Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

k ∈ {i1, ..., iϵ}.
Dann gilt α(z, e) = ϵ und α(z, c) = δ − ϵ.
Wegen δ ≤ 2ϵ ist δ − ϵ ≤ ϵ.
Es folgt z ∈ B ′ ϵ(c) ∩ B ′ ϵ(e) = ∅, Widerspruch zu (i).
(ii) ⇒ (i). Angenommen, (i) ist falsch; d.h. es gibt verschiedene c, e ∈ C und d ∈
B ′ ϵ(c) ∩ B ′ ϵ(e). Dann gilt (Dreiecksungleichung) δ ≤ α(c, e) ≤ α(c, d) + α(d, e) ≤ 2ϵ,
Widerspruch zu (ii).
1.10 Korollar Sei δ der Mindestabstand des Codes C. Der Code C ist 1δ
− 1 kor-
2
rigierend im Fall δ gerade; bzw. 1(δ
− 1) korrigierend im Fall δ ungerade.
2
Beides in einem: der Code ist [ 1(δ
− 1)] korrigierend (dabei bezeichnet [β] die größte
2
ganzrationale Zahl ≤ β für β ∈ IR).
1.11 Lemma Seien a ∈ V = K l , |K| = n und ϵ ∈ IR. Dann gilt:
falls ϵ ∈ IN0, sonst = 0.
|Sϵ(a)| =
|Bϵ(a)| = ∑
( )
l
(n − 1)
ϵ
ϵ
i∈IN0, i