Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

9 Zyklische Codes
Für praktische Zwecke spielen fast nur lineare Codes eine Rolle, weil die algebraische
Struktur brauchbare Dekodierverfahren ermöglicht.
Viele lineare Codes sind sogar zu zyklischen Codes (Definition in 9.3) äquivalent.
Zum Beispiel sind (wie wir später sehen) die Hamming-Codes Ham(r, n) äquivalent
zu zyklischen Codes, wenn r teilerfremd zu n − 1 ist (also bei n = 2 immer).
9.1 Vorausetzungen Im folgenden sei K ein Körper, |K| = n, n = p r für eine
Primzahl p und l ∈ IN. Sei C ⊆ K l ein linearer Code (Untervektorraum ̸= 0).
9.2 Umformulierung im Polynomring Setze R := K[x]/(x l −1)K[x] (Faktorring
des Polynomrings K[x] nach dem von x l − 1 erzeugten Ideal).
Sei
der kanonische (Ring-)homomorphismus.
¯ : K[x] → R = K[x]/(x l − 1)K[x]
Die Restriktion des kanonischen Homomorphismus auf die Menge {q ∈ K[x] | q =
0 oder Grad(q) ≤ l − 1 } ist injektiv: jede Klasse ∈ R = K[x]/(x l − 1)K[x] enthält
genau ein Polynom ∈ K[x] vom Grad ≤ l − 1. Es folgt:
Die Abbildung ι : K l → R, (a0, ..., al−1) ↦→ a0 + a1x + ... + al−1x l−1 ist bijektiv.
Insbesondere können wir K (konstante Polynome ∈ K[x]) als Unterring von R an-
sehen (statt a0 ∈ K betrachte a0 ∈ R). Deshalb ist R auch ein K-Vektorraum. Eine
Basis ist 1, x, ..., x l−1 . Die Abbildung ι ist ein Vektorraum-Isomorphismus (lineare
Bijektion).
Aufgrund der oben genannten Abildung können wir statt K l den (zu ihm isomorphen)K-
Vektorraum R verwenden: wir ’identifizieren’ (a0, ..., al−1) mit a0 + a1x + ... + al−1x l−1
(d.h. schreiben die Bijektion ι nicht hin).
C ist dann ein Untervektorraum des K-Vektorraum R.
9.3 Definition C heißt zyklischer Code, wenn für jedes Codewort gilt:
(c0, ..., cl−1) ∈ C ⇒ (cl−1, c0, ..., cl−3, cl−2) ∈ C
d.h. wenn man in einem Codewort alle Einträge um eine Stelle verschiebt (zyklische
40