Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Interpretation Man kann also die ersten k Stellen eines zu bildenden Codeworts
beliebig als ’Informationsstellen’ nutzen (beliebige Körperelemente eintragen), und
während diese bereits gesendet werden die fehlenden m ’Kontrollstellen’ berechnen
und nachliefern.
9.16 Definition Sei K ein Körper und b ∈ IN. Nenne einen Vektor der Form
v = (0, ..., 0, vj+1, ..., vj+b, 0, ..., 0) ∈ K l
mit vj+1 ̸= 0 ̸= vj+b und j ∈ {0, ..., l − b} ein Bündel (’burst’) der Länge b.
Motivation Das Codewort c = (c1, ..., cl) ∈ C (linearer Code) wird gesendet. Wenn
an den Stellen j+1 und j+b und möglicherweise an j+2, ..., j+b−1 eine Verfälschung
auftritt (aber nicht an den anderen Stellen), empfängt man w = c + v, wobei v ein
Bündel der Länge b ist.
’Fehlerbündel’, d.h. Störungen in mehreren aufeinanderfolgenden Stellen, treten in
der Praxis häufig auf (Kratzer in CD’s, Unterbrechungen der Telephonleitung).
Wann kann der Empfänger bei einem linearen Code C ⊆ K l erkennen, dass c ∈ C
durch ein Bündel v der Länge b verfälscht wurde? Dies ist genau dann der Fall, wenn
w = c + v ̸∈ C ist, d.h. wenn v ̸∈ C ist. Deshalb definieren wir:
9.16’ Definition Man sagt, der lineare Code C ⊆ K l erkennt (Fehler-)Bündel der
Länge ≤ b ∈ IN [der Länge b ∈ IN], wenn C kein Bündel der Länge ≤ b [der Länge b]
enthält.
Im Fall b = 1 bedeutet dies, dass der lineare Code 1-fehlererkennend ist (was bei
Minimalabstand δ ≥ 2 zutrifft).
9.17 Beobachtung Wenn der lineare Code C ⊆ K l Bündel der Länge ≤ b ∈ IN
erkennt, gilt dimC ≤ l − b.
Umformulierung: Sei C ⊆ K l linearer Code mit dimC = k. Dann erkennt C nicht
mehr alle Fehlerbündel der Länge ≤ l − k + 1.
Beweis. U := {λ1, ..., λb, 0, ..., 0) ∈ K l ist ein Untervektorraum von K l mit dimU = b,
und jeder Vektor u ∈ U \ {0} ist ein Fehlerbündel der Länge ≤ b. Deshalb gilt
48