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ii) Eingabe der Ebene Geraden 2:
XEQ"D"
2 ENTER 8 ENTER 4 R/S
3 ENTER 0 ENTER 2 R/S
"A2="
"U2="
iii) Berechnung der Schnittmenge zwischen der Geraden 1
und der Geraden 2:
X E Q " H " " S : 2 ( 1 : 4 : 2 ) "
Der Schnittpunkt der Geraden g und h ist also S(2/8/4).
6. Man bestimme den Abstand des Punktes P(1/4/1) von der
Ebene E: (1/2/1) + /\(3/3/1) + n( 1/0/0), sowie den FuBpunkt
des Lotes von P und E.
i) Eingabe der Ebene E in Parameterform:
X E Q " A " " A = "
1 ENTER 2 ENTER 1 R/S "U^"
3 ENTER 3 ENTER 1 R/S *%="
1 ENTER 0 ENTER 0 R/S —
ii) Eingabe des Punktes P:
XEQ"E"
1 ENTER 4 ENTER 1 R/S
"P(XfYfZ)"
iii) Berechnung des Abstandes des Punktes P von der
Ebene 1, sowie Ermittlung des LotfuBpunktes:
X E Q " I " " d = - 0 , 6 3 2 4 5 6 "
R / S " F D L : 1 / 5 ( 5 : 1 9 : 8 ) "
Der Abstand des Punktes P von der Ebene E betragt also
0,632456 Langeneinheiten. Das davorstehende Minuszeichen
gibt an, daB der Punkt P und der Ursprung des Koordinatensystems
auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen. Der Punkt, in
dem das Lot von P auf E die Ebene E schneidet, hat die Koordinaten
(1/1/1).
7 Man bestimme den Abstand der windschiefen Geraden
g: (0/0/1)+ X.(1/0/0) und
h: (1/0/2) + (x(0/1/0).
i) Eingabe der 1. Geraden:
XEQ"C"
0 ENTER 0 ENTER 1 R/S
1 ENTER 0 ENTER 0 R/S
ii) Eingabe der 2. Geraden:
XEQ"D"
1 ENTER 0 ENTER 2 R/S
0 ENTER 1 ENTER 0 R/S
"A,-"
"U1 = "
"A2="
"U2="
iii) Bestimmung der Schnittmenge zwischen der 1. und der
2. Geraden:
X E Q " H " " W I N D S C H I E F "
R / S " A B S T A N D : 1 , 0 0 "
Der kurzeste Abstand der beiden windschiefen Geraden betragt
also genau eine (1) Langeneinheit.
8. Man bestimme den FuBpunkt des Lotes vom Punkt
P(V2 / 2V2 / 3V2) auf die Ebene E:
(0/0/0) + \(1/0/0) + u.(0/1/0).
XEQ"A"
0 ENTER 0 ENTER 0 R/S
1 ENTER 0 ENTER 0 R/S
0 ENTER 1 ENTER 0 R/S
"A,.
"Ur
"V,=
X E Q " E " " P ( X / Y f Z ) "
V2 ENTER 2 V2 ENTER 3V2 R/S —
XEQ"
R/S
R/S
"d=4,242641"
"FDL: 1/1 (1:2:0)"
1,414213562
(TONE0)
SERIE 40
Der FuBpunkt des Lotes ist also F (V2/2V2/O). Der Vorfaktor
ist, wie nach dem zweiten R/S ersichtlich wird, V2.
Mathematische Grundlagen zum Programm:
1. EBENE-EBENE
a) Ist eine Ebene in der Parameterform gegeben, so erfolgt
als erstes eine Umrechnung in die Normalenform (Koordi
natendarstellung).
mit
+ /V- + H
■ En: n,x + n2y + n3z = n4
v,
v2 |
v3/
und n^! + n2a2 + n3n3 = n4
b) Die beiden Ebenen haben nun also die Form:
E^ m,x + m2y + m3z = m4 E2: ^x + n2y + n3z = n4
Jetzt kann der Schnittwinkel zwischen beiden Ebenen be
rechnet werden:
Es gilt namlich:
COSCp:
m • n
|m| = Vm12+m22+m32
|n| = Vni2-i-n22-l-n32
Ist nun dieser Schnittwinkel cp=0 oder cp=180°, so sind
die beiden zu untersuchenden Ebenen entweder parallel
oder identisch. Dies kann folgendermaBen entschieden
werden:
Falls m,m4 = ntn4 und m2m4 = n2n4 und m3m4 = n3n4, so
sind die beiden Ebenen identisch. Sollte dies jedoch nicht
der Fall sein, so sind sie zueinander parallel und haben
den Abstand
d = DE10 - coscp ■ sgn(m4) • sgn(n4) • DE20
mit DE10 = |m4
m
und DE20 = |n4|
voneinander.
Nimmt der Schnittwinkel jedoch einen Wert an, der von 0
und 180 verschieden ist, so schneiden sich beide Ebenen
in einer Schnittgeraden, die sich folgendermaBen bestimmen
laBt:
mi
Richtungsvektor:v= ( m2 I
Vm3/
Antragungspunkt: n,x + n2y + n3z = n4
m,x + m2y + m3z = m4
Aus diesem Gleichungssystem wird der Antragspunkt der
Geraden durch Nullsetzen einer Koordinate und anschlie-
Bendem Auflosen nach x und y gewonnen.
2. EBENE-GERADE
Die Ebene E und die Gerade g seien in folgender Form gege
ben:
Ev ^x + n2y + n3z = n4
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