Übung: Reglerentwurf für ein Mehrgrößensystem In einem Walzwerk ...

FG Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik, FB Produktionstechnik, Universität Bremen WS 2000/2001
Methoden der Prozessregelung, Dr.-Ing. Ch. Ament Blatt 11-1
Übung: Reglerentwurf für ein Mehrgrößensystem
In einem Walzwerk wird das durchlaufende Arbeitsgut aufgrund unterschiedlicher
Winkelgeschwindigkeiten zweier aufeinanderfolgender Walzen plastisch verformt.
Antrieb 1 Antrieb 2
ω 1, M A1
Es werden zwei identische Antriebe mit fremderregten Gleichstrommaschinen verwendet.
Das durch plastische Verformung entstehende Moment ML kann als proportional zur
Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ∆ω=ω2–ω1 > 0 angenommen werden. Es ergibt sich
das folgende Strukturbild:
u A1
e A1
_
a) Implementieren Sie das Blockschaltbild in Simulink.
Definieren Sie folgende numerische Konstanten in Matlab:
RA = 0.5 Widerstand des Ankerkreises
LA = 1 Induktivität des Ankerkreises
c = 10 Produkt aus Maschinenkonstante und Hauptfluß
J = 5 Trägheitsmoment des Antriebs
ω 2, M A2
Arbeitsgut
iA1 MA1 M1 1 ω1 = y1 uA2 _
1
R A
L A 1 +
R
s
iA2 c
MA2 M2 1
s J
ω2 = y2 e A2
c
1
R
L
1 +
R
A
c
A
A
A
s
c
K = 20 Proportionalitätskonstante zwischen Drehzahldifferenz und Lastmoment
_
M L
s J
K
∆ω
_

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b) Bestimmen Sie eine Zustandsraumdarstellung des Systems in Matlab.
Dazu müssen im Simulink-Modell die Systemeingänge mit den Kontakten "IN" und die
Ausgänge mit den Kontakten "OUT" definiert werden. Verwenden Sie dann in Matlab den
Befehl:
[A,B,C,D] = linmod('Modellname')
c) Wo liegen die Eigenwerte des Systems? Ist das System stabil?
d) Ist das System steuerbar?
e) Entwerfen Sie einen Riccati-Regler. (Matlab-Befehl: K=riccati(A,B,Q,R) )
f) Entwerfen Sie die Vorfiltermatrix.
g) Implementieren Sie das geregelte System in Simulink und simulieren Sie
Sollwertsprünge.
Übung: Reglerentwurf für eines nichtlinearen Systems
Die Temperatur in einem chemischen Reaktor soll stabilisiert werden. Überschreitet die
absolute Differenz zwischen Solltemperatur w und gemessener Temperatur r den Wert a,
führt entweder eine Heizung den konstanten Wärmestrom u = b zu oder eine Kühlung führt
den konstanten Wärmestrom i = –b ab. Der Wärmeaustausch mit der Umgebung werde nicht
berücksichtigt; T1 und T2 seien Zeitkonstanten des Messfühlers.
Es ergibt sich der folgende Regelkreis:
w
b
e
-a u K
y
a
s
_ -b
a) Geben Sie den zugehörige nichtlinearen Standardregelkreis an.
b) Können bleibende Regelabweichungen e ≠ 0 auftreten?
c) Skizzieren Sie die lineare und die nichtlineare Ortskurve in der komplexe Ebene.
Es sei T1 = 10, T2 = 2, K = 0.5, b = 4.
r
( 1
1
+ T s )( 1 + T
d) Für welche Werte von a tritt nach der Methode der Harmonischen Balance eine
Dauerschwingung auf?
e) Für a = 1.5 bestimme man die Amplitude A und die Kreisfrequenz ω der
Dauerschwingung.
1
2
s )

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Lösung zur Übungsaufgabe: Reglerentwurf für ein Mehrgrößensystem
Aufgabenteil a):
• Das Simulink-Modell wie nachstehend gezeigt erstellt und unter 'walzwerk' gespeichert.
• Die Konstanten müssen im Matlab-Interpreter definiert werden:
Ra=0.5, La=1, c=10, J=5, k=20
(klein "k" erspart Konflikte zur Reglermatrix "K"!)
Aufgabenteil b):
Das lineare Zustandsraummodell erhält man im Matlab-Interpreter durch:
[A,B,C,D]=linmod('walzwerk')
Es ist (die Reihenfolge der Zustände kann prinzipiell auch permutiert sein!):
A =
-4.0000 4.0000 10.0000 0
4.0000 -4.0000 0 10.0000
-2.0000 0 -0.5000 0
0 -2.0000 0 -0.5000
B =
C =
D =
0 0
0 0
1 0
0 1
0.2000 0 0 0
0 0.2000 0 0
0 0
0 0

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Aufgabenteil c):
» eig(A)
ans =
-0.2500 + 4.4651i
-0.2500 - 4.4651i
-4.2500 + 2.4367i
-4.2500 - 2.4367i
Die Eigenwerte liegen also alle in der stabilen komplexen Halbebene, d.h. das ungeregelte
System ist stabil. Dennoch ist ein Reglerentwurf sinnvoll, um dem System bessere
dynamische Eigenschaften, z. B. bei Störungen, zu verleihen.
Aufgabenteil d):
Zuerst wird die Steuerbarkeitsmatrix Qr bestimmt. Der Rang von Qr ist 4; das entspricht der
Systemordnung n=4 und das System ist also steuerbar.
» Qr=ctrb(A,B)
Qr =
Columns 1 through 7
0 0 10.0000 0 -45.0000 40.0000 142.5000
0 0 0 10.0000 40.0000 -45.0000 -340.0000
1.0000 0 -0.5000 0 -19.7500 0 99.8750
0 1.0000 0 -0.5000 0 -19.7500 -80.0000
Column 8
-340.0000
142.5000
-80.0000
99.8750
» rank(Qr)
ans =
4
Aufgabenteil e):
Eine "Standardvorgabe" für die Gewichtungsmatrizen Q und R für den Riccati-Regler sind
Einheitsmatrizen:
» K=lqr(A,B,eye(4),eye(2))
K =
0.1082 0.1279 1.1843 0.7593
0.1279 0.1082 0.7593 1.1843
Aufgabenteil f):
» S=-inv(C*inv(A-B*K)*B)
S =
12.3909 -1.2106
-1.2106 12.3909

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Aufgabenteil g):
Das nachfolgend dargestellte Simulink-Blockschaltbild entspricht der allgemeinen Struktur
der Zustandsraum-Darstellung (siehe Blatt 5-2):
Für die erste Walze wird zu t=0 der
Sollwert der Drehzahl auf w1=1
gesetzt, für die zweite Walze wird zu
t=10 der Sollwert auf w2=2 gesetzt.
Nebenstehend das Bild des "Scope":
Man erkennt das Einschwingen auf die
vorgegebenen Sollwerte. Wird in t=10
die zweite Walze eingeschaltet, hat
dies auch eine Rückwirkung auf die
erste Walze.
Zum Vergleich ist nebenstehend die
Antwort für das ungeregelte System
gezeigt. Dazu wird die Rückführung
zu Null gesetzt:
K=zeros(2,4)
und das zugehörige Vorfilter S wie in
f) neu berechnet.
Im Vergleich bestätigt sich, dass der
Regler das dynamische Verhalten des
Mehrgrößensystems deutlich
verbessert.