Darstellende Geometrie (DG) - Albino Troll
Darstellende Geometrie (DG) - Albino Troll
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<strong>Darstellende</strong> <strong>Geometrie</strong> (<strong>DG</strong>)<br />
Schule: HTBLuVA St. Pölten<br />
Abteilung: Elektronik<br />
Lehrperson: Dipl.-Ing. Wolfgang Lenz<br />
Jahrgang: 2002 / 03<br />
Klasse: 1AT
1 Anmerkung<br />
Prof. Lenz ist bereits pensioniert.<br />
Im Unterricht wurde folgendes Lehrbuch verwendet: Frischherz, Piegler, Technisches<br />
Zeichnen Fachzeichnen 1. Teil, 2002, Verlag Jugend & Volk, Wien ISBN: 3-7002-1174-0<br />
Die Zeichnungen sind durch den Scanvorgang, das Einfügen in den Texteditor sowie<br />
Konvertierungsvorgänge nicht mehr in Originalgröße.<br />
2 Inhaltsverzeichnis<br />
1 Anmerkung......................................................................................................................... 2<br />
2 Inhaltsverzeichnis............................................................................................................... 2<br />
3 Linienarten ......................................................................................................................... 4<br />
4 Die wichtigsten Bezeichnungen, gebräuchliche Symbole ................................................. 4<br />
5 Einleitung ........................................................................................................................... 5<br />
6 Hauptrisse........................................................................................................................... 6<br />
7 Maßstäbliche Risse............................................................................................................. 7<br />
8 Normalriss und Schrägriss ................................................................................................. 8<br />
8.1 Die Bildebene............................................................................................................. 8<br />
8.2 Der Normalriss ........................................................................................................... 8<br />
8.3 Der Schrägriss ............................................................................................................ 8<br />
9 Der Kavalierriss (auch Frontalriss genannt)....................................................................... 8<br />
9.1 Angabe eines Kavalierrisses (Frontalriss).................................................................. 9<br />
9.2 Näherungsweise Kavalierrissdarstellung von Kreisen die nicht parallel zur<br />
Bildebene liegen................................................................................................................... 10<br />
9.3 Konstruktion und Anwendung des Verkürzungswinkels α (nur für Tiefenstrecken<br />
(x-Richtung))........................................................................................................................ 11<br />
10 Grund- und Aufriss....................................................................................................... 12<br />
10.1 Abbildung eines Raumpunktes P ............................................................................. 12<br />
11 Zweckmäßige Angabe eines Raumpunktes P .............................................................. 14<br />
12 Seitenrisse..................................................................................................................... 15<br />
12.1 Der 13-Seitenriss...................................................................................................... 15<br />
12.2 Der 23-Seitenriss...................................................................................................... 21<br />
13 Punkt, Gerade............................................................................................................... 23<br />
13.1 Der Punkt.................................................................................................................. 23<br />
13.2 Die Gerade................................................................................................................ 23<br />
13.2.1 Die projizierenden Geraden ............................................................................. 23<br />
13.2.2 Die Profilgeraden ............................................................................................. 24<br />
13.2.3 Spezielle Lagen von Geraden........................................................................... 24<br />
13.3 Satz vom Winkel, Satz vom rechten Winkel............................................................ 30<br />
13.4 Spurpunkte einer Geraden........................................................................................ 30<br />
13.5 Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Bildebene............................................. 31<br />
14 Die Ebene ..................................................................................................................... 32<br />
14.1 Angabestücke einer Ebene ....................................................................................... 32<br />
14.2 Hauptgeraden in einer Ebene ................................................................................... 35<br />
14.3 Paralleldrehen einer Ebene....................................................................................... 35<br />
14.4 Konstruktionsaufgaben............................................................................................. 37<br />
14.5 Projizierendmachen einer Ebene.............................................................................. 40<br />
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14.6 Normalgerade zu einer Ebene .................................................................................. 41<br />
14.7 Normalgerade γ zu einer Geraden g......................................................................... 47<br />
15 Die Ellipse.................................................................................................................... 48<br />
15.1 Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse ................................................................... 49<br />
16 Weitere Beispiele ......................................................................................................... 49<br />
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3 Linienarten<br />
Breite Volllinie 0,6mm weich (F, HB)<br />
Strichlierte Linie 0,3mm hart oder weich<br />
Schmale Linie 0,15mm hart (4H, 3H)<br />
Alle Striche gleich lang!<br />
Nie mit einem Abstand beginnen!<br />
Strich 4-6mm<br />
Abstand 1mm<br />
langer Strich 8-15mm<br />
kurzer Strich 1mm<br />
Abstand 1mm<br />
4 Die wichtigsten Bezeichnungen, gebräuchliche Symbole<br />
Um rasch miteinander kommunizieren zu können, sind einige gebräuchliche Symbole<br />
sinnvoll.<br />
Punkte......................................... (Großbuchstaben, röm. Ziffern, arab. Ziffern)<br />
Geraden, Strecken, Kurven ....................................................(Kleinbuchstaben)<br />
Ebenen und andere Flächen..................... (griech. Buchstaben (z.B.: π, ε, ν,…))<br />
Winkel ....................................(griech. Kleinbuchstaben (z.B.: α, β, δ, φ, ψ,…))<br />
Länge der Strecke A B ................................................................................. AB<br />
Länge des Bogens A B................................................................................. ∩<br />
AB<br />
Parallelzeichen ..................................................................................................//<br />
Normalzeichen ................................................................................................ ⊥<br />
.<br />
Rechtwinkelzeichen ...................................................................................<br />
Winkelzeichen................................................................................................. ∠<br />
Ist Element von.................................................................................................∈<br />
Ist nicht Element von........................................................................................∉<br />
Durch................................................................................................................ ∋<br />
Nicht durch.......................................................................................................<br />
Und.................................................................................................................. ∧<br />
Oder................................................................................................................. ∨<br />
Durchschnitt, geschnitten mit.......................................................................... ∩<br />
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Beispiele:<br />
1) Gerade g durch die Punkte A, B<br />
g ∋ A ∧ g ∋ B ( g ∋ A,<br />
B)<br />
2) Gerade g parallel zu g und g durch P<br />
g // g ∧ g ∋ P<br />
3) Gerade n normal auf g und n durch P<br />
n ⊥ g ∧ n ∋ P<br />
4) Ebene ε durch die Punkte A, B, C<br />
ε ∋ A ∧ ε ∋ B ∧ ε ∋ C ( ε ∋ A,<br />
B,<br />
C)<br />
5 Einleitung<br />
Die DARSTELLENDE GEOMETRIE ist die Lehre von den gesetzmäßigen<br />
Abbildungen räumlicher Objekte auf eine Ebene (Zeichenebene).<br />
Betrachten wir irgendein Raumobjekt, so sehen wir sein Bild ähnlich einer Fotografie. Die<br />
Sehstrahlen sammeln sich im Auge und liefern das uns allen wohlbekannte Bild unserer<br />
dreidimensionalen Umwelt.<br />
Umgekehrt könnte man ein Raumobjekt aus einem Punkt (Projektionszentrum) projizieren<br />
und erhielte auf diese Art und Weise auf einer Leinwand (Zeichenebene) sein ebenes Bild.<br />
Dieses Bild bezeichnet man als „RISS“.<br />
Liegt das Projektionszentrum in messbarer Entfernung von<br />
dem abzubildenden Objekt, so spricht man von einem<br />
„ZENTRALRISS“<br />
(= ebenes Bild des Objektes bei Zentralprojektionen)<br />
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Liegt das Projektionszentrum jedoch unendlich weit vom Objekt entfernt, so spricht man von<br />
einem „PARALLELRISS“.<br />
(=ebenes Bild des Objekts bei Parallelprojektion)<br />
Die Projektionsstrahlen sind parallel und kommen aus dem unendlich fernen<br />
Projektionszentrum.<br />
Da das (unendlich ferne) Projektionszentrum zeichnerisch nicht erfasst werden kann, ist es bei<br />
Parallelprojektionen üblich, die s.g. „BLICKRICHTUNG“ (= Projektionsstrahlrichtung)<br />
anzugeben.<br />
(Blickrichtung = Richtung, in der das unendlich ferne Projektionszentrum zu suchen ist)<br />
6 Hauptrisse<br />
Den meisten Objekten lassen sich in zwangloser Weise die Begriffe „BREITE“, „TIEFE“,<br />
„HÖHE“ zuordnen, analog dazu kennen wir in der <strong>Darstellende</strong>n <strong>Geometrie</strong> drei<br />
Hauptblickrichtungen – dazugehörend drei Hauptrisse.<br />
Grundriss ............. (Projektionszentrum unendlich weit oben)<br />
Aufriss ................. (Projektionszentrum unendlich weit vorne)<br />
Kreuzriss.............. (Projektionszentrum unendlich weit links)<br />
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Oberhalb des Grundrisses wird der Aufriss angeordnet � Grund- und Aufriss einer Ecke<br />
(eines Punktes) liegen auf einer senkrechten Hilfsgeraden – einem „12-Ordner“.<br />
Rechte neben dem Aufriss wird der Kreuzriss angeordnet � Auf- und Kreuzriss einer Ecke<br />
(eines Punktes) liegen auf einer waagrechten Hilfsgeraden – einem „23-Ordner“.<br />
7 Maßstäbliche Risse<br />
Die meisten Gegenstände können nicht in ihrer natürlichen Größe abgebildet werden, da ihre<br />
Bilder entweder zu groß (Haus) oder zu klein (Uhrteile) werden würden.<br />
Man zeichnet daher die meisten Gegenstände in einem bestimmten Maßstab.<br />
z.B.: M 1:10 bedeutet: ein Zentimeter in der Zeichnung entspricht 10 Zentimeter<br />
Wirklichkeit (Verkleinerung)<br />
oder M 2:1 bedeutet: zwei Zentimeter in der Zeichnung entsprechen 1 Zentimeter<br />
Wirklichkeit (Vergrößerung)<br />
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8 Normalriss und Schrägriss<br />
8.1 Die Bildebene<br />
Beim Parallelriss werden Punkte des Gegenstandes durch parallele Projektionsstrahlen auf die<br />
sog. „Bildebene“ (= Ebene in der das ebene Bild des Körpers entsteht) projiziert.<br />
Beim Parallelriss sind alle Projektionsstrahlen parallel, also zur Bildebene gleich geneigt.<br />
8.2 Der Normalriss<br />
Ein Parallelriss heißt „Normalriss“, wenn die Blickrichtung (Projektionsstahlrichtung) zur<br />
Bildebene normal steht.<br />
8.3 Der Schrägriss<br />
Ein Parallelriss heißt „Schrägriss“, wenn die Blickrichtung (Projektionsstrahlrichtung) zur<br />
Bildebene nicht normal steht.<br />
9 Der Kavalierriss (auch Frontalriss genannt)<br />
= spezifischer Schrägriss, bei dem<br />
senkrechte Körperseitenflächen<br />
parallel zu einer senkrechten<br />
(frontalen) Bildebene (sie liegt wie<br />
eine Aufrissebene) angenommen<br />
werden.<br />
1, 2, 3, 4…Vorderseite<br />
5, 6, 7, 8…Rückseite<br />
b n = x s<br />
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Für beliebige Parallelrisse (Schräg- und Normalrisse) gilt der wichtige Satz:<br />
LIEGT EINE EBENE FIGUR PARALLEL ZU EINER BILDEBENE; SO BILDET SICH<br />
DIESE EBENE UNVERZERRT AB.<br />
Also: Alle Längen bzw. alle Winkel die parallel zu einer Bildebene liegen, erscheinen<br />
unverzerrt.<br />
Alle tiefen Strecken (z.B.: 5-1, 6-2, 7-3, 8-4) bilden sich in Richtung b n = x s ab.<br />
9.1 Angabe eines Kavalierrisses (Frontalriss)<br />
1) Körper durch Grund- und Aufriss oder Auf- und Kreuzriss oder Grund-, Auf- und<br />
Kreuzriss<br />
2) Normalprojektion b n (b n = x s ) der Blickrichtung b auf die Bildebene π (b n = Aufriss<br />
von b)<br />
Möglichkeiten:<br />
0° < φ° < 90° Ansicht von links oben<br />
90° < φ° < 180° Ansicht von rechts oben<br />
180° < φ° < 270° Ansicht von rechts unten<br />
270° < φ° < 360° Ansicht von links unten<br />
3) Verzerrung Vx der Strecken in Tiefenrichtung (also in x-Richtung)<br />
z.B.: Vx = 2 : 3<br />
Bildstrecke Urstrecke<br />
speziell: Vx = 1:1…Keine Verzerrungen der Strecken in Tiefenrichtung:<br />
„Isometrischer Kavalierriss“<br />
Bemerkung: Aus rein optischen Gründen verzichtet man auf eine Verlängerung der<br />
Strecken in Tiefenrichtung.<br />
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9.2 Näherungsweise Kavalierrissdarstellung von Kreisen die nicht<br />
parallel zur Bildebene liegen<br />
Die Parallelprojektion eines Kreises ist im Allgemeinen eine Elypse.<br />
Prinzip: Man umschreibt dem Kreis ein „Hauptrichtungsquadrat“. Dieses geht vermöge einer<br />
Kavalierrissprojektion über in ein „Hauptrichtungsparallelogramm“, in das die Bildebene<br />
passen muss.<br />
Bemerkung: Hauptrichtungen sind die x-, y- und z-Richtungen.<br />
Geg.: Körper durch Auf und Kreuzriss, b n = 30°<br />
Ges.: Isometrischer Kavalierriss (Vx = 1:1)<br />
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Zur Verkürzung von Strecken in Tiefenrichtung (x-Richtung): Verkürzungswinkel α.<br />
Bemerkung: Strecken in y- und z-Richtung sind bei jedem Kavalierriss unversehrt.<br />
9.3 Konstruktion und Anwendung des Verkürzungswinkels α (nur<br />
für Tiefenstrecken (x-Richtung))<br />
z.B.: Vx = 2:3 (Bildstrecke : Urstrecke)<br />
e…beliebige Einheit<br />
Die verkürzte Bildstrecke wird mit dem Zirkel berührend an den zweiten Winkelschenkel<br />
abgegriffen (und sofort in den Kavalierriss übertragen).<br />
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10 Grund- und Aufriss<br />
Definiton: Zwei Normalrisse, deren Blickrichtungen zueinander normal sind, heißen<br />
„zugeordnete Normalrisse“.<br />
Grund- und Aufriss sind zugeordnete Normalrisse mit den Blickrichtungen:<br />
1) Blickrichtung von oben � 1. Rissebene π1 (Grundrissebene) waagrecht<br />
2) Blickrichtung von vorne � 2. Rissebene π2 (Aufrissebene) senkrecht (frontal)<br />
Grund- und Aufrissebene schneiden sich längs einer Geraden 12 (12…“Rissachse“).<br />
10.1 Abbildung eines Raumpunktes P<br />
P ′ )<br />
P )<br />
Sehstrahl 1 von oben durch P � P′ in π1 ( = 1∩ π1<br />
Sehstrahl 2 von vorne durch P � P ′ in π2 ( ′<br />
= 2 ∩π<br />
2<br />
Die Sehstrahlen 1 und 2 bilden eine Ebene σ, die zu π1 und π2 normal steht.<br />
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Die <strong>Darstellende</strong> <strong>Geometrie</strong> hat die Aufgabe, Gegenstände des Raumes in einer Zeichenebene<br />
darzustellen und konstruktiv zu beherrschen.<br />
Man vereinigt daher Grund- und Aufriss in einer Zeichenebene und zwar so:<br />
Wir denken uns π2 in unsere Zeichenebene gelegt und die Grundrissebene π1 um die<br />
Rissachse 12 um 90° in die Zeichenebene geklappt.<br />
Zeichenebene geklappt: π1 � (π1)<br />
Der Punkt P′ beschreibt beim Drehen um 12 einen Viertelkreisbogen<br />
p P′<br />
→ ( P′<br />
) s′<br />
→ ( s′<br />
)<br />
Wir erkennen weiters: (s′ ) und s s ′ fallen nach der Drehung in die Verbindungsgerade<br />
[( P ′ ), P′<br />
′ ] ⊥ 12 zusammen.<br />
Eine solche Gerade [( P ′ ), P′<br />
′ ] ⊥ 12 nennt man „12-Ordner“.<br />
Von nun an wollen wir uns die Drehung π1 in die Zeichenebene bereits ausgeführt denken<br />
und schreiben daher statt (P′ ) nur noch P′.<br />
Entsprechende Punkte ( P ′ , P′<br />
′ ) liegen stets auf einem 12-<br />
Ordner senkrecht zur Rissachse 12.<br />
Von dieser „Ordnerbedingung“ gibt es keine Ausnahmen!<br />
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11 Zweckmäßige Angabe eines Raumpunktes P<br />
Durch 3 Zahlen (Koordinaten): P(xp / yp / zp)<br />
z.B.: P(3 / 2 / 4)<br />
Der Punkt P liegt 2e rechts von 0, 3e vor π2, 4e über π1<br />
y-Koordinate x-Koordinate z-Koordinate<br />
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Beispiele: P(3/-7/2), Q(4/-5/0), R(0/-3/5), S(0/-1/0), T(-2/2/4),<br />
U(3/5/-5), V(-2/7/-3)<br />
Der Punkt P liegt 7e links von 0, 3e vor π2, 2e über π1.<br />
Der Punkt Q liegt 5e links von 0, 4e vor π2, 0e über π1.<br />
Der Punkt R liegt 3e links von 0, 0e vor π2, 5e über π1.<br />
Der Punkt S liegt 1e links von 0, 0e vor π2, 0e über π1 – also auf 12.<br />
Der Punkt T liegt 2e rechts von 0, 2e hinter π2, 4e über π1.<br />
Der Punkt U liegt 5e rechts von 0, 3e vor π2, 5e unter π1.<br />
Der Punkt V liegt 7e rechts von 0, 2e hinter π2, 3e unter π1.<br />
12 Seitenrisse<br />
12.1 Der 13-Seitenriss<br />
Einführung einer neuen Bildebene π3 normal auf π1 – Sehstrahlrichtung 3 normal zur<br />
Bildebene.<br />
(Der 13-Seitenriss ist also auch ein Normalriss.)<br />
Wozu:<br />
1) Das 3. Bild eines Körpers wird anschaulicher.<br />
2) Das 3. Bild eines Körpers wird einfacher – Konstruktionen sich einfach durchführbar.<br />
HTL / <strong>DG</strong> 1AT Seite 15 / 53
Wie beim Grund- und Aufrissverfahren wird nun π3 um die Rissachse 13 um 90° in die<br />
Zeichenebene geklappt. P ′ beschreibt dabei einen Viertelkreisbogen um die neue Rissachse<br />
13 und gelangt nach (P ′ ) .<br />
P ′ und (P ′ ) liegen auf einem 13-Ordner senkrecht zur Rissachse 13.<br />
Statt (P ′ ) schreiben wir wiederum nur P ′ .<br />
Wichtige Erkenntnis:<br />
P ′ hat von 13 den gleichen Abstand wie P ′ von 12!<br />
Geg.: P ′ , P′<br />
′ , 12,<br />
13<br />
Geg.: A ′ , A′<br />
′ , B′<br />
, B′<br />
′ , 12,<br />
13<br />
Ges.: P ′ ′′<br />
Ges.: A ′ , B′<br />
′<br />
Achtung: Die Abstände müssen dabei orientiert abgetragen werden!<br />
HTL / <strong>DG</strong> 1AT Seite 16 / 53
Geg.: Recheckiges Prisma mit schrägem Schnitt<br />
Ges.: 13-Seitenriss bei geg. Rissachse 13<br />
HTL / <strong>DG</strong> 1AT Seite 17 / 53
Geg.: Regelmäßige fünfseitige Pyramide mit schrägem Schnitt<br />
Ges.: 13-Seitenriss bei geg. Rissachse 13<br />
HTL / <strong>DG</strong> 1AT Seite 18 / 53
A(0/6/3), B(-2/4/2), C(-3/2/-4), D(3/0/-3), E(2/-2/0),<br />
F(2/-4/3), G(4/-6/3), H(0/-8/6)<br />
Der Punkt A liegt 6e rechts von 0, in π2, 3e über π1<br />
B liegt 4e rechts von 0, 2e hinter π2, 2e über π1<br />
C liegt 2e rechts von 0, 3e hinter π2, 4e unter π1<br />
D liegt auf 0, 3e vor π2, auf 12<br />
E liegt 2e links von 0, 2e vor π2, auf 12<br />
F liegt 4e links von 0, 2e vor π2, 3e über π1<br />
G liegt 6e links von 0, 4e vor π2, 3e über π1<br />
H liegt 8e links von 0, in π2, auf 12<br />
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Geg.: Körperkombination<br />
Ges.: 13-Seitenriss<br />
HTL / <strong>DG</strong> 1AT Seite 20 / 53
12.2 Der 23-Seitenriss<br />
Einführung einer neuen Bildebene π3, normal auf π2.<br />
Sehstrahlrichtung 3 normal zu π3.<br />
(Der 23-Seitenriss ist also auch ein Normalriss!)<br />
π3 wird um die Rissachse 23 um 90° in die Zeichenebene geklappt.<br />
P ′ beschreibt dabei einen Viertelkreisbogen um die neue Rissachse 23 und gelangt nach<br />
(P ′ ) .<br />
P ′ und P ′ ′′ liegen auf einem 23-Ordner, senkrecht zur Rissachse 23.<br />
Wichtige Erkenntnis:<br />
P ′ hat von 23 den gleichen Abstand wir P′ von 12.<br />
Geg.: P ′ , P′<br />
′ , 12,<br />
23<br />
Ges.: P ′<br />
′′<br />
HTL / <strong>DG</strong> 1AT Seite 21 / 53
Geg.: A ′ , A′<br />
′ , B′<br />
, B′<br />
′ , 12,<br />
23<br />
Ges.: A ′ , B′<br />
′<br />
Achtung: Die Abstände müssen dabei wiederum abgetragen werden!<br />
Geg.: Körperkombination, 12, 13<br />
Ges.: 23-Seitenriss<br />
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13 Punkt, Gerade<br />
13.1 Der Punkt<br />
Wir alle wissen, was man unter einem Punkt versteht, aber trotzdem lässt er sich nicht<br />
sinnvoll definieren.<br />
Ein Punkt ist dimensionslos.<br />
Hilfsvorstellung: Körperecke, Kreismittelpunkt, Schnittpunkt zweier Geraden, usw.<br />
13.2 Die Gerade<br />
Eindimensional, vorstellbar als kürzeste Verbindung zweier Punkte jedoch unendlich lang.<br />
Angabe einer Geraden: Durch zwei Punkte: g[A,B]<br />
Grund und Aufriss einer Geraden, allgemeine Lage<br />
13.2.1 Die projizierenden Geraden<br />
Definition: Unter einer projizierenden Geraden versteht man eine Gerade, die normal auf eine<br />
Bildebene steht.<br />
Eine erstprojizierende Gerade steht normal auf π1, ihr Grundriss ist ein Punkt, ihr Aufriss<br />
steht senkrecht auf die Rissachse 12.<br />
Aus ⊥ π1<br />
g //π 2 g ist also automatisch eine 2. Hauptgerade (g = h2)<br />
g folgt:<br />
z.B.: AB =<br />
A′<br />
′ B′<br />
′<br />
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Eine zweitprojizierende Gerade steht normal auf π2, ihr Aufriss ist ein Punkt, ihr Grundriss<br />
steht senkrecht auf die Rissachse 12.<br />
13.2.2 Die Profilgeraden<br />
Aus ⊥ π 2<br />
g //π 1 g ist also automatisch eine 1. Hauptgerade (g = h1)<br />
g folgt:<br />
z.B.: AB = A′<br />
B′<br />
Definition: Geraden für die Grund- und Aufriss in Ordnerrichtung fallen, heißen<br />
Profilgeraden.<br />
13.2.3 Spezielle Lagen von Geraden<br />
13.2.3.1 Die Hauptgeraden<br />
Achtung: Eine Profilgerade muss stets durch 2 Punkte<br />
gegeben sein!<br />
Bemerkung: Wahre Längen von Strecken sind jetzt nicht<br />
direkt ersichtlich.<br />
Definition: Unter einer Hauptgeraden versteht man eine Gerade, die parallel zu einer<br />
Bildebene liegt.<br />
Eine 1. Hauptgerade (h1) liegt parallel zu π1, ihr Aufriss ( h′ ′ 1 )<br />
ist parallel zur Rissachse 12. (Der Grundriss hat beliebige<br />
Lage.)<br />
Wir wissen bereits:<br />
Aus h1 // π1 folgt:<br />
Strecken auf h1 können im Grundriss unverzerrt gemessen<br />
werden. z.B.: AB = A′<br />
B′<br />
Umkehrung:<br />
Liegt der Aufriss einer Geraden parallel zur Rissachse 12, so<br />
handelt es sich automatisch um eine 1. Hauptgerade (g = h1)<br />
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Eine 2. Hauptgerade (h2) liegt parallel zu π2, ihr<br />
Grundriss ( h′ 2 ) ist parallel zur Rissachse 12 (Der<br />
Aufriss hat beliebige Lage.)<br />
Wir wissen bereits:<br />
Aus h2 // π2 folgt:<br />
Strecken auf h2 können im Aufriss unverzerrt<br />
gemessen werden. z.B.: AB = A′<br />
′ B′<br />
′<br />
Umkehrung:<br />
Liegt der Grundriss einer Geraden parallel zur<br />
Rissachse, so handelt es sich automatisch um eine<br />
2. Hauptgerade. (g = h2)<br />
Vervollständigungsaufgabe für Profilgerade<br />
Geg.: Profilgerade g[A,B], C’ mit Ceg<br />
Ges.: C’’<br />
Zur 1. Methode: Direkte Teilverhältnisübertragung mit dem Strahlensatz.<br />
Zur 2. Methode: 2-fache Parallelprojektion zur Teilverhältnisübertragung<br />
Die Hilfsstrahlen sind beliebig, die Entsprechenden jedoch zueinander parallel.<br />
Achtung: g ~ muss konstruiert werden!<br />
HÜ: Geg.: Profilgerade g[A,B], C’’ mit Ceg<br />
Ges.: C’<br />
HTL / <strong>DG</strong> 1AT Seite 25 / 53
13.2.3.2 Länge einer Strecke („Wahre Länge einer Strecke“)(w.L.)<br />
Wir wissen bereits:<br />
Für alle Parallelprojektionen (Schräg- und Normalrisse) gilt:<br />
Liegt eine ebene Figur parallel zu einer Bildebene (oder in einer Bildebene), so erscheint sie<br />
in der jeweiligen Projektion unverzerrt. (Eine Strecke ist sicher die einfachste ebene Figur.)<br />
Bestimmung der wahren Länge einer Strecke (w.L.):<br />
1. Methode: Seitenriss<br />
2. Methode: Differenzendreieck<br />
Man legt durch die Strecke s eine 13- oder 23-<br />
Seitenrissebene ( s ′ = 13 oder s ′<br />
= 23).<br />
Die Strecke s liegt dann in der jeweiligen<br />
Seitenrissebene und erscheint im<br />
entsprechenden 3. Riss unverzerrt (also in<br />
wahrer Länge)<br />
Bemerkung: Die Seitenrissmethode erfordert<br />
viel Platz.<br />
Aus der ersten Methode entwickelt sich die 2.<br />
Methode, indem hier bloß die Differenz der<br />
Abstände abgetragen wird. (selbes Ergebnis,<br />
jedoch weniger Platzbedarf)<br />
Bemerkung: Die Methode des<br />
Differenzendreiecks wird in der <strong>DG</strong> gerne<br />
angewandt.<br />
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13.2.3.3 Abtragen einer Strecke auf einer Geraden<br />
Diese Methode ist die Umkehrung der Ermittlung der wahren Länge.<br />
Problem: Von A∈ g sollen nach rechts 7cm abgetragen werden.<br />
Prinzip: Sieht man auf einer<br />
Geraden irgendeine Strecke in<br />
wahrer Länge (auf g′ 0 ), so sind<br />
dort alle Strecken in wahrer<br />
Länge ersichtlich (also auch<br />
unserer 7cm).<br />
Praxis:<br />
1. Wahl eines beliebigen<br />
Hilfspunktes auf g um<br />
„irgendeine“ Strecke zu<br />
erhalten.<br />
2. Wahre Länge von 1 A<br />
(auf g′ 0 )<br />
3. Dort 7cm abtragen und<br />
Ergebnis zurückbringen.<br />
Bemerkung: Hilfspunkte (zum Beispiel 1) können auf einer Geraden außer auf Profilgeraden<br />
stets problemlos gewählt werden.<br />
Sonderfall: Das Abtragen einer Strecke auf einer Profilgeraden<br />
Problem: Auf der Profilgeraden g[A,B] sollen von A in<br />
Richtung B 5cm abgetragen werden.<br />
Anleitung: Hier bietet die 1. Methode<br />
(Seitenrissmethode) zur Bestimmung der wahren Länge<br />
gewisse Vorteile (keine Vervollständigungsaufgabe für<br />
Profilgerade notwendig).<br />
HÜ: Schmierpapier!<br />
Wahre Größe des Dreiecks [A,B,C]<br />
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13.2.3.4 Lage von Geraden zueinander<br />
Zwei Gerade können:<br />
1. zueinander parallel sein (Fig. 1)<br />
2. sich schneiden (Fig. 2)<br />
3. sich kreuzen („Windschief liegen“) (Fig. 3)<br />
Die Bilder paralleler Geraden sind zueinander wiederum parallel („parallelentreu der<br />
Parallelprojektion“).<br />
zu 1) d.h. a // b ↔ a′<br />
// b′<br />
und a′<br />
′ // b′<br />
′ +<br />
zu 2) Schneidende Geraden haben einen Schnittpunkt. Dieser genügt der Ordnerbedingung.<br />
zu 3) Kreuzende Geraden haben keinen Schnittpunkt. Sichtbarkeitsbestimmung mittels<br />
„Deckpunkten“ (scheinbare Schnittpunkte) ( 1 ′ = 2′<br />
bzw . 3′<br />
′ = 4′<br />
′ )<br />
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Geg.: Halbstrahlen a, b, c durch s<br />
Ges.: Dreiseitige Pyramide (s. Skizze) mit SA = 8 cm,<br />
SB = 10cm,<br />
SC = 9cm<br />
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12
13.3 Satz vom Winkel, Satz vom rechten Winkel<br />
Ein Winkel erscheint genau dann in wahrer Größe, wenn beide Schenkel zu ein und derselben<br />
Bildebene parallel liegen. (Nach dem Satz: Liegt eine Ebene Figur parallel zu einer<br />
Bildebene, so erscheint sie in der Parallelprojektion auf diese Bildebene unverzerrt.)<br />
Ein rechter Winkel erscheint genau dann in wahrer Größe, wenn mindestens ein Schenkel<br />
parallel zu einer Bildebene liegt. (Also auf einer Hauptgeraden)<br />
13.4 Spurpunkte einer Geraden<br />
Unter einem Spurpunkt einer Geraden versteht man den<br />
Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Bildebene.<br />
(durch π1, π2,…)<br />
Man bezeichnet:<br />
G1…“1. Spurpunkt“ von g ( G1<br />
= g ∩π<br />
1)<br />
G2…“2. Spurpunkt“ von g G = g ∩π<br />
)<br />
( 2<br />
2<br />
Geg.: Gerade G<br />
Ges.: 1. und 2. Spurpunkt (G1 und G2)<br />
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Geg.: g<br />
Ges.: G1, G2<br />
Man beachte:<br />
G1 hat keinen z-Abstand (z = 0)<br />
G2 hat keinen x-Abstand (x = 0)<br />
13.5 Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Bildebene<br />
Der 1. Neigungswinkel α1 einer Geraden g gegen π1 ist definitionsgemäß gleich dem Winkel<br />
zwischen den Geraden g und ihrem Grundriss g’, wobei der Scheitel der 1. Spurpunkt G1 von<br />
g ist.<br />
Analog: 2. Neigungswinkel α2<br />
Also: α1 ∠gπ1<br />
2<br />
= def. g g′<br />
= ∠g′<br />
g′<br />
′<br />
2<br />
∠ …Scheitel G1<br />
α = ∠gπ<br />
def. g g′<br />
′ = ∠g′<br />
′ g′<br />
′<br />
∠ …Scheitel G2<br />
Geg.: Gerade g<br />
Ges.: 1. und 2. Neigungswinkel (α1 und α2)<br />
1…bel. Hilfspunkt auf g<br />
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Geg.: g<br />
Ges.: α1, α2<br />
14 Die Ebene<br />
14.1 Angabestücke einer Ebene<br />
1) Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen: ε[A,B,C]<br />
Geg.: X ′ mit X ∈ε<br />
Ges.: X ′<br />
Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X,<br />
die „ganz“ in der Ebene liegt<br />
Bemerkung: Dieses Verfahren wird<br />
„angittern eines Punktes“ in einer Ebene<br />
genannt<br />
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2) Durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt: ε[g,P]<br />
Geg.: X ′ mit X ∈ε<br />
Ges.: X ′<br />
2a) Bei „ungünstiger“ Lage des Punktes X: Ebenenangabe ε[g,P]<br />
in eine Dreiecksangabe ε[1, 2 beliebig auf g, P] verwandeln.<br />
Lösung: Hilfsgerade p durch X und P<br />
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3) Durch zwei parallele Geraden: ε[a//b]<br />
Geg.: X ′ mit X ∈ε<br />
Ges.: X ′<br />
Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X jedoch p nicht parallel a,b<br />
4) Durch zwei sich schneidende Geraden: ε[ a ∩ b = s ]<br />
Geg.: X ′ mit X ∈ε<br />
Ges.: X ′<br />
Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X, jedoch p nicht durch s<br />
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14.2 Hauptgeraden in einer Ebene<br />
Wir erkennen: Die Hauptgeraden in einer Ebene der gleichen Art sind zueinander parallel<br />
d.h.: Alle h1 sind zueinander parallel<br />
Alle h2 sind zueinander parallel<br />
für {h1},{h2} in ε<br />
Geg.: ε[A,B,C]<br />
Ges.: h1 durch C, h2 durch A<br />
Lässt sich das Problem nicht direkt lösen, so sind Hilfshauptgerade zu verwenden<br />
h ′<br />
→ h′<br />
′ → h′<br />
→ h′<br />
// h′<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
14.3 Paralleldrehen einer Ebene<br />
1<br />
Die Ebene wird auf eine 1. Hauptgerade (h1) parallel zu π1 oder eine 2. Hauptgerade (h2)<br />
parallel zu π2 gedreht.<br />
Dabei beschreiben alle Punkte, die nicht auf der Hauptgerade liegen, Kreisbögen, deren<br />
Trägerebenen normal auf die jeweilige Hauptgerade liegen.<br />
Alle Punkte auf der Hauptgeraden bleiben fest, sie heißen „Fixpunkte“.<br />
Beachte: Als Drehachse eignet sich ausschließlich eine Hauptgerade!!!<br />
wozu:<br />
1) Alle Figuren dieser Ebene erscheinen in der parallel gedrehten Lage unverzerrt.<br />
2) Konstruktionen können in der parallel gedrehten Lagen unverzerrt durchgeführt<br />
werden.<br />
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Bsp.: Wahre Größe des Winkels α<br />
Bsp.: Wahre Größe des Winkels α<br />
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14.4 Konstruktionsaufgaben<br />
Vorgang:<br />
1) Skizze des gelösten Problems, Angabestücke eintragen und unterstreichen<br />
2) Konstruktion anhand der Skizze überlegen<br />
3) Ebene paralleldrehen und Konstruktion dort unverzerrt ausführen<br />
4) Ergebnis zurückdrehen<br />
Bsp.: Von einem gleichseitigen Dreieck kennt man die Trägergerade g einer Seite, sowie die<br />
gegenüber liegende Ecke A.<br />
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Bsp.: Wahre Größe des Dreiecks [A(6/16/4), B(8/10/8), C(2/3/2]<br />
Das Zurückdrehen von Punkten die nicht direkt auf einer Geraden liegen<br />
Voraussetzungen:<br />
1) Hauptgerade h<br />
2) Mindestens ein bereit bekanntes Punktepaar (z.B.: A+A0)<br />
Geg.: Hauptgerade h, A+A0, X0, Y0<br />
Ges.: X, Y<br />
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Bsp.:<br />
Geg.: M(5/8/5), p[I(4/2/0), II(0/15/6)]<br />
Ges.: Regelm. Fünfeck (siehe Skizze)<br />
HÜ: regelm. Sechseck<br />
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14.5 Projizierendmachen einer Ebene<br />
Um eine Ebene projizierend zu machen, benötigt man einen Seitenriss.<br />
13 ⊥ h ′ oder 23 ⊥ h′<br />
′<br />
1<br />
Geg.: ε[A,B,C]<br />
Ges.: ε projizierend<br />
Geg.: ε[g,P]<br />
Ges.: ε projizierend<br />
2<br />
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14.6 Normalgerade zu einer Ebene<br />
Eine Gerade, welche normal auf eine Ebene steht, heißt „Normalgerade zur Ebene“. Durch<br />
jeden Punkt des Raumes gibt es genau eine Gerade, welche auf eine gewisse Ebene normal<br />
steht.<br />
Achtung: Die Normalgerade n z einer Ebene liegt nicht in der Ebene und kann daher dort<br />
nicht angegittert werden!<br />
Zeichnen der Normalgeraden n<br />
Nach dem Satz vom rechten Winkel gilt: n ′ ⊥ h′<br />
1 und n′<br />
′ ⊥ h′<br />
′ 2 .<br />
Geg.: ε[g,P]<br />
Ges.: n ⊥ ε<br />
∧ n ∋ P<br />
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Man richte über dem Dreieck [A(2/6/1), B(4/4/3), C(1/11/5)] ein gerades dreiseitiges Prisma<br />
mit der Höhe h = 7cm.<br />
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Man errichte über dem Dreieck [A(5/3/3), B(4/13/0), C(1/8/6)] eine dreiseitige Pyramide so,<br />
dass die Spitze S 9cm über dem Höhenschnittpunkt H des Dreiecks liegt.<br />
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1. Fall: kein Winkel größer als 90° 2. Fall: ein Winkel größer als 90°<br />
S…Schwerpunkt<br />
I…Inkreismittelpunkt<br />
H…Höhenschnittpunkt<br />
U…Umkreismittelpunkt<br />
sc…Schwerlinie<br />
Schwerpunkt nicht parallel drehen – immer im Dreieck<br />
Seite halbieren – mit Ecke verbinden – Schnittpunkt = S<br />
Inkreismittelpunkt auch im Dreieck – parallel drehen!<br />
Winkelsymetralen zeichnen – Schnittpunkt I<br />
Höhenschnittpunkt<br />
Beim 2. Fall außerhalb<br />
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Man errichte über dem Dreieck [A(4/6/2), B(6/15/4), C(2/11/7)] eine dreiseitige Pyramide so,<br />
dass die Spitze S 10cm über den Inkreismittelpunkt des Dreiecks liege.<br />
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14.7 Normalgerade γ zu einer Geraden g<br />
Eine Ebene, welche normal zu einer Geraden steht, heißt Normalebene zu der Geraden.<br />
Durch jeden Punkt des Raumes gibt es genau eine Ebene, die auf eine gewisse Gerade normal<br />
steht.<br />
Aufspannen der Ebene γ:<br />
Die Normalebene γ wird aufgespannt durch 2 Hauptgeraden, wobei:<br />
γ[h1,h2]<br />
h′<br />
g′<br />
1 ⊥<br />
h′<br />
′ ⊥ g′<br />
′<br />
2<br />
Geg.: g, P ∈ g<br />
Geg.: g, P ∉ g<br />
Ges.: γ ⊥ g ∧ γ ∋ P<br />
Ges.: γ ⊥ g ∧ γ ∋ P<br />
Anwendung: Symmetrieebene σ (= γ im Streckenmittelpunkt) der Strecke AB<br />
Beachte: Die Symmetrieebene σ ist die Menge aller Punkte, die von den Punkten A,B den<br />
gleichen Abstand haben.<br />
Geg.: Strecke AB<br />
Ges.: Symmetrieebene<br />
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15 Die Ellipse<br />
Definition: Die Ellipse ist definiert als Menge aller Punkte in einer Ebene, die von 2 festen<br />
Punkte F1, F2 (Brennpunkte) konstante Abstandssumme 2a haben.<br />
Konstruktion nach Definition:<br />
Man bezeichnet:<br />
A,B…Hauptscheitel der Ellipse<br />
C,D…Nebenscheitel der Ellipse<br />
M…Mittelpunkt der Ellipse<br />
F1,F2…Brennpunkt der Ellipse<br />
P…allg. Ellipsenpunkt<br />
a...halbe Hauptachse der Ellipse<br />
b...halbe Nebenachse der Ellipse<br />
e…lineare Exzentrität der Ellipse<br />
x,y…Brennstrahlen<br />
x + y = 2a = konstant<br />
Variation von x liefert weitere Ellipsenpunkte<br />
2<br />
e = a + b<br />
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2
15.1 Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse<br />
Mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise ist das Zeichnen einer Ellipse besonders bequem.<br />
Gärtnerkonstruktion einer Ellipse:<br />
16 Weitere Beispiele<br />
Geg.: Profilgerade g[A,B], C′ mit C ∈ g<br />
Ges.: C ′<br />
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<strong>DG</strong>-Hausübung<br />
Geg.: Isometrischer Kavalierriss eines Körpers<br />
Ges.: Grund- Auf- und Kreuzriss in der genormten Anordnung mit unsichtbaren Kanten,<br />
jedoch ohne Abmessungen einzutragen<br />
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Geg.: Isometrischer Kavalierriss eines Körpers<br />
Ges.: Grund- Auf- und Kreuzriss in der genormten Anordnung mit unsichtbaren Kanten,<br />
jedoch ohne Abmessungen einzutragen<br />
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Geg.: Körper durch Auf- und Kreuzriss<br />
Ges.: Kavalierriss Gr. A b n (= x s ) = 150°, Vx = 2:3<br />
Gr. B b n (= x s ) = 30°, Vx = 3:4<br />
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