Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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en.<br />
Die Zeilen ei der Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜ 0<br />
⎜ 1<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
E = ⎜ 1<br />
⎜ 1<br />
⎜ 0<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1 ⎟<br />
0 ⎟<br />
1 ⎟<br />
1 ⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎟<br />
⎠<br />
0<br />
bilden ein Erzeugendensystem von C (e1 = g1; e2 = g2; e3 = g3; e4 = g2 + g4;<br />
e5 = g1 + g2 + g3; e6 = g3 + g4; e7 = g1 + g4). Die Menge der Zeilen ist invariant<br />
gegen zyklisches Verschieben. Deshalb ist der Code zyklisch, denn offenbar gilt:<br />
9.5’ Beobachtung Sei C ⊆ K l ein linearer Code. C ist genau dann zyklisch, wenn<br />
C ein gegen zyklisches Verschieben invariantes Erzeugendensystem hat.<br />
Wir wollen in Fortsetzung von 9.4 alle zyklischen <strong>Codes</strong> C ⊆ K l beschreiben.<br />
Wie sehen die Ideale von R aus ?<br />
Wir erinnern an den allgemeinen Sachverhalt:<br />
9.6 Satz (Idealverbände bei Homomorphismen) Sei A ein beliebiger kommutativer<br />
Ring und<br />
¯: A → R ein surjektiver Ringhomomorphismus.<br />
Wenn J ein Ideal von A ist, so ist J ein Ideal von R.<br />
Wenn L ein Ideal von R ist, so ist das Urbild {a ∈ A | a ∈ L} ein Ideal von A,<br />
welches den Kern umfaßt.<br />
Die Menge der den Kern umfassenden Ideale von A wird durch ¯ bijektiv auf die<br />
Menge aller Ideale von R abgebildet.<br />
Insbesondere existiert zu jedem Ideal L von R genau ein Ideal J von A mit Kern⊆ J<br />
und J = L (nämlich {a ∈ A | a ∈ L}).<br />
Angewendet auf unseren Fall A = K[x] heißt das: die Ideale von R sind genau die<br />
Mengen J, wobei J ein Ideal von K[x] ist mit der Eigenschaft (x l − 1)K[x] ⊆ J.<br />
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