Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

en.
Die Zeilen ei der Matrix
⎛
⎞
⎜ 0
⎜ 1
⎜ 0
⎜
E = ⎜ 1
⎜ 1
⎜ 0
⎝
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1 ⎟
0 ⎟
1 ⎟
1 ⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎠
0
bilden ein Erzeugendensystem von C (e1 = g1; e2 = g2; e3 = g3; e4 = g2 + g4;
e5 = g1 + g2 + g3; e6 = g3 + g4; e7 = g1 + g4). Die Menge der Zeilen ist invariant
gegen zyklisches Verschieben. Deshalb ist der Code zyklisch, denn offenbar gilt:
9.5’ Beobachtung Sei C ⊆ K l ein linearer Code. C ist genau dann zyklisch, wenn
C ein gegen zyklisches Verschieben invariantes Erzeugendensystem hat.
Wir wollen in Fortsetzung von 9.4 alle zyklischen Codes C ⊆ K l beschreiben.
Wie sehen die Ideale von R aus ?
Wir erinnern an den allgemeinen Sachverhalt:
9.6 Satz (Idealverbände bei Homomorphismen) Sei A ein beliebiger kommutativer
Ring und
¯: A → R ein surjektiver Ringhomomorphismus.
Wenn J ein Ideal von A ist, so ist J ein Ideal von R.
Wenn L ein Ideal von R ist, so ist das Urbild {a ∈ A | a ∈ L} ein Ideal von A,
welches den Kern umfaßt.
Die Menge der den Kern umfassenden Ideale von A wird durch ¯ bijektiv auf die
Menge aller Ideale von R abgebildet.
Insbesondere existiert zu jedem Ideal L von R genau ein Ideal J von A mit Kern⊆ J
und J = L (nämlich {a ∈ A | a ∈ L}).
Angewendet auf unseren Fall A = K[x] heißt das: die Ideale von R sind genau die
Mengen J, wobei J ein Ideal von K[x] ist mit der Eigenschaft (x l − 1)K[x] ⊆ J.
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