Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

8.2 Beispiel Setze K := Z11 und
⎛
1
⎜ 1
H := ⎜ 1
⎝
1
2
2
1
3
...
...
1
10
2 32 ... 102 1 23 33 ... 103 ⎞
⎟
⎠
Dann ist jede aus 4 verschiedenen beliebigen Spalten von H gebildete Matrix von
H eine 4 × 4-Vandermonde-Matrix.
Wegen 8.3 ist also jede 4-Menge verschiedener Spalten von H linear unabhängig. Die
Matrix H vom Rang 4 ist nach 3.4 Kontrollmatrix eines 6-dimensionalen linearen
Codes C ⊆ K 10 mit Mindestabstand 5 (2-korrigierend).
Der Code enthält 11 6 Codewörter.
Man hat
C = { (x1, ..., x10) ∈ K 11 |
10∑
i=1
xi = 0,
10∑
ixi = 0,
i=1
10∑
i=1
i 2 xi = 0,
10∑
i=1
i 3 xi = 0}
Wenn man nicht will, dass 10 ∈ Z11 vorkommt, kann man C ′ ⊆ C betrachten:
C ′ = { (x1, ..., x10) ∈ K 11 , xi ̸= 10 |
10∑
i=1
xi = 0,
10∑
ixi = 0,
i=1
10∑
i=1
i 2 xi = 0,
10∑
i=1
34
i 3 xi = 0}
Wie kann man mit C elegant dekodieren, ohne die Anführer gemäss Verfahren 2.7
zu speichern?
8.3 Verallgemeinerung von 8.2: eine Klasse von BCH-Codes
BCH-Codes sind günstig, wenn man große Körper K verwenden will.
Voraussetzungen: δ = 2ϵ + 1 ≤ l ≤ n − 1, K = GFn und n sei eine Primzahl (für
Primzahlpotenzen n würde es etwas komplizierter).
Dann sind 1, 2, ..., l ∈ K paarweise verschieden und ̸= 0 (wenn wir etwa 6 ∈ K
schreiben, ist damit gemeint 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ∈ K; d.h. das Einselement 6-mal
aufaddiert).
Setze
⎛
1
⎜ 1
H := ⎜ ...
⎝
1
2
...
1
3
...
...
...
...
1
l
...
1 2 δ−2 3 δ−2 ... l δ−2
⎞
⎟ ∈ K
⎟
⎠
(δ−1)×l