Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Zum Beweis unterscheidet man mehrere Fälle. Sei c ∈ Ĉ mit γ(c) = 4.
Sei c = (links rechts) wobei links := (c1, ..., c12) und rechts := (c13, ..., c24) sei.
1. Fall γ(links) = 0 erzwingt offenbar c = 0 (c als Linearkombination der Zeilen von
G ansehen).
2. Fall γ(links) = 1. Dann ist c eine der Zeilen von G; unmöglich.
3. Fall γ(links) = 2. Dann ist c Summe zweier verschiedener Zeilen von G; unmöglich
(überprüfen).
4. Fall γ(links) = 3. Dann ist c Summe dreier verschiedener Zeilen von G, aber es
wäre mühsam, alle diese Möglichkeiten zu überprüfen. Einfaches Argument: Es folgt
γ(rechts) = 1 und wegen (iii) ist c eine Zeile der Matrix ( A E).
5. Fall γ(links) = 4. Es folgt γ(rechts) = 0 und wie im vorigen Fall folgt: c ist
Summe von 0 Zeilen der Matrix ( A E), also c = 0.
Aus (iv) und (v) und da es offenbar Codewörter mit Gewicht 8 gibt, folgt
(vi) Ĉ hat Mindestabstand 8.
Damit haben wir G24 mit den versprochenen Eigenschaften gewonnen.
Nach 6.2 erhalten wir durch Streichen der letzten Stelle in G24 einen Code G23 mit
Mindestabstand 7 und Dimension 12.
Dieser ist perfekt wegen
2 12 · (1 + 23 +
( )
23
+
2
( )
23
) = 2
3
23
6.3’ Konstruktion von G11 Wir konstruieren einen perfekten linearen Code mit
l = 11, K = GF3, dim C = 6, Mindestabstand δ = 5.
Das funktioniert analog wie in 6.3.
Zuerst besorgt man sich einen linearen Code Ĉ über GF3 mit l = 12, dim C = 6
und Mindestabstand 6.
Ĉ wird in einer Übungsaufgabe angegeben (Bezeichnung G12). Aus diesem erhält
man dann durch Streichen der letzten Stelle gemäss 6.2 einen perfekten Code mit
den gewünschten Parametern. Bezeichnung G11.
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