Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Aus dem Nennerpolynom erhält man die Werte Fi, wie wir gleich sehen.
Aus (2) und (3) folgt
(s1+s2Θ+...+s2ϵΘ 2ϵ−1 +⋆·Θ 2ϵ +⋆·Θ 2ϵ+1 +...)(1+b1Θ+...+bϵΘ ϵ ) = a1+a2Θ+...+aϵΘ ϵ−1
Wir vergleichen die Koeffizienten der Θ i und erhalten (4)
a1 = s1
a2 = s2 + s1b1
a3 = s3 + s2b1 + s1b2
.....
aϵ = sϵ + sϵ−1b1 + sϵ−2b2 + ... + s1bϵ−1
und (5)
0 = sϵ+1 + sϵb1 + sϵ−1b2 + ... + s1bϵ
0 = sϵ+2 + sϵ+1b1 + sϵb2 + ... + s2bϵ
.....
0 = s2ϵ + s2ϵ−1b1 + s2ϵ−2b2 + ... + sϵbϵ
Nun kann man aus (5) eine Lösung b1, ..., bϵ berechnen (lineares Gleichungssystem;
Lösung nicht notwendig eindeutig).
Aus (4) entnimmt man a1, ..., aϵ.
Aus dem Fehlstellenpolynom erhält man (wie gesagt) die Xi. Da Φ bekannt ist (siehe
(3)) kann man die Fi aus (1) berechnen.
Historische Anmerkung. Der Trick, für Gleichungssysteme der betrachteten Art
Φ ∈ K((Θ)) heranzuziehen, stammt wohl von Ramanujan (1912).
8.4 Beispiel
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