Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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2 12 . Also gilt nach 1.14<br />
Wegen n lR = |C| erhält man<br />
|C| ≤ 290<br />
= 278<br />
212 1.15 Folgerung (Umformulierung von 1.14, Hamming-Schranke für R) Vorausset-<br />
zungen wie in 1.14.<br />
Es gilt |Bϵ(∗)| ≤ n l(1−R) für die Informationsrate R; also<br />
1 − log n |B ′ ϵ(∗)|<br />
l<br />
Dabei ist ∗ ein beliebiges Wort und ϵ wie in 1.14.<br />
Dies ist die ’Hamming-Schranke’ für R.<br />
≥ R<br />
1.16 Begriff Ein Code heißt perfekt, wenn die Hamming-Schranke mit = erfüllt ist.<br />
Das bedeutet, die abgeschlossenen Bälle mit Radius δ−1<br />
2<br />
Mittelpunkten überdecken disjunkt ganz V .<br />
8<br />
und den Codewörtern als<br />
Wenn es in 1.14’ also einen Code mit |C| = 2 78 und δ = 5 gäbe, wäre er perfekt.<br />
Für jedes ϵ ∈ IR≥0 gilt<br />
|V |<br />
|B ′ 2ϵ(∗)|<br />
≤ |V |<br />
|B ′ ϵ(∗)|<br />
Die Zahl rechts ist die in 1.14 auftauchende Obergrenze von |C|, wobei C ⊆ V ein<br />
ϵ -korrigierender Code ist.<br />
1.16’ Beobachtung Sei C ⊆ V ein Code mit geradem Minimalabstand δ. Dann ist<br />
C nicht perfekt.<br />
Beweis. Angenommen, C ist perfekt. Dann gilt<br />
V = ˙<br />
∪c∈CB ′ ϵ(c)<br />
(disjunkte Vereinigung) für passendes ϵ ∈ IN0.<br />
Nach 1.9 ist δ ≥ 2ϵ + 1, d.h. ϵ < δ<br />
2 .