Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Denn man hat (in Z ) (n r−2 + 2n r−3 +3n r−4 + ... +(r − 2)n 1 + (r − 1)n 0 )(n − 1) +r =
n r−1 + n r−2 + ... + n + 1 = l. Wegen r teilerfremd n − 1 folgt l teilerfremd n − 1.
Wir haben n r − 1 = l · (n − 1). Sei L ein Zerfällungskörper von x l(n−1) − 1 über dem
Körper K. Dann hat L genau n r Elemente, und die Nullstellen von x l(n−1) − 1 (in
L) sind genau die n r − 1 Elemente von L \ {0}.
Die Gruppe L \ {0}, · ist zyklisch (wie jede endliche Untergruppe eines Körpers).
Wegen l(n − 1) = n r − 1 existiert ein α ∈ L \ {0}, · der Ordnung l.
Dann sind die Elemente 1, α, α 2 ,...,α l−1 die paarweise verschiedenen Wurzeln von
x l −1, d.h. die l-ten Einheitswurzeln (in L). Das Element α nennt man eine primitive
l-te Einheitswurzel, denn α erzeugt die Gruppe der l-ten Einheitswurzeln.
L ist Erweiterungskörper von K und auch ein K-Vektorraum der Dimension r.
(ii) Für alle 0 ≤ i < j ≤ l − 1 sind α i , α j linear unabhängig (im K-Vektorraum L).
Denn angenommen, α i = λα j für ein λ ∈ K und 0 ≤ i ≤ j ≤ l − 1. Dann folgt
α t ∈ K für t := j −i; also α t(n−1) = 1. Deshalb ist die Ordnung l von α (in L\{0}, ·)
Teiler von t(n − 1). Da l teilerfremd n − 1 (siehe (i)) ist l Teiler von t. Das ist wegen
l > |t| nur für t = 0 möglich.
Nun wähle man eine Basis des K-Vektorraums L und seien h0, ..., hl−1 die Koordi-
natenvektoren ∈ K r der Vektoren α 0 , α 1 , ...., α l−1 (die hi als Spalten geschrieben).
Wegen (ii) sind dann die 1-dimensionalen Untervektorräume < h0 >, ..., < hl−1 > ge-
nau die l = nr −1
n−1 Untervektorräume von Kr . Die aus den Spalten h0, ..., hl−1 gebildete
Matrix H ist deshalb eine Kontrollmatrix eines Hamming-Codes C = Ham(r, n)
(siehe 3.7, 3.4).
Sei g ∈ K[x] das irreduzible Polynom von α, d.h. das normierte Polynom kleinsten
Grades ∈ K[x] mit g(α) = 0. Das Polynom g ist Teiler von x l − 1 in K[x] (denn α
ist Nullstelle von x l − 1).
Sei ¯ : K[x] → R := K[x]/(x l − 1)K[x] der kanonische Homomorphismus und
˜C := gR. Dann ist ˜ C ⊆ R ein zyklischer Code (siehe 9.7).
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