Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom g = g0 + g1x + ... +
gm−1x m−1 + gmx m ∈ K[x] (mit gm = 1, m < l), welches x l − 1 in K[x] teilt derart,
dass
⎛
g0
⎜ 0
G = ⎜ ...
⎝
g1
g0
...
...
g1
...
gm
...
...
0
gm
...
...
0
...
0
...
...
⎞
⎟ ∈ K
⎟
⎠
0 ... 0 g0 g1 ... gm
(l−m)×l
eine Generatormatrix von C ist.
Man nennt g das Generatorpolynom des zyklischen Codes und
h := xl − 1
g
das Kontrollpolynom des zyklischen Codes C.
Ist umgekehrt g ∈ K[x] ein normierter Teiler ̸= x l − 1 von x l − 1, so wird durch die
angegebene Generatormatrix ein zyklischer Code definiert.
Bedeutung des Kontrollpolynoms:
9.11 Beobachtung Sei C ⊆ K l ein zyklischer Code mit Generatorpolynom g und
Kontrollpolynom h. Sei v = (v0, ..., vl−1) und v = v0 + v1x + ... + vl−1x l−1 auch das
entsprechende Polynom in K[x]. Dann gilt:
v ∈ C ⇔ v · h = 0
Beweis ⇒: Man hat v = g · c für ein c ∈ K[x].
v · h = g · c · h = g · c · xl − 1
g = c · (xl − 1) = 0
⇐: Es gelte v · h = 0. Das bedeutet, v · h ∈ (x l − 1)K[x], also v ∈ gK[x] und damit
v ∈ C.
9.12 Beispiel K = GF2, l = 3, x l − 1 = x 3 − 1 = (x − 1)(x 2 + x + 1). Set-
ze g := x − 1 und wieder R := K[x]/(x 3 − 1)K[x] = {a0 + a1x + a2x 2 | ai ∈
K }. Dann gilt C := gR = { (x − 1)(a0 + a1x + a2x 2 ) | ai ∈ K }, das ist
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