download PDF (41MB) - Mike Schilli
download PDF (41MB) - Mike Schilli
download PDF (41MB) - Mike Schilli
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
ii) Eingabe der Ebene Geraden 2:<br />
XEQ"D"<br />
2 ENTER 8 ENTER 4 R/S<br />
3 ENTER 0 ENTER 2 R/S<br />
"A2="<br />
"U2="<br />
iii) Berechnung der Schnittmenge zwischen der Geraden 1<br />
und der Geraden 2:<br />
X E Q " H " " S : 2 ( 1 : 4 : 2 ) "<br />
Der Schnittpunkt der Geraden g und h ist also S(2/8/4).<br />
6. Man bestimme den Abstand des Punktes P(1/4/1) von der<br />
Ebene E: (1/2/1) + /\(3/3/1) + n( 1/0/0), sowie den FuBpunkt<br />
des Lotes von P und E.<br />
i) Eingabe der Ebene E in Parameterform:<br />
X E Q " A " " A = "<br />
1 ENTER 2 ENTER 1 R/S "U^"<br />
3 ENTER 3 ENTER 1 R/S *%="<br />
1 ENTER 0 ENTER 0 R/S —<br />
ii) Eingabe des Punktes P:<br />
XEQ"E"<br />
1 ENTER 4 ENTER 1 R/S<br />
"P(XfYfZ)"<br />
iii) Berechnung des Abstandes des Punktes P von der<br />
Ebene 1, sowie Ermittlung des LotfuBpunktes:<br />
X E Q " I " " d = - 0 , 6 3 2 4 5 6 "<br />
R / S " F D L : 1 / 5 ( 5 : 1 9 : 8 ) "<br />
Der Abstand des Punktes P von der Ebene E betragt also<br />
0,632456 Langeneinheiten. Das davorstehende Minuszeichen<br />
gibt an, daB der Punkt P und der Ursprung des Koordinatensystems<br />
auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen. Der Punkt, in<br />
dem das Lot von P auf E die Ebene E schneidet, hat die Koordinaten<br />
(1/1/1).<br />
7 Man bestimme den Abstand der windschiefen Geraden<br />
g: (0/0/1)+ X.(1/0/0) und<br />
h: (1/0/2) + (x(0/1/0).<br />
i) Eingabe der 1. Geraden:<br />
XEQ"C"<br />
0 ENTER 0 ENTER 1 R/S<br />
1 ENTER 0 ENTER 0 R/S<br />
ii) Eingabe der 2. Geraden:<br />
XEQ"D"<br />
1 ENTER 0 ENTER 2 R/S<br />
0 ENTER 1 ENTER 0 R/S<br />
"A,-"<br />
"U1 = "<br />
"A2="<br />
"U2="<br />
iii) Bestimmung der Schnittmenge zwischen der 1. und der<br />
2. Geraden:<br />
X E Q " H " " W I N D S C H I E F "<br />
R / S " A B S T A N D : 1 , 0 0 "<br />
Der kurzeste Abstand der beiden windschiefen Geraden betragt<br />
also genau eine (1) Langeneinheit.<br />
8. Man bestimme den FuBpunkt des Lotes vom Punkt<br />
P(V2 / 2V2 / 3V2) auf die Ebene E:<br />
(0/0/0) + \(1/0/0) + u.(0/1/0).<br />
XEQ"A"<br />
0 ENTER 0 ENTER 0 R/S<br />
1 ENTER 0 ENTER 0 R/S<br />
0 ENTER 1 ENTER 0 R/S<br />
"A,.<br />
"Ur<br />
"V,=<br />
X E Q " E " " P ( X / Y f Z ) "<br />
V2 ENTER 2 V2 ENTER 3V2 R/S —<br />
XEQ"<br />
R/S<br />
R/S<br />
"d=4,242641"<br />
"FDL: 1/1 (1:2:0)"<br />
1,414213562<br />
(TONE0)<br />
SERIE 40<br />
Der FuBpunkt des Lotes ist also F (V2/2V2/O). Der Vorfaktor<br />
ist, wie nach dem zweiten R/S ersichtlich wird, V2.<br />
Mathematische Grundlagen zum Programm:<br />
1. EBENE-EBENE<br />
a) Ist eine Ebene in der Parameterform gegeben, so erfolgt<br />
als erstes eine Umrechnung in die Normalenform (Koordi<br />
natendarstellung).<br />
mit<br />
+ /V- + H<br />
■ En: n,x + n2y + n3z = n4<br />
v,<br />
v2 |<br />
v3/<br />
und n^! + n2a2 + n3n3 = n4<br />
b) Die beiden Ebenen haben nun also die Form:<br />
E^ m,x + m2y + m3z = m4 E2: ^x + n2y + n3z = n4<br />
Jetzt kann der Schnittwinkel zwischen beiden Ebenen be<br />
rechnet werden:<br />
Es gilt namlich:<br />
COSCp:<br />
m • n<br />
|m| = Vm12+m22+m32<br />
|n| = Vni2-i-n22-l-n32<br />
Ist nun dieser Schnittwinkel cp=0 oder cp=180°, so sind<br />
die beiden zu untersuchenden Ebenen entweder parallel<br />
oder identisch. Dies kann folgendermaBen entschieden<br />
werden:<br />
Falls m,m4 = ntn4 und m2m4 = n2n4 und m3m4 = n3n4, so<br />
sind die beiden Ebenen identisch. Sollte dies jedoch nicht<br />
der Fall sein, so sind sie zueinander parallel und haben<br />
den Abstand<br />
d = DE10 - coscp ■ sgn(m4) • sgn(n4) • DE20<br />
mit DE10 = |m4<br />
m<br />
und DE20 = |n4|<br />
voneinander.<br />
Nimmt der Schnittwinkel jedoch einen Wert an, der von 0<br />
und 180 verschieden ist, so schneiden sich beide Ebenen<br />
in einer Schnittgeraden, die sich folgendermaBen bestimmen<br />
laBt:<br />
mi<br />
Richtungsvektor:v= ( m2 I<br />
Vm3/<br />
Antragungspunkt: n,x + n2y + n3z = n4<br />
m,x + m2y + m3z = m4<br />
Aus diesem Gleichungssystem wird der Antragspunkt der<br />
Geraden durch Nullsetzen einer Koordinate und anschlie-<br />
Bendem Auflosen nach x und y gewonnen.<br />
2. EBENE-GERADE<br />
Die Ebene E und die Gerade g seien in folgender Form gege<br />
ben:<br />
Ev ^x + n2y + n3z = n4<br />
Computerclub Deutschland e.V PRISMA 6/89 23