unserer<br />
Theorie niemals AnlaB, diesen BegrifE zu erwahnen, weil, abgesehen von<br />
einpunktigen Raumen, die natiirlich unzerlegbar sind, jeder metrische<br />
Raum zerlegbar ist. Sogar ist jeder Raum, in dem das zweite Trennungsaxiom<br />
(5) gilt, zwischen zwei beliebigen seiner Punkte x^ 4=^ Xg zerlegbar,<br />
d. h. so, daB Xj^ nur zu F^ und nicht zu F2, x^ nur zu F^ und nicht zu F^<br />
gehort: man braucht unter i^i, F^ nur die Komplemente (JF^ = E — G^J<br />
F2 = E — Gj) der in (5) genannten offenen Mengen zu verstehen. —<br />
Da offenbar das stetige Bild eines unzerlegbaren Raumes wieder unzerlegbar<br />
ist (wie das eines zusammenhangenden wieder zusammenhangend<br />
war), so muB dieses Bild, falls es ein metrischer Raum ist, einpunktig sein:<br />
insbesondere ist in einem unzerlegbaren Raum jede reelle stetige Funktion<br />
275
232 Neuntes KapiteL Reelle Funktionen.<br />
konstant, Bei dieser paradoxen Beschaffenheit der unzerlegbaren Raume<br />
ist es besonders merkwiirdig, daB ein (mehrpunktiger) L-Raum unzerlegbar<br />
sein kann^ wie folgendes Beispiel zeigt. E sei eine Kreisperipherie, fiir deren<br />
Drehungen um den Mittelpunkt wir einen positiven Sinn festsetzen; das<br />
Zeichen q> bedeute eine Drehung um den festen Winkel 27cd,vfO d irrational<br />
ist; der Punkt x von E gehe hierdurch in a;^, die Menge A^E in A^^<br />
iiber. Als konvergent definieren wir erstens die konstanten Folgen<br />
(re, re, X,. . .) mit dem Limes Xy zweitens die aus lauter verschiedenen<br />
Punkten bestehenden, im gewohnlichen Sinn (auf Grund der elementargeometrischen<br />
Entfernungen) nach einem Punkt x konvergenten Folgen,<br />
diesen geben wir aber den Limes Xfp. Die beiden Limesaxiome sind erfiillt.<br />
Dann ist Ai == A + (A')^, wo A' die Menge der Haufungspunkte von A<br />
im gewohnlichen Sinn bedeutet. Wir behaupten nun, daB iiir E ~ A + B<br />
mindestens eine der Gleichungen ^4^ = £, B^ = E besteht, wo mit die<br />
Unzerlegbarkeit von E gezeigt ist. Liegen auf jedem Kreisbogen Punkte<br />
von Ay so ist A' = E, Ax = £, also erst recht A^^ = E. Ist das Gegenteil<br />
der Fall, so enthalt B einen Kreisbogen C (mit Endpunkten). Dann ist<br />
C=^C,Cx = C+C^,Cu = C + C^+C^^ usw., C,^C + C^ + 6^,^+ -<br />
und diese Menge ist die ganze I^eisperipherie, denn wenn x der mittelste<br />
Punkt von C ist, so ist die Menge {a;, a;^, rc^^^,.. .} in E dicht (im gewohnlichen<br />
Sinn). Also ist C^ = E, B^= E.<br />
Neuntes Kapitel.<br />
Reelle Funktionen.<br />
[115] § 41. Funktionen und Urbildmengen.<br />
1. Urbildmengen. Im Raume A (der zun^chst iibrigens nur eine reine<br />
Menge, kein metrischer Raum zu sein braucht) sei eine eindeutige reelle<br />
Funktion f(x) definiert, d. h. jedem Punkt xeA eine reelle Zahl f{x) zugeordnet.<br />
Die Menge der Punkte rr, wo f(x)>y {y eine gegebene reelle<br />
Zahl), werde wie in § 22 kurz mit [/ > y] bezeichnet; ebenso sind Mengen<br />
wie [/ ^ ?/], [y y] uJ^d [/ < y] zu betrachten; statt der letzteren nehmen wir lieber<br />
1) Ist auch X eine reelle Variable, so kommt noch Unterscheidung zwischeii<br />
rechts und links in Frage.<br />
276
§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 233<br />
ihre Komplemente und nennen die Mengen<br />
U>yl U^y]<br />
die zur Funktion / gehorigen Urbildmengen (oder Lebesgueschen Mengen), [116]<br />
Zwischen beiden Arten bestehen aber Relatione!); es ist<br />
(1)<br />
U^y]<br />
2)<br />
n<br />
[/ > y] = ® f^y +<br />
(n=i,2,3,<br />
Eine Funktion b^stimmt ihre Urbildmengen, aber auch umgekehrt;<br />
und zwar sieht man aus (1), da6 bereits die Mengen [/ > y] zur Bestimmung<br />
von / ausreichen, denn dann sind aucb die Mengen [/ ^ y] und, als Differenzen,<br />
die Mengen [/ = y] bekannt. Auch die Mengen [/ > y] brauchen<br />
nicht samtlich bekannt zu sein, da zwischen ihnen weitere Relationen bestehen;<br />
es genxigen z. B. die Mengen [/ > r] fur rationales r, da<br />
Zwischen den Mengen [/ > r] bestehen nooh die Relationen<br />
[/>r]= ® [/>e], ^=@[/>r], 0 = Sr/>r],<br />
(t>r r r<br />
und der Leser wird sich leicht iiberzeugen, daB ein diesen Bedingumgen<br />
geniigendes System von Mengen M(r) wirklich eine (und nur eine) Fiinktion<br />
/ mit [f > r] = M(r) definiert.<br />
Der Zusammenhang zwischen den Eigenschaften einer Fuaktion<br />
und denen ihrer Urbildmengen wird der Hauptgegenstand dieses Kapitels<br />
sein. Ein Ergebnis dieser Art ist uns bereits bekannt: ist / eine stetige<br />
Funktion, so ist jede Menge [f > y] offen (in A), jede Menge [f^y]<br />
abgeschlossen. Hiervon gilt auch die Umkehrung: wenn alle Mengen<br />
[/ > y] und [/ < z] offen sind, so auch ihre Durchschnitte [y < f yl = [/i > y] + [/a > 2/]<br />
(2)<br />
[/ ^ y] = [/i ^ 2/] + [ft ^ y]<br />
[f>y]=Ui>y'iU2>y]<br />
I U^y'i=[fi^y]Ut^y]-<br />
111
234 Neuntes Kapitel. Reelle Fanktionen.<br />
Fur die Summe<br />
/ = /x+/2<br />
besagt f>y oder h> y — fz die Existenz einer (von der betrachteten<br />
Stelle X abhangigen) rationalen Zahl r mit fi> r> y — f2 oder /^ > r,<br />
/g > 2/ —- r, woraus man die erste der beiden Formeln<br />
r<br />
erhalt; die zweite ergibt sich durch entsprechende Behandlung von<br />
U 2/] = f [/n > y]<br />
^ ^ [h^y]==^Un^y],<br />
^ n<br />
walirend sich die mittleren Formeln (2) nicht auf unendlich viele Funktionen<br />
iibertragen lassen. Es erscheint nach (5) nicht unpassend, die<br />
Funktionen sup/^ mit /^, die Funktionen inf/n wiit fs zu bezeichnen.<br />
Die obere Grenze /^^ einer Folge von Funktionen /^ ist wieder ein /^,<br />
denn statt<br />
g = supg^, g^ = sup/,„„<br />
m n<br />
kann man schreiben:<br />
g = sup /^„ = sup [/ii, /i2, /21,. . .]<br />
mn<br />
mit Verwandlung der Doppelfolge in eine einfache; ebenso ist /^^ ein /
§ 41. Fcinktionen und Urbildmengen. 235<br />
schreiben kann; die g^ sind Funktionen /^, lim/„ also ein /^^, ebenso [119]<br />
limfn ein fsa- Die Grenzfunktion lim/^ einer konvergenten Folge ist<br />
beides zugleich.<br />
Im Falle gleichmafliger Konvergenz tritt eine wesentliche Vereinfachung<br />
ein: die Grenzfunktion lim /„ einer gleichmdpig koni^ergenten Folge<br />
ist zugleich ein f^ und /^, vorausgesetzt, daB wir die Funktionen / einem<br />
System entnehmen, dem zugleich mit / auch / + constans angehort. Denn<br />
wenn | 99 — /n I ^ e„, e^-^O, so ist (p = inf (/« + e„) =^ sup (/„ — g„).<br />
Um den Aussagen fiber Urbildmengen eine bequeme Form zu geben,<br />
treilen wir folgende Verabredung. Die Mengen M^N soUen gegebene<br />
Mengensysteme SJJJ, ^ durchlaufen. Wenn dann [/ >*t/] fiir jedes y ein<br />
M ist, so sagen wir: die Funhiion / ist von der Klasse (1/, *). Wenn [/ ^ y]<br />
stets ein N ist, sagen wir: / ist von der Klasse (*, N), Wenn beides gilt:<br />
/ ist von der Klasse (ikf, iV). Z. B. sind die stetigen Funktionen des metri- [120]<br />
schen Raumes A von der Klasse (G, JF), wo G die offenen, F die abgeschlossenen<br />
Mengen des Raumes -4 durcMauft, und vice versa. Wenn<br />
insbesondere die N die Komplemente A -- M der M sind, so sind die<br />
Aussagen gleichbedeutend: / ist von der Klasse (M^ *), — / ist von der<br />
Klasse (*, iV).<br />
Nehmen wir jetzt an, da6 die M wie die N einen Ring bilden (Summe<br />
und Durchschnitt zweier M ist ein J/, Summe und Dinrchschnitt zwei^<br />
N ist ein N), Dann konnen wir folgende Satze aussprechen:<br />
I. Wenn die Funktionen f von der Klasse (ilf, *) sind^ so ist<br />
max [/i, /g] und min [/i, /j] ebenfalls von der Klasse (Jf, *),<br />
fs = inf fn von der Klasse (*, M^),<br />
fa = sup fn und /i + /2 ^^'^ ^^^ Klasse (ilf^, *).<br />
II. Wenn die Funktionen f von der Klasse (*, N) sind^ so ist<br />
max[/i, f^] und min[/i, /j] ebenfalls von der Klasse (*, iV),<br />
f„ = sup fn von der Klasse {N^^ *),<br />
/a = inf fn und f^ + /j von der Klasse (*, iVj).<br />
Alle diese Behauptungen folgen unmittelbar aus (2) (3) (5); nur<br />
bei den mittleren hat man noch (1) heranzuziehen. Sind die / von der<br />
Klasse (Jlf, *), so sind sie zugleich von der Klasse (*, M^) und /^ ist von<br />
der Klasse (*, M^^^) = (*, M^). Sind die / von der Klasse (*, iV), so<br />
auch von der Klasse {N^, *) und /^ von der Klasse (JV^^, *) = (iV^, *).<br />
Wir woUen ein System von Funktionen / ein gewohnliches Funktionensystem<br />
nennen, wenn es folgenden Postulaten genligt:<br />
(a) Jede konstante Funktion ist ein /.<br />
(P) Maximum und Minimum zweier f ist ein f.<br />
(y) Summe^ Differenz^ Produkt und Quotient (mit nirgends verschwindendem<br />
Divisor) zvi^eier f ist ein f.<br />
279
236 Nenntes Kapitel. Reelle Fanktionen.<br />
Wegen der Identitaten<br />
|/| = max[/, -/]<br />
kann die Forderung (j9) durch diese ersetzt werden: der Betrag jedes f ist ein /.<br />
Ein gewohnliches Funktionensystem heiBe vollstdndig^ wenn es auch<br />
noeh dem Postulat geniigt:<br />
(d) Der Limes einer gleichmd/iig konvergenten Folge von Funktionen<br />
f ist ein /.<br />
Wir haben dann folgenden Satz:<br />
III. Die Mengen M, zu denen der ganze Raum A und die Nullmenge<br />
gehort^ sollen einen a-Ring^) bilden, ihre Komplemente N = A — M<br />
demgemd^ einen d-Ring, Dann bilden alle Funktionen f der Klasse (M, N)<br />
ein vollstdndiges System,<br />
Denn (a) ist erfiillt, da A und 0 Mengen ilf, N sind; (j5) gilt, weil<br />
nach III max [/j, /g] und min [/j, /g] von der Klasse (M^N) sind. Ferner<br />
ist nunmehr /^ und fi + f^ von der Klasse (if/,*), fs und fi + fz ^^n<br />
der Klasse (*, iV), also /^ + /j und der gleichmaBige Limes von Funktionen<br />
/ von der Klasse (ilf, iV); (d) ist erfiillt. Mit der Summe ist auch<br />
die Differenz zweier / ein /, da — / ein / ist. Das Quadrat eines / ist ein /;<br />
denn [f > y] ist f iir y < 0 der ganze Raum, tur y^O Summe der beiden<br />
Mengen [/ > ]ly] und [/ < — ]/y], also ein ilf; ebenso [p ^ y] ein N.<br />
Danach ist das Produkt zweier /<br />
/./.=m-M<br />
ein /. Mit / 4= 0 ist 7 ein /; denn U > 2/ ist fiir a/ > 0 mit ^ < / < ^ h<br />
welches Durchschnitt zweier M ist, identisch, fiir y = 0 mit [/ > 0],<br />
fiir y 0] und / < - • Also -^<br />
1 1<br />
und ~T sind von der Klasse (M, *), 7 von der Klasse (ifef, iV). Damit<br />
ist auch die Giiltigkeit von (y) bewiesen.<br />
[121] 2. Erweiterung gewohnlicher Systeme. Es durchlaufe / ein gewohnliches<br />
Funktionensystem. Sodann bedeute /* den Limes einer (iiberall)<br />
konvergenten Folge von Funktionen /, speziell g den einer aufsteigenden<br />
(/i ^ /2 ^ • * *)) ^^ den einer absteigenden (/i ^ /2 ^ • • •)» ^ cine Funktion,<br />
die zugleich ein g und ein h ist. In dem Schema<br />
f k I r*<br />
d. h. einen Ring und ein c-System (jedes Ma ist ein M).<br />
280
§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 237<br />
ist jede Funktion Spezialfall der rechts folgenden; es ist iibrigens mit<br />
-/ -k ~^ -/*<br />
identisch. Von den auf g und h beziiglichen Tatsachen werden wir kiinftig<br />
meist nur die eine Halfte beweisen.<br />
Jedes g ist ein /^ = sup /„, aber auch umgekehrt, weil<br />
sup /n = lim max [/j, /g,. . ., /„].<br />
Zu den k (die gleichzeitig /^ und j§ sind) geh5ren insbesondere die<br />
Limites gleichmaBig konvergenter Folgen /^. Der Limes gleichmaBig<br />
konvergenter g„, A„, /c„ ist ein g, A, k (lim g^ ist ein g^ = g, lim 4i ein<br />
Aj = h).<br />
Maximum y Minimum^ Summe zweier g isi ein g. Denn weim<br />
tnyfn aufsteigend nach g, g' konvergieren, so konYergiereiii max[^,/i]^<br />
niin [/«,/;], /„ + /; aufsteigend nach max [g,g'l min [g,g'], g-^-g'.<br />
Maximum, Minimum, Summe, Differenz, Produkt zweier/* ist naturlich<br />
ein /*, aber auch der Quotient (mit nirgends verschwindendem Divisor).<br />
1<br />
Es geniigt zu zeigen, daB mit q>^0 auch — ein /* ist. Ist iiberall 9? > 0<br />
und (p — lim /^, so kann man auch /« > 0 annehmen, indem man es durch<br />
max /„, ersetzt, welches nach max [y^, 0] = 9? konvergiert, und dann<br />
,. 1<br />
ist (p = \\vci~r'<br />
. ^. . 1 1 ^ ,<br />
1st 95^0, so ist — = 95-—2 Produkt zweier /*, also [122]<br />
ein /*.<br />
Die /* bilden also ein gewohnliches System, aber dariiber hinaus gilt:<br />
IV. Der Limes einer gleichmaBig koriQergenten Folge von Funktionen<br />
/* isi ein /*; die /* bilden ein vollstdndiges System.<br />
Zunachst bemerke man: wenn /* = lim/„ vom Betrage ^e ist,<br />
so kann man auch | /« | ^ e voraussetzen, denn /4 — max [/^, — e]<br />
und f^ = min [/^, e] konvergieren ebenfalis nach /*. — Nun sei F gleichmaBiger<br />
Limes von Funktionen FQ, F^, ,.., die Funktionen /* sind; man<br />
kann mit Beschrankung auf eine Teilfolge voraussetzen, daB jP^ von<br />
alien folgenden um hochstens Cwt+i abweicht (M = 0, 1,...), wo<br />
^1 + ^2 + ' • * ^i^® konvergente Reihe positiTer Zahlen ist, und demnach<br />
schreiben<br />
F~F^=iF^~F^}+iF^~F,)+ «^<br />
Oder fp = ^^^ ^^^ , . .<br />
wo die 99^ (m = 1,2,...) Funktionen /* vom Betrage ^ e^ sind; lu zeigen<br />
ist, daB 9? ein /* ist. Nach dem oben Gesagten kann man<br />
281
238 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
annehmen. Dann konvergiert aber<br />
fn = fin + fzn + • • • + fnn<br />
nach 99, womit die Behauptung bewiesen ist. In der Tat ist iur n> m<br />
In ' v/ln + • • • + Jmn) ^^^ /m+l,n -}-•••-}- /„^<br />
vom Betrage ^ e^^^ H h ^n < ^m, wenn 6^ == e^+i + ^^+2 + • • •<br />
gesetzt wird; aus<br />
/in + • • • + imn — yl erscheinen, wenn / das<br />
betrachtete Funktionensystem und y die reellen Zahlen durchlauft, wobei<br />
man iibrigens y fest, etwa y = 0 annehmen kann, ddif — y wieder ein / ist.<br />
Definitionsgemafi sind die Funktionen /, g, A, A;, /* von den Klassen<br />
{M,N), (P, *), (*,
§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 239<br />
(B) Zu jedem M^ gibt es eine Funktion F, die Limes einer gleichmdpig<br />
konvergenten Folge von Funktionen /, ferner in M^ positiv ist und sonst<br />
verschwindeL<br />
Sei ilft, = ilfi -}- ^2 + * * *' £i + ^2 + • • • eine konvergente Reihe<br />
positiver Zahlen; man bestimme nach (A) eine Funktion /„ mit 0 ^ /„ ^ «„,<br />
die in M^ positiv ist und sonst verschwindet. Dann ist<br />
F = h + U+'eine<br />
Funktion der verlangten Art.<br />
(C) Zu jedem M gibt es ein g, das in M gleich 1 und sonst gleich 0 ist.<br />
Wir wahlen / wie in (A), dann sind z. B.<br />
nf<br />
g = hm jq—^, g = hm mm [nf, 1]<br />
Funktionen der verlangten Art.<br />
(D) Zu jedem M^ gibt es ein g, das in M^ gleich 1 und sonst gleich 0 ist.<br />
Ist il/
240 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
bilden demnacli ein voUstandiges System iiber dem System der /; das<br />
kleinste voUstandige System dieser Art mu6 in ihm enthalten sein, d. b.<br />
jede Funktion v ist von der Klasse (P, Q).<br />
Um zu zeigen, da6 auch umgekehrt jede Funktion (p der Klasse (P, Q)<br />
ein V ist, schicken wir voraus: falls y^ < y^^ so gibt es stets eine Funktion v<br />
derart, daB fiir<br />
t;==0, 0 0<br />
und die Funktion v = —; erfiillt die gestellte Forderung ^). In der Tat<br />
ist in den obigen drei Mengen<br />
QiP^ P1P2 P1Q2<br />
Vj^ = 0 v^> 0 ^1 > 0<br />
Vg > 0 ^2 > 0 ^2 = 0<br />
-^ = 0 0
§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 241<br />
y-i+\Y\^ 1-12/1<br />
wird das offene Intervall — i wieder ein v^ folglich aber auch<br />
(8) 0 = r-^,<br />
ein V, und der Satz VII ist bewiesen. Diese „Beschrankungstransformation",<br />
die Ersetzung der unbeschrankten Funktion 0 durch die beschrankte<br />
q>^ wird noch weiterhin anzuwenden sein.<br />
VIII. Bilden die Funktionen f ein i^ollstdndiges System^ so bilden die M<br />
einen a-Ring^ die N einen d-Ring^ und die Funktionen der Klasse (M, N)<br />
sind mit den f identiseh.<br />
Denn Hilfssatz (B), wo F nunmehr ein / ist, zeigi, daB jedes M„ ein<br />
M ist. Die P, Q werden dann mit den M^ N identisch, die Funktionen v<br />
mit den /, und der Rest der Behauptung folgt aus VII. Der Satz VIII ist<br />
gleichzeitig die Umkehrung von III.<br />
Die Voraussetzung der VoUstandigkeit triflt nun nach IV jedenfalls<br />
fiir die /* zu, also:<br />
IX. Die Funktionen der Klasse (ilf*, N*) sind mit den f* identiseh.<br />
Suchen wir nun die Umkehrung der Tatsache, daB jedes g von der<br />
Klasse (P, *) ist. DefinitionsgemaB gibt es zu jedem g ein f^g^ eine<br />
Minorante f. Umgekehrt gilt nun auch:<br />
X. Jede Funktion der Klasse (P, *), die eine Minorante f hat, ist ein g.<br />
Sei q> von der Klasse (P, *) und 0. Auch 99 + / ist von der Klasse (P, *), wie aus (3)<br />
vermoge P = M^ folgt, und wir konnen also mit vertoderter Schreibweise<br />
q>> 0 annehmen. Fiir ein 0 und /i = 1, 2,... suchen wir zu der Menge<br />
[(p> nd]^ die ein P = M^ ist, nach dem Hilfssatz (D) ein g„, das in dieser<br />
Menge 1 und sonst 0 ist. Die iiberall konvergente Reihe<br />
g == ^ (gl + g2 + • • •),<br />
der en Glieder ja fiir jedes x schlieBlich verschwinden, stellt als Limes aufsteigender<br />
g ein g dar. Ist in einem Punkt<br />
(n — i)d < (p
242 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
und also iiberall 0 < 9? — g ^ laBt sich also durch Funktionen g gleichmaBig approximieren und ist<br />
selbst ein g.<br />
XL Jede Funktion der Klasse (P, *) ist Limes einer aufsteigenden Folge<br />
von Funktionen v der Klasse (P, Q),<br />
Fiir eine beschrankte Funktion ist dies in X enthalten. Ist 0 unbeschrankt<br />
und von der Klasse (P, *), so machen wir wieder die Beschrankungstransformation<br />
(7); q> ist von der Klasse (P, *) und beschrankt<br />
(— 1 < 9? < 1), also ein g; 9? = lim f^ mit /^ ^ /g ^ • • •, wobei man<br />
— l^fn^q> /n ^ —1-<br />
Da also stets — 1 < -y^ < 1, so konnen wir die Funktionen<br />
bilden, die wieder Funktionen v sind und aufsteigend nach 7~---j—r = 0<br />
konvergieren.<br />
Die entsprechenden Satze gelten liber die Funktionen der Klasse<br />
(*, (2); sie sind, wenn sie eine Majorante / haben, Funktionen fe, jedenfalls<br />
aber Limites absteigender Folgen von Funktionen v, Jede zwischen zwei<br />
Funktionen / verlaufende Funktion v der Klasse (P, Q) ist zugleich ein g<br />
und A, also ein k. Da also insbesondere jede beschrankte Funktion v ein k<br />
ist, so folgt aus der Beschrankungstransformation, dafi man jede Funktion<br />
k<br />
V in der Gestalt . . , . mit \k\
§ 41. FuDktionen und Urbildmengen. 243<br />
Bilden die / nur ein gewohnliches System, so ist XII auf die v anwendbar:<br />
die v, v^, vs, «?* sind identisch mit den Funktionen der Klassen<br />
(P, Q), (P, *), (*, Q), (Qa, P$). Dabei sind nach IX die /* mit den f*<br />
identisch, wahrend die /, g, h (oder /, ^, /^) nur einen Teil der v, v^^ v$<br />
bilden; die g sind identisch mit den v^j, die eine Minorante / haben; die h<br />
mit den v,^, die eine Majorante / haben; die k (von denen wieder die / nm*<br />
ein Teil sind) mit den v^ die zwischen zwei Funktionen / verlaufen.<br />
Der Leser moge die bisherigen Betrachtungen noch einmal liberblicken<br />
und sich etwa folgendes einfaches Beispiel vor Augen halten: die<br />
/ seien die Funktionen, die nur endlich viele Werte annehmen; dann sind<br />
die g die nach unten beschrankten, die h die nach oben beschrankten, die<br />
k die beiderseits beschrankten, die v und /* die voUig willkiirlichen Funktionen.<br />
DaB in der Tat jede nach unten beschrankte Funktion, etwa<br />
9? ist /„ ^ 9? <<br />
1<br />
fn+-' Da /?^ < i?2„, ist fj, < f2n, die Funktionen /j, /o, f^, /g, • • • kon-<br />
vergieren aufsteigend nach 9?. Die tibrigen Behauptungen sind ganz leicht<br />
einzusehen. Schon die Mengen if, iVund um so mehr die P, Q^ 1/*, iV* sind<br />
die willkiirlichen Teilmengen von A. Hiernach verfolge man die Umkehrung<br />
der Klassensatze, z. B. dafi nicht jede Funktion der Klasse (ilf, N)<br />
ein / ist oder da6 in X die Einschrankung, wonach die fragliche Funktion<br />
eine Minorante / haben (d. h. nach unten beschrankt sein) soil, nicht wegbleiben<br />
darf.<br />
4. Einschiebungs- und Erweiterungssatz. [123]<br />
XIII (Einschiebungssatz). Wenii g eine Funktion g, h eine Funktion k<br />
and uberall g^h ist^ so gibt es eine Funktion k mit g^k^h.<br />
Wir setzen zur Abkiirzung tur reelles t<br />
(9) {t} = max[t,0] = i\t\+lt;<br />
das ist eine stetige Funktion von ^, die nichtnegativ ist und mit w^achsendem<br />
f zunimmt (genauer: nicht abnimmt). Sodann stellen wir folgende Betrachtung<br />
an, auf die wir nachher (beim Beweise von XVI) noch einmal<br />
zuriickgreifen werden. Sei<br />
und (p^y). Es ist<br />
9) = lim9?„, (Pi2^ '*'<br />
y) = lim y)n, ^1 ^ y^g ^ * ' *<br />
(10) tPi~(Pi^y)i — (p2^W2 — 92^V2 — 9z^' "y<br />
daher auch<br />
iWi - 9^1} ^ {^1 - (P2} ^ {W2 " 9^2} ^ {V2 - 9^3} ^ - •<br />
16*<br />
287
244 Neuntes Eapitel. Reelle Funktionen.<br />
und diese Funktionen konvergieren nach {y; — 9?} = 0. Die alternierende<br />
Reihe<br />
(11) o)-=i- 9?i} - {fi - 9^2} + {^2 - n] - {W2 - Vz] +konvergiert<br />
daher iiberall; wir behaupten, daB ^p^co^y. Unterscheiden<br />
wir die Punkte mit q) = y) und (p> ip. Isi -^^ ^ y;, so ist<br />
(^=^n-\-i > Wn^% so ist<br />
^ = 9^1 + (Vl ~ 9^1) V (Wn — '<br />
Um nun XIII zu beweisen, sei 9? := g, y = A; die Funktionen 9?^, y„<br />
seien Funktionen /. Auch die Glieder und Partialsummen der Reihe co<br />
sind Funktionen /; da die Partialsummen mit ungerader Gliederzahl eine<br />
aufsteigende, mit gerader eine absteigende Folge bilden, ist co gleichzeitig<br />
ein g und ein A, also ein k.<br />
Bei dem folgenden Satz handelt es sich darum, eine in der Menge<br />
B
§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 245<br />
Hilfssatz (B) ZUPQ? welches ein M^ ist, eine Funktion Ao (wieder ein A*), die<br />
in PQ positiv ist und in QQ verschwindet. Die Funktion v = . , ist<br />
jedenfalls ein v (wegen der Beschrtoktheit aber immer noch ein k)\ in QQ<br />
ist v = k == (p, in P© 1 '^ I < I * I ^^^^ ^^ ~ ^» ^^^^ durchweg | i; | < 1.<br />
Ist endlich 0 in QQ definiert, von der Klasse (P, Q) und nicht beschrankt,<br />
so machen wir die Beschrankungstransformation (7). Auf (p<br />
treffen die vorigen Voraussetzungen zu, es laBt sich zu einem v mit<br />
V<br />
11; I < 1 erweitern, und 0 laBt sich zu F = T \—r erweitern, d. h.<br />
* ' ' 1 — IVI '<br />
zu einer Funktion v.<br />
5. Absolute Konvergenz. Die Funktionen /* lassen sich als Summen<br />
konvergenter Reihen von Funktionen / darstellen:<br />
/* = lim/« - /i + (/2 ~ /i) + (/a - /2) + • • • = 9^1 + ^2 + 9^3 + • • •<br />
Wenn wir hier statt der einfachen absolute Konvergenz fordern (d. h.<br />
I 9^11 + I 9^2 I + • ' • soil iiberall konvergieren), so werden wir nur einen<br />
Teil der Funktionen /* erhalten: bezeichnen wir diese Funktionen mit d,<br />
Sie bilden wieder ein gewohnliches System, Denn zun^chst ist Summe,<br />
Differenz und Produkt zweier d wieder ein d. Sodann ist der Betrag | d \<br />
eines d wieder ein d] denn wegen |I i3 | — | ^ || ^ | j3 — ^ | ist mit der<br />
Reihe /^ + (/2 — /i) + * * • auch diejenige absolut konvergent, die aus<br />
ihr durch Vertauschung von /^ mit | /„ \ entsteht. Es ist nur noch zu be-<br />
1<br />
weisen, da6 mit d 4= 0 auch ^ ein d ist. Sei zunachst d = lim/„ > 0;<br />
setzt man /^ = max /n, '^ I» welche Funktion ebenfalls nach d konvergiert,<br />
so erhalt man, am raschesten aus der evidenten Ungleichung<br />
max [^1, /SJ - max [oc, /3] ^ max [^^ - ^, /5i ~ jS]<br />
die Abschatzung | /;^.i - /i I ^ I /n+i ~ /n I + (" - ^T+Jp ^^^ ^^^<br />
daher /„ durch /^ ersetzen, also von vornherein /« > 0 annehmen. Dann<br />
ist :v = lim 7- und i j- — ^, , ^^ zugleich mit /« . i — L das<br />
d fn /n+l /n /n/n+1 ^ ^**^^ '<br />
1<br />
allgemeine Glied einer absolut konvergenten Reihe; -j ist ein d. Ist endlich<br />
1 1<br />
d ^ 0, so ist -1 = d • -^ als Produkt zweier d wieder ein d,<br />
Aus der Zerlegung<br />
folgt, dafl bei absoluter Konvergenz<br />
289
246 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
d = :S(Pn = :S{(pn}-2{-(Pn}<br />
Differenz von zwei konvergenten Reihen mit Gliedern ^0 ist; d. h. jede<br />
Funktion d ist als Differenz g — g* zweier Funktionen g darstellbar, wofiir<br />
man (mit g = ^ h\g^ = — h) auch h — h' oder g + h setzen kann: Differenz<br />
zweier Funktionen h oder Summe eines g und eines h. (Wogegen<br />
g -~ h == g + g^ wieder eing^h — g = h + h' wieder ein h ist.) Umgekehrt<br />
ist klar, da6 die Funktionen g, h und ihre Summen und Differenzen wieder<br />
Funktionen d sind. Bei Beschrankung auf absolute Konvergenz entstehen<br />
also aus den / die Funktionen<br />
(12) d = g-^g' = h~h'-^g + h.<br />
Nennen wir eine reelle Funktion, deren Wertmenge isoliert ist, eine<br />
Treppenfunktion, so gilt:<br />
XV. Jede Funktion /*, die zugleich eine Treppenfunktion istj ist eine<br />
Funktion d,<br />
Dem Beweise schicken wir folgende Bemerkung voraus. Bezeichnen<br />
wir diejenigen Mengen, die gleichzeitig M* und iV* sind, mit i?, so ist jede<br />
Funktion 9?, die eine Treppenfunktion /* ist, von der Klasse (R, R). Denn<br />
die Menge [(p > y] ist, wenn 0 mit [(p^y~\-d] identisch;<br />
ebenso die Menge [
§ 42. Funktionen erster Klasse. 247<br />
Summe endlich vieler Q, also selbst ein Q (bzw. 0, wenn kein a^ ^ y -— 1<br />
existiert). g ist also von der Klasse (P, *) und > 0, also nach X eine<br />
Funktion g; dasselbe gilt von g', womit XV bewiesen ist.<br />
Die Funktionen g, A, d lassen sich durchTreppenfunktionen derselbenArt<br />
beliebig genau approximieren, Sei g eine Funktion g, 5 > 0 und m = 0,<br />
± 1, ± 2, • • • ; die Menge [g > md] = Pm ist ein P, Definieren wir die<br />
Funktion go gleich md in der Menge P^_j — P^= [(m •— i) d y] ein P^, also go von der<br />
Klasse (P, *) ist; da mit g auchgo^g eine Minor ante / hat, ist go eing<br />
(Satz X). Ferner ist 0 ^ go — g < 5 und go eine spezielle Treppenfunktion,<br />
die nur Werte md annimmt. Durch ebensolche Treppenfunktionen<br />
h^ und do = go + ^o kann man die Funktionen h und d = g + h<br />
approximieren.<br />
Andererseits lassen sich die allgemeinen Funktionen /* durch Funktionen<br />
d approximieren. Es gilt namlich wieder ein Einsehiebungssatz:<br />
XVI. Sind 9?, y) zwei Funktionen /* und Uberall q>> % so gibt es eine<br />
Funktion o) = d mit q>^ o^y).<br />
Wir konnen auf den Beweis von XIII zuriickgreifen. Nach (6) laBt<br />
sich jedes /* als Limes absteigender g oder aufsteigender h darstellen;<br />
nehmen wir die y„ des genannten Beweises also als Funktionen g, die qf^<br />
als Funktionen h an. Die Fimktionen (10) sind wieder Funktionen g und<br />
bleiben es bei EinschlieBung in geschwungene Klammern, da max [g, 0]<br />
ein g ist. Weil wir jetzt die scharfere Voraussetzung (p> ip (nicht 0 konstant)<br />
an, so folgt: jede Funktion /* Idpt sich durch Funktionen d und daher<br />
auch durch Treppenfunktionen d beliebig genau approximieren. Sie laBt<br />
sich daher auch durch eine absolut konifergente Reihe mit Gliedern d darstellen,<br />
d. h. bei Beschrankung auf absolute Konvergenz erreichen wir von<br />
den / aus die /* in zwei Schritten, iiber die Zwischenstufe der d,<br />
§ 43. Funktionen erster Klasse.<br />
1. Einfuhrung. Wir nehmen denRaum^ als metrisch an und identifizieren<br />
die Funktionen / des vorigen Paragraphen mit den stetigen Funktionen;<br />
da sie ein vollstandiges System bilden (der gleichmafiige Limes<br />
291
248 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
einer Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig), so tritt der dortige Satz<br />
XII in Kraft. Die M sind mit den offenen Mengen G, die N mit den abgeschlossenen<br />
Mengen F des Raumes identisch (§ 22, III). Also:<br />
I. Die stetigen Funktionen f und die Grenzfunktionen g, A, /* aufsteigender,<br />
absteigender, konifergenter Folgen (^on stetigen Funktionen sind<br />
mit den Funktionen der Klassen (G, i^), (G, *),(*, i^), (i^^, G^) identisch.<br />
Die/* werden d]&Funktionen der ersten (B air eschen) Klasse bezeichnet,<br />
was in § 43 auf hohere Klassen ausgedehnt werden wird. Die Funktionen<br />
[124] der Klassen (G, *), (*, F) heiBen halbstetig^ und zwar die der Klasse (G, *)<br />
unterhalb stetig, die der Klasse (*, JF) oberhalb stetig\ diese Namen sollen<br />
sogleich erlautert werden. Mit Riicksicht darauf, dafl hier die Mengen JP, Q<br />
mit den J/, N und die Funktionen k mit den / zusammenfallen, nehmen<br />
Einschiebungs- und Erweiterungssatz die Form an:<br />
II. Ist g unterhalb stetig, h oberhalb stetig und uberall g^h^ so gibt es<br />
eine stetige Funktion f mit g^f^h.<br />
III. Eine in der abgeschlossenen Menge F definierte stetige Funktion<br />
lupt sich zu einer im ganzen Raume A stetigen Funktion erweitern.<br />
Die Bezeichnungen „oberhalb und unterhalb stetig" (nach oben, nach<br />
unten halbstetig) ruhren davon her, da6 die Stetigkeitsbedingung hier in<br />
zwei Halften gespalten wird. Eine Funktion j{x) ist an der Stelle a stetig,<br />
wenn es fiir jedes a > 0 eine Umgebung Ua gibt, fur deren Punkte xeVa<br />
\i(x)~f(a)\ 0 eine Umgebung C/^ existiert, in der<br />
f{x)~f{a) -a,<br />
so heifit fix) im Punkte a unterhalb stetig, Zur Veranschaulichung bemerken<br />
wir, dafi man z. B. aus einer stetigen Funktion durch VergroBerung (Verkleinerung)<br />
des Funktionswertes f(a) allein, ohne Anderung der umgebenden<br />
Werte /(a:), eine oberhalb (unterhalb) stetige Funktion erhalt. Ist<br />
/(a) = ± 1, sonst uberall f(x) = 0, so ist f{x) im Punkte a i^^^^^n^ stetig.<br />
Ist f(x) oberhalb stetig, so ist — f(x) unterhalb stetig.<br />
Ist f(x) an der Stelle a unterhalb stetig, so ist a innerer Punkt jeder<br />
Menge [/ > y], der er angehort, und nee ^ersa. Denn ist /(a) > y, und wird<br />
0 < a < f{a) — y gew^lt, so ist in einer gewissen Umgebung Ua noch<br />
f(x) > f(a) — a> y, a innerer Punkt von [/ > y]. Ist umgejcehrt die<br />
genannte Bedingung erfiillt, so ist a innerer Punkt von [/ > f(a) — a]<br />
fiir jedes or > 0 und es gibt eine Umgebung U^^ in der f{x) > f(a) ~ o*, f(x)<br />
ist in a unterhalb stetig. Danach folgt: damit f(x) an jeder Stelle unterhalb<br />
stetig sei, ist notwendig und hinreichend, dafi jede Menge [/ > y]<br />
292
§ 42. Funktionen erster Klasse. 249<br />
offen sei. Und fiir eine oberhalb stetige Funktion /, d. h. eine unterhalb<br />
stetige — /, ist notwendig und hinreichend, dafi [/ < y] offen, [/ ^ y]<br />
abgeschlossen sei. Damit ist die Bezeichnung „unterhalb, oberhalb stetig"<br />
fiir die Funktionen der KJassen (G, •), (*, J^) erklart. Diese Funktionen<br />
sind von R. Baire eingefiihrt worden, der auch zuerst bewiesen hat, daP<br />
jede unterhalb stetige Funktion Limes einer aufsteigenden Folge stetiger<br />
Funktionen, d. h. in unserer Bezeichnung jede Funktion der Klasse (G, *)<br />
ein g ist. Der umgekehrte SchluB, da6 jedes g von der Klasse (G, *) ist,<br />
gilt hier iibrigens in viel weiterem Umfange, als es allgemein der Fall ist;<br />
nicht nur die obere Grenze abzahlbar vieler, sondern beliebig vieler stetiger<br />
oder unterhalb stetiger Funktionen<br />
g = sup g^<br />
ist noch unterhalb stetig, da Ja<br />
als Summe offener Mengen wieder offen ist (an Jeder Stelle x soHen natfirlich<br />
die gn(x) nach oben beschrankt sein). Man betrachte z. B. zu einer<br />
willkiirlichen Funktion q) die unterhalb stetigen Minoranten g; wenn<br />
es (iberhaupt solche gibt, so ist unter ihnen eine groBte, namlich die obere<br />
Grenze aller. Entsprechendes gilt fiir oberhalb stetige Funktionen.<br />
Man wird den Satz I vielleicht durch eine Konstruktionsvorschrift<br />
erganzt wiinschen, nach der die Funktionen der Klassen (G, *), (*, F),<br />
(F^, G$) wirklich als Grenzfunktionen aufsteigender, absteigender, konvergenter<br />
Folgen von stetigen Funktionen darstellbar sind. Solche Vorschriften,<br />
gliltig fiir den allgemeinen Fall beliebiger Ausgangsfunktionen /,<br />
sind natiirlich in den Beweisen der umgekehrten Klassensatze (§ 41,3)<br />
enthalten; es fragt sich nur, ob sie sich hier nicht vereinfachen lassen- Fiir<br />
den Baireschen Satz, dafi eine unterhalb stetige Funktion 9? Limes aufsteigender<br />
stetiger Funktionen ist, lafit sich in der Tat ein iiberaus einfacherBeweis<br />
geben, wenigstens wenn (p nach unten besclM'ankt,etwa (man erhalt f{x) ^ f{x)y indem man z = x wahlt). Fiir sKwei<br />
Raumpunkte x, y ist<br />
250 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
f^(x) = inf [(p(z) + n. xz]<br />
eine aufsteigende Folge mit /^ ^ 9?, also g == lim /^ ^ 99; wir zeigen, da6<br />
auch g ^ 9?, also g == 99 ist. Wahlen wir bei vorgeschriebenem a > 0 den<br />
Punkt z^so, da6<br />
/n(^)> 9^(^71) + ^-a;z„~or,<br />
so ist (wegen 9? ^ ^, 9)^0), 99(0;) > n-rcz^ — o", also rrz^^-> 0; dann<br />
ist aber schlieBlich, weil 9? unterhalb stetig ist,<br />
?>(2n) > 9^(^) - Cr, /n(^) > ^{^) - 2(7,<br />
also %(x) ^ 9?(^).<br />
2. Beispiele von Funktionen erster Klasse. Nachst den unterhalb<br />
stetigen Funktionen g und den oberhalb stetigen Funktionen U sind die<br />
Funktionen<br />
rf = g + A = g-g'-A-A'<br />
bemerkenswert, die wir allgemein in § 41, 5 besprochen haben; sie entstehen<br />
durch Summation absolut konvergenter Reihen von stetigen Funktionen.<br />
Jede Funktion erster Klasse laBt sicli durch Funktionen c?, insbesondere<br />
durch Treppenfunktionen d beliebig approximieren.<br />
Jede Funktion mit hochstens abzdhlbar i^ielen Unstetigkeitspunkten<br />
ist i^on erster Klasse, Sei C die Menge der Stetigkeitspunkte, D die Menge<br />
der Unstetigkeitspunkte von /; M sei die Menge [/> y]^), Wenn nun<br />
xsMC^ so besteht die Ungleichung i> y auch noch in einer gewissen<br />
Umgebung von re, also MC^M^^ MD^M^, Ist D hochstens abzahlbar,<br />
so auch J/^, und M = Mi + M^ setzt sich aus einer offenen und<br />
einer hochstens abzahlbaren Menge zusammen, ist also ein JF^. Da fur<br />
U ^{x) =<br />
lim 71 [9? ( a; H— j — (p(x)] erwahnenswert; andererseits dieFunktionen/(::c),<br />
bei denen liberall die rechts- und linksseitigen Grenzwerte f(x + 0), f{x — 0)<br />
vorhanden sind (so insbesondere die monotonen Funktionen und<br />
deren Summen und Differenzen: die Funktionen beschrankter Variation).<br />
Diese Funktionen mit einseitigen Grenzwerten haben, wie<br />
eine leichte tJberlegung lehrt, hochstens abzahlbar viele Unstetigkeitspunkte,<br />
sind also in der Tat von erster Klasse: iibrigens sind sie sogar<br />
Funktionen d. Da namlich j{x + 0) als Funktion von x dieselben einseitigen<br />
Grenzwerte hat wie /(rr), und max[/(a;), g(a:)] den rechtsseitigen<br />
Grenzwert max[/(a; + 0), g{x + 0)] hat, so gilt fiir die Funktion<br />
^) Wir lassen die Einschrankung, daB der Buchstabe / immer eine stetige<br />
Funktion bedeuten soil, jetzt fallen.<br />
294
§ 42, Funktionen erster Klasse. 251<br />
^(a:) = max[/(a;), f(x + 0), /(a; - 0)]<br />
(p(x ±0) = fix ±0)^q)(x), (p(x) ist oberhalb stetig; ebenso ist<br />
y>(x)^mmmx), f(x + 0), fix ^ 0)]<br />
unterhalb stetig; q> + tp ist eine Funktion d, Ersetzt man hierin f(x)<br />
durch<br />
f{x + 0), f(x + 0)-^f(x), f{x~-0)-~f(x),<br />
so ergeben sich<br />
/(^ + 0)+/(^-0), f(x + 0)-f(x), f(x-0)-^f(x)<br />
als Funktionen d, durch lineare Kombination also auch f(x) selbst.<br />
3, Stetigkeitspunkte, Ist zunacbst / eine beliebige im Raume A definierte<br />
reelle Funktion, so sei C die Menge ihrer Stetigkeitspunkte,<br />
D = A •— C die ihrer Unstetigkeitspunkte. C ist ein G^^ D ein F^ (bezogen<br />
auf den Raum ^). Denn die Stetigkeit laBt sich auch so charakterisieren:<br />
f(x) ist an der Stelle a dann und nur dann stetig, wenn es zu jedem<br />
or > 0 eine Umgebung U^ gibt, fiir deren Punkte x^ y immer<br />
\f{x)-ny)\ 0 oder auch<br />
C = C(l)C(i)C(i).-.,<br />
C ein Gs (W. H. Young).<br />
Das eine Extrem bilden die (iiberall) stetigen Funktionen mit C == -4,<br />
2) = 0, das andere die iiberall unstetigen mit C = 0, D = A; eine solche<br />
ist z. B. die sogenannte Dirichletsche Funktion der reellen Variablen x,<br />
die fiir rationales x gleich 1, fiir irrationales gleich 0 ist. Den stetigen<br />
Funktionen am nachsten stehen die Funktionen, fiir welche C in A dicht<br />
ist; man nennt sie nach H. Hankel punktweise unstetig (oder besser:<br />
hochstens punktweise unstetig, unter Hinzurechnung auch der stetigen<br />
Funktionen). Nach S. 144 ist dann D, als i^
252 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen,<br />
Weiter sei /„-^/ eine iiberall (in A) konvergente Funktionenfolge;<br />
fragen wir, unter welchen Umstanden man aus der Stetigkeit der /» auf<br />
die der Grenzfunktion schliefien kann. Wir sagen, daB die Folge im Punkte<br />
a uniform konvergiert, wenn es zu jedem cr > 0 eine natiirliche Zahl m<br />
und eine Umgebung Ua gibt derart, dafi<br />
(1) \Ux)-f(x)\
§ 42. Funktionen erster Klasse. 253<br />
Menge, F^ ist deren Durchschnitt fiir TI = m + 1, m + 2,..., also wieder<br />
abgeschlossen. Wegen der Konvergenz der Folge erfiUlt jeder Punkt x<br />
die Ungleichungen (2) fiir hinreichend groBes m, und es ist also<br />
(3) A=F^ + F^+''^<br />
Andererseits, wenn a innerer Punkt von JF^ ist, also die Ungleichungen<br />
(2) und die fiir n-^ co daraus folgende<br />
\f(x)-f^(x)\^a<br />
nicht nur fiir x = a^ sondern in einer gewissen Umgebung (xeUa) bestehen,<br />
so gehort a der vorhin genannten Menge G(a) an, also<br />
(4) G((r)§i^i< + F2i+---<br />
Hieraus folgt: wenn G(a) = 0, so ist jedes F^i = 0, F^ als abgescMossene<br />
Menge ohne innere Punkte in A nirgends dicht und nach (3) A von erster<br />
Kategorie in sich. Umgekehrt also: ist A ein Ajj^ so ist Jedes G{&) :> 0.<br />
Weiter: ist A eine Gn-Menge (S. 143), also jede {in A) offene Menge<br />
G r> 0 in sich von zweiter Kategorie, so betrachten wir die auf G eingeschrankten<br />
Teilfunktionen /n(^ IG), f{x\G); das vorhin genannte<br />
G{cf) ist dann durch GG(a) zu ersetzen. Wir finden also: iwt G^O ist<br />
GG(a) :> 0, d. h. G(a) ist in A dichL Das abgeschlossene Komplement<br />
F(a) dieser Menge ist also in A nirgendsdicht, die Menge<br />
D = F{1) + F(^) + F(l)+'''<br />
der Unstetigkeitspunkte von / ein ^i, die Menge C der Stetigkeitspunkte<br />
in A dicht und ein An, So haben wir den Satz^) gefunden:<br />
V. Ist der Raum A eine G^-Menge (d. h. jede offene Menge G r^ 0<br />
von zweiter Kategorie in sich oder in A)^ so ist jede Funktion erster Klasse<br />
hocfistens punktweise unstetig, die Menge ihrer Stetigkeitspunkte in A dieht.<br />
Das trifft also insbesondere zu, wenn A eine Youngsche Menge,<br />
speziell ein voUstandiger Raum ist. So kann, wenn A die Menge der reellen<br />
Zahlen ist, eine Funktion erster Klasse nur punktweise unstetig sein; die<br />
( JL T*fltionfliP^ t<br />
= rt fiir . . , xl ist nicht von erster<br />
U irrationales /<br />
Klasse, wohl aber ist sie von zweiter Klasse (§43), d. h. limes von<br />
Funktionen erster Klasse, wie die Formel<br />
f{x) = lim lim (cos ml jtx)^<br />
m n<br />
zeigt.<br />
Der Satz V versagt, wenn die Voraussetzung iiber A nicht zutrifft.<br />
In der abzahlbaren Menge A = (a^, %, -.»} von reellen Zahlen ist jede<br />
Funktion von erster Klasse, da man, bei willkiirlich vorgegchFiebenen<br />
bn == f(an)^ immer eine stetige Funktion /„(a:), z. B. ein Polynom, so<br />
bestimmen kann, da6 fnicti) == b^ - --, fn{(hi) =^ h, also /«-*/. 1st A<br />
*) Vgl. hierzu § 45, 3.<br />
297
254 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
die Menge der rationalen Zahlen und etwa f(x) = l oder 0, je nachdem<br />
X dyadisch rational ist oder nicht, so ist / iiberall unstetig.<br />
Von einer glatten Umkehrung des Satzes V in dem Sinne, dafi punktweise<br />
unstetige Funktionen auch von erster Klasse seien, kann schon aus<br />
Machtigkeitsgriinden keine Rede sein. Ist A etwa die Menge der reellen<br />
Zahlen, so gibt es nur ^^ stetige Funktionen und ^^"^^ = x Funktionen erster<br />
Klasse; es gibt aber K^ = 2^ punktweise unstetige Funktionen. Denn ist D<br />
eine perfekte nirgendsdichte Menge (von der Machtigkeit X), C ihr offenes,<br />
in A dichtes Komplement, so ist jede Funktion, die in C verschwindet,<br />
in D nicht verschwindet (also in xeC stetig, in xeD unstetig ist), punktweise<br />
unstetig. — Wenden wir aber V auf die in f(x) — f{x\ A) enthaltenen<br />
Teilfunktionen f(x \ B) an, die ja wieder in ihrem Raume B Funktionen<br />
erster Klasse sind; ist B eine Cii-Menge, so liegen die Stetigkeitspunkte<br />
der Teilfunktion (die nicht Stetigkeitspunkte der Gesamtfunktion zu<br />
sein brauchen) in B dicht. Dies gilt insbesondere, wenn A eine i^ij-Menge<br />
(S. 143) und B in A abgeschlossen, also wieder eine J^n-Menge ist, so daB<br />
wir aus V folgern konnen:<br />
VL Ist der Raum A eine Fn-Menge (d. h. jede abgeschlossene Menge<br />
i^>0 in sich von zweiter Kategorie), / eine Funktion erster Klasse^ so<br />
enthdlt jede (in A) abgeschlossene Menge F:::^Q mindestens einen Stetigkeitspunkt<br />
der Teilfunktion f(x \ F).<br />
Hierzu gilt nun folgendes Gegenstiick:<br />
VII. Ist der Raum A separabel^ f eine in ihm definierte Funktion,<br />
und enthdlt jede (in A) abgeschlossene Menge i^ > 0 mindestens einen Stetigkeitspunkt<br />
der Teilfunktion f(x \ F), so ist f von erster Klasse.<br />
Wir haben zu beweisen, daB / von der Klasse (Fc^ G^) ist, d. h. daB<br />
alle Mengen B ~ [f> y^ und C = [/ < 2] Mengen F^ sind. Betrachten<br />
wir zwei solche mit y < z, so daB A = B + C, Nun sei i^ > 0 abgeschlossen,<br />
a ein Stetigkeitspunkt von f(x \ F), Wenn aeB, f(a) > t/, so<br />
gibt es also eine Umgebung Ua derart, daB in FUa auch noch f>y^ d. h.<br />
FUa^B ist; ebenso gibt es fiir asC eine Umgebung mit FUa^C, und<br />
mindestens einer dieser Falle tritt ein (sogar beide, wenn aeBC), Setzen<br />
wir F — FUa = i^i, so folgt also: jede abgeschlossene Menge F^O enthdlt<br />
eine kleinere abgeschlossene Menge F^cz F derart, da[i die Differenz F — F^<br />
entweder in B oder iji C enthalten ist, Ist noch i^\ > 0, so erhalten wir<br />
ebenso eine Menge F^ < i^i, und mit transfiniter Fortsetzung dieses Verfahrens<br />
defmieren wir fiir alle Ordnungszahlen | < i2 die abgeschlossenen<br />
Mengen F^ in der uns gelaufigen Weise, namlich (auBer FQ = F): ist i^^>0,<br />
so sei F^^i eine Menge
§ 42. Funktionen erster Klasse. 255<br />
Da der Raum separabel sein soli, so gibt es (§ 30, IV) eine kleinste<br />
Menge -F^ = -F^+i = ^tj+2 = • • •; sie muB der Konstruktion zufolge Null<br />
sein, und damit ist F =,2 D^ in hochstens abzahlbar viele Summanden<br />
gespalten, die g B oder g C und xiberdies, als Differenzen abgeschlossener<br />
Mengen, spezielle Mengen F^ sind, Vereinigt man wieder die zu B und<br />
die zu C gehorigen Summanden, so erhalt man eine Spaltiing F =^ Y + Z<br />
in zwei disjunkte Mengen i^^ mit YgjB, ZgC; insbesondere gestattet<br />
der ganze Raum eine solche Spaltung A = Y + Z,<br />
Nun endlich halten wir y fest, wahrend z eine Folge Zi > Zg > • •<br />
mit Zn-*y beschreiben moge. Zu B = [f> y] und Cn = [f < Zn] bestimmen<br />
wir eine Spaltung des Raumes A = Yn + Z^ in zwei disjunkte<br />
Mengen Fa mit Y^^B, Z^^Cn* Sei<br />
man findet C = [f ^y]^ A - B. Aus A=-B + C=Y-hZ und<br />
YSB^Z^C folgt dann y = J9, JZ = C; d. h. die Menge J5 - [/> 2/]<br />
ist ein F^* Dasselbe gilt natiirlich von den Mengen [/ < z] und damit<br />
ist VII bewiesen.<br />
Aus VI und VII ergibt sich:<br />
VIII. (Theorem von R. Baire). Ist der Raum A eine separable [125]<br />
Fii-Menge, so ist die in ihm definierte Funktion f dann und nur dann von<br />
erster Klasse, wenn jede (in A) abgeschlossene Menge F^O mindestens<br />
einen Stetigkeitspunkt der Teilfunktion f(x\ F) enthdlt.<br />
Man kann hierin das Wort abgeschlossen ohne weiteres durch perfekt<br />
ersetzen, da ein isolierter Punkt von F eo ipso Stetigkeitspunkt von j(x | /'')<br />
ist.<br />
5. Anwendung des Baireschen Theorems. Es sei A die Menge der<br />
reellen Zahlen, f(x) also reelle Funktion der reellen Variablen re; in der<br />
Ebene E mit rechtwinkligen Koordinaten rr, y betrachten wir die durch<br />
y = f(x) definierte Menge („Kurve") C, Wir bezeichnen die Punkte der<br />
Ebene mit z = (x, y), die von C mit z = ix^ f(x)) = (p(x). Fragen wir,<br />
wann C zusammenhdngend ist. Dazu ist lolgende Bedingung jedenfalls<br />
notivendig:<br />
(oc) Jeder Punkt von C ist Hdufungspunkt von links und rechts^ d. h.<br />
zu jedem x gibt es eine Folge x^ < x mit q>(Xn) -^ q)(x) und eine ebensolche<br />
Folge x^ > x.<br />
Denn spalten wir durch x XQ die Menge C in C^, Co, wo C^<br />
in C abgeschlossen ist, so muB, damit keine Zerstiickeiung eintrete, Cj<br />
einen Haufungspunkt in C.^ haben, der offenbar kein anderer als
256 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
I St aber f(x) {>on erster Klasse, so ist (oc) audi hinreichend.<br />
Nehmen wir an, C == C^ -\- C^ sei in zwei relativ abgeschlossene<br />
Mengen zerstiickelbar; das liefert auf die rc-Achse projiziert<br />
A = A^ + A^=^G^ + G^ + F,<br />
wo Gi = Aii, G2 = ^2h ^ = ^ia^2«^0 gesetzt ist ^). Nach VI hat<br />
die Teilfunktion f(x | F) einen Stetigkeitspunkt a;, etwa xsA^, Dann<br />
kann x nicht Limes von Punkten rr^e^g-^ sein, da sonst q)(x)ECi Limes<br />
von Punkten q)(Xn)eC2 ware; es gibt also eine zu A2F disjunkte Umgebung<br />
U von X, Dann kann U nicht auch noch zu Gg disjunkt sein, da doch x<br />
(X-Punkt von A2 = A2F -}- G2 ist, also ist UG2^0. Dies aber geht wegen<br />
der Bedingung (oc) nicht. Denn ist das offene Intervall (a, b) eine Komponente<br />
der offenen Menge UG2 re, fix^) > y> /C^)?<br />
so miiBte / zwischen x^ und x an einer Stelle |^ den Wert y annehmen;<br />
das gabe /(|„) = y, ^n-^x und der von
§ 43. Bairesche Funktionen. 257<br />
von Kl, also umgekehrt (§35, III) auch K^ schlichtes stetiges Bild von<br />
[a, 6], d, h. eben: f(x) ist in [a^b] stetig, im oben angegebenen Sinne.<br />
Denanach ist C dann und nur dann diskontinuierlich (in £), wenn<br />
die Unstetigkeitspunkte von f(x) in A dicht liegen. Und C ist zugleich<br />
zusammenhangend und diskontinuierlich, wenn f(x) Funktion erster Klasse<br />
ist, die Bedingung (oc) erfiillt und ihre Unstetigkeitspunkte in A dicht<br />
liegen. Eine solche Funktion ist leicht zu bilden. Die durch<br />
a(x) = &m- (^4=0), (j(0) = 0<br />
erklarte Funktion ist nur an der Stelle x = 0 unstetig, erfullt aber auch<br />
dort die Bedingung (a)j da ori~| = cr(—— 1 =0 twt n = i^2,3,...,<br />
Ist (rj, Tg, /"a ...} die Menge der rationalen Zahlen, c?i + ^2 + ^"3 + • -<br />
eine konvergente Reihe positiver Zahlen, so ist, wie aus der gleichmaBigem<br />
Konvergenz leicht folgt, die Funktion<br />
f(x) = 2c^a(x — rj<br />
nur an den rationalen Stellen unstetig, erfullt aber auch dort die Bedingung<br />
((X) und ist Funktion erster Klasse (weil sie nur abzahlbar viele<br />
Unstetigkeitsstellen hat).<br />
§ 43. Bairesche Funktionen.<br />
1. Bairesche Systeme* Wir betrachten reelle Funktionen, die samtlich<br />
in demselben Raume A (der zunachst eine reine Menge sein kann)<br />
definiert sind. Bin System solcher Funktionen / heifit ein Bairesches<br />
System^ wenn der Limes jeder konvergenten Folge von Funktionen f meder<br />
dem System angehort. t)ber einem gegebenen System 0 von Funktionen /<br />
gibt es Bairesche Systeme (z. B. das aller in A definierten Funktionen)<br />
und ein kleinstes solches (den Durchschnitt aller Baireschen Systeme<br />
S0); die Funktionen dieses Systems heiJJen die von den / erzeugten<br />
Baireschen Funktionen. Wir konnen sie zunachst in folgender Form darstellen,<br />
der S. 84 bemerkten Darstellung Borelscher Mengen entsprechend.<br />
Wir betrachten, indem wir i, A, i,,.. die naturlichen Zahlen durchlaufen<br />
lassen, alle Funktionen der Gestalt<br />
g = limg,., gi = limg,«fe, gi* = Hp g^^^i,... [126]<br />
mit der Vorschrift, daB fur jede Folge naturlicher Zahlen i^ A, I,... in<br />
der Folge der Funktionen g^, g^^^, g^^^i,... schlieBlich lauter Funktionen<br />
/ auftreten soUen. Diese Funktionen g sind mit den von den / erzeugten<br />
Baireschen Funktionen b identisch. Denn einerseits bilden die g offenbar<br />
ein Bairesches System iiber 0^ so daB jedes b ein g ist. Andererseits ist<br />
auch jedes g ein &; ware g kein J, so ware auch mindestens ein g^, dann<br />
Hausdorff, Mengenlehre. 17<br />
301
258 Neimtes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
ein gije, ein gn^j usw. vorhanden, das kein b ist, i«i Widerspruch dazu,<br />
daB in der Folge dieser Funktionen schliefilich lauter Glieder / auftreten.<br />
Dieser Darstellung ist wiederum eine sukzessive Konstruktion vorzuziehen.<br />
Zu den Baireschen Funktionen gehoren die Funktionen /<br />
selbst, die Funktionen /^ == lim Z^, die Funktionen p = lim /J usw. mit<br />
endlicher oder unendlicher Wiederholung, die aber nicht iiber die Ordnungszahlen<br />
| < i2 hinaus erstreckt zu werden braucht. Bei der induktiven<br />
Definition der /^ empfiehlt es sich, um ein moglichst glattes SchluBergebnis<br />
zu erzielen, folgendermafien vorzugehen (ein voUstandiges Funktionensystem<br />
ist S. 236 erklart):<br />
Die P sind die Funktionen eines vollstdndigen Anfangsystems 0^;<br />
die /^+-^ sind die Limites konvergenter Folgen i^on Funktionen f;<br />
die P (rj Limeszahl) sind die Funktionen des kleinsten ifollstdndigen<br />
Systemsy dem alle Funktionen /^(| < t?) angehoren,<br />
Demnach folgen z. B. auf die Funktionen /^, /^, Z^,. . . mit endlichen<br />
Indizes | als Funktionen f^ noch nicht die Limites konvergenter Folgen<br />
von Funktionen /% sonderji erst die Funktionen des kleinsten voUstandigen<br />
Systems iiber den / , diese Abweichung von der sonst iiblichen, auch<br />
in § 30, 2 provisorisch angenommenen Bezeichnung rechtfertigt sich durch<br />
die bessere tlbereinstimmung der Funktionen- und Mengenindizes, wie<br />
wir sehen werden. Denn die f bilden nun fur jeden Index ein voUstandiges<br />
System (nicht nur die /^+^, § 41, IV) und damit sind, wie wir<br />
wissen, Vereinfachungen verbunden.<br />
Jedes /^ ist ein spezielles f^ fiir ^ ^, Eine Funktion gehort genau zur Klasse f, wenn<br />
sie dieser, aber keiner friiheren Klasse angehort.<br />
Wir defmieren ferner:<br />
g^ = Limes einer aufsteigenden, h^ = Limes einer absteigenden<br />
Folge von Funktionen f;<br />
auBerdem fiir eine Limeszahl rj<br />
g,j == Limes einer aufsteigenden, A^ == Limes einer absteigenden<br />
Folge von Funktionen fH^
§ 43. Bairesche Funktionen. 259<br />
I. Die Funktionen r,g,h'^ sind mil denen der Klassen {M\N^)^<br />
(M^,*), (*,iV^) identisch.<br />
AuBerdem sind^die Funktionen /^"^^ (die damaligen /*) mit denen der<br />
Klasse (iV^, M^) identisch; das gibt also<br />
(2) ilf^+i = iV|, #+i = lf|.<br />
Ferner sei rj Limeszahl; wir identifizieren die damaligen / mit den Funktionen<br />
/^ aller Klassen f < 77. Die M sind jetzt die J¥% die N sind die N^;<br />
die P, Q aber sind die M^^ N*^, da 3a die Funktionen f^ jetzt die Rolle der<br />
damaligen v spielen. Wir schlieBen also aus P = Ma, Q = N^:<br />
.ry. ( M^ == Summe einer Folge von Mengen M^ (| < rj)<br />
^ \ iV? = Durchschnitt einer Folge von Mengen N^ (rj Limeszahl).<br />
Dabei sind, wie aus den Bemerkungen zum Satz XII in § 41, 3 hervorgeht,<br />
die Limites konvergenter Folgen von Funktionen f mit den /^"^^<br />
identisch; die g^j sind diejenigen g*^, die eine Minorante f haben; die A,<br />
diejenigen A*?, die eine Majorante f haben; die k^j (die zugleich g^ und h^<br />
n<br />
sind) diejenigen Z*^, die zwischen zwei Funktionen f verlaufen. Die p sind<br />
die Quotienten zweier k^, — Dagegen sind die k^ (die zugleich g^ und h^<br />
sind) stets mit den /^ identisch.<br />
Die Formeln (2)(3) bestimmen die M^,N^ induktiv, ausgehend von<br />
den Mengen M^ = [/^ > y], N^ — [/® ^ y] des Ausgangssystems. Lassen<br />
wir den oberen Index 0 weg, so hat man also<br />
M^= M N^ = N<br />
(4)<br />
M^ = Nl - M^, m = M} - N,^<br />
M^ = iV| = N,so m = Ml^ MsaS<br />
M^ = (S M'"" N^ = % iV^" (h < 01)<br />
Wir no tier en noch den Einschiebungs- und Erweiterungssatz:<br />
II. 1st g^ ^ A^, so gibt es eine Funktion f mit g '^f ^ h/^<br />
Fiir Limeszahlen rj tritt noch hinzu: ist g^ ^ A,^, so gibt es eine Funktion<br />
kyj mit g^'^kfj'^ h^,<br />
III. Ist N eine Menge iV^, so Id/it sick eine in N definierie Funktion<br />
if on der Klasse (M'^, N") zu einer im ganzen Raume definierten Funktion f<br />
erweitern,<br />
2. Die Baireschen Funktionen des Raumes.<br />
Wahlt man insbesondere als Ausgangsfunktionen p == f die im (metrischen)<br />
Raume A stetigen Funktionen, so heifien die von ihnen erzeugten<br />
Baireschen Funktionen die Baireschen Funktionen (oder die analytisch<br />
darstellbaren Funktionen) des Raumes A. Die Funktionen M^ N sind hier [128]<br />
17*<br />
303
260<br />
Neuntes Eapitel. Reelle Funktionen.<br />
die G, F, und die M^, N^ warden die Borelschen Mengen des Raumes A;<br />
nach der Definition der 6^,F^ (§ 32 («)(j8)) folgt aus (4)<br />
Mo = G = Go No = F = F'><br />
M^ = F„ = F^ m = Gs = G^<br />
M^ = Gs„ = G^ m = F„x = F^<br />
(5)<br />
M' = F„So = F^<br />
M-'^G"<br />
und allgemein<br />
,^ I i¥^ = G^ iV^ = F^ (I gerade)<br />
^^^ \M^ = F^, # = G^ (I ungerade).<br />
[129]<br />
Man bemerke hierbei, daB es fiir eine Limeszahl ri ganz gleichgultig ist,<br />
ob man M^ als Summe von Mengen M^ oder N^ oder G^ oder JF^(| < TJ)<br />
auffaBt, da ja jedes M^ ein spezielles iV^+^ usw. ist.<br />
IV. Die Baireschen Funktionen des Raumes A sind identisch mit den<br />
Funktionen der Klasse (B^ B)^ wo B die Borelschen Mengen des Raumes A<br />
durchldufU<br />
Denn jede Bairesche Funktion ist von der Klasse (B^B), Ist umgekehrt<br />
/ von der Klasse (JB, B)^ SO betrachte man fiir rationales r die<br />
abzahlbar vielen Borelschen Mengen [/ > r], [/ ^ r] und wahle die Ordnungszahl<br />
^ so groB, daB alle diese Mengen zugleich G^ und F% also zugleich<br />
M^ und N^ sind. Dann ist fur jedes y<br />
{f>y} = @ [f>r]<br />
ein Mi = M^ und<br />
r>y<br />
r
§ 43. Bairesche Funkdonen. 261<br />
(z. B. voUstandig ist und einen insichdichten Kern :::> 0 hat), ein verschwindend<br />
kleines Teilsystem im System aller (i
262 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
dann auch fiir alle abgeschlossenen. Sei namlich<br />
abgeschlossen, Fj > 0 der isolierte, F^ der separierte Teil, Fj^ der insichdichte<br />
(perfekte) Kern, F^ die Ableitung. Die Ableitung Fjp^F^ des<br />
isolierten Teils ist in JF nirgends dicht (ihr Komplement F — Fj^^ Fj ist<br />
in F dicht, da seine abgeschlossene Hiille ^ Fj^, + (JF — F^p) = F ist),<br />
also ein J^i; sie besteht aus F^ — F^ und denjenigen Punkten von JP^., die<br />
Haufungspunkte von F^ sind. Da nun vorausgesetztermaBen j{x \ Fjg)<br />
bis auf Mengen erster Kategorie stetig ist, so gibt es eine Menge Z), von<br />
erster Kategorie in Fj^ und erst recht in F, derart, da6 f(x\F]^ — D) stetig<br />
ist. Entfernen wir nun aus J^ die Menge erster Kategorie F^^ + D, so<br />
bleibt F^ + C liibrig, wo f(x\C) stetig ist und C keinen Haufungspunkt von<br />
Fj enthalt; infolgedessen ist auch f(x \ Fj + C) in den Punkten von C und<br />
natiirlich auch in den (isolierten) Punkten von Fj stetig, d. h. f{x \ F) bis<br />
auf Mengen erster Kategorie stetig. (Im Falle -Fi = 0 ist i(x\F^) stetig,<br />
Fp ein Fi).<br />
[130] Wir zeigen nun nach N. Lusin: es kann (im Raum A der reellen<br />
Zahlen) fiir jede perfekte Menge P > 0 /(a; | jP) bis auf Mengen erster<br />
Kategorie stetig sein, wahrend / keine Bairesche Funktion ist. Wir konstruieren<br />
namlich eine unabzdhlbare Menge L derart, daB LP stets ein Pj<br />
ist. Dies als geschehen vorausgesetzt, sehen wir: L ist keine Borelsche<br />
(auch keine Suslinsche) Menge, sonst miiBte sie eine perfekte Menge<br />
P::=>0 enthalten und LP = P ware ein Pjj. Die charakteristische Funk*<br />
tion / von L (= 1 in L, = 0 in ^ — L) ist also keine Bairesche Funktion,<br />
wahrend doch stets f(x | P) bis auf Mengen erster Kategorie stetig, namlich<br />
f{x\P - LP) = 0 stetig ist.<br />
Um eine solche Menge L zu bilden, betrachten wir Folgen natiirlicher<br />
Zahlen v _ /^ .« ^ \<br />
und definieren X < Y (X „finar' kleiner als 7), wenn schlieBlich, fiir<br />
h ^ ^0, Xn < y^ ist; die kleinste Zahl /i^, wofiir dies der Fall ist, werde mit<br />
n{X^ Y) bezeichnet. Diese Relation ist transitiv: wenn X < Y, Y < Z,<br />
ist auch X < Z und zwar offenbar<br />
n(X, Z) ^ max [n(Z, 7), n(Y,Z)].<br />
Es gibt zu jeder endlichen oder abzahlbaren Menge von Zahlenfolgen<br />
X, 7, Z,... eine final groBere U; man braucht ja nur<br />
Ui > oJi, ii2 > max [^2,2/2], W3 > inax [x^, ^3, 23], ...<br />
zu wahlen. DemgemaB kann man eine Menge von Zahlenfolgen<br />
XQ < Xi < • • • < J^ < • • • vom Typus £2 konstruieren.<br />
Andererseits ordnen wir jeder Zahlenfolge X den Kettenbruch<br />
306
§ 43. Bairesche Funktionen. 263<br />
zu (t irrationale Zahl zwischen Q und 1), den obigen Folgen X| die Zahlen t^<br />
(I < JQ). Dann hat die Menge L = {^o» h^.. ., ^o,,.. .} die geforderten<br />
Eigenschaften.<br />
Schreiben wir kurz n^jj fiir n(X^j Xfj)(S < rj) und bemerken: wenn<br />
eine Folge von Zahlen tjj nach t^ konvergiert, so strebt die Anzahl der<br />
gemeinsamen Anfangsziffern beider Kettenbriiche und folglich auch nt^j<br />
nach 00. Wir wahlen nun ein i^ > 0 und setzen<br />
M = {to,..., «^}, iV = {^^+1, t^^o,.. .},<br />
L = M + N; ferner spalten wir die Menge N der Zahlen i^ (c^> tj) in<br />
iV = iVi + iVg + • * ^ wo iVn die Menge der t^ mit n^^ = n ist. Dann ist<br />
kein Punkt von M Hdufungspunkt von N^. Denn fiir I < T; ist<br />
7i|C 0 perfekt. Ist LP unabzahlbar, so ist dies eine Menge<br />
wie L selbst (einer Menge von Zahlenfolgen X|^ < X^^ < ' ' ' < X^^ < - - -<br />
entsprechend) und gestattet eine Spaltung LP = M + N^ wo N von erster<br />
Kategorie in LP, also in P, und M abzahlbar, also auch von erster Kategorie<br />
in P ist (jede abzahlbare Menge ^Q^ ist ein (^i, S. 143): LP ist ein Pj.<br />
Dasselbe gilt, wenn LP hochstens abzahlbar ist. Damit ist die Betrachtung<br />
zu Ende geftihrt: eine Funktion / braucht keine Bairesche Funktion zu<br />
sein, auch wenn stets f(x\F) bis auf Mengen erster Kategorie stetig ist.<br />
Es sei noch erwahnt, daB das Komplement K — A — L der Lusinschen<br />
Menge eine i^jj-Menge ist, d. h. (S. 143) jede in K perfekte Menge<br />
::> 0 ist in sich von zweiter Kategorie. Eine solche Menge, die also insichdicht<br />
und in K abgeschlossen ist, ist von der Form ZP, wo P (in der Menge<br />
A der reellen Zahlen) perfekt ist; wegen P =:^ KP + LP ki KP in P,<br />
also erst recht in sich selbst von zweiter Kategerie. Es gibt also Fn-Mengen,<br />
die keine absolut Borelschen Mengen sind, womit eine friiher (S. 144)<br />
ausgesprochene Behauptung, daB eine Fn-Menge keine Youngsche Menge<br />
zu sein braucht, in viel weiterem Umfang bewiesen ist.<br />
Wenn eine Funktion / (mag sie eine Bairesche Funktion sein oder<br />
nicht) im Raume A, der als Gn-Menge gedacht ist, bis auf Mengen erster<br />
Kategorie stetig ist, d. h. mindestens eine Spaltung A =C + D existiert,<br />
wo D ein ^i und f(x | C) stetig ist, so gibt es (W. Sierpihski) unter alien<br />
solchen Spaltungen A = C^ + D^ — C2 + D2 = y eine mit groBtem C.<br />
und kleinstem Z), neinilich<br />
307
264 Neuntes Rapitel, Reelle Funktionen.<br />
C = Ci + C2+--^ D^D^D^.,..<br />
Es braucht nur gezeigt zu werden, daB f(x \ C) stetig ist (D ist natiirlich<br />
ein ^i). Sei xeC und etwa xeC^; da f(x | C^) stetig ist, so gibt es bei<br />
beliebigem a> 0 eine Umgebung Ug^ mit<br />
(7) \f(z)^f(x)\y], N=[f>y]<br />
verstehen wir jetzt die (von keinem Parameter mehr abhangigen) Mengen<br />
der Punkte (re, y), die den fraglichen Ungleichungen geniigen. In demselben<br />
Sinn sei<br />
[131] (11) C = N'^M=[f=:y].<br />
Geometrisch interpretiert, im Falle einer ebenfalls reellen Variablen rr,<br />
ist C die durch y = f(x) dargestellte „Kurve", M der Teil der rry-Ebene<br />
unterhalb der Kurve, M(^) die Projektion auf die rc-Achse des Teiles von<br />
C, der in der Halbebene y>^ liegt (oder des Teiles von ilf, der aut der<br />
Geraden y = ^ liegt); entsprechendes ist von N und iV(/5) zu sagen. Nun<br />
gilt der Satz:<br />
VII. /(re) ist dann und nur dann eine Bairesche Funktion r(x), wenn<br />
die Menge M ein M^ und die Menge N ein N^ ist. Ist f(x) ein /^(rc), so ist<br />
auch die Menge C ein<br />
Zum Beweise betrachten wir die Baireschen Funktionen f'(x) des<br />
308
§ 43. Bairesche Funktionen. 265<br />
Raumes A und die Baireschen Funktionen f{x^y) des erweiterten<br />
Raumes ^4*. Es gilt:<br />
Jtdes f(x, 0) ist ein fH^)- Das ist fiir ^ = 0 richtig, da man<br />
aus einer in beiden Variablen x^ y stetigen Funktion durch die Substitution<br />
y = 0 eine in x stetige Funktion erhalt, und wird sodann durch<br />
Induktion bewiesen. Der SchluB von | auf f + 1 ist trivial; ist ferner ij<br />
Limeszahl und die Behauptung fiir alle | < ^ bewiesen, so schlieBt man<br />
auf 7] vermoge der Darstellung von /'' als Quotient zweier k^ (S. 259).<br />
Ebenso folgt:<br />
Jedes f{x) ist ein f(x^ y)\ f(x) — y ist ein f(x^ y), letzteres, weil y<br />
stetige Funktion von x^ y, also ein f{x^ y) jeder Klasse ist.<br />
Ist danach f(x) ein f(x)^ so ist f(x) — y ein f{x^ y)^ also von der<br />
Klasse (M^, iV^), die Menge M ist ein M^, -N ein N^, C ein NK Ist umgekehrt<br />
M ein N ein iV^, so ist j{x^ y) = f(x) — y von der Klasse (J/^ N^,<br />
denn diese Funktion hat die Besonderheit, dafi ihre Urbildmengen (in ^*)<br />
aus J/, N durch Translationen rj =' y + p entstehen, die den ganzen Raum<br />
A* isometrisch in sich transformieren. Also ist /(x, y) ein f(x^ y), /(x, 0) =<br />
f(x) ein fHx).<br />
Der letzte Teil des Satzes VII ist im allgemeinen nicht umkehrbar.<br />
Jedoch gibt der folgende Satz eine bedingte Umkehrung, die bemerkenswert<br />
ist, weil die Mengen C(jS) == [/ = jS] des - Raumes ^4 keinen SchluB<br />
auf den Charakter der Funktion f(x) erlauben:<br />
VIIL Ist der Raum A eine separable^ absolut S uslinsche Menge und [132]<br />
C eine Suslinsche Menge im erweiterten Raum {A^ Y)^ so ist f(x) eine<br />
Bairesche Funktion.<br />
A sei Suslinsche Menge im separablenvoUstandigen Raum X, dann ist<br />
A"^ ~ (AjY) Suslinsche Menge im separablen vollstandigen Raum (X, 7),<br />
also separables S (S = absolut Suslinsche Menge). C und der in ^*<br />
offene Halbraum y > ^ sind Suslinsche Mengen in A*^ ihr Durchschnitt<br />
also ein hochstens separables S; hiervon ist M(P) die Projektion auf den<br />
Raum A^ also stetiges Bild, nach § 37, II also wieder ein S. Durch Betrachtung<br />
des Halbraums y ^ ^ ergibt sich auch das Komplement A — M(^)<br />
als -5, beide Mengen sind in ihrer Summe A Borelsche Mengen (§ 34, III).<br />
Wie M(P) ergibt sich auch N(fi) als Borelsche Menge in A^ f{x) ist Bairesche<br />
Funktion. In Wahrheit ist dann, wie wir aus VII wissen, C eine<br />
Borelsche Menge in ^* gewesen, nicht nur eine Suslinsche, Ubrigens<br />
kann man aus der Borelschen Klasse von C nicht auf die Bairesche<br />
Klasse von f{x) schlieBen; wehn C ein N^ ist, kann f{x) ein p{x) mit<br />
Tj'^ i sein.<br />
Die Projektion von C auf Y ist die von f(x) durchlaufene Wertmenge 5,<br />
das (reelle, eindeutige) Bild von A vermoge y = f(x); wir bezeichnen diese<br />
Menge, falls f(x) eine Bairesche Funktion ist, als Bairesches Bild von A.<br />
309
266 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
Hieriiber gilt:<br />
[133] IX. Das Bairesche Bild einer separablen, absolui Suslinschen Menge<br />
ist eine Suslinsche Menge, Das schlichte Bairesche Bild einer separablen^<br />
absolut Borelschen Menge ist eine Borelsche Menge. Ist Bschlichtes<br />
Bairesches Bild einer reellen Suslinschen Menge -4, so ist auch A schlichtes<br />
Bairesches Bild 9on B,<br />
Der Beweis ist groBtenteils schon in dem von VIII enthalten. Mit<br />
A war auch A* separables S^ ebenso C, ebenso J5 (§ 37, II). Ist A separable,<br />
absolut Borelsche Menge oder Borelsche Menge in X, so (A^Y) in<br />
(X, y), also^* separable absolut Borelsche Menge, ebenso C (als Borelsche<br />
Menge in A*), ebenso B, falls die Projektion schlicht ist. Bei der<br />
dritten Behauptung sei x = g(y) die in B definierte Umkehrfunktion von<br />
y ^f(x); nun war B ein separables S, C ein S und daher Suslinsche<br />
Menge im Raum B* = (X, J5), wo X jetzt die Menge der reellen Zahlen<br />
ist; es liegt also, mit Vertauschung der Variablen x y^ wieder die Bedingung<br />
des Satzes VIII vor und g{y) ist Bairesche Funktion (auf deren Klasse<br />
man aus der von i(x) nicht schlieBen kann).<br />
Der Satz IX ist eine Verallgemeinerung von § 37, II, allerdings zunachst<br />
nur fiir reelk Funktionen (vgl. XIII). Ubrigens geben bereits<br />
(§ 37, III) die im Baireschen NuUraum oder in der Menge / der irrationalen<br />
Zahlen definierten (reellen) stetigen Funktionen als Wertmengen alle<br />
(reellen) Suslinschen Mengen. Wenn aber x die Menge A aller reellen<br />
Zahlen durchlaufen soil, so geniigen die stetigen Funktionen f(x) nicht,<br />
um als Bilder alle Suslinschen Mengen zu liefern (das stetige Bild von A<br />
ist ein F^); wohl aber geniigen die Funktionen erster Klasse, namlich:<br />
X. Jede reelle Suslinsche Menge ist Wertmenge einer Funktion erster<br />
Klasse f(x) der reellen Variablen x (sogar einer Funktion mit hochstens<br />
abzahlbar vielen Unstetigkeitsstellen).<br />
Wir konnten namlich die reelle Suslinsche Menge B als stetiges Bild<br />
von /, also vermittelst einer stetigen Funktion j[i) darstellen, wo i die<br />
irrationalen Zahlen durchlauft. Wir erweitern diese Funktion (ohne VergroBerung<br />
ihrer Wertmenge) auf alle reellen Zahlen, indem wir die rationalen<br />
Zahlen in eine Folge (rj, rg,.. .} bringen, zu jedem r„ eine irrationale<br />
1<br />
Zahl i^mit | ^n — r„ ) < — wahlen und /(r„) = /(i„) setzen. Dann ist auch<br />
n<br />
noch die Gesamtfunktion f{x) in jedem irrationalen Punkte i stetig, denn<br />
fiir rp-^i ist auch ij,-^i und /(r^) = f(ip)-^f(i)' f(x) ist also hochstens<br />
in den rationalen Punkten unstetig und nach S. 250 von erster Klasse.<br />
4. Nichtreelle Bairesche Funktionen* A und Y seienmetrische Raume;<br />
wir betrachten aUe in A definierten eindeutigen Funktionen y =
§ 43. Bairesche Funktionen. 267<br />
reellen Zahlen ist, handelt es sich um die reellen Funktionen (x)eQ, also das Urbild von BQ (B Bild von A), Die Mengen<br />
[yeGl [yeF],<br />
wo G alle in Y offenen, F alle in Y abgeschlossenen Mengen durchlauft^<br />
sollen dann als Urbildmengen der Funktion y = (p(x) bezeichnet werden;<br />
sie sind iibrigens Komplemente von einander und es wiirde geniigen, die<br />
eine Art in Betracht zu zieben. Wenn M ein gegebenes System von Mengen<br />
g A und N = A — M deren Komplemente durchlauft, so heifie die Funktion<br />
(p von der Klasse (ilf, iV), falls jede Menge [ysG] ein M und jede Menge [134]<br />
[ysF] ein N ist. Es gilt dann folgender Satz, bei dem unter verschiedenen<br />
moglichen Klassenaussagen diejenige bevorzugt ist, die fiir Borelsche<br />
Hengen die einfachste ist:<br />
XI. Die Funktionen cp^-^(p seien i^on der Klasse (M, iV). Dann ist qf<br />
von der Klasse (iV^^, M^^)^ imFalle gleichmd^iger Konvergenz von der Klasse<br />
(M^^ N$). Wenn die M ein aSystem^ die N ein d-System bilden^ so ist q><br />
von der Klasse (iV^, M^), im Fall gleichmdfiiger Konvergenz von der Klasse<br />
Es sei F::>0 in Y abgeschlossen; fiir 1^ = 1, 2, 3,... sei F^ die abge-<br />
1<br />
schlossene Menge der Punkte y mit 8{y^ F) ^ —^ G^ die offene Menge der<br />
1<br />
Punkte 6(y^F) < — ^ Hy eine beliebige Menge zwischen beiden<br />
(G,^H,^F,). Also<br />
Ferner sei j/„ = 9?„(a:) ~> 1/ = 93(0;). Dann sind folgende Behauptungen iiber<br />
X gleichbedeutend:<br />
311
268 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.<br />
{oc) yeF,<br />
(P) fiir jedes v ist yn^H^ fiir fast alle n,<br />
(y) fiir jedes v ist ynsH^ fiir unendlich viele n.<br />
Aus (oc) folgt (j8). Wenn ^£jP, so ist, fiir jedes v, ysG^, also (weil G^<br />
oflen ist) ynsGy^Hy fiir fast alle AI.<br />
Aus (P) folgt (y).<br />
Aus (y) folgt {oc). Fiir jedes i' ist ynsH^ g i^y fiir unendlich viele n,<br />
also (weil F^ abgeschlossen ist) ysF^, folglich yeF.<br />
Hiernach erhalt man mit Benutzung von (^)(y)<br />
[ysF]= 2i Lim [ynsHr].<br />
Wahlt man darin H^ = G^, so ist die Menge [ynsH^] ein ilf, ihr oberer<br />
Limes fiir M-> oo ein Jtf^,) und [yeF] ein M^,^. Die Funktion (p ist von der<br />
Klasse (*, M,s) = (iV^^, Jf^^j).<br />
Ist die Konvergenz gleichmaCig, so ist {(x) mit der verscharften Behauptung<br />
(^*) fiir jedes v ist ynsH,, fiir ^i ^ n*.<br />
(wo ^ly nur von r, nicht von a; abhangt) gleichbedeutend. Denn wahlt<br />
man n^ so, da6 ^y„
§ 43. Bairesche Funktionen. 269<br />
einzigen stetigen und die einzigen Baireschen Funktionen; eine Funktion<br />
9), die an einer einzigen Stelle = 1 und sonst iiberall == 0 ist, ist von der<br />
Klasse (F^^ G^), ohne ein (p^ zu sein. Die Frage, in welchen Bildraumen<br />
y Oder fiir welche Paare von Raumen A^Y XII umkehrbar ist, verdient<br />
Untersuchung ^). Jedenfalls gilt die Umkehrung bei beliebigem A^ falls Y<br />
ein Euklidischer Raum ist. Denn hier ist Konvergenz von Punkten mit<br />
KonvergenzihrersamtlichenKoordinatengleichbedeutend;^ = (y^, •. -, 2/«»)<br />
als Funktion q){x) erklaren heifit jede Koordinate y^ als reelle Funktion<br />
fji,(x) erklaren; von der Klasse (M% iV^), so ist jedes /j^ von derselben Klasse,<br />
weil der Halbraum y^^ > P(yj^ ^ j8) in Y offen (abgesehlossen) ist; also<br />
ist jedes ^ ein reelles f und q> ein q>\<br />
Die beiden ersten Satze von IX, die sich damals auf reelle Bairesche<br />
Bilder bezogen, gelten fiir jeden Bildrauna Y^ gleichviel ob die Klassensatze<br />
umkehrbar sind oder nicht. Also:<br />
XIIL Das Bairesche Bild (reell oder nicht) einer separabUn^ absolut<br />
Snslinschen Menge ist eine hochstens separable^ absolut Suslinsche Menge.<br />
Das schlichte Bairesche Bild {reell oder nicht) einer separablen^ absolut<br />
Borelschen Menge ist eine separable^ absolut Borelsche Menge.<br />
Zunachst ist zu sagen: wenn ^n -^ ^ = hm q)^^, q> = lim 99^^^, . . . [136]<br />
p q r<br />
in der fiir jede natiirliche J^hlenfolge die Funktionen q)p^ f^^ q>p^^...<br />
schliefilich stetig sind (diese Form von 9? ist, wie wir sahen, fiir Bairesche<br />
Funktionen notwendig und hinreichend). Sind B^ Bp^ B^g^ J^p^r^ • - -<br />
die durch diese Fimktionen entworfenen Baireschen (schliefilich stetigen)<br />
Bilder, so kann man offenbar Y durch<br />
YQ^ B +^Bp+^B^, +eB^,, + ' '<br />
ersetzen. Wir konnen demgemafi den Bildraum Y als separabel, iiberdies<br />
als vollstandig annehmen.<br />
Ferner: sind A und Y beliebig, q)(x) Bairesche Funktion, so ist die<br />
Menge C der Punkte {x^ y) mit y = q)(x) im erweiterten Raum ^* = (u4, Y)<br />
eine Borelsche Menge (vgl. VII, VIII). Bezeichnen wir namlich die Ent-<br />
*) Hierzu vgl. Nachtrag D.<br />
313
270 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen*<br />
ernungen yrj im Raume Y wie m linearen Raumen mit 11/ — ^ J, ohne<br />
damit Y als linearen Raum vorauszusetzen, und betrachten fur irgend<br />
eine in A definierte Funktion (p(x) des Bildraums Y die Entfernung<br />
/(^, y)==\y - 9(^) 11<br />
das ist eine reelle Funktion im erweiterten Raum A*. 1st (p(x) stetig,<br />
so ist f(x,y) stetig; da ferner aus (pn-^
§ 44. Konvergenzmengen. 271<br />
zweiter Klasse^) von der Klasse (GsoiPad)i die Menge der Divergenzpunkte,<br />
(o(f) > 0, also ein G^^; die Menge der Konvergenzpunkte,<br />
co(f) = 0, ein Fg$, Die Menge der Stellen, wo A < lim/„ < /^, ist auch<br />
ein F^s, namlich der Durchschnitt [/=/][/> X][f < fx] — F^,) F^ F^.<br />
Danach kann man sich von der Voraussetzung endlicher /, / durch die<br />
fn<br />
Beschrankungstransformation (Pn~ iTTTTl befreien; die Menge der<br />
Stellen, wo fn konvergiert, ist mit der Menge der Stellen identisch, wo<br />
— 1 < lim 9?„ < 1 (wahrend (pn -* ^ niit /„ -> oo, 99^-> — 1 mit fn^ — ^<br />
gleichbedeutend ist).<br />
Die Menge [/= oo] = [^ = l]=[^^l]ist iibrigens ein G^, ebenso<br />
die Menge [/= — 00], und auch die Summe beider, d. h. die Menge D^<br />
der Stellen, wo fn{x) nicht beschrdnkt ist, ist ein G^. Wenn man z. B. (wie<br />
in der Theorie der Fourierreihen) eine Folge stetiger Funktionen einer<br />
reellen Variablen konstruiert, die an alien rationalen Stellen in dieser<br />
Weise (so, daB /„(rc) nicht beschrankt ist) divergieren, so findet dasselbe<br />
Verhalten automatisch auch noch an N irrationalen Stellen statt, denn<br />
D^ hat als dichtes G^ nach § 26, XI die Machtigkeit des Kontinuums.<br />
Die Menge der Stellen, wo /„ nach einem vorgeschriebenen Werte<br />
konvergiert, ist auch ein F^$, z. B.<br />
[/«-0] = [9>„->0] = [£^ 0] [^^0].<br />
Aber auch die Menge, wo f^ nach -f 00 oder — 00 divergiert 2), ist ein<br />
Wir haben bisher die erste Halfte des Satzes bewiesen:<br />
I (H. Hahn). Die Konvergenzmenge einer Folge reeller stetiger Funktionen<br />
ist stets ein F^St ^^^ ^^ /eder Menge C ~ F^^ Idfit sich eine Folge<br />
reeller stetiger Funktionen angeben, fiir welche C die Kom^ergenzmenge isL<br />
Zum Beweis der zweiten Halfte nehmen wir C zunachst als Fa<br />
C==F^ + F^ + F^ + ^', FiSi^ggi^sg-an<br />
(Fn abgeschlossen); D = A — C sei das Komplement. Die Funktion h,<br />
^'^''' Fi. F2-Fi. F,-F,,,.., D<br />
gleich 1, i, 1, ..., 0<br />
definiert wird; ist oberhalb stetig; denn \h ^ ^] ist, wenn nicht die Nullmenge<br />
oder der ganze Raum, eine der Mengen F^- Sie ist also Limes einer<br />
absteigenden Folge stetiger Funktionen yi^^t^''S da die Funk-<br />
tionen ^; = min [ip^, 1] und ^;' = max |^y;, -j<br />
ebenfalls absteigend<br />
*) Sie ist selbst ein h^ von der Klasse (Gjo, Gs), woraus aber nicht mehr<br />
folgt als im Text.<br />
2) Dies wird als eigentliche Divergenz bezeichnet, sollte aber besser uneigentliche<br />
Komergenz heifien (H. Hahn).<br />
315
272 Neuntes Kapitel. Reelle Funktioneii.<br />
1<br />
nach h konvergieren, kann man alsbald ~ ^tp^ -^i annehmen. Die<br />
TV<br />
1<br />
stetigen Funktionen (py^— —, fur die 1 ^ 99^ ^ ^i gilt, bilden eine auf-<br />
^»<br />
Bteigende Folge und konvergieren in C nach T-, d. h. nach ganzzahligen<br />
Grenzwerten, in D divergieren sie nach + 00. Das wSre also schon eine<br />
Losung des Problems fiir den Fall C = F^; zur Weiterflihrung transformieren<br />
wir sie folgendermaBen. Es ist 0 ^ (pn-^i — ^n^^\ schieben wir<br />
zwischen 99^ und q>n+i noch Funktionen mit gebrochenem Index<br />
X / 1 2 2n-l\<br />
9^«+« = 9>« + tWn-\-i-
§ 44. Konvergenzmengen. 273<br />
ein Nff^; der Beweis ist wie zuBeginn dieses Paragraphen. Das libertragt<br />
sich auch auf nichtreelle Funktionen (§ 43,4), falls der Bildraum voUstandig<br />
ist.<br />
Kehren wir wieder zu reellen stetigen Funktionen zuriick und betrachten<br />
statt einer Folge von Funktionen f^ix) eine Sckar von Funktionen /{a:, y),<br />
die von einem reellen, positiven Parameter y abhangen (bei festem y also<br />
stetige Funktionen von xeA sind) und deren Verhalten fiir y-^0 untersucht<br />
werden soil. Die Konvergenzmenge C der Punkte x, wo lim f(x^ y)<br />
existiert, ist wieder einFaS- Denn hierzu ist notwendig und hinreichend:<br />
es gibt fiir jedes or > 0 ein ?j > 0 derart, daB<br />
(2) I fix, 2/1) - f(x, 2/2) i ^ or fiir 2/1 < 2/2 < ^•<br />
Bei festen a*, YJ ist die Menge F(a^ ^) der Punkte x, in denen (2) gilt, abgeschlossen<br />
(als Durchschnitt der Mengen, wo die Ungleichung (2) fiir ein<br />
bestimmtes Paar y^, y^ gilt). Die Menge der Punkte x, wo (2) liir<br />
festes crund irgendein TJ gilt, ist C(a) = @ F(a^ ^), wofiir wir<br />
C(a) = F(a, 1) + F(a, i) + F{a, |) + - •<br />
schreiben k5nnen, da die F(a^ri) mit abnehmendem fj wachseii; endlich<br />
ist wieder C der Durchschnitt der C{a) oder<br />
C^C(i)C(\)C(\),..,<br />
womit C als Fo$ erkannt ist.<br />
Der obere Limes<br />
f{x)=iimj(x,y)<br />
wird durch<br />
f(x)^\img{x,Yi\ ^(^.q)= sup/(rr,|^) (i? > 0)<br />
definiert; soil er (bei festem x) existieren, d. h. endlich sein, so muB, fiir<br />
hinlanglich kleines y, fix^y) nach oben und g(x^ y) nach unten beschrankt<br />
sein; g{x^y) nimmt zugleich mit y ab. Existiert f(x) fiir jedes x, so ist f{x}<br />
wieder eine Funktion W- der Klasse (*, G^). Um das zu erkennen, konnen<br />
wir f(x, y), bei festem x^ fiir alU y>0 nach oben beschrankt annehmeB^<br />
indem wir statt seiner min [Hx,y),l betrachten, welche Funktion fiir<br />
hinlanglich kleines y, etwa y^tj^ mit fix^y) iibereinstimmt und sonst,<br />
1<br />
fiir y^ri^ jedenfalls ^ — ist. Bei dieser Annahme existiert g{x^ y) fiir<br />
jedes y und ist, als obere Grenze stetiger Funktionen, unterhalb stetig<br />
(S. 249); ferner ist dann<br />
i(x) = lim g\x, -j<br />
Hausdoiff, Mengenlehre. 18<br />
317
274 Neuntes Kapitel. Reelle Fonktionen.<br />
als Limes absteigender Funktionen erster Klasse ein h^. Der analog zu<br />
defmierende /(^) _ jy^ f{x, y)<br />
ist, wenn iiberall endlich, ein g^ von der Klasse (F^, *).<br />
Z. B. fiir y(a: + y)-y(rr)<br />
/ (^7 y) = ^ '<br />
wo q>(x) stetige Funktion der reellen Variablen x ist, ergibt sich: die Menge<br />
der Stellen, wo (p(x) nach rechts differenzierbar ist, ist ein F^y^ die rechte<br />
obere Derivierte (iiberall endlich angenommen) ist ein A^, die rechte untere<br />
ein g^. Dasselbe gilt natiirlich nach links, iibrigens auch beiderseits (wenn<br />
man rechts und links nicht unterscheidet).<br />
Bei einer Funktionenschar sind diese Schliisse (auf die Klasse von /<br />
und^ sowie der Konvergenzmenge) von stetigen Funktionen nicht auf<br />
Funktionen der Klasse (M^N) iibertragbar; sie beruhen ja wesentlich<br />
darauf, daB der Durchschnitt beliebig (nicht bloB abzahlbar) vieler F<br />
ein F, die Summe beliebig vieler G ein G ist. So hat die Tatsache, daB<br />
[137] g(x) = sup f(x, y)<br />
y<br />
(/(^) y) sei bei festem x nach oben beschrankt) unterhalb stetig ist, falls<br />
f(x,y) bei festem y nach x stetig ist, kein Analogon fiir Bairesche Funktionen<br />
/ hoherer Klasse. Wenn /(a:, y) B air esche Funktion beider Variablen<br />
im erweiterten Raum (A^Y) und A separables S (S = absolut Suslinsche<br />
Menge) ist, so ergibt sich g{x) als Funktion der Klasse (6", 6"), denn offenbar<br />
ist die Menge [g > c] Projektion der Menge [/ > c] auf den Raum A^ also<br />
ein 5, ebenso [g^c]= S r 11<br />
g > c — —\, Die Mengen [g < c], [g^c] sind<br />
Komplemente A — S. (Wenn speziell der Raum A Eukhdisch und f(x,y)<br />
von erster Klasse ist, so ist g(x) von der Klasse (F^^ *), also von zweiter<br />
Klasse. Denn hier ist die Projektion eines F„ wieder ein F^.)<br />
Es ist lehrreich, noch einige andere Konvergenzmengen zu betrachten.<br />
Wir nehmen x reell, y positiv an; die in der oberen Halbebene y > 0 definierte<br />
reelle Funktion /(a;, y) sei bei festem y stetig in x. Wir lassen<br />
(x, y) aus der oberen Halbebene nach einem Punkt (|, 0) der a;-Achse<br />
konvergieren; je nach der Art, wie diese Konvergenz<br />
(3) (a:,t/)-(|,0)<br />
vorgeschrieben ist, kann die Menge C der Zahlen | oder der Punkte (|, 0),<br />
fiir die lim f(x^y) existiert, verschiedenen Charakter haben.<br />
Geradlinige Anndherung. Bei Annaherung parallel der y-Achse, wo es<br />
sich also um lim /(f, ^) handelt, wissen wir, daB C ein F^s ist, Dasselbe<br />
gilt bei Annaherung auf der festen Geraden<br />
(4) x~^ = ty.<br />
318
§ 44. Konyergenzmengen. 275<br />
handelt es sich um den Grenzwert<br />
(5) limJ(S + ty,y)^g(lt)<br />
— 2^ < ^ < 2^, t == tg^l; hier<br />
einer, bei festem y.und i, stetigen Funktion von |, und die Menge C(t) der f,<br />
wo dieser Grenzwert existiert, ist ein FgS- Dies ist also das Ergebnis bei<br />
Anndherung in fester Richtung,<br />
Die Summe C = Q)<br />
ist die Konvergenzmenge ein F^^, bei Anndherung in mindestens einem<br />
(hinlanglich schmalen) Winkelraum ein F^^a^ bei Anndherung in jedem<br />
(beliebig breiten) Winkelraum ein F^^; diese Behauptungen moge der Leser<br />
selbst beweisen.<br />
Bei ganz mllkurlicher Anndherung (3) ist die Konvergenzmenge C ein<br />
Gs, und zwar ohne jede Voraussetzung iiber f(x^ y)^ das also nicht mehr nach<br />
X stetig zu sein braucht. Denn zur Konvergenz ist notwendig und hinreichend,<br />
da6 fur jedes cr > 0 der Punkt (f, 0) eine ebene Umgebung U<br />
babe, in deren oberer Halfte (y > 0) fiir je zwei Punkte<br />
I /(^i7 Vi) - /(^2.2/2) I ^
276 Zebntes Kapitel. Erganzungen.<br />
Zehntes Kapitel.<br />
Erglinzungen*<br />
§ 45. Die Bairesche Bedingung.<br />
1. Moduln und Kongruenzen. Alle Mengen, die wir betrachten,<br />
seien Teilmengen einer festen Menge £", die wir als ,,Raum" und deren<br />
[138] Elemente wir als ,,Punkte** bezeichnen. Als Diskrepanz zweier Mengen<br />
A, B erklaren wir die Menge<br />
[A,B] = (A + B)~AB<br />
= (A —AB)+ (B—AB)= [B,A]<br />
der Punkte, die einer dieser Mengen, aber nicht der anderen angehoren.<br />
Sind a(x), b{x) die charakteristischen Funktionen (S. 20) von A, B, so ist<br />
\a{x)—b{x)\ die charakteristische Funktion von [^,i5].<br />
Fiir drei Mengen A^B^C gilt<br />
(1) [A,C]^[A,B]^[B,C\.<br />
Denn sei xs[A,C], etwa xeA^ xsC; je nachdem XIBB oder xeB^ ge«<br />
hort X zu [A^B] oder zu [B^C],<br />
Ferner ist offenbar<br />
(2) [E-A,E-B]=[A,B].<br />
1st jedem Element (Index) n einer beliebigen Menge ^) N ein Paar von<br />
Mengen ^,j, 5„ zugeordnet, so ist<br />
(3j I [©^„, @5„]s@[A„,fi„]<br />
[^A^,m^]^_
§ 46. Die Bairesche Bedingung. 277<br />
Ein nichtleeres System 3R von Teilmengen M des Raumes E heifit<br />
unter folgenden Bedingungen ein Moduli [139]<br />
((x) Jede Teilmenge eirier Menge aus 3K gehort wieder zu 3K,<br />
(j8) Die Summe endlich vieler Mengen aus 3Jt gehort wieder zu 9K.<br />
Wird statt (P) die scharfere Forderung gestellt:<br />
(P^) Die Summe (endlich oder) abzahlbar vieler Mengen aus 9K gehort<br />
wieder zu 3R,<br />
so heiBt ein System 3K, das (a) und (/3^) erfiillt, ein a-Modul. Jeder<br />
Modul enthalt die leere Menge 0.<br />
Die endlichen oder (falls E ein metrischer Raum ist) die in E nirgends<br />
dichten Mengen bilden einen Modul, die hochstens abzahlbaren oder die<br />
Mengen erster Kategorie in E (die Ej) einen or-ModuL<br />
Nach dem Vorbild der Zahlentheorie und Algebra nennen wir zwei<br />
Mengen A^ B kongruent nach dem Modul 9K,<br />
wenn sie sich „nur um Mengen MeW unteVscheiden", genauer gesprochen:<br />
wenn ihre Diskrepanz \A^E\ zu 2K gehort Man kann das so ausdriicken:<br />
die beiden Summanden<br />
M^ = A -~AB= {A+B)~-B,<br />
M^=B—AB = (A4.B)—A,<br />
aus denen sich die Diskrepanz zusammensetzt, sind Mengen M des Moduls<br />
3K, ynd gemafi<br />
B=^AB+M^=^(A-- M,) + M^<br />
^•{A+B)-M^={A + M,y- M,<br />
entsteht von den kongruenten Mengen die eine aus der andern, indem<br />
man eine Menge M abzieht und dafiir eine Menge M hinzufiigt. Man<br />
kann auch sagen, dafi A und B ,,bis auf Mengen M'' tibereinstimmen<br />
oder „mit Vernachlassigung von Mengen M'' identisch sind. ^ ^ 0 (SR)<br />
heiBt, daB A zu M gehort. Wir lassen im folgenden bei den Kongruenzen<br />
die Angabe des festen Moduls fort und schreiben statt A ^ B (M) einfach<br />
A~B.<br />
DaB A^ A und mit A ^B auch B^ A^ d. h. daB die Kongruenzbeziehung<br />
reflexiv und symmetrisch ist, ist trivial; nach (1) ist sie auch<br />
transitiv, d. h. mit A ^ B^ B ^ C hi A ^ C. Sie gestattet also die Einteilung<br />
der Teilmengen von E in Klassen kongruenter Mengen, wobei<br />
zwei Klassen entweder identisch oder disjunkt sind. Ist E^O, so sind<br />
alle Mengen ^ 0 und es gibt nur eine Klasse; das andere Extrem ware,<br />
daB W nur aus der leeren Menge 0 besteht und jede einzelne Mfenge fxir<br />
sich eine Klasse bildet.<br />
Aus (2) folgt: mit A =^ B ist E — A~ E ~B.<br />
321
278 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
Aus (3) folgt: mit A^^^B.^^ ist<br />
flir eine endliche, im Fall eines cr-Moduls auch ftir eine abzahlbare Menge<br />
von Indizes n.<br />
Aus (4) ergibt sich im Fall eines a-Moduls:<br />
I»it ^n,'"nj,^B^,'^'nj, ist A~B,<br />
der Suslinsche ProzeB laBt die Kongruenz bestehen.<br />
E sei jetzt ein metrischer Raum; als Umgebung U^ von x bezeichnen<br />
wir jede offene, den Punkt x enthaltende Menge. 3M sei wieder ein fester<br />
Modul und A eine beliebige Menge des Raumes. Fur das lokale Verhalten<br />
von ^ zu 9K in einem Raumpunkt x machen wir folgende Unterscheidung:<br />
X heifie ein Nullpunkt von A (fur 3K), wenn er eine Umgebung U^ mit<br />
(5) AU.^O<br />
hat; andernfalls, wenn also flir jede Umgebung U^<br />
AU^^O<br />
ist, ein positwer Punkt. Die Menge der positiven Punkte werde A^^, die<br />
der Nullpunkte Ag genannt, also E^A^-j- Aq. Aq ist offen^ A^^ abgeschlossen,<br />
Denn wenn xeA^ und also eine Umgebung V^ mit (5) hat, so ist f/^-g Ag,<br />
weil jeder Punkt von f/^. ebenfalls eine solche Umgebung (namlich U^)<br />
hat. Es ist also<br />
X<br />
wenn jedem Nullpunkt x ein Uy. gemaB (5) zugeordnet wird, und<br />
AAg^(B\iU^,<br />
X<br />
wobei hier jeder Summand ^ 0 ist. Wenn 3R ein cr-Modul und E (oder<br />
wenigstens A) separabel ist, so folgt daraus<br />
(6) AA.^a,<br />
da man gemafi § 25, VI die Summe iiber die f/^. (oder AU^) auf abzahlbar<br />
viele dieser Summanden beschranken kann. Die Gleichung (6) kann aber<br />
auch gelten, wenn E nicht separabel ist (vgl. den folgenden Satz I).<br />
Ein Punkt xeE—^« ist Nullpunkt von ^, da er eine Umgebung<br />
U^ = E — A^ mit AUa: = 0 hat; hieraus folgt<br />
(7) A^^A,<br />
Wenn alle endlichen Teilmengen von ^ zu 3K gehoren, ist A^^A^] wenn<br />
alle abzahlbaren, so ist A^^^Ay (vgl. § 23).<br />
Wenn A ^ B^ so ist auch AU^^ BU^ und jeder Nullpunkt der einen<br />
Menge auch Nullpunkt der andern, also A^, — j^^,, Ag = Bg (dies laBt<br />
sich nicht umkehren).<br />
322<br />
^?
§ 45. Die Bairesche Bedingung. 279<br />
2. Die Bairesche Bedingung fiir Mengen. 30? sei jetzt der cr-Modul<br />
der Mengen erster Kategorie (in E). Die NuUpunkte und positiven Punkte<br />
von A warden hier Punkte erster und zweiter Kategorie von A genannt.<br />
Wir zeigen zunachst, daB die Formel (6) in jedem Falle, auch bei nichtseparablem<br />
Raum E gilt:<br />
I (Satz von S. Banach). Die in A liegenden Punkte erster Kategorie<br />
ifon A bilden eine Menge erster Kategorie,<br />
Wir betrachten zuerst den Spezialfall A^A^, wollen also beweisen:<br />
wenn alte Punkte von A Punkte erster Kategorie sind, so ist A {>on erster<br />
Kategorie, Wir bilden ein maximales, d. h. nicht erweiterungsfShiges<br />
System von disjunkten offenen Mengen U^ mit AUr^^O; die Existenz<br />
eines solchen Systems folgt wie in § 31 dnrch Wohlordnung und aus MSchtigkeitsgrunden.<br />
x durchlauft eine geeignete Teilmenge von A' V = 21V^<br />
ist offen, Y ^=E — J] abgeschlossen. Dann ist F nirgendsdicht, der<br />
offene Kern 7^=0; denn wenn F^-:>0 ware, so konnte, je nacMem<br />
^F^ = 0 Oder a ein Punkt von AY^ ist, entweder Y^ selbst oder (da<br />
^ in a von erster Kategorie ist) ein geeignetes i/^gF^ mit AU^^^<br />
den Mengen 1]^. hinzugeftigt werden. Wir haben jetzt F ^ 0,<br />
A =.'AU -^AY^Al]<br />
und es bleibt ^4 i/ = 0 zu zeigen. Als Menge erster Kategorie ist<br />
^ c/jj. = A^i -j- A^^ _|- ... = ^ A^^<br />
n<br />
Summe abzahlbar vieler nirgendsdichter Mengen ^^,j, die (bei festem x)<br />
disjunkt angenommen werden konnen. Dann sind die samtlichen Mengen<br />
Ay,^ paarweise disjunkt, und wenn wir zeigen konnen, daB jedes<br />
A^ = 2d A^^<br />
X<br />
nirgendsdicht ist, so folgt aus<br />
AV = 2:A^^=:SA,,<br />
die Behauptung AU^ 0. Nun ist offenbar<br />
hieraus folgt fiir die abgeschlossenen Hiillen (S. 118, (13))<br />
A^nat § A^^U^<br />
und wenn G den offenen Kern A^^i von A^^^ bedeutet: A^^^^GU^ also<br />
GU^ = 0,da^a.^ nirgendsdicht ist. DemnaehistCZ/ = O^G = GV^ ^^€ = 0,<br />
6? = 0, A^ nirgendsdicht.<br />
Hiermit ist der besondere Fall A ^A^ des Satzes I bewiesen; im aJIgemeinen<br />
Fall beachten wir, daB fiir jede Teilmenge B ,von A ersiehtlich<br />
A^^Bq ist, insbesondere fiir B — AA^: B^B^, also B^Q.<br />
Die Begrenzung jeder offenen Menge G oder jeder abgeschlossenen<br />
323
280 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
Menge F ist nirgendsdicht, also Gcc—G^F —/", == 0; jede offene Menge<br />
ist mit einer abgeschlossenen und umgekehrt kongijuent (G ^ G«, F^F^).<br />
[140] Wir sagen, eine Menge A sei eine ^-Menge oder geniige der Baireschen<br />
Bedingung (im weiteren Sinn, C. Kuratowski), wenn sie mit einer<br />
offenen oder auch mit einer abgeschlossenen Menge kongruent ist.<br />
Das Komplement einer ^-Menge ist eine ^'Menge. Denn A ^G gibt<br />
E—A~E~G==F.<br />
Die P'Mengen hilden ein Borelsches System ^). Denn ist A^ ^ G„ ^ F^<br />
fiir n = 1, 2, 3, . . ., so folgt<br />
Alle Borelschen Mengen des Raumes sind also fi-Mengen.<br />
Jede /8-Menge entsteht aus einer offenen, indem man ein Ej weglaBt<br />
und hinzufiigt. Will man nur die eine dieser beiden Operationen zulassen,<br />
so ergibt sich: die /S-Mengen sind die Mengen der Form<br />
(8) Gs + Ej Oder F„^Ej.<br />
Denn sei ^ ^ G eine fi Menge; die Diskrepanz [A, G] ist als Menge erster<br />
Kategorie in einer Menge D = F^ von erster Kategorie enthalten; setzt<br />
man C = E—D = G$, so ist C[A,G] = [CA.CG] =0, CA = CG und<br />
A=CA + DA =CG + DA,<br />
wobei CG ein G^ und DA ein Ei ist. Durch Komplementbildung erhalt<br />
man die zweite Form (8) ^),<br />
A ist dann und nur dann ^'Menge, wenn es eine Menge C ^ E {E — C<br />
ein Ej) gibt derart, dafi CA in C offen, oder ahgeschlossen, oder zugleich offen<br />
und abgeschlossen ist.<br />
Dafi dies hinreicht, ist evident; ist z. B. CA = CG und C^E, so<br />
ist A==EA~CA=CG^EG==G, Die Notwendigkeit folgt so: ist<br />
A ~ H, C = E — [A, H] ~ E, BO ist wie oben C[A, H] = [CA, CH] = 0,<br />
CA == CH, Setzt man fiir H eine offene oder abgeschlossene Menge, so<br />
gibt es also ein C^^ E mit C^A = C^G, ein C^^E mit C^A = C^F und<br />
ein C == C^C^ ~ E mit C^ = CG = CF.<br />
Weitere notwendige und hinreichende Bedingungen fiir ^-Mengen ergeben<br />
sich mit Hilfe der beiden Mengen Aq, Ap der Punkte erster und<br />
zweiter Kategorie von A, Setzen wir B = E —A, Fiir jede Menge A ist<br />
[141] 1) Sogar ein Suslinsches (0. Nikodym).<br />
[142] 2) Der Leser, der die Lebesguesche MaBtheorie kennt, sei darauf hingewiesen,<br />
daB zwischen den mefibaren Mengen und den j5-Mengen, insbesondere<br />
zwischen den Mengen vom MaBe 0 und den Mengen erster Kategorie eine weitgehende<br />
Analogie besteht (W. Sierpiiiski). Die meBbaren Mengen sind die Mengen<br />
der Form<br />
Gd — N Oder Fo + N,<br />
wo N eine Menge vom MaBe 0 ist; man vergleiche dies mit (8).<br />
324
§ 45. Die Bairesche Bedingung. 281<br />
nach (6)<br />
(6*) A=A (Aj, + A^) ~AA^, = A^-BA^,<br />
Hiernach sind die Kongruenzen<br />
(9) BA^~(^, (10) A^A^<br />
gleichbedeutend; sie sind fiir eine j8-Menge A hinreichend {A ist mit einer<br />
abgeschlossenen Menge ^^ kongruent), aber auch notwendig, denn fiir<br />
eine abgeschlossene Menge F ist nach (7) und (6*) Fj,^F^ also<br />
F = FFj, = Fp^ und wenn A ^F /S-Menge ist, so ist A^ = 7^^, also<br />
A = Ap, (9) besagt, daU die nicht zu A gehorigen Punkte, in denen A von<br />
zweiter Kategorie ist, nur eine Menge erster Kategorie bilden.<br />
Aus (10) gehen durch Komplementbildung sowie durch Vertauschung<br />
der Mengen ^, JB die Kongruenzen<br />
(11) A^Ap~B^, B^Bp^A^<br />
hervor; jede einzelne davon ist fiir ^-Mengen notwendig und hinreichend,<br />
z. B. auch Ap~Bq,<br />
denn hieraus folgt BA^^ BB^ ^ 0, die Kongruenz (9). Die Formein (11)<br />
besagen, daB eine ^S-Menge A bis auf Mengen erster Kategorie aus den<br />
Punkten zweiter Kategorie von A oder den Punkten erster Kategorie<br />
von B = E — A besteht. Endlich erwahnen wir noch die folgende Charakterisierung<br />
der ^-Mengen:<br />
(12) Aq-^Bg dicht, A^B^ nirgendsdicht (im Raum £"),<br />
d. h. die Punkte, wo wenigstens eine der beiden Mengen 4, B von erster<br />
Kategorie ist, bilj^eu eine dichte (offene) Menge; diejenigen, wo A und B<br />
beide von zweiter Kategorie sind, eine nirgendsdichte (abgeschlossene/.<br />
In der Tat ist (12) hinreichend, denn aus der allgemein giiltigen Kongruenz<br />
B = BBp folgt J5^^ ^ BApBp und im Falle (12) BA^ ~ 0, also (9).<br />
Andererseits ist nach (7) ApBp^AocB„ = Ag (Begrenzung von A); ist<br />
A^F,B~G=E--F, so ist ApBp= Fj,Gp g F^; die Begrenzung einer<br />
abgeschlossenen Menge ist aber nirgendsdicht und (12) auch notwendig.<br />
Wir nennen eine Menge A oc-abgeschlossen^ wenn sie mit ihrer abgeschlossenen<br />
Htille kongruent ist {A ^ A^); oc-offen^ wenn sie mit ihrem<br />
offenen Kern kongruent ist (A^A^); eine oc-Menge, wenn sie beides<br />
ist, d. h. Ag = A^ — A^^ 0, wenn also die Begrenzung von A von erster<br />
Kategorie ist. Dies alles sind spezielle ^-Mengen. Die ieler und<br />
die Summe abzdhlbar i^ieler oc-offener Mengen ist oc-offen.<br />
Es geniigt, die erste Behauptung zu beweisen. Ftir A = (BA^ mit<br />
endlich vielen Summanden ist A^, ~ ©^^^ — ®^w ~ ^- ^iir A = S)^„<br />
325
282 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
mit endlich oder abzahlbar vielen Mengen ist ^^g S)^!,^^ = ^* und<br />
^*~2)^„ = ^; aus A^A^^A* und A ^ A* folgt A~A^.<br />
Wenn wir statt des
§ 45. Die Bairesche Bedingung. 283<br />
3. Die Bairesche Bedingung fiir Funktionen. Jedem Punkt x des<br />
metrischen Raumes E sei durch die Funktion<br />
2/== (p{x)<br />
ein Punkt y des metrischen Raumes H eindeutig zugeordnet (vgl. S. 194);<br />
y heiBt das Bild von x\ das Bild einer Menge A^E (d. h. die Menge<br />
der Bilder der Punkte von A) werde mit (p(A) bezeichnet. Das Bild<br />
IIQ== (p(E) des ganzen Raumes E kann der ganze Raum // oder eine<br />
Teilmenge davon sein; wir nennen y = (p{x) eine Abbildung von E auf HQ<br />
Oder von E in H (im Falle HQ = B also eine Abbildung von E auf H).<br />
Als das JJrbild ip{B) einer Menge B ^ H bezeichnen wir die Menge aller<br />
Punkte X von E mit q)(x)sB] offenbar ist y)(B) = y)(HQB).<br />
Der Punkt x heifit ein Stetigkeitspunkt von (p(x), wenn flir jede<br />
Folge Xj^-^ X auch (p(x). Die Menge C der Stetigkeitspunkte ist<br />
immer ein G$, die Menge D der Unstetigkeitspunkte ein F^ (Beweis wie<br />
S. 251 fiir reelle Funktionen). Wir erinnern noch an die topologische<br />
Charakterisierung der Stetigkeitspunkte x (S. 194): fiir y — q>{x) hat das<br />
Urbild jeder Umgebung Vy den Punkt x als inneren Punkt, Dabei kann<br />
man sich auf die Vy beschranken, die einein {>ollen Umgebungssystem {S.228)<br />
oder, wie wir ktirzer sagen wollen, einer Basis 33 des Raumes H angehoren:<br />
eine Basis ist ein System offener Mengen^ aus denen durch Summenbildung<br />
alle offenen Mengen erhalten werden. LaBt man also Y alle Basismengen,<br />
f/== ip(V) deren Urbilder durchlaufen, so ist x dann und nur dann<br />
Stetigkeitspunkt, wenn er innerer Punkt jeder Menge U ist, der er angehort,<br />
folglich dann und nur dann Unstetigkeitspunkt, wenn es mindestens<br />
ein U mit xsU — Ui = U^ {V^ Rand von JJ) gibt, und wir erhalten fiir<br />
die Menge D der Unstetigkeitspunkte die einfache Darstellung<br />
(13) D = ©(7,,<br />
wobei die' Summe, wie gesagt, uber die Urbilder Z7 = ^( F) aller Mengen<br />
V einer Basis von H (oder, wegen ^( F) == \P[HQV)^ vonHo) zu erstrecken<br />
ist. Fiir eine stetige Abbildung (D = 0) folgt daraus die uns bekannte<br />
Charakterisierung: die Urbilder aller offenen Mengen sind offen (§35, I).<br />
Die Abbildung y = (p(x) liefert, wenn man x auf eine Menge A^E<br />
beschrankt, eine Teilfunktion (p{x\A) oder eine Teilabbildung von A in H<br />
(auf (p{A)^H)j bei der das Urbild einer MengeB^H offenbar Ay){B)<br />
ist.<br />
Wir nennen q)(x) eine (X-Funktion^ wenn die Menge D ihrer Unstetigkeitspunkte<br />
von erster Kategorie (2)^0, C^E) ist. Jede punktweise<br />
unstetige Funktion (S. 251) ist «-Funktion, und wenn E—Ei stets in<br />
E dicht, E ein Gjj-Raum ist (S. 143), z. B. ein vollstandiger, so ist jede<br />
a-Funktion auch punktweise unstetig.<br />
Wir sagen, daB q){x) eine ^-Funktion ist oder der Baireschen Be-<br />
327
284 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
dingung (im weiteren Sinne) geniigt, wenn es eine Menge C^E gibt,<br />
wofiir (p(x \C) stetig ist. Diese Funktionen sind also „bis auf Mengen<br />
erster Kategorie stetig*' im Sinne von S. 261. Es sei nochmals daran erinnert,<br />
dafi die Punkte von C hier Stetigkeitspunkte der Teilfunktion<br />
(p{x\C), aber nicht notwendig der Gesamtfunktion (p{x) sind.<br />
DenZusammenhang zwischen ^-Funktionen und ^-Mengen, ^-Funktionen<br />
und /8-Mengen vermitteln folgende Satze.<br />
III. Fiir eine (x-Funktion ist notwendig und bei hochstens separablem H<br />
auch hinreichend, dafi das Urbild jeder offenen (abgeschlossenen) Menge<br />
oc-offen (^-abgeschlossen) sei.<br />
Das folgt aus (13). Wird die Basis S5 von alien offenen Mengen gebildet,<br />
so ist mit D==0 jedes Uj. = 0, 6' ~ i/^-, das Urbild jeder offenen<br />
Menge V ist a-offen und das Urbild E — U = y){H — F) jeder abgeschlossenen<br />
Menge // — F ist a-abgeschlossen. Umgekehrt folgt aus U^^O<br />
bei hochstens separablem H, indem man eine hochstens abzahlbare Basis<br />
wahlt, D = 0. (Es geniigt natiirlich, dafi HQ hochstens separabel sei.)<br />
[144] IV. Fiir eine ^-Funktion ist notwendig und bei hochstens separablem H<br />
auch hinreichend, dafi das Urbild jeder offenen (oder jeder abgeschlossenen<br />
oder jeder Borelschen) Menge eine fi-Menge sei.<br />
Bei der Teilabbildung (p(x \ C) ist das Urbild von F, wie wir oben<br />
bemerkten,Cy)(V) = CU und, falls q){x\C) stetig ist, in C offen: CU = CG;<br />
hieraus folgt fiir C^ E: U ^G, U ist ^-Menge, falls q){x) ^-Funkti.on<br />
ist. Die eingeklammerten Behauptungen folgen durch Komplement-,<br />
Summen- und Durchschnittsbildung. — Umgekehrt, ist jedes U = y){V)<br />
eine ^-Menge und H hochstens separabel, so durchlaufe F eine hochstens<br />
abzahlbare Basis; wir ordnen jedem U eine offene Menge G^ V zu<br />
und bilden die Summe der Diskrepanzen D == ®[C/, G] ^ 0, sowie<br />
C == E —D~E; dann ist CU = CG, d. h. bei der Teilfunktion (p(x\C)<br />
ist das Urbild CU jeder Basismenge F in C offen und folglich das Urbild<br />
jeder offenen Menge in C offen: q}{x \C) ist stetig, (p{x) eine j5-Funktion.<br />
Die charakteristische Funktion (p(x) einer Menge A ist dann und nur<br />
dann oc-Funktion (fi-Funktion), wenn A oc-Menge (fi-Menge) ist.<br />
Dies folgt aus III IV, wenn man den Raum H = {0,1} nur aus den<br />
beiden Zahlen 0 und 1 bestehen laBt; alle vier Teilmengen von B sind zugleich<br />
offen und abgeschlossen und ihre Urbilder sind E, A, E — A und 0.<br />
— t)brigens folgt die Behauptung fiir iX-Funktionen unmittelbar daraus,<br />
dafi A^ die Menge der Unstetigkeitspunkte von (p(x) ist; insbesondere ist<br />
(p(x) dann und nur dann stetig, wenn A zugleich offen und abgeschlossen<br />
ist, q)(x \ C) dann und nur dann stetig, wenn CA in C zugleich offen und<br />
abgeschlossen ist; die Behauptung iiber jS-Funktionen folgt dann aus der<br />
S. 280 angegebenen charakteristischen Eigenschaft der ^-Mengen.<br />
328
§ 45. Die Bairesche Bedingung. 285<br />
Wir betrachten jetzt eine Folge von Abbildungen y^ =
286 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
Also ist by^a in C/^; da dies fur jedes a gilt, ist a Stetigkeitspunkt von<br />
(p{x).<br />
Ferner sei F^{a) die Menge der x^ wo<br />
(P) VrnVn^^ fur/i = m+l, mH-2, ...;<br />
diese Menge ist abgeschlossen (fiir jedes einzelne n definiert die Ungleichung.<br />
(p) eine abgeschlossene Menge wegen der Stetigkeit von q)>^(x) und (pn{^)\<br />
fiir die samtlichen n^m-\- i den Durchschnitt dieser abgeschlossenen<br />
Mengen). Wegen der Konvergenz der Folge (pn(^) ist, fiir jedes rr, (P) fiir<br />
ein geeignetes m erfiillt; hieraus folgt<br />
E =
§ 45. Die Bairesche Bedingung. 287<br />
untere Entfernung des x von C), und dann (x(x) = (p(c{x)) erklliren.<br />
Diese Funktion, behaupten wir, ist in jedem Punkt ceC stetig, also eine<br />
a-Funktion. Es ist, fiir x^-> c^ (x(x^)-->(x(c) zu zeigen, wobei man sich<br />
auf die beiden Falle beschranken kann, dafi alle x^^ zu C oder alle zu D gehoren.<br />
Fiir x^^eC ist (x(x.^) = (p(x^^)-^ q)(x) ~ (x{x) wegen der Stetigkeit<br />
von (p(x\C), Fiir X^^ED ist dix^^C) -> 0, A(a;^)-> oo, die Entfernung<br />
zwischen x^ und c{x^^) konvergiert nach 0, also c(x^)->c und<br />
^(^"n) ~ 9^(c{^rt))'^ 9!?(c)=a(c), wieder wegen der Stetigkeit von 99{rc|C).<br />
— Nunmehr sei<br />
q)i^(x) = (p{x) fiir xeC + Fj.<br />
q>k{x) — (x(x) fiir xeD —Fj^.<br />
Auch diese Funktionen sind in csC stetig, denn fiir x^^ -> (?, x^eD ist schlieBlich<br />
X^ED —Fjfe, ^jci^i^ ~ o(.{x^^)-^oc{c) = (p{c)— (fjeic). Andererseits<br />
ist lim i{x) = q){x)^<br />
It<br />
namlich in C (pjc(x) = h(x)'^f(x) = (p(x)j und in jedem Punkt von D<br />
schlieBlich (pis(x) =99(0;). — Allgemeiner gilt, wie wir ohne Beweis angeben:<br />
wenn H oder HQ hochstens separabel ist, so ist jede j8-Funktion Grenzfunktion<br />
von iV-Funktionen, wie jede ^ff-Menge Limes von iV-Mengen<br />
(Satz II).<br />
4. Die engere Bairesche Bedingung. Ist M eine Teilmenge von E,<br />
so heiBe (p(x) eine ySji^-Funktion, wenn (p(x \ M) bis auf Mengen erster<br />
331
288 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
Kategorie (in M) stetig oder im Raum M eine ^-Funktion ist, d. h. wenn<br />
eine Spaltung M = C -{- D moglich ist mit D = J/j und stetigem q)(x \C),<br />
Man kann hierbei sowohl von der abgeschlossenen Hiille M^ als auch vom<br />
insichdichten Kern Mj^ auf M selbst schlieBen, d. h. es gilt:<br />
Ist F = i/^, so ist eine ^p-Fiinktion zugleich fij^^-Funktion,<br />
Denn ist i^ = C + D, i) in i^ von erster Kategorie, q){x \ C) stetig,<br />
so ist (p{x I MC) stetig und MD in F, also (§ 27, XIII) auch in M von<br />
erster Kategorie.<br />
Ist K = i/j;., so ist eine fix-Funktion zugleich ftj^^-Funktion,<br />
Denn (vgl. S. 262 oben) ist<br />
M= J+ (S~-J)+ A',<br />
wo / der isolierte, S der separierte Bestandteil von M ist, so ist MJ^<br />
in MJ^ abgeschlossen und nirgendsdicht, da sein Komplement MJ = J<br />
in MJ^ dicht ist, um so mehr MJ^^ ein M^, Nach §23, (15) ist S ^ J^t,<br />
S — y g J^. Ferner gibt es ein i), von erster Kategorie in K und um so<br />
mehr in M^ wofiir (p{x | K — D) stetig ist. Nach Tilgung von MJ^J^D<br />
aus M bleibt J -\- C^ wo (p(x\C) stetig und CJ,^ ~ 0; daher ist auch<br />
(p{x\J -\-C) in den Punkten von C und in den (isolierten) Punkten<br />
von / stetig,
1. Trennbarkeit.<br />
§ 46. Halbschlichte Abbildungen. 289<br />
§ 46. Halbschlichte Abbildungen. [ue]<br />
Zwei Mengen A,B des Raumes E heiBen trennhar^ wenn sie sich in<br />
zwei disjunkte Borelsche Mengen P^Q einschlieBen lassen:<br />
A^P, B^Q, PQ = 0.<br />
Das ist damit gleichbedeutend, da6 A^ B disjunkt und in ihrer Summe<br />
Borelsche Mengen sind. Denn aus der Trennbarkeit folgt<br />
AB = 0, A=-{A^B)P, B=(A + B)Q;<br />
umgekehrt folgt aus diesen Gleichungen (A -}- B) PQ ~ 0 und<br />
A^P-^PQ, B^Q — PQ,<br />
In unsymmetrischer Form kann die Trennbarkeit von A, B auch so ausgedriickt<br />
werden: es gibt eine Borelsche Menge P, die A einschliefit und JS ausschlieBt:<br />
A^P^ BP = 0. Die Trennbarkeit von A und E —B ist damit<br />
gleichbedeutend: es gibt eine Borelsche Menge P mit A^P^B,<br />
Wenn fiir m = 1, 2, 3,... die Mengen A^ und 5 trennbar sind, so sind<br />
auch A = QA^ und B trennbar. Denn aus A^ ^ JP^, ^^m — ^ ^^Ig*<br />
mit P =
290 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
es dann ein nicht trennbaresMengenpaar A^^ J5^, sodann ein nicht trennbares<br />
^ik^ ^pqy ^i^ nicht trennbares A^j^i, B^^j. usw. Wegen ^^gC^, B^^D^<br />
(C^, D^ abgeschlossen) ist dann C^Dp r^ 0, ebenso C^j^Dj^q ^ 0, C^i^iD^gy ^ 0,...<br />
1st nun E separabel, so konnen wir annehmen (S. 191), da6 die Durchmesser<br />
der C, D mit wachsender Zahl der Indizes nach 0 konvergieren;<br />
ist er iiberdies vollstandig, so hat die Folge der C^D^^ Cik^^pq, • •» einen Durchschnittspunkt,<br />
der offenbar zu AB gehort. D. h. wenn A, B nicht trennbar<br />
sind, so sind sie nicht disjunkt, oder:<br />
[147] Im separablen ^ollstdndigen Raum sind zwei disjunkte Suslinsche<br />
Mengen trennbar^ rf. h. in ihrer Summe Borelsche Mengen (§34, III).<br />
Ferner sei<br />
A == ^ C^C^jfi^j^i. . .<br />
mit disjunkten Summanden darstellbar; es ist dann<br />
A = ^Ai, A^ = ^A^]^, A^j^ = ^jAijcit . • *<br />
% k I<br />
mit disjunkten Summanden. Ist E separabel und vollstandig, so sind die<br />
disjunkten Suslinschen Mengen A^ paarweise trennbar, also simultan<br />
trennbar: es gibt disjunkte Borelsche Mengen P^^A^, die man iiberdies<br />
durch C^P^ ersetzen, also g C^ annehmen kann. Ebenso gibt es disjunkte<br />
Borelsche Mengen P^j^^A^j^^ P^j^^C^j,, wobei man noch P^^ durch PiPik<br />
ersetzen, d. h. P^j. g P^ annehmen darf. So erhalt man<br />
^i g ^t g C^, A^j. g P^jc g C^jg, Aij^i g P^j^i g C^j^i, . . .<br />
P,^P,,^P,,,^.,,<br />
Da aber A^A^j^A^j^i. , . = C^Cij^Cij^i . . ., so ist dies auch = PiPik^iki • • •.<br />
^ ~ -^^i^ik^iki • • •<br />
und da die Mengen P mit gleichvielen Indizes paarweise disjunkt sind,<br />
so ist dies mit<br />
gleichbedeutend, A ist Borelsch. Im separablen vollstdndigen Raum ist<br />
jede mit disjunkten Summanden darstellbare Suslinsche Menge Borelsch<br />
(§34, IV).<br />
2. Erhaltung der JS-Mengcn. Die (eindeutige) Abbildung y =
§ 46. Halbschlichte Abbildungen. 291<br />
Der Sonderfall stetiger Bilder ist bereits in § 37, II behandelt. Wir<br />
wollen zeigen, daB auch das halbschlichte Bairesche Bild einer fi-Menge<br />
noch eine jB-Menge ist und daB sich eine solche Abbildung in hochstens abzahlbare<br />
viele schlichte Bairesche Abbildungen von 5-Mengen spalten<br />
laBt. Wir stellen einen Satz voran, auf dem die Beweise beider Behauptungen<br />
beruhen werden:<br />
I. Die Abbildung y=(p(x) des i>ollstdndigen Raumes A sei stetig.<br />
Jeder dyadischen (aus den Ziffern 1, 2 gebildeten) Folge p^ q, r, , . . sei eine<br />
Folge beschrdnkter, in A offener Mengen ^)<br />
mil Durchmessern -^ 0 und den Bildern<br />
derart zugeordnet, dafi die 2** Mengen U mil n Indizes paarweise disjunkt<br />
sindj hingegen ihre Bilder V gemeinsame Punkte haben:<br />
(1) V,V,^Q, V,^V^V,,V,,^0,...<br />
Dann hat die unahzdhlbare Menge<br />
ein einpunktiges Bild, die Abbildung ist also nicht halbschlicht.<br />
Der Beweis ist auBerst einfach. Der Durchschnitt Uj^Uj^qllj^ .. . kann<br />
durch den der abgeschlossenen Hiillen ersetzt werden und ist also einpunktig;<br />
verschiedenen dyadischen Folgen entsprechen verschiedene Punkte<br />
X = UpUpqUpqj.. . ., D ist von der Machtigkeit des Kontinuums^). Ist<br />
y ^ (p(x), so konvergieren wegen der Stetigkeit auch die Durchmesser<br />
der Bilder F^, 7^^, F^^,, . .. nach 0. Ist i =U„ U„^ U„^^ . . ., so istF^ F^ r^ 0,<br />
^pq ^nx ^ ^1 ^pgr ^nxft ^0, ... uud da die Summe von zwei Mengen<br />
mit nichtleerem Durchschnitt einen Durchmesser hat, der hochstens der<br />
Summe der beiden Einzeldurchmesser gleich ist, so konvergieren auch die<br />
Durchmesser von Fp-j. V^, Fp^_j_ F^^, Fp^,4_ F^^^, . . . nach 0, d. h,<br />
^ =
292 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
Bei der Abbildung y = ^(x) von A auf B bezeichnen wir den Punkt y<br />
von B als einfaches oder mehrfaches Bildj jenachdem sein Urbild y)(y)<br />
einpunktig oder mehrpunktig ist. Die Menge M der mehrfachen Bilder<br />
laBt sich offenbar in der Gestalt<br />
(2) M==(S
§ 46. Halbschlichte Abbilduagen. 293<br />
Damit ist der SchluB von k auf k — 1 gerechtfertigt, D von F — B trennbar.<br />
II. Das halbschlichte stetige Bild eines separablen i^ollstdndigen Raumes<br />
A ist eihe B-Menge.<br />
Vorausbemerkt sei: bei beliebigem 5>0 bilden diejenigen Mengen<br />
einer Basis des Raumes A, die Durchmesser < d haben, wieder eine Basis;<br />
ein separabler Raum A hat also fiir jedes Ai = 1, 2,. . . eine abzahlbare<br />
1<br />
Basis 93„, die aus Mengen Z7 von Durchmessern
294 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
S32(i/i) und 932(^^2) erstreckt. Mit V^V^ ist nach (G) (fiir n = 2) auch<br />
M1M2 und einer der Summanden, bei geeigneter Numerierung<br />
Fii F12 ^21 ^22 von Y —B nicht trennbar.<br />
So fortfahrend verwirklichen wir die Voraussetzungen von I, insbesondere<br />
die Ungleichungen (1) dadurch, daB die Mengen linker Hand von Y —B<br />
nicht trennbar sind. Hiernach ist (p(x) nicht halbschlicht und Ilbewiesen.<br />
[149] III. Das halbschlichte Bairesche Bild einer B-Menge ist wieder eine<br />
B-Menge.<br />
Sei y~(p(x) halbschlichte Abbildung der 5-Menge A auf B.<br />
1st (p{x) zunachst stetig, so beachten wir (§37, III), daB A vermoge<br />
einer schlichten stetigen Abbildung x='i(t) Bild eines separablen vollstandigen<br />
Raumes T ist, z. B. einer im Baireschen Nullraum abgeschlossenen<br />
Menge (den trivialen Fall, daB A und T nur endlich sind, konnen<br />
wir ausschlieBen). Dann ist y = 99 (|(/)) = >/(0 halbschlichte stetige<br />
Abbildung von T auf B, also B nach II eine B-Menge.<br />
Im allgemeinen Fall, daB y =
§ 46. Halbschlichte Abbildungen. 295<br />
Es seien t/j, f/g,... die Mengen einer Basis von A^ Vn— ^i^n) das Bild<br />
von U^ und bei der Abbildung 9? {x \ U^) sei M^ die Menge der mehrfachen,<br />
Qn== Vn— ^n ^^^ der einfachen Bilder. Die Mengen £/^, F^, J/^, Q^ sind<br />
^-Mengen, ebenso das Urbild JP^ = U^y)(Q^) von ^^ bei der Abbildung<br />
q)(x\Un) (denn ^^ ist in F^, also -P^ in U^ Borelsch). Dann ist (p{x\P^)<br />
schlicht und demgemafi die Menge ®Pn spaltbar. Das ist aber die Menge<br />
P = 2J Wj(y)' Denn ist xe fjiy)^ so gibt es ein U^^ mit y){y) U^ = x^<br />
also ist y== (pi^o) einfaches Bild bei (p(x\U^i) und xeP^ — und vice versa.<br />
Um die hiermit begonnene Abtrennung eines spaltbaren Bestandteils<br />
von A fortzusetzen, verstehen wir (vgl. S. 166 und 170) fiir die Ordniingszahlen<br />
$ < Q unter tp^iy) die Kohdrenzen von f(y); d. h. f^iy) = f (y),<br />
W^+i(y) ist die Menge der in y)^(y) liegenden Haufungspimkte vom f|(^),<br />
also y>^(y) — y>^+i(y) die Menge der isolierten Punkte von ^i(^); fiir<br />
eine Limeszahl 7] ist tptjiy) =3) y)^{y)^ Entsprechend setzen wir<br />
dann wird fiir |^ < t;<br />
A^=-j;W^(y) C^o = ^K<br />
y<br />
y<br />
und die Gleichung<br />
y^iy) — Wniy) = .-^ [niy) — w^wiy)]<br />
gibt nach t/ summiert<br />
(3) A-~~A,^=^ ^2;{A^-~A^^,).<br />
296 Zehntes Kapitel. Erganzungen.<br />
bilden, wenn der Durchschnitt<br />
der Bilder von A^U^,..., A^U^ tm alle i < Q nichtleer ist; insbesondere<br />
ist dann der Durchschnitt D^ = q>(Uj) .. . (p(U^) nichtleer.<br />
(G) Wenn bei der heliebigen Abbildung (p(x) de$ separablen Raumes A<br />
die n Mengen Ui^ (A = 1,..., n) ein kokdrentes System bilden und ^(U^,)<br />
eine hochstens abzdhlbare Basis i^on Uj^ ist, so gibt es in dieser Basis zwei<br />
disjunkte Mengen Uj^i, Uj^2 derart, dafi die 2n Mengen Uj^i^ Uj^^ ein kokdrentes<br />
System bilden,<br />
Sei y^sD^j^i^ also fiir jedes k in ^^4.1 Ui^ ein Urbildpunkt von y^<br />
vorhanden: y) (y^) A^^^ Uj, = y)^^^ (y^) f/^. ^ 0; da y)^+i (y) die Koharenz<br />
von y)^(y) ist, ist y)^(y^) Uj^ unendlich^). Es gibt also in ^(Uj,)<br />
zwei von ^ abhangige disjunkte Mengen £^M(^)> ^k^i^)^ ^i® ^^^ V^^iV^)<br />
nichtleeren Durchschnitt haben. Aber von solchen Systemen von 2n<br />
Mengen i/j^i? ^kzS^^^ ^s hochstens abzahlbar viele verschiedene;mindestens<br />
eines muB unabzahlbar oft vorkommen, und fiir unabzahlbar viele f<br />
ist also<br />
Uki{^) = Uj,^, U,^(^) = U,,,<br />
W (2/1) Uj,i > 0, y)^ (y^) Uj,2 :=> 0,<br />
(piA^U^^^) (p(A^U^^). . . (p(A^U^i) (p{A^U^2):::>0.<br />
Diese letzte fiir unabzahlbar viele ^ richtige Ungleichung gilt aber fiir<br />
alle 1^, da die A^ mit wachsendem ^ abnehmen, also bilden die 2n Mengen<br />
^11? • • M ^«2 ^i^ koharentes System.<br />
IV. Bei einer halbschlickten stetigen Abbildung des separablen (^ollstdndigen<br />
Raumes A gibt es ein f mit ^^ = 0; A ist also spaltbar,<br />
Wir beweisen: wenn alle A^ r^ 0^ so ist die stetige Abbildung y = (p(x)<br />
nicht halbschlicht. A selbst bildet ein koharentes System, also gibt es in<br />
S3i (mit den Bezeichnungen wie beim Beweise von II) zwei disjunkte<br />
C/i, C/g, die ein koharentes System bilden, sodann in SSgC^^) zwei disjunkte<br />
Upi^ Vp2, derart, dafi C/u, f/12, f72i> ^22 ®^^ koharentes System bilden usf.<br />
Damit tritt I in Kraft; die Bedingungen (1) sind jetzt dadurch verwirklicht,<br />
dafi die Bilder der Mengen eines koharenten Systems nichtleeren<br />
Durchschnitt haben.<br />
[150] V. Eine B-Menge ist bei jeder halbsehlichten Baireschen Abbildung<br />
spaltbar, d. h, Summe abzahlbar i^ieler B-Mengen, die schlicht abgebildet<br />
werden.<br />
Dies wird auf IV so zuriickgefiihrt wie III auf II. 1st y ~ q){x) halbschlichte<br />
Abbildung der ^-Menge A und zunachst stetig, so ist bei der<br />
halbsehlichten stetigen Abbildung y= (p(Hi)) == v(^) (vgl. den Beweis<br />
1) Ist Pfi die Ableitimg, Ph = PPfi die Koharenz von P und U offen, so ist nach<br />
§ 23, (13) {PU)^^PpU^PhU\ ist PhU>0, so kann PU nicht endlich sein.<br />
340
§ 46. Haibschlichte Abbildungen. 297<br />
von III) r = 2* r„in 5-Mengen r^spaltbar, diesch]ichteBilderjB^ = ^(r„)<br />
haben; da auch T^ und A^=^^{T^) in schlichter Beziehung stehen, so<br />
auch A^ und B^ == (p(A^)^ A — S A^ ist bei der Abbildung (p{x) spaltbar.<br />
Im allgemeinen Fall der Baireschen halbschlichten Abbildung y = q) (x)<br />
von A auf B betrachten wir die Punkte z— (x^y) des Produktraums<br />
{A, B) und die stetigen Funktionen x — ^{z\ y = 7](z) (Projektionen von z<br />
auf A und B). Die^-Menge Cder Punkte (x^
298 Nachtrage.<br />
Nachtrage.<br />
[151] (A) Zu S. 143.<br />
Der Raum E hiefi eine i^H-Menge, wenn jede abgeschlossene Menge<br />
i^ :=» 0 in sich von zweiter Kategorie ist. Er heifie eine jPj-Menge, wenn<br />
er keine i^u-Menge ist, wenn es also eine abgeschlossene Menge i^r^-O<br />
gibt, die in sich von erster Kategorie ist. Hieriiber hat W. Hurewicz bemerkenswerte<br />
Ergebnisse erzielt:<br />
Der Raum E ist dann und nur dann i^x"Menge, wenn er eine perfekte<br />
abzdhlbare Menge P enthalt; also dann und nur dann jPu-Menge, wenn<br />
jede perfekte Menge P r:> 0 unabzahlbar ist.<br />
In einem separablen Raum E sind die Borelschen Mengen (und sogar<br />
die Komplemente Suslinscher Mengen) samtlich jPj-Mengen mit eventueller<br />
Ausnahme der G$, Diese konnen i^ji-Mengen sein; andererseits sind ja die<br />
G;^ eines vollstandigen, auch eines nicht separablen, Raumes — die Youngschen<br />
Mengen — wirklich jPjj-Mengen (S. 144).<br />
Demselben Gedankenkreis gehoren noch folgende beiden Satze an,<br />
aus denen im Fall eines vollstandigen Raumes E die Machtigkeitssatze<br />
§26, VIII und §32, I entspringen:<br />
Jede Menge 0;^ im beliebigen Raum £, deren insichdichter Kern<br />
nicht verschwindet, enthalt eine (in E) perfekte Teilmenge P^O, Jede<br />
unabzahlbare Suslinsche Menge im separablen Raum E enthalt eine<br />
(in E) perfekte Teilmenge P^O.<br />
(B) Zu S. 159.<br />
Zu der SchluBweise im Text ware erforderlich, dafi zwei Punkte von<br />
P(0) in P{0) selbst, nicht nur in 4, die Distanz 0 haben. Der Zusammenhang<br />
von P (0) ist etwa so zu beweisen. Nehmen wir an, es sei P(0) = Q + R<br />
in die beiden in sich kompakten Mengen ^ und R zerstiickelt; verbindenwir<br />
1<br />
einenPunkt gsQ und einenPunkt reB durcheine—Kette in A, waswegen<br />
n<br />
^ = 0 fiir jede natiirliche Zahl n moglich ist. Achten wir fiir die Punkte<br />
a: der Kette darauf, ob die untere Entfernung d(x,Q) kleiner als oder<br />
mindestens gleich d{x, R) ist; fiir den ersten Punkt q tritt der erste, ftir<br />
den letzten r der zweite Fall ein, und es muB also in der Kette einen Punkt<br />
a:,i geben, ftir den noch d{x^,Q) < d(x^, R), wahrend fur den darauf<br />
_ 1<br />
folgenden Punkt y^ schon d(yn,Q) ^diy^.R) ist; hierbei ist qx^S-<br />
1<br />
und x^y^^ g —. Solche Punktpaare gibt es also fur jedes AI = 1, 2, 3, . . .<br />
Die Folge x^ hat eine konvergente Teilfolge x^.->x, wo xeA^ dann ist<br />
342
Nachtrage. 299<br />
auch y^-^ X und wegen der Stetigkeit der Distanzen und Entfernungen<br />
^ = 0, d(x^Q) ^^ d(x^ R), Also wiirde x zu P(0)='Q-\-R gehoren<br />
und das ergibt einen Widerspruch, da dannvon den beiden Zahlen d{x^Q)<br />
und d (x, R) die eine 0 und die andere positiv ist.<br />
(C) Zu § 39, 2.<br />
Es sei t=q) (x) eine stetige Abbildung des kompakten, zwischen<br />
zwei gewissen Punkten a, 6 irreduziblen Kontinuums C auf dasreelleZahlenintervall<br />
T (0 ^ / ^ 1). Die Urbilder der Zahlen t mogen die Schiditen<br />
der Abbildung (p heiBen; C{x^ (p) sei die Schicht, der der Punkt x angehort,<br />
also die Menge aller y mit (p(y) = (f (x). Die Abbildung werde monoton<br />
genannt, wenn alle Schichten Kontlnua (ein- oder mehrpunktige) sind;<br />
z. B. ist in dem Hahnschen Satz VIII fiir ein zusammeegesetztes Kontinuum<br />
C die Existenz einer monotonen Abbildung bewiesen, deren Schiehten<br />
die Primteile sind. Nun geht aus einer Untersuchung von C. Kuratowski<br />
hervor: wenn C uberhaupt monotone Abbildungen zulaBt und C{x) den<br />
Durchschnitt aller C {x^ (p) fiir samtliche monotone Abbildungen (p mit<br />
(p(a) =0, (p(b) = \ bezeichnetj so sind diese C(x) wiederum die<br />
Schichten einer monotonen Abbildung, die also eine Spaltung von C in<br />
die kleinstmoglichen Schichten bewirkt. Diese Kuratowskischen Minimalschichten<br />
C {x) verdienen den Nanien Primteile eher als die in § 39, 2<br />
so genannten Mengen, die moglicherweise noch in Minimalschichten gespalten<br />
werden konnen.<br />
(D) Zu S. 269.<br />
Die Frage ist von St. Banach behandelt worden mit folgendem<br />
Hauptergebnis. Man definiere fiir Q -^r} < Q die „modifizierten'' Baireschen<br />
Funktionen f"^ durch die Induktionsvorschrift:<br />
Die /I sind die Funktionen der Klasse (M^^ N^) = (F„,Gs),<br />
Fiir ?7 > 0 sind die f'^ die Grenzfunktionen konvergenter Folgen<br />
von Funktionen /'^ {^< n)-<br />
Dann sind bei hochstens separablem Bildraum Y die Funktionen<br />
f^^ mit denen der Klasse {M'''^\ N"'^^) identisch.<br />
Dadurch also, daB man als Ausgangspunkt der Limesbildung nicht<br />
die stetigen Funktionen, sondern die /^ nimmt (die im Allgemeinen<br />
nicht Grenzfunktionen von Folgen stetiger Funktionen zu sein brauchen),<br />
wird der Satz XII bei hochstens separablem Y fiir die modifizierten<br />
Baireschen Funktionen umkehrbar. Die Frage Meibt offen, wie fiir<br />
eine Limeszahl tj die Funktionen der Klasse (ilf*^, M^) aus konvergenten<br />
Folgen von Funktionen niederer Klassen entstehen, oder welche Bedingung<br />
im allgemeinen Falle der Vollstandigkeit von Systemen reeller<br />
Funktionen (S. 236, 258) entspricht.<br />
343
Literatun<br />
R. Baire, Lecons sur les fonctions discontinues (Paris 1905).<br />
St. Banach, Th^orie des operations lin^aires (Warszawa 1932).<br />
E. Borel, Legons sur la tk^orie des fonctions (Paris! 1898, 3. ^d. 1928), zitiert<br />
als: Lemons (1898).<br />
E. Borel, Legons sur les fonctions de variables reelles (Paris 1905), zitiert als<br />
Legons (1905).<br />
E. Borel, M^thodes et problemes de th^orie des fonctions (Paris 1922).<br />
C. Garatheodory, Vorlesungen iiber reelle Funktionen (Leipzig und Berlin<br />
1918), zitiert als: Vorlesungen.<br />
A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre (3. Aufl. Berlin 1928).<br />
M. Fr^chet, Les espaces abstraits (Paris 1928).<br />
H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen I (Berlin 1921), zitiert als: Theorie.<br />
H. Hahn, Reelle Funktionen I (Leipzig 1932).<br />
G. Hessenberg, GrundbegrilTe der Mengenlehre (Gottingen 1906).<br />
E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable (Cambridge 1907,<br />
3. ed. I 1927, 2. ed. II 1926).<br />
E, Kamke, Mengenlehre (Berlin und Leipzig 1928).<br />
C. Kuratowski, Topologie I (Warszawa-Lwow 1933).<br />
N. Lusin, Legons sur les ensembles analytiques (Paris 1930).<br />
K. Menger, Dimensionstheorie (Leipzig und Berlin 1928).<br />
J. Pierpont, Lectures on the theory of functions of real variables I II (Boston<br />
1905, 1912).<br />
A. Rosenthal, Neuere Untersuchungen iiber Funktionen reeller Veranderlichen<br />
(Math. Enzykl. II C 9).<br />
A. Schoenflies, Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten<br />
I II (Leipzig 1900, 1908).<br />
A. Schoenflies, Entwickelung der Mengenlehre und ihrerAnwendungen (Leipzig<br />
und Berlin 1913).<br />
W. Sierpihski, Legons sur les nombres transfinis (Paris 1928).<br />
W. Sierpinski, Hypothese du continu (Warszawa-Lwow 4934).<br />
W. Sierpinski, Introduction to general topology (Toronto 1934).<br />
H. Tietze und L. Vietoris, Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen<br />
der Topologie (Math, Enzykl. Ill A B 13).<br />
C. de la Valine Poussii>, Int^grales de Lebesgue, Fonctions d'ensemble,<br />
Classes de Baire (Paris 1916).<br />
W. H. Young and Grace Chisholm Young, The theory of sets of points (Cambridge<br />
1906).<br />
Die von St. Mazurkiewicz und W. Sierpinski herausgegebene Zeitschrift<br />
Fundamenta Mathematicae (Warschau, seit 1920) ist wesentlich<br />
der Mengenlehre gewidmet.<br />
344
Quellenangaben.<br />
Die folgenden Zitate, zu deren ErgS^nzung wir auf die Berichte von<br />
A. Schoenflies und das Referat von A. Rosenthal verweisen, soUen nur iiber<br />
den UrspTung der wichtigsten Begriffe und Theoreme Rechenschaft geben.<br />
t)brigens sind die meisten Satze tiber Punktmengen zunachst nur ftir den eindimensionalen<br />
oder hochstens Euklidischen Raum ausgesprochen und hier erheblich<br />
umgestaltet worden. Bei Zitaten aus Biichern ist die Seitenzahl angegeben,<br />
bei Zitaten aus Zeitschriften Bandzahl (zuweilen eingeklammert<br />
Serienzahl), Jahr und Seitenzahl.<br />
S. 10. G. Kowalewski, Einftihrung in die Infinitesimalrechnung<br />
(Leipzig 1908), 14.<br />
§ 1. Von Zitaten Cantors wurde im allgemeinen abgesehen; der Inhalt'der<br />
ersten vier Kapitel und die Grundbegriffe der Punktmengentheorie gehen<br />
fast ausschlieBlich auf ihn zurtick. Von seinen zahlreichen Abhandiungen<br />
kommen hauptsachlich in Betracht: tIber unendliche lineare Punktmannigfaltigkoiten<br />
I—VI: Math. Ann. 15 (1879), 1; 17 (1880), 355;<br />
20 (1882), 113; 21 (1883), 51, 545; 23 (1884), 453. Beitr^ge zur Begrtindung<br />
der transfiniten Mengenlehre I II: Math. Ann. 46 (1895), 481;<br />
49 (1897), 207.<br />
S. 11. A. Genocchi-G. Peano, Differentialrechnung und Grundziige<br />
der Integralrechnung (Leipzig 1899), 340.<br />
§ 3. S. 17. G. Garath6odory, Vorlesungen, 23.<br />
S. 19. Oberer und unterer Limes als ensemble limite complet und ensemble<br />
limite restreint bei E. Borel, Legons (1905), 18.<br />
S. 20. G. de la Valine Poussin, Int6grales, 7.<br />
§ 6. III. F. Bernstein in E. Borel, LeQons (1898), 103.<br />
§ 7. S. 34. E. Zermelo, Math. Ann. 65 (1908), 261. Ober die Antinomienfrage<br />
fmdet der Leser Naheres bei A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre<br />
(1928).<br />
III. J. Konig, Math. Ann. 60 (1904), 177.<br />
§ 11. I. F. Bernstein, Untersuchungen aus der Mengenlehre (Diss. Halle<br />
1901), 34.<br />
S. 53. H. Minkowski, Verb. d. Heidelb. Kongr. (Leipzig 1905), 171.<br />
S. 53. R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen (Braunschweig<br />
1872).<br />
§ 12. E. Zermelo, Math. Ann. 59 (1904), 514 und 65 (1908), 107.<br />
§ 13. Zur Wohlordnungstheorie hat G. Hessenberg, Grundbegriffe der Mengenlehre<br />
(1906) Erhebhches beigetragen.<br />
§ 14. S. 68. G. Hessenberg, Grundbegriffe, § 75.<br />
§ 15. S, 71. Zur Frage N ^ Xi vgl. D. Hilbert, Math. Ann. 95 (1925), 181.<br />
§ 16. F. Hausdorff, Leipz. Ber. 58 (1906), 108.<br />
§ 18. E. Borel, Legons (1898), 46.<br />
§ 19. M. Souslin i), Gompt. rend. 164 (1917), 88. N. Lusin, ib. 91. Vgi § 32.<br />
§ 20, 1. Bei M. Fr^chet, Rend. Pal. 22 (1906), 17, 30 heiBt ein metrischer Raum<br />
classe (E) (Entfernung = 6cart), in spateren Arbeiten classe (D) (distance).<br />
^) Michael Sushn (1894—1919) hat nur diese eine Arbeit selbst veroffentlicht.<br />
Der russische Name ist deutsch Suslin auszusprechen.<br />
345
302 Quellenangaben.<br />
§ 20, 3. S. 98. D. Hilbert, Getting. Nachr. 8 (1906), 157.<br />
S.99. H.Minkowski, Geometrie derZahlen{Leipzig und Berlinl910), 116.<br />
§ 20, 4, R. Baire, Acta math. 32 (1909), 105.<br />
§ 20, 5. K. Hens el, Theorie der algebraischen Zahlen I (Leipzig und Berlin<br />
1908). J. Ktirschak, Journ. fur Math. 142 (1913), 212.<br />
§ 21, 1. Vollstandiger Raum der Sache nach bei M. Fr6chet, Rend. Pal. 22<br />
(1906), 23.<br />
§ 21, 3. S. 106. G. Cantor, Math. Ann. 5 (1872), 123; Gh. M6ray, Nouveau<br />
precis d'analyse infinit^simale (Paris 1872).<br />
§ 21, 4. M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906), 6.<br />
§ 22, Offene Menge: H. Lebesgue, Ann. di mat. (3) 7 (1902), 242; G. Garath6odory,<br />
Vorlesungen, 40. In der ersten Auflage wurden die offenen<br />
Mengen als Gebiete bezeichnet, worunter wir jetzt zusammenhangende<br />
offene Mengen verstehen.<br />
§ 23. Die mei^ten Begriffe dieses § stammen von G. G an tor. Verdichtungspunkt:<br />
E. Lin del of. Acta math. 29 (1905), 184. Insichdichter Kern:<br />
H. Hahn, Theorie, 76.<br />
§ 25. Die Satze dieses § stammen meist von G. Gantor.<br />
S. 125. Separabel (in etwas anderem Sinne): M. Fr6chet, Rend. Pal.<br />
22 (1906), 23.<br />
IV. F.Bernstein, Diss. (Halle 1901), 44.<br />
§ 20, 1. II. E. Borel, Ann. 6c. norm. (3) 12 (1895), 51.<br />
III. E. Lindelof, Gompt. rend. 137 (1903), 697; W. H. Young, Lond.<br />
math. soc. proc. 35 (1903), 384.<br />
IV. W. Sierpinski, Bull. Ac. Gracovie (1918), 49.<br />
§ 26, 3. VIII. W. H. Young, Leipz. Ber. 55 (1903), 287; Theory, 64.<br />
§ 27. S. 142. R. Baire, Ann. di Mat. (3) 3 (1899), 67.<br />
§ 28, 1. Entfernung AB: D. Pomp6ju, Ann. Fac. Toulouse (2) 7 (1905), 281..<br />
§ 28, 2. Die Mengen F, F der Sache nach bei P. Painlev6 ; siehe L. Zoretti,<br />
Journ. de math. (6) 1 (1905), 8; Bull. soc. math. France 37 (1909), 116.<br />
§ 29, 1. Zusammenhang: N. J. Lennes, Amer. J. of Math. 33 (1911), 303.<br />
Kontinuum: G. Jordan, Gours d'analyse I (2. 6d. Paris 1893), 25.<br />
Gebiet (auf WeierstraB zurtickgehend) G. Garath6odory, Vorlesungen,<br />
208, 222.<br />
III. Z. Janiszewski und G. Kuratowski, Fund. math. 1 (1920), 211.<br />
§ 29, 2. S. 155. H. Hahn, Jahresber. D. Math. V. 23 (1914), 319; Wiener Ber.<br />
123 (1914), 2433.<br />
X. H. Hahn, Fund. math. 2 (1921), 189. d Kuratowski, Fund.<br />
math. 1 (1920), 43.<br />
S. 157. St. Mazurkiewicz, Fund. math. 1 (1920), 167.<br />
§ 29, 3. S. 158. G. Gantor, Math. Ann. 21 (1883), 576.<br />
XV. L. E. J. Brouwer, Amst. Ak. Proc. 12 (1910), 785.<br />
XVII. Z. Janiszewski, Th^se (Paris 1911) = Journ. 6c. polyt. (2)<br />
16 (1912), 100.<br />
S. 162. W. Sierpinski, T6hoku Math. J. 13 (1918), 300.<br />
§ 29, 4. XIX. L. Zoretti, Journ. de math. (6) 1 (1905), 8.<br />
§ 30, 4. VII. Z. Zalcwasser, Fund. math. 3 (1922), 44.<br />
§ 31, 1. S. 174. G. Hamel, Math. Ann. 60 (1905), 459.<br />
S. 175. L. Zoretti, Ann. 6c. norm. (3) 26 (1909), 487.<br />
S. 175. Z. Janiszewski, Gompt. rend. 151 (1910), 198.<br />
346
Quellenangaben. 303<br />
§ 81, 2. S. 176. F.Bernstein, Leipz. Ber. 60 (1908), 325.<br />
S. 177. W. Sierpinski, Fund. math. 1 (1920), 7.<br />
§ 32. I. Flir Borelsche Mengen: P. Alexandroff, Compt. rend. 162 (1916),<br />
323; F. Hausdorff, Math. Ann. 77 (1916), 430.<br />
Zur Theorie der Suslinschen Mengen vgL:<br />
M. Souslin, Compt. rend. 164 (1917), 88.<br />
N. Lusin, Ensembles analytiques (1930).<br />
N. Lusin und W. Sierpinski, Bull. Ac. Grac. (1918), 35; Journ. de<br />
Math. (7) 2 (1923), 53.<br />
W. Sierpinski, Bull. Ac. Crac. (1919), 161, 179.<br />
§ 33. I. W. Sierpinski, Compt. rend. 175 (1922), 859.<br />
§ 84, 2. N. Lusin und W. SierpiAski, J. de Math. (7) 2 (1923), 53.<br />
§ 36, 2. in. G, Jordan, Cours d*Analyse I (2. M. Paris 1893), 53.<br />
V. L. E. J. Brouwer, Amst. Ak. Proc. 12 (1910), 785.<br />
§ 35, 3. S. 199. H. Lebesgue, Lemons sur Pint^gration (Paris 1904), 105.<br />
§ 36, 1. Peanosche Kurven: G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), 157. D. Hilbert.<br />
Math. Ann. 38 (1891), 459. K. Knopp, Archly d. Math. u. Ph, (3)<br />
26 (1918), 103. H. Lebesgue, Legons sur Pint^gration (Paris 1904), 44.<br />
S. 204. L. E. J. Brouwer, Math. Ann. 70 (1911), 161. tJber die<br />
Brouwer-Urysohn-Mengersche Dimensionentheorie ygl. K.<br />
Menger, Dimensionstheorie (1928).<br />
§ 36, 2. IL W. Sierpinski, Fund. math. 1 (1920), 44.<br />
in. H. Hahn, Jahresb. D. Math. V. 23 (1914), 319; Wiener Ber. 123<br />
(1914), 2433; St. Mazurkiewicz, Compt. r. Varsovie (III) 6<br />
(1913), 305 (polnisch); Fund. math. 1 (1920), 191.<br />
§ 37. II. III. W. SierpiAski, BuU. Ac. Crac. (1918), 29 und (1919), 161;<br />
Fund. math. 5 (1924), 155.<br />
IV. M. Souslin, Compt. rend. 164 (1917), 88.<br />
§ 38. I. II. W. SierpiAski, Compt. rend. 171 (1920), 24.<br />
III. St. Mazurkiewicz, BulL Ac. Crac. (1916), 490. P. Alexandroff,<br />
Compt. rend. 178 (1924), 185. F. Hausdorff, Fund. math.<br />
6 (1924), 146.<br />
IV. M. Lavrentieff, Compt. rend. 178 (1924), 187; Fund. math. 6<br />
(1924), 149.<br />
§ 39, 1. II. L. Vietoris, Monatshefte Math. Phys. 31 (1921), 179.<br />
III. N. J.Lennes Amer. J. of Math. 33 (1911), 308; W. Sierpinski,<br />
Ann. di Mat. (3) 26 (1916), 131.<br />
§ 39, 2. H. Hahn, Wiener Ber. 130 (1921), 217.<br />
VII. R. L. Moore, Math. Ztschr. 22 (1925), 307.<br />
§ 40. Genaueres A. Rosenthal (Enzykl. II G 9) Nr. 26; H. Tietze und L. Vietoris<br />
(Enzykl. Ill A B 13); M. Fr^chet, Les espaces abstraits (1928);<br />
C. Kuratowski, Topologie I (1933); W. Sierpinski, General topology<br />
(1934).<br />
S. 228. G. Kuratowski, Fund. math. 3 (1922), 182.<br />
S. 229. Trennungsaxiome: H. Tietze, Math. Ann. 88 (1923), 290.<br />
S. 230. P. Urysohn, Math. Ann. 94 (1925), 309. A. Tychonoff, Math*<br />
Ann. 95 (1925), 139.<br />
S. 230. M. Fr6chet, Rend. Pal. 22 (1906).<br />
§ 41. Diese Theorie stammt hauptsSichlich von H. Lebesgue, Journ. de Math.<br />
347
304 Quellenangaben.<br />
(6) 1 (1905), 139—216. Vgl. W. H. Young, Lond. math. soc. proc, (2)<br />
12 (1912), 260. F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 (1919), 292.<br />
§ 41, 4. XIII, XIV. H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 103. H. Tietze, Journ,<br />
f. Math. 145 (1914), 9. F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 (1919), 295.<br />
§ 41, 6, W. SierpiAski, Fund. math. 2 (1921), 15, 37; St. Mazurkiewicz,<br />
ib. 28; St. Kempisty, ib. 64, 131.<br />
§ 42, Die S^tze dieses § stammen meistens von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3<br />
(1899), 1—122; Legons SUP les fonctions discontinues (Paris 1905).<br />
§ 42, li S. 249. R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125; H. Tietze, Journ.<br />
f. Math. 145 (1914), 9; F. Hausdorff, Math. Ztschr. 5 (1919), 293.<br />
§ 42, 8. S. 251. W. H. Young, Wien. Ber. 112 (1903), 1307; H. Lebesgue,<br />
Bull. soc. math. 32 (1904), 235.<br />
S. 251. H. Hankel, Math. Ann. 20 (1887), 89.<br />
S. 251 {p,D nicht vertauschbar): V. Volterra, Giorn. di mat. 19<br />
(1881), 76.<br />
§ 42, 4» VIL H. Lebesgue in E. Borel, Lemons (1905), 149 und Journ.<br />
de math. (6) 1 (1905), 182. G. de la ValUe Poussin, Integrates, 121.<br />
VIII. R. Baire, Ann. di Mat. (3) 3 (1899), 16, 30.<br />
§ 42, 6. C. Kuratowski u. W. Sierpi^ski, Fund. math. 3 (1922), 303.<br />
§ 43. Vgl. R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 68; H. Lebesgue, Journ.<br />
de math. (6) 1 (1905).<br />
§ 48, 2. V. H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 205. C. de la Valine<br />
Poussin, Integrates, 145.<br />
VI. R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 81.<br />
S. 262. N. Lusin, Fund. math. 2 (1921), 155.<br />
S. 263. W. Sierpinski, Fund. math. 5 (1924), 20.<br />
§ 48, 8. W. Sierpinski, Gompt. rend. 170 (1920), 919; Fund. Math. 2 (1921),<br />
74; Fund. Math. 3 (1922), 26; Bull. Ac. Crac. (1919), 161, 179.<br />
§ 44, I. H. Hahn, Archiv Math. Ph. 28 (1919), 34. W. Sierpii^ski, Fund.<br />
math. 2 (1921), 41.<br />
§ 46, 2. L S. Banach, Fund. Math. 16 (1930), 395.<br />
S. 280. G. Kuratowski, Fund. Math. 16 (1930), 390.<br />
Erst durch diese beiden Arbeiten ist die Bairesche Bedingung klar und<br />
einfach geworden. Als Bairesche Bedingung (im engeren Sinn, vgl.<br />
§ 45, 4) wurden fruher Eigenschaften recht verschiedenen, teilweise<br />
komplizierten Wortlauts bezeichnet, die vor Kenntnis des Banachschen<br />
Satzes nur im separablen Raum gleichwertig waren; iiber ihren Zusammenhang<br />
im beliebigen Raum vgl. G. Steinbach, Beitrage zur Mengenlehre<br />
(Diss. Bonn 1930), § 8.<br />
S. 280. O. Nikodym, Fund. Math. 7 (1925), 149.<br />
S. 280. W. Sierpinski, Hypothese du continu (1934).<br />
§ 46, 3. G. Kuratowski, Fund. Math. 5 (1924), 75. Die dortigen Bezeichnungen<br />
fonction a-continue, ^-continue habe ich in a-Funktion, /?-Funktion<br />
abgekiirzt und danach die a-Mengen und /5-Mengen benannt.<br />
§ 46. N. Lusin, Ensembles analytiques (1930).<br />
§ 46,1. N. Lusin, Gompt. rend. soc. polon. math. (1926), 104.<br />
§ 46, 2. Vgl. auch H. Hahn, Reelle Funktionen (1932), § 42, 4 und § 42, 5.<br />
Nachtrag A. W. Hurewicz, Fund, Math. 12 (1928), 78.<br />
Nachtrag C. G. Kuratowski, Fund. Math. 3 (1922), 200, ib. 10 (1927), 225<br />
Nachtrag D. St. Banach, Fund. Math. 17 (1931), 283.<br />
348
a-abgeschlossen 281, a-Funktion 283,<br />
a-Menge281,a-offen281,a-Punktll2<br />
Abbildung 15, 193, 283<br />
abgeschlossen 115, absolut, relativ—121<br />
Ableitung 112, 166<br />
Abschnitt 58<br />
absolut 121<br />
abzahlbar 26, 36<br />
Abzahlbarkeitsaxiome 229<br />
Adharenz 114, 118<br />
ahnlich 43<br />
Ale! 26, 70, — Null 25<br />
Analysis situs 227<br />
Anfangszahl 71, regulare 73<br />
Ansatzelement 56<br />
Antinomie 34, 61<br />
Aquivalenz 16, —satz 27<br />
Argument 73<br />
assoziativ 18<br />
auBerer Punkt 112<br />
B-Menge 290<br />
^-Funktion 283, jS-Menge 280, /?-Punkt<br />
112<br />
Baire 142, 248, 249, 255, 257, —sche<br />
Bedingung 280, 283, 288, —sches<br />
Bild 265, —sche Funktion 257,<br />
259, —sche Klasse 248, 258, —scher<br />
(Null-)Raum 102, —sches System<br />
167, 231, 257, —sches Theorem 255<br />
Banach 279, 299<br />
Basis 283<br />
Begrenzung 112<br />
Bendixson 138<br />
Bernstein 27, 176<br />
beschrankt, total — 108<br />
Betrag, —saxiome 97<br />
Bild 15, 193, Bairesches 265, eindeutiges<br />
193, einfaches 292, halbschlichtes<br />
290, homoomorphes 196,<br />
Hausdorff, Mengenlehre.<br />
Register.<br />
(Verweisung auf Seitenzahlen.)<br />
349<br />
mehrf aches 292, schlichtes 193,<br />
stetiges 194, —raum 266<br />
Bolzano 109<br />
Borel 130, —sche Klasse 86, —^sche<br />
Menge 84,177,179, —^sches System<br />
82, 84<br />
Brouwer 204<br />
y-Punkt 112<br />
Cantor 11, 16, 23, 40, 46, 68, 71, 76,<br />
96, 106, 114,134, 135, 138,158, 164<br />
Garatheodory 17<br />
Cauchy 103<br />
charakteristische Funktion 20<br />
^-System 83<br />
^5-Funktion 89<br />
Dedekind 27, 53, 106<br />
Diagonalschema 30, —verfahren 40<br />
dicht 50, 54, 124 125<br />
Dichtigkeitsklasse 124<br />
Differenz 14, —enkette 79, 81<br />
Dirichlet 16, 251, 253<br />
disjunkt 17, 18<br />
diskontinuierlich 152<br />
Diskrepanz 276<br />
Distanz 158, singulare 223<br />
distributiv 18<br />
Division 64<br />
Dreiecksaxiom 94<br />
Durchmesser 108<br />
Durchschnitt 17, —ssatze 129, 130<br />
dyadisch, —es Diskontinuum 134, —es<br />
Kontinuum 200, —e Menge 131,<br />
—es Schema 30<br />
eindeutig, eineindeutig 15, 193<br />
Einschiebungssatz 243, 247, 248, 259<br />
Element 11, —paar 14<br />
Entfernung 94, 146, obere, untere 110,<br />
145, —saxiome 94<br />
20
306<br />
Erweiterungssatz 244, 248, 259<br />
Euklidisch 94<br />
Existenzsatz 182, 260<br />
Exponent 73<br />
Fa 136, F^ 178, Fi-Menge 298, Fw<br />
Menge 143<br />
fast alle 10<br />
fremd 17<br />
Frechet 125, 230<br />
Fundamentalfolge 103<br />
Funktionensystem, Bairesches 167,<br />
231, 257, gewohnliches 235, vollstandiges<br />
236<br />
at 136, G^ 178, Gii-Menge 143<br />
Gebiet 151<br />
Gerade 96<br />
Grenze, obere, untere 9<br />
Hahn 155, 207, 223, 226, 271<br />
halbschlicht 290<br />
Hamel 174<br />
Hankel 251<br />
Haufungspunkt 107, 112<br />
Hensel 102<br />
Hessenberg 68<br />
Hilbert 202, —scher Raum 98<br />
Homoomorphie 196, 213<br />
Hiille 96, 165, abgeschlossene 115,<br />
konvexe 96, vollstandige 107<br />
Hurewicz 298<br />
imperfekt, total— 176<br />
Index 187, 188<br />
Induktion, transfinite 62<br />
Infimum 9<br />
innerer Punkt 110<br />
insichdicht 114<br />
Intervall 9<br />
Invarianz der Dimensionenzahl 204<br />
invers 15, 16, —geordnet 43<br />
isoliert 114<br />
isometrisch 94<br />
Janiszewski 161, 175<br />
Jordan 219<br />
Kardinalzahl 25<br />
Kategorie, erste, zweite 142<br />
Kern 96, 165, insichdichter 117, offener<br />
110<br />
Register.<br />
350<br />
Kette 57, 152, ^-Kette 158<br />
Klasse von Funktionen 235,<br />
Knopp 202, 204<br />
Koharenz 114, 166<br />
kommutativ 18<br />
kompakt, bedingt— 107, 123<br />
Komplement 14<br />
Komplex 23<br />
Komponente 152<br />
kongruent 277<br />
Konig 34<br />
267<br />
Kontinuum 151, dyadisches 200, irreduzibles<br />
175, 219, zusammengesetztes<br />
223, — der Primteile 224,<br />
Prim— 223, —problem 40<br />
Konvergenz 20,103,146, uniforme 252,<br />
—menge 270<br />
konvex 96, 153<br />
Korper 78<br />
Kowalewski 10<br />
Kugel 137<br />
Kuratowski 228,<br />
Kurve, einfache 200<br />
202, stetige 200<br />
280, 285, 299<br />
219, Peanosche<br />
L-Raum 230<br />
Lavrentieff 216<br />
Lebesgue 199, 202, 280, —sche<br />
Mengen 233, 267<br />
leere Menge 12<br />
Lennes 222<br />
lexikographisch 46, 48, 73<br />
Limes (oberer, unterer = superior, inferior)<br />
10, 19, 20, 62, 103, 146, 230,<br />
abgeschlossener, offener 146, 147,<br />
— axiome 230, — zahl 62<br />
linear 96<br />
iokal zusammenMngend 155, 156<br />
Lticke 53<br />
Lusin 184, 192, 262, 289<br />
Machtigkeit 25, des Kontinuums 26, 38<br />
Maximum 9, Maximalmenge 173<br />
Mazurkiewicz 157, 207<br />
mehrdeutig 16<br />
M^ray 106<br />
metrisch 94, 146, metrisierbar 227<br />
Minimum 9, Minimalmenge 175<br />
Minkowski 53, —sche Ungleichung<br />
99<br />
Modul 277
mono ton 111, 164<br />
Moore 225<br />
iV-Funktion 287, iV-Menge 282<br />
Netz 126<br />
Nikodym 280<br />
nirgendsdicht 138, 139, 140<br />
normal 57<br />
Nullmenge 12<br />
Nullraum 102, 210<br />
often 110, relativ— 122<br />
Ordnung 42, —stypus 44, —szahl 55<br />
Oscillation 270<br />
Paar, geordnetes 14<br />
Paarmenge, ordnende 42<br />
Peano 11, —sche Kurve 202<br />
perfekt 115, relativ — 122<br />
polyadisch 132, 134, 201<br />
Potenz 24, 31, 32, 49, 66<br />
Primkontinuum, Primteil 223<br />
Produkt 22, 23, 31, 46, 48, 65, 69,<br />
75, 102<br />
Projektion 102, 208<br />
punkthaft 152<br />
Punktmenge 94<br />
punktweise unstetig 251<br />
Radius 109<br />
Rand, —menge, —p\inkt 110<br />
reduzibel 168<br />
reflexiv 25<br />
regular 73, 223<br />
relativ 121<br />
Residuum 168<br />
Rest 58, —typus 63<br />
Riemann 99, 104, 227<br />
Ring 77<br />
*9-Menge 290<br />
cr-System 83<br />
schlicht 16, 193<br />
schlieBlich 10<br />
Schnitt 53<br />
separabel 125<br />
separiert 118<br />
Sierpinski 162, 177, 205, 222, 263,<br />
272, 280<br />
singular 223<br />
spaltbar 294<br />
Sprung 53<br />
351<br />
;er. 307<br />
stetig 41, 53, 110, 194, gleichmaCig—<br />
197, oberhalb, unterhalb — 248,<br />
— bis auf Mengen erster Kategorie<br />
261<br />
Strecke 96, —nbild 200, —nzug 153<br />
Subtraktion 63<br />
Summe, 17, 18, 29, 44, 45, 65, 68,<br />
—naxiom 97<br />
Supremum 9<br />
Suslin 184, —sche Menge 91, 177, 179<br />
symmetrisch 25<br />
Teil, —funktion 194, —menge 13<br />
topologisch 226, —er Raum 227<br />
transitiv 13, 25, 42<br />
trennbar 289<br />
Trennungsaxiome 229<br />
Treppenfunktion 246<br />
triadische Menge 134<br />
Tychonoff 230<br />
Typus 44, Typenklasse 49<br />
Umgebung 109, 117, 228, spezielk —<br />
126, —saxiome 228<br />
umkehrbar, eindeutig — 15<br />
unabzahlbar 26<br />
unbegrenzt 50<br />
unverdichtet 114<br />
unvergleichbar 28<br />
Urbild 15, 193, —mengen 233, 267<br />
Urysohn 230<br />
delaVallee Poussin 20<br />
Verdichtungspunkt 112<br />
vergleichbar 28, 60, 61<br />
Vergleichbarkeitssatz 60<br />
volJstandig 103, 236<br />
WeierstraB 9, 109, 125<br />
Wertmenge 232<br />
wohlgeordnet 55<br />
Wohlordnungssatz 56<br />
Young 136, 251, -—sche Mmge iM<br />
Zahlenklasse 70<br />
zerlegbar 231<br />
Zermelo 34, 56<br />
Zerstiickelung 150<br />
Zoretti 163, 175, 225<br />
zusammenhangend 150, irreduzibel—<br />
220, lokal— 155, 156
Anmerkungen der Herausgeber<br />
[1] (S. 11) Mengen<br />
HAUSDORFFS Auffassung des Mengenuniversums kann aus Sicht der heute tiblichen<br />
axiomatischen Vorgehensweise folgendermafien umrissen werden (s. dazu<br />
auch Band II dieser Edition, S. 577-578). HAUSDORFF benutzt diejenigen Definitions-<br />
und Transformationsprinzipien fiir Mengen, die in dem ZERMELO-FRAEN-<br />
KELschen Axiomensystem ZFC (s. T. JECH, Set Theory. The Third Millennium<br />
Edition^ Springer Monographs in Mathematics, 2002, dort S. 3) als Aussonderungs-,<br />
Ersetzungs-, Paarmengen-, Potenzmengen-, Unendhchkeits-, Vereinigungs-<br />
und Auswahlaxiom formahsiert werden. Das Extensionalitatsaxiom findet<br />
sich bei HAUSDORFF als Definition der Gleichheit von Mengen (s. Anm.<br />
[4]). Das Regularitatsaxiom (oder Fundierungsaxigm), mit dem man Induktionsbeweise<br />
fiir alle Mengen fiihren kann, wird nicht benutzt.<br />
Dariiber hinaus sieht HAUSDORFF eine Vielzahl weiterer mathematischer Objekte<br />
und Begriffe als gegeben an. Nattirliche und reelle Zahlen, Kardinalzahlen<br />
und Ordinalzahlen werden nicht als Mengen definiert, sondern als Objekte<br />
oder Dinge eigener Art und ohne interne mengentheoretische Struktur postuliert.<br />
Auf S. 25 nennt HAUSDORFF dies eine „formale Erklarung" und schreibt<br />
pragnant: „das ,Wesen' der Kardinalzahl zu ergriinden, miissen wir der Philosophic<br />
liberlassen." Weiterhin benutzt HAUSDORFF funktionale Zuordnungen<br />
zwischen Mengen und Objekten anderen Typs, wie z. B. die Bildung von geordneten<br />
Paaren (a, b) (s. Anm. [7]), oder die Zuordnung einer Kardinalzahl zu<br />
jeder Menge (s. Anm. [11]). Auch ZERMELO griindet seine axiomatische Mengenlehre<br />
auf „Dinge", von denen ein Teil dadurch als „Mengen" ausgezeichnet<br />
sind, daB sie (andere) Dinge als Elemente besitzen (E. ZERMELO, Untersuchungen<br />
iiber die Grundlagen der Mengenlehre. I, Math. Ann. 65 (1908), 261-281,<br />
dort S. 262). Die iibrigen Dinge werden von ZERMELO als Urelemente bezeichnet.<br />
Zusammenfassend kann man die HAUSDORFFsche Mengenlehre als eine Erweiterung<br />
der ZERMELO-FRAENKELschen Mengenlehre ZFC mit Urelementen<br />
beschreiben, in der zusatzliche relationale und funktionale Zusammenhange<br />
zwischen Mengen und Urelementen durch kanonische Axiome definiert werden.<br />
Diese Theorie ist in ihrer mathematischen Starke zu ZFC aquivalent, approximiert<br />
aber besser das tatsachliche Vorgehen in der Mathematik.<br />
Zur Erlauterung von HAUSDORFFS Darstellung werden wir gelegentlich das<br />
eingeschrankte Axiomensystem ZF benutzen, das aus ZFC durch Fortlassen<br />
des Auswahlaxioms entsteht. V. K. /P. K.<br />
352
[2] (S. 11) Beispiele<br />
Auch bei diesen Beispielen liberwindet HAUSDORFF rasch den „Erdenrest"; s.<br />
Band II dieser Edition, S. 145 u. S. 586-587. V. K. /P. K.<br />
[3] (S. 11) Antinomie<br />
In dem Buch Mengenlehre hat HAUSDORFF wie schon in den Grundziigen der<br />
Mengenlehre Diskussionen iiber die Natur der mengentheoretischen Antinomien<br />
oder iiber Grundlagenfragen weitgehend zuriickgedrangt, obwohl diese<br />
Pragen zu Beginn des 20. Jahrhunderts und auch noch in den zwanziger Jahren<br />
zu lebhaften Auseinandersetzungen unter Mathematikern gefiihrt hatten<br />
(s. dazu Cinq lettres sur la theorie des ensembles, den beriihmten Meinungsaustausch<br />
zwischen R. BAIRE, E. BOREL, J. HADAMARD und H. LEBESGUE<br />
in Bull. Soc. Math. Pr. 33 (1905), 261-273). HAUSDORFFS Einstellung kann<br />
als die eines „praktischen Mengentheoretikers" charakterisiert werden, welcher<br />
mit mathematisch relevanten Mengen arbeitet und intuitiv wohlbegriindete<br />
Annahmen und Methoden einsetzt, die heute gewohnlich mit der ZERMELO-<br />
PRAENKELschen Mengenlehre ZFC identifiziert werden. Der Einflufi von HAUS<br />
DORFFS Biichern Grundzilge der Mengenlehre und Mengenlehre auf die Etablierung<br />
dieser Arbeltsweise mit Mengen war so dominierend, daB die Hommage,<br />
die er in den Grundziigen, S.III, GEORG CANTOR zugedacht hatte, von den<br />
nachfolgenden Generationen von Mengentheoretikern ebenfalls ihm selbst hatte<br />
gewidmet werden konnen. V. K. /P. K.<br />
[4] (S. 12) Zwei Mengen werden ... gleich<br />
HAUSDORFF definiert zwei Mengen als gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.<br />
In der modernen axiomatischen Mengenlehre hingegen ist die Gleichheit<br />
oder Identitat ein GrundbegrifF der Logik. Die HAUSDORFFsche Definition<br />
entspricht dann dem ZERMELOschen Axiom der Bestimmtheit oder Extensionalitat<br />
x = y^^=^\/z (z G x z G y) (E. ZERMELO, Untersuchungen iiber die<br />
Grundlagen der Mengenlehre. 7, Math. Ann. 65, 261-281, dort S. 263).<br />
V.K./P.K.<br />
[5] (S. 13) beriihmte Fermatsche Satz<br />
Gemeint ist der Grofie PERMATsche Satz, den A. WILES 1994 bewiesen hat<br />
(A. WILES, Modular elliptic curves and FermaVs last theorem, Annals of Mathematics<br />
141 (1995), 443-551). Es gibt eine umfangreiche Literatur iiber die<br />
Geschichte des Grofien PERMATschen Satzes, s. z. B. A. v. D. POORTEN, Notes<br />
on FermaVs last theorem, Wiley, New York 1996. Piir HAUSDORFFS Gedankengang<br />
zur Rechtfertigung der leeren Menge miifite man heute, nach dem Beweis<br />
der PERMATschen Vermutung, ein beliebiges anderes ungelostes mathematisches<br />
Problem einsetzen. V. K. /P. K.<br />
[6] (S. 13) Notation<br />
Die Entstehung und die Geschichte der grundlegenden mengentheoretischen Begriffe<br />
und Satze sowie der symbolischen Notation in der Ara vor HAUSDORFF<br />
353
sind in den Anmerkungen zu Grundzuge der Mengenlehre und in dem Essay<br />
Der Begriff der Funktion im Band II dieser Edition, S. 577 ff. und S. 621-633<br />
kommentiert. Zusatzlich finden sich am Beginn des vorliegenden Bandes nach<br />
dem HAUSDORFFschen Schriftenverzeichnis zwei Tabellen mit Korrespondenzen<br />
zwischen HAUSDORFFS mengentheoretischer Notation und der heute iiblichen.<br />
V.K./RK.<br />
[7] (S. 14) geordnetes Paar<br />
HAUSDORFF betrachtet das geordnete Paar als undefinierten Grundbegriff mit<br />
bestimmten Eigenschaften. In den Grundziigen der Mengenlehre, S. 32 bemerkte<br />
HAUSDORFF, dafi man das geordnete Paar von a und b durch die Mengenbildung<br />
(a, 6) — {{1, a}, {2, 6}} definieren konnte. Heute wird allgemein das<br />
KuRATOWSKische Paar<br />
(a,6) = {{a},{a,6}}<br />
verwendet. S. dazu Band II dieser Edition, S. 627-629. V. K. /P. K.<br />
[8] (S. 16) von Dirichlet formulierten Funktionsbegriff<br />
HAUSDORFF legt den allgemeinen Funktionsbegriff zugrunde, der nicht auf eine<br />
spezielle Klasse von Funktionen wie die der analytischen, stetigen etc. beschrankt<br />
ist. Die Urspriinge des BegrifFs in dieser AUgemeinheit konnen auf Arbeiten<br />
von FOURIER, LOBATCHEVSKY und vor allem DiRlCHLET in der ersten<br />
Halfte des 19. Jahrhunderts zuruckgefiihrt werden; s. dazu A. P. YOUSCHKE-<br />
VITCH: The concept of function up to the middle of the 19th century, Archive<br />
for History of Exact Sciences 16 (1976/77), 37-85, bzw. den Essay Der Begriff<br />
der Funktion im Band II dieser Edition, S. 621-633. V. K. /P. K.<br />
[9](S.22) {A,B)<br />
Das Produkt [A, B) wird heute als A x 5 notiert. In Anlehnung an DESCAR<br />
TES' analytische Geometric und zur Abgrenzung von anderen Produkten wird<br />
es haufig Cartesisches Produkt genannt. V. K. /P. K.<br />
[10] (S. 22) geordnete Tripel<br />
HAUSDORFF fiihrt das geordnete Tripel (a, 6, c) wie schon das geordnete Paar<br />
(a, b) als Grundbegriff ein. Unter Verwendung des geordneten Paars liefie sich<br />
das Tripel auch als (a, 6, c) = ((a, 6), c) definieren. V. K. /P. K.<br />
[11] (S.25) Kardinalzahl<br />
Streng genommen definiert HAUSDORFF nur, was es heifit, dafi zwei Mengen<br />
dieselbe Kardinalzahl besitzen oder gleichmdchtig sind. Diese Aquivalenzrelation<br />
- HAUSDORFF schreibt statt gleichmachtig auch dquivalent - ist auf der<br />
Klasse aller Mengen definiert, liefert aber keine Definition einer Kardinalzahl<br />
als mengentheoretisches Objekt, d. h. als Menge mit bestimmten Eigenschaften.<br />
Es ist nicht einfach, Kardinalzahlen als Mengen zu definieren (s. den Essay<br />
Der Begriff der Kardinalzahl, Bd. II dieser Edition, S. 634-644). Die nahelie-<br />
354
gende Definition einer Kardinalzahl als Aquivalenzklasse der in Rede stehenden<br />
Aquivalenzrelation liefert echte Klassen, die keine Mengen sind. 1923 publizierte<br />
J.V.NEUMANN, Zur Einfuhrung der transfiniten Zahlen, Acta Sci. Math.<br />
Szeged 1, 199-208, die noch heute giiltige Darstellung von Ordinalzahlen und<br />
Kardinalzahlen als Mengen: eine Kardinalzahl wird definiert als Anfangsordinalzahl^<br />
d. h. als Ordinalzahl, die zu keiner kleineren Ordinalzahl gleichmachtig<br />
ist (s. Anm. [30]). Diese Definition ist auch in einer Mengenlehre mit Urelementen<br />
problemlos moglich. Angesichts HAUSDORFFS ausfiihrlicher Diskussion der<br />
Problematik des „formalen" Kardinalzahlbegriffs ist anzunehmen, dafi HAUS-<br />
DORFF die Arbeit von J.V.NEUMANN beim Verfassen der Mengenlehre nicht<br />
kannte. V.K./RK.<br />
[12] (S. 27) Satze I und II<br />
Im Beweis von Satz I benutzt HAUSDORFF, ohne darauf aufmerksam zu machen,<br />
das Auswahlaxiom, das aber erst auf S. 56 im Beweis des Wohlordnungssatzes<br />
kurz erwahnt wird. Die Verwendung von unendlich vielen sukzessiven<br />
oder simultanen Auswahlen erscheint sehr anschaulich und wird in der Mathematik<br />
oft unkritisch eingesetzt. Auf Grund der verschiedenen Problematiken<br />
des Auswahlaxioms (Paradoxien, Unabhangigkeit von den anderen Axiomen<br />
der Mengenlehre) ist aber Vorsicht geboten.<br />
Fiir Satz I und sein Korollar Satz II ist bereits ein abzdhlbares Auswahlaxiom<br />
hinreichend, nach dem jede abzahlbare Folge nichtleerer Mengen eine Auswahlfolge<br />
besitzt: Sei An die Menge aller n-elementigen Teilmengen der gegebenen<br />
unendlichen Menge A. Nach dem abzahlbaren Auswahlaxiom sei Xn € An fiir<br />
alle n. Dann ist A^ = |J^ Xn eine abzahlbare Teilmenge von A. Die Notwendigkeit<br />
eines abzahlbaren Auswahlprinzip fiir die Satze I und II lasst sich mit<br />
Hilfe der COHENschen Erzwingungsmethode („Forcing") zeigen. In Set Theory<br />
and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York 1966, dort Satz 1 auf<br />
S. 138, konstruiert P. J. COHEN ein Modell der Theorie ZF mit einer unendlichen<br />
Menge X von reellen Zahlen ohne abzahlbare Teilmenge. Diese Menge ist<br />
zu keiner ihrer echten Teilmengen Y gleichmachtig, denn gabe es eine Bijektion<br />
/ : X ^^Y C X, so ware iiir a e X — Y die Menge {a, /(a), f{f{a)),...} eine<br />
abzahlbare Teilmenge von X (aus /^+^(a) - /^(a) folgt f{a)=aeX-Y<br />
und i — 0). Fiir weitere Informationen, insbesondere zur Geschichte von DE-<br />
DEKiNDs Endlichkeits-Definition, s. Anm. [20] zu Grundziige der Mengenlehre,<br />
Band II dieser Edition, S. 588. V. K. /P. K.<br />
[13] (S. 27) Aquivalenzsatz<br />
Die Geschichte dieses wichtigen Satzes ist mit den Namen BERNSTEIN, CAN<br />
TOR, DEDEKIND, SCHRODER U. a. verbunden; s. dazu Anm. [19] zu Grundziige<br />
der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 587. V. K. /P. K.<br />
[14] (S. 29) Summe, Produkt, Potenz<br />
Die Definition unendlicher Summen und Produkte von Kardinalzahlen benutzt<br />
das Auswahlaxiom, um eine reprasentierende Menge fiir jede vorkommende<br />
355
Kardinalzahl auszuwahlen, und im Falle des Produkts auch, um zu zeigen, daB<br />
das Cartesische Produkt nicht leer ist und die liblichen Eigenschaften besitzt.<br />
Auswahlprinzipien sind notwendig, well eine Reihe Kardinalzahl-arithmetischer<br />
Eigenschaften in der Theorie ZF sogar aquivalent zum Auswahlaxiom sind (s.<br />
A. TARSKI, Sur quelques theoremes qui equivalent a Vaxiome du choix, Fundamenta<br />
Math. 5 (1924), 147-154). V. K. /P. K.<br />
[15] (S.34) „Menge aller Kardinalzahlen'^<br />
Die Antinomic „Menge aller Kardinalzahlen" wird im ZERMELO-FRAENKELschen<br />
Axiomensystem ZF dadurch umgangen, dafi die Axiome nur fiir gewisse<br />
Zusammenfassungen von Objekten (beispielsweise fiir definierbare Teilklassen,<br />
funktionale Bilder von Mengen, Paare, Potenzklassen usw.) fordern, daB die Zusammenfassungen<br />
wiederum Mengen sind. (Definierbare) Zusammenfassungen<br />
werden als Klassen bezeichnet. Aus den ZF-Axiomen folgt, daB die Klasse aller<br />
natiirlichen Zahlen eine Menge ist, wahrend die Klasse aller Kardinalzahlen eine<br />
echte Klasse ist, welche keine Menge ist. Letzteres kann durch Nachbildung<br />
des HAUSDORFFschen Arguments im formalen System ZF bewiesen werden.<br />
Grundgedanke der ZERMELO-FRAENKELschen Axiomatik, mit der die Rus-<br />
SELLsche Antinomic vermicden wird, ist, daB Mengen „kleinc" Klassen sind.<br />
Dies wird ausfiihrlich dargestellt in M. HALLETT, Cantorian set theory and<br />
limitation of size, Oxford, 1984.<br />
Um Klassen zu voUwertigen Objekten der Grundlagentheorie zu machen, sind<br />
Klassentheorien wie die Axiomensystcme NBG von VON NEUMANN, BERN AYS<br />
und GODEL oder KM von KELLEY und MoRSE eingefiihrt worden. In diesen<br />
Theorien ist cine Klasse eine Menge genau dann, wenn sic Element einer (anderen)<br />
Klasse ist. Die Theorien NBG und KM besitzen etwa dieselbe mathematischc<br />
Starke wie die Mengenthcorien ZF oder ZFC. V. K. /P. K.<br />
[16] (S. 34) Satz von J. Konig<br />
S. dazu Anm. [22] zu Grundziige der Mengenlehre in Band II dieser Edition,<br />
S. 588-589. V.K./P.K.<br />
[17] (S. 36) Die Mdchtigkeit H des Kontinuums<br />
In modcrner Notation bezeichnet man diese Machtigkeit mir c oder 2^°.<br />
V.K./P.K.<br />
[18] S. 38) Die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen<br />
Zur Geschichtc des Beweises, dafi diese Menge abzahlbar ist, s. Anm. [24] zu<br />
Grundziige der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 589. V. K. /P. K.<br />
[19] (S.40) Kontinuumproblem<br />
Die Kontinuumhypothese (CH) hat zwei verschicdene Formen: die erste, ausgedriickt<br />
durch die Gleichung 2^° = b^i, ist die Behauptung, dafi cs eine Bijektion<br />
zwischen der Menge der reellen Zahlen und der Menge der abzahlbarcn<br />
Ordinalzahlen gibt; die zweite behauptet, dafi cs keine Kardinalzahl m mit<br />
356
^o < nx < 2^° gibt. Beide Formen sind in ZFC aquivalent, aber nicht in ZF.<br />
Es widerspricht nicht der Theorie ZF, dafi Hi und 2^° zwei verschiedene Kardinalzahlen<br />
sind, die beide unmittelbare Nachfolger von HQ sind.<br />
Sowohl die Kontinuumhypothese als auch die HAUSDORFFsche verallgemeinerte<br />
Kontinuumhypothese (GCH) 2^^ = ^^^+i fiir alle Ordinalzahlen ^ stehen<br />
seit CANTOR im Mittelpunkt der mengentheoretischen Forschung. Die verallgemeinerte<br />
Kontinuumhypothese wurde erstmals in [H 1908], S.494 formuHert<br />
und Cantorsche Alefhypothese genannt. K. GODEL {The consistency of the axiom<br />
of choice and of the generalized continuum-hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci.<br />
USA 24 (1938), 556-557) und P. J. COHEN {The independence of the continuum<br />
hypothesis, I and II, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 50 (1963), 1143-1148, und<br />
51 (1964), 105-110) bewiesen, dafi die CANTORsche Kontinuumhypothese von<br />
den mengentheoretischen Axiomen unabhangig ist, d. h. sie ist in ZFC weder zu<br />
beweisen noch zu widerlegen. Diese bahnbrechenden Resultate begriindeten die<br />
axiomatische Mengenlehre, in der Modelle von verschiedenen mengentheoretischen<br />
Axiomensystemen konstruiert und untersucht werden. Die Unabhangigkeitsresultate<br />
sind in modernen Studien dahingehend verallgemeinert worden,<br />
dafi die kardinale Exponentiation 2^^ in verschiedenen Modellen recht behebige<br />
Werte annehmen kann. Diese werden - zumindest fiir regulare Kardinalzahlen<br />
- nur durch einige einfache Regeln eingeschrankt, die im wesenthchen aus dem<br />
Satz von KONIG folgen. S. dazu auch Anm. [43] zu Grundziige der Mengenlehre,<br />
Band II dieser Edition, S. 598-600.<br />
In letzter Zeit gibt es interessante neue Ansatze zur Klarung des Kontinuumproblems,<br />
bei denen natiirHche mengentheoretische Hypothesen identifiziert<br />
werden soUen, deren Adjunktion zu ZFC die Kardinahtat des Kontinuums entscheiden<br />
wiirde (s. H. WOODIN, The Continuum Hypothesis and the Q Conjecture,<br />
Coxeter Lecture, Fields Institute, 2002). V. K./P. K.<br />
[20] (S. 42) Eine Menge wird also geordnet<br />
Es wird stillschweigend vorausgesetzt, dafi a 7^^ 6 ist, folghch kann a < a nicht<br />
eintreten. HAUSDORFF betrachtet hier also strikte lineare Ordnungen. Naheres<br />
dazu in Anm. [28] zu Grundziige der Mengenlehre, Band II dieser Edition,<br />
S. 591-592. V.K./P.K.<br />
[21] (S. 42) ordnende Paarmenge<br />
Dies ist aquivalent zur modernen Definition einer Ordnungsrelation als einer<br />
Menge geordneter Paare, die gewissen Bedingungen geniigt. Die Auffassung<br />
einer Ordnung auf A als einer geeigneten Teilmenge von Ax A geht auf HAUS-<br />
DORFF selbst zuriick: Grundziige der Mengenlehre, S. 69-71; s. dazu den Verweis<br />
in Anm. [20]. V.K./P.K.<br />
[22] (S.44) Ordnungstypus<br />
Dieser Begriff ist wie der der Kardinalzahl durch eine Aquivalenzrelation mit<br />
Klassen-grofien Aquivalenzklassen definiert und stofit auf ahnliche Probleme<br />
(s. Anm. [11]). In der Theorie ZF kann man den Ordnungstypus einer geord-<br />
357
net en Menge A = (.A,
Teilmenge. In diese Menge lasst sich die Menge der rationalen Zahlen (oder in<br />
HAUSDORFFS Notation der Ordnungstyp rj) nicht ordnungstreu einbetten.<br />
Satz III stammt von CANTOR. In HAUSDORFFS „Zick-Zack-Beweis" werden<br />
explizite Aufzahlungen der betrachteten dichten, abzahlbaren Mengen benutzt,<br />
so dafi hier ein Riickgriff auf beliebige Auswahlen vermieden wird. Zur HAUS-<br />
DORFFschen „Zick-Zack-Methode" s. den Essay Die Hausdorffsche Theorie der<br />
r]a-Mengen und ihre Wirkungsgeschichte im Band II dieser Edition, S. 645-674.<br />
V.K./P.K.<br />
[29] (S. 51) Satz IV<br />
Wenn andererseits ein abzahlbarer Ordnungstypus r die Eigenschaft hat, da6<br />
jede abzahlbare Ordinalzahl (d. h. jeder abzahlbare wohlgeordnete Typus) ahnlich<br />
zu einer Teilmenge von r ist, dann ist rj (der dichte abzahlbare Typus)<br />
ebenfalls zu einer Teilmenge von r ahnlich; s. HAUSDORFFS Studie Ein Satz<br />
von G. Kurepa (Fasz. 702) in diesem Band, S. 729-731. V. K. /P. K.<br />
[30] (S. 55) wohlgeordnete Menge, Ordinalzahl<br />
HAUSDORFF definiert die Ordinalzahlen naheliegenderweise als Ordnungstypen<br />
wohlgeordneter Mengen. Demgegeniiber definiert man in der Theorie ZF<br />
zunachst die VON NEUMANNschen Ordinalzahlen als transitive Mengen, die<br />
durch die G-Relation wohlgeordnet werden (eine Menge t heifit transitiv, wenn<br />
jedes Element x G t auch eine Teilmenge von t ist). Unter wesentlicher Benutzung<br />
des Ersetzungsaxioms kann man zeigen, dass jede wohlgeordnete Menge<br />
(X,
[32] (S. 59) W{a)<br />
In der Theorie der VON NEUMANNschen Ordinalzahlen sind die Abschnitte besonders<br />
einfach: fiir beliebige Ordinalzahlen ce, P gilt a < (3 dann und nur dann,<br />
wenn a e 13. Damit ist W{a) = a. V. K. /P. K.<br />
[33] (S. 61) zwei Kardinalzahlen sind stets vergleichbar<br />
Dieser Satz von ZERMELO ist nur richtig, wenn man das Auswahlaxiom voraussetzt.<br />
Ohne Auswahlaxiom sind sogar die Kardinalzahlen Hi und c = 2^° nicht<br />
notwendig vergleichbar; s. P. COHEN, Set theory and the continuum hypothesis,<br />
New York 1966. V. K. /P. K.<br />
[34] (S. 71) Anfangszahl uja<br />
In ZF sind cUa, ^a und W{uJa) durch die spezifische Wahl von Reprasentanten<br />
von Ordinalzahlen und Kardinalzahlen identisch. Dennoch wird gelegentlich<br />
durch den Gebrauch von to a oder HQ; der ordinale oder aber der kardinale Charakter<br />
der Zahl in einer Aussage betont. V. K. /P. K.<br />
[35] (S.73) regular<br />
HAUSDORFF nennt eine Kardinalzahl LJX = ^^A regular, wenn fiir jede Menge<br />
X kleinerer Ordinalzahlen als CJA, deren Ordnungstyp echt kleiner als a;A ist,<br />
supX < uj\ gilt. Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms ist jede Nachfolgerkardinalzahl<br />
K^+i regular. Die von HAUSDORFF als exorbitant bezeichneten<br />
regularen Kardinalzahlen KA mit Limesindex A heiBen heute schwach unerreichbar.<br />
Fiir stark unerreichbare Kardinalzahlen wird zusatzlich gefordert, dafi<br />
2^^ < HA fiii' alle 7 < A gilt. Das Wort „unerreichbar" wurde in diesem Zusammenhang<br />
von C. KURATOW^SKI vorgeschlagen.<br />
Stark unerreichbare Kardinalzahlen sind insofern sehr groB, als sie nicht „von<br />
unten" durch Operationen wie die ordinale Addition, Multiplikation, Potenzbildung<br />
oder die Abbildung a 1-^ ^^Q; erreicht werden konnen. ZERMELO zeigte,<br />
da6 in ZFC die Existenz einer stark unerreichbaren Kardinalzahl nicht<br />
bewiesen werden kann (E. ZERMELO, Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche,<br />
Fund. Math. 16 (1930), 29-47, dort S. 45). Schwach unerreichbare Kardinalzahlen<br />
konnen in einem gewissen Sinne klein sein, z. B. < c = 2^°, aber auch ihre<br />
Existenz kann in ZFC nicht bewiesen werden; s. dazu auch die Anmerkungen<br />
[43] und [44] zu Grundzilge der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 598-601<br />
fiir weitere Informationen und Liter at urhinweise. V. K. /P. K.<br />
[36] (S. 73) Der allgemeine Produktbegriff<br />
Die Theorie der allgemeinen Produkte und ihrer partiellen lexikographischen<br />
Ordnung ist HAUSDORFFS ureigenste Schopfung; s. dazu die Anmerkungen [48]<br />
und [49] zu Grundzilge der Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 604-605.<br />
V.K./P.K.<br />
[37] (S. 75) zwei Komplemente P, Q<br />
P ist das maximale wohlgeordnete Anfangssegment von M{a, b). V. K. /P. K.<br />
360
[38] (S. 77) Ringe und Korper<br />
HAUSDORFF studiert in § 17 Mengenringe, die abgeschlossen unter paarweiser<br />
Vereinigungs- und Durchschnittsbildung sind, und Mengenkorper, die zusatzlich<br />
abgeschlossen beziiglich der Differenzbildung zweier Mengen sind. Das bemerkenswerteste<br />
Resultat ist Satz I auf S. 81, der besagt, dafi die aus Mengen von<br />
971 gebildeten Differenzenketten von der Lange < uj^ einen Korper bilden, falls<br />
dJl ein Ring ist, der die NuUmenge enthalt und der abgeschlossen gegeniiber<br />
Durchschnittsbildung von weniger als ^^^ Mengen aus Tl ist. V. K. /P. K.<br />
[39] (S. 84) kleinstes Borelsches System<br />
Das kleinste Borelsche System 53 = ^{(75) ^ das alle Mengen eines gegebenen<br />
Mengensystems dJl enthalt, kann ahnlich definiert werden wie der kleinste Ring<br />
iiber Tl, namlich als Durchschnitt aller Borelschen Systeme 03' mit 971 C ^^<br />
Die Mengen in ^ = Tl(cjb) werden die von 971 erzeugten Borelschen Mengen genannt.<br />
Ublicherweise wird der Fall betrachtet, dafi 971 das System aller offenen<br />
Oder aller abgeschlossenen Mengen eines gegebenen topologischen Raumes ist<br />
(zu historischen Aspekten s. Anm. [83]), aber HAUSDORFF zeigt, dafi ein eingehendes<br />
Studium Borelscher Systeme auch fiir ein beliebiges Mengensystem 971<br />
moglich ist. V. K. /P. K.<br />
[40] (S. 85) Aufbau des Borelsches Systems<br />
Durch transfinite abwechselnde Iteration der Operationen a und 6 definiert<br />
HAUSDORFF eine Folge von Mengenklassen, die man die Borelsche Hierarchic<br />
(iiber einem gegebenen Mengensystem 971) nennt: Es sei 21^ = 97t, und weiter<br />
~ ( U£
z.B.IR ist (ein polnischer Raum ist ein separabler, voUstandig metrisierbarer<br />
Raum). Andererseits kann die Lange 0 sein wie bei dem von HAUSDORFF angegebenen<br />
trivialen Beispiel. A. W. MILLER, On the length of Borel hierarchies^<br />
Ann. Math. Logic 16 (1979), 233-267, zeigte den schwierigen Satz, da6 fiir<br />
jedes ^ < cji ein Mengensystem dR existiert, so dafi die Lange der Borelschen<br />
Hierarchie liber 9Jl genau ^ ist. V. K. /P. K.<br />
[42] (S.88) Satz I<br />
Die Stufen 05^ der Borelschen Hierarchie werden durch transfinite Iterationen<br />
von abzahlbaren Vereinigungen und Durchschnitten erzeugt. Im vorhegenden<br />
Satz ersetzt HAUSDORFF diesen transfiniten Prozess durch die einmahge Anwendung<br />
einer infinitaren Operation von einfacher und durchsichtiger Natur.<br />
V.K./P.K.<br />
[43] (S.89) 6s-Funktionen<br />
Der BegrifF der Ss-Funktion^ meist als 6s-Operation bezeichnet, gehort zu den<br />
wichtigsten mengentheoretischen Begriffen, die mit HAUSDORFFS Namen verbunden<br />
sind. Die FamiHe der (5s-Operationen umfasst grundlegende Operationen<br />
auf abzahlbar vielen Argumenten wie die Bildung von z. B. abzahlbaren<br />
Vereinigungen und Durchschnitten und die ^-Operation (zur Geschichte der<br />
Entdeckung der ^5-Operationen s. diesen Band, S. 30).<br />
AUerdings schlieBt HAUSDORFF durch die unausgesprochene, aber implizite<br />
Forderung, daB die Folgen der „ Basis" A/" aus streng wachsenden Folgen u<br />
natiirlicher Zahlen bestehen, einige sehr einfache Funktionen wie z.B. die Projektionsfunktion<br />
^o{Mi,M2,Ms,...) — Mi aus (s.auch Fasz.431, in diesem<br />
Band, S. 574). Dies ist auch der Grund dafiir, dafi Satz I auf S. 88 nur fiir ^ > 1<br />
formuliert ist. Im Fall ^ = 0 mit 03^ = -DPT ware das naheliegende $o eine Projektionsfunktion<br />
und keine (55-Operation. V. K. /P. K.<br />
[44] (S. 90) Diese Frage ist ubrigens zu verneinen<br />
In der erst en Ausgabe der Mengenlehre (1927) stand an S telle dieses Satzes<br />
„Diese Frage ist bisher nicht entschieden." SiERPiNSKi hat das Problem noch im<br />
gleichen Jahr aufgegriffen und die Frage negativ beantwortet (W. SIERPINSKI,<br />
Sur une probleme de M. Hausdorff, Fund. Math. 10 (1927), 427-430; s. auch<br />
dieser Band, S. 22). A. DASGUPTA hat folgendes bewiesen {Boolean operations,<br />
Borel sets, and Hausdorff ^s question, J. Symbolic Logic 61 (1996), 1287-1304):<br />
Ist 3!Jl ein System von Borelmengen in einem liberabzahlbaren polnischen Raum<br />
X, deren Borelrange durch eine Ordinalzahl ^ < uji beschrankt sind, so gibt<br />
es keine 5s-Operation $ (mit irgendeiner, nicht notwendig Borelschen Basis),<br />
so dafi die Klasse $(3DT) mit der Klasse aller Borelmengen iibereinstimmt. Dies<br />
gilt insbesondere flir die konkreten Borelschen Klassen DJl = F^ oder OT = G^<br />
in X. Andererseits hat SIERPINSKI gezeigt, dafi es eine ^^o-stellige Operation<br />
gibt, welche, angewendet auf Folgen abgeschlossener Mengen, genau alle Borelmengen<br />
liefert, aber diese Operation ist keine (55-Operation (W. SIERPINSKI,<br />
Sur un probleme de la theorie generale des ensembles concernant les families<br />
362
oreliennes d'ensembles, Fund. Math. 29 (1937), 206-208). V.K./RK.<br />
[45] (S. 91) Suslinsche Mengen<br />
Die Suslinmengen werden durch die angegebene (5s-Operation $ erzeugt, die<br />
als Suslin-Operation oder haufiger als A-Operation bezeichnet wird. Der Begriff<br />
der Suslinmenge geht auf M. SuSLlNs Note Sur une definition des ensembles<br />
mesurables B sans nombres transfinis^ Comptes rendus Acad. Sci. Paris<br />
164 (1917), 88-91, zuriick (s. Anmerkung [84] beziiglich historischer Angaben).<br />
HAUSDORFF zeigt, dafi Tlt^^y^^ C OTs, so dafi die A-Operation in einem<br />
Schritt jede abzahlbare Folge abzahlbarer Vereinigungen und Durchschnitte<br />
subsumiert, und ferner, dafi Tls = ^ss- V. K. /P. K.<br />
[46] (S. 94) Metrische Rdume<br />
Die einschneidenste Anderung in der Mengenlehre gegeniiber den Grundzilgen<br />
der Mengenlehre war der Ubergang von der allgemeinen Theorie der topologischen<br />
Raume, die HAUSDORFF in den Grundzilgen selbst geschaffen hatte, zur<br />
spezielleren Theorie der metrischen Raume; s. dazu ausfiihrhch Abschnitt 3<br />
der historischen Einfiihrung in diesem Band, S. 15-19. HAUSDORFF hat in den<br />
Grundzilgen auch die Theorie der metrischen Raume, die auf FRECHET zuriickgeht,<br />
erstmals systematisch dargestellt und durch eigene Beitrage bereichert;<br />
s. dazu Band II dieser Edition, S. 762-772. Zur Geschichte des Begriffs „metrischer<br />
Raum" (diese Bezeichnung stammt von HAUSDORFF), insbesondere zu<br />
den einschlagigen Arbeiten FRECHETS, S. Band II, S. 701-708. W. P.<br />
[47] (S. 99) mufi man die ursprilngliche Erkldrung modifizieren<br />
Aus moderner Sicht handelt es sich bei diesem Funktionenraum um einen Quotientenraum:<br />
Seine „Punkte" sind Aquivalenzklassen quadratisch integrierbarer<br />
Funktionenmodulo der Aquivalenzrelation f ^ g 4=^ J^{f—g)'^dt = O.S.auch<br />
den Artikel Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der Topologie in<br />
diesem Band, S. 778-797. V. K. /P. K.<br />
[48] (S. 100) pseudo-Euklidische<br />
Das Prafix „pseudo" soil hier und auf der nachsten Seite darauf hindeuten, dafi<br />
der Exponent p in der Normdefinition verschieden vom euklidischen Wert 2 ist.<br />
V.K./P.K.<br />
[49] (S. 101) Bairesche Rdume<br />
HAUSDORFF hat dem Studium der Baireschen Raume grofie Aufmerksamkeit<br />
gewidmet. In 25 Faszikeln seines Nachlasses spielen sie eine RoUe; einiges davon<br />
ist in diesem Band, S. 591, 641, 742-749, abgedruckt. S. dazu auch seine Arbeit<br />
Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums in diesem Band, S. 539-554. W. P.<br />
[50] (S. 104) Raum E .. .ist unvollstdndig<br />
Teilmengen voUstandiger Raume, die in natiirlicher Weise (wie E hier) als Mengen<br />
F(y definiert sind, gehoren im allgemeinen nicht zu den Gs, und sie konnen<br />
363
folglich nicht voUstandig in irgendeiner mit der gegebenen Topologie kompatiblen<br />
Metrik sein, well G5 eine topologisch absolute Klasse ist (s. Anm. [58],<br />
Satz2). V.K./P.K.<br />
[51] (S. 107) Kompakte Mengen<br />
Aus heutiger Sicht ist HAUSDORFFS Definition der Kompaktheit eine Variante<br />
der Folgenkompaktheit: eine Menge X eines (metrischen) Raumes E ist kompakt<br />
in E im HAUSDORFFschen Sinn genau dann, wenn ihr Abschlufi X folgenkompakt<br />
in E ist, d. h. dafi jede Folge von Punkten in X eine in X konvergente<br />
Teilfolge besitzt. In diesem Falle ist X als Teilraum vollstandig, wahrend X<br />
und E nicht notwendig vollstandig sind. Die Menge X ist im HAUSDORFFschen<br />
Sinne kompakt in sich genau dann, wenn X folgenkompakt ist - und dann ist<br />
X abgeschlossen in E und als Teilraum vollstandig. Eine abgeschlossene Menge<br />
X C E ist kompakt in E im HAUSDORFFschen Sinn genau dann, wenn sie<br />
kompakt in sich ist.<br />
Fiir Mengen in metrischen Raumen fallt die Folgenkompaktheit mit der<br />
gewohnlichen Uberdeckungskompaktheit zusammen: jede Uberdeckung der Menge<br />
mit offenen Mengen enthalt eine endliche Teiliiberdeckung.<br />
Der Begriff der Kompaktheit geht auf FRECHETS Dissertation Sur quelques<br />
points du calcul fonctionnel, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22<br />
(1906), 1-74 zuriick. V. K. /P. K.<br />
[52] (S. 110) Offene Menge<br />
Zur Geschichte des Begriffs „offene Menge" s. Band H dieser Edition, S. 720-<br />
722. HAUSDORFF hebt in den Grundziigen die fundamentale Bedeutung des<br />
Begriffs der offenen Menge fiir die Topologie hervor und fiihrt dafiir die Bezeichnung<br />
„Gebiet"ein, die sich aber nicht durchgesetzt hat. Die axiomatische<br />
Einfiihrung von Topologien mittels des Grundbegriffs „offene Menge" geht auf<br />
H. TiETZE, Beitrdge zur allgemeinen Topologie /, Math. Annalen 88 (1923),<br />
290-312, zurtick. W. P.<br />
[53] (S. 112) Die a-, /5-, j-Punkte<br />
Die Begriffe eines a-, (3- oder 7-Punkts sind lokale topologische Begriffe. Ku-<br />
RATOWSKI gibt eine allgemeine Definition der Eigenschaft „lokal von der Klasse<br />
C im Punkt x" zu sein (C. KuRATOWSKi, Topology^ Vol. I. New edition, revised<br />
and augmented. Academic Press, New York 1966, §30, X).<br />
In nachgelassenen Studien hat HAUSDORFF zwei weitere lokale Begriffe betrachtet.<br />
In Fasz. 317, entstanden zwischen 1921 und 1930, definiert er: x heifit<br />
ein 5-Punkt von X, wenn fiir jede Umgebung Ux von x die Menge XnUx nicht<br />
mager, d. h. nicht von erster Kategorie, ist. In den Fasz. 1003 und 1004 von<br />
1914 definiert HAUSDORFF: x heifit e-Punkt von X, wenn fiir jede Umgebung<br />
Ux von x die Menge X P^Ux kein Fcr ist. Offensichtlich sind 5- und e-Punkte<br />
Verdichtungspunkte von X. V. K. /P. K.<br />
364
[54] (S. 114) Adhdrenz, Kohdrenz<br />
S. Anm. [72] zu Grundziige der Mengenlehre^ Band II dieser Edition, S.611.<br />
V.K./P.K.<br />
[55] (S. 115) insichdicht, abgeschlossen, perfekt<br />
Die Definitionen mittels der Ableitungen Ap gehen auf CANTOR zurlick: CAN<br />
TOR definiert den Begriff „perfekt" in G. CANTOR, Uber unendliche lineare<br />
Punktmannichfaltigkeiten, Teil 5, Math. Ann. 21 (1883), 545-591, dort S. 575,<br />
und „abgeschlossen" und „insichdicht" in G. CANTOR, Uber unendliche lineare<br />
Punktmannichfaltigkeiten, Teil 6, Math. Ann. 23 (1884), 453-488, dort S.470,<br />
471. V.K./P.K.<br />
[56] (S. 117) Satz III<br />
Hier wird fiir metrische Raume gezeigt, da6 abgeschlossene Mengen Gg-Mengen<br />
und offene Mengen Fo-Mengen sind. Satz III liefert - trotz seines elementaren<br />
Beweises - eine niitzliche notwendige Bedingung flir die Metrisierbarkeit eines<br />
topologischen Raumes; s. auch die Anm. [64] - [66].<br />
Betrachten wir als Beispiel die Gandy-Harrington- Topologie auf den reellen<br />
Zahlen, ein entscheidendes Hilfsmittel zur Untersuchung von Borel-Strukturen.<br />
Sie wird durch alle Suslinmengen erzeugt, die sich mittels der ^-Operation aus<br />
rekursiven Folgen abgeschlossener Mengen bilden lassen (s. L. HARRINGTON,<br />
A. S. KECHRIS, A. LOUVEAU, A Glimm - Effros dichotomy for Borel equivalence<br />
relations, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 903-928, dort S.917). Aus<br />
deskriptiv-mengentheoretischen Griinden gibt es in dieser Topologie eine II}-<br />
Menge X, die kein Xl} ist. Jede n{-Menge ist Gandy-Harrington-abgeschlossen,<br />
und jedes Gandy-Harrington-G5 ist eine 5]}-Menge. Somit ist X Gandy-Harrington-abgeschlossen,<br />
aber kein Gandy-Harrington-Gs. Nach dem Kriterium<br />
von Satz HI ist die Gandy-Harrington-Topologie nicht metrisierbar, obwohl sie<br />
einige Eigenschaften mit voUstandigen metrischen Raumen teilt und z.B. eine<br />
Baire-Topologie ist. V. K. /P. K.<br />
[57] (S. 118) separierte Menge<br />
Separierte Mengen werden heute als zerstreute Mengen (scattered sets) bezeichnet;<br />
s. KuRATOWSKi, Topology /, § 9.VI. V.K./P.K.<br />
[58] (S. 120) Relative und absolute Begriffe<br />
In der Topologie und deskriptiven Mengenlehre unterscheidet man relative und<br />
absolute Eigenschaften. Relative Eigenschaften einer Punkmenge X hangen<br />
vom umgebenden Raum ab, wahrend absolute Eigenschaften wie z.B. Folgenkompaktheit<br />
nur von der inneren Struktur der Punktmenge abhangen. Hierbei<br />
ist eine Punktmenge X immer gemeinsam mit einer „Abstandsfunktion" auf<br />
X zu sehen, die die Einschrankung der Metrik mindestens eines umgebenden<br />
metrischen Raums auf die Teilmenge X ist. Nach KuRATOWSKi, Topology /,<br />
§ 13.IX nennt man absolute Eigenschaften auch innere Invarianten (intrinsic<br />
invariants).<br />
365
Zweck von § 24 ist eine allgemeine „Erorterung" der Relativitat oder Absolut<br />
heit topologischer Eigenschaften, wie sie in den weiteren Ausfiihrungen der<br />
Mengenlehre immer wieder bedeutsam werden wird. Im absoluten Fall kann<br />
man sagen: „X hat die Eigenschaft K'% ohne dabei eine Einbettung von X in<br />
einen umgebenden Raum explizit zu machen. AUerdings hangt die Absolutheit<br />
moglicherweise von der Art der hier zugelassenen umgebenden Raume ab, z. B.<br />
konnte ein Begriff beziiglich aller vollstdndigen umgebenden Raume absolut<br />
sein, aber nicht fiir beliebige umgebende Raume.<br />
Im vorliegenden Paragraphen geht es um Punktmengen in beliebigen umgebenden<br />
Raumen. In diesem Fall sind im wesentlichen solche Begriffe absolut,<br />
die nur auf die „innere Struktur" von X Bezug nehmen. Schon die Grundbegriffe<br />
„offen" und „abgeschlossen" sind problematisch: nur die leere Menge ist<br />
absolut offen, und eine Punktmenge X ist absolut abgeschlossen genau dann,<br />
wenn sie voUstandig ist (S. 123).<br />
HAUSDORFF scharft hier das Bewufitsein fiir Relativitatsphanomene, auch<br />
um spater frei und informell Absolutheiten behaupten und benutzen zu konnen<br />
- manchmal sogar, ohne die Art der umgebenden Raume explizit zu spezifizieren.<br />
Da sich die Darstellung im weiteren Verlauf zunehmend auf vollstdndige<br />
Raume konzentrieren wird, seien hier allgemeine Absolutheits-Definitionen und<br />
-Satze bzgl. solcher umgebender Raume angegeben. Dabei betrachte man beliebige<br />
Eigenschaften K von Mengen X in (metrischen) Raumen E. Statt „X<br />
erfiillt K in ^" wird alternativ auch gesagt „X ist K in E^\ „X ist eine Menge<br />
K in £"' oder „X gehort zur Klasse K in E'''. Die Eigenschaft K heifit metrisch<br />
absolut (in bezug auf voUstandige metrische Raume) genau dann, wenn<br />
(a) X ist K in E
Eine Eigenschaft K heiBt topologisch absolut (in bezug auf voUstandige metrische<br />
Raume) genau dann, wenn<br />
{/3) X ist K in E
[62] (S. 130) Satze III und IV<br />
HAUSDORFFS Einschrankung auf separable Raume ist in beiden Satzen iiberfliissig.<br />
Um etwa III zu beweisen, betrachte man eine offene Uberdeckung U<br />
einer abgeschlossenen kompakten Teilmenge X eines metrischen Raumes E. X<br />
ist separabel, auch wenn E selbst es nicht ist: s. HAUSDORFFS Feststellung auf<br />
S. 126 der Mengenlehre, dafi jede folgenkompakte und sogar jede im Sinne von<br />
§ 24.4 bedingt kompakte Teilmenge X eines metrischen Raumes E separabel<br />
ist. Andererseits ist ZY' = {U nX\U eU} eine Uberdeckung von X, die aus in<br />
X offenen Mengen besteht. Nach dem LiNDELOFschen Satz (Satz VI, S. 129)<br />
enthalt W eine abzahlbare Teiliiberdeckung, weil X separabel ist. Nun braucht<br />
man nur noch den Satz von Borel (Satz II) anzuwenden. V. K. /P. K.<br />
[63] (S. 135) Mdchtigkeitssdtze<br />
S. den Kommentar zu [H 1916] in diesem Band, S. 429-442. V. K. /P. K.<br />
[64] (S. 136) die drei Aussagen<br />
Die Aquivalenz dieser drei Aussagen bedeutet gerade die metrische Absolutheit<br />
der Klasse Gg in bezug auf voUstandige metrische Raume; s. Satz 1 in<br />
Anm. [58] fiir ein allgemeineres Resultat. V. K. /P. K.<br />
[65] (S. 136) Youngsche Mengen<br />
Gs-Teilmengen reeller Zahlen wurden als spezifische Punktmengen von W. H.<br />
YOUNG, Zur Lehre der nicht abgeschlossenen Punktmengen^ Berichte Verh.<br />
Konigl.-Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig 55 (1903), 287-293, dort S.288 unter<br />
der Bezeichnung „innere Grenzmengen von Folgen von Intervallmengen"<br />
eingefiihrt, d. h. als Durchschnitte von abzahlbaren Folgen von Vereinigungen<br />
offener Intervalle. V. K. /P. K.<br />
[66] (S. 141) Satz X<br />
Satz X besagt, dafi eine co-magere Menge, also das Komplement einer Menge<br />
erster Kategorie, dicht ist, falls der umgebende Raum eine Youngsche Menge<br />
ist. Eine Youngsche Menge ist eine absolute G5-Menge, also ein Gs in einem<br />
voUstandigen metrischen Raum. Dieser Satz ist eine andere Fassung des Baireschen<br />
Kategoriensatzes, s. Anm. [90] zu Grundzilge der Mengenlehre^ Band II<br />
dieser Edition, S. 614. Der Satz hatte auch mit dem HAUSDORFFschen Metrisationssatz<br />
bewiesen werden konnen, nach dem G5-Mengen voUstandig metrisierbar<br />
sind ([H 1924], s. dazu Anm. [110] und den Kommentar in diesem Band,<br />
S. 446-453). V.K./P.K.<br />
[67] (S. 142) Mengen erster und zweiter Kategorie<br />
Die Begriffe Menge erster Kategorie (Vereinigung abzahlbar vieler nirgendsdichter<br />
Mengen) und Menge zweiter Kategorie (Menge, die nicht von erster Kategorie<br />
ist) gehen auf BAIRES Dissertation zuriick (veroffentlicht als R. BAIRE,<br />
Sur les fonctions de variables reelles, Annali di Matematica 3 (1899), 1-122,<br />
368
dort S. 65). In moderner Terminologie heifien Mengen erster Kategorie „mager"<br />
(meager sets), solche zweiter Kategorie „nicht-mager" (non-meager sets), und<br />
die Komplemente von Mengen erster Kategorie heifien „co-mager" (co-meager<br />
sets); s. z.B. A. KECHRIS, Classical descriptive set theory. New York 1995.<br />
V.K./P.K.<br />
[68] (S. 143) Mengen Fn und Gn<br />
Nach Satz X von § 27 ist eine relativ abgeschlossene Teilmenge einer Youngschen<br />
Menge, d. h. einer Gs-Menge in einem vollstandigen Raum, nicht mager<br />
in sich. Ausgehend von dieser Eigenschaft definiert HAUSDORFF zwei Verallgemeinerungen<br />
Youngscher Mengen: eine Menge X ist eine Fu-Menge genau<br />
dann, wenn jede nichtleere relativ abgeschlossene Teilmenge Y C X nichtmager<br />
in sich ist. In HAUSDORFFS Nachlafi erscheint dieser Begriff schon in<br />
Fasz. 246, Verallgemeinerung der Youngschen Mengen^ datiert 21.11.1925. Eine<br />
Menge X ist eine Gn-Menge, wenn jede nichtleere in X relativ offene Teilmenge<br />
Y (Z X nicht-mager in sich ist. HAUSDORFF betrachtet Gn-Mengen<br />
bereits in Fasz. 151, datiert 12.10.1923. Die Mengen heifien dort F-Mengen,<br />
wohl wegen ihrer Verwandschaft mit den Youngschen Mengen.<br />
HAUSDORFF zeigt auf S. 144, dafi jede Fn-Menge eine Gn-Menge ist, aber<br />
nicht umgekehrt: als Gegenbeispiel dient die Menge aller Paare (x, 0) G IR^ mit<br />
irrationalem x. S. auch Anm. [151] und den Kommentar zu Fasz. 281 iiber Fn-<br />
Raume in der Klasse der Suslin- und co-Suslin-Mengen (dieser Band, S. 703).<br />
In neueren Biichern heifien Gn-Raume Bairesche Rdume: s. z. B. R. ENGEL-<br />
KING, General topology, Berlin 1989, 3.9 oder A. S. KECHRIS, Classical descriptive<br />
set theory, New York 1995, 8.B. Ferner werden Fn-Raume, d. h. Raume,<br />
in denen jede nichtleere abgeschlossene Teilmenge ein Bairescher Raum im<br />
Sinne der Relativtopologie ist, als vollstdndig Bairesche Raume bezeichnet (s.<br />
A. S. KECHRIS, a. a. O., 21.F). Man beachte, dafi diese Begriffe auch fiir topologische<br />
Raume ohne Metrik sinnvoU sind.<br />
Ein in der deskriptiven Mengenlehre wichtiger Bairescher Raum, der aber<br />
nicht metrisierbar ist, ist die Menge der reellen Zahlen mit der Candy-Harrington-Topologie,<br />
welche durch nichtleere „efFektiv" Suslinsche Mengen reeller Zahlen<br />
erzeugt wird (s. Anm. [56]). Der Beweis, dafi dies ein Bairescher Raum ist,<br />
ist anspruchsvoll (s. HARRINGTON et al., A Climm ~ Effros dichotomy for Borel<br />
equivalence relations, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 903-928).<br />
Ebenfalls Bairesch sind die Choquet-Rdume, die mit Hilfe unendlicher Spiele<br />
definiert werden: Zwei Spieler, I und II, spielen abwechselnd nichtleere offene<br />
Teilmengen eines Raums X. Spieler I beginnt mit einer offenen nichtleeren Menge<br />
UQ ^X. Spieler II antwortet mit Ui CUQ. Dann wahlt \U2 QUi,\\ antwortet<br />
mit einem Us C U2 usw. Der Spieler II gewinnt das Spiel, wenn f]^ Un 7^ 0. Der<br />
Raum X ist ein Choquet-Raum, wenn II in diesem Spiel eine Gewinnstrategie<br />
hat (KECHRIS, a. a. O., 8.C). Es lafit sich leicht zeigen, dafi ein Choquet-Raum<br />
ein Bairescher Raum ist; andererseits ist jeder voUstandige metrische Raum ein<br />
Choquet-Raum.<br />
Weitere Fragen, die mit dem Begriff der Kategorie zusammenhangen, werden<br />
369
im § 45 der Mengenlehre behandelt. V. K. /P. K.<br />
[69] (S. 145) Mengenrdume<br />
Die Hausdorff-Distanz zwischen zwei nichtleeren Mengen A, B in einem Raum<br />
X mit Metrik r lafit sich in geschlossener Form definieren als<br />
dH{A,B)= sup maxjinf r(a,6o), infr(ao,6)}.<br />
aoeA,boeB «^^ b^^<br />
Geometrisch betrachtet ist dniA, B) das Infimum aller e > 0, so dafi A C Ue{B)<br />
und B C Ue{A), wobei die e-Umgebung von A definiert ist als<br />
Ue{A) = {x e X\ es gibt ein a e A mit r(x, a) < e}.<br />
Die Idee einer solchen Abstandsfunktion {ecart und ecart mutuel) stammt von<br />
D. POMPEJU, Sur la continuite des fonctions de variables complexes, Ann. Fac.<br />
Sci. Toulouse 7 (1905), 265-315, dort S. 281; HAUSDORFF hat diese anscheinend<br />
iibernommen (s. HAUSDORFFS eigene Anmerkung in Grundziige der Mengenlehre,<br />
S. 463) und allgemein in die Topologie eingefiihrt.<br />
Eingeschrankt auf spezielle Klassen von Teilmengen des gegebenen Raumes<br />
X liefert die Hausdorff-Distanz metrische Hyperrdume. Um unendliche Werte<br />
der Distanz zu vermeiden, werden gewohnlich nur beschrdnkte Teilmengen von<br />
X betrachtet. Weil dniA^B) — 0 genau dann, wenn A = B ist, schrankt man<br />
weiter ein auf abgeschlossene Teilmengen, fiir die A = A ist. Mit F(X) bezeichnet<br />
man den Raum aller abgeschlossenen, beschrankten nichtleeren Teilmengen<br />
von X mit der Hausdorff-Metrik. Oft wird ferner der Teilraum K(X) aller kompakten<br />
nichtleeren Teilmengen von X betrachtet. Interessanterweise vererben<br />
sich manche Eigenschaften von X auf K(X) wie die<br />
- Vollstdndigkeit, nach H. HAHN, Reelle Funktionen, Leipzig 1932, S. 124;<br />
s. auch C. KURATOWSKI, Topology /, New York 1966, § 33.IV;<br />
- Kompaktheit, nach Satz VI, Mengenlehre, § 28.3.;<br />
- Separabilitdt<br />
Folglich ist K(X) ein polnischer Raum, wenn X ein solcher ist. S. auch KECH-<br />
RIS, Classical descriptive set theory. New York 1995, 4.F. Weitere Eigenschaften<br />
von Hyperraumen werden in dem Essay Hausdorff-Metriken und Hyperrdume,<br />
Band II dieser Edition, S. 762-766 besprochen.<br />
Das Konzept der Raume K(X) mit der Hausdorff-Metrik dn ist von grofier<br />
Bedeutung, erlaubt es doch, wichtige Systeme von Teilmengen von X als einzelne<br />
Teilmenge von K(X) aufzufassen und mit den Methoden der deskriptiven<br />
Mengenlehre zu klassifizieren. Fiir einen iiberabzahlbaren polnischen Raum X<br />
ist z. B. die Menge aller iiberabzahlbaren kompakten Teilmengen von X eine<br />
nicht-Borelsche Suslinmenge in K(X) (W. HuREWicz, Zur Theorie der analytischen<br />
Mengen, Fund. Math. 15 (1930), 4-17). Eine Reihe alterer und neuerer<br />
370
Klassifikationsresultate, auch fiir Raume X^ stetiger Funktionen, finden sich<br />
bei KECHRIS, a.a. O.<br />
In HAUSDORFFS Arbeit Summen von )Xi Mengen [H 1936b] werden Cantor-<br />
Bendixson-Ableitungen in einem kompakten Raum X mit dem Hyperraum<br />
X = K(X) in Verbindung gebracht. Fiir eine beliebige Ordinalzahl ^ sei X^ =<br />
{A G X\A^ = ^^^^l, wobei A^ die ^-te Cantor-Bendixson-Ableitung der Menge<br />
A C X ist. Nach dem Satz von Cantor-Bendixson gilt<br />
X= [j X^ ,<br />
und die Mengen X^ wachsen fiir ^ —^ uji. HAUSDORFF zeigt nun, daB fiir hinreichend<br />
groBe abzahlbare Ordinalzahlen ^ gilt: X = X^ modulo einer mageren<br />
Menge ([H 1936b] wird in Band I dieser Edition kommentiert).<br />
Im Nachlafi, Faszikel 123, Der „Raum'^ der messbaren beschrdnkten Mengen,<br />
datiert vom 3.11.1915, benutzt HAUSDORFF das Lebesgue-MaB zur Definition<br />
eines Abstands: der Abstand zweier meBbarer beschrankter Mengen A, B eines<br />
euklidischen Raumes sei das MaB ihrer symmetrischen Differenz AuB — AnB.<br />
Wenn Mengen A,B, die sich nur durch eine Nullmenge unterscheiden, miteinander<br />
identifiziert werden, so geniigt dieser Abstand alien metrischen Axiomen,<br />
und der eingefiihrte Mengenraum ist separabel. V. K. /P. K.<br />
[70] (S. 146) Abgeschlossener und offener Limes<br />
HAUSDORFF untersucht hier die Begriffe des offenen und abgeschlossenen Limes<br />
einer Folge von Teilmengen eines metrischen Raumes, nachdem er bereits<br />
in den Grundziigen der Mengenlehre den abgeschlossenen Limes einer Folge<br />
von Teilmengen eines topologischen Raumes eingefiihrt hatte. Es zeigt sich,<br />
daB der abgeschlossene Limes eine herausragende Bedeutung hat: Wie bereits<br />
in dem Essay Hausdorff-Metriken und Hyperrdume, Band II dieser Edition,<br />
S. 762 bemerkt wurde, erhalt man zu jedem metrischen Raum (X, d) einen<br />
Hyperraum, indem man die Menge J^{X) aller nicht-leeren, abgeschlossenen<br />
und beschrankten Teilmengen von X mit der Hausdorff-Metrik dn versieht.<br />
Konvergiert in dem metrischen Raum (T{X), dn) eine Folge {An)ne\i^ gegen<br />
ein A G J^{X), so ist A abgeschlossener Limes dieser Folge, wie HAUSDORFF auf<br />
S. 149 der Mengenlehre zeigt. Falls {X, d) kompakt ist, gilt auch die Umkehrung<br />
(s. S. 150). Somit kann fiir kompakte metrische Raume {X,d) die Konvergenz<br />
einer Folge in J^{X) beziiglich des abgeschlossenen Limes durch eine Metrik,<br />
namlich die Hausdorff-Metrik beschrieben werden und somit durch eine Topologie.<br />
G. CHOQUET hat 1948 dann eine Verallgemeinerung des Begriffes des<br />
abgeschlossenen Limes fiir Filter (anstelle von Folgen) auf der Menge 2^ der<br />
abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raumes X eingefiihrt, indem<br />
er analog zu HAUSDORFF zunachst den oberen und unteren abgeschlossenen<br />
Limes eines Filters erklart (G. CHOQUET, Convergences, Ann. Univ. Grenoble;<br />
Sect. Sei. Math. Phys. 23 (1948), 57-112; vgl. auch Band II dieser Edition,<br />
S.732). Falls X kein lokal kompakter T2-Raum ist, kann er zeigen, dafi die<br />
371
Konvergenz von Filtern auf 2^ beziiglich dieses Limesbegriffes (von ihm Pseudokonvergenz<br />
genannt) nicht durch eine Pratopologie geschweige denn durch<br />
eine Topologie beschrieben werden kann, wohl aber durch eine Pseudotopologie<br />
(vgl. zur Definition dieser Begriffe Band II dieser Edition, S. 731).<br />
Topologische, pratopologische und pseudotopologische Raume sind Beispiele<br />
fiir Limesraume.^ 1972 hat W. GAHLER den unteren abgeschlossenen Limes<br />
a-Um und den oberen abgeschlossenen Limes a-hm eines Filters T auf der Menge<br />
2^ der abgeschlossenen Teilmengen eines Limesraumes (X, q) wie folgt definiert<br />
(dabei heiBt eine Teilmenge A in einem Limesraum (X, q) abgeschlossen, wenn<br />
A — A \= {x ^ X\ Q^ existiert ein {T^ x) ^ q mit A G J^} gilt):<br />
a) X ^ a-lim J^ genau dann, wenn ein (Q^x) G q existiert, so dafi es zu jedem<br />
G e g ein B e sec^ gibt mit J5 Pi G y^ 0 fiir alle B e B, wobei<br />
secJ^= {S C 2^ :AnBj^ 0 fiir alle A e J"} ist.<br />
(3) X E a-lim T genau dann, wenn ein {Q^x) G q existiert, so dafi es zu jedem<br />
GeGemAeT gibt mit A 0 G 7^ 0 fiir alle A e A.<br />
(W. GAHLER, Beitrdge zur Theorie der Limesrdume. In: ASSER, G.; FLACHS-<br />
MEYER, J.; RiNOW, W. (Hrsg.) Theory of Sets and Topology. In Honour of<br />
Felix Hausdorff (1868-1942). Berlin 1972, 161-197. In GAHLERS Originalarbeit<br />
ist der Filter J^ allerdings durch den dazu im Wesentlichen aquivalenten Begriff<br />
der gefilterten Familie ersetzt worden.)<br />
Zu a) und P) aquivalente Formulierungen sind unabhangig von GAHLER 1980<br />
von E. LOWEN-COLEBUNDERS gefunden worden (in The Choquet hyperspace<br />
structure for convergence spaces, Math. Nachrichten 95 (1980), 17-26). Nun<br />
lafit sich auf 2^ eine Konvergenzrelation qa wie folgt erklaren:<br />
(^, A) e qa
algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc. 31 (1935), 433-454, dort S.453) flir<br />
Folgen und spater fiir Moore-Smith-Folgen (vgl. G. BiRKHOFF, Lattice theory,<br />
Providence 1948) eingefiihrt worden ist und die auch fiir Filter (s. D. C. KENT,<br />
Convergence functions and their related topologies, Fund. Math. 54 (1964),<br />
125-133) und gefilterte Familien (s. W. RiNOW, Lehrhuch der Topologie, Berlin<br />
1975) in geordneten Mengen definiert werden kann, sowohl die von HAUS-<br />
DORFF bereits in den Grundziigen definierte Mengenkonvergenz als auch seine<br />
abgeschlossene Konvergenz (= Konvergenz im Sinne des abgeschlossenen Limes)<br />
verallgemeinert (im ersten Fall wahle man als vollstandigen Verband die<br />
Potenzmenge V{X) einer Menge X und im zweiten Fall die Menge 2^ der<br />
abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raumes X als vollstandigen<br />
Verband). H. H. /M. H. /G. P.<br />
[71] (S. 150) Satz V<br />
Satz V und Satz III, S. 149 (s. auch Grundziige der Mengenlehre, Kap. VIII,<br />
§ 6, Satze IV und VI) zeigen: Ist X kompakt, dann ist die ^//-Konvergenz einer<br />
Folge {Xn} in K(X) aquivalent mit ihrer topologischen Konvergenz, d. h. mit<br />
der Existenz von limm-^oo-^m- Dies formuliert man auch in folgender Weise:<br />
die d/7-Topologie von K(X) fallt mit der Exponential- oder Vietoris-Topologie<br />
zusammen, welche durch alle Mengen der Form {KGK(X) | K C U} und<br />
{K G K{X) \ K nU = H)} mit ofFenem U C X erzeugt wird (s. KECHRIS,<br />
Classical descriptive set theory. New York 1995, § 4.F). V. K. /P. K.<br />
[72] (S. 155) lokal zusammenhdngend<br />
Der Begriff des lokalen Zusammenhanges wurde 1914 von H. HAHN {Uber die<br />
allgemeinste ebene Punktmenge, die stetiges Bild einer Strecke ist, Jahresbericht<br />
der DMV 23 (1914), 318-322) eingefiihrt, der auf diese Bedingung im<br />
Zusammenhang mit der Charakterisierung stetiger Bilder einer Strecke gesto-<br />
6en war. HAHN nennt den BegrifF allerdings „Zusammenhang im Kleinen". Er<br />
definiert ihn zunachst nur fiir Teilmengen der Ebene und 1921 fiir metrische<br />
Raume {Uber die Komponenten offener Mengen, Fund. Math. 2 (1921), 189-<br />
192). Letzteres tut auch HAUSDORFF in seiner Mengenlehre. Allerdings laBt sich<br />
der Begriff ohne weiteres auf topologische Raume libertragen, was heutzutage<br />
allgemein liblich ist. Fiir einen topologischen Raum X sind aquivalent:<br />
(1) X ist lokal zusammenhangend, d. h. jedes x e X besitzt eine Umgebungsbasis<br />
aus zusammenhangenden Mengen (also: zu jeder Umgebung Ux von x<br />
existiert eine zusammenhangende Umgebung Vx von x mit Vx C Ux)-<br />
(2) Die Zusammenhangskomponenten offener Teilmengen von X sind offen in<br />
X.<br />
(3) Die Topologie von X besitzt eine Basis aus zusammenhangenden Mengen<br />
(d. h. jede offene Teilmenge von X ist Vereinigung von offenen zusammenhangenden<br />
Teilmengen von X). [Wegen (3) diirfen die in (1) auftretenden<br />
zusammenhangenden Mengen auch offen sein.]<br />
Die Charakterisierung des lokalen Zusammenhanges (fiir metrische Raume)<br />
durch (2) geht auf HAHNS Arbeit von 1921 zuriick. Wegen (2) sind die Zu-<br />
373
sammenhangskomponenten eines lokal zusammenhangenden Raumes offen und<br />
abgeschlossen, stimmen also mit den von HAUSDORFF in den Grundzugen eingefiihrten<br />
Quasikomponenten iiberein. Ein topologischer Raum X heifit in heutiger<br />
Sprechweise im Punkte x E X zusammenhdngend im Kleinen, wenn jede<br />
Umgebung Ux von x eine Umgebung Vx von x enthalt, so dass fiir jedes y ^Vx<br />
eine zusammenhangende Teilmenge von Ux existiert, die x und y enthalt. Ohne<br />
Beschrankung der Allgemeinheit konnen die hier auftretenden Umgebungen<br />
als offen angenommen werden. Ferner kann, falls X regular ist, die in Ux enthaltene<br />
Umgebung Vx als abgeschlossen angesehen werde, was HAHN in seiner<br />
Arbeit von 1914 auch tut und erst 1921 auf die Abgeschlossenheit verzichtet,<br />
ebenso wie R. L. MOORE {Concerning connectedness im kleinen and a related<br />
property, Fund. Math. 3 (1922), 232-237). So wird der Weg frei gemacht fiir<br />
die allgemeine Definition.<br />
Es ist leicht nachzuprtifen, dafi ein topologischer Raum lokal zusammenhangend<br />
ist genau dann, wenn er in jedem Punkt x ^ X zusammenhangend im<br />
Kleinen ist. Allerdings folgt aus der Tatsache, da6 ein topologischer Raum X<br />
in einem Punkte XQ G X zusammenhangend im Kleinen ist, nicht notwendig,<br />
daB der Punkt XQ eine Umgebungsbasis aus zusammenhangenden, offenen Mengen<br />
besitzt, wie das Beispiel auf S. 113 im Buch von HOCKING/YOUNG zeigt<br />
(HOCKING, J.G.; YOUNG, G.S., Topology, London 1961).<br />
Schon HAUSDORFF weist darauf hin, dafi der lokale Zusammenhang bei stetigen<br />
Abbildungen nicht erhalten bleibt {Mengenlehre, S. 199). Spater konnte<br />
G.T.WHYBURN zeigen {On quasi-compact mappings, Duke Math. J. 19<br />
(1952), 445-446), dafi Quotienten lokal zusammenhangender Raume lokal zusammenhangend<br />
sind. Als schliefilich N. BOURBAKI {Topologie generale, Paris<br />
1940) finale Topologien eingefiihrt hatte, konnte auch gezeigt werden, dafi der<br />
lokale Zusammenhang sogar gegeniiber alien finalen Topologien erhalten bleibt<br />
(s. G. PREUSS, Allgemeine Topologie, Berlin 1972, 5.3.8). Daraus folgt, dafi es<br />
zu jedem topologischen Raum X einen lokal zusammenhangenden Raum X*<br />
und eine bijektive stetige Abbildung / : X* -^ X gibt, so dafi fiir jeden lokal zusammenhangenden<br />
Raum Y und jede stetige Abbildung g :Y ^^ X genau eine<br />
stetige Abbildung / : F ^ X* existiert mit f o f = g. Durch diese Eigenschaft<br />
ist das Paar (X*,/) bis auf Homoomorphie eindeutig bestimmt (vgl. PREUSS,<br />
a. a. O., 8.1.3). Dieses Ergebnis ist zuerst von A.M. GLEASON erzielt worden<br />
{Universal locally connected refinements, Illinois J. Math. 7 (1963), 521-531).<br />
Der Satz von HAHN/MAZURKIEWICZ (vgl. HAUSDORFFS Mengenlehre, S. 207)<br />
bleibt jedoch ein wesentlicher Grund fiir die Einfiihrung des lokalen Zusammenhanges.<br />
S. MAZURKIEWICZ hat iibrigens unabhangig von HAHN den lokalen Zusammenhang<br />
(= Zusammenhang im Kleinen) fiir Teilmengen des IR^ entdeckt<br />
{Sur les lignes Jordan, Fund. Math. 1 (1920), 166-209).<br />
Zu HAUSDORFFS eigenen (unveroffentlichten) Studien zum lokalen Zusammenhang<br />
vergleiche auch unseren Artikel Hausdorffs Studien iiber Kurven,<br />
Bogen und Peano-Kontinua in diesem Band, S. 798-839. H. H. /M. H. /G. P.<br />
374
[73] (S. 160) _<br />
Hier mu6 es richtig heifien: „.. .der Distanzen in A zum metrischen Raum A,<br />
..." (in der Auflage von 1927 ist diese Stelle korrekt). W. P.<br />
[74] (S. 163) Ein KoroUar zu Satz XVIII<br />
In der russischen Ubersetzung der Mengenlehre (s. die historische Einfiihrung,<br />
dieser Band, S. 32-36) ist mit Verweis auf BROUWER dem Satz XVIII ein interessantes<br />
KoroUar angefiigt (XIV in §30). Eine Eigenschaft C kompakter<br />
Mengen ist induktiv genau dann, wenn aus ihrer Giiltigkeit fiir jedes died<br />
der Folge Xi ^ X2 ^ Xs... kompakter Mengen Xn auch ihre Giiltigkeit fiir<br />
X = pl^ Xn folgt. Dann gilt: Besitzt eine kompakte Menge X eine induktive<br />
Eigenschaft C, dann gibt es eine minimale kompakte Menge X' C X, welche<br />
bereits die Eigenschaft C besitzt. V. K. /P. K.<br />
[75] (S. 165)<br />
A. S. KECHRIS, Classical descriptive set theory, New York 1995, 34.D, nennt<br />
Operatoren (p, welche X^^ C X fiir alle X erfiillen, Ableitungen (derivatives),<br />
wahrend Operatoren cp mit X C X^ fiir alle X Erweiterungen (expansions)<br />
heiBen. V. K. /P. K.<br />
[76] (S. 166) Induktive Definierbarkeit<br />
Iterierte transfinite Konstruktionen dieser Art werden in der Theorie der induktiven<br />
Definitionen studiert, einem Teilgebiet der deskriptiven Mengenlehre.<br />
Ein Grundproblem ist die Charakterisierung der kleinsten Ordinalzahl ^, so dafi<br />
X^ = X^^i ist, wo X eine Menge bestimmten Typs ist. Auch die deskriptive<br />
Natur von Hiillen und Kernen wird hier untersucht. Einen umfassenden Uberblick<br />
liber dieses Gebiet gibt P. AczELs Artikel An introduction to inductive<br />
definitions im Handbook of Mathematical Logic, Amsterdam 1977, 739-782.<br />
V.K./P.K.<br />
[77] (S. 168) Residuen, reduzible Mengen<br />
KURATOV^SKI, Topology /, New York 1966, § 12.VII, definiert mit Verweis auf<br />
HAUSDORFF das Residuum einer Menge A als An Apoc- Es folgt leicht aus der<br />
Gleichung A^ = ACiApoc, dafi das Residuum A^ aus alien denjenigen Punkten<br />
X E A besteht, welche nicht Punkte lokaler Abgeschlossenheit sind. Dabei ist<br />
X e A ein Punkt lokaler Abgeschlossenheit genau dann, wenn er eine offene<br />
Umgebung U besitzt, so dafi AnU relativ abgeschlossen in U ist. KURATOW-<br />
SKI stellt in § 12.VIII ferner fest, dafi das letzte Residuum einer Menge A die<br />
grofite relativ abgeschlossene Teilmenge von A ist, welche keine Punkte lokaler<br />
Abgeschlossenheit enthalt. Folglich ist A reduzibel genau dann, wenn jede ihrer<br />
nichtleeren relativ abgeschlossenen Teilmengen Y C. A mindestens einen Punkt<br />
lokaler Abgeschlossenheit enthalt.<br />
Zur Problematik der Residuen und der reduziblen Mengen s. auch den Essay<br />
Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundziigen der Mengenlehre, Band II<br />
dieser Edition, S. 773-787, und die Kommentare zu HAUSDORFFS einschlagigen<br />
375
nachgelassenen Papieren, dieser Band, S. 654-674. V. K. /P. K.<br />
[78] (S. 168)<br />
Hier muB es richtig heifien: „Das kleinste Residuum ist der ^^-Kern M von M".<br />
W.R<br />
[79] (S. 170) Satz IV<br />
Dies ist der Satz von BAIRE - HAUSDORFF, S. dazu Anm. [69] zu Grundziige der<br />
Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 610. Aus diesem Satz folgt, daB in einem<br />
separablen Raum jede Differenzenkette abgeschlossener Mengen hochstens<br />
abzahlbar ist, mit der Konsequenz, daB in diesem Fall alle reduziblen Mengen<br />
A2-Mengen sind, d. h. sowohl F^ als auch Ga. V. K. /P. K.<br />
[80] (S. 171) die Frage, oh eine Menge zugleich Fa und Gs ist<br />
HAUSDORFF stellt fest, daB die iterierte Bildung von Residuen einer gegebenen<br />
Menge X in einem separablen Raum ein transfinites Verfahren ist, welches<br />
entscheidet, ob X zugleich FQ- und Gs ist, und im positiven Fall kanonische<br />
Darstellungen von X als Fo-Menge bzw. Gs-Menge liefert. Diese Darstellungen<br />
sind in dem Sinne kanonisch, daB sie mittels „einfacher" topologischer Operationen<br />
uniform fiir alle X definiert werden konnen und nicht von mengentheoretischen<br />
Annahmen wie dem Auswahlaxiom abhangen. KuRATOWSKI folgert<br />
daraus in seiner Topology /, §34.VI, daB man aus jeder nichtleeren Menge X,<br />
welche zugleich F^ und Gs ist, einen Punkt f{X) G X kanonisch auswahlen<br />
kann.<br />
Fiir Mengen, welche nur F^ oder nur Gs sind, scheint es keine in ahnlicher<br />
Weise kanonischen Entscheidungs- und Darstellungsprozesse zu geben. Um diese<br />
Vermutung streng mathematisch zu beweisen, konnte man folgendermafien<br />
vorgehen: Hatte man ein kanonisches Verfahren fiir Fo-Mengen und damit insbesondere<br />
fiir abzahlbare Mengen, so erhielte man fiir jede abzahlbare Menge<br />
X reeller Zahlen ein „kanonisches" Auswahlelement f{X) e X. Die Funktion<br />
/ kann als Auswahlfunktion bei der bekannten Konstruktion einer ViTALi-<br />
Menge, die nicht LEBESGUE-meBbar ist, eingesetzt werden (s. Grundziige der<br />
Mengenlehre, S. 401-402). Die so gebildete VlTALi-Menge ware definierbar. Es<br />
gibt aber Modelle der Mengenlehre, in denen jede definierbare Menge reeller<br />
Zahlen Lebesgue-meBbar ist (s. R. SOLOVAY, A model of set theory in which<br />
every set of reals is Lebesgue measurable^ Ann. of Math. 92 (1970), 1-56).<br />
V.K./P.K.<br />
[81] (S. 171) Satz VII<br />
Z. ZALCWASSER, Un theoreme sur les ensembles qui sont a la fois F^ et Gs,<br />
Fund. Math. 3 (1922), 44-45, hat bewiesen, daB in separablen Raumen jede<br />
wohlgeordnet wachsende oder fallende Folge von A2-Mengen hochstens abzahlbar<br />
ist. Dies ist aquivalent zu Satz VII, well im Fall separabler Raume das System<br />
der A2-Mengen mit dem der reduziblen Mengen zusammenfallt. (Einen<br />
anderen Beweis gibt KuRATOWSKi in Topology /, §24.111).<br />
376
Man beachte, dafi streng wachsende iiberabzahlbare Folgen {X^}^
ihrer Definitionskomplexitat auch als I]}-Mengen bezeichnet. Der Begriff „analytische<br />
Menge" findet sich eher in Arbeit en zur deskriptiven Mengenlehre,<br />
wahrend „Suslinmenge" oder „Souslinmenge" ^ in der Topologie iiblich sind.<br />
Um die Entdeckung der Suslinmengen und der A-Operation gab es einen vehementen<br />
Prioritatsstreit. Die erwahnte Note SuSLiNs in Comptes rendus 164<br />
(1917) enthalt sowohl die explizite Definition der A-Operation (unter einer anderen<br />
Bezeichnung) als auch die Definition der ensembles (A). Die frlihere Note<br />
von P. ALEXANDROFF, Sur la puissance des ensembles mesurables B, Comptes<br />
rendus Acad. Sci. Paris 162 (1916), 323-325, enthalt keines von beidem,<br />
sondern zeigt lediglich, dafi jede Borelmenge in einer Form dargestellt werden<br />
kann, in der man schon einige Grundziige der A-Operation und ihre Anwendung<br />
auf abgeschlossene Mengen erkennen kann. Naheres hierzu in unserem Kommentar<br />
zu [H 1916] in diesem Band, S. 429-442. Es gab unter Mathematikern<br />
unterschiedliche Ansichten, ob man ALEXANDROFF oder SuSLiN die Prioritat<br />
bei der Entdeckung der A-Operation zuschreiben soUe und welche RoUe LusiN<br />
bei dieser Entdeckung gespielt habe. Unzweifelhaft hat ALEXANDROFFS Beweis<br />
SuSLiN bei der Entdeckung der Suslinmengen zumindest inspiriert und motiviert.^<br />
Ein jiingerer Artikel von G. LORENTZ, Who discovered analytic sets,<br />
The Mathematical Intelligencer, 23 (2001), Nr. 4, 1-5, enthalt einen kurze historische<br />
Darstellung und weitere Literaturhinweise.<br />
HAUSDORFF selbst hat sich nicht offen an dieser Diskussion beteiligt. Er hat<br />
sie aber insofern beeinflufit, als er den Terminus „Suslinmenge" in seiner Mengenlehre<br />
eingefiihrt hat (s. dazu auch HAUSDORFFS Brief an ALEXANDROFF<br />
vom 31.5.1927, zitiert in diesem Band, S. 15). ALEXANDROFFS Note in Comptes<br />
rendus 162 (1916) wird im Kontext der Suslinmengen in der Mengenlehre<br />
nicht erwahnt. V. K. /P. K.<br />
[85] (S. 178) Die Borelsche Hierarchic<br />
HAUSDORFF definiert die Hierarchic der Borelschen Klassen F^ und G^ eines<br />
gegebenen Raumes aufbauend auf den Klassen F^ = F und G^ = G der<br />
abgeschlossenen bzw. offenen Mengen durch Induktion:<br />
F^ = (U
Klassen haben. So formuliert KURATOWSKI, der in Topology /, New York 1966<br />
i. a. HAUSDORFFS Notation folgt (mit F^ und G^ anstatt F^ und G^), die<br />
meisten Result ate iiber die Struktur der Borelklassen in § 11.30 mittels der additiven<br />
Klassen a, d. h. F^ mit ungeraden Indizes und G^ mit geraden Indizes,<br />
und der multiplikativen Klassen a (das sind die komplementaren Klassen).<br />
Bemerkenswerterweise erhalt man alle Borelschen Mengen aus F durch die<br />
positiven Operationen o- und §, ohne Rlickgriff auf die Komplemente. Dasselbe<br />
gilt fiir die Klassen G. HAUSDORFF beschreibt in einer nachgelassenen Studie<br />
(Fasz. 662, dieser Band, S. 588) weitere Zugange einschliefilich solcher, die<br />
auf Limes-Operationen anstatt auf der Bildung abzahlbarer Vereinigungen und<br />
Durchschnitte beruhen. V. K. /P. K.<br />
[86] (S. 179) absolut Borelsche und absolut Suslinsche Mengen<br />
Hier ist die metrische Absolutheit gemeint, s. Anm. [58]. In §38 wird dariiberhinaus<br />
mittels einer komplizierteren Analyse die topologische Absolutheit dieser<br />
Begriffe festgestellt, auch die der einzelnen Borelklassen, beginnend mit G5.<br />
V.K./P.K.<br />
[87] (S. 179) Machtigkeitssatz<br />
Satz I, die Bestatigung der Kontinuumhypothese fiir Suslinmengen, stammt<br />
von M. SUSLIN. LusiN schreibt am SchluB von Sur la classification de M. Baire^<br />
Comptes rendus Acad. Sci. Paris 164 (1917), 91-93:<br />
Enfin M. Souslin a demontre que tout ensemble (A) est ou denombrable,<br />
ou bien contient un ensemble parfait: [• • •] (S. 93).<br />
Auch in einer Fufinote in N. LusiN, W. SiERPiNSKi, Sur quelques proprietes des<br />
ensembles (A), Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie, 4 (1918), 35-48, wird das Resultat<br />
SuSLiN zugeschrieben; SuSLlNs einzige einschlagige Arbeit in Comptes<br />
Rendus Acad. Sci. Paris 164 (1917) (s. Anm. [84]) enthalt diesen Satz jedoch<br />
nicht. HAUSDORFF [H 1916] und ALEXANDROFF (in der in Anm. [84] zitierten<br />
Arbeit) haben 1916 unabhangig voneinander die Kontinuumhypothese fiir Borelmengen<br />
bewiesen, aber weder die Methode von HAUSDORFF noch die von<br />
ALEXANDROFF ist fiir den allgemeineren Fall der Suslinmengen geeignet (s. den<br />
Kommentar zu [H 1916] in diesem Band, S. 429-442). V. K. /P. K,<br />
[88] (S. 181) Existenzsatz<br />
DaB die Borelschen Klassen eine echt aufsteigende Hierarchic bilden, wurde<br />
von H. LEBESGUE, Sur les fonctions representables analytiquement, Journ. de<br />
Math. Pures et Appl. (Ser. 6), 1 (1905), 139-216, gezeigt. SUSLIN kiindigte die<br />
Existenz einer nicht-Borelschen analytischen Menge in seiner in den Comptes<br />
rendus 164 (1917) erschienenen Note an (s. Anm. [84]).<br />
HAUSDORFF hat in einer nachgelassenen Studie Abkiirzung der Existenzbeweise,<br />
Mengenl § 33 vom 12.12.1935 (Fasz. 437) fiir den Satz I, S. 182 einen<br />
wesentlich klirzeren Beweis angegeben (der Faszikel ist abgedruckt in diesem<br />
Band, S.582). V.K./P.K.<br />
379
[89] (S. 182) Satz I fur den (nicht vollstdndigen) Raum C<br />
Der erste Schritt im Beweis von Satz I ist die Konstruktion einer Gs-Menge<br />
C C E, welche homoomorph zum Baire-Raum iNi'^ ist. Es geniigt nun, den Satz<br />
fiir C zu zeigen, weil fiir Teilmengen X von C die Borel-Klasse bzgl. C gleich<br />
der Borel-Klasse bzgl. E ist, und weil X Suslinsch bzgl. C ist genau dann, wenn<br />
X Suslinsch bzgl. E ist.<br />
Als Teilraum ist C nicht notwendig vollstandig (wie z.B. die irrationalen<br />
Zahlen in der von R ererbten Metrik), aber mit der Konstruktion von S. 182 ist<br />
C homoomorph zum Baire-Raum N"^ und damit vollstandig metrisierbar durch<br />
eine geeignete andere Metrik. V. K. /P. K.<br />
[90] (S. 183) Mengensystem OH = {C/i, C/2, • • •}<br />
Es wird benutzt, dafi die speziellen Umgebungen von S. 126 eine Basis der Topologie<br />
von C sind. V. K. /P. K.<br />
[91] (S. 183) Es sei A die Menge der x £ ^{x)<br />
Der Beweis beruht auf der Existenz universeller Mengen<br />
U = {{x,y)eCxC\xe^{y)}<br />
fiir die Klassen G^, d. h. dafi U eine G^-Menge ist, und dafi jede „eindimensionale"<br />
G^-Menge X C C ein „Schnitt"<br />
X = {xeC\ {x,yo)eU}<br />
von U fiir ein geeignetes yo E C ist. Universelle Mengen finden sich bereits in<br />
LEBESGUES Beweis des Existenzsatzes fiir Borelsche Mengen.<br />
Die Menge<br />
B = {xeC \x^ $(x)} = {xeC \ {x,x) ^ U}<br />
wird wie eine CANTORsche Diagonalmenge definiert. Dann ist B ^ $(x) fiir<br />
alle X G C, weil man sonst folgenden Widerspruch erhielte:<br />
X ^ B
(1) X ist eine Borelmenge;<br />
(2) X ist zugleich Suslin- und co-Suslinmenge;<br />
(3) X kann durch Anwendung der A-Operation (auf abgeschlossene Mengen)<br />
mit disjunkten Summanden erhalten werderi, mit anderen Worten, es gibt<br />
ein System abgeschlossener Mengen {Xu}ue^
Classical descriptive set theory, New York 1995, Theorem 7.3 wird der Beweis<br />
noch in ahnlicher Weise gefiihrt.<br />
A-Operation mit disjunkten Summanden werden an spaterer Stelle, etwa auf<br />
S. 211, benutzt, um Borelmengen als injektive Bilder topologisch einfacher Mengen<br />
darzustellen. V. K. /P. K.<br />
[94] (S. 187) Die Indizes<br />
Die hier definierte /nrfex-Funktion ordnet Elementen des Raums E Ordinalzahlen<br />
zu; derartige Funktionen werden in der modernen deskriptiven Mengenlehre<br />
auch als Normen oder Range bezeichnet. Die Wohlordnung der Ordinalzahlen<br />
induziert mittels der /ndea:-Funktion eine Prdwohlordnung von E: x ^<br />
y -^=^ Index(x) < Index(2/). Auf dem Komplement von A, der co-Suslinschen<br />
Menge E — A, sind die Vorgangermengen bzgl. der Prawohlordnung auf uniforme<br />
Weise Borelsch. Damit ist die Prdwohlordnungseigenschaft fiir co-Suslinsche<br />
oder n^-Mengen bewiesen, eine Fundamentaleigenschaft, aus der weitere deskriptive<br />
Eigenschaften co-Suslinscher Mengen folgen (s. A. KECHRIS, Classical<br />
descriptive set theory, New York 1995 §34.B).<br />
Die Definition des Indizes kann aus moderner Perspektive mit Hilfe von fundierten<br />
und nichtfundierten Bdumen beschrieben werden. Die Menge<br />
Ro{x) = {reuj
{Fr} und {F^} konnen zu derselben Suslinmenge A — A\ aber zu verschiedenen<br />
Folgen {A^} und {A'A von Borelschen Konstituenten fiihren. Weil jede<br />
Borelmenge B sowohl Suslin als auch co-Suslin ist, lafit B zwei Arten von Zerlegungen<br />
in Konstituenten zu, welche bemerkenswert verschiedene Eigenschaften<br />
haben; s. unseren Kommentar zu HAUSDORFFS nachgelassenen Anmerkungen<br />
zu Mengenlehre, Nr. [E], dieser Band, S.402.<br />
Indizes und Konstituenten gehen zuriick auf LusiN und SlERPlNSKi, Sur quelques<br />
proprietes des ensembles {A), Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie4 (1918), 35-48<br />
(Konstituenten von co-Suslinmengen) und SlERPlNSKi, Sur une propriete des<br />
ensembles (A), Fund. Math. 8 (1926), 362-369 (Konstituenten von Suslinmengen).<br />
Eine eher geometrische, aber im Grunde aquivalente Version der Indizes<br />
ergibt sich aus der LusiNschen Siebmethode; s. den Kommentar zu NachlaB<br />
HAUSDORFF, Fasz. 426, in diesem Band, S. 675. V. K. /P. K.<br />
[95] (S. 190) Fufinote<br />
Die Kardinalitatsaussage fiir co-Suslinmengen, oder nJ[-Mengen, stammt von<br />
SUSLIN und LUSIN. AUS der Darstellung einer co-Suslinmenge C als Vereinigung<br />
C =^ \J.^^^ B^ von Borelmengen B^ und dem Kardinalitatssatz flir Borelmengen<br />
von ALEXANDROFF und HAUSDORFF ergeben sich die Falle:<br />
- jedes B^ ist hochstens abzahlbar und damit<br />
card(C)
[96] (S. 191) Satz III<br />
Der zweite Teil des Satzes ist, wie HAUSDORFF im lO.Kapitel der 3. Auflage,<br />
S. 290 selber anmerkt, aquivalent zum Trennungssatz (fiir Suslinmengen):<br />
Sind A und C disjunkte Suslinmengen in einem voUstandigen separablen<br />
Raum E, dann gibt es eine Borelmenge C/, die A von C<br />
trennt, d. h. ^ C C/ und C H C/ = 0.<br />
In dieser Form wird der Satz bei N. LusiN, Sur les ensembles analytiques, Fund.<br />
Math. 10 (1927), 1-95, dort S.52, formuliert.<br />
Zum Nachweis der Aquivalenz uberprlift man zunachst durch eine einfache<br />
Induktion iiber die Borelsche Hierarchie, dafi jede Borelmenge B im Unterraum<br />
AuC von der Gestalt B = Un{AuC) mit einer Borelmenge U in E ist. Nach<br />
Satz III ist A Borelsch in AuC und daher A = U n{AuC) mit einer Borelmenge<br />
U in E. Dann ist A C U und C HU = 0. S. auch unseren Kommentar<br />
zu Fasz. 426 (iiber Trennungssatze) in diesem Band, S. 682. V. K. /P. K.<br />
[97] (S. 191) wenn S^S^ D 0 fiir jedes C, so ist AADO<br />
Diese Behauptung ist das Prinzip der Index-Restriktion^ welches gewohnlich<br />
folgendermafien formuliert wird:<br />
Index-Restriktion. Sei B = U^
erfiillt: man schreibe namlich B = {XQ, xi,..., x^^,..., x^,...}, ^ < Ui und<br />
setze Brj = {x^; ^ < rj}. Dann ist B = Ur7
[105] (S.211) SatzIII<br />
Der erste Teil des Satzes wurde bereits von LusiN, Sur la classification de<br />
M. Baire, Comptes rendus 164 (1917), 91-94 (s. Anm. [87]) gezeigt. Im hier<br />
vorliegenden Beweis induziert eine Darstellung<br />
^ = U ^nxOFnin^n...<br />
nin2...<br />
einer Suslinmenge A mit abgeschlossenen Argument en F, deren Durchmesser<br />
gegen 0 streben, mittels der Bedingung<br />
/(ni,n2,...) G Fn^ H ^^^2 H...<br />
eine stetige (partielle) Abbildung des Baireraums auf A. Wenn A Borelsch ist,<br />
so konnen die Summanden der 74-Operation nach Satz II in § 34 paarweise<br />
disjunkt gewahlt werden, wodurch die induzierte Punktion / injektiv wird. S.<br />
dazu auch Anm. [93]. V. K. /P. K.<br />
[106] (S. 212) Satz IV<br />
Der erste Teil des Satzes folgt direkt aus Satz II. Der zweite Teil beruht darauf,<br />
da6 Bilder von Funktionen auch Projektionen des Funktionsgraphen sind.<br />
Die Aussage iiber Suslinmengen stammt von SUSLIN, Sur une definition des ensembles<br />
measurables B sans nombres transfinis^ Comptes rendus Acad. Sciences<br />
Paris 164 (1917), 88-91, Theoreme IV (s. Anm. [84]). Borelsche Mengen lassen<br />
sich als Bilder injektiver Funktionen darstellen. Die Injektivitat bedeutet, dafi<br />
die Funktionsgraphen P C X xY uniform sind, d. h. fiir jedes x e X gibt es<br />
hochstens ein y ^Y mit (x, y) G P. Damit ist jede Borelmenge in R^ Projektion<br />
einer uniformen Gs-Menge in R""^^ -= IR"" x IR. V. K. /PK.<br />
[107] (S. 213) Satz I<br />
Die Schwierigkeiten, diesen Satz und den darauf aufbauenden Satz II fiir abgeschlossene<br />
Mengen statt fiir offene Mengen zu zeigen, wird durch eine einfache<br />
Uberlegung aus dem Nachlafi HAUSDORFF, Fasz. 260 deutlich. Es sei<br />
A = X = Y = R, und 5 C y sei das offene Intervall (0,1). (p sei ein ordnungserhaltender<br />
Homoomorphismus von IR auf B mit ip{n) = 1 — ^ fiir alle n,<br />
Setze Pn — [n, 4-oo). Dann ist (p{Pn) = [1 ~ ~51)? ^^^ j^^^ ^^ ^n korrespondierende<br />
abgeschlossene Menge Qn ^ [1 — ^,1) mu6 1 enthalten. Dann aber<br />
ist<br />
n n<br />
V.K./P.K.<br />
[108] (S. 214) wachsender natilrlicher Zahlen<br />
Fiir den Beweis von Satz I ist es essentiell, streng wachsende Folgen von Indizes<br />
zu betrachten. Ware namlich TV = {iy} mit i/ = (1,1,1,...), so ware<br />
386
$(Pi, P2, Ps, • • •) = Pi, und man konnte das Argument des vorliegenden Satzes<br />
auf alle offenen Mengen anwenden. Diese aber werden nicht unter beliebigen<br />
Homoomorphismen erhalten: z. B. ist das Einheitsintervall [0,1] offen im polnischen<br />
Raum [0,1] und nicht offen im polnischen Raum IR. V. K. /P. K.<br />
[109] (S. 214) Satz II<br />
Dieser Satz geht auf W. SIERPINSKI, Sur les ensembles mesurables B, Comptes<br />
rendus Acad. Sci. Paris 171 (1920), 24-26 zuriick. Ohne Verwendung des<br />
Begriffs „absolut" besagt der Satz:<br />
Eine Teilmenge X eines vollstdndigen Raumes A sei topologisch homoomorph<br />
zur Teilmenge Y eines metrischen Raumes B. Wenn K eine der Klassen G^,<br />
^ > 1 oder aber die Klasse der Suslinmengen ist, und wenn X ein K in A ist,<br />
dann ist Y ein K in B. Also sind die Borelschen Klassen G^, ^ > 1 ebenso wie<br />
die Klasse der Suslinmengen topologisch absolut (s. Anm. [58]).<br />
Ein entsprechendes, aber tiefer liegendes Result at liber die Klassen F^ liefert<br />
Satz II* aufS. 218. V.K./P.K.<br />
[110] (S.214) Satz III<br />
In [H 1924], dieser Band, S. 443-453 beweist HAUSDORFF diesen Satz in der<br />
pragnanten Form: „ Jede Menge Gs in einem voUstandigen Raum ist mit einem<br />
vollstandigen Raum homoomorph". Letzteres ist dazu aquivalent, da6 die Menge<br />
eine vollstdndige Metrik besitzt, die mit ihrer Topologie vertraglich ist. Zuvor<br />
hatte ALEXANDROFF, Comptes rendus Acad. Sci. Paris 178 (1924), 185-187,<br />
dieses Resultat fiir den separablen Fall bewiesen.<br />
Die Eigenschaft „X ist Gs-Menge in einem vollstandigen metrischen Raum"<br />
ist eine innere topologische Eigenschaft von X und hangt nicht von dem umgebenden<br />
vollstandigen Raum ab. Diese innere Eigenschaft ist gerade die vollstdndige<br />
Metrisierbarkeit Z. B. ist die Gs-Menge / C IR aller irrationalen Zahlen,<br />
die in der Metrik von IR nicht vollstandig ist, dennoch voUstandig metrisierbar.<br />
Sie ist homoomorph zum vollstandigen B aire-Raum !N=IH'^(S. §37 der Mengenlehre).<br />
V.K./P.K.<br />
[Ill] (S.216) Satz IV<br />
Dieses „Theoreme fondamental" von M. LAVRENTIEFF, Contribution a la theorie<br />
des ensembles homeomorphes, Fund. Math. 6 (1924), 149-160, kann auch<br />
folgendermafien formuliert werden:<br />
Sind A und B voUstandige metrische Raume, dann kann jeder Homoomorphismus<br />
zwischen Mengen X C A und Y C B zn einem Homoomorphismus<br />
zwischen Mengen X^ und Y' erweitert werden, wobei X C X^ C A^Y CY' C B<br />
und X\ Y' jeweils Gs-Mengen in A bzw. B sind. V. K. /P. K.<br />
[112] (S.218) Satz II*<br />
Satz II * stammt von LAVRENTIEFF, als KoroUar zum Erweiterungssatz IV, s.<br />
die in der vorigen Anm. zitierte Arbeit. Somit sind alle Borelschen Klassen,<br />
beginnend mit Gs, sowie die Klasse aller Borelmengen und die Klasse aller<br />
387
Suslinmengen topologisch absolut. Demgegeniiber sind die Klassen F, Fa und<br />
G nicht topologisch absolut, denn man kann recht einfach eine Menge Y in<br />
einem voUstandigen metrischen Raum B angeben, die nicht F^ in 5 ist, aber<br />
homoomorph mit einer abgeschlossenen (oder offenen) Teilmenge eines anderen<br />
voUstandigen metrischen Raumes ist. V. K. /P. K.<br />
[113] (S.219) Einfache Kurven<br />
S. dazu auch den Artikel Hausdorffs Studien iiber Kurven, Bogen und Peano-<br />
Kontinua, dieser Band, S. 798-839. H. H. /M. H. /G. R<br />
[114] (S.226) Topologische Rdume<br />
Zur historischen Bedeutung der im § 40 von HAUSDORFF gegebenen Ubersicht<br />
s. die historische Einfiihrung in diesem Band, S. 16. W. P.<br />
[115] (S. 232) Funktionen und Urbildmengen<br />
Der Inhalt von §41 ist weitgehend eine verbesserte und aktualisierte Version<br />
von HAUSDORFFS Arbeit Uber halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung<br />
[H 1919d], kommentiert im Band IV dieser Edition von S. D. CHATTERJI<br />
(S. 97-103). CHATTERJIS Kommentar konzentriert sich auf topologische und die<br />
Theorie der reellen Funktionen betreffende Aspekte, so da6 wir uns in den folgenden<br />
Anmerkungen auf die Sicht der deskriptiven Mengenlehre beschranken<br />
konnen. V. K. /P. K.<br />
[116] (S. 233) Lebesgueschen Mengen<br />
Definition (1) stammt aus H. LEBESGUE, Sur les fonctions representable analytiquement,<br />
Journ. de Math. (Ser. 6) 1 (1905), 139-216. V.K./P.K.<br />
[117] (S.234) Werte ±oo<br />
Fiir die meisten hier behandelten Probleme diirfte die Zulassung der formalen<br />
Werte ±oo zu keinen wirklichen Schwierigkeiten fiihren, denn durch Komposition<br />
mit einem ordnungserhaltenden Homoomorphismus von IR auf das offene<br />
Intervall (—1,1) C IR wird eine reelle Funktion mit endlichen Werten kanonisch<br />
in eine reelle Funktion mit Werten in (—1,1) iiberflihrt sowie eine Funktion mit<br />
Werten in [—oo, -foo] in eine solche mit Werten in [—1,1]. V. K. /P. K.<br />
[118] (S. 234) obere und untere Limes<br />
In einer nachgelassenen Studie (Fasz. 425, dieser Band, S.613) werden diese<br />
Operationen ausfiihrlicher betrachtet. S. dazu auch HAUSDORFFS nachgelassene<br />
Anmerkungen zur Mengenlehre (Nr. [G] zu S. 237, dieser Band, S.404).<br />
V.K./P.K.<br />
[119] (S.235)<br />
Hier muB es richtig heifien: „die gn sind Funktionen Z^-, lim/^ also ein fas''- In<br />
der Auflage von 1927 ist die Stelle korrekt. W. P.<br />
388
[120] (S. 235) Klasse (M, N)<br />
1st die Funktion f : A ^^ R von der Klasse (M, AT"), dann liegen die Mengen<br />
[/ < y] und [/ < y] in den komplementaren Klassen M^ = {A- X\X e M}<br />
bzw. A^^ = {A — X|X G N}. Wenn M und N zueinander komplementdr sind,<br />
d. h. N^ = M, dann sind alle Mengen [/ > y] und [/ < y] Mengen M. Wenn<br />
die Mengen M zudem einen a-Ring bilden, so ist das /-Urbild einer offenen<br />
Teilmenge von IR stets ein M. Das bedeutet in moderner Terminologie, dafi /<br />
Tl-mefibar ist, wobei M die Klasse der Mengen M ist (A. S. KECHRIS, Classical<br />
descriptive set theory, New York 1995, § 24A). Beispielsweise sind stetige<br />
Funktion von der Klasse (G, F) mit den komplementaren Klassen G und F<br />
der offenen bzw. abgeschlossenen Mengen, daher ist Stetigkeit dasselbe wie<br />
G-MeBbarkeit.<br />
Meistens arbeitet HAUSDORFF mit zueinander komplementaren Klassen M<br />
und N (s. z. B. S. 238), aber es gibt interessante andere Falle. Auf S. 236 ff werden<br />
durch Limesbildungen Mengen von Funktionen definiert, die i. a. nicht<br />
durch (M, N) mit komplementaren M und N beschrieben werden (siehe Anm.<br />
[121]). In Fasz.532, dieser Band, S. 715-717 betrachtet HAUSDORFF die Funktionenklasse<br />
(5, S) mit der nicht selbstkomplementaren Klasse S der Suslinmengen.<br />
Sind M und N nicht wechselseitig komplementar, dann ist die Funktionenklasse<br />
(M, N) i. a. nicht abgeschlossen gegeniiber der Transformation / i—> —f<br />
und nicht durch eine MeBbarkeitseigenschaft charakterisierbar. V. K. /P. K.<br />
[121] (S. 236) Erweiterung gewohnlicher Systeme<br />
HAUSDORFF studiert hier die Beziehungen zwischen der deskriptiven Theorie<br />
der Funktionen und der deskriptiven Theorie der Mengen, die in der Mengenlehre<br />
im Vordergrund steht und sich auch historisch gegeniiber der „Funktionenlehre"<br />
durchgesetzt hat. Abzahlbaren Limesoperationen von Funktionen<br />
entsprechen bei den Urbildmengen abzahlbare Durchschnitte und Vereinigungen.<br />
Diese Beobachtungen fiihren im weiteren Verlauf zu direkten Parallelen<br />
zwischen den Baireschen Funktionenklassen und der Borelhierarchie.<br />
Ein typischer Fall, den HAUSDORFF schon in [H 1919d] betrachtet hat, ist<br />
der eines gewohnlichen Funktionensystems ^ mit Definitionsbereich A, bei dem<br />
die Klasse der Lebesgueschen Urbildmengen<br />
[/>2/] = {r'((2/,+oo))|/e^,j/eR}<br />
gleich der Borelschen Klasse S^ auf A ist, fiir ein a < uji. Wenn dann g^* das<br />
System aller Funktionen ist, die punktweiser Limes einer Folge aus ^ sind, so<br />
ist<br />
[r > 2/] - {(r)-^((2/,+oo))ir er,yeR} = s^i. V.K./P.K.<br />
[122] (S. 237)<br />
Es mufi hier statt
[123] (S.243) Einschiebungssatz<br />
Fiir ein gewohnliches Funktionensystem ^ wird hier also gezeigt:<br />
Wenn g punktweiser Limes einer aufsteigenden Folge aus ^ und h<br />
Limes einer absteigenden Folge aus ^ ist, so da6 liberall g > h, so<br />
gibt es eine Funktion A:, die zugleich Limes einer aufsteigenden als<br />
auch einer absteigenden Folge aus ^ ist, mit g > k > h.<br />
Satz XIII verallgemeinert den Einschiebungssatz von [H 1919d], der auf Vorarbeiten<br />
von BAIRE und HAHN aufbaut (s. [H 1919d]). W. SIERPINSKI benutzte<br />
in Sur une propriete des ensembles ambigus, Fund. Math. 6 (1924), 1-5, den<br />
Einschiebungssatz, um einen Einschiebungssatz fiir Borelmengen zu beweisen,<br />
der im wesentlichen ein Trennungssatz ist. Ein expliziter Trennungssatz fiir<br />
Borelmengen wurde zuerst von M. LAVRENTIEFF formuliert und mit einer Beweisskizze<br />
in Sur les sous-classes et la classification de M. Baire, Comptes<br />
rendus Acad. Sci. Paris 180 (1925), 111-114, veroffentlicht (s. auch Anm. [96]).<br />
In der im folgenden skizzierten allgemeinen Form findet sich der Trennungssatz<br />
wahrscheinlich erstmals in HAUSDORFFS nachgelassenen Noten der friihen 30-er<br />
Jahre (wie z. B. in Fasz. 1064, dieser Band, S. 592-596).<br />
^ = (9Jl, OT) bezeichne die Klasse aller Funktionen / : A ^^ IR, so daB die<br />
Lebesgueschen Urbildmengen [/ > y], [/ > y] fiir beliebiges y e R zuTl resp.<br />
^ gehoren. Seien & und S^ die Funktionensysteme, die aus den Limit es von<br />
wachsenden bzw. fallenden Folgen aus ^ bestehen. HAUSDORFF verwendet die<br />
Bezeichnungen g und h fiir Elemente von 0 bzw. S^. Nun betrachte man eine<br />
Menge X in ^5 und ein Y in 9Jlo- mit X C Y. Weil X ein (absteigender)<br />
Durchschnitt von Mengen aus ^ ist, liegt die charakteristische Funktion h von<br />
X als fallender Limes von Funktionen aus ^ in der Klasse S^. Dementsprechend<br />
liegt die charakteristische Funktion g von Y in (&. Wegen X CY gilt liberall<br />
h < g, und nach dem Einschiebungssatz gibt es eine Funktion k ^ (3 Ci S^ mit<br />
h < k < g. Die Menge Z = [k > ^] gehort dann zu dJlfj D ^5 und es ist<br />
X CZ CY.<br />
Vertauscht man noch Y mit seinem Komplement Y', so erhalt man den Trennungssatz<br />
fiir 0^5-Mengen: sind X und Y' disjunkte Mengen in 9^6, dann gibt<br />
es eine Menge Z eTl^n ^5, so dafi X C Z und Y' ilZ = 0.<br />
V.K./P.K.<br />
[124] (S. 248) halbstetig<br />
Die Begriffe oberhalb stetige Funktion {semi-continues superieurement) und unterhalb<br />
stetige Funktion (inferieurement) hat R. BAIRE in seiner Dissertation<br />
Sur les fonctions de variables reelles, Ann. di Matematica 3 (1899), 1-122, dort<br />
S. 6, eingefiihrt. V.K./P.K.<br />
[125] (S. 255) Theorem von R. Baire<br />
Stetige Funktionen / : X ^ [R sind von der Klasse (G,F). Funktionen der ersten<br />
(Baireschen) Klasse sind punktweise Limites stetiger Funktionen und von<br />
der Klasse (Fa, G^). Satz VIII liefert eine von der Limesbildung unabhangige<br />
390
Charakterisierung dieser Funktionenklasse fiir Fn-Raume X; dies ist z.B. der<br />
Fall, wenn X voUstandig ist. Im Kern geht dieses Resultat auf BAIRES Dissertation<br />
(s. vorige Anm.) zuriick; s. auch Anm. [96] zu Grundziige der Mengenlehre,<br />
Band II dieser Edition, S. 615. V. K. /P. K.<br />
[126] (S. 257) g = lim^^, gi = limgik, gik = lim^fi^/, • • •<br />
i k I<br />
Dieses Definitionsschema laBt sich als rekursives Schema entlang eines wohlfundierten<br />
Baums T C N"^ mit folgenden Eigenschaften interpretieren: (a) die leere<br />
Folge A ist ein Elemente von T (die Wurzel von T); (b) wenn t eine Folge in T<br />
ist, so gehort auch jedes Anfangsstlick von t zu T; (c) wenn t eine Fortsetzung<br />
in T hat („t ist kein Blatt von T"), dann gehort jede einelementige Erweiterung<br />
t^/c, A: G IH zu T; (d) T ist wohlfundiert, d. h. es gibt keinen unendlichen Pfad<br />
durch T. Es sei weiterhin jedem t E T eine Funktion gt : A ^^ R zugeordnet<br />
mit: (e) wenn t ein Blatt von T ist, so gehort gt zu dem vorgegebenen Anfangssystem<br />
{/} von Funktionen; (f) fiir jedes andere t ^ T ist gt = lim gt/^kk—^oo<br />
Durch Induktion liber den wohlfundierten Baum folgt, dafi jedes gt und insbesondere<br />
die „Wurzelfunktion" g — g^ ZM dem von {/} erzeugten Baireschen<br />
Funktionensystems $ gehort. Umgekehrt hat jede Funktion in $ eine solche<br />
Baumdarstellung. V. K. /P. K.<br />
[127] (S. 258) Bairesche Funktionenklasse<br />
Die Baireschen Funktionen werden von KuRATOW^SKl in seiner Topology /,<br />
New York 1966, § 31.IX mit Blick auf LEBESGUES Arbeit Sur les fonctions<br />
representable analytiquement, Journ. de Math. (Ser. 6) 1 (1905), 139-216,<br />
auch analytisch reprdsentierbare Funktionen genannt. Die Klasse der Baireschen<br />
Funktionen wird in der Literatur gelegentlich auf unterschiedliche Weise<br />
hierarchisiert, so da6 bei der Ubertragung von Ergebnissen Vorsicht geboten<br />
ist. HAUSDORFF definiert die Klasse ^^ fiir Limesindizes rj als das kleinste<br />
vollstdndige Funktionensystem, welches [J^^j. ^^ umfafit (hier geniigt die Abgeschlossenheit<br />
beziiglich Limites gleichmafiig konvergenter Folgen). Demgegeniiber<br />
setzt KURATOWSKI einfach $"? = \J^
[130] (S. 262) Wir zeigen nun nach N. Lusin<br />
Eine Menge L reeller Zahlen, welche stets von erster Kategorie ist (d. h. L Pi P<br />
ist fiir jedes perfekte P von erster Kategorie in P), wurde von LusiN in Sur<br />
Vexistence d^un ensemble non-denombrable qui est de premiere categorie dans<br />
tout ensemble parfait^ Fund. Math. 2 (1921), 155-157, ahnlich wie hier durch<br />
eine transfinite Konstruktion definiert. In einer spateren Note in Comptes rendus<br />
Acad. Lincei 7 (1928), 214-215, haben LusiN und SIERPINSKI gezeigt, dafi<br />
man eine solche Menge auch erhalt, wenn man aus jeder Konstituente einer<br />
gegebenen nicht-Borelschen co-Suslinmenge (s. Anmerkung [94]) einen Punkt<br />
auswahlt. V. K. /P. K.<br />
[131] (S.264) C = N-M^[f = y]<br />
Die Menge C ist aus heutiger Sicht einfach der Graph Tf = {(x, f{x))\x G A}<br />
der Funktion /. In der Theorie ZFC wird eine Funktion generell mit ihrem<br />
Graphen identifiziert. V. K. /P. K.<br />
[132] (S. 265) Satz VIII (und Satz VII vorige Seite)<br />
Zusammen besagen die beiden Satze: Eine reelle Abbildung f : A —^ R auf<br />
einer Suslinmenge in einem polnischen Raum ist genau dann Bairesch, wenn<br />
ihr Graph Tf eine Sushnmenge in A x IR ist. Wenn dariiber hinaus A Borelsch<br />
in dem umgebenden polnischen Raum ist, so ist / genau dann Bairesch, wenn<br />
Tf Borelsch in A x [R ist. Mit den auf Definitionskomplexitaten aufbauenden<br />
Techniken der modernen deskriptiven Mengenlehre ist letzteres schnell gezeigt.<br />
Suslinmengen werden durch 5]}-Definitionen charakterisiert. Es sei<br />
/(a) = y 4=^ 32; G IR (p{a, y, z)<br />
eine XlJ-Definition von F/, wobei in ^p nur Quantoren iiber natiirliche Zahlen<br />
vorkommen. Dann ist<br />
/(a) ^y
[134] (S.267) Klasse{M,N)<br />
HAUSDORFF verallgemeinert nun die Betrachtungen von reellwertigen Funktionen<br />
zu Funktionen f : X -^ Y m beliebige topologische Raume Y, Die<br />
Baireschen Funktionenklassen ^^ werden nur fiir Ordinalzahlen i < u)i definiert,<br />
die keine Limesordinalzahlen sind, denn im reellwertigen Fall hatte HAUS<br />
DORFF dort unter gleichmaBigen Limites abgeschlossen, die hier i. a. nicht zur<br />
Verfiigung stehen (zur Frage der Limesstufen s. auch Anm. [127]).<br />
V.K./RK.<br />
[135] (S. 268) Satz XII<br />
HAUSDORFF definiert das System $ der Baireschen Funktionen im allgemeinen<br />
Fall genauso wie fiir reelle Funktionen. Allerdings lafit sich Satz XII, der eine<br />
Verbindung zwischen den Baireschen Klassen und den Borelmengen des Definitionsraums<br />
herstellt, im Gegensatz zum reellen Fall nicht umkehren. HAUS<br />
DORFF gibt als Gegenbeispiel den Fall / : A -^ {0,1} mit einem mehrpunktigen<br />
zusammenhangenden Raum A an. In Nachtrag D zur Mengenlehre, S. 299<br />
verweist HAUSDORFF auf einen Vorschlag von BANACH, den Anfang der Baireschen<br />
Hierarchic zu modifizieren. Tatsachlich gilt mit dieser Modifikation,<br />
daB die Baireschen und die Borel-mefibaren Funktionen iibereinstimmen, sogar<br />
mit einer gewissen Korrespondenz zwischen den Stufen der beiden Klassifikationsschemata<br />
(KuRATOWSKi, Topology /, New York 1966, §31.IX). HAUSDORFF<br />
iibertragt auch einige andere grundlegende Resultate aus der Theorie der reellen<br />
Funktionen auf Bairesche Abbildungen in einen beliebigen polnischen Raum.<br />
V.K./P.K.<br />
[136] (S. 269)<br />
Hier mu6 es anstatt (p = linir- (ppqr richtig heifien: (ppq = limr ^pqr-<br />
VK./P.K.<br />
[137] (S.274) g{x) = supyf{x,y)<br />
HAUSDORFF betrachtet diese Transformation genauer in Fasz. 532 (dieser Band,<br />
S. 715-717). Es zeigt sich, dafi Funktionen g, die auf diese Weise aus Baireschen<br />
Funktionen entstehen, eine umfangreiche Funktionenklasse bilden, welche durch<br />
die Forderung charakterisiert ist, da6 alle Lebesgueschen Urbildmengen der<br />
Form [g > c] Suslinmengen sind. V. K. /P. K.<br />
[138] (S. 276) Diskrepanz<br />
Die HAUSDORFFsche Diskrepanz [A, B] = {A\B)U {B\ A) heifit heute symmetrische<br />
Differenz und wird mit AAB bezeichnet. V. K. /P. K.<br />
[139] (S. 277) Modul<br />
Was HAUSDORFF einen Modul nennt, nennt man heute ein Ideal (von Mengen).<br />
Entsprechend ist ein a-Modul ein a-Ideal V. K. /P. K.<br />
393
[140] (S. 280) (5-Menge<br />
Statt der Bezeichnung „/3-Menge" folgt man heute eher HAUSDORFFS alternativer<br />
Bezeichnung „genuge der Baireschen Bedingung" und spricht von einer<br />
Menge mit der Baireschen Eigenschaft {having the Baire property), s. A. S.<br />
KECHRIS, Classical descriptive set theory, New York 1995, 8.F. Der Begriff<br />
geht auf R. BAIRE, Sur les fonctions de variables reelles, Ann. di Matematica<br />
3 (1899), 1-122, zurlick. Mengen mit der Baireschen Eigenschaft nannte LE-<br />
BESGUE ensembles Z {Sur les fonctions representable analytiquement, Journ.<br />
de Math. (Ser. 6) 1 (1905), 139-216, dort S. 186). H. HAHN nannte sie in Reelle<br />
Funktionen, Leipzig 1932, offene Mengen bis auf eine Menge erster Kategorie,<br />
HAUSDORFF definiert eine /?-Menge als eine Menge X, die kongruent ist mit<br />
einer ofFenen oder einer abgeschlossenen Menge Y. Es genligt jedoch, in dieser<br />
Definition nur offene (wie in der modernen Standarddefinition) oder nur abgeschlossene<br />
Mengen zu betrachten. Wenn namhch F = GQC der AbschluB einer<br />
offenen Menge G oder aber G — Fi der offene Kern einer abgeschlossenen Menge<br />
F ist, dann ist die Differenz F\G nirgends dicht und folghch ist eine Menge<br />
X kongruent mit F genau dann, wenn sie kongruent mit G ist. V. K. /P. K.<br />
[141] (S.280) Fufinote 1<br />
Dafi das System der /3-Mengen abgeschlossen unter der A-Operation ist und<br />
somit ein Sushnsches System bildet, wurde in LusiN, Sur la classification de M.<br />
Baire, Comptes rendus Acad. Sci. Paris 164 (1917), 91-93, angeklindigt und<br />
in LusiN und SlERPlNSKi, Sur quelques proprietes des ensembles {A), Bull. Int.<br />
Acad. Sci. Cracovie 4 (1918), 35-48, bewiesen. HAUSDORFF verweist in seiner<br />
Anmerkung zu S.280 auf O. NiKODYM, Sur une propriete de Voperation A,<br />
Fund. Math. 7 (1925), 149-154, der wiederum auf LusiN und SIERPINSKI verweist.<br />
V. K. /P. K.<br />
[142] (S.280) FuBnote2<br />
Die „weitgehende Analogic" zwischen den Lebesgue-mefibaren Mengen und<br />
den /^-Mengen, die HAUSDORFF konstatiert, wird in J. C. OxTOBY, Measure<br />
and Category - A Survey of the Analogies between Topological and Measure<br />
Spaces, Springer, 1971, umfassend dargestellt. Mafi- und kategorientheoretische<br />
Aussagen A lassen sich formal durch Austausch von Wortern wie „me6bar",<br />
„Nullmenge", usw. gegen „hat die Bairesche Eigenschaft", „mager", usw. zu<br />
Aussagen A^^^^ dualisieren. Measure and Category enthalt zahlreiche Paare<br />
zueinander dualer Theoreme. Dieses Phanomen wird durch die Dualitdtssdtze<br />
von W. SIERPINSKI, Hypothese du continu, Warschau, 1934, dort Proposition<br />
C25 (darauf verweist HAUSDORFF in seiner FuBnote) und von P. ERDOS, Some<br />
remarks on set theory, Ann. of Math. (2. Ser.) 44 (1943), 643-646, zumindest<br />
teilweise begriindet:<br />
Unter der Kontinuumhypothese gibt es eine Bijektion / : IR ^^ IR<br />
mit /-I = /, so da6 fiir alle A C IR gilt:<br />
A ist eine NuUmenge 4=> f{A) ist mager,<br />
394
und<br />
A ist mager f{A) ist eine NuUmenge.<br />
Hieraus ergibt sich ein Dualitdtsprinzip fiir Satze A, in denen mengentheoretische<br />
Aussagen (wie z.B. Inklusions- oder Kardinalitatseigenschaften) iiber<br />
NuUmengen und magere Mengen gemacht werden, jedenfalls unter der Kontinuumhypot<br />
hese:<br />
A ist zu der dualen Aussage A^^^^ aquivalent.<br />
E. SzPiLRAJN zeigte aber in seinen Remarques sur les fonctions completement<br />
additives d^ensemble et sur les ensembles jouissant de la propriete de Baire,<br />
Fund. Math. 22 (1934), 303-311, dafi sich diese Methode nicht so erweitern<br />
laBt, dafi die Abbildung f : R ^^ R aufierdem mefibare Mengen in Mengen mit<br />
der Baire-Eigenschaft und umgekehrt iiberfiihrt. Er fafit sein Ergebnis in der<br />
(technisch wohldefinierten) Aussage zusammen: „Les classes B et L ne sont pas<br />
semblables."<br />
Neuere mengentheoretische Untersuchungen haben gezeigt, dafi es ungeachtet<br />
der elementaren Duahtaten erhebhche Asymmetrien zwischen Mafi und Kategorie<br />
gibt, insbesondere im Bereich der projektiven Mengen reeller Zahlen.<br />
R. M. SOLOVAY konstruierte in A model of set-theory in which every set of reals<br />
is Lebesgue measurable, Ann. of Math. 92 (1970), 1-56, ein Modell von ZFC,<br />
in dem alle projektiven Mengen reeller Zahlen mefibar sind und die Bairesche<br />
Eigenschaft besitzen. Die wesentliche kombinatorische Voraussetzung der So-<br />
LOVAYschen Konstruktion ist eine unerreichbare Kardinalzahl, deren Existenz<br />
aber nicht in ZFC bewiesen werden kann. S. SHELAH zeigte dann in Can you<br />
take Solovay's inaccessible away?, Israel J. Math. 48 (1984), 1-47, dafi diese<br />
Prage fiir Mafi und Baire-Eigenschaft in verschiedener Weise zu beantworten ist:<br />
fiir die Mefibarkeit aller projektiven Mengen sind die unerreichbaren Kardinalzahlen<br />
unvermeidlich, sogar fiir die Mefibarkeit aller Sg-Mengen, aber Modelle,<br />
in denen alle projektiven Mengen die Baire-Eigenschaft besitzen, konnen ohne<br />
unerreichbare Kardinalzahlen konstruiert werden.<br />
J. RAISONNIER und J. STERN entdeckten eine noch deutlichere Asymmetrie:<br />
die Lebesgue-Mefibarkeit aller 5]2-Mengen reeller Zahlen impliziert, dafi alle<br />
5]2-Mengen reeller Zahlen die Bairesche Eigenschaft haben, aber nicht umgekehrt<br />
(J. RAISONNIER U. J. STERN, The strength of measurability hypotheses,<br />
Israel J. Math. 50 (1985), 337-349; J. STERN, Regularity properties of definable<br />
sets of reals, Ann. Pure Appl. Logic 29 (1985), 289-324). Der Vollstandigkeit<br />
halber sei ferner erwahnt, dafi Mefibarkeit und die Baire-Eigenschaft fiir die<br />
kleinere Klasse A2 von ZFC und auch untereinander unabhangig sind, und<br />
dafi alle Suslinmengen (5]{) und co-Suslinmengen (11}) Lebesgue-mefibar sind<br />
und die Baireeigenschaft haben. V. K. /P. K.<br />
[143] (S. 282) Modul dJlo der nirgendsdichten Mengen<br />
Die HAUSDORFFsche Klasse N der ao-Mengen {= /3o-Mengen) wurde auch von<br />
KuRATOWSKi, Topology I, New York 1966, Ch. I, § 8.V, betrachtet.<br />
V.K./P.K.<br />
395
[144] (S. 284) Satz IV<br />
Nach diesem Satz ist im separablen Fall eine Punktion genau dann eine (3-<br />
Funktion, wenn sie Baire-mefibar ist, d. h. da6 Urbilder offener Mengen die<br />
Bairesche Eigenschaft haben. V. K. /P. K.<br />
[145] (S. 288) p'^-Mengen<br />
Das System derjenigen Mengen, die auf jeder perfekten Menge die Bairesche<br />
Eigenschaft haben, enthalt z.B. alle Mengen, die stets von erster Kategorie<br />
sind (s. Anm. [130]) und deren Komplemente. V. K. /P. K.<br />
[146] (S. 289) Halbschlichte Abbildungen<br />
Halbschlichte Abbildungen werden heute auch als a;-1-Abbildungen bezeichnet,<br />
weil das Urbild eines jeden Punktes hochstens abzahlbar ist. In § 46 werden<br />
einige Resultate aus LusiN, Legons sur les ensembles analytiques, Paris<br />
1930, Kap. Ill, verallgemeinert; halbschlichte Abbildungen heifien dort semireguliere.<br />
V. K. /P. K.<br />
[147] (S. 290) sind zwei disjunkte Suslinsche Mengen trennbar<br />
Vergl. den Trennungssatz III, S. 191, der mit Hilfe der Ordinalzahlen gezeigt<br />
wurde, sowie die Anm. [96] und [97]. Zur Elimination der Ordinalzahlen aus<br />
Argumenten der deskriptiven Mengenlehre schreibt HAUSDORFF auf S. 164:<br />
Die Theorie der Wohlordnung, urspriinglich von CANTOR gerade ftir<br />
Zwecke der Punktmengenlehre ausgebildet, ist spater von dieser Mission<br />
etwas zuriickgedrangt worden (nicht immer aus billigenswerten Motiven),<br />
[...] . Indessen gibt es doch Falle, wo die Ordnungszahlen zurzeit unentbehrlich<br />
[...] sind.<br />
Unser Kommentar zu Fasz. 426, dieser Band, S. 682-684, geht auf weitere Resultate<br />
aus den friihen 30-er Jahren ein, die mit dem Trennungssatz verwandt<br />
sind. V. K. /P. K.<br />
[148] (S. 290) B-Mengen, S-Mengen<br />
HAUSDORFF hat auch an anderer Stelle die Bezeichnungen B-Mengen und S-<br />
Mengen benutzt, etwa in Fasz. 1060. V. K. /P. K.<br />
[149] (S. 294) Satz III<br />
Um Schwierigkeiten bei der Definition der Baireschen Funktionen zwischen allgemeinen<br />
topologischen Raumen zu umgehen, empfiehlt es sich, die Funktionen<br />
hier als Borel-mefibar aufzufassen, d. h. dafi Urbilder offener Mengen Borelsch<br />
sind (s. auch Anm. [135]).<br />
Satz III wurde zuerst von P. NOVIKOFF, Sur les fonctions implicites mesurables<br />
B, Fund. Math. 17 (1931), 8-25, dort S. 13, fiir Projektionen von Borelmengen<br />
gezeigt, deren Schnitte in Projektionsrichtung hochstens abzahlbar<br />
sind. Dieses Resultat erscheint schon friiher (mit einem Verweis auf NoviKOv)<br />
396
in LusiNs Legons sur les ensembles analytiques, Paris 1930, dort S. 178.<br />
V.K./RK.<br />
[150] (S. 296) Satz V<br />
In LusiNs Legons sur les ensembles analytiques, Paris 1930, S. 243, erscheint<br />
der Satz in einer aquivalenten „georQetrischen" Form als Spaltungssatz:<br />
Seien X und Y polnische Raume. Dann ist jede Borelmenge P C X x Y<br />
mit hochstens abzahlbaren Schnitten eine abzahlbare Vereinigung uniformer<br />
Borelmengen.<br />
Ein Schnitt einer Menge P C X xF ist eine Menge der Form Px = {y\{x,y) G<br />
P} C y, fiir X G X. Eine Menge P C X x Y ist uniform, wenn jeder Schnitt<br />
Px hochstens einen Punkt enthalt; eine uniforme Menge ist der Graph einer<br />
partiellen Funktion von X nach Y. Die Projektion von P ist die Menge pr P =<br />
{x G X\{x,y) G P}; wenn P eine partielle Funktion ist, so ist prP auch der<br />
Definitionsbereich dieser Funktion.<br />
Borelmengen mit hochstens abzahlbaren Schnitten besitzen weitere bemerkenswerte<br />
Eigenschaften. Im Gegensatz zu beliebigen Borelmengen konnen sie<br />
z. B. durch Borelmengen uniformisiert werden:<br />
1st P C X xY eine Borelmenge mit hochstens abzahlbaren Schnitten, dann<br />
gibt es eine uniforme Borelmenge Q C. P mit<br />
prQ-prP.<br />
Siehe LusiN, Legons sur les ensembles analytiques, Paris 1930, oder Novi-<br />
KOFF, Sur les fonctions implicites mesurables B, Fund. Math. 17 (1931), 8-25.<br />
Eine Beweismoglichkeit flir die Uniformisierung besteht darin, P in abzahlbar<br />
viele uniforme Borelmengen zu spalten und aus diesen partiellen Funktionen<br />
auf Borelsche Weise eine Funktion zu kombinieren, die flir alle Elemente von<br />
prP definiert ist.<br />
Der oben zitierte Spaltungssatz gehort zu einer Reihe von interessanten Spaltungssdtzen<br />
{splitting theorems) von folgendem Typ: Sei K eine Mengenklasse<br />
und K^ das System der abzahlbaren Vereinigungen von Mengen aus K.<br />
Dann ist jede Borelmenge mit Schnitten in K^j eine abzahlbare Vereinigung<br />
von Borelmengen mit Schnitten in K. Fiir die Klasse K — l^ aller kompakten<br />
Mengen (in polnischen Raumen) gibt es Spaltungssatze von V. ARSENIN,<br />
Sur la nature des projections de certains ensembles mesurables B, Bull. Acad.<br />
Sci. URSS Ser. Math. 4 (1940), 403-410, und K. KuNUGUi, Contribution a<br />
la theorie des ensembles boreliens et analytiques, J. fac. sci. Hokkaido Imp.<br />
Univ., ser. Math. 8 (1939), 1-25. Siehe auch E. SCEGOL'KOV, Uber die Uniformisierung<br />
gewisser B-Mengen (Russisch), Dokl. Akad. Nauk SSSR 59 (1948),<br />
1065-1068, J. SAINT RAYMOND, Boreliens a coupes K^, Bull. Soc. Math. France<br />
104 (1976), 389-400, und A. LouvEAU, A separation theorem for T\ sets,<br />
Trans. Amer. Math. Soc. 260 (1980), 363-378. V. K. /R K.<br />
397
[151] (S.298) Nachtrdge, (A)<br />
HAUSDORFF zitiert hier Resultate von W. HUREWICZ, Relativ perfekte Telle<br />
von Punktmengen und Mengen (A), Fund. Math. 12 (1928), 78-109. Darunter<br />
ist insbesondere der folgende bemerkenswerte Satz: Jede co-Suslinmenge X in<br />
einem polnischen Raum, allgemeiner in einem beliebigen separablen metrischen<br />
Raum, welche eine Fn-Menge in der Relativtopologie ist (d. h. voUstandig Bairesch,<br />
s. Anmerkung [68]), ist ein G5. Wenn namlich X kein G5 ist, dann ist es<br />
kein Fn aus einem ganz elementaren Grund: es gibt eine abzdhlbare und folglich<br />
magere und in sich magere Menge Q C X, die relativ abgeschlossen in X<br />
und insichdicht ist. Umgekehrt ist jedes G5 ein Fn, weil jedes Gs voUstandig<br />
metrisierbar ist. Wir verweisen auf 21.18 und 21.19 in A. S. KECHRIS, Classical<br />
Descriptive Set Theory, New York 1995, fur eine moderne Form dieses Satzes.<br />
In HAUSDORFFS NachlaB finden sich zwei Noten (Fasz. 261 und 281), in denen<br />
einige von HuREWicz' Resultaten reproduziert und kommentiert sind; s. dazu<br />
dieser Band, S. 695-703. V. K. /P. K.<br />
Autore n:<br />
H. H. :<br />
M. H. :<br />
H. Herrlich<br />
M. Husek<br />
V. K.: V. Kanovei<br />
P. K.: P. Koepke<br />
G. P.: G. Preufi<br />
W. P.: W. Purkert<br />
398
NL HAUSDORFF : Kapsel 52 : Faszikel 1141<br />
[Anmerkungen HAUSDORFFS ZU Mengenlehre ([H 1935a])]<br />
Die folgenden Notizen HAUSDORFFS befanden sich in dem im Nachlafi vorhandenen<br />
Exemplar von [H 1935a]; die Notizzettel waren an den entsprechenden<br />
Stellen eingelegt. Nur die erste Notiz ist datiert, die librigen nicht. Die Notizen<br />
werden hier in der Reihenfolge der Seitennummern abgedruckt; nach jeder<br />
Notiz folgt unmittelbar der Kommentar.<br />
[A] (S.80) Zu Mengenlehre § 17. (Vereinfachung). 25/11 41<br />
Tl sei ein Ring von Mengen (d. h. enthalte mit A, B zugleich A + B, AB) und<br />
enthalte die NuUmenge. 21 sei eine Folge 21 = (AQ, AI, A2,...) mit AQZ:) AiZ)<br />
A2 D • • • und schliesslich Ai — ^\ 03 = (BQ, BI, B2,...) eine weitere solche<br />
Folge. Wir bilden die Folge C = (Co, Ci, C2,...) mit<br />
{ Ci = ^ AiBk fiir / gerade<br />
i, k gerade ('j^\<br />
Ci = ^ AiBk fiir / ungerade<br />
i-\- k = I<br />
Dann ist ebenfalls Co D Ci D C2 D • • • . Namlich fiir gerades /<br />
C/_i D Ci D C/+1 .<br />
Die erste Ungleichung (/ > 0) folgt daraus: jedes Glied A^Bk {i-\-k = 1, i,k<br />
gerade) von C/ hat entweder i > 0 oder A: > 0, also A^Bk C Ai-iBk oder<br />
C AiBk-i, in beiden Fallen C C/_i; also C/_i D C/. Die zweite (/ ^ 0): jedes<br />
Glied von C/+i hat die Form Ai^iBk oder AiBk-\-i {i,k gerade, i-\-k = I),<br />
ist also C AiBk C Ci : Cz+i C C/. Die Ci sind schliesslich 0.<br />
Wir haben jetzt<br />
Ci - Q+i = E {^^- Mi){Bk - Bk^i) (/ gerade) (2)<br />
i-{- k = I<br />
i, k gerade<br />
Beweis. Sei x e Ci — C/+i; x eCi; x e AiBk {i-\-k = I, i,k gerade). Da<br />
xeCi^i, ist xeAi^iBk, xeAiBk+i, x e {Ai-Ai^i)Bk, x e Ai{Bk-Bk+i),<br />
X 8 (Ai — AiJ^.i){Bk — Bk+i), die linke Seite von (2) in der rechten enthalten.<br />
Umgekehrt, sei x in der rechten Seite enthalten, x e {Ai — Ai^i){Bk —-B^+i)<br />
{i-\- k = I, i,k gerade). Also x e AiBk C C/. Da x in 74^+1,^^+2, • • • 5-^^+1,<br />
Bk-\-2^ • • • nicht enthalten ist, ist fiir x e ApBq , p ^i^ Q = k^ p-\- q^l^ also<br />
399
X in C^+i nicht enthalten. Demnach x e Ci — Ci-^i; die rechte Seite von (2) in<br />
der linken enthalten, beide sind gleich.<br />
Verknlipfen wir mit 21,03, C^ die Differenzketten<br />
A = {Ao-Ai)^{A2-As)^'" , B = (Bo - ^i) + (^2 - ^3) + • • • :<br />
C = (Co-Ci) + (C2-C3) + ---,<br />
so folgt aus (2), dass C = AB. Der Durchschnitt zweier A ist also ein A, und<br />
die A bilden (wie a. a. O. gezeigt) einen Korper.<br />
Kommentar<br />
HAUSDORFF gibt einen einfacheren Beweis fiir die Behauptung (S. 79), daB<br />
die Klasse der Differenzenketten abgeschlossen gegeniiber Durchschnittsbildung<br />
ist. Man beachte, dafi entgegen den in Mengenlehre getroffenen Vereinbarungen,<br />
^ hier die Vereinigung von nicht notwendig paarweise disjunkten Mengen<br />
bezeichnet. V. K. /P. K.<br />
[B] (S. 82) Mengenlehre S. 82<br />
Auch fiir drei Differenzketten<br />
gilt ABC = E (
A B<br />
Wir setzen [/ = E U{a, \b{a, B)), F = E Uib, |6(6, A)).<br />
a b<br />
(6(a, B) > 0 well aeB.) Zu x eU, y ^V giebt es Punkte a 8 A, b e B mit<br />
ax < |6(a, 5) ^ |a6 ,<br />
also ab ^ ax-\-xy-\-yb < xy-\- ^ab^ ab < 3xy. 1st nun z e tJV, x -^ z, y -^ z,<br />
so ist xy -^ 0, ab —^ 0, 8{a,B) -^0, ax ^ 0, a ^> z, ebenso b ^ z, also<br />
z 8 ^5. Demnach UV C A5, liberdies UV D AB, also 17^ = AB. (C/F = 0<br />
ist evident, da stets ?ixy > ab, xy > 0.)<br />
Kommentar<br />
6(a, J5) bezeichnet die untere Entfernung zwischen einem Punkt a und einer<br />
Menge B, definiert in Mengenlehre, S. 111. HAUSDORFF merkt an, dafi<br />
b{a,B) > 0 ist, falls a nicht zum Abschlufi B von B gehort. Am Schlufi argument<br />
iert er ein wenig zwanglos; so ist mit x —^ z gemeinet, daB eine Folge<br />
{xn} von Punkten Xn ^ U gegen z geht, usw. V. K./P-K.<br />
[D] (S.170) Mengenlehre, S. 170, V.<br />
Die reduziblen Mengen jedes (auch nicht separablen) Raumes sind gleichzeitig<br />
Fc7 und Gs.<br />
Ist M = J2{F^ - ^e)' ^0 13 F(5 D • • • D F^ D F^' D • • • , so sei F^n die<br />
Menge der Punkte x von F^, deren untere Entfernung 6(x, F/) ^ ;^; M =<br />
^^F^n = Yl^n^ Mn = X^F^n- Die Mengen F^n sind abgeschlossen und<br />
^ n n ^<br />
haben paarweise untere Entfernungen ^ -, denn fiir x 8 F^n^ y ^ Fj^n mit<br />
^
[E] (S. 192) Mengenlehre, S. 192.<br />
(1) A = Borelsch ist damit gleichbedeutend, dass ein ^ mit A — S^ oder<br />
Y^ Bj^ = Q existiert, d. h. dass die „Konstituenten" von B schliesslich ver-<br />
^>^<br />
schwinden.<br />
(2) Beziiglich der Konstituenten A^ von A gilt (Sierpinski, F. M. 21, p. 34):<br />
wenn A nicht Borelsch ist, so sind b^i Mengen A^ unabzahlbar.<br />
Beweis. E — Yl,^e, {E^ — A^ -^ B^) ist k-konvergent (Summen von Ki<br />
Mengen, F. M. 26), d.h. T^ = ^ Er^ ist schliesslich von 1. Kategorie. Dies<br />
lasst sich relativieren: fiir jede perfekte Menge P C -E ist PT^ schliesslich<br />
von 1. Kategorie in P, umsomehr PAT^ = P ^ A^. Angenommen, die A^<br />
seien schliesslich (fiir ?7 > ^o) hochstens abzahlbar: dann ist P ^ ^4^ fiir<br />
jede perfekte Menge P von 1. Kategorie in P; denn es giebt ein ^o,<br />
sodass P Y^ Aj^ m P von 1. Kategorie ist, und P XI ^^ i^^ ^^ ebenfalls,<br />
als hochstens abzahlbare Teilmenge von P. Demnach enthalt Yl ^v keine<br />
perfekte Teilmenge ^ 0, und da diese Menge (= A — Y ^v) analytisch ist,<br />
ist sie hochstens abzahlbar. A ist Borelsch. Also:<br />
[A^ schliesslich hochstens abzahlbar] —> [A = Borelsch],<br />
[A nicht Borelsch] —> [\^i Mengen A^ unabzahlbar].<br />
Dies ist nicht umkehrbar: A kann Borelsch und dennoch b^i Mengen A^<br />
unabzahlbar sein. Beispiel: P'(no, ni,..., n^) = P(ni,..., n^), X, 0 fiir no =<br />
1,2,>2; dann ist A' = X, -^£ ~ -^^ ^^^ ^^^^ ^^^ nicht Borelschem A,<br />
A'. = A'Ti 7^ 0 Ki mal, obwohl A' Borelsch ist. (Einleuchtender mittels Siebkonstruktion.)<br />
(3) Der Beweis von (1) gilt auch, wenn m A = J2^niEnin2 • - - i^rn ^<br />
Fnin2 D • • • ) die abgeschlossenen Mengen Fn^___nk die Durchmesserbedingung<br />
lim(i(Fni...nfc) = 0 nicht erfiillen, da man S. 192 A mit Durchmesserbedingung<br />
k<br />
annehmen kann.<br />
Kommentar<br />
In Teil (2) dieser Note werden die Beziehungen zwischen den folgenden drei<br />
Eigenschaften der Zerlegung einer Suslinmenge A — U^
Das wichtigste der in Betracht gezogenen Resultate ist (i) => (iii) (urspriinglich<br />
von W. SIERPINSKI, Sur les constituantes des ensembles analytiques^ Fund.<br />
Math. 21 (1933), 29-34, aber ganz erheblich vereinfacht durch HAUSDORFFS<br />
Technik der k-Konvergenz, die er in seiner beriihmten Arbeit Summen von Hi<br />
Mengen, Fund. Math. 26 (1936), 241-255 ([H 1936b]) eingefiihrt hat). Eine<br />
element are Analyse des Beweises zeigt, dafi in Wirklichkeit das starkere Resultat<br />
(ii) =^ (iii) erzielt wird. Um (i) => (ii) einzusehen, braucht man nur zu<br />
beriicksichtigen, dafi A = U^
durch abzahlbar viele Konstituenten B^ liberdeckt werden kann. Somit gilt die<br />
Aquivalenz (i^)
Kommentar<br />
Die Notiz endet abrupt mit einem mit Rotstift eingetragenen Fragezeichen.<br />
Das Resultat, das HAUSDORFF hier vermutet, ist folgendes. Angenommen, die<br />
Funktionen / bilden ein gewohnliches Funktionensystem ^ (zur Terminologie<br />
s. Mengenlehre, S. 235). Dann wird behauptet, dafi das System ^ der punktweisen<br />
oberen Limites von Folgen von Funktionen aus ^ ein vollstandiges System<br />
bildet, d. h. der Limes einer gleichmdflig konvergenten Folge von Funktionen<br />
aus ^ ist wiederum eine Funktion in ^. HAUSDORFF hat nicht einmal angedeutet,<br />
wie der in der Note bewiesene Fakt zu diesem Ziel fiihren konnte.<br />
Tatsachlich wissen wir nicht, ob das Resultat in dieser AUgemeinheit richtig<br />
ist. Andererseits hat HAUSDORFF bewiesen (Fasz. 425, dieser Band, S.613-<br />
617), dafi der Satz richtig ist im speziellen Fall, dafi ^ selbst ein vollstandiges<br />
System ist.<br />
Satz IV in Mengenlehre, S. 237 zeigt, dafi das kleinere System S^* von Funktionen,<br />
welche punktweise Limites von Folgen von Funktionen aus ^ sind, ein<br />
vollstandiges System ist, auch wenn S^ nicht vollstandig ist. HAUSDORFF hat<br />
anscheinend die Behauptung flir 5^ als eine Verallgemeinrung von Satz IV betrachtet,<br />
so dafi aus letzterer die friihere folgen soUte. Dies ist in der Tat der<br />
Fall, wenn auch durchaus nicht trivial. Ist namlich ^ ein vollstandiges System,<br />
so ist aus Symmetriegriinden auch das duale System ^ der punktweisen unteren<br />
Limites von Folgen von Funktionen aus S^ vollstandig. Damit ist dann<br />
auch 5^ n g ein vollstandiges System. Es bleibt zu zeigen, dafi S^* = S^ Pi g ist.<br />
Die folgende Beweisfiihrung ist eine Modifikation von SlERPlNSKis Beweis eines<br />
ahnlichen Resultats fiir Folgen von Mengen; naheres dazu im Fasz. 633, dieser<br />
Band, S. 609-613.<br />
Angenommen also, dafi 'd{x) = linin^oo/n(^) = l2Mn-^oo fnip^)^ wo alle<br />
Funktionen fn und /^ zu ^ gehoren. Dann gehoren alle Funktionen<br />
fmn{x) = m±n{ fm{x), . . . , /m+n(^)} Uud f^rii^) = ma.x{f^{x), . . . , f^^rii^)}<br />
ebenfalls zu 5^, fmn > /m,n+i und f^^ < /4,,n+i ^^^ alle m, n, und<br />
^x) = inf sup fmn{x) = sup inf /^^(x) fiir alle x. (1)<br />
Setze pn{x) = maxifc 0 und zeigt, dafi Pn{x) > 'd{x) — £ fiir alle<br />
hinreichend grofien n.<br />
In der Tat gibt es nach (1) einen Index /i, so dafi 'd^x) — e < f'^nip^) ^^^ ^'^<br />
n gilt; gleichzeitig gibt es fiir jedes m einen Index Vrn niit d{x) — £ < fm^umip^)-<br />
Sei u — maxrn 'd{x) — £.<br />
405
Durch ahnliche Schliisse sieht man, dafi Pn{x) < 'd{x)-\-e fiir alle hinreichend<br />
groBen n.<br />
Da £ > 0 beliebig war, beweist dies 'd{x) — llmnPni^) • V. K. /P. K.<br />
[H] (S. 266) Mengenlehre 1935, S. 266<br />
Nach M. Kondo, Fund. Math. 31, p. 29-46, giebt es eine lineare Menge A, die<br />
analytisches Komplement ist, und von der jede unabzdhlbare analytische lineare<br />
Menge B schlichtes stetiges Bild ist.<br />
Hingegen giebt es (p. 30) keine Menge A dieses Art, die analytisch ware.<br />
Denn (Mengenlehre, S. 266, IX) wenn B schhchtes stetiges Bild der analytischen<br />
Menge A ist, ist auch A schlichtes Bairesches Bild von B, setzt man fiir<br />
B insbesondere eine Borelsche Menge, so ergiebt sich auch A als Borelsch, die<br />
schlichten stetigen Bilder von A sind dann auch alle Borelsch und umfassen<br />
nicht alle analytischen Mengen.<br />
Kommentar<br />
HAUSDORFF bezieht sich hier auf die Arbeit M. KONDO, Sur la representation<br />
parametrique reguliere des ensembles analytiques, Fund. Math. 31 (1938), 29-<br />
46, in der gezeigt wird, dafi jede Suslinmenge (d. h. jede E}-Menge) B (in<br />
einem polnischen Raum) stetiges eineindeutiges Bild einer gewissen nicht von<br />
B abhangenden co-Suslinmenge A ist - im wesentlichen der Lebesgue-Menge<br />
aller Mengen a: C Q, wohlgeordnet in der natiirlichen Ordnung der rationalen<br />
Zahlen (d. h. AC 2'^, Q ist hier diskret). HAUSDORFF merkt an, dafi es keine<br />
Suslinmenge A mit dieser Eigenschaft geben kann. In der Tat, angenommen<br />
f : A ^^ B ist eine bijektive stetige Abbildung {A,B Mengen in polnischen<br />
Raumen). Ist A Suslinsch, so auch der Graph von /. Dies folgt aus einer elementaren<br />
Rechnung, die darauf beruht, dafi / voUstandig bestimmt ist durch<br />
seine Werte auf einer beliebigen abzahlbaren dichten Teilmenge von A. Ebenso<br />
ist der Graph von f~^ eine Suslinmenge. Wenn B = dom/~^ eine Borelmenge<br />
ist, so mufi der Graph von f~^ auch eine Borelmenge sein; folglich ist f~^<br />
eine Bairesche Abbildung (s. Anmerkung [132] zu Mengenlehre). Dann mufi A<br />
als eineindeutiges Bairesches Bild einer Borelmenge auch Borelsch sein, so dafi<br />
wiederum alle eineindeutigen stetigen (und sogar Baireschen) Bilder von A<br />
Borelsch sind, was leicht zu einem Widerspruch fiihrt. V. K. /P. K.<br />
[I] (S. 276) Mengenlehre 1935, S. 276.<br />
An Stelle von (1) gilt genauer<br />
[A,C\ = [[A,B],[B,C\\.<br />
Fiir die charakteristischen Funktionen a, 6, c gilt namlich |a — c| = ||a — 6| —<br />
\h — c||, denn die rechte Seite ist fiir 6 = 0 gleich ||a| — |c|| = |a — c|, fiir<br />
6=1 gleich \\a — 1| — |1 — c\\ = |(1 — a) — (1 — c)| = |c — a\. Hiernach ist<br />
406
die Relation A = B (9Jl) auch dann transitiv, wenn 9JI ein Korper ist (ohne<br />
notwendig die Eigenschaft (a) zu haben). Dagegen lasst sich in diesem Falle<br />
nicht aufrechterhalten, dass mit An = Bn J^ An = ^ Bn ist.<br />
Z.B. sei dJl das System der Borelschen Mengen, N eine nicht Borelsche<br />
Menge C E^ E = P-{-Q Zerlegung in zwei disjunkte Borelsche Mengen. Dann<br />
^.<br />
ist P + NQ = NQ, Q + NP = NP; summiert E = N, was nicht stimmt.<br />
[A,B] hat die charakteristische Funktion [A]+ [5] (mod 2). Mit [A,B] =C<br />
ist A = [B, C]. [[A, B], [B, C]] = [A, C] folgt daraus ohne weiteres.<br />
Kommentar<br />
HAUSDORFF zeigt, daB die Additivitat der Kongruenz verloren geht, wenn DJl<br />
genau das System aller Borelmengen (der reellen Geraden E") ist. Man beachte,<br />
daB m in diesem Falle kein Ideal ist. V. K. /P. K.<br />
[J] (S. 282) Mengenlehre S. 282.<br />
Die (dort gar nicht erwahnten) ao-abgeschlossenen Mengen, fiir die Aa — A<br />
nirgendsdicht ist, und die cxo-offenen Mengen, fiir die A — Ai nirgendsdicht ist,<br />
fallen mit den ao-Mengen zusammen. Wenn namlich A — Ai — Ar nirgendsdicht<br />
ist, so ist Ag ^ Aig -\- Arg nirgendsdicht {Aig als Grenze einer offenen<br />
Menge ist nirgendsdicht, Arg Q Aroc ist mit Ar nirgendsdicht). Also: ao-offene<br />
Menge = cxo-Menge; cxo-abgeschlossene Menge = ao-Menge (Komplement). Es<br />
ist bemerkenswert, dass von den drei Menge Aoc — Ai, Aoc —A, A — Ai entweder<br />
keine oder alle drei nirgendsdicht sind. (KURATOWSKI, Top. I, p. ).<br />
Die Mengen mit nirgendsdichter Begrenzung (Mengen N) bilden einen Korper.<br />
Wenn A ^ B, d.h. [^, B] nirgendsdicht, ist Aoci = Bai und Aioc = Bioc-<br />
Beweis der 1. Relation (die 2. durch Komplementbildung): es ist {A-\- B)oci =<br />
{Aoci + Boci)oci' [Namlich einerseits {A + B)oci D ^a* + ^ai, (^ + B)oci =<br />
{A + B)ocioci 3 {^ai + Boci)oci- Andererseits wegen (P -h Q)i C Pa + Qz •<br />
{A-\-B)cxi = {Acx -\-Boc)i C Aoc -^Boci, nochmals mit i operiert: {A^B)oci C<br />
Aoci^Bocioi C {Aoci^ Boci)oc, mit i operiert: {A^B)oci C {Aoci ^ Boci)oii]<br />
Ist P nirgendsdicht, so ist {A + P)oci = {Aoci + Poii)oii = Aoci; ist A ^ B,<br />
also A -\- P = B -\- Q, P und Q nirgendsdicht, so ist Aoci = {A-\- P)oci =<br />
{B + Q)oci = Boci .<br />
Dies ist nicht umkehrbar. Ist E die Zahlengerade, A die Menge der rationalen,<br />
B die der irrationalen Zahlen, so ist Aoci = Eoci = E, Aioc = Bioc = 0,<br />
also [A^B] = A-\- B = E nicht nirgendsdicht.<br />
Aus<br />
{a) {A^B)oc^ = {Aoci^Boc^)oc^<br />
407
folgt durch ex (well Gocia = Got fur ofFenes G)<br />
und aus (fS) folgt durch i wieder {a). ((/?) - Kuratowski, Top. I, p. 37, (i).)<br />
Kommentar<br />
Die Behauptung, dafi von den drei Mengen Aa —Ai^ AQC — A^ A — Ai entweder<br />
keine oder alle drei nirgendsdicht sind, haben wir in KURATOWSKI, Topology I<br />
nicht lokalisieren konnen. Sie folgt leicht aus der Tatsache, daB sowohl XQC ^Xod<br />
als auch Xioc \ Xi nirgendsdicht sind (s. Anmerkung [140] zu Mengenlehre).<br />
Die Gleichung (/5) ist die Gleichung (i) in Topology /, New York 1966, Kapitel<br />
I, §8. VII (S. 73); p. 37 bezieht sich auf die Erstausgabe dieses Buches in<br />
franzosischer Sprache. V. K. /P. K.<br />
[K] (S. 299)<br />
(Dies ist die einzige Notiz, die HAUSDORFF direkt in sein Exemplar von [H<br />
1935a] eingetragen hat. Auf Zeile 16 v. o. und 17 v. o. hat er die Passage „mit<br />
(^(a) = 0,
Liste der Rezensionen zu [H 1927a]<br />
* BACHILLER, T. R. in: Revista Matematica Hispano-Americana, 2.^ serie. Tomo<br />
II (1927), 252-253.<br />
D. (ANONYMUS) in: Nieuw Archief voor Wiskunde, 15 (1928), 410-412.<br />
FEIGL, G. in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 37 (1928),<br />
Literarisches, 56-58.<br />
FEIGL, G. in: Jahrbuch liber die Fortschritte der Mathematik 53 (1927) (erschienen<br />
1931), 169.<br />
* GERMAN, H.M. in: Bulletin ofthe American Mathematical Society 33 (1927),<br />
778-781.<br />
* HAHN, H. in: Monatshefte fiir Mathematik und Physik 35 (1928), 56-58.<br />
NAGELL, T. in: Norsk Matematisk Tidsskrift 9 (1927), 109-110.<br />
PANKRAZ, O. in: Casopis pro Pestovani Matematiky a Fysiky 57 (1928), 313-<br />
315.<br />
* ROSENTHAL, A. in: Deutsche Literaturzeitung fiir Kritik der internationalen<br />
Wissenschaft 49 (1928), 294-295.<br />
SALKOWSKI, E. in: Unterrichtsblatter fiir Mathematik und Naturwissenschaften<br />
34 (1928), 62.<br />
SZEGO, G. in: Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Mechanik 8 (1928),<br />
495.<br />
* WHYBURN, G.T. in: The American Mathematical Monthly 35 (1928), 191-<br />
194.<br />
Die mit einem Stern gekennzeichneten Rezensionen sind auf den folgenden Seiten<br />
abgedruckt, die von Bachiller in englischer Ubersetzung (aus dem Spanischen).<br />
409
Rezension von T. R. BACHILLER in Revista Matematica<br />
Hispano-Americana<br />
HAUSDORFF (Dr. F.): Mengenlehre. Goschens Lehrbiicherei. 1. Gruppe; Reine<br />
Mathematik: Band 7. Zweite, neubearbeitete Auflage, mit 12 Figuren, 284 S.,<br />
Walter de Gruyter & Co. Berlin und Leipzig, 1927.<br />
Several years after the first edition of this magnificent work is out of print,<br />
comes this second with invaluable improvements and additions, which make it,<br />
in greater degree than the former one, more accessible to the general public of<br />
pure and applied mathematics. Indeed, it has been the author's constant worry<br />
to expound as rigorously as possible the fundamental theory of sets, divided<br />
into its two essential branches of abstract sets and point sets, at the same time<br />
as the first applications to the theory of functions of a real variable, with the<br />
help only of the elementary concepts of mathematical analysis which are ordinarily<br />
acquired during the first courses of any University. We shall not develop<br />
once more an apology of the theory of sets, the importance of which is not only<br />
due to its high philosophical interest for researches touching on the foundations<br />
of mathematics, but also to its very essential role in any mathematical theory,<br />
particularly now that the modern tendency has crystallized, to study intrinsically<br />
the objects that it creates in its fecund and brilliant development. It will<br />
suffice to mention the primary role played at present, both in Mathematics and<br />
in Mathematical Physics, by the theory of functionals whose fecundity keeps<br />
growing as its foundations are deepened and systematized by almost copying<br />
them from set theory and the theory of functions of a real variable, and, within<br />
those domains the capital tendency to search for relations of a topological kind,<br />
that is to say, independent from any quantitative considerations. An aspect this<br />
last one that is well represented in the book under review, as the 8*^ chapter<br />
offers a magisterial account of such foundations of Topology, studying brieffy,<br />
but clearly and precisely, the continuous correspondences or transformations<br />
between two spaces, all the way until arriving at the concept of a topological<br />
space, a name that is due to the author himself.<br />
The theory of sets is developed by Professor Hausdorff in his work in the<br />
course of nine chapters, whose mere enumeration by subjects will suffice to<br />
give a clear idea of its importance, mainly from the didactical point of view.<br />
The first notions about sets and operations with them form the topic of the<br />
1*^* chapter, followed by chapters devoted to cardinal numbers, order types,<br />
and ordinal numbers. The 5*^^ chapter studies systems of sets (rings, fields,<br />
Borel systems, sums and products of a denumerable set of sets, Souslin sets).<br />
In the next chapter the theory of point sets begins, establishing the notions<br />
of metric, linear, and Baire space, based upon an axiomatic definition of the<br />
distance, which leads to the study of the convergence of point sequences and<br />
to the spaces where a definition of limit is possible (the L-spaces of Frechet),<br />
and consequently to compact spaces; it is unnecessary to say that, within these<br />
classifying concepts, one can still have the classical groupings according to the<br />
concept of derived set. But one of the essential traits of this chapter, is the<br />
410
careful distinction made between the absolute or intrinsic notions (referred to<br />
the set itself) and the relative ones (corresponding to relations of situation,<br />
somehow, of a set within or with respect to another), and the use that is made<br />
of them in the long paragraphs devoted to separable, complete, and connected<br />
spaces (with respect to the latter one can single out the important boundary<br />
theorem of Janizewski [sic]). In the 7^^ chapter the relations between point sets<br />
and order types are expounded, and in the 8*^, as we have already mentioned,<br />
the most important concepts of Analysis Situs are succinctly developed, up<br />
to the concept of Jordan curve, not without first indicating and emphasizing<br />
the core of the idea of dimension in the primitive sense of Brouwer. This eight<br />
chapter, with the last one, are likely to be the best in this work, for in the<br />
final chapter the essential bases of the modern theory of real functions are<br />
expounded, departing from the idea of image set of a function and reaching at<br />
an elegant exposition of the Baire classification.<br />
The work ends with a select bibliography and informative notes. We do not<br />
hesitate to recommend this excellently edited book, first of all to anyone who<br />
wishes to acquire a solid culture in this field of the beautiful and fecund theory<br />
created by Cantor.<br />
T. R. Bachiller<br />
Ubersetzung aus dem Spanischen von J. Ferreiros<br />
411
Rezension von H. M. GEHMAN in Bulletin of the American<br />
Mathematical Society<br />
HAUSDORFF'S REVISED MENGENLEHRE<br />
Mengenlehre. By Felix Hausdorff, Second edition. Berlin and Leipzig, Walter<br />
de Gruyter, 1927. 285 pp.<br />
There are second editions and second editions. Some are merely second printings<br />
with misprints corrected and a few pages added to bring the subject<br />
matter up to date; others are complete revisions. Hausdorff's second edition<br />
is an extreme example of the latter type; here even the title has been revised<br />
the first edition having appeared in 1914 under the title Grundziige der<br />
Mengenlehre.*<br />
Not only has the title of the book been abbreviated in this new edition,<br />
but the book itself has been reduced in size so that the number of pages is<br />
considerably less than two-thirds that of the first edition. This is due principally<br />
to a difference in the literary style of the two editions, the Grundziige seeming<br />
extremely verbose when compared with the conciseness of the second edition.<br />
It is questionable wether the new edition will be as "teachable" as the old.<br />
Certainly it cannot be read with as much ease by a student approaching the<br />
subject for the first time, as so much more is left for him to supply for himself.<br />
Probably the best approach to the subject will be found to lie in judicious<br />
selection of topics from both editions. We regret that we find in the second<br />
edition such a conscious effort on the part of the author to save space.<br />
As in the first edition, there are two main topics considered, the first five<br />
chapters being concerned with the general theory of aggregates and the<br />
remaining chapters with the more special theory of point sets. In discussing<br />
the various chapters we shall give in general only the omissions from and the<br />
additions to the material contained in the first edition.<br />
The Vorbemerkungen and Chapter 1 (pp. 9-24) contain the essential parts of<br />
the first two chapters of the Grundziige in one-third the space required there.<br />
Among the topics omitted are symmetric sets and the principle of duality, and<br />
much less space is devoted to the "algebra" of sets. Among the topics retained<br />
the order is often changed; for example, a section on functions defined over<br />
a set is placed before the section on the fundamental ideas of the sum and<br />
common part^ of two sets. Here the author has replaced the cumbersome &, 1)<br />
notation of the Grundziige by a more common notation: the sum S of two sets<br />
^, ^ is indicated by S = A ^ B^ the common part D by D = AB. As in the<br />
Grundziige, the notation S = A-\- B is used if and only if D = 0, thus differing<br />
from the usual notation which indicates the sum by S = A-\- B in all cases.<br />
*Reviewed by Professor Henry Blumberg in this BULLETIN, vol. 27 (1920-21), pp. 116-129.<br />
[Abgedruckt in Band II dieser Edition, S. 844-853.]<br />
^ Durchschnitt, translated by Blumberg as section. The most common expression is product,<br />
but Hausdorff uses this in a different sense.<br />
412
Chapter 2 (pp. 25-41) on cardinal numbers and Chapter 3 (pp. 41-55) on<br />
order types correspond almost exactly to Chapters 3 and 4 respectively of the<br />
Grundziige, although the number of pages has been reduced by half. This is<br />
partly accounted for by the omission of certain sections on ordered sets, the<br />
topic of ordered sets being given very brief consideration in this edition.<br />
The fourth chapter (pp. 55-77) contains all the material on well-ordered sets<br />
and ordinal numbers that has been retained from Chapters 5 and 6 of the<br />
Grundzuge, where these topics covered five times the space. Practically all of<br />
Chapter 6 (partially-ordered sets, etc.) has been omitted, the only section that<br />
remains essentially as a unit being the section on general products and powers<br />
of ordered sets. The other topics considered are: the well-ordering theorem, the<br />
comparability of ordinal numbers, combination of ordinal numbers, and the<br />
Alephs.<br />
In the fifth chapter (pp. 77-93) the author begins a comprehensive treatment<br />
of Borel and Suslin (or Souslin) sets, to which portions of Chapters 7 and 8 are<br />
also devoted. Suslin sets were first studied in 1917 by Michael Suslin (1894-<br />
1919), a Russian. These sets are a generaliziation of the well known Borel sets.<br />
The remainder of the book (see however §40) is devoted to a discussion<br />
of sets of points considered as subsets of a metric space, that is, a space in<br />
which there exists a definition of the distance between each pair of points,<br />
subject to certain distance axioms. This is a departure from the viewpoint of<br />
the Grundziige, where Hausdorff begins with a topogical space, i.e., a space<br />
satisfying certain neighborhood axioms (Umgebungsaxiome). Having proved a<br />
number of theorems on the basis of this set of axioms, he then specializes the<br />
space step by step by adding additional restrictions, obtaining in turn a metric<br />
space, a euclidian space of n dimensions, and finally a euclidean plane, with<br />
appropriate groups of theorems in each case.<br />
We do not quarrel with the author's decision to omit the discussion of euclidean<br />
spaces from the second edition, although we feel that the student loses<br />
something if he does not have brought to his attention the special methods<br />
applicable in euclidean spaces.<br />
We do regret exceedingly, however, that he has treated only metric spaces<br />
when he might so easily have followed the outline of the Grundzilge. Instead of<br />
doing so, he proceeds as follows: having assumed that the space is metric, he<br />
defines (§ 22) a neighborhood of radius p of a point x, as the set of points whose<br />
distance from x is less then p. A system of neighborhoods defined thus will<br />
satisfy the Umgebungsaxiome. In proving many of the theorems that follow, the<br />
author makes use of this special system of neighborhoods, and in his proofs does<br />
not use all the properties of a metric space, but only those properties which are<br />
necessary to insure that the space contain a sytem of neighborhoods satisfying<br />
the Umgebungsaxiome. In other words, a number of theorems which are true in<br />
a topological space are proved by Hausdorff only for a metric space, when with a<br />
slight rearrangement of material he could have proved these theorems in all their<br />
generality. Since the author does not hesitate to assume whenever necessary<br />
that his given metric space is complete, compact, or separable, if one of these<br />
413
hypotheses is needed to prove a particular theorem, it seems strange that he<br />
does not take the most general viewpoint throughout this part of the book,<br />
and assume merely that the point sets considered are subsets of a topological<br />
space, assuming it to be also metrical when and only when it is necessary. In<br />
this connection, compare § 22 and § 23 of the second edition with § 2 and § 3 of<br />
Chapter 7 of the first edition.<br />
Chapter 6 (pp. 94-164) on point sets and Chapter 7 (pp. 164-193) on point<br />
sets and ordinal numbers correspond to Chapters 7 and 8 of the Grundziige.<br />
Dyadic sets and sets of the first and second categories of Baire are given more<br />
prominence than in the first edition. A few pages are devoted to the idea of a<br />
locally connected (=^connected im kleinen) set, an idea which Hahn and Mazurkiewicz<br />
were developing at the time of the appearance of the first edition.<br />
The results of the sixth chapter are obtained without any reference to ordinal<br />
numbers, while Chapter 7 is devoted to theorems in which this concept occurs<br />
or which are more easily proved by making use of this idea. Here the author<br />
shows that the totality of Suslin sets is not identical with the totality of Borel<br />
sets, but that there exist Suslin sets which are not Borel sets. In the concluding<br />
section, necessary and sufficient conditions are given in order that a Suslin set<br />
be a Borel set. In an appendix are given alternative proofs by Lusin of the<br />
theorems of this section, which proofs were communicated to the author by<br />
letter too late to be put in the proper place in the text. This is a striking proof<br />
of the current interest in this topic.<br />
Chapter 8 (pp. 193-232) on correspondences between two spaces and Chapter<br />
9 (pp. 232-275) on real functions comprise some material from Chapter 9 of the<br />
Grundziige, but much of the material is new. The author first considers the subject<br />
of continuous curves: it is shown that the class of dyadic continua is identical<br />
with that of continuous curves; the Sierpinki and the Hahn-Mazurkiewicz<br />
characterizations of continuous curves are given. Next the subject of correspondences<br />
is taken up, under which are Lavrientieff's theorem on the extension of<br />
a continuous (1 — 1) correspondence, and a convenient table (p. 219) giving the<br />
image of various classes of point sets under correspondences of various types.<br />
Another section is devoted to the work of Hahn and R. L. Moore on the prime<br />
parts of a continuum. In the final section of Chapter 8 (§ 40), Hausdorff discusses<br />
briefly topological spaces, giving various sets of axioms used to distinguish<br />
the class of metric spaces from the more general class of topological spaces.<br />
The ninth and concluding chapter gives a much more complete treatment<br />
of Baire's functions than was the case in the Grundziige, and concludes with<br />
the theorems of Hahn and Sierpinski on the nature of the convergence set of a<br />
sequence of real continuous functions.<br />
In addition to the omissions which we have mentioned above, the second<br />
edition omits the entire tenth chapter of the Grundziige which treated content<br />
and measure of point sets and the applications of this theory to Lebesgue<br />
integrals.<br />
The book closes with a list of the literature of the subject, a list of sources,<br />
and an index. Unlike the first edition, the list of sources gives merely the ori-<br />
414
ginal place of publication of the theorems cited; there are no supplementary<br />
remarks. The enlarged list of literature over that given in the first edition testifies<br />
to the growing interest in the subject of aggregate theory - an interest<br />
which the appearance of the Grundzuge did much to arouse and foster. The<br />
index is remarkably complete, and is an improvement over that of the first<br />
edition in that it contains also references to authors. Another improvement is<br />
the consecutive numbering of sections. The work of the publishers is excellent.<br />
We have discovered only a few unimportant misprints.<br />
It is not within our province to criticize the author's choice of material. The<br />
book aims to be a textbook and not a report on the subject of aggregate theory,<br />
and therefore many topics have had to be omitted altogether, and in the case<br />
of those topics which have been included a choice of theorems has had to be<br />
made. Under such circumstances, the only criterion for the goodness of the<br />
author's choice is the taste of the individual reader.<br />
The Grundzuge has been out of print for the past four years and we therefore<br />
heartily welcome the appearance of this new edition. We wish to state without<br />
qualification that this is an indispensable book for all those interested in the<br />
theory of aggregates and the allied branches of real variable theory and analysis<br />
situs. If we have seemed critical of some phases of the book, it is only because<br />
this excellent book is not better.<br />
415<br />
H.M. GERMAN
Rezension von H. HAHN in Monatshefte fiir Mathematik und<br />
Physik<br />
F. HausdorfF, Mengenlehre. Zweite, neubearbeitete Auflage. (Goschens Lehrbiicherei,<br />
1. Gruppe, Reine Mathematik, Band 7.) Bei de Gruyter, Berlin und<br />
Leipzig 1927. 285 Seiten.<br />
Die uns vorliegende zweite Auflage von HAUSDORFFS Mengenlehre ist nur<br />
dem Namen nach eine zweite Auflage, in Wirklichkeit ein voUig neues Buch,<br />
das in jeder Hinsicht auch den neuesten Fortschritten der Wissenschaft Rechnung<br />
tragt und dem im groBen wie im kleinen die jahrelange, liebevolle und tief<br />
eindringende Beschaftigung des Autors mit dem darzustellenden Wissensgebiete<br />
zugute gekommen ist. Eine kurze Ubersicht liber den Inhalt wird am besten<br />
Gelegenheit geben, auf die wichtigsten Unterschiede gegentiber der ersten<br />
Auflage hinzuweisen. I. Mengen und ihre Verkniipfungen. 11. Kardinalzahlen.<br />
III. Ordnungstypen. IV. Ordnungszahlen. Hier wird mit dem zweiten Zermeloschen<br />
Beweise des Wohlordnungssatzes begonnen; ferner sei bemerkt, dafi<br />
HESSENBERGS natiirliche Summen und Produkte zur Darstellung gelangen,<br />
mit deren Hilfe sich der Beweis der Formel K^ = K^ bekanntlich besonders<br />
einfach fiihren lafit. Der kurze Schlufiparagraph dieses Kapitels „Der allgemeine<br />
Produktbegriff" ist das einzige, was der Verfasser von der umfangreichen<br />
Theorie der geordneten Mengen, deren Urheber er ist, und die er in der ersten<br />
Auflage ziemlich ausfiihrlich dargestellt hatte, in die Neuauflage aufgenommen<br />
hat- ein Opfer, das ihm gewifi schwer gefalien ist und das durch die Enge des<br />
zur Verfiigung stehenden Rahmens erzwungen wurde. V. Mengensysteme. Zuerst<br />
werden Ringe und Korper betrachtet sowie die mit den Korpern in naher<br />
Beziehung stehenden Differenzenketten; es folgt eine abstrakte Theorie der Bo-<br />
RELschen und der SuSLiNschen Mengen (die neuerdings auch analytische Mengen<br />
genannt werden), deren Darstellbarkeit durch ,,^5-Funktionen" besonders<br />
untersucht wird. VI. Punktmengen. Hier stehen wir vor der einschneidendsten<br />
Anderung, die der Verfasser gegen seine fruhere Darstellung vorgenommen hat.<br />
Wahrend in der ersten Auflage der Lehre von den Punktmengen ein topologischer<br />
Raum zugrunde gelegt war (die den topologischen Raum charakterisierenden<br />
Forderungen sind seither allgemein als die „Hausdorffschen Umgebungsaxiome"<br />
bekannt), wird nunmehr ein metrischer Raum zugrunde gelegt und die<br />
topologischen Raume werden nur mehr andeutungsweise in einem einzigen Paragraphen<br />
behandelt - wieder ein Opfer, das aus raumokonomischen Griinden<br />
gebracht werden mufite und das dem Verfasser wohl gleich schmerzlich war,<br />
wie dem sachkundigen Leser. Der Unterschied zwischen relativen und absoluten<br />
Begriffen ist deutlich herausgearbeitet. Insbesondere sei hervorgehoben<br />
die Untersuchung der dyadischen (und polyadischen) Mengen, deren Identitat<br />
mit den kompakten Mengen nachgewiesen wird. Ferner sei noch - als liber<br />
das Ubliche hinausgehend - hingewiesen auf den Begriff der zu einer Menge B<br />
dichten Menge A {d.h.B ist Teil der abgeschlossenen Hiille von A), woran sich<br />
noch die Begriffe schliefien: nirgends dicht zu B, von erster und zweiter Ka-<br />
416
tegorie zu B, ferner die Begriffe der F//-Menge (von der jeder abgeschlossene<br />
Teil in sich von zweiter Kategorie ist) und der G/j-Menge (von der jeder offene<br />
Teil in sich von zweiter Kategorie ist). Es folgt eine Untersuchung der Mengenraume<br />
(auf Grund geeigneter Abstandsdefinitionen zweier Punktmengen)<br />
und der verschiedenartigen Begriffe des Limes einer Mengenfolge. Den AbschluB<br />
bildet ein eingehendes Studium des (bekanntlich auf HAUSDORFF zuriickgehenden)<br />
Begriffes „Zusammenhang", wobei auch der „lokale" Zusammenhang<br />
(wie der Verfasser statt Zusammenhang „im kleinen" sagt) zur Sprache kommt.<br />
VII. Punktmengen und Ordnungszahlen. Hier wird in systematischer Weise das<br />
Eingreifen der Ordnungszahlen in der Theorie der Punktmengen behandelt,<br />
wofiir das bekannteste Beispiel CANTORS Bildung der Koharenzen ist. Der Verfasser<br />
fiigt an einem Beispiel hinzu: die Residuenbildung, wodurch er zu einer<br />
sehr schonen Charakterisierung der Mengen gelangt, die gleichzeitig F^ und Gs<br />
sind. An Hand der Ordinalzahlen wird neuerdings auf die BORELschen und Sus-<br />
LiNschen Mengen eingegangen, die Existenzbeweise geflihrt und die schwierige<br />
Frage behandelt, wann eine SuSLlNsche Menge eine BORELsche ist (auf Grund<br />
einer neuen Arbeit von LusiN wird diese Prage in vereinfachter Weise noch<br />
in einem Anhange am Schlusse des Buches behandelt). VIII. Abbildung zweier<br />
Raume. Ausgehend von einer allgemeinen Theorie der stetigen Abbildungen,<br />
wird zunachst das Problem der Streckenbilder behandelt (wann ist eine Punktmenge<br />
stetiges Bild einer Strecke?); es folgen die Abbildungseigenschaften der<br />
SuSLiNschen Mengen (auf denen ja hauptsachlich die Bedeutung dieser Mengengattung<br />
beruht); dann wird die Homoomorphie behandelt (hier findet man<br />
auch den sehr elegant en Beweis des Verfassers, dafi jedes absolute Gs einer absolut<br />
abgeschlossenen Menge homoomorph ist); schliefilich werden die „einfachen<br />
Kurven" und die „Primteile" eines Kontinuums behandelt, liber die ein schoner<br />
Satz von R. L. MoORE bewiesen wird. IX. Reelle Funktionen. Dieses Kapitel<br />
gehort zu den originellsten des Buches. Der LEBESGUEsche Gedanke, Funktionen<br />
durch ihre „Urbildmengen" zu charakterisieren (z. B. durch den Charakter<br />
der Punktmengen, in denen f > g bei gegebenem g ist), findet eine systematische<br />
Durchfiihrung; von hier fiihrt ein ganz naturgemaBer Weg zur Lehre von<br />
den halbstetigen Funktionen und zu den Funktionen der BAiREschen Klassen.<br />
Die Ubertragung dieser Gedankengange von reellen Funktionen auf allgemeinere<br />
Abbildungen stoBt noch auf untiberwundene Schwierigkeiten. Der letzte<br />
Paragraph handelt von den Konvergenzmengen (d. i. die Menge aller Punkte, in<br />
denen eine Folge reeller Funktionen konvergiert). Soil ein zusammenfassendes<br />
Urteil liber dieses Buch abgegeben werden, so kann es nur lauten: Eine in jeder<br />
Hinsicht mustergiiltige Darstellung eines schwierigen und dornigen Gebietes;<br />
ein Werk von der Art derer, die den Ruhm der deutschen Wissenschaft liber<br />
die Welt getragen haben und auf das mit dem Verfasser alle deutschen Mathematiker<br />
stolz sein dlirfen.<br />
Hans Hahn.<br />
417
Rezension von A. ROSENTHAL in Deutsche Literaturzeitung fiir<br />
Kritik der internationalen Wissenschaft<br />
F[elix] HausdorfF [ord. Prof. f.Mathem. an d. Univ. Bonn], Mengenlehre. 2.<br />
neubearb. Aufl. [Goschens Lehrbiicherei. I. Gruppe, Bd. 7.] Berlin, Leipzig, Walter<br />
de Gruyter & Co., 1927. 285 S. 8° m. 12 Fig.<br />
Die l.Aufl. des grundlegenden und bedeutenden Werkes von HAUSDORFF<br />
ist 1914 unter dem Tit el „Grundzuge der Mengenlehre" erschienen. Die jetzt<br />
vorliegende 2. Aufl. ist ein voUig neues Buch! Vieles Neue ist dazugekommen,<br />
vieles Alte ist weggeblieben; selbst die iibernommenen Telle sind durchgehend<br />
bis in die letzten Einzelheiten umgeformt und umgruppiert worden.<br />
Unter dem jetzt Weggelassenen befindet sich manches, was man nur ungern<br />
vermissen wird. Gerade einige solche Theorien, die man H. selbst zu verdanken<br />
hat, sind in der 2. Aufl. ausgeschieden worden; namlich die hoheren Telle<br />
der Theorie der geordneten Mengen und - was ganz besonders bedauerlich<br />
ist- die von H. in der l.Aufl.geschaffene Theorie der topologischen Raume,<br />
an die inzwischen so viele andere Mathematiker angekniipft haben. Statt dessen<br />
wird jetzt die Punktmengenlehre ausschliefilich in den (etwas spezielleren)<br />
metrischen Raumen behandelt; und es werden andererseits auch nicht mehr<br />
(wie friiher) die noch wesentlich spezielleren Euklidischen Raume besonders<br />
untersucht; (so dafi z.B.der Jordansche Kurvensatz nicht mehr vorkommt).<br />
Hiermit diirfte zusammenhangen, dafi auch die ganze Inhalts- und Mafi-Theorie<br />
und infolgedessen bei den funktionentheoretischen Anwendungen die Lehre von<br />
den Integralen in Wegfall gekommen ist. Da so vieles in der neuen Aufl. nicht<br />
mehr enthalten ist, wird man - insbesondere wegen des Fehlens der so wichtigen<br />
Theorie der topologischen Raume - die l.Aufl.daneben nicht entbehren<br />
konnen.<br />
Zu diesen zahlreichen Kiirzungen hat, wenigstens teilweise, - leider - ein<br />
aufierer Grund Anlafi gegeben: das Buch erscheint in der 2. Aufl. als ein Band<br />
der Sammlung „Goschens Lehrbiicherei"; deshalb soUte der Umfang wesentlich<br />
eingeschrankt werden, und er ist in der Tat um nahezu 200 Seiten verkiirzt<br />
worden. Diese betrachtliche Verminderung des Umfanges konnte nur zum Tell<br />
durch die erwahnten Weglassungen erzielt werden, zumal da viel Neues zur<br />
2. Aufl. hinzugekommen ist. Entscheidend ist vielmehr die aufierordentlich konzentrierte<br />
und wirklich bewundernswerte Darstellung: im ganzen Buch findet<br />
sich kein liberflussiges Wort; alles ist so knapp und einfach wie moglich ausgefiihrt;<br />
dabei ist nirgends eine Liicke, sondern alles zum Verstandnis Notwendige<br />
ist gesagt und alle wesentlichen Akzente sind gesetzt. Aufbau und<br />
Anordnung sind sehr durchsichtig und naturgemafi. So bereitet bei der Lektiire<br />
die Form und natiirlich erst recht die Sache einen hohen Genufi, zumal da in<br />
alien beibehaltenen Teilen weitgehend die seit der l.Aufl. erzielt en vielfachen<br />
Fortschritte verwertet worden sind. Dariiber hinaus ist als besonders wertvoller<br />
Zuwachs eine allgemeine und umfassende Theorie der Borelschen Mengen (die<br />
in der 1. Aufl. nur kurz gestreift wurden) und der noch allgemeineren (1917 von<br />
418
Suslin entdeckten und hier von H. nach ihm benannten) Suslinschen Mengen<br />
zu betrachten. Diese Theorie ist nunmehr im Buch sehr stark betont und zieht<br />
sich durch alle Telle des Buches hindurch, was naturgemaB bel den Anwendungen<br />
auf Funktlonen In elner eingehenden Theorie der Balreschen Punktlonen<br />
semen Ausdruck findet. Dlese Borelschen und Suslinschen Mengen werden<br />
zuerst liber elnem belleblgen Mengensystem 9Jt erzeugt (§18 u. 19), und dies<br />
fiihrt spater (§32-34, 37), bel Zugrundelegung des Systems der abgeschlossenen<br />
Mengen Irgendelnes metrlschen Raumes 91, zu den Borelschen und Suslinschen<br />
Mengen von 91. Hler, wle iiberall Im Buch, zelgt slch das (schon fiir die<br />
1. Aufl. charakterlstlsche) Streben nach gofiter AUgemelnhelt und zugleich nach<br />
grofiter Scharfe. -<br />
Die 2.Aufl. wlrd sicherllch ebenso vlel und elfrlg studiert werden wle die<br />
l.Aufl.; und es 1st zu erwarten, dafi sle in eben so hohem MaBe wle die erste<br />
anregend wlrken wlrd. Eln Anzelchen dafiir liegt schon vor: W. Slerplnskl<br />
[Fundamenta Math. 10 (1927), S. 427 bis 430] hat berelts elne von H. auf S. 90<br />
gestellte Frage aufgegrlffen und [negatlv] beantwortet.<br />
Heidelberg. A. ROSENTHAL.<br />
419
Rezension von G. T. WHYBURN in The American Mathematical<br />
Monthly<br />
Mengenlehre. By F. HAUSDORFF. Berlin-Leipzig, Walter de Gruyter and Co.,<br />
1927. 285 pages.<br />
Any attempt to produce a book on the theory of aggregates and have it approximately<br />
up to date and complete at the time of its appearance must, on<br />
account of the present status of the subject, fall somewhat short of the mark.<br />
Each year there appear one or two volumes of Fundament a Mathematicae, a<br />
journal which is devoted almost entirely to this subject; and perhaps an equal<br />
volume of papers are published each year in German and American journals.<br />
When one considers the vast number of new results being obtained all the time,<br />
and realizes the practical impossibility of foretelling of what importance a<br />
new proposition is going to be when first discovered, one readily appreciates<br />
the difficulties which confront an author in culling out the new material and<br />
selecting the results which will likely prove most useful in future research. This<br />
is especially true on account of the comparative youth of the subject and the<br />
scanty supply of books available on this subject. However, in consideration of<br />
the difficulties. Professor Hausdorff seems to have accomplished this feat with<br />
a fair degree of success in his new book, that is, in so far as it was attempted.<br />
Such does not seem to have been the author's chief purpose in writing the book.<br />
This book appeals to the reviewer as one which would be of much more interest<br />
and practical value either to a beginner in the subject or to the mathematician<br />
whose main field lies in some other branch of mathematics but who has occasional<br />
opportunity in his work to use some elementary theorems on aggregate<br />
theory than it would be to the research specialist in this particular field.<br />
The reviewer would hardly feel justified in criticizing the author for his choice<br />
of the material to include in his book, because that is the author's pleasure; and<br />
undoubtedly the material chosen is fairly representative of the work which has<br />
been done and is being done in the field of aggregate theory, and it is capable<br />
of giving the beginner a nice insight into some of the beauties of the subject.<br />
However, there are a number of places in the book where the treatment could<br />
have been somewhat clarified and the proofs of some of the theorems materially<br />
shortened if only the author had chosen to make use of some quite well known<br />
theorems which were not included in his book. One or two instances of this<br />
sort will be given below.<br />
We do not purpose, in this review, to give a synopsis of the material covered<br />
in the book under review, nor to compare it with an earlier book, Grundzilge<br />
der Mengenlehre, by the same author. The reader who desires this is referred<br />
to an excellent review of this book by H. M. Gehman in the Bulletin of the<br />
American Mathematical Society.^ Instead, some features of the book which are<br />
of particular interest to the reviewer and which perhaps will be of interest to<br />
readers of the Monthly will be commented upon.<br />
1 Vol. 33 (1927), pp. 778-780.<br />
420
A very notable feature of this book is the author's attempt to introduce<br />
a logical system of notation and terminology. In most cases the author has<br />
followed the modern tendencies in this respect. The problem of adopting a<br />
standard system of notation and terminology is squarely up to workers in this<br />
field at the present time. Some symbolic language clearly is necessary in order to<br />
prevent our papers being cumbersome. However, the question as to just how far<br />
one should go in this respect is a debatable one. Especially is this true in point<br />
set theory. It is quite possible, in fact it often happens, that an author uses so<br />
many signs and symbols in his paper that his article is made almost unreadable.<br />
In the reviewer's opinion, letters and symbolic notation are of no use whatever<br />
in any subject unless they simplify the presentation and very materially shorten<br />
it. Yet it quite frequently occurs that an author of a paper in the field goes to<br />
considerable trouble to introduce a host of letters to mean certain things, and<br />
sets up his hypothesis and conclusions in the form of very imposing appearing<br />
equations when, as a matter of fact, the same thought could be conveyed more<br />
clearly and intelligibly in words and this could actually be done in much less<br />
space. This may appear rather astounding, but if one considers the extra space<br />
required in printing an equation or a number of sigma signs, which usually have<br />
to be set off, together with the space required to define these symbols, such<br />
a statement appears less unreasonable. The chief objection to a complicated<br />
system of notation, let me repeat, is the fact that the paper thereby becomes<br />
much more tedious to read. This objection can be largely overcome through the<br />
functioning of two agencies, to wit, (1) the adoption by all writers in the field<br />
of a standard set of symbols and terms to stand for the more commonly used<br />
notations whose expression in words either is awkward or requires considerable<br />
space, and (2) the exercise of great care by each writer when introducing a new<br />
symbol - the symbol should be suggestive, if possible, of the idea for which it<br />
stands, and it should be defined in each and every paper in which it is used<br />
until its usage by authors becomes sufficient to warrant the omission of the<br />
definition. The reviewer knows of nothing which can do more to bring these<br />
agencies to bear in the field than the appearance of books like Hausdorff's in<br />
which a very elegant system of notation is used which follows, in the main, the<br />
modern tendencies in the subject. Hausdorff's symbols are all clearly defined<br />
and are, for the most part, quite suggestive of the things for which they stand.<br />
In some cases it seems to the reviewer that too much notation is used and<br />
several unnecessary symbols are introduced, but of course that is questionable.<br />
The notation aeA to mean „a is an element of A" and alA to mean „a is not<br />
an element of A" seems objectionable in some respects. Particularly it is true<br />
since, just two pages further on, the author introduces the notation A = B [sic!]<br />
to mean „A is a subset of B", and A < B [sic!] to mean „A is a proper subset<br />
of 5". It is quite true that aeA and a = A [sic!] do not convey exactly the same<br />
meaning, since the first indicates that a is one of the elements of A, while the<br />
second merely indicates that a belongs to A (a might be either a single element<br />
or a collection of elements of A); nevertheless, it seems that we should be able<br />
421
to do without the former of these symbols. In general usage it would ordinarily<br />
be known whether or not a consisted of a single element or a collection of<br />
elements; and such being known, the distinction between the notation aeA and<br />
a — A appears to the reviewer to become unimportant. The notation aeA is<br />
objectionable for the additional reason that the notation X means the set X<br />
plus all of its limiting elements, and to use e in an entirely different sense<br />
is confusing to a reader even though he can soon grasp the correct meaning.<br />
Another confusing thing is the author's use of the term „Entfernung", which<br />
we would translate as „distance", for one thing and the term „Distanz"for a<br />
different thing. The former of these is denoted by xy (for distance from x to<br />
y) and the latter by 'xy. On the whole, however, the system of notation is very<br />
good and is one which authors in the subject would do well to study and follow<br />
wherever it is necessary or desirable to resort to symbolic language. The use<br />
of the term component to replace the rather awkward term maximal connected<br />
subset seems especially desirable to the reviewer.<br />
We consider now §39,1 of the book, which is entitled Bedingungen fiir einfache<br />
Kurven. Here the author lists the following five conditions as necessary<br />
conditions in order that a metric space C be a simple continuous arc.<br />
{a) C is self-compact.<br />
{(3) C contains two points a and h between which it is an irreducible continuum.<br />
(7) C contains two points a and h between which it is irreducibly connected.<br />
{5) [a condition equivalent to (7)].<br />
(e) C is locally connected, i.e., connected im kleinen.<br />
He then proceeds to state (cf. Theorems HI and IV) that the sets of conditions<br />
(a, 7), (Q^,(5), and (a,^, e) are necessary and sufficient in order that C should<br />
be a simple continuous arc. No proof is given for the sufficiency of the sets<br />
(a, 7) and (ce, (S); instead, references are made to N. J. Lennes and W. Sierpinski,<br />
respectively. However, the author gives a complete proof for the sufficiency of<br />
the set of conditions (a, (3, e). This proof is very elementary in nature, and we<br />
do not critizice the author in the least for giving it. It is interesting, however,<br />
to see how the theorem follows by the following line of argument: Since C is<br />
compact, by (ce), and metric and, by (e), is locally connected, it is readily seen<br />
that C satisfies axioms 1, 2, and 4 of R. L. Moore's paper On the foundations of<br />
plane analysis situs.'^ Hence by Theorem 15 of that paper, the proof of which<br />
uses essentially only these axioms, it follows that C is arcwise connected. But,<br />
by (/3), C is an irreducible continuum between some two of its points a and 6;<br />
and since C contains an arc from a to 6, it is clear that C must be identically<br />
this arc.<br />
It is of interest in this connection to note that if C is a subset of a Euclidean<br />
space of any number of dimensions, then the condition a may be omitted from<br />
the set (ce, /^, e), i. e., conditions (/5, e) characterize an arc in an Euclidean space.<br />
For, by (/3), C is an irreducible continuum between some two of its points a and<br />
^Transactions of the American Mathematical Society, vol. 17 (1916), pp. 131-164.<br />
422
6; and since, by (e), C is locally connected, then by a theorem of R. L. Moore's^<br />
C contains an arc t from a to h. Clearly C must be identical with t. It is<br />
also true^ that, in a Euclidean space, conditions (7, e) characterize a simple<br />
continuous arc.<br />
G. T. WHYBURN<br />
^ A theorem concerning continuous curves^ Bulletin of the American Mathematical Society,<br />
vol.23 (1917), pp. 233-236.<br />
"^Cf. G. T. Whyburn, Concerning connected and regular point sets, Bulletin of the American<br />
Mathematical Society, vol. 33 (1927), pp. 685-689. Although the proofs in this paper<br />
are worded for the Euclidean plane, it is obvious that they hold in a Euclidean space of any<br />
number of dimensions. Also it seems to be true that the results of this paper hold, and hence<br />
that conditions (7, e) characterize an arc, in any metric space which is locally compact.<br />
423
Liste der Rezensionen zu [H 1935a]<br />
GERMAN, H. M. in: Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936),<br />
619.<br />
HORNICH, H. in: Monatshefte fiir Mathematik und Physik 42 (1935), 23.<br />
KAMKE, E. in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 46<br />
(1936), Literarisches, 25.<br />
LiETZMANN, W. in: Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschaftlichen<br />
Unterricht aller Schulgattungen 66 (1935), 406.<br />
MAAK, W. in: Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik 16 (1936),<br />
380.<br />
PANNWITZ, E. in: Jahrbuch liber die Fortschritte der Mathematik 61 (1935)<br />
(erschienen 1936), 60-61.<br />
* SKOLEM, TH. in: Norsk Matematisk Tidsskrift 17 (1935), 52-53.<br />
* ViVANTi, G. in: BoUetino di Matematica 32 (1936), A V-VI.<br />
Die mit einem Stern gekennzeichneten Rezensionen sind auf den folgenden Seiten<br />
in deutscher Ubersetzung (aus dem Norwegischen bzw. Italienischen) abgedruckt.<br />
Ferner erschien die folgende kurze Selbstanzeige HAUSDORFFS im Zentralblatt<br />
fiir Mathematik und ihre Grenzgebiete 12 (1936), 203.<br />
HausdorfF, F.: Mengenlehre. 3. Aufl. (Goschens Lehrbiicherei Gruppe<br />
1, Bd. 7.) Berlin und Leipzig: Walter de Gruyter 1935. 307 S. RM. 13.50.<br />
Die ersten neuen Kapitel der 3. Auflage sind ein fast unveranderter Abdruck<br />
der 2. Auflage. Ein neu hinzugefiigtes zehntes Kapitel behandelt die Bairesche<br />
Bedingung und halbschlichte Abbildungen; auf einige weitere inzwischen erzielte<br />
Fortschritte ist, ohne Beweise, in kleineren Nachtragen hingedeutet.<br />
F. Hausdorff (Bonn).<br />
424
Rezension von TH. SKOLEM in Norsk Matematisk Tidsskrift<br />
F. Hausdorff: Mengenlehre, 3. Auflage (Goschens Lehrbiicherei; Gruppe 1, Band<br />
7). 307 S. Walter de Gruyter & Co., Berlin und Leipzig; 1935.<br />
Die vorliegende 3. Auflage von Hausdorffs Lehrbuch der Mengenlehre ist ein<br />
fast unveranderter Nachdruck der 2. Auflage. Der Unterschied besteht im wesentlichen<br />
darin, dafi ein Kapitel hinzugefiigt worden ist, Kap. 10, wo einige<br />
Forschungsthemen der letzten Jahre diskutiert werden, deren Studium zu<br />
wichtigen Fortschritten gefiihrt hat. Die erste Auflage des Buches war dagegen<br />
ganz wesentlich verschieden von der 2. bzw. 3. Auflage insofern, als damals mehr<br />
von der allgemeinen Mengenlehre abgehandelt worden war; so fand man dort<br />
z. B. ziemlich viel liber geordnete Mengen. Da es im wesentlichen die Punktmengenlehre<br />
und die Lehre von den Funktionenmengen gewesen sind, die spater<br />
mit Gewinn untersucht wurden, sah sich der Verfasser, um die wichtigsten<br />
hierin erzielten Fortschritte einzubeziehen, gezwungen, viel vom Inhalt der ersten<br />
Auflage wegzulassen. Neben dem grofiten Teil der allgemeinen Theorie<br />
der geordneten Mengen ist auch Lebesgues Mafi- und Integrationstheorie weggelassen<br />
worden, und der topologische Standpunkt, der in der erst en Auflage<br />
der Punktmengentheorie zugrundegelegt worden war, ist durch den einfacheren<br />
metrischen Standpunkt ersetzt worden. Dennoch findet man weiterhin ein<br />
wenig iiber topologische Raume, namlich im § 40.<br />
Das wichtigste, in den letzten Auflagen Hinzugekommene ist die voUstandigere<br />
Behandlung der Borelschen Mengen, der Suslinschen Mengen und der<br />
Baireschen Funktionen. Auch die Lehre von den stetigen Abbildungen und<br />
Hom5omorphien ist ausfiihrlicher behandelt als zuvor. Der Verfasser stiitzt<br />
sich auf den „naiven" Mengenbegriff; er sagt ausdriicklich, daB er sich nicht<br />
auf eine Diskussion der Antinomien oder der Grundlagenprobleme einlassen<br />
will. Es kann wohl bezweifelt werden, ob dieser Standpunkt, den nach wie vor<br />
viele Mengentheoretiker und auch andere Mathematiker einnehmen, besonders<br />
gliicklich ist. Der Unterzeichnete ist jedenfalls der Meinung, daB die Mathematik<br />
nur an Klarheit gewinnen kann, wenn man ausdriicklich nur mit einem<br />
prazisierten Mengenbegriff operiert, so daB die Definition der Mengen durch<br />
logische e-Ausdriicke und o:-Ausdriicke erfolgt, die durch logische Operationen,<br />
Konjunktion, Disjunktion, Negation, Anwendung von „alle" und „es existiert"<br />
aufgebaut werden konnen, wobei die Relation xey, o: x ist ein Element<br />
von y, zugrundegelegt wird.<br />
Um einen klareren Eindruck vom Inhalt des Buches zu geben, will ich ganz<br />
kurz sagen, was in den einzelnen Kapiteln behandelt wird. Der Verfasser beginnt<br />
in Kap. 1 mit einer Diskussion von Mengen und Funktionen im allgemeinen<br />
sowie der verschiedenen Operationen mit Mengen, namlich Vereinigungen,<br />
Durchschnitte, Produkte und Potenzen. In Kap. 2 werden die Kardinalzahlen<br />
diskutiert und in Kap. 3 die Ordnungstypen; es sind die allgemeinsten Satze<br />
und ein Teil naheliegender Beispiele, die behandelt werden. In Kap. 4 werden<br />
die Ordnungszahlen diskutiert, also die Ordnungstypen wohlgeordneter Men-<br />
425
gen. Nach der Definition des BegrifFs „wohlgeordnete Menge" wird der Satz bewiesen,<br />
dafi jede Menge wohlgeordnet werden kann. Der Beweis wird natiirlich<br />
in Zermelos Art gefiihrt mit Hilfe des Auswahlprinzips. Man mufi hier wohl<br />
kritisieren, daB der Verfasser nicht hervorhebt, daB eine solche besondere Voraussetzung<br />
zugrundegelegt wird. Weiterhin werden die wichtigsten Operationen<br />
mit Ordnungszahlen und die aufsteigende Reihe der Alefs behandelt. -<br />
Vom fiinften Kapitel ab beginnt der zweite Teil des Buches, der besonders<br />
vom gewohnlichen mathematischen Standpunkt aus von Interesse ist. Nach einer<br />
in Kap. 5 erfolgenden Diskussion von Mengensystemen, die im Hinblick auf<br />
gewisse Operationen wie Bildung von Vereinigungen oder Durchschnitten abgeschlossen<br />
sind, speziell Borelsche Systeme und Suslinsche Mengen, beginnt im<br />
Kap. 6 die eigentliche Punktmengentheorie. In Kap. 7 werden diejenigen Teile<br />
der Punktmengenlehre behandelt, in denen die Ordnungszahlen besonders zur<br />
Anwendung kommen, in Kap. 8 wird die Abbildung von Raumen aufeinander<br />
behandelt, in Kap. 9 werden reelle Funktionen studiert - von besonderem Interesse<br />
sind hier die Baireschen Funktionen - und zum Schlufi in Kap. 10 werden,<br />
wie schon erwahnt, einige der wichtigsten neueren Errungenschaften auf dem<br />
Gebiet der Mengenlehre diskutiert. Danach kommen „Nachtrage", in denen<br />
einige weitere Resultate der letzten Zeit ohne Beweis wiedergegeben werden.<br />
Das Buch ist eine griindliche Darstellung der wichtigsten Dinge sowohl aus<br />
der klassischen allgemeinen Mengenlehre als auch aus der Lehre von den Punktmengen,<br />
den reellen Funktionen und den Funktionenmengen. Es mufi als ein<br />
sehr wertvoiles Buch bezeichnet werden.<br />
Th. Skolem.<br />
Ubersetzung aus dem Norwegischen: Reinhard Siegmund-Schultze<br />
426
Rezension von G. ViVANTi in BoUetino di Matematica<br />
F. HAUSDORFF - Mengenlehre. Berlin - Leipzig, Walter de Gruyter & C, 1935:<br />
8^ p. 307.<br />
Diese 3. Auflage ist ein fast unveranderter Wiederabdruck der 2. Auflage<br />
(1927) mit einem zusatzlichen Kapitel und einigen sehr kurzen Nachtragen.<br />
WoUte man eine detaillierte Darstellung des Inhalts des vorliegenden Buches<br />
geben, mlifite man die Erklarung einer sehr grofien Anzahl technischer Termini<br />
vorausschicken, von denen viele unter den Spezialisten der Mengenlehre^ noch<br />
nicht allgemein gebrauchlich sind. Wir werden uns damit begnligen, eine kurze<br />
Ubersicht der Hauptpunkte der einzelnen Kapitel zu geben.<br />
Im Kapitel 1 definiert der Autor Aquivalenz, Summe, Durchschnitt, Produkt<br />
und Potenz von Mengen, ausgehend vom Begriff Menge^ der als ursprlinglicher<br />
Begriff (concetto primitivo) aufgefafit wird.<br />
Im Kapitel 2 fiihrt der Autor den Begriff der Kardinalzahl ein. Er beweist<br />
den fundamentalen Satz von Cantor-Bernstein; er erwahnt auch den vierten<br />
FalP^ von dem er ankiindigt, spater seine Unmoglichkeit zu beweisen. Der<br />
Autor geht dann von den Operationen mit Mengen zu den entsprechenden<br />
Operationen mit Kardinalzahlen liber. Er beweist ferner die Existenz einer<br />
unbegrenzt wachsenden Skala solcher Zahlen und widmet den elementarsten<br />
transfiniten Kardinalzahlen besondere Aufmerksamkeit.<br />
Im Kapitel 3 werden die Ordnungstypen dargestellt; insbesondere werden die<br />
Typen von abzahlbaren Mengen und von Mengen mit Kontinuumsmachtigkeit<br />
behandelt.<br />
Dem Studium der Ordinalzahlen ist das vierte Kapitel gewidmet. Der Autor<br />
zeigt zunachst, den Spuren Zermelos folgend, dafi jede Menge wohlgeordnet werden<br />
kann. Er behandelt dann die Operationen mit Ordinalzahlen und wendet<br />
die Folgerungen aus dem Satz von Zermelo auf die transfiniten Kardinalzahlen<br />
an {Aleph-Zahlen).<br />
Im Kapitel 5 werden Mengensysteme betrachtet. Ein Mengensystem, das die<br />
Eigenschaft besitzt, die Summe und den Durchschnitt einer beliebigen Folge<br />
von Elementen des Systems zu enthalten, heifit ein Borelsches System. Flir jedes<br />
System M. von Mengen existiert ein kleinstes Borelsches System, das M<br />
enthalt; seine Elemente heifien die von M erzeugten Borelmengen. Weniger einfach<br />
ist die Definition der Suslinmengen, welche die Borelmengen als Spezialfall<br />
enthalten.<br />
Mit Kapitel 6 beginnt das Studium von Punktmengen. Ein metrischer Raum<br />
ist eine Menge von Elementen, die Punkte genannt werden, mit der Eigenschaft,<br />
daB jedem Paar x^y von Punkten eine nichtnegative reelle Zahl xy {Abstand)<br />
^VlVANTl schreibt „teoria degli aggregati"; „Menge" ist bei ihm immer „aggregate". -<br />
Anm. des Ubersetzers.<br />
^Gemeint ist der Fall der Unvergleichbarkeit von zwei Kardinalzahlen. - Anm. des Ubersetzers.<br />
427
zugeordnet wird, so dafi folgende Bedingungen erfiillt sind:<br />
XX = 0;<br />
xy — yx > ^ fiir x verschieden von y\<br />
xy -\-yz> xz.<br />
Es werden auf diese Raume die Begriffe und Definitionen ausgedehnt, die fiir<br />
euklidische Raume gebrauchlich sind. Ein tiefergehendes Studium der Punktmengen<br />
in einem metrischen Raum erfordert den Gebrauch von transfiniten<br />
Ordinalzahlen; einem solchen Studium ist das siebente Kapitel gewidmet.<br />
Im Kapitel 8 werden Abbildungen eines Raumes auf einen anderen Raum<br />
betrachtet. Insbesondere werden eineindeutige Abbildungen studiert, die zusammen<br />
mit ihren Inversen stetig sind {Homdomorphismen). Bemerkenswerte<br />
Eigenschaften haben die Streckenbilder, d. h. die stetigen Bilder eines abgeschlossenen<br />
geradlinigen Segments, ferner auch die einfachen Kurven^ die<br />
homoomorphen Bilder eines solchen Segments.<br />
Ist eine Punktion / der Punkte eines Raumes gegeben, so heifit die Menge<br />
aller Punkte, in welcher / groBer oder gleich einer vorgegebenen Zahl ist, eine<br />
Lebesguesche Menge dieser Funktion. Kapitel 9 ist dem Studium der Beziehungen<br />
zwischen Funktionen und ihren Lebesgueschen Mengen gewidmet.<br />
Kapitel 10, welches in der vorliegenden Ausgabe neu ist, behandelt im ersten<br />
Teil eine gewisse Bedingung, die als Bairesche Bedingung bezeichnet wird;<br />
der zweite Teil diskutiert einen Typ von Abbildungen eines Raumes auf einen<br />
anderen, die als halbschlicht bezeichnet werden.<br />
Die eher kurzen Nachtrage, die das Buch abschliefien, geben ohne Beweise<br />
liber einige neuere Ergebnisse in der in diesem Buch behandelten Theorie Auskunft.<br />
G. ViVANTI<br />
Ubersetzung aus dem Italienischen: Sergio Albeverio<br />
428
Die Machtigkeit der Borelschen Mengen.<br />
Math. Annalen 77 (1916), 430-437<br />
[H 1916]
Die Machtigkeit der Borelschen Mengen.<br />
Von<br />
P. HAUSDORFP in Greifswald.<br />
Ein System von Mengen, dem auch die Summe<br />
Ton abzahlbar vielen Mengen des Systems angehort, lieiBe ein (J-System;<br />
ein System, dem auch der Durchschnitt<br />
von abzahlbar vielen Mengen des Systems angehort, heifie ein d-System;<br />
ein System, das beide Eigenschaften hat, ein (^d)-System. Wir bilden<br />
das kleinste (
Die Machtigkeit der Borelschen Mengen. 431<br />
(3) die Summen G^^ aus abzahlbar vielen Mengen G^ (die Durclischnitte<br />
G§§ aus solclien sind wieder Mengen G^j<br />
(4) die Durchsclinitte Gsad aus abzahlbar vielen Mengen Gda und so<br />
fort fiir endliche Indizes, dann weiter<br />
(co) die Durchschnitte aus abzahlbar vielen Mengen der Klassen<br />
(1)(2)(3)...,<br />
(co +1) die Summen aus abzahlbar vielen Mengen der Klasse (co)<br />
und so fort fiir transfinite Indizes der zvreiten Cantorschen Zahlenklasse,<br />
Um dies Bildungsgesetz zu prazisieren, definieren wir also fiir jede Ordnungszahl<br />
a (l^c^
432 F. HAUSDORFP.<br />
anderea Klasseneinteilung; denn da jedes F ein G§ und jedes G ein F^<br />
ist (das gilt in jedem metrischen Raume; G. d. M., S. 306)^ so ist die<br />
Klasse [a\ in der Klasse {a + 1) und die Klasse [a) in der Klasse \a +1]<br />
enthalten.<br />
Summe und Durchsehnitt yon zwei (oder endlich vielen) Mengen der<br />
Klasse (a) ist wieder von dieser Klasse. Wenn diese Eigenschaft namlich<br />
einem System von Mengen M zukommt, so kommt sie auch den Mengen<br />
M^ und den Mengen M^ zu; sie libertragt sich also von den Gebieten<br />
auf alle folgenden Klassen. In diesem Falle kann man die M^ als Summen<br />
aufsteigender Mengenfolgen darstellen, d. h.<br />
annehmen, indem man andernfalls M.^ durcli @(-Mi, M^, - - -, ifeTj ersetzt^<br />
welche Summe wieder ein M ist; ebenso die M^ als Durchsclmitte absteigender<br />
Mengenfolgen. Die Different zweier Mengen der Klasse (a) ist<br />
Darclisclinitt einer Menge der Klasse (a) mit einer Menge der Klasse [a]y<br />
also Durchschnitt von zwei speziellen Mengen der Klasse (a + 1)^ demnacli<br />
selbst von der Klasse (c*:+l)? iibrigens ebenso von der Klasse [a + 1].<br />
AUes dies gilt auch von den Komplementklassen [aj.<br />
Man kann die Frage aufwerfen^ ob die wiederholte Summen- und<br />
Durckschnittsbildung wirklich zu immer neuen Mengen fiihrt; es konnte<br />
ja sein, da6 sckon eine bestimmte Klasse (a), ein ((9^)-Sjstem ist^ so daB<br />
alle Borelschen Mengen in Wahrheit von dieser oder noeli geringerer<br />
Klasse waren. Das hangt naturlich von dem Raume ab, dem unsere<br />
Mengen angeboren; in einem Raum mit nur abzahlbar vielen Punkten<br />
ware jede Punktmenge hochstens abzahlbar, also ein F^, Im euklidischen<br />
Raum existieren aber Borelsche Mengen von beliebig hoher Klasse, die<br />
sich nicht auf solche niederer Klasse reduzieren: das geht aus dem Zusammenhang*)<br />
der Borelschen Mengen mit den Baireschen Funktionen<br />
und aus dem (a. a. 0. bewiesenen) Satz von H. Lebesgue hervor, daB es<br />
Bairesche Funktionen beliebig hoher Klasse gibt, die sich nicht auf solche<br />
niederer Klasse reduzieren.<br />
TJm ein paar Beispiele von (linearen) Borelschen Mengen zu nenneu:<br />
die Menge der rationalen Zahlen ist ein F^, aber kein G^^ da sonst auch<br />
ihr Komplement ein F^ und beide von erster Kategorie waren; die Funktion<br />
f{x), die fiir rationales x gleich 1, fiir irrationales gleich 0 ist, ist<br />
eine Bairesche Funktion zweiter und nicht geringerer Klasse, d. h. sie ist<br />
zweifacher Limes (Limes von Limites) stetiger Funktionen, aber nicht<br />
*) H. Lebesgue, Sur les fonctions representables analytiquement, Journ. de<br />
Math. (6) 1 (1905); W, H. Young, On functions and their associated sets of points,<br />
Proc. London Math. Soc. (2) Vl (1912).<br />
433
Die Machtigkeit der Borelsclien Mengen. 433<br />
einfacher. Die Menge der irrationalen Zahlen, in deren Kettenbruchentwicklung<br />
die Teilnenner nach oo divergieren, ist ein Fadj aber kein G^a]<br />
die Funktion, die in dieser Menge = 1 und sonst = 0 ist, ist eine Bairesche<br />
Funktion dritter iind nicbt geringerer Klasse*).<br />
Wir kommen nun zum Zweck dieser Mitteilung, namlicb zum Beweis<br />
des Satzes:<br />
Jede Borelsche Menge ist entweder endlich oder atozahlbar oder<br />
yon der Machtigteit des Kontinnums.<br />
Dies war bisher ftir die abgeschlossenen Mengen F durch G. Cantor,<br />
fiir die Grebietsdurchscbnitte G^ durch W. H. Young bekannt; icb hatte<br />
es (G. d. M., S. 465) nocli fiir die Gsad bewiesen, wonacb es fiir die G^ada<br />
trivial ist. Insgesamt ergibt dies die Giiltigkeit des Satzes fiir die Mengen<br />
und F, Fa, Fad, Fada<br />
bis zu den Klassen (5) und [4], also z. B. auch fiir Differenzen von zwei<br />
Mengen aus den Klassen bis (4) und [4]. Das obige Theorem, fiir die<br />
Borelschen Mengen aller Klassen mit endlichem oder unendlichem Index<br />
gtiltig, ist also eine sehr weitgehende VerallgemeineruDg der bisher bekannten<br />
Machtigkeitssatze,<br />
Wir nehmen die von den Gebieten ausgehende Darstellung der Borelschen<br />
Mengen zu Hilfe und bezeichnen die Klasse (|) einfacher mit §;<br />
wir erinnern uns ferner, da6 Mengen gerader Klasse als Durchschnitte<br />
aus Mengen ungerad'er Klasse, diese als Summen aus Mengen gerader<br />
Klasse dargestellt werden konnten, und da6 wir die Summen aus aufsteigend<br />
geordneten Summanden bilden durften. Es geniigt, den Machtigkeitssatz<br />
fiir die Mengen gerader Klasse zu beweisen. Eine Menge A von<br />
gerader Klasse | stellt sich so dar:<br />
A. von ungerader Klasse |^ < ^. Insoweit 1^. = 1, A- ein Gebiet ist, ist<br />
die Zerlegung beendet; fiir g^. > 1 ist<br />
A^ von gerader Klasse |^ < ^•. Weiter ist<br />
A^., von ung;erader Klasse |^, < £?. Wenn £^, > 1, ist sodann<br />
tk \ tk' ik' I j j iky<br />
*) R. Baire, Sur la representation des fonctions discontinues, Acta Math. 30<br />
(1906).<br />
434
434 F. HAUSDORFF.<br />
danacli wieder<br />
usw. Wie nun aber auch die natiiiiiclien Zahlenfolgen iJcl-'-y pqr - -gewahlt<br />
sein mogen^ so muB unter den ungeraden abnelimenden Ordnungszahlen<br />
^i ^ ^ik -^ ^ikl ^<br />
nach einer endlichen Zalil von Schritten die Zahl 1, also unter den entsprechenden<br />
Mengen ein Gebiet auftreten (iibrigens kann naturlich auch<br />
eine Menge gerader Klasse sicL. auf eine Menge niederer Klasse, insbesondere<br />
auf ein Gebiet reduzieren). Wir nabmen soeben mit dem Erscbeinen<br />
eines Gebiets die Zerlegung als beendet an, woUen aber jetzt lieber<br />
verabreden, daB wir sie aucb dann gemaB der Formel<br />
G = ®((?, G, G, ...) = ^{G, G,G,- 0<br />
fortsetzen; wenn z. B. J.^^^ = (?, so soil audi<br />
AP _ APi __ /fP!z _ AP^'^ _ ,, — a<br />
ik Ik ikl tkl<br />
sein. Auf diese Weise sind alle Mengen, sowohl die mit gleich vielen<br />
oberen (Summen-) und unteren (Durchsclinitts-)IndizeSj wie aucb die mit<br />
einem unteren Index mebr, definiert, und es mu6 aucb in der Reibe der<br />
Mengen<br />
AP APi APi"- , . .<br />
scblieBlicb ein Gebiet auftreten.<br />
Nehmen wir nun an, A sei unabzablbar. Wegen A Q A^ = ^ A^^ ist<br />
J. = (g ^(A, A^] ; unter diesen abzablbar yielen Summanden muB sicb<br />
also gewiB ein unabzablbarer befinden, etwa £> (AJ A^^j , Es seien x^^ x^<br />
zwei Yerdicbtungspunkte*) von und in dieser Menge; wir umgeben sie<br />
als Mittelpunkte mit abgeschlossenen Kugeln Fj, Fg, die keinen Punkt<br />
gemein baben und, falls A^^ ein Gebiet ist, diesem Gehtet angehbren, also<br />
die beigesetzte BezeicbnuDg (G) soil, wie aucb im folgenden, bedeuten.<br />
*) X heifit Yerdiclitungspiinkt von ilf, wenn in jeder Umgebung von x unabzablbar<br />
viele Punkte von M liegen, Im euklidiscben Raum (allgemeiner in einem<br />
metriscben Raum mit abzablbarer dicbter Teilmenge) bat jede unabzablbare Menge<br />
Verdicbtungspunkte, und alle bis auf bocbstens abzablbar viele geboren ibr selbst<br />
an. — Eine „abgescblossene Kugel'' V mit dem Mittelpunkt x und dem Radius Q ist<br />
die Menge der Punkte, die von x eine Entfernung ^Q baben, ein „Kugelgebiet'* U<br />
die Menge der Punkte, die von x eine Entfernung < Q baben.<br />
435
Die Maclitigkeit der Borelschen Mengen. 435<br />
da6 die betreffende Ungleichung dann und nur dann gefordert wird, wenn<br />
die rechtsstehende Menge ein Gebiet ist. In diesem Falle kann ja die<br />
obige Bedingung gestellt werden, da x^^^ x^ Punkte von J^^^ sind. Sind<br />
U^j U2 die zu Fj, V^ geborigen Kugelgebiete mit denselben Mittelpunkten<br />
und Radien, so ist<br />
^{U„, A, Al')<br />
iinabzablbar ftir a = 1, 2 (im folgenden sollen a, ^^y, - - - beliebige von<br />
den Ziffern 1^ 2 sein).<br />
Diese Menge ist nun ^-42 = ©^^2; woraus wir wie oben schlieBen,<br />
dafi eine der Mengen ^{U^y A, -4^\ Af) fiir geeignetes p unabzahlbar ist;<br />
da wir die Al mit dem Index p aufsteigend annehnien konnten, so reicben<br />
wir mit einem geniigend groBen p = p^ fur beide FaHe c^ = 1, 2 aos; es<br />
ist also<br />
%{U„,A,Al\A'^)<br />
unabzablbar. Diese Menge ist aber wieder ^ ^^l = ^^A^^^^y und wir<br />
scblieBen wieder, daB fiir geniigend groBes q == q^j^<br />
^{0^,A,Al\Al%Al\'-)<br />
unabzablbar ist fur beide Werte a. Es seien x^^j x^^ zwei Verdicbtungspunkte<br />
von und in dieser Menge; wir umgeben sie als Mittelpunkte mit<br />
abgescblossenen Kugeln V^^y F^g ^^^^ gemeinsamen Punkt, die in U^<br />
und, falls die Mengen Al"", ^fj^" Gebiete sind, aucJi in diesen Gehieten<br />
liegen, also<br />
jede der beiden letzten Bedingungen wird dann und nur dann gesteUt,<br />
wenn die recbts stebende Menge ein Gebiet ist. Ist TJ^^ das Kugelgebiet<br />
mit gleicbem Mittelpunkt und Radius wie F^^, so ist<br />
^\^ap ^; ^iS -42^ ^11 /<br />
unabzablbar fiir alle vier Wertepaare a, /3.<br />
Deuten wir nocb den nachsten Scbritt des Verfabrens an. Die letztgenannte<br />
Menge ist Teilmenge von<br />
^3 — ^p^3? -^12 — ^9-^12 } ^21 — ^2^21 ? All — '^r All ;<br />
und durcb wiederbolte Anwendung des Schlusses von einer unabzahlbaren<br />
Summe auf die Unabzahlbarkeit eines ihrer abzablbar vielen Summanden<br />
ergibt sicb, daB<br />
^(TT A AP^ JP^ A^^ APi.^11 APi^ii AP2921 APi(liiriii\<br />
'^\^ap -^7 -^1 ; ^2 ' A f Al y A2 ? Al ? All /<br />
436
436 F. HAUSDORFF.<br />
fur gentigend groBe Werte p^, q^^, g^ai? ^lu ^^ ^^^^ ^^^^ Fallen a, jS unabzahlbar<br />
ist. Zu zwei Verdichtungspunkten von und in dieser Menge<br />
werden abgeschlossene Kugeln V^o^, ^aS2 ohuQ gemeinsamen Punkt konstruiert<br />
derart, da6<br />
letztere Ungleichungen nur insoweit geforderfc, als die rechtsseitigen<br />
Mengen Gebiete sind. Die oben zuletzt stebende Durcbscbnittsmenge bleibt<br />
unabzahlbar^ wenn man U^^ durch C/^^^, das zu V^^ gehorige Kugelgebiet,<br />
ersetzt. Beim nacbsten Scbritt wiirden die Mengen mit der unteren<br />
Indizessumme 4 hinzukommen (J.^, A^^, • • •, J-ji^i mit genligend groBen<br />
letztm oberen Indizes) usw. usw.<br />
So erhalt man eine ^dyadisclie" Menge<br />
die von der Macbtigkeit des Kontinuums ist*). Sie ist nacb Konstruktion<br />
Teilmenge von<br />
7^ __
Die Machtigkeit der Borelschen Mengen. 437<br />
struktion bei der Bildung des Durchsclmitts D zur Verwendung kam, also<br />
D ^G ist. X kann also nicht zu D gehoren, womit bewiesen ist, daB<br />
J. ^_ D ^ A von der Machtigkeit des Kontinuums ist.<br />
Damit ist also fiir eine sehr umfassende Kategorie von Mengen die<br />
Machtigkeit geklart; als einen Scbritt zur Losung des Kontinuumproblems<br />
kann man dies freilich kaum auffassen, da die Borelschen Mengen eben<br />
doch noch sehr speziell sind und nur ein verschwindend kleines Teilsjstem<br />
(von der Machtigkeit i5 des Kontinuums) in dem System aller<br />
Mengen bilden (das von der Machtigkeit 2^ > ^ ist).<br />
Wie zu den beiden Hauptpunkten des Beweises (Existenz von Verdichtungspunkten<br />
in einer unabzahlbaren Menge und von gemeinsamen<br />
Punkten bei einer absteigenden Folge abgeschlossener Mengen) bemerkt<br />
wurde, gilt der Machtigkeitssatz in jedem voUstandigen Raum mit abzahlbarer<br />
dichter Teilmenge, z. B. auch im Hilbertschen Raume und in gewissen<br />
Funktionenraumen (G. d. M., S. 317).<br />
438
Commentary on [H 1916]<br />
V. Kanovei; P. Koepke<br />
There was an explosion of research activity in descriptive set theory after the<br />
1917 discovery of Sushn sets (analytic sets). Aside from its evident importance<br />
to the philosophy of modern mathematics {cf. Hilbert's problems), the following<br />
theorem of HAUSDORFF ([H 1916]) (independently obtained by ALEXANDROFF<br />
in [Al 1916]) was one of only a few distinguished antecedents of that discovery.<br />
ALEXANDROFF-HAUSDORFF Theorem: Every uncountable Borel set of reals<br />
X contains a perfect subset, hence, has cardinality c = 2^° .<br />
This generalizes earlier theorems of CANTOR ([Ca 1884], for closed sets). YOUNG<br />
([Y 1903], for Gs sets; see also Grundzuge der Mengenlehre, p. 319) and HAUS<br />
DORFF (for GSCTS sets, hence, also for Gso-sa sets, Grundzuge, pp. 465-466).<br />
Several proofs of the above theorem are known; all of them easily generalize<br />
to Borel sets in Polish spaces. Such a generalization is mentioned in the<br />
final paragraph of [H 1916], although the proof actually given by HAUSDORFF<br />
addresses Borel sets in Euclidean spaces. Set theory textbooks (including Mengenlehre,<br />
§ 32) usually present this theorem as a corollary of a more general<br />
theorem, that states the same result for the wider class of Suslin sets. This later<br />
theorem was first published by Suslin ([Su 1917]), but some of its essential<br />
ingredients appeared in [Al 1916].<br />
The shortest known proof of the Borel set version can be obtained as follows.<br />
To avoid topological details, let us consider Borel sets in Baire space N*^. It<br />
suffices to prove that every Borel set X C N''^ is a continuous 1-to-l image of<br />
a closed subset of INJ*^. This result follows from Theorem III in § 37 of Mengenlehre,<br />
but it can also be proved by a more elementary argument. The proof<br />
proceeds by induction on the countably transfinite number of iterations necessary<br />
to obtain a given Borel set X from closed sets by countable unions and<br />
intersections. The induction step for a countable union is trivial as soon as one<br />
notes that it is sufficient to consider a countable union of pairwise disjoint sets<br />
(as in § 34 of Mengenlehre). As for a countable intersection, if, for all n, Xn<br />
is the image of a closed Zn ^ ^ via a continuous 1-to-l function F^, then<br />
X = Pl^ Xn is a continuous 1-to-l image of the set<br />
Z = {{zo,ZuZ2,...) G Zo X Zi X Z2 X ... : Fo(;^o) = i^i(^i) = i^2(^2) = ...},<br />
which is a closed subset of (Dsl'^)'^.<br />
The original proofs given by ALEXANDROFF and HAUSDORFF are based on<br />
the same method of analysis of the transfinite construction of Borel sets from<br />
intervals; one can even extract an essential common part of the two proofs. Yet<br />
439
the final result is obtained differently: HAUSDORFF concentrates on a straightforward<br />
construction of a perfect subset, while ALEXANDROFF presents a given<br />
Borel set as the outcome of what would later be called the Suslin operation<br />
applied to intervals.<br />
For the reader's convenience, we present both proofs, beginning with their<br />
common part and then finishing with HAUSDORFF'S and ALEXANDROFF's separate<br />
arguments. By necessity we change the original notation and slightly alter<br />
the content of the arguments in order to emphasize their similarity. Note finally<br />
that ALEXANDROFF's article [Al 1916] is, in fact, an extended abstract where<br />
proofs (and some definitions) are only outlined rather than given in detail.<br />
The common part<br />
Let (N'^'^)^ consist of all pairs (s^t) of sequences s,t G N'^'^ of equal length<br />
Ihs = Iht. A set T C (IKI^^)^ is<br />
— a tree if {s \n^t\n) G T whenever (5, t) G T and n
Lemma 2. Suppose that r C T is a complete digression. Then Ilendp'^ — ^ *<br />
Proof. Let x G Hendp'''- ^^ prove that x G X^ for any (s,t) G r, by induction<br />
on |{5,t)|r, the rank of (s^t) in r, which equals 0 whenever (s^t) is<br />
an endpoint of r, and which otherwise is the least ordinal strictly bigger than<br />
all ordinals \{s^p,t^k)\ry where (s^p.t^k) E r. (The definition of |(s,t)|T- is<br />
based on the well-foundedness of r, while the inductive step is based on the<br />
completeness of r.) In particular, x e X = Xj^.<br />
HAUSDORFF'S argument<br />
Suppose that X is an uncountable Borel set. HAUSDORFF obtains a perfect<br />
subset P C X in the form P = p|^ UnG2^ ^^^ where {Pn}nG2
Proof. Let b = {Tn}ne\i^ ^ ^- Then r{b) = flr^T^ ^^ obviously a complete<br />
digression and nendp^(^) = fin Ilendp'^n = rin^Mn. Therefore, fln^Mn Q X<br />
by Lemma 2. To prove the converse, suppose that x e X. The set r' =<br />
{(5,t) G T : X G X/} is obviously a complete digression. Furthermore, there<br />
is a complete digression r C r' such that for any (s^t) G r that is not an<br />
endpoint we have \/p3\k {{s^p^t^k) G r) (note the uniqueness!). For any n,<br />
let Tn be the set of all (s,t) G r such that s consists only of numbers p < n;<br />
clearly r^ is an n-digression and b = {TnjnGiN ^ -S; moreover, x G Hendp'^^<br />
for each n, as required.<br />
By this lemma (the key point of ALEXANDROFF'S proof), the given Borel<br />
set X is the result of the A-operation applied to intervals, i. e., it is a Suslin<br />
set. Of course, ALEXANDROFF was unaware of this as he was writing his note.<br />
Accordingly, the construction of a perfect subset of X (provided that X is<br />
uncountable) is carried out in [Al 1916] by a splitting procedure based on the<br />
particular digression structures behind the equality of the lemma rather than<br />
on the general idea of the A-operation as, e.g., in the proof of Theorem I in<br />
§ 34 of Mengenlehre.<br />
References<br />
[Al 1916] ALEXANDROFF, P.: Sur la puissance des ensembles mesurables B.<br />
Comptes Rendus Acad. sci. Paris 162 (1916), 323 - 325.<br />
[Ca 1884] CANTOR, G.: Uber unendliche lineare Punctmannichfaltigkeiten.<br />
Teil VL Math. Annalen 23 (1884), 453-488.<br />
[Lo 2001] LORENTZ, G. G.: Who discovered analytic sets. The Mathematical<br />
Intelligencer 23 (4) (2001), 28-32.<br />
[Lu 1917] LusiN, N.: Sur la classification de M. Baire. Comptes Rendus<br />
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[Y 1903] YOUNG, W. H.: Zur Lehre der nicht abgeschlossenen Punktmengen.<br />
Ber. der Ges. der Wiss. zu Leipzig 55 (1903), 287-293.<br />
442
Die Mengen Gs in vollstandigen Raumen.<br />
Fundamenta Mathematicae 6 (1924), 146-148.<br />
[H 1924]
Die Mengen G^ in vollstandigen Raumen.<br />
Von<br />
F. Hausdorff (Bonn).<br />
Herr P. Alexandroff hat den interessanten Satz^) gefunden,<br />
dass die in vollstandigen separablen Raumen liegenden Mengen<br />
G^ topologisch niehts anderes als voUstandige separable<br />
Raume selbst, d. h. mit ihnen homoomorph sind. Da der (loc. cit.<br />
nur skizzirte) Beweis nach der eigenen Angabe des Verfassers ziemlich<br />
schwierig zu sein scheint, so mochte ich hier einen kurzen und<br />
einfachen Beweis mittheilen^ tiberdies ohne Einschrankung auf sepa^rable<br />
Raume. Der Satz lautet also:<br />
Jede Menge G^ in einem vollstandigen Raum ist mit einem VQllstdndigen<br />
Raum homoomorph<br />
Es sei E ein metrischer Raum, in dem also zwei Punkte a?, y<br />
eine Entfernung xy haben, die den Forderungen gentlgt:<br />
(a) xy = yx^O ftir x=^y; a:a? == 0,<br />
(P) xy + yz'^xz (Dreiecksungleichung),<br />
Ist F irgend eine Menge in E^ so sei*)<br />
(1) xFz=:m{xi, xyF=:m{{xt+yt%<br />
xF also die (untere) Entfernung des Punktes x von der Menge F,<br />
Aus<br />
xt'\'yt^xF-\'yF^ xt\-yt^2 ,xt \'Xy<br />
folgt unniittelbar<br />
(2) xyt^xl +yl,<br />
(3) xyI^2.xF-^xy.<br />
*) P. Alexandroff, Sur les ensembles de la premiere classe et les ensembles<br />
abstraits. Comptes Rendus 178 {1924;), p. 185—187.<br />
*) inf = Infimum = untere Grenze, sup = Supremum = obere Grenze.<br />
445
147 P. Hausdorff:<br />
Wenn F abgeschlossen ist und x^ y nicht zu F gehoren^ ist xF'^ 0<br />
und nach (2) xyF'^0, In diesem Falle sei<br />
(4) q>{x, y) = —-^-== sup ^^<br />
xy + xyF ts/ xy + xt + yt'<br />
Diese Funktion hat Entfernungscharakter; sie erfttllt (a) und<br />
die Dreiecksungleicliung<br />
(5) (p{x, y) + q){y, z) > (p(x, z),<br />
Denn wegen yt^yz-\-zt^ yi^^y+^i ist fur teF (also x^y^z=\^t)<br />
<br />
xy + yz + xt + zt xz + xt + zt<br />
Nunmehr sei A in £ ein G^^^ B = E—A ein F^,<br />
J5 = -Fi + i^2 + ^3 + • • •? ^n abgeschlossen.<br />
Wir wahlen eine convergente Reihe ^c„ positiver Zahlen und definiren<br />
fur xsA^yeA<br />
(6) xy = ^c„ ^j^q^^^ - ^c„'' "^<br />
2 xy + xF^<br />
uud mit xy-^Q zugleich a;y->0.<br />
Endlich sei<br />
(8) xy = m^^\xy^xy]'^<br />
446
Die Mengen G^ 148<br />
das ist wieder eine Entfernung und erzeugt einen dritten, mit A<br />
und A homoomorphen Raum A. Wir zeigen, dass mit E zugleich<br />
auch A vollstdndig ist^ was den Beweis unseres Satzes voUendet.<br />
Sei x„ eine Fundamentalfolge (Oauchysche Folge) in A] wegen<br />
xy'^xy ist sie auch eine in A (ebenso in Z), hat also einen Limes<br />
in E. Dieser kann nicht zu B gehoren. Denn fiir xJ-^Q^ teB<br />
und etwa teF^ hat man nach (7) fiir m
Commentary on [H 1924]<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
Although the short paper [H 1924] contains just one result and its proof, it<br />
(together with a short paper by P. S. ALEXANDROFF mentioned below) started<br />
the study of completeness concepts in a topological sense.<br />
The concept of completeness for metric spaces and the significant contribution<br />
of HAUSDORFF to its development are dealt with in Band II of this series.<br />
We recall that HAUSDORFF (in [H 1914a], Kap.VHI, §9, I and V) was the first<br />
who stated and proved two important theorems for complete metric spaces<br />
known earlier for the space of real numbers. The assertion of the first theorem<br />
(proved by G. CANTOR for the special case of the reals in [Can 1880]) depends<br />
on a given metric:<br />
// (An) is a decreasing sequence of non-empty closed sets in a complete metric<br />
space then P| A^ 7^ 0 provided the An-diameters converge to 0.<br />
Although the next theorem follows from the previous one, its assertion is of<br />
a topological character (proved by R. BAIRE for the reals in [Bai 1899]):<br />
If X is a complete metric space and (An) is a sequence of open dense subsets<br />
of X, then the intersection f]An is dense in X.<br />
The last result is often called the Baire category theorem. For its assertion<br />
to be valid one does not need the given metric to be complete, it suffices<br />
if there is a complete metric inducing the same topology. Topological spaces<br />
the topology of which is induced by a complete metric are called completely<br />
metrizable topological spaces. Thus, BAIRE'S theorem holds for completely<br />
metrizable topological spaces, whereas CANTOR'S theorem holds for complete<br />
metric spaces.<br />
Topologists realized the importance of completely metrizable topological<br />
spaces (mainly around 1920) and tried to find purely topological characterizations<br />
(first in the realm of metrizable spaces).<br />
In [Pre 1921], M. FRECHET asked whether there exists a metric space not<br />
admitting a complete topologically equivalent metric. He did not realize that<br />
the answer follows from his own result published in [Pre 1910, Th. 14, page 8],<br />
namely that each non-empty complete and dense~in-itself metric space must<br />
be uncountable, so that the metric space of rational numbers does not admit a<br />
complete metric. In fact, for rational numbers an even older result from [YY<br />
1906] could be used. It was W. SiERPiNSKi and E. W. CHITTENDEN who reproved<br />
the above-mentioned result of FRECHET independently in letters sent to<br />
FRECHET (see [Pre 1924]). CHITTENDEN showed even more; namely, that the<br />
cardinality of a complete and dense-in-itself space must be (even locally) at<br />
least that of the continuum (see [Chi 1924]). Apparently none of these authors<br />
was aware of the same results in [H 1914a] (see also §26 in [H 1935a]).<br />
448
In the year 1924, two basic papers appeared that partly solved the problem<br />
of a topological description of completely metrizable spaces. The first one was<br />
published by P. S. ALEXANDROFF in [Ale 1924] (written in 1922) and contains<br />
the following result:<br />
A subspace of a complete separable metric space X can be re-metrized by a<br />
complete metric if and only if it is a G5-subset of X,<br />
The second paper by HAUSDORFF, [H 1924], is a reaction to that result: it<br />
contains the sufficiency of the same condition without requiring separability of<br />
the space X.<br />
Because of a further development it seems to be appropriate to mention two<br />
facts from a sketch of ALEXANDROFF's proof (he remarked that the whole proof<br />
was rather complicated and was going to be published elsewhere - with respect<br />
to the development discussed below, his proof has never been published). ALEX<br />
ANDROFF first indicates that separable metric spaces are complete iff each of<br />
their open bases contains a base B having the property that H^i Bn ^ ^<br />
whenever {Bn) is a decreasing sequence in B - he uses the terminology that<br />
the base B has a closed property. To show the existence of such a base for<br />
a G^-subset of a complete separable metric space X, he asserts that one can<br />
find a sequence Cn of open locally finite covers of X such that H^i Cn i^ ^<br />
whenever (Cn) is a monotone sequence with Cn ^Cn - nowadays, such a property<br />
of a system of open covers is called completeness of the system - it was<br />
used later by HAUSDORFF for his generalizations of completeness (we should<br />
note that ALEXANDROFF's procedure (expressed in modern terminology) proves<br />
that every separable metric space is paracompact). To finish the proof, he<br />
constructs a metric on X (by means of a procedure from [AU 1923]) that is<br />
complete because of the special property of the base. That proves sufficiency of<br />
the main result (necessity was said to follow from HAUSDORFF's generalization<br />
of CANTOR'S theorem).<br />
ALEXANDROFF uses the fact that separable metric spaces are subspaces of<br />
compact metric spaces. Such an assertion is not true for nonseparable spaces,<br />
and for such spaces HAUSDORFF needed to find another approach. He constructed<br />
directly a metric p on a G 0 and J^c^ converges) and proved that this metric is complete<br />
and equivalent to the restriction of d.<br />
Before HAUSDORFF published his proof, he sent it to ALEXANDROFF. We<br />
do not have that letter at our disposal, we know about it from the answer by<br />
ALEXANDROFF and URYSOHN. In their letter to HAUSDORFF of May 21, 1924<br />
(written in Moscow, Nachlass HAUSDORFF, Kapsel 61), they add a proof of the<br />
converse of HAUSDORFF'S result as suggested by URYSOHN:<br />
Every completely metrizable space is a Gsset in every larger metrizable space.<br />
449
Their reasoning is very simple: Suppose X is a completely metrizable topological<br />
space that is homeomorphic to a subspace A of a metric space Y. For every<br />
X ^ A one can find e^ < 1/n such that the intersection Sx,n of the open ball in<br />
Y around x with diameter e^ with A has diameter less than 1/n in X. It is very<br />
easy to show that A = H^i ^n, where Gn = UXGX '^x,n is an open subset of<br />
Y. That approach of ALEXANDROFF and URYSOHN is direct, simple, and much<br />
more elementary than the construction often used these days, namely as a consequence<br />
of LAVRENTIEV'S result published in the same issue of Fundamenta<br />
Math, in [Lav 1924] (LAVRENTIEV proved that homeomorphisms between subsets<br />
of complete metric spaces can be extended to homeomorphisms between<br />
G
HAUSDORFF adds a note dated 29. 3.1930 (Kapsel 33, Fasz. 265) where he<br />
gives a simpler proof: take maximal 1/n-nets An in X; then the system of all<br />
open balls centered at points of An and having radius l/n,n G N, gives the<br />
requested base. It is easy to see that this procedure gives a stronger result: a<br />
complete base is contained in every open base of a complete metric space.<br />
Although none of his later papers was devoted to completeness in topological<br />
spaces, in several of his unpublished notes one can find several instances where<br />
HAUSDORFF attempted to find such a property. In his notes from November 1,<br />
1935 (Kapsel 38, Fasz. 548), HAUSDORFF defines a topological space X to be topologically<br />
complete if it has an open base having the above closed property. He<br />
shows that the long line is a non-metrizable topologically complete space, that<br />
compact spaces are topologically complete and that in a regular topologically<br />
complete space, every open nonempty subspace is of second category. He poses<br />
several questions, among them these two: Is every Gs subspace of a topologically<br />
complete space again topologically complete? Is topological com^pleteness<br />
preserved by countable intersections?<br />
Probably his generalization of completeness had some properties he did not<br />
like, because in his next note about that matter, from March 9, 1937, (Kapsel<br />
40, Fasz. 623), he suggests the definition of topologically complete spaces as<br />
those being a Gs in every larger space. Nevertheless, one year later, March 23,<br />
1938, (Kapsel 40, Fasz. 656) he shows that such a definition gives the empty<br />
space only, and so he came back to open bases having closed property in March<br />
27, 1938, (Kapsel 40, Fasz. 657) and tried to modify that concept.<br />
At approximately that time, the paper [Cech 1937] of E. CECH was published,<br />
defining a topologically complete Tikhonov space as one being a Gs in each<br />
of its Hausdorff compactifications. CECH proved that the new concept has all<br />
the properties required for a generalization of completeness beyond the realm<br />
of metrizable spaces: (i) Baire category theorem holds for the new topologically<br />
complete spaces; (ii) the class of such spaces coincides with the topologically<br />
complete metrizable spaces in the class of all metrizable spaces; (iii) a subspace<br />
of a topologically complete space is topologically complete iff it is an<br />
intersection of a G5 subset and a closed subset.<br />
The two approaches of HAUSDORFF and CECH were essentially the same, the<br />
main (and important) difference was in the class of spaces they used. While<br />
HAUSDORFF tried to obtain a convenient definition for all topological spaces,<br />
CECH used Tikhonov spaces only, which turned out to be more convenient<br />
for the given purpose. Also the following development shows that HAUSDORFF<br />
was correct in his ideas about how to define a generalization of completeness<br />
for topological spaces, except that he tried to do so for all spaces; whereas<br />
restricting one's attention to regular spaces or Hausdorff spaces would suffice<br />
to get a reasonable theory.<br />
At the beginning of the 1960s a characterization of topologically complete<br />
spaces was found ([Fro 1960a], [Arh 1961]) by means of open covers having the<br />
above closed property:<br />
A Tikhonov space is topologically complete iff it has a countable complete system<br />
451
of open covers.<br />
Z. FROLIK examined what happens if one takes Hausdorff or regular spaces<br />
instead of Tikhonov ones in definitions or characterizations of topologically<br />
complete spaces (see his summary [Pro 1960b]). He was not aware of HAUS-<br />
DORFF'S attempts and discovered also that he could not obtain all the expected<br />
results outside Tikhonov spaces. Except for complete families of covers, FROLIK<br />
used the absolute G(5-property, too: if P is a dense subspace of a Hausdorff space<br />
R, then P is a, Gs in R-<br />
Nowadays, the property defined by CECH is called Cech completeness or<br />
completeness in the sense of Cech and the term topological completeness is often<br />
reserved for Tikhonov spaces induced by a complete uniformity. Thus every<br />
metrizable space is topologically complete but need not be Cech complete (e.g.,<br />
the space of rational numbers). Conversely, every locally compact Hausdorff<br />
space is Cech complete but need not be topologically complete (e.g., the long<br />
line). Of course, every metrizable Cech complete space is topologically complete<br />
as well.<br />
The definitions used by HAUSDORFF in his unpublished notes appeared later<br />
by other authors, too, as generalizations of Cech completeness under various<br />
terms, e.g., quasi Cech completeness, and AF-completeness. Naturally, there<br />
are other generalizations of completeness, such as Choquet completeness, and<br />
sieve completeness.<br />
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[Fre 1924] FRECHET, M.: Note sur les classes completes. Ann. Sci. I'Ecole<br />
Norm. Sup. 41 (1924), 143-144.<br />
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[YY 1906] YOUNG, W. H.; YOUNG, G.CH.: The Theory of Sets of Points.<br />
Cambridge Univ. Press, Cambridge 1906.<br />
453
Erweiterung einer Homoomorphie.<br />
Fundamenta Mathematicae 16 (1930), 353-360.<br />
[H 1930b]
Erweiterung einer Homoomorphie.<br />
Von<br />
Felix Hausdorff (Bonn).<br />
Wir wollen den folgenden Satz tiber metrische Raume J5/, Fj<br />
F^ E beweisen:<br />
I. Isi F in E abgeschlossen^ so lasst sick eine Homoomorphie zwischen<br />
F und F zu einer Hmnoomorphie zwischen E und einem gedgneten<br />
Eaum E eriveitern.<br />
Mit andern Worten : es wird die Moglichkeit einer „Ummetrisierung"<br />
behauptet. Statt der alten Entfernungen iiv^ die den metrischen<br />
Raum E definieren, lassen sich neue Entfernungen uv einfiihren,<br />
die einen mit E homoomorphen Raum E definieren und ftir<br />
Punktpaare aus F die in der Metrik von F vorgeschriebenen Werte<br />
haben. (Die Homoomorphie besagt: aus wt;~>0 bei festem ii folgt<br />
iiU—> 0 und umgekehrt). Man kann auch sagen: einem topologiseben<br />
metrisierbaren Raum E lasst sicli stets eine Metrik aufpragen,<br />
deren Teilmetrik in einer abgeschlossenen Menge F(2E vorgeschrieben<br />
ist.<br />
Der Beweis von I ist meinem frtiheren Beweise (Math. Zeitschrift<br />
5 (1919), S. 296) des Satzes von H. Tietze nachgebildetj<br />
dass eine in einer abgeschlossenen Menge stetige Funktion zu einer<br />
im ganzen Raume stetigen erweitert werden kann, aber erfordert<br />
erheblich mehr Kunstgriffe.<br />
Wir bezeichnen mit t«, t?, w Punkte des Raumes E^ mit a, b, c,<br />
jp, q^ r Punkte der abgeschlossenen Menge F^ mit a?, y Punkte des<br />
offenen Komplements G = E — F, Es sei<br />
d{ti) = inf pw<br />
457
354 P. Hausdorff:<br />
die untere Grenze der (alten) Entfernungen des Punktes u von den<br />
Punkten peF (die untere Entfernung zwischen u und F), also<br />
(J(a) = 0, (5(0?) > 0. Aus pu^pv-{-iiv ergibt sich, indem man<br />
beiderseits die untere Grenze nach p nimmt,<br />
\d{u) — d(v)\^uv.<br />
Wir betrachten sogleich, da wir sie spater verwenden mtissen,<br />
die Funktion<br />
(0) d{u^ v) = min [uv^ d(;u) -\- ^{v)]^<br />
die symmetriscb ist und dann und nur dann verschwindet, wenn.<br />
u = v oder u^ v zwei Funkte von F sind. Sie geniigt der ^Dreiecksungleichung"<br />
(5(Wj v) -{' d{v,w)'^d{u, w).<br />
In der Tat gelten die vier Ungleicbungen<br />
uv -f- vtv ^ uw<br />
uv-\-[d{v)'^diw)] ^ (5(w) + d {w)<br />
[d(ti) + d(v)] + «;ii^ ^ (5(w) + d{w)<br />
[6 {u) + d{v)] + [6{v) + d {w)] ^d{u)^6 {w\<br />
and wenn man links und recbts den kleinsten der vier Ausdrttcke<br />
nimmt, ergibt sicb die Behauptung,<br />
Der Satz I ist mit dem folgenden Equivalent:<br />
II. Ist F in E abgeschlossen und mit F homoomorph^ so giht asdine<br />
Funktion cp (w, a) ^ 0 mit folgenden Eigenschaften:<br />
{a) (p(b^ a) = ab<br />
(^) We7in (5(^)~>0, qp (ic, a)-~> 0, so ist ax->0 {bei festem a)-<br />
(y) Filr jedes Punktpaar u^ v ist die obere Grenze<br />
(1) ip{Uy v) = sup \(p{u^ a) — (p{v^ a)\<br />
a<br />
endlich und konvergiert nach 0 fur uv—>0 (bei festem u).<br />
In der Tat erfiillt, wenn I ricbtig ist, die neue Entfernung<br />
q)(i«, a) = au die Forderungen von IT, wobei ip(u^ v) ^ wt^; {§) gilt,<br />
weil mit cix-^Q zugleicb ax~>0^ und (y) gilt, weil mit uv-^^O<br />
zugleicb w --> 0»<br />
458
Erweiterung einer Homoomorphie. 355<br />
Um andererseits aus II auf I zu scUiessen, bemerken wir<br />
zuerst, dass tff{u.v) symmetrisch ist und die Dreiecksungleichung<br />
tp (w, v) -f- ^ (t?, w) ^ tp{u^ w)<br />
^rfUUt. Diese Funktion ist selbst nocli nicht als neue Entfernung<br />
verwendbar, schon weil sie moglicherweise ftir u^v verscbwindet.<br />
Bilden wir daher mit ihr und der Funktion (0)<br />
(2) Wv = max [i/^(w, v\ d{u, v)]<br />
und zeigen, dass dies eine geeignete Entfernung ist. Jedenfalls ist<br />
"uv symmetrisch und erflillt die Dreiecksungleicbung uv-^vw^uw.<br />
Sprechen wir die Eigenschaft (y) ftir die drei Falle, dass % w<br />
Punkte von F, F oder F^ G oder G^ G sind, gesonderfc aus:<br />
(yi) Es ist ip(6, c) = sup \ab — ae\ = he<br />
a<br />
(j/g) Es ist ip{x^ b) = tl}{b, x) = sup \(p{x^ a) — ab\ ^ (p{x^ b)<br />
a<br />
^ndlich und konvergiert nach 0 far xy ~>Q (bei festem b) i).<br />
(ys) Es ist ip {x^ y) = sup I ^ {x, a) — (p (y, a) |<br />
a<br />
6ndlich und konvergiert nach 0 ftir xy —^Q (bei festem x),<br />
Jetzt sehen wir, dass m ftir u=^v und nur in diesem Falle<br />
verschwindet. Denn m ^==0 bedeutet 6 (w, v) = ^(t«j v) = 0 ; also<br />
^ntweder U'=v oder ii = bj v = c Punkte von F^ aber auch in<br />
diesem Falle t/;(6, c) = &c=: 0, also b = c, Hiernach liefert uv als<br />
Entfernung einen Raum F, dessen Homoomorphie mit E zu beweisen<br />
bleibt:<br />
Wenn (bei festem u) t*^?->0, so ist d{u^v)->0 und nach (y)<br />
if) (w, V) "-> 0, also ub->0,<br />
Sei (bei festem u) wi~>0, also cJ(w, i?)~->0 und i/^ («/, t?) ~> 0. Ist<br />
u = x Punkt von Gy so ist d{x^ v) = min [xv^ d(x) -j- ^ {^)] und<br />
wegen des festen d{x)'^0 folgt schon aus d(x^v)->0^ dass a?^->0.<br />
Ist u = b Punkt von F^ so ist d{bf v) = min [bv, d{v)] = ^(t^)~>0<br />
und ip(b,v)->0. Hier sind die Falle v==€€F und v=^y€G mt<br />
unterscheiden (von denen mindestens einer bei dem variablen v un-<br />
*) xb -^ 0 bei festem x kommt nicht in Frag^e.<br />
459
356 F. Hausdorff:<br />
endlicli oft eintretea muss). Im ersten Fall ist ip{by c)=^hc->Q<br />
and 6c—>0, im zweiten ist 0 und i/>(6, y)->0 oder erst recht<br />
qp (y, h) -> 0, auf Grund von {§) also hy -> 0. Stets ist also mit<br />
Damit ist gezeigt, dass I aus II folgt. Es handelt sich nunmehr<br />
um Konstruktion einer Funktion ^(w, a), die die Eigenschaften (a)<br />
(/?) {y) hat, oder einer Funktion q){x^a\ die die Eigenschaften (/3)<br />
(ri) (yi) ^^at.<br />
Wir bilden (ftir peF^ wie verabredet) die untere Grenze<br />
(3) .>(.,.) = inf[cp + 2^^-2j<br />
und die obere Grenze<br />
(4) (p{x, a, c) = sup p — ^ — ^ + 11,<br />
die (auch bei unbeschranktem F) gewiss endlich ist. weil der eingeklammerte<br />
Ausdruck ^oc ist. Dann ist<br />
und demnach sei<br />
— 9)(a?, a, c) = inf c^ —ojo + ^r-T — 1^^(^;C)<br />
(5) (p{x^ a) = g) {x, a^ c)-}- o) {or^ c) ^ 0,<br />
wo c irgend ein fester Punkt von F ist. Der Beweis, dass q)(x, a)<br />
die verlangten Eigenschaften hat, wird durch folgende Uberlegungen<br />
erbracht.<br />
(A) Wir wahlen einen von x abhangigen Punkt p mit px 0, so ist (5(a?)->0, px-^Oy<br />
Jjp—>0, also 6p->0, ap-^ahy cp->cb^ und wir erhalten: llir<br />
bx-^O ist<br />
lim 0) {x^ c) ^ cbj lim g){x^ a, c)^ah — ch.<br />
460
Erweiterung einer Homoomorphie, 357<br />
(B) Wir waHen einen von x (und c) abhangigen Punkt q mit<br />
(6) ^(a,,c) + c3 + 2^^-2.<br />
Andererseits ist<br />
Dies verbunden gibt<br />
«(.,o)^c6 + 2^^-2.<br />
o{x) ' o{x) ^ ^ ^'<br />
2 ga? < 2 6a? +"^6 0 (bei festem i), dass jo?->0,<br />
hq->0^ bq-^Oy cq-^cb, und aus (6) oder o){x^ e)'^cq—d{x)<br />
lima>(a?, c)^ c6,<br />
in Verbindung mit (A) also: ftir bX'-^O ist oj {x, c)-^cb,<br />
Weiter ist auch<br />
zu (6) addiert<br />
(p{x,a,c)^aq — cq — -^^ + l,<br />
(p{x, a) + 6(x) > n + -|7^ — 1<br />
und bierin ist der Beweis von (§!) entbalten; denn wenn, bei festem a,<br />
(p {x^ a) -> 0 und 6 {x) -> 0, so ist o^ ~> 0 und -~— — 1 —> 0, also<br />
Endlich folgern wir aus (p{x^ a)'^ aq — d{x)<br />
ab — (p{x^ a)
358 F. Hausdorff:<br />
(C) Wir wahlen einen von a;, a (und c) abhangigen Punkt r mit<br />
(7) fp{p(!,a,e) — d{x):ah — cb — -^-r-r +1<br />
Hierans folgt wieder, wenn hx->Q bei festem ft, dass auch<br />
rrt?~>0, hr->0^ br-^^O^ ar->ab^ cr->cb\ aus (7) oder (p{x^a^c)
Erweiterung einer Homoomorphie. 359<br />
nur von a?, b abhtogige obere Schranke ^ 0, namlicli q) (cr, b\ die<br />
ftir bx-->0 nach 0 konvergiert.<br />
(E) Um noch (yg) zu beweisen, beachten wir, dass<br />
poc • d{y) — py • d{x) = [px — py] d(y) -f py [d{y) - d{oc)]<br />
8i)8o\nt^xy'[d{y)'\-py]^2xy-py ht Nun konnen wir unbeschadet<br />
der AUgemeinheit den Raum JS als beschrankt, etwa vom Durchmesser<br />
^ ^ annehmen, da jeder Raum mit einem beschrankten homSo-<br />
morpb ist (man ersetze die Entfernungen d durch i ^? wobei<br />
die Dreiecksungleichung erhalten bleibt. Dagegen ware es nicht zulassig,<br />
die Menge F als beschrankt vorauszusetzen, ohne die Tragweite<br />
des Satzes I zu verkleinern). Dann ist also<br />
px py<br />
d[x) d(y)<br />
xy<br />
d{x) dyy)<br />
nnd nach derselben ScHussweise wie bei (D)<br />
|a>(^-,c)-a>(y,c)|^^J^,<br />
WO recbts eine von a unabhangige Schranke steht^ die flir xy->Q<br />
bei festem x (wo d{y)-> d [x) > 0) nach 0 konvergiert.<br />
Hiermit ist der Beweis des Satzes I vollendet.<br />
Eine einfache Konsequenz sind die beiden folgenden Satze, von<br />
denen der zweite auf anderem Wege von V. Niemytzki und<br />
A. Tychonoff bewiesen wurde (Fund. Math. 12 (1928)3 Seite<br />
118—120):<br />
Ein metrisierbarer Raum ist dann und nur dann hompaktj wenn<br />
er in jeder Metrik beschrankt ist.<br />
Ein metrisierbarer Raum ist dann und nur dann kompakty wenn<br />
er in jeder Metrik vollstdndig ist<br />
Die Notwendigkeit der Bedingungen ist klar. Ist andererseits<br />
der Raum E nicht kompakt (in sich kompakt), so enthalt er eine<br />
463
360 P. Ilausdorff:<br />
abzahlbare MeDge F={ai, aj,..., a^,,...} ohne Haufungspunkt, die also<br />
in E abgescMossen ist. Da zwei isolierte Mengen gleicher Machtigkeit<br />
stets homoomorph sind, so ist F sowohl mit der Zahlenmenge<br />
Fi =={1, 2,..., w,...} als auch mit F^ = {15 ^v> ~v} honioomorph.<br />
Nach I ist dann F mit einem nicht beschrankten Raum Fi und<br />
mit einem nicht vollstandigen Raum E^ (in dem F^ abgeschlossen<br />
ist, d. h. eine Pundamentalfolge ohne Limes existiert) homoomorph.<br />
464
Commentary on [H 1930b]<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
The main Theorem I can be reformulated as follows:<br />
Let A he a closed subset of a metric space {X,d). Every metric f on A that is<br />
topologically equivalent to d on A can be extended to a metric F on X that is<br />
topologically equivalent to d.<br />
This result had no predecessor except, perhaps, some trivial ones. HAUS-<br />
DORFF himself added no comments in his paper.<br />
One can trace a development of HAUSDORFF'S ideas concerning the result<br />
in Fasz. 95 of Kapsel 26b. The first note is from November 30, 1925, where he<br />
proved:<br />
// a metric space X is not totally bounded, then it is homeomorphic to a noncomplete<br />
metric space. Consequently, if every metric space homeomorphic to<br />
X is complete, then X is compact.<br />
HAUSDORFF uses the term conditional compactness instead of total boundedness:<br />
every sequence in the space contains a Cauchy subsequence. To prove the<br />
result of his note HAUSDORFF took a sequence A — {an} in {X, d) containing<br />
no Cauchy subsequence and defined<br />
where<br />
F(x,2/) =max{|(/?(a;)-(y9(2/)|, 5{x,y)} ,<br />
S{x,y) = min{(i(x, 2/), d{x,A)-\-d{y,A)}, and<br />
1 On otherwise.<br />
where {cn} is a sequence of positive numbers with a convergent sum. It is not<br />
difficult to show that the new metric F is topologically equivalent to c? on X<br />
and that the sequence {an} is Cauchy in F since F{an,am) — \cn — Cm\ for<br />
large n, m (and the sequence remains nonconvergent, of course).<br />
HAUSDORFF realized that he, in fact, extended an equivalent convenient metric<br />
/ from the closed subspace consisting of the image of the sequence {an}<br />
to an equivalent metric F on all of X, and already in December 5, 1925 he<br />
formulated Theorem I. He gave a proof based on the erroneous assumption<br />
that one can assume A to be bounded in its metric (he noted "das ist keine<br />
Beeintrachtigung"; later on he added a footnote "Doch!" See below, his notes<br />
from December 18, 1925). If A is bounded one can define the new metric F on<br />
X as follows:<br />
F(x, y) = max{'0(a:, y), S{x, y)} ,<br />
465
where 6 is as above and<br />
'0(x, y) = s\ip{\ip{x, a) - ip{y, a)\} .<br />
aeA<br />
The function (/?(x, a) for a G A equals f{x,a) if x G A and is defined by the<br />
following formula ii x ^ A<br />
ip{x, a) = inf {/(a, c) - -JTZ^ + ^i •<br />
ceA a(x, Aj<br />
He then proved the above characterization of noncompact metrizable spaces<br />
X by extending the metric f{an,CLm) — |1/^ ~ l/m| from a countable closed<br />
discrete set A = {an} to X.<br />
He added other possible definitions of the function (p{x^a) for x ^ A that<br />
can be used in the situation, namely<br />
and<br />
(p{x, a) = d{x, A) sup { ' ] ,<br />
ceA ^ d{x, c))<br />
(p(x, a) - sup{/(a, c) - -77^^ + 1} •<br />
ceA d{x, A)<br />
On December 18 of the same year HAUSDORFF wrote that the assumption<br />
about boundedness of the equivalent metric on A is really restrictive, but that<br />
it is possible to assume the original metric d to be bounded on A. He tried yet<br />
another function (p{x,a) but without success. So, on December 22 he proved<br />
his result for a bounded metric f on A using the second if above, which gives<br />
a proof shorter than the others.<br />
There is a break in HAUSDORFF'S notes (that we have at our disposal and<br />
that deal with the extension problem) from December 1925 until February 20,<br />
1928, where he again analyzed the situation for unbounded /.<br />
Subsequently, in three notes from June 1930, he came to a solution. The right<br />
function (f{x,a) forx^A is of the form<br />
^(., a) = sMfia, c) - ficp) - ^ + 1} + inf {/(CP) + 2 ^ - 2} ,<br />
where p is a fixed point of A.<br />
The published version coincides with the June 1930 notes except for several<br />
minor changes.<br />
At the end of the paper, HAUSDORFF added his original motivation for<br />
Theorem I, namely: Ein metrisierbar Raum ist dann und nur dann kompakt,<br />
wenn er in jeder Metrik beschrdnkt (oder vollstdndig) ist. In the meantime,<br />
V. NiEMYTZKl and A. TYCHONOFF published the "complete" part of the result<br />
in [NT 1928]. Their method is different. For a sequence {an} that is d-discrete<br />
466
in {X^d) they added a new point ^ to X, and neighborhoods of ^ were chosen<br />
so that an converged to it. Using one of ALEXANDROFF and URYSOHN'S<br />
metrization theorems they showed that the topology on X U {^} is metrizable.<br />
One can see a relationship between the above formula for (p{x^a) and the<br />
procedure from [H 1919d]. If one omits p, the formula coincides with HAUS-<br />
DORFF'S formula for a continuous extension of the map / (defined on a closed<br />
subset Ax Aoi X xX) to the whole square X xX. The map ip is then a continuous<br />
pseudometric on X x X and its combination with 6 causes the resulting<br />
map F to be a metric that is equivalent to d. If / is not bounded, then the<br />
map ip could have values H-oo and that is the reason why a point p was added<br />
to the formula - it forced -0 to have real values.<br />
It is true that the proofs are not easy but they are elementary in the sense<br />
that almost nothing deep or from other fields is needed. Nowadays different<br />
proofs (perhaps more elegant ones) are used, but they usually require some<br />
special knowledge. It should be noted that R. H. BiNG re-proved Theorem I in<br />
[Bing 1947] using his metrization theorem (he did not cite HAUSDORFF).<br />
HAUSDORFF did not say anything about the connection of Theorem I to<br />
TIETZE'S theorem (except a similarity of his proofs of both results at p. 353).<br />
In fact, it is not seen immediately that TIETZE'S theorem follows easily from<br />
Theorem I. First, one should notice that an equivalent formulation of Theorem<br />
lis:<br />
Every continuous pseudometric on a closed subset A of a metrizable space X<br />
can be extended to a continuous pseudometric on X.<br />
Now, take a bounded continuous map f on A and suppose that / > 0 and<br />
has 0 as one of its values. The pseudometric \f{x) — f{y)\ is continuous on the<br />
closed subset A of X, it extends to a continuous pseudometric e on X, and<br />
F{x) — e(x, /~^(0)) is the requested continuous extension of / to X. See [Gan<br />
1969] for this procedure.<br />
In a letter of April 9, 1932, G.NoBELiNG asked HAUSDORFF whether he<br />
could construct the extension F to be totally bounded provided / is totally<br />
bounded and (X, d) is separable. In his notes from May 3, 1932 and August<br />
17, 1932 HAUSDORFF tried his various functions (p to answer that question<br />
but without success. It appeared later that the positive answer follows from<br />
KuRATOWSKl's construction of extensions of maps in [Kur 1938].<br />
Later on, there appeared other variations of HAUSDORFF'S result on the extension<br />
of continuous metrics. In [Isb 1959] one can find a uniformly continuous<br />
variation:<br />
Every bounded uniformly continuous pseudometric on a subspace of a uniform<br />
space X can be extended to a uniformly continuous pseudometric on X.<br />
One can notice that, unlike the topological case, the subspace need not be closed<br />
and the pseudometric must be bounded. The previous note about relations<br />
between the TiETZE extension result for maps and the HAUSDORFF extension<br />
for pseudometrics is also valid for the uniform case. Here the corresponding<br />
extension theorem for maps was proved by M. KATETOV in [Kat 1951]. The<br />
explicit formulation and proof for extensions of uniformly equivalent pseudo-<br />
467
metrics can be found in [Nhu 1980] (the approach there is different and more<br />
compUcated).<br />
A generahzation of HAUSDORFF'S extension of pseudometrics to nonsymmetric<br />
uniformities was investigated by J. DEAK (see the survey in [Dea 1993]).<br />
At the end we would hke to mention a very interesting connection to the<br />
following result of J. DuGUNDJi from [Dug 1951]:<br />
Let X be an arbitrary metric space, A a closed subspace of X, Y a locally<br />
convex space, and f : A ^f- Y a continuous map. Then there is an extension<br />
F:X-^Y.<br />
Moreover, the image F{X) is contained in the closed convex hull of f{A). Although<br />
there seems to be no connection to HAUSDORFF'S extension of metrics,<br />
R. ARENS showed in [Are 1953] that both results are equivalent in the following<br />
sense:<br />
For a closed subspace A of a topological space X the following properties are<br />
equivalent:<br />
1. every continuous mapping on A into a Banach space can be continuously<br />
extended to X ;<br />
2. every continuous pseudometric on A can be extended to a continuous<br />
pseudometric on X;<br />
3. every locally finite open cover of A can be extended to a locally finite open<br />
cover of X.<br />
The same equivalence holds if one takes separable Banach spaces, separable<br />
pseudometrics and countable covers.<br />
C. H. DOWKER proved in [Dow 1952] that the above equivalent properties are<br />
valid for any closed subspace A of a topological space X if and only if X is collectionwise<br />
normal. It followed earlier from the above result of DuGUNDJi that<br />
the mentioned separable case holds for any closed subspace A of a topological<br />
space X if and only if X is normal.<br />
Thus HAUSDORFF'S original result can be generalized from metric spaces to<br />
coUectionwise normal spaces (and not any further) and in the separable case<br />
to normal spaces (and not any further).<br />
The fact that every continuous pseudometric on A can be extended to a<br />
continuous pseudometric on X was called by ARENS as "A is P-embedded in<br />
X"; the survey paper [Hos 1992] describes the known results on P-embedding<br />
till 1992.<br />
References<br />
[Are 1953] ARENS, R.: Extension of coverings, of pseudometrics, and of<br />
linear-space-valued mappings. Canad. J. Math. 5 (1953), 211-215.<br />
[Bing 1947] BiNG, R. H.: Extending a metric. Duke Math. J. 14 (1947),<br />
511-519.<br />
468
[Dea 1993] DEAK, J.: A survey of compatible extensions. CoUoq. Math. Soc.<br />
J.Bolyai 55 (1993), 127-175.<br />
[Dow 1952] DOWKER, C. H.: On a theorem of Banner. Ark. Math. 2 (1952),<br />
307-313.<br />
[Dug 1951] DUGUNDJI, J.: An extension of Tietze's theorem. Pacific J. Math.<br />
1 (1951), 353-367.<br />
[Gan 1969] GANTNER, T.E.: Some corollaries to the metrization lemma.<br />
Amer. Math. Monthly, 76 (1969), 45-47.<br />
[Hos 1992] HOSHINA, T.: Extensions of mappings. In: Recent Progress in<br />
General Topology (ed. M. HuSEK, J. VAN MILL), Elsevier Amsterdam<br />
1992, 405-416.<br />
[Isb 1959] ISBELL, J.R.: On finite-dimensional uniform spaces. Pacific J.<br />
Math. 9 (1959), 105-121.<br />
[Kat 1951] KATETOV, M.: On real-valued functions in topological spaces.<br />
Fundamenta Math. 38 (1951), 85-91.<br />
[Kur 1938] KURATOWSKI, C: Remarques sur les transformations continues<br />
des espaces metriques. Fundamenta Math. 30 (1938), 48-49.<br />
[Nhu 1980] NHU, N.T.: Extending metrics uniformly. CoUoq. Math. 43<br />
(1980), 91-97.<br />
[NT 1928] NiEMYTZKl, v., TYCHONOFF, A. N.: Beweis des Satzes, dass ein<br />
metrisierbarer Raum dann und nur dann kompakt ist, wenn er in jeder<br />
Metrik vollstdndig ist. Fundamenta Math. 12 (1928), 118-120.<br />
[Tie 1915] TiETZE, H.: Uber Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge<br />
stetig sind. J. fiir die reine und angew. Math. 145 (1915), 9-14.<br />
469
Zur Projektivitat der (^5-Funktionen.<br />
Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 100-104.<br />
[H 1933a]
Es sei<br />
Zur Projektivitat der S^-Funktionen ^).<br />
Von<br />
Felix Hausdorff (Bonn).<br />
^{A,,A,,..) = SDA,<br />
eine ds-Funktion der Mengenfolge A^^ wobei P ein nicht leeres<br />
System von nicht leeren (abzahlbaren oder endlichen) Mengen p =<br />
= {^1,^2,...} nalftirliclier Zahlen ist. Wird die Funktion ^ (d. h.<br />
das System P) festgehalten, wahrend die A^ unabhangig von einander<br />
alle Mengen eines Systems 91 durchlaufen, so durchlauft A ein<br />
Mengensystem, das mit (P9t bezeichnet werde.<br />
Es sei Z = (Z, Y) das Produkt (Verbindungsmenge) der Mengen<br />
X, Y. Ftir eine Menge C in Z sei nC ihre Projektion auf X; durchlauft<br />
C ein Mengensystem 6; so heisse n (£ das von n C durchlaufene<br />
System.<br />
Ist S ein System von Mengen in Z, 31 ein System von Mengen<br />
in X, so heisse 6 ds-projektiv zu % wenn zu jeder ds-Funktion 2^<br />
eine (5s-Funktion W so bestimmt werden kann, dass<br />
Die Herren Kantorovitch und Liven son haben in ihrem<br />
sehr interessanten Memoir on the analytical operations and projective<br />
sets I, Fund. Math. 18 (1932), p. 214—279 die (Js-Projektivitat als<br />
^) Herr Sierpinski war BO freundlich, dieso Funktionen nach mir zu benennen;<br />
ich selbst hatte, bevor ich die sachliche Bezeichnung wahlte, die Absicht,<br />
sie nach Herrn Sierpidski zu benennen, der sie viel friiher angfewendet hat<br />
(Sur 1©B ensembles mesurables B, C. R. 171 (1920), p. 24—26).<br />
473
ProjeMivitdt der hs-Funktionen 101<br />
Konsequenz einer spezielleren Eigenschaft, der Projektivitat von ®<br />
zu 31, nachgewiesen, die icli in etwas einfaeherer Form folgendermassen<br />
erklaren mochte. Eine Menge C^Z lasst sich so schreibeni<br />
WO {Ay, y) der Durchschriitt von C mit (X, y) und Ay die (schlichte)<br />
Projektion dieses Durchschnitts auf X, d. h. die Menge der x mit<br />
{x^ y) € C ist. Die Mengen Ay naogen die y-Schichten von C heissen.<br />
Nun sei jedem yeY eine ds-Funktion Qy zugeordnet; bildet man<br />
dann mit den y-Schichten<br />
Ay^^y{A,.A,,,..)<br />
aus einer Mengenfolge A^^X die Menge C, so wird<br />
C=Q{A„A,,...)<br />
eine Funktion (keine (5s-Funktion) der Mengen J.^, und werden<br />
die Af^ wieder auf alle moglichen Weisen einem Mengensystem 21<br />
entnommen, wahrend das System der 0) darstellt.<br />
y<br />
474
102 F. Hausdorff:<br />
Diese Projektivitat hat folgende Eigenschaften (1. c. theorems<br />
X, XI, VI):<br />
I. 7^^ a zu % projektiv, so ist filr eine helieUge ds-FunUion W<br />
auch W^ zu "^ projektiv.<br />
Denn da die Bildung der t/-Schicht distributiv zu Summen- und<br />
Durchschnittsbildung ist, so gilt fur die y-Schichten Ay^ A^^y von C<br />
und C^ mit C= 2^(C,, Cg,..) zugleich<br />
ist also<br />
80 kann man<br />
Ay=W{A,y, ^2^,...);<br />
A,ny '= ^y\Am\y ^ mil " ') (Amn ^ •^)f<br />
^my = ^my (^11? ^1 J> ^21? • • •)<br />
als (55-Funktion der Doppelfolge A^,, anseheu und Ay ist als ^5-<br />
Funktion von di9-Funktionen wieder eine (3s-Funktion<br />
Ay = @y (^iij ^125 ^21) • • •)<br />
der Afnn' Bei Betrachtungen dieser Art ist tibrigens der Begriff der<br />
positiv analytischen Funktion (1. c. p. 225) sehr zweckmassig, der<br />
die Funktionen 0 von ihrer Darstellung als ds-Funktionen unabhangig<br />
durch eine innere, „deskriptive^ Eigenschaft erklart.<br />
II. Isi a zu % projektiv^ so ist 6 zu 91 ds-projektiv.<br />
Denn analog zu n(l=0il ist nach I auch nW(l= @% wo<br />
Y<br />
@ = S &y eine von 2^ abhangige (5.9-Funktion ist.<br />
y<br />
III. Ist a zu % projektiv. so ist das St/stem 6^* der Komplemente<br />
{in Z) der Mengen von (£ zum System 91* der Komplemente<br />
{in X) der Mengen von % projektiv.<br />
p p<br />
Denn zu jeder ds-Funktion 0 = S JJ gibt es eine komplep<br />
n<br />
P P<br />
mentare 0* = D S, die zunachst als arf-Funktion erscheint, aber<br />
p n<br />
(als positiv analytisch) auch als ds-Funktion dargestellt werden kann;<br />
die Behauptung folgt dann aus<br />
0* = S{A*, y), Af = 0*(Af, At,...),<br />
475
ProjeMivitdt der Zs-Funhtionen 103<br />
wo C* = Z—C, Af = X—Ay, Af = X — A„ und 0f komplementar<br />
zu Wj, ist.<br />
Die Herren Kantorovitch und Livenson haben nun (fundamental<br />
theorem; p. 264) auf Grund ihres ProjektivitatsbegrifFs<br />
bewiesen, dass unter gewissen Annahmen tlber den Raum Y (Fmetriscb,<br />
kompakt, unabzahlbar) das System der in Z abgeschlossenen<br />
Mengen (Js-projektiv zum System der in X abgeschlossenen Mengen<br />
ist, und damit friihere Ergebnisse von ihnen selbst, Herrn Sierpiiski<br />
und Frl. Braun (vgl. die Litteraturangaben p. 218) verallgemeinert.<br />
Der Zweck dieser kleinen Mitteilung ist, auf ganz<br />
einfachem Wege den allgemeinsten hier gtiltigen Satz zu beweisen:<br />
IV. Ist X ein beliebiger^ Y ein separabler topologischer Raurtiy so<br />
ist das St/stem (£ der in Z = (Z, Y) offenen Mengen projektiv<br />
zum System 91 der in X offenen Me7tgen.<br />
Nach III ist dann auch das System ®* der in Z abgeschlossenen<br />
Mengen zum System 91* der in X abgeschlossenen Mengen<br />
projektiv.<br />
Der Begrifif des topologischen Raumes X ist hier im weitesten<br />
Sinn verstanden: es sind die in X offenen Mengen (und ihre Komplemente,<br />
die abgeschlossenen) gegeben, die Summe beliebig vieler<br />
und der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen, X selbst<br />
und die leere Menge ist offen. Irgend welche Trennungsaxiome sind<br />
unnotig, es brauchen nicht einmal die einpunktigen Mengen abgeschlossen<br />
zu sein. Sind U, V die in X, Y offenen Mengen, so sind<br />
die Produkte ([/, V) und ihre Summen die in (X, Y) offenen Mengen.<br />
Nun sei Y separabel, d. h. es gibt endlich oder abzahlbar viele<br />
in Y offene Mengen Fj, Fj,..., die mit ihren Summen alle in Y<br />
offenen Mengen V liefern. Jeder Punkt y € Y bestimmt die Menge<br />
{ni,/^2v} derjenigen n, fiir die y e V^] wir ordnen ihm die adoder<br />
^s-Funktion<br />
A, = A,^^A,^-{-.,,= WMuA,,,,.)<br />
der Mengenfolge A^, ^j,... zu und bilden ftir A„^X mit den<br />
Mengen Ay als y-Schichten die Menge<br />
C = S{A„y) = i}{A„A„...).<br />
y<br />
Zu zeigen ist, dass C die in Z offenen Mengen durchlauft, wenn<br />
die An die in X offenen Mengen durchlaufen.<br />
476
104 F. Hausdorff.<br />
OflPenbar ist (a;, y)eC gleichbedeutend mit x e Ay and dies damit,<br />
dasB es eio n mit x e A„^ y eV„ gibt, d. h. es ist einfaeh<br />
n<br />
woraus unmittelbar folgt, dass bei offenen A^ auch C ofien ist.<br />
Um zu zeigen, dass jedes in Z oflfene Q ein C ist, verstehen?<br />
wir unter A^ die grosste in X oflfene Menge mit {A^j V„) ^ G (die<br />
Summe aller in X oflfenen Mengen U mit {U, V„) ^ G). Die hiermit<br />
gebildete Menge C ist also ^ G; andererseits hat aber jeder<br />
Punkt {x^ y)€ G eine Umgebung (Z7, F„) ^ G und dann ist TJ'^ A^^<br />
also<br />
{x,y)e[A,, Vn)^C und G^C.<br />
Der hiermit beendete Beweis von IV ist eine vereinfachte und<br />
von alien tiberflitissigen Einschr^nkungen befreite Form des Beweises^<br />
den die Herren Kantorovitch und Livenson ftir ihr Theorem<br />
XII B (p. 255) gegeben haben.<br />
477
Commentary on [H 1933a]<br />
V. Kanovei; P. Koepke<br />
This note was written after the memoir [KL 1932], which dealt with different<br />
aspects of 6s-operations. In particular KANTOROVITCH and LiVENSON consider<br />
a modification of the 6s-operation on planar sets that applies differently to<br />
different cross-sections of planar sets.<br />
More precisely, consider subsets of a product space of the form Z = X x Y.<br />
Suppose that (y? is a map that associates a 6s-operation ^y over the index<br />
set INI with any y ^ Y. Let Xn C X for any n. Define Ocp({Xn}nGN) to<br />
be the set C C X x Y such that, for any y E Y, the cross-section Cy —<br />
{x : (x,2/) G C} coincides with $^({Xn}nGN)- This can be called: a crosssection-wise<br />
6s-operation.<br />
Suppose further that 21 is a system of subsets X, while C^ is a system<br />
of subsets oi Z = X xY. KANTOROVITCH and LIVENSON define ([KL 1932],<br />
p. 250) € to be projective rel. 21 if there is an assignment if as above such that<br />
C is equal to the collection (1(^(21) of all sets of the form C = ^^p{{Xn}ne^)',<br />
where {X^lnGN is an arbitrary sequence of sets in 21.<br />
HAUSDORFF proposes the following modification of this concept, perhaps<br />
distilled from the "Fundamental Theorem On Projections" in [KL 1932], p. 264.<br />
Say that a system € as above is 8s-projective rel. 21 if and only if for any 6soperation<br />
^ there exists a 6s-operation ^ such that the class ^21 of all subsets<br />
of X obtained by the action of $ on sets in 21 is equal to the class TT'^C of<br />
all X-projections of those subsets of X x Y obtained by the action of ^ on<br />
sets in €.<br />
HAUSDORFF'S theorems I, H and ni are present in [KL 1932]. In particular,<br />
theorem H which states that if € is projective rel. 2t then (t is 6s-projective rel.<br />
21, is the content of the "Fundamental Theorem" on p. 264. However HAUS<br />
DORFF'S exposition is simpler and more focused, and he also removes certain<br />
restrictions in [KL 1932]. For instance, the condition that y is a compact space,<br />
as in the cited "Fundamental Theorem", is removed. HAUSDORFF'S demonstration<br />
does not use any topological properties of Y at all.<br />
The final Theorem IV in HAUSDORFF'S note asserts that if X is arbitrary<br />
and Y separable (more exactly, 2nd countable) then the system of all open<br />
subsets of X X y is projective rel. the collection of all open subsets of X.<br />
(By Theorem III, we can replace both occurrences of "open" by "closed".) The<br />
proof is remarkably simple: if {l^^jneN is a base for the topology of y, then<br />
let Py = {n:yeVn} and $^(^1,^2,.-.) =[JnePy^ri-<br />
References<br />
[KL 1932] KANTOROVITCH, L.; LIVENSON, E.: Memoir on the analytical<br />
operations and projective sets, I. Fundamenta Math. 18 (1932), 214-279.<br />
478
Problem 58.<br />
Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 286.<br />
[H 1933b]
286 Prdblemes.<br />
58) Gibt es in einer Menge E von der Mfichtigkeit Xi ein<br />
abzahlbares System von Teilmengen A^^ A^,... derart, dass man in<br />
der Gestalt<br />
X = lim A„<br />
{Pi')P2j'' Teilfolge der natiirlichen Zahlen, lim bedeutet das Borelsche<br />
ensemble limite complet) alle Teilmengen X von JS erhalt?<br />
(Es handelt sich, die Verneinung ohne Benutzung der Kontinuumhypothese<br />
zu beweisen).<br />
Probleme de M. F. Hausdorff.<br />
481
Commentary on [H 1933b]<br />
V. Kanovei; P. Koepke<br />
HAUSDORFF asks whether there exists a countable family ^ of sets An ^ E,<br />
where ^ is a set of cardinality Hi, such that every set X C J^ can be presented<br />
in the form X = lim^c^oo ^n for a sequence of sets An G ^.<br />
This problem makes sense only if 2^^ — 2^° ; otherwise a simple cardinality<br />
argument leads to a negative answer. The authors were pleased to receive,<br />
with the kind help of H. MILDENBERGER, the following remarks of S. SHELAH<br />
regarding this problem. That a positive answer is consistent follows from 4.2 +<br />
4.1 on p. 278 of [She 1980]; a positive answer also can be deduced from MA.<br />
That a negative answer is consistent can be demonstrated by a model obtained<br />
by adding b^2 Cohen generic reals (with finite support).<br />
It follows that the problem is independent of ZFC and, of course, could<br />
not be solved using the classical tools of set theory in the 1930s. On the other<br />
hand, SiERPiNSKi ([Si 1938]) proved that for any set E with cardJ^^ = ^i, the<br />
existence of a family $ as queried in the problem is equivalent to the existence<br />
of a countable family $ with the same effect through the operation lim, as<br />
well as to the existence of a countable family $ with the same effect through<br />
the operation cfS, and finally to the existence of an uncountable set X C [R<br />
such that any Y C X is F(j relative to X.<br />
References<br />
[Si 1938] SiERPlNSKi, W.: Sur un probleme de M. Hausdorff. Fundamenta<br />
Math. 30 (1938), 1-7.<br />
[She 1980] SHELAH, S.: Whitehead groups may not be free, even assuming<br />
CH, 11. Israel Journal of Mathematics 35 (1980), 257-285.<br />
482
tjber innere Abbildungen.<br />
Fundamenta Mathematicae 23 (1934), 279-291.<br />
[H 1934]
Uber innere Abbildungen<br />
Von<br />
F. H a u s d o r f f (Bonn).<br />
1. Zweck dieser Mitteilung ist zunachst der Beweis des Satzes:<br />
L Ist y==q){x) eine innere Ahhildung des Baumes A auf den Raum<br />
B = (p{A\ d. h, eine stetige Ahhildung^ bei derjede in A offene Menge<br />
U ein in B offenes Bild V=q){U) hat, so ist zugleich mit A auch<br />
B topologisch vollstdndig.<br />
Als topologisch voUstandig wird ein Raum bezeichnet, der mit<br />
einem metrisch vollstandigen Raum (in dem jede Fundamentalfolge<br />
konvergiert) homoeomorph ist. Herr Sierpiiski^) hat den<br />
Satz ftir Mengen in Euklidischen Raumen bewiesen; bei einer Gelegenheit^)<br />
habe ich ihn in obigem Umfang ausgesprochen und<br />
mochte, einem Wunsch des Herrn Kuratowski entsprechend, nun<br />
den Beweis geben. Als Basis ftir den Raum A bezeichnet man<br />
ein System F offener Mengen =}= 0 dieses Raumes derart, dass jede<br />
offene Menge =|= 0 Summe gewisser UBF ist Bedeutet TJx (Umgebung<br />
von x) eine den Punkt x euthaltende oflfene Menge, so soil<br />
also jede Umgebung jedes Punktes XBA eine Umgebung UxtF<br />
enthalten, x soil „beliebig kleine" Umgebungen TJ^^r haben; im<br />
metrischen Raum kann man darunter Umgebungen mit beliebig<br />
kleinen Durchmessern verstehen.<br />
Ein System von (beliebigen) Mengen ?7=j= 0 des Raumes A heisst<br />
geschlossen, wenn fur jede Folge von Mengen U^ 3 ^^2^ ^sD"des<br />
Systems der Durchschnitt ihrer abgeschlossenen Httllen nicht<br />
leer ist: U^ U^ U^ ...=j=0.<br />
1) Fund. Math. XVI (1930). p. 173-180.<br />
«) Journ. f. Math. 167 (1932), S. 301.<br />
485
280 P. Hausdorff:<br />
II. Zur topologischen Vollstdndigkeit des Raumes A ist die Existem<br />
einer geschlossenen Basis F noiwendig und hinreichend.<br />
Diesen Satz hat Herr N. Wedeniasoff^) bewiesen und<br />
damit ein frtiheres Ergebniss des Herrn P. Alexandroff^) verscharft<br />
und vereinfacht.<br />
Dem Beweis unseres Satzes I. schicken wir Folgendes voraas:<br />
Hilfsatz. Es sei r eine Basis ftir den Raum A, ferner y = g){x)<br />
eine stetige Abbildung von A auf B = q){A\ sodann U eine in A<br />
oiBfene Menge und F=^(?7) ihr Bild, endlich G eine beliebige<br />
Menge in J5, in der V nicht enthalten ist (F— 6^=1=0). Dann ist<br />
eine Darstellung<br />
(?4.F=^+Fo+F, + ... + F, + ...<br />
moglich (wo der Index Z einen Abschnitt von Ordnungszahlen<br />
durchlauft), derart dass<br />
(a) die Fn=y(J7^) die Bilder offener Mengen C/^cP; C/^C^^i^^r<br />
(j3) V^ niemals in der Summe G^= G -}- 2 Vt enthalten ist:<br />
F,-G,=1=0.<br />
Der Beweis ist sehr einfach. Ftir ein I seien bereits die F^ mit<br />
^i = 0 heisst das: es ist GQ = G<br />
bestimmt). Jedenfalls ist G^;^ C ^ + ^- 1st noch (r;^ =f= ^ H" ^? ^^^^<br />
V—G;^=j=0, so sei ysV—ff;^, x ein Urbildpunkt eU von y = (p{x)<br />
^°d ^^ C ^ ®^^® ^^^ Basis r angehorige Umgebung von x, Dann<br />
ist F;^ = g)(C/"^) nicht (Z^jiy da V^ den Punkt y enthalt. Ist hingegen<br />
(?;^ = (r -|- F, so wird F^^ nicht mehr definiert; aus Machtigkeitsgrtinden<br />
muss dies ftir einen kleinsten Index ^ > 0 eintreten,<br />
und dann ist G -{• V= G^= G •-{- 2 Vj^^ die gewtinschte Dar-<br />
stellung.<br />
Beim Beweise von I konnen wir A als metrisch vollstandig annehmen.<br />
Fur jedes ^ = 1,2,3, ... ist das System P^ der in A<br />
oiBFenen Mengen ?7=(=0, die ebenso wie ihre Bilder V=
als Indizes<br />
ihre Bilder seien<br />
und wir setzen<br />
Uber innere Abbildungen 281<br />
^a? ^a^f ^a^yi<br />
|
282 F. Hausdorff:<br />
die Summe tlber alle Indizesfolgeu erstreckt. Denn aus (1) ergibt sich<br />
der Reihe nach, dass jeder Punkt yeB einem gewissen F„ und,<br />
wenn man hier das kleinste a wtthlt, einer einzigen Menge V^— B^<br />
angehort, sodanu t/e F^,^ und, bei kleinstem ^^ ye V^^— B^^, danach<br />
y^ ^a^y ^' s. w. Ubrigens konnen in (5) auch leere Summanden<br />
auftreten.<br />
Die Grleichung (5) besagt, dass im Fall einer inneren Abbildung<br />
die offenen Mengeu F„, F^^, F^^y,... eine Basis ftir den Raum<br />
B bilden. Denn jeder Punkt yeBh&t Umgebuugen F^, F^^, '^a^y)"^<br />
die nach (3) beliebig klein werden.<br />
Sodann wird aus (4) die Geschlossenheit dieser Basis und damit<br />
nach II. die topologische Vollstandigkeit von B folgen. AUgemein ist<br />
Die Summe rechterhand enthalt alle Vaiaa.^.a » ^^ P ^ 9. ^^^<br />
lexikogrophisch (nach ersten Differenzen geordnet)<br />
Denn wenn<br />
(«!, a27 • • • »«J = (i^i, •. •, /^«-i, «„,..., a^), a„ < /?„<br />
ftir ein n = 1, 2,... ,/)^ so ist nach (2)<br />
Demnach ist fUr p^q, («!,..,a^)'a....a, Mgt (^i,•••,/?.) ^ («.,••-, «.)•<br />
Nun sei<br />
eine Folge unserer Mengen F, wo F^ eine Menge mit p Indizes<br />
bezeichnet; es ist zu zeigen, dass ihre abgeschlossenen Htillen einen<br />
Durchschnitt =}= 0 haben, wobei offenbar die Mengeu der Folge als<br />
paarweise verschieden (F^« =}= V^n+ij angenommen werden dtirfen.<br />
Zunachst konnen nicht unendlich viele Pn = p sein. Denn dann<br />
hatte man eine Folge<br />
488
und nach (6)<br />
Uber innere Abhildungen 283<br />
(«!,..., a^)>(/3i,...,^^)>(yi,...,y^)>...,<br />
was bei der lexikographischen Wohlordnung unmoglich ist. Demnach<br />
muss j?„ —> oo streben und wir konnen mit Beschrankung auf eine<br />
Teilfolge<br />
(7) ^a...a,D ^,...,,D T^,...y.D... ip
284 F. Hausdorff:<br />
III. gefunden, dessen Mitteilung vielleicht einen jtingeren Mathematiker<br />
zu weiterer Verfolgung des Problems anregt.<br />
Von der Annahme, dass X separabel sei, wird zunachst kein<br />
Gebrauch gemacht.<br />
Wir konnen annehmen, dass X = ^ die abgeschlossene Hiille<br />
von A sei, also ^ in X dicht und B = q){A) in Y=^(p{X) dicht.<br />
Wenn dann<br />
ist, so ist<br />
(p[A U) = BV {U in X, V in Y oflfen)<br />
also der Durchmesser von Fgleich dem Durchmesser von (p{U). Denn<br />
auf Grrund der Stetigkeit ist q){AU)CBV, andererseits BV(2(p{U\<br />
und weil AU in U, BV in V dicht, also AU= U, BV= V ist:<br />
cp{U)Cv{U)^(p{AU)CBVC
Uber innere Ahhildungen 285<br />
9?(Z7|j...|J Durchmesser
286 F. Hausdorff:<br />
ihr Urbild sei<br />
Sodann sei<br />
(12) P, =^ % '2 ^«'^' '2 ^I'^'l'- • • •'<br />
|l Ills Willis<br />
aus (9) folgt P2 D A. Endlicli sei<br />
Wir behaupten<br />
P:=^PrP,. Q = (p{P).<br />
(13) «^(^
Uber innere Abbildungen 287<br />
Die Menge Pj ist ein G^ in X. Die Menge R besteht aus Summanden<br />
der Form V—W= Differenz oflfener MeDgen = F^.<br />
Wenn nun X separabel ist und die Basis F also abzfthlbar gewahlt<br />
werden kann, so ist R als Summe abzahibar vieler F^ wieder ein<br />
F^^ und wenn wir
288 F. Hausdorff:<br />
IV. Jeder metrisehe Baum B ist vermoge einer inner en Ahhildung<br />
y z=z(p{x) Bild eines Baireschen Eaumes A, Diese Ahhildung Idsst sich<br />
zu einer inneren Ahhildung eines topologisch vollstdndigen Baireschen<br />
Baumes PZ^ A erweitern.<br />
Als d-Netz in B (d > 0) bezeichnen wir eine maximale Teilmenge<br />
von JB, deren Punkte paarweise Entfernungen ^ d haben;<br />
die Existenz einer solchen ist durch Woblorduung zu beweisen. Zu<br />
jedem Punkte yeB giebt es mindestens einen Netzpunkt h mit<br />
hy 0, B^ ein (5„-Netz in B\ wir bilden den voUstandigen<br />
Baireschen Raum (14) aller Netzpunktfolgen (15). Jede<br />
^Koordinate" h^ von x ist stetige Funktion von x^ denn flir § =<br />
= (^1,j^,,...) und a?^
Uber innere Abhildungen 289<br />
y=z(p[x) in PQ eine innere ist. Sei x = {hi,h^^..) eP^^ ferner ^,,<br />
die offene Kugel mit dem Zentrum x und Radius —, d, h. dieMenge<br />
aller mit bi,...,bn beginnenden Netzpunktfolgen ^ = (61 ,...,&«,<br />
/?„^i,...)£X, endlich F„ die in Y offene Menge der Punkte rj mit<br />
(17) «>.^
290 F. Hausdorff:<br />
Auch Q = q)(P) ist topologisch vollstaDdig (vgl. den Satz I),<br />
wie man sehr einfach einsieht: Q ist die Menge aller y € Y^ zu<br />
denen es ein ic = (6j, 62»-«)eX mit (16) giebt; die Menge i?„ aller i/,<br />
zu denen es ein b^eB^ mit h„y
Uher innere Abhildungen 291<br />
A = tp(B)), In Ar^ ist die znvor betrachtete stetige Abbildung y = (p(x)<br />
scblicht. Das Bild einer offenen Kugel mit Zentrum x und Radius<br />
— besteht aus alien ?? mit<br />
71<br />
es ist immer noch DifFerenz oflfener Mengen. Ist nun B separabel,<br />
so ist jedes Netz B^ hochstens abzahlbar, der ganze Bairesche Raum<br />
X= (^1, ^2 v) separabel, AQ separabel; das Bild einer in AQ oflfenen<br />
Menge lasst sich aus abzahlbar vielen Differenzen offener Mengen<br />
zusammensetzen und ist ein i\.<br />
497
Commentary on [H 1934]<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
The paper consists of three parts having a common theme, namely the relationship<br />
between open mappings and properties related to completeness.<br />
The first part concerns preserving completeness by open mappings. As is<br />
mentioned in the paper, SlERPINSKi proved a special case of Theorem I in [Sie<br />
1930]. The precise statement of SIERPINSKI'S result is as follows:<br />
Si E est un ensemble Gs (d'un espace a m dimensions) et si f{x) est une fonction<br />
definie et continue sur E qui transforme tout ensemble ouvert relativement<br />
a E en un ensemble ouvert relativement a f{E), f{E) est aussi un ensemble<br />
Gs. ([Sie 1930], p. 173).<br />
That is why HAUSDORFF speaks about SlERPlNSKl's result for subsets of<br />
Euclidean spaces (ENGELKING in his book [Eng 1989] says that SIERPINSKI<br />
proved his result for separable metric spaces).<br />
HAUSDORFF proved the result for general metric spaces in his notes from<br />
29.1.1931 (Kapsel 35, Fasz.407). Why the result was published only in 1934<br />
is explained in the second paragraph of [H 1934]. These notes also contain an<br />
example (not included in the final publication) which explains that the result is<br />
not valid for multi-valued mappings: X is the set of reals, Y the set of rationals<br />
and / assigns to a: in X all the i/'s in Y such that |a: — i/| < 1; then f{G) is<br />
open in Y for every open G in X, and f~^{H) is open in X for every open H<br />
inF.<br />
HAUSDORFF's procedure is based on a characterization of topological completeness<br />
by means of the so-called "closed basis". That characterization was<br />
proved independently by VEDENISOV and HAUSDORFF (see Commentary to [H<br />
1924]).<br />
HAUSDORFF's proof is elegant and elementary and is used even today, if one<br />
cannot go outside metric spaces. Otherwise, procedures used by MICHAEL for<br />
paracompact spaces are used. MICHAEL generalized Theorem I in [Mic 1959]<br />
as follows:<br />
A paracompact continuous and open image of a completely metrizable space is<br />
completely metrizable. In fact, instead of completeness of the domain one can<br />
assume completeness of fibers f~^{x).<br />
The second part concerns the following result of MAZURKIEWICZ on extensions<br />
of open mappings (a solution of ARONSZAJN'S problem from [Aro 1931])<br />
published in [Maz 1932]:<br />
Soient R, T deux espaces complets, separables, A d R, f une transformation<br />
interieure de A, f{A) — B
HAUSDORFF tried to generalize that result to nonseparable spaces in his<br />
notes (Kapsel 38, Fasz. 520) from 28.6.1934. He found a largest set A* D A<br />
such that / is open on A* and tried to find a convenient G^^-set A in between<br />
A and A*. Several days later (Kapsel 38, Fasz. 524, 3. 7.1934) he described his<br />
construction of A in more detail without using A* and excerpted what is really<br />
needed to get a G^-set. The conditions obtained are fulfilled for separable X<br />
(the notes contain more details than the corresponding part of the publication<br />
[H 1934]).<br />
HAUSDORFF'S effort to remove separability from MAZURKIEWICZ'S result was<br />
useless as was shown by R. POL almost 50 years later in [Pol 1981]. POL used an<br />
example from KuRATOWSKi's book [Kur 1933, §30, X, Remark] to show that<br />
MAZURKIEWICZ'S result does not hold for nonseparable spaces X (he remarks<br />
on p. 73 that the result holds for nonseparable spaces X if one adds some<br />
conditions on /, e.g., that the fibers f~^(x) are separable; if one assumes that<br />
the fibers are completely metrizable then even the completeness of X need not<br />
be assumed).<br />
Nevertheless, HAUSDORFF gave a new and simpler proof of MAZURKIEWICZ'S<br />
result that is used up to the present day. It may be interesting to point out the<br />
following comment of HAUSDORFF accompanying the proof:<br />
Bei den (vergeblichen) Versuchen, die Voraussetzung der Separabilitat<br />
zu entfernen, habe ich einen ziemlich einfachen Beweis von III gefunden,<br />
dessen Mitteilung vielleicht einen jiingeren Mathematiker zu weiterer Verfolgung<br />
des Problems anregt.<br />
Von der Annahme, dass X separabel sei, wird zunachst kein Gebrauch<br />
gemacht. ([H 1934], p. 283-284).<br />
Since completely metrizable spaces generalize to spaces complete in the sense<br />
of CECH (i. e., to Tychonoff spaces that are G^-sets in their compactifications),<br />
there appeared a question as to whether one can change metric spaces to Tychonoff<br />
spaces and complete metrizability to Cech completeness. The question<br />
was imphcitly answered by ARHANGEL'SKII in [Arh 1961] and FROLIK in [Pro<br />
1961] who constructed examples of locally Cech complete Tychonoff spaces that<br />
are not Cech complete. Since it is easy to see that every locally Cech complete<br />
Tychonoff space is an open image of a Cech complete space, the examples show<br />
that an open continuous image of a Cech complete space need not be Cech<br />
complete.<br />
Perhaps motivated by a result from KuRATOWSKi's book [Kur 1933] (§ 33 III<br />
in the 1966 edition, footnote on p. 288 in [H 1934]) HAUSDORFF investigated<br />
open images of subsets of Baire spaces in the third and final part. KURATOW-<br />
SKI was interested in images of irrationals (i. e., of the separable Baire spaces)<br />
and, thus, in separable metrizable spaces only; for his constructions, he used<br />
special open bases. HAUSDORFF again generalized the procedure to nonseparable<br />
spaces. Although HAUSDORFF'S approach was basically similar to that<br />
of KuRATOWSKi, he used maximal r-nets instead, which might be simpler for<br />
499
some readers. He showed that his approach also gives the original result of<br />
KURATOWSKI.<br />
We add that MORITA proved in [Mor 1955] that every metrizable space is a<br />
perfect image of a subset of a Baire space^ and A. H. STONE in [Sto 1962] added<br />
to HAUSDORFF'S result that a Baire space of weight «; > cj is characterized as a<br />
completely metrizable, strongly zero-dimensional space having the property that<br />
every nonvoid set has weight hc.<br />
The last part was devoted to open images of subspaces of Baire spaces and<br />
was prepared in the notes dated 12.6.1934 (Kapsel 38, Fasz. 517) and 16.6.1934<br />
(Kapsel 38, Fasz. 518). The latter one is a simplified version of the main proof<br />
from the first one, as it appears in [H 1934]. The notes do not contain more<br />
than his published results.<br />
What HAUSDORFF calls metric with "verscharfte Dreiecksaxiom" is now<br />
usually called an ultrametric or non-archimedean metric. The fact that a metrizable<br />
space can be metrized by such a metric if and only if it is strongly<br />
zero-dimensional (IndX = 0) seems to be attributed to HAUSDORFF [H 1934]<br />
and DE GROOT [Gro 1956] in [Eng 1989] (also in [Eng 1995]). Such a result<br />
is not explicitly stated in [H 1934]; he explicitly mentions zero-dimensionality<br />
of subspaces of Baire spaces but he has in mind indX = 0. It is true that<br />
one can understand the equivalence to be implicitly hidden in [H 1934] (using<br />
current knowledge). One implication follows from the remark (p. 290) that<br />
every ultrametric space is homeomorphic to a subspace of a Baire space. To<br />
use that remark, one must know that subspaces of Baire spaces are strongly<br />
zero-dimensional, a proof of which is not difficult. In fact, HAUSDORFF proved<br />
that in his notes (Kapsel 33, Fasz. 273, 2.-28.6.1927) - see the corresponding<br />
Commentary, this vol., p. 776-777. The other implication follows from the fact<br />
that if Ind X = 0 then dim X = 0 (this implication is also not hard to show)<br />
and the last equality implies that X can be re-metrized by an ultrametric, as<br />
HAUSDORFF proved in Fasz. 273.<br />
References<br />
[Arh 1961] ARHANGEL'SKII, A. V.: On topological spaces which are complete<br />
in the sense of Cech (Russian). Vestnik Mosk. Univ., Ser I: Mat. Meh.<br />
no. 2, (1961), 37-40.<br />
[Aro 1931] ARONSZAJN, N.: Uber ein Urbildproblem. Fundamenta Math. 17<br />
(1931), 92-121.<br />
[Eng 1989] ENGELKING, R. : General Topology. Heldermann Verlag, Berlin<br />
1989.<br />
[Eng 1995] ENGELKING, R. : Theory of Dimensions. Finite and Infinite.<br />
Heldermann Verlag, Berlin 1995.<br />
[Fro 1961] FROLIK, Z.: Locally topologically complete spaces (Russian). Dokl.<br />
Akad. Nauk SSSR 137, No. 4 (1961), 790-792.<br />
500
[Gro 1956] DE GROOT, J.: Non-archimedean metrics in topology. Proc.<br />
Amer. Math. Soc. 7 (1956), 948-953.<br />
[Kur 1933] KuRATOWSKi, K. Topologie 7, Warszawa, 1933, (Warszawa, 1966).<br />
[Maz 1932] MAZURKIEWICZ, S.: Surles transformations interieures. Fundamenta<br />
Math. 19 (1932), 198-204.<br />
[Mic 1959] MICHAEL, E.: A theorem on semi-continuous set-valued functions.<br />
Duke Math. J. 26 (1959), 647-651.<br />
[Mor 1955] MORITA, K.: A condition for the metrizability of topological<br />
spaces and for n-dimensionality. Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sect.<br />
A 5 (1955), 33-36.<br />
[Pol 1981] POL, R.: On category raising and dimension-raising open mappings<br />
with discrete fibers. Coll. Math. 44 (1981), 65-76.<br />
[Sie 1930] SiERPiNSKl, W.: Sur une propriete des ensembles Gs- Fundamenta<br />
Math. 16 (1930), 173-180.<br />
[Sto 1962] STONE, A.H.: Absolute F^-spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 13<br />
(1962), 495-499.<br />
501
Gestufte Raume.<br />
Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 486-502.<br />
[H 1935b]
Gestufte Raume.<br />
Von<br />
F. Hausdorff (Bonn).<br />
Wenn jeder Teilmenge A einer Menge JS eine Menge Aj^ zugeordnet<br />
wird, die den Kuratowskischen Axiomen tiber die abgeschlossene<br />
HtiUe mit Ausnahme von A;i;^ = ^;^ gentigt, so woUen wir E<br />
einen gestuften Baum nennen. Insbesondere erzeugt jeder Fr^chetsche<br />
L-Raum einen gestuften Raum^ und andererseits jeder gestufte<br />
Raum einen topologischen Raum, so dass die gestuften Raume als<br />
Bindeglied zwisehen L-Raumen und topologischen Raumen einer<br />
kurzen Untersuchung nicht unwert sind, die vielieicht einige bekannte<br />
Tatsachen der Raum-Axiomatik ^) in hellerem Lichte erscheinen<br />
lasst.<br />
§ 1. Topologische Raume.<br />
Dieser Ausdruck wird bier im folgenden Sinn verstanden: in E<br />
ist ein System ^ von Mengen F(2,E^ den abgeschlossenen Mengen,<br />
mit den Eigenschaften gegeben ^)\<br />
(1) Der Raum E selhst und die Nullmenge 0 sind ahgeschlossen.<br />
(2) Die Summe von zwei (also von endlich vielen) abgeschlossenen<br />
Mengen ist ahgeschlossen.<br />
(3) Der Durchschnitt von heliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist<br />
abgeschlossen.<br />
(4) Eifipunktige (also endliche) Mengen sind abgeschlossen.<br />
1) Vgl. M. Fr^chet, Les espaces ahstraits (Paris<br />
2) Wieviel man schon mit (1) und (3) allein beweisen kann, zeigt W. Sier-<br />
p in ski, General topology (Toronto 1934), Chapt. 1.<br />
505
Gestufte Rdume 487<br />
Die Komplemente der abgeschlossenen Mengen heissen offene<br />
Meiigen; eine oflfene Menge, die den Punkt x oder die Menge A<br />
eathalt, heisst Umgebung von x oder A, (4) moge auch das ersie<br />
Trennungsaxiom heissen; es besagt, dass, fiir ^4=2/, x eine zu y<br />
disjankte Umgebung hat. Das zweite Trennungsaxiom, wonach zwei<br />
verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen haben, wird nicht vorausgesetzt.<br />
Die Axiome (1)—(4) ermoglichen die Einftihrung der kleinsten<br />
abgeschlossenen Menge 3^5 d. h. der abgeschlossenen Htille A^<br />
von A mit den Eigenschaften<br />
(5) 0„=0, ACA^C^, (4 + B)„ = ^„+B„, 4„„ = 4„, ^a=^,<br />
die man auch mit Herrn K u r a t o w s k i ^) als Axiome an die<br />
Spitze stellen kann.<br />
Eine und dieselbe Menge kann durch verschiedene Systeme<br />
3*; ^i abgeschlossener Mengen zu verschiedenen topologischen Kaumen<br />
E^ E^ gemacht werden. Wir nennen E^ einen (topologischen)<br />
Oberraum zu E, E einen Unterraum zu JSj, wenn ^iCS* -^1'® i^^<br />
Oberraum abgeschlossenen Mengen sind also auch im Unterraum<br />
abgeschlossen^ aber (falls ^^ =|= 5) nicht umgekehrt; der Oberraum<br />
hat weniger abgeschlossene Mengen und demgemass grossere abgeschlossene<br />
Hiillen:<br />
AAE,)-DA,{E).<br />
Der unterste aller moglichen Raume ist der, wo alle Mengen<br />
abgeschlossen sind (also alle Mengen offen, alle Punkte isoliert,<br />
E ein „diskreter" Eaum), der oberste der, in dem nur die (von den<br />
Axiomen geforderten) endlichen Mengen und E selbst abgeschlossen<br />
sind. Ist eine Menge von topologischen, als Punktmengen samtlich<br />
identischen, Raumen Ef (wo der Index t irgend eine Menge T durchlauft)<br />
mit den Systemen ^^ abgeschlossener Mengen und den abgeschlossenen<br />
Htillen A^{Ef) gegeben, so hat dieses Raumsystem<br />
gemeinsame Ober- und Unterraume. Unter den Oberraumen E,<br />
ftir die ja 8*CS^ s®i^ muss, gibt es einen untersten, fiir den das<br />
System der abgeschlossenen Mengen<br />
d=JJ^f<br />
1) C. Kuratowski, Sur Voperation A de VAnalysis Situs^ Fund. Math. '6<br />
(1922), p. 182-199.<br />
506
488 F. Hausdorff:<br />
das Produkt (der Durchschnitt) der saratlichen ^f ist, das oflfenbar<br />
die Axiome (1)—(4) erftillt. Ftir die abgeschlosseDen Htillen in<br />
diesem untersten Oberraum gilt<br />
die genaue Formel wird in (10) gegeben. Ebenso gibt es unter den<br />
Unterraumen E mit ^3??/ einen obersten; fiir ihn ist<br />
t t<br />
t<br />
und zwar ^ das kleinste System tiber 2%^^ das die Axiome (2), (3)<br />
— /<br />
erftillt.<br />
Es sei y = q){x) eine eindeutige Abbildung des topologischen<br />
Raumes E (mit den abgeschlossenen Httllen A^ auf den topologischen<br />
Raum H (mit den abgeschlossenen Htillen B^\ ^{^ s^i ^^^ ^^Id<br />
von A(2E, (p~^{B) das Urbild von B (2 H. Die Abbildung ist im<br />
Punkt X stetig, wenn ftir jede Menge A mit xeA^ zugleich q){x)€q)(A)^<br />
ist; sie ist tiberall stetig, wenn<br />
oder auch<br />
q>{AJC9iA)^ (AC^)<br />
ist. Damit gleichbedeutend ist: die Urbilder der in fi^ abgeschlossenen<br />
(offenen) Mengen sind in E abgeschlossen (offen). Die identische<br />
Abbildung von E auf den, als Punktmenge mit E identischen,<br />
Raum H ist stetig, wenn jede in H abgeschlossene Menge auch in<br />
E abgeschlossen, d. h. H Oberraum zu E ist. Die schlichten<br />
(= eineindeutigen) stetigen Bilder von E sind also mit den Oberraumen<br />
von E topologisch Equivalent (homoomorph).<br />
H<br />
Es sei E = 2Ey eine Zerlegung der Menge E in disjunkte<br />
y<br />
Summanden =|= 0, wobei der Index y zunachst eine reine Menge H<br />
durchlauft Indem wir y ==^(a?) statt x e Ey schreiben, also jedem<br />
Punkt X den Index der ihn enthaltenden Menge Ey zuordnen, erhalten<br />
wir eine eindeutige Abbildung von E auf IT, bei der<br />
(p~^(y) = Ey das Urbild von y ist. Wenn nun E topologisch ist,<br />
so suche man auch H so zu topologisieren, dass die Abbildung<br />
507
Gestufte Bdume 489<br />
y==:(p{x) stetig wird; ist dies moglich, so heisst E=2Ey eine<br />
stetige Zerlegung, Die Aufgabe verlangt, nur solche Mengen B(2H<br />
als abgeschlossen zu erklaren, deren Urbilder (p~^{B) abgeschlossen<br />
sind; es stebt aber frei, alle diese Mengen oder nur einen Teil von<br />
ihnen als abgeschlossen zu erklaren. Andererseits sind die Punkte y<br />
durch Axiom (4) als abgeschlossen vorgeschrieben, und ihre Urbilder,<br />
die Summanden Ey der Zerlegung, mtissen also abgeschlossen sein.<br />
Dies ist aber auch die einzige ^) notwendige und hinreichende Bedingung<br />
ftir eine stetige Zerlegung. Bezeichnen wir dann mit SB das<br />
System der B^ deren Urbilder<br />
y->(5)=^" E.<br />
y<br />
abgeschlossen sind, so gibt jedes System 3(^)C®5 ^^^ ^^^ ^®"<br />
dingungen (1)—(4) gentigt, einen zulassigen topologischen Raum H,<br />
Da das System SB selbst diesen Bedingungen genligt, so ist der<br />
Raum H mit g(jff) = S5 der unterste aller dieser Raume, die ihrerseits<br />
die Oberraume (schlichte stetige Bilder) dieses Minimalraums<br />
sind. Die abgeschlossenen HUllen des Minimalraums werden in (12)<br />
angegeben.<br />
§ 2. Crestufte Raume.<br />
Wir denken uns jeder Menge A(^E eine Menge Aj^ zugeordnet,<br />
die die Eigenschaften (5) von A^ hat bis auf ^^-^==^1;^, also<br />
(6) 0^ = 0, ACA.CE, (A + 5), = 4, + 5„ x^^x.<br />
Wir nennen E einen gestuften Raum^ Aj^ seine Stufenfunhtion.<br />
Das System der Mengen mit Aj^^=zA erftiUt die Fordernngen<br />
(1)—(4). Es gentigt (3) zu beweisen; aus der dritten Gleichung (6)<br />
folgt, dass A;^^ monotone Funktion von A ist (mit A(^B ist A^(2B^^<br />
und wenn also A = IIAf, A^^^^ At ist, so ist<br />
t<br />
^xCjI^a=[l^t = ACA,, A,^A.<br />
t t<br />
Wenn wir also die Mengen mit A;^ = A als abgeschlossen erklaren,<br />
so entsteht ein topologischer Raum. In bekannter Weise findet man,<br />
*) tJber weitere in der Literatur auftretende BediDgungen vgi. § 4.<br />
508
490 F. Hausdorff:<br />
dass die abgeschlossene Hiille A^ die grosste Menge ist, die durch<br />
endliche und transfinite Wiederholung der ^-Operation aus A entsteht,<br />
also die grosste Menge in der Folge<br />
(7) AQ^=A, Ai=A^, A2 = A^;i^ ..., A^^...^ A^^,.,^<br />
wobei<br />
Wir schreiben kurz<br />
4^-}-i—^^;t, -^n^^^ ^1 (''? Limeszahl).<br />
(8) A,^ A-\-A;,-^A;,^ •{-.., (in transf.).<br />
Der Aufstieg liber die „Stufen" (7) fiihrt also schliesslich zur hochsten<br />
Stufe, zur abgeschlossenen Hiille. Man bemerkt sofort, dass<br />
verschiedene gestufte Raume denselben topologischen Raum ergeberi<br />
konnen, z. B. die Raume mit den Stufenfunktionen A;^^ oder A^<br />
(§>0). Ein topologiscber Raum ist selbst ein gestufter Raum, in<br />
dem die Stufenbildung A^ sofort abbricht {A^^^==A^,<br />
Eine und dieselbe Menge kann durch verschiedene Stufenfunktionen<br />
A^^iE), A;^^{E^) zu verschiedenen gestuften Raumen £", E-^<br />
gemacht werden. Wir nennen E^ einen (gestuften) Oberraum zu E^<br />
E einen Unterraum zu E-^, wenn<br />
Hieraus folgt<br />
AJ.E,)Z)A^[E),<br />
El ist also auch im topologischen Sinne Oberraum zu E. Der unterste<br />
aller gestuften Raume ist der diskrete Raum mit A;^ = A^<br />
der oberste der, wo A;,^ = A ftir endliches, A;i = E fiir unendliches<br />
A; diese beiden Extremalraume sind topologisch und dieselben<br />
wie im topologischen Fall (§ 1).<br />
Eine Menge gestufter, als Mengen identischer, Raume Ef mit<br />
den Stufenfunktionen A;^(JB^) hat gestufte Oberraume E mit<br />
hierunter einen untersten mit<br />
A,{E):)^A,{E,),<br />
(9) A,(E}=^AAE,l<br />
t<br />
509
Gestufte Rdume 491<br />
weil dieser Ausdruck die Eigenschaften (6) hat. Die Menge A ist<br />
in E dann und nur dann abgeschlossen {Aji{E)= A\ wenn sie in<br />
jedem E^ abgeschlossen ist; E ist also auch als topologischer Raum<br />
der unterste Oberraum der topologischen Raume E^. Die abgeschlossene<br />
Hulle A^{E) ergibt sich aus dern A;^^=2A;^{E) durch (8), und<br />
diese Formel vereinfacht sich im AUgemeinen auch dann nichtj<br />
wenn die E^ als bereits topologisch angenommen werden, sodass<br />
also die abgeschlossene Hulle A^ im untersten Oberraum durch<br />
(10) A , = ^ A,(IS,), A, = A-\-A,-{-A,, + ... (in transf.)<br />
t<br />
gegeben wird. Entsprechend gibt es zum System der E^ gestufte<br />
Unterraume E mit<br />
ME)CJIA,{E,)<br />
t<br />
und unter diesen einen obersten; ob er das auch im topologischen<br />
Sinne ist, bleibt fraglich.<br />
Insbesondere haben die samtlichen gestuften Raume E^. die denselben<br />
topologischen Raum E mit den abgeschlossenen Htillen A^<br />
erzeugen, einen obersten Unterraum E^ von dem aber fraglich ist,<br />
ob er noch E erzeugt, ob es also eine kleinste Stufenfunktion gibt,<br />
die vermoge (8j zu gegebenen A^ ftihrt. Hierzu sei bemerkt: wenn<br />
A^ = A -\- D mit endlichem D ist, so ist A^^^;^ == ^^ -|- Z>^ =<br />
= {A-{-D)-\-D =A-\-D^A^^ und demgemass A^^A-\-D',<br />
umgekehrt ist bei A^= A-\-D mit endlichem D auch A^^=^ A-{- D<br />
ftir jede Stufenfunktion, die A^ erzeugt. Demnach enthalt A;^^ alle X^<br />
mit X(2.A und endlichem X^—X (vgl. dazu die Anmerkung S. 496).<br />
Sind E^H gestufte Raume mit den Stufenfunktionen A^^B^^<br />
so ist nach Analogic mit dem topologischen Fall die Abbildung<br />
y = (p(x) von E auf H im Punkt x stetig zu nennen, wenn flir jede<br />
Menge ^ mit xeA;^ zugleich q)(x) e (p[A) und iiberall stetig, wenn<br />
(a)
492 F. Hausdorff:<br />
und dureh die Abbildung (p~\ wegen A^(2(p~^f{A;^),<br />
(c) {A)=.B', aus B^=B folgt ^^Cg>-V(^;i) =<br />
=z(p-'^[B^) = q)~^{B) = A, also A;i^= A), Die abgeschlossenen Hullen<br />
in H werden gemass (8) durch<br />
B^ = B + B^-\-B^^-j-... (iatransf.)<br />
geliefert, und dies vereinfacht sich im Allgemeinen auch dann nicht,<br />
wenn E bereits topologisch ist; die abgeschlossenen HUllen im<br />
Minimalraum werden dann durch<br />
(12) B^=(p{A„\ A==ip-\B), 5^=5+5^+^^^ + ... (in transf.)<br />
gegeben.<br />
511
Gestufte Rdume 493<br />
§ 3. i-RSume.<br />
Ein Fr^chetscher L-Raum entsteht aus der Menge E, wenn unter<br />
den Punktfolgen (^i,^2i^8v) g©wisse als konvergent mit einem<br />
Limes x ausgezeichnet werden. Das System ^ dieser Konvergenzen<br />
soil folgende Eigenschaften haben:<br />
(a) Eine konvergente Folge hat nur einen einzigen Limes.<br />
(j3) Eine (konstante, d.h.) aus lauter gleichen Punkten x bestehende<br />
Folge konvergiert nach x,<br />
(y) Jede Teilfolge einer nach x konvergenten Folge ko7ivergierf nach x.<br />
Der Punkt x heisse Limespunkt der Menge A^ wenn es eine<br />
Folge XncA^ Xn->x gibt; A;^ sei die Menge der Limespunkte<br />
von A, Dann erfUllt A^ die Forderungen (6) ftir Stufenfunktionen,<br />
wie leicht zu sehen; jeder L-Raum induziert also einen gewissen<br />
gestufteu Raum und einen zugehorigen topologischen Raum mit den<br />
abgeschlossenen Hlillen (8).<br />
Eine und dieselbe Menge kann durch verschiedene Konvergenzensysteme<br />
S, S^ zu verschiedenen L-Raumen E^ E^ gemacht werden.<br />
Wir nennen E Unterraum zu E^ oder E^ Oberraum zu J5, wenn<br />
^(^Si- Dann ist auch A;^{E) (^ A;^^{E^\ E also auch als gestufter<br />
(und als topologischer) Raum Unterraum von E^. Der unterste<br />
L-Raum, mit den wenigsten Konvergenzen, ist der, wo nur die<br />
durch (^) geforderten konstanten Folgen konvergent sind; das ist,<br />
als gestufter Raum, wieder der diskrete Raum mit il^ = A. Einen<br />
obersten L-Raum kann es wegen der sogleich zu besprechenden<br />
Forderung der Vertraglichkeit offenbar nur in dem trivialen Fall<br />
geben, dass E endlicb ist; sein ^ besteht aus den schliesslicli<br />
konstanten Folgen. Wohl aber gibt es L-Raurae ohne echten Oberraum,<br />
deren Konvergenzensystem also nicht erweiterungsfahi^ ist; in<br />
diesem Fall befindet sich z. B. ein kompakter metrischer Raum E^<br />
denn eine in ihm nicht konvergente Folge en thai t Teil folgen mit<br />
verschiedenen Limites und kann wegen (y), {a) in keinem Oberraum<br />
zur Konvergenz gebracht werden.<br />
Ein System von L-Raumen Et^ als Mengen identisch, mit den<br />
Konvergenzensystemen % kann einen L-Raum als gemeinsamen<br />
Oberraum nur haben, wenn sie vertrdglich sind, d. h.eine Punktfolge in<br />
512
494 F. Hausdorff:<br />
alien Ef, wo sie koavergent ist, denselbea Limes hat. 1st dies der<br />
Fall so ist<br />
=Jt.<br />
ein zulassiges KonvergenzeDsystem; es definiert einen L-Raum i/,<br />
Welcher Oberraum und zwar unterster Oberraum aller Ef ist. Offenbar<br />
gilt dann (9) und E ist also auch als gestufter Raum (sowie<br />
als topologischer Raum) der unterste Oberraum der E^, Die Vertraglichkeit<br />
der Ef ist insbesondere gesichert, wenn sie ein geordnetes<br />
System bilden, d. h. von zweien der eine ein Unterraum des andern<br />
ist. (Sind die E^ als L-Rftume unvertraglich, so haben sie doch als<br />
gestufte Raume einen untersten Oberraum, der also dann entweder<br />
nicht dureh einen L-Raum erzeugbar ist oder nur durch einen<br />
solehen, der nicht Oberraum der L-Raume E^ ist). Hingegen haben<br />
die Ef, ob vertraglich oder nicht, stets gemeinsame L-Unterraume E<br />
mit ^(2II^f und darunter einen obersten, durch ^ = i7^^ de6-<br />
— t — t<br />
niert; denn dieses Konvergenzensystem erfiillt die Axiome [a)—(y).<br />
Ob dieses E auch als gestufter Raum der oberste Unterraum der Ef<br />
ist, bleibt fraglich.<br />
Die Abbildung y = ^(^) des L-Raumes E auf den L-Raum H<br />
ist im Punkte x stetig, wenn fiir jede Folge x,^ -> x zugleich<br />
(p{Xn)-> (p(x)\^t, Sie ist dann auch als Abbildung der zugehorigen<br />
gestuften Raume in x stetig, d. h. aus ^ e-A^ folgt (p[x) e (p[A)^^^\<br />
der Beweis liegt auf der Hand. Die Stetigkeit der identischen<br />
Abbildung von E auf H {E und H als Punktmengen identisch) ist<br />
damit gleichbedeutend, dass jede Konvergenz aus E auch in H<br />
gilt, also ^{E)C^{H), E Unterraum von H ist.<br />
Ein L-Raum heisse maximal, wenn sein Konvergenzensystem<br />
nicht erweitert werden kann, ohne den zugehorigen gestuften Raum<br />
zu andern. Hieriiber gelten folgende Satze:<br />
L Ein maximaler L'Eaum erfiillt ausser [a)^{§),{y) noch das Axiom:<br />
{6) Wenn jede J'eilfolge Xp von x^ eine nach x konvergente Teilfolge<br />
Xg enthdlt, so konvergiert die game Folge x^ nach x.<br />
Beweis. J5'sei L-Raum; wir definieren eine neue Konvergenzrelation<br />
x^ % x, die bedeuten soil; jede Teilfolge Xp von x^, hat eine<br />
Teilfolge Xq ^ X* Diese Relation erfullt (a), denn aus x„%x^ x„Xy<br />
513
Gestufte Rdume 495<br />
folgt: Xn hat eine Teilfolge Xp->x, x^ eiue Teilfolge Xq~^y^ also<br />
x = y. Sie erfUllt auch (j3) und endlich (y): jede Teilfolge x^ einer<br />
Teilfolge Xp hat eine Teilfolge x^-^x^ also x^ Xx, Demnach erzeugt<br />
diese Relation einen L-Raum ^*. Mit x^-^x ist x^Xx^ also £"*<br />
Oberraurn zu ^; beide L-Raume erzeugen aber denselben gestuften<br />
Raum, il;^ [E^) = A;^ {E\ denn zu x^e A, x^Xx gibt es eine Teilfolge<br />
Xp->x, also A^{E'')CAx{E)C^x[E''y ^* ^rfullt {d)\ wenn<br />
jede Teilfolge x^ von ^^ eine Teilfolge Xg Xx hat (also diese eine<br />
Teilfolge x^->x\ so ist ^;,^a;. Wenn E selbst schon (d) erftilltj<br />
ist mit x^Xx auch x^-^x^ ^* mit JS" identisch. Wenn E also (d)<br />
nicht erfullt, ist £* echter Oberraum von E mit demselben gestuften<br />
Raum, E nicht maximal; ist E maximal, so ist in ihm {6) erftillt.<br />
II, Jeder gestufte Baum^ der durch einen L-Raum erzeugt werden<br />
kann, wird durch einen maximalen L-Raum erzeugt^ ndmlich durch<br />
den obersten aller ihn erzeugenden L-Rdume.<br />
Zum Beweise sei zunachst E ein L-Raum, Aj^ die Menge der<br />
Limespunkte von A^ x„—>x eine konvergente Folge und X = 2x^<br />
n<br />
die Menge ihrer verschiedenen Punkte. Dann ist<br />
(13) X + x^X,.<br />
Es braucht hierzu nur X;i^CiX-\-x gezeigt zu werden; nun enthalt<br />
aber jede Folge aus Punkten eX entweder eine Teilfolge, die<br />
zugleich Teilfolge von x„ ist, oder sie enthalt ein Xf, unendlich oft;<br />
sie kann also, wenn konvergent, nur nach x oder X/^ konvergieren.<br />
Die Formel (13) gilt ebenso, wenn x^ eine beliebige Teilfolge von x„<br />
und X=^2Xp ist, und in dieser Allgemeinheit aogewandt zeigt sie,<br />
p<br />
dass der Limes einer konvergenten Folge durch die Folge selbst<br />
und die Kenntnis der Stufenfunkrion A^^^ eindeutig bestimmt ist,<br />
Denn entweder gibt es unter den X = 2Xp ein X ^ X;^^ und dann<br />
p<br />
ist x = X;i — X oder es sind alle X=X;] in diesem Falle, wo ^<br />
alien X angehort, muss offenbar schliesslich x„ = x sein, denn waren<br />
unendlich viele ^^ =}= a?, so wurde X=2xp den Punkte nicht<br />
p<br />
enthalten. Hieraus geht nun hervor, dass alle L-Raume, die dieselbe<br />
Stufenfunktion il;^ haben, mit einander vertrMglich sind und<br />
einen untersten Oberraum haben, der wegen(9) dieselbe Stufenfunktion<br />
Aj^ hat, womit II bewiesen ist.<br />
514
496 F. Hausdorff:<br />
Man kann dem Beweis auch folgende Wendung geben. E sei<br />
mit der Stufenfunktion Aj^ versehen, seine Erzeugbarkeit durch<br />
einen L-Raum wird noch nicht vorausgesetzt. Wir definieren dann<br />
eine Konvergenzrelation x^^x^ die bedeuten soil: filr jede Teilfolge<br />
Xp und X=2Xp gilt X-^ x =^ X;^^, Das System ^Q dieser<br />
p<br />
Konvergenzen erftillt die Limesaxiome, wobei insbesondere der Beweis<br />
der Eindeutigkeit {a) wortlich derselbe ist wie oben; es erzeugt<br />
also einen Z-Raum EQ mit A;^{EQ)(2A^, Wenn nun insbesondere E<br />
selbst ein L-Raum mit dem Konvergenzensystem ^ ist, so folgt aus<br />
uach (13) x^X^i *lso ^CI^o> demnach A^(^A^{EQ) und<br />
folglich AJ^{EQ) :== Ajf^\ der Raum EQ ist der oberste, mit dem grossten<br />
Konvergenzensystem ^Q, unter alien L-Raumen, die den gestuften<br />
Raum E induzieren.<br />
tTbrigens folgt unter den Voraussetzungen von (13) noch ^)<br />
(14) X-{-x = X,<br />
(wieder ftir jedes X = 2xp); denn (13) gibt X;^;^ = (X-|-^);t =<br />
p<br />
= X;^ -f-^A = {X"\-x) -\-X = X-\- x== X^^ sodass X;^ bereits die<br />
abgeschlossene Hiille von X ist. Man kann demgemSss ftir einen<br />
topologischen Raum E eine Konvergenzrelation x^ Xx der Bedeutung<br />
Ae&meren: fur jede leilfolge Xp und X=2xp gilt X-\~x = X^\<br />
p _<br />
sie erzeugt einen L-Raum E^ mit A^{E^)(^A^^ A^{E^)(i_A^, Wenn E<br />
selbst durch einen L-Raum erzeugt wird, dessen Stufenfunktion A^<br />
von A^ verschieden sein kann, so ist EI=EQ der maximale L-Raum<br />
(wie aus der Vergleichung von (13) und (14) folgt), der den gestuften<br />
oder den topologischen Raum erzeugt.<br />
Wir haben friiher (S. 494) aus der L-Stetigkeit an einer Stelle x<br />
auf die gestufte Stetigkeit geschlossen; umgekehrt gilt:<br />
III. Es sei t/ = q)(x) Ahhildung des L-Raumes E auf den maximalen<br />
L-Raum H; ist diese Abhildung an der Stelle x fur die<br />
gestuften Rdume stetig^ so ist sie auch fur die L-Rdume stetig,<br />
Beweis. A;^, B seien die Stufenfunktionen in E^H\ vorausgesetzt<br />
wird, dass mit xeAji auch q){x)eg){A)^ ist; gezeigt werden<br />
soil: mit Xf^->x ist auch yn = (p{^n)~>
Gestufte Rdume 497<br />
Maximalitat von H ist also zu beweisen: ftir jede Teilfolge y^ und<br />
Y=2yp ist r+2/=F, Fttr X = 2Xp ist a? = lim^^ eZ;^, also<br />
p p<br />
<br />
folge, die zugleich eine Teilfolge yg von y^ ist. Wenn hierin unendlich<br />
viele yq = y sind, ist z=^y\ andernfalls lasse man die<br />
endlich vielen yq = y fort und hat nunmehr eine Teilfolge yg-^z<br />
voQ yp mit y^ =j= z/. Aus Xg-^x folgt auf Grand der gestuften<br />
Stetigkeit wie oben y eY' mit Y' = 2yg, anderseits aus (13) wegen<br />
yg-^z\ Y'^^^==Y'-\-z^ demnach yeF' + 2;, und, did. y non eY'^ ^^ = y*<br />
In alien Fallen ist also z eY'\'y und damit III bewiesen*<br />
Schliesslich betrachten wir noch in einem topologischen Raum E<br />
die Konvergenzrelation x^^X^ i* d®^ Bedeutung: jede JJmgehung<br />
von X enthdlt fast alle x^. Dieses Konvergenzensystem ^g erftillt<br />
zwar (/?), (y), aber im Allgemeinen nicht das Eindeutigkeitsaxiom (a);<br />
es kann gleichzeitig x^^^Xy x^i^y^ ^ =\= y sein (wir haben das<br />
zweite Trennungsaxiom nicht vorausgesetzt).<br />
Ist E ein L-Raum upd topologisch Unterraum von JB, so ist<br />
mit x„-^ X (in E) zugleich x^ X ^- Denn wenn U offen ist und<br />
die unendlich vielen Xp nicht enthalt, so ist X = 2xp (2_E — TJ<br />
p<br />
und wegen der Abgeschlossenheit von E — U auch X^(2E — [/,<br />
^ = limXp€ X^(2E — C/, U ist keine Umgebung von x.<br />
Da der S. 496 definierte L-Raum Ei Unterraum von E ist, folgt<br />
insbesondere: wenn x„X^i so ist x^X^- ^.Iso Si([[[®2«<br />
Aus x^X^^ X = 2x^ folgt X € Xa^ da sonst E — X^ eine<br />
n<br />
Umgebung von x ware, die kein x^ enthielte. Aus<br />
folgt also X € A^. Wenn ^ auch das Axiom (a) erfttUt und also<br />
einen L-Raum E^ erzeugt, so ist A;^^{E2)(Z^a ^^d ^(.(J^/g) C-^a?<br />
E2 Unterraum von E,<br />
IV. 1st der topologische Raum E von einem L-Raum erzeugt^ so<br />
erfuUt ^ das Axiom (a) und E^ == E^ ist der maximale L-Raum,<br />
der E erzeugt.<br />
Zunachst zeigen wir: wenn x^-^ x und x^ X y^ so ist y ==x.<br />
Sei X = 2x„] nach (14) ist Xg^== X -}- x abgeschlossen. Sind<br />
n<br />
Fandamenta Mathematicae, t. XXV. 32<br />
516
498 F. Hausdorff:<br />
unendlich viele x^ = y, so ist ohnehin x^=^y\ andernfalls kann<br />
man nach Weglassung endlich vieler x^ annehmen, dass y nicht<br />
zu X gehort; ware nun auch noch y =|= ^, so ware E—X^ eine<br />
Umgebung von y, die kein x^ enthielte, im Widerspruch zu x^ X V*<br />
Sodann sei x^X^i ^nXVi oc^y: hieraus w6llen wir einen Widerspruch<br />
ableiten. Ware unendlich oft x^ = Xj so wtirde jede Umgebung<br />
von y den Punkt x enthalten, also x^=^y sein; demnach ist<br />
schliesslich x^^x^ ebenso ^„=|=«/, und mit Weglassung von Anfangsgliedern<br />
kann man annehmen, dass x^y nicht zu X=2x„ gehoren.<br />
n<br />
Dann darf ^^^ Uberhaupt keine konvergente Teilfolge^jt;->2; enthalten,<br />
weil hieraus mit Xp X ^9 ^^^ anfangs bewiesen, z== x und ebenso<br />
z = y folgen wtirde. Also ist X abgeschlossen und E—X ware eine<br />
Umgebung von x (und von y), die kein x^ enthielte.<br />
^2 erzeugt also einen L-Raum E2, Unterraum von E; vorher<br />
hatten wir S^ (^ Sj bewiesen, und S^ ist maximal, also ^2 = ^1'<br />
Wenn E kein L-Raum ist, braucht der L-Raum L,, wie gesagt,<br />
nicht zu existieren, es sei denn, dass E das zweite Trennungeaxiom<br />
erftillt; existiert E^^ so bleibt es fraglich, ob S^ echte Teilmenge<br />
von ^2 sein kann.<br />
§ 4. Stetige Zerleguiigeii.<br />
Wir nannten die Zerlegung E = 2Ey des topologisehen Raumes<br />
y<br />
E in disjunkte Summanden ^= 0 stetig, wenn sich die Menge H<br />
derart zum topologisehen Raum machen lasst, dass die Abbildung<br />
y = q){x) (mit xeEy gleichbedeutend) stetig wird. Wie wir fan den,<br />
ist die Abgeschlossenheit der Ey hierftir notwendig und hinreichend;<br />
unter den topologisehen Raumen, die dann die gestellte Porderung<br />
erftiUen, gibt es einen untersten, den Minimalraum JJ, in dem alle<br />
und nur die Mengen als abgeschlossen gelten, deren Urbilder abgeschlossen<br />
sind; die Ubrigen sind die Oberraume von H. Gegenliber<br />
dieser einfachen Losung ^) werden die stetigen Zerlegungen vielfach<br />
noch anderen Bedingungen unterworfen, von deren Ursprung wir<br />
uns teilweise Rechenschaft ablegen wollen.<br />
*) Vgl. R. B a e r und F. Levi, Stetige Funktionen in topologisehen Bdumen,<br />
Math. Zeitschr. 34 (1931); S. 110-130.<br />
517
Gestufte Rdume 499<br />
(A) Verlangen wir, dass die stetige Abbildung von E auf H<br />
doppeltstetigj d. h. dass (nicht nur das Urbild, sondern auch) das Bild<br />
jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen sei. Dazu ist notwendig,<br />
dass das Urbild des Bildes von A<br />
(15) I=(p-'(piA)<br />
mit A zugleich abgeschlossen und dass H der Minimalraum sei<br />
(denn ist A = (p~'^(B) abgeschlossen, so ist (p{A) = B abgeschlossen);<br />
beides zusammen ist auch hinreichend, denn dann hat bei abgeschlossenenfi<br />
A das Bild (p(A) ein abgeschlossenes Urbild A und<br />
ist abgeschlossen.<br />
Diese Bedingung findet sich implicite bei Herrn Alexandroff^)<br />
und zwar auf folgendem Wege. Betrachten wir im Raum U die<br />
Urbilder, d. h. die Mengen<br />
Jede Menge A(2E enthalt ein grosstes Urbild A, die Summe der<br />
Ey(^A, und ist in einem kleinsten Urbild A enthalten, der Summe<br />
der Ey mit AEy^^\ das letztere ist durch (15) gegeben. Offenbar<br />
hat man<br />
(16) E—A = E — A, W~^A = E~A,<br />
Nun kommen die Festsetzungen a. a. 0. (S. 557 oben) darauf hinaus,<br />
einen Raum mit den offenen Mengen V=q)['U) zu erklaren^<br />
wo U die offenen Mengen von E durchl^uft. Dieser Raum erscheint<br />
von unserem Standpunkt aus als willkurlich, da er im Allgemeinen<br />
kein stetiges Bild von E ist; um ihn zu einem solchen zu machen,<br />
muss man verlangen, dass die Urbilder q)-^(V) = U {V ist ein<br />
Urbild, also Urbild seines Bildes) offen seien, d. h. dass mit U auch<br />
U offen sei, und das ist wegen (16) damit gleichbedeutend, dass<br />
bei abgesehlossenem A auch A abgeschlossen ist.<br />
Beilaufig konnte man auch verlangen, dass (nicht nur das Urbild,<br />
sondern auch) das Bild jeder offenen Menge offen, die Abbildung<br />
eine „innere" sei; daftir ware notwendig und hinreichend^<br />
dass A mit A zugleich offen und H der Minimalraum sei.<br />
1) P. Alexandroff, tJber stetige Abbildungen hompakter Raume, Math.<br />
Ann, 96 (1927), !S. 555—571.<br />
518<br />
y<br />
B
500 F. Hausdorff:<br />
(B) Wir fordern, dass der Minimalraum H ausser dem ersten<br />
Trennungsaxiom 2\ (von zwei verschiedeuen Punkten hat jeder eine<br />
zum andern disjunkte Umgebung, d. h. die Punkte sind abgeschlossene<br />
Mengen) noch eiiies der tibrigen Trennungsaxiome erftillt:<br />
T^\ zwei verschiedene Punkte<br />
T^\ ein Punkt und eine ihn nieht enthaltende abgeschlossene Menge<br />
7\: zwei disjunkte abgeschlossene Mengen<br />
haben ein Paar disjunkter Umgebungen. {T^ ist Verscharfung von<br />
i;; T^ mit T^ Verscharfung von T^\ T^ mit T^ Verscharfung<br />
von T^. Die Bedingung T, drtickt sich in den Summanden Ey so<br />
aus: zwei verschiedene Summanden Ey^.Ey^ lassen sich in disjunkte<br />
offene Mengen C/j, U^ einschliessen, die zugleich Urbilder von der<br />
V<br />
Form U^SEy^cp-^V) sind. Entsprechendes gilt von T^, T^.<br />
y<br />
Um den Zusammenhang dieser Trennungsforderungen (B) mit<br />
der Bedingung (A) der doppelten Stetigkeit zu erkennen, bemerken<br />
wir zunachst:<br />
[1] Das doppeltstetige Bild eines T^-Raumes ^) E ist ein T^-Raum H,<br />
Denn JT ist Minimalraum; ist V(2E offen, so ist U offen und<br />
V=q)(V) offen. Sind J5, JB' disjunkt und abgeschlossen, so sind<br />
ihre Urbilder A^ A! disjunkt und abgeschlossen, haben also disjunkte<br />
Umgebungen ?7, JJ', Da TJ das grosste Urbild (^ JJ war, ist bereits<br />
AC^. ^'C£'i die Bolder r=(p{U), V = (p{TT) sind dann<br />
disjunkte Umgebungen von B, B\<br />
Andererseits haben wir in der Bikompaktheit (P. Alexandroff,<br />
P. Urysohn) eine mit der Abgeschlossenheit nahe verwandte<br />
Eigenschaft, die bei stetiger Abbildung erhalten bleibt und also zu<br />
doppelter Stetigkeit ftlhren wird. Wir nehmen als Definition: der<br />
Raum E heisst bikompakt^ wenn jedes E tiberdeckende System<br />
offener Mengen {E = 2TJ) ein endliches, E tiberdeckendes Teilsystem<br />
hat. Demgemass ist eine Menge A(2E bikompakt, wenn jedes A<br />
tiberdeckende System in A offener Mengen {A = SATJ^ JJ in E offen),<br />
d. h. jedes A tiberdeckende System in E offener Mengen (A d 2U)<br />
ein endliches, A tiberdeckendes Teilsystem hat. Es gilt bekanntlich:<br />
^) d. h, wo T^ (vielleicht ohne T^) gilt. Wenn wir ron ©inem Raum schlechthin<br />
sprechen, setzen wir kein Trennungsaxiom, sondern nur die Axiom© (1), (2), (3)<br />
liber abgeschlossene Mengen roraus.<br />
519
Gestufte Bdume 601<br />
[2] Das stetige Bild H eines bikompakten Raumes E ist bikompakt.<br />
[3] Eine im bikompakten Raum E abgeschlossene Menge A ist<br />
bikompakt.<br />
[4] Eine bikompakte Menge A im T^-Raum E ist abgeschlossen,<br />
[5] Ein bikompakter T^-Raum ist audi T^-Raum.<br />
[6] Zwei disjunkte bikompakte Mengen eines T^-Raumes haben<br />
ein Paar disjunkter Umgebungen.<br />
Zur Bequemlichkeit des Lesers geben wir die einfachen Beweise:<br />
[2] Wird Hvon den offenen F, also ^von den offenen !7=qp""^(F)<br />
liberdeckt, so wird L von endlich vielen U^ H von endlich vielen<br />
V=(p{U) tiberdeckt.<br />
[3] Wird A von den U tiberdeckt, so wird E von E — A und<br />
den C/, also von E — A und endlich vielen [7, A von endlich vielen<br />
U tiberdeckt.<br />
[6] Zunftchst sei A bikompakt, x^ eE — A\ XQ und x € A haben<br />
ein Paar (von x abhangiger) disjunkter Umgebungen Uo{x\ TJ{x\<br />
A wird von endlich vielen U{x^ tiberdeckt, dann sind TJ = 2U{x,)<br />
und UQ = nUo{Xf,) disjunkte Umgebungen von Ay XQ.<br />
Hieraus folgt alsbald [4], denn da die abgeschlossene Menge<br />
E — UQ^ A den Punkt XQ nicht enthalt, so gehort XQ der abgeschlossenen<br />
Hiille A^^^ nicht an: XQ € E — A^, Also E — A(2E— A^,<br />
Aad^^ ^^ = A. Sind weiter AQ^A disjunkt und bikompakt, so<br />
kann der Schluss wiederholt werden: AQ und xeA haben disjunkte<br />
Umgebungen UQ{X)^ U[X)\ U=2U{Xk) und Uo= 11 Uo{Xf,) sind<br />
disjunkte Umgebungen von A^AQ. [5] folgt dann aus [3] und [6].<br />
Weiter gilt:<br />
[7] Jede stetige Abbildung eines bikompakten Raumes E auf einen<br />
T^'Raum H ist doppeltstetig,<br />
Denn eine in E abgeschlossene Menge ist nach [3] bikompakt,<br />
ihr Bild nach [2] bikompakt und nach [4] in H abgeschlossen.<br />
Die Verbindung von [1] und [7] gibt nun z. B. folgenden Salz:<br />
[8] Die stetige Abbildung des bikompakten T^-Raumes E auf den<br />
Ti'Raum H ist dann und nur dann doppeltstetig, wenn H ein<br />
T^-Raum ist.<br />
Denn ist H ein 7'2-Raum, so ist die Abbildung nach [7] doppeltstetig.<br />
Ist andererseits die Abbildung doppeltstetig, so ist, weil E<br />
nach [5] T'^-Raum ist, nach [1] auch H ein T4-Raum, also, weil<br />
als 7\-Raum vorausgesetzt, auch T^-^di^m.<br />
520
502 F. Hausdorff.<br />
(C) Wieder aus anderer Quelle eDtspringt eine Zusatzbedingung<br />
H<br />
ftir stetige Zerlegungen E = 2Ey^ wenn E ein L-Raum ist und<br />
y<br />
die Abbildung y ^=: (p{x) durch Wahl eines L-Raums H stetig gemacht<br />
werden soil. Das Konvergenzensystem von H muss dann<br />
das System fi, bestehend aus den Konvergenzen<br />
(p {x^ -> (p (pc) ftir x^-^x<br />
eathalten. Anders ausgedriickt: eine Konvergenz y„->y des Systems S<br />
ist damit gleichbedeutend, dass es Punkte x^eEy^^ xeEy mit x^-^x<br />
gibt. Benutzen wir den unteren abgeschlossenen Limes lim A^ einer<br />
Mengenfolge il„ 4= 0 (die Menge aller Punkte lim x^ ftir x^ e ^„),<br />
so ist yn->y damit gleichbedeutend, dass es einen Punkt x gibt,<br />
der gleichzeitig zu Ey und zu lim Ey gehort, also mit<br />
Ey. lim Ey^ 4= 0.<br />
Man sieht nun, dass S zwar die Limesaxiome {^\ (y), aber nicht<br />
notwendig das Eindeutigkeitsaxiora (a) erfttllt, da ja limjE^,^ mit verschiedenen<br />
Ey gemeinsame Punkte haben kann; zur Sicherung der<br />
Eindeutigkeit ist notwendig und hinreichend, dass lim Ey hochstens<br />
mit einem Ey gemeinsame Punkte hat, also:<br />
mit ^,.lim^, =1=0 ist lim ^„ CE^.<br />
y yn • ^n ^— y<br />
Wenn dies ftir alle y, y^ erftlllt ist, definiert fi einen Z-Raum J3,<br />
der unsere Aufgabe lost; die librigen Raume dieser Art sind die<br />
Oberraume des Minimalraums H. tTbrigens ist die Bedingung mit<br />
der folgenden, anscheinend scharferen, gleichwertig:<br />
mit ^^ . lim ^^^ =}= 0 ist liin JS,^ C ^!K?<br />
wobei der obere abgeschlossene Limes lim A^ die Menge aller<br />
Punkte limajp {A^ Teilfolge von ^„, XpcAp) bedeutet ^).<br />
Auf weitere ahnliche Bedingungen fur stetige Zerlegungen wollen<br />
wir nicht eingehen. Die betrachteten drei, so verschiedener Herkunft<br />
sie auch sind, erweisen sich doch im Falle eines kompakten<br />
metrischen Raumes E als gleichwertig.<br />
^) C. Kuratowski, Sur lea decompositions semi-continues d'espaces metriques<br />
compacts, Fund. Math. 11 (1928), p. 169—185; insbesondere p. 171. VgL auch<br />
P. Alexandroff, a. a. O., S. 568.<br />
521
Kommentar zu [H 1935b]<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preufi<br />
In dieser Arbeit studiert HAUSDORFF Raume, die heute oft Hullenrdume (engl.:<br />
closure spaces) oder prdtopologische Rdume genannt werden, wobei er allerdings<br />
zusatzlich das erste Trennungsaxiom fordert. Wie schon im Artikel "Zum Begriff<br />
des topologischen Raumes" (diese Edition, Band II, S. 725-726) erwahnt,<br />
ist es F. RiESZ 1907 bereits gelungen, einen Raumbegriff anzugeben, namlich<br />
den des "mathematischen Kontinuums", dessen Axiomatik in moderner Sprechweise<br />
der eines pratopologischen Raumes mit 1. Trennungsaxiom und einer<br />
Abschwachung des 2. Trennungsaxioms entspricht. ([R 1907], S.318)<br />
HAUSDORFF kniipft nun an die von KURATOWSKI 1922 aufgestellten Hiillenaxiome<br />
fiir einen topologischen Raum ([Ku 1922], S. 182) an und laBt die Idempotenz<br />
des Hiillenoperators weg; das Ergebnis nennt er einen gestuften Raum,<br />
falls einpunktige Teilmengen mit ihrer Hiille libereinstimmen, d. h. das Ti~<br />
Axiom erfiillt ist. Jeder gestufte Raum induziert einen topologischen Raum,<br />
dessen abgeschlossene Mengen identisch sind mit denjenigen Teilmengen, die<br />
mit ihrer Hiille libereinstimmen; in moderner Sprechweise liefert diese Konstruktion<br />
die topologische Reflexion eines gestuften Raumes. Die abgeschlossene<br />
Hiille einer Teilmenge A dieses topologischen Raumes entsteht "stufenweise"<br />
durch einen transfiniten Konstruktionsprozefi, wie HAUSDORFF zeigt<br />
(S.490). Weiterhin untersucht HAUSDORFF den Zusammenhang zwischen gestuften<br />
Raumen und den von FRECHET in [F 1906] eingefiihrten L-Raumen.<br />
Insbesondere induziert jeder L-Raum einen gestuften Raum. Aus heutiger<br />
Sicht wiirde man sagen, da6 jeder verallgemeinerte Konvergenzraum (X, q)<br />
einen Hiillenraum (X, c/g) induziert, der aus dem vorgegebenen verallgemeinerten<br />
Konvergenzraum durch birefiektive Modifizierung entsteht^; namlich fiir<br />
A C X definiert man clqA = {x e X\ es existiert Q G F{X) mit {Q, x) e q und<br />
A e Q}. Einen Uberblick iiber Konvergenzstrukturen und ihre Einordnung in<br />
die moderne Nomenklatur findet der Leser in [P 1995].<br />
Nicht unerwahnt bleiben soUte, dass HAUSDORFF in einer Studie vom 4. Mai<br />
1938 (NL HAUSDORFF : Kapsel 42 : Fasz. 700) eine von ihm selbst in seiner Arbeit<br />
Gestufte Rdume gestellte Frage positiv beantwortet. Dabei handelt es sich<br />
um folgendes Problem: Fiir einen topologischen Ti-Raum E definiert HAUS<br />
DORFF zwei verschiedene Folgenkonvergenzrelationen, und zwar /Ci und /C2,<br />
wobei /Ci einen L-Raum auf der Grundmenge von E liefert, wahrend /C2 als<br />
iibliche Konvergenzrelation in einem topologischen Raum i. a. keinen L-Raum<br />
erzeugt. Ist allerdings E selbst ein L-Raum, d. h. genauer, wird E von einem<br />
^ein verallgemeinerter Konvergenzraum ist ein Paar {X,q), wobei X eine Menge und<br />
q C F(X) X X mit F(X) = {T\T Filter auf X}, so da6 gelten:<br />
(1) (x, x) ^ q fiir jedes x £ X, wobei x = {A C X\x G A}<br />
(2) (JT, x) eq sofern (G^x) eq und G C T.<br />
522
L-Raum induziert, so gilt /Ci = /C2. Kann JCi 7^ IC2 sein, falls E kein L-Raum<br />
ist und IC2 CLuf der Grundmenge von E einen L-Raum erzeugtl^<br />
Durch CECHS Buch [C 1966], das auf Seminaren basiert, die CECH zwischen<br />
1936 und 1939 abgehalten hat, sind Hiillenraume einem breiten mathematischen<br />
Publikum zuganglich geworden. Auch sind in [C 1937] bereits<br />
Hiillenraume unter der Bezeichnung A-Raume untersucht worden (vgl. den Artikel<br />
"Zum Begriff des topologischen Raumes", diese Edition, Band II, S. 724-<br />
725).<br />
In jiingster Zeit sind die pratopologischen Raume {— Hiillenraume) wiederentdeckt<br />
worden; insbesondere sind Quotientenabbildungen zwischen pratopologischen<br />
Raumen stets erblich im Gegensatz zu Quotientenabbildungen zwischen<br />
topologischen Raumen.<br />
Schon ARHANGELS'KII hat in [A 1963] die erblichen Quotientenabbildungen<br />
zwischen topologischen Raumen, d. h. diejenigen Quotientenabbildungen<br />
f : X ^^Y zwischen topologischen Raumen mit der Eigenschaft, dafi fiir jeden<br />
Unterraum B cY die Einschrankungsabbildung /L-ir^i • f~^[B] —^ B eine<br />
Quotientenabbildung ist, als die pseudo-offenen Abbildungen charakterisiert,<br />
d. h. als jene surjektiven stetigen Abbildungen f : X ^^ Y mit der Eigenschaft,<br />
daB jeder Punkt y G F fiir jede Umgebung U von f~^{y) zum Inneren<br />
von f[U] gehort. In [K 1969] wird festgestellt, dafi Quotientenabbildungen zwischen<br />
topologischen Raumen erblich, also pseudo-offen, sind genau dann, wenn<br />
sie Quotientenabbildungen in der (topologischen) Kategorie PrTop der pratopologischen<br />
Raume (und stetigen Abbildungen) sind. Dafi PrTop von alien<br />
moglichen topologischen Erweiterungen der Kategorie Top der topologischen<br />
Raume (und stetigen Abbildungen), in denen Quotientenabbildungen erblich<br />
sind, in geeignetem Sinne die kleinste ist, wird in [He 1988] gezeigt. Damit haben<br />
die gestuften Raume eine neue Bedeutung erlangt.<br />
Literatur<br />
[A 1963] ARHANGEL'SKII, A.V.: Some types of factor mappings, and the<br />
relation between classes of topological spaces. Dokl. Akad. Nauk SSSR<br />
153 (1963), 743-746 (- Soviet Math. Dokl. 4, 1726-1729).<br />
[C 1937] CECH, E.: Topologicke prostory. Casopis pro pestovani matematiky<br />
a fysiky 66 (1937), 225-264. Engl. Ubersetzung: CECH, E., Topological<br />
papers, Prague 1968, 437-472.<br />
[C 1966] CECH, E.: Topological spaces (revised ed. by Z. FROLIK and M.<br />
KATETOV), Wiley and Sons, London 1966.<br />
[F 1906] FRECHET, M.: Sur quelques points du calcul fonctionnel. Rend.<br />
Palermo 22 (1906), 1-74.<br />
^Faszikel 700 ist in diesem Band, S. 729-731 vollstandig abgedruckt.<br />
523
[He 1988] HERRLICH, H.: Hereditary topological constructs. In: General Topology<br />
and its Relations to Modern Analysis and Algebra VI, Proc,<br />
Prague 1986 (ed. Z. FROLIK), Heldermann, Berlin 1988, 249-262.<br />
[K 1969] KENT, D.C: Convergence quotient maps. Fundamenta Math. 65<br />
(1969), 197-205.<br />
[Ku 1922] KURATOWSKI, C: Sur ^operation ~A de VAnalysis Situs. Fundamenta<br />
Math. 3 (1922), 182-199.<br />
[P 1995] PREUSS, G.: Semiuniform convergence spaces. Math. Japonica 41<br />
(1995), 465-491.<br />
[R 1907] RiESZ, F.: Die Genesis des Raumbegriffs. Math. u. Naturw. Berichte<br />
aus Ungarn 24 (1907), 303-353.<br />
524
Problem 62.<br />
Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 578.<br />
[H 1935c]
Probl^mes.<br />
62) Die (reelle) Funktion f{po) der reellen Variablen x heisse<br />
symmetrisch'Stetig wenn ftir jedes oo<br />
Km [f{x + h)— f{x — h)] = 0.<br />
A->0<br />
Kann die Menge der Unstetigkeitsstellen einer solchen Funktion<br />
unabzahlbar sein? Kann sie eine beliebig vorgeschriebene Menge F^j<br />
sei? (Dass sie eine beliebig vorgeschriebene abzahlbare Menge sein<br />
kann, ist leicht einzusehen.)<br />
Probleme de M. F. Hausdorff.<br />
C07
Commentary on [H 1935c]<br />
V. Kanovei; P. Koepke<br />
A function / : IR ^ IR is symmetrically continuous if for all x we have<br />
l±mh-^oo[f{x -i- h) — f{x — h)] = 0. Consider the set Df of all points of discontinuity<br />
of such a function /. Generally, Df is a F^ set for any function /<br />
thus in particular, for symmetrically continuous functions. HAUSDORFF asks:<br />
can Df be uncountable ?<br />
can Df be any given F^ set ?<br />
These problems,already attracted interest in the 30s. A rather unexpected difficulty<br />
is that the usual methods of construction of discontinuous functions do<br />
not seem to work as desired if we also want the function to be symmetrically<br />
continuous. Nevertheless, HAUSDORFF (and FRIED independently) proved in<br />
1936-37 that Df is a set of the 1st category for any symmetrically continuous<br />
real function /. In 1971 PREISS gave an example of a symmetrically continuous<br />
function whose set Df of discontinuity is uncountable. (The example<br />
is based on a certain trigonometrical series and uses results from that area.)<br />
Fore more information and appropriate references, see our comments on HAUS-<br />
DORFF'S notes Fasz. 601 and 602 (this volume, p. 717-726), which are relevant<br />
to symmetrically continuous functions.<br />
528
Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L. Kantorovitch.<br />
Studia Mathematica 6 (1936), 18-19.<br />
[H 1936a]
Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L, Kantorovitch<br />
von<br />
F. HAUSDORFF (Bonn).<br />
f{x) sei eine Abbildung* von A in ^*, d. h. jedem x^A<br />
ist ein/(x)^i4* zugeordnet. Beliebig- viele solche Abbildungen<br />
mogen wesentlich verschieden heifien, wenn es zu endlich vielen<br />
verschiedenen/^,,..,/^ unter ihnen immer mindestens eine Stelle<br />
X gibt, wo fi{x)y..,,f^{x) paarweise verschieden sind.<br />
Beliebigf viele Teilmengen Z der Menge C mogen unabhdngig<br />
heifien, wenn fiir endlich viele verschiedene Zj,...,Z,<br />
Z^',..., Z^ unter ihnen immer<br />
Zj...z,(C-z;)...(c-z;) + o.<br />
Dann gelten die Satze:<br />
L Ist A von der unendlichen Mdchtigkeit m, so gibt es 2"^<br />
wesentlich verschiedene Abbildungen von A in A,<br />
11. Eine Menge C der unendlichen Mdchtigkeit m hat T^<br />
unabhdngige Teilmengen.<br />
In ihrer Arbeit: Sur les operations Hneaires dans Tespace<br />
des fonctions bornees (Stud. Math. 5 (1935), p. 69—98) haben<br />
die Herren G. FICHTENHOLZ und L. KANTOROVITCH den Satz I<br />
(Lemme III, p. 81 und Supplement, p. 94—98) sowie fiir m = Ko<br />
und m = 2 ^0 den Satz II (p. 80 und Lemme IV, p. 82) bewiesen.<br />
Die Beweise sind aber ziemlich umstandlich und lassen sich,<br />
wie die Verfasser selbst vermuten, sehr viel einfacher fiihren.<br />
Beweis von I. M sei von der Machtigkeit m und A die<br />
Menge der endlichen Mengen x CM; A ist von der Machtigkeit<br />
1+m+m^+... = i^Q/n = m. Durchlauft t die samtlichen 2"^<br />
Teilmengen von M, so ist<br />
f(x,t) = xt<br />
531
Sdtze von Fichtenholz — Kantorovitch, 19<br />
(Durchschnitt von x und t) bei festem t eine Abbildung von A<br />
in A. Diese 2"^ Abbildungen sind wesentlich verschieden. Denn<br />
sind i^y ^2>"*» 4 paarweise verschieden, so wahle man aus jeder<br />
der Menken (/. — t) + (/. — t) 4= 0 (1 < z < y < >t) ein Element<br />
und bilde die Summe x dieser Elemente; dann ist xt^ ^ xf..<br />
Be we is von II. Gemafi I nehmen wir 2"" wesentlich verschiedene<br />
Abbildungen /(x, t) von -4 in ^4 als gegeben an, wo<br />
der Parameter t eine Menge der Machtigkeit 2"^ durchlauft. Es<br />
sei B die Menge der endlichen Mengen y ^ A und C = {A^ B)<br />
das kombinatorische Produkt von A und B, d. h. die Menge<br />
der geordneten Paare (x, y) mit x^A, y^B, Auch B und C<br />
haben die Machtigkeit m. Jedem t ordnen wir die Menge Z{t)<br />
der Paare {x, y) mit f{xyt)^ y zu; C—Z{t) ist die Menge der<br />
Paare {x, y) mit f{xyt)Jy, Dann sind die 2"" Mengen Z{t) unabhangig.<br />
Denn sind /^,..., t , ^(,..., t' allesamt verschieden,<br />
so gibt es nach I ein x derart, dafi die p + q Bilder<br />
^i = f(x, t), xj = f{x, tj)<br />
fiir / = !,...,/? und y==l,...,
Kommentar zu [H 1936a]<br />
U. Feigner<br />
GRIGORY FICHTENHOLZ und LEONID KANTOROWITSCH haben in ihrer Abhandlung<br />
„Sur les operations lineaires dans Vespace des fonctions bornees '^<br />
(Studia Mathematica, Lemberg, Band 5 (1935), S. 69-98) den metrischen linear<br />
en Raum M. aller mefibaren, beschrankten Funktionen / : E" —> M betrachtet,<br />
wo E = [a,b] ein fest vorgegebenes kompaktes reelles Intervall ist und M. mit<br />
der Norm<br />
11/11= sup |/(x)|<br />
a
ist wohldefiniert. Wenn aufierdem Tl C P^{E) gilt, dann ist Gm ein linearer<br />
Unterraum von Ai. Wenn -0 : 9Jl ^^ R eine beliebige Abbildung mit |'0(i^)| <<br />
K (fiir eine geeignete reelle Zahl K) ist, dann wird durch die Festsetzung<br />
F{XD{X)) = '4^{D) (fiir D E 9Jl) ein lineares Punktional auf Qm definiert, das<br />
nach dem Satz von HAHN-BANACH ZU einem linearen Punktional auf ganz M.<br />
erweitert werden kann.<br />
Diese Uberlegungen zeigen, dafi jeder unabhangigen Familie 9Jt C P^{E),<br />
jeder positiven reellen Zahl K und jeder Abbildung i/j iTl ^^R mit |'0(i^)| < K<br />
(fiir alle D G dJl) in ein-eindeutiger Weise ein lineares Funktional F (der Norm<br />
< K) zugeordnet werden kann. Daraus folgt, dafi Kard(R^) = (2^o)Kard(mt)<br />
eine untere Schranke fiir die Anzahl aller linearen Funktionale auf M ist. Es<br />
gilt also<br />
^2Ho)Kard(a7i) ^ Anzahl der linearen Funktionale auf M < 2^'''°.<br />
Es wird gezeigt (dort Lemma IV genannt), dafi es in P^{E) eine unabhangige<br />
Teilfamilie M der Machtigkeit 2^''° gibt. Daraus folgt, dafi Kard(R^) = 2^" °<br />
die genaue Anzahl der samtlichen linearen Funktionale auf A4 ist.<br />
Der Beweis von Lemma IV (anderthalb Seiten lang) stiitzt sich auf ein kombinatorisches<br />
Lemma (Lemma III), das (auf vier Seiten) durch transfinite Induktion<br />
bewiesen wird. FiCHTENHOLZ und KANTOROWITSCH selbst nennen<br />
ihren Beweis von Lemma III „assez compliquees" und vermuten, dafi man ihn<br />
vielleicht auch etwas einfacher fiihren kann.<br />
Fiir die beiden Lemmata III und IV hat HAUSDORFF sehr viel einfachere<br />
Beweise gefunden. HAUSDORFF hat die beiden Lemmata zugleich von der Einschrankung<br />
auf die Menge R der reellen Zahl befreit.<br />
Definition (FICHTENHOLZ-KANTOROVITCH/HAUSDORFF). Seien A und B<br />
nicht-leere Mengen und ^ eine Menge von Abbildungen von AinB. Dann ist<br />
S eine Familie wesentlich-verschiedener Funktionen, wenn es zu endlich vielen<br />
verschiedenen Funktionen /i,/2,.--,/n ^ 5^ stets eine Stelle a ^ A gibt, an<br />
der die Funktionen paarweise verschiedene Werte haben: fi{a) ^ fk{o) Kr<br />
I
Auch dieser Beweis beruht auf einem Kunstgriff, indem o. B. d. A. die vorgegebene<br />
Menge A durch eine gleichmachtige Menge der Form C — Pe(M) x<br />
Pe(Pe(M)) ersetzt wird, deren G-Struktur fiir das vorliegende Problem geeigneter<br />
ist. Wenn d = {fu t ^ M} wie im Beweis von Satz 1 eine Familie von<br />
wesentlich verschiedenen Abbildungen von Pe(M) in Pe(M) ist, und fiir t C M,<br />
Z{t) = {(x, y) e B; ft{x)ey} gesetzt wird, dann ist bereits Tl = {Z{t)]t C M}<br />
die gesuchte unabhangige Familie.<br />
Man kann Satz 2 auch sehr elegant auf rein topologische Weise beweisen.<br />
Hier nutzt man aus, daB Tychonov-Produkte „kleine" dichte Teilmengen haben<br />
konnen.<br />
Definition. Die Dichtigkeit (oder der Separabilitdtsgrad) eines topologischen<br />
Raumes {R,r) ist die kleinste Kardinalzahl K derart, dafi es eine Kmachtige<br />
Teilmenge gibt, die dicht in R ist. Wir bezeichnen sie mit d{{R,r)).<br />
[Hier ist r die Topologie von R.]<br />
Satz 3 (HEWITT-MARCZEW^SKI-PONDICZERY, 1941/1947) Set K. eine unendliche<br />
Kardinalzahl und R = Yl-^j Rj das Tychonov-Produkt der Hausdorff-<br />
Rdume Rj {fiir j G J). Wenn Kard(J) < 2'^ und d{Rj) < K fiir alle j G J,<br />
dann gilt auch d{R) < K. Inshesondere ist das Tychonov-Produkt von 2^° vielen<br />
separablen Hausdorff-Rdumen ebenfalls separabel.<br />
EDWARD MARCZEWSKI [M 1947] bewies diesen Satz 1941 (publiziert 1947)<br />
nur fiir den Fall separabler Raume, also fiir den Fall K = ^Q. E. S. PONDICZERY<br />
[Pon 1944] bewies den Satz 1944 fiir Potenzen von Hausdorff-Raumen. Erst<br />
EDWIN HEWITT [H 1946] bewies den Satz 1946 in voUer AUgemeinheit.<br />
Aus Satz 3 ergibt sich unmittelbar der Hausdorffsche Satz 2, denn wenn R<br />
das Tychonov-Produkt von 2'^ vielen Kopien des diskreten Raumes 2 = {0,1},<br />
und (gemafi Satz 3) A eine dichte Teilmenge von R der Machtigkeit K, ist, dann<br />
ist {Anpr-\{0}); 0
gilt:<br />
{x G A; h{x) - V9(l) & f2{x) - 99(2) & ... &/,(a;) = ^(n)} / 0.<br />
(ii) Eine Familie 5^ von Abbildungen von A m. B heifit stark oszillierend,<br />
wenn je endlich viele Elemente von ^ stark oszillieren.<br />
Die Bezeichnung spielt auf das lateinische Wort oscillare (schaukeln, schwanken)<br />
an. ^ ist 'stark oszillierend', wenn zwischen je endlich vielen Funktionen<br />
aus der Familie beliebig vorgegebene 'Schwankungen' bestehen.<br />
Satz 4 (R. ENGELKING, M. KARLOWICZ, 1965): Set M eine unendliche<br />
Menge der Kardinalitdt K. Dann gibt es eine Familie ^ von Funktionen von<br />
M in M mit den beiden Eigenschaften: (i) Kard(F) = 2'^ und<br />
(ii) ^ ist eine Familie von starker Oszillation.<br />
Aus Familien von starker Oszillation lassen sich unabhangige Familien sehr<br />
leicht wie folgt konstruieren.<br />
Satz 5 (R. ENGELKING, M. KARLOWICZ, 1965): Sei ^ eine Familie von<br />
Funktionen von M in M von starker Oszillation, Kard(M) >2, und (b ^ A C<br />
M, A^ M. Dann ist<br />
m=^{r\A)- fed}<br />
eine unabhangige Familie von Teilmengen von M. Fur f^ge^mit f ^ g gilt<br />
/-1(A) ^ g-\A). Daher gilt auch Kard(97l) = Kard(5^).<br />
ENGELKING und KARLOW^ICZ beweisen ihren Satz 4 unter Verwendung von<br />
HAUSDORFFS Satz 2, wobei sie einige Ideen aus HEWITT [H 1946] benutzen.<br />
Man kann Satz 4 aber auch direkt beweisen, indem man sich an HAUSDORFFS<br />
Beweis von Satz 1 anlehnt.<br />
Wir hatten oben angedeutet, wie der HAUSDORFFsche Satz 2 aus dem Satz<br />
von HEWITT-MARCZEWSKI-PONDICZERY gefolgert werden kann. ENGELKING<br />
und KARLOWICZ zeigen, dafi wiederum der topologische Satz von HEWITT-<br />
MARCZEWSKI-PONDICZERY aus dem oben genannten kombinatorischen Satz 4<br />
folgt.<br />
In HAUSDORFFS Nachlafi findet sich in Kapsel 41, Fasz. 677 (abgedruckt<br />
in diesem Band auf den Seiten 731-732) eine kleine dreiseitige Notiz mit der<br />
Uberschrift:<br />
„Zu meiner Arbeit: Uber zwei Sdtze von Kantorovitch und Fichtenholz (Studia<br />
Math.) "<br />
Diese Notiz ist vermutlich Ende April, Anfang Mai 1937 entstanden, denn<br />
HAUSDORFF benotigte diese Resultate in seiner Arbeit „Uber limA^" (Kapsel<br />
40: Fasz. 633, abgedruckt in diesem Band auf den Seiten 609-613), die das Datum<br />
2.5.1937 tragt. Die Begriffe der „wesentlich verschiedenen Funktionen"<br />
und der „unabhangigen Familien" werden in dieser Notiz wie folgt verallgemeinert.<br />
Definition. Sei K eine unendliche Kardinalzahl und A irgendeine Menge.<br />
(1) Eine Familie ^ von Funktionen f : A —^ A wird K-wesentlich verschieden<br />
genannt, wenn es zu jeder Teilmenge X von S niit Kard(X) < K, wenigstens ein<br />
536
Argument a e A gibt, so daB f{a) 7^ g{a) fiir je zwei verschiedene Funktionen<br />
/, g aus X.<br />
(2) Eine Familie dJl von Teilmengen von A heifit K-unabhdngig, wenn fiir je<br />
zwei Teilmengen X, 2) von 5^ mit Kard(X) < K, und Kard(2)) < /^ stets gilt:<br />
f|{X;X e X} n f|M - F;y e 2)} ^ 0.<br />
Die Begriffe „wesentlich verschieden" und „b^o-wesentlich verschieden" sind<br />
identisch, und ebenso sind die Begriffe „unabhangig" und „Ho-unabhangig"<br />
identisch. Hausdorff betrachtet in seiner kleinen Studie nur die beiden Spezialfalle<br />
K = b^i und K = "^2- Er beweist die folgenden beiden Satze, wobei<br />
^'^'^(nach ALFRED TARSKI, 1930) die 'schwache Potenz' ist,<br />
Q;
seiner „Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und -Rdume^' hat sich<br />
DEMETRIOS KAPPOS sehr wesentlich auf den Begriff der unabhangigen Familie<br />
gestiitzt (vergl. seinen Ergebnisbericht im Springer Verlag Berlin 1960).<br />
In der Topologie tritt er auf etwa bei der Berechnung der Kardinalitat der<br />
Cech-Stone Kompaktifizierung des diskreten Raumes N der natiirlichen Zahlen<br />
(POSPISIL [Pos 1937]) und bei Pragen nach Dichtigkeit, Spreizung und Gewicht<br />
topologischer Raume (siehe oben). In der Theorie der Ultrafilter tritt er auf<br />
bei der Berechnung der Anzahl der Ultrafilter auf einer beliebigen unendlichen<br />
Menge und ebenso in den Untersuchungen zur Rudin-Keisler-Ordnung (KEN<br />
NETH KuNEN: Ultrafilters and independent sets, Transactions Amer. Math.<br />
Soc. 172 (1972), S. 299-306). Der Begriff der unabhangigen Familie spielt auch<br />
in der Algebra eine wichtige Rolle, etwa in den Untersuchungen zur Struktur<br />
der Baer-Specker-Gruppe (vergl. ANDREAS BLASS, JOHN IRWIN: Special families<br />
of sets and Baer-Specker Groups, Communications in Algebra 33 (2005),<br />
S. 1733-1744), und natiirlich auch in der Theorie der freien Booleschen Algebren.<br />
- Diese Hinweise mogen belegen, dafi der Hausdorffsche Satz iiber die<br />
Existenz grofier unabhangiger Mengensysteme (Satz 2) nach wie vor zu den<br />
zentralen Satzen der „Infinitaren Kombinatorik" gehort.<br />
Literatur<br />
[BF 1982] BALCAR, B.; FRANEK, P.: Independent families in complete<br />
Boolean algebras. Transactions Amer. Math. Soc. 274 (1982), 607-618.<br />
[CN 1972] COMFORT, W.W.; NEGREPONTIS, S.: On families of large oscillation.<br />
Pundamenta Mathematicae 75 (1972), 275-290.<br />
[EK 1965] ENGELKING, R.; KARLOWICZ, M.: Some theorems of set theory<br />
and their topological consequences. Pundamenta Mathematicae 57<br />
(1965), 275-285.<br />
[H 1946] HEWITT, E.: A remark on density characters. Bulletin of the<br />
Amer. Math. Soc. 52 (1946), 641-643.<br />
[K 1983] KuNEN, K.: Maximal a-independent families. Pundamenta Math.<br />
117 (1983), 75-80.<br />
[M 1947] MARCZEWSKI (SPILRAJN), E.: Separabilite et multiplication cartesienne<br />
des espaces topologiques. Pundamenta Mathematicae 34 (1947),<br />
127-143.<br />
[Pon 1944] PONDICZERY, E. S.: Power problems in abstract spaces. Duke<br />
Math. J. 11 (1944), 835-837.<br />
[Pos 1937] POSPISIL, B.: Remark on bicompact spaces. Annals of Mathematics<br />
38 (1937), 845-846.<br />
538
Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums.<br />
Fundamenta Mathematicae 29 (1937), 151-158.<br />
[H 1937]
Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums.<br />
Von<br />
F. Hausdorff (Bonn).<br />
Das Folgende ist eiixe kleine Erganzung zu Herrn Kuratowski's^)<br />
Theorie der schlichten, beiderseits Borelschen Abbildungen<br />
(hom^omorphies de classe a,j8). Es ist dort festgestellt, dass jede<br />
Borelsche Menge A eines separablen vollstandigen Eaumes schlichtes<br />
stetiges Bild einer im NuUraum N abgeschlossenen Menge NQ und,<br />
falls unabzahlbar, nach Tilgung einer abzahlbaren Menge R schlichtes<br />
stetiges Bild von N selbst ist; ausserdem wird die Klasse der inversen<br />
Abbildung prazisiert (vgl. nnten (5)). Wenn wir fragen,<br />
wann A schlichtes stetiges Bild yon N selbst ist (also NQ=N oder<br />
jR=0 angenommen werden kann), so ergibt sich als notwendige<br />
Bedingung, dass A wie N verdichtet sein muss; dies erweist sich<br />
aber auch als hinreichend: die schlichten stetigen Bilder von N sind<br />
mit den verdichteten Borelschen Mengen identisch^). Auch hierbei soil<br />
die Klasse der inversen Abbildung prazisiert werden (Satz I).<br />
Wir stellen zunachst in (1) bis (7) einige Hilfsbetrachtungen<br />
und bekannte Besultate zusammen.<br />
(1) Zur Abkiirzung soUen die Borelschen Mengen eines metrischen<br />
Eaumes nach dem Vorbild von H. Lebesgue so bezeichnet werden:<br />
F^==F abgeschlossen, G^=G offen,<br />
F'^^nO^^, G^'^-ZF^^ (Mr a>0, ^n
152 F. Hausdorff:<br />
Also J^" == ensemble de classe a multiplicative, 6"^ = ensemble<br />
de classe a additive (Kuratowski); fiir die ersten Indizes:<br />
Nachher, von (4) ab, soUen diese Borelschen Mengen immer<br />
in separablen vollstdndigen Eaumen liegen, sodass z. B. F einen<br />
separablen voUstandigen Eanm, F^=Gd einen separablen, topologisch<br />
voUstandigen Eaum bedeutet. Die Borelschen Mengen eines separablen,<br />
nicht notwendig voUstandigen Eaumes A sind dann mit<br />
J.JF", AG^ ZU bezeichnen. Die Abbildung / von A auf B heisst von<br />
der Klasse a, wenn f~\BF) stets ein AF'' ist; ist sie schlicht nnd f~^<br />
von der Klasse /S, d.h. f(AF) stets ein BF^, so heisst / von der Klasse<br />
a,p Oder eine Abbildung a,j8.<br />
(2) Der Bairesche NuUraum N (mit der Menge der irrationalen<br />
ZaMen homoomorph) ist die Menge der natiirlichen Zahlenfolgen<br />
A=:(Zj^,?2,...) mit der Metrik: ist /^=(mi,m2, ...) + ^ und Ic die kleinste<br />
Zahl mit l^^^mk, so ist |A—/^|=l/fc; er wird hierdurch voUstandig.<br />
Das Intervall h, Ordnung Ni^,,jj^ ist die Menge der A, deren erste k<br />
Ziffern ?I,...,ZA sind; es ist in N of fen und abgeschlossen und ebenso<br />
wie sein Komplement mit N homoomorph.<br />
(3) Fiir eine Menge ACX sei A die Menge der Verdichtungspunkte,<br />
A'^^AA die Menge der in A liegenden Verdichtungspunkte; eine<br />
Menge AC A oder A==A* heisst verdichtet. Fiir eine verdichtete<br />
Menge A ist die Bedingung A=A notwendig und hinreichend;<br />
mit A ist A verdichtet. Eine verdichtete Menge ist stets auch insichdicht;<br />
eine topologisch vollstandige, insichdichte Menge ist auch<br />
verdichtet. Ist X separabel, so sind, fiir jede Menge A, A und A*<br />
verdichtet, A—A* abzahlbar.<br />
Der Kiirze halber sagen wir:<br />
A ist in G verdichtet^ wenn ACGCA^<br />
d. h. wenn A verdichtet und in G dicht ist. Ist A in G verdichtet<br />
und TJ offen, so ist ATJ m. GTJ verdichtet. Ist ACBCG und A in G<br />
verdichtet, so ist A in B und B in G verdichtet (auch umgekehrt).<br />
Von jetzt an handelt es sich nur noch um Mengen in separablen<br />
voUstandigen Eaumen.<br />
(4) Das Bild eines F"" (a>0) bei einer Abbildung a,/? ist ein F^^""<br />
(A, p. 222). Das Bild eines F bei einer Abbildung^^ 0,^ ist ein F^'^^-<br />
542
Bilder des Nullraums 153<br />
Alles Folgende ist der Umkehrung der zweiteix Behauptung<br />
von (4) gewidmet. Da diese Behauptung fur ^=0 gewiss umkehrbar<br />
ist (jedes F^ ist mit einem F homoomorph), nehmen wir ^>0 an<br />
und schreiben a statt /3.<br />
(5) Jedes F'^'^^ (a>0) entsteht durch eine Abbildung 0,a aus einem<br />
0-dimensionalen F oder aus einer in N abgeschlossenen Menge;<br />
falls unabzahlbar, entsteht es, nach Weglassung einer abzahlbaren<br />
Menge, aus N selbst durch eine Abbildung 0,a (B, p. 215, theoreme 1;<br />
B, p. 216, coroUaire 1; vgl. auch A, p. 224, theoreme 2).<br />
Beim tJbergang von der ersten Behauptung (5) zur zweiten<br />
wird der folgende Satz von Herrn Mazurkiewicz verwendet<br />
(A, p. 225, theoreme 3):<br />
(6) Ist X 0-dimensionales F, A ein Gs in X, A und X~A in X<br />
dicht, so ist A mit N homoomorph.<br />
Aus ihm folgern wir noch:<br />
(7) Ist -1 in JV dichtes Os, so ist A mit N homoomorph.<br />
Denn ist X der dyadische Teilraum von N, aus den A=(?i,Z2v)<br />
mit lk=lj2 bestehend (X mit dem Cantorschen Diskontinuum<br />
homoomorph), so ist die Menge X^CX der A mit unendlich vielen<br />
lk=l niit N homoomorph, X^^X—X-^^ abzahlbar, beide Summanden<br />
in X=X-f^+X2 dicht. 1st A in X^ dichtes Gs, so auch in X, wahrend<br />
zugleich X—J.DX2 in X dicht ist; nach (6) ist A mit N homoomorph.<br />
Unsere Absicht ist nun, die folgende Prazisierung von (5)<br />
zu beweisen:<br />
Sat^ I. Jedes verdichtete F^^'^^ (a>0) entsteht aus N durch eine<br />
Abbildung 0,a.<br />
Zunachst ist der Fall a=l zu behandeln, den wir besonders<br />
aussprechen:<br />
Sat^ II. Jedes verdichtete F^=Fod entsteht aus N durch eine<br />
Abbildung 0,1.<br />
Das ist eine (von Herrn Kuratowski selbst vermutete) Verscharfung<br />
des Satzes B, p. 210, wonach die verdichteten {= insiehdichten)<br />
F^=Gd aus N durch Abbildungen 0,1 entstehen.<br />
Beim Beweise dieses Satzes wie auch von II spielt die Moglichkeit<br />
eine EoUe, eine insichdichte ^a-Menge B folgendermassen zu<br />
zerlegen (der Raum X ist hier zunachst noch beliebig):<br />
543
154 F. Hausdorff:<br />
J5==i>i + -D2 + --- ^it disjunkten Summanden i>/4=0,<br />
^ ^ \Pi=Bx + .,.+Di perfekt<br />
Wir nennen dies eine Zerlegung Z und, wenn alle Di von<br />
Durchmessern 0 eine Zerlegung<br />
Z((5), bei der die Pi=BUi (Ui offen) sind.<br />
(Lemme B, p. 208). Die besondere Form der Pi ist von Herrn<br />
Kuratowski in den Wortlaut des Hilfssatzes nicht aufgenommen,<br />
aber aus dem Beweis ersichtlicli. Es folgt daraus;<br />
(8*) Ist A in B verdichtet, so ist jedes ADi in Di verdichtet.<br />
Denn AUi ist in BUi verdichtet, also auch in Pi (AUi ist<br />
verdichtet und in BUi oder in Pi dicht); wegen AUiCAPiCPi<br />
ist APi in Pi verdichtet, und da X—Pi-i offen ist, A{Pi—Pi-i)<br />
in Pi—Pi-i Oder ADi in Di verdichtet.<br />
Im Folgenden wird es sich auch bei Mengen B=Fo um solche<br />
Zerlegungen handeln, bei denen ADi in Bi verdichtet ist; indessen<br />
kann man das nicht mehr, wie bei Mengen B=F—F', durch Pi=BUi<br />
erreichen. (Es gibt insichdichte und sogar verdichtete B=FGJ die<br />
iiberhaupt kein BU4=^ niit offenem U enthalten, z.B. wenn B und<br />
X—B in X dicht sind).<br />
(9) (74=0 sei ein i^^ (im separablen vollstandigen Eaume X) und<br />
A eine in C verdichtete analytische Menge. Dann gibt es fiir vorgeschriebenes<br />
d>0 eine Menge B zwischen A und C (ACBCG)<br />
mit einer Zerlegung Z((5), bei der jedes ABi in Di verdichtet ist.<br />
Beweis. Man kann die abgeschlossenen Summanden von<br />
C=EFh von Durchmessern
Bilder des Nullraums 155<br />
Menge QxCA vomDurchmesser
156 F. Hausdorff:<br />
Aus AD^aCi:D^aiCG^ f olgt durch Summation nach /u: AB^~^CB^CG\<br />
d. h. ACB^CG^. Dadurch sind die Mengen mit Ic Indizes bedingungsgemass<br />
bestimmt.<br />
Auf Grand von ACHB^cnC^==A, also A = nB^ ist nun<br />
II leicht zu beweisen. Zu jedem xeA gibt es eine und nur eine Folge<br />
A=(i!^i,?2v) ^it' ^=^li^hh-''^ umgekehrt, weil X vollstandig ist<br />
und nach (7) P^^..j^ fiir ]c>l einen Durchmesser 0).<br />
Ist B verdichtetes P"'^\ so gibt es nach (5) eine Zerlegung<br />
B=A-^Bj wo A = f(N) vermoge einer Abbildung 0,a aus N entsteht<br />
und R=B—A abzahlbar ist. Nun ist jeder Punkt xeR in<br />
einer perfekten Menge Q^CA+x enthalten, deren (in N abgeschlossenes)<br />
Urbild P^=f~\Q^) = f~\AQ^) = r\Q:,— x) nirgendsdicht ist.<br />
Denn fiir jede Umgebung U von ^ ist JL?7 (wie BU) unabzahlbar,<br />
enthalt also eine mit dem Cantorschen Diskontinuum G homoomorphe<br />
Menge und, weil G mit seinem „Quadrat" (G,G) homoomorph<br />
ist, sogar 2'^'' disjunkte perfekte Mengen Q} da von deren Urbildern<br />
p^f'^Q) nur abzahlbar viele einen inneren Punkt haben konnen,<br />
enthalt AU ein perfektes Q mit nirgendsdichtem Urbild P. Eine<br />
Folge solcher Umgebungen Un mit Durchmessern ->0 liefert eine<br />
Folge perfekter QnCAUn mit nirgendsdichten Urbildern P,, und<br />
dann ist Qx==i:Qn+x perfekt mit einem Urbild Px=^EPn, das in N<br />
abgeschlossen und (von I. Kategorie, also) nirgendsdicht ist. Macht<br />
man dies fiir jedes xeR und setzt Q=zEQx
Bilder des Nullraums 157<br />
wo iV^i etwa eiix Intervall von N und g^^ von der Klasse 0,a ist. Sodann<br />
ist Q als Summe abzahlbar vieler perfekter Mengen ein verdichtetes Fo<br />
und entsteht nach II (tibrigens ist dieser Spezialfall natiirlich viel<br />
schneller zu beweisen) aus N durch eine Abbildung 0,1; da iV^2^ ^ —^i<br />
wieder mit N homoomorph ist, sei<br />
^ = ^2(^2),<br />
g2 von der Klasse 0,1. Wir haben jetzt {g=gi,g2 in ^i?-^2)<br />
B = g{N),<br />
g ist schlicht und stetig. Ist F in N abgeschlossen, so ist g^{N^F)==<br />
= (B—Q)F''=BG6F''=BF^F''=BF''', g2{N2F) = QF^=FaF^=G^F^ und<br />
dies ist, wenn a>l, ein F"" oder BF'\ Also g(F)=^BF'', g ist von der<br />
Klasse 0,a.<br />
Zum Schluss woUen wir noch die topologischen Bilder von N<br />
charakterisieren, Sie sind jedenfalls Gd (separabel, topologisch voUstandig),<br />
O-dimensional und insichdicht (= verdichtet); aber diese<br />
Eigenschaften sind nocb nicht hinreichend, da sie z.B. auch kompakten<br />
Mengen (dem Cantorschen Diskontinuum) zukommen konnen.<br />
l^un heisst insichdicht: es gibt keinen isolierten Punkt, d. h. keine<br />
einpunktige oder endliche offene Menge; N hat aber eine dariiber<br />
hinausgehende Eigenschaft:<br />
(K) Es gibt Iceine hompaUe offene Menge (+0).<br />
Oder: jede offene Menge (?^=0 enthalt eine Folge ai ohne Haufungspunkt<br />
in G\ in der Tat bilden im Intervall Ni^ i^ irgendwelche<br />
Punkte cii^Ni^ i^i eine solche^), da sie paarweise die Entfernung<br />
1/(A; + 1) haben. Die Eigenschaft K geht auch auf die mit N homoomorphen<br />
Mengen iiber und ist nun mit den zuvor angegebenen<br />
zusammen auch hinreichend:<br />
Die mit dem Nullratim N homoomorphen Mengen sind identisch<br />
mit den separablen, topologisch vollstdndigen, 0-dimensionalen Bdumen<br />
X, die keine Jcompalcte offene Menge (=#0) enthalten.<br />
1) Sogar ohne Haufungspunkt in N; auch G ist nicht kompakt; die kompakten<br />
Mengen sind in N nirgendsdicht.<br />
547
158 F. Hausdorff.<br />
Beweis der Hinlanglichkeit ^). Ein separable! 0-dimensionaler<br />
Eaum X hat eine abzahlbare Basis, aus offenen und zugleich<br />
abgescblossenen Mengen Vi von Durchmessern
Kommentar zu [H 1937]<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
l.Zur Thematik<br />
Zwischen Borelschen Mengen in separablen, vollstandigen metrischen Raumen<br />
einerseits und dem Raum P der irrationalen Zahlen andererseits bestehen<br />
aufierst enge Beziehungen. Der beide verbindende Begriff ist der schlichter<br />
stetiger Abbildungen bzw., als Verfeinerung desselben, der von KURATOWSKI<br />
geschafFene Begriff der (a, /?)-Homoomorphismen. Die HAUSDORFFsche Arbeit<br />
[H 1937], entstanden aus einer intensiven Beschaftigung mit den KURATOWS-<br />
Klschen Ergebnissen, verdeutlicht diese Zusammenhange in besonders klarer<br />
Weise.<br />
2. Der Bairesche NuUraum<br />
Als Baireschen NuUraum bezeichnet HAUSDORFF den Raum N^, d. h. das Nfache<br />
Produkt des diskreten Raumes N der natiirlichen Zahlen mit sich selbst.<br />
Bereits 1909 hatte BAIRE gezeigt, dafi dieser Raum zum Raum P der irrationalen<br />
Zahlen homoomorph ist ([B 1909], S. 103). MAZURKIEWICZ bewies,<br />
dafi jeder dichte, co-dichte G^^-Teilraum des Raumes R der reellen Zahlen<br />
homoomorph zu P (und somit zum NuUraum) ist ([M 1918], S. 163), woraus<br />
KuRATOWSKl schlofi, dafi ein topologischer Raum genau dann homoomorph mit<br />
P ist, wenn er sich als dichter, co-dichter G
lafit er die Arbeit von ALEXANDROFF und URYSOHN unerwahnt. In seinem historischen<br />
Ubersichtsartikel iiber ordnungsfahige topologische Raume bemerkt<br />
S. PURISCH zum Verhaltnis der Arbeiten von HAUSDORFF und ALEXANDROFF<br />
und URYSOHN:<br />
P. Alexandroff and P. Urysohn ([4]) used continued fractions in 1928 to<br />
characterize the irrational numbers as a topologically complete, separable,<br />
0-dimensional, metric space that contains no nonempty compact<br />
open set. In 1937 this result was rediscovered by Hausdorff ([45]) using<br />
Baire's result of the homeomorphism between the irrationals and N^<br />
(which Hausdorff referred to as "der Bairesche Nullraum"). It is interesting<br />
to note that it was not unusual for Alexandroff and Hausdorff to<br />
independently prove the same result. For example they both verified the<br />
truth of the Continuum Hypothesis for the class of Borel sets on the real<br />
line ([1] and [43]), and they both proved that every nonempty compact<br />
metrizable space is the continuous image of the Cantor set ([3] and theorem<br />
V in section 35, page 197 in [44] as well as the announcement in<br />
[2]).3<br />
In den zwanziger Jahren hatten ALEXANDROFF und HAUSDORFF eine rege<br />
Korrespondenz und einige personliche Begegnungen. Die Korrespondenz be-<br />
ginnt am 18. April 1923 mit einem Brief von ALEXANDROFF und URYSOHN<br />
und endet am 9. 3. 1935.^ Die topologische Charakterisierung von P spielt<br />
in dieser Korrespondenz keine RoUe. Trotzdem ist es merkwiirdig, da6 HAUS<br />
DORFF nur KuRATOWSKi erwahnt, nicht jedoch die Arbeit von ALEXANDROFF<br />
und URYSOHN.^ Letztere verweisen in einer Fufinote zu ihrem Theorem auf ein<br />
noch alteres Resultat:<br />
Im wesentlichen ist dieser Satz (fiir a priori linear vorausgesetzte Mengen)<br />
in einem Theorem von Brouwer erhalten (Proceed. Kon. Ak. Amsterdam<br />
20 (April 1917), S. 1193).^<br />
Neben obiger Charakterisierung von P (sie erscheint auch in HAUSDORFFS,<br />
die Veroffentlichung [H 1937] vorbereitender Studie [NL HAUSDORFF, Fasz.<br />
1058, Bl. 11], die vermutlich Anfang 1937 entstanden ist) beweist HAUSDORFF<br />
auch folgende Result ate:<br />
1. Jeder dichte G^-Teilraum von P ist mit P homoomorph ([NL HAUSDORFF,<br />
Fasz. 620, Bl. 1-2] und [NL HAUSDORFF, Fasz. 1058, Bl. 1-2]).<br />
3[P 1998], S. 691. Die Nummern [1], [2], [3], [4], [43], [44], [45] bezeichnen in dieser Reihenfolge<br />
die Arbeiten [A 1916], [A 1925], [A 1926b], [AU 1928] in unserem Literaturverzeichnis<br />
bzw. [H 1916], [H 1927a], [H 1937] im HAUSDORFFschen Schriftenverzeichnis.<br />
^Der gesamte Briefwechsel wird im Band IX dieser Edition abgedruckt.<br />
^DaB HAUSDORFF ALEXANDROFFS Arbeiten in den Mathematischen Annalen sehr sorgfaltig<br />
studierte, zeigt das Beispiel der Arbeit [A 1926a], in der er einen Fehler entdeckte und dann<br />
ALEXANDROFF brieflich Vorschlage zur Korrektur unterbreitete (s.dazu diesen Band, S. 865<br />
fT.<br />
^[AU 1928], S. 96, FuBnote 16a.<br />
550
2. Jeder (nicht-leere) offene Teilraum von P ist mit P homoomorph ([NL<br />
HAUSDORFF, Fasz. 620, Bl. 15]) J<br />
3. Borelmengen und schlichte, stetige Bilder des NuUraumes<br />
Injektive Abbildungen werden von HAUSDORFF schlicht genannt. SlERPlNSKi<br />
bewies 1929, dafi ein Teilraum von R genau dann schlichtes stetiges Bild von<br />
P ist, wenn er eine verdichtete Borelsche Menge in R ist ([S 1929], S. 18).<br />
KuRATOWSKi bewies, dafi alle in sich dichten separablen voUstandigen metrischen<br />
Raume als schlichte stetige Bilder von P darstellbar sind ([K 1934],<br />
S.210), und verfeinerte das Instrumentarium durch Einflihrung des BegrifFs<br />
der {a, P)-Homdomorphismen, d. h. bijektiver Abbildungen /: X —> Y mit<br />
f[F^{X)] c F^(F) und f-^[F^{Y)] C F^(X) (wobei die F^(X) bzw. G^(X)<br />
die Borelschen Mengen in X nach dem Vorbild von LEBESGUE klassifizieren:<br />
F^{X) besteht aus den abgeschlossenen Mengen, F^{X) aus den G^-Mengen,<br />
F'^{X) aus den F^r^^-Mengen in X u. s. f.). KuRATOWSKi erganzte dann mittels<br />
dieses Begriffes das SiERPiNSKische Ergebnis durch Satze liber die Darstellbarkeit<br />
Borelscher Mengen in separablen voUstandigen metrischen Raumen als<br />
Bilder geeigneter (a,/?)-Homoomorphismen von abgeschlossenen Teilraumen<br />
von P ([K 1933], [K 1934]). HAUSDORFF hat sich Anfang 1937 intensiv mit Ku-<br />
RATOW^SKis Ergebnissen auseinandergesetzt ([NL HAUSDORFF: Fasz. 97, 619,<br />
620, 624, 1058 und 1059]). Er war bestrebt, diese Ergebnisse zu verallgemeinern<br />
und eleganter zu gestalten. Das ist ihm mit dem Hauptresultat seiner eigenen<br />
Veroffentlichung in eindrucksvoller Weise gelungen:<br />
Theorem ([H 1937], Satz I, S. 153): Fiir a > 0 ist jeder (nicht-leere) verdichtete<br />
F*^"^^-Teilraum eines separablen, voUstandigen metrischen Raumes<br />
(0, a)-homoomorphes Bild von P.<br />
Hierdurch werden folgende Resultate erganzt bzw. verscharft:<br />
Theorem ([K 1934], Theoreme, S.210): (Nicht-leere), separable, in sich<br />
dichte, vollstandige metrische Raume sind (0, l)-homoomorphe Bilder von P.<br />
Theorem ([K 1934], Theoreme 1, S.215 - korrigiert nach HAUSDORFF^):<br />
Fiir a > 0 sind F^+^-Teilraume von separablen, voUstandigen, metrischen<br />
Raumen (0, Q;)-homoomorphe Bilder geeigneter abgeschlossener Teilraume von<br />
P.<br />
Theorem ([H 1927a], S.211): Separable absolut Borelsche Mengen sind<br />
schlichte stetige Bilder geeigneter abgeschlossener Teilraume von P.<br />
Theorem ([H 1937], Satz H, S. 153): Jeder (nicht-leere) verdichtete F^^-<br />
Teilraum eines separablen, voUstandigen metrischen Raumes ist (0, l)-homoomorphes<br />
Bild von P.^<br />
•^Die Faszikel 620, 624 und 1058 sind in diesem Band, S. 641-650, 742-749, abgedruckt.<br />
^HAUSDORFF schreibt in Fasz. 620, Bl. 3: In der Fassung des th. 1, FM 22, S. 215 ist also<br />
fiir a = Limeszahl die Behauptung "il suffit" falsch, denn durch 0, a kann ja aus F ein F'^~^^<br />
entstehen, das kein F*^ ist.<br />
^HAUSDORFF beweist erst diesen Satz und dann den Satz I.<br />
551
HAUSDORFF hat seinen obigen Satz I zunachst nur fiir den Fall a > 1 beweisen<br />
konnen und mit dem Fall a = 1 lange ringen mlissen. Am 7.3.1937 notiert<br />
er (wobei er den Nullraum mit N bezeichnet):<br />
1st C verdichtetes F^~^^{a > 1), so ist C Bild von N vermoge einer<br />
Abbildung 0, a.<br />
Die notwendige Bedingung fur die schlichten stetigen Bilder von N,<br />
verdichtete Borelsche Mengen zu sein, ist also auch hinreichend.<br />
Die verdichteten F^ = FaS ergeben sich hier (da sie F^ sind), als<br />
Bilder von N vermoge 0,2; es ware zu priifen, ob sie nicht doch schon<br />
durch 0,1 entstehen. Die verdichteten F^ — Gs entstehen aus N durch<br />
0,1; gemafi (7). Wir haben also:<br />
Verdichtetes F^ ist (0,1)-Bild von N.<br />
(0,1)-Bild von N ist verdichtetes F^.<br />
Verdichtetes F^ ist (0, 2)-Bild von N.<br />
(0, 2)-Bild von N ist verdichtetes F^ und umgekehrt.<br />
Also, wenn P" verdichtetes F" bedeutet und N"^ (0, a)-Bild von N:<br />
(P') C (AT') C (P') C (iV") - (P');<br />
die Prage ist, ob nicht bereits [N^) ^ (P^) ist.^°<br />
Noch am 16.3. bemerkt HAUSDORFF ZU den Fallen a — 1 bzw. 0 (wobei er<br />
den Nullraum mit X bezeichnet):<br />
Die Einschrankung a > 1 habe ich bisher nicht beseitigen konnen;<br />
fiir die verdichteten F^ = Fo-6 kann ich also nur, da sie F^ sind, ihre Entstehung<br />
aus X durch Abbildungen 0, 2 behaupten, nicht 0,1. (Fiir a — 0<br />
ist der Satz sicher nicht richtig; die verdichteten F^ — Gs entstehen zwar<br />
durch Abbildungen 0,1 (Kurat. F M 22, p. 210), aber nicht durch 0,0, da<br />
z. B. eine kompakte perfekte Menge, selbst wenn sie 0-dimensional ist,<br />
mit X nicht homoomorph ist).^^<br />
Anschliefiend unternimmt HAUSDORFF einen neuen Versuch, betitelt: "Vergebhcher<br />
Versuch" (Bl. 17). Er endet nach zwei Seiten mit der Feststellung<br />
"Dieses Verfahren fiihrt also nicht zum Ziele" (Bl. 18), woran sich die Vermutung<br />
anschliefit "Konnte man umgekehrt von einem verdichteten F^ — F^s<br />
zeigen, dafi es aus dem Nullraum X nur duch 0,2, nicht durch 0,1 entsteht?"<br />
(Bl.lSv).<br />
Zwei Tage spater erntet HAUSDORFF den Lohn seines Ringens. Er beginnt<br />
seine Aufzeichnungen mit der Uberschrift:<br />
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des NuUraums^^<br />
und beweist seinen Satz H, zu dem er in seiner Arbeit [H 1937] anmerkt:<br />
i^NL HAUSDORFF, Fasz.620, BL7.<br />
i^NL HAUSDORFF, Fasz.620, BL 16-17.<br />
12 NL HAUSDORFF, Fasz. 624, Bl. 1.<br />
552
Das ist eine (von Herrn KuRATOWSKi selbst vermutete) Verscharfung<br />
des Satzes B, p. 210, wonach die verdichteten (= insichdichten) F^ = Gs<br />
aus N durch die Abbildungen (0,1) entstehen/^<br />
Einige der von HAUSDORFF und KuRATOWSKi erzielten Resultate warden<br />
spater auf den nicht-separablen Fall erweitert. Fiir unendliche Kardinalzahlen k<br />
nimmt dabei der Raum B{k) — X^, wobei X ein diskreter Raum der Machtigkeit<br />
k ist, die RoUe des NuUraumes ein. A. H. STONE ([St 1972]) bewies, dafi fiir<br />
absolut Borelsche metrische Raume X folgende Bedingungen aquivalent sind:<br />
(1) Es gibt einen geeigneten (a, ;5)-Homoomorphismus zwischen X und B{k).<br />
(2) X ist Borel-isomorph zu B{k), d. h., es gibt eine bijektive Abbildung<br />
f: X ^^ B{k)^ die Borel-Mengen bewahrt und reflektiert.<br />
(3) X hat das Gewicht /c, es gibt aber keine Uberdeckung {Xn | n G N} von<br />
X der art, daB jedes Xn als Vereinigung offener Teilraume vom Gewicht<br />
kleiner als k darstellbar ist.<br />
Dariiber hinaus zeigte er, dafi die Bedingungen (1), (2) und (3) aquivalent<br />
bleiben, falls B{k) in (1) und (2) durch einen beliebigen absolut Borelschen<br />
metrischen Raum Y und (3) durch geeignete (lokale) Basis-Beschreibungen an<br />
X bzw. Y ersetzt werden. R. W. HANSELL verallgemeinerte das klassische Konzept<br />
der Borel-Mengen, indem er fiir unendliche Kardinalzahlen k sogenannte<br />
/c-Borel-Mengen einfiihrte, wobei abzahlbare Familien in der klassischen Definition<br />
durch cr-diskrete Familien der Machtigkeit < k, ersetzt werden ([Ha 1973]).<br />
Hiermit gelangen ihm geeignete Verallgemeinerungen von A. H. STONES Charakterisierung<br />
von Borel-Mengen und KuRATOWSKis Resultat, dafi der NuUraum<br />
fiir jede abzahlbare Ordnungszahl a Borel-Mengen der Klasse a enthalt.<br />
In [Ha 1974a] fiihrt R. W. HANSELL das Konzept co-a-diskreter stetiger Abbildungen<br />
ein und beweist u. a., dafi ein metrischer Raum genau dann absolut<br />
analytisch und vom Gewicht < A: ist, wenn er co-(j-diskretes stetiges Bild von<br />
B{k) ist.<br />
Eine systematische Untersuchung von Borel - mefibaren Abbildungen und<br />
(a, ;5)-Homoomorphismen fiir separable und nicht-separable metrische Raume<br />
findet sich in [Ha 1974b]. Diese Untersuchungen erweiterte P. HOLICKY durch<br />
Betrachtung nicht-injektiver Borel-mefibarer Abbildungen der Klasse (Q;,/3)<br />
fiir beliebige Ordinalzahlen nicht nur zwischen metrischen sondern zwischen<br />
beliebigen topologischen Raumen ([Ho 2004]). Dabei ergeben sich selbst im<br />
separablen Fall neue Ergebnisse.<br />
Literatur<br />
[A 1916] ALEXANDROFF, P.: Sur la puissance des ensembles mesurables B.<br />
C.R.Acad. Sci Paris 162 (1916), 323-325.<br />
^[H 1937], S. 153. B ist das Kiirzel fiir [K 1934].<br />
553
[A 1925] ALEXANDROFF, P.: Uber stetige Abbildungen kompakter Rdume.<br />
Proc. Kon. Akad. Amsterdam 28 (1925), 997-999.<br />
[A 1926a] ALEXANDROFF, P.: Simpliziale Approximationen in der allgemeinen<br />
Topologie. Math. Annalen 96 (1926), 489-511.<br />
[A 1926b] ALEXANDROFF, P.: Uber stetige Abbildungen kompakter Rdume.<br />
Math. Annalen 96 (1926), 555-571.<br />
[AU 1928] ALEXANDROFF, P., URYSOHN, P.: Uber nulldimensionale Punktmengen.<br />
Math. Annalen 98 (1928), 89-106.<br />
[B 1909] BAIRE, R.: Sur le representation des fonctions discontinues, (deuxieme<br />
partie). Acta Math. 32 (1909), 97-176.<br />
[Br 1917] BROUWER, L.E. J.: On linear inner limiting sets. Proc. Kon. Akad.<br />
Amsterdam 20 (1917), 1192-1194.<br />
[Ha 1973] HANSELL, R. W.: On the non-separable theory of k-Borel and<br />
k-Souslin sets. Gen. Topol. Appl. 3 (1973), 161-195.<br />
[Ha 1974a] HANSELL, R. W.: On characterizing non-separable analytic and<br />
extended Borel sets as types of continuous images. Proc. London Math.<br />
Soc. (3) 28 (1974), 683-699.<br />
[Ha 1974b] HANSELL, R. W.: On Borel mappings and Baire functions. Transactions<br />
Amer. Math. Soc. 194 (1974), 195-211.<br />
[Ho 2004] HOLICKY, P.: Extensions of Borel measurable maps and ranges<br />
of Borel bimeasurable maps. Bull. Polish Acad. Sci. Math. 52 (2004),<br />
151-167.<br />
[K 1933] KURATOWSKI, C: Topologie I. Monographic Matematyczne, Warszawa-Lw6w<br />
1933.<br />
[K 1934] KuRATOWSKi, C: Sur une generalization de la notion d^homeomorphie.<br />
Fund. Math. 22 (1934), 206-220.<br />
[M 1918] MAZURKIEWICZ, S.: Teoria zbiorow. Wektor 6 (1917-18), 129-185.<br />
[P 1998] PURISCH, S.: A history of results on orderability and suborderability.<br />
In: Handbook of the History of General Topology II (eds. AuLL, C.E.;<br />
LOWEN, R.). Kluwer Acad. Publ., Dordrecht 1998, 689-702.<br />
[S 1921] SiERPiNSKi, v.: Sur les images continues et biunivoques de Vensemble<br />
de tous les nombres irrationels. Mathematica 2 (1929), 18-21.<br />
[St 1972] STONE, A.H.: Non-separable Borel Sets, II. Gen. Topol. Appl. 2<br />
(1972), 249-270.<br />
554
Erweiterung einer stetigen Abbildung.<br />
Fundamenta Mathematicae 30 (1938), 40-47.<br />
[H 1938]
Erweiterung einer stetigen Abbildung.<br />
Von<br />
F. Hausdorff (Bonn).<br />
Der metrische Eaum U werde durch u—f(u) stetig a.uf den<br />
metrischen Eaum E abgebildet. Es sei uv die Entfernung zweier<br />
Punkte u, V in E nnd ttv die Entfernung ihrer Bilder u, v in E; bei<br />
gegebener AbbUdung ist m eine gegebene Funktion von u^v mjt<br />
den Eigenschaften:<br />
(a) m===vu'^0, ^^=0;<br />
(y) ITv^-O, falls v-^u (d. h. uv->0 bei festem u),<br />
Wenn umgekebrt flir die Punktpaare u,v von E eine Funktion<br />
uv mit diesen Eigenschaf ten gegeben ist, so bestimmt sie eine stetige<br />
Abbildiing von E auf einen (bis auf Isometrie bestimmten)<br />
metrischen Eaum E, mit uv als Entfernung der Bildpunkte von u,v,<br />
Denn da die Eelation uv—0 nach (aj/9) reflexiv, symmetrisch und<br />
transitiv, also vom Charakter einer Gleichheitsbeziehung ist, so<br />
kann man in abstracto jedem u ein Element u = f(u) mit der<br />
Vorschrift<br />
[u=v] = luv=0]<br />
zuordnen und in der Menge E dieser Elemente uv als Entfernung<br />
von u,v definieren. Man kann speziell den Eaum E auf Grund der<br />
Eelation uv=0 in disjunkte Klassen (Schichten, tranches) spalten<br />
und unter u=f{u} die den Punkt u enthaltende Klasse verstehen.<br />
1st ECE und eine stetige Abbildung von E auf den metrischen<br />
Eaum F gegeben, also fur u^veF eine den Bedingungen {a,^,y)<br />
geniigende Funktion uv erklart, so erhalt man eine Erweiterung<br />
557
Erweiterung einer stetigen Abhildung 41<br />
dieser Abbildnng zu einer stetigen Abbildung von E anf einen geeigneten<br />
metrischen Eaum EoF, wenn man fiir die Punktpaare<br />
yon E eine den Bedingungen (a,fi,y) geniigende Funktion uv finden<br />
kann, die fiir die Punktpaare von F mit der vorgegebenen iibereinstimmt.<br />
Es ist klar, was dabei nnter EjF zu verstelien ist: bei<br />
der abstrakten Definition von E sind die schon vorhandenen Elemente<br />
von F beizubehalten, und wenn man speziell die Schichten<br />
von E als Elemente von E benutzt, so bilden die Schichten, welche<br />
Punkte von F enthalten, Qinen mit F isometrischen Eaum CE,<br />
Nach diesen einfachen Vorbemerkungen woUen wir die Satze<br />
beweisen:<br />
I. Eine stetige Abbildung der im metrischen Eaum E abgeschlossenen<br />
Menge F auf den metrischen Raum F Idsst sich zu einer stetigen<br />
Abbildung f von E auf einen geeigneten metrischen Faum EZ)F<br />
erweitern.<br />
II. Diese Erweiterung ist insbesondere so moglich, dass F in E<br />
abgeschlossen ist und E—F topologisch auf E—F abgebildet wird.<br />
III. Eine topologische Abbildung von F Idsst sich zu einer topologischen<br />
Abbildung von E erweitern^).<br />
Beim Beweise mogen bedeuten:<br />
a,b,c,p,q Punkte von F^<br />
x,y Punkte von E-~F=G,<br />
u,v,w Punkte von E.<br />
d(u) = mfau sei die untere Entfernung des Punktes u von F.<br />
a<br />
tjberzeugen wir uns zunachst, dass zur Eichtigkeit von I die<br />
Existenz einer reellen Funktion cp{a^u) (die also in dem Produktraum<br />
{F^E) definiert ist) mit den Eigenschaften<br />
(1) (p{a,b) = ab<br />
(2) ^(^^,'y)=:sup \(p{a,u)—(p(a,v)\< oo<br />
a<br />
(3) y)(UjV)-^0 fiir v-^u<br />
notwendig und hinreichend ist.<br />
^) Vgl. meine Arbeit: Erweiterung einer Hom^oornorphie, Fund. Math. 16<br />
(1930), p. 353-360, von der die gegenwartige eine Vereinfachung und Verallgemeinerung<br />
ist.<br />
558
42 F. Hausdorff:<br />
I^otwendig: wenn eine Erweiterung von ah zu m vorhanden<br />
ist, so ist (p(a,u)==au eine Punktion, die (1,2,3) erfiillt; in der Tat<br />
haben wir dann y){u,v) = ^u-p\m—'av\^^m und (3) ist Folge von (y),<br />
a<br />
Hinreichend: wenn (p(a,u) eine den Bedingungen (1,2,3)<br />
geniigende Funktion ist, so ist ip(u,v) eine Funktion, die, ftir uv<br />
gesetzt, die Bedingungen (a,i8,y) erfiillt und auf Grund von (1), (2)<br />
(4) ^(fe,c) = sup \ab~~ac\ = bc<br />
a<br />
liefert, sodass uv — ipiu^v) einen zulassigen Eaum E definiert und<br />
damit I bewiesen ist.<br />
Aber auch zum Beweise von II ist die Existenz einer solchen<br />
Funktion (p{a^u) hinreichend. Hierzu betrachten wir die Funktion<br />
(5) d{u^v)=^mhi[iiv^ d{u)-{-d{v)\<br />
die (ftir uv gesetzt) die Bedingungen (a,/?,7) erfiillti) und iibrigens<br />
die einfache Bedeutung hat, J^' auf einen einzigen Punkt und G=E—F<br />
topologisch abzubilden, wie man aus dem Folgenden (im speziellen<br />
Fall q){a,ti) = 0) sofort entnimmt. Nun erfiillt<br />
(6) uv=m.Sbx[ip(u,v), d(u,v)]<br />
die Bedingungen (a,^,y) und wegen (4) und d(b,c) = 0 stimmt uv<br />
in F mit der gegebenen Funktion be liberein. Diese Erweiterung<br />
hat aber die in II verlangten Eigensohaften. Benn es ist<br />
ax > d{a, x) = min [ax, ^(^)] = ^{00) >0,<br />
sodass x=f{x) von F=f{F) positiven Abstand hat, d.h. F abgeschlossen<br />
ist. Weiter ist xy'^d(x,y)>0 ftir x=\=^y, die Abbildung ist<br />
in G schlicht; sie ist liberdies topologisch, denn wenn (bei festem x)<br />
xy~->0, so auch 8(x,y)-^0 und, da d(x)-{-d(y)>d{x) nicht nach 0<br />
konvergiert, muss xy-^0 sein.<br />
Demnach ist zum Beweise von I, II nur eine Funktion (p{a,u)<br />
gemass (1,2,3) zu konstruieren. Beztiglich der tc,v in (2) und (3)<br />
ist der Fall, dass beide zu F gehoren, bereits durch (4) erledigt,<br />
sodass wir nur noch Punktpaare aus (G,(r) oder (F^G) zu betrachten<br />
haben. D.h. es ist, indem wir (1) festhalten, nur noch eine (in {F,G)<br />
definierte) Funktion (p{a,x) zu konstruieren mit den Eigenschaften:<br />
1) Bezuglich der Dreieoksimgleichung (/?) vgl. Fund. Math. 16, p. 354.<br />
559
Erweiterung einer stetigen Abhildung<br />
A<br />
B\<br />
(2) yj{x,y) = m]^ \(p(a,x)—(p(a,y)\x,<br />
(2) ^(6,a?) = sup \q)(ajX)—q){a^b)\b ist d{x)-^0, px-^0, also pb-^0, 0(p)-^0(b)j<br />
niit<br />
]im0{x)^0(b),<br />
Zweitens wahlen wir einen (wieder von x abhangigen) Punkt q<br />
{9) 0(x)+d(x)>0(q) + qx<br />
d{x)<br />
Da gleichzeitig<br />
-1.<br />
wird<br />
0(x)^0(b)bx<br />
'd(x)<br />
-1,<br />
||
44 F. Hausdorff:<br />
Wahrend x und q variieren (6 ist fest), ist 0{q) nach unten<br />
beschrankt, sodass wir 0{b) — 0(q)^C schreiben konnen mit festem (7.<br />
Aus<br />
qx0, qx-^O, q-^b und aus (9), wo die<br />
rechte Seite ^ 0(q) ist,<br />
lim0{x)^0(b).<br />
Hiermit ist dieStetigkeit der Erweiterungsfunktion 0{u) gezeigt.<br />
Spezialisierung von 0{p). tJber der Menge F bilden wir den<br />
linearen Eaum L, bestehend aus den formalen Sunamen<br />
(10) s=Eha<br />
a<br />
endlich vieler Punkte mit reel!en Koeffizienten; ^a ist eine reelle<br />
Funktion von a, die nur an endb'ch vielen Stellen von Null verschieden<br />
ist. Ist ebenso<br />
SO wird natiirlich<br />
a<br />
a<br />
erklart; L ist eine Abelsche Gruppe, additiv gescbrieben. Fiir s sei<br />
X=:J]^a die „Koeffizientensumme", cr^^l^^l die „absolute Koeffia<br />
a<br />
zientensumme". Wir bilden nun<br />
(11) ^{s,p)S ap\<br />
a<br />
diese Funktion von p ist bei beschranktem F beschrankt; bei unbeschranktem<br />
F ist sie dann und nur dann nach unten beschrankt,.<br />
wenn >l>0, denn 0(s,p)—^bp=Z!Ki(^—bp) ist beschrankt (aba<br />
solut ^Zj\^a\cib), Als Funktion von s ist 0(Sjp) linear:<br />
a<br />
1st 0{s,p) nach unten beschrankt, so erweitern wir sie durch<br />
(12) 0(s,x) = mt 0(s,p)-<br />
p<br />
px<br />
d{x)<br />
zu einer stetigen Funktion 0(s,u). Da<br />
0{s,p) — 0(s,b)=Z!X„{ap—ab)<br />
561
Erweiterung einer stetigen Abbildung 45<br />
Absolut ^abp = 0(abjp) ist, haben wir<br />
Ton diesen beiden Ungleichungen enthalt aber die linke eine Punktion<br />
0{—abjp), die nicht nach unten beschrankt zu sein braucht.<br />
Diese (nur ftir unbeschranktes F auftretendei)) Schwierigkeit umgehen<br />
wir so: t=^jUaa sei ein festes Hilfselement eL mit positivem<br />
a<br />
jbi=JI/LCa und s werde der Beschrankung a^/u unterworfen (A>0<br />
a<br />
ist nun entbehrlich). Zu den letzten Ungleichungen oder<br />
0{—lub,p)^0(s,p) — 0(s^b)^0(fj.b,p)<br />
Mdieren wir 0(tjp), machen den tJbergang von p zn x und subtrahieren<br />
dann wieder 0{t^x), Also:<br />
0(t-fib,p)^0(S+t,p)-0{S,b)^0{t+lub,p)',<br />
jetzt sind alle drei Funktionen von p nach unten beschrankt, also<br />
nach (12)<br />
46 P. Hausdorff:<br />
hinzufiigt. 1st insbesondere s = a und t = e ein fester Hilfspunkfc<br />
von F, also:<br />
(p{a, x) = 0(a-i'G, x) — 0(c, x), (p{a^ b) = ab,<br />
so erfiillt (p{a,x) die Bedingungen A,B, womit I, II "bewiesen sind.<br />
Zum Beweise von III ist die Funktion (6) noch der JErgdnzungsbedingung<br />
zu unterwerfen:<br />
Wenn ax-^0 (bei festem a), ist anch ax->0,<br />
Vermoge dieser wird. die in F und G einzeln topologische<br />
Abbildung auch im ganzen Eanm E topologisch. Da nach .6(2), S. 43,.<br />
y)(b,x)'^\q){b,x)\j also m==^ioii3bx['ip(ax)yd{ajX)]'^niSix[(p{a,x),d(x)] ist^<br />
wird die Erganzungsbedingung sicher erfiillt, falls aus (p{ajX)->0<br />
und d{x)->0 auch ax^-0 folgt. Um dies zu erzielen, andern wir<br />
das bisherige Verfahren nur dahin ab, dass wir von (13) (wie bislier<br />
(j^jbt vorausgesetzt) nicht 0(t,x), sondern<br />
~0(2t,x)=:mf<br />
^. . 1 px 1<br />
subtrahieren, also<br />
(U)* (p[s,x)^0{s + t,x) — ^0[2t,x)<br />
setzen; (15), (16) und ^(s,b) — 0{s,b) bleJben auch jetzt richtig^<br />
Wie in (9) gibt es einen von x (und s,t) abhangigen Punkt q mit<br />
zugleich ist<br />
also<br />
0{s + t,x)+d(x)>0(s + t,q) +^-^-1,<br />
^;0(2t,x)^0(t,q) + ^ ^^ ^'<br />
2 ' ' '^ ^'^' ' 2d{x) 2<br />
cp{s,x)+d[x)>0{s,q) + ^ ^ -^•<br />
Nehmen wir wieder s^a und t = c^ so ist<br />
(p{a,x)-^d[x)>'^-\-- ^—2*<br />
Wenn bei festem a zugleich q)[a,x)->-Q und ^(a?)->0, so folgthieraus<br />
a^-^0, also aq~^0 (wegen der Homoomorphie zwischen F<br />
und F). ferner ~-^-l, ra->0, ax-^^. q. e. d.<br />
d{x)<br />
563
Erweiterung einer stetigen Abbildung 47<br />
Bemerken wir noch, dass wir E nur als metrisclien Eaum<br />
(also nicht als separabel oder gar kompakt) vorausgesetzt haben.<br />
Die Schichten von JB, die wir als Elemente yon E ansehen konnen,<br />
sind bei den Satzen II, III die Schichten von F (die Urbilder der<br />
Punkte von F) und die einzelnen Punkte von 0=E—F, 1st F kompakt,<br />
so haben wir eine halbstetige Zerlegung von E nnd die Metrisierbarkeit<br />
des tJberranmes E (nicht aber die Moglichkeit, die<br />
Metrik von F beizubehalten) folgt aus dem Urysohnschen Metrisationssatz.<br />
Die Beibehaltung der gegebenen Metrik von F ist fiir<br />
unseren Standpunkt wesentlich; der Satz III z. B. ist nur unter dieser<br />
Voraussetzung nicht trivial. Yerzichtet man darauf, so gibt die<br />
folgende Note von Herrn Kuratowski im Falle eines separablen<br />
F, das dann als Teilmenge des Hilbertschen Quaders angenommen<br />
werden kann, einen vereinfachten Beweis des Satzes II. Ubrigens<br />
sei noch auf einen verwandten Satz i) hingewiesen, in dem E—F<br />
zwar nicht topologisch, aber ohne Erhohung der Dimension anf<br />
E—F abgebildet wird.<br />
^) C. Kuratowski, 8ur le prolongement des fonctions continues et les trailsformations<br />
en polytopes, Fund. Math. 24 (1935), p. 259-268: th. 2, p. 266.<br />
564
Commentary on [H 1938]<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
Erweiterung einer stetigen Ahhildung is the last published paper by HAUS-<br />
DORFF. It may be interesting to notice that (except for Grundziige der Mengenlehre)<br />
his first abstract result on metric spaces was also devoted to extending<br />
maps, specifically to TIETZE'S theorem in [H 1919d]. In that paper he found<br />
a formula for extended maps that he was able to use successfully in more general<br />
situations in [H 1930b] and [H 1938]. It is worth observing that his first<br />
general result on extensions goes back to Grundziige der Mengenlehre - see the<br />
comments in Band II, p. 768 - where he proved the existence of continuous<br />
extensions of uniformly continuous maps onto completions (the proof works for<br />
uniformly continuous extensions).<br />
HAUSDORFF was aware of the importance of extending maps and in many of<br />
his unpublished notes there are various extension results (either known or new).<br />
Very often he deals with extensions of Baire or Borel functions (e. g. notes contained<br />
in Fasz.293, 354, 514, 611, 618, 619, from the years 1928-1937). Those<br />
results concern descriptive theory (Fasz. 618 and 619 are reprinted and commented<br />
in this vol., p. 626-639); here we shall concentrate on extensions of<br />
continuous maps. Since both extension results in [H 1919d] and [H 1938] are<br />
closely connected, some of the following comments about HAUSDORFF'S extensions<br />
go back to TiETZE and extend the commentary on [H 1919d] published<br />
in vol. IV of this edition, p. 97-103.<br />
Before 1915 when TIETZE published his extension result, it was probably only<br />
H. LEBESGUE who proved explicitly a general result of that kind (in connection<br />
with DIRICHLET'S problem). In fact he proved that:<br />
Every bounded continuous function defined on a closed subset of M? can be<br />
extended to a continuous function on R^.<br />
TIETZE reproved (by a similar method) that same result for subsets of R^<br />
and proved his famous result for continuous extensions of bounded continuous<br />
functions on closed subsets of metric spaces. His extended function is given<br />
by a formula using the metric function. The change from R^ to metric spaces<br />
was significant. To see the difference between it and HAUSDORFF'S formula it<br />
is convenient to show TIETZE'S formula here (F is an extension to the metric<br />
space (X, d) of a bounded continuous real-valued function / defined on a closed<br />
subset Aof X, />r >0):<br />
;.M-/ snp,ex{/(2/)/(l + ^'(^,2/))-'/'^^'^^}, ^^ ^ i A-<br />
^ ^~l fix). lixeA.<br />
After 1915, several other formulas were shown to give continuous extensions<br />
in R'^. DE LA VALLEE POUSSIN in 1916 used a convergent sum (this method<br />
works for maps from separable spaces into Banach spaces), L. E. J. BROUWER<br />
565
in 1919 used a triangulation method similar to that of LEBESGUE (this method<br />
works for maps into locally convex linear topological spaces), H. BOHR used<br />
integrals and is probably the first one to precisely describe how to prove the<br />
extension result for unbounded functions from the proof for bounded ones ([Car<br />
1918], p. VI, 619-620).<br />
In 1919 HAUSDORFF arrived at a new simpler formula for the extended function<br />
that used, as did TiETZE, the metric function (for bounded /):<br />
^.^^ = I inf.eA{/(y) ^ ^ ^ - Ih if ^ ^ A;<br />
^ ^ \ fix), ifxGA<br />
HAUSDORFF also gave a simpler procedure than that in [Car 1918] showing<br />
that the extension exists for unbounded functions as well. The new formula<br />
was simpler than that of TiETZE and, moreover, later HAUSDORFF was able to<br />
use it for more general situations in [H 1930b] and [H 1938]. After 1919 there<br />
appeared even simpler formulas (e.g., by KEREKJARTO in 1923) but it is not<br />
known whether they are useful in more general situations.<br />
We should repeat that HAUSDORFF'S other proof of TIETZE'S theorem (by<br />
means of an elegant new proof of HAHN'S "in-between theorem") has no predecessor.<br />
Perhaps we should add an explanation concerning the fact that every<br />
lower semicontinuous function is a limit of increasing continuous functions,<br />
which HAUSDORFF attributed to BAIRE. The result was proved by R. BAIRE<br />
for functions on R in [Bai 1904] and, when asked by HAHN, again by TiETZE<br />
in [Tie 1915, Corollary to Theorem 2] for functions on metric spaces (using<br />
his extension formula). HAHN then reproved it by a different method in [Hah<br />
1917].<br />
Three of HAUSDORFF'S unpublished notes concern results appearing in [H<br />
1938].<br />
In his notes (Fasz. 579, Kapsel 39) written sometime in 1935-36, HAUSDORFF<br />
goes in detail through KuRATOWSKi's paper [Kur 1935] that contains the following<br />
result:<br />
If A is a closed subspace of a separable metric space X and f maps A onto<br />
a metric space Y then there exists a continuous extension F of f mapping X<br />
onto a metric space Z such that Y is closed in Z, Z \Y is a poly tope and<br />
dim(Z\y)
the extensions can be found into Y, they can be found into retracts of Y as well,<br />
(BORSUK, K.: Sur les retractes, Fund. Math. 17 (1931, 152-170, Th. 10). Then<br />
KuRATOWSKl's result mentioned above was included. For bounded maps one<br />
can find extensions preserving linear combinations of the original maps (BOR-<br />
SUK,K.: Uher Isomorphic der Funktionalrdume, Bull. Acad. Pol. Sci. (1933),<br />
p. 1-10) - at this place HAUSDORFF noted "dazu mein Beweis ohne Lebesguesche<br />
Integrale". Another possibility is that the extensions preserve distances<br />
between maps (BORSUK, K.: Sur les prolongements des transformations continues,<br />
Fund. Math. 28 (1937), 99-110, Lemma 2). If Y is an absolute retract,<br />
the extensions can be constructed to depend continuously on the original maps;<br />
a modification for absolute neighborhood retracts is mentioned. Then HAUS<br />
DORFF went to extensions of homotopies for absolute retracts Y (HuREV^icz<br />
Fund. Math. 20, p. 160, Th. 6). In general, one cannot take the n-dimensional<br />
sphere for Y but it is possible when X is compact and dimX < n (HUREWICZ,<br />
W.: liber Abbildungen topologischer Rdume auf die n-dimensionale Sphdre,<br />
Fund. Math. 24 (1935), 144-150).<br />
On May 21, 1937 (Fasz. 98, Kapsel 26b), HAUSDORFF already wrote a version<br />
of his paper [H 1938]. It differs from the published version in that it has a more<br />
brief explanation, a different organization of the proof, and final remarks.<br />
On September 13, 1937, HAUSDORFF sent a version of his manuscript to<br />
KURATOWSKI. Part of KuRATOWSKi's answer, [Kur 1938], is published in the<br />
same issue of Fund. Math., where [H 1938] is published. KuRATOWSKi suggested<br />
in it another proof for the case when Y is separable (notation as above): embed<br />
y as y X 0 X 0 into H xRx C(X) (where H is the separable Hilbert space),<br />
extend f to f : X -^ H and define F{x) = {f{x),d{x, A), d{x, A) • d{x, -)) {X<br />
is canonically embedded into C{X)) - then Z equals F{X). In 1952, ARENS<br />
omitted separability of Y in KURATOWSKI'S procedure by using C*(F) instead<br />
of the Hilbert space H (one must use a generalization of the TiETZE extension<br />
theorem for maps into Ciy) as was proved by DuGUNDJi in [Dug 1951]).<br />
At the end we may mention some other extension results, e.g..<br />
Every compact subset of a completely regular space X is C-embedded in X<br />
proved in [Cech 1937], or a generalization of DuGUNDJi's result for stratifiable<br />
spaces proved in [Bor 1966], or simultaneous extensions in [Sch 1990].<br />
References<br />
[Are 1952] ARENS, R.: Extension of functions on fully normal spaces. Pacific<br />
J. Math. 2 (1952), 11-22.<br />
[Are 1953] ARENS, R.: Extension of coverings, of pseudometrics, and of<br />
linear-space-valued mappings. Canad. J. Math. 5 (1953), 211-215.<br />
[Bai 1904] BAIRE, R.: Sur les series a termes continus et tous de meme<br />
signe. Bull. Soc. Math. Prance 32 (1904), 125-128.<br />
[Bor 1966] BORGES, C. J.: On stratifiable spaces. Pacific J. Math. 17 (1966),<br />
1-16.<br />
567
[Bro 1919] BROUWER, L. E. J.: Uber die Erweiterung des Definitionsbereichs<br />
einer stetigen Funktion. Math. Ann. 79 (1919), 209-211.<br />
[Car 1918] CARATHEODORY, C: Vorlesungen uber reelle Funktionen. Teubner,<br />
Leipzig und Berlin, 1918.<br />
[Cech 1937] CECH, E.: On bicompact spaces. Ann. of Math. 38 (1937), 823-<br />
844.<br />
[Dug 1951] DuGUNDJi, J.: An extension of Tietze's theorem. Pacific J. Math.<br />
1 (1951), 353-367.<br />
[Hah 1917] HAHN, H.: Uber halbstetige und unstetige Funktionen. Wiener<br />
Akademie-Berichte 126 (1917), 91-110.<br />
[Kur 1935] KURATOWSKI, C: Sur le prolongement des fonctions continues et<br />
les transformations en polytopes. Fundamenta Math. 24 (1935), 259-268.<br />
[Kur 1938] KURATOWSKI, C: Remarques sur les transformations continues<br />
des espaces metriques. Fundamenta Math. 30 (1938), 48-49.<br />
[Pou 1916] POUSSIN, D. L. v.: Integrales de Lebesgue, Fonctions d'Ensemble,<br />
Classes de Baire. Gauthier-Villars, Paris, 1916.<br />
[Sch 1990] SCHMETS, J.: Simultaneous extension theorems and bornological<br />
Cc{X]E) spaces. Prepubl. Inst. Math. Univ. Liege, 90-004, 19 pp.<br />
[Tie 1915] TiETZE, H.: Uber Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge<br />
stetig sind. J. fiir die reine und angew. Math., 145 (1915), 9-14.<br />
568
Aus dem Nachlafi zur deskriptiven Mengenlehre<br />
Von den etwa 26.000 Blatt des HAUSDORFFschen Nachlasses betreffen mehr<br />
als 1.000 Blatt Themen aus der deskriptiven Mengenlehre. Viele dieser Aufzeichnungen<br />
sind Notizen, die sich HAUSDORFF beim Studium einschlagiger<br />
Arbeiten gemacht hat. Sie dienten vor allem seinem Selbstverstandnis, und es<br />
ware nicht sehr sinnvoU, sie zu publizieren. Wir fanden jedoch auch eine Reihe<br />
von eigenen Studien HAUSDORFFS, die eine Publikation durchaus rechtfertigen.<br />
Diese haben wir nach ihrem Inhalt in Gruppen zusammengefafit. Innerhalb<br />
einer Gruppe folgen auf den Abdruck eines Faszikels unmittelbar unsere Anmerkungen.<br />
Nummern in eckigen Klammern am Rande des HAUSDORFFschen<br />
Textes weisen auf diese Anmerkungen hin. Am Ende der Gruppe folgt ein<br />
ausfiihrlicher Kommentar mit dem zugehorigen Literaturverzeichnis.<br />
Die HAUSDORFFschen Bezeichnungen haben wir beibehalten, auch wenn einige<br />
davon heute aufier Gebrauch sind. Die Liste, die am Beginn dieses Bandes<br />
nach dem Schriftenverzeichnis abgedruckt ist, gibt die Korrespondenz zu den<br />
heutigen Bezeichnungen. Die Orthographic wurde ebenfalls originalgetreu beibehalten,<br />
auch wenn sie zwischen verschiedenen Schreibweisen wechselt, wie<br />
Punktion und Function, speziell und speciell, Teilmenge und Theilmenge usw.<br />
V. Kanovei, P. Koepke<br />
569
1. (55-Operationen<br />
Die Theorie der Js-Operationen ist eng mit HAUSDORFFS Namen verkniipft.<br />
Die Idee dazu kam ihm vermutlich in den Jahren 1922-1923, als er versuchte,<br />
eine gemeinsame Grundlage fiir den Beweis der topologischen Invarianz von<br />
Borel- und Suslinmengen zu finden. (Etwa zur selben Zeit fand KOLMOGOROFF<br />
unabhangig von HAUSDORFF das Konzept der 5s-Operation; s. den Kommentar<br />
am Ende dieses Abschnitts). In publizierter Form erschienen die Grundlagen der<br />
Theorie der (5s-Operationen (HAUSDORFF spricht von (5s-Punktionen) erstmals<br />
in § 18.3 von HAUSDORFFS Mengenlehre ([H 1927a]).<br />
Das Konzept der (5s-Operation fand seine Fortentwicklung in Studien von<br />
KANTOROVITCH und LIVENSON ([KL 1932], [KL 1933]), SIERPINSKI ([Si 1930])<br />
und anderen, vor allem zu Beginn der 30-er Jahre, aber auch noch spater<br />
(z. B. in [Ly 1953]). Das Studium von (5s-Funktionen war ein permanenter Bestandteil<br />
von HAUSDORFFS mathematischen Interessen in den 30-er Jahren.<br />
Der Inhalt dieser Teile des Nachlasses besteht vor allem in Kommentaren und<br />
Analysen zu den wichtigsten einschlagigen Publikationen wie der von KAN-<br />
TOROVITCH/LIVENSON und SIERPINSKI. Im folgenden haben wir funf Noten<br />
aus dem Nachlafi ausgewahlt. Die einzige Publikation HAUSDORFFS liber Ss-<br />
Operationen ([H 1933a]) ist in diesem Band, S. 471-478 abgedruckt und kommentiert;<br />
sie ist gewissen Aspekten der Beziehungen zwischen (5s-Operationen<br />
und Projektionen gewidmet.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 31 : Fasz. 152<br />
[Topologische Invarianz von Mengenklassen]<br />
HS. MS. - [Bonn], 11.6.1921-9.10.1924. - 12 BU.<br />
Von HAUSDORFF zusammengefasste Sammlung; abgedruckt sind hier BU. 5-8.<br />
Topologische Invarianz von Mengenklassen.<br />
30.9.23<br />
Gi, G2, ... sei eine Folge offener Mengen (in einem metrischen Raume P).<br />
Wir bilden hiermit folgende Menge: N = (ni, 77,2,...) sei eine Folge wachsender<br />
[1] natiirhcher Zahlen, ^ eine Menge von Zahlenfolgen N und<br />
^ = S Gn,Gn,Gn, '" = ^(Gi, G2, . . . ) (1)<br />
N<br />
die Menge, die man durch Vereinigung aller Durchschnitte Gn^Gn2 ''' erhalt,<br />
wenn die Zahlenfolge N die Elemente von ^ durchlauft. Das Funktionszeichen<br />
$ ist durch ^ bestimmt; die Menge A hangt ausserdem von den Mengen<br />
Gi, G2, ... ab.<br />
570
[Solche (speziellen) Punctionen $ betrachtet W. Sierpinski, Sur les ensembles<br />
mesurables B, C. R. 171 (1920), p. 24-27. Er giebt sie nicht explicite an, sondern [2]<br />
sagt: jeder Punkt von A = ^(d, G2,. •.) soil unendlich vielen Gn angehoren;<br />
und wenn B = ^{Ti,r2,...) ? x e A, und y eTn fiir jedes n, wofiir x e Gn , so<br />
m<br />
soil y e B sein. Dann hat aber $(Gi, G2,.. •) eben die Form &GniGn2 • " •<br />
N<br />
Denn jedem x e A entspricht eine Folge N = (ni,n2,...) derart, dass x e<br />
Gni Gn2 • • • ; ist ^ die Menge aller N, die so entstehen, so ist A Q A'^ =<br />
m<br />
&GniGn2 '' - Nach der zweiten Bestimmung von S[ierpinski], angewendet auf<br />
N<br />
A = ^(Gi, G2, • •.) I selber, ergiebt sich aber: ist x e A und x e GmGn^ " ' ^ Bl.5v<br />
y 8 Gn^Gn2 •••5 SO soU y ^ A sein, also Gn^Gn^ • • • £ -A, A* ^ A, d.h.<br />
v4* =A]<br />
Die Mengen A sind nun nicht etwa spezieller Art, sondern - in einem Raum<br />
mit abzahlbarer dichter Theilmenge wenigstens - jede Menge ist in dieser Form<br />
darstellbar. Denn ist hier Gi, G2, ... das System aller Umgebungen (resp. ein<br />
abzahlbares damit „gleichwerthiges" System), so entsprechen jedem Punkt x<br />
diejenigen Gn {n = 711,712-,. -. ), die x enthalten, und es besteht GniGn2 ' * •<br />
aus X allein; lasst man A^ — (ni,n2,...) die den Punkten x e A in dieser<br />
Weise entsprechenden Zahlenfolgen durchlaufen, so erhalt man A in der Form<br />
(1) dargestellt.<br />
Specielle Wahl von ^ oder $ bedingt specielle Beschaffenheit von A. So<br />
gehort (naher auszufiihren) zu jeder Ordnungszahl a eine Function $a derart,<br />
dass A = ^Q;(GI, G2,...) alle Borelsche7i Mengen der Klassen ^ a durchlauft,<br />
falls man die Gn alle offenen Mengen durchlaufen lasst. Ferner: bildet man<br />
eineindeutig die natiirlichen Zahlen n = 1,2,... auf die endlichen Complexe<br />
(^1), (^1,^2)5 (^1,^2,^3), •• • natiirlicher Zahlen ab und ordnet diesen offene<br />
Mengen G^y^, Gy^^i^^, ... zu, | so liefert Bl.6<br />
O Gy^ Giy^ y^ G<br />
V-i '^V\t>2^^^1 ^2^3<br />
erstreckt liber alle Zahlenfolgen {1^1,1^2,1^3,- • •) die Sousli7ische7i MengeTi; wahrend<br />
andererseits<br />
die CoTupleTneTite der Sousli7ische7i MengeTi liefert, falls ^1,^2,-•• eine Folge<br />
von Complexen bildet, die von jeder Zahlenfolge (1^1, z^2, • • •) (mindestens)<br />
einen Abschnitt ^ = (1^1,1^2, • • •, ^fc) enthalt, und (Ci, ^2, • • •) alle solchen Complexfolgen<br />
durchlauft (P. Alexandroff, Sur les ensembles complement aires aux<br />
ensembles (A), Fund. math. 4 (1923), S. 160-165; Sur I'invariance topologique [3]<br />
des ensembles complementaires aux ensembles (A), Recueil Math. Moscou 31,<br />
2 (1923), S. 310-318).<br />
[Dies ist sehr einfach zu beweisen. Sei A — &Fy^Fy^y^ • • • eine Souslinsche<br />
Menge, oder eine durch den Souslinschen Process aus den Mengen F^ gebildete<br />
Menge; ^ = (i/i,..., i/;.) durchlauft die endlichen Complexe natiirlicher<br />
Zahlen. G^ = P — F^ sei das Complement von F^ und B = & G^^ G^^ • • • die<br />
571
durch den Alexandroffschen Process gebildete Menge, d. h. zu jeder Zahlenfolge<br />
(z/i, 1/2, • • •) kommt in ^i,^2, • • • ein Abschnitt vor, und ^1,^2, • • • durchlauft<br />
BL6v alle solche Complex- | folgen (7-Ketten, wie sie A[lexandroff] nennt). Dann<br />
ist B = P — A das Complement von A. In der That: x e A heisst: es<br />
giebt mindestens eine Zahlenfolge (z/i, z>'2, • • •) derart, dass fiir jeden Abschnitt<br />
^ = (^1), (^1, ^2)5 • • • von ihr X e F^. y e A heisst also: flir jede Zahlenfolge<br />
(i/i, 2^2,...) giebt es mindestens einen Abschnitt ^ derart, dass y nicht 8 F^ ,<br />
sondern also y e G^. Denkt man sich bei festem y also zu jeder Zahlenfolge<br />
(z/i, z>'2,...) einen (etwa den kleinsten) Abschnitt ^ bestimmt, fiir den y e G^,<br />
so erhalt man eine Folge von Abschnitten ^1,^2, •• • , die eine 7-Kette bilden,<br />
d.h. ye G^^G^^ " ^ V ^ B^ also A ^ B. Und umgekehrt: ist y 8 5 und<br />
y 8 G^^G^^ • • • , so giebt es fiir jede Zahlenfolge (z^i, 1^2, • • •) einen Abschnitt ^<br />
derart, dass y e G^ ^ also nicht y e F^ ^ nicht y e Fy^F^^y^ • • • , nicht y s A:<br />
B ^ A. Demnach B — A. Man kann die Souslinschen Mengen im gewohnlichen<br />
Sinn dadurch erhalten, dass man die F^ abgeschlossen wahlt, die G^ also<br />
offen (aber auch umgekehrt).]<br />
[4] Topologische Invarianz der Form A : Jede mit A = $(Gi, G2, • • •) homoomor-<br />
Bl. 7 phe Menge B (eines metrischen Raumes Q) ist in der Form \ B — ^{Ti^T2^ • •.)<br />
darstellbar, mit derselben Function ^ und mit offenen Mengen F^ des Raumes<br />
Q.<br />
(Satz V. Sierpinski; vgl. die obige Arbeit C. R. 171, wo das Resultat thatsachlich<br />
in dieser allgemeinen Form herausgelesen werden kann, obwohl es sich dort<br />
nur um die den Borelschen Mengen entsprechenden Functionen $ handelt.)<br />
[•••V<br />
Bl.8 I Hieraus folgt die topologische Invarianz der „offenen"! Borelschen Mengen<br />
bestimmter Klasse (jede mit einer Borelschen Menge A der Klasse ^ a<br />
homoomorphe Menge B ist wieder eine solche; ist A genau von der Klasse a,<br />
so auch B. AUerdings machen hier die offenen Mengen G selbst zunachst eine<br />
Ausnahme: man kann G in der Form (1) etwa als G = G1G2 - - - mit Gn = G<br />
darstellen; jede damit homoomorphe Menge ist dann = rir2 • • • , d. h. ein Gs •<br />
Dass einem G wieder ein F entspricht, kann man auch allgemein nicht beweisen<br />
- wenn z.B. P und Q euklid[ische] Raume verschiedener Dim[ensionen]zahl<br />
sind, ist es nicht richtig. Aber mit den Gs sind die Gs homoomorph (S. Ma-<br />
[5] zurkiewicz, Bull. Acad. Sci. Cracovie 1916), mit den Gsa die Gsa usw.).<br />
Ferner die Invarianz der Souslinschen Mengen (von P. Urysohn bemerkt)<br />
und die ihrer Complemente (P. Alexandroff a. a. O.), sowie auch der Mengen,<br />
die man durch wiederholte Anwendung des Souslinschen und Alexandroffschen<br />
Processes erhalt.<br />
Dass auch die „abgeschlossenen" Mengen F^ topologisch invariant sind, ist<br />
[6] damit nicht bewiesen. Es gilt fiir (beschrankte) F, ferner Fa-, F^s (Mazurkie-<br />
^Wir iiberspringen den Beweis des Satzes iiber die topologische Invarianz auf Bl. 7 und<br />
7v, weil er in leicht verbesserter Form in HAUSDORFFS Mengenlehre, § 38, Satze I und II,<br />
572
wicz), FaSa , aber dariiber hinaus ist es fraglich und nur das sicher, dass einem<br />
F^ ein G^+^ entspricht. | BL8v<br />
Das Complement B der Menge A = (1) lasst sich, wenn Gn das Complement<br />
Fn hat, stets so darstellen:<br />
B = KD Fp^Fp^"<br />
p<br />
wenn P — (pi,P2,---) alle endlichen und unendlichen Complexe natiirlicher<br />
Zahlen (die Menge dieser Complexe sei ^) durchlauft, die so beschaffen sind:<br />
jede Folge N = (ni,n2,...) hat mit P mindestens eine Ziffer gemein. In der<br />
That: y e A heisst: fiir kein N = (ni,n2,...) gehort y zu Gn^Gn2 ''' \ f^^<br />
jedes N giebt es eine Ziffer rik (nehmen wit etwa die erste) mit y e Fn,^; diese<br />
rik bilden einen der Complexe P; y e Fp^Fp^ • • • . Also A ^ B, Umgekehrt:<br />
y ^ B heisst: es giebt einen Complex P mit y s Fp^Fp^ • • • ; da jedes N eine<br />
Ziffer mit P gemein hat, kann niemals y e GniGn2 '' * sein; y e A; B ^ A.<br />
Also A das Complement von B. - Man kann dasselbe aus der Darstellung<br />
or<br />
B = ^{FnAFnA"-)<br />
N<br />
durch das distributive Gesetz erkennen.<br />
Die topologische Invarianz der Mengen B, selbst wenn man darin statt der<br />
Fn offene Mengen setzt, ist aber wegen der ev[entuell] endlichen Complexe P<br />
zweifelhaft.<br />
Anmerkungen<br />
[1] HAUSDORFF betrachtet streng wachsende Folgen; s. Anm. [43] zu Mengenlehre.<br />
[2] SiERPiNSKi zeigt in [Si 1920] folgendes (die Notation von Mengenlehre, § 32<br />
zugrunde gelegt): Fiir jedes a > 1 gibt es eine Operation ^Q;(GI, G2, G3,...),<br />
welche, angewendet auf beliebige Folgen offener Mengen Gn, alle Mengen G^<br />
und nur diese liefert. Ferner gilt:<br />
erscheint.<br />
De plus, pour a > 1 nous pouvons supposer la fonction ^a telle que tout<br />
point p qui appartient a I'ensemble E = ^0(^1,^2,^3, -- -), appartient<br />
a una infinite des ensembles Gn . On voit aussi sans peine que si<br />
p-$a(Gi,G2,G3,.--), Q = $a(ri,r2,r3,...)<br />
et si, p etant un point de P, g est un point qui appartient a Tk pour<br />
tout indice k pour lequel p appartient a Gk , alors q est un point de Q.<br />
([Si 1920], S.25.)<br />
573
[3] HAUSDORFF zitiert [Al 1924] und [Al 1923]. Die Angaben zu [Al 1924] sind<br />
nicht korrekt: an Stelle von 4 (1923) mufi es 5 (1924) heiBen; die Seitenangaben<br />
sind korrekt. Es scheint zunachst merkwiirdig, da6 in einem Manuskript<br />
vom 30.9.1923 eine Publikation aus Fundamenta Mathematicae 5 (1924) mit<br />
einer friiheren Jahresangabe zitiert wird (HAUSDORFF war im allgemeinen sehr<br />
korrekt in seinen Zitaten). Vermutlich war es so, dafi das Herbstheft der Fundamenta<br />
von 1923 in den Band 5 (1924) aufgenommen wurde, da Band 4 (1923)<br />
schon recht umfangreich war (es gibt zwei Bande fiir 1924, aber nur je einen<br />
fiir 1923 und 1925). HAUSDORFF hatte die Fundamenta abonniert und bekam<br />
so die Hefte einzeln nach Erscheinen zugeschickt.<br />
Der Briefkontakt zwischen ALEXANDROFF und HAUSDORFF begann im April<br />
1923, der erste personliche Kontakt fand im Juli 1924 statt. Im Briefwechsel<br />
gibt es keinen Hinweis auf ALEXANDROFFS Artikel [Al 1924], welcher laut einer<br />
Fufinote auf S. 165 bereits 1922 fertig war.<br />
[4] In diesem Satz ist es wichtig, dafi die „Basis" OT von ^ aus streng wachsenden<br />
Folgen besteht; s. Anm. [108] zu Mengenlehre.<br />
[5] Beziiglich MAZURKIEWICZ verweist HAUSDORFF hier auf [Ma 1916]. ALE<br />
XANDROFF bewies die Invarianz von co-Suslinmengen in [Al 1924]. HAUS-<br />
DORFFs Hinweis auf URYSOHN beziiglich der Invarianz der Suslinmengen konnte<br />
nicht durch eine Publikation verifiziert werden; vermutlich bezog sich HAUS<br />
DORFF hier auf die Anerkennung, die ALEXANDROFF diesbeziiglich in der Einleitung<br />
von [Al 1924] seinem Preund URYSOHN gezoUt hatte. Wahrscheinlich<br />
war aber schon seit der Entdeckung der Suslinmengen ein viel starkeres Resultat<br />
bekannt, namlich dafi stetige Bilder von Suslinmengen wieder Suslinmengen<br />
sind; s. dazu Anm. [103] zu Mengenlehre.<br />
[6] Das Problem wurde von LAVRENTIEFF in [Lv 1924a], [Lv 1924b] gelost;<br />
s. Satze IV und II* in Mengenlehre, § 38, und die Anmerkungen [111] und [112]<br />
zu Mengenlehre.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 431<br />
[Projektivitat der ^5-Funktionen]<br />
Hs.Ms. - [Bonn], 7.-8.8.1932. - 33 BU. Abgedruckt sind Bll. 12-17.<br />
6s-Funktionen<br />
Al, A2,... sei eine Mengenfolge. Ist P eine (nicht leere) Menge natiirlicher<br />
Zahlen, P = {ni,n2,...} (endlich oder abzahlbar), so sei zur Abktirzung<br />
574<br />
p
^ sei ein (nicht leeres) System solcher Mengen; wir bilden dann<br />
A=&Ap^^{Ai,A2,...).<br />
p<br />
Die von ^ abhangige Funktion $ der Mengen ^1,^2,-- heisst eine 5s-<br />
Funktion dieser Mengenfolge (es werden erst Durchschnitte Ap aus endlich<br />
oder abzahlbar vielen Mengen An, d.h. Mengen A5, sodann eine Summe A^^<br />
aus beliebig vielen Mengen As gebildet).<br />
Beispiele: A = AiAsA^ h A2A4AQ • • • .<br />
Hier besteht ^ aus den zwei Mengen P — {1,3, 5,...}, {2,4,6,...} .<br />
A = {Ai ^ As -\- A^ ,.,) {A2 -\- A4 + AQ ...).<br />
Das giebt entwickelt A = & An-^An^^ iiber alle ungeraden ni und geraden<br />
n\n2<br />
n2 erstreckt; ^ besteht aus den Mengen P = {ni,n2}.<br />
Offenbar ist stets A1A2 •" ^A^ Ai+A2^ . Insbesondere ^{A, A,...) =<br />
A; jede Menge ist 6s-Funktion einer geeigneten Mengenfolge. | Bl. 13<br />
Eine fiir alle Mengenfolgen ^1,^2,... definierte Funktion A = ^{Ai,A2,...)?<br />
wobei A wieder eine Menge und nicht stets =0 ist, heisse analytisch (Kantorovitch<br />
u. Livenson, F. M. 18), wenn fiir jedes Element a und jedes n = 1, 2,... [1]<br />
das Bestehen oder Nichtbestehen von a e An liber das Bestehen oder Nichtbestehen<br />
von ae A entscheidet, oder: ist zugleich B = ^{Bi,B2, • • •) und ist<br />
fiir jedes n gleichzeitig a e An, b e Bn oder gleichzeitig ae An, beBn, so<br />
ist auch gleichzeitig a e A, b e B oder ae A, beB. Das lasst sich auch so<br />
aussprechen: Wenn ae A, beB, so giebt es ein n, wofiir<br />
entweder (a) a e An, b e Bn,<br />
oder ((3) aeAn, b e Bn-<br />
Wenn dabei immer der Fall (oc) eintritt, heisse $ positiv analytisch.<br />
Z. B. ist Ai —A1A2 eine analytische (aber nicht positiv analytische) Funktion<br />
von Ai, A2, As, ... . Denn a e Ai — A1A2 ist gleichbedeutend mit a e Ai,<br />
a e A2', b e Bl — B1B2 ist gleichbedeutend damit, dass wenigstens eine der<br />
Relationen be Bi, be B2 besteht.<br />
Die 6s-Funktionen sind positiv analytisch. Denn zunachst ist A ^ A1A2 - • -<br />
V _ ^<br />
nicht stets 0. Wenn ferner a e &Ap, b e &Bp, I so giebt es ein P mit BL14<br />
a e Ap, wahrend zugleich b e Bp ist; demnach giebt es ein n e P mit be Bn,<br />
wahrend zugleich a e An ist.<br />
Umgekehrt ist jede positiv analytische Funktion A = ^{Ai, A2,...)<br />
eine bs-Funktion.<br />
Zunachst ist ^1^12 • • • i A ^ Ai + A2 H . Denn: sei B = ^{Bi,...) D 0, [2]<br />
beB. Wenn a e A1A2 • • • nicht zu A gehorte, ware fiir ein n ae An {be Bn),<br />
was unmoglich ist. Ferner sei a e A, b irgend ein Element 8 B; dann ist a e An<br />
{be Bn) fiir ein n, also ae Ai-{ .<br />
575
Sei nun ^^ {n = 1,2,... ) das System der P, die die Zahl n enthalten, also<br />
P 8 ^n mit ne P gleichbedeutend. Sei<br />
q3 = $(*Pi,*P2,...)-<br />
Da ^1^2 • • • I^ 0 (dieser Durchschnitt besteht aus der einen Menge {1,2,..,}),<br />
Bl. 15 I so ist ^ D 0; ferner enthalt q}^, ^i+^2H und ^ lauter Elemente P D 0.<br />
Wir behaupten ^ = &Ap.<br />
p<br />
Nennen wir die Summe rechterhand zunachst 5, so ist zu zeigen:<br />
A^S. Sei a e A^ P die Menge aller n, ftir die a e An (P D 0 wegeri<br />
a e Ai -\- A2 -\-' " ), also a e Ap. Ware P e ^, so gabe es ein n mit a e An,<br />
P 8 ^n; aber ae An ist mit n 8 P und P 8 ^n gleichbedeutend. Also P 8 ^,<br />
a e S.<br />
S ^ A. Sei a 8 5, etwa a 8 yip, P 8 ^. Ware ae A, so gabe es ein n mit<br />
a 8 An, P 8 ^n; die letzte Formel fiihrt zu n 8 P und wegen a e Ap ^ An<br />
zum Widerspruch. Also ae A.<br />
Die 6s-Funktion<br />
0<br />
5 = ^(^1,P2,...) = 6^Q<br />
Q<br />
(mit analogen Bezeichnungen wie zuvor: Q D 0 Menge natiirlicher Zahlen,<br />
Q<br />
5Q = S)5n? O ID 0 ein System solcher Q) heisst zur Punktion<br />
n<br />
A = ^AuA2,,..) = &Ap<br />
p<br />
Bl. 16 komplementdr, \ wenn folgendes gilt: sind alle An in einer Menge R (Raum)<br />
[3] enthalten und Bn = R — An, so ist B = R — A.<br />
Die Existenz einer komplementaren 6s-Funktion ^ zu jeder 6s-Funktion<br />
$ ist so zu zeigen. Man erhalt durch Komplementbildung {Bn = R — An,<br />
B = R — A) zunachst die ad-Funktion<br />
P n<br />
Dies B ist eine positiv analytische Funktion von Pi, P2, • • • und daher eine<br />
6s-Funktion. Ubrigens kann man diese sehr leicht angeben: es sei Q eine Menge<br />
natiirlicher Zahlen, die mit jedem P mindestens ein Element gemein hat, QP D<br />
0, und Q das System dieser Q (£} DO, da z.B. Q = {1,2,...} ein solches Q<br />
ist, und jedes Q D 0). Dann ist<br />
n<br />
B = (5BQ.<br />
Q<br />
576
Nennen wir die rechte Seite 5, so ist zu zeigen:<br />
B '^ S. Sei 6 8 JB, also flir jedes P be B^, also flir mindestens ein Element<br />
np e P: b e Bnp- Sei Q die Menge, die von den verschiedenen rip gebildet<br />
wird, so ist beBq, \ QP D 0 flir jedes P, Q e Q, b e S. Bl. 17<br />
5 ^ B. Sei 6 8 5, 6 8 BQ, es giebt also fiir jedes P ein Element np e PQ,<br />
6 8 Bnp g B^ fiir jedes P, beB.<br />
Eine bs-Funktion von bs-Funktionen ist wieder eine 8s-Funktion. [4]<br />
Genauer: A = ^(Ai,A2,...) sei 6s-Funktion und fiir jedes ?7i = 1,2,... sei<br />
Am = ^rn{Ami^Am2, • • •) eine 5s-Funktion. Hierdurch wird A = ^(An, A12,<br />
^421,...) eine Funktion der Mengen-Doppelfolge Amn] sie ist, so wird behauptet,<br />
eine 6s-Funktion. Dazu zeigen wir, dass sie positiv analytisch ist. Sie ist<br />
jedenfalls nicht identisch 0 (alle Amn gleich gesetzt, Amn = C*, giebt Am = C,<br />
A = C). Wird ferner Bm = ^m(^mi,^m2, •^.). ^ = ^(^1,^2,...) =<br />
^(^11, JBI2,-S2I, ...) gesetzt und ist a 8 A, 6 8 JB, SO giebt es ein m mit<br />
a 8 Am^ 6 8 Bm und demnach ein n mit a e Amm ^ ^ Bmn •<br />
Anmerkungen<br />
[1] HAUSDORFF bezieht sich hier auf [KL 1932].<br />
Demnach ist $ analytisch, wenn die Giiltigkeit oder Ungiiltigkeit von a G<br />
A = $(^1,^2,...) voUstandig durch die Menge P{a) = {n : a e An} bestimmt<br />
wird. (Operationen dieser Art werden in [H-AK 1937] und [Ly 1953]<br />
mengentheoretische Operationen genannt.) Sei ^ = V{^) das System aller<br />
Mengen P, so daB P{a) = P die Inklusion a G ^{Ai,A2,...) impliziert.<br />
(Alternativ, ^{^) = ^jP^} , wo Bn = {P Q^ i n e P}.) Dann ist offenbar<br />
WO<br />
Af =<br />
^{An} = {aeX:P{a)e^}= \J fj ^n , U)<br />
An wenn n ^ P<br />
An = X \ An , das Komplement, wenn n ^ P<br />
und X ist irgendeine feste Menge mit Un ^'^ — ^ • -^^^^ ^^^ ^^^ allgemeine<br />
Form einer analytischen (nicht notwendig positiv analytischen) Operation $<br />
mit der Basis ^.<br />
Die Operation ist positiv genau dann, wenn die Implikation a ^ A => 6 G A<br />
mit P{a) C P(6) gleichbedeutend ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung<br />
fiir Positivitat ist die Erblichkeit der Basis ^, d. h. es gilt P G ^==>Q G ^<br />
genau dann, wenn P C Q C N ist.<br />
6s-Operationen sind dagegen folgendermafien definiert:<br />
^v{^n} = &Ap= \J f]An, WO Ap=f]An. (2)<br />
^ Pe'^n.eP n&P<br />
577
Wenn ^ erblich ist, dann ist (1) aquivalent zu (2). Andererseits ist ^^3 = $^,<br />
wobei ^ = {QCN:3PG^(PCQ)} (die vollstandige Basis) erblich ist.<br />
Folglich sind, wie HAUSDORFF auf der nachsten Seite zeigt, 6s-Operationen (2)<br />
und positiv analytische Operationen ein und dasselbe.<br />
HAUSDORFF betrachtet gewohnlich nur Operationen mit N als Indexmenge.<br />
Die Indexmenge kann aber jede hochstens abzahlbare Menge / sein; die Basen<br />
^ bestehen dann aus Teilmengen von / und die Operationen $
M M ^^<br />
Mengen D /i (/i 8 M), so ist ^A^ = ^A^\ M heisse die Maximalbasis fiir [1]<br />
^. 1st Dm das System aller u (c A), die m enthalten, so ist D^ = H^rn<br />
das System aller ly D fi^ also<br />
SoUen $, ^ (zu M, iV gehorig) identisch, d.h. fiir jedes Mengensystem Am<br />
^{Am) = "^{Am) sein, so ergiebt sich fiir Am, = Dm - M = N als notwendige<br />
und hinreichende Bedingung.<br />
Die entsprehende „komplemeiitare" analytische Funktion (dd-Funktion)<br />
M fi<br />
^{Am) = l[A>', A'' = Y,Am<br />
/J, m<br />
lasst sich in der urspriinglichen Form (6s-Funktion)<br />
AT<br />
^{Am)=J2^-<br />
I ausdriicken, wo u das System N der Mengen durchlauft, die mit jedem fi e M Bl. iv<br />
nichtleeren Durchschnitt haben. Hier ist bereits N = N die Maximalbasis fiir<br />
^.<br />
Wann ist fiir jedes Mengensystem ^21 C ^21? (^, ^ zu M, AT gehorig; $21 [2]<br />
das aus ^(Am) fiir Am e 21 entstehende Mengensystem).<br />
Antwort: dann und nur dann, wenn N = (p{M). Hier bedeutet ^{m) eine [3]<br />
eindeutige Abbildung von A in sich, (/?(//) das Bild von fi (Menge aller Bilder<br />
(fi{m) fiir me fi), ^{^) das Bild von M (Menge aller Bilder (^(/i) fiir fxe M).<br />
N _<br />
Beweis. Fiir das System 1) der Mengen Dm soil "^{Dm) = XI ^^ ~ ^ ^^^^<br />
M<br />
Menge aus $2), d. h. von der Form J2 ^M ^^i^' ^^ ^^ ^ ^' d- ^- ^^ "= ^(^(m)•<br />
At<br />
D(p(m) ist die Menge der z/, die (f{m) enthalten, ^/x = 11 ^^{m) die Menge der<br />
m<br />
M M ^<br />
V, die (/?(/i) enthalten, sodass (y?(//) 8 ^^ und (^(M) = X^ (/p(/i) C X] A^ = iV;<br />
also (/?(M) C N = N; andererseits ist N C ^^(M), denn v e N = Y1A,_,<br />
bedeutet, dass es ein fi gibt mit u e A^, d.h. z/ D ^(/i), also z/ 8 (f{M).<br />
Demnach ist N — (p{M) notwendig. | Diese Bedingung ist auch hinreichend, Bl. 2<br />
N<br />
denn dann ist fiir jedes Mengensystem 21 mit Am e 21 : ^(^m) = Z]^^ —<br />
579<br />
m
und es sei<br />
^(-^j ^ / ^ / ^ ^iJi^ •) -^MC ^^ -^mixi ' •t^miXim2X2 ' ' ' ' .<br />
Nun definieren wir<br />
^muk^kiO = ^rufc, falls ^k der k. Abschnitt von ^ ist,<br />
^fj'kVkiO = ^k-j-\-i, falls rjk 7^ ^fc und j die erste DifFerenzstelle zwischen<br />
^k und r)k ist (1 ^ j ^ k).<br />
Fiir diese B = B{^) gilt:<br />
Ist /i 8 M^, so ist stets JB^^^^ = Am,,, ^^^^ = Am^Am^ -•' = A^.<br />
Ist /i 8 Mr,, T] ^ ^, so ist {j die erste Differenzstelle zwischen ^ und 77)<br />
fiir k^j B,,^rik = ^fc-i+i , ^/.r/ C f] ^fc-^+i = A1A2A3 • • • .<br />
Demnach ist<br />
und hier ist das zweite died C A1A2AS ... , also in jedem A^ enthalten, das<br />
erste = Yl ^M. also ^(^) := ^l A^ = ^^{A). Q. e. d.<br />
Anmerkungen<br />
[1] ^21 ist das System aller Mengen, welche durch Anwendung der Punktion<br />
^ auf Folgen von Mengen aus 21 entstehen. Die Inklusion C bedeutet hier C .<br />
J2 bezeichnet hier die Vereinigung belrebiger Mengen (und nicht notwendig<br />
paarweise disjunkter).<br />
[2] HAUSDORFF bezieht sich hier auf [Si 1930].<br />
[3] Die Indexmenge von ^ als einer 6s-Operation besteht aus alien Paaren<br />
der Form (fik^^k) (offensichtlich hat man davon nur abzahlbar viele). Die<br />
Basis besteht aus Mengen der Form {{fi\k,^\k) : k > 1}, wo ^ G \^^ und<br />
/i G M^ (auch eine Folge in h\^) ist. HAUSDORFF zeigt folgendes: Ist A ~<br />
^^(^1, ^2,...) ? dann kann man A auch erhalten, indem man ^ auf ein umgeordnetes<br />
System derselben Mengen Ak mit passend geanderten Indizes anwendet.<br />
581
NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 437<br />
Abkiirzung der Existenzbeweise, Mengenl[ehre] § 33<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 12.12.1935. - 2 BU.^<br />
Abkiirzung der Existenzbeweise, Mengenl. § 33.<br />
12/12 35<br />
M M<br />
Es sei ^{Am) = ^A^ = ^Am^Am^ •'' eine 6s-Funktion (/i == (mi,m2,...)<br />
durchlauft eine Menge M im Baireschen Nullraum /). il = (t/i, /72,...) sei eine<br />
Folge von Mengen ebenfalls in /. Jede Menge aus $il hat die Form ^(^4^)<br />
mit Am e it, d.h. Am = Ux^i wo ^ = (xi,a:2,...) eine Folge natiirlicher<br />
[1] Zahlen ist; wir schreiben sie demgemass<br />
M /i<br />
M A;<br />
Da ^ und ^4^ im selben Raum / liegen, kann die Menge A — E [^^ A^]<br />
gebildet werden. Es ist<br />
M ^i M fi M /J.<br />
^ ^ k IJi k ^ iJb k<br />
(dieselbe ^-Funktion wie oben), wobei<br />
^ ^ k k<br />
•^ km ^^ fv i^m ^^^ ^J 5<br />
da Xm stetige Funktion von ^ ist, ist Fkm abgeschlossen. I — A ist nicht in<br />
^il enthalten, da [^ e A^] = [^ e A] =^ [^ e I - A] und also I - A ^^ A^ fiir<br />
B1.2 jedes ^. I<br />
Bildet il eine Basis der offenen Mengen in /, so sind die Bm Borelsche<br />
Mengen. Stellt $ genau die analytischen Mengen dar, so ist auch A analytisch,<br />
I — A nicht, A nicht Borelsch. Stellt ^ genau die Borelschen Mengen<br />
G, G(5, Gsa, • • • 5 GA, ... dar, so ist A und I — A Borelsch, aber I — A kein<br />
Gx. - Die Borelschen Mengen in ihrer Gesamtheit kann ^ nicht darstellen, da<br />
sonst I — A Borelsch und doch e $il sein miisste.<br />
Wenn E voUstandig ist und sein perfekter Kern 7^ 0, so enthalt E die Menge<br />
I topologisch. Auch E enthalt dann Borelsche Mengen, die genau von beliebig<br />
hoher Klasse sind, und analytische nicht-Borelsche Mengen.<br />
^Vor dem Datum hat HAUSDORFF mit andersfarbenem Stift notiert: Diagonalverf.<br />
582
Anmerkungen<br />
[1] Die Idee hinter der Definition von ^4^ ist folgende: Die Menge aller Paare<br />
(^, z) mit ^ G N'^ und z ^ A^ ist eine universelle ^2l-Menge.<br />
Kommentare<br />
KANTOROVITCH und LIVENSON haben in ihrem grundlegenden Memoir on<br />
the analytical operations and projective sets ([KL 1932]) zur Geschichte dieser<br />
Operationen folgendes bemerkt:<br />
The first known (not elementary) analytical operation was (A )-operation<br />
of SOUSLIN. Then in 1927 Mr. HAUSDORFF and independently of him<br />
Mr. KOLMOGOROFF introduced a very wide class of analytical operations,<br />
called by Mr. HAUSDORFF bs-operations. ([KL 1932], S. 216.)<br />
Dazu seien einige Anmerkungen erlaubt. Nach allem, was wir wissen, kann<br />
HAUSDORFFS Studium von 6s-Operationen bis zu dem oben abgedruckten Faszikel<br />
152 vom 30.9.1923 zuriickverfolgt werden. Die Kerneigenschaft dieser<br />
Klasse von Operationen, namlich dafi es nur von der Menge {n i x ^ Xn}<br />
abhangt, ob x G $(Xi,X2,...) ist, wurde bereits etwas frliher von SiER-<br />
PINSKI fiir Operationen beobachtet und herausgestellt, die in natiirlicher Weise<br />
mit den Borelschen Klassen zusammenhangen (s. Anm. [2] zu Fasz. 152). HAUS<br />
DORFFS friihe Studien liber 6s-Funktionen finden ihre Fortsetzung in Fasz. 160<br />
vom 9.4.1924, in dem Resultate enthalten sind, die den Satzen I und H des<br />
§ 18 der Mengenlehre entsprechen. Andererseits taucht die allgemeine Idee der<br />
6s-Operation in der Vorlesung Mengenlehre und Theorie der reellen Funktionen<br />
vom Wintersemester 1921/22 (Fasz. 42) noch nicht auf, obwohl dort Borelmengen<br />
und die SuSLiNsche A-Operation betrachtet werden. Diese Vorlesung war<br />
ein Vorlaufer des Buches Mengenlehre (s. dazu die historische Einfiihrung am<br />
Beginn dieses Bandes). Somit kann man den Zeitraum, in dem HAUSDORFF die<br />
6s-Operationen entdeckt hat, auf die Jahre 1922-1923 eingrenzen.<br />
Zu Beginn der 20-er Jahre wurden die 6s-Operationen unabhangig von HAUS-<br />
DORFF auch von KOLMOGOROFF entdeckt, damals studentisches Mitglied der<br />
Moskauer mengentheoretischen Arbeitsgruppe unter LusiN.'^ KOLMOGOROFFS<br />
Manuskript datiert vom Januar und Februar 1922. Veroffentlicht wurde es teilweise<br />
in [Km 1928] und teilweise erst kiirzlich in KOLMOGOROFFs Gesammelten<br />
Werken ([Km 1928/1993]).^ KOLMOGOROFF entdeckte insbesondere, dafi<br />
die Kategorie der 6s-Operationen abgeschlossen gegeniiber Superposition und<br />
^Es ist vielleicht den Schwierigkeiten der internationalen wissenschaftlichen Kommunikation<br />
mit der Sowjetunion in den 20-er und vor allem in den 30-er Jahren geschuldet, da6<br />
HAUSDORFF KOLMOGOROFFS Note [Km 1928] nicht in seiner Publikation [H 1933a] und auch<br />
nie in seinen Studien im Nachlafi erwahnt hat.<br />
^Dieser zweite Teil der KOLMOGOROFFschen Studien enthalt unter anderem die Definition<br />
der R-Transformation. Dieser Teil war in Manuskriptform sowohl KANTOROVITCH und<br />
LIVENSON als auch LYAPUNOV zuganglich.<br />
583
Komplementbildung ist. Diese Tatsache ist in HAUSDORFFS Mengenlehre nur<br />
implizit enthalten und liegt dort dem Beweis zugrunde (in § 18.3), dafi es fiir<br />
jede Klasse K der Borelschen Hierarchie eine 6s-Operation mit einer Borel-<br />
Basis gibt, die angewendet auf abzahlbare Folgen abgeschlossener Mengen alle<br />
Mengen von K und nur diese liefert.<br />
Der Terminus "6s-Operation" selbst kommt vor dem Erscheinen der Mengenlehre<br />
im Jahre 1927 weder in HAUSDORFFS nachgelassenen Manuskripten<br />
noch sonst irgendwo vor. Mittlerweile sind die 6s-Operationen auch unter dem<br />
Namen „Hausdorff operations" bekannt; dies geht auf SlERPlNSKi zuriick, der<br />
in [Si 1930] von „operations de M. HausdorfF" gesprochen hatte. HAUSDORFF<br />
wiederum hatte erwogen, sie im Hinblick auf [Si 1920] nach SlERPlNSKi zu benennen<br />
(s. dazu [H 1933a]). Allerdings kommen die 6s-Operationen in [Si 1920]<br />
nicht explizit vor. Vom historischen Standpunkt aus sollten diese Operationen<br />
Hausdorff-Kolmogorojf- Operationen heissen.<br />
Fasz. 431 ist eine gut geschriebene kurze Einfiihrung in die Thematik der<br />
6s-Operationen und konnte eine Erweiterung von § 18.3 der Mengenlehre darstellen.<br />
Die Note schliefit Satze liber Superposition und die komplementare<br />
Operation ein und behandelt die Beziehungen zwischen 6s-Operationen und<br />
analytischen Operationen. HAUSDORFFS Hauptquelle war vermutlich das "Memoir"<br />
[KL 1932] von KANTOROVITCH/LIVENSON. Er hat jedoch eine grofie Arbeit<br />
geleistet, um die manchmal vage Darstellung in [KL 1932] zu verbessern<br />
und durchsichtiger zu gestalten. Die folgende Besonderheit verschafft Fasz. 426<br />
(abgedruckt weiter unten unter Punkt 5.) und weiteren einschlagigen Noten<br />
HAUSDORFFS einen bemerkenswerten technischen Vorteil: Bei ihm bestehen<br />
die Basen von analytischen oder von 5s-Operationen aus Mengen von natiirhchen<br />
Zahlen anstatt aus unendhchen Folgen von natiirlichen Zahlen (oder aus<br />
irrationalen Zahlen, die solchen Folgen entsprechen, wie in [KL 1932]).<br />
In Fasz. 438 wird untersucht, wann eine 6s-Operation $ starker als eine andere<br />
5s-Operation ^ ist in dem Sinne, dafi ^21 C $21 fiir jedes Mengensystem<br />
21 gilt. Es wird eine einfache notwendige und hinreichende Bedingung dafiir<br />
angegeben. Fasz. 435 enthalt eine Verbesserung des Beweises von SlERPlNSKi<br />
(publiziert in [Si 1930]), dafi fiir jede Menge F von 6s-Operationen (mit Indexmenge<br />
N), welche die Machtigkeit des Kontinuums hat, eine 6s-Operation<br />
existiert, welche starker ist als alle Operationen in F.<br />
Schliefilich beweist HAUSDORFF in Fasz. 437 folgendes: Ist il eine abzahlbare<br />
Basis des Baireschen Raumes N*^ und $ irgendeine 6s-Operation (mit abzahlbarer<br />
Indexmenge), dann gestattet die Klasse ^il eine Universalmenge^ d. h. es<br />
gibt eine Menge W C N^ x N^ in ^il, so dafi jede Menge X C N^ der Klasse<br />
$il die Form X = Wx = {y • {x,y) ^ Wm} hat mit einem geeigneten x G iNl"^.<br />
In diesem Fall zeigt CANTORS Diagonalargument, dafi A = {x : x ^ Wx} eine<br />
"echte" Menge in $il ist, d. h. A gehort zu $il, aber nicht zur komplementaren<br />
Klasse. Dies ist eine wesentliche Abkiirzung der Argumentation in<br />
§ 33 der Mengenlehre (wo C die RoUe von N spielt). Eine weitgehend ahnliche<br />
Konstruktion hat KOLMOGOROFF in [Km 1928] vorgeschlagen.<br />
Die 6s-Operationen sind in der Mengenlehre immer ein Gegenstand von ei-<br />
584
nigem Interesse gewesen. Wir werden hier kurz einzelne besondere Ergebnisse<br />
angeben (in [Ka 1988] wird ein vollstandigerer Uberblick gegeben).<br />
Verallgemeinerte Quantoren. Wenn / irgendeine festgehaltene Indexmenge<br />
ist und Q C
veroffentlicht worden (s.einige diesbeziigliche Bemerkungen in [Ka 1988], §6).<br />
Abzahlbar determinierte Mengen. Eine sehr fruchtbare moderne Anwendung<br />
von 5s-Operationen hat man in der Nichtstandard-Analysis gefunden. In diesem<br />
Zweig der Mathematik betrachtet man extrem nichtseparable Raume mit einer<br />
Borelstruktur, welche durch ein System von internen Mengen erzeugt wird. Von<br />
letzteren nimmt man gewohnlich an, da6 sie die Eigenschaft der abzdhlbaren<br />
Saturiertheit besitzen. In diesem Fall werden die Mengen der Form ^{XnjnetN ,<br />
wo alle Xn interne Mengen sind und $ eine 6s-Operation ist, abzahlbar determinierte<br />
Mengen genannt. Diese Familie enthalt alle Borelmengen und gestattet<br />
eine Reihe tiefer und nichttrivialer Theoreme (s. [KKML 1989], und vom<br />
Standpunkt der axiomatischen Nichtstandard-Analysis [KR 2004]). Es sei noch<br />
angemerkt, dafi das System der abzahlbar determinierten Mengen in IR oder<br />
in jedem beliebigen anderen polnischen Raum mit dem aller Teilmengen des<br />
Raumes zusammenfallt, eben well $ eine beliebige 6s-Operation ist.<br />
Literatur<br />
[Al 1923] ALEXANDROFF, P.: Sur Vinvariance topologique des ensembles<br />
complementaires aux ensembles (A)^ Recueil Mathematique de la Societe<br />
Math, de Moscou (MaxeMaTHMecKHH C6OPHHK), 31 (1923), S. 310-318.<br />
[Al 1924] ALEXANDROFF, P.: Sur les ensembles complementaires aux ensembles<br />
(A), Fund, math., 5 (1924), S. 160-165.<br />
[Bu 1982] BURGESS, J.: What are R-sets, in: Patras Logic Symposion, Patras<br />
1980 (G. METAKIDES, ed.). Stud. Logic Found. Math. 109, North-<br />
Holland, 1982, S. 307-324.<br />
[Bu 1983] BURGESS, J.: Classical hierarchies from modern standpoint^ Fund.<br />
Math., 115 (1983), S. 81-105.<br />
[Ka 1988] KANOVEI, V.: Kolmogorov^s ideas in the theory of operations on<br />
sets, Russian Math. Surveys, 43 (1988, 6), S. 111-155.<br />
[KR 2004] KANOVEI, V., REEKEN, M.: Nonstandard Analysis: Axiomatically,<br />
Springer, 2004.<br />
[KL 1932] KANTOROVITCH, L.; LIVENSON, E. : Memoir on the analytical<br />
operations and projective sets, /, Fund. Math., 18 (1932), S. 214-279.<br />
[KL 1933] KANTOROVITCH, L.; LIVENSON, E. : Memoir on the analytical<br />
operations and projective sets, II, Fund. Math., 20 (1933), S. 54-97.<br />
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.<br />
[KKML 1989] KEISLER, H.; KUNEN,K.; MILLER, A.; LETH,S.: Descriptive<br />
set theory over hyperfinite sets, J. Symbolic Logic 56 (1989), S. 1167-1180.<br />
586
[Km-1928] KOLMOGOROFF, A.: Operations sur des ensembles (Russisch),<br />
Matem. Sb., 35 (1928), S. 414-422. (Das Manuskript datiert vom Januar<br />
1922.)<br />
[Km 1928/1993] KOLMOGOROFF, A.: On operations on sets, II, in: Selected<br />
Works of A. N. Kolmogorov, Vol. Ill: Information Theory and the Theory<br />
of Algorithms (A. SHIRYAEV, ed.), Kluwer, 1993, S. 266-274. (Das<br />
Manuskript datiert vom Februar 1922.)<br />
[Lv 1924a] LAVRENTIEFF, M. : Sur la recherche des ensembles homeomorphes,<br />
C. r. Acad. sci. Paris, 178 (1924), S. 187 - 190.<br />
[Lv 1924b] LAVRENTIEFF, M. : Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes,<br />
Fund. Math., 6 (1924), S. 149-160.<br />
[Ly 1953] LYAPUNOV, A.: R-sets (Russian), Trudy Mat. Inst. Steklov, 40<br />
(1953), S. 1-68.<br />
[Ma 1916] MAZURKIEWICZ, S.: Uber Borelsche Mengen, Bull. Acad. Sci.<br />
Cracowie, 2 (1916), S. 490-494.<br />
[Si 1920] SlERPiNSKi, W.: Sur les ensembles mesurables B, C. r. Acad. sci.<br />
Paris, 171 (1920), S. 24-26.<br />
[Si 1930] SiERPiNSKi, W.: Sur une propriete des operations de M. Hausdorff,<br />
Fund. Math., 16 (1930), S. 1-6.<br />
[H-AK 1937] XAYC^IOP^, ^.: Teopu^ Muootcecme, M. OHTM, 1937. (Russische<br />
Ubersetzung von „Mengenlehre^\ s.dazu Punkt 6. der historischen<br />
Einfiihrung am Beginn dieses Bandes.)<br />
587
2. Mengensysteme, Borelmengen, Trennbarkeit<br />
Neben den 6s-Operationen (s. o. Abschnitt 1.) und den reduziblen Mengen (s. u.<br />
Abschnitt 4., ferner Band II dieser Edition, S. 782-784) gab es im Themenbereich<br />
der abzahlbaren Borel-Operationen und deren Wirkung auf Mengenfamilien<br />
einige Richtungen, flir die sich HAUSDORFF besonders interessierte; dies<br />
sind<br />
1) Struktur von Borelklassen liber einem gegebenen Mengensystem;<br />
2) Trennbarkeit und multiple Trennbarkeit;<br />
3) die Natur der Operationen des oberen und unteren Limes.<br />
Diese Themen sind vor allem in seinem Nachlafi prasent, wahrend sie sich in<br />
seinen Biichern Grundzilge der Mengenlehre und Mengenlehre kaum finden.<br />
Um dies ein wenig auszugleichen, wird im folgenden eine Reihe von interessanten<br />
Noten aus dem Nachlafi abgedruckt. Wir beginnen mit Fasz.662, in<br />
dem die Unterschiede zwischen verschiedenen Konstruktionen der Borelschen<br />
Hierarchic erklart werden. Zwei kurze Noten, ein Auszug aus Fasz. 1002 und<br />
Fasz. 468 werfen verschiedene Fragen im Hinblick auf die Struktur von Borelmengen<br />
und Baireschen Funktionen auf; im Kommentar versuchen wir einige<br />
dieser Fragen zu beantworten. Im Fasz. 1064 zeigt HAUSDORFF, dafi Trennbarkeit<br />
und einige andere Phanomene, die man flir Borelklassen in polnischen<br />
Raumen entdeckt hatte, in Wirklichkeit einen viel allgemeineren Charakter besitzen.<br />
Fasz. 633 zeigt, dafi, obwohl in einigen wichtigen Fallen die Operation<br />
lim dieselbe Starke wie die Kombination ab hat, es Mengenringe gibt, deren<br />
lim-Erweiterung ein echter Teil der a6-Erweiterung und nicht einmal ein<br />
Ring ist. Schliefilich enthalt Fasz. 425 ein wichtiges Resultat in Richtung der<br />
Untersuchungen in Mengenlehre, §41: die lim-Erweiterung eines vollstandigen<br />
Funktionensystems (9Jl, ^) (wo SDT und ^ komplementare Mengenringe sind),<br />
ist gleich dem System (SDts, *); dies hat einige bemerkenswerte Konsequenzen.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 41 : Fasz. 662<br />
Borelsche Mengen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936 - Marz 1938]. - 3 BU.^<br />
Borelsche Mengen. F^ = F die abgeschlossenen, G^ = G die offenen Mengen<br />
[1] des Raumes X; F'J ^ JJG^^ , G"^ = X)^^" Un < rj) flir r/ > 0. H^ die<br />
n n<br />
Mengen, die zugleich F^, G^ sind.<br />
[2] (F^), {G^) sind komplementare Ringe, {H^) ein Korper.<br />
^HAUSDORFF hat liber der Uberschrift „Borelsche Mengen" notiert: Zu Lusin, Legons sur<br />
les ensembles analytiques (Paris 1930)<br />
588
(F«) = (F|) ein 6-Ring, (G^) = (G|) ein a-Ring.<br />
Fiir ry > 0 ist<br />
(F«) + (G«) C (if") (C < 7?)<br />
(F«+i) = (G«), (G«+i) = (F«).<br />
{H^,) = iF^), {H2) = {G% TO = (//"). (a)<br />
Beweis: fiir 77 = ^ + 1 ist (if«+^) = {F$){GI) ; hierausfolgt (F«) C (i/«+^) C<br />
(F|), also (F|) = (if«+i) = (G«+i).<br />
Fiir eine Limeszahl r/ sei (L^) = ^ (^^) oder [3]<br />
^
Anmerkungen<br />
[1] Die Gleichung F^ = f] G^" bedeutet, dafi F^ die Klasse aller Mengen<br />
n<br />
ist, welche abzahlbare Durchschnitte von Mengen aus den Klassen G^, ^ < rj<br />
sind. Die Formel G^ = ^ F^"^ hat eine analoge Bedeutung. Die so definierten<br />
n<br />
Klassen F^, G^ stimmen nicht mit denen in Mengenlehre, § 32 iiberein; s. dazu<br />
den am SchluB dieses Abschnitts folgenden Kommentar.<br />
[2] Mit (F^) wird die Gesamtheit der Mengen F^ bezeichnet, analog fiir (G^)<br />
usw. Zur Erklarung der hier und im folgenden benutzten Indizes s, a, ^, A:<br />
Die Indizes § und
Menge 1. Kategorie F^; d.h. f{x\A) ist in den Punkten von A — F^j stetig.<br />
AUe Baire'schen Functionen aber haben die Eigenschaft, dass f{x\A — Fcy)<br />
stetig ist, F(j Menge 1. Kat[egorie]. Da fehlen die Zwischenstufen.)<br />
2) Eine nirgendsdichte Menge D 0 ist kein G. Eine Menge 1. Kat[egorie],<br />
die dicht ist, ist kein Gs- Kann man weiter von gewissen Mengen sagen, dass<br />
sie kein Gsa sind? (Baire hat eine solche angegeben: die Menge der Ket- [2]<br />
tenbriiche x = (a:i,X2,...) mit 11mXn — oo.) Ich versuchte es so: wenn<br />
A = 'D{Ai,A2,...), Ai ^ A2 ^ ..., An in Bezug auf sich iiberall von<br />
2. Kat[egorie], aber in Bezug auf An-i von 1. Kat[egorie], und A dicht ist, so<br />
ist A kein Gsa- Aber der Beweis steht noch aus; und wie soUte das weitergehen,<br />
zu Mengen, die keine GsaS sind?<br />
Anmerkungen<br />
[1] Die BAiREschen Satze uber Funktionen der ersten Klasse ([Ba 1899]) sind<br />
im § 42 der Mengenlehre enthalten.<br />
[2] BAIRE zeigte in [Ba 1909], dafi die Menge aller x G N"^ mit x{n) -^ 00<br />
eine echte F(js -Menge ist (d. h., sie ist keine Gscj-Menge). Dariiber hinaus gab<br />
BAIRE eine ziemhch allgemeine Konstruktion echter Fo-6 -Mengen in Hsl'^ : Jede<br />
Menge der Form P = fl/e Uni...nfc ^^i.-.n^, wo die Pm...nk perfekte Teilmengen<br />
von N"^ sind mit Pm...nk ^ Pmi...mk = 0^ wenn rrii ^ rii flir mindestens ein<br />
i und wo jedes Qni...nk = Unfc+i Pni...nknk+i ^iue dichte magere Teilmenge<br />
von Pni...nk ist, ist eine echte FCT6-Menge. In diesem Fall sind die Mengen<br />
^k = Uni...nfe Pni...nk offcubar magcr in bezug auf sich selbst entgegen HAUS-<br />
DORFFs Vermutung.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 37 : Fasz. 468<br />
[Spezielle Mengen im Baireschen NuUraum]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl.1930 - Febr. 1934]. - 1 Bl.<br />
I sei die Menge der Irrationalzahlen zwischen 0 und 1, in Kettenbruchdarstellung:<br />
x = (^1, ^2, • • •) (= ^ + TT- H ); ^n natiirliche Zahlen. Die Menge<br />
iJ^ der X, flir die ^^ = /c, ist (in /) gleichzeitig offen und abgeschlossen.<br />
A^ = linin H!^ ist die Menge der x, fiir die unendlich oft ^n = k, d. h. die eine<br />
konstante Teilfolge ^m = ^n2 = • • • = k enthalten. Ak ist ein Gs (als<br />
oberer Limes von G : Gsigmab = G3.)<br />
A = &A'^ ist die Menge der x, die liberhaupt (mindestens) eine konstante<br />
k<br />
Teilfolge enthalten; das ist ein Gsa- I — A ist die Menge der x mit<br />
^n -^ 00; ein FCJS. Nach Baire ist diese Menge kein Gsa, also A kein<br />
Fas-<br />
591
A* = lim/c A^ ist die Menge der x, die unendlich viele (verschiedene) konstante<br />
Teilfolgen enthalten. Das ist ein Gs^js (als oberer Limes von Mengen<br />
[1] Gs ). Nach Keldych ist es kein Fo-6a (Zitat bei Lusin).<br />
Wie konnte man weitergehen? a = (0^1,0^2, • • •) sei eine Irrationalzahl; Hn{cL)<br />
= Menge der x mit ^n > ctn^ L{a) = limiJr>(a) Menge der x, fiir die final<br />
Bl.lv X > a (d.h. schliesslich ^n > ai, > a2, ...<br />
k<br />
sind (fiir ak = {k,k,...) ist das die Menge der x mit ^n -^ +00); L{a) ist ein<br />
[2] F(j, ^L{ak) ein F^s (und wahrscheinlich kein Gsa wie im Baireschen Fall).<br />
k<br />
Sei A — (ai, a2,.. •), so schreiben wir L{A) = ^L{ak). Nun konnte man eine<br />
k<br />
Folge solcher Folgen nehmen: Aj, und limjL(74^) bilden, welches ein Fo-6a6<br />
ist; kann man erreichen, dass es kein GsaSa ist? Also lim^ ^L{ajk).<br />
k<br />
Oder: l^MjliMk^i^^jk) ist ein Fcr6a6a; diesen Prozess konnte man fortsetzen:<br />
lim^ lim^ lim;. L(aijh) ein Fo-6a6a6o-•<br />
Anmerkungen<br />
[1] HAUSDORFFS Hinweis auf KELDYSH (in den 30-er Jahren war die Transliteration<br />
gewohnlich KELDYCH) beziiglich der Menge A* ist wahrscheinlich<br />
dem Abschnitt iiber "arithmetische Definitionen" von Borelmengen in Kapitel<br />
II von LusiNs Legons sur les ensembles analytiques ([Lu 1930b]) entnommen.<br />
KELDYSHS eigene Darstellung findet sich in [Kl 1944].<br />
[2] Zum „Baireschen Fall" s. Anm. [2] zu Fasz. 1002.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 1064<br />
[Konstruktion verschiedener Mengenkorper, Trennung]<br />
Hs. Ms. - Schlofi Hornegg, Gundelsheim, 25.3.1931. - 3 Bll.A-4.<br />
Schloss Hornegg, den 25.3. 31<br />
Der Raum E sei eine reine Menge. Die im Folg[enden] betrachteten Mengen<br />
seien ^ E". Es ist<br />
l±m An • lim^n = l±m A^Bn ^ lim AnBn ^ lim An • lim^n ;<br />
wenn also lim An = A, lim^n = B existiert, so auch llmAnBn = AB.<br />
Ebenso, da auch l±m{E — Bn) = E-B, lim (An - AnBn) = A — AB. Ebenso<br />
l±m{An + Bn) =A^B.<br />
Fiir die Folge Ci, C2,... = ^1,^1,^2, B2,... ist<br />
lim Cn = lim An ' lim Bn 1 1 im Cn — 1 im An<br />
592
wenn lim^n = lim^n — C existiert, so auch 1 imCn = C.<br />
Sei Ai ^ ^2 ^ ... . Unter<br />
5 = Ai - ^2 + ^3 - -A4 + • • • (1)<br />
verstehen wir den als existierend angenommeneii Limes samtlicher Partialsummen<br />
B2n = {Ai - A2) + (A3 - ^4) + • • • + {A2n-1 " A2n)]<br />
B2n+1 = (Ai - A2) + (A3 - A4) + • • • + [A2n-1 " A2n) + A2n+1 •<br />
Da B2 Q B4 ^ ... und JBI 2 ^3 2 ... , so existieren jedenfalls l±mB2n =<br />
l±mB2n-{-i' Zur Existenz von l±mBn ist die Gleichheit dieser beiden notwendig<br />
und hinreichend, also wegen B2n-\-i — ^2n = A2n-\-i das Verschwinden von<br />
lim A2n+i (= AiAs ...)^l±m An {= A1A2A3 ...) •<br />
Die Mengen M mogen einen Korper 9Jt bilden, dem auch E selbst angehort. [1]<br />
Die Mengen, die zugleich M5 und M^ sind, mogen M^, heissen; die Mengen<br />
der Form liinM,^ {M^ eDJl) mogen M\ heissen.<br />
Die Summe endhch (oder abzahlbar) vieler M^ ist ein M(j, der Durchschnitt<br />
endhch (oder abzahlbar) vieler Ms ein Ms ; E — M^j ist ein Ms ; E — Ms ein<br />
Mfj. Also bilden die My^, einen Korper OJtp..<br />
Wenn in (1) die Mengen An Mengen M^ sind, so auch die B2n^ ^2n+i;<br />
B ist dann zugleich (als lim52n) ein M^,o- = ^ao- — M^j und ein M5, also<br />
ein M^. | Die Mengen Mx bilden ebenfalls einen Korper Tlx, nach den oben Bl.lv<br />
bewiesenen Formeln fiir lim A^jBn, lim {An 4- -Bn), lim {E — An) •<br />
Jede Menge Mx^ ist ein M\ . [2]<br />
(MA^I ist eine Menge, die gleichzeitig Summe und Durchschnitt je einer Folge<br />
von Mengen M\ ist.) Sei<br />
C=&An = 'i^Bn<br />
An, Bn Mengen Mx, wobei wir Ai ^ A2 ^ • •., J5i 2 ^2 2 ... annehmen<br />
konnen. Es ist also<br />
Sei<br />
Fiir p > n ist<br />
An = l±m Anp, Bn = l±mBnp {Anp, Bnp Mcugcn M).<br />
p p<br />
Cp — AipBip + A2pB2p + ... + AppBpp .<br />
^np^np ^ ^p ^ v^lp I • * * ~r ^np) ~r \-tjnp H~ * * ' i -t^pp) =^ ^np i -077,^ ,<br />
denn wir konnen auch Aip £ A2p £ •. •, ^ip 2 B2p 2 ... annehmen, indem<br />
wir Anp durch Aip -j- ^2^ + ... + Anp ersetzen (was fiir p —^ oo den Limes<br />
Ai ^ • •' + An = An hat) und ebenso Bnp durch BipB2p • • • Bnp- Aus dieser<br />
Ungleichung erhalten wir fiir p —> oo AnBn ^ l±m Cp ^ lim Cp Q An -\- Bn<br />
und fiir n —> oo (wegen l±mAn — lim^^ = C) C £ limCp ^ limCp ^ (7,<br />
C = limCp, Cp ist eine Menge M, C also ein MA .<br />
593
Jede Menge M^A ist ein M\.<br />
{M^x ist Limes einer Folge von Mengen M^,). Da l±m Bn = 53 {Bn -f Bn-^-i +<br />
n<br />
- ") ein Bab, l±mBn = &{BnBn+i • • •) ein Bsa ist, so ist eine Menge M^A<br />
gleichzeitig M^CJ6 = ^acjd = M^s und M^scr = ^66^ = Ms^, also (da M^^<br />
B1.2 und Ms spezielle MA sind) ein MAS ^nd MACT, also MA^I und daher MA. |<br />
Zwei disjunkte Mengen Ms sind in zwei disjunkte Mengen M^<br />
[3] einschliessbar,<br />
Sei A = ^An, B = ^Bn {An, Bn Mengen M) mit AB = 0; wir konnen<br />
74i 2 v42 2 ..., JBI 2 ^2 2 ... annehmen, also l±m An — A, lim^n = B.<br />
Bilden wir nach der Erklarung (1):<br />
C = AiBo - AiBi + A2B1 - A2B2 + A3B2 - A3B3 + • • • {Bo = E)<br />
D - AoBi - AiBi + A1B2 - A2B2 + A2B3 - A3B3 + • • • {Ao = E)<br />
wobei die Konvergenzbedingung wegen<br />
llmAn+iBn = limAnBn = lim^n^n+i = AB = 0<br />
erfiillt ist; C, D sind, wie wir sahen, Mengen M^. Es ist A ^ C^ denn ist<br />
X e A, also xeB und denanach Bn das Bn mit niedrigsten Index, dem x nicht<br />
angehort, also x e Bn-i—Bn {n> 1), so ist x e AnBn-i—AnBn ^ C. Ebenso<br />
ist B gD. Ferner ist CD = 0, denn {AniBni-i-AniBni){An-iBn-AnBn) =<br />
Ani{An-i - An)' Bn{Bni-i - B^), WO fiir m > n der Faktor Am{An-i - An),<br />
fiir m 2 von n — 1 auf n : Ai,..., A^-i sind in disjunkte Mengen Ci,..., Cn-i<br />
(Mengen M^) einschliessbar, ferner Ai-\- --- -\- An-i und An in disjunkte<br />
Mengen C, Cn, also Ai,..., An-i,An in CCi,..., CC^-i, Cn- (Die Summe<br />
endlich vieler Ms ist ein Mg : ^Am + S)J5n = 2) (^m + ^n); der Durchm<br />
n m,n<br />
schnitt endlich vieler M(j ist ein MQ- : (SAm'&Bn = & AmBn- Distributives<br />
m n m,n<br />
Gesetz.)<br />
Jede Menge M-\ ist Summe einer Folge disjunkter Mengen Ms .<br />
Denn lim^n (^n Mengen M) gestattet die Darstellung<br />
A1A2A2, • • • -f A2A3A4 • • • + ASA4A5 ... + ...=<br />
= A1A2A3 • • • + (J^ - ^1)^2^3 '"^{E- A2)A3A4 ..• + ••• .<br />
594
Die Mengen Ci,C2,... seien disjunkte Mengen M5. Damit \ B1.2v<br />
S — ^Cn ein Mx sei, ist hinreichend und notwendig, dass die<br />
Cn in Mengen Bn = M^ mit l±mBn — 0 einschliessbar seien, [5]<br />
Die Bedingung ist hinreichend (sogar wenn die Cn nur Mengen Mx sind).<br />
Sei Cn = limp Anp (Anp eTl) und<br />
Sp = AipBi + A2pB2 -h • • • + AppBp (Sp ein M^).<br />
Flir p > n ist Sp ^ AipBi 4 '\- AnpBn,<br />
lini Sp 2 CiBi -i 1- CnBn — Ci -\ h Cn ,<br />
lim Sp 2 S. Andererseits Sp ^ Aip + j- Anp 4- J5n -h J5n+i -J- i- ^p,<br />
Tii,Sp £ Ci + • • • + Cn 4- (Bn + Bn+1 + '••).<br />
Iim5p g 5-hTimn(Bn4-Bn+i + ---) = '5'4-Iim5n = S' + O,<br />
also 5 = lini/Sp ein Mp.A oder MA .<br />
Die Bedingung ist notwendig. Mit S = ^Cn {Cn s Wis ) ist auch E — S =<br />
J2^n ein Mx und als Summe disjunkter M5 darstellbar {Dn e ^5). Es<br />
lasst sich, da die Mengen Cn, Dn disjunkte Ms sind, Cn in ein Bn = My,<br />
einschhessen, das mit Ci H h Cn-i + Di H h Dn-i keinen Punkt gemein<br />
hat, also Bn ^ {Cn + Dn) + (Cn+i + Dn^i) H ; demnach<br />
Bn + Bn+l + • • • g (Cn + Z^n) + (Cn+1 + -Dn+l) + ' ' ' ,<br />
und folglich D(En + Bn+i + • • •) = 0, d.h. lim^n = 0.<br />
n<br />
Insbesondere, wenn die Cn sich in disjunkte Mengen Bn = My, einschhessen<br />
lassen und Mengen Mx sind, so ist J^ Cn ein Mx • Allgemeiner:<br />
Es sei Co, Ci,..., Co;,... ein wohlgeordnetes abzdhlbares System [6]<br />
disjunkter Mengen Mx und Cjs lasse sich in eine Menge Bf^ = Mjj.<br />
einschhessen, die mit den folgenden Mengen C^ (^ > (3) keinen<br />
Punkt gemein hat. Dann ist S = ^ Cp ein Mx •<br />
I Denn die Summe abzahlbar vieler M^, ist ein M^cj = M^j^ = M^, ihr B1.3<br />
Komplemet ein M5. Demnach ist D = E — QB^ ein M5, ebenso Df^ =<br />
E- 6 Bo, ein Ms, und wegen Bo^Cp - 0 (a < /3) ist C/3 g D(3, Cp g BpD^.<br />
Demnach ist<br />
E = D + &Dp = D + Y.^^^0 ^ ^ + Zl^/^ + Zl (^/5i^/3 - Cp).<br />
^ 1 3 (3 p<br />
In dieser letzten Zerlegung sind alle Summanden disjunkte MA (denn die Mengen<br />
D und BpDf3 sind als Mengen Ms spezielle MA ). Demnach ist 5 = JZ ^P<br />
wie E - S eine Menge MAa, S also MAO- und MAS, d.h. MA^I und MA . *^<br />
595
[7] Sind A, B zwei Mengen Mg, so sind A — AB, B — AB in zwei<br />
disjunkte Mengen M^ einschliessbar. (Vgl. Bl. 2 oben).<br />
A = DAn, B = ^Bn, Ai i Asi... , Bl i52i... ; sei(Ao = J5o = £^)<br />
C = {AiBo - AiBi) + {A2B1 - A2B2) + • • •<br />
D = {AQBI - AiBi) + {A1B2 - A2B2) + • • '<br />
(man muss jetzt Klammern setzen). C und D sind Mengen M^ und (wie Bl. 2)<br />
disjunkt; ferner A — AB £ C, denn ist x 8 A — AB, also xeB, x e Bn-i —Bn,<br />
so ist X 8 An{Bn-i — Bn) ^ C; ebenso ist B — AB Q D.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Beim Lesen dieser Note ist es lohnend, sich den Spzialfall zu vergegenwartigen,<br />
da6 9Jl die Borelklasse A^ (fiir eine abzahlbare Ordinalzahl ^) ist. (S. den<br />
Kommentar zu Fasz. 662 liber die Beziehungen zwischen verschiedenen Borelschen<br />
Hierarchien.) Dann bilden die Mcr, M5, M^,, Mx respektive die Klassen<br />
VO TJO AO AO<br />
[2] Weil offensichtlich OJIA C 971^6 r\^bG und andererseits OTo-6 HOTsa £ ^A^<br />
ist, folgt unmittelbar, dafi fiir jeden Ring dK gilt: 9JIA = OTa6 H OTsa. HAUS-<br />
DORFF hat hier ^ anscheinend als Mengenkorper angenommen, hat dies aber<br />
in seiner Argumentation nirgends benutzt. In dieser AUgemeinheit wurde das<br />
Resultat von SiERPlNSKi in [Si 1931] publiziert, es war aber fiir den in Anmerkung<br />
[1] beschriebenen Spezialfall wohlbekannt, z. B. aus LusiNs Legons sur les<br />
ensembles analytiques, die HAUSDORFF in diesem Zusammenhang im Fasz. 1063<br />
vom 10. 3.1931 zitiert hat. Fasz. 1063 war offenbar ein Vorlaufer der vorliegenden<br />
Note.<br />
[3] Diese Behauptung ist das erste Trennungsprinzip fiir Ms -Mengen (vgl. Anm.<br />
[97] zu Mengenlehre). Fiir den in Anm. [1] beschriebenen Spezialfall findet sich<br />
das Resultat mit einer Beweisskizze in [Lv 1925]; einen voUstandigen Beweis<br />
publizierte LusiN in seinem Buch Legons sur les ensembles analytiques ([Lu<br />
1930b]) und in der Arbeit [Lu 1930a]. Auch der Terminus „Trennung, Trennbarkeit"<br />
(separabilite) erscheint in diesem Sinne erstmals in [Lv 1925]. Die russische<br />
Tradition der deskriptiven Mengenlehre schreibt die Einfiihrung von Trennungsprinzipien<br />
jedoch LusiN zu. LAVRENTIEFF war in der ersten Halfte der<br />
20-er Jahre in Moskau Mitglied der Gruppe um LusiN.<br />
*^ Bei den Borelschen Klassen gilt: jedes Mx ist Summe abzahlbar vieler disjunkter Mengen<br />
M^ : Co + Ci + • • • + Cuj + • • • , wo sich jedes Cp in ein B/g — M^ einschliessen lasst, das<br />
mit den folgenden C^ (7 > /?) keinen Punkt gemein hat. (Lusin, ens. anal., S. 123; ensemble<br />
R clairseme ferme d'„elements" {— M\ ) de classe a. Die Menge S = Ma daselbst braucht<br />
nicht besonders beriicksichtigt zu werden, da sie Summe disjunkter M ist, die als spezielle<br />
Ms in sich selbst als spezielle M^ eingeschlossen werden konnen. M bedeutet die Mengen<br />
von Klassen < a).<br />
596
SlERPlNSKi wiederum hat etwas friiher (in [Si 1924]) folgendes bewiesen: Sind<br />
P, Q Mengen im IR^ , Q C P und (in moderner Terminologie) Q, P respektive<br />
Mengen der Klassen 11^ und E^ (1 < ^ < ct;i), dann gibt es eine A^-Menge C<br />
mit Q CC C P. Dies ist oflFenbar aquivalent zu LAVRENTIEFFS Trennungssatz.<br />
SlERPiNSKi zitiert in diesem Zusammenhang aus HAUSDORFFS frtiherer Arbeit<br />
[H 1919d] einen Satz, der dort „Einschiebungssatz" heifit (S.305, s. Band IV<br />
dieser Edition, S. 92; in der Mengenlehre ist das Satz XIII in § 41, s. dazu auch<br />
die Anmerkung [123] zu Mengenlehre). Dieser Satz beinhaltet ein mit obigem<br />
eng zusammenhangendes (tatsachlich aber etwas allgemeineres) Resultat fiir<br />
die Trennung Bairescher Funktionen (s. auch weiter unten unsere Anna. [6] zu<br />
Fasz.609).<br />
[4] Dies ist das erste multiple (endliche) Trennungsprinzip bzw. der Fall (oCn)<br />
fiir A = Ms und B = M^ in der Aufzahlung des beifolgend abgedruckten<br />
Fasikels 607.<br />
[5] In dem in Anmerkung [1] beschriebenen Spezialfall ist das Resultat aus<br />
LusiNs Legons sur les ensembles analytiques bekannt. Im Faszikel 1063, datiert<br />
vom 10.3.1931 macht HAUSDORFF folgende Bemerkung (wo A durch M zu<br />
ersetzen ware, um formale Ubereinstimmung mit vorliegendem Fasz. 1064 zu<br />
erreichen):<br />
Die Einschliessung der As in A^ kann iiberhaupt durch Einschliessung<br />
der As in A^ ersetzt warden. Denn ist P ein As , Q ein Acy, P ^ Q,<br />
so giebt esein R = A^ mit P '^ R^ Q; in der Tat sind JSL P, E - Q<br />
disjunkte As und es giebt ein R = A^ mit P ^ P, R{E — Q) = 0,<br />
(B1.4)<br />
Diese Feststellung kann auf das erste Trennungsprinzip fiir As gegriindet werden<br />
oder letztlich sogar auf den Einschiebungssatz (s. Anmerkung [3]).<br />
[6] In dem in Anmerkung [1] beschriebenen Spezialfall geht das Resultat auf<br />
LAVRENTIEFF ([LV 1925]) zuriick, hat aber dariiber hinausgehend einen tiefer<br />
liegenden Hintergrund. Es sei daran erinnert, dafi eine Menge separiert heifit,<br />
wenn sie keine nichtleere insichdichte Teilmenge enthalt. In einem polnischen<br />
Raum ist eine solche Menge hochstens abzahlbar, mehr noch, sie kann in der<br />
Form {xp : P < 'd} dargestellt werden, wo "d < uji ist und fiir jedes /3 < i? eine<br />
offene Umgebung Up von xp existiert, die {x-y : ^ < ^y < 'd} nicht schneidet.<br />
In bemerkenswerter Analogic dazu ist ein abzahlbares System von 119 -Mengen<br />
separiert {clairseme, LusiN, [Lu 1930a], [Lu 1930b]), wenn es in der Form<br />
{Cp : p < 'd} {'d < ui) dargestellt werden kann, so dafi fiir jedes (3 < 'd eine<br />
A^-Menge Bp D Cp existiert, welche {j^^pC^ nicht schneidet. Vor diesem<br />
Hintergrund haben LAVRENTIEFFS Studien (die von LUSIN in voUendeterer<br />
Form in [Lu 1930b] prasentiert wurden) gezeigt, dafi 1) A2_^^ gleich der Klasse<br />
der Vereinigungen von abzahlbaren separierten Folgen von 119 -Mengen ist und<br />
dafi es 2) fiir jedes ^ < cJi eine Menge in A^^^ gibt, die nicht in einer solchen<br />
597
Form mit weniger als ^ Summmanden darstellbar ist.<br />
HAUSDORFFS Satz ist offenbar eine Verallgemeinerung in einer Richtung im<br />
ersten dieser Result ate. Das andere Result at erlaubte es LAVRENTIEFF, eine<br />
transfinite Subklassifikation jeder Klasse A9_^^ ZU definieren, welche spater<br />
zu einer etwas einfacheren differentiellen Subklassifikation umgestaltet wurde<br />
(s. unseren Kommentar zum Abschnitt 4 „Reduzible Mengen und Differenzenketten"<br />
weiter unten in diesem Band).<br />
[7] Dies ist das zweite Trennungsprinzip ((ex2) fur A = Ms und B = M^<br />
in der Aufzahlung des folgenden Faszikels 607). In dem in Anmerkung [1] beschriebenen<br />
Spezialfall ist es in LusiNs Legons sur les ensembles analytiques<br />
und in [Lu 1930a] bewiesen.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 607<br />
Trennungseigenschaften<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 13.1.1937. - 4 BU.^<br />
Trennungseigenschaften<br />
13.1.37<br />
A durchlaufe ein Mengensystem (A), A C X {X Raum); Ag bedeute die<br />
Summen, Ad die Durchschnitte endlich vieler A; ebenso A^j, A^ die Summen<br />
und Durchschnitte von endlich oder abzahlbar vielen A. A^ = X — A die Komplemente<br />
der A. Die von diesen Mengen durchlaufenen Systeme werden mit<br />
(As),..., {A') bezeichnet. (B) sei ein zweites System, B C X. Wir betrachten<br />
folgende Eigenschaften:<br />
Erster Trennungsatz A, B : *) {A, B mit Indizes sind Mengen 8 (A), {B)).<br />
[1] {0C2) Zwei disjunkte Ai, A^ lassen sich in disjunkte Mengen B\^ B2 einschliessen.<br />
Zweiter Trennungsatz A, B : **^<br />
((32) Fiir zwei Mengen Ai, A2 lassen sich Ai — A2, A2 — A\ in disjunkte<br />
Mengen B\^ B2 einschliessen.<br />
Diese Satze lassen sich in verschiedener Weise auf n oder KQ Mengen ausdehnen.<br />
Zunachst so {starke Disjunktion):<br />
[2] (an) n paarweise disjunkte Ai,... ,An lassen sich in paarweise disjunkte Bi,<br />
... ,Bn einschliessen.<br />
^Im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 172-176.<br />
*) Beispiel: X separabel, vollstandig; A analytische, B Borelsche Mengen.<br />
**) Beispiel: X separabel, vollstandig; A analytische Mengen, B = A' ihre Komplemente.<br />
598
(oCu;) ^^o paarweise disjunkte ^1,^2,... lassen sich in paarweise disjunkte Bi,<br />
B2,''. einschliessen. I Bl.2<br />
(Pn) Fiir n Mengen Ai (z == 1,..., n) lassen sich die Mengen Ai — J2 ^k in<br />
paarweise disjunkte Mengen Bi einschliessen.<br />
(Pa;) Fiir eine Folge von Mengen Ai (i = 1,2,... ) lassen sich die Mengen<br />
Ai — "^ Ak in paarweise disjunkte Mengen Bi einschliessen.<br />
Es ist vielleicht nicht iiberflussig zu bemerken: wenn (A) die leere Menge<br />
enthalt, so folgt: (cXn+i) -^ (cXn), (oCcj) -^ (oCn) - (Man setze A^+i = 0, resp.<br />
An+i = An+2 = ••• = 0). In jedem Falle gilt (Pn+i) ^ (Pn), (Pu;) ^ (Pn)<br />
(man setze A^+i = A^, resp. A^+i = ^n+2 = • • • = ^n )•<br />
Es gilt:<br />
I. Wenn (A,) = {A) und (5^) = (B), so folgt (as) ^ (cXn), (P2) ^ (Pn)<br />
fiir jedes n = 3,4,... .<br />
II. Wenn (A^) = {A) und (^5) = (B), so folgt {0C2) -^ (cx^^), (P2) ^ (Pc^) •<br />
Beweis von I. Ai (z = 1,.. .n) seien disjunkt. Ai und A^ = ^ ^k (wobei<br />
A[ ein A ist) lassen sich wegen {0C2) in disjunkte B^, JB^ einschliessen. Die<br />
Mengen Bf = Bi Y[ B^j^ (welches ein B ist) sind disjunkt, da iiir i ^ k<br />
k^i<br />
B'^B'^ C B'^Bk = 0, iiberdies Ak C A'i C B[ oder ^i C 5^, also Ai C .Bf.<br />
Also (as) -> (an).<br />
Seien Ai (i = 1,.. .n) beliebig, und ^^ = Yl ^k- Wegen (P2) ist<br />
k^i<br />
A-A[cB,, A[- Ai c B[, BiB[ = 0.<br />
Sei wieder Bf — B^ ^ 5^, disjunkte Mengen B. Es ist fiir k ^ i<br />
k^i<br />
Ai-A[cAi-AkC A'j^ -AkdB'^, also Ai-A'-d B'l.<br />
I Der Beweis von II ist genau derselbe. Es sei noch bemerkt: fiir (as) -^ (an) BL 3<br />
und (as) -^ (ao;) reicht es aus, dass die Summe von endlich resp. abzahlbar<br />
vielen disjunkten A ein A ist. Gegenbeispiel zu II. A die abgeschlossenen,<br />
B die offenen Mengen; es gilt (an), aber nicht (a^;), es ist aber auch nicht<br />
{A.) = {A).<br />
Eine andere Ubertragung der Trennungsatze auf n oder ^^o Mengen (schwache<br />
Disjunktion) ist diese: ((ys) = (0C2), (62) = (P2))-<br />
(yn) n Mengen Ai (i — 1,2,... ,n) mit f|yli = 0 lassen sich in n Mengen<br />
i<br />
Bi mit YlBi = 0 einschliessen. [3]<br />
599
(YU;) ^0 Mengen Ai (i = l,2,...) mit J^A^ = 0 lassen sich in Mengen B^<br />
i<br />
mit YlBi=0 einschliessen.<br />
i<br />
(5n) Fiir n Mengen Ai lassen sich die Mengen ^l^ — J^ A^ in Mengen Bi mit<br />
i<br />
YlBi = 0 einschliessen.<br />
i<br />
(6a;) Fiir HQ Mengen Ai (z = 1,2,... ) lassen sich die Mengen A^ - H^i i^<br />
i<br />
Mengen Bi mit Yi^i — ^ einschliessen.<br />
i<br />
Wenn (A) den Raum X enthalt, gilt: (Yn+i) -^ (Tn), (YU;) -^ (Tn)- (Man<br />
setze An+i = X, resp. ^n+i ^ -An+2 =:•••== X). Wenn (B^) == (B),<br />
gilt (Yn+i) -^ (Yn), (5n+i) ^ (^n)', wcnn (^s) = (B), gilt (YO;) -^ (Yn),<br />
(6a;) ^ (6n) . (Sei Ai...An= A (ev. 0); ^n+l = An , resp. ^n+l = ^n+2 =<br />
• • • — An). Man erhalt Mengen 5^ {i = 1,...,n + 1 oder i = 1,2,...)<br />
D Ai — A mit n^« — 0- I^i^ Mengen Bi,... ,Bn-i und BnBn-\-i resp.<br />
J5i,..., Bn-i, BnBn+i-, ''' sind disjunkt und enthalten Ai — A,..., An-i —<br />
[4] III. Wenn {Ad) = (A) und (Bs) - (B), so folgt (62) -^ (6^) fiir jedes<br />
n = 3,4,... ; wenn liberdies {B) C (A'), so folgt (Y2) -^ (Yn) ftir jedes<br />
n = 3,4,... .<br />
Wir schliessen von n auf n + 1. Ao^Ai,...,An seien Mengen A, ferner<br />
Bl. 4 Ai- " An = Ae (A). Auf Grund von (6n) giebt es fiir z = 1,..., n | Mengen<br />
B,:<br />
Ai-AcBi, ]][J5i = 0<br />
und auf Grund von (62) Mengen BQ, B mit<br />
Ao - AoA c 5o , A- AoA c B , 5o^ = 0.<br />
Dann ist AQ — AQA C BQ , Ai — AoA C B-{-Bi und die rechts stehenden Mengen<br />
B sind disjunkt: 5o n(^ + ^i) — ^0 11(^0 = 0. (Dies ist von Ruziewicz,<br />
* i<br />
[5] Fund. Math. 24, S. 199-205 auf komplizierte Art bewiesen worden.)<br />
Um unter den gleichen Voraussetzungen und {B) C {A') (Y2) -^ (Yn) zu<br />
zeigen, sei AQAI • - - An = ^ und wieder mit A = Ai- - - An wegen (72)<br />
AQCLBQ, A C 5, BQB - 0.<br />
X — B und {X — B)Ai {i = 1,..., n) sind Mengen A, die letzteren mit dem<br />
Durchschnitt {X — B)A = 0, also nach (7^)<br />
{X-B)AiCBi, llBi = 0<br />
600
Also 74o C ^0 , Ai G B -\- Bi und wie oben BQ Y[{B + Bi) ^ 0, womit (yn) -^<br />
(Tn+i) gezeigt ist. - Statt (B) C (A^) geniigt iibrigens, dass A — B stets ein<br />
A sei, oder dass die Diffrerenz zweier A ein A sei (das fiihrt zu {0C2) -^ {^2)<br />
und demnach zu (72) -^ (62) -^ (6n) -^ (Tn) •)<br />
I Wenn (Bd) = (5), so folgt aus (YU;) • ^^o Mengen ^4^ mit limA = 0 B1.4v<br />
lassen sich in Mengen Bi mit lim^, = 0 einschliessen. [6]<br />
Es sei n ^4^: = 0 und danach giebt es Mengen BI (i ^ /c) mit Ak C BI,<br />
n ^i = 0. Man setze Bk = U H (^ i^d) = {B)). Dann ist AkCBk; ferner<br />
k^i i^k<br />
fiir i^k BkCBi, U^kC 11^1 = ^^ also limB^ = 0.<br />
k^i k^i<br />
Anmerkungen<br />
[1] Trennungsprinzipien fiir zwei Mengen wurden erstmalig explizit fiir den Fall<br />
formuliert und bewiesen, da6 (A) das System der Suslinmengen ist und (B)<br />
das der Borelmengen (cx-Version) oder das der co-Suslinmengen ((3-Version),<br />
und zwar von LusiN in [Lu 1927] (a-Version) bzw. [Lu 1930b] ((3-Version).<br />
Verallgemeinerungen fiir mehr als zwei Mengen (endlich oder abzahlbar viele)<br />
sind als multiple Trennungsprinzipien bekannt.<br />
[2] Diese Version der multiplen Trennung ist eine ziemlich elementare Verallgemeinerung:<br />
HAUSDORFF zeigt, da6 man (oCn) bzw. (|3n) aus {0C2) bzw. (|32)<br />
durch eine einfache und direkte Argumentation herleiten kann.<br />
[3] Im Gegensatz zur in [2] beschriebenen Situation sind die y- und 6-Versionen<br />
schwieriger. Fiir den Fall (^4) — System der Suslinmengen und (B) = System<br />
der Borelmengen (y-Version) bzw. (B) = System der co-Suslinmengen (5-<br />
Version) stammen die Resultate (yn), (^n) (^ ^ 3), (ya;), (S^) respektive<br />
von NoviKOV [No 1934a], LusiN [Lu 1934], NoviKOV [No 1934b] (angekiindigt<br />
etwas friiher von LYAPUNOV [Ly 1934]) und NoviKOV [No 1934c].<br />
[4] Der Beweis fiir (y2) -^ (yn) und (62) -^ (6n) wird durch Induktion nach<br />
n gefiihrt und funktioniert nicht fiir (y^^) und (6^;) (s.u., Fasz.609).<br />
[5] RuziEWiCZ' Arbeit [Ru 1935] enthalt einen Beweis fiir (62) -^ (5n) unter<br />
ziemlich allgemeinen Bedingungen an A und B.<br />
[6] Der Satz, dafi fiir jede Folge von Sushnmengen An mit l±m Ar, = 0 eine<br />
Folge von Borelmengen Bn D An existiert mit l±m Br, = 0 ist analog zu<br />
LYAPUNOVS Theorem fiir lim in [Ly 1934] (s.den folgenden Fasz.608).<br />
601
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 608<br />
[Trennungseigenschaften II]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 14.1.1937. - 8 BU."^<br />
14.1.37<br />
C. Kuratowski, Sur les theorernes de separation dans la theorie des ensembles.<br />
Fund. Math. 26 (1936), S. 183-191.<br />
[1] Im System (A) der Mengen A C X gilt der 1. (verallgemeinerte) Trennungssatz,<br />
wenn fiir jede Folge von Mengen An mit J| A^ = 0 eine Folge Bn D An<br />
mit JjBn = 0 existiert, wo die Bn zugleich von der Form A und A' {= X—A)<br />
sind. Es gilt der 2. (verallgemeinerte) Trennungssatz, wenn fiir jede Folge An<br />
eine Folge Bn D An — Yl ^rn mit YlBn = 0 existiert, wo die Bn von der<br />
Form A' sind.<br />
[2] Im System (B) gilt der (verallgemeinerte) Reduktionssatz, wenn zu jeder<br />
Folge Bn eine Folge paarweise disjunkter Mengen B* e {B), B^ C Bn mit<br />
J2^n ^J2^n existiert.<br />
Wenn in (B) der Reduktionssatz gilt und (Ba) = (B), so gilt fiir die Mengen<br />
A — X — B jeder der beiden Trennungssatze. Beweis:<br />
(1) Sei An gegeben mit J^An = 0; sei Bn = X — An, also Yl,^n = X.<br />
Es giebt eine Folge disjunkter 5* C 5n, E ^n = ^ • Sei A; - X - 5;,<br />
A; D A, , n ^; = 0. Da die Bl disjunkt sind, ist Al=^X-Bl = Y.m^n ^m<br />
ein Bij — B; also A* gleichzeitig A und B.<br />
(2) Sei An gegeben, A = U^n = 0, Bn = X - An, B ^^Bn = X - A,<br />
B1.2 I Es giebt eine Folge disjunkter B^ C Bn, ^^ B^ = B. Setzen wir Bn —<br />
Em^n^m = B-Bl,Bn ist ein B, Y{Bn = B- E^^ = 0; ferner Bn D<br />
B - Bn = An - A', q. e. d.<br />
[3] [Wenn in (A) der 1. Trennungssatz gilt und (Ao-) — (A) = (A^), so gilt noch<br />
folgender 3. Trennungssatz: Zu jeder Folge An mit l±m An — 0 giebt es Mengen<br />
Bn D An mit limJ5^ = 0, speziell mit Bi D B2 D ... und YlBn =0, wo die<br />
5^ gleichzeitig A und A' sind.<br />
Denn sei A* = ^4^ 4- -A^+i + • • • ; das sind Mengen A mit H ^n = ^ ^^^<br />
es giebt also Mengen B^ D A* mit H -^n — 0 ? ^i^ zugleich A und ^4' sind.<br />
Sei Bn^ BlB^'"Bl, das gehort zu {A')d = {A') und (Ad) = (A). Weiter<br />
ist BnDAl^^'A;, = A^^D An; BiDB2D'-';UBn = 0.]<br />
Bl. 3 Der Reduktionssatz |<br />
[4] (A) Ist (C) ein Korper, so gilt in (B) = (Co-) der Reduktionssatz (also in<br />
"^Fasz. 608 besteht aus zwei Teilen. Der erste (Bl. 1-Bl. 4 oben) ist hier abgedruckt. Er<br />
beschaftigt sich mit multiplen Reduktions- und Trennungsprinzipien, angewandt auf ziemlich<br />
allgemeine Mengensysteme, und steht in enger Beziehung zu den Faszikeln 607 und 609.<br />
Der zweite Teil (Bll. 4-8) analysiert KuRATOWSKis Reduktionsbeweis fiir die Klassen C = 11}<br />
(co-Suslinmengen) und P2 = ^2 . Er pafit deshalb besser in Abschnitt 5, der den Suslinmengen<br />
und den projektiven Mengen gewidmet ist, und wird dort abgedruckt. Fasz. 608 ist im<br />
Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 177-184.<br />
602
(A) = (Cs) die Trennungssatze).<br />
Denn sei Bp eine Folge 8 (B) '• Bp — ^ Cpq, Cpq e (C). Man bringe die<br />
Indizespaare (p, q) in eine einfache Folge und setze in dieser Anordnung<br />
rs
Im (zunachst beliebigen) Raum E sei dJl ein Borelsches System.<br />
Zwei Mengen A, B heissen 9Jl-trennbar, wenn sie sich in Mengen<br />
P, Q 8 9Jl mit PQ = AB einschliessen lassen:<br />
AgP, BgQ, AB = PQ.<br />
{P, Q, R sollen Mengen aus M bedeuten). (Bl. 1)<br />
Der hier diskutierte Begriff der SDT-Trennbarkeit ist equivalent mit dem Reduktionsprinzip<br />
fiir die Komplemente der betrachteten Mengen. In der Tat, ist<br />
A C P^ B Q Q, und Ar\B = PDQ, dann gilt P^ C A^, Q^ C B^ und<br />
was nur eine andere Sprechweise dafiir ist, dafi die Mengen<br />
JV^ und B^ durch die Mengen P^ und Q (welche zusammen mit P, Q zu<br />
9Jl gehoren) wie im Reduktionsprinzip beschrieben reduziert werden.<br />
[3] LYAPUNOV bewies in [Ly 1934], dafi fiir jede Folge von Suslinmengen An mit<br />
limAn = 0 eine Folge von Borelmengen Bn mit lim^n = 0 und An C Bn<br />
existiert. HAUSDORFF hat diese Tatsache den 3. Trennungssatz genannt und<br />
gezeigt, dafi er mittels einer einfachen Uberlegung (die auf KuRATOWSKi [Ku<br />
1936] zuriickgeht) aus dem 1. Trennungssatz folgt. Er hat dabei (AQ-) — {A) =<br />
(Ad) angenommen. Unter den Borelklassen ist die Bedingung (^a) = (A) =<br />
(Ad) fiir die Klassen S^ erfiillt. Fiir diese Klassen gilt der erste und der zweite<br />
Trennungssatz nicht. Somit ist der dritte Trennungssatz fiir Borelklassen wenig<br />
brauchbar (s. auch das Gegenbeispiel im folgenden Faszikel 609).<br />
[4] Dies ist ein Resultat KuRATOWSKis aus [Ku 1936], §2. HAUSDORFF gibt<br />
einen wesentlich einfacheren Beweis.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 609<br />
[Trennungseigenschaften III]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 16.1.1937. - 8 BU.^<br />
16.1.37<br />
W. Sierpinski, Sur la separabilite multiple des ensembles mesurables B, Fund.<br />
Math. 23 (1934), S. 292-303.<br />
Ich wende die Bezeichungen meines Ms. „Trennungseigenschaften" (13.1.37)^<br />
an. S[ierpinski] nennt fiir das Mengensystem (A) {A C X, A = X — A die<br />
Komplemente, (C) = (A) (A') System der Mengen, die gleichzeitig A und A!<br />
sind):<br />
[1] 1. Lusinsches Prinzip: y2{A,B) = 72 fiir (B) = (C).<br />
^Im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 185-192.<br />
6 [Fasz. 607.]<br />
604
Novikoffsche Eigenschaft: 7273 "' = Ilyn fur (B) = (C).<br />
n<br />
Liapounoffsche Eigenschaft: 7273 * • -To; fur (B) = (C).<br />
2. Liapounoffsche Eigenschaft: zu jeder Folge An mit l±m An = 0 giebt es<br />
eine Folge Cn D An (Cn e {A){A')) mit limCn = 0.<br />
2. Lusinsches Prinzip: 62(^,5) = 62 fiir (B) = {A').<br />
2. verallgemeinertes Lusinsches Prinzip: 6263 • • • — H ^n fiir (B) = (A^).<br />
n<br />
Hilfsatz L Wenn {A) = {As) = {Ad), so gilt 72 -^ ElTn • [2]<br />
Der Beweis ist derselbe wie beim zweiten Teil meines Satzes III (bei allgemeinen<br />
A, B): wenn {A) = {Ad), {B) = {Bs), {B) C {A^), so folgt ysTn -> Tn+i • [3]<br />
Wenn die A einen Ring bilden, so auch die A' und (C) = (A) (A'), also<br />
ist {A) = {Ad)^ {C) = (O, {C) C (AO, demnach y2(A,C)yn(A,C) -.<br />
yn+i(AC). I BL2<br />
Aus (^4) = Ring folgt nicht y2 -^ y^ (Liapounoffsche Eigenschaft). Das<br />
ist kein Wunder; man wtirde wohl mindestens {A) = {Ag) = {As) verlangen<br />
mlissen. Das S[ierpihski]sche Gegenbeispiel: A bestehe aus den offenen<br />
Intervallen ^^ = (0, ^), X = [0,1] abgeschlossenes Intervall; Mengen C, die<br />
gleichzeitig A und A' sind, giebt es gar nicht. y2 ist erfiillt, well es keine zwei<br />
disjunkten A giebt; y^^ nicht, well die samtlichen An sich nicht in Cn mit<br />
YlCn — 0 einschliessen lassen (iiberhaupt in keine Cn)- - Wenn man aber<br />
{A) = {As) verlangt und demgemass noch die leere Menge zu den A rechnet,<br />
ist schon y2 nicht erfiillt (0 und Ai sind disjunkt) und das Beispiel verliert<br />
seine Beweiskraft.<br />
Die Frage: gilt bei {A) = {As) = {As) {oder wenigstens bei {A) =<br />
{A(j) = {As)) y2 —^ ycc; ? ist anscheinend nicht gelost.<br />
Die Borelsche Klassen. {Q) = {Qs) sei ein Mengensystem, (P) = {Pd) das<br />
der Komplemente {P = Q' = X — Q). Fiir die Ordnungzahlen a < ft werden<br />
Qc und Pa (Komplemente von einander) so definiert: Qo = Qj PQ = P; fiir<br />
a > 0 Qa = Durchschnitt von abzahlbar vielen P^ mit Indizes ^ < a, Pa =<br />
Summe von abzahlbar vielen Q^ mit ^ < a. | Bl. 3<br />
Fiir a > 0 ist {Paa) = {Pa), {Qad) = {Qa)' Jedes Qa ist ein P^+i,<br />
jedes Pa ein Qa-\-i {(^ ^ 0). Ferner wird behauptet: der Durchschnitt zweier<br />
Pa ist ein Pa, also {Pad) = (Ba), {Qas) = {Qa)' Das ist nicht richtig: um [4]<br />
z.B. Pi • Pi = Q(j • Q(T als Qfj nachzuweisen, miisste man doch Q - Q = Q,<br />
d.h. {Qd) = {Q) statt {Qs) = {Q) voraussetzen. Nehmen wir selbst beide<br />
Voraussetzungen an, (Q) and (P) seien Ringe. Daraus folgt noch nicht, dass<br />
(Qo) + {Qi) = (Q) + (Ps) die d-Eigenschaft hat, aus der erst fiir (P2) die<br />
d-Eigenschaft folgen wiirde; es miisste speziell der Durchschnitt Q • Pg eines Q<br />
mit einem P5 selbst ein Q oder P5 sein, was nicht aus den Voraussetzungen<br />
folgt. Kurzum, die Voraussetzungen miissen verscharft werden, und zwar so:<br />
(Q) sei ein Ring, (P) der Ring der Komplemente, und es sei<br />
605
(1) iQ)ciPa), (P)C(Q.).<br />
(Beispiel: Q die abgeschlossenen, P die offenen Mengen eines beliebigen Raumes<br />
X.) Dann sind die beiden Satze von S[ierpinski] richtig:<br />
Satz I. In (Qc,) gilt IlTn {a > 0).<br />
B1.4 Satz II. In (Qa) gilt ju; (a > 0). |<br />
[5] Der Beweis ist von Kuratowski (Fund. Math. 26, S. 186) viel einfacher erbracht<br />
worden, namlich auf Grund des Reduktionssatzes. In (B) gilt der Reduktionssatz,<br />
wenn zu jeder Folge von Mengen Bn e {B) eine Folge paarweise<br />
disjunkter Mengen 5* 8 (B) mit B^ C Bn, Z)^n = S^n existiert. Wenn<br />
in (B) der Reduktionssatz gilt und (Bey) = (B), so gilt fiir die Komplemente<br />
A ^ X - B SOWOhl YlynJuj als H ^n * ^u; •<br />
Ist (K) ein Korper, so gilt fiir die (i^cr) der Reduktionssatz, also fiir die<br />
(Ks) samliche Trennungssatze.<br />
Ist (Q) ein Ring, (P) = {Q') und gilt (1), so ist<br />
(2) (i^) = (P5)(Qa)<br />
ein Korper mit (P) C [K) C (P^), also (P5) = {K^), und fiir (Ps) gelten alle<br />
Trennungssatze.<br />
Da nun aus (1) durch transfinite Induktion folgt, dass auch Qa, Pa statt<br />
Q, P die Bedingungen (1) erfiillen, so gelten in (P^s) — (Qa+i) (ci; ^ 0) alle<br />
Trennungssatze; ferner: fiir eine Limeszahl a ist J2 i^^) — ^ iQ^) ^^^ Korper<br />
C
[Hierzu ist zu bemerken: Wenn die A sich in Mengen B = F^ mit dem<br />
Limes 0 einschliessen liessen, so ware ihre Summe (nicht nur Gsa, sondern<br />
auch) Fo-6 ; nach einem Lusinschen Satz (vgl. Ms. 10.3.31 (Hornegg): ist (K) [8]<br />
ein Korper, so ist eine Summe abzahlbar vieler disjunkter K^ dann und nur<br />
dann ein Kx, wenn sich die Ks in Mengen K^j mit dem limO einschliessen<br />
lassen; hier auf (K) = {F(j){Gs) anzuwenden). Dass die Summe der A kein<br />
FCJ6 oder ihr Komplement X^Pm • J2^nin2 • • • kein Gs^ ist, kommt bereits<br />
bei Baire vor (s. mein Ms. 28.3.18, Satz II).] [9]<br />
Beweis. Bekannthch kann man zu einer perfekten linearen Menge P eine<br />
Folge disjunkter perfekter Mengen Pn (^0) bestimmen, die in P nirgendsdicht<br />
sind, wahrend ihre Summe Q = ^Pn in P dicht ist. Setzen wir dies fort<br />
(Baire), so kann man also (mit P = der ganzen Geraden beginnend) perfekte<br />
Mengen<br />
-^ —^ -'ni --^ -'711712 -^ ' ' '<br />
bestimmen (ni, n2,... durchlaufen die natlirlichen Zahlen), deren jede in der<br />
vorangehenden nirgendsdicht ist, wobei ferner die Mengen mit k Indizes paarweise<br />
disjunkt sind, wahrend<br />
Q = YlPnr in P dicht, Q^.-.n^^^ E P7ii...7ifenfc+i m Pni...7ifc dicht<br />
ni nfc+1<br />
ist. Die Mengen<br />
^ ^^ i^^ C^ , -^7ii...7ifc ^^ ^n\...nk Wni.-.nk<br />
sind samtlich disjunkt und Gs • Es seien B D A, Brn,...nk ^ ^ni...nk Mengen<br />
P^; wir zeigen, dass es eine Folge u = ni,n2,... mit Y[^rii..nk ¥" 0 gi^bt,<br />
k<br />
SO dass der obere Limes aller P-Mengen ^ 0 ist. Wir woUen dabei P, Bni.,.nk<br />
durch PB^ Pni...nkBni...nk ersctzcu (so dass wir noch mehr beweisen), also<br />
^ (~ J^ (~ -t^ •, ^ni...nk ^ •t^n\...nk ^ -^ni...nfc<br />
voraussetzen. Wir zeigen, dass es eine Folge v und eine Folge von offenen<br />
Intervallen C/Q > f^i > ^2 > • • • {Jh C Uk-i) mit<br />
^k—1-^ni...nk —^ ^k^n\...nk<br />
giebt, SO dass dann in der Tat n^ni...7ifc D Y{UkPnr..nk ^ Y{Uk+iPm..nk T^ 0<br />
k k<br />
I ist, denn die Uk-\-iPni...nk bilden eine abnehmende Folge kompakter Mengen. BL 7<br />
Q ist in P von 1., A und B von 2. Kategorie, P als Pa enthalt also<br />
einen inneren Punkt, d.h. ein Intervall UQ . UoQ = Yl ^oPm ist in UQP = UQ<br />
dicht, es giebt also ein UoPm ^ 0. UoQm ist in C/oPm von 1., also C/o^7ii<br />
und UoBni von 2. Kategorie; UoBm als P^ enthalt also rel[ativ] UoPm einen<br />
inneren Punkt, also ein C/iPm mit UQ D Ui:<br />
UoBn, D UiPn, .<br />
607
Das ist die Behauptung fiir /c = 1. - 1st sie schon fiir k bewiesen, so ist<br />
— '^UkPni...nkn i^ UkPni...nk dicht, also giebt es ein nk-\-i so dass<br />
n<br />
UkPnT,...nk+i ¥" 0; UkQm...nk+i ist ill UkPm...nk+i von 1., also C/ifc^m.-n^+i<br />
und t/;c-Sni...nfc+i voii 2. Kategorie, letztere Menge als F^j enthalt rel[ativ]<br />
UkPni...nk+i einen inneren Punkt, also<br />
UkBn:L...nk+i ^ Uk+lPni...nk+i i ^k D Uk+1 ]<br />
das ist die Behauptung fiir A; + 1. Q. e. d.<br />
Satz III. In (Qc.) gilt U^n {a>0).<br />
[10] Wir haben dies und auch die Giiltigkeit von 6^^ schon nach Kuratowski bewiesen.<br />
Bl. 8 S[ierpihski] bestreitet S^j (schon fiir G^) mit Berufung auf das soeben | erhaltene<br />
Resultat fiir die disjunkten An — Gs, die sich nicht in Bn = Fa f^^it<br />
l±mBn = 0 einschliessen lassen. Das ist unverstdndlich, da ja nach II diese<br />
An sich sogar in Mengen Cn e (F(j)(G5) mit JJCn = 0 einschliessen lassen.<br />
Diese Arbeit von S[ierpihski] enthalt also mehrere Fehler.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Yn , To;, ^n siud die Bezeichnungen aus Fasz. 607; Yl bezeichnet gelegentlich<br />
auch die Konjunktion (s. Anmerkung [3] zu Fasz. 607 zum historischen Hintergrund).<br />
Was HAUSDORFF hier (SlERPlNSKi [Si 1934] folgend) Liapounoffsche<br />
Eigenschaft nennt, wurde in [Ly 1934] von LYAPUNOV zwar angekiindigt, der<br />
Beweis erschien aber erstmals in NoviKOVs [No 1934b].<br />
[2] Im Gegensatz zu (^a), (^s) bestehen die Klassen (A^), (Ad) aus endlichen<br />
Vereinigungen bzw. Durchschnitten von Mengen aus (A).<br />
[3] Satz III bezieht sich hier auf III in Fasz. 607.<br />
[4] HAUSDORFF findet hier kleinere Fehler in SIERPINSKIS Arbeit [Si 1934].<br />
Die "d-Eigenschaft" einige Zeilen weiter ist das 1. Trennungsprinzip fiir zwei<br />
Mengen.<br />
[5] HAUSDORFF bemerkt hier, dafi SIERPINSKIS Resultate in [Si 1934] (hier<br />
die Satze I und II) einen einfacheren Beweis erlauben, wenn man sie als KoroUare<br />
zu KuRATOWSKis Reduktionssatz in [Ku 1936] auffaBt (= (A) im oben<br />
abgedruckten Fasz. 608).<br />
[6] HAUSDORFF verweist hier auf einen Satz von SIERPINSKI aus [Si 1924] (s.<br />
Anmerkung [3] zum oben abgedruckten Fasz. 1064). HAUSDORFFS Behauptung<br />
ist offensichtlich allgemeiner: (R) ist nicht notwendig von der Form A9 .<br />
[7] Dies bedeutet, da6 der hier als 2. Liapounoffsche Eigenschaft bezeichnete<br />
Sachverhalt zusammen mit dem multiplen l.und 2. Trennungssatz in den<br />
608
Versionen (a^;) und ((3^^) (s. Fasz. 607) fiir die Klasse A = II2 = Gs nicht<br />
gilt (mit B = A^ fiir oc^ und 5 = Xl^ = F^ fiir ^^). HAUSDORFF reproduziert<br />
SiERPiNSKis Beweis aus [Si 1934], der auf einer Konstruktion BAIRES<br />
beruht (s. Anmerkung [2] zu den oben abgedruckten Ausziigen aus Fasz. 1002).<br />
Dann skizziert er einen viel kiirzeren Beweis eines allgemeineren Resultats.<br />
[8] HAUSDORFF zitiert Fasz. 1063, welcher hier nicht abgedruckt ist, da der<br />
etwas spat ere Fasz. 1064 dessen Inhalt iiberdeckt. Das Result at ist in Anmerkung<br />
[5] zu Fasz. 1064 kommentiert. Um HAUSDORFFS Bemerkung abzuschlie-<br />
6en, sei K = A^ fiir eine Ordinalzahl 0 < ^ < LJI . Sei X eine Xl^_^i-Menge in<br />
einem polnischen Raum, aber keine n9_^^ -Menge. Dann gibt es eine Darstellung<br />
X = U^ An , wo die n9-Mengen An paarweise disjunkt sind. Aus HAUS-<br />
DORFFS Bemerkung folgt, da6 die Mengen An nicht durch Xl9-Mengen Bn mit<br />
lim^n = 0 iiberdeckt werden konnen. Das bedeutet, dafi die 2. Liapounoffsche<br />
Eigenschaft zusammen mit (an) und ((3^) fiir jede beliebige Klasse II? nicht<br />
gilt Das in Anmerkung [7] kommentierte Resultat entspricht dem Fall ^ = 2.<br />
[9] Bin Manuskript vom 28. 3.1918 ist im Nachlafi HAUSDORFFS nicht mehr<br />
vorhanden.<br />
[10] HAUSDORFF bezieht sich hier auf die Behauptung (A) in Fasz. 608 (urspriinglich<br />
aufgestellt in [Ku 1936]), welche insbesondere S^j nach sich zieht,<br />
Oder, was dasselbe ist, den 2. verallgemeinerten Trennungssatz (in der Terminologie<br />
von Fasz. 608) fiir die Klassen 11^. SiERPiNSKis Behauptung des Gegenteils<br />
im vorletzten Paragraphen von [Si 1934], basierend auf dem in Anmerkung<br />
[7] kommentierten Resultat, ist falsch, weil 6a, nur verlangt, da6 der Gesamtdurchschnitt<br />
der trennenden Mengen leer ist und nicht, da6 diese paarweise<br />
disjunkt sind. Wahrscheinlich hatte SlERPlNSKi im Sinn, dafi die weniger interessanten<br />
Aussagen (cx^;) und (|3a;) fiir 11^ nicht gelten.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 633<br />
Uber limAn<br />
Veroffentlichungsmanuskript. - [Bonn], [2.5.1937.] - 9 BU.^<br />
Uber<br />
Von<br />
F. Hausdorff (Bonn).<br />
Der „Raum" X sei eine beliebige Menge, (A) ein System von Mengen A C X]<br />
die Mengen JZ A^, 11 ^n, lim An, lim An, l±m Ar, fiir Folgen An e (A) mogen<br />
'^Auf Bl. 1 oben hat HAUSDORFF spater notiert: „An Fund. Math, geschickt, dann zuriickerbeten,<br />
weil Resultat bekannt (Kozniecki)". Fasz. 632 ist eine geringfiigig ausfiihrlichere Version<br />
des vorliegenden Textes. Dort steht am oberen Rand: „Etwas verkiirzt, 2. 5. 37 an Kurat.<br />
geschickt". Fasz. 633 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 350-357.<br />
609
mit Ao-, As, Ax, A*, A^ und die von diesen Mengen durchlaufenen Systeme<br />
durch Einschliessung in runde Klammern bezeichnet werden. Bekanntlich ist<br />
(A*) C (A^s) , (A*) C (A5a) , (AA) C (A*)(A*) C (Aa6)(A6a) -<br />
Falls A ein i^m^', d.h. Summe und Durchschnitt zweier A wieder ein A ist,<br />
[1] weiss man aber*^, dass in der letzten Formel die Gleichheitszeichen gelten:<br />
(AA) = (AcT6)(A6a),<br />
Bl. 2 die Mengen 1 imAYi sind identisch mit denen, die zugleich A(j^ und A^(j I<br />
sind. Die Frage, ab auch fiir jeden Ring {A) die Gleichungen<br />
(1) (A*) = (A,6) (2) (A,) = (A6a)<br />
gelten, scheint bisher nicht gestellt worden zu sein, obwohl die verneinende<br />
Antwort, die wir geben werden, weder ganz an der Oberflache noch sehr tief<br />
liegt. Zuvor nennen wir einige Falle, wo (1) - flir den Ring der Komplemente<br />
A' ^X-A also (2) - gilt:<br />
(a) wenn (A) ein Korper ist,<br />
((3) wenn (A) der Ring der Borelschen Mengen F^ (ensembles de classe a<br />
multiplicative, bei festem a) eines metrisches Raumes X ist,<br />
(y) wenn (A) ein beliebiger Ring im abzahlbaren Raum X ist.<br />
Die (bekannten) Tatsachen (a) ((3) beruhen auf folgender Bemerkung:<br />
(6) Bildet man aus dem System (A) diejenigen „speziellen" B = Ao-, die sich<br />
mit Summanden B = Ai-\-A2-\-.. • darstellen lassen, von denen nur endlich<br />
viele einen gemeinsamen Punkt haben (insbesonders mit disjunkten<br />
Oder mit endlich vielen An), so ist (5*) = (A*).<br />
Denn wenn x unendlich vielen B^ = ^1 ^^ angehort, so gehort er<br />
n<br />
Bl. 3 unendlich vielen A^ an, und umgekehrt, weil er bei festem m \ nur<br />
endlich vielen A!^ angehort.<br />
Ist (^4) ein Ring und sind die Differenzen D = A2 — Ai spezielle A^j, so<br />
sind alle Aa, als Summen abzahlbar vieler disjunkter D, spezielle AQ-, und<br />
ein oberer Limes von Mengen Ao-, insbesonders also jeder A^ys (als Limes von<br />
Mengen A^y) ist stets ein A*. Dies trifft zu, wenn (A) ein Korper (D . ein<br />
A) ist; ferner fiir die Borelschen F^ mit o; > 0, weil C^ = X — F^ Summe<br />
abzahlbar vieler disjunkter F^ ist**\ und fiir die abgeschlossenen Mengen<br />
[2] (a = 0), weil jede offene Menge Summe von abgeschlossenen ist, von denen<br />
*) Sierpinski, C. R. 192 (1931), p. 1625 - 27.<br />
**) Kuratowski, Topologie I (Warszawa-Lwow 1933), p. 162. Lusin, Ensembles Analytiques<br />
(Paris 1930), p. 80.<br />
610
nur je zwei gemeinsame Punkte haben. *^<br />
Es bleibt noch (y) zu beweisen. Ordnen wir jedem Punkt x des beliebigen<br />
Raumes X eine diesen Punkt enthaltende Menge Px zu. Die Mengen B mit<br />
der Eigenschaft<br />
(P) [xeB] -^ [Px C B],<br />
d.h. die mit einem Punkte x das ganze zugehorige Px enthalten, | gestatten BL4<br />
ofFenbar beliebige Summen- und Durchschnittsbildung. Sie sind Summen von<br />
B<br />
Mengen Px : 5 = X^ PE. 1st nun {A) ein Ring im Raume X, wobei wir anneh-<br />
men diirfen, dass die A den ganzen Raum bedecken, so sei Px der Durchschnitt<br />
der X enthaltenden Ringmengen; die Ringmengen A haben dann die Eigenschaft<br />
(P) und diese geht auf die Summen und Durchschnitte iiber; die A^j<br />
und ACJS insbesondere sind Summen von Mengen Px- 1st aber X abzahlbar,<br />
so erkennt man sofort, dass Px ein A^ und jede Summe von Px ein ^50^ ist;<br />
A^s ist zugleich ^50-, also nach der Sierpinskischen Formel ein ^A •<br />
Hingegen woUen wir nun zeigen:<br />
Satz. In jedem Raum X von der Mdchtigkeit ^ c = 2^° giebt es einen<br />
Ring [A), in dem (1) nicht gilt, und zwar einen solchen, filr den die Mengen<br />
A* = l±m An keinen Ring bilden.<br />
Die letztgenannte Eigenschaft ist zur Ungiltigkeit von (1) jedenfalls hinreichend,<br />
da mit (A) auch {A(j) und (A^js) Ringe sind. | Aus Bl.5<br />
l±m An 4- limBn = l±m {An + Bn) , 11m An • lim^n ^ 11m (AnBn)<br />
folgt, dass (A*) endhche Summenbildung, vielleicht aber keine Durchschnittsbildung<br />
gestattet: diese Moglichkeit mlissen wir realisieren.<br />
Das Hiilfsmittel bildet der Begriff der „unabhangigen" Mengen. Es sei jedem<br />
Element n der Menge N eine Menge Un C X zugeordnet und<br />
entweder Vn = Un oder Vn = Ul^^ = X — Un<br />
(der Akzent soil stets die Komplementbildung bedeuten). Die Mengen Un heis-<br />
N<br />
sen (in X) unabhdngig wenn stets H ^n 7^ 0 ist fiir jede Wahl der Vn- Es soil<br />
n<br />
also stets Punkte geben, die beliebig gewahlten Un angehoren und den librigen<br />
nicht angehoren. Sind die Un C X in X unabhangig, so auch in jedem Raume<br />
Y D X, Jedes Teilsystem der Un giebt wieder unabhangige Mengen.<br />
Wenn es in X unendlich viele unabhangige Mengen giebt, hat X die Machtigkeit<br />
^ 2^0 = c. In einem Raum X der Machtigkeit | c (also auch in einem der B1.6<br />
Machtigkeit ^ c) giebt es KQ unabhangige Mengen**\ denn ist X die Menge [3]<br />
Sierpinski, Fund. Math. 6 (1924), p. 21-23.<br />
611
der dyadischen Folgen x = (^i,^2, • • •) niit ^n = 0 oder 1, so sind die Mengen<br />
Un= E [Cn = 0] unabhangig.<br />
X<br />
Sei demnach X von der Machtigkeit ^ c und wahlen wir in ihm ^0 unabhangige<br />
Mengen, die wir Ai, Bi, A^^ B^-, ^3, ^3, ... nennen. Es sei<br />
yl*=Tim^n, B*=Tim5n,<br />
(C) der kleinste Ring, der die A^, Bn enthalt, Cn eine beliebige Mengenfolge<br />
aus (C) und C* = Tim Cn ; dann behaupten wir, dass sicherlich C* i^ A'^B'".<br />
Bl. 7 I Die C sind die Summen endlich vieler D, die ihrerseits die Durchschnitte<br />
endlich vieler A^, Bn sind. Nach der Bemerkung {S) (BL 2) ist (C*) = (i^*),<br />
und wir konnen uns auf den Nachweis beschranken, dass<br />
D* =llmDn<br />
fiir jeder Folge Dn e (D) von A*5* verschieden ist.<br />
Die D sind von der Form D = PhQk, wobei Ph ein Durchschnitt endlich<br />
vieler An mit dem Maximalindex h sein soil (z.B. P3 = As oder AiAs oder<br />
A2AS oder ^41^2^3); sollte kein A-Faktor in D vorkommen, so sei /i = 0.<br />
Analoges gilt fiir Qfc •<br />
Erster Fall. Wenn ein konstantes Ph in unendlich vielen Dn = PhQkn vorkommt,<br />
so ist D* — A* ^ 0 und erst recht D* - A*B* ^ 0. Denn die Menge<br />
A,^^'AhA'h^,A'h^2'''BiB2Bs'-'<br />
ist 7^ 0 auf Grund der Unabhangigkeit; ein Punkt x von ihr gehort den genannten<br />
unendlich vielen Dn, aber nur endlich vielen An an: x e D* — yl*.<br />
(Entsprechend fiir h = 0). Das Analoge gilt bei Vertauschung der A und B,<br />
Bl. 8 Indem wir diesen Fall ausschliessen, konnen | wir nun voraussetzen:<br />
Zweiter Fall. Dn = Phr^Qkr^ init hn ^ 00, kn -^ 00 (und durchweg hn > 0,<br />
kn > 0). Dann aber ist A*5* — D* ^ 0. Denn es sei A das System aller Dn ;<br />
Ap das System derer mit hn < p, A^ das System derer mit kn < q. Die<br />
Systeme Ap, A^ sind nunmehr endlich, jedes Ap ist in einem A^ enthalten,<br />
jedes A^ in einem Ap. Hiernach kann man zwei Folgen pi < p2 < • • • ,<br />
qi < q2 < " ' der art bilden, dass<br />
(3) Ap, c A^i c A^2 ^ Ap2 c Ap3 c A^3 c A^^ c Ap, c • • •<br />
Die Mengen Dn aus<br />
AQi I A _ A I A93 _ A 92 I A _ A I<br />
**) Es giebt sogar in einem Raum der Machtigkeit m = m^o ein System von 2"^ Mengen,<br />
von denen je abzahlbar viele (verschiedene) stets unabhangig sind. Dies lasst sich auf dieselbe<br />
einfache Art zeigen, wie ich (Stud. Math. 6 (1936), p. 18-19) den Satz vom Fichtenholz und<br />
Kantorovitch bewiesen habe: in einem Raum der unendhchen Machtigkeit m gibt es 2"^<br />
Mengen, von denen je endUch viele stets unabhangig sind.<br />
612
haben einen der Faktoren<br />
-Ol,...,-Oq^ I Ap^-^l, . . . ,yip2 I -0^2 + 1, •••, ^93 I ^P3 + ll • • • 5 ^P4 I<br />
und jedes Dn gehort einem dieser A-Systeme an (die nach (3) libereinandergreifen<br />
und die Partialsummen A^^, Ap2, A^^, Ap^, ... haben). Auf Grund<br />
der Unabhangigkeit giebt es einen Punkt x von<br />
Ap^ Bi" Bq^ • Ap^^-^ ' • • Ap^Bq^ ' Ap^Bq^_^-^ • • • Bq^ ' ^p3 + i • • • Ap^Bq^ . . . . ;<br />
er gehort keinem Dn an, wohl aber zu Ap^Ap^ • • • Bq^Bq^ • • • , also x^ A^'B* — D*.<br />
Damit ist unser Satz bewiesen.<br />
Anmerkungen<br />
[1] SlERPlNSKi bewies in [Si 1931] (Theoreme II), dafi (74A) = (^a6)(^6a) fur<br />
jeden Ring {A) gilt. Es scheint, da6 HAUSDORFF dieses Resultat unabhangig<br />
von SiERPiNSKi bewiesen hat; s. Anmerkung [2] zu Fasz. 1064.<br />
[2] Dafi jede Menge in G^ eine abzahlbare Vereinigung von paarweise disjunkten<br />
Mengen der Klassen F^, P < a ist, findet man in [Ku 1933/1966],<br />
§ 30.V, wo G^ die additive Klasse a genannt wird. SiERPiNSKi zeigte in [Si<br />
1924a], dafi (in euklidischen Raumen) F^s = F* ist.<br />
[3] In der Fufinote bezieht sich HAUSDORFF auf seine Arbeit [H 1936a].<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 425<br />
Uber limfn und lim/n (vgl. Mengenlehre, §41).<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 9.2.1932. - 12 BU.^<br />
Uber limfn und limfn (vgl Mengenlehre, ^4V-<br />
9.2.32<br />
Die / mogen ein vollstdndiges System bilden, so dass die f^g^h, /* mit den<br />
Funktionen der Klassen (M, A^), (M, *), (*,A^), (Ncj^Ms) identisch sind (Satz<br />
XII).<br />
Einschiebungssatz (XIII): Zu g ^ h giebt es ein / mit g ^ f ^ h.<br />
Erweiterungssatz (XIV): Ist A^o eine Menge A", so lasst sich eine in A^o<br />
definirte Funktion von der Klasse (M, N) zu einer Funktion / des Raumes<br />
erweitern.<br />
Eine Funktion if = lim/n ist von der Klasse (*,7kf5), Denn mit gn —<br />
sup[/n,/n+i,---] ist (f = limgn = infgn {gi > 92 > •")'', 9n ist ein g,<br />
®HAUSDORFF hat auf Bl. 1 oben mit andersfarbigem Stift notiert: „StepanofF, Nikodym,<br />
Goldowsky".<br />
613
von der Klasse (M, *), also von der Klasse (*,M5) und kp von der Klasse<br />
(*,M55) = (*,M5). Allgemein ist jede Funktion ^ — inf ^^ oder jeder Limes<br />
9? — lim^n einer absteigenden Folge von g^^ immer von der Klasse (*,M5).<br />
Wir woUen nun die Umkehrung beweisen, dass jede Funktion Lp von der Klasse<br />
Bl. 2 (*,M5) eine Funktion ^ — lim^'n ist. |<br />
I. Es sei Mo eine Menge M und NQ = E — MQ ihr Komplement. Dann<br />
giebt es eine Folge von Funktionen fn (Funktionen /) folgender Art:<br />
(a) 0^/n^l;<br />
((3) fiir X e No ist fn{x) — 0 fiir alle n;<br />
(y) fiir X 8 Mo ist fn{x) — 1 fiir mindestens ein n und fn{x) > 0 fiir<br />
hochstens zwei n.<br />
Beweis. In dem trivialen Fall Mo = 0 setze man alle /^ = 0; in dem Falle<br />
Mo = E /i = l, /2 = /3--.- = 0.<br />
Sei demnach 0 C Mo C E'. Gemass (A) (S. 238) giebt es eine Funktion /,<br />
nennen wir sie S = S{x)^ die in Mo positiv ist und in NQ verschwindet (falls die<br />
/ die stetigen Funktionen, also die M die offenen, die N die abgeschlossenen<br />
Mengen sind, kann S = S{x, NQ) als untere Entfernung des Punktes x von A^o<br />
gewahlt werden).<br />
B1.3 Sind N\N^^ zwei disjunkte Mengen N, so giebt es | ein /, das in N^<br />
gleich 1, in N'' gleich 0 ist und liberall der Bedingung 0 ^ / ^ 1 geniigt.<br />
(Erweiterungssatz. Man kann einfach, wenn S' in M' = E — N' positiv, in N'<br />
gleich 0 ist, analog 6"^ / = s'^+5" setzen).<br />
Nunmehr betrachten wir, indem wir den Index n zunachst alle ganzen Zahlen<br />
= 0 durchlaufen lassen, eine Skala positiver Zahlen ..., p_2, p-i, po, Pi, P2, • • •<br />
mit pn < Pn+i, limn-.-ooPn = 0, linin-^ooPn = 1, sowie die Mittel p^^_ 2<br />
\{Pn + Pn+i)' Die Menge A^^ ^ [Pn-^ = ^ = Pn+^l i^t ein A", ebenso die<br />
dazu disjunkte A^^' — [S ^ Pn-i] -^ [^ = Pn+i]; es sei fn eine Funktion /,<br />
die in N!^ gleich 1, in A'^' gleich 0, und sonst zwischen 0 und 1 gelegen<br />
ist; falls A^^ =0, sei fn=0 iiberall. Diese Funktionen erfiillen (a) und, weil<br />
BL4 A'o £ A^' fiir jedes n, auch ((3). Ferner kann fn{x) > 0 nur in der Menge |<br />
E — N^ = [pn-i < 6 < pn+i] sein und von diesen Mengen konnen nur zwei<br />
benachbarte gemeinsame Punkte haben, so dass fn{x) > 0 hochstens fiir zwei<br />
n richtig sein kann; und da Mo — [5 > 0] = &N^, x e MQ also mindestens<br />
einer Menge A^;!^ angehort, so ist /n(^) = 1 fiir fiir mindestens ein n, also (y)<br />
richtig. Wir denken uns hinterher wieder die Numerierung so geandert, dass<br />
n = l,2,....<br />
II. (p sei von der Klasse (*, Mg), also Q{y) — [(p ^ y] = Mi{y)M2{y) - — =<br />
2) Mk (y). Man kann dann Mi (y) 2 M2 (y) 2 • • • und fiir die rationalen<br />
Zahlen r die Mk{r) so annehmen, dass mit r < s (wobei Q{r) 2 Q{s)<br />
ist) auch Mk{r) 5 Mk{s) fiir jedes A: = 1, 2,... ist.<br />
614
Dies gilt sogar schon, wenn die M nur einen Ring bilden (sie bilden bei den<br />
sonstigen Voraussetzungen - dass die / ein vollstandiges System bilden - sogar<br />
einen cr-Ring). Dass Mk{y) 2 Mk-\-i{y), erreicht man, indem man Mk{y) durch<br />
I Mi{y)M2{y) • • • Mk{y) ersetzt. Man kann dann Q{y) = l±mMk{y) schreiben. B1.5<br />
k<br />
Um das zweite zu erzielen, bringe man die rationalen Zahlen in eine Folge<br />
ri,r2,... . Angenommen, man habe fiir ri, r2,...,r/^ schon erreicht, dass mit<br />
ri < Tj Mk(ri) ^ Mk{rj) ist; das nachste r = rh-\-i kann dann zwischen zwei<br />
der ri, r2,..., r/j fallen oder grosser als alle oder kleiner als alle sein. Im ersten<br />
Falle sei etwa r^ < r < TJ , dann setze man<br />
Mj^ir) = Mk{r)Mk{ri) + Mk{rj),<br />
welches wieder ein M ist. Dann ist Mkin) 3 Ml^{r) ^ Mk{rj) und ^k Ml^{r) =<br />
limM^(r) = Q{r)Q{ri)+Q{rj) = Q{r); man kann also Mk{r) durch Ml^{r) ersetzen<br />
und hat damit fiir ri,..., rh-\-i das Gewiinschte erreicht. (Wenn r > ri =<br />
max [ri,..., r,,], ist Ml^{r) = Mk{r)Mk{ri), wenn r < rj = min [ri,..., r/^], ist<br />
Mj^{r) = Mk{r) + Mk{rj) zu setzen). Damit ist II bewiesen. | B1.6<br />
III. Jede Funktion (f der Klasse (*,M5) ist von der Form ip = limfm-<br />
(Wir betrachten nur durchweg endliche Funktionen, schliessen also ±00<br />
aus.)<br />
Zunachst sei (p > 0. Fiir positive rationale r betrachten wir die Mengen<br />
Q{r) = [ip^r] = ^Mk{r)<br />
P{r) = b y, also x ^<br />
[(p v .<br />
615
Denn dazu muss, wegen fkn = ^/c, Vk > v und andererseits x e Mk{rk) £<br />
Mk(v) sein; das kann wegen x e P{v) nur flir endlich viele k und fiir jedes<br />
Bl. 8 solche I k nur bei hochstens zwei Werten n der Fall sein. Also: fiir fast alle<br />
m ist fm{x) S ^5 demnach lim/m(x) ^ v und folglich l±m fm{x) ^ y. -<br />
Andererseits sei u eine positive rationale Zahl < y; dann giebt es unendlich<br />
viele Wertpaare k^n mit fkn{x) > u. Denn es giebt unendlich viele k mit<br />
u < Tk < y'l also X e [(p ^ rk] = Q{rk) £ Mk{rk) und zu jedem solchen /c ein<br />
n mit fkn{x) = fkn{x,rk) = r^. Also ist, fiir unendlich viele m^ fm{x) > Ui<br />
l±m fm{x) ^ lA und folglich l±m fm{x) ^ y. Damit ist l±m fm{x) = v^(x) fiir<br />
jedes X bewiesen.<br />
Wir haben III fiir (p > 0 bewiesen mit Punktionen /m ^ 0; wir konnen aber<br />
Z,^ > 0 annehmen, denn fur f^ = max[/^,^] ist l±mf^{x) = max[(y9,0] =<br />
(f. Wenn zugleich if < 1, so konnen wir auch fm < ^ annehmen, denn fiir<br />
B1.9 f'^ = miii[/rn, 1 - :^] ist auch Tim/;^ = if. (Aus | Cm = min[am,M ^Igt<br />
limcyn ^ min [Timam, lim^rri], aber auch limcm ^ min[Timam, lim^m] — A,<br />
denn dann ist fiir jedes 5 > 0 unendlich oft a^ > A — e und schliesslich hm ><br />
A — £, also unendlich oft Cm > A — £, limcm ^ A. In unserem Fall, wo l±mbm,<br />
existiert, ist l±mCm = min [Timam, lim^m], d.h. lim/^(x) = min [(/?, 1] = ip.)<br />
AUgemein konnen wir fiir a < (p < b auch a < fm < b annehmen.<br />
Ist sodann $ beliebig von der Klasse (*, Ms), so ist cp = i^\^\ von derselben<br />
Klasse und —1 < (p < 1, also cp = lim/m niit —1 < /m < 1. Dann ist mit<br />
Fm = iJrf I auch limFm = JT^ = ^^ weil die Beschrankungstransformation<br />
y = i^\Y\ inonoton und stetig ist. Damit ist III ohne Einschrankung bewiesen.<br />
Bl.io Eine Funktion -0 von der Klasse (A/'cj,*) ist in | der Form i/j = lim/m<br />
darstellbar.<br />
IV. Ist (p von der Klasse (*,M5), -0 von der Klasse (A/'o-,*), und ip ^ i/;,<br />
so giebt es eine Folge /n von Funktionen / derart, dass gleichzeitig<br />
(p = Ilm/n und -0 == lim/n •<br />
[1] Auf Grund von III konnen wir (p = lim^^, 9i ^ 92 = ''' als Limes<br />
absteigender g, ebenso (p = l±mhn, /ii ^ /i2 = • • • als Limes aufsteigender h<br />
darstellen. Dann ist gn ^ ^ ^ ip ^ hn und es lassen sich Funktionen fn mit<br />
[2] 9n = fn = hn cinschiebeu, fiir die sich demgemass<br />
(p ^lim/n ^ lim/n ^ -0<br />
ergiebt. Andererseits haben wir (^ = lim/^, -0 = Uja/n ^^^ ^^^ ^n —<br />
max[/n,/;], K'=min[/n,/;i<br />
limF^ =max[Iim/n,lim/^] = (p , ImF^ = min [lim/n, lim/^] =^,<br />
Bl. 11 wobei nun F^^ Z fn ^ Fl^ wird, also limF;^' ^ (p \ und limF;^ ^ -0. Fiir die<br />
Folge F[, F{\ ^2,^2',... , die wir mit Fn bezeichnen, ist dann<br />
limFn = max [limF^, limF^'] — cp, limK, = min [lim F^, lim F:^] — -0,<br />
616
und die Fn sind Punktionen /, womit IV bewiesen ist.<br />
Fiir ip = il; ergiebt sich das schon bekannte Result at, dass jede Funktion der<br />
Klasse {N(j,Ms) gleich lim/n ist.<br />
(Vgl. Stepanoff, Nikodym, Goldowsky, Fund. Math. 11, S. 264-76 fur den [3]<br />
Fall stetiger Funktionen /).<br />
Der Limes einer gleichmassig konvergenten Folge von Funktionen der Klasse<br />
(*, Ms) ist von derselben Klasse (Mengenlehre, S. 235). Der Limes einer gleichmassig<br />
konvergenten Folge von Funktionen if — lim/n ist also wieder eine<br />
solche Funktion.<br />
Die Konvergenzmenge einer Folge /^ (/n Funktionen /) ist ein N^s (Mengenlehre,<br />
S. 273), die Divergenzmenge ein M^^s. Umgekehrt ist jede beliebig<br />
gegebene Menge \ D = Mscj die Divergenzmenge einer Folge fn- Es sei Bl. 12<br />
D = & Dn, wo die Dn Mengen Ms sind und Di ^ D2 ^ • - angenommen<br />
werden kann, E — D — C. Wir definieren die Funktion (p<br />
= 1 ^ i 0<br />
in Di D2-D1 D3-D2 ... C.<br />
(f ist von der Klasse {^,Ms), denn [if ^ y] ist, wenn nicht 0 oder der ganze<br />
Raum, eine der Mengen Dn. Es ist (f ^ 0 und [(p > 0] = D, [ip — 0] = C.<br />
Nach IV, auf ip und '0 = 0 angewandt, giebt es eine Folge fn mit lim/n = ^5<br />
lim /n = 0, dann ist die Konvergenzmenge der Folge fn die Menge [y:> = 0] =<br />
C, die Divergenzmenge [(p > 0] = D.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Nach Definition ist (p = lim/n = infn^'n, wobei gn = sup;.^^ fk Funktionen<br />
g mit gk-\-i < gk-, V/c sind.<br />
[2] Hier wird der Einschiebungssatz (Mengenlehre, §41, XIII) benutzt, um fn<br />
zu er halt en.<br />
[3] HAUSDORFF bezieht sich hier auf [SN 1928] und [Go 1928].<br />
Kommentare<br />
Fasz. 662<br />
HAUSDORFF'S Hierarchic der Klassen F^, G^, H^ ist fast identisch mit der<br />
gegenwartig in der deskriptiven Mengenlehre allgemein akzeptierten: die Klassen<br />
F^, G^, H^ fallen mit n?_^^, E?_^^, A?_^^ zusammen (s.etwa [Ke 1995],<br />
§ ll.B). Dementsprechend ist die Definition hier verschieden von der in HAUS-<br />
DORFFs Mengenlehre, §32. Ist namlich ^ ungerade, dann entspricht F^ hier<br />
dem G^ in Mengenlehre, und umgekehrt entspricht G^ hier dem F^ dort. In<br />
[Ku 1933/1966] werden Mengen aus F^ bzw. G^ (wie in Fasz. 662 definiert)<br />
als Mengen der multiplikativen bzw. additiven Klasse ^ bezeichnet.<br />
617
Die Geschichte der Borelschen Hierarchien geht auf LEBESGUE zuriick. In [Lb<br />
1905] wurden offene (ouvert) bzw. abgeschlossene (ferme) Mengen der Klasse<br />
a (fiir jede hochstens abzahlbare Ordinalzahl a) definiert als Mengen der<br />
Form [a < f < b] bzw. [a < / < 6], wo / eine Funktion der Baireschen Klasse<br />
a ist (d. h. als Urbilder offener bzw. abgeschlossener Intervalle). Die Bairesche<br />
Hierarchie von Funktionen war etwas friiher in [Ba 1899] eingefiihrt worden.<br />
HAUSDORFF merkt an, da6 in dieser Definition die Limesordinalzahlen ausgespart<br />
sind, so da6 fiir jedes unendliche a die offenen bzw. abgeschlossenen<br />
Mengen der Klasse a mit F*^"^^ bzw. G*^"^^ identisch sind (d. h. in moderner<br />
Notation mit ^^^i bzw. H^^j^, weil l-\-a = a ist). LEBESGUE selbst nannte<br />
im Falle einer Limesordinalzahl a die Mengen aus F^ Mengen vom Rang a;<br />
fiir die Mengen aus G*^ hatte er in diesem Fall keine spezielle Bezeichnung.<br />
Die Hierarchie von DE LA VALLEE POUSSIN beginnt mit der Klasse 0 aller<br />
Mengen im Baire-Raum, die zugleich offen und abgeschlossen sind, oder (in einem<br />
beliebigen Raum) mit der Klasse 1 aller Mengen, die zugleich F^ und Gs<br />
sind. Induktiv erhalt man dann eine beliebige Klasse A"^ (a > 0 bzw. > 1) als<br />
die Menge aller Limites (konvergenter) a;-Folgen von Mengen der Klassen ^4^ ,<br />
£, < a. Diese Konstruktion beruht auf derselben Idee wie die Bairesche Funktionenhierarchie;<br />
man beachte hierbei, dafi die charakteristische Funktion von<br />
X = linin Xn gleich dem Limes der charakteristischen Funktionen der Mengen<br />
Xn ist. LusiNs Modifikation K^ ([Lu 1930b]) besteht aus alien Mengen<br />
von A^, die keiner Klasse A^ mit ^ < a angehoren. Somit bilden die LusiNschen<br />
Klassen ein paarweise disjunktes System und kein aufsteigendes, was<br />
HAUSDORFF sehr mififallen hat. HAUSDORFF bemerkt, daB die A^ fiir endliches<br />
^ mit seinen H^, fiir unendliches ^ mit seinen H^+^ zusammenfalien. In<br />
moderner Terminologie ist DE LA VALLEE POUSSINS A^ die Klasse A^_^^^^.<br />
Zu den Beziehungen zwischen den Hierarchien s. auch [Ku 1933/1966], § 30.IX<br />
und [Si 1932].<br />
Fasz. 1002 und 468<br />
In 1) von Fasz. 1002 wirft HAUSDORFF die Frage auf, ob das BAiREsche Theorem<br />
iiber Funktionen der ersten Klasse {Mengenlehre, Satz VIII auf Seite<br />
255) Verallgemeinerungen auf hohere Stufen der Borelschen Hierarchie gestattet.<br />
(Eine solche Fragestellung ist ganz naturgemaB im Rahmen der HAUS-<br />
DORFFschen Versuche, geeignete Verallgemeinerungen des Begriffs der reduziblen<br />
Menge fiir den Fall zu finden, daB die abgeschlossenen Mengen durch<br />
einen anderen 6-Ring ersetzt werden, z. B. durch eine der Borelklassen Gg,<br />
FCJ5, ... .) Eine Verallgemeinerung dieser Art hatte bereits LEBESGUE gefunden<br />
([Lb 1905], S. 191): Damit eine reelle Funktion f von der Baireschen Klasse<br />
^ ist, ist notwendig und hinreichend, dafi sie in mindestens einem Punkt einer<br />
jeden perfekten Menge {i^)-stetig ist. f heiBt (^)-stetig, wenn fiir beliebiges<br />
e > 0 jeder Punkt x des Definitionsbereichs von / eine Umgebung Ux besitzt,<br />
die als Vereinigung abzahlbar vieler disjunkter II^.^^-Mengen dargestellt werden<br />
kann, so dafi auf jeder dieser Mengen / eine Konstante mit der Prazision<br />
< £ ist und ferner jede dieser Mengen mit Ausnahme derjenigen, die x enthalt.<br />
618
nirgendsdicht in Ux ist.<br />
Was Punkt 2) von Fasz. 1002 betrifft, so hat KELDYSH ([K1 1944]) geeignete<br />
Verallgemeinerungen der in Anmerkung [2] zu Fasz. 1002 beschriebenen<br />
BAiREschen Konstruktion ([Ba 1909]) gefunden. Diese liefern (fiir endliches<br />
n) echte 11^ -Mengen, d. h. solche 11^ -Mengen, die nicht zur komplementaren<br />
Klasse S^ gehoren, allerdings von sehr kompliziertem Charakter. Im allgemeinen<br />
ist flir hohere Klassen T der Borelschen Hierarchie das einzige bekannte<br />
Verfahren, um zu beweisen, daB eine Menge X eine echte F-Menge ist, folgendes:<br />
man zeigt von einer anderen Menge Y, von der man schon weiB, sie<br />
ist echte F-Menge, dafi sie in gewissem Sinne auf X reduzibel ist (s. u.). Wir<br />
woUen nun zeigen, wie dies benutzt werden kann, um eine exakte Bestimmung<br />
der Borelklasse fiir gewisse Borelmengen in Fasz. 468 vorzunehmen.<br />
Wir betrachten Mengen in polnischen Raumen. Es sei F eine Klasse der<br />
Borelschen Hierarchie. Eine Menge X ist eine echte F-Menge, wenn sie zu F<br />
gehort, ihr Komplement jedoch nicht zu F gehort. Z.B. ist eine echte S^-<br />
Menge eine Menge in E^ — 11^ und eine echte 11^-Menge eine solche in<br />
n^ — S^ ; echte A^-Mengen existieren nicht. Die grundlegende Pragestellung<br />
in Fasz. 468 kann folgendermafien umrissen werden: Sind gewisse Borelmengen<br />
echte Mengen jener Klassen, zu denen sie in natiirlicher Weise gehoren?<br />
Die Reduzibilitat, auf die oben Bezug genommen wird, ist folgendermafien<br />
definiert: Sind X bzw. Y Mengen in polnischen Raumen A bzw. B, dann<br />
bedeutet 1^
etrachten eine Menge P C N^ in $r. Dann ist P = ^ieiPi = U^G^ Ciieu ^ '<br />
wo Pi C tNi'^ Mengen in F sind. Es gibt dann eine Familie stetiger Funktionen<br />
^i'.U^ ^E,so dafi Pi = ^i~\Xi). Sei ^(a) - {M(^)}iei fur a e N^, dann<br />
ist ^ : N^ -> £;'^ stetig. Wir haben<br />
aeP ^=> ^i{aePi) ^=^ ^^ (^i(a) G Xi) ^(a) G F.<br />
Um die zweite Behauptung zu beweisen, bemerken wir, dafi jede echte Teilmenge<br />
eines abzahlbaren diskreten polnischen Raumes offenbar A5-vollstandig ist<br />
(A? ist die Klasse aller Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind).<br />
Beispiel 1. Die Menge A* = {x G N'^ : 3^/c B'^i {x{i) = k)} aus HAUSDORFFS<br />
Note ist eine 114 = GSCJS-Menge (s. unseren Kommentar zu Fasz. 633; 3^ ist<br />
dasselbe wie lim). Die Definition ist aber nicht von der Art, um einen direkten<br />
Bezug zum $-Theorem zu erlauben, weil 3°^i nicht der Hnksmaximale<br />
Quantor ist.<br />
Die Hilfsmenge Y = {y e 2^^^ : 3^j 3'^i {y{ij) = 1)} ist n^-voUstandig<br />
wegen des $-Theorems und der Tatsache, dafi 3^ 3"^ A? = 11^ ist. Fiir jedes<br />
y ^ 2^""^ definiert man x = i}{y) G ^^ durch x{2'{2j + 1) - 1) - j • y{ij).<br />
Die Abbildung -i? hefert uns y ak{i)) fiir alle k ist, dann ist L eine echte<br />
rig-Menge; dies ist es vielleicht, was HAUSDORFF im Sinn hatte.<br />
Um dies zu beweisen, betrachten wir die Hilfsmenge<br />
Y = {ye 2^^^ : VA: V^i {y{k,i) = 1)}.<br />
Dies Y ist n3-vollstandig aus denselben Grlinden wie in Beispiel 1. Es bleibt<br />
Y
eine sehr kurze und direkte Anwendung des $-Theorems, wenn man annimmLt,<br />
da6 die gegebenen Folgen, sagen wir a^, paarweise orthogonal sind in dem<br />
Sinne, daB ak{m)ak'{m) = 0 fiir alle m und k ^ k' (und, um Trivialitaten<br />
auszuschlieBen, 3^m {ak{m) 7^ 0)).<br />
Fasz. 1064<br />
HAUSDORFF hat die Faszikel 1063 - 1066 in einer Mappe mit der Uberschrift<br />
„Ringe, Korper, Trennungssatze, Bedeckungssatze (Messbarkeit)" zusammengefaBt.<br />
Wir haben Fasz. 1064 fiir den Abdruck ausgewahlt, weil er in dieser<br />
Sammlung der inhalthch reichhaltigste ist, HAUSDORFFS Ausgangspunkt ist<br />
ein Korper 9JI von Teilmengen einer vorgegebenen Menge E (irgendeine topologische<br />
Struktur von E spielt hier keine RoUe). Es werden dann Erweiterungen<br />
von 971 mittels verschiedener Operationen betrachtet, insbesondere<br />
OTcT und dK^ (abzahlbare Vereinigungen bzw. Durchschnitte von Mengen 9Jl),<br />
9Jl^ = OJlo- n 9Jl6, und OJIA (Limites von konvergenten Folgen von Mengen in<br />
9Jl). Dann beweist HAUSDORFF daB 971A p, = ^^A = 5!JIA ist und stellt das einfache<br />
und das (endhche, in der Terminologie von Fasz. 607 mit oin bezeichnete)<br />
multiple 1. Trennungsprinzip fiir OJl^ auf. Schliefilich findet er eine notwendige<br />
und hinreichende Bedingung dafiir, daB eine abzahlbare disjunkte Vereinigung<br />
von Mengen aus ^^ zu 3JIA gehort und schlieBt mit dem 2. Trennungsprinzip<br />
fiir m^.<br />
Wenn der Ausgangskorper 971 eine Borelklasse A^ ist, dann ist 97la = Xl^,<br />
97l6 = li\ und folglich 971^ = A^ = 971 und 97tA = ^l+i- In diesem speziellen<br />
Fall waren einige dieser Resultate als Trennungsprinzipien fiir Borelklassen 115<br />
bekannt, z.B.aus LusiNs Legons sur les ensembles analytiques ([Lu 1930b]),<br />
worauf HAUSDORFF in einer FuBnote auf Bl. 3 verweist. Das Ziel, das HAUS<br />
DORFF in den Faszikeln 1063 - 1066 vorschwebte, war offenbar die Verallgemeinerung<br />
von LusiNs Resultaten auf den Fall, daB der Ausgangskorper keine<br />
Klasse A^ in einem polnischen Raum zu sein braucht (HAUSDORFF schreibt<br />
in Fasz. 1063: „In der ganzen Lusinschen Theorie ist diese Spezialisierung unerfreulich").<br />
Verallgemeinerungen dieser Art offenbaren die wahre Bedeutung<br />
der betrachteten Resultete und erlauben es, sich auf die wirklich wesentlichen<br />
Argumente zu fokussieren.<br />
Trennungssatze: Fasz. 607, 608, 609<br />
Diese Serie von drei Noten ist der multiplen Trennbarkeit gewidmet, einem Gegenstand,<br />
der 1934 von verschiedenen Autoren behandelt wurde ([No 1934a],<br />
Ly 1934], [Lu 1934])^ (Eine gewisse Form multipler Trennbarkeit wird auch im<br />
Fasz. 1064 betrachtet.) Es stellt sich bei diesen Untersuchungen unmittelbar<br />
als ein wesentlicher Punkt her aus, dafi die Forderung der Disjunktheit zweier<br />
Mengen verschiedene sinnvolle Verallgemeinerungen fiir endlich oder abzahlbar<br />
viele Mengen erlaubt. Z. B. kann man paarweise Disjunktheit verlangen oder<br />
^S. beziiglich der Friihgeschichte der Trennungssatze Anmerkung [97] zu Mengenlehre und<br />
die Kommentare zu Fasz. 1064 oben und zu Fasz. 426 im Abschnitt 5.<br />
621
aber, dafi der gesamte Durchschnitt oder (fur unendliche Mengenfamilien) der<br />
obere bzw. untere Limes leer ist. Dementsprechend fiihrt das auf verschiedene<br />
multiple Formen der Trennbarkeit, darunter jene, welche HAUSDORFF in<br />
Fasz. 607 klassifiziert hat.<br />
Die a-und (3-Formen haben sich als nicht wirklich interessant erwiesen. Die<br />
Form (Yn) jedoch und die y-Form mit der Bedingung, dafi der obere Limes<br />
verschwindet (d. h. die 2. Liapounoffsche Eigenschaft in der Terminologie von<br />
Fasz. 609), wurden flir Suslinmengen A in [No 1934a] bzw. [Ly 1934] bewiesen<br />
und dort auch angewandt, um einige Satze iiber die Einbettung von ebenen<br />
Suslinmengen in Borelmengen zu beweisen. LusiNs Pragestellung ([Lu 1934]),<br />
ob - wie im Fall der Versionen fiir zwei Mengen - auch die multiplen Trennungssatze<br />
fiir die Borelklassen 11^ gelten, wurde von SiERPiNSKi ([Si 1934])<br />
studiert. Es stellte sich heraus, dafi (y^) und (y^;) fiir 11^ gelten, nicht aber<br />
die 2.Liapunoffsche Eigenschaft, zusammen mit (oCuj) und ((3c^). Verschiedene<br />
kleinere Versehen in [Si 1934] hat HAUSDORFF im Faszikel 609 aufgedeckt.<br />
Schliefilich hat KuRATOWSKi in [Ku 1936] gezeigt, dafi hinter den verschiedenen<br />
Trennungssatzen eine etwas starkere Eigenschaft steht, die Reduktion<br />
genannt wurde. KuRATOWSKi bewies, dafi multiple Reduktionssatze in endlicher<br />
und abzahlbarer Form fiir die additiven Borelklassen XI^ gelten. (Sie<br />
gelten auch fiir Il\ und Y^l; dies wird weiter unten kommentiert.) Folglich<br />
gelten die Trennungsprinzipien (y^;) (wie in [Si 1934]) und (6^;) fiir die multiplikativen<br />
Klassen n^ (man braucht nur zu den Komplementen iiberzugehen;<br />
s. Fasz. 608).<br />
Fasz. 633<br />
Die Faszikel 631 - 633 des Nachlasses sind den Operationen lim und lim gewidmet,<br />
d. h. der oberen und unteren Limesbildung iiber abzahlbare Folgen<br />
von Mengen eines gegebenen Mengenringes. Das Hauptresultat ist der Satz auf<br />
Blatt 4, der besagt, dafi es zu jeder Menge R, die mindestens die Kardinalitat<br />
c hat, einen Ring {A) von Teilmengen A von R gibt, so dafi die Familie<br />
(A*) aller A* = lim An mit An G (A) kein Ring ist; insbesondere ist hier<br />
(A*) / (Ao-s). Einen solchen Satz hatte A. KOZNIEWSKI in [Kz 1933] bewiesen<br />
(darauf bezieht sich HAUSDORFFS Randnotiz, dafi er dieses zur Veroffentlichung<br />
in Fundament a Math, bestimmte Manuskript zuriickerbeten habe; den Namen<br />
Kozniewski schreibt er in dieser Notiz falschlich Kozniecki). Fasz. 633 enthalt<br />
aufier dem genannten Satz noch weiter e interessant e Result ate, weshalb wir uns<br />
fiir den Abdruck entschieden haben.<br />
HAUSDORFF weist auf verschiedene Falle {{a) — (S)) hin, in denen (A*) =<br />
(Acrd) gilt. Zum Beispiel ist dafiir hinreichend, dafi jede Menge von {Acj) eine<br />
abzahlbare disjunkte Vereinigung von Mengen aus (A) ist oder zumindest, dafi<br />
jede Menge aus (Aa) als Vereinigung einer Folge von Mengen An G (A) mit<br />
lim An = 0 geschrieben werden kann. Dies ist der Fall, wenn (A) ein Korper,<br />
d. h. abgeschlossen gegeniiber Komplementbildung ist. Es trifft auch, was nicht<br />
trivial ist, fiir Borelklassen 11^ zu (d. h.jede Menge in 5]^_|_i ist disjunkte<br />
Vereinigung von U^ -Mengen, [Ku 1933/1966], § 30.V), so dafi formal llmn^ -<br />
622
liml]^_^i = n^^2 ^^^ dementsprechend liml]^ = limEE^^i = ^a+2 &^^-<br />
HAUSDORFF vergleicht sein Resultat mit einem Satz von SIERPINSKI ([Si<br />
1931]), der besagt, dafi {Ax) = (^4^6) D (Asa) ist fiir jeden Ring {A). SiER-<br />
PiNSKis Beweis ist besonders durchsichtig. Sei X = [j^ f|n ^^ = flm Un ^i^^<br />
wobei man X^^ C X^ und Y^ C YJ^^ fiir alle m, n annehmen kann. Dann<br />
ist X — lim^_^oo Zn mit<br />
z„ = (X;iny„i)u(x2nyiny„2)u...u(x:nrin---ny„").<br />
Diese Beweisflihrung benutzt gleichzeitig eine a6- und eine 6a-Darstellung einer<br />
gegebenen Menge und braucht keine Aufspaltung in jeweils separate Argumentationen,<br />
um (A*) = (^sa) und {A*) = {Ac^s) zu beweisen. Das Hauptresultat<br />
HAUSDORFFS zeigt, dafi diese beiden Gleichungen fiir gewisse Ringe nicht gelten.<br />
HAUSDORFFS Fufinote auf Bl. 6 bezieht sich auf ein Resultat in Fasz. 677<br />
(abgedruckt weiter unten in Abschnitt 6.); s.dazu auch den Kommentar zu<br />
[H 1936a] in diesem Band.<br />
Fasz. 425<br />
Diese Note ist eine schone Erganzung zu § 41 der Mengenlehre. Angenommen,<br />
^ ist ein vollstdndiges Funktionensystem (von Funktionen / : ^ -^ IR, A eine<br />
beliebige Menge; vgl. Mengenlehre, S.236). Tl bzw. ^ seien die Systeme aller<br />
Teilmengen von A der Form [/ > y] bzw. [/ > y] mit y ^R und f E S - Dann<br />
fallt ^ mit der Klasse (M, ^) von Funktionen ^ -^ IR zusammen {Mengenlehre,<br />
Satz VIII auf S. 241). HAUSDORFF gibt in §41 der Mengenlehre geeignete<br />
Charakterisierungen der Klassen 0, ij, ^* (resp. Suprema, Infima, punktweise<br />
Limites von Folgen von Funktionen aus 5^) in Ausdriicken von SPt und 9^. Die<br />
vorliegende Note liefert eine analoge Charakterisierung der Klasse der oberen<br />
und der Klasse der unteren Limites.<br />
Bezeichne g' die Klasse aller Funktionen der Form ^{x) = linin fn mit<br />
fn ^ 5^- Wir nehmen der Einfachheit halber an, dafi weder cp noch irgendeines<br />
der fn unendliche Werte annimmt. Eine einfache Abschatzung zeigt, dafi (p<br />
von der Klasse (*,97l6) ist, d. h. die Mengen [(p > y], 2/ G IR gehoren alle<br />
zu dJls. HAUSDORFF zeigt, dafi umgekehrt jede Funktion von (*,97t6) zu S<br />
gehort. Folglich ist 5^ == (*, Tls) und dementsprechend g = (^a, *) •<br />
Um HAUSDORFFS Beweis fiir diese Umkehrung etwas naher zu erlautern,<br />
nehmen wir an, (p : A -^ R sei eine Funktion aus (*,9Jl5). Insbesondere ist<br />
dann fiir jede rationale Zahl r die Menge Q^ = {x : cp{x) > r} eine Tls-<br />
Menge. Ein einfaches kombinatorisches Argument (Satz II) zeigt, dafi es eine<br />
Darstellung Q^ = fl^ M^ gibt, so dafi alle M^ zu DJl gehoren, M^^^ C M^<br />
ist und ferner M^ C M^ gilt, falls r < s. Wir fixieren irgendeine Abzahlung<br />
Q = {r{k) : /u G N} der rationalen Zahlen durch die natiirlichen Zahlen und<br />
definieren r]k{x) = r fiir x G M^^ ^ und rjk{x) = —oc fiir x 0 M^^ . Dann<br />
ist (p = limkTjkj aber leider gehoren die Funktionen rjk (die charakteristischen<br />
Funktionen der Mengen M^^ ^) nicht notwendig zu S^. HAUSDORFFS<br />
623
wichtigstes Instrument, um diese Schwierigkeit zu iiberwinden, besteht darin<br />
(Satz I), jedem rjk eine abzahlbare Folge von Funktionen fkn € 5^ in folgender<br />
Weise zuzuordnen: Jedes fkn ist weiterhin = — oc aufierhalb M^ ; fiir<br />
jedes X G M^^ ^ gibt es wenigstens ein n mit fkn{x) = r]k{x) = r, und es<br />
gibt hochstens zwei n mit fkn{x) > — oo. Transformiert man die Menge der<br />
Funktionen fkn in eine einfache Folge {/m}meN, hat man gerade (p = llmfm<br />
wie verlangt.<br />
HAUSDORFF zitiert hier frlihere ahnliche Resultate von STEPANOFF, NIKO-<br />
DYM und GOLDOWSKY ([SN 1928], [Go 1928]), die sich auf Limites stetiger<br />
Funktionen beziehen.<br />
Literal ur<br />
[Ba 1899] BAIRE, R. : Sur les fonctions de variables reelles, Annali di matematica<br />
pura ed applicata, Serie Ilia, 3 (1899), S. 1-122.<br />
[Ba 1909] BAIRE, R. : Sur la representation des fonctions discontinues, Acta<br />
Math., 32 (1909), S. 97-176.<br />
[Go 1928] GOLDOWSKY, G.: Sur les suites des fonctions continues, Fund.<br />
Math., 11 (1928), S. 275-276.<br />
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.<br />
[Kl 1944] KELDYSH, L.: Sur la structure des ensembles mesurables B (Russian),<br />
Trudy Mat. Inst. Steklov, 17 (1945), S. 1-75.<br />
[Kz 1933] KOZNIEWSKI, A.: Quelques remarques sur les anneaux d^ensembles,<br />
C. R. Soc. Sci. Varsovie, 25 (1933), S. 34-42.<br />
[Ku 1936] KURATOWSKI, C.: Sur les theoremes de separation dans la theorie<br />
des ensembles, Fund. Math., 26 (1936), S. 183-191.<br />
[Ku 1933/1966] KuRATOWSKi, K.: Topology, vol I, New edition, revised<br />
and augmented. Academic Press, 1966. Erstausgabe: Topologie L Monografie<br />
Matematyczne, vol. Ill, Warszawa 1933.<br />
[Lv 1925] LAVRENTIEFF, M.: Sur les sous-classes et la classification de M.<br />
Baire, C. r. Acad. sci. Paris, 180 (1925), S. 111-114.<br />
[Lb 1905] LEBESGUE, H.: Sur les fonctions representable analytiquement,<br />
Journ. de Math. (Ser. 6), 1 (1905), S. 139-216.<br />
[Lu 1927] LusiN, N.: Sur les ensembles analytiques. Fund. Math., 10 (1927),<br />
S. 1- 95.<br />
[Lu 1930a] LusiN, N.: Analogies entre les ensembles mesurables B et les<br />
ensembles analytiques. Fund. Math., 16 (1930), S. 48-76.<br />
624
[Lu 1930b] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,<br />
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.<br />
[Lu 1934] LusiN, N.: Quelques remarques sur la separabilite multiple, C. R.<br />
(Dokl.) Acad. Sci. URSS, 2 (1934), S. 280-284.<br />
[Ly 1934] LiAPOUNOFF, A.: Sur la separabilite des ensembles analytiques, C.<br />
R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, 2 (1934), S. 276-280.<br />
[No 1934a] NoviKOFF, P.: Sur une propriete des ensembles analytiques, C.<br />
R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, 2 (1934), S. 273-276.<br />
[No 1934b] NoviKOFF, P.: Sur la separabilite B denombrable des ensembles<br />
analytiques, C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, 3 (1934), S. 145-148.<br />
[No 1934c] NoviKOFF, P.: Generalisation du deuxiemeprincipe de separabilite,<br />
C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, 4 (1934), S. 8-11.<br />
[Ru 1935] RuziEWiCZ, S.: Sur la separabilite multiple des ensembles. Fund.<br />
Math., 24 (1935), S. 199-205.<br />
[Si 1924] SiERPiNSKi, W.: Sur une propriete des ensembles ambigus. Fund.<br />
Math., 6 (1924), S. 1-5.<br />
[Si 1924a] SiERPiNSKi, W.: Sur une propriete des ensembles F^s, Fund.<br />
Math., 6 (1924), S. 21-23.<br />
[Si 1931] SIERPINSKI, W.: Sur une propriete des limites d'ensembles, C. r.<br />
Acad. sci. Paris, 192 (1931), S. 1625-1627.<br />
[Si 1932] SiERPiNSKi, W.: Sur les rapports entre les classifications des ensembles<br />
de MM. F. Hausdorff et Ch. de la Vallee Poussin, Fund. Math.,<br />
19 (1932), S. 257-264.<br />
[Si 1934] SiERPiNSKi, W.: Sur la separabilite multiple des ensembles mesurables<br />
B, Fund. Math., 23 (1934), S. 292-303.<br />
[SN 1928] STEPANOFF, W.; NIKODYM, O. : Sur les suites des fonctions continues.<br />
Fund. Math., 11 (1928), S. 264-274.<br />
[VP 1916] DE LA VALLEE POUSSIN, CH. : Integrales de Lebesgue, fonctions<br />
d'ensembles, classes de Baire, Paris, 1916.<br />
625
3. Borelsche Funktionen<br />
Dieser Abschnitt enthalt drei Noten HAUSDORFFS liber Borelsche Funktionen<br />
vom Marz 1937. Unter Borelschen Funktionen verstand HAUSDORFF Funktionen,<br />
fiir die das Urbild jeder offenen Menge eine Borelmenge ist. In heutiger<br />
Terminologie sind Borelsche Funktionen Borel-mefibare (B-me6bare) Abbildungen.<br />
Diese fallen mit den Abbildungen der Baireschen Klassifikation zusammen,<br />
wenn man letztere direkt mit $i beginnt (s. Anmerkungen [129] und [135] zu<br />
Mengenlehre).<br />
KuRATOWSKi definierte in [Ku 1934] eine Abbildung f : X -^ Y als Abbildung<br />
der Klasse a {a < uji)^ wenn alle /-Urbilder von offenen Mengen in<br />
Y G^-Mengen in X sind. (Dies ist dasselbe wie die Funktionen der Klasse<br />
{G^^F^) im Sinne von §43, Mengenlehre^ s.Anmerkung [134] zu Mengenlehre.)<br />
Ein Homoomorphismus der Klasse a^fi ist dementsprechend eine bijektive<br />
Abbildung / der Klasse o;, so daB f~^ von der Klasse (3 ist. Im Fokus von<br />
HAUSDORFFS Interesse an diesen Untersuchungen standen solche Eigenschaften<br />
Borelscher Funktionen, die deren Klassen mit den Klassen ihrer Definitionsbereiche<br />
und Wertevorrate in Verbindung bringen, insbesondere, wenn der Wertevorrat<br />
ein „Nullraum" ist, d. h. der nuUdimensionale Bairesche Raum j\^ = H^<br />
(homoomorph mit der Menge der irrationalen Zahlen), oder eine von dessen<br />
Teilmengen.<br />
Die zum Abdruck ausgewahlten Faszikel 618 und 619 enthalten HAUSDORFFS<br />
Uberarbeitung von hauptsachlich auf KURATOWSKI zuriickgehenden Resultaten,<br />
welche die Erweiterung von Borelfunktionen und deren Anwendung auf<br />
abgeschlossene und Borelsche Teilmengen von ^ betreffen. Der abschlieBende<br />
Faszikel 620 enthalt die urspriingliche Version von HAUSDORFFS Satz aus der<br />
Publikation [H 1937] (iiber verdichtete Borelmengen als Borelsche Bilder des<br />
gesamten NuUraumes ^) und viele weitere damit zusammenhangende Bemerkungen<br />
und Behauptungen.<br />
In den hier in Rede stehenden Noten benutzt HAUSDORFF die Symbole<br />
F^, G^, i/^ zur Bezeichnung der Borelschen Klassen in derselben Bedeutung<br />
wie in dem oben (Abschnitt 2.) abgedruckten Fasz.662, d.h. F^, G^, H"^ fallen<br />
(in moderner Notation) mit S?,^^,, nJ+Q,, A?^Q, zusammen. F^, G^ fallen<br />
jedoch nicht mit F^, G^ in Mengenlehre zusammen (s. den Kommentar zu<br />
Fasz. 662 im Abschnitt 2).<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 618<br />
Erweiterung Borelscher Funktionen<br />
HS. MS. - [Bonn], 4.3.1937. - 8 BU.^<br />
Erweiterung Borelscher Funktionen. 4. 3.37<br />
[1] Die Borelschen Mengen des Raumes X seien F^, G^; H'^ die zweiseitigen<br />
(die zugleich F^, G^ sind). Ist ^ C X, so sind AF^, AG"^ die Mengen, die<br />
rel[ativ] A F^, G^ sind (per definitionem); unter den relativ zweiseitigen,<br />
^Fasz. 618 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 247-254.<br />
626
die zugleich AF^ , AG^ sind, befinden sich jedenfalls die Mengen AH*^ , aber<br />
nicht jede relativ zweiseitige ist ein AH^. (Z.B. a = 0; wenn X zusammenhangend<br />
ist, sind nur 0 und X die Mengen if ^, wahrend in A^ wenn es<br />
nicht zusammenhangend ist, auch noch andere zugleich offene und abgeschlossene<br />
Mengen als 0 und A existieren). Wenn jedoch A ein F^ (a > 0) ist, so<br />
ist jede Menge Ai, die zugleich AF^ , AG^ ist, von der Form AH^ ; denn Ai<br />
und A2 = A — Ai sind disjunkte F^ und lassen sich (1. Trennungssatz) in disjunkte<br />
Xi, X2, die H^ sind, einschliessen, dann ist A C Xi-\-X2, Ai = AXi<br />
{Ai c AXu A2 C AX2, AXi ^A- AX2 cA-A2 = Ai).\ BL2<br />
(1) Es sei A c X, A^ = AQn in A ein G^ {Qn = G^). Dann giebt es<br />
eine Menge P D A, die ein F'^ ist, derart dass die Mengen Xn — PQn<br />
(fiir die ja AXn — APQn — AQn = An ist) mit den Mengen An dhnlich<br />
sind (d. h. mit An^ • • • Am, — 0 ist X^ • • • Xnj, = 0; insbesondere mit<br />
An = 0 auch Xn = 0).<br />
Sei Q die Summe aller Q^i • * • Quk ^^ ^ni • • • ^n^ = 0 (oder aller Qm • • •<br />
Qnk C X - A)] Q ist zu A disjunkt, P = X - Q D A, Q ist ein G"^,<br />
P ein F^. Fur A^ - - An^ = 0 ist Qm'Qnk C Q, PQu^'Quk = 0,<br />
Xn^ ' ' ' Xnk = 0 •<br />
(2) Es sei ^ c X ein F^ {a > 0), An in A sowohl G^ als F^, also<br />
An = AQn (Qn ^iu H^). Dauu giebt es Mengen Xn = H^ , die mit den<br />
Mengen An ahnlich sind, und fiir die AXn = ^n; fells die An disjunkt<br />
und ^An — A^ kann ^ Xn — X gemacht werden.<br />
Wir setzen Xn = Qn — ^ Qm ' • • Qn^ ? erstreckt liber diejenigen ni,..., n^ <<br />
n, fiir die An^- " Anj^ = 0. Die Summe enthalt endlich viele Summanden, sie<br />
und Xn ist ein H^ . Wir haben AXn = AQn — An • Fiir A^ • • • Any, = 0 und<br />
max[ni,..., n^] = n ist | X^ • • • Xn,, C Qm • • • Qn^ z^ Xn disjunkt: BL3<br />
1st insbesondere Yl^n = A, so modifizieren wir zunachst die Qn so, dass<br />
^Qn — X wird. Ist noch J2Qn — 'S' 7^ X, also A C S, so sind A und<br />
X — S disjunkte F^; nach dem 1. Trennungssatz giebt es ein Qo = H^ mit<br />
X — 5 C Qo J ^Qo = 0. Wir fligen (nachdem wir fiir An — ^ auch Qn = 0<br />
gesetzt haben) das Qo einem Qm ^ 0 hinzu, wodurch A{Qni + Qo) — AQm =<br />
Am sich nicht andert; schreiben wir wieder Qm statt Qm + Qo , so ist nun die<br />
Summe der Qn gleich S-\-Qo = X. - Sind weiter die An disjunkt, so reduziert<br />
sich die Ahnlichkeitsforderung darauf, dass mit An auch Xn verschwindet und<br />
dass zwei Xn mit verschiedenen Indizes disjunkt sind; dies wird erreicht durch<br />
(fiir An — 0 ist Qn = Xn = 0); es bleibt<br />
m
Bl.4 und es ist J2^n ^JZQn^^- \<br />
(3) Es sei ^4 C X und ein System von Mengen ^ni...nfe = AQni...nk gegeben,<br />
die in A G^ sind {Q<br />
m-.-rifc — G^). Dann giebt es eine Menge P Z) A,<br />
P = F"^, so dass die Mengen Xm...nk = PQn^.nk (f^r die AXni...nfc =<br />
^ni...nfc ist), mit den Mengen ^ni...nfc ahnlich sind.<br />
Das ist nur eine andere Schreibweise fiir (1).<br />
Setzen wir fiir festes k:<br />
Q — 2^ Qni,..nki X — 2^ Xni...nk'') ^ — PQ -<br />
ni...nfc ni...nfc<br />
Xni...nfc == PQni.nk ' ^^ = X^Qn^...nk ist in X^ ein G" , X^ selbst von der<br />
Form F"^ G"^. Ferner<br />
1st An, D<br />
A^= J2 ^n,...n.; A^ = AQ^ = AX^.<br />
ni...nfc<br />
Anin2 ^ • • • , SO kann man auch Qm ^ Qmn^ ^ ''' annehmen<br />
(man ersetze Qnin2 durch QniQnin2 usw.); Q^ D Q^ D • • • , X^ D X^ D • • • .<br />
Ist A == ^4^ =^ A^ = • • , so ist<br />
AcjJX^ .<br />
k<br />
(4) Es sei A C X ein F"^ {a > 0), die Ani...nfc = -AQni...nfc, Qm...nk ein<br />
if^ . Es giebt iJ^-Mengen Xni...nfc mit Ani...nfc = ^Xni...nfc, die mit den<br />
Ani...nk ahnlich sind. Wenn die Ani...nfc bei festem k disjunkt sind und<br />
stets A — A^^so kann man erreichen, dass alle X^ = X sind.<br />
Der erste Teil der Behauptung ist nur eine andere Schreibweise fiir (2). Der<br />
Bl. 5 zweite Teil ist fiir A: = 1 in (2) bewiesen; nehmen wir an, | er sei fiir k bewiesen:<br />
X^ = X. Wir wenden (2) statt auf X, A, An auf Xn,,,,nk ^ ^ni-.-n^ , Ani...nkn<br />
a^" -t-'S ist -i^m.-.TikTi ^^^^ -^^ni...71^71 ^^ -^ni...nfc^jni...nfcn 1^ -^ni...nfc ^1^ ^ 5<br />
• •rik ^^ Xni...nk ^^^ F^. Es giebt also Mengen Xni...nkn ^<br />
die mit den An,...nkn ahnlich sind (d.h. mit ihnen zugleich verschwinden und<br />
paarweise, beziiglich n, disjunkt sind), die ferner H^ in Xni...nk i also in X<br />
sind; und da<br />
kann<br />
n<br />
n<br />
erreicht werden, was zu X^"^^ = X fiihrt. Damit ist die Behauptung bewiesen;<br />
wir haben genauer<br />
628
jedesmal mit disjunkten Summanden.<br />
(Hierzu vgl. Kuratowski, Top. I, p. 165-66). [2]<br />
(5) f{x) sei eine in A C X definierte Abbildung der Klasse a in den<br />
voUstandigen separablen Raum Y. Sie lasst sich zu einer Punktion der<br />
Klasse a in einer Menge A* = F^+^ D A erweitern; fiir a > 0 und<br />
A = F^ zu einer Funktion der Klasse a im ganzen Raum X. (Kuratowski,<br />
Top. I, p. 219). [3]<br />
Fiir a = 0 (Erweiterung einer stetigen Funktion von A auf ein G^ Z) A) ist<br />
die Sache bekannt; sei also a > 0. | B1.6<br />
f{x) ist (Banach) gleichmassiger Limes von Funktionen f^{x) der Klasse<br />
a, die in A definiert sind und isolierte Wert menge haben:<br />
f\A)^{y^„yl...)<br />
mit endlich oder abzahlbar vielen Punkten rechterhand. Das Urbild<br />
ist, da y^ in f^{A) gleichzeitig offen und abgeschlossen ist, in A gleichzeitig<br />
G^ und F^ . Falls f^{A) nur endlich ist, setzen wir schliesslich A^ = O.Es ist<br />
mit disjunkten Summanden. Sei<br />
also<br />
Anin2...nk<br />
^ = / ^ ^ni 5<br />
ni<br />
^ni ^ / ^ -^nin2?<br />
Hierzu giebt es nun nach (3) Mengen Xni...nk ^^ -^-^ni...nfc = ^ni...nk 5 die in<br />
n2<br />
X = 2^ -^ni...nfc<br />
ni...nfc<br />
G*^ (und F*^) sind, wahrend X^ von der Form F^G^ ist; zugleich<br />
Xn, D Xn,n, 3 ''' , X^ D X^ D • • • ; A* = n^^<br />
ist von der Form F^+^ und D A. Die X^i...nfc mit festem A: sind disjunkt.<br />
- Ist speziell A = F^, so kann X^ — X"^ = - -- = X gemacht werden, die<br />
Xni...nfc sind Mengen H"^ . \ BL7<br />
629<br />
A;
Wir erweitern f^{x) zu (p^{x) auf X^ , indem wir in Xni...nfc_in /^(^) ^ 2/^<br />
setzen, es wird (p^{X^) = f^{A). Das Urbild von y^ ist<br />
ni...nfc_i<br />
also in X^ ein G^; jedes Urbild einer Menge C ip^{X^) = {2/1,2/25 •••} i^t<br />
= X^G^ und daher zugleich X'^F^; 99^(0:) ist in X^ von der Klasse a.<br />
ip^{x\A*) ist in A* von der Klasse a.<br />
Da die Funktionen f^ (a) in A gleichmassig konvergieren und man also<br />
\fia)-fia)\< 1 fiir k>i<br />
annehmen kann, bilden die Funktionswerte (p^{x) fiir x e A* eine Fundamentalfolge.<br />
Sei x e Xn^^^^rik ^ ^ni-.-m und a ein Punkt eAn^,..nk ^ An^,,,ni (fiir<br />
Xni...nk 7^ 0 ist ^ni...nfc 7^ 0). Dann ist (f^{x) = 2/n^ = f^{a) und ebenso<br />
^'(x) =yn, = f{a), also<br />
\(p^(x) - (f''{x)\ < - fiir A: > i, x 8 A* .<br />
Da Y vollstandig ist, existiert (p{x) = lim ip^{x) fiir x e A"^ und ist, als gleichmassiger<br />
Limes der Funktionen (p^{x\A*) von der Klasse a, wiederum von der<br />
Klasse a. Fiir x e A ist (p{x) = f{x). Damit ist der Satz (5) bewiesen. (Fiir<br />
BL8 A = F^ kann A* = X gemacht werden). |<br />
Jede Funktion der Klasse a in A Idsst sich zu einer Funktion der<br />
[4] Klasse a-\-1 in X erweitern.<br />
Namlich zu einer Funktion der Klasse a in A'^ = F^~^^ D A, und diese zu<br />
einer Funktion der Klasse a + 1 in X.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Zur Bedeutung von F^, G*^, H^ in diesem Faszikel s. den Kommentar zu<br />
Fasz. 662 oben in Abschnitt 2.<br />
[2] HAUSDORFFS vorbereitende Satze (1) - (4) fiir den Beweis des Erweiterunssatzes<br />
(5) sind Variationen der Resultate in [Ku 1933/1966], §30.VIIL<br />
[3] Eine Funktion der Klasse a ist eine Funktion /, fiir welche die / -Urbilder<br />
offener Mengen C^-Mengen sind - mit anderen Worten, eine Funktion der<br />
Klasse {G^^F^) im Sinne von Mengenlehre, §41, falls man nur reelle Funktionen<br />
betrachtet. Der Erweiterungssatz (5) stammt von KURATOV^SKI ([KU<br />
1933]) und ist ein Theorem in [Ku 1933/1966], §35.VL Die letzte Behauptung<br />
ist ein Spezialfall von Satz XIV in Mengenlehre, § 41 (bzw. Satz III in § 43); dafi<br />
HAUSDORFF hier nur reelle Funktionen betrachtet, ist fiir die Beweisfiihrung<br />
nicht wesentlich.<br />
630
[3] Das Resultat ist ein KoroUar in [Ku 1933/1966], §^5.VI; KURATOWSKI<br />
gibt dort weitere Literatur an.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 619<br />
Borelsche Funktionen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 5.3.1937. - 18 Bll.^<br />
5.3.37<br />
Borelsche Funktionen<br />
(Kuratowski, Top. I, p. 177.) [1]<br />
f{x), Abbildung von X in y, heisst von der Klasse a, wenn f~^{F) ein F^<br />
ist, Oder f-\G) ein G^.<br />
Durch Induktion nach P folgt: f-\F^) ist F^+^, f-\G^) ist G^+^. Ist<br />
y = f{x) von der Klasse a, z = g{y) von der Klasse /3, so ist g{f{x)) von<br />
der Klasse a + /3. 1st g oder / stetig, so ist gf von der Klasse a, resp. P.<br />
Ist X = Xi + ^2 -h • • • , Xn ein G^, und die Teilfunktion fn = f\Xn von<br />
der Klasse a, so ist / von der Klasse o;. Ist X = Xi ~\ h Xn, Xk ein F^<br />
und die Teilfunktion fk von der Klasse a, so ist / von der Klasse a. Mit /<br />
ist jede Teilfunktion f\A von der Klasse a.<br />
Ist f{x,y) beziiglich x stetig und beziiglich y von der Klasse a, [2]<br />
so ist sie als Funktion von (x, y) von der Klasse a + 1.<br />
(Auch wenn die von x^y durchlaufenen Raume X^Y nicht separabel sind.<br />
Montgomery - Kuratowski, F. M. 25). | B1.2<br />
(Ist f{x,y) beziiglich x und y von der Klasse 1, so braucht sie beziiglich<br />
(x, y) nicht Borelsch zu sein. Ist in der Ebene (X, Y) C eine beliebige Menge<br />
auf einer Kreisperipherie, so ist die charakteristische Funktion von G beziiglich<br />
X und y von der Klasse 1, da sie auf jeder Geraden y — const., x = const,<br />
hochstens zwei Unstetigkeitspunkte hat (oder hochstens einen, wenn G auf der<br />
Geraden x = y angenommen sind). Als Funktion von {x^y) ist sie dann und<br />
nur dann Borelsch, wenn G Borelsch ist.)<br />
Sei X — (Xi, X2,...) das Produkt von endlich oder abzahlbar vielen Raumen<br />
Xk\ x = (xi,X2,...) die Elemente von X, x^ 8 X^. x = f{t) eine<br />
Abbildung von T in X, bedeutet Xk = fk(t), /(t) = {fi{t), ^(0, • • •), fk{t)<br />
Abbildungen von T in X^.<br />
Damit f{t) von der Klasse a sei, ist notwendig und bei separablen [3]<br />
Xk auch hinreichend, dass jedes fk (t) von der Klasse a sei.<br />
^Fasz. 619 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 255-272.<br />
631
Notwendig, da Xk = Xk{x) stetige Punktion von x, fk{t) = Xk{f{t)) ist. -<br />
Sind die fk{t) vonder Klasse a, Uk 'm Xk offen, so ist /~^(C/i,... Uk.Xk+i,...)<br />
= fi~^{Ui) • • • fk~^{Uk) T' " ein G^. Bei separablen Xk sind dann die Ur-<br />
Bl. 3 bilder aller in X offenen Mengen Mengen G^, | da die (C/i,... C//c, Xk-\-i, • -.) ^<br />
wenn man die Uk Mengen einer abzahlbaren Basis von Xk durchlaufen lasst,<br />
eine abzahlbare Basis von X bilden.<br />
AUgemeiner: sei T = (Ti,T2,...), Xk = fk{tk) eine Abbildung von Tk in<br />
Xk ; dann ist x = (/i(ti), /2(^2), • • •) — /(^) ^^^^ Abbildung von T (Menge der<br />
t — (ti, ^2, • • •)) ^^ ^ ~ (^1^ ^2, •' •) (aber eine spezielle Abbildung, indem<br />
sie jede Koordinate von t in eine Koordinate von x transformiert).<br />
Sind die fk(tk) von der Klasse a und alle Xk separabel, so ist<br />
f(t) von der Klasse a.<br />
Denn da tk = tk{t) stetige Funktion von t ist, ist fk{tk) = fk{tk{t)) = ^k{t)<br />
auch in t von der Klasse a und f{t) — {ipi{t),(p2{t),...) ebenfalls. Wenn<br />
insbesondere fk{Tk) = Xk (Abbildung von Tk auf Xk) so ist /(T) = X.<br />
Ist y = g{x) — g{xi,X2,'' -) von der Klasse 0, so ist y — g{f{t)) =<br />
gifi{ti)^ 72(^2), • • •) von der Klasse a 4- /? {Xk separabel).<br />
[4] (I) Ist y =^ f{x) (wieder Abb. von X in Y) von der Klasse a, so ist<br />
I = E [y = f{x)] ^^ (-^5 y) e^^ F^ 1 falls Y separabel ist. Ist C in<br />
x,y<br />
(X, Y) ein F^ oder G^, so ist die Projektion von CI auf X ein F^~^^<br />
Oder G«+^.<br />
B1.4 I Beweis: (p{x,y) = \y — f{x)\ ist von der Klasse a, weil \y — yi\ stetige<br />
Funktion von y,yi ist {f{x)^y) ist Abbildung der Klasse a von (X,F) in<br />
(y, Y), danach kommt die stetige Abbildung I2/1 — 2/| von (y, Y) in die Menge<br />
E der reellen Zahlen; das giebt eine Abbildung der Klasse a von (X, Y) m E,<br />
namlich (p{x,y).) I — £" [(/?(x, 2/) = 0] als Urbild des Punktes 0 ist also ein<br />
x,y<br />
F^. - Ferner ist g{x) = (x,/(x)) Abbildung der Klasse a von X in (X, F),<br />
das Urbild g-^{C)<br />
ist; dies Urbild ist<br />
von C ist F^+^ oder G^+^, wenn C ein F^ oder G^<br />
^[(x,/(x))8G]^£:X^[(x,2/)8G][y = /(x)]=^<br />
X y<br />
Projektion von E [{x,y) eC][y = f{x)\ = CI.<br />
x,y<br />
Die Grenzfunktion einer konvergenten Folge fn{x) (Abbildungen von X in<br />
Y) von Funktionen der Klasse a ist von der Klasse o; + 1, bei gleichmassiger<br />
Konvergenz von der Klasse a. (Mengenlehre, S. 267). (Sind die fn{x) von<br />
Klassen < a, a eine Limeszahl, so ist l±mfn{x) von der Klasse a + 1, bei<br />
gleichmassiger Konvergenz von der Klasse a.)<br />
Bei separablem Y ist eine Funktion der Klasse a stets Grenzfunktion gleichmassig<br />
konvergenter isolierter Funktionen fn{x) der Klasse a (d.h. fn{^)<br />
BL5 isoliert). |<br />
632
Jede Menge G^ im vollstdndigen Raum ist mit einem vollstdndigen [5]<br />
Raum homoomorph. (Mengenlehre S. 214 f.)<br />
Einfacherer Beweis: -A = ]^ Gn , Gn offen im voUstandigen Raum X; es sei<br />
— X-Gn (wir konnen die Gn^ X, Fn ^^ 0 voraussetzen), fn{x) — ^(^^p^<br />
fiir X eGn- Wir definieren in A als neue Entfernung<br />
pix,y) = \x-y\ + Y,Cn i|^:)^JTf")^jJ^)| (cn > 0, ^^c„ konvergent) .<br />
n<br />
p{x^y) erfiillt die Entfernungsaxiome; die neue Metrik ist mit der alten topologisch<br />
aquivalent, denn mit p{x^y) -^ ^ ist |a; — 2/| —^0, und wenn, bei<br />
festem x, y ^^ x in der alten Metrik, so (wegen der gleichmassigen Konvergenz)<br />
p{x,y) -^ 0. Der neu metrisierte Raum ist vollstandig. Denn wenn<br />
Xk darin eine Fundamentalfolge bilden, so auch in alten Raum; und es existiert<br />
lim^A: = x; hierbei muss aber x e A sein, denn andernfalls, wenn etwa<br />
xeX — A = ^Fn ware, etwa x 8 Fi, so wiirde aus<br />
^ + \fi(xk) - fi{xi)\<br />
fiir / -^ oo {fi{xi) -^ oo) lim^ p(xk,xj) ^ ci folgen, wahrend doch sogar<br />
l±mi p{xk,xi) mit A:-^ oo gegen 0 konvergieren soil. | BL6<br />
Andererseits sind die Gs , Gsa ,. • • ^nd (Lavrentieff) die F^j^ , Fo-sa v • • voUstandiger<br />
Raume (d. h. die F^ fiir a ^ 1 und die G^ fiir a ^ 2) topologisch<br />
invariant (Mengenl. S. 214, 218. Die dortige Bezeihung der F^, G^ ist anders<br />
als die jetzige.)<br />
Eine in A C X definierte stetige Funktion f{x) lasst sich, wenn Y<br />
vollstandig ist, zu einer stetigen Funktion in A* D A erweitern, wo A* ein<br />
Gs ist. (Mengenl. S. 216).<br />
Eine Homoomorphie zwischen A und B, die in vollstdndigen [6]<br />
Rdumen X, Y liegen, Idsst sich zu einer Homoomorphie zwischen<br />
A* D A, 3*^3 erweitern, wo A*, B* Mengen Gs sind (Lavrentieff)<br />
.<br />
Wir erweitern die topologische Abbildung y — f{x) von A auf 3 zu einer<br />
stetigen Abbildung fi{x) von Ai = Gs D A, ebenso die inverse Abbildung<br />
^ = 9{y) zu einer stetigen Abbildung gi{y) von 3i = Gs D 3. Sei / =<br />
E [y ^ fi{x)], K = E [x = gi{y)], A* und 3* die Projektionen von IK auf<br />
x^y x,y<br />
X^Y. A* und 3* sind homoomorph. / ist in {Ai, Y) abgeschlossen, K in<br />
(X, J5i), K ein Gs in (X, F), IK ein Gs in /. Die Projektion auf X giebt<br />
eine Homoomorphie zwischen I und ^i, bei der also IK {Gs in /) in ^4*<br />
(Gs in Ai) libergeht; A* ist ein Gs in X, ebenso 5* eins in F. | BL7<br />
Eine Homoomorphie zwischen A C U {U beliebig, nicht vollstandig) und<br />
3 cY {Y vollstandig) lasst sich zu einer Homoomorphie von AD A, A ein<br />
633
Gs in U, erweitern. Man nehme X als voUstandige Hiille von U, erweitere<br />
auf A* = G6 (in X) D A und setze A = A*C/.<br />
(Ein n-dimensionales A C U ist in einem n-dimensionalen A = G^ C U<br />
enthalten; der Beweis braucht nur fiir n = 0 geftihrt zu werden. A ist mit<br />
einer Menge B des Cantorschen Diskontinuums Y homoomorph; dies lasst<br />
sich auf eine G3 -Menge A erweitern, die immer noch 0-dimensional, weil mit<br />
einer Menge B CY homoomorph, ist).<br />
Eine mit einem vollstandigen Raum Y homoomorphe Menge A ist ein G5<br />
im vollst[andigen] Raum. Denn wenn beim Lavrentieffschen Theorem B = Y<br />
ist, so ist B* = B und A* = A ein Gs in X. Also: die Gs in vollst[andigen]<br />
Raumen = topologische Bilder voUstandiger Raume (topologisch voUstandige<br />
Raume).<br />
Topologische Invarianz von F^ {a > 0) und G^ (a > 1), von G^ — G§ ,<br />
u.a.<br />
[7] Erweiterungssatz (s. mein Ms 4.3.37): A C X; Y voUstandig, separabel.<br />
Eine Abbildung der Klasse a von A in y lasst sich zu einer Abbildung der<br />
Klasse a von A* = F^+^ D A erweitern; falls A ein F^ {a > 0) ist, zu einer<br />
BL8 von X. I<br />
Eine schlichte Abbildung y — f{x) von A auf B heisst von der Klasse a,/?,<br />
wenn / von der Klasse a und die inverse Funktion x = g{y) von der Klasse<br />
(3 ist. D.h. g{BF) = AF"", f{AF) = BF^.<br />
Die Bezeichnungen F^, G", H^ (zweiseitig) soUen sich jetzt allein auf voUstandige<br />
separable Raume beziehen.<br />
[8] Eine Abbildung a, (3 von A auf B {A C X, B cY] X,Y separabel,<br />
voUstandig) lasst sich zu einer Abbildung a, (3 von A* D A<br />
auf B"" D B erweitern, wo A* ein F^+^+^ , B* ein F^+^+^ ist<br />
Nach dem Erweiterungssatz giebt es ein Ai = F^-^^ ^ A und eine Erweiterungsfunktion<br />
fi{x) der Klasse a in ^i, ferner ein Bi = F^~^^ D B und<br />
eine Erweiterungsfunktion gi (y) der Klasse l3 in Bi. Sei I = E [y = fi (x)],<br />
K ^ E [x = gi (y)]; A* und B* die Projektionen von IK auf X,Y. A* und<br />
x,y<br />
B* werden durch y = fi(x), x = gi{y) schlicht auf einander abgebildet, und<br />
zwar von der Klasse Q^,/3, da fi{x) in Ai, also in A* C Ai von der Klasse a<br />
ist. / ist nach (I) in [Ai,Y) ein F^, also ein F^+i in (X, F), K ein F^+^<br />
Die Projektion von IK auf X ist also ein F^+^+^ in Ai oder in X, d.h.<br />
BL9 A* = F^+/5+l , 5* = F^+«=+^ . I<br />
Bei einer Abbildung a,p ist das Bild eines F^ ein F^^^ (a > 0).<br />
Mit den bisherigen Bezeichnungen sei A ein F^. Es ist dann fiir f{x) keine<br />
Erweiterung nothig, d.h. wir konnen Ai = A setzen, so dass / ein F^ in<br />
{A, Y) Oder in (X, Y) wird. Zugleich wird I C K, IK = I, A* = A, B"" = B.<br />
Die Projektion von IK auf Y ist jetzt ein F^+^ in Bi, also (fiir a > 0) auch<br />
in y, weU ^i ein F^+^ ist. Demnach ist B"" = B = f{A) ein F^+".<br />
634
Bei einer Abbildung a,0 ist das Bild eines F^ ein F^ (a > 0).<br />
Die F^ {a > 0) sind also nicht nur bei Homoomorphie (Abbildung 0,0),<br />
sondern auch bei Abbildungen a, 0 invariant.<br />
Bei einer Abbildung 0, /3 ist das Bild eines F ein F^'^^.<br />
Denn F ist ein F^ und die Abbildung eine Abbildung 1,/?, so dass wir den<br />
allgemeinen Fall mit a = 1 vor uns haben. Wir werden sehen, dass umgekehrt<br />
jedes F^+^ durch eine Abbildung 0,/? aus einem geeigneten F (voUstandigen<br />
separablen Raum) entsteht, so dass man das F^~^^ nicht zu F^ erniedrigen<br />
kann. |<br />
13.3.37.<br />
Zum Fig. vgl. Kuratowski, F. M. 22, p. 206-220.<br />
FQ bedeute die 0-dimensionalen F (0-dimensionalen, separablen, abgeschlossenen<br />
Raume); sei sind mit den abgeschlossenen Teilmengen des Nullraums ^<br />
homoomorph. Wir woUen zeigen:<br />
I. Jedes F^ {a > 0) ^<br />
11. Jedes G^ (ce > 1) \<br />
III. Jedes F«+i {a>l) J<br />
entsteht aus einem FQ<br />
durch eine Abbildung 0, a.<br />
I ist fiir a = 1 richtig (lasst man in theoreme S. 210 die Voraussetzung der<br />
Insichdichtkeit von X weg, so wird X (0,1)-Bild zwar nicht von ^, aber<br />
einer in ^ abgeschlossene Menge); fiir a > 1 ist I wie II ein spezieller Fall<br />
von III.<br />
[9]<br />
Bl.lO<br />
Beweis. A) Wenn I^ fiir 1 ^ ^ < Q^ richtig ist, ist IIQ, richtig.<br />
G^ (a > 1) ist Summe disjunkter F^ {^ < a) (Top. I, S. 162). Sei B = [12]<br />
Y2Bn, B ein G", Bn ein F^"^ (1 ^ ^n < «;), die 5n disjunkt, alle im<br />
vollst[andigen] sep[arablen] Raume Y gelegen. Es giebt also ein Xn 8 (Fo)?<br />
von dem Bn = fn{Xn) (0,^n)-Bild ist; wir nehmen die Xn disjunkt an und<br />
topologisieren (oder metrisieren) X = Y^Xn so, dass die X^ in X = ^ Xn<br />
abgeschlossen und offen sind; X ist ein FQ . Die Funktion f{x), die in Xn<br />
gleich fn ist, bildet X auf B schlicht und stetig ab; es ist zu zeigen, dass<br />
sie von der Klasse 0,a ist. Ist G | in X offen, /(G) = ^ fn{XnG), so ist Bl. ii<br />
n<br />
fn{XnG) ein G^- in fn{Xn) = Bn =- F^- , also von der Form F^-G^- oder<br />
G^ , /(G) ein G^ , q.e.d.<br />
[Ubrigens ist auch fiir abgeschlossenes F fn{XnF) ein F^'^F^'' = F^^ oder<br />
G^ und /(F) ein G^; /(F) also in B gleichzeitig F'^.G'^, ebenso /(G); die<br />
Funktion f~^ ist zweiseitig von der Klasse a, sagen wir: von der Klasse a*;<br />
/ von der Klasse 0, ce* .]<br />
Fiir die weiteren Schritte ist folgender Prozess voranzuschicken. Es sei<br />
X = {Xi, X2,...) das Cartesische Produkt von endlich oder abzahlbar vielen<br />
Raumen, so topologisiert oder metrisiert, dass die Mengen (Gi,..., Gn, X^^+i,<br />
635<br />
[10]<br />
[11]
Xn+1,...) eine Basis von X bilden. Mit den Xn ist auch X ein FQ. SOdann<br />
sei fn{xn) eine Abbildung von Xn in y, fn{Xn) = Yn- Wir erhalten<br />
folgendermassen eine Abbildung f{x) von XQ C X auf Yb = H^n- Es sei<br />
( X - (X1,X2,...))<br />
^0=£;[/l(^l) = /2(^2) = ...]<br />
und in XQ f{x) = fi{xi) = f2{x2) ==•••. Hier gilt folgendes:<br />
(a) f{Xo)=Yo<br />
B1.12 und allgemeiner, wenn An C Xn, fn{An) = Bn, \ AQ = XQ (^1,^2, • • •) ^<br />
Bo = YlBn gesetzt wird: f{Ao) = BQ (ftir An = Xn die erste Behauptung).<br />
Denn y e f{Ao) heisst: es giebt ein x e AQ mit y = /(^), also erstens<br />
y = fi{xi) = f2{x2) = '" und zweitens Xn ^ An, y e YlBn- - Umgekehrt:<br />
y 8 H-^n heisst, dass fiir jedes n ein Xn e An mit y — fn{xn) existiert,<br />
also erstens x e XQ und zweitens x e (741,^2, • • -), also y — f[x), x E AQ,<br />
y e f{Ao).<br />
(b) Sind die fn schlicht, so auch /.<br />
[fix) = fix')] = HlfniXn) - /„«)] -^ l[[Xu = x'J = [x = x'] .<br />
n n<br />
(c) Es sei Bn CLY und An = fn~^{Bn) = fn~^{YnBn) • Dauu ist ftir jedes<br />
n<br />
r\Bn) = XoE[fn{Xn)eBn]<br />
=<br />
X<br />
XQ • (Xi, . . . ,Xn-l, An,Xn4-l, . . . )<br />
= XoPn , Pn = yXi, ... ^Xn-l, An, Xn-\-l,'-')<br />
und wenn wieder BQ = YlBn, ^0 = ^0 (^1, ^2, • • •) gesetzt wird:<br />
r'{B)=Xo'l[Pn=Ao.<br />
n<br />
Bl. 13 I Denn x e f~^{Bn) heisst: y = f{x) e Bn, x e XQ, also fni^n) ^ Bn, Xn ^<br />
An, X e X()Pn. - Umgekehrt: x e XoPn heisst, dass y — f{x) = /i(xi) = • • •<br />
und XneAn, also y = fn{xn) ^Bn, xe f~^{Bn).<br />
(d) Sind die fn von der Klasse a, so ist XQ ein F^ in X und / in XQ von<br />
der Klasse a. {Y separabel).<br />
Wir betrachten zuerst die Abbildung (2/1,7/2, • • •) = (/i(^i), /2(^2), • • •) von<br />
X in (y, y,...); sie ist von der Klasse a; bei dieser Abbildung ist XQ das<br />
Urbild der in (y, y,...) abgeschlossenen Menge, die durch yi =2/2 = *" •<br />
definiert ist, also ein F^ in X. Beschrankt man diese Abbildung auf XQ , so<br />
636
ist / daselbst von Klasse a. (Oder: man setze in (c) Bi = B2 = " • = BQ =<br />
abgeschlossen, dann ist An ein F^ in Xn, Pn eins in X, YlPn eins in X,<br />
f-^{B) einsin XQ).<br />
Sind insbesondere die fn stetig, so ist XQ in X abgeschlossen und / stetig.<br />
(e) Sind die fn von der Klasse 0,a, so ist / von der Klasse 0,Q;. {Xn<br />
separabel).<br />
Wenn wir in (a) Ai,... ,An in Xi,... Xn offen annehmen, hingegen Ap =<br />
Xp fiir p > n, so sind Bi,.. .Bn Mengen G^ in Yi,...y^ , | Bp = Yp, und BL14<br />
das Bild von Xo{Ai,... An, Xn+i,...) ist in H ^n = ^0 ein G^, also, da diese<br />
Mengen eine Basis von XQ bilden, das Bild jeder in XQ offenen Menge ein G^<br />
in lo, f~^ von der Klasse a.<br />
(f) Sind die Xn nuUdimensionale F, so auch X, XQ ; entsteht Yn aus Xn<br />
durch eine Abbildung (0, a), so auch IQ = H ^n aus XQ , d. h. die (0, a)-<br />
Bilder nuUdimensionaler F bilden ein 6-System.<br />
Danach folgt III aus II und die Satze I, II, III sind allgemein bewiesen, denn<br />
ist I^ fiir 1 ^ ^ < a richtig, so auch IIc^, IIIQ; und erst recht I^ • Also ist I fiir<br />
alle a richtig, ebenso II und III. *^ [13]<br />
IV. In Y = F (separabel voUstandig) sei B ein i7^+^ (a > 0). Dann [14]<br />
entsteht Y aus X e (FQ) durch eine Abbildung f der Klasse 0,a, bei<br />
der f~^{B) = A ein H^ in X ist.<br />
(Fiir (3=1 bereits Top. I, p. 229 unten; vgl. Lusin, Ens. Anal. p. 114).<br />
/3 = 0. B und Y — B sind F^ und entstehen nach I aus Mengen Xi, X2 e<br />
(Fo) durch B = /i(Xi), Y - B = /2(X2), Abbildungen 0,a. Wir nehmen<br />
Xi, X2 disjunkt, in X = Xi + X2 zugleich offen | und abgeschlossen; wie Bl. 15<br />
beim Beweis von (A) ergiebt sich / (= /i, /2 in Xi, X2) von der Klasse 0, o;,<br />
/(X) = y, X ein FQ; f-\B) = Xi in X ein H^ (abgeschlossen und offen).<br />
Schluss von 7 auf /? = 7 + 1. B ist von der Form B = lim^n, wo die [15]<br />
Bn Mengen H^^^ sind und also Abbildungen fn der Klasse 0, a von Xn<br />
(e [FQ)) auf Y existieren, bei denen An — fn~^{Bn) in Xn ein H^ ist. Mit<br />
den Bezeichnungen von (c) ist Pn ein H^ in X, X^Pn eins in XQ ; zugleich<br />
ist Xo 8 (Fo) und /(XQ) = Y (weil y, = F). Wegen der Schlichtheit ist<br />
f-^{B) - limXoPn und diese Menge ein i/^+i in XQ .<br />
Schluss von 7 < /^ auf Limeszahl (3. B und Y — B sind F^^^ und also von<br />
der Form B = Y[B2n. Y - B = Y{B2n-i, die Bn Mengen iJ^+^- {jn < P).<br />
Wie soeben giebt es Abbildungen fn der Klasse 0,Q: von Xn e (FQ) auf Y,<br />
bei denen f~\Bn) = XoPn ein H^^ in XQ ist; f-^{B) und f-^{Y-B) sind<br />
gleichzeitig von der Form flH^^^, H^^"""' =P^, /~H-^) ^in H^ in XQ. | BL16<br />
*^ Folgerungen (mit Hiilfe des Theorems von Mazurkiewicz): Ein unabzahlbares F"+^<br />
(a > 0) « abzahlbare Menge plus (0, a)-Bild von ^ . X =: F"+^ , Y ^ F^+i unabzahlbar<br />
(a,/3 > 1): y entsteht aus X durch (a, y5)-Abbildung.<br />
637
Besonderer Fall (/? = 1). B ein i^^+^ (ce > 0), Y entsteht aus X durch<br />
eine Abbildung / der Klasse (0,Q;), bei der A = f~^{B) ein iJ\ also zugleich<br />
F(j, Gs ist. Demnach ist A = J2 (^2^ — ^2^+1) abzahlbare Differenzen-<br />
kette abgeschlossener Mengen und f{A) = X^[/(i^2^) — /(^2^+i)] abzahlbare<br />
Differenzenkette aus Mengen F*^. Die H^^^ sind also DifFerenzenketten aus<br />
Mengen F^ (auch flir a = 0, wo der Raum X mit y als identisch angenommen<br />
werden kann und in diesem Falle nicht mehr 0-dimensional zu sein<br />
braucht.)<br />
[16] V. (in IV werden die H durch F ersetzt) In F = F sei B ein F^+^<br />
{a > 0). Dann entsteht Y aus X e (FQ) durch eine Abbildung / der<br />
Klasse 0, o;, bei der A = f~^{B) ein F^ in X ist. (Ebenso, mit Komplementbildung,<br />
konnen F^"^^, F^ durch G^^^, G^ ersetzt werden.)<br />
B {= F^+/5) =]\Bn, Bn ein iJ^+^; man hat dann Abbildung fn der<br />
Klasse 0, a mit fn{Xn) = Y, An = fn~^{Bn) — H^ in X^, und mit den<br />
bekannten Bezeichnungen ist XoPn ein H^ in XQ , f~^{B) = J^XQPn ein<br />
BL17 F^ in XQ. I<br />
Es giebt flir jedes Paar von Ordnungszahlen a, p (< ^) eine Abbildung /<br />
von o/K auf ^, die genau von der Klasse a,p ist (d.h. / nicht von einer<br />
Klasse < a, f"^ nicht von einer Klasse < /?).<br />
[17] (Beweis: mein Ms. Die Borelschen Mengen und der Nullraum, (18)).<br />
17.4.37<br />
Folgerung aus V: (flir /3 = 2)<br />
Jede Menge F^+^ = F^^ {a > 0) ist als oberer Limes einer Folge<br />
von Mengen F^ darstellhar,<br />
Denn sie entsteht, bei einer Abbildung / der Klasse 0, a des nulldimensionalen<br />
Raumes X auf Y, aus einer Menge A = F'^ — F^s • Nun hat der<br />
nulldimensionale Raum eine abzahlbare Basis aus Mengen H, die gleichzeitig<br />
offen und abgeschlossen sind; jede offene Menge ist Summe abzahlbar vieler<br />
disjunkter H, jede Menge der Form FG = F — F' und jede Menge der Form<br />
Fc, = Fi + F2 + • • • = Fi + (F2 - Fi) + • • • (Fi C F2 C • • • ) Summe disjunkter<br />
abgeschlossener Mengen. Eine Menge A der Form F^s ist dann als<br />
TimFn darstellbar; denn sei A = PQR" , P D Q D R-- , P = ^Pn,<br />
Q = J2 Qn 5 R — X^ Pn 5 • • • Mengen Fg- mit disjunkten abgeschlossenen<br />
Summenden Pnj Qn^ Pn, • • • • So ist A der obere Limes L des Mengensystems<br />
Fn, Qm Rn, • • (es ist nur L C. A zu beweisen; da x e L hochstens<br />
Bl. 18 einem Pn , einem Qn ,. • • | angehort, so gehort x unendlich vielen der Mengen<br />
P, Q^ R, ... und, wegen P D Q D R... ^ alien an: x e A). Wir haben also<br />
A — TimFn, wegen der Schlichtheit der Abbildung B = Tim/(Fn), und die<br />
f{Fn) sind Mengen F^.<br />
Es bliebe also (flir voUstandige separable Raume) nur zweifelhaft, ob (flir<br />
a = 0) F(J6 stets als limFn darstellbar ist. (Rein mengentheoretisch ist zwar<br />
638
fiir Ringe {A) bekannt, dass die Mengen 1 im^TT, mit denen idcntisch. sind,<br />
die gleichzeitig A^s , ^6c7 sind; die Mengen limA^, llmAn sind resp. ^a6 ,<br />
AscT, ob aber auch umgekehrt, ist unbekannt.) Dass aber diese Frage (fiir beliebige<br />
metrische Raume) zu bejahen ist, hat bereits Sierpinski bewiesen (Sur<br />
une propriete des ensembles Fcrs, Fund. Math. 6 (1924), p. 21 - 23). Die rein<br />
mengentheoretische Frage, ob fiir einen Ring {A) die ^^6 mit den l±m An<br />
identisch sind (schon ob Urn An wieder einen Ring bilden), ist noch oflFen. (Sie<br />
ist zu verneinen, Kozniewski). [18]<br />
Anmerkungen<br />
[1] Die Definition einer B-mefibaren Funktion der Klasse a wird in [Ku<br />
1933/1966], §31.1 gegeben. Das Konzept geht auf LEBESGUE zuriick. Eine<br />
fonction mesurable B ist in [Lb 1905], S. 166 definiert als eine reelle Funktion<br />
/, fiir die alle /-Urbilder abgeschlossener Intervalle von (R ensembles mesurables<br />
B, d. h. Borelsche Mengen sind.<br />
[2] Das Resultat ist aus [Ku 1933/1966], §31.V. Der nichtseparable Fall<br />
wurde in zwei Arbeiten von MONTGOMERY (S. 527-533) und KuRATOWSKi<br />
(S. 534-545) in Fundamenta Math. 25 (1935) behandelt. Bin entfernter<br />
Vorlaufer dieses Resultats ist Theorem XX in [Lb 1905], S. 166, welches besagt,<br />
dafi eine Funktion von n Variablen, welche in bezug auf jede dieser Variablen<br />
stetig ist, hochstens von der Klasse n ist.<br />
[3] Das Resultat ist aus [Ku 1933/1966], §31.VL<br />
[4] Das Resultat ist aus [Ku 1933/1966], §31.VII; der erste Teil ist jedoch<br />
dem Satz VII im § 43 der Mengenlehre ziemlich ahnlich.<br />
[5] Dies ist HAUSDORFFS eigenes Resultat aus der Arbeit [H 1924] (s. diesen<br />
Band, S. 443-453). HAUSDORFF gibt hier einen ganz wesentlich vereinfachten<br />
Beweis (s. dazu auch Anm. [110] zu Mengenlehre).<br />
[6] Dies bezieht sich auf LAVRENTIEFFS Arbeiten [Lv 1924a], [Lv 1924b]<br />
(s. Anm. [Ill] zu Mengenlehre.<br />
[7] Das Manuskript vom 4. 3.1937 ist der vorstehend abgedruckte Fasz. 618.<br />
[8] Der Satz steht bei KuRATOWSKi ([Ku 1933/1966], §35.VII). Der Beweis<br />
benutzt dieselbe Methode wie in LAVRENTIEFFS Theorem der Erweiterung<br />
von Homoomorphismen, namlich sowohl / als auch die inverse Funktion f~^<br />
simultan zu erweitern.<br />
[9] Die genaue Bedeutung dieser Behauptung ist folgende: Angenommen<br />
A, B sind Mengen in polnischen Raumen X, Y und f : A -^ B ist eine<br />
bijektive Abbildung der Klasse (0, P) (im Sinne der relativen Topologien von<br />
639
A und B). 1st dann A abgeschlossen in X, so ist B ein F^^^ in Y. Es sei<br />
noch folgendes bemerkt: Ist f : X -^ Y eine (0,/?)-Abbildung von X auf Y<br />
und A C X abgeschlossen, so ergibt sich unmittelbar aus der Definition, dafi<br />
die Menge f{A) — B sogar ein F^ in Y ist.<br />
Diese Bemerkung ist gleichermafien anzuwenden auf zwei ahnliche Behauptungen<br />
einige Zeilen darliber und auf die Aussagen I, II, III und andere<br />
ahnliche Behauptungen weiter unten.<br />
[10] HAUSDORFF verweist hier auf [Ku 1934]. Die Bezeichnung FQ fiir<br />
die abgeschlossenen Mengen des Baireschen Raumes J/" stammt von HAUS<br />
DORFF. In [Ku 1933/1966] bezeichnet FQ die abgeschlossenen Mengen in einem<br />
beliebigen Raum; in [Ku 1934] kommt die Bezeichnung FQ liberhaupt nicht vor.<br />
[11] Die Aussage III, das Hauptergebnis hier, kommt einigen Resultaten<br />
in [Ku 1934] und [Ku 1933/1966] nahe und ist auch fiir a = 1 richtig. Die<br />
Aussage I fiir OL — \ ist im wesentlichen schon in Mengenlehre bewiesen (s. u.,<br />
Kommentar zu Fasz. 619).<br />
[12] [Ku 1933/1966], §29.V.<br />
[13] Zur Fufinote: MAZURKIEWICZ hat in [Ma 1916] bewiesen, dafi jede<br />
iiberabzahlbare G5 -Menge des Baireschen Raumes ^ nach Entfernung einer<br />
geeigneten abzahlbaren Menge zu ^ homoomorph wird.<br />
[14] Das Resultat ist Theorem 2 in [Ku 1934]; in [Ku 1933/1966] ist es<br />
nur fiir (3 = 1 (als Teil von Theorem 1 in § 37.11) enthalten. Das LusiNsche<br />
Ergebnis, welches einige Zeilen weiter unten zitiert wird, bezieht sich nur auf<br />
den Fall, dafi Y selbst der Bairesche Raum ist.<br />
[15] Die Argumentation beinhaltet folgendes: Die Klasse H^+^ besteht<br />
aus alien Limit es (konvergenter) Folgen von Mengen aus H*^ (s. beziiglich<br />
dieses Theorems Anm. [2] zu Fasz. 1064 im Abschnitt 2).<br />
[16] Theorem 3 in [Ku 1934].<br />
[17] HAUSDORFF zitiert hier den im folgenden abgedruckten Fasz. 620.<br />
[18] Die Bemerkung in Klammern hat HAUSDORFF mit andersfarbigem<br />
Stift (offenbar spater) hinzugefiigt. A. KOZNIEWSKI (und unabhangig von ihm<br />
HAUSDORFF) haben bewiesen, dafi fiir einen gewissen Ring {A) die Klasse<br />
aller Mengen der Form limAn, An G (A), ein echter Teil der Klasse (A^s)<br />
und nicht einmal ein Ring ist (s. im Abschnitt 2. Fasz. 633 und den zugehorigen<br />
Kommentar).<br />
640
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz 620<br />
Die Borelschen Mengen und der Nullraum<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 7.-16.3.1937. - 18 BIL^<br />
7.3.37<br />
Die Borelschen Mengen und der Nullraum<br />
(Es handelt sich hier um Borelsche Mengen F^, G^ in separablen vollstdndigen<br />
Raumen; z.B. F— separabel, voUstandig, F^ — Gs = separabel, topologisch<br />
vollstandig. Ebenso um analytische Mengen in separablen voUstandigen Raumen).<br />
(1) Das stetige Bild einer analytischen Menge ist analytisch, das schlichte<br />
stetige Bild einer Borelschen ist Borelsch (Mengenlehre S. 209).<br />
(2) Jede analytische Menge ist stetiges Bild des NuUraums ^ , jede Borelsche<br />
schlichtes stetiges Bild einer in ^ abgeschlossenen Menge (ib. S. 211).<br />
(3) Jedes 0-dimensionale Gs ist mit einer in ^ abgeschlossenen Menge ho- [1]<br />
m5omorph. (Kuratowski, Top. I, S. 224, theoreme 2).<br />
(4) X sei 0-dimensionales Gs, A c X und B =^ X — A in X dicht, A<br />
ein Gs : dann ist A mit J^ homoomorph. (ib. S. 225, theoreme 3 von<br />
Mazurkiewicz). *^<br />
(5) Jedes in ^ dichte Gs ist mit ^ homoomorph.<br />
Beweis. Das Cantorsche Diskontinuum X ist in ^ -\- D zerlegbar, wo ^<br />
topologisch der Nullraum, D abzahlbar, ^ und D in X dicht sind. | (Beweis. Bl. 2<br />
Vgl. Mengenlehre p. 182. X ist der dyadische Bairesche Raum der Folgen<br />
X = {Cii^2,'-'), ^n = 0 Oder 1. D sei die Menge der x mit nur endlich<br />
vielen ^^ = 1, ^ = X — D. Jedem x e JV entspricht eineindeutig eine Folge<br />
V — (ni, n2,...) natlirlicher Zahlen, derart dass ^^ = 1 fur ni, ni + n2, ni -h<br />
^2 + ^3, • • • • Diese Beziehung ist beiderseitig stetig, also jV topologisch der<br />
Nullraum.) Ist nun A m jV dichtes Gs , so auch in X, wahrend X ~ A —<br />
^JY — A)^ D ebenfalls in X dicht ist; nach (4) ist A mit JY homoomorph.<br />
(6) Jedes 0-dimensionale unabzahlbare Gs ist = abzahlbare Menge plus to- [2]<br />
pologischem Bild von jV. (Kuratowski, Top. S. 227, IV 1).<br />
(7) Jedes insichdichte Gs ist schlichtes stetiges Bild von jV und zwar<br />
vermoge einer Abbildung 0,1. (Kuratowski, F. M. 22, S. 210).<br />
(8) Jedes H^^^ (a > 0) entsteht aus einer abgeschlossenen Teilmenge von<br />
JY durch eine Abbildung 0,a. (Top. S. 231, Cor. 1). [3]<br />
Verscharfung: (F. M. 22, Th. 1, S.215).<br />
^Fasz. 620 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 273-291.<br />
*) Ein 0-dimensionales insichdichtes Gs X braucht nicht mit ^ homoomorph zu sein;<br />
Beispiel: X = Cantorsches Diskontinuum. Andererseits ist jede mit ^ homoomorphe Menge<br />
0-dimensionales insichdichtes G^ .<br />
641
(9) Jedes F^^^ (a > 0) entsteht aus einer abgeschlossenen Teilmenge von<br />
Bl. 3 JV vermoge einer Abbildung 0, a. |<br />
(Fiir eine Limeszahl a entsteht F^, welches ja F^^^ ist, auch aus einer in<br />
JY abgeschlossenen Menge durch eine Abbildung 0, a.<br />
[Umgekehrt: bei einer Abbildung a, ^ mit a > 0 ist das Bild eines F^ ein<br />
•p&^oi jjiei-aus folgt fiir a = 1, dass das Bild eines F^ oder F bei Abbildung<br />
l,/3 Oder 0,/? ein F^+i ist].<br />
[4] In der Fassung des th. 1, F. M. 22, S. 215 ist also fiir a. — Limeszahl die Behauptung<br />
„il suffit" falsch, denn durch 0, a kann ja aus F ein F"+^ entstehen,<br />
das kein F^ ist.)<br />
Wir wollen feststellen, wann die Borelschen Mengen schlichte stetige Bilder<br />
von o/K selbst sind. Sie miissen verdichtet sein, und diese Bedingung wird sich<br />
auch als hinreichend erweisen (wie bei (7) im Fall der G5 , bei deneri ja insichdicht<br />
= verdichtet ist).<br />
(10) Y sei topologisch vollstandig (nicht notwendig separabel), insichdicht.<br />
Jeder Punkt y gehort c = 2^° perfekten Mengen Q an, die paarweise<br />
nur y gemein haben.<br />
Zunachst ist y Punkt eines dyadischen Diskontinuums D (Mengenlehre, S.<br />
137; man kann bei der dyadischen Kugelkonstruktion Vp, Vpq,... y als Mittelpunkt<br />
von VQ , VQO , • • • wahlen). Lassen wir die Polarkoordinaten r, (f in der<br />
Ebene die Cantorsche Menge der Zahlen<br />
Ki-i+-)<br />
BL4 I durchlaufen, so entsteht eine kompakte perfekte diskontinuierliche Menge,<br />
die mit D homoomorph ist, wobei wir den Punkt y dem Mittelpunkt r = 0<br />
entsprechen lassen konnen; die Radien (f = const, liefern dann c perfekte<br />
Mengen, die nur den Mittelpunkt gemein haben.<br />
(11) f{x) sei eine schlichte stetige Abbildung von X in y (beide Raume F<br />
oder Gs ), B = f{X);essei y e By—B (By die Menge der Verdichtungspunkte<br />
von B). Dann giebt es eine perfekte Menge Q, y e Q C B -\-y,<br />
deren Urbild P = f~^{Q) = f~^{BQ) = f~^{Q-y) in X nirgendsdicht<br />
ist.<br />
Zunachst giebt es eine perfekte Menge Qo 5 y ^ Qo C B -\- y. Denn seien<br />
Vn Umgebungen von y mit Durchmessern -^ 0; BVn als unabzahlbare Borelsche<br />
Menge enthalt eine perfekte Menge Qn, und Qo = Yl Qn + V leistet<br />
das Verlangte. Qo enthalt nach (10) c perfekte Mengen Q, die paarweise nur<br />
y gemein haben; ihre in X abgeschlossenen Urbilder P = f~^{Q — y) sind<br />
disjunkt und nur abzahlbar viele P konnen innere Punkte haben; es giebt also<br />
gewiss ein P ohne inneren Punkt, d.h. ein nirgendsdichtes.<br />
642
(12) Wie bei (11) sei D C By — B ^ D abzahlbar; dann giebt es eine Menge<br />
Q = Fcj (Summe perfekter Mengen) mit D C Q C B -\- D, deren Urbild<br />
P = f-\Q) = f-^BQ) = f-\Q -D) in X ein F^ von 1. Kategorie<br />
ist. I B1.5<br />
Das folgt, wenn man fiir jedes yn ^ D gemass (11) eine perfekte Menge Qn<br />
mit Vn^Qn (^ B -\- yn bildet und Q == XI Qn setzt.<br />
Setzen wir C = B -\- D. Wir haben dann f{P) = Q — D und die Zerlegung<br />
in disjunkte Summanden C = f{X - P) + f{P) ^ D == f{X - P)-\-Q.<br />
(13) X sei der NuUraum, f{x) eine Abbildung der Klasse 0,a in Y<br />
(vollstandig, separabel), B = f{X), also B verdichtet {B C By), ferner<br />
D C By — B abzahlbar. Dann entsteht fiir o; > 1 auch C = B -\- D aus<br />
dem Nullraum durch eine Abbildung 0, a.<br />
(Man kann die Voraussetzungen auch so ausdriicken: C D B, C — B = D<br />
abzahlbar, C verdichtet. Denn Cy = By, C C Cy ist mit C C By oder<br />
D
(14) 1st C ein unabzahlbares F^"^^ {a > 0), so entsteht sie nach (9) aus einer<br />
in ^ abgeschlossenen Menge A durch eine Abbildung / der Klasse 0, a,<br />
wahrend A nach (6) gleich abzahlbare Menge plus homoomorphes Bild<br />
von ^ wird, also C — D -\- B, D abzahlbar, B Bild von ^ mittels<br />
0,a. (F. M. 22, S. 216, Cor. 1).<br />
Wir konnen jetzt nach (13) hinzuftigen:<br />
[5] 1st C verdichtetes F^+i (a>l), so ist C Bild von J/^ vermoge<br />
einer Abbildung 0, a.<br />
Die notwendige Bedingung flir die schlichten stetigen Bilder von ^, verdichtete<br />
Borelsche Mengen zu sein, ist also auch hinreichend.<br />
Die verdichteten F^ = F^s ergeben sich hier (da sie F'^ sind), als Bilder<br />
von Ji^ vermoge 0,2; es ware zu priifen, ob sie nicht doch schon durch 0,1<br />
entstehen. Die verdichteten F^ = Gs entstehen aus ^ durch 0,1 gemass (7).<br />
Wir haben also: verdichtetes F^ ist (0,1)-Bild von ^. (0,1)-Bild von ^ ist<br />
verdichtetes F^, Verdichtetes F^ ist (0,2)-Bild von ^ . (0,2)-Bild von ^ ist<br />
verdichtetes F^ und umgekehrt. Also, wenn P^ verdichtetes F^ bedeutet und<br />
^^ (O,a)-Bildvon ^:<br />
(P^) C (^') C (P2) C (^') = (P^) ;<br />
die Prage ist, ob nicht bereits (^^) = (P^) ist.<br />
Ist C verdichtetes G^ (a > 0)^ so ist C Bild von JV vermoge<br />
einer Abbildung 0, a.<br />
Da C ein F^^^ ist, so ist fiir ce > 1 die Behauptung unmittelbare Folge der<br />
Bl. 8 vorigen. Fiir o; = 1, wo C ein F(j ist, beweisen wir | zunachst wie in (11), dass<br />
jedes 2/ 8 C in einer perfekten Menge C C liegt; ist sodann C — ^Fn, Qn<br />
der perfekte Kern von F^ , B = Y1, Qn, so ist C — B = D hochstens abzahlbar,<br />
und wenn wir zu jedem Punkt von D eine ihn enthaltende perfekte Menge<br />
bilden, so ergiebt sich C als Summe perfekter Mengen; fiir diese C haben wir<br />
bei (13) gesehen, dass sie aus ^ durch Abbildungen 0, 1 entstehen.<br />
10.3.37<br />
Die Aussage iiber die G^ ist an sich ungiinstiger als die liber die F^ und<br />
lasst sich nicht dahin verscharfen, dass jedes verdichtete G""^^ aus ^ durch<br />
eine Abbildung 0, a entsteht; sonst miisste (da das Bild von ^ vermoge 0, a<br />
jedenfalls F^+^ ist) jedes (verdichtete) G'^'^^ ein F^"^^ sein. Dagegen lasst<br />
sich in anderer Weise eine Verfeinerung (17) erzielen. Es scheint, dass der Weg<br />
iiber (15), (16) dazu unnotig ist (nachdem man einmal weiss, s. mein Ms.<br />
Borelsche Punktionen, Satz II, dass jedes G^ {a > 1) aus einem FQ durch<br />
[6] eine Abb[ildung] (0, a*) entsteht). Denn in (13) kann man statt Abbildung<br />
0,a auch (0, a*) setzen.<br />
(15) Jedes G"^ (a > 1) ist Summe disjunkter F^ {^ < a).<br />
644
Zunachst ist C — G^ {a > 0) Summe von F^ (^ < a), die wir aufsteigend<br />
annehmen konnen:<br />
C = ^Cn (CicC2C-.-), C = ;^(Cn-Cn-i);<br />
Cn - Cn-1 als F^iG^2 ist jedenfalls H"^ (zweiseitig). Weiter ist dann G^^,<br />
wobei im Fall a > 1 ^2 > 0 angenommen werden kann, Summe disjunkter<br />
H^^ und F^iG^2 Summe disjunkter F^^H^^, die jedenfalls F^ mit ^ < a<br />
sind. (Kuratowski, Top. S. 162) | [7]<br />
(16) Jedes verdichtete G^ {a > 1) ist Summe disjunkter verdichteter F^<br />
U 2 angenommen werden konnen, sind die Bn von der Form<br />
F^ • Gs -h Fa = F^ . Da Bny = Cny , wird<br />
Bnv = Cnv{Y - DV) + DVn {VnCny = Vn) ,<br />
Bn - Bnv = {Cn - Cnv){Y - DV) .<br />
I Wenn insbesondere D = X^(Cn — Cnv) gesetzt wird, ist Bl. 10<br />
J^iBn - Bnv) = D{Y - DV) = D{Y - V).<br />
Wir haben also jetzt C = ^Bn mit disjunkten Bn = F^ , und E = ^{Bn —<br />
Bnv) ist zu V — ^^Bny disjuukt. Jeder Punkt y e E hat demnach, wie<br />
645<br />
BL9
gross auch n und wie klein 5 > 0 sei, eine Umgebung U vom Durchmesser<br />
< S, die mit Bi -\- • -{- Bn nur abzahlbaren Durchschnitt hat; da er aber<br />
Verdichtungspunkt von C und also CU unabzahlbar ist, muss ein BpU mit<br />
p > n unabzahlbar sein, ebenso BpyU, und diese Menge enthalt also eine<br />
perfekte Menge Qp. Indem wir die Punkte von E in eine Folge bringen, worin<br />
jeder Punkt unendlich oft vorkommt, erhalten wir eine Folge perfekter Mengen<br />
Quj, C {Bn^)y mit Durchmessern -^ 0 und ni < n2 < • • • , derart, dass zu<br />
jedem y eine nach ihm konvergente Folge Q^, Q/3,. •. existiert; Qa + Q/? + " • • +<br />
y = Qy ist dann wieder perfekt. Setzen wir noch fiir die n ^ n^ Qn = 0, so<br />
wird<br />
C = / ^{Bnv — Qn) + 2^ ^y '<br />
n y<br />
AUe Summanden sind disjunkt, alle verdichtet {Bnv — Qn ist in Bnv offen),<br />
Bl. 11 alle sind F^ {Bnv ^ in Bn abgeschlossen, ist F^; | Bnv — Qn desgleichen; Qy<br />
ist perfekt). Fiir a> 2 ist damit die Behauptung bewiesen.<br />
Fiir a — 2 ergeben sich die Bnv — Qn nicht als F^, sondern als Gs plus<br />
abzahlbare Menge, und um die Behauptung auch hier aufrechtzuerhalten, ist<br />
zu zeigen: eine verdichtete Menge C = J5 + D, wo B ein Gt> und D abzahlbar<br />
ist, ist Summe disjunkter verdichteter G5. B ist verdichtet, und wie bei<br />
(11) konnen wir jeden Punkt yn von D in eine perfekte Menge Qn C B -\- y<br />
einschliessen, von der wir diesmal voraussetzen diirfen, dass BQn — Qn — 2/ in<br />
B nirgendsdicht ist. Wir erhalten dann mit ^ Qn = Q'- C = {B — Q) -\- Q,<br />
und B — Q ist, well BQ in B von 1. Kategorie ist, noch in B dicht, also<br />
verdichtetes Gs ; Q ist Summe von Mengen<br />
ni 1) ist schlichtes stetiges Bild von ^<br />
vermoge einer Abbildung /, die nicht nur von der Klasse 0, a, sondern<br />
deren Inverse f~^ zweiseitig von der Klasse a ist, d.h. das Bild f{F)<br />
Bl. 12 einer in ^ abgeschlossenen Menge ist in C gleichzeitig F^ und G^ . |<br />
Es sei C = ^Cn, die Cn disjunkte verdichtete F^"^, wo ^n > 1 angenommen<br />
werden kann. Ein verdichtetes F^ mit ^ > 1 entsteht aus ^ }edenfalls<br />
durch eine Abbildung 0,^; fiir ^ = 1 ist das die Aussage von (7),<br />
fiir ^ > 1 folgt es reichlich aus (14), da F^ ein F^^^ ist. Demnach sei<br />
Cn = fn{Xn), fn vou dcr Klassc 0,^n; ^n das Intervall (n,...) des NuUraums<br />
X = Y^Xn] C = f{X)\ f = fn in X^ • 1st F in X abgeschlossen,<br />
so ist fn{XnF) = CnF^^ - F^- , /(F) vou dcr Form X) ^^" = G^ • 1st G in<br />
X offen, so ist fn{XnG) = CnG^- = F^^G^^ ein G^, /(G) ein G^. Also ist<br />
/(F) in G gleichzeitig G^ und F*^, f~^ ist zweiseitig von der Klasse a.<br />
646
14.3.37.<br />
(18) Fiir jedes Paar o;, /^ ( < ft) giebt es eine Abbildung / von ^ auf sich, die [8]<br />
genau von der Klasse a,/? ist (d.h. / ist nicht von einer Klasse ^ < a,<br />
f~^ ist nicht von einer Klasse r] < (3). (Kuratowski F. M. 22, p. 219,<br />
theoreme d'existence). I Bl. 13<br />
Zunachst sei a = 0, /? > 0. Verstehen wir das Kongruenzzeichen = nach<br />
dem Modul der abzahlbaren Mengen, so dass A = B bedeutet, dass B =<br />
{A — D) -\- Di {D,Di abzahlbar), so behaupten wir: es giebt in X = ^<br />
Mengen H^, die nicht = G^ {rj < /3) sind. Hat /3 einen Vorganger /3 — 1 und<br />
ware jedes H^ = G^~^, so wiirde<br />
oder<br />
G^=H^ = G^-\ F^+i = F^, G^+2^g/3+i<br />
G/3+2 ^ (g./3+i _D^^D^ = G^+1 .Fi^G' = G^^'<br />
sein, wahrend es doch G^ mit behebig hohem Index (genau) giebt. Ist (3 Limeszahl,<br />
so ist (indem wir 2 < rj < f3 annehmen) zu zeigen, dass nicht jedes<br />
H^ ein G^ ist; sei X = ^ Xn Summe seiner (abgeschlossenen und offenen)<br />
Intervalle 1. Ordnung und Xn = An + Bn, An ein H^^ , das nicht G^ mit<br />
7] < Pn ist, und P = limPn, so ist A = Y^ An und B = ^Bn jedes ein G^,<br />
A ein H^; wenn dies ein G^ ware, miisste An = XnA ein G^ sein, was fiir<br />
Pn > V nicht stimmt. Ebenso giebt es (Komplementbildung) solche H^, die<br />
keinem F^ {rj < P) kongruent sind, und wenn man in X = Xi +X2 Ai C Xi<br />
als H^ ^G"^, A2C X2 als iJ^ ^ F^ wahlt, so ist A - Ai + ^2 ein H^, das<br />
keinem G^ und keinem F^ kongruent ist.<br />
Sei jetzt in X A ein H^ das ^ G'l, F"^; dasselbe gilt fiir B = X - A.<br />
Wir zeigen dann, dass A und 5 | unter diesen Bedingungen auch verdichtet Bl. 14<br />
angenommen werden konnen. Sei (mit meinen gewohnlichen Bezeichnungen<br />
Ay , Ay = AAy , Au = A - Ay) A = Ay -\- Bu, B = By-{-Au. Diese Mengen<br />
sind verdichtet, da> X = Ay -\- By {X ist verdichtet), Bu C X — By C Ay,<br />
A C Ay und Ay = Ay wegen A = A. Ferner ist Ay in A abgeschlossen, also<br />
F^, Bu in B offen, also F^G = F^ (wegen /? > 0), i und JB sind Mengen<br />
H^ und, da sie mit A,B kongruent sind, keinem F'^^ G'^ {r] < P) kongruent.<br />
Schreiben wir wieder A, B statt A, ^, so sind also beides Mengen F^, aber<br />
nicht F^. Sie lassen sich aus Xi, X2 (X = Xi + X2) durch Abbildungen<br />
0,/3 erhalten: A = /i(Xi), B = /2(X2) (vgl. (14), sie sind beides Mengen<br />
G^) und die Funktion f {= fu /2 in Xi, X2) ist eine Abbildung 0,/3 von<br />
Xi + X2 = X auf A + 5 = X; sie ist nicht von einer Klasse 0, rj mit rj < P ^<br />
sonst miisste A = /(Xi) ein F^ sein. Genau so giebt es Abbildungen Q;,0 von<br />
X auf X, die nicht von einer Klasse ^,0 {^ < a) sind.<br />
Endlich sei (a > 0, /? > 0) Xi = /i(Xi) eine Abbildung der genauen Klasse<br />
a, 0 und X2 = /2(-^2) eine Abbildung der genauen Klasse 0, ^; dann ist / (=<br />
/i, /2 in Xi, X2) eine Abbildung von X = Xi + X2 auf sich, die genau von<br />
der Klasse a,P ist.<br />
647
B1.15 I 16.3.37<br />
Die Borelschen Mengen und der Nullraum. Nachtragliche Bemerkungen<br />
(1) Jede im Nullraum X oflPene Menge G ist mit X homoomorph.<br />
Flir jeden Punkt x = (ni,n2,...) 8 G befindet sich unter den Intervallen<br />
Xn-L,Xnin2^' • • ^^^ grosstes (von kleinster Ordnung k) Xm-.-nfe, das zu G<br />
gehort; es ist durch x eindeutig bestimmt, I{x); zwei solche / sind identisch<br />
oder disjunkt. Also G = /i +/2 H Summe von endlich oder abzahlbar vielen<br />
/, wobei die In zugleich off en und abgeschlossen sind; G ist mit Xi +X2 H<br />
und also mit X homoomorph (auch im Fall endlich vieler Summanden, die<br />
man iibrigens wegen X^^.-.^^ — X^^ "^^i--^fcn durch unendlich viele ersetzen<br />
kann).<br />
(2) Jede kompakte Menge Ad X ist nirgendsdicht.<br />
Denn die Intervalle sind nicht total beschrankt {Xn^.-.n^ — Xln^^i ••^fcn<br />
enthalt unendlich viele Punkte Xn 8 Xn^...n^n^ die paarweise Entfernungen<br />
-j^ haben) und A kann kein Intervall enthalt en.<br />
(3) Ist y = f{x) eine schlichte Abbildung von A C X auf B
Satz sicher nicht richtig; die verdichteten F^ = Gs entstehen zwar durch Abbildungen<br />
0,1 (Kurat[owski] F. M. 22, p. 210), aber nicht durch 0,0, da z.B.<br />
eine kompakte perfekte Menge, selbst wenn sie 0-dimensional ist, mit X nicht<br />
homoomorph ist).<br />
Vergebhcher Versuch: angenommen, es sei eine Zerlegung B = Y^Bn in<br />
disjunkte Bn moghch, die (0, Q;)-Bilder von X sind und iiber deren Beschaffenheit<br />
relativ zu B noch Naheres vorausgesetzt werden muss; ferner soil stets<br />
Bn + Bn-\-i + • • • in B dicht sein. Da diese Mengen verdichtet sind und fiir<br />
eine verdichtete Menge B^ = By ist (J5 C J5y, Boc C Bya = By C BQC ), so<br />
ist {Bn -h Bn-]-i -^ ' ")y = By . Bringen wir D in eine Folge ^/i, 2/2, • • •, worin<br />
jeder Punkt y von D unendhch oft vorkommt; Vk sei eine Umgebung von yk<br />
Hiit Durchmesser Sk -^ 0. Bei behebig grossem z/ ist, da yk e {Bj^-^i + • • • )y ^<br />
{Bj^^i + "')Vk und also ein Bn^Vk mit Uk > y unabzahlbar, enthalt also<br />
eine perfekte Menge Qn^; wir konnen | demgemass eine Folge von Zahlen Bl. 18<br />
rii < 77-2 < ••• bestimmen, derart, dass es perfekte Mengen Qnj^ C Bn^Vk<br />
giebt. Ist dann z. B. y = y^^ = y^^ = y^ = - • - (a < ^ < 7
(5) Konnte man umgekehrt von einem verdichteten F^ — F(j6 zeigen, dass<br />
[11] es aus dem NuUraum X nur durch 0,2, nicht durch 0,1 entsteht?<br />
Z.B. von B = E {x^ -^ oo), welches in X ein Fcys und kein Gsa ist.<br />
Anmerkungen<br />
[1] HAUSDORFF bezieht sich hier auf die franzosische Erstausgabe von [Ku<br />
1933/1966]. In der spateren englischen Standardausgabe von 1966 gehoren (3)<br />
und (4) zu § 36.11.<br />
[2] Verweis in (6): [Ku 1933/1966], § 36.IV; Verweis in (7): [Ku 1934]<br />
(in [Ku 1933/1966] wird dies Resultat nicht expHzit genannt); Verweis in<br />
(8): das nachsthegende Resultat in [Ku 1933/1966] ist Korollar la in § 37.11,<br />
welches besagt, dafi jedes F^"*"^ (a > 1) (0,a)-Bild eines voUstandigen<br />
separablen Raumes ist.<br />
[3] Eine Abbildung a,(3 ist eine bijektive Abbildung f \ X -^ Y {X^Y<br />
metrische Raume), so dafi das /-Urbild jeder in Y abgeschlossenen Menge<br />
eine F^ -Menge in X und das /-Bild jeder in X abgeschlossenen Menge eine<br />
F^-Menge in Y ist, s. Fasz. 619.<br />
[4] Die Behauptung (9) wurde in [Ku 1934] bewiesen (s.die Anmerkungen<br />
[10] und [11] zu Fasz. 619). HAUSDORFF bemerkt hier einen Widerspruch<br />
in KuRATOWSKis Formulierung.<br />
[5] Dies ist Satz 1 in [H 1937] (s.diesen Band, S. 539-554). Der hier gefiihrte<br />
Beweis funktioniert nicht fiir a = 1, so dafi HAUSDORFF noch nicht<br />
beweisen konnte, dafi jedes verdichtete F^ = Fc^s (0,1)-Bild von ^ ist.<br />
Dies gelang ihm erst am 18.3.1937 (Fasz. 624, dieser Band, S. 742-744). Fiir<br />
a = 0 ist die Behauptung falsch, well durchaus nicht jedes dichte F^ — G5<br />
homoomorph zu c/K ist.<br />
[6] HAUSDORFF bezieht sich hier auf den vorigen Faszikel 619, Bl. 11.<br />
Dafi die Klasse der Abbildung (0,a*) anstatt (0, a) sein kann, war im Laufe<br />
des Beweises in Fasz. 619 klar geworden.<br />
[7] Die Behauptung (15) ist Theorem 2 in [Ku 1933/1966], § 30.V. Das<br />
Resultat ist falsch fiir a = 1, z.B.fiir Teilmengen von IR (s.die abschliefiende<br />
Bemerkung in [Ku 1933/1966], §30.V).<br />
[8] Dieses Theorem bewies KURATOW^SKI in [Ku 1934]. HAUSDORFF gibt einen<br />
anderen, direkteren Beweis.<br />
[9] HAUSDORFF zitiert hier die Behauptung (13) von Blatt 5 des vorliegenden<br />
Faszikels 620.<br />
650
[10] Das Problem, ob jedes verdichtete F^ = F(j5 (0,1)-Bild von ^<br />
ist, formulierte KuRATOWSKi in einer Fufinote auf S. 210 von [Ku 1934].<br />
HAUSDORFF gab in Fasz. 624 eine bejahende Antwort (s. Anmerkung [5]).<br />
[11] S.die Anmerkungen [5] und [10].<br />
Kommentare<br />
Funktionen der Baireschen Klassifikation, oder, wie sie bei HAUSDORFF heifien,<br />
Borelsche Funktionen, wurden von BAIRE in seiner Dissertation [Ba 1899]<br />
eingefiihrt. Sie wurden in Folgearbeiten, vor allem in [Lb 1905] und [Ba 1909],<br />
ausgiebig studiert. Insbesondere entdeckte LEBESGUE die grundlegenden Beziehungen<br />
zwischen der BORELschen Mengenhierarchie und der BAlREschen<br />
Funktionenhierarchie. Dieses Thema war eines der bevorzugten Interessengebiete<br />
HAUSDORFFS in der Mengenlehre seit Veroffentlichung der Grundzilge der<br />
Mengenlehre (dort Kapitel IX, s.Band II dieser Edition, S. 773-787). HAUS<br />
DORFFS Arbeit [H 1919d] ist ganz diesem Gegenstand gewidmet (s.Band IV<br />
dieser Edition, S. 79-103), ebenso zahlreiche Faszikel in seinem Nachlafi, zusammenfassend<br />
dargestellt in Mengenlehre, §§ 41-43.<br />
In den 30-er Jahren, vielleicht auch schon etwas eher, begann es ziemlich klar<br />
zu werden, dafi zumindest im Fall der polnischen Raume jene Eigenschaften<br />
der Baireschen Funktionen, die vom Standpunkt der deskriptiven Mengenlehre<br />
aus interessant sind, viel mehr von den Borelklassen ihrer Bilder und Urbilder<br />
abhangen als von der sukzessiven Baireschen Limeskonstruktion selbst. KuRA-<br />
TOWSKI ([Ku 1934]) fiihrte den Begriff des Homoomorphismus der Klasse (a, l3)<br />
ein {a, l3 Ordinalzahlen < ct;i) und untersuchte die Wirkung von Abbildungen<br />
dieses Typs auf Borelmengen. HAUSDORFFS Analyse der KuRATOWSKischen<br />
Studien, ausgefiihrt in den Jahren 1936-1937, fand ihren Niederschlag in einer<br />
Reihe von Noten im Nachlafi und in der Publikation [H 1937].<br />
Fasz. 618 ist vor allem einem wichtigen Resultat gewidmet, dem Erweiterungssatz<br />
(5). HAUSDORFFS Beweis unterscheidet sich ziemlich von KuRATOW^-<br />
SKis Beweisftihrung in [Ku 1933/1966].<br />
Fasz. 619. Der Schliisselsatz dieser Note ist III auf Blatt 10. Dieser Satz<br />
kommt dem Theorem 1 in [Ku 1934] nahe, welches folgendes besagt:<br />
Dafiir, dafi eine Menge A in einem polnischen Raum Y ein F*^ in<br />
y ist (a > 0), ist notwendig und hinreichend, dafi ein polnischer<br />
Raum X und eine surjektive Abbildung f : X ^^ A der Klasse<br />
(0, Of — 1) existieren. Ist a > 1, so kann X als 0-dimensionaler<br />
Raum gewahlt werden.<br />
(Hier wird angenommen, dafi a — 1 = a fiir eine Limeszahl a ist.) Man beachte,<br />
dafi 0-dimensionale polnische Raume homoomorph zu abgeschlossenen<br />
Teilmengen von jV sind. HAUSDORFF bemerkte hier bei KURATOWSKI ein<br />
Versehen fiir den Fall, dafi a Limeszahl ist (s. Anm. [4] zu Fasz. 620), und gab<br />
in Satz III eine korrekte Formulierung an.<br />
651
Obwohl in II und III a > 1 gefordert wird, schlieBt die Beweisfiihrung bei<br />
leichter Modifikation den Fall a — 1 mit ein. Es geniigt in Wirklichkeit, IIi<br />
zu zeigen, d. h. II fiir a = 1. HAUSDORFFS Argumentation fiihrt nicht direkt<br />
zum Ziel, weil eine Menge B der Klasse G^ = F^ nicht notwendig disjunkte<br />
abzahlbare Vereinigung von abgeschlossenen Mengen ist. Aber B ist offenbar<br />
disjunkte Vereinigung von DifFerenzen abgeschlossener Mengen, d. h. von G5 -<br />
Mengen, welche topologisch ebenfalls polnische Raume sind, also (0,1)-Bilder<br />
von abgeschlossenen Teilmengen von ^, und so weiter.<br />
BehaUptung I fiir o; = 1 ist im Kern bereits in Mengenlehre enthalten<br />
(s. Anm. [93] zu Mengenlehre), denn ein F^ ist per definitionem ein G5, folglich<br />
selbst ein polnischer Raum und somit F^ und F^ . HAUSDORFF merkt an,<br />
dafi das Result at durch eine Modifikation des in [Ku 1934] gefiihrten Beweises<br />
dafiir, dafi jeder insichdichte polnische Raum (0,1)-Bild von ^ ist, erhalten<br />
werden kann.<br />
Man beachte den Unterschied zwischen Satz III einerseits und den Satzen<br />
IV und V andererseits: die beiden letzteren behaupten die Existenz von Abbildungen,<br />
deren Wertebereich (als auch deren Definitionsbereich) der ganze der<br />
gegebenen Menge B zugrundeliegende polnische Raum Y ist. Dies erlaubt es,<br />
gewisse Eigenschaften niedriger Borelklassen routinemafiig auf hohere Klassen<br />
auszudehnen. HAUSDORFF gibt ein Beispiel dieser Art am Ende von Fasz. 619.<br />
Wir geben hier ein anderes Beispiel, welches sich auf den Fall P — 1 bezieht.<br />
Angenommen, B ist eine H^+i-Teilmenge eines polnischen Raumes Y. Dann<br />
existieren nach Satz IV ein polnischer Raum X, eine H^ -Menge A C X (d. h.<br />
ein A2 — F(j n Gs), und eine surjektive Abbildung f : X -^ Y der Klasse<br />
(0, a), so dafi f{A) = B. Damit liefert jede Darstellung von A als Differenzenkette<br />
von abgeschlossenen Mengen (wie in Mengenlehre, § 30) eine Darstellung<br />
von A als Differenzenkette von F^ -Mengen.<br />
Fasz. 620 enthalt einen Beweis (fiir den Fall a > 1) von HAUSDORFFS<br />
Hauptresultat auf diesem Gebiet: Jede verdichtete F"+^-Menge B ist (0,a)-<br />
Bild des ganzen Baireschen Raumes ^ = N^^ (und nicht nur einer abgeschlossenen<br />
Teilmenge von ^ wie im Fall einer beliebigen, nicht notwendig<br />
verdichteten, F^+^-Menge). Der Ursprung von HAUSDORFFS Interesse an diesem<br />
Problem ist wahrscheinlich eine von KuRATOW^SKl in [Ku 1934], S. 210<br />
aufgeworfene Frage: Ist jedes F^ = F^s (0,1)-Bild von ^? HAUSDORFFS<br />
Beweis fiir den Fall o; > 1 im Fasz. 620 ist etwas verschieden von der endgiiltigen<br />
Version, die in [H 1937] publiziert wurde. Er hatte sich tagelang darum<br />
bemiiht, auch den Fall a = 1 zu klaren (der von seinem Beweis im Fasz. 620<br />
vom 10.3.1937 nicht erfafit wird). Die Losung fand er am 18.3.1937; die erste<br />
Niederschrift ist der Faszikel 624. Das Manuskript der Veroffenthchung [H 1937]<br />
wurde dann am 24.3.1937 an Fundamenta Mathematicae geschickt (Fasz. 97).<br />
Im iibrigen wird auf den Kommentar zu [H 1937] in diesem Band verwiesen,<br />
der etwas zur Bedeutung von HAUSDORFFS Satz fiir die deskriptive Mengenlehre<br />
sagt. Obwohl [H 1937] den Faszikel 620 im wesentlichen iibertrifft, haben<br />
wir diesen trotzdem hier in voUer Lange aufgenommen, weil er einen Eindruck<br />
von HAUSDORFFS Arbeitsweise auf dem Wege zu einem wichtigen Ergebnis ver-<br />
652
mittelt. Besonders erwahnt sei auch das spezielle Resultat (17) fiir verdichtete<br />
G^, welches in [H 1937] nicht vorkommt.<br />
Literatur<br />
[Ba 1899] BAIRE, R. : Sur les fonctions de variables reelles, Annali di matematica<br />
pura ed applicata, Serie Ilia, 3 (1899), S. 1-122.<br />
[Ba 1909] BAIRE, R. : Sur la representation des fonctions discontinues, Acta<br />
Math., 32 (1909), S. 97-176.<br />
[Ku 1933] KuRATOWSKi, C.: Sur les theorernes topologiques de la theorie des<br />
fonctions de variables reelles, C. R. Acad. Sci. Paris, 197 (1933), S. 19-20.<br />
[Ku 1934] KuRATOWSKi, C: Sur une generalization de la notion de homeomorphie,<br />
Fund. Math., 22 (1934), S. 206-220.<br />
[Ku 1933/1966] KuRATOWSKi, C: Topology, vol. I, New edition, revised and<br />
augmented. Academic Press, 1966. Erstausgabe: Topologie /, Monografie<br />
Matematyczne, vol. Ill, Warszawa 1933.<br />
[Lv 1924a] LAVRENTIEFF, M.: Sur la recherche des ensembles homeomorphes,<br />
C. r. Acad. sci. Paris, 178 (1924), S. 187 - 190.<br />
[Lv 1924b] LAVRENTIEFF, M.: Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes,<br />
Fund. Math., 6 (1924), S. 149-160.<br />
[Lb 1905] LEBESGUE, H.: Sur les fonctions representable analytiquement,<br />
Journ. de Math. (Ser. 6), 1 (1905), S. 139-216.<br />
[Lu 1930] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,<br />
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.<br />
[Ma 1916] MAZURKIEV^ICZ, S.: Uber Borelsche Mengen, Bull. Acad. Sci.<br />
Cracowie, 2 (1916), S. 490-494.<br />
653
4. Reduzible Mengen und Differenzenketten<br />
HAUSDORFFS Nachlafi enthalt mehrere Noten liber reduzible Mengen und Differenzenketten.<br />
Die meisten davon stammen aus den Jahren 1914-16; darin<br />
wird versucht, den Begriff der reduziblen Menge zu verallgemeinern, jedoch<br />
ohne nennenswerten Erfolg. Diese Serie von Arbeiten wird in unserer Auswahl<br />
durch Fasz. 997 reprasentiert. In den 30-er Jahren kehrte HAUSDORFF ZU dem<br />
genannten Gegenstand zuriick und verfaBte einige weitere Noten. Diese waren<br />
sowohl Versuchen zur Verallgemeinerung (welche er aber schlieBlich aufgab)<br />
als auch verschiedenen neuen Anwendungen von reduziblen Mengen und Differenzenketten<br />
gewidmet. Insbesondere studierte HAUSDORFF die Trennbarkeit<br />
durch reduzible Mengen oder R-Trennbarkeit. Diese Serie von Arbeiten wird<br />
hier durch die Faszikel 995 und 996 reprasentiert.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 997<br />
[Reduzible Mengen]<br />
Hs. Ms. - [Greifswald], 13.2.1915. - 5 BU.^<br />
13/2 1915<br />
I. Vereinfachung des Beweises (Grundz[uge] S. 461), dass der Durchschnitt<br />
reducibler Mengen reducibel ist.<br />
[1] Sei D — ^{A, B), A and B reducibel. Das letzte Residuum Di ist in D abgeschlossen:<br />
Di = ^{D,F) = ^{^{A,F),^{B,F)); ^{A,F) und 2)(5,F)<br />
sind reducibel. Schreiben wir dafiir wieder A, B und D statt Di, so ist zu<br />
zeigen: der Durchschnitt D = !j)(A, B) reducibler Mengen kann der Gleichung<br />
D = (p{D) nur genilgen, wenn er verschwindet.<br />
Dabei kann angenommen werden, dass A ^ Doc, B ^ D^ , indem wir abermals<br />
(oder gleich oben) A, B durch S)(A,Dcx), ^{B^Doc) ersetzen, welche<br />
Mengen wieder reducibel sind und den Durchschnitt !J)(D, Doc) = D haben.<br />
Bei dieser Annahme ist D ^ A^ Doc, also Aoc = Doc, ebenso Boc — Doc -<br />
Setzen wir '^{D) = U, so ist nach Annahme '^{U) — J9, also<br />
Doc=D-hU = Uoc.<br />
Nun folgt ^\){A) = ^{Doc,E - A), ^\){B) = V{Doc.E-B),<br />
^\>{D) = ^{Doc^E -D) = ^{DocME -A,E-B))^ &{MA)MB)),<br />
U = &{MA)MB)).<br />
Setzen wir jetzt D' = 'S){D,E - iK5)a), U' = Ti{U,E - iK^)a). Nach<br />
Bl. 2 einer Formel fiir Relativgebiete (aus A = TI{B, G) folgt Aoc 2 "^{Boc, G)) ist|<br />
^Mit einem Zusatz in violetter Tinte. Diese benutzte HAUSDORFF in den zwanziger und<br />
dreiBiger Jahren.<br />
654
ebenso U'^ ^D' -\-U'. Aus den Formeln fiir C/, U' folgt noch:<br />
Danach behaupten wir, dass jedes Residuum A^ die Menge D' enthalt. Fiir<br />
^ = 0 ist dies richtig; fur Limeszahlen ist der Inductionsschluss evident; es<br />
braucht also nur von ^ auf ^ + 1 geschlossen zu werden. Wenn A^ 2D', so<br />
folgt<br />
A^oc 2K 2U'. E-A^2E-A2MA)2U',<br />
also (Durchschnitt) i|>(^^) 2 ^' • Daraus weiter<br />
M^doc 2K2D'. E- MA^) 2E- MA) 2 A 2 D^<br />
also (p(A^) 2 D', .4^4.1 2E>', q. e. d.<br />
Danach ist A/ 2 D', also, well A reducibel war, D' = 0. Daraus folgt:<br />
i^'^ =0, 0 = ^{Doc,E-y\>{B)oc) = Boc-MB)oc = B-ip{B), Silso B = ip{B),<br />
5 = 5/ - 0, D = 0.<br />
11. Man kann ebenso, oder noch einfacher, beweisen, dass die Summe reducibler<br />
Mengen reducibel ist. (Beides ist mit der Korpereigenschaft identisch,<br />
da das Complement einer reduciblen Menge reducibel ist). | B1.3<br />
Sei S = &{A, B) die Summe reducibler Mengen. Wieder ist 5/ = 2)(5, F) =<br />
6(2)(A, F),!D(5,F)) und wir haben zu zeigen: wenn A, B reducibel und, fiir<br />
S — &{A^B), S — cp(5) ist, so verschwindet S.<br />
Setzen wir IKS') = ^, Soc=S^V = Voc; ferner<br />
S' = S)(5, E-Boc), V' = ©(y, E-Boc).<br />
Wieder ist nach der Formel fiir Relativgebiete<br />
s'^ 2^{Soc^E-Boc) = s'^r, s'^2S'^v\ v^ 2 s' + r.<br />
Zugleich ist 5' = S3(A, E — Ba) ^ A. Wir behaupten, dass jedes Residuum<br />
A^ die Menge S' enthalt. Nur der Schluss von ^ auf ^ + 1 ist erforderlich:<br />
Aus A^ 2 S' folgt A^oc 2 5^ 2 F',<br />
E-A^2E-A2E-S2y2y'. M^d 2 V•<br />
Dann il;(A^), 2 V^ 2 5', E- ^A^) 2 A^ 2 5', cp(A^) 2 S', ^^+i 2 S'.<br />
I Demnach ist Bl. 4<br />
Ai2S'^ 5^ = 0, 5^=0, S)(5OC,£;-J5,) = 0, 5, = 5, = FCX •<br />
Also V ^^{Soc,E-S)g^{Boc,E-B)=MB)gBcc = V^a ,<br />
VgMB)gVoc, tK^)a=Va-Boc, ^^Boc-MB)oc=B-ip{B).<br />
655
Also B - (p(B) = 5^ = 0. Ebenso ^ = 0, 5 - 0.<br />
Bl. 5 I Cantor nennt den sep[arierten] Bestandtheil einer abgeschlossenen Men-<br />
[2] ge reducibel: R — F — Fy {F abgeschlossen). Notwendige und hinreichende<br />
Kriterien fiir eine reducible Menge ([im] eukl[idischen] Raum) sind, dass R<br />
hochstens abzdhlbar und Differenz abgeschlossener Mengen (also Ra — R abgeschlossen)<br />
sei. Dass dies hinreicht, ist so zu zeigen: Roc — R = S abgeschlossen,<br />
R hochstens abzahlbar. Man lege um jeden Punkt r^ von R = {ri,r2,...}<br />
ein Kugelinneres Un, das zu E — S gehort, derart, dass die abgeschlossenen<br />
Kugeln Vn einander nicht treffen.*^ G = Ui + U2-\ ; E — G = Pist perfect.<br />
Ferner jRgGgE-S', E - J R 2 P 2 5. Die Menge F = &{P,Ra) =<br />
6(P, R, S) = (3(P, R) = P-\-R ist abgeschlossen, P ihr perfecter Bestandtheil<br />
Bl.5v = Fy, R = F-Fy.\<br />
[3] Verallgemeinerung der reduciblen Mengen<br />
(A) Ax kleinste Menge N = A^F {N durchlauft eine 6-Ring; F abgeschlossen).<br />
\|)(A) ^ Ax - A, (p(A) = ipiKA). Mit (p{A) die Residuen Ai =<br />
(p(yl), A2 — cp(^i),.... Letztes Res[iduum] = 0, ^ reducibel. Reducible<br />
Mengen sind solche A={No- iVi) -\-{N2 - Ns)-\-• - •-\- (AT^ - AT^+i) + • • •<br />
mit schliesslich verschw[indenden] Summanden; N^ 2 {Nrj)oc f^r ^ < rj.<br />
Hier ist das Complement einer reduciblen Menge reducibel; Summe und<br />
Durchschnitt wahrscheinlich nicht.<br />
(B) (p(A) kleinste in A abgeschlossene Menge derart, dass A — (p{A) = N —<br />
N' mit N 2 ^' (AT, A/^' durchlaufen einen 6-Ring.) Ai = (p{A), A2 =<br />
(p(^i),... . Letztes Res[iduum] = 0, A reducibel. Reducible Mengen<br />
sind solche A = {No - Ni) + (A^s - A^s) + • • • + (A^.. - A^^+i) + • • •<br />
mit schliessl[ich] verschw[indenden] Summanden, AT^ 2 A'^ fiir ^ < 77;<br />
(Ar2^ — N2^-^i) -\ = ^^ in ^ abgeschlossen. Hier ist der Durchschnitt<br />
von zwei reduciblen Mengen reducibel; das Complement wahrscheinlich<br />
nicht.<br />
[4] Zu einer voUen Verallg[emeinerung] der gewohnlichen red[uciblen] Mengen l^in<br />
ich nicht gelangt. Diese miisste liefern: die red[uciblen] Mengen sind von der<br />
Form {No — A^i) + • • • mit AT^ 2 AT^ (^ < '^) und etwaigen Nebenbedingungen;<br />
sie bilden einen Korper; sie sind wie ihre Complemente Mengen N^, und<br />
umgekehrt: jede Menge, die zugleich mit ihrem Complement ein No- ist, ist<br />
reducibel.<br />
*) [Mit violetter Tinte spater eingefiigt]: Vielmehr so: Man lege um ri eine offene Kugel<br />
Ui Q E — S, auf deren Oberflache kein Punkt rn liegt (d.h. Kugelradius 7^ rirn)- Giebt<br />
es Punkte Vn ausserhalb Ui , d. h. ausserhalb Vi , und ist Va der erste unter ihnen, so lege<br />
man um ra eine Ua ^ £" — (/S + Vi), auf deren Oberfl[ache] kein Punkt rn liegt, u.s.w.<br />
G = Ui-\-U2-\-- • • ' E — G = Pist perfekt; denn ware p ein isolierter Punkt von P, so miisste<br />
eine Umgebung U von p, p selbst ausgenommen, zu G gehoren, U = UUi -\-UU2-\-- • • sein,<br />
was weder mit einem noch (wegen des Zusammenhangs von U) mit mehreren Summanden<br />
moglich ist.<br />
656
Anmerkungen<br />
[1] Zur Notation: (p(X) und ^\>{X) in dieser Note entsprechen X^ und Xp in<br />
Mengenlehre, § 30.3. E ist der ganze Raum, 2)(X, Y) = X nY, 6(X, Y) =<br />
XUY.<br />
[2] CANTOR nannte solche Mengen reductibel (s. Anm. [74] zu Grundziige der<br />
Mengenlehre, Band II dieser Edition, S. 611). HAUSDORFFS Definition von „reducibel"<br />
unterscheidet sich von der CANTORS. HAUSDORFF zeigt, dafi fiir Cantor-<br />
Reduzibilitat einer Punktmenge R im euklidischen Raum notwendig und hinreichend<br />
ist, dafi R abzahlbar und Differenz zweier abgeschlossener Mengen<br />
ist. Fy und RQC haben dieselbe Bedeutung wie in Mengenlehre, § 23.<br />
[3] Dieser Abschnitt ist mit violetter Tinte geschrieben und wurde spater verfafit.<br />
Die Schreibweise „reducibel" deutet darauf hin, dafi er einige Zeit vor 1934<br />
verfafit wurde, denn in den Faszikeln 996 und 995 von 1934 benutzte HAUS-<br />
DORFF die modernisierte Rechtschreibung „reduziber'.<br />
[4] HAUSDORFF skizziert die charakteristischen Eigenschaften, welche die verallgemeinerten<br />
reduziblen Mengen haben miifiten; die in die Differenzenketten<br />
eingehenden Mengen N bilden einen 6-Ring, etwa ^, und die gewohnlichen reduziblen<br />
Mengen entsprechen dem Fall 0^ = F (abgeschlossene Mengen; s. den<br />
Komnientar am Ende dieses Abschnitts).<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 996<br />
Reduzible Mengen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 4.1.1934. - 4 BU.<br />
Reduzible Mengen 4.1. 34<br />
(Mengenlehre S. 168; ensembles developpables, Kuratowski, Topologie I S. 59.) [1]<br />
Eine Menge der Form<br />
R = ^{F2^+i - F2^+2) = {Fi - F2) + (F3 - F4) + • • • + (F^+i - F^+2) + • • •,<br />
wobei die abgeschlossenen Mengen i^^+i eine absteigende Folge (von beliebigem<br />
Typus) bilden und schliesslich = 0 sind, heisst reduzibel. Die reduziblen Mengen<br />
bilden einer Korper; insbesondere ist das Komplement [2]<br />
S = E-R = Y,iF2^-F2^+i)= (Fo-Fi) + (F2-F3) + .-- + (F^-F^-,i) + ---<br />
wieder reduzibel {FQ = E, F^ = 2) F^+i fiir rj = Limeszahl).<br />
Zwei Mengen P, Q heissen R-trennbar, wenn sie sich in disjunkte reduzible<br />
Mengen einschliessen lassen; man kann die letzteren komplementar annehmen,<br />
also PgR, QgS = E-R.<br />
657
I. Zur R-Trennbarkeit von P, Q ist notwendig und hinreichend, dass die<br />
Formel<br />
AgTA~QA (1)<br />
[3] nur fiir ^4 = 0 bestehe.<br />
Notwendig. Aus (1) und P £ R, Q^S folgt A g 'RA'SA. Wir zeigen, dass<br />
A jedem F^ angehort, also = 0 ist. Zunachst ist A^ FQ = E\ ferner, wenn r]<br />
Limeszahl und A^F^ fiir i
RQE-Q Oder QQE-R, ebenso P £ £^ - 5; die Mengen E - R, E-S<br />
sind reduzibel und disjunkt, P und Q R-trennbar.<br />
Die Bedingung des Satzes I {A^p =^ PA QA)<br />
ist mit<br />
aus A^A^ folgt A = 0 (ex)<br />
aus A = A^ folgt A = 0 ((3)<br />
gleichbedeutend. Dass (|3) aus (a) folgt, ist trivial, aber es folgt auch (ex) aus<br />
((3), denn ist A ^ A^p, so ist (weil A^p abgeschlossen ist) A^ A^^ andererseits<br />
A^^'A^^ A, also ~A = ^^, nach (/?) also A = 0 und ^ = 0.<br />
(a) besagt mit A^ = AA^p: aus A = A^ folgt ^ = 0, oder: aus A D 0 folgt<br />
A D Ad- Dann ist sogar Ad | in ^4 nirgendsdicht. Denn sei A^ ^ AG, G B1.4<br />
offen, so zeigen wir, dass AG = 0, womit die Behauptung bewiesen ist (Ad ist<br />
in A abgeschlossen und hat, bezogen auf A, keinen inneren Punkt, d.h. ist in<br />
A nirgendsdicht). Auf Grund der bekannten Formel XG 2 XG (G offen) hat<br />
man<br />
{AG)^=TAG ~QAG2^^ Q^ G = A^G, (AG)di AdG^ AG,<br />
also AG = (AG)d , d. h. AG = 0.<br />
Wird insbesondere Q = E — P angenommen, so ist die R-Trennbarkeit von<br />
P, Q mit der Reduzibilitat von P selbst identisch; da hier Ad die Begrenzung<br />
von PA im Raume A ist, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung<br />
fiir Reduzibilitat von P, dass fiir jede Menge A D 0 (oder jede abgeschlossene<br />
Menge A D 0, vgl. ((3)) diese Begrenzung Ad kleiner als A oder in A<br />
nirgendsdicht sei. (Hieraus schliesst K[uratowski], dass die reduziblen Mengen<br />
einen Korper bilden, weil die Mengen mit nirgendsdichter Begrenzung in jedem<br />
Raum einen Korper bilden).<br />
Anmerkungen<br />
[1] ensembles developpables: HAUSDORFF zitiert hier die franzosische Erstausgabe<br />
von [Ku 1933/1966]. In der englischen Ausgabe wurde das mit resolvable<br />
sets bzw. genauer mit sets resolvable in a differential chain of countable length<br />
iibersetzt (§ 12.11 auf S. 96).<br />
[2] E ist wie iiblich der ganze Raum.<br />
[3] A bedeutet hier den Abschlufi von A, also A = A^ in der Notation von<br />
Mengenlehre.<br />
659
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 995<br />
[Verallgemeinerung der reduziblen Mengen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 6.1.1934. - 15 BIL^<br />
6.1. 34 a<br />
1. Im Raume E sei ^ ein System von Mengen N mit denselben Eigenschaften<br />
wie die abgeschlossenen Mengen (Mengenlehre S. 227), namlich<br />
[1] (1) E und 0 ist ein N<br />
(2) Die Summe zweier N ist ein N<br />
(3) Die Durchschnitt beliebig vieler N ist ein N.<br />
Hiermit kann man die Theorie der reduziblen Mengen nachbilden. Es sei A<br />
das kleinste TV iiber A (es giebt solche AT, z.B. E, und der Durchschnitt aller<br />
ist wieder eins); A heisse die A/'-Htille von A. 1st A = BN, so ist A — BA;<br />
denn wegen A£ N ist AQN, also A = AA = BNA = BA.<br />
Sei A- A =j4p, Ap - Ap = A^, so folgt A 2 Ap 2 ^cp, ^cp i ^,<br />
A — A(p = A — Ap , Definieren wir<br />
Ao = A, A^^i = ^^cp , Ar^ = ^ A^,<br />
so werden die absteigenden Mengen AQ ^ Ai 2 • • • ^ A^^ 2 • • • schliesslich<br />
BL2 gleich, Ar^ = ^77+1 = * • • • I<br />
Die Mengen, deren kleinstes AT-Residuum Aj^ Null ist, heissen AT-reduzibel.<br />
Die A/"-reduziblen Mengen sind die aus Mengen A^ gebildeten Differenzenketten.<br />
Denn es ist, wenn A AT-reduzibel ist (^^^ = 0)<br />
A=^(A^-A^+i)=X](3j-Arp),<br />
wobei A^ 2 ^^p 2 A^+i, die A/'-Mengen A^, A^p also eine fortlaufende monoton<br />
absteigende Folge (mit schliesslich verschwindenden Gliedern) bilden. -<br />
Um das Umgekehrte zu beweisen, schicken wir voraus: ist A = {N — B)Ni,<br />
so ist Ap = BA. Denn A £ AT, ausserdem war A = {N - B)A ^ A- BA,<br />
also A- A = BA. Durch zweimalige Anwendung: ist A = ({N - N^) + C)Ni<br />
(AT ^ AT' 2 C), so ist Ap = (AT' - C)A und App = CAp . Sei demnach<br />
"^Die Faszikel 995-1004 hat HAUSDORFF unter dem Titel „ Verallgemeinerung der reduciblen<br />
Mengen" in zeitlich riicklaufiger Anordnung in einer Mappe zusammengefaBt.<br />
660
mit N^ ^ N^^ ^ Nrj {^ < rj) und schliesslich verschwindenden N^. Setzen wir<br />
M^= E (^r; - iV;), also I B1.3<br />
Mo = M, M^ = {N^- N^) + M^+i, Mrj = ^ M^ {rj Limeszahl).<br />
Sei A von der Form MN; A^ die A^'-Residuen von A. Wenn bereits bekannt<br />
ist, dass A^ von der Form M^N ist, so folgt aus dem soeben Bewiesenen, dass<br />
A^p von der Form {N'^ - M^^i)N und A^^p = A^+i von der Form M^^iN<br />
ist. Ebenso fiir eine Limeszahl. Also ist jedes A^ £ M^ und schliesslich 0; A<br />
reduzibel; das gilt insbesondere von M selbst. Aus A^ ^ N^, A^p £ iV^ folgt<br />
iiberdies A^ ^ N^, A^p £ N^.<br />
Die AT-reduziblen Mengen bilden also einen Korper.<br />
2. Ein System ^ der vorausgesetzten Art wird z.B. folgendermassen erhalten:<br />
es sei Pi ein System paarweise disjunkter Mengen im Raume E — Y^Pi {i<br />
durchlauft eine Menge /, die endlich, abzahlbar oder auch unabzahlbar sein<br />
kann) und N seien die Mengen der Form<br />
(a) N ^^PiFi {Fi abgeschlossen),<br />
i<br />
(d.h. PiN in Pi abgeschlossen). Offenbar gehoren 0 und E^ sogar alle abge- [2]<br />
schlossenen Mengen F = Y^PiF zu ^. Die Summe zweier N ist ein N und<br />
i<br />
der Durchschnitt beliebig vieler Nk = Y^PiFik {k ^ K) ist<br />
i<br />
(|3) N = ^Nk = j:PiFi, Fi^^Fikk<br />
i k<br />
I 1st E separabel und das System der Pi hochstens abzahlbar, so bilden B1.3v<br />
die Mengen N der Form (a), die einem gegebenen 6-Ring ^o angehoren (der<br />
die abgeschlossenen Mengen enthalten moge), auch schon ein System ^ der [3]<br />
K H^<br />
vorausgesetzen Art. Denn in ((3) kann Fi = ^Fik durch Fi = ^ Fik ersetzt<br />
k k<br />
werden, wo Hi eine hochstens abzahlbare Teilmenge von K ist; setzt man H =<br />
H<br />
&Hi, so ist H hochstens abzahlbar und (wegen Hi Q H Q K) Fi = 1)Fik,<br />
i k<br />
H<br />
also N = ^Nk wieder zu O^o gehorig.<br />
k<br />
1st N^ {^ < Q) ein System von Mengen dieser Art, welches monoton ist<br />
(N^ ^ Nrj Oder N^ 2 Nrj fiir ^ < rj), so ist schliesslich 7V^ = 7V^+i = • • • .<br />
Denn N^ = Yl Pi^i^ ? wo Fi^ = PiN^ gesetzt werden kann; hierin sind die<br />
i<br />
Fi^ (bei festem i) monoton, also schliesslich konstant (fiir ^ ^ 77^), demnach<br />
simultan konstant fiir ^ ^ 77 ^ r]i und dann N^ fiir ^ ^ rj konstant. Die<br />
reduziblen Mengen bestehen also aus hochstens abzahlbar vielen Gliedern der<br />
661
Form N - N^; wenn E - N ein N^ ist (z.B. fiir N ^ F, Gs, FaS, • • • ); sind<br />
[4] die reduziblen Mengen wie ihre Komplemente Mengen No-.<br />
B1.4 I 6.1.34 -^ 19.2.34 b<br />
Wir hatten gezeigt: wenn M = J2i^^ - ^Z) ^^^ ^^2^e = ^'n (C < ^) und<br />
schliesslich verschwindenden N^, so ist jede Menge A der Form MN reduzi-<br />
bel und fiir ihre „kanonische" Entwicklung A — Yli^^ ~ ^^P) S^l^ ^C = ^^ ^<br />
A^p Q Nc- Insbesondere ist dies fiir A — M selbst richtig.<br />
Nehmen wir jetzt an, es sei M = X^(^2^+i — ^2^+2) eine abzahlbare Diffe-<br />
renzenkette, wo die Ai 2 A2 2 • • • 2 A^^+i 2 • • • einem 6-Ring ^0 angehoren<br />
und schliesslich verschwinden. Hierzu kann man eine Zerlegung des Raumes in<br />
abzahlbar viele disjunkte Summanden angeben, E — ^Pi^ der art dass die A^<br />
die Form (a) {^PiFi) haben, d.h. A^Pi in Pi abgeschlossen ist. Namlich mit<br />
Ao = E und yl^ = 2) ^^+1 fiir ^ = Limeszahl wird<br />
(a) ^ = E(^c-^^+i);<br />
jetzt ist A^{An — ^ry+i) entweder 0 oder A^ — ^r^+i selbst (jenachdem r] < (^<br />
oder ry ^ ^), also in trivialer Weise in A^ — A^+i abgeschlossen. Bei Fest-<br />
Bl. 5 haltung dieser Zerlegung | (ex) bilden die Mengen von ^0, die von der Form<br />
[5] ^(A^ — A^+i)F^ sind, einen Ring ^^ 5 dem die A^ angehoren; jetzt liefert die<br />
Residuenbildung die kanonische Darstellung<br />
M = ^(52^+l-52^+2)<br />
mit B^^A^, ferner J] (^2r/+i - ^27^+2) i E (^277+1 - ^2r?+2) •<br />
Hierzu gehort nun wieder eine Zerlegung des Raumes<br />
(13) £; = E(5e-s^+i),<br />
ein Ring O^p , die Mengen von OTQ der Form X^(^4 — B^^i)F^ umfassend, und<br />
in diesem durch Residuenbildung eine kanonische Darstellung<br />
mit C^^B^, Yl (C'2r7+l — ^277+2) ^ Z] (^2r?+l " ^277+2) •<br />
Kann man so fortfahrend vielleicht zu einer eindeutigen Darstellung von M<br />
als Differenzenkette aus OTQ gelangen?<br />
Wenn wir eine Folge von Entwicklungen<br />
^ = E(^2«+i - ^21+2) (n = 0,l,2,...)<br />
662
haben, wo fiir ^ < 77 A^ i -A^ , ferner | B1.6<br />
^n+l (2 An Y^//in+1 __ jn+1 \ ^ \^( An _ An \<br />
^^ = ^C ' 2^1^277+1 ^277+2/' = Z^\^2r]-\-l ^2r)+2) '<br />
SO erhalt man mittels<br />
folgendes: zunachst L^ ^ Lrj. Bilden wir dann<br />
so ist M' = M. Namlich<br />
n<br />
M' = 5^(L2^+i - L24+2),<br />
M' ^ Ml ist X e M', x 8 I/2^+i — 1/2^+2 , so ist fur jedes n x e ^2£+i' ^^^^<br />
nicht fiir jedes n x e ^2^_^2 ' ^^^^ ^^^ ^^^ ^ ^ ^ ^2^+1 ~ ^2^+2 = ^ •<br />
M g M': ist X 8 M, X 8 ^2^+1 - ^2^+2 ' ferner X 8 ^277+1 ~ ^277+1' ^^ muss<br />
rj^^ sein, denn fiir r/ > ^ ware x e {A^^j^^ -^277+2) + (^277+3 - ^277+4) +<br />
• • • , was zu -A2^_^i — ^2^+2 disjunkt ist. Ebenso x 8 ^2^_^i — ^2^+2 ^^<br />
^ ^ rj usw. Da es keine fallende Reihe ^ > ^ > C > ' *' gi^bt, muss fiir<br />
n > no X s ^2£+i ~~ ^2£+2 I ^ festem, von n unabhangigem ^ sein. Bl. 7<br />
Daraus folgt: x e ^2£+i ^^^ jedes n, also x e 1/2^+1; hingegen x e ^2^+2<br />
fiir n ^ no , also x e L2^+2 , demnach x e ^2^+1 — ^^2^+2 = M'.<br />
Fiir jedes n ist L^ ^ A?; ferner<br />
2^(^277+1 - ^277+2) ^ y^(^27?+i - ^277+2) •<br />
Denn wenn x der links stehenden Menge angehort, etwa x 8 ^277+1 — I/277+2,<br />
so ist X 8 ^2^^;^, also<br />
X 8 MA2^_^i = 2^(^2^4.1 — ^2^+2) = / ^(^277+1 ~ ^277+2) •<br />
Auf diese Weise haben wir (da die L^ wieder Mengen von ^0 sind) aus der<br />
Folge von Zerlegungen eine neue abgeleitet. Es kann nun fiir jede Ordnungszahl<br />
x
fiir X < fi.<br />
Ob das schliesslich zu einer festen (fiir A > AQ ) Darstellung fiihrt, ist sehr<br />
zweifelhaft; und dann hangt alles noch von der anfanglichen Darstellung ab.<br />
BL 8 I Die Mengen N durchlaufen einen 6-Ring ^, die Mengen N' einen 6-Ring<br />
[6] ^'. A sei eine feste Menge. Die Mengen der Gestalt N — N', wo<br />
(1) N-N'QAgN,<br />
bilden einen a-Ring.<br />
Beweis. Sei M = E - N, M' = E - N'', die M und M' durchlaufen a-<br />
Ringe ^, OJl'. Der Durchschnitt von zwei Mengen N-N' = NM' ist jedenfalls<br />
wieder von dieser Form. Wir haben ferner<br />
D = N-N'=^M-M', M' = M-^D<br />
mit M ^E — A^ D ^ A. Wenn wir aus endlich oder abzahlbar vielen solchen<br />
Mengen Dk — M'^ — Mk die Summe bilden, so wird<br />
{MgE-A,DQA), D = M' -M,wo M' em', Mem.<br />
E (der Raum) sei separabel. Die Summe aller in A offenen Mengen AG, die<br />
von der Form N — N' = (1) sind, lasst sich durch eine Summe abzahlbar vieler<br />
solcher ersetzen, ist also wieder von der Form (1). D.h. es giebt eine grosste in<br />
A offene Menge der Form (1) oder eine kleinste in A abgeschlossene Menge<br />
Ad derart, dass A- Ad von der Form (1) ist. Aus A - Ad ^ N - N', AQ N<br />
Bl.9 folgt Ad ^ N' {Ad = AN'). I Hierbei ist vorausgesetzt, dass es liberhaupt<br />
Mengen (1) giebt, die in A off en sind. Nehmen wir an, dass ^ und W die<br />
abgeschlossenen Mengen enthalten, so ist dies erfiillt, da. E — E = 0 in A offen<br />
ist.<br />
Ist B in A ahgeschlossen, so ist Bd in Ad abgeschlossen. Denn ist A—Ad =<br />
N - N' und B = AF, Bi = AdF, so ist B - Bi = NF - N'F {NF 2 B)<br />
von der Form (1), Bi in B abgeschlossen, also Bd ^ Bi., Bd i"^ B, also in<br />
Bl abgeschlossen, also in Ad abgeschlossen.<br />
Wir bilden AQ = v4, A^^i = {A^)d, fur rj = Limeszahl Arj = V A^. Fiir<br />
^ < r; ist Arj in A^ abgeschlossen. Die Arj werden schliesslich gleich, d. h. fiir<br />
ein erstes rj Ayj = ^r^+i = • - ] A ~ ^{A^ — A^+i) + A^. Wenn A^ = 0,<br />
Bl. 10 heisse A reduzibel rel[ativ] ^ (wir nehmen W = ^ an). |<br />
Es ist per def. .4^ - A^+i = N2^ - N2^+i, A^2^ 2 A^; 7V2^+i 2 vl^+i . Fiir<br />
^ < Tj ist N2^ 2 Arj, iV2^+i 2 \ ; wenn wir also A^^ — A^^x = N2rj - iV2r?+i<br />
mit ® N2^N2^^i = 1) N^ multiplizieren, wird A^ - A^+i = NL - NL^^,<br />
WO AT^^ = N2r^ 2) N^, N!2^^i = ATs^+i D N^ wieder Mengen N^ = N sind,<br />
A^2r7 2 Arj *, lasscu wir den Akzent wieder weg, so bedeutet dies, dass die N^<br />
Bl. 11 monoton abnehmend angenommen werden konnen. |<br />
664
Der Raum E sei separabel; ^ sei ein die abgeschlossenen Mengen enthal- [7]<br />
tender 6-Ring (z.B. der Ring der abgeschlossenen Mengen F, der Ring der<br />
Gs , der der F(j^ , u. s. w.), A sei eine beliebige Menge.<br />
Es seien A/', N' zwei Mengen des Ringes folgender Art:<br />
(a) N = A^N'-<br />
((3) N = A ^ F ist Summe von A und einer abgeschlossenen Menge (oder<br />
E-N = {E- A){E - F) ist in E-A offen);<br />
(y) AN^ = AF' ist in A abgeschlossen (oder N - N' = A- AN' ist in A<br />
offen).<br />
Z.B. ist N = N' = E ein solches Mengenpaar.<br />
Setzen wir A' = AN', so ist N = A^ {N' - A') = N' + {A - A'), N -<br />
A = N' - A', N - N' = A - A', A' ist in A abgeschlossen und nach ((3)<br />
[N -A = F{E - A)) N' - A' in E - A abgeschlossen.<br />
Unter alien Mengen A' dieser Art giebt es eine kleinste. Denn wenn Nk, Nj^<br />
alle Paare von Mengen durchlauft, die den Bedingungen geniigen, so haben wir<br />
Nk = A + Nl=A^Fk, A'^=ANl, = AFJ,.<br />
I Der Durchschnitt F' aller F^ kann durch einen Durchschnitt abzahlbar vieler Bl. 12<br />
F/ ersetzt werden; setzen wir demgemass<br />
SO kommt<br />
N = A4-N' = A-i-F, A' = AN' = AF',<br />
wodurch (a,(3,y) mit Mengen N, N' aus OT erfiillt sind; A' ist die gesuchte<br />
kleinste Menge. A' ist eindeutig bestimmt (A/", N' im AUg. nicht).<br />
Man bemerke, dass N = N'F' ^ A' eine in N' enthaltene Menge des<br />
Ringes ist, fiir die N — A' in E — A' abgeschlossen ist. {N' — A' war nur<br />
in E — A Q E — A' ^ nicht notwendig in E — A' abgeschlossen). Denn es ist<br />
A'F' = AF';<br />
N-A' = {N'- A')F' = F{E - A)F' =<br />
= F{F' - AF') = F{F' - A'F') = FF'{E - A').<br />
Verallgemeinerung der reduziblen Mengen.<br />
^ sei ein 6-Ring (der 0 enthalt). Die Differenzenketten<br />
A = J2{N2^+l - 7V2C+2)<br />
I 6.1.34 B1.13<br />
von Typus < Q (vgl. Mengenlehre § 17), wo iVi 2 ATs 2 • • • 2 AT^+i 2 - • -<br />
absteigende, schliesslich (fiir ^o ^ ^ < ^) verschwindende Mengen der Ringes<br />
665
sind, bilden einen Korper. Wenn E (der Raum) 8 ^, so ist insbesondere das<br />
Komplement<br />
{NQ = E, fiir Limeszahl rj Nrj = ^ ^^+i) wieder eine Differenzenkette.<br />
Meine Versuche, die reduziblen Mengen zu verallgemeinern, bewegen sich in<br />
[8] der Richtung: jeder Menge A wird ein Mengenpaar AT, N' aus ^ zugeordnet<br />
so, dass<br />
N = A^N',<br />
also mit A' = AN\ N - A ^ N' - A', N - N' = A - A', und dass A' in<br />
A abgeschlossen ist. Uberdies wird A' eindeutig bestimmt (als kleinste Menge<br />
BL14 dieser Art). Aus A = {N - N') + A' \ folgt dann durch Wiederholung das<br />
Prozesses {AQ = A, ^^+i — (^^Y^ ^rj = ^ A^ fiir rj = Limeszahl), falls A<br />
"reduzibel", d.h. das kleinste Aj^ = 0 ist,<br />
A = Y:{A^-A^^I) = E(^^2^+l-A^2^+2)<br />
diese Mengen A^ = N2^-\-iA sind in A abgeschlossen; iiberdies ist A^^i —<br />
A^2^+3^ == ^^2^+2^ auch in A abgeschlossen, also N^j^iA in A abgeschlossen<br />
und ebenso N^A fiir ^ = 0 und ^ = Limeszahl; alle N^A sind in A<br />
abgeschlossen,<br />
Mit dieser Zusatzbedingung ist zwar der Durchschnitt von zwei Differenzen-<br />
[9] ketten wieder eine, wie man aus den Betrachtungen von S. 80 schliessen kann;<br />
denn aus<br />
^' = E(^2^+i - ^2^+2), A^' = E(^2Ui - K^2)<br />
folgt A = A^A^' = E(^2^+i - ^2^+2), wo die N^ Summen endlich vieler<br />
B1.15 N^N^ sind; N'^N^IA'A'' ist in A'A'\ also N^ in A abgeschlossen. |<br />
Aber das Komplement E — A einer solchen speziellen Differenzenkette ist<br />
nicht notwendig wieder eines; dazu miisste man verlangen, dass nicht nur N^A<br />
in A^ sondern auch N^(E — A) in E — A abgeschlossen ist. Und wenn man<br />
dies erzielt, so fallt wieder die Durchschnittseigenschaft dahin, denn dann ist<br />
zwar N'^N'^{E - A'){E - A") in [E - A'){E - A''), aber nicht notwendig<br />
N'^N;I{E-A'A'') in (E-A'A'O abgeschlossen.<br />
Man muss also wohl diese Versuche aufgeben.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Die Bedingungen (1) - (3) bedeuten, da6 ^ eine Topologie auf E ist<br />
(eingefiihrt liber die abgeschossenen Mengen), die nicht mit der urspriinglich<br />
gegebenen Topologie auf E zusammenzufallen braucht. Dementsprechend ist<br />
666
A der Abschlufi von A in dieser neuen Topologie, und der zugehorige Begriff<br />
der ^-reduziblen Menge ist aquivalent zu dem in Mengenlehre, § 30. Insbesondere<br />
hat man die Zerlegung in Differenzenketten, aber um die ^-reduziblen<br />
Mengen zu einem D^cj zu machen (zusammen mit ihren Komplementen), mu6<br />
man die Separabilitat der ^-Topologie annehmen.<br />
[2] Mit anderen Worten, das ^ hier ist die kleinste Topologie, welche die<br />
urspriingliche Topologie und alle Pi als offene und zugleich abgeschlossene<br />
Mengen enthalt.<br />
[3] Die verfeinerte Topologie ist separabel, falls die urspriinglich gegebene separabel<br />
ist, und die Indexmenge / ist abzahlbar. Folglich ist jeder 6-Ring von<br />
Mengen in ^ abgeschlossen unter beliebigen Durchschnitten.<br />
[4] Es ist nicht klar, ob man durch eine passende Wahl der Mengen Pi jede<br />
der Klassen F(j etc. als ein ^ der hier in Rede stehenden Form erhalten<br />
kann.<br />
[5] Gegeben sei eine abzahlbare fallende und schliefilich verschwindende Folge<br />
von Mengen A^ in einem 6-Ring O^o (eine solche ist z.B.diejenige Folge, die<br />
die Zerlegung einer O^o-reduziblen Menge M in eine Differenzenkette liefert).<br />
HAUSDORFF betrachtet die Partition E = UPI^^ ~ ^^+i) ? ^i^ wie in a. 2 oben<br />
(Bl. 3) zu einem grofieren Ring ^^ fflhrt (a bezieht sich hier auf die Zerlegung<br />
(oc) auf Bl. 4 und nicht etwa auf eine Ordinalzahl). Dies fiihrt zu einer<br />
^cx-Zerlegung derselben Menge M in eine Differenzenkette ((3), welche aus<br />
kleineren Mengen und kleineren Differenzen besteht. HAUSDORFF zeigt, dafi<br />
dieser VerfeinerungsprozeB eine transfinite Iteration gestattet.<br />
[6] Hier beginnt ein neuer Abschnitt. Gegeben sei ein 6-Ring ^ von Mengen<br />
in einem separablen Raum E. 9^ soil alle abgeschlossenen Mengen enthalten.<br />
HAUSDORFF zeigt, dafi dann fiir jede Menge A eine kleinste relativ zu A abgeschlossene<br />
Menge Ad Q A existiert, so dafi A — A^ die Form N — N' hat,<br />
wobei N, N^ e ^ der Beziehung N - N^ C A C N geniigen. Dies ist offenbar<br />
dasselbe wie (B) im oben abgedruckten Fasz. 997 (Bl. 5v). HAUSDORFF<br />
fiihrt dann die Konstruktion der Residuen aus und leitet die Darstellung von<br />
0^-reduziblen Mengen durch 0^-Differenzenketten her.<br />
[7] Hier beginnt wiederum ein neuer Abschnitt. HAUSDORFF modifiziert die<br />
in Anm. [6] genannte Konstruktion. Die Modifikation ist in ((3) enthalten, wo<br />
verlangt wird, dafi N die Vereinigung von A mit einer abgeschlossenen Menge<br />
F ist (vgl. (A) in Fasz. 997, Bl. 5v).<br />
[8] Hier wird wiederum die in Anm. [6] genannte Konstruktion betrachtet (die<br />
Menge A^ ist dasselbe wie dort Ad). HAUSDORFF stellt hier folgendes fest:<br />
Wahrend die abzahlbaren Differenzenketten von Mengen aus 0^ (einem gege-<br />
667
enen 6-Ring, der 0 und den ganzen Raum enthalt) einen Korper bilden, gibt<br />
es keinen Weg, dies fiir jene speziellen Differenzenketten zu zeigen, die mit der<br />
Konstruktion der 0^-Residuen zusammenhangen. Dementsprechend kann man<br />
nicht beweisen, da6 das Komplement einer ^-reduziblen Menge selbst wieder<br />
0^-reduzibel ist.<br />
[9] Gemeint ist S. 80 in Mengenlehre.<br />
Kommentare<br />
HAUSDORFFS Theorie der reduziblen Mengen wurde in Grundzuge der Mengenlehre,<br />
Kap. VIII, §4 begriindet. Sie basiert auf der Tatsache, daB die doppelte<br />
Anwendung X^y = X^p ^ der "Grenz"-Operation Xp = Xoc \ X (Menge aller<br />
Haufungspunkte von X, die nicht zu X gehoren) eine relativ abgeschlossene<br />
Teilmenge von X liefert. HAUSDORFF nennt X^p das (erste) Residuum von X.<br />
Die wiederholte Anwendung von ij) fiihrt zur Folge der sukzessiven Residuen<br />
X^ , ^ G Ord. X^ ist eine C-fallende Folge relativ abgeschlossener Teilmengen<br />
von X, welche ein erstes Glied X^ mit (X^)^i; = X^^ besitzt. X^ heifit das<br />
letzte Residuum und wird gelegentlich auch mit X/ oder Xoo bezeichnet (ry ist<br />
< uji im separablen Fall). Eine Menge X ist reduzibel genau dann, wenn das<br />
letzte Residuum leer ist. HAUSDORFF hatte bereits in den Grundzilgen gezeigt,<br />
dafi die folgenden drei Mengenfamilien in polnischen Raumen zusammenfalien:<br />
1° : Reduzible Mengen;<br />
2° : Mengen, die sich als Differenzenketten aus abgeschlossenen Mengen mit<br />
einer Ldnge < cji darstellen lassen, d. h. Mengen der Form<br />
A= [j {X2a^X2a+l)<br />
mit einer C-fallenden Folge {X^}^
(K von „kompakt") die Menge aller Punkte x G X, in welchen X nicht lokal<br />
kompakt ist, d. h. fiir die keine Umgebung Ux existiert, so dafi die abgeschlossene<br />
Hiille von X r\Ux kompakt ist. Das K-Residuum ist ofFenbar eine relativ<br />
abgeschlossene Teilmenge von X. Folglich kann die iibliche Konstruktion der<br />
sukzessiven Residuen angewendet werden und X kann K-reduzihel genannt<br />
werden, wenn das letzte K-Residuum leer ist. Man kann zeigen (Satz 32 in<br />
[Al 1977/1994]), daB eine Menge X in einem metrischen, dem 2.Abzahlbarkeitsaxiom<br />
geniigenden Raum dann und nur dann K-reduzibel ist, wenn jede<br />
nichtleere abgeschlossene Teilmenge Y
f :Y —> X der Klasse (0, OL) [f ist also stetig und das /-Bild jeder abgeschlossenen<br />
Menge Y' (ZY ist ein 11^ ; s. HAUSDORFFS Fasz. 619 in Abschnitt 3). Es<br />
ist dann klar, dafi / jede Darstellung von Y als Differenzenkette abgeschlossener<br />
Mengen in eine Darstellung von X als Differenzenkette von 11^ -Mengen<br />
transformiert.<br />
Dieser Satz fiihrt zur Differenzenhierarchie^ einer natiirlichen Klassifikation<br />
der Mengen in A^^^ ^: Diejenigen Mengen, die als Differenzenketten aus n^-<br />
Mengen der Lange ^ dargestellt werden konnen, bilden die ^-te Teilklasse ^ von<br />
A^_^i. LOUVEAU [Lo 1983] zeigte, dafi die Struktur von Borelklassen und Teilklassen<br />
mittels gewisser komplizierterer abzahlbarer Operationen eine weitere<br />
Verfeinerung gestattet, die zu einer voUstandigen Klassifikation der Klassen K<br />
(von Borelmengen) der Form<br />
K — {alle stetigen Urbilder einer gegebenen Borelmenge X} ,<br />
fiihrt; diese beginnt mit den Klassen H? und 119 und deren "differentiellen"<br />
Teilklassen.<br />
Die Zerlegung 2° von A2 -Mengen fiihrt zu einer anderen interessanten Anwendung.<br />
BURGESS ([Bu 1982], [Bu 1983]) hat gezeigt, dafi man durch Anwendung<br />
einer projektionsartigen, auf gewissen „Spiel"-Ideen beruhenden Operation<br />
auf alle A2-Mengen alle C-Mengen erhalt. (Die C-Mengen bilden die kleinste<br />
Mengenklasse in einem gegebenen polnischen Raum, die alle abgeschlossenen<br />
Mengen enthalt und gegeniiber Komplementbildung und A-Operation<br />
abgeschlossen ist.) Wendet man ferner die obige Operation auf Mengen der ^ten<br />
Teilklasse von A2 an, so erhalt man Mengen in der entsprechenden Klasse<br />
der Hierarchie der C-Mengen. Eine ahnliche Anwendung auf Mengen in A3<br />
fiihrt zu den R-Mengen (s. den Kommentar zu HAUSDORFFS Noten iiber 6s-<br />
Operationen am Ende von Abschnitt 1) mit demselben Erscheinungsbild fiir<br />
die Teilklassen.<br />
Schritte zur Verallgemeinerung<br />
In HAUSDORFFS Nachlafi befinden sich mehrere Noten iiber reduzible Mengen<br />
aus den Jahren 1914-16. Sie sind sowohl Versuchen gewidmet, den Begriff der<br />
reduziblen Menge zu verallgemeinern, als auch Vereinfachungen einiger einschlagiger<br />
Beweise in den Grundziigen der Mengenlehre. Insbesondere ist der<br />
hier abgedruckte Fasz. 997 zu nennen, wo HAUSDORFF beweist, dafi Durchschnitt<br />
und Vereinigung zweier reduzibler Mengen wieder reduzible Mengen<br />
sind. Anders als der Beweis in Mengenlehre, § 30.3, der mit der Entwicklung in<br />
^ Die erste Klassifikation von AS.J -Mengen gab LAVRENTIEFF in [Lv 1925], allerdings in<br />
etwas anderer Form, welche auf einer gewissen Trennbarkeit der Summanden voneinander<br />
beruhte.<br />
"^ Oder ^-te kleine Klasse, s. [Ku 1933/1966], §37 oder [Ke 1995], §22.E fiir eine umfassende<br />
Darstellung. Es ist bekannt, dafi es in iiberabzahlbaren polnischen Raumen fiir jedes<br />
^ < ui in A^_|_j^ Mengen gibt, welche der ^-ten Teilklasse angehoren, aber keiner fj,-ten<br />
Teilklasse mit /x < ^ .<br />
670
Differenzenketten arbeitet, basiert dieser friihere Beweis direkt auf der Definition<br />
reduzibler Mengen. Die Art der Argumentation ist rein topologisch und es<br />
ist kaum moglich, dahinter irgendeine Art geometrischer Intuition zu entdecken<br />
(die bei Konstruktionen der deskriptiven Mengenlehre so oft sehr hilfreich ist).<br />
Generell ist der Beweis viel weniger durchsichtig als derjenige, der in Mengenlehre<br />
gegeben wird.<br />
Am Ende von Fasz. 997 skizziert HAUSDORFF mogliche Methoden und wiinschenswerte<br />
Ziele einer Verallgemeinerung der reduziblen Mengen; dies sind die<br />
folgenden: Gegeben sei ein 6 -Ring ^ von Teilmengen eines gegebenen Raumes<br />
(HAUSDORFF betrachtet in diesem Zusammenhang nur Raume mit zweitem<br />
Abzahlbarkeitsaxiom). Es ist dann ein zu 0^ gehoriger BegrifF der reduziblen<br />
Menge zu definieren, der folgenden Forderungen geniigt:<br />
(i) Reduzible Mengen sind genau die Mengen der Form 2° mit X^ G OT;<br />
(ii) Die reduziblen Mengen bilden einen Korper, d. h. ihre Gesamtheit ist abgeschlossen<br />
gegeniiber endlichen Vereinigungen und gegeniiber Komplementbildung;<br />
(iii) Die reduziblen Mengen sind genau die Mengen, welche zusammen mit<br />
ihren Komplementen zur Klasse CRo- gehoren.<br />
Zum Beispiel kann 9^ die Familie F aller abgeschlossenen Mengen sein. Dann<br />
erhalt man die gewohnlichen reduziblen Mengen, wie sie in Mengenlehre, § 30,3<br />
definiert sind; diese geniigen den Forderungen (i)-(iii). HAUSDORFFS Ziel war<br />
es, den BegrifF der reduziblen Menge fiir den Fall eines beliebigen 6-Ringes zu<br />
definieren. Fiir eine solche Verallgemeinerung skizzierte er in Fasz. 997 zwei<br />
Wege:<br />
(A) Nach dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom gibt es fiir jede Menge A eine<br />
kleinste Menge N e^ der Form N = AUF, wobei F abgeschlossen ist.<br />
Diese Menge N wird mit Ax bezeichnet. Dann definiert man i^A) =<br />
Ax\A und (p(A) - M^i^)) •<br />
(B) Wegen Giiltigkeit des zweiten Abzahlbarkeitsaxioms gibt es fiir jede Menge<br />
A eine kleinste relativ abgeschlossene Teilmenge B C ^, so dafi<br />
A-^ B ^ N \ N' mit N, N' e ^ und A C N. Diese Menge B wird<br />
dann mit (p(A) bezeichnet.<br />
In beiden Versionen ist das Residuum ^{A) eine relativ abgeschlossene Teilmenge<br />
von A und A — (p{A) ist Differenz zweier Mengen in 0^. Fiir die Version<br />
(A) kann das mit denselben Argumenten wie in § 30.3 der Mengenlehre gezeigt<br />
werden. Die abnehmende Folge sukzessiver Residuen A^ (die alle zum gegebenen<br />
Ring ^ gehoren, well er 6-Ring ist) stabilisiert sich (in einem Raum<br />
mit zweitem Abzahlbarkeitsaxiom) bei einer hochstens abzahlbaren Ordinalzahl<br />
^ — ^{A). Wenn das letzte Residuum A^ leer ist, heifit A reduzibel.<br />
Sowohl bei (A) als auch bei (B) hat jede reduzible Menge A die Form 2°,<br />
wobei die Xj Mengen des gegebenen 5-Rings OT sind. Ferner gilt zusatzlich<br />
im Fall (A), dafi JC^ C X^ ist fiir C < ^ •<br />
671
Die Resultate von HAUSDORFFS Untersuchungen konnen folgendermaBen zusammengefafit<br />
werden: 1.) ^-reduzible Mengen, sowohl in der Version (A) als<br />
auch in der Version (B), konnen in abzahlbare Differenzenketten aus Mengen<br />
von ^ entwickelt werden. 2.) AUe Mengen, die in abzahlbare Differenzenketten<br />
aus Mengen von OT entwickelt werden konnen, bilden einen Korper, vorausgesetzt,<br />
or ist ein 6-Ring (das ist im wesentlichen Satz I in Mengenlehre, S.81).<br />
3.) Man kann weder beweisen, da6 jede abzahlbare Differenzenkette aus Mengen<br />
von ^ zu einer OT:-reduziblen Menge fiihrt noch dafi OT-reduzible Mengen<br />
(in jeder der beiden Versionen) einen Korper bilden. (HAUSDORFF umreifit die<br />
Schwierigkeiten, die mit letzterem Problem verbunden sind, in den abschlie-<br />
Benden Paragraphen von Fasz. 995, der spater geschrieben wurde.) 4.) Es trifft<br />
nicht zu, dafi jede Menge in ^(jilTls (9Jl ist der komplementare a-Ring) in eine<br />
Differenzenkette aus Mengen von Ot entwickelt werden kann (s. o. beziiglich<br />
eines einfachen Gegenbeispiels).<br />
Da die Verallgemeinerungen nicht viel Erfolg hatten, wurde die Darstellung<br />
in Mengenlehre sogar wesentlich kiirzer als in Grundzilge der Mengenlehre. Beispielsweise<br />
lafit HAUSDORFF die separat gefiihrten Beweise, dafi die reduziblen<br />
Mengen einen Korper bilden, fort und leitet dieses Resultat aus der Beziehung<br />
1° = 2° =3° her (neu aufgenommen ist nur ein Resultat von ZALCW^ASSER:<br />
Satz VII in §30.4).<br />
In den 30-er Jahren, als die Struktur der Borelschen Hierarchic ein bevorzugtes<br />
Interessengebiet der deskriptiven Mengenlehre wurde, kam HAUSDORFF auf<br />
die reduziblen Mengen zuriick. Im Fasz. 996 studiert er die Trennung durch reduzible<br />
Mengen (R-Trennbarkeit), vermutlich angeregt durch einige neue Ideen<br />
zum Thema reduzible Mengen in dem gerade erschienenen Buch von KuRA-<br />
TOW^SKi (Erstausgabe von [Ku 1933/1966]). In dieser Note verlafit HAUSDORFF<br />
die topologische Definition der reduziblen Mengen, wie er sic in Mengenlehre,<br />
§30 gegeben hatte, zugunsten der Definition, die DiflFerenzenketten benutzt.<br />
Zwei Mengen P und Q heifien R-trennbar, wenn es eine reduzible Menge gibt,<br />
die P enthalt und die mit Q disjunkt ist. Das Hauptresultat ist folgendes:<br />
Daflir, dafi P und Q R-trennbar sind, ist notwendig und hinreichend, dafi<br />
die Ungleichung A C P n A (1 Q D A nur die triviale Losung ^4 = 0 besitzt<br />
(KURATOWSKI hatte ([Ku 1933/1966], §12.111) nur die Hinlanglichkeit<br />
bewiesen). Am Ende des Faszikels 996 stellt HAUSDORFF fest, dafi fiir zwei<br />
zueinander komplementare Mengen P, Q die R-Trennbarkeit zur Reduzibilitat<br />
von P (und von Q) aquivalent ist.<br />
In Fasz. 995 prasentiert HAUSDORFF verschiedene Versuche, den Begriff der<br />
reduziblen Menge zu verallgemeinern. Eine neue Idee besteht z.B. darin, als<br />
Ausgangsring ^ das System aller Mengen der Form [J^{Fi H Pi) zu nehmen,<br />
wobei E = \JiPi eine Zerlegung des Raumes E mit paarweise disjunkten<br />
Pi ist und die Fi abgeschlossene Mengen sind. AUerdings ist HAUSDORFFS<br />
Resiime, alle diese Versuche betreffend, ziemlich pessimistisch: „Man muss also<br />
wohl diese Versuche aufgeben" schreibt er am Ende von Fasz. 995. Es hat sich<br />
herausgestellt, dafi die Methode der Zerlegung von Mengen in Differenzenketten<br />
wesentlich fruchtbarer fiir das Studium von Borelmengen ist. HAUSDORFFS Satz<br />
672
iiber die Darstellbarkeit der A2-Mengen durch abzahlbare DifFerenzenketten<br />
aus abgeschlossenen Mengen beispielsweise gestattet eine direkte Verallgemeinerung<br />
auf alle Borelklassen A9_^^ .<br />
HAUSDORFFS letztes bekanntes Manuskript iiber reduzible Mengen ist Fasz.<br />
658, datiert mit „Marz 1938" (im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2,<br />
S. 542-556). Dies Manuskript enthalt die Analyse einer weiteren Version der<br />
Konstruktion reduzibler Mengen, die von KuRATOWSKi stammt ([Ku 1933/1966],<br />
§ 12). Es seien P und Q = E \ P ein Paar komplementarer Mengen in einem<br />
metrischen Raum E. Wir betrachten die (notwendig abgeschlossenen) Mengen<br />
A, die folgender Bedingung genligen:<br />
(*) A = AnP n ^ n Q, oder, aquivalent dazu, A = AnP ^ AoQ.<br />
Um eine solche Menge zu erhalten, wird eine andere Version der Konstruktion<br />
fallender Residuen angewandt: Man setze AQ = E und<br />
A^^i ^A^nP n A^nQ.<br />
Fiir eine Limeszahl rj ist Arj wie iiblich der Durchschnitt iiber alle A^ mit<br />
^ < T]. Dann gilt A^+i Q A^ und fiir ein geeignetes a hat man schlieBlich<br />
Aa-\-i = Aa- A — Aa geuiigt (*), und mehr noch, A = A^ ist die groBte<br />
solche Menge. Es zeigt sich, daB P reduzibel genau dann ist, wenn (*) fiir P<br />
und Q = E \ P keine nichtleere Losung A hat. Es existiert sogar eine offensichtliche<br />
Verbindung zwischen diesem iterativen Prozefi und dem urspriinglich<br />
angewandten. Nimmt man obige A^ und setzt P^ = A^ Ci P ^ Q^ — A^ D Q,<br />
so ist (P^)p = Q^+i und {Q^)p = P^+i und folglich {P^)cp = P^+2 und<br />
(Q^)cp = Q^+2 (die Indizes p und (p bezeichnen, wie gesagt, die Begrenzung<br />
bzw. das Residuum).<br />
Eine andere bemerkenswerte Charakterisierung der reduziblen Mengen ist<br />
folgende: P ist genau dann reduzibel, wenn jede relativ abgeschlossene Teilmenge<br />
X C P einen Punkt x £ X enthalt, in dem X lokal abgeschlossen ist.<br />
(X ist in X G X lokal abgeschlossen, wenn eine Umgebung Ux von x existiert,<br />
so daB X OUx in Ux abgeschlossen ist.)<br />
Literatur<br />
[AP 1941] ALEXANDROFF, P.; PROSKURYAKOV, I.: fiber reduzible Mengen,<br />
Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 5 (1941), S. 217-224.<br />
[Al 1977/1994] ALEXANDROFF, P.: Lehrbuch der Mengenlehre, Frankfurt,<br />
Harry Deutsch, 1994. (Ubersetzung von AjieKcan^poB 11. C. Beedenue<br />
e meopuw Muootcecme u oSm^yio monojiozuio, Moscow, 1977.)<br />
[Bu 1982] BURGESS, J.: What are R-sets, in: Patras Logic Symposion, Patras<br />
1980 (G. METAKIDES, ed.). Stud. Logic Found. Math. 109, North-<br />
Holland, 1982, S. 307-324.<br />
[Bu 1983] BURGESS, J.: Classical hierarchies from modern standpoint, Fund.<br />
Math., 115 (1983), S. 81-105.<br />
673
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.<br />
[Ku 1933/1966] KURATOWSKI, K.: Topology, vol. I, New edition, revised<br />
and augmented, Academic Press, 1966. Erstausgabe: Topologie /, Monografie<br />
Matematyczne, vol. Ill, Warszawa 1933.<br />
[Lv 1925] LAVRENTIEFF, M.: Sur les sous-classes et la classification de M.<br />
Baire, C. r. Acad. sci. Paris, 180 (1925), S. 111-114.<br />
[Lo 1983] LouvEAU, A.: Some results in the Wadge hierarchy of Borel sets,<br />
in: Cabal Seminar 79-81 (A. S. KECHRIS e. a., eds.), Lecture Notes Math.<br />
1019, Springer, 1983, S. 28-55.<br />
[Lu 1930] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,<br />
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.<br />
674
5. Suslinmengen, Indizes, Trennbarkeit<br />
HAUSDORFF hinterliefi einen groBeren Bestand an Manuskripten, welche den<br />
Inhalt der §§ 32-34 der Mengenlehre erweitern und die Entwicklung der deskriptiven<br />
Mengenlehre seit Erscheinen der Mengenlehre im Jahre 1927 reflektieren.<br />
Sein Interesse richtete sich vor allem auf die Vereinfachung von Beweisen und<br />
auf die Verallgemeinerung von nach 1927 erzielten Resultaten.<br />
Unsere Auswahl beginnt mit Fasz. 426, der eine kompakte Darstellung verschiedener<br />
grundlegender Satze iiber Trennbarkeit und Untrennbarkeit fiir Suslin-<br />
und co-Suslinmengen enthalt. Es folgt der zweite Teil von Fasz. 608, der<br />
dem Reduktionssatz fiir co-Suslinmengen und 512-Mengen gewidmet ist. Danach<br />
folgen die Fasz. 674 und 718 mit einer bemerkenswert allgemeinen Darstellung<br />
der Theorie der transfiniten Indizes. Diese allgemeine Theorie schliefit<br />
in natiirlicher Weise sowohl die Indizes ein, die durch die A-Operation erzeugt<br />
werden, als auch diejenigen, die mit Sieben zusammenhangen. Fasz. 559 zeigt,<br />
daB sowohl die Partitionen, die durch die A-Operation erzeugt werden, als auch<br />
die, welche sich aus Sieben ergeben, voUstandig additiv im Sinne von Kategorie<br />
und MaB sind. In Fasz. 261 analysiert HAUSDORFF verschiedene wichtige<br />
Satze von HUREV^ICZ. Fasz. 281 schlieBlich befaBt sich mit einigen tief liegenden<br />
Problemen der deskriptiven Mengenlehre.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 36 : Fasz. 426<br />
Trennbarkeit durch Suslinkomplemente<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 12.3.1932, 20.2.1934. - 16 Bll.<br />
Trennbarkeit durch Suslinkomplemente (Lusin) 12.3.32^<br />
Jeder rationalen Zahl r sei eine im Raum X abgeschlossene (oder Borelsche)<br />
Menge F{r) zugeordnet; R{x) sei die Menge der r, fiir die x e F{r). Dann ist [1]<br />
A=@F(ri)F(r2) ... (r^ > r^ > • • •),<br />
die Summe iiber alle fallenden Folgen rationaler Zahlen erstreckt, eine Suslinsche<br />
Menge in X (und jede Suslinsche Menge durch ein geeignetes System [2]<br />
von Mengen F{r) in dieser Weise darstellbar). A ist die Menge aller x, fiir<br />
die R{x) eine fallende Folge enthalt, d.h. R{x) nicht wohlgeordnet ist; das<br />
Komplement B = X — A also die Menge aller x, fiir die R{x) wohlgeordnet<br />
ist.<br />
Es sei ein zweites solches System F'{r) abgeschlossener Mengen gegeben;<br />
R\x) die Menge der r, fiir die x e F'{r).<br />
I. Die Menge C der Punkte x e X, fiir die R{x) einer Teilmenge von [3]<br />
R'{x) dhnlich ist, ist Suslinsch in X.<br />
^Vor diesem Datum steht „(Verbessert 9.12. 34)". Das Manuskript vom 9.12.1934 ist der<br />
Faszikel 527 Trennbarkeit durch Suslinkomplemente (zweiter Trennungssatz). Dieser Faszikel<br />
ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 1-4.<br />
675
Bl.2 Beweis. Die samtlichen rationalen Zahlen seien in eine | Folge ri,r2,... gebracht;<br />
ro sei irgend eine irrationale Zahl. Nun moge jede der Zahlen ni, n2,...<br />
die ganzen Zahlen > 0 durchlaufen (njfc = 0,l,2,...) und wir wollen den Komplexen<br />
ni, n2,..., n/c Zahlen rnin2..-nk zuordnen nach folgender Vorschrift:<br />
I ni n2...nk<br />
= ro (irrational) fiir rik = 0 , rational fiir Uk > 0 .<br />
Diese rationalen Zahlen definieren wir induktiv, jedoch nicht nach der Ziffernzahl<br />
k, sondern nach der Anzahl der positiven unter den Zahlen rii,... .Uk-<br />
Es sei a < /5 < 7 < • • • eine beliebige wachsende Folge natiirlicher Zahlen;<br />
nc^np^n^,... > 0. Dann durchlaufe<br />
^o...Onc 9.11e rationalen Zahlen,<br />
^o...Ona o...On/3 allc rationalcn Zahlen, die zu ro.„.onc dieselbe Ordnung haben<br />
wie rp zu r^ (ro...on« ^ ^o...Ona o...On^ , wenn r^ ^rp),<br />
r-o...On^o...On^o...On^ allc ratioualcu Zahlcu, die ZU ro...on« und ro...oncO...On;5<br />
dieselbe Ordnung haben wie r^ zu r^ und r^, u. s. w. (Die den Indizes<br />
na,np,n^,... vorangehenden NuUen fallen natiirlich fort, wenn a = 1, resp.<br />
/? = a + 1, resp. 7 = /? + 1,...)<br />
Bl. 3 Bei dieser Bestimmung gilt folgendes: |<br />
Fiir jede Ziffernfolge u = (ni, 712,...) mit Ua^np, n^, ...>0 {a < f3 < ^ <<br />
• • • ) ist<br />
^ni...UQ,5^ni...n/3?^ni...n^5 • • • i^dicscr Rcihenfolgc ahnlichmit Vc^^vp^r^^<br />
... (auch wenn es noch sonstige n^ > 0 giebt); und zu jeder mit Va^rp^ry,...<br />
ahnlichen Folge rationaler Zahlen pa^pp^p^,- -. giebt es gewiss eine Folge u<br />
mit rni...ne. = Pa,rn^...n^ = pp,... (so z.B. cinc, wo nur ria.np.n^,... > 0<br />
sind).<br />
Hiernach bilden wir die Menge<br />
r = 6[G(n) + F'(r„J][G(r2)+F'(r„,„3)][G(r3) + F'(r„, n2n3)].--<br />
V<br />
= 65)[G(rfc) + F'(r„,...„J],<br />
V k<br />
WO die Summe liber alle Folgen u = (ni, 712,...) von Zahlen ^ 0 zu erstrecken<br />
ist, G{r) = X — F{r) das Komplement von F{r) bedeutet und F^{rm,...nk)<br />
fiir Uk = 0 (rni...nfc irrational) gleich 0 zu setzen ist. F ist auf Suslinsche Art<br />
aus Borelschen Mengen in X gebildet und also Suslinsche Menge in X. Wir<br />
zeigen, dass F die gesuchte Menge C ist.<br />
F £ C: Fiir x eT giebt es eine Folge u = (TII, n2,. •.) so, dass x e G{rk) +<br />
B1.4 i^'(^ni...nfc) fiir A: = 1,2, Wenn daher x 8 F{rk), \ also x e G{rk),<br />
so ist X 8 F'(rni...nfc) und sicher n^ > 0. Oder, da x 8 F{r) soviel wie<br />
r 8 R{x) bedeutet: aus Vk 8 R{x) folgt rni...nfc e R^{x) (mit rik > 0).<br />
Ist also R{x) = {va^rp^...} (a < P < ••• , endlich oder abzahlbar),<br />
so enthalt R{x) die Menge rni...n«,^ni...n^,rni,...n^,..., die mit R{x)<br />
ahnlich ist, also x eC. (Fiir R{x) = 0 ist a: 8 C trivial).<br />
676
C ^T: Sei X 8 C, R{x) einer Teilmenge von R^{x) ahnlich. Flir R{x) = 0 ist<br />
X 8 G{rk), X gehort alien Summanden von F an. Fiir R{x) = {TC^, r/3,...}<br />
{a < [5 < ••• , endlich oder abzahlbar) enthalt R'{x) eine mit R{x)<br />
ahnliche Menge {pcK,p/3,...}, und es giebt eine Folge z/ mit rni...nc. =<br />
Pa,rn^...n0 = /?/?,..., also a; 8 F'(rni...nfc) fur A: = a,/3,7,..., wahrend<br />
fiir die librigen k x e G{rk) ist. Also x e G{rk) + i^'(^ni...nfc) fiir alle<br />
k, a; 8 F.<br />
(Der Lusinsche Beweis, Ens. anal. S. 213 ff, ist trotz oder wegen der geometrischen<br />
Einkleidung schwer verstandlich und nicht ganz richtig, da er - mit<br />
meinen Bezeichnungen - nur die Folge ce, ^9,7,... = 1, 2,3,... beriicksichtigt,<br />
was nicht ausreicht. Denn wenn nur zu jeder mit ri,r2,... ahnlichen Menge<br />
Pi, P2, • • • eine Folge u mit r^ = Pi, ?^ni n2 = P2, • • • existiert, so braucht das<br />
fiir eine Menge ra^rf^,... noch nicht zuzutrefFen; z.B. sei rc^ < r/3
Essei C/i-Vx QX~S2,oder (C/j - Vi)52 = 0, also ((7] - Vi)(S'2 +Vi) = 0;<br />
setzen wir<br />
A={Si + V2){S2^Vi),<br />
so sind also C/i — Vi, U2 — V2, A paarweise disjunkt. Ferner ist<br />
Sei jetzt<br />
Ui-V, = (f/i - Vi){Si + 52) = (C/i - Vi)Si.<br />
Ai^A^UiSu A2 = A^U2S2.<br />
Man kann nun schreiben Ai= A-\- [ViSi + (C/i - V^i)S'i] und (Vi5i g ^)<br />
Ai - .4 + (t/i - yi)5i = A + (t/i - Fi)<br />
Ai=A^{Ui-Vi), A2 = A^{U2-V2),<br />
also A1A2 == A und Ui-Vi = Ai- A1A2, {72 - V2 = A2 - ^1^2 ; -A, Ai, A2<br />
Bl. 7 sind Suslinsch in X. |<br />
Ist U eine Menge im Produktraum (X, Y) der beiden Raume X, y, so sei,<br />
fiir y eY, U{y) die Menge aller x 8 X mit (x,?/) e C/, oder {U{y)^y) der<br />
Durchschnitt von f/ mit (X, y). Nennen wie die Mengen U{y) die Schichten<br />
von C/. Ist [/ in (X,y) Suslinsch, so ist jedes U{y) in X Suslinsch. Ist X<br />
separabel, F der Bairesche Nullraum, so giebt es in (X, Y) eine Suslinsche<br />
Menge U (Universalmenge), deren Schichten alle Suslinschen Mengen in X<br />
liefern. Es giebt dann auch ein universales Paar Suslinscher Mengen Ui, U2 in<br />
[5] (X,F), derart dass Ui{y)^ U2{y) alle Paare Suslinscher Mengen in X liefert.<br />
Denn sei<br />
y= (ni,n2,n3,n4,...)<br />
Folge natiirlicher Zahlen,<br />
2/1 = (ni,n3,...) = (^i{y), 2/2 -= (^2,714,...) =
Wir betrachten die soeben eingefiihrten Universalmengen f/i, U2- Nach II<br />
sind Ui — U1U2, U2 — U1U2 in Mengen Ci, C2 einschliessbar, die disjunkte<br />
Komplemente von S-Mengen sind. Diese sind, behaupten wir, nicht B-trennbar. [6]<br />
Angenommen, es sei Ci ^ Bi, C2 ^ B2, B1B2 — 0, Bi,B2 Borelsch in | Bl.9<br />
(X, Y). Sie seien von der Klasse P. Man nehme jetzt irgend eine Borelsche<br />
Menge Ai in X, A2 = X — Ai, Es gabe dann ein y mit Ui {y) = A\,<br />
f^2 (2/) — A2 . Man hatte dann<br />
also<br />
(C/i(y),2/) g C/i - f/iC/2 C B^, ([/2(2/),2/) g B2 ,<br />
Aig5i(y), A2
[8] V. 1st X separabel, vollstdndig, unabzdhlhar, Y der Nullraum (oder die<br />
Menge der reellen Zahlen), 50 gieht es in {X^Y) eine Borelsche Menge<br />
Bl. 12 C, deren Projektion | auf X der ganze Raum X ist, und in der keine<br />
Borelsche Menge enthalten ist, die sich schlicht auf X projiziert (d.h,<br />
keine Menge der Form y = ip{x), (p{x) Bairesche Punktion).<br />
Es seien gemass IV X — Ai, X — A2 disjunkte, nicht B-trennbare Komplemente<br />
Suslinscher Mengen Ai,A2 {Ai -^ A2 = X)] A\,A2 lassen sich als<br />
Projektionen (auf X) von Borelschen Mengen Ci,C2 in (X,F) darstellen,<br />
wobei (y Menge der reellen Zahlen) angenommen werden kann, dass C\ im<br />
Halbraum 2/ > 0, C2 in ?/ < 0 liegt. Die Menge C = Ci + C2 erfiillt dann die<br />
Forderung. Denn angenommen, es gebe eine Borelsche Menge D ^C, die sich<br />
schlicht auf X projiziert; es seien Di,D2 ihre Durchschnitte mit 2/ > 0, y < 0,<br />
Bl, B2 deren Projektionen auf X; es ist D = D^ -\- D2, X — Bi -i- B2,<br />
Di '^ Ci, Bl '^ Ai, ebenso ^2 ^ ^2, und hierbei sind Bi, B2 als schlichte<br />
Projektionen von B-Mengen wieder B-Mengen. Nun wiirde man haben<br />
X-AigX-Bi, X-A2gX-B2, {X- Bi){X - ^2) - 0;<br />
BL 13 X — Ai, X — A2 waren B-trennbar. |<br />
Zur Trennbarkeit durch Suslinkomplemente<br />
Der Darstellung<br />
A-©F(r^)F(r2)... (r^ > r^ > . • •)<br />
12.3.32<br />
20.2.34<br />
entspricht auch eine Spaltung von A und B = X — A in Hi Bestandteile<br />
nach „Indizes", die sogar einfacher ist als Mengenlehre § 34,2. Die Bildung von<br />
Ro^Ri,... besteht hier darin: R^-^i entsteht aus R^ durch Weglassung des<br />
etwaigen Anfangselementes (wenn R^ kein erstes Element hat, ist R^-\-i = R^)<br />
und fiir eine Limeszahl rj ist Rr^ = ^ R^. Der Index r/ = 77(x) ist die erste<br />
Zahl, fiir die Rrj{x) kein erstes Element hat: R{x) = R-q{x) — i?^+i(x). Man<br />
kann auch sagen: 77 ist der Typus des grossten wohlgeordneten Anfangsstiicks<br />
von RQ {X) . Die Mengen F^ (r) der x, fiir die r e R^ (x) (so dass r e R^ (x)<br />
und X e F^ (r) gleichbedeutend sind), werden durch<br />
Fo(r) = F{r)<br />
p
X 8 F^{r) und es giebt ein p < r mit x e F^{p).) Hiernach bleiben die iibrigen<br />
Formeln bestehen:<br />
r) T)<br />
{Ar^ Menge der x 8 A, fiir die ri{x) — r/, ebenso Br^)\<br />
Si = QF^ir) ^ A^JlBr, , A = ^ S^<br />
T^ = 6[i^^(r)-F^+i(r)] = J^^v^Y^B, ,<br />
^>^ ^>^<br />
Nun war, wenn A, A' zwei Suslinsche Mengen, B, B' ihre Komplemente sind,<br />
wenn ferner C die Menge der x, flir die R'^ [x) einer Menge ^ RQ [X) ahnlich<br />
ist (analog C die Menge der x, fiir die Ro{x) einer Menge ^ R'[){x) ahnlich<br />
ist) \md S ^ A + C, S' = A' + C gesetzt wird, A - AA' ^ X - S', A' -<br />
AA' ^ X — S. Hier bedeutet X — S die Menge der x, die sowohl zu B als<br />
auch zu X — C gehoren, d. h. fiir die J^o(^) wohlgeordnet und RQ{X) keiner<br />
Teilmenge von Ro{x) ahnlich ist, d.h. Ro{x) wohlgeordnet von einem Typus<br />
I ^ und RQ{X) entweder nicht wohlgeordnet oder von einem Typus > ^, d.h. Bl. 15<br />
X 8 B^iA' ^ iZ B'^)= B^S'^ fiir irgend ein ^. M[it] a[nderen] Worten<br />
X-S^^^B^S'^, X-S' = ^B'^Si<br />
sind die beiden Suslinkomplemente, in die sich A'B, AB' einschliessen lassen.<br />
Dass A'B ^ ^ B^S'^ , ist trivial {x 8 A'B gehort zu einem B^ und zu jedem<br />
5^, also X 8 B^S'c)^ ebenso dass X^^^5^ und Y^B'^Sr^ disjunkt sind; denn<br />
B^Sr^' B'^S'^ ist stets 0, da B^Sr^ = 0 fiir ^ < r/ und B'^S'^ - 0 fiir r/ < ^. Dass<br />
aber diese Summen Suslinkomplemente sind, ist die eigentliche Schwierigkeit.<br />
In Fund. Math. 16, S. 75 giebt Lusin (in ganz ungenauer Bezeichnung) diese<br />
Mengen an und sagt:<br />
on demontre que ses series sont des ens[embles] mes[urables] B (im<br />
Falle A A' = 0) und weiter: on demontre que ... sont des complementaires<br />
analytiques. Ces demonstrations transfinies etant oh- [9]<br />
tenues, il est facile a supprimer toutes les traces du transfini.<br />
Worin | diese demonstrations transfinies bestehen, ist mir ganz unerfindlich. BL 16<br />
Wenn man bereits wie in § 34,3 bewiesen hat, dass fiir A A' = 0 schliesslich<br />
S^S'^ = 0, so folgt, dass die Summen Yl^^^c, ^BcS^ nur abzahlbar viele<br />
Glieder enthalten und daher Borelsch sind. Denn fiir 77 > ^ ist J5^ £ 5^,<br />
5; g 5^, BrjS'^ g S^S'^, so dass schliesslich 5^5^ = 0.<br />
Die Menge CC der Punkte x, wo gleichzeitig RQ{X) einer Teilmenge von<br />
Ro{x) und Ro{x) einer Teilmenge von RQ{X) ahnlich ist, ist Suslinsch; fiir<br />
X 8 BB'CC besagt dies, dass JRO(^) mit RQ{X) ahnlich ist. Also BB'CC =<br />
681
E B^B'^; A + A'-^CC' = {A + A') + Y1 B^B'^ ist Suslinsch, Y. B^B'^ Differenz<br />
zweier Suslinscher Mengen. ^ B^B't ist sogar CA (Komplement einer<br />
[10] Suslinschen Menge); vgl. Kuratowski, FM 28, p. 195. Uberdies ist es in BE'<br />
analytisch(=5jB'CC').<br />
B{X — S') = ^BcBS^ — J2 B'cBri ist ein Suslinkomplement, ebenso<br />
X; B'^Br^ und X; ^^^77; BB' - Yl B'^Br^ = YB^B'^ ist Differenz von zwei<br />
Susl[in]kompl[ementen] oder von zwei Suslinschen Mengen, wie soeben.<br />
Die Menge F der x mit Ro{x) ^ Ro{x) ist gleichfalls Suslinsch, YB^B'^ £<br />
r g E ^c4 + E ^e^^; r(A + A' + E ^^^e) = ^ E ^c^ + E B^B^^ ist<br />
Suslinsch, ebenso TAA' = TE^^^^ •<br />
Anmerkungen<br />
[1] F{r): Jede Familie {F(r)}reQ von Mengen in einem gegebenen Raum heifit<br />
ein Sieb (LusiN [Lu 1927] ^). HAUSDORFF verwendet dieses Wort nicht explizit.<br />
Ein Sieb ist Borelsch resp. abgeschlossen, wenn alle Mengen F{r) Borelsch bzw.<br />
abgeschlossen sind. Die Mengen<br />
A = {x : R{x) ist nicht wohlgeordnet}, B = {x : R{x) ist wohlgeordnet}<br />
heiBen die innere Menge bzw. die dufiere Menge des gegebenen Siebs.<br />
[2] HAUSDORFF erwahnt hier einen Satz von LUSIN ([LU 1927]), der besagt,<br />
da6 innere Mengen von Borelschen Sieben Suslinmengen sind; umgekehrt ist<br />
jede Suslinmenge in einem polnischen Raum innere Menge eines abgeschlossenen<br />
Siebes. Entsprechend sind aufiere Mengen von Borelschen Sieben und<br />
aufiere Mengen von abgeschlossenen Sieben co-Suslinmengen. Dies gilt, weil<br />
die Menge der rationalen Zahlen Q ahnlich (d. h. ordnungsisomorph) zu N"^^<br />
ist, der Menge aller endlichen Sequenzen natiirlicher Zahlen, versehen mit der<br />
LUSIN-SiERPiNSKischen linearen Ordnung
^[3] Sind {F{r)}, {F'(r)} zwei (Borelsche) Siebe, dann ist die Menge C aller<br />
Punkte X, fiir die R{x) einer Teilmenge von R^{x) ahnlich ist, eine Suslinmenge.<br />
Die Idee hinter diesem Resultat ([Lu 1930a], [No 1931]) ist folgende:<br />
Die Menge P aller Paare (x, /), wo x £ X ist und / eine ordnungserhaltende<br />
Injektion R{x) —> R{y), ist offenbar eine Borelsche Teilmenge von X x 2*'*^^*'^,<br />
wobei E = 2*^^*^ der polnische Raum aller Teilmengen von Q x Q ist, versehen<br />
mit der Topologie des Cantorschen Diskontinuums (Q wird als diskret betrachtet).<br />
Andererseits ist C die Projektion von P. HAUSDORFF bevorzugte eine<br />
mehr direkte Konstruktion eines konkreten Suslin-Schemas fiir C und korrigierte<br />
genauestens die kleineren Versehen in LusiNs Beweis in „Legons sur les<br />
ensembles analytiques", den er als zu geometrisch empfand.<br />
[4] Das ist der 2. Trennungssatz; s. unseren Kommentar am Ende dieses Abschnitts.<br />
[5] Ein Paar von Universalmengen C/i, U2 mit dieser Eigenschaft wird gelegentlich<br />
auch ein doppelt-universales Paar genannt.<br />
[6] S-Mengen sind Suslinsche Mengen. Um Satz III zu beweisen, betrachtet<br />
HAUSDORFF ein doppelt-universales Paar von Suslinmengen Ui, U2 ^ X x\^^<br />
und wendet Satz II an, um ein Paar disjunkter co-Suslinmengen Ci und C2 zu<br />
erhalten, welche Ui \ {Ui H U2) bzw. U2 \ {Ui D U2) einschliefien. Dann zeigt<br />
er, dafi Ci, C2 nicht Borel-trennbar sind. Im gegenteiligen Fall wiirde namlich<br />
jede Borelmenge, die Ci von C2 trennt, fiir die ganze Klasse der Borelmengen<br />
von X universal sein, was unmoglich ist.<br />
[7] HAUSDORFF verweist hier auf Fasz. 427. Dort wird bewiesen, dafi jeder<br />
liberabzahlbare polnische Raum die Vereinigung eines stetigen bijektiven Bildes<br />
des Baireschen Raumes IKl"^ mit einer hochstens abzahlbaren Menge ist.<br />
Dies wird benutzt, um Satz IV zu beweisen.<br />
[8] Das Resultat wird viel einfacher ohne die Forderung, dafi die Projektion<br />
von C auf X gleich X ist. Man nehme namlich irgendeine Borelmenge<br />
C C X X y, deren Projektion eine nicht-Borelsche Suslinmenge ist und beachte,<br />
dafi bijektive Projektionen von Borelmengen Borelsch sind (s. Anmerkung<br />
[106] zu Mengenlehre; ferner unseren Kommentar am Ende dieses Abschnitts).<br />
[9] HAUSDORFF nimmt hier Bezug auf eine der abschliefienden Bemerkungen<br />
in LusiNs Artikel [Lu 1930b], wo Entwicklungen ahnlich zu HAUSDORFFS<br />
X — S = ^B^S^^ und X — S^ = J2^'^'^^ i^ Analogic mit gewissen (abzahlbaren)<br />
Entwicklungen betrachtet werden, die sich mehr auf Borelklassen beziehen.<br />
LusiN stellt fest, dafi die erhaltenen Mengen (hier X — S und X — S') ein<br />
gegebenes Paar von Suslinmengen im Sinne des zweiten Trennungssatzes trennen.<br />
Er behauptet ferner, dafi sie co-Suslinmengen sind und dafi diese Tatsache<br />
683
voUig ohne jeden Gebrauch des Transfiniten bewiesen werden kann. Hochstwahrscheinlich<br />
meinte LusiN den Beweis des zweiten Trennungssatzes, wie er<br />
dann in [Lu 1930a] erschien (HAUSDORFFS Beweis von Satz II verlauft in etwa<br />
analog).<br />
Es ist erwahnenswert, dafi LusiN sich sehr intensiv mit Grundlagenproblemen<br />
befafit hat, etwa mit der Natur des Unendlichen und mit dem Transfiniten<br />
in der Mengenlehre. Er hat deshalb in seinen Arbeiten Diskussionen dieser Art<br />
oder entsprechenden Interpretationen konkreter mathematischer Resultate oft<br />
viel Raum gegeben (s. dazu Abschnitt 5 der historischen Einfiihrung zu Mengenlehre,<br />
dieser Band, S. 25 ff). HAUSDORFF dagegen war mehr der "working set<br />
theorist", der das Mengenuniversum, wie es heute etwa durch ZFC beschrieben<br />
wird, fiir gegeben nahm und sich um Grundlagenfragen nicht allzusehr<br />
kiimmerte (s. dazu den Kommentar zu [H 1905] im Band I dieser Edition).<br />
[10] Der Satz „ ^ B^B'^ Differenz • •« analytisch (- BB'CC)" ist nachtraghch<br />
(offenbar wesentHch spater) eingefiigt worden. HAUSDORFF verweist hier auf<br />
den folgenden Satz in [Ku 1937]: Sind A = U^
Um X: f^" C E ^" zu zeigen, sei a; e E f^" = E U^ und x e f/^" mit<br />
n n n n^<br />
kleinstmoglichem ^. Also x 8 C/^ fiir 77 < ^ und beliebiges m, und flir m^ n<br />
nach (*) auch noch x 8 C/J^, also x 8 5?^. Demnach, fiir jedes m ^ n^<br />
x^S^~S^, x^V''.\ BL5<br />
14.1.37 II<br />
(C) Fiir das System der projektiven Mengen Ci (Komplemente analytischer<br />
Mengen) eines voUstandigen separablen Raumes X gilt der Reduktionssatz<br />
(also fiir die analytischen Mengen Pi die beiden Trennungssatze).*^<br />
In X sei jeder rationalen Zahl r in (0,1) eine abgeschlossene Menge Fr zugeordnet<br />
und M^ = E [x e Fr]. Die Menge der x, fiir die Mx wohlgeordnet<br />
r<br />
(nicht wohlgeordnet) ist, ist ein Ci (Pi), und jedes Ci kann durch passende [2]<br />
Fr erhalten werden. U sei ein Ci, U^ — E [M^ == ^], wo ^ eine Ordnungszahl [31<br />
< r^ ist, U = ^U^ {^ . Man bringe ins Intervall (1,2)<br />
eine Menge rationaler Zahlen vom Typus S und setze fiir diese Fr = X.<br />
Sei jetzt U^ eine Folge von Mengen Ci, W^ = J2Ur ihre Zerlegungen in<br />
Konstituenten, und hierbei kann man erreichen, dass alle U^ ^ 0 bei festem n<br />
Indizes der Form ^*+ct;'^ haben. (^ hat den Resttypus u;*^). Da diese Resttypen<br />
verschieden sind, hat man also<br />
(**) fiir m 7^^ n ist eine der Mengen U^ , U^ 0 (fiir jedes ^).<br />
I Danach ist (*) des Hilfssatzes (wo man j = ft setze) erfiillt; wir wollen B1.6<br />
zeigen, dass die Mengen V'^'^ = ^{SV' — SV^) Mengen Ci sind; dann ist es<br />
auch V^ und der Reduktionssatz bewiesen. Nun ist [4]<br />
ynm _ ^^ E [M^ S ^] [M^ ^ ^Y (M dcr Typus von M)<br />
= E [MJ < Q] [M^ nicht einer Teilmenge von M^ ahnlich]<br />
X<br />
= CiCi.<br />
(Dass der zweite Faktor ein Ci ist, folgt aus dem bekannten Lusinschen Satz, [5]<br />
dass, fiir zwei Systeme F(r), F'(r), E {Mx einer Teilmenge von M'^ ahnlich)<br />
X<br />
analytisch ist).<br />
(D) Fiir die projektiven Mengen P2 (stetige Bilder der Ci) gilt der Reduktionssatz,<br />
also fiir die Mengen C2 jeder Trennungssatz (von Novikoff,<br />
Fund. 25 gefunden). (6]<br />
*) Fiir die C\ gelten die Trennungssatze nicht (Lusin - NovikofF), also fiir die Pi nicht<br />
der Reduktionssatz.<br />
685
Vorausbemerkt sei: ist U — ^ U^ die Konstituentenzerlegung einer Menge<br />
Ci in X, so ist auch (U^Y) = J^ {U^,Y) die Konstituentenzerlegung der Ci-<br />
Menge {U^Y) in {X,Y) {Y ebenfalls separabel, voUstandig); man hat nur die<br />
BL7 abgeschlossenen Mengen Fr C X durch die {Fr^Y) in (X^Y) zu ersetzen. |<br />
Nun sei If^ eine Folge von P2-Mengen in X; U^ ist X-Projektion einer<br />
Ci -Menge T"" in (X, Y) (wo Y := X oder auch Y = Bairescher Nullraum<br />
ist). Bezeichnen wir fiir den AugenbHck die Projektion mit (p {^{T) =<br />
E Yli^^y) ^T).Es sei T"^ = Y,T^ die Konstituentenzerlegung von T^,<br />
X y ^<br />
C/^ = ^{T'^) = Yl^^' ^i^ ^^ konnen wir gemass (**) einrichten, d.h. so,<br />
dass es fiir jedes ^ hochstens ein n mit TP' 7^ 0 giebt; dasselbe gilt fiir die C/? .<br />
Wir bilden wieder die Mengen V^ des Hilfssatzes und wollen beweisen, dass<br />
die Mengen V'^'^ = J2 i'^^ ~ '^^) Mengen P2 sind, wodurch dasselbe fiir die<br />
V^ und damit der Reduktionssatz fiir die P2 bewiesen ist. Es ist, wenn wir<br />
auch z den Raum Z = Y durchlaufen lassen:<br />
? ^ !/ 2<br />
(Rl C {X, Y), R^ die entsprechende Menge in {X, Z)) und wenn wir i?^ =<br />
{R\,Z), R^ = (i?|,y) setzen, wobei, mit tl^ = {Ul,Z), U^ = {Ul,Y),<br />
BI.8 und I il^ die Konstituenten von {U'^,Z) C {X,Y,Z), U^ die von {U'^,Y) c<br />
{X,Y,Z) sind:<br />
^^' = £• E E n [(^' 2^) ^ ^l] [(^' ^) ^ ^l] •<br />
Hier kann man YIW durch HS ersetzen, well die i?? mit ^ zunehmen<br />
e, z z i<br />
(die in [ ] stehende Behauptung, die, von x^ y abgesehen, von der Form<br />
a(^)/3(^, z) mit /3(?7, z) —> /5(^, z) fiir ^ ^ ?7 ist, giebt zunachst<br />
wenn andererseits Yl^(^iO0{C^^) gilt, also Yloi{^z)Pi^z,z) mit kleinstmogli-<br />
2; ^ z<br />
chem ^;2 und ^ das Kleinste aller ^z ist, so gilt Q;(^) und fl /^(C? ^2^) 7 ^Iso<br />
686
E n OiiOPi^, z).) Danach ist<br />
X y z ^<br />
= £^ E n E [(^> y, z) e ^d [(^, y, ^) e i??]<br />
X y z $^<br />
y z X ^<br />
Die Menge E[] = E(^^ " ^^) ist nach (C) ein Ci; E [ ]' ein Pi, E E[ ]'<br />
xy2; ^ xyz xy ^<br />
Projektion eines P\, also P\\ EX^\'= C\^ schliesslich £* 13 H [ ] Projektion<br />
xy 2, ^ y z<br />
eines Ci, also P2 . Q. e. d.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Die Bedeutung dieser Behauptung ist folgende: Ist fiir irgendein n x G C/^ ,<br />
dann sei ind^ {x) die kleinste Ordinalzahl ^, so da6 x e U^; ansonsten setze<br />
man indn(x) = 00 (mit der Mafigabe, dafi ^ < 00 ist flir jede Ordinalzahl ^).<br />
Dann ist wegen (*) oder (**) ind^(x) = ind^(x) < 00 unmoglich fiir m^ n.<br />
Somit besteht V^ aus alien x G C/^, fiir die indn(x) < indm(^) ist fiir jedes<br />
m^ n.<br />
[2] Ci bzw. Pi sind die Klassen der co-Suslin- bzw. Suslinmengen.<br />
[3] Mx bezeichnet den Ordnungstypus von M^ {M^ ist eine Menge rationaler<br />
Zahlen).<br />
[4] [•••]' bezeichnet das Komplement.<br />
[5] HAUSDORFF bezieht sich hier auf den Satz I im oben abgedruckten Fasz. 426.<br />
Dieser zeigt, dafi die Mengen V^ co-Suslinmengen sind und beweist schliefilich,<br />
dafi die Familie der V^ das multiple Reduktionsprinzip fiir die gegebene<br />
Familie der co-Suslinmengen U^ erfiillt.<br />
[6] HAUSDORFF bezieht sich hier auf NOVIKOFFS Arbeit [No 1935], in der die<br />
Trennungssatze fiir die projektive Klasse 112 = C2 = CPCA bewiesen sind.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 41 : Fasz. 674<br />
Indizes<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [vermuth Sept. 1936 - Marz 1938]. - 3 Bll.<br />
Indizes<br />
Jeder rationalen Zahl r sei eine Menge F{r) d X zugeordnet und hierdurch<br />
jedem x^ X die Menge R{x) = E [x e F(r')], so dass [1]<br />
687
[r 8 R{x)] = [xe F{r)]<br />
R{x) ist geordnet, A{x) sei ihr grosstes wohlgeordnetes Anfangsstiick, a{x) <<br />
Q der Typus von A{x), = Index von x. Hierdurch wird<br />
Man erhalt nun aus einer geordneten Menge R den Typus a ihres grossten<br />
wohlgeordneten Anfangsstiickes durch wiederholte Tilgung des Anfangselements.<br />
Es sei<br />
R^ = R, R^^^ = R^ minus Anfangselement (wenn eins vorhanden<br />
ist), sonst R^~^^ — R^^<br />
[2] und fiir r/ == Limeszahl R'^ = JJ R^. Ist A = {ro,ri,--- ,r^,--'} (? <
Unterscheiden wir noch (mit anderer Bedeutung von A als zuvor):<br />
A Menge der x mit nichtwohlgeordnetem R{x)<br />
B — X — A Menge der x mit wohlgeordnetem R{x).<br />
1st AX^ = A^ , BX^ =B^, so folgt aus (*) [3]<br />
r Ao + Ai + \-A^ -- 5^ - T^ , demnach<br />
\ Bo^Bi-\-'-^B^ = X-S^<br />
\ X E A bedeutet, dass eine fallende Folge ri > r2 > • • • C R{x) existiert: B1.3<br />
A = J2 ^(^1)^(^2) • • • (n > r2 > • • • )•<br />
1st X ein topologischer Raum, die F{r) Borelsch, so ist A analytisch, B — [4]<br />
X — A ein anal[ytisches] Komplement.<br />
T^ = A^+i -h A^+2 + • • • + 5^+1 + B^+2 + • • • .<br />
Bei vollst[andigem] separablem X ist A dann und nur dann Borelsch, wenn<br />
schliesslich Br^ ^ 0, {rj > ^), A = S^ . [5]<br />
Anmerkungen<br />
[1] [r e R{x)] = [x e F(r)]: Die Gleichheit hier und in ahnlichen Formeln weiter<br />
unten ist als logische Aquivalenz zu verstehen.<br />
[2] A ist das grofite wohlgeordnete Anfangsstlick von R.<br />
[3] A^ bzw. B^ sind die Borelschen Konstituenten der Suslinmenge A bzw.<br />
der CO-Suslinmenge B. Diese Konstituenten haben viele Eigenschaften mit jenen<br />
gemeinsam, welche liber die A-Operation definiert sind; s. Anmerkung [94]<br />
zu Mengenlehre.<br />
[4] Zur Prage, warum A eine Suslinmenge ist, s. Anmerkung [2] zu Fasz. 426.<br />
[5] Die Behauptung, dafi (unter den gemachten Annahmen) die Suslinmenge<br />
A (oder, aquivalent dazu, ihr co-Suslinsches Komplement B) Borelsch sind<br />
genau dann, wenn nur abzahlbar viele nichtleere Konstituenten B^ existieren,<br />
ist das LusiN-SiERPiNSKische Kriterium fur Borelsch-Sein. Es folgt leicht aus<br />
dem Satz iiber die Index-Restriktion (s. Anmerkung [97] zu Mengenlehre). Beide<br />
Satze gelten sowohl fiir die Konstituenten, die liber die A-Operation definiert<br />
sind (wie in § 34 von Mengenlehre) als auch fiir jene, die iiber Siebe definiert<br />
sind (wie in den Faszikeln 426 oder 674).<br />
689
NL HAUSDORFF : Kapsel 42 : Fasz. 718<br />
Theorie der Indizes<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 28. und 31.1.1939. - 8 Bll.^<br />
31.1.39<br />
Theorie der Indizes (Verallg. von Mengenlehre §34,2).<br />
[1] In einer abzahlbaren Menge R sei eine Relation r -< s definiert, von der<br />
sonst gar nichts vorausgesetzt wird. (D.h. in der Menge der geordneten Paare<br />
(r, s) 8 {R,R) ist eine Teilmenge Q ausgezeichnet und statt (r, 5) e Q wird<br />
r ^ s geschrieben.) Sagen wir fiir r ^ s, dass s ein Nachfolger von r sei. ~<br />
Jedem r e R sei eine Menge F{r) des Raumes X zugeordnet. Wir bilden fiir<br />
die Ordnungszahlen ^ < fi durch Induktion die Mengen<br />
Fo{r) = F{r)<br />
Frj(r) = n ^^(^) iv Limeszahl)<br />
In der 2. Formel durchlauft s also die Nachfolger von r. F^{r) ist mit wachsendem<br />
^ monoton abnehmend. Wir setzen<br />
5? = E^«W' r, = ^[F,(r)-F^+i(r)]. (2)<br />
r r<br />
Wir betrachten endlich alle Folge p = (ri,r2,...) aus i?^°, fiir die ri -<<br />
^2, ^2 ^ ^3, • • • gilt; ihre Menge sei P. Wenn R^^ als Bairescher Raum metrisiert<br />
wird, ist P abgeschlossen. (Wenn p^ = {ri,r2,...) e P und p^ —^<br />
p = (ri,r2,...)? so ist fiir jedes k r]^ -< r^,^-^ und fiir hinreichend grosses n<br />
B1.6 r]^ =^rk, r^+i = r/e+i, also r^ -< r^+i, demnach pe P.) \<br />
Setzen wir fiir p — (ri,r2,...) F{p) = F(ri)F(r2) • • • und bilden die<br />
Mengen<br />
Dann gilt<br />
p<br />
^ = ^F(p), B = X-A. (3)<br />
P<br />
S^ = A-{-T^ = A-^BT^, (4)<br />
Beweis. A -\- T^ C S^ . T^ C S^ ist evident. Um A C S^ zu beweisen, sei x 8 A<br />
und etwa x e F(ri)F{r2) • • • , wo fiir jedes k Vk -< r/c+i. Es gilt also<br />
X 8 F^{rk)F^{rk+i) • • • , r^ ^ r^+i<br />
^Der Fciszikel besteht aus zwei Versionen. Hier abgedruckt ist die verbesserte Version vom<br />
31.1.1939 (Bll.5-8).<br />
690
fiir ^ = 0; wenn es fiir ^ gilt, gilt nach (1) x e F^^i{rk) und ebenso x e<br />
F^+i(r/c+i), also gilt es fiir ^ + 1; und wenn es fiir ^ < ry (77 Limeszahl) gilt,<br />
so auch fiir r]. Demnach ist x e F^[ri) C S^ fiir jedes ^, A C S^.<br />
S^cA-\-T^ Oder S^-T^C A. Sei xeS^- T^, also x e F^(ri). Da x e T^,<br />
X e F^{ri) — F^+i(ri), ist x e F^^i{ri) und es giebt ein r2 (n -< r2) mit<br />
X 8 F^{r2). Da ebenso x 8 F^4.i(r2), giebt es ein rs (r2 -< r^) mit x e F^{rs)<br />
u.s.w. Es giebt also eine Folge p = (ri,r2,r3,...) 8 P mit x e Yl^^i'^k) C<br />
nFirk) = A.<br />
k<br />
Damit ist (4) bewiesen. Nun fiihren wir ein<br />
Rd^) = Ei^^F^ir)], (5)<br />
r<br />
SO dass [r 8 R^{x)] — [x e F^{r)]. \ Aus (1) folgt dann B1.7<br />
[r 8 R^^iix)] = [r 8 R^{x)] Y^[s e R^{x)],<br />
d.h. R^-^i{x) ist die Menge der Elemente in R^{x), die einen Nachfolger in<br />
R^{x) haben {R^^i{x) entsteht aus R^{x) durch Tildung der "Endelemente",<br />
derer namlich, die in R^{x) liegen und keinen in R^{x) liegenden Nachfolger<br />
haben).<br />
Ferner ist fiir eine Limeszahl rj<br />
Rr,{x) = l[R^{x),<br />
Die hochstens abzahlbaren, mit wachsendem ^ monoton abnehmenden Mengen<br />
R^{x) miissen einmal gleich werden, d.h. es giebt einen kleinsten Index<br />
rj{x) (0 ^ rj{x) < ft) derart, dass Rrj{x) = Rr^j^i{x) fiir r] = r]{x) und daher<br />
auch fiir rj > r]{x) (Rr^ix) hat keine Endelemente mehr), wahrend<br />
[R^{x)-R^^,{x)^0] = [^
demnach<br />
Tc=E[v{x)>^] = Y^X,. (7)<br />
Bl. 8 I Hieraus folgt, dass die T^ mit wachsendem ^ monoton abnehmen (ebenso<br />
die S^ nach (4) oder nach der ersten Formel (2)) und dass<br />
Wird noch AX^ = A^, BX^ = B^ gesetzt, so ist A = Y^A^, B = ^2^^^<br />
und nach (7) (4)<br />
Schliesslich ist noch<br />
X-S^ = Bo-\-Bi^-"^B^<br />
S^~T^ = Ao + Ai-\--" + A^,<br />
[x e S^] = Y^[x e F^ir)] = ^[r e R^ix)] = [R^{x) / 0]<br />
r r<br />
und wenn wir die Menge, der die R^{x) flir ^ ^ rj{x) gleich werden, mit RQ{X)<br />
bezeichnen ("Kern" von Ro{x)), so dass n[^^(^) / 0] = [Rft{x) / 0] ist, so<br />
ergiebt sich<br />
Anmerkungen<br />
[1] In dieser Note ist -< ledigHch eine binare Relation ohne weitere spezielle<br />
Annahmen. Insbesondere nimmt HAUSDORFF nicht an, dafi -< eine Ordnungsrelation<br />
ist.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 559<br />
Analytische Zerlegung eines Raumes X<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 18.1.1936. - 4 Bll.^<br />
Analytische Zerlegung eines Raumes X. 18.1.36<br />
In einer Menge Y sei jeder Menge B C Y eine Menge B^ zugeordnet, die<br />
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 388-391.<br />
692
monoton ist, d.h. fiir B C B"^ ist B^ C 5*(^. Wir bilden hiermit die Mengen<br />
B^ (^ Ordnungzahl):<br />
Bo = B, B^j^i = {B^)^, Br^ = ^^B^ {rj Limeszahl)<br />
^
Demnach TQ D Ti D • • • , Ym = 0.<br />
[1] Wenn Y ahzdhlhar, X separabel, und die A^{y) ^-Mengen sind,<br />
so ist schliesslich T^ = 0 (von 1. Kat[egorie] in X), X^ = X.<br />
Denn fiir AQ D Ai D • • • D A^ D • • • (^ < f^), wo die A^ (3-Mengen<br />
im separablen Raume X sind, ist schliesslich A^ = A^+i = • • • . (Jede (3-<br />
Menge A ist mit der Menge Ap der Raumpunkte kongruent, wo sie von 2.<br />
Kategorie ist; da Ap abgeschlossen und monotone Funktion von A ist, ist in<br />
Aop D Alp D '" D A^p D '' • schliesslich A^p = A^p flir ^ ^ a, A^ = Aa.)<br />
Wahlt man a so gross, dass fiir alle y und ^^ a<br />
A^{y)=A^^i{y),<br />
so ist r^ = 0 (Sierpihski - Selivanowski).<br />
Wenn B,p aus B dadurch entsteht, dass jedem y eine Menge N{y) C B<br />
zugeordnet und B^p die Menge der y ist, zu denen ein rj e BN{y) vorhanden<br />
BL4 ist, also B^ = B E [BN{y) ^0], so ist |<br />
y<br />
Denn<br />
N{y)<br />
A^^i{y) = A^{y)J2Mv)-<br />
[x e A^+,{y)] = [y e 5^+i(x)] = [y e B^{x)] J^ bl e B^{x)][r] e N{y)]<br />
V<br />
= [xe A^{y)] XI [^ ^ MV)][V e N{y)].<br />
Sind die A(y) ^-Mengen, Y abzdhlbar, so sind die A^{y) (3-<br />
Mengen und bei separablem X schliesslich X^ = X.<br />
Beispiele zu diesem Fall: Y sei die Menge der natiirlich geordneten rationalen<br />
Zahlen, N{y) = E{ri < y); B^ ist die Menge der y e B, die einen Vorganger<br />
v<br />
Tj < y, T] e B haben {B — B^ also = 0 oder das erste Element von B).<br />
Y sei die Menge der endlichen Komplexe y = (ni,..., n/c) natiirlicher Zahlen,<br />
N{y) die Menge der aus y durch Ansetzung einer Zahl n entstehenden<br />
Komplexe (y^n) — (ni,... ,nfc,n) (Nachfolger von y). B^ ist die Menge der<br />
y e B, die einen Nachfolger (y, n) e B haben, B — B^p die Menge der „Endelemente"<br />
von B.<br />
Anmerkungen<br />
[1] (3-Mengen sind Mengen, welche die Bairesche Eigenschaft besitzen.<br />
694
NL HAUSDORFF : Kapsel 33 : Fasz. 261<br />
Hurewicz<br />
Hs. Ms., z.T. stichpunktartig. - Pontresina, Bonn, 12.9.1926, 25.9.1926,<br />
7.1.1935.- 27 BU.^<br />
(W. Hurewicz). Pontresina, 12.9.26^<br />
Den Komplexen natiirlicher Zahlen (ni), (ni,712), (ni,77,2,ns),... seien Punkte<br />
a(ni), a(ni,n2),... zugeordnet; ausserdem sei noch ein Punkt a gegeben.<br />
Diese Punkte (eines metrischen Raumes E) bilden ein „Haufungssystem" 21,<br />
wenn<br />
(1) a — l±ma{ni), a(ni) = lima(ni,n2), a(ni,n2) = Iima(ni,n2,n3),...<br />
a ist der „Mittelpunkt" von 21. Eine Punktfolge a(ni), a(ni,n2),... , den<br />
Abschnitten einer Zahlenfolge (ni, n2, • • •) entsprechend, heisst eine Suslinsche<br />
Punktfolge in 21, ihre etwaigen Haufungspunkte die Suslinschen Grenzpunkte<br />
von 21. Wenn 2t mitsamt seinen Suslinschen Grenzpunkten eine abgeschlossene<br />
Menge bildet, heisst 21 regular.<br />
Lasst man die Indices ni,n2,... statt der Menge aller natiirlichen Zahlen<br />
nur Restfolgen durchlaufen, so erhalt man ein Restsystem 21*. Ein solches ist<br />
also durch Ungleichungen<br />
(2) ni>k, n2>k{ni), ns >/c(ni,n2), ...<br />
definirt, deren rechte Seiten ganze Zahlen ^ 0 sind, und wobei k{ni) von ni<br />
u.s.w. abhangen kann. (Der Mittelpunkt a soil wieder zu 21* gehoren.) Durch<br />
Veranderung der Indices<br />
(3) ni=pi-\-k, 77,2 =P2 + A:(ni), ...<br />
wo pi,p2, • • • die natiirlichen Zahlen durchlaufen, und<br />
6 = a, b{pi) = a{ni), b{pi,p2) = a{ni,n2), ...<br />
erhalt man 21* wieder in Form eines Haufungssystems 03. Die Suslinschen<br />
Grenzpunkte von 53 sind diejenigen Suslinschen Grenzpunkte von 21, die den<br />
Bedingungen (1) entsprechen.<br />
Ist So-\-Si-\-e2-\ = cr eine konvergente Reihe positiver Zahlen und geniigen<br />
die Entfernungen der Punkte von 21 den Bedingungen | Bl. 2<br />
(4) aa{ni)
fiir jede natiirliche Zahl i und alle Zahlenfolgen (ni, n2,...), so ist 21 regular.<br />
Sei Si + £i-\-i + • • • = (7i. Sei sodann a^ —^ x eine konvergente Folge von<br />
Punkten a'^ aus 21 (m == 1,2,...); zu zeigen ist, dass x Punkt oder Suslinscher<br />
Grenzpunkt von 21 ist. Sehen wir von dem Fall ab, dass fast alle a^ = a,<br />
so konnen wir also (mit Beschrankung der m auf eine Teilfolge - so auch<br />
weiterhin) annehmen, dass<br />
[1] Erster Fall: alle hier auftretenden Indices n'^^ seien beschrankt, ebenso alle<br />
712^ u.s.w. Es giebt dann unendlich viele a'^^ mit n^^ = rii und i^ > 1, unter<br />
diesen unendlich viele mit n2^ = n2 und im > 2 u.s.f. Wir er halt en so eine<br />
Folge<br />
a(ni,n^,...,n,^J, a(ni,n2,n|,... ,nfj, a(ni,n2,n3,^i • • • ,^^3), .•-<br />
die nach x konvergirt. Nach (4) ist aber<br />
a(ni,...,nfc)a(ni,...,nfe,nj^4.i,...,nfj < £/c H hCz^-i < cr/, ,<br />
also X = lima(ni,..., Uk) ein Suslinscher Grenzpunkt von 21.<br />
k<br />
Zweiter Fall: Es giebt einen ersten Index i, so dass n^ nicht beschrankt ist,<br />
wahrend (flir i > 1) die vorangehenden beschrankt sind. Man erhalt dann eine<br />
nach X konvergente Folge<br />
mit limnf^ = 00. Da nach (4)<br />
m<br />
a(ni,...,ni_i,nf,...,n^) {im > i)<br />
a(ni,...,n,_i,nr)a(ni,...,n,_i,nr,...,n)< "' + ••;,+ "'"''^ < ^<br />
(flir im = i steht links 0), so folgt aus (1), dass x = a(ni,..., n^-i) ein Punkt<br />
B1.3 von 21 ist. (Flir i = l ist a: = a). |<br />
Man kann durch passende Wahl der Ungleichungen (2) erreichen, dass (4)<br />
erfiillt wird. Wegen (3) und pi ^ ni, p2 ^ ^2, • • • ist dann<br />
bb{pi)
einen Punkt a e Go und dazu eine Umgebung U, die mit ihren [2]<br />
Haufungspunkten in Go enthalten ist: Ua C Go;<br />
eine Punktfolge a(ni), lima(ni) = a, a{ni) ^ a, a{n\) 8 G\U<br />
und zu jedem solchen Punkt eine Umgebung C/(ni), deren abgeschlossene<br />
Htille in G\U enthalten ist: C/(ni)a ^G\U\<br />
fiir jedes n\ eine Punktfolge a(ni,n2): lima(ni,n2) = a(ni),<br />
a{n\^n2) 7^ a(ni), ^(^1,712) B G2U{ni), sodann Umgebungen<br />
f/(ni,n2) von a(ni,n2) mit U{ni,n2)oc ^G2U{ni) u.s.w.<br />
Dieses Haufungssystem 21 hat die Eigenschaft, dass keine Suslinschen Grenzpunkte<br />
vorhanden sind. Angenommen, die Folge a(ni), a(ni,n2),.. • hatte<br />
einen Haufungspunkt x e Fm- Da nun U 2 U{ni) 2 U{711,112) 2 ••• und<br />
a(ni,.. .,n/c) 8 U{ni,... ,nk), also fiir /c ^ m a(ni,...,nfc) 8 t/(ni,... ,n^),<br />
so miisste x 8 t/(ni,..., rim)a m sein im Widerspruch zu x 8 Fm .<br />
Sei 51* ein regulares Restsystem von 21: es bildet (da die Suslinschen Grenzpunkte<br />
fehlen) eine abgeschlossene Menge P. Ausserdem ist P in sich dicht<br />
und abzahlbar, also eine perfekte abzahlbare Menge. Q. e. d. | BL4<br />
Bonn, 25.9. 26<br />
M und N seien Mengen im Raume E. Wir sagen: M ist ein F\N (abgeschlossen<br />
beziiglich N), wenn alle zu N gehorigen a-Punkte von M zu- [3]<br />
gleich Punkte von M sind: MQCN g M. Das ist damit gleichbedeutend: M<br />
ist in M^N abgeschlossen; denn die ebengenannte Ungleichung ist aquivalent<br />
mit M = M-^MocN = Moc{M^-N). [Oder mit MocN = MocN • M = MN,<br />
{Moc-M)N - 0.] Ist M ein F\N, so auch ein F\No flir iVo g A^. Ist M abgeschlossen<br />
(ein F\E), so auch ein F\N. Die Summe endlich vieler F\N und<br />
der Durchschnitt beliebig vieler F\N ist wieder ein F\N. (Aus AocN C A,<br />
BocN ^ B,... folgt fiir 5 = A-\-B^ im Fall endlich vieler Summanden<br />
SocN = (Aa+^cc4- • ")N ^ (A+5-h '") = S;im Falle beliebig vieler Mengen<br />
fiir D = AB" DocN g (A^^a - ")N g AB " = D.) Die Summe abzahlbar<br />
vieler F\N heisse ein F(y\N (ein Fcj beziiglich AT); die Summe abzahlbar<br />
vieler Fcy\N ist wieder ein solches, ebenso der Durchschnitt endlich vieler.<br />
Ist M ein F^lN, so ist M ein F^j in M-\-N, und umgekehrt.<br />
Denn aus M - 6Mn, MnocN g Mn folgt [4]<br />
M g (M-f AT) @ Mnoc = M^N © Mnoc QM^QUn^M,<br />
M = {M^N)&Mnoc = (M4-Ar)Fo-; umgekehrt, ist M = (M4-Ar)©F^, so<br />
ist M = 6Mn, Mn = (M-hAr)Fn, Mn in M+AT und folglich in M^+A<br />
abgeschlossen. Ist M ein Fo-IAT, so auch ein Fcy\No fiir NQ g N.<br />
Wenn der Punkt x {s E) eine Umgebung Ux hat, derart dass MUx ein<br />
Fo-jAr ist, so heisse M in x ein Fa I A". Die Menge X dieser Punkte ist offen.<br />
697
ihr Komplement Y = E — X abgeschlossen. (Denn ^ eUx hat eine Umgebung<br />
U^ ^Ux] U^ ist ein Fa\E, also ein Fa\N, MU^ = MUx • U^ als Durchschnitt<br />
zweier F^\N wieder ein solches.) Es ist X ^ {E — N)i, also Y ^ Not; denn<br />
ein Punkt x e {E — N)i hat eine zu N disjunkte Umgebung, NUx, dann ist<br />
MUx = {MUx-\-N)Ux ein F^\N, also xeX.<br />
Bl. 5 Wenn N hochstens separabel ist, \ so ist NY (die Menge der<br />
Punkte von iV, in denen M kein F(j\N ist) entweder 0 oder unendlich,<br />
jenachdem M ein F(j\N ist oder nicht.<br />
Ist namlich M ein Fcj\N, so ist jedes MUx {Ux ein G\E oder F(j\E oder<br />
Fcj\N) ein F^\N, X = E, Y = 0. (Das gilt, auch wenn TV nicht hochstens<br />
X<br />
separabel ist). Ist andererseits NY endlich, so schliessen wir so: X — iSUx, wo<br />
X<br />
X<br />
MUx ein Fcj\N ist; da NX ^ &Ux, so lasst sich {NX hochstens separabel)<br />
X<br />
A<br />
daraus ein hochstens abzahlbares Teilsystem G = &Ux ^ NX bilden; MG —<br />
X<br />
A<br />
&MUx ist als Summe von hochstens abzahlbar vielen Fcj\N wieder ein solches.<br />
X<br />
Es ist<br />
X2G2NX, NX = NG, NY=^NF {F = E - G),<br />
Nun ist MF = M{F - NF) + MNF. NF = NY ist endlich, also ein F\N<br />
oder F(j\N, ebenso MNF. Ferner ist F — NF (abgeschlossene minus endliche<br />
Menge = F-F' = F^) em F^ und M{F-NF) = [M{F-NF)^N]{F-NF)<br />
ein F^\N, also M = MG + MNF + M{F - NF) Summe dreier F^\N, d.h.<br />
selbst ein F^AT. (Folglich Y = 0).<br />
[Dagegen kann NY abzahlbar sein. Ist E die Menge der reellen, M die<br />
der irrationalen, TV die der rationalen Zahlen, so ist X = 0, Y = E^ NY<br />
abzahlbar. - Wenn aber M ^ TV, so ist NY = 0 oder unabzahlbar, jenachdem<br />
M ein Fcj\N ist oder nicht. Hier bleiben die obigen Schliisse auch fiir abzahlbares<br />
NY bestehen, namlich: MG ein Fa|TV, MF = MNF als hochstens<br />
abzahlbare Menge ein Fa\N, ebenso M = MG + MF]<br />
Jedenfalls also gilt: wenn M kein F(j\N und N separabel ist, so giebt es<br />
unendlich viele Punkte von N, in denen M kein F(j\N ist.<br />
II. Im Raume E sei A eine Suslinsche Menge, aber kein F^r; B = E ~ A<br />
ihr Komplement, also kein Gs ; B sei separabel. Dann enthdlt B eine<br />
B1.6 in B perfekte, abzahlbare Menge. \<br />
Es sei yl = & F{mi) F(mi, 777,2) • • * niit abgeschlossenen Mengen<br />
7TT,i,m2,.--<br />
698
F(mi) 2 F(mi,m2) ^ • •• und<br />
A{mi)= © F(mi)F(mi,m2) ••• ,<br />
A{mi,m2) ^ & F(mi)F(mi, 777,2) F(mi, 7722, ms) •-<br />
7713,7714,...<br />
usw., also A= 6^(7721), A{mi) — & A{mi,m2) usw. Da A kein Fcy\B ist,<br />
mi 7712<br />
so giebt es einen Punkt y e B, in dem v4 kein Ffj\B ist. Es seien C/(72i)<br />
die Umgebungen von y mit Radien ^ (721, ebenso 722,... durchlaufen alle<br />
natiirlichen Zahlen); AU{ni) ist kein F(j\B, wegen<br />
AU{ni) = &A{mi)U{ni)<br />
mi<br />
giebt es also mindestens ein 777,(721) derart, dass 74(772(721 ))C/(77,1) kein Fa\B<br />
ist, und daher einen Punkt 2/(721) y^ y, 7/(721) e B, in dem diese Menge kein<br />
F^\B ist (also 2/(721) a-Punkt von A(772(72i))C/(72i).) Es seien U(ni^n2) die<br />
Umgebungen von 7/(721) mit Radien ^; A(772(721))[7(721,722) ist kein FG\B<br />
(sonst ware auch 74(772(711))[7(721)^/(721,722) ein solches), wegen<br />
^4(772(711)) == ©^(772(711), 7722)<br />
7712<br />
giebt es ein A{m{ni),m{ni,n2))U{ni^n2) ^ F(j\B und einen Punkt von B<br />
7/(711,712) 7^ 7/(7ii), derart dass in ihm diese Menge kein Fcy|J5 ist (7/(711,7^2) Oi-<br />
Punkt von ^4(772(711), 'rn{ni^n2))U{ni,n2)) usw. Zunachst bilden die Punkte 7/,<br />
7/(711), 2/(^1,^2), •.. ein Haufungssystem 03 ^ -B, denn da 7/(77,1) cx-Punkt von<br />
17(77,1), so ist yy(ni) ^ :^, lim7/(77,i) = 7/, usw. Wegen 7/(711) 7^ 2/ usw. ist<br />
die von 03 oder jedem Restsystem gebildete Menge insichdicht. Ferner ist aber<br />
7/(711) cx-Punkt von 74(771(77,1)) ^ ^(772(711)), also y{ni) 8 ^(772(711)), 7/(711,712) e<br />
F(772(711), 777,(711,712)) usw., woraus folgt, dass jeder Suslinsche Grenzpunkt von<br />
03 zu A — E — B gehort. Ein regulares Restsystem von 03 liefert also eine in<br />
B abgeschlossene Menge P, die liberdies insichdicht und abzahlbar ist:<br />
q. e. d.^ I BL8<br />
(ex) E separabel, N unabz[dhlbare] Suslinsche Menge. N enthalt eine (in E) [5]<br />
perfekte Teilmenge. (Nk ist nur in N perfekt) (Es braucht nur N, nicht<br />
E sep[arabel] zu sein; trivial).<br />
(|3) F = M + AT, iV Suslinsche Menge, aber kein F^, M separabel: M [6]<br />
enthalt eine in M perfekte, abzahlbare Menge.<br />
(y) E metrisch, E = M -\- N wie oben. N enthalt eine rel[ativ] perf[ekte] [7]<br />
abzahlbare Menge (?) | Bl. 9<br />
^Auf den Blattern 7-8 folgen Notizen unter den Uberschriften „W. Hurewicz, Fund. Math.<br />
12 (1928), 78" (Bll. 7, 7v) und „Hurewicz" (BL 8). Einige dieser Bemerkungen sind im Nachtrag<br />
(A) zu [H 1935a] (S. 298) publiziert. Wir drucken hier drei Bemerkungen ab, die dort<br />
nicht oder nicht vollstandig vorkommen; die Numerierung mit (a,|3,'y) haben wir hinzugefiigt.<br />
699
1.1.35<br />
M set Gs im belieb[igen] Raum E, mit insichdichtem Kern Mk D 0 :<br />
M enthdlt eine in E perfekte Teilmenge D 0.<br />
(Hurewicz, Fund. Math. 12, p. 107. Die Voraussetzung: E separabel, dlirfte<br />
unnotig sein). - Wir konnen, indem wir M^ (in M abgeschl[ossen], also Gs in<br />
E) statt M betrachten, M selbst als insichdicht annehmen. M = G0G1G2" - ,<br />
Go 2 Gi 2 • • • , Gn offen. Sei p e M (ebenso alle Punkte pi usw.), U{p) eine<br />
Umgebung < Go {P < Q heisst P ^ Q oder PQC ^ Qi); Pi eine Folge<br />
in U{p) mit limpi = p, Pi ^ P- Sodann U{pi) eine Umgebung < U{p)Gi\<br />
i<br />
Pik eine Folge in U{pi) mit limpik = Pi, Pik ^ Pi'-, dann U{pik) < U{pi)G2<br />
k<br />
usf. Also U{p) > U{pi) > U{pik) > ••• , U{pi^,,,in) < Gn- Das erhaltene<br />
Haufungssystem hat die Eigenschaft, dass jeder Grenzpunkt p* = limp^j...^^<br />
n<br />
einer „Grundfolge" in M liegt. Denn fiir m < n ist Pi^...in ^ U{Pii...im,) ^<br />
also p* 8 U{pi^,,.i^) ^ Gm, P* e G0G1G2 • • • = M. - Nehmen wir nun ein regulares<br />
Restsystem Q, so ist Q plus Menge der Grenzpunkte von Grundfolgen<br />
abgeschlossen — Q, Q ^ M, Q ist insichdicht, Q perfekt.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Der erste Fall erlaubt es, das KONlGsche Lemma anzuwenden.<br />
[2] Uoc ist der topologische Abschlufi von U.<br />
[3] Mit anderen Worten, M ist genau dann ein F\N, wenn M in M U N<br />
abgeschlossen ist in der (von E ererbten) Relativtopologie von M U N. Diese<br />
Forderung ist starker als die, dafi M H N abgeschlossen in N ist (man wahle<br />
M, N abzahlbare disjunkte dichte Teilmengen von IR).<br />
[4] © bedeutet hier &n und Mna ist der topologische AbschluB von Mn.<br />
[5] Dies ist ein Satz in [Hu 1928], S. 104, hier verscharft durch die Feststellung,<br />
dafi man nur die Separabilitat von N fordern mufi und nicht die des<br />
ganzen Raumes E.<br />
[6] Satz II von Fasz. 261, in ahnlicher Weise verscharft wie in [5].<br />
[7] Wahrscheinlich hatte HAUSDORFF hier die zu Satz II von Fasz. 261 komplementare<br />
Vermutung im Auge, genauer gesagt, das Problem, ob jede Suslinmenge,<br />
deren co-Suslinsches Komplement kein FQ- ist, eine abzahlbare perfekte<br />
Teilmenge enthalt (s. zu diesem wichtigen Problem unseren Kommentar zum<br />
folgenden Fasz. 281).<br />
700
NL HAUSDORFF : Kapsel 33 : Fasz. 281<br />
[Existenz nichttrivialer Gss und andere Probleme]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 15.-17.10.1928. - 3 BU.<br />
15/10 28<br />
Die Summe einer aufsteigenden Folge, vom Typus 17, von Mengen M einer<br />
gewissen Art moge Mg, der Durchschnitt einer absteigenden Folge Md heissen.<br />
Also<br />
Ms = e M^ (Mo £ Ml C ... C M^ C ...) ,<br />
Md = 2) M^ (Mo 2 Ml 2 • • • 2 M^ 2 • • •) .<br />
Z.B. ein nichttriviales F^s, d.h. Summe einer aufsteigenden Folge von Mengen<br />
F(j, wobei nicht von einem gewissen Index an das Gleichheitszeichen gilt,<br />
wird von jeder Menge {xo,xi,... ,Xu;,...} von der Machtigkeit ^i geliefert,<br />
indem man M^ = {XQ, ... ,x^,...}. setzt. Entsprechend giebt es Gsd- Wenn<br />
die Kont[inuum]hypothese gilt, sind alle Mengen eines z.B. Eukl[idischen] Raumes<br />
gleichzeitig F^s, Gsd- Schwieriger scheint die Existenz nichttrivialer Gss,<br />
F(jd feststellbar zu sein, und ich halte es nicht fiir unmoglich, dass es im separablen<br />
Raum keine giebt, dass also dort eine Folge aufsteigender Gs oder<br />
absteigender F^ hochstens abzahlbar ist (Hypothese H). [1]<br />
Diese Hyp[othese] wiirde nach sich ziehen, dass eine monotone f^-Folge von<br />
Funktionen l.Klasse f^{x) (etwa /o ^ /i ^ • * • ^ /c^ = • • • ) ebenfalls trivial<br />
ist, d. h. schliesslich /^ = /^+i = - -- — f^ {rj > ^). Namlich die absteigenden<br />
Fo--Mengen M^{r) — [f^ > r] (r beliebige reelle Zahl) wiirden schliesslich<br />
libereinstimmen = M{r) fiir ^ ^ $r ; macht man dies fiir alle rationalen Zahlen<br />
r und wahlt einen Index a > alle ^r , so ist fiir alle ^^ a und alle rat[ionalen]<br />
r M^{r) = Ma{r), woraus f^{x) = fa{x) folgt. | Bl.lv<br />
Ist dies der Fall ? (Hypothese K). Wenn man zu jeder Folge absteigender<br />
M^ = Gs eine monoton abnehmende Folge von Funktionen 1. Klasse /^ mit<br />
[/^ = 0] "^ M^ konstruieren konnte, so wiirde die Existenz nichttrivialer Gsd<br />
die Hyp[othese] K und damit auch H widerlegen. Dasselbe leistet eine monoton<br />
zunehmende Folge von F[unktionen] l.Klasse /^ mit vorgeschriebenen monoton<br />
zunehmenden [f^ > 0] = M^ = F(j. Aber z.B. die charakteristischen Funktionen<br />
dieser M^ sind nur dann von l.Klasse, wenn M^ = [/^ ^ |] zugleich<br />
ein Gs ist, also reduzibel, und dann ist die Folge /^ in der Tat trivial.<br />
Die Hypothesen K, H sind also weiterer Untersuchung bediirftig.<br />
Die Mengen Gss sind Fjj -Mengen.<br />
Denn sei A = 6 M^ Summe aufsteigender M^ = Gs- Wenn A keine<br />
F//-Menge ist, so enthalt sie (nach Hurewicz) eine abzdhlbare Menge P, die<br />
in A perfekt (d.h. insichdicht und in A abgeschlossen) ist. Sie ist wegen der<br />
Abzahlbarkeit bereits in einem M^ mit geniigend hohem Index enthalten und<br />
701
in M^ abgeschlossen, also ein insichdichtes Gs : dies kann aber nicht abzahlbar<br />
sein (sep[arabler] vollst[andiger] Raum).<br />
Wenn A = G^s ^^^ Suslin-Komplement ist, so ist nach Hurewicz<br />
A selbst ein Gs -<br />
Sind alle Fu -Mengen in der Form Gss darstellbar? Das ware das extreme<br />
Bl. 2 Gegenteil zur Hypothese H, wonach alle Gss selbst Gs sind. |<br />
Es sei P = Ad = ID A^ Durchschnitt einer absteigenden f^-Folge Borelscher<br />
Mengen. Wir sagen, diese Folge ist kanonisch, wenn flir jede Borelsche Menge<br />
5 2 P schliesslich S 2 A^ ist (flir ^ ^ Co).<br />
Eine Suslinsche Menge P ist Durchschnitt einer absteigenden kanonischen<br />
Folge.<br />
Denn (Mengenlehre § 34) P ist Durchschnitt der S^, und wenn P eine<br />
zu P disjunkte Suslinsche Menge ist, so ist schliesslich S^P — 0 (S. 192);<br />
insbesondere: ist 5 2 P eine Borelsche Menge, P ihr Komplement, so ist<br />
schliesslich S^T - 0, S^ g S.<br />
Ist umgekehrt der Durchschnitt einer absteigenden kanonischen Folge stets<br />
eine Suslinsche Menge?<br />
Man kann natiirlich entsprechend aufsteigende kanonische Folgen definieren;<br />
die Suslin-Komplemente sind Summen von solchen. Aber auch die Lusinsche<br />
Menge L (S. 262, Mengenlehre) ist eine solche; denn eine Borelsche Menge<br />
Q L ist hochstens abzahlbar, da sie sonst eine perfekte Menge P {P Q L)<br />
enthielte im Widerspruch dazu, das PL ein P/, also C P, ist (ist L ein Suslin-<br />
Komplement?) (eine Susl[insche] Menge ist sie nicht). L = {XQ, ... ,Xa^,...}<br />
ist also Summe der kanonischen Folge der Mengen {XQ, ... ,x^,.. .}^^ , da<br />
diese jede Borelsche Q L schliesslich libertrefFen. Ihr Komplement K ist eine<br />
P/j-Menge; ist sie ev[entuell] eine Suslinsche? Das ware eine Entscheidung der<br />
[2] Hurewiczschen Frage dahin, dass es Suslinsche P//-Mengen giebt, die keine<br />
Gs sind. Zugleich eine des von Lusin als unlosbar bezeichneten Problems, ein<br />
Susl[in]kompl[ement] von der Machtigkeit Ki anzugeben (L ware ein solches).<br />
(Wenn hingegen auch die Susl[inschen] P// -Mengen stets Gs sind, so sind die<br />
[3] unabzahlbaren Susl[inschen] Kompl[emente] v[on] d[er] Machtigkeit b^!)<br />
Bl.2v I Sierpinski hat bewiesen, dass fiir eine konvergente Q-Folge f^{x) —> f{x)<br />
von Funkt[ionen] 1. Klasse auch f{x) von 1. Kl[asse] ist (Fund. Math. 1, S. 138).<br />
Das ist eine Unterstiitzung fiir die Hyp[othese] K. Im Allg. braucht zwar nicht<br />
schliesslich f^ = fzu sein (Beispiel: sei irgend eine Menge A = {ao,..., cic^,...}<br />
v[on] d[er] Machtigkeit Ki gegeben und f^{x) — 0 bis auf f^{a^) = 1; diese<br />
F[unktionen] 1. Klasse konvergieren nach f{x) = 0); vielleicht aber fiir eine<br />
monotone Folge?<br />
Die kanonisch darstellbar en Mengen diirften aber kaum eine RoUe spielen, da<br />
im Falle der Kontin[uum]hypothese jede Menge so darstellbar ist. Wir zeigen,<br />
dass jede Menge Q Summe einer kanon[ischen] aufsteigenden Folge Borelscher<br />
702
Mengen ist. Nehmen wir Q als nicht-Borelsch an (sonst ist Q = &B^ mit<br />
B^ = Q eine solche Darstellung). Die Borelschen Mengen C Q bilden ein<br />
System von der Machtigkeit ^i : AQ^AI,...,AUJ^.... Setzen wir S — (SA^ =<br />
&B^, Brj = & A^, also 0 = Bo ^ Bi g '" . Zunachst ist 5 C Q. Jede<br />
Borelsche Menge A C Q^ sagen wir A^, ist C Bj^ fiir 77 > ^; insbesondere<br />
ist jeder Punkt von Q in 5 enthalten, also Q = S, und die Darstellung ist<br />
kanonisch. | B1.3<br />
17.10.28<br />
/ sei der Raum der irr[ationalen] Zahlen ^ — ^ + ^ + • • • zwischen 0 und<br />
1 (xi, X2^ ... Folgen nat[urlicher] Z[ahlen]). Da die n*® Ziffer Xn eine stetige<br />
F[unktion] von ^ ist, so ist die Menge der ^ mit Xn > dn -\-1 {ctn nat[urliche]<br />
Zahl) oder Xn > an abgeschlossen (iibrigens auch offen); ihr unterer Limes, d. h.<br />
die Menge der ^, ftir die schliesslich Xn > an (^ final > a), ein Fso- = i^a;<br />
diese Menge heisse K{a). Ist final a < /?, so ist K{a) D K{l3), da z.B. /? zu<br />
K{a)^ aber nicht zu K{l3), gehort. Konstruiert man eine fi-Folge von Zahlen, [4]<br />
die in finaler Rangordnung wachsen: ao < ai < - -- < a^j < - - • , so bilden die<br />
K{a^) eine nichttriviale 17-Folge monoton abnehmender F^ (nichttrivial, d. h.<br />
ohne dass die Glieder der Folge schliesslich iibereinstimmen).<br />
Indem man / als Baireschen Nullraum deutet, hat man einen sep[arablen]<br />
vollstdndigen Raum, wo eine solche FQ--Folge existiert,<br />
Meine vorgestrige Hypothese H ist also widerlegt.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Am Rand hat HAUSDORFF hier mit Rotstift das Wort „falsch" notiert; s. den<br />
Kommentar weiter unten.<br />
[2] Die Hurewiczsche Frage ist formuliert in [Hu 1928], S. 98.<br />
[3] H ist die Machtigkeit des Kontinuums.<br />
[4] Die finale Rangordnung ist folgendermafien definiert: Sind a, (3 Folgen<br />
natiirlicher Zahlen, so bedeutet a < (3 ^ dafi /? die Folge a schlieBlich dominiert,<br />
d. h. es ist a{n) < (3{n) ab einer Stelle no.<br />
Kommentare<br />
Trennbarkeit: Fasz. 426<br />
Fasz. 426 wurde im Nachgang zu [Lu 1930a] und [No 1931] geschrieben, wo die<br />
Technik der Siebe eingefiihrt wurde, die sich als sehr erfolgreich bei der Entwicklung<br />
der Theorie der Borel-, Suslin- und co-Suslinmengen einschlieBlich der<br />
Trennbarkeitsproblematik herausstelite. Die hauptsachlichen klassischen Resultate<br />
in dieser Richtung sind die folgenden:<br />
1. Trennungssatz fiir Suslimnengen: Sind X, Y disjunkte Suslinmengen (in einem<br />
gegebenen polnischen Raum), dann gibt es eine Borelmenge B, so<br />
dafi X C 5 und F n 5 - 0.<br />
703
2. Trennungssatz fiir Suslimnengen: Sind X, Y Suslinmengen, dann gibt es<br />
disjunkte co-Suslinmengen X' und Y', so dafi X\Y C X' und Y\X C<br />
Reduktionssatz fur co-Suslinmengen: Sind X, X' co-Suslinmengen, dann gibt<br />
es disjunkte co-Suslinmengen y C X, F' C X', so dafi XUX' = Fuy'.<br />
Untrennbarkeit: In jedem iiberabzahlbaren polnischen Raum gibt es ein Paar<br />
disjunkter co-Suslinmengen X, Y, die Borel-untrennbar sind im dem Sinne,<br />
dafi es keine Borelmenge Z gibt, so dafi X C Z, aber Y il Z = (i.<br />
Der erste Trennungssatz fiir Suslinmengen wurde in [Lu 1927] explizit formuliert<br />
und bewiesen. Er ist jedoch ein unmittelbares KoroUar der allerersten Satze<br />
liber Suslinmengen, z. B. des Satzes iiber die Index-Restriktion (s. Anmerkung<br />
[97] zu Mengenlehre). Der Beweis des 2. Trennungssatzes (Satz II in Fasz. 426)<br />
ist auf Satz I gegriindet (erstmals publiziert in [Lu 1930a] und [No 1931]) und<br />
beruht auf Sieben als Darstellungsmethode fiir Suslinmengen.<br />
Dem Satz I selbst kann man in der Sprache der Indizes eine etwas bequemere<br />
Form geben. Seien {F{r)} und {F'{r)} zwei (Borelsche) Siebe (von Teilmengen<br />
F(r), F'(r) eines gegebenen polnischen Raumes E). Wir definieren fiir<br />
jedes X e E R{x) = {r G Q : x G F{r)} und analog R\x). Sei indx = ^,<br />
wenn R{x) zur Ordinalzahl ^ (^ < a;i) ahnlich (ordnungsisomorph) ist, und<br />
indx = oo, wenn R{x) nicht wohlgeordnet ist (mit der Mafigabe, dafi ^ < oo<br />
fiir jede Ordinalzahl ^). Analog wird unter Benutzung von R'{x) ind'x definiert.<br />
Indexvergleich: Es ist in diesem Fall {x : indx < ind'x} eine Suslinmenge. ^<br />
Dieses Resultat (welches in der russischen Tradition NoviKOFF zugeschrieben<br />
wird) folgt leicht aus Satz I von Fasz. 426, weil genau dann indx < ind' x<br />
gilt, wenn entweder R{x) einer Teilmenge von R'{x) ahnlich ist oder wenn<br />
R{x) nicht wohlgeordnet ist.<br />
Der Reduktionssatz (bewiesen von KURATOW^SKI, s.u. den Kommentar zu<br />
Fasz. 608) impliziert unmittelbar sowohl den erst en als auch den zweiten Trennungssatz,<br />
indem man die Komplemente nimmt. Um beispielsweise den ersten<br />
Trennungssatz zu beweisen, seien X, Y disjunkte Suslinmengen in einem<br />
polnischen Raum E. Nach dem Reduktionssatz existieren disjunkte co-<br />
Suslinmengen A C X^ und B C y^ mit A\J B = X^ \JY^ = E\ also sind<br />
nach dem SuSLlNschen Theorem A und B in Wirklichkeit Borelmengen. Es<br />
ist jedoch X C J5, wahrend Y f^B = ^ ist.<br />
^ In modernen Biichern liber deskriptive Mengenlehre heiBen Abbildungen wie ind Normen<br />
oder Range. Zum Beispiel heifit eine Abbildung (^ : X —» Ord ein ll^-Rang auf X,<br />
wenn binare Relationen P(x,y) bzw. Q(x,y) der Klassen IlJ bzw. E} existieren, so dafi<br />
gilt X
Das Untrennbarkeitsresultat (Satze III und IV in Fasz. 426, die urspriinglich<br />
auf NoviKOFF und LusiN ([No 1931], [Lu 1930a]) zuriickgehen) benutzt CAN<br />
TORS Diagonalargument. Die grundlegende Tatsache, noch implizit in Fasz. 426,<br />
besteht darin, dafi Reduktion und Trennbarkeit (in jeder der beiden Formen)<br />
nicht beides fiir ein und dieselbe einigermafien "gute" Mengenklasse zutreffen<br />
kann.^^ Das gilt z.B.fiir die Klasse der Suslinmengen wie auch fiir die Klasse<br />
der co-Suslinmengen. Man argumentiert hier beidemale in derselben Weise<br />
wie im Beweis von Satz III, namlich mit einem doppelt-universellen Paar. Genauer<br />
folgt, daB die beiden Trennungssatze fiir co-Suslinmengen nicht gelten,<br />
wahrend der Reduktionssatz fiir Suslinmengen nicht gilt. Man sieht also, daB<br />
diese beiden Mengenklassen ziemlich gegensatzliche Eigenschaften haben.<br />
SchlieBlich wollen wir noch einige Bemerkungen zu Satz V und zum Uniformisierungsproblem<br />
machen. In der Standardterminologie (s. dazu Anmerkung<br />
[106] zu Mengenlehre) behauptet Satz V ([Lu 1930a], [No 1931]) folgendes:<br />
Seien X, Y iiberabzahlbare polnische Raume, dann existiert eine Borelmenge<br />
P C X X Y mit prP = X, welche nicht durch eine Borelmenge und nicht<br />
einmal durch eine Suslinmenge uniformisiert werden kann.^^ 1st X = Y = \^<br />
der Bairesche Raum, so gibt es sogar eine abgeschlossene Menge P mit dieser<br />
Eigenschaft.<br />
Im allgemeinen ist die Existenz einer uniformisierenden Menge eine triviale<br />
Konsequenz aus dem Auswahlaxiom, aber die Prage wird sehr viel komplizierter,<br />
wenn eine „effektive" Auswahl verlangt wird (vorausgesetzt, die gegebene<br />
Menge ist auch „efFektiv" definiert). Das Problem der „effektiven" Auswahl,<br />
auch Uniformisierungsproblem genannt, wurde in der deskriptiven Mengenlehre<br />
von LusiN ([Lu 1930c]) formuliert. Es hat HAUSDORFFS Aufmerksamkeit kaum<br />
angezogen, weder in seinen Veroffentlichungen noch im NachlaB. Insbesondere<br />
hat HAUSDORFF den folgenden Uniformisierungssatz nie diskutiert, obwohl dieser<br />
einer der wichtigsten und schwierigsten Satze der klassischen deskriptiven<br />
Mengenlehre ist:<br />
Uniformisierung fiir co-Suslinmengen: Jedeco-Suslinmenge P C XxY {X,Y<br />
polnische Raume) kann durch eine co-Suslinmenge uniformisiert werden.<br />
(KONDO ([Kn 1938]), auf der Grundlage einer Methode der "effektiven"<br />
Auswahl eines Punktes in einer nichtleeren co-Suslinmenge, eingefiihrt<br />
von LusiN und NoviKOFF in [LN 1935]).<br />
Nach Satz V in Fasz. 426 versagt die Uniformisierung fiir die Klasse der Borelmengen<br />
(mit bemerkenswerten Ausnahmen, namlich den Borelmengen mit<br />
abzahlbaren Schnitten (s. Anmerkung [150] zu Mengenlehre) und einigen anderen<br />
Typen von Borelmengen mit speziellen Schnitten (s. [Ke 1995])). Sie ver-<br />
^*^Eine Mengenklasse wird hier als „gut" charakterisiert, wenn sie abgeschlossen ist unter<br />
Borelschen Operationen und stetigen Urbildern, so daB das Cantorsche Diagonalverfahren<br />
angewandt werden kann.<br />
^^In der Tat sind Graphen von totalen Baireschen Funktionen, uniforme Borelmengen mit<br />
totalen Projektionen und uniforme Suslinmengen mit totalen Projektionen ein und dasselbe;<br />
s. Anmerkung [132] zu Mengenlehre.<br />
705
sagt auch fiir die Klasse der Suslinmengen. Andererseits kann jede Suslinmenge<br />
durch eine Menge uniformisiert werden, welche eine Borelsche Kombination von<br />
Suslin- und co-Suslinmengen ist ([Lu 1930a], [Ja 1941]).<br />
Reduktion: Fasz. 608, Teil 2<br />
Der Beweis des Reduktionssatzes fiir co-Suslinmengen geht auf KURATOWSKI<br />
zuriick (die erste publizierte Note dazu war [Ku 1936]). KURATOWSKI zeigte<br />
die Reduktionseigenschaft fiir die Klasse 11} aller co-Suslinmengen und die<br />
Klasse Yl^ von deren Projektionen, sogar in der etwas komplizierteren Form<br />
der multiplen Reduktion (fiir abzahlbare Mengenfamilien). HAUSDORFF analysierte<br />
KuRATOWSKis Argumentation im zweiten Teil von Fasz. 608 (Satz C).<br />
Fiir den speziellen Fall von nur zwei co-Suslinmengen in einem polnischen<br />
Raum E ist die Uberlegung folgende: Seien X, X^ C E aufiere Mengen der<br />
Borel-Siebe {F{r)} und {F'{r)}. Wir definieren indx und ind'x wie oben,<br />
so dafi X = {x : indx < oo} und X' = {x : ind' < oc}. Die Siebe konnen<br />
so transformiert werden, dafi fiir kein x die Beziehung indx = ind'x ^ oc<br />
gilt. (Zum Beispiel nehme man zunachst F{r) = F'{r) — 0 fiir jede rationale<br />
Zahl r > 0 und setze dann F(2) = E mid F'{2 - ^) ^ E fiir alle n.<br />
Dann enthalt R{x) stets ein maximales Element, wahrend R'{x) niemals ein<br />
maximales Element enthalt.) Dann liefert das Mengenpaar<br />
Y = {x eX I indrr < ind' x} und Y' = {x e X' \ Ind! x < indx}<br />
(y, Y' CO-Suslinmengen nach dem Satz liber den Indexvergleich) die Reduktion<br />
fiir das Mengenpaar X, X\<br />
Es ist bemerkenswert, dafi HAUSDORFF die Idee der Reduktion spatestens<br />
1934 hatte, lange vor [Ku 1936]. Dies zeigt folgende Passage aus Fasz. 529^^:<br />
Im (zunachst beliebigen) Raum E sei Tl ein Borelsches System.<br />
Zwei Mengen A, B heissen 9Jt-trennbar, wenn sie sich in Mengen<br />
P, Q 8 -371 mit PQ — AB einschliessen lassen:<br />
A^P. B£Q, AB = PQ.<br />
{P, Q, R sollen Mengen aus 9Jl bedeuten).<br />
Das hier diskutierte Prinzip der 9Jl-Trennbarkeit ist aquivalent mit dem Reduktionsprinzip<br />
fiir die Komplemente der betrachteten Mengen. In der Tat,<br />
wenn ^CP, 5CQundAn5 = PnQ, dann gilt P^ C A^, Q^ C B^ und<br />
P^ U Q^ = A^ U J5^. Aber dies bedeutet gerade, dafi die Mengen A^ und B^<br />
durch die Mengen P^ und Q^ (die wie P, Q zu 9Jl gehoren) reduziert werden,<br />
und das ist das Reduktionsprinzip fiir Ar ^ B^.<br />
Satz D in Fasz. 608 beweist das Reduktionsprinzip (in Form der multiplen Reduktion)<br />
fiir die projektive Klasse P2 (oder Yt\ i^ moderner Notation). KuRA-<br />
TOWSKls Beweis beruht auf der Minimalindex-Methode, die NoviKOFF friiher<br />
12 Faszikel 529, datiert vom 12. 12.1934, ist in [H 1969], Band 1, S. 100-101 im Faksimile<br />
abgedruckt. Die zitierte Passage steht auf Bl. 1.<br />
706
in [No 1935] eingefiihrt hatte, um den ersten und zweiten Trennungssatz flir die<br />
komplementare Klasse C2 = 112 ^JU beweisen. Die Beweisidee ist folgende: Seien<br />
X, X^ zwei S2-Mengen in einem polnischen Raum E. Dann existieren per<br />
definitionem n^-Mengen P, P' C. E x E, deren Projektionen auf das "linke"<br />
Exemplar von E die Mengen X, X' sind. Seien ind (x, y) und ind' (x, y) die<br />
wie oben definierten Indizes auf E x E^ so dafi P = {{x,y) : ±iid{x,y) < 00}<br />
und analog fiir P^ Seien fiir jedes x ^ E,<br />
m ind x — min ind (x, y) und m ind' x = min ind' (x, y),<br />
yeE yeE<br />
SO dafi X = {x : mindx < CXD} und dasselbe mit mind'x fiir X\ Unter Annahmen<br />
wie (*) oder (**) in Fasz. 608 reduzieren die Mengen<br />
Y = {x e X : mindx < mind'x} , Y' = {x e X' : mind'x < mindx}<br />
das gegebene Paar X, X\ Der Beweis, dafi die Ungleichung mindx < mind'x<br />
eine 5]2"^^^S^ definiert, wirkt im Fasz. 608 ziemlich schwerfallig, wird jedoch<br />
viel einfacher durch die moderne Methode der "syntaktischen" Transformationen.<br />
Indizes und Konstituenten: Fasz. 674 und 718<br />
Der letzte Teil von Fasz. 426 enthalt einen etwas anderen Beweis des zweiten<br />
Trennungssatzes. Dort wird auch die Theorie der Indizes und Konstituenten<br />
fiir Siebe prasentiert. Fasz. 674 enthalt eine etwas griindlichere Darstellung.<br />
Ist R ein Borelsieb und x ein beliebiger Punkt, dann definiert man eine abnehmende<br />
Folge von Mengen R^{x) induktiv folgendermafien: Ro{x) = R{x);<br />
R^^i{x) entsteht aus R^{x) durch Weglassen des letzten Elements von R^{x)<br />
(i?^+i(x) = R^{x), falls R^{x) kein letztes Element hat); fiir eine Limeszahl<br />
rj ist Rr^{x) = n^
der Konstituenten A^ und B^ ist ziemlich schwierig; s. dazu [Kl 1937] und<br />
[Mi 1983]. Fiir die via A-Operation definierten Konstituenten stellt sich diese<br />
Bestimmung als einfacher heraus (s. [Lu 1933], wo LusiN auf unpublizierte<br />
Studien von SiERPiNSKi verweist).<br />
In Fasz. 718 gibt HAUSDORFF eine elegante allgemeine Konstruktion von<br />
Indizes und Konstituenten, welche als Spezialfalle sowohl die A-Operation als<br />
auch Siebe enthalt. BU. 1-4, die hier nicht abgedruckt sind, enthalten ein weniger<br />
allgemeines Konzept nait einer Nachfolgerrelation, welches in der Erweiterung<br />
eines endlichen Komplexes durch einen zusatzlichen Term besteht.<br />
H AUSDORFFs allgemeinere Konstruktion auf den folgenden Blattern kann folgendernaafien<br />
beschrieben werden: Gegeben sei eine abzahlbare Menge R mit<br />
irgendeiner binaren Relation -< auf R als Nachfolger-Relation {r -< s wird<br />
gelesen als „ s ist Nachfolger von r "). Man kann dann die Ableitung W jeder<br />
Menge W ^ R dls die Menge aller r ^W definieren, die einen Nachfolger in<br />
R haben.^'^ Dies fiihrt zu einer abnehmenden Folge {W^}^
sind, alle Konstituenten A^, B^, X^ (wie auch einige andere involvierte Mengen<br />
wie F^(r), 5^, T^) Borelsch sind, wahrend A eine Suslinmenge, B eine<br />
co-Suslinmenge ist.<br />
Fasz. 559<br />
SELIVANOVSKI ([Se 1933]) bewies fiir Siebe und SiERPiNSKi ([Si 1933]) fiir die<br />
A-Operation, dafi die transfiniten Folgen der Konstituenten hinsichtlich Kategorie<br />
und Mafi additiv sind. Insbesondere existiert stets ein "Schwanz" der<br />
Folge, in dem die Vereinigung aller Mengen mager (d. h. von 1. Kategorie) ist<br />
und das Mafi Null hat. Das Ziel dieser Note HAUSDORFFS ist es zu zeigen, dafi<br />
die Result ate fiir eine sehr allgemeine Konstruktion von Konstituenten, welche<br />
sowohl Siebe als auch die A-Operation einschliefit, richtig bleiben.<br />
HAUSDORFF nimmt an, dafi fiir jede Teilmenge B einer gegebenen Menge Y<br />
(stillschweigend als abzahlbar angenommen; Y entspricht dem R in Fasz. 718)<br />
eine Teilmenge B^p C B definiert ist, welche man als eine Art von Ableitung von<br />
B betrachten kann. Dies fiihrt zu einer absteigenden Folge {5^}| 0 ausdehnen? Im<br />
Prinzip geniigt es zu verlangen, dafi Y abzahlbar ist und dafi die Ableitungsabbildung<br />
B \-^ B^ (als Abbildung 2^ ^ 2^) Borel-mefibar ist. HAUSDORFF<br />
schlagt eine speziellere Losung vor: Sei B^p = {y E B : B d N{y) 7^ 0}, wobei<br />
N{y) C Y fiir alle y e Y. Dies ist in der Tat im Grunde dasselbe wie in<br />
Fasz. 718, wenn wir N{y) mit der Menge aller Nachfolger von y identifizieren.<br />
Ist insbesondere Y" = Q und N{y) = {q E Q : q < y} fiir alle y ^ Q, dann<br />
haben wir den Fall der Siebe. Fiir Y = N^"^ und N{y) = {y^n : n G N} (Menge<br />
aller unmittelbaren Nachfolger einer endlichen Sequenz y e\i^^^) hat man<br />
den Fall der A-Operation.<br />
709
Fasz. 261<br />
Dieser Faszikel, datiert September 1926, enthalt die Beweise von zwei der wichtigsten<br />
Satze in HUREWICZ' Arbeit [Hu 1928]. Die Beweise beruhen auf der<br />
gleichen Idee und verwenden die gleiche Technik wie bei HuREWiCZ, sind aber<br />
etwas anders aufgebaut. Man kann also annehmen, dafi HAUSDORFF schon 1926<br />
eine Abschrift von HuREWiCZ' Manuskript oder anderes relevantes Material<br />
von HuREWiCZ zur Verfiigung hatte.<br />
Satz I behauptet, da6 jeder in sich magere metrische Raum kein Fn ist, d. h.<br />
er ist (in moderner Terminologie; s. Anna. [68] zu Mengenlehre) nicht vollstandig<br />
Bairesch. Der Grund dafiir ist denkbar elementar: soldi ein Raum enthalt notwendigerweise<br />
eine abzahlbare perfekte Teilmenge (welche natiirlich mager in<br />
sich ist). Satz II ist noch bemerkenswerter: Jede separable co-Suslinmenge (in<br />
einem nicht notwendig voUstandigen und nicht notwendig separablen metrischen<br />
Raum), welche kein Gs ist, enthalt eine abzahlbare perfekte Teilmenge<br />
und ist folglich kein Fn- Fiir co-Suslinmengen in polnischen Raumen heifit das,<br />
dafi die Eigenschaften vollstandig metrisierbar zu sein, Gs zu sein und Fn zu<br />
sein ein und dasselbe bedeuten.<br />
Fasz. 281<br />
Der Index D bezeichnet den Durchschnitt einer absteigenden, der Index S die<br />
Vereinigung einer aufsteigenden a;i-Folge von Mengen. Somit ist Gss die Klasse<br />
aller Vereinigungen U^
Eine fallende c^i-Folge von Mengen X^ nennt HAUSDORFF kanonisch, wenn<br />
fiir jede Borelmenge S mit n^
ist aber X C C, well Q abgeschlossen in A ist. Somit haben wir wiederum<br />
einen Widerspruch zur Wahl von C.<br />
Das Problem (i) hat die Aufmerksamkeit der Mengentheoretiker besonders<br />
angezogen (in [KO 1981] sind diesbeziigliche Resultate und Literaturhinweise<br />
zu finden). Wie leicht zu sehen ist, ist eine notwendige Bedingung dafiir, dafi<br />
eine Suslinmenge A ein Fn ist, die folgende: Das co-Suslinsche Komplement C<br />
von A hat die Eigenschaft, da6 jede Borelmenge B C.C durch eine Fo^-Menge<br />
FCC iiberdeckt wird. Man kann diese Eigenschaft auch umformuHeren und<br />
mit der Existenz tiberabzahlbar vieler nichtleerer Konstituenten C^ von C arbeiten,<br />
die in gewisser Weise Fo-trennbar voneinander sind. Dies hat KANOVEI<br />
benutzt, um zu beweisen ([Ka 1985a]), dafi (i) mit (*) aquivalent ist; folghch<br />
ist (i) unentscheidbar. Von einem allgemeineren Standpunkt aus hangt Hu-<br />
REWicz' Problem mit LusiNs Liste von Problemen der "effektiven" Existenz<br />
von iiberabzahlbaren Familien von Borelmengen mit beschranktem Borelrang<br />
zusammen. Zum Beispiel ist das folgende Problem mit (i) aquivalent:<br />
(ii) Existieren eine co-Sushnmenge C = U^
[Ka 1985b] KANOVEI, V.: Undecidable and decidable properties of constituents,<br />
Math. USSR Sbornik, 52 (1985), S. 491-519.<br />
[KO 1981] KANOVEI, V.; OSTROVSKII, A.: On non-Borel Fn sets, Soviet<br />
Math. Dokl., 24 (1981, 2), S. 386-389.<br />
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.<br />
[Kl 1937] KELDYCH, L.: Sur les homes superieures des classes des constituantes<br />
reelles d'un complementaire analytique (Russisch; Franzosische<br />
Zusammenfassung), Bull. Acad. Sci. URSS - Izvestiya, Ser. math., 1<br />
(1937, 2), S. 265-284.<br />
[Kn 1938] KoNDO, M.: Sur Vuniformization des complementaires analytiques<br />
et les ensembles projectifs de la seconde classe, Japan J. Math., 15<br />
(1938), S. 197-230.<br />
[Ku 1936] KuRATOWSKi, C.: Sur les theoremes de separation dans la theorie<br />
des ensembles, Fund. Math., 26 (1936), S. 183 - 191.<br />
[Ku 1937] KuRATOWSKi, C: Les suites transfinies d'ensembles et les ensembles<br />
projectifs. Fund. Math., 28 (1937), S. 186-196.<br />
[Ku 1933/1966] KURATOWSKI, K.: Topology, vol. I, New edition, revised<br />
and augmented, Academic Press, 1966. Erstausgabe: Topologie I, Monografie<br />
Matematyczne, vol. Ill, Warszawa 1933.<br />
[Lb 1905] LEBESGUE, H.: Sur les fonctions representable analytiquement,<br />
Journ. de Math. (Ser. 6), 1 (1905), S. 139-216.<br />
[Lu 1921] LusiN, N.: Sur Vexistence d'un ensemble non-denomrable qui est<br />
de premiere categoric dans tout ensemble parfait. Fund. Math., 2 (1921),<br />
S. 155-157.<br />
[Lu 1927] LusiN, N.: Sur les ensembles analytiques. Fund. Math., 10 (1927),<br />
S. 1- 95.<br />
[Lu 1930a] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,<br />
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.<br />
[Lu 1930b] LusiN, N.: Analogies entre les ensembles mesurables B et les<br />
ensembles analytiques. Fund. Math., 16 (1930), S. 48-76.<br />
[Lu 1930c] LusiN, N.: Sur le probleme de M. J. Hadamard d'uniformisation<br />
des ensembles, Mathematica Cluj, 4 (1930), S. 54-66.<br />
[Lu 1933] LusiN, N.: Sur les classes des constituantes des complementaires<br />
analytiques, Ann. R. Scuola norm, super. Pisa, ser 3, 2 (1933, 3), S. 269-<br />
282.<br />
713
[LN 1935] LusiN, N.; NoviKOFF, P.: Choix effectif d'un point dans un complementaire<br />
analytique arbitraire donne par un crible^ Fund. Math., 25<br />
(1935), S. 559-560.<br />
[LS 1922] LusiN, N.; SIERPINSKI, W. : Sur une decomposition du continu,<br />
C. r. Acad. sci. Paris, 175 (1922), S. 357-359.<br />
[LS 1923] LusiN, N.; SIERPINSKI, W. : Sur un ensemble non mesurable B,<br />
J. de Math., 2 (1923), S. 53-72.<br />
[Mi 1983] MILLER, A.: On the Borel classification of the isomorphism class<br />
of a countable model, Notre Dame J. Form. Log., 24 (1983), S. 22-34.<br />
[No 1931] NoviKOFF, P.: Sur les fonctions implicites mesurables B, Fund.<br />
Math., 17 (1931), S. 8-25.<br />
[No 1935] NoviKOFF, P.: Sur la separabilite des ensembles projectifs de seconde<br />
classe, Fund. Math., 25 (1935), S. 459-466.<br />
[Se 1933] SELIVANOWSKI, E.: Sur les proprietes des constituantes des ensembles<br />
analytiques, Fund. Math., 21 (1933), S. 20-28.<br />
[Si 1933] SIERPINSKI, W. : Sur les constituantes des ensembles analytiques,<br />
Fund. Math., 21 (1933), S. 29-34.<br />
[St 1980] STERN, J.: Effective partitions of the real line into Borel sets of<br />
bounded rank, Ann. Math. Logic, 18 (1980), S. 29-60.<br />
714
6. Varia<br />
Im folgenden sind einige Stiicke aus dem Nachlafi abgedruckt, die sich mit verschiedenen<br />
Gegenstanden der deskriptiven Mengenlehre (auch im Grenzbereich<br />
zur allgemeinen Mengenlehre) befassen und die nicht in die Themenbereiche der<br />
Abschnitte 1.-5. einzuordnen waren. Dazu gehoren Suprema Bairescher Funktionen,<br />
symmetrisch stetige Funktionen und das Studium abzahlbarer Ordnungstypen<br />
als Borelmengen.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 532<br />
[Suslinsche Funktionen]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 3.1.1935. - 4 Bll.^<br />
3.1.35<br />
[Eine] Reelle Funktion f{x) mit [f{x) > c] = Suslinsche Menge [fiir jedes<br />
reelle c heifit eine] S-Funktion. g{x) = SMPyf{x,y) ist eine solche, wenn [1]<br />
X e A, y e B, A und B S-Mengen und f{x,y) Bairesche Funktion beider 12]<br />
Variablen ist. Denn [g > c] ist Projektion von [/ > c].<br />
Lasst sich dies umkehren? [3]<br />
Im besonderen ware, der Suslinschen Mengenkonstruktion entsprechend, an<br />
Funktionen folgender Art zu denken: {ly = (ni, ^2,. •.) Folge natiirlicher Zahlen)<br />
g{x) = SMpf^{x) =SUpinf[/ni(x),/nin2W,-"-],<br />
wobei man librigens fmix) ^ /nin2(^) = '' annehmen und inf durch lim<br />
ersetzen kann. Die Funktionen f^{x) (^ = (ni,..., n/c)) seien oberhalb stetig,<br />
so dass auch fiy{x) als inf oberhalb stetig nach x ist. Uberdies ist fu{x)<br />
nach beiden Variablen i/, x oberhalb stetig (der Raum der u als Bairescher<br />
NuUraum metrisiert). Denn sei {xk, ^k) -^ (^, ^)' Fiir u = (ni, 77,2,...) ist dann<br />
bei hinlanglich grossem k Uk = (ni,... ,n/„n^^i,...), fud^k) ^ fm...nh{^k),<br />
li.mk fvui^k) ^ limA:/ni...n^(xfc)_^/ni...n^(^), da /ni...nj^) oberhalb stctig<br />
ist; da dies fiir jedes h gilt, ist lim/c/^^^(x/c) ^ fu{x), q. e. d. g{x) ist dann<br />
S-Funktion. (Die Variable y ist jetzt z/, B ist der Bairesche Nullraum.) | Bl.2<br />
Nun sei g{x) eine S-Funktion,<br />
^(C) = [g{x) >C] = & FnAc)Fn,nAc) " = G F,{c) , (l)<br />
^ni(c) ^ Fn^ri'2[^c) 2 • • • abgcschlosscn. Wenn es gelange, fiir jeden Komplex<br />
^ = (ni,..., n^) eine Funktion /^(x) zu finden mit<br />
[/e^c]=F«(c), (2)<br />
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 115-118.<br />
715
so wiirde f^{x) oberhalb stetig, fm{x) ^ fn^n^i^) ^ ••• und mit fu{x) —<br />
k k<br />
sein, so dann fiir h{x) = sup^ fu{x)<br />
[h>c] = &[f.>c] = (B&[U^c+^<br />
u u n ^<br />
= (5&F,{c+'^) = &^{c+'^) = 6[5>c+-]-[5>c],<br />
h{x) = g{x).<br />
Aber um (2) zu erreichen, miissen die F^{c) erst umgeformt werden, d.h.<br />
durch solche Mengen Fi{c) ersetzt, die wieder<br />
$'(c) = 6 K, (c)K,„, {c)--- = (3 Flic) = $(c)<br />
ergeben und die fiir [/^ > c] = F'Ac) notwendigen Monotoniebedingungen<br />
erfiillen. Z.B. fiir c\ < C2 FUci) 2 F^(c2). Betrachten wir zunachst die ra-<br />
Bl.3 tionalen Werte | und bringen die rationalen Zahlen in eine Folge ri,r2,... .<br />
Setzen wir<br />
Flirj)= 6 F^in),<br />
so ist fiir j < k, rj> Vk<br />
F'^{ru)= 6 F^{n)2 6 F^{n) = F'^{r,)-<br />
zugleich folgt, indem man i/ = (ni,..., n/c,...), ^ — (ni,..., n^) setzt und<br />
den Limes nach k nimmt (in der Summe rechts stehen endlich viele Glieder)<br />
Flivj) = 6 F^in),<br />
Man kann also die F^ durch die F'^ ersetzen, d. h.<br />
{a) fiir i Vj F^in) g F^{rj)<br />
annehmen. Fiir r ^ s (r, s rational) ist also bei gegebenem r (= r^) und alle<br />
bis auf endlich viele Werte s F^{r) ^ F^{s) (namlich fiir alle s = TJ mit<br />
j > i, nicht aber sicher fiir j < i).<br />
716<br />
Z^J
Wie aber weiter? Wollte man entsprechend | Bl. 4<br />
setzen, so hat man zwar wieder<br />
aber nunmehr bloss<br />
Kirj) = X> F.in)<br />
2^J<br />
Es scheint also, dass man auf diesem Wege nicht F^{r) £ F^{s) fiir r > s<br />
ausnahmslos erreichen kann.<br />
Anmerkungen<br />
[1] S-Punktionen scheinen keine prazise Charakterisierung mittels MeBbarkeitseigenschaften<br />
zuzulassen, selbst dann nicht, wenn der Definitionsbereich ein<br />
ganzer polnischer Raum ist (anstatt einer Sushnschen Teilmenge eines solchen<br />
Raumes). Die Urbilder offener Intervalle der Form (c, oo) sind namhch Sushnmengen,<br />
wahrend die Urbilder von Intervallen (—oo, c) co-Suslinmengen sind.<br />
[2] S-Mengen sind Suslinmengen. Die Punktion g{x) = swpy f{x,y) wird in<br />
Mengenlehre, S. 274 betrachtet; dort wird explizit angenommen, dafi die Punktion<br />
g{x^ y) fiir jedes feste x als reelle Punktion von y nach oben beschrankt ist,<br />
[3] HAUSDORFFS (nicht ganz erfolgreicher) Versuch, das Problem zu losen, bezieht<br />
nur ziemlich spezielle Bairesche Punktionen / ein. Die Prage kann mittels<br />
einer anderen Pamilie von Baireschen Punktionen positiv beantwortet werden;<br />
s. den Kommentar am Ende des Abschnitts.<br />
NL HAUSDORPP : Kapsel 40 : Fasz. 602<br />
[Die Menge der Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch<br />
stetigen Funktion]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 9.11.1936 und 10.4.1937. - 8 Bll.^<br />
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 120-127. Er besteht<br />
aus zwei Teilen. Hier abgedruckt ist der erste Teil vom 9.11.1936 (Bll. 1-4). Der zweite Teil<br />
enthalt einen etwas anderen Beweis desselben Satzes, der auf FRIED zuriickgeht. HAUSDORFF<br />
beginnt diesen Teil mit dem Satz: „Der folgende, etwgis andere Beweis stammt von H. Pried<br />
(dessen Ms. mir die Redaktion der Fund [amenta Mathematicae] zur Durchsicht geschickt<br />
hat)." FRIEDS Arbeit erschien in Fundamenta Mathematicae ([Fr 1937]).<br />
717
f{x) sei reelle Funktion der reellen Variablen x und bis auf eine<br />
Menge 1. Kategorie S symmetrisch stetig, d.h. in T = E — S {E<br />
Menge der reellen Zahlen) ist<br />
l±m[f{x -\-h)-f{x-h)]=0, xeT.<br />
h—>0<br />
Dann ist die Menge D der Unstetigkeitspunkte von f{x) von 1.<br />
Kategorie. (/ hochstens punktweise unstetig).<br />
Jedem x eT und e > 0 entspricht ein 5{x^e) > 0 der art, dass<br />
\fix + h)- f{x-h)\ 0, /^o = ^(«, e) gegeben; a und a -\- ho sollen zu T<br />
gehoren. Dann giebt es ein hi (von a, e, ho abhangig) derart, dass mit<br />
a < X < a-\-hi stets \f{x-\-ho) — f{x — ho)\ < 2e ist (gleichviel ob x zu<br />
BL2 T gehort oder nicht). |<br />
Setzen wir hi = m±ii[2ho,6{a-{-ho^e)] und sei a < x < a + /ii. Sei b =<br />
2a— {x — ho) = 2(a + ho) — {x-\-ho); a ist die Mitte von x — ho, b und a-\-ho<br />
die Mitte von 6, x -\- ho.<br />
• • • • •<br />
x—ho a b a-\-ho x-\-ho<br />
b a x—ho a-\-ho x+ho<br />
Nun ist 0 < rr — a < 2/io, \{x — ho) — a| < /lo ^ S{a,e) und<br />
0 < {x -\- ho) — (a + ho) = x — a < hi ^ 6{a -\- ho, s).<br />
also \f{b)-f{x-ho)\
((3) uj{x) sei die Schwankung von f{x); wir zeigen, dass sie in einem Intervall, [2]<br />
wo eine Menge Tn{€) dicht ist, ^ As ist.<br />
Xo<br />
• • • • •<br />
do ai a2 as<br />
Angenommen,| die Stelle XQ mit u){xo) > Ae liege in einem Intervall /, B1.3<br />
wo Tn{e) dicht ist; wir konnen dies Intervall / = (ao^as) so wahlen, dass es<br />
< ^ ist und Xo in letzten Drittel {a2,as) liegt; in (a2,a3) giebt es Punktpaare<br />
Ci < ^2, deren Abstand 2ho = ^2—^1 beliebig klein ist, mit 1/(^2)—/(^i)| > 4^.<br />
Wir wahlen von solchen ho eine Folge hn -^ 0. Verstehen wir unter T — hn die<br />
um hn nach links verschobene Menge T (also Menge der a mit a 4- /in e T),<br />
analog S — hn, so ist 5 + 5]^(5 — /in) noch von erster Kategorie, T 'Yl{T — hn) [3]<br />
n n<br />
iiberall dicht, und es giebt im ersten Drittel (ao, ai) von / einen Punkt a von<br />
T Yli^ ~~ ^n), der also selbst mitsamt alien a -\- hn zu T gehort; nachdem<br />
n<br />
wir a so gewahlt haben, konnen wir /in, das wir wieder mit ho bezeichen,<br />
^ 5{a,e) wahlen; dazu gehort ein Punktpaar ^1, ^2 mit ^^~^^ = /IQ ^ (5(a, e:)<br />
in (a2,a3).<br />
a 6 6<br />
I 1 1 1 — I — I 1<br />
ao ai a2 as<br />
a c ^1^2 b<br />
Wir bezeichen as mit 6; da 02 — a > 6 — a2, liegen ^1, ^2 in der zweiten Halfte<br />
(^^,6) von (a,6). ^ sei | die Mitte von ^1, ^2; /ii ^ /lo eine gemass (a) zu B1.4<br />
a, £, ho gehorige Zahl. Da<br />
a + ^ a + ^ + /iia + ^ + /io a + 6 ^ + ^ ^<br />
a < —-— < ^ ^ —-— < —-— < ci,<br />
2 2 - 2 2 2 "*<br />
giebt es in (^^, 9d:i±hL\ ein c e Tn{e); d.h. a < 2c - ^ < a + /ii, fiir das<br />
Spiegelbild x von ^ bez[iiglich] c (a;i, ^2 die Spiegelbilder von ^1, ^2) gilt [4]<br />
gemass (a)<br />
|/(a;i)-/(x2)|
In G(£:), der Summe der Intervalle, in denem Tn{s) dicht ist, ist also u;{x) ^<br />
4€. G{e) ist offen und dicht; H^^li) — C'o ist Gs und dicht; in Co ist uj{x) =<br />
k<br />
0. Also D C E — Co = Do, wobei Do ein F^ 1. Kategorie ist. Q. e. d.<br />
Anmerkungen<br />
[1] T = ^^Tnis) gilt fiir jedes fest vorgegebene e.<br />
n<br />
[2] uj{x) ^ die Schwankung von f in x, ist folgendermafien definiert:<br />
a;(x)-115/(0-lim/(0;<br />
s. Mengenlehre, S.270 (statt Schwankung sagt HAUSDORFF dort Oscillation).<br />
[3] In der Formel S -{-"^{S — hn) bedeutet + die mengentheoretische Ver-<br />
n<br />
einigung; dementsprechend bedeutet • in T - Yl{T — hn) den Durchschnitt.<br />
n<br />
Bei der Wahl von a benutzt HAUSDORFF die Tatsache, dafi eine abzahlbare<br />
Vereinigung dichter G^-Mengen wiederum ein dichtes Gs ist. HAUSDORFFS<br />
Darstellung leidet ein wenig daran, dafi das n in hn und im weiteren nichts<br />
mit dem n zu tun hat, welches durch Satz ((3) fixiert wird.<br />
[4] Es ist X = 2c — ^ und dementsprechend xi = 2c — ^i, X2 = 2c — ^2 •<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 601<br />
[Fo-Mengen erster Kategorie]<br />
Hs. Ms. -[Bonn], 6.11.1936. - 10 Bll.^<br />
6.11.36<br />
f{x) sei symmetrisch stetig und beschrdnkt, g{x) sei die obere Schranke<br />
(=lim sup m ) .<br />
f^-^^ x-h
In einem hinl[anglich] kleinen Inter vail U = {x—h, x-\-h) und seinem Spiegelbild<br />
U' bez[uglich] a hat man {^ — a = a — ^')<br />
m') > fio - £, sup fia ^ sup m - ^,<br />
fiirh-^O g{x') ^ g{x) — e. Ebenso umgekehrt, also \g{x) — g'{x)\ ^ e. -<br />
Ebenso ist die untere Schranke h{x) und die Schwankung u;{x) — g{x) — h{x)<br />
symmetrisch stetig.<br />
Ich habe gezeigt, dass die Menge D der Unstetigkeitspunkte von f{x) von [1]<br />
1. Kategorie (ein F^j) ist.<br />
Es ist aber nicht moglich, eine beliebige F^ -Menge 1. Kategorie als<br />
D vorzuschreiben {f{x) beschrankt vorausgesetzt).<br />
Z.B. sei T die triadische Cantorsche Menge, bestehend aus den Zahlen in [2]<br />
[0,1], die (wenigstens) eine Entwicklung<br />
2^ ^<br />
mit an = 0,2 (d.h. eine Entwicklung ohne Einsen) zulassen. Es sei<br />
oo<br />
bn m a + 6 V^ ^n + bn<br />
asT, b = 2j:^^eT, c = ^ = ^<br />
3n ' 2 ^^^ 3^<br />
i 1<br />
I die Mitte von a, b. Wenn nun c selbst zu T gehoren und zwar triadisch irra- Bl. 2<br />
tional sein soil, so dass die Ziffern seiner (einzigen) triad[ischen] Entw[icklung]<br />
0,2 sind, so muss a^ + 6n = 0 oder 2, d.h. entweder an = bn = 0 oder<br />
dn = bn = 1 0],<br />
E-T^U= E [uj{x) - 0]. Es giebt ein s derart, dass D{e) = E [oo(x) ^ e] [3]<br />
X X<br />
unabzahlbar ist; die Menge der Verdichtungspunkte dieser Menge ist unabzahlbar,<br />
G D{e) C T, enthalt also einen Punkt ceT, der nicht triadisch rational<br />
ist, und mindestens auf einer Seite von c eine nach c konvergente Folge, sagen<br />
wir an < c, an -^ c] mit uj{an) ^ e. Die Punkte bn = 2c — an gehoren dann<br />
nicht zu T; Lj{bn) = 0] wegen der symm[etrischen] Stetigkeit von uj{x) mlisste<br />
aber uj{bn) — OLj{cin) -^ 0 streben.<br />
(Die Voraussetzung: f{x) beschrankt, ist wohl entbehrlich). | Bl.3<br />
721
Ein triadisch rationales c kann Mitte von a,b e T sein, aber es giebt nur<br />
endlich viele solche Paare a, 6; diese sind auch triadisch rational. 1st in der Tat<br />
'^=l+---+5^ = l+---+^ + E|r (-->0; c„. = i,2),<br />
n>m<br />
SO erhalt man aus c = Y] — entweder<br />
(ex) ai -\- bi = ci,..., am -i- bm = Cm, an = bn = 0 fiir n> m<br />
oder<br />
((3) ai-{-bi = ci,... ,am-i + 6^-1 = Cm-i, am + bm = Cm-1, an = bn = 1<br />
fiir n > m.<br />
Das giebt endlich viele Paare a, 6. (Ein Paar a, 6, das (a) erfiillt, liefert ein<br />
Paar a — -^ , b -\- -^ oder a + 3^ , 6 — 3^, das ((3) erfiillt, vielleicht auch<br />
beide.) Jedenfalls ist auch in diesem Fall c nicht Mitte zweier Punkte a, b mit<br />
hinreichend kleinem |6 — a|, so dass man in der obigen Uberlegung c als beliebigen<br />
(nicht notw[endig] triadisch irrationalen) Verdichtungs- oder sogar nur<br />
Haufungspunkt von E [(^(x) ^ e] annehmen kann und denselben Widerspruch<br />
X<br />
erhalt.<br />
Es kann auch nicht T = E [a], U = E - T =^ E [ 0). Es ware dann eine der Mengen D{P) = E [-^{x) > 0] fiir 0 > a<br />
X<br />
unabzahlbar und man wiirde wie oben eine Folge a^ e D{l3), bn = 2c — an sU<br />
B1.4 finden; uj{an) ^ /?, (^{bn) ^ o; im Widerspruch zu ij{bn) — ^{dn) ^"0.1<br />
Wenn allgemein T eine unabzahlbare Menge To enthalt, deren Punkte c<br />
nicht Mittelpunkte von Paaren a, 6 (^ c) aus T sind (wenigstens nicht fiir<br />
beliebig kleines 6 — a), so kann T nicht = E [ a] sein. Denn andern-<br />
X<br />
falls ware eine der Mengen To-D(/3), (3 > a, unabzahlbar; es sei c ein zu ihr<br />
gehoriger Verdichtungspunkt, und man hatte wieder an —^ c, bn = 2c —an mit<br />
uj{an) ^ P, uj(bn) ^ a.<br />
c heisse ein symmetrischer Verdichtungspunkt von T, wenn in jeder Umgebung<br />
von c unabz[ahlbar] viele Punktpaare a < c < b, c = ^^, a,b e T<br />
vorhanden sind.<br />
Soil T = D fiir eine symm[etrisch] stetige Funktion sein und T unabzahlbar,<br />
so muss jede unabzahlbare Teilmenge To von T unabzahlbar viele symmetrische<br />
Verdichtungspunkte von T enthalten. - Denn eine der Mengen ToD{a)<br />
ist unabzahlbar; jeder Verdichtungspunkt c von und in dieser Menge ist symmetrischer<br />
Verd[ichtungs]p[unkt] von D{^) CT. - Ktirzer:<br />
[4] alle Punkte von T bis auf hdchst[ens] abzdhlbar viele sind symmetr[ische]<br />
Verd[ichtungs]p[unkte] von T.<br />
Eine solche Menge T kann man folgendermassen bilden. Es sei P die Menge<br />
der Punkte<br />
v^ an<br />
722
die eine pentadische Entwicklung mit lauter Ziffern an = 0, 2, 4 (also ohne | B1.5<br />
Einsen und Dreien) zulassen, und T
erflillt bis auf die, ein FQ- ZU sein, habe ich gefunden (Menge der a = Xl f^<br />
mit an = 0, 2, 4 und unendlich vielen an = 2).<br />
Es sei g eine ungerade Basis > 3, P{g) die Menge der Zahlen a = J2^<br />
mit ttn = 0, 2,..., ^f — 1; P{g) perfekt und nirgendsdicht; R{g) die Menge der<br />
a 8 P{g), fiir die schliesslich an = 0 oder g — I. AUe Zahlen von P{g) — R{g)<br />
sind symmetrische Verdichtungspunkte dieser Menge, also erst recht von P{g).<br />
Denn 2cn = an-\-bn {c= ^^ ; a, b, ce P{g)) ist, wenn unendlich oft Cn — 2k<br />
(2^2A:^^-2),z.B. durch<br />
an = 2k-2 2k 2k-\-2<br />
bn = 2k+ 2 2k 2k-2<br />
(und vielleicht noch andere Werte) zu erfiillen; das giebt 2^° Wertpaare a, b<br />
und zwar in beliebiger Nahe von c, da man fiir beliebig viele Anfangsindizes<br />
n < N an = bn = Cn setzen kann; iiberdies kann man auch unendlich oft<br />
O'n = bn = 2k und unendlich oft an = 2k ±2^ bn = 2k^2 setzen, so dass a, b<br />
Bl. 8 zu P{g) — R{g) I gehoren. Sei sodann<br />
und<br />
T = Y, Pia) = ^(3) + P(5) + P(7) + • • •<br />
9<br />
9<br />
alle Punkte von T — R sind symmetrische Verdichtungspunkte von T, denn<br />
wenn x e T — R, x e R{g), x e P{g) — R{g), so ist x symmetrischer Verdichtungspunkt<br />
von P{g)
u. s. w., so erkennt man, dass x jeder der Mengen R{g), R{g^), \ -R(5^), Bl.9<br />
R{g^), •. • angehort, namlich<br />
x = {g-l) + «^(^ + ^)+«3(^ + ^ + i + ^) +<br />
x = a i ^ + (g2-l)<br />
-^li + ^ + --- + ^ + ^l +<br />
— +"3(:;6+78+"4-io+-n ^10 ^ pl2<br />
9^ 9^<br />
+ ^ 7II gl4 + ^ gl Tl6l+'<br />
X = «ig'(g-i) + Mg^-i) + (^4 _ 1) Q!3<br />
^12 ^ ^16 7<br />
die Koeffizienten der ^^-Entwicklung (/c = 1, 2,4,8,...) von x sind schliesslich<br />
0 oder g^ - 1\ x e R{g)R{g^)R{g^) • • • . Diese Menge ist aber hier von der<br />
Machtigkeit des Kontinuums. (Es ist noch zu beachten, dass z.B. bei der Entwicklung<br />
nach g^ die Zusammenziehung der drei ersten Glieder ein died ^<br />
mit geradem z und 0^z
liefert eine ^f^-adische Entwicklung mit lauter Ziffern 0 oder g^ — 1. Denn wird<br />
n\ — kl (fur n > k) gesetzt, so ist<br />
^n —^^^ - O^n ^-^^ = an(^ " 1)<br />
g2n[ ^^ gk-2l gk(l+l) ~^ ^ gk-2l<br />
ein St lick einer solchen Entwicklung, und zwei solche Stiicke tiberdecken sich<br />
nicht; denn dieses Stiick hat in den Nennern Potenzen von n\-\-k bis 2n!, das<br />
nachste von (n+l)!4-A: bis 2(n-|-l)!; offenbar ist 2n! < (n + l)! + /c. Auch das<br />
erste died mit der Nennerpotenz 2k\ und das erste jener Stiicke, mit Potenzen<br />
von {k -\- 1)\ -\- k an, greifen nicht libereinander, da 2A:! < {k -\- 1)\ -\- k. Also<br />
xeR{g^) fur /c = 1,2,3,...<br />
Ubrigens konnten, auch wenn R = Yl^id) unabzahlbar ist, seine Punkte<br />
9<br />
symm[etrische] Verdichtungspunkte von T = ^P{g) (wenn schon nicht von<br />
einem einzelnen Summanden) sein.<br />
Anmerkungen<br />
[1] HAUSDORFF bezieht sich hier auf den oben abgedruckten Fasz. 602.<br />
[2] Das Cantorsche triadische Diskontinuum T ist eine abgeschlossene nirgendsdichte<br />
Menge, die aus alien reellen Zahlen aus [0,1] besteht, deren triadische<br />
Entwicklung keine Einsen enthalt. Um zu zeigen, dafi T nicht gleich der<br />
Menge aller Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch stetigen Funktion / sein<br />
kann, beweist HAUSDORFF zunachst folgendes: Wenn a, b mit a < b zu T<br />
gehoren und c = ^^ triadisch irrational ist, dann gehort c nicht zu T. Andererseits<br />
existiert ein triadisch irrationales c ^ T und eine wachsende Folge<br />
{an} —> c von Punkten an G T, so dafi fiir ein gewisses e > 0 uj{an) > s fiir<br />
alle n ist. Dann ist bn = 2c — an ^T fiir jedes n (wegen c = ^^^^"^ ), so dafi<br />
^{bn) =0. Dies fiihrt zum Widerspruch mit der symmetrischen Stetigkeit der<br />
Schwankung LJ .<br />
[3] In diesem Faszikel ist E die Menge IR der reellen Zahlen.<br />
[4] HAUSDORFF behauptet dies unter der Annahme, dafi T die Menge aller<br />
Unstetigkeitspunkte einer symmetrisch stetigen Funktion ist.<br />
[5] Diese Menge T ist eine iiberabzahlbare G5-Menge, deren jeder Punkt<br />
symmetrischer Verdichtungspunkt von T ist. HAUSDORFF bemerkt weiter unten,<br />
dafi T kein Fa ist und folglich nicht die Menge der Unstetigkeitspunkte<br />
einer symmetrisch stetigen Funktion sein kann.<br />
[6] HAUSDORFF zitiert hier den folgenden Satz von CHARZYNSKI ([Ch 1933]):<br />
726<br />
9
Wenn die symmetrische Ableitung<br />
lim<br />
n—>oo<br />
(p{x -\-h) — (p{x — h)<br />
2h<br />
iiberall endlich ist, dann ist die Menge aller Unstetigkeitspunkte von (p eine<br />
zerstreute Menge (auch separierte Menge genannt, s. Mengenlehre, S. 118).<br />
[7] Die Existenz einer solchen Menge T der Klasse Fa folgt aus der Existenz<br />
einer symmetrisch stetigen Funktion mit einer iiberabzahlbaren Menge<br />
von Unstetigkeitspunkten. Dies ist in [Pr 1971] bewiesen; s. den Kommentar<br />
am Ende dieses Abschnitts.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40 : Fasz. 629<br />
Geometrisierung der Ordnungszahlen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 6.4.1937. - 4 BU.^<br />
Geometrisierung der Ordnungszahlen 6/4 37<br />
R= {ri,r2,...} Menge d[er] rat[ionalen] Zahlen in fester Anordnung.<br />
t = (n, '^2, • • •) dyadische Folgen (T Cantorsches Diskontinuum).<br />
R{t) = Menge der r^ mit Tn = 1; t = R{t) Typus von R{t).<br />
E ^Sh] (d.h. R{t) einer Teilmenge von R{ti) ahnlich) ist in (T,r) anatti<br />
lytisch, ebenso E ^ ^h]-<br />
E ^^OL]^ E ^^(y\^ E^ = oi\ analytisch flir jeden endlichen oder abzahl-<br />
baren Typus a. (Der Durchschnitt der ersten beiden Mengen ist nicht gleich der<br />
dritten.) Fiir wohlgeordnetes a (a < f^) ist E ^ — oc], £* [t ^ a] Borelsch.<br />
Fiir welche noch (Kuratowskisches Problem)? [1]<br />
Sei £^ p = a] = [a] gesetzt.<br />
Ist RQ C R^ so ist E [R{t)Ro = 0]. abgeschlossen. Denn wenn<br />
Ro = {ri.rj,... }, so ist E [R{t)Ro = 0] = E [n = TJ = •--= 0].<br />
E [R{t) CRo]= E [R{t){R - Ro) = 0] ist abgeschlossen.<br />
Die durch R{t)Ro = R{s) definierte Funktion s von t ist stetig. Denn<br />
Wn = 1] = [rn = 1] [Vn e Ro] - \ BL 2<br />
E [R{t)Ro = a] = E \s = a] ist bei der Abbildung s = s{t) das Urbild von<br />
[a], also jedenfalls analytisch und bei Borelschem [a] auch Borelsch. Die Menge<br />
£• [t = a + • • • ] (d. h. R{t) hat ein Anfangsstiick vom Typus a) ist analytisch<br />
727
[2] und mit [a] Borelsch. Denn t = a + • • • bedeutet, dass es ein Interval! Rn =<br />
E[r< r„] mit Rit)R„ = a giebt; E^ = a + ---] = "£ E [Rit)R„ = a].<br />
r t ji t<br />
[3] (Vgl. Kuratowski, F. M. 28, p. 171, th. 1.)<br />
Ebenso ist<br />
t t<br />
mit [a] Borelsch (R{t) hat ein Endstiick oder Mittelstlick vom Typus a).<br />
Mit [a] ist [a*] Borelsch.<br />
Mit [a], [/?] ist [a + 0] Borelsch, falls (3 ein erstes oder a ein letztes Element<br />
hat. Denn t = a + (3 heisst: es giebt ein Rn {vn das erste El[ement] von (3)<br />
mit R{t)Rn = a, R{t){R - Rn) = P.<br />
£^ [t = 1 H ] {R{t) hat ein erstes Element) ist Borelsch, sogar ein F^.<br />
t<br />
n k<br />
Ebenso £* [t = • • • + 1] und E ^= h2H ] {R{t) hat benachbarte Ele-<br />
Bl. 3 mente). Die Menge der t, fiir die R{t) dicht ist, | oder kein 1. El[ement] hat,<br />
oder kein letztes hat, ist ein Gg. [rj] ist ein Gs.<br />
[4] Hiernach ist die Vermutung falsch, dass [a] bei zerstreutem a (das keine<br />
Teilmenge von Typus rj enthalt) Borelsch und andernfalls nicht-Borelsch sei.<br />
Wenn A, Menge von Typus a, nur endlich oder abzahlbar viele ahnliche Abbildungen<br />
auf sich hat (andernfalls hat sie 2^°), ist [a] Borelsch (Mitteilung<br />
von Kuratowski *^). Dies ist nicht umkehrbar, denn rj hat gewiss 2^° ahnhche<br />
Abbildungen auf sich (man kann R so ahnlich auf sich abbilden, dass die Menge<br />
der ganzen Zahlen m in eine beliebige Menge am (• • • a_i < ao < ai < • • • ,<br />
a±n -^ ±oo fiir n ^> oo) iibergeht), und doch ist [q] Borelsch.<br />
Auch mit der Zerstreutheit hat diese Anzahl der ahnlichen Abb[ildungen]<br />
nichts zu schaffen. Die Menge (a;* + UJ)UJ ist zerstreut und hat 2^° ahnliche<br />
[5] Abb[ildungen]; die Menge X^a^ (Summe mit dem Erzeuger 77, die a^ lauter<br />
rgi verschiedene ganze Zahlen; eine „gestufte" Menge) enthalt r] als Teiltypus und<br />
B1.4 gestattet nur eine ahnliche Abbildung: die Identitat. |<br />
[Theorie der zerstreuten Typen, vgl. Math. Ann. 65. Hier vielleicht einfacher:<br />
[7]<br />
Die a^ sind die Ordnungszahlen < Q und ihre Inversen; die a'^ {rj > 0) sind<br />
00<br />
die Typen o;^ = X] ^^"^ {^n < V'l ^i^ Summation hat den Erzeuger cj* + LU.<br />
—00<br />
Als Summanden sind auch 0 zugelassen.) Analogon zu den Borelschen Mengen.<br />
Giebt es a^, die keine a^ mit ^ < ?7 sind? Fiir eine beliebige Menge existieren<br />
dann die grossten zerstreuten Stiicke; und sie ist, wenn nicht zerstreut, Summe<br />
zerstreuter Mengen iiber einen dichten Erzeuger (ry, 1 + r/, ?7 + l, l + r/-hl).]<br />
^Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band2, S. 330-333.<br />
*) S. Hartman, Zur Geometrisierung der abzalbaren Ordnungstypen, F. M. 29, S. 209<br />
214.<br />
728
(Aber dies alles hat anscheinend nichts mit der Prage zu tun, ob [a] Borelsch<br />
ist oder nicht.)<br />
Aus [t ^ 77] folgt Yi \t = ^]'-> auch umgekehrt? D.h. wenn eine abzahlbare<br />
Menge wohlgeordnete Teiltypen von beliebiger Grosse enthalt, enthalt sie dann<br />
ry ? Ja (Satz von Kurepa). [8]<br />
Anmerkungen<br />
[1] Das Kuratowskische Problem ist in einer Fufinote auf S. 173 von [Ku 1937]<br />
formuliert.<br />
[2] Das Wort Intervall hat HAUSDORFF mit andersfarbigem Stift unterstrichen;<br />
am Rand steht ein Pragezeichen. Uber das Wort Intervall hat er geschrieben<br />
„Anfangsstuck von R".<br />
[3] Satz 1 in [Ku 1937], S. 171, behauptet, dafi die Menge aller ^ C Q, welche<br />
kein grofites Element haben, Borelsch ist, wahrend einige Relationen wie<br />
t
[1] (2) P{Mi + M2) < /3Mi + PM2 (Ml + M2 bedeutet, dass Mi < M2 ist).<br />
(Das Gleichheitszeichen braucht nicht zu gelten. Sind z.B. Mi, M2 und also<br />
auch Ml + M2 von Typus rj der Menge der rationalen Zahlen, so sind alle drei<br />
/?-Zahlen =^7^^ + ^).<br />
(3) Ist in einer geordnetem Menge E a < ai < a2 < • • • , /3n = /^[a, «n] und<br />
M = 53 [^5ttn], so ist f3M ^ supPn = P-<br />
([a, 6] = E [a ^ X ^b] ist das von a ^h begrenzte abgeschlossene Inter vail.<br />
X<br />
Es sei noch (a, b] = [a, 6] — a, [a, 6) = [a, 6] — 6.)<br />
Beweis. ^4 C M sei wohlgeordnet von Typus a, x e A, Ax der durch<br />
X bestimmte Abschnitt von Typus ax - Da Ax -\- x — A - [a, x] und, wenn<br />
X 8 [a, an], C [a, a^] ist, so ist a^c + 1 ^ /?n ^ /?; OLX < P- Alle Abschnitte von<br />
a sind also < /? und demnach a ^ (3 (fiir a > 0 hatte a einen Abschnitt<br />
BI.2 = /?), demnach /?M ^ /^. |<br />
(4) Ist in der geordnetem Menge E a > ai > a2 > -- • , Pn — Plan,o] und<br />
M = '^[an,a], so ist /3M ^ supPn = P.<br />
Jede wohlgeordnete yl C M ist in einem [anya] enthalten, also sein Typus<br />
a^pnSP-<br />
Satz von G. Kurepa. Wenn die geordnete abzdhlbare Menge E fiir jede Ordnungzahl<br />
a < Q eine Teilmenge von Typus a enthdlt, so enthdlt sie eine<br />
Teilmenge von Typus rj.<br />
[2] (Der Satz steht in einem Ms. La reciproque d'un theoreme de Cantor-Hausdorff,<br />
das mir 11/5 38 zur Begutachtung von O. Blumenthal geschickt wurde.<br />
Der Beweis von K[urepa] ist fehlerhaft und kompliziert.)<br />
Nach Voraussetzung ist PE = ^. Wir nennen zwei Elemente a ^ b von E<br />
konjugiert (a ~ 6), wenn P[a,b] < Qs. Diese reflexive, symmetrische Beziehung<br />
ist transitiv: wenn a ^ b^ 6 ~ c, so ist a ^ c. Wir konnen alle drei Elemente<br />
verschieden und etwa a < c annehmen; ist a < c < 6, [a, c] C [a, b], so folgt<br />
a r^ c aus a ~ 6 nach (1); ist 6 < a < c, so folgt a ^^ c aus b ^ c nach (1);<br />
ist a < 6 < c, so ist [a, c] — [a, b] + [6, c] und a r^ c folgt aus (2).<br />
Demnach lasst sich E in Klassen konjugierter Punkte spalten; E{a) sei die<br />
Klasse der mit a konjugierten Punkte; zwei Klassen, die nicht identisch sind,<br />
Bl. 3 sind disjunkt. |<br />
Jede Klasse ist ein Stiick, d.h. enthalt mit a < c auch jedes Element b mit<br />
a < b < c. Denn a ^ c giebt /5[a,c] < Ct und nach (1) auch P[a^b] < (7,<br />
a ~ 6.<br />
Fiir jede Klasse E{a) gilt pE{a) < Q. Sei E{a) = U -\-a-\-V {U Menge<br />
der X < a, V Menge der a: > a in E{a)). Es geniigt PU < O, PV < O zu<br />
beweisen, dann ist nach (2) auch PE{a) ^ pU-\-1-\-pV < ft. Sei V y^ 0; hat<br />
V ein letztes Element 6, so ist V = (a, b] C [a, b], pV < ft. Andernfalls ist V,<br />
730
well E abzahlbar ist, mit einer cj-Folge ai < a2 < • - • konfinal, V = X^(a, a^]<br />
und PV < Q folgt aus (3). Ebenso hat man zum Beweis von PU < Q, wenn<br />
U kein erstes Element hat und also mit einer a;* -Folge ai > a2 > " • koinitial<br />
ist, (4) heranzuziehen.<br />
Zwei verschiedene Klassen sind niemals benachbart. Wenn zwischen E{a) <<br />
E{h) kein Element von E lage, so ware [a, h] C E{a) + E{b) und nach (2)<br />
P[E{a) + E{h)\ < il, also /?[a, 6] < 1}, a ~ 6 im Widerspruch zur Annahme,<br />
dass E{a), E{b) verschieden sind.<br />
Der Typus der Klassenmenge ist also dicht, denn es kann nicht nur eine<br />
Klasse geben, weil, mit E — E{a), PE < ft ware. Wahlt man aus jeder Klasse<br />
ein Element, so hat die Menge dieser Elemente einen der Typen 77, H-?7, 77+1,<br />
1 + ry + 1, q. e. d.<br />
Anmerkungen<br />
[1] Ml < M2 bedeutet, dafi flir mi G Mi und m2 G M2 stets mi < m2 gilt;<br />
es kann dann die geordnete Summe Mi + M2 gebildet werden.<br />
[2] Es ist nie eine Arbeit von KuREPA unter diesem Titel erschienen; das Result<br />
at wurde erst viel spater in [Kur 1948] publiziert.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 41 : Fasz. 677<br />
Zu meiner Arbeit: Uber zwei Satze von Kantorovitch<br />
und Fichtenholz<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936 - Marz 1938]. - 3 BU.<br />
Zu meiner Arbeit: Uber zwei Satze von Kantorovitch und Fichtenholz (Studia<br />
Math.)^<br />
(1) Wenn A von der Machtigkeit m = m^° ist, so giebt es 2"^ abzahlbar<br />
wesentlich verschiedene Abbildungen / von A in A, d.h. zu endlich<br />
oder abzahlbar vielen verschiedenen fn giebt es immer ein x, wo alle<br />
fn{x) paarweise verschieden sind.<br />
Denn: M sei von der Machtigkeit m; x durchlaufe die hochstens abzahlbaren<br />
Mengen C M, t alle Mengen c M. Die Menge A der x ist von der Machtigkeit<br />
m^° = m, die der t von der Machtigkeit 2"^. Die Abbildungen f{x,t) = xt<br />
(Durchschnitt) von A in A sind abz[ahlbar] wesentlich verschieden; denn zu<br />
abzahlbar vielen verschiedenen tn wahle man aus jeder Menge {ti — tj)-\- {tj —<br />
U) ^ 0 {i ^ j) einen Punkt und x sei die Summe dieser: xU ^ xtj .<br />
Es giebt 2"^ abzahlbar unabhdngige Teilmengen Z von C (|C| = m), d.h.<br />
flir abzahlbar viele verschiedene Zi, Zj ist Yl Zi - Yl{C — Zj) ^ 0.<br />
f{x,t) Abb[ildungen] von A in A {\A\ = m), die abz[ahlbar] unabh[angig]<br />
sind; t durchlaufe eine Menge v[on] d[er] Machtigkeit 2^. B = \ System der B1.2<br />
^HAUSDORFF bezieht sich hier auf seine Arbeit [H 1936a].<br />
731
hochstens abz[ahlbaren] Mengen y C A; C = {A,B); \B\ und |C| == m. Es sei<br />
Zit) = E [/(^. i) e y], C- z{t) = E [/(a^> i) e y].<br />
Sind ti, tj paarweise verschieden (abzahlbar viele), so giebt es ein x derart,<br />
dass f{x,ti) = Xi und /(x,t^) = x'^ paarweise verschieden sind; sei y — {xi}.<br />
Also f{x,ti)ey, f{x,t'j)ey,<br />
(x, y) 8 Z{U), (x, y) 8 Z(t;.), UZiU) • U[C - Z{t'^)] / 0.<br />
(2) Entsprechendes gilt, wenn m = m^^; es giebt dann 2"^ Abb[ildungen]<br />
von A in A^ unter denen je Ki an mindestens einer Stelle lauter verschiedene<br />
Werte haben, und 2"^ Teilmengen Z von C, derart dass fiir<br />
^i verschiedene Z^ und Z'^ immer \{Z^ • n(C - Z;^) / 0.<br />
Da c = 2^°, so kann man (1) auf m = c anwenden. Wenn c = 2^^ sein soUte,<br />
so ware (2) auf m = c anwendbar; es gabe 2^ reelle Punktionen /(x, t) einer<br />
reellen Variablen x {t durchlauft eine Menge von der Machtigkeit 2^) derart,<br />
dass je Ki verschiedene f{x,t^) mindestens eine Stelle x haben, wo f{x,t^)<br />
Bl. 3 samtlich verschieden sind. |<br />
Das Gegenteil ware: fiir jedes System von 2^ reellen Funktionen f{x,t)<br />
{x reell, {t} eine Menge von der Machtigkeit 2*^) giebt es ein Teilsystem<br />
f{x,t^) von der Machtigkeit Hi derart dass die Werte f{x,t^) an keiner Stelle<br />
X paarweise verschieden sind, sondern fiir jedes x ein Paar ^x 7^ Vx mit<br />
f{x,t^^) — f{x,trj^) existiert. Wenn dies richtig ist, ist 2^^ > 2^°.<br />
Trivial ist: die Werte f{x,t) konnen bei festem x nicht alle verschieden<br />
sein (da \T\ = 2^ > c) und es giebt also ein Paar t^^, trj^ {^x / Vx), wo<br />
f{x^t^^) = f{x,trj^). Ist To die aus alien t^^, t^^ gebildete Menge, die aber<br />
im Allg. von der Machtigkeit c und nicht ^^l sein wird, so sind die Funktionen<br />
/(x, t), t 8 To , so beschaffen, dass sie an keiner Stelle x paarweise verschieden<br />
sind. Das sind aber zuviele Funktionen - es mtissten nur Ki sein. (Nimmt man<br />
c — Ki an, so ist das Ziel erreicht, aber wertlos, da dann 2^^ > 2^° = Hi<br />
selbstverstandlich ist.)<br />
Kommentare<br />
Fasz. 532<br />
Diese kurze Note hangt mit der in § 44 der Mengenlehre diskutierten Transformation<br />
g{x) = sup f{x,y) zusammen.<br />
Als S-Funktion bezeichnet HAUSDORFF jede Funktion g : A ^^ R {A eine<br />
Suslinsche Teilmenge eines polnischen Raumes X), deren Lebesguesche Mengen<br />
[g > c] = {x E A : g{x) > c} (und somit auch diejenigen der Form [g > c]),<br />
c G IR, Suslinmengen sind. Man beachte, das dies nicht das ist, was man Suslinmefibar<br />
nennen konnte, well die komplementaren Lebesgue-Mengen [g < c] und<br />
[g < c] nicht notwendig Suslinsch sind. Die Funktionen der Baireschen Klassifikation<br />
sind S-Funktionen, aber nicht umgekehrt: z. B. ist die charakteristische<br />
732
Funktion einer nicht-Borelschen Suslinmenge eine S-Punktion, aber keine Funktion<br />
der Baireschen Klassifikation. Die Beziehungen der S-Funktionen zu den<br />
Baireschen Funktionen haben eine gewisse Ahnlichkeit mit denen der oberhalb<br />
stetigen Funktionen zu den stetigen Funktionen. Im Hinblick darauf konnte<br />
man die S-Funktionen auch "oberhalb Suslinsche Funktionen" nennen.<br />
Eine recht allgemeine Methode der Konstruktion von S-Funktionen ist folgende:<br />
Seien X, Y polnische Raume, A eine Suslinsche Teilmenge von X,<br />
f : A xY -^ R eine Bairesche Funktion, und g{x) = sup^ f{x,y) existiere fiir<br />
jedes X e A. Dann ist g : A -^ R ofFenbar eine S-Funktion. HAUSDORFF fragt<br />
nun, ob jede S-Funktion g : A ^>' R so erhalten werden kann, d. h. stets von<br />
der Form g{x) = swpy f{x,y) mit einer Baireschen Funktion / ist.<br />
Eine Modifikation der Argumente in Fasz. 532 liefert die positive Antwort.<br />
In der Tat, sei ^ : A -^ IR eine S-Funktion. Wir konnen 0 < g{x) < 1 fiir alle<br />
X G v4 annehmen (andernfalls wird ein ordnungserhaltender Homoomorphismus<br />
von IR auf das Intervall [0,1] angewandt). Die Mengen Ac ~ [g > c] (c G IR)<br />
sind Suslinsche Teilmengen von X und AQ = A. Die Schliisselbehauptung ist<br />
folgende:<br />
(*) Sei / = {rGQ:0 r} = g{x).<br />
y<br />
Symmetrisch stetige Funktionen: Fasz. 601, 602<br />
HAUSDORFFS Interesse an symmetrisch stetigen reellen Funktionen ist moglicherweise<br />
durch eine Arbeit von CHARZYNSKI ([Ch 1933]) angeregt worden, die<br />
733
sich allerdings mit symmetrischen Ableitungen beschaftigt. Der zentrale Punkt<br />
in mehreren nachgelassenen Noten HAUSDORFFS der Jahre 1934-1937 liber<br />
symmetrisch stetige Funktionen / ist die Natur der Menge Df aller gewohnlichen<br />
Unstetigkeitspunkte von /. Insbesondere wirft er in [H 1935c] die Prage<br />
auf, ob Df ein beliebig vorgegebenes Fo- oder wenigstens liberabzahlbar sein<br />
kann (Df ist fiir jedes / immer ein F(y).<br />
Das bemerkenswerteste Resultat HAUSDORFFS ist der folgende Satz: Ist /<br />
symmetrisch stetig oder auch nur symmetrisch stetig aufierhalb einer Menge<br />
erster Kategorie, dann ist Df eine F^-Menge erster Kategorie. Somit ist /<br />
schhmmstenfalls punktweise unstetig. Dies beantwortet eine der in [H 1935c]<br />
aufgeworfenen Pragen. Im Nachlafi finden sich verschiedene Versionen fiir den<br />
Beweis dieses Satzes. Hier abgedruckt ist Faszikel 602, die chronologisch letzte<br />
Version des Beweises. Wenige Monate spater erhielt HAUSDORFF von der<br />
Redaktion der Fundamenta ein Manuskript von H. FRIED zugeschickt, welches<br />
einen anderen Beweis desselben Resultats enthielt. Die Arbeit von FRIED<br />
erschien in den Fundamenta 1937 ([Pr 1937]; s. auch Pufinote 2 in diesem Abschnitt).<br />
Die Argumentation in Fasz. 602 ist nicht rein topologisch; die additive Struktur<br />
von IR spielt eine wichtige RoUe. Der zentrale Punkt in HAUSDORFFS Beweis<br />
der Behauptung (/?) ist die Wahl von c, eines Symmetriepunktes, als Element<br />
von Tn(^) derart, da6 der andere Symmetriepunkt 2c — ^ nahe genug zu a<br />
ist (einem Element von T). So kann dann die Behauptung (a) angewendet<br />
werden. Ein etwas kiirzerer Beweis wiirde von der Bemerkung ausgehen, dafi<br />
Tn{e) ein dichtes G5 auf dem Intervall / der Lange < ^ ist. Deshalb gibt es<br />
einen Punkt c ^ I mit c < ^ (wobei ^ ein beliebiger Punkt von / sein kann,<br />
der nicht in Tn{e) zu liegen braucht), so da6 sowohl c als auch 2c — ^ (die<br />
Symmetriepunkte) zu InTri{^) gehoren. (Um dies zu sehen, beachte man, dafi<br />
die Menge C = {2c — ^ : ^ € / Pi Tn(0} dicht in einem Teilintervall von / ist;<br />
folglich schneidet sie / PI T^ (^).) Es gilt dann<br />
|/(6)-/(xi)|
eine iiberabzahlbare Menge reeller Zahlen keine symmetrischen Verdichtungspunkte<br />
zu besitzen, wie das Cantorsche triadische Diskontinuum zeigt. HAUS-<br />
DORFF bewies, da6 fiir jede symmetrisch stetige Funktion / alle bis auf abzahlbar<br />
viele Punkte von Df symmetrische Verdichtungspunkte von Df sind. Die<br />
Existenz symmetrisch stetiger Punktionen mit uberabzdhlbarem Df blieb jedoch<br />
seit [H 1935c] eine offene Prage. Sie wurde erst 1971 von PREISS im positiven<br />
Sinne beantwortet ([Pr 1971]).<br />
Die Schwierigkeiten, die beim Studium symmetrisch stetiger Punktionen in<br />
den 30-er Jahren aufgetreten waren, fiihrten HAUSDORFF ZU alternativen Konstruktionen<br />
von Mengen mit iiberabzahlbar vielen symmetrischen Verdichtungspunkten.<br />
Solch eine Menge, ein liberabzahlbares G^ von erster Kategorie, wird<br />
in Pasz. 601 angegeben. HAUSDORFFS Versuche jedoch, eine solche Menge in<br />
der Klasse F(j zu finden, bheben erfolglos. Die Existenz einer solchen Menge<br />
folgt aus der Existenz symmetrisch stetiger Punktionen mit liberabzahlbarem<br />
Df (weil Df stets ein ¥^ ist). Es ist bisher nicht bekannt, ob man das Resultat<br />
mit elementareren Methoden als den in [Pr 1971] angewandten gewinnen<br />
konnte.<br />
Verschiedene einschlagige Ergebnisse aus spaterer Zeit verdienen hier erwahnt<br />
zu werden. PREISS ([Pr 1971]) hat gezeigt, dafi fiir jede symmetrisch stetige<br />
Funktion / die Menge Df eine NuUmenge ist. Andererseits kann nach Po-<br />
NOMAREV ([Pn 1973]) Df nicht gleichzeitig abgeschlossen und iiberabzahlbar<br />
sein. Merkwiirdigerweise scheint es bis CHLEBIK ([CI 1991]) nicht bekannt gewesen<br />
zu sein, dafi es 2*^ verschiedene symmetrisch stetige Punktionen gibt und<br />
nicht einmal, dafi nicht alle solchen Punktionen Borel-mefibar sind. Wir verweisen<br />
beziiglich weiterer Studien und Ergebnisse auf LARSONS Ubersichtsartikel<br />
[La 1985] und auf die Monographic [Th 1994] von THOMSON.<br />
Abzahlbare Ordnungstypen: Fasz. 629 and 702<br />
Die erste Note behandelt das Problem der deskriptiven Klasse der Menge aller<br />
Teilmengen von Q eines gegebenen (abzahlbaren) Ordnungstypus (nicht notwendig<br />
wohlfundiert). In der zweiten Note wird folgende Dichotomic bewiesen:<br />
Jede abzahlbare Ordnung L enthalt entweder eine Teilmenge, die mit der Menge<br />
der rationalen Zahlen ahnlich ist, oder es gibt ein a < uji, so dafi L keine<br />
Teilmenge enthalt, die mit a ahnlich ist.<br />
Das folgende Problem hat HAUSDORFF offenbar besonders interessiert. Fiir<br />
jedes te2^seit = R{t) der Ordnungstyp der Menge R{t) = {r G Q : t{r) = 1}.<br />
Fiir jeden abzahlbaren Ordnungstyp a ist die Menge [a] = {t :t — a} eine<br />
Suslinmenge. HAUSDORFF stellt darliber hinaus fest, dafi [a] Borelsch ist, falls<br />
a eine Ordinalzahl, d. h. ein wohlgeordneter Ordnungstypus ist. (Das ergibt<br />
sich z. B. daraus, dafi in diesem Falle die Mengen [a] Konstituenten gewisser<br />
co-Suslinmengen sind. Es gibt aber auch ziemlich einfache direkte Beweise<br />
mittels transfiniter Induktion nach a.) Das Problem, welches wohl auf KURA-<br />
TOW^SKI ([Ku 1937]) zuriickgeht, war es herauszufinden, ob es nicht-Borelsche<br />
Mengen der Form [a] gibt.<br />
HAUSDORFF zeigt in Fasz. 629, dafi [a] Borelsch ist fiir gewisse nicht wohl-<br />
735
geordnete Typen. Zum Beispiel ist [77] Borelsch und sogar ein G5, wobei 77 der<br />
Ordnungstypus der rationalen Zahlen ist. Er kommentiert ferner einen Artikel<br />
von HARTMAN ([Hr 1937]), in dem bewiesen wird, da6 [a] Borelsch ist, falls a<br />
hochstens abzahlbar viele Ordnungsautomorphismen gestattet.<br />
Das Problem wurde schliefilich von D. ScOTT gelost ([Sc 1964]): [a] ist Borelsch<br />
fiir jeden abzahlbaren Ordnungstypus a. Dieses Resultat ist ein Spezialfall<br />
eines allgemeineren Theorems, welches besagt, dafi unter gewissen Bedingungen<br />
jeder Orbit, der durch eine Borelsche Aktion einer polnischen Gruppe<br />
auf einem polnischen Raum erzeugt wird, Borelsch ist (siehe z. B. RYLL-NARD-<br />
ZEV^SKi [RN 1964] Oder KECHRIS [Ke 1995], 15.14 und 16.6).<br />
Am Ende von Fasz. 629 verweist HAUSDORFF auf einen Satz von KUREPA,<br />
der besagt, dafi jede abzahlbare geordnete Menge X, die fiir jedes ^ < uji eine<br />
zu ^ ahnliche Teilmenge enthalt, auch eine zum Ordnungstypus rj der rationalen<br />
Zahlen ahnliche Teilmenge enthalt. HAUSDORFF lernte dieses Resultat<br />
1937 aus einem Manuskript KUREPAS kennen (s. Anmerkung [2] zu Fasz. 702).<br />
Fasz. 702 enthalt HAUSDORFFS Beweis dieses Resultats. Er definiert eine Aquivalenzr<br />
elation ~ auf X folgendermafien: x ^ y genau dann, wenn das Inter vail<br />
[x,y] (oder das Intervall [y,x], falls y < x) "beschrankt" ist in dem Sinne, dafi<br />
eine abzahlbare Ordinalzahl a existiert, so dafi [a:, y\ keine zu a ahnliche Teilmenge<br />
enthalt. Die Kernpunkte fiir den Beweis sind: 1) Jede ~-Klasse ist eine<br />
konvexe Teilmenge von X, die im obigen Sinne "beschrankt" ist; 2) Zwei verschiedene<br />
~-Klassen konnen nicht benachbart sein.<br />
Fasz. 677<br />
HAUSDORFF beweist hier folgendes: Gegeben sei eine Kardinalzahl m, welche<br />
der Bedingung m = m^° geniigt. Fiir jede Menge A der Kardinalitat m existiert<br />
dann eine abzahlbar-unabhangige Familie von 2"^ Funktionen f : A ^^ A<br />
und eine abzahlbar-unabhangige Familie von 2"^ Teilmengen von A. Dies ist<br />
eine Verallgemeinerung seines Theorems aus [H 1936a] (dort sind nur endlichunabhangige<br />
Familien definiert, aber ohne die Bedingung m = m^°). Der Beweis<br />
enthalt eine direkte Konstruktion einer abzahlbar-unabhangigen Familie<br />
ohne Benutzung des Auswahlaxioms.<br />
Die Behauptung (2) ist eine weitere Verallgemeinerung: Wenn m = m^^ ist,<br />
existieren i^i-unabhangige Familien der Kardinalitat 2"^.<br />
Literatur<br />
[Ch 1933] CHARZYNSKI, Z.: Sur les fonctions dont la derivee symmetrique<br />
est paHout finie, Fund. Math., 21 (1933), S. 214-225.<br />
[CI 1991] CHLEBIK, M.: There are 2^ symmetrically continuous functions,<br />
Proc. Amer. Math. Soc, 113 (1991, 3), S. 683 - 688.<br />
[Fr 1937] FRIED, H. : Uber die symmetrische Stetigkeit von Funktionen, Fund.<br />
Math., 29 (1937), S. 134-137.<br />
736
[Hr 1937] HARTMAN, S.: Zur Geometrisierung der abzdhlbaren Ordnungstypen,<br />
Fund. Math., 29 (1937), S. 209-214.<br />
[Ke 1995] KECHRIS, A. S.: Classical descriptive set theory, Springer, 1995.<br />
[Ku 1937] KuRATOWSKi, C.: Sur la geometrization des types d'ordre denombrable,<br />
Fund. Math., 28 (1937), S. 167-185.<br />
[Kur 1948] KUREPA, G. : Sur les ensembles ordonnes denombrables, Hrvatsko<br />
Prirodoslovno Drustvo. Glasnik Mat.-Fiz. Astr. Ser. II, 3 (1948), S. 145-<br />
151,<br />
[La 1985] LARSON, L.: Symmetric real analysis: a survey, Real Anal. Exchange,<br />
9 (1983/84, 1), S. 154-178.<br />
[Lb 1905] LEBESGUE, H.: Sur les fonctions representable analytiquement,<br />
Journ. de Math. (Ser. 6), 1 (1905), S. 139-216.<br />
[Lu 1930] LusiN, N.: Legons sur les ensembles analytiques et leurs applications,<br />
Paris, 1930. 2nd corr. ed. Chelsea Publ. Co., NY, 1972.<br />
[Pn 1973] PONOMAREV, S.: On a problem of Hausdorff, Math. Notes, 14<br />
(1973), S. 671-672.<br />
[Pr 1971] PREISS, D. : A note on symmetrically continuous functions, Casopis<br />
Pest. Mat., 96 (1971), S. 262-264.<br />
[RN 1964] RYLL-NARDZEWSKI, C: On Borel measurability of orbits, Fund.<br />
Math., 56 (1964), S. 129-130.<br />
[Sc 1964] SCOTT, D.: Invariant Borel sets, Fund. Math., 56 (1964), S. 117-<br />
128.<br />
[Th 1994] THOMSON, B.: Symmetric properties of real functions. Monographs<br />
and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 183. Dekker, NY,<br />
1994.<br />
737
Aus dem Nachlafi zur Topologie<br />
In diesem Teil werden zunachst drei Faszikel abgedruckt, die unmittelbar mit<br />
einschlagigen Veroffentlichungen HAUSDORFFS im Zusammenhang stehen. Sie<br />
werden hier nicht kommentiert, well auf die Kommentare bei den entsprechenden<br />
Veroffentlichungen verwiesen werden kann. Es folgen dann vier bemerkenswerte<br />
Studien HAUSDORFFS liber metrische Raume (mit Kommentar).<br />
Mit gewissen Themenkreisen der allgemeinen Topologie hat sich HAUSDORFF<br />
immer wieder eingehend beschaftigt, ohne darliber zu publizieren. In den folgenden<br />
Essays „Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der Topologie ",<br />
„Hausdorffs Studien iiber Kurven, Bogen und Peano-Kontinua" sowie „Hausdorffs<br />
Studien zur Dimensionstheorie " wird liber den einschlagigen NachlaB ein<br />
Uberblick gegeben; angeschlossen sind jeweils charakteristische Stlicke aus dem<br />
NachlaB.<br />
Mit kombinatorischer und algebraischer Topologfe hat sich HAUSDORFF erst<br />
Ende der 20-er Jahre, angeregt u. a. durch Arbeiten P. ALEXANDROFFS, befaBt.<br />
Damit beschaftigt sich der Essay „Hausdorffs Blick auf die entstehende<br />
algebraische Topologie". Im AnschluB daran werden aus dem NachlaB HAUS<br />
DORFFS die Vorlesung „Komhinatorische Topologie" (Bonn, Sommersemester<br />
1933) sowie weitere einschlagige Manuskripte abgedruckt.<br />
739
NL HAUSDORFF : Kapsel 42: Fasz. 700<br />
L-Raume als Unterraume eines topologischen Raumes<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 4. 5. 1938. - 4 BU.<br />
£-Raume als Unterraume eines topologischen Raumes.<br />
[1] (Vgl. Fund. Math. 25, p. 496-498).<br />
E sei Ti-Raum mit den abgeschlossenen Hiillen Aa-<br />
Die Konvergenzen<br />
Xn -^ X, d. h. fiir jede Teilfolge Xp ist, mit X = Y^ Xp, X -\- x = X^<br />
4/5 38<br />
geben einen >C-Raum Ei ^^ E (d. h. E*! Unterraum von E). Dies Konvergenzensystem<br />
heisse /Ci.<br />
Die Konvergenzen<br />
2<br />
Xn -^ X, d. h. jede Umgebung von x enthalt fast alle Xn,<br />
deren System /C2 heisse, geben im Allgemeinen keinen >C-Raum, da die Eindeu-<br />
2 2<br />
tigkeit (mit Xn —> x, x^ -^ ?/ ist x = y) nicht erfiillt zu sein braucht.<br />
Jedes Konvergenzensystem, das einen Unterraum von E definiert, ist C /C2.<br />
Insbesondere ist /Ci C /C2.<br />
A. a. O. habe ich gezeigt: wenn E selbst £-Raum ist, ist /Ci = /C2 (/C2 erfiillt<br />
also die Eindeutigkeitsforderung) und dieses ist das grosste Konvergenzensy-<br />
Bl. 2 stem, das E erzeugt. |<br />
Wenn /C2 eindeutig ist, definiert es den obersten £-Raum E2 —^ E (mag E<br />
selbst £-Raum sein oder nicht). Insbesondere gilt fiir den durch /Ci definierten<br />
£-Raum Ei: Ei -^ E2. Ich habe dort die Frage aufgeworfen, ob Ei von E2<br />
verschieden sein kann. Das folgende Beispiel zeigt, dass sie zu bejahen ist.<br />
Vorauszuschicken ist: N sei die Menge der natiirlichen Zahlen, P C N, Pn =<br />
P{l,2,...,n}, \Pn\ die Machtigkeit von Pn (= Anzahl der Elemente von P,<br />
die < n sind). Es ist<br />
0
umgekehrt; z. B. hat die Menge der Primzahlen oder der Potenzen von 2 die<br />
Dichte 0, das Komplement die Dichte 1.<br />
Wir lassen E jetzt aus A^ und zwei weiteren Elementen x, y bestehen mit<br />
folgenden ofFenen Mengen:<br />
alle Mengen C N] x-\-{N - M), x-\-y-^{N -M) (M endlich C N); y + P<br />
(P von der Dichte 1). | Bl. 3<br />
Man libersieht sofort, dass der Durchschnitt endUch vieler und die Summe<br />
bhebig vieler ofFener Mengen ofFen ist und dass Ti gilt. Abgeschlossen sind<br />
demnach:<br />
Die Mengen x -\-y+ Menge C N; y -\- M, M; x -\- Q {Q von der Dichte 0)<br />
oder ausser den endlichen Mengen die folgenden<br />
X -\- Q {Q unendlich von der Dichte 0)<br />
X -i-y -\- P (P unendlich).<br />
2<br />
Das Konvergenzensystem /C2 erfiillt die Eindeutigkeitsbedingung. Zn -^ z bedeutet<br />
fiiizEN (da z selbst eine Umgebung von z, z isolierter Punkt ist)<br />
2<br />
schliesslich Zn = z. Aber auch Zn -^ y ist nur so moglich, dass schliesslich<br />
Zn = y ist; andernfalls gabe es eine unendliche Teilmenge R — {ri, r2,...} C N<br />
mit rn -^ y; jede Umgebung Uy — y -\- P {P von der Dichte 1) miisste fast alle<br />
Tn enthalten; das stimmt aber nicht, denn RP enthalt eine unendliche Menge<br />
Q von der Dichte 0, und y -\- {P — Q) ware noch eine Umgebung von y {P — Q<br />
von der Dichte 1), die unendlich viele Elemente von R nicht enthalt. Die einzige<br />
nichttriviale Konvergenz in /C2 ist n -^ re (n = 1,2,...) nebst den unmittelbar<br />
daraus folgenden Zn ^^ x^ wo Zn unendlich viele Elemente € iV, jedes endlich<br />
oft und vielleicht auch noch x endlich oder unendlich oft durchlauft - oder<br />
aber schliesslich Zn = x ist. | Hingegen ist nicht n -^ x. Sonst miisste fur jedes B1.4<br />
unendliche P C N P -\- x — Pa sein; wenn aber P nicht von der Dichte 0 ist,<br />
ist P + X nicht abgeschlossen (P^ = P -\-x^y). Das System /Ci enthalt nur die<br />
trivialen Konvergenzen Zn —^ z^ wo schliesslich Zn — z.<br />
Kann man zeigen: wenn E einen obersten £-Raum —^ E zulasst, so ist dieser<br />
= £^2? (so dass die Eindeutigkeit von /C2 mit der Existenz eines obersten C-<br />
Raums -^ E gleichbedeutend ware).<br />
Anmerkungen<br />
[1] Das bezieht sich auf HAUSDORFFS eigene Arbeit Gestufte Rdume ([H 1935b]),<br />
abgedruckt in diesem Band, S. 503-521. Fiir nahere Erlauterungen s. den dortigen<br />
Kommentar.<br />
741
NL HAUSDORFF: Kapsel 40: Fasz. 624<br />
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des Nullraums<br />
Hs.Ms. - [Bonn], 18.3.1937. - 6 BU.<br />
Die verdichteten F^ als (0,1)-Bilder des Nullraums.<br />
18.3.37<br />
X sei separabel. Fiir A C X sei A^ die Menge der Verdichtungspunkte, A^ =<br />
ist abzahlbar. Fiir eine verdichtete Menge A [A — A^<br />
oder A
C Fk; wir haben dann<br />
hierbei ist Pk -{- Rk C Fk, also L C C C B und C — J^^k = i^ ist abzahlbar,<br />
librigens R C^Rk C L. Jeder Punkt x von R ist, als Verdichtungspunkt von<br />
L, in einer perfekten (z.B.mit dem Cantorschen Diskontinuum homoomorphen)<br />
Menge Px C L vom Durchmesser < S, R in abzahlbar vielen solchen<br />
Mengen P/ enthalten, und wenn wir A = J2^k -^ J2^i setzen, haben wir<br />
CcAcC-\-L = C, also L = A. Es ist LPi = Pi verdichtet und in Pi<br />
dicht; aber auch LPk verdichtet und in Pk dicht, denn Vk ist in LFk abgeschlossen,<br />
Vk = LFkPk — LPk, Vk ist verdichtet und in Pk — Vk dicht. - Wir<br />
haben also jetzt L C A C B, A = ^Pn perfekter Mengen von Durchmessern<br />
< S, LPn verdichtet und in Pn dicht. Sind bereits unendlich viele<br />
Dn = Pn-~^Pm¥^0,<br />
SO ist es gut; andernfalls sei etwa Dn das letzte / 0 {A = Pi + • • • + Pn)-<br />
Da LPn verdichtet und in Pn dicht ist, ist (Schnitt mit X — Y^rn
vom Durchmesser < -, LDiDij = LDij ist verdichtet und in Dij dicht. A2 =<br />
Yl^ = Ylij ^ij ^^^ disjunkten Summanden, ist ein F^, L = ^LDi C A2 C<br />
B2YD, = B2Ai.<br />
(3) LDij C BsDij C Dij, LDij verdichtet, in B^Dij (einem F^-) dicht.<br />
Indem wir (2) auf LDij, B^Dij anwenden, erhalten wir eine Menge A^j, LDij C<br />
A^j C BsDij, A^j = Piji -\-Pij2 H mit aufsteigenden perfekten Pijk- Dijk =<br />
Pijk — Pij,k-i ¥" ^ vom Durchmesser < -; LDij Dijk = LDijk verdichtet und<br />
«j<br />
in Dijk dicht. A3 = ^Ifc ^ijk^ L C A3 C ^3^2.<br />
So fortfahrend erhalten wir perfekte Mengen P^, P^^, Pijk^ • • •, die mit dem<br />
letzten Index wachsen, und Mengen<br />
von Durchmessern < 1, -, -, ...;<br />
z o<br />
PiD DiD Pij D Dij D Pijk D Dijk D • • • .<br />
Alle diese Mengen D sind ^ 0 und so beschaffen, dass LD verdichtet und in D<br />
Bl. 6 I dicht ist. Ferner mit<br />
Ai=Y^Di, A2 = ^Dij, A3-^Aj/c, •••<br />
ist Ai C Pi, A2 C P2A1, A3 C P3A2,... und Ai D A2 D As o> - •,<br />
L C ]jAn C n P n = L, L = []^ An<br />
Sei nun x E L; es giebt eine bestimmte Zahlenfolge i^j^k,... mit x G<br />
DiDijDijk' •'•, umgekehrt, jeder Zahlenfolge ^ = (i^j^k,...) entspricht ein<br />
Punkt X = PiPijPijk-' • = DiDijDijk" € Yl^n = L. Hierdurch erhalten<br />
wir eine schlichte Abbildung x = /(^) des NuUraums N auf L. Sie ist stetig,<br />
denn wenn ^,^' die Entfernung < — haben und also in den ersten n Indizes<br />
2i,...,Zn tibereinstimmen, gehoren x = /(^) und x^ = /(^O zu Di^^,,,^i^ und<br />
haben eine Entfernung < —. Sie ist von der Klasse 0, 1; denn das Bild von<br />
n<br />
^21,...,in ist Di^^,,,^i^, eine Menge der Form: Durchschnitt endlich vieler Differenzen<br />
P — Q, oder F • G, und da die Ni^^^^^^i^ eine Basis in N bilden, ist das<br />
Bild jeder in N offenen Menge ein Fcj. Damit ist erwiesen, dass jedes verdichtete<br />
P^ = Ffjs Bild des NuUraums vermoge einer Abbildung 0, 1 ist.<br />
Anmerkungen<br />
Beziiglich naherer Erlauterungen s. den Kommentar zu [H 1937], dieser Band,<br />
S. 539-554. Der Faszikel ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2,<br />
S. 300-305.<br />
744
NL HAUSDORFF : Kapsel 48 : Fasz. 1058<br />
[Charakterisierung der verdichteten F^~^^]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Anfang 1937]. - 12 BU.^<br />
(2) Das Bild eines F bei einer Abbildung 0, a ist ein F^+^.<br />
Aus (1) folgt fiir ce = 1, dass das Bild eines F^ bei einer Abbildung 1,(3<br />
ein F^+^ ist, also auch das Bild eines F^ bei einer Abbildung 0,/? ein<br />
AUes Folgende kann als Umkehrung von (2) aufgefasst werden, wobei man<br />
den Fall a = 0 (jedes F^ ist mit einem F homoomorph) beiseite lassen<br />
kann.<br />
(3) Jedes F^'^^{a > 0) entsteht durch eine Abbildung 0, a aus einem 0dimensionalen<br />
F oder aus einer in N abgeschlossenen Menge.<br />
(B, p. 215, theoreme 1; vgl. auch A, p. 224, theoreme 2)?<br />
(4) Ist A ein Gs in einem nulldimensionalen X = F, A und X — A in X<br />
dicht, so ist A mit N homoomorph (Satz von Mazurkiewicz; vgl. A, p. 225,<br />
theoreme 3).<br />
(5) Ist A ein in N dichtes Gs, so ist A mit N homoomorph.<br />
Beweis: X sei der dyadische Teilraum von A/', bestehend aus den A =<br />
(/i,/2?---) niit Ik = 1,2; X ist mit dem Cantorschen Dis | kontinuum Bl. 2<br />
homoomorph. Die Menge Xi C X der A mit unendlich vielen Ik = 1 ist<br />
mit N homoomorph und ein Gs, da, X2 — X — Xi abzahlbar ist; beide<br />
Summanden sind in X = Xi + X2 dicht. Ist A in Xi dichtes Gs, so ist es<br />
auch in X dichtes Gs, wahrend zugleich X — A — {X\ — A) + X2 in X<br />
dicht ist, also nach (4) A mit N homoomorph.<br />
(6) Jedes unabzdhlbare F'^~^^{a > 0) ist Summe einer abzdhlbaren Menge und<br />
einer solchen, die aus N durch eine Abbildung 0, a entsteht, (B., p. 216,<br />
coroUaire 1).<br />
Unser Ziel ist nun, die folgende Prazisierung von (3) und (6) zu beweisen:<br />
Satz I. Jedes verdichtete F^~^^{a > 0) entsteht aus N durch eine Abbildung<br />
0, ce.<br />
Zunachst ist der Fall a — 1 zu behandeln, den wir besonders formulieren:<br />
Satz II. Jedes verdichtete F^ = F^s entsteht aus N durch eine Abbildung<br />
0,1.<br />
^[Das Manuskript ist ein Fragment; HAUSDORFFS Paginierung beginnt bei 5.]<br />
^[Die Veroffentlichungen A und B werden in [H 1937], S. 151, dieser Band, S. 541, identifiziert.l<br />
745
Das ist eine Verscharfung des Kuratowskischen Satzes B, p. 210, wonach<br />
die verdichteten (= insichdichten) F^ = G5 aus N durch Abbildungen<br />
Bl. 3 0,1 entstehen. |<br />
(7) Eine insichdichte Menge D ^ 0 im separablen Raume X, die Differenz<br />
von zwei abgeschlossenen Mengen ist, gestattet eine Zerlegung D = Y^Di<br />
(/ = 1,2,...) in unendlich viele, disjunkte, nicht leere Mengen Di von<br />
Durchmessern < 5, derart dass Pi = Di-i \- Di perfekt und zwar von<br />
der Form Pi = DUi (Ui in X off en) ist.<br />
(Vgl. B, p. 208, Lemme). Die zuletzt angegebene Form von Pi ist fiir uns<br />
von Bedeutung; es folgt aus ihr:<br />
Ist A irgendeine in D verdichtete Menge, so ist jedes ADi in Di verdichtet<br />
Denn AUi ist in DUi verdichtet, also auch in Pi {AUi ist verdichtet und<br />
in DUi dicht, also in Pi dicht), und wegen AUi C APi C Pi ist APi<br />
in Pi verdichtet; indem man mit der offenen Menge X — Pi-i schneidet<br />
{Pi — Pi-i — Di), findet man ADi in Di verdichtet.<br />
(8) C 7^ 0 sei ein F^ (im separablen voUstandigen Raum X) und A eine<br />
in C verdichtete Borelsche (oder analytische) Menge. Dann giebt es eine<br />
BL 4 Menge B mit Ac B cC folgender Art: B = Y,Di\ (I = 1,2,...) ist in<br />
unendlich viele, disjunkte, nichtleere Mengen Di von Durchmessern < 6<br />
zerlegbar; ADi ist in Di verdichtet und Pi = Di -\- • -\- Di perfekt.<br />
Beweis. Zunachst kann man mit Hiilfe einer entsprechenden Zerlegung<br />
von X die abgeschlossenen Summanden von C = ^Fh von Durchmessern<br />
< S annehmen. Wir setzen AFh = Vh-^Rh, Vh = (AFh) der verdichtete<br />
Teil von AFh, Rh abzahlbar. Dann ist Ph = Vh perfekt, und aus A —<br />
ZAFh C ZiPh + Rh) C E^h = C folgt fiir B = Z{Ph + Rh), dass<br />
A C B C C. Hierbei ist Vh = AFh • Vh = APh verdichtet und in Ph<br />
dicht, also APh in Ph verdichtet. Weiter ist R = B -J2Ph cYl^h C A<br />
abzahlbar und jeder Punkt x e R, als Verdichtungspunkt der analytischen<br />
Menge A, in einer perfekten Menge Px C A gelegen, die wir wieder vom<br />
Durchmesser < S annehmen konnen; R ist in abzahlbar vielen dieser Px<br />
enthalten, sagen wir R C J2 ^k C A C B, also B = Y,Ph + RcJ2Ph +<br />
BL5 EPkCB^l 5 = ^ P/i + J]] Pfc; fiir die hinzugekommenen Summanden<br />
ist ebenfalls APk = Pk in Pk verdichtet. Wir haben jetzt also B = ^Qi<br />
mit perfekten Summanden von Durchmessern < J, AQi in Qi verdichtet;<br />
indem man mit der offenen Menge X — {Qi-\ \-Qi-i) schneidet, ergiebt<br />
sich auch ADi in Di verdichtet, Di — Qi — {Qi-\ \-Qi-i)- Behalten wir<br />
nur die Di ^ 0 bei, so er giebt sich, wenn der en unendlich viele sind, die in<br />
(8) behauptete Zerlegung B = J2Dh denn Di-{ \-Di = Qi-{ \-Qi<br />
ist perfekt. Wenn aber nur endlich viele Summanden vorhanden sind,<br />
so schreiben wir B = Di -\- - -\- Dk-i + D und konnen nun nach (7)<br />
D = Dk -\- Dk+i + • • • mit unendlich vielen Summanden ^ 0 derart<br />
746
setzen, dass (well AD in D verdichtet ist) ADDi — ADi in Di verdichtet<br />
und Dk -\- •'' -\- Di perfekt ist (/ > k). Damit haben wir auch in diesem<br />
Falle die gewlinschte Zerlegung B = Di-{ h Dk-i -\- Dk-\- Dk-\-i H<br />
erhalten. | Bl. 6<br />
(9) A = C^C^ • " sei ein verdichtetes F^rs (im separablen voUstandigen Raum<br />
X), die C^ Mengen F^-. Dann lassen sich alien Komplexen /i,...,//.<br />
natiirlicher Zahlen (A: = 1, 2,...) Mengen Di^,,^i^ derart zuordnen:<br />
{a) Di^^^jj^ ist nicht leer und vom Durchmesser < ^; ADi^,,,i^ ist in<br />
Ai..j, verdichtet. Es ist A c B''= X:z,..j, AI..J. C CK<br />
{(3) Die Ai.../fc sind bei festem k disjunkt; Pi^,..ik-iik = S/li Di^...h-ii<br />
ist perfekt.<br />
(7) Fiir jede Folge A = {h^h,---) ist Ai D A1Z2 I^ " • •, also Pi^ D<br />
Di, D Pi,i^ D Di,i, D • • •.<br />
Beweis. A ist in C^A verdichtet; nach (8) giebt es eine Menge B^,A C<br />
B^ C C^A, von der Form B^ = ^^1^1 ^i* disjunkten A 7^ 0 von Durchmessern<br />
< 1, derart dass ADj in Di verdichtet und Pi = Di + -" + Di<br />
perfekt ist.<br />
Nehmen wir an, die Mengen mit fc — 1 Indizes seien bereits bedingungsgemass<br />
bestimmt, und bezeichnen einen {k — l)gliedrigen Komplex mit<br />
/i == /i,..., //e_i, den Komplex /i,..., h-ij mit ///. AD^ ist in D^ verdichtet,<br />
also wegen AD^, C C^D^ C Df, auch AD^ in C^D^, welch<br />
letztere | Menge ein F^ ist, denn D^ ist nach {(3) Differenz perfekter Bl. 7<br />
Mengen. Nach (8) giebt es eine Menge B^, ADf^ d B^ d C^D^, der<br />
Form B^ = Yli ^IJ^I ^i^ disjunkten D^i ^ 0 von Durchmessern < ^,<br />
also Dfj^i C D/^; zugleich ist AD^ • D^i = AD^i in D^i verdichtet und<br />
P^i = D^i-}--"-{- D^i perfekt. Aus AD^ C E^ D^i C C^ folgt durch<br />
Summation nach /i AB^~^ C B^ C C^ oder Ac B^ cC^. Damit sind<br />
die Mengen mit k Indizes bedingungsgemass bestimmt.<br />
Wir haben nun A cYl^^ ^Y[C^ = A also A = YIB^ und konnen den<br />
Beweis von II mit wenigen Worten erbringen. Zu jedem x ^ A giebt es<br />
eine bestimmte Folge A = {h^h, • • •) mit x = Di^Di^i^ • • • und umgekehrt<br />
(weil die Pi-^...ik nach (7) fiir /c > 1 Durchmesser < -^^j haben) zu jeder<br />
Folge A einen Punkt x = Pi^Pi^i^ •. • = Di^Di^i^ - • e A. Hierdurch wird<br />
eine schlichte Abbildung x = f{X) des NuUraums N auf A hervorgerufen.<br />
Das Bild | des Intervalls Ni^...ik ist f{Ni^...ik) = ^Dh-.-hi Intervall wie BL 8<br />
Bild haben einen Durchmesser < p Danach ist / gleichmassig stetig;<br />
andererseits, da die D Differenzen perfekter Mengen, also Fo- sind und<br />
die Intervalle eine Basis der offenen Mengen in N bilden, ist /(G) — AF^,<br />
f von der Klasse 0,1.<br />
Alsdann beweisen wir I fiir a > 1.<br />
Ist B verdichtetes F^+^ (im separablen voUstandigen Raume X), so giebt<br />
747
es nach (6) eine Zerlegung B = A + R, wo A = f{N) Bild von N vermoge<br />
einer Abbildung 0, a und R = B — A abzahlbar ist. Nun ist jeder Punki<br />
X E R in einer perfekten Menge Qx C A -\- x enthalten, deren (in N<br />
ahgeschlossenes) Urbild Px = f~^{Qx) = f~^{^Qx) = f~^{Qx — ^) '^'i^fgendsdicht<br />
ist. Denn da> x E B — A und also fiir jede Umgebung U von<br />
X, AU unabzahlbar ist, so enthalt diese Borelsche Menge eine mit dem<br />
Cantorschen Diskontinuum C homoomorphe Menge und, weil C mit dem<br />
Cartesischen Produkt (C^C) homoomorph ist, unabzahlbar viele (2^°) |<br />
Bl. 9 disjunkte perfekte Mengen Q, von deren Urbildern P = f~^{Q) hochstens<br />
abzahlbar viele innere Punkte haben konnen; AU enthalt also ein perfektes<br />
Q mit nirgendsdichtem Urbild P. Eine Folge von Umgebungen Un<br />
von X mit Durchmessern -^ 0 liefert eine Folge perfekter Qn C AUn niit<br />
nirgendsdichten Urbildern P^, und dann ist Qx = YlQn-\- ^ perfekt mit<br />
einem Urbild Px = X^Pn, das in N abgeschlossen und von erster Kategorie,<br />
folglich nirgendsdicht ist {N — Px ist in dem vollstandigen Raum<br />
N dicht). - Macht man dies nun fiir jedes x E R und setzt Q = ^Qx^<br />
P = f-\Q) = J2Px, so ist R c Q C A^ R und f{P) = AQ = Q - R,<br />
f{N - P) = A - {Q - R) = B - Q, P ist in AT ein F^ von 1. Kategorie,<br />
also N — P ein in N dicht es Gs und nach (5) mit N homoomorph; in Folge<br />
dessen konnen wir, da die Teilfunktion f{x\N — P) von der Klasse 0, a ist,<br />
B — Q = fi{Ni) setzen, Ni mit TV homoomorph, /i von der Klasse 0,a.<br />
Q als Summe abzahlbar vieler perfekter Mengen ist verdichtetes Fo- und<br />
Bl. 10 entsteht aus einem zu Ni disjunkten Nullraum N2 durch | eine Abbildung<br />
0,1 (auf Grund von II; librigens lasst sich dieser Spezialfall natiirlich einfacher<br />
beweisen). Wenn wir aus Ni, N2 einen Nullraum NQ = Ni -}- N2<br />
bilden, in dem beide Summanden offen und abgeschlossen sind, haben<br />
wir also<br />
B-Q = h{m), Q = h{N2),<br />
/i von der Klasse 0,a; /2 von der Klasse 0,1. Wir haben dann B —<br />
/o(A'o) (/o = /i in A^i? /o = /2 in N2) und diese Funktion /o ist schlicht<br />
stetig; iiberdies ist sie von der Klasse 0, a. Denn ist F in N abgeschlossen,<br />
so ist fi{NiF) = iB- Q)F'^ und, weil B-Q = BG5 = BF\ ein JBF";<br />
f2{N2) = QF^ = FaF^ = G^F^ und dies ist wegen a > 1 ein F^ oder<br />
BF'^ (erst an dieser Stelle wird die Voraussetzung a > 1 notwendig).<br />
Demnach ist /o(F) = 5F^, q.e.d.<br />
Anhangsweise mogen noch die topologischen Bilder von N charakterisiert<br />
werden. Sie sind jedenfalls Gs (separabel, topologisch voUstandig),<br />
0-dimensional und insichdicht (= verdichtet); aber dies ist noch nicht<br />
Bl. 11 hinreichend, wie das Cantorsche Diskontinuum zeigt. Wenn man | aber<br />
die Bedingung der Insichdichtheit (es giebt keinen isolierten Punkt, d. h.<br />
keine einpunktige offene Menge) dahin verscharft:<br />
(K) Es giebt keine kompakte offene Menge (7^ 0)^,<br />
^[Hierzu hat HAUSDORFF auf Blatt lOv erganzt: „{K): G (offen 7^ 0) ist nicht kompakt,<br />
748
so ist dies auch noch notwendig; denn jedes Intervall iV/^..j^ enthalt unendlich<br />
viele Punkte ai G iV/^..j^/, die paarweise Entfernungen ^^ haben,<br />
also eine unendliche, isolierte, in N abgeschlossene Menge, und diese kann<br />
in keiner kompakten Menge liegen. Mit den zuvor aufgefiihrten Bedingungen<br />
zusammen wird sie aber auch hinreichend, d. h.<br />
Die mit dem Nullraum N homoomorphen Mengen sind die separablen, topologisch<br />
vollstdndigen, 0-dimensionalen Rdume X, die keine kompakte<br />
offene Menge (•=^ 0^ enthalten.<br />
Wenn namlich X separabel und 0-dimensional ist, so giebt es eine Zerlegung<br />
X = Y^^i i^ disjunkte Mengen Di ^ 0 von Durchmessern < (5,<br />
die zugleich off en und abgeschlossen sind. Denn zunachst hat X eine<br />
abzahlbare Basis, aus offenen und zugleich abgeschlossenen Mengen Ui<br />
von Durchmessern < S bestehend, und mit Di = Ui — {Ui -\- • - • -h Ui)<br />
erhalt man so eine Zerlegung X = Yl^i- ^^ kommt wieder darauf an,<br />
alle Di ^ 0 zn erhalten; das ist unmoglich oder moglich, jenachdem X<br />
kompakt ist oder nicht. Denn | X enthalt, wenn nicht kompakt, eine Folge Bl. 12<br />
ai, a2,... verschiedener Punkte ohne Haufungspunkt, und man kann jedem<br />
ah eine offene und abgeschlossene Umgebung Dh vom Durchmesser<br />
< ^ zuordnen, derart dass die Dh disjunkt sind. Dann ist D = ^Dh<br />
off en und abgeschlossen, X — D = Yl^k in disjunkte (endlich oder unendlich<br />
viele) Dk von Durchmessern < 5 zerlegbar, die in X — D, also in<br />
X zugleich offen und abgeschlossen sind, und X = ^ Dh + ^Dk = ^Di<br />
leistet das Verlangte. Erfiillt X die Bedingung (K), so ist auch Di nicht<br />
kompakt und man hat Di = Y^^ Dim mit unendlich vielen Dim ¥" 0 (von<br />
beliebig kleinen Durchmessern), die in Di, also in X offen und abgeschlossen<br />
sind. So gelangen wir zu<br />
h h<br />
und wenn X nun noch voUstandig ist, giebt x — Di^Di^i^ • - = /(A) eine<br />
schlichte stetige Abbildung von N auf X, bei der /(AT/^ .j^) = Di^,,,i^<br />
offen und f{G) offen ist, also eine Homoomorphie.<br />
Anmerkungen<br />
Beziiglich naherer Erlauterungen s. den Kommentar zu [H 1937], dieser Band,<br />
S. 549-554.<br />
enthalt also eine Folge ai ohne Haufungspunkte in G.<br />
Hier ist mehr gezeigt: Sie enthalt eine Folge ohne Haufungspunkte in N; also auch G ist<br />
nicht kompakt; die kompakten Mengen in N sind nirgendsdicht." ]<br />
749
NL HAUSDORFF : Kapsel 33: Fasz. 223<br />
Metrische und Topologische Raume<br />
Hs.Ms. - [Greifwald], 25.5.1915 - 5 Bll.<br />
(Abgedruckt ist aus diesem Faszikel Abschnitt I, Bll. 1-2, lO.Z.v.o.)<br />
25/5 15<br />
Metrische und topologische Rdume. In metrischen Raumen gelten verschiedene<br />
Satze, die in topologischen nicht richtig sind.<br />
I. In jeder unendlichen kompakten Menge eines metrischen Raumes ist eine<br />
[1] abzdhlbare Menge dicht. (Grdz. S.274, X). Die betreffende Menge A kann fiir<br />
jedes p in eine endliche Anzahl von Kugeln mit dem Radius p (mit Mittelpunk-<br />
[2] ten, die zu A gehoren) eingeschlossen werden; ihre Mittelpunkte bilden eine<br />
in A dichte Menge. Die Kugeln selbst, resp. ihre Durchschnitte mit A, bilden<br />
ein mit dem urspriinglichen gleichwerthiges System von Umgebungen; es gilt<br />
also in jeder unendlichen kompakten metrischen Menge das zweite Abzdhlbarkeitsaxiom<br />
(also in einem metrischen Raume, der in sich kompakt ist oder als<br />
kompakte Theilmenge eines umfassenden metrischen Raumes aufgefasst werden<br />
kann). Die Giiltigkeit des 2. Abzahlbarkeitsaxioms kann auch direkt aus<br />
der Dichtigkeit einer abzahlbaren Menge gefolgert werden, vgl. II.<br />
Dass I in einem topologischen Raume nicht gilt, zeigt das Beispiel einer<br />
geordneten Menge wie (1 -h A)a;i, wo A das offene Linearcontinuum ist. (Die<br />
Umgebungen durch Strecken zu definiren.) Ist x ein beliebiger Punkt dieser<br />
Menge, so bilden die Punkte ^ x eine Menge vom Typus 1 + A + 1, also eine<br />
[3] compakte Menge; jede abzahlbare Menge liegt in einem solchen Anfangsintervall,<br />
hat also gewiss Haufungspunkte; die Menge ist kompakt; aber es ist keine<br />
abzahlbare Menge in ihr dicht.<br />
Ahnliches leisten Potenzmengen, z.B. (1 + A + l)^ .<br />
Bl. 2 I Hierzu sei beilaufig bemerkt: die Menge A + (1 + X)uJi giebt eine "Curve"<br />
(d. h. jede Umgebung ist auf eine lineare Strecke abbildbar), in der keine<br />
abzahlbare Menge dicht ist. Lasst man x diese Menge, y die Strecke 0 < y < 1<br />
durchlaufen, so geben die Punkte (x,y) eine "Flache" (jede Umgebung auf<br />
das Innere eines Kreises abbildbar) ohne abzahlbare dichte Menge, also sozusagen<br />
eine Riemannsche Flache mit unabzahlbar vielen Blattern. Dabei ist diese<br />
Flache<br />
0 1 2 3 (jj uj -\-l uj -\-2<br />
zusammenhangend! je zwei Punkte lassen sich durch eine stetige Curve x —<br />
ip{t), y = il;(t) verbinden. (Eine Flache, die in beliebig viele Blatter zerfallt, ist<br />
nattirlich ohne weiteres angebbar, z.B. die Ebenen z = const, eines R^).<br />
750
Anmerkungen<br />
[1] Gemeint sind die Grundziige der Mengenlehre, Leipzig 1914.<br />
[2] Das A in dieser Zeile ist im Original versehentlich klein geschrieben.<br />
[3] HAUSDORFF schreibt „kompakt" auch gelegentlich mit c.<br />
Kommentar: Gegenbeispiele in der Topologie^<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
Das von HAUSDORFF in seinem epochemachenden Buch Grundziige der Mengenlehre<br />
([H 1914a]) geschaffene Raumkonzept ist nicht nur sehr viel klarer,<br />
sondern auch erheblich allgemeiner als es unsere intuitiven, in der Regel an<br />
metrischen Raumen geformten Raumvorstellungen sind. Hierdurch bedingt ist<br />
die von Hausdorff geschaffene allgemeine Topologie ein<br />
[• • • ] Gebiet, wo schlechthin nichts selbstverstandlich und das Richtige<br />
haufig paradox, das Plausible falsch ist.^<br />
Folglich besteht die Allgemeine Topologie sowohl aus einem Geflecht positiver<br />
Resultate (Propositionen, Theoreme, KoroUare usw.) als auch aus einer Fiille<br />
von sog. Gegenbeispielen, d. h. Beispielen, welche die Diskrepanz zwischen intuitiven<br />
Raumvorstellungen und abstraktem Raumkonzept belegen. Flir viele<br />
Topologen macht gerade diese Zwiespaltigkeit einen besonderen Reiz der Topologie<br />
aus. Es gibt sogar ein Buch, das nicht positive Ergebnisse, sondern<br />
Gegenbeispiele zum Inhalt hat: [SS 1978].<br />
Da, wie bereits HAUSDORFF in [H 1914a] gezeigt hat, nicht nur jede Metrik,<br />
sondern auch jede lineare Ordnung auf einer Menge X in natiirlicher Weise eine<br />
Topologie auf X induziert, und da die metrischen Raume unseren intuitiven<br />
Raumvorstellungen naher sind als die linear geordneten topologischen Raume<br />
(linearly ordered topological spaces), kann es nicht verwundern, da6 letztere<br />
ein natiirliches Reservoir elementarer Gegenbeispiele liefern.<br />
Eines der klassischen derartigen Beispiele stellt das Lange Intervall nebst<br />
seinen Varianten dar.<br />
Im folgenden bezeichnen wir einen linear geordneten topologischen Raum<br />
vom Ordnungstyp<br />
• A der reellen Zahlen als reelle Gerade M<br />
• (1 + A)a;i als langes Intervall I<br />
• (1 -h A)a;i + 1 als lange Strecke S<br />
• A + (1 + A)cc;i als lange Halbgerade H<br />
• (A + '^)(^i^ + A + (A -h l)uJi als lange Gerade G.<br />
Diese sehr einfach gebauten topologischen Raume haben eine Reihe bemerkenswerter<br />
Eigenschaften. U. a. gilt:<br />
^Aus Sicht der Funktionentheorie ist Faszikel 223 im Band IV dieser Edition, S. 318-323<br />
kommentiert.<br />
2[H 1914a], S. V.<br />
751
1. Die lange Gerade G und die lange Halbgerade H sind fast (1-dimensionale)<br />
topologische Mannigfaltigkeiten.<br />
Genauer gilt: G und H sind zusammenhangende HausdorfTsche topologische<br />
Raume, die ofFene Uberdeckungen aus zu R homoomorphen Teilraumen,<br />
aber keine abzahlbare Basis besitzen.<br />
2. Die lange Gerade G, die lange Halbgerade H und das lange Inter vail I<br />
sind fast metrisierbar.<br />
Genauer gilt: G, H und I sind lokal metrisierbar (d. h. sie besitzen offene<br />
Uberdeckungen durch metrisierbare Teilraume) und normal (sogar erblich<br />
normal und koUektionsweise normal), aber weder perfekt-normal noch<br />
parakompakt, also nicht metrisierbar. Ferner ist keiner der Raume G^,<br />
H^ bzw. I^ normal.<br />
3. Das lange Intervall I ist fast kompakt.<br />
Genauer gilt: I ist lokal-kompakt, abzahlbar kompakt, metakompakt und<br />
sequentiell kompakt, aber kein Lindelof-Raum, also nicht kompakt. Ferner<br />
besitzt I genau eine vertragliche uniforme Struktur und genau eine<br />
Kompaktifizierung (die lange Strecke S).<br />
4. Die lange Strecke S ist fast ein Gegenbeispiel zum Satz von HAHN und<br />
MAZURKIEWICZ, der besagt, dafi jeder Hausdorffsche topologische Raum<br />
X, der die folgenden Bedingungen (a) - (d) erfiillt, bereits (e) - (g) erfiillt:<br />
(a) X ist kompakt,<br />
(b) X ist zusammenhangend,<br />
(c) X ist lokal zusammenhangend,<br />
(d) X hat eine abzahlbare Basis,<br />
(e) X ist stetiges Bild von [0,1],<br />
(f) X ist wegzusammenhangend,<br />
(g) X ist lokal-wegzusammenhangend.<br />
S erfiillt die Bedingungen (a) - (c), aber keine der Bedingungen (d) - (g).<br />
Dariiber hinaus dienen die Raume G, H, S und I als Bausteine zur Konstruktion<br />
komplizierterer Gegenbeispiele.<br />
Das lange Intervall und seine Varianten gehoren heute zur mathematischen<br />
Folklore. Obwohl sie in den meisten Lehrbiichern erwahnt werden, bleibt ihr<br />
Ursprung - selbst in einem so sorgfaltig recherchierten Buch wie [E 1989] -<br />
im Dunkel. Die naheliegende Vermutung, Spuren bereits bei CANTOR finden<br />
zu konnen, erweist sich als korrekt: Bereits 1883 wurde das lange Intervall von<br />
CANTOR als geordnete Menge (noch ohne Topologie) beschrieben:<br />
Die erweiterte ganze Zahlenreihe kann, wenn es die Zwecke erfordern,<br />
ohne weiteres zu einer kontinuierlichen Zahlenmenge vervoUstandigt werden,<br />
indem man zu jeder ganzen Zahl [d. h. Ordinalzahl] a alle reellen<br />
Zahlen x, die groBer als Null und kleiner als Bins sind, hinzufiigt.^<br />
3[C 1883], S.552 bzw. 171.<br />
752
HAUSDORFF hat sich, wie die Faszikel 121 und 223 seines Nachlasses zeigen, im<br />
Mai 1915 intensiv mit den topologischen Eigenschaften des langen Intervalls<br />
und der langen Halbgeraden beschaftigt und insbesondere festgestellt, dafi<br />
(a) die lange Halbgerade H fast eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (siehe<br />
oben), aber nicht separabel ist und somit keine abzahlbare Basis besitzt,<br />
(b) die lange Ebene H x (0,1) in analoger Weise fast eine 2-dimensionale<br />
Mannigfaltigkeit ist,<br />
(c) jeder (abzahlbar) kompakte metrische Raum eine abzahlbare Basis besitzt<br />
und somit separabel ist, wahrend das lange Intervall I ein nicht<br />
separabler, abzahlbar kompakter T2-Raum ist.<br />
Leider hat HAUSDORFF diese Ergebnisse nicht publiziert. Er hat sie jedoch<br />
TiETZE mitgeteilt. Dieser konstruiert das lange Intervall I als<br />
[• • • ] Beispiel eines absolut-kompakten [= abzahlbar kompakten], jedoch<br />
dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom nicht geniigenden Raumes, ein Beispiel,<br />
das ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn F. Hausdorff verdanke.^<br />
Durch Hinzufiigen eines Punktes gewinnt TiETZE als weiteres Beispiel die lange<br />
Strecke S. Da I nicht abgeschlossen in S ist, folgt, da6 ein abzahlbar kompakter<br />
T2-Raum nicht notwendig T2-abgeschlossen ist - ein Phanomen, das im Bereich<br />
der metrischen Raume nicht eintreten kann.<br />
Unabhangig hiervon konstruierte ViETORlS in [V 1921] - sich direkt auf<br />
CANTOR beziehend - die lange Strecke S als Beispiel eines linear geordneten<br />
zusammenhangenden, kompakten Raumes, der nicht separabel, also nicht<br />
stetiges Bild von [0,1] ist. In einer Fufinote merkt er an, dafi die beiden HAUS-<br />
DORFFschen Abzahlbarkeitsaxiome den Raum S ausschlossen und ihm deshalb<br />
als "zu eng" erschienen.<br />
Aus dem langen Intervall entsteht "durch Spiegelung am NuUpunkt" die<br />
lange Gerade. Sie wurde erstmals (ohne Hinweis auf HAUSDORFF, TIETZE oder<br />
ViETORis) von ALEXANDROFF (1896-1980) in der Arbeit [A 1924] auf Seite 295<br />
bei seiner Analyse des F/ac/ien-Begriffs beschrieben: Er konstruiert in [A 1924]<br />
neben der langen Geraden G auch die Flache 'S = G^ und merkt an:<br />
Die Flache 5, die die Gestalt einer nicht-Archimedischen Ebene hat, entspricht<br />
aber kaum dem anschaulichen Wesen einer geschlossenen Flache.<br />
Dieser Ubelstand wird vermieden, indem man statt der Kompaktheit<br />
die Bikompaktheit als charakteristische Eigenschaft der geschlossenen<br />
Flachen verlangt.^<br />
4[T 1924], S. 218.<br />
^[A 1924], S. 295.<br />
753
Es gibt inzwischen eine umfangreiche Literatur iiber (a) linear geordnete bzw.<br />
(b) linear ordnungsfahige topologische Raume. Wir nennen zu (a) den Ubersichtsartikel<br />
[L 1980] von LUTZER und zu (b) den Ubersichtsartikel [P 1998]<br />
von PURISCH.<br />
Literatur<br />
[A 1924] ALEXANDROFF, P.: Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten<br />
topologischen Rdume. Math. Ann. 92 (1924), 295-301.<br />
[C 1883] CANTOR, G.: Uber unendliche lineare Punctmannichfaltigkeiten.<br />
Nr. 5. Math. Ann. 21 (1883), 545-591; Ges. Abh., 186-209.<br />
[E 1989] ENGELKING, R.: General Topology - Revised and compl. ed., Heldermann,<br />
Berlin 1989.<br />
[L 1980] LuTZER, D.J.: Ordered topological spaces. Surveys in General Topology.<br />
G. M. REED (ed.). Academic Press, New York 1980, 247-295.<br />
[P 1998] PURISCH, S.: ^ history of results on orderability and suborderability.<br />
Handbook of the History of General Topology, Vol. 2. C. E. AuLL and<br />
R. LOWEN (eds.), Kluwer Acad. Publ., Dordrecht 1998, 689-702.<br />
[SS 1978] STEEN, L.A.; SEEBACH, J.A.: Counterexamples in topology. 2.<br />
Aufl., Springer, Berlin 1978.<br />
[T 1924] TiETZE, H.: Beitrdge zur allgemeinen Topologie. II. Uber die Einfuhrung<br />
uneigentlicher Elemente. Math. Ann. 91 (1924), 210-224.<br />
[V 1921] ViETORlS, L.: Stetige Mengen. Monatshefte f. Math. u. Phys. 31<br />
(1921), 173-204.<br />
754
NL HAUSDORFF: Kapsel 31: Fasz. 165<br />
[Metrisierung kompakter und normaler Raume]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 10.-22.7.1924. - 3 BU.<br />
Metrisirung kompakter Rdume<br />
10.7.24<br />
E sei ein topologischer kompakter Raum, in dem das 2. Abzahlbarkeitsaxiom<br />
gilt; die verschiedenen Umgebungen seien t/i, C/25 • - •; ihre abgeschlossenen<br />
Hiillen Vi, V2,... . Un werde als Umgebung Ux aller Punkte x e Un angesehen.<br />
Fiir X eUn giebt es eine Umgebung Up = Ux mit Vp Q Un- Fiir x ^ y giebt es<br />
Umgebungen Um — Ux^ Un = Uy mit VmVn = 0 („getrennte" Umgebungen).<br />
Man suche zu x ^ y alle solchen Paare getrennter Umgebungen Um, Un und<br />
fiir diese den kleinsten Werth von m-\-n; das Reciproke davon werde xy genannt.<br />
Also<br />
xy = max —• fiir x e Um, y ^ Un, Kn K = 0,<br />
n-\-m<br />
XX wird == 0 gesetzt. Es ist zu zeigen, dass xy einen Frechetschen Voisinage<br />
und damit einen Raum £ definirt; dass ferner £ mit £ homoomorph ist.<br />
I. Wenn X^ -> X, ist XXj, -^ 0. {x G Um^ , X^ G Un^ , Vm^ Vn^ = 0)<br />
Ware unendlich oft xx^, = > S, also m^ + n^^ < 7, so mlisste<br />
mindestens ein Werthpaar m, n unendlich oft vorkommen. Also fiir unendlich<br />
viele u<br />
XeUm, Xj^eUn, VmVn=0,<br />
was mit x^ —> x unvertraglich ist.<br />
II. Wenn xxi, —^ 0, ist Xiy -^ x.<br />
Ware nicht Xy ' «£/, oO gabe es {£ kompakt) eine Theilfolge Xp —^ y ^ x.<br />
Man schliesse x, y in getrennte Umgebungen Um, Un ein; dann ist schliesslich<br />
Xp eUn, also XXp > , im Widerspruch zu xx^ -^ 0.<br />
m-\-n<br />
III. Wenn x^ -^ x, y^ —^ x, ist Xyy^ —^ 0.<br />
Ware unendlich oft x^yy = > S, so gabe es (wie bei I) ein Werthrriu<br />
+ n^<br />
paar m, n mit Xy G Um, yu € Un (fiir unendlich viele i/), Vm Vn — 0; aber dann<br />
mlisste x eVm Vn sein.<br />
IV. Wenn x^ —^x^y^-^ y, Xy y^ —^ 0, so ist x = ?/. | BL iv<br />
Man schliesse, wenn x ^ y ware, x, y in getrennte Umgebungen Um, Un ein;<br />
dann ist schliesslich Xy G Um, y^ ^ Un, Xyyy > und nicht Xyyy -^ 0.<br />
m-\-n<br />
V. Wenn Xyyy -^ 0, yyZy -^ 0, so ist XyZy —> 0.<br />
Es giebt eine Theilfolge mit x^ -^ x, yp ^^ y, Zp -^ z. Nach IV ist x = y ^^^<br />
y = z, also X = z und nach III XyZy —> 0.<br />
755
Also xy ein voisinage; nach I, II ist £ mit £ homoomorph. Nach Chittenden<br />
Bl. 2 ist £ mit einem metrischen Raum £ homoomorph. [<br />
10. 7. 24<br />
Metrisirung kompakter Rdume<br />
£ sei ein topologischer kompakter Raum. Jede Umgebung Ux enthalt eine Umgebung<br />
Vx mit Vx ^ Ux {Vx abgeschlossene Hiille zu \4). Zwei Punkte x ^ y<br />
besitzen „getrennte" Umgebungen Ux^ Uy, namhch mit UxUy = 0.<br />
In £ gelte das 2. Abzahlbarkeitsaxiom; [/i, U2, ... seien die Umgebungen<br />
(jedes Un wird als Umgebung aller seiner Punkte angesehen).<br />
Fiir X ^ y sei xy = yx das Reciproke der kleinsten Indexsumme m -\- n fiir<br />
getrennte Umgebungen C/^, Un von x, y:<br />
xy = max fiir x G f/m, U ^ Un, U^Un = 0.<br />
Fiir X = y sei xy = 0. Ich zeige: xy ist ein voisinage (Prechet) und der hiermit<br />
definirte Raum £ ist mit £ homoomorph. Da £ wieder (Chittenden) mit einem<br />
metrischen Raum £ homoomorph ist, ist also £ metrisirbar.<br />
I. Wenn x^, —> 2;, y^ ^- z, so ist x^yjy -^ 0.<br />
Ware unendlich oft x^y^ = (Um , Un^ getrennte Umgebungen von<br />
Xu, yiy) > S > 0^ nriiy -\- riu < 7, so mlisste hierbei mindestens ein Werthpaar<br />
0<br />
m, n unendlich oft vorkommen: Xy G Um, Vv ^Un- Dann ware aber z G U^Un,<br />
im Widerspruch zu UniUn = 0.<br />
Insbesondere fiir y^y = x = z:<br />
II. Wenn Xiy -^ x, so ist xxi^ ^^ 0.<br />
III. (Umkehrung von I). Wenn Xi^ —> x, yiy —^ y, x^y^^ -^ 0, so ist x — y.<br />
Ware x ^ y^ Um, Un getrennte Umgebungen von x, 2/, so ware schliesslich<br />
^u G C/m? Vv G Un, ^vVy ^ ;<br />
m-\-n<br />
und nicht Xj^y^ ^^ 0. Insbesondere fiir y^, = y:<br />
BL 2v III*. Wenn Xj^ —> x, x^^y -^ 0, so ist x == y. |<br />
IV. Wenn xx^, -^ 0, so ist Xj, —> x.<br />
Andernfalls {£ kompakt) gabe es eine Theilfolge Xp -^ y, y 1^ x\ also Xp -^<br />
2/, XpX -^ 0, nach III* also y = x, Widerspruch.<br />
V. Wenn Xi^yiy —^ 0, yjyZi, -^ 0, so ist Xi,Ziy —> 0.<br />
Es giebt Theilfolgen: Xp ^^ x, yp ^^ y, Zp —^ z. Nach 111 ist x — y, y = z,<br />
d. h. X = z, nach I also XpZp —> 0. Xi^Zi, enthalt eine Theilfolge -^ 0; von jeder<br />
Theilfolge gilt dasselbe, also XjyZjy -^ 0.<br />
V zeigt die Eigenschaften des voisinage; II und IV die Homoomorphie von £<br />
BL 3 mit £. I<br />
756
Metrisirung normaler Rdume<br />
22. 7. 24<br />
Ein topologischer Raum £ heisst normal, wenn sich zwei disjunkte abgeschlossene<br />
Mengen Fi, F2 {F1F2 = 0) stets in zwei disjunkte offene Mengen Gi, G2<br />
einschliessen lassen (Fi C Gi, F2 C G2, G1G2 == 0). Diese Eigenschaft<br />
ist topologisch invariant; sie kommt den metrischen Raumen (Grundziige, S.<br />
335) und also den metrisirbaren zu. - Sind Gi, G2 wie oben gewahlt, so ist<br />
G1G2 = G2G1 = 0 (G2 C £: - Gi, G2 CJ -Gi;A bedeutet mein A^,). [Da<br />
demnach die abgeschlossenen Mengen Fi, G2 disjunkt sind, kann man sie in disjunkte<br />
offene Mengen Ti D Fi, T2 ^ G2 einschliessen und dann ist rir2 = 0,<br />
also riG2 = 0. D.h. man kann in einem normalen Raum die disjunkt en abgeschlossenen<br />
Mengen Fi, F2 auch in getrennte offene Mengen Fi, G2, d.h.<br />
mit riG2 = 0, einschliessen. Dies ist fiir das Folgende entbehrlich.] Also<br />
G1F2 = 0.<br />
Ist F abgeschlossen, G offen und F C G, so giebt es eine offene Menge F mit<br />
^^F, FCG.D.h. die abgeschlossenen Mengen F und S — G sind disjunkt<br />
und es giebt eine offene Menge T D F mit T{£ — G) = 0, F C G.- Schreiben wir<br />
A < B fiir Ac. B_ {A^ C J5i), so giebt es also in diesem Falle eine offene Menge<br />
F mit A 0 wie folgt. Es giebt gewiss zwei Indices<br />
p, q mit<br />
xeUp, Up
zwischen {x} und Uq eine interpolirende offene Menge G {x e G, G CUq) und<br />
insbesondere ein Up mit x G C/p C G. Es sei dann<br />
xy = max —— fiir (x, y\p,q) oder {y, x\p,q), (2)<br />
P + 9<br />
das Reciproke der kleinsten Indexsumme p-\-q dieser Art. Das Maximum wird<br />
natiirlich erreicht. Hingegen xx = 0.~ Damit ist ein voisinage (Prechet) definirt,<br />
d.h.<br />
I. Mit Xnyn -^ O5 ynZn ^ 0 ist auch XnZn -^ 0.<br />
Andernfalls ware fiir unendlich viele n<br />
XnZn = \ > £ > 0 ,<br />
Pn-^qn<br />
also wieder fiir unendlich viele n Pn = Pi 9n = ^5d.h. fiir unendlich viele n<br />
\p,q) Oder {zn,Xn \p,q), und eine dieser Relationen, etwa {xn,Zn \p,q)<br />
oder<br />
Xn G Up, Up •—, oder yn e £ -Uq^, {xn,yn\p,qi), Xnyn > —• (oder<br />
Pi-^q P + qi<br />
Beides). Jedenfalls widerspricht dies der Forderung x^yn ^^ 0, ynZn -^ ^'<br />
Der mit dem Voisinage xy ausgestattete Raum £ ist mit £ homoomorph. Denn:<br />
II. Mit Xn ^ y, Zn-^y ist XnZn -> 0. _<br />
Wie bei I wiirde sich andernfalls etwa (3) ergeben und dann y e. Up, y E<br />
£ — Uq im Widerspruch zu Up CUq. Speciell fiir Zn — y-<br />
III. Mit Xn ^^ X ist XnX —> 0. Und umgekehrt:<br />
IV. Mit XnX -^ 0 ist Xn -^ X.<br />
Andernfalls gabe es ein Ur, das x, aber unendlich viele Xn nicht enthalt; durch<br />
Interpolation {{x} < Up < Uq < Ur) wiirde man unendlich oft {x,Xn \P'>q)i<br />
xxn > erhalten.<br />
II und IV beweisen £ homoomorph f, £^ ist (Chittenden) metrisirbar, also auch<br />
£.<br />
758<br />
•7.
Commentary<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
The previous note contains on its third page HAUSDORFF'S own proof of<br />
URYSOHN'S metrization theorem:<br />
Jeder dem 11. Abzdhlbarkeitsaxiom genugende normale topologische Raum ist<br />
metrisierbar (d. h. einem metrischen Raume homoomorph)}<br />
The result was proved in [Ury 1925] and as mentioned there, URYSOHN talked<br />
about it in April 1924 at the Moscow Mathematical Society and again on July<br />
8, 1924, at the Gottingen Mathematical Society An earlier paper [Ury 1924]<br />
contains a weaker result (announced in [Ury 1923]):<br />
Ein kompakter topologischer Raum ist dann und nur dann metrisierbar, wenn<br />
er dem 11. Abzdhlbarkeits axiom genilgt.'^<br />
URYSOHN communicated that result in a letter to HAUSDORFF dated 18. 4.<br />
1923. Footnote 7 in [Ury 1924], p. 275, contains a note showing that HAUS<br />
DORFF orally communicated to URYSOHN his own proof using CHITTENDEN'S<br />
metrization result:<br />
Ubrigens erlaubt der Chittendensche Satz auch den zweiten Teil des Beweises<br />
des in dieser Arbeit behandelten Satzes erheblich zu vereinfachen:<br />
insbesondere hat mir Herr F. Hausdorff einen erstaunlich einfachen Beweis<br />
miindlich mitgeteilt.<br />
The proof by URYSOHN of the "compact" case is very long and complicated,<br />
but HAUSDORFF'S proof is quite short and easy. The new proof by URYSOHN<br />
from [Ury 1925] is essentially the proof used now (it uses Urysohn's lemma for<br />
normal spaces).<br />
URYSOHN wrote to HAUSDORFF about an improvement of his metrization<br />
theorem for normal spaces on May 21, 1924. The letter contains the result but<br />
no proof. HAUSDORFF tried to find a proof of his own after getting that letter of<br />
May 21. In the note from July 10, 1924, he proved URYSOHN'S first metrization<br />
theorem for compact spaces. Compactness is used twice there. First, in proving<br />
the existence of a countable open base {Un\ having the property that any<br />
two distinct points x and y have distinct neighborhoods Un and Um such that<br />
Un n Um — 0 (then a distance d(x, y) is defined as max{l/(m + n); x G C/n, 2/ ^<br />
Um^ Un n Um = 0})- Sccoud, in the proof that if the distances between x and<br />
Xi go to zero, then {xi} converges to x (if not, one can choose a subsequence<br />
converging to another point).<br />
The second note is from the same day 10. 7.1924 and omits using compactness<br />
in the second case mentioned above.<br />
Finally, on 22.7.1924, HAUSDORFF replaced compactness by normality in<br />
the construction of the open base with the Urysohn-like property.<br />
We should remark that the defining property of normality appeared in [Vie<br />
1921], where VIETORIS proved that every compact space has that property.<br />
i[Ury 1925], p. 310.<br />
2 [Ury 1924], p. 275.<br />
759
Independently it appeared in [Tie 1923] under the name axiom (H) and in<br />
[AlUr 1924] under the name used now. The latter paper contains also the result<br />
that every compact space is normal.<br />
The approach used by HAUSDORFF (namely, to construct a FRECHET distance<br />
instead of a metric itself) is not used very often today. For him it could have<br />
been natural because he studied in detail FRECHET'S distances and CHITTEN<br />
DEN'S metrization result. For instance, in 1915 he proved (Kapsel 33, Fasz.225)<br />
that there is a FRECHET distance on the space of real numbers M that is not<br />
continuous as a function on R x R (note that a metric is always continuous as a<br />
function of two variables). In May 1924 (Kapsel 31, Fasz.164) he went through<br />
CHITTENDEN'S proof that FRECHET'S distance space is homeomorphic to a metrizable<br />
space. Thus, it seems clear that CHITTENDEN'S metrization was fresh in<br />
his memory. We should also mention that ALEXANDROFF and URYSOHN used<br />
metrization via the CHITTENDEN'S result in their paper [AlUr 1923] where they<br />
characterized metrizable spaces by means of a collection of covers - called a<br />
development today).<br />
Of course, it is easier to construct a FRECHET distance since it need not satisfy<br />
the triangle inequality. For that reason the distance defined by HAUSDORFF<br />
is quite simple. Nevertheless, another metrization must then be used. URY-<br />
SOHN'S construction is more complicated but directly defines a metric. Another<br />
difference is that HAUSDORFF does not need to use the deep Urysohn lemma<br />
in his construction.<br />
At the end of [Ury 1925] the author asks whether normality can be replaced<br />
by regularity. The positive answer to that question was given by TYCHONOFF<br />
in 1926.<br />
A characterization of metrization by means of open bases for non-separable<br />
spaces waited for 25 years. First, A.H.STONE [Sto 1948] generalized to nonseparable<br />
spaces ALEXANDROFF's result on locally finite bases:<br />
Every metric space contains both a a-locally finite base and a a-discrete open<br />
base.<br />
Shortly after that, BiNG, NAG ATA and SMIRNOV proved their famous metrization<br />
theorems:<br />
A regular space is metrizable iff it has a a-discrete open base (BING).<br />
A regular space is metrizable iff it has a a-locally finite open base (NAGATA,<br />
SMIRNOV).<br />
References<br />
[AlUr 1923] ALEXANDROFF, P. S. and URYSOHN, P, S.: Une condition necessaire<br />
et suffisante pour qu'une classe (L) soit une classe (D). C.R. Acad.<br />
Paris 177 (1923), 1274-1276.<br />
[AlUr 1924] ALEXANDROFF, P.S. and URYSOHN, P.S.: Zur Theorie der<br />
topologischen Rdume, Math. Ann. 92 (1924), 258-266.<br />
760
[Bing 1951] BiNG, R. H.: Metrization of topological spaces. Canad. J. Math.<br />
3 (1951), 175-186.<br />
[Chi 1917] CHITTENDEN, E. W,: On the equivalence of ecart and voisinage.<br />
Trans. Amer. Math. Soc. 18 (1917), 161-166.<br />
[Nag 1950] NAGATA, J.: On a necessary and sufficient condition of metrizahility.<br />
J. Inst. Polytech. Osaka Univ. 1 (1950), 93-100.<br />
[Smi 1951] SMIRNOV, J. M.: On metrization of topological spaces (Russian).<br />
Uspekhi Mat. Nauk 6 (1951), 100-111.<br />
[Sto 1948] STONE, A. H.: Paracompactness and product spaces. Bull. Amer.<br />
Math. Soc. 54 (1948), 977-982.<br />
[Tie 1923] TiETZE, H.: Beitrdge zur allgemeinen Topologie I: Axiome fiir<br />
verschiedene Fassungen des Umgebungsbegrijjs. Math. Ann. 88 (1923),<br />
290-312.<br />
[Ty 1926] TYCHONOFF, A. N.: Uber einen Metrisationssatz von P. Urysohn.<br />
Math. Ann. 95 (1926), 139-142.<br />
[Ury 1923] URYSOHN, P.S.: Sur la metrisation des espaces topologiques.<br />
Bull. Acad. Polon. Sci. (1923), 13-16.<br />
[Ury 1924] URYSOHN, P.S.: Uber die Metrisation der kompakten topologischen<br />
Raume. Math. Ann. 92 (1924), 275-293.<br />
[Ury 1925] URYSOHN, P. S.: Zum Metrisationsproblem. Math. Ann. 94 (1925),<br />
309-315.<br />
[Vie 1921] ViETORiS, L.: Stetige Mengen. Monatshefte fiir Math. Phys. 31<br />
(1921), 173-204.<br />
761
NL HAUSDORFF: Kapsel 31: Fasz. 166<br />
Der metrische separable Universalraum<br />
Hs. Ms. - Bad Nauheim, Mitte August 1924. - 2 BU.<br />
Nauheim, Mitte August. (Urysohn + 17.8.1924)<br />
Der metrische separable Universalraum<br />
Es soil ein separabler Raum construirt werden, der zu jedem separablen<br />
Raum eine isometrische Theilmenge enthalt.<br />
Sind pi,p2,.. • ,Pn ^ (nicht nothwendig verschiedene) Punkte eines metrischen<br />
Raumes, so erfiillen ihre Entfernungen aik = PiPk die Bedingungen<br />
an==0, aik^aki>0, aij-\r ajk > aik (z, j,/c = 1,2,... ,n) (1)<br />
Die Matrizen<br />
( ail<br />
• • • air,<br />
^nl * * * ^nr<br />
WO n = 1,2,... und die Elemente aik den Bedingungen (1) geniigen, soUen als<br />
Elemente eine metrischen Raumes 14 in folgender Weise definirt werden. 1st<br />
zunachst<br />
(<br />
ail • • • aim \<br />
j {m
wo a^,f3jy die Abschnitte von am,Pn durchlaufen. (Wenn m = 1 oder n = 1,<br />
fallen die betreffenden Glieder fort, aipi ist = 0 zu setzen, da alle Matrizen<br />
Oil = (3i = (0) sind.) Die Formel (2) definirt amPn ftir m + n = s, falls die<br />
Entfernungen bereits fiir m + n < s bekannt sind.<br />
Beispiele: a2p2 = |Q^2cei - Oiip2\ = |«12 - ^i2|-<br />
^3^2 = m8ix\asai-ail32\, 10^30^2-0^2/^2! = max|ai3-6121, 1^23 - 1^12-^i2|| •<br />
Es gilt nun allgemein das Dreiecksaxiom<br />
OimPn + Pnjp > Oimlp - (3)<br />
I Wir beweisen das inductiv durch den Schluss von m+n+p < 5 auf m^-n-\-p = Bl. iv<br />
s. (Fiir m H- n + p = 3, d. h. m = n == p = 1, ist es richtig.) Es ist<br />
otmlp = max \amay, - Q;^7p|, \amliv ~ TTTTPI •<br />
/2
Beilaufig ist hi selbst nicht vollstandig, also U 0 isometrische Menge.<br />
V enthalt eine mit der ganzen Geraden isometrische Menge, also z. B. einen<br />
Punkt ^, der von 0^2 die Entfernung x -\- p hat {p eine positive Constante) fiir<br />
^ 1 • f<br />
M ^M.<br />
a<br />
jedes X. Dieses (5 ist aber kein Element von ZY, d. h. keine Matrix (3^ Denn dann<br />
ware fur 1/ = 2,... ,n<br />
/?^Q:2 =max|/?^/5i-/?ia2|, \(3vp2-p20^2\, •--APvPu-i-liu-ioi.2\ {Pia2 = x).<br />
Fiir hinlanglich grosses x, z. B. x > /3iP2 + iS2/?3 + • • • + f3n-i(3n, folgt aber<br />
daraus /3iya2 = x — /SiPiy, denn wenn dies bereits fiir die Werthe 1,2,...,?/ — 1<br />
gilt, ist<br />
/9^a2 = max[x - f3if3u, x - /3i/?2 - f32l3u,..., x - f3i^i,-i - (3y-i(3^] ^x~ /3if3^.<br />
Also ist I3n0i2 = X — l3if3n =X—p^X-\-p.<br />
Homogenitdt des Raumes V.<br />
Wir bezeichnen wie bisher mit gleichen griechischen Buchstaben Matrizen, von<br />
denen die mit kleinerem Index Abschnitt der andern ist. Wird dies nicht vorausgesetzt,<br />
so soUen die Matrizen mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden,<br />
wobei auch der Index nicht die Reihenzahl der Matrix bedeuten muss. Z. B.<br />
ai = am =<br />
Eine Folge (cei, 0:2,0^3,...) heisse eine kanonische Folge. - Isometric werde mit<br />
~ bezeichnet:<br />
(ai, a2,..., ttn) ~ (&i, &2, • • •, K)<br />
heisst also: aiak = bibk-<br />
I. Ist (^1,65 • • •,$n-i,^n) ~ (6,65 • • • 5Cn-i,(^m) uud kommcu allc Abschnitte<br />
von am unter den Matrizen ^1,... ,^n-i vor (Gleichheit in unserem Sinne<br />
verstanden), so ist auch ^^ = c^m- Denn<br />
CnO^m = max l^ri^ry " Cu0^m\ , l^nO^/j, "
Bl. 2v {am, l3n, 7p, • • •) ist Theilfolge einer kanonischen Folge. |<br />
11. Ist (^1,..., Cm 7 Cm+i) Abschnitt einer kanonischen Folge und (ai,..., a^) ~<br />
(Ci5 • • • ,Cm), so giebt es eine Matrix am+i derart, dass (ai,... ,am,CLm+i) ~<br />
(Ci5 • • • ?Cm,Cm+i). Der Beweis wird ftir m = 3 geniigend klar. Es soil zu<br />
(Q;^,/?n,7p) ~ (Ci,6,6) eine Matrix Sq mit (a^,/3n,7p,
Commentary<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss^<br />
A universal space for a class C of metric spaces is a metric space containing<br />
isometric images of all spaces from C. It is nice if the universal space also<br />
belongs to C and even better if it is uniquely determined up to isometry by<br />
some additional property<br />
As shown by FRECHET in 1910, the space Zoo is universal for the class<br />
of separable metric spaces. However, Zoo fails to be separable. In [Pre 1925],<br />
FRECHET repeats his result from 1910 and asks whether a separable universal<br />
space exists. During the summer of 1924 he informed ALEXANDROFF and URY-<br />
SOHN about the question. URYSOHN solved the problem shortly after he and<br />
ALEXANDROFF visited HAUSDORFF. URYSOHN constructed a complete, separable<br />
universal space V for the class of all separable metric spaces. Moreover, he<br />
showed that V is determined uniquely, up to isometry, by a suitable homogeneity<br />
property. URYSOHN mentioned his result in a letter to HAUSDORFF dated<br />
August 3, 1924. The letter does not give any details of URYSOHN'S construction.<br />
However it refers to the existence, homogeneity, and uniqueness results.<br />
HAUSDORFF attempted to find his own construction. In his notes, which begin<br />
on August 9, 1924 (Kapsel 31, Pasz. 162), he first recalls that Zoo is a universal<br />
space for all separable metric spaces, but is not separable itself. Continuing on<br />
August 10, he provides an independent construction of a universal separable<br />
metric space, and begins, but does not finish, a proof that it has the same homogeneity<br />
and uniqueness properties as URYSOHN'S universal space. The notes<br />
contain many changes and corrections.<br />
HAUSDORFF informed URYSOHN and ALEXANDROFF of his approach in a<br />
letter dated August 11 - adressing them as "Herren Inseparables"."^ He described<br />
his universal space in detail and admitted that he had not yet checked its<br />
homogeneity. He also asked for details of URYSOHN'S construction. It is very<br />
likely that URYSOHN received the letter but did not manage to reply; he died<br />
on August 17, 1924.<br />
URYSOHN'S construction was posthumously announced in [Ury 1925] and was<br />
published in [Ury 1927]; the texts were prepared by ALEXANDROFF without<br />
mentioning HAUSDORFF's approach.<br />
HAUSDORFF'S remarks (Kapsel 31, Pasz. 166), published on the previous<br />
pages, are taken from his notes of the middle of August. The last part deals<br />
with the homogeneity of his universal space.<br />
Both HAUSDORFF and URYSOHN first construct a universal space for some<br />
(at most countable) metric spaces. Its completion is the required universal<br />
separable metric space. URYSOHN'S first step provides a countable space UQ<br />
^The authors wish to thank V. M. TiKHOMiROV and V. V. USPENSKII for kindly informing<br />
them of HAUSDORFFS August 11, 1924 letter to URYSOHN and W. PURKERT for providing a<br />
rare paper concerning that letter.<br />
^The letter was published by V. M. TiKHOMiROV in Russian translation in "Voprosy istorii<br />
jestestvoznanija i techniki", No. 4 (1998), 67-69.<br />
766
that is universal for all countable metric spaces having rational distances; i. e.,<br />
the metric has values in the set Q of rational numbers. HAUSDORFF'S first step<br />
provides a space U that is universal for all countable metric spaces. URYSOHN'S<br />
space f/o is the set of all finite subsets of Q supplied with a metric defined by<br />
induction on the size of these sets. HAUSDORFF'S space U is the set of matrices<br />
of distances of finite (ordered) metric spaces supplied with a metric defined by<br />
induction on the size of these finite spaces.<br />
It is not easy to show that the distance function constructed by URYSOHN<br />
satisfies the triangle inequality and thus yields a metric. Work is also needed to<br />
show that this space is universal for countable (in fact, even for finite) spaces<br />
with rational distances and that the completion of C/Q is universal for all finite<br />
spaces. In contrast, it is easy to show that HAUSDORFF'S distance function<br />
satisfies the axioms for pseudometrics, and that this space is universal for all<br />
countable metric spaces.<br />
The completions of each of the spaces U and ^o are universal for separable<br />
metric spaces; they are also themselves separable and satisfy the following<br />
homogeneity property:<br />
(*) Any isometry between finite subspaces A and B can be extended to an<br />
isometry of the entire space.<br />
In fact, HAUSDORFF proved such homogeneity only for the space U and<br />
remarked that the result could be extended to the completion V. Such an<br />
extension is not difficult to establish using part II of his notes (see [Hus 2006]).<br />
URYSOHN proved that any two spaces that are universal for separable metric<br />
spaces and that are separable, complete, and have the above homogeneity<br />
property must be isometric. Consequently the universal spaces constructed by<br />
URYSOHN and by HAUSDORFF are isometric, even though their descriptions are<br />
different. HAUSDORFF'S approach, however, seems to be simpler and shorter.<br />
URYSOHN demonstrated that V satisfies other desirable properties such as<br />
arc-connectedness, local arc-connectedness, and universality and homogeneity<br />
of spheres. However he showed by example that the homogeneity property (*)<br />
cannot be extended to uncountable subspaces A and B of V; S. MROWKA in<br />
[Mro 1953] showed that homogeneity could not be extended to all countable<br />
subspaces A and B of V. Even more was proved in [Huh 1955]: namely, there<br />
are closed, countable isometric subsets of F, the isometry of which cannot be<br />
extended to V] but every isometry of totally bounded subsets of V extends to<br />
an isometry of V.<br />
The Banach-Mazur Theorem of 1932 asserts that the separable Banach space<br />
(7[0,1] is also universal for the class of all separable metric spaces. A topological<br />
proof was given by SlERPlNSKi in 1945 (announced in 1940), where he also<br />
investigated universal spaces for metric spaces with bounded cardinality. The<br />
Banach space C[0,1] does not satisfy the above homogeneity property.<br />
In several recent papers, A.M. VERSHIK deals with universal separable metric<br />
spaces. He uses representations similar to the one given by HAUSDORFF by<br />
767
means of distance matrices; (he was unaware of HAUSDORFF'S notes). VERSHIK<br />
summarized most known results and references on this topic in [Ver 2004]; he<br />
also extended some results to probability metric spaces.<br />
Since compact metric spaces are separable, V contains isometric copies of all<br />
of them. However TUMARKIN proved in [Tum 1956] that there is no compact<br />
metric space that is universal for the class of all compact metric spaces and that<br />
there is not even a compact metric space universal for the class of all compact<br />
metric spaces with diameter less than a given positive constant.<br />
Answering a question of URYSOHN, M. KATETOV in [Kat 1986] constructed a<br />
universal separable metric space satisfying (*) that is non-complete - it is of first<br />
category. Moreover he found another approach to constructing universal spaces<br />
that also works for higher cardinalities. KATETOV calls the above property (*)<br />
for cardinalities of |A|, |5| less than an infinite cardinal K Ac-homogeneity; the<br />
statement (*) is just the assertion of a;-homogeneity. A metric space M is said<br />
to be (strongly) /^-universal if every metric space of cardinality at most K (or<br />
of weight at most K, resp.) can be embedded isometrically into M. KATETOV<br />
proved that for uncountable K, with K = supj^c'^; X < K,} there exists exactly one<br />
(up to isometry) strongly ^-universal, /^-homogeneous metric space of weight<br />
hi and that space is complete; and for K < s\ip{hi^;X < K} there exists no<br />
/^-universal, /^-homogeneous space of weight K,.<br />
By using some of KATETOV'S methods, V. V. USPENSKII showed that V is<br />
homeomorphic to the separable Hilbert space I2 ([Usp 2004]). He also showed<br />
in [Usp 1990] that the group of isometrics of V has many interesting properties,<br />
e. g., it is universal for all topological groups having a countable base.<br />
References<br />
[Fre 1925] FRECHET, M.: L'expression la plus generale de la "distance''sur<br />
une droite. Amer. J. Math. 67 (1925), 1-10.<br />
[Huh 1955] HUHUNAISVILI, G. E.: On a property of Uryson's universal metric<br />
space (Russian). Dokl. Akad. Nauk SSSR 101 (1955), 607-610.<br />
[Hus 2006] HuSEK, M.: Urysohn universal space, its development and Hausdorff's<br />
approach. Submitted to Proc. Workshop on Urysohn Universal<br />
Space, Ben Gurion Univ., Beer Sheva 2006.<br />
[Joi 1971] JOINER, CH.: On Urysohn's universal separable metric space.<br />
Fund. Math. 73 (1971/72), 51-58.<br />
[Kat 1986] KATETOV, M.: On universal metric spaces. Proc. 6th Prague<br />
Top. Symp. 1986 (Heldermann Verlag, Berlin 1988), 323-330.<br />
[Mro 1953] MROWKA, S.: Solution d'un problme d'Urysohn concernant les<br />
espaces metriques universels. Bull. Acad. Polon. Sci. 1, (1953). 233-234.<br />
[Tum 1956] TuMARKiN, L. A.: On a universal metric space for compacta<br />
(Russian). Vestnik Moskov. Univ. 11 (1956), no. 2, 15-19.<br />
768
[Sie 1945] SIERPINSKI, W: Sur un espace metrique separable universel Fund.<br />
Math. 33 (1945), 115-122.<br />
[Ury 1925] URYSOHN, P.: Sur un espace metrique universel C.R.Acad. Sci.<br />
Paris 180 (1925), 803-806.<br />
[Ury 1927] URYSOHN, P.: Sur un espace metrique universel. Bull. Sci. Math.<br />
51 (1927), 43-64, 74-90.<br />
[Usp 1990] USPENSKII, V.V.: On the group of isometrics of the Urysohn<br />
universal metric space. Comment. Math. Univ. Carolin. 31 (1990), 181-<br />
182.<br />
[Usp 2004] USPENSKII, V.V.: The Urysohn universal metric space is homeomorphic<br />
to a Hilbert space. Top. Appl. 139 (2004), 145-149.<br />
[Ver 2004] VERSHIK, A. M.: Random metric spaces and universality (Russian).<br />
Uspekhi Mat. Nauk 59 (2004), 65-104.<br />
769
NL HAUSDORFF: Kapsel 33: Fasz. 273<br />
Raume £^*<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 2.6. - 28.6.1927. - 6 BU.<br />
Rdume £*,<br />
I. 2.6.27<br />
8 sei ein metrischer Raum, worin das Dreiecksaxiom in der scharferen Fassung<br />
xz < max [xy^ yz] (1)<br />
gilt. Z. B. ein Bairescher Raum, oder ein linearer Raum, der auf einer Betragsdefinition<br />
mit<br />
\x^y\ yz, so<br />
ist xz < xy; zugleich ist xy < max [xz, yz], und da nicht xy < yz ist, notwendig<br />
xy < xz, also xz = xy. Es giebt kein Dreieck mit drei verschiedenen Seiten,<br />
sondern nur gleichschenklige (mit zwei gleichen und einer kleineren Seite) und<br />
gleichseitige. Dasselbe gilt von (2); es ist |x + ^/l = \^\ f^^ \y\ < kl-<br />
Wenn Xn —^ x, so ist fiir jeden Punkt a ^ x schliesslich Denn<br />
in ax < msix[aXn,Xnx] strebt axn -^ ax > 0, XnX ^^ 0, also ist schliesslich<br />
(jbXfi ^ XfiX, UiX — ClXifim<br />
Ist £ separabel, so nehmen die samtlichen Entfernungen hochstens abzahlbar<br />
viele Werte an. Denn sei {ai, a2,...} in £^ dicht; es kommen dann keine anderen<br />
Entfernungen vor als apaq. Ist in der That x ein von den an verschiedener Punkt<br />
und ap -^ X {p durchlauft eine Folge natiirlicher Zahlen), so ist, fiir jedes q, xaq<br />
schliesslich (fiir hinreichend grosses p) gleich apaq. Und ist y ein weiterer, von x<br />
Bl. iv I und von den an verschiedener Punkt, so ist xy schliesslich = apy. Ein solcher<br />
Raum ist punkthaft.<br />
In einem linearen Raum dieser Art ist fiir eine Fundamentalfolge Xn notwendig<br />
und hinreichend, dass Un = Xn—Xn-i -^ 0. Denn ist |ii^+i|, |ix^+2|, • - < e,<br />
so ist fiir n > m<br />
\Xn - Xm\ = \Uni-\-l H h l^n| < Hiax |tA^| < S .<br />
m+l
1st S in S dicht, und erfiillen die Punkte in £ das verscharfte Dreiecksaxiom,<br />
so auch die in £. Die voUstandige Hiille eines Raumes dieser Art ist wiederum<br />
von derselben Art.<br />
(Angeregt durch J. Kiirschak, Uber Limesbildung und allgemeine Korpertheorie,<br />
Crelles Journal 142 (1913), S. 211-253).<br />
Die spharischen Umgebungen Ua unseres Raumes sind immer zugleich offen<br />
und abgeschlossen. Denn Ua habe den Radius p, bestehe also aus alien Punkten<br />
X mit ax < p. Ist y ein (von a verschiedener) Haufungspunkt von Ua,<br />
giebt es also eine Folge a^n ^ 2/, so ist schliesslich ay — axn < p, y gehort zu<br />
Ua- Demnach ist £ immer punkthaft (auch wenn er nicht separabel ist) und<br />
zwei Punkte x ^ y gehoren zu verschiedenen Komponenten, sogar Quasikomponenten.<br />
Denn ist p < xy und Ux die Umgebung von x mit Radius p, so ist<br />
£ — Ux -\- {£ — Ux) eine Zerstiickelung, bei der x, y getrennt werden. Da Ux<br />
beliebig klein sein kann, ist £ nulldimensional. \ Bl. 2<br />
Beispiel eines nicht separablen Raumes £. Die Elemente von £ seien die<br />
reellen Funktionen x = x{t) im Intervall 0 < t < 1.^ Fiir die identisch verschwindende<br />
Funktion 0 werde |0| = 0 gesetzt. Falls x ^0, x{t) nicht identisch<br />
verschwindet, sei ^ die obere Grenze der t mit x{t) 7^ 0 (0 < ^ < 1). Dann<br />
ist ^ = \x\ ein zulassiger Betrag. Die Giiltigkeit von (2) ist so zu beweisen: sei<br />
^ =: \x\, rj = \y\, ( — max [^, r]]. Wir konnen ^^0, 777^0, C ^, y{t) = 0 fiir t > ry,<br />
also flir t > (: x{t) = y{t) = x{t) 4- y{t) = 0, demnach \x + y\ < (. - Da hier<br />
alle Werte 0 < ^ < 1 als |x| vorkommen (z. B. fiir die Funktionen x{t) = 1 fiir<br />
0
mit beliebigem Radius p{x) > 0. Die Summe<br />
if =6 U{x,pix))<br />
xEF<br />
dieser Umgebungen ist offen, aber auch abgeschlossen. Denn sei yn G H, yn -^<br />
z; zu jedem yn giebt es ein Xn ^ F mit Xnyn < p{^n) = Pn- Entweder ist<br />
]imxnyn = 0; es giebt eine Teilfolge Xpyp -^ 0, Xp -^ z, z e F C H. Oder<br />
Iimxr7^r7 > 0, also schliesslich Xnyn ^ cr > 0. Dann ist XnZ < m.8ix[xnyniynz]<br />
schliesslich < Xnyn < Pn-, z £ U{xn,Pn) ^ H.<br />
Daraus folgt: ist F abgeschlossen, G offen, F C G, so giebt es eine Menge H<br />
(zugleich offen und abgeschlossen) mit F C H C G.<br />
Denn man braucht nur die U{x,p{x)) C G zu wahlen.<br />
D. h. man kann sagen, der Raum £^* ist nicht nur in Bezug auf die Punkte,<br />
sondern auch in Bezug auf die abgeschlossenen Mengen nuUdimensional; jedes<br />
F hat eine behebig kleine (d.h.m G ~^ F enthaltene) Umgebung H, die eine<br />
leere Begrenzung hat.<br />
Kommt diese Eigenschaft jedem nulldimensionalen Raume zu? (gewiss, wenn<br />
Bl. 3v er separabel ist). Ist sie hinreichend fiir Homoomorphie mit f *? |<br />
Ein Raum f * Idsst sich in disjunkte offene Mengen von beliebig kleinen Durchmessern<br />
spalten (diese sind in Folge dessen auch abgeschlossen, d.h. Mengen<br />
H).<br />
Denn sei N = N{p) ein Netz, d. h. eine nicht erweiterungsfahige Menge von<br />
Punkten a,b,..., die paarweise Entfernungen > p > 0 haben. Dann ist<br />
N<br />
S = Y,U{a,p)<br />
a<br />
eine Spaltung in solche Mengen von Durchmessern < p. In der That: zwei<br />
verschiedene Mengen U{a,p), U{b,p) sind disjunkt, da aus x G U{a,p) U{b,p)<br />
folgen wiirde ax < p, bx < p, ab < p. Ihre Summe ist der ganze Raum, denn<br />
jeder Punkt x hat zu mindestens einem a G AT (und nur einem) die Entfernung<br />
< p, sonst ware das Netz durch x erweiterungsfahig. Die Mengen U{a, p) haben<br />
Durchmesser < p, denn aus ax < p, ay < p folgt xy < p. Bringt man eine solche<br />
Spaltung zum Durchschnitt mit einer offenen (abgeschlossenen) Menge, so<br />
lasst sich diese in disjunkte offene (abgeschlossene) Mengen mit beliebig kleinen<br />
Durchmessern spalten.<br />
Ein Raum £ mit dieser Eigenschaft ist mit einem Raum £* homoomorph.<br />
Es sei £ = ^^ Gai eine Spaltung in disjunkte offene Mengen von Durchmessern<br />
< 1; sodann werde jedes G^^ = ^^^ Gaia2 i^ disjunkte offene Mengen von<br />
Durchmessern < - gespalten, ebenso GQC^Q,^ = Ylas Gotia2a3 init Durchmessern<br />
772
- u.s.f. ai durchlauft irgend eine Menge, etwa von Ordnungszahlen, a2 eine<br />
(eventuell von ai abhangige), as eine (eventuell von ai,a2 abhangige) u.s.f.;<br />
alle Summanden seien D 0. Jeder Punkt x von S gehort einem und nur einem<br />
Gai an, I dann einem und nur einem G^-^a^^ •••5 ^^ bestimmt eine Indices- Bl. 4<br />
folge a — (ai, 0^2,...) so, dass x G G^^ Gaia2 Gaia2a3 ' • • • Zu verschiedenen x<br />
gehoren verschiedene Folgen, weil Go,^ Gaia2 ''' wegen d{Gaia2-.-an) ~^ ^ ^^^<br />
einpunktig ist. Wir definiren dann, wenn x ^ y zu a, 0 gehoren und k die erste<br />
Differenzstelle dieser Folgen ist, Wy = —. (Bairescher Raum). Der so definirte<br />
Raum S erfiillt das verscharfte Dreiecksaxiom; er ist aber zu £ homoomorph.<br />
Denn: x sei fest, y beschreibe eine Folge. Wenn xy —> 0, so liegt fiir jedes k y<br />
schliesslich in der ofFenen Menge Gai...ak' ^ ^ T' ^^^^ xy ^^ 0. Wenn xy -^ 0^<br />
so ist schliesslich 'xy < —, x und y gehoren zu G^i a^ ^it dem Durchmesser<br />
k<br />
< —, xy < -; also xy -^ 0.<br />
k k<br />
Betrachten wir die beiden Eigenschaften:<br />
{a) E lasst sich in disjunkte offene Mengen von beliebig kleinen Durchmessern<br />
spalten.<br />
{0) Zu F C G giebt es ein i7 mit F C iJ C G.<br />
(/3) ist Folge von [a). Denn ein Raum £ mit (a) ist mit einem Raum £""<br />
homoomorph; dieser und £ hat die Eigenschaft (/?). ((o;) ist keine topologische<br />
Eigenschaft!)<br />
Man kann auch (/?) direkt als Folge von (a) herleiten. £ lasst sich nach<br />
Voraussetzung in<br />
M<br />
£ — 2_^ ^^<br />
m<br />
spalten, wo die Hm off en und disjunkt sind. Bei jeder Spaltung<br />
Ml M2<br />
£ = 2^ ^^ ~^ A^ ^^<br />
m m<br />
sind beide Summanden offen, also auch abgeschlossen, d. h. Mengen H. Nun sei<br />
F C.G und der untere Abstand 8{F, £ — G) = a zunachst > 0. Wir spalten £ —<br />
Y^ Hm mit Durchmessern d{Hm) < p < o- und setzen H = J^^ Hm {FHm 'D<br />
0); dies ist offen und abgeschlossen, H D F. Aber auch H C G. Denn zny e H<br />
giebt es ein | x G F mit xy < p; fiii z E £ — G ist xz > cr, yz > xz — xy > Bl. 4v<br />
a- p; 6{H,£ - G) > a - p > 0, also H {£ - G) ^ 0, H C G. - Ist sodann<br />
6{F,£ — G) — 0, so sei F^ die abgeschlossene Menge der Punkte von F mit<br />
S(x,£ — G) > —, also S(Fn,£ — G) > —, F = Q Fn • Nun konnen wir wie<br />
n n<br />
soeben ein Hn mit F^ C Hn C G so bilden, dass zu jedem Punkt yn von Hn<br />
ein Punkt Xn von F^ mit Xnyn ^ TT existirt. Fiir H = & Hn ist F C H C. G.<br />
773
H ist offen, aber zugleich abgeschlossen; denn ist y^ —^z^ Up ^ Hp {p -^ oo),<br />
und wird Xp wie oben bestimmt, so ist Xpijp —> 0, Xp -^ z, wegen Xp e F also<br />
z e F; wahrend, wenn unendlich viele Punkte eines und desselben Hp nach z<br />
konvergiren, z E Hp C H ist.<br />
28. 6. 27<br />
Die Eigenschaft (a) lasst in einem Raume £* noch folgende Verscharfung<br />
zu. Wir ordnen jedem Punkt x des Raumes £ (= f *) eine positive Zahl px zu.<br />
Dann giebt es eine Spaltung<br />
in disjunkte offene Mengen Ha^ wo Ha den Punkt a enthalt und einen Durchmesser<br />
< pa hat.<br />
Wir ersetzen zuvor — durch die kleinste ganze Zahl Ua > —, pa durch<br />
Pa Pa<br />
— ^ pa- Mit anderer Bezeichnung: die pa werden aus der Folge 1, -,-,...<br />
Ha 2u o<br />
entnommen.<br />
Sodann bilden wir ein Netz N, bestehend aus den Punkten a,b,..., die paarweise<br />
die Relation ab > max [pa, pb] erfiillen, und nicht mehr erweiterungsfahig.<br />
Bl. 5 Bei der Bildung von N durch Wohlordnung des Raumes spalten^ | wir diesen<br />
zunachst in 5i + £^2 H 5 wo En die Menge der x mit px = — ist, und erhalten<br />
n<br />
also eine Wohlordnung £, wo fiir px > py das x dem y vorangeht. Das hat zur<br />
Folge, dass bei der Bildung des Netzes N = {ao,ai,...} jedes a^, nachdem<br />
die a^ mit ^ < rj schon bestimmt sind, unter den verfiigbaren Punkten den<br />
grosstmoglichen Wert von p hat.<br />
Wir behaupten dann, dass £ = J]^ C/(a, pa) eine Spaltung der gewiinschten<br />
Art ist. Namlich: zwei Mengen U{a, pa), U{b, ph) sind disjunkt; hatten sie einen<br />
Punkt X gemein, so ware ax < pa, bx < pb, ab < max[ax,6x] < max[pa,Pb]<br />
gegen die Bestimmung des Netzes. Ihre Summe ist der ganze Raum (dies der<br />
schwierigste Punkt des Beweises). Sei x ein Punkt von £. Es gilt dann fiir<br />
mindestens einen Netzpunkt a ax < max [pa^Px]? sonst ware das Netz erweiterungsfahig.<br />
Teilen wir die Netzpunkte in die Punkte a mit der eben genannten<br />
Eigenschaft und die Punkte b mit bx > max[pb,pa;]. Wenn nun x keiner der<br />
Mengen C/(a, pa) angehorte, also ax > pa und demnach px > Pa ware, so wiirde<br />
X mit den Punkten b zusammen ein Netz bilden.<br />
In der Tat: x und die b erfiillen die Netzrelation; und es lasst sich auch kein<br />
neuer Punkt y mit xy > indiK[px,py], by > mdix[pb,Py] hinzufiigen. Denn zu<br />
Bl. 5v y muss es wieder einen Punkt des | Netzes N, also notwendig einen Punkt<br />
a, mit ay < m3>x [pa, Py] geben; dann wiirde folgen xy < max [ax, a^/] <<br />
max [max [pa, Pa;], max [pa,P2/]] = max [pa, p^, Py] = max[px,Py] < xy, ein Widerspruch.<br />
- Nunmehr steht aber, well px > pai die Tatsache, dass x mit den b<br />
N<br />
^[Am Beginn von Blatt 5 wiederholt HAUSDORFF die Uberschrift „Raume ^*"; am rechten<br />
oberen Rand steht „IIL 28. 6. 27".1<br />
a<br />
774
ein Netz bildet, in Widerspruch mit der Konstruktion des Netzes; denn in dem<br />
Augenblick, wo der erste Punkt a zu wahlen war, hatte man dann statt dessen<br />
X wahlen miissen, weil x in der Wohlordnung vor a steht. Q. e. d. Es ist also<br />
N<br />
a<br />
und jedes U{a,pa) hat einen Durchmesser < pa-<br />
Diese verscharfte Eigenschaft (a*) ist topologisch: wird jedem Punkt x eine<br />
Umgebung Ux zugeordnet, so kann man £ = ^^ Ha in disjunkte offene Mengen<br />
mit a e Ha ^ Ua spalten. Sie ist aber Folge der metrischen Eigenschaft<br />
(a), weil ein Raum £, der (a) besitzt, mit einem Raum £* homoomorph ist<br />
und dieser, also auch £, die Eigenschaft (a*) hat.<br />
Dass (a*) Folge von (a) und also in jedem Raum £^* erfiillt ist, lasst sich<br />
auch so zeigen. Wir spalten<br />
^ — / ^ ^Pl5 Hp^ = / ^ -"P1P2 5 ^PlP2 ~ / ^ ^PlP2P3' • " • 5<br />
Pi P2 P3<br />
WO die Hp^^^^p^ bei festem pi.. .pk-i paarweise disjunkt, offen und von Durch-<br />
messern < — sind. I Bl. 6<br />
A:<br />
Es sei f = f 1 + £^2 + • • • , £k die Menge der x mit A: — 1 < — < A:. Nun<br />
Px<br />
seien die Hp^ gespalten in diejenigen Hq^, fiir die Hq^ £^i D 0, und die Hr^ mit<br />
i/ri £i — 0. Dann die Hr^p^ in die Hr^q^, die mit £2 einen Punkt gemein haben,<br />
und die Hr^r2-> die zu £2 disjunkt sind. U.s.f. Dann, behaupten wir, ist<br />
Die k^^ dieser Summen ist<br />
^ — / ^ Hq^ H- / ^ -"rigr2 "^" / ^ ^rir2q3 + * ' *<br />
Wenn (7) gilt, so sei F C G,<br />
F = A1A2 • • , G = Bi + B2+" , Ai D A2 5 • • • , Bi C ^2 C .. ,<br />
wo die An^ Bn Mengen H sind. Nach einer Formel von Sierpinski (Fundamenta<br />
Math. 6, S. 2) bilden wir die Menge<br />
H = AiBi + A2B2 + '" = Ai{A2 + B2){A3 4- ^3) • •" -<br />
Bl. 6v I Sie ist Q G, ^ F und zugleich ein H^, Hs, d. h. zugleich offen und abgeschlossen,<br />
also ein iJ; es gilt (/?).<br />
[Dass S = AiBi + ^2^2 + • • • und JD = ^1(^2 + ^2)(^3 + ^3) • • • identisch<br />
sind, folgt so:<br />
S C D. Sei X G 5, also x e AnBn'-,<br />
xeD.<br />
DCS. Sei X e D. Wenn x G ^1^42 • • •, ist x G F C G = (BBn, also x G<br />
Bn^ X E AnBn C 5. Wenn a; ^ ^1^2 • • •, so sei (wegen x £ Ai) A^+i das niedrigste<br />
mit x ^ ^n+i; also (da x G An+i + Bn), x G Ai,..., An, Bn, ^n+i, • • •,<br />
X G An^n ^ 5'.]<br />
Commentary<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
HAUSDORFF did not give a name to metrics that fulfill the verschdrftes Dreiecksaxiom,<br />
as he called it; such metrics are called non-archimedean or ultrametric<br />
today. We shall use the last term in this commentary. The term nonarchimedean<br />
metric was given by A. F. MONNA in [Mon 1950], where he proved<br />
some basic properties of such metric spaces. The second term was given by<br />
M. KRASNER in [Kra 1944].<br />
At the end of the first page HAUSDORFF proves that ultrametric spaces are<br />
zero-dimensional. According to his proof, by zero-dimensionality of X he means<br />
indX = 0, i.e., dimension in the sense of Urysohn. The formal definition of<br />
the other main dimension functions (Ind, dim) had not yet been given by 1927<br />
(Ind was defined by E. CECH in 1931 and dim again by CECH in 1933) but the<br />
concepts were known in special cases. So, sometimes it is difficult to recognize<br />
which zero-dimensionality is used.<br />
In the second paragraph of the second page HAUSDORFF asserts that every<br />
separable zero-dimensional metric space is homeomorphic to an ultrametric<br />
space (subspace of a Baire space). HAUSDORFF then asks if the last result is<br />
valid for non-separable spaces, too. (The same result and question were given<br />
in [Mon 1950].)<br />
The first part of the third page contains the proof that (in modern notation)<br />
Ind X = 0 if X is an ultrametric space. HAUSDORFF explains the result that X<br />
is zero-dimensional not only at points but also at closed sets and asks whether<br />
776
every zero-dimensional space has this property. In 1968 P.ROY answered this<br />
question in the negative by constructing a zero-dimensional metric space X<br />
with IndX > 0 ([Roy 1968]).<br />
The next result states (in modern notation) that dimX = 0 if X is an<br />
ultrametric space and that every metric space with dimX = 0 can be remet<br />
rized by an ultrametric. In particular it is proved that for such spaces<br />
every uniform cover is refined by an open partition and, on 28.6.1927, the<br />
corresponding result for any open cover.<br />
The result that every metric space with Ind X = 0 can be re-metrized by an<br />
ultrametric has not been proved in these notes. The explicit proof was given<br />
by DE GROOT in [Gro 1956].<br />
So by now we know that for metric spaces X the three following concepts<br />
are equivalent:<br />
a) X is ultrametrizable,<br />
b) IndX^O,<br />
c) dimX = 0,<br />
and properly imply the condition indX = 0.<br />
References<br />
[Cech 1931] CECH, E.: Sur la theorie de la dimension. C.R.Acad. Sci. Paris<br />
193 (1931), 976-977.<br />
[Cech 1933] CECH, E.: Pnspevek k teorii dimense. Casopis pro pest, matematiky<br />
a fyziky 62 (1933), 277-291.<br />
[Gro 1956] DE GROOT, J.: Non-archimedean metrics in topology. Proc.<br />
Amer. Math. Soc. 7 (1956), 948-953.<br />
[Mon 1950] MONNA, A.F.: Remarques sur les metriques non-archimediennes<br />
1,11. Indagationes Math. 12 (1950), 122-133, 179-191.<br />
[Kra 1944] KRASNER, M.: Nombres semi-reels et espaces ultrametriques. C.<br />
R. Acad. Sci. Paris 219 (1944), 433-435.<br />
[Roy 1968] ROY, P.: Nonequality of dimensions for metric spaces. Trans.<br />
Amer. Math. Soc. 134 (1968), 117-132.<br />
777
Hausdorffs Studien zu Fundamentalkonstruktionen der<br />
Topologie<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
1. Einleitung<br />
Beim Studium abstrakter Strukturen (wie z.B. topologischer Raume, Gruppen,<br />
Moduln) spielen gewisse kanonische Konstruktionen, insbesondere die von Limiten<br />
(wie Produkten und Egalisatoren bzw. Teil- oder Unterobjekten) und<br />
Colimiten (wie Coprodukten bzw. Summen und Coegalisatoren bzw, Quotienten)<br />
eine zentrale RoUe. Denn ein wesentliches Merkmal struktureller Untersuchungen<br />
in der Mathematik besteht darin, da6 versucht wird, komplizierte<br />
mathematische Gebilde vermoge besonders libersichtlicher Konstruktionsverfahren<br />
aus besonders einfach gebauten Gebilden zusammenzusetzen. Gelingt<br />
dieses, so wird das Studium komplizierter Gebilde wesentlich erleichtert; denn<br />
man kann sich vielfach darauf beschranken, zunachst die besonders einfachen<br />
Bausteine zu untersuchen und danach zu analysieren, welche Eigenschaften von<br />
Gebilden bei der Zusammensetzung derselben mittels standardisierter Konstruktionsverfahren<br />
er halt en bleiben. Als wichtigste Konstruktionsverfahren in<br />
der Topologie mu6 man die Bildung von Teilraumen, Quotienten, Produkten<br />
und Summen ansehen.^<br />
Obwohl die erwahnten topologischen Fundamentalkonstruktionen uns heute<br />
einfach und natiirlich erscheinen, zeigt ein Studium der Originalarbeiten, dafi<br />
die urspriinglichen Begriffsfindungen in der Regel nur langsam, schwerfallig und<br />
unsystematisch erfolgten. Vor diesem Hintergrund ist es erstaunlich, mit welcher<br />
Klarheit HAUSDORFF in seinen privaten Aufzeichnungen die den unterschiedlichen<br />
Konstruktionen zugrunde liegende gemeinsame Problemstellung<br />
erkannte und mit welcher Eleganz er die gewonnenen Konzepte formulierte.<br />
Diese Klarheit sowohl der Motivation als auch der BegrifFsbildung wird in<br />
Veroffentlichungen erst spater im Werk von BOURBAKI ([Bo 1940]) erreicht.<br />
2. Teilraume<br />
In HAUSDORFFS Lehrbuch Grundziige der Mengenlehre ([H 1914a]) fehlen die<br />
Konzepte von Produkten, Quotienten und Summen noch voUig. Nur der Teilraumbegriff<br />
beginnt sich auf dem Umweg iiber die sog. Relativbegriffe abzuzeichnen,<br />
ohne jedoch durch eine geeignete Namensgebung fixiert zu werden.<br />
Das Konzept der Relativbegriffe erscheint uns heute zwar als selbstverstandlich^,<br />
war 1914 aber natiirlich voUig neu und erscheint auch noch nicht in<br />
^Dieser Gesichtspunkt wird in alien Lehrbiichern der allgemeinen Topologie hervorgehoben;<br />
vgl. dazu etwa [He 1986] oder [E 1989].<br />
•^Seine MiBachtung mag auch heute noch zu irritierenden "Paradoxien" AnlaB geben: so<br />
ist das CANTORsche Diskontinuum zwar eine nirgends dichte Menge reeller Zahlen, andererseits<br />
als kompakter T2-Raum nach dem BAiREschen Kategoriensatz nicht als abzahlbare<br />
Vereinigung nirgends dichter Teilmengen darstellbar.<br />
778
HAUSDORFFS Bonner Vorlesung Einfiihrung in die Mengenlehre von 1912 (NL<br />
HAUSDORFF, Fasz. 34).<br />
In [H 1914a] werden in Kap. VII, § 6 zunachst fiir jeden topologischen Raum<br />
E und jede Teilmenge M von E die relativ abgeschlossenen und relativ offenen<br />
(von HAUSDORFF Relativgebiete genannten) Teilmengen von M definiert.<br />
Anschliefiend wird u. a. gezeigt, dafi die Relativgebiete (in heutiger Sprechweise)<br />
eine Topologie auf M bilden, was HAUSDORFF ZU folgender Bemerkung<br />
veranlaBt:<br />
Die Begriffe des Relativgebiets und der relativ abgeschlossenen Menge<br />
sind noch einer etwas systematischeren AufFassung fahig, indem wir eine<br />
ganze Relativtheorie entwickeln, die sich, statt auf die Menge<br />
E, auf eine Teilmenge von ihr als zugrunde liegenden Raum bezieht.^<br />
Dem so gewonnen topologischen Raum wird jedoch noch kein Name gegeben.<br />
Der Begriff Teilraum tritt in HAUSDORFFS Notizen erst viel spater auf, z. B.<br />
1935 in der Studie Operationen mit topologischen Rdumen ([NL HAUSDORFF,<br />
Fasz. 557]^, Bl. 2) bzw. 1937 in [NL HAUSDORFF, Fasz. 628], wo er darlegt,<br />
dafi gewisse Konstruktionen in natiirlicher Weise zu von der Teilraumbildung<br />
verschiedenen Topologisierungen von Teilmengen eines topologischen Raumes<br />
fiihren (Stichworte: lineare Ordnung, schwache Topologie, gestufte Raume).^<br />
In [NL HAUSDORFF, Fasz. 678]^ konstruiert HAUSDORFF initiale Topologien<br />
nicht nur fiir Inklusionen von Teilmengen X eines topologischen Raumes Y,<br />
sondern auch fiir beliebige Abbildungen /: X —> Y von einer Menge X in<br />
einen topologischen Raum Y und dariiber hinaus sogar fiir das, was wir heute<br />
strukturierte Quellen nennen, d. h. fiir beliebige Familien von Abbildungen<br />
fi: X —> Yi von einer festen Menge X in topologische Raume Yi. HAUSDORFF<br />
konstruiert die grobste Topologie auf X, welche die Inklusion X ^-^ Y bzw.<br />
/: X —> y, bzw. alle fi: X —> Yi stetig macht. Den zugehorigen topologischen<br />
Raum nennt er Maximalraum. Die Initialitdts-Eigen.scha.h der von ihm<br />
konstruierten Topologie auf X, von der BOURBAKI spater so entscheidenden<br />
Gebrauch machen sollte, wird allerdings von HAUSDORFF noch nicht erwahnt.<br />
In grofieren systematischen Studien^ benutzt HAUSDORFF obige Konstruktion<br />
des Maximalraumes u. a. zu der heute gebrauchlichen Definition von Teilraumen.<br />
3. Produkte<br />
1923 versuchte TIETZE, Produktraume wie folgt zu definieren:<br />
3[H 1914a], S.241.<br />
^Fasz. 557 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.<br />
^Fasz. 628 ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 327-329. Eine verbesserte<br />
Version von Fasz. 628 ist Fasz. 640, im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 402-404.<br />
Beide Faszikel hat HAUSDORFF mit Teilrdume und topologische Teilrdume iiberschrieben;<br />
Fasz. 628 stammt vom 4. 4. und 10. 5. 1937; Fasz. 640 vom 18. 8. 1937.<br />
^Ohne Titel, undatiert, vermutlich zwischen Sept. 1936 und Marz 1938 entstanden.<br />
^NL HAUSDORFF, Fasz. 684: Topologische Rdume, vermutlich zwischen 1936 und 1938<br />
entstanden, und Fasz. 741: Topologische Rdume, vermutlich zwischen April 1938 und April<br />
1940 entstanden.<br />
779
Sei eine geordnete Menge punktfremder Raume Dii gegeben (m.a.W. es<br />
wird die Indexmenge der i geordnet vorausgesetzt). Als Produktraum<br />
Yl 9^i der ^i wird - in naheliegender Verallgemeinerung von Steinitz und<br />
Prechet angegebener Bildungen - der folgendermaBen gebildete Raum<br />
bezeichnet: Elemente sind alle geordneten Mengen x = (. ..Xj...), die<br />
entstehen, wenn man aus jedem Raum 9^i ein Element Xi nimmt und die<br />
Xi entsprechend ihren Indizes ordnet; als umgebende Menge il(x^) von<br />
x^ = (.. .x^ ...) wird jede Menge von Elementen x erklart mit folgender<br />
Eigenschaft: es gibt zu jedem x° eine umgebende Menge ii{x^) in ^Hi, so<br />
dafi il(ic°) alle Elemente x = {... Xi...) enthalt, fiir die jedes Xi in ili(x?)<br />
liegt.^<br />
Das von TIETZE definierte Produkt, heute Box-Produkt genannt, erwies sich jedoch<br />
als das "falsche" Konzept. Es ist weder im kategoriellen Sinne ein Produkt<br />
noch hat es angenehme topologische Eigenschaft en. So ist das Box-Produkt von<br />
abzahlbar vielen 2-elementigen diskreten Raumen ein liberabzahlbarer diskreter<br />
Raum (das "richtige" Produkt ist - modulo Homoomorphie - das CANTORsche<br />
Diskontiunuum). Abzahlbare Box-Produkte zerstoren also in der Regel Kompaktheit,<br />
Separabilitat und die Giiltigkeit des 2. Abzahlbarkeitsaxioms. Wie<br />
das Box-Produkt von abzahlbar vielen Kopien von R zeigt, werden auch Metrisierbarkeit<br />
und das 1. Abzahlbarkeitsaxiom i. allg. nicht von den Faktoren auf<br />
das Box-Produkt iibertragen. Nur im Fall einer endlichen Indexmenge liefert<br />
das Box-Produkt das "richtige" Konzept.<br />
Die Konstruktion des "richtigen" topologischen Produktraumes wird gewohnlich<br />
der Arbeit [Ty 1930] von TYCHONOFF zugeschrieben. Das ist insofern etwas<br />
zu weit gegrifFen, als TYCHONOFF in obiger Arbeit nur einen (allerdings<br />
wichtigen) Spezialfall beschreibt: die Konstruktion der heute Tychonoff-Quader<br />
genannten Raume [0, l]'^.<br />
Es sei {Joi} eine Menge von der Machtigkeit r von abstrakt gegebenen<br />
zueinander fremden Einheitsstrecken 0 < t < 1. Ein Punkt x des<br />
Raumes R ist definitionsgemaB der Inbegriff {ti, t2,..., ta,...} von ,,Koordinaten"<br />
ta, wobei ta ein Punkt von J ex. t also eine reelle Zahl 0 <<br />
tot < 1 ist. Die Umgebungsdefinition geschieht folgendermafien: Es sei<br />
XQ = {ti, ^2,..., t° ,...} ein Punkt von R. Wir wahlen beliebig endlichviele<br />
Jai, Ja2, •. •, */afc und auf jedem dieser Intervalle Ja^ zwei rationale<br />
Zahlen r^. < t° . < r^'^; eine Umgebung von XQ = {t?, ^2,. -., t° ,...} besteht<br />
dann definitionsgemafi aus alien Punkten x = {ti, ^2, • • •, ta, • • •},<br />
die den Bedingungen r^. < t^^ < r^^ geniigen.^<br />
Erst 1935 veroffenthchte TYCHONOFF zwei Arbeiten, in deren erster [Ty 1935a]<br />
er die Produkte M^^'^^ bzw. Y[ [~^^ +^] konstruierte und in deren zweiter [Ty<br />
1935b] er den Begriff des topologischen Produktes wie folgt formulierte:<br />
Zuerst wollen wir eine Definition des Produktes von Raumen geben, wobei<br />
die Gesamtheit der Faktoren eine beliebige Machtigkeit haben kann.<br />
^[T 1923], S. 298.<br />
9[Ty 1930], S. 546.<br />
780
Es sei {Ra} eine Menge von topologischen Raumen, wobei der einzelne<br />
Raum durch ein Element a einer Menge DJl charakterisiert wird.<br />
Ein Punkt des zu definierenden Raumes R ist definitionsgemafi ein System<br />
von ,,Koordinaten" {...,a:a,...} (xa G Ra)- Das Umgebungssystem<br />
eines Punktes xo = {...,x°,...} wird folgendermaBen definiert.<br />
Wir nehmen irgendeine endliche Anzahl von irgendwelchen Umgebungen<br />
U{x^^)j..., U{x^^) der Punkte x^^,..., x^^ in den betrefFenden<br />
Raumen R^i, • • •, Ra^ • Dann besteht eine Umgebung des Punktes xo =<br />
{..., x^^,...} definitionsgemafi aus alien Punkten x = {..., Xa, • • •} mit<br />
Xcti G U(x^^) (i = 1,..., n). Die anderen Koordinaten werden dabei keinen<br />
Bedingungen unterworfen. Dadurch, dafi man die Elemente ai,..., an<br />
von DJl, sowie die Umgebungen U{x^^) variiert, erhalt man verschiedene<br />
Umgebungen von XQ}^<br />
In der bereits erwahnten bemerkenswerten Studie Operationen mit topologi<br />
schen Raumen (NL HAUSDORFF, Fasz. 557) beschreibt HAUSDORFF mit beispielhafter<br />
Klarheit u. a. Produkte und Potenzen topologischer Raume. Leider<br />
ist nicht erkennbar, ob ihm Arbeiten TYCHONOFFS dabei vorlagen. Er definiert<br />
die Produkttopologie auf Bl. 10 als grobste Topologie auf dem cartesischen<br />
Produkt der Tragermengen, die alle Projektionen stetig macht, und bezeichnet<br />
den resultierenden Raum als Maximalraum. Er merkt ferner an, dafi die Produkttopologie<br />
initial bzgl. der Projektionen ist, d. h., dafi eine Abbildung in<br />
den Produktraum genau dann stetig ist, wenn ihre Komposition mit den Projektionen<br />
stetige Abbildungen liefert. Diese wichtige Erkenntnis spielt in der<br />
spateren Darstellung BouRBAKis ([Bo 1940]) eine zentrale RoUe. HAUSDORFF<br />
zeigt ferner, dafi abzahlbare Produkte Metrisierbarkeit und die Giiltigkeit des<br />
ersten Abzahlbarkeitsaxiom bewahren, und merkt an:<br />
Dies wiirde nicht mehr gelten, wenn man alle G = (d, G2,. • •) als offen<br />
zuliefie; daher spielt nur der Maximalraum eine RoUe.^^<br />
Er verwirft also das Box-Produkt wegen seiner schlechten Bewahreigenschaften.<br />
Ferner stellt er fest, dafi im Produktraum Folgenkonvergenz mit punktweiser<br />
Konvergenz libereinstimmt und erkennt die Potenzen Y^ als Spezialfalle von<br />
Produkten.<br />
HAUSDORFF untersucht ferner - modern gesprochen - die Frage, ob Potenzen<br />
sequentieller Raume (d. h. jede sequentiell-oflFene Menge ist oflFen) sequentiell<br />
sind, und beantwortet sie negativ, indem er zeigt, dafi Rf^'^^ nicht<br />
sequentiell ist, weil die Menge aller BAiREschen Funktionen (d. h. aller Funktionen<br />
/: [0,1] —> R, die aus stetigen Funktionen durch transfinit wiederholte<br />
Limesbildung von Folgen hervorgehen) im Produktraum zwar sequentiellabgeschlossen,<br />
aber dicht und somit nicht abgeschlossen ist. Dafi selbst das<br />
Konvergenzverhalten transfiniter Folgen (fa) nicht ausreicht, die Topologie von<br />
Rf^'^^ zu beschreiben, fiihrte BIRKHOFF spater zu folgendem Stofiseufzer:<br />
10 [Ty 1935b], S. 772.<br />
i^NL HAUSDORFF, Fasz. 557, Bl. 11.<br />
781
This shows that even unhmited use of transfinite sequences leads one to<br />
situations inconsistent with our usual topological ideas. ^^<br />
In knapper Form finden sich obige BegrifFsbildungen und Resultate auch in<br />
HAUSDORFFS spaterer Studie Topologische Rdume ([NL HAUSDORFF, Fasz.<br />
684]).<br />
4. Summen<br />
Summen wurden von TiETZE 1923 eingefiihrt:<br />
Sei eine Menge punktfremder Raume 9\i gegeben. Als Summenraum<br />
^ 9^i dieser Raume werde der Raum bezeichnet, der aus der Menge der<br />
Punkte aller 9^^ entsteht, wenn als umgebende Menge eines jeden Punktes<br />
Xi von 91^ jede Menge erklart wird, die eine den Punkt Xi im Raum<br />
9li umgebende Menge als Teilmenge enthalt.^^<br />
HAUSDORFF untersucht in seiner bereits mehrfach genannten Studie Operationen<br />
mit topologischen Rdumen (NL HAUSDORFF, Fasz. 557) nicht nur Summen<br />
topologischer Raume, sondern das folgende etwas allgemeinere Problem: Wann<br />
laBt sich zu gegebener Familie {Xi)i^j topologischer Raume die Vereinigung<br />
(der Tragermengen) so zu einem topologischen Raum X machen, dafi jedes Xi<br />
Teilraum von X wird? Er bemerkt, da6 die Vertrdglichkeit der Xi (die besagt,<br />
dafi Xi und Xj fiir jedes Index-Paar (z, j) dieselbe Teilraum-Topologie auf dem<br />
Durchschnitt XiilXj induzieren) eine notwendige aber i. allg. nicht hinreichende<br />
Bedingung fiir die Losbarkeit des genannten Problems ist, und konstruiert<br />
hierzu ein Beispiel mit dreielementiger Indexmenge /. Ein etwas einfacheres<br />
Beispiel ist (XQI, X12, X20) mit<br />
X„b = ({a,6}, {0,{a}, {a,b}}).<br />
HAUSDORFF zeigt ferner, dafi obiges Problem in folgenden drei Fallen losbar<br />
ist und dafi in diesen Fallen die Menge der Losungs-Topologien ein feinstes<br />
Element besitzt. Den zugehorigen Raum bezeichnet er als Minimalraum:<br />
(1) / = {1,2} und Xi und X2 sind miteinander vertraglich.<br />
(2) Die Xi sind paarweise disjunkt. Der zugehorige Minimalraum - die Summe<br />
der Xi - ist unter alien Losungen dadurch charakterisiert, dafi in ihm<br />
alle Xi off en sind.<br />
(3) Fiir jedes Index-Paar (i, j) ist Xi Teilraum von Xj oder Xj Teilraum von<br />
Xi.<br />
Wie leicht erkennbar, ist jede dieser drei Konstruktionen eine Colimes-Konstruktion,<br />
namlich die von<br />
(1) speziellen Pushouts,<br />
12 [B 1937], S. 46.<br />
13 [T 1923], S. 298.<br />
782
(2) Coprodukten,<br />
(3) speziellen gerichteten Colimiten ( = induktiven Limiten).<br />
Man darf sagen, dafi HAUSDORFF seiner Zeit weit voraus war. Ein systematisches<br />
Studium kategorieller topologischer Konstruktionen setzte erst gegen<br />
Ende der 60er Jahre ein.<br />
In [NL HAUSDORFF, Fasz. 574]^^ analysiert Hausdorff den obigen Fall (1)<br />
detaillierter und in seiner Studie Topologische Raume (NL HAUSDORFF, Fasz.<br />
684) skizziert er obige Ergebnisse erneut.<br />
5. Quotienten<br />
Quotienten eines topologischen Raumes X konnen alternativ mittels Aquivalenzrelationen<br />
auf (der Tragermenge von) X, Zerlegungen von X oder surjektiver<br />
Abbildungen mit Definitionsbereich X beschrieben werden. 1st insbesondere<br />
/: X —> Y eine surjektive Abbildung, so bildet die Menge aller Teilmengen<br />
von y, deren Urbild unter / ofFen in X ist, eine Topologie auf F, genauer: die<br />
feinste Topologie, die /: X —> Y zu einer stetigen Abbildung macht, genannt<br />
Quotiententopologie. Diese Konstruktion erscheint uns heute so naheliegend<br />
und einfach, dafi wir das tastende und teils auch irrende Suchen der ersten<br />
Autoren, die sich mit dieser Thematik befafiten, gar nicht mehr so recht nachvoUziehen<br />
konnen. So schreibt ALEXANDROFF 1927 in der wohl ersten Arbeit<br />
zu unserem Thema:<br />
Jede Abbildung R* = f{R) bestimmt eine Zerlegung des Raumes R in<br />
zueinander fremde Mengen X = f~^{x*), wobei x* ein beliebiger Punkt<br />
des Bildraumes R* ist. Falls dabei die gegebene Abbildung stetig war, so<br />
sind samtliche Mengen X abgeschlossen.<br />
Es liegt daher nahe, Zerlegungen<br />
(4) R=J:X<br />
eines Raumes R in zueinander fremde abgeschlossene Mengen X a priori<br />
zu betrachten.<br />
Definition 1. Die Zerlegung (4) eines Raumes R in zueinander fremde<br />
abgeschlossene Mengen bestimmt folgendermafien einen neuen Raum R*:<br />
Punkte X* des Raumes R* sind Mengen X der Zerlegung (4), x* ~ X.<br />
Umgebungen V{x*) entstehen folgendermafien: es sei XQ ein beliebiger<br />
Punkt des Raumes R*. Jedem die Menge XQ ~ XQ enthaltenden Gebiete<br />
G G R entspricht dann eine bestimmte V{XQ), die aus alien denjenigen<br />
X* besteht, deren in G enthaltene X entsprechen.<br />
Man sieht leicht ein, dafi R* wirklich ein Raum ist (d.h. dafi die V{x*)<br />
alien im § 1 aufgestellten Umgebungsaxiomen geniigen).<br />
^^Ohne Titel, undatiert, vermutlich Marz 1934 bis August 1936 entstanden. Fasz. 574 ist<br />
im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 474-480.<br />
783
Jede Zerlegung (4) eines Raumes induziert eine Abbildung des Raumes<br />
R auf den durch diese Zerlegung bestimmten Raum R*: man erhalt diese<br />
induzierte Abbildung, indem man einfach<br />
X* = f{x) fiir alle x ^ X<br />
setzt. Im allgemeinen braucht natiirlich diese Abbildung nicht stetig zu<br />
sein.<br />
Definition 2. Die Zerlegung (4) des Raumes R in zueinander fremde abgeschlossene<br />
Mengen heifit stetig^ falls zu einem beliebigen, irgendeine<br />
Menge Xo der Zerlegung (4) enthaltenden Gebiete G\ C R ein Gebiet<br />
GQ D XO sich derart bestimmen laBt, da6 jede zu Go nicht fremde Menge<br />
X der Zerlegung (4) in G\ enthalten ist.<br />
Folgender Satz ist beinahe selbstverstandlich.<br />
Die durch eine Zerlegung (4) induzierte Abbildung R* — f{R) ist dann<br />
und nur dann stetig, falls die Zerlegung (4) stetig ist}^<br />
Ahnlich geht AuMANN in [Au 1927] vor. Erst BAER und LEVI gelingt in [BL<br />
1932] die allgemein akzeptierte Definition der Quotiententopologie, eingeschrankt<br />
allerdings noch durch die Tatsache, dafi ihren Untersuchungen nicht allgemeine<br />
topologische Raume, sondern Hausdorff-Raume zugrunde liegen.<br />
Die von einer stetigen Funktion erzeugte Zerlegung in Kongruenzklassen<br />
heiBt stetige Zerlegung.<br />
Durch eine stetige Zerlegung wird der Bildraum der sie definierenden stetigen<br />
Abbildung nicht einmal bis auf topologische Abbildungen eindeutig<br />
bestimmt. Zu einem Eindeutigkeitssatz kommt man aber, wenn man sich<br />
auf Punktionen beschrankt, welche T auf Bildraume von minimaler Dichte<br />
abbilden. Dabei heiBt a{%) bzgl. a von minimaler Dichte, wenn jede<br />
Menge in a{%) offen ist, deren [voUstandiges] Urbild in T offen ist.<br />
Satz 1. a) Eine Zerlegung von % in Mengen DJl, ist dann und nur dann<br />
stetig, wenn es zu irgend zwei verschiedenen Komponenten der Zerlegung<br />
punktfremde Umgebungen gibt, die aus vollstdndigen Kongruenzklassen<br />
bestehen}^<br />
HAUSDORFF beschreibt in klarer und iiberzeugender Weise die Quotiententopologie<br />
bzgl. surjektiver Abbildungen g: E —> H zunachst fiir den Ti-Fall in<br />
seiner Arbeit [H 1935] liber gestufte Rdume (in Kenntnis von [BL 1932]) und<br />
fiir den allgemeinen Fall in seinen privaten Notizen von 1935, etwa in dem hier<br />
abgedruckten Fasz. 557. Mit AuMANNs Ansatz setzt er sich in einer kritischen<br />
Besprechung auseinander, die jedoch nicht publiziert wurde und die wir im folgenden<br />
abdrucken.^^ Auch mit der Arbeit [A 1927] von ALEXANDROFF hat sich<br />
15 [A 1927], S. 556-557.<br />
16 [BL 1932], S. 112.<br />
I'^NL HAUSDORFF, Fasz. 550. Der Faszikel, datiert vom 21. 11. 1935, enthalt zwei Versionen<br />
einer Besprechung von [Au 1932]. Im folgenden abgedruckt sind die Bll. 1-4 mit der etwas<br />
ausfiihrlicheren Version. Fasz. 550 ist vollstandig im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band<br />
1, S.265-272.<br />
784
HAUSDORFF sehr kritisch auseinandergesetzt, und zwar in den Studien Fasz.<br />
543 und 635.^^ Zur oben zitierten Passage aus [A 1927] schreibt er z.B.:<br />
Der Satz S. 557 Z. 6, 7: "man sieht leicht, dass R* wirklich ein Raum<br />
ist (d.h. dass die V{x*) alien in § 1 aufgestellten Umgebungsaxiomen<br />
geniigen)" ist also falsch. Hierzu ist allerdings zu bedenken: A. definiert<br />
nur Umgebungen V(x*) auf diese Weise, meint also wahrscheinlich,<br />
dass diese eine Basis des Raumes Y bilden. Danach miisste man das<br />
System f{A) {A in X abgeschlossen) zum kleinsten System abgeschlossener<br />
Mengen erweitern, das die iiblichen Voraussetzungen iiber Summe<br />
u. Durchschnitt erfiillt; dies ware der von A. gemeinte Raum (er kehrt in<br />
Alexandroff-Hopf, S. 66 als schwacher Zerlegungsraum wieder). Welchen<br />
Zweck er haben soil, ist mir nicht klar.^^<br />
Auch in diesen kritischen Auseinandersetzungen mit den Veroffentlichungen<br />
von KoUegen wird HAUSDORFFS standiges Bemuhen una grofitmogliche begriffliche<br />
Klarheit, welches seine Publikationen stets auszeichnet, deutlich. Die Notizen<br />
enthalten auch detaillierte Beweise einer Fiille von Resultaten. Erwahnt<br />
seien hier die folgenden:<br />
(a) Abgeschlossene, stetige Surjektionen sind Quotientenabbildungen [NL HAUS<br />
DORFF, Fasz. 543], Bl. 3.<br />
(b) Offene stetige Surjektionen sind Quotientenabbildungen [NL HAUSDORFF,<br />
Fasz. 543], Bl. 3.<br />
(c) Stetige Abbildungen von kompakten T2-Raumen in T2-Raume sind abge<br />
schlossen. [NL HAUSDORFF, Fasz. 543], Bl. 3.<br />
(d) Ist ein stetiges Bild eines kompakten T2-Raumes mit abzahlbarer Basis ein<br />
T2-Raum, so ist dieser ebenfalls kompakt und besitzt eine abzahlbarere<br />
Basis (ALEXANDROFF 1926) [NL HAUSDORFF, Fasz. 635], Bl. 3.<br />
Hier aus folgt:<br />
Die hauptsachliche Anwendung der Zerlegungsraume liegt in dem folgenden<br />
Satz, auf den wir noch 6fter zuriickkommen werden: Bei F-stetiger<br />
[d. h. abgeschlossener, stetiger - H. H.] Zerlegung eines kompakten metrisierbaren<br />
Raumes in abgeschlossene Schichten ist auch der Zerlegungsraum<br />
kompakt und metrisierbar.^^<br />
Dariiber hinaus enthalt insbesondere das oben bereits genannte Manuskript<br />
[NL HAUSDORFF, Fasz. 635] die sorgfaltige Ausarbeitung zahlreicher spezieller<br />
^^Fasz. 543 ist iiberschrieben „Nach Alexandroff", datiert 10.-12. 4. 1935 und ist im Faksimile<br />
abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 215-230. Fasz. 635 tragt den Titel „C. Kuratowski,<br />
Sur les decomposition semicontinues d'espaces metriques compacts", datiert 15. 5. 1937. Der<br />
Fasz. bezieht sich auf [A 1927] und auf die genannte Arbeit von Kuratowski in Fund. Math.<br />
11 (1928), 169-185. Er ist im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 2, S. 361-382.<br />
i^NL HAUSDORFF, Fasz. 635, Bl. 6.<br />
20NL HAUSDORFF, Fasz. 741, BL 35.<br />
785
Ergebnisse insbesondere iiber monotone Quotienten. Der Begriff der Monotonie<br />
(der besagt, da6 Urbilder von Punkten zusammenhangend sind) wurde<br />
unabhangig von HAUSDORFF auch von WHYBURN eingefiihrt.<br />
Literatur<br />
[A 1927] ALEXANDROFF, P.: Uber stetige Abbildungen kompakter Rdume.<br />
Math. Annalen 96 (1927), 555-571.<br />
[Au 1932] AuMANN, G.: Beitrdge zur Theorie der Zerlegungsrdume. Math.<br />
Annalen 106 (1932), 249-294.<br />
[BL 1932] BAER, R., LEVI, F.: Stetige Funktionen in topologischen Rdumen.<br />
Math. Zeitschr. 34 (1932), 110-130.<br />
[B 1937] BiRKHOFF, G.: Moore-Smith convergence in general topology. Annals<br />
of Math. 38 (1937), 39-56.<br />
[Bo 1940] BouRBAKi, N.: Topologie Generale. Hermann, Paris 1940.<br />
[E 1989] ENGELKING, R.: General Topology, Rev. and compl. ed., Heldermann<br />
Verlag, Berlin 1989.<br />
[He 1986] HERRLICH, H.: Topologie I: Topologische Rdume. Unter Mitarbeit<br />
von H. BARGENDA. Heldermann Verlag, Berlin 1986.<br />
[T 1923] TiETZE, H.: Beitrdge zur allgemeinen Topologie L Axiome fiir verschiedene<br />
Fassungen des Umgebungsbegriffs. Math. Annalen 88 (1923),<br />
290-312.<br />
[Ty 1930] TYCHONOFF, A.: Uber die topologische Erweiterung von Rdumen.<br />
Math. Annalen 102 (1930), 544-561.<br />
[Ty 1935a] TYCHONOFF, A.: Uber einen Funktionenraum. Math. Annalen<br />
111 (1935), 762-766.<br />
[Ty 1935b] TYCHONOFF, A.: Ein Fixpunktsatz. Math. Annalen 111 (1935),<br />
767-776.<br />
786
NL HAUSDORFF: Kapsel 38: Fasz. 557<br />
Operationen mit topologischen Raumen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 21. - 27.12. 1935. - 18 BIL<br />
Operationen mit topologischen Raumen<br />
21. 12. 35<br />
Topologischer Raum = Menge E, wo ein System offener Mengen G mit den<br />
Bedingungen definiert ist:<br />
(1) 0 und E sind offen.<br />
(2) Die Summe beliebig vieler ofFener Mengen ist offen.<br />
(3) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.<br />
A (Z E ist topologischer Teilraum von E, wenn die in A offenen Mengen mit<br />
den Mengen AG {G in E offen) identisch sind.<br />
At {t G T) sei ein System topologischer Raume.<br />
I. Topologisierung des Durchschnitts ^ = Ht ^t (/ 0)-^<br />
Die Topologisierung von A ist bereits durch die jedes einzelnen At eindeutig<br />
bestimmt, indem die in A offenen G mit den AGt {Gt in At offen) identisch<br />
sein miissen: die notwendige und hinreichende Bedingung ist also, dass AGt ein<br />
von t unabhangiges Mengensystem durchlauft, oder dass jedes AGs auch ein<br />
AGt ist (fiir beliebige 5, t G T). | Bl. 2<br />
Nennen wir Ag^At vertrdglich, wenn As At gemeinsamer topologischer Teilraum<br />
von As und At ist, also die Mengen AsAtGs = AtGs mit den Mengen<br />
AsAtGt = AsGt identisch sind. Die Vertraglichkeit je zweier As, At ist<br />
hinreichend zur Topologisierbarkeit von A (die AGs — AAtGg sind mit den<br />
AGt = A AsGt identisch).<br />
II. Topologisierung der Summe A = ^^ At (natiirlich so, dass jedes At topologischer<br />
Teilraum von A ist).<br />
Notwendige Bedingung ist, dass immer As und At vertraglich seien. Die in<br />
A offenen Mengen G miissen (l)-(3) erfiillen und fiir jedes t miissen die AtG<br />
mit den Gt identisch sein. Zerlegen wir diese Identitatsforderung in zwei Telle<br />
(AtG) C (Gt), (Gt) c (AtG):<br />
(a) AtG = Gt ist in At offen. Dies ergiebt<br />
(a*) G = J2Gt, A,Gt=AtGs<br />
t<br />
und umgekehrt folgt aus (a*) wieder (a): AsG = J2t^sGt = Ylt'^tGs =<br />
AGs = Gs- Diese G sind also die Summen von Gt, die sozusagen mit den At<br />
proportional sind. Nursolche G, von der Form (a*), sind als offen zuzulassen;<br />
man kann sie aber alle oder nur einen Teil von ihnen als offene Mengen wahlen.<br />
l(/?)<br />
Zu jedem Gt giebt es ein G mit AtG = Gt. Bl. 3<br />
^natiirlich so, dass A topologischer Teilraum von jedem At ist.<br />
787
Das System Q aller G, die (a) erfiillen, erfiillt auch die Axiome (l)-(3); wenn<br />
es auch (P) erfiillt, d. h. wenn unter den Systemen proportionaler Umgebungen<br />
Gt (mit AsGt = AtGs) es fiir jedes to solche mit beliebig vorgeschriebenem Gt^<br />
gibt, dann ist damit A topologisiert. (Die Vertraglichkeit von As,At reicht dazu<br />
wohl nicht aus. Man kann fiir jedes t ein Gt mit At^Gt — AtGto bestimmen;<br />
dann ist At^AgGt = AgAtGtQ = AtQAtGs; aber daraus folgt nicht AgGt =<br />
AtGs.)<br />
23.12.35<br />
Ein Beispiel, dass A — A^ -{- A2 -i- As sich nicht topologisieren lasst, obwohl<br />
Ai, A2, As paarweise vertraglich sind. Es seien ai,61,ci,02,62,^2, ... lauter<br />
verschiedene Punkte. In<br />
Ai = (ai,a2,a3, ... ,ci,C2,C3, ...) sei<br />
G^ = (ari,an+l,an4-2, " • • .Cn,Cn+l,Cn+2, • • •) 5 n = 1, 2, . . .<br />
Bl. 4 I das System der oflFenen Mengen ^ 0; ebenso in<br />
die offenen Mengen 7^ 0. Es ist<br />
A2 = (61,62,63, ... ,ci,C2,C3, ...) seien<br />
G2 = (6n5 6n+l, 6n4-2? ••• , Cn, Cn+1, Cn+25 • • •)<br />
A2G1 = (Cn,Cn+l,Cn+2, • • •) = ^1^2<br />
und bei gegebenem G^ ist hierdurch G2 eindeutig bestimmt.^ Weiter sei<br />
As = {cii,a2,as, ,... ,61,64,69, ...) und<br />
G^3 = (^n,an+l,ttn+2, ••• , 6^2, 6(^4_i)2 , 6(^+2)2, • • •)<br />
das System der offenen Mengen ^ 0. Wir haben<br />
AsGi = {an, a^+i, 0^4-2, ...) = AiGs<br />
und wieder ist mit GJ hierdurch G3 eindeutig bestimmt.^ Andererseits ist<br />
AsG^ = (6,2,6(,+i)2, ...) {e>n>{k-l)^)<br />
A2GS = {bn^ , 6(^+1)2 , . . .)<br />
Bl. 5 und hierbei ist n > A; ausser fiir n = 1 = A: und n = 2 = A;, | so dass fiir<br />
n > 3 A2G^ ^ AsG^ {A2G^ C AsG^) ist. Offene Mengen Gi, G2, G3, die mit<br />
Ai,A2,As proportional sind, sind also nur 0,0,0; Gi,G2,G3 (= ^1,^2,^3);<br />
Gi,G2,G3; A ist nicht topologisierbar.<br />
^D.h. A2G'^ = A1G2 hat nur die einzige Losung G2 = ^2-<br />
^D.h. AzC^ = A1G3 hat nur die einzige Losung G3 = G^.<br />
788
Noch einfacher:<br />
As = (ai,a2,as, ... ,62,64,66, ...)<br />
G^ — (ttn, an+l,an+2, • • • ,62n,62n+2,62n+4, • • •)<br />
A3G2 = {h2kMk+2, &2fc+4, ...) {2k>n>2k-2)<br />
A2G3 = (62n, 62n+2, 62n+4, • • •) 5<br />
und es ist n > A: ausser fiir n = k = 1. Die einzigen Tripel proportionaler<br />
offener Mengen sind 0,0,0 und ^1,^2, A3. A ist nicht topologisierbar, obwohl<br />
Ai,A2, As paarweise vertraglich sind; auch A2 und As sind es (A3G2 = A2G3,<br />
wo 2A: > n > 2k —2; bei gegebenem n ist hierdurch k eindeutig, als kleinste Zahl<br />
77/<br />
> —, und bei gegebenem k ist n zweideutig, n = 2k oder 2A: — 1, bestimmt.)<br />
Die hier angegebenen Raume erfiillen allerdings kein Trennungsaxiom. | BL 6<br />
25. 12. 35<br />
Nennen wir die Mengen G der Form (a*) kanonisch. Wenn das System Q aller<br />
kanonischen Mengen (/?) erflillt, liefert es eine Topologisierung von A und<br />
zwar die mit den meisten ofFenen Mengen, den „Minimalraum" A. Jede andere<br />
mogliche Topologisierung A* derselben Menge A hat ein System G* C G offener<br />
Mengen, das (P) und die Axiome (l)-(3) erfiillt; A* ist schlichtes stetiges Bild<br />
von A.<br />
Falle, wo sich A topologisieren lasst:<br />
(A) Bei A = Ai -\- A2 geniigt die Vertraglichkeit von Ai,A2.<br />
(B) Ist A = Ylt-^t ^ paarweise disjunkten At, so erfiillt jedes System von<br />
Mengen Gt die Proportionalitatsbedingung und (/?) ist erfiillt. Im Minimalraum<br />
sind die At {— At + J2r^t ^) C)ffen und abgeschlossen.<br />
(C) Es sei A = ^^ At Summe eines geordneten Mengensystems, d. h. zwischen<br />
As und At besteht immer eine der Beziehungen As C At, At C As> Denken<br />
wir uns T geordnet; fiir s < t sei As C At. Hier geniigt die Vertraglichkeit je<br />
zweier Mengen As, At, d. h. dass (fiir s < t) die Gg mit den AgGt identisch sind.<br />
I Wir konstruieren in der Tat ein System von Gt, die mit den At proportional BL 7<br />
sind {Gs = AsGt, s < t) und wo fiir ein bestimmtes t = to (schreiben wir<br />
t = 0) Go als offene Menge in Ao beliebig vorgeschrieben ist. Fiir 5 > 0 lasst<br />
sich Gs so bestimmen, dass Go = AoGs, und zwar giebt es ein maximales<br />
Gs dieser Art; dies soil gewahlt werden. Wir behaupten dann: fiir 0 < s < t<br />
ist Gs = AgGt' Sei zunachst AsGt = G^; so dass G^ = Gs zu beweisen ist.<br />
Nun ist Go^oGt = AoAsGt = AoG^, also G'^ C Gs, well Gs maximal gewahlt<br />
war. Andererseits gilt Gs = A^GJ^, woraus Go = AoGs = AoG[ und demnach<br />
G[ C Gt {Gt maximal) folgt, also<br />
Gs — AsGt C AsGt = Gg, Gs C Gg,<br />
also Gs = Gg. - Nunmehr gilt also Gs = AsGt fiir 0 < s < t; setzen wir noch<br />
Gr = ArGo fiir r < 0, so ist auch Gq = AqGr fiir g < r < 0 und Gr — ArGs fiir<br />
*[Hier notiert HAUSDORFF am Rand: G'^ in At offen.]<br />
789
0 < s, d.h. G = Y2t ^t ist eine kanonische Menge mit vorgeschriebenem<br />
Bl. 8 Go; die Bedingung (/?) ist erfiillt, A topologisierbar. |<br />
Wenn eine Topologisierung von A = J2t ^* vorliegt, bei der die At in A offen<br />
sind, so ist A der Minimalraum. Denn Gt ist dann stets in A off en und jedes<br />
beliebige G = ^^ Gt in A offen (das braucht dann nicht mit der kanonischen<br />
Darstellung G = ^Z^ AtG libereinzustimmen).<br />
Wenn A der Minimalraum und jedes As At in ^4^ (und At) offen ist, so ist jedes<br />
As in A offen. Denn bei festem s giebt Gt = AgAt ein System proportionaler<br />
offener Mengen Gt, und G = J2t ^t ~ ^^ ^^^ Minimalraum offen.<br />
Wenn T endlich ist und eine Topologisierung von A vorliegt, bei der die At<br />
in A abgeschlossen sind, so ist A der Minimalraum. Denn ist G eine Menge<br />
C A mit AtG = Gt, F = A-G und Ft = At - Gt = AtF, so ist Ft in At, also<br />
in A abgeschlossen, F = ^^ Ft in A abgeschlossen, G in ^ offen.<br />
Wenn A der Minimalraum und jedes As At in As und At abgeschlossen ist, so<br />
ist jedes As in A abgeschlossen. Denn bei festem s giebt Gt = At{A — As) in At<br />
offene, mit den At proportionale Mengen; ^^ Gt = A — As ist im Minimalraum<br />
Bl. 9 offen. As abgeschlossen. |<br />
Wir haben bisher rein topologische Raume (nur mit den Axiomen (l)-(3))<br />
betrachtet; anders wird die Sache, wenn es sich um Trennungsaxiome, um C-<br />
Raume, um metrische Raume handelt. Schon bei A = Ai + A2 (^1,^2 vertraglich)<br />
kann trotz Metrisierbarkeit von Ai und A2 der Fall eintreten, dass A<br />
nicht einmal das erste Trennungsaxiom erfiillt; bildet man z. B. Ai, indem man<br />
einen einzigen, nicht isolirten Punkt ai von Ai durch einen Punkt a2 ^ Ai ersetzt,<br />
isometrisch auf A2 = 02+(^1—^1) ab, so enthalt im Minimalraum A (und<br />
in jedem schlichten stetigen Bild von A) jede Umgebung von ai auch a2', cti,ci2<br />
sind nicht abgeschlossene Mengen. - Ist ^4 = Ai + ^2, Ai und A2 metrisch,<br />
so dass ^1^12 = F in beiden Raumen dieselbe Metrik hat und in beiden abgeschlossen<br />
ist, so lasst sich der Minimalraum metrisieren(in Ai und in A2 behalte<br />
man die gegebenen Entfernungen bei, wahrend fiir xi e Ai — F, X2 ^ A2 — F<br />
die Entfernung<br />
X1X2 = inf {xip -i-pq-\- qx2)<br />
Bl. 10 definiert wird. Vgl. mein Blatt vom 1. 4.35).^ |<br />
27. 12. 35<br />
III. Topologisierung des (kombinatorischen, Cartesischen) Produkts.<br />
A = ^ At {At / 0) ist die Menge der Komplexe x = (xt) (Funktionen,<br />
t<br />
die jedem t ein Xt G At zuordnen). Bei der Topologisierung von A verlangen<br />
^[Dabei handelt es sich um NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 540. Dieser Faszikel ist im<br />
Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 197-198.]<br />
790
wir, dass (B{xt G Gt) = {Gt, ^ As) ofFen sei.^ Das Axiom (3) verlangt, dass<br />
alle ^ Gt, wo nur endlich viele Gt von At verschieden sind, in A offen seien;<br />
t<br />
diese Mengen und ihre Summen bilden das kleinste System Q offener Mengen<br />
G, das zulassig ist; der hiermit topologisierte Raum A ware als Maximalraum<br />
zu bezeichnen; fiir jede andere Topologisierung A* ist Q* D G, A schlichtes<br />
stetiges Bild von A*. Man konnte z. B. auch die Produkte ^ Gt, wo hochstens<br />
t<br />
abzahlbar viele Gt 7^ At vorhanden sind, oder alle diese Produkte nebst ihren<br />
Summen als offen erklaren. | Bl. 11<br />
Der Maximalraum hat die Eigenschaft: wenn alle Xt stetige Funktionen von u<br />
sind, so ist auch x stetige Punktion von u. (Umgekehrt: wenn x stetige Funktion<br />
von u ist, so sind alle Xt als stetige Funktionen von x auch stetige Funktionen<br />
von u). Denn (B{x G G) ist Summe von Mengen der Form (B{x e ^ Gt) mit<br />
u u<br />
nur endlich vielen Gt y^ At, das gilt z. B. wenn Gi,..., Gn ^ Ai,..,, A^, die<br />
iibrigen Gt = At, ^{xi G Gi)...{xn G Gn) = offen, weil xi,...,Xn stetige<br />
u<br />
Funktionen von u sind.<br />
Der Maximalraum A = (^1,^2,...) eines abzahlbaren Produkts erflillt das<br />
erste Abzahlbarkeitsaxiom, wenn es die Faktoren Ak tun. In der Tat: Sei<br />
a — (ai,a2,...) G A; fiir ak sei Uki,Uk2, • • • eine „auf ak sich zusammenziehende"<br />
Folge von offenen Mengen, d. h. fiir jedes ak enthaltende offene Gk ist<br />
schliesslich Ukn C Gk- (Man kann Uki D Uk2 D • • • annehmen). Dann ist<br />
Un = {Ulw, U2n-, • • • 5 Unn-, ^n+l? ^n+l? • • •)<br />
eine auf a sich zusammenziehende Folge; denn ist<br />
a e G = (Gi,... ,Gk,Ak-{-i,...)<br />
und n> k so gross gewahlt, dass Uin C Gi,..., Ukn C Gk, so ist Un C G.<br />
(Dies wiirde nicht mehr gelten, wenn man alle G = (Gi, G2, • • •) als offen zuliesse;<br />
daher spielt nur der Maximalraum eine RoUe.) Da A mit den Ak auch das<br />
zweite Trennungsaxiom erfiillt, so ist mit den Ak auch A ein £-Raum (wo x e A<br />
mit der Existenz einer konvergenten Folge Xn -^ x, Xn E A gleichbedeutend ist)<br />
und zwar ist x ^' a mit gleichzeitigem Bestehen aller Konvergenzen Xk —^ ak<br />
aquivalent. Denn ist | x ^^ a und ak G Gk, {Ai,..., Ak-i,Gk, Ak-\-i,.. •) eine Bl. 12<br />
Umgebung von a, so ist schliesslich x in dieser Umgebung enthalten, Xk ^ Gk,<br />
also Xk -^ CLk. 1st umgekehrt stets Xk -^ ak und G = (Gi,... ,G/, A/+i,...)<br />
eine Umgebung von a, so ist schliesslich xi G Gi,...,x; G G^, also x G G, d. h.<br />
X ^ a.<br />
Sind die Ak metrisierbar, so auch A: man gebe dem Ak eine Metrik, bei<br />
dem der Durchmesser S{Ak) von Ak mit k —^ 00 nach 0 konvergiert, und definiere<br />
|x — 2/| = max \xk — Vkl- Oder auch, man wahle die Metriken so, dass<br />
J2^{Ak) konvergiert, und setze |a: — 2/| = ^ \xk — yk\- In beiden Fallen ist<br />
^d. h. dciss jede „Koordinate" xt stetige Punktion von x sei.<br />
791
(X -> a) = Hfc i^k -^ CLk)'<br />
IV. Topologisierung von 2^ (== Raum aller abgeschlosseiien Mengen ^ 0 von<br />
X). (Vietoris). Die Mengen in X, 2^ werden durch grosse lateinische respektive<br />
deutsche Buchstaben bezeichnet.<br />
Wir stellen die Forderung: 1st F abgeschlossen, so sind die Mengen<br />
(^ (A c F), ^ {AF + 0)<br />
A A<br />
abgeschlossen. (Hierzu leitet uns der Satz III, S. 149 meiner Mengenlehre: 1st<br />
Ar, C F, An -> A, SO ist A = Fl An C F; ist AnF ^ 0, An ^ A, Xn e AnF,<br />
so hat bei kompaktem X Xn eine konvergente Teilfolge Xp -^ x e. AF.) \<br />
Bl. 13 Komplementbildung beziighch 2^ ergiebt, dass fiir oflFenes G die Mengen<br />
A A<br />
off en sind.<br />
Man kann diese Forderung (etwas kiinsthch) so begriinden. Es giebt eine<br />
durch X E A vermittelte mehrmehrdeutige Abbildung von X in 2^ oder umgekehrt.<br />
Das Bild einer Menge P C X ist die Menge aller Bilder aller Punkte<br />
X e P, d. h. die Menge aller A, zu denen es ein x G P mit x e A giebt, d. h.<br />
(S {AP + 0).<br />
A<br />
Wir for der n also: das Bild einer abgeschlossenen Menge F soil abgeschlossen,<br />
das einer offenen Menge G soil offen sein, i. e. die umgekehrte (mehrmehrdeutige)<br />
Abbildung von 2^ in X soil stetig sein. (Man konnte dies auf alle, auch<br />
nicht abgeschlossene Mengen A
ilden dann eine Basis in 2^.<br />
Man kann (B{A C P) mit 2^ bezeichnen; unsere Mengen G haben dann die<br />
Form 2^ (2^ - 2^^ • • • (2^ - 2^'^).<br />
1st X metrisch und kompakt, so bestimmen diese Q als Umgebungen den<br />
nach meiner Vorschrift (Mengenlehre §28) metrisierten Raum 2^, wahrend<br />
diese Metrik im AUg. nicht topologisch invariant ist7 | Bl. 14<br />
V. Topologisierung von Z = F^ (Menge der [ev. stetigen] Abbildungen<br />
f{x) von X in Y).<br />
Wir stellen die Forderung: flir festes XQ ist f{xo) durch / bestimmt; diese<br />
Funktion soil fiir jedes XQ stetig sein, d. h. wenn VQ in Y offen ist, so soil<br />
(£ [f{xo) G Vb] offen sein. Demnach sind auch die endlichen Durchschnitte soldier<br />
Mengen<br />
n<br />
^ k=i<br />
und die Summen beliebig vieler W als offen zu betrachten; wenn wir nur diese<br />
Mengen, keine weiteren als offen betrachten, so erhalten wir den Maximalraum<br />
Z, der unsere Aufgabe lost; von jedem andern Raum ZQ, der sie lost,<br />
ist Z schlichtes stetiges Bild. (Hierbei ist Y als topologisch, X als reine Menge<br />
angenommen; erst wenn etwa die f{x) stetig sein soUten, muss auch X als<br />
topologisch angenommen werden. Die Sache ist nichts anderes als ein Spezialfall<br />
von III, Topologisierung eines Cartesischen Produkts, wenn namlich die<br />
dortigen At alle gleich angenommen werden, also an Stelle des Produkts eine<br />
„Potenz"tritt.) | Bl. 15<br />
Angenommen, Y sei >C-Raum. Hier kann man auch einen als Menge mit Z<br />
identischen £-Raum ZQ definieren, namlich durch<br />
[fn^f] = ll[fn{x)^fix)].<br />
Es wird dadurch, fiir jedes XQ, f{xo) stetige Funktion von /, da<br />
X<br />
(/« - /) -> [fnixo) - f{xo)] ;<br />
das gilt im £-Sinne wie im topologischen {Y der zum >C-Raum gehorige topologische<br />
Raum, ZQ entsprechend). Daher ist ZQ Unterraum des zuvor konstruierten<br />
Maximalraums Z. Ist ZQ mit Z identisch? D. h. sind die offenen Mengen von<br />
ZQ mit denen von Z (den Summen der W) identisch, oder hat ZQ noch mehr<br />
offene Mengen?<br />
Das System der W hat die Eigenschaft:<br />
^^t /o? /n G ^0 und gilt fiir jedes W mit /o G W schliesslich fn G W, so ist<br />
Jn —^ JO-<br />
^D. h. X kann mt Xi homoomorph sein, ohne dass die metrischen Raume 2^, 2^i es sind.<br />
Kuratowski, Topologie I, p. 92.<br />
793
Denn ist VQ eine Umgebung von fo{xo) und W = ^{/{XQ) E VQ), SO ist<br />
/o € W, schliesslich /^ € W, d. h. fn{xo) ^ 1^; dies gilt fiir jedes Vb, also<br />
BL 16 fn{xo) -^ fo{xo), und fiir jedes XQ, also /^ ^^ /o- | Daraus folgt aber noch<br />
nicht, dass die W mit ihren Summen alle offenen Mengen von ZQ darstellen!<br />
{Ws konnte eine „Halbbasis" von ZQ sein.)<br />
Beispiele. (a) X sei das Intervall [0,1], Y die Menge der reellen Zahlen, Z =<br />
Y^ die Menge der reellen in [0,1] definierten Funktionen. B sei das System der<br />
Baireschen Funktionen; es ist in ZQ abgeschlossen. In Z ist es dicht, denn jedes<br />
W = ^YK^ilfi^k) ^ Vk] enthalt auch Bairesche, sogar stetige Funktionen,<br />
Also ist B hi Z nicht abgeschlossen, da sonst B — Z ware, aber es giebt ja<br />
auch nicht-Bairesche Funktionen, Z — B 7^ 0. B ist also in Z^ abgeschlossen,<br />
in Z nicht; Z{^ enthalt mehr abgeschlossene Mengen als Z, Z ist ein echter<br />
Oberraum von ZQ. Z ist dann gewiss nicht als £-Raum erzeugbar.<br />
(/3) X, Y wie oben, Z = Y^ jetzt nur die Menge der stetigen Funktionen. B<br />
sei das System der stetigen Funktionen / wo M(/) = (B[f{x) > 0] ein Mass > S<br />
X<br />
Bl. 17 hat {0 < S < 1). B ist in ZQ abgeschlossen, denn | ist fn ^ B, fn ^^ /, so hat<br />
M = IhE M{fn) - Unl^ifn) + M(/n+i) + • • • ] ciu Mass > S; und fiir X G M<br />
ist unendlich oft fn{x) > 0, also f{x) > 0; M C M(/); f e B. ~ Wegen 6 > 0<br />
ist ZQ — B ^ 0. Andererseits ist B in Z dicht, also dort nicht abgeschlossen,<br />
well sonst B = Z ware. Denn jede Menge W = (BJXk=i[f{^k) ^ Vk] enthalt<br />
Funktionen f ^ B; man braucht nur, nachdem man Werte yk G Vk gewahlt und<br />
f{xk) — Vk gesetzt hat, in der offenen Menge X — Yl^ ^k (vom Masse 1) eine<br />
abgeschlossene Teilmenge F vom Masse S zu wahlen, was wegen 6 < 1 moglich<br />
ist, z.B. eine Summe von Intervallen, und in F f{x) = 0 zu setzen; danach<br />
lasst sich / zu einer stetigen Funktion f E B erganzen. - Also auch in diesem<br />
Fall ist Z echter Oberraum von ZQ (und kein £-Raum).<br />
(7) Es sei X = {1,2,...} die Menge der nat. Zahlen, Y die der reellen, Z<br />
Raum der reellen Zahlenfolgen. Hier ist ZQ mit Z homoomorph. Denn wenn<br />
jede Umgebung Wn = ^IlLi [1/(^)1 < ^] ^^^ 0-Folge einer Folge Qnix) e B<br />
enthalt, so ist gn -^ (0); bei einem in ZQ abgeschlossenen B also auch (0) G B.<br />
Dasselbe gilt von jedem f{x) statt (0). Demnach ist B auch in Z abgeschlossen,<br />
sonst gabe es ein / G Z — B, von dem jede Umgebung W ein Element g ^ B<br />
enthielte. - Bei allgemeinem Y mit 1. Abzahlbarkeitsaxiom diirfte dasselbe<br />
Bl. 18 gelten. | Zu der ganzen Sache vgl. noch Gestufte Raume, S. 497. Im topologi-<br />
2<br />
schen Raum Z definieren wir die Relation fn^^f uiit der Bedeutung: jede<br />
Umgebung von / enthahlt fast alle fn- (Als Umgebungen geniigen die W). Im<br />
allg. wiirde dabei die Einzigkeit des Limes fehlen; hier ist sie aber vorhanden<br />
2 2<br />
und fn-^f niit der Relation fn-^fin ZQ aquivalent. Der von fn-^f erzeugte<br />
£-Raum, hier ZQ, ist ein Unterraum von Z, und wir haben Beispiele,<br />
dass er echter Unterraum sein kann.<br />
794
NL HAUSDORFF : Kapsel 41: Fasz. 678<br />
[Topologisierung des Urbildes eines topologischen<br />
Raumes]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936 - Marz 1938]. - 2 BU.<br />
y = f{x) Abbildung von X mY,<br />
Bei topologischem Y X so zu topologisieren, dass f{x) stetig wird.<br />
Durchlauft V die ofFenen Mengen von Y, so mussen alle Mengen f'^iV) in<br />
X als offen erklart werden (es konnen vielleicht noch andere als offen erklart<br />
werden). Wenn man nur sie als offen erklart, so erhalt man den Raum X mit<br />
den wenigsten offenen Mengen, den Maximalraum X; alle andern Losungen<br />
sind Unterraume von X {X schlichtes stetiges Bild von ihnen).<br />
1st ein System topologischer Raume Yt und Abbildungen ft{x) von X in<br />
Yt gegeben, so soil X so topologisiert werden, dass alle ft stetig werden. Alle<br />
Ut = f~^{Vt) {Vt in Yt offen) sind als offen zu erklaren; ist (U) das kleinste<br />
System liber diesen Mengen, das (U) = (Ud) — (Us) erfiillt (Durchschnitt<br />
endlich vieler und Summe beliebig vieler U ein U), so mussen in X jedenfalls die<br />
Mengen U offen sein. Wenn nur sie, ist X der Maximalraum. Die Durchschnitte<br />
UtiUt2 • • • Ut^ endlich vieler Ut bilden eine Basis fiir X.<br />
Es konnen auch alle Yt = Y sein, so dass es sich nur um verschiedene Abbildungen<br />
ft von X in y handelt.<br />
Ist Xo topologisch, als Punktmenge = X, die ft{x) in XQ bereits stetig, so<br />
ist X Oberraum zu XQ ( es kann in XQ mehr offene Mengen geben als in X). | BL2<br />
Dasselbe fiir >C-Raume. Y sei gegebener £-Raum, die Abbildung y — f{x)<br />
von X in F soil durch Konvergenzdefinition in X stetig gemacht werden.<br />
Nur solche Xn —^ x sind zulassig, wofiir f{xn) -^ /(^)- Man braucht sie<br />
nicht alle zu nehmen. Nimmt man sie alle (grosstes Konvergenzensystem),<br />
so erfiillt dies die Limesaxiome (/?) (7) (Gestufte Raume), aber i. A.nicht<br />
(a), der topologische Maximalraum X braucht kein >C-Raum zu sein; es kann<br />
f{xn) -^ f{x) = f{x'), x^x' sein.<br />
Hat man mehrere /t(x), Abbildungen von X in F, so darf nur dann Xn -^<br />
X definiert werden, wenn fiir alle t ft{xn) —^ ft{x). Nimmt man alle diese<br />
Konvergenzen, so kann (a) erfiillt sein, wenn namlich<br />
l[[Mx') = ft{x)] = [x = x'].<br />
Z.B. (Toeplitz-Koethe, Journ. 171): x — (^1,^2, •• •) Folgen komplexer Zahlen,<br />
die ein lineares System X bilden; t = (n,r2,...) durchlaufe alle Folgen, fiir die<br />
ft{x) = ^^k^k absolut konvergiert. T das System aller dieser t. Es ist dann,<br />
wenn Yl^k^k ==0 fiir alle t, notwendig x = 0 denn zu den t gehoren die<br />
efc = (0,...,0,1,0,...),<br />
795
und dann ist /e^ (x) = ^k = 0. Xn ^' x ist die von Toeplitz-Koethe definierte<br />
Konvergenz. (Vgl. Fichtenholz).<br />
Wenn XQ (top.) als reine Menge = X, die ft{x) in XQ bereits stetig sind, so<br />
gehoren die in XQ bestehenden Konvergenzen zu denen in X bestehenden, X<br />
ist Oberraum zu XQ.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 38 : Fasz. 550<br />
G. Aumann, Beitrage zur Theorie der Zerlegungsraume<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 21. 11. 1935. - 8 Bll.<br />
Abgedruckt sind die Blatter 1-4.<br />
G. Aumann, Beitrage zur Theorie der Zerlegungsraume. Math. Ann. 106 (1932),<br />
S.249-294.<br />
Die Arbeit ist griindlich, scharfsinnig und enthalt viele interessante Ergebnisse.<br />
Indessen ist das Problem nicht klar gestellt und die Losung infolgedessen<br />
nicht frei von Willkiir.<br />
Es handelt sich (in vereinfachter Bezeichnung) um Folgendes. Aus einer Zerlegung<br />
H<br />
der Menge E in diskunkte Summanden ^ 0, wobei der Index y eine Menge<br />
H durchlauft, entspringt eine (eindeutige) Abbildung y = (p{x) von E auf H,<br />
indem man jedem Element x ^ E den Index y des Summanden zuordnet, der x<br />
enthalt; also y = (p{x) mit x E Ey gleichbedeutend. Wenn nun E ein topologischer<br />
Raum oder Limesraum oder metrischer Raum ist, so kann man versuchen,<br />
in geeigneter Weise auch H zu einem solchen Raum zu machen. Verschiedene<br />
Autoren haben das auf verschiedene Arten durchgefiihrt und sind so zu Bedingungen<br />
flir die Zerlegung gelangt, denen entsprechend sie als stetige Zerlegung<br />
Bl. 2 (Alexandroff), oberhalb-stetige Zerlegung (Vietoris), decomposition | semicontinue<br />
(Kuratowski), allgemein-stetige Zerlegung (Aumann, S. 258) bezeichnet<br />
wird.<br />
Was heiCt aber: in geeigneter Weise? Stellen wir die prazise Forderung: Die<br />
Abbildung (p soil stetig sein. Betrachten wir den topologischen Fall, mit dem<br />
sich nur Alexandroff und Aumann befasst haben, und nehmen „rein topologische"<br />
Raume, d. h. solche ohne Trennungsaxiome (aus deren Hinzunahme<br />
natiirlich zusatzliche Bedingungen fiir die Zerlegung entspringen); ein rein topologischer<br />
Raum ist durch das System seiner offenen Mengen charakterisiert,<br />
das nur den Bedingungen zu geniigen hat: die NuUmenge und der Raum selbst<br />
sind off en, der Durchschnitt endlich vieler und die Summe beliebig vieler offener<br />
Mengen ist offen. Der einfache Tatbestand ist nun, dass ohne jede einschrdnkende<br />
Bedingung flir die Zerlegung die Abbildung (p durch geeignete Wahl des rein<br />
y<br />
796
topologischen Raumes H stetig gemacht werden kann, dass also in diesem Sinne<br />
jede Zerlegung eine stetige Zerlegung ist. Man darf namlich, der bekannten<br />
Eigenschaft stetiger Abbildungen gemass, nur solche Mengen V in H als off en<br />
erklaren, deren Urbilder<br />
y<br />
in E off en sind. Erklart man alle diese | V als off en, so entsteht ein bestimmter Bl. 3<br />
topologischer Raum H, der „Minimalraum"; erklart man nur einen Teil der V<br />
als off en, so entstehen noch andere Raume, die schlichten stetigen Bilder des<br />
Minimalraumes.<br />
Dieser einfache Sachverhalt kommt weder bei Alexandroff noch bei Aumann<br />
zum klaren Ausdruck: beide definieren gewisse Mengen V, die ihnen plausibel<br />
erscheinen, als offen, und die Forderung der Offenheit ihrer Urbilder ergiebt<br />
dann gewisse Einschrankungen fiir die Zerlegung, die a priori durchaus nicht<br />
notwendig sind. So entsteht die Bedingung der allgemein-stetigen Zerlegung bei<br />
Aumann (Bedingung (S), S. 258), die scharfere Alexandroffsche Bedingung, die<br />
darauf hinauskommt, dass (nicht nur das Urbild, sondern auch) das Bild jeder<br />
abgeschlossenen Menge abgeschlossen sein soil, und als deren Gegenstiick eine<br />
(von Aumann S. 261 als ^-Stetigkeit bezeichnete) Bedingung, wonach (nicht<br />
nur das Urbild, sondern auch) das Bild jeder offenen Menge offen sein soil.<br />
Natlirlich ist die Untersuchung dieser speziellen | Zerlegungen (insbesondere Bl. 4<br />
der Alexandroffschen) von grossem Interesse, und hierzu bringt die Arbeit von<br />
Herrn Aumann bemerkenswerte Beitrage, aber es ist nicht zu vergessen, dass<br />
die Spezialisierung einer gewissen Willkiir entspringt und tatsachlich von der<br />
Abbildung (p mehr als die einfache Stetigkeit fordert.<br />
Ubrigens arbeitet Herr Aumann nicht mit offenen Mengen, sondern mit den<br />
Tietzeschen Umgebungen (die nicht notendig offen sind), wodurch eine Umgruppierung<br />
der Schliisse eintritt, die aber an dem hier Gesagten nichts andert.<br />
Nachdem er seine Umgebungen im Raum H eingefiihrt und dadurch fiir jede<br />
Menge B die Menge Bj der Punkte, die B als Umgebung haben, festgelegt<br />
hat, beweist er anscheinend (S. 253) die Stetigkeit der Abbildung ip schon vor<br />
Einfiihrung einer neuen Bedingung; in Wahrheit ist aber diese Stetigkeit, auf<br />
Grund der Tietzeschen Umgebungen, mit der gewohnlichen Stetigkeit nur dann<br />
identisch, wenn die Mengen Bj offen sind {Bj = Bjj), und diese Forderung fiihrt<br />
dann zur Bedingung (S) der Allgemein-Stetigkeit.<br />
797
Hausdorffs Studien iiber Kurven, Bogen und<br />
Peano-Kontinua<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss<br />
1. Einfiihrung<br />
Zahlreiche Ergebnisse, insbesondere der komplexen Analysis und der Flachentheorie,<br />
legen den Gedanken nahe, das Konzept einer Kurve stelle einen Grundbegriff<br />
der Topologie dar. Leider ist dem nicht so.<br />
In den Grundziigen der Mengenlehre ([H 1914a]) verzichtet HAUSDORFF sogar<br />
voUstandig auf eine Definition von Kurven. Er schreibt dort:<br />
Wir geben keine Definition des BegrifFs Kurve; die Mengen, die herkommlicherweise<br />
diesen Namen fiihren, sind von so heterogener Beschaffenheit,<br />
da6 sie unter keinen verniinftigen SammelbegrifF fallen.<br />
G. T, WHYBURN betonte noch 1968<br />
the unreliability of our intuition concerning these concepts [curves, surfaces,<br />
etc. - die Verf.]^<br />
Natiirlich liessen sich Kurven in einem Raum X als stetige Abbildungen<br />
/ : [0,1] —> X des abgeschlossenen Einheitsintervalls nach X erklaren. Diese<br />
Auffassung, die flir verschiedene Zwecke durchaus tragfahig ist, befriedigte die<br />
Topologen jedoch nicht, da sie meinten, da6 (a) in ihrem Vorverstandnis von<br />
„Kurve" dieselbe Kurve durch verschiedene stetige Abbildungen beschrieben<br />
werden kann, daB also die Abbildung nicht die Kurve selbst sondern nur Mitt el<br />
zu deren Darstellung ist und (b) ihnen "eine vom Abbildungsbegriff unabhangige<br />
gestaltliche Charakterisierung dieser Gebilde"^ wiinschenswert erschien. Der<br />
von C. JORDAN 1887 gewahlte Ausweg, eine Abbildung durch ihr Bild zu ersetzen,<br />
Kurven also als stetige Bilder von [0,1] zu definieren, wurde voriibergehend<br />
als naheliegende Losung dieses Problems angesehen, erwies sich aber als ephemer.<br />
Bereits 1890 iiberraschte G. PEANO die Fachwelt mit der Konstruktion<br />
einer stetigen, surjektiven Abbildung /: [0,1] —> [0,1]^.<br />
Dazu bemerkte HAUSDORFF in den Grundziigen:<br />
Man pflegt eine solche Menge [d. h. ein stetiges Bild des Einheitsintervalls<br />
- die Verf.] als stetige Kurve zu bezeichnen. Aber dieser Begriff<br />
umfafit eine Fiille der Gestalten, die sich von dem elementargeometrischen<br />
Bilde einer „Kurve" himmelweit entfernen. Eine stetige Kurve kann<br />
Fldchenstiicke enthalten: das ist eine der merkwiirdigsten Tatsachen der<br />
Mengenlehre, deren Entdeckung wir G. Peano verdanken.^<br />
i[H 1914a], S. 369, FuBnote.<br />
2 [Why 1968], S. 26.<br />
3 [Men 1932], S. 13.<br />
"^[H 1914a], S.369.<br />
798
In seinem Ubersichtsartikel History of Continuum Theory ([Cha 1998]) bemerkte<br />
J. J. CHARATONIK zur historischen Wirkung von PEANOS Beispiel:<br />
Peano's unexpected example shattered the intuitive notion of the dimension<br />
of a space as being the least number of continuous parameters needed<br />
to describe the space, and it precipitated a search for a rigorous definition<br />
of dimension.^<br />
PEANOS Entdeckung offnete das Tor zu einer Vielzahl z.T. aufierst tiefsinniger<br />
Studien iiber Peano-Kontinua (stetige Bilder des abgeschlossenen Einheitsintervalls),<br />
Bogen (homoomorphe Bilder des Einheitsintervalls), einfach<br />
geschlossene Kurven, (homoomorphe Bilder der Kreislinie), irreduzible Kontinua,<br />
1-dimensionale Kontinua, einfach zusammenhdngende Kontinua, Bogenzusammenhang<br />
und - natiirlich - einen geeigneten Kurvenbegriff. Diese Untersuchungen<br />
zeichnen sich (wie tiberhaupt grofie Telle der AUgemeinen Topologie)<br />
aus durch ein faszinierendes Wechselspiel zwischen der Kristallisation geeigneter<br />
Konzepte und diese harmonisch verbindender Theoreme einerseits und der<br />
Entdeckung verbliiffender und teilweise hochst bizarrer Gegenbeispiele andererseits:<br />
Essential progress in continuum theory is related to the investigation of<br />
curiosities; the study of curiosities led to the discovery of regularities.^<br />
Eine erschopfende Darstellung dieser Entwicklung ist wegen der Ftille des<br />
Materials einerseits (CHARATONIK zitiert in [Cha 1998] 729 Arbeiten) und dem<br />
Schwanken nicht nur des Kurvenbegriffs selbst sondern zahlreicher (heute weitgehend<br />
fixierter) topologischer Grundbegriffe andererseits hier weder moglich<br />
noch sinnvoll. Als Beispiel fiir die begrifflichen Schwierigkeiten sei das Schwanken<br />
des hier zentralen Kontinuum-BegriSs angefiihrt:<br />
(a) CANTOR^ definierte Kontinua als perfekte (d. h. abgeschlossene, insichdichte)<br />
zusammenhangende Teilraume Euklidischer Raume.<br />
(b) R. L. MOORE^ und HAUSDORFF^ definierten Kontinua als abgeschlossene,<br />
zusammenhangende Teilmengen eines metrischen Raumes (also als<br />
Relativbegriff).<br />
(c) MENGER^^ definierte Kontinua als "mehrpunktige, zusammenhangende<br />
beschrankte abgeschlossene" Teilraume Euklidischer Raume und Kontinua<br />
im weiteren Sinne als "mehrpunktige zusammenhangende abgeschlossene"<br />
Teilraume Euklidischer Raume. Wahrend der Kontinuums-<br />
Begriff hier absolut ist, ist der des Kontinuums im weiteren Sinne nur<br />
relativ.<br />
^[Cha 1998], S. 707.<br />
6 [Cha 1998], S. 716.<br />
'^[Can 1883], S. 576.<br />
8 [Moo 1923], S.290.<br />
9[H 1927a], S. 150-151.<br />
10 [Men 1932], S. 22-23.<br />
799
(d) ANDERSON und CHOQUET^^ definierten Kontinua als kompakte, zusammenhangende<br />
metrische Raume.<br />
(e) Viele Autoren setzten Bekanntheit mit dem Begriff des Kontinuums voraus.<br />
Einige verstanden darunter kompakte, zusammenhangende Teilraume<br />
Euklidischer Raume.<br />
Selbst heute ist der Begriff nicht eindeutig fixiert:<br />
(f) HOCKING und YOUNG^^ definieren ebenso wie CHOQUET^^ Kontinua als<br />
kompakte, zusammenhangende topologische Raume.<br />
(g) WiLLARD^^ definiert ebenso wie ENGELKING^^ Kontinua als kompakte,<br />
zusammenhangende Hausdorff-Raume,<br />
(h) BURGESS^^ definiert Kontinua als kompakte, zusammenhangende metrische<br />
Raume mit mindestens zwei Punkten.<br />
(i) CHARATONIK schreibt 1998:<br />
By a continuum we usually [sic!] mean a metric (or Hausdorff) compact<br />
connected space. ^<br />
Er lafit also mindestens zwei Sorten von Kontinua zu.<br />
Im vorliegenden Beitrag verstehen wir unter einem Kontinuum einen kompakten,<br />
zusammenhangenden, metrisierbaren topologischen Raum.^^<br />
Unsere Stoffauswahl orientiert sich an den Pragestellungen, mit denen sich<br />
HAUSDORFF in seinen Biichern oder seinen unveroffentlichten personlichen Aufzeichnungen<br />
auseinandergesetzt hat. Dabei ist besonders bemerkenswert, dafi<br />
HAUSDORFF - aufier in seinen Biichern - iiber diesen Themenkreis zwar kein<br />
einziges Ergebnis veroffentlichte, aber die Liter at ur hierzu mit beeindruckender<br />
Intensitat studierte und auf weit iiber tausend eng beschriebenen Seiten (allein<br />
152 bzw. 200 zu MENGERS Biichern iiber Kurven- bzw. Dimensionstheorie)<br />
resiimierte, kommentierte und erganzte. Dabei zeichnete er die vorgefundenen<br />
Beweise in der Regel sorgfaltig nach, machte die Argumentation durchsichtiger,<br />
schloB Beweisliicken oder ersetzte die Beweise durch eigene, elegantere<br />
Alternativen. Auch brachte er die vorgefundenen Resultate haufig durch Herauskristallisierung<br />
eines optimalen AUgemeinheitsgrades in perfektere Form,<br />
ii[AnCh 1959], S. 347.<br />
i2[HoYo 1961].<br />
i3[Cho 1966].<br />
14 [Will 1968].<br />
i^[Eng 1989).<br />
16 [Bur 1966].<br />
i^[Chal998], S. 705.<br />
i^Aquivalent dazu: ein Kontinuum ist ein kompakter, zusammenhangender Hausdorff-<br />
Raum mit abzahlbarer Basis. Nicht-degenerierte Kontinua, d. h. Kontinua mit wenigsten<br />
zwei Punkten, sind von der Machtigkeit des Zahlen-Kontinuums M.<br />
800
egleitet von Beispielen, welche die Scharfe des jeweiligen Ergebnisses belegen.<br />
Er beschrankte sich in seinen - ja nur fiir seine eigene Arbeit bestimmmten<br />
- Notizen nicht auf eine Analyse des mathematischen Kerns der jeweils studierten<br />
Veroffentlichungen, sondern unterzog auch die Darstellungsform der<br />
jeweiligen Autoren einer kritischen Bewertung. Dies wird besonders deutlich<br />
in seinen Notizen zu MENGERS Buch Kurventheorie (NL HAUSDORFF, Fasz.<br />
985). HAUSDORFF beginnt sie mit einer historisch sehr interessanten allgemeinen<br />
Feststellung zu MENGERS Biichern [Men 1928] und [Men 1932]:<br />
Allgemeine Bemerkung zu Mengers Biichern: Die Kurventheorie behandelt<br />
abgeschlossene beschrankte Mengen Euklidischer Raume, gilt aber<br />
grossenteils fiir kompakte Raume (auch von nicht endlicher Dimension):<br />
sie scheint spezieller als sie ist.<br />
Die Dimensionstheorie behandelt separable regulare Raume, diese sind<br />
aber metrisierbar: sie scheint allgemeiner als sie ist.^^<br />
Im Text von Fasz. 985 finden sich zahlreiche kritische Bemerkungen zu Einzelheiten<br />
von MENGERS Buch. Besonders bemerkenswert sind HAUSDORFFS<br />
Bemiihungen, den Beweis fiir den n-Bogensatz ([Men 1932], S. 228 ff.) wesentlich<br />
zu vereinfachen. In HAUSDORFFS Notizen erscheint der Satz unter Nr. VH<br />
in folgender Formulierung:<br />
VII (Zweiter n-Bogensatz fiir Bogenkomplexe). E sei Bogenkomplex, P<br />
und Q endliche Mengen C E. Wennjede P, Q scheidende Menge T mindestens<br />
n-punktig ist {n = 1,2,...), so giebt es in E mindestens n disjunkte<br />
Bogen p- • • q {ev. uneigentliche p, p E PQ)?^<br />
Im AnschluB an seinen eigenen Beweis stellt HAUSDORFF fest:<br />
In Fund. Math. 10, S. 101-102 hat Menger fiir VII einen falschen Beweis<br />
geliefert, den er im Buch Kurventheorie durch einen von Nobeling - n-<br />
Kettensatz fiir Graphen, S. 221-228 - ersetzt hat. Dieser ist aber hochst<br />
kompliziert; mein vorstehender Beweis, vor allem darauf beruhend, dass<br />
P, Q nicht notwendig disjunkt zu sein brauchen, [• • • ] scheint mir bedeutend<br />
einfacher.^^<br />
HAUSDORFF bringt dann auf den Blattern 111-116 einen weiteren Beweis eines<br />
modifizierten n-Bogen-Theorems, den er mit folgender Bemerkung abschliefit:<br />
„That was a hard piece of work!" (Bl. 116).<br />
2. Peano-Abbildungen<br />
Unter einer Peano-Abbildung verstehen wir eine stetige Abbildung des abgeschlossenen<br />
Einheitsintervalls / auf das Einheitsquadrat P. PEANO konstruierte<br />
1890 die erste Peano-Abbildung mitt els der triadischen Entwicklung der<br />
Elemente des Einheitsintervalls.<br />
i^NL HAUSDORFF, Fasz. 985, BL Iv.<br />
20NL HAUSDORFF, Fasz. 985, Bl. 93.<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 985, Bl. 100.<br />
801
Bereits 1891 lieferte HiLBERT durch sukzessive Unterteilung von Quadraten<br />
in jeweils vier kongruente Teilquadrate und geeignete lineare Reihung derselben<br />
eine rein geometrische Konstruktion einer Peano-Abbildung / = (x,y).<br />
Beziiglich der Abbildungen x und y merkte HiLBERT an:<br />
Die oben gefundenen abbildenden Punctionen sind zugleich einfache Beispiele<br />
fiir iiberall stetige und nirgends difFerentiirbare Punctionen.^^<br />
E. A. MOORE wiirdigte 1900 HILBERTS Veranschaulichung einer solchen Art<br />
von Abbildung:<br />
This interesting phenomenon of continuous surface-fiUing curves HiLBERT<br />
in 1891 made luminous to the geometric imagination, [• • •].<br />
MOORE konstruierte dann - durch HILBERTS Darstellung angeregt - eine<br />
Vielzahl schoner Peano-Abbildungen (als gleichmaBige Limiten von Polygonziigen)<br />
und stetiger, nirgends differenzierbarer Abbildungen und hob die<br />
Anschaulichkeit der so konstruierten "Kurven" K hervor:<br />
Prom the continuity of K and the presence of the set of nodes the properties<br />
of K follow in such a way as to appeal vividly to the geometric<br />
imagination. Indeed the yt-curve from the simplicity of its geometric definition<br />
and from the intuitive clearness of its properties appears to be<br />
fit to replace the classical WEIERSTRASS curve as the standard example<br />
of continuous curves having no tangents, [• "]?^<br />
1905 kontruierte LEBESGUE in seinem Werk Legons sur Vintegration (S. 144)<br />
zunachst eine stetige Abbildung / des CANTORschen Diskontinuums auf das<br />
Einheitsquadrat und anschlieBend durch stiickweise lineare Fortsetzung von /<br />
eine Peano-Abbildung g: I —> P.<br />
1912 bewies SiERPiNSKi in [Sie 1912] zunachst, da6 genau eine stetige beschrankte<br />
Abbildung /: E —> M mit folgenden Eigenschaften existiert:<br />
1. f{-t) = f{t) fiir jedes t G E,<br />
2- f{t) + /(t 4- ^) = 0 fiir jedes t e E,<br />
3. 2./(|) + /(t+|) = lfiirjedestG/.<br />
Hieraus folgerte er, dafi durch t i—> (/(O, /(^ ~ i)) ^i^^ Peano-Abbildung<br />
g: I —> P definiert wird. Er zeigte ferner, dafi g sich geometrisch als Limes<br />
einer Folge von sehr hiibschen Schneeflocken-ahnlichen Polygonen darstellen<br />
lafit.<br />
Da eine Peano-Abbildung /: / —> P nicht injektiv (und somit kein Homoomorphismus)<br />
sein kann, gibt es wenigstens ein y E P mit mindestens zwei<br />
22[Hil 1891], S.460.<br />
23 [Moo 1900], S.73.<br />
24 [Moo 1900], S.72.<br />
802
Urbildern, kurz: mit \f~^{y)\ > 2. Diese Tatsache veranlafite HAHN 1913, die<br />
Mengen U{f) = {|/~^(y)|; y G P} von Peano-Abbildungen / systematisch zu<br />
erforschen. Flir die von PEANO (ebenso wie fiir die von HILBERT) angegebene<br />
Abbildung / gilt U{f) = {1,2,4}. HILBERT bemerkte jedoch bereits:<br />
Es erscheint iiberdies bemerkenswerth, dass durch geeignete Abanderung<br />
der Theillinien in dem Quadrate sich leicht eine eindeutige und stetige Abbildung<br />
finden Idsst, deren Umkehrung eine nirgends mehr als dreideutige<br />
Eine weitergehende Verbesserung, d. h. die Konstruktion einer Peano-Abbildung<br />
/ mit U{f) C {1,2}, ist nach HAHN nicht moglich. Er schreibt:<br />
Wir prazisieren hier diese Tatsache dahin, dass bei jeder stetigen Abbildung<br />
einer Strecke auf ein Quadrat diejenigen Punkte des Quadrates,<br />
denen mindestens zwei Punkte der Strecke entsprechen, eine Menge von<br />
der Machtigkeit des Kontinuums bilden, und dass es eine im Quadrate<br />
iiberall dichtliegende Menge von Punkten gibt, denen mindestens drei<br />
Punkte der Strecke entsprechen.^^<br />
Ferner zeigt HAHN<br />
[• • • ] wie durch geringfiigige Modifikation die Peano'sche Abbildung so<br />
abgeandert werden kann, dass einem Punkte des Quadrates niemals mehr<br />
als drei Punkte der Strecke entsprechen, und wie im engsten Anschluss<br />
an ein Verfahren, dass nach Cantor zur Herstellung einer eineindeutigen<br />
Zuordnung von Strecke und Quadrat verwendet werden kann, sich auch<br />
eine stetige Abbildung der Strecke aufs Quadrat gewinnen lasst - eine<br />
Abbildung, von der H. LEBESGUE einen Spezialfall angegeben hat.^^<br />
Mittels einer auBerst eleganten geometrischen Konstruktion (sukzessives Fallen<br />
von Loten) gewinnt POLYA 1913 eine stetige Abbildung des abgeschlossenen<br />
Einheitsintervails auf die Flache eines rechtwinkligen Dreiecks, deren Umkehrung<br />
hochstens dreideutig ist.<br />
HAUSDORFF lieferte in seinen Grundziiger?^ eine detaillierte Darstellung der<br />
von HILBERT konstruierten Peano-Abbildungen und in seiner Mengenlehre^^<br />
neben einer auBerst knappen Andeutung der HiLBERTschen und der PEA-<br />
NOschen Konstruktionen und der von KNOPP 1918 beschriebenen stetigen Abbildung<br />
des Einheitsintervalls auf eine Dreiecksflache eine ausfiihrliche Darstellung<br />
der LEBESGUEschen Konstruktion.<br />
Peano-Abbildungen sind - wie schon erwahnt - nie injektiv. Anders ausgedriickt:<br />
Bijektive Abbildungen vom abgeschlossenen Einheitsintervall auf das<br />
25[Hill891], S.460.<br />
26 [Hah 1913, S.33.<br />
27[Hah 1913], S.33.<br />
28 [H 1914a], S.369 ff.<br />
29 [H 1927a], S. 202-203.<br />
803
abgeschlossene Einheitsquadrat sind nie stetig. Jedoch verdient die folgende<br />
Bemerkung SiERPlNSKis festgehalten zu werden:<br />
As regards a 1 — 1 mapping of the segment 0 < t < 1 on the square<br />
0
Aus HAUSDORFFS Grundzugen geht hervor, dafi Peano-Kontinua Kontinua im<br />
Sinne unserer obigen Definition sind, aber eine Charakterisierung fehlte noch.<br />
Diese gelang - unabhangig voneinander um 1913 - H. HAHN^^ und S. MAZUR-<br />
KIEWICZ^'' mittels des von ihnen eingefiihrten Begriffs lokal zusammenhdngend<br />
(= zusammenhdngend im kleinen) in verbliiffend eleganter Weise. In voller AUgemeinheit<br />
besagt der Satz von HAHN und MAZURKIEWICZ, dafi die Peano-<br />
Kontinua genau die nicht-leeren, lokal zusammenhangenden Kontinua sind.<br />
Der lokale Zusammenhang erschien zunachst in zahlreichen Varianten, die<br />
fiir Kontinua allerdings aquivalent sind. So charakterisierte SlERPlNSKi 1920<br />
die Peano-Kontinua K unter alien nicht-leeren metrischen Kontinua durch die<br />
Eigenschaft:<br />
(S) Fiir jedes e > 0 ist K als Vereinigung endlich vieler zusammenhdngender<br />
Teilmenger?^ vom Durchmesser < e darstellbar.<br />
R.L. MOORE nahm SIERPINSKIS Arbeit 1922 zum Anlass, die Beziehungen<br />
zwischen der Eigenschaft (5) und den HAHNschen Begriffen des lokalen<br />
Zusammenhangs und des gleichmafiig lokalen Zusammenhangs zu analysieren.<br />
Als Anwendung erhielt er:<br />
Theorem: Der Rand F{U) eines nicht-leeren, einfach zusammenhangenden^^<br />
beschrankten ebenen Gebiets U ist genau dann ein Peano-Kontinuum, wenn U<br />
der Bedingung (S) geniigt.<br />
HAUSDORFF, der diese Entwicklung aufmerksam verfolgte, erschien der Moo-<br />
REsche Beweis in einer zwischen 1936 und 1938 entstandenen Studie^^ als "sehr<br />
mangelhaft". Er liefert auf Bl. 5-12 einen eigenen Beweis und bereichert das<br />
Ergebnis durch Anmerkungen der folgenden Art (zur Implikation: U erfiillt<br />
(S) => F{U) Peanosch):<br />
sowie:<br />
(Im Raum Rs ist dies falsch. Ein ebenes Sinusoid und eine Kugelflache,<br />
in deren Innern, bis auf einen Punkt,<br />
das Sinusoid liegt, begrenzen ein Gebiet i7,<br />
das sogar gleichmassig lokal<br />
zusammenhangt, well offene zusammenhangende Mengen im Kugelinnern<br />
durch Wegnahme eindimensionaler Mengen den Zusammenhang nicht<br />
verlieren. Trotzdem ist F{U) nicht Peanosch.)^^<br />
36 [Hah 1914a] und [Hah 1921].<br />
37[Maz 1913], [Maz 1916] und [Maz 1920].<br />
^^SlERPiNSKi setzte die Teilmengen nicht nur als zusammenhangend, sondern als Kontinua<br />
voraus. Das ist aber offensichtlich unerheblich.<br />
^^U heifit einfach zusammenhdngend, wenn F(U) zusammenhangend ist.<br />
^°NL HAUSDORFF, Fasz. 659, Bl. 4. Fasz. 659 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 659, Bl. 8<br />
805
Wir haben sogar bewiesen, wenn F(U) nicht total Peanosch^^ ist, hat U<br />
die Eigenschaft S nicht.^^<br />
Jahre spater greift HAUSDORFF^^ folgendes verwandte Resultat, das R. L.<br />
MOORE bereits 1918 erzielte, auf und versieht es mit einem eigenen Beweis:<br />
Theorem: Der Rand eines nicht-leeren, einfach-zusammenhangenden, beschrankten<br />
Gebietes U der Ebene ist genau dann ein topologischer Kreis, wenn<br />
U gleichmafiig lokal zusammenhangend ist.<br />
Der Rand F einer Zusammenhangskomponente des Komplements eines ebenen<br />
Peano-Kontinuums ist<br />
(1) Peanosch^^<br />
(2) total Peanosch^^,<br />
(3) eine regulare Kurve^^,<br />
wobei jede der obigen Behauptungen scharfer ist als seine Vorgangerin.<br />
HAUSDORFF analysiert diese Ergebnisse in den Jahren 1937^^^ und erneut<br />
1941^^ Er schreibt zu (1):<br />
Der Originalbeweis ist sehr kompliziert (Primenden), auch der von Kerekjarto.<br />
Kuratowski, F. M. 15, p. 180-184 giebt folgenden einfacheren.^^<br />
AnschlieBend zeichnet er den KuRATOWSKischen Beweis nach, beweist (2)<br />
nach WILDER, erwahnt das scharfere Resultat (3) von WHYBURN und merkt<br />
an, dafi (1) fiir raumliche Peano-Kontinua nicht gilt. Er greift obige Ergebnisse<br />
1941 erneut auf, zeichnet den KuRATOWSKischen Beweis von (3) nach, wobei<br />
er bemerkt, da6 KURATOWSKI einen wichtigen Punkt iibersehen hat^^, und<br />
studiert die zyklischen Elemente von F.<br />
R. L. MOORE gewann 1919 eine merkwiirdige hinreichende Bedingung dafiir,<br />
dafi ein Kontinuum Peanosch ist:<br />
I. Theorem: Ein Kontinuum, das kein Haufungskontinuum^^ enthalt, ist<br />
Peanosch.<br />
HAUSDORFF griff dieses Resultat am 8.8.1935 auf^^, konstruierte einen eigenen<br />
Beweis<br />
^•^Ein Kontinuum heiBt total Peanosch, falls jedes nicht-leere Subkontiuum Peanosch ist.<br />
43NL HAUSDORFF, Fasz.659, BL8.<br />
44NL HAUSDORFF, Fasz. 767 vom 17. 5. 1941.<br />
45 [Tor 1921], [Kur 1930].<br />
46[Wil 1933].<br />
4^ [Why 1928].<br />
4^NL HAUSDORFF, Fasz. 638 vom 12. 6. 1937. Fasz. 638 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.<br />
'^^NL HAUSDORFF, Fasz. 764 vom 2. und 7. 5. 1941.<br />
50NL HAUSDORFF, Fasz. 638, Bl. 1.<br />
51NL HAUSDORFF, Fasz. 764, Bl. 3.<br />
5^ Ein nicht-degeneriertes Teilkontinuum H von K heiBt Hdufungskontinuum von K, falls<br />
K\H dicht in K ist.<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 545.<br />
806
[• • •] wesentlich einfacher als bei M., der noch dazu nur ebene Mengen<br />
behandelt.^^<br />
und bemerkt abschliefiend:<br />
1st C zwischen zwei Punkten a, 6 irreduzibel und ohne Hauf. kont., so<br />
ist es ein Bogen [a, 6] (Mengenlehre § 39, IV). Diesen Spezialfall (von<br />
Janiszewski) benutzt Moore bereits beim Beweis von I.^^<br />
Mit dem lokalen Zusammenhang und dem einfachen Zusammenhang von<br />
Kontinua setzte sich HAUSDORFF wiederholt auseinander. Dabei heifit ein Kontinuum<br />
K einfach-zusammenhdngend, wenn fiir je zwei Teilkontinua Ki,K2<br />
von K aus K^U K2 = K folgt, da6 Ki fl K2 ein Kontinuum ist. In NL HAUS<br />
DORFF, Fasz. 1085^^ zeichnet er den KuRATOWSKischen Beweis der Tatsache<br />
nach, dafi fiir ein einfach-zusammenhangendes Peanosches Teilkontinuum C<br />
von E (Ebene oder Kugelflache) das Komplement E\C zusammenhangend ist,<br />
und restimiert:<br />
Fiir die Ebene oder Kugelflache [• • • ] haben wir also fiir die Peanoschen<br />
Kontinua C Aquivalenz der beiden Eigenschaften:<br />
C ist einfach-zusammenhangend, E\C ist zusammenhangend.<br />
(Die erste ist eine topologische Eigenschaft von C selbst, die zweite betrifft<br />
die Lage von C in E.f^<br />
HAUSDORFF benutzt obiges Resultat anschliefiend zu einer relativ einfachen<br />
Herleitung des Jordanschen Kurvensatzes.<br />
Bereits frliher hatte HAUSDORFF^^ unter Benutzung einiger Arbeiten von<br />
KuRATOWSKi sowie eigener Erkenntnisse auf 20 Seiten wichtige Ergebnisse<br />
liber lokalen und einfachen Zusammenhang gesammelt. Er untersucht in Fasz.<br />
488 vier topologische Eigenschaften und zeigt, da6 jede von ihnen unter geeigneten<br />
Voraussetzungen zum einfachen Zusammenhang aquivalent ist. Er beweist,<br />
dafi jedes Peano-Kontinuum mit der Fixpunkteigenschaft einfach-zusammenhangend<br />
ist, schliefit hieraus, dafi die n-dimensionalen Simplices einfach-zusammenhangend<br />
sind und zeigt, dafi die n-dimensionalen Euklidischen Raume<br />
und die n-dimensionalen Kugelflachen fiir n > 2 die Fixpunkteigenschaft nicht<br />
besitzen, aber einfach-zusammenhangend sind. Er verallgemeinert ferner einen<br />
Satz von NIKODYM, indem er zeigt, dafi fiir abgeschlossene Teilmengen A und<br />
B eines Raumes E aus dem lokalen Zusammenhang von AuB und ACiB auch<br />
der von A und B folgt.<br />
Peano-Kontinua sind als stetige HAUSDORFFsche Bilder des Einheitsintervalls<br />
/ automatisch abgeschlossene stetige Bilder von /. Die naheliegende Frage,<br />
ob sie sich auch als oflFene stetige Bilder von / darstellen lassen, wird von<br />
54NL HAUSDORFF, Fasz. 545, BL2.<br />
55Fasz. 545, Bl. 2. Fasz. 545 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.<br />
5^Vom Fasz. 1085 sind im folgenden die Blatter 1-6 abgedruckt.<br />
5'^NL HAUSDORFF, Fasz. 1085, Bl. 4.<br />
5^NL HAUSDORFF, Fasz. 488. Der Faszikel ist undatiert; er entstand vermutlich in den<br />
Jahren 1930 bis 1934.<br />
807
HAUSDORFF verneint: 1940 weist er nach, dafi offene stetige Bilder des Einheitsintervalls<br />
keinen topologischen Kreis enthalten konnen^^,<br />
Obwohl HAUSDORFF in seiner Mengenlehre ([H 1927a]) wegen Platzmangels<br />
gezwungen war, die topologische Theorie Euklidischer Raume zu streichen, hielt<br />
er die seit dem Erscheinen der Grundzilge gewonnenen Ergebnisse liber Peano-<br />
Kontinua und Bogen fiir so wichtig, dafi er fur jeden dieser Themenkreise einen<br />
neuen Paragraphen hinzufiigte (§36 Streckenbilder bzw. § 39 Einfache Kurven).<br />
4. Bogen und topologische Kreise<br />
Wahrend die Entwicklung eines geeigneten Kurven-Begri^s sich als schwierig<br />
und langwierig herausstellte - sie nahm fast ein halbes Jahrhundert in Anspruch<br />
- wurden spezielle Kurventypen, insbesondere Bogen und topologische<br />
Kreise, bereits friihzeitig begrifflich prazise gefafit und intensiv erforscht. Ein<br />
topologischer Raum heifit Bogen (arc), falls er homoomorph zum abgeschlossenen<br />
Einheitsintervall ist; er heifit topologischer Kreis {einfach geschlossene<br />
Jordan-Kurve), falls er homoomorph zur Kreislinie ist.<br />
Zahlreiche interne Charakterisierungen von Bogen wurden gewonnen, z.B.<br />
als<br />
(a) Kontinua, die zwischen zwei Punkten irreduzibel zusammenhangend^^<br />
sind^\<br />
(b) lokal zusammenhangende, irreduzible^^ Kontinua^^,<br />
(c) Kontinua K, so dafi fiir jeden Punkt x mit zwei Ausnahmen zwei mehrpunktige<br />
abgeschlossene Teilmengen A und B von K mit<br />
AUB = K und AnB = {x} existieren^^,<br />
(d) nicht-degenerierte Kontinua mit hochstens zwei Randpunkten^^,<br />
(e) Kontinua von hochstens zweiter Ordnung mit mindestens zwei Endpunkten^^.<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 754 vom 20. 9.1940 ist im folgenden vollstandig abgedruckt.<br />
^°Ein Kontinuum K heifit zwischen zwei Punkten a und b irreduzibel zusammenhdngend,<br />
falls kein echter zusammenhangender Teilraum von K sowohl a als auch 6 enthalt.<br />
^^[Len 1911], vgl. auch [Hal 1919).<br />
^•^Ein Kontinuum K heifit irreduzibel^ falls es zwei Punkte a und b enthalt derart, dafi kein<br />
echtes Teilkontinuum von K sowohl a als auch b enthalt.<br />
^3 [Jan 1912a].<br />
64 [Sie 1917], [Str 1918].<br />
6^Ein Punkt x eines zusammenhangenden Raumes X heifit Randpunkt von X, falls X\{x}<br />
zusammenhangend ist; andernfalls Schnittpunkt (cut point). Die Eigenschaft (d) wurde interessanterweise<br />
bereits 1905 von LENNES als Definition von Bogen gewahlt, jedoch noch nicht<br />
zur Charakterisierung der homoomorphen Bilder des abgeschlossenen Einheitsintervalls verwendet.<br />
([Moo 1920])<br />
66 Ein Punkt heifit nach MENGER und URYSOHN<br />
- von hochster n-ter Ordnung, falls er eine Umgebungsbasis aus Mengen besitzt, deren Rander<br />
hochstens n-elementig sind.<br />
808
In § 39 seiner Mengenlehre beweist HAUSDORFF, dafi Bogen durch jede der<br />
obigen Bedingungen (a), (b) bzw. (c) charakterisiert werden. Dariiber hinaus<br />
vert left er diese Ergebnisse durch den Nachweis, dafi fiir jeden separablen<br />
metrisierbaren Raum X eine stetige Bijektion von X auf das abgeschlossene<br />
Einheitsintervall existiert, falls (a) X zwischen zwei Punkten irreduzibel<br />
zusammenhangend ist oder (b) X zusammenhangend ist und zwei Punkte<br />
a und b so besitzt, dafi fiir jedes x e X abgeschlossene Mengen A,B mit<br />
a e A, b e B, AnB = X und AnB = {x} existieren. Kompakte Raume mit<br />
obigen Eigenschaften sind folglich Bogen.<br />
Analog wurden interne Charakterisierungen von topologischen Kreisen gefunden,<br />
z. B. als<br />
1. nicht-degenerierte Kontinua, die fiir je zwei ihrer Punkte a und b in Teilkontinua<br />
A und B mit AnB = {a^b} zerlegt werden konnen ([Str 1918]),<br />
2. nicht-degenerierte Kontinua, die durch Entfernen von je zwei Punkten<br />
unzusammenhangend werden ([Moo 1920]),<br />
3. nicht-degenerierte Kontinua, die nach Entfernen jeder zusammenhangenden<br />
Teilmenge zusammenhangend bleiben ([Kli 1924]),<br />
4. nicht-degenerierte, planare^^, homogene^^ Peano-Kontinua^^,<br />
5. Kontinua, deren Punkte alle von zweiter Ordnung sind^^.<br />
Wie bereits erwahnt, verfolgte HAUSDORFF die Entwicklung der Theorie von<br />
Kurven, Bogen und topologischen Kreisen sehr aufmerksam und gab insbesondere<br />
fiir folgendes Resultat von R. L. MOORE^^ einen eigenen Beweis^^:<br />
Theorem: Der Rand eines nicht-leeren, einfach-zusammenhangenden, beschrankten<br />
Gebietes U der Ebene ist genau dann ein topologischer Kreis, wenn<br />
U gleichmafiig lokal zusammenhangend ist.<br />
- Endpunkt, falls er von hochtens erster Ordnung ist.<br />
Ein Kontinuum heiBt von hochtens n-ter Ordnung, falls jeder seiner Punkte von hochstens<br />
n-ter Ordnung ist. ([Men 1926a])<br />
^^In die Ebene einbettbare topologische Raume heifien planar.<br />
^^Topologische Raume X heifien homogen, falls zu jedem ihrer Punktepaare {x,y) ein<br />
Homoomorphismus h: X —> X mit h{x) = y existiert.<br />
^^Obiges Resultat von MAZURKIEWICZ liefert eine partielle Antwort auf das von KNASTER<br />
und KuRATOWSKi in Fund. Math. 1 (1920), S. 223 formulierte Problem:<br />
2) Un continu (borne) plan, topologiquement homogene, est-il necessairement<br />
homemomorphe a une circonference?<br />
Trotz positiver Vorankiindigungen von WARASZKIEWICZ und von CHOQUET gelang es BING<br />
(1948) zu zeigen, dafi die Antwort negativ ist. Er bewies, dafi KNASTERS Pseudobogen<br />
zwar nicht lokal-zusammenhangend, also keine topologischen Kreise sind, wohl aber nichtdegenerierte,<br />
planare, homogene, sogar unzerlegbare (d. h., nicht als Vereinigung zweier echter<br />
Teilkontiua darstellbare) Kontinua. Mit den Bogen haben sie dariiber hinaus die Eigenschaft<br />
gemein, zu jedem ihrer nicht-degenerierten Subkontinua homoomorph zu sein. ([Moi 1948],<br />
[Maz 1924])<br />
"^OlMen 1926b].<br />
^i[Moo 1918].<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 767, datiert 17. 5. 1941.<br />
809
5. Bogenverkniipftheit von Peano-Kontinua<br />
Peano-Kontinua sind bogenverkniipff^ {arcwise connected), sogar lokal bogenverkniipft.<br />
Diese Verscharfung charakterisiert Peano-Kontinua unter alien Kontinua.<br />
R. L. MoORE bemerkte hierzu:<br />
Mazurkiewicz, Tietze, and I, working, as far as I know, entirely independently<br />
of each other, have shown^^ that, in order that a bounded continuum<br />
should be a continuous curve [d. h., ein Peano-Kontinuum - die Verf.]<br />
it is necessary that it should be arc-wise connected. That this condition<br />
is not sufficient is shown by the existence of the above-described point<br />
set M2, which, though arc-wise connected, is not a continuous curve. However,<br />
I have recently established the following theorem which embodies<br />
a generalization of the above-mentioned result.<br />
THEOREM A. In order that a continuum M should be a continuous curve<br />
it is necessary that every maximal connected subset of an open subset of<br />
M should be arc-wise connectedJ^<br />
Less than a week before the date of the delivery of this address, Mr. R. L.<br />
Wilder showed^^ that this condition is also sufficient. It therefore affords<br />
a complete characterization of a continuous curve. ^^<br />
HAUSDORFF setzte sich mit dieser Thematik wiederholt auseinander. U. a.<br />
machte er sich kurze zusammenfassende Notizen liber obige Ergebnisse von<br />
R. L. MOORE, TIETZE, MAZURKIEWICZ und WILDER sowie verwandte Resultate<br />
u. a. von KNASTER (ES gibt Kontinua, die keine Bogen enthalten) und<br />
TORHORST^^. In einer grofien Studie^^ liber zyklische Elemente eines topologischen<br />
Raumes, liefert er u. a.<br />
(a) Eine wesentliche Vereinfachung des MAZURKiEWiczschen Beweises der<br />
lokalen Bogenverkniipftheit von Peano-Kontinua^^.<br />
^^Ein topologischer Raum X heifit bogenverkniipft, falls je zwei seiner Punkte in X durch<br />
einen Bogen verbunden werden konnen. Ein T2-Raum X ist genau dann bogenverkniipft,<br />
wenn er wegzusammenhdngend ist, d. h. wenn zu jedem Punktepaar {x, y) in X eine stetige<br />
Abbildung /: [0,1] ^ X mit /(O) = x und /(I) = y existiert.<br />
Allgemein gilt, dafi zusammenhangende, lokal-zusammenhangende vollstandig metrisierbare<br />
Raume bogenverkniipft sind. Jedoch existieren zusammenhangende, lokal-zusammenhangende<br />
Teilraume der Ebene, die kontinuaverkniipft, aber nicht bogenverkniipft sind, da sie keinen<br />
einzigen Bogen enthalten (MoORE 1926), und es existieren nicht-degenerierte, zusammenhangende,<br />
lokal-zusammenhangende Teilraume der Ebene, die keine nicht-degenerierten<br />
Kontinua enthalten (KNASTER und KURATOWSKI 1927),<br />
^4[Maz 1920], [Tie 1919], [Moo 1917].<br />
"^^Hier verweist MoORE auf seine Arbeit [Moo 1922].<br />
^^Hier schreibt MoORE in einer Fufinote: „This result forms a part of Mr. Wilder's dissertation<br />
for the degree of PhD. at the University of Texas."<br />
^^[Moo 1923], S. 293-294.<br />
'^^NL HAUSDORFF, Fasz. 329, vermutl. nach 1926 entstanden.<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 577, vermutl. Marz 1934 bis August 1936 entstanden. Fasz. 577 ist<br />
im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S. 487-531.<br />
SONL HAUSDORFF, Fasz. 577, Bll.4-6.<br />
810
(b) Elegante Beweise der folgenden Satze:<br />
1st X ein nicht-degeneriertes Peano-Kontinuum X ohne Schnittpunkte,<br />
so gilt:<br />
(1) Ein Punkt von X ist genau dann kein Endpunkt, wenn er innerer<br />
Punkt eines Bogens ist.<br />
(2) Jeder Punkt von X liegt auf einem topologischen Kreis.<br />
(3) Je zwei Punkte von X liegen auf einem topologischen Kreis [WHY-<br />
BURN, Transactions Amer. Math. Soc. 1927, p. 385].<br />
(4) Zu je drei Punkten x, y, z von X existiert ein Bogen, der x und z als<br />
Endpunkte und y als inneren Punkt besitzt [AYRES, Amer. J. Math.<br />
1929, 577-594].<br />
Zu den Ergebnissen von WHYBURN und AYRES stellt HAUSDORFF abschliefiend<br />
fest:<br />
Ubrigens sind dies alles besondere Falle des n-Bein- und n-Bogensatzes<br />
fiir Peanosche Kontinua (Menger, Kurventheorie, S. 214, 216).^^<br />
6. Der Jordansche Kurvensatz<br />
Der JORDANsche Kurvensatz (kurz JCT) gehort zu denjenigen Resultaten, die<br />
fast jeder Mathematiker formulieren, aber kaum jemand aus dem Stehgreif<br />
beweisen kann. Denn trotz seiner "Evidenz" und seiner "Wichtigkeit" gelang<br />
es bisher nicht, einen elementaren und kurzen Beweis zu finden, obwohl sich<br />
viele namhafte Topologen und Analytiker hierum bemiihten.<br />
Indeed, there is hardly another theorem which appears as "obvious" as<br />
any axiom of elementary geometry, and whose proof is not obvious at<br />
all. This probably explains why the Jordan curve theorem remained unnoticed<br />
until 1887, when Camille Jordan pointed out and discussed the<br />
theorem in his "Cours d'Analyse". Needless to say, Jordan's proof was<br />
not a proof in the modern sense; yet it aroused the interest of many<br />
mathematicians who recognized the significance of the theorem for "analysis<br />
situs" as well as complex analysis. The first rigorous proof of JCT,<br />
given by Oswald Veblen in 1905, revealed the complexity of the whole<br />
matter.^^<br />
War JoRDANs Beweis liickenhaft, so zeichnet sich JORDANs Formulierung des<br />
Satzes selbst durch Prazision und Klarheit aus, was zur damaligen Zeit keineswegs<br />
selbstverstandlich war. Hierauf weist VEBLEN, der den ersten voUstandigen<br />
Beweis von JCT lieferte, ausdriicklich hiri:<br />
81NL HAUSDORFF, Fasz.577, BL45.<br />
82[DoTi 1978], S. 111.<br />
811
JORDAN'S explicit formulation of the fundamental theorem that a simple<br />
closed curve lying wholly in a plane decomposes the plane into an inside<br />
and an outside region is justly regarded as a most important step in the<br />
direction of a perfectly rigorous mathematics. This may be confidently<br />
asserted whether we believe that perfect rigor is attainable or not. His<br />
proof, however, is unsatisfactory to many mathematicians. It assumes the<br />
theorem without proof in the important special case of a simple polygon<br />
and of the argument from that point on, one must admit at least that all<br />
details are not given.<br />
Spater soUten sich noch viele Autoren an Beweisen des JCT versuchen -<br />
nicht immer erfolgreich:<br />
Some authors assume - often without an explicit mention - the validity<br />
of JCT and its corollaries for special cases of curves (e. g. for polygonal<br />
curves). Others omit proofs of certain steps which are "geometrically<br />
obvious". (But what is more obvious than JCT itself?)<br />
Viele Anwender gaben sich schliefilich mit dem Beweis gar nicht mehr ab:<br />
[• • • ] it has become customary to omit the proof of JCT from textbooks<br />
on complex analysis [• • • ]^^<br />
Hingegen gab HAUSDORFF in seinen Grundziigen, die eine detaillierte Analyse<br />
der topologischen Eigenschaften der Ebene enthalten,<br />
[•••] in der Hauptsache, den erstaunlich einfachen Beweis von L.E.J.<br />
BROUWER wieder. (S. 355),<br />
zeigte gleichzeitig, da6 kein Bogen die Ebene trennt (S. 357/358), konstruierte<br />
ein Kontinuum K in der Ebene E, das kein topologischer Kreis ist, obwohl E\K<br />
in genau zwei Komponenten mit gemeinsamem Rand K zerfallt (S. 373; derartige<br />
ebene Kontinua nannte SCHOENFLIES geschlossene Kurven). HAUSDORFF<br />
beweist also, dafi topologische Kreise in der Ebene durch die JoRDANsche Eigenschaft<br />
nicht charakterisiert werden, und er weist ferner nach, dafi ebene<br />
topologische Kreise zwar keine inneren Punkte (S.373), wohl aber positives<br />
Flachenmafi haben konnen (S. 374/375). In seiner Mengenlehre fielen diese speziellen<br />
Ergebnisse - ebenso wie die allgemeinen topologischen Resultate - leider<br />
dem Platzmangel zum Opfer:<br />
Schliefilich habe ich die AUgemeinheit wie nach oben, so auch nach unten<br />
begrenzt und die spezielle Theorie der Euklidischen Raume (z. B. den J<br />
o r d a n schen Satz iiber ebene Kurven) weggelassen, [• • • ]^^<br />
83[Veb 1905], S.83.<br />
84[DoTi 1978], S. 125.<br />
85 [DoTi 1978], S.112.<br />
^^[H 1927a], S. 5/6. Das gesamte Vorwort ist in diesem Band, S.45 abgedruckt.<br />
812
Dieser Verzicht kann jedoch keinesfalls als ein nachlassendes Interesse HAUS-<br />
DORFFs an derart speziellen Problemen gedeutet werden, wie seine Aufzeichnungen<br />
eindrucksvoll belegen. In den Faszikeln 685, 1049 und 1085 hat er sich<br />
eingehend mit dem Jordanschen Kurvensatz und Verallgemeinerungen desselben<br />
durch BROUWER und STRASZEWICZ beschaftigt.<br />
Bemerkenswert ist insbesondere HAUSDORFFS hochst eleganter Beweis des<br />
Jordanschen Kurvensatzes in Faszikel 1085, der auf einer bestechenden Analyse<br />
des einfachen Zusammenhangs beruht.^^<br />
7. Linien und verallgemeinerte Bogen<br />
Linienhafte Gebilde sind nicht notwendig Bogen:<br />
(A) Die Parabel, die reelle Gerade, das ofFene Einheitsintervall sind (untereinander<br />
homoomorphe) hnienhafte Gebilde, aber wegen der fehlenden<br />
Kompaktheit keine Bogen.<br />
(B) Die langen Linien (siehe NL HAUSDORFF, Fasz. 223 und den zugehorigen<br />
Kommentar, dieser Band, S. 750-754) und das Einheitsquadrat, versehen<br />
mit lexikographischer Ordnung und zugehoriger Ordnungstopologie^^<br />
sind linienhafte Gebilde, aber wegen der fehlenden Separabilitat keine<br />
Bogen.<br />
Naturgemafi wurden derartige "Nicht-Bogen" von HAUSDORFF und anderen<br />
Topologen sorgfaltig erforscht. Wir werden im folgenden unter einer Linie einen<br />
zusammenhangenden ordnungsfahigen^^ topologischen Raum verstehen, unter<br />
einem verallgemeinerten Bogen eine kompakte Linie. Dann sind die Bogen die<br />
separablen verallgemeinerten Bogen mit mehr als einem Punkt.<br />
Bei der Untersuchung offener Linien (d. h. von Linien ohne Anfangs- oder<br />
Endpunkt) konzentrierte sich das Augenmerk zunachst auf die folgende Eigenschaft<br />
topologischer Raume X:<br />
(S) Ftir jedes x aus X zerfallt X\{x} in genau zwei<br />
Zusammenhangs-Komponenten.<br />
So definierte R. L. MoORE in der Ebene:<br />
An open curve is a closed, connected set of points M such that if P is a<br />
point of M then M — P is the sum of two mutually exclusive connected<br />
point-sets, neither of which contains a limit point of the other one.<br />
KLINE untersuchte 1924 ebene "open curves" und WARD charakterisierte die<br />
reelle Gerade 1936 als einen nicht-leeren, zusammenhangenden, lokal zusammenhangenden,<br />
separablen, metrisierbaren, topologischen Raum, der (S) erfiillt.<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 1085; vgl. den Abdruck des Faszikels weiter unten.<br />
8S[Str 1918], S.374.<br />
^^Ein LOTS (linearly ordered topological space) ist eine linear geordnete Menge, versehen<br />
mit der Ordnungstopologie (d. h. die ordnungs-ofFenen Intervalle bilden eine Basis). Ein topologischer<br />
Raum heiBt ordnungsfahig, falls er homoomorph zu einem LOTS ist. (Vgl. den<br />
Ubersichtsartikel [Pur 1998] von PURISCH.)<br />
90 [Moo 1916], S.159.<br />
813
WARD zeigte an Beispielen, da6 in seiner Charakterisierung weder der lokale<br />
Zusammenhang noch die Separabilitat verzichtbar sind. Sein nicht lokal zusammenhangendes<br />
Beispiel ist naheliegend (eine Verklebung von zwei Sinusoiden),<br />
sein nicht separables Beispiel hingegen erstaunlich, da ihm sogar die Ordnungsfahigkeit<br />
abgeht. Unter Verwendung der WARDschen Konstruktions-Idee<br />
lafit sich sogar leicht zeigen, dafi sich jeder zusammenhangende, lokal zusammenhangende<br />
(metrisierbare) topologische Raum als abgeschlossener Teilraum<br />
in einen zusammenhangenden, lokal zusammenhangenden (metrisierbaren) topologischen<br />
Raum mit der Eigenschaft (S) einbetten lafit. Die Eigenschaft (5)<br />
ist also (im nicht separablen Fall) zur Charakterisierung von Linien voUig ungeeignet.<br />
Topologische Charakterisierungen von Linien und verallgemeinerten Bogen<br />
wurden erst relativ spat gefunden:<br />
(i) Ein zusammenhangender, kompakter HAUSDORFFscher Raum ist genau<br />
dann ein verallgemeinerter Bogen, wenn er genau zwei Randpunkte besitzt^^<br />
(ii) Ein zusammenhangender, lokal zusammenhangender HAUSDORFFscher<br />
Raum X ist genau dann eine Linie, wenn er die folgenden aquivalenten<br />
Bedingungen erfiillt:<br />
(F) X besitzt hochstens zwei Randpunkte und ist von hochstens zweiter<br />
Ordnung^^,<br />
{E) X'^\AX ist nicht zusammenhangend^^,<br />
(K) unter je drei zusammenhangenden echten Teilmengen von X gibt es<br />
stets zwei, die X nicht liberdecken^^,<br />
(Z) unter je drei Punkten von X gibt es stets einen, der die beiden<br />
anderen trennt^^,<br />
{H) jede zusammenhangende Teilmenge von X besitzt hochstens zwei<br />
Randpunkte^^,<br />
(W) X besitzt eine Subbasis, die Vereinigung zweier Nester^^ ist^^.<br />
Die naheliegende Vermutung (eine "folk conjecture"), dafi sich die Satze<br />
bzgl. der Charakterisierung von Peano-Kontinua und deren Bogenverkniipftheit<br />
auf den nicht metrisierbaren Fall iibertragen lassen wiirden, erwies sich als<br />
9i[V^hy 1942], S.54.<br />
92[Fra 1928].<br />
93[Eil 1941].<br />
94[Kow 1958].<br />
Q^ZAREMBA, vgl. [Kok 1973], S. 15.<br />
96 [Her 1962].<br />
9^Eine Menge von Mengen heifit Nest, falls sie bezgl. der Inklusion linear geordnet ist.<br />
98[vDaWa 1973].<br />
814
ganzlich falsch: MARDESIC^^ konstruierte einen kompakten, zusammenhangenden,<br />
lokal zusammenhangenden Hausdorff-Raum, der nicht verallgemeinertbogenverkniipft<br />
ist, und er zeigte gemeinsam mit PAPIC^^^, da6 jedes stetige<br />
Bild eines verallgemeinerten Bogens, das sich als nicht-triviales Produkt zweier<br />
HAUSDORFFscher Raume darstellen laBt, bereits ein Peano-Kontinuum sein<br />
muB. TREYBIG^^^ bewies, dafi jedes HAUSDORFFsche stetige Bild eines verallgemeinerten<br />
Bogens, das nicht durch hochstens zwei Punkte getrennt werden<br />
kann, bereits ein Peano-Kontinuum ist. Diese erstaunlichen Resultate implizieren<br />
insbesondere, daB fiir jeden verallgemeinerten Bogen X, der nicht separabel<br />
ist, weder X^ noch X x / als stetiges Bild eines verallgemeinerten Bogens darstellbar<br />
ist. WARD^^^ zeigte hingegen, daB jeder nicht-leere, randendliche^^^,<br />
kompakte, zusammenhangende HAUSDORFFsche Raum sich als stetiges Bild<br />
eines verallgemeinerten Bogens darstellen laBt, und schloB aus diesen und ahnlichen<br />
Untersuchungen:<br />
Prom all these papers the following, rather imprecise, conclusion emerges,<br />
non-metric continua which are the continuous images of [generalized] arcs<br />
are probably one-dimensional - or, at any rate, at points where they are<br />
not one-dimensional they must be, in some sense, locally metrizable.<br />
8. Ebene Kurven<br />
Wahrend die Herausarbeitung eines befriedigenden Kurvenbegriffs mehrere Jahrzehnte<br />
in Anspruch nahm, gelang bereits CANTOR mit sicherem Gespiir die definitive<br />
Fassung des Begriffs einer ebenen Kurve^^^. Danach sind ebene Kurven<br />
(heute auch Cantor-Kurven genannt) nirgends dichte, nicht-degenerierte Teilkontinua<br />
der Ebene. Obwohl obige Formulierung Bezug nimmt nicht nur auf<br />
die Kurve selbst sondern - vermoge des Begriffs nirgends dicht - auch auf deren<br />
Einbettung in die Ebene, ist die Abhangigkeit von der Art der Einbettung<br />
nur scheinbar; denn - wie MENGER und URYSOHN unabhangig voneinander<br />
bewiesen - ist ein echtes Teilkontinuum der Ebene genau dann eine Cantor-<br />
Kurve, wenn es 1-dimensional (also eine Kurve im MENGER-URYSOHNschen<br />
Sinne; s. u., Abschn. 9.) ist.<br />
Obwohl der Begriff ebener Kurven (im Gegensatz zum allgemeinen Kurvenbegriff)<br />
unproblematisch ist, liefert bereits die Theorie ebener Kurven eindrucksvoUe<br />
lUustrationen zu HAUSDORFFS Bemerkung im Vorwort zu [H 1914a],<br />
wo er die Mengenlehre (einschlieBlich der allgemeinen Topologie) als ein Gebiet<br />
charakterisiert.<br />
99[Mar I960].<br />
i00[MaPa I960].<br />
101 [Tre 1965].<br />
102 [War 1976].<br />
103Ein topologischer Raum heifit randendlich {rim finite), falls er eine Basis aus Mengen<br />
mit jeweils endlichen Randern besitzt.<br />
104 [War 1976], S. 184.<br />
lo^Siehe [Men 1932], S. 71.<br />
815
[• • • ] wo schlechthin nichts selbstverstandlich und das Richtige haufig<br />
paradox, das Plausible falsch ist, [• • -j^^^<br />
Zwar sind ebene Bogen und topologische Kreise besonders einfache Cantor-<br />
Kurven, aber bereits in den Grundziigen hebt HAUSDORFF "ausdriicklich hervor",da6<br />
(a) ebene Bogen positives Flachenmafi haben konnen (S. 374-375) und<br />
(b) Cantor-Kurven existieren, die keine topologischen Kreise sind, obwohl sie<br />
die Ebene in genau zwei Komponenten zerlegen, deren gemeinsamer Rand<br />
sie sind (S. 373-374).<br />
Er konstruiert Cantor-Kurven mit obigen Eigenschaften und erwahnt, dafi es<br />
Cantor-Kurven gibt, welche die Ebene in mehr als zwei Komponenten zerlegen,<br />
deren gemeinsamer Rand sie sind:<br />
DaB unter den angegebenen Voraussetzungen auch mehr als zwei Komponenten<br />
vorkommen konnen, ist der gewohnlichen Anschauung schwer<br />
vorstellbar; L. E. J. BROUWER hat ein Beispiel dafiir gegeben.^^^<br />
Auch iiber 50 Jahre spater erschien obiges Phanomen selbst den Spezialisten<br />
bemerkenswert genug. So schreibt G. T. WHYBURN in seinem Artikel "What<br />
is a curve?" 1968 u. a.:<br />
Even when a set is sufficiently "thin" or "1-dimensional" so that we would<br />
probably call it a curve, it may be in a plane and still not be two-sided.<br />
[•••!<br />
[• • • ] it is possible to construct in a plane a continuum which is thin in<br />
the sense that it will not contain the interior of any circle and yet is so<br />
unusual that it will divide the plane into any finite number or an infinite<br />
number of regions and, further, it will be the boundary of each one of<br />
these regions. Also a plane continuum can be constructed which not only<br />
itself cuts the plane into infinitely many regions but has the remarkable<br />
property that every subcontinuum of it (any "piece" of it) also cuts the<br />
plane into infinitely many regions. ^^^<br />
Sind schon die BROUWERschen Cantor-Kurven mit mehr als zwei Seiten<br />
hochst fremdartig^^^, so ist die von WHYBURN 1930 konstruierte Cantor-Kurve<br />
an Bizarrheit kaum zu liberbieten. WHYBURN charakterisiert sie durch die folgenden<br />
Eigenschaften:<br />
106 [H 1914a], S.V.<br />
107 [H 1914a], S.346.<br />
108 [Why 1968], S.25.<br />
109 Ein besonders poetisch beschriebenes Beispiel einer Cantor-Kurve, welche gemeinsamer<br />
Rand von drei Gebieten ist (bekannt unter dem Namen Lakes of Wada), stammt von Yo-<br />
NEYAMA ([Yon 1917]); siehe auch [HoYo 1961], S. 143. Diese Cantor-Kurve hat dariiber hinaus<br />
positives Mafi und ist unzerlegbar, d. h. nicht als Vereinigung zweier echter Teilkontinua darstellbar.<br />
816
Indeed, we shall construct a compact plane continuum M having the<br />
following properties:<br />
1. M is the common boundary of two domains;<br />
2. every subcontinuum of M separates the plane;<br />
3. every subcontinuum of M contains a continuum which is homeomorphic<br />
with M, or, in other words, M is topologically contained<br />
in each of its subcontinua;<br />
4. M contains no uncountable collection of mutually exclusive subcontinua<br />
and therefore no indecomposable continuum; obviously it<br />
contains no arc;<br />
5. M admits of upper semi-continuous decomposition into elements<br />
(continua or points) all save a countable number of which are points<br />
and with respect to which M is a simple closed curve; clearly, then,<br />
all the "point-elements" in this decomposition are local separating<br />
points of M and are points of ordinary order 2 of M;<br />
6. M contains two continua which are not homeomorphic with each<br />
other.iio<br />
Bereits 1959 haben ANDERSON und CROQUET hochst seltsame Cantor-Kurven<br />
vorgestellt, die in gewissem Sinne kontrare Eigenschaften zu obiger WHY-<br />
BURNscher Kurve haben: Sie konstruierten zwei Cantor-Kurven Ci und C2,<br />
deren jede die Eigenschaft hat, daB keine zwei ihrer nicht-degenerierten Teilkontinua<br />
zueinander homoomorph sind. Dariiber hinaus separiert kein Teilkontinuum<br />
von Ci die Ebene, aber jedes nicht-degenerierte Teilkontinuum von C2<br />
separiert die Ebene.<br />
Die erwahnten bizarren Cantor-Kurven enthalten keine Bogen, sind somit<br />
keine Peano-Kontinua, d. h. sind nicht lokal zusammenhangend. Unter den lokal<br />
zusammenhangenden Cantor-Kurven gibt es aber auch sehr merkwiirdige<br />
Gebilde: Ein besonders bemerkenswertes Beispiel ist die von SIERPINSKI<br />
1916 konstruierte universelle Cantor-Kurve T (auch Sierpiriskischer Teppich<br />
genannt), die sich nicht nur durch grofie RegelmaBigkeit auszeichnet, sondern<br />
insbesondere durch die universelle Eigenschaft, daB die Cantor-Kurven, modulo<br />
Homoomorphie, genau die nicht-degenerierten Subkontinua von T sind.<br />
WHYBURN gelangen 1958 elegante interne und externe Charakterisierungen<br />
des SlERPTNSKlschen Teppichs. Einleitend schreibt er:<br />
The universal plane curve described by Sierpinski in 1916 has proven<br />
highly useful in the developments of various phases of topology and analysis<br />
which have gone ahead at such a rapid pace in the intervening<br />
period of over forty years. Interest in this curve and its analog in 3-space<br />
is currently much alive and its role in mathematics is surely by no means<br />
finished. The curve is obtained very simply as the residual set remaining<br />
when one begins with a square and applies the operation of dividing it<br />
^[Why 1930], S.319.<br />
817
into nine equal squares and omitting the interior of the center one, then<br />
repeats this operation on each of the surviving 8 squares, then repeats<br />
again on the surviving 64 squares, and so on indefinitely. Sierpinski showed<br />
that this set contains a topological image of every plane continuum<br />
having no interior point and thus it has come to be known as the Sierpinski<br />
plane universal curve}^^<br />
Anschliefiend charakterisiert WHYBURN den SiERPiNSKischen Teppich S unter<br />
alien lokal zusammenhangenden Cantor-Kurven durch jede der beiden Eigenschaften:<br />
1. (intern) S hat keinen lokalen Schnittpunkt^^^,<br />
2. (extern) der Rand jeder Zusammenhangskomponente des Komplements<br />
von S in der Ebene ist ein topologischer Kreis und die Rander von je zwei<br />
derartigen Zusammenhangskomponenten sind disjunkt.<br />
DaB der Sierpinski-Teppich nicht homogen ist, wurde bereits 1924 von MA-<br />
ZURKIEWICZ bewiesen.<br />
9. Der Menger-Urysohnsche Kurvenbegriff<br />
Unabhangig voneinander entwickelten MENGER und URYSOHN in den Jahren<br />
1922/23 eine Dimensionsbegriff^^^, der es ihnen gestattete (erneut unabhangig<br />
voneinander^^^), "zu einer anschaulichen und dabei allgemeinen und fruchtbaren<br />
Kurvendefinition zu gelangen"^^^. Demnach sind Kurven nichts anderes als<br />
eindimensionale Kontinua.<br />
Dafi der Weg zu dieser konzisen Definition lang und steinig war und welches<br />
die anschaulichen Vorstellungen waren, die zu ihr fiihrten, beschreibt MENGER<br />
1926 in seiner Arbeit Grundzuge einer Theorie der Kurven pragnant wie folgt:<br />
Wir bezeichnen mit dem Wort "Kurve" so zahlreiche interessante geometrische<br />
Gebilde, da6 wir erwarten diirfen, aus einer zweckmafiigen begrifflichen<br />
Prazisierung unserer Kurvenvorstellung eine ausgedehnte Theorie<br />
herleiten zu konnen. Die alteren Kurvendefinitionen wurden freilich, wie<br />
sich herausstelite, den Forderungen der Anschauung nur in geringem Ma-<br />
Be gerecht: Sowohl die Jordanschen Kurven (die eindeutigen stetigen Bilder<br />
der Strecke), als auch die irreduziblen Kontinua konnen bekanntlich<br />
ganze Flachenstiicke enthalten, - zu den einfachen Kurvenbogen (den<br />
topologischen Bildern der Strecke) gehort anderseits schon eine so einfache<br />
Kurve, wie die Kreislinie, nicht, - und die Cantorsche Definition<br />
der ebenen Kurven als nirgends dichte Kontinua ist auf andere Euklidische<br />
Raume prinzipiell uniibertragbar. Es ist angesichts der Schwierigkeiten,<br />
welche insbesondere das Ausgehen vom Abbildungsbegriff mit sich<br />
111 [Why 1958], S.320.<br />
^^"^Lokale Schnittpunkte sind Schnittpunkte offener, zusammenhangender Teilraume.<br />
ii^Siehe den Beitrag Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie in diesem Band, S. 840 ff.<br />
ii^Fiir historische Details siehe [Men 1932], S.82.<br />
11^ [Men 1932], S. 79.<br />
818
ingt, nicht verwunderlich, wenn Hausdorff^^^ geradezu leugnet, dafi<br />
sich unsere heterogenen Kurvenvorstellungen unter einen verniinftigen<br />
Sammelbegriff iiberhaupt bringen lassen.<br />
Pragen wir uns allerdings ganz unvoreingenommen nach dem anschaulichen<br />
Wesen der Kurven, so ist die Abbildbarkeit dieser Gebilde auf gewisse<br />
andere keineswegs deren wichtigstes Kennzeichen. Um ein solches<br />
zu erhalten, vergleichen wir vielmehr eine Kurve mit einer Flache und<br />
einem Korper. Die Kurve denken wir uns durch feine Drahte reprasentiert,<br />
die Flache aus diinnem Blech hergestellt, den Korper aus Holz. Da<br />
sehen wir: Um einen Punkt der Flache samt alien Punkten seiner Nachbarschaft<br />
aus der Flache zu entfernen oder von der librigen Flache zu<br />
trennen, miissen wir die Flache mit einer Schere langs kontinuierlicher<br />
Linien schneiden. Um aus dem Korper einen Punkt nebst Nachbarschaft<br />
herauszuholen, miissen wir ganze Flachen durchsagen. Um dagegen einen<br />
Punkt der Kurve, sie mag noch so verastelt und verwickelt sein, samt seiner<br />
Nachbarschaft aus der Kurve zu entfernen, geniigt es, wenn wir die<br />
Kurve mit einer Zange in diskreten Punkten durchzwicken. Diese Tatsache,<br />
die von der speziellen Gestalt der betrachteten Flache und Kurve<br />
unabhangig ist, gestattet eine strenge begriffliche Prazisierung.^<br />
Wie bereits erwahnt, sind die ebenen Kurven genau die Cantor-Kurven. Nach<br />
allgemeinen dimensionstheoretischen Satzen ist jede Kurve als raumliche Kurve<br />
realisierbar.<br />
Dariiber hinaus hat MENGER 1926 gezeigt, daB sich - analog zum SiER-<br />
PiNSKischen Teppich - eine spezielle Kurve im 3-dimensionalen Raum vermittels<br />
geeigneter "Durchlocherung" des Einheitswiirfels gewinnen laBt, so daB<br />
jede Kurve in diese spezielle Kurve eingebettet werden kann. In MENGERS<br />
Buch Kurventheorie ist die Konstruktion dieser Universalkurve U auf Seite 347<br />
sehr schon veranschaulicht. Mit dem Nachweis ihrer universellen Eigenschaft<br />
endet MENGERS Buch. HAUSDORFF, der dieses Buch mit offensichtlich groBem<br />
Interesse gelesen hat und - wie eingangs schon erwahnt - auf 152 Manuskript-<br />
Seiten die Beweise akribisch nachvollzogen und z. T. verfeinert hat, verzichtete<br />
zum SchluB seiner Notizen auf die Ausarbeitung des Universalitats-Beweises.<br />
Er schlieBt mit der Bemerkung:<br />
(Der Beweis von M. ist kompliziert. Besser der Hurewiczsche Einbettungsbeweis,<br />
dem entsprechend man dann nur noch zu beweisen hat,<br />
dass U jede Kurve des Rs topologisch enthalt; dies wird wohl ahnlich<br />
sein wie bei der Sierpinskischen ebenen Universalkurve).^^<br />
In einem Anhang weist MENGER auf einige ungeloste Probleme der Kurventheorie<br />
hin. Insbesondere fragt er, ob die topologischen Kreise als homogene,<br />
lokal zusammenhangende Kurven charakterisierbar sind. Uber ein Viertel-<br />
^^^Hier erganzt MENGER in einer Pufinote: „Grundzuge der Mengenlehre (1914), S. 369."<br />
ii^[Men 1926a], S. 277-278.<br />
ii^NL HAUSDORFF, Fasz. 985, Bl. 152.<br />
819
jahrhundert spater gelang ANDERSON^^^ eine verbliiffende Antwort: aufier der<br />
Kreislinie gibt es, modulo Homoomorphie, genau eine homogene, lokal zusammenhangende<br />
Kurve - die MENGERsche Universalkurve! ANDERSON betont:<br />
The universal curve [• • • ] is not planar, is connected and locally connected,<br />
but is very badly neither simply connected nor locally simply connected.<br />
Homologically, it is about as "bad" as any 1-dimensional continuum<br />
can be, but it is so "bad" that it turns out to be both homogeneous and<br />
characterizable in quite general terms. ^^^<br />
Ferner gelang ANDERSON^^^ eine weitere elegante topologische Charakterisierung<br />
der MENGERschen Universalkurve mittels folgender Eigenschaften:<br />
1. 17 ist eine Kurve,<br />
2. [/ ist lokal zusammenhangend,<br />
3. U hat keine lokalen Schnittpunkte,<br />
4. planare Teilraume von U sind nirgends dicht in C/^^^.<br />
Aus dieser Charakterisierung folgt iibrigens, da6 das von KOLMOGOROFF^^^<br />
zum Nachweis stetiger offener, dimensionserhohender Abbildungen auf voUig<br />
andere Weise konstruierte eindimensionale Kontinuum, modulo Homoomorphie,<br />
nichts anderes ist als die MENGERsche Universalkurve.<br />
Die Arbeiten URYSOHNS und insbesondere MENGERS bildeten Basis und Beginn<br />
einer Strukturtheorie fiir Kurven (Zusammenhangszahl, Geschlecht, Verzweigungspunkte,<br />
n-Beine, regulare Kurven, rationale Kurven, Baume, zyklische<br />
Kontinua, Zerlegungssatze, Deformationssatze, Erreichbarkeitssatze u. s. w.)<br />
Die Darstellung dieser Theorie und ihrer historischen Entwicklung ist jenseits<br />
der Ziele des vorliegenden Beitrags.<br />
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120 [And 1958a], S. 313-314.<br />
121 [And 1958b].<br />
122Insbesondere zeigt ANDERSON, daB jeder ofFene Teilraum von U, modulo Homoomorphie,<br />
eine der beiden folgenden nicht planaren Raumkurven enthalt:<br />
The primitive skew curve of Type 1, is the gats-water-electricity-example, i.e.,<br />
consists of two disjoint sets of three vertices each and the nine arcs joining<br />
the vertices from different sets in pairs, the arcs being disjoint except for their<br />
endpoints. The primitive skew curve of Type 2, is the one-skeleton of a 4simplex,<br />
i. e., consists of five vertices and ten arcs joining these vertices in pairs,<br />
the arcs being disjoint except for their endpoints. ([And 1958b], S. 7.)<br />
123 [Kol 1937].<br />
820
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825
NL HAUSDORFF : Kapsel 41: Fasz. 659<br />
Verscharfung des lokalen Zusammenhangs<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936-Marz 1938]. - 12 BU.<br />
Verscharfung des lokalen Zusammenhangs. (Vgl. R. L. Moore, F.M. 3 (1922),<br />
232-237).<br />
Betrachten wir folgende Eigenschaften der (metrischen) Menge X:<br />
{a) X ist gleichmdssig lokal zusammenhdngend, wenn zu jedem e ein 6{s) — 6<br />
derart gehort: zwei Punkte im Abstand < 5 liegen in einer zusammenhangenden<br />
Menge C X vom Durchmesser < e.<br />
{P) Eigenschaft S: Fiir jedes £ ist X Summe endlich vieler zusammenhdngender<br />
Mengen von Durchmessern < e.<br />
(7) X ist lokal zusammenhdngend; d. h. zu jedem e und p E X gehort ein<br />
S{£,p) = 6 derart: fiir qp < 6 liegen p,q in einer zusammenhangenden Menge<br />
vom Durchmesser < e.<br />
Durch (/?) ist die totale Beschranktheit von X bedingt.<br />
(1) a ^ p. Wenn X total beschrdnkt und gleichmdssig lokal zusammenhdngend<br />
ist, hat X die Eigenschaft S. (Moore, th. 3, fiir ebenes beschranktes X).<br />
Zu s werde S gemass (a) bestimmt; da X total beschrankt ist, giebt es ein<br />
endliches ^-Netz {pi,... ,pn}; ist Ck die Summe der pk enthaltenden zusammenhangenden<br />
Mengen von Durchmessern < £, so ist U{pk,S) C Ck. X —<br />
Yyi Ck; Ck ist zusammenhangend, d{Ck) < 2e, X hat die Eigenschaft S»<br />
(2) /3 ^ 7. Jede Menge der Eigenschaft S ist lokal zusammenhdngend (und<br />
Bl. 2 total beschrdnkt). (Moore, th. 2) |<br />
Es sei X = ^^ Ck, Ck zusammenhangend, d{Ck) < £'•> wir konnen Ck in X<br />
abgeschlossen annehmen. Sei p G Ci,..., Cm, P ^ C'm+i, •.., Cn- Also<br />
peX- (C^+i + • • • + Cn) c Ci + • • • + C,n ;<br />
die Menge Ci -\ h Cm hat einen Durchmesser < 2e und hat p zum inneren<br />
Punkt; X ist in p lokal zusammenhangend.<br />
Nichtumkehrbarkeit dieser Satze: Ist X die Kreisperipherie nach Tilgung<br />
eines Punktes, so hat X die Eigenschaft S, ohne gleichmassig lokal zusammenhangend<br />
zu sein. (Also nicht 0 —> a). Ist X das offene Sinusoid {y —<br />
sin —, 0 < a: < 1), so ist X lokal zusammenhangend, ohne S zu haben (nicht<br />
X<br />
^ -^ (5). Fiir total beschrankte Mengen ist {a) scharfer als {(3), (/?) scharfer als<br />
(7).<br />
(3) 7 —> a. Ist X kompakt und lokal zusammenhdngend, so ist es gleichmdssig<br />
lokal zusammenhdngend.<br />
1st X zunachst zusammenhangend, so ist die Mazurkiewiczsche Entfernung<br />
pq = inf d{C) fiir alle zusammenhangenden Mengen C, die p, q enthalten.<br />
826
durchweg definiert (endlich) und stetige Funktion von p, q; denn fiir pn -^<br />
P? Qn ^^ Q ist |Pn9n —pq| ^ PnP+QnQ —^ 0 (wegen des lokalen Zusammenhangs);<br />
pq ist dann gleichmassig stetig, pq < £ fiir pq < S = S{€)^ X gleichmassig lokal<br />
zusammenhangend. - Ist X nicht zusammenhangend, so betrachte man seine<br />
(endlich vielen) Komponenten.<br />
Fiir kompakte Mengen ist (a) = {(3) = (7) (S die Sierpinskische Bedingung).<br />
I Scharfer: Bl. 2v<br />
(4) Mit A hat jede Menge X, in der A dicht ist, die Eigenschaft S.<br />
Denn {X als Raum, A = X)ist A = Summe endlich vieler zusammenhangender<br />
Mengen C von Durchmessern < e, so ist ^4 Summe der C, die wieder<br />
zusammenhangend sind und Durchmesser < e haben. - Insbesondere: Ist A<br />
gleichmassig lokal zusammenhangend und total beschrankt, so ist X lokal zusammenhangend.<br />
I BL 3<br />
Ist X kompakt, A gleichmassig lokal zusammenhangend und A = X, so ist X<br />
(gleichmassig) lokal zusammenhangend. (Th. 1).<br />
Bestimmen wir 5 = 6{£) so, dass zwei Punkte von A im Abstand < S durch<br />
eine zusammenhangende Menge C A vom Durchmesser < e verbunden sind.<br />
Sei p^q e X, 0 < pq < S, und Pn —^ p, qn -^ Q, Pn^ Qn in A. Da (schliesslich)<br />
PnQn < ^ ist, giebt es eine zusammenhangende Menge Cn C A, vom Durchmesser<br />
< £, die Pn,qn enthalt; wir konnen sie, durch ihre abgeschlossenen Hiillen<br />
ersetzt (wobei sie nicht mehr in A zu liegen brauchen), kompakt annehmen;<br />
Cu -^ C sei eine konvergente Teilfolge; C ist ein Kontinuum vom Durchmesser<br />
< £, das p, q enthalt. X ist also gleichmassig lokal zusammenhangend.<br />
(5) X sei lokal zusammenhangend, U offen: wenn die Begrenzung F{U) lokal<br />
zusammenhangend ist, so auch U.<br />
Von den beiden Mengen X — U, U ist die Summe (X) und der Durchschnitt<br />
{F{U)) lokal zusammenhangend, also die beiden Mengen selbst.<br />
Umgekehrt kann U lokal zusammenhangend sein, ohne dass F{U) es ist.<br />
(Beispiel von A. Rosenthal, Math. Ztsch. 10, p. 102. Dort ist allerdings mehr gezeigt:<br />
U kann lokal zusammenhangend sein, ohne dass F{U) (c F{U)) es ist.<br />
Fiir F{U) geniigt ein einfacheres Beispiel, etwa U Inneres eines Quadrats nach<br />
Tilgung von unendlich vielen Stacheln, die gegen eine Quadratseite konvergieren.)<br />
|<br />
id-<br />
Man kann auch sagen:<br />
(5) X sei lokal zusammenhangend, A abgeschlossen; wenn die Begrenzung<br />
F{A) — A — A lokal zusammenhangend ist, so auch A.<br />
U = X-A ist offen, F{A) = F{U), und es hatte sich nebst U auch X-U = A<br />
827<br />
Bl. 4
als lokal zusammenhangend ergeben.<br />
(5) Zusammengefasst: X sei lokal zusammenhangend, A beliebig; wenn die<br />
Begrenzung F{A) = A — A lokal zusammenhangend ist, so auch A und X — A.<br />
(6) U sei ebenes beschrdnktes Gebiet mit zusammenhdngender Begrenzung<br />
F(U) {U „einfach zusammenhangend"). Dann und nur dann ist F(U) lokal zusammenhangend<br />
(Peanosches Kontinuum), wenn U der Bedingung S geniigt.<br />
Bl. 5 (Moore, th. 4. Der Beweis erscheint mir sehr mangelhaft.) |<br />
Schicken wir etwas ilber Querschnitte in einem Parallelstreifen voraus (bei<br />
Moore ist es ein Kreisring). S sei ein von zwei parallelen Geraden P, Q begrenzter<br />
Streifen (etwa 0 < y < 1); denken wir uns die Geraden etwa horizontal und<br />
orientiert, so dass wir von rechts und links sprechen konnen. K sei ein kompaktes<br />
Kontinuum C 5, KP ^ 0 ^ KQ. Die Komponenten von S — K sind (da<br />
S lokal zusammenhangend ist) in S ofFen, und zwar giebt es ihrer mindestens<br />
zwei^, die Komponente R^ die alle hinreichend weit rechts gelegenen Punkte von<br />
S enthalt, und die Komponente L der links gelegenen. (Ein einfacher Streckenzug<br />
/ r, der links und rechts gelegene Punkte verbindet und in S_ = S — {P-\-Q)<br />
angenommen werden kann, lasst sich beiderseits ins Unendliche verlangern und<br />
trennt dann P, Q, trennt also auch zwei Punkte p, q von K und K muss diesen<br />
Streckenzug treffen; r, I gehoren also zu verschiedenen Komponenten von<br />
S — K.) Wir nennen K einen Querschnitt von 5, R das Rechtskomplement, L<br />
das Linkskomplement.<br />
Sind Ki, K2 zwei disjunkte Querschnitte, P^, Li die Komplemente von Ki^<br />
Bl. 6 so gilt entweder K2 C Ri, Ki C L2 oder | umgekehrt {K2 C Li, Ki C P2).<br />
Betrachten wir eine der Parallel-Geraden zu P, Q, etwa P selbst; es sei pi der<br />
am weitesten rechts gelegene Punkt von PKi. Liegt etwa pi links von p2, so<br />
verbindet die rechte Halbgerade \p2,oo) die hinlanglich weit rechts gelegenen<br />
Punkte mit p2, ohne Ki zu treffen, also p2 G Pi und folglich K2 C Ri. Ebenso<br />
ergiebt sich, dass eine der Relationen Ki C L2 oder K2 C Li bestehen muss,<br />
von denen aber die zweite unmoglich ist, also K2 C Ri, Ki C L2- Wenn diese<br />
Lage stattfindet, schreiben wir Ki < K2; diese Ordnungsrelation ist transitiv<br />
(man nehme immer die letzten Punkte pi von PKi. - Beliebige Punkte rrii von<br />
MKi zu nehmen, wo M eine Mittelgerade von S ist, wie es Moore mutatis<br />
mutandis tut, ist unzulassig; es kann Ki < K2 und doch ein Punkt m2 links<br />
von mi liegen. Auf den Grenzgeraden P, Q diirfte wohl, falls Ki < K2, die<br />
ganze Menge PKi links von der ganzen Menge PK2 liegen.) Wenn Ki < K2,<br />
^Ausser R, L kann, wie die Figur andeutet, S — K noch andere Komponenten haben; diese<br />
kommen hier nicht in Betracht.<br />
828
ist genauer<br />
K2-\-R2C jRi, i^i + Li c L2 .<br />
Denn K2 + R2 ist zusammenhangend (da S lokal zusammenhangend ist, ist<br />
S — K2 = R2 -\- {L2 + • • •) eine Zerstiickelung, K2 + R2 zusammenhangend);<br />
da diese Menge d S — Ki\ {R2K1 = 0, weil Ki C L2), so ist sie in einer Bl. 7<br />
Komponente von S — Ki, also in Ri enthalten.<br />
Nunmehr zeigen wir (Satz (6) zu beweisen):<br />
(A) Wenn F{U) nicht lokal zusammenhangend ist, hat U die Eigenschaft S<br />
nicht.<br />
F{U) enthalt ein Konvergenzkontinuum C = lini Cn {Cn, C disjunkte Kontinua).<br />
Wir ziehen einen Parallelstreifen 5, derart, dass C iiber Q und un-<br />
^ —<br />
ter P Punkte hat; dasselbe gilt von den Cn (wenigstens schliesslich), und<br />
Cn enthalt (nach dem Janiszewskischen Randsatz) ein Kontinuum Kn mit<br />
KnP / 0 / KnQ; Kn ist ein Querschnitt, Rn und Ln seien rechtes und linkes<br />
Komplement. Es muss in der Menge der Kn, die ja wie oben geordnet sind, eine<br />
steigende oder fallende Folge geben; nehmen wir etwa sm Ki < K2 < Ks < " .<br />
Also Kn C Rn-iLn-^i {u > l); da Kn C F{U), giebt es in beliebiger Nahe eines<br />
Punktes von Kn — {P -\- Q) einen Punkt Xn ^ U, der noch in i^^-i^n+i<br />
liegt. Wir konnen die Xn in beliebiger Nahe | der Mittelgeraden M des Streifens BL 8<br />
annehmen (da MKn ^ 0) und dann e so klein, dass jede spharische Umgebung<br />
U{xn,£) in S liegt. Eine zusammenhangende Menge vom Durchmesser < e, die<br />
Xm enthalt und demgemass in S liegt, kann keinen Punkt Xn mit n — m > 2<br />
enthalten, ohne F{U) zu treffen; denn Xm ^ i>m+i C Ln-i und Xn G Rn-i<br />
werden in S durch Kn-i getrennt. Eine zusammenhangende Menge C C U<br />
vom Durchmesser < e kann also nur endlich viele (hochstens drei) Punkte der<br />
Menge {xi,X2,a;3,...} enthalten, und U kann nicht die Summe endlich vieler<br />
solcher C sein: U hat die Eigenschaft S nicht.<br />
(Im Raum Rs ist dies falsch. Ein ebenes Sinusoid und eine Kugelflache, in<br />
deren Innern, bis auf einen Punkt, das Sinusoid liegt, begrenzen ein Gebiet U,<br />
das sogar gleichmassig lokal zusammenhangt, weil offene zusammenhangende<br />
Mengen im Kugelinnern durch Wegnahme eindimensionaler Mengen den Zu-<br />
829
sammenhang nicht verlieren. Trotzdem ist F{U) nicht Peanosch.)<br />
Wir haben sogar bewiesen: Wenn F{U) nicht total Peanosch (ein Pt) ist,<br />
hat U die Eigenschaft S nicht (denn Anwesenheit von Konvergenzkontinuen<br />
charakterisiert die Eigenschaft, nicht total Peanosch zu sein). Oder: wenn U S<br />
Bl. 9 hat, ist F{U) ein Pt. \<br />
Beweis des 2. Teiles von (6).<br />
Wenn eine ebene Menge einen Durchmesser > S hat, so hat eine ihrer Projek-<br />
tionen auf die X- und F-Achse einen Durchmesser > —^ (sonst ware sie in ei-<br />
nem Quadrat von der Seitenlange —j= enthalten und ihr Durchmesser hochstens<br />
v2<br />
der Diagonale 6 dieses Quadrats gleich).<br />
Hiilfssatz. Vi, V2,... sei eine Folge disjunkter ebener Gebiete mit Durchmessern<br />
> 2e > 0; dann ist eine kompakte Menge C, die alle Begrenzungen F{Vn)<br />
enthdlt und zu Yl ^n disjunkt ist, nicht lokal zusammenhdngend.<br />
Wir konnen (indem wir die Vn durch eine Teilfolge ersetzen) annehmen, dass<br />
die Projektionen der Vn auf die F-Achse samtlich Durchmesser > \/2 e haben.<br />
Sei pn G F{Vn) C C und, wie wir annehmen konnen, pn —> p; es giebt dann<br />
auch Punkte Vn ^ Vn (etwa mit \rn — Pn\ < —)? die nach p konvergieren, und<br />
n<br />
wenn yn die Ordinate von rn ist, auch einen Punkt Sn G Vn mit einer Ordinate,<br />
die sich von yn um mehr als y/2£ unterscheidet, etwa (wieder mit Beschrankung<br />
auf eine Teilfolge) mit Ordinaten > y^ + A/26:. Wir konnen demnach einen von<br />
den horizontalen Geraden P, Q begrenzten Parallelstreifen S von der Breite e<br />
Ziehen, der art, dass p nahe unter P liegt und jedes Vn einen Punkt r^ unter<br />
Bl. 10 P I (hinlanglich nahe an p), aber auch einen Punkt Sn iiber Q hat5 fn^n sei<br />
ein in Vn verlaufender einfacher Weg; er enthalt einen ganz in S verlaufenden<br />
Teilweg Kn — CLrfin (cin dcr letzte Punkt von TnSn auf P und dann bn der<br />
erste von anSn auf Q). Jetzt sind die Kn wieder Querschnitte von S und es sei<br />
(wie beim Beweis des ersten Teils) Ki < K2 < " - Kn, i^n+i begrenzen mit<br />
anfln+i, bnbn-\-i zusammcu ein Gebiet G^; die Gn sind disjunkt. Die Mittelge-<br />
830
ade M des Streifens trifft Kn und Xn+i, sie enthalt eine bis auf die Endpunkte<br />
in Gn liegende Strecke und auf dieser liegt, da sie einen Punkt von Vn mit einem<br />
nicht zu Vn gehorenden Punkt verbindet, ein Punkt tn G F{Vn) C C;<br />
('..<br />
IK r3<br />
jt/ — W\<br />
Q<br />
es ist also tn G Gn- Eine zusammenhangende Menge, die tn und tm (^ 7^ 'm)<br />
verbindet, muss F{Gn) = Kn + i^n+i + Onfln+i + ^n^n+i treffen; wenn sie in C<br />
enthalten ist, muss sie also anftn+i -f &n^n+i oder P-\-Q treffen, demnach einen<br />
Durchmesser > - haben. Unter den tn giebt es aber Paare mit beliebig klein<br />
werdenden Entfernungen, und wenn C, zunachst als Kontinuum angenommen,<br />
lokal zusammenhangend ware, miissten diese Paare in zusammenhangenden<br />
Teilmengen von C mit beliebig klein werdenden Durchmessern enthalten sein.<br />
Also ist C nicht lokal zusammenhangend. Ist C nicht zusammenhangend, so<br />
kann es auch nicht lokal zusammenhangend sein (man betrachte, wenn dies<br />
ware, unendlich viele Punkte tn-> die einer der - endlich vielen - Komponenten<br />
von C angehoren.) | BL 11<br />
(Ein spezieller Fall des Hlilfssatzes: ist C Peanosches Kontinuum und Vn<br />
die Komponenten von X — C^ X — Ebene, so kann es nicht unendlich viele<br />
Vn mit Durchmessern > Is geben. (Schoenflies. Mein Beweis ahnlich wie bei<br />
Kerekjarto, Hamb. Abh. 4 (1926), 164-171, insbesondere A), p. 167). Denn<br />
Fiyn) c F{C) c c.)<br />
Nun konnen wir die andere Halfte von (6) beweisen:<br />
(B) Wenn U die Eigenschaft S nicht hat, ist F(U) nicht lokal zusammenhangend.<br />
Ist / ein Kreisinneres, der art, dass UI ^ 0 nicht zusammenhangend ist,<br />
V eine Komponente von UI, so ist F(y) C F{UI) C F{U) + F{I) =_C,<br />
ferner F{V)F{I) / 0, denn V = UIV ist in UI abgeschlossen: ware V C<br />
/, so ware V — UV in U abgeschlossen, was dem Zusammenhang von U<br />
widerstreitet (in U D UI D V gilt zuerst nicht das Gleichheitszeichen, da UI<br />
nicht zusammenhangend ist). Also V — / 7^ 0, VF{I) 7^ 0, und da VF{I) C<br />
IF{I) = 0, ist F{V) F{I) ^ 0.<br />
Nun lasst sich U mit endlich vielen (offenen) Kreisflachen Hk vom Radius<br />
p bedecken, Ik sei die konzentrische (offene) Kreisflache vom | Radius 2 p, und Bl. 12<br />
V/ci, Vfc2, • • • die Hk treffenden Komponenten von Ulk, so dass<br />
^ = EE^^"-<br />
Wenn U die Eigenschaft S nicht hat, so besteht bei hinlanglich kleinem p die<br />
Summe nicht aus endlich vielen Summanden, d. h. es existiert ein Index k, fiir<br />
831
den unendlich viele Vkn vorhanden sind, oder - mit Weglassung des Index k -<br />
es giebt zwei konzentrische Kreisflachen iJ, / mit Radien p, 2p, derart dass UI<br />
unendlich viele Komponenten Vn hat, die H treffen. Wegen F{Vn) F{I) ^ 0 hat<br />
Vn einen Durchmesser > p. Andererseits ist F{Vn) C F{U) + F{I) — C^ K, C<br />
I<br />
\<br />
'.'•M\<br />
UI ist zu C disjunkt. Nach dem Hiilfssatz ist C nicht lokal zusammenhangend^,<br />
also auch F{U) nicht, denn F{I) ist lokal zusammenhangend. Damit ist (B)<br />
Bl. liv bewiesen. |<br />
Wir haben bewiesen: {U beschranktes ebenes Gebiet, F{U) Kontinuum):<br />
(A) Wenn U die Eigenschaft S hat, ist F{U) total Peanosch.<br />
(B) Wenn F{U) Peanosch ist, hat U die Eigenschaft S.<br />
Daraus folgt noch: ist F{U) Peanosch, so ist es total Peanosch. Dass U Gebiet<br />
ist, ist wesentlich. Die untenstehende Figur {U Summe der unendlich vielen<br />
ofFenen Quadratflachen) zeigt, dass andernfalls F{U) wohl Peanosch sein kann,<br />
ohne total Peanosch zu sein. U hat die Eigenschaft S nicht.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 40: Fasz. 638<br />
Beweis des Satzes von M. Torhorst<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 12.6.1937. - 2 Bll.<br />
Beweis des Satzes von M. Torhorst^: 12/6 37<br />
(T) C sei ebenes Peanosches Kontinuum, U eine Komponente des Komplements;<br />
dann ist die Begrenzung F{U) Peanosch.<br />
^Ubrigens ist F{U) F{I) / 0, da sonst (Mengenlehre 1914, p. 343, V) UI entweder leer<br />
oder zusammenhangend ware; C ist Kontinuum; wegen F{Vn) C C C X — Vn ist (ib. p. 345,<br />
VIII) F{Vn) Kontinuum, jedes Vn einfach zusammenhangend.<br />
^ [Marie Torhorst (geb. 1888) promovierte 1918 bei HAUSDORFFS Vorganger HANS HAHN,<br />
wurde 1933 von den Nationalsoziahsten aus poHtischen Griinden aus dem Schuldienst entlassen,<br />
war von 1947-1950 Ministerin fiir Volksbildung des Landes Thiiringen und spater<br />
Professorin am Deutschen Padagogischen Zentrahnstitut in BerUn. Sie wurde 100 Jahre alt.]<br />
832
Der Originalbeweis ist sehr kompliziert (Primenden), auch der von Kerekjarto.<br />
Kuratowski, F. M. 15, p. 180-184 giebt folgenden einfacheren.<br />
1. Drei Bogen (a6)i, (a 6)2, (tt^)3, die paarweise nur die Endpunkte gemein<br />
haben, bilden eine Kurve ©.<br />
Zwei disjunkte Peanosche Kontinua A, B mogen durch drei disjunkte Peanosche<br />
Kontinua Ci, C2, C3 verbunden sein {ACi 7^ 0 ^ BCi). Dann giebt es eine<br />
Kurve 6 = Y^i{ab)i, {ab)i C A-\-d-{-B, aeA.beB.<br />
Beweis. Ci enthalt einen Bogen, der A, B verbindet, also (Teilbogen) einen<br />
Bogen piQi, der bis auf die Endpunkte zn A-^ B disjunkt ist; ebenso C2 einen<br />
solchen Bogen ^2^2- A enthalt einen Bogen piP2, B einen Bogen qiq2', diese<br />
4 Bogen bilden einen topologischen Kreis. In A -}- Cs -{- B verbinden wir pip2<br />
mit qiq2 durch einen Bogen a 6, von dem nur die Endpunkte zu piP2 resp. qiq2<br />
gehoren. Dieser Bogen mit dem topologischen Kreis zusammen leisten das Verlangte.<br />
(Die rechte Figur entspricht nicht der linken; fiir diese wiirde a mit p2,<br />
b mit q2 zusammenfalien.) | Bl. iv<br />
2. C sei Peanosches Kontinuum, K C C nicht Peanosches Kontinuum; in C<br />
giebt es eine Kurve 6 = X^(afe)z so, dass {ab)i mit K durch ein zu den beiden<br />
andern Bogen von B disjunktes Kontinuum verbunden werden kann.<br />
Beweis. Vorbemerkung: jedes Kontinuum L C C ist in einem beliebig wenig<br />
grosseren Peanoschen Kontinuum L* enthalten (man telle C in endlich viele<br />
Peanosche Teilkontinua beliebig kleinen Durchmessers [indem man das Inter-<br />
vall teilt, von dem C stetiges Bild ist] und nehme die Summe L* der kleinen<br />
Kontinua, die L treffen). - Da K nicht Peanosch ist, enthalt es ein Konvergenzkontinuum,<br />
d. h. eine Folge disjunkter Kontinua Kn, deren Limes wieder ein<br />
Kontinuum (mehrpunktig) und zu den Kn disjunkt ist. Greifen wir also Punkte<br />
Pn^qn ^ Kn mit p = limPn 7^ liiRqn = q heraus; zugleich konnen wir PnPn-^i<br />
in C durch einen Bogen mit Durchmesser —> 0 verbinden. Also: wir konnen<br />
annehmen, dass wir drei Punkte pi,P2,P3 eines Peanoschen Kontinuums A,<br />
drei Punkte ^i, ^2, qs eines zu A disjunkten Peanoschen Kontinuums B haben,<br />
und drei disjunkte Kontinua Ki C K, mit Pi -\- qi d Ki\ aber die Kj sind noch<br />
833
nicht Peanosch. Gemass der Vorbemerkung stellen wir jetzt (auch zn A,B, obwohl<br />
diese schon Peanosch sind) Peanosche Kontinua A'^^B^'^K* her, Summen<br />
Bl. 2 „kleiner" Peanoscher Kontinua Q, die resp. A, B, Ki \ treflFen, und die so kleine<br />
Durchmesser haben, dass noch A*5* = 0, i^*K* = 0. Zu A, B, Ci = K* giebt<br />
es nach 1. eine Kurve 6 = ^{ab)i, a e A, b e B, {ab)i C A+K^~\-B. Man hat<br />
{ab)iA* ^ 0, {ab)iB* ^ 0, so dass {ab)i nicht in A* + J5* enthalten sein kann;<br />
da er in A*-{-B""-\-K* enthalten ist, enthalt er einen Punkt x G K* - (A* + 5*).<br />
X gehort also einem „kleinen" Kontinuum Q mit KiQ ^ 0, AQ = BQ = 0 an;<br />
{ab)i ist mit K durch das Kontinuum Q verbunden; da ferner Q c AT*, ist Q<br />
zu den beiden andern Kj^K^ und demnach zu {cib)j, {cib)k disjunkt. Q.e. d.<br />
3. Beweis von (T). Wir zeigen sogar, dass F{U) total Peanosch ist.^<br />
Gabe es ein nicht Peanosches Kontinuum K C F{U) (c F{R2 - C) = F{C) C<br />
C), so betrachten wir die Kurve © C C von 2. Sie zerlegt (Jordanscher Satz)<br />
die Ebene in drei Gebiete C/12, C/235 ^315 wo F{Uij) = (ab)i-\-{ab)j. U C R2 — Q<br />
liegt in einem dieser Gebiete, etwa U C C/12; K C U C U12 + (a fe)i + (a 6)2- Nun<br />
BL 2v soUte sich aber K mit (a 6)3 durch ein zu (a 6)1 + {a 6)2 dis | junktes Kontinuum<br />
Q verbinden lassen, d. h. Q wlirde einen Punkt in U12 mit einem ausserhalb<br />
U12 verbinden, ohne F{Ui2) zu treffen - damit ist der Widerspruch da.<br />
(T) lasst sich noch weiter dahin verscharfen, dass F{U) eine reguldre Kurve<br />
(im Sinne von Menger) ist: Whyburn, Fund. Math. 12, p. 267. Der Beweis<br />
beruht darauf: die Eigenschaft regular zu sein, kommt einem Peanoschen Kontinuum<br />
dann und nur dann zu, wenn sie seinen zyklischen Elementen zukommt.<br />
Die zyklischen Elemente von F{U) (U Komponente von R2 — C, C Peanosch<br />
- oder geniigt, dass F{U) Peanosch ist?) sind aber topologische Kreise (hierzu<br />
Ayres, F. M. 14, theorem p. 92, und Wilder, F. M. 7, p. 354). Folgende<br />
Bedingungen fiir ein Peanosches Kontinuum C sind aquivalent:<br />
Die zyklischen Elemente von C sind (wenn mehrpunktig^) topologische Kreise;<br />
C enthalt keine Kurve ©,<br />
je zwei topologische Kreise C C haben hochstens einen Punkt gemein.<br />
(T) ist im Rs nicht giiltig!<br />
^Dass F{U) Kontinuum ist, folgt nach Brouwer (lokaler Zusammenhang und Unikoharenz<br />
der Ebene). Die Verscharfung stammt von Wilder.<br />
•^[Uber das Wort „mehrpunktig" hat HAUSDORFF ein Fragezeichen gesetzt.]<br />
834
NL HAUSDORFF : Kapsel 38: Fasz. 545<br />
Ein Satz von R. L. Moore<br />
Hs.Ms. - [Bonn], 8.8. 1935. - 2 BU.<br />
8.8.35<br />
Ein Satz von R. L. Moore (Continuous sets that have no continuous sets of<br />
condensation, Bull. Amer. Math. Soc. (2) 25 (1919), p. 174-176).<br />
I. Ein (kompaktes) Kontinuum C, das kein Hdufungskontinuum enthdlt, ist<br />
lokal zusammenhangend (also Streckenbild == Peanosches Kontinuum = continuous<br />
curve; Mengenlehre S. 207).<br />
Beweis. Wir zeigen, dass C, falls nicht lokal zusammenhangend, ein Haufungskontinuum<br />
K (mit C — K = C) enthalt. C sei im Punkte a nicht lokal zusammenhangend,<br />
es giebt also eine Punktfolge Xn -^ a derart, dass jedes Kontinuum<br />
(im Raume C), das a, Xn enthalt, einen Durchmesser > 2r > 0 hat. F<br />
sei die Kugel ax < r, H ihre Begrenzung (fiir x £ H ist ax = r); wir nehmen<br />
alsbald ax-n < r an. Es giebt also kein Kontinuum C F, das a, Xn verbindet.<br />
Also F c C, H D 0. Nach dem Randsatz von Janiszewski hat die Komponente<br />
Cn von CF — F, die Xn enthalt, einen Punkt i/n auf H. \ Der obere abge- Bl. 2<br />
schlossene Limes K = FlCn ist Kontinuum (well Fl Cn den Punkt lim<br />
enthalt, also D 0 ist; Satz von Zoretti) und zwar mehrpunktiges, da er a und<br />
auch einen Punkt auf H (Haufungspunkt der yn) enthalt. Es ist KCn — 0,<br />
da sonst K -\- Cn ein Kontinuum C F ware, das Xn mit a verbindet. Also fiir<br />
S = J2Cn C.C — K ist KCSCC — K,K Haufungskontinuum. Damit ist der<br />
Satz I bewiesen (wesentlich einfacher als bei Moore, der noch dazu nur ebene<br />
Mengen behandelt).<br />
Ist C zwischen zwei Punkten a, b irreduzibel und ohne Haufungskontinuum,<br />
so ist es ein Bogen [a, 6] (Mengenlehre, §39, IV.) Diesen Spezialfall (von Janiszewski)<br />
benutzt Moore bereits beim Beweise von I. Dieser spezielle Satz<br />
ist umkehrbar, der allgemeine aber nicht (eine Quadratflache ist Streckenbild,<br />
enthalt aber Haufungskontinua, z. B. Strecken).<br />
835
NL HAUSDORFF : Kapsel 43: Fasz. 754<br />
[Offene Bilder abgeschlossener Intervalle]<br />
Hs. Ms. ~ [Bonn], 20,9. 1940. - 1 Bl.<br />
20/9 40<br />
Ein G-stetiges Bild Y des abgeschlossenen Intervalls X =• [0,1] kann keinen<br />
topologischen Kreis enthalten.<br />
Beweis: y — f{x) sei G-stetige Abbildung von X auf Y. Nehmen wir an,<br />
B G Y sei ein topologischer Kreis. Setzen wir A == f~^{B), so ist A in X<br />
abgeschlossen und die auf A beschrankte Abbildung /| A ist auch noch G-stetig<br />
(es ist f{AG) C F{A)F{G) = B f{G); andererseits 5/(G) C /(AG), denn fur<br />
y G Bf{G) ist y = fix) mit x e G, x e r\y) C f-\B) = A, x e AG, y e<br />
f{AG). Also f{AG) = Bf(G) in B offen, wenn G offen ist.) Wir haben also<br />
jetzt eine G-stetige Abbildung der kompakten linearen Menge A auf einen<br />
topologischen Kreis oder auf einen gewohnlichen Kreis B, der durch y — e*'^<br />
mit reellem (p dargestellt sei. Sei ao = min A, ai > ao (ai G A) so klein,<br />
dass y = f{x) fiir x e A [ao,ai] auf einem Halbkreis bleibt und folglich ip als<br />
eindeutige stetige Punktion von y angesehen werden kann; demnach (p = (p{x).<br />
Da das Bild von A[ao,ai) auf dem Kreise offen ist, kann das Maximum von<br />
(p{x) in A [ao, ai] nicht in [ao, ai) eintreten; es tritt in ai ein; fiir das Minimum<br />
gilt dasselbe; demnach ist ip{x) in A[ao,ai] konstant = ^(^i); das Bild von<br />
74[ao,ai) ware einpunktig und nicht offen in B. Dieser Widerspruch beweist<br />
die Behauptung.<br />
(Das G-stetige Bild eines offenen Intervalls kann einen topologischen Kreis<br />
enthalten. Z. B. y = e^^ fiir ~oo < x < oo, was man auch in eine Abbildung<br />
von (0,1) umwandeln kann.)<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 50: Fasz. 1085<br />
[Peanosche Kontinua, der Jordansche Kurvensatz]<br />
Hs. Ms. - [Bonn], [nach 1928]. 11 BU.<br />
Abgedruckt sind die Blatter 1-6.<br />
In der Ebene oder Kugelflache gilt auch eine eingeschrankte Umkehrung von (:<br />
(C*) G sei ein einfach-zusammenhangendes Peanosches Kontinuum; dann ist<br />
E — C zusammenhangend.^<br />
Zunachst betrachten wie den Spezialfall, dass G ein Bogen (homoomorphes<br />
Bild einer Strecke) ist.^ Nehmen wir an, ^ — G sei nicht zusammenhangend,<br />
zwei Punkte a, 6 werden durch G getrennt. G enthalt ein irreduzibles F^(a, 6),<br />
das auch nur ein Bogen [p, q\ sein kann. Ist r ein von p, q verschiedener Punkt<br />
iRur., P.M. 8, 145.<br />
2Kur., ib.l2, 228.<br />
836
dieses Bogens, so wiirden also [p, r] und [r, q] die Punkte a, b nicht trennen; aber<br />
da ihr Durchschnitt r ein Kontinuum ist, kann auch [p, q] nach £ die Punkte<br />
a, 6 nicht trennen.<br />
Nun sei C allgemein Peanosches Kontinuum; wir nehmen E — C sis nicht zusammenhangend<br />
an und zeigen, dass dann C nicht einfach-zusammenhangend<br />
ist. E —C = A-\-B sei eine Zerstiickelung, a ^ A^b e B; auf [a,b] (Strecke oder<br />
Kreisbogen) sei p der erste, q der letzte Punkt von C (ev. p = q) und L ~ \p,q]<br />
ein Bogen in C, der p^q verbindet (fiir p — q : L = p). L zerlegt E nicht<br />
(Spezialfall von (*, soeben bewiesen); a, b sind durch einen Streckenzug M mit<br />
I ML — 0 verbindbar. Nach dem Trennungssatz fiir metrische Raume giebt es Bl. 2<br />
eine offene Menge G mit L C G, MG = 0. Jede Komponente von GC{D L)<br />
ist in C offen, weil C Peanosch ist, R sei diejenige, die L enthalt (L C R).<br />
Es ist M^ = 0 (i?. C G), wahrend MC = M{C_- 'R) D 0 ist, da M die<br />
durch G getrennten Punkte a, 6 verbindet. Sei C — R = ^Si die Zerlegung in<br />
Komponenten; diese sind wieder in G offen und bedecken MC = J^M5i; da<br />
MC kompakt ist, wird es bereits von endhch vielen bedeckt, d. h. wenn wir die<br />
Si mit MSi D 0 und Sj mit MSj = 0 unterscheiden, ist MC = ^MSi, wo<br />
i etwa von 1 bis n geht. Fiir die Sj ist auch noch MSj = 0, da Sj in C — R<br />
abgeschlossen, also MSj = M{C - R)Sj = MCSj = MSj ist. Setzen wir<br />
also MK = 0. Wir wollen zeigen, dass die abgeschlossene Menge K ein Kontinuum<br />
ist. (Es ist in einem lokal zusammenhangenden Raum E, wenn F Kontinuum<br />
und G eine Komponente von E — F ist, F -\- G Kontinuum. Denn<br />
L;-F = G + G', G und G' offen, F + G abgeschlossen; {F^G)^{E-G) = E<br />
und \ {F -\- G){E — G) = F sind zusammenhangend, also auch F -\- G, E — G. BL 3<br />
Wendet man dies auf G als Raum an, so folgt:) R + Sj ist zusammenhangend<br />
und daher auch J^.(R^ Sj) ='R + J2SJ = K.<br />
K trennt a, b nicht, wegen MK = 0. Auch die Si trennen a, b nicht; denn<br />
[a, p] + L + [q, b] ist ein zu G — JR disjunktes Kontinuum (L zu G — R, [a, p) und<br />
(g', 6] schon zu G disjunkt) und jede Komponente S von C — R C C — R liefert<br />
S C C — R; a,b lassen sich zu Si disjunkt verbinden. Nun ware also<br />
C = K + ^Si=K+&Si<br />
als Summe endlich vieler Kontinua dargestellt, die a, b nicht trennen, wahrend<br />
G sie trennt.<br />
837
Genau wie K ist auch K-\-Si = R-\-Yl,j ^j'^^i = C—Y^^^^ Sh ein Kontinuum;<br />
also Si C K -\- Si. Fiir zwei verschiedene Komponenten Si,Sh ist SiSh £<br />
{K + Si){K + Sh) = K. Ebenso ist C, - X + E/./^ 5/, - :R + E, ^i +<br />
Yhi^i^h = C — Si ein Kontinuum und CiSi = KSi, da SiSh £ S'^K. Da<br />
C = Ci + iSi = Ci + S'i, ist CiSi D 0 (sonst ware C = C^ -f 5^ zerstiickelt), also<br />
KSi DO.<br />
Wir schliessen aus e, dass mindestens ein KSi kein Kontinuum ist. Denn<br />
Bl. 4 waren sie alle Kontinua, so wiirde zunachst | if + ^i die Punkte a, b nicht<br />
trennen, dann wiirde wegen {K + Si)S2 = KS2 auch K ^ Si-V S2 die Punkte<br />
a, h nicht trennen u. s. w. bis K + 5i + - • + 5n = C, welches ja aber a, h<br />
trennt. Ist also KSi kein Kontinuum, so haben wir o — L^i -\- Oi — C^i -p ib^, wo<br />
Ci, Si Kontinua und CiSi — KSi kein Kontinuum ist, d. h. C ist nicht einfach<br />
zusammenhangend, q. e. d.<br />
Fiir die Ebene oder Kugelflache, wo ( und C* gelten, haben wir also fiir die<br />
Peanoschen Kontinua C Aquivalenz der beiden Eigenschaften: C ist einfachzusammenhdngend,<br />
E—C ist zusammenhangend. (Die erste ist eine topologische<br />
Eigenschaft von C selbst, die zweite betrifFt die Lage von C in £".<br />
Der Jordansche Satz. E Ebene oder Kugel, C sei homoomorph mit dem Kreise.<br />
Dann zerfdllt E — C in zwei Gebiete mit der gemeinsamen Begrenzung C.<br />
Beweis. Da C nicht einfach-zusammenhangend ist, ist JE^ — C nicht zusammenhangend;<br />
E—C zerfallt in mindestens zwei Komponenten; fiir jede solche G<br />
ist Gg C [E—C)g = Cg = C. Warc C nicht Begrenzung aller Komponenten von<br />
-E—C, so sei etwa x G C—Gg nicht Punkt der Begrenzung Gg. Gg^ welches nach<br />
(/?) zusammenhangend ist und C C, wiirde E zerlegen {E — Gg = {E — G)-\-G<br />
eine Zerstiickelung, x ^ E — G, beide Summanden D 0). Aber Gg konnte ja nur<br />
Bl. 5 ein Bogen sein und dieser zerlegt E nicht. |<br />
Endlich ist zu zeigen, dass es nicht mehr als zwei Komponenten geben kann.<br />
G sei eine Komponente; C = Gg. Die von G aus geradlinig erreichbaren Punkte<br />
von C liegen in C dicht; a, b seien zwei verschiedene; wir konnen demgemass<br />
a, b verbinden sowohl durch einen Streckenzug 5, der bis auf die Endpunkte<br />
-* r^<br />
ft 1<br />
a,b in G liegt, als durch jeden der beiden Bogen P, G, die auf C durch a, b<br />
bestimmt werden. p und q seien Punkte von P, Q, die von a, b verschieden<br />
sind. - Nun nehmen wir an, es gabe ausser G noch mindestens zwei weitere<br />
Komponenten Gi, G2 von £J — G; xi G Gi, ^2 G G2. Da p G G1G2, ist Gi + p,<br />
G2 -\- p und Gi -\- p-\- G2 zusammenhangend, und da dies zuS + QCG + Q<br />
838
disjunkt ist, werden xi,a:2 durch 5 + Q nicht getrennt, ebenso nicht durch<br />
S ^ P. Da (5 + P)(5 + Q) = S Kontinuum ist, diirften nach e xi,X2 auch<br />
durch (5 + P) + (AS + Q) = S^C und erst recht durch C nicht getrennt werden,<br />
womit ein Widerspruch erzielt ist.<br />
Zu dem Teil des Beweises, dass C gemeinsame Begrenzung aller Komponenten<br />
von E — C ist, giebt es folgende Verallgemeinerung:<br />
Damit in einem lokal zusammenhdngenden Raum E die abgeschlossene Menge<br />
F {0 C F C E) gemeinsame Begrenzung aller Komponenter? von E—F sei,<br />
ist notwendig und hinreichend, dass, fiirjede abgeschlossene Teilmenge F' C F,<br />
E — F' zusammenhdngend sei. \ Bl. 6<br />
Notwendig. F sei gemeinsame Begrenzung aller Komponenten von E — F (also<br />
nirgendsdicht, E - F in E dicht) und F' C F Sei x e E - F'; x hat eine<br />
zusammenhangende Umgebung U C E — F'; in dieser liegt ein Punkt y von<br />
E — F, weil E — F dicht ist, und G sei die y enthaltende Komponente von<br />
E — F {c E — F'). Ist sodann XQ ein fester Punkt von F — F\ so ist XQ G G,<br />
weil F — Gg, und die Menge t/ + G + XQ zusammenhangend, sie ist C. E — F',<br />
und also lasst sich jeder Punkt x von E — F' mit x^inE- F' verbinden, E — F'<br />
ist zusammenhangend.<br />
Hinreichend. Fiir jede Komponente G von E—F ist (im lokal zusammenhangenden<br />
Raume) Gg C [E — F)g Q Fg C F. Ist nun F nicht = Gg, sondern F ^ Gg,<br />
so ist F' = Gg C F eine Menge, flir die E - F' = {E -G) -{- G nicht zusammenhangend<br />
ist {E-GD F{E -G) = F-GgZ)0).<br />
"^ev. nur von C — F, wenn dies zusammenhangend ist.<br />
839
Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie<br />
H. Herrlich, M. Husek, G. Preufi<br />
In der topologischen Dimensionstheorie beschaftigt man sich mit Dimensionsfunktionen,<br />
d. h. Abbildungen D der Klasse aller topologischen Raume in die<br />
Menge N U {—1, +00}, wobei N die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen<br />
bedeutet, derart, dafi gelten:<br />
1) Sind X und Y homoomorphe topologische Raume, so ist D{X) = D{Y),<br />
2) D{W^) = n, wobei W^ die Menge der n-Tupel reeller Zahlen bezeichnet,<br />
versehen mit der in der Analysis iiblichen Topologie.<br />
Dariiber hinaus ist es wiinschenswert, nach Dimensionsfunktionen zu suchen,<br />
die schone Eigenschaften haben, wie etwa:<br />
3) (Unterraumsatz). Ist A Unterraum von X, so gilt D{A) < D{X).<br />
4) (Produktsatz). Sind X und Y topologische Raume, so gilt<br />
D{X xY)< D{X) + D{Y), falls X ^ 0 oder F / 0<br />
5) (Summensatz). Ist {Xi)i^i eine geeignete Uberdeckung eines topologischen<br />
Raumes X und gilt D{Xi) < n fiir alle i G /, so ist D(X) < n.<br />
Um eine dieser Eigenschaften zu erhalten, kann es allerdings notwendig werden,<br />
die Klasse der topologischen Raume einzuschranken. Besondere Bedeutung<br />
erlangt haben die Dimensionsfunktionen ind („kleine induktive Dimension"),<br />
Ind („gro6e induktive Dimension") und dim („Uberdeckungsdimension").<br />
I) Die erste hinreichend genaue induktive Definition der Dimension flir Teilmengen<br />
des M^ geht auf eine erst iiber 100 Jahre spater veroffentlichte Arbeit<br />
von B. BOLZANO ([Bol 1948]) zuriick, die er 1843-44 schrieb. Somit konnte sie<br />
die Entwicklung der Dimensionstheorie nicht beeinflussen. Sie lafit sich auch<br />
nicht auf topologische Raume, sondern nur auf metrische Raume iibertragen,<br />
was M. KATETOV ([Kat 1983]) naher untersucht hat. 1905 hat H. POINCARE<br />
in seinem Buch La valeur de la science ([Poi 1905]) eine induktive Definition<br />
der Dimension skizziert, die L. E. J. BROUWER im Jahre 1913 zu einer prazisen<br />
Definition veranlafite ([Bro 1913]), nachdem er bereits vorher die Invarianz der<br />
Dimension fiir Euklidische Raume bewiesen hatte ([Bro 1911]), d. h. die Aussage,<br />
dafi furn,m = 1^2^3^... ,n ^ m, die Raume W^ und M"^ nicht homoomorph<br />
sind (ob die Invarianz der Dimension iiberhaupt gilt, war durch die Arbeit von<br />
G. PEANO ([Pea 1890]), die zeigte, dafi ein Quadrat stetiges Bild einer Strecke<br />
sein kann, fraglich geworden).<br />
Fiir lokal zusammenhangende kompakte metrische Raume stimmt die induktive<br />
Dimension von BROUWER mit der heute als kleine induktive Dimension bezeichneten<br />
iiberein (s. [ES 1992], S. 317), die auf P. URYSOHN ([Ury 1922]) und<br />
840
K. MENGER ([Men 1923]) zuriickgeht und deshalb auch als Menger-Urysohn-<br />
Dimension bezeichnet wird.<br />
HAUSDORFF hat die damals neu entstandene Dimensionstheorie von URY-<br />
SOHN und MENGER bereits im Wintersemester 1930/31 in seine Vorlesung Mengenlehre^<br />
aufgenommen. Diese Vorlesung besteht aus fiinf Teilen: I. Mengenverkniipfungen,<br />
II. Kardinalzahlen, III. Ordnungstypen und Ordnungszahlen,<br />
IV. Punktmengen und V. Dimensionstheorie. Zur Einfiihrung der Dimensionsfunktion<br />
ind (fiir metrische Raume) heifit es darin:<br />
Der Urysohn-Mengersche DimensionsbegrifF (Anregungen von Poincare<br />
und Brouwer folgend) kniipft eigentlich an die populare Erklarung an:<br />
eine Linie wird von Punkten begrenzt, eine Flache von Linien, ein Korper<br />
von Flachen, ein n-dimensionales Gebilde von (n — l)-dimensionalen. In<br />
dieser Form ist die Erklarung noch nicht brauchbar, aber der Grundgedanke<br />
- Zuriickfiihrung der Mengen auf ihre Begrenzungen und rekursive<br />
Erklarung der n-dimensionalen durch die (n — l)-dimensionalen - ist in<br />
der folgenden Definition gewahrt:<br />
Der Raum ist hochstens n-dimensional, wenn jeder Punkt beliebig kleine<br />
Umgebungen mit hochstens (n — l)-dimensionaler Begrenzung hat.<br />
Wie soUen wir aber fiir n = 0 beginnen? Indem wir unter einer (—1)dimensionalen<br />
Menge die leere Menge verstehen.^<br />
Fiir einen topologischen Raum X sieht die Definition von ind folgendermafien<br />
aus: Die kleine induktive Dimension (oder Menger-Urysohn-Dimension) ind X<br />
von X ist induktiv definiert durch<br />
a) ind X = —1 genau dann, wenn X = 0 ist;<br />
b) ind X < n, falls zu jedem x ^ X und zu jeder Umgebung V von x eine<br />
offene Menge U C X existiert derart, dafi x E U cV und ind dU < n — 1,<br />
wobei dU den Rand von U bezeichnet;<br />
c) ind X = n, falls ind X
a) Ind X — —1 genau dann, wenn X = 0 ist;<br />
b) Ind X
Dafi die Punktionen ind, Ind und dim die Bedingung 1) flir Dimensionsfunktionen<br />
erftillen, liegt auf der Hand. Die Bedingung 2) ist ebenfalls erfiillt: Der<br />
Beweis von Ind W = dimR^ = n ist in BROUWERS Arbeit von 1913 enthalten,<br />
wahrend ind W^ = n von MENGER ([Men 1926]) und URYSOHN ([Ury<br />
1925]) (angekiindigt in [Ury 1922]) bewiesen wurde. Fiir separable metrische<br />
Raume (aufgefafit als topologische Raume) stimmen alle drei genannten Dimensionsfunktionen<br />
liberein: Der Beweis der Gleichheit von ind und Ind geht auf<br />
L. A. Tumarkin ([Turn 1926]) und W. Hurewicz ([Hur 1927b]) zuriick, wahrend<br />
ind^dim von HuREWiCZ in [Hur 1927a] bewiesen worden ist (nachdem URY-<br />
SOHN ([Ury 1926]) dieses Ergebnis bereits fiir kompakte metrische Raume erzielt<br />
hatte). Erst Anfang der 50-er Jahre haben M. KATETOV ([Kat 1952])<br />
und K. MORITA ([Mor 1954]) gezeigt, dafi fiir alle metrisierbaren topologischen<br />
Raume X gilt: Ind X = dimX. Da P. ROY in [Roy 1962] ein Beispiel eines<br />
voUstandig metrisierbaren topologischen Raumes X mit ind X = 0 und Ind<br />
X ~ 1 konstruiert hat, kommt J. NAG ATA in seinem 1965 erschienenen Buch<br />
iiber Dimensionstheorie ([Nag 1965], S. 9) zu dem Schlufi, dafi die kleine induktive<br />
Dimension fiir metrische Raume als nicht mehr so bedeutend angesehen<br />
werden kann wie die grofie induktive Dimension und die Uberdeckungsdimension.<br />
Beziiglich der grofien induktiven Dimension Ind gelten fiir metrisierbare<br />
topologische Raume sowohl 3) (s. [Cech 1932]) als auch 4) (s. [Men 1928]).<br />
Aufierdem gilt folgender Summensatz (s. 5)):<br />
Ist X ein metrisierbarer topologischer Raum und {Xi)i^f^ eine abgeschlossene<br />
Uherdeckung, die mit der Menge N indiziert ist, und gilt Ind Xi < n fiir alle<br />
i eN, so ist Ind X < n.<br />
Dieser Satz ist von CECH in [Cech 1932] fiir die grofiere Raumklasse der perfekt<br />
normalen Raume bewiesen worden.<br />
Die erste zusammenfassende Monographic zur Dimensionstheorie war MEN-<br />
GERS 1928 bei Teubner erschienenes Buch Dimensionstheorie ([Men 1928]).<br />
HAUSDORFF hat es sorgfaltig und kritisch studiert. Historisch interessant ist<br />
z. B. seine resiimierende Bemerkung zum AUgemeinheitsgrad des Werkes (s. das<br />
Zitat in diesem Band, S.801). Ein Beispiel fiir die kritische Auseinandersetzung<br />
mit einzelnen Punkten in MENGERS Buch ist Faszikel 280. MENGER hatte<br />
S. 251 ff. zwei Beweise des Satzes gegeben, dafi jede offene Teilmenge des R"^<br />
mindestens n-dimensional ist. Im ersten Beweis findet HAUSDORFF mehrere<br />
Unkorrektheiten, um schliefilich festzustellen:<br />
Der Mengersche Beweis ist eine entstellte Reproduktion der Arbeit von<br />
E. Sperner (Hamb. Mitt. 6, S.265), wo alles in Ordnung ist.^<br />
Wir geben nun einen kurzen Uberblick iiber weitere Manuskripte zur Dimensionstheorie<br />
in HAUSDORFFS Nachlafi. MENGER hatte in seinem Buch (S. 138 ff)<br />
den Begriff der schwach n-dimensionalen Menge eingefiihrt und im Anschlufi<br />
an Ideen von SlERPlNSKi eine schwach eindimensionale Menge konstruiert. Ob<br />
es fiir jedes n schwach n-dimensionale Mengen gibt, war ein offenes Problem<br />
^NL HAUSDORFF : Kapsel 33 : Fasz. 280, BL Iv.<br />
843
([Men 1928], S. 309). Es wurde von MAZURKIEWICZ in [Maz 1929] im bejahenden<br />
Sinne gelost. Im Faszikel 458 Schwach n-dimensionale Mengen vom 7. 12.<br />
1933 konstruiert HAUSDORFF in Anlehnung an MAZURKIEWICZ eine im MEN-<br />
GERschen Sinne schwach n-dimensionale Menge. Sein Vorgehen unterscheidet<br />
sich in einigen Punkten von dem von MAZURKIEWICZ; Fasz. 458 ist deshalb im<br />
folgenden voUstandig abgedruckt.<br />
Die Faszikel 541 Dimensionserhohende und erniedrigende beiderseits stetige<br />
Abbildungen vom 4. 4. 1935 und 542 Zur Dimensionstheorie vom 7. 4. 1935 rezipieren<br />
verschiedene Arbeiten von HuREWicz. Das Hauptergebnis fafit HAUS<br />
DORFF folgendermafien zusammen: Sind A und B separable metrische Raume<br />
und ist B vermoge y = ip{x) beiderseits stetiges Bild^ von A,^ so gibt es<br />
fiir dimJ5— dim^d = d>0 mindestens (d-h l)-punktige Urbilder (p~^{y),<br />
fiir dim A— dim^ — d > 0 mindestens c?-dimensionale Urbilder (p~^{y).<br />
Fasz. 541 und 542 sind vollstandig im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band<br />
1, S. 199-214.<br />
Im Faszikel 569 Einbettung separabler Rdume in gleichdimensionale kompakte<br />
(undatiert, vermutl. Marz 1934 - August 1936) geht es um den Satz,<br />
dafi jeder separable metrische Raum topologisch zu einem gleichdimensionalen<br />
kompakten Raum erweitert werden kann. Diesen Satz hatte HuREWicz in [Hur<br />
1927a] angegeben; sein Beweis war jedoch nicht korrekt. Er sttitzte sich namlich<br />
auf Ergebnisse von ALEXANDROFF in [Ale 1926]. Dort hatte HAUSDORFF aber<br />
einen Fehler entdeckt und ALEXANDROFF eine Korrektur mitgeteilt, die dieser<br />
mit HAUSDORFFS Erlaubnis in [Ale 1929] publizierte.^ HAUSDORFF bemerkt<br />
schliefilich am Ende von Fasz. 569:<br />
Hurewicz hat dann einen richtigen und einfacheren Beweis des Einbettungssatzes<br />
gegeben: Monatsh. 37, 199-208. [Gemeint ist [Hur 1930]].^<br />
Fasz. 569 ist komplett im Faksimile abgedruckt in [H 1969], Band 1, S.450-<br />
459. Auch Fasz. 579 Erweiterung stetiger Abbildungen (undatiert, vermutl. 1935<br />
- August 1936) tangiert die Dimensionstheorie; er ist ebenfalls in Faksimile-<br />
Wiedergabe in [H 1969], Band 2, S.9-19, zu finden.<br />
Was es mit dem Veroffentlichungsmanuskript Bemerkung zur Dimensionstheorie<br />
(NL HAUSDORFF : Kapsel 40: Fasz. 606) auf sich hat, kann heute nicht<br />
mehr geklart werden. Es enthalt von HAUSDORFFS Hand am oberen Rand<br />
die Notiz „Etwas verkiirzt an Hilgers geschickt 11. 1. 37". Tatsachlich hat ein<br />
A. HILGERS den Inhalt des Manuskripts fast unverandert in Band 28 (1937) von<br />
Fundamenta Mathematicae veroffentlicht ([Hil 1937]). Dort findet sich jedoch<br />
keinerlei Hinweis auf HAUSDORFF. HILGERS hat vermutHch von HAUSDORFF<br />
vor dessen Emeritierung (1935) noch ein Promotionsthema erhalten.^^ Er hat<br />
^Eine eindeutige stetige Abbildung y = (p{x) von A auf B heiBt beiderseits stetig, wenn<br />
das Bild jeder abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist.<br />
^S. dazu auch den folgenden Aufsatz von E. SCHOLZ.<br />
^NL HAUSDORFF : Kapsel 39 : Fasz. 569, Bl. 10.<br />
^°NL HAUSDORFF : Kapsel 51: Fasz. 1105 enthalt ein Blatt mit kurzen Notizen HAUSDORFFS<br />
zur Dimensionstheorie, darunter der folgenden: „Thema fiir Hilgers: Total zusammenhanglose<br />
n-dimensionale Mengen und schwach n-dimensionale Mengen".<br />
844
jedoch bis 1945 in Deutschland nicht in Mathematik promoviert ([Tob 2006])<br />
und auch nichts weiter iiber Mathematik veroffentlicht. Inhalt von Fasz. 606<br />
ist der Beweis des folgenden Satzes:<br />
X,Y seien separable Raume, X von der Machtigkeit des Kontinuums. Dann<br />
ist X schlichtes^^ stetiges Bild einer Menge J mit dim J > dimy. (Man kann<br />
J als Teilmenge des aus X und Y gebildeten Produktraums wahlen.)<br />
Der Satz liefert u. a. schlichte stetige Abbildungen von Mengen J beliebig<br />
hoher (auch abzahlbarer oder liberabzahlbarer) Dimension auf Mengen X behebig<br />
niedriger Dimension. Fasz. 606 ist im Faksimile in [H 1969], Band 2,<br />
S. 168-171, abgedruckt.<br />
Im Manuskript Zur Dimensionstheorie (NL HAUSDORFF : Kapsel 42 : Fasz. 721)<br />
vom 4.6.1939 verarbeitet HAUSDORFF Resultate aus verschiedenen Arbeiten<br />
von SiERPiNSKi und POPROUGENKO und stellt einen interessanten Zusammenhang<br />
zur deskriptiven Mengenlehre her; der Faszikel ist im folgenden abgedruckt.<br />
In HAUSDORFFS Nachlafi befindet sich ferner eine umfangreiche Mappe „Dimensionstheorie<br />
aus den 30-er Jahren)". Sie enthalt ein Manuskript mit dem<br />
Titel „Dimensionstheorie" (Kapsel 47, Fasz. 986, 200 Blatt), welches wie ein<br />
Buch aufgebaut ist und als Buchmanuskript hatte dienen konnen, ferner 30<br />
Blatt Erganzungen dazu (Fasz. 987, datiert zwischen 1935 und dem 2.3. 1938).<br />
Das Manuskript beriicksichtigt die Entwicklung der Dimensionstheorie bis 1936.<br />
Es ist in neun Kapitel gegliedert: 1. Begrenzungen, 2. NuUdimensionale Mengen,<br />
3. Dimensionsbegriff und Normalbereiche, 4. Die Menge der singularen<br />
Punkte, 5. Der Zerlegungssatz, 6. Mengen hoheren Zusammenhangs, 7. Euklidische<br />
Raume, 8. Einbettung n-dimensionaler Raume in Euklidische, 9. Stetige<br />
Abbildungen. Das Manuskript zeigt, dafi HAUSDORFF ein hervorragender Kenner<br />
des gesamten Gebietes war. Ob er anfangs an die Veroffentlichung eines<br />
Buches iiber Dimensionstheorie gedacht hat, mu6 dahingestellt bleiben. Nach<br />
1935 ware es fiir ihn als Juden kaum noch moglich gewesen, im nationalsozialistischen<br />
Deutschland ein Buch zu publizieren.<br />
Wie zu jener Zeit iiblich, werden in HAUSDORFFS Manuskript nur separable<br />
metrische Raume betrachtet. Die separablen metrischen Raume der Dimension<br />
n lassen sich topologisch einbetten in den R^'^+^. Das hat MENGER fiir<br />
kompakte metrische Raume im Falle n = 1 bereits in [Men 1926] bewiesen,<br />
wahrend fiir beliebiges n G N die Aussage 1931 gleichzeitig von G. NOBE-<br />
LING ([Nob 1931]), L. PONTRJAGIN und G. TOLSTOV^A ([PT 1931]) sowie S.<br />
LEFSCHETZ ([Lef 1931]) exakt bewiesen wurde (1928 hatte MENGER in [Men<br />
1928] den allgemeinen Fall nur skizziert.). Einen einfacheren Beweis dieses sogenannten<br />
Einbettungssatzes hat W. HUREWICZ im Jahre 1933 gegeben ([Eur<br />
1933]). Dabei kam aufgrund des Kompaktifizierungssatzes von W. Hurewicz<br />
([Hur 1927a]), der besagt, da6 sich jeder separable metrische Raum dicht in<br />
einen kompakten metrischen Raum gleicher Dimension einbetten laBt, der Beweis<br />
des Einbettungssatzes auf den Fall kompakter metrischer Raume zuriick-<br />
^^schlicht = injektiv.<br />
845
gefiihrt werden. Diesem Vorgehen schliefit sich auch Hausdorff in Kap. 8 seiner<br />
Dimensionstheorie an, wobei er als Quelle die Arbeit [Hur 1933] angibt.<br />
Zum Thema „Dimension" im weitesten Sinne hat HAUSDORFF selbst mit<br />
seiner Arbeit [H 1919a] einen auBerordentlich folgenreichen Beitrag geleistet.<br />
Merkwiirdigerweise gibt es zur Idee nichtganzzahliger Dimension liberhaupt<br />
nichts im Nachlafi, auch nicht zu den Folgearbeiten anderer, wie z.B. denen<br />
von BESICOVITCH. HAUSDORFF hat weder versucht, eine Verbindung zur topologischen<br />
Dimensionstheorie herzustellen, noch hat er die entsprechenden<br />
Versuche anderer rezipiert (s. dazu den Kommentar von S. D. CHATTERJI ZU<br />
[H 1919a], Band IV dieser Edition, S. 53).<br />
In HAUSDORFFS letztem Lebensjahr ist das Buch von W. HuREWicz und<br />
H. WALLMAN ([HW 1941]) zur Dimensionstheorie erschienen, worin das bis<br />
dahin angesammelte Wissen xiber die Dimension separabler metrischer Raume<br />
hervorragend zusammengefaBt ist, einschliefilich der algebraisch-topologischen<br />
Aspekte (homologische und kohomologische Charakterisierung der Dimension).<br />
Kapitel VII dieses Buches („Dimension and Measure") ist der Hausdorff-<br />
Dimension und ihren Beziehungen zur topologischen Dimension gewidmet. Ob<br />
HAUSDORFF in seiner 1941 schon ganz aussichtslosen Lebenssituation dieses<br />
Werk noch wahrgenommen hat, ist sehr fraglich.<br />
Nach der Etablierung einer Dimensionstheorie fiir separable metrische Raume<br />
trat fiir mindestens zehn Jahre ein Stillstand ein. Erst Anfang der flinfziger<br />
Jahre des 20. Jahrhunderts begann ein neuer Start, als man erkannte, dafi sich<br />
viele Ergebnisse der bisherigen Theorie auf groBere Raumklassen libertragen<br />
lassen: Um zu verniinftigen Resultaten zu gelangen, ist allerdings beziiglich ind<br />
eine Beschrankung auf Ts-Raume und beziiglich Ind und dim auf T4-Raume<br />
(iblich. Wie bereits erwahnt, hat ind aufierhalb des Rahmens separabler metrischer<br />
Raume nur geringe Bedeutung. Fiir Ind gilt der Unterraumsatz nur<br />
beziiglich abgeschlossener Unterraume, wie E. CECH in [Cech 1932] gezeigt<br />
hat. Der Summensatz fiir abzahlbare abgeschlossene Uberdeckungen ist fiir<br />
n > 0 falsch, sofern Ind betrachtet wird, was sich aus einem Beispiel von O. V.<br />
LOKUCiEVSKii aus dem Jahre 1949 ergibt ([Lok 1949]). Seine Giiltigkeit fiir<br />
n = 0 ist implizit in CECHS Arbeit [Cech 1933] enthalten und wurde in [Ved<br />
1939] von N. VEDENISSOFF exakt formuliert. Der Produktsatz ist fiir Ind ebenfalls<br />
falsch, denn V. V. FiLiPPOV hat in [Fil 1972] kompakte Hausdorff-Raume<br />
X und Y angegeben mit ind X = Ind X = 1, ind Y = Ind Y = 2 und Ind<br />
{X xY) > ind {X xY) > 4. Gegeniiber Ind hat dim etwas bessere Eigenschaften:<br />
Der Unterraumsatz gilt zwar auch nur fiir abgeschlossene Unterraume (s.<br />
[Cech 1933]), aber es gelten Summensatze, und zwar sowohl fiir abgeschlossene<br />
Uberdeckungen (s. [Cech 1933]) als auch fiir lokal-endliche abgeschlossene<br />
Uberdeckungen, wie unabhangig voneinander K. MORITA ([Mor 1950]) und<br />
M. KATETOV ([Kat 1952]) gezeigt haben. Der Produktsatz gilt allerdings auch<br />
fiir dim nicht allgemein, d. h. unter der alleinigen Annahme, dafi mit X und Y<br />
auch XxY T4-Raum ist; denn M. L. WAGE ([Wag 1978]) hat ein Beispiel eines<br />
T4-Raumes Z angegeben derart, dafi Z x Z T4-Raum ist sowie Ind Z = 0 und<br />
846
Ind {Z X Z) > 0 sind, woraus sich die Behauptung sofort ergibt, da fiir jeden<br />
r4-Raum Z nach N. VEDENISSOFF ([Ved 1939]) die Aussagen Ind Z = 0 und<br />
dim Z = 0 aquivalent sind. Unter gewissen Zusatzbedingungen ist die Ungleichung<br />
dim(X x F) < dimX + dimF allerdings richtig, z. B. wenn X kompakt<br />
und Y parakompakt ist, was MORITA in [Mor 1953] bewiesen hat. Spater sind<br />
weitere Bedingungen an nicht-leere T4-Raume X und Y als hinreichend erkannt<br />
worden:<br />
(1) X X Y ist T4 und wenigstens ein Faktor ist kompakt [[Mor 1973], [Fil<br />
1980] (angekiindigt in [Fil 1973])].<br />
oder<br />
(2) X xY ist T4 und X metrisierbar [[Fil 1980] (angekiindigt in [Fil 1973])<br />
und [Pas 1981] (angekiindigt in [Pas 1973])].<br />
Ersetzt man in der Definition von dim endliche offene Uberdeckungen durch beliebige<br />
offene Uberdeckungen, so erhalt man die Dimensionsfunktion Dim, die<br />
grofie Uberdeckungsdimension genannt wird, wahrend dim auch kleine Uberdeckungsdimension<br />
heifit. Fiir parakompakte topologische Raume stimmen dim<br />
und Dim iiberein wie C. H. DOWKER ([DOW 1947]) gezeigt hat. Die Uberdeckungsdimensionen<br />
dim und Dim sind aber nicht nur fiir topologische Raume<br />
untersucht worden, sondern auch fiir andere Raumklassen. So geht J. ISBELL<br />
in seinem Buch iiber uniforme Raume ([Isb 1964]) auf beide Uberdeckungsdimensionen<br />
ein, wobei er dim mit Sd und Dim mit Ad bezeichnet. Er kommt zu<br />
folgenden bemerkenswerten Ergebnissen:<br />
(1) Beziiglich 6d und Ad gilt der Unterraumsatz, und dichte Unterraume<br />
haben (beziiglich beider Dimensionsfunktionen) die gleiche Dimension wie<br />
der Ausgangsraum.<br />
(2) Beziiglich Sd und Ad gilt der Summensatz fiir beliebige endliche Uberdeckungen.<br />
(3) Fiir Ad gilt der Produktsatz.<br />
[Unterraume und Produkte sind natiirlich im Rahmen uniformer Raume zu<br />
bilden.]<br />
Auch fiir Verallgemeinerungen uniformer (und topologischer) Raume sind<br />
dim und Dim betrachtet worden, etwa fiir Nearness-Raume ([Her 1976]) oder<br />
semiuniforme Konvergenzraume ([Pre 1999]).<br />
Der Hohepunkt in dem bereits erwahnten Buch von HuREWicz und WALL-<br />
MAN ist die homologische und kohomologische Charakterisierung der Dimension<br />
endlich-dimensionaler separabler metrischer Raume. Dazu sind zwei Punkte<br />
entscheidend:<br />
1. Charakterisierung der Dimension durch Fortsetzung stetiger Abbildungen<br />
in Spharen,<br />
847
2. Algebraisch-topologische Charakterisierung der Fortsetzbarkeit stetiger<br />
Abbildungen in Spharen (unter geeigneten Voraussetzungen).<br />
Punkt 2. ist als HoPFscher Fortsetzungssatz bekannt (s. [Hopf 1933]), wahrend<br />
Punkt 1. fiir kompakte metrische Raume von HuREWicz ([Hur 1935]) formuliert<br />
worden ist und im oben genannten Buch fiir separable metrische Raume<br />
bewiesen worden ist. Die verwendete Homologie- bzw. Kohomologietheorie ist<br />
die CECHsche.<br />
Im Rahmen topologischer Raume liest sich 1. wie folgt:<br />
„Fiir normale topologische Raume X ist dimX < n (n > 0) genau dann, wenn<br />
fiir jeden abgeschlossenen Unterraum A von X und jede stetige Abbildung<br />
f : A —^ S^ von A in die n-Sphare AS"^ eine stetige Fortsetzung F : X -^ S'^<br />
von / auf X existiert."<br />
Das haben unabhangig voneinander E. HEMMINGSON ([Hem 1946]), P. ALEX-<br />
ANDROFF ([Ale 1947]) und C. H. DOV^KER ([DOW 1947]) bewiesen. Beziiglich<br />
der Giiltigkeit des HoPFschen Fortsetzungssatzes fiir eine moglichst grofie Klasse<br />
topologischer Raume ist die CECHsche Kohomologie besser geeignet als die<br />
CECHsche Homologie: Unter Verwendung der CECHschen Kohomologietheorie<br />
mit ganzzahligen Koeffizienten ist der HoPFsche Fortsetzungssatz fiir parakompakte<br />
topologische Raume giiltig; beschrankt man sich bei der Konstruktion der<br />
CECHschen Kohomologiegruppen allerdings auf endliche offene Uberdeckungen,<br />
so gilt der HoPFsche Fortsetzungssatz auch fiir normale topologische Raume<br />
(s. [Dow 1947]).<br />
Fiir parakompakte topologische Raume gilt dann in Analogic zum Procedere<br />
bei HUREWICZ/WALLMAN ([HW 1941]) der folgende Satz:<br />
„Ist X ein parakompakter topologischer Raum mit endlicher kleiner Uberdeckungsdimension,<br />
so gilt dimX < n genau dann, wenn fiir jede ganze Zahl<br />
m > n 4- 1 und jeden abgeschlossenen Unterraum A von X die m-te relative<br />
CECHsche Kohomologiegruppe (mit ganzzahligen Koeffizienten) H^ (X, ^4)<br />
gleich null ist."<br />
Bei Beschrankung der relativen CECHschen Kohomologiegruppen auf endliche<br />
offene Uberdeckungen gilt obiger Satz auch fiir normale topologische<br />
Raume, wie Y. KODAMA ([Kod 1968]) gezeigt hat. Dariiberhinaus lafit er sich<br />
auf normale Nearness-Raume, die sowohl uniforme Raume als auch normale<br />
symmetrische topologische Raume verallgemeinern, ausdehnen (s. [Pre 1984]),<br />
wobei abgeschlossene Unterraume durch beliebige Unterraume, die im Rahmen<br />
der Theorie der Nearness-Raume gebildet werden, zu ersetzen sind, und<br />
CECHsche Kohomologiegruppen auf endliche uniforme Uberdeckungen zu beschranken<br />
sind.<br />
Die kohomologische Charakterisierung der kleinen Uberdeckungsdimension<br />
fiihrte schliefilich zur Entwicklung der kohomologischen Dimensionstheorie, wobei<br />
auch CECHsche Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in einer abelschen<br />
Gruppe G (anstelle der additiven Gruppe Z der ganzen Zahlen) zugelassen werden.<br />
Die kohomologische Dimension c— Dim^ X eines topologischen Raumes<br />
X mit Koeffizienten in einer festen abelschen Gruppe G 7^ 0 ist definiert durch:<br />
848
CDi) c— DwciG^ = — 1 genau dann, wenn X = 0 ist,<br />
CD2) c- DimcX < n, n = 0,1 • • •, falls F^(X, ^; G) = 0 fiir jede ganze Zahl<br />
m > n + 1 und jeden abgeschlossenen Unterraum A von X,<br />
CDs) c— DimcX = n, falls c— DimcX < n und c— DiniG-^ > n — 1,<br />
CD4) c— DimcX = +00, falls c— DimcX > n iiir n = — 1,0,1, • • •.<br />
Auch fiir verniinftige Raume stimmt die kohomologische Dimension nicht mit<br />
der kleinen Uberdeckungsdimension dim iiberein, da A. N. DRANISNIKOV in<br />
[Dra 1988] einen kompakten metrischen Raum X angegeben hat mit c— Dim^; X<br />
= 3 und dimX = +00.<br />
Das zeigt insbesondere, dafi bei der oben angegebenen kohomologischen Charakterisierung<br />
von dim auf die Voraussetzung der Endlichdimensionalitat nicht<br />
verzichtet werden kann. Weitere kohomologische Dimensionsfunktionen sind<br />
studiert worden. Einen Uberblick dariiber erhalt der interessierte Leser durch<br />
den von Y, KODAMA verfaBten Anhang zum Buch von K. NAGAMI ([Na 1970])<br />
liber Dimensionstheorie.<br />
Schliefilich hat sich noch eine transfinite Dimensionstheorie entwickelt, die<br />
das Ziel verfolgt, den Grad der Unendlichdimensionalitat zu erfassen. Alle<br />
drei Dimensionsfunktionen ind, Ind und dim sind auf den transfiniten Fall<br />
libertragen worden, und zwar die kleine transfinite Dimension trind durch<br />
W. HuREWicz ([Hur 1928]), die grofie transfinite Dimension trInd durch Ju. M.<br />
SMIRNOV ([Smi 1959]) und die transfinite Uberdeckungsdimension trdim durch<br />
P. BORST ([Bor 1988]). Dabei liegen die Werte der transfiniten Dimensionsfunktionen<br />
in der Klasse der Ordinalzahlen. Naheres findet der interessierte Leser<br />
in dem Buch Theory of Dimensions - Finite and Infinite von R. ENGELKING<br />
([Eng 1995]).<br />
Literatur<br />
[Ale 1926] ALEXANDROFF, P.: Simpliziale Approximationen in der allgemeinen<br />
Topologie. Math. Annalen 96 (1926), 489-511.<br />
[Ale 1929] ALEXANDROFF, P.: Bemerkung zu meiner Arbeit „Simpliziale Approximationen<br />
in der allgemeinen Topologie'^, Math. Annalen 101 (1929),<br />
452-456.<br />
[Ale 1947] ALEXANDROFF, P.: On the dimension of normal spaces. Proc.<br />
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[Bol 1948] BOLZANO, B.: Uher Haltung, Richtung, Kriimmung und Schnorkelung<br />
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In: Spisy Bernarda Bolzano^ Vol. 5: Geometricke prace, ed. J. VOJTECH,<br />
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849
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130 (1988), 1-25.<br />
[Bro 1911] BROUWER, L. E. J.: Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl.<br />
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[Bro 1913] BROUWER, L.E. J.: Uber den naturlichen Dimensionsbegriff.<br />
Journal fiir die reine und angew. Math. 142 (1913), 146-152.<br />
[Cech 1932] CECH, E.: Sur la dimension des espaces parfaitement normaux.<br />
Bull. Intern. Acad. Tcheque Sci. 33 (1932), 38-55.<br />
[Cech 1933] CECH, E.: Pfispevek k theorii dimense. Casopis Pest. Mat. Fys.<br />
62 (1933), 277-291. (Pranzosische Ubersetzung: E. CECH, Topological<br />
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[Dow 1947] DOWKER, C.H.: Mapping theorems for non-compact spaces.<br />
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[Dra 1988] DRANISNIKOV, A. N.: On a problem of P. S. Alexandroff. Math.<br />
Sbornik 135 (1988), 551-557 (- Math. USSR-Sb. 63 (1989), 539-545).<br />
[ES 1992] ENGELKING, R.; SIEKLUCKI, K.: Topology. A Geometric Approach,<br />
Berlin 1992.<br />
[Eng 1995] ENGELKING, R.: Theory of Dimensions - Finite and Infinite,<br />
Heldermann, Lemgo 1995.<br />
[Fil 1972] FiLlPPOV, V. V.: On the inductive dimension of the product of<br />
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[Fil 1973] FiLiPPOV, V. v.: On the dimension of normal spaces. Soviet Math.<br />
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[Fil 1980] FiLlPPOV, V.V.: On the dimension of products of topological<br />
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[Hil 1927] HiLGERS, A.: Bemerkung zur Dimensionstheorie. Fund. Math. 28<br />
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[Hopf 1933] HOPE, H.: Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen<br />
Polyeder auf die n-dimensionale Sphdre. Comm. Math. Helvetici 5 (1933),<br />
39-54.<br />
850
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Proc. Akad. Amsterdam 31 (1928), 916-922.<br />
[Hur 1930] HuREWiCZ, W.: Uber Einbettung separabler Rdume in gleichdimensionale<br />
kompakte Rdume. Monatshefte fiir Mathematik und Physik<br />
37 (1930), 199-208.<br />
[Hur 1933] HuREWiCZ, W.: Uber die Abbildungen von endlich-dimensionalen<br />
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Akad. Wiss., Phys.-Math. Klasse 1933, 754-768.<br />
[Hur 1935] HuREWiCZ, W.: Uber Abbildungen topologischer Rdume auf die<br />
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[HW 1941] HUREWICZ, W.; WALLMANN, H.: Dimension Theory. Princeton<br />
1941.<br />
[Isb 1964] ISBELL, J.R.: Uniform spaces. Providence (RI) 1964.<br />
[Kat 1952] KATETOV, M.: Uber die Dimension von nicht separablen Rdumen<br />
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851
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Zweite Mitteilung: Uber umfassendste n-dimensionale Mengen. Proc. Akad.<br />
Amsterdam 29 (1926), 1125-1128.<br />
[Men 1926b] MENGER, K.: Uber die Dimension von Punktmengen IL Monatshefte<br />
fiir Math, und Physik 34 (1926), 137-161.<br />
[Men 1928] MENGER, K: Dimensionstheorie, Teubner, Leipzig 1928.<br />
[Mor 1950] MORITA, K.: On the dimension of normal spaces IL Journal of<br />
Math. Soc. Japan 2 (1950), 16-33.<br />
[Mor 1953] MORITA, K.: On the dimension of product spaces. Amer. Journal<br />
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[Mor 1954] MORITA, K.: Normal families and dimension theory for metric<br />
spaces. Math. Annalen 128 (1954), 350-362.<br />
[Mor 1973] MORITA, K.: On the dimension of the product of Tychonoff<br />
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[Na 1970] NAGAMI, K.: Dimension Theory, New York 1970.<br />
[Nag 1965] NAGATA, J.: Modern Dimension Theory, Groningen und Amsterdam<br />
1965.<br />
[Nob 1931] NOBELING, G.: Uber eine n-dimensionale Universalmenge im<br />
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[Pas 1973] PASYNKOV, B. A.: On the dimension of products of normal spaces.<br />
Soviet Math. Dokl. 14 (1973), 530-533.<br />
[Pas 1981] PASYNKOV, B. A.: Factorization theorems in dimension theory.<br />
Russian Math. Surveys 36 (1981), no. 3, 175-209.<br />
[Pea 1890] PEANO, G.: Sur une courbe qui remplit toute une aire plane.<br />
Math. Annalen 36 (1890), 137-160.<br />
[Poi 1905] PoiNCARE, B..: La valeur de la science. Gauthier-Villars, Paris<br />
1905.<br />
[PT 1931] PONTRJAGIN, L.; TOLSTOWA, G.: Beweis des Menger'schen Einbettungssatzes.<br />
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[Pre 1984] PREUSS, G.: A cohomological characterization of dimension for<br />
normal nearness spaces. In: Categorical Topology, Proc. Toledo 1983 (eds.<br />
H.L. BENTLEY, H. HERRLICH, M. RAJAGOPALAN, H. WOLFF), Sigma<br />
Series in Pure Mathematics 5 (1984), Heldermann, Berlin.<br />
852
[Pre 1999] PREUSS, G.: Higher separation axioms, paracompactness and dimension<br />
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(1999), 321-335.<br />
[Roy 1962] ROY, P.: Failure of equivalence of dimension concepts for metric<br />
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[Smi 1959] SMIRNOV, JU.M.: On universal spaces for certain classes of<br />
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Math. 23 (1959), 185-196. Engl. Ubers. in Amer. Math. Soc. Transl.<br />
Series 21 (1962), 35-50.<br />
[Tob 2006] TOBIES, R.: Biographisches Lexikon in Mathematik promovierter<br />
Personen an deutschen Universitdten und Technischen Hochschulen WS<br />
1907/08 bis WS 1944/45. Rauner-Verlag, Augsburg 2006.<br />
[Turn 1926] TuMARKiN, L. A.: Beitrag zur allgemeinen Dimensionstheorie.<br />
Mat. Sbornik 33 (1926), 57-86.<br />
[Ury 1922] URYSOHN, P.: Les multiplicites Cantoriennes. C.R. Acad. Paris<br />
175 (1922), 440-442.<br />
[Ury 1925] URYSOHN, P: Memoire sur les multiplicites Cantoriennes. Fund.<br />
Math. 7 (1925), 30-137.<br />
[Ury 1926] URYSOHN, P.: Memoire sur les multiplicites Cantoriennes (suite).<br />
Fund. Math. 8 (1926), 225-359.<br />
[Ved 1939] VEDENISOFF, N.: Remarques sur la dimension des espaces topologiques.<br />
(Russisch, Franz. Zusammenfassung). Moskov. Gos. Univ., Uchenye<br />
Zap. 30 (1939) (Mat. 3), 131-140.<br />
[Wag 1978] WAGE, M. L.: The dimension of product spaces. Proc. Nat. Acad.<br />
Sci. USA 75 (1978), 4671-4672.<br />
853
NL HAUSDORFF : Kapsel 31: Fasz. 121<br />
Analysis situs<br />
Hs. Ms. - [Bonn, Greifswald], 2.3.1912, 30.5.1915, 4.1. und 19.11.1916. - 22<br />
Blatt. Abgedruckt sind hier BU. 17-22.<br />
4/1 16<br />
Die Invarianz der Dimensionenzahl, nach H. Lebesgue, Sur la non-applicabilite<br />
•••, Math. Ann. 70 (1911).<br />
Der folgende Satz muss m. E. einen rein arithmetisch-combinatorischen Beweis<br />
zulassen: Man bilde ein quadratisches Schema von (natiirHchen) Zahlen<br />
pik {i,k = 1,2,..., g') der art, dass keine Zahl zugleich in der ersten und<br />
letzten Zeile, keine zugleich in der ersten und letzten Spalte auftritt. Dann<br />
giebt es gewiss zwei benachbarte Zeilen i, i + 1 und zwei benachbarte Spalten<br />
k,k-{-l, deren Durchschnitt mindestens drei verschiedene Zahlen enthalt (von<br />
Pik,Pik-{-i,Pi-^ik,Pi-\-ik-\-i sind mindestens drei verschieden).<br />
Ebenso: man bilde ein n-dimensionales Schema von (natiirlichen) Zahlen<br />
Piii2---in i^cx = 1^2, ...,g) derart, dass keine Zahl zugleich in der ersten und<br />
letzten Schicht, fiir irgend einen Index, auftritt. (D. h. es ist pii2..An ¥" Pqh2...hn<br />
fiir alle 12 .. .in,h2 .. .hn] ebenso Pi^ii^...in 7^ Ph',qh3...hr^ ^sw.) Dann giebt es<br />
mindestens zwei benachbarte Schichten, fiir jeden Index, deren (aus 2^ TAifern<br />
bestehender) Durchschnitt mindestens n-\-l verschiedene Zahlen enthahlt.<br />
Bl. 18 I Geometrisch ausgedriickt: man theile einen n-dimensionalen Wiirfel in q^<br />
Theilwiirfel, denen man beliebige Ziffern zuordne. Keine Ziffer soil zugleich in<br />
der ersten und letzten Schicht (parallel einer (n—l)-dimensionalen Wiirfelseite)<br />
vorkommen. Dann giebt es zwei benachbarte Schichten, parallel jeder Seite, die<br />
sich in 2'^ Wiirfeln mit mindestens n + 1 verschiedenen Ziffern schneiden.<br />
Diesen Satz formen wir so um: Die verwendeten Ziffern seien 1,2,... ,p; Wi<br />
sei die Menge der Wiirfel, denen die Zahl 1 zugeordnet ist, usw. Der ganze<br />
Wiirfel, mit der Seitenlange 1, sei VF; dann ist<br />
^=6(W^i,W^2,...,Wp);<br />
jedes Wk besteht aus Theilwiirfeln von der Seitenlange ^; keine zwei verschiedenen<br />
Wi, Wk haben innere Punkte gemein. (Wir rechnen alien Wiirfeln ihre<br />
Begrenzung zu.) Die Projection jedes Wk auf eine Coordinatenachse habe<br />
hochstens die Lange ^^. Dann existirt mindestens ein Punkt, der mindestens<br />
n -f 1 von den Mengen Wk angehort. (Namlich der Mittelpunkt jenes Doppelwiirfels<br />
von 2^ Theilwiirfeln.)<br />
Die Voraussetzung, dass die Wk keine inneren Punkte gemein haben, ist<br />
entbehrlich. Wenn dies der Fall sein soUte, sei Vk = ©(^^1,^2,..., Wk) und<br />
Bl. 19 Uk die Menge der Theilwiirfel, die zu 14, aber nicht zu Vk-i \ gehoren. (Vi =<br />
Wi,Ui = Vi). Ev.kann Uk = 0 sein. Die Uk bestehen dann paarweise aus<br />
verschiedenen Wiirfeln; es giebt also einen Punkt, der mindestens n + 1 von<br />
den Uk, also wegen Uk C Wk, mindestens n + 1 von den Wk angehort.<br />
854
Weiter: W sei als Summe von p abgeschlossenen Mengen dargestellt<br />
W = &{F,,F2,...,Fp),<br />
deren Breite (parallel irgend einer Coordinatenachse) kleiner als 1 (Wiirfelseite)<br />
ist. Dann haben mindestens n + 1 von den Fk einen gemeinsamen Punkt.<br />
Die Dimensionen der Fk parallel einer Achse seien ^ d < 1. Man wahle<br />
die natiirliche Zahl q > j^^, also d < ^^, und theile W in q'^ Theilwiirfel<br />
von der Seitenlange ^, Wk sei die Summe der Wiirfel, die (im Innern oder<br />
auf dem Rande) einen Punkt von Fk enthalten. Wk kann, fiir keine Coordinate,<br />
von der ersten und letzten Schicht Wiirfel enthalten, da sonst Fk mindestens<br />
die Breite ^^ hatte. Also schneiden sich mindestens n + 1 von den Wk<br />
in einem Punkte. - Lassen wir nun q die ganzen Zahlen > j ^ durchlaufen<br />
und bezeichnen Wk durch Wk{q). Es ist 3) Wk{q) = Fk, und zwar absteigend<br />
Q<br />
Wk{q) 2 Wk{q + 1). Nun haben, fiir jedes g, gewisse n + 1 von den Mengen<br />
Wk{q) einen nicht-verschwindenden Durchschnitt; | unter den endlich vielen Bl. 20<br />
((n+i)) ^ + 1-gliedrigen Combinationen der Wk muss es also mindestens eine<br />
geben, die fiir unendlich viele q einen Durchschnitt D 0 hat, etwa<br />
1){W,iq),W2{q),...,Wn+iiq))^0<br />
fiir unendlich viele q. Dann folgt aus dem Cantorschen Durchschnittssatz, dass<br />
D(Fi,F2,...,F,+i)D0.<br />
Nunmehr folgt:<br />
I. A sei eine beschrdnkte Menge im n-dimensionalen Raum und habe innere<br />
Punkte. Bei jeder Zerlegung A = & (Ai, ^42,..., Ap) in relativ abgeschlossene<br />
Mengen von hinreichend kleinen Dimensionen haben mindestens n + 1 von<br />
diesen Mengen einen gemeinsamen Punkt<br />
A enthalte einen Wiirfel W von der Seitenlange / (parallel den Achsen).<br />
Nimmt man dann die Breiten der Ak kleiner als / an, so bestimmt jene Zerlegung<br />
auch eine solche des Wiirfels W = 6(Fi,F2,... ,Fp) in relativ, also absolut<br />
abgeschlossene Mengen {Fk = ^{W^Aka)) von der Breite < Z, und mindestens<br />
n + 1 von den Fk, also auch von den ^4^ haben gemeinsame Punkte {Fk C<br />
2)(A, Aka) = Ak). [Aka ist der Abschlufi von Ak - die Verf.]<br />
Andererseits kann man aber auch jede Menge A des n-dimensionalen Raumes<br />
so in relativ abgeschlossene Mengen von beliebiger Kleinheit zerlegen, dass nicht<br />
mehr als n -h 1 dieser Mengen gemeinsame Punkte haben. | Man kann namlich BL 21<br />
den ganzen n-dimensionalen Raum in dieser Weise zerlegen, indem man die<br />
Schichten einer Wtirfeltheilung passend verschiebt. Gehen wir bei der Ebene<br />
von einem quadratischen Gitter mit der Seitenlange 1 aus, lassen dann eine der<br />
2/-Achse parallele Schicht unverandert, verschieben die nachstfolgende um S {S<br />
keine ganze Zahl; in der Figur S = ^), die abermals folgende um 25, die vorhergehende<br />
um —S, die vorvorletzte um —26 u. s. f., so haben, statt 4, nur noch<br />
855
3 Quadrate gemeinsame Punkte. Im Raume (die z-Achse JL zur Papierebene)<br />
verschiebe man erst die zur yz-Ehene parallelen Schichten parallel der y-Achse<br />
wie oben, dann verschiebe man die der xy-Ehene parallelen Schichten so, dass<br />
bei der Projection auf die xy-Ebene die verschobenen Quadratseiten ins Innere<br />
der unverschobenen fallen, u. s. w. Man kann dies mit beliebiger Kleinheit<br />
-^ V<br />
i<br />
U<br />
4i_J<br />
der Wiirfelseiten machen, also den n-dimensionalen Raum E = (3(Fi, F2,...)<br />
darstellen, wo die Fn von beliebiger Kleinheit (Breite < I) sind und nicht mehr<br />
als n + 1 einen Schnittpunkt haben. Fiir eine beschrankte Menge A giebt dies<br />
eine Zerlegung in endlich viele relativ abgeschlossene Mengen. Daraus folgt der<br />
Beweis fiir die Invarianz der Dimensionenzahl:<br />
Bl. 22 Eine m-dimensionale Punktmenge B kann nicht ein eindeutiges, \ stetiges Bild<br />
einer n-dimensionalen (n > m) Punktmenge A mit inneren Punkten sein.<br />
Sonst enthielte A einen Wiirfel W von n Dimensionen; beschranken wir die<br />
Abbildung auf ihn oder setzen A = W. B ware, als stetiges Bild von A, abgeschlossen<br />
und beschrankt; A auch stetiges Bild von B . Wir konnen B in endlich<br />
viele (relativ) abgeschlossene Mengen B = &{Bi,.. .,Bp) zerlegen der art, dass<br />
die Dimensionen ihrer Bilder Ak beliebig klein sind (gleichmassige Stetigkeit in<br />
einer beschrankten abgeschlossenen Menge), wahrend nur m + 1 von den Bk<br />
einen Schnittpunkt haben. Dem entspricht eine Zerlegung A = &{Ai,..., Ap),<br />
bei der die Ak abgeschlossen sind und nur m + 1 (< n + 1) von ihnen einen<br />
Schnittpunkt haben, was als unmoglich erkannt wurde.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 35: Fasz. 395<br />
Zum „Pflastersatz".<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 7.11. 1930. 4 BU.<br />
Zum „Pflastersatz''. 7.11.30<br />
Die Ebene lasst sich mit (abgeschlossenen) Quadratflachen von der Seite 1 so<br />
bedecken, dass hochstens drei Quadrate einen Punkt gemeinsam haben (s. Fig.)<br />
Wir woUen zeigen, dass sich der n-dimensionale Raum Rn mit (abgeschlosse-<br />
856
nen) n-dimensionalen Wiirfeln von der Seite 1 so bedecken lasst, dass hochstens<br />
n + 1 Wiirfel einen Punkt gemeinsam haben. Wir stellen die Punkte x des Rn<br />
durch rechtwinklige Koordinaten dar: x = (xi, X2,..., Xn); a = (ai,..., a^)<br />
durchlaufe alle Systeme von n ganzen Zahlen und W{a) bedeute den Wiirfel<br />
von der Seitenlange 1, der durch die Ungleichungen<br />
ai ^ xi ^ ai + 1<br />
ai<br />
a2 - S X2<br />
ai<br />
S a2 - — 1<br />
a2 ai a2 ai<br />
5 +<br />
\dm I = 5+'<br />
1<br />
2m-Z+l •)m-l ><br />
S57<br />
di-i di<br />
2^1-1+1<br />
•>m—1<br />
2m-l<br />
= 1<br />
Bl. 3
entgegen der Forderung (1).<br />
Demnach zerfallen die d ^ 0 in solche (positive), die ausser NuUen lauter<br />
Einsen haben, und solche (negative), die ausser Nullen lauter Elemente —1<br />
haben. Fiir ein positives d sei A die Menge der m, fiir die dm = '^'i fur ein<br />
negatives d sei B die Menge der m, fiir die dm = —1; A und B sind nichtleere<br />
Teilmengen von {1,2,..., n}.<br />
Je zwei verschiedene Mengen A, A* sind vergleichbar, d. h. Ac A* oder<br />
yl D A*. Andernfalls gabe es ein Z, das zu A und nicht zu A* gehort, und ein<br />
m ^ l^ das zu A* und nicht zu A gehort. Fiir die entsprechenden d, d* ware<br />
di = 1, dm = 0, d'l = 0, d^ = 1; dann wiirde aber d — d* weder ein positives<br />
Bl. 4 noch negatives d sein {di — d^ = 1, dm — d"!^ = —1)\<br />
Dasselbe gilt von den Mengen B.<br />
Jedes A ist zu jedem B disjunkt. Denn sonst hatten wir ein gemeinsames<br />
Element m und ein d, d* mit d^ = 1, d^ = — 1; dann wiirde d — d* kein d sein<br />
{dm-d*^ = 2).<br />
Demnach giebt es ein grosstes A mit p Elementen, ein grosstes B mit q<br />
Elementen, wobei p -h q ^ n. Und weiter giebt es wegen der Vergleichbarkeit<br />
hochstens p Mengen A, hochstens q Mengen B, zusammen hochstens p -\- q,<br />
also hochstens n Elemente d ^^ 0; zusammen mit dem Element d = 0 hochstens<br />
n+1. Q.e. d.<br />
Einfacher: man zerlege Rn simplizial und nehme die baryzentrischen Sterne<br />
dieser Zerlegung: mehr als n + 1 dieser Sterne haben keinen Punkt gemein.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 36: Fasz. 458<br />
Schwach n-dimensionale Mengen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 7.12.1933. - 8 BU.<br />
Schwach n-dimensionale Mengen. 7.12.33<br />
(Nach St. Mazurkiewicz, Sur les ensembles de dimension faible. Fund. Math.<br />
13 (1929), S. 211-217)<br />
Ist M separabel, dimM = n, so ist die Menge M'^ (der hochste Dimensionsteil<br />
von M) der Punkte x von M, wo dim^ M = n, entweder (n — 1)- oder<br />
n-dimensional, in welchem Falle M schwach oder stark n-dimensional ist.<br />
Wir nehmen den Satz als richtig an:<br />
I. Ist G ein Gebiet (offene, zusammenhangende Menge) des (n+l)-dimensionalen<br />
Euklidischen Raumes En-\-i, A eine hochstens (n — l)-dimensionale Teilmenge<br />
858
von G, so ist G — A ein Halbkontinuum, d. h. je zwei Punkte von G — A liegen<br />
in einem (kompakten) Kontinuum C G — A.<br />
Nun stellen wir die Punkte des En+i mittels rechtwinkliger Koordinaten<br />
dar; x — (^i, •. • ,^n) sei die Projektion von y auf den En- Wir schreiben entsprechend<br />
y = (x, ^) | und es sei B = {A, L) die Menge der Punkte y — {x, ^) Bl. 2<br />
mit X e A, ^ e L, wo A eine Menge des En und L eine Menge reeller Zahlen<br />
ist (Produkt).<br />
Insbesondere sei P der Einheitswiirfel (0 < ^i < 1,..., 0 < ^n ^ 1) des En,<br />
Q = (P,/) der des En-^i, wo / das Intervall 0 < ^ < 1 ist.<br />
0 1<br />
Es sei 1 > /3i > ai > /?2 > 0:2 > • • • > 0, /3fc -^ 0, a^ ^^ 0. Wir haben dann<br />
eine Folge disjunkter Intervalle Ik — [ak->Pk] von obenstehender Anordnung;<br />
liberdies sei max(/5A: — ock) < ^.<br />
Ferner teilen wir den Wiirfel P durch Kantenhalbierung inN = 2^ Teilwiirfel,<br />
die wir irgendwie zu Pi, P2, • • • ? PN numerieren und deren Numerierung wir mit<br />
der Periode N fortsetzen (PAT+I = PI,PN+2 = P25 • • •)• Sodann bilden wir die<br />
Folge der Quader Qk = (Pk^h)- Sie sind disjunkt, in Q (sogar mit 0 < ^ <<br />
1) enthalten; ihre Kanten sind hochstens < |; zu jedem Pi (i = 1,...,A/')<br />
giebt es unendlich | viele Qk, deren Projektion auf En gerade Pi ist, namlich B1.3<br />
Qi, Qi+N, Qz+2iv, • • • • Ftir n = 1 veranschaulicht es die Figur. Wenn die Folge<br />
der Ik und die Numerierung der Pi gewahlt ist, ist Qk eindeutig bestimmt. Wir<br />
schreiben Qk — ^k{Q) und iibertragen das vermittelst linearer Transformation<br />
auf irgend einen achsenparallelen Quader<br />
Q' ' Pi < ^i < 0^1, . . . , Pn < C < ^n, P < ^' < Cr ,<br />
indem wir durch ^[ = pi-\- (ai — pi)^i usw. Q auf Q' abbilden; der Quader Q^,<br />
der hierdurch aus Qk entsteht, werde als Q'^ = ^k{Q') bezeichnet. Die Kantenlange<br />
von Q^ ist hochstens die halbe Kantenlange von Q'. Dies ermoglicht<br />
uns, den Prozess fortzusetzen. Fiir irgend eine Folge K>= {ki^k2,.. •) natiirlicher<br />
Zahlen bilden wir<br />
Qki = ^kiiQ), Qkik2 = ^k2{Qki), Qkik2k3 = ^k3{Qkik2)l • • •<br />
859
Diese Quader Qk^ 13 Qkik2 ^ * * * ? deren Durchmesser nach 0 konvergieren,<br />
haben einen einzigen Punkt<br />
^K = QkiQkik2Qkik2k3 ' ' '<br />
B1.4 I gemein; B sei die Menge aller dieser b^,, wofiir wir offenbar auch<br />
k\ k\k2 kik2ks<br />
schreiben konnen.<br />
Es sei Fi die (n — l)-dimensionale Begrenzung von Pi im Raum En,<br />
N<br />
F=&Fi und (^(Q) = (F,0)<br />
1<br />
die Menge der Punkte y = {x, 0) (d. h. mit ^ = 0) fiir x e F. Wie zuvor werde<br />
dies auf jeden Quader Q' libertragen. Wir setzen sodann<br />
c = ^{Q)+Y. ^(^^i) + Y. ^(^^1^2) + • • • •<br />
k\ k\k2<br />
Da alle diese Summanden abgeschlossen und (n — l)-dimensional sind, ist C<br />
(n — l)-dimensional. Nunmehr sei A = B -\- C und wir woUen diese Menge als<br />
schwach n-dimensional nachweisen.<br />
(1) Fiir 6 G 5 ist dim^yl = 0 (also erst recht dim^^ = 0 und demnach<br />
B1.5 dimB==0).|<br />
Zunachst ist klar, dass in ^{Q) + Ylk Qki 2 A jeder Summand Qki sowohl<br />
abgeschlossen als offen ist, also ist AQki in A abgeschlossen und offen.<br />
In (p{Qki) + Ylk2 Qkik2 2 ^Qfci ist Qkik2 abgeschlossen und offen, also<br />
AQkiQkik2 = ^Qkik2 in ^Qki (und demnach in A) abgeschlossen und offen.<br />
So fortfahrend sieht man, dass b = b^ in A beliebig kleine abgeschlossene Umgebungen<br />
AQk^, AQk-^k2i • • • hat, also A in 6 nulldimensional ist.<br />
(2) Wir sagen: ein (kompaktes) Kontinuum K C Q durchsetzt Q, wenn K die<br />
beiden Seiten ^ = 0 und ^ = 1 trifft; entsprechend wieder fiir irgend einen<br />
Quader Q'.lstO
? < ^ < 1; die Begrenzung H ist durch ^ = P gegeben. Der Randsatz sagt,<br />
dass jede Komponente von KF die Begrenzung H trifFt; insbesondere giebt die<br />
Komponente, der ein Punkt ^ = 0 von K angehort, ein Kontinuum, welches<br />
den Quader KF durchsetzt, womit die Behauptung fiir den Fall a — {) bewiesen<br />
ist. Eine abermalige Anwendung liefert den allgemeinen Fall.<br />
(3) Wenn das Kontinuum K den Wiirfel Q durchsetzt und ^{Q) nicht triflFt,<br />
so hat K ein Teilkontinuum Ki^ das einen der Quader Qk durchsetzt.<br />
Man wahle 0 < yS < 5{K^ ^{Q)) und betrachte das Intervall P = [0, /?] sowie<br />
den Quader Q' = {P,I')] K hat ein Teilkontinuum K', das Q' durchsetzt. Die<br />
Projektion H von K' auf den Raum En muss dann ganz in einem Teilquader<br />
Pi von P {i = 1,... ,N) liegen; denn hatte H (welches ein Kontinuum ist) mit<br />
zweien von den Pi Punkte gemein, so auch mit deren Begrenzung F^, also mit<br />
I (p{Q) und dann gabe es ein x E H - (p{Q), also ein y = (x,^) mit y E K, 0 < Bl. 7<br />
^ < P] also P > ^ = S{x,y) > S{ip{Q),K) im Widerspruch zur Wahl von p.<br />
Also H C Pi, K' (Z {Pi,r), d.h. K' durchsetzt den Quader (P^,/')- 1st dann<br />
k = i mod N und so gross, dass Ik ^ /', so giebt es ein Teilkontinuum von K',<br />
welches den Quader {Pi, Ik) = (Pk,Ik) = Qk durchsetzt.<br />
(4) Jedes Kontinuum K, das Q durchsetzt, trifft die Menge A.<br />
Wir zeigen: wenn KC = 0, so ist KB D 0.<br />
Aus K • (p{Q) = 0 folgt nach (3): es giebt ein Teilkontinuum Ki C K,<br />
welches den Quader Qk^ durchsetzt. Aus Ki • ^{Qki) = 0 folgt: es giebt ein<br />
K2 C Ki, welches den Quader Qkik2 durchsetzt u. s.w. Es giebt also eine<br />
Folge K = (/ti, A;2, •. •) und eine abnehmende Folge von Kontinua {K D) Ki D<br />
K2 z:> • •' derart, dass Km den Quader Qkik2...km durchsetzt. | Die kompakten Bl.8<br />
absteigenden Mengen KmQkik2...km ^ 0 haben einen gemeinsamen Punkt b^,<br />
der zugleich zu B und zu K gehort.<br />
Aus I. folgt nun, dass dim^ > n. Denn ist G das Gebiet<br />
0
NL HAUSDORFF : Kapsel 42: Fasz. 721<br />
Zur Dimensionentheorie<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 4.6. 1939. - 6 BU.<br />
4/6 39<br />
Zur Dimensionentheorie<br />
X sei separabel; n = 0,l,2, Die folgenden Eigenschaften sind aquivalent:<br />
(a) dim X ^ n.<br />
(fS) Fiir jede in X abgeschlossene Menge P{^ 0) giebt es eine Abbildung f{x)<br />
von X auf P, deren Unstetigkeitspunkte eine Menge D von der Dimension<br />
< n bilden und fiir die f{p)=p {p e P).<br />
(7) Jede stetige Abbildung einer in X abgeschlossenen Menge P auf einen<br />
Raum Y lasst sich zu einer Abbildung von X auf Y erweitern, deren<br />
Unstetigkeitspunkte eine Menge von der Dimension < n bilden.<br />
[Der Satz stammt von G. Poprougenko; vgl. das Zitat bei Kuratowski;<br />
Top. I, p. 213. Fiir n = 0 ist die Abbildung f{x) stetig, P ein „Retrakt"<br />
von X, ebenso die in (7) genannte Abbildung stetig; fiir diesen Fall<br />
vgl. Sierpinski, F. M. 11, lemme S. 118-121; F. M. 14, S. 234; Poprougenko,<br />
F. M. 15, S. 219-221]<br />
a—^p.P sei in X abgeschlossen, S{x) = S{x,P) (unterer Abstand); fiir q G<br />
Q = X — P ist 6{q) > 0, und es sei p{q) ein Punkt von P mit \q —<br />
P{Q)\ < i^(^)- Wir wahlen eine in U (^, ^S{q)) liegende Umgebung U{q)<br />
Bl. 2 mit einer hochstens (n — 1) dimensionalen Begrenzung F{U{q)). \ Dann<br />
ist fiir X ^U{q):<br />
\6(x) - 5{q)\ ^\x-q\< ^
fiir X e Q, woraus hervorgeht, dass f{x) in alien Punkten von P stetig<br />
ist, denn iiii x -^ p ist \x — f{x)\ —> 0, f{x) —^p = /(p).<br />
Ferner ist in der offenen Menge<br />
Vk = Uk-Y,UjCQk<br />
j
wo y eine Menge der Machtigkeit H des Kontinuums durchlauft, giebt es<br />
im Baireschen NuUraum N eine Menge A, von der alle By stetige Bilder<br />
sind. (Sierpinski, F. M. 14, p. 234-36).<br />
Da jeder separable voUstandige Raum stetiges Bild von N ist, ist By<br />
stetiges Bild einer Menge Ay C N. Die Menge A = YH^y^v) = ^{x e<br />
xy<br />
Ay) liegt in (iV, AT); {N,N) ist mit N homoomorph und 0-dimensional.<br />
(Ay^y) = A{N,y) ist in A abgeschlossen, also stetiges Bild von A; Ay<br />
und By ist stetiges Bild von A. Wegen (AT, N) ^ N kann man A auch als<br />
Menge in N (oder in der Menge der irrationalen Zahlen oder als lineare<br />
Bl. 5 Menge) ansehen. \cP = cQ bedeute, dass P stetiges Bild von Q und Q<br />
stetiges Bild von P ist; cP < cQ, dass P stetiges Bild von Q, aber nicht<br />
Q stetiges Bild von P ist. Zu ^^ linearen Mengen Ay giebt es nach dem<br />
Obigen eine lineare Menge A mit cA ^ cAy. Zu jeder Menge A giebt es<br />
eine Menge cC > cA. Denn wenn wir A im Intervall (0,1) und B als<br />
solche Menge in (1,2) annehmen, die von den b^ stetigen Bildern von A<br />
verschieden ist, so sind A und P, weil in C = A-\-B abgeschlossen, stetige<br />
Bilder von C, also cA ^ cC^ cB ^ cC] es kann aber nicht cC ^ cA sein,<br />
woraus cB ^ cA contra hyp. folgen wiirde, also cC > cA. - Man kann<br />
also, wenn (p die kleinste Ordnungszahl der Machtigkeit > H ist, eine<br />
Folge Ao, ..., A^,... (^ <
HausdorfFs Blick auf die entstehende algebraische<br />
Topologie<br />
E. Scholz^<br />
1. Kombinatorische und algebraische Topologie in den 1920er<br />
Jahren<br />
Die algebraischen Methoden der Topologie waren seit POINCARES ersten beiden<br />
Complements de V Analysis Situs (1899/1900) bis weit in die 1920er Jahre auf<br />
eine kombinatorische Charakterisierung der betrachteten Raume angewiesen.<br />
In der Homologietheorie wurde mit Ketten, Zyklen und Randern wie mit Elementen<br />
kommutativer Gruppen gerechnet; der Gruppenaspekt wurde aber bis<br />
zum Beginn der eigentlichen Algebraisierung entweder verdrangt oder bestenfalls<br />
beilaufig erwahnt.^ Fiir endliche Zellenkomplexe (POINCARE) und lineare<br />
simpHziale Komplexe (BROUWER) erfolgte die Berechnung von Betti- und Torsionszahlen<br />
sowie der Fundamentalgruppe mit Standardmethoden der Theorie<br />
der linearen Gleichungssysteme und der Elementarteilertheorie. Man erwartete<br />
die Invarianz dieser numerischen Charakteristika, stiitzte sich dabei aber<br />
auf die ab 1926 (H. KNESER) als Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie<br />
bezeichnete Annahme, dafi je zwei Zellenzerlegungen desselben Raumes<br />
durch Verfeinerungen wechselseitig kombinatorisch ineinander iiberfiihrt werden<br />
konnen. Gegeniiber dem allgemeinen, auf mengentheoretische Methoden<br />
gestiitzten Zugang zum Studium topologischer Raume klaffte zu dieser Zeit<br />
eine kaum iiberbruckbare Kluft.<br />
HAUSDORFF neigte bekanntlich gegeniiber plausiblen geometrischen Erwartungen<br />
zu aufierster Skeptis. Er ging davon aus, dafi in der Mengenlehre und der<br />
allgemeinen Theorie topologischer Raume "schlechthin nichts selbstverstandlich<br />
und das Richtige haufig paradox, das Plausible falsch ist" ([H 1914a], S.V).<br />
Entsprechend wenig wird er von einem von G.NOBELING Mitte der 1930er<br />
Jahre publizierten angeblichen Beweis der Hauptvermutung fiir Mannigfaltigkeiten<br />
gehalten haben, falls er ihn iiberhaupt ernsthaft zur Kenntnis nahm<br />
([Nob 1935]).^ Spatere Arbeiten zeigten (am deutlichsten allerdings erst in den<br />
^Unter Verwendung von Materialien und Hinweisen von F. HIRZEBUCH und E. BRIES-<br />
KORN, denen hierfiir mein herzlicher Dank gilt.<br />
^POINCARE verband das Gruppenkonzept grundsatzlich mit "substitutions" als Objekten.<br />
Die Terminologie "homology group" findet sich zwar bei VEBLEN ([Veb 1922], S. 141), jedoch<br />
nur als Randbemerkung; vgl. [McL 2006].<br />
^Eine Besprechung dieser Arbeit findet sich in HAUSDORFFS Nachlaft nicht. Eine andere<br />
Arbeit von N6BELING (Mathematische Annalen 104 (1930), 71-80) erschien ihm aber als<br />
"ganz fehlerhaft" (NL HAUSDORFF, Fasz.987, Bl. 20). ALEXANDROFF und HOPF erwahnten<br />
N5BELINGS Publikation in der Endredaktion ihres Buches am Jahresende 1935 zuriickhaltend,<br />
keinesfalls zustimmend ([AleHo 1935], S. 152, Anm. 1). N6BELINGS Vortrag auf der Moskauer<br />
Topolgie-Konferenz scheint ihm nicht viel Vertrauen eingebracht zu haben ([Ja 1999c]).<br />
865
1960er Jahren), wie angebracht HAUSDORFFS Vorsicht hinsichtlich solcher Erwartungen<br />
der kombinatorischen Topologie war. J. MiLNOR wies im Jahre 1961<br />
nach, dafi die Hauptvermutung nicht fiir alle Zellenkomplexe gilt, R. KiRBY<br />
und L. SiEBENMANN, dafi sie sogar fiir triangulierte (PL) Mannigfaltigkeiten<br />
der Dimension n > 5 falsch sein kann ([Kui 1999], S.497f.).^<br />
So ist es kaum verwunderlich, dafi HAUSDORFFS Interesse an der klassischen<br />
Analysis Situs bis weit in die 1920er Jahre gering blieb. In einem im Jahr 1940<br />
an seinen ehemaligen Kollegen J. O. MULLER, friiher Privatdozent und Extraordinarius<br />
in Bonn,^ verfafiten Brief, den er zur Zeit einer erneuten Auseinandersetzung<br />
mit dem Invarianzbeweis fiir die simpliziale Homologie metrischer<br />
Raume schrieb, wies HAUSDORFF mit schmunzelnder Selbstironie riickblickend<br />
auf dieses mafiige Interesse hin:<br />
Wissen Sie noch, wie wir in dem Biichelchen von Veblen gemeinsam bis<br />
Seite 2 vordrangen?^<br />
Aus Sicht der strukturell und axiomatisch ausgerichteten "modernen" Mathematik<br />
war der Zustand der algebraischen Methoden in der Topologie um<br />
diese Zeit tatsachlich wenig zufriedenstellend. VEBLENS Buch ([Veb 1922]) berief<br />
sich, ahnlich wie PoiNCAREs Arbeiten, stark auf geometrische Anschauungselemente,<br />
besafi keine geklarten Grundlagen und arbeitete mit einer wenig<br />
ausgepragten AlgebraisierungJ<br />
Anders verhielt es sich mit der kombinatorischen Topologie im eigentlichen<br />
Sinne. Schon DEHN und HEEGARD hatten in ihrem Enzyklopadieartikel [De-<br />
He 1907] eine abstrakte Definition von Komplexen und ihrer kombinatorischen<br />
Aquivalenz gegeben. Wenig spater wies E. STEINITZ auf die Hauptvermutung<br />
(zu diesem Zeitpunkt noch nicht so bezeichnet) als zentralen Baustein fiir eine<br />
systematische immanente Begriindung der kombinatorischen Topologie hin<br />
([Stei 1908]). Durch L. E. J. BROUWERS Arbeiten zur simplizialen Approximation<br />
entstand ab 1911 mit der spater so genannten (PL) (piecewise linear)<br />
Struktur ein gut ausgebauter und folgenreicher geometrischer "Zwillingszweig"<br />
zur abstrakten kombinatorischen Topologie ([BuZi 1999]).<br />
Fiir die im Vergleich relativ zuriickgebliebenen algebraischen Methoden der<br />
Topologie anderte sich die Situation erst ab Mitte der 1920er Jahre, zunachst<br />
durch die Arbeiten von L.ViETORis und W.MAYER in Wien, dann durch<br />
H. HoPF und P. ALEXANDROFF aus EMMY NOETHERS Gottinger Kreis. In den<br />
1930er Jahren wurden diese Impulse auf internationaler Ebene aufgenommen<br />
^In niedrigen Dimensionen, n < 3, ist die Hauptvermutung hingegen richtig, wie im Jahre<br />
1963 von E. H. BROWN bewiesen wurde.<br />
^ J. O. MULLER (1877-1940), 1909 Habilitation Universitat Bonn, 1931-1937 unbesoldeter<br />
Extraordinarius ebendort, wurde die Lehrbefugnis im Wintersemester 1937/38 entzogen, weil<br />
seine Prau aus einer jiidisdien Familie kam. Er starb noch im Jahr 1940 an einer Krebserkrankung.<br />
^Brief an MULLER vom 6.6.1940. Universitatsarchiv Bonn, NL BESSEL-HAGEN, Kapsel<br />
HAUSDORFF.<br />
^In der historischen Literatur hat die interpretationsbediirftige Notation der friihen algebraisierenden<br />
Topologie zu einer Untersuchung der Texte aus semiotischer Sicht angeregt<br />
([Her 1997], [Her 2000]).<br />
866
und fortgefiihrt, insbesondere durch E. CECH in Prag und die junge Generation<br />
der Topologen in Princeton, A. W. TUCKER, N. STEENROD, S. EILENBERG<br />
und andere. In den erstgenannten (Wiener und Gottingen/Moskauer) Arbeiten<br />
wurden algebraische Homologietheorien formuliert, die sich an E. NOETHERS<br />
"mengentheoretischer" (strukturorientierter) Theorie der Ringe und Gruppen<br />
orientierten.^ Erst diese Auffassung ermoglichte es, Homologietheorien auch fiir<br />
allgemeinere Raume zu formulieren als fiir Mannigfaltigkeiten oder geometrische<br />
simpliziale Komplexe.<br />
ViETORis begann in den Jahren 1926/27 mit dem Studium des Zusammenhangs<br />
kompakter metrischer Raume ([Vie 1926], [Vie 1927]). Er startete mit<br />
BROUWERS simplizialen Komplexen, fiihrte unter expliziter Verwendung des<br />
Gruppenbegriffs deren "A;-te Zusammenhangsgruppe" modulo 2 ein und iibertrug<br />
die Konstruktion auf kompakte metrische Raume X mit gegebener Triangulierung.<br />
Dazu betrachtete er (iiber Z oder Z/(2)) gebildete Ketten, erzeugt<br />
von den Simplizes der Triangulierung. Falls diese (beziiglich der Metrik von X)<br />
auschlieftlich aus Simplizes mit Kantenlangen < e bestanden, bezeichnete er<br />
sie als "e-homolog 0" (e-nullhomolog). Zwei in X gebildete Ketten Ci, C2 betrachtete<br />
er als e-homolog, Ci~£C2, falls Ci — C2 im triangulierenden Komplex<br />
homolog zu einer £:-nullhomologen Kette C ist. Dann betrachtete er "Fundamentalfolgen"<br />
Ci, C2, ..., Ci, ... aus Zyklen d mit gegen Null konvergierenden<br />
Kantenlangen, die fiir jedes ^ > 0 bei ausreichend hoher Indexwahl untereinander<br />
e-homolog sind. Solche, wie er formulierte, Vollzyklen bildeten die Zykel<br />
seiner Theorie. Die zugehorigen Homologien definierte ViETORlS entsprechend<br />
iiber Vollrdnder, das heifit Fundamentalfolgen ^1,^2... aus Randern seiner<br />
Komplexe mit gegen Null konvergierenden maximalen Kantenlangen.<br />
Ein Jahr spater griffen auch HoPF und ALEXANDROFF EMMY NOETHERS<br />
Vorschlage zur Charakterisierung des topologischen Zusammenhangs auf ([Ho<br />
1928], [Ale 1928]). Beide schlossen dabei an BROUWERS simpliziale Zerlegungen<br />
und Approximation topologischer Raume an. ALEXANDROFF verwendete<br />
die urspriinglich zum Studium der Dimensionstheorie eingefiihrten Systeme<br />
von tJberdeckungen aus abgeschlossene Mengen nun auch zur Berechnung<br />
der Bettizahlen eines kompakten metrisierbaren Raumes. Er wies dabei auf<br />
die Analogic geometrischer simplizialer Komplexe mit dem Nerv (ALEXAN-<br />
DROFFs Terminologie) solcher abgeschlossener endlicher Uberdeckungen von X<br />
hin und definierte dadurch die Bettizahlen des Raumes ("Brouwersche Zyklosezahlen").<br />
Die Arbeiten von ViETORiS waren ihm bekannt; sie erschienen ihm<br />
aber von begrenzter Reichweite und auf seinem Weg einer Verbesserung fahig.<br />
Seine Methode wurde von E. CECH weiterentwickelt und auf Systeme off^ener<br />
Uberdeckungen iibertragen. So wurden ALEXANDROFFS "Nerven" wenige Jahre<br />
spater zum Ausgangspunkt fiir die Entwicklung der CECH-Homologie ([Cech<br />
1932]).^<br />
«[McL 2006], [Hir 1999], [MacL 1986].<br />
^Siehe dazu [Ski 1993].<br />
867
2. HAUSDORFFS Hinwendung zur kombinatorisch/algebraischen<br />
Topologie<br />
HAUSDORFF erfuhr durch ALEXANDROFF aus erster Hand von den neuesten<br />
Entwicklungen. Im Juli 1924 fand der erste Besuch ALEXANDROFFS (gemeinsam<br />
mit P. URYSOHN) bei HAUSDORFFS in Bonn statt. Es entstand eine wissenschaftliche<br />
und personliche Preundschaft zwischen den beiden von Lebensweise<br />
und Generation her so unterschiedlichen Mathematikern. In den nachsten Jahren<br />
nutzte ALEXANDROFF seine Reisen nach Gottingen, Prankreich und Holland<br />
fiir gelegentliche Besuche bei HAUSDORFF. SO auch Ende Oktober/Anfang<br />
November 1925, bevor er zu einem langeren Aufenthalt im Winter 1925/26 bei<br />
BROUWER nach Blaricum weiterreiste.^^ Es folgte ein intensiver wissenschaftlicher<br />
Briefwechsel zwischen HAUSDORFF und ALEXANDROFF, der erst 1935 nach<br />
der Machtiibernahme durch die Nazis abbrach.^^ Im Herbst 1932 hatten sich<br />
die beiden Mathematiker in Locarno zum letzten Mai personlich getroffen.^^<br />
Ein Ergebnis der Anregungen war, dafi sich HAUSDORFF gegen Ende der<br />
1920er Jahre der kombinatorischen und der entstehenden algebraischen Topologie<br />
zuwandte. Am 14.6.1928 schrieb er an ALEXANDROFF, der sich ebenso<br />
wie HOPE ZU dieser Zeit in Princeton aufhielt:<br />
Ich muss wohl doch noch auf meine alten Tage (ich werde wirklich am 8.<br />
Nov. 60 Jahre alt!) Topologie lernen, was insofern eine Zeitverschwendung<br />
ist, als ich damit lieber bis zum Erscheinen Ihres Buches warten sollte.^^<br />
HAUSDORFF war also friih iiber die Planungen zu dem gemeinsamen Buchprojekt<br />
von ALEXANDROFF und HOPE informiert. Seine hier gewahlte Verwendung<br />
des Ausdrucks "Topologie" ist aus heutiger Sicht allerdings kommentierungsbediirftig,<br />
rechnen wir ja einen wichtigen Teil der HAUSDORFFschen<br />
Arbeiten ab 1910 selber der Topologie zu. Die im heutigen Sprachgebrauch unter<br />
dem gemeinsamen Oberbegriff Topologie zusammengefafiten Theorien der<br />
allgemeinen Topologie, der geometrischen Topologie, der kombinatorischen Topologie<br />
und der algebraischen Topologie wurden noch bis in die 1930er Jahre<br />
hinein in zwei grofie, deutlich voneinander unterschiedene Wissensgebiete<br />
^^Im Dezember 1925 fand der fiir die moderne Algebraisierung entscheidende Besuch EMMY<br />
NoETHERS in BROUWERS Kreis statt. ALEXANDROFF und VIETORIS waren zu dieser Zeit in<br />
Blaricum anwesend; s. [McL 2006], [Ale 1935/1983], S.9.<br />
^^Korrespondenz ALEXANDROFF - HAUSDORFF, 18.4.1923 - 9.3.1935. NL HAUSDORFF,<br />
Kapseln 61 (Briefe ALEXANDROFFS) und 62 (Briefe HAUSDORFFS).<br />
^^Der letzte (iiberlieferte) Brief von HAUSDORFF an ALEXANDROFF datiert vom 18.2.1933,<br />
der letzte von ALEXANDROFF an HAUSDORFF vom 9.3.1935. Aufgrund der Stalinisierung der<br />
Sowjetunion wurden in den 1930er Jahren Reisen nicht nur nach Nazi-Deutschland sondern<br />
auch in das demokratische westliche Ausland in steigendem Mafte schwieriger. Fiir ALEXAN<br />
DROFF traten gesundheitliche Probleme hinzu. Den brieflichen Kontakt zu westlichen Kollegen,<br />
insbesondere zu H. HOPF, liefe er sich aber nicht nehmen. Bis auf eine kriegsbedingte<br />
Unterbrechung 1941/42 hielt ALEXANDROFF den Kontakt stets aufrecht und intensivierte ihn<br />
nach 1945 wieder. In seinem ersten Brief an HOPF nach Kriegsende erkundigte er sich sofort<br />
nach HAUSDORFFS Schicksal. (Brief vom 13.4.1946. NL HOPF, ETH Ziirich, Bibliothek,<br />
Handschriftenabteilung, Hs. 621:93).<br />
^^NL HAUSDORFF, Kapsel 62.<br />
868
zerlegt, die Analysis Situs oder auch "(kombinatorische) Topologie" im alteren<br />
Sinne und die Theorie der Punktmengen und der allgemeinen Rdume. Die<br />
algebraische Topologie im modernen (strukturorientierten) Sinne entstand in<br />
dieser Zeit erst ([Ja 1999b]). Dabei stand nicht zuletzt die Zielsetzung Pate, die<br />
im kombinatorischen Kontext entwickelten Methoden auf "allgemeinere Raume<br />
von Punktmengen" zu iibertragen.<br />
Letzteres war die von HAUSDORFF in den Grundzugen bevorzugt verwendete<br />
Bezeichnung. Bei seiner Einfiihrung des Fachterminus topologischer Raum fiir<br />
einen axiomatisch definierten Umgebungsraum war er sich der damit verbundenen<br />
Metonymie (Begriffsiiberdehnung) wohl bewufit. In einer Anmerkung<br />
sprach er von einer blofien Verwandtschaft des von ihm angewendeten Attributes<br />
"topologisch" zur bisher iiblichen Sprachverwendung:<br />
Der Ausdruck ist in einem verwandten Sinne bereits iiblich; wir wollen<br />
damit andeuten, daft es sich um Dinge handelt, die ohne Maft und Zahl<br />
ausdriickbar sind.^^<br />
Tatsachlich wurde die Topologie im Sinne der Analysis Situs noch iiber langere<br />
Zeit als getrenntes Gebiet gegeniiber der in Mengensprache ausgefiihrten<br />
Topologie der allgemeinen Raume angesehen. LEFSCHETZ verwies zum Beispiel<br />
in seiner Monographie Topology (1930) lediglich in der Einleitung auf die Rahmung<br />
des Gesamtgebietes durch den axiomatischen Raumbegriff (Hausdorff-<br />
Raum). Der Haupttext blieb in Inhalt und Methode weiterhin der alteren geometrischen<br />
Tradition der Analysis Situs verhaftet.<br />
ALEXANDROFF und HOPF setzten sich in ihrem Lehrbuch von 1935 zum Ziel,<br />
eine ausgewogene und tiefgreifende Verbindung der beiden bis dahin weitgehend<br />
getrennten Forschungsfelder zu schafFen; aber selbst ihr grofi angelegter Entwurf<br />
konnte die unterschiedlichen Forschungsgebiete nicht auf Dauer zu einer<br />
gemeinsamen, aus einheitlicher Perspektive bearbeiteten Teildisziplin zusammenfiihren.<br />
Dafiir war die innere Fortentwicklung der topologischen Forschung<br />
zu rasch und die beteiligten Gruppen von Akteuren zu unterschiedlich.^^ In<br />
modifizierter Form wirkt die Trennung bis heute fort, selbst wenn wir uns daran<br />
gewohnt haben, die unterschiedlichen Forschungsrichtungen subsumierend<br />
jeweils zu einer Teildisziplin der "Topologie" zusammenzufassen.^^<br />
HAUSDORFF war bis tief in die 1920er Jahren hinein mit dem begrifflichen<br />
Prazisierungsniveau der alteren, kontextgebunden algebraisierenden ("kombinatorischen")<br />
Topologie unzufrieden. Er brachte dies an verschiedenen Stellen<br />
in seinem Briefwechsel mit ALEXANDROFF und in seinen Exzerpten und Studien<br />
deutlich zum Ausdruck.<br />
Am scharfsten findet sich diese Einschatzung HAUSDORFFS in einer Klammerbemerkung<br />
am Ende von Fasz. 1049, der eine ausfiihrliche Wiedergabe von<br />
i^[H 1914a], S.213.<br />
^^S. dazu auch Band II dieser Edition, S. 70-75.<br />
^^Dies kommt auch noch zum Ende des 20. Jahrhunderts in den getrennten Projekten zur<br />
Darstellung der Entstehungsgeschichten der beiden Felder in [AuLo 1997-2001] und [Ja 1999a]<br />
zum Ausdruck.<br />
869
J. W. ALEXANDERS Argumentation fiir die topologische Invarianz der "Homologiecharaktere"<br />
(Bettizahlen und Torsionskoeffizienten) einer triangulierten beschrankten<br />
Punktmenge des IR"^ enthalt ([Al 1922]). ALEXANDER argumentierte<br />
dort mit der spater nach ihm benannten (Alexander-) Dualitat. HAUSDORFF<br />
fafite seinen Eindruck von der Arbeit fiir den Eigengebrauch in der drastischen<br />
Formulierung zusammen: "Fiir meine Anspriiche ist diese Arbeit ausserst wenig<br />
liberzeugend!" (NL HAUSDORFF, Fasz. 1049, Bl. 19).<br />
Ahnliche Bemerkungen finden sich an anderen Stellen des Nachlasses. Wir<br />
konnen die zitierte Bewertung daher als typisch fiir HAUSDORFFS Einschatzung<br />
auch der anderen topologischen Arbeiten von VEBLEN, ALEXANDER und<br />
LEFSCHETZ aus den 1920er Jahren lesen.^^ Deutlicher und mit konkreter ausgefiihrter<br />
Kritik finden sich an verschiedenen Stellen Kommentare zu dem von<br />
ALEXANDER, VEBLEN und LEFSCHETZ vorgeschlagenen problematischen Konzept<br />
der "Bettizahlen modulo m". Hier wies HAUSDORFF durch Angabe eines<br />
einfachen Gegenbeispieles nach, dafi das Konzept selbst nicht konsistent definiert<br />
war (Abschnitt 5). Dies war ein (kleiner) Beitrag zum Stilwechsel der<br />
Topologie in Princeton, der mit dem Ubergang zum neuen Jahrzehnt begann<br />
und sich wahrend der 1930er Jahre vollzog.<br />
HAUSDORFF blieb keineswegs bei einer "negativen" Kritik stehen. In einigen<br />
grundlegenden Fragen bildete er selbst eigene Auffassungen heraus und mischte<br />
sich in die Diskussionen um die entstehende strukturorientierte algebraische<br />
Topologie ein. Obwohl er sich nicht an deren Kernentwicklung beteiligte, eroffnen<br />
seine kritischen Anmerkungen zur zeitgenossischen Literatur und die<br />
Themenwahl seiner Ausarbeitungen einen aufschlufireichen, natiirlich von seiner<br />
Perspektive gepragten und damit auch selektiven Blick in die Werkstatt<br />
dieses neuen Wissenszweiges. HAUSDORFF selbst verwendete fiir das gesamte<br />
Feld allerdings weiterhin die traditionellere Bezeichnung "kombinatorische<br />
Topologie".<br />
3. Lektiire von ALEXANDROFF, VIETORIS und anderen<br />
HAUSDORFF begann seine Studien der neueren algebraischen Topologie mit<br />
ALEXANDROFFS Arbeiten liber abstrakte simpliziale Approximation topologischer<br />
Raume. Durch diesen Ansatz stellte ALEXANDROFF eine grundsatzliche<br />
und allgemeine Beziehung zwischen mengentheoretisch charakterisierten, kompakten<br />
metrisierbaren topologischen Raumen X und verallgemeinerten simplizialen<br />
Komplexen her, die durch den Nerv abgeschlossener endlicher Uberdeckungen<br />
von X gebildet werden. In Verallgemeinerung von BROUWERS geometrischen<br />
Simplizes und ihrer Verwendung zur simplizialen Approximation<br />
von Mannigfaltigkeiten betrachtete ALEXANDROFF hier sogar noch allgemeinere<br />
abstrakte simpliziale Komplexe, definiert iiber Inzidenzschemata von endlichen<br />
Untermengen einer endlichen oder unendlichen Menge. Unter (abstrakten)<br />
"simplizialen Approximationen" verstand er gewisse axiomatisch charak-<br />
^^HAUSDORFF kommentierte etwa ALEXANDERS Einfiihrung degenerierter Simplexe in (lessen<br />
Arbeit [Al 1926], S. 306 mit der Klammerbemerkung "... nicht geniigend klar ..." (Fasz.<br />
288, BL2v).<br />
870
terisierte Folgen (ICm) abstrakter simplizialer Komplexe, durch die die Punkte<br />
eines kompakten metrisierbaren Raumes charakterisierbar waren. Dazu gehorten<br />
etwa Komplexe, deren Simplizes aus Systemen abgeschlossener Mengen mit<br />
nichtleerem Durchschnitt bestanden. Diese bezeichnete er als die Nerven der<br />
tJberdeckungen.^^<br />
HAUSDORFF studierte die Arbeiten [Ale 1926] und [Vie 1927] im Detail, um<br />
sich ein Bild der neuen Perspektiven fiir die Homologietheorie zu machen.^^<br />
In ALEXANDROFFS Axiomensystem fiir approximierende Systeme (simpliziale<br />
Approximationen) entdeckte er eine Ungenauigkeit, die eine Liicke im Beweis<br />
des Hauptsatzes der Arbeit zur Folge hatte. Er konstruierte ein Gegenbeispiel<br />
fiir die Satzaussage und schlug eine Verscharfung der Approximationsbedingungen<br />
vor, die einen einwandfreien Beweis des Hauptsatzes ermoglichte. Die<br />
Ergebnisse seiner kritischen Lektiire, insbesondere seine Verscharfung der Approximationsbedingungen,<br />
teilte er ALEXANDROFF in dem schon erwahnten<br />
Brief vom 14.6.1928 mit. Anders als bei seinen Anmerkungen zu ALEXANDER,<br />
VEBLEN und LEFSCHETZ verband er mit seiner Kritik hier keinen grundsdtzlichen<br />
Einwand gegen die gesamte Arbeitsweise. Er war im Gegenteil von Stil,<br />
Inhalt und Arbeitsmethoden ALEXANDROFFS sehr beeindruckt und sogar begeistert.<br />
Seine Beweiskritik und seinen Verbesserungsvorschlag kommentierte<br />
er mit der Bemerkung:<br />
Diese Rettungsmoglichkeit fiir Ihren Hauptsatz freut mich weit mehr als<br />
die Entdeckung des Versehens, denn es ware schade gewesen, wenn sich<br />
Ihre schone Idee, die gerade wegen ihrer abstrakten Fassung meinem<br />
Geschmack besonders zusagt, nicht hatte halten lassen.^^<br />
Tatsachlich schien ALEXANDROFFS Vorgehensweise zumindest die Moglichkeit<br />
zu eroffnen, die vorhandene Kluft zwischen der algebraisch-kombinatorischen<br />
Topologie und der Theorie der allgemeinen Raume zu schliefien.<br />
HAUSDORFFS Interesse an den neuen und abstrakteren Homologietheorien<br />
griindete sich allerdings nicht allein darauf, dafi nun die homologietheoretischen<br />
Methoden auch auf allgemeinere Raume als Mannigfaltigkeiten oder geometrische<br />
Simplizialkomplexe anwendbar wurden. Ihm erschien anscheinend genauso<br />
wichtig, dafi durch sie Invarianzbeweise fiir die bekannten Charakteristiken simplizialer<br />
Komplexe (Bettizahlen und Torsionskoeffizienten) moglich wurden, die<br />
seinen Standards eher entsprachen als die zeitgenossischen Beweise etwa von<br />
J.W.ALEXANDER.<br />
In den Arbeiten von ALEXANDER war zwar die Idee der singularen Homologie<br />
eingefiihrt worden ([Al 1915]). Diese offensichtlich topologisch invariante<br />
^^ALEXANDROFF spitzte die Bedingungen spater im Sinne der von ihm so genannten "Projektionsspektren"<br />
zu; [Ale 1926], [Ale 1927a], [Ale 1927b], [Ale 1928], [Ale 1929]. HAUSDORFFS<br />
Lektiire ist dokumentiert in NL HAUSDORFF, Fasz. 257, 543, 639.<br />
^^Brief HAUSDORFFS an ALEXANDROFF vom 14.6.1928 mit ausfiihrlicher Beweiskritik, NL<br />
HAUSDORFF, Kapsel 62. Zu VIETORIS insbesondere die Studien in NL HAUSDORFF, Fasz. 295<br />
und Fasz. 287 vom 2.8.1928 und vom Februar 1929.<br />
20NL HAUSDORFF, Kapsel 62, Brief vom 14.6. 1928.<br />
871
Methode wurde aber zunachst ohne eine mengentheoretisch abgestiitzte Algebraisierung<br />
formuliert und blieb ohne sichere Grundlagen. Bis in die 1930er<br />
Jahre hinein kam sie nicht ohne vage gehaltene geometrisch-semantische Beziige<br />
aus. Sie wurde erst durch die nachste Generation von Topologen, SEI-<br />
FERT/THRELFALL ([SeThr 1934]) und TUCKERS Nachweis, dafi degenerierte<br />
Zyklen stets beranden ([Tu 1938]), in Ordnung gebracht.^^ Zwei weitere von<br />
ALEXANDER in den 1920er Jahren vorgeschlagene Methoden basierten auf der<br />
Idee der Alexander-DuaHtat ([Al 1922]) beziehungsweise der simpHzialen Approximation<br />
und einer Erganzung der simpHzialen Kettenkomplexe um degenerierte<br />
(simphziale) Ketten ([Al 1926]).<br />
Aus HAUSDORFFS Sicht war ALEXANDERS zweiter Beweis (1922) "ausserst<br />
wenig iiberzeugend" (siehe Abschnitt 2), und auch mit ALEXANDERS drittem<br />
Ansatz konnte er sich nicht anfreunden. Das war anscheinend seiner grofien Distanz<br />
gegeniiber BROUWERS Methoden geschuldet; fiir die nachste Generation<br />
von Topologen, die BROUWER naher standen, war das anders. ALEXANDROFF<br />
und HOPE etwa benutzten ALEXANDERS Vereinfachung der simpHzialen Approximation<br />
zum Nachweis der Homotopieinvarianz der Homologie und bauten<br />
darauf den ersten Invarianzbeweis in ihrem gemeinsamen Buch von 1935 auf.<br />
HAUSDORFFS Kommentare zu ALEXANDERS Arbeit von 1926 bestanden dagegen<br />
ausschliefilich aus (technisch zutreffenden) kritischen Randbemerkungen<br />
(NL HAUSDORFF, Fasz. 288). Dementsprechend erschien ihm ALEXANDROFFS<br />
und HOPES erster Invarianzbeweis spater als "nicht leicht zuganglich" (siehe<br />
Abschnitt 7).<br />
In ihren friihen Arbeiten erwahnten ALEXANDROFF und VIETORIS das Invarianzproblem<br />
zwar, maKen ihm aber zunachst keinen ahnlich hohen Stellenwert<br />
bei wie HAUSDORFF. ViETORis erklarte eher beilaufig und wie selbstverstandlich,<br />
dafi seine Homologietheorie dieselben Zusammenhangszahlen liefere wie die<br />
simphziale Homologie triangulierter Mannigfaltigkeiten und die von RIEMANN<br />
(und POINCARE) betrachtete Bordanzhomologie von "Untervarietaten".^^ Fiir<br />
^^Fiir eine Skizze der Prazisierung der singularen Homologietheorie siehe [Die 1989], S. 37-<br />
49, 68 ff.). Interessanterweise decken sich die von DIEUDONNE monierten Schwachen der halbgeometrischen<br />
singularen Homologietheorie inhaltlich weitgehend mit dem HAUSDORFFschen<br />
Unbehagen. "He (Alexander) never said when two images of different p-cells by two continuous<br />
mappings should be identified, nor what the boundary of a singular cell should be. This<br />
vagueness was only partly improved in the successive versions of Alexander's proof given by<br />
Veblen (...), van der Waerden (...) and Lefschetz ..." ([Die 1989], S. 45). DIEUDONNE sieht<br />
die singulare Homologietheorie erst mit dem von TUCKER 1938 und EILENBERG 1940 geleisteten<br />
Beitrag als methodologisch konsistent an. Er lasst die von SEIFERT und THRELFALL<br />
(1934) erreichte Prazisierung an dieser Stelle aufter Betracht.<br />
^^ VIETORIS erklarte von seinen Zusammenhangszahlen, diese seien ".. .abgesehen davon,<br />
dai^ wir sie um 1 kleiner nehmen, genau die von O. Veblen [An application of modular equations<br />
in analysis situs. Am Trans. 14, S. 86-94,] O.Veblen und J.W.Alexander [Manifolds<br />
of n dimensions. Am. Trans. 14, S. 163-178], O. Veblen [Analysis situs. Cambridge Colloquium<br />
1916] eingefiihrten. Wir haben nur die Definition derselben von der Darstellung<br />
durch Matrizes losgelost. Sie konnen als die genaue Fassung der von Riemann, Fragment<br />
aus der Analysis Situs, Werke, S. 479-482 eingefiihrten Zusammenhangszahlen gelten" ([Vie<br />
1927], S.456, Anm. 2). VIETORIS umging damit auf seine Weise das bei RIEMANNS und<br />
PoiNCARES Methode auftretende Problem, wie die in den fiir ihre Homologiekonstruktionen<br />
872
die Invarianz seiner Homologiegruppen verwies er auf die gleichmafiige Stetigkeit<br />
stetiger Abbildung in kompakten (metrisierten) Raumen, erganzte allerdings<br />
in einer Anmerkung:<br />
Diese Invarianz gilt in nicht kompakten abgeschlossenen Mengen nicht.^^<br />
HAUSDORFF widmete diesem Thema (fiir den kompakten Fall) eine seiner ersten<br />
handschriftlichen Studien zu den neuen Homologietheorien (NL HAUS<br />
DORFF, Fasz. 295 vom 2.8.1928). Eine fiir das Sommersemester 1933 angekiindigte<br />
Vorlesung fiber kombinatorische Topologie gab ihm die Gelegenheit,<br />
einen ersten begrifflich klar ausgearbeiteten Invarianzbeweis der Homologie fiir<br />
kompakte metrische Raume auszuarbeiten. Er kam spater verschiedentlich auf<br />
dieses Thema zuriick, zuletzt in einer ausfiihrlichen neuen Ausarbeitung verschiedener<br />
Invarianzbeweise in einem Manuskript von April bis Juli 1940, in<br />
dem er auch den nichtkompakten separablen Fall behandelte (siehe Abschnitt<br />
7).<br />
Zu dieser Zeit waren schon verschiedene andere Invarianzbeweise der Homologie<br />
publiziert. In der von HAUSDORFF hoch geschatzten Monographie von<br />
ALEXANDROFF und HOPF gab es gleich mehrere Beweise. Der erste von diesen<br />
beiden Autoren gegebene Beweis fiir die topologische Invarianz der simplizialen<br />
Homologie geometrischer Komplexe basierte, wie schon erwahnt, entscheidend<br />
auf der Homotopieinvarianz der simplizialen Homologie. Damit bewiesen sie<br />
einen "Produktsatz" fiir die von einer Komposition stetiger Abbildungen induzierten<br />
Verkettung der Homologiehomomorphismen, in modernerer Sprache<br />
also die funktorielle Eigenschaft der Homologie ([AleHo 1935], S. 323). Aus dem<br />
Produktsatz folgte die Invarianz der Homologie ohne grofteren Aufwand (ibid.,<br />
S.327). In Untertreibung ihres eigenen Anteils stellten die beiden Autoren ihren<br />
Beweis als eine Weiterentwicklung der ALEXANDERschen Beweisstrategie<br />
von 1926 dar ([AleHo 1935], S.313).<br />
Natiirlich hatte ALEXANDROFF auch im weiteren eine voUig andere Meinung<br />
von J. W. ALEXANDER als HAUSDORFF.^^ In einem aus Princeton an H. HOPF<br />
geschriebenen Brief beschrieb er den von HAUSDORFF SO skeptisch kommentierten<br />
ALEXANDER als Mathematiker, der mit "grosser Eleganz und Klarheit"<br />
liber "abstrakte Topologie" vorzutragen wufite (Brief ALEXANDROFFS an HOPF<br />
vom 18.3.1931, S. 3). Um diese Zeit war der Austausch zwischen der Princeton-<br />
Gruppe der Topologie und der abstrakter ausgerichteten Gottingen/Moskauer<br />
AuflFassung schon voU im Gauge.^^ HAUSDORFF mischte sich in diesen Mei-<br />
verwendeten Unterobjekten auftretenden Singularitaten (ganzzahlige Linearkombinationen<br />
aus "Untermannigfaltigkeiten" bei POINCARE oder "n-Strecke" bei RIEMANN - vgl. [Sar 1999]<br />
- zu behandeln sind. Die konkurrierende geometrische Theorie der singularen Komplexe der<br />
Princeton-Gruppe erwahnte er an dieser Stelle nicht einmal.<br />
23[Vie 1927], S.461, Anm. 11.<br />
^"^Das gilt wohl noch starker fiir die Bewertung BROUWERS.<br />
^^ALEXANDROFF schrieb in dem zitierten Brief iiber ALEXANDERS Vortrage zum Thema<br />
"elementare Sachen der abstrakten Topologie" weiter: "...die Anordnung des Stoffes war<br />
genau so, wie ich das zu machen pflege. Alexander sagte auch ausdruecklich, daft er im<br />
wesentlichen im Anschluss an meine alien Princetoner Vortraege die Sache darstellt." (Brief<br />
873
nungsaustausch nur mit seiner Kritik an den "Bettizahlen modulo m" ein (Abschnitt<br />
5). Seine Beobachtungen betrafen den Zustand der alteren Analysis<br />
Situs, standen aber nicht im Zentrum der neueren Algebraisierung.<br />
Im kommenden Jahrzehnt verfolgte er die weitere Entwicklung der Homologietheorie<br />
mit grofiem Interesse. Anfang der 1930er Jahre studierte er die<br />
Arbeiten W. MAYERS und E. CECHS. In einer wahrscheinlich im Jahre 1931<br />
verfassten Notiz liber "Summe und Durchschnitt von Komplexen" erarbeitete<br />
er sich die in [May 1929] und [Vie 1930] vorgestellte MAYER-ViETORiS-Formel<br />
(NL HAUSDORFF, Fasz.402, BU. 5fF.).^^ Eine andere HAUSDORFFsche Studie<br />
(Fasz. 743) zu MAYERS Arbeit fiber "abstrakte Topologie" ([May 1929]) wird<br />
von G. BERGMANN auf April bis Juni 1940 datiert. CECHS entscheidende Arbeit<br />
zur Einfiihrung seiner Homologietheorie ([Cech 1932]) studierte HAUSDORFF<br />
bis Friihjahr 1934 (NL HAUSDORFF, Fasz. 463), wahrscheinlich begleitend zu<br />
seiner Vorlesung im Sommersemester 1933 oder im direkten Anschlufi daran.^"^<br />
HAUSDORFFS erhaltene Studien aus der Zeit zwischen 1928 und seiner Vorlesung<br />
von 1933 zeigen, dafi er sich bis Januar 1931 eine eigenstandige Auffassung<br />
abstrakter Komplexe der Moduln homogener "Formen" (HAUSDORFFS Terminologie)<br />
und ihrer Randoperatoren verschaffte, also in heutiger Sprache der element<br />
aren homologischen Algebra algebraischer Kettenkomplexe.^^ In diese Zeit<br />
fallen auch Notizen zur Element art eilertheorie, in der er die gruppentheoretische<br />
Fassung von FROBENIUS und STICKELBERGER mit der auf WEIERSTRASS<br />
zuriickgehenden der Normalformen ganzzahliger Matrizen verband, um ein angemessenes<br />
Verstandnis des algebraischen Basiswerkzeuges zur Berechnung der<br />
Homologiegruppen zu gewinnenen und sich insbesondere Klarheit liber den<br />
Status der "Bettizahlen modulo m" zu verschaffen (Fasz.402, BU. 1-4).^^<br />
ALEXANDROFFS an HOPF vom 18.3.1931, S.3). ALEXANDROFF und HOPF waren, wie oben<br />
erwahnt, im akademischen Jahr 1927/28 beide Gaste in Princeton gewesen.<br />
^^Der Faszikel besteht aus drei Teilen. Der erste Teil (Bll. 1-4) behandelt das Rangproblem<br />
abelscher Gruppen, aufgefaftt als Moduln liber 2Z oder Z/(m), und die Beobachtung,<br />
daft der Rang nur fiir m prim sinnvoll definiert werden kann, mit der Konsequenz, daft die<br />
VEBLEN/ALEXANDER/LEFSCHETZschen "Bettizahleu modulo m" im allgemeinen Fall nicht<br />
wohldefiniert sind (siehe unten). Die entsprechende Seite ist datiert mit 15.1.1931. Der zweite<br />
Teil (Bll. 5-8) behandelt unter der Uberschrift "Summe und Durchschnitt von Komplexen"<br />
die MAYER-ViETORis-Formel. Der dritte Teil (Bll. 9-16) handelt vom "Produkt zweier Komplexe".<br />
Die beiden letzten Telle gehoren inhaltlich eng zusammen; sie stehen aber beide nicht<br />
mit Teil 1 im engen Zusammenhang. Die bei der Nachlafterschlieftung fiir Fasz. 402 angegebene<br />
Datierung 15.1.1931 steht lediglich auf Blatt 4 und gilt somit nur fiir die Schluftpassage<br />
des ersten Teils. Teil 1 schlieftt direkt an das Ende von Fasz. 401 an und gehort inhaltlich<br />
dort hin (Datierung HAUSDORFFS 14.1.1931 auf Bl. 29 von Fasz. 401). Es gibt jedoch keinen<br />
Grund, die beiden anderen Telle von Fasz. 402 in der Entstehung zeitlich weit entfernt vom<br />
ersten anzusetzen.<br />
^^HAUSDORFF stellte in seiner Vorlesungsausarbeitung (NL HAUSDORFF, Fasz. 55) ALEXAN<br />
DROFFS Homologie ausfiihrlich vor und erwahnte CECHS Fortentwicklung beilaufig (Fasz. 55,<br />
Bl. 141). In seiner Wiederaufnahme des Invarianzbeweises der Homologie im Friihsommer<br />
1940 bezog HAUSDORFF CECHS Ansatz ausdriicklich mit ein (Fasz. 742, Bll. 36-40). HAUS<br />
DORFFS Studie (Fasz. 463) iiber CECHS Arbeit (1932) entstand anscheinend nach Marz 1933<br />
(siehe unten, Abschnitt 7).<br />
28Fasz.401, B11.6ff.<br />
29Vgl. obige Fuftn. 26.<br />
874
4. Vorlesung Kombinatorische Topologie, Sommer 1933<br />
Im Sommersemester 1933 hielt HAUSDORFF seine erste und einzige Vorlesung<br />
iiber Kombinatorische Topologie und arbeitete sie wie gewohnt in einem ausfiihrlichen<br />
Manuskript aus (NL HAUSDORFF, Fasz. 55). Das Manuskript zeigt in<br />
klarer Weise, wie HAUSDORFF dieses Gebiet der Topologie zu Beginn der 1930er<br />
Jahre sah. Wie oben schon dargelegt, hatte er die meisten der hier behandelten<br />
Themen schon in kleineren Einzelstudien ab 1928 bearbeitet: VlETORlS-<br />
Homologie, Februar bis August 1928 (Fasz. 287, 295), abstrakte Komplexe,<br />
Januar 1931 (Fasz. 401, 402), Homologie von Komplexen und kompakten Raumen,<br />
Marz 1931 (Fasz. 449, 450), Gruppenfolgen, Marz 1931 (Fasz. 451).<br />
Das Vorlesungsmanuskript enthalt eine in sich abgeschlossene, leicht lesbare<br />
Einfiihrung in die Theorie endlicher, geometrischer ("euklidischer") und abstrakter<br />
Simplizialkomplexe (§ 1), in die fiir die Homologietheorie notwendigen<br />
Telle der Theorie endlich erzeugter abelscher Gruppen (§2) und in die Homologie<br />
abstrakter simplizialer Komplexe und deren Anwendung auf geometrische<br />
Simplizialkomplexe und die Nerven von abgeschlossenen tJberdeckungen<br />
(ALEXANDROFFsche Homologie) (§3). Das Vorlesungsmanuskript endet mit einem<br />
Invarianzbeweis der simplizialen Homologie fiir kompakte, triangulierte<br />
metrische Raume ("endliche euklidische Punktkomplexe") (§4). Eine ausgearbeitete<br />
Mitschrift von H. SCHWERDTFEGER, einem Horer der Vorlesung, enthalt<br />
nur die ersten drei Paragraphen.^^ HAUSDORFF hat jedoch seinen Invarianzbeweis<br />
im Sommer 1933 vorgetragen, denn er fiigte der Uberschrift „§4.<br />
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen" eine Fufinote an: „SS 1933<br />
vorgetragen". Im Sommer 1940 kam er noch einmal auf den Invarianzbeweis<br />
zuriick (s. Abschnitt 7).<br />
Fiir die friihen 1930er Jahre hochst bemerkenswert war der in der Vorlesung<br />
vorgestellte strukturorientierte Zugang zur Homologietheorie. Vor jeder geometrischen<br />
Anwendung entwickelte HAUSDORFF eine rein algebraische Charakterisierung<br />
der Homologie eines endlichen abstrakten Komplexes ^ mit Eckenmenge<br />
X = {xi,...,Xr) und Simplexmenge S C V{X) als Unterstruktur der<br />
von X erzeugten freien Grassmannschen Algebra mit ganzzahligen KoefRzienten.<br />
Bezeichnen wir den freien Z-Modul iiber X als V, arbeitete HAUSDORFF<br />
also zunachst mit der Grassmann-Algebra<br />
gV:=:^Vm mit Vm :=/\" V .<br />
m>0<br />
Dabei verwendete er eine einfache multiplikative Notation fiir das Grassmann-<br />
Produkt, also xy = —yx. Durch die Derivation dm • Vm —^ Vm-i mit<br />
m<br />
j=0<br />
d{xy) = dxy-{- {-lYx dy , fiir x eVp.y eVq ,<br />
^"Eine Kopie des ScHWERDTFEGERSchen Typoskripts ist im Besitz von Herrn E. BRIES-<br />
KORN.<br />
875
erklarte er einen Randoperator d — {dm) auf QV mit d^ix) = 1 statt dem<br />
iiblichen 9o(^) = 0- In spaterer Sprechweise formuliert, arbeitete HAUSDORFF<br />
also mit einem freien, durch die leere Menge augmentierten Koszul-Komplex.^^<br />
Zur Beschreibung der Topologie schrankte er auf einen spezielleren Kettenkomplex<br />
T = {Tm) ein. Die m-Ketten dieses Komplexes bestanden aus denjenigen<br />
homogenen Polynomen vom Grad m+1, die nur Monome xi^... Xi^ besitzen,<br />
zu denen es in $ ein entsprechendes (orientiertes) Simplex a = {xi^ ... Xi^)<br />
gibt. Deren Gesamtheit bezeichnete HAUSDORFF als die "m-Formen" Tra des<br />
abstrakten Komplexes $. Fiir die Einschrankung des Randoperators gilt<br />
Daher waren in der Einschrankung die m-Zyklen Zm und m-Rander IZm leicht<br />
einzufiihren, ebenso die m-te Homologiegruppe als Faktorgruppe Hm '-— Zm/^m-<br />
So erhielt HAUSDORFF eine glasklare symbolische Einfiihrung der Homologie<br />
i/f (^, Z) des abstrakten Simplizialkomplexes ^, beschrieben durch die Moduln<br />
Oder (abelschen) GruppenHm (Fasz. 55, §3).^^<br />
Die Anwendung auf die Homologie i/f ([$], 2!) geometrischer Simplizialkomplexe<br />
war nun direkt moglich (HAUSDORFF notierte mit [^] den geometrischen<br />
Trager des abstrakten Komplexes ^; Fasz. 55, Bl. 74ff.). Ebenso ergab sich<br />
die Homologie H^ der (ALEXANDROFFschen) Nerven endlicher abgeschlossener<br />
tjberdeckungen als Spezifizierung der allgemeinen Theorie (Fasz. 55, Bl. 140).<br />
HAUSDORFFS Strategic des topologischen Invarianzbeweises basierte auf einer<br />
Auswertung der strukturellen Beziehung zwischen diesen beiden Homologietheorien<br />
(siehe unten, Abschnitt 7).<br />
Im Vergleich zu alien zeitgenossischen Textbiichern oder Abhandlungen war<br />
dies eine hochst ausgereifte und begrifHich klare Einfiihrung der Homologietheorie.<br />
In der Sprache der Koszulkomplexe ausgedriickt, handelte es sich bei<br />
HAUSDORFF um die Einfiihrung des zum freien Koszulkomplex assoziierten<br />
speziellen Koszulkomplexes {ante letteram) beziiglich des durch die leere Menge<br />
augmentierten Komplexes ^. Die Klarheit von HAUSDORFFS Darstellung<br />
hebt sich nicht nur im Riickblick gegen die Textbiicher der 1930er Jahre positiv<br />
ab. Selbst aus heutiger Sicht erscheint sie nicht als grundsatzlich "veraltet",<br />
sondern als im guten Sinne elementar. Die geometrische Semantik der Ketten<br />
und Randbildungen spielte nur in den Anwendungen eine Rolle.<br />
Vor die eigentliche Homologietheorie schaltete HAUSDORFF in seiner Vorlesung<br />
eine Einfiihrung in die Theorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen<br />
und eine ganz auf diesen Kontext zugeschnittene, in sich abgeschlossenene Darstellung<br />
der Elementarteilertheorie. Den Beweis fiir die Darstellbarkeit endlich<br />
erzeugter abelscher Gruppen als direktes Produkt (oder direkte Summe) zyklischer<br />
Gruppen, teils von unendlicher Ordnung, teils von endlicher Ordnung<br />
SiEJN {l
die durch die Teilbarkeitsbedingung £j-^i\£j (1 < j < I) invariant charakterisiert<br />
sind, fiihrte HAUSDORFF durch eine einfache modultheoretische Argumentation<br />
iiber Z, ohne Hinweis auf E. NOETHER oder VAN DER WAERDEN.^^<br />
HAUSDORFF stellte zunachst die auf WEIERSTRASS zuriickgehende klassische<br />
Elementarteilertheorie ganzzahliger Matrizen dar.^^ Daran konnte er in seinem<br />
Kapitel liber Homologiegruppen anschliefien; insbesondere auch bei einer Passage<br />
iiber "Homologie modulo m", in der er kurz erlauterte, warum Bettizahlen<br />
modulo m fiir allgemeines m keinen Sinn haben, sondern nur fiir m — p prim.<br />
5. Homologiegruppen, Kritik an "Bettizahlen modulo m"<br />
HAUSDORFF betrachtete die fc-Zykeln Zk, die /c-Rander 7^/c C Zk und die Homologiegruppen<br />
Hk '-= Zk/1Zk im Sinne der neueren algebraischen Bestrebungen<br />
der Topologie als "Moduln" (HAUSDORFFS Bezeichnung fiir endlich erzeugte<br />
abelsche Gruppen). Die Bettizahlen pk waren damit durch pk = rang Hk und<br />
die /c-dimensionalen Torsionskoeffizienten durch die Invarianten (Elementarteiler)<br />
Si = Si^k {^ ^ i ^ h) von Hk bestimmt.<br />
In einem eigenen Abschnitt der Vorlesung diskutierte HAUSDORFF Homologiegruppen<br />
modulo m und die auf den ersten Blick naheliegende "Analogic"<br />
von Elementen maximaler Ordnung m zu den Elementen unendlicher Ordnung<br />
bei allgemeinen abelschen Gruppen. Er warnte jedoch, dafi die erwahnte Analogic<br />
"leidcr nur ungefahr" sci. Bei zusammengesctztem m lieferte die Anzahl<br />
des Auftretens von m unter den Elementarteilern si der Gruppe keinen verniinftigen<br />
Rangbegriff, der sich unter Quotientenbildung subtraktiv und unter<br />
direkter Summenbildung additiv verhalt. Damit spielte HAUSDORFF auf die<br />
von LEFSCHETZ, ALEXANDER und VEBLEN verwendete, problematische Konzeption<br />
der "Bettizahlen modulo m" an.<br />
Er erlauterte das Problem an einem cinfachen Gegenbeispiel. Setzt man etwa<br />
die maximale Anzahl von (unabhangigen) Elementen der Ordnung m als "Rang<br />
modulo m" (rangm) an, so galte bei m = 4, G == 2/(4) und H = Z/(2) fiir<br />
die Range rang4 G — 1 und rang4, H = rang4 G/H = 0. Damit ware die von<br />
ihm geforderte Additivitat des Ranges,<br />
rangm G = rangm H + rangm {G/H)<br />
verletzt (NL HAUSDORFF, Fasz.55, Bl. 102).<br />
Dafi das Konzept der "Bettizahlen modulo m" Tiicken hatte, war HAUSDORFF<br />
gleich zu Beginn seiner Studien der zeitgenossischen Arbeiten der kombinatorischen<br />
Topologie aufgefallen. In einer zwischen Sommer 1928 und Februar 1929<br />
verfafiten Studie zu ALEXANDERS Arbeit [Al 1926] kommentierte er eine auf<br />
Bettizahlen modulo m bezogene Passage mit der Bemerkung "Hochst zweifelhaft!"<br />
(NL HAUSDORFF, Fasz. 288, B1.6v). Im Laufe der Einarbeitung in das<br />
^^VAN DER WAERDEN wies im NoETHERSchen Stil nach, daft jeder Untermodul N eines<br />
freien Moduls M iiber einem nullteilerfreien Hauptidealring R selber frei ist und Basen<br />
wi, ... Um von M und 7;i, ... V]^ von N existieren mit vi — eiui (1 < ^ < /c) und ei \ Sj+i<br />
(i < k) ([Wae 1930/31], Bd.2, S.120fF.<br />
^^Vgl. etwa [Haw 1977].<br />
877
neue Gebiet ging er der Frage weiter nach und kam im Januar 1931 zur Einsicht,<br />
dafi fiir abelsche Gruppen (Moduln) eine Rangdefinition modulo m fiir<br />
zusammengesetzte m liberhaupt nicht sinnvoll moglich ist. Ihm fiel auf, dafi<br />
auch LEFSCHETZ in dieser Hinsicht zu arglos verfuhr und eine Berechnung von<br />
Bettizahlen modulo m vorschlug, die im Widerspruch zu seiner eigenen Definition<br />
stand. Dazu merkte er an:<br />
In Lefschetz, Topology (1930), ist das falsch dargestellt (wie zuvor noch<br />
falscher bei Alexander).^^<br />
Diese Kritik teilte er samt Gegenbeispiel iiber ALEXANDROFF, der sich im Winter<br />
1930/31 wieder in Princeton aufhielt, an ALEXANDER und LEFSCHETZ mit.<br />
Hier arbeitete er, auf seinen gruppentheoretischen Kern reduziert, mit einem<br />
Gegenbeispiel vom Typ m = 6, G = Z/(2) 0 2Z/(3) 0 2Z/(6), also<br />
range's./{6) = 1, range 2/(2) == range 2/(3) = 0, aber range G = 2 .<br />
Er formulierte diesen Sachverhalt konkret in der Sprache von Zykeln und Berandungsrelationen<br />
modulo 6, allerdings ohne Angabe eines zugehorigen geometrischen<br />
Komplexes (Fasz. 401, Bll. 31ff.). In Princeton wurde HAUSDORFFS<br />
Gegenbeispiel im April 1931 in LEFSCHETZ' Seminar besprochen. Wenig spater<br />
erhob CECH einen ahnlichen Einwand.^^<br />
Als Randeintrag erganzte HAUSDORFF spater:<br />
Meine Einwande (an Alexandroff mitgeteilt 14.1. 31) haben den Erfolg<br />
gehabt, dass Alexander und Lefschetz die Sache iiberlegt haben. Vgl. A.<br />
W. Tucker, Modular homology characters, Proc. Nat. Ac. of Sc. 18 (1932),<br />
S.471, Anm.4.^'^<br />
A. W. TUCKER stellte in der zitierten Arbeit fest, dafe man in Princeton bisher<br />
"Bettizahlen modulo m" mit zwei verschiedenen, unvertraglichen Ansatzen<br />
berechnet hatte und diskutierte Vor- und Nachteile beider Berechnungsweisen.<br />
Ein grundsatzliches begriffliches Problem erblickte er darin anscheinend immer<br />
noch nicht ([Tu 1932]).<br />
ALEXANDROFF sah die Problematik klarer. Am 1.2.1931 schrieb er aus Gottingen<br />
vor einer weiteren Fahrt nach Princeton an HAUSDORFF, da£ man LEF<br />
SCHETZ' Berechnungsformel der Bettizahlen sowieso "eigentlich nie braucht".<br />
... [E]s ist nach meiner Ansicht kein besonderes Ungliick, dass sie fiir den<br />
Fall mod eines zusammengesetzten m nicht gilt. Das einzige, was im Fall<br />
modulo m wichtig ist, ist nach meiner Meinung der Begriff der Bettischen<br />
Gruppe modulo m und die beiden Dualitatssatze - von Poincare<br />
und von Alexander, samt der zugehorigen Verschlingungssatze, auf denen<br />
der Beweis des Alexanderschen Dualitatssatzes beruht. Das alles ist richtig^<br />
auch fiir einen zusammengesetzten Modul und neuerdings von Hopf,<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 401, B1.32.<br />
3^Vgl. [Tu 1932], S.471, Anm.4.<br />
^"^NL HAUSDORFF, Fasz. 401, B1.32.<br />
878
Pontrjagin und von mir so einfach bewiesen worden, dass ... wirklich jeder<br />
Mathematiker [das] verstehen wird. ... Was aber durch Ihre Kritik<br />
wahrscheinlich hinfallig gemacht wird, ist die Euler-Poincaresche Formel<br />
fiir den Fall der zusammengesetzten Moduln, denn sie scheint mir wesentlich<br />
von der von Ihnen widerlegten Formel (bzw. ihrem Aequivalent<br />
fiir die Range der betrefFenden Abelschen Gruppen) abhangig zu sein.^*<br />
Trotz TUCKERS Verteidigung steuerte LEFSCHETZ schliefilich um. Das Problem<br />
der "Bettizahlen modulo m" war ein Anlafi unter anderen, die Verwendung von<br />
Homologiegruppen ernst zu nehmen. Der starkste Anstoft dazu kam fiir LEF<br />
SCHETZ allerdings aus seinen eigenen Forschungsarbeiten zur neuen Struktur<br />
der Kohomologie und ihrer Produkte ([Mas 1999]). Aus der tjberarbeitung seines<br />
Buches von 1930 ging schliefilich ein voUig verandertes Werk hervor, das<br />
nun zutreflFend den Titel Algebraic Topology trug ([Lef 1942]).<br />
Die "Bettizahlen modulo m" wurden, wie von ALEXANDROFF erwartet, durch<br />
die weitergehende Algebraisierung der Topologie schliefilich obsolet gemacht. In<br />
der Mitte der 1930er Jahre war das aber noch keineswegs selbstverstandlich.<br />
So sah etwa HOPE in seinem ersten Entwurf fiir die gemeinsame Monographie<br />
mit ALEXANDROFF zunachst noch die Einfiihrung von "Bettizahlen modulo m"<br />
(m allgemein) vor. Seinen brieflichen Bemerkungen zufolge wurde auch er auf<br />
die damit verbundene Problematik erst durch Anmerkungen HAUSDORFFS aufmerksam.<br />
Daraufhin fiihrte er an verschiedenen Stellen als Fufinote die rettende<br />
Klausel "fiir m prim" ein.^^<br />
Fast zeitgleich charakterisierte E. CECH die Homologie Hn{X,G) mit Koeffizienten<br />
in einer beliebigen abelschen Gruppe G durch Hk (X, Z), die Gruppe<br />
G und Hk-i{X,G) in einer Weise, die dem spateren universellen Koeffiziententheorem<br />
entsprach ([Cech 1935]).^^ HAUSDORFFS Anliegen wurde mit der<br />
Verbreitung der Strukturalgebra in Form der Einsicht, dafi Moduln iiber Ringen<br />
mit NuUteilern "keinen Rang besitzen", mathematisches AUgemeingut.<br />
6. ALEXANDROFF/HOPF und der "Bonner Uhrmacher"<br />
HAUSDORFF beteiligte sich auf diese Weise als ein "teilnehmender Beobachter"<br />
am tJbergang von der klassischen Analysis Situs zur modernen algebraischen<br />
Topologie. Seine Beitrage bestanden aus kritischen Beobachtungen und Klarungen<br />
in Grundsatzfragen. Die meisten von ihnen waren fiir den Eigengebrauch<br />
(inklusive den der Horer der Vorlesung vom SS 1933) bestimmt. Eigene Publikationen<br />
zu diesem Thema nahm er nicht mehr in Angriff. Lediglich iiber<br />
ALEXANDROFF versuchte er in einigen Fragen auf die Teilsdisziplin im weiteren<br />
einzuwirken. Von seiner Fehlerkorrektur in ALEXANDROFFS erster axiomatischer<br />
Charakterisierung der spateren "Projektionsspektren" war weiter oben<br />
kurz die Rede (Abschnitt 3), ebenso von seinen Gegenbeispielen zur Berech-<br />
^^NL HAUSDORFF, Kapsel 62, Brief vom 1.2.1931; Hervorhebungen im Original.<br />
^^Etwa in [AleHo 1935], S.355, Anm.2; mehr dazu im Brief von HOPF an ALEXANDROFF<br />
vom 21.3.1935 (ETH-Bibliothek, Handschriftenabt., NL HOPF, HS.620, 99-146.<br />
40Vgl.[Skl 1993], S.227.<br />
879
nung von "Bettizahlen modulo m", die er liber ALEXANDROFF an LEFSCHETZ<br />
und ALEXANDER iibermitteln liefi.<br />
In ahnlicher Weise versuchte er auch zur Verbesserung des ersten Entwurfes<br />
der Monographie von ALEXANDROFF und HOPE beizutragen. Dabei war er<br />
nicht in jederlei Hinsicht erfolgreich, erhofFte sich aber von diesem Werk viel fiir<br />
die Schliefiung der Kluft zwischen den beiden grofien Teilgebieten der Topologie.<br />
In einem Brief an HOPE erneuerte er im September 1934 ein Angebot zur<br />
Beteiligung an der Fahnenkorrektur:<br />
Ihr Brief mit der Mitteilung, dass der Satz beginnen soil, hat mich natiirlich<br />
sehr erfreut. Meine Mitwirkung beim Korrekturlesen halte ich, wie<br />
versprochen, aufrecht und hoffe, bei dieser Gelegenheit zu der Erkenntnis<br />
zu kommen, dass die kombinatorische Topologie eine glaubwiirdige<br />
Wissenschaft ist'^^<br />
Ende 1934 oder zu Beginn des Jahres 1935 versandten die beiden Autoren<br />
erste Fahnendrucke an verschiedene KoUegen mit der Bitte um Anmerkungen.<br />
HAUSDORFF schickte im Marz 1935 ausfiihrliche Korrekturanmerkungen zu den<br />
ihm zugeschickten Kapitelentwiirfen an ALEXANDROFF. Auf deren Inhalt lafit<br />
sich durch ALEXANDROFFS Anwortbrief vom 9.3.1935 und die ALEXANDROFF-<br />
HOPF-Korrespondenz riickschliefeen.^^<br />
Wie wir einem Brief von HOPE an seinen Koautor entnehmen konnen, war<br />
HAUSDORFF mit den ersten Kapiteln des Buches offenbar sehr zufrieden und<br />
hatte nur kleinere Anmerkungen zu machen.^^ Das Kapitel IX der Publikationsfassung<br />
(Kap. VI des damaligen Planungsstandes) liber Modifikationen von<br />
simplizialen Zerlegungen eines Raumes und einen Invarianzbeweis der Homologie<br />
mittels Nerven von tjberdeckungen lag HAUSDORFF besonders am Herzen.<br />
Ihm widmete er tiefer greifende und kritische Anmerkungen. Zunachst wies er<br />
die Autoren auf einige technische Mangel hin.^^ Dariiber hinaus monierte er<br />
anscheinend ganz grundsatzlich, dafi ALEXANDROFF und HOPE die begriffliche<br />
Struktur der ALEXANDROFFschen Homologietheorie selbst fiir einen kompakten<br />
Raum X — F nicht so klar herausgearbeitet batten, wie es moglich gewesen<br />
ware.<br />
Die beiden Autoren verwendeten namlich keine Gruppenfolgen (HAUSDORFFS<br />
Formel (1), nachster Abschnitt) sondern betrachteten die Menge MB = {Br{F)}<br />
^^ Brief HAUSDORFFS an HOPF vom 18.9.1934. Korrespondenz HAUSDORFFS an HOPF, 4<br />
Briefe, 3. 7.1931 bis 14.11.1938, ETH-Bibliothek, Handschriftenabt., NL HOPF, HS 621, 658-<br />
661.<br />
^^ HAUSDORFFS Korrekturanmerkungen liegen uns nicht vor. Sein letzter erhaltener Brief an<br />
ALEXANDROFF datiert vom 18.2.1933; vgl. Fui^n. 12. In der HOPF-Korrespondenz sind seine<br />
Korrekturanmerkungen nicht enthalten; s. Fuftn. 41.<br />
"^^Brief HOPFS an ALEXANDROFF vom 13.1.1935.<br />
^^ Hausdorffs technische Kritik betraf die Ausfxihrung der "kanonischen Eckpunktzuordnungen",<br />
korrigiert in [AleHo 1935], S.349f., den "3. Erhaltungssatz" bei Eckpunktmodifikationen<br />
([AleHo 1935], S.348f.) und wahrscheinlich auch ein logisches Detail der Definition von<br />
"Bettischen N-Gruppen" (siehe unten); vgl. NL HAUSDORFF, Kapsel 61, ALEXANDROFF an<br />
HAUSDORFF vom 9.3.1935 und NL HOPF, HOPF an ALEXANDROFF vom 2.3.1935.<br />
880
von Gruppen Br{F), die fiir jedes £: > 0 als r-te Homologie irgendeines Nerven<br />
einer e-Uberdeckung von F auftritt. Sie zeigten, dafi (bis auf Isomorphie)<br />
hochstens eine Gruppe aus MB als Untergruppe aller anderen auftritt und<br />
definierten dann ad-hoc:<br />
Falls sie existiert, nennen wir sie [die Untergruppe MB - E. S.] die r-te<br />
Bettische N-Gruppe von F und bezeichnen sie mit B'^{F)^^<br />
In einer Anmerkung erlauterten die Autoren die Klausel 'falls sie existiert"<br />
durch Verweis auf ein Beispiel, bei dem die Existenz nicht gewahrleistet ist!<br />
ALEXANDROFF akzeptierte HAUSDORFFS technische Detailkritik. Er bestellte,<br />
wie er schrieb "angeregt durch die Hausdorffsche Kritik", einige Fahnen<br />
des ehemaligen Kapitels VI zuriick, um alles noch einmal durchzusehen. Eine<br />
grundsatzliche Revision lehnte er hingegen ab.^^<br />
HAUSDORFFS Kritik an der Unausgereiftheit des Konzeptes der "Bettischen<br />
N-Gruppen" im Ganzen erschien ihm iibertrieben. Er wies den Vorschlag einer<br />
begrifflichen Verbesserung freundlich aber bestimmt zuriick, zumindest fiir den<br />
ersten Band des gemeinsamen Werks mit HOPF:<br />
Dagegen teile ich nicht Ihre Abneigung gegen die "unter Umstanden gcir<br />
nicht existierende" Bettische Gruppe B'^{F) - sie wird jetzt in Analogic<br />
zu den Bettischen AT-Zahlen die Bettische iV-Gruppe genannt. Sie gehort<br />
zu einem anderen Ideenkreis als die "vollen" Bettischen Gruppen eines<br />
Kompaktums.^^<br />
In Anspielung auf eine Episode, die er bei einem seiner Bonner Besuche erlebt<br />
hatte, raumte ALEXANDROFF ein, dafi HAUSDORFFS begriffliche Kritik durchaus<br />
nachvollziehbar sei. Dennoch woUte er sie sich nicht zu eigen machen:<br />
Sie konnen natiirlich mir mit den Worten des alten Bonner Uhrmacher<br />
(lebt er noch?) antworten: „In ihrer Art mogen ja diese Gruppen ganz<br />
schon sein, aber die ganze Art ist Schunt und Mischt!" Aber auch diesen<br />
Standpunkt wiirde ich nicht teilen. Die Bettischen A^'-Gruppen gehoren<br />
genau zu derselben Kategorie der topologischen Invarianten, wie die Bettischen<br />
AT-Zahlen. Zu derselben Art gehort auch der Zerlegungssatz und<br />
iiberhaupt alles, was auf Nerven beliebig-feiner Uberdeckungen beruht,<br />
andererseits aber vom Begriff des Projektionsspektrums noch keinen Gebrauch<br />
macht. (ibid.)<br />
Demnach hatte HAUSDORFF wohl zu einer Vorgehensweise ahnlich der seiner<br />
Vorlesung von 1933 geraten, also vorgeschlagen, anstelle der etwas undurchsichtigen<br />
Untergruppe MB - "falls sie existiert" - Limites von Gruppenfolgen<br />
45[AleHo 1935], S.356.<br />
'^^Brief ALEXANDROFFS an HOPF vom 9.3.1935, S. 6.<br />
^"^NL HAUSDORFF, Kapsel 61, Brief ALEXANDROFFS vom 9.3.1935. Man beachte die Anfiihrungszeichen<br />
bei " 'unter Umstanden gar nicht existierende' Bettische Gruppe". Die Moglichkeit,<br />
daft die ALEXANDROFF/HoPFSche Definition leer sein kann, scheint demnach ein<br />
Kritikpunkt HAUSDORFFS gewesen zu sein. Vermutlich ging der Existenzvorbehalt des Buches<br />
aus HAUSDORFFS Einwand hervor.<br />
881
zu bilden ("Fundamentalfolgen" in HAUSDORFFS Sprache der 1930er Jahre).<br />
Darauf ware dann auch der topologische Invarianzbeweis besser aufzubauen.<br />
ALEXANDROFF wandte dagegen ein:<br />
Es ist dies [Bettische AT-Gruppen etc. - E. S.] eine durchaus bemerkenswerte<br />
Kategorie von topologischen Begriffsbildungen. Den Satz, dass fiir<br />
ein Polyeder die Bettischen 7V-Gruppen iiberhaupt existieren, ist ein interessanter<br />
Satz (von Hopf). An seinem Interesse wird nichts geandert,<br />
wenn man auch noch so viele und noch so einfache Invarianzbeweise<br />
fiir die Bettischen Gruppen von Polyedern hatte. SelbstverstandUch wird<br />
auch der von Ihnen erwahnte Beweis in unserem Buche gebracht, aber er<br />
gehort in den zweiten Band des Buches, wo alles, was mit Voll- bzw. Projektionszyklen<br />
zusammenhangt, daxgestellt wird. ... Dagegen liegt den<br />
Methoden des ersten Bandes die Betrachtung der Projektionsspektra,<br />
-zyklen usw. noch fern, (ibid.)<br />
Er vertrostete also seinen Korrespondenten fiir einen begrifflichen Zugang nach<br />
Art des "Bonner Uhrmachers" unter Verweis auf den systematischen Aufbau<br />
des Buches auf Band II des Werkes. Einen weiteren Umbau des Gemeinschaftswerkes<br />
woUte er auf keinen Fall in Kauf nehmen. Das Unternehmen "Alexandroff/Hopf'<br />
hatte sich sowieso schon iiber 5 Jahre hingezogen und mehrere<br />
Umbauten erlebt. HOPF hatte kurz vorher seinen Unmut iiber die haufigen<br />
Anderungsvorschlage ALEXANDROFFS zum Ausdruck gebracht (Brief HOPES<br />
an ALEXANDROFF vom 2.3.1935). Der Verleger protestierte noch heftiger.^^<br />
ALEXANDROFF hatte also starke pragmatische Griinde, sich nicht auf HAUS<br />
DORFFS grundsatzlichen Vorschlag einzulassen.<br />
An HOPF schrieb er, er woUe in Zukunft lieber MARKOFF weiter Korrekturen<br />
lesen lassen. MARKOFF sei sehr griindlich und werde in "angenehmer Weise<br />
bescheiden" sein. Er erganzte:<br />
... er wird eben die Korrektur lesen und nach Fehlern suchen, und nicht<br />
Vorschlage machen, wie man ein Buch iiber Topologie anders schreiben<br />
konnte, als wir es nun einmal geschrieben haben!^^<br />
Seine Antwort an HAUSDORFF war daher trotz aller Verbindlichkeit in dieser<br />
Hinsicht klar abweisend. Beziiglich dessen Anspriichen an den in Kapitel<br />
IX (Druckfassung) gefiihrten Invarianzbeweis glaubte ALEXANDROFF auf die<br />
Zukunft verweisen zu konnen:<br />
Im Ganzen werden im 1. Band vier, im zweiten Bande mindestens ein Beweis<br />
fiir die Invarianz der Bettischen Gruppen gebracht. Hoffentlich findet<br />
unter diesen fiinf Beweisen jeder Leser einen, der seinem Geschmack<br />
entspricht; allerdings werden dabei manche Leser auf das Erscheinen des<br />
^^CouRANT schrieb am 23.3.1935 an HOPF: "Von Springer erhielt ich handeringende Briefe<br />
iiber Ihre und Alexandroffs Korrekturen. Es scheint ja wirklich, als ob Sie einfach das gauze<br />
Buch nach dem Druck sozusagen noch einmal neu geschrieben haben. Springer erklart,<br />
dass dieses Ausmass von Aenderungen und Korrekturen ein noch nie dagewesenes Unikum<br />
darstellt." (ETH-Bibhothek, Handschriftenabteilung, NL HOPF, Kapsel Hs. 621:47)<br />
49ETH-Bibliothek, Handschriftenabteilung, NL HOPF, HS 621:64, S.6.<br />
882
zweiten Bandes warten miissen (der aber wirklich schneller fertig sein<br />
wird als der erste!)^^<br />
Im letzten Punkt verschatzte sich ALEXANDROFF. Der zweite Band erschien<br />
bekanntlich nie. HAUSDORFF gehorte zu denjenigen Lesern, die "auf das Erscheinen<br />
des zweiten Bandes" bis zum Sankt-Nimmerleins Tag batten warten<br />
miissen. Das war nicht seine Sache. Gut vier Jahre nach Erscheinen des "ersten<br />
Bandes" von ALEXANDROFF/HOPF, als abzusehen war, dafi ein zweiter wohl<br />
kaum mehr folgen wiirde, machte er sich selbst daran, die Definition der Homologie<br />
durch ALEXANDROFFsche Nerven und deren Invarianzbeweis neu zu<br />
formulieren.<br />
7. Invarianzbeweise der Homologie<br />
HAUSDORFFS erster Invarianzbeweis der Homologie im Vorlesungsmanuskript<br />
vom Sommer 1933 (NL HAUSDORFF, Fasz. 55) stiitzte sich auf ALEXANDROFFS<br />
Homologietheorie mit starker Akzentuierung gruppentheoretischer Methoden<br />
einschliefilich einer vereinfachten Aufnahme von CECHS Verallgemeinerung in<br />
[Cech 1932].^^ Dabei arbeitete er insbesondere die Rolle von Gruppenfolgen Gi<br />
(HAUSDORFFS Bezeichnung) samt Homomorphismen<br />
Gi^i —> Gi (1)<br />
fiir jedes i G IN heraus (Symbolik so bei HAUSDORFF, Fasz. 55) und fiihrte<br />
zunachst in diesem speziellen Fall deren inverse Limites (in der spateren Bezeichnung<br />
von N. STEENROD) ein. In Anspielung auf die Analysis und in Anlehnung<br />
an ViETORls nannte er die inversen Limites hier "Fundamentalfolgen"<br />
(Fasz.55, B11.135ff.).<br />
In einem Arbeitsmanuskript vom 26.3.1933 (NL HAUSDORFF, Fasz. 451)<br />
verallgemeinerte er die Gruppenfolgen zu Gruppenscharen (HAUSDORFFS Bezeichnung).<br />
Darunter verstand er eine durch eine Menge U indizierte Familie<br />
von Gruppen {Gu)ueu zusammen mit einem System von Homomorphismen<br />
Gy —> Gu fiir gewisse v^u G t/, die (in spaterer Sprache ausgedriickt)<br />
die Bedingungen eines invers gerichteten Systems erfiillen. Durch die Einfiihrung<br />
gebundener Elemente (HAUSDORFFS Terminologie) der Form {xu)ueu mit<br />
^u ^ Gu und Xy = fuvi^u)-, falls im gegebenen System ein Homorphismus<br />
fuv ' Gu —> Gy existiert, konstruierte HAUSDORFF in diesem Manuskript das<br />
spater als inversen Limes zu einer Gruppenschar bezeichnete Objekt.<br />
In diesen Manuskripten machte er ausgiebig von der Pfeilsymbolik fiir Abbildungen<br />
Gebrauch. Zu diesem Zeitpunkt war das keineswegs iiblich. Abbildungspfeile<br />
wurden in der zeitgenossischen Literatur bestenfalls sporadisch eingesetzt;<br />
zuweilen elementweise bei Randoperatoren der Homologietheorie, im<br />
Einzelfall auch fiir allgemeine Homomorphismen.^^ Fiir die Abbildung gan-<br />
^°NL HAUSDORFF, Kapsel 61, Brief vom 9.3.1935.<br />
^^Fiir Randoperatoren elementweise siehe [Al 1926], [Ale 1928], [Cech 1932], [Pon 1931],<br />
fiir den allgemeinen Fall [Wae 1930/31], Bd.l, S.44ff.<br />
883
zer Gruppen hatte sie H. WEYL zur Symbolisierung von Darstellungshomomorphismen<br />
eingesetzt ([Weyl 1925], S.544). Eine relativ systematische Verwendung<br />
wie hier fiir Gruppenfolgen, sowohl fiir die ganze Gruppe, als auch<br />
elementweise, war hingegen eine eigenstandige Symbolwahl HAUSDORFFS. In<br />
einem Beispiel deutete er (in der Kopfzeile einer Tabelle) sogar eine ganze<br />
Gruppenfolge auf diese Weise graphisch an:<br />
Gi
fiir irgendeine kanonische Zerlegungsfolge X — (Xi). Dann zeigte er, dafi<br />
B.^(X, Z) fiir kompakte metrische Raume topologisch invariant ist (Satz VIII,<br />
Bl. 151). Durch den Nachweis der Isomorphie<br />
zog dies wiederum die topologische Invarianz der simplizialen Homologie<br />
ijrf([$],Z) eines endlichen geometrischen Simplizialkomplexes [$] nach sich<br />
(Satz X).<br />
Anfang der 1930er Jahre war dies eine bemerkenswerte begriffliche Zuspitzung.<br />
Zwar war die Grundidee dieser Vorgehensweise in den Arbeiten von<br />
ALEXANDROFF und CECH als Moglichkeit angelegt; aber keiner dieser beiden<br />
Autoren arbeitete die in den eigenen Arbeiten angelegte Limeskonstruktion<br />
klar heraus. Wie wir oben sahen, wehrte sich ALEXANDROFF sogar dagegen,<br />
HAUSDORFFS Vorschlag zur Klarung seiner Konstruktion der Homologiegruppen<br />
in Band I von [AleHo 1935] aufzunehmen. CECH nahm in [Cech 1932] zwar<br />
eine detaiUierte Analyse der induzierten Abbildungen der Zyklen und ihrer<br />
Homologien vor, charakterisierte aber die auftretenden Limites (als Moduln)<br />
nur implizit. Die bei ihm angelegte Struktur der inversen Limites wurde erst<br />
von STEENROD in [Ste 1936] explizit herausgearbeitet.^^ HAUSDORFF lernte<br />
STEENRODS Arbeit moglicherweise erst 1940 kennen. Eine Studie dazu findet<br />
sich in seinem Nachlafi (Fasz. 750).^^<br />
Seine eigene AufFassung von "Gruppenfolgen" und "Gruppenscharen" und<br />
ihrer Limites hatte er schon im Marz 1933 ausgearbeitet. Eine detaiUierte Studie<br />
liber CECHS Arbeit, im Nachlafikatalog datiert als "vermutlich 1932 bis Februar<br />
1934" (NL HAUSDORFF, Fasz. 463) entstand allem Anschein nach spater als<br />
Marz 1933. In einer Randnotiz zu CECHS Behandlung von Ketten C^iJA) einer<br />
tJberdeckung U bemerkte Hausdorff namlich:<br />
Bei miri C^iJA) tritt in einer "Pundamentalfolge" oder in einem "gebundenen<br />
Element" als Glied auf ^^<br />
Zum Zeitpunkt seiner detaillierten Studie der CECHschen Arbeit hatte HAUS<br />
DORFF seine Auffassung der Gruppenscharen und der inversen Limites also<br />
offenbar schon ausgearbeitet.<br />
Im Laufe der 1930er Jahre wurden die Hilfsmittel der algebraischen Topologie<br />
so weit verfeinert, da£ HAUSDORFF im Friihsommer 1940 seinen alten Beweis<br />
des Fundamentalsatzes (der topologischen Invarianz der Homologie) verbessern<br />
konnte. Zwischen Ende Mai und Juli 1940 bearbeitete er das Thema noch einmal<br />
neu in einer Handschrift, liberschrieben "Vereinfachte Umarbeitung des § 4<br />
^^Siehe dazu [Die 1989], S.74ff. Limites von Gruppen traten allerdings schon friiher auf,<br />
etwa bei [Pon 1931] und [Herb 1933] - Hinweis von R. Kromer.<br />
^^G. BERGMANN datiert dieses Manuskript auf "vermutlich Oktober 1940". Mir ist unbekannt,<br />
worauf sich diese Monatsdatierung stiitzt; aber selbst falls diese Datierung zutreffen<br />
sollte, zeigt HAUSDORFFS Terminologie und Symbolik in Fas. 742, daft er STEENRODS Arbeit<br />
schon vorher, spatestens in der ersten Jahreshalfte 1940, zur Kenntnis genommen hatte.<br />
^^NL HAUSDORFF, Fasz. 463, B1.3v.<br />
885
meiner Vorlesung vom SS 1933 nebst Zusatzen" (NL HAUSDORFF, Fasz. 742).<br />
Die Handschrift besteht aus zwei (teilweise mehrfach geschriebenen) Teilen. Im<br />
ersten (§ 4A) arbeitete unser Autor den Invarianzbeweis fiir endliche geometrische<br />
Komplexe neu aus und erganzte ihn um tjberlegungen zur CECHschen<br />
und zur ViETORlS-Homologie HY{X) allgemeinerer Raume X, samt Isomorphienachweis<br />
HY{X) ^ H^{X) fur X kompakt, metrisierbar (BlL61ff.). Der<br />
zweite (doppelt ausgefiihrte) Teil (§ 4B ~ § 4C) behandelte den Fall abzahlbarer,<br />
lokal endlicher geometrischer (Simplizial-) Komplexe.<br />
In diesem spaten Manuskript konnte HAUSDORFF aufier auf die Ansatze von<br />
ALEXANDROFF, VIETORIS und CECH (1932) auch auf Kenntnis der Arbeiten<br />
von PONTRJAGIN (1931) und STEENROD (1935) zuriickgreifen. Dennoch<br />
benutzte er auch in seinem neuen Beweis weiterhin entscheidend, dafi die simpliziale<br />
Homologie J^f ([^], Z) eines endlichen oder abzahlbaren geometrischen<br />
Komplexes [$] mit der ALEXANDROFF-Homologie iY^([$], Z), gebildet aus Zerlegungsfolgen<br />
von Uberdeckungen aus Simplexsternen, isomorph ist. CECH folgend,<br />
verwendete er nun allerdings offene Uberdeckungen (und entsprechend<br />
offene Simplexsterne). Die Beweisstrategie blieb aber ansonsten dieselbe wie<br />
1933. HAUSDORFF fiihrte den Beweis erneut und unter schrittweise allgemeineren<br />
Bedingungen aus, zunachst fiir endliche geometrische Simplizialkomplexe<br />
(Fasz. 742, Bll. 25-28), dann fiir kompakte metrische Raume (BU. 33 ff.) und<br />
schliefelich fiir abzahlbar unendliche, lokal endliche geometrische Simplizialkomplexe.<br />
Er blieb bei (gegeniiber der CECH-Homologie) eingeschrankten, sich in jedem<br />
Schritt verfeinernden tJberdeckungssystemen. Wie in der Vorlesung 1933<br />
betrachtete er Gruppenfolgen (1) und konstruierte die zugehorige Limesgruppe<br />
(Fasz. 742, Bl. 31). Er vereinfachte damit STEENRODS inverse Systeme, verwies<br />
aber darauf, dd& eine allgemeinere Auffassung mit lediglich partialgeordneten<br />
Indexmengen moglich ist. An einigen Stellen verwendete er nun sogar die Formulierung<br />
des "inversen Systems" und dessen "Limesgruppe" (ibid., Bl. 37).<br />
Eine Folge $ — (^i) von Komplexen ^i der Nerven schrittweise feiner werdender<br />
Uberdeckungen induziert eine Folge von zugehorigen Homologiegruppen.<br />
Deren (inversen) Limes bezeichnete HAUSDORFF ahnlich wie 1933 als Homologie<br />
der Komplexfolge iJ*(^, 2) (ebda.). Mit der verbesserten Methode der<br />
Gruppenlimites wurde der Beweis, dafi je zwei "kanonische" Zerlegungsfolgen<br />
eines kompakten Raumes gleiche Homologien haben, also die entscheidende<br />
Grundlage fiir die Einfiihrung der ALEXANDROFF-Homologie, beziehungsweise<br />
ihrer HAUSDORFFschen Variante wie in den Gleichungen (2), (3), eleganter<br />
fiihrbar als 1933 (ibid., Bll. 33ff.). Dasselbe gait fiir den Beweis der topologischen<br />
Invarianz (ibid. Bll. 34ff.).<br />
Fiir allgemeine topologische Raume fiigte HAUSDORFF einen kurzen Exkurs<br />
zur CECH-Homologie ein. Diese sei "offenbar topologisch invariant" und stimmt<br />
im kompakten Fall mit der simplizialen Homologie iiberein (ibid., Bll. 36ff.).<br />
Fiir abzahlbare, lokal endliche, geometrische Simplizialkomplexe [^] ging er<br />
jedoch wieder zu seiner an ALEXANDROFF orientierten Beweisstrategie iiber<br />
und bewies die topologische Invarianz von iJ^([^], Z) durch Betrachtung von<br />
886
Verfeinerungen abzahlbarer ofFener Uberdeckungen und ihrer Nerven (ibid.,<br />
B11.85ff.).^^<br />
HAUSDORFF war mit dem Ergebnis seiner Verbesserungen nun ofFenbar zufrieden.<br />
In dem schon oben erwahnten Brief vom 6.6.1940 an J. O. MULLER<br />
schrieb er weiter:<br />
Ich habe jetzt den Komplex-Komplex, d. h. befasse mich mit kombinatorischer<br />
Topologie. Wissen Sie noch, wie wir in dem Biichelchen von<br />
Veblen gemeinsam bis Seite 2 vordrangen? Leider sind auch die spateren<br />
Werke, Lefschetz, Threlfall-Seifert, AlexandrofF-Hopf, gar nicht leicht<br />
zuganglich. Im Sommersemester 1933 habe ich noch eine zweistiindige<br />
Einfiihrungsvorlesung iiber diesen Gegenstand gehalten; den letzten Paragraphen<br />
davon, den Beweis der topologischen Invarianz der Bettischen<br />
Gruppen, habe ich jetzt doch so vereinfacht, dass ich ein gewisses aesthetisches<br />
Wohlgefallen daran habe.^^<br />
Diese Aufierungen zeigen, dafi es HAUSDORFF als nunmehr fast 72-jahrigem in<br />
seinen Ausarbeitungen zur algebraischen Topologie nicht mehr um neue Ergebnisse<br />
ging. Es lagen publizierte Beweise der topologischen Invarianz der Homologie<br />
vor, die den gangigen Kriterien standhielten, darunter die von ihm sachlich<br />
keineswegs infrage gestellten von ALEXANDROFF und HOPE und einer von<br />
SEIFERT/THRELFALL. Die Ausfiihrungen der letztgenannten waren allerdings<br />
geometrischer im Stil als die von ALEXANDROFF und HOPE und lagen schon<br />
deswegen seiner Denkweise ferner, abgesehen von ihrer Verwendung der (verbesserten)<br />
Methode der singularen Homologie.^^ Dafi sich HAUSDORFF auch<br />
mit den Beweisen von ALEXANDROFF und HOPE nicht ganzlich zufrieden geben<br />
wollte, wurde weiter oben schon dargestellt (Abschnitt 6).<br />
Der Schritt zur Betrachtung unendlicher Komplexe und nichtkompakter Raume<br />
war zwischenzeitlich auch anderenorts geschehen. Schon [Lef 1930] enthielt<br />
eine Darstellung der Homologie unendlicher Komplexe, wenn auch noch in vorlaufiger<br />
Form. CECH zielte mit seiner Homologietheorie in allgemeinen Raumen<br />
in dieser Hinsicht auf eine tragfahige Verallgemeinerung ([Cech 1932]). Es zeichnete<br />
sich allerdings ab, dafi die urspriingliche Fassung der CECH-Homologie fiir<br />
den nicht-kompakten Fall Probleme aufwarf, weil sie nicht homotopieinvariant<br />
war ([Dow 1937]). HAUSDORFFS Vorsicht mag insofern durchaus als gerechtfertigt<br />
erscheinen (obwohl dies nicht sein Grund war). Sein Invarianzbeweis war<br />
klar aufgebaut und auch fiir diesen Fall verlafilich durchgefiihrt.<br />
^^Der entsprechende Passus des Manuskriptes 4B (bzw. in anderer Zahlung 4C liegt in<br />
zweifacher Ausfertigung vor, eine datiert vom 5.5.1940 (Fasz. 742, Bll. 87-101), die andere<br />
auf den 10.6.1940 datiert (ibid., Bll. 72^86). In diesem Band ist nur die spatere Fassung<br />
ediert.<br />
5'^Vgl. Fuftn. 5.<br />
^^Schon aus den Korrekturfahnen des ersten Teils von SEIFERT/THRELFALL war HAUS<br />
DORFF die grofte Differenz in Stil und Denkweise zu diesen beiden Autoren ersichtlich geworden.<br />
In einem Brief vom 18.2.1933 schrieb er an ALEXANDROFF: „Threlfall und Seifert<br />
haben mir einen Teil des Manuskripts eines Buches, das sie iiber komb. Top. schreiben wollen,<br />
zugeschickt; ich finde das Bisherige recht hiibsch und klar. Aber meine Haupt-Hoffnung ist<br />
doch auf Sie und Hopf gerichtet." (NL HAUSDORFF, Kapsel 61)<br />
887
Ohnehin beschrieb er die Absicht seiner neuen Studien eher in Stilkategorien<br />
als durch Giiltigkeitskriterien. Die vorhandenen Lehrbuchdarstellungen gait en<br />
ihm als "gar nicht leicht zuganglich". Diese Formulierung liefi offen, ob ,schwierig,<br />
wenn auch moglicherweise logisch in Ordnung' gemeint war, oder ,schwierig,<br />
well logisch liickenhaft und methodologisch zweifelhaft'. Es ist leicht zu erraten,<br />
wie HAUSDORFF die von ihm genannten Monographien in dieser Hinsicht<br />
beurteilte.<br />
Er jedenfalls hatte fiir die Invarianz- und Isomorphiebeweise eine Form gefunden,<br />
die in seiner Sicht neben der logischen auch darstellungsmafiige ("aesthetische")<br />
Geltung beanspruchen konnte.<br />
8. Ausblick<br />
Nach seiner Emeritierung im Jahre 1935 verfolgte HAUSDORFF die Entwicklung<br />
der algebraischen Topologie in dem Mafee weiter, wie es ihm unter den erschwerten<br />
Bedingungen des Literaturzugangs wahrend dieser Zeit moglich war.^^ Den<br />
erhaltenen Studien nach zu schlie£en, verfolgte er insbesondere die Arbeiten<br />
von S.EiLENBERG, W. HuREWicz und N.STEENROD mit grofiem Interesse<br />
(NL Hausdorff, Findbuch). Thematisch beschrankte er sich dabei weitgehend<br />
auf die Homologietheorie und ihre Eigenschaften. Die neu entstehenden Forschungsthemen<br />
der Kohomologietheorie und ihrer Produktstrukturen sowie das<br />
in dieser Zeit begonnene Studium hoherer Homotopiegruppen ([Mas 1999], [Die<br />
1989], [HenPu 1990]) wurden, den erhaltenen Studien nach zu schliefien, von<br />
HAUSDORFF nicht weiter beachtet. Lediglich ein sporadischer Hinweis auf "Fundament<br />
algruppen hoherer Dimension: Hurewicz und Aronszeijn" findet sich in<br />
einer einzeln stehenden Notiz (NL HAUSDORFF, Fasz.688, Bl. 1).®^ Anders ist<br />
das mit Fragen der Homotopieaquivalenz von Abbildungen und mit dem Studium<br />
von Retrakten bei HuREWiCZ und anderen. Diesbeziiglich einschlagige<br />
Arbeiten hat HAUSDORFF rezipiert (z. B. NL HAUSDORFF, Fasz. 578, 580, 634,<br />
663, 669, 680, 762, 784), ohne diese Dinge selbst weiter zu treiben.^^<br />
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^^Zu HAUSDORFFS Lebens- und Arbeitsbedingungen unter der nationalsozialistischen Diktatur<br />
s.die Biographic im Band I dieser Edition.<br />
^^NACHMAN ARONSZAJN, Dissertation 1930 bei S. MARZURKIEWICZ und M. FRECHET.<br />
^^Fiir die Durchsicht dieser Manuskripte geht ein herzlicher Dank an C.-F. BODIGHEIMER.<br />
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[SeThr 1934] SEIFERT, K.J.H.; THRELFALL, W.R.M.H.: Lehrbuch der<br />
Topologie. Teubner, Leipzig 1934. Nachdruck: Chelsea, New York 1947,<br />
1968.<br />
[Ski 1993] SKLARYENKO, E. G.: Algebraic topology [introductory comments].<br />
In: [KaSi 1993], 213-230.<br />
[Ste 1936] STEENROD, N. E.: Universal homology groups. American Journal<br />
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[Stei 1908] STEINITZ, E.: Beitrdge zur Analysis Situs. Sitzungsberichte Berliner<br />
Mathematische Gesellschaft 7 (1908), 29-49.<br />
[Tu 1932] TUCKER, A. W.: Modular homology characters. Proceedings of the<br />
National Academy of Sciences USA 18 (1932), 467-471.<br />
[Tu 1938] TUCKER, A. W.: Degenerate cycles bound. Math. Sbornik 3 (1938),<br />
287-288.<br />
[Veb 1922] VEBLEN, O.: Analysis Situs. American Mathematical Society,<br />
New York 1922,^1931.<br />
[Vie 1926] ViETORis, L.: Ueber den hoheren Zusammenhang von kompakten<br />
Rdumen und eine Klasse von Abbildungen, welche ihn ungedndert Idsst.<br />
Proceedings Amsterdam, KNAW 29 (1926), 1008-1013.<br />
891
[Vie 1927] ViETORiS, L.: Ueber den hoheren Zusammenhang kompakter Rdume<br />
und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. Mathematische<br />
Annalen 97 (1927), 454-472.<br />
[Vie 1930] ViETORls, L.: Uber die Homologiegruppen der Vereinigung zweier<br />
Komplexe. Monatshefte fiir Mathematik und Physik 37 (1930), 159-162.<br />
[Wae 1930/31] WAERDEN, B. L. VAN DER: Moderne Algebra, Band 1 (1930),<br />
Band 2 (1931). Springer, Berlin ^1936, ^1950, ^1955, ^960, ^1964, ^1966.<br />
[Ab 4. Auflage unter dem Titel „Algebra".]<br />
[Weyl 1925] WEYL, H.: Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher<br />
Gruppen durch lineare Transformationen I. Mathematische Zeitschrift<br />
23 (1930), 271-309. Gesammelte Abhandlungen, Bd. II, 542-579.<br />
Aus HausdorfFs Nachlaft sind im folgenden abgedruckt:<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 18: Fasz. 55<br />
Einfiihrung in die kombinatorische Topologie<br />
Hs. Ms. - [Bonn], Sommersemester 1933. - 153 Bll.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 43: Fasz. 742<br />
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen<br />
(Vereinfachte Umarbeitung des § 4 meiner Vorlesung vom SS 1933<br />
nebst Zusatzen).<br />
Hs. Ms. - [Bonn], Ende April-Juli 1940. - 101 Bll.<br />
Abgedruckt sind Bll. 23-28, 41-48, 60-101.<br />
NL HAUSDORFF : Kapsel 35: Fasz. 401<br />
Euklidische Komplexe<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 14.1.1931 [und friiher]. - 32 Bll.<br />
Abgedruckt sind Bll. 23-24, 29-32.<br />
892
Einfiihrung in die Kombinatorische Topologie<br />
(SS 1933) 2 St.<br />
§ 1. Komplexe.<br />
Als einfachste Figuren des dreidimensionalen Euklidischen Raumes betrachten<br />
wir:<br />
(0) den Punkt x<br />
(1) die (geradlinige) Strecke [xy]<br />
(2) das Dreieck [xyz]<br />
(3) das Tetraeder [xyzu]<br />
Im Fall (1) ist X ^ y angenommen, die Strecke besteht aus den Punkten der<br />
durch X, y gehenden Geraden, die zwischen x, y liegen, die Ecken x, y mitgerechnet<br />
{abgeschlossene Strecke). Im Fall (2) ist angenommen, dass x, y, z nicht<br />
auf einer Geraden liegen, sondern eine Ebene bestimmen, das Dreieck besteht<br />
aus den Punkten, die im Innern oder auf den Seiten liegen {abgeschlossenes<br />
Dreieck); man erhalt sie z. B., wenn man z mit alien Punkten von [xy] verbindet.<br />
Im Fall (3) ist angenommen, dass x^y^z^u in keiner Ebene liegen; man<br />
erhalt die Punkte des Tetraeders, wenn man u mit alien Punkten von [xyz]<br />
verbindet. | B1.2<br />
In Raumen hoherer Dimension existieren noch weitere analoge Figuren. En<br />
sei ein n-dimensionaler Zahlenraum; die Punkte (Elemente der Menge En) sind<br />
Zusammenstellungen<br />
^ = (6,6,---,^n), y= (7/1,7/2,..., r/n),...<br />
von n reellen Zahlen in bestimmter Reihenfolge, d.h.. x = y dann und nur dann,<br />
wenn ^i = T/I , ^2 = 7/2, • • •, ^n = 7/n • Wir nennen ^1,..., Cn die Koordinaten von<br />
x; der Punkt 0 == (0, 0, ..., 0) heisst Nullpunkt Unter ax -\- f3y -\- - - - -\- ^z<br />
(endlich viele Punkte x, y,..., 2:, nicht notwendig verschieden; reelle Koeffizienten<br />
a, /?,..., 7) wird der Punkt mit den Koordinaten a^i + (5r]i + • • • 4- 7^<br />
(i — l,...,7i) verstanden. 771 + 1 Punkte xo,xi,...,Xm heissen (linear) unabhdngig^<br />
wenn keine Relation<br />
ao^o -h aixi -\ h Oim^ni =0, ao-\- ai-\ (- am = 0<br />
besteht ausser fiir Q/Q = o^i = • • • = am = 0 (ein einzelner Punkt gilt demnach<br />
als unabhangig). Sind XQ, ..., Xm unabhangig, wahrend x, XQ, . •., Xm abhangig<br />
sind, so besteht also eine | Relation fSx + /3o^o + • • • + Pm^m = 0, (3 -\- Po + BL 3<br />
hPm — 0, in der /?, /^o, • • • 5 /^m nicht alle 0 sind, und zwar ist /? 7^ 0, da sonst<br />
xo,..., Xm abhangig waren. Indem man durch P dividiert, erhalt man<br />
X = aoxo -\- aixi -\ h amXm, ao-\-ai -\ \-am = '^ (1)<br />
m<br />
und dies liefert also, wenn man die ai mit ^ a^ = 1 variieren lasst, alle von<br />
0<br />
Xo,..., Xrri abhangigen Punkte: sie bilden den durch XQ, ..., Xm bestimmten 771dimensionalen<br />
Teilraum E{xoXi.. .x^) von En- (Fiir m — 1 die durch xo,xi<br />
893
gehende Gerade, fiir m = 2 die durch xo,a;i,X2 gehende Ebene u. s.w.) Unterwirft<br />
man die ai in (1) ausserdem der Einschrankung<br />
«0 > 0, ai > 0, . . . , Qrn > 0, (2)<br />
so bilden die x eine Menge [XQXI .. .Xm], die als m-dimensionales Simplex mit<br />
den Ecken XQ^XI,. .. ,Xm bezeichnet wird ^. (m = 1 Strecke, m = 2 Dreieck<br />
Bl. 4 u.s.w.)|<br />
Die Maximalzahl unabhdngiger Punkte ist n -|- 1. Haben wir m + 1 Punkm<br />
te XQ^XI,. ., ,Xm und stellen die Gleichung ^ai {xi — XQ) = 0 auf, so liefert<br />
1<br />
das fiir ai,..., am TI lineare homogene Gleichungen (Spaltung nach den Koordinaten),<br />
und diese haben fiir m > n sicher eine Losung ai,...,Q:m mit<br />
nicht lauter verschwindenden Gliedern, d.h. xo,...,Xm sind abhangig (mit<br />
m m m<br />
ao = — X^c^i : ^aiXi = 0, ^oii = 0). Mehr als n + 1 Punkte sind also<br />
1 0 0<br />
sicher abhangig; andererseits giebt es aber n + 1 unabhangige Punkte; z. B. die<br />
i<br />
n Punkte e^ = (0,..., 0,1,0,..., 0), deren i-te Koord. 1 ist, wahrend die iibrigen<br />
n<br />
verschwinden, verbunden mit dem NuUpunkt eo = 0 : hier ist ^^^^^(e^ — eo) ==<br />
1<br />
(ai,..., an) = 0 nur fiir CKI = • • • == an = 0 und ao = 0. Fiir n +1 unabhangige<br />
Punkte xo,..., Xn ist also E{xo ... Xn) mit dem ganzen Raum identisch. Es<br />
Bl. 5 giebt in En nur Simpla der Dimensionen 0,1,..., n. |<br />
Der Punkt (1) wird aus Grtinden, die in den Elementen der Mechanik erlautert<br />
werden, der Schwerpunkt der in den Punkten XQ ,..., Xm angebrachten Massen<br />
ceo,..., Oini (mit der Summe 1) genannt; diese Massen, die wegen der Unabhangigkeit<br />
der Xi durch x eindeutig bestimmt sind, heissen die baryzentrischen<br />
Koordinaten von x. Bei gleichen Massen erhalt man den Schwerpunkt<br />
oder Mittelpunkt<br />
X ——(xoH \-Xm)<br />
I ~r J-<br />
des Simplums. AUgemein heissen die x, wo alle a^ > 0 sind, innere oder mittlere<br />
Punkte des Simplums, die iibrigen, wo also mindestens ein a^ gleich 0 ist,<br />
Randpunkte. (Es stimmt diese Unterscheidung mit der mengentheoretischen<br />
in Bezug auf den Raum JE'(XO ... Xm) tiberein, aber fiir m < n nicht mit der<br />
in Bezug auf den ganzen Raum En- Ein 0-dimensionales Simplum x hat den<br />
mittleren Punkt x und keinen Randpunkt). Der Rand wird also von den {m—1)-<br />
Simpla (= (m — l)-dimensionalen Simpla)<br />
• Xm—\<br />
Bl. 6 I gebildet, die durch Weglassung je einer Ecke entstehen; die Randsimpla dieser<br />
^der oder das Simplex? Plural Simplices oder Simplexe? Ich ziehe vor: das Simplum, die<br />
Simpla.<br />
894
Randsimpla sind (m — 2)-Simpla u. s. w.; die 1-Simpla [xoa^i], [a:oa:2]5 [3:^1^2], • • •<br />
heissen auch Kanten.<br />
Das Simplum [xoa^i.. .Xm] ist durch die Menge S = {XQXI .. .Xm} seiner<br />
Ecken bestimmt und wird kurz mit [S] bezeichnet. Ist T C 5 eine nicht leere<br />
Teilmenge von 5, so heisst [T] mit [S] inzident.<br />
Zwei Simpla [S], [T] in En heissen exklusiv, wenn ihr Durchschnitt entweder<br />
leer oder das von ihren gemeinsamen Ecken bestimmte Simplum ist (Dabei<br />
wird [S] ^ [T], 5 7^ T angenommen).<br />
In kurzer Formel<br />
[S][T] = [ST];<br />
im Allgemeinen ist [S][T] 'D [ST] und es soil also bei exklusiver Lage das<br />
Gleichheitszeichen gelten.<br />
Beispiele in der Ebene (links exklusive, rechts nicht exklusive Lage).<br />
Zwei Dreiecke: y^<br />
V3<br />
V . 1\<br />
^v^ ^ BL 7<br />
eine gemeinsame Ecke \ 1 ^ \ ^;^:^:^^^3<br />
keine gemeinsame Ecke<br />
Dreieck und Strecke:<br />
zwei gemeinsame Ecken<br />
eine gemeinsame Ecke<br />
X<br />
Ay >*, X<br />
X<br />
>1. .^-<br />
y.<br />
y.<br />
/ N ^. / I<br />
895<br />
\<br />
y.<br />
Y<br />
^3<br />
y.
keine gemeinsame Ecke<br />
[S], [T] sind inshesondere dann (aher nicht nur dann) exklusiv, wenn ihre sdmtlichen<br />
Ecken unabhangig sind.<br />
Sei S = {zo...Zr Xr-^i . . . Xm}, T = {ZQ . . . Zr Vr+l • • • Vp}, ST = {ZQ . . . Zr].<br />
Ein gemeinsamer Punkt x von [5], [T] hat also die Darstellung<br />
Bl. 8 I daraus folgt<br />
X = a^Zo H h arZr + Qfr+ia^r+l h OLm^m<br />
m p<br />
mit einer KoefSzientensumme J2 ^i ~ "^ pj = 1 — 1 = 0, also wegen der<br />
0 0<br />
Unabhangigkeit<br />
ao - (3o = '•' = O^r - Pr = Oir+1 = ' " = am = Pr-^1 = " ' = f3p =^ 0,<br />
V 3<br />
X = aozo H h OirZr gehoit zu [ST].<br />
Endlich viele verschiedene, paarweise exklusive Simpla [S'l],..., [Sr] bilden<br />
eine Punktmenge<br />
m = [Sl] + --- + [Sr],<br />
die ein simplizialer Komplex genannt wird. (Wir schreiben +, statt -h, auch bei<br />
nicht disjunkten Summanden). Z.B. Komplex des Dreiecks [$] = [3^03:1X2].<br />
Komplex des Dreiecksrandes [$] = [XQXI] + [X1X2] + [3:2^0]-<br />
Die Simpla [^i],..., [S^] und die mit diesen inzidenten (z.B. [T], T C ^i)<br />
Bl. 9 heissen zum Komplex [$] gehorig. |<br />
Wir werden das Beiwort simplizial meistens fortlassen, aber es handelt sich<br />
bei einem Komplex nicht um eine Punktmenge schlechthin, sondern in einer<br />
bestimmten simplizialen Zerlegung. Eine Rechtecksflache ist noch kein Kom-<br />
896
plex, sondern wird erst einer, wenn sie in exklusive Dreiecke zerlegt wird, was<br />
r<br />
auf unendlich viele Arten geschehen kann; auch ein Dreieck kann nochmals in<br />
Dreiecke zerlegt werden, wodurch es als Punktmenge unverandert bleibt, als<br />
Komplex sich andert.<br />
Bezeichnet man samtliche verschiedene Ecken des Komplexes mit XQ, a^i,..., a^s,<br />
so lasst sich jeder Punkt x des Komplexes in der Form (analog zu (1) (2))<br />
ao^o + OLiXi -\ h agXs^ ao + o^i 4- •<br />
ao > 0,..., c^s > 0.<br />
+ as = 1,<br />
mit eindeutig bestimmten ai darstellen, obwohl die XQ,. .. ,Xs im AUgemeinen<br />
nicht mehr unabhangig sein werden. Sei namlich [S] \ ein zum Komplex gehori- Bl. 10<br />
ges Simplum niedrigster Dimension, dem x angehort; etwa [S] = [<br />
(1st X eine Ecke XQ, SO ist [S] = [XQ] = XQ] liegt x, ohne Ecke zu sein, auf einer<br />
Kante [XQXI], SO ist [S] = [xo^i] usw.) Dann ist x mittlerer Punkt von [S] und<br />
[S] durch X eindeutig bestimmt, denn wenn x auch noch zu [T] ^ [S] gehorte,<br />
wiirde er zu [S][T] = [ST], d.h. zu einem Simplum C [S] gehoren. Sind demnach<br />
aoj • • • ? Oim die baryzentrischen Koordinaten von x in 5, so hat man (1)<br />
(2) und demnach (3) mit a^+i = • - • = as = 0, o^o > 0,..., am > 0.<br />
(Ohne die geschilderte Vorschrift wiirde (3) i. A. nicht eindeutig sein). Z.B.<br />
flir den aus zwei Strecken der geraden Linie bestehenden Komplex [^] =<br />
[XQXI] + [X1X2] hat man fiir die Ecken x = a:o,xi,X2, wenn x mittlerer Punkt<br />
von [a:i,X2] ist: x = ai^i + a2X2, wenn x mittlerer | Punkt von [a;o,a:i] ist, BL 11<br />
X = ao^o + aiXi] die sonst fiir Punkte, die zwischen a:o,X2 liegen,.noch mogliche<br />
Darstellung x = aoXo -\- 0^2^2 kommt hier nicht in Betracht.<br />
Die auf die angegebene Weise bestimmten Koeffizienten ao,... ,as heissen<br />
auch jetzt noch baryzentrische Koordinaten von x.<br />
Der Zahlenraum En wird zum Euklidischen Zahlenraum, wenn man fiir die<br />
Punkte X := (^1,..., ^n) den Betrag \x\ = {^f-\ h ^^) 2 und fiir zwei Punkte<br />
x,y die Entfernung \x — y\ erklart. \x\ ist die Entfernung des Punktes x vom<br />
NuUpunkt. Es ist |a: + 2/| < \x\ + \y\, \ax\ = \a\\x\.<br />
Sowohl im Simplum wie im Komplex ist x stetige Funktion der baryzentrischen<br />
Koordinaten und jede baryzentrische Koordinate stetige Funktion von x.<br />
Denn fiir zwei Punkte x — ^ aiXi, y<br />
0<br />
\^ - y\ < Z)l
BL 12 |x - y| —> 0. I<br />
Umgekehrt woUen wir zunachst im Simplum (1) zeigen, dass jedes a^ stetige<br />
Punktion von x ist. Betrachten wir ao und nehmen x 7^ XQ an, also ai,..., am<br />
nicht alle 0. Der Punkt y = rrwn ^^^ (j^nn die Projektion von XQ<br />
CKi H \-am<br />
y^<br />
auf die gegeniiberliegende Seite [xi... Xm], denn y gehort dieser Seite an und<br />
zugleich ist<br />
X = aoxo + (1 - ao)y,<br />
X liegt auf der Geraden durch xo,y. Offenbar ist y stetige Punktion von x und<br />
\x — Xn<br />
X — xo — {1 — ao){y — xo), -, r = 1 — ao (Teilverhaltnis) stetige Punktion<br />
von X fiir X 7^ XQ. Ebenso ist ai stetige Punktion von x iiir x ^ xf, wenn x -^ XQ,<br />
m<br />
SO konvergiert jedes ai {i ^ 0) nach 0, infolgedessen aber auch ao — 1 — J2 ^i<br />
1<br />
nach 1, d. h. ao ist auch bei xo stetig.<br />
Haben wir einen Komplex, ist x mittlerer Punkt des Simplums [S] = [XQ .. • Xm],<br />
y mittlerer Punkt eines Simplums [T] und ?/ ^ a;, so ist jedenfalls [S] C [T]<br />
m<br />
X = ^aiXi^<br />
0<br />
y =<br />
p<br />
"^PjXj mit a^ > 0, /3j > 0. Da wir uns hier im Simplum T befinden, konver-<br />
0<br />
giert /?o -^ c^o, • • •, Pm -^ ocm, /3m+i ^0, ..., ^p ^ 0. Das gilt fiir jedes<br />
der endlich vielen [T], die 2 [S] sind, z.B. im skizzierten Pall [S] = [XQXI] fiir<br />
T = [xoXi], [^0X1X2], [XQXIXS]; wie also auch y nach x konvergieren moge, so<br />
konvergiert jede baryzentrische Koordinate von y nach der entsprechenden von<br />
X.<br />
Zwei m-dimensionale Simpla [S] = [xo •.. Xm] und [T] = [yo ... ym] in beliebigen<br />
Raumen lassen sich eineindeutig auf einander abbilden dadurch, dass man<br />
die Punkte mit gleichen baryzentrischen Koordinaten auf einander abbildet:<br />
m m<br />
x = Y^aiXi, y = Y^aiyi.<br />
0 0<br />
Dadurch ist jedes der beiden Simpla stetiges Bild des andern; eine solche to-<br />
898<br />
I
pologische (d. h. eineindeutige, in beiden Richtungen stetige) Abbildung heisst<br />
auch Homoomorphie?<br />
Auch zwei Komplexe [$], [^], deren Ecken XQ, ..., Xs und yo,... ,ys einan-<br />
der eineindeutig so zugeordnet werden konnen, | dass jedem in [$] enthaltenen Bl. 14<br />
Simplum [xiXj .. .Xk] ein in [^] enthaltenes [yiVj -- -Vk] entspricht und umgekehrt,<br />
werden durch Zuordnung der Punkte mit gleichen baryzentrischen Koordinaten<br />
s s<br />
x = ^aiXi, y = y^^ (y-iVi<br />
0 0<br />
topologisch auf einander abgebildet. Z. B. sind die beiden hier skizzierten Strek-<br />
kenkomplexe homoomorph. Man erkennt, dass fiir die topologischen (d. h. bei<br />
topologischer Abbildung invarianten) Eigenschaften eines Komplexes nur die<br />
Kenntnis derjenigen Eckenmengen S = {xiXj .. .Xk} erforderlich ist, die einem<br />
im Komplex enthaltenen Simplum [S] = [xiXj >. .Xk] entsprechen. Das System<br />
$ dieser Mengen S wird als Schema des Komplexes [^] oder als abstrakter<br />
Komplex bezeichnet, und auf diese Weise werden wir dazu gefiihrt, endliche<br />
Systeme endlicher Mengen zu betrachten, d. h. zur kombinatorischen Topologie.<br />
I Zuvor noch Folgendes: das homoomorphe Bild eines Simplums [XQ ... Xm] Bl. 15<br />
bei Abbildung in einen beliebigen metrischen Raum heisst ein topologisches<br />
Sim^plum,. Wir fassen dies nicht nur als Punktmenge auf, sondern halt en dabei<br />
die Abbildung fest, und nennen dementsprechend die Bilder yo, • • • ? 2/m der<br />
Ecken XQ, ..., Xm die Ecken, die Bilder der Kanten [xiXj] die Kant en usw. des<br />
m<br />
topologischen Simplums; dem Bildpunkt y von x = '^aiXi schreiben wir die<br />
0<br />
baryzentrischen Koordinaten a^ zu. Z. B. sei a::oXi^2 ein (gleichseitiges) Dreieck,<br />
dessen Umfang wir von seinem Mittelpunkt aus auf den Umkreis projizieren;<br />
•^Die hier vorliegende Abbildung wird auch als lineare oder affine Abbildung der beiden<br />
Simpla bezeichnet; sie lasst sich auf die Raume E{xo ... Xm) und E(yo ... ym) ausdehnen.<br />
899<br />
^3
wir erhalten dann den Kreisbogen XQ xi als topologisches Simplum (Strecke)<br />
mit den Ecken xo,xi. Ebenso wird das topologische Bild eines Euklidischen<br />
Komplexes ein topologischer Komplex genannt; z.B. die Kreislinie als topologisches<br />
Bild des Dreiecksumfangs [xoa::i] + [^^1X2] + [2:23:0] ein topologischer<br />
Bl. 16 Komplex mit drei Ecken und Kanten; sie kann natiirlich, | ohne sich als Punktmenge<br />
zu andern, auch als topologischer Komplex mit n Ecken und n Kanten<br />
(n > 3) aufgefasst werden. Die Kreisflache ist topologisches Dreieck. Die Kugelfiache<br />
lasst sich, indem man den Rand eines Tetraeders auf sie projiziert, als<br />
topologischer Komplex mit 4 Ecken, 6 Kanten (Kreisbogen), 4 (spharischen)<br />
Dreiecken auffassen.<br />
Die urspriinglich betrachteten Simpla und Komplexe mogen gegeniiber den<br />
topologischen als Euklidisch oder geradlinig bezeichnet werden; wenn nichts<br />
anderes gesagt ist, verstehen wir unter einem Simplum oder Komplex immer<br />
Bl. 17 einen Eukhdischen. |<br />
Abstrakte Komplexe.<br />
Eine Menge S = {XQXI ... Xm} aus m-\-l verschiedenen Element en heisst ein<br />
abstraktes m-Simplum (m-dimensionales Simplum) mit den Ecken XQ,. .. ,Xm-<br />
Ein endliches System<br />
^ : ^i, 52,... ,Sr<br />
verschiedener solcher abstrakter Simpla, worin insgesamt die verschiedenen<br />
Ecken XQ,. -. ,Xs vorkommen, heisst ein abstrakter Komplex mit den Ecken<br />
xo,... ,Xs. Wir verabreden, dass in ^ nebst jedem S auch sdmtliche Teilmengen<br />
von S vorkommen sollen, sodass z. B. der abstrakte Komplex (das Schema)<br />
des Dreiecks vollstandig so zu schreiben ware:<br />
$ : {xoa:ia;2}{xoa;i}{xoX2}{xiX2}{:ro}{a;i}{x2};<br />
lasst man das erste 2-Simplum weg, so erhalt man das Schema des Dreiecks-<br />
Bl. 18 umfangs. |<br />
Andererseits geniigt es aber auch {reduzierte Schreibweise), nur die Maximalsimpla<br />
(die nicht Teilmengen grosserer Simpla sind) hinzuschreiben, z. B.<br />
als Schema des nachstehenden Komplexes [$] = [XQ 0:1X2 ] + [2:1X3] :<br />
^ : {xoXia:2}{a:ia:3} ; die voUst. Darstellung wiirde lauten:<br />
$ : {xoXia:2}{xoXi}{xoX2}{2:iX2}{xiX3}{xo}{a:i}{a:2}{x3}.<br />
Der Komplex heisst n-dimensional (ein n-Komplex), wenn in ihm n-Simpla,<br />
aber keine hoheren vorkommen; homogen n-dimensional, wenn alle Maximalsimpla<br />
n-Simpla sind. Der zuletzt angefiihrte Komplex ist nicht homogen.<br />
900
Jeder abstrakte Komplex ^ : Si,... ,Sr ist das Schema unendlich vieler Euklidischer<br />
Komplexe [^] = [Si] -\ h [5^], die allesamt homoomorph sind.<br />
Es kommt ja nur darauf an, durch geeignete Wahl der Ecken die Simpla<br />
[Si],..., [Sr] paarweise exklusiv zu | machen; das geht jedenfalls so (aber nicht Bl. 19<br />
nur so), dass man samtliche Ecken unabhangig wahlt. Man kann also zu einem<br />
Komplex $ mit 5 + 1 Ecken jedenfalls im Eg einen Komplex [$] bilden, der<br />
$ als Schema hat. Es geht aber schon, wenn $ n-dimensional ist, im £^2n+i,<br />
wenn man darin die Ecken „in allgemeiner Lage" wahlt, d. h. so, da6 2n + 2<br />
Ecken stets linear unabhangig sind. Denn zwei Simpla S, T des Komplexes haben<br />
jedes hochstens n + 1, zusammen hochstens 2n + 2 Ecken; da diese linear<br />
unabhangig sind, liegen [S], [T] exklusiv. Bisweilen wird es vorkommen, dass<br />
man eine Zusammenstellung von Ecken betrachten muss, die nicht allesamt verschieden<br />
sind, z.B. {XQXIXQX2}\ dies heisst ein singuldres abstraktes Simplum<br />
und gehort einem Komplex $ dann und nur dann an, wenn die Menge der<br />
verschiedenen Ecken (in unserem Fall {a:^o^i^2}) zu ^ gehort. | Bl. 20<br />
Orientierung.<br />
Auf der die Punkte x ^ y verbindenden Geraden werde einer der beiden<br />
Richtungssinne betrachtet. Dann erscheinen die Punkte in einer bestimmten<br />
Reihenfolge, die in [xy] oder {x,y} noch nicht vorhanden war, indem die gerichtete<br />
Gerade von x nach y fiihrt {x Anfangspunkt, y Endpunkt) oder umge-<br />
kehrt; wir erhalten zwei orientierte Strecken xy, yx und setzen (was zunachst<br />
willkiirlich erscheint) yx = —xy. In der Ebene der drei (nicht auf einer Geraden<br />
liegenden) Punkte x,y,z werde einer der beiden Drehungssinne betrachtet.<br />
Dann erscheinen die Punkte in einer (zyklischen) Reihenfolge und wir erhalten<br />
zwei orientierte Dreiecke<br />
xyz = yzx = zxy, xzy = zyx = yxz,<br />
wobei wir yxz = —xyz setzen. | Bl. 21<br />
901
AUgemein wird aus m + 1 verschiedenen Ecken XQ^XI,. ..Xm ein „Produkt"<br />
P = xoa^i ...Xm<br />
gebildet mit der Vorschrift, dass es durch eine Vertauschung zweier Ecken in<br />
—P und daher allgemein bei einer geraden (ungeraden) Permutation der Ecken<br />
in -{-P{—P) libergehen soil. Wir erhalten so zum Simplum S = {XQXI .. .Xm}<br />
zwei orientierte Simpla dbP. Sind nicht alle Ecken verschieden (5'singular), so<br />
wird P = 0 gesetzt. Auch einem Punkt x werden zwei orientierte Punkte ±x<br />
zugeordnet.<br />
Wir definieren also fiir je zwei verschiedene oder gleiche Ecken x,y unter<br />
den Ecken XQ^XI, .. .Xs (das sind einfach s + 1 verschiedene Elemente) eine<br />
„alternierende" Multiplikation nach der Regel<br />
yx = —xy, XX = 0,<br />
die also nichtkommutativ ist (Matrizen!), ferner soil sie assoziativ sein:<br />
xy ' z = X • yz = xyz,<br />
Bl. 22 I allgemein wird ein Produkt P mit einem Produkt Q zu PQ multipliziert, indem<br />
man erst die Faktoren von P, dann die von Q schreibt. Hiernach bilden<br />
wir mit den Variablen XQ,. .. ,Xs alle Polynome mit ganzen rationalen Koeffizienten,<br />
also ein hyperkomplexes Zahlensystem, das zuerst von H. Grassmann<br />
betrachtet wurde; diese Polynome lassen sich auf die Form bringen<br />
A^a-^Y^aiXi + ^aijXiXj-{- ^ aijkXiXjXk-\ \-aoi...sXoXi.. .Xs (4)<br />
i i
Das giebt entwickelt<br />
A{y)=^A^yA',<br />
wo A die friihere Bedeutung hat und yA' das Aggregat der Glieder ist, die y<br />
als Faktor enthalten (die Glieder, die y zweimal oder ofter enthalten, sind ja<br />
= 0), A' ist also wieder ein nur von den Xi gebildetes Polynom und heisst der<br />
Rand von A. \ {A' ist, wenn man so will, die „Ableitung" von A{y) fiir y — 0). Bl. 24<br />
Da offenbar<br />
{aA-\-I3B + '")' = aA' + I3B' + '" ,<br />
so geniigt es, den Rand fiir orientierte Simpla zu berechnen. Man hat V =<br />
0, (x)' = 1, ferner fiir m > 0<br />
m<br />
(a^O^l • • • XmY = X^(-l)* ^0 • • • Xi-iXi^i ...Xm<br />
0<br />
= X1X2 ...Xm- X0X2 . . . Xm + XQX1X2, ...Xm h {-l)'^XoXi . . . Xm-1<br />
Denn das Aggregat der mit y behafteten Glieder in (XQ -\-y)... {xm + y) ist<br />
m<br />
22,^^"- ^i-iy^i-hl • • • ^m;<br />
0<br />
bringt man hier y (durch i Vertauschungen im i. Gliede) an die erste Stelle, so<br />
m<br />
wird dies = y • Y.i-'^Y ^0 • • • Xi-iXi+i... Xm- Z. B.<br />
0<br />
(xoXiY = xi-xo<br />
{xoXiX2y = a;iX2 - X0X2 + XQXI = X1X2 + 0:23:0 + a:oa::i<br />
{xoXiX2X3y = X1X2X3 - ^0X20:3 + X0X1X3 - X0X1X2.<br />
I Der Rand eines orientierten m-Simplum ist also die Summe der in gewisser Bl. 25<br />
Weise orientierten {m — 1)-Simpla, die den (geometrischen) Rand des Euklidischen<br />
Simplums bilden.<br />
[Es mufi erwahnt werden, dass viele Autoren den Rand (x)' = 0 definieren.<br />
Auf die Abanderungen, die das gegeniiber {xY — 1 mit sich bringt, wird<br />
hingewiesen werden.]<br />
Fiir ein Produkt zweier Polynome wird<br />
A{y)B{y) = {A + yA'){B + yB') =<br />
AB + yA'B + AyB'<br />
Wenn A ein Produkt von m + 1 Ecken oder allgemeiner eine m-Form ist, ist<br />
Ay = (—l)'"+^yA und demnach<br />
{AB)'^ A'B - [-1)'^AB' {A mr-Form) (5)<br />
903
Insbesondere<br />
{XBY = B-XB' (6)<br />
((5) bei der modifizierten Erklarung nur fiir m > 0 giiltig und wenn B n-Form<br />
mit n > 0 oder Summe von solchen ist).<br />
Bl. 26 Der Rand eines Randes ist stets 0. \<br />
Denn wenn y, z zwei neue Ecken sind, und A{y -\- z) das Polynom bezeichnet,<br />
das aus A durch Vertauschung von Xi mit Xi -\- y -\- z hervorgeht, ist einerseits<br />
andererseits<br />
A{y-{-z) = A + {y + z)A'<br />
- A{y) + zA\y) = A + yA'^ z{A! + yJ^'\<br />
also zyA!' = 0 oder A" = 0.<br />
Ein Polynom, dessen Rand 0 ist, heisst ein Zyklus; eine m-Form, deren Rand<br />
0 ist, ein m-Zyklus {Z"^). Z.B. ist<br />
Z^ = XQXI + xi j;2 + 3:2^:^0<br />
ein 1-Zyklus, denn der Rand ist {xi — XQ) + (x2 — xi) -\- (XQ — X2) — 0. Jeder<br />
Rand ist also ein Zyklus und nach (6) ist ein Zyklus auch ein Rand, da fiir<br />
B^ = 0 : B = {xBy ist; erst bei der Einschrankung auf Polynome in einem<br />
Bl. 27 bestimmten Komplex ergiebt sich ein Unterschied. |<br />
Ist namlich ^ ein Komplex, so betrachten wir jetzt nur solche Polynome oder<br />
Formen, wo die wirklich vorkommenden Glieder (mit KoefRzienten ^ 0) einem<br />
in $ vorkommenden Simplum entsprechen. Sind also 5f^(z = 1,2,...) die in<br />
$ vorkommenden m-Simpla und wird jedem solchen Si eins der zugehorigen<br />
orientierten Simpla PJ^ zugeordnet, so sind<br />
F^=^J2aiPr<br />
die m-Formen in $, die allein zulassig sind. Z.B. kommen fiir den Komplex<br />
des Dreiecksumfangs nur<br />
F^ = aoxo + aixi + a2X2<br />
F^ = aoia:^oa:i + 0:022:03:2 + 012X1X2<br />
als Formen in Betracht (F^ = - -- = Q) und als Polynome nur a^F^ -\-F^. Fiir<br />
den Dreieckskomplex tritt noch<br />
F'^ = 0012X0X1X2<br />
hinzu, wahrend F^ ==•••== 0 ist.<br />
Wir sagen, die so erklarten Polynome und Formen gehoren zu $ oder sind<br />
Polynome in ^, Formen in ^.<br />
904
Mit A gehort auch der Rand A' zu ^. Das ist ftir jedes Simplum evident. | Bl. 28<br />
Nun sagen wir: ein Polynom in $ ist ein Zyklus in $, wenn sein Rand 0 ist.<br />
Und ein Polynom ist ein Rand in $, wenn es Rand eines Polynoms in $ ist.<br />
Jeder Rand in $ ist Zyklus in $, aber nun nicht mehr umgekehrt; denn wenn<br />
B Zyklus in $ ist, so giebt die Formel (6) zwar B = {xB)' fiir irgend eine Ecke<br />
x, aber xB braucht nicht mehr Polynom in $ zu sein. Z. B. ist im Komplex<br />
des Dreiecksumfangs der Zyklus Z = XQXI + XIX2 + ^2X0 kein Rand, da es gar<br />
keine 2-Form / 0 giebt. Im Komplex des Dreiecks hingegen ist Z = (X0X1X2)'.<br />
Zwei Polynome A,B in ^ werden homolog genannt, in Zeichen<br />
Ar^B (^),<br />
wenn ihre Differenz ein Rand in $ ist. A ^ 0 (^) bedeutet also, dass A selbst<br />
ein Rand ist. | Bl. 29<br />
Beispiele: (a) Kreisrin^)<br />
Aus 6 Ecken x 1X2 2:3 2/12/22/3 bilden wir den Komplex $ der 6 Dreiecke<br />
{x2X^yi} {x^xiy2}{xiX2y^} {2/22/3^^1} {2/32/1^2} {2/12/23^3}.<br />
Er ist das Schema eines in der Ebene liegenden Komplexes [^], der als Punkt-<br />
'i<br />
1 * ; I > U 1<br />
>c<br />
menge der ringformige Raum zwischen den Umfangen der Dreiecke [XI.T2^3]5<br />
[2/12/22/3] ist; diese lasst sich auch als ebener Kreisring oder als Tubus (offene<br />
Rohre) topologisch abbilden, wodurch man entsprechende topologische Komplexe<br />
erhalt. Sei A = X2X32/1 + X3X12/2 + xiX2y2, + xiy^y2 + X22/12/3 + 2:32/22/1 • Ini<br />
Rande A' fallen die Produkte, die einen Faktor x und einen y enthalten, fort,<br />
da z. B. das erste Dreieck X32/1, das letzte 2/1^:3 liefert; es bleibt<br />
A' = X2Xz + X2,Xx + XxX2 + 2/32/2 + 2/1^/3 + 2/22/1<br />
I Die beiden 1-Zyklen X = 0:2^3 + 2:3^1 + X\X2, Y = 2/22/3 + 2/32/1 + 2/12/2 sind Bl. 30<br />
also homolog: A' = X -Y r^O, X ~ F.<br />
*^Das ist nur ein Stichwort, um ev. auf das Beispiel verweisen zu konnen; es ist nicht der<br />
Kreisring als Punktmenge, sondern als bestimmter Komplex gemeint.<br />
905<br />
H<br />
f'i<br />
li
BL 31<br />
(/?) Projektive Ebene.<br />
Aus 6 Ecken xiX2Xsyiy2y3 bilden wir die Halfte (10) aller Q 20 Dreiecke:<br />
%
Wahrend man also in jeder Gleichung a A = 0 den Faktor a ^ 0 wegdividieren<br />
kann (alle Koeffizienten von a A sind 0, also alle von A), darf man eine<br />
Homologie a A ~ 0 zm Allgemeinen nicht dividieren. Wenn a A ~ 0, o; > 1,<br />
und a die niedrigste Zahl dieser Art ist, ferner A im m-Zyklus, so sagt man,<br />
dass a ein m-dimensionaler Torsionskoeffizient ist. Im obigen Komplex der<br />
projektiven Ebene ist also 2 ein eindimensionaler Torsionskoeffizient. A wird<br />
dann auch ein Randteiler genannt.<br />
(7) {Torus). Ein Rechteck, von dem man ein Paar gegeniiberliegender Seiten<br />
identifiziert, geht in einen Tubus (vgl. {a)) liber, und wenn man auch das<br />
zweite Paar identifiziert, in einen Torus (Kreiswulst). | Die ebene Figur, worin Bl. 33<br />
dh^<br />
\ -^\<br />
.. ,../i<br />
wieder die gleichbezeichneten Ecken und Kanten zu identifizieren sind, giebt<br />
einen zugehorigen Komplex mit 18 Dreiecken. Wir heben folgende 1-Zyklen<br />
hervor:<br />
X — xia:2 + ^23^3 H- xsxi, analog F, Z<br />
I = xiyi + yizi + zixi, analog //, ///.<br />
Hier ist X ~ y ~ Z, I r^ II ^ III. Denn wenn man alle Dreiecke so orientiert,<br />
dass der Drehungssinn entgegengesetzt dem Uhrzeiger ist, z. B. xiX2y2, ^12/22/15<br />
X2ysy2 usw., so erhalt bei der Randbildung jede Kante von den beiden Dreiecken,<br />
mit denen sie inzident ist, entgegengesetzte Orientierung, wie wir fiir die<br />
angefiihrten Dreiecke und die librigen der untersten Zeile durch Pfeile angeben,<br />
und die Summe der 6 untersten Dreiecke hat als Rand X1X2 -\- X2Xs -\- xsxi -\yiUs<br />
+ 2/32/2 + 2/22/1 I = -^ — ^? also X r^ Y. Ebenso die librigen Homologien.<br />
Hingegen sieht man, dass keine Homologie aX + /?/ ~ 0 besteht ausser flir<br />
a = P = 0; denn in einer 2-Form, deren Rand keine von den in der Figur<br />
innerhalb des Rechtecks verlaufenden Kanten (wie X12/252/12/2? ^22/2 u. s. f.) enthalten<br />
soil, mlissen alle Dreiecke denselben Koeffizienten haben; die Form ist<br />
ein Vielfaches der Summe aller 18 orientierten Dreiecke, dann aber hat sie den<br />
Rand 0, d. h. die Kanten xiX2,xiyi,... fallen gleichfalls fort.<br />
907<br />
BL 34
(S) Das Mobiussche Blatt Der skizzierte Komplex aus 6 Dreiecken veran-<br />
h h<br />
schaulicht ein Reckteck, von dem zwei gegeniiberliegende Seiten (die linke und<br />
rechte) verkehrt identifiziert sind. Werden alle Dreiecke entgegengesetzt dem<br />
Uhrzeiger orientiert, so giebt ihre Summe den Rand<br />
die beiden Zyklen<br />
X1X2 + X2X3 + x^yi + 2yixi + Xiy^, + 2/32/2 + 2/22/1,<br />
X1X2 + X2X3 + X32/1 + yixi, 2/12/2 + 2/22/3 + 2/3^1 + xiyi<br />
Bl. 35 sind homolog. Man reicht mit 5 Dreiecken aus. |<br />
h<br />
Die Komponenten eines Komplexes. Zwei Ecken x,y des Komplexes $ heissen<br />
verbunden, wenn es einen Kantenzug {xzi}{ziZ2} ... {zm-iZm}{zmy} in ^<br />
giebt; sie sind dann auch homolog, da xzi + 2:1^2 + \- ZmV den Rand y — x<br />
hat (wovon sich sogleich auch die Umkehrung ergeben wird). Alle mit x verbundenen<br />
Punkte sind auch unter einander verbunden; danach spaltet sich die<br />
ganze Eckenmenge E in E = Eo-^Ei-\ , d. h. in disjunkte Klassen verbundener<br />
Punkte; wenn nur eine solche Klasse da ist, also alle Ecken verbunden<br />
sind, heisst der Komplex zusammenhdngend. Andernfalls sieht man, dass jedes<br />
Simplum von ^ nur Ecken haben kann, die einer einzigen Klasse angehoren,<br />
sodass sich $ = $0 + ^1 H spaltet, wo ^i die Menge aller Komplex-Simpla<br />
bedeutet, deren Ecken zu Ei gehoren; die ^i sind wieder Komplexe und heissen<br />
die Komponenten von $. Entsprechend zerfallt jede m-Form (m > 0) in<br />
A = AQ -{- Ai -\- "' , Ai eine m-Form in ^f, zwei Glieder von $^, ^j{i ^ j)<br />
haben keinen gemeinsamen Faktor; dasselbe gilt von A' — A'^-\- A'^-\- • • - fiir<br />
m > 1. (Die Konstanten, (—l)-Formen, gehoren alien ^i an). Ist A ein m-<br />
Bl. 36 Zyklus (m > 1), so I sind alle Ai m-Zyklen; ist A ein m-Rand (m > 0), ^ ~ 0,<br />
so sind alle Aj ~ 0.<br />
908
Fiir eine NuUform schreiben wir A = AQ -\- Ai -\- -- - , Ai = Yl^ij^ij-, wo<br />
3<br />
Xij die zu Ei gehorigen Ecken sind. A ist ein Zyklus, wenn J2^ij — ^ 0^^^<br />
der modifizierten Randdefinition fiir 0 - Simpla ist jede 0 - Form ein Zyklus).<br />
Hingegen ist zu ^4 ~ 0 notwendig und hinreichend, dass einzeln jedes<br />
Y^Oiij = 0 (i = 0,1,...). Notwendig, weil mit A r^ 0 auch Ai ~ 0, also Ai<br />
3<br />
jedenfalls ein Zyklus sein muss; hinreichend, weil alle Xij in Ei mit einem bestimmten<br />
Punkt Xi von Ei homolog sind, also Ai r^ Xi -^^ aij = 0. Man sieht<br />
3<br />
jetzt auch, dass unverbundene Punkte nicht homolog sind, z.B. XQ — xi ^ 0,<br />
weil xo,—xi keine Zyklen sind. Also homolog = verbunden. Man kann mit<br />
Pi = ^ aij sagen, dass jede NuUform mit PQXQ 4- /?ixi H (^o? ^i ? • • • Punk-<br />
3<br />
te aus Eo^Ei,...) homolog ist; sie ist ein Zyklus fiir ^o + A H = 0? ^^^ Rand<br />
fiir ^0 = /3i = • • • = 0. I Bl. 37<br />
§ 2. Abelsche Gruppen.<br />
Eine Gruppe Q ist eine Menge von Elementen, worin eine Kompositionsregel<br />
gegeben ist, die zwei (gleichen oder verschiedenen) Elementen x, y ein drittes<br />
Elemente zuordnet, das man im AUgemeinen multiplikativ schreibt:<br />
xy = z.<br />
Diese Komposition braucht nicht kommutativ zu sein, es kann yx ^ xy sein;<br />
hingegen wird sie als assoziativ angenommen: xy - z = x -yz = xyz. Ferner soil<br />
in xy = z jedes der Elemente durch die beiden andern eindeutig bestimmt sein,<br />
woraus in bekannter Weise die Existenz eines Einselementes e {xe — ex — x)<br />
und die Existenz inverser Elemente {xx~^ = x~^x = e) folgt. Die Anzahl<br />
der Elemente von Q (endlich oder unendlich) heisst die Ordnung der Gruppe;<br />
die Potenzen x^ {k ganze Zahl ^ 0) eines Elementes bilden eine | zyklische BL38<br />
Untergruppe; wenn diese von unendlicher Ordnung ist, heisst x ein Element<br />
unendlicher Ordnung, wenn nicht, x ein Element von der Ordnung h der zyklischen<br />
Gruppe {x^ = e, h kleinste natiirliche Zahl; e,x,... ,x^~^ bilden die<br />
zyklische Gruppe). U. s.w.<br />
Wir haben es im Folgenden nur mit kommutativen (Abelschen) Gruppen zu<br />
tun, und in diesem Falle schreibt man die Kompositionsregel haufig additiv<br />
x-\-y = z = y -{-X.<br />
Dementsprechend wird das Einselement jetzt Nullelement genannt und mit 0<br />
bezeichnet: x + 0 = 0 + a; = a:; das zu x inverse Element heisst —x, statt der<br />
friiheren x^ wird kx ^ geschrieben. Die Vielfachen kx (0, ±x, d=2x,...) bilden<br />
^[Hier steht am Rand mit Rotstift: ax]<br />
909
eine zyklische Gruppe; x ist Element von der endlichen Ordnung /i, wenn hx = 0<br />
und h die kleinste natiirliche Zahl dieser Art ist. Die ganzen rationalen Zahlen,<br />
die rationalen Zahlen, die ganzen Zahlen (Restklassen) mod m bilden (bei der<br />
gewohnlichen Addition) solche Gruppen; z.B. hat in der Gruppe mod 14 das<br />
Bl. 39 Element 2 die Ordnung 7. |<br />
Homomorphismen und Faktorgruppen.<br />
Die Gruppe Q^ heisst homomorphes Bild von Q, wenn jedem x G G eindeutig<br />
ein x' G G' zugeordnet ist, was wir in der Form<br />
schreiben (x' ist eindeutige Funktion von x); dabei soil x\ das Bild von x, die<br />
ganze Gruppe G' durchlaufen, und das Bild einer Summe die Summe der Bilder<br />
sein,<br />
x-\-y ^ x' -hy'.<br />
Wir schreiben auch G —^ G^, homomorphe Abbildung von G auf G' oder Homo-<br />
B1.40 morphismus von G auf G'- \<br />
Umgekehrt heisst fiir x -^ x' x ein Urhild von x'\ x' kann mehrere Urbilder haben,<br />
die Abbildung braucht nicht umkehrbar eindeutig (eineindeutig, schlicht)<br />
zu sein. Wenn sie es ist, nennen wir G' isomorphes Bild von ^; offenbar ist<br />
dann auch G isomorphes Bild von G' •> so dass wir<br />
X x', G G'<br />
schreiben konnen; die isomorphen Gruppen ^, G' stimmen dann, bis ev. auf die<br />
Bezeichnung der Elemente, iiberein.<br />
Beispiel: G sei die Gruppe der ganzen rationalen Zahlen x, G' die Gruppe<br />
der Restklassen mod m; bedeutet x' die Restklasse, der x angehort (d. h. die<br />
Klasse aller Zahlen = x mod m), so ist x ^^ x' ein Homomorphismus von G auf<br />
G'' Jedem x' entsprechen als Urbilder die Zahlen einer Restklasse.<br />
Sei a, eine Untergruppe^ von G- Zwei Elemente x, y aus G heissen kongruent<br />
B1.41 mod H, X = y (H), wenn \ x — y ^ H. Hiernach verteilen sich die Elemente<br />
von G auf Restklassen mod H (auch Nebengruppen von H genannt); diese<br />
Restklassen bilden eine Gruppe G\ wenn man die Addition der Restklassen in<br />
natiirlicher Weise so erklart: sind x\y^ die Restklassen, denen x,y angehoren,<br />
so sei x' + y' die Restklasse, der x -\- y angehort (sie hangt von der speziellen<br />
Wahl von x,y nicht ab; ist x = xi^y = yi (H), so ist auch x-\-y = xi-\-yi (W),<br />
denn {x -}- y) — {xi -\- yi) = {x — xi) -\- {y — yi) gehort zu H; man sieht hier,<br />
welche RoUe die Kommutativitat spielt.) Die Zuordnung x —^ x' definiert einen<br />
Homomorphismus von G auf G' - Die Gruppe G' wird als Faktorgruppe oder<br />
Quotientengruppe G \ H bezeichnet (man soUte sie allerdings hier eher als<br />
Differenz G — H bezeichnen).<br />
Im vorangehenden Beispiel ist Ji die Gruppe der Vielfachen von m.<br />
Ist andererseits G —^ G' ein Homomorphismus, so bilden die Urbilder des<br />
BL42 NuUelementes 0' von G' eine Untergruppe H \ von G (aus x ^^ 0',y ^ 0' folgt<br />
^Bei nichtkommutativem Q wiirde man eine invariante Untergruppe nehmen.<br />
910
x-\-y -^ 0^) und allgemein bilden die Urbilder eines beliebigen x' eine Restklasse<br />
mod H (aus x —^ x' ^y ^^ x' folgt x — y^^O\x = y (W), und umgekehrt haben<br />
zwei x,y derselben Restklasse dasselbe Bild x^ = y'). Die Restklassen mod H<br />
und die Elemente von Q' entsprechen einander also eineindeutig: Q \ H und Q'<br />
sind isomorph.<br />
Direktes Produkt (hier eher als direkte Summe zu bezeichnen).<br />
Aus zwei Gruppen Gi,Q2 bilden wir eine Gruppe G — (^1,^2), indem wir<br />
die geordneten Paare x = {xi^X2)^y = (2/1,2/2), •• • aus Elementen von ^1,^2<br />
bilden; x = y ^ei durch Xi = yi,X2 — y2 und die Addition in Q durch<br />
x-{-y = (xi +yi,X2 + 2/2)<br />
erklart; das NuUelement von ^ ist 0 = (Oi,02), wo 0i,02 die NuUelemente von<br />
Qi, Q2 sind. Q heisst das direkte Produkt von Qi, Q2 (andern wir die Reihenfolge,<br />
so sind (^1,^2) und (^2,^1) isomorph). | B1.43<br />
Man kann das noch etwas anders fassen. Die Elemente x' = (xi,02), worin<br />
xi € Gi, bilden eine mit Qi isomorphe Untergruppe Q' von Q, ebenso die<br />
Elemente x'' = (0i,a:2) eine mit Q2 isomorphe Untergruppe G" von G] G', G"<br />
haben nur das Element (0i,02) — 0 gemeinsam, und x = (xi,X2) = (^1,02) +<br />
(Oi,X2) = x' H- x'' lasst sich als Summe eines Elementes von G' und eines von<br />
G^' darstellen (nur auf eine Weise). Schreiben wir statt G', G" wieder Gi,G2, so<br />
haben wir also folgende Erklarung:<br />
Die Gruppe G ist direktes Produkt ihrer Untergruppen Gi^G2, wenn sich jedes<br />
Element x e G eindeutig in der Form x = xi-\-X2 {xi ^ Gi^X2 G G2) darstellen<br />
Idsst. I Hierin liegt, dass Gi,G2 nur die Null gemein haben, denn ist x = xi = X2 Bl.44<br />
ein gemeinsames Element, so ist 0 = xi — X2, und da 0 nur die eine Darstellung<br />
0 = 0 + 0 haben soil, ist xi = 0, X2 = 0, x = 0. Wenn G direktes Produkt ihrer<br />
Untergruppen Si,^2 ist, ist G \ Gi isomorph mit G2' Denn x = xi -\- X2 und<br />
y = 2/1+2/2 sind mod Si kongruent, wenn x —2/ = (a^i — 2/i) + (^2—2/2) € Si, d.h.<br />
^2 =2/2; die Restklassen mod Si und die X2 sind einander isomorph zugeordnet.<br />
Bei Ausdehnung auf mehr als zwei Faktoren:<br />
S ist direktes Produkt ihrer Untergruppen Si, S2, • • •, Ss, wenn sich jedes x e G<br />
auf eine und nur eine Weise als x = xi-\-X2-i \-Xs darstellen lasst {xi ^ Gi)-<br />
I Ist £ Teilmenge (nicht notwendig Untergruppe) von S, so sei £x die Menge B1.45<br />
der ganzzahligen linearen Kombinationen x = aiXi-\ ho^n^n endlich vieler<br />
Elemente von £. £\ ist die kleinste Gruppe, die £ enthalt und in S enthalten<br />
ist; wir sagen, die Elemente von £ erzeugen £\. Insbesondere erzeugen sie die<br />
ganze Gruppe S, wenn £\ = G'<br />
Die Elemente xi,... ,Xn ^ 0 heissen unabhdngig, wenn die Relation aiXi -\h<br />
anXn = 0 nur fiir aiXi = • = anXn = 0 besteht, wobei aiXi = 0 fiir ein<br />
Element Xi unendlicher Ordnung mit a^ = 0, fiir ein Xi der Ordnung hi {> 1,<br />
weil Xi ^ 0) mit hi \ ai gleichbedeutend ist. Eine Menge £ von Elementen<br />
^ 0 heisst unabhangig, wenn jede endliche Teilmenge von £ aus unabhangigen<br />
Elementen besteht.<br />
911
Wenn £ zugleich unabhangig ist und die Gruppe Q erzeugt, heisst £ eine<br />
Basis der Gruppe.<br />
Wenn Q eine endliche Basis Xi,...,Xn hat, ist sie direktes Produkt von n<br />
zyklischen Gruppen, und umgekehrt.<br />
Denn Xi erzeugt die zyklische Gruppe Qi der Elemente aiXi (a^ durchlauft<br />
alle ganzen Zahlen oder ein Restsystem mod hi)] jedes x ist eindeutig als x =<br />
B1.46 aixi + ... anXn darstellbar, Q = {Qi,..., Qn)- Und umgekehrt. |<br />
Nicht jede Gruppe hat eine Basis. Z.B. kann die Gruppe der rationalen<br />
Zahlen (bei Addition) nicht von endlich vielen Elementen erzeugt werden, da<br />
aixi H h anXn nur solche rationalen Zahlen darstellt, deren Nenner im Generalnenner<br />
von xi,...,Xn aufgeht; andererseits sind aber schon zwei Elemente<br />
^ 0 stets abhangig.<br />
Fiir Elemente unendlicher Ordnung^ xi,X2,... lautet die Unabhangigkeitsbedingung:<br />
aixi + • • • + a^Xn = 0 nur fiir ai ==••• = a^ == 0. Eine Gruppe<br />
Q heisst vom Range p {p natiirliche Zahl), wenn sie p, aber nicht mehr als p<br />
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung enthdlt; vom Range 0, wenn alle<br />
Elemente von endlicher Ordnung sind; von unendlichem Rang, wenn sie fiir<br />
jedes p == 1, 2,... p unabhangige Elemente unendlicher Ordnung enthalt.<br />
Z.B. ist das direkte Produkt vonp zyklischen Gruppen unendlicher Ordnung<br />
vom Range p. Hier lassen sich alle Elemente in der Form x = aiXi-\ (- apXp<br />
eindeutig darstellen (x = 0 nur fiir a i = • • • = oip = 0); sind q> p Elemente |<br />
BL47 Hi = J^^ij^j (^ — 1? • • • 5^5 J — 1? • • • ?P) gegeben, so haben die p Gleichungen<br />
j<br />
^ Piaij = 0 fiir die q Unbekannten /Si eine ganzzahlige Losung mit nicht<br />
i<br />
samtlich verschwindenden l3i und dann ist ^ iSiyi = 0; es giebt also nicht<br />
i<br />
mehr als p unabhangige Elemente unendlicher Ordnung. - Ein solches direktes<br />
Produkt heisst eine freie Gruppe oder ein Modul vom Range p; wir bezeichnen<br />
ihn auch mit [xi,..., Xp]; man erkennt leicht, dass auch yi,..., y^ eine Basis ist<br />
dann und nur dann, wenn Vi = ^ ^ij^j ^^ einer ganzzahligen Matrix {c^ij)<br />
3<br />
von der Determinante ±1 (unimodulare Transformation der Basis).<br />
Wenn die Gruppe Q vom endlichen Rang p ist, so hat auch jede Untergruppe<br />
und jedes homomorphe Bild Q' von Q einen Rang < p.<br />
Fiir die Untergruppen ist die Behauptung vollig trivial; wenn ferner x^,..., x^<br />
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung von Q' und xi, Xq irgend wel-<br />
Bl. 48 che Urbilder sind, so sind auch xi,..., Xg unabhangige | Elemente unendlicher<br />
Ordnung in Q (aus Yl (^j^j = 0 folgt Yl ^j^j — ^'j Oij = 0) und der Rang von<br />
G ist > dem Rang von Q'.<br />
I. Ist G vom endlichen Rang p, ihre Untergruppe H vom Rang q, so istQ\H<br />
vom Rang p — q.<br />
Sei G' = G \ 'H vom Rang r; wir haben p = q -\- r zu zeigen. xi,..., Xg seien<br />
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung inH; y[,... ,y'^ unabhangige Ele-<br />
^[Hier steht mit Rotstift am Rand: „freie" Elemente]<br />
912
mente unendlicher Ordnung in G\ also ^ aiXi = 0 nur flir a^ == 0, "^ Pjijj =<br />
0' nur flir Pj = 0; sind yi^...yr Urbilder der y[,...,y!^ hei Q —^ Q' (die<br />
yj sind Restklassen mod W), so heisst das: ^ Pjyj ^ 0 (H) nur fiir /3j =<br />
0. Dann sind Xi,yj unabhangige Elemente unendlicher Ordnung in G- Denn<br />
Y^ aiXi + Yl f^jVj = 0 liefert J2 PjVj = ^ W^ (^j = ^^ S ^ + r.<br />
Andererseits sei y ein beliebiges Element von Q^ y ^^ y'] dann besteht eine<br />
Relation Py' + Y. f^jVj "= 0' ^^^ /^ / 0, also py^Y PjVj =xeH, und | eine Bl. 49<br />
Relation ax ^Y oi.iXi = {) mit a 7^ 0, also<br />
etwas anders geschrieben {yi = a^^+i,... ,yr = Xq-^r)' fur jedes 2/ in ^ besteht<br />
q-\-r<br />
eine Relation Py = Y ^k^k {P ¥" 0)- Dann kann der Rang von Q nicht<br />
1<br />
> g + r sein; denn fiir p > g' + r Elemente y^, ^^^/i — X] ^ik^k suche man eine<br />
nichttriviale Losung 7^ von ^ "Jiaik =0 {q-\-r Gleichungen, p Unbekannte),<br />
i<br />
dann ist Y PiliVi — O5 nicht alle ^^7^ = 0. Also ist p < g' + r. Damit ist I<br />
bewiesen.<br />
Gruppen mit endlicher Basis. Sei Q = (^1,..., ^n) direktes Produkt zyklischer<br />
Gruppen; ^1,..., ^^ seien von den Ordnungen /ii,..., hm und<br />
^^+1,..., ^^ von unendlicher Ordnung. Wenn alle Gruppen von endlicher Ordnung<br />
sind (m = n), ist Q eine endliche Gruppe von der Ordnung hi" -hn] wenn<br />
alle von unendlicher Ordnung sind (m = 0), ist Q ein Modul vom Range n. | Bl. 50<br />
Was ist an den Zahlen n, m, /ii,..., /im der Darstellung eigentiimlich, was<br />
durch die Gruppe Q bestimmt?<br />
Wir haben fiir die Gruppenelemente die Darstellung x = aiXi-\ h ocnXn^<br />
wo x = 0 nur fiir o^i = 0 (/ii),..., am = 0 (hm), Q". Da Q' den Rang 0 hat, so hat nach I Q" oder<br />
Q I Q' denselben Rang wie Q^ d. h.<br />
n — m = p ist der Rang von G-<br />
Diese Anzahl der Basiselemente unendlicher Ordnung ist also nur durch Q<br />
bestimmt, es ist der Rang von Q.<br />
Betrachten wir Q'. Weder m noch hi,...,hm sind durch G' eindeutig bestimmt.<br />
Das geht aus folgender Bemerkung hervor: | Bl. 51<br />
Wenn /ii,/i2 teilerfremd sind, ist das Produkt zweier zyklischer Gruppen der<br />
Ordnungen /ii,/i2 eine zyklische Gruppe der Ordnung hih2-<br />
Denn sind Xi,X2 von den Ordnungen /ii,/i2 und ^1,^02 zwei ganze Zahlen<br />
mit Pihi -h /32^2 = I5 so setze man x = ^2^1 + /Si^2; dann ist hix = PihiX2 =<br />
913
(1 — /32^2)3:^2 = ^2, h2X — xi] man sieht, dass die Gruppe sowohl von xi, X2 als<br />
von X erzeugt wird.<br />
Hiernach kann man die Darstellung Q' = (^i,..., Qm) im AUgemeinen mannigfach<br />
abandern. Man kann jedes hi in teilferfremde Faktoren (Primzahlpotenzen)<br />
spalten und G^ als direktes Produkt von zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung<br />
schreiben (das giebt die Maximalzahl von Faktoren, denn<br />
eine zyklische Gruppe von der Ordnung p^ kann nicht als direktes Produkt von<br />
zyklischen Gruppen niedrigerer Ordnung, p-^^ wcidp^'^{f > fi > /2,/i+/2 = /)?<br />
dargestellt werden, sonst hatten alle Elemente nur diese Ordnung p^^). Umge-<br />
B1.52 kehrt kann man teilerfremde | Primzahlpotenzen wieder zusammenziehen zu<br />
anderen Ordnungen als den urspriinglichen hi. Man sieht also, dass die Zahlen<br />
m, /ii,..., hm mannigfacher Abanderung fahig sind. U. a. ist folgende Zusammenziehung<br />
moglich, die wir an einem Beispiel illustrieren: es mogen etwa bei<br />
der Auflosung aller hi in teilerfremde Primzahlpotenzen folgende Faktoren vorkommen:<br />
p^^p^^p^^p^] Q^^Q^^Q-,^5 ^^?^ (p?^? f verschiedene Primzahlen. Es<br />
konnen Potenzen derselben Primzahl aus verschiedenen hi stammend mehrfach<br />
auftreten). Wir ordnen sie so:<br />
p3 ^4 ^2<br />
p^ q<br />
p^ q<br />
(in jeder Spalte stehen Potenzen derselben Primzahl absteigend geordnet).<br />
Dann konnen wir zusammenziehen zu:<br />
^1 = P^Q, ^2 = P^q, ^3 = P^q^r, £4 = p^q^r'^<br />
{si = Produkt der Glieder in der i. Zeile von unten); hierbei ist ei \ 82 \ s?, | ^4-<br />
B1.53 I Demnach lasst sich jede endliche Gruppe ^, die eine endliche Basis hat, als<br />
direktes Produkt zyklischer Gruppen {Gi, • • •, Gm) von den Ordnungen £1 | £2 |<br />
• • • I Em darstellen. Hier sind nun, wie wir sehen werden, die Ordnungen d<br />
und die Anzahl m durch G eindeutig bestimmt; wir bezeichnen sie daher als<br />
Invarianten von G-<br />
Wir haben jetzt also eine Basis xi,..., Xm von G, die Elemente sind<br />
m<br />
X — y ^ O^iXiy<br />
1<br />
X = 0 nur fiir ai = 0 {si).<br />
p^ sei irgend eine Primzahlpotenz; wir halten p fest und lassen nur / variieren<br />
== 0,1,2, Die Elemente x, fiir die p-^^x = 0, bilden eine Untergruppe<br />
Gf, die mit G gegeben ist. Wir berechnen ihre Ordnung aus der obigen<br />
Basis. Dann haben wir die Kongruenzen p-^ai = 0 (si) zu erfiillen. Sei<br />
B1.54 Si der grosste | gemeinsame Teller von p^ und £i, d. h. wenn Si genau durch<br />
914
P'^'ifi ^ 0) teilbar ist, S = p^% gi — min[/^,/]. Unsere Kongruenz wird dann<br />
mit a^ = 0 I -r^ 1 gleichbedeutend, die genau 5i mod Si verschiedene Losungen<br />
hat I 0, -^, 2-^,..., ((5i — 1)-^ I , und demnach ist 11 ^^ = p^si ^{^ Anzahl der<br />
V Oi di OiJ<br />
verschiedenen x mit p^x == 0, d. h. die Ordnung von Qf; da diese bekannt ist,<br />
haben wir also<br />
m<br />
1<br />
WO af bekannt ist. Nun ist min[/i, /]—min[/i, /—I] flir fi>f gleich /—(/—I) =<br />
1, fiir /^ < / — 1 gleich fi — fi =0, also ist bekannt<br />
bf = af — af-i = Anzahl der fi>f<br />
flir / > 1 (6o = Anzahl der fi > 0, d. h.. bo = m ist zunachst noch nicht bekannt).<br />
Insbesondere ist bi = Anzahl der durch p teilbaren £i bekannt; | hierbei Bl. 55<br />
ist bl < m. Da wir aber natiirlich I < Si \ £2" ' \ ^m angenommen haben,<br />
giebt es ein in ^i, d. h. in der Ordnung h = Si" -Sm der Gruppe aufgehendes<br />
p, wofiir 61 = m; hierdurch wird m bekannt, namlich als Maximum der zu<br />
den verschiedenen p \ h gehorigen Zahlen 61. Flir jedes p ist nun die Anzahl<br />
bf der /^ > / fiir / = 0,1,2,... bekannt, sodann ist Cf = bf — 6/+1 = Anzahl<br />
der fi = f bekannt, und da /i < /2 < • • • (wegen £1 | £2 | • • *)? ^^ i^^<br />
Jl = • • • = JCQ '=^ U, /co + l = •••== Jco+Ci — -1-5 /co+Ci + 1 = • • • = /cQ-f-ci+C2 ~ ^<br />
usw. (es kann natiirlich auch Cf = 0 sein, dann fehlen die betreffenden Glieder),<br />
d. h. jedes fi ist bekannt. Nunmehr ist fiir jedes Si und jede Primzahl p<br />
die genau in Si aufgehende Potenz p^' bekannt, womit die £i selbst bestimmt<br />
sind.<br />
Wenden wir dies auf die Gruppe G' der Elemente endlicher Ordnung von Q<br />
an, so haben wir also bewiesen:<br />
II. Jede Gruppe Q mit endlicher Basis ist als direktes \ Produkt (^1,..., ^n) BL 56<br />
zyklischer Gruppen in der Weise darstellbar, dass Gi,- -- Gm "^on endlichen Ordnungen<br />
£1,..., £^ und zwar 1 < ei | £2 | * * * | ^m, Gm+i-, - -- iGn von unendlicher<br />
Ordnung sind. Die Zahlen 72,772, £1,..., £jji sind durch G eindeutig<br />
bestimmt; n — m ist der Rang von G, die Si heissen die Invarianten von G-<br />
Diese Produktzerlegung moge eine kanonische, die entsprechende Basis<br />
xi,...,Xmj... ^Xn {xj ein erzeugendes Element von Gj) eine kanonische Basis<br />
heissen.<br />
Es soil nun gezeigt werden, dass jede Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden<br />
auch eine endliche Basis hat.<br />
III. Jede Untergruppe eines Moduls ist wieder ein Modul.<br />
Es sei ^ == [a^i,... ,Xn], W Untergruppe; wenn sie allein aus dem Nullelement<br />
besteht, bezeichnen wir sie als Modul vom Rang 0. Schliessen wir diesen Fall<br />
aus.<br />
Beweis fiir n == 1. Es sei yi = aiXi das kleinste positive Vielfache von<br />
xi, das in H vorkommt. Wenn dann y = jiXi in H vorkommt, ist 71 = /Siai<br />
915
B1.57 durch ai teilbar; sonst | ware 71 == Piai + o;, 0 < a < o^i, und es wiirde<br />
y — PiVi = ax iiiH vorkommen, gegen die Wahl des kleinsten ai. Also besteht<br />
H aus den Vielfachen von yi,H = [yi].<br />
Schluss von n — 1 auf n. Wenn W C [^2,..., Xn], ist die Behauptung richtig.<br />
Andernfalls kommen Elemente aiXi + ... mit 0:1 7^^ 0 in 7-^ vor; yi =<br />
aixi + • • • + an^n sei ein solches mit kleinstem positiven ai. Fiir jedes in H<br />
vorkommende y = 71X1 + • • • + 7na:n ist dann 71 = (iiai durch ai teilbar<br />
(Beweis wie oben); y — Piyi — z ist dann frei von xi, liegt also in [0:2,..., Xn],<br />
und diese z bilden eine Untergruppe von [x2,..., Xn], also nach Annahme einen<br />
Bl. 58 Modul [2/2,. •., Vm\ {m < n). Nun ist offenbar W = [7/1,2/2, • • •, 2/m]- |<br />
Hilfsformel fiir Matrizen.<br />
(^)<br />
Q^t<br />
a, ... a^<br />
sei eine rechteckige Matrix mit m Zeilen, n Spalten, kurz eine Matrix (m, n); die<br />
Elemente etwa willkiirliche Variable. Ebenso B = (^^) eine Matrix (n,p) {i =<br />
1,..., m; j = 1,..., n; fc = 1,... ,p) und F = A5 die Produktmatrix (7^),<br />
eine Matrix (m,p) mit den Elementen<br />
Es sei a}i'./.}'^ die r-reihige Determinante<br />
< • • • "7'<br />
^i^ • • • ^}:<br />
die mittels der Zeilen ii,...v und der Spalten J'i,...,jr gebildet ist; wenn<br />
zi,...,V nicht alle verschieden oder ji,...jr nicht alle verschieden sind, ist<br />
diese Determinante = 0. Sind die i alle verschieden und die j alle verschieden<br />
und bedeutet TT^ eine Permutation der zi,...,v, sg TT^ = ±1, jenachdem TT^<br />
B1.59 gerade (ungerade) ist, so ist |<br />
(links steht das, was aus Q^}^'"}'^ durch TT^ wird); dasselbe gilt fiir eine Permutation<br />
TTj von ji,..., jV •<br />
Wir behaupten nun:<br />
il...ir ^ V^ il-.-ir 0Jl...jr<br />
lki...kr Z^ jl---jr'^^ki...kr'<br />
D. h. die r-reihigen Determinaten von T sind Produktsummen der r- reihigen<br />
Determinanten von A und B.<br />
916
Beweis (zi,..., v seien verschieden, ki,... ,kr desgleichen, sonst haben wir<br />
0 = 0). Zunachst ist nach der Definition einer Determinante<br />
WO -Ki alle Permutationen von ii,..., 2^ durchlauft. Das wird<br />
TTi 31 •••jr<br />
jl"-jr<br />
WO ji,...,jr zunachst unabhangig von einander die Indizes l,...,n durchlaufen.<br />
Alle Glieder, wo die j nicht paarweise verschieden sind, verschwinden.<br />
Unter den iibrigen fassen wir immer | die zusammen, wo ji,..., jr dieselbe Bl. 60<br />
Ziffernmenge in verschiedener Ordnung bilden, d. h. von einer festen Menge<br />
ji < " ' < jr die Permutationen TTJ durchlaufen; das giebt<br />
E EK•.•.•.;:/?^••/3i:)-.•<br />
= E E
Zwei Matrizen A, A = HAP, wo 11, P unimodular sind, heissen aquivalent.<br />
(n eine Matrix {m,m), A : {m^n), P : (n,n)) Aquivalente Matrizen haben<br />
B1.62 denselben Rang und dieselben Elementarteiler. \<br />
Mit der Matrix A betrachten wir die lineare Transformation<br />
B1.63<br />
5Z ^^^'^<br />
(i = l,...,m; j = l,...,n),<br />
wobei wir unter den Xj, yi nicht notwendig Zahlen, sondern Gruppenelemente<br />
verstehen. Wir schreiben dafiir<br />
/^i \<br />
2/1 \<br />
Y = AX,<br />
wo X<br />
.Y<br />
einspaltige Matrizen sind. Wenn wir die yi<br />
\ Xn J Vm I<br />
und Xj unimodular transformieren,<br />
Y = nxy, x = px<br />
so wird Y = UAPX = AX, A = UAP aquivalent A.<br />
Zu den unimodularen Substitutionen der y^ gehoren folgende:<br />
(a) yi = -t/i, ^2 = 2/2,..., ym = ym<br />
{(3) yi = 2/2, y2 = 2/i, ya = 2/3, • • •, Vm = Vm<br />
(7) yi = 2/1 + /^2/2, ^2 = 2/2,..., ^m = 2/m (/^ gauz rational), d. h. wenn<br />
man in A eine Zeile mit —1 multipliziert, oder zwei Zeilen vertauscht, oder zu<br />
einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert, so entsteht immer eine<br />
mit A aqui|valente Matrix. Dasselbe kann man mit den Spalten machen und<br />
diese „elementaren" Umformungen beliebig oft wiederholen.<br />
Unter den zu A aquivalenten Matrizen suchen wir eine (wir nennen sie wieder<br />
A), worin das absolut kleinste, nicht verschwindende Element einen moglichst<br />
kleinen Wert hat (wir nehmen den Rang > 1 an); man kann es vermoge Zeilenund<br />
Spaltenvertauschung an die Stelle an bringen und (ev. die 1. Zeile mit<br />
— 1 multipliziert) positiv annehmen. Dann sind die Glieder aij der 1. Zeile und<br />
die an der 1. Spalte durch an teilbar; dann ware z.B. an = fiau + a,0 <<br />
a < ail, so wiirde man durch Subtraktion der /i-fachen 1. Zeile von der i.<br />
Zeile ail = (^n — l^o^n = a erhalten, im Widerspruch zur Wahl von an. Also<br />
an = /io^ii, und durch die genannte Subtraktion erhalt man dann an — 0,<br />
ebenso in der ganzen 1. Spalte und Zeile. Jetzt sieht die mit A aquivalente<br />
Matrix (wir nennen sie immer wieder A) so aus:<br />
/ ceil<br />
0<br />
0<br />
fiaii + a, 0 < a < ce^j, so wiirde man durch Subtraktion der /i-fachen 1. Zeile<br />
von der i. Zeile und sodann durch Addition der 1. Spalte zur j. Spalte folgende<br />
Elemente erhalten:<br />
an<br />
0<br />
0<br />
^ij<br />
an<br />
-fiaii<br />
0<br />
^ij<br />
an<br />
-fian<br />
also aij —aim Widerspruch zur Wahl von an- Wir haben also A in eine aquivalente<br />
Matrix der letzthingeschriebenen Form oder das urspriingliche System<br />
Vi ~J2 ^ij^j (hj = 1,..., m) durch unimodulare Transformation der i/i^Xj<br />
in die neue Form<br />
yi<br />
2/2<br />
anxi<br />
an<br />
a<br />
0^22^2 H h Oi2nXn<br />
Vm = Oim2X2 H h amnXn<br />
gebracht (an \ (^ij)- Mit dem nach Abtrennung der ersten Gleichung verbleibenden<br />
System verfahren wir genau so (wenn seine Matrix noch vom Rang > 1<br />
ist) und gelangen so schliesslich zu | einem System folgender Art BL 65<br />
wo an I a22 \ •'<br />
Diagonalmatrix<br />
Vs+l<br />
2/1 = aiixi<br />
2/2 = ^22^2<br />
0<br />
ass-^s<br />
ass natiirliche Zahlen sind (s < m, s < n), oder zu einer<br />
/ 0^11 0<br />
V 0<br />
0 a22<br />
0<br />
0<br />
a<br />
0<br />
^ss<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 0<br />
die mit der urspriinglichen aquivalent ist. Ihr Rang ist offenbar 5, ihre Determinantenteiler<br />
an, an0:22, • • •, OLnoi.22 • • • OLSS^ ihre Elementarteiler an, a225 • • • ?<br />
asst und da diese mit denen der urspriinglichen iibereinstimmen miissen, haben<br />
wir bewiesen: | BL 66<br />
919<br />
0<br />
0<br />
0
IV. Eine Matrix (aij) vom Range r mit den Elementarteilern ei,... ,£r ist<br />
mit der Diagonalmatrix (sij) (wo en = Si,... ,£rr = £r, ^/Ze uhrigen Sij — 0)<br />
dquivalent. Jeder Elementarteiler geht im folgenden auf: ei | £2 | • • * \ ^r- Zwei<br />
Matrizen (mit m Zeilen, n Spalten) sind dann und nur dann dquivalent, wenn<br />
sie denselben Rang und dieselhen Elementarteiler haben. Das Gleichungssystem<br />
yi = ^ OLij Xj (i = 1,..., m; i = 1,..., n)<br />
3<br />
Idsst sich durch unimodulare Transformationen der yi und Xj auf die Form<br />
bringen yi — Yl, ^ij^j^ ^- ^•<br />
j<br />
yi = e\xx, ..., yr = SrXr, yr-^1 =0, ..., ym = 0.<br />
Nun konnen wir beweisen:<br />
V. (Hauptsatz der Abelschen Gruppen) Eine Abelsche Gruppe mit endlich<br />
vielen Erzeugenden hat eine endliche Basis, ist also direktes Produkt von zykli-<br />
Bl. 67 schen Gruppen. \<br />
Die Gruppe heisse U und habe die Erzeugenden ui,... ,Un, besteht also aus<br />
den Elementen<br />
u = aiui -\ h anUn,<br />
wo aber ui,... ^u^ noch nicht unabhangig zu sein brauchen. Wir betrachten<br />
einen Modul X — [xi^.. .^Xn] mit den Elementen<br />
X = aixi H \-anXn,<br />
wobei hier aber die ai,..., 0;^ durch x eindeutig bestimmt sind. Das giebt<br />
vermoge x —> u einen Homomorphismus X —> U und also einen Isomorphismus<br />
X \y ^^ U^ ^o y eine Untergruppe von X ist, namlich die Gruppe<br />
derjenigen y — aixi -{• ho^n^n? denen das NuUelement 0 von U entspricht,<br />
d. h. fiir die aiUi -\- - — -\- anUn = 0. Wenn sich y nicht auf die Null von X<br />
reduziert (dann ist X
die Basis von y. Hiernach ist nun aiUi -\ h anUn = 0 dann und nur dann,<br />
wenn eins seiner Urbilder (dann alle), z. B. aiXi -\ h o^nXn zu y gehort, also<br />
mit ganzen pi die Gleichungen bestehen<br />
d.h.<br />
aiXi H h anXn = /?12/1 H h Pmym = f^lSlXi + • • • + limemXm,<br />
Ist n > m, so entsprechen den letzten n — m Indizes j = m +1,..., n Elemente<br />
Uj unendlicher Ordnung: ajUj = 0 nur fiir aj = 0. Den m ersten Indizes<br />
i = 1,..., m I entsprechen Elemente Ui von der Ordnung Si : aiUi — 0 nur fiir B1.69<br />
a^ = 0 {£i). Hierbei konnen allerdings Elementarteiler = 1 auftreten; wegen si \<br />
^2 I • • • I ^m sind es die ersten, etwa e\ — - • - = eh — ^-, Sh+i > 1; die zugehorigen<br />
ui = '" = Uh = 0 sind wegzulassen. (Hat man von vornherein die Anzahl<br />
der n Erzeugenden moglichst klein gewahlt, so ist dieser Fall ausgeschlossen).<br />
Jedenfalls haben wir nun die Elemente von U in der Form<br />
U = ah-^lUh-^l H h amUm + Q^m+l^m+l H h anUn<br />
mit der Basis Uh-\-ij... ,Un, U = {Uh+i-, • -- Mn) als direktes Produkt zyklischer<br />
Gruppen dargestellt und zwar ist dies wegen 1 < Sh+i | • • • | ^m eine<br />
kanonische Darstellung (II).<br />
Wir haben zugleich bewiesen, dass jedes homomorphe Bild eines Moduls eine<br />
endliche Basis hat. Es folgt noch:<br />
Hat U eine endliche Basis, so auch jedes homomorphe Bild W von U. Denn<br />
X -^U.U^W giebt X -> W.<br />
Hat U eine endliche Basis, so auch jede Untergruppe Ui von U. Denn bei<br />
X -^ U entspricht dem Ui als Urbild eine Untergruppe Xi von X^ also ein<br />
Modul (III): Xi-^Ui.\ Bl.70<br />
§ 3. Homologiegruppen<br />
Es sei (§1) ^ ein abstrakter Komplex, dessen Simpla bis zur Dimension n (><br />
0) ansteigen (n-dimensionaler Komplex, n-Komplex, ^'^). Fiir m > 0 sei fm die<br />
Anzahl der in $ vorkommenden m-Simpla: /o Anzahl der Ecken, /i der Kanten,<br />
..., fn der n-Simpla; /^ = 0 fiir m > n. Jedem m-Simplum wie {rroa:i... Xm},<br />
das in $ vorkommt, sei ein orientiertes Simplum Q = ia^oa^i... Xm zugeordnet.<br />
Qj (j = 1,..., /m) seien diese orientierten Simpla; die m-Formen (homogenen<br />
m-dimensionalen Polynome)<br />
j<br />
mit ganzen rationalen /Sj bilden (bei Addition) eine Gruppe und zwar einen<br />
Modul (freie Gruppe) vom Range fm • dieser Modul heisse J^rn- Die m-Zyklen,<br />
921
d. h. diejenigen m-Formen B, deren Rand = 0, bilden eine Untergruppe Z^, die<br />
Bl. 71 also wieder ein Modul ist (§ 2, III); sein Rang sei Zm- \ Die m-Rdnder, d. h. die<br />
m-Zyklen ~ 0 oder diejenigen B, die sich als Rand B = A' einer (m + l)-Form<br />
A in ^ darstellen lassen, bilden wiederum einen Modul IZm £ ^m: sein Rang<br />
sei Tm- Also: Trn 3 ^m 2 T^m (m-Formen, m-Zyklen, m-Rander); Moduln<br />
vom Range fm>Zm>rm-<br />
Mit diesen Moduln wird man natiirlich auch ihre Faktorgruppen Trn \ ^m-,<br />
^m I T^m zu betrachten haben.<br />
^m I ^m ist die Gruppe der Restklassen von m-Formen mod ZjYi 5 zwei<br />
m-Formen B^Bi gehoren in dieselbe Restklasse, wenn ihre DifFerenz ein Zyklus,<br />
d.h. B' = B'l. Dieser Restklasse ist also eineindeutig ein {m — 1)-Rand<br />
B' zugeordnet, d. h. es ist '^<br />
also<br />
^m I ^m isomorph mit IZm-i-,<br />
Dies gilt zunachst fiir m > 1, aber auch noch ftir n = 0, wenn man setzt:<br />
BL 72 I Namlich, wenn xi (z = 1,..., /o) die Ecken des Komplexes sind, so sind<br />
/o /o /o<br />
die 0-Formen durch ^ OLiXi^ die 0-Zyklen durch ^ otiXi mit ^ ce^ = 0<br />
1 1 1<br />
/o<br />
oder durch ^ ai {xi — xi) gegeben, also ZQ = fo — 1. (Bei der modifizierten<br />
2<br />
Randdefinition x' = 0 waren alle 0-Formen auch 0-Zyklen, r_i = 0 zu setzen).<br />
^m I 2^m ist also auch ein Modul (-^^ IZm-i)^ alle Elemente ^ 0 von unendlicher<br />
Ordnung.<br />
Die Faktorgruppe Zm \ ^m = ^m heisst die m. Homologiegruppe des<br />
Komplexes 0, ihr Rang<br />
die 777,. Bettische Zahl des Komplexes; sie ist aber, wie wir sehen werden, im<br />
AUgemeinen kein Modul mehr, sondern direktes Produkt von zyklischen Gruppen<br />
teils unendlicher, teils endlicher Ordnung. Aus (1) (2) ergiebt sich durch<br />
Elimination von Zm '- fm-rm = Tm-i + hm,<br />
Bl.73 I Fiir m > n sind /^, z^, ^m = 0 zu setzen, da der Modul der m-Formen aus<br />
der einen Form 0 besteht, also vom Range 0 ist. Ferner ist aber schon Vn = 0<br />
'Oder: fiir die m - Formen liefert B ^ B' einen Homomorphismus von J~m ^-Uf l^rn — 15<br />
wobei dem 0-Element von IZm-i die ??i-Formen B mit B' = 0, d. h. die ?72-Zyklen entsprechen:<br />
'"^rn — l '^"^ ^m I ^rri'<br />
922
zu setzen, da es keinen n-Rand (Rand einer (n + l)-Form) giebt ausser 0. Wenn<br />
man die Gleichungen fm — /^m + ^m + ^m-i mit (—1)*^ multipliziert und fiir<br />
m = 0,1,..., n addiert, so folgt<br />
7=x^(-ir/„, = i+^(-ir/i. (4)<br />
diese Zahl heisst die Euler - Poincaresche Charakteristik des Komplexes $.<br />
Was hat das alles fiir eine Bedeutung? Wir werden in § 4 die topologische Invarianz<br />
der Homologiegruppen nachweisen, d. h. sind $, ^ zwei abstrakte Komplexe,<br />
deren zugehorige Euklidische Komplexe [^], [^] gleich oder homoomorph<br />
sind, so sind die beiden zu ^, ^ gehorigen m. Homologiegruppen isomorph; die<br />
m. Homologiegruppe hangt also nur von der Punktmenge [^] ab, die | simpliziale Bl. 74<br />
Zerlegung ist einflusslos, auch kann [^] durch eine homoomorphe Menge, sei<br />
es ein Euklidischer oder topologischer Komplex, ersetzt werden. Sowohl der<br />
Rang hm als auch die Invarianten von Hm (Ordnungen der endlichen zyklischen<br />
Gruppen bei kanonischer Zerfallung, m-dimensionale Torsionszahlen, von<br />
denen noch zu sprechen sein wird) sind also topologische Invarianten im angegebenen<br />
Sinn, und folglich ist auch 7, well es sich durch die hm ausdriicken<br />
n<br />
lasst, topologische Invariante, wahrend in 7 = ^ {—l)'^fm die Anzahlen fm<br />
0<br />
der m-Simpla einzeln nicht invariant sind.<br />
Beispiele (vgl. Schluss von § 1)<br />
(a) Kreisring, Ringflache zwischen zwei Dreiecken. 6 Ecken, 12 Kanten, 6 Dreiecke:<br />
/o = 6, /i = 12, /2 = 6, 7 = /o —/1 + /2 = 6 — 12+6 == 0. Betrachten wir in<br />
'? ^ Ef'<br />
• 9 IP 3-0<br />
P><br />
Ef'<br />
p*<br />
der Ebene die {p-\-l){q-\-1) Gitterpunkte (z, j) (i = 0,... ,p; j = 0,..., ^).<br />
Sie bilden pq \ Quadrate mit p{q 4-1) wagerechten (der a;-Achse parallelen) und Bl. 75<br />
{p-\-l)q senkrechten, zusammen 2pq + p + ^ Kanten. Wenn wir jedes Quadrat<br />
in zwei Dreiecke zerlegen, treten noch pq Diagonalkanten hinzu; insgesamt ist<br />
die ganze Rechtecksfldche als Komplex dargestellt mit<br />
/o = (p+l)(^ + l) Ecken,<br />
/i = ^PQ + P + 9 Kanten,<br />
/2 = 2pq Dreiecken.<br />
Die Charakteristik wird 7 = /o — /i + /2 = 1-<br />
923
Identifizieren wir die linke und rechte Rechtecksseite (00 mit pO,... ^Oq mit<br />
pq)^ so entsteht der Tubus. Dabei fallen 9 + 1 Ecken und q Kanten weg; der<br />
neue Komplex hat die Zahlen /o = pq -\- P-, /i = Spq + p, f2 = '^pq, seine<br />
Bl. 76 Charakteristik ist 0, wie bei dem damit homoomorphen Kreisring. |<br />
(/3) Projektive Ebene. 6 Ecken, 15 Kanten, 10 Dreiecke. 7 = 1.<br />
(7) Torus. Wenn man beim Tubus (Beispiel (a)) noch die obere und untere<br />
Rechteckseite identifiziert, so fallen p Ecken (nicht mehr p + 1, da Og und<br />
pq schon identifiziert sind) und p Kanten fort; die Charakteristik bleibt unverandert<br />
= 0.<br />
(S) Mobiussches Blatt. Wie beim Tubus ist 7 = 0; bei dem damals angegebenen<br />
Komplex war /o — 6, /i = 12, /2 = 6, aber man kann auch die<br />
beliebig geteilte Rechtecksflache nehmen und wie beim Tubus (nur „verkehrt")<br />
zwei gegeniiberliegende Seiten identifizieren.<br />
Das m-Simplum hat die Charakteristik 1:<br />
i-,=i-i'»,+ivrrv-=o=(i-ir"<br />
VH<br />
Der Rand des m-Simplums hat dieselben /o,..., fm-i wie soeben, nur fm = 0,<br />
also 7 = 1- (-l)'^.<br />
Also: die m-dimensionale VoUkugel: 7=1;<br />
Bl. 77 die (m — l)-dimensionale Kugelfiache: 7 — 1 — (—1)"^ |<br />
Z.B. der Kreisumfang (m = 1) : 7 = 0; die Kugelfiache des Es : 7 = 2.<br />
Seien ^1,^2 zwei abstrakte Komplexe, ^ = $1 + $2 ihre mengentheoretische<br />
Summe (Menge der Simpla, die zu ^1 oder $2 gehoren), ^0 = ^1 ^2 ihr<br />
Durchschnitt (Menge der Simpla, die zu $1 und zu ^2 zugleich gehoren). Sind<br />
/mlJ /m2, fm, fmO die Auzahlcn der m-Simpla in $1, ^2, ^, ^05 so ist offenbar<br />
/ml + /m2 = fm -\- fmO und dahcr fiir die Charakteristiken (Summendurchschnittsformel)<br />
71+72=7 + 70- (SD)<br />
Konstruiert man zu den abstrakten Simpla von ^ Euklidische Simpla in exklusiver<br />
Lage, so ist auch (mengentheoretisch) [$] = [^1] + [^2] , [^0] = [^i][^2]-<br />
Wenn ^1, $2 keine Ecke gemein haben, ist 7 = 71 + 72-<br />
Bedecken wir die Kugel- oder Tetraederfiache mit einer geniigend grossen<br />
Zahl exklusiver Dreiecke (man kann z.B. jedes Dreieck „baryzentrisch" teilen,<br />
Bl. 78 indem man die Mittelpunkte der | Seiten und des Dreiecks selbst einfiihrt, und<br />
924
diesen Prozess beliebig oft wiederholen). Wenn man von / paarweise exklusiven<br />
Dreiecken die inneren Punkte entfernt, aber die Seiten und Ecken bestehen<br />
lasst, so entsteht die „Kugelfiache mit / Lochern"; fiir den abstrakten Komplex<br />
hat das die Wirkung, dass / Dreiecke wegfallen und die Charakteristik 7 =<br />
/o — /i + /2 sich um / vermindert; die der Kugelfiache war 2, also die der<br />
Kugel mit / Lochern ist 2 — 1. Z. B. fiir / = 1 (homoomorph mit Kreisscheibe<br />
Oder Dreieck) 7 = 1; fiir / = 2 (homoomorph mit Tubus oder Kreisring)<br />
7 — 0; fiir /> 2 ist 7 < 0. - $1 reprasentiere eine Kugel mit / > 2 Lochern<br />
und $2 einen Tubus. Wenn die Locher des Tubus auf zwei Lochern | der Bl. 79<br />
CD O<br />
Kugel liegen, giebt $ eine Kugel mit / — 2 Lochern und einem „Henkel"; $0<br />
giebt zwei disjunkte Kreislinien mit der Charakteristik 70 = 0 + 0 = 0. Also<br />
7 + 7o =71+72 = (2 — /) + 0, 7 = 2 — Z. Wiederholt man dies, so bleibt<br />
die Charakteristik 2 — /, wahrend man eine Kugel mit / — 2h Lochern und h<br />
Henkeln (/ > 2h) erhalt: die Kugel mit / Lochern und h Henkeln (man ersetze<br />
/ durch / + 2h) hat die Charakteristik 2 — I — 2h.<br />
k Kugelflachen, von denen die erste die zweite, die zweite die dritte u. s. w.<br />
beriihrt, geben die Charakteristik k -\- 1. Beweis durch Rekursion: reprasen-<br />
0000<br />
tiert ^k diese Menge, ^1 eine weitere sie berlihrende Kugel, so ist ^/j; + ^1 =<br />
^k-\-i, ^k^i ein einzelner Punkt (Charakteristik 1); also nach (SD) 7^+71 —<br />
7/e+i + 1 Oder wegen 71 = 2 : 7^+1 =7^ + 1; also (71 = 2) 7^ = A: + 1. - Wenn<br />
auch die k. Kugel wieder die erste beriihrt, wird die Charakteristik = A:. | BL80<br />
Bestimmung der Homologiegruppen. Es seien Pi, Qj, Rk die orientierten<br />
Simpla der Dimensionen m+1, m, m — 1 (z = 1,..., /m+i; J' = 1? • • • 5 fm'-, k =<br />
1,..., /^_i); sie bilden Basen fiir die Moduln J^rn+ii ^rm ^m-i-<br />
Es bestehen dann die Inzidenz- oder die Berandungsrelationen<br />
3 k<br />
wobei die Pij^^jk iibrigens nur die Werte 0, ±1 haben.<br />
Diese rechteckigen Matrizen<br />
{Pij) = B = Em, {ijk) =T = Em-l<br />
heissen Inzidenz- oder Berandungsmatrizen.<br />
Da 0 = i^'' = E NQ'j = E NlJkRk. ist E Pijljk = 0 (die Rk sind<br />
3 jk j<br />
925
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung), also BT = 0 oder<br />
EmEm-l = 0.<br />
Fiir m = 0 sind die Qj die Ecken des Komplexes, sodass man als einziges Rk<br />
das (—1)- Simplum 1 anzunehmen hat; die Matrix E-i ist dann einspaltig und<br />
B1.82 hat /o Elemente = 1.1 ^<br />
Sei r der Rang, £i | • • • | £r die Elementarteiler der m. Inzidenzmatrix Em =<br />
B. Dann kann man nach § 2, IV die P^, Qj unimodular in neue Basiselemente<br />
Ai, Bj so transformieren, dass die Inzidenzrelationen in<br />
A; - siBi,...,A; = srBr, A;+I = ... = 4 = 0<br />
iibergehen, wo fiir den Augenblick / = /m+i- Hieraus folgt<br />
T^m = [^iBi, . . . , ErBr]<br />
^m-\-l = [Ar+li . . • , Af\<br />
f<br />
Denn jeder m-Rand ^ (^i^i — Y2 ^i^i^i ist ganzzahlige Kombination von<br />
1 1<br />
^i^i,..., ErBr und diese sind (wie Bi,... ,Br selbst) unabhangige Elemente<br />
/<br />
unendlicher Ordnung. Und jeder (m + 1)-Zykel ^ aiAi ist definiert durch<br />
1<br />
r<br />
^ aiSiBi = 0, Qfi = . • • = a^ = 0; er ist Kombination von Ar+i,.. •, ^/, die<br />
1<br />
unabhangige Elemente unendlicher Ordnung sind.<br />
Hieraus geht r = Vm = Rang von IZm hervor:<br />
Der Rang Vm des Moduls IZm der m-Rander ist gleich dem Rang der Inzidenz-<br />
BL 83 matrix Em. Die Bettischen Zahlen hm bestimmen sich aus (3). |<br />
Schreiben wir also<br />
T^m = [^1^1,. . • ,£mBm]- (5)<br />
Die hierbei verwendete Basis Bj von J^m enthalt jedenfalls die rm Zyklen<br />
5i,... ,Br^ {siBi ist Rand, also Zyklus; Bi ist Zyklus und Randteiler, aber<br />
vielleicht nicht Rand); fiir die iibrigen Bj bestehen Inzidenzrelationen<br />
Bj = ^ JjkRk (j =^ '^m + 1, . . . , /m; A: = 1, . . . , /m-l),<br />
k<br />
die sich wieder durch unimodulare Transformation dieser Bj (ohne Anderung^<br />
von 5i,..., Br^) und der Rk in die Form<br />
Bj =0{j = rm+l, . . . , Zm), Bj = ^jCj (j = Z,n + 1, . . . , fm)<br />
^[Blatt 81 ist im Ms. komplett getilgt.]<br />
^Das ist dann auch eine unimodulare Transformation aller Bj, oder die endgiiltigen Bj<br />
sind unimodular aus den Qj transformiert.<br />
926
ingen lassen {fm — ^m = fm-i Rang von Em-i^lj ihre Elementarteiler).<br />
Worauf es uns ankommt, ist, dass wir nun eine Basis des Moduls<br />
Zm = [Bi,...,Br^,...,BzJ[, (6)<br />
haben, wovon die ersten Glieder die in (5) erscheinenden Zyklen sind. | Bl. 84<br />
Nunmehr ist also ein m-Zyklus B =^Y1, l^j^j dann und nur dann ~ 0, wenn<br />
1<br />
er zu 7lm gehort, also von der Form ^ iijSjBj ist, d. h. fiir<br />
1<br />
1^3 ^ 0 i^j) 0' = 1. • • • , ^m), Pj =0{j = r^+i, . . . , Zm)'<br />
Die Homologiegruppe Tim = Zm \ IZm besteht aus den Restklassen.der m-<br />
Zyklen mod IZm oder, wie wir auch sagen konnen, aus den m-Zyklen B selbst,<br />
bei Nichtunterscheidung homologer Zyklen. In diesem Sinne hat sie die erzeugenden<br />
Elemente Bj^ die ersten Vm von den Ordnungen EJ^ die letzten<br />
Zm— f'm = hm vou uneudlicher Ordnung.<br />
Scheidet man die etwaigen ersten Elementarteiler Sj aus, die = 1 sind, so erhalt<br />
man Hm in kanonischer Darstellung, also:<br />
Die Invarianten von Hm (die Ordnungen der endlichen zyklischen Gruppen<br />
bei kanonischer Zerfallung) sind die von 1 verschiedenen Elementarteiler<br />
der Inzidenzmatrix Em- Sie heissen die m-dimensionalen Torsionszahlen des<br />
Komplexes. \ Bl. 85<br />
Wir nannten ja (§ 1) £ > 1 einen 777,-dimensionalen Torsionskoeffizienten,<br />
wenn B ein m-Zyklus und £J5, aber kein kleineres Vielfaches von J5, ~ 0 ist.<br />
Die von 1 verschiedenen Elementarteiler von Em nnd der Rang hm von Hm<br />
sind topologisch invariant (wenn die topologische Invarianz von Hm als richtig<br />
unterstellt wird). Dagegen sind fm^^m^fm (also auch der Rang r^ von Em)<br />
nicht topologisch invariant.<br />
Die Torsionszahlen konnen natiirlich auch fehlen, sodass Hm ein Modul, direktes<br />
Produkt zyklischer Gruppen unendlicher Ordnung wird. Das ist gewiss<br />
fiir m = n (n hochste Dimension der Simpla des Komplexes) der Fall, wo es<br />
n-Rander ausser 0 nicht giebt, also ein n-Zyklus nur dann ~ 0 ist, wenn er = 0<br />
ist.^° Hier ist Hn = Zn, hn = Zn, rn = 0.<br />
Auch Torsionszahlen 0. Dimension giebt es nicht. Wir sahen am Ende von<br />
§ 1: wenn ^ in k Komponenten zerfallt und Xi {i — 1,..., /c) eine Ecke aus<br />
jeder Komponente ist, | so ist jede 0-Form B einer Verbindung von xi,..., x^ Bl.86<br />
k k<br />
homolog; JB ~ ^ A^iJ B ist ein Zyklus fiir ^ /3^ = 0, ein Rand {B ~ 0)<br />
1 1<br />
fiir A = • • • = yS/c == 0. Also ist eB ~ 0 nur, wenn schon 5 ~ 0; es giebt<br />
k<br />
keine Torsionszahlen 0.Dimension. Jeder Zyklus B ist ^^ ^ Pi{xi — xi), die<br />
^^Inzidenzmatrizen En,En+i, - • • giebt es nicht. IZn und fiir m > n, Fm, 2m,'J^m,'Hrt<br />
bestehen nur aus dem Nullelement.<br />
927
Homologiegruppe Ho ist<br />
Wo = [X2 -Xi,.,.,Xk -Xi]<br />
und ihr Rang ho — k — 1 : die Bettische Zahl ho ist um eins kleiner als die<br />
Komponentenzahl des Komplexes, filr einen zusammenhdngenden Komplex also<br />
ho = 0. [Bei der Randdefinition x' = 0 ist Ho = [xi,X2, • - - y Xk], ho = k] Ftir<br />
einen zusammenhangenden Komplex besteht also Ho nur aus dem Nullelement.<br />
Die praktische Bestimmung der Homologiegruppen aus den Inzidenzmatrizen<br />
ist natiirlich sehr miihsam wegen der grossen Zeilen- und Spaltenzahlen. Wir<br />
Bl. 87 beschranken uns auf einige allgemeine Bemerkungen. |<br />
Ein Komplex $, dessen Maximalsimpla alle die Ecke x enthalten, heisst ein<br />
Stern mit dem Mittelpunkt x. Beispiel: {xxiX2},{xxs},{xx4} und die Teil-<br />
y ^<br />
mengen dieser Maximalsimpla. Die x nicht enthaltenden Simpla von ^ bilden<br />
wieder einen Komplex ^, den man den „Aussenrand" des Sterns $ nennt; im<br />
Beispiel: {xiX2},{xs},{x4} und die Teilmengen. Wenn T die Simpla von ^<br />
bedeutet, so sind T und {rr, T} sowie {x} die Simpla von $. Jedes Polynom in<br />
$ ist in der Form<br />
A = xU-\-V<br />
darstellbar, wo C/, V frei von x sind und also in ^ liegen.<br />
In einem Stern bestehen alle Homologiegruppen nur aus dem Nullelement.<br />
Es ist zu zeigen, dass jeder Zyklus ein Rand (~ 0) ist. Wir haben<br />
A' = U-xU'-h v.<br />
Aus A' = {) folgt also [/ + F' = 0 (und U' = {)), also<br />
A = v -xV = {xvy,<br />
B1.88 I WO xV in $ liegt; denn jedes died in V entspricht einem in ^ liegenden<br />
Simplum T, jedes in xV einem in $ liegenden Simplum {x,T}. Jeder Zyklus<br />
ist also ~ 0.<br />
Insbesondere hat ein Komplex, der nur aus einem Simplum besteht, lauter<br />
Homologiegruppen, die nur aus 0 bestehen; denn das Simplum kann als Stern<br />
mit einer Ecke als Mittelpunkt aufgefasst werden.<br />
Ist $ ein beliebiger Komplex mit der Ecke x und ^ der Aussenrand des<br />
Sternes, der aus alien x enthaltenden Simpla von ^ und ihren Teilmengen<br />
besteht, so ist jedes Polynom in $ auch in der Form<br />
A = xU + V<br />
928
darstellbar, U und V frei von x, wobei U in ^ liegt, aber V nicht notwendig;<br />
dann ist also xV ivn AUgemeinen nicht mehr Polynom in $.<br />
$ sei der Rand eines {n + 1)-Simplums ([^] ist homoomorph mit der ndimensionalen<br />
Kugelflache im {n + l)-dimensionalen Raume, der n-Sphare).<br />
Alle Homologiegruppen Hm \ fur m < n bestehen nur aus der Null; Hn ist ein Bl. 89<br />
Modul vom Range 1.<br />
Das (n + 1)-Simplum werde {x, x^^... ^Xn} = {x^ S} geschrieben, wo S ein n-<br />
Simplum ist, die dem x gegeniiberliegende Seite (Figur fiir n = 2, Tetraeder).<br />
Der Komplex ^ besteht aus dem Stern der x enthaltenden Simpla und ihren<br />
Teilmengen, so wie noch dem einzigen Simplum 5; die Teilsimpla von S ausser<br />
S selbst gehoren jenem Stern, also dem Aussenrand ^ dieses Sterns an. In Folge<br />
dessen gilt, wenn A eine m-Form mit m < n und ein Zyklus ist, wie vorhin<br />
A = {xVy ~ 0, denn jedes died von V entspricht einem echten Teilsimplum<br />
von 5, xV liegt in $. - Fiir m = n hingegen enthalt jedes died in V alle<br />
Ecken von 5, d.h. V ist ein Vielfaches von XQXI .. .Xn^ A ein Vielfaches von<br />
{XXQ ... XnY = C; dies ist ein Zyklus in $, aber kein Rand. Also Hn — ^n — [C']<br />
ist der Modul, der aus den Vielfachen von C besteht. | BL 90<br />
Pseudomannigfaltigkeiten. Ein abstrakter n-Komplex ^ (respektive ein zugehoriger<br />
Euklidischer Komplex [^] ) heisst unter folgenden Bedingungen eine<br />
n-dimensionale Pseudomannigfaltigkeit (abgekiirzt VM. oder VMn oder<br />
(A) $ ist homogen, d. h. alle Maximalsimpla sind n-dimensional.<br />
(B) Jedes (n—l)-Simplum von $ gehort (mindestens einem, aber) hochstens<br />
zwei n-Simpla an.<br />
Der Rand von $ sei die Menge der (n — 1)-Simpla, die nur einem n-Simplum<br />
angehoren. (AUgemein wird als Rand eines homogenen n-Komplexes die Menge<br />
der (n — 1)-Simpla bezeichnet, die mit einer ungeraden Zahl von n-Simpla<br />
inzident sind). Es kann sein, dass kein Rand vorhanden ist, jedes S'^~^ genau<br />
zwei S'^ angehort, dann heisst die VM. randlos, andernfalls berandet<br />
Zwei S'^ heissen benachbart, wenn sie ein S'^~^ gemein haben.<br />
(C) Jedes n-Simplum Idsst sich mit jedem andern durch eine Kette von<br />
n-Simpla verbinden, in der zwei konsekutive Glieder \ benachbart sind. (Eine BL 91<br />
Verscharfung der Zusammenhangsbedingung). Erlauterungen fiir n = 2. Alle<br />
929
Maximalsimpla sind Dreiecke; /\/ ist keine VM. ~ Drei Dreiecke mit einer<br />
gemeinsamen Kante (wie die Blatter eines Buches) diirfen nicht vorkommen.<br />
Bei dem Rechteck gehoren die Rechteckseiten zum Rande, die Diagonale nicht.<br />
- Zwei Dreiecke, die nur einen Punkt gemein haben, gelten nicht als benachbart.<br />
[p>
ecken einen und denselben Drehungssinn giebt; wenn man aber Kanten identifiziert,<br />
so kann dies | (muss nicht) zu inkoharenten Orientierungen benachbarter Bl. 94<br />
Dreiecke fiihren. Z.B. beim Mobiusschen Blatt fiihrt die Orientierung Xiy2yi,<br />
koharent auf die Nachbarwinkel fortgesetzt, schliesslich zu x 1X3 2/1, und dieses<br />
k<br />
Id/<br />
rA<br />
h • u<br />
ID/<br />
\ /t>\<br />
n h<br />
und das erste Dreieck erteilen der gemeinsamen Kante dieselbe Orientierung<br />
2/1X1, sind also inkoharent orientiert.<br />
Unsere Beispiele realisieren also bereits alle vier moglichen Falle:<br />
orientierbar<br />
nichtorientierbar<br />
randlos berandet<br />
Torus<br />
proj. Ebene<br />
Kreisring<br />
Mobiussches Blatt<br />
Simplum und Simplumrand sind orientierbare VM.^ jenes berandet, dieser<br />
randlos.<br />
Betrachten wir die beiden hochsten Homologiegruppen Hn = 2^n und Hn-i]<br />
von der erst en woUen wir den Rang, von der zweiten die Invariant en, d. h. die<br />
(n — l)-dimensionalen Torsionskoeffizienten bestimmen. Es gilt: | Bl. 95<br />
(1) Wenn $ randlos und orientierbar ist, ist Tin der Modul [C], wo C =<br />
f<br />
^ Si die Summe der koharent orientierten n-Simpla ist; in alien andern Fallen<br />
1<br />
besteht Hn nur aus dem Nullelement. (Also /in = 1 resp. hn = 0).<br />
(2) Wenn ^ randlos und unorientierbar ist, hat Hn-i die einzige Invariante<br />
2; in alien andern Fallen giebt es keine Invarianten. (Also Hn-i direktes<br />
Produkt einer zyklischen Gruppe von der Ordnung 2 mit einem Modul vom<br />
Rang hn-i; respektive Hn-i Modul vom Rang hn-i)-<br />
Beweis.^^ Wir bringen die / n-Simpla Si in eine Reihenfolge: Si beliebig, 52<br />
mit ^1 benachbart, 53 mit ^i oder 52 (vielleicht mit beiden) benachbart, ^4<br />
mit einem der frliheren benachbart, u. s. w., wegen (C) werden alle Si auf diese<br />
Weise erreicht. Fiir 1 < h < f ist also Sh mit einem Si {i < h) benachbart,<br />
unter denen, wenn es mehrere giebt, man ein bestimmtes wahle, etwa das mit<br />
kleinstem z; Th sei das mit 5^, Sh inzidente (n — 1)-Simplum, und man kann der<br />
Reihe nach, | von einer beliebigen Orientierung der Si beginnend, jedes Sh mit Bl. 96<br />
den zugehorigen Si koharent orientieren. Da Th schon mit Si,Sh inzident ist.<br />
^^Seifert-Threlfall<br />
931
kann es mit keinem Sk {k > h) inzident sein; die T2,... ,T/ sind insbesondere<br />
paarweise verschieden, da im h < k T/^, aber nicht T^ mit Sk inzident ist.<br />
Nun sei<br />
/<br />
E^-<br />
C ist frei von T2,..., T/ (Th kommt nur in S[ und S'^ vor, mit entgegengesetz-<br />
/<br />
ten Zeichen). Jede n-Form A = ^ OiiSi, deren Rand A^ frei ist von T2, -.., T/,<br />
1<br />
ist Vielfaches von C, denn da Th nur in 5^' und 5^ mit entgegengesetztem Vorzeichen<br />
vorkommt, ist ah = ai, jedes ah einem friiheren gleich, also A = aC.<br />
Insbesondere ist jeder n-Zyklus A gleich aC; wenn es Zyklen ^ 0 geben soil,<br />
muss C ein Zyklus sein, was, wie wir sahen, nur bei randloser orientierbarer<br />
VM. der Fall ist; C ist dann die Summe der koharent orientierten Si, und Zn<br />
ist der Modul [C]; in jedem andern Falle giebt es keine n-Zyklen ^ 0. Damit<br />
B1.97 ist (1) bewiesen. |<br />
Ferner ist jede n—1-Form Bi mit einer solchen B homolog, die von T2,..., T/<br />
frei ist; man bestimme 02 so, dass B2 = Bi — 02S2 von T2 frei ist (das geht,<br />
da T2 in S2 den Koeffizienten ±1 hat); dann Bs = B2 — PsS'^ frei von T3 (und<br />
/<br />
von T2, da Sg frei von T2 ist) u. s. f., schliesslich wird B = Bi — J2 PhS'h frei<br />
2<br />
von alien Th und B r^ Bi.<br />
Nun fragen wir nach der Moglichkeit einer Gleichung l3Bi ~ 0 oder f3B ~ 0<br />
mit kleinstem natiirlichem j3\ wenn sich (3 > 1 findet, giebt das einen (n — 1)dimensionalen<br />
Torsionskoeffizienten. Also (3B = A' Rand einer n-Form und<br />
frei von den Th\ also muss, wie wir bei (1) sahen, A Vielfaches von C sein,<br />
A = 7C, 0B = 7C. Ist ^ berandet, so kommen in C Randsimpla T mit<br />
Koeffizienten ±1 vor, also in 7(7' mit Koeffizienten ±7, in /3B mit Koeffizienten,<br />
die durch /? teilbar sind, also ist 7 durch /? teilbar, B — ^C bereits selbst Rand,<br />
BL98 (3=1: kein Torsionskoeffizient. Ist (j) randlos, aber\ orientierbar, so ist C (wie<br />
wir bei (1) sahen) Zyklus, PB = 0, B = 0, /? = 1, kein Torsionskoeffizient.<br />
Ist endlich $ randlos und unorientierbar, so enthalt C gewisse innere (n —<br />
1)-Simpla T mit den Koeffizienten ±2, sodass wir C = 2Bo setzen konnen,<br />
aus PB = 7C" = 2jBo folgt, dass 27 durch (3 teilbar ist, 5 = SBQ. Die<br />
Koeffizienten von ^B ~ 0 {PB = 7C") sind gerade; die von BQ sind ±1, also<br />
ist zwar 2Bo ~ 0, BQ aber nicht '^ 0. Fiir gerades ^ ist 5 ~ 0, fiir ungerades<br />
B r^ BQ und erst 2B ~ 0. Demnach ist in Hn-i BQ das einzige Element<br />
endlicher Ordnung ausser 0; (2) ist bewiesen.<br />
Die Auskunft, die diese beiden Satze geben, ist nur unvoUstandig. Wir kennen<br />
nach (2) die Invarianten von Hn-i, d. h. die Elementarteiler > 1 der Inzidenzmatrix<br />
En-i (das ist die Matrix (Pij) von S^ = ^ Pij Tj, Si n-Simpla,<br />
j<br />
BL99 Tj (n - 1)-Simpla). Die obersten Gleichungen (3) |<br />
932
f^n — Jn ^n ^n—1 — Jn ^n—1<br />
hn-1 = fn-1 - Tn-l - rn-2<br />
liefern auch den Rang Vn-i = fn — hn dieser Matrix {hn = 1 resp. 0). Den Rang<br />
hn-i von Hn-i Oder den dazu erforderlichen Rang rn-2 von En-2 erhalten wir<br />
durch diese Betrachtungen nicht.<br />
Im Falle n = 2 schliessen sich aber diese Gleichungen und die unterste so<br />
zusammen, dass wir alle hn bestimmen konnen:<br />
h2 = /2 -ri<br />
hi = fi- ri -ro<br />
ho — f2 — fQ —1 = 0 (da ^ zusammenhangend ist).<br />
Wir konnen die Charakteristik zu Hlilfe nehmen:<br />
1 = h - h + f2 = l-\-hQ-hi^h2 = l-hi-\-h2<br />
/ii = 1 + /i2 - 7;<br />
also hi = 2 — J bei randlosem orientierbarem $ (/z2 = 1), hi = 1 — ^y in alien<br />
andern Fallen (/i2 = 0). Damit ist auch Hi bestimmt (Invarianten gemass (2)).<br />
I Beispiele (vgl. § 1, wegen der Charakteristik § 3). Bl. 100<br />
(a) Kreisring, berandet, orientierbar. j = 0. hi — 1 — j = 1. Kein Torsionskoeffizient,<br />
also Hi = Modul vom Range 1 = zyklische Gruppe unendlicher<br />
Ordnung. Wir konnen den damals (§ 1) mit X = 0:1X2 + X2X3 + x^xi bezeichneten<br />
Zyklus als Basis wahlen, d. h. alle Zyklen sind mit aX homolog.<br />
(/?) Projektive Ebene, randlos, unorientierbar. j = 1. hi = 1 — j = 0.<br />
Ein Torsionskoeffizient 2. Hi ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2;<br />
B = 2/22/3 + 2/32/1 + 2/12/2 (§ 1) ist erzeugendes Element, 2B ~ 0.<br />
(7) Torus, randlos, orientierbar. j = Q. hi = 2 — j = 2. Kein Torsionskoeffizient.<br />
Hi ist Modul vom Range 2. Die damals (§1) mit X — X1X2 -{- X2Xs -\-<br />
X3X1, / = xiyi + yiZi + 2^1X1 bezeichneten Zyklen konnen als Basis gewahlt<br />
werden.<br />
(S) Mobiussches Blatt, berandet, unorientierbar. 7 = 0. hi = 1 — j = 1.<br />
Kein Torsionskoeffizient. Hi zyklische Gruppe unendlicher Ordnung. Basis (§ 1)<br />
xia:2 4- X2X3 + xsyi + yixi. | Bl. lOl<br />
Homologiegruppen mod TT. TT sei eine natiirliche Zahl > 1. Betrachten wir eine<br />
Abelsche Gruppe Q, fiir deren samtliche Elemente TTX = 0 ist, alle Elemente<br />
haben also endliche Ordnung und zwar ist die Ordnung jedes Elementes Teller<br />
von TT, denn wenn ax = 0 und TT = 0:7 -h /? (0 < /? < a), n nicht durch a<br />
teilbar ist, so ist schon /3x — 0, a nicht die Ordnung von x. Die Elemente<br />
der Ordnung n und die von Ordnungen < TT weisen eine ungefahre Analogic<br />
auf zu den Elementen unendlicher und endlicher Ordnung bei einer allgemeinen<br />
Abelschen Gruppe. Jede Untergruppe Gi von G hat natiirlich auch die<br />
933
Eigenschaft TTX = 0, ebenso jedes homomorphe Bild G^ von G (aus x -^ x'<br />
folgt 0 = TTX -^ Tix' = 0). ^ lasst sich, wenn sie endlich viele Erzeugende hat,<br />
als direktes Produkt zyklischer Gruppen von Ordnungen, die in TT aufgehen,<br />
darstellen, ebenso GiiG'-<br />
Die erwahnte Analogie ist leider nur ungefahr. Man konnte z. B. bei kanonischer<br />
Darstellung von G als direktes Produkt von zyklischen Gruppen der<br />
Ordnungen Si | £2 | * • * | ^m die Anzahl der (letzten) Invarianten, die = TT sind,<br />
den Rang mod TT von G nennen. Aber dieser Rang hat im Ahgemeinen nicht die<br />
Bl. 102 I Eigenschaft § 2, I:<br />
{R) Ist G vom Rang p mod TT, ihre Untergruppe H vom Rang q mod TT, SO<br />
ist G \H vom Rang r = p — q mod TT.<br />
Beispiel: TT = 4, ^ sei zykhsch von der Ordnung 4, bestehend aus 0, x, 2x, 3x;<br />
p = l.H werde gebildet von 0, 2x.H und G \ H sind von der Ordnung 2, also<br />
q = r = 0.<br />
Betrachten wir aber den Fall TT = Primzahl. AUe Elemente von G sind von<br />
der Ordnung 1 oder TT, d. h. jedes Element ^ 0 ist von der Ordnung TT; eine<br />
solche Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden ist also direktes Produkt von<br />
zyklischen Gruppen der Ordnung TT; die Anzahl dieser Gruppen ist der Rang<br />
mod TT. (Analogon zum Modul). Hier ist audi (R) richtig; man erkennt das,<br />
indem man den Beweis von §2,1 noch einmal durchnimmt und Gleichungen<br />
durch Kongruenzen mod n ersetzt; der zweite Teil des Beweises bleibt richtig,<br />
weil aus a ^ 0, /^ ^ 0 auch a/3 ^ 0 (TT) folgt. (Der erste Teil bleibt allgemein<br />
BL 103 richtig, aber daraus folgt nur p> q-\-r).\<br />
Wir betrachten die Polynome eines Komplexes ^ jetzt mod TT (TT zunachst<br />
noch natiirliche Zahl > 1)]A = 0 (mod TT; wir lassen diesen Zusatz des weiteren<br />
gelegentlich fort) bedeutet, dass alle Koeffizienten von A durch n teilbar sind,<br />
A = B soviel wie A — B = 0; A heisst ein Zyklus mod TT, wenn A' = 0 und ein<br />
Rand mod TT, wenn A = B', wo B' der Rand eines Polynoms J5 in $ ist; jeder<br />
Rand mod n ist auch Zyklus mod TT. A und B heissen homolog mod TT, A ^ B<br />
(mod TT), wenn A — B ein Rand mod TT ist. Man bemerke, dass man zwischen<br />
Zyklen mod n und Rander mod TT noch eine Klasse von Polynomen einschieben<br />
kann, die ich orientierte Zyklen mod TT nennen will; A heisse ein orientierter<br />
Zyklus mod TT, wenn A mit einem gewohnlichen Zyklus mod n kongruent ist.<br />
BL 104 Die Beziehungen dieser drei Polynomklassen sind aus folgendem zu ersehen: |<br />
(a) A Zyklus mod TT, A' = 0, A' = nQ<br />
(/?) A orientierter Zyklus mod TT : A = C-\-7rP mit C - 0, ^' - TTP'<br />
(7) A Rand mod TT : A = B' -^TTP<br />
Das Q (Randteiler) aus {a) ist in {(3) ein Rand P' ; der Zyklus C aus {P) ist<br />
in (7) ein Rand B\<br />
Beispiel: TT = 2. (Auf diesen wichtigsten Fall kommen wir noch besonders<br />
zuriick.) $ sei eine n-dimensionale Pseudomannigfaltigkeit; Si,...,Sf die irgendwie<br />
orientierten n-Simpla (/ = /n); man betrachte die n-Form<br />
A=^±Si±S2±-'-±Sf<br />
934
mit willklirlichen Zeichenkombinationen; sie sind mod 2 alle kongruent und<br />
zahlen fiir ein einziges Polynom mod 2. Wenn $ berandet ist, enthalt A' die<br />
Randsimpla mit Koeffizienten ±1, und ist also | ^ 0 (mod 2), A kein Zyklus Bl. 105<br />
mod 2. Ist $ randlos, so enthalt A' nur innere Simpla mit Koeffizienten 0, ±2<br />
und ist also = 0 (mod 2), A jedenfalls Zyklus mod 2. Hier ist noch zu unterscheiden:<br />
ist $ orientierbar, so ist A bei geeigneter Vorzeichenwahl ein Zyklus,<br />
also A orientierter Zyklus mod 2. Ist $ nichtorientierbar, so ist keines der A<br />
ein Zyklus; es giebt hier nach (1) {Zn = Hn enthalt nur die Null) iiberhaupt<br />
keinen n-Zyklus j^ 0, und A ist also kein orientierter Zyklus mod 2.<br />
Wenn wir nun also mod n kongruente Polynome nicht unterscheiden (oder,<br />
was auf dasselbe hinauskommt, als Koeffizientensystem nicht mehr den Ring<br />
der ganzen rationalen Zahlen, sondern den Ring der Restklassen mod TT nehmen),<br />
so bilden die m-Formen eine Gruppe ^m(7r), die m-Zyklen mod n eine<br />
Untergruppe Z^(7r), die m-Rander mod n dann wieder eine Untergruppe<br />
'^m(7r). (Von der zwischen den beiden letzten gelegenen Gruppe der orientierten<br />
m-Zyklen mod TT sehen wir ab.) Wie bei nichtmodularer Betrachtung ^^<br />
zeigt sich | BL 106<br />
wahrend<br />
^m(7r) I Zm{7r) < > 7^rn-l(7r),<br />
^m(7r) I 7^m(7^) = Hm{7r)<br />
als m. Homologiegruppe mod n bezeichnet wird; das ist also die Gruppe der<br />
m-Zyklen mod TT bei Nichtunterscheidung solcher, die mod TT homolog sind. In<br />
alien diesen Gruppen ist das 7r-fache jedes Elements gleich dem NuUelement<br />
der Gruppe. Die fm orientierten m-Simpla Bj bilden, wie von ^^, so auch von<br />
•^m(7r) eine Basis, nur dass sie jetzt von der Ordnung n werden {J2^j^j = 0<br />
nur fiir Pj = 0); .Fm(7r) hat den Rang fm mod TT; die Range mod n von<br />
Zm{7r), 7^m(7^), Wm(7r) mogeu Zra{7T), r,n(7r), hm{7r) heisscu.<br />
Wir nehmen jetzt IT als Primzahl an. Dann werden alle diese Gruppen direkte<br />
Produkte von soviel zyklischen Gruppen der Ordnung TT, wie der Rang mod n<br />
angiebt, und nach (R) gilt<br />
fm-ZmM = r^-i(7r),<br />
Zm (TT) - rm (TT) = km (TT) ,<br />
^m(7r) = fm- rm(7r) - r^_i(7r);<br />
I Gleichungen, die denen ((1) (2) (3)) zu Beginn dieses § entsprechen. Man hat Bl. 107<br />
dabei wieder r_i(7r) = r_i = 1 zu setzen, sowie fiir einen n-dimensionalen<br />
Komplex rn('7r) — 0; die Charakteristik kann statt mit den hm auch mit den<br />
^m(7r) gebildet werden:<br />
n n n<br />
7 = 5^ (-ir/m = 1+E (-1)/*- = 1+E (-I)"'* w-<br />
oder, wie man sagen kann, bei Betrachtung mod 0<br />
935
hm{T^) heisst die m. Bettische Zahl mod TT.<br />
'i^mM ist die Anzahl derjenigen von den Elementarteilern €i \ S2 \ • • - \ £rm<br />
der m. Inzidenzmatrix Em, die nicht durch ir teilbar sind.<br />
Schreiben wir wieder r = rmi f = /m+i? so hatten wir (vor (5)) die Gleichungen<br />
A'^ = siBu ..., A; = srBr, ^;+i -... - 4 - 0<br />
Ai,..., A/ eine Basis der {m + l)-Formen. Die Anzahl der nicht durch TT teilbaren<br />
£1,..., e^ sei p; es sind das die p ersten; ^i,..., Cp ^ 0, 1 sind ja die Invarianten von Hm und daraus ergiebt sich ^m(7r); wahrend<br />
^m5^m(7r) keine topologischen Invarianten sind. Aus<br />
ergiebt sich dann durch Subtraktion<br />
^m(7r) = fm- rm{7r) " Tm-l(7r)<br />
hm{7^) = hm +5'm('7r) -\- gm-lM,<br />
woraus die topologische Invarianz der Bettischen Zahl hmi^r) und der Gruppe<br />
'Wm('7r) ( = Produkt von hmi^r) zyklischen Gruppen der Ordnung TT) hervorgeht.<br />
936
Es ist dabei p_i(7r) = 0 und fiir die hochste Dimension n (^ n-dimensional)<br />
Qni'^) = 0 zu setzen. Ausserdem ist noch 5^0(^) = 0, denn Torsionszahlen<br />
0. Dimension giebt es nicht, die Elementarteiler von £"0 sind alle — 1 | und Bl. 110<br />
keiner durch TT teilbar. Also ist /io(7r) = /lo {= Anzahl der Komponenten des<br />
Komplexes minus 1).<br />
Von besonderer Bedeutung ist der Fall TT = 2; da hier ein orientiertes<br />
Simplum P = XQXI ... Xm mit —P kongruent ist, kommt dies auf eine Aufhebung<br />
der Orientierung hinaus. Als Koeffizienten der Polynome mod 2 braucht<br />
man nur 0 und 1; eine m-Form ^ 0 ist Summe gewisser m-Simpla mit Koeffizienten<br />
1, ihr Rand = Summe der (m — 1)-Simpla, die mit einer ungeraden<br />
Zahl jener m-Simpla inzident sind. Z.B. fiir A = XQXI + Xoa:2 + ^0^3 ist<br />
A^ — —3xo + xi + X2 + X3, A' = XQ -i- xi -\- X2 -\- xs- Die m. Homologiegrupe<br />
mod 2 7^771(2) heisst die m. Zusammenhangsgruppe des Komplexes, die m.<br />
Bettische Zahl hm{2) die m. Zusammenhangszahl des Komplexes.<br />
Beispiel. Ist ^ eine n-dimensionale Pseudomannigfaltigkeit, so ist /in (2) = 1<br />
Oder 0, jenachdem $ randlos oder berandet ist. Denn wir haben | Bl. ill<br />
hn{7r) = /^n+^'nW+^n-lW = /in + 5'n-l W,<br />
hn{2) = /ln+^n-l(2).<br />
Nun batten wir gesehen (vgl. (1) und (2)):<br />
Ist $ randlos und orientierbar, so ist /in = 1, es giebt keine (n — l)-dimensionalen<br />
Torsionskoeffizienten: 7^n-i(2) = 0; /in(2) = 1.<br />
Ist $ randlos und unorientierbar, so ist /in = 0, es giebt eine einzige Invariante<br />
2 von Hn~i, 5'n-i(2) = 1; hn{2) = 1. In alien anderen Fallen, also wenn<br />
$ berandet ist, ist hn — 0 und ^n-i(2) = 0; /in(2) = 0.<br />
Verifikation: fragen wir nach den n-Formen A ^ 0, die Zyklen mod 2 sind. A<br />
ist Summe gewisser von den n-Simpla 5i,..., 5/, etwa A = Si-\ \-Sh' Hier<br />
kann nicht h < f sein, denn nach der Eigenschaft (C) der VM. miisste eines der<br />
Si,... ,Sh mit einem der Sh-\-i, • • • 5 S'/ benachbart sein und das gemeinsame<br />
(n — 1)-Simplum T dieser beiden wiirde in A' mit dem Koeffizienten 1 auftreten,<br />
/<br />
A' ^ 0. Also A = J2 '^i' 1st ^ berandet, so enthalt A^ die Randsimpla mit<br />
1<br />
Koeffizienten 1, A' ^0: hn{2) = 0. | Bl. 112<br />
Ist $ unberandet, gleichviel ob orientierbar oder nicht, so ist A^ = 0 (mit<br />
dem schon erwahnten Unterschied, dass A bei orientierbarem ^ orientierter<br />
Zyklus mod 2, andernfalls nur Zyklus mod 2 ist). Also A Zyklus mod 2 und<br />
^ 0; Zn{2) Hn{2) ist die Gruppe, bestehend aus 0,^, von der Ordnung 2;<br />
/in(2) = 1. I BL113<br />
13<br />
§ 4. Die topologische Invarianz der Homologiegruppen<br />
^, ^ seien zwei abstrakte Komplexe mit den Ecken x,y. Jeder Ecke yj von<br />
^ sei eindeutig eine Ecke Xj = (p{yj) von ^ zugeordnet, wobei die Xj nicht<br />
^SS 1933 vorgetragen<br />
937
paarweise verschieden zu sein und nicht alle Ecken von ^ zu durchlaufen brauchen:<br />
hierbei soil jedem Simplum T in^, etwa T = {yoyi... ?/n}, ein Simplum<br />
S — {xQXi...Xn} in ^ entsprechen, das eventuell singular sein kann (dann<br />
soil die Menge der verschiedenen Xj ein Simplum in ^ sein). Wir woUen diese<br />
Abbildung eine simpliziale Abbildung von ^ in $ (in $ soil heissen: auf einen<br />
Teil von $) nennen. Hierbei geht also ein orientiertes Simplum yoyi • • • 2/n in ^<br />
iiber in ein orientiertes Simplum a^o^i - • -Xn in ^ (das eventuell 0 sein kann),<br />
jedes Polynom 5 in ^ in ein Polynom ^4 in $, der Rand B' in A', die Summe<br />
Bl. 114 51+^2 in Ai + ^2; Zyklen gehen in Zyklen, Rander in Rander iiber. Das | giebt<br />
also einen Homomorphismus der Gruppen Trn (^), ^m (^), ^m (^) ? '^m (^) in<br />
die Gruppen (d. h. auf Untergruppen von) J^rn{^), ^m{^),^m{^),Hm{^)] wir<br />
woUen daflir auch Tm{^) —> ^m(^) u.s.w. schreiben {G -^ G' Homomorphismus<br />
von G '^^ G\ d. h. auf eine Untergruppe von G')-<br />
Verallgemeinernd lassen wir jetzt zu, dass jeder Ecke y von ^ eine oder<br />
mehrere Ecken x von $ als Bild zugeordnet werden und verlangen, dass das<br />
Gesamtbild $(T) eines Simplums T = {yoyi • • • 2/n} von ^, d. h. die Menge aller<br />
Bilder aller Ecken von T, ein Simplum in $ sei. Dann heisse ^ eine Verfeinerung<br />
von ^. Wahlen wir unter den Bildern von yj ein bestimmtes Xj = (p{yj), so<br />
ist {XQ ... Xn} Q ^(T) ein Simplum in ^ und wir erhalten also eine simpliziale<br />
Abbildung wie vorhin, aber durch verschiedene Bilderwahl mehrere solche. Hier<br />
gilt nun aber:<br />
I. Ist ^ eine Verfeinerung von $, so lief em die hierdurch entstehenden sim-<br />
Bl. 115 plizialen Abbildung en von ^ in ^ von jedem | Zyklus B in^ als Bilder Zyklen<br />
A in ^, die mit einander homolog sind (in
d. h. R-j- S^ = 0 anzunehmen), also P' = 0 und folglich<br />
A-A=^{xo- x)P = (xoXoYP = {xoXoPy ;<br />
es ist zu zeigen, dass XQXQP ZU $ gehort. 1st nun etwa 2/1... 2/n ein in R<br />
vorkomnaendes died (mit Koeffizienten 7^ 0), so ist {yoVi-'-yn} = T ein<br />
Simplum in ^ und {a^o^o^i • •-^n} ^ $(T) eines in $, also xoXoa;i...Xn<br />
ein Polynom in $; die Betrachtung aller Glieder zeigt, dass wirklich XQXQP<br />
Polynom in $ ist.<br />
Demnach entsprechen jedem Zyklus B bei den verschiedenen simplizialen<br />
Abbildungen homologe Zyklen A^ zwei homologen Zyklen B schon bei jeder<br />
einzelnen simplizialen Abbildung zwei homologe Zyklen A, insgesamt also<br />
einer Klasse homologer Zyklen B eindeutig eine Klasse homologer Zyklen<br />
A: nm{^)^Hm{^).\ B1.116V<br />
Hierzu ist noch folgende Bemerkung zu machen. Die Zuordnung B -^ A<br />
oder der Homomorphismus Hm{^) -^ ^m{^) ist schon durch jede einzelne<br />
simpliziale Abbildung Xj = ^{Vj), wo (p{yj) aus dem Gesamtbild ^{Vj) beliebig<br />
ausgewahlt ist, eindeutig bestimmt; das Wesentliche der Verfeinerung besteht<br />
darin, dass die verschiedenen simplizialen Abbildungen dieser Art im Sinne des<br />
Satzes I mit einander iibereinstimmen. Hat man eine zweite Verfeinerung, bei<br />
der dem yj event uell noch mehr Ecken zugeordnet werden, als bei der erst en,<br />
also ^{yj) 2 ^(2/i)j wahrend aber auch ^(T) noch ein Simplum in $ ist, so<br />
bleibt der Homomorphismus Hmi"^) -^ Wm(^) dabei ungeandert. | Bl. 117<br />
Ist ^ Verfeinerung von $, ft Verfeinerung von ^, so ist Q Verfeinerung von<br />
$ (wir lassen einer Ecke z alle Bilder x von alien Bildern y von z entsprechen).<br />
Die Homomorphismen Hm{'^) —^ Wm(^) -^ Wm(^) setzen sich zu Hm{^) —><br />
Hm{^) zusammen.<br />
Unterteilung.<br />
Wenn man in einem Euklidischen Komplex [^] den Schwerpunkt (Mittelpunkt,<br />
oder auch irgend einen inneren Punkt) eines Simplums [S] als neue<br />
Ecke X einfiihrt, so teilt sich dieses Simplum [S] wie alle es enthaltenden in<br />
Teilsimpla und es entsteht ein neuer Komplex [^], der als Punktmenge mit [^]<br />
identisch ist. Z. B. entsteht aus einem Dreieck [X0X1X2] durch Einfiihrung seines<br />
^x.<br />
Schwerpunktes x ein Komplex von drei Dreiecken [xa:iX2] + [xo3:x2] + [XQXIX],<br />
aus dem Komplex [xoa:ia:2] + [xix^] durch Einfiihrung des Schwerpunktes von<br />
[XQXI] der Komplex [xxia;2] + [3:0^^2] + [^i^^] u. s.w. | BL 118<br />
Dies fiihrt darauf, mit einem abstrakten Komplex ^ folgende Operation vorzunehmen.<br />
Einem zu $ gehorigen Simplum S = {XQXI ... Xm} wird eine neue,<br />
939<br />
• ^
von alien Ecken von $ verschiedene Ecke x zugeordnet; sodann bilde man einen<br />
Komplex ^, dem die folgenden Simpla angehoren soUen:<br />
{a) wenn T D S ein Simplum in $ ist, das S enthalt, etwa<br />
T = {XQXI ... XmXm-}-! • - • Xn}, gehoren alle Simpla To = {xxi... XmXm^i... Xn},<br />
Ti = {a:o:rX2 . . . XmXm-^l . . . Xn} • • • , Tm = {XQ . • • Xm-lXXm-\-l • • • Xn} ZU ^, die<br />
aus T dadurch entstehen, dass man eine der Ecken XQ ..., Xm von S durch x<br />
ersetzt;<br />
(/?) die Teilmengen der in (a) genannten Simpla gehoren zu ^,<br />
(7) die Simpla von $, die nicht S enthalten, gehoren zu ^.<br />
Wir sagen: ^ entsteht aus ^ durch die einfache Unterteilung x —^ S. (Hierbei<br />
werde m > 1 angenommen. Fiir m == 0 wiirde ^ aus ^ einfach darduch<br />
entstehen, dass man die Ecke XQ jetzt x nennt).<br />
Umgekehrt geht ^ wieder in $ liber dadurch, dass man x durch eine Ecke<br />
Bl. 119 von S ersetzt; wenn man z. B. | x durch XQ ersetzt, geht TQ in T und Ti,..., Tm<br />
in singulare Simpla C T iiber.<br />
Der durch einfache Unterteilung von $ entstehende Komplex ^ ist eine Verfeinerung<br />
von $.<br />
Die Ecken von $ seien XQ,. .. ^Xr, die von ^ sind XQ,. .. ,Xr,x] schreiben<br />
wir die letzteren fiir den Augenblick yo,.. .,yr^y und ordnen jedem yj {j =<br />
0,..., r) das Bild Xj, dagegen dem y als Bilder alle Ecken XQ, ..., x^ von S<br />
zu, so ist das gesamte Bild jedes Simplums in ^ ein Simplum in $. Z. B. hat<br />
das erste Simplum in (a) TQ = {yyi,..., ymym-\-i • • • 2/n} das Bild $ (To) =<br />
{XQXI ..., XmXi... XmXm-{-i - - - Xn} = T; entsprcchendcs gilt von den librigen<br />
Ti, ferner von ihren Teilmengen {P) und den unter (7) genannten Simpla.<br />
Schreiben wir fiir die Ecken von ^ wieder XQ,. .. ,Xr,x. Wir haben m + 1<br />
simpliziale Abbildungen von ^ auf $ (diesmal auf den ganzen Komplex),<br />
Bl. 120 darin bestehend, dass | man (pi{x) = Xi (2 = 0,..., m) und ^i{xj) = Xj {j =<br />
0,..., r) setzt; jedem Polynom B in ^ entsprechen m + 1 Bilder Ai = ^i{B),<br />
die nach I alle homolog sind {AQ ^ -- - ^ Am), falls B ein Zyklus oder auch nur<br />
B^ frei von x ist; und es entspringt daraus fiir die Homologiegruppen gleicher<br />
Dimension (wir lassen die Dimensionsbezeichnung weg) ein Homomorphismus<br />
von W(^) in H{^).<br />
Hierbei gilt aber mehr:<br />
II. Wenn ^ durch einfache Unterteilung aus ^ entsteht^ sind die gleichdimensionalen<br />
Homologiegruppen beider Komplexe isomorph: 7i{^)
Faktoren XQ, ..., Xm nicht alle enthalt, '0(T) = T. Da im ersten Falle<br />
m m<br />
/ ^ -Li ^^ / ^ ^0 • • • Xi—iXXi-\-i . . . X'faXfYi-\-l • • • Xji = XD Xm-\-l • • • ^n<br />
0 0<br />
{S' Rand von S — XQ ... Xm) ist, so ist die Funktion ij; folgendermassen definiert:<br />
man schreibe<br />
A = SC + D = XQXI ... XmC + D ,<br />
wo C keinen der Faktoren XQ ,..., Xm enthalt und kein died von D alle diese<br />
Faktoren enthalt (indem man alle Glieder von A zusammenfasst, die samtliche<br />
xo,..., Xm enthalten, und diese Faktoren an die ersten m + 1 Stellen bringt);<br />
dann soil sein<br />
B = iP{A) = xS'C + D<br />
Diese Abbildung der Polynome A auf Polynome B hat die Eigenschaft: mit<br />
B =^ '0(A) ist auch B' = ip{A^). \ Bl. 122<br />
Beweis: A' = S'C - (-1)^5C' + D'<br />
(vgl. (5) in § 1); da hier nur das zweite died alle Faktoren von S enthalt, ist<br />
Andererseits ist<br />
^{A') = S'C - {-l)'^xS'C' + D'.<br />
B' = {xSyC - i-l^xS' C ^D'<br />
und da {xS'y = S' - xS" = 5', kommt B' = xl){A').<br />
Demnach ist jedem Zyklus A ein Zyklus B^ jedem Rand A ein Rand B zugeordnet;<br />
iiberdies ist natiirlich -0(^1 -\- A2) = -0(^11) + ^^(^2) • Homologe Zyklen<br />
A gehen in homologe Zyklen B liber, und wir erhalten einen Homomorphismus<br />
von 'H{^) in?^(^); vorher hatten wir einen in umgekehrter Richtung.<br />
Diese beiden Homomorphismen sind nun eindeutige Umkehrungen von einander.<br />
Zunachst folgt:<br />
Wenn B — IIJ{A), SO ist A = (pi{B) (z = 0,..., m). Denn wenn man in<br />
m<br />
XD = y ^ XQ . . . Xi—iXXi-\.i . . . Xrri<br />
0<br />
I X durch Xi ersetzt, so geht dies in S liber (ein died geht in S iiber, die andern Bl. 123<br />
inO).<br />
Wenn wir umgekehrt von einem Polynom ^ in ^ ausgehen und etwa A =<br />
(po{B) setzen, so kann ^^{A) ^ B sein. Z. B. aus B = xxi... Xm entsteht A =<br />
XQXI ... Xm = S und ip{A) = xS' = xxi... Xm H ¥" B. Jedoch gilt:<br />
Ist B ein Zyklus^^ und A = (po{B), so ist ip{A) ~ B.<br />
^Ubrigens geniigt, dass B' frei von x ist.<br />
941
Sei B = il^{A.), also, wie soeben bewiesen, A = (po{B), (po{B — B) = 0; es<br />
soil B — B ^ 0 gefolgert werden. B,A,B,B — B sind Zyklen. Es gentigt zu<br />
zeigen: ist B ein Zyklus, (po{B) = 0, so ist J5 ~ 0.<br />
Sei B = xE-{-D, E und D frei von x]B' = E - xE' + D' sei = 0 oder auch<br />
nur frei von x, also E' = 0. Jetzt ist 0 = ^o{B) = XQE + JD, subtrahiert |<br />
Bl. 124 B = {x — xo)E = {xox)'E = {XQXE)'] es ist zu zeigen, dass XQXE Polynom in<br />
^ ist. Sei E = 0:13:2 .. • XmQ -h R, Q frei von xi,..., Xm und kein died von R<br />
enthalt alle diese Faktoren. Aus 0 = XQ E-\-D = XQXI ... XmQ + x^R + D folgt<br />
aber Q = 0, denn die Glieder von xoi? und D enthalten niemals alle Faktoren<br />
xo,..., Xm (weil D Polynom in ^ ist). Also E = R, d. h. kein died von E<br />
enthalt alle Faktoren xi,..., Xm- Sei U ein died von E, das xi nicht enthalt; es<br />
ist zu zeigen, dass XQXU in ^ liegt. Wenn U den Faktor XQ enthalt, ist XQXU =<br />
0. Wenn es ihn nicht enthalt, so sei etwa U = X2 -.. XpXm+i -- -Xn {p < m <<br />
n). Da xU in ^ liegt, ist {xx2 .. .XpXm+i • • -Xn] ein Simplum in ^, sein<br />
Gesamtbild<br />
T = {XQXI ... Xrn, a^m+i • • • Xn} eius in $, also (vgl. (a))<br />
^1 = {XQXX2 ... XmXm-\-i • • • ^n} ^ins in ^, xoa:C/ entspricht einem Simplum<br />
Bl. 125 C Ti, liegt also in ^. |<br />
Wir hatten in der letzten Betrachtung die simpliziale Abbildung (po bevorzugt,<br />
aber es gilt natiirlich aus Symmetriegriinden: Ist B ein Zyklus, Ai =<br />
(Pi{B), so ist il^(Ai) ~ B. Umgekehrt gilt: Ist A ein Polynom, B — '0(^), so<br />
ist (pi{B) = A.<br />
Beides zusammen zeigt (da im ersten Fall die Ai homolog sind), das die Klassen<br />
homologer Zyklen A und B einander eineindeutig entsprechen, womit II<br />
bewiesen ist.<br />
Der derivierte Komplex.<br />
Denkt man sich in einem Euklidischen Komplex [$] zu jedem Simplum [S] =<br />
[xo^i..., Xm] den Schwerpunkt<br />
2/01,...m = rT(^0 +Xi-\ h Xm)<br />
m+ 1<br />
(Addition hier geometrisch verstanden wie zu Beginn von § 1) bestimmt, wobei<br />
wir noch der Ecke XQ den neuen Namen t/o geben, so werden die Simpla von<br />
Bl. 126 [$] in exklusive Teilsimpla |<br />
mit den Ecken y zerlegt, wodurch ein neuer Komplex [^] entsteht, der als<br />
942
Punktmenge mit [$] identisch ist. In der Figur sieht man, dass z. B. Teildreiecke<br />
[2/02/012/012], Teilstrecken [2/022/012], [2/12/13] u.s.w. auftreten. Man gewinnt<br />
daraus folgende Kegel:<br />
Jedem Simplum S eines abstrakten Komplexes $ wird eine Ecke ys eines neuen<br />
Komplexes ^ zugeordnet, dem diejenigen Simpla {ys}, {vsyr}, {ysyrVu}-, - • •<br />
angehoren sollen, wofiir S G T C U G ... . ^ heisst der derivierte Komplex<br />
von $.<br />
Zugleich verstehen wir dann, wenn [$] ein zu ^ gehoriger Euklidischer Komplex<br />
ist, unter [^] nicht einen beliebigen zu ^ gehorigen Euklidischen Komplex,<br />
sondern eben den, wo die ys die Schwerpunkte der [S] sind: nennen wir [^] den<br />
baryzentrisch derivierten Komplex von [^]. | Bl. 127<br />
Einige Eigenschaften des baryzentrisch derivierten Komplexes werden nachher<br />
eine Rolle spielen.<br />
Die obere Grenze der Entfernungen der Punktpaare in einer beschrankten<br />
Menge (im Euklidischen Raume oder allgemeiner in einem metrischen Raume)<br />
heisst der Durchmesser der Menge.<br />
Der Durchmesser d eines Euklidischen Simplums ist gleich der grossten Kantenldnge<br />
I.<br />
Sei [S] = [XQXI ... Xm] Menge der Punkte<br />
m<br />
X = aoxo 4- aixi H h amXm {on >0,^ai = 1).<br />
Wir haben x — XQ — ai{xi — XQ) -\ + am{xm — ^o), fiir die Entfernungen<br />
|x-xo| < ai\xi - xo\-{ \-am\xm -^o| < (l, d = l.<br />
^ m<br />
1st in der obigen Betrachtung x = 7^ Xi speziell der Schwerpunkt,<br />
m + 1 ^<br />
so ergiebt sich genauer<br />
R^ — ^0 ^ I<br />
m-\-l<br />
und daraus, wenn nachher y der Schwerpunkt ist: die Entfernung eines Sim-<br />
777/<br />
plexpunktes vom Schwerpunkt ist hochstens • /.<br />
m + 1<br />
Nennen wir die grosste Kantenlange eines Euklidischen Komplexes [$] kurz<br />
seine Kantenlange, so gilt:<br />
943<br />
0
1st I die Kantenldnge von [$] und [^] n-dimensional, so ist die Kantenldnge<br />
n I<br />
Bl. 129 des baryzentrisch derivierten Komplexes [^] hochstens gleich • /. |<br />
Denn ist [ysyr] eine Kante von [^], 5 C T, T ein m-Simplum, so ist yr der<br />
777/<br />
Schwerpunkt von [T], ys ein anderer Punkt von [T], \ys — VTI < 1 <<br />
m -\-1<br />
n-hl<br />
Man sagt, dass die Summe verschiedener exklusiver Simpla [S]^ die die Ecke<br />
X gemein haben, einen Stern mit dem Mittelpunkt x bilden.<br />
Insbesondere sei, fiir eine Ecke Xj von [^], Xj die Summe der Simpla des<br />
baryzentrisch derivirten Komplexes [^], die die Ecke yj{= Xj) haben; Xj heisse<br />
der baryzentrische Stern von Xj im Komplex [$]. Zwei Punkte von Xj haben<br />
Tl<br />
von yj eine Entfernung < -/ < /, von einander eine Entfernung < 2/; der<br />
Durchmesser jedes baryzentrischen Sterns ist < 21 (/ Kantenlange von [$]).<br />
III. Dann und nur dann, wenn die Ecken Simplum des<br />
Komplexes [^] bilden, haben die zugehorigen baryzentrischen Sterne<br />
BL 130 Xi,Xj,...,Xk einen nichtleeren Durchschnitt. \<br />
Z. B. im hier skizzierten Komplex ist X0X1X2 D 0, X1X3 D 0, dementsprechend<br />
dass [2:03:1X2], [2:1X3] Simpla des Komplexes sind; dagegen ist X2X3 = 0<br />
und [x2Xs] kein Simplum des Komplexes.<br />
Beweis von III. Gehort [xiXj .. .Xk] zu [$], so ist [yiyij • • 'yij...k] ein<br />
Simplum in [^] mit der Ecke y^, und der Punkt yij,,,k gehort zu X^, ebenso<br />
zu Xj,..., Xk : XiXj ... Xk D 0.<br />
Wenn umgekehrt XQXI ... Xm ^ 0, so giebt es fiir jedes i = 0,..., m ein<br />
Simplum [Ti] des Komplexes [^] mit der Ecke yi derart, dass der Durchschnitt<br />
dieser [Ti] nicht leer ist (denn Xi ist Summe solcher [Ti]). Wenn Ti die<br />
zugehorigen abstrakten Simpla (Eckenmengen) und T = TQ ... Tm ist, so ist<br />
[T] = [To]... [Tyn], wegen der exklusiven Lage der [T], also T D 0. Nun ist jedes<br />
Simplum von ^ von der Form {ysoVSi • • • } niit ^o C 5i, C ...; da T^ die Ecke<br />
Bl. 131 yi enthalten soil, so muss 5o = {xi} sein und fiir jedes in Ti \ vorkommende<br />
ys muss also Xi e S sein; fiir jedes in T, d. h. in alien Ti vorkommende ys<br />
muss gleichzeitig x^ G 5 (i = 0,...,m), {XQXI .. .Xm} ^ S sein, und mit S ist<br />
also {XQXI ... Xm} ein Simplum in ^, [XQXI ... Xm] eins in [^]. Damit ist III<br />
bewiesen.<br />
Wenden wir uns wieder zum abstrakten Komplex $ und seinem derivierten<br />
944
IV. Der derivierte Komplex ^ Idsst sich durch wiederholte einfache Unterteilung<br />
aus $ gewinnen. ^ ist eine Verfeinerung von ^. Die gleichdimensionalen<br />
Homologiegruppen von $ und ^ sind isomorph: H{^) 5i, durch die aus $ ^1 entsteht. Zu $1<br />
gehoren nach Vorschrift (vgl. die damaligen Angaben 7, a, /?) : die 8a, die nicht<br />
D 5i, d. h. die 8p] diejenigen Simpla, die aus 81 durch Substitution von 2/1<br />
fiir eine Ecke von 81 entstehen, sowie ihre Teilmengen, wobei man sich auf<br />
die beschranken kann, die 2/1 enthalten (die iibrigen kommen schon unter den<br />
8p vor); das sind die Simpla^^ {yi,8a} fiir 8a C S'l oder die {yi,8p} fiir<br />
8f3 C 81. Also:<br />
$1 : Simpla 8p; und {2/1, S'/^} fiir 81 D 8f3.<br />
Zweite einfache Unterteilung y2 —^ 82, durch die aus ^1 $2 entsteht. \ Bl. 133<br />
Aus den 8p entstehen dann wie beim ersten Schritt die 8^ und diejenigen<br />
{2/2, 'S'^}, wo ^2 D 8^. - Die {2/1, S'/?} (^i D 5/?) werden ersetzt durch diejenigen,<br />
die nicht D 82, das sind die {yi, 8^} mit 5i D 5^; wenn {yi, ^2} unter ihnen<br />
vorkommt, also ^i D 82 ist, so hat man die Simpla und ihre Teilmengen zu<br />
nehmen, wo eine Ecke von ^2 durch 2/2 ersetzt wird; das giebt {yi,y2,8j} mit<br />
82'D 8^. Also:<br />
$2 : 8Y, {2/1,5^} fiir 5i D 5^; {2/2,8^} fiir S'2 D 8^,<br />
{yuy2,8^}iui 81 D 82 D 8^.<br />
Gehen wir noch einen Schritt weiter (5 = 4,... ,p), so besteht ^3 aus den<br />
Simpla<br />
85'-,<br />
{yi,85} fiir 5i D 8s, analog {y2,8s},{y3,85};<br />
{yi,y2,8s} fiir 81D 82D 8s, analog {yi,y3,8s}, {y2,y3,8s};<br />
{yuy2,y3,8s} fiir 81D82D83D 8s.<br />
I Schliesslich besteht ^p-i (wo von den 8 nur noch das letzte 8p = 0 librig ist) BL 134<br />
^^Hierunter kommt auch {yi,Sp} = {yi} selbst vor; deshalb haben wir Sp = 0 mitgezahlt.<br />
945
aus:<br />
0<br />
{Vi}<br />
{ViVj) fiir Si D Sj<br />
{ViVoVk } iiivSi DSJ DSk<br />
wobei eo ipso i > j > k > -- - ist; lassen wir die NuUmenge wieder weg, so ist<br />
$p_i == ^ der derivierte Komplex von ^.<br />
Damit ist die erste Behauptung von IV bewiesen^*"; aus der Isomorphie der<br />
gleichdimensionalen Homologiegruppen von $,^i; $1,^2; ••• folgt die Isomorphie<br />
derer von $ und ^.<br />
Nach diesen Vorbereitungen werden wir jetzt die topologische Invarianz der<br />
BL135 Homologiegruppen in mehreren Stufen beweisen. |<br />
(A) Gruppenfolgen. Es sei Gi,G2^'" eine Folge von Abelschen, additiv<br />
geschriebenen Gruppen; wir konnen daraus Elementfolgen<br />
x= {xi,X2,^..), y= (2/1,2/2,...)^ •••<br />
mit Xn E Gn, Vn ^ Gn u.s.w. bilden; x — y werde durch Xn = Vn, x + y =<br />
(^1 + 2/1,3^2 + 2/2? • • •) definiert. AUe x bilden dann wieder eine Gruppe, die als<br />
direktes Produkt der Gruppen Gn bezeichnet werden konnte. Das NuUelement<br />
ist 0 = (Oi, O2,. •.)? On das NuUelement von Gn-<br />
Diese Gruppe soil aber nicht betrachtet werden, sondern eine gewisse Untergruppe.<br />
Es sei namlich fiir jedes n ein Homomorphismus<br />
von Gn-\-i in Gn (auf eine Untergruppe von Gn) gegeben; wir betrachten dann<br />
nur solche Elementfolgen x = (a:i,X2,...)? worin Xn+i —> Xn fiir jedes n =<br />
1,2,..., d. h. Xn das dem Xn-\-i durch Gn-j-i -^ Gn zugeordnete (eindeutig<br />
BL 136 bestimmte) Bildelement | ist; nennen wir diese x etwa Fundamentalfolgen, z. B.<br />
ist 0 = (Oi, O2,...) eine. Mit x, y ist x-hy eine Pundamentalfolge (xn+i+^/n+i —^<br />
Xn-^yn)'', die von den Fundamentalfolgen gebildete Gruppe moge<br />
G = {Gi,G2,'' •)<br />
genannt werden.<br />
Beispiel. Sind p,q zwei natiirliche Zahlen > 1, so hat die Gruppe der Restklassen<br />
mod pq einen Homomorphismus auf die Gruppe der Restklassen mod<br />
p, indem man jeder Restklasse {x)pq die Restklasse {x)p zuordnet, wobei die<br />
Restklassen {x)pq, {x + p)pq, {x + 2p)pq,... ,{x -{- q — lp)pq dasselbe Bild {x)p<br />
^^Da Verfeinerung transitiv ist, ist ^ Verfeinerung von $, und zwar werden bei ^ —> $<br />
jeder Ecke ys alle Ecken x von S zugeordnet. Die Isomorphie der Homologiegruppen daraus<br />
direkt zu beweisen, ware recht umstandlich; es war ja schon bei einfacher Unterteilung etwas<br />
miihsam.<br />
946
haben. Stellt man die Restklassen durch die kleinsten Zahlen > 0 dar, so sieht<br />
z. B. der Homomorphismus iiir p = S,q = 4 so aus:<br />
Gr. mod 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
I<br />
Gr. mod 3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2<br />
Nun sei Gn die Gruppe der Restklassen mod 2^. Die Homomorphismen<br />
Gn-\-i -^ Gn geben folgende Tabelle: | Bl. 137<br />
Gi^<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
G2---<br />
Gs^ - GA<br />
0 0 0<br />
1 1 1<br />
2 2 2<br />
3 3 3<br />
0 4 4<br />
1 5 5<br />
2 6 6<br />
3 7 7<br />
0 0 8<br />
1 1 9<br />
2 2 10<br />
3 3 11<br />
0 4 12<br />
1 5 13<br />
2 6 14<br />
3 7 15<br />
Die in einer Zeile stehenden Elemente bilden die Anfange von Fundamentalfolgen.<br />
Die Gruppe G ist von der Machtigkeit des Kontinuums.<br />
1st m < n^ so wird durch Xn —^ Xn-i -^ -- - -^ Xm auch ein Homomorphismus<br />
Gn —^ Gm vermittelt. Ist also ni < 712 < ... eine Folge wachsender<br />
natiirlicher Zahlen, so konnen wir | mit den Fundamental-Teilfolgen Bl. 138<br />
die Gruppe<br />
X = \Xfi^ , Xqri2 5 • • • j<br />
G = {Gn,,Gn2-,"')<br />
bilden. G und G sind isomorph^ denn nicht nur x ist durch x eindeutig bestimmt,<br />
sondern auch x durch x, well jedes Element Xn einer Fundamentalfolge<br />
seine samtlichen Vorganger eindeutig bestimmt {xn -^ Xn-i —^ • • • —^xi).<br />
(B) Komplexfolgen. $1, ^2, • • • sei eine Folge abstrakter Komplexe, von<br />
denen jeder folgende ^n+i eine Verfeinerung des vorangehenden ^^ ist. Das<br />
liefert flir jede Dimensionenzahl m = 0,1,2,..., die wir in der Bezeichnung<br />
nicht mitschreiben wollen, einen Homomorphismus Hn-\-i —^ Wn (von 7Yn+i in<br />
'^n), ^n die m. Homologiegruppe von $n- Wir nennen<br />
H = {Hi,H2,...)<br />
947
die m. Homologiegruppe der Komplexfolge<br />
^ = ($i,$2,.-.)-<br />
BL139 I Fiir jede Folge ni < 712 < • • • ist die m. Homologiegruppe<br />
der Komplexteilfolge<br />
ft — yftni?'tn2 5•••j<br />
mit H isomorph.<br />
Beispiel. $n+i sei der derivierte Komplex von ^n- Da hier Isomorphismus<br />
Hn ^^ Wn+i besteht, also nicht nur Xn (Element von Hn) durch a^n+i,<br />
sondern auch umgekehrt eindeutig bestimmt ist, so ist jede Fundamentalfolge<br />
X = {xi,X2,.'.) durch ihr Anfangselement xi eindeutig bestimmt: 7i ist mit<br />
Hi isomorph.<br />
(C) Raumzerlegungen und ihre „Nerven".<br />
Ein Raum R (zunachst eine reine Menge) werde als Summe von endlich vielen<br />
nichtleeren Mengen dargestellt, die nicht disjunkt zu sein brauchen:<br />
R = Xi-hX2^'"^Xs.<br />
Bl. 140 I Nennen wir dies kurz eine Zerlegung X von J^ (X reprasentiere das System<br />
der Mengen Xi,..., X^). Wir ordnen dieser Zerlegung einen abstrakten Komplex<br />
^ zu, der als ISlerv der Zerlegung (P. Alexandroff) bezeichnet wird: jedem<br />
Index i = 1,..., 5 wird eine Ecke Xi zugeordnet; xi,..., Xg sind paarweise<br />
verschieden (auch wenn etwa Xi = X2 sein soUte). Dann soil in $ dann und<br />
nur dann das Simplum {xiXj .. .Xk} vorkommen, wenn die zugehorigen Mengen<br />
einen nicht leeren Durchschnitt XiXj • • • Xk D 0 haben. Man sieht, dass<br />
^, wie es sein soil, von jedem Simplum auch die Teilsimpla enthalt.^^<br />
Beispiel (vgl. Satz III). Ist ^ ein abstrakter Komplex, R = [$] ein zugehoriger<br />
Euklidischer Komplex, so hat die Zerlegung von R in baryzentrische Sterne<br />
Bl. 141 den Nerv $. |<br />
Nun sei y eine zweite Zerlegung i^ = Yi + • • • + Ft, ^ ihr Nerv mit den<br />
Ecken yi,... ,yt. y heisst eine Verfeinerung von X (E. Cech), wenn jedes Yj<br />
in mindestens einem Xi enthalten ist. Ordnen wir der Ecke yj jede Ecke Xi zu,<br />
fiir die Xi ^ Yi (mindestens eine, vielleicht mehrere), so wird ^ eine Verfeinerung<br />
von $ im friiheren Sinn, d. h. das Gesamtbild jedes Simplums in ^ ist<br />
ein Simplum in $. In der Tat: seien dem yj die Bilder Xj^ ,Xj^,..., Xj^ zugeordnet,<br />
dem yh die Bilder x/^^, Xh2, • • •, ^hq (die von den Bildern von yj nicht<br />
verschieden zu sein brauchen) u.s.w., so ist Yj C Xj^ • • • Xj^, Y^ C Xh-^ • • • Xh^]<br />
ist {yjyh ... } Simplum in ^, so ist 0 C YjYh • • • C X^-, • • • Xj^Xh^ • • • Xh^ • • • ,<br />
^^Zwei Komplexe mogen aquivalent heissen, wenn sich ihre Ecken xi^yi eineindeutig so<br />
zuordnen lassen, dass jedem Simplum des einen ein Simplum des andern entspricht. Der Nerv<br />
ist natlirlich nur im Sinne der Aquivalenz bestimmt.<br />
948
also {xj-^ ... Xj^Xhi '.. Xhq ... } ein (ev. singulares) Simplum in $. - Hieraus<br />
resultiert also ein bestimmter Homomorphismus von W(^) in H{^).<br />
1st Z eine dritte Zerlegung R = Y^ Zk, ^ ihr Nerv mit den Ecken Zk,<br />
und ist Z Verfeinerung von y, so | ist Z auch Verfeinerung von X (jedem Bl. 142<br />
Zk entspricht mindestens ein Yj D -^fc? jedem Yj mindestens ein Xi D Yj,<br />
also jedem Zk mindestens ein Xi D Zk). Der hierdurch bestimmte Homomorphismus<br />
H{n) -> H{^) ist derselbe, der sich durch Zusammensetzung von<br />
H{Q>) -^ H(^), W(^) -^ 7iC($) ergiebt. Unterscheidet man namlich die mittelbare<br />
Verfeinerung des Q von $, wo dem Zk erst alle Bilder yj und dann<br />
deren Bilder Xi zugeordnet werden, und die unmittelbare, wo dem Zk alle Xi<br />
mit Xi 2 Zk zugeordnet werden; es kann ja sein, dass Xi 3 Zk auch ohne<br />
Zwischenschaltung eines Yj moglich ist. Die unmittelbare Verfeinerung ordnet<br />
den Zk also eventuell mehr Ecken zu als die mittelbare, aber dadurch wird ja<br />
der Homomorphismus H{Ct) —^ H{^) nicht geandert.<br />
Als Homologiegruppe der Zerlegung A! bezeichnen wir die des Nerven $. Ist<br />
X = (A'l, Af2,...) eine Zerlegungsfolge, wo Xn-\-i Verfeinerung von JMn ist, Hn<br />
die m. Homologiegruppe von Af^, so heisse H — {Hi^H2, • • •) die m. Homologiegruppe<br />
der Zerlegungsfolge X. Fiir eine Teilfolge X = {X^^, Af^s,...) I i^t Bl. 143<br />
die Homologiegruppe H — {Hm, Wns ? • • •) mit H isomorph, da der unmittelbare<br />
Homomorphismus Hn —^ Hm (^ < ^) derselbe ist wie der mittelbare<br />
(D) Kompakte Rdume.<br />
Im metrischen Raum R sei X eine Menge, q ein Punkt, S{X, q) = untere Entfernung<br />
des q von X = untere Grenze von pq flir p e X. Aus pqi < pq2 + qiq2<br />
folgt 5{X,qi) < S{X,q2) + 91^2, ^{^IQ) ist stetige Funktion von q] hieraus<br />
folgt, dass fiir (5 > 0 die Menge<br />
X{S) = Menge der Punkte q mit S(X, q) < S<br />
abgeschlossen ist; X{0) ist die abgeschlossene Hiille von X, also bei abgeschlossenem<br />
X mit X identisch; wenn J^ > 0, (5n -^ 0, ist der Durchschnitt der<br />
X{Sn) gleich X{0). Fiir zwei Punkte pi,p2 von X und zwei Punkte ^1,^2 des<br />
Raumes ist<br />
qiq2 < qiPi +P1P2 +^2^2 < qiPi + d{X) -\-p2q2,<br />
d{X) der Durchmesser von X {X sei beschrankt); hieraus folgt, indem man<br />
nach pi,p2 die untere Grenze der rechten Seite | nimmt: BL 144<br />
949
qiq2 oo, so batten die pn keine<br />
konvergente Teilfolge.<br />
Durchschnittssatz: Eine abnehmende Folge Xi O X2 ^ • • • abgeschlossener,<br />
nicht leerer Mengen hat einen nichtleeren Durchschnitt X. Denn sei Pn G Xn<br />
und p = limp^ Limes einer konvergenten Teilfolge; fiir jedes n ist schliesslich<br />
Piy G Xn (fiir ly >n), also p G X^; X enthalt p.<br />
R Idsst sich fiir jedes positive d in endlich viele abgeschlossene Mengen mit<br />
Bl. 145 Durchmessern < d zerlegen. \<br />
Man wahle einen Punkt pi, dann einen p2 mit pip2 > f, dann einen ps<br />
mit piP3,P2P3 > f U.S.W., so lange es geht. Es geht nur endlich oft (sonst<br />
batten die Pn keine konvergente Teilfolge). Ist pi,... ,Ps die so erbaltene, nicbt<br />
mehr erweiterungsfahige Menge, so bat jeder Punkt p von mindestens einem<br />
Pi {i = 1,.. .,s) die Entfernung pip < |; ist Xi die Menge der p mit pip < |,<br />
so ist also R = Xi -\ \- Xg, Xi abgescblossen vom Durcbmesser < d.<br />
Wir betracbten kiinftig nur nocb Zerlegungen R = Xi -\- • -- -}- Xg = Y^Xi<br />
in endlicb viele, abgeschlossene, nicbt leere Mengen Xi] ist A! diese Zerlegung,<br />
so sei d{JY) = maixd^Xi) der „Maximaldurcbmesser" der Zerlegung Af; man<br />
kann ibn beliebig klein macben.<br />
Es giebt eine positive Zahl 6{X) — 6 derart, dass die Mengen Xi{6) denselben<br />
Nerv haben wie die Mengen Xi.<br />
Man betracbte eine bestimmte Indexkombination i,j,...,k (aus den Zablen<br />
Bl. 146 1,..., s) mit XiXj • • • Xk = 0 und die | abgescblossenen Mengen<br />
Xi{6n)Xj{6n) ' "Xk{6n) = Fn,<br />
die fiir ^1 > 62 > • • • , 6n -^0 abnebmend sind und den Durcbscbnitt<br />
XiXj ' • • Xk = ^ baben. Nacb dem Durcbscbnittssatz konnen die Fn nicbt alle D<br />
0 sein; es giebt also ein (von i,j,...,k abbangiges) 6 > 0 mit Xi{6) • • • Xk{6) =<br />
0; bei Verkleinerung von 6 bleibt das besteben. Macbt man dies fiir alle (endlicb<br />
viele) solcbe Indexkombinationen und nimmt das kleinste der so erbaltenen 6,<br />
so folgt also jetzt stets aus Xi-'-Xk = 0 aucb Xi{6)--- Xk{6) = 0 und<br />
natiirlicb umgekebrt (wegen X C X(6)); die Xi{6) baben denselben Nerv wie<br />
die Xi. Man kann 6 dabei durcb ein kleineres ersetzen.<br />
Eine Zerlegungsfolge A'n beisse in die Zerlegungsfolge ^n iiberfiihrbar, wenn<br />
jeder Menge Xnj von Af^ genau eine Menge Ynj von 3^^ entspricbt {R =<br />
Y^ Xnj = Y2 ^nj), die Ynj denselben Nerv $n ^^^ die Xnj haben und mit<br />
3 3<br />
BL 147 Xmi 3 Xnj {m < n) auch stets Ymi 2 Ynj ist. \<br />
950
Dies hat folgende Bedeutung: wenn etwa (m < n) Xn Verfeinerung von<br />
Xra ist, wodurch ftir die gleichdimensionalen Homologiegruppen Hm^^n von<br />
^rni^n ^in Homomorphismus Hn —> Hm {in Hm) entsteht, so ist auch y^<br />
Verfeinerung von ym und giebt denselben Homomorphismus. Denn die zweite<br />
Verfeinerung ordnet der Ecke Xnj jedenfalls dieselben Ecken Xmi zu wie die<br />
erste, und vielleicht noch andere (denn es konnte Ymi 5 ^j sein auch ohne<br />
Xmi 2 Xnj-, die Uberftihrung ist einseitig); durch diese Vergrosserung der<br />
Bilder wird aber der Homomorphismus nicht geandert.<br />
Eine Zerlegungsfolge Xn mit dn == d{Xn) —> 0 heisse regular] wenn liberdies<br />
Af^+i Verfeinerung von Xn ist, kanonisch. Wir setzen 5n = S{Xn).<br />
V. Eine Zerlegungsfolge Xn mit dn+i + 25^+1 < ^n ist in eine kanonische<br />
Zerlegungsfolge 3^n uherfuhrhar, ndmlich mit Ynj = Xnj{Sn)'<br />
Zunachst ist Sn-\-i < ^Sn, Sn -^0, dn + 2Sn —^ 0; der Durchmesser | von Ynj Bl. 148<br />
ist < d{Xnj) + 2Sn, also d{yn) < dn-\- 2Sn -^ 0, yn (wie Xn) regular. Nach der<br />
Bestimmung von Sn hat ^n denselben Nerv wie Xn. Aus XmiXnj D 0 {m < n)<br />
folgt Ymi 5 Ynj. Denn sei (in der Figur sind i,j weggelassen) p G XmiXnj und<br />
q ein beliebiger Punkt von Ynj. Da p,q zu Ynj gehoren, ist pq < dn + 25n <<br />
Sn-i < Sm, und da p zu Xmi gehort, ist S{Xmi, q) ^ PQ < ^m, q € Xmi{Sni) =<br />
Ymi, also Ynj Q Ymi. Hieraus folgt erstens die Uberfiihrbarkeit, denn mit<br />
Xmi 5 Xnj ist erst recht Ymi 2 Ynj, zweitens, dass yn Verfeinerung von ym<br />
(also die Folge yn kanonisch) ist; denn zu Xnj giebt es wegen R = Y^ Xmi<br />
i<br />
mindestens ein XmiXnj D 0, also zu Ynj mindestens ein Ymi 2 ^j-<br />
VI. Jede reguldre Zerlegungsfolge Xi,X2,... hat eine Teilfolge X(y,,Xp,...,<br />
die in eine kanonische Folge uberfiihrbar ist. \ Bl. I48v<br />
Es sei dn —^ 0 und, da man die Sn verkleinern kann, 2Sn-\-i < Sn angenommen.<br />
Man kann dann die Zahlen a < (3 < ^ < • • • , von einem beliebigen a<br />
ausgehend, der Reihe nach so wahlen, dass<br />
di3 < Sa- 2^0,4-1, d^
Wegen Sp < (5^+1, ^7 <
IX. 1st ^ ein abstrakter Komplex, R = [$] ein zugehoriger Euklidischer<br />
Komplex, so ist jede Homologiegruppe des Raumes R mit der gleichdimensionalen<br />
des abstrakten Komplexes $ isomorph.<br />
Wir hatten gesehen ((C) und Satz III), dass die Zerlegung A' von R in die<br />
baryzentrischen Sterne von [$] den Nerv ^ hat; ist I die (grosste) Kantenlange<br />
von [$], so ist d{X) < 21. Betrachten wir die Folge der abstrakten Komplexe<br />
$, $1, $25 • • • wo jeder der derivierte des vorangehenden ist, und i^ = [$] =<br />
[$i] = [$2] = ..., wo jeder der baryzentrisch derivierte des vorangehenden ist.<br />
Die Zerlegung Xn von R in die baryzentrischen Sterne von [^n] hat den Nerv<br />
$n und den Maximaldurchmesser dn < 2/n, wo In die Kantenlange von [$n] ist;<br />
wir hatten, wenn $ p-dimensional ist, Zn+i < ^^j^n gefunden. In < l{-^)'^,<br />
also c?n -» 0. I Bl. 153<br />
Die Zerlegungsfolge Af,A'i,... ist also regular, allerdings im Allgemeinen<br />
nicht kanonisch, A'n+i keine Verfeinerung von A^^; das sieht man schon am<br />
^,<br />
y^<br />
!f^ ^ U<br />
h u h<br />
einfachsten Fall einer Strecke [^1X2] mit dem derivierten Komplex [2/12/3] +<br />
[2/32/2] (2/1 = ^i5 2/2 = ^2, 2/3 Mittelpunkt); der baryzentrische Stern Y3 von 2/3<br />
ist weder in Xi noch in X2 enthalten.<br />
Nach VI ist aber eine geeignete Teilfolge A^Q,, Af/^,... in eine kanonische<br />
Folge ^a? 3^/3, • • • uberfiihrbar; deren Homologiegruppe H (also die des Raumes<br />
R) ist die Gruppe {Ha,H/3,...), wo Hn die des Komplexes $n ist; da alle<br />
$n isomorphe Homologiegruppen haben, (der Homomorphismus Hp —> Ha ist<br />
Isomorphismus), ist 7i mit der Homologiegruppe von $ isomorph.<br />
Aus VIII und IX resultiert<br />
X. (Topologische Invarianz der Homologiegruppen) Ist $ ein abstrakter<br />
Komplex, [$] ein zugehoriger Euklidischer Komplex, R eine mit [$] homoomorphe<br />
Punktmenge, so sind die Homologiegruppen von R mit denen von $ isomorph.<br />
953<br />
1^
NL HAUSDORFF : Kapsel 43: Fasz. 742<br />
Die topologische Invarianz der Homologiegruppen<br />
Hs. Ms. - [Bonn], Ende April - Juli 1940. 101 BIL<br />
[Hier die Abschnitte 5, 5a, 9, 10 aus §4 A, "Die topologische Invarianz der<br />
Homologiegruppen", ferner §4B "Abzahlbare Komplexe" und §4C<br />
"Homologiegruppen abzahlbarer Komplexe".]<br />
5. Eine Eigenschaft des kompakten Raumes.<br />
T sei ein System endlich vieler abgeschlossener Mengen Fi^O des kompakten<br />
Raumes R. Wir wahlen aus jeder Menge Fi einen Punkt ai und erhalten<br />
die Menge A der a^; d{A) sei der Durchmessr von A] d{T) die untere Grenze<br />
der d{A)', sie wird, well R kompakt ist, wirklich erreicht, und es giebt also eine<br />
Menge A mit kleinstem Durchmesser d{A) = d{J^). Wenn d{!F) = 0, so ist<br />
A = a einpunktig, a G Y\Fi. Umgekehrt, wenn Y\Fi einen Punkt a enthalt,<br />
Bl. 24 kann man A = a wahlen und hat d{J^) = 0. Also: | d{J^) = 0 oder > 0, jenachdem<br />
JjFi^O oder = 0.<br />
U sei ein System endlich vieler offener Mengen Ui ^ 0 des kompakten Raumes<br />
R mit R — Y^Ui. Dann giebt es eine positive Zahl 5 = S{U) derart, dass jede<br />
Menge A c R mit einem Durchmesser d{A) < S in mindestens einer Menge<br />
Ui enthalten ist.<br />
Wenn eins der Ui — R ist, ist die Behauptung bei beliebigem ^ > 0 trivial.<br />
Nehmen wir also alle C/^ C -R an und sei T das System der abgeschlossenen<br />
Mengen Fi = R-Ui^{)', wegen ^1^1 = Ri^t]\ Fi = {) und daher d{T) > 0.<br />
Die Zahl 5 = d{T) genligt unseren Anspriichen. In der Tat kann eine Menge<br />
A vom Durchmesser < 5 nicht mit alien Fi Punkte gemein haben, sonst ware<br />
d{A) > d{T). Also ist, fiir mindestens ein i, AFi = 0, AC.Ui.<br />
Ist V ein System endlich vieler Mengen Vj mit R = Y1,^3 ^^^ ^^^ ^^^ Maximaldurchmesser<br />
^(V) = max(i(Vj) kleiner als S{U)^ so ist V Verfeinerung von<br />
Bl. 25 U. I<br />
5 a. Topologische Invarianz der Homologiegruppen von Komplexen.<br />
Satz. $, ^ seien abstrakte Komplexe; sind die Euklidischen Komplexe P =<br />
[$], Q = [^] homoomorph, so sind die Homologiegruppen (gleicher Dimension)<br />
H{^), H{^) isomorph.<br />
Beweis. Ist p = p(q) eine topologische Abbildung von Q auf P, q = q{p)<br />
ihre Umkehrung, so entsprechen offenen Mengen in Q offene Mengen in P;<br />
einer Zerlegung von Q in endlich viele offene Mengen entspricht eine gleiche<br />
Zerlegung von P, mit demselben Nerv, und wegen der gleichmassigen Stetigkeit<br />
von p{q) kann man die Zerlegung von Q so fein wahlen, dass die von P beliebig<br />
fein wird, d. h. die Durchmesser der offenen Mengen in P beliebig klein werden.<br />
Dies vorausgeschickt, sei<br />
U: P = ^Ui<br />
die Zerlegung von P in die offenen Sterne von $; Nerv $.<br />
954
Sodann nehmen wir an, indem wir ^ alsbald durch eine geniigend feine baryzentrische<br />
Unterteilung ersetzen, wodurch die Homologiegruppe W(^) sich<br />
ja (im Sinne der Isomorphie) nicht andert, dass der Zerlegung von Q in die<br />
offenen Sterne von ^ eine Zerlegung<br />
in offene Mengen mit d{V) < S{U) entspricht, sodass | V Verfeinerung von U Bl. 26<br />
wird; der Nerv von V ist ^.<br />
Drittens wird $ durch eine geniigend feine baryzentrische Unterteilung $i<br />
ersetzt der art, dass fiir die Zerlegung<br />
U': P = J2UI<br />
in die offenen Sterne von $i d{U^) < ^(V), also U^ Verfeinerung von V wird;<br />
der Nerv von U^ ist $i.<br />
Viertens endlich wird ^ durch eine Unterteilung ^i ersetzt so, dass der<br />
Zerlegung von Q in die offenen Sterne von ^i eine Zerlegung<br />
V^: P = Y.^l<br />
mit d{V^) < S{U^) entspricht, V^ Verfeinerung von U^ ; Nerv ^i.<br />
Diese Verfeinerungen ergeben simpliziale Abbildungen von ^i in $i, $i in<br />
^, ^ in ^ und entsprechend Homomorphismen<br />
Wenn wir die Elemente dieser Gruppen mit<br />
2/1 , ^1 , y , X<br />
bezeichnen (es sind jedesmal Klassen homologer Zyklen), so haben wir also<br />
Gleichungen<br />
xi=f{yi)^ y = 9{xi), x = h{y);<br />
f,g,h sind Homomorphismen. Die zusammengesetzten Homomorphismen | Bl. 27<br />
y = gfiyi), ^ = hg{xi)<br />
sind aber Isomorphismen von H{^i) auf H(^) und von W($i) auf H{^).<br />
Wir behaupten, dass die Gleichung<br />
y = 9{xi)<br />
einen Isomorphismus von W($i) auf W(^) darstellt. Denn:<br />
{a) dieser Homomorphismus ist schlicht (eineindeutig): dem NuUelement von<br />
W(^) entspricht nur das NuUelement von 7^($i). In der Tat: aus g{xi) = 0<br />
folgt hg{xi) — 0, und da hg Isomorphismus ist, xi = 0.<br />
955
{(3) er bildet H{^i) auf die ganze Gruppe W(^) ab, d. h. jedem y entspricht<br />
ein xi mit y = g{xi). In der Tat: da gf Isomorphismus ist, so ist bei gegebenem<br />
y die Gleichung y = gf{yi) nach yi auflosbar und mit xi = f{yi) wird also<br />
y = g{xi)-<br />
Demnach ist 7Y(^) mit H{^i) isomorph; H(^i) ist mit W(^), also H(^) mit<br />
Bl. 28 H{^) isomorph. Q.e.d. |<br />
Der bewiesene Satz gestattet, einem Raum P = [$], der Euklidischer Komplex<br />
(Euklidisches „Polyeder") ist, als Homologiegruppe H{P) die Gruppe<br />
7Y($) zuzuordnen; sie ist (bei Identifikation isomorpher Gruppen) von der<br />
speziellen Darstellung des Komplexes unabhangig: wenn zugleich P = [^]<br />
ist, ist H{^) mit H{^) isomorph. Er gestattet zugleich, die Definition von<br />
H{P) auf Raume P auszudehnen, die mit Euklidischen Polyedern homoomorph<br />
sind (krumme oder topologische Polyeder), wobei fiir homoomorphe Raume<br />
P, Q H{P) mit H{Q) isomorph ist; denn ist P mit [$], Q mit [^] homoomorph<br />
und P mit Q homoomorph, so ist [$] mit [^] homoomorph, 7Y($) mit ?Y(^)<br />
isomorph, H[P) mit H{Q) isomorph.<br />
Weiter aber konnen wir auf derselben Grundlage sogar Homologiegruppen<br />
allgemeiner kompakter Raume (Nr. 7) und sogar topologischer Raume (Nr. 8)<br />
erklaren, die fiir Euklidische Komplexe [^] mit li{^) tibereinstimmen.<br />
9. Beliebige Unterteilung.<br />
Es sei P = [^] = [^], [^] Unterteilung von [^]. Wir wissen jetzt, dass die<br />
Gruppen H(^), H{^) isomorph sind (Nr. 7) und woUen zeigen:<br />
IX. Der Isomorphismus wird durch die simpliziale Abbildung x = (p{y) G ^{y)<br />
erzeugt, d. h. indem man jeder Ecke y von ^ eine Ecke (gleichviel welche) des<br />
Tragers $(?/) von y in ^ zuordnet.<br />
S = $(T) sei allgemein der Trager von T. Die Behauptung ist, dass der in<br />
IV angegebene Homomorphismus von 7Y(^) in ?Y($) in Wahrheit Isomorphismus<br />
von W(^) auf H{^) ist; fiir den Fall der baryzentrischen Unterteilung war<br />
dies in VI festgestellt worden.<br />
Ein Simplum T heisse reduziert, wenn es dieselbe Dimension wie sein Trager<br />
hat; nicht reduziert, wenn es eine kleinere hat. In der Fig. ist z.B. {2/0,2/5,2/4}<br />
reduziert, {2/4,2/5} nicht reduziert.<br />
Die samtlichen Ti mit [Ti] C [S], wo [S] ein festes r-Simplum ist, bilden einen<br />
BL 42 Komplex ^2, die [Ti] einen Euklidischen Komplex [^2]. |<br />
956
(a) [^2] ist Unterteilung von [5], d.h. [S] = Yl [Ti].<br />
Es braucht nur [S] C ^ [Ti] gezeigt zu werden. Ist x G [5], so hat x in [^] einen<br />
Trager [T], dieser in [^] einen Trager [5i]; dann ist x e (T) C {Si), {Si)[S] ^ 0,<br />
also (5i) ein offenes Simplum C [S] , [T] C [5], a; G X] [Ti]-<br />
Wir haben weiter zu zeigen, dass [^2] eine r-dimensionale orientierbare Pseudomannigfaltigkeit<br />
{VM., vgl.Blatt 23) ist, d.h. die folgenden Behauptungen<br />
(/?, 7, (5, s) zu beweisen.^<br />
{(3) Die Maximalsimpla Tj von ^2 sind r-dimensional.<br />
Es ist [S] = Yl [Tj]- (^i) ist in [S] oflPen; ist y e (Tj), so liegt ein hinlanglich<br />
kleines, y enthaltendes r-Simplum C [S] ganz in (Tj) . Tj muss also rdimensional<br />
sein.<br />
(7) Jedes (r — 1)-Simplum t von ^2 gehort (mindestens einem, aber) hochstens<br />
zwei von den Maximalsimpla an.<br />
Wenn [t] Seite von [Tj], [Tk] ist, so ist, im r-dimensionalen Raume Rr, der [S]<br />
enthalt, ein mittlerer Punkt y von \t] innerer Punkt von [Tj] + [Tk]; ein drittes<br />
Simplum {t,yi} mit der Seite t kann nicht existieren, sonst wiirde die Strecke<br />
[yyi] mit [Tj] + [Tk] nur den Punkt y gemein haben. | Bl. 43<br />
(S) Jedes Tj lasst sich mit jedem andern Tk durch eine Kette von r-Simpla<br />
verbinden, in der zwei benachbarte Glieder ein (r — 1)-Simplum gemein haben.<br />
Eine solche Kette erhalt man, wenn man zwei innere Punkte Pj,Pk von<br />
[Tj], [Tk] so wahlt, dass ihre Verbindungslinie kein (r — 2)-Simplum vom [$2]<br />
trifft; diese Strecke trifft also nur (r — 1)-Simpla und zwei r-Simpla, die sie der<br />
Reihe nach passiert, haben ein (r — 1)-Simplum gemein.<br />
(e) Die Simpla [Tj] lassen sich „koharent" orientieren, indem man sie alle mit<br />
[S] gleich orientiert (d. h. so, dass im Raume Rr S in Tj durch eine Affinitat<br />
mit positiver Determinante libergeht).<br />
Errichtet man in einem mittleren Punkt y des (r — 1)-Simplums [t] eine<br />
Senkrechte zur Ebene Rr-i, die [t] tragt, im Raume Rr, der [S] tragt, so ergeben<br />
sich zwei Falle: entweder gehort t zwei r-Simpla Tj,Tk an und diese Senkrechte<br />
hat auf beiden Seiten von y Punkte von [S], y ist innerer Punkt von [S], t hat<br />
den Trager S = ^(t); oder t gehort nur einem r-Simplum Tj an, jene Senkrechte<br />
hat nur auf einer Seite Punkte von [S], y ist Randpunkt und t hat eine (r — 1)<br />
dimensionale Seite s von S als Trager s = ^(t). | Bl. 44<br />
Nunmehr definieren wir<br />
wobei jetzt S orientiert und die Tj gemass [e) orientiert sein sollen. Es ist durch<br />
die bekannten Verabredungen jedem Polynom ^ in ^ ein Polynom B = ip{A)<br />
in ^ zugeordnet, mit i^{Ai + A2) = V^C^i) + '0(^2)-<br />
^[Zur Definition einer Pseudomannigfaltigkeit s. HAUSDORFFS Vorlesung, dieser Band,<br />
S. 929.1<br />
957
(C) Die Abbildung -0 ist randtreu, V'C^)' = V^C^O-<br />
Es geniigt, '0(5)' = '0(5') nachzuweisen. Die Simpla t, die zwei Maximalsimpla<br />
Tj,Tk angehoren, heben sich in ^ Tj heraus. Denn da Tj,Tk koharent orientiert<br />
sind, ist etwaT^ = yjt, Tk = -ykt, Tj = t-yjt', T^ = -t^-ykt\ T'.+T;^<br />
frei von t. Diese t fehlen also in '0(5)' und eo ipso in 0(5'). Sei t ein Simplum,<br />
das nur einem Tj, sagen wir T angehort. Es gehort [t] einer Randseite [s] von<br />
^<br />
5 an; t wird (in Rr-i) mit 5 gleichorientiert, und da auch T mit 5 gleichorientiert<br />
ist, haben wir 5 = xs^ T = yt; -0(5) = t-\- -- - , 5' = s4----, '0(5') =<br />
^(s) + ... = t + ---,r' = t + ---, ^(5)' = t + • • • . i^{Sy - il){S') ist also frei<br />
Bl. 45 von t, also von samtlichen (r — 1)-Simpla, d. h. 0. |<br />
Beispiel: i;{xQXiX2) = yoysy^ + 2/42/52/3 + 2/32/52/1 + 2/42/32/2,<br />
[il;{xoXiX2)y = 2/02/5 + 2/52/1 + 2/i2/3 + 2/32/2 + 2/22/4 + 2/42/0<br />
== '0(xoxi + a:iX2 + X2X0) = ilj{{xoXiX2y)<br />
ip fiihrt also Zyklen, Rander, homologe Zyklen von $ in ebensolche von ^ iiber<br />
und bewirkt Homomorphismen der Gruppen T,Z,1Z,H von $ in die von ^<br />
(wie umgekehrt (^ von ^ in $). Wir zeigen nun, dass fiir die Homologiegruppen<br />
(p, ip zueinander invers sind.<br />
(r/) Es ist (ftp(A) = A.<br />
Es geniigt ^ip{S) = S fiir r-Simpla 5 zu zeigen. Fiir r = 0 ist das trivial; wir<br />
schliessen von r — 1 auf r und nehmen also ^il){S') = 5' an. Nun ist ^{Tj)<br />
orientiertes Simplum aus r + 1 Ecken von 5, also ±5 oder 0, (pip{S) = aS mit<br />
ganzem a; also wegen der Randtreue beider Abbildungen (pil;{S') — a5'; dies<br />
war = 5', also a = 1 : (pip{S) = 5.<br />
(Das ist eine durch Orientierung verscharfte Fassung eines Spernerschen Sat-<br />
Bl. 46 zes: ohne Orientierung ist die Anzahl der Tj mit (p{Tj) — S ungerade.) |<br />
{'d) Fiir einen reduzierten Zyklus B ist ip(p{B) = B.<br />
B sei r-dimensional, alle darin vorkommenden Glieder T haben r-dimensionale<br />
Trager; es ist B == ^ Bs^ wo 5 die r-Simpla von ^ durchlauft und Bs —<br />
Y^ pjTj das Aggregat der Glieder mit dem Trager 5 ist; die Orientierung wie bei<br />
-0(5) = YTj. Fiir zwei Simpla Tj = yjt, Tk = —ykt, die das (r — 1)-Simplum t<br />
gemein haben, muss Pj = Pk sein, damit in B' = B'g-\ = {Pj—l3k)t-\ = 0<br />
958
das t herausfallt, und wegen (5) miissen alle /3j gleich sein, Bs = Ps^ Tj —<br />
Ps V^(S'). Mit A = J2 PsS hat man also B = '0(A), ip{B) - A, IIJ^{B) = B.<br />
(n) 1st C reduziert und C = D\ so ist C auch Rand der reduzierten Form<br />
Denn C = ^(p{C) = ilJ(f{D') = [il;(f{D)y. Jede Form 'ip{A) ist reduziert.<br />
Wir hatten [^2] die Unterteilung des r-Simplums [S] genannt; [^1] sei die<br />
Unterteilung des Randes von [5], die Menge der [T], die in irgend einer (r — 1)dimensionalen<br />
Seite von [S] enthalten sind. Wegen der topologischen Invarianz<br />
der Homologiegruppen ist in ^2 jeder Zyklus ~ 0, in ^1 jeder Zyklus der<br />
Dimension < r — 1 homolog 0 (wahrend '0(5') ein (r — 1)-Zyklus in ^1 ist, |<br />
der nicht = 0, also auch nicht ~ 0 ist). Nun zeigen wir: Bl. 47<br />
(i) Jeder Zyklus B ist mit einem reduzierten homolog.<br />
B sei g-dimensional. Wir betrachten die Trager von B (d. h. die Trager der<br />
in B vorkommenden Glieder); ihre Maximaldimension sei r. Wenn B nicht<br />
reduziert ist, ist r > g ; S sei einer der r-dimensionalen Trager, Bs die Summe<br />
der Glieder mit Trager 5, C die der iibrigen, B = Bs-i-C, 0 = B' = B'^-{-C\<br />
Die Trager von C sind entweder r-dimensionale Simpla 7^ S oder Simpla von<br />
Dimensionen < r —1; darunter befindet sich kein Simplum D 5, und folglich hat<br />
C unter seinen Tragern S nicht. Also auch B^ hat den Trager S nicht; seine<br />
Trager sind C 5; Bg liegt in ^1, und da seine Dimension g' — 1 < r — 1, so ist<br />
Bg r^Oin ^1, Bg = D', D in ^1. Bs - D ist Zyklus in "^2, also ~ 0, und wir<br />
haben B ^^ D -^ C = Bi; die Trager von Bi sind solche von C oder von D, im<br />
letzteren Falle C 5; d. h. wir haben den Trager S weggeschafft und die Anzahl<br />
der r-dimensionalen Trager um 1 vermindert. So fortfahrend schaffen wir die rdimensionalen<br />
Trager fort, immer durch Ubergang zu homologen Zyklen, dann<br />
(wenn noch r — l>q) die (r — l)-dimensionalen Trager u.s.w., bis wir zu einem<br />
reduzierten Zyklus ~ B gelangen. | BL 48<br />
(if) Fiir jeden Zyklus B ist ip(p{B) ~ B.<br />
Das folgt aus {I^){L)'J ist B ^^ C, C reduziert, so ist il^
jeder Zyklus A auch Rand, namlich z. B. = {xA)', aber wenn A (5-Polynom ist,<br />
braucht xA keins zu sein. A ^^ 0 (A (5-homolog 0) bedeute, dass A (5-Rand ist;<br />
A r^s B bedeute A — B ^s ^- Wir betrachten alsdann Folgen<br />
A = {Ai,A2,...)? ^n r-dimensionale Sn-^orm, Sn —> 0.<br />
Wenn insbesondere die An 5n-Rander sind, heisst A ein Vollrand und homolog<br />
0, ^ ~ 0; A^ B bedeutet, dass A-B^ {Ai- Bi,A2 -B2,...) ^ 0. Sind die<br />
An nur (5n-Zyklen und<br />
(^1, ^2, -A3,...) '^ (A2, A3, A4,...),<br />
so heisst A ein Vollzyklus. Ein Vollrand ist ein Vollzyklus, aber nicht umgekehrt.<br />
Z sei die Gruppe der VoUzyklen, 1Z die der Vollrander; die Differenzgruppe<br />
Bl. 61 Z — 1Z — V\ ist die r-dimensionale Vietorissche Homologiegruppe des Raumes<br />
R. Ihre Elemente v sind also Klassen homologer VoUzyklen; v besteht aus alien<br />
mit einem Vollzyklus A homologen VoUzyklen.<br />
Wir zeigen, dass V mit der in Nr. 7 erklarten Gruppe H isomorph ist.<br />
(A) Ist A = F(xo, xi,...,Xm) ein 5-Zyklus, \yi — Xi\ < e, so ist B —<br />
F{yo, 2/1, • • •, Vm) ein {S + 2£:)-Zyklus und mit A {S -\- 2e)-homolog.<br />
Setzen wir Ak = F{yo,..., yk-i,Xk, • •., Xm) (A: = 0,..., m + 1), also AQ =<br />
A, Am-\-i = B. Dass B wie A Zyklus und \yi — yj\ < 5 -\-2£ ist, ist evident. Es<br />
geniigt zu zeigen, dass Ak und A^+i = F(2/o,..., 2//c-i, 2//c, ^/c+i, • • •, a^m) (
in Nr. 7) gebildete Gruppe ist der mit den tin gebildeten Gruppe H isomorph.<br />
I (C) Es sei R = Y^ Fi eine abgeschlossene £-Bedeckung T. Ein „uberfliissi- Bl. 63<br />
ges" Fi, das namlich in der Summe der iibrigen enthalten ist, konnen wir<br />
weglassen, und durch Wiederholung dieser Prozedur kommen wir zu einer Bedeckung<br />
ohne iiberflussige Summanden; wir nehmen alsbald J^ in dieser Gestalt<br />
an. Indem wir dann einen Punkt ai e Fi — ^ Fj wahlen, erhalten wir<br />
lauter verschiedene Punkte und konnen diese (statt der Indizes i) als Ecken des<br />
Nerven $ wahlen; {aittj ... ak} ist Simplum von ^ dann und nur dann, wenn<br />
FiFj • • • Ffe 7^ 0. $ ist 2£-Komplex, denn ist {aittj} eine Kante, so ist FiFj ^ 0<br />
und \ai — aj\ < d{FiFj) < 2e\ jede Homologie in ^ ist 2£-Homologie. Es gilt<br />
nun:<br />
Ist ji die Lebesguesche Zahl von T, so wird durch irgend eine kanonische<br />
Ahhildung (p von R in ^ (d. h. eine Abbildung ai = (p{x) mit x £ Fi) jedem<br />
ji-Zyklus C eindeutig eine Zyklenklasse ^ von $ zugeordnet, zwei ji-homologen<br />
fi-Zyklen dieselbe; C ist, wenn S-Zyklus {S < JJL), mit jedem Zyklus A der Klasse<br />
i {S -\- 2e)-homolog.<br />
Die Zahl /x hat die Eigenschaft: wenn eine Menge M vom Durchmesser <<br />
II die Mengen Fi,Fj,... ,Fk triflPt, so ist FiFj--- Fk i=- 0, also {aia^ .,.a}^^<br />
Simplum in $. Ist M = {x{^x\.. .Xr\ ein /i-Simplum, a^ = ^{xi), Xi G F^,<br />
so ist MFi ^ 0 fiir i = 0,1,..., r und also {aoai... a^} Simplum in $ (das<br />
ev. singular ist). | Bl. 64<br />
Die Abbildung if ist also fiir /i-Komplexe simplizial und fiihrt jeden /i-Zyklus<br />
C in einen Zyklus ^{C) in $ liber, jede //-Form in eine Form aus $, jeden /x-<br />
Rand in einen Rand aus ^, zwei //-homologe /i-Zyklen C,D in zwei (in ^)<br />
homologe Zyklen ^{C) ~ ^{D). Da fiir ai = (p{xi) \ai — Xi\< d{Fi) < e, so ist,<br />
falls C (5-Zyklus ist, ip{C) mit C {S -\- 2£:)-homolog, nach (A); ist A ~ ip{C)<br />
in ^, also A ~2e ^{C), so ist A mit C (5 -f 2£)-homolog. Die Klasse ^ von<br />
(p{C) hat also die angegebenen Eigenschaften. Es ist noch hinzuzufiigen, dass<br />
sie von der speziellen Wahl der kanonischen Abbildung (p nicht abhangt: ist<br />
(fi eine andere kanonische Abbildung, so ist (pi{C) ~ ^(C). Ist namlich ^{x)<br />
die Menge der ai mit x e Fi, so ist fiir eine Menge M vom Durchmesser < /i<br />
M<br />
die Menge $(M) — ^ ^{x) ein Simplum in $; denn wenn ai G ^(M), etwa<br />
ai e ^{x), X e M, also x e Fi, so ist MFi J^ 0 ^^^ ^^^ Durchschnitt aller dieser<br />
Fi ist 7^^ 0. Demnach giebt $(x) fiir /x-Komplexe eine mehrdeutige simpliziale<br />
Abbildung dieser Komplexe in $, woraus fiir (p{x) e ^{x), (pi{x) G ^{x) die<br />
Behauptung (fi{C) ~ (f{C) folgt (Nr. 1). | Bl. 65<br />
(D) R = J2^j sei eine (wieder abgeschlossene) Bedeckung Q, die Verfeinerung<br />
von T ist und deren Nerv ^ die paarweise verschiedenen Ecken bj G Gj hat; es<br />
resultiert hieraus eine simpliziale Abbildung / von ^ in ^, namlich ai = fibj)<br />
mit Fi D Gj. bj = il^{x) sei eine kanonische Abbildung von Rm^, x e Gj.<br />
Dann ist ai — fip{x) eine kanonische Abbildung von R in ^ {x e Gj C Fi)<br />
und folglich fiir jeden /x-Zyklus C fij^iC) ~ ^{C) in $. Ist C auch //i-Zyklus<br />
(/xi Lebesguesche Zahl von ^), sodass '0(C) Zyklus in ^ ist, so geht dieser also<br />
961
durch / in ^{C) iiber, bis auf Homologie, d. h. die Klasse 77 von '0(C) in ^ geht<br />
durch den Homomorphismus von 'H(^) inW($), der durch / bewirkt wird, in<br />
Bl. 64v die Klasse ^ von ^{C) in $ iiber. | Es ist noch zu bemerken: bei ai = fi^j)<br />
ist bj G Fi, |ai — 6j| < d{Fi) < e\ ein Zyklus B m ^ (2£i-Zyklus, wenn<br />
Q £:i-Bedeckung ist) geht also durch / in einen Zyklus f{B) iiber, der mit<br />
BL 65 B (2£i + 2£)-homolog ist. |<br />
(E) Nunmehr sei Tm eine Srn-Bedeckung von R (ohne liberfliissige Summanden),<br />
mit dem Nerv ^rn] ^m —^ 0; ^m+i Verfeinerung von !Frn\ 'Hm die Homologiegruppe<br />
(r. Dimension) von <br />
i — (^15^2, • • OJ im = hm^rn-\-l<br />
seien die Elemente von H. firn sei die Lebesguesche Zahl von J^rn, ^m eine<br />
BL 66 kanonische Abbildung von R in $^. |<br />
Andererseits sei<br />
C = (Ci, C2, . . .) Cn (5n-ZykluS, Cn ^rjr, Cn+1, Jn ^ 0, T/n "^ 0<br />
ein VoUzyklus. Fiir passendes rim und n > rim ist Sn < fj^m, Vn < Mm, ^n < ^m;<br />
also alle Cn /im-Zyklen und /im-homolog, sodass nach (C) alle (/:?m(C'n) einer<br />
bestimmten Klasse ^m = ^m(C) von ^m angehoren und Cn mit jedem Zyklus<br />
Am dieser Klasse {Sn + 2erri)-homolog, also S^m-homolog ist. Ist auch noch<br />
n > rim+i, ^m+i = ^m+i(C), SO ist nach (D) ^m = ^m^m+i, also<br />
e-(ei,6,...) = e(C)<br />
ein durch C bestimmtes Element von H. Ist C ~ P, so ist fiir n > n^ Cn ^nm<br />
Dn und ^m{C) = ^m(P), also ^(C) = ^{V), d.h. jedem v (Element von V)<br />
entspricht eindeutig ein Element ^ = ^{'^)- Das giebt einen Homomorphismus<br />
von V in H.<br />
Er ist Isomorphismus, d. h. fiir ^ = 0 ist i? = 0. Denn dann ist Cn ~3£m ^ fiir<br />
n > rim, C ^ 0.<br />
Er ist Isomorphismus von V auf W, d. h. zu jedem ^ giebt es ein v mit ^ =<br />
^{v). Zunachst ist, fiir An ^ Cn, A= (^1,^2,...) ein VoUzyklus, denn An ist<br />
BL 67 2^^-Zyklus, I und bei der (durch die Verfeinerung hervorgerufenen) simplizialen<br />
Abbildung fn von $n+i in ^n ist nach (D) fn{An-\-i) mit An+i (25^+1 +2£n)homolog,<br />
wahrend An und fn{An-\-i), beide zu ^n gehorig, 2£n-homolog sind,<br />
also An mit A^+i (2£n+i + 2£n)-homolog, (^1, ^2, • • •) '^ (^2, ^3, • • •)• Weiter<br />
ist nun ^{A) = C. Denn bei der simplizialen Abbildung /^ = fmfm^-i * * • fn-i<br />
von m), a^ = fmi^])^ ist Fj^ C F/^ und insbesondere a'j G<br />
F/^ ; /^ ist also fiir die Ecken von ^n eine kanonische Abbildung in ^m, also<br />
fiir jede kanonische Abbildung (pm von jR in ^^, (pm{An) ~ fmi'^n) ~ ^m,<br />
also Cm{A) = ^m nnd ^(.4) = ^. Die Vietorissche Klasse v von ^ giebt also<br />
962
Damit ist die Isomorphie von V und H bewiesen.<br />
Man kann den Beweis auch fiir die Folgen offener Bedeckungen fiihren.<br />
(C*) R = Y^Ui sei eine ofTene e-Bedeckung U ohne liberfllissige Summanden,<br />
sodass wir den Nerv $ mit paarweise verschiedenen Ecken a^ G Ui realisieren<br />
konnen; er ist ein 2£:-Komplex.<br />
Nach Nr. 5 giebt es eine Zahl p = p(^) derart, dass jede Menge M vom<br />
Durchmesser < 3p in einem Ui enthalten ist. Insbesondere ist fiir x E R die<br />
spharische Umgebung C/(x, p) | vom Radius p, also Durchmesser < 2p, in einem Bl. 68<br />
Ui enthalten, und wir definieren eine kanonische Abbildung a^ = (f{x) von R in<br />
$ als eine mit U{x, p) C Ui. Es sei ^{x) die Menge der ai mit U{x,p) C Ui. Fiir<br />
M<br />
eine Menge M vom Durchmesser < p ist dann $(M) = JZ $(x) ein Simplum<br />
X<br />
in $; denn ist a^ G ^(M), also a^ G ^(x), x G M, so ist M C U{x,p) C<br />
t/^; alle diese C/^ haben M gemein, also einen nicht leeren Durchschnitt. Fiir<br />
alle p-Komplexe ist also (p{x) G ^{x) eine simpliziale, ^{x) eine mehrdeutige<br />
simpliziale Abbildung dieser Komplexe in $; hieraus folgt wie in (C):<br />
Ist p = p(ZY), so wird durch irgend eine kanonische Abbildung if von R in<br />
^ jedem p-Zyklus C eindeutig eine Zyklenklasse ^ in ^ zugeordnet, zwei phomologen<br />
p-Zyklen dieselbe; C ist, wenn S-Zyklus {5 < p), mit jedem Zyklus<br />
A der Klasse ^ ( rim die (pm{Cn) einer bestimmten Klasse<br />
Cm = Cm(C) von ^m angchorcn und Cn mit Am G Cm S^rrx-homolog ist, ferner<br />
dass Cm = ^mCm+ij C = C(^) ^i^ bcstimmtcs Element von H ist, das allein von<br />
der Klasse v von C abhangt: C = C('^)5 nnd dass dieser Homomorphismus von V<br />
963
in H, ein Isomorphismus ist. Um zu zeigen, dass es ein Isomorphismus auf die<br />
ganze Gruppe Ti ist, stellen wir wieder fest, dass fiir An ^ in A= {Ai, ^2, • • •)<br />
ein VoUzyklus ist. Es ist noch zu zeigen, dass (m < n) die simpliziale Abbildung<br />
/m — fmfm+i ''' fn-1 von $n 1^ ^rn ftir die Ecken von ^n eine kanonische<br />
Abbildung ist: nun ist jedenfalls, wenn af" = fmiaf^^) und aj'~^^ = /^+i(a^)<br />
ist (wobei die letzte Gleichung fiir n = m + 1 als a^^^ = OL^ ZU verstehen ist),<br />
al e L7+' und U{al,f^m) C U{U^+\fim) C t/^, wegen der gemass (D*)<br />
spezialiserten Abbildung fm- Also ist (pm{An) ^ fmi^n) ~ Am, im{A) =<br />
Bl. 71 U. i{A)=i. Q.e.d. I<br />
V als metrischer Raum. Fiir einen Zyklus A in R sei 1^41, Betrag von A, die<br />
untere Grenze der 6 mit A ^s 0 (solche S existieren, z.B. S > d{R)). Es ist<br />
|0| - 0, 1^1 > 0 fiir A ^ 0^; ferner \A-\-B\< max(|yl|, \B\).<br />
Wenn wir |^ — 5| als Entfernung von A,B definieren, bilden die Zyklen also<br />
einen metrischen Raum mit „verscharftem Dreiecksaxiom" A. Wir vervoUstandigen<br />
diesen Raum, indem wir Fundamentalfolgen A = {Ai,A2,...)<br />
bilden, d. h. solche, wo der Durchmesser dm der Restfolge {Am,Am-\-i • • •) mit<br />
m —^ oo nach 0 konvergiert; wegen A geniigt dazu, dass Sm = \Am — ^m+i|<br />
nach 0 konvergiert, da fiir m < n \Am — An\ < max((5m, 0<br />
beschranken, gehen die A, von denen je zwei mit der Entfernung 0 identifiziert<br />
BL 72 werden, in die Elemente von V iiber.'^ |<br />
§4B. Abzahlbare Komplexe.<br />
10/6 40<br />
Der abstrakte Komplex $ habe eine abzahlbare Menge von Ecken XQ, xi, a:2,. • •<br />
Beziiglich der in $ vorkommenden Simpla {xiXj}, {xiXjXk}, • • • wird verlangt:^<br />
(1) Jede Ecke kommt nur in endlich vielen Simpla vor.<br />
(2) Die Dimensionen der Simpla haben ein Maximum n ($ ist n-dimensional).<br />
Wir bilden hieraus Polynome<br />
A = a-\- ^aiXi + ^aijXiXj H<br />
i i S{A), also |A| > S{A).<br />
^Vietoris nennt die Vollzyklen Fundamentalfolgen, die Vollrander Nullfolgen.<br />
^ausserdem wie immer, dass jedes Teilsimplum von 5 G ^ auch zu ^ gehort.<br />
964
Wir konnen, in einem Euklidischen Raume geniigend hoher Dimension, den<br />
abstrakten Simpla S Euklidische Simpla [S] in paarweise exklusiver Lage zuordnen,<br />
wodurch eine Punktmenge [^] = J2 [*^] entsteht. Es geniigt jedenfalls<br />
^2n+i (wenn nicht schon ein niederer Raum), indem wir die Ecken „in allgemeiner<br />
Lage" wahlen, d. h. so, dass je 2n + 2 Ecken linear unabhangig sind. |<br />
Aber im Gegensatze zu endlichen Komplexen brauchen so erhaltene Komplexe Bl. 73<br />
[$] nicht homoomorph zu sein. Die Figuren zeigen zu dem eindimensionalen<br />
Komplex $ mit den Maximalsimpla {01}{12}{23}... Mengen [$], die eine<br />
—•—* t tt }<br />
I 1. ^ tr<br />
—^<br />
ir r<br />
Halbgerade, eine halboffene Strecke, einen Rechtecksumfang, einen Rechtecksumfang<br />
mit anstossender Strecke, eine nicht lokal zusammenhangende Menge<br />
darstellen (nur die beiden ersten sind homoomorph).<br />
Um die Homoomorphie aller Mengen R = [$] zu erzwingen, mlissen wir dem<br />
Raum R eine topologische (nicht dem Komplex $ eine kombinatorische) Bedingung<br />
auferlegen; R soil lokal endlich sein. Hierunter wird eine der folgenden<br />
Bedingungen verstanden, deren Gleichwertigkeit sofort gezeigt werden soil:<br />
(a) Die offenen Sterne Ui der Ecken Xi sind ofFen (in R).<br />
{(3) Jeder Punkt x e R hat eine finite Umgebung (eine Menge C R heisst finit,<br />
wenn sie nur mit endlich vielen [S] gemeinsame Punkte hat).<br />
(7) Jede Menge F = ^ F5, wo F5 in [S] abgeschlossen ist und die Summe<br />
s<br />
iiber alle 5 G ^ erstreckt wird, ist abgeschlossen (in R). |<br />
Der offene Stern Ui ist die Summe der (nach (1) endlich vielen) ofFenen Simpla<br />
(S) mit Xi G 5; er ist eine finite Menge; R = Y^Ui.<br />
Bl. 74<br />
a ^^ (3. Ist X G C/i, so ist Ui eine finite Umgebung von x.<br />
/? —> 7. Sei X Haufungspunkt von F — ^ Fs^ pi —^ x, pi G Fs^, U eine<br />
finite Umgebung von x. Mit Weglassung von Anfangsgliedern konnen wir alle<br />
Pi e U annehmen, also U[Si] ^ 0. Dies kann nach {(3) nur fiir endlich viele i<br />
der Fall sein, also etwa pi G F5. H h Fsj^; da diese Menge abgeschlossen ist,<br />
ist auch xeFs,-i--" + Fsj,QF.<br />
7 ^ a. R — Ui ist die Summe der abgeschlossenen Simpla, die Xi nicht als<br />
Ecke haben, also = ^ F5, wo F5 = 0 fiir x^ G 5 und Fs = [S] fiir Xi ^ 5,<br />
demnach abgeschlossen; Ui offen.<br />
Aus 7 folgt (indem man einen Teil der Fs gleich 0 setzt), dass, fiir jeden<br />
Teilkomplex ^0, [$o] in [^] abgeschlossen und [$o] ebenfalls lokal endlich ist.<br />
Jetzt folgt: sind $, ^ isomorph (mit den Ecken Xi^yi) und [^],[^] lokalendlich,<br />
so sind [$], [^] homoomorph.<br />
Zum Beweise bilden wir jedes Simplum [S] auf das entsprechende [T] affin<br />
ab, das giebt eine schlichte Abbildung von [$] auf [^]. Dabei entspricht jeder<br />
abgeschlossenen Menge F C [^] eine abgeschlossene in [^]; denn es ist F =<br />
965<br />
M<br />
/
Bl. 75 X; F[S'], F[S] hat als Bild | eine in [T] abgeschlossene Menge FT und F hat<br />
das abgeschlossene Bild ^ FT- Da flir die inverse Abbildung dasselbe gilt, ist<br />
die Abbildung topologisch.<br />
Ebenso: sind $, ^ isomorph, [$], [^] homoomorph und [$] lokal endlich, so<br />
auch [^]. Denn die offenen Sterne von Xi und von yi entsprechen einander und<br />
mit dem einen ist wegen der Homoomorphie auch der andere offen.<br />
Einen lokal endlichen Komplex [$] zu gegebenem n-dimensionalen $ kann<br />
man z.B. im i^2n+i so konstruieren: ist ^ eine bestimmte der rechtwinkligen<br />
Koordinaten von x G R2n-\-i, ^i die Koordinate von Xi, so wahle man die Xi in<br />
allgemeiner Lage und so, dass ^i -^ +00. Sei a eine reelle Zahl; fiir i > ia ist<br />
ii > OL^ und da der Halbraum ^ (^ > a) konvex ist, liegt jedes aus Ecken Xi<br />
X<br />
mit i > ia gebildete Simplum [S] ganz in ihm; der komplementare Halbraum<br />
Ga = ^ {^ < a) wird also nur von solchen Simpla [S] getroffen, die mindestens<br />
X<br />
eine der Ecken XQ, ..., Xi^ haben; das sind nach (1) nur endlich viele. R Gk ist<br />
also eine finite offene Menge in R, und da i^ = RGi + RG2 H , so hat jeder<br />
Bl. 76 Punkt eine finite Umgebung. |<br />
Man bemerke, dass R = [$] nicht kompakt ist. Denn die Menge der Ecken<br />
Xi ist abzahlbar, isoliert {xi hat die zu den librigen Ecken disjunkte Umgebung<br />
Ui) und abgeschlossen (man setze Fs = [S] fiir 0-dimensionales, Fs = 0 fiir<br />
hoherdimensionales 5, ^ Fs = Eckenmenge ist abgeschlossen). Dagegen ist<br />
R lokal kompakt, d. h. jeder Punkt x hat eine Umgebung U mit kompakter<br />
abgeschlossener Hiille U] in der Tat ist U, wenn finit, in der Summe endlich<br />
vieler [S] enthalten, also U in dieser kompakten Summe abgeschlossen. - Jede<br />
kompakte Menge P C R hat eine finite Umgebung; denn jeder Punkt x e P<br />
hat eine Ux, und P wird von endlich vielen Ux bedeckt.<br />
Simpliziale Abbildung wird wie bei endlichen Komplexen definiert; ist ^<br />
ein abzahlbarer Komplex mit den Ecken y und wird jeder Ecke y eine Ecke<br />
X — (p{y) von $ zugeordnet derart, dass das Bild (p{T) jedes Simplums T G ^<br />
ein Simplum 5 G $ ist, so haben wir eine simpliziale Abbildung von ^ in $; sie<br />
bewirkt Homomorphismen der Gruppen J^,Z,1Z,H von ^ in diejenigen von ^.<br />
Wird jeder Ecke y eine Eckenmenge ^{y) von $ zugeordnet derart, dass das<br />
T<br />
BL 77 Gesamtbild ^(T) = ^ $(?/) jedes Siihplums T ein Simplum | ist (jedes ^{y) ist<br />
y<br />
also selbst ein Simplum), so haben wir eine mehrdeutige simpliziale Abbildung<br />
von ^ in ^; alle in dieser enthaltenen eindeutigen simplizialen Abbildung (p{y) G<br />
^{y) geben denselben Homomorphismus 7i((^) —> H{^).<br />
1st M C R = [$] eine Menge, die in einem Simplum [S] von [$] enthalten<br />
ist, so giebt es unter diesen [S] ein bestimmtes von niedrigster Dimension,<br />
den Trager von M. Ist M = [T] selbst ein Simplum, [S] der Trager von [T],<br />
so schreiben wir S — ^(T); es gilt dann fiir die offenen Simpla (T) C (5).<br />
Insbesondere ist fiir einen Punkt y S = ^{y) das durch y G (5) bestimmte<br />
Simplum (R ist Summe aller offenen Simpla (S) mit S E ^, diese sind disjunkt,<br />
T<br />
y ^ R gehort einem einzigen an). Es ist ^(T) = ^ ^{y)-<br />
966
Es sei R = [^] = [^], beide Komplexe abzahlbar (immer mit den Eigenschaften<br />
(1) (2)) und lokal endlich; [^] heisst Unterteilung von [$], wenn jedes<br />
Simplum [T] von [^] in einem Simplum [S] von [$] enthalten ist. Die Zuordnung<br />
^(y) = Trager von y zu jeder Ecke y von ^ definiert eine mehrdeutige simpliziale<br />
Abbildung von ^ in $; | jede darin enthaltene Abbildung (p{y) E ^(y) eine Bl. 78<br />
eindeutige simpliziale Abbildung; diese alle geben denselben Homomorphismus<br />
H(^) ^ H{^) von 7Y(^) in H{^).<br />
Dies ist in der Tat ein Isomorphismus von H{^) auf H{^). Zunachst giebt<br />
es nur endlich viele Ti mit [Tj] C [5]; denn diese bilden einen Teilkomplex von<br />
^ und es ist [S] — Y^ [Ti]; ware dieser Teilkomplex unendlich, so ware er doch<br />
lokal endlich und folglich nicht kompakt, aber [S] ist kompakt. Die Summe der<br />
Maximalsimpla Tj mit [Tj] C [S], wo die Tj mit S libereinstimmend orientiert<br />
sind, bezeichnen wir mit ip{S) = J2 ^j5 ^^ &^^ dann in Anbetracht dessen, dass<br />
die Polynome A, B von $, ^ immer schon in endlichen Teilkomplexen liegen:<br />
ip(p{B) ~ B, wenn JB Zyklus ist;<br />
hieraus folgt eineindeutige Zuordnung der Klassen homologer Zyklen in $ und<br />
^. I Bl. 79<br />
Wir betrachten jetzt auch Raumzerlegungen R = J2Ui mit abzahlbar vielen<br />
Summanden ^ 0; der Nerv $ wird wie bei endlich vielen Summanden erklart; er<br />
soil die Eigenschaften (1) (2) haben, d. h. jedes Ui hat nur mit endlich vielen Uj<br />
nichtleeren Durchschnitt und die Anzahl der Ui mit nichtleerem Durchschnitt<br />
hat ein Maximum (wenn dies = n + 1, so ist $ n-dimensional). Die Zerlegung<br />
von R = [^] = "Y Ui in die offenen Sterne hat den Nerv $. - Die Zerlegung<br />
R = ^Vj heisst Verfeinerung von R = Yl Ui, wenn jedes Vj in mindestens<br />
einem Ui enthalten ist; die samtlichen i dieser Art bilden ein Simplum $(j) in<br />
$, und hiermit ist eine mehrdeutige simpliziale Abbildung des Nerven ^ von<br />
^ V^ in $ gegeben, also eine homomorphe Abbildung von H{^) in H{^). Ist<br />
R = Yl ^j insbesondere die Zerlegung in die offenen Sterne von ^, wo i^ =<br />
[$] = [^] und [^] Unterteilung von [$] ist, so ist diese Zerlegung Verfeinerung<br />
von R = YUj (offener Stern von ^) und ^{j) = ^{yj) ist der Trager von yj.<br />
Alles Bisherige ist eine nahezu unveranderte Ubertragung der Verhaltnisse<br />
bei endlichen Komplexen (§4 A). Nur an Stelle der dortigen Nr. 5 tritt eine<br />
neue Betrachtung: man muss zeigen, dass der abzahlbare Komplex [$] beliebig<br />
feine Unterteilungen zulasst, bei denen jedes Simplum [Si] in Simpla vom<br />
Durchmesser < £i unter- | geteilt wird, wo die Si eine vorgeschriebene Folge Bl. 80<br />
positiver Zahlen bilden.<br />
(Zum Folgenden Alexandroff-Hopf, S. 146).<br />
Es sind, wenn ^o ein Teilkomplex des endlichen Komplexes $ ist, einige Falle<br />
vorauszuschicken, wo eine gegebene Unterteilung von [$o] ^^f [^] erweitert, d. h.<br />
eine Unterteilung von [$] angegeben wird, die in [$o] die gegebene Unterteilung<br />
bewirkt.<br />
(A) [$] ein Simplum [5], [$o] sein Rand.<br />
Man projiziert die Randunterteilung von einem mittleren Punkt p von [S] aus.<br />
967
1st [$o] = E [Si], so ist [S] = E (P + Si).<br />
(B) [$] ein Simplum [5], [$o] ein Teilsimplum [SQ].<br />
Es sei T = 5- ^0, [T] die zu [5o] gegeniiberliegende Seite von [S] = [5o + T].<br />
Ist [So] = E ['S'i]) so ist [5] = E ['^^ + ^] ^i^^ ^^^ gesuchten Unterteilungen; sie<br />
lasst [T] ungeteilt.<br />
(C) $ und $0 mogen dieselbe Eckenmenge haben, sodass ^ — $o aus Simpla<br />
besteht, die zwar nicht zu ^o gehoren, deren Ecken aber Ecken von ^o sind.<br />
Diese Simpla mogen r (> 1) als kleinste Dimension haben. Ist S eines der<br />
Dimension r, so gehort der Rand von [S] zu [^o] und die Unterteilung wird<br />
Bl. 81 gemass | (A) auf [5] libertragen, dann ebenso auf die iibrigen r-dimensionalen<br />
Simpla von ^ — ^o? dann auf die (r + 1)- dimensionalen u. s. w.<br />
(D) Allgemein. Es sei $i 5 ^o der Komplex aller Simpla von $, deren Ecken<br />
zu $0 gehoren. Gemass (C) wird die Unterteilung von [$o] auf [$i] libertragen.<br />
Wenn So ein Simplum von ^ ist, dessen Ecken zu $i (also zu ^o) gehoren, so<br />
gehort So zu $i. Jedes Simplum S von $ ist jetzt in der Form {^o, T} = 5 (=<br />
So + T) darstellbar, wo So die zu ^o gehorenden, T die nicht zu $o gehorigen<br />
Ecken umfasst (eine der Mengen 5o, T kann 0 sein). Fur [5o] ist die Unterteilung<br />
[So] = E [Si] gegeben, sie wird gemass (B) auf [S] = E [*^i + ^] ubertragen.<br />
So entsteht eine Unterteilung von [$], die in [$i] und erst recht in [$o] niit<br />
der gegebenen iibereinstimmt, wahrend sie alle zu [^o] disjunkten Simpla (d. h.<br />
die, deren Ecken nicht zu $o gehoren) ungeteilt lasst.<br />
Satz I. R= [^] sei ein abzahlbarer, lokal endhcher Komplex, 5^ (z = 0,1,...)<br />
die Simpla von $, ki eine Folge ganzer Zahlen > 0; dann giebt es eine Unterteilung<br />
von jR, die fiir jedes i Unterteilung der /c^-fachen baryzentrischen<br />
Bl. 82 Unterteilung von [Si] ist. |<br />
Beweis. R lasst sich in der Form Ro-{-Ri-\ darstellen, wo jedes Rn Summe<br />
endlich vieler Simpla [Si] und RmRn = 0 fiir n — m > 2 ist. Denn man setze<br />
To = [So] und, wenn T^-i bereits als Summe endlich vieler Simpla definiert ist,<br />
Tn = [Sn] plus der Summe der [Si], die Tn-i treffen; da jedes [Si] eine Ecke von<br />
Tn-i enthalten muss, ist nach (1) auch T^ Summe endlich vieler Simpla. Es ist<br />
Tn-i ^Tn] Rn sci die Summe der Simpla, die in T^, aber nicht in Tn-i liegen;<br />
Tn = Rn-\- Tn-i. (Ubrigeus ist Rn = Tn — Tn-i die abgeschlossene Hiille von<br />
Tn - Tn-l.) Es ist Tn = Ro ^ Rl -^ •-\-Rn, R = Y.Tn = T, ^n- SodaUU ist<br />
TnRn-^2 = 0; denn ware p G TnRn-{-2, so miisste p nach der Definition von Rn-\-2<br />
einem Simplum [S] angehoren, das nicht in T^+i enthalten ist, andererseits ist<br />
aber p e [S] Tn, [S] Tn y^ 0, also [S] C Tn+i. Hiermit ist RmRn = 0 fiir<br />
BL 83 n-m>2 gezeigt. |<br />
Jedem Simplum [Si] C Tn ist eine Zahl ki zugeordnet. In sei das Maximum<br />
dieser ki, also In-i < In'-, durch Z^-fache baryzentrische Unterteilung von Rn<br />
entsteht ein Komplex ^n niit Rn = [^n]- Hiervon ist R^Rn+i == [^n] ^^^ ^^i^-<br />
968
komplex; RnRn+i empfangt von Rn+i eine /n+i-fache baryzentrische Unterteilung,<br />
wodurch [$^] eine An-fache (An = In+i —In) baryzentrische Unterteilung<br />
erhalt. Nach (D) lasst sich diese auf Rn libertragen, wodurch Rn — [^n] wird in<br />
einer Unterteilung, die in [$^] mit jener An-fachen Unterteilung iibereinstimmt,<br />
wahrend die Simpla von [^^-il ~ Rn-iRn ungeteilt bleiben, weil Rn^iRn und<br />
Rn-iRn disjunkt sind. Die samtlichen [^n] schliessen sich zu einer Unterteilung<br />
von R zusammen, denn in Rn-iRn stimmen [^n-i], [^n] iiberein. Ein<br />
Simplum [Si] C R^ empfangt in \^n] eine Unterteilung einer Zn-fachen, also<br />
(ki < In) einer A:^-fachen baryzentrischen Unterteilung. Damit ist I bewiesen.<br />
Indem wir die Zahlen ki geniigend gross wahlen, erkennen wir also: bei beliebig<br />
vorgegebenen £i > 0 hat R = [$] eine Unterteilung, bei der [Si] in Simpla<br />
von Durchmessern < Si geteilt wird. | Bl. 84<br />
II. Q = [^] sei abzahlbarer, lokal endlicher Komplex und homoomorph mit<br />
P; P — Y^Ui sei eine Zerlegung von P in beliebig viele offene Mengen.<br />
Es giebt eine Unterteilung [^i] von [^] derart, dass der Zerlegung von Q in<br />
die offenen Sterne eine Zerlegung P — Yl^j entspricht, die Verfeinerung von<br />
P = EUi ist.<br />
Beweis. Sei q = f{p) eine topologische Abbildung von P auf Q. Ist y eine<br />
Ecke von ^ und V{y) der zugehorige offene Stern, so ist V{y), kompakt, in<br />
endlich vielen der offenen Mengen f{Ui) enthalten und es giebt eine positive<br />
Zahl S{y), derart dass jede Menge C V{y) vom Durchmesser < S{y) in einer<br />
dieser Mengen f{Ui) enthalten ist. Fiir ein Simplum Tj von ^ sei Sj — Minimum<br />
der 6{y) fiir die Ecken y von Tj. [^i] sei eine Unterteilung von [^], bei der jedes<br />
[Tj] in Simpla vom Durchmesser < ^Sj untergeteilt wird. Ist z eine Ecke von<br />
^1, W{z) der offene Stern von z, so giebt es einen offenen Stern V{y) von<br />
^ mit W{z) C V{y), wobei jeder Summand (offenes Simplum) (zzi...) von<br />
W{z) einem Summanden (Tj) = {yyi...) von V{y) angehort, also, da [zzi...]<br />
ein Simplum der Unterteilung von [Tj] ist, einen Durchmesser < ^6j < ^S{y)<br />
hat; W{z) hat also einen Durchmesser < S{y) und liegt in einer der Mengen<br />
f{Ui). Also liegt jeder offene Stern von [^i] in einer Menge f{Ui), sein Urbild<br />
in einer der Mengen Ui. Q. e. d. | Bl. 85<br />
Nunmehr konnen wir die topologische Invarianz der Homologiegruppen abzahlbarer<br />
Komplexe wie fiir endliche beweisen (§4 A, Nr. 5 a):<br />
III. $, ^ seien abzahlbare Komplexe; sind die lokal endlichen Komplexe P =<br />
[$], Q = [^] homoomorph, so sind die Homologiegruppen (gleicher Dimension)<br />
W(^), W(^) isomorph.<br />
Beweis. Es sei<br />
U: P = ^Ui<br />
die Zerlegung von P in die offenen Sterne von $; Nerv $.<br />
Sodann nehmen wir ^ bereits so untergeteilt an (ohne Anderung der Homologiegruppe<br />
W(^)), dass der Zerlegung von Q in die offenen Sterne von ^ nach<br />
II eine Zerlegung<br />
entspricht, die Verfeinerung von U ist; Nerv ^.<br />
969
Dann sei $i, wieder nach II (hier auf die identische Abbildung von P auf P<br />
angewandt), eine so feine Unterteilung von $, dass die Zerlegung<br />
in die oflFenen Sterne von $i Verfeinerung von V wird, und endlich entspreche<br />
die Verfeinerung<br />
Bl. 86 I von U^ einer Zerlegung von Q in die ofFenen Sterne einer geniigend feinen<br />
Unterteilung ^i von ^. Die Nerven von U^,V^ sind $1,^1.<br />
Der weitere Fortgang des Beweises ist wortlich so wie im Fall endlicher Komplexe,<br />
darauf beruhend, dass bei den Homomorphismen<br />
m^i) -^ w($i) -^ H{^) -^ n{^)<br />
die zusammengesetzten Homomorphismen H(^i) —> W(^) , H{^i) -^ H{^)<br />
BL 87 Isomorphismus der linken Gruppen auf die rechten sind. |<br />
§4C. Homologiegruppen abzahlbarer Komplexe^<br />
5/5 40<br />
2. Gruppenfolge mit direkten Homomorphismen.^<br />
Es sei Tin (^ = 1,2,...) eine Folge von Abelschen Gruppen und fiir jedes n<br />
ein Homomorphismus hn von Tin in Wn+i gegeben (nicht, wie in §4 A, Nr. 6<br />
einer von Hn+i in Wn- Diese damaligen Homomorphismen konnen invers, die<br />
jetzigen direkt genannt werden). Fiir jedes Xn G Hn ist also<br />
bestimmtes Element von 7Yn+i- Wir betrachten „gebundene" Restfolgen<br />
wo fiir n > /i stets Xn-\-i — hnXn'-, x ist durch ihr Anfangsglied Xh eindeutig<br />
bestimmt. Die Restfolge x und<br />
heissen gleich, x = y, wenn sie final gleich sind, d. h. fiir ein I {> h^ > k) Xn =<br />
2/n fiir n > /. Die Gleichheit ist transitiv. Als Summe x -\-y wird die Folge<br />
{xi +2//,xz+i +2/Z+1,...)<br />
fiir I > h^k erklart. Die Restfolgen bilden eine Gruppe H = (Wi, W25 • • O^ ^^^<br />
jedenfalls das Nullelement 0 = (Oi, O2, • • •) — (^2,03,...) = • • • enthahlt (On<br />
BL 88 das Nullelement von Hn)- \ Fiir m < n besteht der zusammengesetzte Homo-<br />
^[Die folgenden Blatter sind eine vorlaufige Version des § 4B vom 10. 6.1940 (BIL 72 ff.)-<br />
Am Rande hat HAUSDORFF vermerkt: „(Zweckmassiger §4B, 10/6 40)." Wir haben sie hier<br />
trotzdem abgedruckt, um zu zeigen, wie HAUSDORFF in einer Zeit schwierigster Lebensurnstande<br />
das Problem der topologischen Invarianz der Homologiegruppen immer wieder<br />
bearbeitet hat, bis das Ergebnis seinen Anspriichen geniigte (vgl. den Auszug aus HAUS-<br />
DORFFs Brief an J. O. MULLER, dieser Band, S. 887).]<br />
^[Die Numerierung hat HAUSDORFF nachtraglich von 1. zu 2. geandert; er wollte also zuerst<br />
den Abschnitt „Naturliche Homomorphismen" (Blatt 88 Mitte ff.) abhandeln.]<br />
970
morphismus h'!^ = hn-i " - hm von Hm in '^n- 1st ni < n2 < • • • eine Folge<br />
natiirlicher Zahlen, so konnen wir die Gruppe H = {Hm, Hn2 ? • • •) bilden, bestehend<br />
aus den gebundenen Restteilfolgen x = (xn;,, Xn^+i,.. .)• Dieses x und<br />
die gebundene Gesamtfolge x = (a:n^,Xn^+i,Xn;,+2, • • •) bestimmen einander<br />
eineindeutig, Ti ist also mit H isomorph.<br />
1. Natiirliche Homomorphismen.<br />
Der abstrakte Komplex $ sei Teil des abstrakten Komplexes ^. Ein Zyklus<br />
in ^ ist also zugleich einer in ^, zwei in $ homologe Zyklen sind auch in ^<br />
homolog; einer Klasse x in ^ homologer Zyklen (der z.B. der Zyklus A angehort)<br />
entspricht eindeutig eine Klasse y D x in ^ (mit A) homologer Zyklen.<br />
Dies liefert einen Homomorphismus, den „naturliclien Homomorphismus" von<br />
n{^) in n{^).<br />
Wir betrachten wieder Raumzerlegungen R = "^ Ui in endlich viele Mengen,<br />
der Nerv dieser Zerlegung U sei $. Die bisher getroffene Verabredung Ui ^ 0<br />
moge jetzt fallen gelassen werden; der Nerv besteht aus den Ecken 2, Kanten<br />
{ij}, Dreiecken {ijk} u. s.w., fiir die Ui ^ 0, UiUj / 0, UiUjUk 7^ 0,... | Man Bl. 89<br />
sieht, dass der Nerv identisch ist mit dem, der nur aus den Ui ^ 0 gebildet wird;<br />
die Indizes i mit Ui = 0 kommen schon als Ecken nicht in $ vor, geschweige<br />
denn ein Simplum mit einer dieser nicht vorhandenen Ecken.<br />
Es sei jetzt R C S,V {S = ^ Vi) eine Zerlegung von S mit dem Nerven ^,<br />
und U {R = Y^Ui^ Ui = RVi) die hierdurch bewirkte Zerlegung von R mit<br />
dem Nerven $. Dann ist $ C ^, denn jedes Simplum {ij.. .k} von $ ist auch<br />
eines in ^ (aus UiUj -- -Uk 7^ 0 folgt ViVj • - -Vk 7^ 0). Wir haben damit den<br />
natiirlichen Homomorphismus von H(U) = H{^) in H{V) = W(^); jeder Klasse<br />
X homologer Zyklen in $ entspricht eine bestimmte Klasse y ^ x homologer<br />
Zyklen in ^.<br />
Wir betrachten eine zweite Zerlegung V {S = J2 ^j) ^^^ '^ ^^ ^^^ Nerven<br />
^' und die entsprechende U' {R = ^ U-, U- = RV-) von R mit dem Nerven<br />
$'; es ist $' C ^', jeder Klasse x' in ^' entspricht eine Klasse y' D x' in ^'•<br />
(Klasse = Klasse homologer Zyklen). - Sei nun V' Verfeinerung von V, also W<br />
von U.<br />
Ausser den beiden natiirlichen Homomorphismen haben wir dann die beiden<br />
„Verfeinerungshomomorphismen"/i, / von H{^') in 'H{^) und von 'H{^') in<br />
7i{^) : X = hx'^ y = ly' ordnet | jeder Klasse x' in ^' eine Klasse x in $, jeder BL 90<br />
Klasse y' in ^' eine Klasse y in ^ zu. Wir behaupten:<br />
Wenn x = hx\ y ^ x, ?/' 2 3:', so ist auch y = ly\ (Man gelangt also von x^<br />
zu y entweder auf dem Wege x' -^ x ^^ y^ erst Verfeinerungs-, dann natiirlicher<br />
Homomorphismus, oder x' —^ y' -^ y, erst natiirlicher, dann Verfeinerungs-<br />
Homomor phismus.)<br />
In der Tat: es sei ^(j) die Menge der i mit Vi D V- und ^(j) die Menge<br />
der i mit Ui 'D C/j; ofFenbar ist ^(j) C ^(j). Indem wir jeder Ecke j von ^f'<br />
eine Ecke i G ^{j) zuordnen, haben wir eine simpliziale Abbildung von ^' in<br />
^, die den Homomorphismus / erzeugt; wegen ^{j) C $(jf) haben wir damit<br />
zugleich jeder Ecke j von ^' eine Ecke i von $(jf) zugeordnet, und dies erzeugt<br />
den Homomorphismus h. Ist also A' ein Zyklus in $', also auch einer in ^',<br />
971
so geht er durch jene simpliziale Abbildung in einen Zyklus A von $ iiber, der<br />
auch einer in $' ist; ist A' E x' Cy', A E x Cy^ so haben wir hx' = x, hy' — y.<br />
Seien jetzt R und S D R kompakt; Vn eine kanonische Zerlegungsfolge von<br />
S, mit Nerven ^„; Un die entsprechende, ebenfalls kanonische Zerlegungsfolge<br />
Bl. 91 von R, mit Nerven ^n- \ Sind Xn^Vn Klassen von ^ni^m so haben wir die<br />
Verfeinerungshomomorphismen Xn = hnXn+i^ Vn — ^n2/n+i; aus dem Gesagtem<br />
geht hervor, dass, wenn durchweg yn 2 Xn ist, aus Xn — hnXn+i auch<br />
Vn = InVn+i folgt. D. h. jcdem Element x = {xi,X2,...), Xn = hnXn+i der<br />
Homologiegruppe H{R) entspricht vermoge der natiirlichen Homomorphismen<br />
Xn ^ Vn ein bestimmtes Element<br />
y = (2/1,2/2, • . 0^ Vn = InVn+l<br />
der Homologiegruppe 1~L{S)\ wir nennen dies den natiirlichen Homomorphismus<br />
von ^{{R) in H{S). Er kann symbolisch durch x C. y dargestellt werden (was<br />
eben soviel wie Xn ^ 2/n, fiir jedes n, bedeuten soil).<br />
Endlich seien jR = [$], S = [^] Euklidische Komplexe mit ^ C ^, R C S.<br />
Ist Vi der offene Stern der Ecke i von ^, so ist fiir die z G ^ Ui = RVi der<br />
offene Stern der Ecke i von $, oder aber = 0. (Ein ofFenes Simplum {So) ist fiir<br />
5o G $ in i? enthalten, anderenfalls zu R disjunkt, da ja R wie S Summe offener,<br />
paarweise disjunkter Simpla von [^] resp. [^] ist.) Der Zerlegung 5 = ^ T^ in<br />
offene Sterne entspricht also die Zerlegung i? = ^ C/^ in offene Sterne. Genau<br />
Bl. 92 dasselbe | gilt fiir die n-mal derivierten Komplexe $n C ^n- (Sei ^0 = $, ^0 =<br />
^). Wir nehmen also die kanonische Zerlegungsfolge Vn fiir 5, Zerlegung in<br />
die offenen Sterne von [^n], und die entsprechende Un fiir R, Zerlegung in die<br />
offenen Sterne von [^n], die Nerven sind ^n, ^n- 1st<br />
x = (xo,xi,X2,...)<br />
ein Element von H{R), so entspricht ihm vermoge x C y^ d. h. Xn C y^, ein<br />
Element<br />
y = (2/0,2/1,2/2,...)<br />
von H{S). Aber x und XQ, y und yo entsprechen einander eineindeutig, und der<br />
natiirliche Homomorphismus x C y ist also durch XQ C T/Q bestimmt. D. h.<br />
Ist R = [$],5 = [^] mit ^ C ^, so ist der natiirliche Homomorphismus von<br />
H{R) in H{S) identisch mit dem natiirlichen Homomorphismus von H{^) in<br />
H{^).<br />
2. Gruppenfolge mit direkten Homomorphismen (s. oben)<br />
3. Homologiegruppen lokal kompakter, separabler Rdume<br />
Der Raum R sei separabel und lokal kompakt, d. h. jeder Punkt hat eine<br />
Bl. 93 Umgebung U mit kompakter abgeschlossener Hiille U. \ Auch jede kompakte<br />
Menge P C R hat eine Umgebung U mit kompaktem C/, denn jeder Punkt x<br />
von P hat eine solche C/^, P ist in der Summe U endlich vieler Ux enthalten<br />
und [/, Summe endlich vieler Ux^ ist kompakt. R selbst lasst sich, weil separabel,<br />
als Summe abzahlbar vieler Un mit kompakten Un darstellen; setzt man<br />
972
Pn = Ui-\ h f/n, SO sind die Pn kompakt, Pn C Pn+i, R = J2Pn' Endlich<br />
definieren wir noch kompakte Mengen Rn 5 Pn induktiv: Ri — Pi; wenn Rn<br />
bestimmt ist, sei V^+i eine Umgebung von Rn + Pn+i niit kompakter abgeschlossener<br />
Hiille Pn+i = Vn-^i- Dann ist Rn in einer offenen Menge C ii^+i,<br />
also im ofFenen Kern Pn+i enthalten, wofiir wir Rn < Rn-\-i schreiben, und<br />
wegen<br />
Eine solche Darstellung<br />
Rn 2 Pn ist R = y ^ Rn -<br />
R = Ri-\- R2 + R3-\ , Rn < Pn+1, Rn kompakt<br />
heisse eine kanonische Darstellung von R. (Umgekehrt ist ein P, das einer<br />
solchen Darstellung fahig ist, lokal kompakt, denn x ^ R, sagen wir x € Rn,<br />
hat eine Umgebung i?n+i mit kompakter abgeschlossener Hiille). Jede Teilfolge<br />
giebt wieder eine kanonische Darstellung R = Rn^ + Rn2 H •<br />
Ist Hn die Homologiegruppe bestimmter Dimension von Rn-, so haben wir<br />
den natiirlichen Homomorphismus hn von Hn in Wn+i? | niit dem wir nach Bl. 94<br />
der Vorschrift von Nr. 1 die Gruppe H = (Wi,7i2, • • •) bilden; sie ist mit jeder<br />
Teilgruppe H = (Hm, Wns 5 • • •) isomorph.<br />
Fiir jede kompakte Menge Q C i? ist schliesslich Q < Rn- Denn es ist R =<br />
Y^ Rn {R = YRn^Y Rn-\-i ^ Z] PR C P), Q also in einem R^ enthalten.<br />
Ist demnach R = Yl Qn eine zweite kanonische Darstellung, so kann man die<br />
Indizes a
7^ 0 soil endlich sein. Rand, Zyklus, Homologie wird wie bei endlichen Komplexen<br />
erklart. Wir haben Gruppen ^, Z, 7^, H (der Formen, Zyklen, Rander,<br />
Klassen homologer Zyklen), die aber unendlich viele Erzeugende haben konnen.<br />
Wir konnen den abstrakten Simpla S nun Euklidische Simpla [5], in paarweise<br />
exklusiver Lage, eines Euklidischen Raumes geniigend hoher Dimension<br />
zuordnen. Es geniigt jedenfalls i^2r+i (vielleicht schon ein niederer Raum), indem<br />
wir die Ecken „in allgemeiner Lage" wahlen, d. h. so, dass je 2r + 2 Ecken<br />
Bl. 96 linear unabhangig | sind. Aber im Gegensatz zu endlichen Komplexen brauchen<br />
so erhaltene Komplexe [^] = Yl [^\ iiicht homoomorph zu sein. Dem eindimensionalen<br />
Komplex $ mit den Maximalsimpla {01},{12},{23},... kann man<br />
Komplexe [$] zuordnen, die eine Halbgerade, eine halbofFene Strecke, einen<br />
(<br />
/ rsy<br />
Rechtecksumfang, einen Rechtecksumfang nebst angesetzter Strecke, eine nicht<br />
lokal zusammenhangende Menge darstellen, und viele andere; von den angefiihrten<br />
sind nur die beiden ersten homoomorph.<br />
Um die Homoomorphie der R — [$] zu erzwingen, miissen wir dem Raume<br />
R noch eine Bedingung auferlegen (die nicht kombinatorischer, sondern topologischer<br />
Natur ist). Diese Bedingung wird als lokale Endlichkeit bezeichnet<br />
und driickt sich in einer der folgenden, sogleich als aquivalent zu erweisenden<br />
Bedingungen aus:<br />
(a) Die offenen Sterne Ui der Ecken Xi sind ofFen (in R)<br />
{/3) Jeder Punkt x hat eine finite Umgebung (finit heisst eine Menge C R, die<br />
nur mit endlich vielen abgeschlossenen Simpla [5], oder auch, nur mit endlich<br />
vielen offenen Simpla (AS), Punkte gemein hat).<br />
(7) Jede Menge F = ^ Fs, wo Fs in [S] abgeschlossen ist, ist abgeschlossen<br />
s<br />
Bl. 97 (ini?).|<br />
Der offene Stern Ui ist die Summe der (nach (1) endlich vielen) offenen Simpla<br />
(5) mit Xi G 5; er ist eine finite Menge und R = Y1 ^^•<br />
a ^ (3. 1st X E Ui, so ist Ui eine finite Umgebung von x.<br />
/3 ^^ 7. Sei x Haufungspunkt von F = ^ Fs, Pi -^ x, pi e F, U eine finite<br />
Umgebung von x. Ist pi G F5., so kann, weil die pi fast alle zu U gehoren. Si<br />
nur endlich viele Simpla durchlaufen; also etwa pi G F5. -I- • • • + Fs^, und x<br />
gehort dieser abgeschlossenen Menge an, also x E F, F ist abgeschlossen.<br />
^ -^ a. R — Ui ist die Summe J^ F5, wo F5 — 0 oder [5], jenachdem S die<br />
Ecke Xi enthalt oder nicht enthalt; Yl, ^s ist abgeschlossen, Ui offen.<br />
Ein lokal endlicher Komplex [^] heisst auch (unendliches) Polyeder.<br />
Sind jetzt die abstrakten Komplexe ^, ^ isomorph (mit den zugeordneten<br />
974
Ecken Xi^yi) und [$], [^] lokal endlich, so sind [^], [^] homoomorph.<br />
Zum Beweise bilden wir jedes Simplum [S] auf das entsprechende [T] affin ab;<br />
das giebt eine schlichte Abbildung von [$] auf [^]. Dabei entspricht jeder abgeschlossenen<br />
Menge F C [^] eine abgeschlossene in [^]; denn es ist F = J]] ^[^]^<br />
F[S] hat als Bild eine abgeschlossene Menge FT-, und F hat das abgeschlossene<br />
Bild Yl ^T- Da auch fiir die umgekehrte Abbildung dasselbe gilt, ist jene Abbildung<br />
topologisch. I Ebenso: sind $, ^ isomorph, [$], [^] homoomorph und Bl. 98<br />
[^] lokal endhch, so auch [^].<br />
Einen lokal endlichen Komplex [$] zu gegebenem r-dimensionalen ^ kann<br />
man z. B. in -R2r+i so konstruieren: es sei ^ eine bestimmte rechtwinklige Koordinate<br />
des Punktes x G R2r+i\ wir wahlen die Ecken xi in allgemeiner Lage und<br />
so, dass ^i ^> 00. Sei a irgendeine relle Zahl; flir i > ia ist dann ^z > a, und da<br />
der Halbraum ^{^ > a) konvex ist, liegt jedes aus Ecken Xi mit i > ia gebildete<br />
X<br />
Simplum [S] ganz in ihm; der komplementare offene Halbraum (B{^ < a) = Ga<br />
X<br />
wird also nur von Simpla [S] getroffen, die mindestens eine der Ecken XQ, ..., Xi^<br />
haben; solcher [S] giebt es nach (1) nur endlich viele. Ua — RGa ist also eine<br />
finite offene Menge von R, und da. R = Ui -\- U2 -\- - - - a) enthalten, also<br />
Ma < Mp. Ma < Mp < My < • • • giebt also bei passenden Indizes eine kanonische<br />
Darstellung: wir schreiben wieder R = Ri -\- R2 -\- - " ., Ri < R2 < " •<br />
Zu jedem Rn gehort ein endlicher Komplex ^^ niit Rn = [^n]; Ma gehort<br />
zu dem Komplex, der aus Si,...,Sa und ihren Teilsimpla besteht. Es ist<br />
^iC$2C---, ^ = Y1 ^n- Bezeichnet (wie immer fiir eine feste Dimension)<br />
J^ni ^n, T^n, ^Hn die Gruppcu der Formen, Zyklen, Rander, Klassen homologer<br />
Zyklen fiir $n, -^5 ^^ ^, T~t dasselbe fiir $, so ist (da die Polynome in $ nur<br />
endlich viele Glieder haben soUten, also einem geeigneten $n angehoren)<br />
mit aufsteigenden Summanden {Ti C J-2 C • • • u. s. w.). Was H und die Tin \<br />
betrifft, so ist H die zu Anfang dieser Nr. erklarte Gruppe, deren Elemente die Bl. 100<br />
Klassen x von $ (Klasse = Klasse homologer Zyklen) sind. Andererseits ist H<br />
mit der in Nr. 2 erklarten Gruppe<br />
W* = (7^1,^2, . • •)<br />
975
isomorph, deren Elemente<br />
mit den natiirlichen Homomorphismen hn von Hn in Hn+i sind. Denn sei<br />
A ^ x; A gehort bereits einem ^/i, also einem Xh ^ ^/i+i ^ • • • £ a: an; wir<br />
haben<br />
x = Xh-\- Xh-^i H<br />
(wozu nur x C Xh -\- Xh-\-i + • • • zu zeigen ist; ist B E Xh also JB ~ A in $,<br />
so ist bereits in einem ^i {I > h) J5 ~ ^, B E xi). Man sieht, dass rr und x*<br />
einander eineindeutig bestimmen.<br />
Schliesslich aber ist (vgl. Ende von Nr. 1) der natiirliche Homomorphismus<br />
von H{Rn) in ^{Rn+i) mit dem natiirlichen Homomorphismus von Hn in Wn+i<br />
identisch; also W* mit der in Nr. 3 erklarten Gruppe H{R) des Raumes R iden-<br />
Bl. 101 tisch (oder isomorph). | Demnach ist die Homologiegruppe H des abstrakten<br />
Komplexes $ die Homologiegruppe l-i{R) des Raumes R= [$], wenn [$] lokal<br />
endlich ist; als solche ist sie topologisch invariant. D. h. sind $, ^ zwei abzahlbare<br />
Komplexe und sind die lokal endlichen Komplexe [^], [^] homoomorph, so<br />
sind H($), W(^) isomorph. Die Homologiegruppe eines mit R = [$] homoomorphen<br />
Raumes ist mit 7Y(^) isomorph.<br />
976
NL HAUSDORFF : Kapsel 35 : Fasz. 401<br />
Euklidische Komplexe<br />
Hs. Ms. - [Bonn], 14.1.1931 [teils friiher, Anm. auf Bl. 32 spater]. - 32 BU.<br />
Abgedruckt sind BU. 23, 24, 29-32 (29-32 sind eine verb. Version von 25-28)<br />
Kongruenzen mod/x. /i sei eine natiirliche Zahl > 1. Ein Polynom, das aus<br />
einem Polynom des Komplexes $ durch Multiplikation mit /i entsteht, heisse<br />
= 0 (mod n)] A = B (mod /i) bedeute soviel wie A — B = 0 (mod /i). Das<br />
Polynom A heisse<br />
(a) ein Zyklus mod/i, wenn A' = 0 (mod fj.), A^ = /lE;<br />
{(5) ein orientierter Zyklus mod/i, wenn A mit einem gewohnlichen Zyklus<br />
kongruent ist (mod /x),<br />
A = C-\-fiD, C' = 0, A' = fiD'-<br />
diese Forderung ist scharfer als (a), da ja dort zwar E ein Zyklus {E' = 0),<br />
aber nicht — D' zu sein braucht; aus fiE r^ 0 folgt nicht £J ^ 0;<br />
(7) homolog Null mod/i, A ~ 0 (mod /i), wenn A mit der Ableitung eines<br />
Polynoms aus $ kongruent ist,<br />
A-=B' -\-fxD,<br />
diese Forderung ist wiederum scharfer als (P).<br />
Die mod /i betrachteten Polynome m*^^ Dimension (wobei also A und B = A<br />
nicht unterschieden werden), die Zyklen mod/i, die orientierten Zyklen mod/i,<br />
die orientierten Zyklen ~ 0 (mod JLL) bilden Abelsche Gruppen endlicher Ordnung<br />
Trnifj), Gmifj), ^m{^^)-, lCm{fj)- \ Wcuu man Polynome, die miteinan- BL24<br />
der mod/i homolog sind, nicht unterscheidet, entstehen die Faktorgruppen<br />
Fmil^) = ^m(/^) |/Cm(A^), G^(M) = Qm{fj) \ ICm{fj), Hmifj) = Hm{l^) \ ^m{l^)i<br />
von denen wegen der topologischen Invarianz die m*^ Homologiegruppe mod /i<br />
Gm(/i) (in zweiter Linie auch Hm{f^)) in Betracht kommt. Gmifj) ist die Gruppe<br />
der Zyklen mod /i {Hm (/i) die der orientierten Zyklen mod /i) bei Identifizierung<br />
solcher Elemente, die miteinander mod /i homolog sind.<br />
Wir nennen die Polynome Ai,... ,Ar mod/i unabhdngig, wenn keine Kongruenz<br />
r<br />
2_] OiiAi=0 (mod /i)<br />
1<br />
ausser flir 0;^ = 0 (mod /i) besteht; mod/i unverknupft, wenn auch keine Beziehung<br />
r<br />
yj aj A^ ~ 0 (mod /i)<br />
1<br />
ausser fiir ai = 0 (mod /i) besteht. Die Maximalzahl Pm{lA mod/i unverkniipfter<br />
Zyklen mod/i heisst die m^^ Bettische Zahl mod/i des Komplexes $.<br />
977
Die Anzahl der Elementarteiler von Em, die nicht durch fi teilbar sind, heisse<br />
rm{lj)] man kann sie den Rang mod/x der Matrix Em nennen. (Jedoch konnen<br />
bei einer Matrix, deren Rang mod/x r(/i) ist, bereits die r(/i) reihigen De-<br />
BL29 terminanten = 0 (/i) sein; z. B. hat ^ die Matrix ( rj 9 1 "^od 4 den Rang<br />
2, obwohl ihre Determinante = 0 (mod 4). Der mittels der Determinantenteiler<br />
erklarte Rang mod// kann also kleiner sein als der mittels der Elementarteiler;<br />
nur fiir Primzahlen // stimmen beide notwendig iiberein). Die Anzahl<br />
fm — fm{^j) — dmifj) der durch /i teilbaren Torsionszahlen (m — 1). Dimension<br />
ist topologisch invariant.<br />
Schreiben wir voriibergehend ro, po fiir rm+i(M), rm{fj)- In (1), worin ja<br />
ei|e2| • • • \er sein soUte, sind die letzten ero+i, • •. ,er durch /i teilbar, die ersten<br />
ei,..., e^o nicht; ^ro+i^ • • •, ^r sind daher Zyklen mod/i und soUen zu<br />
den A hiniibergenommen werden, so dass nun<br />
(7) X[ = ei^i,...,X;^ = er.Br,, A[ = ^ - ^ = A;_,^ = 0 (mod //)<br />
Ebenso statt (2)^<br />
(8) Yl = /iCi, ...Xo= fpoCpo. ^; ^ • • • ^ B^-po = 0 (mod /i)<br />
Die verbleibenden e^, fj sind nicht durch /i teilbar; ihre grossten gemeinsamen<br />
Teller Si = (e^,/i), (/?j = (fj^p) mit /i sind < /i.<br />
Das Polynom ?7i. Dimension<br />
ist dann und nur dann ein Zyklus mod/x, wenn B^ = J2VjfjC^j ^ 0 (mod /x),<br />
B1.30 I also rjjfj = 0 (mod //) oder 77^ = 0 (mod -^), r/j = 77^ -^ mit ganzem ry^. Es<br />
liefert also<br />
po ^—po<br />
1 ^^ 1<br />
alle Zyklen mod /i. Damit ein solcher Zyklus ~ 0 mod /x, d. h. mit der Ableitung<br />
eines Polynoms {m -\-1). Dimension<br />
J2^i^i-^ ^OiiAi<br />
1 1<br />
^[Blatt 29 ist rechts oben datiert: 14.1. 31.]<br />
^[Bei (1) und (2) handelt es sich um die zu (7) und (8) analogen modulfreien Begrenzungsrelationen<br />
(1) X[ = eiBi,..., X; = CrBr, A[ = ---= A',_^ = 0<br />
(2) y/ = /iCi,...,y; = /pCp, B[ = --- = B',_^ = 0<br />
Dabei bilden Ai,..., As-r eine Basis fiir die {m + l)-dimensionalen Zyklen, Bi,..., B(j-p<br />
eine Basis fiir die m-dimensionalen Zyklen; die Xi^Yj bezeichnen die Nichtzyklen.]<br />
978
kongruent sei, ist notwendig und hinreichend, dass<br />
ro<br />
B = ^iieiBi,<br />
dass also die Kongruenzen mod/x bestehen<br />
1<br />
^j — = 0 (j = 1,..., po), A = ^iei (i - 1,..., ro), Pj = 0 (j = ro+l, •.., cr-po)<br />
oder, was dasselbe ist:<br />
Vj = 0 i^j) (j = 1,..., po), A = 0 (si) (i = 1,..., To)<br />
/3^- = 0 (/x) (j = ro + 1,..., a - po)<br />
Demnach haben wir die cr—po—ro mod p unverkniipften Zyklen ^ro+i 5 • • • 5 B^-pQ;<br />
aber es kann mehr als soviele geben, d. h. zwischen k > a — po — ro Zyklen<br />
(/i = l,...,A:)<br />
Po cr — po<br />
1 ^-^ 1<br />
I besteht unter Umstanden keine Homologie ^rjhVh ~ 0 (modp) mit nicht B1.31<br />
samtlich durch p teilbaren rjh- Denn diese Bedingung giebt die Kongruenzen<br />
J2h VhTjhj = 0 i^j)^ (j --1,. • •, Po)<br />
J2h mPhi = 0 (si), (2 - 1,..., ro)<br />
E/i ^/i/^/i, = 0 (/^). (j = ro + 1,..., or - Po),<br />
wovon man zwar die letzten sicher durch 77^, die nicht samtlich = 0 (p) sind,<br />
erfiillen kann; aber die der ersten beiden Zeilen verlangen vielleicht doch rjh ^<br />
0(M).<br />
[Beispiel. Die urspriinglichen, modulfreien Relationen (1), (2) seien<br />
X[=Wi, A[ = --- = 0<br />
r/ = 2Ci, B[=B'^ = 0;<br />
Yi,Bi,B2 eine Basis fiir die m-dimensionalen Polynome. Nehmen wir fi — 6.<br />
B = myi-^PiBi+p2B2 ist ein Zyklus mod 6 fur 2ryi = 0 (6), r/i ^ 0 (3), rji =<br />
3^1; es ist homolog 0 mod 6 fiir E = 3^Bi, d. h. r^i = 0 (6) oder r}^ = 0 (2); /3i =<br />
3^ (6) Oder f3i = 0 {3); 02 = 0 (6). Unter den Zyklen B = 3rj^Yi+piBi+P2B2<br />
mod 6 sind die ~ 0 mod 6 also durch rj^ = 0 (2), Pi = 0 (3), ^2 = 0 (6) | BL32<br />
charakterisiert. Doch ist nicht B2 der einzige mod 6 unverkniipfte Zykel; z. B.<br />
sind Bo = SYi + Bi und B2 auch mod 6 unverkniipft, denn PoBo -\- P2B2 ^ 0<br />
(mod 6) verlangt ^0 - 0 (2), /^o - 0 (3), /?2 = 0 (6), d. h. auch /3o = 0 (6)!]^<br />
In Lefschetz, Topology (1930) ist das falsch dargestellt (wie zuvor noch<br />
falscher bei Alexander). Es heisst dort (mit absoluten Begriffen, d. h. A4^ =<br />
^[Die folgenden Bemerkungen hat HAUSDORFF dem Manuskript spater hinzugefiigt.]<br />
979
0) S.33 unten: xi,...,Xn sind independent (bei mir „unverknupft"), wenn<br />
Yli'i^i^i ^ 0 nur fiir U = 0 gilt; S.34 oben, dass fiir independence modm die<br />
Bedingung U — {) durch U = {) (m) ersetzt werden soil. Die Maximalzahl independenter<br />
Elemente = Bettische Zahl R{K), resp. R{K;m). S.42 oben tp =<br />
Anzahl der durch m teilbaren Torsionskoeffizienten; unser dp-i{m). S.42 Formel<br />
(33) ist dann die Bettische Zahl mod m angegeben mit<br />
was meiner Formel<br />
Rp{K; m) = Rp{K) + tp^i -h tp ,<br />
entspricht, also die Maximalzahl mod/i unverkniipfter Zyklen B (mod/i) mit<br />
^ — Po — ^o; das ist zwar fiir Primzahlen //, aber nicht allgemein richtig.<br />
Meine Einwande (an Alexandroff mitgeteilt 14.1.31) haben den Erfolg gehabt,<br />
dass Alexander und Lefschetz die Sache liberlegt haben. Vgl. A. W.<br />
Tucker, Modular homology charakters, Proc. Nat. Ac. of Sc. 18 (1932), S. 471,<br />
Anm. 4.<br />
980<br />
(M)
Albeverio, S. 428<br />
Alexander, J. W. 870-874,877-878,<br />
880, 888, 902, 979-980<br />
AlexandrofF, P. S. 2, 4, 6, 9, 14-19,<br />
27, 29-30, 32-36, 46, 347, 378-379,<br />
383,387,439-442,445,448-450,452,<br />
467,486,518-519,521,549, 550, 553,<br />
554, 571-572,574, 578, 586,668,673,<br />
739, 753-754, 760, 766, 783-786,796,<br />
797,844,848,849,865-876,878-883,<br />
885-889, 948, 967, 980<br />
Alexiewicz, A. 24, 36<br />
Anderson, R.D. 800, 817, 820-821<br />
Arens, R. 468, 567<br />
Arhangel'skii, A. V. 452, 499-500,<br />
523<br />
Aronszajn, N. 498, 500, 888<br />
Arsenin, V. 397<br />
Asser, G. 372<br />
AuU, C.E. 554,754,821,824,889<br />
Aumann, R. 36, 784, 786, 796-797<br />
Ayres, W.L. 811,834<br />
BachiUer, T. R. 409-411<br />
Baer, R. 517, 784, 786<br />
Baire, R. 4-7, 10, 26, 36, 38, 40,<br />
186, 293, 299, 344,346, 348-349,353,<br />
368,376,386,390-391,394,411,414,<br />
434,448,452, 554, 566-567,591,607,<br />
609, 619, 624, 651, 653<br />
Balcar, B. 537-538<br />
Banach, St. 22, 36, 323, 343-344,<br />
348-349, 393, 534<br />
Personenregister<br />
981<br />
Bargenda, H. 786<br />
Beck, H. 31<br />
Bendixson, I. 4, 349<br />
Bentley, H. L. 852<br />
Bergmann, G. 874, 885<br />
Bernays, P. 356<br />
Bernstein, F. 71,220,345-347,349,<br />
355, 427<br />
Besicovitch, A. S. 846<br />
Bessel-Hagen, E. 35, 866<br />
Betti, E. 18<br />
Bieberbach, L. 14, 31-32, 39<br />
Bing, R. H. 467-468, 760-761, 809,<br />
821<br />
Binz, E. 850<br />
Birkhoff, G. 372-373, 781, 786<br />
Blass, A. 538<br />
Blumberg, H. 412<br />
Blumenthal, O. 730<br />
Bodigheimer, C. F. 888<br />
Bohr, H. 566<br />
Bolzano, B. 153, 349, 840, 849, 851<br />
Bonnet, R. 537<br />
Borel, E. 4-6, 10, 26, 36, 174, 344-<br />
346, 348-349, 353, 377<br />
Borges, C.J. 567<br />
Borst, P. 849-850<br />
Borsuk, K. 567<br />
Bourbaki, N. 374, 778-779, 781,<br />
786<br />
Braun, St. 476<br />
Brieskorn, E. 1, 18, 36, 865, 875-<br />
876
Brouwer, L. E. J. 18, 248, 346-347,<br />
349, 375, 411, 554, 565, 568, 813,<br />
816,840,842,843,850,865-868,872-<br />
873<br />
Brown, E.H. 866<br />
Burde, G. 889<br />
Burgess, J. 585-586, 670, 673, 800,<br />
821<br />
Cantor, G. 3-5, 7-8, 26, 37, 55, 60,<br />
67, 84, 90, 112, 115, 120, 140, 150,<br />
158,178-179,183, 202, 208,345-346,<br />
349, 353, 355, 357, 359, 365, 396,<br />
411,417,427,439,442,448-450,452,<br />
584,656-657,705, 730, 752-754,799,<br />
815, 818, 821<br />
Caratheodory, C. 61,344-346,349,<br />
431, 568<br />
Cauchy, A. L. 349<br />
Cech, E. 451-452, 499, 523, 568,<br />
776, 777,841-843,846,848,850,867,<br />
874, 878, 879, 885-887, 889, 890<br />
Charotnik, J. J. 799-800, 821<br />
Charzynski, Z. 713, 726, 733, 736<br />
Chatterji, S. D. 13, 37, 388, 846<br />
Chittenden, E.W. 448, 452, 756,<br />
758-761<br />
Chlebik, M. 735-736<br />
Choquet, G. 371, 453, 800, 809,<br />
817, 821<br />
Cohen, P. J. 355, 357-358, 360<br />
Comfort, W. 535, 537-538<br />
Courant, R. 882<br />
Dalen, Y. van 825<br />
Dasgupta, A. 362<br />
Deak, J. 468-469<br />
Dedekind, R. 71, 97,150, 345, 349,<br />
355<br />
Dehn, M. 866, 889<br />
Demidov, S. S. 37<br />
Descartes, R. 354<br />
Dieudonne, J. 872, 889<br />
Dirichlet, P. G. Lejeune 5-6, 8, 60,<br />
349, 354, 565<br />
982<br />
Dostal, M. 821<br />
Dowker, C. H 468-469,847-848,850,<br />
889<br />
Dranisnikov, A. N. 849-850<br />
Dugundji, J. 468-469, 567-568<br />
Eilenberg, S. 821, 867, 872,<br />
Epple, M. 890<br />
Engelking, R. 17, 37, 369, 498, 500,<br />
535-538, 754, 786, 800, 821, 850<br />
Erdos, P. 394<br />
Feigl, G. 19, 37, 409<br />
Feigner, U. 533<br />
Ferreiros, J. 411, 891<br />
Fichtenholz, G. 529, 531, 533-534,<br />
536-537, 612, 731, 796<br />
FiHppov, V. V. 846, 850<br />
Fischer, G. 890<br />
Flachsmeyer, J. 372<br />
Fourier, J.-B.-J de 354<br />
Fraenkel, A. 2, 37, 344-345, 352-<br />
353, 356<br />
Franek, F. 537-538<br />
Frankl, F. 821<br />
FrankHn, S. P. 821<br />
Frechet, M. 18, 25, 169, 274, 344-<br />
347,350, 363-364,410,448,453, 505,<br />
522-523, 756, 758, 760, 766, 768, 888<br />
Fried, H. 528, 717, 734, 736<br />
Probenius, G. 874<br />
FroHk, Z. 452-453, 499-500, 523-<br />
524<br />
Gahler, W. 372<br />
Gantner, T. E. 469<br />
Gauss, C.F. 18<br />
Gehmann, H. M. 19, 37, 409, 412,<br />
415, 420, 424<br />
Genocchi, A. 345<br />
Gleason, A. M. 374<br />
Godel, K. 356-357,383<br />
Goldowsky, G. 613, 617, 624<br />
Goodstein, R. L. 36<br />
Grassmann, H. 902
Gray, J.J. 891<br />
Groot, J.de 500-501,777<br />
Hadamard, J. 36, 353, 713<br />
Hagenliicke, H. 37<br />
Hahn, H. 19-21, 37, 46, 199, 251,<br />
267, 270,315,344,346-348,350,370,<br />
373-374,390,394,409,414,416-417,<br />
534, 566, 752, 803, 805, 821, 832<br />
Hallett, G. H. 821<br />
Hallett, M. 356<br />
Hamel, G. 218, 346, 350<br />
Hankel, H. 295, 348, 350<br />
Hansen, R. W. 553-554<br />
Harrington, L. 365, 369<br />
Hartmann, S. 728, 736-737<br />
HausdorfF, F. 1-2, 4-38, 40, 42-43,<br />
47, 345, 347-348, 352-364, 366-391,<br />
393-396,398-401,403-408,410,412-<br />
414,416-421,424-425,427,431,439-<br />
441,445,448-452,457,465-468,473,<br />
478,481-482,485,498-500,505, 522,<br />
527-528, 531, 534-537,541, 549-553,<br />
557, 565-567,569-570,572-574,577-<br />
578,580-584,587-588,590-592,596-<br />
598, 601-604,608-609,613,617-618,<br />
620-624,626,630-631,639-641,650-<br />
652,654,657,659-660,667-673,675,<br />
682-684,687,690,692,695, 700-701,<br />
706-711, 715, 717, 720, 726-727,729-<br />
737, 739-742, 745, 748, 750, 751, 753,<br />
755, 759-760, 762, 765-768, 770-771,<br />
774, 776, 778-779, 781-787, 789-790,<br />
795-796, 798-801,803,805-816,818-<br />
819,826,832,834-836,840-846,854,<br />
856,858,862,865-866,868-888,892,<br />
954, 957, 970, 977, 979<br />
Haussner, R. 14, 31-32<br />
Hawkins, Th. 890<br />
Heegard, P. 866, 889<br />
Hemmingson, E. 848, 850<br />
Henn, H.-W. 890<br />
Hensel, K. 146, 346, 350<br />
Herreman, A. 890<br />
Herrlich, H. 398, 448, 465, 498,<br />
983<br />
522-524,549, 565, 751, 759, 766, 776,<br />
778, 786, 798, 822, 840, 850, 852<br />
Hessenberg, G. 112, 344-345, 350,<br />
400, 416<br />
Hewitt, E. 535-536, 538<br />
Hilbert, D. 246, 345-347, 350, 802-<br />
803, 822<br />
Hilgers, A. 844,850<br />
Hirzebruch, F. 865, 890<br />
Hobson, E.W. 344<br />
Hocking, J. G. 374,800,822<br />
Holicky, P. 553-554<br />
Hopf, H. 6, 9, 18, 33, 36, 848, 850,<br />
865-869,873,874,879-883,887,889-<br />
890, 967<br />
Hornich, H. 424<br />
Hoshina, T. 469<br />
Huhunaisvili, G.E. 768<br />
Hurewicz,W. 21,37,342,348,350,<br />
370,398, 567,675,695,699-701,703,<br />
710-712, 819, 843-849, 851, 888<br />
Husek, M. 398, 448, 465, 469, 498,<br />
522, 549, 565, 751, 759, 766, 768,<br />
776, 778, 798, 840<br />
Irwin, J. 538<br />
Isbell, J.R. 469,847,851<br />
Jacobson, N. 889<br />
James, I. 890<br />
Janiszewski, Z. 205, 219, 346, 350,<br />
411, 822, 835, 860<br />
Jankov, V. 712<br />
Jech, T. 352<br />
Jegoroff, D.F. 26<br />
Joiner, Ch. 768<br />
Jordan, C. 346-347, 350, 798, 811-<br />
812, 822<br />
Kamke, E. 31, 38, 344, 424<br />
Kanovei, V. 1, 8, 377, 398, 403,<br />
439, 478, 482, 528, 569, 586, 712-<br />
713<br />
Kantor, J.-M. 10<br />
Kantorovitch, L. 22-23, 34, 37-38,
473,476-478,529, 531,533-534,536,<br />
537, 570, 575, 583, 584, 586, 612,<br />
731<br />
Kappos, D. 538<br />
Karlowicz, M. 535-538<br />
Katetov, M. 467, 469, 523, 768,<br />
840, 843, 846, 851, 890<br />
Kechris, A. S. 3, 38, 365, 369-371,<br />
373,375,381-382,389,394,398, 586,<br />
624, 674, 713, 736-737<br />
Keisler, H. 586<br />
Keldysh, L. 592, 619, 624, 713<br />
Kelley, J. L. 356<br />
Kempisty, St. 348<br />
Kent, D. C. 373, 524<br />
Kerekjarto, B.von 566, 806, 831,<br />
833<br />
Kirby, R. 866<br />
Kline, J. R. 813, 822<br />
Knaster, B. 809-810, 822<br />
Kneser, H. 865<br />
Knopp, K. 246, 347, 350, 803<br />
Kodama, Y. 848-849,851<br />
Konig, J. 78, 345,350,356-357,700<br />
Koepke, P. 8, 38, 398, 439, 478,<br />
482, 528, 569<br />
Koethe, G. 795-796<br />
Kok, H. 821<br />
Kolmogorofr, A. N. 12, 23, 25, 30,<br />
32, 34-36, 38, 380, 570, 578, 583-<br />
584, 586-587, 820, 821<br />
Kondo, M. 406, 705, 713<br />
Koppelberg, S. 537<br />
Kowalewski, G. 54, 345, 350<br />
Kowalski, H. J. 822<br />
Kozniewski, A. 609, 622, 624, 639-<br />
640<br />
Krasner, M. 776-777<br />
Krishnarao, G. V. 821<br />
Kronecker, L. 8<br />
Kiirschak, J. 346, 771<br />
Kuiper, N.H. 890<br />
Kunen, K. 535, 537-538, 586<br />
Kunugui, K. 397<br />
Kuratowski, C. 2, 10, 17, 25, 38,<br />
984<br />
272,324,329,343,344, 346-348,350,<br />
354, 360, 364, 365, 370, 375, 376,<br />
379, 391, 393, 395, 401, 407, 408,<br />
467,469,485,494,499-501,506, 521,<br />
522, 524,541-544,548-551,553, 554,<br />
564, 566-568,601-604,606, 608-610,<br />
622,624,626,629-631,635,639,641,<br />
645,647,649-653,637,659,669,672-<br />
674, 682, 704, 706, 710, 713, 728,<br />
729, 735, 737, 743, 746, 785, 793,<br />
796, 806, 807, 809, 810, 822, 833,<br />
862<br />
Kurepa, G. 359, 729-731, 736-737<br />
Larson, L. 735, 737<br />
LavrentiefF, M. 260, 347, 350, 367,<br />
387, 390, 414, 450, 453, 574, 587,<br />
596-598,624,633,639,653, 670, 674<br />
Lebesgue, H. 4-8, 10, 12, 15, 26,<br />
36, 38-40,45, 49,149, 243, 246, 346-<br />
348,350,353,378-379,388,391, 394,<br />
417,433, 541, 551, 565-566,589,618,<br />
624, 639, 651, 653, 682, 713, 737,<br />
802-804, 822, 851, 854<br />
Lefschetz, S. 845, 851, 869-872,874,<br />
877-880, 887, 890, 979-980<br />
Leibniz, G. W. 271<br />
Lennes, N.J. 266, 346-347, 350,<br />
422, 808, 822<br />
Leth, S. 586<br />
Levi, F. 517, 784, 786<br />
Levshin, B.V. 37<br />
Liapounoff, A. -^ Lyapunov, A.<br />
Lietzmann, W. 424<br />
Lindelof, E. 346<br />
Listing, J. B. 18<br />
Livenson, E. 22-23, 34, 37-38, 473,<br />
476-478, 570, 575, 583-584, 586<br />
Lobatchevsky, N. L 354<br />
Lokucievskii, O. V. 846, 851<br />
Lorentz, G. G. 24, 38, 378, 442<br />
Louveau, A. 38, 365, 397, 670, 674<br />
Lowen, R. 554, 754, 821, 824, 889<br />
Lowen-Colebunders, E. 372<br />
Lusin, N.N. 1, 2, 4, 10, 12, 15,
21, 24-30, 34-35, 37-40, 228, 306,<br />
333, 344, 345, 347, 348, 350, 377-<br />
379,381,383-386,392,394,396,397,<br />
414, 417, 442, 583, 589, 590, 592,<br />
596-598,601, 605,607,610,618,621,<br />
622, 624, 625, 637, 640, 653, 674,<br />
675,677,681-685,689, 705, 708, 711-<br />
714, 737<br />
Lutzer, D.J. 754<br />
Lyapunov, A. 583, 587, 601, 604-<br />
606, 608-609, 625<br />
Maak, W. 424<br />
Mac Lane, S. 890<br />
Mardesic, S. 815, 822<br />
Marczewski, E. 395, 535-536, 538<br />
Markoff, A. 882<br />
Massey, W.S. 890<br />
Mayer, J. C. 824<br />
Mayer, W. 866,874,891<br />
Mazurkiewicz, St. 201, 251, 344,<br />
346-348,350,374,414,489,498-499,<br />
501, 543, 548-549,554, 572, 574, 587,<br />
637,640,653, 752,805,809-810,818,<br />
823, 826, 844, 851, 858, 888<br />
McLarty, C. 891<br />
Mehrtens, H. 39<br />
Menger, K. 344, 347, 799-801, 808,<br />
811, 815, 818-820,823,834,841,843-<br />
845, 852<br />
Meray, Ch. 150, 350<br />
Metakides, G. 586, 673<br />
Michael, E. 498, 501<br />
Mildenberger, H. 482<br />
Mill, J. van 469<br />
Miller, A. W. 362, 586, 713<br />
Milnor, J. 866<br />
Minkowski, H. 97, 345-346, 350<br />
Mobius, A. F. 18<br />
Moise, E. E. 823<br />
Monk, J. D. 537<br />
Monna, A. F. 776-777<br />
Montgomery, D. 401, 631, 639<br />
Moore, E.H. 802,823<br />
Moore, G. H. 5, 39<br />
985<br />
Moore, R.L. 269, 347, 351, 374,<br />
414,417,422,423, 799,804-806,809,<br />
810, 813, 823, 824, 826, 828, 835<br />
Morita, K. 500-501, 843, 846-847,<br />
852<br />
Morse, A. P. 356<br />
Moschovakis, Y. N. 3, 7, 39<br />
Mrowka, S. 767-768<br />
MiiUer, J. O. 866, 887, 970<br />
Nagami, K. 849, 852<br />
Nagata, J. 760-761, 843, 852<br />
Nagell, T. 409<br />
Negrepontis, St. 535, 537-538<br />
Neuendorff, O. 39<br />
Neumann, J. von 25,355-356,360<br />
Nhu, N. T. 469<br />
Niemytzki, V. 463, 466, 469<br />
Nikodym, O. 324, 348, 351, 394,<br />
613, 617, 624-625, 807<br />
Nobeling, G. 467, 845, 852, 865,<br />
891<br />
Noether, E. 866-868, 877, 889, 891<br />
Novikov, P.S. 383, 396-397, 601,<br />
605,608,625,685,687, 704-706,713<br />
Ostrowski, A. 493<br />
Ostrovskii, A. 713<br />
Oversteegen, L. G. 824<br />
Oxtoby, J. C. 394<br />
Painleve, P. 346<br />
Pankraz, O. 409<br />
Pannwitz, E. 424<br />
Papic, P. 815, 822<br />
Pasynkov, B.A. 852<br />
Paul, S. 39<br />
Peano, G. 55, 246, 345, 347, 351,<br />
798-799, 801-803, 824, 840, 852<br />
Perron, O. 10, 32<br />
Pierpont, J. 344<br />
Poincare, H. 18, 840, 852, 865-866,<br />
872-873, 891<br />
Pol, R. 499, 501<br />
Polya, G. 803,824
Paul, S. 39<br />
Peano, G. 55, 246, 345, 347, 351,<br />
798-799, 801-803, 824, 840, 852<br />
Perron, O. 10, 32<br />
Pierpont, J. 344<br />
Poincare, H. 18, 840, 852, 865-866,<br />
872-873, 891<br />
Pol, R. 499,501<br />
Polya, G. 803,824<br />
Pompeju, D. 346, 370<br />
Pondiczery, E. S. 535-536, 538<br />
Ponomarev, S. 735, 737<br />
Pontrjagin, L. 845, 852, 879, 886,<br />
891<br />
Poorten, A. van der 353<br />
Poprougenko, G. 845, 862<br />
Pospisil, B. 538<br />
Preiss, D. 528, 735, 737<br />
Preuss, G. 374, 398, 448, 465, 498,<br />
522, 524, 549, 565, 751, 759, 766,<br />
776, 778, 798, 840, 852-853<br />
Proskuryakov, I. 673<br />
Puppe, D. 890<br />
Purisch, S. 550, 554, 754, 813, 824<br />
Purkert, W. 1, 398, 766<br />
Raisonnier, J. 395<br />
Rajagopalan, M. 852<br />
Reeken, M. 377, 586<br />
Riemann, B. 18,148,271,351,872-<br />
873<br />
Riesz, F. 522, 524<br />
Rinow, W. 372-373<br />
Rogers, C. A. 39<br />
Rosenthal, A. 19-20, 40, 344-345,<br />
347, 409, 418-419, 827<br />
Roy, P. 777,843,853<br />
Ruziewicz, S. 601, 625<br />
Ryll-Nardzewski, C. 736-737<br />
Saint Raymond, J. 397<br />
Salkowski, E. 409<br />
Sarkaria, K. S. 891<br />
Scegol'kov, E. 397<br />
Scharlau, W. 890<br />
986<br />
Schmets, J. 568<br />
Schoenflies, A. 344-345, 804, 812,<br />
824, 831<br />
Scholz, E. 18, 865<br />
Schroder, E. 355<br />
Schwerdtfeger, H. 875<br />
Scott, D. 736-737<br />
Seebach, J. A. 754<br />
Seifert, H. 31, 872, 887, 891<br />
Selivanowski, E. 694, 709, 714<br />
Shelah, S. 395, 482<br />
Shiryaev, A. N. 38, 587<br />
Siebenmann, L. 866<br />
Siegmund-Schultze, R. 426<br />
Sieklucki, K. 850<br />
Sierpinski, W. 2, 12, 15, 21-23, 25,<br />
29, 40, 46, 206, 221, 249, 266, 307,<br />
316, 324, 344, 346-348, 351, 362,<br />
377-379,381,383-385,387,390,392,<br />
394, 402-403, 405, 414, 419, 422,<br />
448, 450, 453, 473, 476, 482, 485,<br />
498, 501, 505, 541, 551, 554, 570-<br />
573, 580, 583-584, 587, 590, 596-<br />
597,604-606,608-611,613,623,625,<br />
639, 682, 689, 694, 702, 708-709,<br />
713, 767, 769, 802, 804-805, 817,<br />
819, 824, 827, 843, 845, 862, 864<br />
Simon, P. 890<br />
Sklaryenko, E.G. 891<br />
Skolem, Th. 2, 31, 424-426<br />
Smirnov, J. M. 760-761, 849, 853<br />
Solovay, R. M. 376, 383, 395<br />
Sperner, E. 843<br />
Spilrajn, E. —> Marczewski, E.<br />
Stalin, J. W. 28<br />
Steen, L. A. 754<br />
Steenrod, N. 867, 883-886, 888,<br />
891<br />
Steinbach, G. 24, 348<br />
Steinitz, E. 866, 891<br />
StepanofF, W. 613, 617, 624-625<br />
Stern, J. 395, 712, 714<br />
Stickelberger, L. 874<br />
Stone, A. H. 500-501,553-554,760-<br />
761
Thomson, B. 735, 737<br />
Threlfall, W. 872, 887, 891<br />
Tietze, H. 18, 31, 344, 347-348,<br />
364,457,467,469, 565-568, 753-754,<br />
761, 779-780, 782, 786, 810, 824<br />
Tikhomirov, V. M. 766<br />
Tindell, R. 821<br />
Tobies, R. 853<br />
Toeplitz, O. 795-796<br />
Tolstowa, G. 845, 852<br />
Torhorst, M. 810, 825, 832<br />
Tormier, E. 31-32<br />
Treybig, L.B. 815,825<br />
Tucker, A.W. 867, 872, 878-879,<br />
891<br />
Tumarkin, L. A. 768, 843, 853<br />
Tychonoff, A. 274, 347, 351, 463,<br />
466, 469, 760-761, 780-781, 786<br />
Tymchatin, E.D. 824<br />
Urysohn, P. S. 17-19, 25, 40, 274,<br />
347,351,440,449-450,452,467, 519,<br />
549-550,554, 574, 757, 759-761,766-<br />
769, 776, 808, 815, 818, 820, 825,<br />
840-841, 843, 853, 868<br />
Uspenskii, V. V. 766, 768-769<br />
Uspensky, V. A. 378, 682<br />
Vallee Poussin, C. de la 10, 30, 40,<br />
64, 344-345, 348, 351, 565, 568, 589,<br />
618, 625<br />
Veblen, O. 811, 825, 866, 870-872,<br />
874, 877, 887, 891<br />
Vedenisoff, N. B. 34, 450, 453, 486,<br />
498, 846-847, 853<br />
Vershik, A. M. 767-769<br />
Vietoris, L. 18, 344, 347, 753-754,<br />
759, 761, 792, 796,866-868,870-872,<br />
874-875, 883, 886, 891, 959, 962<br />
Vivanti, G. 31, 424, 427-428<br />
Vojtech, J. 849<br />
Volterra, V. 348<br />
Waerden, B.L.van der 872, 877,<br />
892<br />
987<br />
Wage, M.L. 846,853<br />
Wallman, H. 846-848, 851<br />
Waraszkiewicz, Z. 809<br />
Ward, A.J. 813-815,825<br />
Wattel, E. 825<br />
Weierstrass, C. 53, 153, 346, 351,<br />
802, 874, 877, 890<br />
Weiss, E. A. 46<br />
Weyl, H. 884,892<br />
Whyburn,G.T. 374,404,409,420,<br />
423, 786, 798,806,811,816-818,825,<br />
834<br />
Wilder, R. L. 806, 810, 825, 834<br />
Wiles, A. 353<br />
Willard, S. 800, 825<br />
Wolff, H. 852<br />
Woodin, H. 357<br />
Yoneyama, K. 816, 825<br />
Young, G. Ch. 344, 453<br />
Young, G.S. 374,800,822<br />
Young, W. H. 4,180, 295, 344, 346,<br />
348, 351, 368, 433, 439, 442, 453<br />
Youschkevitch, A. P. 354<br />
Zalcwasser, Z. 346, 376, 672, 710<br />
Zeller, K. 24, 38<br />
Zermelo, E. 2, 5, 7-8, 11, 39, 78,<br />
100, 345, 351-353, 356, 359-360,427<br />
Zieschang, H. 889<br />
Zoretti, L. 207, 219, 269, 346, 351
Sachregister<br />
Das folgende Register bezieht sich auf alle Texte aufier auf HAUSDORFFS<br />
Mengenlehre. Beziiglich der Mengenlehre verweisen wir auf sein eigenes Register,<br />
dieser Band, S. 349-351.<br />
Die Umlaute a, o, ii werden in der lexikographischen Ordnung wie ae, oe, ue<br />
behandelt.<br />
Abbildung (a, /?), Abbildung d. Klasse<br />
a 541-543, 546, 547, 549, 551-<br />
553, 626, 629-632,634-639,641-644,<br />
646-652, 670, 742-748<br />
abelsche Gruppe 561,848,865,874-<br />
879, 909-916,920,933,937,938, 946,<br />
947,958-961,966,970,971,974,975,<br />
977<br />
abgeschlossene Hiille 16, 385, 485,<br />
488-490,495, 505-512,515, 520,522,<br />
669, 697, 740, 742, 755, 756, 827,<br />
949, 960, 966, 968, 972, 973<br />
abgeschlossene Menge 4, 16, 23,<br />
361,362,364-366,368,371,374,376,<br />
378,380-382,386,388,389,394,401,<br />
403, 432, 434, 439, 446, 448, 451,<br />
457,458,464-467,476,478, 505-508,<br />
510, 511, 516-520,522, 541-544,546,<br />
548, 551, 558, 565, 566, 588-591,603,<br />
606, 610, 614, 618, 620, 626, 627,<br />
635-638, 640-644, 646-648, 650-652,<br />
656-659,661,662,664-673,675,682,<br />
685,686,690, 694-703,705, 710, 726,<br />
727, 733, 740-743,745, 746, 748, 749,<br />
757, 771-774,776, 779, 781, 783-785,<br />
989<br />
790, 792, 794, 797, 799, 801, 807,<br />
809, 813, 814, 827, 831, 836, 837,<br />
839,841-843,855,856,860,862-864,<br />
867, 870, 871, 873, 893, 949, 950,<br />
954, 965, 966, 974, 975<br />
abgeschlossener Limes 371, 372,<br />
521, 835<br />
abgeschlossene Uberdeckung 843,<br />
846, 867, 870, 871, 875, 876, 884,<br />
960<br />
Ableitung (einer Punktmenge) 3,<br />
4, 371, 709, 729<br />
absolut abgeschlossene Menge 366<br />
absolut Borelsche Menge 367, 379,<br />
551, 553<br />
absolute Begriffe, Eigenschaften<br />
365, 366<br />
absolut Suslinsche Menge 367, 379,<br />
553<br />
abstrakter Komplex -^ Schema eines<br />
Komplexes<br />
abzahlbare Basis 752, 753, 759, 768,<br />
785, 800<br />
abzahlbarer Komplex 964,966-970,<br />
973, 976
abzahlbares Auswahlaxiom 355,<br />
358<br />
Abzahlbarkeitsaxiome 18,669,671,<br />
750, 753, 755-757, 759, 780, 781, 791,<br />
794<br />
additive Funktion 377<br />
additive Mengenfunktion 13, 533<br />
Adharenz 365<br />
affine Abbildung 899, 957, 965, 975<br />
AF-VoUstandigkeit 452<br />
Alexander-Dualitat 870, 872, 878<br />
algebraische Topologie 739, 865,<br />
866, 868-871, 879, 885, 887, 888<br />
allgemeine Topologie 25, 739, 751,<br />
799, 815, 868<br />
allseitige Erreichbarkeit 804, 838<br />
A-Menge -^ Suslinmenge<br />
Analysis situs 18, 854, 865, 866,<br />
869, 872, 874, 879<br />
analytische Menge -^ Suslinmenge<br />
analytische Operation, Mengenfunktion<br />
23, 475, 575, 577, 578, 584<br />
analytische Zerlegung (eines Raumes)<br />
692, 693, 709<br />
Anfangszahl, Anfangsordinalzahl<br />
355, 360<br />
Antinomien der Mengenlehre 7, 36,<br />
353, 356<br />
Antisemitismus 31, 32<br />
^-Operation 2, 9,12,362,363,365,<br />
377, 378, 386, 394, 440, 442, 571,<br />
572, 578, 583, 585, 670, 675, 682,<br />
689, 708, 709, 715<br />
Aussonderungsaxiom 2<br />
Auswahlaxiom 5, 26, 29, 36, 352,<br />
355, 358, 359, 360, 376, 537, 705,<br />
736<br />
Axiomatik der Mengenlehre, axiomatische<br />
Mengenlehre 2, 7, 357<br />
Baire-mefibare Funktion 396<br />
Baire-Raum, Bairescher Raum (s.<br />
auch Bairescher NuUraum) 24, 28,<br />
363, 367, 369, 380, 381, 386, 387,<br />
439, 493, 494, 496, 497, 499, 500,<br />
990<br />
618, 619, 626, 640, 641, 652, 683,<br />
690, 705, 733, 770, 771, 773, 776<br />
Bairesche Abbildung, Funktion 6,<br />
7, 12, 20, 22, 27, 30, 385, 389, 391-<br />
393, 396, 406, 433, 434, 565, 588,<br />
590, 591, 597, 651, 680, 705, 715,<br />
717, 733, 781, 794<br />
Bairesche Hierarchic, Bairesche<br />
Klassifikation 6, 7, 12, 393, 618,<br />
626, 651, 732, 733<br />
Bairesche Klassen 7, 10, 389-391,<br />
393, 618, 701, 702, 710<br />
Bairescher Kategoriensatz 368,448,<br />
451, 778<br />
Bairescher NuUraum 363, 541, 542,<br />
546, 547, 549-553,582, 591,626,635,<br />
638, 641, 643, 646, 648, 650, 678-<br />
680,686, 703, 715, 742-744,747-749,<br />
771, 864<br />
Baire-Topologie 365<br />
Banachraum 22, 468, 565, 767<br />
baryzentrisch derivierter Komplex<br />
943, 944, 953<br />
baryzentrische Koordinaten 894,<br />
897-899<br />
baryzentrischer Stern 858,944,948,<br />
953<br />
baryzentrische Unterteilung 955,<br />
956, 968, 969<br />
Basis einer (5s-Operation 577-580,<br />
585<br />
Basis einer abelschen Gruppe 912-<br />
915, 920, 921, 925-927, 933, 935<br />
Basis einer Topologie 380,449-451,<br />
478,485,486,488-490,492,493,495,<br />
498, 499, 546, 548, 582, 603, 632,<br />
636-638,747, 752, 753, 759, 760, 768,<br />
785, 793, 815<br />
Baum 382, 391, 440, 441, 682, 820<br />
berandete Pseudomannigfaltigkeit<br />
929-933<br />
Berandungsmatrix -^ Inzidenzmatrix<br />
Berandungsrelation -^ Inzidenzrelation
?-Funktion —^ Baire-me£bare Funktion<br />
/3-Menge -^ Menge mit der Baireschen<br />
Eigenschaft<br />
Bettische Gruppe —> Homologiegruppe<br />
Bettizahlen 865,867,870,871,877,<br />
922, 926, 928, 980<br />
Bettizahlen modulo m 870, 874,<br />
877-880, 936, 937, 977<br />
bikompakter Raum —> kompakter<br />
Raum<br />
B-Menge, 5-mefibare Menge -^ Borelmenge<br />
Bogen 798, 799, 801, 808-818, 833,<br />
835-838<br />
bogenverkniipft 810, 814, 815<br />
Bogenzusammenhang 799<br />
Boolesche Algebra 537, 538<br />
Bordanzhomologie 872<br />
Borelmenge, Borelsche Menge 2,<br />
6, 7, 10, 12, 17, 20-22, 24-28, 30,<br />
35, 362, 366, 367, 377-387,390, 392,<br />
393,396,397,402-404,406,407,431-<br />
434,438-442,541, 542, 549-553,571,<br />
572, 582-586,588-590,598,601,603,<br />
604, 610, 619, 620, 622, 626, 638,<br />
639, 641, 642, 644, 648, 651, 669,<br />
670,672,675,676,678-684,689, 702-<br />
705, 707-709,711, 712, 715, 727-729,<br />
733, 735, 736, 742, 746, 748, 864<br />
Borel-me£bare Funktion, Borelsche<br />
Funktion 377, 393, 396, 553, 565,<br />
626, 631, 639, 644, 651, 669, 709,<br />
735<br />
Borelsche Hierarchic 2, 6, 7, 9, 12,<br />
361, 362, 378, 381, 384, 389, 584,<br />
588-590, 596, 617-619, 651, 672<br />
Borelsche Klassen 362, 366, 367,<br />
378-380,387, 389,403,432-435,542,<br />
572, 583, 588-590,596,604,605,617-<br />
622, 626, 651, 652, 669, 670, 673,<br />
679, 683, 707, 712<br />
Borelsches System 25, 361, 706<br />
Box-Produkt 780, 781<br />
991<br />
Brouwer-Cech-Dimension —> induktive<br />
Dimension, grofie<br />
Cantor-Bendixson-Ableitung —> Ableitung<br />
(einer Punktmenge)<br />
Cantor-Kurve 815-819<br />
Cantorsche Alephhypothese —> verallgemeinerte<br />
Kontinuumhypothese<br />
Cantorscher Durchschnittssatz 855,<br />
950<br />
Cantorsches Diskontinuum 543,<br />
546, 547, 550, 634, 641, 642, 683,<br />
721, 726, 727, 734, 735, 743, 745,<br />
748, 778, 780, 802<br />
Cartesisches Produkt 354,356, 532,<br />
635, 748, 790, 793<br />
Cech-Homologie 867, 886, 887<br />
Cech-Lebesgue-Dimension -^ Uberdeckungsdimension,<br />
kleine<br />
Cech-Stone-Kompaktifizierung 538<br />
Cech-VoUstandigkeit 452, 499<br />
Charakteristik -^ Euler - Poincare-<br />
Charakteristik<br />
charakteristische Funktion 390,406,<br />
407, 618, 623, 631, 701, 732<br />
Choquet-Raum 370<br />
Choquet-VoUstandigkeit 452<br />
co-analytische Menge —> co-Suslinmenge<br />
co-dichter Teilraum 549, 669<br />
Cohensche Erzwingungsmethode -><br />
Forcing<br />
Colimes 782, 783<br />
co-magere Menge 368, 369<br />
Coprodukt 783<br />
co-Suslinmenge 27, 29, 369, 381-<br />
385, 392, 395, 398, 403, 404, 406,<br />
571, 572, 574, 598, 601, 602, 675,<br />
677-685,687,689, 700, 702-707, 709-<br />
712, 717, 735<br />
Darstellungstheorie 3<br />
DedekindscheEndlichkeitsdefinition<br />
355<br />
A^-Menge {F^ und Gs) 376, 401,
668-670<br />
5s-Operation, (5s-Funktion 12, 22,<br />
23, 27, 30, 362, 363, 473-475, 478,<br />
570, 574-586, 588, 619, 670<br />
55-projektives Mengensystem 473,<br />
475, 476, 478<br />
Denjoyscher Verteilungssatz 13<br />
derivierter Komplex 942-946, 948,<br />
953, 972<br />
deskriptive Funktionentheorie 4, 5,<br />
10, 389<br />
deskriptive Mengenlehre 2-10, 12,<br />
16, 17, 19, 22, 24, 27, 28, 35, 365,<br />
369, 370, 375, 377, 378, 382, 388,<br />
389, 392, 396, 439, 565, 569, 596,<br />
617, 651, 652, 671, 672, 675, 704,<br />
705, 711, 715, 845<br />
Determinantenteiler 917, 919, 978<br />
Dichte (einer Menge natiirlicher Zahlen)<br />
740, 741<br />
dichter Teilraum, dichte Teilmenge<br />
549, 550, 641, 643, 649, 650, 669,<br />
696, 700, 718-720, 723, 728, 731, 734,<br />
742-746, 750, 763, 765, 770, 771, 781,<br />
794, 803, 827, 838<br />
Dichtigkeit (eines topologischen Raumes)<br />
—> Separabilitatsgrad<br />
Differenzenhierarchie 670<br />
Differenzenkette 9, 361, 376, 400,<br />
401, 598, 638, 652, 657, 660, 662,<br />
665-673<br />
Dimension, Dimensionstheorie 800,<br />
801,818,840-849,862,863,867,893,<br />
894, 897, 902, 921, 925, 927, 937,<br />
940, 945, 947, 952, 954, 959, 962,<br />
964-966, 968, 969, 973-975,977, 978<br />
Dimensionsfunktionen (ind, Ind,<br />
dim. Dim) 776, 777, 840-849<br />
dim X -^ Uberdeckungsdimension,<br />
kleine<br />
Dim X -^ Uberdeckungsdimension,<br />
grofee<br />
direktes Produkt 876,911-915,920-<br />
922, 927, 931, 934-936, 946<br />
Dirichletscher FunktionsbegrifF 6,<br />
992<br />
8,354<br />
diskreter Raum 506, 509, 512, 535,<br />
538, 549, 553, 619, 620, 683, 780<br />
Divergenzmenge 617<br />
Dreiecksungleichung (siehe auch verscharftes<br />
Dreiecksaxiom) 446, 458,<br />
459, 559, 760, 762, 763, 767<br />
Dualitat von Mafi und Kategorie<br />
394, 395, 675, 709<br />
Durchmesser einer Menge 943,944,<br />
949-954,959,961,963,964,967,969<br />
Durchschnittssatz —^ Cantorscher<br />
Durchschnittssatz<br />
dyadisches Diskontinuum 642<br />
ebene Kurve —> Cantor-Kurve<br />
Ecke, Eckenmenge 894-897, 899-<br />
902,906-909,921-929,937-940,943-<br />
945,948,951,961-963,965,966,968,<br />
969, 971-975<br />
efFektive Auswahl —^ Uniformisierung<br />
efFektive deskriptive Mengenlehre<br />
3<br />
Eindeutigkeitsmenge (der trigonometrischen<br />
Entwicklung) 3, 4<br />
eindimensionales Kontinuum 799,<br />
815, 816, 818, 820, 829<br />
einFach geschlossene Kurve 799<br />
einFach zusammenhangend 799,<br />
805-807,809,813,828,832,837,838<br />
Einschiebungssatze (Fiir Mengen u.<br />
Funktionen) 390, 597,606,613,617<br />
Elementarteilertheorie, Elementarteiler<br />
865, 874, 876, 877, 917-921,<br />
926, 927, 932, 936, 937, 978<br />
ErbUchkeit (topol. EigenschaFten)<br />
577, 578, 669, 700, 752<br />
Ergodentheorie 3<br />
Ersetzungsaxiom 359<br />
Erweiterung von Abbildungen, Erweiterungssatze<br />
457-468, 557-567,<br />
613, 614, 626, 629, 630, 633, 634,<br />
639, 651, 844, 847, 848, 863<br />
eukhdischer Komplex, euklidisches
Simplum 900, 901, 903, 923, 924,<br />
929, 939, 942, 943, 948, 953, 954,<br />
956, 965, 972, 974, 977<br />
euklidischer Raum 1, 17, 24, 371,<br />
381, 385, 433, 439, 485, 498, 572,<br />
613,656,657, 701, 799-801,807,808,<br />
812, 818, 840, 858, 893, 897, 943,<br />
950, 965, 974<br />
Euler-Poincare-Charakteristik 879,<br />
923-925, 933, 935<br />
exklusive Lage (von Simpla) 895-<br />
897, 901, 924, 925, 942, 944, 965,<br />
974<br />
Extensionalitatsaxiom 352, 353<br />
Faktorgruppe 910, 922, 977<br />
Familie wesentlich verschiedener<br />
Abbildungen 531, 532, 534-537, 731<br />
Filter 371, 372<br />
finale Rangordnung 703<br />
finale Topologie 374<br />
Folgenkompaktheit 364, 365, 368<br />
Forcing 355, 383, 403, 712<br />
Form 902-904, 907-909, 921, 922,<br />
927,929,932,934-937,959,974,975<br />
Frechet-Distanz —> Voisinage<br />
F^-Menge 363-365, 367, 376, 377,<br />
381,388,401,432-434,482,493, 527,<br />
528, 543, 544, 546, 547, 572, 591,<br />
606-609,618,638,643-645,649,652,<br />
667,668, 697-701,711, 712, 720, 721,<br />
723, 724, 726-728,734, 735, 742-744,<br />
746-748<br />
Fundamentalfolge -^ inverser Limes<br />
Fundamentalgruppe 865<br />
Fundierungsaxiom 352<br />
Funktionalanalysis 3, 11, 17, 20,<br />
21, 537<br />
Funktionenfamilie starker Oszillation<br />
535, 536<br />
F//-Menge, F//-Raum 369, 391,<br />
398, 668, 701, 702, 710-712<br />
Gandy-Harrington-Topologie 365,<br />
369<br />
993<br />
Gebiet (bei HausdorfF) —> offene<br />
Menge<br />
G^-Menge 17,28,363-369,376,377,<br />
380,386,387,398,401,431-434,439,<br />
445,449-452,489,493,495,496,498,<br />
499,542,543,546, 547, 549-551,553,<br />
572,582, 590-592,606-609,618,633,<br />
634,638,640-646,649,650,652,665,<br />
668,669,698, 700-702, 710, 711, 720,<br />
723, 726, 728, 734-736, 745, 746, 748<br />
gefilterte Familie 372, 373<br />
geometrische Topologie 18, 868<br />
geordnete Menge 1, 11, 12, 19, 27,<br />
357, 358, 373, 688, 729, 730, 736,<br />
750-752, 780, 813, 814<br />
geordnetes Paar 352, 354, 532, 690<br />
geordnetes Produkt, geordnete Potenz<br />
27, 750<br />
geschlossene Basis 486, 488, 489,<br />
498<br />
geschlossenes Mengensystem 485<br />
geschlossene Kurve 812<br />
gestufte Menge 728, 729<br />
gestufter Raum 372, 505, 508-515,<br />
522, 523, 741, 779, 784, 794, 795<br />
Gewicht eines topologischen Raumes<br />
553<br />
gewohnliches Funktionensystem<br />
389, 405<br />
gleichmaKig lokal zusammenhangend<br />
805, 806, 809, 826, 827, 829<br />
Grassmann-Algebra 875, 902<br />
Grofier Fermatscher Satz 353<br />
Grundlagen der Mathematik 2, 21,<br />
26, 29, 353, 684<br />
Gruppenfolge 875, 880, 881, 883-<br />
886, 946, 970, 972<br />
G//-Menge 369<br />
Haufungskontinuum 806, 807, 835<br />
Haufungssystem 695-697, 699, 700<br />
Halbintuitionisten 5, 26<br />
Halbkontinuum 859, 861<br />
Halbordnung, halbgeordnete Menge<br />
27, 886
halbschlichte Abbildung 396<br />
halbstetige Funktion 390, 566, 715,<br />
716, 733<br />
harmonische Analyse 3<br />
Hauptvermutung (der kombinatorischen<br />
Topologie) 865, 866<br />
Hausdorff-Dimension 846<br />
Hausdorff-Klassen 24<br />
HausdorfF-Kompaktifizierung 451<br />
HausdorfF-Metrik 21, 370, 371<br />
HausdorfF-Operation —> 5s-Operation<br />
Hausdorff-Raum 25, 451, 452, 520,<br />
535, 752, 753, 778, 784, 785, 800,<br />
804, 814, 815, 846, 869<br />
Hausdorffsche Rekursionsformel 27<br />
Hessenbergsche Summe 400<br />
Hilbert-Quader 564<br />
Hilbertraum 438, 566, 567, 768<br />
Homoomorphismus, homoomorph<br />
386-388,441, 445-447,450, 457-459,<br />
463-465,485,493,494,496, 500, 507,<br />
542, 543, 546-553,558-560,563, 572,<br />
619,626, 633-635,639-644,648-651,<br />
678, 679, 733, 743, 745, 748, 749,<br />
752, 755, 756, 758-760, 768, 771-773,<br />
775, 776, 780, 784, 793, 794, 799,<br />
803, 808, 809, 813, 817, 820, 836,<br />
838,840,864,899-901,905,906,923-<br />
925,929,952-954,956,965,966,969,<br />
974-976<br />
Homoomorphismus der Klasse a, (5<br />
-^ Abbildung (a, (3)<br />
homogener Raum, Homogenitat<br />
764, 766-768, 809, 819, 820<br />
homogenes Polynom -^ Form<br />
Homologie, Homologietheorie, homolog<br />
848,865-867,871-888,905,907-<br />
909,927, 932-935,938-942,955,958-<br />
964, 967, 971, 974-977, 979<br />
Homologiegruppe 873, 874, 876-<br />
887,921-923,925,927-929,931,933,<br />
935-938,940,945-949,951-956,958-<br />
960, 962, 963, 969, 970, 972, 973,<br />
976, 977<br />
homologische Algebra 874<br />
994<br />
Homomorphismus 883, 884, 910,<br />
912,920-922,934,938-941,946,947,<br />
949, 951, 952, 955, 956, 958, 962,<br />
963, 966, 967, 970-973, 976<br />
Homotopie, Homotopietheorie 567,<br />
872, 873, 887, 888<br />
Homotopieinvarianz 872, 873, 887<br />
Hopfscher Fortsetzungssatz 848<br />
Hiillenraum -^ gestufter Raum<br />
Hyperraum 21, 370, 371, 781, 793<br />
Ideal (von Mengen) 393, 407<br />
Indexrestriktion 384,403, 689, 704,<br />
711<br />
Indexvergleich 706<br />
Indizes, Theorie der Indizes 21, 382-<br />
384,675,685,687,689-691,704, 706-<br />
708, 711<br />
induktive Definierbarkeit 375<br />
induktive Dimension, grofie 776,<br />
777, 840-843, 846, 847<br />
induktive Dimension, kleine 777,<br />
840, 841, 843, 846<br />
induktive Eigenschaft 375<br />
induktiver Limes —> Colimes<br />
ind X —> induktive Dimension, kleine<br />
Ind X -^ induktive Dimension, grosse<br />
initiale Topologie 779, 781<br />
innere Abbildung -^ ofFene Abbildung<br />
innere Invarianten -^ absolute Eigenschaften<br />
innere Menge (eines Siebes) 682<br />
insichdichte Menge 4, 365, 398,448,<br />
542-544,547, 551,553, 597,635,642,<br />
643,652,696,699-702,710, 711, 742,<br />
743, 746, 748, 799<br />
Integrationstheorie 1, 12, 13, 16,<br />
21,33<br />
Invarianten einer abelschen Gruppe<br />
914, 915,923, 927,931-934,936,<br />
937<br />
Invarianz der Dimension 840, 842,
854, 856<br />
Invarianz der Homologiegruppen (s.<br />
auch topologische Invarianz) 873,<br />
875,876,880,882-888,923,927,936,<br />
937, 946, 953, 954, 959, 969, 970,<br />
973, 976, 977<br />
inverser Limes 882-886, 888, 946-<br />
948<br />
Inzidenz, Inzidenzrelation, inzidente<br />
Simpla 895, 896, 925, 926, 930-<br />
932<br />
Inzidenzmatrix 925-928, 932, 936<br />
irreduzibles Kontinuum 799, 807,<br />
809, 818, 835, 836<br />
Isometrie, isometrische Mengen<br />
762-768<br />
Isomorphie, isomorph 946-949,952-<br />
956, 960-967, 969-971, 973, 974<br />
Jordankurve 818<br />
Jordanscher Kurvensatz 807, 811-<br />
813, 834, 836, 838<br />
Kardinalzahl, Kardinalitat 352,<br />
354-360,482, 531, 532, 534-538,553,<br />
580,611,612,622, 701-703,725, 731,<br />
732, 736, 767, 768, 780, 864<br />
Ketten, Kettenkomplexe 865, 867,<br />
872, 874, 876, 885, 902<br />
Kettenbruch 591<br />
A:-Konvergenz 402, 403<br />
Klassentheorien 356<br />
Koharenz 365, 693<br />
Kohomologie, Kohomologietheorie<br />
848, 849, 879, 888<br />
kohomologische Dimension 848, 849<br />
Kombinatorik 3<br />
kombinatorische Topologie 739,865,<br />
866,868-871,873,875,877,880,887,<br />
893, 899<br />
kommutative Gruppe —> abelsche<br />
Gruppe<br />
kommutatives Diagramm 884<br />
kompakte Menge 364, 368, 375,<br />
397,404, 547-550,552, 567,607,642,<br />
995<br />
648,649,669, 748-750,817,827,828,<br />
830,835-837,859-861,873,950,966,<br />
967, 969, 972, 973<br />
kompakter Raum 18, 21, 25, 366,<br />
367, 370, 371, 449, 451, 463, 465,<br />
466,476,478, 512, 519-521,564, 567,<br />
752, 753, 755, 756, 759, 760, 768,<br />
778, 780, 785, 792, 793, 800, 801,<br />
809,813-815,826,840,843-845,847-<br />
849, 867, 870, 871, 873, 875, 880,<br />
881,884-886,949,950,952,954,956,<br />
959, 972<br />
Kompaktifizierungssatz von Hurewicz<br />
845<br />
komplementare 5s-Funktion 576,<br />
578, 584, 585<br />
komplementare Klassen 389<br />
komplementarer Mengenring 588,<br />
605, 610<br />
Komplex 865-867,871-876,885-887,<br />
893,896-901,904-908,921-923,925-<br />
929, 934, 935, 937, 939, 940, 942-<br />
948, 953, 954, 956, 959, 961, 963-<br />
974, 976, 977<br />
Komponente —> Zusammenhangskomponente<br />
Konfinalitat 27<br />
Konstituente 382-384,392,402-404,<br />
684-686, 689, 707-709, 712, 735<br />
Kontinuum 356,434,437,438, 522,<br />
750, 798-800,804-812,816-818,820,<br />
827-839, 859-861<br />
Kontinuumhypothese 4, 27, 356,<br />
357, 379, 385, 394, 395, 481, 550,<br />
701, 702, 711<br />
Kontinuumproblem 2, 8, 9, 17, 29,<br />
356, 357<br />
Konvergenzensystem 512,513,515,<br />
516, 521, 522, 740, 741, 795<br />
Konvergenzkontinuum 829, 830, 833<br />
Konvergenzmenge 617<br />
Konvergenzraum 522, 847<br />
Koszul-Komplex 876<br />
Kreisring —> Tubus<br />
Kuratowskische Hiillenaxiome 506,
522<br />
Kurve, KurvenbegrifF, Kurventheorie<br />
750, 798-802,804, 808-820,833,<br />
834<br />
Lange der Borelschen Hierarchie<br />
361, 362<br />
lange Gerade, Halbgerade, Strecke;<br />
langes Intervall 451, 452, 751-753,<br />
813<br />
Lebesgue-mefibare Funktion 7<br />
Lebesgue-mefibare Menge, Lebesgue-Mafi<br />
7,371,376,377,394,395,<br />
431, 585<br />
Lebesguesche Klassen, Mefibarkeitsklassen<br />
22, 391<br />
Lebesguesche Urbildmengen 7, 388-<br />
390, 393, 732<br />
Lebesguesche Zahl 961, 962<br />
lexikographische Ordnung 358, 360,<br />
489, 813<br />
Limesraum 372, 505, 512-517, 521-<br />
523, 740, 741, 790, 791, 793-796<br />
Limeszahl 360, 361, 393, 509, 585,<br />
589, 603, 618, 632, 637, 642, 647,<br />
651, 655, 657, 658, 661, 662, 664,<br />
666, 688, 691, 693, 707<br />
Limitierungstheorie 3, 24<br />
Lindelof-Raum 752<br />
hnearer Raum 533, 534, 566, 770<br />
hneares Funktional 13, 533, 534<br />
hnear unabhangig 893, 894, 896,<br />
901, 965<br />
Linie, Unienhaftes Gebilde 813,814<br />
lokal abgeschlossen 673<br />
lokal bogenverkniipft 810<br />
lokal endlicher Raum, Komplex<br />
965-969, 974-976<br />
lokaler topologischer Begriff 364<br />
lokal kompakter Raum 452, 669,<br />
752, 972, 973, 975<br />
lokalkonvexer Raum 468, 566<br />
lokal metrisierbarer Raum 752,815<br />
lokal wegzusammenhangend 752<br />
lokal zusammenhangender Raum<br />
996<br />
373, 374,404, 752,804-807,810,813-<br />
815,817-820,826-832,834,835,837,<br />
839, 840, 965<br />
L-Raum —> Limesraum<br />
Lusin-Menge 702, 711<br />
Lusinsche Sieboperation, Siebmethode<br />
26, 383, 402, 675, 682, 683,<br />
689, 703, 704, 706-709<br />
Lusinsches Kriterium 384, 689<br />
Lusin-Sierpinski-Ordnung 682<br />
Machtigkeit -^ Kardinalitat<br />
Machtigkeit des Kontinuums 434,<br />
437-439,448, 580, 584, 702, 703, 725,<br />
800, 803, 845, 864, 947<br />
magere Menge -^ Menge erster Kategorie<br />
Mannigfaltigkeit 752, 753,865-867,<br />
870, 872<br />
Mafitheorie, Mafi, Mefibarkeit 1, 3,<br />
5, 11-13, 16, 21, 33, 377, 394, 395,<br />
533, 675, 709, 717, 794, 812, 816<br />
mathematische Logik 3, 21<br />
Matrix (von Distanzen) 762-765,<br />
767, 768<br />
Maximalraum 779, 781, 782, 791,<br />
793, 795<br />
Mayer-Vietoris-Formel 874<br />
Menge erster Kategorie 6, 364, 368,<br />
369, 371, 392, 394-396,398,402,433,<br />
528, 546, 590, 591, 643, 646, 649,<br />
669,694, 696, 709-711,718-721,723,<br />
724, 734, 735, 748, 768<br />
Menge mit der Baireschen Eigenschaft<br />
394-396, 585, 694, 709<br />
Mengenkorper 25, 361, 407, 588,<br />
590, 593, 596, 603, 606, 610, 621,<br />
622, 656, 657, 659, 661, 666, 668,<br />
671, 672<br />
Mengenring 361,399,588,589,596,<br />
605,610-612,615, 618,621-623,639,<br />
640, 656, 657, 661, 662, 664, 665,<br />
667-669, 671, 672<br />
mengentheoretische Topologie -^ allgemeine<br />
Topologie
Menger-Urysohn-Dimension —> induktive<br />
Dimension, kleine<br />
Menge zweiter Kategorie 6, 368,<br />
369, 451, 591, 607, 608, 694, 718<br />
mefibare Kardinalzahl 537<br />
Metrik 365,369-371,380,387,448-<br />
450,457-459,463,465-467,493, 500,<br />
542, 557, 558, 564-566,633, 751, 759,<br />
760, 767, 776, 790, 791, 793, 867<br />
metrisch absolute Eigenschaft, metrische<br />
Absolutheit 366-368, 379<br />
metrischer Raum 1-3, 8, 9, 12, 15-<br />
19, 21-24, 27, 28, 33, 35, 363, 365-<br />
373, 375, 381, 385, 387, 388, 398,<br />
400,401,433,435,440,445-451,457,<br />
465, 468, 476, 485, 493, 494, 498-<br />
500, 512,533, 541,549-551,553, 557,<br />
558, 564-566,570, 572, 610,639,650,<br />
669,673,695,699, 710, 750-753, 756,<br />
757, 759, 762, 763, 766-768,770, 771,<br />
776, 777, 793, 796, 799, 800, 837,<br />
840,843-849,866,867,873,875,884-<br />
886, 899, 943, 949, 964<br />
metrisierbarer Raum 362, 368, 380,<br />
387,398,448-452,457,463,466,467,<br />
498-500,549,550,633,635,690, 710,<br />
715, 752, 756-760,785, 790, 791, 793,<br />
800, 809, 810, 813, 814, 843, 847,<br />
867, 870, 871, 873, 886<br />
Metrisierbarkeit, Metrisationssatze<br />
18, 365, 467, 564, 755-760, 780, 781,<br />
790<br />
Minimalraum 508, 511, 517-519,<br />
521, 789, 790, 797<br />
Modelle (der Mengenlehre) 357, 376,<br />
383, 395, 482<br />
Modul 874-879, 885, 912, 913, 915,<br />
916, 920-922,925, 927, 929, 931-934<br />
Mobiussches Blatt 908, 924, 930,<br />
931, 933<br />
monotoner Quotient 786<br />
Moore-Smith-Folge 373<br />
Nearness-Raum 847, 848<br />
Nerv (einer Uberdeckung, Zerlegung)<br />
997<br />
867, 870, 871, 875, 876, 880, 881,<br />
886, 948-955, 960-963, 967, 969-972<br />
Nest 814<br />
Netz 772, 774, 775, 826<br />
nichtarchimedische Metrik -^ Ultrametrik<br />
nichtarchimedischer Korper 493<br />
nicht-magere Menge -^ Menge zweiter<br />
Kategorie<br />
Nichtstandard-Analysis 586<br />
nirgendsdichte Menge 407, 408,<br />
546, 590, 591, 607, 619, 642, 648,<br />
659, 696, 718, 723, 724, 726, 748,<br />
749, 778, 815, 818, 820, 839<br />
nirgends difFerenzierbar 802<br />
normaler Raum 18, 468, 752, 757,<br />
759, 760, 843, 848<br />
n-Sphare 848, 929<br />
nuUdimensionaler Raum 493, 494,<br />
543, 547-550,552, 589,603,626, 634,<br />
635, 637, 638, 641, 649, 651, 745,<br />
748, 749, 771, 772, 776, 777, 860,<br />
864<br />
NuUmenge (leere Menge) 353, 399,<br />
505, 796, 841, 876, 945, 946<br />
NuUmenge (Menge vom Mafi 0) 394,<br />
395, 709, 735<br />
NuUraum —> Bairescher NuUraum<br />
oberer Limes 388, 405, 585, 588,<br />
591-595,609,611-617,622-624,638-<br />
640, 835<br />
offene Abbildung 485, 488, 489,<br />
492, 494, 495, 498, 499, 518<br />
offene Basis 759, 760<br />
offene Menge 16, 24, 361, 364-366,<br />
373,374,378,380,381, 386-389,394,<br />
400,407,431-437,448,476-478,485,<br />
486,488-490,492,493,495-500,506,<br />
518, 541, 542, 544, 546-551,570, 572,<br />
573, 585, 588, 589, 591, 597, 603,<br />
606, 610, 614, 618, 620, 626, 627,<br />
632,635,637,638,643,646-649,664,<br />
667, 668, 696, 703, 718, 720, 734,<br />
741, 744, 746-749, 757-760, 771-774,
776, 777, 779, 781-784, 787-797,805,<br />
807,808,827-829,832,834,836-838,<br />
841-843,858,860,861,863,954,955,<br />
960, 965, 966, 969, 973, 974<br />
offener Kern 16, 973<br />
offener Limes 371, 372<br />
offener Stern 965-967,969,970,972,<br />
974<br />
offene Uberdeckung 777, 842, 847,<br />
848, 867, 886, 960, 963<br />
(a;i,a;i)-Lucke 27,28<br />
Ordinalzahl, Ordnungszahl 3, 4, 5,<br />
352,355, 356,359-362,375,382,384,<br />
393, 396, 403, 435, 441, 486, 490,<br />
553, 571, 596, 605, 609, 618, 638,<br />
663, 667, 671, 684, 685, 687, 690,<br />
693, 704, 707-710, 712, 727-729,735,<br />
736, 752, 773, 849, 864<br />
ordnungsfahiger Raum 813<br />
Ordnungsrelation, Ordnung 357,<br />
703, 751, 779, 828<br />
Ordnungstopologie 813<br />
Ordnungstypus 357-360, 687, 701,<br />
707, 715, 727-731, 735, 736, 750<br />
Orientierung, orientierbar, orientiert<br />
901-904,906-908,921, 925, 930-935,<br />
937,938,941,957-959,964,967,973,<br />
977<br />
p-adischer Raum 770<br />
paradoxe Kugelzerlegung 26<br />
parakompakter Raum 449,498, 752,<br />
847, 848<br />
Partition 675, 777<br />
Peano-Abbildung 801-804<br />
Peano-Kontinuum, Peanosches Kontinuum<br />
798,799,804-811,814,815,<br />
817, 828, 831-838<br />
perfekte Menge 4, 27, 365, 383-<br />
385, 392, 396, 402, 404, 437, 439-<br />
442, 544-547,552, 582, 591,607,618,<br />
642-644,646,649,656,696-702,710,<br />
711, 723, 742-744, 746-748, 799<br />
Perron-Integral 13<br />
Pfeilsymbolik 884<br />
998<br />
Pflastersatz 842, 856<br />
polnischer Raum 3, 9, 12, 17, 24-<br />
25,361, 362,370, 381,382, 384, 385,<br />
387, 392, 393, 397, 398, 403, 406,<br />
439, 440, 586, 588, 597, 609, 619-<br />
621,639,651,652,668-670,682,683,<br />
703-707,710, 711, 717, 732, 733, 736<br />
Polynom 902-905, 921, 928, 929,<br />
934,935,937-942,957,959,960,964,<br />
967, 973, 975, 977-979<br />
positiv analytische Funktion 475,<br />
575, 577, 578<br />
Potentialtheorie 3<br />
Potenzraum —> Hyperraum<br />
pratopologischer Raum -^ gestufter<br />
Raum<br />
Prawohlordnung 382<br />
Primende 806, 833<br />
Produktraum 678, 733, 748, 778-<br />
781, 790, 793, 815, 840, 845-847<br />
Projektion, Projektionsfunktion<br />
362, 378, 385, 386, 392, 396, 397,<br />
474,478,535, 570,632-634,670,680,<br />
683,686,687, 705-707,781,830,854,<br />
856, 859, 898, 899<br />
Projektionsspektrum 871,879,881,<br />
882<br />
projektive Ebene 906,924,930,931,<br />
933<br />
projektive Hierarchie, Klassen 26,<br />
585, 687, 706<br />
projektive Menge 10, 22-26, 28, 395,<br />
602, 685, 864<br />
projektives Mengensystem 474-476,<br />
478<br />
Pseudobogen 809<br />
Pseudomannigfaltigkeit 929-932,<br />
934, 937, 957<br />
Pseudometrik 467, 468, 767<br />
Pseudotopologie 372<br />
punkthafter Raum 770, 771<br />
Punkt lokaler Abgeschlossenheit<br />
375<br />
Punktmenge, Punktmengentheorie<br />
1, 3, 4, 11, 16, 26, 33, 365, 366, 368,
396, 506, 507, 511, 795, 869, 870,<br />
896, 897, 899, 900, 905, 906, 923,<br />
939, 943, 953, 965<br />
Pushout 782<br />
Quasikomponente 374, 771<br />
Quotientenabbildung 523, 785<br />
Quotientenraum 363,374, 778, 783,<br />
786<br />
Quotiententopologie 783, 784<br />
Radon-Integral 533<br />
Rand, Randoperator 865, 867, 876-<br />
878,894,895,903-909,922-938,941,<br />
958-961, 964, 967, 974, 975<br />
randendlicher Raum 815<br />
randlose Pseudomannigfaltigkeit<br />
929-933<br />
Randsatz von Janiszewski 829,835,<br />
860, 861<br />
Rang einer abelschen Gruppe 874,<br />
877-879,912,913,915,922,923,926-<br />
929, 931, 933-935<br />
Reduktionsprinzipien, Reduktionssatze<br />
602-604, 606, 608, 622, 675,<br />
685-687, 704-706<br />
reduzible Menge 9, 375, 376, 401,<br />
588, 590, 598,618,619,654-662,664-<br />
673, 701<br />
reelle Funktion, Theorie der reellen<br />
Funktionen 8, 11, 13, 17, 21, 22,<br />
26, 388, 393, 613-618, 630, 639, 710,<br />
715, 717, 718, 732, 771<br />
regulare Kardinal (Ordinal)-zahl 27,<br />
357, 360<br />
regulare Kurve 806, 834<br />
regularer Raum 451, 452, 567, 760<br />
Regularitatsaxiom -^ Fundierungsaxiom<br />
rekursive Funktion 3<br />
relative BegrifFe, Eigenschaften 365,<br />
366, 375, 700, 778, 779, 799<br />
Residuum 375, 376, 654-656, 660-<br />
662, 667-669, 671, 673<br />
Retrakt 567, 863, 888<br />
999<br />
Riemannsche Flache 750<br />
Ring 902, 935<br />
i^-Menge 585, 670<br />
i?-Transformation 583, 585<br />
jR-Trennbarkeit 654, 657-659, 672<br />
Rudin-Keisler-Ordnung 538<br />
Russellsche Antinomie 356<br />
saturierte Struktur, Saturiertheit<br />
27, 586<br />
Satz von Banach-Mazur 767<br />
Satz von Cantor-Bendixson 4, 371<br />
Satz von Hahn-Banach 534<br />
Satz von Hahn-Mazurkiewicz 374,<br />
752, 805<br />
Satz von Konig 441, 700<br />
Satz von Kurepa 729, 730, 736<br />
Satz von Torhorst 832<br />
Satz von Zoretti 835<br />
Schema eines Komplexes 899-901,<br />
921, 923, 925, 929, 937, 939, 943,<br />
944, 947, 948, 953, 954, 959, 964,<br />
971, 973, 974, 976<br />
schwache Topologie 779<br />
schwach n-dimensionale Menge 843,<br />
844, 858, 860, 861<br />
Schwankung 719-721, 723, 726<br />
Schwerpunkt 894, 939, 942-944<br />
Separabilitat, separabler Raum (s.<br />
auch polnischer Raum) 16, 368,370,<br />
376, 377, 381, 384, 385, 398, 435,<br />
438, 440, 445, 449, 468, 476, 478,<br />
489,490,493,496-499,535, 541, 542,<br />
544, 545, 547-551,553, 564-567,571,<br />
598,603,629,634-638,641-643,645,<br />
648, 650, 661, 664, 665, 667, 668,<br />
678-680,685,686,689,693,694,698-<br />
703, 709, 710, 742, 743, 746, 747,<br />
753, 762, 763, 766-768, 770, 771, 776,<br />
780,809,813-815,843-848,858, 863,<br />
864, 873<br />
Separabilitatsgrad 535<br />
separierte Menge -^ zerstreute Menge<br />
sequentieller Raum 781
S'-Funktion -^ Suslinsche Funktion<br />
Sieb, Sieboperation -^ Lusinsche Sieboperation<br />
Sieb-VoUstandigkeit 452<br />
Sierpinskischer Teppich 817-819<br />
Simplex, Simplum 867, 870, 871,<br />
876,886,894-905,908,921-932,934,<br />
935,937-940,942-945,948,949,956-<br />
959, 961, 964-969, 971-975<br />
simpliziale Abbildung 938-940,942,<br />
955, 960-964, 966, 967, 971, 972<br />
simpliziale Approximation 866,867,<br />
870-872<br />
simpliziale Homologie 866, 873, 875,<br />
885, 886<br />
simplizialer Komplex 865,867,870,<br />
871, 875, 876, 885, 886, 896<br />
simpliziale Zerlegung 858,867,880,<br />
896, 923<br />
singulare Homologie 871, 872, 887<br />
singulare Kardinal (Ordinal)-zahl<br />
27<br />
S'-Menge -^ Suslinmenge<br />
Spaltungssatze 397<br />
Stern (s. audi baryzentrischer Stern)<br />
858,928,929,944,953-955,965-967,<br />
969, 970, 972, 974<br />
stetige Abbildung, stetiges Bild, stetige<br />
Funktion 377, 385, 386, 389,<br />
406, 433, 439, 457, 467, 468, 485,<br />
486,489,490,494,496-498,507, 508,<br />
510, 513, 515, 517-521,523, 557-561,<br />
565, 566, 590,614,618-620,629,631-<br />
633, 635, 637, 641, 642, 646, 648,<br />
649, 678, 679, 703, 727, 733, 744,<br />
747, 748, 752, 763, 771, 781, 783-<br />
785, 789, 791-799,802-804,807-809,<br />
815, 818, 827, 833, 836, 840, 844,<br />
845,847,848,856,862-864,873,897-<br />
899, 949, 952<br />
stetige Kurve -^ Peano-Kontinuum<br />
stetige Zerlegung 508, 511, 517,<br />
521, 784, 796, 797<br />
Streckenbild -^ Peano-Kontinuum<br />
Stufenfunktion 508-512, 514, 515<br />
1000<br />
Summe (topologischer Raume),<br />
Summenraum 778, 782, 787, 840,<br />
846, 847<br />
Suslinkomlement -^ co-Suslinmenge<br />
Suslinmenge, Suslinsche Menge 2,<br />
4, 10, 12, 15, 20, 21, 24, 25, 27-29,<br />
35, 363, 365-367, 369, 370, 377-381,<br />
383-389,392,393,395,396,402,403,<br />
406, 439, 442, 544, 571, 572, 574,<br />
582, 598, 601, 602, 604, 622, 641,<br />
675-683,685,687,689,693,698-700,<br />
702-707,709, 711, 712, 715, 717, 727,<br />
729, 732, 733, 735, 746, 864<br />
Suslinsche Funktion 715, 717, 732,<br />
733<br />
Suslinsche Klassen 366<br />
Suslinscher Grenzpunkt 695-697,<br />
699<br />
Suslinscher Prozefi -^ A-Operation<br />
Suslinsches System 394<br />
symmetrische Differenz 393<br />
symmetrischer Verdichtungspunkt<br />
722-724, 726, 734, 735<br />
symmetrisch stetige Funktion 527,<br />
528, 715, 717, 718, 720-722,726, 727,<br />
733-735<br />
Ts-Raum 846<br />
Teilraum 549, 550, 740, 745, 752,<br />
778, 779, 787, 793, 794, 799, 800,<br />
814, 818, 820, 840, 846-849, 893<br />
Tietzescher Erweiterungssatz 457,<br />
467, 566, 567<br />
Topologie 3, 6, 9, 10, 17-21, 25,<br />
27, 364, 365, 372-374, 378, 380, 387,<br />
448, 467, 535, 538, 666, 667, 669,<br />
683, 751, 752, 778, 779, 781, 783,<br />
798, 799, 840, 865-888<br />
topologisch absolute Eigenschaft, topologische<br />
Absolutheit 367, 379,<br />
387, 388<br />
topologische Abbildung -^ Homoomorphismus<br />
topologische Gruppe 768<br />
topologische Invarianz (s. auch In-
varianz der Homologiegruppen)<br />
570-572,574,633,634, 757, 793,865,<br />
866,871-873,923,927,936,937,973,<br />
976-978<br />
topologischer Komplex 900, 905,<br />
923<br />
topologischer Kreis 808, 809, 811,<br />
812, 816, 818, 819, 833, 834, 836<br />
topologischer Raum 1, 12, 15-19,<br />
33, 35, 361, 363, 365, 367, 369, 371-<br />
374,388,393,396,448,450-452,457,<br />
468,476, 505-510,512,513, 515-517,<br />
522, 523, 538, 549, 550, 553, 566,<br />
689, 740, 750-757,759, 760, 778, 779,<br />
781-784,787, 790, 793-797,800,808-<br />
810, 813-815,840-843,846-848,865,<br />
867, 869-871, 886, 956<br />
topologische Reflexion 522<br />
topologisches Simplum 899, 900<br />
topologisch vollstandiger Raum, topologische<br />
VoUstandigkeit 451,452,<br />
485,486,488,494-496,498,542, 547,<br />
549, 550, 634, 641, 642, 748, 749<br />
Topologisierung 779, 787-790, 792,<br />
793, 795<br />
Torsionskoeffizient, -zahl 865, 870,<br />
871,877,907,923,927,931-933,936,<br />
937, 978, 980<br />
Torus 907, 924, 930, 931, 933<br />
total beschrankt 465,467, 566, 648,<br />
826, 827<br />
total imperfekte Menge 384, 385<br />
total Peanosches Kontinuum 806,<br />
830, 832, 834<br />
transfinite Dimension 849<br />
transitive Menge 359<br />
Trennungsaxiome 506, 517, 519,<br />
522, 789, 790, 792, 796<br />
Trennungseigenschaften, Trennungsprinzipien,<br />
Trennungssatze (der deskriptiven<br />
Mengenlehre) 16, 384,<br />
390,396,400, 588, 592, 596-599,601-<br />
604, 606, 608, 609, 621, 622, 627,<br />
654,672,675,677-680,683-685,703-<br />
705, 707, 712, 837-839<br />
1001<br />
Triangulierung, trianguliert 867,<br />
870, 872, 875<br />
Tubus 905, 924, 925, 930, 931<br />
r4-Raum 846,847<br />
Tychonoff-Produkt 535<br />
TychonofF-Quader 780<br />
Tychonoff-Raum 451, 452, 499<br />
Typenklasse 358<br />
Typus -^ Ordnungstypus<br />
T2-Raum -^ Hausdorff^Raum<br />
tFberdeckungsdimension, grofie 847<br />
Uberdeckungsdimension, kleine<br />
777, 840, 842-849, 862, 863<br />
Ultrafilter 538<br />
Ultrametrik, ultrametrisierbar 500,<br />
776, 777<br />
Umgebung 16, 375, 506, 517, 519,<br />
520, 523, 597, 618, 642, 646, 656,<br />
669,673,697-699, 734, 740, 741, 748-<br />
750, 755-757, 759, 771, 775, 780-785,<br />
788, 791, 793, 794, 797, 829, 839,<br />
841, 842, 863, 960, 963, 965, 966,<br />
972-975<br />
Umgebungsaxiome 783, 785<br />
Umgebungsbasis 841, 842<br />
unabhangige Familie (von Mengen)<br />
531, 533-538, 611, 612, 731, 736<br />
unentscheidbares Problem 712<br />
unerreichbare Kardinalzahl 360,<br />
383, 395<br />
uniforme Menge 397<br />
uniformer Raum 467, 847, 848<br />
Uniformisierung 705, 706<br />
Unikoharenz 834<br />
Universalkurve (von Menger) 819,<br />
820<br />
Universalmenge (eines Mengensystems)<br />
24, 380, 583, 584, 619,<br />
678, 679, 683, 705, 864<br />
Universalraum 762, 763, 766-768<br />
Unstetigkeitsstelle 527, 528, 631,<br />
717, 718, 721, 723, 726, 727, 734,<br />
862, 863<br />
untere Entfernung 401, 445, 458,
558, 862, 949<br />
unterer Limes 388, 405, 521, 585,<br />
588, 592-595,609,613,616,622,623,<br />
703<br />
Unterraum -^ Teilraum<br />
Unterteilung eines Komplexes 940,<br />
945, 946, 955-957, 967-970<br />
Urbildmenge -^ Lebesguesche Urbildmenge<br />
Urelement 352, 355<br />
Urysohnsches Lemma 759, 760<br />
verallgemeinerteKontinuumhypothese<br />
27, 357<br />
verallgemeinerte Quantoren 585<br />
verallgemeinerter Bogen 813-815<br />
verdichtete Menge 541-547, 551-<br />
553, 626, 642-653, 742-748<br />
Verdichtungspunkt 364, 435-438,<br />
542,642,645,646,648, 721-724,734,<br />
735, 742, 743, 746<br />
Verfeinerung eines Komplexes, einer<br />
Zerlegung 938-940,945-949,951-<br />
955, 961-963, 967, 969, 971<br />
verscharftes Dreiecksaxiom 493,496,<br />
500, 770, 771, 773, 776, 964<br />
Vietorissche Homologiegruppe 959,<br />
960<br />
Vietoris-Topologie 373<br />
Vitali-Menge 376<br />
Voisinage 755, 756, 758, 760<br />
VoUrand 960, 964<br />
voUstandig Bairescher Raum -^ Fn-<br />
Raum<br />
voUstandige Hiille 385, 634, 771<br />
vollstandiger Raum, Vollstandigkeit<br />
(s. auch polnischer Raum) 8, 12,<br />
28, 363, 365-370,384, 385, 387, 388,<br />
391,437,438,440,445,447-452,463-<br />
466,485,489,492,494-496,498,499,<br />
541, 542, 544-546,549-551,582, 598,<br />
629,633-635,637,638,641,643,645,<br />
648,650,668,678-680,685,686,689,<br />
702, 703, 742, 743, 746, 747, 763,<br />
766-768, 770, 864<br />
1002<br />
vollstandiger Verband 372, 373<br />
vollstandiges Funktionensystem 405,<br />
588, 613, 615, 623<br />
voUstandig metrisierbarer Raum 368,<br />
380,387,398,448-450,498-500,549,<br />
710, 810, 843<br />
VoUzyklus 960,962-964<br />
von Neumannsche Ordinalzahl 359,<br />
360<br />
Wahrscheinlichkeitsraum 768<br />
Wahrscheinlichkeitstheorie 3, 13,<br />
25<br />
wegzusammenhangend 752, 810<br />
wesentlich verschiedene Abbildungen<br />
—» Familie wesentlich verschiedener<br />
Abbildungen<br />
wohlgeordnete Menge 359,496,675,<br />
677,680-682,685,688,689, 707, 727,<br />
729, 730, 735<br />
Wohlordnung, Wohlordnungssatz 4,<br />
5, 8, 355, 382, 396, 450, 489, 494,<br />
774, 775<br />
Youngsche Menge 368, 369<br />
Zellenkomplex 865, 866<br />
Zellenzerlegung 865<br />
Zerlegungsfolge 949-953, 972<br />
Zerlegungsraum 785, 796<br />
Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre<br />
mit (ohne) Auswahlaxiom -^ ZFC<br />
(ZF)<br />
zerstreute Menge 365, 597, 723,<br />
727-729<br />
Zerstiickelung 829, 837, 838<br />
ZF 352,356-360<br />
ZFC 352, 353, 356, 357, 360, 383,<br />
392, 395, 482, 537, 684<br />
zusammenhangende Menge, zusammenhangender<br />
Raum 404,603,627,<br />
656, 750, 752, 753, 786, 799, 800,<br />
805-807,809,810,813-815,818,826-<br />
829,831,832,836-839,858,867,908,<br />
928, 929
zusammenhangend im Kleinen 374<br />
Zusammenhangsgruppe (eines Komplexes)<br />
937<br />
Zusammenhangskomponente 373,<br />
374, 771, 806, 812, 813, 816, 818,<br />
827-829,831,832,834,835,837-839,<br />
861, 908, 927, 928, 937<br />
Zusammenhangszahl (eines Komplexes)<br />
937<br />
zyklische Gruppe 876, 909, 910,<br />
912-915, 920-923, 927, 931, 933-936<br />
zyklisches Element 806, 810, 834<br />
Zyklus 865, 867, 872, 876-878, 885,<br />
904,905,907-909,921,922,926-930,<br />
932-942,955,958-964,967,971,972,<br />
974, 975, 977-980<br />
1003
Ulrich Feigner<br />
Universitat Tubingen<br />
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Deutschland<br />
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Deutschland<br />
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