Selektive katalytische Reduktion von Stickoxiden in Kraftfahrzeugen ...
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4 Spray<br />
Den Mittelwert der Transportgröße erhält man durch Ensemble-Mittelung über e<strong>in</strong>e<br />
ausreichend große Anzahl N <strong>von</strong> Ereignissen unter gleichen Randbed<strong>in</strong>gungen:<br />
¯φ<br />
1<br />
= lim<br />
N→∞ N<br />
Für den Mittelwert der Schwankungswerte folgt die Bed<strong>in</strong>gung<br />
N�<br />
φi. (4.2)<br />
i=1<br />
¯φ ′ =0. (4.3)<br />
Durch die Verwendung obiger Def<strong>in</strong>itionen <strong>in</strong> den Erhaltungsgleichungen erhält man<br />
durch Ensemble-Mittelung die Reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen. Die<br />
dabei auftretenden zusätzlichen Terme beschreiben den E<strong>in</strong>fluss der turbulenten Fluktuationen<br />
auf die gemittelten Strömungsgrößen. Diese s<strong>in</strong>d nicht explizit als Funktionen<br />
der Mittelwerte bekannt. Zur Schließung des Gleichungssystems müssen diese Terme<br />
mit e<strong>in</strong>em Turbulenzmodell beschrieben werden. In FIRE [9] werden die gemittelten<br />
Erhaltungsgleichungen mit e<strong>in</strong>em F<strong>in</strong>iten-Volumen-Verfahren gelöst. Hierfür s<strong>in</strong>d<br />
Rand- und Anfangsbed<strong>in</strong>gungen vorzugeben. Die gemittelten Erhaltungsgleichungen<br />
werden im Folgenden unter Verwendung der E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong>’schen Summationskonvention<br />
dargestellt, wobei Dichteschwankungen vernachlässigt s<strong>in</strong>d (siehe auch FIRE [9]).<br />
Massenbilanz<br />
Die Formulierung der Massenerhaltung liefert<br />
∂ρ<br />
∂t<br />
+ ∂(ρ ūi)<br />
∂xi<br />
= Sρ<br />
mit dem Quellterm Sρ aus der Tropfen- und Filmverdunstung.<br />
Impulsbilanz<br />
Aus der Impulserhaltung folgt<br />
48<br />
∂(ρ ūj)<br />
∂t<br />
+ ∂(ρ ūiūj)<br />
∂xi<br />
∂ ¯p<br />
= −<br />
∂xj<br />
+ ∂<br />
(¯τij − ρu<br />
∂xi<br />
′ iu′ j )+ρgj + Suj<br />
(4.4)<br />
(4.5)