Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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k ∈ {i1, ..., iϵ}.<br />
Dann gilt α(z, e) = ϵ und α(z, c) = δ − ϵ.<br />
Wegen δ ≤ 2ϵ ist δ − ϵ ≤ ϵ.<br />
Es folgt z ∈ B ′ ϵ(c) ∩ B ′ ϵ(e) = ∅, Widerspruch zu (i).<br />
(ii) ⇒ (i). Angenommen, (i) ist falsch; d.h. es gibt verschiedene c, e ∈ C und d ∈<br />
B ′ ϵ(c) ∩ B ′ ϵ(e). Dann gilt (Dreiecksungleichung) δ ≤ α(c, e) ≤ α(c, d) + α(d, e) ≤ 2ϵ,<br />
Widerspruch zu (ii).<br />
1.10 Korollar Sei δ der Mindestabstand des <strong>Codes</strong> C. Der Code C ist 1δ<br />
− 1 kor-<br />
2<br />
rigierend im Fall δ gerade; bzw. 1(δ<br />
− 1) korrigierend im Fall δ ungerade.<br />
2<br />
Beides in einem: der Code ist [ 1(δ<br />
− 1)] korrigierend (dabei bezeichnet [β] die größte<br />
2<br />
ganzrationale Zahl ≤ β für β ∈ IR).<br />
1.11 Lemma Seien a ∈ V = K l , |K| = n und ϵ ∈ IR. Dann gilt:<br />
falls ϵ ∈ IN0, sonst = 0.<br />
|Sϵ(a)| =<br />
|Bϵ(a)| = ∑<br />
( )<br />
l<br />
(n − 1)<br />
ϵ<br />
ϵ<br />
i∈IN0, i