Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

7. Hauptproblem der Codierungstheorie, Datenkompression mit Codes
7.1 Seien n, l, δ ∈ IN, n ≥ 2, gegeben. Sei |K| = n.
Setze An(l, δ) := max{ |C| | C ist Code ⊆ K l mit Mindestabstand ≥ δ }.
Als Hauptproblem bezeichnet man die Bestimmung von An(l, δ).
Falls δ = 1 gilt An(l, 1) = n l .
Falls δ = l gilt An(l, l) = n.
Wir haben in 4.4 gefunden A2(5, 3) = 4.
Selbst bei n = 2 und für einige ziemlich kleinen Werte von δ und l ist An(l, δ) nicht
genau bekannt!
Beispiel:
Man weiss: 2560 ≤ A2(16, 3) ≤ 3276; 256 ≤ A2(16, 5) ≤ 340; 144 ≤ A2(11, 3) ≤ 158.
(Quelle: N.J.A. Sloane: Error correcting codes...).
7.2 Satz (Singleton-Schranke) Seien n, l, δ ∈ IN. Es gilt An(l, δ) ≤ n l−δ+1 .
Beweis Sei C ⊂ K l ein Code mit Mindestabstand ≥ δ, |K| = n.
Die Abbildung C → K l−(δ−1) = K l−δ+1 , c = (c1, ..., cl) ↦→ c ′ := (c1, ..., cl−(δ−1))
(die letzten δ − 1 Stellen streichen) ist injektiv. Denn wenn für c, e ∈ C gilt c ′ = e ′ ,
so folgt α(c, e) ≤ δ − 1 und somit c = e. Also gilt |C| ≤ |K l−δ+1 | = n l−δ+1 .
7.3 Datenkompression und Codes
Das Problem der Datenkompression mit Trübung ist in gewisser Weise dual zum Co-
dieren: beim Codieren wird durch Übertragen zusätzlicher Ziffern einer Verfälschung
begegnet; bei der Datenkompression mit vorgesehener Trübung will man weniger Zif-
fern übertragen.
Ein Bild werde in Bildpunkte zerlegt.
Jeder Bildpunkt entspricht einem Element x ∈ K l .
Kann man mit deutlich weniger Speicherplatz auskommen, wenn man erlaubt: statt
x wird ein c ∈ K l gespeichert wird mit (zum Beispiel) α(c, x) ≤ 1 ?
In diesem Fall tritt zwar unweigerlich eine leichte Verfälschung ein (da ja eine Stelle
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