Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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Zum Beweis unterscheidet man mehrere Fälle. Sei c ∈ Ĉ mit γ(c) = 4.<br />
Sei c = (links rechts) wobei links := (c1, ..., c12) und rechts := (c13, ..., c24) sei.<br />
1. Fall γ(links) = 0 erzwingt offenbar c = 0 (c als Linearkombination der Zeilen von<br />
G ansehen).<br />
2. Fall γ(links) = 1. Dann ist c eine der Zeilen von G; unmöglich.<br />
3. Fall γ(links) = 2. Dann ist c Summe zweier verschiedener Zeilen von G; unmöglich<br />
(überprüfen).<br />
4. Fall γ(links) = 3. Dann ist c Summe dreier verschiedener Zeilen von G, aber es<br />
wäre mühsam, alle diese Möglichkeiten zu überprüfen. Einfaches Argument: Es folgt<br />
γ(rechts) = 1 und wegen (iii) ist c eine Zeile der Matrix ( A E).<br />
5. Fall γ(links) = 4. Es folgt γ(rechts) = 0 und wie im vorigen Fall folgt: c ist<br />
Summe von 0 Zeilen der Matrix ( A E), also c = 0.<br />
Aus (iv) und (v) und da es offenbar Codewörter mit Gewicht 8 gibt, folgt<br />
(vi) Ĉ hat Mindestabstand 8.<br />
Damit haben wir G24 mit den versprochenen Eigenschaften gewonnen.<br />
Nach 6.2 erhalten wir durch Streichen der letzten Stelle in G24 einen Code G23 mit<br />
Mindestabstand 7 und Dimension 12.<br />
Dieser ist perfekt wegen<br />
2 12 · (1 + 23 +<br />
( )<br />
23<br />
+<br />
2<br />
( )<br />
23<br />
) = 2<br />
3<br />
23<br />
6.3’ Konstruktion von G11 Wir konstruieren einen perfekten linearen Code mit<br />
l = 11, K = GF3, dim C = 6, Mindestabstand δ = 5.<br />
Das funktioniert analog wie in 6.3.<br />
Zuerst besorgt man sich einen linearen Code Ĉ über GF3 mit l = 12, dim C = 6<br />
und Mindestabstand 6.<br />
Ĉ wird in einer Übungsaufgabe angegeben (Bezeichnung G12). Aus diesem erhält<br />
man dann durch Streichen der letzten Stelle gemäss 6.2 einen perfekten Code mit<br />
den gewünschten Parametern. Bezeichnung G11.<br />
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