Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

2 12 . Also gilt nach 1.14
Wegen n lR = |C| erhält man
|C| ≤ 290
= 278
212 1.15 Folgerung (Umformulierung von 1.14, Hamming-Schranke für R) Vorausset-
zungen wie in 1.14.
Es gilt |Bϵ(∗)| ≤ n l(1−R) für die Informationsrate R; also
1 − log n |B ′ ϵ(∗)|
l
Dabei ist ∗ ein beliebiges Wort und ϵ wie in 1.14.
Dies ist die ’Hamming-Schranke’ für R.
≥ R
1.16 Begriff Ein Code heißt perfekt, wenn die Hamming-Schranke mit = erfüllt ist.
Das bedeutet, die abgeschlossenen Bälle mit Radius δ−1
2
Mittelpunkten überdecken disjunkt ganz V .
8
und den Codewörtern als
Wenn es in 1.14’ also einen Code mit |C| = 2 78 und δ = 5 gäbe, wäre er perfekt.
Für jedes ϵ ∈ IR≥0 gilt
|V |
|B ′ 2ϵ(∗)|
≤ |V |
|B ′ ϵ(∗)|
Die Zahl rechts ist die in 1.14 auftauchende Obergrenze von |C|, wobei C ⊆ V ein
ϵ -korrigierender Code ist.
1.16’ Beobachtung Sei C ⊆ V ein Code mit geradem Minimalabstand δ. Dann ist
C nicht perfekt.
Beweis. Angenommen, C ist perfekt. Dann gilt
V = ˙
∪c∈CB ′ ϵ(c)
(disjunkte Vereinigung) für passendes ϵ ∈ IN0.
Nach 1.9 ist δ ≥ 2ϵ + 1, d.h. ϵ < δ
2 .